Система уроков по теме «Линейные и квадратные уравнения с параметром»

Система уроков по теме
«Линейные и квадратные уравнения с параметром»
Урок № 1
Тема урока: « Решение линейных уравнений, содержащих параметры»
Цель урока: учить решать линейные уравнения, содержащие параметр;
учить выписывать ответ; обеспечить устойчивую мотивационную среду,
интерес к изучаемой теме
Тип урока: введение нового материала
Ход урока
1. Оргмомент. Сообщение темы и цели урока.
2. Работа по изучению нового материала:
1) выяснить, что такое параметр в уравнении. Рассмотреть задачу по
тексту учебника «Алгебра 8. Дополнительные главы к школьному
учебнику», авт. Ю. Н. Макарычев, стр. 159 – 160;
2) беседа.
Какое уравнение называется линейным? Сколько корней может иметь
линейное уравнение? Приведите примеры.
Для подведения итогов беседы вывешивается таблица:
Линейное уравнение a x = b.
0 x = 9 , корней нет,
a = 0, b ≠ 0;
0 x = 0, x
любое число,
a = 0, b = 0.
a x = b,
x = b/a,
a ≠ 0, b ≠ 0.
Учитель. В уравнении a x = b буквой x обозначено неизвестное число, а
буквы a и b выполняют роль известных фиксированных чисел. Мы видим, что в
зависимости от значений параметров могут представиться три случая:
уравнение может иметь единственный корень, может иметь бесконечное
множество корней, может иметь единственный корень. При решении линейного
уравнения с параметром мы должны рассматривать всегда эти три случая.
Решение линейных уравнений с параметром под руководством
учителя.
Пример 1. Решите уравнение b(b-1) x = b2 + b - 2.
3)
( Вопрос учителя: « Имеет ли это уравнение вид ax = b?»)
Решение. Если b (b-1) ≠ 0, т.е. b ≠ 0, b ≠ 1, тогда x = (b2+b-2)/(b(b-1)),
x = (b+2)(b-1)/(b(b-1)), x = (b+2)/b.
Если b(b - 1) = 0,т.е. b=0 или b=1, тогда имеем уравнение
b(b-1)x=(b+2)(b-1). При b=0 имеем 0x = -2, уравнение не имеет корней.
При b=1 имеем 0x=0, уравнение имеет бесконечное множество корней.
Ответ: если b=0, то корней нет;
если b=1, то бесконечное множество корней;
если b≠0, b≠1, то x= (b+2)/b.
Учитель. Таким образом, для уравнения b(b-1)x = b2+b-2 мы видим
различные значения параметра b, для каждого из которых определено
соответствующее множество корней. Вообще решить уравнение с параметром
b - это значит установить соответствие, с помощью которого для каждого
значения параметра b указывается множество корней соответствующего
уравнения. (Последнее предложение открывается в таблице на доске)
Пример 2. Решите относительно x уравнение x(a2-1 )= (a+1)(1-x).
Вопрос учителя: «Имеет ли это уравнение вид ax = b? Какие
преобразования надо выполнить?»
Решение. а2 x – x = a + 1 – ax - ax,
а2 x – x + ax + x = a + 1,
a2 x + ax = a + 1,
a (a+1) x = a + 1
(Что играет в полученном уравнении роль a?, роль b?)
Если a(a+1) = 0, т.е. a = 0 или a = -1, тогда при a = 0 получим уравнение 0x
= 1, оно корней не имеет, при a = -1 получим уравнение 0x = 0, оно имеет
бесконечное множество корней.
Если a(a + 1) ≠ 0, т.е. a ≠ 0, a ≠ -1, то x = 1/a.
Ответ: если a = 0, то корней нет;
если a = -1, то бесконечное множество корней;
если a ≠ 0, a ≠ -1, то x = 1/a.
Пример 3. Решите уравнение x – xy + 5y = 7 в целых числах.
Решение. Пусть x неизвестное, тогда y – параметр.
x – xy = 7 – 5y,
(1 –y)x = 7 – 5 y.
Если 1 – y = 0, у = 1, тогда уравнение имеет вид 0x = 2 и корней не имеет.
Если 1 – y ≠ 0, y ≠ 1, тогда x = (7 – 5y)/(1 – y), x = (5y – 7)/(y – 1),
x = 5 - 2/(y – 1).
Дробь 2/(y – 1) обращается в целое число лишь при тех значениях y, при
которых (y – 1) является делителем числа 2, т. е. y равно -1; 0; 2; 3. Вычислим
соответствующие значения x:
при y = -1 x = 6
при y = 0
x=7
при y = 2
x =3
при y = 3
x = 4.
Ответ: (6;1), (7;0), (3;2), (4;3).
4.Первичное закрепление нового:
1) Решите уравнения устно: (n – 2)x = 5,
m x = 8, ax = a, (a – 1)x = a;
2) Самостоятельная работа. Решите уравнения:
a) m x(m – 2) + 9 = m (x + m).
Решение.
m2 x – 2mx + 9 = mx + m2
m2 x – 2mx – mx = m2 - 9
m2 x – 3mx = m2 – 9
m(m – 3)x = (m - 3)(m + 3)
Если m(m – 3) = 0, то имеем при m = 0 уравнение 0x = -9, оно корней не
имеет, при
m = 3 имеем уравнение 0x = 0, оно имеет бесконечное множество корней.
Если m(m – 3) ≠ 0, т.е. m ≠ 0, m ≠ 3, то x = (m + 3)/m.
Ответ: если m = 0, то корней нет;
если m = 3, то бесконечное множество корней;
если m ≠ 0, m ≠ 3, то x = (m + 3)/ m
б) (n2 – 5)x + n = n(n – 4x).
Решение.
n2 x – 5x + n = n2 – 4nx
n2 x – 5x + 4nx = n2 – n
(n2 – 5 + 4n)x = n(n – 1)
(n + 5)(n – 1)x = n( n – 1).
Если (n + 5)(n – 1) = 0, то при n = -5 имеем уравнение 0x = -30, оно корней
не имеет; при n = 1 имеем уравнение 0x = 0, оно имеет бесконечное
множество корней.
Если n ≠ -5, n ≠ 1, то x = n/(n + 5).
Ответ: если n = -5, то корней нет;
если n = 1, то бесконечно много корней;
если n ≠ -5, n ≠ 1, то x = n/(n + 5).
3) Проверка самостоятельной работы проводится по готовому решению.
4) Итог урока. Что значит решить уравнение с параметром?
Сколько случаев надо помнить при решении линейного уравнения с
параметром?
На дом: п. 32(Д), п.33(д), № 580(г,д,е,ж)
Урок № 2
Тема: «Решение линейных уравнений, содержащих параметры»
Цель: формировать умения и навыки решения линейных уравнений с
параметрами; создать условия для самостоятельной и творческой работы;
создать благоприятные условия для дифференцированного обучения.
Тип урока: урок закрепления.
Ход урока.
1.Проверка домашнего задания с помощью графопроектора.
2.Беседа.
Что такое параметр в уравнении?
Что значит решить уравнение с параметром?
Сколько корней может иметь линейное уравнение ax = b в зависимости от
значений a и b?
3.
Практическая работа по выработке умений и навыков в решении
линейных уравнений с параметром (работа в группах).
Предварительная беседа:
-Назовите неизвестное в уравнении. Назовите параметр.
-Целыми или дробными являются эти уравнения?
-Все ли значения может принимать параметр?
№ 581. Решите уравнение относительно y.
г) (n+y)/5 - 2 = (y –5)/n
Решение. n ≠ 0
n (n + y) – 10n =5( y – 5)
n2 + n y – 10n =5y – 25
n y – 5y = 10n – 25 – n2
(n – 5)y = -(n2 – 10n + 25)
(5 –n)y = n2 – 10n + 25
(5 – n)y = ( 5 – n)2
Если (5 – n) = 0, n = 5, то 0y = 0, бесконечное множество корней.
Если (5 – n) ≠ 0, то y = (n2 – 10n + 25)/(5 – n), y = 5 – n.
Ответ: при n = 0 уравнение теряет смысл;
при n = 5 y любое число;
при n ≠ 0, n ≠ 5
y = 5 – n.
д) (y – m)/m - 4 = ( y – 4)/4 - m
Решение. m ≠ 0
4 (y – m) – 16m = m (y – 4) – 4m2
4y – 4m – 16m = my –4m – 4m2
4y – my = 20m – 4m – 4m2
(4 –m) y = 16m – 4m2
(4 – m) y = 4m (4 – m).
Если 4 – m =0, m = 4, то 0y = 0, y любое число.
Если m ≠ 4, то y = 4m.
Ответ: при m = 0 уравнение теряет смысл;
при m = 4 y любое число;
при m ≠ 0, m ≠ 4
y = 4m.
е) (y – p)/5 – (y – 5)/p = 2
Решение. p ≠ 0.
p(y – p) – 5(y – 5) = 10p
py – p2 – 5y +25= 10p
py – 5y = p2 + 10p – 25
(p – 5)y = (p + 5 + 5 5 )(5 + 5 – 5 5 ).
Если p = 5, то корней нет;
Если p ≠ 5, то y = (p2 + 10p – 25)/(p – 5).
Ответ: при p = 0 уравнение теряет смысл;
при p = 5 корней нет;
при p ≠ 0, p ≠ 5
y = (p2 + 10p – 25)/(p – 5)
№583 При каком значении параметра b уравнение (x – b+ 1)2 - (x + b- 1)2 = 2x
+ 6 имеет
а) положительные корни; б) отрицательные корни; в) корень, равный 0?
Решение.
(x – b+ 1 – x – b+ 1)(x – b+1 + x + b- 1) = 2х + 6
(2 – 2b) 2x = 2x + 6
4x – 4b x = 6
2(1- 2b) x = 6
(1 – 2 b) x = 3
Если 1 – 2b = 0, b= ½, то корней нет.
Если b≠ ½, то x = 3/(1 – 2b).
3/(1 – 2b) > 0 при 1 – 2b > 0, b < ½
3/(1 – 2b) < 0 при b > ½.
Ответ: при b < ½ корень положительный;
при b > ½ корень отрицательный;
при любых b
x ≠ 0.
№ 582. При каком значении параметра a уравнение (5x – a)/3 = (6x – 1)/4 имеет
а) положительный корень; б) отрицательный корень; в) корень, равный 0?
4.
Итог урока. На дом: №581(а, б, в)
Урок № 3.
Тема: «Решение квадратных уравнений, содержащих параметры»
Цель: формировать умения решать уравнения второй степени, содержащих
параметры; расширять представления учащихся о решении квадратных
уравнений; развивать познавательную деятельность учащихся.
Тип урока: введение нового материала.
Ход урока.
1. Проверка домашнего задания через графопректор.
2. Сообщение темы и цели урока.
3. Беседа.
Какое уравнение называется квадратным?
Что случится, если а окажется равным 0?
При каком условии квадратное уравнение а) не имеет корней; б) имеет один
корень; в) имеет два корня?
Определить, какого знака корни имеет уравнение
а) x2 – 18x + 17 =0,
б)x2 – 2x - 1 = 0,
в)x2 + 15x + 56 = 0.
4.Решение уравнений под руководством учителя.
Пример 1. Решить квадратное уравнение
x2 - b x + 4 = 0.
Решение. Это уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант.
D = b2 - 16
Если b2 - 16 = 0, b = 4 или b = -4, то уравнение имеет один корень x = b/2.
Если D > 0, b2 - 16 > 0, b < - 4, b > 4, то уравнение имеет два корня:
x1 = (b + b  16 )/2 ,
x2 = (b – b  16 )/2.
Если -4 < b < 4, то уравнение корней не имеет.
Ответ: при b < -4 или
b > 4
x1 = (b + b  16 )/2, x2 = (b b  16 )/2;
при b = 4 или b = -4 x = b/2;
при -4 < b < 4 уравнение корней не имеет.
Пример 2. Решить относительно x уравнение m x2 –6x + 1 = 0.
Решение. При m = 0 получим линейное уравнение -6 x + 1 = 0, x = 1/6.
При m ≠ 0 уравнение квадратное, D1 = 9 – m;
если m = 9 , то уравнение имеет один корень x = 3/m, х = 1/3;
если m < 9, то уравнение имеет два корня x1 = (3 +
9  m )/m;
если 9 – m < 0, m > 9, то уравнение корней не имеет.
Ответ: при m = 0
при m = 9
x = 1/6;
x = 3/m, х = 1/3;
при m ≠ 0, m < 9
при m > 9
x = (3 ±
9m
)/m;
корней нет.
Пример 3. Решите относительно x уравнение ax2 = 4.
Решение. Если а = 0, то 0x = 4, корней нет.
Если а ≠ 0, то x2 = 4/a.
Если a < 0, то корней нет.
9m
)/m, x2 = (3 -
Если a > 0, то x = ± (2
Ответ: при a ≤ 0
а
)/a.
корней нет;
при a > 0
x = ± (2
а
)/a.
Пример 4. Решите относительно x уравнение x2 – a x = 0.
Решение. Если a = 0, то x2 = 0, x = 0.
Если a ≠ 0, то x(x – a) = 0, x = 0 или x = a.
Ответ: при a = 0 x = 0;
при a ≠ 0 x = 0 или x = a.
4. Обучающая самостоятельная работа. Решите уравнения относительно y.
1) сy2 + 8 = 2y2 + 4c
Решение.
2y2 – cy2 + 4c – 8 = 0
(2 – c) y2 + 4c - 8 = 0
если с = 2 , то получим уравнение 0y2 = 0 , y любое число;
если с ≠ 2, то y2 = 4(2 – c)/(2 – c), y2 = 4, y = ± 2.
Ответ: при с = 2 y любое число;
при с ≠ 2
y = ± 2.
2) b(y2 + 7) = b(y + 5) + 2b
Решение.
by2 + 7b – by – 5b – 2b = 0
by2 – by = 0
b(y – 1)y = 0
если b = 0, то y любое число;
если b≠ 0, то y = 1 или y = 0.
Ответ: при b= 0
y любое число;
при b≠ 0
y = 1 или y = 0.
3) ay2 + 6y +a = 3(2y –a)
Решение.
a y2 + 6y – 6y + a +3a = 0
a y2 + 4a = 0
a (y2 + 4) = 0
при a = 0 y любое число,
при a ≠ 0 корней нет.
Ответ: при a = 0
при a ≠ 0
y любое число;
корней нет.
5) Проверка самостоятельной работы, комментирование ошибок, неверных
шагов.
6) Итог урока. На дом: № 586 (г, д, е), №587 (в)
Урок № 4
Тема: « Решение квадратных уравнений, содержащих параметры»
Цель: формирование умений решать квадратные уравнения с параметрами;
обобщение знаний учащихся по теме « Квадратные уравнения»;
развитие познавательной активности учащихся.
Тип урока: урок закрепления.
Ход урока.
1) Оргмомент. Проверка домашнего задания: №568 е), № 587 в)
2) Беседа.
Как называется уравнение вида a x2 + b x + с = 0?
Если x1 и x2 корни этого уравнения, то чему равно а) их произведение; б) их
сумма?
Какими будут с и b, если x1 и x2 а) одинакового знака; б) разного знака?
3) Тренировочные упражнения: № 588а), № 589 - № 591 (доп. главы,
стр.166).
№ 588а) Решите уравнение с параметром а: (x2 - x +3)/3 =1 – (x – 1)/a.
Решение. При a = 0 уравнение теряет смысл.
Если a ≠ 0 , то ax2 - ax +3a = 3a – 3x + 3, аx2 - ax +3x – 3 = 0,
ax2 + ( 3 – a)x – 3 = 0, уравнение квадратное;
D= (3 – a)2 + 12a =9 – 6a + a2 + 12a = (a + 3)2.
Если a = -3, то D= 0, уравнение имеет один корень x = (a – 3)/2a, x = 1.
Если a ≠ 0, a ≠ -3, то уравнение имеет два корня x =((a – 3) ± |a + 3|)/2a , x1 = 1 или
x2 = -3/a.
Ответ: при a = -3, то x = 1;
при a ≠ 0, a ≠ -3 x = -1, x = -3/a.
№ 589. При каких значениях параметра а уравнение ax2 - 4x + a = 0 имеет
а) положительные корни; б) отрицательные корни; в) корень, равный нулю;
г) единственный корень, отличный от нуля.
Решение. Если a = 0, то получим уравнение –4x = 0, x = 0.
Если a ≠ 0, то уравнение квадратное, D1= 4 – a2. Если 4 – a2 = 0, a = ± 2, то
уравнение имеет один корень x = 2/a, не равный нулю.
Если 4 – a2 > 0, -2 < a < 2, то уравнение имеет два корня. Запишем
уравнение так: x2 - (4/a)x + 1 = 0. Оба корня отрицательные, если –4/a > 0, a <
0.
Оба корня положительные, если –4/a < 0, a > 0.
Ответ: при 0 < a < 2 корни положительные;
при -2 < a < 0
корни отрицательные;
при а = 0 x = 0;
при а = ± 2
корень единственный, отличный от нуля.
№ 590. При каких значениях параметра b уравнение (b – 1)x2 - 2b x + b + 1 =
0 имеет
а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) единственный
корень?
Решение. Если b = 1, то получим линейное уравнение –2x + 2 = 0, x = 1,
единственный корень.
Если b ≠ 1, то уравнение квадратное. D1 = b2 - (b - 1)(b + 1) = b2 – b2 + 1 = 1.
Т. к. D1 > 0, то при любом b ≠ 1 уравнение имеет два корня
х1 > 0, x2 >
b  1
 b  1  0
0, если 
  2b  0
 b  1
x  0, x  0, если
b1,b1

b0,b1
b  1
 b  1  0

  2b  0
 b  1
b < -1, b > 1
b1,b1

0b1
нет решений
Ответ: при b = 1 уравнение имеет единственный корень;
при b < -1, b > 1 уравнение имеет два положительных корня;
два отрицательных корня не существуют ни при каком b.
3) Самостоятельная работа.
1 вариант.
Пример 1. Решить относительно x уравнение c x2 - 6x + 1 = 0
Решение. Если с = 0, то -6x + 1 = 0, x = 1/6.
Если с ≠ 0, то D1 = 9 – c. При с = 9 уравнение имеет единственный корень x =
3/с. При с < 9 уравнение имеет два корня x = (3 ± 9  с )/c. При с > 9
корней нет.
Ответ: при с = 0 x = 1/6;
при с = 9 x = 1/3 ;
при с < 9, с ≠ 0
x = (3 ±
9с
)/c;
при c > 9 корней нет.
Пример 2. При каком значении параметра b уравнение x2 - (2b + 1) x + b2 + b 6 = 0 имеет а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни
разных знаков
Решение. Уравнение квадратное.
D = (2b + 1)2- 4(b2 + b - 6) = 4b2 + 4b + 1– 4b2- 4b + 24 = 25.
При любом b уравнение имеет два корня.
а) x1 > 0, x2 > 0, если
б) x1 < 0, x2 < 0, если
 2b60 (b3)(
b2)0
b


(2b1)0 2b10
b3,b2

b1/2
b3,b2

b1/2
b2
b < -3
в) x1 < 0, x2 > 0, если b2 + b - 6 < 0, (b + 3)(b - 2) < 0,
Ответ: при b > 2
два положительных корня;
при b < -3
два отрицательных корня;
-3 < b < 2.
при -3 < b < 2 корни разных знаков.
2 вариант.
Пример 1. Решите относительно y уравнение n y2 - 8y + 2 = 0.
Решение. Если n = 0, то –8y + 2 = 0, y = 1/4.
Если n ≠ 0, то D1= 16 – 2n. При n = 8 уравнение имеет единственный корень y
= 1/2.
При n < 8 уравнение имеет два разных корня
> 8 уравнение корней не имеет.
Ответ: при n = 0
при n = 8
y = (4 ±
16 2n )/n.
При n
y = 1/4;
n = 1/2;
при n < 8, n ≠ 0
y = (4 ±
16 2n )/n;
при n > 8 корней нет.
Пример 2. При каком значении параметра b уравнение y2 - (2b- 1)y + b- b- 2 =
0 имеет
а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных
знаков?
Решение. Уравнение квадратное. D = (2b - 1)2 - 4(b2 – b - 2) = 4b2 - 4b + 1 – 4b2 +
4b + 8 = 9.
При любом b уравнение имеет два корня.
а) x1 > 0, x2 > 0, если
б) x1 < 0, x2
 2b20
b

(2b1)0
(b2)(b1)0
< 0, если 
(2b1)0
(b2)(b1)0

 1
b

 2
b1,b2

b1/2
b  1,b  2

 1
b  2
b>2
b< -1
в) x >0, x2 < 0, если (b - 2)(b + 1) < 0, -1 < b < 2.
Ответ: при b > 2 два положительных корня;
при b < -1 два отрицательных корня;
при -1 < b < 2
корни разных знаков.
4) Проверка самостоятельной работы.
5) Итог урока. На дом: № 588б), № 591, подготовиться к зачету.
Урок № 5
Тема: «Решение линейных и квадратных уравнений, содержащих
параметры»
Цель: обобщение и систематизирование полученных знаний; расширение
представлений учащихся о решении линейных и квадратных уравнений.
Тип урока: закрепление знаний и умений.
Ход урока.
1 Организационный момент.
2 Проверка домашнего задания.
3 Решение тренировочных упражнений самостоятельно.
1) Решите уравнения относительно x:
1 вариант
2 вариант
а) c x = 5
а) b x = 9
б) (x – c)/c – 5 = (x – 5)/5 – с
б)( x – b)/b - 8 = (x – 8)/8 – b
в)(x – 2)2 /4 = (b - 1)x
в) (x – 3)2 /6 = (c – 1)x
2) При каких значениях p уравнение является а) линейным; б)квадратным; в)
неполным квадратным?
(p – 2)x2 + (p + 3)x + 6p = 0
(p + 5)x2 + (p – 4)x - 2p = 0
3) При каких значениях m график функции пересекает ось x в точках,
абсциссы которых а) положительны; б) отрицательны?
y = (x – m)2 - 49
y = (x – m)2 - 35
2. Итог урока. Выборочно прокомментировать ошибки.
3. На дом: дидактический материал, стр. 134, в. 4, 2а), 3.