Document 974377

26
Лекция 12 (4 декабря 2002 года).
Теорема. Следующие утверждения эквивалентны:
M  X , X  полное метрическое пространство.
1) М – предкомпактно.
2) М – счётно предкомпактно.
3) М – вполне ограничено.
Доказательство. 1)  2) 2)  3) - доказали на прошлой лекции. Докажем: 3)  1)
Т.е. М – вполне ограничена  М – сепарабельно и в М есть счётная база. При наличии счётной базы
предкомпактность и счётная предкомпактность эквивалентны. Точнее: Компактность  счётная
предкомпактность – это означает, что M в Х компактна или счётно компактна одновременно  М
предкомпактно или счётно предкомпактно одновременно. Итак, берём произвольную последовательность в М и
покажем, что можно выбрать фундаментальную последовательность (берём последовательность
2)). Если есть в
xj1 бесконечное число одинаковых элементов, то всё доказано. Если, нет, то существует такое
n, что вне любого шара В радиуса

xj1 - это и есть
1

, т.е.B 1 x  - есть элементы xj 1 . М вполне ограниченно, т.е.   0
n
2
2n
 
1
1
y1 ,..., y1k . Один из шаров B1 y j содержит
1

1
бесконечное число элементов xj 1 . M1  B1 y j  M вполне ограничено  есть  сеть. Отсюда есть
2

1
2
2
y1 ,..., yk . Один из шаров B1 y j содержит бесконечное число элементов: xj 1 . M 2  B1  y 2j   M , в нём
конечная
сеть. Возьмём 1- сеть в М. Пусть это элементы
 
 
2
2
1
выберем  сеть и т.д. Получим последовательность шаров: B 1  y n  , которые содержит бесконечное число
4
2n
элементов
xj1 . Последовательность выбираем следующим образом: берём
 
x1j из B1 , x 2j из B2 , и т.д.
Очевидно, что x jn - фундаментальная последовательность, т.к. все x jm при m  n лежат в шаре B 1  y n  . 
2n
Теорема (Хаусдорф). Метрическое пространство М компактно  1) вполне ограниченно 2) полно
счётно компактно. (Это вариант предыдущей теоремы, но уже с замыканием).

Доказательство. Необходимость полноты для счётной компактности очевидна. А достаточность: если М – полно,
то оно замкнута  по определению предкомпактность. 
КРИТЕРИИ ПОЛНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ В КОНКРЕТНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Разберём C[a, b], L p [a, b], l p , p  1.
Полная ограниченность = вполне ограниченности.
Определение. Семейство функций   C[ a, b] называется равностепенно непрерывным, если для
  0  0, т.ч. x1 , x2  [a, b] , т.ч. x1  x2   и для всех f   : f x1   f x2    (почти то же
самое, что и равномерная непрерывность, но есть условие f   т.е. равномерная непрерывность для всех
функций из семейства).
Теорема (Арцела). Семейство   C[ a, b] является вполне ограниченным
f x  cf  , c не зависит от f 2) Ф равностепенно непрерывна.
Доказательство.
 Пусть   0 фиксировано. Построим
равностепенно непрерывна: т.е.  j , т.ч. при
это



3
сеть.
 1) Ф ограниченно:
f1 x ,..., f k x  Каждая f j x 
x1  x2   j имеем: f  x1   f  x2  

3
.   min 1 ,..,  k  -
искомое (оно не зависит от f ). Оно годится для доказательства равностепенной непрерывности.
27


- сети, т.ч. f  x   f j  x  
для всех x  [ a, b]. Пусть x1  x2  
3
3
f x1   f x2   f x1   f j x1   f j x1   f j x2   f j x2   f x2     f x1   f x2    . Ф –
Пусть f  , тогда f j  x  из



3


3
Далее

3
ограниченно, очевидно. Не ограниченное множество не может быть вполне ограниченным. 
 Пусть Ф – ограничено: f x  cf   и равностепенно непрерывно.
[a, b] разбиваем на отрезки с длиной   . [c, c] по оси f разобьём на отрезки длины   . Теперь берём все
возможные ломанные (кусочно-линейные функции с изломами в узлах решётки). Этих функций конечное число
Они образуют 2  сеть. (Достаточно брать угол наклона  45 . Они образуют 2  сеть)
Берём функцию f и смотрим пересечение f x с вертикальными прямыми. Берём узлы,
0

которые ниже ( k назовём нижним приближением f ). Оно приближает f не хуже чем
2 . Т.е. построена функция k из семейства   приближающая f x  в метрике
C[a, b] не хуже чем на 2 . Достаточно сравнить f x   k x  на фиксированном n
f x  скачет  2 , k x  скачет  2  хуже, чем 2 функцию не приблизит
(т.к. функции скачут в одну сторону). 
на
Теорема. M  l p вполне ограничено

  0N :  xk
k N
p
 1) М ограничено 2) «хвосты» равномерно малы:
  p равномерно для всех x  x1 ,.., xn ,... M (номер N не зависит от x  M ).
Доказательство. Сами PLZ.
Теорема (Рисса). M  L p [ a, b] вполне ограничено
среднем: т.е.
 1) М ограничено 2) М равномерно непрерывно в
  0  0 : f  Mh : 0  h     f x  h  f x  dx   p .
b
p
a
Доказательство.
h  a f x  h  f x 2 dx  0, h  0 для f  L2 . (Докажем для р =2, чтобы
b
сэкономить место). Если вместо f стоит непрерывная функция, то очевидно (в силу того, что равномерно
L2  f доказано. Пусть М
вполне ограничена  М – ограничено. Докажем свойство 2). fix  0 берём   сеть: функции
непрерывная функция непрерывна) непрерывные функции плотны в пространстве
f1 x ,..., f k x . Тогда для f  Mf j :  f x   f j dx   . Далее
b
a
  f x  h   f j x  h  dx  f j x  h   f j
b
a
2

b
a
 f x  h  f x dx  если
x  dx  f x   f x  dx   f x  h  f x
2
2
0 ,h0 ,h j , min  j
j
b
a
b
2
a
2
j

b
a
2
dx 3
t h
 Рассмотрим средние Стеклова: f h t   1 t h f x dx  абсолютно непрерывные функции (в силу
2h
2
1
. Далее, семейство  f h t    h  f  M  является
теоремы Лебега). Доказывается, что  f  x   f h t  dx 
2h
равностепенно непрерывным и ограниченным, т.е. средние Стеклова должны удовлетворять теореме Арцелла. 