Практикум по решению задач с параметрами

Приложении 1
ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.
ТЕМА : ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ
I.
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ.
1.Определите, при каких значениях параметра m число 5 является корнем уравнения :
а) mх = 7 ;
б) ( 5m – 1 )x = 2 m + 3 ; в) (3m + 7 )x = 15 m + 35 г) ( 3 – m )x = 2 – 5 m
2. При каких значениях параметра b имеют общий корень уравнения :
а) 3х + 7 = 0 и 2 х – b = 0 ;
б) 2 х = 3 b – 1 и 3 х = 5 b + 7
3. Для каждого значения параметра a решите уравнение :
а) (а 2 - 9 ) х = а + 3 ; б) 2а х + 1 = а – 8
в) х–3+х=ах+3
а
х  а 2  а  1;
г)
д) ( а – 1 ) х - а =0 .
а 1
4. При каких значениях параметров a и b уравнение имеет не менее двух различных
решений :
а) ( 2 a  b  1) x  2a  b  3  0 ;
б) ( a  b  6) x  3a  1  0 ;
5. Найти все значения параметра a ,при каждом из которых решение уравнения не больше 2:
а) 2х – 5 a  3  4ax ;
б) 15x  7a  2  6a  3ax
в) 3x  6a  3ax  6
II.
ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ.
1. Для всех значений параметра р решите неравенство:
а) ( р+4 ) х + 2р – 1  0 ;
б) ( р – 1 ) х > р 2 - 1 ;
в) рх + 3( р – х ) < 8 р – 13 х + 1
2. Найти область определения функции:
2x  5
1
 3 x ;
а) f (x) =
б) f ( x ) = 1  x  2a  5  x ; в) f (x) =
.
xa
ax
3. При каких значениях параметра m неравенство выполняется для всех х :
а) ( m 2 2m  3) x  2m 3 +5 ;
б) ( m 2 +5 m + 6 ) x - m 2 + 4 < 0.
4. При каких значениях параметра a неравенство выполняется при заданном значении х
а) ( a  1 ) х + a  4 > 0 для всех х  ( - 2 ; 1 ] . б) ax  2a  3 >0 для всех х   3 .
5. Найти все значения параметра a , при которых система неравенств имеет:
1)единственное решение :
2) не имеет решений :
 x  3  a
 x  1  a
3  7 x  3x  7,
а) 
б) 
в) 
 x  2a  5
 2 x  a  3
1  2 x  a  x.
III.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ.
1. При каких значениях a и b система уравнений имеет решение х=3, y= -1 :
3x  5 y  a
ax  by  2
7 x  y  a
ax  by  7
а) 
б) 
в) 
г) 
5 x  by  3  a
2 x  ay  2  3b
2 x  y  b
8 x  3 y  b
2. При каких значениях параметра a :
а) сумма чисел, удовлетворяющих системе уравнений наименьшая
3 x  2 y  2a 2  12a  3

 x  6 y  3a 2  10a  2
б) произведение чисел, удовлетворяющих системе уравнений наибольшая
2 x  7 y  15  15a

3x  y  4a  12
3. При каких значениях параметра a система уравнений имеет решение,
удовлетворяющее заданным условиям:
x  y  a
 x  3 y  2a  1
а) 
, x>0, y>0.
б) 
, x> 0, y<0.
2 x  y  3
x  y  a
4. При каких значениях параметра р система уравнений имеет единственное решение:
2 x  3 y  4,
 x  py  p,

а)  x  y  3,
б) 
 px  y  1.
x  2 y  p

5.Для всех значений параметра a решить уравнение :
(a  5) x  (2a  3) y  3a  2,
ax  3ay  2a  3,
а) 
б) 
(3a  10) x  (5a  6) y  2a  4.
 x  ay  1.
I V.
2 x  (a  1) y  3  0,
в) 
(a  1) x  4 y  3  0.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ.
1.При каких значениях параметра b уравнение имеет один корень? Для каждого
такого значения b найдите этот корень:
2
а) 2х 2 bx  8  0
б) х 2 bx +2b-3=0 в) bx  5x  20  0 г) 5 x 2  x  b  0 .
2. При каких значениях параметра р имеют общий корень уравнения :
а) х 2 2 x  3  0 и рх 2 x  1  0 ;
б) х 2 +3х-р=0 и 2х 2 +х+р-7=0 ?
в) x 2  x  2  0 и px 2  2 x  1  0 ;
г) x 2  2 x  p  0 и 3x 2  x  p  0 ?
4. Для каждого значения параметра a решите уравнение :
а) (2х+1)( ax 2  2 x  3)  0 , б) 3x 2  5 x  2a  0 , в) x 2  (3a  2) x  2a 2 a  3  0
г) x x  2  a  0 ;
д) (a  1) x 2  2(2a  1) x  4a  3  0
5. Найти значение параметра a при котором корни уравнения удовлетворяют
заданным условиям :
а) 3x 2  (a  1) x  1  a 2  0, оба корня уравнения равны нулю.
б) x 2  (3a  5) x  2  0 , корни уравнения равны по модулю, но противоположны по
знаку;
в) 3 x 2  ax  4  0 , один корень равен 1, а второй корень совпадает с корнем
уравнения 2 х – 3 = a ;
в) x 2  (a  3) x  a  5  0 имеет два положительных корня, один из которых в два
раза больше другого;
г) ( x 2  (3a  1) x  2a 2  a)( x 2  (2a  1) x  3a 2  a)  0 , имеет три различных корня.
д) x 2  2(a  1) x  a 2  a  1  0 , корни лежат на луче (-2;  )
е) x 2  2ax  a 2 1  0 , корни заключены между числами -2 и 4;
ж) x 2  ax  2  0 , имеет два корня, из которых лишь один удовлетворяет условию
1< x <3.
з) (х- a)( x 2  5x  4)  0 , имеет три корня, которые различны и взятые в некотором
порядке, образуют: 1) арифметическую прогрессию; 2) геометрическую прогрессию.
V.КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА.
1.При каких значениях р неравенство справедливо : а) при всех значениях х,
б) при х>3,
в) при х< 7
2
2
2
а) х 5 x  p  0 ,
б) x  6 x  a  0
в) (a  3) x  (a  1) x  a  1  0 .
2. Для каждого значения параметра a решите неравенство :
а) ax 2  (2a  3) x  a  1  0
б) ( a  1) x 2  (2a  1) x  a  2  0
3.Найти значения параметра b , при котором решения неравенства удовлетворяют
заданным условиям:
а) (1  b) x 2  (1  b) x  3  0 , имеет пустое множество решений,
б) x 2  (3b  1) x  2b 2  2b  0 , имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию
x  b2  0 ,
в) x 2  (b  2) x  2b  4  0 , выполняется при всех х, для которых x  1  2