Статья - МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ГЕМОДИНАМИКИ КРОВОТОКА С УЧЕТОМ РАБОТЫ РАСПРЕДЕЛЕННОГО СЕРДЦА

Мезо-, нано-, биомеханика и механика природных процессов
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 423–424
423
УДК 539.3
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ГЕМОДИНАМИКИ КРОВОТОКА
С УЧЕТОМ РАБОТЫ РАСПРЕДЕЛЕННОГО СЕРДЦА
 2011 г.
А.В. Доль, Ю.П. Гуляев
Саратовский госуниверситет им. Н.Г. Чернышевского
[email protected]
Поступила в редакцию 15.06.2011
Представлены математические модели движения крови в крупных кровеносных сосудах с учетом
работы распределенного сердца. Рассмотрена модель в рамках одномерной теории течения вязкой несжимаемой жидкости. Представлена модель кровотока в трехмерном случае.
Ключевые слова: биомеханика, гемодинамика, математическое моделирование, уравнения Навье − Стокса, артерия.
Основная замкнутая система уравнений
течения вязкой несжимаемой жидкости
Вопросы моделирования гемодинамики
крупных кровеносных сосудов приобретают в
последнее время все большую актуальность.
Это связано с медицинскими проблемами реконструкции сосудистого русла при атеросклеротических поражениях и необходимостью прогнозирования возможного поведения сосуда в
ближайшие и отдаленные периоды после оперативного вмешательства.
Построим математическую модель динамики кровотока.
Движение крови по сосуду предполагается
осесимметрическим, поэтому будем рассматривать его в цилиндрической системе координат.
Ось z направляем по оси сосуда, полярную ось
r направим по его радиусу. Поле скоростей с
компонентами vr , vz зависит от переменных z,
r, t.
Уравнения Навье − Стокса в цилиндрической системе координат имеют вид:
∂v
∂v 
 ∂v
ρ r + vr r + v z r  =
∂
t
∂
r
∂z 

 ∂2 v
1 ∂vr v r ∂ 2 vr 
∂P
,
=−
+ µ 2r +
−
+
 ∂r
∂r
r ∂r r 2 ∂z 2 

(1)
∂v
∂v 
 ∂v
ρ z + v r z + v z z  =
∂
t
∂
r
∂z 

 ∂2 v
1 ∂v z ∂ 2 v z 
∂P
=−
+ µ 2z +
+ 2 ,
 ∂r
∂z
r ∂r
∂z 

∂ ( rv r ) ∂ ( rv z )
+
= 0,
∂r
∂z
(2)
(3)
где ρ − плотность крови, µ − вязкость крови,
P − давление.
Получим уравнения движения цилиндрической оболочки. На стенки трубы действует
трансмуральное давление, состоящее из среднего давления P0 и пульсационной составляющей P′. Оболочка находится в предварительно
натянутом состоянии. Кроме трансмурального
давления на стенки действуют силы вязкого
трения и силы упругой податливости окружающих сосуд тканей в осевом и радиальном направлении соответственно: S 1 = −K 2u , P1 =
= −K1w, K1, K2 − коэффициенты податливости
тканей.
В поперечном сечении действует продольная сила: S = S0 + S′, где S0 − средняя сила продольного натяжения, S′ − пульсационная составляющая продольной силы. В окружном направлении на элемент действует поперечная сила
натяжения T = T0 + T ′, где T0 − средняя сила
поперечного натяжения сосуда, T ′ − пульсационная составляющая поперечной силы.
Уравнение изменения количества движения
элемента оболочки в осевом направлении имеет вид:
∂2u
∂S ′ S0 − T0 ∂w
(4)
+
− K 2 u,
R
∂z
∂z
∂t
где w − радиальное смещение стенки, R − радиус сосуда.
Уравнение изменения количества движения
элемента в радиальном направлении:
P
∂2 w
∂2 w
T′
ρh 2 = P ′ + 0 w − + S 0 2 − K1 w. (5)
R
R
∂t
∂z
Используя закон Гука, получим уравнения
для усилий:
ρh
2
=
А.В. Доль, Ю.П. Гуляев
424
Eh  ∂u
w
+ ν  ,
2 
R
1 − ν  ∂x
∂u 
Eh  w
+ ν ,
T′ =
(6)
2 
∂x 
1− ν  R
ν − коэффициент Пуассона.
Система (1)−(6) представляет собой замкнутую систему уравнений динамики кровотока в
артериальном русле.
S′ =
Одномерная теория
Для вывода уравнений одномерной теории
нужно усреднить уравнения Навье − Стокса по радиусу трубы. Если ввести объемный расход
по формуле
вью можно назвать распределенным (вторичным) сердцем.
Из этой системы получается уравнение для
объемного кровотока с учетом реактивного перемещения стенок сосуда, возникающего под
действием волны давления:
ρ
∂Q
∂P 8πµ
= − πR 2
− 2 (Q − πR 2 v0 ),
∂t
∂z πR
(8)
где v0 − средняя скорость продольного перемещения стенки сосуда за счет мышечной реакции. Дальнейшая процедура построения решения задачи о пульсации кровотока представлена в работе [1].
Трехмерная теория
R
Q = ∫ 2 πrv z dr,
0
а также пренебречь конвективной составляющей ускорения частиц жидкости, инерционными силами, действующими на элемент оболочки, из замкнутой системы уравнений (1)−(6)
получается более простой вариант системы
уравнений динамики кровотока:
∂Q
∂p ′ 8πµ
−
ρ
= − πR 2
Q,
∂z π R 2
∂t
∂w
1 ∂Q
=−
,
∂t
2πR ∂z
(7)
∂ 2w
T0
T
S 0 2 + p ′ + 2 w − = 0,
R
∂z
R
Eh w
.
T=
1− ν2 R
Пульсовая волна давления, распространяясь по сосуду, вызывает ответную реакцию
мышечных слоев сосудистой стенки. Эта реакция выражается в принудительном продольном
растяжении мышечных волокон, которые приводят к дополнительному перемещению сосудистой стенки. В силу наличия вязкости крови, последняя увлекается стенкой. В результате средняя скорость кровотока возрастает. Такую схему взаимодействия стенки сосуда с кро-
В трехмерном случае система уравнений
(1)−(6) при определенных упрощениях методом
разделения переменных сводится к системе
обыкновенных дифференциальных уравнений
относительно амплитуд пульсирующего кровотока. При этом амплитуда продольных скоростей в жидкой части системы будет удовлетворять уравнению Бесселя нулевого порядка:
v z 0 1 v z 0 iρω
+
−
(9)
v = 0,
∂r r ∂r
µ z0
где vz0 − проекция скорости течения крови на
ось z; ω − круговая частота.
Работа «распределенного сердца» моделируется с помощью функции дополнительных
продольных реактивных перемещений стенок
сосуда, инициированных пульсовой волной.
Предложенные математические модели динамики кровотока достаточно точно описывают течение крови в сужающихся сосудах и могут применяться для решения задач динамики
кровотока в артериальном дереве различной
геометрической конфигурации.
Список литературы
1. Гуляев Ю.П., Коссович Л.Ю. Математические
модели биомеханики в медицине. Саратов: Изд-во
СГУ, 2001. 49 с.
MATHEMATICAL MODELS OF HAEMODYNAMICS WITH TAKING INTO ACCOUNT THE WORK
OF A DISTRIBUTED HEART
A.V. Dol, Yu.P. Gulyaev
The paper describes mathematical models of blood flow in large-scale vessels with taking into account the work of a distributed
heart. The mathematical model of a viscous incompressible liquid flow is considered. A 3-dimentional mathematical model is
described.
Keywords: biomechanics, haemodynamics, mathematical modeling, Navier − Stokes, artery.