для каждого значения параметра - Брестский государственный

Учреждение образования «Брестский
государственный университет имени
А.С. Пушкина»
УТВЕРЖДЕНО
Протокол заседания кафедры
от 10.04.2014 № 10
Кафедра методики преподавания
математики и информатики
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К ЗАЧЕТУ
10.04.2014 г.
г.Брест
По дисциплине «Решение задач с параметрами»
Специальность «Математика. Информатика» 10 семестр
Составитель: доцент Селивоник С.В.
Теоретическая часть
1. Понятие уравнения и неравенства с одной переменной и одним
параметром, его решения.
2. Аналитические приемы решения. Исследование корней квадратного
уравнения (решений неравенства) относительно заданных точек.
3. Применение теоремы Виета при решении задач с параметрами.
4. Использование при решении задач графика квадратичной функции как
графической модели задачи.
5. Решение уравнений и неравенств с параметрами, сводящихся к
квадратным.
6. Построение геометрических моделей и задач с параметрами.
7. Построение геометрических моделей задач с параметрами в координатной
плоскости (x; y).
8. Преобразование графиков функций (параллельный перенос; поворот и др.).
9. Представление уравнения (неравенства) с одной переменной и одним
параметром как уравнения (неравенства) с двумя переменными.
10. Построение геометрических моделей задач в плоскости (x; а).
11. Использование свойств функций при решении задач с параметрами.
12. Решение задач, связанных с нахождением наибольшего и наименьшего
значения функции.
13. Использование монотонности функции.
14. Применение ограниченности функций, входящих в структуру уравнений
и неравенств.
15. Задачи, связанные с понятием касательной к графику функции в точке.
16. Решение задач, связанных с поиском критических точек.
Практическая часть
Студенты должны показать умения решать задачи с параметрами
следующих типов:
1) Исследовать решения уравнения в зависимости от параметра
(𝑎2 − 6𝑎 + 5) ∙ 𝑥 = 𝑎 − 1.
2) При каком значении параметра 𝑎 уравнение
𝑎2 (𝑥 − 1) + 2(1 − 2𝑥) + 𝑎 = 0 имеет:
а) единственное решение; б) бесконечно много решений?
3) Найти все значения параметра 𝑎, при которых сумма корней уравнения
𝑥 2 − 2𝑎(𝑥 − 1) − 1 = 0 равна сумме квадратов его корней.
4) Найти все значения параметра 𝑎, при которых неравенство
(𝑎 − 1) ∙ 𝑥 2 + (𝑎 + 1) ∙ 𝑥 + 𝑎 + 1 > 0
справедливо
для
любых
действительных значений переменной 𝑥.
5) Найти все значения параметра 𝑎, при которых любое решение неравенства
𝑎𝑥 2 + (1 − 𝑎2 ) ∙ 𝑥 − 𝑎 > 0 удовлетворяет и неравенству |𝑥| ≤ 2.
6) Найдите все значения параметра 𝑎, при которых уравнение
||𝑥 + 1| − 𝑎| = 2 имеет ровно три различных решения.
7) При каких значениях параметра 𝑎 уравнение
𝑠𝑖𝑛2 (𝑥 + 6) − (𝑎 − 1) ∙ sin(𝑥 + 6) ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥 + (𝑎 − 1) ∙ 𝑠𝑖𝑛2 𝜋𝑥 ≥ 0
единственный корень?
имеет
8) При каких значениях параметра 𝑎 уравнение
√𝑥 = 𝑥 + 𝑎 имеет единственный корень?
9) При каких значениях параметра 𝑎 неравенство
1 + 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥 2 + 1) ≥ 𝑙𝑜𝑔5 (𝑎𝑥 2 + 4𝑥 + 𝑎)
справедливо
действительных значений 𝑥.
для
всех
10) Найти все значения параметра 𝑎, при которых неравенство
9𝑥 − 𝑎 ∙ 3𝑥 − 𝑎 + 3 ≤ 0 имеет хотя бы одно решение.
11) При каких значениях параметра 𝑎 уравнения
𝑎
4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 𝑎2 − 6 и 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = равносильны?
6
12) Для каждого значения параметра 𝑎 найти количество решений уравнения
√2|𝑥| − 𝑥 2 = 𝑎.
13) Найти все значения параметра 𝑎, при которых уравнение
√𝑥 + 1 = 𝑎 − √3 − 𝑥 имеет хотя бы один целый корень.
14) Найти все значения параметра 𝑎, при которых все корни уравнения
√𝑥 + 3 − 4√𝑥 − 1 + √𝑥 + 8 − 6√𝑥 − 1 = 𝑎 принадлежат отрезку [2; 17].
15) Решить уравнение 3 ∙ 4𝑥−2 + 27 = 𝑎 + 𝑎 ∙ 4𝑥−2 для каждого значения
параметра 𝑎.