Городенцев А.Л - Алгебра 1 (2011, Высшая Школа экономики) - libgen.li

∗
Á. Ì. ÇÏÒÏÄÅÎ Å×
áÌÇÅÂÒÁ { 1
ÕÞÅÂÎÉË ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×-ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×
ÅÒ×ÏÇÏ ËÕÒÓÁ
üÔÏ ÅÒ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÉÎÔÅÎÓÉ×ÎÏÇÏ Ä×ÕÈÇÏÄÉÞÎÏÇÏ ËÕÒÓÁ ÁÌÇÅÂÒÙ ÄÌÑ ÓÔÕÄÅÎÔÏ×, ÒÏÆÅÓÓÉÏÎÁÌØÎÏ ÉÚÕÞÁÀÝÉÈ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ É ÆÉÚÉËÕ. ïÓÎÏ×Õ ËÕÒÓÁ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÌÅË ÉÉ, ÞÉÔÁ×ÛÉÅÓÑ ×
îÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÍ íÏÓËÏ×ÓËÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔÅ É ÎÁ ÆÁËÕÌØÔÅÔÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÷ÙÓÛÅÊ ÛËÏÌÙ ÜËÏÎÏÍÉËÉ, Á ÔÁËÖÅ ÍÁÔÅÒÉÁÌÙ ÓÏÒÏ×ÏÖÄÁ×ÛÉÈ ÉÈ ÓÅÍÉÎÁÒÓËÉÈ ÚÁÎÑÔÉÊ. âÏÌØÛÉÎÓÔ×Ï ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÈÓÑ × ÔÅËÓÔÅ ÕÒÁÖÎÅÎÉÊ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÄÌÑ ÏÎÉÍÁÎÉÑ É
ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ (ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÎÉÈ ÓÎÁÂÖÅÎÙ ÕËÁÚÁÎÉÑÍÉ, ÏÍÅÝ£ÎÎÙÍÉ × ËÏÎ Å ËÎÉÇÉ).
íÏÓË×Á,
ÍÁÊ 2011
∗
æÁËÕÌØÔÅÔ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ ÷ÙÓÛÅÊ ÛËÏÌÙ ÜËÏÎÏÍÉËÉ,
çÒÕÁ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÉÚÉËÉ éüæ, îÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÊ íÏÓËÏ×ÓËÉÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ
mailto: goroditep.ru , gorodentsevhse.ru
http://wwwth.itep.ru/~gorod
óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ É ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ
N, Z, Q, R, C, H
⇒
∀,
É
⇐⇒
É :
Hom(X; Y )
End(X ) = Hom(X; X )
Aut (X ) ⊂ End(X )
|M | , |G| , ||
∃
|pq | , |v | , ||v ||
ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ, ÅÌÙÅ, ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ, ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ É
ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, É Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÙ
€×ÌÅޣԁ É €ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎρ;
€ÄÌÑ ÌÀÂÏÇρ, €ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅԁ É €ÔÁËÏÊ, ÞÔρ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÉÌÉ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× X - Y
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÉÌÉ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× X - X
ÇÒÕÁ ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ X - X
ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ËÏÎÅÞÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å M , ÏÒÑÄÏË
ÇÒÕÙ G É ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÌÅÔÏË × ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ àÎÇÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ p É q É ÄÌÉÎÁ (ÎÏÒÍÁ) ×ÅËÔÏÒÁ v
a ... b (ÉÌÉ b | a) a ÎÁ ÅÌÏ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ b (ÉÌÉ b ÎÁ ÅÌÏ ÄÅÌÉÔ a)
a ≡ b (mod n) a ÓÒÁ×ÎÉÍÏ Ó b Ï ÍÏÄÕÌÀ n (Ô. Å. (a − b) ... n)
Z=(n) , Fq ËÏÌØ Ï É ÁÄÄÉÔÉ×ÎÁÑ ÇÒÕÁ ×ÙÞÅÔÏ× Ï ÍÏÄÕÌÀ n É ËÏÎÅÞÎÏÅ ÏÌÅ ÉÚ q ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
ÎÏÄ, ÎÏË, ÞÕÍ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ, ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÏÂÝÅÅ ËÒÁÔÎÏÅ, ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
Sn ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÕÁ Aut {1; 2; : : : ; n}
(1 ; 2 ; : : : ; n ) ∈ Sn ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ k 7→ k
|i1 ; i2 ; : : : ; im i ∈ Sn
ÉËÌÉÞÅÓËÁÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ i1 7→ i2 7→ · · · 7→ im 7→ i1
K [x℄ É K [[x℄℄ ËÏÌØ Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× É ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÔÅÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ× Ó
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ × ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÍ ËÏÌØ Å K
k[x1 ; x2 ; : : : ; xn ℄⩽m ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ ÎÅ ×ÙÛÅ m ÏÔ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x1 ; x2 ; : : : ; xn Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ × k
k h1 ; 2 ; : : : ; n i ËÏÌØ Ï ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ (ÁÎÔÉËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ) ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ 1 ; 2 ; : : : ; n
∗
∗
F ,K
ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÙÅ ÇÒÕÙ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÏÌÑ
F É ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÏÌØ Á K
V ∗ , F ∗ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï É Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÌÉ Å×ËÌÉÄÏ×Ï ÉÌÉ ÜÒÍÉÔÏ×Ï ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ
óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÑ
Matm×n (K ) , Matn (K ) ÍÏÄÕÌØ ÍÁÔÒÉ ÉÚ m ÓÔÒÏË É n ÓÔÏÌ Ï× É ÁÌÇÅÂÒÁ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÈ n × n ÍÁÔÒÉ Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÉÚ ËÏÌØ Á K
M t , t ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á É ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ (ÓÏÒÑÖ£ÎÎÁÑ) ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ àÎÇÁ
h; v i = (v ) = evv ( ) Ó×£ÒÔËÁ ×ÅËÔÏÒÁ v ∈ V Ó ËÏ×ÅËÔÏÒÏÍ ∈ V ∗
(v; w) Å×ËÌÉÄÏ×Ï ÉÌÉ ÜÒÍÉÔÏ×Ï ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ× v É w
GL(V ) , PGL(V ) , O(V ) , U(V ) ÇÒÕÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ, ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ, ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ É ÕÎÉÔÁÒÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V
SL(V ) , SO(V ) , SU(V ) ÇÒÕÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ, ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ É ÕÎÉÔÁÒÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ 1
GLn , PGLn , SLn , É Ô. Ä. ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÒÅÄÙÄÕÝÉÍ ÇÒÕÙ n × n ÍÁÔÒÉ
S n V ∗ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ n ÎÁ
×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V
A(V ) , P(V ) ÁÆÆÉÎÉÚÁ ÉÑ É ÒÏÅËÔÉ×ÉÚÁ ÉÑ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V
V (f ) ⊂ P(V ) ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ, ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ f (v) = 0
Q , q , qe , qb Ë×ÁÄÒÉËÁ Q = V (q) ⊂ P(V ), ÚÁÄÁ×ÁÅÍÁÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
q(v) = 0, ÇÄÅ q ∈ S 2 V ∗ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ Ó ÏÌÑÒÉÚÁÉÅÊ qe : V × V - F É ËÏÒÒÅÌÑ ÉÅÊ qb : V - V ∗
TV , SV , V ÔÅÎÚÏÒÎÁÑ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ É ×ÎÅÛÎÑÑ ÁÌÇÅÂÒÙ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V
3
òÁÚÄÅÌ I
íÎÏÖÅÓÔ×Á, ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ,
ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ
§1. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
÷ ÜÔÏÍ ËÕÒÓÅ ÍÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÔÅÏÒÉÉ
ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÏÌÁÇÁÑÓØ ÎÁ ÉÍÅÀÝÅÅÓÑ Õ ÞÉÔÁÔÅÌÑ ÛËÏÌØÎÏÅ ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ Ï ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ËÁË Ï €ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏÊ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÉ ÏÂßÅËÔÏ× ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ
ÒÉÒÏÄÙ1 . îÁÏÍÎÉÍ, ÏÄÎÁËÏ, ÞÔÏ ×ÓÑËÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ
,
ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÞÁÓÔÏ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ
. ÷ÓÅ ÔÏÞËÉ × ÌÀÂÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å, Ï
ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÒÁÚÌÉÞÎÙ.
íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÁÄÁÎÏ, ËÁË ÔÏÌØËÏ ÒÏ ÌÀÂÏÊ ÏÂßÅËÔ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÏÎ ÔÏÞËÏÊ ÄÁÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÌÉ ÎÅÔ. ðÒÉÎÁÄÌÅÖÎÏÓÔØ ÔÏÞËÉ x ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ X
ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ËÁË x ∈ X . ä×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
, ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÓÏÓÔÏÑÔ ÉÚ ÏÄÎÉÈ É ÔÅÈ
ÖÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ
ÜÌÅÍÅÎÔÁ. ïÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ∅. äÌÑ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
X ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ÞÅÒÅÚ |X | ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÜÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å.
íÎÏÖÅÓÔ×Ï X ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y , ÅÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ x ∈ X ÌÅÖÉÔ ÔÁËÖÅ É × Y . ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÛÕÔ X ⊂ Y . ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ
ÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á É ×ÓÑËÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÓÁÍÏÇÏ ÓÅÂÑ. îÅÕÓÔÙÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÏÔÌÉÞÎÙÅ
ÏÔ ×ÓÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
.
1.1. íÎÏÖÅÓÔ×Á.
ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
ÔÏÞËÁÍÉ
ÒÁ×ÎÙ
ÕÓÔÙÍ
ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 1.1. óËÏÌØËÏ ×ÓÅÇÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× (×ËÌÀÞÁÑ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ) ÉÍÅÅÔÓÑ
Õ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×?
äÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× X É Y ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ∪ Y , ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ×ÓÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÎÉÈ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÈ
;
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ∩ Y , ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ×ÓÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ
ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÎÉÈ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÈ
; ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X r Y , ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ
ÉÚ ×ÓÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X , ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ × Y , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÈ
.
ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ
ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ
ÒÁÚÎÏÓÔØÀ
ÓÔÒÏÇÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÔÅÏÒÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó ÆÉËÓÁ ÉÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ×ÙÒÁÚÉÔÅÌØÎÙÈ ÓÒÅÄÓÔ× | ÑÚÙËÁ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× , ÏÈÏÖÅÇÏ ÎÁ ÑÚÙË ÒÏÇÒÁÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ, É ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÔÁËÉÍÉ €ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔÑÍÉ ÏÂßÅËÔÏׁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÏÉÓÁÔØ ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ
ÜÔÏÇÏ ÑÚÙËÁ; ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÊ Ë ÔÁËÏÍÕ ÑÚÙËÕ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÎÁ ΣÍ
ÔÅÏÒÅÍÙ ÉÚ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ËÕÒÓÏ× ÁÌÇÅÂÒÙ, ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÁÎÁÌÉÚÁ; ÔÁË ÞÔÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÓÔÒÏÇÉÈ
ÏÓÎÏ×ÁÎÉÊ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÒÁÚÕÍÎÏ ÒÅÄÏÓÌÁÔØ ÉÚÕÞÅÎÉÅ ÈÏÔÑ ÂÙ ÞÁÓÔÉ ÔÁËÏ×ÙÈ ÔÅÏÒÅÍ
1
4
5
1.2. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 1.2. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÏÅÒÁ ÉÑ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÒÁÚ-
ÎÏÓÔØ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ X ∩ Y = X r (X r Y ) . íÏÖÎÏ ÌÉ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÞÅÒÅÚ
ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ É ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ?
åÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× Y
É Z , ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ X Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
Y É Z É ÉÛÕÔ
X = Y ⊔ Z.
íÎÏÖÅÓÔ×Ï X × Y , ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ×ÓÅ×ÏÚ(ÉÌÉ
)
ÍÏÖÎÙÅ ÁÒÙ (x; y) Ó x ∈ X , y ∈ Y , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÎÏÖÅÓÔ× X É Y .
- Y ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
1.2. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : X
Y | ÜÔÏ ÒÁ×ÉÌÏ, ËÏÔÏÒÏÅ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ x ∈ X ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÕÀ Ï x ÔÏÞËÕ y = f (x) ∈ Y , ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÔÏÞËÉ x ÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ f .
íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË x ∈ X , ÏÂÒÁÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÅÎ ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ y ∈ Y ,
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÔÏÞËÉ y (ÉÌÉ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f ÎÁÄ y) É
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
= {x ∈ X | f (x) = y} :
f −1 (y) def
ðÏÌÎÙÅ ÒÏÏÂÒÁÚÙ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ É ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ËÁË ÕÓÔÙÍÉ, ÔÁË É ÓÏÓÔÏÑÔØ ÉÚ ÍÎÏÇÉÈ ÔÏÞÅË. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ
y ∈ Y , ÉÍÅÀÝÉÈ ÎÅÕÓÔÏÊ
fÒÏÏÂÒÁÚ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
X
Y É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
im(f ) def
= {y ∈ Y | f −1(y) 6= ∅} = {y ∈ Y | ∃ x ∈ X : f (x) = y} :
ä×Á ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f : X - Y É g : X - Y
, ÅÓÌÉ ÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×
ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù: ∀ x ∈ X f (x) = g(x). íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ
ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Y ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ Hom(X; Y ) .
ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ X - X ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X × ÓÅÂÑ ÏÂÙÞÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X . íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ End(X ) = Hom(X; X ) . ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Õ ×ÓÑËÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ÉÍÅÅÔÓÑ
IdX : X - X , ËÏÔÏÒÙÊ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ËÁÖÄÙÊ
ÜÌÅÍÅÎÔ × ÓÁÍÏÇÏ ÓÅÂÑ: ∀ x ∈ X IdX (x) = x .
ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : X - Y ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(Á ÔÁËÖÅ
ÉÌÉ
), ÅÓÌÉ im(f ) = Y , Ô. Å. ËÏÇÄÁ ÒÏÏÂÒÁÚ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÉ y ∈ Y ÎÅ
ÕÓÔ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÉÚÏÂÒÁÖÁÔØ ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÓÔÒÅÌËÁÍÉ X -- Y .
ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(Á ÔÁËÖÅ
, ÉÌÉ
), ÅÓÌÉ f (x1 ) 6= f (x2 ) ÒÉ x1 6= x2 , Ô. Å. ËÏÇÄÁ ÒÏÏÂÒÁÚ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÉ
y ∈ Y ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ. éÎßÅËÔÉ×ÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÔÒÅÌËÁÍÉ X - Y .
ÄÉÚßÀÎËÔÎÙÍ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ
ÄÅËÁÒÔÏ×ÙÍ
ÒÑÍÙÍ
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ
ÏÌÎÙÍ ÒÏÏÂÒÁÚÏÍ
ÓÌÏÅÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
ÒÁ×ÎÙ
ÜÎÄÏÍÏÒ-
ÆÉÚÍÁÍÉ
ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍ
ÎÁÌÏÖÅÎÉÅÍ
ÓÀÒØÅËÔ ÉÅÊ
ÜÉÍÏÒÆÉÚÍÏÍ
×ÌÏÖÅÎÉÅÍ
ÉÎßÅË ÉÅÊ
ÆÉÚÍÏÍ
⊂
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 1.3. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ×ÓÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
{0; 1; 2}
- {0; 1}
É
{0; 1}
- {0; 1; 2} :
óËÏÌØËÏ ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ ×ÌÏÖÅÎÉÊ É ÓËÏÌØËÏ ÎÁÌÏÖÅÎÉÊ?
ÍÏÎÏÍÏÒ-
6
§1. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f : X - Y , ËÏÔÏÒÏÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ É ×ÌÏÖÅÎÉÅÍ
É ÎÁÌÏÖÅÎÉÅÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(Á ÔÁËÖÅ
ÉÌÉ
). éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ
ËÁÖÄÏÇÏ y ∈ Y ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ x ∈ X , ÔÁËÏÊ ÞÔÏ f (x) = y. íÙ ÂÕÄÅÍ
ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÂÉÅË ÉÉ ÓÔÒÅÌËÁÍÉ X ∼- Y .
×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÍ
ÂÉÅË ÉÅÊ
ÉÚÏ-
ÍÏÒÆÉÚÍÏÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 1.4. ëÁËÉÅ ÉÚ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ:
Z
x7→x2 -
Z;
x7→x2 -
N
N;
x7→7x -
Z
Z;
R
x7→7x -
R
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Á) ÂÉÅË ÉÑÍÉ, Â) ÉÎßÅË ÉÑÍÉ, ×) ÓÀÒØÅË ÉÑÍÉ?
÷ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ X ∼- X ÄÁÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X × ÓÅÂÑ
ÏÂÙÞÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
ÜÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á. á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÙ ÍÏÖÎÏ
×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X . íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ Aut (X ).
1.2.1. úÁÉÓØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÓÌÏ×ÁÍÉ. ðÕÓÔØ
X = {x1 ; x2 ; : : : ; xn } ; Y = {y1 ; y2 ; : : : ; ym } :
Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ
ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ
óÏÏÓÔÁ×ÉÍ ËÁÖÄÏÍÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ X
ÎÁÂÏÒ ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÊ:
f-
Y ×ÙÉÓÁÎÎÙÊ × ÒÑÄ ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï
w(f ) def
= (f (x1); f (x2 ); : : : ; f (xn))
(1-1)
É ÂÕÄÅÍ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ÅÇÏ ËÁË n-ÂÕË×ÅÎÎÏÅ ÓÌÏ×Ï, ÎÁÉÓÁÎÎÏÅ ÒÉ ÏÍÏÝÉ mÂÕË×ÅÎÎÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ Y = {y1; y2; : : : ; ym} .
îÁÒÉÍÅÒ, ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍ {1; 2} f- {1; 2; 3} É {1; 2; 3} g- {1; 2; 3}
f:
1
1
2
2
3
g:
1
1
2
2
3
3
ÓÏÏÓÔÁ×ÑÔÓÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÓÌÏ×Á w(f ) = (3; 2) É w(g) = (1; 2; 2), ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÉÚ
ÂÕË× ÔÒ£ÈÂÕË×ÅÎÎÏÇÏ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ {1; 2; 3}.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÂÉÅË ÉÀ
w : Hom(X; Y )
ÓÌÏ×Á ÉÚ |X | ÂÕË× × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ Y } :
(1-2)
éÎßÅËÔÉ×ÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÓÌÏ×ÁÍÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÔ
Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÂÕË×, Á ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ | ÓÌÏ×ÁÍÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ×ÓÅ ÂÅÚ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÑ ÂÕË×Ù ÁÌÆÁ×ÉÔÁ Y . ÷ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍ ÏÔ×ÅÞÁÀÔ ÓÌÏ×Á, × ËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÎÙ ×ÓÅ ÂÕË×Ù ÁÌÆÁ×ÉÔÁ Y ,
ÒÉÞ£Í ËÁÖÄÁÑ | ÒÏ×ÎÏ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ.
∼
-{
7
1.3. òÁÚÂÉÅÎÉÑ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 1.1
åÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Y | ÉÚ m, ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Hom(X; Y ) ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ mn ÜÌÅÍÅÎÔÏ×.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Wm (n) ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ n-ÂÕË×ÅÎÎÙÈ ÓÌÏ×,
ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ÉÚ m ÂÕË×. ÷ÙÉÛÅÍ ×ÓÅ ÜÔÉ
ÓÌÏ×Á ÎÁ m ÓÔÒÁÎÉ ÁÈ, ÏÍÅÓÔÉ× ÎÁ i-ÔÕÀ ÓÔÒÁÎÉ Õ ×ÓÅ ÓÌÏ×Á, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÅÓÑ
ÎÁ i-ÔÕÀ ÂÕË×Õ ÁÌÆÁ×ÉÔÁ. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÎÁ ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÁÎÉ Å ÏËÁÖÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ
Ï Wm(n − 1) ÓÌÏ×. ðÏÜÔÏÍÕ Wm(n) = m · Wm(n − 1) = m2 · W (n − 2) = · · · =
mn−1 · W (1) = mn .
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 1.2
õ n-ÜÌÅÍÅÎÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ n! Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×.
fäÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ X = {x1 ; x2 ; : : : ; xn }. âÉÅË ÉÉ X
X ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ n-ÂÕË×ÅÎÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ × n-ÂÕË×ÅÎÏÍ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ x1 ; x2 ; : : : ; xn, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÍÉ
ËÁÖÄÕÀ ÂÕË×Õ xi ÒÏ×ÎÏ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÒÁÚÕ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ ÓÌÏ× ÞÅÒÅÚ V (n) É ×ÙÉÛÅÍ ÉÈ Ï ÁÌÆÁ×ÉÔÕ ÎÁ n ÓÔÒÁÎÉ ÁÈ, ÏÍÅÓÔÉ× ÎÁ i-ÔÕÀ ÓÔÒÁÎÉ Õ ×ÓÅ ÓÌÏ×Á, ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÅÓÑ ÎÁ xi. ÏÇÄÁ ÎÁ ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÁÎÉ Å ÂÕÄÅÔ ÒÏ×ÎÏ
V (n − 1) ÓÌÏ×, ÏÔËÕÄÁ V (n) = n · V (n − 1) = n · (n − 1) · V (n − 2) = · · · =
n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · 2 · 1 = n! .
ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÔÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ
ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ÏÁÒÎÏ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ:
Á) X ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ;
Â) ∃ ×ÌÏÖÅÎÉÅ X ⊂ - X , ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÅÅÓÑ ÎÁÌÏÖÅÎÉÅÍ;
×) ∃ ÎÁÌÏÖÅÎÉÅ X -- X , ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÅÅÓÑ ×ÌÏÖÅÎÉÅÍ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 1.6. óÞ£ÔÎÏ ÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Aut (N)?
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 1.5 (ÒÉÎ É äÉÒÉÈÌÅ).
óÏ ×ÓÑËÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ X f - Y Ó×ÑÚÁÎÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X × ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× | ÏÌÎÙÈ
ÒÏÏÂÒÁfÚÏ× ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË y ∈ Y . ðÏÜÔÏÍÕ ÚÁÄÁÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ X
Y | ÜÔÏ
ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÞÔÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ X × ×ÉÄÅ ÄÉÚßÀÎËÔÎÏÇÏ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÎÅÕÓÔÙÈ
ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×, ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÔÏÞËÁÍÉ y ∈ im(f ) :
G
f − 1 (y ) :
(1-3)
X=
1.3. òÁÚÂÉÅÎÉÑ.
y∈im (f )
ÁËÏÊ ×ÚÇÌÑÄ ÎÁ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÞÁÓÔÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÅÚÎÙÍ ÒÉ ÏÄÓÞ£ÔÅ ÞÉÓÌÁ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÔÏÍ ÉÌÉ ÉÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å.
äÏÕÓÔÉÍ, Ë ÒÉÍÅÒÕ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÎÅÕÓÔÙÅ ÓÌÏÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ X f- Y ÓÏÓÔÏÑÔ
ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÞÉÓÌÁ ÔÏÞÅË m = |f −1(y)|. ÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÏÂÒÁÚÅ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÞÉÓÌÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å X ÆÏÒÍÕÌÏÊ
|X | = m · |im f | :
(1-4)
õ ÜÔÏÊ ÒÏÓÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÉÍÅÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÉÌÏÖÅÎÉÊ.
8
§1. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
1.3.1. ðÒÉÍÅÒ: ÄÒÕÇÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÅÄÌ. 1.1. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ËÁËÕÀ-
ÎÉÂÕÄØ ÔÏÞËÕ x ∈ X É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ
evx : Hom(X; Y )
f 7→f (x) -
Y;
1
(1-5)
ËÏÔÏÒÏÅ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ X f- Y ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ × ÔÏÞËÅ x.
ðÒÏÏÂÒÁÚ ev−x 1 ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ y ∈ Y ÍÏÖÎÏ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÔØ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÓÅÈ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÉÚ (n − 1)-ÜÌÅÍÅÎÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X r {x} × Y :
ev−x 1(y) = {X f- Y | f (x) = y} = Hom(X r {x} ; Y ) :
ðÏÜÔÏÍÕ imevx = Y É ÒÉÍÅÎÉÍÁ ÆÏÒÍÕÌÁ (1-4), ÓÏÇÌÁÓÎÏ ËÏÔÏÒÏÊ
|Hom(X; Y )| = |Hom(X r {x} ; Y ) | · |Y | :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÉ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÀ Ë ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ X ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÉ, ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÉÚ X × Y Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÅÔÓÑ × |Y | ÒÁÚ. ïÔÓÀÄÁ Hom(X; Y ) = |Y ||X | (Ï
ÜÔÏÊ ÒÉÞÉÎÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ Hom(X; Y ) ÞÁÓÔÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÞÅÒÅÚ Y X ).
1.3.2. ðÒÉÍÅÒ: ÄÒÕÇÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÅÄÌ. 1.2. ðÏÌÏÖÉÍ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÉ Y = X É ÏÇÒÁÎÉÞÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ (1-5) ÎÁ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÉÅË ÉÊ Aut (X ) ⊂ Hom(X; X ). ðÏÌÕÞÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
evx : Aut (X ) f 7→f (x) - X :
ìÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÅÇÏ ÓÌÏÑ ev−x 1(x′) ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ x′ ∈ X ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ
ÓÏÂÏÀ ÂÉÅË ÉÀ X - X , ËÏÔÏÒÁÑ ÓÎÁÞÁÌÁ ËÁË-ÔÏ ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÔÏÞËÉ (n − 1)ÜÌÅÍÅÎÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X r {x}, Á ÚÁÔÅÍ ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ Ä×Å ÔÏÞËÉ
x É x′ , ÏÓÔÁ×ÌÑÑ ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÎÁ ÍÅÓÔÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ×ÓÅ ÓÌÏÉ ÎÅÕÓÔÙ É ÓÏÓÔÏÑÔ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÞÉÓÌÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÒÁ×ÎÏÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×
(n − 1)-ÜÌÅÍÅÎÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X r {x}. ðÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (1-4)
|Aut (X )| = |Aut (X r {x})| · |X | ;
Ô. Å. ÒÉ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÉ Ë (n − 1)-ÜÌÅÍÅÎÔÎÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ n-ÔÏÊ ÔÏÞËÉ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï
ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÅÔÓÑ × n ÒÁÚ. åÓÌÉ |X | = n, ÏÌÕÞÁÅÍ
|Aut (X )| = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · 1 = n!
1.3.3. ðÒÉÍÅÒ: ÍÕÌØÔÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ. ðÒÉ ÒÁÓËÒÙÔÉÉ ÓËÏÂÏË
×
×ÙÒÁÖÅÎÉÉ
(
a1 + a2 + · · · + ak )n ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÓÕÍÍÁ ÏÄÎÏÞÌÅÎÏ× ×ÉÄÁ
mk
am1 am
2 · · · ak , ÇÄÅ ËÁÖÄÙÊ ÏËÁÚÁÔÅÌØ mi ÚÁËÌÀÞÅÎ × ÒÅÄÅÌÁÈ 0 ⩽ mi ⩽ n,
Á ÏÂÝÁÑ ÓÔÅÅÎØ m1 + m2 + · · · + mk = n . ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÊ ÒÉ
1
1
2
ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ €ev Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏËÒÁÝÅÎÉÅÍ ÓÌÏ×Á evaluation
9
1.3. òÁÚÂÉÅÎÉÑ
ÔÁËÏÍ ÏÄÎÏÞÌÅÎÅ ÏÓÌÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ÏÄÏÂÎÙÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ,
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
n
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ m :::mk . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
ÍÕÌØÔÉ-
ÎÏÍÉÁÌØÎÙÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ
( a1 + a2 + · · · + ak ) =
n
X
m1 +m2 + ··· +mk =n
0⩽mi ⩽n
1
n
mk
m
· am
1 a2 · · · ak ;
m1 : : : mk
1
(1-6)
2
n ÞÅÒÅÚ ÏþÔÏÂÙ Ñ×ÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÍÕÌØÔÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ m :::m
ËÁÚÁÔÅÌÉ m1; m2 ; : : : ; mk , ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÒÅÍÎÏÖÅÎÉÅ n ÓËÏÂÏË k
(a1 + a2 + · · · + ak )(a1 + a2 + · · · + ak ) · · · (a1 + a2 + · · · + ak )
ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÍ ×ÙÂÏÒÅ ×ÎÕÔÒÉ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÓËÏÂÏË ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÏÄÎÏÊ ÂÕË×Ù É ÅÒÅÍÎÏÖÅÎÉÉ ÜÔÉÈ ÂÕË× | ×ÙÉÓÙ×ÁÎÉÉ ÉÈ ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï
ÄÒÕÇ ÚÁ ÄÒÕÇÏÍ × ÏÄÎÏ n-ÂÕË×ÅÎÎÏÅ ÓÌÏ×Ï. ðÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ×ÓÅ ÔÁËÉÅ ÓÌÏ×Á, ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÉÚ ×ÓÅÈ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ×ÙÂÏÒÏ× ÂÕË× × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÓËÏÂÏË,
ÓÕÍÍÉÒÕÀÔÓÑ.
ðÏÄÏÂÎÙÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ, ×ÎÏÓÑÝÉÅ ×ËÌÁÄ × ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ am1 am2 · · · amk k | ÜÔÏ
×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÓÌÏ×Á, ÓÏÓÔÏÑÝÉÅ ÒÏ×ÎÏ ÉÚ m1 ÂÕË× a1, m2 ÂÕË× a2, . . . , mk ÂÕË×
ak . ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ ÓÌÏ× ÌÅÇËÏ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ (1-4).
á ÉÍÅÎÎÏ, ÓÄÅÌÁÅÍ ÎÁ ×ÒÅÍÑ m1 ÂÕË× a1 ÏÁÒÎÏ ÒÁÚÎÙÍÉ, ÓÎÁÂÄÉ× ËÁÖÄÕÀ
ÉÚ ÎÉÈ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍ ×ÅÒÈÎÉÍ ÉÎÄÅËÓÏÍ; ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÓÔÕÉÍ Ó m2 ÂÕË×ÁÍÉ
a2 , m3 ÂÕË×ÁÍÉ a3 É Ô. Ä. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÎÁÂÏÒ ÉÚ n = m1 + m2 + · · · + mk
ÏÁÒÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÂÕË×:
1
1
2
(2)
(2)
(m k )
:
: : : ; a(2m }) ; : : : : : : : : : ; a(1)
a(1) ; a(2)
: : : ; a(1m }) ; a| (1)
2 ; a2 ;{z
1 ;{z
k ; ak ; : : : ; a k
|1
m1 ÍÅÞÅÎÙÈ ÂÕË× a1
2
1
|
m2 ÍÅÞÅÎÙÈ ÂÕË× a2
{z
mk ÍÅÞÅÎÙÈ ÂÕË× ak
}
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ X ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ n-ÂÕË×ÅÎÎÙÈ ÓÌÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ ÜÔÉÍÉ n ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ, ÉÓÏÌØÚÕÑ ËÁÖÄÕÀ ÂÕË×Õ ÒÏ×ÎÏ Ï ÏÄÎÏÍÕ
ÒÁÚÕ. ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÚÎÁÅÍ, |X | = n! . ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å Y ×ÏÚØÍ£Í ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÅÅ ÎÁÓ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÌÏ× ÉÚ m1 ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÂÕË× a1, m2 ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ
ÂÕË× a2, . . . , mk
fÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÂÕË× ak É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ X
Y , ËÏÔÏÒÏÅ × ËÁÖÄÏÍ
ÓÌÏ×Å ÓÔÉÒÁÅÔ Õ ×ÓÅÈ ÂÕË× ×ÅÒÈÎÉÅ ÉÎÄÅËÓÙ. üÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÜÉÍÏÒÆÎÏ, É
ÏÌÎÙÊ ÒÏÏÂÒÁÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÓÌÏ×Á y ∈ Y ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ m1! · m2! · · · · · mk ! ÓÌÏ×,
ËÏÔÏÒÙÅ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÉÚ ËÁËÏÇÏ-ÎÉÂÕÄØ ÏÄÎÏÇÏ ÓÌÏ×Á x ∈ X , ÅÒÅÈÏÄÑÝÅÇÏ × y,
×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ m1 ×ÅÒÈÎÉÈ ÉÎÄÅËÓÏ× Õ ÂÕË× a1, m2 ×ÅÒÈÎÉÈ
ÉÎÄÅËÓÏ× Õ ÂÕË× a2, . . . , mk ×ÅÒÈÎÉÈ ÉÎÄÅËÓÏ× Õ ÂÕË× ak .
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÏÒÍÕÌÁ (1-4) ÒÉÍÅÎÉÍÁ É ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ
n!
n
=
;
(1-7)
m1 : : : mk
m1 ! · m2 ! · · · · · mk !
ËÏÔÏÒÏÅ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÅÒÅÉÓÁÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ (1-6) × ×ÉÄÅ
k
X
n! · am
am
· · · am
1
2
n
k
( a1 + a2 + · · · + ak ) =
:
(1-8)
m +m + ··· +mk =n m1 ! · m2 ! · · · · · mk !
1
1
2
0⩽mi ⩽n
2
10
§1. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÒÉ k = 2 ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ
ÂÉÎÏÍÁ Ó ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍ ÏËÁÚÁÔÅÌÅÍ1 :
n
k n−k
X
n
(a + b) = nk!!(·na−b k)! :
(1-9)
k=0
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 1.7. óËÏÌØËÏ ×ÓÅÇÏ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌÙ (1-8) ?
1.3.4. ðÒÉÍÅÒ: ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ àÎÇÁ. òÁÚÂÉÅÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X =
1 2; : : : ; n} × ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×
X = X1 ⊔ X1 ⊔ X2 ⊔ : : : ⊔ Xk :
(1-10)
ÞÁÓÔÏ ÂÙ×ÁÅÔ ÕÄÏÂÎÏ ËÏÄÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. õÓÌÏ×ÉÍÓÑ ÎÕÍÅÒÏ×ÁÔØ
ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á × ÏÒÑÄËÅ ÎÅÓÔÒÏÇÏÇÏ ÕÂÙ×ÁÎÉÑ ÉÈ ÒÁÚÍÅÒÁ É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × i-ÔÏÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÞÅÒÅÚ i = |Xi|. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÎÅ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÞÉÓÅÌ = (1; 2; : : : ; n)
ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ
(1-10). æÏÒÍÕ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ ÕÄÏÂÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÓÅÂÅ × ×ÉÄÅ
|
ËÁÒÔÉÎËÉ ×ÉÄÁ
;
(1-11)
{ ;
ÆÏÒÍÏÊ
ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ àÎÇÁ
ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÉÚ ×ÙÒÏ×ÎÅÎÎÙÈ Ï ÌÅ×ÏÍÕ ËÒÁÀ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÈ ÏÌÏÓ ÄÌÉÎÙ
1 ⩾ 2 ⩾ · · · ⩾ k . ÁË, ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ àÎÇÁ (1-11) ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÒÁÚÂÉÅÎÉÀ ÆÏÒÍÙ
= (6; 5; 5; 3; 1) . ïÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ËÌÅÔÏË × ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ || = P i.
âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ
ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ X Ó |X | = || ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÕ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X × ËÌÅÔËÉ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ Ï ÏÄÎÏÍÕ
ÜÌÅÍÅÎÔÕ × ËÁÖÄÕÀ ËÌÅÔËÕ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÓÅÇÏ ÉÍÅÅÔÓÑ n! ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÁÏÌÎÅÎÉÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ X .
ïÂßÅÄÉÎÑÑ ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ÓÔÏÑÝÉÅ × i-ÔÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ × ÏÄÎÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Xi, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X × ÄÉÚßÀÎËÔÎÏÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ
k ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× X1 ; X2 ; : : : ; Xk . ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ
(1-10) ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÔÁË ÞÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÏÅ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÚÁÏÌÎÅÎÉÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁÚÂÉÅÎÉÊ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ÆÏÒÍÙ . ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÓÌÏÉ ÜÔÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÓÏÓÔÏÑÔ ÉÚ
ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÞÉÓÌÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×.
ä×Á ÚÁÏÌÎÅÎÉÑ ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ,
ËÏÇÄÁ ÏÎÉ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÉÚ ÄÒÕÇÁ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ×ÎÕÔÒÉ ÓÔÒÏË
É ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ ÓÔÒÏË ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÄÌÉÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÀ ËÁË ÅÄÉÎÏÇÏ ÅÌÏÇÏ.
åÓÌÉ ÏÂÏÚÎÁÞÉÔØ ÞÅÒÅÚ mi ÞÉÓÌÏ ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ i × ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ (ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ
×ÅÓÏÍ
ÚÁÏÌÎÅÎÉÅÍ
ÜÔÏ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÆÏÒÍÕÌÙ îØÀÔÏÎÁ , ËÏÔÏÒÕÀ × ÏÌÎÏÊ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÍÙ ÏÂÓÕÄÉÍ × n◦ 5.5,
ËÏÇÄÁ ÂÕÄÅÍ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ ÓÔÅÅÎÎÙÍÉ ÒÑÄÁÍÉ
1
11
1.4. ëÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ
ÍÎÏÇÉÅ mi = 0, ÏÓËÏÌØËÕ
|| = n = m1 + 2m2 + · · · + nmn ), ÔÏ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË
n
n
n
Q
ÅÒ×ÏÇÏ ÔÉÁ ÂÕÄÅÔ i! = Q (i!)mi ÛÔÕË, Á ×ÔÏÒÏÇÏ ÔÉÁ | Q mi! ÛÔÕË. ÁË
i=1
i=1
i=1
ËÁË ×ÓÅ ÜÔÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ, ËÁÖÄÙÊ ÓÌÏÊ
ÎÁÛÅÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ
éÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (1-4) ×ÙÔÅËÁÅÔ
n
Y
i=1
(i!)mi mi!
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 1.3
þÉÓÌÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÊ n-ÜÌÅÍÅÎÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X × ÄÉÚßÀÎËÔÎÏÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ m1
1-ÜÌÅÍÅÎÔÎÙÈ, m2 2-ÜÌÅÍÅÎÔÎÙÈ, . . . , mn n-ÜÌÅÍÅÎÔÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÒÁ×ÎÏ
n!
:
(1-12)
n
Q
m
i
mi ! · (i!)
i=1
1.4. ëÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. áÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÙÊ ÓÏÓÏ ÚÁÄÁ×ÁÔØ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ
ÄÁÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X × ÄÉÚßÀÎËÔÎÏÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ,
ÞÔÏÂÙ ÏÂßÑ×ÉÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ×ÈÏÄÑÝÉÅ × ÏÄÎÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÁËÏÇÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ
€ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍɁ. æÏÒÍÁÌÉÚÕÅÔÓÑ ÜÔÏ ÔÁË.
îÁÚÏ×£Í
ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å X ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï R ⊂ X × X × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ
X × X = {(x1 ; x2 ) | x1 ; x2 ∈ X } :
ðÒÉÎÁÄÌÅÖÎÏÓÔØ ÁÒÙ (x1; x2 ) ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ R ÏÂÙÞÎÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔ ËÁË x1 ∼R x2 .
îÁÒÉÍÅÒ, ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ X = Z ÞÁÓÔÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔ ÂÉÎÁÒÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
def
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
x1 ∼ x2 ⇐⇒
x1 = x2
(1-13)
R
def
x1 ⩽ x2
(1-14)
ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
x1 ∼ x2 ⇐⇒
R
def
ÄÅÌÉÍÏÓÔØ
x1 ∼ x2 ⇐⇒
x1 |x2
(1-15)
R
def
x1 ≡ x2 (mod n)
(1-16)
ÓÒÁ×ÎÉÍÏÓÔØ Ï ÍÏÄÕÌÀ n
x1 ∼ x2 ⇐⇒
R
(ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ x1 ≡ x2 (mod n) ÞÉÔÁÅÔÓÑ ËÁË €x1 ÓÒÁ×ÎÉÍÏ Ó x2 Ï ÍÏÄÕÌÀ n
É Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ x1 É x2 ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÏÓÔÁÔËÉ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ
ÎÁ n, Ô. Å. (x1 − x2 ) ... n).
ÂÉÎÁÒÎÙÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1.1
âÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ∼R ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÄÕÀÝÉÍÉ ÔÒÅÍÑ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ:
ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØÀ
, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÓÌÅ-
12
§1. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
: ∀ x ∈ X x ∼R x
: ∀ x1 ; x2 ; x3 ∈ X ÉÚ x1 ∼R x2 É x2 ∼R x3 ×ÙÔÅËÁÅÔ x1 ∼R x3
: ∀ x1 ; x2 ∈ X x1 ∼R x2 ⇐⇒ x2 ∼R x1 .
óÒÅÄÉ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ÂÉÎÁÒÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Z ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (1-13) É (1-16) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÑÍÉ, Á (1-14) É (1-15) ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
(ÏÎÉ ÎÅÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙ).
åÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ÒÁÚÂÉÔÏ × ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×,
ÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ x1 ∼ x2 , ÏÚÎÁÞÁÀÝÅÅ, ÞÔÏ x1 É x2 ÌÅÖÁÔ × ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÜÔÏÇÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØÀ.
îÁÏÂÏÒÏÔ, ÕÓÔØ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å X ÚÁÄÁÎÏ ËÁËÏÅ-ÎÉÂÕÄØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ R. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ x ∈ X ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × X , ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ
×ÓÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ x. ïÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÜÌÅÍÅÎÔÁ x É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
[x℄R = {z ∈ X | x ∼R z} = {z ∈ X | z ∼R È}
(×ÔÏÒÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÂÌÁÇÏÄÁÒÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ R). ä×Á
ËÌÁÓÓÁ [x℄R É [y℄R ÌÉÂÏ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ, ÌÉÂÏ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ. ÷
ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔ z, ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÊ É x É y, ÔÏ × ÓÉÌÕ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ∼R ÜÌÅÍÅÎÔÙ x É y ÂÕÄÕÔ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ
ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ, Á ÚÎÁÞÉÔ, ÌÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ, ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÊ x, ÂÕÄÅÔ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÅÎ
ÔÁËÖÅ É y, É ÎÁÏÂÏÒÏÔ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ÒÁÓÁÄÁÅÔÓÑ × ÄÉÚßÀÎËÔÎÏÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ.
íÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ R ⊂ X ×X ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
X=R É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ R. óÀÒØÅËÔÉ×ÎÏÅ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
x7→[x℄-X=R ;
(1-17)
X
ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ËÁÖÄÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ x ∈ X ÅÇÏ ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ [x℄ ∈
X=R , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. óÌÏÉ ÜÔÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÓÕÔØ
ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. îÁÏÂÏÒÏÔ, ÌÀÂÏÅ ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔØ
ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ
ËÌÁÓÓÏÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ
ÆÁËÔÏÒÏÍ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ
X
fY
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ
x1 ∼ x2 ⇐⇒ f (x1 ) = f (x2 ) :
1.4.1. ðÒÉÍÅÒ: ËÌÁÓÓÙ ×ÙÞÅÔÏ×. æÉËÓÉÒÕÅÍ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ n ∈ Z .
æÁËÔÏÒ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ Z Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÓÒÁ×ÎÉÍÏÓÔÉ Ï ÍÏÄÕÌÀ n
ÉÚ (1-16) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ Z=(n) ÉÌÉ Z=nZ . íÙ ÂÕÄÅÍ ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ ÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ
ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ [z℄n, ÇÄÅ z ∈ Z. ëÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ
(1-18)
[z℄n def
= {x ∈ Z | z − x ... n}
13
1.4. ëÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
n É ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÉÍÅ1
ÀÝÉÈ ÔÏÔ ÖÅ ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ n, ÞÔÏ É ÞÉÓÌÏ z . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Z=(n)
ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ×
[0℄n ; [1℄n ; : : : ; [n − 1℄n ;
ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ, ÒÉ ÖÅÌÁÎÉÉ, ÓÞÉÔÁÔØ ÏÓÔÁÔËÁÍÉ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ n . ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ
z 7→[z ℄n-Z=(n)
Z
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
n. îÁ ÑÚÙËÅ ÏÓÔÁÔËÏ×, ÏÎÏ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ
ËÁÖÄÏÍÕ ÅÌÏÍÕ ÞÉÓÌÕ ÅÇÏ ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ n.
ðÏÄÞÅÒËΣÍ, ÏÄÎÁËÏ, ÒÉ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ Ó ×ÙÞÅÔÁÍÉ ÇÏÒÁÚÄÏ
ÕÄÏÂÎÅÅ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ÉÈ ÎÅ ËÁË ÏÓÔÁÔËÉ, Á ËÁË
, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÅ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Z, ÏÓËÏÌØËÕ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ Ï ÒÁÚÎÏÍÕ
ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ËÌÁÓÓ ÉÎÏÇÄÁ ÓÉÌØÎÏ ÕÒÏÝÁÅÔ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ. îÁÒÉÍÅÒ, ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ 12100 ÎÁ 13 ÍÏÖÎÏ ÉÓËÁÔØ ËÁË
100 100 = (−1)100 = [1℄ :
12 13 = [12℄100
=
[
−
1℄
13
13
13
13
ËÌÁÓÓÏÍ ×ÙÞÅÔÏ× Ï ÍÏÄÕÌÀ
ÒÉ×ÅÄÅÎÉÅÍ Ï ÍÏÄÕÌÀ
ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅ-
ÓÔ×Á
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 1.8. äÏËÁÖÉÔÅ ÒÁ×ÏÍÏÞÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ. ÏÞÎÅÅ, ÒÏ×ÅÒØÔÅ,
ÞÔÏ ËÌÁÓÓÙ [x + y℄n É [xy℄n ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× x ∈ [x℄n É y ∈ [y℄n É,
ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÒÁ×ÉÌÁ
[x℄n + [y℄n def
= [x + y ℄ n
(1-19)
[x℄n · [y℄n = [xy℄n
(1-20)
def
ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ËÌÁÓÓÏ× ×ÙÞÅÔÏ× Z=(n) ÏÅÒÁ ÉÉ ÓÌÏÖÅÎÉÑ
É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ. éÍÅÎÎÏ ÔÁËÏÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ [12℄100 = [12℄ · [12℄ · · · · · [12℄ = 12100 É
|
ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÏ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÆÏÒÍÕÌÅ.
{z
100
}
1.4.2. ðÒÉÍÅÒ: Ï×ÏÒÏÔÙ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ SO2 ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ï×ÏÒÏÔÏ× ÄÅ-
ËÁÒÔÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ R2 ×ÏËÒÕÇ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
SO2 ;
(1-21)
ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ÞÉÓÌÕ Ï×ÏÒÏÔ T : R2 - R2 ÎÁ ÕÇÏÌ
ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ ×ÏËÒÕÇ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÅÊ Ï
ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ
∼ ⇐⇒ − = 2k Ó k ∈ Z :
R
R
7→T
-
ÇÄÅ ÏÄ ÏÓÔÁÔËÏÍ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÞÉÓÌÁ x ÎÁ ÞÉÓÌÏ n ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ÒÁÚÎÏÓÔØ ÍÅÖÄÕ x É ÎÁÉÂÏÌØÛÉÍ ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÉÍ x ÞÉÓÌÏÍ ×ÉÄÁ nk Ó k ∈ Z
1
14
§1. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
÷ÙÂÉÒÁÑ × ËÁÖÄÏÍ ËÌÁÓÓÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ [ ℄ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ
ÞÉÓÌÏ min ∈ [ ℄ É ÏÔËÌÁÄÙ×ÁÑ ÎÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ S 1 Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÄÕÇÕ ÄÌÉÎÙ min, ÎÁÞÉÎÁÀÝÕÀÓÑ × ÔÏÞËÅ (1; 0) É ÉÄÕÝÕÀ ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÂÉÅË ÉÀ SO2 ≃ S 1 ÍÅÖÄÕ Ï×ÏÒÏÔÁÍÉ É ÔÏÞËÁÍÉ
ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ (1-21) ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË ÎÁÍÁÔÙ×ÁÎÉÅ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÒÑÍÏÊ R ÎÁ ÅÄÉÎÉÞÎÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ S 1 .
åÓÌÉ ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×ÁÔØ n ∈ N É ×ÍÅÓÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ (1-21) ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
7→T =n
- S1 ;
R
(1-22)
ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÞÉÓÌÕ ∈ R Ï×ÏÒÏÔ ÎÁ ÕÇÏÌ 2n , ÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ
∼ ⇐⇒ − = nk Ó k ∈ Z ;
R
2
ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ Z ⊂ R ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÓÒÁ×ÎÉÍÏÓÔÉ Ï ÍÏÄÕÌÀ n ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÒÉÍÅÒÁ.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÌÁÓÓÙ ×ÙÞÅÔÏ× Ï ÍÏÄÕÌÀ n ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË Ï×ÏÒÏÔÙ ÎÁ ÕÇÌÙ, ËÒÁÔÎÙÅ 2=n , É ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÓÅÂÅ ËÁË € ÉÆÅÒÂÌÁԁ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ n ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÎÁÎÅÓ£ÎÎÙÈ ÎÁ ÅÄÉÎÉÞÎÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÄÅÌÅÎÉÊ. óÌÏÖÅÎÉÅ
×ÙÞÅÔÏ× ÉÚ ÕÒ. 1.8 ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ ÒÉ ÜÔÏÍ × ÏÂÙÞÎÏÅ €ÓÌÏÖÅÎÉÅ ÞÁÓÏׁ ÎÁ ÉÆÅÒÂÌÁÔÅ.
1.4.3. îÅÑ×ÎÏÅ ÚÁÄÁÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ R ⊂ X × X ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ∩ R ⊂ X × X ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓÌÉ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ× R ⊂ X ×X
ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÄÉÁÇÏÎÁÌØ = {(x; x)} ⊂ X × X , ÅÒÅÈÏÄÉÔ × ÓÅÂÑ ÒÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ
(x; y) ⇆ (y; x) É ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÏÊ ÁÒÏÊ ÔÏÞÅË ×ÉÄÁ (x; y), (y; z) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÁËÖÅ É ÔÏÞËÕ (x; z), ÔÏ ÜÔÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÏÂÌÁÄÁÅÔ É ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ∩ R ×ÓÅÈ ÜÔÉÈ
ÍÎÏÖÅÓÔ×. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á
R⊂X ×X
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ R, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ R, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ R ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ.
ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ R .
ïÔÎÏÛÅÎÉÅ R ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØÀ,
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Ï ÎÁÕÇÁÄ ×ÙÂÒÁÎÎÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ R ÞÁÓÔÏ ÂÙ×ÁÅÔ ÔÒÕÄÎÏ ÓÕÄÉÔØ Ï ÔÏÍ, ËÁË ÕÓÔÒÏÅÎÁ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÁÑ ÉÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ R. äÁÖÅ ×ÙÑÓÎÉÔØ,
ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ1 , ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÅ ÒÏÓÔÏ.
1.4.4. ðÒÉÍÅÒ: ÄÒÏÂÉ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ Q ÏÂÙÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÒÏÂÅÊ a=b Ó a; b ∈ Z É b 6= 0 . ðÒÉ ÜÔÏÍ ÏÄ
ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ Ï ×ËÌÀÞÅÎÉÀ
ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÊ
ÄÒÏÂØÀ
Ô. Å. ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ÈÏÔØ ÏÄÎÁ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÁÑ (ÏÔÌÉÞÎÁÑ ÏÔ ×ÓÅÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ X × X ) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ R
1
15
ëÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ
ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ (a; b) ∈ Z × Z Ï ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÍÕ ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÍÕ ×ÓÅ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÉÑ
(a; b) ∼ (a ; b ) ∀ 6= 0 :
(1-23)
ïÔÎÏÛÅÎÉÑ (1-23) ×ÙÒÁÖÁÀÔ ÓÏÂÏÀ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÄÒÏÂÅÊ a=b = a =b , ÎÏ ÓÁÍÉ Ï
ÓÅÂÅ ÎÅ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ. îÁÒÉÍÅÒ, ÒÉ a1b2 = a2b1 × Ä×ÕÈÛÁÇÏ×ÏÊ
ÅÏÞËÅ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÉÊ (1-23)
(a1; b1 ) ∼ (a1b2 ; b1 b2 ) = (a2b1 ; b1 b2 ) ∼ (a2; b2 )
ÓÁÍÙÊ ÌÅ×ÙÊ É ÓÁÍÙÊ ÒÁ×ÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÎÅÌØÚÑ ÎÁÒÑÍÕÀ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÔØ Ï ÒÁ×ÉÌÕ (1-23). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÅ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÉÑÍÉ (1-23) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÁËÖÅ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÉÑ
(a1; b1 ) ∼ (a2; b2 ) ÒÉ a1b2 = a2b1 :
(1-24)
ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ Ë ÎÉÍ ÕÖÅ ÂÏÌØÛÅ ÎÉÞÅÇÏ ÄÏÂÁ×ÌÑÔØ ÎÅ ÎÁÄÏ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 1.9. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÂÏÒ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ (1-24) ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÅÎ, ÓÉÍÍÅÔÒÉ-
ÞÅÎ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÅÎ (É, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÏÌÎÏÓÔØÀ ÏÉÓÙ×ÁÅÔ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ×ÓÅ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÉÑ (1-23)).
ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ X - Z , ÏÌÕÞÁÀÝÅÅÓÑ ×
ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÇÏ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ
1.5. ëÏÍÏÚÉ ÉÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ.
X
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ
f-
Y
g-
Z
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ g É f É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ g◦f ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ gf .
( ) def
= g(f (x)) :
ëÏÍÏÚÉ ÉÑ gf ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÂÒÁÚ f ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ g.
∀ x ∈ X gf x
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 1.10. ðÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÒÉÍÅÒ ÓÉÔÕÁ ÉÉ, ËÏÇÄÁ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ gf ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ,
Á fg | ÎÅÔ.
ëÏÍÏÚÉ ÉÀ ÔÒ£È ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ X h - Y g - Z f - T ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ
Ä×ÕÍÑ ÓÏÓÏÂÁÍÉ: ËÁË (fg)h ÉÌÉ ËÁË f (gh) . ÷ ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ ÔÏÞËÕ x ∈ X × ÔÏÞËÕ f (g(h(x))) ∈ T . éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ,
1:
ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ
(fg)h = f (gh) :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ f1f2 : : : fm (ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ) ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÒÁÓÓÔÁÎÏ×ËÉ ÓËÏÂÏË.
ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÁ
1
ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔØ ÔÁËÖÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÓÏÞÅÔÁÔÅÌØÎÙÍ ÚÁËÏÎÏÍ
16
§1. íÎÏÖÅÓÔ×Á É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
èÏÔÑ ÍÙ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ËÏÍÏÚÉ ÉÀ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÔÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ, ÏÂÒÁÝÁÔØÓÑ Ó ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ, ×ËÌÀÞÁÀÝÉÍÉ × ÓÅÂÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ, ÎÁÄÏ Ó
ÏÓÔÏÒÏÖÎÏÓÔØÀ: ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÒÉ×ÙÞÎÙÅ Ï ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÍ Ó ÞÉÓÌÁÍÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÎÅÄÏÕÓÔÉÍÙ ÒÉ ÒÁÂÏÔÅ Ó ËÏÍÏÚÉ ÉÑÍÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ.
1 : fg = gf , Á ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÔÏîÁÒÉÍÅÒ, ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÞÉÓÅÌ
ÂÒÁÖÅÎÉÊ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÎÅÔ (ÈÏÔÑ ÂÙ ÕÖÅ ÏÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÏÄÎÁ ÉÚ ÞÁÓÔÅÊ ÜÔÏÇÏ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ, Á ÄÒÕÇÁÑ | ÎÅÔ).
ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 1.11. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÁÒÕ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÑÍÙÈ `1 , `2 , ÅÒÅ-
ÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ × ÔÏÞËÅ O, É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ 1 É 2 ÏÓÅ×ÙÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÜÔÉÈ ÒÑÍÙÈ. ñ×ÎÏ ÏÉÛÉÔÅ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÅ ËÏÍÏÚÉ ÉÑÍÉ
1 2 É 2 1 . ðÒÉ ËÁËÏÍ ÕÓÌÏ×ÉÉ ÎÁ ÒÑÍÙÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 1 2 = 2 1 ?
þÔÏÂÙ ÏÞÕ×ÓÔ×Ï×ÁÔØ ÏÔÌÉÞÉÅ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ Ó×ÏÊÓÔ× ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÏÔ Ó×ÏÊÓÔ×
ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÞÉÓÅÌ, ÏÕÞÉÔÅÌØÎÏ ×ÚÇÌÑÎÕÔØ ÎÁ €ÔÁÂÌÉ Õ ÕÍÎÏÖÅÎÉс ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÉÚ Ä×ÕÈÜÌÅÍÅÎÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X = {1; 2} × ÓÅÂÑ.
åÓÔØ ÒÏ×ÎÏ ÞÅÔÙÒÅ ÔÁËÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ÒÉÞ£Í ×ÓÅ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ
ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ. åÓÌÉ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ∈ End(X ) Ä×ÕÈÂÕË×ÅÎÎÙÍ ÓÌÏ×ÏÍ
(f (1); f (2)) (ËÁË × n◦ 1.2.1), ÔÏ ÜÔÉ ÞÅÔÙÒÅ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÚÁÉÛÕÔÓÑ ÓÌÏ×ÁÍÉ
(1; 1) ; (1; 2) = IdX ; (2; 1) ; (2; 2) :
úÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÊ gf ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ × ÔÁÂÌÉ Å:
gf (1; 1) (1; 2) (2; 1) (2; 2)
(1; 1) (1; 1) (1; 1) (1; 1) (1; 1)
(1; 2) (1; 1) (1; 2) (2; 1) (2; 2)
(2; 1) (2; 2) (2; 1) (1; 2) (1; 1)
(2; 2) (2; 2) (2; 2) (2; 2) (2; 2)
(1-25)
ïÂÒÁÔÉÔÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ (2; 2)◦(1; 1) 6= (1; 1)◦(2; 2), Á ÔÁËÖÅ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ ×
×ÅÒÈÎÅÊ É ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÒÏËÁÈ ×ÓÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù, ÎÏ €ÓÏËÒÁÔÉÔØ ÏÂÝÉÊ
ÍÎÏÖÉÔÅÌ؁ ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÅÌØÚÑ, Ô. Å. ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á fg1 = fg2, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ
ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï g1 = g2, ËÁË ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÎÏ É ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á g1f = g2f .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 1.12 (ÌÅ×ÙÅ ÏÂÒÁÔÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÌÅÄÕÀ-
f
ÝÉÅ ÔÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÁ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ X - Y ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ:
Á) f ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏ
g
Â) ∃ Y - X : gf = IdX (ÌÀÂÏÅ ÔÁËÏÅ g ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÅ×ÙÍ ÏÂÒÁÔÎÙÍ Ë f )
×) ∀ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ g1 ; g2 : Z - X ÉÚ fg1 = fg2 ×ÙÔÅËÁÅÔ g1 = g2
É ×ÙÑÓÎÉÔÅ, ÓËÏÌØËÏ ÌÅ×ÙÈ ÏÂÒÁÔÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÉÍÅÅÔÓÑ Õ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ×ÌÏÖÅÎÉÑ n-ÜÌÅÍÅÎÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á × m-ÜÌÅÍÅÎÔÎÏÅ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 1.13 (ÒÁ×ÙÅ ÏÂÒÁÔÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÌÅÄÕÀf
ÝÉÅ ÔÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÁ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ X - Y ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ:
1
ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔØ ÔÁËÖÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÅÒÅÍÅÓÔÉÔÅÌØÎÙÍ ÚÁËÏÎÏÍ
17
1.5. ëÏÍÏÚÉ ÉÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ
Á) f ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÏ
g
Â) ∃ Y - X : fg = IdY (ÌÀÂÏÅ ÔÁËÏÅ g ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁ×ÙÍ ÏÂÒÁÔÎÙÍ Ë f )
×) ∀ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ g1 ; g2 : Z - X ÉÚ g1 f = g2 f ×ÙÔÅËÁÅÔ g1 = g2
É ×ÙÑÓÎÉÔÅ, ÓËÏÌØËÏ ÒÁ×ÙÈ ÏÂÒÁÔÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÉÍÅÅÔÓÑ Õ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÎÁÌÏÖÅÎÉÑ m-ÜÌÅÍÅÎÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÁ n-ÜÌÅÍÅÎÔÎÏÅ.
1.5.1. ïÂÒÁÔÉÍÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ. åÓÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ X
g-
Y ÂÉÅËÔÉ×ÎÏ,
ÔÏ ÒÏÏÂÒÁÚ g (y) ⊂ X ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÉ y ∈ Y ÓÏÓÔÏÉÔ ÒÏ×ÎÏ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÉ, É
ÒÁ×ÉÌÏ y 7→ g−1(y) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ X g Y , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ
É g−1◦g = IdX ;
g◦g−1 = IdY
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, g−1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ É ÌÅ×ÙÍ É ÒÁ×ÙÍ ÏÂÒÁÔÎÙÍ Ë
g × ÓÍÙÓÌÅ ÕÒ. 1.12 É ÕÒ. 1.13. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ g−1 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
Ë g.
−1
−1
Ä×ÕÓÔÏÒÏÎÎÉÍ
ÏÂÒÁÔÎÙÍ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 1.4
óÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÁ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ X g- Y ÏÁÒÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ:
(1) g ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ
(2) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ X g Y , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ g◦g′ = IdY É g′◦g = IdX
(3) g ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÌÅ×ÙÍ É ÒÁ×ÙÍ ÏÂÒÁÔÎÙÍÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍÉ1.
ðÒÉ ×ÙÏÌÎÅÎÉÉ ÜÔÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÌÀÂÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ g′ ÉÚ (2) É ÌÀÂÙÅ ÌÅ×ÙÅ É
ÒÁ×ÙÅ ÏÂÒÁÔÎÙÅ Ë g ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÉÚ (3) ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ É Ó ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ g−1 ÏÉÓÁÎÎÙÍ ×ÙÛÅ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. éÍÌÉËÁ ÉÑ (1) ⇒ (2) ÕÖÅ ÂÙÌÁ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÁ. éÍÌÉËÁ ÉÑ
(2) ⇒ (3) ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ (3) ⇒ (2).
åÓÌÉ Õ X g - Y ÅÓÔØ ÌÅ×ÏÅ ÏÂÒÁÔÎÏÅ X f Y (ÔÁËÏÅ ÞÔÏ f ◦g = IdX ) É
ÒÁ×ÏÅ ÏÂÒÁÔÎÏÅ X h Y (ÔÁËÏÅ ÞÔÏ g◦h = IdY ), ÔÏ
(1-26)
f = f ◦IdY = f ◦(g◦h) = (f ◦g)◦h = IdX ◦h = h ;
É ÕÓÌÏ×ÉÅ (2) ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÄÌÑ g′ = f = h.
ïÓÔÁ£ÔÓÑ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ (2) ⇒ (1) É ÄÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï g′ = g−1 . ðÏÓËÏÌØËÕ
g(g′(y)) = y ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ y ∈ Y , ÒÏÏÂÒÁÚ g−1 (y) ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÉ y ∈ Y ÓÏÄÅÒÖÉÔ
ÔÏÞËÕ g′(y). C ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ x ∈ g−1(y)
x = IdX (x) = g′ (g(x)) = g′ (y) :
ðÏÜÔÏÍÕ f −1(y) ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ g′(y). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, g | ÂÉÅË ÉÑ, É g′ = g−1.
′
ÏÂÒÁÔÉÔÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ × ÜÔÏÍ ÕÓÌÏ×ÉÉ ÎÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÑ ÌÅ×ÏÇÏ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ Ó ÒÁ×ÙÍ ÏÂÒÁÔÎÙÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ
1
18
úÁÄÁÞÉ Ë §1
îÅÕÓÔÏÊ ÎÁÂÏÒ G ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X × ÓÅÂÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á
X , ÅÓÌÉ ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÙÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ g ∈ G × G ÌÅÖÉÔ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ Ë ÎÅÍÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ g−1, Á ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÙÍÉ Ä×ÕÍÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍÉ f; g ∈ G ×
G ÌÅÖÉÔ É ÉÈ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ fg. üÔÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÀÔ, ÞÔÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ
ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ IdX ÔÏÖÅ ÌÅÖÉÔ × G, ÏÓËÏÌØËÕ IdX = g−1g ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ g ∈ G .
åÓÌÉ ÇÒÕÁ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ G ËÏÎÅÞÎÁ, ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÎÅÊ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
|G| É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÇÒÕÙ G.
åÓÌÉ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï H ⊂ G ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÒÕÏÊ, ÔÏ H ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÇÒÕÙ G .
1.6.1. ðÒÉÍÅÒ: ÇÒÕÙ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË. íÎÏÖÅÓÔ×Ï Aut (X ) ×ÓÅÈ ×ÚÁÉÍÎÏ
ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ X - X Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÒÕÏÊ. üÔÁ ÇÒÕÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(ÉÌÉ
) ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X . ÷ÓÅ ÒÏÞÉÅ ÇÒÕÙ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÇÒÕÁÍÉ ÜÔÏÊ ÇÒÕÙ.
çÒÕÁ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË n-ÜÌÅÍÅÎÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {1; 2; : : : ; n} ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
Sn É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ n-ÔÏÊ
. óÏÇÌÁÓÎÏ ÒÅÄÌ. 1.2 |Sn| = n!.
{1; 2; : : : ; n} ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ ÓÔÒÏÞðÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ {1; 2; : : : ; n}
ËÏÊ (1; 2 ; : : : ; n) Å£ ÚÎÁÞÅÎÉÊ i = (i), ËÁË × n◦ 1.2.1. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ
= (3; 4; 2; 1) É = (2; 3; 4; 1) | ÜÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
1 2 3 4
1 2 3 4
: ↓ ↓ ↓ ↓
;
: ↓ ↓ ↓ ↓
3 4 2 1
2 3 4 1
Á ÉÈ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ËÁË = (4; 2; 1; 3) É = (4; 1; 3; 2) .
1.6. çÒÕÙ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ.
ÇÒÕÏÊ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ
ÏÒÑÄËÏÍ
ÏÄ-
ÇÒÕÏÊ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÏÊ
ÇÒÕÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÏÊ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 1.14. óÏÓÔÁ×ØÔÅ ÔÁÂÌÉ Õ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÛÅÓÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÇÒÕÙ S3 ,
ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÕÀ ÔÁÂÌÉ Å (1-25) ÎÁ ÓÔÒ. 16.
1.6.2. ðÒÉÍÅÒ: ÁÂÅÌÅ×Ù ÇÒÕÙ. çÒÕÁ G, × ËÏÔÏÒÏÊ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁ
ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙ, Ô. Å. ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ fg = gh, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÉÌÉ
. ðÒÉÍÅÒÁÍÉ ÁÂÅÌÅ×ÙÈ ÇÒÕ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÇÒÕÙ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÅÒÅÎÏÓÏ× ÌÏÓËÏÓÔÉ ÉÌÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, Á ÔÁËÖÅ ÇÒÕÁ SO2 Ï×ÏÒÏÔÏ×
ÌÏÓËÏÓÔÉ ×ÏËÒÕÇ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ n ⩾ 2 n
Ï×ÏÒÏÔÏ× ÎÁ ÕÇÌÙ, ËÒÁÔÎÙÅ 2=n, ÏÂÒÁÚÕÀÔ × ÇÒÕÅ SO2 ËÏÎÅÞÎÕÀ ÏÄÇÒÕÕ.
ïÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
n.
ËÏÍÍÕ-
ÔÁÔÉ×ÎÏÊ
ÁÂÅÌÅ×ÏÊ
ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÏÊ ÏÒÑÄËÁ
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §1
úÁÄÁÞÁ 1.1. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ÓÌÏ× (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÏÓÍÙÓÌÅÎÎÙÈ) ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ
ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÑ ÂÕË×Ù × ÓÌÏ×ÁÈ
Á) ÛÎÕÒÏË
Â) ËÕÒÏË
×) ËÏÌÏÂÏË
Ç) |ÁÁ{z
: : : Á} ÂÂ
:
:
:
Â
Ä)
Â
Â
:
:
:
Â
Â
Â
:
:
:
Â
:
:
:
:
:
:
:
:
:
Â
Â
:
:
:
Â
?
1
1
1
2
2
2
m
m
m
| {z }
| {z } | {z }
|
{z
}
a
b
k1
k2
km
19
úÁÄÁÞÉ Ë §1
úÁÄÁÞÁ 1.2. òÁÓËÒÏÊÔÅ ÓËÏÂËÉ É ÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÏÄÏÂÎÙÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ × ×ÙÒÁÖÅÎÉÑÈ
×) (a + b)n
Á) (a1 + a2 + · · · + am )2
Â) (a + b + )3
ÅÎÉ1
Â) ÎÅ ÂÏÌØÛÅ d ?
Ç) (a1 + a2 + · · · + am )n .
úÁÄÁÞÁ 1.3. óËÏÌØËÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÄÎÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ n ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÏÌÎÏÊ ÓÔÅ-
Á) ÒÏ×ÎÏ d
úÁÄÁÞÁ 1.4. ãÅÌÏ ÌÉ ÞÉÓÌÏ 1000!= 100!10
?
úÁÄÁÞÁ 1.5. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÉ ÒÏÓÔÏÍ p ∈ N ×ÓÅ ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ
p
k
Ó 1 ⩽ k ⩽ (p − 1) ÎÁ ÅÌÏ ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ p .
n + n + · · · + n Â) n + n−1 + n−2 + · · ·
1
n
2
0
1
Ç) n0 − n1 + n2 − n3 + · · · + (−1)n nn
n+2 n+ · · · +(n+1) n Ö) n2 + n2 +· · ·+ n2 .
0
1
n
0
1
n
úÁÄÁÞÁ 1.6. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÓÕÍÍÙ: Á) 0
k+n
×) kk + k+1
k + · · · + k
Ä) n1 +2 n2 + · · · +n nn Å)
úÁÄÁÞÁ 1.7. óËÏÌØËÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÉÚ ÑÔÉÜÌÅÍÅÎÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á × Ä×ÕÈ-
ÜÌÅÍÅÎÔÎÏÅ, ÔÁËÉÈ ÞÔÏÂÙ Õ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÉ ÂÙÌÏ ÎÅ ÍÅÎÅÅ Ä×ÕÈ ÒÏÏÂÒÁÚÏ×?
úÁÄÁÞÁ 1.8. æÉËÓÉÒÕÅÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ m É n. óËÏÌØËÏ ÒÅÛÅÎÉÊ ÉÍÅÅÔ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÅ x1 + x2 + · · · + xm = n Á) × ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ Â) × ÅÌÙÈ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ
ÞÉÓÌÁÈ?
úÁÄÁÞÁ 1.9. æÉËÓÉÒÕÅÍ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ m É n. óËÏÌØËÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ
{1; 2; : : : ; m}
- {1; 2; : : : ; n}
Á) ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ? Â) ÂÉÅËÔÉ×ÎÙÈ? ×) ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÈ2? Ç) ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙÈ?
Ä) ÎÅÕÂÙ×ÁÀÝÉÈ3?
Å) ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÙÈ ÎÅÕÂÙ×ÁÀÝÉÈ?
Ö) ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÙÈ?
úÁÄÁÞÁ 1.10. óËÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÉÁÇÒÁÍÍ àÎÇÁ:
Á) ×ÅÓÁ 6 ?
Â) ×ÅÓÁ 7, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÔÒ£È ÓÔÒÏË?
×) ÂÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÁ ×ÅÓ, ÎÏ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÎÅ ÂÏÌÅÅ p ÓÔÒÏË É q ÓÔÏÌ Ï×?
úÁÄÁÞÁ 1.11. éÍÅÀÔÓÑ 4 ÏÁÒÎÏ ÏÔÌÉÞÁÀÝÉÈÓÑ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÞÁÛËÉ, 4 ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ
ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÁËÁÎÁ, 10 ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ËÕÓËÏ× ÓÁÈÁÒÁ É 7 ÏÁÒÎÏ
ÒÁÚÎÏ ×ÅÔÎÙÈ ÓÏÌÏÍÉÎÏË. óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÌÏÖÉÔØ:
Á) ÓÏÌÏÍÉÎËÉ Ï ÞÁÛËÁÍ?
Â) ÓÁÈÁÒ Ï ÞÁÛËÁÍ?
×) ÓÁÈÁÒ Ï ÓÔÁËÁÎÁÍ?
Ç) ÓÏÌÏÍÉÎËÉ Ï ÓÔÁËÁÎÁÍ?
úÁÄÁÞÁ 1.12. ëÁË ÉÚÍÅÎÑÔÓÑ ÏÔ×ÅÔÙ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÅ, ÅÓÌÉ ÏÔÒÅÂÏ×ÁÔØ, ÞÔÏÂÙ
ÏÓÌÅ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÎÉÑ ÕÓÔÙÈ £ÍËÏÓÔÅÊ ÎÅ ÏÓÔÁ×ÁÌÏÓØ?
úÁÄÁÞÁ 1.13. óÔÏÒÏÎÙ ÌÏÓËÏÇÏ ÒÏ×ÏÌÏÞÎÏÇÏ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ n-ÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÁÓËÒÁÛÉ-
×ÁÀÔ × n ×ÅÔÏ× | ËÁÖÄÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ × Ó×ÏÊ ×ÅÔ. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÉÇÒÕÛÅË
ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÌÕÞÉÔÓÑ?
n
ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÏÌÎÏÊ ÓÔÅÅÎØÀ ÏÄÎÏÞÌÅÎÁ xm xm · · · xmn n ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÕÍÍÁ P mi
i
ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× M f- N ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÍ , ÅÓÌÉ x < x ⇒ f (x ) < f (x ) ∀ x ; x ∈ M
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÕÂÙ×ÁÀÝÉÍ , ÅÓÌÉ x ⩽ x ⇒ f (x ) ⩽ f (x )
1
1
1
2
2
=1
2
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
20
úÁÄÁÞÉ Ë §1
úÁÄÁÞÁ 1.14. óËÏÌØËÏ ÂÕÓ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÉÚ 5 ËÒÁÓÎÙÈ, 7 ÓÉÎÉÈ É 11 ÂÅÌÙÈ ÂÕÓÉÎ
ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÆÏÒÍÙ?
úÁÄÁÞÁ 1.15. ëÁÖÄÕÀ ÇÒÁÎØ Á) ËÕÂÉËÁ Â) ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ËÒÁÓÑÔ ÏÄÎÉÍ ÉÚ
ÛÅÓÔÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ×ÅÔÏ×, ÔÁË ÞÔÏÂÙ ×ÓÅ ÇÒÁÎÉ ÏÌÕÞÉÌÉÓØ ÒÁÚÎÏ ×ÅÔÎÙÅ.
óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÉÇÒÕÛÅË ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ?
úÁÄÁÞÁ 1.16. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ÂÅÚÄÅÌÕÛÅË ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÒÉ ÓËÌÅÊËÅ ÁÒÙ ËÒÁÛÅÎÙÈ
ËÕÂÉËÏ× ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÎÁÕÇÁÄ ×ÙÂÉÒÁÅÍÏÊ ÇÒÁÎÉ?
úÁÄÁÞÁ 1.17* (ÚÁÄÁÞÁ ì. ç. íÁËÁÒ-ìÉÍÁÎÏ×Á). ÏÒÇÏ×Å
ÇÁÚÉÒÏ×ËÏÊ ËÏÒÏÔÁÅÔ ×ÒÅÍÑ ÍÁÎÉÕÌÉÒÕÑ ÑÔÎÁÄ ÁÔØÀ ÏÄÎÏÒÁÚÏ×ÙÍÉ ÓÔÁËÁÎÞÉËÁÍÉ, ÓÌÏÖÅÎÎÙÍÉ ÅÒÅÄ
ÎÉÍ × ÎÅÓËÏÌØËÏ ÓÔÏÏË. ïÄÎÁ ÍÁÎÉÕÌÑ ÉÑ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÎ ÂÅÒ£Ô
×ÅÒÈÎÉÊ ÓÔÁËÁÎÞÉË ÉÚ ËÁÖÄÏÊ ÓÔÏËÉ É ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÉÚ ÎÉÈ ÎÏ×ÕÀ ÓÔÏËÕ1 . ëÁË
ÒÁÚÌÏÖÁÔÓÑ ÓÔÁËÁÎÞÉËÉ ÏÓÌÅ 1000 ÔÁËÉÈ ÍÁÎÉÕÌÑ ÉÊ?
úÁÄÁÞÁ 1.18 (ÏÌÎÙÅ ÞÕÍÙ). íÎÏÖÅÓÔ×Ï P ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍ
(ÓÏËÒÁÝ£ÎÎÏ ÞÕÍÏÍ) ÅÓÌÉ ÎÁ Î£Í ÚÁÄÁÎÏ ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ x ⩽ y, ËÏÔÏ-
ÒÏÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ2 , ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ3 É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ : ÉÚ x ⩽ y É y ⩽ È ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ x = y. ÞÕÍ P ÌÏËÁÌØÎÏ ËÏÎÅÞÅÎ, ÅÓÌÉ ∀ x; y ∈ P × P ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
= { z | x ⩽ z ⩽ y } ËÏÎÅÞÎÏ. ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï L ÞÕÍÁ M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏ
[x; y℄ def
ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍ , ÅÓÌÉ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÓÒÁ×ÎÉÍÙ, Ô. Å. ∀ a; b ∈ L ÉÍÅÅÔ
ÍÅÓÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ a ⩽ b ÉÌÉ b ⩽ a. ÞÕÍ M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÎÙÍ , ÅÓÌÉ ËÁÖÄÏÅ ÅÇÏ
ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï U ⊂ M ÏÂÌÁÄÁÅÔ ×ÅÒÈÎÅÊ ÇÒÁÎØÀ , Ô. Å.
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ m ∈ M , ÔÁËÏÊ ÞÔÏ u ⩽ m ∀ u ∈ U (ÏÄÞÅÒËΣÍ, ÞÔÏ ÎÉ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ, ÎÉ €ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÓÔɁ ×ÅÒÈÎÅÊ ÇÒÁÎÉ ÎÅ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÑËÏÅ
f
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ M - M ÉÚ ÏÌÎÏÇÏ ÞÕÍÁ × ÓÅÂÑ, ÔÁËÏÅ ÞÔÏ x ⩽ f (x) ∀ x ∈ M ,
ÉÍÅÅÔ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÕÀ ÔÏÞËÕ, Ô. Å. ∃ x0 ∈ M : f (x0 ) = x0 .
úÁÄÁÞÁ 1.19 (ÌÅÍÍÁ ãÏÒÎÁ). áËÓÉÏÍÁ ×ÙÂÏÒÁ4 ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ ÍÎÏÖÅ-
ÓÔ×Å ÎÅÕÓÔÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á5. ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÉÚ ÁËÓÉÏÍÙ ×ÙÂÏÒÁ É ÚÁÄ. 1.18, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ ÏÌÎÏÍ ÞÕÍÅ
ÅÓÔØ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ6 .
ÓÔÏËÁ ÍÏÖÅÔ ÓÏÓÔÏÑÔØ É ÉÚ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÓÔÁËÁÎÁ, ËÏÔÏÒÙÊ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ É ÂÕÄÅÔ
×ÅÒÈÎÉÍ
Ô. Å. x ⩽ x ∀ x
Ô. Å. ÉÚ x ⩽ y É y ⩽ z ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ x ⩽ z
ÜÔÁ ÁËÓÉÏÍÁ ×ÈÏÄÉÔ × ÏÄÉÎ ÉÚ ÏÂÝÅÒÉÎÑÔÙÈ ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÁËÓÉÏÍÁÔÉËÉ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×
ÉÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M, ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÁÍÉ ÓÕÔØ ÎÅÕÓÔÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ f ÉÚ M × ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× M ∈ M, ÔÁËÏÅ ÞÔÏ
f (M ) ∈ M ∀ M ∈ M
ÒÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÉÍÅÅÔÓÑ × ËÎÉÇÁÈ:
. áÌÇÅÂÒÁ . í. €íÉҁ (1976), ÓÔÒ.
246{249,
. ÷×ÅÄÅÎÉÅ × ÔÅÏÒÉÀ ÍÎÏÖÅÓÔ× É ÏÂÝÕÀ ÔÏÏÌÏÇÉÀ . í. €îÁÕËÁ
(1977), ÓÔÒ. 80{83.
1
2
3
4
5
6
÷ÁÎ äÅÒ ÷ÁÒÄÅÎ
ð. ó. áÌÅËÓÁÎÄÒÏ×
òÁÚÄÅÌ II
þÉÓÌÁ É ÆÕÎË
ÉÉ
§2. þÉÓÌÏ×ÙÅ ÏÌÑ É ËÏÌØ Á
çÏ×ÏÒÑ ×ÏÌØÎÏ, ÏÌÅ | ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ×ÁÑ ÏÂÌÁÓÔØ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ ÞÅÔÙÒÅ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÏÅÒÁ ÉÉ | ÓÌÏÖÅÎÉÅ, ×ÙÞÉÔÁÎÉÅ,
ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ É ÄÅÌÅÎÉÅ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÅ ÒÉ×ÙÞÎÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ
ÄÅÊÓÔ×ÉÊ ÎÁÄ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ. áËÓÉÏÍÁÔÉÚÁ ÉÑ ÜÔÉÈ Ó×ÏÊÓÔ× ÒÉ×ÏÄÉÔ
Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÍÕ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ.
2.1. ðÏÌÑ.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2.1
íÎÏÖÅÓÔ×Ï F Ó Ä×ÕÍÑ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ F × F - F:
(a; b) 7→ a + b É
(a; b) 7→ ab , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÔÒÉ
ÎÁÂÏÒÁ ÁËÓÉÏÍ:
ÓÌÏÖÅÎÉÅÍ
ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ
ÏÌÅÍ
Ó×ÏÊÓÔ×Á ÓÌÏÖÅÎÉÑ
ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔØ
ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔØ
ÎÁÌÉÞÉÅ ÎÕÌÑ
ÎÁÌÉÞÉÅ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ
:
:
:
:
a + b = b + a ∀ a; b ∈ F
a + (b + ) = (a + b) + ∀ a; b; ∈ F
∃ 0∈F : a + 0 = a ∀ a∈F
∀ a ∈ F ∃ (−a) ∈ F : a + (−a) = 0
(2-1)
(2-2)
(2-3)
(2-4)
:
:
:
:
ab = ba ∀ a; b ∈ F
a(b ) = (ab) ∀ a; b; ∈ F
∃ 1∈F : 1 a = a ∀ a∈F
∀ a ∈ F ∃ a−1 ∈ F : aa−1 = 1
(2-5)
(2-6)
(2-7)
(2-8)
Ó×ÏÊÓÔ×Á ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ
ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔØ
ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔØ
ÎÁÌÉÞÉÅ ÅÄÉÎÉ Ù
ÎÁÌÉÞÉÅ ÏÂÒÁÔÎÙÈ
Ó×ÏÊÓÔ×Á, Ó×ÑÚÙ×ÁÀÝÉÅ ÓÌÏÖÅÎÉÅ Ó ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ
: a(b + ) = ab + a ∀ a; b ∈ F
(2-9)
: 0 6= 1
(2-10)
2.1.1. ðÒÉÍÅÒ: ÏÌÅ ÉÚ Ä×ÕÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÍ ÏÂßÅËÔÏÍ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÍ ×ÓÅÍ ÁËÓÉÏÍÁÍ ÉÚ ÏÒ. 2.1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÅ F2, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ 0 É 1,
ÔÁËÉÈ ÞÔÏ 0 + 1 = 1 · 1 = 1, Á ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÓÕÍÍÙ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ
(×ËÌÀÞÁÑ 1 + 1 = 0).
ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔØ
ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÓÔØ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 2.1. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ F2 ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÅÍ.
21
22
§2. þÉÓÌÏ×ÙÅ ÏÌÑ É ËÏÌØ Á
üÌÅÍÅÎÔÙ ÜÔÏÇÏ ÏÌÑ ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË ËÌÁÓÓÙ ×ÙÞÅÔÏ× Ï ÍÏÄÕÌÀ 2, Á
ÏÅÒÁ ÉÉ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ | ËÁË ÏÅÒÁ ÉÉ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ËÌÁÓÓÏ× ×ÙÞÅÔÏ×, ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ (1-19) É (1-20) ÉÚ ÕÒ. 1.8 ÎÁ ÓÔÒ. 13.
ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÌÑ F2 ÍÏÇÕÔ ÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØÓÑ ËÁË
€ÌÏÖ؁ = 0 É €ÉÓÔÉÎÁ = 1
ÓÌÏÖÅÎÉÅ | ËÁË ÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ €ÉÓËÌÀÞÁÀÝÅÅ ÉÌÉ1, Á ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ | ËÁË ÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ €É2. ÷ ÔÁËÏÊ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÉ ×ÓÅ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ × ÏÌÅ F2
ÒÅ×ÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÌÏÇÉÞÅÓËÉÅ ÍÁÎÉÕÌÑ ÉÉ Ó ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑÍÉ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 2.2. îÁÉÛÉÔÅ ÎÁÄ ÏÌÅÍ F2 ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ x, ÒÁ×ÎÙÊ €ÎÅ x, Á ÔÁËÖÅ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ x É y, ÒÁ×ÎÙÊ €x ÉÌÉ3 y.
2.1.2. ðÒÉÍÅÒ: ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. îÁÏÍÎÉÍ (ÓÍ. n◦ 1.4.3), ÞÔÏ ÏÌÅ
ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ Q ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÒÏÂÅÊ p=q, ÇÄÅ ÏÄ
€ÄÒÏÂØÀ ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ (p; q) Ó p; q ∈ Z
É q 6= 0 ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ
(a1; b1 ) ∼ (a2; b2 ) ÒÉ a1b2 = a2b1 ;
ËÏÔÏÒÏÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÍ ×ÓÅ
ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÉÑ (a; b) ∼ (a ; b ) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ 6= 0 .
óÌÏÖÅÎÉÅ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÄÒÏÂÅÊ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ
p r pr
p r ps + qr
· =
+
=
;
(2-11)
q s
qs
q s qs
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 2.3. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÒÒÅËÔÎÙ (ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ×Ù-
ÂÏÒÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ × ËÌÁÓÓÁÈ) É ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÁËÓÉÏÍÁÍ ÏÌÑ.
2.1.3. ðÒÉÍÅÒ: ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ R
ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ × ËÕÒÓÅ ÁÎÁÌÉÚÁ ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ: ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÄÅÓÑÔÉÞÎÙÈ4 ÄÒÏÂÅÊ, ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÅÄÅËÉÎÄÏ×ÙÈ ÓÅÞÅÎÉÊ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Q, ÉÌÉ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ëÏÛÉ. íÙ ÎÁÄÅÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÚÎÁËÏÍ Ó ÜÔÉÍÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑÍÉ É ÏÎÉÍÁÅÔ, ËÁË ÏÎÉ Ó×ÑÚÁÎÙ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ.
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ËÁËÏÅ ÂÙ ÏÉÓÁÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á R ÎÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÏÓØ, ÚÁÄÁÎÉÅ ÎÁ R
ÏÅÒÁ ÉÊ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ É ÒÏ×ÅÒËÁ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ×ÓÅÍ
ÁËÓÉÏÍÁÍ ÉÚ ÏÒ. 2.1, ÔÒÅÂÕÅÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÒÁÂÏÔÙ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÊ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÊ
ÎÁÂÏÒ ÔÅÏÒÅÍ ÉÚ ÎÁÞÁÌØÎÏÇÏ ËÕÒÓÁ ÁÎÁÌÉÚÁ. íÙ ÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÚÎÁÅÔ
ÜÔÉ ÔÅÏÒÅÍÙ.
Ô. Å. ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ A + B ÉÓÔÉÎÎÏ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÉÓÔÉÎÎÏ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÏ ÉÚ
×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÊ A, B
Ô. Å. ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÅ AB ÉÓÔÉÎÎÏ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÉÓÔÉÎÎÙ ÏÂÁ ×ÙÓËÁÚÙ×ÁÎÉÑ
A, B
ÚÄÅÓØ ÉÍÅÅÔÓÑ × ×ÉÄÕ ÏÂÙÞÎÏÅ, ÎÅ ÉÓËÌÀÞÁÀÝÅÅ €ÉÌɁ: ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÄÏÌÖÅÎ ÒÉÎÉÍÁÔØ
ÚÎÁÞÅÎÉÅ 1 ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ ÉÚ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÒÁ×ÎÁ 1
ÉÌÉ ÒÉ×ÑÚÁÎÎÙÈ Ë ËÁËÏÊ-ÌÉÂÏ ÄÒÕÇÏÊ ÏÚÉ ÉÏÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÓÞÉÓÌÅÎÉÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, Ä×ÏÉÞÎÙÈ
1
2
3
4
23
2.2. áÂÅÌÅ×Ù ÇÒÕÙ
íÎÏÖÅÓÔ×Ï A
ÏÅÒÁ ÉÅÊ A × A - A, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÊ ÅÒ×ÙÍ ÞÅÔÙÒ£Í ÁËÓÉÏÍÁÍ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÉÚ ÏÒ. 2.1, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÓÑËÏÅ ÏÌÅ F Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÂÅÌÅ×ÏÊ ÇÒÕÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÅÒÁ ÉÉ ÓÌÏÖÅÎÉÑ. üÔÁ ÇÒÕÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
.
þÅÔÙÒÅ ÁËÓÉÏÍÙ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÉÚ ÏÒ. 2.1 ÕÔ×ÅÒÖÄÁÀÔ, ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÏÌÑ F Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÂÅÌÅ×ÏÊ ÇÒÕÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÅÒÁ ÉÉ
ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ. üÔÕ ÁÂÅÌÅ×Õ ÇÒÕÕ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
É
∗
ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ F . òÏÌØ ÎÕÌÑ ÉÚ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÙ × ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÅ
ÉÓÏÌÎÑÅÔ ÅÄÉÎÉ Á. ÷ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏÊ ÁÂÅÌÅ×ÏÊ ÇÒÕÅ ÔÁËÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. íÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÙÍ ÁÎÁÌÏÇÏÍ ÅÒÅÈÏÄÁ Ë ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÍÕ
ÜÌÅÍÅÎÔÕ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÒÅÈÏÄ Ë ÏÂÒÁÔÎÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ.
áÂÅÌÅ×Ù ÇÒÕÙ ÞÁÓÔÏ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ × ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ×ÎÅ ËÁËÏÇÏ-ÂÙ ÎÉ ÂÙÌÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ Ë ÏÌÑÍ. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ Z É ËÌÁÓÓÙ ×ÙÞÅÔÏ× Z=(n) Ï ÍÏÄÕÌÀ
n Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÁÂÅÌÅ×ÙÍÉ ÇÒÕÁÍÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÅÒÁ ÉÉ ÓÌÏÖÅÎÉÑ.
2.2.1. ðÒÉÍÅÒ: ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ×ÅËÔÏÒÙ. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ
ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÏÇÏ ÏÔÒÅÚËÁ (ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ
ÉÌÉ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å) Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÀÝÅÍÕ ÏÔÒÅÚËÉ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ ÄÒÕÇ ÉÚ ÄÒÕÇÁ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍ ÅÒÅÎÏÓÏÍ. îÕÌÅ×ÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ ÎÁÚÏ×£Í ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ (ÜÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ, ÉÍÅÀÝÉÊ
ÎÕÌÅ×ÕÀ ÄÌÉÎÕ É ÎÅ ÉÍÅÀÝÉÊ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ). óÌÏÖÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ
ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÎÁÄÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ×ÅËÔÏÒÏ× a É b ÔÁË, ÞÔÏÂÙ
ËÏÎÅ a ÓÏ×ÁÌ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ b, É ÏÂßÑ×ÉÔØ a + b ÒÁ×ÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÕ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ a É ËÏÎ ÏÍ × ËÏÎ Å b . ëÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔØ É ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔØ ÜÔÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ
×ÉÄÎÁ ÉÚ ÒÉÓ. ÒÉÓ. 2⋄1
2.2. áÂÅÌÅ×Ù ÇÒÕÙ.
Ó ÏÄÎÏÊ
ÁÂÅÌÅ-
×ÏÊ ÇÒÕÏÊ
ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÏÊ ÏÌÑ
ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ
ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÏÊ ÏÌÑ
ÎÅÊÔÒÁÌØÎÙÍ
ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅ-
ÓËÉÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ
b
a
a+
b=
b
2⋄1.
b+
b
a
a
a
(a + b) +
a+
b+
b
c
c
c = a + (b
+ c)
ëÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔØ É ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔØ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÏ×.
îÕÌÅ×ÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÕÌÅ×ÏÊ ×ÅËÔÏÒ. ÷ÅËÔÏÒ −a , ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÊ
×ÅËÔÏÒÕ a, ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ×ÅËÔÏÒÁ a ÉÚÍÅÎÅÎÉÅÍ ÅÇÏ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÎÁ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÅ.
2.2.2. æÏÒÍÁÌØÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÅÒÁ ÉÉ × ÁÂÅÌÅ×ÏÊ ÇÒÕÅ. ðÕÓÔØ A |
ÁÂÅÌÅ×Á ÇÒÕÁ, ÏÅÒÁ ÉÀ × ËÏÔÏÒÏÊ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ ÚÎÁËÏÍ €+ (ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÎÁÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÒÅËÏÍÅÎÄÕÅÔÓÑ ÒÏÇÏ×ÏÒÉÔØ ×Ó£ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÅ É ÎÁ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÍ ÑÚÙËÅ) . éÚ ÁËÓÉÏÍ (2-1){(2-4) ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÒÑÄ ÄÒÕÇÉÈ
ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏ ÏÖÉÄÁÅÍÙÈ Ó×ÏÊÓÔ× ÓÌÏÖÅÎÉÑ.
îÁÒÉÍÅÒ, ÎÅÊÔÒÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÅÎ, ÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ
ÔÁËÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× 01 É 02 ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á 01 = 01 +02 = 02 (ÅÒ×ÏÅ | × ÓÉÌÕ
24
§2. þÉÓÌÏ×ÙÅ ÏÌÑ É ËÏÌØ Á
ÔÏÇÏ, ÔÏ 02 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÕÌÅ×ÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ, ×ÔÏÒÏÅ | × ÓÉÌÕ ÔÏÇÏ, ÔÏ ÎÕÌÅ×ÙÍ
ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ 01).
üÌÅÍÅÎÔ −a, ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÊ Ë a, ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï a ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ (ÞÅÍ É
ÏÒÁ×ÄÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÇÏ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ), ÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÔÁËÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
−a É −a′ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
−a = −a + 0 = −a + (a + (−a′ )) = (−a + a) + (−a)′ = 0 + (−a)′ = −a′ :
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ a ∈ A ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï −(−a) = a, É × ÌÀÂÏÊ
ÁÂÅÌÅ×ÏÊ ÇÒÕÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÏÅÒÁ ÉÑ
a − b def
= a + (−b) :
(2-12)
2.2.3. æÏÒÍÁÌØÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÅÒÁ ÉÊ × ÏÌÅ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÒÅÄÙÄÕÝÅÍÕ,
ÎÕÌÅ×ÏÊ É ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÌÀÂÏÇÏ ÏÌÑ F ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ Ó×ÏÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ
ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ, Á ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ −a É ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ a−1 ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ a. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÎÁÒÑÄÕ ÓÏ ÓÌÏÖÅÎÉÅÍ, ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ
É ×ÙÞÉÔÁÎÉÅÍ (2-12) × ÏÌÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÏÅÒÁ ÉÑ
ÎÁ ÌÀÂÙÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ
ÜÌÅÍÅÎÔÙ b
(2-13)
a=b def
= ab−1 :
äÁÌÅÅ, ÉÚ ÁËÓÉÏÍÙ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ (2-9) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ 0·Á = 0 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ
a ∈ F. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ Á · 0 ÞÅÒÅÚ b. ÏÇÄÁ
b + a = a · 0 + a = a · 0 + a · 1 = a(0 + 1) = a · 1 = a ;
É, ÒÉÂÁ×ÌÑÑ Ë ÏÂÅÉÍ ÞÁÓÔÑÍ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (−Á), ÏÌÕÞÁÅÍ b = 0.
éÚ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÓÌÅÄÕÅÔ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ a ∈ F ÎÁ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÊ ÅÄÉÎÉ Å ÜÌÅÍÅÎÔ −1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔ,
ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÊ Ë a, Ô. Å. (−1) · a = (−a). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ,
(−1) · a + a = (−1) · a + 1 · a = ((−1) + 1) · a = 0 · a = 0 ;
ÏÔËÕÄÁ (−1) · a = −a.
áËÓÉÏÍÁ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÓÔÉ (2-10) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÀ F 6= {0} , ÏÓËÏÌØËÕ ÒÉ 0 = 1 ÍÙ ÉÍÅÌÉ ÂÙ a = a · 1 = a · 0 = 0 ∀ a ∈ F .
2.3. ðÏÌÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ C ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ R2 Ó ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ
OXY Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÔÏÞËÅ ï = (0; 0) É ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÍÉ ÏÓÑÍÉ OX É OY , ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÙÍÉ ×ÄÏÌØ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× (1; 0) É (0; 1) (ÓÍ. ÒÉÓ. 2⋄2).
ÏÞËÉ z ÜÔÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
. ëÏÏÒÄÉÎÁÔÙ
(x; y) ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ z ∈ C ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ Re (z) = x, Im(z) = y É
ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
É
ÞÁÓÔÑÍÉ ÞÉÓÌÁ z. òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÔ z ÄÏ
p
ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ |z| = x2 + y2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ z .
×ÙÞÉÔÁÎÉÑ
ÄÅÌÅÎÉÑ
ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ
ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ
ÍÎÉÍÏÊ
ÍÏÄÕÌÅÍ
25
2.3. ðÏÌÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
éÍÅÅÔÓÑ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ
É ×ÅËÔÏÒÁÍÉ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ËÁÖÄÏÍÕ ËÏÍÌÅËÓÎÏÍÕ ÞÉÓÌÕ z ∈ C
×ÅËÔÏÒ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × O É ËÏÎ ÏÍ × z, ÏÂÙÞÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ
ÞÉÓÌÁ
z . ÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÍÙ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÄÅÌÁÔØ ÒÁÚÎÉ Ù ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ É ÉÈ ÒÁÄÉÕÓ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÑ ÞÅÒÅÚ z ËÁË ÔÏÞËÕ, ÔÁË É Å£ ÒÁÄÉÕÓ ×ÅËÔÏÒ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÔÏÞËÅ
O = (0; 0) ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÎÕÌÅ×ÏÊ ×ÅËÔÏÒ 0, Á ÔÏÞËÁÍ (1; 0) É (0; 1) | ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ
ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÓÉÍ×ÏÌÁÍÉ 1 É i ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. òÁÄÉÕÓ ×ÅËÔÏÒ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ z ∈ C Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (x; y) ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ
ÜÔÉ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ z = x · 1 + y · i.
ÒÁÄÉÕÓ-×ÅËÔÏÒÏÍ
Y
y = Im(z)
S 1 = {(x, y) | x2 + y 2 = 1}
z =x·1+y·i
p
|z| = x2 + y 2
i
Arg(z) = α + 2πk , k ∈ Z
α
O
z −1
−α
z −1 =
2⋄2.
1
x = Re(z)
X
1
, Arg z −1 = −α + 2πk , k ∈ Z
|z|
ëÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ z = x · 1 + y · i.
íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ # ∈ R, ÔÁËÉÈ ÞÔÏ Ï×ÏÒÏÔ ÌÏÓËÏÓÔÉ C ×ÏËÒÕÇ ÔÏÞËÉ 0
ÎÁ ÕÇÏÌ # ÓÏ×ÍÅÝÁÅÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ÌÕÞ OX Ó ÌÕÞÏÍ, ÉÄÕÝÉÍ × ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ
ÒÁÄÉÕÓ ×ÅËÔÏÒÁ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÔÏÞËÉ z ∈ C, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÞÉÓÌÁ z É
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ Arg (z). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ (ÓÒ. Ó n◦ 1.6.2),
Arg (z) = {' + 2k | k ∈ Z} ⊂ R ;
ÇÄÅ ' | ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÄÌÉÎÁ ÄÕÇÉ1 , ÉÄÕÝÅÊ Ï ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÉÚ
ÔÏÞËÉ (1; 0) × ÔÏÞËÕ z=|z|. ÷ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÒÁÄÉÕÓ ×ÅËÔÏÒÁ z ÞÅÒÅÚ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ
1 É i ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÉÓÁÔØ ËÁË z = |z|·( os '·1+sin '·i) Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ # ∈ Arg (z),
ÏÓËÏÌØËÕ x = Re (z) = |z| · os ', y = Im(z) = |z| · sin ' .
2.3.1. óÌÏÖÅÎÉÅ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ. óÌÏÖÅÎÉÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ
ËÁË ÓÌÏÖÅÎÉÅ ÒÁÄÉÕÓ-×ÅËÔÏÒÏ×: z1 + z2 ÅÓÔØ ÔÏÞËÁ, ÒÁÄÉÕÓ ×ÅËÔÏÒ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁ×ÅÎ
ÓÕÍÍÅ ÒÁÄÉÕÓ-×ÅËÔÏÒÏ× ÔÏÞÅË z1 É z2. ÷ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ÜÔÏ ÏÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
(x1 · 1 + y1 · i) + (x2 · 1 + y2 · i) = (x1 + x2 ) · 1 + (y1 + y2) · i :
ÁÒÇÕÍÅÎÔÏÍ
ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÔÁËÉÈ ÄÕÇ ÉÍÅÅÔÓÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ, ÎÏ ×ÓÅ ÏÎÉ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ
ÎÁ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ ÏÂÏÒÏÔÏ×; ÜÉÔÅÔ €ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÁс ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÉÎÕ ÓÌÅÄÕÅÔ ÂÒÁÔØ ÓÏ
ÚÎÁËÏÍ €+, ÅÓÌÉ Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ, É ÓÏ ÚÎÁËÏÍ €−, ÅÓÌÉ Ï
ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÅ
1
26
§2. þÉÓÌÏ×ÙÅ ÏÌÑ É ËÏÌØ Á
ëÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ × n◦ 2.2.1, ÜÔÁ ÏÅÒÁ ÉÑ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÞÅÔÙÒ£Í ÁËÓÉÏÍÁÍ ÁÂÅÌÅ×ÏÊ ÇÒÕÙ.
ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ z1 É z2 ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÞÉÓÌÏ, ÍÏÄÕÌØ
ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁ×ÅÎ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÍÏÄÕÌÅÊ, Á ÁÒÇÕÍÅÎÔ | ÓÕÍÍÅ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ:
def
|z1 z2 | = |z1 | · |z2 |
Arg (z1z2) def
= Arg (z1) + Arg (z2) = {#1 + #2 | #1 ∈ Arg (z1) ; #2 ∈ Arg (z2)}
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ 0 · z = 0 ∀ z ∈ C .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 2.4. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ×ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ 'i ∈ Arg (zi )
{'1 + 2k | k ∈ Z} + {'2 + 2k | k ∈ Z} = {('1 + '2 ) + 2k | k ∈ Z} :
õÍÎÏÖÅÎÉÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏ É ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏ. åÄÉÎÉÞÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÄÌÑ ÎÅÇÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ÎÁÒÁ×ÌÑÀÝÉÊ ×ÅËÔÏÒ ÏÓÉ
OX , Ô. Å. ÞÉÓÌÏ 1 ∈ C. ïÂÒÁÔÎÙÍ Ë ÎÅÎÕÌÅ×ÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ z Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏ z −1 Ó
|z −1 | = 1=|z | ; Arg (z −1 ) = −Arg (z )
(2-14)
(ÓÍ. ÒÉÓ. 2⋄2). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÕÀ ÇÒÕÕ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ.
ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ a ∈ C
z 7→az C
a : C
1 ÌÏÓËÏÓÔÉ C ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÁÞÁÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ
ÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ ÕÇÏÌ Arg (a) Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ |a|. ÷ÏÚÎÉËÁÀÝÁÑ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ
ÂÉÅË ÉÑ ÍÅÖÄÕ ÏÔÌÉÞÎÙÍÉ ÏÔ ÎÕÌÑ ÔÏÞËÁÍÉ a ∈ C É Ï×ÏÒÏÔÎÙÍÉ ÇÏÍÏÔÅÔÉÑÍÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÁ ÉÍÅÀÝÉÍÉÓÑ × ÜÔÉÈ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÙÈ ÇÒÕÁÈ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑÍÉ: ËÏÍÏÚÉ ÉÑ Ï×ÏÒÏÔÎÙÈ ÇÏÍÏÔÅÔÉÊ a
É b ÜÔÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ Ï×ÏÒÏÔÎÁÑ ÇÏÍÏÔÅÔÉÑ ab Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ |a||b| ÎÁ ÕÇÏÌ
Arg (a) + Arg (b).
Ï×ÏÒÏÔÎÕÀ ÇÏÍÏÔÅÔÉÀ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 2.1
ëÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÏÌÅ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. éÚ ×ÓÅÈ Ó×ÏÊÓÔ× ÏÌÑ ÎÁÍ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÔÏÌØËÏ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔØ (2-9). îÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÆÏÒÍÕÌÁ a(b + ) = ab + a ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ËÁË a(b + ) = a(b) + a( ) É ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ Ï×ÏÒÏÔÎÙÅ ÇÏÍÏÔÅÔÉÉ
ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙ ÓÏ ÓÌÏÖÅÎÉÅÍ ×ÅËÔÏÒÏ×, ÉÌÉ | ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ | ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ
Ï×ÏÒÏÔÎÁÑ ÇÏÍÏÔÅÔÉÑ a ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍ × ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍ. îÏ ÜÔÏ
ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÔÁË, ÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÑËÉÊ Ï×ÏÒÏÔ É ×ÓÑËÁÑ ÇÏÍÏÔÅÔÉÑ ÅÒÅ×ÏÄÑÔ
ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍ × ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍ.
ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ Ï×ÏÒÏÔÎÏÊ ÇÏÍÏÔÅÔÉÅÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÏÞËÉ O ÎÁ ÕÇÏÌ Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ % > 0 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ Ï×ÏÒÏÔÁ ÎÁ ÕÇÏÌ ×ÏËÒÕÇ ÔÏÞËÉ O É ÒÁÓÔÑÖÅÎÉÑ × %
ÒÁÚ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ O (ÏÓËÏÌØËÕ ÒÁÓÔÑÖÅÎÉÑ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ Ó Ï×ÏÒÏÔÁÍÉ, ×Ó£ ÒÁ×ÎÏ, × ËÁËÏÍ
ÏÒÑÄËÅ ÜÔÁ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ)
1
27
2.3. ðÏÌÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
2.3.2. áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. ðÒÅÖÄÅ ×ÓÅ-
ÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÓØ OX × ÏÌÅ C ÍÏÖÎÏ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÔØ Ó ÏÌÅÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ
ÞÉÓÅÌ R | ÓÌÏÖÅÎÉÅ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ ÏÓÉ OX , ×
ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ÓÌÏÖÅÎÉÅÍ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÞÉÓÅÌ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ
ÒÑÍÏÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ z = x · 1 + y · i ÒÁÄÉÕÓ-×ÅËÔÏÒÁ z Ï ÂÁÚÉÓÎÙÍ
×ÅËÔÏÒÁÍ 1 = (1; 0) É i = (0; 1) Ó ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ x = Re (z) É
y = Im(z ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
C | ÓÌÏÖÅÎÉÅ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ×
ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ ÍÏÇÕÔ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØÓÑ ËÁË ÓÌÏÖÅÎÉÅ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ
ÞÉÓÅÌ.
óÌÅÄÕÑ ÏÂÙÞÎÏÊ ÔÒÁÄÉ ÉÉ ÏÕÓËÁÔØ ÚÎÁËÉ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ
ÅÄÉÎÉ Õ, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÄÁÌÅÅ ÓÏËÒÁÝÁÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ z = x · 1+ y · i ÄÏ z = x + iy. ðÏÌØÚÕÑÓØ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔØÀ É ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ i2 = −1, ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ
ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ z1 = x1 + iy1 É z2 = x2 + iy2 ×
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ:
(2-15)
z1 z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ) :
ïÂÒÁÔÎÏÅ Ë ÞÉÓÌÕ z = x + iy ÞÉÓÌÏ z−1 ÔÁË ÖÅ ÌÅÇËÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ x É y:
x − iy
x − iy
iy
x
1 =
z −1 =
− 2 ;
=
=
(2-16)
2
2
2
x + iy (x + iy)(x − iy) x + y
|z |
|z |
ÏÔËÕÄÁ Re (z−1) = Re (z)=|z|2 É Im (z−1) = −Im(z)=|z|2.
= x − iy ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
Ë ÞÉÓÌÕ z = x + iy.
þÉÓÌÏ z def
÷ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÍÏÖÎÏ
ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ z−1 = z=|z|2. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ, ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ
×ÅÒÎÙÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ × ÏÌÅ
ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÍ
C
z 7→z -
C
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÓÉÍÍÅÔÒÉÀ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÏÓÉ OX . ó ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎ×ÏÌÀÔÉ×ÎÙÍ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÏÌÑ C, Ô. Å. ∀ z ∈ C z = z É ∀ z1; z2 ∈ C
z1 + z 2 = z 1 + z 2 , z1 z2 = z 1 z 2 .
2.3.3. ðÒÉÍÅÒ: ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÑ. ëÁÚÕÉÓÔÉÞÅÓËÏÅ ÉÚÏÂÉÌÉÅ ÛËÏÌØÎÙÈ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÏÒÍÕÌ Ï ÂÏÌØÛÅÊ ÞÁÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÛØ ÉÚÏÝÒ£ÎÎÏÊ ÚÁÉÓØÀ
×ÏÌÎÅ ÚÁÕÒÑÄÎÙÈ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ Ó ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ ÏÔ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ z, ×
ËÏÔÏÒÙÅ ÏÄÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÞÉÓÌÁ, ÌÅÖÁÝÉÅ ÎÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ, Ë ÒÉÍÅÒÕ, ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ Ä×Á ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÌÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ
ÄÌÉÎÙ:
z1 = os '1 + i sin '1 ; z2 = os '2 + i sin '2 ;
÷ÙÞÉÓÌÑÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ z1z2 Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÉÚ n◦ 2.3.1 É Ï ÆÏÒÍÕÌÅ (2-15),
ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
os('1 + '2) + isin('1 + '2) = z1z2 = = os '1 os '2 − sin '1 sin '2 + i os '1 sin '2 + sin '1 os '2 ;
28
§2. þÉÓÌÏ×ÙÅ ÏÌÑ É ËÏÌØ Á
ËÏÔÏÒÏÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÁÒÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ× ÎÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ
os('1 + '2) = os '1 os '2 − sin '1 sin '2
sin('1 + '2) = os '1 sin '2 + sin '1 os '2
ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÍÙ
ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×.
÷ÏÔ ÅÝ£ ÏÄÉÎ ÒÉÍÅÒ. ðÕÓÔØ z = os ' + i sin '. óÏÇÌÁÓÎÏ ÄÁÎÎÏÍÕ × n◦ 2.3.1
ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ,
z n = os(n') + i sin(n') :
ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÒÁÓËÒÙ×ÁÑ ÓËÏÂËÉ × ( os ' + i sin ')n Ï ÆÏÒÍÕÌÅ (1-9) ÓÏ
ÓÔÒ. 10, ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
os(n') + i sin(
n') = ( os ' + i sin ')n =
n
n
n
n
n
−1
−2
2
= os ' + i 1 os ' sin ' − 2 os ' sin ' − i n3 osn−3' sin3' + · · · =
ÄÏËÁÚÁÌÉ
=
n
n
n
os
os sin + 4 os sin
+
0
2
n
n
n
−1
−3
3
−5
5
n
n
n
+ i · 1 os ' sin ' − 3 os ' sin ' + 5 os ' sin ' − · · ·
n' −
ÚÁËÌÀÞÁÀÝÅÅ × ÓÅÂÅ ÓÒÁÚÕ
n
×ÓÅ
2'
n−4 '
4' − · · ·
ÍÙÓÌÉÍÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ËÒÁÔÎÙÈ ÕÇÌÏ×:
n
sin
+
os
osn−4' sin4' − · · ·
2
4
n
n
−1
−3
3
n
n
sin(n') = 1 os ' sin ' − 3 os ' sin ' + n5 osn−5' sin5' − · · ·
os(n') = 0 os
n' −
n
n−2 '
n−2 '
2'
îÁÒÉÍÅÒ, os 3' = os3 ' − 3 os ' · sin2 ' = 4 os3 ' − 3 os2 ' .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 2.5. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ sin(2=5) É
ÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.
os(2=5) ÞÅÒÅÚ ÒÁÄÉËÁÌÙ ÏÔ ÒÁ ÉÏÎÁÌØ-
2.3.4. ðÒÉÍÅÒ: ËÏÒÎÉ ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ù. òÅÛÉÍ × ÏÌÅ C ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ z n = 1.
óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÍÏÄÕÌÉ ÌÅ×ÏÊ É ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ, ÏÌÕÞÁÅÍ |zn| = |z|n = 1, ÏÔËÕÄÁ
|z | = 1 . óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÙ ÌÅ×ÏÊ É ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÏÌÕÞÁÅÍ
nArg (z ) = Arg (1) = {2k | k ∈ Z} :
ðÏÓËÏÌØËÕ n' ∈ {2k | k ∈ Z} ⇐⇒ ' ∈ {2k=n | k ∈ Z}, ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ Ï ÍÏÄÕÌÀ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÑ
ÅÌÙÈ ËÒÁÔÎÙÈ 2, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ ÉÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ ÎÁ n ÒÅ×ÒÁÝÁÀÔÓÑ × ËÌÁÓÓ {2k | k ∈ Z}, | ÜÔÏ ËÌÁÓÓÙ n ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÕÇÌÏ×
2k=n Ó 0 ⩽ k ⩽ n − 1 . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ zn = 1 ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ n ËÏÒÎÅÊ
k = os(2k=n) + i sin(2k=n) (ÇÄÅ k = 0; 1; : : : ; (n − 1)) ;
29
2.3. ðÏÌÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
ËÏÔÏÒÙÅ ÒÁÓÏÌÁÇÁÀÔÓÑ × ×ÅÒÛÉÎÁÈ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ n-ÕÇÏÌØÎÉËÁ, ×ÉÓÁÎÎÏÇÏ ×
ÅÄÉÎÉÞÎÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÔÁË, ÞÔÏ ×ÅÒÛÉÎÁ 0 ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÔÏÞËÅ 1 (ÓÍ. ÒÉÓ. 2⋄3),
É ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÁÂÅÌÅ×Õ ÇÒÕÕ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÅÒÁ ÉÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ. üÔÁ ÇÒÕÁ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ n É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
n
ÅÄÉÎÉ Ù (ÆÁËÔÉ◦
ÞÅÓËÉ ÍÙ ÕÖÅ ×ÓÔÒÅÞÁÌÉÓØ Ó ÎÅÊ × n 1.6.2).
ÇÒÕÏÊ ËÏÒÎÅÊ
-ÔÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÉÚ
Y
z1 = cos
2π
5
z2 = z12 = z3−1
+ i sin
2π
5
z0 = z15 = 1
X
O
z3 = z13 = z2−1
z4 = z14 = z1−1
Y
z2 = z12 = z4−1
z2 = z13 = −1
π
3
+ i sin
π
3
z0 = z16 = 1
X
O
z4 = z14 = z2−1
2⋄3.
z1 = cos
z5 = z15 = z1−1
ëÏÒÎÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ z 5 = 1 É z 6 = 1.
ëÏÒÅÎØ ∈ n ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÓÔÅÅÎÉ n ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ù,
ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÇÒÕÙ n ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ k Ó k ∈ N.
îÁÒÉÍÅÒ, ËÏÒÅÎØ Ó ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏÍ
1 = os(2=n) + i sin(2=n)
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÍ. îÏ ÅÓÔØ É ÄÒÕÇÉÅ: ÓËÁÖÅÍ, ÎÁ ÒÉÓ. 2⋄3 ×ÓÅ ÞÅÔÙÒÅ
ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ 1 ËÏÒÎÑ ÑÔÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ù −Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÍÉ, Á ×
1
ÇÒÕÅ 6 ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ 1 É 5 = 1 (Á ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ | ÎÅÔ).
ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÍ ËÏÒÎÅÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 2.6. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÏÒÅÎØ 1k = os(2k=n) + i sin(2k=n) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÎÏÄ(k; n) = 1 .
íÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÏ ÓÔÁÒÛÉÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ ÅÄÉÎÉ Á
Y
(z − z1k ) ;
æn(z ) =
1⩽k<n :
(2-17)
ÎÏÄ(k;n)=1
ËÏÒÎÑÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÅ ËÏÒÎÉ n-ÔÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÉÚ 1 É ÔÏÌØËÏ
ÏÎÉ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ n-ÔÙÍ
(ÉÌÉ
) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ. ÁË,
ËÒÕÇÏ×ÙÍ
ÉËÌÏÔÏÍÉÞÅÓËÉÍ
30
§2. þÉÓÌÏ×ÙÅ ÏÌÑ É ËÏÌØ Á
ÑÔÙÊ É ÛÅÓÔÏÊ ËÒÕÇÏ×ÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÒÁ×ÎÙ
æ5 (z ) = (z − z1 )(z − z2 )(z − z3 )(z − z4 ) = z 4 + z 3 + z 2 + z + 1
æ6 (z ) = (z − z1 )(z − z4 ) = z 2 − z + 1 :
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 2.7∗ . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÅ ËÒÕÇÏ×ÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ æn (z ) ÉÍÅÀÔ
ÅÌÙÅ
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ É ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙ ÎÁÄ Q (Ô. Å. ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÅÊ ÓÔÅÅÎÉ Ó ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ).
2.3.5. ðÒÉÍÅÒ: ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ zn = a. ëÏÒÎÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ z n = a ÜÔÏ ÞÉÓÌÁ
z = |z | · ( os ' + i sin ') Ó |z |n = |a|, Á n' ∈ Arg (a). ðÒÉ a = |a| · ( os
ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ n ÔÁËÉÈ ÞÉÓÅÌ
p
zk = n |a| ·
+ i sin ) 6= 0
os ( + 2k)=n)+i · sin ( + 2k)=n)
Ó k = 0; 1; : : : ; (n − 1) . ïÎÉ ÒÁÓÏÌÁÇÁÀÔÓÑ
p × ×ÅÒÛÉÎÁÈ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ n-ÕÇÏÌØÎÉËÁ, ×ÉÓÁÎÎÏÇÏ × ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÒÁÄÉÕÓÁ n |a| Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÕÌÅ ÔÁË, ÞÔÏ ÒÁÄÉÕÓ×ÅËÔÏÒ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ ÒÁÓÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÏÄ ÕÇÌÏÍ =n Ë ÏÓÉ OX .
2.4. ëÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÅ ËÏÌØ Á. íÎÏÖÅÓÔ×Ï K Ó Ä×ÕÍÑ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÜÔÉ ÜÔÉ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ×ÓÅÍÉ
1
Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÉÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÌÑ ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ Ó×ÏÊÓÔ×Á (2-8) ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ
ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ.
åÓÌÉ, ËÒÏÍÅ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ, ÉÚ ÓÉÓËÁ ÁËÓÉÏÍ ÏÌÑ ÉÓËÌÀÞÁÀÔÓÑ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÅÄÉÎÉ Ù (2-7) É ÕÓÌÏ×ÉÅ 0 6= 1, ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
K Ó Ä×ÕÍÑ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÍÉ ÏÓÔÁ×ÛÉÍÓÑ ÁËÓÉÏÍÁÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÒÏÓÔÏ
.
ðÒÉÍÅÒÁÍÉ ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ ÏÌÅÊ ËÏÌÅ Ó ÅÄÉÎÉ ÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÌØ Ï ÅÌÙÈ
ÞÉÓÅÌ Z É ËÏÌØ Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÍ ËÏÌØ Å Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ. ðÒÉÍÅÒÙ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÈ ËÏÌÅ ÂÅÚ ÅÄÉÎÉ Ù ÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ Þ£ÔÎÙÅ ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ Ó Þ£ÔÎÙÍÉ ÅÌÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ,
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÂÅÚ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÞÌÅÎÁ Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ × ÌÀÂÏÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÍ
ËÏÌØ Å É Ô. .
ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ
ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 2.8. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÅ × n◦ 2.2.3 ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ ÉÚ ÁËÓÉÏÍ
ÏÌÑ ÏÓÔÁÀÔÓÑ × ÓÉÌÅ × ÌÀÂÏÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÍ ËÏÌØ Å Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ.
2.4.1. ðÒÉÍÅÒ: ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ × C ÏÄËÏÌØ Ï, ÓÏÓÔÏ-
ÑÝÅÅ ÉÚ ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ Ó ÅÌÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ
[ ℄ def
= {z = x + iy | x; y ∈ Z} :
ïÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÌØ ÏÍ
É ÞÁÓÔÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ × ÁÒÉÆÍÅÔÉËÅ. îÁÒÉÍÅÒ, ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÁÑ ÚÁÄÁÞÁ Ï ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ×
Zi
ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ
1
ÓÍ. ÏÒ. 2.1 ÎÁ ÓÔÒ. 21
ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ
31
2.5. äÅÌÉÍÏÓÔØ
×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ Ä×ÕÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÏÑÓÎÑÅÔÓÑ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅÍ ËÏÌØ Á Z ÄÏ ËÏÌØ Á Z[i℄. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, × ËÏÌØ Å ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÞÉÓÅÌ x2 + y2 =
(x + iy)(x − iy). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÏÒÏÓ Ï ÒÁÚÒÅÛÉÍÏÓÔÉ × ËÏÌØ Å Z ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
x2 + y2 = n2 ÎÁ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ x; y ∈ Z ÒÁ×ÎÏÓÉÌÅÎ ×ÏÒÏÓÕ Ï ÒÁÚÒÅÛÉÍÏÓÔÉ ×
ËÏÌØ Å Z[i℄ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ n = z · z ÎÁ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ z ∈ Z[i℄ . ÷ ÔÁËÏÊ ÏÓÔÁÎÏ×ËÅ
ÓÒÁÚÕ ÖÅ ×ÉÄÎÏ, Ë ÒÉÍÅÒÕ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÞÉÓÌÁ m1 É m2 ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ
ÓÕÍÍÙ Ä×ÕÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×
m1 = a21 + b21 = (a1 + ib1 )(a1 − ib1 ) = z1 z 1
m2 = a22 + b22 = (a2 + ib2 )(a2 − ib2 ) = z2 z 2
ÔÏ ÉÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ m = m1m2 ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÍÍÏÊ Ä×ÕÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×:
m = z1 z2 · z1 z2 = |z1 z2 |2 = (a1 b1 − a2 b2 )2 + (a1 b2 + a2 b1 )2 :
üÔÏ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÅ × ÓÏÞÅÔÁÎÉÉ Ó ÔÅÏÒÅÍÏÊ Ï ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ × ËÏÌØ Å Z[i℄ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ Ó×ÅÓÔÉ ÉÓÈÏÄÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ Ë ÚÁÄÁÞÅ Ï
ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÏÓÔÉ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ. íÙ ÅÝ£ ×ÅÒΣÍÓÑ Ë ÜÔÏÍÕ1 × n◦ 6.5.4.
2.5. äÅÌÉÍÏÓÔØ. ïÓÎÏ×ÎÙÍ ÏÔÌÉÞÉÅÍ ËÏÌÅ ÏÔ ÏÌÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÏÌØ Á ÏÂÒÁÔÎÙÈ Ë ÎÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ. üÌÅÍÅÎÔ a ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÇÏ ËÏÌØ Á K ÅÄÉÎÉ ÅÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ × ÜÔÏÍ ËÏÌØ Å ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ a−1, ÞÔÏ a−1a = 1.
÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÜÌÅÍÅÎÔ a ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
.
îÁÒÉÍÅÒ, × ËÏÌØ Å Z ÏÂÒÁÔÉÍÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ 1 É −1. ÷
ËÏÌØ Å Q[x℄ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Ó ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÂÒÁÔÉÍÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ (ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÔÅÅÎÉ ÎÕÌØ).
ÏÂÒÁÔÉÍÙÍ
ÎÅÏÂÒÁÔÉÍÙÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 2.9. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÔÉÍÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ËÏÌØ Á Z[i℄ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
ÞÅÔÙÒÅ ÞÉÓÌÁ: ±1 É ±i .
íÅÖÄÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÇÏ ËÏÌØ Á ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÅ
. çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔ a
ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔ
b, ÅÓÌÉ × ËÏÌØ Å ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔ q, ÔÁËÏÊ ÞÔÏ a = bq. üÔÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ËÁË
b|a (ÞÉÔÁÅÔÓÑ €b ÄÅÌÉÔ a) ÉÌÉ ËÁË a ... b (ÞÉÔÁÅÔÓÑ €a ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ b). ïÔÎÏÛÅÎÉÅ
ÄÅÌÉÍÏÓÔÉ ÔÅÓÎÏ Ó×ÑÚÁÎÏ Ó ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ.
2.5.1. ðÒÉÍÅÒ: ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ax + by = k É îïä × ËÏÌØ Å Z. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ
ËÁËÉÅ-ÎÉÂÕÄØ ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ a É b É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ
(a; b) def
= {ax + by | x; y ∈ Z}
(2-18)
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÈ × ×ÉÄÅ ax + by Ó ÅÌÙÍÉ x, y. üÔÏ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÂÒÁÚÕÅÔ × Z ÏÄËÏÌØ Ï, É ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÙÍ Ó×ÏÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÓÏÄÅÒÖÉÔ É ×ÓÅ ÅÇÏ ËÒÁÔÎÙÅ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ ÉÚ (a; b) ÎÁ ÅÌÏ ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ
ËÁÖÄÙÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÞÉÓÅÌ a É b, Á ÓÁÍÉ a É b ÔÏÖÅ ×ÈÏÄÑÔ × (a; b).
ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÄÅÌÉÍÏÓÔÉ
ÄÅÌÉÔÓÑ
ÜÔÁ ÚÁÄÁÞÁ É ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÒÕÇÉÈ ÉÚÑÝÎÙÈ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ Ó ÇÁÕÓÓÏ×ÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ ÉÍÅÀÔÓÑ
ÔÁËÖÅ × ËÎÉÇÅ:
ëÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÅ ××ÅÄÅÎÉÅ × ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÕÀ ÔÅÏÒÉÀ ÞÉÓÅÌ.
í., €íÉҁ, 1987 (ÉÌÉ ÌÀÂÏÅ ÄÒÕÇÏÅ ÉÚÄÁÎÉÅ)
1
ë. áÊÜÒÌÅÎÄ, í. òÏÕÚÅÎ.
32
§2. þÉÓÌÏ×ÙÅ ÏÌÑ É ËÏÌØ Á
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ d ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ × (a; b). ïÓÔÁÔÏË ÏÔ
ÄÅÌÅÎÉÑ ÌÀÂÏÇÏ ÞÉÓÌÁ z ∈ (a; b) ÎÁ d ÌÅÖÉÔ × ËÏÌØ Å (a; b), ÏÓËÏÌØËÕ ÏÎ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ z − kd, Á z É kd ÌÅÖÁÔ × ËÏÌØ Å (a; b). ÁË ËÁË ÜÔÏÔ ÏÓÔÁÔÏË
ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÅ d, ÏÎ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (a; b) = (d) ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ, ËÒÁÔÎÙÈ d.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÉÓÌÏ d Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÝÉÍ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ÞÉÓÅÌ a; b ∈ (a; b), ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ d = ax + by É ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÞÉÓÅÌ a
É b, Á ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ k ∈ Z ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ k = ax + by ÔÏÇÄÁ É
ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÏ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ d . þÉÓÌÏ d ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÞÉÓÅÌ a; b ∈ Z É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÎÏÄ(a; b) .
ÎÁÉÂÏÌØÛÉÍ ÏÂÝÉÍ
ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 2.10. ïÂÏÂÝÉÔÅ ÒÅÄÙÄÕÝÅÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ: ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ
ÎÁÂÏÒÁ ÞÉÓÅÌ a1 ; a2 ; : : : ; am ÏÓÔÒÏÊÔÅ ÞÉÓÌÏ d, ËÏÔÏÒÏÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÝÉÍ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ×ÓÅÈ ai , ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ×ÓÅÈ ai É ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ×
×ÉÄÅ d = a1 x1 + a2 x2 + · · · + am xm Ó ÅÌÙÍÉ xi . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
n = a1 x1 + a2 x2 + · · · + am xm ÒÁÚÒÅÛÉÍÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ xi × ËÏÌØ Å Z ÔÏÇÄÁ
É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ n ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ d .
2.5.2. áÌÇÏÒÉÔÍ å×ËÌÉÄÁ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ Ñ×ÎÏ ÎÁÊÔÉ ÎÏÄ(a; b) É ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ
ÅÇÏ × ×ÉÄÅ ÎÏÄ(a; b) = ax + by. òÁÂÏÔÁÅÔ ÏÎ ÔÁË. ðÕÓÔØ a ⩾ b. ðÏÌÏÖÉÍ
E0 = a ; E1 = b ; Ek = ÏÓÔÁÔËÕ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ Ek−2 ÎÁ Ek−1 (ÒÉ k ⩾ 1).
(2-19)
þÉÓÌÁ Ek ÓÔÒÏÇÏ ÕÂÙ×ÁÀÔ ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ÏÞÅÒÅÄÎÏÅ ÞÉÓÌÏ Er ÎÅ ÒÁÚÄÅÌÉÔ ÎÁÅÌÏ ÒÅÄÙÄÕÝÅÅ ÞÉÓÌÏ Er−1, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÞÅÇÏ Er+1 ÏÂÒÁÔÉÔÓÑ × ÎÕÌØ. ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ Er ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ Ek É ÂÕÄÅÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÍ ÏÂÝÉÍ
ÏÂÝÉÍ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ÞÉÓÅÌ (a; b), ÒÉÞ£Í ÏÎ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍ × ×ÉÄÅ Er = x · E0 + y · E1, ÅÓÌÉ ÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ËÁÖÄÏÇÏ Ek ÍÙ ÂÕÄÅÍ
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÅÇÏ × ×ÉÄÅ Ek = x · E0 + y · E1.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 2.11. äÏËÁÖÉÔÅ ÜÔÏ.
îÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ÞÉÓÅÌ n = 10 203 É m = 4 687 ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÏÓØÍÉ
ÛÁÇÏ×:
E0 =10 203
E1 = 4 687
−2E1
E2 = 829 = E0 − 2 E1 = +1 E0
E3 = 542 = E1 − 5 E2 = −5 E0 +11E1
E4 = 287 = E2 − E3 = +6 E0 −13E1
(2-20)
E5 = 255 = E3 − E4 = −11 E0 +24E1
E6 = 32 = E4 − E5 = +17 E0 −37E1
E7 = 31 = E5 − 7 E6 = −130 E0 +283E1
E8 =
1 = E6 − E7 = +147 E0 −320E1
[E9 = 0 = E7 − 31 E8 =−4 687 E0+10 203E1℄
33
2.6. ÷ÚÁÉÍÎÁÑ ÒÏÓÔÏÔÁ
(×ÚÑÔÁÑ × ÓËÏÂËÉ ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÓÔÒÏËÁ ÓÌÕÖÉÔ ÄÌÑ ÒÏ×ÅÒËÉ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
ÎÏÄ(10 203; 4 687) = 1 = 147 · 10 203 − 320 · 4 687 :
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 2.12. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÏÚÎÉËÁÀÝÅÅ ÎÁ ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÛÁÇÅ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ
å×ËÌÉÄÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÎÕÌÑ × ×ÉÄÅ Er+1 = q0 E0 + q1 E1 = 0 (ÓÍ. ÏÓÌÅÄÎÀÀ
ÓÔÒÏËÕ × (2-20)) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÏÂÝÅÅ ËÒÁÔÎÏÅ ÎÏË(a; b) = |q0 E0 | = |q1 E1 |
(ÉÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÏÄ(q0 ; q1 ) = 1).
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ Ó ×ÙÞÉÓÌÉÔÅÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍ å×ËÌÉÄÁ
ÂÙÓÔÒÅÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ. þÉÔÁÔÅÌÀ ÒÅÄÌÁÇÁÅÔÓÑ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÜÔÏÍ, ÏÙÔÁ×ÛÉÓØ €×ÒÕÞÎÕÀ ÒÁÚÌÏÖÉÔØ ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÞÉÓÌÁ n = 10 203 É m = 4 687 ÉÚ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÒÕÞÎÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ (2-20). îÁÊÔÉ
Ä×Á ÏÞÅÎØ ÂÏÌØÛÉÈ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÌÁ Ï ÚÁÄÁÎÎÏÍÕ ÉÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ
ÚÁ ÒÁÚÕÍÎÏÅ ×ÒÅÍÑ ÄÁÖÅ ÎÁ ÍÏÝÎÏÍ ËÏÍØÀÔÅÒÅ. üÔÏ ÏÂÓÔÏÑÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÖÉÔ ×
ÏÓÎÏ×Å ÍÎÏÇÉÈ ÏÕÌÑÒÎÙÈ ÓÉÓÔÅÍ ÛÉÆÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÁÎÎÙÈ.
2.6. ÷ÚÁÉÍÎÁÑ ÒÏÓÔÏÔÁ. ÷ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÍ ËÏÌØ Å K , ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÈ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÅÔ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÉÑ,
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× a; b ∈ K ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÔÁËÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ d ∈ K , ËÏÔÏÒÙÊ ÄÅÌÉÔ
a É b É ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ Ó ÔÁËÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ.
üÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÎÅ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÔ ÎÉ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ÄÅÌÉÔÅÌÑ, ÎÉ ÅÇÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ (ÄÁÖÅ × ËÏÌØ Å Z Ï ÜÔÏÍÕ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÍÙ
ÏÌÕÞÁÅÍ Ä×Á ÎÁÉÂÏÌØÛÉÈ ÏÂÝÉÈ ÄÅÌÉÔÅÌÑ, ÒÁÚÌÉÞÁÀÝÉÅÓÑ ÚÎÁËÏÍ).
ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÏÎÑÔÉÅ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× a É b ÍÏÖÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ × ÌÀÂÏÍ ËÏÌØ Å Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ ÔÁË, ÞÔÏ ÍÎÏÇÉÅ ÏÌÅÚÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ×ÚÁÉÍÎÏ
ÒÏÓÔÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÙÅ × ËÏÌØ Å Z, ÏÓÔÁÀÔÓÑ × ÓÉÌÅ × ÌÀÂÏÍ ËÏÌØ Å.
éÄÅÑ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ×ÚÁÉÍÎÁÑ ÒÏÓÔÏÔÁ ÞÉÓÅÌ a; b ∈ Z ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ
ÒÁÚÒÅÛÉÍÏÓÔÉ × ÅÌÙÈ ÞÉÓÌÁÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ax + by = 1, É ÉÍÅÎÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÅÛÁÔØ ÔÁËÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, Á ÎÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÎÏÄ(a; b) = 1, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÉÓÏÌØÚÕÀÝÉÍÓÑ × ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÈ, ÏÉÒÁÀÝÉÈÓÑ ÎÁ ×ÚÁÉÍÎÕÀ
ÒÏÓÔÏÔÕ.
ÎÅÓÏÏÓÔÁ-
×ÉÍÏ
ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉ-
ÔÅÌØ
×ÚÁÉÍÎÏÊ ÒÏÓÔÏÔÙ
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2.2
üÌÅÍÅÎÔÙ a É b ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÇÏ ËÏÌØ Á K Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
ax + by = 1
(2-21)
ÒÁÚÒÅÛÉÍÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ x É y × ËÏÌØ Å K .
×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÍÉ
ìÅÍÍÁ 2.1
÷ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÍ ËÏÌØ Å K ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ∈ K É ÌÀÂÙÈ ×ÚÁÉÍÎÏ
ÒÏÓÔÙÈ a; b ∈ K ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÉÍÌÉËÁ ÉÉ:
(1) ÅÓÌÉ a ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ b, ÔÏ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ b
(2) ÅÓÌÉ ÄÅÌÉÔÓÑ É ÎÁ a, É ÎÁ b, ÔÏ ÄÅÌÉÔÓÑ É ÎÁ ab.
34
úÁÄÁÞÉ Ë §2
ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÌÉ a ∈ K ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔ Ó ËÁÖÄÙÍ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× b1 ; b2 ; : : : ; bn, ÔÏ
ÏÎ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔ É Ó ÉÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ b1 b2 : : : bm .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. õÍÎÏÖÁÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (2-21) ÎÁ , ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
=a x+b y ;
(2-22)
ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÒÁÚÕ ÓÌÅÄÕÀÔ ÏÂÅ ÉÍÌÉËÁ ÉÉ (1) É (2). äÁÌÅÅ, ÕÓÔØ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ
i ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÁËÉÅ xi ; yi ∈ K , ÞÔÏ axi + bi yi = 1. ðÅÒÅÍÎÏÖÉÍ ×ÓÅ ÜÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
É ÓÏÂÅÒ£Í × ÏÄÎÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ ×ÓÅ ÞÌÅÎÙ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌØ a, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ
×ÙÎÅÓÅÍ ÉÚ ÎÉÈ ÚÁ ÓËÏÂËÕ. ðÏÌÕÞÉÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÉÄÁ
a · X + ( b 1 b 2 · · · b n ) · ( y 1 y2 · · · yn ) = 1
(×ÔÏÒÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ | ÜÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÞÌÅÎ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ a). ïÎÏ É ÏÚÎÁÞÁÅÔ
×ÚÁÉÍÎÕÀ ÒÏÓÔÏÔÕ a É b1 b2 · · · bn.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 2.13. ðÏÌØÚÕÑÓØ ÌÅÍ. 2.1, ÄÏËÁÖÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÏÄÎÏ-
ÚÎÁÞÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ × ËÏÌØ Å Z: ×ÓÑËÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ
z Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ1 , ÒÉÞ£Í ÌÀÂÙÅ Ä×Á
ÔÁËÉÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ p1 p2 · · · pk = z = q1 q2 · · · qm ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÅ ÞÉÓÌÏ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ k = m, É ÜÔÉ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÎÕÍÅÒÏ×ÁÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ∀ i
pi = ±qi .
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §2
úÁÄÁÞÁ 2.1. îÁÊÄÉÔÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ É ÍÎÉÍÕÀ ÞÁÓÔØ, ÍÏÄÕÌØ, ÁÒÇÕÍÅÎÔ É Ï ×ÏÚ-
ÍÏÖÎÏÓÔÉ ÔÏÞÎÏ ÎÁÒÉÓÕÊÔÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ
(5 + i)(7 − 6i)
(1 + i)5
Á)
Â)
3+i
(1 − i)3
×)
√
3+i
1−i
!30
úÁÄÁÞÁ 2.2. éÓÏÌØÚÕÑ ÔÏÌØËÏ ÓÌÏÖÅÎÉÅ, ×ÙÞÉÔÁÎÉÅ, ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ, ÄÅÌÅÎÉÅ É ÉÚ×ÌÅÞÅ-
ÎÉÅ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ÉÚ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ Ñ×ÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ
É ÍÎÉÍÙÅ ÞÁÓÔÉ ËÏÒÎÅÊ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ z 2 = a ÞÅÒÅÚ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÕÀ
É ÍÎÉÍÕÀ ÞÁÓÔÉ ÞÉÓÌÁ a.
úÁÄÁÞÁ 2.3. òÅÛÉÔÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
×) (z + 1)n − (z − 1)n = 0
Á) z 2 + (2i − 7)z + (13 − i) = 0
Ç) (z + i)n + (z − i)n = 0
úÁÄÁÞÁ 2.4. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ z m + 1=z m , ÅÓÌÉ z + 1=z = 2
os .
úÁÄÁÞÁ 2.5. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ sin 5' ÞÅÒÅÚ sin ' É ÏÌÕÞÉÔÅ ÄÌÑ sin 45 É
ÎÉÑ × ÒÁÄÉËÁÌÁÈ ÏÔ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.
Â) z 3 = i
Ä) z = z 3 .
os 25 ×ÙÒÁÖÅ-
ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍ , ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÎÅ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÞÉÓÅÌ, ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÌÉÞÎÏ ÏÔ ±1
1
35
úÁÄÁÞÉ Ë §2
mx
úÁÄÁÞÁ 2.6 (ÜÊÌÅÒÏ×Ù ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ). õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ sin
sin x Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÉ ÎÅÞ£Ô-
ÎÏÍ m ∈ N ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÏÔ sin2 x, ÎÁÊÄÉÔÅ ÓÔÅÅÎØ, ËÏÒÎÉ É ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉÉÅÎÔ ÜÔÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ, É ÏÌÕÞÉÔÅ ÏÔÓÀÄÁ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á
m− 1 2
m− 1 Q
sin(mx)
sin2 x − sin2 2mj
Á)
= (−4) 2
sin x
j =1
m− 1
Â) (−1) 2 sin(mx) = 2m−1
−1
mQ
j =0
sin x + 2mj
úÁÄÁÞÁ 2.7. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÓÕÍÍÕ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ËÏÒÎÅÊ, Á ÔÁËÖÅ s-ÔÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ
×ÓÅÈ ËÏÒÎÅÊ ÓÔÅÅÎÉ n ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ù (ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ s ∈ N).
Á) n0 + n4 + n8 + · · · ; Â) n1 + n5 + n9 + · · ·
n
n
n
1
1
×) 1 − 3 5 + 9 9 + · · · ;
Ç) sin x + sin 2x + · · · + sin nx
Ä) sin2 x + sin2 3x + · · · + sin2 (2n − 1) ;
Å) os x + 2 os 2x + · · · + n os nx .
úÁÄÁÞÁ 2.8.
÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ
ÓÕÍÍÙ:
úÁÄÁÞÁ 2.9. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÔÒÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞËÉ z1 ; z2 ; z3 ∈ C ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏ-
ÇÄÁ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ, ËÏÇÄÁ (z1 − z3 )=(z2 − z3 ) ∈ R.
úÁÄÁÞÁ 2.10. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÞÅÔÙÒÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞËÉ z1 ; z2 ; z3 ; z4 ∈ C, ÎÅ ÌÅÖÁÝÉÅ
ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ, ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ËÏÇÄÁ ÉÈ
(z1 −z3 ):(z2 −z3 )
Ä×ÏÊÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (z −z ):(z −z ) ∈ R .
1
4
2
4
òÉÓ. 2⋄4.
ëÏÍÌÅËÓÎÁÑ ËÏÛÅÞËÁ.
úÁÄÁÞÁ 2.11. ëÕÄÁ ÅÒÅ×ÏÄÑÔÓÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍÉ z 7→ z 2 É z 7→ z1
Á) ÒÑÍÁÑ y = kx
×) ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ |z + i| = 1
Â) ÄÅËÁÒÔÏ×Á É ÏÌÑÒÎÁÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÅ ÓÅÔËÉ
Ç) ËÏÛÅÞËÁ Ó ÒÉÓ. ÒÉÓ. 2⋄4?
úÁÄÁÞÁ 2.12. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ z 7−→ (az + b)=( z + d) (ÇÄÅ a; b; ; d ∈ C)
ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ É ÒÑÍÙÅ ÉÌÉ × ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÉÌÉ × ÒÑÍÙÅ, ÓÏÈÒÁÎÑÑ
ÒÉ ÜÔÏÍ ÕÇÌÙ.
úÁÄÁÞÁ 2.13. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÑËÏÅ ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ z 6= −1 Ó |z | = 1 ÍÏÖÎÏ
ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ z = (1 + ti)=(1 − ti) Ó t ∈ R .
úÁÄÁÞÁ 2.14 (ÔÏÏÌÏÇÉÑ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ). ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, "-ÏËÒÅÓÔ-
ÞÉÓÌÁ z ∈ C ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÒÕÇ ÒÁÄÉÕÓÁ " Ó ÅÎÔÒÏÍ × z . ðÒÅÄÅÌÙ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ, Á ÔÁËÖÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ- É ËÏÍÌÅËÓÎÏÚÎÁÞÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ C, ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔØ ÔÁËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ, ÏÔËÒÙÔÙÅ É ÚÁÍËÎÕÔÙÅ
ÎÏÓÔØÀ
36
úÁÄÁÞÉ Ë §2
ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á × C É Ô. . ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÎÁ ÑÚÙËÅ "-ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÅÊ × C ÄÏÓÌÏ×ÎÏ
ÔÁË ÖÅ, ËÁË É × R.
Á) óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÊÔÅ É ÄÏËÁÖÉÔÅ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÒÅÄÅÌÅ ÓÕÍÍÙ É ÒÅÄÅÌÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÓÈÏÄÑÝÉÈÓÑ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ.
Â) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ nlim
(xn + iyn) = a + ib × C ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ × R
→∞
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÏÂÁ ÒÅÄÅÌÁ nlim
xn = a É nlim
yn = b.
→∞
→∞
×) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÊ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ×ÙÄÅÌÉÔØ
ÏÄÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ÉÍÅÀÝÕÀ ÒÅÄÅÌ.
Ç) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f : C - R ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÍ ÚÁÍËÎÕÔÏÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å Z ⊂ C ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ × ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÔÏÞËÁÈ Z
Ó×ÏÉÈ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ É ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÎÁ Z .
úÁÄÁÞÁ 2.15 (ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ ÚÁÍËÎÕÔÏÓÔØ ÏÌÑ C). ðÕÓÔØ f ∈ C[x℄ | ÒÏÉÚ-
×ÏÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Ó deg f > 0. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) |f |
ÎÅÒÅÒÙ×ÅÎ
Â) ∀ M ∈ R ∃ ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÒÕÇ B ⊂ C : |f (z )| > M ∀ z ∈= B
×) |f (z )| ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÅ z0 ∈ C Ó×ÏÅÇÏ ÍÉÎÉÍÕÍÁ
Ç) ×ÂÌÉÚÉ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ z0 ∈ C, ÔÁËÏÊ ÞÔÏ f (z0 ) 6= 0, ÎÁÊÄ£ÔÓÑ ÔÏÞËÁ z1 , × ËÏÔÏÒÏÊ
|f (z1 )| < |f (z0 )|. á ÉÍÅÎÎÏ, ÏÌÏÖÉÍ z = z0 + w É ÅÒÅÉÛÅÍ f ËÁË ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
ÏÔ w, ÕÏÒÑÄÏÞÉ× ÍÏÎÏÍÙ Ï ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÀ ÓÔÅÅÎÉ:
f (z ) = f (z0 ) + am wm + ÂÏÌÅÅ ÓÔÁÒÛÉÅ ÓÔÅÅÎÉ w
(ÇÄÅ am 6= 0 | ÓÁÍÙÊ ÅÒ×ÙÊ ÉÚpÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÒÉ ÓÔÅÅÎÑÈ w).
ðÕÓÔØ # | ÌÀÂÏÊ ÉÚ m ËÏÒÎÅÊ m −f (z0 )=am (ÔÁË ÞÔÏ am #m = −f (z0 )). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÏÍ t ∈ R ÞÉÓÌÏ z1 (t) = z0 + t # ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÔÒÅÂÕÅÍÙÍ
Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ |f (z1 )| < |f (z0 )|.
Ä) ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÏÔÌÉÞÎÙÊ ÏÔ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
f ∈ C[x℄ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÅÎØ × C.
§3. ëÏÌØ Á É ÏÌÑ ×ÙÞÅÔÏ×
= n îÁÏÍÎÉÍ (ÓÍ. n◦ 1.4.1), ÞÔÏ ÞÉÓÌÁ a; b ∈ Z ÎÁ-
3.1. ëÏÌØ Ï ×ÙÞÅÔÏ× Z ( ).
ÚÙ×ÁÀÔÓÑ
Ï ÍÏÄÕÌÀ n (ÞÔÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ËÁË a ≡ b (mod n)),
ÅÓÌÉ ÉÈ ÒÁÚÎÏÓÔØ a − b ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ n. óÒÁ×ÎÉÍÏÓÔØ Ï ÍÏÄÕÌÀ n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ (ÓÍ. n◦ 1.4) É ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ ÎÁ
ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ËÌÁÓÓÙ ÓÒÁ×ÎÉÍÙÈ Ï ÍÏÄÕÌÀ n ÞÉÓÅÌ. üÔÉ ËÌÁÓÓÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
n, Á ÉÈ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ
Z=(n). íÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÁÔØ [a℄n ∈ Z=(n) ÄÌÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÌÁÓÓÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ ÞÉÓÌÏ a ∈ Z. ÁËÁÑ ÚÁÉÓØ ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÁ: ÎÁÒÉÍÅÒ, [−1℄n = [n − 1℄n ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ
ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ËÌÁÓÓ.
÷ÓÅÇÏ ÉÍÅÅÔÓÑ n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ×: [0℄n; [1℄n; : : : ; [(n − 1)℄n . óÌÏÖÅÎÉÅ É
ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ËÌÁÓÓÏ× ×ÙÞÅÔÏ× ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÒÁ×ÉÌÁÍÉ:
ÓÒÁ×ÎÉÍÙÍÉ
ËÌÁÓÓÁÍÉ ×ÙÞÅÔÏ× Ï ÍÏÄÕÌÀ
[a℄ + [b℄ def
= [a + b℄ ; [a℄ · [b℄ def
= [ab℄ :
(3-1)
óÏÇÌÁÓÎÏ ÕÒ. 1.8 ÎÁ ÓÔÒ. 13, ÜÔÉ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ ËÏÒÒÅËÔÎÏ1 . ïÎÉ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÁËÓÉÏÍÁÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÇÏ ËÏÌØ Á Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ |
ÆÏÒÍÕÌÙ (3-1) Ó×ÏÄÑÔ ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ×ÙÞÅÔÁÍÉ Ë ÏÅÒÁ ÉÑÍ ÎÁÄ ÅÌÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÁËÓÉÏÍÙ ËÏÌØ Á ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ.
3.1.1. äÅÌÉÔÅÌÉ ÎÕÌÑ É ÎÉÌØÏÔÅÎÔÙ. ÷ Z=(10) ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ËÌÁÓÓÏ× [2℄ É
[5℄ ÒÁ×ÎÏ ÎÕÌÀ, ÈÏÔÑ
ÉÚ ÎÉÈ ÏÔÌÉÞÅÎ ÏÔ ÎÕÌÑ, Á × ËÏÌØ Å Z=(8) ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ
ËÌÁÓÓ [2℄ ÉÍÅÅÔ ÎÕÌÅ×ÏÊ ËÕ [2℄3 = [8℄ = [0℄.
÷ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ËÏÌØ Å K ÜÌÅÍÅÎÔ a ∈ K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ
a 6= 0 É ab = 0 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ b ∈ K . ëÏÌØ Ï Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ ÂÅÚ
ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÎÕÌÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
.
îÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ a ËÏÌØ Á K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ an = 0 ÄÌÑ
ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ n ∈ N. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÎÉÌØÏÔÅÎÔ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ÎÕÌÑ. ëÏÌØ Ï Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ ÂÅÚ ÎÉÌØÏÔÅÎÔÏ× ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
.
÷ÓÑËÏÅ ÅÌÏÓÔÎÏÅ ËÏÌØ Ï Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÏ.
ËÁÖÄÙÊ
ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ÎÕÌÑ
ÅÌÏÓÔÎÙÍ
ÎÉÌØÏÔÅÎÔÏÍ
ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÙÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 3.1. óÏÓÔÁ×ØÔÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ × ËÏÌØ ÁÈ Z=(n) ÄÌÑ
n = 3; 4; 5; 6; 7; 8. îÁÊÄÉÔÅ × ÜÔÉÈ ËÏÌØ ÁÈ ×ÓÅ ÄÅÌÉÔÅÌÉ ÎÕÌÑ, ×ÓÅ ÎÉÌØÏÔÅÎÔÙ, É ×ÓÅ ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ. äÌÑ ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÓÏÓÔÁ×ØÔÅ ÔÁÂÌÉ Õ
ÏÂÒÁÔÎÙÈ. ëÁËÉÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ËÏÌÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÌÑÍÉ?
ïÂÒÁÔÉÍÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ a ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ÎÕÌÑ, ÏÓËÏÌØËÕ, ÕÍÎÏÖÁÑ
ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ab = 0, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ b = 0. ðÏÜÔÏÍÕ ËÏÌØ Ï Ó ÄÅÌÉÔÅÌÑÍÉ
ÎÕÌÑ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÅÍ.
3.1.2. ïÂÒÁÔÉÍÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÌØ Á ×ÙÞÅÔÏ×. ïÂÒÁÔÉÍÏÓÔØ ËÌÁÓÓÁ [m℄n ∈
Z=(n) ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÔÁËÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ [x℄n , ÞÔÏ[m℄n [x℄n = [mx℄n = [1℄n .
ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÅÌÙÈ x É y, ÔÁËÉÈ ÞÔÏ mx + ny =
Ô. Å. ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ÓÏÓÏÂÁ ÚÁÉÓÉ ËÌÁÓÓÏ× ÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ | ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ a ∈ [a℄ É b ∈ [b℄
1
37
38
§3. ëÏÌØ Á É ÏÌÑ ×ÙÞÅÔÏ×
1 × ËÏÌØ Å Z. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÌÁÓÓ [m℄n ÏÂÒÁÔÉÍ × ËÏÌØ Å Z=(n) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÞÉÓÌÁ m É n ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ × ËÏÌØ Å Z.
ðÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÏÂÒÁÔÉÍ ÌÉ ÄÁÎÎÙÊ ËÌÁÓÓ [m℄n, É ÅÓÌÉ ÄÁ, ÔÏ Ñ×ÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ
ÏÂÒÁÔÎÙÊ ËÌÁÓÓ [m℄−n 1 ,ÍÏÖÎÏ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ å×ËÌÉÄÁ ÉÚ n◦ 2.5.2. óËÁÖÅÍ, ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ (2-20) ÎÁ ÓÔÒ. 32 ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓ [10 203℄ ÏÂÒÁÔÉÍ ×
Z=(4 687) É [10 203℄−1 = [147℄ (mod 4 687) , Á ËÌÁÓÓ [4 687℄ ÏÂÒÁÔÉÍ × Z=(10 203) É
[4 687℄−1 = −[320℄ (mod 10 203) .
ïÂÒÁÔÉÍÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÌØ Á Z=(n) ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÁÂÅÌÅ×Õ ÇÒÕÕ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ. üÔÁ ÇÒÕÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
Ï ÍÏÄÕÌÀ
∗
n É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ Z=(n) . þÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÎÅÊ ÒÁ×ÎÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÍÅÎØÛÉÈ n É ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÈ Ó n. ïÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ '(n) É
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÔ ÞÉÓÌÁ n ∈ N.
3.2. ðÏÌÅ ×ÙÞÅÔÏ× Fp = Z=(p). éÚ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÜÔÏ
ËÏÌØ Ï ×ÙÞÅÔÏ× Z=(n) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÅÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓÌÉ n = mk ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ, ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ËÌÁÓÓÙ
[m℄; [k℄ ∈ Z=(n) ÂÕÄÕÔ ÄÅÌÉÔÅÌÑÍÉ ÎÕÌÑ É ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÏÂÒÁÔÉÍÙ. îÁÒÏÔÉ×,
ÅÓÌÉ p ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÏ ÎÏÄ(m; p) = 1 ÄÌÑ ×ÓÅÈ m ÎÅ ËÒÁÔÎÙÈ p, Á ÚÎÁÞÉÔ,
ËÁÖÄÙÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ËÌÁÓÓ [m℄ ∈ Z=(p) ÏÂÒÁÔÉÍ.
ðÏÌÅ Z=(p), ÇÄÅ p ÒÏÓÔÏÅ, ÒÉÎÑÔÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ Fp.
3.2.1. ðÒÉÍÅÒ: ÂÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ Ï ÍÏÄÕÌÀ p. ÷ ÏÌÅ Fp = Z=(p) ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
(3-2)
|1 + 1 +{z· · · + 1} = 0 :
ÇÒÕÏÊ ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ×ÙÞÅÔÏ×
ÆÕÎË ÉÅÊ üÊÌÅÒÁ
ÒÏÓÔÙÍ ÞÉÓÌÏÍ
p ÒÁÚ
éÚ ÎÅÇÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ a; b ∈ Fp ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
( a + b ) p = ap + b p :
(3-3)
÷pÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÒÁÓËÒÙ×ÁÑ ÓËÏÂËÉ × ÂÉÎÏÍÅ (a + b)p, ÍÙ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ k ÏÌÕÞÉÍ
k p− k
k ÏÄÎÏÞÌÅÎÏ× a b , ÓÕÍÍÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁ×ÎÁ
ak bp−k · (1| + 1 +{z· · · + 1}) :
`p´
k ÒÁÚ
ðÒÉ k 6= 0; p ÚÁËÌÀÞÅÎÎÁÑ × ÓËÏÂËÁÈ ÓÕÍÍÁ ÅÄÉÎÉ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ × ÓÉÌÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
(3-2) É ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ.
ìÅÍÍÁ 3.1
ðÒÉ
ÒÏÓÔÏÍ p É ÌÀÂÏÍ k × ÒÅÄÅÌÁÈ 1 ⩽ k ⩽ (p−1) ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ
p ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p.
k
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÌÏ p ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÏ Ó ËÁÖÄÙÍ ÉÚ ÞÉÓÅÌ × ÒÅÄÅÌÁÈ ÏÔ 1 ÄÏ p − 1, ÏÎÏ Ï ÌÅÍ. 2.1 ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÏ Ó ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ k!(p − k)!.
39
3.2. ðÏÌÅ Fp = Z=(p)
ðÏÓËÏÌØËÕ p! ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ k!(p − k)!, ÍÙ ÉÚpÔÏÇÏ ÖÅp! ÌÅÍ. 2.1 ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ (p − 1)!
ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ k!(p − k)!. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, k = k!(p−k)! ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 3.1 (ÍÁÌÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ æÅÒÍÁ)
ap ≡ a (mod p) ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÒÏÓÔÏÍ p É ÌÀÂÏÍ aZ .
îÁÄÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ [ap℄ = [a℄ × ÏÌÅ Fp. óÏÇÌÁÓÎÏ (3-3), ÉÍÅÅÍ
[a℄p = ([1℄
+ [1℄ +{z · · · + [1℄})p = |[1℄p + [1℄p +{z · · · + [1℄}p =
|
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
a ÒÁÚ
a ÒÁÚ
= [1℄
+ [1℄ +{z · · · + [1℄} = [a℄ :
|
a ÒÁÚ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 3.2. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
mpn ≡ m (mod p) ÒÉ ÎÏÄ(m; p) = 1 .
pn
3.2.2. ðÒÉÍÅÒ: ËÏÎÅÞÎÙÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ. íÎÏÇÉÅ ÏÎÑÔÉÑ É ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ÉÚ
ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ R2 ÉÌÉ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á R3 ÓÏÈÒÁÎÑÀÔ Ó×ÏÊ ÓÍÙÓÌ ÏÓÌÅ ÚÁÍÅÎÙ ÏÌÑ ×ÅÝÅÏÌÅÍ F.
ÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ R
á ÉÍÅÎÎÏ, ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ
F2 ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÏÌÑ F :
def
F2 = F × F = {(x; y ) | x; y ∈ F}
ðÁÒÙ (x; y ∈ F2 ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ
. ëÒÏÍÅ ÔÏÞÅË ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÅÝ£ É
, ÔÁËÖÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÓÏÂÏÀ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ
ÏÔ
ÞÉÓÅÌ (a1; a2) ∈ F × F. ðÏÄÞÅÒËΣÍ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ
ÔÏÞÅË.
÷ÅËÔÏÒÙ ÍÏÖÎÏ ÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ É ÕÍÎÏÖÁÔØ ÎÁ ÞÉÓÌÁ ÉÚ ÏÌÑ F: ÅÓÌÉ a = (a1; a2),
b = (b1 ; b2 ) É ∈ F, ÔÏ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ a + b = (a1 + a2 ; b1 + b2 ) É · a = (a1 ; a2 ) .
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÅËÔÏÒÙ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÁÂÅÌÅ×Õ ÇÒÕÕ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÅÒÁ ÉÉ ÓÌÏÖÅÎÉÑ. üÔÕ ÇÒÕÕ ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË
ÔÏÞÅÞÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å F2 × ÓÍÙÓÌÅ n◦ 1.6: ËÁÖÄÏÍÕ ×ÅËÔÏÒÕ v = (v1; v2) ÏÔ×ÅÞÁÅÔ
v
(x;y)7→(x+v ;y+v ) v : F 2
F2 ;
ÒÉ ÜÔÏÍ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÓÄ×ÉÇÏ× ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÓÌÏÖÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ×: v w = v+w .
ÌÉÂÏ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË
ðÒÑÍÕÀ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ F2 ÍÏÖÎÏ
(x; y), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ ax + by = , × ËÏÔÏÒÏÍ ÈÏÔÑ
ÂÙ ÏÄÉÎ ÉÚ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× a, b ÏÔÌÉÞÅÎ ÏÔ ÎÕÌÑ, ÌÉÂÏ ËÁË ÔÒÁÅËÔÏÒÉÀ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÔÏÞËÉ z0 = (x0; y0) Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÏÓÔÏÑÎÎÏÊ ÓËÏÒÏÓÔØÀ v = (v1; v2), Ô. Å. ËÁË
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ×ÉÄÁ zt = z0 + tv = (x0 + tv1; y0 + tv2), ÇÄÅ €×ÒÅÍс t ÒÏÂÅÇÁÅÔ
ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔØÀ
ÔÏÞËÁÍÉ
×ÅËÔÏÒÙ
ÏÔÄÅÌØÎÏ
ÇÒÕÕ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÓÄ×ÉÇÁ
ÓÄ×ÉÇ ÎÁ ×ÅËÔÏÒ
1
2
ÏÒÅÄÅÌÉÔØ
40
§3. ëÏÌØ Á É ÏÌÑ ×ÙÞÅÔÏ×
ÏÌÅ F. üÔÉ Ä×Á ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÒÑÍÁÑ, ÚÁÄÁÎÎÁÑ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ax + by = ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÀ ÌÀÂÏÊ Ó×ÏÅÊ ÔÏÞËÉ,
×ÙÕÝÅÎÎÏÊ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ (−b; a), É ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÔÒÁÅËÔÏÒÉÑ ÔÏÞËÉ (x0; y0), ×ÙÕÝÅÎÎÏÊ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ v = (v1; v2), ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ v2x − v1 y = v2x0 − v1y0.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 3.3. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ F2 ÎÁÄ ÌÀÂÙÍ ÏÌÅÍ F ×ÙÏÌÎÑ-
ÀÔÓÑ Å×ËÌÉÄÏ×Ù ÁËÓÉÏÍÙ ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÏÓÔÉ:
Á) ÉÍÅÀÔÓÑ ÔÒÉ ÔÏÞËÉ, ÎÅ ÌÅÖÁÝÉÅ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ;
Â) ÞÅÒÅÚ ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÔÏÞËÉ ÒÏÈÏÄÉÔ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ ÒÑÍÁÑ;
×) ÞÅÒÅÚ ÌÀÂÕÀ ÔÏÞËÕ, ÎÅ ÌÅÖÁÝÕÀ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ ÄÁÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ, ÒÏÈÏÄÉÔ
ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ ÒÑÍÁÑ, ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÁÑÓÑ Ó ÄÁÎÎÏÊ.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÓÅ ËÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÏÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ1 Ï ÌÁÎÉÍÅÔÒÉÉ ÉÍÅÀÔ ÓÍÙÓÌ
| ÎÁÒÉÍÅÒ, ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÏÌÅÍ Fp ÉÚ p ÜÌÅÍÅÎÔÏ×.
2
ðÌÏÓËÏÓÔØ Fp ÎÁÄ ÏÌÅÍ Fp ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ p2 ÔÏÞÅË. 4 3 ∞ 2 1
ëÁÖÄÁÑ ÌÅÖÁÝÁÑ ÎÁ ÎÅÊ ÒÑÍÁÑ ÓÏÄÅÒÖÉÔ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ
p ÉÚ ÎÉÈ, ÏÓËÏÌØËÕ ÔÏÞËÉ z + t1 v É z + t2 v ÒÁÚÌÉÞÎÙ 2
∞
4
1
3
ÒÉ t1 6= t2.
ÎÁÄ ÌÀÂÙÍ ÏÌÅÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 3.4. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ ÔÏÞ-
ËÕ ÌÏÓËÏÓÔÉ F2p ÒÏÈÏÄÉÔ ÒÏ×ÎÏ (p2 − 1)=(p − 1) =
p +2 1 ÒÑÍÙÈ
É ÞÔÏ ×ÓÅÇÏ ÎÁ ÜÔÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔÓÑ
p = p = p(p + 1) ÒÑÍÙÈ.
2
2
0
0
+
0
0
3
1
∞
4
2
îÁ ÒÉÓ. 3⋄1 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ×ÓÅ 25 ÔÏÞÅË ÌÏÓËÏÓÔÉ F25. 1 2 ∞ 3 4
îÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÏÔÍÅÞÅÎÏ ÚÎÁËÏÍ +, ÔÏÞËÉ ËÁÖÄÏÊ
⋄ ûÅÓÔØ
ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÒÑÍÏÊ y = kx ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ
(ÇÄÅ k = 0; 1; : : : ; ∞) ÏÔÍÅÞÅÎÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ É- ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÒÑÍÙÈ ÎÁ
ÆÒÏÊ k (ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÊ É ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÌÏÓËÏÓÔÉ F25 .
ÎÙÍ ÏÓÑÍ ÏÔ×ÅÞÁÀÔ k = 0 É k = ∞). ïÂÒÁÔÉÔÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ ÞÅÔÙÒÅ ÔÏÞËÉ €3 ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÔÏÞËÏÊ €+ ÏÄÎÕ ÒÑÍÕÀ (ÔÁËÖÅ
ËÁË É ÞÅÔÙÒÅ ÔÏÞËÉ €2).
òÉÓ. 3 1.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 3.5. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ F25 ËÒÉ×ÙÅ, ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ
y = x2 ; x2 + y2 = 1 ; x2 + y2 = −1 :
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 3.6. óËÏÌØËÏ ÒÑÍÙÈ É ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ÉÍÅÅÔÓÑ × ÔÒ£ÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎ-
ÓÔ×Å F3p ÎÁÄ ÏÌÅÍ ÉÚ p ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, É ÓËÏÌØËÏ ÉÚ ÎÉÈ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ?
3.3. ðÒÑÍÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ.
éÚ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÁÂÅÌÅ×ÙÈ ÇÒÕ
A1 ; A2 ; : : : ; Am
Ô. Å. ÏÔÎÏÓÑÝÉÅÓÑ Ë ×ÚÁÉÍÎÏÍÕ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÀ ÔÏÞÅË É ÒÑÍÙÈ É ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÝÉÅ ÏÎÑÔÉÊ
ÉÚ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, ÔÁËÉÈ ËÁË ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÉÌÉ ×ÅÌÉÞÉÎÙ ÕÇÌÏ×
1
41
3.3. ðÒÑÍÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ
ÍÏÖÎÏ ÉÚÇÏÔÏ×ÉÔØ ÎÏ×ÕÀ ÁÂÅÌÅ×Õ ÇÒÕÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÇÒÕ A , ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
Y
A = A1 × A2 × · · · × A = {(a1 ; a2 ; : : : ; am ) | a ∈ A ∀ }
ÒÑÍÙÍ ÒÏÉÚ-
×ÅÄÅÎÉÅÍ
(3-4)
É ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× (a1; a2; : : : ; am ) ÜÌÅÍÅÎÔÏ× a ∈ A , ÇÒÕÏ×ÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÏËÏÍÏÎÅÎÔÎÏ:
(a1; a2; : : : ; am ) · (h1; h2; : : : ; hm) = (a1 · h1; a2 · h2; · · · ; am · hm) :
(3-5)
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 3.7. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÔÁË ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁ É
ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÁ, ÎÕÌÅ×ÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÄÌÑ ÎÅ£ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒ ÎÕÌÅÊ (0; 0; : : : ; 0), Á
ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÍ Ë ÎÁÂÏÒÕ (a1 ; a2 ; : : : ; am ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒ (−a1 ; −a2 ; : : : ; −am ).
åÓÌÉ ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÇÒÕ AQ1; A2; : : Q
: ; Am ËÏÎÅÞÎÁ, ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (3-4) ÔÏÖÅ
ËÏÎÅÞÎÏ É ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ | A | = |A | ÜÌÅÍÅÎÔÏ×.
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌ ÎÅ ÔÏÌØËÏ
ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÙÈ, ÎÏ É ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÓÅÍÅÊÓÔ× ÁÂÅÌÅ×ÙÈ ÇÒÕ A , ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÈ
ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ∈ X ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X . óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÞÅÒÅÚ
Y
∈X
A :
áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÈ ËÏÌÅ {Kx}
(ÇÄÅ ÉÎÄÅËÓ
Q x ÒÏÂÅÇÁÅÔ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ) ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Kx, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÓÏÂÏÀ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
( : : : ; a x ; : : : ) ; Ó ax ∈ K x
É ÏËÏÍÏÎÅÎÔÎÙÍ ÓÌÏÖÅÎÉÅÍ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ:
(: : : ; ax; : : : ) + (: : : ; bx; : : : ) def
= ( : : : ; ax + b x ; : : : )
(: : : ; ax; : : : )(: : : ; bx; : : : ) def
= ( : : : ; ax b x ; : : : ) :
ÂÙÌÉ ËÏÌØ ÁÍÉ Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ, ÔÏ
Q
Q
Kx Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÌØ ÏÍ, ÒÉÞ£Í ÅÓÌÉ ×ÓÅ Kx
Kx ÔÁËÖÅ ÂÕÄÅÔ ËÏÌØ ÏÍ Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ (1; 1; : : : ; 1).
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 3.8. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ
ðÕÓÔØ, Ë ÒÉÍÅÒÕ, X = R É ×ÓÅ Kx = R, Ô. Å. ÅÒÅÍÎÏÖÁÅÔÓÑ ËÏÎÔÉÎÕÁÌØÎÏÅ
ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÜËÚÅÍÌÑÒÏ× ÏÌÑ R, ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÈ
ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÍÉ
Q
ÞÉÓÌÁÍÉ x ∈ R. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Rx ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ËÏÌØ Õ ÆÕÎËx∈R
ÉÊ f : R - R Ó ÏÂÙÞÎÙÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ ÏÔÏÞÅÞÎÏÇÏ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ
ÆÕÎË ÉÊ: ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
Q
(fx) ∈ Rx, ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ x, × ÆÕÎË ÉÀ f : R - R,
x∈R
ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ × ÔÏÞËÅ x ∈ R ÒÁ×ÎÏ x-ÔÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á f : f (x) = fx .
42
§3. ëÏÌØ Á É ÏÌÑ ×ÙÞÅÔÏ×
ðÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ⩾ 2 ËÏÌÅ ×ÓÅÇÄÁ ÉÍÅÅÔ ÄÅÌÉÔÅÌÉ ÎÕÌÑ: ÌÀÂÏÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ, ÉÍÅÀÝÉÊ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÕ ÎÕÌÅ×ÕÀ ËÏÍÏÎÅÎÔÕ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ
ÎÕÌÑ. îÁÒÉÍÅÒ, (0; 1; 1; : : : ; 1) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ÎÕÌÑ, ÏÓËÏÌØËÕ
(0; 1; 1; : : : ; 1)(1; 0; 0; : : : ; 0) = (0; 0; 0; : : : ; 0) = 0 :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ËÏÌÅ (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÏÌÅÊ) ÎÉËÏÇÄÁ
ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÅÍ.
îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ Fp É Fq | ËÏÎÅÞÎÙÅ ÏÌÑ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÚ p É
q ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÔÏ × ÉÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ Fp × Fq ÂÕÄÅÔ ÒÏ×ÎÏ (p − 1)(q − 1) ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× (a; b), ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÕÀ ÇÒÕÕ F∗p × Fq∗ É p + q − 2
ÄÅÌÉÔÅÌÑ ÎÕÌÑ, ÉÍÅÀÝÉÈ ×ÉÄ (a; 0) É (0; b) Ó a; b 6= 0.
÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÜÌÅÍÅÎÔ a = (a1; a2; : : : ; am ) ∈ K1 × K2 × · · · × Km ÏÂÒÁÔÉÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ËÁÖÄÁÑ ÅÇÏ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ a ∈ KQ ÏÂÒÁÔÉÍÁ ×
Ó×Ï£Í ËÏÌØ Å K . ðÏÜÔÏÍÕ ÇÒÕÁ ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÏÌØ Á K Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÒÑÍÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÇÒÕ ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÏÌÅ K :
Y
K
∗
=
Y
(3-6)
K∗
ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÁÂÅÌÅ×ÙÈ ÇÒÕ ' : A - B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÁÒÙ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× a1; a2 ∈ A × ËÏÌØ Å B ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
f ( a1 + a2 ) = f ( a1 ) + f ( a2 )
(3-7)
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÉÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ
(ÉÌÉ
) ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ, ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÝÉÊ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ A × ÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ B .
3.4. çÏÍÏÍÒÆÉÚÍÙ.
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ
ÎÕÌÅ×ÏÊ
ÔÒÉ-
×ÉÁÌØÎÙÊ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 3.9. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏ-
ÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ.
÷ÓÑËÉÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ' : A - B ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ A × ÎÕÌÅ×ÏÊ
ÜÌÅÍÅÎÔ B , ÏÓËÏÌØËÕ '(0) = '(0 + 0) = '(0) + '(0), É, ×ÙÞÉÔÁÑ ÉÚ ÒÁ×ÏÊ É
ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ '(0), ÏÌÕÞÁÅÍ 0 = '(0) . äÁÌÅÅ, ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×
'(a) + '(−a) = '(a + (−a)) = '(0) = 0
ÍÙ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ '(−a) = −'(a) . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÂÒÁÚ im ' = '(A) ⊂ B
ÌÀÂÏÇÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ' : A - B Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÂÅÌÅ×ÏÊ ÏÄÇÒÕÏÊ × B .
3.4.1. ñÄÒÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ. ðÏÌÎÙÊ ÒÏÏÂÒÁÚ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ B ÒÉ
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÅ ' : A - B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ' É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
ker ' = '−1(0) = {a ∈ A | '(a) = 0} :
ñÄÒÏ ÏÂÒÁÚÕÅÔ × A ÏÄÇÒÕÕ, ÏÓËÏÌØËÕ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ× '(a1) = 0 É '(a2) = 0
×ÙÔÅËÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï '(a1 ± a2) = '(a1) ± '(a2) = 0 ± 0 = 0 .
ÑÄÒÏÍ
43
3.4. çÏÍÏÍÒÆÉÚÍÙ
ä×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁ a1; a2 ∈ A ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÅÒÅÈÏÄÑÔ × ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ
ÜÌÅÍÅÎÔ × B , ËÏÇÄÁ a1 − a2 ∈ ker(') :
'(a1 ) = '(a2 ) ⇐⇒ '(a1 − a2 ) = '(a1 ) − '(a2 ) = 0 :
íÙ ÏÌÕÞÉÌÉ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 3.1
óÌÏÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÁÂÅÌÅ×ÙÈ ÇÒÕ ' : A - B ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ
b ∈ B ÌÉÂÏ ÕÓÔ, ÌÉÂÏ ÒÁ×ÅÎ
'−1 (b) = a + ker ' = {a + a′ | a′ ∈ ker '} ;
ÇÄÅ a ∈ A | ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÜÌÅÍÅÎÔ, ÅÒÅÈÏÄÑÝÉÊ × b. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ' ÉÎßÅËÔÉ×ÅÎ
ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ker ' = {0} .
3.4.2. çÒÕÁ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×. çÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÙ A - B ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÁÂÅÌÅ×Õ ÇÒÕÕ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÅÒÁ ÉÉ ÏÔÏÞÅÞÎÏÇÏ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ: Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, '1 + '2 : a 7−→ '1(a) + '2(a) . îÕÌÅ×ÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÜÔÏÊ ÇÒÕÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
, ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÝÉÊ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ A × ÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ B .
íÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ÇÒÕÕ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× A - B ÞÅÒÅÚ Hom(A; B ) .
3.4.3. çÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÙ ËÏÌÅ . ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ËÏÌÅ ' : A - B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÁÒÙ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× a1; a2 ∈ A × ËÏÌØ Å B
×ÙÏÌÎÅÎÙ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:
f ( a1 + a2 ) = f ( a1 ) + f ( a2 )
(3-8)
f (a a ) = f (a )f (a ) :
ÎÕÌÅ×ÏÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ËÏÌÅ
1 2
1
2
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÌÀÂÏÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ËÏÌÅ ' : A - B Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÙÈ ÁÂÅÌÅ×ÙÈ ÇÒÕ, Á ÚÎÁÞÉÔ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ×ÓÅÍÉ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÍÉ
×ÙÛÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, '(0) = 0, '(−a) = −'(a), É ×ÓÅ ÎÅÕÓÔÙÅ ÓÌÏÉ '
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÀ ÓÄ×ÉÇÉ ÓÌÏÑ ÎÁÄ ÎÕÌ£Í: ÅÓÌÉ '(a) = b, ÔÏ ÏÌÎÙÊ ÒÏÏÂÒÁÚ
'−1 (b) = a + ker ' = {a + a′ | a′ ∈ ker '}
(× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ' ÉÎßÅËÔÉ×ÅÎ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ker ' = {0}) .
ñÄÒÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ËÏÌÅ ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÙÍ a ∈ ker ' ÓÏÄÅÒÖÉÔ É ×ÓÅ ÅÇÏ
ËÒÁÔÎÙÅ aa′ , ÏÓËÏÌØËÕ '(aa′) = '(a)'(a′) = 0 . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ker ' Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÏÄËÏÌØ ÏÍ × A .
ïÂÒÁÚ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ËÏÌÅ ' : A - B , ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄËÏÌØ ÏÍ
× B . ïÔÍÅÔÉÍ, ÏÄÎÁËÏ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÄËÏÌØ Ï ÍÏÖÅÔ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÅÄÉÎÉ Ù, ÏÓËÏÌØËÕ 1 ∈ A ÍÏÖÅÔ ÎÅ ÅÒÅÊÔÉ × 1 ∈ B . îÁÒÉÍÅÒ, ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
'
Z - Z=(6) ;
ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ ×ÓÅ Þ£ÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ × [0℄6, Á ×ÓÅ ÎÅÞ£ÔÎÙÅ | × [3℄6, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ËÏÌÅ , É '(1) = [3℄6 6= [1℄6 .
ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÄÌÑ ÅÌÏÓÔÎÏÇÏ ËÏÌØ Á B ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï
44
§3. ëÏÌØ Á É ÏÌÑ ×ÙÞÅÔÏ×
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 3.2
ìÀÂÏÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ËÏÌØ Á Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ × ÅÌÏÓÔÎÏÅ
ËÏÌØ Ï ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÅÄÉÎÉ Õ × ÅÄÉÎÉ Õ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÁË ËÁË '(1) = '(1 · 1) = '(1) · '(1), ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
'(1)('(1) − 1) = 0, ËÏÔÏÒÏÅ × ÅÌÏÓÔÎÏÍ ËÏÌØ Å ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÌÉÂÏ ÒÉ '(1) = 1,
ÌÉÂÏ ÒÉ '(1) = 0. ÷Ï ×ÔÏÒÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ∀ a ∈ A '(a) = '(1 · a) = '(1)'(a) = 0 . 3.4.4. çÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÙ ÏÌÅÊ. åÓÌÉ ËÏÌØ Á A É B Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÌÑÍÉ, ÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ËÏÌÅ ' : A - B Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÙÈ ÇÒÕ ÜÔÉÈ ÏÌÅÊ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, '(a=b) = '(a)='(b) ÄÌÑ ×ÓÅÈ a
É ×ÓÅÈ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ b .
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 3.3
ìÀÂÏÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÉÚ ÏÌÑ × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ËÏÌØ Ï Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÌÏÖÅÎÉÅÍ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÓÌÉ '(a) = 0 ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÎÉÂÕÄØ a 6= 0, ÔÏ ∀ b ∈ A
' (b) = ' ba−1 a = ' ba−1 '(a) = 0 :
ðÏÜÔÏÍÕ ÌÀÂÏÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÉÚ ÏÌÑ ÉÍÅÅÔ ÎÕÌÅ×ÏÅ ÑÄÒÏ.
3.5. ëÉÔÁÊÓËÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÏÓÔÁÔËÁÈ. ðÕÓÔØ ÞÉÓÌÏ n ∈ Z Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ m ÏÁÒÎÏ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÈ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ: n = n1n2 · · · nm . ðÏËÁÖÅÍ,
ÞÔÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ËÏÌØ Ï ×ÙÞÅÔÏ× Z=(n) ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÒÑÍÏÍÕ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ
ËÏÌÅ ×ÙÞÅÔÏ× Z=(ni), Ô. Å. ÏÓÔÒÏÉÍ ÔÁËÏÅ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
( ) '- (Z=(n1)) × (Z=(n2)) × · · · × (Z=(nm)) ;
ÞÔÏ ∀ a; b ∈ Z=(n) '(a + b) = '(a)+ '(b) É '(ab) = '(a)'(b) × Q Z=(ni). úÁÄÁÄÉÍ
' ÒÁ×ÉÌÏÍ
' ([z ℄n ) def
= ([z℄n ; [z℄n ; : : : ; [z℄nm ) ∀ z ∈ Z :
üÔÏ ÒÁ×ÉÌÏ ËÏÒÒÅËÔÎÏ (ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÞÉÓÌÁ z ∈ Z × ËÌÁÓÓÅ [z℄n ⊂ Z),
ÏÓËÏÌØËÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï [z1℄n = [z2℄n ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÁÚÎÏÓÔØ z1 − z2 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ
n = n1 n2 · · · nm , Á ÚÎÁÞÉÔ, ÏÎÁ ÄÅÌÉÔÓÑ É ÎÁ ËÁÖÄÏÅ ni , É ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ
i ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï [z1 ℄ni = [z2 ℄ni . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ' Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ:
Z= n
1
2
' ([z ℄n + [w℄n ) = ' ([z + w℄n ) = ([z + w℄n ; [z + w℄n ; : : : ; [z + w℄nm ) =
= ([z℄n + [w℄n ; [z℄n + [w℄n ; : : : ; [z℄nm + [w℄nm ) =
= ([z℄n ; [z℄n ; : : : ; [z℄nm ) + ([w℄n ; [w℄n ; : : : ; [w℄nm ) = ' ([z℄n) + ' ([w℄n)
1
1
1
2
1
2
2
2
1
2
É ÒÏ×ÎÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÒÏÉÚÏÊÄ£Ô Ó ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ.
3.5. ëÉÔÁÊÓËÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÏÓÔÁÔËÁÈ
45
ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ' ÎÕÌÅ×ÏÅ ÑÄÒÏ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÌÁÓÓ [z℄n ∈ ker('). ðÏÓËÏÌØËÕ
ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ i ËÌÁÓÓ [z℄ni ÎÕÌÅ×ÏÊ, z ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ËÁÖÄÏÅ ni, Á ÔÁË ËÁË ×ÓÅ ni
ÏÁÒÎÏ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ, ÔÏ Ï ÌÅÍ. 2.1 z ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÉÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ
ÒÁ×ÎÏ n. ÅÍ ÓÁÍÙÍ [z℄n = 0, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.
ðÏ ÒÅÄÌ. 3.1 ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÑÄÒÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÌÏÖÅÎÉÅÍ. á ÔÁË ËÁË
ÏÂÁ ËÏÌØ Á Z=(n) É Q Z=(ni) ÓÏÓÔÏÑÔ ÉÚ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× n = Q ni,
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ' ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÂÉÅË ÉÅÊ. üÔÏÔ ÆÁËÔ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ËÁË
.
îÁ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ËÉÔÁÊÓËÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÏÓÔÁÔËÁÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ
ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÏÓÔÁÔËÏ× r1; r2; : : : ; rm ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ ÏÁÒÎÏ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÅ
ÞÉÓÌÁ n1; n2; : : : ; nm ÍÏÖÎÏ ÏÄÏÂÒÁÔØ ÔÁËÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ z, ËÏÔÏÒÏÅ ÄÁ£Ô ÏÓÔÁÔÏË
ri ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ
ÉÚ ni, ÒÉÞ£Í ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÞÉÓÌÁ z1, z2, ÒÅÛÁÀÝÉÅ ÜÔÕ
ÚÁÄÁÞÕ, ÒÁÚÌÉÞÁÀÔÓÑ ÎÁ ÅÌÏÅ ËÒÁÔÎÏÅ ÞÉÓÌÁ n = n1n2 · · · nk .
äÌÑ ÒÁËÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ ÔÁËÏÇÏ ÞÉÓÌÁ z ÏÌÅÚÎÏ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ' ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ, ÎÅ ÒÉÂÅÇÁÑ Ë ÒÅÄÌ. 3.1.
äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÚ ×ÚÁÉÍÎÏÊ ÒÏÓÔÏÔÙ ÞÉÓÌÁ ni Ó ÏÓÔÁÌØÎÙÍÉ n
×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ni ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÏ É Ó ÉÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ mi = Q n (ÓÍ. ÌÅÍ. 2.1),
6=i
Ô. Å. ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ i ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÔÁËÉÅ xi; yi ∈ Z, ÞÔÏ nixi + miyi = 1. þÉÓÌÏ bi = miyi
ÄÁ£Ô ÏÓÔÁÔÏË 1 ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ ni É ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ×ÓÅ n Ó 6= i , É ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÚÑÔØ
z = r1 b1 + r2 b2 + · · · + rm bm :
äÌÑ ÄÅÍÏÎÓÔÒÁ ÉÉ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ ÎÁÊÄ£Í, Ë ÒÉÍÅÒÕ, ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÉÍÅÀÝÅÅ ÏÓÔÁÔËÉ r1 = 2, r2 = 7 É r3 = 43 ÏÔ
ÄÅÌÅÎÉÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÎÁ n1 = 57, n2 = 91 É n3 = 179.
óÎÁÞÁÌÁ ÎÁÊÄ£Í y1 ∈ Z, ÔÁËÏÅ ÞÔÏ 91 · 179 · y1 ≡ 1 (mod 57) . ðÏÓËÏÌØËÕ
91 · 179 ≡ 34 · 8 ≡ −13 (mod 57) , ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÁÌÇÏÒÉÔÍ å×ËÌÉÄÁ Ë
E0 = 57 É E1 = 13. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÌÕÞÉÍ 22 · 13 − 5 · 57 = 1. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
b1 = −22 · 91 · 179 (≡ 22 · 13 (mod 57))
ÄÁ£Ô ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÎÁ 57, 91 É 179 ÏÓÔÁÔËÉ (1; 0; 0). áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÁÈÏÄÉÍ ÞÉÓÌÁ
b2 = −33 · 57 · 179 (≡ 33 · 11 (mod 91))
b3 = −45 · 57 · 91 (≡ 45 · 4 (mod 179))
ÄÁÀÝÉÅ ÒÉ ÄÅÌÅÎÉÉ ÎÁ 57, 91 É 179 ÏÓÔÁÔËÉ (0; 1; 0) É (0; 0; 1) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ.
ÏÇÄÁ ÔÒÅÂÕÅÍÙÅ ÏÓÔÁÔËÉ (2; 7; 43) ÉÍÅÅÔ ÞÉÓÌÏ
z = 2 b1 + 7 b2 + 43 b3 =
= −(2 · 22 · 91 · 179 + 7 · 33 · 57 · 179 + 43 · 45 · 57 · 91) =
= −(716 716 + 2 356 893 + 10 036 845) = −13 110 454 ;
ËÉÔÁÊÓËÁÑ
ÔÅÏÒÅÍÁ ÏÂ ÏÓÔÁÔËÁÈ
ÎÁ ËÁÖÄÏÅ
46
§3. ëÏÌØ Á É ÏÌÑ ×ÙÞÅÔÏ×
Á ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÄÁÀÝÉÅ ÔÁËÉÅ ÏÓÔÁÔËÉ, ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÏÔ ÎÅÇÏ ÎÁ ÅÌÙÅ
ËÒÁÔÎÙÅ ÞÉÓÌÁ n = 57 · 91 · 179 = 928 473. îÁÉÍÅÎØÛÉÍ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÓÒÅÄÉ
ÎÉÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ z + 15 n = 816 641.
3.6. ðÒÏÓÔÏÅ ÏÄÏÌÅ É ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÁ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÌØ Á Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ
K ÉÍÅÅÔÓÑ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ
Z
-K
κ
( ) = ±(1| + 1 +{z· · · + 1}) ÄÌÑ n ∈ N :
κ ±n
(3-9)
n
. ÷ ÒÏÔÉ×åÓÌÉ κ ÉÎßÅËÔÉ×ÅÎ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ K ÉÍÅÅÔ
ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ
ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ p, ÄÌÑ
ËÏÔÏÒÏÇÏ
1| + 1 +{z· · · + 1} = 0 :
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÕ ÎÕÌØ
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÏÊ
p
èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÁ ËÏÌØ Á K ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ har(K ) .
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 3.4
èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÁ ÅÌÏÓÔÎÏÇÏ ËÏÌØ Á ÌÉÂÏ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ ÌÉÂÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÓÔÙÍ
ÞÉÓÌÏÍ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. óÕÍÍÁ ÌÀÂÏÇÏ ÓÏÓÔÁ×ÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÅÄÉÎÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÓÕÍÍ ÍÅÎØÛÉÈ ËÏÌÉÞÅÓÔ× ÅÄÉÎÉ :
|1 + 1 +{z· · · + 1} = (1| + 1 +{z· · · + 1})(1| + 1 +{z· · · + 1}) ;
mn
m
n
É ÅÓÌÉ × K ÎÅÔ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÎÕÌÑ, ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÎÕÌÀ ÔÁËÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ×ÙÔÅ
ËÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÎÕÌÀ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ.
3.6.1. ðÒÏÓÔÏÅ ÏÄÏÌÅ. ðÕÓÔØ K = F Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÅÍ. îÁÉÍÅÎØÛÅÅ Ï
×ËÌÀÞÅÎÉÀ ÏÄÏÌÅ × F, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ 1 É 0, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
× F.
÷ ÓÉÌÕ Ó×ÏÅÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÏÓÔÏÅ ÏÄÏÌÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÂÒÁÚ im(κ) ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ (3-9). åÓÌÉ har(F) = p > 0, ÒÏÓÔÏÅ ÏÄÏÌÅ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó im(κ) É
ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÏÌÀ Fp. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ (p) ⊂ ker κ É ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
- F, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ a (mod p) × κ (a), ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
Z=(p)
ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÙÍ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ. ðÏ ÒÅÄÌ. 3.3 ÜÔÏÔ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÉÎßÅËÔÉ×ÅÎ,
Ô. Å. Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÎÁ ÏÂÒÁÚ κ. éÔÁË, ÒÏÓÔÙÍ ÏÄÏÌÅÍ × ÏÌÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ p > 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÏÌÅ Fp.
åÓÌÉ har(F) = 0, Ô. Å. κ(q) 6= 0 ÒÉ q 6= 0 , ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ κ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ ÄÏ
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÏÌÅÊ
p=q7→κ(p)=κ(q) κ:Q
F:
ðÏ ÒÅÄÌ. 3.3 ÏÎ ÉÎßÅËÔÉ×ÅÎ. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÒÏÓÔÏÅ ÏÄÏÌÅ ÏÌÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ
ÎÕÌØ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÏÌÀ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ Q.
ÒÏÓÔÙÍ ÏÄÏÌÅÍ
⊂
47
úÁÄÁÞÉ Ë §3
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 3.10. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍ ÏÌÑ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÁ ÍÅÓÔÅ
ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ ÅÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ÏÄÏÌÑ.
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÌÅ Q ÏÓÔÁ£ÔÓÑ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÍ ÒÉ ÌÀÂÏÍ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÅ ÏÌÅÊ R É C.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 3.11. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÅÖÄÕ ÏÌÑÍÉ ÒÁÚÎÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÎÅÔ ÎÅ-
ÎÕÌÅ×ÙÈ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×.
3.6.2. çÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ æÒÏÂÅÎÉÕÓÁ. åÓÌÉ har(F) = p > 0, ÔÏÖÅ ÓÁÍÏÅ ×Ù-
ÞÉÓÌÅÎÉÅ, ÞÔÏ É × (n◦ 3.2), ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ
p−1
X
∀ a; b ∈ F (a + b)p = ap +
(1| + 1 +{z· · · + 1})ak bp−k + bp = ap + bp :
k=1
(kp)
ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÑ × p-ÔÕÀ ÓÔÅÅÎØ
x7→xp Fp : F
F
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÉÚ ÏÌÑ F × ÓÅÂÑ. ïÎ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. óÏÇÌÁÓÎÏ ÍÁÌÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ æÅÒÍÁ (ÓÌ. 3.1 ÎÁ ÓÔÒ. 39) ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ æÒÏÂÅÎÉÕÓÁ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÒÏÓÔÏÍ ÏÄÏÌÅ Fp ⊂ F .
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ æÒÏ-
ÂÅÎÉÕÓÁ
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §3
úÁÄÁÞÁ 3.1. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÎÏÄ(a; b) É ÒÅÄÓÔÁ×ØÔÅ ÅÇÏ × ×ÉÄÅ ax + by
x; y ∈ Z ÄÌÑ
ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ (a; b): Á) ( 17 ; 13 ) Â) ( 44 863 ; 70 499 ) ×) ( 8 385 403 ; 2 442 778 ) .
úÁÄÁÞÁ 3.2. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ:
Á) a2 + b2 ... 7 ⇒ a ... 7 É b ... 7
Â) a3 + b3 + 3 ... 7 ⇒ ab ... 7
×) a2 + b2 + 2 + d2 + e2 ... 9 ⇒ ab de ... 9 .
úÁÄÁÞÁ 3.3. éÍÅÅÔ ÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x2 + y 2 + z 2 = 2 xyz ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ × ÅÌÙÈ
ÞÉÓÌÁÈ?
úÁÄÁÞÁ 3.4. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ËÌÁÓÓ a ∈ Z=(n) É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
x7→ax
- Z=(n) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÔÉÍÏÓÔØ ËÌÁÓÓÁ a
ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ : Z=(n)
ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ: Á) a ÎÅ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÎÕÌÑ Â) ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏ
×) ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÏ
Ç) ÂÉÅËÔÉ×ÎÏ.
úÁÄÁÞÁ 3.5 (ÔÅÏÒÅÍÁ üÊÌÅÒÁ). ðÕÓÔØ × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ a ÏÂÒÁÔÉÍ.
éÚÏÂÒÁÚÉÍ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ Z=(n) ÔÏÞËÁÍÉ, É ÒÏ×ÅÄ£Í ÉÚ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÉ x ÓÔÒÅÌËÕ ×
ÔÏÞËÕ ax. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁ ÜÔÏÊ ËÁÒÔÉÎËÅ
Á) Ä×ÉÖÅÎÉÅ Ï ÓÔÒÅÌËÁÍ ÒÁÓÁÄÁÅÔÓÑ ÎÁ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÉËÌÙ
Â) ×ÓÑËÉÊ ÉËÌ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÈÏÔØ ÏÄÉÎ ÏÂÒÁÔÉÍÙÊ ×ÙÞÅÔ, ×ÅÓØ ÓÏÓÔÏÉÔ ÔÏÌØËÏ
ÉÚ ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ×ÙÞÅÔÏ×
×) ×ÓÅ ÉËÌÙ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÅ ÉÚ ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ×ÙÞÅÔÏ×, ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÕÀ ÄÌÉÎÕ
Ç) a'(n) = 1, ÇÄÅ '(n) ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÏÌØ Á Z=(n).
48
úÁÄÁÞÉ Ë §3
úÁÄÁÞÁ 3.6. äÅÌÉÔÓÑ ÌÉ
Á) 22225555 + 55552222 ÎÁ 7? Â) 270 + 370 ÎÁ 13?
úÁÄÁÞÁ 3.7. îÁÊÄÉÔÅ ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ 20072008
2009
ÎÁ 11.
úÁÄÁÞÁ 3.8. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÏÓÔÁÔËÉ ×ÓÅÈ ÓÔÅÅÎÅÊ ÄÅÓÑÔËÉ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ 2, 5, 4, 3, 9, 11,
7, 13 É ÕËÁÖÉÔÅ ËÁË ÍÏÖÎÏ ÂÏÌÅÅ ÒÏÓÔÙÅ ÓÏÓÏÂÙ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ ÏÓÔÁÔËÁ ÄÁÎÎÏÇÏ
ÞÉÓÌÁ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ 2, 5, 4, 3, 9, 11, 7, 13 Ï ÉÆÒÁÍ ÅÇÏ ÄÅÓÑÔÉÞÎÏÊ ÚÁÉÓÉ
(ÎÁÒÉÍÅÒ: ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ 3 ÒÁ×ÅÎ ÏÓÔÁÔËÕ ÓÕÍÍÙ ÉÆÒ).
úÁÄÁÞÁ 3.9 (ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÅ ËÏÒÎÉ × ËÏÌØ Å ×ÙÞÅÔÏ×). îÁÉÍÅÎØÛÅÅ k ∈ N, ÔÁ-
ËÏÅ ÞÔÏ bk = 1 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÒÑÄËÏÍ ÏÂÒÁÔÉÍÏÇÏ ×ÙÞÅÔÁ a. ÷ÙÞÅÔ a ∈ Z=(n)
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÍ ËÏÒÎÅÍ Ï ÍÏÄÕÌÀ n, ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ
ËÏÌØ Á Z=(n) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÅÇÏ ÓÔÅÅÎÑÍÉ.
Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÔÉÍÙÊ ×ÙÞÅÔ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÍ ËÏÒÎÅÍ, ËÏÇÄÁ ÅÇÏ ÏÒÑÄÏË ÒÁ×ÅÎ '(n).
Â) ðÕÓÔØ ÏÒÑÄËÉ k1 ; k2 ; : : : ; kn ×ÙÞÅÔÏ× a1 ; a2 ; : : : ; an ÏÁÒÎÏ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ.
þÅÍÕ ÒÁ×ÅÎ ÏÒÑÄÏË ×ÙÞÅÔÁ a = a1 · · · an ?
×) ðÕÓÔØ ×ÙÞÅÔÙ ÏÒÑÄËÏ× k É m ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ×ÙÞÅÔ ÏÒÑÄËÁ
ÎÏË(k; m) ?
Ç) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÊ ËÏÒÅÎØ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ Ï ÌÀÂÏÍÕ ÒÏÓÔÏÍÕ ÍÏÄÕÌÀ.
Ä) ðÕÓÔØ % | ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÊ ËÏÒÅÎØ Ï ÒÏÓÔÏÍÕ ÍÏÄÕÌÀ p > 2. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ # ∈ N, ÔÁËÏÅ ÞÔÏ
(% + p#)p−1 ≡ 1 (mod p) ,
ÎÏ
(% + p#)p−1 6≡
1 (mod p2 ) , É ÞÔÏ ËÌÁÓÓ % + p# Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÍ ËÏÒÎÅÍ Ï ÍÏÄÕÌÀ pk
ÄÌÑ ×ÓÅÈ k ∈ N.
Å) äÏËÁÖÉÔÅ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÏÇÏ ËÏÒÎÑ Ï ÍÏÄÕÌÀ 2 pk ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÒÏÓÔÙÈ p É ×ÓÅÈ kN.
Ö) óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÊ ËÏÒÅÎØ Ï ÍÏÄÕÌÀ 21?
úÁÄÁÞÁ 3.10 (ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÙ). ÷ÙÞÅÔ a ∈ Z=(n) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÏÍ , ÅÓÌÉ
Á) ÌÀÂÏÊ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ÎÕÌÑ
a2 = a. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Â) a ÉÄÅÍÏÔÅÎÔ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ 1 − a ÉÄÅÍÏÔÅÎÔ.
×) ðÒÉ ËÁËÉÈ n × Z=(n) ÉÍÅÀÔÓÑ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÙ?
Á) n = 6
Â) n = 36
úÁÄÁÞÁ 3.11. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÙ × Z=(n) ÄÌÑ
m
m
1 m2
n
×) n = p1 p2 · · · pn Ç) n = p p · · · p
(ÇÄÅ pi ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ)
1
2
n
ÅÌÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ:
Á) 28 x + 30 y + 31 z = 365
Â) 1537 x + 1387 y = 1 ×) 5 x + 7 y = 11 Ç) 26 x + 32 y = 60 Ä) 169 x + 221 y = 26
úÁÄÁÞÁ 3.12. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ
úÁÄÁÞÁ 3.13. þÅÍÕ ÒÁ×ÎÏ 91-Å ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÄÁÀÝÅÅ ÏÓÔÁÔËÉ:
Á) 2 É 7 ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÎÁ 57 É 179?
Â) 1, 2, 3 ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ 2, 3, 5?
×) 2, 4, 6, 8 ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ 5, 9, 11, 14?
úÁÄÁÞÁ 3.14. óËÏÌØËÏ ÒÅÛÅÎÉÊ ÉÍÅÅÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x2 = 1 × Z=(n) ÒÉ Þ£ÔÎÏÍ n ⩾ 4 ?
úÁÄÁÞÁ 3.15. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ m ∈ N ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ n ∈ N, ÔÁËÏÅ ÞÔÏ ÕÒÁ×-
ÎÅÎÉÅ x2 = 1 ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÍÅÎÅÅ m ÒÅÛÅÎÉÊ × Z=(n).
49
úÁÄÁÞÉ Ë §3
Á) x3 = 1 Â) x2 = 49 × ËÏÌØ Å
úÁÄÁÞÁ 3.16. óËÏÌØËÏ ÒÅÛÅÎÉÊ ÉÍÅÀÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
×ÙÞÅÔÏ× Z=(360) ?
úÁÄÁÞÁ 3.17. îÁÉÛÉÔÅ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ xm + a1 xm−1 + · · · + am−1 x + am
ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ×ÏÚÍÏÖÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ai ∈ Z=(n), ÉÍÅÀÝÉÊ ×
Z=(n) ÒÏ×ÎÏ n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ÄÌÑ
Á) n = 101 Â) n = 111 ×) n = 121
úÁÄÁÞÁ 3.18 (ÆÕÎË ÉÑ üÊÌÅÒÁ). æÕÎË ÉÑ f : Z
- C ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁ-
, ÅÓÌÉ f (mn) = f (m)f (n) ÒÉ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÈ m, n.
Á) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ '(n) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÙÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÏÍ
Â) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ n = pk11 · · · pknn (ÇÄÅ ×ÓÅ pi ÒÏÓÔÙ É ÒÁÚÌÉÞÎÙ)
ÔÉ×ÎÙÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÏÍ
'(n) = n ·
1
1−
p1
···
1
1−
:
pn
×) îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ n Ó '(n) = 10.
úÁÄÁÞÁ 3.19 (ÆÕÎË ÉÑ í£ÂÉÕÓÁ). æÕÎË ÉÑ í£ÂÉÕÓÁ (n) ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ËÁÖÄÏÍÕ
n ∈ N ÎÕÌØ, ÅÓÌÉ n ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ Ë×ÁÄÒÁÔ ÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ, É (−1)s , ÇÄÅ s | ÞÉÓÌÏ
×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÒÏÓÔÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ n, ÅÓÌÉ n ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ Ë×ÁÄÒÁÔÙ ÒÏÓÔÙÈ
ÞÉÓÅÌ; ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, (1) = 1 . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) (n) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
( ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÙÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÏÍ ÞÉÓÌÁ n
1 ÒÉ n = 1
P
Â) (d) =
0 ÒÉ n > 1
d|n
úÁÄÁÞÁ 3.20 (ÏÂÒÁÝÅÎÉÅ í£ÂÉÕÓÁ). ðÕÓÔØ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ N
n ∈ N ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÕÍÍÙ (n) =
P
d|n
g-
C ÒÉ ËÁÖÄÏÍ
g(d). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ g ×ÏÓ-
ÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ Ï ÆÕÎË ÉÉ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ g(n) =
úÁÄÁÞÁ 3.21. äÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ m ∈ N ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ
P
d|m
P
d|n
(d) · (n=d) .
'(d) .
úÁÄÁÞÁ 3.22. òÅÛÉÔÅ × Fp ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x2 = 1 É ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÎÅÎÕÌÅ-
×ÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÏÌÑ Fp .
úÁÄÁÞÁ 3.23 (ÔÅÏÒÅÍÁ ÷ÉÌØÓÏÎÁ). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ p ⩾ 2 ÒÏ-
ÓÔÏ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ (p − 1)! + 1 ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p.
úÁÄÁÞÁ 3.24. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÁÑ ÇÒÕÁ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÏÌÑ
Fp
ÉËÌÉÞÅÓËÁÑ1.
p−1
úÁÄÁÞÁ 3.25. ëÁËÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÉÎÉÍÁÀÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ xp − x , xp−1 É x 2 ÎÁ Fp É
ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÉÚ Fp ?
úÁÄÁÞÁ 3.26. ÷ÙÑÓÎÉÔÅ, ÓËÏÌØËÏ × ÏÌÅ Fp ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×, É ÏËÁ-
ÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x2 + y2 = −1 ÒÁÚÒÅÛÉÍÏ × Fp ÒÉ ÌÀÂÏÍ p.
1
Ô. Å. ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÜÔÏÊ ÇÒÕÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÔÅÅÎÑÍÉ ËÁËÏÇÏ-ÎÉÂÕÄØ ÏÄÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ
50
úÁÄÁÞÉ Ë §3
úÁÄÁÞÁ 3.27 (ÌÅÍÍÁ çÁÕÓÓÁ). ÷ÙÉÛÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÌÑ Fp × ÓÔÒÏËÕ ×ÉÄÁ:
−[(p − 1)=2℄ ; : : : ; −[1℄ ; [0℄ ; [1℄ ; : : : ; [(p − 1)=2℄ :
äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ a ∈ Fp ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ, ËÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ €ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙȁ ÞÉÓÅÌ ÜÔÏÊ ÚÁÉÓÉ, ÓÔÁÎÏ×ÑÝÉÈÓÑ €ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍɁ ÏÔ
ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ a, Þ£ÔÎÏ.
úÁÄÁÞÁ 3.28. ðÒÉ ËÁËÉÈ p × Fp ÒÁÚÒÅÛÉÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
Á) x2 = −1 Â) x2 = 2
úÁÄÁÞÁ 3.29. ðÒÉ ËÁËÏÍ ÒÏÓÔÏÍ p ÅÓÔØ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ Z[i℄
- Fp ?
úÁÄÁÞÁ 3.30 (Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ×ÚÁÉÍÎÏÓÔØ). ðÕÓÔØ p | ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ. óÏÏÓÔÁ-
×ÉÍ ËÁÖÄÏÍÕ n ∈ Z ÓÉÍ×ÏÌ ìÅÖÁÎÄÒÁ { ñËÏÂÉ

 0 , ÅÓÌÉ n ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p
n def 
1 , ÅÓÌÉ n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ Ï ÍÏÄÕÌÀ p
=

p

−1 , ÅÓÌÉ n ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ Ï ÍÏÄÕÌÀ p
Á) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ p ÓÉÍ×ÏÌ
ÎÙÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÏÍ ÞÉÓÌÁ n (ÓÍ. ÚÁÄ. 3.18).
p− 1 X
n
Â) ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ
p
n=1
n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×p
p−1
2m · j
sin
2
Q
p
.
×) óÒÁ×ÎÉÔÅ ÚÎÁË mp ÓÏ ÚÎÁËÏÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ
j =1 sin 2p · j
Ç) òÁÚÌÏÖÉ× ×ÓÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÓÉÎÕÓÏ× × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Å Ï ÆÏÒÍÕÌÁÍ ÉÚ
ÚÁÄ. 2.6, ÄÏËÁÖÉÔÅ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ p; q ∈ N Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÊ ÚÁËÏÎ ×ÚÁÉÍÎÏÓÔÉ çÁÕÓÓÁ
p−1 q −1
p
q
·
= (−1) 2 2 :
q
p
43 .
Ä) îÁÊÄÉÔÅ 109
úÁÄÁÞÁ 3.31. äÏËÁÖÉÔÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ Ó×ÏÊÓÔ× ÒÏÓÔÏÇÏ
Á) −1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ × Fp
Â) p 6≡ 3 (mod 4)
ÞÉÓÌÁ p ∈ N:
1
×) p ÅÒÅÓÔÁ£Ô ÂÙÔØ ÒÏÓÔÙÍ × ËÏÌØ Å ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÞÉÓÅÌ Z[i℄
Ç) p Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÍÍÏÊ Ä×ÕÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
úÁÄÁÞÁ 3.32 (ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ × ÓÕÍÍÕ Ä×ÕÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×). ÷ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ ×
ËÏÌØ Å ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÞÉÓÅÌ Z[i℄ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ2 ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÉ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ ÎÉ ÓÕÍÍÏÊ Ä×ÕÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×, ËÏÇÄÁ × ÅÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ×ÈÏÄÉÔ ÎÅÞ£ÔÎÁÑ ÓÔÅÅÎØ ÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ×ÉÄÁ
4k + 3.
Ô. Å. ÒÁÓÁÄÁÅÔÓÑ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÞÉÓÅÌ ÓÏ ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÉÍ ÍÏÄÕÌÅÍ
Ô. Å. ÎÅÒÁÚÌÏÖÉÍÙÅ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÎÅÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ; ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ ÜÔÕ
ÔÅÏÒÅÍÕ × §6
1
2
§4. íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ É ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÞÉÓÌÁ
÷ÓÀÄÕ × ÜÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ÞÅÒÅÚ K ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ
ËÏÌØ Ï Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ, Á ÞÅÒÅÚ k | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÏÌÅ.
4.1. òÑÄÙ É ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ. âÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
X
a t = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + · · · Ó ai ∈ K
A(t) =
(4-1)
⩾0
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÔ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ t Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ
× ËÏÌØ Å K . ä×Á ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÔÅÅÎÎÙÈ ÒÑÄÁ
A(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + · · ·
(4-2)
B (t) = b0 + b1 t + b2 t2 + · · ·
, ÅÓÌÉ ai = bi ÄÌÑ ×ÓÅÈ i. òÁÄ (4-1), Õ ËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ËÒÏÍÅ
a0 ÎÕÌÅ×ÙÅ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
.
óÌÏÖÅÎÉÅ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÒÑÄÏ× (4-2) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍÉ ÒÁ×ÉÌÁÍÉ
ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓËÏÂÏË É ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ÏÄÏÂÎÙÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ: ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ tm Õ
ÓÕÍÍÙ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ
S (t) = A(t) + B (t) = s0 + s1 t + s2 t2 + · · ·
P (t) = A(t)B (t) = p0 + p1 t + p2 t2 + · · ·
×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ Ï ÒÁ×ÉÌÁÍ1
s = a + b
X
(4-3)
a b = a0 b + a1 b − 1 + · · · + a 0 b p =
ÆÏÒÍÁÌØÎÙÍ ÓÔÅÅÎÎÙÍ ÒÑÄÏÍ
ÒÁ×ÎÙ
ËÏÎÓÔÁÎÔÏÊ
+ =
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 4.1. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÏÅÒÁ ÉÉ (4-3) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÁËÓÉÏÍÁÍ ËÏÍ-
ÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÇÏ ËÏÌØ Á Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ.
ëÏÌØ Ï ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÔÅÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ× ÏÔ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ t Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ×
ËÏÌØ Å K ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ K [[t℄℄ . îÁÞÁÌØÎÙÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ a0 ÒÑÄÁ (4-1) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ. ðÅÒ×ÙÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÑÄÁ
A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ.
åÓÌÉ × ËÏÌØ Å K ÎÅÔ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÎÕÌÑ, ÍÌÁÄÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ
Ä×ÕÈ ÒÑÄÏ× ÒÁ×ÅÎ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÍÌÁÄÛÉÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ËÏÌØ Ï ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÔÅÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ× Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÉÚ ÅÌÏÓÔÎÏÇÏ
ËÏÌØ Á ÓÁÍÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÌÏÓÔÎÙÍ.
Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÞÌÅÎÏÍ
ÍÌÁÄÛÉÍ
ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÜÔÉ ÒÁ×ÉÌÁ ÚÁÄÁÀÔ ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÑÍÉ (a ) É (b )
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÏÌØ Á K , É ÂÕË×Á t ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÌÉÛØ ÄÌÑ ÏÂÌÅÇÞÅÎÉÑ ×ÏÓÒÉÑÔÉÑ ÜÔÉÈ ÒÁ×ÉÌ
1
51
52
§4. íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ É ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÞÉÓÌÁ
ëÏÌØ Ï K [[x1 ; x2 ; : : : ; xn℄℄ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÔÅÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ× ÏÔ n ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ
x1 ; x2 ; : : : ; xn ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ:
K [[x1 ; x2 ; : : : ; xn ℄℄ = K [[x1 ; x2 ; : : : ; xn−1 ℄℄ [[xn ℄℄
É ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÕÍÍ ×ÉÄÁ
F ( t ) = a0 +
X
a :::n x1 x2 · · · xnn :
1 ;:::;n ∈N
1
1
2
òÑÄÙ Ó ËÏÎÅÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
. íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÏÔ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x1; x2 ; : : : ; xn Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ × ËÏÌØ Å K
ÏÂÒÁÚÕÀÔ × ËÏÌØ Å ×ÓÅÈ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÔÅÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ× ÏÄËÏÌØ Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
K [x1 ; x2 ; : : : ; xn ℄ ⊂ K [[x1 ; x2 ; : : : ; xn ℄℄
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ ÏÄÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ t ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ
f ( t ) = a 0 + a1 t + · · · + a n t n :
ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÜÔÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f , Á ÅÇÏ ÎÏÍÅÒ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f É
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ deg f .
ÍÎÏÇÏÞÌÅ-
ÎÁÍÉ
ÓÔÁÒÛÉÍ
ÓÔÅÅÎØÀ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 4.2. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÍÎÏ-
ÇÏÞÌÅÎÏ× Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÉÚ ÅÌÏÓÔÎÏÇÏ ËÏÌØ Á ÒÁ×ÅÎ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÓÔÁÒÛÉÈ
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ.
éÚ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÉÚ
ÅÌÏÓÔÎÏÇÏ ËÏÌØ Á ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
deg(f1f2) = deg(f1) + deg(f2) :
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÂÒÁÔÉÍÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ËÏÌØ Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ
ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ.
4.2. äÅÌÅÎÉÅ Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ. âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (x) ∈ K [x℄
, ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÁ×ÅÎ ÅÄÉÎÉ Å.
ÒÉ-
×ÅÄ£Î
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 4.1 (ÄÅÌÅÎÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ)
äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f É ÌÀÂÏÇÏ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ u ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÉÚ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ËÏÌØ Á K Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ q ∈ K [x℄
(
ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ f ÎÁ u) É r ∈ K [x℄(
ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ f ÎÁ u),
ÔÁËÉÅ ÞÔÏ f (x) = u(x) · q(x) + r(x) É ÌÉÂÏ deg(r) < deg(u) , ÌÉÂÏ r = 0. åÓÌÉ
ËÏÌØ Ï K ÅÌÏÓÔÎÏÅ, ÔÏ ÔÁËÉÅ q É r ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ Ï f ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ.
ÎÅÏÌÎÏÅ ÞÁÓÔÎÏÅ
ÏÓÔÁÔÏË
53
4.2. äÅÌÅÎÉÅ Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ
óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÏÂÙÞÎÏÇÏ ÄÅÌÅÎÉÑ €ÕÇÏÌËḮ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÏÌÁÇÁÅÍ r0 = f , q0 = 0 É ÄÁÌÅÅ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ
k = 1; 2; : : : ÏËÁ deg(rk−1 ) ⩾ deg(u) ÓÔÒÏÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ
qk (x) = (ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ rk−1 ) · xdeg(rk )−deg(u)
rk (x) = rk−1 (x) − qk (x) · u(x) :
îÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÕ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï f = (q1 + q2 + · · · + qk ) · u + rk , É ÓÔÅÅÎÉ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× qk É rk Ó ËÁÖÄÙÍ ÛÁÇÏÍ ÓÔÒÏÇÏ ÕÍÅÎØÛÁÀÔÓÑ. ÷ ËÏÎ Å ËÏÎ Ï× ÍÙ
ÏÌÕÞÉÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï f = (q1 + q2 + · · · + q`) · u + r` Ó deg(r`) < deg(u).
ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ ËÏÌØ Ï K ÅÌÏÓÔÎÏÅ, Á p, s | ÄÒÕÇÁÑ ÁÒÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ÔÁËÉÈ
ÞÔÏ deg(s) < deg(u) É up + s = f = uq + r. ÏÇÄÁ u(q − p) = r − s, É ÅÓÌÉ p − q 6= 0,
ÔÏ deg(u(q − p)) = deg(u) + deg(q − p) ⩾ deg(u) > deg(r − s). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
p − q = 0, ÏÔËÕÄÁ É r − s = 0 .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
−1
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 4.1
äÌÑ ÌÀÂÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f , g Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÏÌÅ k ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÁÒÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× q; r ∈ k[x℄, ÔÁËÉÈ ÞÔÏ f = g · q + r É ÌÉÂÏ
deg(r) < deg(g), ÌÉÂÏ r = 0 .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. úÁÉÛÅÍ g × ×ÉÄÅ g = a · u, ÇÄÅ a ∈ k | ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ g, a u ∈ k[x℄ ÒÉ×ÅÄ£ÎÅÎ. ÏÇÄÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ f × ×ÉÄÅ f = g · q + r
ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÀ f × ×ÉÄÅ f = u · qe + r, × ËÏÔÏÒÏÍ qe = aq.
4.2.1. ðÒÉÍÅÒ: ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ × ÔÏÞËÅ. ïÓÔÁÔÏË ÏÔ
ÄÅÌÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
ÎÁ ÌÉÎÅÊÎÙÊ Ä×ÕÞÌÅÎ u(x) = x − | ÜÔÏ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ, ÒÁ×ÎÁÑ ÚÎÁÞÅÎÉÀ f ( )
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f ÒÉ x = , × Þ£Í ÌÅÇËÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ x = × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
f (x) = (x − ) · q(x) + r
(× ËÏÔÏÒÏÍ deg r = 0).
ðÏÕÞÉÔÅÌØÎÏ, ÏÄÎÁËÏ, ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÜÔÏÔ ÏÓÔÁÔÏË ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÄÅÌÅÎÉÅÍ
€ÕÇÏÌËḮ. óÌÅÄÕÑ ÁÌÇÏÒÉÔÍÕ ÉÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÒÅÄÌ. 4.1, ÎÁÈÏÄÉÍ:
r1 (x) = (an−1 + an )xn−1 + an−2 xn−2 + · · · + a1 x + a0
r2 (x) = an−2 + (an−1 + an ) xn−2 + an−3 xn−3 + · · · + a1 x + a0
r3 (x) = an−3 + an−2 + (an−1 + an ) xn−2 + an−4 xn−4 + · · · + a1 x + a0
r n = a0 +
··········································
· a1
· a2
···
· an−2
· an−1
+
+
+
+ (
+ · an ) · · ·
54
§4. íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ É ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÞÉÓÌÁ
÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ f ( ) ÔÁË ÎÁÚÙ×ÁÅÍÕÀ
:
ÓÈÅ-
ÍÕ çÏÒÎÅÒÁ
f ( ) = a0 + · a1 + · a2 + · · · + · an−2 + · (an−1 + · an ) · · ·
üÔÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÔÒÅÂÕÅÔ ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÍÅÎØÛÅÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ
ÏÅÒÁ ÉÊ, ÞÅÍ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ f ( ) = a0 + a1 + · · · + an n .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 4.3. îÁÊÄÉÔÅ × ËÏÌØ Å Z[x; y ℄ = Z[x℄[y ℄ ÞÁÓÔÎÏÅ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏ-
ÞÌÅÎÁ yn − xn ÎÁ ÌÉÎÅÊÎÙÊ Ä×ÕÞÌÅÎ (y − x).
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 4.2
ðÕÓÔØ k | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÏÌÅ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
f1 ; f2 ; : : : ; fn ∈ k[x℄
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ d ∈ k[x℄, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÅÌÉÔ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× fi É ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, ÄÅÌÑÝÉÊ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× fi. íÎÏÇÏÞÌÅÎ d ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
f1 h1 + f2 h2 + · · · + fn hn Ó hi ∈ k[x℄
(4-4)
ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ ×ÚÑÔÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ g ∈ k[x℄ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ (4-4) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ d .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ d ÏÞÅ×ÉÄÎÁ: Ä×Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ, ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÄÒÕÇÏÊ, ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÕÀ ÓÔÅÅÎØ É, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ,
ÍÏÇÕÔ ÒÁÚÌÉÞÁÔØÓÑ ÌÉÛØ ÏÓÔÏÑÎÎÙÍ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÁ×ÅÎ ÅÄÉÎÉ Å, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÂÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÏÓÔÁÌØÎÙÈ Ó×ÏÊÓÔ× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ d ÏÌÎÏÓÔØÀ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÀ ÉÚ n◦ 3.1.2. á ÉÍÅÎÎÏ, ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ
(f1; f2; : : : ; fn) = {f1h1 + f2h2 + · · · + fnhn | hi ∈ k[x℄}
(4-5)
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× g ∈ k[x℄, ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÈ × ×ÉÄÅ (4-4). ïÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄËÏÌØ ÏÍ × k[x℄ É ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÙÍ ×ÈÏÄÑÝÉÍ × ÎÅÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ g
ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÁËÖÅ É ×ÓÅ ËÒÁÔÎÙÅ ÅÍÕ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ hg (Ó ÌÀÂÙÍ h ∈ k[x℄). ëÒÏÍÅ
ÔÏÇÏ, (f1; f2; : : : ; fn) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× fi, É ×ÓÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÉÚ
(f1; f2; : : : ; fn) ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× fi.
÷ÏÚØÍ£Í × ËÁÞÅÓÔ×Å d ÌÀÂÏÊ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÉÚ (f1; f2; : : : ; fn) ÎÁÉÍÅÎØÛÅÊ ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÅÊÓÑ ÓÒÅÄÉ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÉÚ (f1; f2; : : : ; fn) ÓÔÅÅÎÉ. ïÓÔÁÔÏË r ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ g ∈ (f1; f2; : : : ; fn) ÎÁ
d ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ r = g − qd É, ÚÎÁÞÉÔ, ÌÅÖÉÔ × ËÏÌØ Å (f1 ; f2 ; : : : ; fn ).
ðÏÓËÏÌØËÕ deg r ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ deg d, ÍÙ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ
r = 0, Ô. Å. ÞÔÏ ×ÓÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ × (f1 ; f2 ; : : : ; fn ) ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ d.
55
4.2. äÅÌÅÎÉÅ Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ
4.2.2. îïä É ×ÚÁÉÍÎÁÑ ÒÏÓÔÏÔÁ. íÎÏÇÏÞÌÅÎ d ÉÚ ÒÅÄÌ. 4.2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× fi É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
ÎÏÄ(f1 ; f2 ; : : : ; fn ) :
éÚ ÒÅÄÌ. 4.2 ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ × ËÏÌØ Å k[x℄ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ×
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f1; f2; : : : ; fm, Ô. Å.
ÏÌÅ, ËÁË É × ËÏÌØ Å Z,
×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÅÄÉÎÉ Õ × ×ÉÄÅ
1 = h 1 f1 + h 2 f2 + · · · + h n fn ;
ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÎÏÄ(f1; f2; : : : ; fn) = 1, Ô. Å. ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÀ Õ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
f1 ; f2 ; : : : ; fn ÏÂÝÉÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ.
ÎÁÉÂÏÌØÛÉÍ ÏÂÝÉÍ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ
×ÚÁÉÍÎÁÑ ÒÏÓÔÏÔÁ
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 4.1
, ÅÓÌÉ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á f = gh ×ÙíÎÏÇÏÞÌÅÎ f ∈ K [x℄ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ g ÉÌÉ h Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÔÉÍÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÏÊ.
ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 4.4. ðÕÓÔØ k | ÌÀÂÏÅ ÏÌÅ. ðÏÌØÚÕÑÓØ ÌÅÍ. 2.1, ÄÏËÁÖÉÔÅ ÓÌÅÄÕ-
ÀÝÕÀ ÔÅÏÒÅÍÕ ÏÂ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ × ËÏÌØ Å
k[x℄: ÌÀÂÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ÒÉÞ£Í ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÔÁËÉÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ p1 p2 · · · pk = f = q1 q2 · · · qm
ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÅ ÞÉÓÌÏ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ k = m, É ÜÔÉ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÎÕÍÅÒÏ×ÁÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ∀ i pi = i qi , ÇÄÅ i ∈ k | ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ.
4.2.3. áÌÇÏÒÉÔÍ å×ËÌÉÄÁ ÉÚ n◦ 2.5.2 ÄÏÓÌÏ×ÎÏ ÅÒÅÎÏÓÉÔÓÑ × ËÏÌØ Ï ÍÎÏ-
ÇÏÞÌÅÎÏ× k[x℄ Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÏÌÅ k . á ÉÍÅÎÎÏ, ÄÌÑ ÁÒÙ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f1(x) É f2(x) Ó deg(f1) ⩾ deg(f2) ÏÌÏÖÉÍ E0 = f1, E1 = f2, É
Ek = ÏÓÔÁÔËÕ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ Ek−2 ÎÁ Ek−1 ÒÉ k ⩾ 1 . óÔÅÅÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Ek
ÂÕÄÕÔ ÓÔÒÏÇÏ ÕÂÙ×ÁÔØ ÄÏ ÔÅÈ ÏÒ, ÏËÁ ËÁËÏÊ-ÔÏ Er ÎÅ ÒÁÚÄÅÌÉÔ ÎÁ ÅÌÏ ÒÅÄÙÄÕÝÉÊ Er−1, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÞÅÇÏ Er+1 ÏÂÒÁÔÉÔÓÑ × ÎÕÌØ. ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Er ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÅÎ ÎÏÄ(f1; f2), ÒÉÞ£Í ÅÓÌÉ ÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ËÁÖÄÏÇÏ
Ek ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÅÇÏ × ×ÉÄÅ Ek = h(1k) f1 + h(2k) f2 , ÔÏ Er = ÎÏÄ(f1 ; f2 )
É Er+1 = 0 (ÔÏÖÅ
ÏÌÕÞÁÔÓÑ
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍÉ
× ÔÁËÏÍ
×ÉÄÅ, Á × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ
r+1)
(r+1)
(r+1)
(r+1)
Er+1 = 0 = h1 f1 + h2 f2 ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ h1 É h2 ÂÕÄÕÔ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÍÉ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑÍÉ, ÄÏÏÌÎÑÀÝÉÍÉ,(r+1)ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ,
f1 É f2 ÄÏ ÉÈ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ
(r+1)
ÏÂÝÅÇÏ ËÒÁÔÎÏÇÏ ÎÏË(f1; f2) = h1 f1 = −h2 f2.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 4.5. äÏËÁÖÉÔÅ ×ÓÅ ÜÔÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ.
îÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
f1 = x7 + 3 x6 + 4 x5 + x4 + 5 x2 + 3 x3 + 3 x + 4
f2 = x5 + 5 x4 + 11 x3 + 12 x2 + 7 x + 4
ÅÒ×ÙÊ ÛÁÇ ÁÌÇÏÒÉÔÍÁ å×ËÌÉÄÁ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë
E0 = x7 + 3 x6 + 4 x5 + x4 + 5 x2 + 3 x3 + 3 x + 4
E1 = x5 + 5 x4 + 11 x3 + 12 x2 + 7 x + 4
E2 = −4 x4 − 13 x3 − 21 x2 − 10 x − 8 = E0 − x2 − 2 x + 3 E1
56
§4. íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ É ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÞÉÓÌÁ
ÄÁÌØÛÅ ÄÅÌÉÔØ ÎÁ E2 ÕÄÏÂÎÅÅ ÎÅ E1, Á 16E1, Á ÏÔÏÍ ÏÄÅÌÉÔØ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÎÁ 16
1 x3 + 5 x2 + 10 x + 8 = 1 (16E + (4 x + 7) E ) =
E3 =
1
2
16
16
3
2
= 4 x16+ 7 E0 − 4 x − x 16− 2 x + 5 E1
ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÛÁÇ ÕÖÅ ÄÁ£Ô ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ
E4 = −16 (x2 + 3 x + 4) = E2 + 16 (4 x − 7) E3 =
= 16 x2 − 3 E0 − 16 x4 − 2 x3 + 2 x − 2 E1
ÏÓËÏÌØËÕ
x+2
E4 =
E5 = E3 +
256
3
2
5
2
= x + 2 x16+ x + 1 E0 − x +16x + 1 E1 = 0 :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
ÎÏÄ(f1 ; f2 ) = x2 + 3 x + 4 = − x2 − 3 f1 (x) + x4 − 2 x3 + 2 x − 2 f2 (x)
ÎÏË(f1 ; f2 ) = x3 + 2 x2 + x + 1 f1 (x) = x5 + x2 + 1 f2 (x) :
4.3. ëÏÒÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. üÌÅÍÅÎÔ
∈ K , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ
f ∈ K [x℄, ÅÓÌÉ f ( ) = 0. ëÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ × n◦ 4.2.1, ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ
ÔÏÍÕ, ÞÔÏ f (x) ÄÅÌÉÔÓÑ × K [x℄ ÎÁ (x − ).
ËÏÒÎÅÍ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 4.3
åÓÌÉ × K ÎÅÔ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÎÕÌÑ, ÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f ∈ K [x℄, ÉÍÅÀÝÉÊ ËÏÒÎÑÍÉ
ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÞÉÓÌÁ 1; 2; : : : ; s ∈ K , ÄÅÌÉÔÓÑ × K [x℄ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ
s
Y
i=1
(x − i ) :
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ f 6= 0, ÔÏ deg(f ) ⩾ s.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. úÁÉÛÅÍ f × ×ÉÄÅ f (x) = (x − 1 ) · f1 (x) . ðÏÓËÏÌØËÕ × K ÎÅÔ
ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÎÕÌÑ, É ( i − 1) 6= 0 ÒÉ i 6= 1, ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
ÚÎÁÞÅÎÉÑ x = 2; 3; : : : ; s, ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ, ÞÔÏ 2; 3; : : : ; s Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÒÎÑÍÉ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f1(x), É ÍÏÖÅÍ Ï×ÔÏÒÉÔØ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 4.2
îÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÉÚ ÅÌÏÓÔÎÏÇÏ ËÏÌØ Á ÎÅ ÍÏÖÅÔ
ÉÍÅÔØ × ÜÔÏÍ ËÏÌØ Å ÂÏÌÅÅ deg(f ) ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ.
4.4. ëÏÌØ Ï ×ÙÞÅÔÏ× k[x℄=(f )
57
ðÕÓÔØ k | ÏÌÅ, É a0 ; a1 ; : : : ; an ∈ k |
ÌÀÂÙÅ n + 1 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÚÎÁÞÅÎÉÊ b0 ; b1 ; : : : ; bn ∈ k ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (x) ∈ k[x℄
ÓÔÅÅÎÉ ⩽ n, ÔÁËÏÊ ÞÔÏ f (ai ) = bi ÒÉ ×ÓÅÈ i = 0; 1; : : : n .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 4.6 (ÆÏÒÍÕÌÁ ìÁÇÒÁÎÖÁ).
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 4.3
ðÕÓÔØ ËÏÌØ Ï K ÅÌÏÓÔÎÏÅ, É f; g ∈ K [x℄ ÉÍÅÀÔ ÓÔÅÅÎÉ, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÉÅ n.
åÓÌÉ f ( i) = g( i) ÄÌÑ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ n ÏÁÒÎÏ ÒÁÚÎÙÈ i ∈ K , ÔÏ f = g × K [x℄ .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. íÎÏÇÏÞÌÅÎ f − g ÎÕÌÅ×ÏÊ, ÏÓËÏÌØËÕ ÉÍÅÅÔ ÓÔÅÅÎØ ⩽ n É
ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ n ËÏÒÎÅÊ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 4.7. ðÕÓÔØ k | ÏÌÅ. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ ⩽ 3 ÎÅÒÉ-
×ÏÄÉÍ × k[x℄ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ Õ ÎÅÇÏ ÎÅÔ ËÏÒÎÅÊ × ÏÌÅ k.
4.3.1. ïÂÝÉÅ ËÏÒÎÉ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. ðÕÓÔØ k | ÏÌÅ. þÉÓÌÏ
ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÝÉÍ ËÏÒÎÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f1; f2; : : : ; fm ∈ k[x℄,
ËÏÇÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÉÈ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ÄÅÌÉÔÅÌÑ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓÌÉ
(x− ) ÄÅÌÉÔ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ fi, ÔÏ Ï ÒÅÄÌ. 4.2 (x− ) ÄÅÌÉÔ ÎÏÄ(f1; f2; : : : ; fm), É ÎÁÏÂÏÒÏÔ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÔÙÓËÁÎÉÅ ÏÂÝÉÈ ËÏÒÎÅÊ ÎÁÂÏÒÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Ó×ÏÄÉÔÓÑ
Ë ÏÔÙÓËÁÎÉÀ ËÏÒÎÅÊ ÉÈ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ÄÅÌÉÔÅÌÑ, ÞÔÏ ÞÁÓÔÏ ÂÙ×ÁÅÔ ÒÏÝÅ,
ÞÅÍ ÏÔÙÓËÁÎÉÅ ËÏÒÎÅÊ ÌÀÂÏÇÏ ÉÚfi × ÏÔÄÅÌØÎÏÓÔÉ, Ô. Ë. deg ÎÏÄ(f1; f2; : : : ; fm)
ÞÁÓÔÏ ÂÙ×ÁÅÔ ÍÅÎØÛÅ min deg(fi) .
åÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ f1; f2; : : : ; fm ∈ k[x℄ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ, ÔÏ ÏÎÉ ÎÅ ÉÍÅÀÔ
ÏÂÝÉÈ ËÏÒÎÅÊ ÎÅ ÔÏÌØËÏ × ÏÌÅ k, ÎÏ É ÎÉ × ËÁËÏÍ ÂÏÌØÛÅÍ ËÏÌØ Å K ⊃ k. ÷
ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÏÓËÏÌØËÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ hi ∈ k[x℄, ÔÁËÉÅ ÞÔÏ
f1 h 1 + f 2 h 2 + · · · + fm h m = 1 ;
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ fi ÎÅ ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ × ÎÕÌØ ÎÉ ÒÉ ËÁËÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ x.
4.4. ëÏÌØ Ï ×ÙÞÅÔÏ× k[x℄=(f ) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ËÏÌØ Õ Z=(n). úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÏÔÌÉÞÎÙÊ ÏÔ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f ∈ k[x℄ É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ
(f ) = {fh | h ∈ k[x℄}
ÏÄËÏÌØ Ï ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ÄÅÌÑÝÉÈÓÑ ÎÁ f . ïÔÎÏÛÅÎÉÅ g1 ≡ g2 (mod f ), Ï
ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÏÚÎÁÞÁÀÝÅÅ, ÞÔÏ g1 − g2 ∈ (f ) , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ É ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ k[x℄ × ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ËÌÁÓÓÏ×
(4-6)
[g℄f = g + (f ) = {g + fh | h ∈ k[x℄} ;
ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
Ï ÍÏÄÕÌÀ f . óÌÏÖÅÎÉÅ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ
ÜÔÉÈ ËÌÁÓÓÏ× ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ
ËÌÁÓÓÁÍÉ ×ÙÞÅÔÏ×
= [gh℄ :
[g℄ + [h℄ def
= [g + h℄ ; [g℄ · [h℄ def
(4-7)
58
§4. íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ É ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÞÉÓÌÁ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 4.8. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ (ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ
ËÌÁÓÓÏ× [g + h℄ É [gh℄ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÅÊ g ∈ [g℄ É h ∈ [h℄), Á ÔÁËÖÅ
×ÙÏÌÎÅÎÉÅ × k[x℄=(f ) ×ÓÅÈ ÁËÓÉÏÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÇÏ ËÏÌØ Á Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ.
îÕÌÅ×ÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ËÏÌØ Á k[x℄=(f ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÌÁÓÓ [0℄f = (f ), ÅÄÉÎÉ ÅÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÌÁÓÓ [1℄f = 1 + (f ). ðÏÓËÏÌØËÕ ÎÉËÁËÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÄÅÌÉÔØÓÑ ÎÁ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ, ËÌÁÓÓÙ ×ÓÅÈ ËÏÎÓÔÁÎÔ ∈ k ÒÁÚÌÉÞÎÙ Ï
ÍÏÄÕÌÀ f . éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÏÌÅ k ÇÏÍÏÍÏÒÆÎÏ ×ËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ËÏÌØ Ï k[x℄=(f )
× ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÄÏÌÑ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ ËÌÁÓÓÁÍÉ ËÏÎÓÔÁÎÔ. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ËÌÁÓÓÏ×
ÞÉÓÅÌ ∈ k ÍÙ ×ÓÀÄÕ ÄÁÌÅÅ ÉÛÅÍ ×ÍÅÓÔÏ [ ℄f .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 4.9. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÌÅ k[x℄=(x −
) ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÏÌÀ k.
ÁË ËÁË ÌÀÂÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ g ∈ k[x℄ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
g = fh + r, ÇÄÅ deg(r) < deg(f ), × ËÁÖÄÏÍ ËÌÁÓÓÅ [g℄f ÉÍÅÅÔÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ
ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌØ r ∈ [g℄f ÓÔÅÅÎÉ deg(r) < deg(f ).
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÁÖÄÙÊ ËÌÁÓÓ ÉÚ k[x℄=(f )
ÚÁÉÓÙ−1
−1
n
n
×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ [a0 + a1x + · · · + an−1x ℄f = a0 + a1# + · · · + an−1# , ÇÄÅ # = [x℄f ,
Á ai ∈ k .
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 4.10. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f ∈ k[x℄ (ÇÄÅ k | ÏÌÅ) ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ
ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ × ËÏÌØ Å ×ÙÞÅÔÏ× k[x℄=(f ) ÎÅÔ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÎÕÌÑ.
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓ # = [x℄f ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ × ËÏÌØ Å k[x℄=(f ) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ
f (#) = 0, Ô. Ë. f (#) = f ([x℄f ) = [f (x)℄f = [0℄f . ðÏÜÔÏÍÕ ÓÌÏÖÅÎÉÅ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ
ËÌÁÓÓÏ× Ï ÒÁ×ÉÌÁÍ (4-7) ÍÏÖÎÏ ÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ËÁË ÆÏÒÍÁÌØÎÏÅ ÓÌÏÖÅÎÉÅ
É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÚÁÉÓÅÊ
(4-8)
a0 + a1 # + · · · + an−1 #n−1 ;
Ï ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍ ÒÁ×ÉÌÁÍ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓËÏÂÏË É ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ÏÄÏÂÎÙÈ, ÎÏ Ó ÕÞ£ÔÏÍ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÓÉÍ×ÏÌ # ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ f (#) = 0.
ðÏ ÜÔÏÊ ÒÉÞÉÎÅ ËÏÌØ Ï k[x℄=(f ) ÞÁÓÔÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÞÅÒÅÚ k[#℄ : f (#) = 0 É
ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
ÏÌÑ k ÚÁÓÞ£Ô
Ë ÎÅÍÕ ËÏÒÎÑ # ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f ∈ k[x℄. ÷ÙÒÁÖÅÎÉÑ (4-8) × ÔÁËÏÍ ËÏÎÔÅËÓÔÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
1.
îÁÒÉÍÅÒ, ËÏÌØ Ï Q[x℄=√(x2 − 2) ÍÏÖÎÏ √×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÚÁÉÓÅÊ ×ÉÄÁ a + b 2, ÇÄÅ ÓÉÍ×ÏÌ 2 ∈ Q[x℄=(x2 − 2) ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ËÌÁÓÓ
x (mod (x2 − 2)). óÌÏÖÅÎÉÅ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÔÁËÉÈ ÚÁÉÓÅÊ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ
Ï ÓÔÁÎ√ 2
ÄÁÒÔÎÙÍ ÒÁ×ÉÌÁÍ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓËÏÂÏË Ó ÕÞ£ÔÏÍ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ 2 = 2 :
ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅÍ
ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÉÑ
ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍÉ
ÞÉÓÌÁÍÉ
√
√
√
(a + √b 2) + ( √+ d 2) = (a + ) + (b + d) √2
(a + b 2)( + d 2) = (a + 2 bd) + ( b + ad) 2
× ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÉ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍ ÞÉÓÌÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÌÑ Q[x℄=(f ),
ÇÄÅ f ∈ Q[x℄ | ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ (ÓÍ. ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ (ÒÅÄÌ. 4.4) ÎÉÖÅ); ÏÂÓÕÖÄÁÅÍÁÑ
ÎÁÍÉ ÓÉÔÕÁ ÉÑ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÍ, ÞÔÏ ×Ï-ÅÒ×ÙÈ, ×ÍÅÓÔÏ Q ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ
ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÏÌÅ k, Á ×Ï-×ÔÏÒÙÈ, ÎÅ ÔÒÅÂÕÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ # ÂÙÌÏ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÏ
1
59
4.4. ëÏÌØ Ï ×ÙÞÅÔÏ× k[x℄=(f )
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 4.11. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ Q[
√
2℄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÅÍ, É ×ÙÑÓÎÉÔÅ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
ÌÉ ÏÌÑÍÉ ËÏÌØ Á Q[#℄, × ËÏÔÏÒÙÈ # ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ:
Á) #3 + 1 = 0
Â) #3 + 2 = 0 .
4.4.1. ðÒÉÍÅÒ: ÞÉÓÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÏÌÑ C. ðÏÌÅ ËÏÍ-
ÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÍÏÖÎÏ
ËÁË ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ÏÌÑ R ÒÉ ÏÍÏÝÉ ËÏÒÎÑ
Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 + 1 = 0 , Ô. Å. ËÁË ËÏÌØ Ï
√ √ 2
R[x℄=(x2 + 1) = R −1 :
−1 = −1 ;
√
ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÞÉÓÅÌ ×ÉÄÁ a + b −1, ÇÄÅ a; b ∈ R, Á ÓÉÍ×ÏÌ √−1 ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ËÌÁÓÓ
ÏÄÎÏÞÌÅÎÁ x Ï ÍÏÄÕÌÀ (x2 +1). óÌÏÖÅÎÉÅ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÔÁËÉÈ ÞÉÓÅÌ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ
Ï ÒÁ×ÉÌÁÍ
√
√
√
(a + √b −1) + ( √+ d −1) = (a + ) + (b + d) √−1
(a + b −1)( + d −1) = (a − bd) + ( b + ad) −1 :
ëÏÌØ Ï R √−1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÅÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÙÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ËÌÁÓÓ a + b√−1
ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÏÂÒÁÔÎÙÍ
1√ = a − b √−1 :
a + b −1 a2 + b2 a2 + b2
ÏÒÅÄÅÌÉÔØ
√
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 4.12. óÏÏÓÔÁ×ÉÍ ÞÉÓÌÕ a + b −1 ∈ R
√
−1 ×ÅËÔÏÒ a + bi ÉÚ ÏÌÑ
C , ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÏÇÏ ÎÁÍÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ × n◦ 2.3. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ
ÏÌÅÊ.
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 4.4
ðÕÓÔØ k | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÏÌÅ. ëÏÌØ Ï k[x℄=(f ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÅÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ × k[x℄ .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÓÌÉ f = gh, ÇÄÅ ÏÂÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f , g ÉÍÅÀÔ ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÕÀ,
ÞÅÍ f , ÓÔÅÅÎØ, ÔÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ËÌÁÓÓÙ [g℄; [h℄ ÂÕÄÕÔ ÄÅÌÉÔÅÌÑÍÉ ÎÕÌÑ × k[x℄=(f ),
ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ × ÏÌÅ. åÓÌÉ ÖÅ f ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ, ÔÏ ÏÎ ÂÕÄÅÔ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔ Ó
ÌÀÂÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ g 6∈ (f ), Ô. Å. ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ h; q ∈ k[x℄ ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï fh + gq = 1, É ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ [q℄ · [g℄ = [1℄ × k[x℄=(f ), Ô. Å. ÌÀÂÏÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ
ËÌÁÓÓ [g℄f ∈ k[x℄=(f ) ÂÕÄÅÔ ÏÂÒÁÔÉÍ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 4.13. îÁÉÛÉÔÅ Ñ×ÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ
Ë ÞÉÓÌÕ a0 + a1 # × ÏÌÅ Q(#) Ó #2 + # + 1 = 0 .
4.4.2. ëÏÎÅÞÎÙÅ ÏÌÑ Fp[#℄. åÓÌÉ ×ÚÑÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å k ËÏÎÅÞÎÏÅ ÏÌÅ
= Z=(p)
ÉÚ p ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, Á × ËÁÞÅÓÔ×Å f ∈ Fp[x℄ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ n, ÔÏ
ËÏÌØ Ï ×ÙÞÅÔÏ× Fp[x℄=(f ) ÂÕÄÅÔ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÏÌÅÍ ÉÚ pn ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ×ÉÄÁ
a0 + a1 # + · · · + an−1 #n−1
Fp
60
§4. íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ É ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÞÉÓÌÁ
ÓÏ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍÉ ai ∈ Fp É ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ f (#) = 0.
îÁÒÉÍÅÒ, x2 + x + 1 ∈ F2[x℄ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÎÅÊ × F2.
óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÏÌÅ F4 = F2[x℄=(x2 + x + 1) = F2[!℄ : !2 + ! + 1 = 0 ÓÏÓÔÏÉÔ
ÉÚ ÞÅÔÙÒ£È ÜÌÅÍÅÎÔÏ×1 : 0 , 1 , ! = x (mod (x2 + x + 1)) É 1 + ! = !2 = !−1 .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 4.14. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÁÑ ÇÒÕÁ F∗4 ÏÌÑ F4 ÉÚÏ-
ÍÏÒÆÎÁ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÅ 3 .
òÁÓÛÉÒÅÎÉÅ F2 ⊂ F4 × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÀ
R ⊂ C ≃ R[! ℄ : ! 2 + ! + 1 = 0 ;
ÏÌÕÞÁÀÝÅÍÕÓÑ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅÍ Ë ÏÌÀ R ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÏÇÏ ËÕÂÉÞÅÓËÏÇÏ ËÏÒÎÑ ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ù2 . áÎÁÌÏÇÏÍ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ (ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÇÏ
! × ! = !2 ) × ÏÌÅ F4 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ æÒÏÂÅÎÉÕÓÁ (ÓÍ. n◦ 3.6.2)
F2 : F 4
a7→a2 -
F4 ;
ËÏÔÏÒÙÊ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÒÏÓÔÏÍ ÏÄÏÌÅ F2 = {0; 1} É ÅÒÅ×ÏÄÉÔ
ËÏÒÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ x2 + x + 1 ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÒÕÇÏÊ ÒÉÍÅÒ. íÎÏÇÏÞÌÅÎ x2 + 1 ∈ F3√
[x℄ ÎÅÉÍÅÅÔ ËÏÒÎÅÊ × F3,
É ÚÎÁÞÉÔ, ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ.
óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ
ÏÌÅ
F9 = F3 −1 ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÄÅ×ÑÔÉ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× a + b√−1 ÇÄÅ a; b ∈ {−1; 0; 1} = F3 .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 4.15. óÏÓÔÁ×ØÔÅ ÄÌÑ ÏÌÑ F9 ÔÁÂÌÉ Õ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ, ÔÁÂÌÉ Õ ÏÂÒÁÔÎÙÈ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÔÁÂÌÉ Õ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×, ÔÁÂÌÉ Õ ËÕÂÏ× É ÏÉÛÉÔÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ æÒÏÂÅÎÉÕÓÁ F3 : a 7→ a3 . éÚÏÍÏÒÆÎÁ ÌÉ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÁÑ ÇÒÕÁ F∗9 ÇÒÕÅ
8 ?
îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ n ∈ N É ÌÀÂÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ p ∈ N ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÏÌÅ Fq , ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ q = pn
ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, É ×ÓÑËÏÅ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÏÌÅ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÜÔÉÈ ÏÌÅÊ Fq . äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ × ÚÁÄÁÞÁÈ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
Ë ÜÔÏÍÕ ÁÒÁÇÒÁÆÕ. ðÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÜÔÉÈ ÚÁÄÁÞ ×ÅÓØÍÁ ÏÌÅÚÎÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÔ
ÆÁËÔ, ÞÔÏ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÁÑ ÇÒÕÁ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÏÌÑ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ q ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÇÒÕÅ q−1 É, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÚÁ×ÉÓÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÔ ÞÉÓÌÁ q, Á ÎÅ ÏÔ
ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ÓÁÍÏÇÏ ÏÌÑ. üÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÅÄÌ. 4.5, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ ×
ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÕÎËÔÅ.
4.4.3. ëÏÎÅÞÎÙÅ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÙÅ ÏÄÇÒÕÙ × ÏÌÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ÁÂÅÌÅ×Õ ÇÒÕÕ A, ÏÅÒÁ ÉÀ × ËÏÔÏÒÏÊ ÂÕÄÅÍ ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏ.
çÒÕÁ A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÅÓÌÉ × ÎÅÊ ÉÍÅÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔ a ∈ A, ÔÁËÏÊ
ÞÔÏ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÇÒÕÙ A ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ × ×ÉÄÅ an Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍ n ∈ Z.
÷ÓÑËÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ a ∈ A, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÊ ÜÔÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ A .
ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ
ÏÂÒÁÚÕÀÝÅÊ
1
2
ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÓÉÌÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á −1 = 1 × ÏÌÅ F ÍÏÖÎÏ ÏÂÈÏÄÉÔØÓÑ ÂÅÚ €ÍÉÎÕÓÏׁ
Ô. Å. ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ËÏÒÎÑ ÔÏÇÏ ÖÅ ÓÁÍÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ x + x + 1
2
2
61
4.4. ëÏÌØ Ï ×ÙÞÅÔÏ× k[x℄=(f )
îÁÒÉÍÅÒ, ÇÒÕÁ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ù n ⊂ C, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×Á×ÛÁÑÓÑ ÎÁÍÉ × n◦ 2.3.4, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ, Á Å£ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÅ ËÏÒÎÉ.
åÓÌÉ ÇÒÕÁ A ËÏÎÅÞÎÁ, ÔÏ ÓÒÅÄÉ ÓÔÅÅÎÅÊ ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ a ∈ A ÂÕÄÕÔ
×ÓÔÒÅÞÁÔØÓÑ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ, ÓËÁÖÅÍ ak = am k > m. äÏÍÎÏÖÁÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÜÔÏÇÏ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÎÁ a−m, ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ak−m = 1 . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ
ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏËÁÚÁÔÅÌØ m ∈ N, ÔÁËÏÊ ÞÔÏ am = 1 . îÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÔÁËÏÊ
ÏËÁÚÁÔÅÌØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÜÌÅÍÅÎÔÁ a É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ord a .
åÓÌÉ ord a = n, ÔÏ ÅÒ×ÙÅ n ÓÔÅÅÎÅÊ a0 = 1 ; a1 = a ; a2 ; : : : ; an−1
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÁÒÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÇÒÕÙ A, É ÌÀÂÁÑ ÅÌÁÑ ÓÔÅÅÎØ
am ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÎÉÈ | ÔÏÊ, ÞÔÏ ÒÁ×ÎÁ ÏÓÔÁÔËÕ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ m ÎÁ n .
ÏÒÑÄËÏÍ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 4.5
ìÀÂÁÑ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÏÄÇÒÕÁ × ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÏÌÑ k
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ ÏÄÇÒÕÁ A ⊂ k∗ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ
ÞÅÒÅÚ m ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÉÚ ÏÒÑÄËÏ× ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÇÒÕÙ A. íÙ ÄÏÌÖÎÙ ÏËÁÚÁÔØ,
ÞÔÏ m ⩾ n. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÏÒÑÄÏË ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ
ÇÒÕÙ A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ÞÉÓÌÁ m : ÅÓÌÉ ÜÔÏ ×ÅÒÎÏ, ÔÏ ×ÓÅ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
ÇÒÕÙ A ÂÕÄÕÔ ËÏÒÎÑÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ xm − 1 = 0, Á ÚÎÁÞÉÔ, ÉÈ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ
ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ m.
þÔÏÂÙ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÏÒÑÄËÉ ×ÓÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÇÒÕÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÑÍÉ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× b1 ; b2 ∈ A,
ÉÍÅÀÝÉÈ ÏÒÑÄËÉ m1, m2, ÏÓÔÒÏÉÔØ ÜÌÅÍÅÎÔ b ∈ A, ÏÒÑÄÏË ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁ×ÅÎ
ÎÏË(m1 ; m2 ).
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 4.16. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÉ ÎÏÄ(m1 ; m2 ) = 1 × ËÁÞÅÓÔ×Å ÔÁËÏÇÏ ÜÌÅ-
ÍÅÎÔÁ ÏÄÏÊÄ£Ô b = b1 b2 .
åÓÌÉ m1 É m2 ÎÅ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ, ÔÏ, ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÑ ÉÈ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÕÒ. 2.13 ×
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÎÏË(m1; m2 ) × ×ÉÄÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ `1`2 ÔÁË, ÞÔÏ m1 = k1`1, m2 = k2`2 É ÎÏÄ(`1; `2) = 1 (ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ
ÎÁÄÏ ÏÔÒÁ×ÉÔØ × `1 ×ÓÅ ÒÏÓÔÙÅ ÄÅÌÉÔÅÌÉk m1, ËÏÔÏÒÙÅ
×ÈÏÄÑÔ × m1 × ÂÏÌØÛÅÊ
k
′
′
ÓÔÅÅÎÉ, ÞÅÍ × m2). ÏÇÄÁ ÜÌÅÍÅÎÔÙ b1 = b1 É b2 = b2 ÂÕÄÕÔ ÉÍÅÔØ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÅ ÏÒÑÄËÉ `1 É `2, Á ÉÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ b′1 b′2 Ï ÕÒ. 4.16 ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÏÒÑÄÏË
`1 `2 = ÎÏË(n1 ; n2 ).
4.4.4. ðÒÉÍÅÒ: Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ ×ÙÞÅÔÙ. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÅÌÏÅ ÒÏÓÔÏÅ p > 2.
îÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÌÑ Fp, Ñ×ÌÑÀÝÉÅÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÁÍÉ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
Ï ÍÏÄÕÌÀ p. ïÎÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÕÀ ÏÄÇÒÕÕ × Fp∗. üÔÁ ÏÄÇÒÕÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÑ × Ë×ÁÄÒÁÔ
x7→x - ∗
F∗p
Fp . ËÏÔÏÒÏÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÙÈ ÇÒÕ.
ÁË ËÁË ÑÄÒÏ ÜÔÏÇÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×1 ±1, Ë×ÁÄÒÁÔÉÞ1
2
Ë×ÁÄÒÁÔÉÞ-
ÎÙÍÉ ×ÙÞÅÔÁÍÉ
2
1
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x = 1 ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ Ä×Á ËÏÒÎÑ × ÌÀÂÏÍ ÅÌÏÓÔÎÏÍ ËÏÌØ Å Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ
2
62
§4. íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ É ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÞÉÓÌÁ
ÎÙÈ ×ÙÞÅÔÏ× ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ (p − 1)=2.
óÕÄÉÔØ Ï ÔÏÍ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÄÁÎÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ a ∈ F∗p Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ ÉÌÉ ÎÅÔ, ÍÏÖÎÏ
ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÍÁÌÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ æÅÒÍÁ (ÓÌ. 3.1), ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ap−1 = 1
ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ a ∈ Fp. åÓÌÉ b = a2, ÔÏ b(p−1)=2 = ap−1 = 1. ÷ÏÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×
ÓÔÅÅÎØ (p − 1)=2
x7→x p = - ∗
Fp∗
Fp
(4-9)
ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÙÈ ÇÒÕ, ÒÉÞ£Í ÅÇÏ ÏÂÒÁÚ
ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÓÒÅÄÉ ËÏÒÎÅÊ ×Ó£ ÔÏÇÏ ÖÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x2 = 1. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ −1 ÌÅÖÉÔ
× ÜÔÏÍ ÏÂÒÁÚÅ, ÏÓËÏÌØËÕ Fp∗ | ÜÔÏ ÉËÌÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÕÁ, É × ÎÅÊ ÅÓÔØ ÜÌÅÍÅÎÔ
ÏÒÑÄËÁ (p − 1) > (p − 1)=2. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÑÄÒÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ (4-9) ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó
ÏÄÇÒÕÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ×ÙÞÅÔÏ×.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, a ∈ F∗p Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ
p
a
= 1. îÁÒÉÍÅÒ, −1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ × Fp × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ
(p − 1)=2 Þ£ÔÎÏ.
4.5. ðÏÌÅ ÞÁÓÔÎÙÈ ÅÌÏÓÔÎÏÇÏ ËÏÌØ Á. ðÒÉ×ÅÄ£ÎÎÁÑ × n◦ 1.4.4 É n◦ 2.1.2
ËÏÎÓÔÒÕË ÉÑ ÏÌÑ Q ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÉÚÇÏÔÏ×ÉÔØ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÏÌÅ QK ÉÚ ÌÀÂÏÇÏ
ÅÌÏÓÔÎÏÇÏ ËÏÌØ Á K . üÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÏÌÑ QK Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÄÒÏÂÉ a=b,
ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÙÅ ËÁË ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÁÒ (a; b) ∈ K × K
Ó b 6= 0 Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ
(a1; b1 ) ∼ (a2; b2 ) ÒÉ a1b2 = a2b1 ;
(4-10)
ËÏÔÏÒÏÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÊ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØÀ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ
ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÉÑ
(a; b) ∼ (a ; b ) ∀ 6= 0 :
(4-11)
óÌÏÖÅÎÉÅ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÄÒÏÂÅÊ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ
a1 a2 def a1 a2
a1 a2 def a1 b2 + a2 b1
·
+ =
=
(4-12)
( −1) 2
−1
2
b1
b2
b1 b2
b1 b2
b1 b2
äÏÓÌÏ×ÎÏ ÔÅ ÖÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ × ÒÅÛÅÎÉÉ ÕÒ. 1.9 ÉÚ
n◦ 1.4.4 É ÕÒ. 2.3 ÉÚ n◦ 2.1.2 ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ (4-10) ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ1 , ÏÅÒÁ ÉÉ (4-11) ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ ËÏÒÒÅËÔÎÏ2 É ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ×ÓÅÍ ÁËÓÉÏÍÁÍ ÏÌÑ ÉÚ ÏÒ. 2.1 ÎÁ ÓÔÒ. 21.
ðÏÌÅ QK ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÅÌÏÓÔÎÏÇÏ ËÏÌØ Á K . ëÏÌØ Ï K ×ËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÏÌÅ QK ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ
a7→a=1 QK ;
(4-13)
:K
ÏÌÅÍ ÞÁÓÔÎÙÈ
⊂
ÅÌÏÓÔÎÏÓÔØ ËÏÌØ Á K ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÁ ÒÉ ÒÏ×ÅÒËÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (4-10), ÓÍ.
ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÕÒ. 1.9
ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÆÏÒÍÕÌÙ (4-12) ËÏÒÒÅËÔÎÏ ×ÅÄÕÔ ÓÅÂÑ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÉÑÍ (4-11), ÞÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ
1
2
63
4.6. ðÏÌÅ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ k(x)
ËÏÔÏÒÙÊ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ
:
ÏÌÅ F ÓÕÝÅÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÌÏÖÅÎÉÑ K ' - F × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ
'e(4-14)
ÓÔ×Ï×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ×ÌÏÖÅÎÉÅ ÏÌÅÊ QF
F, ÔÁËÏÅ ÞÔÏ
' = 'e◦
÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÞÔÏÂÙ ÒÏÄÏÌÖÉÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÅ ×ÌÏÖÅÎÉÅ
':K -F
ÄÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ 'e : QK - F, Õ ÎÁÓ ÎÅÔ ÉÎÏÇÏ ×ÙÂÏÒÁ, ËÁË ÏÌÏÖÉÔØ
'e(a=b) = 'e(a)='e(b) = '(a)='(b) :
ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÜÔÏ ÒÁ×ÉÌÏ
ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ
ÇÏÍÏÍÏÒ'(a )
a
a
1
ÆÉÚÍ: ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ b ∼ b ×ÌÅÞ£Ô ÚÁ ÓÏÂÏÊ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ '(b ) ∼ ''((ab )) ,
Á ÓÕÍÍÙ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÄÒÏÂÅÊ ÅÒÅÊÄÕÔ × ÓÕÍÍÙ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ, ÏÓËÏÌØËÕ
ÓÌÏÖÅÎÉÅ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ a=b × ÌÀÂÏÍ ÏÌÅ F ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÉÍÅÎÎÏ Ï
ÆÏÒÍÕÌÁÍ (4-12).
Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÓÔÉ
⊂
⊂
1
2
1
2
1
2
1
2
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 4.17. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÌÅ QK É ×ÌÏÖÅÎÉÅ (4-13) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅ-
ÌÑÀÔÓÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ (4-14) × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÄÒÕÇÏÇÏ
′
×ÌÏÖÅÎÉÑ K - Q′K , ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ (4-14), ÓÕÝÅÓÔ×Õ∼
ÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ : QK - Q′K , ÔÁËÏÊ ÞÔÏ ′ = ◦.
äÌÑ ËÏÌØ Á K = Z ÏÉÓÁÎÎÁÑ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÑ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÏÌÀ QZ = Q, Á ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï (4-14) ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ Q ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉ
×ËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÌÀÂÏÅ ÏÌÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÎÕÌØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÏÓÔÏÇÏ ÏÄÏÌÑ
(ÓÒ. Ó n◦ 3.6.1).
4.6. ðÏÌÅ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ k(x). ðÏÌÅ ÞÁÓÔÎÙÈ ÅÌÏÓÔÎÏÇÏ ËÏÌØÁ k[x℄ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ k(x) É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÔ
ÏÄÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ. üÌÅÍÅÎÔÙ ÜÔÏÇÏ ÏÌÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× p(x)=q(x) Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ × ÏÌÅ k .
úÁÉÓØ p(x)=q(x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÄÒÏÂÉ, ÅÓÌÉ ÎÏÄ(p; q) = 1 . ëÁÖÄÁÑ ÄÒÏÂØ ÉÍÅÅÔ ÎÅÓÏËÒÁÔÉÍÕÀ ÚÁÉÓØ,
ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÄÅÌÉÔØ ÞÉÓÌÉÔÅÌØ É ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÚÁÉÓÉ p=q ÎÁ ÎÏÄ(p; q) .
ÏÌÅÍ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ
ÎÅÓÏËÒÁÔÉÍÙÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 4.18. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÅÓÏËÒÁÔÉÍÁÑ ÚÁÉÓØ ÌÀÂÏÊ ÄÒÏÂÉ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎ-
ÎÁ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÞÉÓÌÉÔÅÌÑ É ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÑ ÎÁ ÎÅÎÕÌÅ×ÕÀ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ
(× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ ÎÅÓÏËÒÁÔÉÍÁÑ ÚÁÉÓØ Ó ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÙÍ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅÍ).
ðÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ Ó ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ ×ÅÓØÍÁ ÏÌÅÚÅÎ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ
ÒÅÚÕÌØÔÁÔ, Ñ×ÌÑÀÝÉÊÓÑ ÒÑÍÙÍ ÁÎÁÌÏÇÏÍ ËÉÔÁÊÓËÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÏÓÔÁÔËÁÈ ÉÚ
n◦ 3.5.
1
ÒÉÍÅÎÑÑ ' Ë ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ a b = a b , ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï '(a )'(b ) = '(a )'(b )
1 2
2 1
1
2
2
1
64
§4. íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ É ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÞÉÓÌÁ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 4.6 (ËÉÔÁÊÓËÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÏÂ ÏÓÔÁÔËÁÈ)
ðÕÓÔØ k | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÏÌÅ, É ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f ∈ k[x℄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ m
ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ: f = f1f2 · · · fm, ÔÁËÉÈ ÞÔÏ ÎÏÄ(fi; fj ) = 1 ∀ i; j . ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
[ ℄ ( ) '- (k[x℄=(f1 )) × (k[x℄=(f2 )) × · · · × (k[x℄=(fm ))
' : [g℄f 7−→ ([g℄f ; [g℄f ; : : : ; [g℄fm )
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ËÏÌÅ .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÒÏ×ÅÒËÉ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ' ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌ£Î1 , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ É ÉÍÅÅÔ ÎÕÌÅ×ÏÅ ÑÄÒÏ, ÄÏÓÌÏ×ÎÏ Ï×ÔÏÒÑÀÔ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÉÚ n◦ 3.5,
É ÍÙ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÉÈ ÞÉÔÁÔÅÌÀ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ' ÓÀÒØÅËÔÉ×ÅÎ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ, ËÁË É
× n◦ 3.5, ÏÓÔÒÏÉÍ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ËÌÁÓÓÏ× [ri℄fi ∈ k[x℄=(f ) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ g ∈ k[x℄, ÔÁËÏÊ ÞÔÏ g ≡ ri (mod fi) ÒÉ ×ÓÅÈ i. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ i ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ f ËÒÏÍÅ fi ÞÅÒÅÚ
Y
F i = f :
kx= f
1
2
6=i
ðÏÓËÏÌØËÕ fi ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔ ÓÏ ×ÓÅÍÉ f Ó 6= i, ÏÎ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍ. 2.1, ×ÚÁÉÍÎÏ
ÒÏÓÔ É Ó Fi, Á ÚÎÁÞÉÔ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ2 hi ∈ k[x℄, ÔÁËÏÊ ÞÔÏ
Fi · hi ≡ 1 (mod fi ) :
éÔÁË, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ gi = Fi · hi ≡ 1 (mod fi) É ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ×ÓÅ f Ó 6= i . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, g = r1g1 + r2g2 + · · · + rmgm ≡ ri (mod fi) ÒÉ ×ÓÅÈ i .
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 4.7
åÓÌÉ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÎÅÓÏËÒÁÔÉÍÏÊ ÚÁÉÓÉ f=g Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÏÁÒÎÏ
×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× g = g1g2 : : : gm , ÔÏ ÄÒÏÂØ f=g
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ
f f
f
f
=
h + 1 + 2 + ··· + m ;
g
g1 g2
gm
(4-15)
× ËÏÔÏÒÏÊ deg h = deg f − deg g É deg fi < deg gi.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ Õ ÎÁÓ ÉÍÅÅÔÓÑ ËÁËÏÅ-ÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÉÄÁ (4-15). õÍÎÏÖÁÑ ÏÂÅ ÅÇÏ ÞÁÓÔÉ ÎÁ g, ÏÌÕÞÁÅÍ × k[x℄ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÉÄÁ
(4-16)
f = hg + f1 Q1 + f2 Q2 + · · · + fm Qm ;
Ô. Å. ' ([g℄f ) ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÑ g ∈ k[x℄ × ËÌÁÓÓÅ [g℄f ⊂ k[x℄
ÞÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÅÇÏ Ñ×ÎÏ, ÍÏÖÎÏ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ×ÚÑÔØ ÏÓÔÁÔÏË Ri ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ Fi ÎÁ fi É ÒÉÍÅÎÉÔØ
Ë ÁÒÅ E = fi , E = Ri ÁÌÇÏÒÉÔÍ å×ËÌÉÄÁ
1
2
0
1
65
úÁÄÁÞÉ Ë §4
× ËÏÔÏÒÏÍ Qi = Q g É deg(P f Q ) < deg Q. ïÔÓÀÄÁ ÍÙ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏ 6=i
ÞÌÅÎ h Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÏÌÎÙÍ ÞÁÓÔÎÙÍ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ f ÎÁ g, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ r = P f Q |
ÏÓÔÁÔËÏÍ ÏÔ ÜÔÏÇÏ ÄÅÌÅÎÉÑ, Á ËÁÖÄÙÊ fi ÅÓÔØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ
< deg gi , ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ × ËÏÌØ Å ×ÙÞÅÔÏ× k[x℄=(gi ) ËÌÁÓÓ
r−1 (mod gi ) ≡ f Q−i 1 (mod gi ) :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÓÅ ÉÎÇÒÅÄÉÅÎÔÙ ÆÏÒÍÕÌÙ (4-15) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ f É g, É ÅÓÌÉ ×ÚÑÔØ ÉÈ ÔÁËÉÍÉ, ËÁË ÓËÁÚÁÎÏ ×ÙÛÅ, ÔÏ ÍÙ ËÁË
ÒÁÚ É ÏÌÕÞÉÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (4-16), Á Ó ÎÉÍ É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (4-15).
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 4.8
ìÀÂÕÀ ÄÒÏÂØ ×ÉÄÁ f=gm, × ËÏÔÏÒÏÊ deg f < deg(gm) = m deg g, ÍÏÖÎÏ
ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ
ÅÄÉÎ-
ÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ
fm
f
f1 f2
··· + m ;
=
+
+
m
2
g
g g
g
(4-17)
× ËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ×ÓÅÈ ÞÉÓÌÉÔÅÌÅÊ ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÅ deg g.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ (4-17) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÀ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f × ×ÉÄÅ
f = f1 g m − 1 + f2 g m − 2 + · · · + fm − 1 g + f m ;
(4-18)
ËÏÔÏÒÏÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÀ ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ f × g-ÉÞÎÏÊ ÏÚÉ ÉÏÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÑ: fm ÒÁ×ÅÎ ÏÓÔÁÔËÕ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ g ÓÁÍÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f ,
fm−1 | ÏÓÔÁÔËÕ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ g ÞÁÓÔÎÏÇÏ (f − fm )=g (ËÏÔÏÒÏÅ Ï ÏÓÔÒÏÅÎÉÀ fm Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ), fm−2 | ÏÓÔÁÔËÕ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÎÁ g ÞÁÓÔÎÏÇÏ
((f − fm)=g − fm−1 ) =g É Ô. Ä.
éÚ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ Ä×ÕÈ ÌÅÍÍ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÄÒÏÂØ f=g ∈ k[x℄ ÄÏÕÓËÁÅÔ
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÓÔÅÅÎÉ deg f − deg g
(ÎÅÏÌÎÏÇÏ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ f ÎÁ g) É ×ÉÄÁ p=qm, ÇÄÅ q ÒÏÂÅÇÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÑ, m ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÏÔ 1 ÄÏ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ×ÈÏÖÄÅÎÉÑ q × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÑ ÎÁ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, É ËÁÖÄÙÊ ÞÉÓÌÉÔÅÌØ ÉÍÅÅÔ ÓÔÅÅÎØ deg p < deg q. ÁËÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
f=g
É ÞÁÓÔÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÅÚÎÙÍ ÒÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÉ É ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÒÁ ÉÁÌØÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ, Á ÔÁËÖÅ ÒÉ ÉÈ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ×
ÓÔÅÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ (ÍÙ ÅÝ£ ×ÅÒΣÍÓÑ Ë ÜÔÏÍÕ × n◦ 5.3).
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ
ÎÁ ÒÏÓÔÅÊÛÉÅ ÄÒÏÂÉ
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §4
66
úÁÄÁÞÉ Ë §4
úÁÄÁÞÁ 4.1. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ËÒÁÔÎÙÅ (ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ) ËÏÒÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ
x7 + 7 x5 − 36 x4 + 15 x3 − 216 x2 + 9 x − 324 :
úÁÄÁÞÁ 4.2. îÁÊÄÉÔÅ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÕÀ É 1000-À ÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÏÔ x4 =(1 + x2 ).
úÁÄÁÞÁ 4.3. îÁÊÄÉÔÅ ÏÓÔÁÔËÉ ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ x179 + x57 + x2 + 1 × ËÏÌØ Å
Z[x℄ ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ
Á) x2 − 1 Â) x2 + 1 ×) x2 + x + 1 .
úÁÄÁÞÁ 4.4. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f ∈ R[x℄ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÒÏÉÚ×Å-
ÄÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÙÈ Ä×ÕÞÌÅÎÏ× É Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÈ ÔÒ£ÈÞÌÅÎÏ× Ó ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔÏÍ. òÁÚÌÏÖÉÔÅ ÎÁ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ × R[x℄ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ x8 + 128.
úÁÄÁÞÁ 4.5 (ÆÏÒÍÕÌÙ ÷ÉÅÔÁ). ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ak ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏ-
ÞÌÅÎÁ f (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an = (x − 1 )(x − 2 ) · · · (x − n ) ÞÅÒÅÚ ÅÇÏ
ËÏÒÎÉ É ÎÁÊÄÉÔÅ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ x = t − a (ÇÄÅ a ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ Ñ×ÎÏ
×ÙÒÁÖÅÎÏ ÞÅÒÅÚ ak ), × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ËÏÔÏÒÏÊ Õ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (t − ) ÓÏËÒÁÔÉÔÓÑ
ÍÏÎÏÍ Ó tn−1 .
úÁÄÁÞÁ 4.6 (ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ). þÉÓÌÏ Df =
Q
Qi<j
( i−
2
j ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎ-
ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) = (x − j ). ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ÞÅÒÅÚ p É q ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔÙ ÔÒ£ÈÞÌÅÎÏ×
Á) x2 + px + q
Â) x3 + px + q.
ÔÏÍ
úÁÄÁÞÁ 4.7. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÕÂÉÞÅÓËÉÊ ÔÒ£ÈÞÌÅÎ f (x) = x3 + px + q ∈ R ÉÍÅÅÔ
ÔÒÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ËÏÒÎÑ ÅÓÌÉ, É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ Df
(ÓÍ. ÚÁÄ. 4.6) ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ, É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÄÈÏÄÑÝÁÑ ÚÁÍÅÎÁ t = x ÒÉ×ÏÄÉÔ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ f (x) = 0 Ë ×ÉÄÕ 4 t3 − t x = a, ÇÄÅ a ∈ R É |a| ⩽ 1. ðÏÌØÚÕÑÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
ÄÌÑ ËÏÓÉÎÕÓÁ ÔÒÏÊÎÏÇÏ ÕÇÌÁ (ÓÍ. ÓÔÒ. 28) ×ÙÒÁÚÉÔÅ ËÏÒÎÉ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ÞÅÒÅÚ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ.
úÁÄÁÞÁ 4.8. òÅÛÉÔÅ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÑÈ (ÓÍ. ÒÅÄÙÄÕÝÕÀ ÚÁÄÁÞÕ)
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ:
Á) x3 − 3 x + 1 = 0 ,
Â) x3 + x2 − 2 x − 1 = 0 .
úÁÄÁÞÁ 4.9. ðÒÉÄÕÍÁÊÔÅ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ËÏÒÎÉ z1 , z2 ËÏÔÏÒÏÇÏ ÔÁËÏ×Ù, ÞÔÏ
√
√
ÓÒÅÄÉ (ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ) ÞÉÓÅÌ 3 z1 + 3 z2 ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ ×ÓÅ ËÏÒÎÉ ËÕÂÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÒ£ÈÞÌÅÎÁ f (x) = x3 + px + q. ðÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁËÁÈ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔÁ Df ÞÉÓÌÁ z1 , z2
Á) ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙ É ÒÁÚÌÉÞÎÙ
Â) ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÓÏÒÑÖÅÎÙ?
úÁÄÁÞÁ 4.10. îÁÊÄÉÔÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ËÏÒÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×:
Á) x3 − x + 1 ;
Â) x3 + 2 x2 + x + 1 .
úÁÄÁÞÁ 4.11. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ × ÒÁÄÉËÁÌÁÈ:
Á) os(=9) , Â) os(=12) , ×) os(=7) .
úÁÄÁÞÁ 4.12. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ∈ C ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÊ ËÏÒÅÎØ ÓÔÅÅÎÉ
k ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ù. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
kQ
−1
Á) ∀ a ∈ C
kQ
−1
( x − a) = (−1)k+1 (xk − ak )
=0
Â) ∀ f ∈ C[x℄ ∃ h ∈ C[x℄ :
f ( x) = h(xk ) , ÒÉÞ£Í ËÏÒÎÑÍÉ h Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×
=0
ÔÏÞÎÏÓÔÉ k-ÔÙÅ ÓÔÅÅÎÉ ËÏÒÎÅÊ f
67
úÁÄÁÞÉ Ë §4
úÁÄÁÞÁ 4.13. îÁÉÛÉÔÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f , ËÏÒÎÑÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ
Á) Ë×ÁÄÒÁÔÙ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ x4 + 2 x3 − x + 3
Â) ËÕÂÙ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ x4 − x − 1
úÁÄÁÞÁ 4.14. ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ËÏÌØ Ï R[x℄=(f ) ÏÌÅÍ ÒÉ
Á) f = x4 + 1
Â) f = x3 + 1
×) f = x2 + 3?
úÁÄÁÞÁ 4.15 (ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ). ðÕÓÔØ k ⊂ F Ä×Á ÏÌÑ. üÌÅÍÅÎÔ
∈F
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍ ÎÁÄ k, ÅÓÌÉ f ( ) = 0 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ
f (a) ∈ k[x℄, É ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÊ ÓÔÅÅÎÉ Ó ÔÁËÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÎÁÄ ÏÌÅÍ k. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ × k[x℄ É ÄÅÌÉÔ × k[x℄ ×ÓÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ÄÌÑ
ËÏÔÏÒÙÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ.
Á) 2 −
√ 3i ÎÁÄ R
Ç) 105 9 ÎÁÄ Q .
úÁÄÁÞÁ √
4.16.√îÁÊÄÉÔÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ√
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ√ÞÉÓÌÁ√
Â) 2 + 3 ÎÁÄ Q
×) 3 2 ÎÁÄ1 Q[ 2 + 3℄
úÁÄÁÞÁ 4.17. åÓÌÉ ÌÉ ÓÒÅÄÉ ÏÌÅÊ Q[
√
√
úÁÄÁÞÁ 4.18.
√ ïÉÛÉÔÅ ×ÓÅ√Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÙ
√
√ ÏÌÅÊ
√
Á) Q[ 2℄
√
2℄, Q[ 3℄ É Q[ 3 2℄ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙÅ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ?
Â) Q[ 2; 3℄ = Q[ 2℄[ 3℄
√
×) Q[ 4 2℄
Ç) Q[1 + i℄
úÁÄÁÞÁ 4.19. ðÕÓÔØ A | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØ Ï Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ, É f ∈
A[x℄ ÉÍÅÅÔ ÏÂÒÁÔÉÍÙÊ ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ g ∈
A[x℄ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ q; r ∈ A[x℄, ÔÁËÉÅ ÞÔÏ g = fq + r É ÌÉÂÏ deg r < deg f , ÌÉÂÏ
r = 0. ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÏÔÓÀÄÁ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÏÇÏ2 f ∈ A[x℄ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ A ⊂ B , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ f ÏÌÎÏÓÔØÀ ÒÁÚÌÁÇÁÅÔÓÑ × B [x℄ ÎÁ ÌÉÎÅÊÎÙÅ
ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ.
úÁÄÁÞÁ 4.20. ðÕÓÔØ k | ÌÀÂÏÅ ÏÌÅ, f ∈ k[x℄ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, É F =
k[x℄=(f ). äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÌÑ K ⊃ k ÏÓÔÒÏÊÔÅ ÂÉÅË ÉÀ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× F ⊂ - K , ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÄÏÌÑ k, É
ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ËÏÒÎÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f × ÏÌÅ K .
úÁÄÁÞÁ 4.21 (ÏÌÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ). ÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ ÏÓÔÒÏÊÔÅ ÏÌÅ
(1) f ÏÌÎÏÓÔØÀ ÒÁÚÌÁÇÁÅÔÓÑ × Ff [x℄ ÎÁ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ (2) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÌÑ K ⊃ k, ÎÁÄ ËÏÔÏÒÙÍ f ÏÌÎÏÓÔØÀ ÒÁÚÌÁÇÁÅÔÓÑ ÎÁ
ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ Ff ⊂ - K , ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÎÁ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÄÏÌÑ k. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÌÅ Ff Ó ÔÁËÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ, ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÏÄÏÌÅ
k (ÏÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÅÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f ).
Ff ⊃ k, ÔÁËÏÅ ÞÔÏ:
úÁÄÁÞÁ 4.22 (ËÒÕÇÏ×ÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ). îÁÏÍÎÉÍ (ÓÍ. n◦ 2.3.4), ÞÔÏ n-ÔÙÊ ËÒÕÇÏ×ÏÊ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ æn | ÜÔÏ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, ËÏÒÎÑÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
√ √
ÞÅÒÅÚ
√ Q[ 2+ 3℄ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÏ ÏÌÅ Q[x℄=(f ), ÇÄÅ f ∈ Q[x℄ | ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÞÉÓÌÁ
2 + 3 ÎÁÄ Q
ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÍ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÙÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÏ ÓÔÁÒÛÉÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ ÅÄÉÎÉ Á
√
1
2
68
úÁÄÁÞÉ Ë §4
ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÅ ËÏÒÎÉ n-ÔÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÉÚ 1 É ÔÏÌØËÏ ÏÎÉ. ðÏËÁÖÉÔÅ,
Q
ÞÔÏ
Á) æ2n (x) = æn (−x) ÒÉ ÎÅÞ£ÔÎÏÍ n
Â) xn − 1 = æd (x)
×) æn (x) =
Q
d|n
d|n
n=d
(
d
)
(x − 1)
(ÉÓÏÌØÚÕÊÔÅ ÒÅÄÙÄÕÝÕÀ ÚÁÄÁÞÕ É ÏÄÈÏÄÑÝÕÀ
ÍÏÄÉÆÉËÁ ÉÀ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ í£ÂÉÕÓÁ | ÓÒ. ÚÁÄ.
k3.20
É ÚÁÄ. 9.20)
−1
p
−
1
p
ÒÉ ÒÏÓÔÏÍ p
Ç) æp(x) = x + · · · + x + 1 É æpk (x) = æp x
p
p6 | m
Ä) æpm (x) = æm (x ) =æm (x) ÒÉ ÒÏÓÔÏÍ
k1 −1 ··· pkn −1 p
n
ÄÌÑ ÏÁÒÎÏ ÒÁÚÎÙÈ ÒÏÓÔÙÈ pi
Å) æpk1 ··· pknn (x) = æp1 p2 ···pn x 1
1
Ö) æn ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ ÎÁÄ Q, ÉÍÅÅÔ ÅÌÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ É ÎÁÊÄÉÔÅ deg æn
úÁÄÁÞÁ 4.23. ðÕÓÔØ Fq | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÏÌÅ ÉÚ q ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÆÕÎË-
ÉÑ F - F Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ É ÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÒÉÍÅÒ Ä×ÕÈ ÒÁÚÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ÚÁÄÁÀÝÉÈ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÆÕÎË ÉÉ.
úÁÄÁÞÁ 4.24. òÁÚÌÏÖÉÔÅ ÎÁÄ ÏÌÅÍ Fp ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ 1=(xp − x) × ÓÕÍÍÕ
ÒÏÓÔÅÊÛÉÈ ÄÒÏÂÅÊ.
úÁÄÁÞÁ 4.25. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÔÅÅÎÉ ⩽ 5 ÎÁÄ F2 É ×ÓÅ ÎÅ-
ÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÔÅÅÎÉ ⩽ 3 ÎÁÄ F3 .
úÁÄÁÞÁ 4.26. óËÏÌØËÏ × F3 [x℄ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ
Á) 3 Â) 4 ?
úÁÄÁÞÁ 4.27. ðÏËÁÖÉÔÅ ÞÔÏ ÎÁÄ ÌÀÂÙÍ (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ ËÏÎÅÞÎÙÍ) ÏÌÅÍ ÉÍÅÅÔÓÑ
Á) ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
Â) ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÌÀÂÏÊ ÓÔÅÅÎÉ.
úÁÄÁÞÁ 4.28. éÓÏÌØÚÕÑ ÏÄÈÏÄÑÝÕÀ ÍÏÄÉÆÉËÁ ÉÀ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ í£ÂÉÕÓÁ, ÄÏËÁÖÉÔÅ,
ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ n × Fp [x℄ ÒÁ×ÎÏ
1X d
p (n=d)
n d|n
(ÓÍ. ÚÁÄ. 4.22 (×), ÚÁÄ. 3.20, ÚÁÄ. 9.20, Á ÔÁËÖÅ ÚÁÄ. 5.11).
úÁÄÁÞÁ 4.29. ðÕÓÔØ k | ÏÌÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ p É a ∈ k. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
xp − a ÌÉÂÏ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ × k[x℄, ÌÉÂÏ ÉÍÅÅÔ p-ËÒÁÔÎÙÊ ËÏÒÅÎØ × k.
úÁÄÁÞÁ 4.30. ðÕÓÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (x) = xp − x − a ∈ Fp ÉÍÅÅÔ × ÎÅËÏÍ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÉ F ⊃
Fp ËÏÒÅÎØ . ñ×ÎÏ ÕËÁÖÉÔÅ × F ÅÝ£ p − 1 ËÏÒÎÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f É ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
× Fp [x℄ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f ÌÉÂÏ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ, ÌÉÂÏ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÒÁÚÌÁÇÁÅÔÓÑ ÎÁ ÌÉÎÅÊÎÙÅ
ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ.
úÁÄÁÞÁ 4.31. ðÕÓÔØ F | ËÏÎÅÞÎÏÅ ÏÌÅ ÉÚ q ÜÌÅÍÅÎÔÏ× É Fp ⊂ F | ÅÇÏ ÒÏÓÔÏÅ
ÏÄÏÌÅ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Á) ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ F ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÎÙ ÎÁÄ Fp (ÓÍ. ÚÁÄ. 4.15)
Â) q = pn ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ n .
×) ÏÒÑÄÏË ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ × ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÅ F∗ ÄÅÌÉÔ q − 1.
Ç) ðÏÌØÚÕÑÓØ ÏÂÒÁÝÅÎÉÅÍ í£ÂÉÕÓÁ ÉÚ ÚÁÄ. 3.20, ÎÁÉÛÉÔÅ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÞÉÓÌÁ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× d-ÔÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ
69
úÁÄÁÞÉ Ë §4
Ä) ÷ÙÑÓÎÉÔÅ, ÓËÏÌØËÏ × F∗ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× (q − 1)-ÇÏ ÏÒÑÄËÁ É ËÁËÏ×Á ÓÔÅÅÎØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ (ÓÍ. ÚÁÄ. 4.15) ÔÁËÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ.
k
úÁÄÁÞÁ 4.32. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÏÒÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ xp − x, ÌÅÖÁÝÉÅ × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ
ÏÌÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ p, ÏÂÒÁÚÕÀÔ × Î£Í ÏÄÏÌÅ.
úÁÄÁÞÁ 4.33. ëÁËÏ×Á ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÁÑ ÓÔÅÅÎØ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ
pk
x
− x ÎÁÄ ÏÌÅÍ Fp ?
úÁÄÁÞÁ 4.34. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ p É ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ n ÏÌÅ Fq ÉÚ
q = pn ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ.
úÁÄÁÞÁ 4.35. ðÒÉ ËÁËÉÈ q1 , q2 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ Fq1
úÁÄÁÞÁ 4.36. ïÉÛÉÔÅ ×ÓÅ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÙ ÏÌÑ Fq .
- Fq ?
2
§5. æÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÓÔÅÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ
5.1. áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÍÉ ÒÑÄÁÍÉ. îÁÏÍÎÉÍ
(ÓÍ. n◦ 4.1), ÞÔÏ ËÏÌØ Ï ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÔÅÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ× K [[x℄℄ Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ
× ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÍ ËÏÌØ Å K Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÍÉ
ÓÕÍÍÁÍÉ ×ÉÄÁ
X
f (x) =
a x = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · ; ai ∈ K ;
⩾0
ËÏÔÏÒÙÅ ÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔÓÑ É ÕÍÎÏÖÁÀÔÓÑ Ï ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍ ÒÁ×ÉÌÁÍ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ
ÓËÏÂÏË É ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ÏÄÏÂÎÙÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ.
âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ n
×ÓÑËÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÒÑÄÁÍ f1; f2; : : : ; fn ∈ K [[x℄℄ ÎÏ×ÙÊ ÒÑÄ g ∈ K [[x℄℄ ÔÁË, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÑÄÁ g ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ
ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÒÑÄÏ× f1; f2; : : : ; fn.
îÁÒÉÍÅÒ, ÓÌÏÖÅÎÉÅ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÒÑÄÏ× | ÜÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ, Á
ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ ×ÍÅÓÔÏ x ÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ∈ K ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÏÅÒÁ ÉÅÊ
ÏÂÙÞÎÏ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ1. îÁÒÏÔÉ×, ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ × ÒÑÄ f (x) ×ÍÅÓÔÏ x ÌÀÂÏÇÏ ÒÑÄÁ
ÂÅÚ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÞÌÅÎÁ g(x) = b1 x + b2x2 + · · · | ÜÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ,
ÄÁÀÝÁÑ ÒÑÄ
-ÁÒÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÏÅÒÁ ÉÅÊ
X
f (g(x)) =
ak (b1 x + b2 x2 + · · · )k =
a0 + a1 (b1 x + b2 x2 + · · · ) + a2 (b1 x + b2 x2 + · · · )2 + a3 (b1 x + b2 x2 + · · · )3 + · · ·
= a0 + (a1b1 ) · x + (a1b2 + a2b21 ) · x2 + (a1b3 + 2 a2b1 b2 + a3b31) · x3 + · · · ;
× ËÏÔÏÒÏÍ ÎÁ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ xm ×ÌÉÑÀÔ ÌÉÛØ ÎÁÞÁÌØÎÙÅ ÞÌÅÎÙ ÅÒ×ÙÈ m
ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ. åÝ£ ÏÄÎÉÍ ÒÉÍÅÒÏÍ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÝÅÎÉÅ
ÒÑÄÏ×.
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 5.1
òÑÄ f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · ∈ K [[x℄℄ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÏÂÒÁÔÉÍ × K [[x℄℄,
ËÏÇÄÁ ÅÇÏ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÞÌÅÎ a0 ÏÂÒÁÔÉÍ × K . åÓÌÉ ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÒÑÄ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÔÏ
ÏÅÒÁ ÉÑ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ f 7→ f −1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÑÄ f −1 (x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · , ÔÁËÏÊ
ÞÔÏ f (x) · f −1(x) = 1, ÔÏ a0b0 = 1, ÏÔËÕÄÁ a0 ÏÂÒÁÔÉÍ. îÁÏÂÏÒÏÔ, ÄÏÕÓÔÉÍ, ÞÔÏ
a0 ∈ K ÏÂÒÁÔÉÍ. ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÅÎÑÈ x ×
ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÉÌÁ ÓÌÕÖÉÔ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÑÄÁ f (x) ÒÉ
x = 0, ÄÁÀÝÅÅ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÞÌÅÎ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ; ÏÈÏÖÉÊ ÜÆÆÅËÔ ÉÎÏÇÄÁ
1
×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÏÞÅÎØ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÒÑÄÏ× × ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÏÞÅÎØ
ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÔÏÞËÁÈ ; ÎÏ ÒÉ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ É f ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ f ( ) ÔÒÅÂÕÅÔ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ,
×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÓÌÏÖÅÎÉÊ
70
71
5.2. äÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ
ÒÁ×ÏÊ É ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á f (x)·f −1 (x) = 1, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÎÁ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ
bi ÂÅÓËÏÎÅÞÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
a0 b 0 = 1
a0 b 1 + a1 b 0 = 0
(5-1)
a b +a b +a b =0
0 2
1 1
2 0
························
ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ bk = −a−0 1(a1bk−1 + a2bk−2 + · · · + ak b0 ) ÒÉ k ⩾ 1, Á b0 = a−0 1. üÔÏ
ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ.
5.1.1. ðÒÉÍÅÒ: ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÏÇÒÅÓÓÉÑ. îÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÒÏ×ÅÒËÁ
ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÔÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ Ë ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ Ä×ÕÞÌÅÎÕ 1 − x Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÆÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÒÑÄ
1 = 1 + x + x2 + x3 + · · · = X xk ;
(5-2)
1−x
ËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÅÊ
.
k⩾0
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 5.1. ñ×ÎÏ ×ÙÉÛÉÔÅ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÑÄÏ×
Á) 1=(1 + x) Â) 1=(1 ± xm ) ×) 1=(1 + x + x2 )
ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ × ÓÔÅÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · ·
×ÍÅÓÔÏ x ÓÕÍÍÕ x + t, ÇÄÅ t | ÅÝ£ ÏÄÎÁ ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ. ðÏÌÕÞÉÔÓÑ ÒÑÄ
f (x + t) = a0 + a1 (x + t) + a2 (x + t)2 + · · · ∈ K [[x; t℄℄ :
òÁÓËÒÏÅÍ × Î£Í ×ÓÅ ÓËÏÂËÉ É ÓÇÒÕÉÒÕÅÍ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ Ï ÓÔÅÅÎÑÍ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ
t, ÏÂÏÚÎÁÞÉ× ÞÅÒÅÚ fm (x) ∈ K [[x℄℄ ÒÑÄ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÊ ËÁË ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ tm :
X
fm (x) · tm : (5-3)
f (x + t) = f0 (x) + f1 (x) · t + f2 (x) · t2 + f3 (x) · t3 + · · · =
5.2. äÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ.
i⩾0
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 5.2. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ f0 (x) = f (x) ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÉÓÈÏÄÎÙÍ ÒÑÄÏÍ f .
òÑÄ f1(x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÔ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÒÑÄÁ f É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ f ′(x)
d
ÉÌÉ dx f . ïÎ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ
f (x + t) = f (x) + f ′ (x) · t + (ÞÌÅÎÙ, ÄÅÌÑÝÉÅÓÑ ÎÁ t2 )
É ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎ ËÁË ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÒÉ t = 0 ÒÑÄÁ
f (x + t) − f (x)
=
ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ
t
2
2
3
3
= a1 · (x + tt) − t + a2 · (x + tt) − t + a3 · (x + tt) − t + · · · =
X
= ak · (x + t)k−1 + (x + t)k−2x + (x + t)k−3x2 + · · · + xk−1 :
k⩾1
72
§5. æÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÓÔÅÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ
ðÏÌÁÇÁÑ t = 0, ÏÌÕÞÁÅÍ
X
f ′ (x) =
k ak xk−1 = a1 + 2 a2 x + 3 a3 x2 + · · ·
k⩾1
(5-4)
5.2.1. òÑÄÙ Ó ÎÕÌÅ×ÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ. éÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (5-4) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÏ-
ÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÔ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ.
åÓÌÉ harK = 0, ÔÏ ×ÅÒÎÏ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ: f ′ = 0 ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ
f = onst .
åÓÌÉ ÖÅ ËÏÌØ Ï K ÉÍÅÅÔ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÕÀ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÕ, ÔÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ
ÏÔ ×ÓÅÈ ÍÏÎÏÍÏ× xm , ÏËÁÚÁÔÅÌØ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÕ, ÏÂÒÁÔÉÔÓÑ × ÎÕÌØ, ÏÓËÏÌØËÕ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÏÄÅÌÁÎÎÏÍÕ ×ÙÛÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ m
× ÆÏÒÍÕÌÅ
d m
x = x| m−1 + ·{z· · + xm−}1 = m · xm−1
dx
m
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÓÕÍÍÕ m ÅÄÉÎÉ ËÏÌØ Á. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÁÄ ÏÌÅÍ k ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ p > 0 ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÔ ÒÑÄÁ f (x) ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ,
ËÏÇÄÁ f (x) = g(xp) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ g ∈ k[[x℄℄ .
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 5.2 (ÒÁ×ÉÌÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ)
äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ∈ K É ÌÀÂÙÈ f; g ∈ K [[x℄℄ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
( f )′ = · f ′ ; (f + g)′ = f ′ + g′ ; (fg)′ = f ′ · g + f · g′ :
ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÌÉ ÒÑÄ g ÎÅ ÉÍÅÅÔ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÞÌÅÎÁ, ÔÏ
(f (g(x))′ = g′(x) · f ′(g(x)) ;
Á ÅÓÌÉ ÒÑÄ f ÏÂÒÁÔÉÍ, ÔÏ
′
(1=f )′ = − ff2 :
(5-5)
(5-6)
(5-7)
ðÅÒ×ÙÅ Ä×Á ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á × (5-5) ×ÙÔÅËÁÀÔ ÒÑÍÏ ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÙ
(5-4). äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÒÅÔØÅÇÏ ÅÒÅÍÎÏÖÉÍ ÒÑÄÙ
f (x + t) = f (x) + t · f ′ (x) + (ÞÌÅÎÙ, ÄÅÌÑÝÉÅÓÑ ÎÁ t2 )
g(x + t) = g(x) + t · g′ (x) + (ÞÌÅÎÙ, ÄÅÌÑÝÉÅÓÑ ÎÁ t2 ) :
ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÞÌÅÎÏ×, ÄÅÌÑÝÉÈÓÑ ÎÁ t2 , ÏÌÕÞÉÍ
f (x + t)g(x + t) = f (x)g(x) + t · (f ′ (x)g(x) + f (x)g′ (x)) + (ÞÌÅÎÙ, ÄÅÌÑÝÉÅÓÑ ÎÁ t2 ) ;
ÏÔËÕÄÁ (fg)′ = f ′ · g + f · g′. æÏÒÍÕÌÁ (5-6) ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÈÏÖÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.
ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ × f (x) ×ÍÅÓÔÏ x ÒÑÄ g(x + t) : f (g(x + t)) = f g(x) + t · g′(x) +
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
5.2. äÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ
73
(ÞÌÅÎÙ, ÄÅÌÑÝÉÅÓÑ ÎÁ t2) É ÏÂÏÚÎÁÞÁÑ ÒÑÄ, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÉÂÁ×ÌÑÅÔÓÑ Ë g(x) × ÁÒÇÕÍÅÎÔÅ f , ÞÅÒÅÚ (x; t) = t · g′(x) + (ÞÌÅÎÙ, ÄÅÌÑÝÉÅÓÑ ÎÁ t2) . ðÏÌÕÞÁÅÍ
f (g(x + t)) = f g(x) + (x; t) =
= f (g(x)) + (x; t) · f ′(g(x)) + (ÞÌÅÎÙ, ÄÅÌÑÝÉÅÓÑ ÎÁ (x; t)2 ) =
= f (g(x)) + t · g′(x) · f ′(g(x)) + (ÞÌÅÎÙ, ÄÅÌÑÝÉÅÓÑ ÎÁ t2) ;
ÏÔËÕÄÁ (f (g(x))′ = g′(x) · f ′(g(x)). äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÏÓÌÅÄÎÅÊ ÆÏÒÍÕÌÙ′ ÒÏÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍ
ÏÂÅ
ÞÁÓÔÉ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
f · f −1 = 1. ðÏÌÕÞÉÍ f ′ · f −1 + f · (f −1 ) = 0 ,
ÏÔËÕÄÁ (f −1)′ = −f ′=f 2 .
dm f (x) (ÚÄÅÓØ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 5.3. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ (5-3) fm (x) = m1 ! dx
m
m
É ÄÁÌÅÅ ÞÅÒÅÚ dxd m = dxd m ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ m-ÔÁÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ, Ô. Å. ÒÅÚÕÌØÔÁÔ m-
ËÒÁÔÎÏÇÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÏÅÒÁ ÉÉ dxd ).
5.2.2. ðÒÉÍÅÒ: ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÓÔÅÅÎÅÊ. ðÒÉÍÅÎÑÑ ÒÁ×ÉÌÏ ìÅÊÂ-
ÎÉ Á Ë ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ f m = f · f · · · · · f ÏÌÕÞÁÅÍ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÒÑÄÁ f ÆÏÒÍÕÌÕ
(f m)′ = m · f m−1 · f ′ :
(5-8)
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÔ ÒÑÄÁ 1=(1 − x)m ÒÁ×ÎÁ m=(1 − x)m+1 , ÏÔËÕÄÁ Ï
ÉÎÄÕË ÉÉ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ m-ÔÁÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÔ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ
(1 − x)−1 ÒÁ×ÎÁ m!=(1 − x)m+1 . äÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÑ (m − 1) ÒÁÚ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ
(1 − x)−1 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · ;
ÏÌÕÞÁÅÍ ÆÏÒÍÕÌÕ îØÀÔÏÎÁ ÄÌÑ ÂÉÎÏÍÁ Ó ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍ ÏËÁÚÁÔÅÌÅÍ
1 = X (k + m − 1)(k + m − 2) · · · (k + 1) · xk =
(1 − x)m k⩾0
(m − 1)!
(5-9)
X k + m − 1
k
·x :
=
k
k⩾0
5.2.3. ðÒÉÍÅÒ: ËÒÁÔÎÙÅ ËÏÒÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. ðÕÓÔØ k | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ
ÏÌÅ. þÉÓÌÏ ∈ k ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ m-ËÒÁÔÎÙÍ ËÏÒÎÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f ∈ k[x℄, ÅÓÌÉ
f (x) = (x − )m · g(x), ÇÄÅ g( ) 6= 0. ëÏÒÎÉ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ m ⩾ 2 ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
.
ËÒÁÔÎÙÍÉ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 5.3
ðÕÓÔØ k | ÌÀÂÏÅ ÏÌÅ. äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ∈ k ÂÙÌ ËÒÁÔÎÙÍ ËÏÒÎÅÍ f ∈ k[x℄
ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ f ( ) = f ′( ) = 0 .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÓÌÉ
| ËÒÁÔÎÙÊ ËÏÒÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f , ÔÏ
f (x) = (x − )2 g(x) :
äÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÑ, ÏÌÕÞÁÅÍ f ′(x) = (x − )(2 + (x − )g(x)), ÏÔËÕÄÁ f ′( ) = 0 .
åÓÌÉ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÒÁÔÎÙÍ ËÏÒÎÅÍ, ÔÏ f (x) = (x − )g(x), ÇÄÅ g(x) 6= 0 .
ÏÇÄÁ f ′(x) = (x − )g′(x) + g(x) É f ′( ) = g( ) 6= 0.
74
§5. æÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÓÔÅÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 5.4
îÁÄ ÏÌÅÍ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ m-ËÒÁÔÎÙÍ ËÏÒÎÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ
f ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ f É ÅÒ×ÙÈ (m − 1) ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÏÔ f , ÎÏ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ m-ÔÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÓÌÉ f (x) = (x − )m · g (x), ÇÄÅ g ( ) 6= 0, ÔÏ
f ′ (x) = (x − )m−1 · (m + (x − ) · g(x)) :
÷ÔÏÒÏÊ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌØ × ÜÔÏÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Å ÏÔÌÉÞÅÎ ÏÔ ÎÕÌÑ ÒÉ x = . ðÏÜÔÏÍÕ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ m-ËÒÁÔÎÙÍ ËÏÒÎÅÍ f ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ (m − 1)
ËÒÁÔÎÙÍ ËÏÒÎÅÍ f ′ .
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 5.5
åÓÌÉ har(k) = p > 0, ÔÏ f ′ = 0 ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ f = gp ÄÌÑ
ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ g ∈ k[x℄.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. óÏÇÌÁÓÎÏ n◦ 5.2.1, ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï f ′ = 0 ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ
f (x) = g(xp) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ g ∈ k[x℄. ðÏÓËÏÌØËÕ × ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÅ p ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÅ
× p-ÔÕÀ ÓÔÅÅÎØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ (ÓÍ. n◦ 3.2.1), g(xp) = g(x)p.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 5.1
äÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÏÌÑ k ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f ∈ k[x℄ ÎÅ ÉÍÅÅÔ ËÒÁÔÎÙÈ
ËÏÒÎÅÊ ÎÉ × ÓÁÍÏÍ ÏÌÅ k, ÎÉ × ËÁËÏÍ ËÏÌØ Å K ⊃ k .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. óÏÇÌÁÓÎÏ ÒÅÄÌ. 5.5 ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ
ÏÔÌÉÞÎÁ ÏÔ ÎÕÌÑ ÎÁÄ ÌÀÂÙÍ ÏÌÅÍ. ðÏÓËÏÌØËÕ f ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ, ÏÎ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔ
Ó f ′. óÏÇÌÁÓÎÏ n◦ 4.3.1 ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÉÍÅÔØ ÏÂÝÉÈ
ËÏÒÎÅÊ ÎÉ × ËÁËÏÍ ËÏÌØ Å K ⊃ k .
5.3. . ðÕÓÔØ K = C. æÏÒÍÕÌÁ (5-9) ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÁÚÌÏÖÉÔØ × ÒÑÄ ÌÀÂÕÀ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ f=g ∈ C(x), ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ Å£
ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÑ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÕÓÔØ
Y
(5-10)
g(x) = 1 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn = (1 − i x)mi ;
ÇÄÅ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ i ∈ C ÏÁÒÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 5.4. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÒÉ an 6= 0 ÞÉÓÌÁ
i ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ
Q (5-10) ÓÕÔØ
ËÏÒÎÉ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ tn + a1 tn−1 + · · · + an−1 t + an = (t − i )mi .
ÏÇÄÁ Ï ÒÅÄÌ. 4.7 É ÒÅÄÌ. 4.8 ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f=g Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÍÍÏÊ
ÒÏÓÔÅÊÛÉÈ ÄÒÏÂÅÊ ×ÉÄÁ
X k + m − 1
k
(5-11)
=
· xk
i
m
(1 − ix)
−
1
m
k⩾0
75
5.3. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ
ÇÄÅ k ÌÅÖÉÔ × ÒÅÄÅÌÁÈ 1 ⩽ k ⩽ mi, Á = (i; k) ∈ C | ËÏÎÓÔÁÎÔÙ, ÚÁ×ÉÓÑÝÉÅ
ÏÔ i, k, f É g.
åÓÌÉ ÅÓÌÉ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ g ÎÅ ÉÍÅÅÔ ËÒÁÔÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ, ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ
ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÒÏÓÔÙÍ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÉ deg f < deg g ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f=g
ÉÍÅÅÔ Ï ÒÅÄÌ. 4.7 ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ
f (x)
1
2
n
(1 − 1x)(1 − 2x) · · · (1 − nx) = 1 − 1x + 1 − 2x + · · · + 1 − nx (5-12)
É ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÓÕÍÍÕ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÇÒÅÓÓÉÊ
1 = X k + k + · · · + k · xk :
1 1
2 2
n n
f (x)
ÎÁ
þÔÏÂÙ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ i ∈ C, ÕÍÎÏÖÉÍ ÌÅ×ÕÀ É ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔÉ (5-12)
−1
ÏÂÝÉÊ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ É ÏÄÓÔÁ×ÉÍ × ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÚÎÁÞÅÎÉÅ x = i . ÷ÓÅ
ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ËÒÏÍÅ i-ÔÏÇÏ ÏÂÒÁÔÑÔÓÑ × ÎÕÌØ, É ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ
n−1 g ( −1 )
Y
g( i−1 )
i
Qi
=
:
(5-13)
i=
(
(1
−
(
=
))
−
i
i
)
6=i
6=i
5.3.1. òÅÛÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. ðÒÅÄÙÄÕÝÉÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÌÑ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ €ÆÏÒÍÕÌÙ k-ÔÏÇÏ ÞÌÅÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ zk , ÚÁÄÁÎÎÏÊ
n
:
zk + a 1 zk − 1 + a 2 zk − 2 + · · · + an zk − n = 0 ;
(5-14)
ÇÄÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ a1; a2; : : : ; an ∈ C | ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÚÁÄÁÎÎÙÅ
ÞÉÓÌÁ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (5-14) | ÜÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÍÕ ÄÏÌÖÎÙ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÒÉ k ⩾ n ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ zk ÓÔÅÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ
b0 + b1 x + · · · + bn−1 xn−1
2
1 + a1x + a2x2 + · · · + anxk = z0 + z1x + z2x + · · ·
åÓÌÉ ÏÄÏÂÒÁÔØ b0 ; b1 ; : : : ; bn−1 ∈ C × ÞÉÓÌÉÔÅÌÅ ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÅÒ×ÙÅ
n ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÓÒÁ×Á ÓÏ×ÁÄÁÌÉ Ó ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ËÕÓËÏÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ
(5-14), É ÒÁÚÌÏÖÉÔØ ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ × ÒÑÄ ÏÉÓÁÎÎÙÍ ×ÙÛÅ
ÓÏÓÏÂÏÍ, ÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ Ñ×ÎÙÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ zk
ÞÅÒÅÚ k.
îÁÊÄ£Í, Ë ÒÉÍÅÒÕ, Ñ×ÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÞÅÒÅÚ k ÄÌÑ
zk ,
ËÏÔÏÒÙÅ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ
z0 = 0 ; z1 = 1 ; zk = zk−1 + zk−2 ÒÉ k ⩾ 2 ;
Ô. Å. ÒÅÛÁÀÔ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ zk − zk−1 − zk−2 = 0 ÎÁ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ
ÒÑÄÁ
b0 + b1 x
2
3
(5-15)
1 − x − x2 = x + z2x + z3x + · · ·
ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
-ÔÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ
ÞÉÓÅÌ æÉÂÂÏÎÁÞÞÉ
76
§5. æÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÓÔÅÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ
(ÍÙ ÏÄÓÔÁ×ÉÌÉ × ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÄÁÎÎÙÅ Ï ÕÓÌÏ×ÉÀ z0 = 0 É z1 = 1).
õÍÎÏÖÁÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ (5-15) ÎÁ ÏÂÝÉÊ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ É ÓÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ
ÒÉ x0 É x1 , ÏÌÕÞÁÅÍ b0 = 0 É b1 = 1. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÞÉÓÌÁ æÉÂÂÏÎÁÞÞÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÒÑÄÁ
x
−
+
z (x) =
+
=
2
1 − x − x 1 − +x 1 − −x ;
√
ÇÄÅ ± = (1 ± 5)=2 ÓÕÔØ ËÏÒÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ t2 − t − 1, Á ÞÉÓÌÁ ± ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ√ Ï
ÆÏÒÍÕÌÅ (5-13) Ó ÕÞ£ÔÏÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ× + − = −1 , + + − = 1 , É + − − = 5:
1 = √1 :
+=− −=
5
+− −
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
X k
k
− −
x
1
1
1
+√
k
√
−
=
=
1 − x − x2 5 1 − x 1 − x
5 ·x ;
+
−
k⩾0
Ô. Å. k-ÔÏÅ ÞÉÓÌÏ æÉÂÂÏÎÁÞÞÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
√ k
√
(1
+
5)
− (1 − 5)k
√
zk =
:
2k 5
÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (5-14) ÏÉÓÙ×ÁÅÔ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 5.6
÷ÓÑËÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ zk , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÒÉ k ⩾ n ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ n-ÔÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ
zk + a 1 zk − 1 + a2 zk − 2 + · · · + an zk − n = 0 ;
(5-16)
Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ai ∈ C , ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
zk = 1k · '1 (k) + 2k · '2 (k) + · · · + rk · 'r (k) ;
ÇÄÅ 1; 2; : : : ; r ÓÕÔØ ×ÓÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ËÏÒÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ1
tn + a1 tn−1 + · · · + an−1 t + an ;
(5-17)
Á ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÆÕÎË ÉÊ 'i ∈ C[x℄ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ ÍÅÎØÛÅÊ, ÞÅÍ ËÒÁÔÎÏÓÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ËÏÒÎÑ i .
P
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. òÑÄ
zk xk ∈ C[[x℄℄ , ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÅÛÁÀÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (5-16), Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÍÍÏÊ ÄÒÏÂÅÊ ×ÉÄÁ · (1 − x)−m , ÇÄÅ ÒÏÂÅÇÁÅÔ
ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ËÏÒÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ (5-17), ÏËÁÚÁÔÅÌØ ÓÔÅÅÎÉ m ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ
ÌÀÂÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÔ 1 ÄÏ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ËÏÒÎÑ , Á = ( ; m) |
ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÙÞÉÓÌÑÅÍÏÅ Ï , m É ÅÒ×ÙÍ n ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ zk . óÏÇÌÁÓÎÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (5-11) k-ÔÙÊ ÞÌÅÎ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ
ÔÁËÏÊ ÄÒÏÂÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ k '(k), ÇÄÅ '(k) = k+mm−−1 1 ÅÓÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ k ÓÔÅÅÎÉ
m − 1.
1
ÏÎ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (5-14)
77
5.4. ìÏÇÁÒÉÆÍ É ÜËÓÏÎÅÎÔÁ
îÁÞÉÎÁÑ Ó ÜÔÏÇÏ ÍÅÓÔÁ É ÄÏ ËÏÎ Á ÁÒÁÇÒÁÆÁ
ÍÙ ÂÕÄÅÍ Ï ÕÍÏÌÞÁÎÉÀ ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ ÏÂÌÁÓÔØ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× K = F
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÎÕÌØ.
÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (5-4) ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ
ÒÑÄÁ f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÒÑÄ ÂÅÚ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ
ÞÌÅÎÁ, ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÔ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁ×ÎÁ f (x). üÔÏÔ ÒÑÄ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÉÌÉ
ÏÔ f É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
Z
X
(5-18)
f (x) dx def
= a0x + a21 x2 + a32 x3 + · · · = akk−1 xk :
5.4. ìÏÇÁÒÉÆÍ É ÜËÓÏÎÅÎÔÁ.
ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚ-
ÎÙÍ ÒÑÄÏÍ
ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ
k⩾1
5.4.1. ìÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ. ðÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÊ ÒÑÄ ÏÔ ÚÎÁËÏÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÇÅÏ-
ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ln(1 + x) =
def
Z
dx
1+x =
Z
ÌÏÇÁÒÉÆÍÏÍ
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
1 − x + x2 − x3 + · · · dx =
2
3
4
5
= x − x2 + x3 − x4 + x5 − · · · =
( 1)
X − k −1
k⩾1
k
xk : (5-19)
÷ÍÅÓÔÏ 1 + x × ÌÏÇÁÒÉÆÍ ÍÏÖÎÏ ÏÄÓÔÁ×ÉÔØ ÌÀÂÏÊ ÒÑÄ u(x) Ó ÅÄÉÎÉÞÎÙÍ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÞÌÅÎÏÍ | ÒÑÄ ln(u(x)) ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ × ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ (5-19)
×ÍÅÓÔÏ x ÒÑÄÁ u(x) − 1 ÂÅÚ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÞÌÅÎÁ, ÞÔÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÏÅÒÁ ÉÅÊ (ÓÍ. n◦ 5.1).
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 5.5 (ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÞÅÓËÁÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ (ln u)′ =
u′ =u ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÒÑÄÁ u Ó ÅÄÉÎÉÞÎÙÍ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ.
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ N ⊂ F[[x℄℄ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÕÀ ÁÂÅÌÅ×Õ ÇÒÕÕ ×ÓÅÈ ÒÑÄÏ× ÂÅÚ
Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÞÌÅÎÁ, Á ÞÅÒÅÚ U ⊂ F[[x℄℄ | ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÕÀ ÁÂÅÌÅ×Õ ÇÒÕÕ
×ÓÅÈ ÒÑÄÏ× Ó ÅÄÉÎÉÞÎÙÍ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÞÌÅÎÏÍ.
ïÅÒÁ ÉÑ
, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÁÑ ÒÑÄ u(x) ∈ U × ÒÑÄ ln(u(x)) ∈ N ,
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ É ÚÁÄÁ£Ô ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
(5-20)
log : U u7→ln u - N :
ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ
ìÅÍÍÁ 5.1
äÌÑ ÒÑÄÏ× u; w ∈ U ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á u = w , u′ = w′ , ln(u) = ln(w) É ln′(u) = ln′(w)
ÏÁÒÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÅÒ×ÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÌÅÞ£Ô ÚÁ ÓÏÂÏÊ ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ. ä×Á ÒÑÄÁ ÉÚ
U (ÓÏÏÔ×. Ä×Á ÒÑÄÁ ÉÚ N ) ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ÉÈ
ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÒ×ÙÅ Ä×Á ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (ÓÏÏÔ×. ÏÓÌÅÄÎÉÅ Ä×Á ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á)
ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ. ïÓÔÁ£ÔÓÑ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÉÚ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÌÅÄÕÅÔ ÅÒ×ÏÅ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ, ÏÌØÚÕÑÓØ ÕÒ. 5.5, ÅÒÅÉÛÅÍ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×
×ÉÄÅ u′=u = w′=w É ÅÒÅÎÅÓ£Í ×Ó£ × ÏÄÎÕ ÞÁÓÔØ:
u′ w ′ u′ w − w ′ u
−
=
=
(
u=w) · (u=w)′ = 0 :
u w
uw
78
§5. æÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÓÔÅÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ
ïÔÓÀÄÁ u=w = onst = 1.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 5.6. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ∀ u ∈ U
5.4.2. üËÓÏÎÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÅ. òÑÄ
ex def
=
X xk
k⩾0
2
ln(1=u) = −u.
3
4
5
x x x
x
=
1
+
x+ + + +
k!
2 6 24 120 + · · ·
(5-21)
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. üÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÒÑÄ ÓÏ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÞÌÅÎÏÍ ÅÄÉÎÉ Á,
ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ f ′(x) = f (x).
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × (5-21) ×ÍÅÓÔÏ x ÌÀÂÏÊ ÒÑÄ (x) ÂÅÚ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÞÌÅÎÁ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÑÄ e (x) ÓÏ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÞÌÅÎÏÍ 1, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÒÑÄÁ
(x). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
ÜËÓÏÎÅÎÔÏÊ
ÜËÓÏÎÅÎÔÏÊ
exp : N
7→e -
(5-22)
U:
ÅÏÒÅÍÁ 5.1
üËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ É ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÞÅÓËÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ (5-22) É (5-20) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
×ÚÁÉÍÎÏ ÏÂÒÁÔÎÙÍÉ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ ÁÂÅÌÅ×ÙÈ ÇÒÕ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ
ÒÑÄÏ× u; u1; u2 ∈ U É ; 1 ; 2 ∈ N ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á:
ln e = ; eln u = u ; ln(u1u2) = ln(u1) + ln(u2) ; e + = e e :
1
2
1
2
òÁ×ÅÎÓÔ×Ï ln e = ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ×ÚÑÔÉÅÍ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÏÔ
ÏÂÅÉÈ ÞÁÓÔÅÊ (ÏÂÁ ÒÑÄÁ ÉÍÅÀÔ ÎÕÌÅ×ÏÊ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÞÌÅÎ É ÏÂÑÚÁÎÙ ÓÏ×ÁÄÁÔØ,
ËÏÌØ ÓËÏÒÏ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ÉÈ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ∀ u1; u2 ∈ U ÒÑÄÙ ln(u1u2)
É ln u1 + ln u2 ÌÅÖÁÔ × N É ÉÍÅÀÔ ÒÁ×ÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ:
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
′
′
′
(ln(u1u2))′ = (uu1uu2) = u1u2u+uu1u2 =
1 2
1 2
= uu1 + uu2 = (ln u1)′ + (ln u2)′ = (ln u1 + ln u2)′ :
′
′
1
2
ðÏÜÔÏÍÕ ln(u1u2) = ln u1 + ln u2, Ô. Å. ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï eln u = u ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÏÂÅÉÈ ÞÁÓÔÅÊ Ó
ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÕÖÅ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ln e = É ÌÅÍ. 5.1. éÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×
eln u = u É ln e = ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÅ É ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÂÒÁÔÎÙÍÉ ÂÉÅË ÉÑÍÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÅ | ÔÏÖÅ
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 5.7. ðÏËÁÖÉÔÅ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÒÑ-
ÄÏ×, ÞÔÏ ex+y = ex ey × F[x; y℄.
79
5.5. âÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ
äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ∈ F ÏÒÅÄÅÌÉÍ
Ó ÏËÁÚÁÔÅÌÅÍ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
(1 + È) def
= e ln(1+x) :
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ×ÍÅÓÔÏ 1+ x ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÒÑÄÙ u ∈ U , ÍÙ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÞÉÓÌÁ
ÏÌÕÞÁÅÍ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÕÀ ÏÅÒÁ ÉÀ
5.5. âÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ.
ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ÒÑÄ
×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÑ ×
U
u7→u U;
-ÔÕÀ ÓÔÅÅÎØ
∈F
ÏÂÌÁÄÁÀÝÕÀ ×ÓÅÍÉ ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏ ÏÖÉÄÁÅÍÙÍÉ ÏÔ ÓÔÅÅÎÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ: ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÒÑÄÏ× u; v ∈ U É ÞÉÓÅÌ ; ∈ F ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
u · u = e ln u · e ln u = e ln u+ ln u = e( + ) ln u = u +
(5-23)
u
(5-24)
(u ) = e ln(u ) = e ln(e ) = e ln u = u
ln
v
ln(
uv
)
(ln
u
+ln
v
)
ln
u
+
ln
v
ln
u
(5-25)
(uv) = e
=e
=e
=e ·e =u v
1=n = √
nu ×
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ
ÒÑÄÁ
u
Ó
ÅÄÉÎÉÞÎÙÍ
Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ
ÞÌÅÎÏÍ
u
n
1
=n
ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ u = u .
äÌÑ Ñ×ÎÏÇÏ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ai ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ
(1 + x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·
×ÙÞÉÓÌÉÍ ÅÇÏ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÞÅÓËÕÀ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ:
((1 + x) )′ = (ln(1 + x) )′ = ln e ln(1+x) ′ = ln(1 + x)′ =
(1 + x)
1+x :
ðÒÉ×ÏÄÑ ÌÅ×ÕÀ É ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ Ë ÏÂÝÅÍÕ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÀ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + · · · · (1 + x) = · (1 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · ) :
óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ xk−1 × ÒÁ×ÏÊ É ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ, ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÍÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ kak + (k − 1)ak−1 = ak−1 , ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ
− (k − 1)
( − (k − 1))( − (k − 2)) · a = · · ·
ak =
· ak − 1 =
k −2
k
k(k − 1)
( − (k − 1))( − (k − 2)) · · · ( − 1) :
··· =
k!
óÔÏÑÝÁÑ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÄÒÏÂØ ÉÍÅÅÔ É × ÞÉÓÌÉÔÅÌÅ É × ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅ Ï k ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÓÏÂÏÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÕÍÅÎØÛÁÀÝÉÅÓÑ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ
ÞÉÓÌÁ: × ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅ | ÏÔ k ÄÏ 1, × ÞÉÓÌÉÔÅÌÅ | ÏÔ ÄÏ ( − k +1). üÔÁ ÄÒÏÂØ
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
def ( − 1) · · · ( − k + 1)
(5-26)
=
k!
k
îÁÍÉ ÄÏËÁÚÁÎÏ
ln
ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ
80
§5. æÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÓÔÅÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 5.7 (ÆÏÒÍÕÌÁ îØÀÔÏÎÁ)
ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ
( − 1) x2 + ( − 1)( − 2) x3 + · · · :
(1 + x) =
xk = 1 + x +
k
2
6
k⩾0
5.5.1. ðÒÉÍÅÒ: ÂÉÎÏÍ Ó ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÏËÁÚÁÔÅÌÑÍÉ. ðÒÉ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ ÏËÁÚÁÔÅÌÑ = n ∈ N ÉÍÅÅÔÓÑ ÌÉÛØ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ
ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×, ÏÓËÏÌØËÕ ÒÉ k > n × ÞÉÓÌÉÔÅÌÅ (5-26) ÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌØ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÂÉÎÏÍÁ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ËÏÎÅÞÎÏ:
n X
n(n − 1) 2
n
n
n
(1 + x) = 1 + n x + 2 x + · · · + x =
· xk :
k
k=0
ðÒÉ ÅÌÏÍ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÍ = −m , m ∈ N , ÍÙ ÓÎÏ×Á ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ
(5-9) ÉÚ n◦ 5.2.2
m + 2) 3
x + ··· =
(1 + x)−m = 1 − m x + m(m2+ 1) x2 − m(m + 1)(
6
X
= (−1)k k + mk − 1 · xk :
äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÞÉÓÌÁ
∈F
X k⩾0
ðÒÉ = 1=n , n ∈ N ÆÏÒÍÕÌÁ îØÀÔÏÎÁ ÒÁÚ×ÏÒÁÞÉ×ÁÅÔ × ÓÔÅÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ÒÁÄÉËÁÌ
1 1 − 1 1 − 2
1 1 − 1
√
1
n
x3 + · · · =
1 + x = 1 + n x + n n2 x2 + n n 6 n
2
n − 1) x3 (n − 1)(2n − 1)(3n − 1) x4
· 3−
· 4 + ···
= 1 + nx − n −2 1 · nx2 + (n − 1)(2
2·3
n
2·3·4
n
îÁÒÉÍÅÒ, ÒÉ n = 2 × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁ ÒÉ xk ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÄÒÏÂØ ×ÉÄÁ
k − 3) (−1)k−1
(2k)!
·
(−1)k−1 · 1 ·23· ·45· ·6· ·· ···(2· (2
=
k)
2k − 1 (2 · 4 · 6 · · · · (2k))2 =
k −1
= (2k(−−1)1) · 4k · 2kk :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
2
( 1)
(5-27)
2 1
4
5.5.2. ðÒÉÍÅÒ: ÞÉÓÌÁ ëÁÔÁÌÁÎÁ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ (5-27) ÄÌÑ
ÏÌÕÞÅÎÉÑ Ñ×ÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ
, ÞÁÓÔÏ ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÈ × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÈ ÚÁÄÁÞÁÈ. ðÕÓÔØ ÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÓÕÍÍÙ (n + 1) ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ
a0 + a1 + a2 + · · · + an
(×ÓÅÇÏ n ÌÀÓÏ×)
(5-28)
√
1+x=
X − k−1 k xk
·
· k :
k
−
k
k⩾0
ÞÉÓÅÌ ëÁÔÁÌÁÎÁ
81
5.5. âÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ
× ËÁÖÄÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ×ÒÅÍÅÎÉ ÒÁÚÒÅÛÁÅÔÓÑ ÄÅÌÁÔØ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÓÌÏÖÅÎÉÑ. ÁËÏÅ
×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ n ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÛÁÇÏ×, ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ
×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ËÏÎËÒÅÔÎÏÅ ÓÌÏÖÅÎÉÅ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÞÅÇÏ ×ÓÅ ÚÎÁËÉ €+
ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ × ÔÏÍ ÏÒÑÄËÅ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÏÎÉ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ.
ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÈ ÔÁËÉÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÎÕÍÅÒÁ ÉÊ n ÌÀÓÏ× ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
n-ÙÍ
n . õÄÏÂÎÏ ÔÁËÖÅ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÏÌÏÖÉÔØ 0 = 1.
ðÏÄÞÅÒËΣÍ, ÞÔÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÅ ÎÁÍÉ ÎÕÍÅÒÁ ÉÉ ÌÀÓÏ× ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙ.
ÞÉÓÌÏÍ ëÁÔÁÌÁÎÁ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 5.8. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ 1 = 1, 2 = 2, 3 = 5, 4 = 14 (É, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ,
n 6= n!).
ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÓÕÍÍÕ (5-28) ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÓÌÅÄÎÉÍ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ i-ÔÙÊ ÓÌÅ×Á ÌÀÓ, ÒÁ×ÎÏ i−1 n−i | ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÓÞÉÔÁÔØ
ÓÕÍÍÕ i ÞÉÓÅÌ, ÓÔÏÑÝÉÈ ÓÌÅ×Á ÏÔ i-ÔÏÇÏ ÌÀÓÁ, É n − i + 1 ÞÉÓÅÌ, ÓÔÏÑÝÉÈ ÏÔ
ÎÅÇÏ ÓÒÁ×Á, ÄÌÑ ÞÅÇÏ Õ ÎÁÓ ÉÍÅÅÔÓÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, i−1 É n−i ÓÏÓÏÂÏ×.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÉÓÌÁ ëÁÔÁÌÁÎÁ n ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ
(5-29)
n = 0 n−1 + 1 n−2 + · · · + n−2 1 + n−1 0 ;
i-ÔÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÕÞÉÔÙ×ÁÅÔ ×ÓÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÓÌÅÄÎÉÍ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ i-ÔÙÊ ÓÌÅ×Á ÌÀÓ ÚÁÉÓÉ (5-28).
þÔÏÂÙ ×ÙÒÁÚÉÔØ n ÞÅÒÅÚ n Ñ×ÎÏ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÔÅÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
X
(x) = k xk = 1 + 1x + 2x2 + 3x3 + · · · :
k⩾0
òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (5-29) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÒÑÄ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ
(x) − 1 = (x)2 :
x
éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, t = (x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
x · t2 − t − 1 = 0
ÎÁ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ t . òÅÛÁÑ ÅÇÏ1, ÏÌÕÞÁÅÍ (x) = 1 − √1 − 4x =(2x) . ðÏ (5-27)
X 1
√
1 − 4x = − 2k − 1 · 2kk · xk ;
k⩾0
ÏÔËÕÄÁ
1
2
k+2
2k :
1
1
·
=
·
k= ·
2 2k + 1 k + 1 k + 1 k
ÏÂÒÁÔÉÔÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ ÒÑÄ 1 − √1 − 4x ÎÅ ÉÍÅÅÔ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÞÌÅÎÁ É ÏÔÏÍÕ ÄÅÌÉÔÓÑ ×
Q[[x℄℄ ÎÁ√2x, ÒÉÞ£Í ÞÁÓÔÎÏÅ ÉÍÅÅÔ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÞÌÅÎ = 1, ËÁË ÎÁÍ É ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ; ×ÔÏÒÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ 1 + 21x − 4x ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ € ÅÌÙ́ ÓÔÅÅÎÎÙÍ ÒÑÄÏÍ: ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÎÅ ÏÂÒÁÔÉÍ, Á ÞÉÓÌÉÔÅÌØ,
ÉÍÅÑ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÞÌÅÎ, ÎÁ ÎÅÇÏ ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ
1
0
82
úÁÄÁÞÉ Ë §5
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÒ×ÏÇÏ ×ÚÇÌÑÄÁ ÄÁÖÅ ÎÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ | ÅÌÏÅ.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §5
úÁÄÁÞÁ 5.1. ÷ÙÉÛÉÔÅ Ñ×ÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÞÅÒÅÚ n ÄÌÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁ ÒÉ tn Õ ÆÏÒ-
ÍÁÌØÎÏÇÏ ÓÔÅÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ
Â) (t4 + 2 t3 − 7 t2 − 20 t − 12)−1
√
√
×) 3 1 + 2t
Ç) 1= 1 − 3t
Ä) h(t) def
= (et + e−t )=2
def it
def
Ö) os(t) = (e + e−it )=2
Ú) sin(t) = (eit − e−it )=2i
Á) (2 t2 − 3 t + 1)−1
Å) sh(t) def
= (et − e−t )=2
úÁÄÁÞÁ 5.2. îÁÉÛÉÔÅ Ñ×ÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ k -ÔÏÇÏ ÞÌÅÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ak , ÔÁ-
ËÏÊ ÞÔÏ a0 = 1, a1 = −1 É ak = 2ak−1 − ak−2 ÒÉ k ⩾ 2.
úÁÄÁÞÁ 5.3. ðÕÓÔØ g (x) =
Q
(x − i ) , ÇÄÅ ×ÓÅ i ÏÁÒÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ f ∈ k[x℄ Ó deg f < deg g ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f=g ×
ÓÕÍÍÕ ÒÏÓÔÅÊÛÉÈ ÄÒÏÂÅÊ ÉÚ ÒÅÄÌ. 4.7 ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
f X f ( i )=g′ ( i )
=
g
(x − i )
ÇÄÅ g′ | ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÔ g.
úÁÄÁÞÁ 5.4 (ÆÏÒÍÕÌÁ ÅÊÌÏÒÁ). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÄ ÌÀÂÙÍ ÏÌÅÍ k ÈÁÒÁËÔÅÒÉ-
ÓÔÉËÉ ÎÕÌØ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÉÚ n +1 ÚÎÁÞÅÎÉÊ b0 ; b1 ; : : : ; bn ∈ k
É ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ a ∈ k ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f
ÓÔÅÅÎÉ ⩽ n, ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ f (a) = b0 É (d=dx)i f (a) = bi ÒÉ ×ÓÅÈ i = 1; : : : ; n.
îÁÉÛÉÔÅ ÄÌÑ ÔÁËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Ñ×ÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ.
úÁÄÁÞÁ 5.5. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÑÄÁ tg(x) = sin(x)=
ÔÅÌØÎÙ.
os(x) ÏÌÏÖÉ-
úÁÄÁÞÁ 5.6. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÒÑÄ ex ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ (Ô. Å. ÎÅ ÒÁ×ÅÎ
ÞÁÓÔÎÏÍÕ Ä×ÕÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×).
úÁÄÁÞÁ 5.7. îÁÉÛÉÔÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÉÊÓÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÒÑÄ, ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ
ËÏÔÏÒÏÇÏ ÔÏÌØËÏ ÎÕÌÉ ÅÄÉÎÉ Ù.
úÁÄÁÞÁ 5.8. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ pm (n) ÞÉÓÌÏ ÄÉÁÇÒÁÍÍ àÎÇÁ ×ÅÓÁ n ÉÚ ⩽ m ÓÔÒÏË É
= 1. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ pm (P
n) ÞÅÒÅÚ pm−1 (n) É pm (n − m) É ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
ÏÌÏÖÉÍ p(0) def
ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ Pm (t) =
pm (n) tn ∈ Q[[t℄℄ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁ.
n⩾0
úÁÄÁÞÁ 5.9 (ÔÅÏÒÅÍÁ üÊÌÅÒÁ Ï ÑÔÉÕÇÏÌØÎÙÈ ÞÉÓÌÁÈ). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ p(n)
ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ àÎÇÁ
×ÅÓÁ1 n, ÏÌÏÖÉÍ p(0) def
= 1 É ÏÂÒÁÚÕÅÍQÒÏÉÚ×ÏÄÑP
ÝÕÀ ÆÕÎË ÉÀ P (t) =
p(n)tn ∈ Q[[t℄℄. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Á) P (t) = (1 − tk )−1
n⩾0
1
ÞÉÓÌÏ p(n) ÔÁËÖÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÊ ÞÉÓÌÁ n
k⩾1
83
úÁÄÁÞÉ Ë §5
Â) 1=P (t) = 1+
P
n⩾1
(pbÞ (n) − pbÎ (n)) · tn , ÇÄÅ ÞÅÒÅÚ pbÞ (n) É pbÎ (n) ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÙ ËÏÌÉ-
ÞÅÓÔ×Á ÄÉÁÇÒÁÍÍ àÎÇÁ ×ÅÓÁ n Ó ÏÁÒÎÏ ÒÁÚÎÙÍÉ ÄÌÉÎÁÍÉ ÓÔÒÏË, ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ,
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÉÚ Þ£ÔÎÏÇÏ
É ÎÅÞ£ÔÎÏÇÏ
ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á
ÓÔÒÏË
P
2 −k
2 +k
3
k
3
k
k
+1
p n− 2 +p n− 2
=
×) p(n) = (−1)
k⩾1
= p(n − 1)+ p(n − 2) − p(n − 5) − p(n − 6)+ p(n − 12)+ p(n − 15) −· · · :
Ç) ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ p(10).
úÁÄÁÞÁ 5.10. ÷ ×ÙÕËÌÏÍ n ÕÇÏÌØÎÉËÅ ÒÏ×ÏÄÑÔ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÄÉÁ-
ÇÏÎÁÌÅÊ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÎÉ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÌÉÓØ ÎÉÇÄÅ, ËÒÏÍÅ ×ÅÒÛÉÎ. óËÏÌØËÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ?
úÁÄÁÞÁ 5.11. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ im ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÙÈ ÍÎÏÇÏ-
ÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ m × Fp [Q
x℄ (ÓÍ. ÚÁÄ. 4.28). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × Q[[t℄℄ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (1 − pt)−1 =
(1 − tm )−im .
m∈N
úÁÄÁÞÁ 5.12 (ÄÅÊÓÔ×ÉÅ Q[[d=dx℄℄ ÎÁ Q[x℄). äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÒÑÄÁ
F (t) =
X
k⩾0
ak tk ∈ Q[[t℄℄
ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ
Fe = F
d
: Q[x℄
dx
- Q[x℄ ;
ËÏÔÏÒÙÊ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ËÁÖÄÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ g ∈ Q[x℄ × ÓÕÍÍÕ
Feg =
X
k⩾0
ak (d=dx)k g = a0 g + a1 g′ + a2 g′′ + a3 g′′′ + · · · ;
Á) õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ Fe : Q[x℄ - Q[x℄ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ1 É Qe(f + g ) = Fef + Feg ∀ ; ∈ Q É ∀ f; g ∈ Q[x℄ .
ÌÉÎÅÊÎÏ , Ô. Å. F
Â) ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Fm (x) def
= Fexm ÞÅÒÅÚ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ
ÒÑÄÁ F É ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÑÄ F ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ Ï ÎÁÂÏÒÕ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Fm (ÏÎÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ áÅÌÑ ÒÑÄÁ F ).
d
×) ÷ÙÑÓÎÉÔÅ, ËÁË ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ Q[x℄ ÏÅÒÁÔÏÒ e dx , ÇÄÅ ∈ Q .
Ç) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Q-ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ æ : Q[x℄ - Q[x℄ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ æ = Fe ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ F ∈ Q[[t℄℄, ËÏÇÄÁ ÏÎÏ
ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏ ÓÏ ×ÓÅÍÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁÍÉ ÓÄ×ÉÇÁ T : f (x) 7→ f (x + ) (ÇÄÅ ∈ Q).
Ä) ÷ÙÑÓÎÉÔÅ, ËÁËÉÍÉ ÒÑÄÁÍÉ ÚÁÄÁÀÔÓÑ ÒÁÚÎÏÓÔÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ :
∇ : f (x) 7−→ f (x) − f (x − 1)
: f (x) 7−→ f (x + 1) − f (x)
1
Ô. Å. Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÏÅÒÁ ÉÅÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
(5-30)
(5-31)
84
úÁÄÁÞÉ Ë §5
úÁÄÁÞÁ 5.13 (ÒÑÄ ÏÄÄÁ É ÞÉÓÌÁ âÅÒÎÕÌÌÉ). òÑÄ
= t=(1 − e−t ) =
td(t) def
X ak
k!
k⩾0
tk ∈ Q[[t℄℄
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÑÄÏÍ ÏÄÄÁ . þÉÓÌÁ bk , ÒÁ×ÎÙÅ ÞÉÓÌÁÍ ak ÉÚ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÒÉ
k 6= 1, É b1 = −a1 ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÞÉÓÌÁÍÉ âÅÒÎÕÌÌÉ . Á) îÁÊÄÉÔÅ × Ñ×ÎÏÍ ×ÉÄÅ ÆÕÎË ÉÀ (B (t) − B (−t) =2 É ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ a2k+1 .
Â) îÁÊÄÉÔÅ ÅÒ×ÕÀ ÄÀÖÉÎÕ ÞÉÓÅÌ âÅÒÎÕÌÌÉ.
×) äÏËÁÖÉÔÅ ÄÌÑ k ⩾ 2 ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ1 1 +
kP
−1 k
b = 0 .
=1
Ç) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÁ b2k (Ó Þ£ÔÎÙÍÉ ÎÏÍÅÒÁÍÉ) ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÚÎÁËÏÅÒÅÍÅÎÎÕÀ
ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ.
úÁÄÁÞÁ 5.14 (ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÓÔÅÅÎÅÊ). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Sm (x) ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÕÀ
Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÞÌÅÎÏÍ ÏÔ m-ÔÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ áÅÌÑ ÒÑÄÁ ÏÄÄÁ, Ô. Å.
ÔÁËÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Sm (x) ∈ Q[x℄ ÂÅÚ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÞÌÅÎÁ, ÞÔÏ
d
d m
Sm (x) = td
x
dx
dx
ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÉ ×ÓÅÈ ÅÌÙÈ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ n
0m + 1m + 2m + · · · + nm = Sm (n) ;
É ÎÁÉÛÉÔÅ Ñ×ÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ k-ÔÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ ÅÒ×ÙÈ n ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÌÅ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ k ÏÔ 1 ÄÏ 6. (õËÁÚÁÎÉÅ: ÏÄÅÊÓÔ×ÕÊÔÅ ÎÁ ÓÕÍÍÕ
ÓÔÅÅÎÅÊ ÒÁÚÎÏÓÔÎÙÍ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ ∇ ÉÚ ÚÁÄ. 5.12 (Ä))
ÜÔÕ ÆÏÒÍÕÌÕ ÞÁÓÔÏ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔ ÍÎÅÍÏÎÉÞÅÓËÉÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ bk = (1 + b)k , ÇÄÅ ÚÎÁÞ£Ë b
ÕËÁÚÙ×ÁÅÔ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ ÏËÁÚÁÔÅÌÉ ÒÉ ÂÕË×Å b ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ÎÅ ËÁË ÓÔÅÅÎÉ, Á ËÁË
ÎÏÍÅÒÁ ÞÉÓÅÌ âÅÒÎÕÌÌÉ, Ô. Å. ÉÓÁÔØ ÎÅ ×ÅÒÈÎÉÍÉ ÉÎÄÅËÓÁÍÉ, Á ÎÉÖÎÉÍÉ
1
§6. æÁËÔÏÒ ËÏÌØ Á É ÉÄÅÁÌÙ
ðÏÄËÏÌØ Ï I ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÇÏ ËÏÌØ Á K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
,
ÅÓÌÉ ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÙÍ Ó×ÏÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ É ×ÓÅ ÅÇÏ ËÒÁÔÎÙÅ.
÷ n◦ 3.4.3 ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ, ÞÔÏ ÜÔÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÑÄÒÏ ÌÀÂÏÇÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ËÏÌÅ . ðÒÉÍÅÒÁÍÉ ÉÄÅÁÌÏ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÁËÖÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ×ÉÄÁ
6.1. éÄÅÁÌÙ.
ÉÄÅÁÌÏÍ
(6-1)
(a) = {ka | k ∈ K } ;
ÓÏÓÔÏÑÝÉÅ ÉÚ ×ÓÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ËÒÁÔÎÙÈ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ a ∈ K . éÄÅÁÌÙ ×ÉÄÁ (6-1) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
. íÙ ×ÓÔÒÅÞÁÌÉÓØ Ó ÎÉÍÉ ÒÉ ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ
ËÏÌÅ ×ÙÞÅÔÏ× Z=(n) É k[x℄=(f ) , ÇÄÅ ÏÎÉ ×ÏÚÎÉËÁÌÉ ËÁË ÑÄÒÁ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×
ÇÌÁ×ÎÙÍÉ
Z
m7→[m℄n -
()
Z= n ;
[℄
kx
g7→[g℄f -
[℄()
kx= f
ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÅÌÏÍÕ ÞÉÓÌÕ (ÓÏÏÔ×. ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÕ) ËÌÁÓÓ ÅÇÏ ×ÙÞÅÔÁ.
âÏÌÅÅ ÏÂÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× a1; a2; : : : ; am ∈ K ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÈ × ×ÉÄÅ k1a1 + k2a2 + · · · + kmam Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍÉ k1; k2; : : : ; km ∈ K ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÄÅÁÌÏÍ. ïÎ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ
(a1; a2; : : : ; am ) def
= {k1a1 + k2a2 + · · · + kmam | k1; k2; : : : ; km ∈ K }
(6-2)
É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
a1 ; a2 ; : : : ; am . íÙ ×ÓÔÒÅÞÁÌÉÓØ Ó ÔÁËÉÍÉ
ÉÄÅÁÌÁÍÉ, ËÏÇÄÁ ÄÏËÁÚÙ×ÁÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ÄÅÌÉÔÅÌÑ ×
ËÏÌØ ÁÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ É ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ × ÏÌÅ.
ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, × ÌÀÂÏÍ ËÏÌØ Å K ÉÍÅÀÔÓÑ
ÉÄÅÁÌÙ (0) = {0} É
(1) = K .
ÉÄÅÁÌÏÍ, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÍ
ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÅ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 6.1. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÁ ÉÄÅÁÌ I × ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÍ
ËÏÌØ Å K Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ ÏÁÒÎÏ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ:
×) I ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÂÒÁÔÉÍÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ.
Á) I = K
Â) 1 ∈ I
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 6.1
ëÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØ Ï K Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÅÍ,
ËÏÇÄÁ × Î£Í ÎÅÔ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×.
éÚ ÕÒ. 6.1 ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÉ × ËÁËÏÍ ÏÌÅ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÈ
ÉÄÅÁÌÏ× ÎÅÔ. îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ × ËÏÌØ Å ÎÅÔ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×, ÔÏ ÇÌÁ×ÎÙÊ ÉÄÅÁÌ (b), ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÊ ÌÀÂÙÍ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ b, ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ×ÓÅÍ
ËÏÌØ ÏÍ É, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÅÄÉÎÉ Õ, Ô. Å. 1 = ab ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ a. ÅÍ
ÓÁÍÙÍ, ÌÀÂÏÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÂÒÁÔÉÍ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
85
86
§6. æÁËÔÏÒ ËÏÌØ Á É ÉÄÅÁÌÙ
ðÕÓÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØ Ï K ÒÁÚÂÉÔÏ
× ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÎÅÕÓÔÙÈ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×, ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X
K = ⊔ Kx :
(6-3)
x∈X
6.2. æÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÑ.
éÎÁÞÅ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×
(6-4)
ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ËÁÖÄÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ a ∈ K ÎÏÍÅÒ x(a) ÔÏÇÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ (6-3), ÇÄÅ ÌÅÖÉÔ a. éÌÉ ÖÅ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÁ K ÚÁÄÁÎÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, É ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÏ ÞÅÒÅÚ X ,
ÔÁË ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ 6-4 ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ËÁÖÄÙÊ ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ [a℄ × x(a) .
íÙ ÈÏÔÉÍ ÚÁÄÁÔØ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å X ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÇÏ ËÏÌØ Á ÔÁË,
ÞÔÏÂÙ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ 6-4 ÓÔÁÌÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ËÏÌÅ , ÉÌÉ | ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ |
ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÓÌÏÖÅÎÉÅ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ËÌÁÓÓÏ× ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ (6-3) ÚÁÄÁ×ÁÌÏÓØ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ
[a℄ + [b℄ = [a + b℄ ; [a℄ · [b℄ = [ab℄ :
(6-5)
éÚ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÎÙÈ ÎÁÍÉ × n◦ 3.4.3 Ó×ÏÊÓÔ× ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ËÏÌÅ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ
ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ
, ÞÔÏÂÙ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ËÌÁÓÓ [0℄ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ
(6-3) (ËÏÔÏÒÙÊ ÂÕÄÅÔ ÑÄÒÏÍ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ (6-4)), ÂÙÌ ÉÄÅÁÌÏÍ ËÏÌØ Á K , Á ×ÓÅ
ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÓÌÏÉ ÂÙÌÉ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÙÍÉ ÓÄ×ÉÇÁÍÉ ÑÄÒÁ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÌØ Á K , Ô. Å.
ÞÔÏÂÙ ∀ a ∈ K ×ÙÏÌÎÑÌÏÓØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
[a℄ = a + [0℄ = {a + b | b ∈ [0℄} :
ïËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÜÔÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ: ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I ⊂ K ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÌÁÓÓÏ×
[a℄I = a + I def
= {a + b | b ∈ I }
(6-6)
ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ËÏÌØ Á K , É ÒÁ×ÉÌÁ (6-5) ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ ÎÁ ΣÍ
ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÇÏ ËÏÌØ Á Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ [1℄I É ÎÕÌ£Í [0℄I = I .
K
xX;
ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 6.2. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÓÒÁ×ÎÉÍÏÓÔÉ Ï ÍÏÄÕÌÀ ÉÄÅÁÌÁ
a1 ≡ a2 (mod I ) ;
ÏÚÎÁÞÁÀÝÅÅ, ÞÔÏ a1 − a2 ∈ I , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ, ÒÁÚÂÉ×ÁÀÝÉÍ K × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÎÁ ËÌÁÓÓÙ (6-6), É ÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÆÏÒÍÕÌÙ (6-5) ËÏÒÒÅËÔÎÏ
ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ ÎÁ ÜÔÉÈ ËÌÁÓÓÁÈ.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 6.1
ëÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ (6-6) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
(ÉÌÉ
) Ï ÍÏÄÕÌÀ ÉÄÅÁÌÁ I . íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÜÔÉÈ ËÌÁÓÓÏ× Ó ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ (6-5)
ËÌÁÓÓÁÍÉ ×ÙÞÅÔÏ×
ËÌÁÓÓÁÍÉ
ÓÍÅÖÎÙÍÉ
87
6.3. ëÏÌØ Á ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÏÒÆÉÚÍ
ÆÁËÔÏÒ ËÏÌØ ÏÍ
ËÏÌØ Á K Ï ÉÄÅÁÌÕ I É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ K=I . üÉ-
(6-7)
ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ËÁÖÄÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ ËÏÌØ Á ÅÇÏ ËÌÁÓÓ ×ÙÞÅÔÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
K
a7→[a℄I--
K=I ;
ÇÏ-
ÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ
6.2.1. ðÒÉÍÅÒ: ËÏÌØ Á ×ÙÞÅÔÏ× Z=(n) É k[x℄=(f ) ÓÕÔØ ÆÁËÔÏÒ ËÏÌØ Á ËÏÌØ-
Á ÅÌÙÈ ÞÉÓÌÅÌ É ËÏÌØ Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Ï ÇÌÁ×ÎÙÍ ÉÄÅÁÌÁÍ (n) ⊂ Z É (f ) ⊂ k[x℄
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ.
6.2.2. ðÒÉÍÅÒ: ÏÂÒÁÚ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ. óÏÇÌÁÓÎÏ n◦ 3.4.3, ÏÂÒÁÚ ÌÀÂÏÇÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÈ ËÏÌÅ K1 '- K2 ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ ÆÁËÔÏÒ
ËÏÌØ Õ K1= ker('). ðÒÉ ÜÔÏÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÅ ÜÌÅÍÅÎÔÕ b = '(a) ∈ im ' ⊂ K2 ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ËÌÁÓÓ ×ÙÞÅÔÏ× [a℄ker ' = '−1(b).
6.3. ëÏÌØ Á ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×. ãÅÌÏÓÔÎÏÅ ËÏÌØ Ï K Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÉÄÅÁÌ I ⊂ K Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
, Ô. Å.
ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ I = (d) = {ad | a ∈ K }.
ðÁÒÁÌÌÅÌÉÚÍ ÍÅÖÄÕ ËÏÌØ ÁÍÉ Z É k[x℄, ÇÄÅ k | ÏÌÅ, ËÏÔÏÒÙÊ ÍÙ ÎÁÂÌÀÄÁÌÉ
×ÙÛÅ, ÏÂßÑÓÎÑÅÔÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÏÂÁ ÜÔÉ ËÏÌØ Á Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÌØ ÁÍÉ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×. íÙ ÆÁËÔÉÞÅÓËÉ ÄÏËÁÚÁÌÉ ÜÔÏ, ËÏÇÄÁ ÓÔÒÏÉÌÉ × ÜÔÉÈ ËÏÌØ ÁÈ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ
ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ. îÉÖÅ ÍÙ ×ÏÓÒÏÉÚ×ÅÄ£Í ÜÔÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÅÝ£ ÒÁÚ ÔÁËÉÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÏÎÏ ÇÏÄÉÌÏÓØ ÄÌÑ ÞÕÔØ ÂÏÌÅÅ ÛÉÒÏËÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ËÏÌÅ , ÄÏÕÓËÁÀÝÉÈ
.
6.3.1. ðÒÉÍÅÒ: Å×ËÌÉÄÏ×Ù ËÏÌØ Á. ãÅÌÏÓÔÎÏÅ ËÏÌØ Ï K Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
(ÉÌÉ
)
K \ {0} - N ∪ {0} ;
ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÁÑ ËÁÖÄÏÍÕ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ a ∈ K ÅÌÏÅ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÅ
ÞÉÓÌÏ (a) ÔÁË, ÞÔÏ ∀ a; b ∈ K \ {0} ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ Ä×Á Ó×ÏÊÓÔ×Á:
(6-8)
(ab) ⩾ (a)
∃ q; r ∈ K : a = bq + r É ÌÉÂÏ (r) < (b) , ÌÉÂÏ r = 0 :
(6-9)
üÌÅÍÅÎÔÙ q É r ÉÚ (6-9), ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ,
É
ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ a ÎÁ b. ðÏÄÞÅÒËΣÍ, ÞÔÏ ÉÈ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ (ÄÌÑ ÄÁÎÎÙÈ
a É b) ÎÅ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ.
îÁÒÉÍÅÒ, × ËÏÌØ Å ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ Z ÆÕÎË ÉÅÊ ×ÙÓÏÔÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÁÑ
×ÅÌÉÞÉÎÁ, Á × ËÏÌØ Å ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× k[x℄ Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ × ÏÌÅ k ×ÙÓÏÔÏÊ
ÓÌÕÖÉÔ ÓÔÅÅÎØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ.
ËÏÌØ ÏÍ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×
ÇÌÁ×ÎÙÍ
ÄÅÌÅÎÉÅ Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ
Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍ
ÆÕÎË ÉÑ ×ÙÓÏÔÙ
Å×ËÌÉÄÏ×Á ÎÏÒÍÁ
ÎÅÏÌÎÙÍ ÞÁÓÔÎÙÍ
ÏÓÔÁÔËÏÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 6.3. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÏÌØ Á
Á) Z[i℄ def
= { a + bi ∈ | a; b ∈ Z ; i2 = −1}
Â) Z[!℄ def
= {a + b! ∈ C | a; b ∈ Z ; !2 + ! + 1 = 0 }
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ×ÙÓÏÔÙ (z ) = |z |2 .
88
§6. æÁËÔÏÒ ËÏÌØ Á É ÉÄÅÁÌÙ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 6.2
ìÀÂÏÅ Å×ËÌÉÄÏ×Ï ËÏÌØ Ï Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÌØ ÏÍ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×1.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ ÌÀÂÏÍ ÉÄÅÁÌÅ I ⊂ K ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ d ∈ I
ÎÁÉÍÅÎØÛÅÊ ×ÙÓÏÔÙ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ a ∈ I ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ d, ÞÔÏ
ÄÁÓÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï I = (d). äÅÌÑ a ÎÁ d Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ, ÏÌÕÞÁÅÍ a = dq + r. ÏÇÄÁ
r = a − dq ∈ I , ÏÓËÏÌØËÕ a; d ∈ I . ðÏÓËÏÌØËÕ ÓÔÒÏÇÏÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (r) < (d)
ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ Ï ×ÙÂÏÒÕ d, ÍÙ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ r = 0.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 6.1
ëÏÌØ Á Z, k[x℄ (ÇÄÅ k | ÏÌÅ), Z[i℄ É Z[!℄ (ÓÍ. ÕÒ. 6.3) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÌØ ÁÍÉ
ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 6.4. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ËÏÌØ Å ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ab) =
(a) × Ó×ÏÊÓÔ×Å (6-8) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔ b ÏÂÒÁÔÉÍ
6.3.2. îïä É ×ÚÁÉÍÎÁÑ ÒÏÓÔÏÔÁ. ÷ ËÏÌØ Å ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× K Õ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× a1; a2; : : : ; an ÅÓÔØ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ | ÔÁËÏÊ
d = ÎÏÄ(a1 ; a2 ; : : : ; an ) | ÔÁËÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ËÏÌØ Á, ËÏÔÏÒÙÊ ÄÅÌÉÔ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ai É ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ Ó ÔÁËÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ. üÔÏ ÒÏÓÔÁÑ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÉÄÅÁÌ, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ a1; a2; : : : ; an , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÙÍ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÏÓËÏÌØËÕ
(a1; a2; : : : ; an) = {x1 a1 + x2 a2 + · · · + xnan | xi ∈ K } = (d)
ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ
d ∈ K , ÜÌÅÍÅÎÔ d, ËÁË É ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ (a1 ; a2 ; : : : ; an ), ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
P
d = x a , É ÚÎÁÞÉÔ, ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÞÉÓÅÌ ai . ó ÄÒÕÇÏÊ
ÓÔÏÒÏÎÙ, ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ (a1; a2; : : : ; an) = (d), ×ËÌÀÞÁÑ ÓÁÍÉ ai, ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ d.
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ d ÏÒÅÄẠ̊ΠÎÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ, Á Ó
ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÏÂÒÁÔÉÍÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ËÏÌØ Á.
ÅÌÏÓÔÎÏÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÍ ËÏÌØ Å K ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× (a) = (b) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ a = sb, ÇÄÅ s ∈ K
ÏÂÒÁÔÉÍ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 6.5. ÷ ÌÀÂÏÍ
îÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÜÔÕ ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÓÔØ, ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
ai (ÏÎÉÍÁÅÍÙÊ ËÁË ËÌÁÓÓ ÜÌÅÍÅÎÔÁ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÏÂÒÁÔÉÍÕÀ
ËÏÎÓÔÁÎÔÕ) Ï-ÒÅÖÎÅÍÕ ÒÉÎÑÔÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ ÎÏÄ(a1; a2; : : : ; an), ÅÓÌÉ ÜÔÏ
ÎÅ ×ÅÄ£Ô Ë ÎÅÄÏÒÁÚÕÍÅÎÉÑÍ. éÚ ÎÁÌÉÞÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ
ÎÏÄ(a1 ; a2 ; : : : ; an ) = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an
ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÎÅ×ÅÒÎÏ, ÎÏ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÙ ÒÉÈÏÄÑÔ ÉÚ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏÄ×ÉÎÕÔÏÊ
ÁÒÉÆÍÅÔÉËÉ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, É ÄÌÑ ÉÈ ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÑ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÔÅÈÎÉËÁ, ËÏÔÏÒÏÊ ÍÙ ÏËÁ ÅÝ£ ÎÅ ×ÌÁÄÅÅÍ; ×ÒÏÞÅÍ, ÚÁÉÎÔÅÒÅÓÏ×Á×ÛÉÊÓÑ ÞÉÔÁÔÅÌØ ÍÏÖÅÔ ÏÂÒÁÔÉÔØÓÑ Ë
ÚÁÍÅÞÁÎÉÀ 3 ÎÁ ÓÔÒ. 365 ËÎÉÇÉ ü. â. ÷ÉÎÂÅÒÇ .
. í. €æÁËÔÏÒÉÁ́ (1999)
1
ëÕÒÓ ÁÌÇÅÂÒÙ
89
6.4. î£ÔÅÒÏ×Ù ËÏÌØ Á
×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ ËÏÌØ Å ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÎÅÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÏÂÝÉÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ Õ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× a1; a2; : : : ; an ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ
ÜÔÉÈ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, Ô. Å. ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÅÄÉÎÉ Õ ËÏÌØ Á × ×ÉÄÅ
1 = x1a1 + x2 a2 + · · · + xnan Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ xi ∈ K
(ÉÎÁÞÅ ×ÚÁÉÍÎÕÀ ÒÏÓÔÏÔÕ a1; a2; : : : ; an ÍÏÖÎÏ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÔØ ËÁË ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
( a 1 ; a2 ; : : : ; a n ) = K )
×ÚÁÉÍÎÏÊ ÒÏÓÔÏÔÅ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 6.6. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ ËÏÌØ Å ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× K ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á
ËÉÔÁÊÓËÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÏÂ ÏÓÔÁÔËÁÈ
: ÅÓÌÉ a1 ; a2 ; : : : ; am ∈ K ÔÁËÏ×Ù, ÞÔÏ ∀ i 6= j
ÎÏÄ(ai ; aj ) = 1 , ÔÏ K=(a1 · a2 · · · · · am ) ≃ (K=(a1 )) × (K=(a2 )) × · · · (K=(am )) .
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 6.3
÷ ÌÀÂÏÍ ËÏÌØ Å ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× K ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁ p ∈ K ÏÁÒÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ:
(1) ÆÁËÔÏÒ ËÏÌØ Ï K=(p) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÅÍ;
(2) × ÆÁËÔÏÒ ËÏÌØ Å K=(p) ÎÅÔ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÎÕÌÑ;
(3) p ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ, Ô. Å. p = ab ⇒ a ÉÌÉ b ÏÂÒÁÔÉÍ × K .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. éÍÌÉËÁ ÉÑ (1) ⇒ (2) ÕÖÅ ÂÙÌÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÎÁÍÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ
ÏÌÑ × n◦ 3.1.1. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ ÅÌÏÓÔÎÏÍ ËÏÌØ Å K (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ
Ñ×ÌÑÀÝÅÍÓÑ ËÏÌØ ÏÍ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×) ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÉÍÌÉËÁ ÉÑ (2) ⇒ (3). éÚ
p = ab ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ [a℄[b℄ = 0 × K=(p), É ÅÓÌÉ × K=(p) ÎÅÔ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÎÕÌÑ, ÔÏ
ÏÄÉÎ ÉÚ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ, ÓËÁÖÅÍ [a℄, ÒÁ×ÅÎ [0℄. ÏÇÄÁ a = ps = abs ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ
s ∈ K , É ÚÎÁÞÉÔ, a(1 − bs) = 0. ðÏÓËÏÌØËÕ × K ÎÅÔ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÎÕÌÑ, bs = 1, Ô. Å.
b ÏÂÒÁÔÉÍ. ðÏËÁÖÅÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ × ËÏÌØ Å ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× (3) ⇒ (1). åÓÌÉ p
ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ, ÔÏ ∀ b 6∈ (p) ÎÏÄ(p; b) = 1, Á ÚÎÁÞÉÔ, ∃ x; y ∈ K : px + by = 1,
ÏÔËÕÄÁ [b℄[y℄ = 1 × K=(p). ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÌÀÂÏÊ ËÌÁÓÓ [b℄ 6= [0℄ ÏÂÒÁÔÉÍ × K=(p),
Ô. Å. K=(p) | ÏÌÅ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 6.7. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÉÄÅÁÌÙ (x; y ) ⊂ Q[x; y ℄ É (2; x) ∈ Z[x℄ ÎÅ Ñ×ÌÑ-
ÀÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÙÍÉ.
ìÀÂÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÏ× {a } ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÇÏ
ËÏÌØ Á K ÏÒÏÖÄÁÅÔ ÉÄÅÁÌ (a ) ⊂ K , ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ
ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÊ b1 a + b2 a + · · · + bm am ÜÌÅÍÅÎÔÏ× a ∈ A Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ bi ∈ K . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÉÄÅÁÌ ÍÏÖÎÏ ÏÉÓÁÔØ
ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÚÑ× ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÈ a (ÎÁÒÉÍÅÒ, ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÄÅÁÌÁ). ÷Ï ÍÎÏÇÉÈ ÚÁÄÁÞÁÈ ÁÌÇÅÂÒÙ, ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÁÎÁÌÉÚÁ
ËÌÀÞÅ×ÕÀ ÒÏÌØ ÉÇÒÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ.
6.4. î£ÔÅÒÏ×Ù ËÏÌØ Á.
ËÏÎÅÞÎÙÈ
1
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 6.2
2
ëÏÌØ Ï K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÉÄÅÁÌ I ⊂ K ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÒÏÖģΠËÏÎÅÞÎÙÍ ÎÁÂÏÒÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×.
ΣÔÅÒÏ×ÙÍ
90
§6. æÁËÔÏÒ ËÏÌØ Á É ÉÄÅÁÌÙ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 6.8. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÆÁËÔÏÒ ËÏÌØ Ï Î£ÔÅÒÏ×Á ËÏÌØ Á ÔÏÖŠΣÔÅÒÏ×Ï.
õÓÌÏ×ÉŠΣÔÅÒÏ×ÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ
ÓÏÓÏÂÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÍÉ ÍÙ ÞÁÓÔÏ ÂÕÄÅÍ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ.
ìÅÍÍÁ 6.1
óÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÇÏ ËÏÌØ Á K ÏÁÒÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ:
1) ÌÀÂÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÏ× {a } ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÒÏÖÄÁÅÔ ÔÏÔ ÖÅ ÉÄÅÁÌ, ÞÔÏ É ÓÁÍÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï;
2) ÌÀÂÏÊ ÉÄÅÁÌ ÄÏÕÓËÁÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÈ;
3) ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ÅÏÞËÉ ×ÌÏÖÅÎÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× I1 ⊂ I2 ⊂ I3 ⊂ · · ·
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÅ n ∈ N, ÞÔÏ I = In ÄÌÑ ×ÓÅÈ ⩾ n.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ñÓÎÏ, ÞÔÏ (1) ⇒ (2). þÔÏÂÙ ÉÚ (2) ×Ù×ÅÓÔÉ (3), ÚÁÍÅÔÉÍ,
ÞÔÏ I = S I ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÄÅÁÌÏÍ, Á ÚÎÁÞÉÔ, ÏÒÏÖģΠËÏÎÅÞÎÙÍ ÎÁÂÏÒÏÍ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ÷ÓÅ ÏÎÉ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ In, É ÔÏÇÄÁ In = I = I ÒÉ
⩾ n. þÔÏÂÙ ×Ù×ÅÓÔÉ (1) ÉÚ (3) ÂÕÄÅÍ Ï ÉÎÄÕË ÉÉ ÓÔÒÏÉÔØ ÅÏÞËÕ ÉÄÅÁÌÏ× In = (a1; a2; : : : ; an), ÎÁÞÁ× Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ a1 ÉÚ ÄÁÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {a } É ÄÏÂÁ×ÌÑÑ ÎÁ k-ÔÏÍ ÛÁÇÕ ÏÞÅÒÅÄÎÕÀ ÏÂÒÁÚÕÀÝÕÀ ak ÔÁË, ÞÔÏÂÙ
ak 6∈ (a1 ; a2 ; : : : ; ak−1 ). ÁË ËÁË Ik−1 Ik , ÜÔÏÔ ÒÏ ÅÓÓ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÒÏÄÏÌÖÁÔØÓÑ
ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ, É ÎÁ ËÁËÏÍ-ÔÏ ÛÁÇÕ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÉÄÅÁÌ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ×ÓÅ a . ÅÏÒÅÍÁ 6.1 (ÔÅÏÒÅÍÁ çÉÌØÂÅÒÔÁ Ï ÂÁÚÉÓÅ)
åÓÌÉ ËÏÌØ Ï K ΣÔÅÒÏ×Ï, ÔÏ ËÏÌØ Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× K [x℄ ÔÏÖŠΣÔÅÒÏ×Ï.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÉÄÅÁÌ I ⊂ K [x℄, ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ
Ld ⊂ K ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÔÁÒÛÉÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ ⩽ d × I
É ÏÌÏÖÉÍ L∞ = ∪d Ld.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 6.9. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ×ÓÅ Ld É L∞ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÄÅÁÌÁÍÉ × K .
ðÏÓËÏÌØËÕ K ΣÔÅÒÏ×Ï, ×ÓÅ ÜÔÉ ÉÄÅÁÌÙ ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄÅÎÙ. ðÕÓÔØ L∞ ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÓÔÁÒÛÉÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ a1; a2; : : : ; as ∈ K ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
f1(∞) ; f2(∞) ; : : : ; fs(∞) ∈ I
(6-10)
É ÕÓÔØ max (deg f ) = m. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ 0 ⩽ k ⩽ m − 1 ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ f1(k) ; f2(k) ; : : : ; fs(kk) ÔÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ÓÔÁÒÛÉÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÙÈ
ÏÒÏÖÄÁÀÔ ÉÄÅÁÌ Lk ⊂ K .
ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÉÄÅÁÌ I ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ s0 + · · · + sm−1 + s∞ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ f() .
äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f ∈ I ÓÒÁ×ÎÉÍ Ï ÍÏÄÕÌÀ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× (6-10) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÓÔÅÅÎÉ ⩽ (m − 1). ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ
ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ a ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ
f × ×ÉÄÅ a = b a + b2 a2 + · · · + bs as . åÓP (∞) deg f −deg f 1 1
i
ÉÍÅÅÔ ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÕÀ
ÌÉ deg f ⩾ m, ÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f − bifi · x
∞
(∞ )
91
6.4. î£ÔÅÒÏ×Ù ËÏÌØ Á
ÓÔÅÅÎØ, ÞÅÍ f . ðÏ×ÔÏÒÎÏ ÒÉÍÅÎÑÑ Ë ÎÅÍÕ ÜÔÏ ÖÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ÍÙ ÏÓÌÅ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÉÔÅÒÁ ÉÊ ÒÉÄ£Í Ë ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÕ ÓÔÅÅÎÉ ⩽ (m − 1).
ðÏÌÕÞÉ×ÛÉÊÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ m − 1 Ï ÔÅÍ ÖÅ ÓÁÍÙÍ ÒÉÞÉÎÁÍ ÓÒÁ×ÎÉÍ Ï ÍÏÄÕÌÀ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f1(m−1) ; f2(m−1) ; : : : ; fs(mm−1) Ó ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÓÔÅÅÎÉ,
ÎÅ ÒÅ×ÙÛÁÀÝÅÊ m − 2 , É Ô. Ä.
−1
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 6.2
ëÏÌØ Ï K [x1 ; x2 ; : : : ; xn℄ ΣÔÅÒÏ×Ï, ÅÓÌÉ K ΣÔÅÒÏ×Ï.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 6.10. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÏÌØ Ï ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÔÅÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ× ÎÁÄ Î£ÔÅ-
ÒÏ×ÙÍ ËÏÌØ ÏÍ Î£ÔÅÒÏ×Ï.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 6.3
ðÕÓÔØ K | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØ Ï Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ. ÷ÓÑËÏÅ ËÏÌØ Ï
×ÉÄÁ A = K [x1 ; x2 ; : : : ; xn℄=I , ÇÄÅ I ⊂ K [x1 ; x2 ; : : : ; xn℄ | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÉÄÅÁÌ,
1 . ëÌÁÓÓÙ a = x (mod I ) ÎÁÚÙÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
K
i
i
×ÁÀÔÓÑ
K -ÁÌÇÅÂÒÙ A, Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ f ∈ I |
ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍÉ.
çÏ×ÏÒÑ ÎÅÆÏÒÍÁÌØÎÏ, K -ÁÌÇÅÂÒÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÉÔØ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÏÌØ Á K É ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÂÕË×
ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÊ
-ÁÌÇÅÂÒÏÊ
ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍÉ
ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ
a1 ; a2 ; : : : ; a n
ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ Ó ÕÞ£ÔÏÍ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ
f (a1 ; a2 ; : : : ; an ) = 0, ÇÄÅ f ÒÏÂÅÇÁÅÔ I .
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 6.3
÷ÓÑËÁÑ ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÁÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ ÎÁÄ Î£ÔÅÒÏ×ÙÍ ËÏÌØ ÏÍ
ΣÔÅÒÏ×Á.
6.4.1. ðÒÉÍÅÒÙ ÎÅΣÔÅÒÏ×ÙÈ ËÏÌÅ . ëÏÌØ Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ Q[x1 ; x2 ; x3 ; : : :℄ , ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ,
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÓÕÍÍÙ ×ÚÑÔÙÈ Ó ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÍÏÎÏÍÏ× ×ÉÄÁ xm xm · · · xmss (ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x × ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÔÅÅÎÑÈ), ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Î£ÔÅÒÏ×ÙÍ, ÏÓËÏÌØËÕ, ÎÁÒÉÍÅÒ,
ÉÄÅÁÌ (x1; x2 ; : : :), ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÂÅÚ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÞÌÅÎÁ, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÍ.
1
1
2
2
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 6.11. äÏËÁÖÉÔÅ ÜÔÏ É ×ÙÑÓÎÉÔÅ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£Î-
ÎÙÍ ÉÄÅÁÌ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÊ × ËÏÌØ Å ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÇÌÁÄËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ R - R ×ÓÅÍÉ
ÆÕÎË ÉÑÍÉ, ÏÂÒÁÝÁÀÝÉÍÉÓÑ × ÎÕÌÅ × ÎÕÌØ ×ÍÅÓÔÅ ÓÏ ×ÓÅÍÉ Ó×ÏÉÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ.
1
K
ÉÌÉ,, ÂÏÌÅÅ ÔÏÒÖÅÓÔ×ÅÎÎÏ, ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÊ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÏÊ ÎÁÄ ËÏÌØ ÏÍ
92
§6. æÁËÔÏÒ ËÏÌØ Á É ÉÄÅÁÌÙ
÷ÓÀÄÕ × ÜÔÏÍ ÕÎËÔÅ ÍÙ Ï ÕÍÏÌÞÁÎÉÀ
(Ô. Å. ÂÅÚ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÎÕÌÑ) ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ
6.5. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ.
ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ K | ÜÔÏ
ËÏÌØ Ï Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ.
ÅÌÏÓÔÎÏÅ
6.5.1. áÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ. îÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ a; b ∈ K ÎÁÚÙ-
×ÁÀÔÓÑ ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ , ÅÓÌÉ b ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ a, É a ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ b. éÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×
a = mb É b = na = nmb ×ÙÔÅËÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï b(1 − nm) = 0, ÏÔËÕÄÁ mn = 1.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÎÏÓÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ
ÄÒÕÇ ÉÚ ÄÒÕÇÁ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÎÁ ÏÂÒÁÔÉÍÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ËÏÌØ Á. îÁÒÉÍÅÒ, × ËÏÌØ Å
ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ Z ÞÉÓÌÁ a É b ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ a = ±b.
6.5.2. îÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ. üÌÅÍÅÎÔ q ∈ K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÏÎ ÎÅ ÏÂÒÁÔÉÍ, É ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á q = mn ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ m ÉÌÉ n ÏÂÒÁÔÉÍ. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÏÓÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÁ q ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÇÌÁ×ÎÙÊ ÉÄÅÁÌ q
ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÓÔÒÏÇÏ ÎÉ × ËÁËÏÍ ÄÒÕÇÏÍ ÇÌÁ×ÎÏÍ ÉÄÅÁÌÅ. îÁÒÉÍÅÒ, ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ËÏÌØ Á ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ.
ðÏÓËÏÌØËÕ (p); (q) ⊂ (p; q), × ËÏÌØ Å ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×, ÇÄÅ (p; q) = (d) ÄÌÑ
ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ d = ÎÏÄ(p; q), ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁ p, q ÌÉÂÏ ×ÚÁÉÍÎÏ
ÒÏÓÔÙ (ÞÔÏ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ d = 1), ÌÉÂÏ ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÙ (ÞÔÏ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ (p; q) = (p) = (q)).
÷ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ËÏÌØ Å Ä×Á ÎÅÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÏÇÕÔ ÎÅ ÂÙÔØ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÍÉ × ÓÍÙÓÌÅ ÏÒ. 2.2 ÎÁ ÓÔÒ. 33. îÁÒÉÍÅÒ, × Q[x; y℄
ÜÌÅÍÅÎÔÙ x É y ÎÅ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ É ÎÅ ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÙ.
ÎÅÒÉ×ÏÄÉ-
ÍÙÍ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 6.4
÷ ΣÔÅÒÏ×ÏÍ ËÏÌØ Å ×ÓÑËÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ
ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÓÌÉ ÜÌÅÍÅÎÔ a ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ, ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÎÅÞÅÇÏ. ðÕÓÔØ a ÒÉ×ÏÄÉÍ. úÁÉÛÅÍ ÅÇÏ × ×ÉÄÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÎÅÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ëÁÖÄÙÊ ÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌØ ÜÔÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÓÎÏ×Á ÚÁÉÛÅÍ × ×ÉÄÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ
ÎÅÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× É Ô. Ä. üÔÁ ÒÏ ÅÄÕÒÁ ÚÁËÏÎÞÉÔÓÑ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÓÔÁÎÕÔ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙ, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ. åÓÌÉ ÖÅ ÏÎÁ ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÚÁËÏÎÞÉÔÓÑ, ÍÙ ÓÍÏÖÅÍ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÔØ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÔÒÏÇÏ ×ÌÏÖÅÎÎÙÈ
ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× (a1) ⊂ (a2) ⊂ (a3) ⊂ · · · , ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. 6.5.3. ðÒÏÓÔÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ. îÅÏÂÒÁÔÉÍÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ p ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ËÏÌØ Á
K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ a; b ∈ K ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ab
ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p, ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ a ÉÌÉ b ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p. éÎÁÞÅ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ
ÒÏÓÔÏÔÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁ p ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ × ËÏÌØ Å K=(p) ÎÅÔ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÎÕÌÑ.
÷ ÅÌÏÓÔÎÏÍ ËÏÌØ Å ÌÀÂÏÊ ÒÏÓÔÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ p Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ:
ÅÓÌÉ p = xy, ÔÏ ÏÄÉÎ ÉÚ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ, ÓËÁÖÅÍ x, ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p, É ÔÏÇÄÁ p = pyz,
ÏÔËÕÄÁ yz = 1 É y ÏÂÒÁÔÉÍ.
÷ ËÏÌØ Å ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× ×ÅÒÎÏ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ: Ï ÒÅÄÌ. 6.3 ×ÓÅ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ
ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÌØ Á ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× ÒÏÓÔÙ.
ÒÏÓÔÙÍ
93
6.5. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ
÷ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ ×ÚÑÔÏÍ ËÏÌØ Å ÒÏÓÔÏÔÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÓÔÒÏÇÏ
ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÞÅÍ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÏÓÔØ. îÁÒÉÍÅÒ, × ËÏÌØ Å
√
Z[ 5℄ = Z[x℄=(x2 − 5)
ÞÉÓÌÏ 2 ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÏ, ÎÏ ÎÅ ÒÏÓÔÏ, ÏÓËÏÌØËÕ × ÆÁËÔÏÒ ËÏÌØ Å
√
Z[ 5℄=(2) ≃ Z[x℄=(2; x2 − 5) ≃
≃ Z[x℄=(2; x2 + 1) ≃ F2 [x℄=(x2 + 1) ≃ F2 [x℄= (x + 1)2
ÅÓÔØ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÎÕÌÑ (x + 1) (mod (2; x2 + 1)) . îÁ ÑÚÙËÅ
ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÞÉÓÅÌ
√
√
5
ÎÅ
ÄÅÌÉÔÓÑ
ÎÁ
2
×
Z
[
5℄,
ÒÏÄÅÌÁÎÎÏÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ
ÏÚÎÁÞÁÅÔ,
ÞÔÏ
ÞÉÓÌÏ
1
+
√ 2
√
Á ÅÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔ (1 + 5) = 6 + 2 5 |√ ÄÅÌÉÔÓÑ, ÎÅÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ 2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ËÏÌØ Á Z[ 5℄.√
√
ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 6.12. õÂÅÄÉÔÅÓØ,√ÞÔÏ 2,
5 + 1, 5 − 1 ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙ É ÏÁÒÎÏ
ÎÅÁÓÓÏ
ÉÉÒÏ×ÁÎÙ
×
ËÏÌØ
Å
Z
[
5℄.
éÚ
ÜÔÏÇÏ
×ÙÔÅËÁÅÔ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ 4 ÉÍÅÅÔ
√
× Z[ 5℄ Ä×Á ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ:
2·2=4=
√
√
5+1 ·
5−1 :
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 6.4
ãÅÌÏÓÔÎÏÅ ËÏÌØ Ï ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÅÇÏ ÎÅÏÂÒÁÔÉÍÙÊ
ÜÌÅÍÅÎÔ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×,
ÒÉÞ£Í ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÔÁËÉÈ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ p1p2 · · · pm = q1q2 · · · qk ÓÏÓÔÏÑÔ ÉÚ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ k = m, É ÏÓÌÅ ÎÁÄÌÅÖÁÝÅÊ ÉÈ ÅÒÅÎÕÍÅÒÁ ÉÉ
ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÔÁËÉÅ ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ s , ÞÔÏ q = p s ÒÉ ×ÓÅÈ .
ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÍ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 6.5
ãÅÌÏÓÔÎÏÅ ËÏÌØ Ï K , × ËÏÔÏÒÏÍ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ, ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ
ÅÇÏ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÒÏÓÔÙ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ K ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏ, ÔÏ ÌÀÂÏÊ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ q ∈ K ÒÏÓÔ. ðÕÓÔØ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ab ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ q. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ab ÎÁ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ, ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ Ó q. ÷ ÓÉÌÕ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ, ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ab Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÊ a É b. ðÏÜÔÏÍÕ q ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎ Ó ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ
ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ a ÉÌÉ b, Ô. Å. a ÉÌÉ b ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ q, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.
ðÕÓÔØ ×ÓÅ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ K ÒÏÓÔÙ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
p1 p2 · · · pk = q1 q2 · · · qm ;
(6-11)
× ËÏÔÏÒÏÍ ×ÓÅ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÒÏÓÔÙ, ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ k = m É ËÁÖÄÙÊ pi
ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎ Ó qi (ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ, ÏÓÌÅ ÎÁÄÌÅÖÁÝÅÊ ÅÒÅÎÕÍÅÒÁ ÉÉ). ðÏÓËÏÌØËÕ
94
§6. æÁËÔÏÒ ËÏÌØ Á É ÉÄÅÁÌÙ
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ (6-11) ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p1, ÉÚ ÒÏÓÔÏÔÙ p1 ×ÙÔÅËÁÅÔ,
ÞÔÏ ÏÄÉÎ ÉÚ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ÜÔÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p1. âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ,
ÞÔÏ ÜÔÏ q1 = sp1. ðÏÓËÏÌØËÕ q1 ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ, ÜÌÅÍÅÎÔ s ÏÂÒÁÔÉÍ. ðÏÌØÚÕÑÓØ
ÅÌÏÓÔÎÏÓÔØÀ ËÏÌØ Á K , ÓÏËÒÁÝÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (6-11) ÎÁ p1 É ÏÌÕÞÁÅÍ ÂÏÌÅÅ
ËÏÒÏÔËÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï p2p3 · · · pk = (sq2)q3 · · · qm, Ë ËÏÔÏÒÏÍÕ ÒÉÍÅÎÉÍÙ ÔÅ ÖÅ
ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 6.4
î£ÔÅÒÏ×Ï ËÏÌØ Ï ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ÅÇÏ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÒÏÓÔÙ.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 6.5
÷ÓÑËÏÅ ËÏÌØ Ï ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 6.13 (ËÉÔÁÊÓËÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÏÓÔÁÔËÁÈ). äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÌÀ-
ÂÏÍ ËÏÌØ Å ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× K ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÔÁËÁÑ ×ÅÒÓÉÑ ËÉÔÁÊÓËÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ ÏÂ
m1
m1
mr
mr
1 m2
ÏÓÔÁÔËÁÈ: ÅÓÌÉ n = pm
1 p2 : : : pr , ÔÏ k=(n) ≃ K= (p1 ) ⊕ K= (p1 ) ⊕· · ·⊕ K= (pr ) .
6.5.4. ðÒÉÍÅÒ: ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÕÒ. 6.3, ËÏÌØ Ï ÇÁÕÓÓÏ-
×ÙÈ ÞÉÓÅÌ Z[i℄ ⊂ C Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÌØ ÏÍ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×, Á ÏÔÏÍÕ × Î£Í ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ.
÷ÙÑÓÎÉÍ, ËÁËÉÅ ÅÌÙÅ ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ p ∈ Z ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÍÉ ×
ËÏÌØ Å ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÞÉÓÅÌ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÌÀÂÏÇÏ ÅÌÏÇÏ
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ n ∈ Z, ÂÕÄÕÞÉ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ, ÄÏÌÖÎÏ ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÙÍ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÍ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÍ a + ib ∈ C r R
ÓÏÄÅÒÖÁÔØ É ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÊ ÅÍÕ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ a − ib. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ ÒÏÓÔÏÅ
p ∈ Z ÅÒÅÓÔÁ£Ô ÂÙÔØ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÍ × Z[i℄, ÔÏ ÏÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
p = (a + ib)(a − ib) = a2 + b2 Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍÉ a; b ∈ Z. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÏÓÔÏÅ
p ∈ Z ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÒÉ×ÏÄÉÍÏ × Z[i℄, ËÏÇÄÁ p Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÍÍÏÊ Ä×ÕÈ
Ë×ÁÄÒÁÔÏ×.
þÔÏÂÙ Ñ×ÎÏ ÏÉÓÁÔØ ×ÓÅ ÔÁËÉÅ p, ×ÓÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÏÓÔØ p ∈ Z[i℄
ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÆÁËÔÏÒ ËÏÌØ Ï Z[i℄=(p) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÅÍ1, É ÏÓÍÏÔÒÉÍ
ÎÁ ÜÔÏ ÆÁËÔÏÒ ËÏÌØ Ï ËÁË ÎÁ ÆÁËÔÏÒ ËÏÌØ Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Z[x℄ :
[℄ ( )
[℄(
Z i = p ≃ Z x = p; x2
+ 1) ≃ Fp[x℄=(x2 + 1) :
ðÒÁ×ÏÅ ËÏÌØ Ï Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÅÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ x2 + 1
ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ ÎÁÄ Fp, ÞÔÏ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÀ Õ ÎÅÇÏ ËÏÒÎÅÊ × Fp. ÁËÉÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÏÓÔÏÅ p ∈ Z Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÍÍÏÊ Ä×ÕÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×, ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ
−1 Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÊ ×ÙÞÅÔ Ï ÍÏÄÕÌÀ p. ëÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ × n◦ 4.4.4, ÜÔÏ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ
× ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ (p − 1)=2 Þ£ÔÎÏ, Ô. Å. ÄÌÑ ÒÏÓÔÙÈ p = 4k + 1 É p = 2.
1
ÓÍ. ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ (ÒÅÄÌ. 6.3)
95
6.5. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ
6.5.5. îïä × ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÍ ËÏÌØ Å. ÷ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÍ ËÏÌØ Å K Õ ÌÀ-
ÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× a1; a2; : : : ; am ∈ K ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ËÌÁÓÓÁ ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
q ∈ K ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ mq ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÔÁËÏÅ ÞÔÏ qmq ÄÅÌÉÔ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÞÉÓÅÌ ai. ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÏÅ ai Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ
ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÞÉÓÌÁ mq ÂÕÄÕÔ ÏÔÌÉÞÎÙ ÏÔ ÎÕÌÑ ÌÉÛØ ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ
ÞÉÓÌÁ ËÌÁÓÓÏ× q. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄẠ̊ΠËÌÁÓÓ ÞÉÓÌÁ
Y
q mq
ÎÏÄ(a1 ; a2 ; : : : ; am ) =
q
Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ
ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÞÉÓÅÌ ai, ÏÓËÏÌØËÕ ÔÁËÏÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ, × ÓÉÌÕ
ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÓÔÉ ËÏÌØ Á K , ÄÏÌÖÅÎ ÄÅÌÉÔØÓÑ ÎÁ qmq ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÏÇÏ q.
6.5.6. íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÎÁÄ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ. ðÕÓÔØ K | ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÅ ËÏÌØ Ï. îÁÚÏ×£Í
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ
f = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an ∈ K [x℄
ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÅÇÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ont(f ) def
= ÎÏÄ(a0; a1; : : : ; an) .
ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅÍ
ìÅÍÍÁ 6.2
ont(fg) = ont(f ) · ont(g) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ f; g ∈ K [x℄.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÏÇÏ q ∈ K ÏËÁÚÁÔØ,
ÞÔÏ q ÄÅÌÉÔ ÌÅ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ont(fg) = ont(f ) · ont(g) ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ
ÅÓÌÉ ÏÎ ÄÅÌÉÔ ÒÁ×ÕÀ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÉÍÅÎÉÍ Ë ÜÔÏÍÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ
ÒÅÄÕË ÉÉ Ï ÍÏÄÕÌÀ q
f 7→[f ℄q (K=(q))[x℄ ;
K [x℄
ÚÁÍÅÎÑÀÝÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁ ÉÈ ËÌÁÓÓÙ ×ÙÞÅÔÏ× Ï ÍÏÄÕÌÀ
q. ðÏÓËÏÌØËÕ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÇÏ ËÏÌØ Á ÒÏÓÔÙ, ËÏÌØÏ K=(q) ÅÌÏÓÔÎÏÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ËÏÌØ Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× (K=(q))[x℄ ÔÏÖÅ ÅÌÏÓÔÎÏÅ.
ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ [fg℄q = [f ℄q [g℄q ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ, ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ
ÏÄÉÎ ÉÚ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ [f ℄q , [g℄q ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ.
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ QK ÏÌÅ ÞÁÓÔÎÙÈ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÇÏ ËÏÌØ Á K . ëÏÌØ Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× K [x℄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄËÏÌØ ÏÍ × ËÏÌØ Å ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× QK [x℄.
ìÅÍÍÁ 6.3
ëÁÖÄÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (x) ∈ QK [x℄ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ
a
f (x) = · fe(x) ;
(6-12)
b
ÇÄÅ fe(x) ∈ K [x℄ É ont(f ) = ÎÏÄ(a; b) = 1. ðÒÉ ÜÔÏÍ a, b É fe ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ Ï f
ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÌØ Á K .
96
§6. æÁËÔÏÒ ËÏÌØ Á É ÉÄÅÁÌÙ
äÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ÔÁËÏÊ ÚÁÉÓÉ ÎÁÄÏ ×ÙÎÅÓÔÉ ÉÚ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×
f ÉÈ ÏÂÝÉÊ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ. ðÏÌÕÞÉÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ × K , ÕÍÎÏÖÅÎÎÙÊ ÎÁ ÞÉÓÌÏ ×ÉÄÁ 1= ∈ QK . ðÏÔÏÍ ×ÙÎÅÓÔÉ ÉÚ ×ÓÅÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÉÈ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ d. ðÏÌÕÞÉÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÑ 1, ÕÍÎÏÖÅÎÎÙÊ ÎÁ d= ∈ QK . ïÓÔÁ£ÔÓÑ ÚÁÉÓÁÔØ =d ÎÅÓÏËÒÁÔÉÍÏÊ
ÄÒÏÂØÀ a=b. äÏËÁÖÅÍ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ. åÓÌÉ (a=b) · fe(x) = ( =d) · ge(x) × QK [x℄,
ÔÏ ad · fe(x) = b · ge(x) × K [x℄. óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÏÂÅÉÈ ÞÁÓÔÅÊ, ÏÌÕÞÁÅÍ
ad = b , ÞÔÏ × ÓÉÌÕ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÑ ÏÂÝÉÈ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ Õ a É b, Á
ÔÁËÖÅ Õ É d, ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ a ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎ , Á b | Ó d. îÏ ÔÏÇÄÁ É
fe(x) = ge(x) Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÏÂÒÁÔÉÍÕÀ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 6.6 (ÌÅÍÍÁ çÁÕÓÓÁ)
íÎÏÇÏÞÌÅÎ f ∈ K [x℄ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÑ 1 ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ × ËÏÌØ Å QK [x℄ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ × K [x℄.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ f (x) = g (x) · h(x) × QK [x℄. úÁÉÓÙ×ÁÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ g É
h ×ÉÄÅ (6-12), ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ
a
f (x) = · ge(x) · eh(x) ;
b
ÇÄÅ ge; eh ∈ K [x℄, ; d ∈ K , É ont(ge) = ont(eh) = ÎÏÄ(a; b) = 1. ðÏ ÌÅÍ. 6.2
ont(geeh) = 1. ðÏÜÔÏÍÕ, × ÓÉÌÕ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ (6-12), ÜÌÅÍÅÎÔÙ
a É b ÏÂÒÁÔÉÍÙ × K , Á f (x) = ge(x)·eh(x) Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÏÂÒÁÔÉÍÕÀ
ËÏÎÓÔÁÎÔÕ.
ÅÏÒÅÍÁ 6.2
ëÏÌØ Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÄ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ïÂÌÁÓÔØ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× QK [x℄ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ×ÓÑËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f ∈ K [x℄ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × QK [x℄ ÎÁ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ.
úÁÉÓÙ×ÁÑ ÉÈ × ×ÉÄÅ (6-12), ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
Y
ont(f )fe(x) = f (x) = ab fe ;
ÇÄÅ fe ∈ K [x℄ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ × QK [x℄ (Á ÔÅÍ ÂÏÌÅÅ
× K [x℄) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÉÚ K [x℄
Qe
ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÑ 1 É ÎÏÄ(a; b) = 1. ðÏ ÌÅÍ. 6.2 ont( f ) = 1, É × ÓÉÌÕ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ (6-12) ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ (Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ
ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÏÂÒÁQe
ÔÉÍÙÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ ÉÚ K ) ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á b = 1 É f = a f . òÁÓËÌÁÄÙ×ÁÑ a ∈ K ×
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ËÏÎÓÔÁÎÔ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ f × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ
ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ × ËÏÌØ Å K [x℄.
äÏËÁÖÅÍ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÔÁËÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ. ðÕÓÔØ × K [x℄ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï a1a2 · · · ak · p1p2 · · · ps = b1 b2 · · · bm · q1q2 · · · qr ÇÄÅ a ; b ∈ K | ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ, Á p; q ∈ K [x℄ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ
97
6.5. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ
ÉÍÅÀÝÉÅ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ 1. óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÅ ÏÂÅÉÈ ÞÁÓÔÅÊ Ó ÕÞ£ÔÏÍ ÌÅÍ. 6.2,
ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï a1a2 · · · ak = b1 b2 · · · bm × K . ÷ ÓÉÌÕ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÓÔÉ K ,
ÉÍÅÅÍ k = m É (ÏÓÌÅ ÎÁÄÌÅÖÁÝÅÊ ÅÒÅÎÕÍÅÒÁ ÉÉ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ) ai = sibi, ÇÄÅ
si ÏÂÒÁÔÉÍÙ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÏÂÒÁÔÉÍÏÊ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ ÉÚ K × K [x℄
×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï p1p2 · · · ps = q1q2 · · · qr . ÷ ÓÉÌÕ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÓÔÉ QK [x℄
É ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÏÓÔÉ pi É qi ÔÁËÖÅ É × QK [x℄, ÍÙ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ r = s É (ÏÓÌÅ
ÎÁÄÌÅÖÁÝÅÊ ÅÒÅÎÕÍÅÒÁ ÉÉ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ) pi = qi Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÏÓÔÏÑÎÎÏÇÏ
ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ ÉÚ QK . éÚ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ (6-12) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÜÔÉ
ÏÓÔÏÑÎÎÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÂÒÁÔÉÍÙÍÉ ËÏÎÓÔÁÎÔÁÍÉ ÉÚ K .
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 6.7
åÓÌÉ K | ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÅ ËÏÌØ Ï (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÂÌÁÓÔØ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× ÉÌÉ
ÏÌÅ), ÔÏ ËÏÌØ Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× K [x1 ; x2 ; : : : ; xn℄ ÏÔ ÌÀÂÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ
ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏ.
6.5.7. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× × Q[x℄ É Z[x℄. ÷ÓÑËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Ó ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌÅÎ × Q[x℄ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÕ Ó ÅÌÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f ∈ Z[x℄ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ × Q[x℄ ÒÁÚÕÍÎÏ
ÎÁÞÁÔØ Ó ÏÔÙÓËÁÎÉÑ ÅÇÏ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ, ÞÔÏ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÚÁ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ
ÒÏÂ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 6.14. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÅÓÏËÒÁÔÉÍÁÑ ÄÒÏÂØ a = p=q ∈ Q ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ
ËÏÒÎÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an ∈ Z[x℄, ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ p
ÄÅÌÉÔ a0 , Á q ÄÅÌÉÔ an .
úÎÁÎÉÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ f ÔÏÖÅ ×ÅÓØÍÁ ÏÌÅÚÎÏ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 6.15. òÁÚÌÏÖÉÔÅ x4 +4 × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ä×ÕÈ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÈ ÔÒ£ÈÞÌÅÎÏ×
ÉÚ Z[x℄.
ðÏÓÌÅ ÔÏÇÏ, ËÁË ÕÏÍÑÎÕÔÙÅ ×ÙÛÅ ÒÏÓÔÙÅ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÉÓÞÅÒÁÎÙ, ÍÏÖÎÏ
×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÔÒÕÄÏ£ÍËÉÍ, ÎÏ ×ÏÌÎÅ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍ (ÅÓÌÉ ÏÄ ÒÕËÏÊ ÅÓÔØ ËÏÍØÀÔÅÒ)
, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÌÉÂÏ Ñ×ÎÏ
ÎÁÊÔÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Ó ÅÌÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ × ËÏÌØ Å
Z[x℄, ÌÉÂÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÅÇÏ ÎÅÔ, ÏÔËÕÄÁ, Ï ÌÅÍÍÅ çÁÕÓÓÁ, ÂÕÄÅÔ ÓÌÅÄÏ×ÁÔØ,
ÞÔÏ ÅÇÏ ÎÅÔ É × Q[x℄. óÏÓÔÏÉÔ ÁÌÇÏÒÉÔÍ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ
÷ ÌÀÂÏÍ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ f = gh × Z[x℄ ÓÔÅÅÎØ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ, ÓËÁÖÅÍ h, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ ÅÌÏÊ ÞÁÓÔÉ (deg f )=2, ËÏÔÏÒÕÀ ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ
ÞÅÒÅÚ n. þÔÏÂÙ ×ÙÑÓÎÉÔØ, ÄÅÌÉÔÓÑ f × Z[x℄ ÎÁ ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ
⩽ n, ÉÌÉ ÎÅÔ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÄÓÔÁ×ÉÔØ × f ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ n + 1 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
z0 ; z1 ; : : : ; zn ∈ Z É ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÎÁÂÏÒÙ ÞÉÓÅÌ d0 ; d1 ; : : : ; dn , × ËÏÔÏÒÙÈ di ÄÅÌÉÔ f (zi). ÁËÉÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÉÍÅÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, É ÎÁÂÏÒ ÚÎÁÞÅÎÉÊ
h(zi ) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ h (ÂÕÄÅ ÔÁËÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÜÔÉÈ
ÎÁÂÏÒÏ× di. ðÏ ÕÒ. 4.6 × Q[x℄ ÅÓÔØ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ ⩽ n ÒÉÎÉÍÁÀÝÉÊ ÚÎÁÞÅÎÉÑ di × ÔÏÞËÁÈ zi. üÔÏ
n
X
Y ( x − z )
fd (x) =
di ·
(6-13)
(z − z )
ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ ëÒÏÎÅËÅÒÁ
ÉÎÔÅÒÏÌÑ ÉÏÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ìÁÇÒÁÎÖÁ
i=0
6=i
i
98
§6. æÁËÔÏÒ ËÏÌØ Á É ÉÄÅÁÌÙ
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ h ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÔÏ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÓÒÅÄÉ ÔÅÈ ÉÚ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
(6-13), ÞÔÏ ÉÍÅÀÔ ÅÌÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ. ïÓÔÁ£ÔÓÑ Ñ×ÎÏ ÒÁÚÄÅÌÉÔØ f ÎÁ ×ÓÅ ÜÔÉ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ É ÌÉÂÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÎÅ ÄÅÌÑÔ f , ÌÉÂÏ ÎÁÊÔÉ ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ ÄÅÌÉÔÅÌØ f .
âÙÓÔÒÏ É €× ÕÍŁ ÒÉËÉÎÕÔØ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ × Z[x℄ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ f = gh,
ÉÎÏÇÄÁ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÒÅÄÕË ÉÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f Ï ÒÏÓÔÏÍÕ ÍÏÄÕÌÀ,
ËÁË × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÌÅÍ. 6.2. á ÉÍÅÎÎÏ, ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
f 7→[f ℄n =f (mod n) Z[x℄
(6-14)
Z=(n) [x℄ ;
ËÏÔÏÒÏÅ ÒÉ×ÏÄÉÔ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Ï ÍÏÄÕÌÀ1 n, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ËÏÌÅ , É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï f = gh × Z[x℄ ×ÌÅÞ£Ô ÚÁ ÓÏÂÏÊ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
[f ℄n = [g℄n · [h℄n ×Ï ×ÓÅÈ ËÏÌØ ÁÈ Z=(n) [x℄.
ðÒÉ ÒÏÓÔÏÍ n = p ËÏÌØ Ï ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× Z=(n) = Fp Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÅÍ, É
ÒÉ ÁÎÁÌÉÚÅ ÒÁÚÌÏÖÉÍÏÓÔÉ [f ℄p × Fp[x℄ ÍÏÖÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÓÔØ
ËÏÌØ Á Fp[x℄ É ÏÔÅÎ ÉÁÌØÎÕÀ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØÀ ÅÒÅÂÒÁÔØ ×ÓÅ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÄÅÌÉÔÅÌÉ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ (ÓÒ. ÚÁÄ. 4.25). ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÜÔÏ ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ
ÒÉÍÅÒÁÍÉ.
ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (x) = x5 + x2 + 1 ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ × ËÏÌØ Å Z[x℄. äÌÑ
ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÅÇÏ ÒÅÄÕË ÉÀ Ï ÍÏÄÕÌÀ 2. ðÏÓËÏÌØËÕ Õ f ÎÅÔ
ÅÌÙÈ ËÏÒÎÅÊ, ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ f = gh × Z[x℄ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÔÏÌØËÏ Ó
deg(g) = 2 É deg(h) = 3. ÁË ËÁË Õ [f ℄2 = x5 + x2 + 1 ÎÅÔ ËÏÒÎÅÊ É × F2,
ÏÂÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ [g℄2, [h℄2 ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙ × F2[x℄. îÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ × F2[x℄ ÜÔÏ x2 + x +1, É x5 + x2 +1 ÎÁ ÎÅÇÏ ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ.
åÝ£ ÏÄÉÎ ÒÉÍÅÒ: ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÒÉ ÒÏÓÔÏÍ p ËÒÕÇÏ×ÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
æp(x) = xp−1 + xp−2 + · · · + x + 1 = (xp − 1)=(x − 1)
ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ × Z[x℄ . äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÅÒÅÉÛÅÍ ÅÇÏ ËÁË ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ
t = x − 1:
(
t + 1)p − 1 p
p p− 1
p
f (t) = æp(t + 1) =
= t + 1 t + ··· + p − 1 t:
t
ðÒÉ ÒÅÄÕË ÉÉ Ï ÍÏÄÕÌÀ p ÏÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (t) ÏÓÔÁ£ÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÓÔÁÒÛÉÊ ÍÏÎÏÍ
[f (t)℄p = tn. åÓÌÉ f (t) = g(t)h(t) × Z[t℄, ÔÏ × ÓÉÌÕ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÁ
ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ × Fp[t℄ ÏÂÁ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÑ g, h ÔÏÖÅ ÄÏÌÖÎÙ ÒÅÄÕ ÉÒÏ×ÁÔØÓÑ × ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ×ÉÄÁ tk , Ô. Å. ×ÓÅ ÉÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ËÒÏÍÅ ÓÔÁÒÛÅÇÏ, ÄÏÌÖÎÙ
ÄÅÌÉÔØÓÑ ÎÁ p. îÏ ÔÏÇÄÁ ÍÌÁÄÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ f , ÂÕÄÕÞÉ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÍÌÁÄÛÉÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× g, h, ÄÏÌÖÅÎ ÄÅÌÉÔØÓÑ ÎÁ p2, ÞÔÏ ÎÅ ÔÁË. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, f
ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ × Z[t℄.
Ô. Å. ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÏÌÉÎÏÍ amxm + am− xm− + · · · + a x + a Ó ÅÌÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ×
ÏÌÉÎÏÍ [am℄n xm + [am− ℄n xm− + · · · + [a ℄n x + [a ℄n Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ × ËÏÌØ Å ×ÙÞÅÔÏ×
Z=(n)
1
1
1
1
1
1
1
0
0
99
6.6. çÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÙ ÏÄߣÍÁ É ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 6.16 (ËÒÉÔÅÒÉÊ üÊÚÅÎÛÔÅÊÎÁ). ðÕÓÔØ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ×Å-
Ä£ÎÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f ∈ Z[x℄ ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ ÒÏÓÔÏÅ ÞÉÓÌÏ p ∈ N, Á ÍÌÁÄÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ, ÄÅÌÑÓØ ÎÁ p, ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÁ p2 . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ f ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ
× Z[x℄ .
ðÕÓÔØ K | ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ
ËÏÌØ Ï, Á X | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÆÕÎË ÉÊ X - K
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ K X É ÏÂÒÁÚÕÅÔ ËÏÌØ Ï ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÅÒÁ ÉÊ ÏÔÏÞÅÞÎÏÇÏ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÊ:
fg : x 7→ f (x)g(x) :
f + g : x 7→ f (x) + g(x)
ÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÕÌÅ×ÁÑ ÆÕÎË ÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ × K X ÎÕÌ£Í, Á ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ (ÅÓÌÉ × K ÅÓÔØ ÅÄÉÎÉ Á) | ÅÄÉÎÉ ÅÊ.
ó ËÁÖÄÙÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ× X '- Y Ó×ÑÚÁÎ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ
1 ×ÄÏÌØ '
f 7→f ◦' - X
K ;
'∗ : K Y
ËÏÔÏÒÙÊ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁ Y × ÉÈ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ Ó '. îÁ ÑÚÙËÅ ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÏÄß£Í ÅÓÔØ ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ, ËÁË ÒÁ×ÏÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÉÚ Hom(Y; K ) ÎÁ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ' ∈ Hom(X; Y ) :
6.6. çÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÙ ÏÄߣÍÁ É ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ.
ÏÄß-
£ÍÁ
Hom(Y; K ) f 7→f' - Hom(X; K )
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÈÏÔÑ ËÏÌØ Á ÆÕÎË ÉÊ É ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÅÌÏÓÔÎÙÍÉ, ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ
ÏÄߣÍÁ ×ÓÅÇÄÁ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÅÄÉÎÉ Õ ËÏÌØ Á K Y × ÅÄÉÎÉ Õ ËÏÌØ Á K X .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 6.17. éÚ ËÁËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÓÏÓÔÏÉÔ ÑÄÒÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÏÄߣÍÁ?
÷ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ É ÁÎÁÌÉÚÅ ÏÂÙÞÎÏ ÉÚÕÞÁÀÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X É Y , ÎÁÄÅÌ£ÎÎÙÅ ÔÏÊ
ÉÌÉ ÉÎÏÊ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ: ÍÅÒÏÊ, ÔÏÏÌÏÇÉÅÊ, ÌÏËÁÌØÎÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ É Ô. . óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ É ÆÕÎË ÉÉ ÎÁ ÔÁËÉÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ÎÅ ÌÀÂÙÅ, Á ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÅ Ó ÜÔÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ: ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÙÅ, ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÅ, ÇÌÁÄËÉÅ É Ô. . üÔÉ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ × ËÏÌØ Å ×ÓÅÈ ÆÕÎËÉÊ ÏÄËÏÌØ Ï, ËÏÔÏÒÏÅ × ÁÌÇÅÂÒÅ ÒÉÎÑÔÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ K [X ℄ ⊂ K X É ÎÁÚÙ×ÁÔØ
(ÉÌÉ
) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ
ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÉÌÉ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÅÏÒÉÉ.
ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ Ó ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ ÔÏÖÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ÎÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ, Á ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÅ ÓÏ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ: ÉÚÍÅÒÉÍÙÅ,
ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÅ, ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÙÅ É Ô. . ÷ ÁÌÇÅÂÒÅ ÔÁËÉÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
. ëÁË ÔÏÌØËÏ ÔÅÏÒÉÑ ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÁ, Ô. Å. × ËÏÌØ Å ÆÕÎË ÉÊ
ËÁÖÄÏÇÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÇÏ × ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÉÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ×ÙÄÅÌÅÎÏ ÏÄËÏÌØ Ï
ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ K [X ℄ , ÔÁË ÓÒÁÚÕ ÖÅ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÞÉÓÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ × ÜÔÏÊ ÔÅÏÒÉÉ.
ÓÔÒÕËÔÕÒÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ
ËÏÌØ ÏÍ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ
ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÍÉ
1
Ï-ÁÎÇÌÉÊÓËÉ pull ba k (Ï-ÒÕÓÓËÉ ÏÄߣÍÙ ÔÏÖÅ ÉÎÏÇÄÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÏÂÒÁÔÎÙÍÉ ÏÂÒÁÚÁÍÉ
100
§6. æÁËÔÏÒ ËÏÌØ Á É ÉÄÅÁÌÙ
á ÉÍÅÎÎÏ, ÎÁÚÏ×£Í ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ X '- Y '
, ÅÓÌÉ ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÊ
Y
X
ÜÔÏÍÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÏÄߣÍÁ K
K ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁ 'Y × ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁ X , Ô. Å. Ñ×ÌÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ
ÏÄËÏÌÅ K [Y ℄ - K [X ℄ .
ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÍ
∗
∗
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 6.18. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ C ⊂ R[0;1℄ ÏÄËÏÌØ Ï ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ
ÎÁ [0; 1℄. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
'
Á) ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ [0; 1℄ - [0; 1℄ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ, ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ '∗ (C ) ⊂ C ;
Â) ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ' : [0; 1℄ - [0; 1℄ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ
ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÏÄߣÍÁ '∗ : C - C .
6.6.1. çÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÙ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ X = {∗} ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ
ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÉ, ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÏÄÎÑÔÉÑ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÊ Å£ ×ÌÏÖÅÎÉÀ {∗} y- Y ×
ËÁËÏÅ-ÎÉÂÕÄØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Y × ËÁÞÅÓÔ×Å ÎÅËÏÊ ÔÏÞËÉ y ∈ Y , ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÆÕÎË ÉÀ
f ∈ Y K × ÞÉÓÌÏ f (y) ∈ K {∗} = K , É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ
1 ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ Y × ÔÏÞËÅ y ∈ Y :
evy : K Y f 7→f (y) - K
üÔÏÔ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÜÉÍÏÒÆÅÎ, Á ÅÇÏ ÑÄÒÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÆÕÎË ÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ
ÏÂÒÁÝÁÀÝÉÈÓÑ × ÎÕÌØ × ÔÏÞËÅ y.
éÓÏÌØÚÕÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÙ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ, ÍÏÖÎÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ËÏÌØ Á Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ R, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ËÏÌØ Ï K × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÄËÏÌØ Á, ÏÓÔÒÏÉÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X [R℄, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ R ÍÏÖÎÏ ÂÕÄÅÔ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÔØ Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÏÄËÏÌØ ÏÍ × K X [R℄ É, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ,
ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË €ËÏÌØ Ï ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÈ ÆÕÎË Éʁ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ €ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ
ÔÅÏÒÉɁ.
á ÉÍÅÎÎÏ, ÎÁÚÏ×£Í K
ËÏÌØ Á R ÌÀÂÏÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ
⊂
ÇÏÍÏÍÏÒ-
ÆÉÚÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ
-ÔÏÞËÏÊ
R
p-
K;
ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÎÁ ÏÄËÏÌØ Å K ⊂ R, É ×ÏÚØÍ£Í × ËÁÞÅÓÔ×Å X [R℄
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ K -ÔÏÞÅË ËÏÌØ fÁ R. ëÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ f ∈ R ÍÏÖÅÔ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØÓÑ ËÁË ÆÕÎË ÉÑ ÎÁ X [R℄ - K , ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ K -ÔÏÞËÅ R p- K ,
Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÒÁ×ÎÏ p(f ) ∈ K . ðÏÄËÏÌØ Ï K ⊂ R ÒÉ ÜÔÏÍ ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ ×
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÓÔÏÑÎÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 6.19. ðÏÓÔÒÏÊÔÅ ÂÉÅË ÉÀ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ ÏÔÒÅÚËÁ [0; 1℄ É R-ÔÏÞËÁÍÉ
ËÏÌØ Á ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ó = {f : [0; 1℄
- R}.
ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ËÁË ÔÏÌØËÏ ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÏ ËÏÌØ Ï ËÏÎÓÔÁÎÔ K , ÎÁÒÉÍÅÒ K = R,
É ×ÙÂÒÁÎ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ËÌÁÓÓ ËÏÌÅ R, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ K × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÄËÏÌØ Á, ÔÁË
ÓÒÁÚÕ ÖÅ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÔÅÏÒÉÑ, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ × ËÏÔÏÒÏÊ ÂÕÄÕÔ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X [R℄, ÏÉÓÁÎÎÙÅ ×ÙÛÅ, Á ËÏÌØ ÁÍÉ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ ÜÔÉÈ
1
Ï-ÁÎÇÌÉÊÓËÉ: evaluation map
101
úÁÄÁÞÉ Ë §6
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ ÂÕÄÕÔ ÏÄËÏÌØ Á R ⊂ K X [R℄ , ×ÌÏÖÅÎÎÙÅ × K X [R℄ ÔÁË, ËÁË ÜÔÏ
ÏÂßÑÓÎÑÌÏÓØ ×ÙÛÅ. úÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ËÏÌÅ
R1
'-
R2 ;
ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÎÁ ËÏÌØ Å ËÏÎÓÔÁÎÔ K , ÍÏÖÅÔ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØÓÑ ÒÉ
ÜÔÏÍ ËÁË ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÏÄߣÍÁ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ Ó ÜÔÉÍÉ ËÏÌØ ÁÍÉ, Á ÉÍÅÎÎÏ, ÄÌÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÏÄߣÍÁ
'∗ : X [R2 ℄
ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÇÏ K -ÔÏÞËÕ R2
ÍÏÒÆÉÚÍÁ '.
p-
p7→p◦' -
X [R 1 ℄ ;
K × Å£ ÏÄß£Í R1
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 6.20. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ('∗ )
∗
'-
R2
p-
K ×ÄÏÌØ ÇÏÍÏ-
= '.
÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ É ÆÕÎË ÉÑÍÉ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÁÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÑ, ÉÇÒÁÀÝÁÑ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÕÀ ÒÏÌØ ×Ï ×ÓÅÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ. ðÒÉÞÉÎÁ Å£ ËÒÏÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ f (x) × ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ Ï
x É f | ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ f ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÎÁ x, Á ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ x ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÎÁ f | É ÎÅÔ ÎÉËÁËÏÇÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÓÏÓÏÂÁ ÓÄÅÌÁÔØ ÜÔÏÔ ×ÙÂÏÒ
. ÏÞËÉ ÔÏÞÎÏ ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÖÅ ÆÕÎË ÉÑÍÉ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÆÕÎË ÉÊ,
ËÁË ÆÕÎË ÉÉ | ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÔÏÞÅË.
åÓÌÉ × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÏÌØ Á ËÏÎÓÔÁÎÔ ×ÚÑÔØ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÏÌÅ k, Á × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÏÌÅ
ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ | ËÏÎÅÞÎÙÅ ÒÑÍÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ kn (Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍÉ n ∈ N), ÔÏ ÏÉÓÁÎÎÙÊ ×ÙÛÅ ÍÅÈÁÎÉÚÍ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ËÏÌØ ÁÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×
×ÙÄÁÓÔ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÔÅÏÒÉÀ, ÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ËÁË
, Ó ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÞÎ£Í ÚÎÁËÏÍÉÔØÓÑ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ.
åÓÌÉ ×ÚÑÔØ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÊ ËÌÁÓÓ ËÏÌÅ | ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÅ ÁÌÇÅÂÒÙ
ÎÁÄ ÏÌÅÍ, ÔÏ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÔÅÏÒÉÀ, ÉÚ×ÅÓÔÎÕÀ ËÁË
, ËÏÔÏÒÕÀ ÍÙ ÔÏÖÅ ÏÂÓÕÄÉÍ ÎÁ ×ÔÏÒÏÍ ËÕÒÓÅ.
a
priori
ËÏÎÅÞ-
ÎÏÍÅÒÎÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ
ÁÆÆÉÎÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ
ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §6
úÁÄÁÞÁ 6.1. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÄÅÌÑÝÉÅÓÑ ÎÁ 30 É ÉÍÅÀÝÉÅ ÒÏ×ÎÏ 30
ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ.
úÁÄÁÞÁ 6.2. ëÏÎÅÞÎÏ ÌÉ ÆÁËÔÏÒ ËÏÌØ Ï Z[x℄=(f; g ) , ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÏÂÝÉÅ ÄÅÌÉÔÅÌÉ ÍÎÏÇÏ-
ÞÌÅÎÏ× f; g ∈ Z[x℄ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÀÔÓÑ ±1 ?
102
úÁÄÁÞÉ Ë §6
úÁÄÁÞÁ 6.3 (ÓÕÍÍÙ, ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ É ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÉÄÅÁÌÏ×). äÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ
ÉÄÅÁÌÏ× I , J ÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ I ∩ J ,
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ
ÓÕÍÍÁ
= {x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn | xi ∈ I ; yi ∈ J ; n ∈ N} É
IJ def
I + J def
= {x + y | x ∈ I ; y ∈ J }
ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÄÅÁÌÁÍÉ, ÒÉÞ£Í IJ ⊂ I ∩ J . ðÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÒÉÍÅÒ, ËÏÇÄÁ IJ 6=
I ∩J.
úÁÄÁÞÁ 6.4 (ÒÁÄÉËÁÌ ÉÄÅÁÌÁ). ðÕÓÔØ K | ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØ Ï Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ. ðÏ-
ËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I ⊂ K ÅÇÏ ÒÁÄÉËÁÌ
√
I = {a ∈ K | ∃ n ∈ N : an ∈ I }
√
√
ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÄÅÁÌÏÍ É ÞÔÏ IJ = I ∩ J ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× I; J ⊂ K .
úÁÄÁÞÁ 6.5 (ÎÉÌØÒÁÄÉËÁÌ). íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÏÍÍÕÔÁ-
ÔÉ×ÎÏÇÏ ËÏÌØ Á K Ó 1 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
p ÎÉÌØÒÁÄÉËÁÌÏÍ ËÏÌØ Á K É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
n = n(K ) . õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ n = (0) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÄÅÁÌÏÍ É ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ n(K )
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ ×ÓÅÈ ÒÏÓÔÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× ËÏÌØ Á K .
úÁÄÁÞÁ 6.6 (×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÅ ÉÄÅÁÌÙ). ä×Á ÉÄÅÁÌÁ I , J ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ËÏÍÍÕ-
ÔÁÔÉ×ÎÏÇÏ ËÏÌØ Á K Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÍÉ , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ x ∈ I É y ∈ J , ÔÁËÉÅ ÞÔÏ x + y = 1 (ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ
I + J = K , ÓÍ. ÚÁÄ. 6.3). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÉÄÅÁÌ I ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔ Ó ËÁÖÄÙÍ
ÉÚ ÉÄÅÁÌÏ× J1 ; J2 ; : : : ; Jn , ÔÏ ÏÎ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔ É Ó ÉÈ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ.
úÁÄÁÞÁ 6.7 (ËÉÔÁÊÓËÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÏÂ ÏÓÔÁÔËÁÈ). ðÕÓÔØ ÉÄÅÁÌÙ I1 ; I2 ; : : : ; In Ï-
ÁÒÎÏ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÉÚ n ËÌÁÓÓÏ×
[a ℄ ∈ K=I
(ÇÄÅ = 1; 2; : : : ; n)
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔ a ∈ K , ÔÁËÏÊ ÞÔÏ [a ℄ = a (mod I ) ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ
, É ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁ a′ , a′′ Ó ÜÔÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÓÒÁ×ÎÉÍÙ Ï ÍÏÄÕÌÀ
ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÉÄÅÁÌÏ× I (ÉÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
':K
- (K=I1 ) × (K=I2 ) × · · · × (K=In ) ;
ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ a ∈ K × ÎÁÂÏÒ ËÌÁÓÓÏ× (a (mod I1 ); a (mod I2 ); : : : ; a (mod In )) ,
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÉÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ËÏÌÅ Ó ÑÄÒÏÍ ∩ I )
úÁÄÁÞÁ 6.8. ðÒÉ×ÏÄÉÍÙ ÌÉ × Q[x℄ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ:
Â) x5 − 12x3 + 36x − 12
Á) x4 − 8x3 + 12x2 − 6x + 2
'
K - L ÉÎÄÕ ÉÒÕÅÔ ÇÏ'bL[x℄, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ × ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ ' ËÏ
ÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ËÏÌÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× K [x℄
×ÓÅÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍ. ðÕÓÔØ ÏÂÁ ËÏÌØ Á K , L ÅÌÏÓÔÎÙÅ É ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f ∈ K [x℄
ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ 'b × ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÎÁÄ ÏÌÅÍ ÞÁÓÔÎÙÈ QL ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÔÏÊ ÖÅ ÓÔÅÅÎÉ, ÞÔÏ É f . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ f ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ × K [x℄.
úÁÄÁÞÁ 6.9. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ËÏÌÅ
103
úÁÄÁÞÉ Ë §6
úÁÄÁÞÁ 6.10. ÷ ËÏÌØ Å Z[x℄ ÒÁÚÌÏÖÉÔÅ ÎÁ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÉÌÉ ÄÏËÁÖÉÔÅ
ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÏÓÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×:
Á) x4 + x + 1
Â) x5 + x4 + x2 + x + 2
6
3
105
×) x + x + 1
Ç) x − 9
Ä) (x − a1 )(x − a2 ) : : : (x − an ) − 1
(×ÓÅ ÞÉÓÌÁ a1 ; : : : ; an ∈ Z ÒÁÚÌÉÞÎÙ).
úÁÄÁÞÁ 6.11 (ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÅ ÉÄÅÁÌÙ). ðÕÓÔØ K | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ
ËÏÌØ Ï Ó 1. óÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ1 ÉÄÅÁÌ m ⊂ K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÍ , ÅÓÌÉ ÏÎ ÎÅ
ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÎÉ × ËÁËÏÍ ÓÔÒÏÇÏ ÂÏÌØÛÅÍ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÉÄÅÁÌÅ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) ÉÄÅÁÌ m ⊂ K ÍÁËÓÉÍÁÌÅÎ, ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ K=m | ÏÌÅ
Â) ×ÓÑËÉÊ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÉÄÅÁÌ ÒÏÓÔ
×) ÌÀÂÏÊ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÄÅÁÌ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÍ2.
úÁÄÁÞÁ 6.12. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ×ÓÅ ÉÄÅÁÌÙ × ËÏÌØ Å ÓÔÅÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ× k[[t℄℄ ÎÁÄ ÒÏÉÚ-
×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ k. íÎÏÇÏ ÌÉ ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÈ?
úÁÄÁÞÁ 6.13. îÁÊÄÉÔÅ ÎÅÒÏÓÔÏÊ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ × ËÏÌØ Å Z[
√
13℄.
úÁÄÁÞÁ 6.14 (ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ). ðÕÓÔØ k | ÌÀÂÏÅ ÏÌÅ, É K ⊃ k |
ÌÀÂÏÅ ÅÌÏÓÔÎÏÅ ËÏÌØ Ï. äÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ∈ K ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÇÏÍÏ- K , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
ÍÏÒÆÉÚÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ev : k[x℄
f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an ∈ k[x℄
× ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f ( ) = a0 n + a1 n−1 + · · · + an−1 + an ∈ K ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÅ . õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ im (ev ) ÜÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ Ï ×ËÌÀÞÅÎÉÀ ÏÄËÏÌØ Ï × K , ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ k
É , É ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ im (ev ) ÏÌÅ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ker ev 6= 0 (ÔÁËÏÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍ ÎÁÄ k, Á ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÁÑ ÏÂÒÁÚÕÀÝÁÑ f ÇÌÁ×ÎÏÇÏ
ÉÄÅÁÌÁ (f ) = ker ev ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÎÁÄ k,
ÓÒ. Ó ÚÁÄ. 4.15).
ËÏÌØ Á Z[i℄ ÏÌÅ
Á) ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ 2
Â) ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ 3 ?
×) åÓÌÉ ÄÁ, ÔÏ ÓËÏÌØËÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ × ÜÔÏÍ ÏÌÅ?
úÁÄÁÞÁ 6.15. åÓÔØ ÌÉ ÓÒÅÄÉ ÆÁËÔÏÒ ËÏÌÅ
Ô. Å. ÏÔÌÉÞÎÙÊ ÏÔ ÎÕÌÑ É ×ÓÅÇÏ ËÏÌØ Á
× ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÌÅÍÍÁ ãÏÒÎÁ (ÓÍ. ÚÁÄ. 1.19); × Î£ÔÅÒÏ×ÏÍ ËÏÌØ Å
ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÊÔÉÓØ ÂÅÚ ÎÅ£
1
2
òÁÚÄÅÌ III
÷ÅËÔÏÒÙ É ÍÁÔÒÉ
Ù
§7. ÷ÅËÔÏÒÙ
æÏÒÍÁÌØÎÏÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÅ ÎÉÖÅ, ÁËÓÉÏÍÁÔÉÚÉÒÕÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ
ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁÄ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ | ÓÌÏÖÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ× É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ
×ÅËÔÏÒÏ× ÎÁ ÞÉÓÌÁ. èÏÔÑ ×ÅËÔÏÒÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÂÙ×ÁÀÔ ÓÁÍÏÊ ÒÁÚÎÏÊ ÒÉÒÏÄÙ (ÏÔ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÊ ÏÌÅÊ É ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÆÕÎË ÉÊ ÄÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÒÅÛÅÎÉÊ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ É ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×) ÉÎÔÕÉÔÉ×ÎÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× × ×ÉÄÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÏÔÒÅÚËÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔÓÑ É ÕÍÎÏÖÁÀÔÓÑ ÎÁ ÞÉÓÌÁ ÔÁË, ËÁË ÜÔÏÍÕ ÕÞÉÌÉ × ÛËÏÌÅ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅÓØÍÁ ÒÏÄÕËÔÉ×ÎÙÍ.
7.1. ÷ÅËÔÏÒÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 7.1
áÄÄÉÔÉ×ÎÁÑ ÁÂÅÌÅ×Á ÇÒÕÁ V ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÜÌÅÍÅÎÔÙ |
) ÎÁÄ ÏÌÅÍ k, ÅÓÌÉ ÚÁÄÁÎÁ ÏÅÒÁ ÉÑ
×ÅËÔÏÒÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ
×ÅËÔÏÒÁÍÉ
ÒÏ× ÎÁ ÞÉÓÌÁ
(Á Å£
ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ×ÅËÔÏ-
: (; v) 7→ · v = v ;
ËÏÔÏÒÁÑ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ:
∀ ; ∈ k ; ∀ v ∈ V
(7-1)
(v) = ()v
( + )v = v + v
∀ ; ∈ k ; ∀ v ∈ V
(7-2)
∀ v; w ∈ V ; ∀ ∈ k
(7-3)
(v + w) = v + w
1·v =v
∀ ; ∈ k ; ∀ v ∈ V
(7-4)
çÒÕÏ×ÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ × ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. îÅÊÔÒÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ 0 ÇÒÕÙ V ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
,Á
×ÅËÔÏÒÁÍÉ. ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï U ⊂ V ,
×ÅËÔÏÒÙ v É −v |
Ñ×ÌÑÀÝÅÅÓÑ ×ÅËÔÏÒÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÉÍÅÀÝÉÈÓÑ × V ÏÅÒÁÉÊ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
× V.
k×V
-V
ÓÌÏÖÅÎÉÅÍ ×ÅË-
ÔÏÒÏ×
ÎÕÌÅ×ÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ
ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÍÉ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 7.1. ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÉÚ Ó×ÏÊÓÔ× (7-1){(7-3), ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ v ∈ V
É∈k
×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á 0 · v = 0 É · 0 = 0, Á ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ
ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ v ÎÁ ÞÉÓÌÏ −1 ∈ k Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÊ Ë v ×ÅËÔÏÒ,
Ô. Å. (−1) · v = −v.
104
105
7.1. ÷ÅËÔÏÒÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
÷ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÓÉÔÕÁ ÉÉ, ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÁ v ∈ V ÎÁ
ÞÉÓÌÏ ∈ k ÂÙ×ÁÅÔ ÕÄÏÂÎÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ ÌÉÂÏ ËÁË v, ÌÉÂÏ ËÁË v. ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ ÏÂÅ ÚÁÉÓÉ v É v ÒÁ×ÎÏÒÁ×ÎÙÍÉ É ÏÚÎÁÞÁÀÝÉÍÉ ÏÄÎÏ É ÔÏ
ÖÅ | ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÁ v ∈ V ÎÁ ÞÉÓÌÏ ∈ k ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÉÍÅÀÝÅÊÓÑ
ÎÁ V ÓÔÒÕËÔÕÒÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ 7.1.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 7.2
ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ' : V - W ÍÅÖÄÕ ×ÅËÔÏÒÎÙÍÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ ÎÁÄ ÏÌÅÍ
k ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ '(1v1 + 2v2) = 1'(v1) + 2'(v2) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ
1 ; 2 ∈ k É v1 ; v2 ∈ V . ìÉÎÅÊÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÔÁËÖÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
ÉÌÉ
. âÉÅËÔÉ×ÎÙÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
.
7.1.1. ðÒÉÍÅÒ: ÏÌÅ k. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÍ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÍ ÒÉÍÅÒÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÁÍÏ ÏÌÅ k. ìÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ k '- k ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ
ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÅÍ, ËÕÄÁ ÏÎÏ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÅÄÉÎÉ Õ, ÏÓËÏÌØËÕ
'(x) = '(x · 1) = x · '(1) :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ k '- k | ÜÔÏ ÒÁÓÔÑÖÅÎÉÑ ' : x 7→ ax
Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍÉ a = '(1) ∈ k . ðÏÄÞÅÒËΣÍ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ x 7→ ax + b Ó
b 6= 0 ÌÉÎÅÊÎÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ.
7.1.2. ðÒÉÍÅÒ: ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï kn Ñ×ÌÑÅÔÓÑ n-ÍÅÒÎÙÍ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á k. á ÉÍÅÎÎÏ, ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÙÈ ÁÂÅÌÅ×ÙÈ ÇÒÕ
kn = |k × k ×{z· · · × k}
ÌÉÎÅÊÎÙÍ
ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ
ÏÅÒÁÔÏÒÁÍÉ
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×
ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ
ÎÅ
n ÒÁÚ
ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÔÒÏËÉ v = (x1; x2 ; : : : ; xn) Ó xi ∈ k, ËÏÔÏÒÙÅ
ÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔÓÑ É ÕÍÎÏÖÁÀÔÓÑ ÎÁ ÞÉÓÌÁ ÏËÏÍÏÎÅÎÔÎÏ:
(x1; x2 ; : : : ; xn) + (y1; y2; : : : ; yn) = (x1 + y1 ; x2 + y2 ; : : : ; xn + yn )
· (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) ;
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ n
ÎÁÄ ÏÌÅÍ k.
-ÍÅÒÎÙÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 7.2. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å kn Ó×ÏÊÓÔ× (7-1){(7-3)
(ÓÒ. Ó ÕÒ. 3.7 É ÕÒ. 3.8)
÷ÅËÔÏÒÙ e1; e2; : : : ; en ∈ kn, ÔÁËÉÅ ÞÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÎÅÎÕÌÅ×ÁÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁ ei
ÓÔÏÉÔ ÎÁ i-ÔÏÍ ÍÅÓÔÅ É ÒÁ×ÎÁ ÅÄÉÎÉ Å:
ei = (0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ; 0) ;
(7-5)
ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
. ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ
v = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) ∈ kn
ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍÉ ÂÁÚÉÓÎÙÍÉ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ
106
§7. ÷ÅËÔÏÒÙ
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÎÉÈ
v = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en :
(7-6)
ìÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ F : kn - km ÍÅÖÄÕ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÍÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ
ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÅÍ, ËÕÄÁ ÏÎÏ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ei : ÏÂÒÁÚ
ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ (7-6) ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÏÂÒÁÚÙ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ËÁË
F (v) = F (x1 v1 + x2 v2 + · · · + xn vn ) = x1 F (e1 ) + x2 F (e2 ) + · · · + xn F (en ) :
åÓÌÉ ÚÁÉÓÁÔØ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ×ÅËÔÏÒÏ× F (ei) ∈ km × ×ÉÄÅ ÓÔÏÌ Ï× ×ÙÓÏÔÙ m, ÔÏ
ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ ÒÁÚÍÅÒÁ m × n (m ÓÔÒÏË É n ÓÔÏÌ Ï×)


f11 f12 : : : f1n
 f21 f22 : : : f2n 


(fij ) = 
.
 ..
...
...
(7-7)
... 

fm1 fm2 : : : fmn
ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÅÒÁÔÏÒÁ F . ïÂÏÚÎÁÞÁÑ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÂÁÚÉÓÎÙÅ
m
×ÅËÔÏÒÙ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á k ÞÅÒÅÚ "1; "2; : : : ; "m, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÉÓÁÔØ j -ÔÙÊ ÓÔÏÌÂÅ
ÍÁÔÒÉ Ù (7-7) ËÁË ÓÔÏÌÂÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÁ F (ej )
ÞÅÒÅÚ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ "i :
X
"i fij
F (ej ) = "1 f1j + "2 f2j + · · · + "m fmj =
ÍÁÔÒÉ ÅÊ
i
(ÍÙ ÎÁÉÓÁÌÉ ÞÉÓÌÏ×ÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÓÒÁ×Á ÏÔ ×ÅËÔÏÒÏ×, ÞÔÏÂÙ ÉÎÄÅËÓÙ, Ï
ËÏÔÏÒÙÍ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ, ÓÔÏÑÌÉ ÒÑÄÏÍ). P
ðÒÉÍÅÎÑÑ ÏÅÒÁÔÏÒ F Ë ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍÕ ×ÅËÔÏÒÕ v = ej xj ∈ kn , ÍÙ ÏÌÕj
ÞÉÍ ×ÅËÔÏÒ F (v) ∈ km ÓÏ ÓÔÏÌ ÏÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ


f11 x1 + f12 x2 + · · · + f1n xn
 f21 x1 + f22 x2 + · · · + f2n xn 
X



f
x
+
f
x
+
·
·
·
+
f
x
F (v ) =
(7-8)
F (ej )xj = 
31
1
32
2
3
n
n


 ························ 
j
fm1 x1 + fm2 x2 + · · · + fmn xn
7.1.3. òÅÛÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï
U ×ÓÅÈ ×ÅËÔÏÒÏ× u = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) ∈ kn , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = 0 ;
(7-9)
ÇÄÅ ai ∈ k | ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÏÂÒÁÚÕÅÔ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å kn. åÓÌÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (7-9) ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏ1 , ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
1
Ô. Å. ÓÒÅÄÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ai ÅÓÔØ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ
107
7.1. ÷ÅËÔÏÒÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
U ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (7-9) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØÀ × kn . ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÎÅ-
ÓËÏÌØËÉÈ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÅÊ, Ô. Å. ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ
ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ


a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0





 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0
a31 x1 + a32 x2 + · · · + a3n xn = 0
(7-10)






a
···············
am2 x2 · · · amn xn
+
+ +
=0
ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒÎÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ × kn. óÏÇÌÁÓÎÏ (7-8) ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ
ÉÎÁÞÅ ÏÉÓÁÔØ ËÁË
ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ A : kn - km Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ
ÑÄÒÏ
m1 x1


a11 a12 : : : a1n
 a21 a22 : : : a2n 


(aij ) = 
.
 ..
...
...
... 

am1 am2 : : : amn
Ô. Å. ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ× v ∈ kn, ÔÁËÉÈ ÞÔÏ A(v) = 0 .
7.1.4. ðÒÉÍÅÒ: ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÍÁÔÒÉ . íÁÔÒÉ Ù ÒÁÚÍÅÒÁ m × n (m ÓÔÒÏË
É n ÓÔÏÌ Ï×) ÏÂÒÁÚÕÀÔ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÅÒÁ ÉÊ ÏÜÌÅÍÅÎÔÎÏÇÏ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÁÔÒÉ Ù ÎÁ ÞÉÓÌÏ. üÔÏ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ Matm×n(k). ïÎÏ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ kmn | ÆÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÒÁÚÎÉ Á ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ Ä×ÕÍÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ×ÅËÔÏÒÏ× × Matm×n(k) ÏÒÇÁÎÉÚÕÀÔÓÑ
ÎÅ × ÓÔÒÏËÉ ÉÌÉ ÓÔÏÌÂ Ù, Á × ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ.
íÁÔÒÉ Ù Eij , ÉÍÅÀÝÉÅ ÅÄÉÎÉ Õ × ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ i-ÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ É j -ÔÏÇÏ ÓÔÏÌÂÁ É ÎÕÌÉ ×Ï ×ÓÅÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÍÅÓÔÁÈ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÉÌÉ
. ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á A = (aij )
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ
ÌÉÎÅÊÎÏ
×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ
ÞÅÒÅÚ ÍÁÔÒÉÞÎÙÅ ÅÄÉÎÉ Ù ËÁË
P
A = aij Eij .
ij
7.1.5. ðÒÉÍÅÒ: ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÆÕÎË ÉÊ. ðÕÓÔØ X | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. æÕÎË ÉÉ X f - k ÏÂÒÁÚÕÅÔ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ
ÏÔÏÞÅÞÎÏÇÏ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ:
[f1 + f2℄(x) = f1(x) + f2(x) ; [f ℄(x) = · f (x) :
åÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ËÏÎÅÞÎÏ É ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
X = {1; 2; : : : ; n} ;
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÆÕÎË ÉÊ X - k ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ kn :
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÆÕÎË ÉÉ f ÎÁÂÏÒ Å£ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ X
(f1; f2; : : : ; fn) = f (1); f (2); : : : ; f (n)
ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍÉ ÂÁÚÉÓÎÙÍÉ
ÍÁÔÒÉ ÁÍÉ
ÍÁÔÒÉÞÎÙÍÉ ÅÄÉÎÉ ÁÍÉ
108
§7. ÷ÅËÔÏÒÙ
ÌÉÎÅÊÎÏ É ÂÉÅËÔÉ×ÎÏ.
æÕÎË ÉÉ, ÏÂÒÁÝÁÀÝÉÅÓÑ × ÎÕÌØ × ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ x ∈ X ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÆÕÎË ÉÊ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÕÀ ÌÉÎÅÊÎÙÍ Ï f ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
f (x) = 0.
åÓÌÉ ×ÚÑÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å k ÏÌÅ F2, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ Ä×ÕÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÔÏ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÂÉÅË ÉÑ ÍÅÖÄÕ ÆÕÎË ÉÑÍÉ X - F2 É ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ Z ⊂ X , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÁÑ ËÁÖÄÏÍÕ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ Z ÅÇÏ
Z : X - F2 , ÒÁ×ÎÕÀ 1 ÎÁ Z É 0 ÎÁ X r Z . üÔÁ ÂÉÅË ÉÑ ÎÁÄÅÌÑÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÄ ÏÌÅÍ F2, ÉÚÏÍÏÒÆÎÏÇÏ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ ÆÕÎË ÉÊ X - F2 (ÓÍ. ÚÁÄ. 7.10).
7.1.6. ðÒÉÍÅÒ: ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. ëÏÌØ Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× k[x℄
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ × ÏÌÅ k ÏÂÒÁÚÕÅÔ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ k ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ
ÏÅÒÁ ÉÊ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÉÈ ÎÁ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ.
íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÔÅÅÎÉ ÎÅ ×ÙÛÅ n ÏÂÒÁÚÕÀÔ × k[x℄ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ k[x℄⩽n. üÔÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ kn+1: ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÕ
f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an
ÎÁÂÏÒ ÅÇÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× (a0; a1; : : : ; an) ÌÉÎÅÊÎÏ É ÂÉÅËÔÉ×ÎÏ.
äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ∈ k ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ev : k[x℄ - k, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÕ f (x) ∈ k[x℄ ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f ( ) ∈ k × ÔÏÞËÅ x = ÌÉÎÅÊÎÏ. åÇÏ
ÑÄÒÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× h, ÉÍÅÀÝÉÈ ËÏÒÅÎØ × ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ ∈ k. ÁËÉÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ h Ó ÚÁÄÁÎÎÙÍ ËÏÒÎÅÍ ∈ k ÏÂÒÁÚÕÅÔ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÕÀ ÏÄÎÉÍ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ h( ) = 0 ÎÁ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ h.
, ÞÅÒÅÚ ×ÅËÔÏÒÙ
7.2. âÁÚÉÓÙ. çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒ w ∈ V
v1 ; v2 ; : : : ; vn , ÅÓÌÉ
w = 1 v 1 + 2 v 2 + · · · + n v n
ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ i ∈ k . ÷ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÓÔÏÑÝÅÅ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ,
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
×ÅËÔÏÒÏ× vi ∈ V Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ i ∈ k.
óÅÍÅÊÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ× {v } ⊂ V (×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V , ÅÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ×ÅËÔÏÒ w ∈ V ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ
ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× ÉÚ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á {v } (ÜÔÏÔ ËÏÎÅÞÎÙÊ
ÎÁÂÏÒ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁÚÎÙÍ ÄÌÑ ÒÁÚÎÙÈ w ∈ V ).
ðÏÒÏÖÄÁÀÝÉÊ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× {v } ⊂ V ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V , ÅÓÌÉ ÌÀÂÏÊ ×ÅËÔÏÒ w ∈ V ÉÍÅÅÔ
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×, Ô. Å. ÅÓÌÉ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÕÀ ÆÕÎË ÉÀ
ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ
ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ
ÏÒÏ-
ÖÄÁÀÝÉÍ
ËÏÎÅÞÎÙÊ
ÂÁÚÉÓÏÍ
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ
X
xi ei =
X
yi ei
109
7.2. âÁÚÉÓÙ
×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ xi = Pyi ÄÌÑ ×ÓÅÈ i. ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ xi ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ w = xivi ×ÅËÔÏÒÁ w ÞÅÒÅÚ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ v ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
×ÅËÔÏÒÁ w × ÂÁÚÉÓÅ {v }.
îÁÒÉÍÅÒ, ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ (7-5) ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á kn, É ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ ×ÅËÔÏÒÁ v = (x1; x2 ; : : : ; xn) ∈ kn × ÜÔÏÍ
ÂÁÚÉÓÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÞÉÓÌÁ xi .
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 7.3. ðÕÓÔØ ×ÅËÔÏÒÙ v1 ; v2 ; : : : ; vn ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏ-
- kn , ÓÏÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
P ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ×ÚÑÔÉÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ V
ÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ×ÅËÔÏÒÕ w = xi vi ÓÔÒÏËÕ ÅÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) ∈ kn ×
ÂÁÚÉÓÅ v1 ; v2 ; : : : ; vn Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×.
7.2.1. ðÒÉÍÅÒ: ÂÁÚÉÓ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. óÞ£ÔÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ÍÏÎÏÍÏ× 1, x, x2 , : : : Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÁÚÉÓÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× k[x℄,
ÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ËÏÎÅÞÎÕÀ
ÌÉÎÅÊÎÕÀ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÀ ÔÁËÉÈ ÍÏÎÏÍÏ×, É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Ä×ÕÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÉÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×.
ðÏ ÔÏÊ ÖÅ ÒÉÞÉÎÅ ÅÒ×ÙÅ n + 1 ÍÏÎÏÍÏ× 1; x; x2 ; : : : ; xn ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á k[x℄⩽n ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ ÎÅ ×ÙÛÅ n.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 7.4. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÎÁÂÏÒ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f0 ; f1 ; : : : ; fn ∈ k[x℄, ×
ËÏÔÏÒÏÍ deg fm = m É ËÁÖÄÙÊ fm = a0 xm + a1 xm−1 + · · · + am−1 x + am ÉÍÅÅÔ
ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ a0 , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÁÚÉÓÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
k[x℄⩽n ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ ÎÅ ×ÙÛÅ n .
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÔÅÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ× k[[x℄℄ ÓÞ£ÔÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ÍÏÎÏÍÏ× 1, x, x2 , : : : ÂÁÚÉÓÏÍ
, ÏÓËÏÌØËÕ ÒÑÄ Ó ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÍ
ÞÉÓÌÏÍ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ
ÍÏÎÏÍÏ×.
ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ËÏÎÅÞÎÏÊ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 7.5. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × k[[x℄℄ ÎÅÔ ÓÞ£ÔÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ.
7.2.2. ðÒÉÍÅÒ: ÂÁÚÉÓ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÆÕÎË ÉÊ. ÷ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÆÕÎË ÉÊ
ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å X = {1; 2; : : : ; n} ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ × ÏÌÅ k ÉÍÅÅÔÓÑ ÂÁÚÉÓ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÊ Æ
{Æ1 ; Æ2 ; : : : ; Æn }, ËÏÔÏÒÙÅ ÚÁÄÁÀÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ
(
1; ÒÉ x = i ;
Æi (x) =
0; ÒÉ x 6= i :
-ÆÕÎË ÉÑÍÉ
÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ X f - k ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÞÅÒÅÚ Æ-ÆÕÎË ÉÉ | ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÜÔÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ
ÆÕÎË ÉÉ f × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÔÏÞËÁÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X
f (x) =
n
X
i=1
f (i) · Æi (x) :
åÓÌÉ ×ÚÑÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å X ËÁËÉÅ-ÎÉÂÕÄØ n + 1 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË ÏÌÑ k
X = {a0 ; a1 ; : : : ; an } ⊂ k ;
(7-11)
110
§7. ÷ÅËÔÏÒÙ
ËÁÖÄÁÑ Æ-ÆÕÎË ÉÑ ÎÁ Î£Í ÒÅÁÌÉÚÕÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ n-ÔÏÊ ÓÔÅÅÎÉ
Y x − a
(x − a0) · · · (x − ai−1)(x − ai+1) · · · (x − an) :
fi (x) =
=
a − a (ai − a0 ) · · · (ai − ai−1 )(ai − ai+1 ) · · · (ai − an )
6=i i
(7-12)
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 7.6. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ (7-12) ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ ÒÏÓÔÒÁÎ-
ÓÔ×Á k[x℄⩽n É ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ g ∈ k[x℄⩽n × ÜÔÏÍ ÂÁÚÉÓÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ g(ai ).
7.2.3. ìÉÎÅÊÎÁÑ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ.P÷ÅËÔÏÒÙ v1 ; v2 ; : : : ; vm ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏ
, ÅÓÌÉ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ivi = 0 ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÓÅ i = 0. îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ
1 v 1 + 2 v 2 + · · · + m v m = 0 ;
(7-13)
× ËÏÔÏÒÏÊ ÉÍÅÀÔÓÑ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ i, ÔÏ ×ÅËÔÏÒÙ v1; v2; : : : ; vm ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
.
ìÉÎÅÊÎÁÑ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ×ÈÏÄÑÝÉÊ × ÎÅ£ Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ ×ÅËÔÏÒ ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ. îÁÒÉÍÅÒ,
ÅÓÌÉ m 6= 0, ÔÏ
ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ
ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ
vm = − 1 v1 − 2 v2 − · · · − m− 1 vm− 1 :
m
m
m
îÁÏÂÏÒÏÔ, ÌÀÂÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ vm = 1v1 + 2v2 + · · · + m−1vm−1
ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ
1 v1 + 2 v2 + · · · + m− 1 vm− 1 − vm = 0 :
ìÅÍÍÁ 7.1
îÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× {e }, ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÊ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V , ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÁÚÉÓÏÍ, ËÏÇÄÁ ÏÎ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍ.
P
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÓÌÉ
i ei = 0 É ÎÅ ×ÓÅ
P
P i ÎÕÌÅ×ÙÅ, ÔÏ ÌÀÂÏÊ ×ÅËÔÏÒ v =
xi ei ÄÏÕÓËÁÅÔ
×ÙÒÁÖÅÎÉÅ v = (xi + i)ei ÞÅÒÅÚ ×ÅËÔÏÒÙ ei. îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ v = P xiei = P yiei | Ä×Á ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÏÄÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ, ÔÏ ÅÒÅÎÏÓÑ ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ × ÓÅÒÅÄÉÎÕ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ
P
(xi − yi)vi = 0.
ÄÒÕÇÏÅ
ìÅÍÍÁ 7.2
åÓÌÉ ×ÅËÔÏÒÙ v1; v2; : : : ; vm ÏÒÏÖÄÁÀÔ V , Á ×ÅËÔÏÒÙ e1; e2; : : : ; ek ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ, ÔÏ m ⩾ k É ÎÅËÏÔÏÒÙÅ k ÉÚ ×ÅËÔÏÒÏ× vi ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÎÁ ×ÅËÔÏÒÙ
e1 ; e2 ; : : : ; ek ÔÁË, ÞÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÍ.
P
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ e1 =
xi vi . ðÅÒÅÎÕÍÅÒÕÅÍ vi ÔÁË, ÞÔÏÂÙ x1 6= 0. ÏÇÄÁ ×ÅËÔÏÒ v1 ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ e1 É v2; : : : ; vm. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÓÌÅ ÚÁÍÅÎÙ
111
7.2. âÁÚÉÓÙ
v1 ÎÁ e1 ÎÁÂÏÒ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÍ. ÅÅÒØ, Ï ÉÎÄÕË ÉÉ, ÒÅÄÏÌÏÖÉÍ,
ÞÔÏ e1; : : : ; ej ; vj+1; : : : ; vm ÏÒÏÖÄÁÀÔ V É j < k. ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÅËÔÏÒÙ ei ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ, × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ej+1 ÞÅÒÅÚ e1; : : : ; ej ; vj+1; : : : ; vm ÄÏÌÖÅÎ Ó
ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ ×ÈÏÄÉÔØ ÈÏÔØ ÏÄÉÎ ÉÚ ×ÅËÔÏÒÏ× vi. ðÅÒÅÎÕÍÅÒÕÅÍ vi
ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÜÔÏ ÂÙÌ vj+1. ÏÇÄÁ vj+1 ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ e1; e2; : : : ; ej+1 É
vj +2 ; : : : ; vm , É ÏÓÌÅ ÅÇÏ ÚÁÍÅÎÙ ÎÁ ej +1 ÎÁÂÏÒ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÍ.
ÅÏÒÅÍÁ 7.1 (ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÂÁÚÉÓÅ)
ìÀÂÏÊ ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÊ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× ÓÏÄÅÒÖÉÔ × ÓÅÂÅ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÂÁÚÉÓ. ìÀÂÙÅ Ä×Á ÂÁÚÉÓÁ ÏÄÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ. ìÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÊ
ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× ÍÏÖÎÏ ÄÏÏÌÎÉÔØ ÄÏ ÂÁÚÉÓÁ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÓÎÁÞÁÌÁ, ÞÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÎÁÂÏÒÏÍ ×ÅËÔÏÒÏ× v1; v2; : : : ; vm. ðÏ ÏÞÅÒÅÄÉ ×ÙËÉÄÙ×ÁÑ ÉÚ ÎÅÇÏ ÔÅ ×ÅËÔÏÒÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ, ÍÙ × ËÏÎ Å ËÏÎ Ï× ÏÌÕÞÉÍ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÊ ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÊ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ×, ËÏÔÏÒÙÊ Ï ÌÅÍ. 7.1
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÁÚÉÓÏÍ. ÷ÔÏÒÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÌÅÍ. 7.2, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ËÏÔÏÒÏÊ
ÞÉÓÌÏ ×ÅËÔÏÒÏ× × ÌÀÂÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÎÅ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ × ÌÀÂÏÍ
ÏÒÏÖÄÁÀÝÅÍ, É ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ×ÓÅ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÅ ÎÁÂÏÒÙ
ÓÏÓÔÏÑÔ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ É ÔÏÇÏ ÖÅ ÞÉÓÌÁ ×ÅËÔÏÒÏ×. ÒÅÔØÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÙÔÅËÁÅÔ
ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÄÏÂÁ×ÌÑÑ Ë ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÍÕ ÎÁÂÏÒÕ ×ÅËÔÏÒ, ËÏÔÏÒÙÊ ÎÅ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÎÅÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏ, ÍÙ ÓÎÏ×Á ÏÌÕÞÁÅÍ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÊ ÎÁÂÏÒ.
óÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍ. 7.2, Ï×ÔÏÒÉ× ÜÔÕ ÒÏ ÅÄÕÒÕ ÎÅ ÂÏÌÅÅ m ÒÁÚ, ÍÙ ÒÉÄ£Í Ë ÌÉÎÅÊÎÏ
ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÍÕ ÎÁÂÏÒÕ, ÏÒÏÖÄÁÀÝÅÍÕ ×Ó£ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, Ô. Å. ÏÌÕÞÉÍ ÂÁÚÉÓ.
åÓÌÉ ÎÅ ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÙÍ
ÎÁÂÏÒÏÍ ×ÅËÔÏÒÏ×, × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÉ ÓÌÅÄÕÅÔ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÏÂÙÞÎÕÀ ÉÎÄÕË ÉÀ ÔÒÁÎÓÆÉÎÉÔÎÏÊ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× ×ÅËÔÏÒÏ× × V , ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
1 ÞÕÍ , Ô. Å. ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ É ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ) ÅÏÞËÉ ÌÉÎÅÊÎÏ
ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× ×ÅËÔÏÒÏ×, × ËÏÔÏÒÏÊ ÒÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÎÁÂÏÒÁ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ
ÏÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÄÒÕÇÏÇÏ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÊ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ×, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ × ÓÅÂÅ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ×ÓÅ ÎÁÂÏÒÙ
ÉÚ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÅÏÞËÉ.
ÏÌÎÙÍ
ÏÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 7.7. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÔÁËÏÇÏ ÍÁÖÏÒÉÒÕÀÝÅÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÍÏÖ-
ÎÏ ×ÚÑÔØ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÅÏÞËÉ.
2 , ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÊ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ×
ðÏÜÔÏÍÕ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ
ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ
ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÍ ÎÁÂÏÒÅ {e } |
ÔÁËÏÍ, ËÏÔÏÒÙÊ ÓÁÍ ÕÖÅ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á
ÎÉ × ËÁËÏÍ ÂÏÌØÛÅÍ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÍ ÎÁÂÏÒÅ.
íÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÊ ÎÁÂÏÒ {e } Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÍ,
ÏÓËÏÌØËÕ ÒÉ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÉ Ë ÎÅÍÕ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ v ÏÌÕÞÁÀÝÉÊÓÑ ÓÔÒÏÇÏ ÂÏÌØÌÅÍÍÅ ãÏÒÎÁ
ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÍ
1
2
ÓÍ. ÚÁÄ. 1.18 ÎÁ ÓÔÒ. 20
ÓÍ. ÚÁÄ. 1.19 ÔÁÍ ÖÅ
112
§7. ÷ÅËÔÏÒÙ
ÛÉÊ ÎÁÂÏÒ ÄÏÌÖÅÎ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍ, Ô. Å. ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ ×ÅËÔÏÒÏ× v É ei ÏÂÒÁÔÉÔÓÑ × ÎÕÌØ. ÷ ÓÉÌÕ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ×ÅËÔÏÒÏ× e ×ÅËÔÏÒ v ÂÕÄÅÔ ×ÈÏÄÉÔØ × ÜÔÕ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÀ Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ, Á ÚÎÁÞÉÔ, ÂÕÄÅÔ ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÔØÓÑ ÞÅÒÅÚ ei.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÊ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ×
×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÂÁÚÉÓÅ.
åÓÌÉ × ÒÏÄÅÌÁÎÎÏÍ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÉ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÅÍ
ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× ×ÅËÔÏÒÏ×, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈÓÑ × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÍ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÅËÔÏÒÏ× G ⊂ V , ÏÒÏÖÄÁÀÝÅÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V , ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÂÁÚÉÓ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V , Ñ×ÌÑÀÝÉÊÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ × G .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÂÁÚÉÓÁ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ, ÔÒÅÂÕÅÔ ÔÒÁÎÓÆÉÎÉÔÎÏÇÏ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÑ ÌÅÍ. 7.2.
ÌÀÂÏÇÏ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 7.8. ðÕÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ× G ⊂ V ÏÒÏÖÄÁÅÔ V , Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
×ÅËÔÏÒÏ× E ⊂ V ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × G ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏÅ
E ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÔÁËÏÅ ÞÔÏ ÏÓÌÅ ÚÁÍÅÎÙ ×ÅËÔÏÒÏ× ÜÔÏÇÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ×ÅËÔÏÒÏ× E ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÍ.
éÚ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÌÀÂÁÑ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ×ÅËÔÏÒÏ×
ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ × ÌÀÂÏÊ ÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. ïÔÓÀÄÁ Ï ÔÅÏÒÅÍÅ ëÁÎÔÏÒÁ { âÅÒÎÛÔÅÊÎÁ1 ÍÙ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÂÁÚÉÓÁ
ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÙ.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 7.3
ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V , ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÅ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÂÁÚÉÓÏÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
.
þÉÓÌÏ ×ÅËÔÏÒÏ× × ÂÁÚÉÓÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ dim V .
7.2.4. ðÒÉÍÅÒ: ËÏÎÅÞÎÙÅ ÏÌÑ. ìÀÂÏÅ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÏÌÅ F Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÎÁÄ Ó×ÏÉÍ ÒÏÓÔÙÍ ÏÄÏÌÅÍ Fp ⊂ F. åÓÌÉ
ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ F ËÁË ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÄ Fp ÒÁ×ÎÁ n, ÔÏ F Ï ÕÒ. 7.3
ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ (ËÁË ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï) ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ Fnp. ÷
ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, |F| = pn.
ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÍ
ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØÀ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 7.9. íÏÖÅÔ ÌÉ ÏÌÅ ÉÚ 27 ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÏÄÏÌÅ ÉÚ 9 ÜÌÅÍÅÎ-
ÔÏ×?
7.2.5. ðÒÉÍÅÒ: ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÅÒÁÔÏÒÏ×. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ
U
F-
W
ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ×ÅËÔÏÒÎÙÍÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ U É W ÎÁÄ ÏÌÅÍ k ÏÂÒÁÚÕÀÔ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÅÒÁ ÉÊ ÏÔÏÞÅÞÎÏÇÏ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ
ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÔÅÏÒÅÍÁ ëÁÎÔÏÒÁ { âÅÒÎÛÔÅÊÎÁ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï A ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔÓÑ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B , Á ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï B ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔÓÑ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
A, ÔÏ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ A É B ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÉÅË ÉÑ
1
113
7.2. âÁÚÉÓÙ
É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÉÈ ÎÁ ÞÉÓÌÁ
F + G : v 7−→ F (v) + G(v) É F : v 7−→ · F (v) :
ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ Hom(U; W ).
åÓÌÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U É W ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙ, ÔÏ ×ÙÂÉÒÁÑ × ÎÉÈ ÂÁÚÉÓÙ
u1 ; u2 ; : : : ; un ∈ U É w1 ; w2 ; : : : ; wm ∈ W ;
ÍÙ, ÔÏÞÎÏ ÔÁËÖÅ, ËÁË × n◦ 7.1.2, ÍÏÖÅÍ ÓÏÏÓÔÁ×ÉÔØ ÌÀÂÏÍÕ ÏÅÒÁÔÏÒÕ
F :U -W
ÍÁÔÒÉ Õ Fwu ⊂ Matm×n , × j -ÔÏÍ ÓÔÏÌÂ Å ËÏÔÏÒÏÊ ÂÕÄÕÔ ÓÔÏÑÔØ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ
fij ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ
m
X
(7-14)
F (uj ) =
wi · fij ∈ W
i=1
ÏÂÒÁÚÁ ÂÁÚÉÓÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ uj ∈ U Ï ÂÁÚÉÓÕ w1; w2; : : : ; wm ∈ W . ðÏÌÕÞÁÀÝÁÑÓÑ
ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÍÁÔÒÉ Á


f11 f12 : : : f1n
 f21 f22 : : : f2n 


Fwu = (fij ) =  ..

.
...
...
(7-15)
... 

fm1 fm2 : : : fmn
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÏÅÒÁÔÏÒÁ
F × ÂÁÚÉÓÁÈ
u = (u1 ; u2 ; : : : ; un )
É w = (w1; w2; : : : ; wm) :
äÅÊÓÔ×ÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ v = P uj xj ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ ÅÊ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ
F (v ) = F
n
X
j =1
uj xj
=
n
X
j =1
F (uj )xj =
n X
m
X
j =1 i=1
wi fij xj
(7-16)
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÕ ÍÁÔÒÉ Ù ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ
ÍÅÖÄÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× Hom(U; V ) É ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÍÁÔÒÉ Matm×n(k).
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 7.10. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÓÌÏÖÅÎÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×
ÎÁ ÞÉÓÌÁ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÓÌÏÖÅÎÉÀ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÀ ÎÁ ÞÉÓÌÁ ÉÈ ÍÁÔÒÉ .
ðÏÄÞÅÒËΣÍ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÂÁÚÉÓÏ× u É w.
114
§7. ÷ÅËÔÏÒÙ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 7.1
äÌÑ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U , W
dimHom(U; W ) = dim U · dim W
É ÅÓÌÉ u1; u2; : : : ; un ∈ U É w1; w2; : : : ; wm ∈ W | ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÂÁÚÉÓÙ, ÔÏ mn ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ Ewiuj , ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÎÁ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U Ï ÒÁ×ÉÌÁÍ
(
wi ÒÉ k = j
Ewi uj : uk 7−→
0 ÒÉ k 6= j
(ÇÄÅ 1 ⩽ i ⩽ m É 1 ⩽ k; j ⩽ n), ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Hom(U; W ) .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ïÅÒÁÔÏÒÁÍ Ewi uj ÏÔ×ÅÞÁÀÔ × ÏÉÓÁÎÎÏÍ ×ÙÛÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÅ
ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ Eij ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Matm×n(k) ≃ kmn.
7.3. ðÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÌÀÂÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U
ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ
× V . ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ× M ⊂ V , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
span(M ). üÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ Ï ×ËÌÀÞÅÎÉÀ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × V , ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ M . éÎÁÞÅ ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÏÉÓÁÔØ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÊ ×ÅËÔÏÒÏ× ÉÚ M . ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÔÁËÉÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ
ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × V , ËÏÔÏÒÏÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ × ÌÀÂÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÍ M .
ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ.
îÁÒÉÍÅÒ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ×ÉÄÁ ax2 É ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ×ÉÄÁ bx ÏÂÒÁÚÕÀÔ Ä×Á ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ÎÏ ÓÕÍÍÁ x2 + x ÎÅ ÌÅÖÉÔ
× ÉÈ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÉ.
ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÏÊ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 7.11. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÔÏÌØËÏ ËÏÇÄÁ ÏÄÎÏ ÉÚ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÄÒÕÇÏÍ.
ìÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ
ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÈ
É
P
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ U . óÕÍÍÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ
ÓÕÍÍ ×ÅËÔÏÒÏ×, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ ÜÔÉÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍ:
[ X
U = {ui + ui + · · · + uis | u ∈ U }
U = span
ÓÕÍÍÏÊ
1
2
7.3.1. òÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÓÕÍÍÙ É ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ. éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÂÁÚÉÓÅ ×ÙÔÅËÁÅÔ,
ÞÔÏ ÂÁÚÉÓ ÌÀÂÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ⊂ V ÍÏÖÎÏ ÄÏÏÌÎÉÔØ ÄÏ ÂÁÚÉÓÁ ×Ï ×Ó£Í
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ÏÔËÕÄÁ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÌÅÄÕÅÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï dim U ⩽ dim V .
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 7.2
äÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U1, U2 ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V dim(U1) + dim(U2) = dim(U1 ∩ U2) + dim(U1 + U2) .
115
7.3. ðÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
÷ÙÂÅÒÅÍ ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÂÁÚÉÓ u1; u2; : : : ; uk × U1 ∩ U2 É ÄÏÏÌÎÉÍ ÅÇÏ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ v1; v2; : : : ; vr É w1; w2; : : : ; ws ÄÏ ÂÁÚÉÓÏ× × ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ
U1 É U2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒÙ
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
u1 ; u2 ; : : : ; uk ; v1 ; v2 ; : : : ; vr ; w1 ; w2 ; : : : ; ws
ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U1 + U2. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÏÎÉ ÅÇÏ ÏÒÏÖÄÁÀÔ. äÏÕÓÔÉÍ,
ÞÔÏ ÏÎÉ ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙ. ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÎÁÂÏÒÏ× u1; : : : ; uk ; v1; : : : ; vr É
u1 ; : : : ; uk ; w1 ; : : : ; ws × ÏÔÄÅÌØÎÏÓÔÉ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍ, × ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ
1 u1 + 2 u2 + · · · + k uk + 1 v1 + 2 v2 + · · · + r vr + 1 w1 + 2 w2 + · · · + s ws = 0
ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ËÁË ×ÅËÔÏÒÙ vi, ÔÁË É ×ÅËÔÏÒÙ wj . ðÅÒÅÎÏÓÑ × ÏÄÎÕ ÞÁÓÔØ ×ÓÅ
×ÅËÔÏÒÙ u1; u2; : : : ; uk ; v1; v2; : : : ; vr , Á × ÄÒÕÇÕÀ | ×ÓÅ ×ÅËÔÏÒÙ w1; w2; : : : ; ws,
ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÅÖÄÕ ×ÅËÔÏÒÏÍ ÉÚ U1 É ×ÅËÔÏÒÏÍ ÉÚ U2, ÏÚÎÁÞÁÀÝÅÅ, ÞÔÏ
ÜÔÏÔ ×ÅËÔÏÒ ÌÅÖÉÔ × ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ U1 ∩ U2. îÏ ÔÏÇÄÁ × ÅÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ Ï ÂÁÚÉÓÁÍ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U1 É U2 ÎÅÔ ×ÅËÔÏÒÏ× vi É wj | ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 7.1
äÌÑ ÌÀÂÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U1, U2 ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
V ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï dim(U1 ∩ U2 ) ⩾ dim(U1 )+dim(U2 ) − dim(V ). ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, U1 ∩ U2 6= 0 ÒÉ dim(U1) + dim(U2) > dim V .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. üÔÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á dim(U1 + U2 ) ⩽ dim V É ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÒÅÄÌ. 7.2.
7.3.2. ðÒÑÍÙÅ ÓÕÍÍÙ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×. ðÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U1 ; U2 ⊂ V ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÉÈ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÎÕÌÅ×ÏÅ: U1 ∩ U2 = 0. ÷ ÜÔÏÍ
ÓÌÕÞÁÅ ËÁÖÄÙÊ ×ÅËÔÏÒ w ∈ U1 + U2 ÉÍÅÅÔ
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ
w = u1 + u2 u1 ∈ U1 É u2 ∈ U2 , ÏÓËÏÌØËÕ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á u1 + u2 = u′1 + u′2
×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ u1 − u′1 = u2 − u′2 ∈ U1 ∩ U2 = 0 . óÕÍÍÁ Ä×ÕÈ ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÙÈ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ U1 ⊕ U2.
âÏÌÅÅ ÏÂÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÕÍÍÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U1; U2; : : : ; Un ⊂ V ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ U1 ⊕ U2 ⊕ · · · ⊕ Un , ÅÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ×ÅËÔÏÒ
w ∈ U1 + U2 + · · · + Un
ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ
w = u 1 + u 2 + + · · · + u n Ó u i ∈ Ui :
îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ×ÅËÔÏÒÙ {ei} ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V , ÔÏ V Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ ei.
ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍÉ
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ
ÒÑÍÏÊ
ÒÑÍÏÊ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 7.12. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÓÕÍÍÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Ui
ÂÙÌÁ ÒÑÍÏÊ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Ui
ÂÙÌÏ ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÏ ÓÕÍÍÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×.
116
§7. ÷ÅËÔÏÒÙ
éÎÁÞÅ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U1; U2; : : : ; Um ⊂ V Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÌÀÂÏÊ ÎÁÂÏÒ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×
u1 ; u2 ; : : : ; um , × ËÏÔÏÒÏÍ ui ∈ Ui , ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍ.
ÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U; W ⊂ V , ÔÁËÉÅ ÞÔÏ U ⊕ W = V , ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
.
7.3.3. ðÒÑÍÙÅ ÓÕÍÍÙ É ÒÑÍÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× V (ÉÎÄÅËÓ ÒÏÂÅÇÁÅÔ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ
ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ) ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÁÂÅÌÅ×ÙÈ ÇÒÕ
ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍÉ
Y
∈X
V ;
ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÉÎÄÅËÓÏÍ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ×ÅËÔÏÒÏ× (v ), × ËÏÔÏÒÙÈ v ∈ V ∀ ∈ X (ÓÍ. n◦ 3.3), ÉÍÅÅÔ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ
×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ó ÏËÏÍÏÎÅÎÔÎÙÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ
· (v ) + · (w ) = (v + w ) :
ïÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× V .
ðÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÓÅÍÅÊÓÔ× (v ) , ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÌÉÛØ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× V É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ⊕ V . åÓÌÉ ÎÁÂÏÒ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×
ÒÑÍÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ
ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ
V1 ; V2 ; : : : ; V n
ËÏÎÅÞÅÎ, ÔÏ ÒÑÍÁÑ ÓÕÍÍÁ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÒÑÍÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ
V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vn = V1 × V2 × · · · × Vn :
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 7.13. ðÕÓÔØ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ
Ó×ÏÉÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U1 ; U2 ; : : : ; Um ⊂ V × ÓÍÙÓÌÅ n 7.3.2. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ V
ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Ui , ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ËÁË ÁÂÓÔÒÁËÔÎÙÅ
×ÅËÔÏÒÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á.
◦
åÓÌÉ ÎÁÂÏÒ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÂÅÓËÏÎÅÞÅÎ, ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÓÔÒÏÇÏ ÍÏÝÎÅÅ
ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÙ. îÁÒÉÍÅÒ, ÒÑÍÁÑ ÓÕÍÍÁ ÓÞ£ÔÎÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× k[x℄, Á ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ
ÓÞ£ÔÎÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ ÓÔÅÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ× k[[x℄℄ (ÓÍ. ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ ÅÒÅÄ ÕÒ. 7.5 ÎÁ ÓÔÒ. 109).
7.4. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ. ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÑËÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× F : V - W Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÁÂÅÌÅ×ÙÈ ÇÒÕ, ÄÌÑ
ÎÅÇÏ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ×ÓÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á, ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ÎÁÍÉ × n◦ 3.4.
ÁË,
im F = F (V ) ⊂ W Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ × V , ÒÉÞ£Í
F (0) = 0 É F (−v) = −F (v) ÄÌÑ ×ÓÅÈ v ∈ V , Á
ker F = F −1(0) = {v ∈ V | F (v) = 0}
ÏÂÒÁÚ
ÑÄÒÏ
117
7.4. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ × V , É ÓÌÏÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ F ÎÁÄ ËÁÖÄÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ
w ∈ im F ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÄ×ÉÇ ÑÄÒÁ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ×ÅËÔÏÒ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÓÌÏÑ, Ô. Å.
ÅÓÌÉ F (v) = w, ÔÏ F −1(w) = v + ker F , ÏÓËÏÌØËÕ
F (v1 ) = F (v2 ) ⇐⇒ v1 − v2 ∈ ker F :
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ
ÅÇÏ ÑÄÒÏ | ÎÕÌÅ×ÏÅ. õÔÏÞÎÅÎÉÅÍ ÜÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 7.3
äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F : V - W , ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÉÚ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V , ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
dimker F + dimim F = dim V :
(7-17)
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ÙÂÅÒÅÍ ÂÁÚÉÓ u1 ; u2 ; : : : ; uk × ker F É ÄÏÏÌÎÉÍ ÅÇÏ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ e1; e2; : : : ; em ÄÏ ÂÁÚÉÓÁ ×ÓÅÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V . äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒÙ F (e1); F (e2); : : : ; F (eP
m ) ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ × im F . ïÎÉ ÏÒÏÖÄÁÀÔ ÏÂÒÁÚ,
ÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ v = yiui + P xj ej ÉÍÅÅÍ
X
X
X
F (v ) =
yiF (ui ) + xj F (ej ) =
xj F (ej ) :
P
P
ïÎÉ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ,
ÏÓËÏÌØËÕ
ÉÚ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
0
=
F
(
e
)
=
F
(
i ei )
i
i
×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ P iei ∈ ker F Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ ×ÅËÔÏÒÏ× ui, ÞÔÏ
×ÏÚÍÏÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ×ÓÅ i = 0.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 7.2
óÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F : V - V ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ:
(1) F ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ (2) ker F = 0 (3) im F = V
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ó×ÏÊÓÔ×Á (2) É (3) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ Ï ÒÅÄÌ. 7.3, Á
ÉÈ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ (1).
7.4.1. ðÒÉÍÅÒ: ÓÔÒÕËÔÕÒÎÁÑ ÔÅÏÒÉÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. ÷ÓÑËÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ


a x + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1

 11 1



 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
a31 x1 + a32 x2 + · · · + a3n xn = b3
(7-18)







···············
an1 x1 an2 x2 · · · ann xn
+
+ +
= bn
ËÏÎÓÔÁÔÉÒÕÅÔ ÔÏÔ ÆÁËÔ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒ b ∈ km, ÓÔÏÌÂÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÔÏÉÔ
× ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÓÉÓÔÅÍÙ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ
v = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) ∈ kn
118
úÁÄÁÞÉ Ë §7
ÏÄ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ A : kn - km, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÇÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ
ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á kn . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÅÞØ ÉÄ£Ô
Ï ÏÄÎÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ F (v) = b ÎÁ ×ÅËÔÏÒ v. ëÁÞÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÕÓÔÒÏÊÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ
ÔÁËÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÍÙ ÕÖÅ ÍÎÏÇÏ ÒÁÚ ÏÉÓÙ×ÁÌÉ: ÅÓÌÉ b 6∈ im A, ÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÓÔÏ, Á ÅÓÌÉ b ∈ im A, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍ
ÓÄ×ÉÇÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ker A ÎÁ ÌÀÂÏÊ ×ÅËÔÏÒ v, Ñ×ÌÑÀÝÉÊÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ.
éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÒÁÚÎÏÓÔØ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÒÅÛÅÎÉÊ v É v′ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÏÌÕÞÁÀÝÅÊÓÑ ÉÚ (7-18), ÅÓÌÉ ÏÌÏÖÉÔØ
×ÓÅ bi = 0. éÚ ÒÅÄÌ. 7.3 É ÓÌ. 7.2 ×ÙÔÅËÁÀÔ
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 7.3
òÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÉÚ m ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÏÔ n ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ n − m. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÌÀÂÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ
ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÞÉÓÌÏ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÓÔÒÏÇÏ ÂÏÌØÛÅ
ÞÉÓÌÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ×ÓÅÇÄÁ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ ÒÅÛÅÎÉÅÍ.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 7.4 (ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×Á æÒÅÄÇÏÌØÍÁ)
åÓÌÉ × ÓÉÓÔÅÍÅ (7-18) ÞÉÓÌÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ, ÔÏ ÌÉÂÏ ÏÎÁ
ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÒÉ ÌÀÂÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÒÁ×ÙÈ ÞÁÓÔÅÊ, ÌÉÂÏ ÓÉÓÔÅÍÁ
ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÈ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ bi = 0, ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ
ÒÅÛÅÎÉÅÍ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. üÔÏ ÅÒÅ×ÏÄ ÓÌ. 7.2 ÎÁ ÑÚÙË ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §7
úÁÄÁÞÁ 7.1. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ä×Á ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØ-
ËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÉ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÕÀ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ
Á) × ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙ
Â) ÂÅÚ ÜÔÏÇÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÑ (ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ
ËÁË ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏÓÔØ ÂÁÚÉÓÏ×).
úÁÄÁÞÁ 7.2. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÎÁÂÏÒÁ ×ÅËÔÏÒÏ× B = {e1 ; e2 ; : : : ; en } ÂÙÔØ ÂÁ-
ÚÉÓÏÍ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÌÀÂÏÍÕ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ Ó×ÏÊÓÔ×:
Á) B ÏÒÏÖÄÁÅÔ V , É
n = dim V
Â) B ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍ, É n = dim V
×) B ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍ, É ÜÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÔÅÒÑÅÔÓÑ ÒÉ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÉ Ë B ÌÀÂÏÇÏ
×ÅËÔÏÒÁ
Ç) B ÏÒÏÖÄÁÅÔ V , É ÜÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÔÅÒÑÅÔÓÑ ÒÉ ÕÄÁÌÅÎÉÉ ÉÚ B ÌÀÂÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ
Ä) B ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍ, É × V ÎÅÔ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÉÚ ÂÏÌØÛÅÇÏ
ÞÉÓÌÁ ×ÅËÔÏÒÏ×
Å) B ÏÒÏÖÄÁÅÔ V , É V ÎÅÌØÚÑ ÏÒÏÄÉÔØ ÍÅÎØÛÉÍ ÞÉÓÌÏÍ ×ÅËÔÏÒÏ×.
119
úÁÄÁÞÉ Ë §7
úÁÄÁÞÁ 7.3. ðÕÓÔØ u1 ; u2 ; : : : ; uk ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ, Á e1 ; e2 ; : : : ; en ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁ-
ÚÉÓ. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÄÉÎ ÉÚ ×ÅËÔÏÒÏ× ei ÚÁÍÅÎÉÔØ ×ÅËÔÏÒÏÍ ui ÔÅÍ ÖÅ
ÎÏÍÅÒÏÍ, ÔÏ ÔÏÖÅ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÂÁÚÉÓ (ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ i = 1; 2; : : : ; k). ÷ÅÒÎÏ ÌÉ, ÞÔÏ
ÔÏÇÄÁ ×ÓÅ ÎÁÂÏÒÙ u1 ; : : : ; ui ; ei+1 ; : : : ; en Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÂÁÚÉÓÁÍÉ?
úÁÄÁÞÁ 7.4. ðÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÒÉÍÅÒ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á W É ÔÒ£È ÏÁÒÎÏ
ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U; V; T ⊂ W , ÔÁËÉÈ ÞÔÏ
dim U + dim V + dim T = dim W ; ÎÏ W 6= U ⊕ V ⊕ T :
úÁÄÁÞÁ 7.5. ðÕÓÔØ dim(U + V ) = dim(U ∩ V ) + 1 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×
U; V ⊂ V . ïÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÌÉ U + V ÒÁ×ÎÏ ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U , V , Á
U ∩ V | ÄÒÕÇÏÍÕ?
úÁÄÁÞÁ 7.6. ðÕÓÔØ k -ÍÅÒÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á W1 ; W2 ; : : : ; Wm ⊂ V
ÔÁËÏ×Ù, ÞÔÏ
dim Wi ∩ Wj = k − 1 ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ i 6= j . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÂÏ (k − 1)ÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ⊂ V , ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅÓÑ ×Ï ×ÓÅÈ Wi , ÌÉÂÏ (k + 1)-ÍÅÒÎÏÅ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï W ⊂ V , ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ×ÓÅ Wi .
Á) (x − k)n Â) xk (ÇÄÅ 0 ⩽ k ⩽ n) ÂÁÚÉÓ ×
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Q[x℄⩽n ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ ÎÅ ×ÙÛÅ n Ó ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ?
úÁÄÁÞÁ 7.7. ïÂÒÁÚÕÀÔ ÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ
úÁÄÁÞÁ 7.8. îÁÊÄÉÔÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
Á) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ ⩽ n ÏÔ m ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ
Â) ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ d ÏÔ m ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ
×) ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ1 ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ 10 ÏÔ 4 ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ
Ç) ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ ⩽ 3 ÏÔ 4 ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.
úÁÄÁÞÁ 7.9. ëÁËÏ×Á ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f ∈ R[x℄ ÓÔÅÅÎÉ ⩽ n,
ÏÂÒÁÝÁÀÝÉÈÓÑ × ÎÕÌØ × ÔÏÞËÅ (3 − 2i) ∈ C?
úÁÄÁÞÁ 7.10 (ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ S (M ) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
×ÓÅÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÄÁÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ S (M ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅË= (X ∪
ÔÏÒÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÎÁÄ ÏÌÅÍ F2 ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÅÒÁ ÉÊ X + Y def
def
def
Y ) r (X ∩ Y ) , 1 · X = X , É 0 · X = ∅. äÌÑ m-ÜÌÅÍÅÎÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M
ÎÁÊÄÉÔÅ dim S (M ) É ÕËÁÖÉÔÅ × S (M ) ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÂÁÚÉÓ.
úÁÄÁÞÁ 7.11 (ËÏÎÅÞÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á). óËÏÌØËÏ ×ÓÅÇÏ ÉÍÅÅÔÓÑ × d-ÍÅÒÎÏÍ ×ÅË-
ÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÏÌÅÍ ÉÚ q ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
Â) ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÉÚ k ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×
×) k-ÍÅÒÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×?
Á) ×ÅËÔÏÒÏ×
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ m ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ; ; : : : ;m ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ , ÅÓÌÉ ÏÎ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ
ÒÉ ÌÀÂÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ ÎÏÍÅÒÏ× ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ; ÎÁÒÉÍÅÒ, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ (x − x ) (x − x ) (x −
x ) ∈ k[x ; x ; x ℄ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ, Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ (x − x )(x − x )(x − x ) | ÎÅÔ
1
3
2
1 2
1
1
2
3
1
2
1
3
2
2
3
2
1
3
2
2
120
úÁÄÁÞÉ Ë §7
d
úÁÄÁÞÁ 7.12 (ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ k q
ÏÔ×ÅÔ Ë ÚÁÄ. 7.11 (×), ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÊ ËÁË ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÔ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ q, É ÒÁÚÒÅÛÉÍ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ q ÒÉÎÉÍÁÔØ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. îÁÊÄÉÔÅ
lim
q→1
d
:
k q
úÁÄÁÞÁ 7.13. ÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÒÅÄÌ. 7.1 ÚÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ËÁËÉÅ-ÎÉÂÕÄØ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
U0 ⊂ U É W0 ⊂ W
ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ n0 É m0 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
F
U - W Ó ker F ⊂ U0 É im F ⊂ W0 ÏÂÒÁÚÕÀÔ × Hom(U; W ) ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, É ÎÁÊÄÉÔÅ ÅÇÏ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ.
úÁÄÁÞÁ 7.14. õÓÔÁÎÏ×ÉÔÅ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× F; G : V
- V
×ËÌÀÞÅÎÉÑ Á) ker(F G) ⊂ ker(G) Â) im (F G) ⊂ im (F ) É ÒÉ×ÅÄÉÔÅ (ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÅ) ÒÉÍÅÒÙ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÂÁ ÜÔÉ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ÓÔÒÏÇÉÅ.
úÁÄÁÞÁ 7.15. äÏËÁÖÉÔÅ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ×ÅË-
ÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÉÍÌÉËÁ ÉÉ:
Á) ker(F k ) = ker(F k+1 ) ⇒ ∀ n ∈ N ker(F k ) = ker(F k+n )
Â) im (F k ) = im (F k+1 ) ⇒ ∀ n ∈ N im (F k ) = im (F k+n )
úÁÄÁÞÁ 7.16 (ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ). ðÕÓÔØ F : V
- V
| ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V . ÷ÅËÔÏÒ v ∈ V ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F , ÅÓÌÉ F (v ) = v ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ∈ k
( ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÉÌÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ
ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÎÁ ×ÅËÔÏÒÅ v). ðÏËÁÖÉÔÅ ÞÔÏ:
Á) V ∩ V = 0 ÒÉ 6= Â) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× Ó ÄÁÎÎÙÍ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ ∈ k
V = {v ∈ V | F (v) = v} = ker(F − · IdV )
ÏÂÒÁÚÕÅÔ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × V (ÏÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ )
×) ×ÓÑËÉÊ ÎÁÂÏÒ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× v1 ; v2 ; : : : ; vm Ó ÏÁÒÎÏ ÒÁÚÎÙÍÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ 1 ; 2 ; : : : ; m ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍ
Ç) ÅÓÌÉ ×ÓÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÄÌÑ F , ÔÏ
F = · IdV :
úÁÄÁÞÁ 7.17. äÏËÁÖÉÔÅ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÎÁÄ R ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÆÕÎË-
ÉÊ R - R
Á) 1; sin x; os x; : : : ; sin nx; os nx
2
m
Â) 1; sin x; sin x; · · · ; sin x
×) e1 x ; : : : ; em x
Ç) x1 ; : : : ; xm (1 ; 2 ; : : : ; m ∈ R ÒÁÚÌÉÞÎÙ)
Á) x; x2 ; : : : ; xp+1 Â) xp ; xp2 ; · · · ; xpp
ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÆÕÎË ÉÊ Fp - Fp ÎÁÄ ÏÌÅÍ Fp ?
úÁÄÁÞÁ 7.18. ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉ ÎÁÂÏÒÙ ÆÕÎË ÉÊ
121
úÁÄÁÞÉ Ë §7
úÁÄÁÞÁ 7.19 (ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ). ìÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F
: V
- V
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÙÍ , ÅÓÌÉ F n = 0 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ n. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
ËÁÖÄÙÊ ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F ÉÍÅÅÔ ÎÕÌÅ×ÏÅ ÑÄÒÏ É ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ, Á ÔÁËÖÅ ÞÔÏ F dim V = 0.
úÁÄÁÞÁ 7.20 (ÉÎ×ÏÌÀÔÉ×ÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ). ðÕÓÔØ ÏÅÒÁÔÏÒ F : V
ÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÔÁËÏ×, ÞÔÏ F 2 = IdV . ðÏÌÏÖÉÍ
- V ÎÁ ×ÅË-
V+ = {v ∈ V | F v = v} = ker(F − IdV )
V− = {v ∈ V | F v = −v} = ker(F + IdV )
ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) V− = im (F − IdV )
Â) V+ = im (F + IdV )
×) ÌÉÂÏ ÏÄÎÏ ÉÚ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× V± ÎÕÌÅ×ÏÅ, Á ×ÔÏÒÏÅ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ×ÓÅÍ V , ÌÉÂÏ
V = V+ ⊕ V− (ÉÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, V+ ∩ V− = 0 É V+ + V− = V )
úÁÄÁÞÁ 7.21 (ÒÏÅËÔÏÒÙ). ðÕÓÔØ ÎÅÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ
F :V
- V ÔÁËÏ×, ÞÔÏ F 2 = F . ðÏÌÏÖÉÍ V0 = ker F É
V1 = {v ∈ V | F v = v} = ker(F − IdV ) :
ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ V = V0 ⊕ V1 É ÏÅÒÁÔÏÒ F ÒÏÅËÔÉÒÕÅÔ V ÎÁ V1 ×ÄÏÌØ V0 , Ô. Å.
ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔ ËÁÖÄÙÊ ×ÅËÔÏÒ w = v0 + v1 ∈ V × v1 .
úÁÄÁÞÁ 7.22 (ÏÌÕÒÏÓÔÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ). ìÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F : V
- V
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÕÒÏÓÔÙÍ , ÅÓÌÉ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÉÍÅÅÔÓÑ ÂÁÚÉÓ ÉÚ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ
×ÅËÔÏÒÏ× ÏÅÒÁÔÏÒÁ F . ðÕÓÔØ ÏÌÕÒÏÓÔÏÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F ÅÒÅ×ÏÄÉÔ × ÓÅÂÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ⊂ V . ðÏËÁÖÉÔÅ ÞÔÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ F |U : U - U
ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÕÒÏÓÔÙÍ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ.
úÁÄÁÞÁ 7.23. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ t × ÆÁËÔÏÒ ËÏÌØ Å k[t℄=(tn ) ÎÅ
ÏÌÕÒÏÓÔÏÊ ÒÉ n ⩾ 2.
har(k) = 0. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ D : k[[x℄℄ - k[[x℄℄ ÏÅÒÁÔÏÒ
ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ D : f (x) 7−→ f ′ (x) . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ∈ k
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V ÏÅÒÁÔÏÒÁ D ÏÄÎÏÍÅÒÎÏ, É ÕËÁÖÉÔÅ × Î£Í
ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÂÁÚÉÓÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ.
úÁÄÁÞÁ 7.24. ðÕÓÔØ
úÁÄÁÞÁ 7.25. ÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ É
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ D2 .
úÁÄÁÞÁ 7.26. ðÏËÁÖÉÔÅ ÞÔÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ D ÎÁ ÏÄ-
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ ⩽ n ÎÅ ÏÌÕÒÏÓÔÏÅ.
úÁÄÁÞÁ 7.27. ðÕÓÔØ k ⊂ F | Ä×Á ÏÌÑ, ÒÉÞ£Í F ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏ ËÁË ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏ-
ÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ k. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÌÑ F Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÉÚ k[x℄ .
úÁÄÁÞÁ 7.28. ðÕÓÔØ × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ f ∈ k[x℄ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ, deg f = n,
∈ F | ËÏÒÅÎØ f , É k( ) ⊂ F | ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ Ï ×ËÌÀÞÅÎÉÀ ÏÄÏÌÅ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ k É . îÁÊÄÉÔÅ dim k( ) ËÁË ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÄ ÏÌÅÍ k.
122
úÁÄÁÞÉ Ë §7
úÁÄÁÞÁ 7.29. ëÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏ ÌÉ R ËÁË ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ Q ?
úÁÄÁÞÁ 7.30. äÏËÁÖÉÔÅ ÌÉÎÅÊÎÕÀ
ÎÁÄ Q ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ
ÎÁÂÏÒÏ×
×ÅÝÅp
p
p
√ √ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ
√
ÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ:
Á) 2, 3 É 5
Â* ) n1 pm1 ; n2 pm2 ; : : : ; ns pms (ÇÄÅ
1
2
pi ; ni ; mi ∈ N, pi ÒÁÚÌÉÞÎÙ É ÒÏÓÔÙ, É ÎÏÄ(ni ; mi ) = 1 ÒÉ ×ÓÅÈ i).
s
úÁÄÁÞÁ 7.31 (ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÅÒÁÔÏÒÁ). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏ-
F
ÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ V - V ÎÁ n-ÍÅÒÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V
Á) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
f (x) = a0 xm + a1 xm−1 + · · · + am−1 x + am ∈ k[x℄ ;
ÔÁËÏÊ ÞÔÏ f (F ) = a0 F m + a1 F m−1 + · · · + am−1 F + am IdV = 0 × End(V )
Â) ×ÓÅ ÔÁËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÏÂÒÁÚÕÀÔ (×ÍÅÓÔÅ Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ) ÇÌÁ×ÎÙÊ
ÉÄÅÁÌ × k[x℄ (ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÁÑ ÏÂÒÁÚÕÀÝÁÑ ÜÔÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ F (x) ∈ k[x℄)
Q
×) ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x) ÄÅÌÉÔÓÑ × k[x℄ ÎÁ (x − ), ÇÄÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ
ÂÅÒ£ÔÓÑ Ï ×ÓÅÍ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÞÉÓÌÁÍ (ÓÍ. ÚÁÄ. 7.16) ÏÅÒÁÔÏÒÁ F .
úÁÄÁÞÁ 7.32. ðÕÓÔØ k | ÏÌÅ, q (x) ∈ k[x℄ | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, V = k[x℄=(q ).
Á) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ e = x (mod q) (ÇÄÅ 0 ⩽ ⩽ deg q − 1) ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ V
[f ℄7→[xf ℄ V
Â) îÁÉÛÉÔÅ × ÜÔÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÍÁÔÒÉ Õ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ F : V
ÎÁ ËÌÁÓÓ x (mod q) É ÎÁÊÄÉÔÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F , ËÏÇÄÁ:
×) q ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ
Ç) q = pm , ÇÄÅ p ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ
m
m
s
Ä) q = p1 1 p2 2 · · · pm
s , ÇÄÅ p ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ
Å) ðÕÓÔØ q(x) = (x − )n , ÇÄÅ ∈ k. ðÏÓÔÒÏÊÔÅ × V ÂÁÚÉÓ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÍÁÔÒÉ Á F
ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ


1
0


1




...






...

1
0
úÁÄÁÞÁ 7.33. ïÉÛÉÔÅ ÑÄÒÁ, ÏÂÒÁÚÙ É ÎÁÊÄÉÔÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ×ÅÒÈÎÅÇÏ
É ÎÉÖÎÅÇÏ ÒÁÚÎÏÓÔÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×
:f (x) 7→ f (x + 1) − f (x)
∇ :f (x) 7→ f (x) − f (x − 1)
ÎÁ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å k[x℄⩽n ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ ÎÅ ×ÙÛÅ n, É ÎÁÉÛÉÔÅ
ÍÁÔÒÉ Ù ÜÔÉÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× × ÂÁÚÉÓÁÈ
Á) x (ÇÄÅ 0 ⩽ ⩽ n)
Â) k (x) = (x + 1)(x + 2) · · · (x + k)=k! (ÇÄÅ 0 ⩽ ⩽ n É 0 = 1)
×) n (x), n (x + 1), . . . , n (x + n) .
§8. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ
ðÕÓÔØ V | ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ
k ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÏÌÅÍ k. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ V
(ÉÌÉ
) ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V . ìÉÎÅÊÎÙÅ ÆÏÒÍÙ ÏÂÒÁÚÕÀÔ
×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÆÕÎË ÉÊ V - k. ïÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(ÉÌÉ
) Ë ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ V É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
V ∗ = Hom(V; k) :
ëÁË É ×ÓÑËÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÌÀÂÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ó×ÏÉÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ ÎÁ ×ÅËÔÏÒÁÈ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ {e }∈X ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V : ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ∈ k ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ
ÆÏÒÍÁ ' ∈ V ∗, ÔÁËÁÑ ÞÔÏ P'(e ) = ÒÉ ×ÓÅÈ . úÎÁÞÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÙ ÎÁ
ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÅ v = e x ÒÁ×ÎÏ
8.1. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï.
'ÍÉ
ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ-
ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ÆÏÒÍÁÍÉ
Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍ
'(v) = '
ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÍ
X
e x
=
X
' (e ) x =
X
x :
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÁÖÅ ÅÓÌÉ ÂÁÚÉÓ ÂÅÓËÏÎÅÞÅÎ, × (ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÍ) ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ v Ï ÂÁÚÉÓÕ ÉÍÅÅÔÓÑ ÌÉÛØ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×
x , ÔÁË ÞÔÏ ÎÁÉÓÁÎÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÚÁÄÁ£Ô ÆÏÒÍÕ ' . íÙ ÏÌÕÞÁÅÍ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 8.1
æÉËÓÁ ÉÑ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÂÁÚÉÓÁ E = {e }∈X ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ∗ Ó ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ kE ×ÓÅÈ ÆÕÎË ÉÊ E '- k (ÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, Ó ÒÑÍÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× k × ËÏÌÉÞÅÓÔ×Å, ÒÁ×ÎÏÍ
ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ). üÔÏÔ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ
' ∈ V ∗ × ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ' ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×.
8.1.1. ëÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÙ. ó ËÁÖÄÙÍ ÂÁÚÉÓÏÍ {e } ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V Ó×ÑÚÁÎ ÎÁÂÏÒ
{e∗ } ⊂ V ∗ , ËÏÔÏÒÙÅ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ ÎÁ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V Ï ÒÁ×ÉÌÕ
(
1 ÒÉ = i
∗
ei : e 7−→
(8-1)
0 ÒÉ = i
éÎÁÞÅ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ i-ÔÙÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ e∗i ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ
ËÁÖÄÏÍÕ ×ÅËÔÏÒÕ v ∈ V ÅÇÏ P
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÕ ×ÄÏÌØ ÂÁÚÉÓÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ei, Ô. Å. ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ xi ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ v = e x .
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÏ×
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 8.2
ëÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÙ ÌÀÂÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ × V ∗.
123
124
§8. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ
ðÕÓÔØ P j e∗j = 0 × V ∗, ÇÄÅ ÓÕÍÍÁ ÓÌÅ×Á ÍÏÖÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ
ÌÉÛØ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×. ÷ÙÞÉÓÌÑÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÎÁ ÂÁÚÉÓÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÅ ei , ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ i = 0 ÒÉ ÌÀÂÏÍ i.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
åÓÌÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏ, ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÏ× ÌÀÂÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ × V ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÅ ×ÓÅÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ∗.
8.1.2. ðÒÉÍÅÒ: ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÅ Ë ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍ. ðÒÉÍÅÎÉÔÅÌØÎÏ Ë ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× V = k[x℄, ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÉÚ ÒÅÄÌ. 8.1, ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÊ Ï ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÍÕ ÂÁÚÉÓÕ ÉÚ ÍÏÎÏÍÏ×, ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÅÔ k[x℄∗ Ó ÒÑÍÙÍ
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÓÞ£ÔÎÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÎÏ × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÔØ Ó ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÔÅÅÎÎÙÈ ÏÔ
ÄÒÕÇÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ t, ÏÂÏÚÎÁÞÁÑ ÂÁÚÉÓÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ i-ÔÏÇÏ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÞÅÒÅÚ ti. íÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ k[x℄∗ - k[[t℄℄ , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÊ
ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ ' ∈ k[x℄∗ × ÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÄÌÑ ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÎÁ ÍÏÎÏÍÁÈ
ÏÔ x
X
'(xk ) tk ∈ k[[t℄℄ :
(8-2)
' 7−→
úÁÍÅÞÁÎÉÅ 8.1.
k⩾0
ëÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÙ ÍÏÎÏÍÉÁÌØÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ xi ÅÒÅÈÏÄÑÔ ÒÉ ÜÔÏÍ ×
ÍÏÎÏÍÙ ti, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÏÒÏÖÄÁÀÔ ×ÓÅÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á k[t℄. îÁÒÉÍÅÒ, Ó ËÁÖÄÏÊ
ÔÏÞËÏÊ a ∈ k Ó×ÑÚÁÎ
ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ
eva : k[x℄ f 7→f (a) - k ;
ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍ ÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ × ÔÏÞËÅ a. éÚÏÍÏÒÆÉÚÍ (8-2) ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÅÇÏ × ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÒÏÇÒÅÓÓÉÀ a(t) = (1 − at)−1 , ËÏÔÏÒÁÑ ÒÉ a 6= 0
ÎÅ ÌÅÖÉÔ × ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ ÍÏÎÏÍÏ× ti.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 8.1. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÉ ÒÁÚÎÙÈ a1 ; a2 ; : : : ; am ∈ k ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ
ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ a1 ; a2 ; : : : ; am ∈ k[[t℄℄ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÁÄ k = R
ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ËÏÎÔÉÎÕÁÌØÎÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÆÏÒÍ ÎÁ k[t℄).
8.1.3. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÂÁÚÉÓÙ É ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ V ≃ V ∗∗. åÓÌÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
V ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏ, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V ∗ ÔÏÖÅ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏ É ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÅ ÆÕÎËÉÏÎÁÌÙ e∗i ÌÀÂÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ e = (e1; e2; : : : ; en) ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ∗. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ËÁÖÄÙÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ ' ∈ V ∗ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÎÉÈ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ
' = '(e1 ) e∗1 + '(e2 ) e∗2 + · · · + '(en ) e∗n
(ÞÔÏÂÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÜÔÏÍ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÎÁ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÁÈ ei ∈ V ). âÁÚÉÓÙ (e1; e2; : : : ; en) ∈ V É (e∗1; e∗2; : : : ; e∗n) ∈ V ∗ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
.
Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ
125
8.1. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
÷ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ÍÉÒÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V É V ∗ ÉÇÒÁÀÔ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÕÀ ÒÏÌØ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÄÒÕÇ Ë ÄÒÕÇÕ. á ÉÍÅÎÎÏ, ËÁÖÄÙÊ ×ÅËÔÏÒ v ∈ V
ÍÏÖÅÔ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØÓÑ ËÁË
ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ∗
evv : V ∗ '7→'(v) - k
ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÊ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÆÏÒÍÙ × ÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÁ ×ÅËÔÏÒÅ v. ðÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÌÏ
'(v) ∈ k ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ËÁË ÏÔ v, ÔÁË É ÏÔ ' , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÕ v ÆÕÎËÉÏÎÁÌÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ evv ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÚÁÄÁ£Ô ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ
(8-3)
ev : V v7→evv - V ∗∗
üÔÏÔ ÏÅÒÁÔÏÒ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÌÀÂÏÊ ÂÁÚÉÓ e1; e2; : : : ; en ∈ V × Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ÂÁÚÉÓÕ e∗1; e∗2; : : : ; e∗n ∈ V ∗ ÂÁÚÉÓ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ∗∗ É, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ. îÁÍÉ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÁ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÁÑ
ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ
ÅÏÒÅÍÁ 8.1
óÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÕ v ∈ V ÆÏÒÍÙ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ V ∗ evv- k ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉ ÏÔÏ
ÖÄÅÓÔ×ÌÑÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V Ó V ∗∗.
üÔÁ ÔÅÏÒÅÍÁ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÆÏÒÍÁ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ∗ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÏÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÁ ×ÏÌÎÅ ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÅ v ∈ V , Á ÌÀÂÏÊ
ÂÁÚÉÓ 1; 2; : : : ; n ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ∗ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒÏÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÆÏÒÍ ÄÌÑ
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ e1; e2; : : : ; en ∈ V (Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ Ë 1; 2; : : : ; n ÂÁÚÉÓÁ ×
V ∗∗ = V ).
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 8.2. ðÕÓÔØ dim V = n É ÎÁÂÏÒÙ ×ÅËÔÏÒÏ× v1 ; v2 ; : : : ; vn ∈ V É ÆÏÒÍ
1 ; 2 ; : : : ; n ∈ V ∗ ÔÁËÏ×Ù, ÞÔÏ i (vi ) = 1 É i (vj ) = 0 ÒÉ i = j . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) ÏÂÁ ÏÎÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÂÁÚÉÓÁÍÉ
Â) ÌÀÂÏÊ ×ÅËÔÏÒ v ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ×ÅËÔÏÒÙ vi Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ i (v).
8.1.4. ðÒÉÍÅÒ: ÆÏÒÍÕÌÁ ÅÊÌÏÒÁ. ðÕÓÔØ har(k) = 0. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ × ÒÏ-
ÓÔÒÁÎÓÔ×Å k[x℄⩽n ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ ÎÅ ×ÙÛÅ n ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÙ
Æa(0) ; Æa(1) ; : : : ; Æa(n) ;
ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÕ f ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÅÇÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ × ÔÏÞËÅ a ∈ k :
f (a); f ′ (a); : : : ; f (n) (a) :
íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ (x − a)k =k! (ÇÄÅ k = 0; 1; : : : ; n) É ÆÏÒÍÙ Æa(i) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÕÒ. 8.2 É, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ÂÁÚÉÓÁÍÉ. ÷
ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ g(x) ÓÔÅÅÎÉ ÎÅ ×ÙÛÅ n ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ g(x) = g(a) · 1+ g′(a) · (x − a)+ g′′(a) · (x − a)2 =2+ · · · + g(n)(a) · (x − a)n=n! .
úÁÍÅÞÁÎÉÅ 8.2. äÌÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ
(8-3) ÚÁÄÁ£Ô ×ÌÏÖÅÎÉÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V ∗∗. þÔÏÂÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ ×
126
§8. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ
ÜÔÏÍ, ×ÙÂÅÒÅÍ
ÔÁËÉÈ ×ÅËP × V ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÂÁÚÉÓ {e }. ñÄÒÏ ker
Pev ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ
∗∗
ÔÏÒÏ× v = x e (ÓÕÍÍÁ ËÏÎÅÞÎÁ), ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ x eve ∈ V ÚÁÎÕÌÑÅÔÓÑ
ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÆÏÒÍÅ ' ∈ V ∗. ÁË ËÁË ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ ÎÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÊ
ÆÏÒÍÅ e∗i ∈ V ∗ ÒÁ×ÎÏ xi, ×ÓÅ xi = 0. ïÄÎÁËÏ ×ÌÏÖÅÎÉÅ (8-3) × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ
ÓÌÕÞÁÅ ÎÅÜÉÍÏÒÆÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ∗∗ ÅÝ£ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ Õ
V ∗ (ÕÖÅ ÂÏÌÅÅ ÍÏÝÎÏÇÏ, ÞÅÍ V ).
äÁÌÅÅ ÄÏ ËÏÎ Á ÜÔÏÇÏ ÁÒÁÇÒÁÆÁ ÍÙ Ï ÕÍÏÌÞÁÎÉÀ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÉÄ£Ô ÒÅÞØ, ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙ.
8.1.5. C×£ÒÔËÁ. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ
(ÉÌÉ
) ÍÅÖÄÕ ×ÅËÔÏÒÎÙÍÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ V É W ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
v;w7→hv;wi k
V ×W
(8-4)
ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ËÁÖÄÏÊ ÁÒÅ ×ÅËÔÏÒÏ× v ∈ V , w ∈ W ÞÉÓÌÏ hv; wi ∈ k, ËÏÔÏÒÏÅ
ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ v ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ w É ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ w ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ v, Ô. Å. ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× v1; v2 ∈ V , w1; w2 ∈ W É ÌÀÂÙÈ ÞÉÓÅÌ
1 ; 2 ; 1 ; 2 ∈ k ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
h1 v1 + 2 v2 ; 1 w1 + 2 w2 i =
= 11hv1; w1i + 12hv1; w2i + 21hv2; w1i + 22hv2; w2i :
óÁÒÉ×ÁÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÌÅÍÍÙ:
Ó×£ÒÔËÏÊ
ÓÁÒÉ×ÁÎÉÅÍ
ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÍ
ìÅÍÍÁ 8.1
óÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á Ó×£ÒÔËÉ (8-4) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ:
1) ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ v ∈ V ÎÁÊÄ£ÔÓÑ w ∈ W , Á ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ
w ∈ W ÎÁÊÄ£ÔÓÑ v ∈ V , ÔÁËÉÅ ÞÔÏ hv; wi =
6 0.
2) ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ V - W ∗, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ×ÅËÔÏÒÕ v ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÏÒÍÕ w 7→
hv; wi ÎÁ W , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ
3) ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ W - V ∗, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ×ÅËÔÏÒÕ w ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÏÒÍÕ
v 7→ hv; wi ÎÁ V , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ ÓÉÌÕ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ hv; w i Ï v É Ï w , ÏÂÁ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, Ï
ËÏÔÏÒÙÈ ÉÄ£Ô ÒÅÞØ × (2) É (3), ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ É ÌÉÎÅÊÎÙ. õÓÌÏ×ÉÅ (1)
ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÂÁ ÏÎÉ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙ. ðÏÜÔÏÍÕ ÉÚ (1) ×ÙÔÅËÁÀÔ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
dim V ⩽ dim W ∗ É dim W ⩽ dim V ∗. ÁË ËÁË dim V = dim V ∗ É dim W = dim W ∗,
ÏÂÁ ÜÔÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ, Á ×ÌÏÖÅÎÉÑ (2) É (3) | ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÙ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÚ (1) ×ÙÔÅËÁÀÔ (2) É (3). îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ
ÏÄÎÏ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ (2) ÉÌÉ (3), ÔÏ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ É ×ÔÏÒÏÅ1, Á ÚÎÁÞÉÔ,
É ÕÓÌÏ×ÉÅ (1).
ÜÔÏ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÉÑ W ≃ W ∗∗ : ÅÓÌÉ V ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ W ∗ ,
ÔÏ É W ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ V ∗ = W ∗∗
1
127
8.2. áÎÎÕÌÑÔÏÒÙ
8.1.6. ðÒÉÍÅÒ: ÓÁÒÉ×ÁÎÉÅ ÍÅÖÄÕ k[D℄= (D)n+1 É k[x℄⩽n . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ
ÞÅÒÅÚ D = d=dx ÏÅÒÁÔÏÒ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ D : f 7→ Df = f ′ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å k[x℄⩽n ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ ÎÅ ×ÙÛÅ n. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÒÑÄÁ
g(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + · · · ∈ k[[t℄℄
ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ g(D) = P ak Dk ∈ End (k[x℄⩽n ) ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ, ÅÒÅ×ÏÄÑk⩾0
ÝÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f ∈ k[x℄ × ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
g(D)f = a0 f + a1 Df + a2 D2 f + · · · + adeg f Ddeg f f
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 8.3. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ×ÉÄÁ g (D ) ∈ End (k[x℄⩽n ) ÏÂÒÁÚÕÀÔ
ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØ Ï, ÉÚÏÍÏÒÆÎÏÅ ËÏÌØ Õ ×ÙÞÅÔÏ× k[D℄= Dn+1 .
âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÆÁËÔÏÒ ËÏÌØ Ï k[D℄= (Dn+1) ËÏÌØ ÏÍ
. úÁÄÁÄÉÍ ÍÅÖÄÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ k[D℄= (Dn+1) É k[x℄⩽n
ÓÁÒÉ×ÁÎÉÅ ÒÁ×ÉÌÏÍ
hg (D); f (x)i = g (D)f (0)
(8-5)
(ÒÉÍÅÎÑÅÍ Ë f ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ g(D) É ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÌÕÞÉ×ÛÅÇÏÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ g(D)f × ÎÕÌÅ). üÔÏ ÓÁÒÉ×ÁÎÉÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ
(1) ÉÚ ÌÅÍ. 8.1. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓÌÉ ÍÌÁÄÛÉÊ ÞÌÅÎ g(D) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ ak Dk , ÇÄÅ k ⩽ n
É ak 6= 0, ÔÏ hg; xk i = ak k! 6= 0 . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÅÓÌÉ ÓÔÁÒÛÉÊ ÞÌÅÎ f ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
bm Dm , ÇÄÅ m ⩽ n É am 6= 0, ÔÏ hDm ; f i = am m! 6= 0 .
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á k[D℄= (Dn+1) É k[x℄⩽n Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ
ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ Ó×£ÒÔËÉ (8-5).
ÏÂÒÅÚÁÎÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎ-
ÉÁÌØÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×
k
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 8.4. õÂÅÄÉÔÅÓØ,
ÞÔÏ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ÂÁÚÉÓÕ ÉÈ ÍÏÎÏÍÏ× x ÂÁÚÉÓ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á k[D℄= Dn+1 ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ËÌÁÓÓÏ× Dk =k! (mod Dn+1 ).
8.2. áÎÎÕÌÑÔÏÒÙ.
þÔÏÂÙ ÏÄÞÅÒËÎÕÔØ ÓÉÍÍÅÔÒÉÀ ÍÅÖÄÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ
V É V ∗ ÍÙ ÉÎÏÇÄÁ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ∗ ËÏ×ÅËÔÏÒÁÍÉ É
ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ×ÍÅÓÔÏ '(v) ÂÏÌÅÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ
= '(v) ;
ËÁË × n◦ 8.1.5. åÓÌÉ ×ÙÂÒÁÔØ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ V É V ∗ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÂÁÚÉÓÙ
(e1; e2; : : : ; en) ∈ V É (e∗1; e∗2; : : : ; e∗n) ∈ V ∗
ÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ Ó×£ÒÔËÉ ËÏ×ÅËÔÏÒÁ ' = a1e∗1 + a2e∗2 + · · · + ane∗n ∈ V ∗ Ó ×ÅËÔÏÒÏÍ
v = e1 x1 + e2 x2 + · · · + en xn ∈ V ÂÕÄÅÔ ÞÉÓÌÏ
DX
E X
X
aj e∗j ; xi ei =
ai he∗i ; ej ixj = a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn ∈ k :
h'; v i
j
i
ij
def
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÌÀÂÏÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = 0
128
§8. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ
ÎÁ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ (x1; x2 ; : : : ; xn) ÅÓÔØ ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ, ËÁË ÒÉ×ÑÚÁÎÎÁÑ Ë ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ
ËÏÎËÒÅÔÎÏÍÕ ×ÙÂÏÒÕ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÂÁÚÉÓÏ× ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÁÑ ÚÁÉÓØ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
h'; v i = 0 ;
Ï ËÏÔÏÒÏÍ ÒÉ ÚÁÄÁÎÎÏÍ ' ∈ V ∗ ÍÏÖÎÏ ÄÕÍÁÔØ ËÁË Ï ÌÉÎÅÊÎÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ ÎÁ
×ÅËÔÏÒ v ∈ V , Á ÒÉ ÚÁÄÁÎÎÏÍ v ∈ V | ËÁË Ï ÌÉÎÅÊÎÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ ÎÁ ËÏ×ÅËÔÏÒ
' ∈ V ∗ . éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, V ∗ ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁ ×ÅËÔÏÒÙ ÉÚ V , Á V | Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ |
ËÁË ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁ ËÏ×ÅËÔÏÒÙ ÉÚ V ∗.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 8.1
äÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× M ⊂ V ∗ É N ⊂ í ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
Ann (M ) = {v ∈ V | h'; vi = 0 ∀ ' ∈ M } ⊂ V
Ann (N ) = {' ∈ V | h'; vi = 0 ∀ v ∈ N } ⊂ V ∗
ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÍÎÏÖÅÓÔ× M É N .
ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÁÍÉ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 8.5. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á (ËÏ) ×ÅËÔÏÒÏ× ×ÓÅ-
ÇÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒÎÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á.
åÓÌÉ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M ËÁË ÓÉÓÔÅÍÕ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁ V , ÔÏ Ann (M ) | ÜÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÒÅÛÅÎÉÊ ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÅÓÌÉ ÓÍÏÔÒÅÔØ ÎÁ V ËÁË ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁ
V ∗ , ÔÏ Ann (M ) | ÜÔÏ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÄÌÑ
ËÏÔÏÒÙÈ ×ÓÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÉÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÑÍÉ. äÏÓÌÏ×ÎÏ ÔÁËÉÅ
ÖÅ Ä×Å ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÉ ÉÍÅÀÔÓÑ É Õ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÁ Ann (N ).
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 8.6. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÏÍ
ÅÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÉ: Ann (M ) = Ann (span(M )) .
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 8.3
äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ⊂ V dim U + dimAnn U = dim V .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ÙÂÅÒÅÍ ÂÁÚÉÓ u1 ; u2 ; : : : ; uk ∈ U É ÄÏÏÌÎÉÍ ÅÇÏ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ
w1 ; w2 ; : : : ; wm ÄÏ ÂÁÚÉÓÁ × V (ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, dim V = k + m). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ
u∗1 ; u∗2 ; : : : ; u∗k ; w1∗ ; w2∗ ; : : : ; wm∗ ∈ V ∗
Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÂÁÚÉÓ. ÏÇÄÁ w1∗; w2∗; : : : ; wm∗ ∈ Ann U , ÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ
v=
X
xi ui ∈ U
Ó×£ÒÔËÁ hw∗ ; vi = hw∗ ; P xiuii = P xihw∗ ; uii = 0 . åÓÌÉ ËÏ×ÅËÔÏÒ
X
X
yi u∗i + zj wj∗ ∈ Ann (U ) ;
'=
ÔÏ ×ÓÅ ÅÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ yi = h'; uii = 0. ðÏÜÔÏÍÕ w1∗; w2∗; : : : ; wm∗ ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄÁÀÔ Ann (U ). ÁË ËÁË ÏÎÉ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ, ÏÎÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ × Ann (U )
ÂÁÚÉÓ. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, dimAnn (U ) = m = dim V − dim U .
129
8.3. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 8.1
äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ⊂ V Ann Ann (U ) = U .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. U ⊂ Ann Ann (U ) É Ï ÒÅÄÌ. 8.3 dimAnn Ann U = dim U . ÅÏÒÅÍÁ 8.2
óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ U ←→ Ann (U ) ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÂÉÅË ÉÀ ÍÅÖÄÕ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× V É V ∗. üÔÁ ÂÉÅË ÉÑ ÏÂÏÒÁÞÉ×ÁÅÔ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ
(Ô. Å. U ⊂ W ⇔ Ann U ⊃ Ann W ) É ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÓÕÍÍÙ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× × ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ, Á ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ | × ÓÕÍÍÙ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ S (V ) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V . òÁ×ÅÎÓÔ×Ï Ann Ann (U ) = U ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ Ä×Á ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ ÅÇÏ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ × Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å:
U →Ann U S (V ) S (V ∗ )
Ann W ←W
ÏÂÒÁÔÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ, É ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÂÉÅËÔÉ×ÎÙ. äÁÌÅÅ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ
U ⊂ W ⇒ Ann U ⊃ Ann W :
÷ ÓÉÌÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ× U = Ann Ann U É W = Ann Ann W , ÏÂÒÁÔÎÁÑ ÉÍÌÉËÁ ÉÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÊ ÉÍÌÉËÁ ÉÉ, ÒÉÍÅΣÎÎÏÊ
Ë ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍ Ann U É Ann W
× ÒÏÌÉ U É W . îÁËÏÎÅ , ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï T Ann (U ) = Ann P U ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÏ
ÇÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ, ÚÁÎÕÌÑÀÝÁÑÓÑ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×
U , ÚÁÎÕÌÑÅÔÓÑ É ÎÁ ÉÈ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ, Á ÆÏÒÍÁ, ÚÁÎÕÌÑÀÝÁÑÓÑ ÎÁ ÓÕÍÍÅ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÚÁÎÕÌÑÅÔÓÑ É ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÎÉÈ × ÏÔÄÅÌØÎÏÓÔÉ. âÅÒÑ × ÜÔÏÍ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Å ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÙ
ÏÂÅÉÈ ÞÁÓÔÅÊ É ÚÁÉÓÙ×ÁÑ U ËÁË Ann W , ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ P
T
×ÅÎÓÔ×Ï Ann W = Ann (W ) .
ëÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ × n◦ 6.6, Ó ËÁÖÄÙÍ 'ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ F : 'U◦F - W Ó×ÑÚÁÎ
ÆÕÎË ÉÊ W - k ÄÏ
ÆÕÎË ÉÊ U - k. ÷ ÓÉÌÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ, ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÆÏÒÍÙ ' ∈ W ∗ ÏÄÎÉÍÁÀÔÓÑ ×ÄÏÌØ
ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ F ÄÏ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ '◦F ∈ V ∗, Á ÔÁË ËÁË '◦F ÌÉÎÅÊÎÏ
ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ', ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ F ∗ : W ∗ - V ∗, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ ' × '◦F , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ ÉÚ W ∗ × U ∗. ïÎ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(ÉÌÉ
Ë ÏÅÒÁÔÏÒÕ F .
ðÏÓËÏÌØËÕ '◦F ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÔÁËÖÅ É ÏÔ F ,
Hom(U; V ) F 7→F - Hom(W ∗; U ∗)
(8-6)
ÓÁÍÏ Ï ÓÅÂÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ.
8.3. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ.
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÏÄߣÍÁ
Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍ
ÓÏÒÑ-
Ö£ÎÎÙÍ
ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×
∗
130
§8. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ
óÏÇÌÁÓÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÄÅÊÓÔ×ÉÅ F ÎÁ ×ÅËÔÏÒÙ u ∈ U É ÄÅÊÓÔ×ÉÅ F ∗ ÎÁ
ËÏ×ÅËÔÏÒÙ ∈ W ∗ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÏÍ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ
hF ∗ ; v i = h; F v i ∀ ∈ W ∗ ; v ∈ V :
(8-7)
ðÏÜÔÏÍÕ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÅ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÉÅ V ∗∗ Ó V ÚÁÄÁ£Ô ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÅ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÉÅ F ∗∗ Ó F . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ F 7→ F ∗ É F ∗ 7→ F ∗∗ = F ÏÂÒÁÔÎÙ
ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ, Ô. Å. ÏÅÒÁÔÏÒ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ
(8-6)
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 8.7. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
F ◦G
∗
= G∗ ◦ F ∗ .
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 8.4
éÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ker F ∗ = Ann im F É im F ∗ = Ann ker F .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÅÒ×ÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÞÅ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (8-7):
∈ Ann im F ⇐⇒ h; F vi = 0 ∀ v ∈ V ⇐⇒ hF ∗ ; vi = 0 ∀ v ∈ V ⇐⇒ F ∗ = 0 :
÷ÔÏÒÏÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ×ÚÑÔÉÅÍ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÏ× ÏÔ ÏÂÅÉÈ ÞÁÓÔÅÊ ÅÒ×ÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á,
ÎÁÉÓÁÎÎÏÇÏ ÄÌÑ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ∗.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 8.2
éÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ F ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ F ∗. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ F ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ F ∗.
8.3.1. ðÒÉÍÅÒ: ÏÅÒÁÔÏÒ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÀ. ÷ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÒÉÍÅÒÁ ÉÚ n◦ 8.1.6 ÎÁ ÓÔÒ. 127 ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ
- k[D ℄= D n+1
D∗ : k[D℄= Dn+1
ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÏÂÒÅÚÁÎÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë
ÏÅÒÁÔÏÒÕ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ
f 7→f k[x℄⩽n
D : k[x℄⩽n
ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å k[x℄⩽n ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ ÎÅ ×ÙÛÅ n ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÇÏ ÓÁÒÉ×ÁÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ, ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
hg (D); f (x)i = g (D)f (0) :
÷ ÓÉÌÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á hDk+1; f i = Dk+1f (0) = hDk ; Df i ÏÅÒÁÔÏÒ D∗ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ
ÂÁÚÉÓ Dk ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á k[D℄= (Dn+1) Ï ÒÁ×ÉÌÕ D∗(Dk ) = Dk+1. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
D∗ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ D × ÆÁËÔÏÒ ËÏÌØ Å k[D℄= (Dn+1 ).
ñÄÒÏ ker D∗ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÅÒÁÔÏÒÏ×, ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙÈDDn É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÏÍ ÏÂÒÁÚÁ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ k[x℄⩽n - k[x℄⩽n, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÇÏ ÓÏÂÏÀ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ ⩽ (n − 1). áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÑÄÒÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ
′
131
8.3. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ
[ ℄ D- k[x℄⩽n , ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ËÏÎÓÔÁÎÔ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÏÍ ÏÂÒÁÚÁ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ D × k[D℄= (Dn+1) .
k x ⩽n
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 8.8. ïÉÛÉÔÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ∇∗ É ∗ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å k[D ℄=
Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÒÁÚÎÏÓÔÎÙÍ ÏÅÒÁÔÏÒÁÍ
∇ : f (x) 7→ f (x) − f (x − 1)
Dn+1 ,
É : f (x) 7→ f (x + 1) − f (x)
ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å k[x℄⩽n .
8.3.2. íÁÔÒÉ Á Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ. ÷ÙÂÅÒÅÍ × U É U ∗ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎ-
ÎÙÅ ÂÁÚÉÓÙ {uj } É {u∗j }, Á × W É W ∗ | Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÂÁÚÉÓÙ {wi} É {wi∗}, É
ÓÏÏÓÔÁ×ÉÍ ÏÅÒÁÔÏÒÕ F : U - W ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Õ Fwu = (fij ) × ÂÁÚÉÓÁÈ u É
w. îÁÏÍÎÉÍ1 , ÞÔÏ × j -ÔÏÍ ÓÔÏÌ ŠÍÁÔÒÉ Ù Fwu ÓÔÏÑÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ fij (ÇÄÅ
1 ⩽ i ⩽ m) ÏÂÒÁÚÁ j -ÔÏÇÏ ÂÁÚÉÓÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ uj × ÂÁÚÉÓÅ w, Ô. Å. ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ F (uj ) = f1j w1 + f2j w2 + · · · + fmj wm , ÉÌÉ Ó×£ÒÔËÉ
fij = hwi∗ ; F uj i = hF ∗ wi∗ ; uj i :
üÔÁ ÖÅ Ó×£ÒÔËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ j -ÔÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÏÊ ËÏ×ÅËÔÏÒÁ
F ∗ (wi ) ×
∗
∗
∗
∗
ÂÁÚÉÓÅ u , Ô. Å. (j; i)-ÔÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ fji ÍÁÔÒÉ Ù Fu w = fij Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ
ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ∗ × Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÂÁÚÉÓÁÈ. éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, i-ÔÁÑ ÓÔÒÏËÁ ÍÁÔÒÉ Ù
Fwu Ñ×ÌÑÅÔÓÑ i-ÔÙÍ ÓÔÏÌ ÏÍ ÍÁÔÒÉ Ù Fu∗ w , Á j -ÔÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù Fwu
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ i-ÔÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù Fu∗ w .
íÁÔÒÉ Á At Ï ÓÔÒÏËÁÍ ËÏÔÏÒÏÊ ÚÁÉÓÁÎÙ Ó×ÅÒÈÕ ×ÎÉÚ ÒÏÞÉÔÁÎÎÙÅ ÓÌÅ×Á
ÎÁÒÁ×Ï ÓÔÏÌ Ù2 ÍÁÔÒÉ Ù A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
Ë ÍÁÔÒÉ Å A.
t
t
t
åÓÌÉ A = (aij ) ∈ Matm×n(k), ÔÏ A = aij ∈ Matm×n(k) É aij = aji .
éÔÁË, ÍÁÔÒÉ Ù Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× × Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÂÁÚÉÓÁÈ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÉÚ ÄÒÕÇÁ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ: Fu∗ w = Fwut .
∗
∗
∗
∗
∗
∗
ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ
∗
∗
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 8.3 (ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÒÁÎÇÅ ÍÁÔÒÉ Ù)
õ ÌÀÂÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù A ∈ Matm×n(k) ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÉ Å£ ÓÔÒÏË ×
É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÉ Å£ ÓÔÏÌ Ï× × km ÒÁ×ÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ. üÔÏ
ÞÉÓÌÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÁÔÒÉ Ù A É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ rk A .
- km ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ, ÍÁäÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ F : kn
ÔÒÉ Á ËÏÔÏÒÏÇÏ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÂÁÚÉÓÁÈ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×
ÒÁ×ÎÁ A. ÏÇÄÁ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÉ ÓÔÏÌ Ï× ÍÁÔÒÉ Ù A ÒÁ×ÎÁ
dimim F , Á∗ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ
ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÉ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉ Ù A ÒÁ×ÎÁ dimim F ∗,
∗
∗
m
n
- k | Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë F ÏÅÒÁÔÏÒ. ðÏ (ÒÅÄÌ. 8.4) É ÒÅÄÌ. 7.3
ÇÄÅ F : k
dimim F ∗ = dimAnn ker F = n − dimker F = dimim F :
kn
ÒÁÎÇÏÍ
ÓÒ. Ó ÆÏÒÍÕÌÏÊ (7-15) ÎÁ ÓÔÒ. 113
Ï-ÄÒÕÇÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Á At ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÍÁÔÒÉ Ù A ÏÔÒÁÖÅÎÉÅÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÙ ÌÅ×ÏÇÏ ×ÅÒÈÎÅÇÏ ÕÇÌÁ | ÒÑÍÏÊ i = j
1
2
132
§8. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 8.4 (ÔÅÏÒÅÍÁ ëÒÏÎÅËÅÒÁ { ëÁÅÌÌÉ)
óÉÓÔÅÍÁ (ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ) ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ


a x + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1

 11 1



 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
a31 x1 + a32 x2 + · · · + a3n xn = b3






a
···············
am2 x2 · · · amn xn
+
+ +
ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÅ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ

m1 x1

a11 a12 : : : a1n
 a21 a22 : : : a2n 


rk 
.
 ..
...
...


a11 a12 : : : a1n b1
 a21 a22 : : : a2n b2 


= rk 
... 
.

 ..
am1 am2 : : : amn
= bm
...
...
...
... 

am1 am2 : : : amn bm
îÁÌÉÞÉÅ Õ ÓÉÓÔÅÍÙ ÒÅÛÅÎÉÑ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÔÏÌÂÅ ÒÁ×ÙÈ
ÞÁÓÔÅÊ b ÌÅÖÉÔ × ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ ÓÔÏÌ Ï× ÍÁÔÒÉ Ù A = (aij ). üÔÏ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÒÉ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÉ Ë ÍÁÔÒÉ Å A ÓÔÏÌ Á b ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÏÊ
ÏÂÏÌÏÞËÉ ÓÔÏÌ Ï× ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 8.5
òÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
ÎÁ n ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× A ÒÁ×ÎÁ n − rk A.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. dimker = n − dimim A = n − rk A.
8.4. æÁËÔÏÒ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. óÏ ×ÓÑËÉÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ U ⊂ V Ó×ÑÚÁÎÏ
ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ÎÁ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U
[v℄U = v (mod U ) = v + U = {w ∈ V | w − v ∈ U }
ËÏÔÏÒÙÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÊ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ v ∼ w,
ÏÚÎÁÞÁÀÝÅÍÕ, ÞÔÏ w − v ∈ U . óÌÏÖÅÎÉÅ ËÌÁÓÓÏ× É ÉÈ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÞÉÓÌÁ
ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÏÂÙÞÎÙÍÉ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ
[v ℄ + [w ℄ = [v + w ℄
[v℄ = [v℄
ÓÍÅÖÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 8.9. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÏÅÒÁ ÉÉ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ É ÚÁÄÁÀÔ
ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ËÌÁÓÓÏ× ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÄ ÏÌÅÍ k.
ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÓÍÅÖÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ V=U É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V Ï ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ U . ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ V
V=U , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ ËÁÖÄÙÊ ×ÅËÔÏÒ v ∈ V × ÅÇÏ
ËÌÁÓÓ v (mod U ) , ÌÉÎÅÊÎÏ É ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÏ.
ÆÁËÔÏÒ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ
133
8.4. æÁËÔÏÒ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
éÎÁÞÅ ÓÍÅÖÎÙÊ ËÌÁÓÓ ×ÅËÔÏÒÁ v ∈ V Ï ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ
U ⊂ V ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÊ ÓÄ×ÉÇ v + U ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U
1 ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ,
ÎÁ ×ÅËÔÏÒ v. ÷ ÔÁËÏÍ ËÏÎÔÅËÓÔÅ ÏÎ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍ U É ÒÏÈÏÄÑÝÉÍ ÞÅÒÅÚ v. òÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ dim U ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØÀ ÁÆÆÉÎÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á v + U .
8.4.1. ðÒÉÍÅÒ: ÆÁËÔÏÒ Ï ÑÄÒÕ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ
F :V -W
ÉÍÅÅÔÓÑ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ V= ker F ≃ im F , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ËÌÁÓÓÕ
[v℄ ∈ V= ker F ×ÅËÔÏÒ F (v) ∈ im F . üÔÏ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ
F (v) = F (w) ⇐⇒ v − w ∈ ker F
úÁÍÅÞÁÎÉÅ 8.3.
ÁÆÆÉÎÎÙÍ
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 8.6
åÓÌÉ ×ÅËÔÏÒÙ v1; v2; : : : ; vk ÄÏÏÌÎÑÀÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÂÁÚÉÓ u1; u2; : : : ; um ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ⊂ V ÄÏ ÂÁÚÉÓÁ ×Ï ×Ó£Í ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V , ÔÏ ÉÈ ËÌÁÓÓÙ
[v 1 ℄; [v 2 ℄; : : : ; [v k ℄
ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ ÆÁËÔÏÒ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V=U . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ,
dim U + dim V=U = dim V :
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. üÔÏ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÒÅÄÌ. 7.3 (É ÅÇÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á), ÏÔÎÏÓÑÝÉÊÓÑ Ë ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ V -- V=U .
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 8.7
äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ⊂ V ÉÍÅÀÔÓÑ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÙ
(V=U )∗ ≃ Ann (U ) É U ∗ ≃ V ∗=Ann (U ) :
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÓÌÉ ÆÏÒÍÁ ' ∈ Ann U , ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ u ∈ U É v ∈ V ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á '(v + u) = '(v)+ '(u) = '(v). ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁ×ÉÌÏ 'e([v℄) = '(v)
ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÚÁÄÁ£Ô ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÏÒÍÕ 'e ÎÁ ÆÁËÔÏÒÅ V=U . ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
Ann (U ) '7→'e - (V=U )∗
ÌÉÎÅÊÎÏ É ÉÍÅÅÔ ÎÕÌÅ×ÏÅ ÑÄÒÏ. ÁË ËÁË ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÏÄÉÎÁËÏ×Ù,
ÜÔÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ. äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ×ÔÏÒÏÇÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÅÒÁÔÏÒ V ∗ - U ∗, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÊ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÎÁ V × Å£ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÎÁ
U ⊂ V . ðÏÓËÏÌØËÕ ÑÄÒÏ ÜÔÏÇÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ | ÜÔÏ Ann U , ÅÇÏ ÏÂÒÁÚ ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ V ∗=Ann (U ) ⊂ U ∗. ÁË ËÁË ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÏÂÏÉÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÏÄÉÎÁËÏ×Ù,
×ÌÏÖÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ.
1
ÏÄÒÏÂÎÅÅ Ï ÁÆÆÉÎÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ ÒÅÞØ ÏÊÄ£Ô × n◦ 14.6
134
§8. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ
8.4.2. ðÒÉÍÅÒ: ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ËÁË ÆÁËÔÏÒ. ðÕÓÔØ ÄÁÎÙ ×ÅËÔÏÒÙ
w1 ; w2 ; : : : ; wn ∈ km = V :
éÈ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ W = span(w1; w2; : : : ; wn) ⊂ km Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F : kn - km, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÇÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÊ ÂÁÚÉÓÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ
ei ∈ kn × ×ÅËÔÏÒ wi ∈ W . ñÄÒÏ ÜÔÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ U = ker F ⊂ kn ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ
ÓÏÂÏÀ
ÍÅÖÄÕ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ wi × km × ÔÏÍ
ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒ u = (1; 2; : : : ; n) = 1e1 + 2e2 + · · · + nen ∈ kn ÌÅÖÉÔ ×
U ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ 1 w1 + 2 w2 + · · · + n wn = 0 × W .
éÚÏÍÏÒÆÉÚÍ W = im F ≃ kn=U ÏÚÎÁÞÁÅÔ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒÙ w ∈ W
ÅÓÔØ ËÌÁÓÓÙ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÅÊ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÊ x1 w1 +x2w2 + · · · +xnwn Ï
ÍÏÄÕÌÀ ÔÅÈ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÊ, ËÏÔÏÒÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÑÍÉ ÍÅÖÄÕ
×ÅËÔÏÒÁÍÉ wi.
÷ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÍÙ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å W ×ÓÅÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÂÁÚÉÓ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ËÌÁÓÓÏ× F (ej ) = ej (mod U ) ÎÅËÏÔÏÒÙÈ
ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ej ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á kn .
çÏ×ÏÒÑ ÔÏÞÎÅÅ, ÍÙ ÕËÁÖÅÍ ÁÌÇÏÒÉÔÍ, ÒÁÚÂÉ×ÁÀÝÉÊ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÂÁÚÉÓÎÙÅ
×ÅËÔÏÒÙ e1; e2; : : : ; en ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á kn ÎÁ Ä×Å ÇÒÕÙ
{e1 ; e2 ; : : : ; en } = {ei ; ei ; : : : ; eir } ⊔ {ej ; ej ; : : : ; ejn r }
(8-8)
ÔÁË, ÞÔÏ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
EI = span(ei ; ei ; : : : ; eir ) ≃ kr É EJ = span(ej ; ej ; : : : ; ejn r ) ≃ kn−r ;
ÎÁÔÑÎÕÔÙÅ ÎÁ ×ÅËÔÏÒÙ ÜÔÏÇÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÔÁËÏÊ ÌÅÍÍÅ:
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ
ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ
1
1
ìÅÍÍÁ 8.2
2
2
1
2
1
−
2
−
óÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÁ r-ÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ⊂ kn ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ:
(1) U ∩ EJ = 0
(2) ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÑ kn -- kn=U ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔ EJ ÎÁ kn=U
(3) ÒÏÅË ÉÑ I : kn -- EI ×ÄÏÌØ EJ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔ U ÎÁ EI .
(4) × U ÎÁÊÄ£ÔÓÑ r ×ÅËÔÏÒÏ× u1; u2; : : : ; ur ×ÉÄÁ u = ei + w , ÇÄÅ w ∈ EJ .
ðÒÉ ×ÙÏÌÎÅÎÉÉ ÜÔÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ×ÅËÔÏÒÙ, Ï ËÏÔÏÒÏÍ ÉÄ£Ô ÒÅÞØ × (4), ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙ
É ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ × U .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. éÚ (1) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ÉÍÅÅÔ ÎÕÌÅ×ÏÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ Ó ÑÄÒÏÍ ÒÏÅË ÉÉ I : kn -- EJ , Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï EJ | Ó ÑÄÒÏÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ kn -- V=U . ðÏÜÔÏÍÕ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ Ï U ÎÁ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï EJ É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÒÏÅË ÉÉ ×ÄÏÌØ EJ ÎÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U
ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙ É, Ï ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ . îÁÏÂÏÒÏÔ, ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ (2), (3) ×ÌÅÞ£Ô ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÏÓÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÑÄÒÕ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, Ô. Å. ÕÓÌÏ×ÉÅ (1). õÓÌÏ×ÉÅ
(4) ÇÏ×ÏÒÉÔ, ÞÔÏ I (u ) = ei . åÓÌÉ ÜÔÏ ÔÁË, ÔÏ I ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ. îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ
135
8.5. íÅÔÏÄ çÁÕÓÓÁ
ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ, ÔÏ ×ÅËÔÏÒÙ u ∈ U , ÒÏÅËÔÉÒÕÀÝÉÅÓÑ × ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ei
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á EI ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ, ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙ É ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ × U .
I
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 8.10. ðÕÓÔØ e∗1 ; e∗2 ; : : : ; e∗n ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÊ
ÂÁÚÉÓ1 × kn ∗ , É
EJ∗ = span e∗j1 ; e∗j2 ; : : : ; e∗jn−r , EI∗ = span e∗i1 ; e∗i2 ; : : : ; e∗ir . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ⊂ kn ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÉÚ ÌÅÍ. 8.2, ÔÏ ÅÇÏ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ
Ann U ⊂ kn ∗ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ:
Á) Ann U ∩ EI∗ = 0
Â) EI∗ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔÓÑ ÎÁ kn ∗ =Ann U
×) ÒÏÅË ÉÑ J : kn ∗ -- EJ∗ ×ÄÏÌØ EI∗ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔ U ÎÁ EJ∗
Ç) × Ann U ÅÓÔØ (n − r) ËÏ×ÅËÔÏÒÏ× ×ÉÄÁ u⊥ = e∗j + , ÇÄÅ ∈ EJ∗ .
ðÒÉ ÜÔÏÍ ×ÅËÔÏÒÙ, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÉÄ£Ô ÒÅÞØ × (Ç), ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙ, ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ
× Ann U É Ó×ÑÚÁÎÙ Ó ×ÅËÔÏÒÁÍÉ u = ei + w ∈ U ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ (4) × ÌÅÍ. 8.2
ÆÏÒÍÕÌÏÊ
= −he∗j ; w1 i · e∗i1 − he∗j ; w2 i · e∗i2 − · · · − he∗j ; wr i · e∗ir :
(8-9)
ðÕÓÔØ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ⊂ kn ÚÁÄÁÎÏ ËÁË ÌÉÎÅÊÎÁÑ
ÏÂÏÌÏÞËÁ k ×ÅËÔÏÒÏ×
w1 =(w11 ; w12 ; : : : ; w1n )
w2 =(w21 ; w22 ; : : : ; w2n )
(8-10)
··················
wk =(wk1 ; wk2 ; : : : ; wkn) ;
íÙ ÓÏÂÉÒÁÅÍÓÑ ÏÓÔÒÏÉÔØ × U ÂÁÚÉÓ u1; u2; : : : ; ur , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÕÓÌÏ×ÉÀ
(4) ÉÚ ÌÅÍ. 8.2. îÁ ÑÚÙËÅ ÍÁÔÒÉ ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ × ÍÁÔÒÉ Å, Ï ÓÔÒÏËÁÍ ËÏÔÏÒÏÊ ÚÁÉÓÁÎÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ×ÅËÔÏÒÏ× ui, ËÁË × (8-10), × r ÓÔÏÌ ÁÈ Ó
ÎÏÍÅÒÁÍÉ I = (i1; i2; : : : ; ir ) ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ

1 0 : : : 0
. . . ... 

0 1

E = . . .

 .. . . . . 0
0 ::: 0 1
ÒÁÚÍÅÒÁ r × r. éÄÅÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÏÂÎÕÌÑÔØ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ×
ÓÔÏÌ ÁÈ ÍÁÔÒÉ Ù (8-10), ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÚÁÍÅÎÑÑ ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ ÁÒÙ ×ÅËÔÏÒÏ×
wi , wj ÉÈ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑÍÉ wi′ = awi + bwj É wj′ = wi + dwj ÔÁË,
ÞÔÏÂÙ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ÜÔÏÊ ÁÒÙ ÎÅ ÍÅÎÑÌÁÓØ. ÁËÏ×Ù, Ë ÒÉÍÅÒÕ, ÚÁÍÅÎÙ
ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÔÒ£È ÔÉÏ×:
1) wi′ = wi + wj wj′ = wj ( ÌÀÂÙÍ ∈ k ÌÀÂÏÅ)
wj′ = wi
2) wi′ = wj
(8-11)
′
′
3) wi = %wi
wj = wj (Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ % ∈ k)
8.5. íÅÔÏÄ çÁÕÓÓÁ.
ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÏÄÍÁÔÒÉ Á
1
Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÍÕ ÂÁÚÉÓÕ e ; e ; : : : ; en ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á kn
1
2
136
§8. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ
éÓÈÏÄÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ × ÎÉÈ ÞÅÒÅÚ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÅ ËÁË
wi = wi′ − wj′ wj = wj′
wi = wj′
wj = wi′
wj = wj′ :
wi = %−1 wi′
ðÒÉ ÚÁÍÅÎÁÈ (8-11) ÍÁÔÒÉ Á (wij ) , Ï ÓÔÒÏËÁÍ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÏÑÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ×ÅËÔÏÒÏ× (8-10), ÉÓÙÔÙ×ÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ
:
1) Ë ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÓÔÒÏË ÒÉÂÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÒÕÇÁÑ, ÕÍÎÏÖÅÎÎÁÑ ÎÁ ÌÀÂÏÅ ÞÉÓÌÏ1
2) ËÁËÉÅ-ÎÉÂÕÄØ Ä×Å ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÍÅÎÑÀÔÓÑ ÍÅÓÔÁÍÉ
3) ÏÄÎÁ ÉÚ ÓÔÒÏË ÕÍÎÏÖÁÅÔÓÑ ÎÁ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÞÉÓÌÏ.
ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÒÏË
ìÅÍÍÁ 8.3 (Ï ÒÉ×ÅÄÅÎÉÉ Ë ÓÔÒÏÇÏÍÕ ÓÔÕÅÎÞÁÔÏÍÕ ×ÉÄÕ)
÷ÓÑËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á A ∈ Matm×n(k) ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÓÔÒÏË ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÉÄÕ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÓÁÍÙÊ ÌÅ×ÙÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÉ
ÒÁ×ÅÎ 1, ÒÁÓÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ÓÔÒÏÇÏ ÒÁ×ÅÅ, ÞÅÍ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÓÔÒÏËÅ, É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ Ó×ÏÅÇÏ ÓÔÏÌ Á.
õÄÏÂÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÒÏ ÅÓÓ ÎÁ n ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÛÁÇÏ× (Ï
ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÓÔÏÌ Ï×). âÕÄÅÍ ÒÅÄÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ (k − 1)-ÇÏ
ÛÁÇÁ ÔÁ ÞÁÓÔØ ÍÁÔÒÉ Ù, ÞÔÏ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÓÌÅ×Á ÏÔ k-ÏÇÏ ÓÔÏÌ Á, ÉÍÅÅÔ ÎÕÖÎÙÊ
×ÉÄ (ÒÉ k = 1 ÜÔÏ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ). ðÕÓÔØ × ÜÔÏÊ ÞÁÓÔÉ ÉÍÅÅÔÓÑ s ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÓÔÒÏË. ðÏ ÎÁÛÅÍÕ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ 0 ⩽ s ⩽ k − 1 É ÜÔÉ ÓÔÒÏËÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
×ÅÒÈÎÉÍÉ. ïÞÅÒÅÄÎÏÊ k-ÔÙÊ ÛÁÇ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÊ.
÷ÙÂÅÒÅÍ × k-ÔÏÍ ÓÔÏÌÂ Å × ÓÔÒÏËÁÈ ÓÔÒÏÇÏ ÎÉÖÅ s-ÔÏÊ ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ a (ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÎÅÔ, ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÊÔÉ Ë (k + 1)-ÍÕ ÛÁÇÕ). õÍÎÏÖÉÍ
ÓÔÒÏËÕ, ÇÄÅ ÏÎ ÓÔÏÉÔ, ÎÁ a−1. ðÏÔÏÍ ÏÍÅÎÑÅÍ ÜÔÕ ÓÔÒÏËÕ ÍÅÓÔÁÍÉ Ó (s + 1)-ÏÊ
ÓÔÒÏËÏÊ. üÔÏ ÎÅ ÉÚÍÅÎÉÔ ÌÅ×ÙÅ (k − 1) ÓÔÏÌ Ï× ÍÁÔÒÉ Ù, Á (s + 1)-ÕÀ ÓÔÒÏËÕ
ÒÉ×ÅÄ£Ô Ë ×ÉÄÕ
: : 0 0} 1 ∗| ∗ :{z: : ∗ ∗} :
|0 0 :{z
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
k −1
n−k
ÅÅÒØ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ i 6= s + 1 ×ÙÞÔÅÍ ÉÚ i-ÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ (s + 1)-ÕÀ ÓÔÒÏËÕ, ÕÍÎÏÖÅÎÎÕÀ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔ, ÓÔÏÑÝÉÊ × ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ i-ÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ É k-ÔÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á. üÔÏ
ÎÅ ÉÚÍÅÎÉÔ ÌÅ×ÙÅ (k − 1) ÓÔÏÌ Ï× ÍÁÔÒÉ Ù É ÚÁÎÕÌÉÔ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ k-ÔÏÇÏ
ÓÔÏÌÂ Á ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÓÔÏÑÝÅÊ (s + 1)-ÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÅÄÉÎÉ Ù. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÍÙ
ÏÁÄÁÅÍ × ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ ÄÌÑ (k + 1)-ÇÏ ÛÁÇÁ.
ÏÄÞÅÒËΣÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÓÔÒÏËÉ (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ ÔÁ, ÞÔÏ ÒÉÂÁ×ÌÑÌÁÓØ) ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÂÅÚ
ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ
1
8.5. íÅÔÏÄ çÁÕÓÓÁ
137
8.5.1. ðÒÉÍÅÒ: ÂÁÚÉÓÙ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÉ É ÆÁËÔÏÒÁ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÌÉÎÅÊ-
ÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉ Ù ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÈ,
ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÓÔÒÏËÉ u1; u2; : : : ; ur ÉÔÏÇÏ×ÏÊ ÓÔÒÏÇÏÊ ÓÔÕÅÎÞÁÔÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÏÒÏÖÄÁÀÔ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U , ÞÔÏ É ÓÔÒÏËÉ w1; w2; : : : ; wk ÉÓÈÏÄÎÏÊ
ÍÁÔÒÉ Ù (8-10), ÎÏ ÒÉ ÜÔÏÍ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ (4) ÉÚ ÌÅÍ. 8.2, × ËÏÔÏÒÏÊ ×
ËÁÞÅÓÔ×Å I = (i1; i2 ; : : : ; ir ) ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÚÑÔØ ÎÁÂÏÒ ÎÏÍÅÒÏ× ÔÅÈ ÓÔÏÌ Ï×, ÇÄÅ ÓÔÏÑÔ
ÓÁÍÙÅ ÌÅ×ÙÅ ÅÄÉÎÉ Ù ÓÔÒÏË ÓÔÒÏÇÏÊ ÓÔÕÅÎÞÁÔÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÓÔÒÏËÉ ÓÔÕÅÎÞÁÔÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ × U , Á ËÌÁÓÓÙ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×
ej ∈ kn Ó j 6∈ I , ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ × kn =U .
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÏÂÅÝÁÎÎÏÅ ÅÒÅÄ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÏÊ ÌÅÍ. 8.2
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 8.8
äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ r-ÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ⊂ kn ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÏ
ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ kn = EI ⊕ EJ × ÓÕÍÍÕ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ r-ÍÅÒÎÏÇÏ É (n − r)-ÍÅÒÎÏÇÏ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÌÅÍ. 8.2.
äÌÑ ÉÌÌÀÓÔÒÁ ÉÉ ×ÓÅÇÏ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ÎÁÊÄ£Í ÂÁÚÉÓ × ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ U
ÞÅÔÙÒ£È ×ÅËÔÏÒÏ× ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Q5, ÓÔÒÏËÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÂÒÁÚÕÀÔ
ÍÁÔÒÉ Õ:

2 −4 −8 2 −4
−1
1 3 0 1


(8-12)
−1 −1
1 2 −1
−1
0 2 1 1
ÕÍÎÏÖÉÍ ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÓÔÒÏËÕ ÎÁ −1 É ÏÍÅÎÑÅÍ ÍÅÓÔÁÍÉ Ó ÅÒ×ÏÊ

1 0 −2 −1 −1
−1
1 3 0 1


−1 −1
1 2 −1
2 −4 −8 2 −4
ÚÁÎÕÌÑÅÍ ÅÒ×ÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÏÄ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ, ÄÏÂÁ×ÌÑÑ ËÏ ×ÓÅÍ ÓÔÒÏËÁÍ ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ÅÒ×ÏÊ:

1 0 −2 −1 −1
0
1 1 −1 0


0 −1 −1
1 −2
0 −4 −4 4 −2
ÔÅÅÒØ ÚÁÎÕÌÑÅÍ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÏÌÂÅ ÏÄ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ, ÄÏÂÁ×ÌÑÑ ÏÄÈÏÄÑÝÉŠţ
ËÒÁÔÎÏÓÔÉ Ë ÏÓÌÅÄÎÉÍ Ä×ÕÍ ÓÔÒÏËÁÍ:

1 0 −2 −1 −1
0 1
1 −1 0


0 0
0 0 −2
0 0 0 0 −2
138
§8. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ
ÄÅÌÉÍ ÔÒÅÔØÀ ÓÔÒÏËÕ ÎÁ −2 É ÚÁÎÕÌÑÅÍ ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÓÔÏÌÂÅ ×ÎÅ ÔÒÅÔØÅÊ ÓÔÒÏËÉ,
ÄÏÂÁ×ÌÑÑ Ë ÅÒ×ÏÊ É ÞÅÔ×£ÒÔÏÊ ÓÔÒÏËÁÍ ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ÔÒÅÔØÅÊ

1 0 −2 −1 0
0 1
1 −1 0


(8-13)
0 0
0 0 1
0 0 0 0 0
ðÏÌÕÞÉÌÁÓØ ÓÔÒÏÇÁÑ ÓÔÕÅÎÞÁÔÁÑ ÍÁÔÒÉ Á. å£ ÓÔÒÏËÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ × ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ ÓÔÒÏË ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù (8-12). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, dim U = 3 É
U ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÒÏÅËÔÉÒÕÅÔÓÑ ÎÁ ÔÒ£ÈÍÅÒÎÏÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
E(1;2;5) = span(e1 ; e2 ; e5 )
×ÄÏÌØ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÇÏ Ë ÎÅÍÕ Ä×ÕÍÅÒÎÏÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
E(3;4) = span(e3 ; e4 )
ÔÁË ÞÔÏ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù (8-13) ÅÒÅÈÏÄÑÔ ÒÉ ÔÁËÏÊ ÒÏÅË ÉÉ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ×
ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ e1; e2; e3. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ÉÍÅÅÔ ÎÕÌÅ×ÏÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ Ó ÑÄÒÏÍ ÜÔÏÊ ÒÏÅË ÉÉ, Ô. Å. U ∩ E(3;4) = 0 . ðÏÜÔÏÍÕ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï E(3;4) ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÒÏÅËÔÉÒÕÅÔÓÑ ÎÁ ÆÁËÔÏÒ Q5=U ,
É ËÌÁÓÓÙ e3 (mod U ) É e4 (mod U ) ÏÂÒÁÚÕÀÔ × Î£Í ÂÁÚÉÓ.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ 8.4. ðÒÉ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù Ë ÓÔÒÏÇÏÍÕ ÓÔÕÅÎÞÁÔÏÍÕ ×ÉÄÕ ÕËÁÚÙ×ÁÅÔ ÌÉÛØ ÏÄÎÏ ÉÚ ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× EI , ÎÁ ËÏÔÏÒÏÅ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÒÏÅËÔÉÒÕÅÔÓÑ ×ÄÏÌØ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á EJ . ÷ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÔÁËÉÈ ÔÁËÉÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× EI ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÍÎÏÇÏ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÎÁÄ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÍ ÏÌÅÍ k
ÓÌÕÞÁÊÎÏ ×ÚÑÔÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
U ⊂ kn ÏÞÔÉ ÎÁ×ÅÒÎÑËÁ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÒÏÅË
n
ÔÉÒÕÅÔÓÑ
ÉÚ r r-ÍÅÒÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× EI .
ÎÁ ËÁÖÄÏÅ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 8.11. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ r -ÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U , ÚÁÄÁÎÎÏÅ ËÏÏÒÄÉ-
ÎÁÔÁÍÉ ËÁËÉÈ-ÎÉÂÕÄØ m ⩾ r ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÈ ×ÅËÔÏÒÏ× (8-10), ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÒÏÅËÔÉÒÕÅÔÓÑ ÎÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï EI ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ
× ÍÁÔÒÉ Å (8-10), Ï ÓÔÒÏËÁÍ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÉÓÁÎÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÜÔÉÈ ×ÅËÔÏÒÏ×, ×
ÓÔÏÌÂ ÁÈ Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ i1 ; i2 ; : : : ; ir ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ m × r ÏÄÍÁÔÒÉ Á ÒÁÎÇÁ r.
8.5.2. ðÒÉÍÅÒ: ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. îÁ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎ-
ÎÏÍ ÑÚÙËÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ (8-12){(8-13) ×ÙÇÌÑÄÉÔ ËÁË ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ Ann U ⊂ Q5∗ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ⊂ Q5, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÇÏ ÓÔÒÏËÁÍÉ ÍÁÔÒÉ Ù

2 −4 −8 2 −4
−1
1 3 0 1


(8-14)
−1 −1
1 2 −1
−1
0 2 1 1
139
8.5. íÅÔÏÄ çÁÕÓÓÁ
ÅÓÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ

2 x1 − 4 x2 − 8 x3 + 2 x4 − 4 x5 = 0




−x1 + x2 + 3 x3 + x5 = 0
(8-15)

−x1 − x2 + x3 + 2 x4 − x5 = 0



−x1 + 2 x3 + x4 + x5 = 0
ÍÁÔÒÉ Á ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ËÏÔÏÒÏÊ ÅÓÔØ ÍÁÔÒÉ Á (8-14). ðÒÉ×ÅÄÑ Å£ Ë ÓÔÒÏÇÏÍÕ
ÓÔÕÅÎÞÁÔÏÍÕ ×ÉÄÕ (8-13)

1 0 −2 −1 0
0 1
1 −1 0


0 0
0 0 1
0 0 0 0 0
ÍÙ ×ÙÂÒÁÌÉ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ U ÂÁÚÉÓ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ


 x1 − 2 x3 − x4 = 0
x2 + x3 − x4 = 0


x5 = 0
ËÏÔÏÒÙÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÉÓÈÏÄÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ (8-15), ÎÏ ÄÏÕÓËÁÀÔ Ñ×ÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x1 ; x2 ; x5 ÞÅÒÅÚ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ x3 É x4


 x1 = 2 x3 + x4
x2 = −x3 + x4
(8-16)

x = 0
5
ðÅÒÅÍÅÎÎÙÅ x3 É x4 ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ × ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ
(ÉÍ ÍÏÖÎÏ ÒÉÄÁ×ÁÔØ ÌÀÂÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ), Á ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ x1 , x2 É x5 |
(ÏÎÉ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÉÚ (8-16) ËÁË ÔÏÌØËÏ ÚÁÄÁÎÙ ËÁËÉÅ-ÎÉÂÕÄØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ). îÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ
ÑÚÙËÅ ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ∗ Ä×ÕÍÅÒÎÏÅ
∗
5
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ann (U ) ≃ (Q =U ) ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÒÏÅËÔÉÒÕÅÔÓÑ × Q5 ÎÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï E3∗;4 = span(e∗3; e∗4) ×ÄÏÌØ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
E1∗;2;5 = span(e∗1 ; e∗2 ; e∗5 ) . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å
∗
Ann (U ) ≃ (Q5=U ) ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ (8-15) ÅÓÔØ ÂÁÚÉÓ ÉÚ ËÏ×ÅËÔÏÒÏ× ×ÉÄÁ1
u⊥1 = ( ∗ ; ∗ ; 1 ; 0 ; ∗ ) , u⊥2 = ( ∗ ; ∗ ; 0 ; 1 ; ∗ ) . ïÔÍÅÞÅÎÎÙÅ Ú×£ÚÄÏÞËÁÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÌÅÇËÏ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÉÚ (8-16) É ÒÁ×ÎÙ ( 2 ; −1 ; 1 ; 0 ; 0 ) É ( 1 ; 1 ; 0 ; 1 ; 0 ) .
Ó×ÏÂÏÄÎÙÍÉ
Ó×ÑÚÁÎÎÙÍÉ
ÜÔÉ ËÏ×ÅËÔÏÒÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÏÏÂÒÁÚÁÍÉ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ËÏ×ÅËÔÏÒÏ× e∗∗; e∗ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÏÅË ÉÉ Ann (U ) -- E ∗ ; ×ÄÏÌØ E ; ; É ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ × Q =U ≃ Ann (U ),
Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ÏÂÓÕÖÄÁ×ÛÅÍÕÓÑ ×ÙÛÅ ÂÁÚÉÓÕ e (mod U ) ; e (mod U ) × ÆÁËÔÏÒÅ Q =U
1
(3 4)
5
(1 2 5)
3
4
3
4
5
140
§8. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ
ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ


a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0





 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0
a31 x1 + a32 x2 + · · · + a3n xn = 0
(8-17)






a
···············
am2 x2 · · · amn xn
+
+ +
=0
ÏÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ U ⊂ kn ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÏÂÏÌÏÞËÕ ÓÔÒÏË
ÍÁÔÒÉ Ù A = (aij ). ÏÇÄÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ (8-17) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ
ÓÏÂÏÊ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ Ann (U ) ≃ (kn=U )∗. åÓÌÉ ×ÙÂÒÁÔØ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
U ÂÁÚÉÓ ×ÉÄÁ
u 1 = ei + 1 j ej + 1 j ej + · · · + 1 j n r ej n r
u 2 = ei + 2 j ej + 2 j ej + · · · + 2 j n r ej n r
(8-18)
·································
ur = eir + rj ej + rj ej + · · · + rjn r ejn r
(ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÕÓÌÏ×ÉÀ (4) ÉÚ ÌÅÍ. 8.2), ÔÏ ÍÁÔÒÉ Á ( ij ) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ
ÅÍÕ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÂÕÄÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÅÄÉÎÉÞÎÕÀ ÏÄÍÁÔÒÉ Õ ÒÁÚÍÅÒÁ r × r
× ÓÔÏÌ ÁÈ Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ i1; i2; : : : ; ir . óÏÇÌÁÓÎÏ ÕÒ. 8.10 ËÏ×ÅËÔÏÒÙ
u⊥1 = e∗j − 1j e∗i − 2j e∗i − · · · − rj e∗ir
u⊥2 = e∗j − 1j e∗i − 2j e∗i + · · · − rj e∗ir
(8-19)
·································
u⊥n−r = e∗jn r − 1jn r e∗i − 2jn r e∗i − · · · − rjn r e∗ir
ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ann (U ) ⊂ kn∗ ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ (8-17).
m1 x1
1
1
1
2
2
−
−
2
1
1
2
2
−
−
1
1
2
2
−
−
1
1
1
1
2
1
1
2
1
2
2
2
−
−
−
1
2
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 8.12. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ÜÔÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ÕÒ. 8.10.
−
éÎÁÞÅ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ u⊥j ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÒÉÄÁÎÉÅÍ ÏÄÎÏÊ
ÉÚ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ xj ; xj ; : : : ; xjn r ÚÎÁÞÅÎÉÑ 1, ÏÓÔÁÌØÎÙÍ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ
ÅÒÅÍÅÎÎÙÍ | ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÕÌØ, Á ËÁÖÄÏÊ Ó×ÑÚÁÎÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ xi | ÔÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ xi ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
8.6. òÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÁÚÉÓÁ. ðÏËÁÖÅÍ,
ÞÔÏ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÑ ÎÕÌÅ×ÙÈ ÓÔÒÏË ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ Ë ÓÔÒÏÇÏÍÕ ÓÔÕÅÎÞÁÔÏÍÕ ×ÉÄÕ ÍÁÔÒÉ Ù ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÈ ÄÁÎÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ⊂ kn ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÎÉ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÜÔÉÈ ×ÅËÔÏÒÏ×,
ÎÉ ÏÔ ÓÏÓÏÂÁ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ.
äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÕÂÙ×ÁÀÝÕÀ ÅÏÞËÕ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×
(8-20)
V = V 0 ⊃ V1 ⊃ V2 ⊃ · · · ⊃ Vn−1 ⊃ Vn = 0 ;
1
2
−
141
8.6. òÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÁÚÉÓÁ
× ËÏÔÏÒÏÊ V i = span (ei+1; ei+2; : : : ; en) , É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ i : V -- V=V i
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ1 . ãÅÏÞËÁ (8-20) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
.
óÏÏÓÔÁ×ÉÍ ËÁÖÄÏÍÕ r-ÍÅÒÎÏÍÕ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ U ⊂ V ÎÁÂÏÒ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ di = dim i(U ) = r − dim U ∩ V i (i = 0; 1; : : : ; n) .
þÉÓÌÁ d0; d1; : : : ; dn ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÎÅÕÂÙ×ÁÀÝÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ, ËÏÔÏÒÁÑ
ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ Ó d0 = 0, ÚÁËÁÎÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ dn = r É ÒÉÒÁÓÔÁÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ
ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ ÚÁ ÏÄÉÎ ÛÁÇ: di − di−1 ⩽ 1.
ÏÌÎÙÍ ÆÌÁÇÏÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 8.13. äÏËÁÖÉÔÅ ÜÔÏ.
îÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ⊂ Q5, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÇÏ ÓÔÒÏËÁÍÉ ÍÁÔÒÉ Ù
(8-13), ÏÌÕÞÁÅÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ (d0; d1; : : : ; d5) = (0; 1; 2; 2; 2; 3) .
îÁÂÏÒ I = (i1; i2; : : : ; ir ) ÔÅÈ ÎÏÍÅÒÏ×, × ËÏÔÏÒÙÈ ÒÏÉÓÈÏÄÑÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÒÉÒÁÝÅÎÉÑ di − di −1 = 1 , ÚÁ×ÉÓÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÔ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U É ÆÌÁÇÁ (8-20).
íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÅÇÏ
U ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÌÎÏÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÆÌÁÇÁ (8-20). ÁË, ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ⊂ Q5, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÅ ÓÔÒÏËÁÍÉ
ÍÁÔÒÉ Ù (8-13) ÉÍÅÅÔ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÊ ÔÉ I = (1; 2; 5) .
ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÍ ÔÉÏÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 8.14. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÊ ÔÉ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÏÒÏ-
ÖÄ£ÎÎÏÇÏ ÓÔÒÏËÁÍÉ ÓÔÒÏÇÏÊ ÓÔÕÅÎÞÁÔÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù, ×ÓÅÇÄÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ
ÎÁÂÏÒ ÎÏÍÅÒÏ× ÔÅÈ ÓÔÏÌ Ï×, ÇÄÅ ÓÔÏÑÔ ÓÁÍÙÅ ÌÅ×ÙÅ ÅÄÉÎÉ Ù ÓÔÒÏË.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÏÒÍÁ ÓÔÕÅÎÞÁÔÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù, ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÆÌÁÇÏÍ (8-20) É ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ U . ðÏÓËÏÌØËÕ ÂÁÚÉÓ ui ; ui ; : : : ; uir ∈ U , ÒÏÅËÔÉÒÕÀÝÉÊÓÑ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ei ; ei ; : : : ; eir ×ÄÏÌØ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á EJ ÔÏÖÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÅÎ (ÓÍ. ÌÅÍ. 8.2),
ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÓÔÒÏËÉ ÓÔÒÏËÉ ÓÔÒÏÇÏÊ ÓÔÕÅÎÞÁÔÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÌÕÞÉÔÓÑ
ÒÉ ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ ÍÅÔÏÄÁ çÁÕÓÓÁ Ë ÍÁÔÒÉ Å ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÌÀÂÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U , ÚÁ×ÉÓÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÔ ÓÁÍÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U
É ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÎÁÍÉ Ó ÓÁÍÏÇÏ ÎÁÞÁÌÁ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ × kn, × ËÏÔÏÒÏÍ
ÚÁÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ×ÓÅÈ ×ÅËÔÏÒÏ×. íÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ
1
1
2
2
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 8.9
÷ ËÁÖÄÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å U ⊂ kn ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ÓÏ ÓÔÒÏÇÏÊ
ÓÔÕÅÎÞÁÔÏÊ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ MU , É ÓÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ U ÍÁÔÒÉ Ù MU ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÂÉÅË ÉÀ ÍÅÖÄÕ ÓÔÒÏÇÉÍÉ ÓÔÕÅÎÞÁÔÙÍÉ ÍÁÔÒÉ ÁÍÉ
Ó r ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍÉ ÓÔÒÏËÁÍÉ É r-ÍÅÒÎÙÍÉ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ × kn.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 8.15. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÔÒÏÇÉÅ ÓÔÕÅÎÞÁÔÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒ-
ÎÏÇÏ ÔÉÁ (i1 ; i2 ; : : : ; ir ) ÏÂÒÁÚÕÀÔ × Matr×n (k) ÁÆÆÉÎÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï2 ÒÁÚr
P
ÍÅÒÎÏÓÔÉ r(n − r) − (i − + 1).
=1
ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÑ ÆÁËÔÏÒ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V=V i Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ Wi =
span(e ; e ; : : : ; ei ), ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ i ÒÏÅËÔÉÒÕÅÔ kn ÎÁ Wi ×ÄÏÌØ V i , Ô. Å. ÒÏÓÔÏ ÚÁÂÙ×ÁÅÔ ÏÓÌÅÄÎÉÅ (n − i) ËÏÏÒÄÉÎÁÔ
ÓÍ. ÚÁÍ. 8.3. ÎÁ ÓÔÒ. 133
1
1
2
2
142
§8. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ
8.6.1. çÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎ Gr(k; n). íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ k-ÍÅÒÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×
Gr(k; n).
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á kn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
åÓÌÉ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ∈ Gr(k; n) ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÒÏÅËÔÉÒÕÅÔÓÑ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï EI = span(ei ; ei ; : : : ; eik ) ×ÄÏÌØ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á EJ , ÔÏ É ×ÓÅ ÂÌÉÚËÉÅ1 Ë U ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
U ′ ÔÁËÖÅ ÂÕÄÕÔ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÔØÓÑ ÎÁ EI ×ÄÏÌØ EJ . óÏÇÌÁÓÎÏ ÓÌ. 8.8
×ÓÅ ÔÁËÉÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ′ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÍÁÔÒÉ ÁÍ
ÒÁÚÍÅÒÁ k × n, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÍ × r ÓÔÏÌ ÁÈ Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ ÉÚ I ÅÄÉÎÉÞÎÕÀ ÏÄÍÁÔÒÉ Õ ÒÁÚÍÅÒÁ k × k. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÍÁÔÒÉ ÏÂÒÁÚÕÅÔ k(n − k)-ÍÅÒÎÏÅ
ÁÆÆÉÎÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × Matk×n (ÓÍÅÖÎÙÊ ËÌÁÓÓ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÍÁÔÒÉ Ó ÎÕÌÑÍÉ × ÓÔÏÌ ÁÈ I É ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ
k(n − k) ËÌÅÔËÁÈ).
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÇÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎ Gr(k; n) €ÏËÒÙ×ÁÅÔÓс nk ÁÆÆÉÎÎÙÍÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ k(n − k) × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ËÁÖÄÏÊ
Ó×ÏÅÊ ÔÏÞËÉ ÏÎ ×ÙÇÌÑÄÉÔ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ËÁË ÔÁËÏÅ ÁÆÆÉÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. üÔÉ
ÁÆÆÉÎÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍÉ
ÎÁ
Gr(k; n). ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ÏÂÙÞÎÏ ÍÏÖÎÏ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÓÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÔØ ÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ k-ÍÅÒÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× EI ,
ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÁÆÆÉÎÎÙÅ ËÁÒÔÙ ÉÍÅÀÔ ÂÏÌØÛÉÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ2 .
éÚ ÓÌ. 8.9 ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÇÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎ Gr(k; n) ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ × ÄÉÚßÀÎËÔÎÏÅ
ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× SI ⊂ Gr(k; n), ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÇÏ ÔÉÁ I , ÇÄÅ I ÒÏÂÅÇÁÅÔ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÎÁÂÏÒÙ ÉÚ k ÓÔÒÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÈ ÎÏÍÅÒÏ×
(8-21)
1 ⩽ i1 < i2 < · · · < i k ⩽ n :
ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á SI ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
. îÁÒÉÍÅÒ, ÏÄÒÏÓÔÒÁÎ5
ÓÔ×Ï U ⊂ Q , ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÅ ÓÔÒÏËÁÍÉ ÍÁÔÒÉ Ù (8-13), ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ËÌÅÔËÅ Ó
ÉÎÄÅËÓÏÍ I = (1; 2; 5) .
÷ÍÅÓÔÏ ÎÁÂÏÒÏ× I ÉÚ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÈ ÎÏÍÅÒÏ× (8-21) ÄÌÑ ÉÎÄÅËÓÉÒÏ×ÁÎÉÑ ËÌÅÔÏË ûÕÂÅÒÔÁ ÞÁÝÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÔ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ àÎÇÁ , ÏÌÁÇÁÑ i − = k+1− ,
ÔÁË ÞÔÏ ÓÔÒÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ i1; i2; : : : ; ik ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ
ËÁË k + 1; k−1 + 2; k−2 + 3; : : : ; 1 + k . ðÒÉ ÜÔÏÍ ÎÁÂÏÒÙ (8-21) ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ × ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍÉ àÎÇÁ = (1; 2; : : : ; k ) ,
ÌÅÖÁÝÉÍÉ × ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÅ k × (n − k) , Ô. Å. ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÍÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ
(n − k) ⩾ 1 ⩾ 2 ⩾ · · · ⩾ k ⩾ 0 .
ÇÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎÏÍ
1
2
ÁÆÆÉÎÎÙÍÉ ËÁÒÔÁÍÉ
ËÌÅÔËÁÍÉ ûÕÂÅÒÔÁ
× ÌÀÂÏÍ ÒÁÚÕÍÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ | ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÍÁÌÙÍ ÛÅ×ÅÌÅÎÉÅÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×
ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×, ÅÓÌÉ ÄÅÌÏ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÎÁÄ ÏÌÅÍ R; × §10 ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ €ÂÌÉÚÏÓÔ؁ × ÄÁÎÎÏÍ ËÏÎÔÅËÓÔÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÉÎÁÄÌÅÖÎÏÓÔØ, ×ÍÅÓÔÅ Ó U , ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ ×ÓÀÄÕ ÌÏÔÎÏÍÕ ÏÔËÒÙÔÏÍÕ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Õ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÍÁÔÒÉ , ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÍÕ Ë ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÒÅÛÅÎÉÊ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ
ÓÉÓÔÅÍÙ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁ
ÍÁÔÒÉÞÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ (ÓÒ. Ó ÚÁÍ. 8.4. ÎÁ ÓÔÒ. 138
ÎÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ×ÓÅÈ nk ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ËÁÒÔ ÉÚÏÂÒÁÖÁÅÔÓÑ × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ËÁÒÔ
ÄÏÏÌÎÅÎÉÅÍ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÓÉÓÔÅÍÙ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ É ÏÜÔÏÍÕ ×ÓÀÄÕ ÌÏÔÎÏ × ÇÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎÅ
1
2
143
8.6. òÁÓÏÌÏÖÅÎÉÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÁÚÉÓÁ
ÁË, ËÌÅÔËÅ ÇÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎÁ Gr(3; 5), ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÅ ÓÔÒÏËÁÍÉ ÍÁÔÒÉ Ù (8-13), É ÉÍÅÀÝÅÊ ÉÎÄÅËÓ I = (1; 2; 5) , ÏÔ×ÅÞÁÅÔ
= (2; 0; 0) =
üÔÁ ËÌÅÔËÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÈ ÓÔÒÏËÁÍÉ ÍÁÔÒÉ ×ÉÄÁ

1 0 ∗ ∗ 0
0 1 ∗ ∗ 0
0 0 0 0 1
É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ 4-ÍÅÒÎÙÍ ÁÆÆÉÎÎÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÍÁÔÒÉ . åÝ£
ÎÅÓËÏÌØËÏ ËÌÅÔÏË ûÕÂÅÒÔÁ ÇÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎÁ Gr(3; 5) É ÓÔÕÅÎÞÁÔÙÈ ÍÁÔÒÉ , ÉÚ
ËÏÔÏÒÙÈ ÏÎÉ ÓÏÓÔÏÑÔ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÙ × ÔÁÂÌÉ Å (8-22).
îÅËÏÔÏÒÙÅ ËÌÅÔËÉ ûÕÂÅÒÔÁ ÇÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎÁ Gr(3; 5)
ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ×ÉÄ ÓÔÕÅÎÞÁÔÏÊ ÍÁÔÒÉ
Ù dim S

1 0
1
0
 0
1 0
0 1
0 0
1 ∗
0 0
0 0
1 ∗
0 0
0 0
0 1
0 0
0 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
(0; 0; 0) = ∅
0
(1; 0; 0) =
(1; 1; 0) =
(2; 1; 0) =
(2; 1; 1) =
(2; 2; 1) =
(2; 2; 2) =
0
0
1
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
∗ 0 ∗
∗ 0 ∗
0 1 ∗
0 0 ∗
1 0 ∗
0 1 ∗
0 ∗ 0
1 ∗ 0
0 0 1
0 ∗ 0
1 ∗ 0
0 0 1
∗ 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
6
5
4
(8-22)
3
2
1
0
ëÁÖÄÁÑ ËÌÅÔËÁ S Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÆÆÉÎÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÍÁÔÒÉ É ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÕÒ. 8.15 ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ k(n − k) − || (ÇÄÅ ||, ËÁË ÏÂÙÞÎÏ,
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÏÂÝÅÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ËÌÅÔÏË × ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ).
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÁÄ ËÏÎÅÞÎÙÍ ÏÌÅÍ ÉÚ q ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÜÔÏ ÄÁ£Ô ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
X
n
=
qk(n−k) q−||
k q
(8-23)
144
úÁÄÁÞÉ Ë §8
(ÓÕÍÍÁ Ï ×ÓÅÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍ, ÌÅÖÁÝÉÍ × ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÅ k × (n − k)), ÇÄÅ
q n (q n − q ) · · · (q n − q k − 1 )
n def
|Gr(k; n)| = k k
=
=
k q
q (q − q ) · · · (q k − q k − 1 )
n−1
qn−2 − 1) · · · (qn−k+1 − 1)
(8-24)
= qn−k · (q (qk−−1 1)(
− 1)(q k−2 − 1) · · · (q − 1)
ÅÓÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï k-ÍÅÒÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×1 × Fnq (ÓÒ. ÚÁÄ. 7.12). ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ,
ÒÅÄÅÌ ÄÒÏÂÉ (8-24) ÒÉ q → 1 ÒÁ×ÅÎnÞÉÓÌÕ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ (8-23),
Ô. Å. ÂÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÍÕ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÕ k .
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §8
úÁÄÁÞÁ 8.1. äÏÉÛÉÔÅ × ÔÁÂÌÉ Õ (8-22) ×ÓÅ ÎÅÄÏÓÔÁÀÝÉÅ ÓÔÒÏËÉ É ÓÏÓÔÁ×ØÔÅ ÁÎÁ-
ÌÏÇÉÞÎÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ ÄÌÑ ÇÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎÁ Gr(2; 4).
úÁÄÁÞÁ 8.2. óÉÓÔÅÍÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÉÍÅÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÊ. ÷ÅÒÎÏ
ÌÉ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÊ?
úÁÄÁÞÁ
 8.3. õËÁÖÉÔÅ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ
  ÉÚ ÍÁÔÒÉ
 

−2 −1 −7 5 −4
2 −1 0 −1 0
1 3 −6 2 −5


−1 4

1 −2 1 
2 0

 −2 −2 1
  7 −2 3 −2 0 

−1 −2 −5 4 −3 −7 −1 2

2 −2
−1 0 −2 1 −2
−4 0 −1 1
0
1 −1 2 −1 1
4 0 −1 −1 1
ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ É ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÂÁÚÉÓ
Á) × ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ ÓÔÏÌ Ï×
Â) × ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÅ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÉ ÓÔÒÏË
×) × ÆÁËÔÏÒÅ Q5 Ï ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ ÓÔÒÏË
Ç) × ÆÁËÔÏÒÅ Q4 Ï ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÕ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÉ ÓÔÏÌ Ï×
Ä) × Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ë ÆÁËÔÏÒÕ Q5 Ï ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ ÓÔÒÏË.
úÁÄÁÞÁ 8.4. îÁÊÄÉÔÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ É ÂÁÚÉÓ × ÓÕÍÍÅ É × ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÁÒ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× × Q4 :
Á) ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ×ÅËÔÏÒÏ× (1; 1; 1; 1), (1; −1; 1; −1), (1; 3; 1; 3) , É ÌÉÎÅÊÎÁÑ
ÏÂÏÌÏÞËÁ ×ÅËÔÏÒÏ× (1; 2; 0; 2), (1; 2; 1; 2), (3; 1; 3; 1)
Â) ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ×ÅËÔÏÒÏ× (1; 1; 0; 0), (0; 1; 1; 0), (0; 0; 1; 1) , É ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ
x1 + x3 = 2 x2 + x3 + x4 = x1 + 2 x2 + x3 + 2 x4 = 0
×) ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ x1 + x2 = x2 + x3 = x3 + x4 = 0 , É
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ x1 + 2 x2 + 2 x4 = x1 + 2 x2 + x3 + 2 x4 =
3 x1 + x2 + 3 x3 + x4 = 0.
× ÞÉÓÌÉÔÅÌÅ É ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÅ ÓÒÅÄÎÅÊ ÄÒÏÂÉ ÓÔÏÑÔ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÉÚ k ×ÅËÔÏÒÏ×, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, × n-ÍÅÒÎÏÍ É k-ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ ÎÁÄ
1
Fq
145
úÁÄÁÞÉ Ë §8
úÁÄÁÞÁ 8.5. ÷ÙÑÓÎÉÔÅ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÁÒ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ×
Q4 , É ×Ï ×ÓÅÈ ÓÌÕÞÁÑÈ, ËÏÇÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ, ÎÁÊÄÉÔÅ ÒÏÅË ÉÉ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÂÁÚÉÓÎÙÈ
×ÅËÔÏÒÏ× Q4 ÎÁ ÅÒ×ÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ×ÄÏÌØ ×ÔÏÒÏÇÏ.
Á) ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ×ÅËÔÏÒÏ× (−11; 8; −1; 2), (−6; 5; 2; 3), (−3; 2; −1; 0) É ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ×ÅËÔÏÒÏ× (−8; 4; 12; −4), (−6; −5; −9; 1), (−2; −3; −6; 1)
Â) ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ×ÅËÔÏÒÏ× (30; 5; −9; 1), (2; 8; 4; −3), (−6; −4; 0; 1) É ÏÄ-
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ


 2 x1 + 3 x2 − 4 x3 + x4 = 0
−x1 − 2 x2 + 3 x3 − x4 = 0


−x2 + 2 x3 − x4 = 0
×) ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÁÍÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ


 −3 x1 − 10 x2 + 20 x3 − 6 x4 = 0
−15 x1 + 4 x2 + 19 x3 − 3 x4 = 0


6 x1 − 10 x3 + 2 x4 = 0
É


 6 x1 − 7 x2 − 3 x3 − 2 x4 = 0
−7 x1 − x2 + 6 x3 − x4 = 0


5 x1 − 4 x2 − 3 x3 − x4 = 0
úÁÄÁÞÁ 8.6. Å ÖÅ ×ÏÒÏÓÙ ÒÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÚÁÄÁÎÎÏÅ × Qn ÏÄÎÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
x1 + x2 + · · · + xn = 0 , É ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
x1 = x2 = · · · = xn :
úÁÄÁÞÁ 8.7. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × n-ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Õ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÉÚ ⩾ n + 2
×ÅËÔÏÒÏ× ÅÓÔØ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ Ó ÎÕÌÅ×ÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ËÏÜÆÆÉÉÅÎÔÏ×.
úÁÄÁÞÁ 8.8. îÁ ËÌÅÔÞÁÔÏÊ ÂÕÍÁÇÅ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÎ Ï ÌÉÎÉÑÍ ÓÅÔËÉ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË, É ×Ï
×ÓÅ ËÌÅÔËÉ, ÇÒÁÎÉÞÁÝÉÅ Ó ×ÎÅÛÎÅÊ ÓÔÏÒÏÎÙ Ó ËÏÎÔÕÒÏÍ ÜÔÏÇÏ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÁ,
ÎÁÉÓÁÎÙ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×Ï ×ÓÅ ËÌÅÔËÉ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÁ
ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÞÉÓÌÁ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ÒÁ×ÎÑÌÏÓØ ÓÒÅÄÎÅÍÕ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÞÅÔÙÒÅÈ ÓÏÓÅÄÅÊ1 .
úÁÄÁÞÁ 8.9. îÁ ÒÅÂÒÁÈ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÎÁÉÓÁÎÙ ÞÉÓÌÁ b1 ; b2 ; : : : ; b6 . ðÒÉ ËÁËÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ
ÎÁ ÜÔÉ ÞÉÓÌÁ ÍÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ ÅÝ£ 4 ÞÉÓÌÁ ÎÁ ÇÒÁÎÉ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÞÉÓÌÏ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ
ÉÚ Ò£ÂÅÒ ÏËÁÚÁÌÏÓØ ÒÁ×ÎÏ ÓÕÍÍÅ ÞÉÓÅÌ, ÎÁÉÓÁÎÎÙÈ ÎÁ Ä×ÕÈ ÒÉÍÙËÁÀÝÉÈ Ë
ÜÔÏÍÕ ÒÅÂÒÕ ÇÒÁÎÑÈ? ïÉÛÉÔÅ ×ÓÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ×ÓÅÈ b1 ; b2 ; : : : ; b6 ,
ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞÁ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÑ.
úÁÄÁÞÁ 8.10. îÁ ×ÅÒÛÉÎÁÈ ËÕÂÁ ÎÁÉÓÁÎÙ ÞÉÓÌÁ b1 ; b2 ; : : : ; b8 . ðÒÉ ËÁËÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ
ÎÁ ÜÔÉ ÞÉÓÌÁ ÍÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ ÅÝ£ 6 ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÇÒÁÎÉ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÞÉÓÌÏ × ËÁÖÄÏÊ
ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ ÏËÁÚÁÌÏÓØ ÒÁ×ÎÏ ÓÕÍÍÅ ÞÉÓÅÌ, ÎÁÉÓÁÎÎÙÈ ÎÁ ÔÒ£È ÓÈÏÄÑÝÉÈÓÑ × ÜÔÏÊ
×ÅÒÛÉÎÅ ÇÒÁÎÑÈ? ïÉÛÉÔÅ ×ÓÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ×ÓÅÈ b1 ; b2 ; : : : ; b8 , ÄÌÑ
ËÏÔÏÒÙÈ ÚÁÄÁÞÁ ÉÍÅÅÔ ÒÅÛÅÎÉÑ.
1
ÉÚ ËÌÅÔÏË, ÉÍÅÀÝÉÈ Ó ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÏÂÝÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ
146
úÁÄÁÞÉ Ë §8
úÁÄÁÞÁ 8.11. ÷ ÒÁÍËÁÈ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ÉÚ n◦ 8.1.2 ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ
Æa(k) : f 7→ f (k) (a)
ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× k[x℄, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ËÁÖÄÏÍÕ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÕ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÅÇÏ k-ÔÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ × ÔÏÞËÅ a ∈ k. ëÁËÉÍ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÍ
∼
ÒÑÄÁÍ ÏÔ×ÅÞÁÀÔ ÜÔÉ ÆÏÒÍÙ ÒÉ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÅ k[[t℄℄ - k[x℄∗ ÉÚ n◦ 8.1.2? ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÜÔÉÈ ÆÏÒÍ (ÓÏ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ a ∈ k É ÅÌÙÍÉ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍÉ k) ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍ?
úÁÄÁÞÁ 8.12. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ rk A = 1 ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ aij = xi yj ÄÌÑ
ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÞÉÓÅÌ x1 ; x2 ; : : : ; xm É y1 ; y2 ; : : : ; yn .
úÁÄÁÞÁ 8.13. ðÕÓÔØ aij = xi + yj ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ x1 ; x2 ; : : : ; xm É y1 ; y2 ; : : : ; yn ÏËÁ-
ÖÉÔÅ, ÞÔÏ rk (aij ) ⩽ 2 .
úÁÄÁÞÁ 8.14. äÌÑ A1 ; A2 ∈ Matm×n (k) ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ V1 ; V2 ∈ kn É W1 ; W2 ∈ km
ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÂÏÌÏÞËÉ ÉÈ ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌ Ï× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. äÏËÁÖÉÔÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÔÒ£È ÕÓÌÏ×ÉÊ:
Â) V1 ∩ V2 = 0
×) W1 ∩ W2 = 0
Á) rk (A1 + A2 ) = rk (A1 ) + rk (A2 )
úÁÄÁÞÁ 8.15. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ ÒÁÎÇÁ r ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ
ÓÕÍÍÙ r ÍÁÔÒÉ ÒÁÎÇÁ 1, ÎÏ ÎÅÌØÚÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÞÉÓÌÁ
ÔÁËÉÈ ÍÁÔÒÉ .
úÁÄÁÞÁ 8.16. ðÕÓÔØ ÏÅÒÁÔÏÒ F : V
- W ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ⊂ V ×
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï T ⊂ W . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒ Fe : V=U - W=T , ÅÒÅ×Ï-
ÄÑÝÉÊ ËÌÁÓÓ v (mod U ) × ËÌÁÓÓ F (v) (mod T ) ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌ£Î É ÌÉÎÅÅÎ.
úÁÄÁÞÁ 8.17. äÌÑ ÌÀÂÙÈ ÔÒ£È ×ÌÏÖÅÎÎÙÈ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×
U ⊂V ⊂W
ÏÓÔÒÏÊÔÅ ×ÌÏÖÅÎÉÅ V=U × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á × W=U É ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔÅ
∼
ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ (W=U )=(V=U ) - W=V .
úÁÄÁÞÁ 8.18. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ
×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÒÉ ÌÀÂÏÍ n ∈ N ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
n
P
Á) dim ker(F k ) = dim ker(F ) + dim (im F n ∩ ker F )
i=1
n
P
n
+1
Â) dim im (F ) = dim im (F ) + dim (im F n ∩ ker F )
i=1
úÁÄÁÞÁ 8.19 (ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË). äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÉÚ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÍÎÏ-
ÖÅÓÔ× ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ , ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÅÏÞËÉ ÓÔÒÅÌÏË, ×ÅÄÕÝÉÅ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á × ÄÒÕÇÏÅ, ÉÍÅÀÔ ÒÁ×ÎÙÅ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ. ÷ ÉÄÕÝÅÍ ÄÁÌÅÅ
ÎÁÂÏÒÅ ÉÍÌÉËÁ ÉÊ, ÏÔÎÏÓÑÝÉÈÓÑ Ë ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÍÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÕ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ
147
úÁÄÁÞÉ Ë §8
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× É ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ
- W
-
U
-
V
×ÅÒÎÙÅ ÄÏËÁÖÉÔÅ, Á ÎÅ×ÅÒÎÙÅ ÏÒÏ×ÅÒÇÎÉÔÅ ËÏÎËÒÅÔÎÙÍÉ ËÏÎÔÒÒÉÍÅÒÁÍÉ.
Á) , ÜÉ ⇒ ÜÉ
Â) , ÍÏÎÏ ⇒ ÍÏÎÏ
×) ÜÉ ⇒ ÜÉ
Ç) ÜÉ ⇒ ÜÉ
Ä) ÍÏÎÏ ⇒ ÍÏÎÏ
Å) ÍÏÎÏ ⇒ ÍÏÎÏ
Ö) ÅÓÌÉ ÜÉ, ÔÏ ( ÜÉ ⇐⇒ ÜÉ)
Ú) ÅÓÌÉ ÜÉ, ÔÏ ( ÍÏÎÏ ⇐⇒ ÍÏÎÏ)
É) ÅÓÌÉ ÜÉ, ÔÏ ( ÜÉ ⇐⇒ ÜÉ)
Ë) ÅÓÌÉ ÜÉ, ÔÏ ( ÍÏÎÏ ⇐⇒ ÍÏÎÏ)
Ì) ÅÓÌÉ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ, ÔÏ ÍÏÎÏ, Á ÜÉ.
úÁÄÁÞÁ 8.20 (ÔÏÞÎÙÅ ÔÒÏÊËÉ É ËÏÑÄÒÁ). äÉÁÇÒÁÍÍÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ
G
FW
U⊂ -V
(8-25)
× ËÏÔÏÒÏÊ F ÓÀÒØÅËÔÉ×ÅÎ, G ÉÎßÅËÔÉ×ÅÎ, É im G = ker F , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÞÎÏÊ
ÔÒÏÊËÏÊ . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ
G∗
F∗
U ∗ V ∗ ⊃ W ∗
(8-26)
ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞÎÏÊ ÔÒÏÊËÏÊ (Ï ÜÔÏÊ ÒÉÞÉÎÅ ÆÁËÔÏÒ Ï ÏÂÒÁÚÕ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ
'
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ V1 - V2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÑÄÒÏÍ ÜÔÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ oker ' = V2 =im ' = (ker '∗ )∗ ).
úÁÄÁÞÁ 8.21. îÅ ÒÉÂÅÇÁÑ Ë ÆÉËÓÁ ÉÉ ËÁËÉÈ-ÌÉÂÏ ÂÁÚÉÓÏ×, ÏÓÔÒÏÊÔÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÙ
ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U , V , W ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÙ
Â) Hom(V; U ⊕ W ) ≃
Á) Hom(U ⊕ W; V ) ≃ Hom(U; V ) ⊕ Hom(W; V )
Hom(V; U ) ⊕ Hom(V; W )
úÁÄÁÞÁ 8.22. ãÅÏÞËÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÞÎÏÊ , ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ
Ä×ÕÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ '◦ ÜÔÏÊ ÅÏÞËÉ ker ' = im (Ô. Å. ÑÄÒÏ
ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×
ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ Ó ÔÏÞÎÙÍÉ ÓÔÒÏËÁÍÉ
0
- V′
'′
0
?
- W′
- V
- V ′′
'
?
- W
- 0
(8-27)
'′′
?
- W ′′
- 0
Á) ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ '′ É '′′ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÙ, ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ' ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ. ðÒÉ×ÅÄÉÔÅ
ÒÉÍÅÒ, ÏÒÏ×ÅÒÇÁÀÝÉÊ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÎÏ ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÉÚ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ' ×Ó£-ÔÁËÉ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ '′ É ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ '′′ .
148
úÁÄÁÞÉ Ë §8
úÁÄÁÞÁ 8.23 (ÌÅÍÍÁ Ï ÑÔÉ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁÈ). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ÌÉ-
ÎÅÊÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ
V1′
'′1
- V′
- V
2
?
W1′
'′2
?
- W′
2
- V ′′
2
'
?
- W
- V ′′
1
'′′2
?
- W ′′
2
'′′1
?
- W ′′
1
Ó ÔÏÞÎÙÍÉ ÓÔÒÏËÁÍÉ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÞÅÔÙÒ£È ÂÏËÏ×ÙÈ ÓÔÒÅÌÏË '′1 , '′′1 , '′2 , '′′2
×ÌÅÞ£Ô ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ ', É ÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÒÉÍÅÒÙ, ÏËÁÚÙ×ÁÀÝÉÅ, ÞÔÏ ÏÄÎÁ ÔÏÌØËÏ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ (ÓÏÏÔ×. ÏÄÎÁ ÔÏÌØËÏ ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ)
ÞÅÔÙÒ£È ÂÏËÏ×ÙÈ ÓÔÒÅÌÏË ÎÅ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÅÔ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ (ÓÏÏÔ×. ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ) ÅÎÔÒÁÌØÎÏÊ.
úÁÄÁÞÁ 8.24. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ
0
- V′
- V
- V ′′
'
?
- 0
'′′
?
- W′
- W
- W ′′
- 0
0
Ó ÔÏÞÎÙÍÉ ÓÔÒÏËÁÍÉ É ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ
Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ ÉÍÅÅÔÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÌÉ'′- ′
′
W , ÄÏÏÌÎÑÀÝÅŠţ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ
ÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ V
ÓÌÅ×Á. äÏËÁÖÉÔÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÒÏ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ
0
0
- V′
- V
'′
'
?
- W′
?
- W
- V ′′
- 0
- W ′′
- 0
úÁÄÁÞÁ 8.25 (ÌÅÍÍÁ Ï ÚÍÅÅ). îÁÏÍÎÉÍ (ÓÍ. n◦ 8.5), ÞÔÏ ËÏÑÄÒÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÔÏ-
ÂÒÁÖÅÎÉÑ ' : U - W ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÁËÔÏÒ Ï ÅÇÏ ÏÂÒÁÚÕ: oker ' = W=im ' .
ðÏÓÔÒÏÊÔÅ ÄÌÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ (8-27) Ó ÔÏÞÎÙÍÉ ÓÔÒÏËÁÍÉ ÏÓÔÒÏÊÔÅ ÄÌÉÎÎÕÀ ÔÏÞÎÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ
0
- ker '′
- ker '
- ker '′′
oker '′ - oker ' - oker '′′
- 0:
§9. íÁÔÒÉ Ù
9.1. áÌÇÅÂÒÙ ÎÁÄ ÏÌÅÍ.
ÁÌÇÅÂÒÏÊ
ÎÁÄ k (ÉÌÉ k
÷ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï A ÎÁÄ ÏÌÅÍ k ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
), ÅÓÌÉ ÎÁ Î£Í ÉÍÅÅÔÓÑ ÏÅÒÁ ÉÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ
-ÁÌÇÅÂÒÏÊ
A×A
- A;
ÔÁËÁÑ ÞÔÏ ÒÉ ËÁÖÄÏÍ a ∈ k ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÌÅ×ÏÇÏ É ÒÁ×ÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ a
v7→av v7→va A
A É A
A
(9-1)
ÌÉÎÅÊÎÙ. áÌÇÅÂÒÁ A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ
(ab) = a(b ) ∀ a; b; ∈ A :
áÌÇÅÂÒÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ
ab = ba ∀ a; b ∈ A :
áÌÇÅÂÒÁ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅÊÔÒÁÌØÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ÕÍÎÏÖÅÎÉÀ,
Ô. Å. ÔÁËÏÊ e ∈ A, ÞÔÏ ea = ae = a ÄÌÑ ×ÓÅÈ a ∈ A , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(Á e ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
).
ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÊ
ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ
ÁÌÇÅÂÒÏÊ Ó
ÅÄÉÎÉ ÅÊ
ÅÄÉÎÉ ÅÊ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 9.1. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ 0 · a = 0 ÄÌÑ ×ÓÅÈ a × ÌÀÂÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ A É ÞÔÏ
ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÅÎ (ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ).
ìÉÎÅÊÎÏÓÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ (9-1) ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÉ×ÙÞÎÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓËÏÂÏË:
(1a1 + 1b1 )(2a2 + 2b2 ) = 12a1a2 + 12a1b2 + 12b1 a2 + 12b1 b2 ;
Á ÔÁËÖÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÓÔØ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÏ× ÎÁ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ Ó ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ
× ÁÌÇÅÂÒÅ:
(a)b = (ab) = a(b) ∀ ∈ k É ∀ a; b ∈ A :
ðÒÉÍÅÒÁÍÉ
ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÙÈ ÁÌÇÅÂÒ Ó ÅÄÉÎÉ ÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
ÁÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× k[x1 ; x2 ; : : : ; xn℄ É ÒÏÞÉÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÅ k-ÁÌÇÅÂÒÙ × ÓÍÙÓÌÅ ÏÒ. 6.3. íÏÄÅÌØÎÙÍ ÒÉÍÅÒÏÍ ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÁ End(V ) ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V .
9.1.1. ðÒÉÍÅÒ: ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×. ëÏÍÏÚÉ ÉÑ
FG : U - W
ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ G : U - V É F : V - W ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ, ÏÓËÏÌØËÕ
F G(u + w) = F (G(u) + G(w)) = F G(u) + F G(w) ;
ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÈ
149
150
§9. íÁÔÒÉ Ù
É ÌÉÎÅÊÎÁ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ×ÔÏÒÏÍ:
( 1 F1 + 2 F2 ) G = 1 F1 G + 2 F2 G É F ( 1 G 1 + 2 G 2 ) = 1 F G 1 + 2 F G 2 :
åÓÌÉ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ End(V ) = Hom(V; V ) ÏÄÎÏÇÏ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V , ÔÏ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÂÕÄÅÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×
F; G ∈ End(V ), Á ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ IdV ÂÕÄÅÔ ÎÅÊÔÒÁÌØÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ
Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ËÏÍÏÚÉ ÉÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, End(V ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÏÊ Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 9.2. óÏÓÔÁ×ØÔÅ ÔÁÂÌÉ Õ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×1 Eij ∈
End(kn ) É ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÉ dim V ⩾ 2 ËÏÍÏÚÉ ÉÑ × End(kn ) ÎÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁ.
ðÏÓËÏÌØËÕ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÌÀÂÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÁ (ÉÂÏ F (GH ) = (F G)H : u 7−→ F (G(H (u))) ×ÓÑËÉÊ ÒÁÚ, ËÏÇÄÁ F (G(H (u)))
ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ), ÁÌÇÅÂÒÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× End(V ) ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÁ.
9.1.2. ïÂÒÁÔÉÍÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ. üÌÅÍÅÎÔ a ÁÌÇÅÂÒÙ A Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ e ∈ A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ a−1 ∈ A, ÔÁËÏÊ ÞÔÏ aa−1 = a−1a = e.
÷ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ A ÜÔÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÏÓÌÁÂÉÔØ ÄÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÏÔÄÅÌØÎÏ ÌÅ×ÏÇÏ É ÒÁ×ÏÇÏ ÏÂÒÁÔÎÙÈ Ë a ÜÌÅÍÅÎÔÏ× a′; a′′ ∈ A, ÔÁËÉÈ ÞÔÏ
a′ a = aa′′ = e, ÏÓËÏÌØËÕ × ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ ÏÎÉ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÓÏ×ÁÄÕÔ
ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ
a′ = a′ e = a′ (aa′′ ) = (a′ a)a′′ = ea′′ = a′′
(ÜÔÏ ÖÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÔÎÙÊ Ë a ÜÌÅÍÅÎÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÅÎ).
óÏÇÌÁÓÎÏ ÒÅÄÌ. 1.4 ÏÂÒÁÔÉÍÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÁÌÇÅÂÒÙ End(V ) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÙ V ∼- V . ïÎÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÇÒÕÕ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V
(ÓÍ. n◦ 1.6). üÔÁ ÇÒÕÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ GL(V ) ⊂ End(V ) .
9.2. õÍÎÏÖÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ
u1 ; u2 ; : : : ; un ∈ kn ; v1 ; v2 ; : : : ; vs ∈ ks ; w1 ; w2 ; : : : ; wm ∈ km
(9-2)
ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÂÁÚÉÓÙ ÜÔÉÈB ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÁÒÕ ÌÉA
n
s
s
ÎÅÊÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× k - k É k - km, ÍÁÔÒÉ Ù ËÏÔÏÒÙÈ × ÂÁÚÉÓÁÈ (9-2)
ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÔÅÍÉ ÖÅ ÂÕË×ÁÍÉ A É B . íÁÔÒÉ Á P ÉÈ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ
P = AB : U - W
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÁÔÒÉ A É B (ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÓÔÏÑÔ × ÔÏÍ ÖÅ ÏÒÑÄËÅ,
ÞÔÏ É ÏÅÒÁÔÏÒÙ × ËÏÍÏÚÉ ÉÉ). ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÁÒÙ ÍÁÔÒÉ
(aik ) ∈ Matm×s(k) É (bkj ) ∈ Mats×n(k)
ÏÂÒÁÔÉÍÙÍ
ÏÌÎÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÇÒÕÏÊ
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ
ÎÁÏÍÎÉÍ (ÓÍ. ÒÅÄÌ. 7.1), ÞÔÏ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ Eij : kn
×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ | × ÎÕÌØ
1
- kn
ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ej × ei , Á
151
9.2. õÍÎÏÖÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ
(×ÁÖÎÏ, ÞÔÏ ÛÉÒÉÎÁ ÅÒ×ÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ×ÙÓÏÔÏÊ ×ÔÏÒÏÊ) ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ
ÍÁÔÒÉ Á-ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (pij ) = (aik ) · (bkj ) ∈ Matm×n(k) , ËÏÔÏÒÁÑ ÉÍÅÅÔ ÓÔÏÌØËÏ
ÖÅ ÓÔÒÏË, ÓËÏÌØËÏ ÅÒ×ÙÊ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌØ, É ÓÔÏÌØËÏ ÖÅ ÓÔÏÌ Ï×, ÓËÏÌØËÏ ×ÔÏÒÏÊ.
üÌÅÍÅÎÔ pij × ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ i-ÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ É j -ÔÏÇÏ ÓÔÏÌ Á ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÒÁ×ÅÎ
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÕ ÒÉ wi × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ
X
X
XX
vk bj =
A(vk )bkj =
wi aik bkj ; Ô. Å.
AB (uj ) = A
pij =
k
X
k
i
k
k
aik bkj = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ais bsj
üÔÏ ÒÁ×ÉÌÏ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÍÁÔÒÉ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÎÅÓËÏÌØËÉÍÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ, ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ Ï-Ó×ÏÅÍÕ
ÏÌÅÚÅÎ ÒÉ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ.
÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÉÌÏÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÓÔÒÏËÉ ÛÉÒÉÎÙ s ÎÁ ÓÔÏÌÂÅ ×ÙÓÏÔÙ s:
 
b1
(
b2 

a 1 ; a 2 ; : : : ; as · 
 
 
)
... = a1b1 + a2b2 + · · · + asbs ;
bs
É ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù A ÉÚ m ÓÔÒÏË ÎÁ ÍÁÔÒÉ Õ B ÉÚ n ÓÔÏÌ Ï× ÔÏÊ
ÖÅ ×ÙÓÏÔÙ, ÞÔÏ ÛÉÒÉÎÁ ÓÔÒÏË × A, | ÜÔÏ ÔÁÂÌÉ Á ×ÓÅÈ ÏÁÒÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ
ÓÔÒÏË A ÎÁ ÓÔÏÌÂ Ù B :


b1j
b2j 
 
pij = (ai1 ; ai2 ; : : : ; ais ) ·  .. 

.
bsj
(× ÏÚÉ ÉÉ (i; j ) ÜÔÏÊ ÔÁÂÌÉ Ù ÓÔÏÉÔ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ i-ÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ A ÎÁ j -ÔÙÊ
ÓÔÏÌÂÅ B ).
÷ÔÏÒÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÔÁËÏ×Ï: × j -ÔÏÍ ÓÔÏÌ ŠÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ AB ÓÔÏÉÔ ÌÉÎÅÊÎÁÑ
ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ s ÓÔÏÌ Ï× ÍÁÔÒÉ Ù A (ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ËÁË ×ÅËÔÏÒÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á km), ×ÚÑÔÙÈ Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ, ÓÔÏÑÝÉÍÉ × j -ÔÏÍ ÓÔÏÌ Å
ÍÁÔÒÉ Ù B . åÓÌÉ, Ë ÒÉÍÅÒÕ, × ÍÁÔÒÉ Å
A=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(9-3)
ÈÏÞÅÔÓÑ ÎÁÉÓÁÔØ ×ÍÅÓÔÏ ×ÔÏÒÏÇÏ ÓÔÏÌ Á ÓÕÍÍÕ ÅÒ×ÏÇÏ É ÔÒÅÔØÅÇÏ, Á ÅÒ×ÙÊ É
ÔÒÅÔÉÊ ÓÔÏÌÂÅ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÎÁ ÉÈ ÓÕÍÍÙ ÓÏ ×ÔÏÒÙÍ, ÕÍÎÏÖÅÎÎÙÍ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÎÁ É ÎÁ , ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÄÏÂÁ×ÉÔØ Ë ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Å ÅÝ£ ÏÄÉÎ, ÞÅÔ×£ÒÔÙÊ
152
§9. íÁÔÒÉ Ù
ÓÔÏÌÂÅ , ÒÁ×ÎÙÊ ÓÕÍÍÅ ÓÔÏÌ Ï× ÍÁÔÒÉ Ù A, ÕÍÎÏÖÅÎÎÙÈ ÎÁ ÉÈ ÎÏÍÅÒÁ, ÔÏ ÜÔÏ
ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ A ÓÒÁ×Á ÎÁ ÍÁÔÒÉ Õ

1 1 0 1
 0 2
0 1 1 3
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 9.3. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ÜÔÏ ÒÑÍÙÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ Ï ÅÒ×ÏÍÕ ÓÏÓÏÂÕ.
ÒÅÔØÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÔÏÒÏÍÕ É ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÚÁÍÅÎÏÊ
ÓÌÏ×Á €ÓÔÏÌÂÅ  ÎÁ ÓÌÏ×Ï €ÓÔÒÏËÁ ×Ï ×ÔÏÒÏÍ ÏÉÓÁÎÉÉ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ (AB )t = B tAt
A 7→ At
t
Ï ÒÁ×ÉÌÕ (AB ) = B t At .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 9.4. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÏÅÒÁ ÉÑ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÍÁÔÒÉ
(ÓÍ. n 8.3.2) ×ÚÁÉÍÏÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ Ó ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÍÁÔÒÉ
◦
á ÉÍÅÎÎÏ, × i-ÔÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉ Ù AB ÓÔÏÉÔ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ s ÓÔÒÏË
ÍÁÔÒÉ Ù B (ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ËÁË ×ÅËÔÏÒÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á kn),
×ÚÑÔÙÈ Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ, ÓÔÏÑÝÉÍÉ × i-ÔÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÍÁÔÒÉ Ù A. îÁÒÉÍÅÒ,
ÅÓÌÉ × ÔÏÊ ÖÅ ÍÁÔÒÉ Å (9-3) ÈÏÞÅÔÓÑ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ×ÔÏÒÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÎÁ ÍÅÓÔÏ ÅÒ×ÏÊ,
Á ×ÍÅÓÔÏ ×ÔÏÒÏÊ ÎÁÉÓÁÔØ Å£ ÓÕÍÍÕ Ó ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ, ÕÍÎÏÖÅÎÎÏÊ ÎÁ , ÔÏ ÜÔÏ
ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÓÌÅ×Á ÎÁ ÍÁÔÒÉ Õ
0 1
1
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 9.5. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ÜÔÏ ÒÑÍÙÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ Ï ÅÒ×ÏÍÕ ÓÏÓÏÂÕ.
9.2.1. áÌÇÅÂÒÁ ÍÁÔÒÉ . ðÏÓËÏÌØËÕ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÁ
É ÌÉÎÅÊÎÁ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÀ, ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ ÔÁËÖÅ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏ
É ÌÉÎÅÊÎÏ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÀ, Ô. Å.
(F G)H = H (F G) ∀ F ∈ Matm×k ; G ∈ Matk×` ; H ∈ Mat`×n
(1F1 + 1G1)(2F2 + 2G2) = 12F1F2 + 12F1G2 + 12G1F2 + 12G1G2
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Matn(k) def
= Matn×n(k) ≃ End(kn) Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÈ
ÍÁÔÒÉ ÒÁÚÍÅÒÁ n × n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÊ k-ÁÌÇÅÂÒÏÊ Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ

1 0 : : : 0
. . . ... 

0 1

E = . . .

 .. . . . . 0
0 ::: 0 1
(Ï ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÓÔÏÑÔ ÅÄÉÎÉ Ù, × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÍÅÓÔÁÈ | ÎÕÌÉ).
ðÒÉ n ⩾ 2 ÁÌÇÅÂÒÁ Matn(k) ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁ. îÁÒÉÍÅÒ,
1 2 · 3 0 = 7 10
0 3 4 5 12 15
3 0 · 1 2 = 3 6
4 5 0 3
4 23
153
9.2. õÍÎÏÖÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ
9.2.2. áÎÎÕÌÉÒÕÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ. ìÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÌÀÂÏÊ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×-
ÎÏÊ k-ÁÌÇÅÂÒÙ A Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ
(9-4)
ev : k[t℄ x7→ - A
ËÏÔÏÒÙÊ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (x) = a0xm + a1xm−1 + · · · + am−1 x + am × ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ × ÎÅÇÏ x = f (x) 7−→ Á( ) = a0 m + a1 m−1 + · · · + am−1 + am
(Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÞÌÅÎ am × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ËÁË am0 =
am · e ∈ A, ÇÄÅ e | ÅÄÉÎÉ Á ÁÌÇÅÂÒÙ A).
åÓÌÉ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ 9-4 ÉÎßÅËÔÉ×ÅÎ, ÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÎÁÄ k. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÁÌÇÅÂÒÁ A ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÁ
ËÁË ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ k, ÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ ÓÔÅÅÎÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÌÉÎÅÊÎÏ
ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ.
åÓÌÉ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ 9-4 ÉÍÅÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÑÄÒÏ, ÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÎÁÄ k. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÑÄÒÏ ker ev = ( ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÙÍ ÉÄÅÁÌÏÍ
× k[x℄ (ÉÂÏ k[x℄ | ÜÔÏ ËÏÌØ Ï ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×). ðÒÉ×ÅÄ£ÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÊ ÜÔÏÔ ÉÄÅÁÌ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÜÌÅÍÅÎÔÁ É
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ (x) . éÎÁÞÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÏÖÎÏ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÔØ
ËÁË ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÊ ÓÔÅÅÎÉ Ó ÅÄÉÎÉÞÎÙÍ ÓÔÁÒÛÉÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ, ÔÁËÏÊ ÞÔÏ () = 0 . ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ÁÎÎÕÌÉÒÕÀÝÉÅ ,
ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ.
óËÁÚÁÎÎÏÅ ÒÉÍÅÎÉÍÏ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, Ë ÁÌÇÅÂÒÁÍ End(V ) É Matn(k). ïÂÅ ÜÔÉ
ÁÌÇÅÂÒÙ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙ ËÁË ×ÅËÔÏÒÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÄ k (ÅÓÌÉ dim V < ∞),
É ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÌÀÂÏÊ ÏÅÒÁÔÏÒ É ÌÀÂÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÎÙ ÎÁÄ k . åÓÌÉ
dim V = n, ÔÏ dimEnd(V ) = dimMatn(k) = n2. ðÏÜÔÏÍÕ ÌÀÂÏÊ ÏÅÒÁÔÏÒ É ÌÀÂÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÁÎÎÕÌÉÒÕÀÔÓÑ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÓÔÅÅÎÉ ÎÅ ÂÏÌÅÅ n2 (ÏÓËÏÌØËÕ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× 0; 1; : : : ; n ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍ). ÷ n◦ 11.3.1 ÍÙ Õ×ÉÄÉÍ,
ÞÔÏ ÜÔÁ Ï ÅÎËÁ ÓÉÌØÎÏ ÚÁ×ÙÛÅÎÁ, É ×ÓÑËÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÎÁ n-ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å,
ÒÁ×ÎÏ ËÁË É ÌÀÂÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÒÁÚÍÅÒÁ n × n, ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÓÔÅÅÎÉ n.
a
b
îÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ 2 × 2-ÍÁÔÒÉ Á F = d ÉÍÅÅÔ
ÔÒÁÎÓ ÅÎÄÅÎÔ-
ÎÙÍ
ÁÌÇÅ-
ÂÒÁÉÞÅÓËÉÍ
ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ
2
F2
ÏÔËÕÄÁ
=
2
a +b
a+d
2
a
+
b
b
(
a
+
d
)
= ( a + d) b + d 2
+
b
b
(
a
+
d
)
a
(
a
+
d
)
b
(
a
+
d
)
( + d) · F = ( a + d) b + d 2 − ( a + d) d( a + d) =
(
b
− ad)
0
=
0
(b − ad) = (b − ad) · E
F2 − a
2
a
ab + bd
b + d2
154
§9. íÁÔÒÉ Ù
ÅÍ ÓÁÍÙÍ, F ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ
(9-5)
F 2 − (a + b) F + (ad − b ) E = 0 :
9.2.3. ïÂÒÁÔÉÍÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù. ïÂÒÁÔÉÍÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÁÌÇÅÂÒÙ Matn(k) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
. üÔÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á kn, ÚÁÉÓÁÎÎÙÅ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ.
çÒÕÁ ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÍÁÔÒÉ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ GLn(k) ⊂ Matn(k) .
äÌÑ ÍÁÔÒÉ ÒÁÚÍÅÒÁ 2 × 2 , ÆÏÒÍÕÌÁ (9-5), ÂÕÄÕÞÉ ÅÒÅÉÓÁÎÁ ËÁË
(ad − b ) E = (a + b) F − F 2 = F (a + b) E − F ;
ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÉ (ad − b ) = 0 ÍÁÔÒÉ Á F ÎÅÏÂÒÁÔÉÍÁ, ÏÓËÏÌØËÕ ÉÎÁÞÅ,
ÕÍÎÏÖÁÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÓÌÅ×Á ÎÁ F −1, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ
a
+
d
0
a
b
d
−b
0 = (a + b) E − F = 0 a + d − d = − a
ÏÔËÕÄÁ F = 0. á ÒÉ (ad − b ) 6= 0 ÔÁ ÖÅ ÆÏÒÍÕÌÁ ÇÏ×ÏÒÉÔ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Á F
ÏÂÒÁÔÉÍÁ, É F −1 = (ad − b )−1 (a + b) E − F , Ô. Å.
ÏÂÒÁÔÉÍÙÍÉ ÍÁÔÒÉ ÁÍÉ
a b −1 = (ad − b )−1 a −b
d
−
d
(9-6)
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÉ ÏÂÒÁÝÅÎÉÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÒÁÚÍÅÒÁ 2 × 2 ÞÉÓÌÁ ÎÁ Å£
ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÍÅÎÑÀÔÓÑ ÍÅÓÔÁÍÉ, Á ÞÉÓÌÁ ÎÁ
ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÍÅÎÑÀÔ ÚÎÁË,
ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ×ÓÅ ÞÅÔÙÒÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÁÔÒÉ Ù ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ ad − b . þÉÓÌÏ ad − b
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
2 × 2-ÍÁÔÒÉ Ù F É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ det F .
9.2.4. ïÂÒÁÝÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ ÍÅÔÏÄÏÍ çÁÕÓÓÁ. ÷ÙÑÓÎÉÔØ, ÏÂÒÁÔÉÍÁ ÌÉ ÄÁÎÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á A ∈ Matn(k), É ÅÓÌÉ ÄÁ, ÔÏ Ñ×ÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ A−1, ÍÏÖÎÏ ÕÍÎÏÖÁÑ
ÍÁÔÒÉ Õ A ÓÌÅ×Á ÎÁ
ÍÁÔÒÉ Ù Ó ÔÁËÉÍ ÒÁÓÞ£ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ
× ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÓÔÒÏË, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÁÔÒÉ Á A ÒÉ ÜÔÏÍ
ÂÕÄÅÔ ÉÓÙÔÙ×ÁÔØ, × ËÏÎ Å ËÏÎ Ï× ÏÌÕÞÉÌÁÓØ ÌÉÂÏ ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á, ÌÉÂÏ
ÍÁÔÒÉ Á Ó ÎÕÌÅ×ÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ ÉÌÉ ÎÕÌÅ×ÙÍ ÓÔÏÌ ÏÍ.
åÓÌÉ ÏÓÌÅ k ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÕÍÎÏÖÅÎÉÊ ÓÌÅ×Á ÎÁ ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù
S1 ; S2 ; : : : ; Sk ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅÏÂÒÁÔÉÍÁÑ ÍÁÔÒÉ Á N = Sk Sk−1 · · · S2 S1 A ,
ÔÏ ÍÁÔÒÉ Á A ÔÏÖÅ ÎÅ ÏÂÒÁÔÉÍÁ, ÏÓËÏÌØËÕ
ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ
A−1 Ï×ÌÅËÌÏ ÂÙ ÚÁ
−1
−1
−1 −1 −1
ÓÏÂÏÊ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ N = A S1 S2 : : : Sk .
åÓÌÉ ÖÅ ÏÓÌÅ k ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ S1; S2; : : : ; Sk ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ
ÍÁÔÒÉ
Á
−1 −1
−1
Sk Sk−1 · · · S2 S1 A = E , ÔÏ ÕÍÎÏÖÁÑ ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÓÌÅ×Á ÎÁ S1 S2 : : : Sk , ÍÙ
ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ A = S1−1S2−1 : : : Sk−1 , ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ A
ÏÂÒÁÔÉÍÁ, É A−1 = Sk Sk−1 · · · S2S1E ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ Ë ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Å E ÒÏ×ÎÏ ÔÏÊ ÖÅ ÅÏÞËÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÚ×ÏÌÉÌÁ ÏÌÕÞÉÔØ
ÉÚ ÍÁÔÒÉ Ù A ÍÁÔÒÉ Õ E .
ÇÌÁ×ÎÏÊ
ÏÂÏÞÎÏÊ
ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÅÍ
ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ
155
9.2. õÍÎÏÖÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ Ó ÓÁÍÏÇÏ ÎÁÞÁÌÁ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×Ù×ÁÔØ n × 2n-ÍÁÔÒÉ Õ
AE
(ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÒÏÓÔÙÍ ÒÉÉÓÙ×ÁÎÉÅÍ ÍÁÔÒÉ Ù E ÓÒÁ×Á Ë ÍÁÔÒÉ Å A), ÔÏ,
ÏÌÕÞÉ× × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ ×ÉÄÁ E B , ÍÙ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ A−1 = B , Á
ÒÉÄÑ Ë ÍÁÔÒÉ Å N C , × ËÏÔÏÒÏÊ N ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅÏÂÒÁÔÉÍÁ, ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ
ÍÁÔÒÉ Á A ÔÏÖÅ ÎÅÏÂÒÁÔÉÍÁ.
ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù 2 × 2 ÎÁÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ, ÒÏÝÅ ×ÓÅÇÏ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÛÁÇÕ ÉÚÍÅÎÑÔØ ÔÏÌØËÏ ËÁËÉÅ-ÎÉÂÕÄØ Ä×Å ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù A, Á ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÓÔÒÏËÉ ÏÓÔÁ×ÌÑÔØ ÂÅÚÉÚÍÅÎÅÎÉÑ.
õÍÎÏÖÅÎÉÅ ÁÒÙ ÓÔÒÏË %1 É %2 ÓÌÅ×Á ÎÁ
a
b
ÏÂÒÁÔÉÍÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ S = d ÒÉ×ÅÄ£Ô Ë ÚÁÍÅÎÅ ÜÔÉÈ ÓÔÒÏË ÎÁ ÉÈ ÌÉÎÅÊÎÙÅ
ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ
%1 7−→ a b %1 = a%1 + b%2 :
%2
d %2
%1 + d%2
ðÏÄÞÅÒËΣÍ, ÞÔÏ ad − b ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÏÔÌÉÞÎÏ ÏÔ ÎÕÌÑ, Ô. Å. ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ
ÉÓÏÌØÚÕÅÍÙÈ Ä×ÕÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÊ ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ ÎÅ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙ.
óÏÇÌÁÓÎÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÏÉÓÁÎÉÀ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ , ÞÔÏÂÙ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØ ÎÁÉÓÁÎÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ Ó i-ÔÏÊ É j -ÔÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù A E ÍÙ ÄÏÌÖÎÙ
ÕÍÎÏÖÉÔØ Å£ ÓÌÅ×Á ÎÁ ÍÁÔÒÉ Õ S ′, ÔÏÊ ÖÅ ×ÙÓÏÔÙ, ÞÔÏ É A, ÓÏÄÅÒÖÁÝÕÀ 2 × 2ÏÄÍÁÔÒÉ Õ S × ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑÈ i-ÔÏÊ É j -ÔÏÊ ÓÔÒÏË Ó i-ÔÙÍ É j -ÔÙÍ ÓÔÏÌ ÁÍÉ
É ÉÍÅÀÝÕÀ s′kk = 1 ÒÉ k 6= i; j É ÎÕÌÉ × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÍÅÓÔÁÈ.
ëÌÁÓÓÉÞÅÓËÉÊ ÍÅÔÏÄ çÁÕÓÓÁ, ÏÉÓÁÎÎÙÊ × n◦ 8.5, ÏÌÎÏÓÔØÀ ÕËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ ×
ÜÔÕ ÓÈÅÍÕ: ÔÒÉ ÔÉÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉ Ù A ÉÚ n◦ 8.5
ÒÅÁÌÉÚÕÀÔÓÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÓÔÒÏË ÓÌÅ×Á ÎÁ ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ 2 × 2 ÍÁÔÒÉ Ù
S ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÔÒ£È ÔÉÏ×:
1
0
1
0
1
1
−
−1
−1
1) S = 1 S = − 1 ÉÌÉ S = 0 1 S = 0 1 ;
0
1
2) S = 1 0 S −1 = S ;
−1
0
0
3) S = 0 S −1 = 0 −1 , ÇÄÅ ; ∈ k ÏÔÌÉÞÎÙ ÏÔ ÎÕÌÑ.
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 9.1
ðÒÉ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù A E Ë ÓÔÒÏÇÏÍÕ ÓÔÕÅÎÞÁÔÏÍÕ ×ÉÄÕ ÍÅÔÏÄÏÍ çÁÕÓÓÁ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÚÁ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÛÁÇÏ× ÌÉÂÏ ÎÁÊÔÉ A−1, ÌÉÂÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ A ÎÅÏÂÒÁÔÉÍÁ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. éÔÏÇÏ×ÁÑ ÓÔÒÏÇÁÑ ÓÔÕÅÎÞÁÔÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÂÕÄÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ×
ÌÅ×ÏÊ ÏÌÏ×ÉÎÅ ÌÉÂÏ ÅÄÉÎÉÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ E , ÌÉÂÏ ÍÁÔÒÉ Õ Ó ÎÕÌÅ×ÏÊ ÎÉÖÎÅÊ
156
§9. íÁÔÒÉ Ù
ÓÔÒÏËÏÊ. íÁÔÒÉ Á Ó ÎÕÌÅ×ÏÊ ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÒÏËÏÊ ÎÅÏÂÒÁÔÉÍÁ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÂÒÁÚ ÏÔ×ÅÞÁÀÝÅÇÏ ÅÊ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÂÁÚÉÓÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ.
÷ÙÑÓÎÉÍ, Ë ÒÉÍÅÒÕ, ÏÂÒÁÔÉÍÁ ÌÉ ÍÁÔÒÉ Á

6 3 −2 1
 1 4
1 1

A=
 1 1
3 −1
−1 0 −2
1
äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÉÉÛÅÍ Ë ÎÅÊ ÓÒÁ×Á ÅÄÉÎÉÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ É ÒÉÍÅÎÉÍ ÍÅÔÏÄ çÁÕÓÓÁ

6 3 −2 1 1 0 0 0
 1 4
1 1 0 1 0 0


 1 1
3 −1 0 0 1 0
−1 0 −2
1 0 0 0 1
ÍÅÎÑÅÍ ÚÎÁË ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÒÏËÉ, ÏÔÏÍ ÍÅÎÑÅÍ Å£ ÍÅÓÔÁÍÉ Ó ×ÅÒÈÎÅÊ

1 0 2 −1 0 0 0 −1
1 4
1 1 0 1 0 0


1 1
3 −1 0 0 1 0
6 3 −2 1 1 0 0 0
ÚÁÎÕÌÑÅÍ ÅÒ×ÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÏÄ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ, ÏÔÎÉÍÁÑ ÉÚ ×ÓÅÈ ÓÔÒÏË ÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÉ

1 0 2 −1 0 0 0 −1
0 4 −1
2 0 1 0 1


0 1
1 0 0 0 1 1
0 3 −14 7 1 0 0 6
ÍÅÎÑÅÍ ×ÔÏÒÕÀ É ÔÒÅÔØÀ ÓÔÒÏËÉ ÍÅÓÔÁÍÉ É ÚÁÎÕÌÑÅÍ ÎÉÖÎÉÅ Ä×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁ
×ÔÏÒÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á

1 0 2 −1 0 0 0 −1
0 1
1 0 0 0 1 1


(9-7)
0 0 −5
2 0 1 −4 −3
0 0 −17 7 1 0 −3 3
ÅÅÒØ, ÞÔÏÂÙ ÉÚÂÅÖÁÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ Ó ÄÒÏÂÑÍÉ, ÏÔËÌÏÎÉÍÓÑ ÏÔ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÇÏ
ÍÅÔÏÄÁ çÁÕÓÓÁ É ÕÍÎÏÖÉÍ ÎÉÖÎÉÅ Ä×Å ÓÔÒÏËÉ ÎÁ ÍÁÔÒÉ Õ1
− 1 7
−2
−5 2
= 17 −5
−17 7
1
1 0 0 0
0 1 0
0

ÞÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÕÍÎÏÖÅÎÉÀ ×ÓÅÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÌÅ×Á ÎÁ 
0 0 7 −2
0 0 17 −5

157
9.2. õÍÎÏÖÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ
ðÏÌÕÞÉÍ
1 0 2 −1 0 0 0 −1
0 1 1
0 0 0 1 1


0 0 1
0 2 −7 22 27
0 0 0 1 5 −17 53 66
ïÓÔÁ£ÔÓÑ ×ÙÞÅÓÔØ ÉÚ 2-Ê ÓÔÒÏËÉ 3-À, Á ÉÚ 1-Ê | 4-À É ÕÄ×ÏÅÎÎÕÀ 3-À

1 0 0 0 1 −3 9 11
0 1 0 0 −2
7 −21 −26


0 0 1 0
2 −7 22 27
0 0 0 1 5 −17 53 66
éÔÁË, A ÏÂÒÁÔÉÍÁ É

1 −3 9 11
−2
7 −21 −26

A−1 = 
 2 −7
22 27
5 −17 53 66
9.2.5. ðÒÉÍÅÒ: ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ. óÉÓÔÅÍÁ ÉÚ n
(ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ) ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó n ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ


a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1





 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
a31 x1 + a32 x2 + · · · + a3n xn = b3







a
···············
· · · ann xn
n1 x1 an2 x2
+
+ +
= bn
× ÍÁÔÒÉÞÎÙÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ Ó×ÏÒÁÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÄÏ ÏÄÎÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
Ax = b
ÇÄÅ A = (aij ) ÅÓÔØ ÍÁÔÒÉ Ù ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×, Á x É b ÓÕÔØ ÍÁÔÒÉ Ù-ÓÔÏÌ Ù
ÒÁÚÍÅÒÏ× n × 1, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÓÏÂÏÀ ÓÔÏÌÂÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ É ÓÔÏÌÂÅ ÒÁ×ÙÈ
ÞÁÓÔÅÊ. åÓÌÉ ÍÁÔÒÉ Á A ÏÂÒÁÔÉÍÁ, ÔÏ ÒÅÛÅÎÉÅ ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
x = A−1 b
ÒÉÞ£Í ×ÍÅÓÔÏ ÏÉÓËÁ A−1 = Sk Sk−1 · · · S2S1 ÍÅÔÏÄÏÍ çÁÕÓÓÁ, ÍÏÖÎÏ ÉÓËÁÔØ
ÒÅÛÅÎÉÅ ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ: ÏÓËÏÌØËÕ A−1b = Sk Sk−1 · · · S2S1b ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ
ÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ Ë ÓÔÏÌÂ Õ b ÔÏÊ ÖÅ ÅÏÞËÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ, ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ ÏÔ A Ë
E , ÒÅÏÂÒÁÚÏ×Á× Ï çÁÕÓÓÕ n × (n +1)-ÍÁÔÒÉ Õ A b Ë ×ÉÄÕ E s , ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ
× ÒÁ×ÏÍ ÓÔÏÌ ŠÒÅÛÅÎÉÅ s. ïÄÎÁËÏ, ÅÓÌÉ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÉÓËÁÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ ÍÎÏÇÉÈ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ó ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÍÁÔÒÉ ÅÊ A É ÍÅÎÑÀÝÉÍÉÓÑ ÒÁ×ÙÍÉ ÞÁÓÔÑÍÉ, ÔÏ
ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ×ÙÇÏÄÎÅÅ ×Ó£-ÔÁËÉ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ A−1, Á ÏÔÏÍ ÎÁÈÏÄÉÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ
ÕÍÎÏÖÁÑ ÒÁ×ÙÅ ÞÁÓÔÉ ÎÁ A−1 .
158
§9. íÁÔÒÉ Ù
9.3. íÁÔÒÉ Ù ÅÒÅÈÏÄÁ.
ËÁËÉÅ-ÔÏ ×ÅËÔÏÒÙ wi
v=
m
X
i=1
ðÕÓÔØ ÎÅËÉÊ ×ÅËÔÏÒ v ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ
xi wi = w1 x1 + w2 x2 + · · · + wm xm :
(9-8)
ïÒÇÁÎÉÚÕÅÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ xi ∈ k × ÍÁÔÒÉ Õ-ÓÔÏÌÂÅ ÒÁÚÍÅÒÁ m × 1


x1
 x2 
 
(9-9)
x =  .. 

.
xm
Á ×ÅËÔÏÒÙ wi | × ÍÁÔÒÉ Õ-ÓÔÒÏËÕ w = (w1; w2; : : : ; wm) ÒÁÚÍÅÒÁ 1 × n Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ wi ∈ V . ÏÇÄÁ ÆÏÒÍÕÌÁ (9-8) Ó×ÅÒΣÔÓÑ × ÍÁÔÒÉÞÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
v = wx ;
× ËÏÔÏÒÏÍ v ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ËÁË ÍÁÔÒÉ Á ÒÁÚÍÅÒÁ 1 × 1 Ó ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÉÚ V .
ÁËÁÑ ÍÁÔÒÉÞÎÁÑ ÚÁÉÓØ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÕÒÏÓÔÉÔØ ÍÎÏÇÉÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÅ Ó
ÌÉÎÅÊÎÙÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅÍ ÏÄÎÉÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÞÅÒÅÚ ÄÒÕÇÉÅ.
ðÕÓÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÚÁÄÁÎÙ Ä×Á ÎÁÂÏÒÁ ×ÅËÔÏÒÏ×
u = (u1 ; u2 ; : : : ; un) ; w = (w1 ; w2 ; : : : ; wm )
É ÕÓÔØ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ×ÅËÔÏÒÏ× uj ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎ ÞÅÒÅÚ ×ÅËÔÏÒÙ wi
uj =
m
X
=1
j w
= w1 · 1j + w2 · 2j + · · · + wm · mj :
üÔÉ n ÒÁ×ÅÎÓÔ× ÓÏËÒÁÝ£ÎÎÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÊ ÍÁÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
u = w · Cwu ;
× ËÏÔÏÒÏÊ u = (u1; u2; : : : ; un) , w = (w1; w2; : : : ; wm) , Á ÍÁÔÒÉ Á

11
 21

Cwu = ( ij ) =  ..

.
m1
12
22
:::
:::
m2
:::
...
...

1n

2n 
... 

(9-10)
mn
ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ × ÍÁÔÒÉ Õ u ×ÍÅÓÔÏ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ×ÅËÔÏÒÏ× uj ÓÔÏÌ Á
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÅÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÞÅÒÅÚ ×ÅËÔÏÒÙ wi.
íÁÔÒÉ Á (9-10) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÔ ×ÅËÔÏÒÏ× u Ë ×ÅËÔÏÒÁÍ
w. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÔÏÌÂÅ (9-9) ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÁ
ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÅÒÅÈÏÄÁ
159
9.3. íÁÔÒÉ Ù ÅÒÅÈÏÄÁ
v ÞÅÒÅÚ ×ÅËÔÏÒÙ uj Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÍÁÔÒÉ Ù ÅÒÅÈÏÄÁ: x = Cuv .
îÁÚ×ÁÎÉÅ €ÍÁÔÒÉ Á ÅÒÅÈÏÄÁ ×ÙÚ×ÁÎÏ ÔÅÍ, ÞÔÏ Cuw ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÅÒÅÈÏÄÉÔØ ÏÔ
ÌÉÎÅÊÎÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ×ÅËÔÏÒÏ× v ∈ V ÞÅÒÅÚ ×ÅËÔÏÒÙ uj Ë ÉÈ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑÍ ÞÅÒÅÚ ×ÅËÔÏÒÙ wi : v = uCuv ⇒ v = wCwuCuv , Ô. Å.
CwuCuv = Cwv :
(9-11)
éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÅÒÅÈÏÄÁ ÏÔ ×ÅËÔÏÒÏ× u Ë ×ÅËÔÏÒÁÍ w
É ÍÁÔÒÉ Ù ÅÒÅÈÏÄÁ ÏÔ ×ÅËÔÏÒÏ× v Ë ×ÅËÔÏÒÁÍ u Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÅÒÅÈÏÄÁ
ÏÔ ×ÅËÔÏÒÏ× v Ë ×ÅËÔÏÒÁÍ w.
åÓÌÉ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× w = (w1; w2; : : : ; wm) ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍ,
ÔÏ ËÁÖÄÙÊ ×ÅËÔÏÒ v ÉÚ ÉÈ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÉ ÄÏÕÓËÁÅÔ ÍÎÏÇÏ
ÌÉÎÅÊÎÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ1 ÞÅÒÅÚ ×ÅËÔÏÒÙ wj . ðÏÜÔÏÍÕ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ Cwv ÎÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏ
× ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÁÔÒÉ Ù Cwv ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ Ï ×ÅËÔÏÒÁÍ w É v ÎÅ
ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (9-11) ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏ É ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÉÍÅÑ
ËÁËÉÅ-ÎÉÂÕÄØ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ Cwu É Cuv ×ÅËÔÏÒÏ× u ÞÅÒÅÚ v É ×ÅËÔÏÒÏ×
v ÞÅÒÅÚ w, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÅÄßÑ×ÉÔØ Ñ×ÎÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ Cwv ×ÅËÔÏÒÏ× u
ÞÅÒÅÚ w
Cwu É Cuv .
åÓÌÉ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× e = (e1; e2; : : : ; en) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÁÚÉÓÏÍ, ÔÏ ÍÁÔÒÉ Á ÅÒÅÈÏÄÁ Cew , ×ÙÒÁÖÁÀÝÁÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× w = (w1; w2; : : : ; wm)
ÞÅÒÅÚ ÂÁÚÉÓ e, ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï e É w, É Ä×Á ÎÁÂÏÒÁ ×ÅËÔÏÒÏ× u É w
ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ÍÁÔÒÉ Ù ÅÒÅÈÏÄÁ Ceu = Cew
ÏÔ ÎÉÈ Ë ÂÁÚÉÓÕ e.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ 9.1.
ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ
ÅÒÅÍÎÏÖÉ× ÍÁÔÒÉ Ù
ìÅÍÍÁ 9.1
ðÕÓÔØ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× e = (v1; v2; : : : ; vn) ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÂÁÚÉÓ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V . äÌÑ
ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× u = vCvu ÔÏÖÅ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÌ ÂÁÚÉÓ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É
ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÍÁÔÒÉ Á Cvu ÂÙÌÁ ÏÂÒÁÔÉÍÁ, É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ Cvu−1 = Cuv .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÓÌÉ u ÂÁÚÉÓ, ÔÏ ×ÅËÔÏÒÙ e ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ u É
Ï (9-11) ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á Cee = CeuCue É Cuu = CueCeu. ÁË ËÁË ËÁÖÄÙÊ
ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ, É ÂÁÚÉÓ) ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÞÅÒÅÚ
ÂÁÚÉÓ, Cee = Cuu = E , ÏÔËÕÄÁ CueCeu = CueCeu = E . îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ u ÎÅ
ÂÁÚÉÓ, ÔÏ ÜÔÏ ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ×ÅËÔÏÒÏ×, É u = 0 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ
ÓÔÏÌ Á ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× . ÏÇÄÁ eCeu = 0, ÏÔËÕÄÁ Ceu = 0. ÁËÏÅ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ Ó ÏÂÒÁÔÉÍÙÍ Ceu É ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ , ÏÓËÏÌØËÕ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ
ÏÂÅÉÈ ÞÁÓÔÅÊ ÓÌÅ×Á ÎÁ Ceu−1 ÄÁ£Ô = 0.
9.3.1. ðÒÉÍÅÒ: ÚÁÍÅÎÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÒÉ ÓÍÅÎÅ ÂÁÚÉÓÁ. ðÕÓÔØ ÎÅËÉÊ ÎÁÂÏÒ
×ÅËÔÏÒÏ× w = (w1; w2; : : : ; wm) ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÂÁÚÉÓ e = (e1; e2; : : : ; en) ËÁË
ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ
ËÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ × n◦ 8.4.2 ÜÔÉ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÀ ÓÍÅÖÎÙÊ ËÌÁÓÓ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÅÊ U ⊂ km ÍÅÖÄÕ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ wj
1
160
§9. íÁÔÒÉ Ù
w = eCew . åÓÌÉ v = eCev | ÄÒÕÇÏÊ ÂÁÚÉÓ, ÔÏ × ×ÙÒÁÖÅÎÉÉ w = vCvw ×ÅËÔÏÒÏ×
w ÞÅÒÅÚ ÂÁÚÉÓ v ÍÁÔÒÉ Á
Cvw = Cve Cew = Cev−1 Cvw :
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ ÓÔÏÌÂÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ w × ÂÁÚÉÓÅ v ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÉÚ ÓÔÏÌ Á ÅÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ × ÂÁÚÉÓÅ e ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÓÌÅ×Á ÎÁ ÍÁÔÒÉ Õ Cev−1,
ÏÂÒÁÔÎÕÀ Ë ÍÁÔÒÉ Å ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ×ÅËÔÏÒÏ× ÂÁÚÉÓÁ v × ÂÁÚÉÓÅ e.
9.3.2. ðÒÉÍÅÒ: ÚÁÍÅÎÁ ÍÁÔÒÉ Ù ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÒÉ ÓÍÅÎÅ ÂÁÚÉÓÁ. äÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F : U - W É ÓÔÒÏËÉ ×ÅËÔÏÒÏ×
v = (v1 ; v2 ; : : : ; v r )
ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ F (v) ÓÔÒÏËÕ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÎÁ ÜÔÉÈ ×ÅËÔÏÒÁÈ
F (v) def
= F (v1 ); F (v2 ); : : : ; F (vr ) :
÷ ÓÉÌÕ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù M ∈ Matr×s(k)
×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï F (vM ) = F (v)M .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 9.6. õÂÅÄÉÔÅÓØ × ÜÔÏÍ.
÷ ÔÁËÉÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÍÁÔÒÉ Á Fwu ÏÅÒÁÔÏÒÁ F , ÚÁÉÓÁÎÎÁÑ × ÂÁÚÉÓÁÈ u
É w ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U É W , ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ1 F (u) = wFwu.
ðÒÉ ÅÒÅÈÏÄÅ Ë ÄÒÕÇÉÍ ÂÁÚÉÓÁÍ ue = uCuue É we = wCwwe ÏÎÁ ÍÅÎÑÅÔÓÑ Ï ÒÁ×ÉÌÕ
(9-12)
Fweue = Cw−w1e Fwu Cuue :
−1
e Cww
ÉÂÏ F (ue) = F (uCuue) = F (u) Cuue = w FwuCuue = we Cww
e Fwu Cuu
e = w
e.
e Fwu Cuu
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍ F : V
V ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ
Fe = Fee , j -ÔÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÅÓÔØ ÓÔÏÌÂÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ F (ej ) ×
ÂÁÚÉÓÅ e, ÔÏ ÒÉ ÚÁÍÅÎÅ ÂÁÚÉÓÁ e ÎÁ ÂÁÚÉÓ u = eCeu ÍÁÔÒÉ Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ F × ÎÏ×ÏÍ
ÂÁÚÉÓÅ ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÁ
−1
Fu = óeu
Fe Ceu :
(9-13)
9.4. îÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÅ ËÏÌØ Á. áÂÅÌÅ×Á ÇÒÕÁ R Ó ÏÅÒÁ ÉÅÊ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ
ÔÏÍ ÖÅ ÓÁÍÏÍ
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
R×R
- R
, ÅÓÌÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏ, Ô. Å.
f (gh) = (fg)h ∀ f; g; h ∈ R ;
É Ä×ÕÓÔÏÒÏÎÎÅ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏ, Ô. Å. ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ f; g; h ∈ R
f (g + h) = fg + fh É (f + g)h = fh + gh :
ËÏÌØ ÏÍ
ÎÁÏÍÎÉÍ (ÓÍ. ÆÏÒÍÕÌÕ (7-15) ÎÁ ÓÔÒ. 113), ÞÔÏ j -ÔÙÊ ÓÔÏÌÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù Fwu ÅÓÔØ ÓÔÏÌÂÅ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ×ÅËÔÏÒÁ F (uj ) Ï ÂÁÚÉÓÕ w
1
161
9.4. îÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÅ ËÏÌØ Á
åÓÌÉ × ËÏÌØ Å R ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔ e, ÔÁËÏÊ ÞÔÏ ef = fe = f ÄÌÑ ×ÓÅÈ f ∈ R,
ÜÔÏÔ ÜÌÅÍÅÎÔ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
É ËÏÌØ Ï ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
.
ÅÄÉÎÉ ÅÊ
ËÏÌØ ÏÍ Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 9.7. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ 0 · f = 0 ÄÌÑ ×ÓÅÈ f × ÌÀÂÏÍ ËÏÌØ Å R É ÞÔÏ
ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÅÎ (ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ).
÷ÓÑËÁÑ (ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ) ÁÌÇÅÂÒÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ (ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ) ËÏÌØ ÏÍ, ÔÁË ÞÔÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÅ ×ÙÛÅ ÁÌÇÅÂÒÁ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á É ÁÌÇÅÂÒÁ ÍÁÔÒÉ Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÉÚ ÏÌÑ ÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÒÉÍÅÒÙ
ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÈ ËÏÌÅ . ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÉÚ ÎÉÈ ÍÏÖÎÏ ÏÂÏÂÝÉÔØ.
9.4.1. íÁÔÒÉ Ù ÎÁÄ ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ. ë×ÁÄÒÁÔÎÙÅ ÍÁÔÒÉÙ ÒÁÚÍÅÒÁ n × n Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÉÚ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ËÏÌØ Á R ÏÂÒÁÚÕÀÔ ËÏÌØ Ï
Matn(R), ÓÌÏÖÅÎÉÅ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ × ËÏÔÏÒÏÍ ÚÁÄÁÀÔÓÑ ÔÅÍÉ ÖÅ ÒÁ×ÉÌÁÍÉ, ÞÔÏ
É ÓÌÏÖÅÎÉÅ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÍÁÔÒÉ Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÉÚ ÏÌÑ: ÓÕÍÍÁ S = F + G É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ P = F G ÍÁÔÒÉ F = (fij ) É G = (gij ) ÉÍÅÀÔ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÍÁÔÒÉÞÎÙÈ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
X
fi gj
sij = fij + gij É pij =
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 9.8. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ Ó×ÏÊÓÔ× ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ É ÄÉÓÔÒÉÂÕ-
ÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÄÌÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÉÚ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ËÏÌØ Á.
÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ó ÍÁÔÒÉ ÁÍÉ, ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÙÈ ÌÅÖÁÔ × ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÍ ËÏÌØ Å ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÏÔ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ Ó ÍÁÔÒÉ ÁÍÉ, ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÙÈ
ÌÅÖÁÔ × ÏÌÅ, Ä×ÕÍÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÑÍÉ: ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÈ ÎÅÌØÚÑ ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÔØ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ (ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ)
É ÎÅ ÎÁ ×ÓÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÏÖÎÏ ÄÅÌÉÔØ (ÏÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÎÅ ×ÓÅ
ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÌØ Á ÏÂÒÁÔÉÍÙ).
îÁÒÉÍÅÒ, ÆÏÒÍÕÌÁ (9-5) ÅÒÅÓÔÁ£Ô ÂÙÔØ ×ÅÒÎÏÊ ÎÁÄ ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ
ËÏÌØ ÏÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÒÉ Å£ ×Ù×ÏÄÅ ÍÙ ÅÒÅÓÔÁ×ÉÌÉ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, ËÏÇÄÁ ×ÙÄÅÌÉÌÉ ÎÁ ÏÂÏÞÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÍÁÔÒÉ Ù F 2 ÏÂÝÉÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ (a + d) | ÎÁÄ
ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ ÜÔÏÔ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ ×ÙÎÏÓÉÔÓÑ.
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ËÒÉÔÅÒÉÊ ÏÂÒÁÔÉÍÏÓÔÉ ÍÁÔÒÉ Ù ÒÁÚÍÅÒÁ 2 × 2 É ÆÏÒÍÕÌÁ (9-6)
ÄÌÑ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÎÁÄ ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ×ÅÒÎÙ, Á ÎÁÄ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ, ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÉÍÓÑ ÏÌÅÍ, ÎÕÖÄÁÀÔÓÑ × ÕÔÏÞÎÅÎÉÉ: 2 × 2-ÍÁÔÒÉ Á ÎÁÄ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ ÏÂÒÁÔÉÍÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ Å£ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ det F ÏÂÒÁÔÉÍ, É ÅÓÌÉ ÜÔÏ ÔÁË, ÔÏ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ
ÆÏÒÍÕÌÁ (9-6) ÄÌÑ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ 9.2.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 9.9. äÏËÁÖÉÔÅ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ.
9.4.2. ðÒÉÍÅÒÙ ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÍÁÔÒÉ 2 × 2. íÁÔÒÉ Á ×ÉÄÁ
a b
0 d
162
§9. íÁÔÒÉ Ù
Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÉÚ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ (ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÇÏ) ËÏÌØ Á R ÏÂÒÁÔÉÍÁ ÔÏÇÄÁ
É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÂÒÁÔÉÍ٠ţ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÉÚ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á a b x y = ax + bz ay + bw = 1 0
0 d z w
dz
dw
0 1
×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ dw = 1 É dz = 0, ÏÔËÕÄÁ d ÏÂÒÁÔÉÍ, Á w = d−1 É z = 0. ðÏÜÔÏÍÕ
ax = 1, ÏÔËÕÄÁ a ÏÂÒÁÔÉÍ, Á x = a−1 . ÏÇÄÁ × ÒÁ×ÏÍ ×ÅÒÈÎÅÍ ÕÇÌÕ ÏÌÕÞÁÅÍ
ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ay + bd−1 = 0, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ y = −a−1bd−1. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
a b −1 = a−1 −a−1 bd−1
0
d− 1
0 d
áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÔÉÍÏÓÔØ ÍÁÔÒÉ Ù ×ÉÄÁ
a 0
Ó d
ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÏÂÒÁÔÉÍÏÓÔÉ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× a, d, É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ
a 0 −1 =
a− 1
0
−1 −1
d−1
Ó d
−d a
a b É 0 b ÏÂÒÁÔÉÍÙ ÔÏÇÄÁ É
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 9.10. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Ù
0
d
ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÂÒÁÔÉÍÙ ÏÂÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁ É b, É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ
a b −1 = 0
0
b− 1
−1
−b−1 a −1
É
0 b −1 =
d
−1 −1
− db
b− 1
−1
0
éÚ ÒÏÄÅÌÁÎÎÙÈ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÒÏË:
1) ÒÉÂÁ×ÌÅÎÉÅ Ë ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÓÔÒÏË ÄÒÕÇÏÊ, ÕÍÎÏÖÅÎÎÏÊ
ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ
ËÏÌØ Á
2) ÅÒÅÍÅÎÁ Ä×ÕÈ ÓÔÒÏË ÍÅÓÔÁÍÉ
3) ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÓÔÒÏËÉ
ÎÁ
ÜÌÅÍÅÎÔ ËÏÌØ Á
ÚÁÄÁÀÔÓÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑÍÉ ÎÁ ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù É, ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÍÏÇÕÔ ÒÉÍÅÎÑÔØÓÑ ÄÌÑ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ ÍÅÔÏÄÏÍ çÁÕÓÓÁ ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ.
ÓÌÅ×Á
ÓÌÅ×Á
ÏÂÒÁÔÉÍÙÊ
163
9.4. îÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÅ ËÏÌØ Á
9.4.3. ðÒÉÍÅÒ: ÏÂÒÁÔÉÍÏÓÔØ ÕÎÉÔÒÅÕÇÏÌØÎÙÈ ÍÁÔÒÉ . äÉÁÇÏÎÁÌÉ


∗
∗


∗
É


∗
∗ 

∗
Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ,
É
ÄÒÁÔÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(ÓÏÏÔ×.
)
ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÎÕÌØ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ÓÔÏÑÝÉÅ ÏÄ (ÓÏÏÔ×. ÎÁÄ)
ÌØÀ.
ÇÌÁ×ÎÏÊ
×ÅÒÈÎÅÊ
ÎÉÖÎÅÊ
. ë×Á, ÅÓÌÉ Õ ÎÅ£
ÄÉÁÇÏÎÁ-
ÏÂÏÞÎÏÊ
ÔÒÅÕÇÏÌØÎÏÊ
ÇÌÁ×ÎÏÊ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 9.11. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÄ ÌÀÂÙÍ (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ)
ËÏÌØ ÏÍ R ×ÅÒÈÎÉÅ É ÎÉÖÎÉÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÏÄËÏÌØ Á ×
Matn (R).
åÓÌÉ × ËÏÌØ Å R ÅÓÔØ ÅÄÉÎÉ Á, ÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù Ó ÅÄÉÎÉ ÁÍÉ ÎÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ
ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
.
ÕÎÉÔÒÅÕÇÏÌØÎÙÍÉ
ìÅÍÍÁ 9.2
ìÀÂÁÑ ×ÅÒÈÎÑÑ ÕÎÉÔÒÅÕÇÏÌØÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á A = (aij ) ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ (× ÔÏÍ
ÞÉÓÌÅ, ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ) ËÏÌØ ÏÍ Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ ÏÂÒÁÔÉÍÁ, ÒÉÞ£Í B = A−1 ÔÏÖÅ
×ÅÒÈÎÑÑ ÕÎÉÔÒÅÕÇÏÌØÎÁÑ Ó ÎÁÄÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ
bij = −aij +
j −i
X
s=2
(−1)s
X
i<1 <:::s−1 <j
ai a · · · as− j
1
1 2
1
(9-14)
ðÒÑÍÏÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÍÅÔÏÄÏÍ çÁÕÓÓÁ. äÌÑ ÍÁÔÒÉ Ù 4 × 4

1 a12 a13 a14 
0
1 a23 a24 

A=
0
0 1 a34 
0 0 0 1
ÏÎÏ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÔÁË: ÒÉÉÓÙ×ÁÅÍ ÓÒÁ×Á ÅÄÉÎÉÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ

1 a12 a13 a14 1 0 0 0
0
1 a23 a24 0 1 0 0


0
0 1 a34 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
ÚÁÎÕÌÑÅÍ 1-Ê ÓÔÏÌÂÅ ÎÁÄ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÀ ÉÓÏÌØÚÕÑ 2-À ÓÔÒÏËÕ

1 0 a13 − a12 a23 a14 − a12 a24 1 −a12 0 0
0 1
a23
a24 0
1 0 0


0 0
1
a34 0
0 1 0
0 0
0
1 0 0 0 1
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
164
úÁÄÁÞÉ Ë §9
ÚÁÎÕÌÑÅÍ 2-Ê ÓÔÏÌÂÅ ÎÁÄ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÀ ÉÓÏÌØÚÕÑ 3-À ÓÔÒÏËÕ

1 0 0 a14 − a12 a24 − a13 a34 + a12 a23 a34 1 −a12 −a13 + a12 a23 0
0 1 0
a24 − a23 a34 0
1
−a23 0


0 0 1
0
1 0
a34 0
0 0 0
1 0 0
0 1
ÎÁËÏÎÅ , ÚÁÎÕÌÑÅÍ ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÓÔÏÌÂÅ , ÉÓÏÌØÚÕÑ 4-À ÓÔÒÏËÕ, ÏÌÕÞÁÑ ÓÒÁ×Á

1 −a12 −a13 + a12 a23 −a14 + a12 a24 + a13 a34 − a12 a23 a34 
0
−a23
−a24 + a23 a34 
1

A−1 = 
0
0
1
−a23 
0 0
0
1
÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÕÄÏÂÎÏ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË 1; 2; : : : ; n É ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ÍÁÔÒÉÞÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ aij ËÁË ÓÔÒÅÌËÕ, ×ÅÄÕÝÕÀ ÉÚ j × i , Á ÌÅ×ÏÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ
ÎÁ aij | ËÁË ÒÏÈÏÄ ÉÚ j × i Ï ÜÔÏÊ ÓÔÒÅÌËÅ. ÏÇÄÁ ÆÏÒÍÕÌÁ (9-14) ÇÌÁÓÉÔ, ÞÔÏ
bij ÒÁ×ÅÎ ÓÕÍÍÅ ×ÓÅÈ ÍÁÒÛÒÕÔÏ×, ×ÅÄÕÝÉÈ ÉÚ j × i, × ËÏÔÏÒÕÀ ×ÓÅ ÍÁÒÛÒÕÔÙ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÅ ÉÚ s ÓÔÒÅÌÏË, ×ÈÏÄÉÔ ÓÏ ÚÎÁËÏÍ (−1)s. ðÏ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÕÍÎÏÖÁÑ n × (2n)ÍÁÔÒÉ Õ A E ÓÌÅ×Á ÎÁ ÍÁÔÒÉ Õ


1 b12 b13 : : : b1 (n−1) 0
0 1 b23 : : :
b2 (n−1) 0



.
.
.
.
.
.
.
.

. .
.
.
S=


0 : : : 0 1 b(n−2) (n−1) 0

0 : : : : : : 0

1
0
0 ::: ::: :::
0
1
× ÌÅ×ÏÍ ×ÅÒÈÎÅÍ ÕÇÌÕ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÏÉÔ ÍÁÔÒÉ Á ÒÁÚÍÅÒÁ (n−1)×(n−1), ÏÂÒÁÔÎÁÑ Ë
×ÅÒÈÎÅÊ ÌÅ×ÏÊ ÕÇÌÏ×ÏÊ ÏÄÍÁÔÒÉ Å × A, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÊ ÅÒ×ÙÍÉ (n − 1) ÓÔÒÏËÁÍÉ
É ÓÔÏÌ ÁÍÉ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ × ÏÓÌÅÄÎÅÍ n-ÔÏÍ ÓÔÏÌ ŠÌÅ×ÏÊ ÏÌÏ×ÉÎÙ ÍÁÔÒÉ Ù
S· A E
× ÏÚÉ ÉÉ (i; n) ÓÕÍÍÕ a1n + b12 a2n + b13 a3n + · · · + b1 (n−1) a(n−1) n ×ÓÅÈ ÍÁÒÛÒÕÔÏ×,
×ÅÄÕÝÉÈ ÉÚ n × i, × ËÏÔÏÒÕÀ ËÁÖÄÙÊ ÍÁÒÛÒÕÔ ÄÌÉÎÙ s ×ÈÏÄÉÔ ÓÏ ÚÎÁËÏÍ (−1)s−1.
ïÂÎÕÌÑÑ ÜÔÏÔ ÓÔÏÌÂÅ ÍÅÔÏÄÏÍ çÁÕÓÓÁ, ÏÌÕÞÁÅÍ × n-Í ÓÔÏÌ ŠÒÁ×ÏÊ ÏÌÏ×ÉÎÙ
ÍÁÔÒÉ Ù ÔÒÅÂÕÅÍÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ bin.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §9
165
úÁÄÁÞÉ Ë §9


a 0 0
Á) Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ  0 b 0 
0 0
úÁÄÁÞÁ 9.1. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÍÁÔÒÉ Ù, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ
Â) ÓÏ ×ÓÅÍÉ n × n-ÍÁÔÒÉ ÁÍÉ.
úÁÄÁÞÁ 9.2. ðÕÓÔØ ÍÁÔÒÉ Á A ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÁ, É ×ÓŠţ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÒÁÚ-
ÌÉÞÎÙ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÍÁÔÒÉ Á, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÁÑ Ó A, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ f (A),
ÇÄÅ f (x) ∈ k[x℄ | ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ (ÓÒ. Ó ÚÁÄ. 9.8 ÎÉÖÅ).
úÁÄÁÞÁ 9.3. îÁ ÏÂÏÞÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ n × n-ÍÁÔÒÉ Ù A ÓÔÏÑÔ ÞÉÓÌÁ
os(2=ak ) +
i sin(2=ak ) Ó ÎÅËÉÍÉ a1 ; a2 ; : : : ; an ∈ N, × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÍÅÓÔÁÈ | ÎÕÌÉ. îÁÊÄÉÔÅ
ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ m, ÔÁËÏÅ ÞÔÏ Am = E .
úÁÄÁÞÁ 9.4. îÁÊÄÉÔÅ × Mat2 (k) ×ÓÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
Á) X 2 = 0
Â) X 3 = 0
×) X 2 = X
Ç) X 2 = E
Ä) X 2 = −E .
úÁÄÁÞÁ 9.5. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á A ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÏÌÉÎÏÍÉ-
ÁÌØÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ ×ÉÄÁ Am + a1 Am−1 + · · · + am−1 A + am E = 0 , ÇÄÅ ai ∈ k .
úÁÄÁÞÁ 9.6. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÑËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á A ∈ Mat2 (k) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏ-
ÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ.
úÁÄÁÞÁ 9.7. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÑËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÒÁÎÇÁ 1 ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ Ó×ÏÅÍÕ Ë×Á-
ÄÒÁÔÕ.
úÁÄÁÞÁ 9.8 (ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÁÔÒÉ Ù). äÌÑ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ
f = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an ∈ k[x℄ ÏÌÏÖÉÍ f (A) = a0 An + a1 An−1 +
· · · + an−1 A + an E , É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ k[A℄ ⊂ Matn (k) ÏÂÒÁÚ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ
×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ
f 7→f (A) evA : k[x℄
Matn (k)
ðÒÉ×ÅÄ£ÎÎÁÑ ÏÂÒÁÚÕÀÝÁÑ ÇÌÁ×ÎÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ ker evA ⊂ k[x℄ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÍÁÔÒÉ Ù A É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ A (x). Á) õËÁÖÉÔÅ ÈÏÔØ ÏÄÎÕ ÍÁÔÒÉ Õ A ∈ Mat2 (Z) Ó A (x) = x2 − 2 É ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Q[A℄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÅÍ.
Â) ðÏÄÂÅÒÉÔÅ A ∈ Mat2 (R) Ó R[A℄ ≃ C É Ñ×ÎÏ ÏÉÛÉÔÅ ×ÓÅ ÍÁÔÒÉ Ù, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ
ÓÏÓÔÏÉÔ ÜÔÏ ÏÌÅ.
×) îÁÊÄÉÔÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÁÔÒÉ Ù

0
1


E=
0
 ..
.
0
0
0
1
...
:::
:::
:::
...
...
0
Ç) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ dim k[A℄ ⩽ n.
0
0
..
.
0
1

−an
−an−1 

.. 
. 


−a2 
−a1
A, B É C ÒÁÚÍÅÒÏ×
Á) rk (AB ) ⩽ min(rk A; rk B )
×) rk (A) + rk (B ) ⩽ rk (AB ) + `
úÁÄÁÞÁ 9.9. äÏËÁÖÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÎÁ ÒÁÎÇÉ ÍÁÔÒÉ
k × `, ` × m É m × n ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ:
Â) rk (AB ) + rk (BC ) ⩽ rk (ABC ) + rk (B )
166
úÁÄÁÞÉ Ë §9
9 ÚÁÏÌÎÅÎÁ
úÁÄÁÞÁ 9.10. éÍÅÀÔÓÑ ÓÅÍØ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÂÁÎÏË, ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÁ 10
ËÒÁÓËÏÊ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÓÅÍÉ ×ÅÔÏ× ÒÁÄÕÇÉ (× ËÁÖÄÏÊ ÂÁÎËÅ { Ó×ÏÊ ×ÅÔ É ×ÓÅ ×ÅÔÁ
ÒÁÚÎÙÅ). íÏÖÎÏ ÌÉ ÅÒÅÌÉ×ÁÑ ËÒÁÓËÕ ÉÚ ÂÁÎËÉ × ÂÁÎËÕ (É ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ÒÁÚÍÅÛÉ×ÁÑ ÓÏÄÅÒÖÉÍÏÅ) ÏÌÕÞÉÔØ ÈÏÔÑ ÂÙ × ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÂÁÎÏË ËÏÌÅÒ, × ËÏÔÏÒÏÍ ×ÓÅ
ÓÅÍØ ËÒÁÓÏË ÓÍÅÛÁÎÙ × ÒÁ×ÎÏÊ ÒÏÏÒ ÉÉ?
úÁÄÁÞÁ 9.11 (ËÏÍÍÕÔÁÔÏÒÙ). òÁÚÎÏÓÔØ [A; B ℄ = AB − BA ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÏÒÏÍ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÈ ÍÁÔÒÉ A; B ∈ Matn (k ). äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ A; B; C
ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ä×Á ÒÁ×ÉÌÁ ìÅÊÂÎÉ Á : Á) [A; BC ℄ = [A; B ℄C + B [A; C ℄
Â) [A; [B; C ℄℄ = [[A; B ℄; C ℄ + [B; [A; C ℄℄ .
úÁÄÁÞÁ 9.12. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ (A + B )n ÞÅÒÅÚ Ai B j , ÅÓÌÉ
×* ) [A; B ℄ = A .
úÁÄÁÞÁ 9.13 (ÓÌÅÄ). óÕÍÍÁ tr A =
Á) [A; B ℄ = 0 ; Â* ) [A; B ℄ = B ;
P
aii ÓÔÏÑÝÉÈ ÎÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÏÍ ÜÔÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) ÓÌÅÄ ËÏÍÍÕÔÁÔÏÒÁ tr [A; B ℄ = 0 ∀ A; B ∈ Matn (k)
Â) tr (C −1 AC ) = tr (A) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ A ∈ Matn (k) É C ∈ GLn (k) (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÌÅÄ
ÍÁÔÒÉ Ù Fe = Fee ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÁ F : V - V ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ
ÂÁÚÉÓÁ e, × ËÏÔÏÒÏÍ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÜÔÁ ÍÁÔÒÉ Á)
×) ÅÓÌÉ tr (AX ) = 0 ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù X Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÓÌÅÄÏÍ, ÔÏ
A = E ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ∈ k.
úÁÄÁÞÁ 9.14 (ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù). îÅÎÕÌÅ×ÁÑ ÍÁÔÒÉ Á A ∈ Matn (k) ÎÁÚÙ-
×ÁÅÔÓÑ ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÏÊ , ÅÓÌÉ An = 0 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ n ∈ N. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) ÅÓÌÉ A ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÁ, ÔÏ ÏÂÅ ÍÁÔÒÉ Ù E ± A ÏÂÒÁÔÉÍÙ
Â) ÓÕÍÍÁ ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÙÈ ÍÁÔÒÉ A É B ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÁ
×) A + B ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÁ ÄÌÑ ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÙÈ A É B Ó [A; B ℄ = 0
Ç* ) A + B ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÁ ÄÌÑ ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÙÈ A É B Ó [A; [A; B ℄℄ = [B; [B; A℄℄ = 0 .
úÁÄÁÞÁ 9.15. ðÕÓÔØ A ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÁ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Ù ×ÉÄÁ f (A), ÇÄÅ f ∈
x · k[[x℄℄ ÒÏÂÅÇÁÅÔ ÒÑÄÙ ÂÅÚ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÞÌÅÎÁ, ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÁÂÅÌÅ×Õ ÇÒÕÕ Ó ÏÅÒÁ ÉÅÊ f (A) ∗ g(A) def
= f (A) + g(A) − f (A)g(A) .
úÁÄÁÞÁ 9.16 (ÕÎÉÏÔÅÎÔÎÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù). íÁÔÒÉ Á A ∈ Matn (k) ÎÁÄ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ A = E + N , ÇÄÅ N ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÁ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Á) ÎÁÄ ÏÌÅÍ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÕÎÉÏÔÅÎÔÎÏÓÔØ ÍÁÔÒÉ Ù A ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ
ÔÏÍÕ, ÞÔÏ A 6= E , ÎÏ An = E ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ n ∈ N Â) ÎÁÄ ÏÌÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ
P k
ÎÕÌØ ÕÎÉÏÔÅÎÔÎÏÓÔØ ÍÁÔÒÉ Ù A ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ A = eN =
N =k! ,
ÕÎÉÏÔÅÎÔÎÏÊ
k⩾0
ÇÄÅ N ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÁ1.
úÁÄÁÞÁ 9.17. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù A ∈ Matn (C) ×
ÓÔÅÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ ÚÁÄÁ£Ô ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÉÚ ÏÄËÏÌØ Á C[[z ℄℄, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÈÏÄÑÝÉÈÓÑ ÒÑÄÏ×, × ËÏÌØ Ï C[A℄, ÒÉÞ£Í ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÈÏÄÑÝÅÇÏÓÑ ÒÑÄÁ F ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ fF;A(z ) ∈ C[z ℄ ÓÔÅÅÎÉ ⩽ (n − 1), ÔÁËÏÊ
ÞÔÏ fF;A(A) = F (A).
1
ÔÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÍÙ ÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ N = E
0 def
167
úÁÄÁÞÉ Ë §9
úÁÄÁÞÁ 9.18. ðÕÓÔØ W = V ⊕ V É dim V = n . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) End(W ) ≃ Mat2×2 (End(V )).
A
B
Â) ÅÓÌÉ A; B; C; D ∈ Matn (k), A ÏÂÒÁÔÉÍÁ, É ÒÁÎÇ (2n) × (2n)-ÍÁÔÒÉ Ù C D
ÒÁ×ÅÎ ÒÁÎÇÕ ÍÁÔÒÉ Ù A, ÔÏ D = CA−1 B
×) ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÞÅÔÙÒÅ ÍÁÔÒÉ Ù A; B; C; D ∈ Matn (k) ÏÂÒÁÔÉÍÙ, ÔÏ ÍÁÔÒÉ Ù
A − BD−1 C ; C − DB −1 A ; B − AC −1 D ; D − CA−1 B
ÔÏÖÅ ÏÂÒÁÔÉÍÙ É
A B −1 =
C D
(A − BD−1 C )−1 (C − DB −1 A)−1
(B − AC −1 D)−1 (D − CA−1 B )−1
úÁÄÁÞÁ 9.19 (ÌÏËÁÌØÎÏ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÞÕÍÙ). îÁÏÍÎÉÍ (ÓÍ. ÚÁÄ. 1.18), ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï P ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍ (ÓÏËÒÁÝ£ÎÎÏ ÞÕÍÏÍ) ÅÓÌÉ ÎÁ ΣÍ
ÚÁÄÁÎÏ ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ x ⩽ y, ËÏÔÏÒÏÅ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ1 , ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ2 É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ : ÉÚ x ⩽ y É y ⩽ È ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ x = y . ÞÕÍ P ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÏËÁÌØÎÏ
def
ËÏÎÅÞÎÙÍ, ÅÓÌÉ ∀ x; y ∈ P × P ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï [x; y ℄ = { z | x ⩽ z ⩽ y } ËÏÎÅÞÎÏ.
ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÏËÁÌØÎÏ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÞÕÍÁÍÉ:
Á) N Ó ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ n|m
Â) ËÏÎÅÞÎÙÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X Ó ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ X ⊆ Y
úÁÄÁÞÁ 9.20 (ÏÂÒÁÝÅÎÉÅ í£ÂÉÕÓÁ). äÌÑ ÌÏËÁÌØÎÏ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÕÍÁ P ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ
ÞÅÒÅÚ A (P) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÆÕÎË ÉÊ %(x; y) : P × P - R , ÏÂÒÁÝÁÀÝÉÈÓÑ ×
ÎÕÌØ ÎÁ ×ÓÅÈ ÁÒÁÈ (x; y), ÎÅ ÎÁÈÏÄÑÝÉÈÓÑ × ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ x ⩽ y, É ÚÁÄÁÄÉÍ ÎÁ ΣÍ
ÓÌÏÖÅÎÉÅ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ
%1 + %2 : (x; y) 7−→ %1 (x; y) + %2 (x; y)
X
%1 ∗ %2 : (x; y) 7−→
%1 (x; z )%2 (z; y)
x⩽z ⩽y
ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) A (P) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ (ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ) ËÏÌØ ÏÍ Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ
Â) ÆÕÎË ÉÑ % ∈ A (P) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ä×ÕÓÔÏÒÏÎÎÅÊ ÏÂÒÁÔÎÏÊ,
ËÏÇÄÁ %(x; x) 6= 0 ∀ x ∈ P
×) ÆÕÎË ÉÑ (x; y), Ä×ÕÓÔÏÒÏÎÎÅ ÏÂÒÁÔÎÁÑ Ë ÆÕÎË ÉÉ
(x; y) def
=
(
1 ÒÉ x ⩽ y
0 × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ
ÍÏÖÅÔ ×ÙÞÉÓÌÅÎÁ Ï ÌÀÂÏÊ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ Ä×ÕÈ ÆÏÒÍÕÌ3
(x; y) = −
1
2
3
X
x⩽z<y
Ô. Å. x ⩽ x ∀ x
Ô. Å. ÉÚ x ⩽ y É y ⩽ z ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ x ⩽ z
ÚÁÉÓØ x < y ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ x ⩽ y É x 6= y
(x; z ) = −
X
x<z ⩽y
(z; y)
168
úÁÄÁÞÉ Ë §9
( ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÅÊ íÅÂÉÕÓÁ ÞÕÍÁ P).
Ç) ñ×ÎÏ ÏÉÛÉÔÅ ÆÕÎË ÉÀ íÅÂÉÕÓÁ ÄÌÑ ÞÕÍÁ N Ó ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ x|y.
g
Ä) ðÕÓÔØ ÄÌÑ ÆÕÎË ÉÉ g : P - R ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÓÕÍÍ
(x) =
X
y<x
g(y) :
ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ g ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÉÚ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ
g(x) =
X
y<x
(y)(y; x) :
Å) ñ×ÎÏ ÏÉÛÉÔÅ ÆÕÎË ÉÀ í£ÂÉÕÓÁ ÄÌÑ ÞÕÍÁ ×ÓÅÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ÄÁÎÎÏÇÏ nÜÌÅÍÅÎÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X Ó ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ X ⊂ Y É ÕÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÒÅÄÙÄÕÝÁÑ
ÆÏÒÍÕÌÁ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ ÅÓÔØ ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ ËÁË €ÆÏÒÍÕÌÁ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ-ÉÓËÌÀÞÅÎÉс
(ÄÒÕÇÉÅ ÒÉÍÅÒÙ ÆÕÎË ÉÊ É ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ í£ÂÉÕÓÁ ×ÓÔÒÅÞÁÌÉÓØ ÎÁÍ × ÚÁÄ. 3.20,
ÚÁÄ. 4.22 (×), ÚÁÄ. 4.28 É ÚÁÄ. 4.31).
§10. ïÒÅÄÅÌÉÔÅÌÉ
éÎÔÕÉÔÉ×ÎÙÍ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ËÒÉÔÅÒÉÅÍ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÎÁÂÏÒÁ ×ÅËÔÏÒÏ× v1; v2; : : : ; vn × n-ÍÅÒÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÝÅÎÉÅ × ÎÕÌØ
ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÜÔÉ ×ÅËÔÏÒÙ
ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ò£ÂÅÒ, ÉÓÈÏÄÑÝÉÈ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ×ÅÒÛÉÎÙ (ÓÍ. ÒÉÓ. 10⋄1).
îÅ ÓÔÁ×Ñ ÓÅÂÅ ÚÁÄÁÞÕ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÏÂß£Í ÓËÏÌØ-ÎÉÂÕÄØ ÏÂÝÅÊ ÆÉÇÕÒÙ, ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÂß£Í ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ, ËÁË ÂÙ ÏÎ ÎÉ ÏÒÅÄÅÌÑÌÓÑ, ÄÏÌÖÅÎ ÏÂÌÁÄÁÔØ
Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ Ä×ÕÍÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ: ×Ï-ÅÒ×ÙÈ,
ÏÎ ÎÅ ÄÏÌÖÅÎ ÍÅÎÑÔØÓÑ ÒÉ €ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÍ ÅÒÅËÏÓŁ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ × ÌÀÂÏÊ
ÌÏÓËÏÓÔÉ ×ÄÏÌØ ÌÀÂÏÊ ÉÚ ÓÔÏÒÏÎ, ÅÓÌÉ ÒÉ ÜÔÏÍ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔÓÑ ×ÙÓÏÔÁ, ËÁË ÎÁ
ÒÉÓ. 10⋄2 (ÉÂÏ €ÏÔÒÅÚÁÅÍÙʁ ÒÉ ÜÔÏÍ ËÕÓÏË ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏ ÅÒÅÎÏÓÉÔÓÑ É €ÒÉÓÔÁ×ÌÑÅÔÓс Ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ); ×Ï-×ÔÏÒÙÈ ÒÉ ÒÁÓÔÑÖÅÎÉÉ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÓÔÏÒÏÎ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ × ÒÁÚ ÏÂß£Í ÄÏÌÖÅÎ ÕÍÎÏÖÁÔØÓÑ ÎÁ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÒÉ ÕÄ×ÏÅÎÉÉ
ÌÀÂÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ ÏÂß£Í ÕÄ×ÁÉ×ÁÅÔÓÑ). ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÜÔÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ
ÏÂß£Í ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÏÓÔÏÑÎÎÏÇÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ.
10.1. ïÂߣÍ.
ÏÂߣÍÁ
λv1
v2
v3
v2
v2 + λv1
v1
òÉÓ. 10⋄1.
v2
v2
v1
v1
−v1
òÉÓ. 10⋄2.
òÉÓ. 10⋄3.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 10.1
æÕÎË ÉÑ ! : V1 × V2 × · · · × Vn - k, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÁÑ ËÁÖÄÏÍÕ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÍÕ ÎÁÂÏÒÕ ×ÅËÔÏÒÏ× (v1; v2; : : : ; vn) n-ÍÅÒÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V
(ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ
)
ÞÉÓÌÏ !(v1; v2; : : : ; vn) ∈ k , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V , ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ Ä×ÕÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍ:
1) ÒÉ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÊ Ë ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ÌÀÂÏÇÏ
ÄÒÕÇÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÏÂß£Í ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ:
! ( : : : ; vi + vj ; : : : ; vj ; : : : ; ) = ! ( : : : ; vi ; : : : ; vj ; : : : ; )
2) ÒÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× ÎÁ ÞÉÓÌÏ ÏÂß£Í ÕÍÎÏÖÁÅÔÓÑ ÎÁ ÜÔÏ
ÞÉÓÌÏ: !(v1; : : : ; vi−1; · vi; vi+1; : : : ; vn) = · !(v1; : : : ; vi−1; vi; vi+1; : : : ; vn).
10.1.1. ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ Ë ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ. çÌÁ×ÎÙÍ ÏÔÌÉÞÉÅÍ ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÏÊ
×ÙÛÅ ÆÏÒÍÙ ÏÂߣÍÁ ÏÔ ÏÎÑÔÉÑ ÏÂߣÍÁ, ÒÉÎÑÔÏÇÏ × ÛËÏÌØÎÏÍ ËÕÒÓÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï, ÚÁÌÏÖÅÎÎÏÅ ÎÁÍÉ × (2) : ÒÉ ÚÁÍÅÎÅ ÌÀÂÏÇÏ
ÉÚ ×ÅËÔÏÒÏ× ÎÁ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÊ ÏÂß£Í ÕÍÎÏÖÁÅÔÓÑ ÎÁ −1. îÁÄ ÏÌÅÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ R ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÆÏÒÍÁ ÏÂߣÍÁ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ n◦ 10.1
ÕÞÉÔÙ×ÁÅÔ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÁÂÓÏÌÀÔÎÕÀ ×ÅÌÉÞÉÎÕ ÏÂߣÍÁ, ÎÏ É
ÎÁÂÏÒÁ
ÆÏÒÍÏÊ ÏÂߣÍÁ
ÏÂߣÍÏÍ
ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÀ
169
170
§10. ïÒÅÄÅÌÉÔÅÌÉ
×ÅËÔÏÒÏ× (ÓÍ. ÒÉÓ. 10⋄3): ÒÉ ÚÁÍÅÎÅ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÊ ÁÒÙ ×ÅËÔÏÒÏ× (v1; v2) ÁÒÏÊ (−v1; v2) ËÒÁÔÞÁÊÛÉÊ ÕÇÏÌ Ï×ÏÒÏÔÁ ÏÔ ÅÒ×ÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÍÅÎÑÅÔ
Ó×ÏÊ ÚÎÁË ÎÁ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÊ, ËÁË É ÎÁÛÁ ÆÏÒÍÁ ÏÂߣÍÁ. îÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ
ÏÌÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ ÒÏ ÚÎÁËÉ ÞÉÓÅÌ ÎÅÔ ÓÍÙÓÌÁ, É ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÕÓÌÏ×ÉÊ (1) É (2)
ÂÕÄÅÔ
ÏÂߣÍÁ: ÏÎ ÕÍÎÏÖÁÅÔÓÑ ÎÁ −1 ÒÉ ÅÒÅÍÅÎÅ ÍÅÖÄÕ
ÓÏÂÏÀ ÍÅÓÔÁÍÉ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ×ÅËÔÏÒÏ× (ÓÍ. ÌÅÍ. 10.1 ÎÉÖÅ).
éÚ Ó×ÏÊÓÔ×Á (2) ÔÁËÖÅ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÂß£Í ÚÁÎÕÌÑÅÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÏÄÉÎ ÉÚ ×ÅËÔÏÒÏ× ÎÕÌÅ×ÏÊ: ! ( : : : ; 0; : : : ) = ! ( : : : ; 0 · 0; : : : ) = 0·! ( : : : ; 0; : : : ) = 0 . ðÏÜÔÏÍÕ
ÏÂß£Í ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ×ÅËÔÏÒÏ× ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ: ÓËÁÖÅÍ, ÅÓÌÉ
v 1 = 2 v 2 + · · · + n v n ;
ÔÏ !(v1; v2; : : : ; vn) = !(v1 − 2v2 − · · · − nvn; v2; : : : ; vn) = !(0; v2; : : : ; vn) = 0 .
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÂß£Í ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ÅÓÌÉ ËÁËÉÅ-ÔÏ Ä×Á ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ.
ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 10.2
æÕÎË ÉÑ : V1 × V2 × · · · × Vm - k, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÁÑ ËÁÖÄÏÍÕ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÍÕ ÎÁÂÏÒÕ ÉÚ m ×ÅËÔÏÒÏ×1 ÞÉÓÌÏ (v1; v2; : : : ; vn) ∈ k , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÔ m ×ÅËÔÏÒÏ× (ÉÌÉ, ËÏÒÏÞÅ,
m
ÎÁ V ), ÅÓÌÉ ÌÉÎÅÊÎÁ Ï ËÁÖÄÏÍÕ Ó×ÏÅÍÕ ÁÒÇÕÍÅÎÔÕ (ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ) É ÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË ÒÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ Ó×ÏÉÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×
ÍÅÓÔÁÍÉ.
ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÊ
ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ
ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ
-
ÆÏÒÍÏÊ
ìÅÍÍÁ 10.1
ïÂß£Í Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ÏÔ n = dim V ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ
! ( : : : ; v + w; : : : ) = ! ( : : : ; v; : : : ) + ! ( : : : ; w; : : : )
(10-1)
ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÂÁ ÎÁÂÏÒÁ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙ,
ÔÏ ÎÁÂÏÒ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÔÏÖÅ ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍ, É ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÏÂÅ
ÞÁÓÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÎÕÌÅ×ÙÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÙ ÅÒ×ÏÇÏ
ÓÌÁÇÁÅÍÏÇÏ ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V . ÷ÙÒÁÚÉ× w ÞÅÒÅÚ
ÜÔÏÔ ÂÁÚÉÓ, ÍÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÅÇÏ × ×ÉÄÅ w = %v + u, ÇÄÅ u Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ
ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ (n − 1) ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×. ðÏ ÅÒ×ÏÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ÏÂߣÍÁ ÌÅ×ÁÑ
ÞÁÓÔØ (10-1) ÒÁ×ÎÁ
! ( : : : ; v + w; : : : ) = ! ( : : : ; ( + %)v + u; : : : ) = ! ( : : : ; ( + %)v; : : : ) ;
Á ×ÔÏÒÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ (10-1) ÒÁ×ÎÏ
! ( : : : ; w; : : : ) = ! ( : : : ; %v + u; : : : ) = ! ( : : : ; %v; : : : ) :
1
ÏÄÞÅÒËΣÍ, ÞÔÏ × ÜÔÏÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÉ m ÍÏÖÅÔ ÏÔÌÉÞÁÔØÓÑ ÏÔ dim V = n
171
10.2. úÎÁË ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ
ÅÍ ÓÁÍÙÍ, Ï ×ÔÏÒÏÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ÏÂߣÍÁ, ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ
! ( : : : ; v; : : : ) + ! ( : : : ; %v; : : : ) = ( + %) ! ( : : : ; v; : : : )
ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÌÅ×ÏÊ. äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ:
(10-2)
!(: : : ; v; : : : ; w; : : : ) = −!(: : : ; w; : : : ; v; : : : )
ÒÉÍÅÎÉÍ Ë ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÔÒÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÅÒ×ÏÇÏ ÔÉÁ: ÓÎÁÞÁÌÁ ÒÉÂÁ×ÉÍ w Ë v, ÏÔÏÍ ÏÔÎÉÍÅÍ v + w ÉÚ w, ÏÔÏÍ ÒÉÂÁ×ÉÍ −v Ë v + w:
!(: : : ; v; : : : ; w; : : : ) = !(: : : ; v + w; : : : ; w; : : : ) =
= !(: : : ; v + w; : : : ; −v; : : : ) = !(: : : ; w; : : : ; −v; : : : ) :
ðÏ ×ÔÏÒÏÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ ÏÂߣÍÁ ÜÔÏ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔØÀ (10-2).
10.2. ïÔÓÔÕÌÅÎÉÅ: ÚÎÁË ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ. îÁÚÏ×£Í ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÀ ËÁËÉÈ-ÎÉÂÕÄØ Ä×ÕÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÉÚ ÎÅËÏÅÇÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ
ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ.
ÔÒÁÎÓÏ-
ÚÉ ÉÅÊ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 10.1. õÂÅÄÉÔÅÓØ × ÜÔÏÍ.
ðÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ, ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÅ × ×ÉÄÅ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ Þ£ÔÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ,
ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
, Á ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ, ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÀÝÉÅÓÑ × ËÏÍÏÚÉ ÉÀ ÎÅÞ£ÔÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ |
.
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ ÉÍÅÅÔ
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÊ ×
ËÏÍÏÚÉ ÉÀ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ (3; 2; 1) ÞÉÓÅÌ (1; 2; 3) ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ËÁË 12 23 12 É ËÁË 23 12 23 , ÇÄÅ ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ÞÅÒÅÚ ij ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÀ i-ÔÏÇÏ É j -ÔÏÇÏ (ÓÞÉÔÁÑ ÓÌÅ×Á) ÓÉÍ×ÏÌÏ× ÎÁÂÏÒÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×Ï×ÓÅ ÎÅ
ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Þ£ÔÎÙÈ É ÎÅÞ£ÔÎÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ.
ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÎÉËÁËÁÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ Þ£ÔÎÏÊ É ÎÅÞ£ÔÎÏÊ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÍÙ ÕËÁÖÅÍ ÓÏÓÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ Þ£ÔÎÏÓÔÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ,
ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÝÉÊ Å£ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ × ËÏÍÏÚÉ ÉÀ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ. âÕÄÅÍ ÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ËÁË ÜÌÅÍÅÎÔÙ
Sn ×ÓÅÈ ÂÉÅËÔÉ×ÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÉÚ n-ÜÌÅÍÅÎÔÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {1; 2; : : : ; n} × ÓÅÂÑ, ËÁË
× n◦ 1.6.1 (ÓÍ. ÓÔÒ. 18). îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ ÔÁËÏÊ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÉ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÍÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ g : {1; 2; : : : ; n} - {1; 2; : : : ; n} ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ
(g1; g2; : : : ; gn), ÎÁ i-ÔÏÍ ÍÅÓÔÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÏÉÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ gi = g(i) ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ g.
îÁÚÏ×£Í ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÕÀ ÁÒÕ ÞÉÓÅÌ (i; j ), × ËÏÔÏÒÏÊ 1 ⩽ i < j ⩽ n,
ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ g ∈ Sn, ÅÓÌÉ g(i) > g(j ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÁÖÄÁÑ
ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ g ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔ n2-ÜÌÅÍÅÎÔÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÁÒ
{i < j } ⊂ {1; 2; : : : ; n}
ÎÁ Ä×Á ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á | ÉÎ×ÅÒÓÎÙÅ ÁÒÙ É ÎÅÉÎ×ÅÒÓÎÙÅ ÁÒÙ. üÔÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÔ g É €ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÚÎÅԁ ÒÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ g ×
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ.
Þ£ÔÎÙÍÉ
ÎÅÞ£ÔÎÙÍÉ
ÍÎÏÇÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ
ÉÎ-
×ÅÒÓÎÏÊ ÁÒÏÊ
172
§10. ïÒÅÄÅÌÉÔÅÌÉ
ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ Þ£ÔÎÏÓÔØ ÞÉÓÌÁ ÉÎ×ÅÒÓÎÙÈ ÁÒ ËÁÖÄÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó Þ£ÔÎÏÓÔØÀ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙŠţ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÌÏÖÉÔØ.
äÌÑ ÎÁÞÁÌÁ ÒÏ×ÅÒÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ g É ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÉ ij i-ÔÏÇÏ É j -ÔÏÇÏ (ÓÞÉÔÁÑ ÓÌÅ×Á) ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÁÂÏÒÁ Þ£ÔÎÏÓÔØ ÞÉÓÌÁ ÉÎ×ÅÒÓÎÙÈ ÁÒ Õ
ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË g É ij ◦g ÒÁÚÌÉÞÎÁ. ðÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ g É ij ◦g ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÏÔ
ÄÒÕÇÁ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× gi = g(i) É gj = g(j ), ÓÔÏÑÝÉÈ ÎÁ i-ÔÏÍ É j -ÔÏÍ
ÍÅÓÔÁÈ × ÓÌÏ×ÁÈ
g = (g1 ; : : : ; gi−1 ; gi ; gi+1 ; : : : ; gi−1 ; gj ; gj +1; : : : ; gn)
(10-3)
i;j ◦g = (g1 ; : : : ; gi−1 ; gj ; gi+1 ; : : : ; gi−1 ; gi ; gj +1; : : : ; gn) :
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 10.2. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ Õ Ä×ÕÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË (10-3) ÉÎ×ÅÒÓÎÏÓÔØ ÁÒÙ
(i; j ), Á ÔÁËÖÅ 2(j −i−1) ÁÒ ×ÉÄÁ (i; m) É (m; j ) Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ m ÉÚ ÒÏÍÅÖÕÔËÁ
i < m < j ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÁ1, Á ÉÎ×ÅÒÓÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÁÒ ÏÄÉÎÁËÏ×Á.
éÚ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÔÏ ×ÚÑÔÉÅ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ Ó ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÅÊ ÍÅÎÑÅÔ Þ£ÔÎÏÓÔØ ÞÉÓÌÁ ÉÎ×ÅÒÓÎÙÈ ÁÒ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÌÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ g ÒÁÚÌÏÖÅÎÁ ×
ËÏÍÏÚÉ ÉÀ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ, ÔÏ Þ£ÔÎÏÓÔØ ÞÉÓÌÁ ÉÎ×ÅÒÓÎÙÈ ÁÒ × ÎÅÊ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ
ÏÔ Þ£ÔÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁ ÉÎ×ÅÒÓÎÙÈ ÁÒ × ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÎÁ
Þ£ÔÎÏÓÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ, × ËÏÔÏÒÕÀ ÒÁÚÌÏÖÉÌÁÓØ g , É, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ,
ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÓÏÓÏÂÁ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ g × ËÏÍÏÚÉ ÉÀ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ.
ÅÏÒÅÍÁ 10.1 (ÚÎÁË ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ)
óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÉÚ ÇÒÕÙ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË × ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÕÀ ÇÒÕÕ ÚÎÁËÏ× sgn : Sn -- {±1} , ÔÁËÏÊ ÞÔÏ sgn(Id) = 1 É
sgn(ij ) = −1 ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÉ ij ∈ Sn .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÁË ËÁË ÌÀÂÁÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ, ÚÎÁË ×ÓÅÈ Þ£ÔÎÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÒÁ×ÅÎ +1, Á ÚÎÁË ×ÓÅÈ
ÎÅÞ£ÔÎÙÈ −1 . ðÏÓËÏÌØËÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Þ£ÔÎÙÈ É ÎÅÞ£ÔÎÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ, ÜÔÏ ÒÁ×ÉÌÏ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÉÚ Sn × ÇÒÕÕ
ÚÎÁËÏ×. çÏÍÏÍÏÒÆÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, Ô. Å. ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
sgn(g1g2) = sgn(g1) sgn(g2) ;
×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ Þ£ÔÎÏÓÔÉ Þ£ÔÎÁ,
Á ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÊ Þ£ÔÎÏÓÔÉ | ÎÅÞ£ÔÎÁ.
10.2.1. ðÒÉÍÅÒ: ÒÁ×ÉÌÏ ÎÉÔÏÞÅË. éÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÑ Þ£ÔÎÏÓÔÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ËÁË Þ£ÔÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁ ÉÎ×ÅÒÓÎÙÈ ÁÒ ÄÁ£Ô ËÏÎËÒÅÔÎÙÊ ÓÏÓÏ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ Þ£ÔÎÏÓÔÉ, × ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÏËÁÚÙ×ÁÀÝÉÊÓÑ ÏÌÅÚÎÙÍ. îÁÉÛÅÍ ÄÒÕÇ ÏÄ ÄÒÕÇÏÍ ÉÓÈÏÄÎÙÅ ÞÉÓÌÁ 1, 2, . . . , n É ÉÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ g = (g1; g2; : : : ; gn), ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ
ÓÏÅÄÉÎÉÍ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÞÉÓÌÁ ÎÉÔÑÍÉ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÎÉ ÏÄÎÁ ÉÚ ÎÉÔÅÊ ÎÅ ×ÙÌÅÚÁÌÁ
Ô. Å. ÅÓÌÉ ÂÙÌÉ ÉÎ×ÅÒÓÎÙÍÉ × g, ÔÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅÉÎ×ÅÒÓÎÙÍÉ × g◦hi; j i É ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ
ÂÙÌÉ ÎÅÉÎ×ÅÒÓÎÙÍÉ × g, ÔÏ ÓÔÁÌÉ ÉÎ×ÅÒÓÎÙÍÉ × g◦hi; j i
1
173
10.2. úÎÁË ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ
ÚÁ ÒÅÄÅÌÙ ÞÅÔÙÒ£ÈÕÇÏÌØÎÉËÁ 1 n gn g1 (ÓÍ. ÒÉÓ. 10⋄4) É ÞÔÏÂÙ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÎÉÔÅÊ ÂÙÌÉ ÒÏÓÔÙÍÉ Ä×ÏÊÎÙÍÉ1 . ÏÇÄÁ Þ£ÔÎÏÓÔØ ÞÉÓÌÁ ÉÎ×ÅÒÓÎÙÈ
ÁÒ ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÎÁ Þ£ÔÎÏÓÔÉ ÞÉÓÌÁ ÔÏÞÅË ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÎÉÔÅÊ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 10.3. äÏËÁÖÉÔÅ ÜÔÏ É ÎÁÊÄÉÔÅ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÒÁ×ÉÌÁ ÎÉÔÏÞÅË Þ£Ô-
ÎÏÓÔØ ÔÁÓÕÀÝÅÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ (i1 ; i2 ; : : : ; ik ; j1 ; j2 ; : : : ; jm ) , × ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁÂÏÒÙ
ÎÏÍÅÒÏ× {i }; {j } ⊂ {1; 2; : : : ; n} ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ, É ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ÓÔÒÏÇÏ
×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
9
6
1
8
3
5
7
4
òÉÓ. 10⋄4.
sgn(2; 9; 6; 1; 8; 3; 5; 7; 4) = +1 (×ÓÅÇÏ 18 ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ)
ÅÏÒÅÍÁ 10.2
îÁ ËÁÖÄÏÍ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ Ó
ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ ÎÅÎÕÌÅ×ÁÑ ÆÏÒÍÁ ÏÂߣÍÁ !. åÓÌÉ ×ÅËÔÏÒÙ
e1 ; e2 ; : : : ; en ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ V , ÔÏ ÏÂß£Í ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ×ÅËÔÏÒÏ×
(v1; v2; : : : ; vn) = (e1; e2; : : : ; en) C ; ÇÄÅ C = ( ij ) ∈ Matn(k) ;
×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÏÂß£Í ÂÁÚÉÓÁ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ
!(v1 ; v2 ; : : : ; vn ) = !(e1 ; e2 ; : : : ; en ) · det C ; ÇÄÅ
(10-4)
X
(10-5)
det C = sgn(g) · g 1 g 2 · · · gnn
g∈Sn
1
2
(ÞÉÓÌÏ det C ∈ k ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÁÔÒÉ Ù C ).
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. æÏÒÍÕÌÙ (10-4), (10-6) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÅÇÏ ÆÁËÔÁ, ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÇÏ ÄÌÑ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÏÒÍ ÏÔ ÌÀÂÏÇÏ ÞÉÓÌÁ
ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.
ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÅÍ
ìÅÍÍÁ 10.2
ðÕÓÔØ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× w = (w1; w2; : : : ; wm) ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÎÁÂÏÒ
×ÅËÔÏÒÏ× v = (v1; v2; : : : ; vm) ËÁË v = wC , ÇÄÅ C = ( ij ) ∈ Matm(k). ÏÇÄÁ
ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÌÀÂÏÊ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ m-ÆÏÒÍÙ ! ÎÁ ×ÅËÔÏÒÁÈ v É w Ó×ÑÚÁÎÙ
ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ !(w1; w2; : : : ; wm) = !(v1; v2; : : : ; vm) · det C .
ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ Ä×Å ÎÉÔÉ, ÒÉÞ£Í ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÏ: \= , Á ÎÅ Ï ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ: )(
1
174
§10. ïÒÅÄÅÌÉÔÅÌÉ
ðÏÄÓÔÁ×ÉÍ × !(w1; w2; : : : ; wm) ×ÍÅÓÔÏ ËÁÖÄÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ
ÅÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ wj = g1j v1 + g2j v2 + · · · + gmj vm É ×ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔØÀ
ÏÂߣÍÁ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×:
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
!(w1 ; w2 ; : : : ; wm ) = !
X
1
=
1 v ;
1
X
1
1 2 ::: m
X
2
2 v ; : : : ;
2
2
X
m
m m vm
(
=
1 1 · 2 2 · · · · · m m · ! v1 ; v2 ; : : : ; vm
):
ÁË ËÁË ÒÉ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÉ Ä×ÕÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× ÏÂß£Í ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ, ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ×ËÌÁÄ × ÏÓÌÅÄÎÀÀ ÓÕÍÍÕ ÄÁÀÔ ÔÏÌØËÏ ÎÁÂÏÒÙ (1; 2; : : : ; m ), Ñ×ÌÑÀÝÉÅÓÑ
ÞÉÓÅÌ (1; 2; : : : ; m). ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ g ∈ Sm
!(vg ; vg ; : : : ; vgm ) = sgn(g) !(v1; v2 ; : : : ; vm ) ;
ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ P sgn(g) · g 1 g 2 · · · gnn · !(v1; v2; : : : ; vm). g∈Sn
éÚ (10-4) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÆÏÒÍÙ ÏÂߣÍÁ !1 , !2 ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙ.
÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÚÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ × V ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÂÁÚÉÓ e. ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ
×ÅËÔÏÒÏ× v = eC
!1 (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) = !1 (e1 ; e2 ; : : : ; en ) det C =
= !!1((ee1;; ee2;; :: :: :: ;; een)) · !2(e1; e2; : : : ; en) det C =
2 1 2
n
= !!1((ee1;; ee2;; :: :: :: ;; een)) · !2(v1; v2; : : : ; vn) :
2 1 2
n
ïÓÔÁ£ÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
ÎÅÎÕÌÅ×ÁÑ ÆÏÒÍÁ ÏÂߣÍÁ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÂÁÚÉÓ e1; e2; : : : ; en ∈ V , ÏÌÏÖÉÍ
!(e1 ; e2 ; : : : ; en ) = 1 É ÒÏÄÏÌÖÉÍ ÆÏÒÍÕ ! ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÎÁÂÏÒÙ ×ÅËÔÏÒÏ×
Ï ÆÏÒÍÕÌÁÍ (10-4), (10-6):
!(v1 ; v2 ; : : : ; vn ) = det C ÄÌÑ (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) = (e1 ; e2 ; : : : ; en ) · C :
ðÏÓËÏÌØËÕ det C ÌÉÎÅÅÎ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÓÔÏÌÂ Õ ÍÁÔÒÉ Ù C , ÏÓÔÒÏÅÎÎÁÑ ÆÏÒÍÁ
! ÌÉÎÅÊÎÁ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÁÒÇÕÍÅÎÔÕ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÎÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×Õ
(2) ÉÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÏÂߣÍÁ, Á Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍ ÉÚ Ó×ÏÊÓÔ×Á (1)
×ÅÄ£Ô ÓÅÂÑ ÔÁË:
! ( : : : ; vi + vj ; : : : ; vj ; : : : ; ) =
= ! ( : : : ; vi ; : : : ; vj ; : : : ; ) + ! ( : : : ; vj ; : : : ; vj ; : : : ; ) :
÷ÔÏÒÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ ÚÁÎÕÌÑÅÔÓÑ Ï ÉÄÕÝÅÊ ÓÌÅÄÏÍ ÌÅÍ. 10.3. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÅÒ×ÏÅ
Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÏÂߣÍÁ ÔÏÖÅ ×ÙÏÌÎÅÎÏ, É ÔÅÏÒ. 10.2 ÏÌÎÏÓÔØÀ ÄÏËÁÚÁÎÁ.
ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ
1
2
1
2
175
10.3. ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÅÊ
ìÅÍÍÁ 10.3
åÓÌÉ × ÍÁÔÒÉ Å C ÅÓÔØ ÁÒÁ ÓÏ×ÁÄÁÀÝÉÈ ÓÔÏÌ Ï×, ÔÏ det C = 0 .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ k = ` ÒÉ ×ÓÅÈ . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ∈ Sn ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÀ i-ÔÏÇÏ É j -ÔÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ Sn g7→g - Sn ÒÁ×ÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÓÁÍÏÊ ÓÅÂÅ ÂÉÅË ÉÅÊ, É g 6= g ÎÉ ÒÉ
ËÁËÏÍ g, ×ÓÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ ÓÕÍÍÙ (10-6) ÒÁÚÂÉ×ÁÀÔÓÑ ÎÁ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÁÒÙ
×ÉÄÁ sgn(g) · g 1 g 2 · · · gnn +sgn(h) · h 1 h 2 · · · hnn , ÇÄÅ h = g. úÎÁËÉ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ
sgn(h) = −sgn(g) × ËÁÖÄÏÊ ÔÁËÏÊ ÁÒÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙ, Á ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉÞÎÙÈ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÏÄÉÎÁËÏ×Ù, ÔÁË ËÁË


gj ÒÉ j 6= k; `
hj = g(j ) = g` ÒÉ j = k


gk ÒÉ j = `
ÏÔËÕÄÁ hj j = gj j ÒÉ j 6= k; ` É Óhkk Óg`` = Óg`k Ógk` = Óg``Ógkk (ÉÂÏ k = ` ÒÉ
×ÓÅÈ ). ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ ËÁÖÄÏÊ ÁÒÙ ÓÏËÒÁÝÁÀÔ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ.
10.3. ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÅÊ. óÕÍÍÁ
X
det C = sgn(g) · g 1 g 2 · · · gnn
(10-6)
1
2
1
g∈Sn
2
1
2
ÕÓÔÒÏÅÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ÷ n × n-ÍÁÔÒÉ Å C ×ÓÅÍÉ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ
×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ n ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÔÁË, ÞÔÏÂÙ × ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÅ É × ËÁÖÄÏÍ ÓÔÏÌ ŠÏËÁÚÁÌÏÓØ ×ÙÂÒÁÎÏ ÒÏ×ÎÏ Ï ÏÄÎÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÌÅÔÏË, × ËÏÔÏÒÙÈ ÓÔÏÑÔ
×ÙÂÒÁÎÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË ÇÒÁÆÉË ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ j 7→ g(j ) ÉÚ ÎÏÍÅÒÏ× ÓÔÒÏË × ÎÏÍÅÒÁ ÓÔÏÌ Ï×. üÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ. ÷ÙÂÒÁÎÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÅÒÅÍÎÏÖÁÀÔÓÑ, É ×ÓÅ ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÔÁËÉÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ m! ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÏ ÚÎÁËÁÍÉ, ÒÁ×ÎÙÍÉ ÚÎÁËÁÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË g.
îÁÒÉÍÅÒ, ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÉ ×ÔÏÒÏÇÏ É ÔÒÅÔØÅÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ
det
det

11
 21
31
11
21
12
22
12
22
32
13
23 
33

= 11 22 − 12 21
= 11 22 33 + 13 21 32 + 12 23 31−
− 11 23 32 − 13 22 31 − 12 21 33
(×Ï ×ÔÏÒÏÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Å ÓÎÁÞÁÌÁ ×ÙÉÓÁÎÙ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ É Ä×Å ÉËÌÉÞÅÓËÉÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ, ÏÔÏÍ | ÔÒÉ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÉ).
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ × ÄÁÎÎÏÍ ×ÙÛÅ ÏÉÓÁÎÉÉ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÄÒÕÇ ÎÁ ÄÒÕÇÁ ÓÌÏ×Á €ÓÔÒÏËÁ É €ÓÔÏÌÂÅ , Á ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ g ÎÁ ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ g−1, Ï
176
§10. ïÒÅÄÅÌÉÔÅÌÉ
ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù. ðÏÓËÏÌØËÕ sgn(g) =
sgn(g−1 (ÅÓÌÉ g = 1 2 : : : k , ÔÏ g−1 = k k−1 : : : 1 ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÅÈ ÖÅ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ), ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÔÁËÏÅ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 10.1
ïÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÍÁÔÒÉ Ù: det C = det C t. ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 10.2
ïÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ det C ÏÌÉÌÉÎÅÅÎ É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÎ É ËÁË ÆÕÎË ÉÑ ÏÔ ÓÔÏÌÂÏ× ÍÁÔÒÉ Ù, É ËÁË ÆÕÎË ÉÑ ÏÔ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉ Ù. ðÒÉ ÇÁÕÓÓÏ×ÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ
ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÈ ÓÔÒÏË (ÓÏÏÔ×. ÓÔÏÌ Ï×) ÅÒ×ÏÇÏ ÔÉÁ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ, ÒÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÈ ×ÔÏÒÏÇÏ ÔÉÁ | ÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË, ÒÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÈ
ÔÒÅÔØÅÇÏ ÔÉÁ | ÕÍÎÏÖÁÅÔÓÑ ÎÁ ÔÕ ÖÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ, ÞÔÏ É ÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍÁÑ ÓÔÒÏËÁ
(ÓÏÏÔ×. ÓÔÏÌÂÅ ). åÓÌÉ ÒÁÎÇ ÍÁÔÒÉ Ù C ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ Å£ ÒÁÚÍÅÒ, ÔÏ det C = 0 .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. úÁÄÁÄÉÍ ÎÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å kn ÏÂß£Í ! ÔÁË,
ÞÔÏÂÙ ÏÂß£Í ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÎÏÇÏ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ !(e1; e2; : : : ; en) = 1 . ðÏ
ÔÅÏÒ. 10.2 ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ det C ÔÏÇÄÁ ÒÁ×ÅÎ ÏÂߣÍÕ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ, ÎÁÔÑÎÕÔÏÇÏ
ÎÁ ÓÔÏÌ ٠ÍÁÔÒÉ Ù C . ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÏÂߣÍÁ ×ÓÅ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÅ × ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÉÍÅÀÔ ÍÅÓÔÏ, ÏÎÉ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ É ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ
ÒÏ ÓÔÒÏËÉ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÍÁÔÒÉ Ù C .
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 10.3
det(AB ) = det(A) det(B ) ∀ A; B ∈ Matn(k).
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÓÌÉ ÓÔÏÌ ٠v1 ; v2 ; : : : ; vn ∈ kn ÍÁÔÒÉ Ù A ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙ, ÔÏ ÓÔÏÌ ٠ÍÁÔÒÉ Ù AB , ÌÅÖÁÝÉÅ × ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ ÓÔÏÌ Ï× ÍÁÔÒÉ Ù
A, ÔÏÖÅ ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙ, É ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÎÕÌÅ×ÙÅ. åÓÌÉ ÖÅ ×ÅËÔÏÒÙ vi
ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ, ÔÏ ÚÁÄÁÄÉÍ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å kn Ä×Å ÆÏÒÍÙ ÏÂߣÍÁ: !e, ÔÁËÕÀ ÞÔÏ ÏÂß£Í ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÎÏÇÏ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ !e(e1; e2; : : : ; en) = 1,
É !v , ÔÁËÕÀ ÞÔÏ !v (v1; v2; : : : ; vn) = 1. ðÏ ÔÅÏÒ. 10.2 ÜÔÉ Ä×Å ÆÏÒÍÙ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ det A:
!e = !e(v1 ; v2 ; : : : ; vn ) · !v = det(A) · !v :
îÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× w = vB = eAB , ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ × ÂÁÚÉÓÅ v ÚÁÄÁÀÔÓÑ
ÓÔÏÌ ÁÍÉ ÍÁÔÒÉ Ù B , ÉÍÅÅÔ × ÂÁÚÉÓÅ e ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÅ ÓÔÏÌ ÁÍÉ
ÍÁÔÒÉ Ù AB . ðÏ ÔÅÏÒ. 10.2
!e(w1 ; w2 ; : : : ; wn ) = det(AB ) É !v (w1 ; w2 ; : : : ; wn ) = det(B ) :
éÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÍÙ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ det(AB ) = det(A) det(B ) . óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 10.1
det(AB ) = det(BA)
∀ A; B ∈
Matn(K ).
10.3. ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÅÊ
177
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 10.2
íÁÔÒÉ Á A ∈ Matn(k) ÏÂÒÁÔÉÍÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ËÏÇÄÁ det A 6= 0.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÏÚÎÁÞÁÅÔ åÓÌÉ A ÏÂÒÁÔÉÍÁ, ÔÏ det(A) det(A−1 ) = det(E ) = 1,
ÏÔËÕÄÁ det(A) 6= 0 . åÓÌÉ ÍÁÔÒÉ Á ÎÅÏÂÒÁÔÉÍÁ, ÔÏ Ï ÌÅÍ. 9.1 Å£ ÓÔÏÌ ٠ÌÉÎÅÊÎÏ
ÚÁ×ÉÓÉÍÙ, É ÔÏÇÄÁ det A = 0 Ï ÒÅÄÌ. 10.2.
10.3.1. îÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù. ëÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ, ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÁ
Ë×ÁÄÒÁÔÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ A ÒÁÚÍÅÒÁ n × n É ÎÁ ÏÅÒÁÔÏÒ A : kn - kn, ÉÍÅÀÝÉÊ
ÍÁÔÒÉ Õ A × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á kn, ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ:
◦ det A 6= 0
◦ rk A = n
◦ A ÏÂÒÁÔÉÍÁ
n
ÓÉÓÔÅÍÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Ax = b ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ
◦ ∀ b∈k
n
n
- kn ÂÉÅËÔÉ×ÅÎ
◦ ÏÅÒÁÔÏÒ A : k
◦ ker A = 0
◦ im A = k .
íÁÔÒÉ Ù (É ÏÅÒÁÔÏÒÙ), ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÅ ÜÔÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
.
10.3.2. óÅ ÉÁÌØÎÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÇÒÕÁ. ÷ÙÂÅÒÅÍ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÂÁÚÉÓ
e = (e1 ; e2 ; : : : ; en ) É ÓÏÏÓÔÁ×ÉÍ ËÁÖÄÏÍÕ ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÏÅÒÁÔÏÒÕ F : V - V ÅÇÏ
ÍÁÔÒÉ Õ Fe, ÔÁË ÞÔÏ F (e) = e Fe (× ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÉÚ n◦ 9.3.2). ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÉ ×ÙÂÏÒÅ ÄÒÕÇÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ " = e Ce" ÍÁÔÒÉ Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ F" = Ce"−1FeCe" ,
Å£ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ det F" = det Ce"−1 · det Fe · det Ce" = det Fe ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ
ÂÁÚÉÓÁ. ðÏÜÔÏÍÕ Õ ËÁÖÄÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÅÓÔØ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÊ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ det F ∈ k. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ det F ÍÏÖÎÏ ÏÉÓÁÔØ ËÁË ËÏÜÆÆÉÉÅÎÔ, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÊ ÕÍÎÏÖÁÀÔÓÑ ÏÂߣÍÙ ×ÓÅÈ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÈ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÏ×
× ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ Ë ÎÉÍ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F :
det(F ) = ! (F!v(1v; F; vv2;;: :: :: ;: v; F) vn) ;
(10-7)
1 2
n
ÇÄÅ ! | ÌÀÂÁÑ ÎÅÎÕÌÅ×ÁÑ ÆÏÒÍÁ ÏÂߣÍÁ ÎÁ V , Á v1; v2; : : : ; vn | ÌÀÂÁÑ ÌÉÎÅÊÎÏ
ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÁÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ×ÅËÔÏÒÏ×.
ÎÅ×ÙÒÏ-
ÖÄÅÎÎÙÍÉ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 10.4. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ (10-7) ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÎÉ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ
ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÆÏÒÍÙ ÏÂߣÍÁ, ÎÉ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ×ÅËÔÏÒÏ×
v1 ; v2 ; : : : ; vn .
ïÅÒÁÔÏÒÙ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ ÏÄÉÎ ÏÂÒÁÚÕÀÔ × ÏÌÎÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÇÒÕÅ GL(V )
ÏÄÇÒÕÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ SL(V ) É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V . çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ, ÓÅ ÉÁÌØÎÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÇÒÕÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×, ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÉÈ ÏÂߣÍ. óÅ ÉÁÌØÎÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÇÒÕÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á kn ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÍÁÔÒÉ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ 1 É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ SLn(k) ⊂ GLn(k) .
10.3.3. ðÒÉÍÅÒ: ÒÁ×ÉÌÏ ëÒÁÍÅÒÁ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ a1 ; a2 ; : : : ; an ∈ kn
ÓÔÏÌ ٠Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù A ∈ Matn(k) É ÄÏÇÏ×ÏÒÉÍÓÑ, ÞÔÏ det(v1; v2; : : : ; vn)
ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÏ ÓÔÏÌ ÁÍÉ v1; v2; : : : ; vn ∈ kn.
÷ ÜÔÉÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÓÔÏÌÂÅ x ∈ kn ÒÅÛÅÎÉÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
Ax = b, ÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ b = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an . éÓÏÌØÚÕÑ
ÓÅ ÉÁÌØÎÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ
ÇÒÕÏÊ
178
§10. ïÒÅÄÅÌÉÔÅÌÉ
ÏÉÓÁÎÎÏÅ × ÒÅÄÌ. 10.2 Ï×ÅÄÅÎÉÅ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ ÒÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÈ 1-ÇÏ É 3-ÇÏ ÔÉÁ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
det(a1; : : : ; ai−1; b; ai+1 ; : : : ; an) =
= xi · det(a1; : : : ; ai−1; ai; ai+1; : : : ; an) = xi det(A) :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ i = 1; 2; : : : ; n ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ det A
ÍÁÔÒÉ Ù ÓÉÓÔÅÍÙ Ax = b ÎÁ i-ÔÕÀ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÕ ÌÀÂÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÒÁ×ÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÀ ÍÁÔÒÉ Ù, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÉÓÔÅÍÙ ÚÁÍÅÎÏÊ i-ÔÏÇÏ
ÓÔÏÌ Á ÎÁ ÓÔÏÌÂÅ ÒÁ×ÙÈ ÞÁÓÔÅÊ. üÔÏÔ ÆÁËÔ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ËÁË
.
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÒÉ det A 6= 0 (ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ) ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ Ax = b ÄÁ£ÔÓÑ
ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ xi = det(a1; : : : ; ai−1; b; ai+1 ; : : : ; an)= det(A) . îÁÒÉÍÅÒ, ÓÉÓÔÅÍÁ
(
ax + by = x + dy = ÉÍÅÅÔ
−b)
=(ad
x =(d′′ ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏÏÌÁ ÒÅÛÅÎÉÑ
−b ) É y = (a − )=(ad−
b ′).
′
1
0
x
d
−1
ÇÁÑ ′ = 0 É ′′ = 1 , ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÒÅÛÅÎÉÑ y′ = (ad − b ) −
′′ x
−1 −b
É y′′ = (ad − b ) a , ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÓÏÂÏÀ ÓÔÏÌ ٠ÏÂÒÁÔÎÏÊ Ë A
′ ′′ a
b
x
x
1
0
−1
ÍÁÔÒÉ Ù A , ÉÂÏ d y′ y′′ = 0 1 . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
ÒÁ×ÉÌÏ ëÒÁÍÅÒÁ
d −b ;
−
a
= (ad − b )
ÞÔÏ ÓÏÇÌÁÓÕÅÔÓÑ Ó ÏÌÕÞÅÎÎÏÊ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (9-6).
−1
−1
A
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 10.5. ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÉÚ ÒÁ×ÉÌÁ ëÒÁÍÅÒÁ, ÞÔÏ ÓÔÏÑÝÉÊ × i-ÔÏÊ ÓÔÒÏËÅ É j -
ÔÏÍ ÓÔÏÌ ŠÜÌÅÍÅÎÔ bij ÍÁÔÒÉ Ù B = A−1 , ÏÂÒÁÔÎÏÊ Ë ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Å
A ∈ Matn (k), ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ: bij = (−1)i+j Abjbi = det(A) , ÇÄÅ ÞÅÒÅÚ Abjbi
ÏÂÏÚÎÁÞÅÎ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÍÁÔÒÉ Ù ÒÁÚÍÅÒÁ (n − 1) × (n − 1), ÏÓÔÁÀÝÅÊÓÑ ÏÓÌÅ
×ÙËÉÄÙ×ÁÎÉÑ ÉÚ ÍÁÔÒÉ Ù A j -ÔÏÊ É ÓÔÒÏËÉ É i-ÔÏÇÏ ÓÔÏÌ Á.
ðÏÌÅÚÎÙÍ ÉÎÓÔÒÕÍÅÎÔÏÍ ÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÈ Ó ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑÍÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
(ÉÌÉ
) k h1; 2; : : : ; ni , ËÏÔÏÒÁÑ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞÎÏ ÔÁËÖÅ, ËÁË ÁÌÇÅÂÒÁ ÏÂÙÞÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× k[x1 ; x2 ; : : : ; xn℄, ÎÏ ÔÏÌØËÏ
1 ; 2 ; : : : ; n , × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÏÂÙÞÎÙÈ, ÎÅ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ, Á
ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ, Ô. Å. ÏÄÞÉÎÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ1
(10-8)
i ∧ j = −j ∧ i É i ∧ i = 0 ∀ i; j ;
10.4. çÒÁÓÓÍÁÎÏ×Ù ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ.
ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ
ÁÌÇÅÂÒÁ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Ù ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ
ÁÎÔÉËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ
ÅÓÌÉ har(k) 6= 2 ×ÔÏÒÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÅÒ×ÏÇÏ, ÎÁÉÓÁÎÎÏÇÏ ÄÌÑ i = j ; ÎÁÒÏÔÉ×,
× ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÅ 2 ÅÒ×ÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÏÂÙÞÎÏÅ ËÏÍÍÕÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ, ÔÏÇÄÁ ËÁË
×ÔÏÒÏÅ ÎÁËÌÁÄÙ×ÁÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÏÅ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ, ÏÔÌÉÞÁÀÝÅÅ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Ù
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÏÔ ÏÂÙÞÎÙÈ
1
179
10.4. çÒÁÓÓÍÁÎÏ×Ù ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ
ÇÄÅ ÓÉÍ×ÏÌ € ∧  ÚÄÅÓØ É ÄÁÌÅÅ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ × ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ (ÞÔÏÂÙ ÎÅ ÕÔÁÔØ ÅÇÏ Ó ÏÂÙÞÎÙÍ, ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ × ÁÌÇÅÂÒÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×).
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÚ ËÏÍÍÕÔÁ ÉÏÎÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ (10-8) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ
ÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ×ÈÏÄÉÔ × ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ× ÍÏÎÏÍ ÎÅ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ × ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ, É ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ I ÉÍÅÅÔÓÑ, Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÚÎÁËÁ, ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÍÏÎÏÍ,
ËÕÄÁ ×ÈÏÄÑÔ ÜÔÉ É ÔÏÌØËÏ ÜÔÉ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ. éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÂÁÚÉÓ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÏÊ
ÁÌÇÅÂÒÙ k h1; 2; : : : ; ni ËÁË ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÄ k, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ,
ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÍÏÎÏÍÙ I = i ∧ i ∧ · · · ∧ im ; i1 < i2 < · · · < im . ÷ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÎÉÈ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ
(10-8): j ∧ j ∧ · · · ∧ jm = sgn(g) · jg (1) ∧ jg (2) ∧ · · · ∧ jg (m) , ÇÄÅ g ∈ Sm |
ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ, ×ÙÓÔÒÁÉ×ÁÀÝÁÑ ÉÎÄÅËÓÙ j1; j2 ; : : : ; jm × ÏÒÑÄËÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Ù ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÔÅÅÎÉ m ÏÂÒÁÚÕÀÔ
×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ mn , Á ×ÓÑ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ ÉÍÅÅÔ
ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ dim k h1; 2; : : : ; ni = 2n . íÏÎÏÍÏ× ÓÔÅÅÎÉ ×ÙÛÅ n × çÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÏÊ
ÁÌÇÅÂÒÅ ÎÅÔ, Á ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Ù ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÁÍÏÊ ÓÔÁÒÛÅÊ ÓÔÅÅÎÉ n ÏÂÒÁÚÕÀÔ
ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ó ÂÁÚÉÓÏÍ 1 ∧ 2 ∧ · · · ∧ n .
ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Ù ÍÏÎÏÍÙ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ Ï ÒÁ×ÉÌÕ
(i ∧ i ∧ · · · ∧ im ) ∧ (j ∧ j ∧ · · · ∧ jk ) =
= (−1)km (j ∧ j ∧ · · · ∧ jk ) ∧ (i ∧ i ∧ · · · ∧ im )
(ÄÌÑ ÅÒÅÎÅÓÅÎÉÑ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ k ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ j ÞÅÒÅÚ m ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ i ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ
m ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ). ðÏÜÔÏÍÕ ÌÀÂÙÅ Ä×Á
ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f
É g ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ Ï ÒÁ×ÉÌÕ
(10-9)
f ∧ g = (−1)deg f deg g g ∧ f :
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ Þ£ÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ Ó ÌÀÂÙÍ
ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ.
1
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
2
ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 10.6. ïÉÛÉÔÅ ÅÎÔÒ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ (Ô. Å. ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Ù ÍÎÏ-
ÇÏÞÌÅÎÙ, ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙÅ ÓÏ ×ÓÅÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ).
10.4.1. ðÒÉÍÅÒ: ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÚÁÍÅÎÁ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ðÕÓÔØ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Ù ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ = (1; 2; : : : ; n) ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÅÎÙ ÞÅÒÅÚ ÄÒÕÇÉÅ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Ù ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ = (1; 2; : : : ; n) ËÁË = · A. ÏÇÄÁ ËÁÖÄÙÊ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ× ÍÏÎÏÍ J
ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Ù ÍÏÎÏÍÙ I ÔÏÊ ÖÅ ÓÔÅÅÎÉ:
J = j ∧ j ∧ · · · ∧ jm =
X
X
X
=
i ai j ∧
i ai j ∧ · · · ∧
im a im j m =
1
=
2
X
i1
1
1 1
i2
2
2 2
X
i1 ∧ i2 ∧ · · · ∧ in ·
1⩽i1 <i2 <···<in ⩽n
g∈Sm
in
sgn(g) aig j aig j · · · aig n jn =
(1) 1
(2) 2
( )
=
X
I
I · aIJ ;
180
§10. ïÒÅÄÅÌÉÔÅÌÉ
ÇÄÅ I = (j1; j2 ; : : : ; jm ) ÒÏÂÅÇÁÅÔ ×ÓÅ ÎÁÂÏÒÙ ÉÚ m ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÈ ÎÏÍÅÒÏ×
1 ⩽ i1 < i2 < · · · < i m ⩽ n ;
Á aIJ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ m × m-ÏÄÍÁÔÒÉ Ù × A, ÓÏÓÒÅÄÏÔÏÞÅÎÎÏÊ × ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑÈ ÓÔÒÏË Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ I É ÓÔÏÌ Ï× Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ J . ÁËÏÊ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ IJ -ÔÙÍ
m-ÔÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, IJ -ÔÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÍÁÔÒÉ Ù ÅÒÅÈÏÄÁ ÏÔ ÂÁÚÉÓÁ {J } Ë ÂÁÚÉÓÕ
{I } × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ m ÒÁ×ÅÎ
IJ -ÔÏÍÕ ÍÉÎÏÒÕ m-ÔÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ × ÍÁÔÒÉ Å ÅÒÅÈÏÄÁ ÏÔ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ Ë ÅÒÅÍÅÎÎÙÍ .
åÓÌÉ ËÁË-ÌÉÂÏ ÕÏÒÑÄÏÞÉÔØ ×ÓÅ ÎÁÂÏÒÙ ÉÚ m ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÈ ÉÎÄÅËÓÏ×, ÔÏ
ÍÉÎÏÒÙ m-ÔÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ
Å A ÍÏÖÎÏ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ × Ë×ÁÄÒÁÔÎÕÀ ÍÁ × ÍÁÔÒÉ
n
n
ÔÒÉ Õ (aIJ ) ÒÁÚÍÅÒÁ m × m . üÔÁ ÍÁÔÒÉ Á ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ mA É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
m-ÔÏÊ
ÍÁÔÒÉ Ù A .
äÌÑ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×PÓÔÁÒÛÅÊ ÓÔÅÅÎÉ ÍÁÔÒÉ Á (aIJ ) ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ
ÏÄÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ É ÆÏÒÍÕÌÁ J = I · aIJ ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
ÍÉÎÏÒÏÍ
×ÎÅÛÎÅÊ ÓÔÅÅÎØÀ
I
1 ∧ 2 ∧ · · · ∧ n = det(A) · 1 ∧ 2 ∧ · · · ∧ n
(10-10)
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÔÓÀÄÁ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÅÝ£ ÏÄÎÏ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ: ÓÄÅÌÁ× ×ÔÏÒÕÀ ÚÁÍÅÎÕ = B , ÏÌÕÞÉÍ
1 ∧ 2 ∧ · · · ∧ n = det(B ) · 1 ∧ 2 ∧ · · · ∧ n ;
ÏÔËÕÄÁ 1 ∧ 2 ∧ · · · ∧ n = det(A) det(B ) · 1 ∧ 2 ∧ · · · ∧ n , ÎÏ, Ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ,
= BA, ÏÔËÕÄÁ 1 ∧ 2 ∧ · · · ∧ n = det(BA) · 1 ∧ 2 ∧ · · · ∧ n . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
det(BA) = det(A) det(B ) :
(10-11)
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 10.7 (ÒÉ×ÅÄÅÎÉÅ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ). ðÏ-
ËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÊ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ
f ( ) =
X
aij i ∧ j
ÎÁÄ ÌÀÂÙÍ ÏÌÅÍ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÒÁÔÉÍÏÊ ÚÁÍÅÎÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÉÄÕ
1 ∧ 2 + 3 ∧ 4 + · · · + 2 r − 1 ∧ 2 r
(10-12)
(ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Á Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ (10-12) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÏÊ , Á ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ 1 ; 2 ; : : : ; n , × ËÏÔÏÒÙÈ ÆÏÒÍÁ ÒÉÏÂÒÅÔÁÅÔ ÔÁËÏÊ ×ÉÄ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ äÁÒÂÕ ).
181
10.4. çÒÁÓÓÍÁÎÏ×Ù ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ
10.4.2. óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ óÉÌØ×ÅÓÔÒÁ. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏPÎÁÂÏÒÁ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÈ ÉÎ-
ÄÅËÓÏ× J = (j1; j2 ; : : : ; jm ) ÏÌÏÖÉÍ deg J = m , |J | =
j , É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ
J = (j 1 ; j 2 ; : : : ; j n−m ) = {1; 2; : : : ; n} r J
ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÈ ÉÎÄÅËÓÏ× ÄÌÉÎÙ deg J = n − m .
÷ ÜÔÉÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Ù ÍÏÎÏÍÙ J É I ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ
ÓÔÅÅÎÅÊ deg J = m É deg I = n − m ÅÒÅÍÎÏÖÁÀÔÓÑ Ï ÒÁ×ÉÌÕ
(
mm
(
−1)|J |+
1 ∧ 2 ∧ · · · ∧ n ÒÉ I = J
(10-13)
J ∧ I =
0
ÒÉ I 6= J
ÇÄÅ (−1)|J |+ m m = sgn(j1; j2 ; : : : ; jm ; j 1; j 2; : : : ; j n−m) | ÜÔÏ ÚÎÁË
, ×ÙÞÉÓÌÅÎÎÙÊ ÞÉÔÁÔÅÌÅÍ × ÕÒ. 10.3.
úÁÍÅÎÉÍ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Å (10-13) ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÎÁ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ , ÞÅÒÅÚ ËÏÔÏÒÙÅ
ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ = · A . ÷ ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÏÌÕÞÉÍ
X
X
X
mm
K aKJ ∧
L aLI = (−1)
1 ∧ 2 ∧ · · · ∧ n (−1)|K |aKJ aKI ;
(
(
2
2
+1)
+1)
ÔÁÓÕÀÝÅÊ Å-
ÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ
(
K
2
+1)
L
K
ÇÄÅ K ÒÏÂÅÇÁÅÔ ×ÓÅ ÉÎÄÅËÓÙ
ÄÌÉÎÙ deg K = m. á × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÏÌÕÞÉÍ
mm
(−1)|J | det A · 1 ∧ 2 ∧ · · · ∧ n ÒÉ I = J .
ÎÕÌØ ÒÉ I 6= J É (−1)
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÎÁÂÏÒÏ× J , I ÉÚ m ÓÔÒÏË ÌÀÂÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÊ
ÍÁÔÒÉ Ù á ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ
(
X
A ÒÉ I = J
(−1)|K|+|I |aKJ aKI = det
(10-14)
0
ÒÉ
I
=
6
J
K
ÇÄÅ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÉÄ£Ô Ï ×ÓÅÍ ÎÁÂÏÒÁÍ K ÉÚ m = deg K ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉ Ù A.
ðÒÉ I = J ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (10-14) ÄÁ£Ô ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ1
X
(10-15)
det A = (−1)|K|+|J |aKJ aKJ
(
2
+1)
ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ óÉÌØ×ÅÓÔÒÁ
K
ÞÅÒÅÚ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÍÉÎÏÒÙ aKJ ÏÒÑÄËÁ m, ÓÏÓÒÅÄÏÔÏÞÅÎÎÙÅ × m ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÓÔÏÌ ÁÈ ÍÁÔÒÉ Ù A Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ J , É
Ë ÎÉÍ ÍÉÎÏÒÙ aJK ÏÒÑÄËÁ n − m, ÒÁ×ÎÙÅ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑÍ ÍÁÔÒÉ , ÏÌÕÞÁÀÝÉÈÓÑ ÉÚ A
×ÙÞ£ÒËÉ×ÁÎÉÅÍ ×ÓÅÈ ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌ Ï×, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÍÉÎÏÒ aKJ . ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ
(−1)|K|+|J |aKJ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
Ë ÍÉÎÏÒÕ aKJ .
óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ × (10-14) ÒÉ I 6= J
X
(−1)|K|+|I |aJK aIK = 0
(10-16)
ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ
ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅÍ
K
Ó ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÜÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔ ÏÂß£Í n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ ÞÅÒÅÚ ÏÂߣÍÙ ÅÇÏ m-ÍÅÒÎÙÈ É (n − m)-ÍÅÒÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ
1
182
§10. ïÒÅÄÅÌÉÔÅÌÉ
ÉÎÏÇÄÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
, ÏÓËÏÌØËÕ ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (10-16) ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÆÏÒÍÕÌÙ (10-15)
ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ ÞÅÒÅÚ ÓÏÓÒÅÄÏÔÏÞÅÎÎÙÅ × ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÓÔÏÌÂÏ× J ÍÉÎÏÒÙ aJK ÔÅÍ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÍÉÎÏÒÙ ÕÍÎÏÖÁÀÔÓÑ ÎÅ ÎÁ Ó×ÏÉ, Á ÎÁ €ÞÕÖÉŁ
ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ (Á ÉÍÅÎÎÏ, ÎÁ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë ÍÉÎÏÒÁÍ aIK , ÓÏÓÒÅÄÏÔÏÞÅÎÎÙÍ × ÔÅÈ ÖÅ ÓÔÒÏËÁÈ K , ÎÏ × ÄÒÕÇÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÓÔÏÌ Ï× I 6= J ).
ÔÅÏÒÅÍÏÊ ÏÂ ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ ÎÁ ÞÕÖÉÅ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÄÏÏÌÎÅ-
ÎÉÑ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 10.8. õÓÔÁÎÏ×ÉÔÅ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÕÀ ×ÅÒÓÉÀ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ óÉÌØ×ÅÓÔÒÁ
X
K
|I |+|K |
(−1)
aJK aIK =
(
det A ÒÉ I = J
0
ÒÉ I 6= J
(10-17)
åÓÌÉ ËÁË-ÌÉÂÏ ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÔØ mn ÎÁÂÏÒÏ× J ÄÌÉÎÙ deg J = m, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ
ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÔØ mn ÎÁÂÏÒÏ× J ÄÌÉÎÙ n − m ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÎÁÂÏÒ J ÉÍÅÌ ÔÏÔ ÖÅ
ÎÏÍÅÒ, ÞÔÏ É J , ÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ óÉÌØ×ÅÓÔÒÁ ÚÁÉÛÕÔÓÑ ÏÄÎÉÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ
mA · n−mA∨ = det A · E ;
ÎÁ ÍÁÔÒÉ Ù ÒÁÚÍÅÒÁ mn × mn , ÇÄÅ ÞÅÒÅÚ n−mA∨ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÁ ÍÁÔÒÉ Á, (JI )ÔÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁ×ÅÎ (−1)|J |+|I |aIJ .
10.4.3. ðÒÉÓÏÅÄÉΣÎÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á. ðÒÉ m = 1 ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (10-15) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ
I = (i) É K = (k) ÓÕÔØ ÏÄÎÏÜÌÅÍÅÎÔÎÙÅ ÎÁÂÏÒÙ, Á ÍÉÎÏÒ aKI = aki ÜÔÏ ÒÏÓÔÏ
ÍÁÔÒÉÞÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ. áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÎÅÍÕ ÏÂÙÞÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
ÞÅÒÅÚ
Aki def
= (−1)i+k aki
É ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÕÍÎÏÖÅÎÎÙÊ ÎÁ (−1)k+j ÍÉÎÏÒ ÏÒÑÄËÁ (n − 1), ÒÁ×ÎÙÊ
ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÀ ÍÁÔÒÉ Ù, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ A ×ÙÞ£ÒËÉ×ÁÎÉÅÍ k-Ê ÓÔÒÏËÉ É
i-ÇÏ ÓÔÏÌ Á. æÏÒÍÕÌÙ (10-15) É (10-15) ÒÉÏÂÒÅÔÁÀÔ ×ÉÄ
ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÄÌÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ Ï ÓÔÏÌÂ Õ
det(A) =
k+i
X
k
k+j
X
k
akj Akj
akj Aki = 0
(10-18)
îÁÒÉÍÅÒ, ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ 3 × 3 Ï ÅÒ×ÏÍÕ ÓÔÏÌ Õ, ÏÌÕÞÁÅÍ


a11 a12 a13

det a21 a22 a23  =
a31 a32 a33
= a11 (a22 a33 − a23 a32 ) − a21 (a12 a33 − a13 a32 ) + a31 (a12 a23 − a13 a22 )
ÞÔÏ ÓÏÇÌÁÓÕÅÔÓÑ Ó ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ ÓÏ ÓÔÒ. 175.
183
úÁÄÁÞÉ Ë §10
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 10.9. îÁÉÛÉÔÅ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ Ë (10-18) ÄÌÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÏÒÅÄÅÌÉ-
ÔÅÌÑ Ï ÓÔÒÏËÅ.
íÁÔÒÉ Á, ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ Ë ÍÁÔÒÉ Å ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÈ ÄÏÏÌÎÅÎÉÊ Ë ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ ÍÁÔÒÉ Ù A
Ab = (baij ) Ó baij def
= Aji = (−1)i+j aji
(10-19)
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÁÔÒÉ Ù A. ðÒÉ ÏÍÏÝÉ ÒÉÓÏÅÄÉΣÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ×ÓÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (10-18) ÍÏÖÎÏ Ó×ÅÒÎÕÔØ × ÏÄÎÕ ÍÁÔÒÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ


det(A)
0


det(A)


b
b
AA = AA = det(A) · E = 

.
.


.
0
det(A)
ÏÔËÕÄÁ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ Ñ×ÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù Ë ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ
ÍÁÔÒÉ Å A
1 Ab
A−1 =
det A
úÁÍÅÞÁÎÉÅ 10.1. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ
X
det A = sgn(g) · a1g ag 2 · · · angn
ÒÉÓÏÅÄÉΣÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ ÅÊ
g∈Sn
1
2
ÏÒÅÄẠ̊ΠÄÌÑ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÈ ÍÁÔÒÉ Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÍ ËÏÌØ Å K .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 10.10. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÔÁËÏÊ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔ-
ÓÑ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ÏÔ ÓÔÒÏË É ÏÔ ÓÔÏÌ Ï× ÍÁÔÒÉ Ù,
ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ, ÅÓÌÉ ÓÔÒÏËÉ ÉÌÉ ÓÔÏÌ ٠ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙ, É ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ det At = det A, det(AB ) = det A · det B .
áÌÇÅÂÒÕ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× K h1; 2; : : : ; ni ÔÁËÖÅ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÍ ËÏÌØ Å K Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ,
É ×ÓÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÒÁÚÄÅÌÁ ÏÓÔÁÎÕÔÓÑ ÒÉ ÜÔÏÍ × ÓÉÌÅ (ÉÈ ×Ù×ÏÄ ÎÉÇÄÅ
ÎÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌ ÄÅÌÅÎÉÑ). ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÔÁËÏÊ ÏÌÅÚÎÙÊ ËÒÉÔÅÒÉÊ
ÏÂÒÁÔÉÍÏÓÔÉ ÍÁÔÒÉ Ù.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 10.3 (ËÒÉÔÅÒÉÊ ÏÂÒÁÔÉÍÏÓÔÉ ÍÁÔÒÉ Ù)
ë×ÁÄÒÁÔÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á A ∈ Matn(K ) Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÉÚ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÇÏ ËÏÌØ Á K ÏÂÒÁÔÉÍÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ det(A) ÏÂÒÁÔÉÍ × K ,
É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ A−1 = det(1A) Ab .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÓÌÉ A ÏÂÒÁÔÉÍÁ, ÔÏ AA−1 = E , ÏÔËÕÄÁ det(A) det(A−1 ) = 1 .
îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ det A ÏÂÒÁÔÉÍ, ÔÏ det1 A Ab · A = E × ÓÉÌÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ óÉÌØ×ÅÓÔÒÁ.
184
úÁÄÁÞÉ Ë §10
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §10
÷Ï ×ÓÅÈ ÚÁÄÁÞÁÈ Ë ÜÔÏÍÕ ÁÒÁÇÒÁÆÕ k ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÏÌÅ, Á K | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ
ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØ Ï Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ.
úÁÄÁÞÁ 10.1. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ×ÅÒÈÎÅÊ (ÉÌÉ ÎÉÖÎÅÊ) ÔÒÅÕÇÏÌØÎÏÊ ÍÁ-
ÔÒÉ Ù ÒÁ×ÅÎ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×.
úÁÄÁÞÁ 10.2. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ sgn(n; (n − 1); : : : ; 2; 1) É ×ÙÒÁÚÉÔÅ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÍÁÔÒÉ Ù
Ó ÎÕÌÑÍÉ ÒÁ×ÅÅ É ÎÉÖÅ ÏÂÏÞÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÞÅÒÅÚ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÂÏÞÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ. éÚÍÅÎÉÔÓÑ ÌÉ ÏÔ×ÅÔ, ÅÓÌÉ ÎÕÌÉ ÓÔÏÑÔ ÌÅ×ÅÅ É ×ÙÛÅ ÏÂÏÞÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ
(Á ÒÁ×ÁÑ ÎÉÖÎÑÑ ÞÁÓÔØ ÍÁÔÒÉ Ù ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÁ)?
úÁÄÁÞÁ 10.3. ðÕÓÔØ A ∈ Mat
n (k) , C
∈ Matm (k), B ∈ Matn×m (k). äÏËÁÖÉÔÅ ×
Matm+n (k) ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï det A0 B
C = det(A) det(C ) , ÇÄÅ 0 ∈ Matm×n (k) | ÎÕÌÅ×ÁÑ ÍÁÔÒÉ Á.
úÁÄÁÞÁ 10.4. ä×Å ÓÔÒÏËÉ ÍÁÔÒÉ Ù 3 × 3-ÍÁÔÒÉ Ù ÚÁÏÌÎÅÎÙ ÅÌÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ ÔÁË,
ÞÔÏ ÎÏÄ ÞÉÓÅÌ × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÓÔÒÏËÅ ÒÁ×ÅÎ ÅÄÉÎÉ Å. ÷ÓÅÇÄÁ ÌÉ ÔÒÅÔØÀ ÓÔÒÏ-
ËÕ ÜÔÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÍÏÖÎÏ ÚÁÏÌÎÉÔØ ÅÌÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ
ÍÁÔÒÉ Ù ÏËÁÚÁÌÓÑ ÒÁ×ÎÙÍ ÅÄÉÎÉ Å?
úÁÄÁÞÁ 10.5. ÷ÙÉÛÉÔÅ ×ÓÅ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÅ 2 × 2-ÍÁÔÒÉ Ù Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÉÚ ÏÌÑ
F2 . óËÏÌØËÏ ×ÓÅÇÏ ÉÍÅÅÔÓÑ 2 × 2-ÍÁÔÒÉ
Fp ?
Ó ÚÁÄÁÎÎÙÍ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ÎÁÄ ÏÌÅÍ
úÁÄÁÞÁ 10.6. þÉÓÌÁ 1; 2; 3; : : : ; n2 ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÏÒÇÁÎÉÚÕÀÔÓÑ × Ë×Á-
ÄÒÁÔÎÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÒÁÚÍÅÒÁ n × n. îÁÊÄÉÔÅ ÓÕÍÍÕ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ×ÓÅÈ ÜÔÉÈ ÍÁÔÒÉ .
úÁÄÁÞÁ 10.7. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÍÁÔÒÉ Ù Ó ÎÕÌÑÍÉ ÎÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ É
ÅÄÉÎÉ ÁÍÉ ×Ï ×ÓÅÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÍÅÓÔÁÈ.
úÁÄÁÞÁ 10.8. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ 3-ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù Ó ÅÄÉÎÉ ÁÍÉ
Ï ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ É ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÁÄ ÎÅÀ É ÍÉÎÕÓ ÅÄÉÎÉ ÁÍÉ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÄ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÀ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÉÓÌÏÍ æÉÂÂÏÎÁÞÞÉ.
úÁÄÁÞÁ 10.9. äÌÑ ÒÁ×ÉÌÁ f : N × N
- K , ÅÒÅÒÁÂÁÔÙ×ÁÀÝÅÇÏ ÁÒÕ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ
ÞÉÓÅÌ (i; j ) × ÜÌÅÍÅÎÔ f (i; j ) ∈ K , ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ f (i; j ) ∈ Matn (K )
Ë×ÁÄÒÁÔÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ, Õ ËÏÔÏÒÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ × ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ i-ÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ Ó j -ÔÙÍ
ÓÔÏÌ ÏÍ ÒÁ×ÅÎ f (i; j ). ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÉ
ÍÁÔÒÉ :
ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ
j
−1
*
Â) det os( i − j )
×) det i
Ç ) det j −i−1 (mod n)
Á) det ( i j )
(ÇÄÅ 1 ; 2 ; : : : ; n É 1 ; 2 ; : : : ; n ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÎÁÂÏÒÙ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ)
úÁÄÁÞÁ 10.10. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÎÁÂÏÒÁ ÆÕÎË ÉÊ
f 1 ; f 2 ; : : : ; fn : M
- k
ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å M ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ n ÔÏÞÅË x1 ; x2 ; : : : ; xn ∈ M Ó det (fi (tj )) 6= 0.
185
úÁÄÁÞÉ Ë §10
úÁÄÁÞÁ 10.11 (ÔÅÏÒÅÍÁ ÏÂ ÏËÁÊÍÌÑÀÝÉÈ ÍÉÎÏÒÁÈ). ðÕÓÔØ ÍÁÔÒÉ Á A ÓÏÄÅÒ-
ÖÉÔ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÕÀ Ë×ÁÄÒÁÔÎÕÀ ÏÄÍÁÔÒÉ Õ ÒÁÚÍÅÒÁ m × m, ÔÁËÕÀ ÞÔÏ ×ÓÅ
ÓÏÄÅÒÖÁÝÉŠţ ÏÄÍÁÔÒÉ Ù ÒÁÚÍÅÒÁ (m + 1) × (m + 1) ×ÙÒÏÖÄÅÎÙ. äÏËÁÖÉÔÅ,
ÞÔÏ rk A = m.
úÁÄÁÞÁ 10.12 (ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù). ë×ÁÄÒÁÔÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á A ÎÁÚÙ×Á-
ÅÔÓÑ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ , ÅÓÌÉ At = −A. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) ÌÀÂÁÑ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÎÅÞÅÔÎÏÇÏ ÒÁÚÍÅÒÁ ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ
Â) ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÉ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÁÔÒÉ ÒÁÚÍÅÒÏ× 2 × 2 É 4 × 4 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
ÏÌÎÙÍÉ Ë×ÁÄÒÁÔÁÍÉ × ËÏÌØ ÁÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ ÍÁÔÒÉÞÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÙ ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ n. íÁÔÒÉÁ A = (aij ) ÉÍÅÅÔ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ aii , ÒÁ×ÎÙÅ ÞÉÓÌÕ ÒÅÂÅÒ, ÓÈÏÄÑÝÉÈÓÑ × i-ÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ, Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ aij ÒÁ×ÎÙ ÅÄÉÎÉ Å, ÅÓÌÉ ×ÅÒÛÉÎÙ i É
j ÓÏÅÄÉÎÅÎÙ ÒÅÂÒÏÍ, É ÎÕÌÀ | ÅÓÌÉ ÎÅ ÓÏÅÄÉÎÅÎÙ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ det A = 0, Á
×ÓÅ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Aii Ë ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÏÔÌÉÞÎÙ ÏÔ
ÎÕÌÑ É ÒÁ×ÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ. åÓÌÉ ÏÂÝÉÊ ÓÌÕÞÁÊ ×ÙÚÙ×ÁÅÔ ÚÁÔÒÕÄÎÅÎÉÑ, ÒÅÛÉÔÅ
ÚÁÄÁÞÕ × ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÉ, ÞÔÏ ÇÒÁÆ ÄÅÒÅ×Ï. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÅÒÅ×Ï, ÅÓÌÉ É
ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ Aii = 1.
úÁÄÁÞÁ 10.13. ÷ÅÒÛÉÎÙ Ó×ÑÚÎÏÇÏ ÇÒÁÆÁ
úÁÄÁÞÁ 10.14. ÷ÙÑÓÎÉÔÅ, ÒÉ ËÁËÉÈ a, b,
1 −1
Á) 11 a +
1
ÍÁÔÒÉ Ù
ÏÂÒÁÔÉÍÙ
É ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ:

−1

−1
−1
1
0
1
a
0
os ' − sin '
Â) sin
×) 0 b 0
Ç) 0 b 0
' os '
a 0 1
0
1
= a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an , B (x) = b0 xm +
m
−
1
b1 x
+ · · · + bm−1 x + bm ÉÍÅÀÔ a0 b0 6= 0. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Pd ⊂ k[x℄ (k {
ÌÀÂÏÅ ÏÌÅ) ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ ⩽ d, É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁ(f;g)7→Ag+Bf
- Pm+n−1 . ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÁÄ k É
ÖÅÎÉÅ Pn−1 ⊕ Pm−1
ÎÁÉÛÉÔÅ ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Õ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÂÁÚÉÓÁÈ ÉÚ ÏÄÎÏÞÌÅÎÏ× {x } É ÄÏËÁÖÉÔÅ,
úÁÄÁÞÁ 10.15. ðÕÓÔØ A(x)
ÞÔÏ Å£ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÓÔØ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ×ÚÁÉÍÎÏÊ ÒÏÓÔÏÔÅ A É B .
úÁÄÁÞÁ 10.16 (ÄÅÔÅÒÍÉÎÁÎÔ óÉÌØ×ÅÓÔÒÁ). äÌÑ = 0; 1; 2; : : :
ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ
d ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÍÁÔÒÉ Ù, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ×ÙËÉÄÙ×ÁÎÉÅÍ Ï ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌ Ï× Ó×ÅÒÈÕ, ÓÎÉÚÕ, ÓÌÅ×Á É ÓÒÁ×Á ÉÚ ÍÁÔÒÉ Ù (ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ m ⩽ n É
ÕÓÔÙÅ ÍÅÓÔÁ ÚÁÏÌÎÅÎÙ ÎÕÌÑÍÉ)


a0 : : : : : : an−1 an






a
:
:
:
:
:
:
a
a
0
n−1
n

 m


...
... ...






a
:
:
:
:
:
:
a
a
0
n
−
1
n



b 0 : : : bm − 1 b m 
(10-20)






.
.
.

.
.
.



.
.
.



 n
.
.
.
.
. ..


.
.





b0 : : : bm − 1 b m



b 0 : : : bm − 1 b m
|
{z
m+n
}
186
úÁÄÁÞÉ Ë §10
ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ deg ÎÏÄ(A; B ) ÁÒÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× A É B ÉÚ ÚÁÄ. 10.15 Ó ÉÎÄÅËÓÏÍ
ÅÒ×ÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÞÌÅÎÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ d0 ; d1 ; d2 ; : : : ?
úÁÄÁÞÁ 10.17 (ÒÅÚÕÌØÔÁÎÔ). ÷ Z[t; a0 ; b0 ; 1 ; 2 ; : : : ; n; 1 ; 2 ; : : : ; m℄ ÏÌÏÖÉÍ
= a0 tn + a1 tn−1 + · · · + an−1 t + an def
= a0
A(t) def
B (t) def
= b0 tm + b1 tm−1 + · · · + bm−1 t + bm def
= b0
n
Y
i=1
m
Y
(t − i )
(t − j )
j =1
Q
Q
n
mn n Q
Á) ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á am
B ( ai ) = am
0
0 b0 ( i − j ) = (−1) b0 A ( j )
i
i;j
j
(ÜÔÏÔ ÏÌÉÎÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÎÔÏÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× A É B É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ RA;B )
Â) ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ RA;B ÒÁ×ÅÎ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÀ (10-20)
×) ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ∀ A; B ∈ Z[x℄ ∃ f; g ∈ Z[x℄ : RA;B = fA + gB × Z[x℄.
úÁÄÁÞÁ 10.18. äÏËÁÖÉÔÅ ÄÌÑ ÏÂÒÁÔÎÙÈ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ÍÁÔÒÉ
A É B ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
aIJ = (−1)|I |+|J |bJI
úÁÄÁÞÁ 10.19. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ×ÓÅ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ Ï ÍÁÔÒÉÞÎÙÍ
ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ
k det(A)
ai1 j1 ai2 j2 : : : aik jk
úÁÄÁÞÁ 10.20. äÌÑ A; B ∈ Matn (K ) ÄÏËÁÖÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÅÊÌÏÒÁ ×
K [x; y℄ (x É y | ÓËÁÌÑÒÎÙÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ):
det(xA + yB ) =
n
X
k=0
xk yn−k · tr k A · tr n−k A :
úÁÄÁÞÁ 10.21. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÊ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ× Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ !
ÏÔ ÞÅÔÙÒ£È ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ
ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ, ËÏÇÄÁ ! ∧ ! = 0.
úÁÄÁÞÁ 10.22* (ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ðÌÀËËÅÒÁ). äÌÑ ÍÁÔÒÉ Ù A ∈ Mat2×4 (K ) (2 ÓÔÒÏ-
ËÉ É 4 ÓÔÏÌ Á) ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Aij 2 × 2-ÍÉÎÏÒ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÎÙÊ × i-ÔÏÍ É j ÔÏÍ ÓÔÏÌ ÁÈ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ 6 ÞÉÓÅÌ Aij ∈ K ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÎÁÂÏÒ 2 × 2-ÍÉÎÏÒÏ× 2 × 4-ÍÁÔÒÉ Ù, ËÏÇÄÁ A12 A34 − A13 A24 + A14 A23 = 0.
÷ÙÑÓÎÉÔÅ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÌÉ 2 × 4 ÍÁÔÒÉ Ù Ó 2 × 2 ÎÁÂÏÒÁÍÉ ÍÉÎÏÒÏ×
Á) { 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 }
Â) { 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 }
(ÍÉÎÏÒÙ ÎÁÉÓÁÎÙ ÒÏÓÔÏ × ÏÒÑÄËÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ ÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ). åÓÌÉ ÍÁÔÒÉ Á
Ó ÕËÁÚÁÎÎÙÍÉ ÍÉÎÏÒÁÍÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÒÉÍÅÒ ÔÁËÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù.
úÁÄÁÞÁ 10.23 (ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ). íÎÏÇÏÞÌÅÎ
A (t) = det(tE − A) = 0 tn + 1 tn−1 + · · · + n−1 t + n ∈ K [t℄
úÁÄÁÞÉ Ë §10
187
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÍÁÔÒÉ Ù A ∈ Matn (K ).
äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) ÅÓÌÉ B = CAC −1 , ÔÏ B = A
k
Â) (−1) k ÒÁ×ÅÎ ÓÕÍÍÅ ×ÓÅÈ ÍÉÎÏÒÏ× k-ÇÏ ÏÒÑÄËÁ, ÇÌÁ×ÎÁÑ ÄÉÁÇÏÎÁÌØ ËÏÔÏÒÙÈ
ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ A (ÔÁËÉÅ ÍÉÎÏÒÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÙÍÉ ).
×) dtd t=0 det(E + tA) = tr A Ç* ) A (A) = 0 Ä) dim k[A℄ ⩽ n ∀ A ∈ Matn (k) .
§11. íÏÄÕÌÉ.
11.1. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÍÏÄÕÌÅÊ. áÂÅÌÅ×Á ÇÒÕÁ M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÎÁÄ ËÏÌØ ÏÍ1 K (ÉÌÉ
K
), ÅÓÌÉ ÚÁÄÁÎÁ ÏÅÒÁ ÉÑ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÇÒÕÙ M ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÌØ Á: K × M - M ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ:
(11-1)
(a) = ()a ∀ a ∈ M ; ∀ ; ∈ K
( + )a = a + a ∀ a ∈ M ; ∀ ; ∈ K
(11-2)
(11-3)
(a + b) = a + b ∀ ∈ K ; ∀ a; b ∈ K
óÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
K
, ÅÓÌÉ ÚÁÄÁÎÁ ÏÅÒÁ ÉÑ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÇÒÕÙ M ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÌØ Á: M ×
K - M ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ:
(a) = a() ∀ a ∈ M ; ∀ ; ∈ K
(11-1′)
(11-2′)
a( + ) = a + a ∀ a ∈ M ; ∀ ; ∈ K
(a + b) = a + b ∀ ∈ K ; ∀ a; b ∈ K :
(11-3′)
÷ÔÏÒÏÅ É ÔÒÅÔØÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á × ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑÈ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù, É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÀÔ,
ÞÔÏ ÏÅÒÁ ÉÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÏ× ÎÁ ÞÉÓÌÁ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÁ. ìÅ×ÏÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ
ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÒÁ×ÏÇÏ ÔÏÌØËÏ ÅÒ×ÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ËÏÔÏÒÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÁ a ÓÎÁÞÁÌÁ ÎÁ , Á ÏÔÏÍ ÎÁ , ÓÏ×ÁÄÁÅÔ × ÌÅ×ÏÍ
ÍÏÄÕÌÅ Ó ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ a ÎÁ , Á × ÒÁ×ÏÍ | Ó ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ a ÎÁ . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÌÅ×ÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ ÎÁÄ ËÏÌØ ÏÍ K |
ÜÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÞÔÏ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÒÁ×ÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ ÎÁÄ
K ◦ , ËÏÔÏÒÏÅ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÅÈ ÖÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÞÔÏ K , ÎÏ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÒÑÄËÏÍ
ÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÈ:
a K· b def
= b K· a :
ÌÅ×ÙÍ ÍÏÄÕÌÅÍ
ÌÅ×ÙÍ
-ÍÏÄÕÌÅÍ
ÌÅ×ÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅ-
ÎÉÑ
ÒÁ×ÙÍ
-ÍÏÄÕÌÅÍ
ÒÁ×ÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ
ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÍ ËÏÌØ-
ÏÍ
◦
îÁÄ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ ÍÅÖÄÕ ÌÅ×ÏÊ É ÒÁ×ÏÊ ÍÏÄÕÌØÎÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ
ÒÁÚÎÉ Ù ÎÅÔ.
åÓÌÉ ËÏÌØ Ï K ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÅÄÉÎÉ Õ, ÔÏ Ë Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍ (11-1){ (11-3′) ÏÂÙÞÎÏ
ÄÏÂÁ×ÌÑÀÔ Ó×ÏÊÓÔ×Á
1 · a = 1 É a · 1 = a ∀ a∈M :
íÏÄÕÌÉ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÜÔÉÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
.
÷ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ËÏÌØ Ï K Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÅÍ, K -ÍÏÄÕÌÉ | ÜÔÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ×ÅËÔÏÒÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÄ ÏÌÅÍ K . èÏÔÑ ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ ÍÏÖÅÔ ÄÁÌÅËÏ ÏÔÓÔÏÑÔØ Ï Ó×ÏÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍ ÏÔ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÉÎÔÕÉ ÉÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÞÁÓÔÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÅÚÎÏÊ
ÕÎÉÔÁÌØÎÙÍÉ
1
ÏÄÞÅÒËΣÍ, ÞÔÏ ËÏÌØ Ï ÎÅ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ
188
189
11.1. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÍÏÄÕÌÅÊ
É ÒÉ ÒÁÂÏÔÅ Ó ÍÏÄÕÌÑÍÉ, ÔÁË ÞÔÏ ÍÙ ÞÁÓÔÏ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÏÄÕÌÅÊ
€×ÅËÔÏÒÁÍɁ, Á ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÌØ Á | €ÞÉÓÌÁÍɁ.
äÁÌÅÅ × ÜÔÏÍ ËÕÒÓÅ, ÅÓÌÉ ÓÅ ÉÁÌØÎÏ ÎÅ ÏÇÏ×ÁÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÔÉ×ÎÏÅ, ÍÙ ÂÕÄÅÍ
ÉÍÅÔØ ÄÅÌÏ ÔÏÌØËÏ ÕÎÉÔÁÌØÎÙÍÉ ÍÏÄÕÌÑÍÉ ÎÁÄ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍÉ ËÏÌØ ÁÍÉ Ó
ÅÄÉÎÉ ÅÊ É ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÄÅÌÁÔØ ÒÁÚÎÉ Ù ÍÅÖÄÕ ÌÅ×ÙÍ É ÒÁ×ÙÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÏÄÕÌÑ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÌØ Á, ÚÁÉÓÙ×ÁÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÁ v ∈ V ÎÁ
ÞÉÓÌÏ ∈ ë É ËÁË · v, É ËÁË v · | ËÁË ÍÙ ÕÖÅ ÏÓÔÕÁÌÉ É ÒÁÎÅÅ.
11.1.1. ðÏÄÍÏÄÕÌÉ, ÆÁËÔÏÒ ÍÏÄÕÌÉ É ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÙ. áÂÅÌÅ×Á ÏÄÇÒÕÁ N ⊂ M × K -ÍÏÄÕÌÅ M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ K -ÏÄÍÏÄÕÌÅÍ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ×ÙÄÅÒÖÉ×ÁÀÔ
ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÌØ Á, Ô. Å.
a ∈ N
∀ a∈N ; ∀ ∈K :
ðÏÄÍÏÄÕÌØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÏÎ ÏÔÌÉÞÅÎ ÏÔ ÎÕÌÑ É ÏÔ ×ÓÅÇÏ ÍÏÄÕÌÑ.
æÁËÔÏÒ ÍÏÄÕÌØ M=N Ï ÏÄÍÏÄÕÌÀ N ⊂ M ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÓÍÅÖÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ×
[m℄N = m (mod N ) = m + N = {m′ ∈ M | m′ − m ∈ N }
ËÏÔÏÒÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÌÁÓÓÁÍÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ m ∼N m′, ÏÚÎÁÞÁÀÝÅÍÕ, ÞÔÏ m′ − m ∈ N . óÌÏÖÅÎÉÅ ËÌÁÓÓÏ× É ÉÈ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÌØ Á
ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÏÂÙÞÎÙÍÉ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ
[m1 ℄ + [m2 ℄ = [m1 + m2℄
[m℄ = [m℄
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 11.1. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÏÅÒÁ ÉÉ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ É ÕÄÏ×ÌÅ-
Ô×ÏÒÑÀÔ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÍÏÄÕÌÑ.
çÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ (ÉÌÉ K -ÉÌÉ K
) ÍÅÖÄÕ K -ÍÏÄÕÌÑÍÉ
′
′
M É M ÜÔÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÁÂÅÌÅ×ÙÈ ÇÒÕ M
M , ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙÊ Ó
ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÌØ Á:
'(v) = '(v) ∀ ∈ K ; ∀ v; w ∈ M :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÏÄÕÌÅÊ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ×ÓÅÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÁÂÅÌÅ×ÙÈ ÇÒÕ. îÁÒÉÍÅÒ, '(0) = 0 , '(v − w) = '(v) − '(w) É Ô. ..
éÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ K -ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ' ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ' ÉÍÅÅÔ
ÎÕÌÅ×ÏÅ
ker(') = { a ∈ M1 | '(a) = 0 } .
-ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
ÑÄÒÏ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 11.2. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÑÄÒÏ É ÏÂÒÁÚ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ K -
ÍÏÄÕÌÅÊ ' : M1 - M2 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ K -ÏÄÍÏÄÕÌÑÍÉ × M1 É M2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ,
∼
É ÏÓÔÒÏÊÔÅ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ M1 = ker(') - im (').
190
§11. íÏÄÕÌÉ
çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ× E =
{ei } ⊂ M
ÍÏÄÕÌØ M , ÅÓÌÉ ×ÓÑËÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ a ∈ M Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ei Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÉÚ K :
a = 1 e i + 2 e i + · · · + n e in :
(11-4)
ÍÏÄÕÌÑ M . íÏ÷ÅËÔÏÒÙ ei ∈ E ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ
ÄÕÌØ, ÄÏÕÓËÁÀÝÉÊ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
.
íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ E ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ (11-4)
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏPÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ
×ÅËÔÏÒÁ a ∈ M . ðÏÓËÏÌØËÕ ÎÁÌÉÞÉÅ Ä×ÕÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÊ iei = P iei ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ P(i − i)ei = 0, × ËÏÔÏÒÏÍ
ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÀÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï E ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÍÏÄÕÌÑ M
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÁÚÉÓÏÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÏ
, Ô. Å.
ËÏÇÄÁ ÌÀÂÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ×ÉÄÁ
(11-5)
1 e i + 2 e i + · · · + n e in = 0
×ÌÅÞ£Ô, ÞÔÏ ×ÓÅ j = 0. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ (11-5) Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÉÅÎÔÁÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÍÅÖÄÕ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
ÂÁÚÉÓ | ÜÔÏ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ, ÎÅ Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ ÎÉËÁËÉÍÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ.
íÏÄÕÌØ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÊ ÂÁÚÉÓÏÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. óÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒÅÍÅ Ï
ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÉ ÂÁÚÉÓÁ × ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ×ÓÑËÉÊ ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ÏÌÅÍ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ. îÁÄ ËÏÌØ ÏÍ K , ÉÍÅÀÝÉÍ ÎÅÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ÜÔÏ
ÎÅ×ÅÒÎÏ: ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÍÏÄÕÌÉ, Õ ËÏÔÏÒÙÈ ÌÀÂÏÊ ÎÁÂÏÒ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍ, É ÍÏÄÕÌÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅÔ ÎÅÕÓÔÙÈ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÎÁÂÏÒÏ×
×ÅËÔÏÒÏ×. ðÒÉÞÉÎÁ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÎÁÌÉÞÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ
1 e i + 2 e i + · · · + n e in = 0
Ó ÎÅÏÂÒÁÔÉÍÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ j , ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ×ÙÒÁÚÉÔØ
ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÉÚ ×ÅËÔÏÒÏ× ÞÅÒÅÚ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ.
11.2.1. ðÒÉÍÅÒ: ÉÄÅÁÌÙ. ìÀÂÏÅ ËÏÌØ Ï K Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÏÄÕÌÅÍ ÎÁÄ ÓÁÍÉÍ
ÓÏÂÏÊ. åÇÏ ÏÄÍÏÄÕÌÉ I ⊂ K | ÜÔÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÉÄÅÁÌÙ ËÏÌØ Á K . åÓÌÉ ÉÄÅÁÌ
ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÙÍ, ÔÏ ÌÀÂÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÅÇÏ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÈÏÔÑ ÂÙ
Ä×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁ É, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁ
a; b ∈ K ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙ ÎÁÄ K :
a · b − b · a = 0:
ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÄÌÑ ÏÄÍÏÄÕÌÅÊ ËÏÌØ Á, ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÅÇÏÓÑ ËÏÌØ ÏÍ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×,
ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÂÁÚÉÓÅ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ ÎÅ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ. îÁÒÉÍÅÒ, × ËÏÌØ Å ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
K = k[x; y℄ (ÇÄÅ k | ÏÌÅ) ÉÍÅÅÔÓÑ ÏÄÍÏÄÕÌØ M , ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
ÂÅÚ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÞÌÅÎÁ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÕÒ. 6.7 ÉÄÅÁÌ M ⊂ k[x; y℄ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÙÍ, Ô. Å. ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÄÁÎ ÏÄÎÏÊ ÏÂÒÁÚÕÀÝÅÊ. îÏ ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÚÁÄÁÔØ Ä×ÕÍÑ
ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍÉ e1 = x É e2 = y, ÍÅÖÄÕ ËÏÔÏÒÙÍÉ ÉÍÅÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ
ye1 − xe2 = 0 .
11.2. ïÂÒÁÚÕÀÝÉÅ É ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ.
ÏÒÏÖÄÁÅÔ
ËÏÎÅÞÎÏÊ
1
2
ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍÉ
ËÏÎÅÞÎÏ Ï-
ÒÏÖÄÅÎÎÙÍ
ÂÁÚÉÓÏÍ
ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ
1
2
ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ
Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ
1
2
191
11.2. ïÂÒÁÚÕÀÝÉÅ É ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
11.2.2. ðÒÉÍÅÒ: ÁÂÅÌÅ×Ù ÇÒÕÙ. ÷ÓÑËÁÑ ÁÂÅÌÅ×Á ÇÒÕÁ A ÉÍÅÅÔ ËÁÎÏ-
ÎÉÞÅÓËÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÍÏÄÕÌÑ ÎÁÄ ËÏÌØ ÏÍ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ Z, ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÒÁ×ÉÌÏÍ
n · a def
= sgn(n)(|a + a +{z· · · + a}) ;
(11-6)
n
ÇÄÅ sgn(n) ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÚÎÁË ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ n.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 11.3. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÁËÓÉÏÍ Z-ÍÏÄÕÌÑ.
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÁÄÄÉÔÉ×ÎÁÑ ÇÒÕÁ ×ÙÞÅÔÏ× Z=(k) ÍÏÖÅÔ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØÓÑ ËÁË ZÍÏÄÕÌØ Ó ÏÅÒÁ ÉÅÊ
= [nm℄k ;
n · [m℄k def
ÇÄÅ ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ÞÅÒÅÚ [m℄k = m (mod k) ËÌÁÓÓ ÞÉÓÌÁ m Ï ÍÏÄÕÌÀ k. íÏÄÕÌØ
Z=(k ) ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÏÄÎÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ [1℄k , ËÏÔÏÒÙÊ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ
k · [1℄k = 0, É ÚÎÁÞÉÔ, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÁÚÉÓÏÍ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÂÁÚÉÓÅ ÎÅ
×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ × Z-ÍÏÄÕÌÅ Z=(k).
éÚ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ k · [1℄k = 0 ×ÙÔÅËÁÅÔ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×
Z=(k ) - Z. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÄÌÑ ÔÁËÏÇÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ' × ËÏÌØ Å Z ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
k · '([1℄k ) = '(k · [1℄k ) = '(0) = 0 ;
ÏÔËÕÄÁ '([1℄k ) = 0, ÏÓËÏÌØËÕ × Z ÎÅÔ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÎÕÌÑ. îÏ ÔÏÇÄÁ ∀ m '([m℄k ) =
'(m · [1℄k ) = m · '([1℄k ) = 0 .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 11.4. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓ [n℄k ÏÒÏÖÄÁÅÔ Z-ÍÏÄÕÌØ Z=(k ) ÔÏÇÄÁ É
ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ n ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÏ Ó k.
11.2.3. ðÒÉÍÅÒ: ÄÅÌÉÔÅÌÉ ÎÕÌÑ É ËÒÕÞÅÎÉÅ. ðÕÓÔØ × ËÏÌØ Å K ÎÅÔ ÄÅÌÉ-
ÔÅÌÅÊ ÎÕÌÑ. üÌÅÍÅÎÔ m ÉÚ K -ÍÏÄÕÌÑ M ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ
m = 0 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ∈ K . îÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÞÉÓÌÏ ∈ K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
× ÍÏÄÕÌÅ M , ÅÓÌÉ m = 0 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ m ∈ M .
üÌÅÍÅÎÔÙ ËÒÕÞÅÎÉÑ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÏÄÍÏÄÕÌØ × M : ÅÓÌÉ 1m1 = 0 É 2m2 = 0, ÔÏ
1 2 (m1 ± m2 ) = 0 (ÒÉÞ£Í 1 2 6= 0, Ô. Ë. × K ÎÅÔ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÎÕÌÑ) É 1 (m1 ) =
2 (m2 ) = 0 ∀ ∈ K . üÔÏÔ ÏÄÍÏÄÕÌØ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
É
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
Tors(M ) = {m ∈ M | ∃ 6= 0 : m = 0 } :
åÓÌÉ Tors(M ) = 0, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ M | ÍÏÄÕÌØ ÂÅÚ ËÒÕÞÅÎÉÑ (ÉÌÉ ÞÔÏ M
Ó×ÏÂÏÄÅÎ ÏÔ ËÒÕÞÅÎÉÑ).
îÁÒÉÍÅÒ, ÌÀÂÏÊ ÏÄÍÏÄÕÌØ ËÏÌØ Á K , ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÇÏ ËÁË ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ
ÓÏÂÏÊ, Á ÔÁËÖÅ ÌÀÂÏÊ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ K -ÍÏÄÕÌØ Ó×ÏÂÏÄÎÙ ÏÔ ËÒÕÞÅÎÉÑ. îÁÒÏÔÉ×,
× Z-ÍÏÄÕÌÅ ×ÙÞÅÔÏ× Z=(k) ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ËÒÕÞÅÎÉÑ.
ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ËÒÕÞÅÎÉÑ
ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ ÎÕÌÑ
ÏÄÍÏÄÕÌÅÍ ËÒÕÞÅÎÉÑ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 11.5. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ M
ÏÔ ËÒÕÞÅÎÉÑ ÍÏÄÕÌØ N ÅÒÅ×ÏÄÉÔ Tors(M ) × ÎÕÌØ.
'-
N × Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ
192
§11. íÏÄÕÌÉ
11.2.4. úÁÄÁÎÉÅ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×. ðÕÓÔØ ÍÏÄÕÌØ M ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎ-
ÔÁÍÉ ei. ÏÇÄÁ ÌÀÂÏÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÏÄÕÌÅÊ ' : M - N ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ Ï ÏÂÒÁÚÁÍP'(ei) ÜÔÉÈ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×: ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ËÁÖÄÙÊ
×ÅËÔÏÒ a ∈ M ËÁË Á = iei É ÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ
'(a) = '
X
i ei =
X
i '(ei ) :
ïÄÎÁËÏ, ÅÓÌÉ ÍÙ ÚÁÈÏÔÉÍ
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ' : M - N ÕËÁÚÁ× ×
ÍÏÄÕÌÅ N ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ bi = '(ei) É ÚÁÔÅÍ ÒÏÄÏÌÖÉ×
'PÏ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ
P
ÎÁ ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÏÄÕÌÑ M ÆÏÒÍÕÌÏÊ '( iei) = ibi , ÔÏ ÔÁËÏÅ
ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÍÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ ÎÅËÏÒÒÅËÔÎÙÍ ÉÚ-ÚÁ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ Õ ËÁÖÄÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ
ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ÞÅÒÅÚ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÙ
bi = '(ei ), ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅÌØÚÑ ×ÙÂÉÒÁÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ.
ÏÒÅÄÅÌÉÔØ
ìÅÍÍÁ 11.1
äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÒÁ×ÉÌÏ ei 7−→ bi ∈ N ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÒÏÄÏÌÖÁÌÏÓØ Ï ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ ÄÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÍÏÄÕÌÅÊ M - N , ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ
ËÁÖÄÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ ei × ÍÏÄÕÌÅ M ×ÙÏÌÎÑÌÏÓØ ÂÙ É ÍÅÖÄÕ
×ÅËÔÏÒÁÍÉ bi × ÍÏÄÕÌÅ N :
1 e1 + 2 e2 + · · · + n en = 0 ⇒ 1 b 1 + 2 b 2 + · · · + n b n = 0 :
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
ÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ:
P
îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ ÉÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÇÏ-
i ei = 0
⇒
P
i b i =
P
i '(ei ) = '
P
i ei = '(0) = 0 :
îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ei ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ É ÍÅÖÄÕ bi, ÔÏ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ Ï ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ ËÏÒÒÅËÔÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ a ∈ M ÞÅÒÅÚ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÅ
a = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en = y1 e1 + y2 e2 + · · · + ynen
(11-7)
×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ P(xi − yi)ei = 0, Á ÚÎÁÞÉÔ | É ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ P(xi −
yi )bi = 0 , ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ x1 b1 +x2 b2 + · · · +xn bn = y1 b1 +y2 b2 + · · · +ynbn
× ÍÏÄÕÌÅ N , Ô. Å. ÞÔÏ '(a) ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÔÏÇÏ, ËÁËÉÍ ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÊ (11-7)
ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ '(a).
11.2.5. õÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÂÁÚÉÓÁ. åÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ× E =
{ei } ⊂ M Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÁÚÉÓÏÍ ÍÏÄÕÌÑ M , Ô. Å. ÎÉËÁËÉÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÍÅÖÄÕ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ ei ÎÅÔ ×ÏÏÂÝÅ, ÔÏ ÌÀÂÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ' : E - N ÍÎÏÖÅÓÔ×Á E ×
ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ K -ÍÏÄÕÌØ N ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ ÄÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ K -ÍÏÄÕÌÅÊ ' : M - N . ÷ÅÒÎÏ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ:
193
11.3. íÁÔÒÉ Ù ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×
ìÅÍÍÁ 11.2
íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ× E = {ei} ⊂ M ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÁÚÉÓÏÍ K ÍÏÄÕÌÑ M , ËÏÇÄÁ ÌÀÂÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ' : E - N ÍÎÏÖÅÓÔ×Á E × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ K -ÍÏÄÕÌØ N ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ ÄÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ K ÍÏÄÕÌÅÊ ' : M - N .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÍÙ ÕÖÅ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÌÉ ×ÙÛÅ. äÌÑ
ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏÓÔÉ ÏÂÒÁÚÕÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï E ′ ≃ E , ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÉÍ×ÏÌÏ× e′i, ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ×ÅËÔÏÒÁÍ ei ∈ E , É
ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ K -ÍÏÄÕÌØ N Ó ÂÁÚÉÓÏÍ E ′. ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, N ÓÏÓÔÏÉÔ
ÉÚ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÊ ÓÉÍ×ÏÌÏ× e′i Ó
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÉÚ K , ×ÓÅ ÜÔÉ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ É ÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔÓÑ É ÕÍÎÏÖÁÀÔÓÑ ÎÁ ÞÉÓÌÁ Ï ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÒÁ×ÉÌÁÍ.
ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÌÅÍÍÙ, ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ× E - N , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ ei × e′i
ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ ÄÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÍÏÄÕÌÅÊ ' : M - N . ÁË ËÁË Ï
ÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÜÌÅÍÅÎÔÙ e′i ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ N , ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
ÍÎÏÖÅÓÔ× E ′ - M , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ e′i × ei, ÔÁËÖÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ ÄÏ
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÍÏÄÕÌÅÊ : N - M . ðÏÓËÏÌØËÕ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ' : M - M
É ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ IdM : M - M ÏÂÁ ÒÏÄÏÌÖÁÀÔ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÅ ×ÌÏÖÅÎÉÅ E ⊂ M ÄÏ K -ÍÏÄÕÌØÎÏÇÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ M - M , ÏÎÉ | ×
ÓÉÌÕ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÑ | ÓÏ×ÁÄÁÀÔ: ' = IdM . ðÏ ÔÏÊ ÖÅ ÓÁÍÏÊ
ÒÉÞÉÎÅ ' = IdN . ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÙ ' É ÏÂÒÁÔÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ, É
ÍÏÄÕÌÉ M É N ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ. ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÅËÔÏÒÙ e′i ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ ÍÏÄÕÌÑ N ,
ÉÈ ÏÂÒÁÚÙ ei ÒÉ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÅ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ × M .
11.3. íÁÔÒÉ Ù ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×. åÓÌÉ K -ÍÏÄÕÌØ M ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ w = (w1; w2; : : : ; wm), Á K -ÍÏÄÕÌØ N | ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ v = (v1; v2; : : : ; vn), ÔÏ
×ÓÑËÏÍÕ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÕ K -ÍÏÄÕÌÅÊ F : M - N ÍÏÖÎÏ ÓÏÏÓÔÁ×ÉÔØ ÍÁÔÒÉ Õ
Fvw , × j -ÔÏÍ ÓÔÏÌÂ Å ËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÏÑÔ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ËÁËÏÇÏ-ÎÉÂÕÄØ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ
×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÁ F (wj ) ÞÅÒÅÚ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÅ v. éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÍÁÔÒÉ Á Fvw
ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ
F (w) = vFvw
(11-8)
(ÇÄÅ F (w) = F (w1); F (w2); : : : ; F (wr ) , ËÁË × n◦ 9.3.2).
ïÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ Fvw ÎÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏ × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Á Fvw ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ (11-8) ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ, É ÏÄÎÏÍÕ É ÔÏÍÕ ÖÅ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÕ F
ÍÏÖÎÏ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÓÏÏÓÔÁ×ÉÔØ ÍÎÏÇÏ
ÍÁÔÒÉ × ÏÄÎÉÈ É ÔÅÈ ÖÅ
ÓÉÓÔÅÍÁÈ ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÈ, ÎÏ ÏÎÏ ÕÄÏÂÎÏ É ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÍ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ. åÓÌÉ
F : M - M Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ K -ÍÏÄÕÌÑ M , ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ w = (w1; w2; : : : ; wm), ÔÏ ×ÍÅÓÔÏ Fww ÍÙ ÉÛÅÍ Fw É ÎÁÚÙ×ÁÅÍ Fw ÍÁÔÒÉ ÅÊ
F × ÓÉÓÔÅÍÅ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ w .
ÒÁÚÎÙÈ
ìÅÍÍÁ 11.3
åÓÌÉ Ë×ÁÄÒÁÔÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á Fw ∈ Matn(K ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÁ
194
F :M
§11. íÏÄÕÌÉ
× ËÁËÏÊ-ÔÏ ÓÉÓÔÅÍÅ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ, ÔÏ im F ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÂÒÁÚ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ det(Fw ) · IdM : u 7→ u · det Fw ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ det(Fw ) .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. çÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ det(Fw ) · IdM ÉÍÅÅÔ × ÓÉÓÔÅÍÅ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ w
ÍÁÔÒÉ Õ det(Fw ) · E = Fw Fbw . ðÏÜÔÏÍÕ ÏÂÒÁÚÙ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ, Ô. Å. ÓÔÏÌ ٠ÍÁÔÒÉ Ù w det(Fw ) · E = w Fw Fbw Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑÍÉ ÓÔÏÌ Ï×
ÍÁÔÒÉ Ù w Fw = F (w), Ô. Å. ÏÂÒÁÚÏ× ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÒÉ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÅ F , ÞÔÏ É
ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔÓÑ.
11.3.1. ðÒÉÍÅÒ: ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï çÁÍÉÌØÔÏÎÁ { ëÜÌÉ. ðÕÓÔØ A ∈ Matn(K ) |
ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÎÁÄ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ K . îÁÄÅÌÉÍ
Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ K -ÍÏÄÕÌØ K n ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ ÍÏÄÕÌÑ ÎÁÄ ËÏÌØ ÏÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× K [t℄,
ÏÌÁÇÁÑ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÞÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÓÔÏÌ Á v ∈ K n ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (t) = f0 + f1t + · · · + fmtm Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÏÌÂÅ
- M
f (t)v def
= f0v + f1Av + f2A2v + · · · + fmAmv
ÏÌÕÞÁÀÝÉÊÓÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÓÔÏÌ Á v ÓÌÅ×Á ÎÁ ÍÁÔÒÉ Õ f (A) | ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ ÍÁÔÒÉ Ù A × ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (t) (ÓÒ. Ó ÚÁÄ. 9.8).
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 11.6. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÁËÓÉÏÍ K [t℄-ÍÏÄÕÌÑ ÄÌÑ K n .
óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÊ ÂÁÚÉÓ e1; e2; : : : ; en ÍÏÄÕÌÑ K n ÎÁÄ K ÔÅÍ ÂÏÌÅÅ ÏÒÏÖÄÁÅÔ
K n ÎÁÄ K [t℄. çÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ tId : u 7−→ tu ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ t ÉÍÅÅÔ × ÜÔÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ
ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÈ Ä×Å ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÍÁÔÒÉ Ù: tE É A. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ,
ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÝÉÊ ×ÓÅ ×ÅËÔÏÒÙ kn × ÎÕÌØ, ÍÏÖÎÏ ÚÁÄÁÔØ × ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ e1; e2; : : : ; en
ÍÁÔÒÉ ÅÊ tE − A. óÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍ. 11.3 ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ det(tE − A) ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔ
ÌÀÂÏÊ ×ÅËÔÏÒ K n × ÎÕÌØ.
îÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ det(tE − A) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ K -ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ, ÍÁÔÒÉÁ ËÏÔÏÒÏÇÏ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù A ×ÍÅÓÔÏ
t × ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ A (t) = det(tE − A) . ðÏÓËÏÌØËÕ K n Ó×ÏÂÏÄÅÎ ÎÁÄ K , ÍÁÔÒÉ Á
A (A) ÎÕÌÅ×ÁÑ. îÁÍÉ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÁÑ
ÅÏÒÅÍÁ 11.1 (ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï çÁÍÉÌØÔÏÎÁ { ëÜÌÉ)
îÁÄ ÌÀÂÙÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ K ÒÉ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÅ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù
A ×ÍÅÓÔÏ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ t × ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ A (t) = det(tE − A) ∈ K [t℄ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ
ÎÕÌÅ×ÁÑ ÍÁÔÒÉ Á.
íÎÏÇÏÞÌÅÎ A(t) = det(tE − A) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÁÔÒÉ Ù A. óÏÇÌÁÓÎÏ ÚÁÄ. 10.23 ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ A(t) ÒÉ tk
ÒÁ×ÅÎ ÕÍÎÏÖÅÎÎÏÊ ÎÁ (−1)n−k ÓÕÍÍÅ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÍÉÎÏÒÏ× ÏÒÑÄËÁ
n − k ÍÁÔÒÉ Ù A. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÞÌÅÎ A (t) ÒÁ×ÅÎ (−1)n det A, Á ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ tn−1 ÒÁ×ÅÎ ÍÉÎÕÓ ÓÕÍÍÅ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÁÔÒÉ Ù A.
óÕÍÍÁ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ tr A.
éÚ ÔÅÏÒ. 11.1 ÓÌÅÄÕÅÔ, Ë ÒÉÍÅÒÕ, ÞÔÏ ×ÓÑËÁÑ 2 × 2 ÍÁÔÒÉ Á A ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ
Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ t2 + tr (A) · t + det(A) = 0 (ÞÔÏ ÓÏÇÌÁÓÕÅÔÓÑ Ó ÆÏÒÍÕÌÏÊ
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏ-
ÞÌÅÎÏÍ
ÓÌÅÄÏÍ
195
11.4. òÁÚÌÏÖÉÍÏÓÔØ
(9-5) ÎÁ ÓÔÒ. 154), Á ×ÓÑËÁÑ 3 × 3 ÍÁÔÒÉ Á


a11 a12 a13

A = a21 a22 a23 
a31 a32 a33
ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ËÕÂÉÞÅÓËÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ t3 − tr (A) · t2 + 2(A) · t − det(A) = 0, ÇÄÅ
2 (A) = (a11 a22 − a12 a21 ) + (a11 a33 − a13 a31 ) + (a22 a33 − a23 a32 ) :
11.4. òÁÚÌÏÖÉÍÏÓÔØ. ðÒÑÍÙÅ ÓÕÍÍÙ É ÒÑÍÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÏÄÕÌÅÊ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÄÏÓÌÏ×ÎÏ ÔÁËÖÅ, ËÁË ÄÌÑ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× (ÓÍ. n◦ 7.3.3).
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 11.7. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÑÍÁÑ ÓÕÍÍÁ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ÍÏÄÕÌÅÊ Ó ÂÁÚÉÓÁÍÉ
E1 É E2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÍÏÄÕÌÅÍ Ó ÂÁÚÉÓÏÍ E1 ⊔ E2 (E1 É E2 ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×).
åÓÌÉ ÎÁÂÏÒ ÏÄÍÏÄÕÌÅÊ N1; N2; : : : ; Ns ⊂ M ÔÁËÏ×, ÞÔÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÓÌÏÖÅÎÉÑ
N1 ⊕ N2 ⊕ · · · ⊕ Ns
(a1 ;a2 ;:::;as )7→a1 +a2 +···+as -
M
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÍÏÄÕÌØ M Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
Ni . üÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ×ÅËÔÏÒ a ∈ M ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ×ÉÄÁ a = P bi Ó bi ∈ Ni. îÁÒÉÍÅÒ, Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ K -ÍÏÄÕÌØ Ó n ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍÉ ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÅ K n =
K ⊕ K ⊕ · · · ⊕ K (×ÓÅÇÏ n ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ).
ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ
ÏÄÍÏÄÕÌÅÊ
ìÅÍÍÁ 11.4
äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÍÏÄÕÌØ M ÒÁÓÁÄÁÌÓÑ × ÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ Ä×ÕÈ Ó×ÏÉÈ ÏÄÍÏÄÕÌÅÊ
L É N ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ L É N ÏÒÏÖÄÁÌÉ M É L ∩ N = 0.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. óÀÒØÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÓÌÏÖÅÎÉÑ
:L⊕N
(a;b)7→a+b -
M
ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ L É N ÏÒÏÖÄÁÀÔ M , Á ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ (Ô. Å. ÏÔÓÕÔÓÔ×ÉÅ
ÑÄÒÁ) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÕÓÌÏ×ÉÀ L∩N = 0 , ÏÓËÏÌØËÕ (a; b) ∈ ker ⇒ a = −b ∈ L∩N ,
É ÎÁÏÂÏÒÏÔ, a ∈ L ∩ N ⇒ (a; −a) ∈ ker .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 11.8. ðÕÓÔØ ÍÏÄÕÌØ M Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ M = L ⊕ N Ä×ÕÈ
Ó×ÏÉÈ ÏÄÍÏÄÕÌÅÊ L; N ⊂ M . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ M=N ≃ L É M=L ≃ N .
11.4.1. îÅÒÁÚÌÏÖÉÍÙÅ ÍÏÄÕÌÉ É ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÏÄÍÏÄÕÌÉ. íÏÄÕÌÉ,
ÎÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÙÅ × ×ÉÄÅ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÙ Ä×ÕÈ Ó×ÏÉÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÄÍÏÄÕÌÅÊ
ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
.
îÁÒÉÍÅÒ, Z-ÍÏÄÕÌØ Z ÎÅÒÁÚÌÏÖÉÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÑËÉÊ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÄÍÏÄÕÌØ I ⊂ Z | ÜÔÏ ÇÌÁ×ÎÙÊ ÉÄÅÁÌ I = (d), É ÉÚ ÎÁÌÉÞÉÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ Z = (d) ⊕ N
ÎÅÒÁÚÌÏÖÉÍÙÍÉ
196
§11. íÏÄÕÌÉ
×ÙÔÅËÁÌÏ ÂÙ, ÞÔÏ × Z ÅÓÔØ ÏÄÍÏÄÕÌØ N , ÉÚÏÍÏÒÆÎÙÊ Ï ÕÒ. 11.8 ÍÏÄÕÌÀ
Z=(d). îÏ ÜÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, Ô. Ë. × Z ÎÅÔ ËÒÕÞÅÎÉÑ.
üÔÏÔ ÒÉÍÅÒ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÁÄ ËÏÌØ ÏÍ K , ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÍ ÎÅÏÂÒÁÔÉÍÙÅ
ÜÌÅÍÅÎÔÙ, Õ ÏÄÍÏÄÕÌÑ N ⊂ M ÍÏÖÅÔ ÎÅ ÏËÁÚÁÔØÓÑ
L ⊂ M , ÔÁËÏÇÏ ÞÔÏ M = L ⊕ N , ËÁË ÜÔÏ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÄÌÑ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×
ÎÁÄ ÏÌÅÍ.
ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÏÄÍÏÄÕÌÑ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 11.9. ðÕÓÔØ M = Z2 = Z ⊕ Z É N ⊂ M | ÏÄÍÏÄÕÌØ, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÊ
×ÅËÔÏÒÁÍÉ (2; 1) É (1; 2) . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ N ≃ Z2 , M=N ≃ Z=(3), É ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
ÏÄÍÏÄÕÌÑ L ⊂ M , ÔÁËÏÇÏ ÞÔÏ M = L ⊕ N .
÷ ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÍÙ ÄÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÂÁÚÉÓÅ ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÇÏ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ M ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ
×ÙÂÏÒÁ ÂÁÚÉÓÁ. üÔÏ ÞÉÓÌÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ M É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ rk M .
îÁÌÉÞÉÅ × ÍÏÄÕÌÅ M ÂÁÚÉÓÁ (e1; e2; : : : ; em ) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ K -ÍÏÄÕÌÅÊ
-M;
Km = K
| ⊕ K ⊕{z· · · ⊕ K}
11.5. òÁÎÇ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ.
ÒÁÎÇÏÍ
m
ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÊ ×ÅËÔÏÒ (1; 2; : : : ; m) ∈ K m × ×ÅËÔÏÒ 1e1 + 2e2 + · · · + mem ∈
M , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ. íÙ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ
M ≃ K n ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÒÉ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÍ n . äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÁÍ ÏÎÁÄÏÂÉÔÓÑ Ä×Å ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ, ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÁÖÎÁ ÓÁÍÁ Ï ÓÅÂÅ.
11.5.1. æÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÑ ÍÏÄÕÌÑ Ï ÉÄÅÁÌÕ ËÏÌØ Á. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ I ⊂
K É ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ K -ÍÏÄÕÌÑ M ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ IM ⊂ M ÏÄÍÏÄÕÌØ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÊ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÏÄÕÌÑ M Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÉÚ ÉÄÅÁÌÁ I :
IM = {x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an | xi ∈ I ; ai ∈ M } :
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 11.10. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ IM ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ K -ÏÄÍÏÄÕÌÅÍ ×
M.
æÁËÔÏÒ ÍÏÄÕÌØ M=IM ÏÂÌÁÄÁÅÔ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ ÍÏÄÕÌÑ ÎÁÄ ÆÁËÔÏÒ
ËÏÌØ ÏÍ K=I , ËÏÔÏÒÁÑ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÒÁ×ÉÌÏÍ
[℄I · [a℄[IM ℄ = [a℄[IM ℄
ÇÄÅ ÍÙ, ËÁË ÏÂÙÞÎÏ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÍÉ ÓËÏÂËÁÍÉ ËÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ:
[℄I = (mod I ) ; [a℄[IM ℄ = a (mod [IM ℄) :
÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓÌÉ ′ = + x É a′ = a + v, ÇÄÅ x ∈ I , v ∈ IM , ÔÏ ′a′ =
a + (xa + v + xv), ÇÄÅ ×ÚÑÔÁÑ × ÓËÏÂËÉ ÓÕÍÍÁ ÌÅÖÉÔ × IM .
11.5. òÁÎÇ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ
197
åÓÌÉ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÜÔÕ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÀ Ë ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÅ ÍÏÄÕÌÅÊ M = M1 ⊕ M2 ⊕
· · · ⊕ Mm , ÔÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ ÏÅÒÁ ÉÉ × ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÅ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÏËÏÍÏÎÅÎÔÎÏ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ
M=IM = (M1 =IM1 ) ⊕ (M2 =IM2 ) ⊕ · · · ⊕ (Mm =IMm ) :
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ K -ÍÏÄÕÌÑ M = K n Ï
ÉÄÅÁÌÕ I ⊂ K Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ K=I -ÍÏÄÕÌØ M=IM = (K=I )n ÔÏÇÏ ÖÅ ÒÁÎÇÁ.
äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÒÁÎÇÁ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÂÁÚÉÓÁ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÊÔÉ × ËÏÌØ Å K ÔÁËÏÊ ÉÄÅÁÌ I , ÞÔÏÂÙ ÆÁËÔÏÒ ËÏÌØ Ï k = K=I ÂÙÌÏ ÏÌÅÍ: ÎÁÌÉÞÉÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ M ≃ K n ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ M=IM ≃ (K=I )n ≃ kn Ñ×ÌÑÅÔÓÑ nÍÅÒÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÎÁÄ k, É ÞÉÓÌÏ n = dimk(M=IM ) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ
ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÍÏÄÕÌÅÍ M .
11.5.2. íÁËÓÉÍÁÌØÎÙÅ ÉÄÅÁÌÙ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÏÔÌÉÞÎÙÊ ÏÔ ×ÓÅÇÏ ËÏÌØ Á
, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ∈ K r I
ÉÄÅÁÌ I ⊂ K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÉÄÅÁÌ (; I ), ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÊ I É ÜÔÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ, ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ×ÓÅÍ ËÏÌØ ÏÍ.
ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÆÁËÔÏÒ ËÏÌØ Ï K=I Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÅÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ,
ËÏÇÄÁ ÉÄÅÁÌ I ⊂ K ÍÁËÓÉÍÁÌÅÎ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ∈ K r I
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (; I ) = K ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÉÄÅÁÌ (; I ) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÅÄÉÎÉ Õ, ÞÔÏ
× Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÒÁÚÒÅÛÉÍÏÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ x + y = 1 ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ
x ∈ K É y ∈ I . ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÒÁÚÒÅÛÉÍÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ×
ÔÏÞÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓ [℄I ÏÂÒÁÔÉÍ × ÆÁËÔÏÒ ËÏÌØ Å K=I .
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÒÁÎÇÁ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÂÁÚÉÓÁ ÎÁÍ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ ËÏÌØ Å ÉÍÅÅÔÓÑ
ÈÏÔØ ÏÄÉÎ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÉÄÅÁÌ.
óÔÁÎÄÁÒÔÎÏÅ ÔÅÏÒÅÔÉËÏ-ÍÎÏÖÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ
1 ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÄÏËÁÚÁÔØ ÄÁÖÅ ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: ÌÀÂÏÊ ÏÔÌÉÞÎÙÊ ÏÔ ×ÓÅÇÏ ËÏÌØ Á ÉÄÅÁÌ J ⊂ K ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÍ ÉÄÅÁÌÅ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ ×ÓÅÇÏ ËÏÌØ Á ÉÄÅÁÌÏ×, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ
ÄÁÎÎÙÊ ÉÄÅÁÌ J , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÌÅÍÍÙ ãÏÒÎÁ: ÏÎÏ ÎÅÕÓÔÏ, ÞÁÓÔÉÞÎÏ
ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÏ Ï ×ËÌÀÞÅÎÉÀ, É ÌÀÂÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ×ÌÏÖÅÎÎÙÈ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ ÉÄÅÁÌÏ× ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÉÄÅÁÌÅ, ÏÌÕÞÅÎÎÏÍ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ×ÓÅÈ ÉÄÅÁÌÏ× ÓÅÍÅÊÓÔ×Á.
ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÓÒÅÄÉ ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ ËÏÌØ Á ÉÄÅÁÌÏ×, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ J , ÎÁÊÄ£ÔÓÑ ÉÄÅÁÌ
I , ÔÁËÏÊ ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ a ∈ K r I , ÉÄÅÁÌ (a; I ) ! I ÓÏ×ÁÄ£Ô ÓÏ ×ÓÅÍ
ËÏÌØ ÏÍ, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.
11.5.3. íÏÄÕÌÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÒÁÎÇÁ. ðÒÅÄÙÄÕÝÅÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÏÓÔÁ£ÔÓÑ
× ÓÉÌÅ É ÄÌÑ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ÍÏÄÕÌÅÊ Ó ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÍ ÂÁÚÉÓÏÍ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÎÏ
ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÍÏÝÎÏÓÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ
ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÍ
ÌÅÍ-
ÍÙ ãÏÒÎÁ
1
ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÌÅÍÍÁ ãÏÒÎÁ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÞÁÓÔÉÞÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å
X ÔÁËÏ×Ï, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á Y ⊂ X ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ x ∈ X
ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ∀ y ∈ Y y ⩽ x, ÔÏ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å X ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔ , ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ × ÔÏÍ
ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ∀ x ∈ X ⩽ x ⇒ x = (ÓÍ. ÚÁÄ. 1.19 É ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒ. 7.1)
198
úÁÄÁÞÉ Ë §11
ÂÁÚÉÓÁ É ÒÁ×ÎÁ ÍÏÝÎÏÓÔÉ ÂÁÚÉÓÁ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á M=IM ÎÁÄ ÏÌÅÍ
k = K=I , ÇÄÅ I ⊂ K | ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÉÄÅÁÌ ËÏÌØ Á K .
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §11
úÁÄÁÞÁ 11.1. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÆÁËÔÏÒ ÍÏÄÕÌØ L = M=N Ó×ÏÂÏÄÅÎ, ÔÏ M ≃ N ⊕L .
úÁÄÁÞÁ 11.2. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÒÑÄËÉ1 ËÏÎÅÞÎÙÈ ÏÄÇÒÕ A1 ; A2 ; : : : ; An × ÁÂÅ-
ÌÅ×ÏÊ ÇÒÕÅ A ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ, ÔÏ ÉÈ ÓÕÍÍÁ × A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ.
úÁÄÁÞÁ 11.3. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÁÂÅÌÅ×ÏÊ ÇÒÕÙ Z=(5) ⊕Z=(5) × ÒÑÍÕÀ ÓÕÍ-
ÍÕ Ä×ÕÈ ÉËÌÉÞÅÓËÉÈ ÏÄÇÒÕ.
úÁÄÁÞÁ 11.4. ðÕÓÔØ M | Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ Z-ÍÏÄÕÌØ Ó ÂÁÚÉÓÏÍ e1 ; e2 ; : : : ; en É
w = x 1 e1 + x 2 e2 + · · · + x n en ∈ M
ÏÔÌÉÞÅÎ ÏÔ ÎÕÌÑ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÄÍÏÄÕÌØ hwi ⊂ M , ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÊ w, ×ÙÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÙÍ ÓÌÁÇÁÅÍÙÍ2 ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÎÏÄ(x1 ; x2 ; : : : ; xn ) = 1.
úÁÄÁÞÁ 11.5. ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ Z-ÏÄÍÏÄÕÌØ M ⊂ Z[x℄, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅ-
ÎÏ× Ó Þ£ÔÎÙÍ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÞÌÅÎÏÍ: Á) ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄÅÎÎÙÍ? Â) Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ?
×) óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ N ⊂ Z[x℄, ÔÁËÏÊ ÞÔÏ M ⊕ N = Z[x℄?
úÁÄÁÞÁ 11.6 (ÏÌÕÒÏÓÔÙÅ Z-ÍÏÄÕÌÉ). Z-ÍÏÄÕÌØ M
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÕÒÏÓÔÙÍ ,
ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÏÄÍÏÄÕÌÑ N ⊂ M ÍÏÖÎÏ ÕËÁÚÁÔØ
ÏÄÍÏÄÕÌØ L ⊂ M , ÔÁËÏÊ ÞÔÏ M = L ⊕ M . ëÁËÉÅ ÉÚ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÎÉÖÅ ZÅÌÙÅ):
ÍÏÄÕÌÅÊ ÏÌÕÒÏÓÔÙ (ÄÁÌÅÅ m; n ⩾ 2 ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ
n
n
Á) Z
Â) Z
×) Z=(p)
Ç) Z=(p)
Ä) Z=(pm )
Å) Z=(pm ) n
úÁÄÁÞÁ 11.7. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Hom(M1 ⊕ M2 ; N1 ⊕ N2 ) =
2
⊕ Hom(M ; N ) .
; =1
úÁÄÁÞÁ 11.8. ïÉÛÉÔÅ ÍÏÄÕÌØ ×ÓÅÈ Z-ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× Hom(Z=(m); Z=(n))
× ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ
Â) ÎÏÄ(m; n) = 1
Á) m = p , n = p (p ÒÏÓÔÏÅ, ; ∈ N ÌÀÂÙÅ)
×) m; n ÌÀÂÙÅ
úÁÄÁÞÁ 11.9 ( ÅÌÏÚÎÁÞÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ). íÎÏÇÏÞÌÅÎ f ∈ Q[x℄ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÅÌÏ-
, ÅÓÌÉ f (m) ∈ Z ∀ m ∈ Z . îÁÒÉÍÅÒ, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ x(x + 1)=2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÅÌÏÚÎÁÞÎÙÍ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÌÏÚÎÁÞÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÏÂÒÁÚÕÀÔ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ZÏÄÍÏÄÕÌØ M ⊂ Q[x℄ Ó ÂÁÚÉÓÏÍ k (x) = (x + 1):::(x + k)=k! (ÇÄÅ k ⩾ 0 É ÍÙ
ÏÌÁÇÁÅÍ 0 = 1). äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ k ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Q[x℄ ÎÁÄ Q
Â) ÒÁÚÎÏÓÔÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ∇ : f (x) 7→ f (x) − f (x − 1) ÅÒÅ×ÏÄÉÔ k × k−1
ÚÎÁÞÎÙÍ
1
2
ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÏÒÑÄËÏÍ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÇÒÕÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÎÅÊ
Ô. Å. ∃ ÏÄÍÏÄÕÌØ L ⊂ M , ÔÁËÏÊ ÞÔÏ M = hwi ⊕ L
199
úÁÄÁÞÉ Ë §11
×) ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ k × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f ∈ Q[x℄ Ï ÂÁÚÉÓÕ ÎÁÄ ÏÌÅÍ Q ÒÁ×ÅÎ ∇k f (0).
Ç) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ n + 1 ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× n-ÔÏÊ ÓÔÅÅÎÉ
(n)
k (x) = (x + k + 1):::(x + k + n)=n!
(ÇÄÅ 0 ⩽ k ⩽ n)
ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ ÏÄÍÏÄÕÌÑ M⩽d ⊂ M ÅÌÏÚÎÁÞÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ ⩽ n.
Ä) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÆÁËÔÏÒ1 Md =Z[x℄⩽d ËÏÎÅÞÅÎ É ×ÙÑÓÎÉÔÅ, ÓËÏÌØËÏ × Î£Í ÜÌÅÍÅÎÔÏ×.
Å* ) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÏÌØ Ï Z-ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× M - M , ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙÈ ÓÏ ×ÓÅÍÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁÍÉ ÓÄ×ÉÇÁ: f (x) 7−→ f (x + n), ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ Z[[∇℄℄, ÇÄÅ
∇ : f (x) 7→ f (x) − f (x − 1) (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÜÔÏ ËÏÌØ Ï ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏ).
úÁÄÁÞÁ 11.10 (Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÒÅÛ£ÔËÉ). ðÕÓÔØ Z-ÏÄÍÏÄÕÌØ N ⊂ Zn ÔÁËÏ×, ÞÔÏ
ÆÁËÔÏÒ ÍÏÄÕÌØ Zn =N ËÏÎÅÞÅÎ, É ÕÓÔØ L = Hom(Zn ; Z) É
N ′ = {' ∈ Hom(Zn ; Q) | '(N ) ⊂ Z} :
ëÁË Ó×ÑÚÁÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ Zn =N É N ′ =L ? ïÄÉÎÁËÏ×Ï ÌÉ Õ ÎÉÈ ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×?
úÁÄÁÞÁ 11.11 ( ÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ÁÂÅÌÅ×Ù ÇÒÕÙ). Z-ÍÏÄÕÌØ (ÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ,
ÁÂÅÌÅ×Á ÇÒÕÁ) A, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÊ ÏÄÎÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉËÌÉÞÅÓËÉÍ .
ðÏËÁÖÉÔÅ ÞÔÏ
Á) ÌÀÂÏÊ ÉËÌÉÞÅÓËÉÊ Z-ÍÏÄÕÌØ ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ Z ÉÌÉ Z=(n)
Â) ÍÏÄÕÌØ Z=(n) ⊕ Z=(m) ÉËÌÉÞÅÓËÉÊ , ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ÎÏÄ(m; n) = 1 .
úÁÄÁÞÁ 11.12. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÁÑ ÁÂÅÌÅ×Á ÇÒÕÁ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ËÏÍ-
ÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ C∗ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÊ ÏÄÇÒÕÙ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ R>∗ 0 ⊂ C∗ É ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÊ ÏÄÇÒÕÙ
S 1 = {z ∈ C | |z | = 1}
úÁÄÁÞÁ 11.13. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÉ n ⩾ 3 ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÁÑ ÇÒÕÁ ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ×Ù-
ÞÅÔÏ× × (Z= (2n ) ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÅ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÊ
ÇÒÕÙ ÚÎÁËÏ×
n
−
2
{±1} É ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÙ Z= 2
.
úÁÄÁÞÁ 11.14 (ÌÅÍÍÁ îÁËÁÑÍÙ). ðÕÓÔØ × ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÍ ËÏÌØ Å K Ë Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ
ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÊ ÉÄÅÁÌ m ⊂ K (ÔÁËÉÅ ËÏÌØ Á ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
). äÌÑ ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÇÏ K -ÍÏÄÕÌÑ M ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) ÆÁËÔÏÒ ÍÏÄÕÌØ V = M=mM Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÎÁÄ ÏÌÅÍ k = K=m
Â) ÅÓÌÉ V = 0 (Ô. Å. M = gM ), ÔÏ M = 0 (ÏÄÓËÁÚËÁ: ÆÉËÓÉÒÕÊÔÅ ÎÅËÏÔÏÒÕÀ
ÓÉÓÔÅÍÕ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÍÏÄÕÌÑ M É ×ÏÓÏÌØÚÕÊÔÅÓØ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ IdM ÉÍÅÅÔ Ä×Å ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÍÁÔÒÉ Ù | ÅÄÉÎÉÞÎÕÀ É Ó ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÉÚ
m, É ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÉÈ ÒÁÚÎÏÓÔÉ2 )
×) ÅÓÌÉ ËÌÁÓÓÙ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× w1 ; w2 ; : : : ; wm ∈ M ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ V ÎÁÄ k, ÔÏ
ÓÁÍÉ ÜÔÉ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÒÏÖÄÁÀÔ M ÎÁÄ K
ÌÏËÁÌØÎÙÍÉ
1
2
ÅÌÏÚÎÁÞÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÔÅÅÎÉ ⩽ d Ï ÍÏÄÕÌÀ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Ó ÅÌÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ
ÓÒ. Ó ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÏÍ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á çÁÍÉÌØÔÏÎÁ{ëÅÌÉ ÉÚ n◦ 11.3.1
200
úÁÄÁÞÉ Ë §11
úÁÄÁÞÁ 11.15 ( ÅÌÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ). ðÕÓÔØ A ⊂ B ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÅ ËÏÌØ Á Ó ÅÄÉÎÉ-
ÅÊ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÜÌÅÍÅÎÔÁ b ∈ B ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÄÒÕÇ
ÄÒÕÇÕ (ÜÌÅÍÅÎÔ b ∈ B Ó ÔÁËÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÌÙÍ ÎÁÄ A):
Á) bm = a1 bm−1 + · · · + am−1 b + a0 ÄÌÑ ÎÅËÉÈ m ∈ N, a1 ; a2 ; : : : ; am ∈ A;
Â) A-ÍÏÄÕÌØ, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÊ ×ÓÅÍÉ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍÉ ÓÔÅÅÎÑÍÉ {bi }i⩾0 , ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖģΠÎÁÄ A;
×) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ B -ÔÏÞÎÙÊ 1 ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ A-ÍÏÄÕÌØ M ⊂ B , ÔÁËÏÊ ÞÔÏ2
bM ⊂ M .
úÁÄÁÞÁ 11.16 ( ÅÌÏÅ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ). ÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÚÁÄ. 11.15 ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ b ∈ B ,
ÅÌÙÈ ÎÁÄ A, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÌÙÍ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ A × B . åÓÌÉ ÏÎÏ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó A,
ÔÏ A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÌÏÚÁÍËÎÕÔÙÍ × B . åÓÌÉ ÏÎÏ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó B , ÔÏ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ
A ⊂ B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÌÙÍ (Á B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÌÏÊ A-ÁÌÇÅÂÒÏÊ ). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) ÅÌÏÅ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ A × B Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄËÏÌØ ÏÍ × B
Â) ÜÌÅÍÅÎÔ ∈ C ⊃ B ⊃ A, ÅÌÙÊ ÎÁÄ ÅÌÙÍ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ A × B , ÅÌ É ÎÁÄ A
×) ÅÓÌÉ ÏÌÅ B ⊃ A ÅÌÏ ÎÁÄ A, ÔÏ A ÔÏÖÅ ÏÌÅ
Ç) ÅÓÌÉ ÅÌÏÓÔÎÏÅ B ⊃ A ÅÌÏ ÎÁÄ A, É A ÏÌÅ, ÔÏ B ÔÏÖÅ ÏÌÅ.
úÁÄÁÞÁ 11.17 (ÎÏÒÍÁÌØÎÙÅ ËÏÌØ Á). ãÅÌÏÓÔÎÏÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØ Ï,
ÅÌÏÚÁÍËÎÕÔÏÅ × Ó×Ï£Í ÏÌÅ ÞÁÓÔÎÙÈ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÙÍ . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÑËÏÅ
ÆÁËÔÏÒÉÁÌØÎÏÅ ËÏÌØ Ï ÎÏÒÍÁÌØÎÏ (ÅÓÌÉ ÏÂÝÉÊ ÓÌÕÞÁÊ ×ÙÚÙ×ÁÅÔ ÚÁÔÒÕÄÎÅÎÉÑ,
ÓÎÁÞÁÌÁ ÄÏËÁÖÉÔÅ ÜÔÏ ÄÌÑ ËÏÌÅ Z É Q[x1 ; x2 ; : : : ; xn ℄).
úÁÄÁÞÁ 11.18 (ÌÅÍÍÁ çÁÕÓÓÁ { ëÒÏÎÅËÅÒÁ { äÅÄÅËÉÎÄÁ).
Á) ðÕÓÔØ A ⊂ B | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÅ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÈ ËÏÌÅ . äÏËÁÖÉÔÅ,
ÞÔÏ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ fg Ä×ÕÈ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f; g ∈
B [x℄ ÅÌÙ ÎÁÄ A , ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ É Õ f É Õ g ÅÌ3 ÎÁÄ
A.
Â) ðÕÓÔØ A | ÎÏÒÍÁÌØÎÏÅ ËÏÌØ Ï Ó ÏÌÅÍ ÞÁÓÔÎÙÈ F. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ fg Ä×ÕÈ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f; g ∈ F[x℄ ÌÅÖÉÔ × A[x℄ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ É f , É g ÌÅÖÁÔ × A[x℄.
úÁÄÁÞÁ 11.19. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÁÌÇÅÂÒÕ B ÎÁÄ ÏÌÅÍ ÞÁÓÔÎÙÈ F ÒÏÉÚ-
×ÏÌØÎÏÇÏ ÅÌÏÓÔÎÏÇÏ ËÏÌØ Á A.
Á) ðÕÓÔØ b ∈ B ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÎ ÎÁÄ F É ÉÍÅÅÔ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ b ∈ F[x℄.
äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ b ÅÌ ÎÁÄ A, ÔÏ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ b ÅÌÙ ÎÁÄ A.
Â) ðÕÓÔØ ËÏÌØ Ï A ÎÏÒÍÁÌØÎÏ. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÅÌÏÓÔÉ b ∈ B ÎÁÄ A ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ b ÂÙÌ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÎ ÎÁÄ F É ÅÇÏ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ
ÏÌÉÎÏÍ b ÎÁÄ F ÌÅÖÁÌ × A[x℄.
1
2
M
ÁÂÅÌÅ×Á ÏÄÇÒÕÁ M ⊂ B ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ B -ÔÏÞÎÏÊ , ÅÓÌÉ bM = 0 ⇒ b = 0
ÏÄÓËÁÚËÁ: ÒÉ ×Ù×ÏÄÅ ×) ÉÚ Á) ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ det(F ) · M ⊂ F (M ) ∀
FM
ÏÄÓËÁÚËÁ: ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÔÅ ×Ó£ × ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÍ × ÚÁÄ. 4.19 ÒÁÓÛÉÒÅÎÉÉ C ⊃ B ⊃ A, ÇÄÅ ÏÂÁ
ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÑ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔÓÑ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ Ä×ÕÞÌÅÎÏ×
3
§12. ëÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÅ ÍÏÄÕÌÉ ÎÁÄ ËÏÌØ ÁÍÉ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×
÷ÓÀÄÕ × ÜÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ
ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ÞÅÒÅÚ K ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ËÏÌØ Ï ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×. ÷ÓÅ K -ÍÏÄÕÌÉ
Ï ÕÍÏÌÞÁÎÉÀ ÒÅÄÏÌÁÇÁÀÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÍÉ. äÏÇÏ×ÏÒÉÍÓÑ ÏÎÉÍÁÔØ
ÏÄ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÍÏÄÕÌÅÍ ÒÁÎÇÁ ÎÕÌØ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÍÏÄÕÌØ.
12.1. ÅÏÒÅÍÁ Ï ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑÈ.
ìÅÍÍÁ 12.1
÷ÓÑËÉÊ ÏÄÍÏÄÕÌØ N ⊂ K m Ó×ÏÂÏÄÅÎ É ÉÍÅÅÔ rk (N ) ⩽ m .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. éÎÄÕË ÉÑ Ï m . åÓÌÉ m = 1 , ÔÏ ÏÄÍÏÄÕÌØ N ⊂ ë | ÜÔÏ
ÇÌÁ×ÎÙÊ ÉÄÅÁÌ (d) ⊂ K . åÓÌÉ d = 0, ÔÏ N = 0 Ó×ÏÂÏÄÅÎ ÒÁÎÇÁ ÎÕÌØ. åÓÌÉ d 6= 0,
ÔÏ (d) Ó×ÏÂÏÄÅÎ Ó ÂÁÚÉÓÏÍ d, ÏÓËÏÌØËÕ xd = yd ⇒ (x − y)d = 0 ⇒ x = y , Ô. Ë. ×
K ÎÅÔ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÎÕÌÑ.
ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ m > 1. âÕÄÅÍ ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ ×ÅËÔÏÒÙ v ∈ K m ÓÔÒÏÞËÁÍÉ ÉÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ e1; e2; : : : ; em ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ
K m . ÏÇÄÁ ÅÒ×ÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ x1 (v) ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× v ∈ N ÏÂÒÁÚÕÀÔ
ÉÄÅÁÌ × K . åÓÌÉ ÏÎ ÎÕÌÅ×ÏÊ, ÔÏ N ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × Ó×ÏÂÏÄÎÏÍ ÍÏÄÕÌÅ ÒÁÎÇÁ m − 1
Ó ÂÁÚÉÓÏÍ e2; : : : ; em , É Ï ÉÎÄÕË ÉÉ Ó×ÏÂÏÄÅÎ ÒÁÎÇÁ ⩽ (m − 1) . åÓÌÉ ÉÄÅÁÌ
ÅÒ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ×ÅËÔÏÒÏ× ÉÚ N ÎÅ ÎÕÌÅ×ÏÊ, ÔÏ ÜÔÏ | ÇÌÁ×ÎÙÊ ÉÄÅÁÌ (d) ⊂ K
Ó ÏÂÒÁÚÕÀÝÅÊ d 6= 0. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ v1 ∈ N ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ×ÅËÔÏÒ Ó ÅÒ×ÏÊ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÏÊ d . ÏÇÄÁ N = K · v1 ⊕ N ′, ÇÄÅ N ′ ⊂ N | ÏÄÍÏÄÕÌØ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ
ÉÚ ×ÅËÔÏÒÏ× Ó ÎÕÌÅ×ÏÊ ÅÒ×ÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÏÊ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, (K · v1) ∩ N ′ = 0, É
ÌÀÂÏÊ ×ÅËÔÏÒ v ∈ N ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ v1 + w, ÇÄÅ = x1 (v)=x1(v1) (ÄÅÌÅÎÉÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÅÒ×ÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ×ÓÅÈ ×ÅËÔÏÒÏ× v ∈ N ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ
d = x1 (v1 )) , Á w = v − v1 ∈ N ′ . íÏÄÕÌØ Kv1 , ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒÏÍ v1 , Ó×ÏÂÏÄÅÎ ÒÁÎÇÁ 1, ÏÓËÏÌØËÕ × ÏÂßÅÍÌÀÝÅÍ Ó×ÏÂÏÄÎÏÍ ÍÏÄÕÌÅ K m ÎÅÔ ËÒÕÞÅÎÉÑ.
íÏÄÕÌØ N ′ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × Ó×ÏÂÏÄÎÏÍ ÍÏÄÕÌÅ ÒÁÎÇÁ m − 1 Ó ÂÁÚÉÓÏÍ e2; : : : ; em ,
É Ï ÉÎÄÕË ÉÉ Ó×ÏÂÏÄÅÎ ÒÁÎÇÁ ⩽ (m − 1) . ðÏÜÔÏÍÕ N = K · v1 ⊕ N ′ Ó×ÏÂÏÄÅÎ
ÒÁÎÇÁ ⩽ m .
12.1.1. éÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ. ïÓÎÏ×ÎÙÍ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ Ï Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ
ÍÏÄÕÌÑÈ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÒÁÎÇÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÅÏÒÅÍÁ 12.1 (Ï ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑÈ)
äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÄÍÏÄÕÌÑ N Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ M ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÒÁÎÇÁ ÎÁÄ ËÏÌØ ÏÍ
ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× K × ÍÏÄÕÌÅ M ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÁÚÉÓ (e1; e2; : : : ; em ), ÔÁËÏÊ ÞÔÏ
ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 1e1; 2e2; : : : ; nen ÅÒ×ÙÈ n ⩽ m ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×
ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ × N É ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ i ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ×ÓÅ ÒÅÄÙÄÕÝÉÅ
ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ j Ó j < i. îÁÂÏÒ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ 1; 2; : : : ; n Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÌØ Á ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÔÁËÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ.
íÎÏÖÉÔÅÌÉ 1; 2; : : : ; n, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÉÄ£Ô ÒÅÞØ × ÔÅÏÒÅÍÅ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÏÄÍÏÄÕÌÑ N ⊂ M , Á ÂÁÚÉÓÙ e1; e2; : : : ; em ∈ M
ÉÎ-
×ÁÒÉÁÎÔÎÙÍÉ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑÍÉ
201
202
§12. ëÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÅ ÍÏÄÕÌÉ ÎÁÄ ËÏÌØ ÁÍÉ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×
É 1e1; 2e2; : : : ; nen ∈ N |
ÍÏÄÕÌÑ M É ÏÄÍÏÄÕÌÑ
N ⊂ N . ïÓÔÁÔÏË ÜÔÏÇÏ ÒÁÚÄÅÌÁ ÂÕÄÅÔ ÏÓ×ÑݣΠÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÔÅÏÒ. 12.1.
12.1.2. íÁÔÒÉÞÎÁÑ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ ÔÅÏÒÅÍÙ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÁËÉÅ-ÎÉÂÕÄØ ÂÁÚÉÓÙ w = (w1; w2; : : : ; wm) ⊂ M , v = (v1; v2; : : : ; vn) ⊂ N É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ
ÞÅÒÅÚ Cwv ÍÁÔÒÉ Õ, × j -ÔÏÍ ÓÔÏÌ ŠËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÏÑÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ×ÅËÔÏÒÁ vj ×
ÂÁÚÉÓÅ w, ÔÁË ÞÔÏ v = wCwv . îÁÂÏÒÙ ×ÅËÔÏÒÏ× w′ = wFww É v′ = vGvv ÔÏÇÄÁ
É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÂÁÚÉÓÁÍÉ × M É N , ËÏÇÄÁ ÍÁÔÒÉ Ù Fww É Gvv ÏÂÒÁÔÉÍÙ ÎÁÄ ËÏÌØ ÏÍ K , É ÒÉ ÅÒÅÈÏÄÅ ÏÔ ÂÁÚÉÓÏ× w É v Ë ÂÁÚÉÓÁÍ
w′ = wFww É
−1
v′ = vGvv , ÍÁÔÒÉ Á Cwv ÒÅÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ × ÍÁÔÒÉ Õ Cw v = Fww
Cwv Gvv .
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ GLk (K ) ⊂ Matk (K ) ÇÒÕÕ ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÍÁÔÒÉ . õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑÈ (ÔÅÏÒ. 12.1) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÀ ÔÁËÉÈ ÍÁÔÒÉ F ∈ GLm(K ) É G ∈ GLn(K ), ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Á


1
0

... 

(12-1)
D = F −1 Cwv G = 


0
n 
0
ÉÍÅÅÔ dij = 0 ÒÉ i 6= j , Á ËÁÖÄÙÊ Å£ €ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙʁ ÜÌÅÍÅÎÔ dii = i ÄÅÌÉÔÓÑ
ÎÁ ×ÓÅ ÒÅÄÙÄÕÝÉÅ djj = j j < i . äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÎÁÌÉÞÉÅ ÔÁËÉÈ ÍÁÔÒÉ
ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÂÁÚÉÓ e = wF ÍÏÄÕÌÑ M É ÂÁÚÉÓ
vG = wCvw G = eF −1 Cvw G = eD = (1 e1 ; 2 e2 ; : : : ; n en )
ÏÄÍÏÄÕÌÑ N Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÓËÏÍÙÍÉ ×ÚÁÉÍÎÙÍÉ ÂÁÚÉÓÁÍÉ.
×ÚÁÉÍÎÙÍÉ ÂÁÚÉÓÁÍÉ
′
′
′
′
′
′
′ ′
′
′
12.1.3. îÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÂÁÚÉÓÁ
ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× k ÍÁÔÒÉ Ù (12-1) ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ
ÍÁÔÒÉ F É G, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ (12-1). äÁÄÉÍ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÕÀ
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÁ ÉÀ ÜÔÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ðÏÓËÏÌØËÕ i ... j ÒÉ i > j , ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÅÒ×ÙÈ k ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× 12 · · · k ÒÁ×ÎÏ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÍÕ ÏÂÝÅÍÕ ÄÅÌÉÔÅÌÀ
×ÓÅÈ k × k-ÍÉÎÏÒÏ× ÍÁÔÒÉ Ù D (ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ k = 1; : : : ; n). ïÂÏÚÎÁÞÉÔØ ÎÁÉÂÏÌØÛÉÊ ÏÂÝÉÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ ×ÓÅÈ k × k-ÍÉÎÏÒÏ× ÄÁÎÎÏÊ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù
A ÞÅÒÅÚ k (A). ÏÇÄÁ k-ÔÙÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ k ÒÁ×ÅÎ
k = k (D)=k−1 (D) = k (Cwv )=k−1 (Cwv ) ;
ÏÓËÏÌØËÕ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÄÁÌÅÅ ÌÅÍÍÙ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ k (Cwv ) Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ
ÏÂÒÁÔÉÍÏÇÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÂÁÚÉÓÏ× w ⊂ M É v ⊂ N .
ìÅÍÍÁ 12.2
äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù A ∈ Matm×n(K ) É ÌÀÂÙÈ F ∈ GLm(K ) É G = GLn(K ) Ó
ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
k (AG) = k (A) = k (F A) :
203
12.1. ÅÏÒÅÍÁ Ï ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑÈ
íÙ ÄÏËÁÖÅÍ ÅÒ×ÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï k (AG) = k (A) (×ÔÏÒÏÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÎÅÇÏ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÒÉ ÎÁÂÏÒÁ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ
ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ = (1; 2; : : : ; m) , = (1; 2; : : : ; n) , = (1; 2; : : : ; n) , Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ: = · A É = · G = · (AG) . âÁÚÉÓÎÙÅ
ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Ù ÍÏÎÏÍÙ ÓÔÅÅÎÉ k ÏÔ ÜÔÉÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ Ó×ÑÚÁÎÙ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ, ÍÁÔÒÉ Ù ËÏÔÏÒÙÈ k A, k G É k (AG) ÓÕÔØ ÍÁÔÒÉÙ k × k-ÍÉÎÏÒÏ× ÍÁÔÒÉ A, G É AG. ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ
k (AG), ×ÙÒÁÖÁÀÝÅÅ ÍÏÎÏÍÙ ÏÔ ÞÅÒÅÚ ÍÏÎÏÍÙ ÏÔ , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ Ó ÍÁÔÒÉ ÁÍÉ k G É k A, ×ÙÒÁÖÁÀÝÉÈ ÍÏÎÏÍÙ ÏÔ ÞÅÒÅÚ
ÍÏÎÏÍÙ ÏÔ , Á ÍÏÎÏÍÙ ÏÔ | ÞÅÒÅÚ ÍÏÎÏÍÙ ÏÔ , ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
k (AG) = k A · k G . ÅÍ ÓÁÍÙÍ, k × k-ÍÉÎÏÒÙ ÍÁÔÒÉ Ù AG Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑÍÉ k × k-ÍÉÎÏÒÏ× ÍÁÔÒÉ Ù A, É ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, k (AG) ÄÅÌÉÔÓÑ
ÎÁ k (A). ðÏÓËÏÌØËÕ A = (AG) · G−1 É k (A) = k (AG) · k (G−1), ÔÏ É ÎÁÏÂÏÒÏÔ, k (A) ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ k (AG). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, k (A) É k (AG) ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ
ÏÂÒÁÔÉÍÙÍ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÍ.
12.1.4. ïÂÏÂÝ£ÎÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. þÔÏÂÙ ÄÏËÁÚÁÔØ ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑÈ, ÎÁÍ ÏÓÔÁ£ÔÓÑ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ
ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ó ÔÁËÉÅ ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù F É G, ÞÔÏÂÙ ÍÁÔÒÉÁ F −1CG ÂÙÌÁ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÊ, ÒÉÞ£Í ËÁÖÄÙÊ ÉÚ Å£ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
ÄÅÌÉÌ ÂÙ ×ÓÅ ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÅ (ÓÔÏÑÝÉÅ ÒÁ×ÅÅ É ÎÉÖÅ). ÷ ÄÕÈÅ ÍÅÔÏÄÁ çÁÕÓÓÁ
ÂÕÄÅÍ ÄÅÌÁÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÅ
(ÓÒ. Ó n◦ 9.2.4). ëÁÖÄÏÅ ÔÁËÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÂÕÄÅÔ ÚÁÍÅÎÑÔØ ÁÒÕ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× a, b × ÍÏÄÕÌÅ M ÉÌÉ × ÍÏÄÕÌÅ N ÎÁ ÉÈ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ
a′ = a + b É b′ = a + Æb, ÔÁË ÞÔÏ
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
ÏÂÏÂÝ£ÎÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÂÁ-
ÚÉÓÏ×
(a ; b ) = (a; b) ·
′
′
Æ
ÇÄÅ
;
Æ−
= 1;
(12-2)
ÏÓÔÁ×ÌÑÑ ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÏÂÏÉÈ ÍÏÄÕÌÅÊ ÎÅÉÚÍÅÎÎÙÍÉ. ðÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÔÁËÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ Ë ÂÁÚÉÓÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÁÍ (a; b) = (vi; vj ) ÏÄÍÏÄÕÌÑ
N ÓÏÓÔÏÉÔ × ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ i-ÔÏÇÏ É j -ÔÏÇÏ ÓÔÏÌ Ï× ∗i É ∗j ÍÁÔÒÉ Ù Cwv ÓÒÁ×Á
ÎÁ 2 × 2 ÍÁÔÒÉ Õ
Æ ;
ÞÔÏ ÚÁÍÅÎÑÅÔ ÉÈ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑÍÉ ∗i + ∗j , ∗i + Æ ∗j É ÎÅ ÍÅÎÑÅÔ
ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÔÏÌ Ï×. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× (a; b) =
(wi; wj ) ÏÂßÅÍÌÀÝÅÇÏ ÍÏÄÕÌÑ M ÕÍÎÏÖÁÅÔ i-ÔÕÀ É j -ÔÕÀ ÓÔÒÏËÉ i∗ É j∗ ÍÁÔÒÉ Ù Cwv ÓÌÅ×Á ÎÁ 2 × 2 ÍÁÔÒÉ Õ
Æ
− 1
Æ
= −
−
Ô. Å. ÚÁÍÅÎÑÔ ÉÈ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑÍÉ Æ i∗ −
ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÔÒÏË.
;
,
j∗ −
i∗
+
j∗
, É ÎÅ ÍÅÎÑÅÔ
204
§12. ëÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÅ ÍÏÄÕÌÉ ÎÁÄ ËÏÌØ ÁÍÉ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×
ìÅÍÍÁ 12.3
ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ (12-2) ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÌÀÂÕÀ ÁÒÕ ÓÔÏÑÝÉÈ × ÏÄÎÏÊ ÓÔÒÏËÅ
ÉÌÉ × ÏÄÎÏÍ ÓÔÏÌ ŠÜÌÅÍÅÎÔÏ× ( ; ), ÔÁËÉÈ ÞÔÏ ∤ É ∤ , ÁÒÏÊ (d; 0), ÇÄÅ
d = ÎÏÄ( ; ).
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ
= ad, = bd É, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, b = a. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ
d = ÎÏÄ( ; ) × ×ÉÄÅ d = x + y. ÏÇÄÁ 1 = ax + by. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
x −b
y a
det
=1
É ÅÓÌÉ É ÓÔÏÑÔ × ÏÄÎÏÊ ÓÔÒÏÞËÅ, ÔÏ ÏÄÏÊÄ£Ô ÔÁËÏÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÓÒÁ×Á
(; )
x −b
y a
= (d; 0)
Á ÅÓÌÉ × ÏÄÎÏÍ ÓÔÏÌ Š| ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÓÌÅ×Á, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÅ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ.
ÅÏÒÅÍÁ Ï ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑÈ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÔÅÅÒØ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÌÅÍÍÙ:
ìÅÍÍÁ 12.4
ìÀÂÁÑ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á C ÎÁÄ ËÏÌØ ÏÍ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× ÏÂÏÂÝ£ÎÎÙÍÉ
ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌ Ï× ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë €ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÍՁ ×ÉÄÕ (12-1).
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. úÁÍÅÎÑÑ Ï ÌÅÍ. 12.3 ÁÒÙ (a; b) ÎÅ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÄÒÕÇ
ÄÒÕÇÕ ÍÁÔÒÉÞÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÓÔÏÑÝÉÈ × ÏÄÎÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÉÌÉ × ÏÄÎÏÍ ÓÔÏÌ ŠÁÒÁÍÉ (ÎÏÄ(a; b); 0), Á ÔÁËÖÅ ÒÉÍÅÎÑÑ Ë ÓÔÒÏËÁÍ É ÓÔÏÌ ÁÍ ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÅÒ×ÏÇÏ É ×ÔÏÒÏÇÏ ÔÉÏ×, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÄÏÂÉÔØÓÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ
ÌÅ×ÙÊ ×ÅÒÈÎÉÊ ÕÇÌÏ×ÏÊ ÍÁÔÒÉÞÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ 11 ÓÔÁÌ ÒÁ×ÅÎ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÍÕ ÏÂÝÅÍÕ
ÄÅÌÉÔÅÌÀ ×ÓÅÈ ÍÁÔÒÉÞÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. þÔÏÂÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÜÔÏÍ, ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ
ÏËÁ × ÍÁÔÒÉ Å ÅÓÔØ ÎÅ ÄÅÌÑÝÉÅÓÑ ÎÁ 11 ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÔØ
Å£ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÉÄÅÁÌ ( 11) ÓÔÒÏÇÏ Õ×ÅÌÉÞÉÌÓÑ.
ðÕÓÔØ ÎÅ ÄÅÌÑÝÉÊÓÑ ÎÁ 11 ÜÌÅÍÅÎÔ a ÓÔÏÉÔ × ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÉÌÉ ÅÒ×ÏÍ
ÓÔÏÌ Å. åÓÌÉ a| 11 , ÔÏ ÍÙ ÒÏÓÔÏ ÏÍÅÎÑÅÍ a É 11 ÍÅÓÔÁÍÉ, ÅÒÅÓÔÁ×É× ÓÔÒÏËÉ
ÉÌÉ ÓÔÏÌ Ù. åÓÌÉ a ∤ Ó11, ÔÏ ÍÙ ÚÁÍÅÎÉÍ ÁÒÕ ( 11; a) ÎÁ (ÎÏÄ( 11; a); 0) ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÉÚ ÌÅÍ. 12.3. åÓÌÉ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÉ É ÅÒ×ÏÇÏ ÓÔÏÌ Á
ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ 11, Á a ÓÔÏÉÔ ÓÔÒÏÇÏ ÎÉÖÅ É ÓÔÒÏÇÏ ÌÅ×ÅÅ 11, ÔÏ ÍÙ ÓÎÁÞÁÌÁ ÚÁÎÕÌÉÍ ×ÓÅ ËÒÏÍÅ 11 ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÉ É ÅÒ×ÏÇÏ ÓÔÏÌ Á, ÄÏÂÁ×É× ËÏ ×ÓÅÍ
ÓÔÏÌ ÁÍ ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ ËÒÁÔÎÙÅ ÅÒ×ÏÇÏ ÓÔÏÌ Á, Á ËÏ ×ÓÅÍ ÓÔÒÏËÁÍ | ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ ËÒÁÔÎÙÅ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÉ. ë ÜÌÅÍÅÎÔÕ a ÒÉ ÜÔÏÍ ÂÕÄÕÔ ÄÏÂÁ×ÌÑÔØÓÑ ÞÉÓÌÁ,
ËÒÁÔÎÙÅ 11, É ÏÎ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÎÅ ÄÅÌÑÝÉÍÓÑ ÎÁ 11. ðÒÉÂÁ×ÌÑÑ ÔÕ ÓÔÒÏËÕ, ÇÄÅ
ÏÎ ÓÔÏÉÔ, Ë ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÅ, ÏÌÕÞÁÅÍ × ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏÞËÅ ËÏÉÀ ÜÔÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ,
ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ÓÔÒÏÇÏ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÅÍ ÉÄÅÁÌ ( 11) ÔÁË, ËÁË ÍÙ ÕÖÅ ÏÉÓÙ×ÁÌÉ.
205
12.2. ðÒÉÍÅÒ: ÏÄÒÅÛ£ÔËÉ × Zm .
ðÏÓËÏÌØËÕ × ËÏÌØ Å K ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÈ ÅÏÞÅË
ÓÔÒÏÇÏ ×ÌÏÖÅÎÎÙÈ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ ÉÄÅÁÌÏ×, ÍÙ ÒÁÎÏ ÉÌÉ ÏÚÄÎÏ ÏÌÕÞÉÍ ÍÁÔÒÉÕ, ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÏÊ ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ 11. åÓÌÉ ÚÁÎÕÌÉÔØ Õ ÔÁËÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ×ÓÅ
ËÒÏÍÅ 11 ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏËÉ É ÅÒ×ÏÇÏ ÓÔÏÌ Á, ÔÏ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÄÍÁÔÒÉ Ù, ÓÔÏÑÝÅÊ × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÔÒÏËÁÈ É ÓÔÏÌ ÁÈ, ÂÕÄÕÔ ÄÅÌÉÔØÓÑ ÎÁ 11. ðÏ
ÉÎÄÕË ÉÉ, ÜÔÕ ÏÄÍÁÔÒÉ Õ ÍÏÖÎÏ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÏ×ÁÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌ Ï×, ÎÅ ÚÁÔÒÁÇÉ×ÁÀÝÉÈ ÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ É ÅÒ×ÙÊ ÓÔÏÌÂÅ
ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù. üÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÌÅÍÍÕ É ÔÅÏÒ. 12.1.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 12.1. ðÒÉÉÛÅÍ Ë ÍÁÔÒÉ Å C ∈ Matm×n (K ) ÓÒÁ×Á É ÓÎÉÚÕ ÅÄÉÎÉÞ-
ÎÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÒÁÚÍÅÒÏ× m × m é n × n ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÔÁË ÞÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ çÏÂÒÁÚÎÁÑ ÔÁÂÌÉ Á ×ÉÄÁ C E , É ÒÉ×ÅÄ£Í ÍÁÔÒÉ Õ C Ë ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÍÕ ×ÉÄÕ D,
E
ÄÅÌÁÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌ Ï× ÓÒÁÚÕ ×Ï ×ÓÅÊ ç-ÏÂÒÁÚÎÏÊ
ÔÁÂÌÉ Å. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÏÌÕÞÉ×ÛÅÊÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÔÁÂÌÉ Å D F ÍÁÔÒÉ Ù F
G
É G ÔÁËÏ×Ù, ÞÔÏ F CG = D .
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ × ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÒÅÛ£ÔËÅ Zm
ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÁÂÅÌÅ×Õ ÏÄÇÒÕÕ L ⊂ Zm . ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑÈ × Zm ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÏÊ ÂÁÚÉÓ u1; u2; : : : ; um, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ
m1 u1 ; m2 u2 ; : : : ; m` u` ÅÒ×ÙÈ ` ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ × L ËÁË
ÍÏÄÕÌÑ ÎÁÄ Z. ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ L ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛ£ÔËÏÊ (Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ
Z-ÍÏÄÕÌÅÍ), É ÞÔÏ ÆÁËÔÏÒ ÍÏÄÕÌØ
12.2. ðÒÉÍÅÒ: ÏÄÒÅÛ£ÔËÉ × Zm .
m− `
(12-3)
(m1)
(m`) ⊕ Z :
÷ÙÑÓÎÉÍ, Ë ÒÉÍÅÒÕ, ËÁË ÕÓÔÒÏÅÎÁ ÏÄÒÅÛ£ÔËÁ L ⊂ Z3, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÁÑ ÓÔÏÌ ÁÍÉ
ÍÁÔÒÉ Ù

126 51 72 33
ó =  30 15 18 9
(12-4)
60 30 36 18
äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÅÒÅÊÄ£Í Ë ×ÚÁÉÍÎÙÍ ÂÁÚÉÓÁÍ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÏÄ ×ÓÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
ÍÁÔÒÉ Ù (12-4) ÒÁ×ÅÎ 3, É ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÌÕÞÉÔØ −3 × ÏÚÉ ÉÉ (1; 4), ÒÉÂÁ×ÌÑÑ
Ë 1-Ê ÓÔÒÏËÅ ÕÞÅÔ×ÅÒ£ÎÎÕÀ 2-À:

6 −9 0 −3
30 15 18
9 :
60 30 36 18
õÍÎÏÖÁÅÍ 1-À ÓÔÒÏËÕ ÎÁ −1 É ÍÅÎÑÅÍ ÍÅÓÔÁÍÉ ÅÒ×ÙÊ É ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÓÔÏÌÂ Ù

3 9 0 −6
 9 15 18 30 :
18 30 36 60
Zm =L ≃
Z
⊕ ··· ⊕
Z
206
§12. ëÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÅ ÍÏÄÕÌÉ ÎÁÄ ËÏÌØ ÁÍÉ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×
ÅÅÒØ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÚÁÎÕÌÉÔØ ÌÅ×ÙÊ ÓÔÏÌÂÅ É ×ÅÒÈÎÀÀ ÓÔÒÏËÕ ×ÎÅ ÌÅ×ÏÇÏ ÕÇÌÏ×ÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ, ÏÔÎÉÍÁÑ ÉÚ 2-Ê É 3-Ê ÓÔÒÏË ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 1-Ê ÓÔÒÏËÉ,
Á ÚÁÔÅÍ ÉÚ 2-ÇÏ É 4-ÇÏ ÓÔÏÌ Ï× ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ 1-ÇÏ ÓÔÏÌ Á

3 0 0 0
0 −12 18 48
0 −24 36 96
úÁÎÕÌÑÅÍ 3-À ÓÔÒÏËÕ, ÏÔÎÉÍÁÑ ÉÚ ÎÅ£ ÕÄ×ÏÅÎÎÕÀ 2-À, É ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÎÏÄ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ, ÒÉÂÁ×ÌÑÑ ËÏ 2-ÍÕ ÓÔÏÌÂ Õ 3-Ê

3 0 0 0
0 6 18 48
0 0 0 0
ïÓÔÁ£ÔÓÑ ÅÒÅÓÔÁ×ÉÔØ ÔÒÅÔÉÊ ÓÔÏÌÂÅ ÎÁ ÍÅÓÔÏ ×ÔÏÒÏÇÏ É ÚÁÎÕÌÉÔØ 3-Ê É 4-Ê
ÓÔÏÌ Ù, ÄÏÂÁ×ÌÑÑ Ë ÎÉÍ ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ×ÔÏÒÏÇÏ

3 0 0 0
0 6 0 0
0 0 0 0
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, L ≃ Z2, Á Z3=L ≃ Z=(3) ⊕ Z=(6) ⊕ Z .
óÏÇÌÁÓÎÏ n◦ 9.2, ÒÏÄÅÌÁÎÎÙÅ ÎÁÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÒÏË ÚÁËÌÀÞÁÌÉÓØ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ ÓÌÅ×Á ÎÁ

−1
4 0 1 −4 0 −1 0 0  1 0 0 1 0 0
 3 −11 0 = 0
1 0  0 1 0 −3 1 0 0 1 0 ;
0 0 1
0 0 1 −6 0 1 0 −2 1
0 −2 1
Á ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÏÌ Ï× | × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ ÓÒÁ×Á ÎÁ

0 0 0 1 1 −3 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0



1 0 0


 0 1 0 0 0 1 −3 −8 =
0 0 1 0 0




0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 1
0
1 −3 −8

=
0
1 −2 −8 :
1 −3 9 26
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 12.2. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ÜÔÉ ÆÏÒÍÕÌÙ ÒÏÄÅÌÁ× ÒÅÄÙÄÕÝÉÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×Á-
ÎÉÑ ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌ Ï× Ó ç-ÏÂÒÁÚÎÏÊ ÍÁÔÒÉ ÅÊ C E (ËÁË × ÕÒ. 12.1).
E
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÂÁÚÉÓ × ÒÅÛ£ÔËÅ L ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ×ÅËÔÏÒÙ
3 u1 = 4 É 6 u2 = 2 + 3 − 3 4 ;
207
12.2. ðÒÉÍÅÒ: ÏÄÒÅÛ£ÔËÉ × Zm .
ÇÄÅ 2, 3, 4 ÓÕÔØ ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÔÒÉ ÓÔÏÌ Á ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù C , Á u1, u2 | ÅÒ×ÙÅ Ä×Á ×ÅËÔÏÒÁ ×ÚÁÉÍÎÏÇÏ L ÂÁÚÉÓÁ ÏÂßÅÍÌÀÝÅÊ ÒÅÛ£ÔËÉ Z3, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÏÇÏ
ÓÔÏÌÂ ÁÍÉ ÍÁÔÒÉ Ù

4 0−1 11 4 0
−1
U =  3 −11 0 =  3 1 0
0 −2 1
6 2 1
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 12.3. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÁ ÏÄÒÅÛ£ÔËÕ L ⊂ Zm ⊂
Qm , ÏÒÏÖÄ£ÎÎÕÀ ÓÔÏÌ ÁÍÉ ÍÁÔÒÉ Ù C ∈ Matm×n (Z), ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ:
Á) rk L = m
Â) ÁÂÅÌÅ×Á ÇÒÕÁ Zm =L
ËÏÎÅÞÎÁ
×) Q-ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ L × Qm ÒÁ×ÎÁ ×ÓÅÍÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ Qm
Ç) ÒÁÎÇ ÍÁÔÒÉ Ù C (ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ËÁË ÍÁÔÒÉ Á ÎÁÄ ÏÌÅÍ Q) ÒÁ×ÅÎ m
12.2.1. óÏÉÚÍÅÒÉÍÙÅ ÏÄÒÅÛ£ÔËÉ. ðÏÄÒÅÛ£ÔËÉ L ⊂ Zm , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀ-
ÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
Ó Zm .
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÏÉÚÍÅÒÉÍÏÓÔÉ Ó Zm ÏÄÒÅÛ£ÔËÉ L, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ËÁË ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ÓÔÏÌ Ï× ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù C ,
ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕËÁÚÁÔØ × ÜÔÏÊ ÍÁÔÒÉ Å ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÍÉÎÏÒ ÏÒÑÄËÁ m, Á ÄÌÑ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ ÒÁÎÇÁ L ÍÏÖÎÏ ÒÉ×ÅÓÔÉ C ÉÌÉ C t (ÓÍÏÔÒÑ Ï ÔÏÍÕ, × ËÁËÏÊ ÉÚ ÍÁÔÒÉ
ÍÅÎØÛÅ ÓÔÒÏË) ÎÁÄ ÏÌÅÍ Q ÍÅÔÏÄÏÍ çÁÕÓÓÁ Ë ÓÔÕÅÎÞÁÔÏÍÕ ×ÉÄÕ.
ÓÏÉÚÍÅÒÉÍÙÍÉ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 12.1
óÔÏÌÂ Ù ÍÁÔÒÉ Ù C ∈ Matn(Z) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÏÒÏÖÄÁÀÔ ÓÏÉÚÍÅÒÉÍÕÀ
ÏÄÒÅÛ£ÔËÕ L ⊂ Zn, ËÏÇÄÁ det C 6= 0. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ |Zn=L| = | det C | (ÉÎÁÞÅ
ÇÏ×ÏÒÑ, ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÆÁËÔÏÒÅ Ï ÓÏÉÚÍÅÒÉÍÏÊ ÏÄÒÅÛ£ÔËÅ ÒÁ×ÎÏ ÏÂߣÍÕ
ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ, ÎÁÔÑÎÕÔÏÇÏ ÎÁ ÌÀÂÏÊ Å£ ÂÁÚÉÓ).
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ × Zm ÂÁÚÉÓ u1 ; u2 ; : : : ; um , ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ
m1 u1 ; m2 u2 ; : : : ; m` u` ÅÒ×ÙÈ ` ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ
× L. ëÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑÈ,
ÅÒÅÈÏÄÕ Ë ÔÁËÉÍ ÂÁÚÉÓÁÍ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÍÁÔÒÉÞÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï F −1CG = D, ÇÄÅ

m1
D=







...
0
m`
0
0
...






Á F; G ∈ GLn(Z) ÏÂÒÁÔÉÍÙ × Matn(Z). óÏÇÌÁÓÎÏ ÓÌ. 10.3, ÏÂÒÁÔÉÍÏÓÔØ ÍÁÔÒÉ F
É G ÎÁÄ ËÏÌØ ÏÍ Z ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ det F = ±1 É det G = ±1. ðÏÜÔÏÍÕ
| det C | = det D ÎÕÌÅ×ÏÊ, ÅÓÌÉ ` < n, É ÒÁ×ÅÎ m1 m2 : : : mn , ÅÓÌÉ ` = n. ÷Ï ×ÔÏÒÏÍ
ÓÌÕÞÁÅ Zn=L = ⊕i Z=(mi), ÏÔËÕÄÁ | det C | = |Zn=L|.
208
§12. ëÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÅ ÍÏÄÕÌÉ ÎÁÄ ËÏÌØ ÁÍÉ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×
÷ÍÅÓÔÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ 1; 2; : : : ; n ÉÎÏÇÄÁ ÂÙ×ÁÅÔ ÕÄÏÂÎÅÅ ÉÍÅÔØ ÄÅÌÏ Ó ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍ ÄÉÚßÀÎËÔÎÙÍ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ×ÓÅÈ ÓÔÅÅÎÅÊ pn ÒÏÓÔÙÈ
p ∈ K , ×ÈÏÄÑÝÉÈ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÞÉÓÅÌ 1 ; 2 ; : : : ; n ÎÁ ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ. ÏÞÎÅÅ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ i = 1; : : : ; n ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ
miki
i mi
i = pm
i1 pi2 · · · piki
× ËÏÔÏÒÏÍ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ pij ÒÏÓÔÙ É pij 6=mijpik ÒÉ j 6= k . îÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÅ ÄÉÚßÀÎËÔÎÏÅ1 ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÓÔÅÅÎÅÊ pij , ×ÈÏÄÑÝÉÈ × ÜÔÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒÏÍ
ÏÄÍÏÄÕÌÑ N ⊂ M .
îÁÂÏÒ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ 1; 2; : : : ; n ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ Ï ÎÁÂÏÒÕ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÁÄÏ ÕÏÒÑÄÏÞÉÔØ ×ÓÅ ÓÔÅÅÎÉ ËÁÖÄÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ p, ×ÈÏÄÑÝÉÅ × ÎÁÂÏÒ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ,
ÔÁË ÞÔÏÂÙ ÉÈ ÏËÁÚÁÔÅÌÉ ÎÅ ÕÂÙ×ÁÌÉ, É ÏÔÒÁ×ÉÔØ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÕÀ ÉÚ ÓÔÅÅÎÅÊ
ËÁÖÄÏÇÏ p × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ n, ÓÔÅÅÎØ, ÒÅÄÛÅÓÔ×ÕÀÝÕÀ
ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ | × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ n−1 É Ô. Ä. îÁÒÉÍÅÒ, ÎÁÂÏÒ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ
32 32 3 3 3
23 23 22 2
5 5
7
ÄÁ£Ô ÔÁËÏÊ ÎÁÂÏÒ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ:
5 = 32 · 23 · 5 · 7
4 = 32 · 23 · 5
3 = 3 · 22
2 = 3 · 2
1 = 3
éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÅÓÌÉ ÒÁÚÍÅÓÔÉÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÅÌÉÔÅÌÉ Ï ÓÔÒÏËÁÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ àÎÇÁ, ÚÁÉÓÁ× × ÅÒ×ÕÀ ÓÔÒÏËÕ × ÏÒÑÄËÅ ÕÂÙ×ÁÎÉÑ ÓÔÅÅÎÉ ÔÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ
ÞÉÓÌÁ, ÓÔÅÅÎÅÊ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÌÉÞÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÏÌÅÅ ×ÓÅÇÏ, ×Ï ×ÔÏÒÕÀ ÓÔÒÏËÕ | ÓÔÅÅÎÉ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ Ï ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ × ÎÁÂÏÒÅ ÓÔÅÅÎÅÊ ÒÏÓÔÏÇÏ
ÞÉÓÌÁ É Ô. Ä., ÔÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ, ÏËÁÚÁ×ÛÉÈÓÑ × ÏÄÎÏÍ
ÓÔÏÌ Å, ÓÏÓÔÁ×ÑÔ ÒÏÞÉÔÁÎÎÕÀ ÓÒÁ×Á ÎÁÌÅ×Ï ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÍÅÅÔÓÑ ÂÉÅË ÉÑ ÍÅÖÄÕ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÎÁÂÏÒÁÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×2 1; 2; : : : ; n ∈ K , × ËÏÔÏÒÙÈ i|j ÒÉ i < j , É ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÍÉ ÎÁÂÏÒÁÍÉ ÉÚ (×ÏÚÍÏÖÎÏ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ) ÓÔÅÅÎÅÊ pm ÒÏÓÔÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×3 .
12.3. ÅÏÒÅÍÁ ÏÂ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÑÈ.
1
2
ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ
1
ÄÉÚßÀÎËÔÎÏÓÔØ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÔÅÅÎØ pm, ×ÈÏÄÑÝÁÑ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÒÏ×ÎÏ k ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ
ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ i , ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ × ÉÔÏÇÏ×ÏÍ ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÏÍ ÎÁÂÏÒÅ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ k ÒÁÚ
ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ
ÔÁËÖÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ
2
3
209
12.3. ÅÏÒÅÍÁ ÏÂ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÑÈ
12.3.1. óÔÒÏÅÎÉÅ ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ. ïÓÔÁÔÏË ÜÔÏÇÏ ÒÁÚÄÅÌÁ
ÂÕÄÅÔ ÏÓ×ÑݣΠÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ.
ÅÏÒÅÍÁ 12.2 (ÔÅÏÒÅÍÁ ÏÂ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÑÈ)
÷ÓÑËÉÊ ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ M ÎÁÄ ËÏÌØ ÏÍ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× K ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ ÍÏÄÕÌÀ ×ÉÄÁ
M = Kn ⊕
0
K
K
⊕ ··· ⊕ n
n
(p1 )
(p )
(12-5)
1
ÇÄÅ p ∈ K | ÒÏÓÔÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ). ä×Á ÔÁËÉÈ ÍÏÄÕÌÑ
Kn ⊕
0
K
K
⊕ ··· ⊕ n
n
(p1 )
(p )
É K m ⊕ (qKm ) ⊕ · · · ⊕ (qKm )
0
1
1
1
ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ n0 = m0, = É ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ ÍÏÖÎÏ
ÅÒÅÓÔÁ×ÉÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ n = m , Á p ÂÙÌÉ ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÙ Ó q .
îÁÂÏÒ ÓÔÅÅÎÅÊ pni i , Ï ËÏÔÏÒÙÍ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÑ × ÒÁ×ÙÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ (12-5) (ÓÒÅÄÉ ÜÔÉÈ ÓÔÅÅÎÅÊ ÍÏÇÕÔ ×ÓÔÒÅÞÁÔØÓÑ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÅÓÑ), ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÏÄÕÌÑ M . ðÏ ÜÔÏÊ ÒÉÞÉÎÅ
ÔÅÏÒ. 12.2 ÉÎÏÇÄÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
12.3.2. óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ (12-5). ðÕÓÔØ M ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ v1; v2; : : : ; vN . ÏÇÄÁ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ' : K N -- M , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÊ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ K N × ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÅ vi, ÓÀÒØÅËÔÉ×ÅÎ É M ≃ K N = ker('), ÇÄÅ ker ' ⊂ K N ÅÓÔØ ÍÏÄÕÌØ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÅÊ
ÍÅÖÄÕ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍÉ vi (ÓÒ. Ó n◦ 8.4.2). ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑÈ, × K N ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÁÚÉÓ u1; u2; : : : ; uN , ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ
ÎÁÂÏÒÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ
ÔÅÏÒÅÍÏÊ ÏÂ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÑÈ
1 u 1 ; 2 u 2 ; : : : ; N − n u N − n
0
0
ÅÒ×ÙÈ (N − n0) ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ × ker '. ÏÇÄÁ
M = K N = ker(') =
K
K
n
⊕ ··· ⊕
(1)
(N −n ) ⊕ K :
0
0
òÁÚÌÏÖÉÍ ËÁÖÄÙÊ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÊ mÍÎÏÖÉÔÅÌØ
i × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÓÔÅÅÎÅÊ ÒÁÚmisi
i mi
ÌÉÞÎÙÈ ÒÏÓÔÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× i = pi pi · · · pisi . ÏÇÄÁ Ï ËÉÔÁÊÓËÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ
ÏÂ ÏÓÔÁÔËÁÈ (ÓÍ. ÕÒ. 6.13)
1
1
2
2
K
K
K
K
=
mi ⊕ mi ⊕ · · · mis ;
(i) pi
pi
pi i
1
1
2
2
si
ÞÔÏ É ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÀ ×ÉÄÁ (12-5). þÔÏÂÙ ÄÏËÁÚÁÔØ ÅÇÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ,
ÍÙ ÄÁÄÉÍ ÎÅÚÁ×ÉÓÑÝÅÅ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÔÁËÏ×ÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ
ÅÇÏ ÉÎÇÒÅÄÉÅÎÔÏ× ×Ï ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÍÏÄÕÌÑ M .
210
§12. ëÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÅ ÍÏÄÕÌÉ ÎÁÄ ËÏÌØ ÁÍÉ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×
12.3.3. ïÔÝÅÌÅÎÉÅ ËÒÕÞÅÎÉÑ. óÕÍÍÁ
K
K
⊕ ··· ⊕ n
n
(p1 )
(p )
1
× ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ (12-5) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÏÄÍÏÄÕÌØ ËÒÕÞÅÎÉÑ
Tors(M ) = {w ∈ M | ∃ 6= 0 : w = 0} :
é ÉÚ ÆÁËÔÁ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ (12-5) ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 12.1
÷ÓÑËÉÊ ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ËÏÌØ ÏÍ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ É ÏÄÍÏÄÕÌÑ ËÒÕÞÅÎÉÑ (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÌÀÂÏÊ
ÍÏÄÕÌØ ÂÅÚ ËÒÕÞÅÎÉÑ Ó×ÏÂÏÄÅÎ).
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ n0 × (12-5) ÅÓÔØ ÒÁÎÇ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ M=Tors(M ) É, ÔÅÍ
ÓÁÍÙÍ, ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ (12-5).
12.3.4. ïÔÝÅÌÅÎÉÅ p-ËÒÕÞÅÎÉÑ. äÁÄÉÍ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÕÀ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÁ ÉÀ
ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÅ ×ÓÅÈ ÔÅÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ
(12-6)
Tors(M ) = (pKn ) ⊕ · · · ⊕ (pKn ) ;
1
× ËÏÔÏÒÙÈ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÑ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ Ï ÓÔÅÅÎÑÍ ÒÏÓÔÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ Ó ÚÁÄÁÎÎÙÍ ÒÏÓÔÙÍ p ∈ K . îÁÚÏ×£Í p-ËÒÕÞÅÎÉÅÍ × M ÏÄÍÏÄÕÌØ
Torsp(M ) = {w ∈ M | ∃k > 0 : pk w = 0} ;
ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ×ÓÅÈ ×ÅËÔÏÒÏ×, ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÍÙÈ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑÍÉ ÎÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÓÔÅÅÎÉ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ p ∈ K . ÷ ÓÉÌÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ pk ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔ Ó qm, ÅÓÌÉ
ÒÏÓÔÏÅ q ÎÅ ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÎÏ Ó p, ËÌÁÓÓ pk ÏÂÒÁÔÉÍ × K=(qm), É ÚÎÁÞÉÔ, ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ pk
x7→pk x K=(qm )
K=(qm )
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÑÍÁÑ ÓÕÍÍÁ ×ÓÅÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ×ÉÄÁ
K=(pm ) × (12-6) | ÜÔÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÏÄÍÏÄÕÌØ p-ËÒÕÞÅÎÉÑ Torsp(M ) ⊂ Tors(M ),
ËÏÔÏÒÙÊ ÔÏÖÅ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ (12-6), Á ÉÚ ÎÁÌÉÞÉÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ
(12-6) ×ÙÔÅËÁÅÔ
1
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 12.2
÷ÓÑËÉÊ ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ ËÒÕÞÅÎÉÑ ÎÁÄ ËÏÌØ ÏÍ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÏÄÍÏÄÕÌÅÊ p-ËÒÕÞÅÎÉÑ (Ï ×ÓÅÍ ÒÏÓÔÙÍ p ∈ K , ÄÌÑ
ËÏÔÏÒÙÈ p-ËÒÕÞÅÎÉÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ).
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 12.4. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ 'n : K=(pm )
x7→pn x -
K=(pm ) ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ
ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ pn . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ 'n = 0 ÒÉ n ⩾ m, Á ÒÉ
K= (pm )
im 'n ≃ K= pm−n É ker 'n ≃ K= (pn ) ≃
im 'n
211
12.4. ðÒÉÍÅÒ: ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÅ ÁÂÅÌÅ×Ù ÇÒÕÙ
12.3.5. éÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÓÔØ ÏËÁÚÁÔÅÌÅÊ p-ËÒÕÞÅÎÉÑ. äÌÑ ÚÁ×ÅÒÛÅÎÉÑ ÄÏËÁ-
ÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒ. 12.2 ÎÁÍ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ Ä×Á ÍÏÄÕÌÑ p-ËÒÕÞÅÎÉÑ
T=
K
K
⊕ ··· ⊕ n
n
(p )
(p k )
É W = (pKm ) ⊕ · · · ⊕ (pKm` )
1
1
ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ k = ` É (ÏÓÌÅ ÎÁÄÌÅÖÁÝÅÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ) ni = mi ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ i.
÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï n1 + · · · + nk , ÂÁÚÏ×ÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ
ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÍÏÄÕÌØ K=(p) ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ ÍÏÄÕÌÀ ×ÉÄÁ
K
K
⊕ ··· ⊕ m
m
(p )
(p ` )
1
ÔÏÌØËÏ ÒÉ ` = 1 É m1 = 1. ðÏÓËÏÌØËÕ K=(p) ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÎÁ p,
Ï ÕÒ. 12.4 ×Ï ×ÔÏÒÏÍ ÍÏÄÕÌÅ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÑÍÙÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ
K=(p). îÏ ÔÏÇÄÁ ÏÂÁ ÍÏÄÕÌÑ ÓÕÔØ ×ÅËÔÏÒÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÄ ÏÌÅÍ K=(p), É
ÉÈ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏÓÔØ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÏ×ÁÄÅÎÉÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ, ÔÁË ÞÔÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ × W
ÔÏÖÅ ÏÄÎÏ.
ðÕÓÔØ, Ï ÉÎÄÕË ÉÉ, ÌÀÂÏÊ ÍÏÄÕÌØ T Ó n1 +· · ·+nk < n ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ ÍÏÄÕÌÀ W
ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ k = ` É ×ÓÅ ni = mi ÏÓÌÅ ÎÁÄÌÅÖÁÝÅÊ ÅÒÅÎÕÍÅÒÁ ÉÉ. åÓÌÉ ÍÏÄÕÌØ
T Ó n1 + · · · + nk = n ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ ÍÏÄÕÌÀ W , ÔÏ ÑÄÒÁ É ÏÂÒÁÚÙ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×
ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ p × ÏÂÏÉÈ ÍÏÄÕÌÑÈ ÔÏÖÅ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÕÒ. 12.4, ÑÄÒÏ
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ p ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÕÍÍÕ ×ÓÅÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ×ÉÄÁ
K=(p). ëÁË É ×ÙÛÅ, ÜÔÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÏÌÅÍ K=(p), É Ä×Á ÔÁËÉÈ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ÉÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù. ðÏÜÔÏÍÕ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ×ÉÄÁ K=(p) × T É W ÏÄÉÎÁËÏ×Ï. ïÂÒÁÚÙ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×
ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ p × T É × W Ï ÕÒ. 12.4 ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ
pT ≃ ⊕ K=(pn −1 ) É pW ≃ ⊕ K=(pm −1 ) :
:n >1
:m >1
ðÏ ÉÎÄÕËÔÉ×ÎÏÍÕ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ, ÞÉÓÌÏ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ × ÏÂÏÉÈ ÓÕÍÍÁÈ ÏÄÉÎÁËÏ×Ï
É ÏÓÌÅ ÎÁÄÌÅÖÁÝÅÊ ÅÒÅÎÕÍÅÒÁ ÉÉ ËÁÖÄÏÅ n > 1 ÓÏ×ÁÄ£Ô Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÍ m > 1, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. ÅÏÒÅÍÁ Ï ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÑÈ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÄÏËÁÚÁÎÁ.
12.4. ðÒÉÍÅÒ: ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÅ ÁÂÅÌÅ×Ù ÇÒÕÙ. åÓÌÉ K = Z,
ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÑÈ ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÔÅÏÒÅÍÕ Ï ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ
ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÈ ÁÂÅÌÅ×ÙÈ ÇÒÕ.
ÅÏÒÅÍÁ 12.3
÷ÓÑËÁÑ ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÁÑ ÁÂÅÌÅ×Á ÇÒÕÁ ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÅ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÙÈ ÇÒÕ
Z
Z
Zr ⊕ n ⊕ · · · ⊕ n
(12-7)
(p1 )
(p )
1
212
úÁÄÁÞÉ Ë §12
ÇÄÅ p ∈ N | ÒÏÓÔÙÅ ÞÉÓÌÁ (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ). ä×Å ÁÄÄÉÔÉ×ÎÙÈ
ÇÒÕÙ
Z
Z
Z
Z
É
Zr ⊕ n ⊕ · · · ⊕ n
Zs ⊕ m ⊕ · · · ⊕ m
(p1 )
(p )
(q1 )
(q )
ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ r = s, = É (ÏÓÌÅ ÎÁÄÌÅÖÁÝÅÊ
ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ) n = m É p = q ÒÉ ×ÓÅÈ .
åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÄÁÎÎÏÊ ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÊ ÁÂÅÌÅ×ÏÊ ÇÒÕÙ
A × ×ÉÄÅ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÙ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÙÈ ÇÒÕ (12-7) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
.
12.4.1. çÒÕÙ, ÚÁÄÁÎÎÙÅ €ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍÉ É ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍɁ. îÁ ÒÁËÔÉËÅ ÄÏ×ÏÌØÎÏ ÞÁÓÔÏ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÉÍÅÔØ ÄÅÌÏ Ó ÔÁËÏÇÏ ÒÏÄÁ ÏÉÓÁÎÉÑÍÉ: ÁÂÅÌÅ×Á
ÇÒÕÁ A, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÁÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ a1; a2; : : : ; an, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÍÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ


11 a1 + 12 a2 + · · · + 1n an = 0





 21 a1 + 22 a2 + · · · + 2n an = 0
31 a1 + 32 a2 + · · · + 3n an = 0
(12-8)

1
1
ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÍ






···············
2 a2 · · · mn an
+
+ +
= 0;
ÇÄÅ ij ∈ Z . ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÔÁËÁÑ ÇÒÕÁ A ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÆÁËÔÏÒ
Zn =M , ÇÄÅ ÏÄÒÅÛ£ÔËÁ M ⊂ Zn ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÓÔÒÏËÁÍÉ 1 ; 2 ; : : : ; m ÍÁÔÒÉ Ù
(ij ).
÷ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉn (12-7) ÇÒÕÙ A ÒÁÎÇ r Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÇÏ
ÒÁ×ÅÎ n − rk (ij ), Á ÓÔÅÅÎÉ pi i ÓÕÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÅÌÉÔÅÌÉ ÏÄÒÅÛ£ÔËÉ M ⊂
Zn , Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÛÌÁ ÒÅÞØ × ÓÁÍÏÍ ÎÁÞÁÌÅ n◦ 12.3.
ðÒÏ ËÏÎËÒÅÔÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ w = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xnan ÞÁÓÔÏ ÂÙ×ÁÅÔ ÎÕÖÎÏ
ÚÎÁÔØ, ÏÔÌÉÞÅÎ ÏÎ ÏÔ ÎÕÌÑ × A ÉÌÉ ÎÅÔ, É ÅÓÌÉ ÎÅÔ, ÔÏ ËÁËÏ× ÅÇÏ ÏÒÑÄÏË1
ord (w). ÷ÙÑÓÎÉÔØ ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ, ÒÁÂÏÔÁÑ ÎÅ × ×ÎÕÔÒÉ ÍÏÄÕÌÑ Zn ÎÁÄ ËÏÌØ ÏÍ Z, Á
× ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÍ ÅÇÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Qn ⊃ Zn ÎÁÄ ÏÌÅÍ Q.
åÓÌÉ ×ÅËÔÏÒ w ∈ Qn ÎÅ ÌÅÖÉÔ × Q-ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ ÓÔÒÏË ÍÁÔÒÉ Ù (ij ),
ÔÏ ÎÉËÁËÏÅ ÅÇÏ ÅÌÏÅ ËÒÁÔÎÏÅ mw ÎÅ ÌÅÖÉÔ × M , Ô. Å. w 6= 0 × A É ord w = ∞ .
åÓÌÉ ÖÅ w = 11 + 22 + · · · + mm , ÇÄÅ i = pi=qi ∈ Q ÎÅÓÏËÒÁÔÉÍÙÅ
ÄÒÏÂÉ, ÔÏ ord (w) = ÎÏË(q1; q2; : : : ; qm ) . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ ×ÓÅ qi = 1 (Ô. Å. ×ÓÅ
i ∈ Z), ÔÏ w = 0 × ÆÁËÔÏÒ ÇÒÕÅ A = Zn =M .
1 a1
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §12
úÁÄÁÞÁ 12.1. éÚÏÍÏÒÆÎÙ ÌÉ ÁÂÅÌÅ×Ù ÇÒÕÙ Z=(6) ⊕ Z=(36) É Z=(12) ⊕ Z=(18) ?
ÎÁÏÍÎÉÍ (ÓÍ. n◦ 4.4.3), ÞÔÏ ÏÒÑÄËÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁ w × ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÊ ÁÂÅÌÅ×ÏÊ ÇÒÕÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ n ∈ N, ÔÁËÏÅ ÞÔÏ nw = 0 (ÅÓÌÉ ÔÁËÏÇÏ ÎÅÔ, ÏÌÁÇÁÀÔ ord(w) = ∞
1
213
úÁÄÁÞÉ Ë §12
úÁÄÁÞÁ 12.2. îÁÉÛÉÔÅ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ (12-7) ÄÌÑ (ÁÄÄÉÔÉ×ÎÙÈ) ÁÂÅÌÅ-
×ÙÈ ÇÒÕ Z=(6), Z=(12), Z=(24) É Z=(60) .
úÁÄÁÞÁ 12.3. îÁÉÛÉÔÅ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ (12-7) ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÁÂÅÌÅ×ÙÈ ÇÒÕ
ÏÒÑÄËÁ 4, 6, 8, 12, 16, 24, 36, 48.
úÁÄÁÞÁ 12.4. îÁÉÛÉÔÅ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ (12-7) ÄÌÑ (ÁÄÄÉÔÉ×ÎÙÈ) ÁÂÅÌÅ
×ÙÈ ÇÒÕ1 :
Â) Hom Z=(12); Z=(6) ×) Hom Z=(12); Z=(18)
Á) Hom Z=(6); Z=(12)
Ç) Hom Z=(4); Z=(8)
úÁÄÁÞÁ 12.5. åÓÔØ ÌÉ × ÁÂÅÌÅ×ÏÊ ÇÒÕÅ Z=(2) ⊕ Z=(16) ÏÄÇÒÕÁ, ÉÚÏÍÏÒÆÎÁÑ
Á) Z=(2) ⊕ Z=(8)
Â) Z=(4) ⊕ Z=(4)
Ä) Hom Z=(2) ⊕ Z=(2); Z=(8)
×) Z=(2) ⊕ Z=(2) ⊕ Z=(2)
úÁÄÁÞÁ 12.6. óËÏÌØËÏ ÏÄÇÒÕ ÏÒÑÄËÏ× 2 É 6 × ÎÅ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÁÂÅÌÅ×ÏÊ ÇÒÕÅ
ÏÒÑÄËÁ 12?
úÁÄÁÞÁ 12.7. îÁÉÛÉÔÅ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ (12-7) ÄÌÑ ÆÁËÔÏÒÁ ÒÅÛ£ÔËÉ Z3
Ï ÏÄÒÅÛ£ÔËÅ, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÊ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ:
Á) (7; 2; 3), (21; 8; 9), (5; −4; 3)
Â) (4; 5; 3), (5; 6; 5), (8; 7; 9)
×) (2; −4; 6), (6; −6; 10), (2; 5; 8), (6; 0; 5)
Ç) (−81; −6; −33), (60; 6; 24), (−3; 6; −3), (18; 6; 6)
Ä) (−62; −8; −26), (40; 10; 16), (22; −8; 10), (20; 2; 8)
úÁÄÁÞÁ 12.8. îÁÊÄÉÔÅ × ÁÂÅÌÅ×ÏÊ ÇÒÕÅ, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ a1 , a2 , a3 ÏÒÑ-
ÄÏË ÜÌÅÍÅÎÔÁ
a1 + a2 + 4a3 = 2a1 − a2 + 2a3 = 0
Â) 32a1 + 31a3, ÅÓÌÉ 2a1 + a2 − 50a3 = 4a1 + 5a2 + 60a3 = 0
Á) a1 + 2a3 , ÅÓÌÉ
úÁÄÁÞÁ 12.9. ðÕÓÔØ a = [1℄9 ∈ Z=(9), É b = [1℄27 ∈ Z=(27). îÁÉÛÉÔÅ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÅ
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ (12-7) ÄÌÑ ÆÁËÔÏÒ ÇÒÕÙ Z=(9)⊕Z=(27) Ï ÏÄÇÒÕÅ, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÊ
ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ 3a + 9b .
úÁÄÁÞÁ 12.10. ðÕÓÔØ ÏÒÑÄÏË ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÊ ÁÂÅÌÅ×ÏÊ ÇÒÕÙ A ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ
m. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × A ÅÓÔØ ÏÄÇÒÕÁ ÏÒÑÄËÁ m .
úÁÄÁÞÁ 12.11. ðÕÓÔØ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ m ∈ N ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÏÒÑÄËÁ m × Ä×ÕÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ
ÁÂÅÌÅ×ÙÈ ÇÒÕÁÈ A É B ÏÄÉÎÁËÏ×Ï. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ A ≃ B .
úÁÄÁÞÁ 12.12. ðÕÓÔØ ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÈ ÍÏÄÕÌÅÊ A, B , C ÎÁÄ ËÏÌØ ÏÍ ÇÌÁ×-
ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ× ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ A ⊕ C ≃ B ⊕ C . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ A ≃ B .
úÁÄÁÞÁ 12.13. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÏÄÍÏÄÕÌØ É ÌÀÂÏÊ ÆÁËÔÏÒ ÍÏÄÕÌØ ËÏÎÅÞÎÏ
ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ ÎÁÄ ËÏÌØ ÏÍ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×2 ÔÏÖÅ ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄÅÎÙ.
úÁÄÁÞÁ 12.14. äÏËÁÖÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÁÒÉÁÎÔ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÒÁÎÇÅ m × n-ÍÁÔÒÉ Ù ÎÁÄ
ËÏÌØ ÏÍ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÉÄÅÁÌÏ×: ÓÔÏÌÂ Ù É ÓÔÒÏËÉ ÌÀÂÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù M ∈ Matm×n (K )
ÞÅÒÅÚ Hom(A; B ) × ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ Z-ÍÏÄÕÌØ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÉÚ Z-ÍÏÄÕÌÑ A ×
-ÍÏÄÕÌØ B
× ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÜÔÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ ÎÁÄ ÌÀÂÙÍ Î£ÔÅÒÏ×ÙÍ ËÏÌØ ÏÍ (ÓÍ. n◦ 6.4)
1
Z
2
214
úÁÄÁÞÉ Ë §12
ÏÒÏÖÄÁÀÔ × K m É K n Ó×ÏÂÏÄÎÙÅ ÏÄÍÏÄÕÌÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÇÏ ÒÁÎÇÁ, ÒÁ×ÎÏÇÏ ÞÉÓÌÕ
ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÈ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÁÔÒÉ Ù Ë ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÍÕ ×ÉÄÕ ÏÂÏÂÝ£ÎÎÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ
ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌ Ï×.
úÁÄÁÞÁ 12.15. ðÕÓÔØ v1 ; v2 ; v3 ∈ Z3 ⊂ R3 | ÔÒÉ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÎÁÄ R
ÅÌÙÈ
×ÅËÔÏÒÁ, L ⊂ Z3 | ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÊ ÉÍÉ Z-ÏÄÍÏÄÕÌØ, ð | ÎÁÔÑÎÕÔÙÊ ÎÁ ÜÔÉ
×ÅËÔÏÒÙ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÂß£Í ð (ÒÁ×ÎÙÊ ÞÉÓÌÕ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ×
ÆÁËÔÏÒ ÍÏÄÕÌÅ Z3 =L) ÒÁ×ÅÎ × + Ç=2 + Ò=4 + 1, ÇÄÅ ×, Ç É Ò ÓÕÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á
ÅÌÙÈ ÔÏÞÅË, ÎÁÈÏÄÑÝÉÈÓÑ ÓÔÒÏÇÏ ×ÎÕÔÒÉ ÓÁÍÏÇÏ ð , ÓÔÒÏÇÏ ×ÎÕÔÒÉ ÅÇÏ ÇÒÁÎÅÊ É ÓÔÒÏÇÏ ×ÎÕÔÒÉ ÅÇÏ Ò£ÂÅÒ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ? ïÂÏÂÝÉÔÅ ÜÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÎÁ
ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ.
úÁÄÁÞÁ 12.16. ðÕÓÔØ k | ÏÌÅ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ
k[t℄=(f )
G-
k[t℄=(f ) ;
ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙÊ Ó ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÎÁ t, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ g(t) = G([1℄) , ÇÄÅ [1℄ = 1 (mod f ).
úÁÄÁÞÁ 12.17. ðÕÓÔØ k | ÏÌÅ. îÁÊÄÉÔÅÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÇÏ-
ÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× Hom k[x℄=(f ); k[x℄=(g) k[x℄-ÍÏÄÕÌÑ k[x℄=(f ) × k[x℄-ÍÏÄÕÌØ k[x℄=(g)
× ÓÌÕÞÁÑÈ, ËÏÇÄÁ Á) f = p , g = p , ÇÄÅ p ∈ k[x℄ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ, Á ; ∈ N ÌÀÂÙÅ
Â) ÎÏÄ(f; g) = 1
§13. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ó ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ
üÔÏÔ ÁÒÁÇÒÁÆ ÏÓ×ÑݣΠÏÉÓÁÎÉÀ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× F : V - V , ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÈ × ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ ÎÁÄ ÚÁÄÁÎÎÙÍ ÏÌÅÍ k. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ
13.1. ëÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÑ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×.
U1
ÉÚÏÍÏÒÆÎÙÍÉ
(ÉÌÉ
ÏÄÏÂÎÙÍÉ
É U2 F - U2
), ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ
F1-
U1
2
' : U1
- U2 ;
∼
ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÀÝÉÊ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F1 ÎÁ U1 Ó ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F2 ÎÁ
U2 × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ
U1
'-
6
∼
U1
∼
F1
'
U2
6
F2
- U2
ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁ, Ô. Å. 'F1 = F2' ÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, F2 = 'F1'−1.
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, Ä×Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ F É G ÎÁ ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ C ∈ GL(V ), ÔÁËÏÊ ÞÔÏ G = óáó −1. ÷ ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ
ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ G ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ F
ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ
C.
FV ÎÁ ÂÏÌØÛÏÍ ÒÏðÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÓÅÂÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ V
ÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÒÏÝÅ ×ÓÅÇÏ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÑ F ÎÁ ÍÅÎØÛÉÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ⊂ V .
ðÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ F
, ÅÓÌÉ F (U ) ⊂ U .
FïÅÒÁÔÏÒ V
V ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V ÍÏÖÎÏ
ÒÁÚÌÏÖÉÔØ × ÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ Ä×ÕÈ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ F -ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×,
É
| × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ.
ÓÏÒÑÖÅÎÉÅÍ
-ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÍ
ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÍ
ÎÅÒÁÚÌÏÖÉÍÙÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 13.1. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ t × ÆÁËÔÏÒ ËÏÌØ Å
k[t℄= (tn ) ÎÅÒÁÚÌÏÖÉÍ (ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁÄ ÌÀÂÙÍ ÏÌÅÍ k ÉÍÅÀÔÓÑ ÎÅÒÁÚÌÏÖÉ-
ÍÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÌÀÂÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ).
ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ×ÓÑËÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ó ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÎÅÒÁÚÌÏÖÉÍÙÈ F -ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÌÎÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÎÁÄ ÚÁÄÁÎÎÙÍ ÏÌÅÍ k ×ËÌÀÞÁÅÔ × ÓÅÂÑ ÒÅÛÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ
Ä×ÕÈ ÚÁÄÁÞ:
1) ÏÉÓÁÔØ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ×ÓÅ ÎÅÒÁÚÌÏÖÉÍÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ;
2) ×ÙÑÓÎÉÔØ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ×
ÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ ÎÅÒÁÚÌÏÖÉÍÙÈ.
215
216
§13. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ó ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ
ïÂÅ ÜÔÉ ÚÁÄÁÞÉ ÒÅÛÁÅÔ ÉÄÕÝÁÑ ÎÉÖÅ ÔÅÏÒ. 13.1.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 13.2. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ
F-
V
F∗
V É V∗ V∗
ÌÉÂÏ ÏÂÁ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙ, ÌÉÂÏ ÏÂÁ ÎÅÒÁÚÌÏÖÉÍÙ.
ÅÏÒÅÍÁ 13.1
ìÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ × ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ k ÏÄÏÂÅÎ ÏÅÒÁÔÏÒÕ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ t × ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÅ ÆÁËÔÏÒ
ËÏÌÅ
k[t℄
k[t℄
⊕ · · · ⊕ mk
(13-1)
m
(pi (t))
(pk (t)) ;
ÇÄÅ ×ÓÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ p (t) ∈ k[t℄ ÒÉ×ÅÄÅÎÙ É ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙ. ëÁÖÄÏÅ ÒÑÍÏÅ
ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ × ÜÔÏÊ ÓÕÍÍÅ ÎÅÒÁÚÌÏÖÉÍÏ. ïÅÒÁÔÏÒÙ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ t, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÅ
× ÓÕÍÍÁÈ
k[t℄
k[t℄
k[t℄
k[t℄
⊕ · · · ⊕ mk
⊕ · · · ⊕ n`
É
m
n
(pi (t))
(pk (t))
(qi (t))
(q` (t))
ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ k = `, É ÒÑÍÙÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ ÍÏÖÎÏ
ÅÒÅÓÔÁ×ÉÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ p = q É m = n ÒÉ ×ÓÅÈ .
- V ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. úÁÄÁÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F : V
ÚÁÄÁÎÉÀ ÎÁ V ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÍÏÄÕÌÑ ÎÁÄ ËÏÌØ ÏÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× k[t℄. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ,
ÓÔÒÕËÔÕÒÁ k[t℄-ÍÏÄÕÌÑ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ k-ÍÏÄÕÌÑ ÎÁÌÉÞÉÅÍ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÏÊ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÊ ÏÅÒÁ ÉÉ | ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÏ× v ∈ V ÎÁ t ∈ k[t℄. åÓÌÉ
ÏÒÅÄÅÌÉÔØ Å£ ÒÁ×ÉÌÏÍ t · v = F (v) , ÔÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ× v ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ
f ∈ k[t℄ ÂÕÄÅÔ ÚÁÄÁ×ÁÔØÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ g(t)·v = [g(F )℄(v) É Ó×ÏÊÓÔ×Á (11-1){(11-3) ÉÚ
ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÏÄÕÌÑ ÂÕÄÕÔ ×ÙÏÌÎÅÎÙ (ÓÒ. Ó n◦ 11.3.1). ïÂÏÚÎÁÞÉÍ k[t℄-ÍÏÄÕÌØ,
ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÔÁËÉÍ ÓÏÓÏÂÏÍ ÉÚ ÏÅÒÁÔÏÒÁ V F- V , ÞÅÒÅÚ VF .
ÁË ËÁË ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏ, ÍÏÄÕÌØ VF ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£Î: ÌÀÂÏÊ
ÂÁÚÉÓ e1; e2; : : : ; en ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ÎÁÄ ÏÌÅÍ k ÔÅÍ ÂÏÌÅÅ ÏÒÏÖÄÁÅÔ VF ÎÁÄ k[t℄. ðÏ ÔÅÏÒ. 12.2 ÍÏÄÕÌØ VF ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÅ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ
ÍÏÄÕÌÑ k[t℄⊕r É ÍÏÄÕÌÅÊ ×ÉÄÁ k[t℄=(pm), ÇÄÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ p [t℄ ∈ k[t℄ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙ É ÒÉ×ÅÄÅÎÙ1 . ðÏÓËÏÌØËÕ Ó×ÏÂÏÄÎÏÅ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ k[t℄⊕r ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏ ËÁË
×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ k, × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á VF
ÅÇÏ ÂÙÔØ ÎÅ ÍÏÖÅÔ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
k[t℄
k[t℄
⊕ · · · ⊕ mk
VF ≃ m
(pi (t))
(pk (t))
1
1
1
1
ÒÏÓÔÙÅ pi ∈ K × ÔÅÏÒ. 12.2 ÏÒÅÄÅÌÑÌÉÓØ K -ÍÏÄÕÌÅÍ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÌØ Á K ; ÒÉ K = k[t℄ ÜÔÁ ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÓÔØ ÕÓÔÒÁÎÑÅÔÓÑ
ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÅÍ, ÞÔÏÂÙ ÓÔÁÒÛÉÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× pi ÂÙÌÉ ÒÁ×ÎÙ ÅÄÉÎÉ Å
1
217
13.1. ëÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÑ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×
É ÏÅÒÁÔÏÒ F : V - V ÅÒÅÈÏÄÉÔ ÒÉ ÜÔÏÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÅ × ÏÅÒÁÔÏÒ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ t.
çÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ k[t℄-ÍÏÄÕÌÅÊ VF '- WG, ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÈ Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍ V
É W Ó ÏÅÒÁÔÏÒÁÍÉ F : V - V É G : W - W | ÜÔÏ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
':V -W;
ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÅ Ó ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ×ÅËÔÏÒÏ× ÎÁ t, Ô. Å. ÔÁËÏÅ ÞÔÏ 'F1 = F2'. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÅÒÁÔÏÒÙ F É G ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ k[t℄ÍÏÄÕÌÉ VF É WG. óÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒ. 12.2 ÉÚÏÍÏÒÆÎÏÓÔØ ÍÏÄÕÌÅÊ (13-1) ÏÚÎÁÞÁÅÔ,
ÞÔÏ ÉÈ ÒÑÍÙÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ ÍÏÖÎÏ ÒÉ×ÅÓÔÉ ×Ï ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÙÅ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÂÙÌÉ ÒÁ×ÎÙ É ÉÍÅÌÉ ÒÁ×ÎÙÅ ÏËÁÚÁÔÅÌÉ. éÚ ÜÔÏÊ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÓÔÉ
×ÙÔÅËÁÅÔ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ×ÓÅ ÒÑÍÙÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ k[t℄=(pm) × (13-1) ÄÁÌÅÅ ÎÅ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙ.
13.1.1. üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÅÌÉÔÅÌÉ. äÉÚßÀÎËÔÎÏÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ1 ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× pm , ÓÔÏÑÝÉÈ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ (13-1), ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÅÒÁÔÏÒÁ V F- V É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ El(F ).
ÎÁÂÏÒÏÍ
ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 13.1
ìÉÎÅÊÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ F É G ÏÄÏÂÎÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ Õ ÎÉÈ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÎÁÂÏÒÙ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ: El(F ) = El(G) .
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 13.2
íÎÏÇÏÞÌÅÎ f ∈ k[t℄ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔ ÏÅÒÁÔÏÒ V F- V , ËÏÇÄÁ
ÏÎ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÅÌÉÔÅÌÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F .
13.1.2. íÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÏÇÏ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ p ∈ k[t℄ ÏÌÏÖÉÍ
mp (F ) = max(m ∈ N ∪ {0} | pm ∈ El(F ))
(ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, mp(F ) = 0 ÄÌÑ ×ÓÅÈ p ËÒÏÍÅ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ). éÚ ÔÅÏÒ. 13.1
×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (t) ÎÁÉÍÅÎØÛÅÊ ×ÏÚÍÏÖÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ,
ÁÎÎÕÌÉÒÕÀÝÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F , ÒÁ×ÅÎ
Y
F (t) = pmp (F )
p
(ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ï ×ÓÅÍ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÙÍ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÍ p ∈ k[t℄). íÎÏÇÏÞÌÅÎ F (t)
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÅÒÁÔÏÒÁ F (ÓÒ. ÚÁÄ. 7.31).
ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ
ÏÄÞÅÒËΣÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ pm ×ÈÏÄÉÔ × ÎÅÇÏ ÒÏ×ÎÏ ÓÔÏÌØËÏ ÒÁÚ,
ÓËÏÌØËÏ ÒÑÍÙÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ×ÉÄÁ k[t℄=(pm) ×ÈÏÄÉÔ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ V
1
218
§13. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ó ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ
13.1.3. ðÒÉÍÅÒ: ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÅ ÎÅÒÁÚÌÏÖÉ-
ÍÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ | ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÅ. ìÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ V F- V ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×. îÁÚ×ÁÎÉÅ ×ÙÚ×ÁÎÏ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ×ÙÂÒÁÔØ × V
ÂÁÚÉÓ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ui ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ F -ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ F ÎÁ ÜÔÉ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÂÕÄÅÔ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔØ Ï
ÒÁ×ÉÌÕ ui 7→ iui, Ô. Å. ÍÁÔÒÉ Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ F × ÂÁÚÉÓÅ u ÂÕÄÅÔ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÊ.
ÄÉÁ-
ÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÙÍ
ìÅÍÍÁ 13.1
ïÅÒÁÔÏÒ V F - V ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍ ÎÁÄ ÏÌÅÍ k ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ
f (F ) = 0 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ f ∈ k[t℄, ÏÌÎÏÓÔØÀ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÀÝÅÇÏÓÑ ÎÁÄ k ×
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÏÁÒÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ .
ðÏ ÔÅÏÒ. 13.1 ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ V F- V ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ ÏÅÒÁÔÏÒÕ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ t × ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÅ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ ËÏÌÅ ×ÙÞÅÔÏ×
k[t℄
k[t℄
⊕ ··· ⊕
(13-2)
(t − 1)
(t − n)
ÇÄÅ × ÎÁÂÏÒÅ ÞÉÓÅÌ 1; 2; : : : ; n ∈ k ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ Ï×ÔÏÒÑÀÝÉÅÓÑ. ðÕÓÔØ
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
1 ; 2 ; : : : ; s
ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÏÌÎÙÊ ÓÉÓÏË ×ÓÅÈ
ÞÉÓÅÌ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ. ÏÇÄÁ ÏÅÒÁÔÏÒ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ f (t) = (t − 1)(t − 2) · · · (t − s) ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔ ×Ó£ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
(13-2). ÅÍ ÓÁÍÙÍ, f (F ) = 0 .
îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ g(F ) = 0 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ g ∈ k[t℄, ÔÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ g(t) ÄÏÌÖÎÏ ÁÎÎÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ ÆÁËÔÏÒ ËÏÌÅ (13-1), ËÏÔÏÒÏÊ
ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ ÏÅÒÁÔÏÒ V F - V , Á ÚÎÁÞÉÔ, g ÄÏÌÖÅÎ ÄÅÌÉÔØÓÑ ÎÁ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÅÌÉÔÅÌÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F . åÓÌÉ g Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÏÁÒÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ, ÔÏ × ÓÉÌÕ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁ
ÒÏÓÔÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÅÌÉÔÅÌÉ F ÄÏÌÖÎÙ ÓÏÄÅÒÖÁÔØÓÑ ÓÒÅÄÉ
ÜÔÉÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ (13-1) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (13-2) É F
ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍ.
ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 13.3
åÓÌÉ ÏÅÒÁÔÏÒ V F- V ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍ, ÔÏ ÅÇÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÎÁ ÌÀÂÏÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÔÏÖÅ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÏ (ÎÁ ÜÔÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å).
13.1.4. ðÒÉÍÅÒ: ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ. îÁÏÍÎÉÍ (ÓÍ. ÚÁÄ. 7.19),
ÞÔÏ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F : V - V ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ F m = 0
ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ m ∈ N. ðÏÓËÏÌØËÕ ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ tm, ×ÓÅ ÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÅÌÉÔÅÌÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÔÅÅÎÑÍÉ t. ðÏÜÔÏÍÕ,
ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÙÍ
219
13.1. ëÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÑ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×
ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒ. 13.1, ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ ÏÅÒÁÔÏÒÕ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ
ÎÁ t × ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÅ ÆÁËÔÏÒ ËÏÌÅ ×ÉÄÁ
k[t℄
k[t℄
⊕ ··· ⊕ (13-3)
(t )
(t k )
É Ä×Á ÔÁËÉÈ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ
×ÙÓÔÒÏÅÎÎÙÅ × ÏÒÑÄËÅ (ÎÅÓÔÒÏÇÏÇÏ) ÕÂÙ×ÁÎÉÑ ÎÁÂÏÒÙ ÏËÁÚÁÔÅÌÅÊ
1
1 ⩾ 2 ⩾ · · · ⩾ k
Õ ÎÉÈ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ
ÏÌÅÍ k ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍ àÎÇÁ .
äÅÊÓÔ×ÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ t ÎÁ ÂÁÚÉÓ k[t℄= (tm), ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ËÌÁÓÓÏ×
e0 = tm−1 (mod tm ); e1 = tm−2 (mod tm ); : : : ; em−1 = 1 (mod tm )
ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ Ï ÒÁ×ÉÌÕ 0 ← e0 ← e1 ← e2 ← · · · ← em−2 ← em−1 É ÚÁÄÁ£ÔÓÑ
ÍÁÔÒÉ ÅÊ

0 1 0 · · · 0

. . . ... 
0 0 1


def 
.
.
.
.

Jm (0) =  .. . . . . . . 0


.
.
. . . . 1
0

0 0 ··· 0 0
ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÒÁÚÍÅÒÁ m .
FÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ V
V , ÏÔ×ÅÞÁÀÝÅÇÏ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ àÎÇÁ , × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÉÍÅÅÔÓÑ ÂÁÚÉÓ, ×ÅËÔÏÒÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁÚÍÅÝÁÀÔÓÑ × ËÌÅÔËÉ ÜÔÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÔÁË, ÞÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ËÁÖÄÙÊ ÂÁÚÉÓÎÙÊ
×ÅËÔÏÒ × ÌÅ×ÙÊ ÓÏÓÅÄÎÉÊ, Á ×ÅËÔÏÒÙ ÓÁÍÏÇÏ ÌÅ×ÏÇÏ ÓÔÏÌ Á | × ÎÕÌØ:
ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÏÊ ÖÏÒÄÁÎÏ×ÏÊ ËÌÅÔËÏÊ
!
0←•←•←•←•←•←•
0←•←•←•←•←•
0←•←•←•
0←•←•←•
0←•←•
(13-4)
âÁÚÉÓ ÔÁËÏÇÏ ×ÉÄÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(ÉÌÉ
) ÂÁÚÉÓÏÍ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÅÍÕ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ àÎÇÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F , Á ÎÁÂÏÒÙ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×, ÓÔÏÑÝÉÅ Ï ÓÔÒÏËÁÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
.
ïÉÓÁÔØ ÉËÌÏ×ÏÊ ÔÉ ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ É Õ×ÉÄÅÔØ ÅÇÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÉËÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ ÍÏÖÎÏ É ÎÅ ÒÉÂÅÇÁÑ Ë ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÏÎÎÏÊ ÔÅÏÒ. 13.1. óÕÍÍÁ ÄÌÉÎ ÅÒ×ÙÈ m ÓÔÏÌ Ï× ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÒÁ×ÎÁ dimker F m,
ÏÔËÕÄÁ ÄÌÉÎÁ m-ÔÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ËÁË
mt = dimker F m − dimker F m−1 :
ÉËÌÉÞÅÓËÉÍ
ÖÏÒÄÁÎÏ×ÙÍ
ÉËÌÏ×ÙÍ ÔÉÏÍ
ÖÏÒÄÁÎÏ×ÙÍÉ
ÅÏÞËÁÍÉ
220
§13. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ó ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ
13.1.5. ðÒÉÍÅÒ: ÖÏÒÄÁÎÏ×Á
ËÌÅÔËÁ. õÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ t = +(t − ) × ÆÁËÔÏÒ
ËÏÌØ Å V = k[t℄= (t − )m ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÕÍÍÕ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ
IdV : f 7−→ f
É ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ : f 7−→ (t − ) · f , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ
( t − ) m − 1 ; ( t − ) m − 2 ; : : : ; ( t − ) ; 1
ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÖÏÒÄÁÎÏ×Õ ÅÏÞËÕ ÄÌÉÎÙ m = dim V . ÷ ÂÁÚÉÓÅ ÉÚ ÜÔÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
ÏÅÒÁÔÏÒ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ t ÚÁÄÁ£ÔÓÑ Ä×ÕÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÊ ÍÁÔÒÉ ÅÊ


1
 1



... ... 
Jm () def
=
(13-5)





1
(ÎÕÌÉ × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÍÅÓÔÁÈ). üÔÁ ÍÁÔÒÉ Á ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÒÁÚÍÅÒÁ m Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ .
13.1.6. öÏÒÄÁÎÏ×Á ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÁ. åÓÌÉ ÏÌÅ k ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÏ, ÔÏ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ × k[t℄ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ Ä×ÕÞÌÅÎÁÍÉ (t − ). ðÏ ÔÅÏÒ. 13.1 ×ÓÑËÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ V F- V × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÄÏÂÅÎ
ÏÅÒÁÔÏÒÕ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ t × ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÅ ÆÁËÔÏÒ ËÏÌÅ
k[t℄
k[t℄
⊕ ··· ⊕
(13-6)
m
((t − 1) )
((t − s)ms )
É Ä×Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÔÁËÏÇÏ ×ÉÄÁ ÏÄÏÂÎÙ, ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ÒÑÍÙÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ ×
ÉÈ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑÈ ÍÏÖÎÏ ÒÉ×ÅÓÔÉ ×Ï ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÄÒÕÇ Ó
ÄÒÕÇÏÍ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÙÅ i É mi ÂÙÌÉ ÒÁ×ÎÙ. äÅÊÓÔ×ÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÁ
ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ t × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å (13-6) ÂÙÌÏ ÏÉÓÁÎÏ ÎÁÍÉ ×ÙÛÅ. íÙ ÏÌÕÞÁÅÍ
ÖÏÒÄÁÎÏ×ÏÊ
ËÌÅÔËÏÊ
1
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 13.4 (ÖÏÒÄÁÎÏ×Á ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÁ)
îÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ k ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ V F - V × V
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÁÚÉÓ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÍÁÔÒÉ Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÉÍÅÅÔ ÂÌÏÞÎÙÊ ×ÉÄ


Jm ( 1 )


Jm ( 2 )


(13-7)


...


Jm k ( k )
Ï ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÔÏÑÔ ÖÏÒÄÁÎÏ×Ù ËÌÅÔËÉ
Jm ( 1 ) ; Jm ( 2 ) : : : ; Jm k ( k )
1
2
1
2
221
13.2. áÎÎÕÌÉÒÕÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ
×ÉÄÁ (13-5) (ÞÉÓÌÁ i É mi ÍÏÇÕÔ Ï×ÔÏÒÑÔØÓÑ), Á × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÍÅÓÔÁÈ ÓÔÏÑÔ
ÎÕÌÉ. ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÂÌÏËÏ× ÍÁÔÒÉ Á (13-7) ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ
ÔÁËÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ. ä×Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÏÄÏÂÎÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÉÈ ÍÁÔÒÉ Ù
(13-7) ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÂÌÏËÏ×.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 13.1
íÁÔÒÉ Á (13-7) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÅÒÁÔÏÒÁ F . ÷ÓÑËÉÊ ÂÁÚÉÓ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V , × ËÏÔÏÒÏÍ ÍÁÔÒÉ Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÉÍÅÅÔ ÖÏÒÄÁÎÏ×Õ
ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÅÒÁÔÏÒÁ F .
13.2. áÎÎÕÌÉÒÕÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ. óÕÄÉÔØ Ï ÎÅÒÁÚÌÏÖÉÍÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔÁÈ
ÏÅÒÁÔÏÒÁ V F- V ×Ï ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ F ÎÁ V ÍÏÖÎÏ Ï ÔÏÍÕ,
ËÁËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÁÎÎÕÌÉÒÕÀÔ ÏÅÒÁÔÏÒ F .
ðÏ ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ ÏÄÉÎ ÔÁËÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÉÓÁÔØ ÎÅÔÒÕÄÎÏ. á ÉÍÅÎÎÏ, ×ÙÂÅÒÅÍ × V ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÂÁÚÉÓ v = (v1; v2; : : : ; vn), É ÕÓÔØ Fv | ÍÁÔÒÉ Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ
F × ÜÔÏÍ ÂÁÚÉÓÅ. ÷ ÓÉÌÕ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á çÁÍÉÌØÔÏÎÁ { ëÜÌÉ (ÓÍ. n◦ 11.3.1), ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÜÔÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔ ÏÅÒÁÔÏÒ F .
ÖÏÒÄÁÎÏ×ÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ
ÖÏÒÄÁÎÏ×ÙÍ ÂÁÚÉÓÏÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 13.3. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ det(tE − Fv ) ∈ k[t℄ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ
×ÙÂÏÒÁ ÂÁÚÉÓÁ.
èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÁÔÒÉ Ù ÏÅÒÁÔÏÒÁ F × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÅÒÁÔÏÒÁ F
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ F (t) = det(t · IdV − F ) ∈ k[t℄. ÏÖÄÅÓÔ×Ï çÁÍÉÌØÔÏÎÁ { ëÅÌÉ
ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï F (F ) = 0 .
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ
ìÅÍÍÁ 13.2
ðÕÓÔØ ÏÅÒÁÔÏÒ F : V - V (ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ k) ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ q ∈ k[t℄ , ËÏÔÏÒÙÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ r ÏÁÒÎÏ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÈ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×:Q q(t) = q1(t) · q2(t) · · · · · qr (t) , ÎÏÄ(qi; qj ) = 1 ∀ i; j . ðÏÌÏÖÉÍ
Qj = q=qj = q . ÏÇÄÁ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÔÒÉ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ:
6=j
1) ∀ j im (Qj (F )) ⊂ ker (qj (F ))
2) ∀ i 6= j ker (qi(F )) ∩ ker (qj (F )) = 0
3) ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á im (Qj (F )) ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄÁÀÔ V .
ðÅÒ×ÏÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ q(F ) = qj (F )◦Qj (F ) = 0 . ÷ÔÏÒÏÅ | ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ × ÓÉÌÕ ×ÚÁÉÍÎÏÊ ÒÏÓÔÏÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× qi(t) É qj (t) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ hi(t) É hj (t), ÔÁËÉÅ ÞÔÏ 1 = hi(t)qi(t)+hj (t)qj (t) . ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ
× ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï t = F É ÒÉÍÅÎÑÑ ÏÅÒÁÔÏÒ E = hi(F )◦qi(F ) + hj (t)◦qj (F ) Ë ÌÀÂÏÍÕ ×ÅËÔÏÒÕ v ∈ ker (qi(F )) ∩ ker (qj (F )), ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ
v = Ev = hi (F )◦qi (F )v + hj (t)◦qj (F )v = 0 :
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
222
§13. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ó ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ
ÒÅÔØÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ×Ù×ÏÄÉÔÓÑ ÉÚ ×ÚÁÉÍÎÏÊ ÒÏÓÔÏÔÙ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Q1; Q2; : : : ; Qr . óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ H1; H2; : : : ; Hr ∈ k[t℄ : 1 = P Qj Hj .
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
t = F É ÒÉÍÅÎÑÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ Ë ÌÀÂÏÍÕ v ∈ V ,
×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ v = Ev = P Qj (F )Hj (F )v ∈ P im (Qj (F )).
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 13.5
÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÌÅÍ. 13.2 ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ×ÓÅÈ ÔÅÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ker (qj (F )) = im Qj (F ), ËÏÔÏÒÙÅ ÏÔÌÉÞÎÙ ÏÔ ÎÕÌÑ.
13.2.1. ðÒÉÍÅÒ: ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. îÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ×ÉÄÁ
V = ker( IdV − F ) = {v ∈ V | F (v) = v}
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÅÒÁÔÏÒÁ F Ó
∈ k. ïÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÎÁ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÓËÁÌÑÒÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ .
÷ÓÅ ∈ k, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ V 6= 0, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
(ÉÌÉ
) ÏÅÒÁÔÏÒÁ . óÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ Spe F É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÅÒÁÔÏÒÁ F . ðÏÓËÏÌØËÕ
ÕÓÌÏ×ÉÅ ker( IdV −F ) 6= 0 ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ det( IdV −F ) = 0 (ÓÍ. n◦ 10.3.1),
ÓÅËÔÒ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÍÏÖÎÏ ÉÎÁÞÅ ÏÉÓÁÔØ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÏÒÎÅÊ ÅÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (t) = det( IdV − F ). ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÅÒÁÔÏÒ V F- V
ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ dim V ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ.
ðÏÓÌÅÄÎÉÊ ÆÁËÔ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÓÌ. 13.5: ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F
ÎÁ ÓÕÍÍÕ ×ÓÅÈ ÅÇÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ
Y
( t − )
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁ-
ÞÅÎÉÅÍ
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ
ÓÅËÔÒÏÍ
∈Spe F
( ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÒÏÂÅÇÁÅÔ ×ÓÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ), É ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ,
ÓÕÍÍÁ ×ÓÅÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
. ïÔÍÅÔÉÍ,
ÞÔÏ ÚÁÏÄÎÏ ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÅ ÏÔ ÔÅÏÒ. 13.1 ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ËÒÉÔÅÒÉÑ
ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÏÓÔÉ
ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÉÚ ÌÅÍ. 13.1: ÅÓÌÉ ÏÅÒÁÔÏÒ ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ×ÉÄÁ Q(t−), ÔÏ Ï ÓÌ. 13.5 ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÒÑÍÕÀ
ÓÕÍÍÕ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× V = ker(F − E ).
îÅÎÕÌÅ×ÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ v ∈ V ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÏÅÒÁÔÏÒÁ F Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ . éÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÎÁÂÏÒ
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× Ó ÏÁÒÎÏ ÒÁÚÎÙÍÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ ÌÉÎÅÊÎÏ
ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍ. äÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÏÓÔØ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÎÁÌÉÞÉÅ Õ ÎÅÇÏ ÂÁÚÉÓÁ ÉÚ
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×. åÓÌÉ ×ÓÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÉÚ×ÅÓÔÎÙ (ÉÌÉ,
ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ×ÓÅ ËÏÒÎÉ ÅÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ), ÔÏ
ÏÔÙÓËÁÎÉÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× É ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë
ÒÅÛÅÎÉÀ ÓÉÓÔÅÍ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ( IdV − F ) v = 0, ÉÍÅÀÝÉÈ
ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ (ÞÔÏ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ∈ Spe F ).
ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ
223
13.2. áÎÎÕÌÉÒÕÀÝÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 13.6
îÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ k ÌÀÂÏÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÉÍ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 13.7
îÁÄ ÏÌÅÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ R ÌÀÂÏÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÍ ÉÌÉ
Ä×ÕÍÅÒÎÙÍ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ.
ðÕÓÔØ F = q1q2 : : : qm , ÇÄÅ ×ÓÅ qi ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙ (É ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙ). åÓÌÉ ÓÒÅÄÉ ÎÉÈ ÅÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÙÅ, ÔÏ Õ F ÅÓÔØ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ É, ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
Ó ÔÁËÉÍ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ
ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ. åÓÌÉ ×ÓÅ qi Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ, ÒÉÍÅÎÉÍ ÎÕÌÅ×ÏÊ
ÏÅÒÁÔÏÒ Q q (F ) = 0 Ë ËÁËÏÍÕ-ÎÉÂÕÄØ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÍÕ ×ÅËÔÏÒÕ v ∈ V É ÎÁÊÄ£Í ÔÁËÏÅ i, ÞÔÏ w = qi+1(F )qi+2(F ) · · · qm(F )v 6= 0, Á qi(F )w = 0. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ F (F w) ÌÅÖÉÔ × ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ w É F w, ËÏÔÏÒÁÑ, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ,
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ä×ÕÍÅÒÎÙÍ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 13.4. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Spe
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ, ÁÎÎÕÌÉÒÕÀÝÅÇÏ F .
F ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ËÏÒÎÅÊ ÌÀÂÏÇÏ
13.2.2. ðÒÉÍÅÒ: ÉÎ×ÏÌÀ ÉÉ. ïÅÒÁÔÏÒ F ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÅÊ , ÅÓÌÉ
= Id . éÎ×ÏÌÀ ÉÑ F = IdV ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. ðÏÓËÏÌØËÕ ÌÀÂÁÑ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÑ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ F 2 − 1 = (F +1)(F − 1) = 0,
ÏÎÁ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÁ, É ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V ÒÁÓÁÄÁÅÔÓÑ × ÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× V = V+ ⊕ V− ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ ±1 :
F2
ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÊ
V± = ker(Id ∓ F ) = im(Id ± F ) = {v ∈ V | F v = ±v} ;
É ÌÀÂÏÊ ×ÅËÔÏÒ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ v = v+ + v−, ÇÄÅ
v+ = (v + F v)=2 ∈ V+
É v− = (v − F v)=2 ∈ V− :
13.2.3. ðÒÉÍÅÒ: ÒÏÅËÔÏÒÙ. ïÅÒÁÔÏÒ F ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÏÍ , ÅÓ-
ÌÉ F 2 = F . òÁ×ÅÎÓÔ×Ï F (F − 1) = 0 ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ
im F = ker(F − 1) = {v | F (v) = v} É V = ker F ⊕ im F :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÓÑËÉÊ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔ F Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÅË ÉÅÊ V = ker(F ) ⊕ im(F )
ÎÁ im F ×ÄÏÌØ ker F . ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒ Id − F ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÏÍ, ÒÏÅËÔÉÒÕÀÝÉÍ V ÎÁ ker F ×ÄÏÌØ im F . îÁÏÂÏÒÏÔ, ÌÀÂÏÍÕ ÒÑÍÏÍÕ
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÀ V = U ⊕ W ÏÔ×ÅÞÁÀÔ Ä×Á ÉÄÅÍÏÔÅÎÔÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÁ: ÒÏÅËÔÏÒ
U : V -- U ×ÄÏÌØ W É ÒÏÅËÔÏÒ W : V -- U ×ÄÏÌØ W , ËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÑÚÁÎÙ
ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ U + W = 1 É U W = W U = 0 .
224
§13. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ó ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ
13.2.4. ðÒÉÍÅÒ: ËÏÒÎÅ×ÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ. åÓÌÉ ÏÌÅ k ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁ-
ÍËÎÕÔÏ, ÔÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÌÀÂÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÓÔÅÅÎÅÊ ÏÁÒÎÏ ÒÁÚÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ
Y
F (t) =
( t − ) m ; :
∈Spe F
ÇÄÅ m ÒÁ×ÎÏ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ËÏÒÎÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ
F (t) = det(t Id − F ) :
ëÁÖÄÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï K = ker ( Id − F )m ÏÔÌÉÞÎÏ ÏÔ ÎÕÌÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÎÏ
ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V = ker ( Id − F ) . ðÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï K ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÅÒÁÔÏÒÁ F , ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÍ ËÏÒÎÀ . óÏÇÌÁÓÎÏ ÓÌ. 13.5 ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ
ËÏÒÎÅ×ÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×:
V = ⊕ K :
∈Spe F
üÔÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÅÒÁÔÏÒÁ F .
ËÏÒÎÅ×ÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ
ËÏÒÎÅ×ÙÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 13.1
÷ ÏÉÓÁÎÉÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F , ÄÁÎÎÏÍ × ÔÅÏÒÅÍÅ (ÔÅÏÒ. 13.1), ËÏÒÎÅ×ÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï K ⊂ V ÅÒÅÈÏÄÉÔ × ÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ ÆÁËÔÏÒ ËÏÌÅ k[t℄= ((t − )m), ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÈ ×ÓÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍ ÄÅÌÉÔÅÌÑÍ (t − )m ∈ El(F ) Ó ÄÁÎÎÙÍ ∈ Spe F , É
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÎÏ ËÁË
[
K = ker( Id − F )n :
n∈N
ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÉ 6= ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ (t − ) ÏÂÒÁÔÉÍ Ï ÍÏÄÕÌÀ
ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ (t − )m, ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ (t − ) × ËÁÖÄÏÍ ÆÁËÔÏÒ ËÏÌØ Å
k[t℄= ((t − )m ) Ó 6= ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ (13-1) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÔÉÍÙÍ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ
É, ËÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ, ÎÅ ÉÍÅÅÔ ÑÄÒÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ËÏÒÎÅ×ÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï K ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÏ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÅ ×ÓÅÈ k[t℄= ((t − )m) Ó 6= . îÁÒÏÔÉ×, ×ÓÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ
×ÉÄÁ k[t℄= ((t − )m) ÁÎÎÕÌÉÒÕÀÔÓÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÊ1 ÓÔÅÅÎØÀ ÏÅÒÁÔÏÒÁ
Id − F .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 13.5. ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÉÚ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ËÏÒÎÅ×ÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÎÅ ÏÉÒÁ-
ÀÝÅÅÓÑ ÎÁ (ÔÅÏÒ. 13.1) ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÖÏÒÄÁÎÏ×ÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÙ, É ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ K = ∪ ker(F − E )m Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
m⩾1
ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ×ÓÅÈ ÖÏÒÄÁÎÏ×ÙÈ ËÌÅÔÏË ÏÅÒÁÔÏÒÁ F Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÕÍÍÁÒÎÙÊ ÒÁÚÍÅÒ ×ÓÅÈ ÖÏÒÄÁÎÏ×ÙÈ ËÌÅÔÏË Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ
ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÒÁ×ÅÎ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ËÁË ËÏÒÎÑ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ).
Á ÉÍÅÎÎÏ, ÒÁ×ÎÏÊ mt− (F ) | ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ ÉÚ ÓÔÅÅÎÅÊ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ F ×ÉÄÁ
(t − )m (ÓÒ. Ó n◦ 13.1.2); ÏÓËÏÌØËÕ F (t) (ËÁË É ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ÁÎÎÕÌÉÒÕÀÝÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ)
ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÅÌÉÔÅÌÉ, ËÒÁÔÎÏÓÔØ, ËÏÔÏÒÕÀ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÅÎØ × F (t) ÚÁ×ÅÄÏÍÏ
ÎÅ ÍÅÎØÛÅ mt− (F )
1
225
13.3. ðÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ
åÓÌÉ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ V F - V
ÎÁ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V (ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ k) ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÅÎ Ó
ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ V G- V , Ô. Å. F G = GF , ÔÏ ÑÄÒÏ É ÏÂÒÁÚ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (F )
ÏÔ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÅÒÅ×ÏÄÑÔÓÑ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ G × ÓÅÂÑ:
13.3. ðÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ.
G ker f (F )
⊂
ker f (F ) É G im f (F )
⊂
im f (F ) :
÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, f (F ) v = 0 ⇒ f (F )G v = Gf (F ) v = 0 É, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ,
v = f (F ) w ⇒ Gv = Gf (F ) w = f (F )G w :
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V = ker(F − E ) É ËÏÒÎÅ×ÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á K = S ker( Id − F )n ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ
n
ÌÀÂÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ G, ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÇÏ Ó F . óÌÅÄÕÀÝÅÅ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÜÔÏÇÏ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÑ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÞÁÓÔÏ:
ìÅÍÍÁ 13.3
îÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ ÌÀÂÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÏÂÝÉÍ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ. îÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ ÌÀÂÏÅ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÙÈ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÏ×ÁÎÏ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ × ÏÄÎÏÍ ÏÂÝÅÍ ÂÁÚÉÓÅ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. éÎÄÕË ÉÑ Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. åÓÌÉ ÏÎÁ ÒÁ×ÎÁ ÅÄÉÎÉ Å ÉÌÉ ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÓËÁÌÑÒÎÙ, ÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÎÅÞÅÇÏ (ÇÏÄÉÔÓÑ ÌÀÂÏÊ
ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ×ÅËÔÏÒ É, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÌÀÂÏÊ ÂÁÚÉÓ). åÓÌÉ ÓÒÅÄÉ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÅÓÔØ
ÎÅÓËÁÌÑÒÎÙÊ, ÔÏ ÅÇÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÉÍÅÀÔ ÍÅÎØÛÕÀ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ É ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×, ÒÉÞ£Í ÅÓÌÉ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÂÙÌÉ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÙ ×Ï ×Ó£Í ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ÔÏ ÉÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÎÁ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÂÕÄÕÔ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÙ ÎÁ ÜÔÉÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ (ÓÍ. ÓÌ. 13.3).
ðÒÉÍÅÎÑÑ Ë ÎÉÍ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ.
ÅÏÒÅÍÁ 13.2 (ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ öÏÒÄÁÎÁ)
äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÎÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ k ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÁÒÁ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× Fs É Fn, ÔÁËÉÈ ÞÔÏ Fn ÎÉÌØÏÔÅÎÔÅÎ, Fs ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍ, F = Fs + Fn É FsFn = FnFs. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÏÅÒÁÔÏÒÙ Fs É Fn Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÞÌÅÎÏÍ ÏÔ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ F ËÁË ÏÅÒÁÔÏÒ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ t × ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÅ
ÆÁËÔÏÒ ËÏÌÅ
k[t℄
k[t℄
⊕ ··· ⊕
(13-8)
m
((t − 1) )
((t − s)ms ) :
ðÕÓÔØ 1; 2; : : : ; r ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÏÌÎÙÊ ÓÉÓÏË ×ÓÅÈ
ÞÉÓÅÌ i ∈ k,
×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÈÓÑ × (13-8). äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ i = 1; 2; : : : ; r ÚÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ËÁËÏÅ-ÎÉÂÕÄØ
1
ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ
226
§13. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ó ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ
ai ∈ N, ÓÔÒÏÇÏ ÂÏÌØÛÅÅ ×ÓÅÈ ÓÔÅÅÎÅÊ, × ËÏÔÏÒÙÈ (t − i ) ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ × (13-8).
ðÏ ËÉÔÁÊÓËÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ÏÓÔÁÔËÁÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ f1; f2; : : : ; fr ∈ k[t℄,
ÔÁËÉÅ ÞÔÏ
(
1 (mod (t − )a )
0 (mod (t − )a ) ÒÉ 6= :
åÓÌÉ 6= 0, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ t ÏÂÒÁÔÉÍ Ï ÍÏÄÕÌÀ (t − )a , É ÎÁÊÄ£ÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
g (t), ÔÁËÏÊ ÞÔÏ t · g (t) ≡ (mod (t − )a ) . äÌÑ = 0, ÏÌÏÖÉÍ g = 0.
r
÷ ÜÔÉÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ps(t) = t P g f ÎÅ ÉÍÅÅÔ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÞÌÅÎÁ É
=1
ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ
ps (t) ≡ (mod (t − )a )
ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ . ðÏÜÔÏÍÕ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ps(t) ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ
ÆÁËÔÏÒÅ k[t℄= ((t − )m) ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ (13-8) ËÁË ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ . ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÏÅÒÁÔÏÒ Fs = ps(F ) ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍ. ïÅÒÁÔÏÒ Fn = F − Fs ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ
ËÁÖÄÏÍ ÆÁËÔÏÒÅ k[t℄= ((t − )m) ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ t − É, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ,
ÎÉÌØÏÔÅÎÔÅÎ. âÕÄÕÞÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ ÏÔ F , ÏÅÒÁÔÏÒÙ Fs É Fn ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙ
ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÀ É Ó F . éÔÁË, ÍÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÔÒÅÂÕÅÍÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×
Fs É Fn , Á ÔÁËÖÅ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ. ïÓÔÁ£ÔÓÑ ÄÏËÁÚÁÔØ ÉÈ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ.
ðÕÓÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ F = Fs′ + Fn′ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÔÅÏÒÅÍÙ. ðÏÓËÏÌØËÕ
′
Fs É Fn′ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ, ÏÎÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙ É Ó F = Fs′ + Fn′ ,
Á ÔÁËÖÅ Ó ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÍÉ ×ÙÛÅ Fs É Fn, Ñ×ÌÑÀÝÉÍÉÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ ÏÔ F . îÏ
ÔÏÇÄÁ ËÁÖÄÏÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V ÏÅÒÁÔÏÒÁ Fs ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ Fs′ × ÓÅÂÑ, É Fs′ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍ ÎÁ V. åÓÌÉ ÂÙ Fs′ ÉÍÅÌ ÎÁ V ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ
×ÅËÔÏÒ v Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ 6= , ÔÏ ×ÅËÔÏÒ v ÂÙÌ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÄÌÑ
ÏÅÒÁÔÏÒÁ Fn − Fn′ = Fs − Fs′ Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ − , ÞÔÏ
ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÅÒÁÔÏÒ Fn − Fn′ ÎÉÌØÏÔÅÎÔÅÎ.
f ≡
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 13.6. äÏËÁÖÉÔÅ ÜÔÏ.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Fs′ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ V ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÎÁ , ÏÔËÕÄÁ Fs′ = Fs,
É Fn′ = F − Fs′ = F − Fs = Fn.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 13.2
ïÅÒÁÔÏÒÙ Fs É Fn ÉÚ ÔÅÏÒ. 13.2 ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ,
(ÉÌÉ
)É
ÏÅÒÁÔÏÒÁ F .
ÏÌÕÒÏÓÔÏÊ
ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÏÊ
1
ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÏÊ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÍÉ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 13.7. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÅÒÁÔÏÒ V
F-
V ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÎÅËÏÔÏÒÏÅ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ⊂ V × ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï W ⊂ V , ÔÏ ÅÇÏ ÖÏÒÄÁÎÏ×Ù ËÏÍÏÎÅÎÔÙ Fs , É Fn ÔÏÖÅ ÅÒÅ×ÏÄÑÔ U × W .
ÉÎÄÅËÓ €s × ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÉ Fs ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÉÍÅÎÎÏ ÏÔ semisimple ; ÔÅÒÍÉÎ €ÏÌÕÒÏÓÔÏʁ
ÒÉÛ£Ì ÉÚ ÔÅÏÒÉÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÊ, ÇÄÅ ÏÂßÅËÔÙ, ÎÅ ÉÍÅÀÝÉÅ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÈ ÏÄÏÂßÅËÔÏ× (×
ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÜÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒÙ, ÎÅ ÉÍÅÀÝÉÅ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×,
Ô. Å. | ÎÁÄ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ | ÓËÁÌÑÒÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÎÁ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ) ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÒÏÓÔÙÍÉ , Á ÒÑÍÙÅ ÒÏÓÔÙÈ ÏÂßÅËÔÏ× (× ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÜÔÏ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÙÅ
ÏÅÒÁÔÏÒÙ) ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÌÕÒÏÓÔÙÍÉ
1
13.4. æÕÎË ÉÉ ÏÔ ÏÅÒÁÔÏÒÁ
227
ðÕÓÔØ ÏÌÅ k = C. íÙ ÈÏÔÉÍ ÒÏÄÏÌÖÉÔØ
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁ ÏÅÒÁÔÏÒÅ V F- V
evF : C[z℄ f 7→f (F ) - End(V )
(13-9)
ÄÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ evF : C - End(V ), ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÏÇÏ ÎÁ ÂÏÌØÛÅÊ ÁÌÇÅÂÒÅ
- C. áÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÊ ÏÄÈÏÄ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÜÔÏÊ
C ⊃ C[x℄ ÆÕÎË ÉÊ f : C
ÚÁÄÁÞÉ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ÆÕÎË ÉÀ f ∈ C ËÁË ÒÅÄÅÌ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×1 fn , É ÏÒÅÄÅÌÉÔØ f (F ) ËÁË ÒÅÄÅÌ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×
fn (F ) ∈ End(V ). äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÁÄÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ C É EndV ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ, É ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ f (F ) ÚÁ×ÉÓÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÔ f , Á ÎÅ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÓÈÏÄÑÝÅÊÓÑ
Ë f ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×2.
áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÊ ×ÚÇÌÑÄ ÎÁ ÚÁÄÁÞÕ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ËÁËÉÅ ÂÙ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÎÅ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ, ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ evF : C - End(V ),
ËÏÔÏÒÙÊ ÏÌÕÞÉÔÓÑ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ, ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ó×ÏÉÍÉ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, Á ÏÅÒÁÔÏÒ f (F ) ∈ EndV ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÒÉ
ÏÍÏÝÉ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÓÌÏÖÅÎÉÊ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÊ ÞÅÒÅÚ ÍÁÔÒÉÞÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ F
× ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V É ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ f É Å£ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ
× ÔÏÞËÁÈ ∈ Spe F .
çÏ×ÏÒÑ ÎÅÆÏÒÍÁÌØÎÏ, ÒÉÞÉÎÁ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× fn(F ), ÉÓÏÌØÚÕÅÍÁÑ ÒÉ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÉ f (F )
ÌÅÖÉÔ × ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å C[F ℄, ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÍ ÓÔÅÅÎÑÍÉ
F m Ó 0 ⩽ m < dim V , É ÏÜÔÏÍÕ ÒÅÄÅÌ ÔÁËÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÏÔ F ÓÔÅÅÎÉ, ÍÅÎØÛÅÊ3 dim V . üÔÏÔ €ÒÅÄÅÌØÎÙʁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ f (F ). íÙ ÂÕÄÅÍ
ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÅÇÏ ÞÅÒÅÚ Pf;F (F ).
ðÏÄÞÅÒËΣÍ, ÞÔÏ ÉÎÔÅÒÏÌÑ ÉÏÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï ÆÕÎË ÉÉ f
É ÏÅÒÁÔÏÒÕ F ÎÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ, Á ÌÉÛØ Ï ÍÏÄÕÌÀ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F
ÏÅÒÁÔÏÒÁ F , É ÞÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ f (F ) = Pf;F (F ) É f (G) = Pf;G(G) ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ
ÖÅ ÆÕÎË ÉÉ f ÎÁ ÒÁÚÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÁÈ F É G ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ F É G ×
×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ
ÉÎÔÅÒÏÌÑ ÉÏÎÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ
Pf;F (t) 6≡ Pf;G(t) (mod F (t)) :
ïÔÍÅÔÉÍ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÅÒÁÔÏÒÙ V F - V É W∼ G - W ÏÄÏÂÎÙ, Ô. Å.
- W , ÔÏ É ÆÕÎË ÉÉ ÏÔ
G = CF C −1 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ó : V
13.4. æÕÎË ÉÉ ÏÔ ÏÅÒÁÔÏÒÁ.
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ
ÉÎÔÅÒÏÌÑ ÉÏÎÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ
ÒÁÚÎÙÅ
ÎÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ f = P ak zk ÜÔÏ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÈÏÄÑÝÉÊÓÑ ×ÓÀÄÕ × C ÓÔÅÅÎÎÏÊ ÒÑÄ, ÔÏ ×
ËÁÞÅÓÔ×Å fn ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÓÕÍÍÕ ÅÒ×ÙÈ n ÞÌÅÎÏ× ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ
ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÒÅËÏÍÅÎÄÕÅÔÓÑ ÏÒÏÂÏ×ÁÔØ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ ÜÔÕ ÒÏÇÒÁÍÍÕ, ÉÓÏÌØÚÕÑ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ × C[x℄ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÕÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ËÒÕÇÅ, Á × ËÁÞÅÓÔ×Å
ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ × EndV ÏÜÌÅÍÅÎÔÎÕÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÍÁÔÒÉ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×, ÚÁÉÓÙ×ÁÅÍÙÈ × ËÁËÏÍÎÉÂÕÄØ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V
(Fn + Gn) = nlim
Fn + nlim
Gn (ËÏÇÄÁ ÏÂÁ
ÅÓÌÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ × EndV ÔÁËÏ×Á, ÞÔÏ nlim
→∞
→∞
→∞
ÒÅÄÅÌÁ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ), ÔÏ ÒÅÄÅÌ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÎÅËÏÔÏÒÏÍÕ ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ, ÔÏÖÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÜÔÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ
1
2
3
228
§13. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ó ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ
ÎÉÈ ÏÄÏÂÎÙ: f (G) = Cf (F )C −1, ÏÓËÏÌØËÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ fn(G) = Cfn(F )C −1
×ÙÏÌÎÅÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ÒÉÂÌÉÖÁÀÝÉÈ ÆÕÎË ÉÀ f , Á ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ,
ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ×ÙÏÌÎÅÎÎÙÍ É × ÒÅÄÅÌÅ1 .
ÅÅÒØ ÄÁÄÉÍ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. ðÕÓÔØ ÏÅÒÁÔÏÒ F ∈ EndV ÉÍÅÅÔ
ÓÅËÔÒ Spe F = {1; 2; : : : ; r } ⊂ C É ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
F =
Y
∈Spe F
( t − ) m (ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ m ÒÁ×ÎÏ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ mt− (F ), ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÅÊÓÑ ÓÒÅÄÉ
ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ (t−)m ∈ El(F ), ÓÍ. n◦ 13.1.2). âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÁÌÇÅÂÒÕ
C ⊃ C[x℄ ÆÕÎË ÉÊ f : C - C
Ë ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÕ
evF : C[z℄ - C[F ℄ = C[t℄= (F )
(13-10)
×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÁ ÏÅÒÁÔÏÒÅ F , ÅÓÌÉ ËÁÖÄÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f ∈ C ÄÏÕÓËÁÅÔ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ∈ Spe F ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ
f (m −1) ()
f ′ ( )
(
z − )+ · · · +
(
z − )m −1 + g (z ) · (z − )m (13-11)
f (z ) = f ()+
1!
(m − 1)!
Ó g ∈ C . åÓÌÉ ÁÌÇÅÂÒÁ C ÒÉÓÏÓÏÂÌÅÎÁ Ë ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÕ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÁ ÏÅÒÁÔÏÒÅ F , ÔÏ ÏÎÁ ÒÉÓÏÓÏÂÌÅÎÁ É Ë ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÕ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÎÁ ×ÓÅÈ ÏÄÏÂÎÙÈ
ÇÏÍÏÍÏÒF ÏÅÒÁÔÏÒÁÈ CF C −1 . âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ
ÆÉÚÍÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ (13-10) ÎÁ ÁÌÇÅÂÒÕ C ÎÁÂÏÒ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÁÌÇÅÂÒ
evG : C - C[G℄
ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÄÌÑ ×ÓÅÈ G = CF C −1 É ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ
evCF C (f ) = C · evF (f ) · C −1 :
P
úÁÍÅÞÁÎÉÅ 13.1. áÌÇÅÂÒÁ ÓÔÅÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ× f (z ) =
ak z k , ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÈÏÄÑÝÉÈÓÑ × ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÅ z0 ∈ C, ÒÉÓÏÓÏÂÌÅÎÁ Ë ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÕ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ
ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÏÅÒÁÔÏÒÅ: ÄÌÑ ÏÌÕÞÅÎÉÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ (13-11) ÎÁÄÏ ÒÏÓÔÏ ÅÒÅÒÁÚÌÏÖÉÔØ ÒÑÄ f Ï ÓÔÅÅÎÑÍ (z − ) × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z0 = . âÏÌÅÅ ÏÂÝÉÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÉÓÏÓÏÂÌÅÎÎÏÊ Ë ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ ÎÁ ÄÁÎÎÏÍ ÏÅÒÁÔÏÒÅ F Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÁ ×ÓÅÈ ÆÕÎË ÉÊ C - C, ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÀÝÉÈÓÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ
ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÉ ∈ Spe F × ÒÑÄ ÅÊÌÏÒÁ, ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÈÏÄÑÝÉÊÓÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ ÜÔÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ. îÁÒÉÍÅÒ, ÆÕÎË ÉÑ th z ÒÉÓÏÓÏÂÌÅÎÁ Ë ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ
ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÏÅÒÁÔÏÒÅ, ÓÅËÔÒ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÞÉÓÅÌ ×ÉÄÁ 2ik, k ∈ Z.
ÒÉÓÏÓÏÂÌÅÎÎÏÊ
ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅÍ
−1
ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ EndV É EndW ÂÙÌÁ ÔÁËÏÊ,
ÞÔÏÂÙ ×ÓÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ EndV - EndW ÂÙÌÉ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙ
1
229
13.4. æÕÎË ÉÉ ÏÔ ÏÅÒÁÔÏÒÁ
ÅÏÒÅÍÁ 13.3
äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ËÏÍÌÅËÓÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ (13-10) ÎÁ ÌÀÂÕÀ ÁÌÇÅÂÒÕ C , ÒÉÓÏÓÏÂÌÅÎÎÕÀ Ë ÜÔÏÍÕ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÕ
×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f ∈ C × ËÁÞÅÓÔ×Å ÉÎÔÅÒÏÌÑ ÉÏÎÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Pf;F , ÔÁËÏÇÏ ÞÔÏ Pf;F (F ) = f (F ), ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ (ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ)
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Pf;F (t) ∈ C[t℄ ÓÔÅÅÎÉ, ÍÅÎØÛÅÊ dim V , ÔÁËÏÊ ÞÔÏ
(k )
Pf;F
() = f (k) () ∀ k = 0; 1; : : : ; m − 1 :
× ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ∈ Spe F
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÉÚÕÞÉÔØ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÑ ÎÁ ÁÌÇÅÂÒÕ C ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ evF ÎÁ ËÁËÏÍ-ÎÉÂÕÄØ ÏÄÎÏÍ ÏÅÒÁÔÏÒÅ F × ËÌÁÓÓÅ ÏÄÏÂÎÙÈ
ÏÅÒÁÔÏÒÏ× | ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÑ ÎÁ ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÌÁÓÓÁ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÉÚ
ÎÅÇÏ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ. ÷ÏÚØÍ£Í × ËÁÞÅÓÔ×Å ÔÁËÏ×ÏÇÏ F ÏÅÒÁÔÏÒ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ t ×
ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÅ ÆÁËÔÏÒ ËÏÌÅ
C[t℄
C[t℄
(13-12)
⊕
·
·
·
⊕
((t − 1)s )
((t − r )sr )
ÉÚ ÔÅÏÒ. 13.1 (ÓÌÁÇÁÅÍÙÅ ÜÔÏÊ ÓÕÍÍÙ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍ
ÄÅÌÉÔÅÌÑÍ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F É ÍÏÇÕÔ Ï×ÔÏÒÑÔØÓÑ).
ðÕÓÔØ ÉÓËÏÍÏÅ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ evF ÎÁ ÁÌÇÅÂÒÕ C ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÅÇÏ
ÏÂÒÁÚ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÁÌÇÅÂÒÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F , ÏÅÒÁÔÏÒ evF (f ) ÄÌÑ
f ∈ C Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ t, ËÏÔÏÒÙÊ
ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ fe(t). ÁË ËÁË evF Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÁÌÇÅÂÒ, ÉÚ
ÎÁÌÉÞÉÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ (13-11) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ fe(t) ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ
(13-12) ÔÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ, ËÁË ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
f () + f ′ ()(t − ) + · · · + f (m −1) (t − )m −1 =(m − 1)! + (t − )m ge (t) :
ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÒÑÍÏÍ ÓÌÁÇÁÅÍÏÍ ×ÉÄÁ C[t℄= (t − )k × ÓÕÍÍÅ (13-12)
fe(t) ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÎÁ ËÌÁÓÓ
f () + f ′ ()(t − ) + · · · + f (m −1) (t − )m −1 =(m − 1)! (mod (t − )m )
îÏ Ï ËÉÔÁÊÓËÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ÏÓÔÁÔËÁÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ËÌÁÓÓ
fe(t) (mod F (t))
ÓÒÁ×ÎÉÍÙÊ Ó f () + f ′()(t − ) + · · · + f (m) ()(t − )m=m! (mod (t − )m )
ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ∈ Spe F . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ evF ÎÁ ÁÌÇÅÂÒÕ
C ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ
1
sm
f
=
m
−1
X
k=0
f (k ) ( ) ( t − ) k
(mod (t − )m)
230
§13. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ó ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ
(m − 1)
ÆÕÎË ÉÉ f × ÔÏÞËÅ ∈ C, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÕÀ ËÁË ÜÌÅÍÅÎÔ ÆÁËÔÏÒ
ËÏÌØ Á C[t℄= ((t − )m) , É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
Y
C[t℄
s:C (13-13)
m ) ;
((
t
−
)
∈Spe F
-ÓÔÒÕÀ
ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ËÁÖÄÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f ∈ C ÎÁÂÏÒ Å£ ÓÔÒÕÊ
sm11 −1 f; : : : ; smrr −1 f
× ÔÏÞËÁÈ ÓÅËÔÒÁ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 13.8. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ (13-13) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ
ÁÌÇÅÂÒ.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÑ ÆÕÎË ÉÉ f ∈ C ÏÅÒÁÔÏÒ, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÎÁ ËÁÖÄÏÍ
ÒÑÍÏÍ ÓÌÁÇÁÅÍÏÍ ×ÉÄÁ C[t℄= (t − )k × ÓÕÍÍÅ (13-12) ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÎÁ ËÌÁÓÓ
ÓÔÒÕÉ sm −1f , ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÔÒÅÂÕÅÍÙÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÉÚ ÁÌÇÅÂÒÙ C × ÁÌÇÅÂÒÕ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F .
ðÏÓËÏÌØËÕ ÕËÁÚÁÎÎÙÊ × ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ÔÅÏÒÅÍÙ ÉÎÔÅÒÏÌÑ ÉÏÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Pf;F ÉÍÅÅÔ ÔÏÔ ÖÅ ÏÂÒÁÚ ÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ (13-13), ÞÔÏ É ÆÕÎË ÉÑ f , ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÎÅÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ (13-12) ÔÏÞÎÏ ÔÁËÖÅ, ËÁË fe.
13.4.1. ðÒÉÍÅÒ: ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÓÔÅÅÎÅÊ. úÁÄÁÞÕ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ n-ÔÏÇÏ ÞÌÅÎÁ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ an ∈ C, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÏÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ m-ÔÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ
an = 1 an−1 + 2 an−2 + · · · + m an−m ;
ÅÓÌÉ ÚÁÄÁÎ٠ţ ÎÁÞÁÌØÎÙÅ m ÞÌÅÎÏ× (a0; a1; : : : ; am−1 ) , ÍÏÖÎÏ ÒÅÛÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ m × m -ÍÁÔÒÉ Õ

0 0 ··· 0 m 

. . . 0 m−1 
1 0


.
.
.

. . .. .. 
S=
0 1

. .

.
 .. . . . . 0
2 
0 ··· 0 1 1
õÍÎÏÖÅÎÉÅ ÆÒÁÇÍÅÎÔÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ an, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ m ÏÄÒÑÄ ÉÄÕÝÉÈ
ÞÌÅÎÏ×, ÓÒÁ×Á ÎÁ ÍÁÔÒÉ Õ S , ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÓÄ×ÉÇÕ ÜÔÏÇÏ ÆÒÁÇÍÅÎÔÁ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ
×ÒÁ×Ï:
(ak+1; ak+2; : : : ; ak+m) · S = (ak+2; ak+3; : : : ; ak+m+1)
ðÏÜÔÏÍÕ n-ÔÙÊ ÞÌÅÎ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ an ÒÁ×ÅÎ ÅÒ×ÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÅ ×ÅËÔÏÒÁ
(a0; a1; : : : ; am−1 ) · S n = (an; an+1; : : : ; an+m−1) :
231
13.4. æÕÎË ÉÉ ÏÔ ÏÅÒÁÔÏÒÁ
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÚÁÄÁÞÁ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ an ÏÌÎÏÓÔØÀ Ó×ÏÄÉÔÓÑ
Ë ÚÁÄÁÞÅ ÏÔÙÓËÁÎÉÑ n-ÔÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÒÁ×ÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÍÁÔÒÉ Õ S ,
ÒÉÞ£Í ÒÅÛÉ× ÜÔÕ ÚÁÄÁÞÕ ÍÙ ÂÅÚ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÓÍÏÖÅÍ ÎÁÈÏÄÉÔØ
ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ an Ó
ÎÁÞÁÌØÎÙÍÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ (a0; a1; : : : ; am−1 ).
n
îÁÊÔÉ Ñ×ÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ S ÎÅÔÒÕÄÎÏ Ï ÔÅÏÒ. 13.3. ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÜÔÏ
ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ÍÁÔÒÉ Ù
0
1
S= 1 1
ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ËÏÔÏÒÕÀ ÚÁÄÁ£Ô ÓÄ×ÉÇ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ æÉÂÂÏÎÁÞÞÉ 'n,
ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÊ ÒÅËÕÒÒÅÎÔÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ an = an−1 + an−2 .
èÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
t
−1
S (t) = det −1 t − 1 = t2 − t − 1 = (t − + )(t − − ) ; :
√
ÇÄÅ ± = (1 ± 5)=2. úÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ f (x) = xn ÎÁ ÔÏÞËÁÈ ÓÅËÔÒÁ S ÓÕÔØ
f (± ) = n± . éÎÔÅÒÏÌÑ ÉÏÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Pf;S (t) = at + b ÌÉÎÅÅÎ1 É ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ
ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
(
a + + b = n+
a − + b = −n :
òÅÛÁÑ ÉÈ, ÏÌÕÞÁÅÍ
ÌÀÂÙÍÉ
a=
n+ − −n
n−1 − n−−1
; b = n+ − a + = +
;
+ − −
+ − −
b
a
n
S = aS + bE = a a + b
âÅÒÑ ËÌÁÓÓÉÞÅÓËÏÅ ÎÁÞÁÌÏ '0 = 0, '1 = 1, ÏÌÕÞÁÅÍ ('n; 'n+1) = (0; 1) · S n,
ÏÔËÕÄÁ
√ n √ n
'n = a =
1+ 5
2
− 1−2 5
√
5
(ÓÒÁ×ÎÉÔÅ ÜÔÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ Ó ÒÏÄÅÌÁÎÎÙÍ ÒÁÎÅÅ × n◦ 5.3.1 ÎÁ ÓÔÒ. 75).
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 13.2
óÅËÔÒ ÏÅÒÁÔÏÒÁ f (F ) ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÞÉÓÅÌ f () Ó ∈ Spe F . åÓÌÉ f ′() 6= 0,
ÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÅÌÉÔÅÌÉ (tm− )m ∈ El(F ) ÂÉÅËÔÉ×ÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍ ÄÅÌÉÔÅÌÑÍ t − f () ∈ El f (F ) ÏÅÒÁÔÏÒÁ f (F ). åÓÌÉ f ′() = 0, ÔÏ
ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÄÅÌÉÔÅÌÉ ×ÉÄÁ (t − )m ∈ El(F ), ÉÍÅÀÝÉÅ
m>
1, ÒÁÓÁÄÁÀÔÓÑ ×
`
ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ t − f () ∈ El f (F ) , ÉÍÅÀÝÉÈ ` < m.
1
ÔÁË ËÁË dim V = 2
232
úÁÄÁÞÉ Ë §13
éÚ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒ. 13.3 ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÁÑ É
ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÁÑ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ
ÏÅÒÁÔÏÒÁ fe ÎÁ ËÁÖÄÏÅ ÎÅÒÁÚÌÏÖÉ
ÍÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ×ÉÄÁ C[t℄= (t − )k × ÓÕÍÍÅ (13-12) ÓÕÔØ S = f () · Id É
N = f ′ () · + 21 f ′′ () · 2 + · · · , ÇÄÅ ÞÅÒÅÚ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎ ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ
ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ (t − ), ÉËÌÏ×ÏÊ ÔÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÖÏÒÄÁÎÏ×ÏÊ ÅÏÞËÉ ÄÌÉÎÙ k. åÓÌÉ f ′() 6= 0, ÔÏ N k−1 = f ′()m−1 · k−1 6= 0. ðÏÜÔÏÍÕ
ÉËÌÏ×ÏÊ ÔÉ N ÔÏÖÅ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÅÏÞËÉ ÄÌÉÎÙ k. ðÒÉ f ′(l) = 0 É m > 1
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï N m = 0 ÎÁÓÔÕÉÔ ÒÉ m < k, ÔÁË ÞÔÏ ÉËÌÏ×ÏÊ ÔÉ N ÂÕÄÅÔ ÓÏÓÔÏÑÔØ
ÉÚ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÖÏÒÄÁÎÏ×ÙÈ ÅÏÞÅË.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §13
úÁÄÁÞÁ 13.1. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ Ó ÄÉÁÇÏÎÁÌØ-
ÎÏÊ ÍÁÔÒÉ ÅÊ.
úÁÄÁÞÁ 13.2. åÓÔØ ÌÉ × Matn (C) ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ (n + 1), ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ
ÉÚ ÏÁÒÎÏ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÙÈ ÍÁÔÒÉ ?
úÁÄÁÞÁ 13.3. ïÅÒÁÔÏÒ Rn
- Rn ÉÍÅÅÔ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÍÁÔÒÉ Õ Ó ÞÉÓÌÁÍÉ
1 ; 2 ; : : : ; n ÎÁ ÏÂÏÞÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ É ÎÕÌÑÍÉ × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÍÅÓÔÁÈ. ëÏÇÄÁ ÔÁËÏÊ
ÏÅÒÁÔÏÒ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍ (ÎÁÄ R)?
úÁÄÁÞÁ 13.4. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V × ÒÑÍÙÅ ÓÕÍÍÙ ÏÄÒÏ-
ÓÔÒÁÎÓÔ× ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑÍ IdV = 1 + 2 + · · · s
× ËÏÔÏÒÙÈ 2 = É i j = j i = 0 ∀ i 6= j .
úÁÄÁÞÁ 13.5. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× F G = GF ÖÏÒÄÁÎÏ×Ù
ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÉÈ ÓÕÍÍÙ ÒÁ×ÎÙ ÓÕÍÍÁÍ ÖÏÒÄÁÎÏ×ÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ: (F +G)s = Fs +Gs
É (F + G)n = Fn + Gn .
3
úÁÄÁÞÁ 13.6. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
 × Q , ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ

ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÅ
 ÄÌÑ
5 −1 −1
−6 2



ÁÒÙ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× Ó ÍÁÔÒÉ ÁÍÉ A = −1 5 −1 É B = 2 −3
−1 −1 5
3 6
3
6.
2
ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÏÄÏÂÉÑ1 F 7→ CF C −1 ×ÓÅ ÍÁÔÒÉ Ù × Mat2 (Fp ), GL2 (Fp ) É SL2 (Fp ) ÄÌÑ p = 2; 3; 5.
úÁÄÁÞÁ 13.7. òÁÓËÌÁÓÓÉÆÉ ÉÒÕÊÔÅ
úÁÄÁÞÁ 13.8. îÁÊÄÉÔÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁÄ R ÏÅÒÁÔÏÒÁ F : R4
ÍÁÔÒÉ Á ËÏÔÏÒÏÇÏ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ


5 5 1 −10
2 5 −2 −9 


0 −1 1
0 
3 4 0 −8
- R4 ,
Ô. Å. ÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÓÉÓÏË ÏÁÒÎÏ ÎÅÏÄÏÂÎÙÈ ÍÁÔÒÉ , ÔÁËÏÊ ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÉÚ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÇÒÕÙ ÏÄÏÂÎÁ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÍÁÔÒÉ ÜÔÏÇÏ ÓÉÓËÁ
1
233
úÁÄÁÞÉ Ë §13
ÒÁÚÌÏÖÉÔÅ ÅÇÏ ÎÁ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ (ÎÁÄ R) ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, É ÎÁÉÛÉÔÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÒÏÅËÔÏÒÏ× ÎÁ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ F , ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÅ ÜÔÏÍÕ
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÀ.
úÁÄÁÞÁ 13.9. îÁÊÄÉÔÅ (ÎÁÄ ÏÌÅÍ C) ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ É ËÏÒ-
ÎÅ×ÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á É ÖÏÒÄÁÎÏ×Õ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÏÅÒÁÔÏÒÁ C4 - C4 ,
ÍÁÔÒÉ Á ËÏÔÏÒÏÇÏ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÔÁ ÖÅ, ÞÔÏ É × ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÅ.
úÁÄÁÞÁ 13.10. îÁÊÄÉÔÅ ÖÏÒÄÁÎÏ×Ù ÎÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÆÏÒÍÙ ÍÁÔÒÉ



2 1 −2 7
3
0 4 −4 5
2

Â) 
Á) 
2 3 −6 7
3
1 1 −3 2
1


n n − 1 n − 2 ··· 1
0
n n − 1 · · · 2


0
0
n · · · 3
Ç) 

 ..
. . . . . . .. 
...
.
.
0 ···
0
0 n
1
4
3
1

 (ÎÁÄ ÏÌÅÍ C) 
9
1 −6
−2 −8
6
9
11
−
6 0



×)


8 10 −9 −6
9
2
−7 −11 7
2


0 1 0 ··· 0

. . . .. 
0 0
1
.


 .. . . . . . .
Ä)  . . . . 0




... ... 
0
1
1 0 ··· 0 0
−3
−6
−7
−3
úÁÄÁÞÁ 13.11. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÔÅÅÎØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÎÅÓËÁÌÑÒÎÏÊ Ë×Á-
ÄÒÁÔÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÒÁÎÇÁ 1 ÒÁ×ÎÁ 2.
úÁÄÁÞÁ 13.12. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÓÔÅÅÎØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ
ÏÅÒÁÔÏÒÁ F : V - V ÒÁ×ÎÁ dim V , ÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ, ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙÊ Ó
F , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÏÔ F .
úÁÄÁÞÁ 13.13. ðÕÓÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F : V
- V
úÁÄÁÞÁ 13.14. ðÕÓÔØ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F : V
- V
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× g1 g2 . ðÏËÁÖÉÔÅ,
ÞÔÏ V Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ Ä×ÕÈ F -ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ F ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÔÓÑ × ÏÅÒÁÔÏÒÙ Ó ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ g1 É g2 .
ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ É ÉÍÅÅÔ ÓÔÅÅÎØ d. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ dim V = d É ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ v ∈ V ×ÅËÔÏÒÙ v, F v, . . . , F d−1 v ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ × V .
úÁÄÁÞÁ 13.15. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒ F
ÎÁ n-ÍÅÒÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å
ÎÉÌØÏÔÅÎÔÅÎ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ tr F = tr F 2 = · · · = tr F n = 0 .
úÁÄÁÞÁ 13.16. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Matn×n ×ÓÅÈ n × n-ÍÁÔÒÉ
ÎÏÊ ÍÁÔÒÉ ÅÊ A = (a; ) ∈ Matn×n ÔÒÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁ Matn×n
É Ó×ÑÖÅÍ Ó ÄÁÎ-
- Matn×n :
LA : X 7→ A · X ; RA : X 7→ X · A ; AdA : X 7→ AdA (X ) = A · X · A−1
÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÉÈ ÓÌÅÄÙ É ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÉ ÒÉ Á) n = 2 Â) n = 3 ×) ÌÀÂÏÍ n .
úÁÄÁÞÁ 13.17. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ W ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ×ÔÏÒÏÊ
ÓÔÅÅÎÉ ÏÔ Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ (x0 ; x1 ) Ó ÂÁÚÉÓÏÍ ( x20 ; 2 x0 x1 ; x21 ). ó×ÑÖÅÍ Ó ÄÁÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ ÅÊ A ∈ Mat2 (k) ÏÅÒÁÔÏÒ S 2 A : W - W , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÊ f (x0 ; x1 ) ×
f ((x0 ; x1 ) · A) . îÁÊÄÉÔÅ ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Õ É ×ÙÞÉÓÌÉÔŠţ ÓÌÅÄ É ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ.
234
úÁÄÁÞÉ Ë §13
úÁÄÁÞÁ 13.18. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ k[x1 ; x2 ; : : : ; xn ℄⩽n ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅ-
ÅÎÉ ⩽ n. îÁÊÄÉÔÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ, ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ É
ËÏÒÎÅ×ÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á É ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×:
Á) dxd × ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ ÆÕÎË ÉÊ sin(x), os(x), . . . , sin(nx),
os(nx)
Â) dzd ÎÁ (n + 1)-ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÆÕÎË ÉÊ C - C ×ÉÄÁ1
f (z ) = ez (a0 + a1 z + · · · + an z n )
P
xi x i ÎÁ k[x1 ; x2 ; : : : ; xn ℄⩽n ÒÉ har(k) = 0
×) x dxd ÎÁ k[x℄⩽n É
Ç) f (x) 7→ f (x − 1; y + 1) × ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ ÍÏÎÏÍÏ× xn ym Ó 0 ⩽ m; n ⩽ 2
Ä) f (x) 7→
Z1
(x2 y + xy2 )f (y) dy ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å R[x℄⩽3
0
Å) f (x) 7→ f (ax + b) (a, b | ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ) ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å k[x℄⩽n
X 7→AX Ö) Matm×n (k)
Matm×n (k), ÇÄÅ A ∈ Matm (k) ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á Ó ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ A (x) ∈ k[x℄ .
÷ÙÑÓÎÉÔÅ, ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÙ ÌÉ ÜÔÉ ÏÅÒÁÔÏÒÙ (ÎÁÄ ÔÅÍ ÏÌÅÍ, ÇÄÅ ÏÎÉ ÚÁÄÁÎÙ).
úÁÄÁÞÁ 13.19. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ
ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× Ó ÏÄÎÉÍ É ÔÅÍ ÖÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ Õ ÄÁÎÎÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ÅÇÏ ÖÏÒÄÁÎÏ×ÙÈ ËÌÅÔÏË Ó ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ .
úÁÄÁÞÁ 13.20. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÓÏÒÑÖÅÎÁ Ó×ÏÅÊ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ.
úÁÄÁÞÁ 13.21. îÁ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÎÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ
ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÏÅÒÁÔÏÒ F . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒ G, ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙÊ Ó ÌÀÂÙÍ
ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ, ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙÍ Ó F , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÏÔ F .
úÁÄÁÞÁ 13.22. ðÕÓÔØ ÏÅÒÁÔÏÒÙ A É B ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ AB − BA = B .
ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ B ÎÉÌØÏÔÅÎÔÅÎ.
úÁÄÁÞÁ 13.23* (ÌÅÍÍÁ âÁÒÔÁ). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ Ï-
ÌÅÍ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ A É B , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ rk (AB − BA) = 1, ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÉÊ
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ.
úÁÄÁÞÁ 13.24. äÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍ ÌÉ ÏÅÒÁÔÏÒ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ A3 − 6A2 +
11A − 6E = 0?
úÁÄÁÞÁ 13.25. îÁÊÄÉÔÅ ÖÏÒÄÁÎÏ×Õ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÖÏÒÄÁÎÏ×ÏÊ ËÌÅÔ-
ËÉ Jm ()2 Á) ÒÉ 6= 0 Â) ÒÉ = 0.
úÁÄÁÞÁ 13.26. òÅÛÉÔÅ × Mat2 (C) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ X 2 =
1
3 1 É X2 = 6 2
−1 5
3 7
× ËÕÒÓÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÔÁËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ÞÁÓÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ Ë×ÁÚÉÍÎÏÇÏÞÌÅ-
ÎÁÍÉ ×ÅÓÁ É ÓÔÅÅÎÉ ⩽ n
235
úÁÄÁÞÉ Ë §13
1 1 50 É 7
úÁÄÁÞÁ 13.27. îÁÊÄÉÔÅ
4
−1 3
úÁÄÁÞÁ 13.28. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ
50
−4
−8
Á) An Â) sin A ×) os A Ç) eA ÄÌÑ ÍÁÔÒÉ
A = 13 20
úÁÄÁÞÁ 13.29. îÁÊÄÉÔÅ f (Jm ()) , ÇÄÅ f : R
É A = 13 22
- R | ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ
ÔÏÞËÉ ∈ R ÆÕÎË ÉÑ, Á Jm () | ÖÏÒÄÁÎÏ×Á ËÌÅÔËÁ ÒÁÚÍÅÒÁ m × m Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ .


4 −5 7
úÁÄÁÞÁ 13.30. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á Z Ó Z 2 =  1 −4 9 ?
−4 0 5
òÁÚÄÅÌ IV
çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ
§14. å×ËÌÉÄÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
ðÕÓÔØ V | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÏÌÅÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ R . æÕÎË ÉÑ
(∗; ∗) : V × V - R;
ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÁÑ ÁÒÅ ×ÅËÔÏÒÏ× u; w ∈ V ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ (u; w) ∈ R ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(ÉÌÉ
) ÎÁ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V , ÅÓÌÉ ÏÎÁ
,
É
. ðÅÒ×ÏÅ
Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔØ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ
×ÔÏÒÏÍ, Ô. Å. ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓËÏÂÏË
X
(1u1 + 2u2 ; 1w1 + 2w2) = ij (ui; wj ) :
14.1. å×ËÌÉÄÏ×Á ÓÔÒÕËÔÕÒÁ.
Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ
ÂÉÌÉÎÅÊÎÁ
Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ
ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ
i;j
÷ÔÏÒÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (u; w) = (w; u) ÄÌÑ ×ÓÅÈ u; w ∈ V . ðÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÓÔØ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓËÁÌÑÒÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÏ×
×ÓÅÈ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×: (v; v) > 0 ∀ v 6= 0 .
÷ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V , ÓÎÁÂÖ£ÎÎÏÅ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
.
íÏÄÅÌØÎÙÍÉ ÒÉÍÅÒÁÍÉ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÌÏÓËÏÓÔØ É ÔÒ£ÈÍÅÒÎÏÅ Å×ËÌÉÄÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÉÚÕÞÁÅÍÙÅ × ÛËÏÌØÎÙÈ ËÕÒÓÁÈ
ÌÁÎÉÍÅÔÒÉÉ É ÓÔÅÒÅÏÍÅÔÒÉÉ. ÷ÓÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÏÎÑÔÉÑ, ÉÍÅÀÝÉÅÓÑ × ÜÔÉÈ
€ÛËÏÌØÎÙȁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ, ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÊ ÅÒÅÎÏÓÑÔÓÑ × ÌÀÂÏÅ Å×ËÌÉÄÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï.
14.1.1. ðÒÉÍÅÒ: ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Rn ÉÍÅÅÔ
× ËÏÔÏÒÏÊ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ×
u = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) É w = (y1 ; y2 ; : : : ; yn)
ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
(u; w) = x1 y1 + x2y2 + · · · + xnyn
(14-1)
ËÏÔÏÒÁÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÂÉÌÉÎÅÊÎÁ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ É ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ.
Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍ
ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÕÀ Å×-
ËÌÉÄÏ×Õ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ
236
237
14.1. å×ËÌÉÄÏ×Á ÓÔÒÕËÔÕÒÁ
14.1.2. ðÒÉÍÅÒ: ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [a; b℄
ÉÍÅÅÔ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ
(f; g) =
Zb
f (x)g(x) dx :
(14-2)
a
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 14.1. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏ É ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ.
åÓÌÉ ÏÎÉÍÁÔØ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ ËÁË ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ËÏÎÔÉÎÕÁÌØÎÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÂÉÅËÔÉ×ÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ
ÔÏÞËÁÍ ÏÔÒÅÚËÁ, ÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ (14-2) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÙÍ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ ÆÏÒÍÕÌÙ
(14-1). üÔÁ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÑ ÄÏÕÓËÁÅÔ ÒÁÚÎÏÏÂÒÁÚÎÙÅ ×ÁÒÉÁ ÉÉ. ÷Ï-ÅÒ×ÙÈ, ×ÍÅÓÔÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÄÒÕÇÉÅ ËÌÁÓÓÙ ÆÕÎË ÉÊ, ÄÌÑ
ËÏÔÏÒÙÈ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ Ó×ÏÊÓÔ×Ï
f 6≡ 0 ⇒
Zb
a
f 2 (x) dx 6= 0 ;
ÉÌÉ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÔØ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (14-2) ÎÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á | ÎÁÒÉÍÅÒ, ÎÁ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÓÔÅÅÎÉ ÎÅ ×ÙÛÅ n. ÷Ï-×ÔÏÒÙÈ ÍÏÖÎÏ ×ÁÒØÉÒÏ×ÁÔØ ÓÁÍÏ ÏÎÑÔÉÅ
ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ (ÉÎÔÅÇÒÁÌ ìÅÂÅÇÁ, ÉÎÔÅÇÒÁÌ òÉÍÁÎÁ É Ô. .) ÉÌÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ Ó
×ÅÓÏÍ (ÓÍ. ÚÁÄ. 14.19). ÷-ÔÒÅÔØÉÈ, ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÏÔÒÅÚÏË ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ÏÂÌÁÓÔØÀ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ É Ô. .
14.1.3. ïÒÔÏÇÏÎÁÌÉÚÁ ÉÑ çÒÁÍÁ { ûÍÉÄÔÁ. ÷ÅËÔÏÒÙ u; w ∈ V ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
, ÅÓÌÉ (u; w) = 0 . îÁÂÏÒ ÏÁÒÎÏ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÎÁÂÏ- u − (u , e ) · e = w v
u
ÒÏÍ. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÓËÁÌÑÒÎÙÅ Ë×Á=e
ÄÒÁÔÙ ×ÓÅÈ ÅÇÏ ×ÅËÔÏÒÏ× ÒÁ×ÎÙ 1.
ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ u
U
u
Å×ËÌÉÄÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
e =
ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ e = uCue Ó ×ÅÒÈÎÅÔÒÅÕÇÏÌØÎÏÊ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÅÒÅÈÏÄÁ Cue.
áÌÇÏÒÉÔÍ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÔÁËÏÇÏ ÂÁÚÉ⋄ ÷ÔÏÒÏÊ ÛÁÇ
ÓÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÒÔÏÇÏÎÁÌÉÚÁ ÉÉ.
. ïÎ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÊ
ÚÁÍÅÎÅ ×ÅËÔÏÒÏ× u1; u2; : : : ; un ×ÅËÔÏÒÁÍÉ wk = uk − vk−1, ÇÄÅ ×ÅËÔÏÒ vk−1 ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ × ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ Uk−1 ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ×ÅËÔÏÒÏ× u1; u2; : : : ; uk−1 ÔÁË,
ÞÔÏÂÙ wk ÏËÁÚÁÌÓÑ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌÅÎ ËÏ ×ÓÅÍ ×ÅËÔÏÒÁÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Uk−1 (ÓÍ.
ÒÉÓ. 14⋄1).
á ÉÍÅÎÎÏ, ÏÌÏÖÉÍ ÎÁ ÅÒ×ÏÍ ÛÁÇÕ wp1 = u1 É e1 = w1=|w1|, ÇÄÅ ÞÅÒÅÚ |v|
ÚÄÅÓØ É ÄÁÌÅÅ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
|v | = (v; v ) ×ÅËÔÏÒÁ v . ÏÇÄÁ (e1 ; e1 ) = 1
ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÍÉ
ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÍ
1
1
1
1
1
2
w2
|w2 |
2
2
ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÍ
1
u1
|u1 |
|(u1 ,e1 )|
ÒÏ ÅÓÓÏÍ çÒÁÍÁ { ûÍÉÄ-
ÔÁ
ÄÌÉÎÁ
òÉÓ. 14 1.
1
1
238
§14. å×ËÌÉÄÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
É e1 ÏÒÏÖÄÁÅÔ ÔÏ ÖÅ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÞÔÏ É u1. ðÕÓÔØ ÎÁ (k − 1)ÔÏÍ ÛÁÇÕ ÎÁÍÉ ÕÖÅ ÏÓÔÒÏÅÎÙ ×ÅËÔÏÒÙ e1; e2; : : : ; ek−1 ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ × ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ Uk−1 ×ÅËÔÏÒÏ× u1; u2; : : : ; uk−1. ðÏÌÏÖÉÍ wk = uk − (uk ; e1) · e1 − (uk ; e2) · e2 − · · · − (uk ; ek−1) · ek−1 . ÏÇÄÁ × ÓÉÌÕ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÓÔÉ ×ÅËÔÏÒÏ× e1; e2; : : : ; ek−1 ÉÍÅÅÍ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ i ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
(wk ; ei) = (uk ; ei) − (uk ; ei)(ei; ei) = 0 . ðÏÌÁÇÁÑ ek = wk =|wk | ÏËÁÚÙ×ÁÅÍÓÑ × ÉÓÈÏÄÎÏÍ ÏÌÏÖÅÎÉÉ ÄÌÑ (k + 1)-ÇÏ ÛÁÇÁ.
14.2. íÁÔÒÉ Ù çÒÁÍÁ. ó ÌÀÂÙÍ ÎÁÂÏÒÏÍ ×ÅËÔÏÒÏ× u = (u1 ; u2 ; : : : ; um ) Å×ËÌÉÄÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ÍÏÖÎÏ Ó×ÑÚÁÔØ ÉÈ €ÔÁÂÌÉ Õ ÕÍÎÏÖÅÎÉс | Ë×ÁÄÒÁÔÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ ÏÁÒÎÙÈ ÓËÁÌÑÒÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ
Gu = (ui ; uj ) :
ïÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÎÁÂÏÒÁ ×ÅËÔÏÒÏ× u. îÁÒÉÍÅÒ, ÍÁÔÒÉ Á çÒÁÍÁ
ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÁ, Á ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ | ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ.
åÓÌÉ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× w = (w1; w2; : : : ; wm) ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÎÁÂÏÒ
×ÅËÔÏÒÏ× w = (w1; w2; : : : ; wm) ËÁË w = uCuw, ÔÏ ÍÁÔÒÉ Á çÒÁÍÁ Gw ÅÒÅÓÞÉÔÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÍÁÔÒÉ Õ çÒÁÍÁ Gu Ï ÆÏÒÍÕÌÅ
t G C ;
Gw = Cuw
(14-3)
w uw
t ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÁ Ë C . ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ,
ÇÄÅ ÍÁÔÒÉ Á Cuw
wv
ÍÁÔÒÉ ÅÊ çÒÁÍÁ
(vi ; vj ) =
X
iw
;
X
jw
=
X
;
(
i · w ;w
)· j =
=
X
t ·
i
X
(w ; w ) · j :
üÔÁ ×ÙËÌÁÄËÁ ÄÏÕÓËÁÅÔ ÓÏËÒÁÝ£ÎÎÕÀ ÍÁÔÒÉÞÎÕÀ ÚÁÉÓØ × ÄÕÈÅ n◦ 9.3, ÅÓÌÉ
ÄÏÇÏ×ÏÒÉÔØÓÑ ÏÎÉÍÁÔØ ÏÄ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ×ÅËÔÏÒÏ× v; u ∈ V ÉÈ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ vu def
= (v; u). ðÒÉ ÔÁËÏÍ ÓÏÇÌÁÛÅÎÉÉ ÍÁÔÒÉ Á çÒÁÍÁ
Gw = w t w
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÓÔÏÌ Á ×ÅËÔÏÒÏ× wt ÎÁ ÓÔÒÏËÕ ×ÅËÔÏÒÏ× w É, ÏÄÓÔÁ×É× w = vCvW , ÏÌÕÞÁÅÍ
t vt v C = C t G C :
Gw = wt w = (vCvw )t v Cvw = Cvw
vw
vw v vw
14.2.1. ïÒÅÄÅÌÉÔÅÌÉ çÒÁÍÁ. ïÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ det Gv ÍÁÔÒÉ Ù çÒÁÍÁ Gv ÎÁÂÏÒÁ ×ÅËÔÏÒÏ× v ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÜÔÉÈ ×ÅËÔÏÒÏ×.
ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÅÍ çÒÁÍÁ
ìÅÍÍÁ 14.1
ïÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ çÒÁÍÁ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ×ÅËÔÏÒÏ× v1; v2; : : : ; vm ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌÅÎ, É
ÅÇÏ ÏÂÒÁÝÅÎÉÅ × ÎÕÌØ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÜÔÉÈ ×ÅËÔÏÒÏ×.
239
14.3. å×ËÌÉÄÏ×Á ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ
÷ÙÂÅÒÅÍ × ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ ×ÅËÔÏÒÏ× v1; v2; : : : ; vm ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ e1; e2; : : : ; en. ÏÇÄÁ v = eCev É
Gv = Cevt Ge Cev = Cevt ECev = Cevt Cev
åÓÌÉ n < m, ÔÏ rk Gv ⩽ rk Cev ⩽ m < n É det Gv = 0. åÓÌÉ n = m, ÔÏ2 ×ÅËÔÏÒÙ v
ÔÏÖÅ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ, É det Cev 6= 0, Á det Gv = det Cevt · det Cev = det Cev > 0 . 14.2.2. ðÒÉÍÅÒ: ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ëÏÛÉ { âÕÎÑËÏ×ÓËÏÇÏ { û×ÁÒ Á. äÌÑ ÎÁÂÏÒÁ ÉÚ Ä×ÕÈ ×ÅËÔÏÒÏ× v; w ∈ V ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
(
v;
v
)
(
v;
w
)
det (w; v) (w; w) ⩾ 0
ÉÚ ÌÅÍÍÙ (ÌÅÍ. 14.1) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ
(v; v) · (w; w) ⩾ (v; w)2 ;
(14-4)
É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ v É w ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙ.
îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ÌÅÍ. 14.1), ÎÁÉÓÁÎÎÏÅ × ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Rn ÉÚ n◦ 14.1.1 ×ÙÇÌÑÄÉÔ ËÁË
(x21 + x22 + · · · + x2n)(y12 + y12 + · · · + yn2 ) ⩾ (x1y1 + x1 y1 + · · · + xnyn)2
É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. ïÎÏ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ
Ä×ÕÈ ÎÁÂÏÒÏ× ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ x1 ; x2 ; : : : ; xn É y1; y2; : : : ; yn É ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ ×
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÜÔÉ ÎÁÂÏÒÙ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙ.
îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (ÌÅÍ. 14.1), ÎÁÉÓÁÎÎÏÅ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ
ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [a; b℄ ÉÚ n◦ 14.1.2 ×ÙÇÌÑÄÉÔ ËÁË
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ ëÏÛÉ { âÕÎÑËÏ×ÓËÏÇÏ
Zb
a
()
Z b
f 2 x dx ·
()
g2 x dx ⩾
a
Zb
a
2
f (x)g(x) dx
:
É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. ïÎÏ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ f É g É ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ
ÆÕÎË ÉÉ f ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÍ.
14.3. å×ËÌÉÄÏ×Á ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ. äÌÉÎÁ ×ÅËÔÏÒÁ É ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ
ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ:
ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï û×ÁÒ Á
def p
= (v; v)
def (v; w )
c) =
os(vw
|v | · |w|
|v |
(14-5)
(14-6)
240
§14. å×ËÌÉÄÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
éÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (14-4) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÆÏÒÍÕÌÙ (14-6) ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÌÅÖÉÔ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÚÎÁÞÅÎÉÊ ËÏÓÉÎÕÓÁ [−1; 1℄, Á ÄÌÉÎÁ (14-5) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ
ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ:
∀ u; w |u| + |w| ⩾ |u + w| :
(14-7)
÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ: |u + w|2 = |u|2 + |w|2 + 2(u; w) ⩽ |u|2 + |w|2 + 2|u| · |w|.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 14.2. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × (14-7) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ×ÅË-
ÔÏÒÙ u É w ÓÏÎÁÒÁ×ÌÅÎÙ (ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙ Ó ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ).
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÄÌÉÎÙ ×ÓÅÈ ×ÅËÔÏÒÏ×, Ï ÆÏÒÍÕÌÁÍ
(14-8)
(v; w) = (|v + w|2 − |v − w|2)=4 = (|v + w|2 − |v|2 − |w|2)=2 :
÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, |v ± w|2 = (v ± w; v ± w) = (v; v) ± 2(v; w) + (w; w) .
14.3.1. å×ËÌÉÄÏ× ÏÂß£Í É ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÑ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÔÅÏÒ. 10.2 ÎÁ ÌÀÂÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÉÍÅÅÔÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ ÆÏÒÍÁ ÏÂߣÍÁ. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÔÁËÕÀ ÆÏÒÍÕ ÎÁ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å.
ìÅÍÍÁ 14.2
ïÂß£Í ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÂÁÚÉÓÏ× Å×ËÌÉÄÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÄÉÎÁËÏ×
Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÚÎÁËÁ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) É w = (w1 ; w2 ; : : : ; wn ) Ä×Á ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÂÁÚÉÓÁ, Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ ÅÒÅÈÏÄÏÍ w = u Cuw. ðÏÓËÏÌØËÕ
t G C = C t EC = C t C ;
E = Gw = Cuw
u uw
uw
uw
uw uw
ÂÅÒÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÉ, ÏÌÕÞÁÅÍ det2 Cuw = 1, ÏÔËÕÄÁ det Cuw = ±1.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 14.1 (Å×ËÌÉÄÏ× ÏÂß£Í É ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÑ)
ïÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÂÁÚÉÓÙ, ÉÍÅÀÝÉÅ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ ÏÂߣÍ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
, Á ÂÁÚÉÓÙ, ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÇÏ Ï ÚÎÁËÕ ÏÂߣÍÁ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
. æÉËÓÁ ÉÑ ÎÁ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å
V ÏÄÎÏÊ ÉÚ Ä×ÕÈ ÆÏÒÍ ÏÂߣÍÁ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÓÅ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÂÁÚÉÓÙ ÉÍÅÀÔ ÏÂߣÍÙ ±1, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÎÁ V . áÂÓÏÌÀÔÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ
ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÌÀÂÏÊ ÉÚ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÆÏÒÍ ÎÁ ÎÁÂÏÒÅ ×ÅËÔÏÒÏ× (v1; v2; : : : ; vn) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ, ÎÁÔÑÎÕÔÏÇÏ ÎÁ ÜÔÉ ×ÅËÔÏÒÙ, É
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ Vol(v1; v2; : : : ; vn) . ïÒÉÅÎÔÁ ÉÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Rn,
ÒÉÎÉÍÁÀÝÁÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ +1 ÎÁ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
.
ÏÄÉÎÁËÏ×Ï
ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ
ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ
×ÙÂÏÒÏÍ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ
Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍ ÏÂߣÍÏÍ
ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ
ìÅÍÍÁ 14.3
2 v ;v ;:::;v
1 2
n
Vol (
) = det Gv .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ e = (e1 ; e2 ; : : : ; en ), É
ÕÓÔØ v = e Cev . ÏÇÄÁ Vol 2(v1; v2; : : : ; vn) = det2 Cev = det (Cevt Cev ) = det Gv . 241
14.4. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ
å×ËÌÉÄÏ×Á ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÚÁÄÁ£Ô ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
u7→( ∗ ; u ) - ∗
g:V
V ;
(14-9)
ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ ×ÅËÔÏÒ u × ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÏÒÍÕ gu : w 7→ (w; u). üÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏ: ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ v 6= 0 ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ gv ∈ V ∗ ÉÍÅÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
gv (v) = (v; v) > 0
É, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ. äÌÑ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ÏÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ (14-9) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ, É ÌÀÂÕÀ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ.
14.4. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 14.3. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Á Ge∗ e ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ g × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ
ÂÁÚÉÓÅ e ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V É Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÅÍÕ ÂÁÚÉÓÅ e∗ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ∗ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ çÒÁÍÁ Ge .
14.4.1. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÂÁÚÉÓ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ
e = ( e1 ; e2 ; : : : ; en )
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÅ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÙ e∗1; e∗2; : : : ; e∗n ∈ V ∗, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ
Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÂÁÚÉÓ × V ∗, ÔÁËÖÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÓËÁÌÑÒÎÙÍÉ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÍÉ
Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ e∨1 ; e∨2 ; : : : ; e∨n ∈ V , ËÏÔÏÒÙÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ
ÉÚ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ
(
i 6= j ;
(14-10)
(e∨i ; ej ) = 01;; ÒÉ
ÒÉ i = j :
âÁÚÉÓ e∨1 ; e∨2 ; : : : ; e∨n ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
Ë ÂÁÚÉÓÕ e1; e2; : : : ; en. îÁÒÉÍÅÒ, Å×ËÌÉÄÏ×Ï Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍ Ë ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍÕ ÂÁÚÉÓÕ ÂÕÄÅÔ ÏÎ ÓÁÍ, Á Å×ËÌÉÄÏ×Ï Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍ Ë ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÍÕ ÂÁÚÉÓÕ {ei}
ÂÕÄÅÔ ÂÁÚÉÓ ÉÚ ×ÅËÔÏÒÏ× {ei=(ei; ei)}.
ðÏ ÕÒ. 14.3, ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ×ÅËÔÏÒÏ× Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ e∨i × ÉÓÈÏÄÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ei ÓÕÔØ ÓÔÏÌ ٠ÍÁÔÒÉ Ù G−e 1;e ;:::;en , ÏÂÒÁÔÎÏÊ Ë ÍÁÔÒÉ Å çÒÁÍÁ Ge ;e ;:::;en
ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ:
(14-11)
e∨ = e G−e 1 :
Å×ËÌÉÄÏ×Ï Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍ
1
1
2
2
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 14.4. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ÜÔÏ, É ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ e∨∨
i = ei .
ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ v ∈ V Ï ÌÀÂÏÍÕ ÂÁÚÉÓÕ
e1 ; e2 ; : : : ; en ÓÕÔØ ÓËÁÌÑÒÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ Ó ×ÅËÔÏÒÁÍÉ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ:
X
(14-12)
v=
ei · (v; e∨i )
i
(ÞÔÏÂÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÜÔÏÍ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÓËÁÌÑÒÎÏ ÕÍÎÏÖÉÔØ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÎÁ e∨i ÄÌÑ
ËÁÖÄÏÇÏ i).
242
§14. å×ËÌÉÄÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
14.4.2. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ. äÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
U ⊂ V ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
U ⊥ = g−1 (Ann (U )) = {w ∈ V | (u; w) = 0 ∀ u ∈ U }
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
Ë U . éÚ ÔÅÏÒ. 8.2 ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ
×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ U ⇄ U ⊥ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÏÂÏÒÁÞÉ×ÁÀÝÕÀ ×ËÌÀÞÅÎÉÑ ÂÉÅË ÉÀ ÍÅÖÄÕ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ
ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ, ÒÉÞ£Í
U ⊥⊥ = U ; (U ∩ W )⊥ = U ⊥ + W ⊥ ; (U + W )⊥ = U ⊥ ∩ W ⊥ :
ÏÒÔÏÇÏÎÁÌÏÍ
ìÅÍÍÁ 14.4 (Ï ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÍ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÉ)
ðÕÓÔØ U ⊂ V ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÌÀÂÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
V (×ÏÚÍÏÖÎÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÇÏ). ÏÇÄÁ V = U ⊕ U ⊥ , É ÏÂÒÁÚ U (v) ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ v ∈ V ÒÉ ÒÏÅË ÉÉ U : V -- U ×ÄÏÌØ U ⊥ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ
ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÌÀÂÙÍ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ Ó×ÏÊÓÔ×:
1) U (v) = P (v; u∨) · u , ÇÄÅ u1; u2; : : : ; uk É u∨1 ; u∨2 ; : : : ; u∨k ÌÀÂÙÅ Å×ËÌÉÄÏ×Ï
Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÂÁÚÉÓÙ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U
2) (v; u) = (U (v); u) ∀ u ∈ U
3) v − U (v) ∈ U ⊥
4) |v − U (v)| < |v − u| ∀ u ∈ U ; u 6= U (v)
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ U ∩ U ⊥ = 0, ÏÓËÏÌØËÕ ×ÅËÔÏÒ u ∈ U ∩ U ⊥ ÉÍÅÅÔ
(u; u) = 0 . þÔÏÂÙ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ U + U ⊥ = V , ÚÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ × U ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ
ÂÁÚÉÓ u1; u2; : : : ; uk É ÏÒÅÄÅÌÉÍ ×ÅËÔÏÒ U (v) ∈ U ÆÏÒÍÕÌÏÊ (1). ÏÇÄÁ ÏÎ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ (2), ÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÂÁÚÉÓÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ
u∨j ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (2) ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ:
U (v); u∨j =
X
(v; u∨) · u ; u∨j = (v; u∨) ;
Á ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÏÎÏ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ É ÄÌÑ ×ÓÅÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U . îÁÏÂÏÒÏÔ,
×ÅËÔÏÒ U (v), ÏÂÌÁÄÁÀÝÉÊ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ (2), ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (14-12) ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ
ÞÅÒÅÚ ÂÁÚÉÓ u Ï ÆÏÒÍÕÌÅ (1). C ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, Ó×ÏÊÓÔ×Ï (2) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ
Ó×ÏÊÓÔ×Õ (3):
(v; u) = (U (v); u) ∀ u ∈ U ⇐⇒ (v − U (v); u) ∀ u ∈ U
ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÌÀÂÏÊ ×ÅËÔÏÒ v ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ËÁË v = U (v) + (v − U (v)), ÇÄÅ ÅÒ×ÏÅ
ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ ÌÅÖÉÔ × U , Á ×ÔÏÒÏÅ × U ⊥. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, V = U ⊕ U ⊥, Ó×ÏÊÓÔ×Á (1),
(2), (3) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ É ÒÏÅË ÉÑ V ÎÁ U ×ÄÏÌØ U ⊥ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ
v × U (v) .
243
14.5. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ
ïÓÔÁ£ÔÓÑ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒ w = U (v) ÜÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÂÌÉÖÁÊÛÉÊ Ë
v ×ÅËÔÏÒ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U . ðÏÓËÏÌØËÕ v − w ∈ U ⊥ , ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ u ∈ U ÉÍÅÅÍ
|v − (w + u)|2 = (v − w) − u ; (v − w) − u =
= (v − w; v − w) + (u; u) = |v − w|2 + |u|2 :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ v É w+u ÒÉ u 6= 0 ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ
ÍÅÖÄÕ v É w.
14.4.3. ðÒÉÍÅÒ: ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ×ÅËÔÏÒÏÍ É ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ. îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï |v − U (v)| < |v − u| ∀ u ∈ U ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÕÇÌÏ×.
á ÉÍÅÎÎÏ, ÅÓÌÉ ×ÅËÔÏÒ v 6∈ U ⊥, ÔÏ ×ÅËÔÏÒ w = U (v) ÜÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÕÀ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ ×ÅËÔÏÒ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ,
ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÍÉÎÉÍÕÍ ÕÇÌÏ×
vcu = vw
c ; ÇÄÅ w = U (v ):
min
u∈U
÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÎÁÉÍÅÎØÛÅÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÀ ÕÇÌÁ vcu ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
os(vcu) = (v; u) ;
|v | · |u|
ðÏ ÌÅÍ. 14.4 (v; u) = (w; u) . ÷ ÓÉÌÕ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ëÏÛÉ{ âÕÎÑËÏ×ÓËÏÇÏ { û×ÁÒ Á
(14-4) ÍÁËÓÉÍÕÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (w; u)=|u| = (w; u=|u|) ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ, ËÏÇÄÁ ×ÅËÔÏÒ
ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÄÌÉÎÙ u=|u| ÓÏÎÁÒÁ×ÌÅÎ Ó w.
õÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ×ÅËÔÏÒÏÍ v 6∈ U ⊥ É ×ÅËÔÏÒÏÍ U (v) ∈ U ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
v
U . åÓÌÉ v ∈ U ⊥ , ÔÏ (v; u) = 0 ∀ u ∈ U
É v ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÅÎ ÌÀÂÏÍÕ u ∈ U .
- V ÎÁ
14.5. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ. ìÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F : V
Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÉÌÉ
, ÅÓÌÉ
ÏÎ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÄÌÉÎÙ ×ÓÅÈ ×ÅËÔÏÒÏ×:
∀ v ∈ V |F v | = |v | :
éÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (14-8) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÄÌÉÎÁÍÉ ×ÓÅÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ É ÓËÁÌÑÒÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ:
∀ v; w (F v; F w) = (v; w) :
éÚ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÑ ÓËÁÌÑÒÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ, × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÄÌÉÎÙ ×ÅËÔÏÒÏ×, ÎÏ É ÕÇÌÙ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ,
É ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÂÁÚÉÓÙ × ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÂÁÚÉÓÙ.
îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ ÏÅÒÁÔÏÒ F ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ
× ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÖÅ ÂÁÚÉÓ, ÔÏ ÏÎ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÓËÁÌÑÒÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÂÁÚÉÓÎÙÈ, Á ÚÎÁÞÉÔ, É ÌÀÂÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× É, ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÍ.
ÕÇÌÏÍ
ÍÅÖÄÕ ×ÅËÔÏÒÏÍ
É ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ
ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÍ
ÉÚÏÍÅÔÒÉÅÊ
244
§14. å×ËÌÉÄÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
14.5.1. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù É ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÇÒÕÁ. åÓÌÉ ÏÅÒÁ-
ÔÏÒ F ÉÍÅÅÔ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ e = (e1; e2; : : : ; en) ÍÁÔÒÉ Õ
Fe , Ô. Å. F (e) = e Fe , ÔÏ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÓÔØ ÎÁÂÏÒÁ F (e) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ
E = GF (e) = Fet Ge Fe = Fet EFe = Fet Fe
íÁÔÒÉ Á C ∈ Matn(R) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ C tC = E ÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÏ
ÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÅÓÌÉ C −1 = C t . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁ f
ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Á × ËÁËÏÍ-ÎÉÂÕÄØ (Á ÚÎÁÞÉÔ, É ×
ÌÀÂÏÍ) ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÂÙÌÁ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁ.
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÚ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁ (ÓÏÏÔ×. ÍÁÔÒÉ Ù) ×ÙÔÅËÁÅÔ,
ÞÔÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÜÔÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ (ÓÏÏÔ×. ÍÁÔÒÉ Ù) ÒÁ×ÅÎ ±1. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ +1 ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
. ïÎÉ ÅÒÅ×ÏÄÑÔ
ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ × ÂÁÚÉÓ ÔÏÊ ÖÅ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ
. ðÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÔÁËÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ
ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ −1 ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÍÅÎÑÅÔ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÀ ÂÁÚÉÓÁ ÎÁ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÕÀ.
ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÎÁ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÏÂÒÁÚÕÀÔ × ÏÌÎÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÇÒÕÅ GL(V ) ÏÄÇÒÕÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ O(V ) ⊂ GL(V ). ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ SO(V ) = O(V ) ∩ SL(V )
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(ÉÌÉ
) ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÊ ÇÒÕÏÊ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÇÒÕÙ ÍÁÔÒÉ (Ô. Å. ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ
Å×ËÌÉÄÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Rn) ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÓÑ On(R) É SOn(R).
ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÊ
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ
ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ
ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÊ
ÇÒÕÏÊ
ÓÅ ÉÁÌØÎÏÊ
ÅÏÒÅÍÁ 14.1
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ
ëÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÅ Å×ËÌÉÄÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V , ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ É Ä×ÕÍÅÒÎÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÏÅÒÁÔÏÒÁ F . óÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ
ÚÎÁÞÅÎÉÑ F ÎÁ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ ÒÁ×ÎÙ ±1. îÁ Ä×ÕÍÅÒÎÙÈ ÎÅÒÁÚÌÏÖÉÍÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ ÏÅÒÁÔÏÒ F ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ
Ï×ÏÒÏÔÏÍ, Ô. Å. ÚÁÄÁ£ÔÓÑ × ÏÄÈÏÄÑÝÅÍ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÍÁÔÒÉ ÅÊ
os ' − sin ' ; ' ∈ R
sin ' os '
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÅÒ×ÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï dim V . åÓÌÉ
dim V = 1, ÔÏ F v = v É ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (F V; F v) = (v; v) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ = ±1.
üÔÏ ÚÁÏÄÎÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ É ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÒÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ.
ðÕÓÔØ dim V > 1. ðÏ ÓÌ. 13.7 F ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÍ ÉÌÉ Ä×ÕÍÅÒÎÙÍ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ. ðÕÓÔØ U | ÔÁËÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï. ðÏ ÌÅÍ. 14.4
V = U ⊕ U ⊥ . ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ U ⊥ ÔÏÖÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏ.
ðÏÓËÏÌØËÕ ker(F ) = 0, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ F ÎÁ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U
ÂÉÅËÔÉ×ÎÏ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, F −1u ∈ U ∀ u ∈ U . ðÏÜÔÏÍÕ ∀ u ∈ U É ∀ w ∈ U ⊥
ÏÌÕÞÁÅÍ (F w; u) = (F w; F F −1u) = (w; F −1u) = 0 , Ô. Å. F w ∈ U ⊥ ∀ w ∈ U ⊥ .
ðÏ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ⊥, Á Ó ÎÉÍ É V , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÏÁÒÎÏ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ É Ä×ÕÍÅÒÎÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×.
245
14.5. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ
ïÓÔÁ£ÔÓÑ ÏÉÓÁÔØ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ F ÎÁ Ä×ÕÍÅÒÎÏÍ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å.
÷ÙÂÅÒÅÍ × Î£Í ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ e1; e2 É ÚÁÉÛÅÍ F ÍÁÔÒÉ ÅÊ
F=
a b :
d
õÓÌÏ×ÉÅ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ F tF = E ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ
ÓÉÓÔÅÍÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
e
 2
2

Fe
a + =1
2
2
b +d =1

 ab + d = 0
ii
tr
e
m
im
ьs
s
òÅÛÅÎÉÑ ÅÒ×ÙÈ Ä×ÕÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÓÕÔØ
o
ϕ
e
a = os '
= sin '
O
b = sin
d = os
ÒÅÔØÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁËÌÁÄÙ×ÁÅÔ ÎÁ ÕÇÌÙ ' É ÓÏFe
ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ sin( + ') = 0, ÏÔËÕÄÁ, Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ
ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÏÂÏÒÏÔÏ×, = ' ÉÌÉ = − '. ÷
⋄ ëÏÍÏÚÉ ÉÑ
ÅÒ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÅÒÁÔÏÒ ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ
Ï×ÏÒÏÔÁ Ó ÏÔÒÁÖÅÎÉÅÍ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÒÁÖÅÎÉÅÍ.
os ' − sin '
sin ' os '
É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ï×ÏÒÏÔÏÍ ÎÁ ÕÇÏÌ '. ÷Ï ×ÔÏÒÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÅÒÁÔÏÒ ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ
os ' sin ' sin ' − os '
É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÒÁÖÅÎÉÅÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÙ ÕÇÌÁ ÍÅÖÄÕ e1 É f (e1) (ÓÍ.
ÒÉÓ. 14⋄2). ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÁÑ ÌÏÓËÏÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÊ
ÓÕÍÍÏÊ Ä×ÕÈ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ ±1 .
14.5.2. ðÒÉÍÅÒ: ÉÚÏÍÅÔÒÉÉ ÔÒ£ÈÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÊ
ÏÅÒÁÔÏÒ ÎÁ ÔÒ£ÈÍÅÒÎÏÍ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ
 ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÏÔÅÏÒ. 14.1 × ÏÄÈÏÄÑÝÅÍ
os ' − sin ' 0
ÂÁÚÉÓÅ ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ×ÉÄÁ  sin ' os ' 0  . ÷ÓÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÒÏ0
0 ±1
ÓÔÒÁÎÓÔ×Á × ÓÕÍÍÕ ÔÒ£È ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ ±1 ÔÁËÖÅ ÏÈ×ÁÔÙ×ÁÀÔÓÑ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ É ÏÔ×ÅÞÁÀÔ Ï×ÏÒÏÔÁÍ ÎÁ ÕÇÌÙ ' = 0 É ' = . úÎÁÞÅÎÉÀ +1 × ÒÁ×ÏÍ ÎÉÖÎÅÍ ÕÇÌÕ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ
Ï×ÏÒÏÔ ÎÁ ÕÇÏÌ ' ×ÏËÒÕÇ ÏÓÉ e3 (ÜÔÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ), Á ÚÎÁÞÅÎÉÀ −1 |
2
1
1
2
òÉÓ. 14 2.
246
§14. å×ËÌÉÄÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÔÁËÏÇÏ Ï×ÏÒÏÔÁ Ó ÏÔÒÁÖÅÎÉÅÍ × ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÎÁÔÑÎÕÔÏÊ ÎÁ e1, e2
(ÜÔÏ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ).
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÓÑËÉÊ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ × ÔÒ£ÈÍÅÒÎÏÍ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ï×ÏÒÏÔÏÍ ×ÏËÒÕÇ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÓÉ (ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ)
ÉÌÉ ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ÔÁËÏÇÏ Ï×ÏÒÏÔÁ Ó ÏÔÒÁÖÅÎÉÅÍ × ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÊ ÏÓÉ Ï×ÏÒÏÔÁ (ÅÓÌÉ ÏÎ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ). üÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ËÁË
.
14.6. áÆÆÉÎÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V
1
ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ k . íÎÏÖÅÓÔ×Ï A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(ÉÌÉ
ÎÁÄ V , ÅÓÌÉ Ó ËÁÖÄÏÍÕ v ∈ V ÓÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ
) v : A
A , ÔÁË ÞÔÏ
(14-13)
0 = IdA ; u ◦w = u+w ∀ v; w ∈ V
∀ p; q ∈ A ∃ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ v ∈ V : v (p) = q
(14-14)
òÁÚÍÅÒÎÏÓÔØÀ ÁÆÆÉÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á A ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V .
õÓÌÏ×ÉÑ (14-13) ÏÚÎÁÞÁÀÔ, ÞÔÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÅ ÅÒÅÎÏÓÙ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÁÂÅÌÅ×Õ
ÇÒÕÕ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á A, É ÏÂÒÁÔÎÙÍ Ë ÓÄ×ÉÇÕ v ÎÁ ×ÅËÔÏÒ
v Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÄ×ÉÇ −v ÎÁ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ −v.
éÎÁÞÅ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÊ ÅÒÅÎÏÓ v ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË ÏÅÒÁ ÉÀ €ÏÔËÌÁÄÙ×ÁÎÉс ×ÅËÔÏÒÁ v ∈ V ÏÔ ÔÏÞÅË p ∈ A, É ÍÙ ÞÁÓÔÏ ÂÕÄÅÍ ÉÓÁÔØ p + v ×ÍÅÓÔÏ
v (p). åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ × ÓÉÌÕ Ó×ÏÊÓÔ×Á (14-14) ×ÅËÔÏÒ v, ÔÁËÏÊ ÞÔÏ q = p + v, ÏÂÏpq . ðÒÏÄÕËÔÉ×ÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÅÇÏ ÓÅÂÅ ËÁË ÓÔÒÅÌËÕ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ
ÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ −→
× ÔÏÞËÅ p ∈ A É ËÏÎ ÏÍ × ÔÏÞËÅ q ∈ A. ó×ÏÊÓÔ×Á (14-13) ÏÚÎÁÞÁÀÔ, ÞÔÏ
−
→
→
→
→
pp = 0 É −
pq + −
qr = −
pr ∀ p; q; r ∈ A :
ÔÅÏ-
ÒÅÍÁ üÊÌÅÒÁ
ÁÆÆÉÎÎÙÍ
ÒÏÓÔÒÁÎ-
ÓÄ×ÉÇÁ
ÓÔ×ÏÍ
ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÊ ÅÒÅÎÏÓ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 14.5. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ
→
−
→
pq = −−
qp
→
→
→
→
É ÞÔÏ −
pq = −
rs ⇐⇒ −
ps = −
qr .
14.6.1. áÆÆÉÎÉÚÁ ÉÑ É ×ÅËÔÏÒÉÚÁ ÉÑ. éÚ ×ÓÑËÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ÍÏÖÎÏ ÉÚÇÏÔÏ×ÉÔØ ÁÆÆÉÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï A(V ) ÎÁÄ V , ÔÏÞËÁÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÅËÔÏÒÙ v ∈ V , Á ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÊ ÅÒÅÎÏÓ w : V - V ÅÒÅ×ÏÄÉÔ v × v + w. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï A(V ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V . ÏÞËÉ p ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
A(V ) ÒÏÄÕËÔÉ×ÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÓÅÂÅ
0p = p − 0, ×ÙÕÝÅÎÎÙÈ ÉÚ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ 0
ËÁË €ËÏΠف ÒÁÄÉÕÓ ×ÅËÔÏÒÏ× −→
(ÎÕÌÅ×ÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ).
îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×ÁÔØ ËÁËÕÀ-ÎÉÂÕÄØ ÔÏÞËÕ p × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÁÆÆÉÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å
A ÎÁÄ V , ÔÏ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ q ∈ A Å£
−
→
pq ∈ V ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ (14-14), ÂÉÅË ÉÀ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ ÉÚ
A É ×ÅËÔÏÒÁÍÉ ÉÚ V . üÔÁ ÂÉÅË ÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÁÆÆÉÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á A Ó
(ÉÌÉ Ó
) × ÔÏÞËÅ p ∈ A. îÁÂÏÒ p; e1; e2; : : : ; en,
ÇÄÅ e1; e2; : : : ; en | ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÂÁÚÉÓ × V , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(ÉÌÉ
) × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V .
ÁÆÆÉÎÉÚÁ ÉÅÊ
ÒÁÄÉÕÓ-
×ÅËÔÏÒÁ
×ÅËÔÏÒÉÚÁ ÉÅÊ
ÎÁÞÁÌÏÍ
ÅÎÔÒÏÍ
ÁÆÆÉÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔ
1
ÒÅÅÒÏÍ
ÜÔÏ ÓÌÏ×Ï Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÅÓÈÉÔÒÏÓÔÎÏÊ ËÁÌØËÏÊ Ó ÁÎÇÌÉÊÓËÏÇÏ aÆne (ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ)
247
14.6. áÆÆÉÎÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
14.6.2. âÁÒÉ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÉÅ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ. ÷ÅËÔÏÒÉÚÁ ÉÑ ÁÆÆÉÎÎÏÇÏ ÒÏ-
ÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ p. åÓÌÉ ÍÙ ÏÙÔÁÅÍÓÑ ÒÉ
ÏÍÏÝÉ ×ÅËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × p ÅÒÅÎÅÓÔÉ Ó V ÎÁ A ÏÅÒÁ ÉÉ ÓÌÏÖÅÎÉÑ
×ÅËÔÏÒÏ× É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÏ× ÎÁ ÞÉÓÌÁ, ÏÌÁÇÁÑ
→
→
= p + 1−→
pq 1 + 2 −
pq 2 + · · · + m −
pq m ;
1 q1 + 2 q2 + · · · + m qm def
(14-15)
ÔÏ, ×ÚÑ× ×ÅËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ Ó ÅÎÔÒÁÍÉ × p1 É × p2, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÔÏÞËÉ
−→
−→
p→
Ó1 = p1 + 1 −
1 q 1 + 2 p1 q 2 + · · · + m p1 q m
−→
−→
Ó2 = p2 + 1 −
p→
2 q 1 + 2 p2 q 2 + · · · + m p2 q m
P
i ) · p−→
ÒÁÚÌÉÞÁÀÝÉÅÓÑ ÎÁ ×ÅËÔÏÒ −→
1 2 = (1 −
1 p2 .
i
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÌÉÎÅÊÎÁÑ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ ÔÏÞÅË (14-15) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ
ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ p, ËÏÇÄÁ ÓÕÍÍÁ Å£ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÒÁ×ÎÁ
µ
ÅÄÉÎÉ Å. ÁËÉÅ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ÎÁµ
ÚÙ×ÁÀÔÓÑ
.
îÁÚ×ÁÎÉÅPÓ×ÑÚÁÎÏ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ
q
q
ÔÏÞËÁ = iqi ÜÔÏ ÅÎÔÒ ÔÑq
ÖÅÓÔÉ ÔÏÞÅË q1; q2; : : : ; qm × ÔÏÍ
c
ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ
q
q
−
→
→
→
q1 + −
q2 + · · · + −
qm = 0 :
µ
µ
÷ ÍÅÈÁÎÉËÅ ×ÅËÔÏÒ −→qi ÎÁÚÙ×ÁÅÔµ
ÓÑ
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÏÞ⋄ íÏÍÅÎÔÙ ÓÉÌ.
ËÉ ÓÉÌÙ ÔÑÖÅÓÔÉ, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÅÊ
ÎÁ ÇÒÕÚ ÅÄÉÎÉÞÎÏÇÏ ×ÅÓÁ, ÏÍÅÝ£ÎÎÙÊ × ÔÏÞËÕ qi ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏ ÌÅÖÁÝÅÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á A. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÓÕÍÍÙ
ÍÏÍÅÎÔÏ× ÎÕÌÀ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÛÁÒÎÉÒÎÏ ÚÁËÒÅÌ£ÎÎÏÅ × ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï A ÂÕÄÅÔ ÎÁÈÏÄÉÔØÓÑ × ÒÁ×ÎÏ×ÅÓÉÉ (ÎÅ ÂÕÄÅÔ ËÒÕÔÉÔØÓÑ) ÏÄ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÒÉÌÏÖÅÎÎÙÈ ÓÉÌ.
âÏÌÅÅ ÏÂÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÔÏÞÅË q1; q2; : : : ; qm É ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ×ÅÓÏ× 1; 2; : : : ; m ∈ k Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÓÕÍÍÏÊ P i 6= 0 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÔÁËÁÑ, ÞÔÏ
→
→
→
1 −
p 1 + 2 −
p 2 + · · · + m −
pm = 0 :
(14-16)
üÔÁ ÔÏÞËÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÔÏÞÅË pi Ó ×ÅÓÁÍÉ i (ÓÍ. ÒÉÓ. 14⋄3)
É ÒÁ×ÎÁ ÂÁÒÉ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ
3
ÂÁÒÉ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ
5
3
4
2
5
1
4
1
ÍÏÍÅÎÔÏÍ
2
òÉÓ. 14 3.
ÅÎÔÒÏÍ ÔÑÖÅÓÔÉ
=
m
X
i=1
i qi
1 + 1 + · · · + m
:
(14-17)
248
§14. å×ËÌÉÄÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÔÏÞËÁ , ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÁÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ (14-17) ÏÞÅ×ÉÄÎÏ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ
ÕÓÌÏ×ÉÀ ÒÁ×ÎÏ×ÅÓÉÑ
(14-16), É ÅÓÌÉ
ÅÝ£ ÄÌÑ ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÔÏÞËÉ 1 ×ÙÏÌÎÅÎÏ
−
→
−
→
−
→
ÕÓÌÏ×ÉÅ 1 1p1 + 2 1p2 + · · · + m 1pm = 0 , ÔÏ, ÏÞÌÅÎÎÏ ×ÙÞÉÔÁÑ ÉÚ ÎÅÇÏ (14-16),
ÏÌÕÞÉÍ P i · −→1 = 0.
ðÕÓÔØ ÔÏÞËÉ pi ÉÍÅÀÔ
×ÅÓÁ i Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÓÕÍÍÏÊ = i É ÅÎÔÒÏÍ
ÔÑÖÅÓÔÉ × ÔÏÞËÅ p, Á ÔÏÞËÉ
P
qj ÉÍÅÀÔ ×ÅÓÁ j Ó ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÓÕÍÍÏÊ = j É ÅÎÔÒÏÍ ÔÑÖÅÓÔÉ × ÔÏÞËÅ q.
ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÉ + 6= 0 ÅÎÔÒ ÔÑÖÅÓÔÉ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÎÁÂÏÒÏ×
ÔÏÞÅË1 ÒÁ×ÅÎ ÅÎÔÒÕ ÔÑÖÅÓÔÉ ÔÏÞÅË p É q, ×ÚÑÔÙÈ Ó ×ÅÓÁÍÉ É .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 14.6 (ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÇÒÕÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÍÁÓÓ).
P
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÈ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÂÁÒÉ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÁÑ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ
ÂÁÒÉ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÉÈ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÁÒÉ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ ÉÓÈÏÄÎÙÈ ÔÏÞÅË.
14.6.3. ðÒÉÍÅÒ: ×ÙÕËÌÙÅPÆÉÇÕÒÙ × Rn. ðÕÓÔØ ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ÏÌÅ k = R.
âÁÒÉ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÁÑ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ i · pi ÔÏÞÅË ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÁÆÆÉÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ×ÓÅ i ⩾ 0. óÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ×ÙÕËÌÙÈ
ÂÁÒÉ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÉÈ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÊ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÔÏÞÅË ÆÉÇÕÒÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÜÔÏÊ ÆÉÇÕÒÙ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ onv().
æÉÇÕÒÁ, ÓÏ×ÁÄÁÀÝÁÑ ÓÏ Ó×ÏÅÊ ×ÙÕËÌÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÏÊ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
.
óÏÇÌÁÓÎÏ ÕÒ. 14.6, ÏÔÙÓËÁÎÉÅ ÂÁÒÉ ÅÎÔÒÉÞÅËÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ
ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÔÏÞÅË Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÏÔÙÓËÁÎÉÀ ÂÁÒÉ ÅÎÔÒÉÞÅËÉÈ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÊ
ÁÒ ÔÏÞÅË. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ×ÙÕËÌÏÓÔÉ ÆÉÇÕÒÙ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÌÀÂÙÍÉ Ä×ÕÍÑ ÔÏÞËÁÍÉ p; q ∈ × ÓÏÄÅÒÖÁÌÓÑ É ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ ÉÈ
[pq℄ def
= onv{p; q} = {p + q | + = 1 ; ; > 0} :
×ÙÕËÌÏÊ
×ÙÕËÌÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÏÊ
×ÙÕËÌÏÊ
ÏÔÒÅÚÏË
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 14.7. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ×ÙÕËÌÙÈ ÆÉÇÕÒ ×ÙÕËÌÏ, É ÞÔÏ
onv() ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ ×ÓÅÈ ×ÙÕËÌÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ .
14.6.4. áÆÆÉÎÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ F : A1
ÁÆÆÉÎÎÙÈ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÎÁÄ ×ÅËÔÏÒÎÙÍÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ V1 É V2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
,
ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÔÏÞËÁ p ∈ A1, ÔÁËÁÑ ÞÔÏ ÉÎÄÕ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ F ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ DpF
ÉÚ ×ÅËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ A1 Ó ÎÁÞÁÌÏÍ p × ×ÅËÔÏÒÉÚÁ ÉÀ A2 Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × F (p)
- A2
ÁÆÆÉÎÎÙÍ
(14-18)
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ (14-18) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÁÆÆÉÎÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ F . îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÅÓÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
(14-18) ÌÉÎÅÊÎÏ ÄÌÑ ËÁËÏÊ-ÔÏ ÔÏÞËÉ p ∈ A1, ÔÏ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
V1
Dp F -
→
V2 : DpF (−
pq ) = F (p)F (q)
−−−−−−→
ÄÉÆ-
ÆÅÒÅÎ ÉÁÌÏÍ
→
Dr : −
rq 7−→ F (p1 )F (q1 )
−−−−−−−→
ÄÏÕÓËÁÅÔÓÑ, ÞÔÏÂÙ ÎÁÂÏÒÙ ÔÏÞÅË ÅÒÅÓÅËÁÌÉÓØ | × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ €ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉŁ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÔÏÞÅË ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÌÏÖÅÎÉÅ ÉÈ ×ÅÓÏ×
1
249
14.7. íÅÔÒÉËÉ, ÎÏÒÍÙ É ÔÏÏÌÏÇÉÑ
ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÅ Ï ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÅ
r ∈ A1 ÔÏÖÅ ÌÉÎÅÊÎÏ É ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó Dp, ÔÁË ËÁË
−
→
−
→
ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ v = rq = pq − −→
pr ∈ V1
Dr F (v) = F (r)F (q) = F (p)F (q) − F (p)F (r) =
→
→
→
pq ) − DpF (−
pr ) = DpF (−
pq − −
pr ) = Fp (v) :
= DpF (−→
−−−−−−→
−−−−−−→
−−−−−−→
ðÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÁÔØ ÒÏÓÔÏ DF ×ÍÅÓÔÏ DpF . áÆÆÉÎÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
F : A1 - A2
ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ Ï Ó×ÏÅÍÕ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌÕ
DF : V1 - V2
ËÁË ÔÏÌØËÏ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ÏÂÒÁÚ F (p) ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÉ p ∈ A1. ÏÇÄÁ
→
F (q) = F (p) + DF (−
pq ) :
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, Ä×Á ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ F É G Ó ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎ
ÉÁÌÏÍ DF = DG
−−−−−−→
ÒÁÚÌÉÞÁÀÔÓÑ ÎÁ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÊ ÅÒÅÎÏÓ: ×ÅËÔÏÒ vF G = F (p)G(p) ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ
×ÙÂÏÒÁ ÔÏÞËÉ p ∈ A1 É
(14-19)
G = vF G ◦F :
÷ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ÏÌÅ k ÜÔÏ R ÉÌÉ C, ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÎÏÅ ×ÙÛÅ ÏÎÑÔÉÅ
ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌÁ ÓÏÇÌÁÓÕÅÔÓÑ Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ ÒÉÎÑÔÏ × ËÕÒÓÅ ÁÎÁÌÉÚÁ. îÁÏÍÎÉÍ,
ÞÔÏ × ÁÎÁÌÉÚÅ
(ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ) ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
F : A1 - A2
× ÔÏÞËÅ p ∈ A1 ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ DpF : V1 - V2, ÔÁËÏÊ ÞÔÏ
→
→
F (q) = F (p) + DpF (−
pq ) + o(|−
pq |) ;
→
ÇÄÅ ÞÅÒÅÚ |−→
pq | ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÁ ÄÌÉÎÁ1 ×ÅËÔÏÒÁ −
pq . ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ F , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ
ÔÁËÏÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
× ÔÏÞËÅ p. ÁËÉÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ, ÁÆÆÉÎÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÎÁÄ ÏÌÑÍÉ R É C ×ÓÀÄÕ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÙ
É ÉÍÅÀÔ ÏÓÔÏÑÎÎÙÊ (ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÝÉÊ ÏÔ ÔÏÞËÉ p) ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌ.
14.7. íÅÔÒÉËÉ, ÎÏÒÍÙ É ÔÏÏÌÏÇÉÑ. ÷ ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÍÙ ÄÌÑ ÕÄÏÂÓÔ×Á ÞÉÔÁÔÅÌÑ ÎÁÏÍÉÎÁÅÍ ×ËÒÁÔ Å ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÆÁËÔÙ ÉÚ ËÕÒÓÁ ÁÎÁÌÉÚÁ,
ËÏÔÏÒÙÅ ÏÎÁÄÏÂÑÔÓÑ ÎÁÍ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ.
ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌÏÍ
ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÙÍÉ
1
ËÁË ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÄÌÉÎÕ ×ÅËÔÏÒÁ × ËÏÍÌÅËÓÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÍÙ ÏÂÓÕÄÉÍ × §20
250
§14. å×ËÌÉÄÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
14.7.1. íÅÔÒÉËÉ É ÎÏÒÍÙ. îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÍÅÔÒÉËÏÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å X ÎÁ-
ÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÕÎË ÉÑ % : X × X - R , ÏÂÌÁÄÁÀÝÁÑ ∀ x; y; z ∈ X Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ
%(x; y) = %(y; x)
(ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ)
%(x; y) ⩾ 0
(ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÓÔØ)
%(x; y) = 0 ⇒ x = y
(ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÓÔØ)
(ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ)
%(x; z ) ⩽ %(x; y) + %(y; z )
åÓÌÉ X ÜÔÏ ÁÆÆÉÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ Rn, ÔÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÔÁËÉÍÉ ÍÅÔÒÉËÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÅÒÅÎÏÓÏ×
É ÏÄÎÏÒÏÄÎÙ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë−→ÕÍÎÏÖÅÎÉÀ ×ÅËÔÏÒÏ× ÎÁ ÞÉÓÌÁ. −ðÅÒ×ÏÅ
ÔÒÅÂÏ×Á→
n
xy ∈ R , Á ÎÅ ÏÔ
ÎÉÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ %(x; y) = %(xy) ÚÁ×ÉÓÉÔ ÔÏÌØËÏ ÏÔ
ÓÁÍÉÈ ÔÏÞÅË x É y. ÷ÔÏÒÏÅ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ %(v) = ||%(v) ÄÌÑ
ÌÀÂÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ v ∈ Rn . v7→||v||
- R ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å
æÕÎË ÉÑ || ∗ || : V
V ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ∀ ∈ R É ∀ v; w ∈ V ÏÎÁ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ
||v || ⩾ 0
(ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÓÔØ)
||v || = 0 ⇒ v = 0
(ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÓÔØ)
|| · v || = || · ||v ||
(ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÓÔØ)
||v + w|| ⩽ ||v || + ||w||
(ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ)
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÓÑËÁÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÁÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÁÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÄ×ÉÇÏ× ÍÅÔÒÉËÁ × ÁÆÆÉÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÎÁÄ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÎÙÍ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ V
−
→
ÉÎÄÕ ÉÒÏ×ÁÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÎÏÒÍÏÊ ÎÁ V : %(x; y) = ||xy||.
×ÅËÔÏÒÁ
ÎÏÒÍÏÊ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 14.8. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ∀ v; w ∈ V ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÔÒÅÕÇÏÌØ-
ÎÉËÁ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ×ÙÏÌÎÅÎÉÀ ∀ v; w ∈ V ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ||w − v|| ⩾ ||w|| − ||v|| .
14.7.2. íÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÏÌÏÇÉÑ. ÷ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å X ÆÉÇÕÒÁ
B" (p) = {q ∈ X | %(p; q) ⩽ "} ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ "-ÛÁÒÏÍ1 Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ p ∈ X .
ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á U ⊂ X , ËÏÔÏÒÙÅ ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÏÊ Ó×ÏÅÊ ÔÏÞËÏÊ ÓÏÄÅÒÖÁÔ É
ÎÅËÏÔÏÒÙÊ "-ÛÁÒ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÏÔËÒÙÔÙÍÉ , É ÚÁÄÁÀÔ
ÎÁ X ÔÏÏÌÏÇÉÀ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÕÀ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÅÊ .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 14.9. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ Ä×ÕÈ É ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏ-
ÖÅÓÔ×Á ÏÔËÒÙÔÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÔÏÖÅ ÏÔËÒÙÔÙ.
äÏÏÌÎÅÎÉÑ Z = Rn r U ÄÏ ÏÔËÒÙÔÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ× ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
. ÏÞËÁ p ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÆÉÇÕÒÙ ⊂ Rn, ÅÓÌÉ ÆÉÇÕÒÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ "-ËÕÂ Ó ÅÎÔÒÏÍ ◦× ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ ÔÏÞÅË ÆÉÇÕÒÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ . ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ
ÍÎÏÖÅÓÔ×, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÆÉÇÕÒÙ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ .
n
ÆÉÇÕÒÙ , Á ÔÏÞËÉ,
ÏÞËÉ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ R r ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÚÁÍËÎÕÔÙÍÉ ÍÎÏ-
ÖÅÓÔ×ÁÍÉ
×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÔÏÞËÏÊ
ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ
×ÎÅÛÎÉÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ
1
ÏÄ " ÍÙ ×ÓÅÇÄÁ ÏÎÉÍÁÅÍ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ
251
14.7. íÅÔÒÉËÉ, ÎÏÒÍÙ É ÔÏÏÌÏÇÉÑ
ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÉÅÓÑ ÎÉ ×ÎÅÛÎÉÍÉ, ÎÉ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍÉ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÉÌÉ
, ÓÍÏÔÒÑ Ï ÔÏÍÕ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÔ ÌÉ ÏÎÉ ÆÉÇÕÒÅ .
íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÇÒÁÎÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ .
ÇÒÁÎÉÞÎÙÍÉ
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÇÒÁÎÉÞÎÙÍÉ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 14.10. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ p ∈ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÌÀÂÏÊ "-
ÛÁÒ B" (p) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ËÁË ÔÏÞËÉ ÉÚ , ÔÁË É ÔÏÞËÉ, ÎÅ ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ , É ÞÔÏ
p 6∈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÎÅÛÎÅÊ , ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ∩ B" (p) = ∅ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ " > 0.
14.7.3. ðÒÉÍÅÒ: ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÁÑ ÔÏÏÌÏÇÉÑ ÎÁ Rn ÜÔÏ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÏÌÏ-
ÇÉÑ, ÉÎÄÕ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÎÏÒÍÏÊ ||(x1; x2 ; : : : ; xn)||st def
= maxi |xi| (ÍÁËÓÉÍÕÍ ÍÏÄÕÌÑ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔ). íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÜÔÕ ÎÏÒÍÕ
. ÷ ÜÔÏÊ ÎÏÒÍÅ "-ÛÁÒÙ | ÜÔÏ "
÷" = {(x1 ; x2 ; : : : ; xn ) | |xi − pi | ≤ " ∀ i}
É ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÏËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÕÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ. ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï U ⊂ Rn
ÏÔËÒÙÔÏ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ, ÅÓÌÉ ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÏÊ p ∈ U × U
ÌÅÖÉÔ É ÎÅËÏÔÏÒÙÊ "-ËÕÂ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ.
ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ
-ËÕÂÙ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 14.11. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔØ É ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÌÀÂÏÇÏ ×ÙÕËÌÏÇÏ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÏÖÅ ×ÙÕËÌÙ.
14.7.4. ÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÁÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ ÎÏÒÍ. çÏ×ÏÒÑ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ, ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ × Rn ÒÉ×ÑÚÁÎÏ Ë ËÏÎËÒÅÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. ÷ ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÍÙ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÎÅ ÔÁË, É ÏËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÁÑ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ
× ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ,
ÍÙ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÎÏÒÍÙ ÎÁ Rn ÚÁÄÁÀÔ ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÔÏÏÌÏÇÉÀ.
×ÓÅ
ìÅÍÍÁ 14.5
ìÀÂÁÑ ÎÏÒÍÁ ÎÁ Rn ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÔÏÏÌÏÇÉÉ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ei ∈ Rn ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ É
||ei ||. ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ v ∈ Rn
ÏÌÏÖÉÍ M = max
i
X
X
=
xi ei ⩽
|xi | · ||ei || ⩽ nM max |xi | = nM · ||v ||st
i
É ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ " > 0 ÒÉ ||v − w||st < Æ = "=2nM ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
||v || − ||w|| ⩽ ||v − w|| < nM · ||v − w||st < " .
||v ||
ìÅÍÍÁ 14.6
äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÎÏÒÍÙ || ∗ || ÎÁ Rn ÍÏÖÎÏ ÏÄÏÂÒÁÔØ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ
ËÏÎÓÔÁÎÔÙ É M ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÄÌÑ ×ÓÅÈ v ∈ Rn ×ÙÏÌÎÑÌÉÓØ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
(14-20)
· ||v||st ⩽ ||v|| ⩽ M · ||v||st :
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. çÒÁÎÉ Á K ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ 1-ËÕÂÁ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÕÌÅ
K = {v ∈ Rn | ||v||st = 1}
252
§14. å×ËÌÉÄÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
ËÏÍÁËÔÎÁ, É ÎÅÒÅÒÙ×ÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ || ∗ || ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ ÎÁ ÎÅÊ Ó×ÏÉÈ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ
É ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÊ M = sup(||v|| | v ∈ K ) É = inf(||v|| | v ∈ K ), ÒÉÞ£Í
> 0, Ô. Ë. ÉÎÁÞÅ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÌÁ ÂÙ ÓÈÏÄÑÝÁÑÓÑ × K ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ vi ∈ K Ó
||vi || → 0, ÞÔÏ × ÓÉÌÕ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ É ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÓÔÉ ÎÏÒÍÙ || ∗ || ÏÚÎÁÞÁÌÏ
ÂÙ lim vi = 0 ∈ K , ÞÔÏ ÎÅ ÔÁË. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, 0 < ⩽ ||w|| ⩽ M < ∞ ÄÌÑ
×ÓÅÈ w ∈ K . ðÏÌÁÇÁÑ w = v=||v||st ∈ K ÏÌÕÞÁÅÍ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ v 6= 0 ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ
ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (14-20).
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 14.1
ìÀÂÁÑ ÎÏÒÍÁ ÉÎÄÕ ÉÒÕÀÔ ÎÁ Rn ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÕÀ ÔÏÏÌÏÇÉÀ (ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ × ËÏÔÏÒÏÊ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÏËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÕÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ).
14.7.5. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÎÏÒÍ. äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÎÏÒÍÙ || ∗ || ÎÁ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Rn Å£ ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ÛÁÒ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÕÌÅ
(14-21)
B1 (0) = {v ∈ V | ||v|| ⩽ 1}
ÏÇÒÁÎÉÞÅÎ, ÚÁÍËÎÕÔ1 , ÅÎÔÒÁÌØÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÎ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÕÌÑ, ÓÏÄÅÒÖÉÔ
ÎÕÌØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÔÏÞËÉ, É ×ÙÕËÌ, ÏÓËÏÌØËÕ
||v + w|| ⩽ ||v || + ||w|| ⩽ 1
∀ v; w Ó ||v ||; ||w|| ⩽ 1 É ∀ ; > 0 Ó + = 1 . îÏÒÍÁ || ∗ || ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ
×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ Ï ÅÄÉÎÉÞÎÏÍÕ ÛÁÒÕ (14-21) ËÁË
||v || = inf( ∈ R>0 | v ∈ B1 (0)) :
(14-22)
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 14.1
æÏÒÍÕÌÙ (14-21) É (14-22) ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÀÔ ÂÉÅË ÉÀ ÍÅÖÄÕ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÕÌÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÍÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍÉ ×ÙÕËÌÙÍÉ ÆÉÇÕÒÁÍÉ × Rn, ÉÍÅÀÝÉÍÉ ÎÕÌØ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÔÏÞËÏÊ, É ÎÏÒÍÁÍÉ ÎÁ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Rn.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ó ÕÞ£ÔÏÍ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ, ÎÁÍ ÏÓÔÁ£ÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ,
ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ v 7→ ||v|| = inf( ∈ R>0 | v ∈ ) , ÏÓÔÒÏÅÎÎÁÑ Ï ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ
ÆÉÇÕÒÅ , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÅÊ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÔÅÏÒÅÍÙ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÏÒÍÏÊ ÎÁ Rn. îÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÓÔØ É ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÓÔØ ÜÔÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÒÉ n = 1, ÇÄÅ
ÏÎÉ ÏÞÅ×ÉÄÎÙ. îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ×ÙÕËÌÏÓÔÉ: ∀ v; w ∈ V
ÔÏÞËÁ
||v ||
v
||w||
w
v+w
=
·
+
·
q=
||v || + ||w||
||v || + ||w|| ||v ||
||v || + ||w|| ||w||
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÙÕËÌÏÊ ÂÁÒÉ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ ÌÅÖÁÝÉÈ × ÔÏÞÅË v=||v||
É w=||w||. ðÏÜÔÏÍÕ q ∈ , É ÚÎÁÞÉÔ ||v + w|| ⩽ ||v|| + ||w||.
1
ÚÁÍËÎÕÔÏÓÔØ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ ÎÏÒÍÙ
253
úÁÄÁÞÉ Ë §14
◦
14.7.6.
p å×ËÌÉÄÏ×Ù ÎÏÒÍÙ. ëÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ × n 14.3 Å×ËÌÉÄÏ×Á ÄÌÉÎÁ ×ÅËÔÏ-
ÒÁ |v| = (v; v), ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÁÑ ÒÉ ÏÍÏÝÉ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ
ÎÁ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V , Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÏÒÍÏÊ ÎÁ V . ÁËÉÅ ÎÏÒÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
. äÌÑ ÌÀÂÏÊ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÎÏÒÍÙ ÎÁ V ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ
1:
|v + w|2 + |v − w|2 = 2 |v |2 + |w|2 :
(14-23)
Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ, ÔÁË ËÁË × ÎÅÊ
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÁÑ ÎÏÒÍÁ ÎÁ R2
É ÓÔÏÒÏÎÙ, É ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ Ë×ÁÄÒÁÔÁ, ÎÁÔÑÎÕÔÏÇÏ ÎÁ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ÏÒÔÙ,
ÉÍÅÀÔ ÎÏÒÍÕ 1.
Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍÉ
ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï
ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ
ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 14.2
îÏÒÍÁ ÎÁ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Rn Å×ËÌÉÄÏ×Á ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ
ËÏÇÄÁ ÄÌÑ ÎÅ£ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ (14-23).
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ. îÁÏÂÏÒÏÔ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÎÏÒÍÙ ÍÙ
ÍÏÖÅÍ ÏÌÏÖÉÔØ (v; w) = (||v + w|| − ||v − w||) =4 . üÔÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÁÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÎÁ V × V .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 14.12. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ || ∗ || ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÔÏÖÄÅÓÔ×Õ ÁÒÁÌÌÅ-
ÌÏÇÒÁÍÍÁ, ÔÏ (v1 + v2 ; w) = (v1 ; w) + (v2 ; w) É (v; w1 + w2 ) = (v; w1 ) + (v; w2 ).
éÚ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÜÔÏÊ ÆÕÎË ÉÉ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÁÒÇÕÍÅÎÔÕ ×ÙÔÅËÁÅÔ Å£ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÓÔØ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ÌÉÎÅÊÎÙÍ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑÍ Ó ÅÌÙÍÉ, Á ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, É Ó
ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ. âÉÌÉÎÅÊÎÏÓÔØ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ÌÀÂÙÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑÍ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÔÓÀÄÁ × ÓÉÌÕ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ
ÎÏÒÍÙ.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §14
úÁÄÁÞÁ 14.1. îÁÊÄÉÔÅ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ × ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å
Á) ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ x1 + x2 + · · · + xn = 0 × Rn
Â) ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ (1; 2; 2 − 1), (1; 1; −5; 3), (3; 2; 8; −7) × R4
×) × ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÍ ÄÏÏÌÎÅÎÉÉ Ë ÒÅÄÙÄÕÝÅÍÕ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ.
úÁÄÁÞÁ 14.2. îÁÉÛÉÔÅ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ, ÚÁÄÁÀÝÕÀ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ
Ë ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ, ÚÁÄÁÎÎÏÍÕ × R4 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ:
1


 2x1 + x2 + 3x3 − x4 = 0
3x1 + 2x2 − 2x4 = 0


3x1 + x2 + 9x3 − x4 = 0 :
ÓÕÍÍÁ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÄÉÁÇÏÎÁÌÅÊ ÒÁ×ÎÁ ÓÕÍÍÅ Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÞÅÔÙÒ£È ÓÔÏÒÏÎ
254
úÁÄÁÞÉ Ë §14
úÁÄÁÞÁ 14.3 (ÁÆÆÉÎÎÙÅ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ). áÆÆÉÎÎÁÑ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ × Å×ËÌÉ-
ÄÏ×ÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÜÔÏ ÆÉÇÕÒÁ
a; = {x ∈ V |(a; x) = }
ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) ÅÓÌÉ a; ∩ b;d = ∅, ÔÏ a É b ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙ
Â) ÅÓÌÉ a É b ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙ, ÔÏ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ ÌÉÂÏ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ, ÌÉÂÏ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ, É ÎÁÉÛÉÔÅ ÆÏÒÍÕÌÕ, ×ÙÒÁÖÁÀÝÕÀ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ
ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ a; É b;d ÞÅÒÅÚ a; b ∈ V É ; d ∈ R.
úÁÄÁÞÁ 14.4 (ÁÆÆÉÎÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÎÁÂÏÒÁ
ÁÆÆÉÎÎÙÈ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÅÊ a ; ÌÉÂÏ ÕÓÔÏ, ÌÉÂÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍ ÅÒÅÎÏÓÏÍ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ UT⊥ Ë ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ U ×ÅËÔÏÒÏ× a
(× ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ = a ; ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÆÆÉÎÎÙÍ ÏÄÒÏ
ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ dim U ⊥ , Á U ⊥ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁÒÁ×ÌÑÀÝÉÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÜÔÏÇÏ ÁÆÆÉÎÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á).
ÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ
úÁÄÁÞÁ 14.5. ðÕÓÔØ ÔÏÞËÉ p0 ; p1 ; : : : ; pk ∈ Rn ÎÅ ÌÅÖÁÔ × (k − 1)-ÍÅÒÎÏÊ ÁÆÆÉÎÎÏÊ
ÌÏÓËÏÓÔÉ. îÁÊÄÉÔÅ çí ÒÁ×ÎÏÕÄÁÌÅÎÎÙÈ ÏÔ ×ÓÅÈ pi .
→
x| = r} ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ (n − 1)-ÍÅÒÎÏÊ
úÁÄÁÞÁ 14.6 (ÓÆÅÒÙ). æÉÇÕÒÁ S n;r−1 = {x ∈ Rn | |−
ÓÆÅÒÏÊ ÒÁÄÉÕÓÁ r Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ ∈ Rn . äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÞÅÒÅÚ ÌÀÂÙÅ n + 1
ÎÅ ÌÅÖÁÝÉÈ × ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ ÔÏÞÅË × Rn ÒÏÈÏÄÉÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ (n − 1)-ÍÅÒÎÁÑ
ÓÆÅÒÁ.
úÁÄÁÞÁ 14.7 (ËÕÂ). óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍ n-ÍÅÒÎÙÍ ËÕÂÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË
I n = {(x1 ; x2 ; : : : ; xn ) ∈ Rn | |xi | ⩽ 1 ; i = 1; : : : ; n} :
Á) îÁÒÉÓÕÊÔÅ ËÁËÕÀ-ÎÉÂÕÄØ Ä×ÕÍÅÒÎÕÀ ÒÏÅË ÉÀ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ 4-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÕÂÁ, × ËÏÔÏÒÏÊ ×ÓÅ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ×ÉÄÎÙ ËÁË ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÔÏÞËÉ.
Â) îÁÒÉÓÕÊÔÅ ËÁËÕÀ-ÎÉÂÕÄØ €ÒÁÚ×ÅÒÔËՁ 3-ÍÅÒÎÏÊ €Ï×ÅÒÈÎÏÓÔɁ 4-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÕÂÁ Ó ÕËÁÚÁÎÉÑÍÉ, ËÁË ÅÅ ÓËÌÅÉ×ÁÔØ × 4-ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å.
×) äÁÊÔÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ k-ÍÅÒÎÏÊ ÇÒÁÎÉ I n É ÏÄÓÞÉÔÁÊÔÅ Õ I n ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÇÒÁÎÅÊ
ËÁÖÄÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ 0 ⩽ k ⩽ (n − 1).
Ç) ÷ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÀ I n ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÒÅÚÏË, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ ÅÎÔÒÁÌØÎÏ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ. óËÏÌØËÏ ×ÓÅÇÏ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ ÄÉÁÇÏÎÁÌÅÊ Õ I n ?
Ä) óËÏÌØËÏ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ ÄÉÁÇÏÎÁÌÅÊ × I n , ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ
ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ?
Å) îÁÊÄÉÔÅ ÄÌÉÎÕ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ I n É ÅÅ ÒÅÄÅÌ ÒÉ n → ∞
Ö) ÷ ËÁËÏÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÉ ÄÅÌÑÔ ×ÎÕÔÒÅÎÎÀÀ ÄÉÁÇÏÎÁÌØ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÏÅË ÉÉ
ÎÁ ÎÅ£ ×ÓÅÈ ×ÅÒÛÉÎ I n ?
Ú) óËÏÌØËÏ Õ I n ÏÓÅÊ É (n − 1)-ÍÅÒÎÙÈ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ?
É) îÁÊÄÉÔÅ ÒÁÄÉÕÓ ÏÉÓÁÎÎÏÇÏ ÏËÏÌÏ I n ÛÁÒÁ É ÅÇÏ ÒÅÄÅÌ ÒÉ n → ∞
Ë) îÁÊÄÉÔÅ ÕÇÌÙ ÍÅÖÄÕ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÀ I n É ÅÇÏ Ò£ÂÒÁÍÉ, Á ÔÁËÖÅ ÉÈ
ÒÅÄÅÌÙ ÒÉ n → ∞
Ì) îÁÊÄÉÔÅ × I n ÕÇÌÙ ÍÅÖÄÕ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÀ É ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ m-ÍÅÒÎÙÍÉ ÇÒÁÎÑÍÉ.
255
úÁÄÁÞÉ Ë §14
úÁÄÁÞÁ 14.8. ïÉÛÉÔÅ É ÎÁÒÉÓÕÊÔÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï 3-ÍÅÒÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×, ÏÌÕÞÁ-
ÀÝÉÈÓÑ × ÓÅÞÅÎÉÉ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ 4-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÕÂÁ × R4 ÓÅÍÅÊÓÔ×ÏÍ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÅÊ x1 + x2 + x3 + x4 = t , ÇÄÅ −4 ⩽ t ⩽ 4 .
úÁÄÁÞÁ 14.9 (ÓÉÍÌÅËÓ). óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍ n-ÍÅÒÎÙÍ ÓÉÍÌÅËÓÏÍ n ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×Ù-
ÕËÌÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ËÏÎ Ï× ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Rn+1
n = {(x0 ; x1 ; : : : ; xn ) ∈ Rn+1 |
X
x = 1 & x ⩾ 0 ∀ } :
Á) îÁÒÉÓÕÊÔÅ 1-ÍÅÒÎÙÊ É 2-ÍÅÒÎÙÊ ÓÉÍÌÅËÓÙ É ËÁËÉÅ-ÎÉÂÕÄØ Ä×ÕÍÅÒÎÙÅ ÒÏÅË ÉÉ 3-È 4-ÍÅÒÎÏÇÏ ÓÉÍÌÅËÓÏ×, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ×ÓÅ ÉÈ ×ÅÒÛÉÎÙ ×ÉÄÎÙ ËÁË ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÔÏÞËÉ.
Â) îÁÒÉÓÕÊÔÅ €ÒÁÚ×ÅÒÔËՁ 3-ÍÅÒÎÏÊ €Ï×ÅÒÈÎÏÓÔɁ 4-ÍÅÒÎÏÇÏ ÓÉÍÌÅËÓÁ Ó ÕËÁÚÁÎÉÅÍ, ËÁË Å£ ÓËÌÅÉ×ÁÔØ.
×) äÁÊÔÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ k-ÍÅÒÎÏÊ ÇÒÁÎÉ n É ÏÄÓÞÉÔÁÊÔÅ Õ n ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÇÒÁÎÅÊ ËÁÖÄÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ 0 ⩽ k ⩽ (n − 1).
Ç) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × n ÍÏÖÎÏ ×ÉÓÁÔØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÛÁÒ, ÎÁÊÄÉÔÅ ÒÁÄÉÕÓ ÜÔÏÇÏ ÛÁÒÁ, É ÅÇÏ ÒÅÄÅÌ ÒÉ n → ∞.
Ä) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏËÏÌÏ n ÍÏÖÎÏ ÏÉÓÁÔØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÛÁÒ, ÎÁÊÄÉÔÅ ÒÁÄÉÕÓ
ÜÔÏÇÏ ÛÁÒÁ, É ÅÇÏ ÒÅÄÅÌ ÒÉ n → ∞.
Å) îÁÊÄÉÔÅ ÄÌÉÎÕ ×ÙÓÏÔÙ É Å£ ÒÅÄÅÌ ÒÉ n → ∞.
Ö) îÁÊÄÉÔÅ × n ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ÒÅÂÒÏÍ É ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ÅÇÏ ÇÉÅÒÇÒÁÎØÀ.
Ú) äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ 1 ⩽ m ⩽ (n − 1) ÎÁÊÄÉÔÅ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÒÏÔÉ×ÏÌÅÖÁÝÉÍÉ m É (n − m − 1)-ÍÅÒÎÙÍÉ ÇÒÁÎÑÍÉ.
úÁÄÁÞÁ 14.10. ÷ ÒÁ×ÉÌØÎÏÍ ÞÅÔÙÒ£ÈÍÅÒÎÏÍ ÓÉÍÌÅËÓÅ ABCDE ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ
X ÓÅÒÅÄÉÎÕ ÏÔÒÅÚËÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÇÏ ÅÎÔÒÙ ÇÒÁÎÅÊ ABC É CDE . ðÒÏÈÏÄÑÝÁÑ
ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ X ÒÑÍÁÑ Y Z ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÒÑÍÕÀ AE × ÔÏÞËÅ Y , Á ÌÏÓËÏÓÔØ
−−→ −−→
BCD | × ÔÏÞËÅ Z . îÁÊÄÉÔÅ XY : Y Z .
úÁÄÁÞÁ 14.11 (ÏÂß£Í ÓÉÍÌÅËÓÁ). 0-ÍÅÒÎÁÑ ÓÔÕÅÎÞÁÔÁÑ ÉÒÁÍÉÄÁ | ÜÔÏ ÔÏÞËÁ.
1-ÍÅÒÎÁÑ ÓÔÕÅÎÞÁÔÁÑ ÉÒÁÍÉÄÁ ×ÙÓÏÔÙ k | ÜÔÏ 1k =|
···
{z
k
ÓÔÕÅÎÞÁÔÁÑ ÉÒÁÍÉÄÁ ×ÙÓÏÔÙ k | ÜÔÏ
z
8
>
>
>
>
>
>
>
>
<
2k = 11 + 12 + · · · + 1k = k>>
>
>
>
>
>
>
:
k
}|
{
}
. 2-ÍÅÒÎÁÑ
:
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, n-ÍÅÒÎÁÑ ÓÔÕÅÎÞÁÔÁÑ ÉÒÁÍÉÄÁ ×ÙÓÏÔÙ k ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ k (n −
1)-ÍÅÒÎÙÈ ÓÔÕÅÎÞÁÔÙÈ ÉÒÁÍÉÄ ÕÂÙ×ÁÀÝÅÊ ×ÙÓÏÔÙ, ÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ × ÓÔÏËÕ
×ÄÏÌØ n-ÔÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÊ ÏÓÉ: nk = 1n−1 + n2 −1 + · · · + nk −1 . óËÏÌØËÏ ËÕÂÉËÏ× ÕÊÄ£Ô ÎÁ Å£ ÏÓÔÒÏÊËÕ É ËÁË ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ ÏÂßÅÍ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ Ë ÏÂßÅÍÕ
ÓÉÍÌÅËÓÁ, ÎÁÔÑÎÕÔÏÇÏ ÎÁ ×ÅÒÛÉÎÕ É ×ÓÅ ÓÏÓÅÄÎÉÅ Ó ÎÅÊ ×ÅÒÛÉÎÙ?
úÁÄÁÞÁ 14.12. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ÏÂßÅÍ k -ÍÅÒÎÏÇÏ ÓÉÍÌÅËÓÁ ÞÅÒÅÚ (k − 1)-ÍÅÒÎÙÊ ÏÂßÅÍ
ÅÇÏ ÇÒÁÎÉ É ÄÌÉÎÕ ÏÕÝÅÎÎÏÊ ÎÁ ÎÅ£ ×ÙÓÏÔÙ.
256
úÁÄÁÞÉ Ë §14
úÁÄÁÞÁ 14.13. ëÁËÏÅ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ×ÅËÔÏÒÏ× ÍÏÖÎÏ ×ÙÕÓÔÉÔØ ÉÚ ÎÁÞÁÌÁ ËÏ-
ÏÒÄÉÎÁÔ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Rn ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ×ÓÅ ÕÇÌÙ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÂÙÌÉ
ÔÕÙÍÉ?
úÁÄÁÞÁ 14.14. ïÉÛÉÔÅ É ÎÁÒÉÓÕÊÔÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï 3-ÍÅÒÎÙÈ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉËÏ×, ÏÌÕÞÁ-
ÀÝÉÈÓÑ × ÓÅÞÅÎÉÉ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ 4-ÍÅÒÎÏÇÏ ÓÉÍÌÅËÓÁ 4 ⊂ R5 ÓÅÍÅÊÓÔ×ÁÍÉ
ÌÏÓËÏÓÔÅÊ: Á) x1 = onst
Â) x1 + x2 = onst .
úÁÄÁÞÁ 14.15 (ËÏËÕÂ). ÷ÙÕËÌÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ËÏÎ Ï× ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏ-
ÒÏ× É ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ Ë ÎÉÍ ×ÅËÔÏÒÏ× × Rn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍ ËÏËÕÂÏÍ
C n (ÏÎ ÏÄÏÂÅÎ ×ÙÕËÌÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ ÅÎÔÒÏ× ÇÒÁÎÅÊ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ ËÕÂÁ).
Á) úÁÄÁÊÔÅ ËÏËÕ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×.
Â) îÁÒÉÓÕÊÔÅ ËÁËÕÀ-ÎÉÂÕÄØ Ä×ÕÍÅÒÎÕÀ ÒÏÅË ÉÀ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ 4-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÏËÕÂÁ, × ËÏÔÏÒÏÊ ×ÓÅ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ×ÉÄÎÙ ËÁË ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÔÏÞËÉ.
×) îÁÒÉÓÕÊÔÅ ËÁËÕÀ-ÎÉÂÕÄØ €ÒÁÚ×ÅÒÔËՁ 3-ÍÅÒÎÏÊ €Ï×ÅÒÈÎÏÓÔɁ 4-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÏËÕÂÁ Ó ÕËÁÚÁÎÉÑÍÉ, ËÁË ÅÅ ÓËÌÅÉ×ÁÔØ × 4-ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å.
Ç) îÁÊÄÉÔÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÇÒÁÎÅÊ ËÁÖÄÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ.
Ä) îÁÊÄÉÔÅ ÒÁÄÉÕÓÙ ×ÉÓÁÎÎÏÇÏ É ÏÉÓÁÎÎÏÇÏ ÛÁÒÏ× É ÉÈ ÒÅÄÅÌÙ ÒÉ n → ∞.
e 4 , ËÏúÁÄÁÞÁ 14.16 (ÏËÔÁÌÅËÓ). îÁÒÉÓÕÅÍ × R4 ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÊ ËÕ I 4 É ËÏËÕ ó
ÔÏÒÙÊ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ËÏËÕÂÁ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ × ÅÎÔÒÁÈ ÇÒÁÎÅÊ I 4 ÇÏÍÏÔÅÔÉÅÊ Ó
ÅÎÔÒÏÍ × ÎÕÌÅ Ó ÔÁËÉÍ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ, ÞÔÏÂÙ ×ÅÒÛÉÎÙ ËÏËÕÂÁ óe 4 ÏÁÌÉ ÎÁ
ÏÉÓÁÎÎÕÀ ×ÏËÒÕÇ I 4 ÓÆÅÒÕ. ÷ÙÕËÌÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ×ÅÒÛÉÎ ËÕÂÁ I 4
É ËÏËÕÂÁ óe 4 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏËÔÁÌÅËÓÏÍ O4 .
Á) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÇÒÁÎÎÉË × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÇÒÕÁ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ R4 , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÈ O4 × ÓÅÂÑ, ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ1 ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÆÌÁÇÏ× : €×ÅÒÛÉÎÁ, ÒÉÍÙËÁÀÝÅÅ Ë ÎÅÊ ÒÅÂÒÏ, ÒÉÍÙËÁÀÝÁÑ
Ë ÎÅÍÕ 2-ÍÅÒÎÁÑ ÇÒÁÎØ, ÒÉÍÙËÁÀÝÁÑ Ë ÎÅÊ 3-ÍÅÒÎÁÑ ÇÉÅÒÇÒÁÎ؁.
Â) ðÏÄÓÞÉÔÁÊÔÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÇÒÁÎÅÊ ËÁÖÄÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ.
×) îÁÊÄÉÔÅ ÄÌÉÎÙ Ò£ÂÅÒ É ÒÁÄÉÕÓ ×ÉÓÁÎÎÏÇÏ × ÏËÔÁÌÅËÓ ÛÁÒÁ.
Ç) ëÁË ×ÙÇÌÑÄÑÔ 3-ÍÅÒÎÙÅ ÇÉÅÒÇÒÁÎÉ É ËÁËÏ×Ù ÉÈ 3-ÍÅÒÎÙÅ ÏÂߣÍÙ?
Ä) ëÁË ×ÙÇÌÑÄÑÔ 2-ÍÅÒÎÙÅ ÇÒÁÎÉ É ËÁËÏ×Ù ÉÈ ÌÏÝÁÄÉ?
Å) îÁÊÄÉÔÅ 4-ÍÅÒÎÙÊ ÏÂß£Í ÏËÔÁÌÅËÓÁ.
úÁÄÁÞÁ 14.17. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Å×ËÌÉÄÏ× ÏÂß£Í n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ ÒÁ×ÅÎ
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ (n − 1)-ÍÅÒÎÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÏÂߣÍÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÅÇÏ (n − 1)-ÍÅÒÎÏÊ ÇÒÁÎÉ ÎÁ ÄÌÉÎÕ ÏÕÝÅÎÎÏÊ ÎÁ ÜÔÕ ÇÒÁÎØ ×ÙÓÏÔÙ.
úÁÄÁÞÁ 14.18. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÒÁÔÞÁÊÛÅÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÏÔ ËÏÎ Á ×ÅËÔÏÒÁ v ÄÏ ÏÄ-
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ó ÂÁÚÉÓÏÍ u1 ; u2 ; : : : ; uk ÒÁ×ÎÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÅÊ çÒÁÍÁ
det Gv;u1 ;u2 ;:::;uk = det Gu1 ;u2 ;:::;uk .
úÁÄÁÞÁ 14.19. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓËÁÌÑÒÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ (f; g ) ÎÁ R[x℄ , ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÆÏÒ-
ÍÕÌÁÍÉ
Á)
Z1
−1
1
f (x)g(x) dx
√
1 − x2
Ô. Å. ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÅÒÅ×ÅÓÔÉ ÌÀÂÏÊ ÆÌÁÇ × ÌÀÂÏÊ
Â)
+∞
Z
f (x)g(x)e−x dx
0
257
úÁÄÁÞÉ Ë §14
×)
+∞
Z
f (x)g(x)e−x dx
2
−∞
Ç)
Z1
f (x)g(x) dx Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍÉ, É ÓÒÁ×ÎÉÔÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌÉ-
−1
ÚÁ ÉÉ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ ÍÏÎÏÍÉÁÌØÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ {x } × ÜÔÉÈ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÈ ÓÔÒÕËÔÕÒÁÈ
dn
Ó ÓÅÍÅÊÓÔ×ÁÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
Ä) ìÁÇÇÅÒÁ Ln(x) = ex n e−x xn
dx
n
dn
2 d
x
−x2
Å) üÒÍÉÔÁ En (x) = e
e
Ö) ìÅÖÁÎÄÒÁ Pn (x) = n (1 − x2 )n
dxn
dx
Ú) þÅÂÙÛÅ×Á Tn(x) = os(n ar os x)
úÁÄÁÞÁ 14.20. îÁÊÄÉÔÅ min
Z1
P 2 (x) dx Ï ×ÓÅÍ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍ P ÓÔÅÅ-
−1
ÎÉ k. åÓÌÉ ÏÂÝÉÊ ÓÌÕÞÁÊ ÎÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ, ÒÅÛÉÔÅ ÚÁÄÁÞÕ ÄÌÑ k = 2; 3; 4 .
úÁÄÁÞÁ 14.21. îÁÊÄÉÔÅ ÂÌÉÖÁÊÛÉÊ Ë sin x ËÕÂÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å
ÇÌÁÄËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ [−; ℄ Óo ÓÏ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ
Z
P (x)Q(x) dx.
−
úÁÄÁÞÁ 14.22. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (A; B ) = tr (AB t ) ÚÁÄÁ£Ô Å×-
ËÌÉÄÏ×Õ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Matn (R) É ÎÁÊÄÉÔÅ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍ
Á) ÂÅÓÓÌÅÄÎÙÈ
Â) ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÈ
×) ×ÅÒÈÎÅÔÒÅÕÇÏÌØÎÙÈ
Ç) ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÈ ÍÁÔÒÉ .
úÁÄÁÞÁ 14.23 (ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁ ÉÑ ëÜÌÉ). äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ K 7−→ (E −
K )(E + K )−1 ÚÁÄÁ£Ô ÂÉÅË ÉÀ ÍÅÖÄÕ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍÉ ÍÁÔÒÉ ÁÍÉ É ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÍÁÔÒÉ ÁÍÉ ÂÅÚ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ −1.
úÁÄÁÞÁ 14.24. äÌÑ k ÔÏÞÅË p1 ; p2 ; : : : ; pk Å×ËÌÉÄÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ
2
Dp1 ;p2 ;:::;pk ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÕÀ k × k ÍÁÔÒÉ Õ Ó dij = |p−→
i pj | , ÞÅÒÅÚ Cp1 ;p2 ;:::;pk | ÍÁÔÒÉ Õ ÒÁÚÍÅÒÁ (k + 1) × (k + 1), ÏÌÕÞÅÎÎÕÀ ÒÉÉÓÙ×ÁÎÉÅÍ Ë D Ó×ÅÒÈÕ É ÓÌÅ×Á
ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÔÒÏËÉ É ÅÄÉÎÉÞÎÏÇÏ ÓÔÏÌ Á É ÎÕÌÑ × ÌÅ×ÏÍ ×ÅÒÈÎÅÍ ÕÇÌÕ, Á ÞÅÒÅÚ
Gw1 ;w2 ;:::;wm | ÍÁÔÒÉ Õ çÒÁÍÁ ÎÁÂÏÒÁ ×ÅËÔÏÒÏ× wi . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ:
(−1)n+1
−→
−→ =
Á) det Gp−→
det Cp0 ;p1 ;:::;pn (ÒÁÚÍÅÒ Õ ÍÁÔÒÉ ÒÁÚÎÙÊ!)
2n
0 p1 ;p0 p2 ;··· ;p0 pn
Â) p0 ; p1 ; : : : ; pn ∈ Rn ÌÅÖÁÔ × ÏÄÎÏÊ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ ⇐⇒ det Cp0 ;p1 ;:::;pn = 0
×) p0 ; p1 ; : : : ; pn+1 ∈ Rn ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÓÆÅÒÅ ÉÌÉ × ÏÄÎÏÊ
ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ, ËÏÇÄÁ det Dp0 ;p1 ;:::;pn+1 = 0
Ç) ÓÉÍÌÅËÓ [p0 ; p1 ; : : : ; pn ℄ Ó ÒÅÄÉÓÁÎÎÙÍÉ ÄÌÉÎÁÍÉ ÓÔÏÒÏÎ `ij = |pi pj |ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ×ÓÅ ÇÌÁ×ÎÙÅ ÍÉÎÏÒÙ1 ÍÁÔÒÉ Ù `2ij ×ÓÅÈ
Ô. Å. ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÉ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÈ ÏÄÍÁÔÒÉ , ÇÌÁ×ÎÁÑ ÄÉÁÇÏÎÁÌØ ËÏÔÏÒÙÈ
ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù
1
258
úÁÄÁÞÉ Ë §14
ÏÒÑÄËÏ× 2 ⩽ r ⩽ (n + 1) ÏÔÌÉÞÎÙ ÏÔ ÎÕÌÑ É ÉÍÅÀÔ ÚÎÁË (−1)r−1
Ä) Ë×ÁÄÒÁÔ ÒÁÄÉÕÓÁ ÛÁÒÁ, ÏÉÓÁÎÎÏÇÏ ×ÏËÒÕÇ ÓÉÍÌÅËÓÁ [p0 ; p1 ; : : : ; pn ℄, ÒÁ×ÅÎ
R2 = −
1 det Dp0 ;p1 ;:::;pn
:
2 det Cp0 ;p1 ;:::;pn
úÁÄÁÞÁ 14.25 (ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ). äÌÑ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ e ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÄÌÉÎÙ ÏÔÏ-
ÂÒÁÖÅÎÉÅ e : v 7→ v − 2(v; e) e ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÒÁÖÅÎÉÅÍ × ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ e⊥ .
ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ, É ÏÉÛÉÔÅ ÅÇÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ É ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ.
úÁÄÁÞÁ 14.26. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÎÁ n-ÍÅÒÎÏÍ Å×ËÌÉ-
ÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ÎÅ ÂÏÌÅÅ n ÏÔÒÁÖÅÎÉÊ × ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÑÈ (ÓÍ. ÚÁÄ. 14.25) É ÞÔÏ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÔÏÇÄÁ É
ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ Þ£ÔÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÏÔÒÁÖÅÎÉÊ.
úÁÄÁÞÁ 14.27. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ v , É %v;' , ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÓÄ×ÉÇ ÎÁ ×ÅËÔÏÒ v ,
ÏÔÒÁÖÅÎÉÅ × ÌÏÓËÏÓÔÉ É Ï×ÏÒÏÔ ×ÏËÒÕÇ ÏÓÉ Ó ÎÁÒÁ×ÌÑÀÝÉÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ v
ÎÁ ÕÇÏÌ ' ÒÏÔÉ× þó, ÅÓÌÉ ÇÌÑÄÅÔØ ×ÄÏÌØ v. ÷ÙÑÓÎÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÎÁÉÓÁÎÎÙÈ
ÎÉÖÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ× ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù, É ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÔÁËÉÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ× ×ÙÒÁÚÉÔÅ ÁÒÁÍÅÔÒÙ
Ä×ÉÖÅÎÉÑ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ, ÞÅÒÅÚ ÁÒÁÍÅÔÒÙ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÉÚ ÌÅ×ÏÊ
Á) 1 ◦2 = %v;' Â) 1 ◦2 = v ×) ◦%u;' ◦ = %v; Ç) %u;' ◦%w; = v ◦%v;#
Ä) %u;' ◦ ◦%u;−' = 2 Å) %u;' ◦1 = 2 Ö) u2 ◦2 ◦u1 ◦1 = v ◦%v;' , ÇÄÅ ui k i .
úÁÄÁÞÁ 14.28. ÷ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÁÆÆÉÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å (ÎÁÄ ÌÀÂÙÍ ÏÌÅÍ) ÚÁÄÁ-
ÎÙ ÔÏÞËÉ p1 ; p2 ; : : : ; pk . ðÒÑÍÁÑ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÁÑ ÏÄÎÕ ÉÚ ÔÏÞÅË pi Ó (ÒÁ×ÎÏ×ÅÓÎÙÍ)
ÂÁÒÉ ÅÎÔÒÏÍ Ói ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÔÏÞÅË, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÅÄÉÁÎÏÊ . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÍÅ−
→
ÄÉÁÎÙ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ , É ÎÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ −
p→
i : i.
úÁÄÁÞÁ 14.29 (ÂÁÒÉ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÉÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ). ÷ n-ÍÅÒÎÏÍ ÁÆÆÉÎÎÏÍ ÒÏÓÔ-
ÒÁÎÓÔ×Å A ÚÁÄÁÎÙ (n + 1) ÔÏÞÅË a0 ; a1 ; : : : ; an , ÎÅ ÌÅÖÁÝÉÅ × ÏÄÎÏÊ ÁÆÆÉÎÎÏÊ
ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ËÁÖÄÏÍÕ ÎÁÂÏÒÕ ×ÅÓÏ×
(0 ; 1 ; : : : ; n ) Ó
P
X
i = 1
ÂÁÒÉ ÅÎÔÒÁ = i ai ÔÏÞÅË ai Ó ×ÅÓÁÍÉ i Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÅË ÉÅÊ ÍÅÖÄÕ ÔÁËÉÍÉ
ÎÁÂÏÒÁÍÉ ×ÅÓÏ× É ÔÏÞËÁÍÉ ∈ A. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ∈ R2 , ×ÅÓÁ ( ; ; )
ËÏÔÏÒÙÈ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÁÎÎÏÇÏ △ ABC ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ: Á) ; ; > 0
Â) ; > 0 ; < 0 ×) =
Ç) ; > 1=3 ; > 0 Ä) ⩾
Å) ⩾ ⩾
É ÎÁÉÛÉÔÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÁ ×ÅÓÁ, ÚÁÄÁÀÝÉÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ:
Ö) ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ △ ABC ÒÁÚÒÅÚÁÅÔÓÑ Ó×ÏÉÍÉ ÍÅÄÉÁÎÁÍÉ (ÉÈ ×ÓÅÇÏ 6)
Ú) ÇÏÍÏÔÅÔÉÞÎÙÅ △ ABC ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÅÇÏ ÅÎÔÒÁ ÔÑÖÅÓÔÉ Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ
3 É 1=3.
úÁÄÁÞÁ 14.30. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÙÕËÌÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ËÏÍÁËÔÁ ËÏÍÁËÔ.
úÁÄÁÞÁ 14.31 (ÔÅÏÒÅÍÁ èÅÌÌÉ). äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ×ÙÕËÌ-
ÙÈ ÆÉÇÕÒ K1 ; K2 ; : : : ; Km ⊂ Rn ÌÀÂÙÅ (n + 1) ÆÉÇÕÒ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÕÀ ÔÏÞËÕ, ×ÓÅ
259
úÁÄÁÞÉ Ë §14
É ×ÓÅ m ÆÉÇÕÒ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÕÀ ÔÏÞËÕ1 , Á ÔÁËÖÅ ÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÒÉÍÅÒÙ, ÏËÁÚÙ×ÁÀÝÉÅ, ÞÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ×ÙÕËÌÏÓÔÉ ÎÅÌØÚÑ ÏÔÂÒÏÓÉÔØ, Á ÞÉÓÌÏ n +1 ÎÅÌØÚÑ ÕÍÅÎØÛÉÔØ.
úÁÄÁÞÁ 14.32. ÷ÅÒÎÁ ÌÉ ÔÅÏÒÅÍÁ èÅÌÌÉ ÄÌÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ
Â) ÎÅ ËÏÍÁËÔÎÙÈ ×ÙÕËÌÙÈ ÆÉÇÕÒ?
Á) ËÏÍÁËÔÎÙÈ
úÁÄÁÞÁ 14.33. ðÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ × ÁÆÆÉÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å A ÎÁÄ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ
×ÅËÔÏÒÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ V ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ x ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (x) ⩾ , ÇÄÅ ∈ R, ∈ V ∗ . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÏËÒÙÔÉÅ ÁÆÆÉÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Rn ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÄÏËÒÙÔÉÅ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ
ÉÚ n + 1 ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×.
2
úÁÄÁÞÁ 14.34 (ÔÅÏÒÅÍÁ àÎÇÁ). äÏËÁÖÉÔÅ,
√ ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÌÏÓËÁÑ ËÌÑËÓÁ ÄÉÁÍÅÔÒÏÍ
⩽ 1 ÚÁËÒÙ×ÁÅÔÓÑ ÂÌÀÄ ÅÍ ÒÁÄÉÕÓÁ 1=
ÎÁ ËÌÑËÓÙ ÂÏÌØÛÉÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ.
3, É ÒÉÄÕÍÁÊÔÅ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÆÁËÔÁ
→
úÁÄÁÞÁ 14.35. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Å×ËÌÉÄÏ×Ï ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ %(p; q ) = |−
pq | ÎÁ Rn ËÁË ÆÕÎË ÉÀ
Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ % : Rn × Rn - R . äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÁ, É
ÅÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ %′ (p; q) : Rn × Rn - R × ÔÏÞËÅ (p; q) ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÊ
→
→
×ÅËÔÏÒ (−
v ;−
w ) Ï ÆÏÒÍÕÌÅ:
→
→
v ;−
w℄ =
%′ (p; q)[−
→
→
→
(−
pq ; −
w −−
v) −
→
w | os(') − |−
v | os( ) ;
= |→
%(p; q)
→
→
w É−
pq , Á
ÇÄÅ ' | ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ −
→
→
| ÍÅÖÄÕ −
v É−
pq .
ÏÄÉÎ ÉÚ ÓÏÓÏÂÏ× | ÉÎÄÕË ÉÑ Ï m, ÎÁÞÉÎÁÑ Ó m = n +2, ÎÏ ÂÕÄØÔÅ ×ÎÉÍÁÔÅÌØÎÙ: ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÞÔÏ ÎÅ ×ÓÅ (n +2) ÔÏÞËÉ, ÌÅÖÁÝÉÅ × ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑÈ ×ÓÅÈ ÓÏÞÅÔÁÎÉÊ ÉÚ (n +1) ÆÉÇÕÒ, ÓÌÕÖÁÔ
×ÅÒÛÉÎÁÍÉ Ó×ÏÅÊ ×ÙÕËÌÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÉ (× ÌÀÂÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÌÅÚÎÏ ÓÎÁÞÁÌÁ ÏÔÄÅÌØÎÏ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ
Ó n = 2; 3)
ÄÉÁÍÅÔÒÏÍ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÆÉÇÕÒÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÞÎÁÑ ×ÅÒÈÎÑÑ ÇÒÁÎØ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÊ ÍÅÖÄÕ
Å£ ÔÏÞËÁÍÉ
1
2
§15. çÒÕÙ
15.1. çÒÕÙ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ. íÏÄÅÌØÎÙÅ ÒÉÍÅÒÙ ÎÅÁÂÅÌÅ×ÙÈ ÇÒÕ |
ÜÔÏ ÇÒÕÙ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ. îÁÏÍÎÉÍ (ÓÍ. n◦ 1.6), ÞÔÏ ÎÅÕÓÔÏÊ ÎÁÂÏÒ G ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X × ÓÅÂÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X , ÅÓÌÉ ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÙÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ g ∈ G × G
ÌÅÖÉÔ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ Ë ÎÅÍÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ g−1, Á ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÙÍÉ Ä×ÕÍÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍÉ f; g ∈ G × G ÌÅÖÉÔ É ÉÈ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ fg. üÔÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÇÁÒÁÎÔÉÒÕÀÔ,
ÞÔÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ IdX ÔÏÖÅ ÌÅÖÉÔ × G, ÏÓËÏÌØËÕ IdX = g−1g
ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ g ∈ G .
åÓÌÉ ÇÒÕÁ G ËÏÎÅÞÎÁ, ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÎÅÊ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ |G| É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÇÒÕÙ G. äÌÑ ÕÒÏÝÅÎÉÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ ÍÙ ÉÛÅÍ gx ×ÍÅÓÔÏ g(x)
ÄÌÑ g ∈ G, x ∈ X .
15.1.1. ïÒÂÉÔÙ. óÏ ×ÓÑËÏÊ ÇÒÕÏÊ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ G ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X Ó×ÑÚÁÎÏ ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ x ∼G y ÎÁ X , ÏÚÎÁÞÁÀÝÅÅ, ÞÔÏ y = gx ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ
g ∈ G. éÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÇÒÕÙ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØÀ: ÏÎÏ ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ x = IdX x, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ y = gx ⇐⇒ x = g−1y, É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÉÚ y = gx É
z = hy ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ z = (hg)x.
ëÌÁÓÓ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ x ∈ X Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ∼G ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ Gx É
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
x ÏÄ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ G. ïÎ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË, ËÏÔÏÒÙÅ
ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÉÚ x, ÒÉÍÅÎÑÑ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÉÚ ÇÒÕÙ G. éÚ
ÏÂÝÉÈ Ó×ÏÊÓÔ× ËÌÁÓÓÏ× ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÒÂÉÔÙ Ä×ÕÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ
ÔÏÞÅË ÉÌÉ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÉÌÉ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ1. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÏÒÂÉÔ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X Ï ÄÅÊÓÔ×ÉÀ ÇÒÕÙ G É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ X=G .
15.1.2. ðÒÉÍÅÒ: ÄÌÉÎÁ ÏÒÂÉÔÙ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÇÒÕÙ. ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ×
ÏÒÂÉÔÅ (ÅÓÌÉ ÏÎÏ ËÏÎÅÞÎÏ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ Å£
. ÷ÓÅ ÏÒÂÉÔÙ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÇÒÕÙ
ÉÍÅÀÔ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÄÌÉÎÕ. þÔÏÂÙ Ó×ÑÚÁÔØ |Gx| Ó |G| ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÏÅ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ2
evx : G g7→gÈ-- Gx :
(15-1)
óÌÏÊ ÜÔÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÎÁÄ ÔÏÞËÏÊ x ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÔÏÞËÉ x.
ïÎ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ, ÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ x ÎÁ ÍÅÓÔÅ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
(15-2)
StabG(x) = {g ∈ G | gx = x}
ÇÒÕÏÊ ÒÅ-
ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ
ÏÒÑÄËÏÍ
ÏÒÂÉÔÏÊ
ÆÁËÔÏÒÏÍ
ÄÌÉÎÏÊ
ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒÏÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.1. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ StabG (x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÇÒÕÏÊ × ÇÒÕÅ G.
óÌÏÊ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ (15-1) ÎÁÄ ÌÀÂÏÊ ÄÒÕÇÏÊ ÔÏÞËÏÊ y ∈ Gx ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ
ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÈ x × y É ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÔÏÌØËÏ ÖÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÓËÏÌØËÏ
ÜÔÏ ÌÅÇËÏ Õ×ÉÄÅÔØ É ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ: ÅÓÌÉ gx = hy ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ g; h ∈ G, ÔÏ x = g− hy
É ∀ f ∈ G fx = fg− hy ∈ Gy, Ô. Å. Gx ⊂ Gy; ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ Gx ⊃ Gy ÓÌÅÄÕÅÔ
ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á y = h− gx
ÒÉ ÖÅÌÁÎÉÉ ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË €ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏŁÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ
1
1
1
1
2
260
261
15.1. çÒÕÙ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ
Stab(x), ÏÓËÏÌØËÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÌÅ×ÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ
×ÙÂÒÁÎÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ f : x 7→ y É ÎÁ ÏÂÒÁÔÎÏÅ Ë ÎÅÍÕ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ
f −1 : y 7→ x
Lf : {g ∈ G | gx = x}
= y}
g7→f g {g ∈ G | gx = x}
Lf : {h ∈ G | hx = y}
ÏÂÒÁÔÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ É, ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÂÉÅËÔÉ×ÎÙ. íÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ×ÁÖÎÙÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ.
g7→fg −1
{h ∈ G | hx
−1
ÅÏÒÅÍÁ 15.1 (ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ ÄÌÉÎÙ ÏÒÂÉÔÙ)
äÌÉÎÁ ÏÒÂÉÔÙ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÒÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÉ ÎÁ ÎÅ£ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÇÒÕÙ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ G ÒÁ×ÎÁ ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÏÒÑÄËÁ ÇÒÕÙ Ë ÏÒÑÄËÕ ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒÁ
ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ: |G(x)| = |G| : |StabG(x)| . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÄÌÉÎÙ ×ÓÅÈ ÏÒÂÉÔ É ÏÒÑÄËÉ
ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒÏ× ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÑÍÉ ÏÒÑÄËÁ ÇÒÕÙ.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 15.1
óÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒÙ ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË, ÌÅÖÁÝÉÈ × ÏÄÎÏÊ ÏÒÂÉÔÅ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÇÒÕÙ, ÉÍÅÀÔ
ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ ÏÒÑÄÏË.
ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ
ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ) ÇÒÕÙ G ⊂ Aut (X ) É ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ
ÔÏÞÅË x É y = f (x), ÌÅÖÁÝÉÈ × ÏÄÎÏÊ ÏÒÂÉÔÅ, ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ f
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.2 (ÓÏÒÑÖ£ÎÎÏÓÔØ ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒÏ×).
Adf : g 7−→ fgf −1
ÚÁÄÁ£Ô ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÇÒÕ 1 Adf : StabG (x)
- StabG (y ) .
∼
15.1.3. çÒÕÙ ÆÉÇÕÒ. äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÆÉÇÕÒÙ ⊂ R3 , ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ,
ÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅÍ ÎÁ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× R3 - R3, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÈ ÆÉÇÕÒÕ × ÓÅÂÑ, ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÇÒÕÕ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÆÉÇÕÒÙ . íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÜÔÕ ÇÒÕÕ
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ O . ðÏÄÇÒÕÕ SO ⊂ O, ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ, ÉÎÄÕ ÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁÍÉ R3 - R3, ÍÙ ÂÕÄÅÍ
ÎÁÚÙ×ÁÔØ
.
åÓÌÉ ÆÉÇÕÒÁ ⊂ R3 ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ⊂ R3, ÔÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÇÒÕÁ ÆÉÇÕÒÙ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÌÎÏÊ: ÂÅÒÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÀ ÌÀÂÏÇÏ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÉÚ ÇÒÕÙ ÆÉÇÕÒÙ Ó ÏÔÒÁÖÅÎÉÅÍ × ÌÏÓËÏÓÔÉ , ÍÙ
ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÆÉÇÕÒÕ ÔÏÞÎÏ ÔÁËÖÅ,
ËÁË É ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ Ä×ÉÖÅÎÉÅ.
-
ÏÌÎÏÊ ÇÒÕÏÊ ÆÉÇÕÒÙ
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÇÒÕÏÊ ÆÉÇÕÒÙ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.3. éÚÇÏÔÏ×ØÔÅ ÍÏÄÅÌÉ ÑÔÉ ÌÁÔÏÎÏ×ÙÈ ÔÅÌ | ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, ÏË-
ÔÁÜÄÒÁ, ËÕÂÁ, ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ É ÉËÏÓÁÜÄÒÁ (ÓÍ. ÒÉÓ. 15⋄4 { ÒÉÓ. 15⋄6 ÎÉÖÅ).
1
Ô. Å. ÂÉÅËÔÉ×ÎÏ É ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ËÏÍÏÚÉ ÉÀ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ × ËÏÍÏÚÉ ÉÀ ÉÈ ÏÂÒÁÚÏ×
262
§15. çÒÕÙ
15.1.4. ðÒÉÍÅÒ: ÇÒÕÙ ÄÉÜÄÒÏ×. çÒÕÁ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÌÏÓËÏÇÏ n-ÕÇÏÌØ-
ÎÉËÁ, ÌÅÖÁÝÅÇÏ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å R3 ÔÁË, ÞÔÏ ÅÇÏ ÅÎÔÒ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÎÕÌÅ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ Dn É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ n
.
ðÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ÄÉÜÄÒ |
| ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÒÉ n = 2. üÔÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ÌÕÎÏÞËÁ Ó Ä×ÕÍÑ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ, ÉÚÏÂÒÁÖ£ÎÎÁÑ ÎÁ ÒÉÓ. 15⋄1. çÒÕÕ D2 ÔÁËÏÊ
ÌÕÎÏÞËÉ1 ÉÎÁÞÅ ÍÏÖÎÏ ÏÉÓÁÔØ ËÁË
Ó ÇÒÕÕ ÏÉÓÁÎÎÏÇÏ ×ÏËÒÕÇ ÌÕÎÏÞËÉ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÁ ÉÌÉ ËÁË ÇÒÕÕ
×ÉÓÁÎÎÏÇÏ × ÎÅ£ ÒÏÍÂÁ, ÅÓÌÉ ÔÏÌØËÏ ÏÎÉ ÎÅ Ë×ÁÄÒÁÔÙ.
üÔÁ ÇÒÕÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ É ÔÒ£È Ï×ÏÒÏÔÏ× ÎÁ 180◦ ×ÏËÒÕÇ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÈ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ÏÓÅÊ, ÏÄÎÁ ÉÚ
⋄ çÒÕÁ Ä×ÕÕÇÏÌØÎÉËÁ D2 .
ËÏÔÏÒÙÈ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÙ
ÌÕÎÏÞËÉ, ÄÒÕÇÁÑ | ÞÅÒÅÚ ÓÅÒÅÄÉÎ٠ţ ÓÔÏÒÏÎ, Á ÔÒÅÔØÑ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÌÕÎÏÞËÉ É ÒÏÈÏÄÉÔ Å£ ÅÎÔÒ. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÌÀÂÏÅ ÎÅÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ
ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÄÉÜÄÒÁÌØÎÏÊ ÌÕÎÏÞËÉ ÄÏÌÖÎÏ ÍÅÎÑÔØ ÍÅÓÔÁÍÉ ÌÉÂÏ Å£ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÌÉÂÏ Å£ ×ÅÒÛÉÎÙ, ÌÉÂÏ ÔÏ É ÄÒÕÇÏÅ ÓÒÁÚÕ, Á ÒÏ×ÎÏ ÜÔÏ É ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÒÉ
ÔÒ£È ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ×ÙÛÅ Ï×ÏÒÏÔÁÈ.
-ÔÏÊ ÇÒÕÏÊ ÄÉÜÄÒÁ
Ä×ÕÕÇÏÌØÎÉË
òÉÓ. 15 1.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.4. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ D2 ≃ Z=(2) ⊕ Z=(2).
1
1
1
6
2
5
2
4
2
5
3
4
3
òÉÓ. 15⋄2.
3
ïÓÉ ÄÉÜÄÒÏ× ÄÌÑ n = 4; 5; 6.
4
äÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ n ⩾ 2 ÇÒÕÁ ÄÉÜÄÒÁ Dn ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ 2n Ä×ÉÖÅÎÉÊ: n
Ï×ÏÒÏÔÏ× ×ÏËÒÕÇ ÅÎÔÒÁ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÁ ÕÇÌÙ 2k=n Ó k = 0; 1; : : : ; (n − 1)
(ÒÉ k = 0 ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ) É n ÏÓÅ×ÙÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ
(Ô. Å. Ï×ÏÒÏÔÏ× ÎÁ 180◦ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å) ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÑÍÙÈ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÒÉ
ÎÅÞ£ÔÎÏÍ n ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ É ÓÅÒÅÄÉÎÕ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, Á ÒÉ Þ£ÔÎÏÍ
n | ÞÅÒÅÚ ÁÒÙ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ É ÞÅÒÅÚ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ
ÓÔÏÒÏÎ ( Í. ÒÉÓ. 15⋄2).
ÄÉÜÄÒÁÌØÎÁÑ ÇÒÕÁ D ÉÎÏÇÄÁ ÅÝ£ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÅÔ×ÅÒÔÎÏÊ ÇÒÕÏÊ ëÌÅÊÎÁ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ V
1
2
4
263
15.1. çÒÕÙ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ
÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, n ×ÅÒÛÉÎ ÄÉÜÄÒÁ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÏÄÎÕ ÏÒÂÉÔÕ ÜÔÏÊ ÇÒÕÙ, É ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒ ×ÅÒÛÉÎÙ ÓÏÓÔÏÉÔ ÒÏ×ÎÏ ÉÚ Ä×ÕÈ Ä×ÉÖÅÎÉÊ | ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ, ÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÇÏ Ä×Å ÓÏÓÅÄÎÉÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÎÁ ÍÅÓÔÅ, É ÏÓÅ×ÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ, ÍÅÎÑÀÝÅÊ ÉÈ
ÍÅÓÔÁÍÉ. ðÏ ÆÏÒÍÕÌÅ ÄÌÑ ÄÌÉÎÙ ÏÒÂÉÔÙ (ÔÅÏÒ. 15.1 ÎÁ ÓÔÒ. 261) |Dn| = 2n,
É ÚÎÁÞÉÔ, ÎÉËÁËÉÈ ÄÒÕÇÉÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ËÒÏÍÅ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ Ï×ÏÒÏÔÏ× É
ÏÔÒÁÖÅÎÉÊ × Dn ÎÅÔ.
îÁÒÉÍÅÒ,
D3 ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÛÅÓÔÉ Ä×ÉÖÅÎÉÊ: ÔÏÖÄÅ−1
ÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ, Ä×ÕÈ Ï×ÏÒÏÔÏ× , ÎÁ ±120◦ ×ÏËÒÕÇ ÅÎÔÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ É ÔÒ£È
ÏÓÅ×ÙÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÊ ij ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÅÇÏ ÍÅÄÉÁÎ
1
(ÓÍ. ÒÉÓ. 15⋄3).
åÓÌÉ ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÔØ ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ
ÞÉÓÌÁÍÉ 1, 2, 3 É ÓÏÏÓÔÁ×ÉÔØ ËÁÖÄÏÍÕ Ä×ÉÖÅσ
ÎÉÀ ÉÚ ÇÒÕÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÍÕÀ σ
τ
ÉÍ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ ×ÅÒÛÉÎ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
τ
D3 - S3 = Aut ({1; 2; 3}) :
(15-3)
3
ÉÚ ÇÒÕÙ D3 × ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÇÒÕÕ S3 . ðÏ- 2
σ
ÓËÏÌØËÕ ×ÅËÔÏÒÙ, ÉÄÕÝÉÅ ÉÚ ÅÎÔÒÁ ÔÒÅÕÇÏÌØ2
ÎÉËÁ × ×ÅÒÛÉÎÙ, ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄÁÀÔ R , ÏÅ⋄ çÒÕÁ
ÒÁÔÏÒ, ÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ×ÅÒÛÉÎÙ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÁ
ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ.
ÍÅÓÔÅ, ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ.
ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ (15-3) ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏ, Á ÔÁË ËÁË ÏÒÑÄÏË ÏÂÅÉÈ ÇÒÕ
ÒÁ×ÅÎ 6, ÏÎÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÅ Ï×ÏÒÏÔÙ ÎÁ ±120◦ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÀÔÓÑ Ó ÉËÌÉÞÅÓËÉÍÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ (2; 3; 1) , (3; 1; 2) , Á ÏÓÅ×ÙÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ | Ó ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÑÍÉ 23 = (1; 3; 2) , 13 = (3; 2; 1) , 12 = (2; 1; 3) .
ÇÒÕÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ
12
31
−1
⊂
23
òÉÓ. 15 3.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.5. óÏÓÔÁ×ØÔÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ÇÒÕ D3 , D4 É D5 , ÁÎÁÌÏ-
ÇÉÞÎÙÅ ÔÁÂÌÉ Å (1-25) ÎÁ ÓÔÒ. 16.
15.1.5. ðÒÉÍÅÒ: ÇÒÕÁ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ. ðÏÌÎÁÑ ÇÒÕÁ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÔÅÔÒÁ-
ÜÄÒÁ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÕÌÅ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ 24 = 4 · 6 Ä×ÉÖÅÎÉÊ, ÏÓËÏÌØËÕ 4 ×ÅÒÛÉÎÙ
ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÏÄÎÕ ÏÒÂÉÔÕ ÜÔÏÊ ÇÒÕÙ, Á ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒ ×ÅÒÛÉÎÙ ÅÓÔØ
ÛÅÓÔÉÜÌÅÍÅÎÔÎÁÑ ÇÒÕÁ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ (Á ÉÍÅÎÎÏ, ÒÏÔÉ×ÏÌÅÖÁÝÅÊ ÜÔÏÊ ×ÅÒÛÉÎÅ ÇÒÁÎÉ).
óÏÂÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÇÒÕÁ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ 12 = 4 · 3 Ä×ÉÖÅÎÉÊ: 4 ×ÅÒÛÉÎÙ
ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÏÄÎÕ ÏÒÂÉÔÕ É ÄÌÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÇÒÕÙ, ÎÏ ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒ ×ÅÒÛÉÎÙ ×
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÇÒÕÅ ÓÏÓÔÏÉÔ ×ÓÅÇÏ ÉÚ ÔÒ£È Ä×ÉÖÅÎÉÊ | ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ É Ä×ÕÈ
Ï×ÏÒÏÔÏ× ÎÁ ÕÇÌÙ ±120◦ ×ÏËÒÕÇ ÒÑÍÏÊ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ ×ÅÒÛÉÎÕ Ó ÅÎÔÒÏÍ
ÒÏÔÉ×ÏÌÅÖÁÝÅÊ ÇÒÁÎÉ (ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ × ÌÏÓËÏÓÔÑÈ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ
É ÏÓØ ÒÏÔÉ×ÏÌÅÖÁÝÅÊ ÇÒÁÎÉ, ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ).
ðÏÌÎÙÊ ÓÉÓÏË ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÔÁËÏ×: ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ, 4 · 2 = 8 Ï×ÏÒÏÔÏ× ÎÁ ÕÇÌÙ ±120◦ ×ÏËÒÕÇ ÒÑÍÙÈ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ×ÅÒÛÉÎÕ É ÅÎÔÒ
264
§15. çÒÕÙ
ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÊ ÇÒÁÎÉ, Á ÔÁËÖÅ 3 Ï×ÏÒÏÔÁ ÎÁ 180◦ ×ÏËÒÕÇ ÒÑÍÙÈ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ Ò£ÂÅÒ (ÓÍ. ÒÉÓ. 15⋄4).
÷ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÇÒÕÅ, ÏÍÉÍÏ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ Ï×ÏÒÏÔÏ×, ÉÍÅÅÔÓÑ 6 ÏÔÒÁÖÅÎÉÊ × ÌÏÓËÏÓÔÑÈ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÒÅÂÒÏ É ÓÅÒÅÄÉÎÕ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÇÏ
Ë ÎÅÍÕ ÒÅÂÒÁ. þÔÏÂÙ ÏÉÓÁÔØ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ 6 ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ, ÚÁÎÕÍÅÒÕÅÍ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎÙ ÞÉÓÌÁÍÉ
1
1, 2, 3, 4 É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÌÏÖÅÎÉÅ ÏÌÎÏÊ ÇÒÕÙ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ × ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÇÒÕÕ S4, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ Ä×ÉÖÅÎÉÀ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÍÕÀ ÉÍ σ σ
ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ ×ÅÒÛÉÎ. ëÁË É ÄÌÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÜÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÉÎßÅËÔÉ×3
ÎÏ1.
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ij ÏÔÒÁÖÅÎÉÅ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ × ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ
ÓÅÒÅÄÉÎÕ ÒÅÂÒÁ [i; j ℄ É ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖ- 2
σ
ÎÏÅ ÒÅÂÒÏ. ûÅÓÔØ ÏÔÒÁÖÅÎÉÊ ij ÅÒÅÈÏÄÑÔ × ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÉ ÂÕË× i É j . ðÏ×ÏÒÏÔÙ ÎÁ ±120◦, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ ÓÏ4
ÂÏÊ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ij jk Ó
⋄ ðÌÏÓËÏÓÔØ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ 34
ÏÁÒÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ i , j , k, ÅÒÅÈÏÄÑÔ
É ÏÓØ Ï×ÏÒÏÔÁ ÎÁ 180◦
× ÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÂÕË× i , j ,
(ÒÁ×ÎÏÇÏ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ 12 34 ).
k. ÒÉ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÎÁ ±180◦ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÅÊ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ Ò£ÂÅÒ, ÜÔÏ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÅ
ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÉ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÁÒ ÂÕË×:
12 34 = (2; 1 ; 4; 3) ; 13 24 = (3; 4 ; 1; 2) ; 14 23 = (4; 3 ; 2; 1) :
12 34
34
òÉÓ. 15 4.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.6. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÔÒÉ Ï×ÏÒÏÔÁ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÔÏÖÄÅ-
ÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÞÅÔ×ÅÒÔÎÕÀ ÇÒÕÕ ëÌÅÊÎÁ V4 = D2 = Z=(2) ⊕ Z=(2).
÷ ÉÔÏÇÅ, €ÎÅÄÏÓÔÁÀÝÉŁ ÛÅÓÔØ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÄÏÌÖÎÙ ÏÔ×ÅÞÁÔØ ÛÅÓÔÉ ÉËÌÉÞÅÓËÉÍ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍ ×ÅÒÛÉÎ:
|1234i ; |1243i ; |1324i ; |1342i ; |1423i ; |1432i :
çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÏÎÉ ÒÅÁÌÉÚÕÀÔÓÑ Ï×ÏÒÏÔÁÍÉ ÎÁ ±90◦ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÑÍÙÈ,
ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ Ò£ÂÅÒ Ó ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÔÒÁÖÅÎÉÅÍ × ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ É ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÊ ÏÓÉ
Ï×ÏÒÏÔÁ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.7. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ÜÔÉ 6 Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÞÅÒÅÚ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ × ÌÏÓËÏÓÔÑÈ.
×ÅËÔÏÒÙ, ÉÄÕÝÉÅ ÉÚ ÅÎÔÒÁ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ × ×ÅÒÛÉÎÙ, ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄÁÀÔ R ). ðÏÓËÏÌØËÕ
|S | = 24, ÜÔÏ ×ÌÏÖÅÎÉÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ
1
4
3
265
15.2. áÂÓÔÒÁËÔÎÙÅ ÇÒÕÙ
15.1.6. ðÒÉÍÅÒ: ÏÌÎÁÑ É ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÇÒÕÙ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ. óÏÂÓÔ×ÅÎ-
ÎÁÑ ÇÒÕÁ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ (ÓÍ. ÒÉÓ. 15⋄5) ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ 6 · 4 = 24 Ï×ÏÒÏÔÏ× ÎÁ ÕÇÌÙ
2k=5 (ÇÄÅ k = 1; 2; 3; 4) ×ÏËÒÕÇ ÏÓÅÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒÙ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ, 10 · 2 = 20 Ï×ÏÒÏÔÏ× ÎÁ ÕÇÌÙ ±2=3 ×ÏËÒÕÇ ÏÓÅÊ,
ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ, 15 Ï×ÏÒÏÔÏ× ÎÁ 180◦ ×ÏËÒÕÇ
ÏÓÅÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ Ò£ÂÅÒ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ, É ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. ÷ ÏÌÎÏÊ ÇÒÕÅ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ ÏÍÉÍÏ ÜÔÉÈ 60
Ä×ÉÖÅÎÉÊ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ ÉÈ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ Ó ÅÎÔÒÁÌØÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÅÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ
ÅÎÔÒÁ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ.
òÉÓ. 15⋄5.
äÏÄÅËÁÜÄÒ.
òÉÓ. 15⋄6.
éËÏÓÁÜÄÒ.
õÂÅÄÉÔØÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÜÔÉÍÉ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÇÒÕÙ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÀÔÓÑ, ÍÏÖÎÏ ÒÏ×ÎÏ ÔÁË ÖÅ, ËÁË É ×ÙÛÅ | ×ÙÞÉÓÌÉ× ÏÒÑÄËÉ ÏÂÅÉÈ ÇÒÕ
Ï ÆÏÒÍÕÌÅ ÄÌÑ ÄÌÉÎÙ ÏÒÂÉÔÙ. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÎÔÒÙ ÇÒÁÎÅÊ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÏÄÎÕ ÏÒÂÉÔÕ ÄÌÉÎÙ 12. óÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒ ÅÎÔÒÁ ÇÒÁÎÉ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ Ä×ÉÖÅÎÉÊ, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÈ ÜÔÕ ÇÒÁÎØ × ÓÅÂÑ. ÷ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÇÒÕÅ ÏÎ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ
10 Ä×ÉÖÅÎÉÊ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÇÒÕÕ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ | ÑÔÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ Ï×ÏÒÏÔÏ× ×ÏËÒÕÇ ÒÑÍÏÊ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÊ ÅÎÔÒ ÇÒÁÎÉ Ó ÅÎÔÒÏÍ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ, É
ÑÔÉ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÔÒÁÖÅÎÉÊ × ÌÏÓËÏÓÔÑÈ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÏÓØ ÇÒÁÎÉ É
ÅÎÔÒ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ × ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÇÒÕÅ ÏÒÑÄÏË ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒÁ ÇÒÁÎÉ ÒÁ×ÅÎ 5. éÔÁË, ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÇÒÕÁ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ 12 · 5 = 60,
Á ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÁÑ | ÉÚ 12 · 10 = 60 Ä×ÉÖÅÎÉÊ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.8. ðÏËÁÖÉÔÅ ÞÔÏ ÏÌÎÙÅ ÇÒÕÙ ËÕÂÁ (ÓÍ. ÒÉÓ. 15⋄7), ÏËÔÁÜÄÒÁ
(ÓÍ. ÒÉÓ. 15⋄8) É ÉËÏÓÁÜÄÒÁ (ÓÍ. ÒÉÓ. 15⋄6) ÓÏÓÔÏÑÔ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÚ 48, 48 É
120 Ä×ÉÖÅÎÉÊ, Á ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ | ÉÚ 24, 24 É 60.
íÎÏÖÅÓÔ×Ï G, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÚÁÄÁÎÁ ÏÅÒÁ ÉÑ
G×G
, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÁÑ ËÁÖÄÏÊ ÁÒÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× (g1; g2) ∈
G × G ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ g1 g2 ∈ G, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ
15.2. áÂÓÔÒÁËÔÎÙÅ ÇÒÕÙ.
ËÏÍÏÚÉ ÉÉ
- G
ÇÒÕÏÊ
266
§15. çÒÕÙ
ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÔÒÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á:
:
∀ f; g; h ∈ G (fg )h = f (gh)
(15-4)
∃ e ∈ G : ∀ g ∈ G eg = ge = g
(15-5)
:
−1
−1
−1
:
∀ g ∈ G ∃ g ∈ G : gg = g g = e
(15-6)
çÒÕÁ, × ËÏÔÏÒÏÊ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï
∀ f; g ∈ G fg = gf
(15-7)
:
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(ÉÌÉ
). ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÇÒÕÅ G
(ÅÓÌÉ ÏÎÏ ËÏÎÅÞÎÏ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÇÒÕÙ G É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ |G| .
ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔØ
ÎÁÌÉÞÉÅ ÅÄÉÎÉ Ù
ÎÁÌÉÞÉÅ ÏÂÒÁÔÎÙÈ
ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔØ
ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ
ÁÂÅÌÅ×ÏÊ
ÏÒÑÄËÏÍ
òÉÓ. 15⋄7.
ëÕÂ.
òÉÓ. 15⋄8.
ïËÔÁÜÄÒ.
15.2.1. ëÏÍÍÅÎÔÁÒÉÉ Ë ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ. üÌÅÍÅÎÔ e, ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ËÏÔÏÒÏ-
ÇÏ ÏÓÔÕÌÉÒÕÅÔÓÑ × (15-5), Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÅÎ, ÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ
Ä×ÕÈ ÔÁËÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× e′ É e′′ ÉÍÅÅÍ e′ = e′e′′ = e′′.
ó×ÏÊÓÔ×Ï (15-6) ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÏÓÌÁÂÉÔØ ÄÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÎÉÑ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÄÌÑ
ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ g ∈ G ÌÅ×ÏÇÏ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ f : fg = e É ÒÁ×ÏÇÏ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ
h: gh = e, ÎÅ ÔÒÅÂÕÑ, ÞÔÏÂÙ ÏÎÉ ÓÏ×ÁÄÁÌÉ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï f =
h ÂÕÄÅÔ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ, ÏÓËÏÌØËÕ f = fe = f (gh) = (fg)h =
eh = h . üÔÏ ÖÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ g−1 = f = h
ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï g ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ. íÉÎÉÍÉÚÉÒÏ×ÁÔØ ÕÓÌÏ×ÉÑ, ÏÒÅÄÅÌÑÀÝÉÅ ÇÒÕÕ
ÍÏÖÎÏ É ÄÁÌØÛÅ:
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.9. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ × ÕÓÌÏ×ÉÉ (15-5) ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÔÒÅÂÏ×ÁÔØ ÓÕÝÅ-
ÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÏÄÎÏÊ ÔÏÌØËÏ ÌÅ×ÏÊ ÅÄÉÎÉ Ù (Ô. Å. ÔÁËÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ e, ÞÔÏ ∀ g ∈ G
eg = g), Á × ÕÓÌÏ×ÉÉ (15-6) | ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÏÄÎÏÇÏ ÔÏÌØËÏ ÌÅ×ÏÇÏ ÏÂÒÁÔÎÏÇÏ.
15.2.2. ðÏÄÇÒÕÙ. ðÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï H ⊂ G × ÇÒÕÅ G ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÇÒÕÕ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÅÒÁ ÉÉ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ, ÉÍÅÀÝÅÊÓÑ
× G. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ h ∈ H ⇒ h−1 ∈ H É h1; h2 ∈ H ⇒ h1h2 ∈ H . ðÒÉ ÜÔÏÍ
ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ e ∈ G Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÏËÁÖÅÔÓÑ × H , ÔÁË ËÁË e = hh−1 ÄÌÑ
ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ h ∈ H , É ×ÓÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á (15-4){(15-6) ÏÞÅ×ÉÄÎÏ ÂÕÄÕÔ ×ÙÏÌÎÅÎÙ.
ÏÄÇÒÕ-
ÏÊ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.10. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÊ ÇÒÕÅ G
267
15.2. áÂÓÔÒÁËÔÎÙÅ ÇÒÕÙ
Á) (g1 g2 · · · gk )−1 = gk−1 · · · g2−1 g1−1
Â) ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÄÇÒÕ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÇÒÕÏÊ
×) H ⊂ G ÏÄÇÒÕÁ ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ h1 ; h2 ∈ H ⇒ h1 h−2 1 ∈ H .
15.2.3. ðÒÉÍÅÒ: ÉËÌÉÞÅÓËÉÅ ÇÒÕÙ É ÏÄÇÒÕÙ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ g ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÇÒÕÙ G ÏÌÏÖÉÍ g0 = e É g−n = (g−1)n. ÏÇÄÁ ×ÓÅ ÅÌÙÅ ÓÔÅÅÎÉ gm ÓÏÓÔÁ×ÑÔ × G ÏÄÇÒÕÕ, ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÊ g É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ hgi . üÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÁÑ Ï ×ËÌÀÞÅÎÉÀ
ÏÄÇÒÕÁ × G, ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ g . ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÁÂÅÌÅ×Á É, ÂÕÄÕÞÉ ÁÂÅÌÅ×ÏÊ
ÇÒÕÏÊ Ó ÏÄÎÏÊ ÏÂÒÁÚÕÀÝÅÊ, ÇÒÕÁ hgi ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÌÉÂÏ Z, ÌÉÂÏ Z=(n).
÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, hgi Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÏÍ ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ
'g : Z - G ;
ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÏÄ-
ÇÒÕÏÊ
ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÇÏ m × gm. åÓÌÉ ker 'g = 0, ÔÏ 'g : Z ∼- hgi Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ g ÉÍÅÅÔ
É ÉÛÕÔ
ord g = ∞. åÓÌÉ ker 'g 6= 0, ÔÏ ker 'g = (n), ÇÄÅ n ∈ N | ÎÁÉÍÅÎØÛÁÑ ÓÔÅÅÎØ,
ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ gn = e , É hgi = im 'g = Z=(n) . ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ
ÜÌÅÍÅÎÔÁ g ÒÁ×ÅÎ n É ÉÛÕÔ ord (g) = n.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
ÜÌÅÍÅÎÔÁ g ÍÏÖÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÌÉÂÏ ËÁË ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ n ∈ N, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ gn = e, ÌÉÂÏ ËÁË ÏÒÑÄÏË |hgi|
× ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÊ G.
çÒÕÁ G ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ × ÎÅÊ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔ g ∈ G
ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÇÒÕÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÅÇÏ ÅÌÙÍÉ ÓÔÅÅÎÑÍÉ, Ô. Å. G = hgi.
üÌÅÍÅÎÔ g ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ
ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ G.
îÁÒÉÍÅÒ, ÁÄÄÉÔÉ×ÎÁÑ ÇÒÕÁ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ Z Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ, É ×
ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÂÒÁÚÕÀÝÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÌÀÂÏÊ ÉÚ Ä×ÕÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ±1 .
áÄÄÉÔÉ×ÎÁÑ ÇÒÕÁ ×ÙÞÅÔÏ× Z=(10) ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ, É × ËÁÞÅÓÔ×Å
Å£ ÏÂÒÁÚÕÀÝÅÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÌÀÂÏÊ ÉÚ ÞÅÔÙÒ£È ËÌÁÓÓÏ× [±1℄6, [±3℄6
(ÏÂÒÁÔÉÔÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ 6 ËÌÁÓÓÏ× ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍÉ).
ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÊ ÏÒÑÄÏË
ÏÒÑÄÏË
ÏÒÑÄÏË
ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ
ÏÂÒÁÚÕÀÝÅÊ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.11. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÁÑ ÇÒÕÁ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ×ÙÞÅ-
ÔÏ× Ï ÍÏÄÕÌÀ 7 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ É ÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ×ÓŠţ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ.
ìÅÍÍÁ 15.1
üÌÅÍÅÎÔ h = gk ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÕÀÝÅÊ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ G = hgi ÏÒÑÄËÁ n, ËÏÇÄÁ ÎÏÄ(k; n) = 1 .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏÓËÏÌØËÕ hhi ⊂ hg i , ÓÏ×ÁÄÅÎÉÅ hhi ⊂ hg i ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ,
ÞÔÏ ord h ⩾ n. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï hm = gmk = e ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ mk ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ n . ðÒÉ
ÎÏÄ(n; k ) = 1 ÜÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ÒÉ m ÄÅÌÑÝÅÍÓÑ ÎÁ n, ÔÁË ÞÔÏ × ÜÔÏÍ
ÓÌÕÞÁÅ ord h ⩾ n . åÓÌÉ ÖÅ n = n1d É k = k1d Ó d > 1, ÔÏ hn = gkn = gnk = e,
Ô. Å. ord h ⩽ n1 < n .
1
1
1
268
§15. çÒÕÙ
15.2.4. ðÒÉÍÅÒ: ÉËÌÙ × ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÅ Sn. ðÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ
∈ Sn ;
Ï ËÒÕÇÕ ÅÒÅ×ÏÄÑÝÁÑ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ ËÁËÉÅ-ÎÉÂÕÄØ m ⩾ 2 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×1
i1 → i2 → · · · → im−1 → im → i1
(15-8)
É ÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÁÑ ÎÁ ÍÅÓÔÅ ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÄÌÉÎÙ m.
ÉËÌÏÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.12. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ k -ÔÁÑ ÓÔÅÅÎØ
ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÎÏÄ(k; m) = 1 .
ÉËÌÁ ÄÌÉÎÙ m Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉËÌÏÍ
ãÉËÌ (15-8) ÞÁÓÔÏ ÂÙ×ÁÅÔ ÕÄÏÂÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ
= |i1 ; i2 ; : : : ; im i ;
(15-9)
ÎÅ ÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÔÏ, ÞÔÏ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÉËÌ (15-8) ÉÍÅÅÔ m
ÚÁÉÓÅÊ
(15-9), ÏÌÕÞÁÀÝÉÈÓÑ ÄÒÕÇ ÉÚ ÄÒÕÇÁ ÉËÌÉÞÅÓËÉÍÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×.
ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.13. óËÏÌØËÏ ÉÍÅÅÔÓÑ × Sn ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ
ÉËÌÏ× ÄÌÉÎÙ k ?
ÅÏÒÅÍÁ 15.2
ëÁÖÄÁÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ g ∈ Sn Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÉËÌÏ×:
(15-10)
g = 1 2 · · · k :
ìÀÂÙÅ Ä×Á ÉËÌÁ ÜÔÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙ: ij = j i, É ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ
(15-10) ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÉËÌÏ× ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. íÎÏÖÅÓÔ×Ï X = {1; 2; : : : ; n} Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÉÚßÀÎËÔÎÙÍ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ÏÒÂÉÔ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ hgi. ëÁÖÄÁÑ ÏÒÂÉÔÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
g
g
g
g
g(x) 7−→
g2 (x) 7−→
g3 (x) 7−→
···
(15-11)
x 7−→
É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉËÌÏÍ: ÏÓËÏÌØËÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ËÏÎÅÞÎÏ, × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ
(15-11) ÂÕÄÕÔ Ï×ÔÏÒÅÎÉÑ, Á ÔÁË ËÁË g ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÒÁÚÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ × ÒÁÚÎÙÅ,
ÅÒ×ÙÍ ÉÚ Ï×ÔÏÒÉ×ÛÉÈÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÎÎÏ ÓÔÁÒÔÏ×ÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ x . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ g ÉËÌÉÞÅÓËÉ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÈ ËÁÖÄÏÊ ÏÒÂÉÔÙ ÇÒÕÙ hgi, Ô. Å. Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÉËÌÏ×. îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ g Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÉËÌÏ×
(15-10), ÔÏ ÜÔÉ ÉËÌÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÒÂÉÔÁÍÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ hgi ÎÁ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Å X . îÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÉËÌÙ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙ.
ÉËÌÁ 1 ; 2 ∈ Sn ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙ ÒÏ×ÎÏ
× Ä×ÕÈ ÓÌÕÞÁÑÈ: ÌÉÂÏ ËÏÇÄÁ ÏÎÉ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ, ÌÉÂÏ ËÏÇÄÁ 2 = 1s , ÒÉÞ£Í ×
ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÂÁ ÉËÌÁ ÉÍÅÀÔ ÒÁ×ÎÕÀ ÄÌÉÎÕ, ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÕÀ Ó s .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.14. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ä×Á
1
ÞÉÓÌÁ i ; i ; : : : ; im ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÌÀÂÙÍÉ, ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÏÓÅÄÎÉÍÉ ÉÌÉ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÍÉ
1
2
269
15.3. çÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÙ
15.2.5. ãÉËÌÏ×ÏÊ ÔÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ. îÁÉÓÁÎÎÙÊ × ÏÒÑÄËÅ ÎÅÓÔÒÏÇÏÇÏ
ÕÂÙ×ÁÎÉÑ ÎÁÂÏÒ ÄÌÉÎ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÉËÌÏ×, × ËÏÔÏÒÙÅ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ g ∈ Sn (×ËÌÀÞÁÑ ÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ ÏÄÉÎ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ, ËÏÔÏÒÙÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ g ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÁ ÍÅÓÔÅ), ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ n-ËÌÅÔÏÞÎÕÀ
ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ àÎÇÁ. üÔÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(ÉÌÉ
) ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ g É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ (g) .
îÁÒÉÍÅÒ, ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ
1634
g = (6; 5; 4; 1; 8; 3; 9; 2; 7) = |1; 6; 3; 4i|2; 5; 8i|7; 9i = 2 5 8
79
ÉÍÅÅÔ ÉËÌÏ×ÏÊ ÔÉ
, Ô. Å. (6; 5; 4; 1; 8; 3; 9; 2; 7) = (4; 3; 2) . åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÉËÌÏ×ÏÇÏ ÔÉÁ = (1; 1; : : : ; 1) (ÏÄÉÎ ÓÔÏÌÂÅ ×ÙÓÏÔÙ n)
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ Id. äÉÁÇÒÁÍÍÕ = (n) (ÏÄÎÁ ÓÔÒÏËÁ
ÄÌÉÎÙ n) ÉÍÅÀÔ (n − 1)! ÉËÌÏ× ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ ÄÌÉÎÙ n.
ÉËÌÏ×ÙÍ ÔÉÏÍ
ÍÏÊ
ÄÉÁÇÒÁÍ-
ÉËÌÏ×
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.15. óËÏÌØËÏ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË × ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÅ Sn ÉÍÅÀÔ
ÚÁÄÁÎÎÙÊ ÉËÌÏ×ÏÊ ÔÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ i = 1; 2; : : : ; n mi ÉËÌÏ×
ÄÌÉÎÙ i ?
15.2.6. ðÒÉÍÅÒ: ÏÒÑÄÏË É ÚÎÁË ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ. ðÏÒÑÄÏË ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ
g ∈ Sn ÒÁ×ÅÎ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÍÕ ÏÂÝÅÍÕ ËÒÁÔÎÏÍÕ ÄÌÉÎ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ
ÉËÌÏ×,
ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÎÁ ÓÏÓÔÏÉÔ. îÁÒÉÍÅÒ, ÏÒÑÄÏË ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ
(3; 12; 7; 9; 10; 4; 11; 1; 6; 2; 8; 5) = |1; 3; 7; 11; 8i|2; 12; 5; 10i|4; 9; 6i ∈ S12
ÒÁ×ÅÎ 5 · 4 · 3 = 60. ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË × ×ÉÄÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÉËÌÏ× ÕÒÏÝÁÅÔ ÍÎÏÇÉÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ. îÁÒÉÍÅÒ, ÉÚ ÒÁ×ÉÌÁ ÎÉÔÏÞÅË
(ÓÍ. n◦ 10.2.1) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÚÎÁË ÉËÌÁ ÄÌÉÎÙ ` ÒÁ×ÅÎ (−1)`−1. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ Þ£ÔÎÁ , ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ Þ£ÔÎÏ ÞÉÓÌÏ Å£ ÉËÌÏ× Þ£ÔÎÏÊ ÄÌÉÎÙ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.16. îÁÊÄÉÔÅ Þ£ÔÎÏÓÔØ g = (6; 5; 4; 1; 8; 3; 9; 2; 7) ∈ S9 É ×ÙÞÉ-
ÓÌÉÔÅ g15 .
ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÇÒÕ ' : G1 - G2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ËÏÍÏÚÉ ÉÀ × ËÏÍÏÚÉ ÉÀ, Ô. Å. ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ
g; h ∈ G1 × ÇÒÕÅ G2 ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ '(gh) = '(g)'(h).
15.3. çÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÙ.
ÇÏ-
ÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.17. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ.
ÅÒÍÉÎÙ
,
É
ÒÉÍÅÎÉÔÅÌØÎÏ Ë ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ ÇÒÕ ÄÁÌÅÅ Ï ÕÍÏÌÞÁÎÉÀ ÂÕÄÕÔ ÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÇÒÕ.
îÁÍ ÕÖÅ ×ÓÔÒÅÞÁÌÏÓØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÇÒÕ. îÁÒÉÍÅÒ, ÇÒÕÁ
ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÅ S3, Á ÏÌÎÁÑ ÇÒÕÁ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÅ S4 (ÏÂÁ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ
Ä×ÉÖÅÎÉÀ ÆÉÇÕÒÙ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÍÕÀ ÉÍ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ ×ÅÒÛÉÎ).
ÜÉÍÏÒÆÉÚÍ
ÍÏÎÏÍÏÒÆÉÚÍ
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ
ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ
270
§15. çÒÕÙ
15.3.1. ðÒÉÍÅÒ: ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÇÒÕÙ ËÕÂÁ Ó S4. úÁÎÕÍÅÒÕ-
ÅÍ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ËÕÂÁ ÉÆÒÁÍÉ 1, 2, 3, 4 (ÎÁ ÒÉÓ. 15⋄9 ÏÎÉ ÒÏÓÔÁ×ÌÅÎÙ ÎÁ ËÏÎ ÁÈ
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ) É ÓÏÏÓÔÁ×ÉÍ ËÁÖÄÏÍÕ ×ÒÁÝÅÎÉÀ ËÕÂÁ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÍÕÀ ÉÍ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ ÄÉÁÇÏÎÁÌÅÊ. ðÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ
∼
- S4 :
(15-12)
ËÕÂ : SOËÕÂ
,8
ÅÒÅ×ÏÄÉÔ 6 Ï×ÏÒÏÔÏ× ÎÁ ±90◦ × 6 ÉËÌÏ× ÄÌÉÎÙ 4 ÉËÌÏ×ÏÇÏ ÔÉÁ
◦
Ï×ÏÒÏÔÏ× ÎÁ ±120 | × 8 ÉËÌÏ× ÄÌÉ2
3
ÎÙ 3 ÉËÌÏ×ÏÇÏ ÔÉÁ
, 3 Ï×ÏÒÏ- 1
4
◦
ÔÁ ÎÁ ±180 ×ÏËÒÕÇ ÏÓÅÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ
ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒÙ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ, | × 3 ÁÒÙ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ ÉËÌÏ×ÏÇÏ ÔÉÁ , Á 6 Ï×ÏÒÏÔÏ× ÎÁ 180◦ ×ÏËÒÕÇ ÏÓÅÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ
ÞÅÒÅÚ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ Ò£ÂÅÒ, | × 6 ÒÏÓÔÙÈ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ ÉËÌÏ×ÏÇÏ ÔÉÁ . ÁË ËÁË ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÁÑ
4
1
ÇÒÕÁ ËÕÂÁ Ï ÕÒ. 15.8 ÉÓÞÅÒÙ×ÁÅÔ2
ÓÑ ÜÔÉÍÉ 24 Ï×ÏÒÏÔÁÍÉ, Á S4 | Å- 3
⋄ 4 ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ É 3 ÁÒÙ
ÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÍÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ, ÇÏÍÏÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ ËÕÂÁ.
ÍÏÒÆÉÚÍ (15-12) ÂÉÅËÔÉ×ÅÎ.
15.3.2. ó×ÏÊÓÔ×Á ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×. ìÀÂÏÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÇÒÕ
' : G1 - G2
ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÅÄÉÎÉ Õ e1 ÇÒÕÙ G1 × ÅÄÉÎÉ Õ e2 ÇÒÕÙ G2. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ,
' (e1 ) ' (e1 ) = ' (e1 e1 ) = ' (e1 )
É, ÕÍÎÏÖÁÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÎÁ ' (e1)−1 ∈ G2, ÏÌÕÞÁÅÍ ' (e1) = e2.
äÁÌÅÅ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ g ∈ G ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ' (g−1) = '(g)−1, ÏÓËÏÌØËÕ
' g−1 '(g) = ' g−1 g = ' (e1 ) = e2 :
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÂÒÁÚ ÌÀÂÏÇÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ G1 - G2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
× ÇÒÕÅ G2 .
ðÏÌÎÙÊ ÒÏÏÂÒÁÚ ÅÄÉÎÉ Ù e2 ∈ G2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ' É
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
ker ' def
= '−1 (e2) = {g ∈ G1 | '(g1) = e2 } :
ñÄÒÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÇÒÕÏÊ × G1, ÏÓËÏÌØËÕ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ× '(g) = e2 É '(h) = e2
×ÙÔÅËÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï '(gh) = '(g)'(h) = e2e2 = e2, Á ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á '(g) = e2 |
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï '(g−1) = '(g)−1 = e−2 1 = e2 .
′
′
′
′
òÉÓ. 15 9.
ÏÄÇÒÕÏÊ
ÑÄÒÏÍ
271
15.3. çÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÙ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 15.1
ëÁÖÄÙÊ ÎÅÕÓÔÏÊ ÓÌÏÊ ÌÀÂÏÇÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÇÒÕ ' : G1 - G2 ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ
×Ï ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÑÄÒÏÍ ÜÔÏÇÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ '(g1 ) = g2 . åÓÌÉ h ∈ ker ', Ô. Å. '(h) = e2 , ÔÏ '(g1 h) =
'(g1 )'(h) = g2 . ðÏÜÔÏÍÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÌÅ×ÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ g1 : h 7→ g1 h ÅÒÅ×ÏÄÉÔ
ker
' × ÓÌÏÊ '−1 (g2 ) . îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ g ∈ '−1 (g2 ) , Ô. Å. '(g) = g2 , ÔÏ
'(g1−1 g) = '(g1 )−1 '(g) = e2 , É ÚÎÁÞÉÔ, ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÌÅ×ÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ g1−1 :
g 7→ g1−1 g ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÓÌÏÊ ' ÎÁÄ g2 × ker ' . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÉÍÅÅÍ Ä×Á ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ1
h֌g h - −1
'−1 (e2 ) ' (g2 ) ;
g g֋g
ËÏÔÏÒÙÅ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÂÒÁÔÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ. ðÏ ÒÅÄÌ. 1.4 ÏÂÁ ÏÎÉ ÂÉÅËÔÉ×ÎÙ. 1
−1
1
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 15.2
äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÇÒÕ G1 '- G2 ÂÙÌ ÉÎßÅËÔÉ×ÅÎ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ
É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÅÇÏ ÑÄÒÏ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÌÏÓØ ÅÄÉÎÉÞÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 15.3
äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÇÒÕ G1 '- G2 ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
|im(')| = |G1 |=| ker(')| :
(15-13)
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÒÑÄÏË ÑÄÒÁ É ÏÒÑÄÏË ÏÂÒÁÚÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÑÍÉ ÏÒÑÄËÁ
ÇÒÕÙ |G1|.
15.3.3. ðÒÉÍÅÒ: ÜÉÍÏÒÆÉÚÍ S4 -- S3. úÁÎÕÍÅÒÕÅÍ ÔÒÉ ÏÔÒÅÚËÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÅ ÅÎÔÒÙ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ ËÕÂÁ (ÎÁ ÒÉÓ. 15⋄9 | ÒÏÚÒÁÞÎÙÅ, Ó×ÅÔÌÙÅ É Ô£ÍÎÙÅ) ÉÆÒÁÍÉ 1, 2, 3 É ÓÏÏÓÔÁ×ÉÍ ËÁÖÄÏÍÕ ×ÒÁÝÅÎÉÀ ËÕÂÁ
ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÍÕÀ ÉÍ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ ÜÔÉÈ ÏÔÒÅÚËÏ×. ðÏÌÕÞÉÍ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÇÒÕÙ ËÕÂÁ × ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÇÒÕÕ S3.
' : SOËÕÂ - S3
(15-14)
åÇÏ ÑÄÒÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÒÁÝÅÎÉÊ, ÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÎÁ ÍÅÓÔÅ ËÁÖÄÕÀ ÉÚ ÔÒ£È ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÈ ÏÓÅÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒÙ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ. ëÒÏÍÅ
ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ, ÔÁËÉÈ ×ÒÁÝÅÎÉÊ ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ ÔÒÉ | Ï×ÏÒÏÔÙ ÎÁ ±180◦ ×ÏËÒÕÇ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÏÓÅÊ. ÷ÍÅÓÔÅ Ó ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÏÎÉ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÇÒÕÕ, ÉÚÏÍÏÒÆÎÕÀ ÇÒÕÅ Ä×ÕÕÇÏÌØÎÉËÁ D2 ÉÚ
ÒÉÍÅÒÁ n◦ 15.1.4. ðÏÜÔÏÍÕ | ker '| = 4, É Ï (15-13) |im '| = 24=4 = 6 = |S3| .
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ' ÜÉÍÏÒÆÅÎ, É ÒÏÏÂÒÁÚ ËÁÖÄÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÉÚ S3 ÄÏÌÖÅÎ ÓÏÓÔÏÑÔØ ÒÏ×ÎÏ ÉÚ ÞÅÔÙÒ£È Ï×ÏÒÏÔÏ× ËÕÂÁ. üÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÔÁË: 8 Ï×ÏÒÏÔÏ× ÎÁ ±120◦ ×ÏËÒÕÇ ÄÉÁÇÏÎÁÌÅÊ ÅÒÅÊÄÕÔ × Ä×Á ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÉËÌÁ ÄÌÉÎÙ
ÜÔÏ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÏÕÞÉÔÅÌØÎÏ ÓÒÁ×ÎÉÔØ Ó ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×ÏÍ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÄÌÉÎÙ ÏÒÂÉÔÙ
(ÔÅÏÒ. 15.1 ÎÁ ÓÔÒ. 261)
1
272
§15. çÒÕÙ
3, Á 6 Ï×ÏÒÏÔÏ× ÎÁ 180◦ ×ÏËÒÕÇ ÏÓÅÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ Ò£ÂÅÒ É 6 Ï×ÏÒÏÔÏ× ÎÁ ±90◦ ÅÒÅÊÄÕÔ × ÔÒÉ ÉËÌÁ ÄÌÉÎÙ 2.
ðÒÉÎÉÍÁÑ ×Ï ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ (15-14) ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÇÒÕÙ Ó ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÏÊ S4, ÍÙ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÙÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ
S4 -- S3
(15-15)
ÑÄÒÏÍ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ 3 ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ
(2; 1; 4; 3) ; (3; 4; 1; 2) ; (4; 3; 2; 1)
ÉËÌÏ×ÏÇÏ ÔÉÁ É ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.18. ñ×ÎÏ ÏÉÛÉÔÅ ÏÂÒÁÚ É ÒÏÏÂÒÁÚ ËÁÖÄÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÒÉ
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÅ (15-15) .
15.3.4. úÎÁËÏÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÇÒÕÙ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ Þ£ÔÎÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË
ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÑÄÒÏ ÚÎÁËÏ×ÏÇÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ
sgn : Sn -- {±1} ;
É, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÇÒÕÏÊ × Sn ÏÒÑÄËÁ n!=2. ðÏ ÉÓÔÏÒÉÞÅÓËÉÍ ÒÉÞÉÎÁÍ1 ÜÔÁ ÏÄÇÒÕÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ n-ÔÏÊ
(ÉÌÉ
2
) É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
An def
= ker(sgn) ⊂ Sn :
15.3.5. ðÒÉÍÅÒ: ÜÉÍÏÒÆÉÚÍSOÄÏÄ -- A5. îÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ
(ÓÍ. ÒÉÓ. 15⋄10) ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ 5 ËÕÂÏ× Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ × ×ÅÒÛÉÎÁÈ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ.
ÚÎÁËÏÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÇÒÕÏÊ
ÇÒÕÏÊ
Þ£ÔÎÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.19. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ×ÏÓØÍÉ-
×ÅÒÛÉÎÎÙÊ ÛÅÓÔÉÇÒÁÎÎÉË, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÊ ÏËÁÚÁÎÎÙÍÉ ÎÁ ÒÉÓ. 15⋄10 ÄÉÁÇÏÎÁÌÑÍÉ Ä×ÅÎÁÄ ÁÔÉ ÇÒÁÎÅÊ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÕÂÏÍ, É
ÞÔÏ ÔÁËÉÈ ËÕÂÏ× ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ 5.
úÁÎÕÍÅÒÕÅÍ ÜÔÉ ËÕÂÙ ÉÆÒÁÍÉ 1, 2, 3, 4, 5
É ÓÏÏÓÔÁ×ÉÍ ËÁÖÄÏÍÕ Ä×ÉÖÅÎÉÀ ÉÚ ÇÒÕÙ
ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÌÑÅÍÕÀ ÉÍ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ
ËÕÂÏ×. íÙ ÏÌÕÞÉÍ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÉÚ ÇÒÕÙ
ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ × ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÇÒÕÕ S5:
⋄
ïÄÉÎ ÉÚ ÑÔÉ ËÕÂÏ×,
- S5
(15-16)
ÄÏÄ : SOÄÏÄ
ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÅ.
◦
ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ (ÓÒ. Ó (n 15.1.6)), ÞÔÏ ÏÂÒÁÚÁÍÉ
60 Ï×ÏÒÏÔÏ× ÒÉ ÜÔÏÍ ÂÕÄÕÔ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ 60 Þ£ÔÎÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË: 6 · 4 = 24
òÉÓ. 15 10.
1
2
ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÏÂÓÕÄÉÍ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÔÏÍÅ, ËÏÇÄÁ ÂÕÄÅÍ ÉÚÕÞÁÔØ ÔÅÏÒÉÀ çÁÌÕÁ
ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÎÁÑ × ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÉ ÂÕË×Á €á ËÁË ÒÁÚ É ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÉÚ alternate
273
15.4. äÅÊÓÔ×ÉÅ ÇÒÕÙ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å
Ï×ÏÒÏÔÁ ÎÁ ÕÇÌÙ 2k=5 Ó k = 1; 2; 3; 4 ×ÏËÒÕÇ ÏÓÅÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒÙ
ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ, ÒÅÁÌÉÚÕÀÔ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ 5
(Ô. Å. ×ÓÅ 24 ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÉËÌÏ×ÏÇÏ ÔÉÁ
), 10·2 = 20 Ï×ÏÒÏÔÏ× ÎÁ ÕÇÌÙ
±2=3 ×ÏËÒÕÇ ÏÓÅÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ,
ÒÅÁÌÉÚÕÀÔ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ 3 (Ô. Å. ×ÓÅ 20 ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÉËÌÏ×ÏÇÏ
ÔÉÁ ), 15 Ï×ÏÒÏÔÏ× ÎÁ 180◦ ×ÏËÒÕÇ ÏÓÅÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ Ò£ÂÅÒ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ, ÒÅÁÌÉÚÕÀÔ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÁÒÙ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ
ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ (Ô. Å. ×ÓÅ 10 ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÉËÌÏ×ÏÇÏ ÔÉÁ ); ÎÁËÏÎÅ , ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÅÒÅÊÄ£Ô × ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ. óÏÇÌÁÓÎÏ
n◦ 15.1.6, ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÇÒÕÁ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÅÔÓÑ ÛÅÓÔØÀÄÅÓÑÔØÀ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÍÉ Ï×ÏÒÏÔÁÍÉ, Á ÚÎÁÞÉÔ, ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ (15-16) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÇÒÕÏÊ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ É ÚÎÁËÏÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÇÒÕÏÊ A5.
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÒÉÍÅÒÁ n◦ 15.1.5 ÅÒÅÈÏÄ ÏÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÇÒÕÙ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ Ë ÏÌÎÏÊ ÎÅ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÔ ÎÏ×ÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ËÕÂÏ×. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ OÄÏÄ - S5 ÉÚ ÏÌÎÏÊ ÇÒÕÙ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ × S5 , ÚÁÄÁÎÎÙÊ
ÔÅÍ ÖÅ ÒÁ×ÉÌÏÍ, ÞÔÏ É ÒÁÎØÛÅ, ÉÍÅÅÔ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÅ ÑÄÒÏ | ÅÎÔÒÁÌØÎÁÑ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÑ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÁ ÍÅÓÔÅ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÕÂÏ× (× ÓÉÌÕ ÉÈ ÅÎÔÒÁÌØÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ). ðÏÜÔÏÍÕ ÏÂÒÁÚ ÜÔÏÇÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó
ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ (15-16) É ÒÁ×ÅÎ A5, Á ÒÏÏÂÒÁÚ ËÁÖÄÏÊ
Þ£ÔÎÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ËÕÂÏ× × OÄÏÄ ÓÏÓÔÏÉÔ ÒÏ×ÎÏ ÉÚ Ä×ÕÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×: ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ
ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ×ÙÛÅ Ï×ÏÒÏÔÏ× É ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÜÔÏÇÏ Ï×ÏÒÏÔÁ Ó ÅÎÔÒÁÌØÎÏÊ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÅÊ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.20. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÕÁ S5 ÎÅ ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÏÌ-
ÎÏÊ ÇÒÕÅ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ.
ðÕÓÔØ G | ÇÒÕÁ, Á X | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Aut (X ) ÇÒÕÕ ×ÓÅÈ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ
ÉÚ X × ÓÅÂÑ.
çÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ G '- Aut (X ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÇÒÕÙ G ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å X ÉÌÉ
ÇÒÕÙ G Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X . åÓÌÉ
ÏÎÑÔÎÏ, Ï ËÁËÏÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÉ ÉÄ£Ô ÒÅÞØ, ÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
'(g) : X - X Ë ÔÏÞËÅ x ∈ X ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÏ ÞÅÒÅÚ gx .
ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÂÒÁÚ '(G) ⊂ Aut (X ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÒÕÏÊ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ, Ë ÎÅÍÕ ÒÉÍÅÎÉÍÏ ×Ó£ ÓËÁÚÁÎÎÏÅ × n◦ 15.1.2 É n◦ 15.1.2. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X
ÒÁÓÁÄÁÅÔÓÑ × ÄÉÚßÀÎËÔÎÏÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÏÒÂÉÔ Gx = {gx | g ∈ G} É × ÓÌÕÞÁÅ,
ËÏÇÄÁ ÇÒÕÁ G ËÏÎÅÞÎÁ, ÄÌÉÎÁ ËÁÖÄÏÊ ÏÒÂÉÔÙ Gx Ó×ÑÚÁÎÁ Ó ÏÒÑÄËÏÍ ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒÁ StabG(x) = {g ∈ G | gx = x} ÆÏÒÍÕÌÏÊ |Gx| · |StabG(x)| = |G|. ÷
ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÒÑÄËÉ ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒÏ× ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË ÏÄÎÏÊ ÏÒÂÉÔÙ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù.
äÅÊÓÔ×ÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÏÔÌÉÞÎÙÊ ÏÔ ÅÄÉÎÉ Ù ÜÌÅÍÅÎÔ ÇÒÕÙ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ X ÂÅÚ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÈ ÔÏÞÅË. äÅÊÓÔ×ÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÌÀÂÕÀ ÔÏÞËÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X ÍÏÖÎÏ ÅÒÅ×ÅÓÔÉ × ÌÀÂÕÀ
ÄÒÕÇÕÀ ÔÏÞËÕ ËÁËÉÍ-ÎÉÂÕÄØ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÉÚ ÇÒÕÙ G . äÅÊÓÔ×ÉÅ ÎÁÚÙ×Á15.4. äÅÊÓÔ×ÉÅ ÇÒÕÙ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å.
ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅÍ
Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ
ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÙÍ
274
§15. çÒÕÙ
ÅÔÓÑ
(ÉÌÉ
), ÅÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÏÔÌÉÞÎÙÊ ÏÔ ÅÄÉÎÉ Ù ÜÌÅÍÅÎÔ
ÇÒÕÙ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ X ÎÅÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ , Ô. Å. ÅÓÌÉ ker ' = 0. ÏÞÎÏÅ
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÅÔ G Ó ÇÒÕÏÊ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ '(G) ⊂ Aut (X ).
úÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÇÒÕÁ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÔÁËÏÊ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÅÊ.
15.4.1. ðÒÉÍÅÒ: ÌÅ×ÏÅ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ X ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÇÒÕÙ G. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ L : G - Aut (X ) , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ
ÜÌÅÍÅÎÔÕ g ∈ G ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ Lg : X x7→gx - X ÌÅ×ÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ g ,
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÇÒÕÙ G ÎÁ ÓÅÂÅ.
üÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ Ó×ÏÂÏÄÎÏ É ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ. ðÅÒ×ÏÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï gx =
x ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ÒÉ g = e, ×ÔÏÒÏÅ | ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ x; y ∈ G ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ y =
gx ÒÁÚÒÅÛÉÍÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ g (ÏÂÁ ÜÔÉÈ ÆÁËÔÁ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÀÔÓÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ
ÏÂÅÉÈ ÞÁÓÔÅÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÒÁ×Á ÎÁ x−1 ∈ G).
âÕÄÕÞÉ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ, ÌÅ×ÏÅ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÔÏÞÎÏ. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÌÀÂÁÑ
ÁÂÓÔÒÁËÔÎÁÑ ÇÒÕÁ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎÁ ËÁË ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÇÒÕÁ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á.
îÁÒÉÍÅÒ, ÌÅ×ÙÅ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÞÉÓÌÏ×ÙÈ ÇÒÕ ÒÅÁÌÉÚÕÀÔ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÕÀ ÇÒÕÕ R ÇÒÕÏÊ ÓÄ×ÉÇÏ× Lv : x 7−→ x + v ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÒÑÍÏÊ , Á ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÕÀ ÇÒÕÕ R∗ | ÇÒÕÏÊ ÇÏÍÏÔÅÔÉÊ L : x 7−→ x ÒÏËÏÌÏÔÏÊ
ÒÑÍÏÊ R∗ = R r {0} .
ÔÏÞÎÙÍ
ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍ
ÌÅ×ÙÍ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ
ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÏÏÓÔÁXG ÒÁ×ÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ
×ÌÅÎÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÕ g ∈ G ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ Rg : XG
−
1
1
ÎÁ g ÚÁÄÁ£Ô Ó×ÏÂÏÄÎÏÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÇÒÕÙ G ÎÁ ÓÅÂÅ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.21 (ÒÁ×ÏÅ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ).
x7→xg−1 -
15.4.2. ðÒÉÍÅÒ: ÒÉÓÏÅÄÉΣÎÎÏÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
(15-17)
Ad : G - Aut (G) ;
ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÜÌÅÍÅÎÔÕ g ∈ G Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍ Adg ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ g
(15-18)
Adg : G h7→ghg - G ;
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÇÒÕÙ G ÎÁ ÓÅÂÅ. ÷ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÌÅ×ÏÇÏ
ÓÄ×ÉÇÁ Lg ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÒÉÍÅÒÁ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ Adg Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÉÚ G × G.
−1
ÒÉÓÏÅÄÉΣÎÎÙÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.22. õÂÅÄÉÔÅÓØ × ÜÔÏÍ É ÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ (15-17) ÔÏÖÅ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÇÒÕ.
äÒÕÇÏÅ ×ÁÖÎÏÅ ÏÔÌÉÞÉÅ ÒÉÓÏÅÄÉΣÎÎÏÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÏÔ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÇÏ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÒÉÓÏÅÄÉΣÎÎÏÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ Ó×ÏÂÏÄÎÏ É ÎÅ ÔÏÞÎÏ.
îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ ÇÒÕÁ G ÁÂÅÌÅ×Á, ×ÓÅ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÅ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÙ (15-18) ÉÓÞÅÒÙ×ÁÀÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ, É ÑÄÒÏ ÒÉÓÏÅÄÉΣÎÎÏÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ×
ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ×ÓÅÊ ÇÒÕÏÊ.
ÏÑ×ÌÅÎÉÅ g− ÎÅ ÓÌÕÞÁÊÎÏ: ÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÕ g ∈ G ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
ÒÁ×ÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ g Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ, Á ÁÎÔÉÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ (Ô. Å. ÏÂÏÒÁÞÉ×ÁÅÔ ÏÒÑÄÏË ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÈ)
1
1
275
15.4. äÅÊÓÔ×ÉÅ ÇÒÕÙ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å
÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ker(Ad) ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÏ ÔÁËÉÍÉ g ∈ G, ÞÔÏ ghg−1 = h ÄÌÑ ×ÓÅÈ
h ∈ G. ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ gh = hg É ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ g
ÓÏ ×ÓÅÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÇÒÕÙ.
ðÏÄÇÒÕÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙÈ ÓÏ ×ÓÅÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÇÒÕÙ G ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÇÒÕÙ G É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
Z (G) = {g ∈ G | ∀ h ∈ G gh = hg} :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÑÄÒÏ ÒÉÓÏÅÄÉΣÎÎÏÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ | ÜÔÏ ÅÎÔÒ ÇÒÕÙ G.
ïÂÒÁÚ ÒÉÓÏÅÄÉΣÎÎÏÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÇÒÕÙ G É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ Int(G) = AdG = im(Ad) ⊂ Aut (G) . á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÙ, ÎÅ ÏÁ×ÛÉÅ × ÏÂÒÁÚ ÒÉÓÏÅÄÉΣÎÎÏÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
.
15.4.3. ðÒÉÍÅÒ: ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÂÕË× ÎÁ ÓÌÏ×ÁÈ. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ
ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ k-ÂÕË×ÅÎÎÙÊ ÁÌÆÁ×ÉÔ A = {a1; a2; : : : ; ak } É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ×ÓÅÈ n-ÂÕË×ÅÎÎÙÈ ÓÌÏ× w, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÎÁÉÓÁÔØ Ó ÅÇÏ ÏÍÏÝØÀ.
éÎÁÞÅ X ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ
w : {1; 2; : : : ; n} - A :
óÏÏÓÔÁ×ÉÍ ËÁÖÄÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ ∈ Sn ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ w 7→ w−1, ËÏÔÏÒÏÅ
ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÂÕË×Ù × ÓÌÏ×ÁÈ ÔÁË, ËÁË ÒÅÄÉÓÙ×ÁÅÔ1 . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ
ÏÌÕÞÉÌÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ Sn ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÓÌÏ×.
ïÒÂÉÔÁ ÓÌÏ×Á w ∈ X ÏÄ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÜÔÏÊ ÇÒÕÙ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÓÌÏ×,
ÇÄÅ ËÁÖÄÁÑ ÂÕË×Á ÁÌÆÁ×ÉÔÁ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ ÓÔÏÌØËÏ ÖÅ ÒÁÚ, ÓËÏÌØËÏ × ÓÌÏ×Å w.
óÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒ Stab(w) ÓÌÏ×Á w, × ËÏÔÏÒÏÍ ÂÕË×Á ai ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ mi ÒÁÚ (ÄÌÑ
ËÁÖÄÏÇÏ i = 1; : : : ; k), ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÀ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÂÕË×
É ÉÍÅÅÔ ÏÒÑÄÏË |Stab(w)| = m1! · m2! · · · · · mk ! . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÉÎÁ ÏÒÂÉÔÙ
ÔÁËÏÇÏ ÓÌÏ×Á ÒÁ×ÎÁ ÍÕÌØÔÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÍÕ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÕ
n!
|Sn |
n
|Sn w| =
= m ! · m ! · ··· · m ! = m :::m :
|Stab(w)|
1
2
k
1
k
üÔÏÔ ÒÉÍÅÒ ÌÉÛÎÉÊ ÒÁÚ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÁÚÎÙÅ ÏÒÂÉÔÙ ÍÏÇÕÔ ÉÍÅÔØ ÒÁÚÎÕÀ
ÄÌÉÎÕ, É ÏÒÑÄËÉ ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒÏ× ÔÏÞÅË ÉÚ ÒÁÚÎÙÈ ÏÒÂÉÔ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÒÁÚÎÙÍÉ.
15.4.4. ðÒÉÍÅÒ: ËÌÁÓÓÙ ÓÏÒÑÖ£ÎÎÏÓÔÉ × ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÅ. ðÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ Adg () = gg−1 , ÓÏÒÑÖ£ÎÎÁÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ = (1; 2 ; : : : ; n) ∈
Sn , ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ i = 1; 2; : : : ; n ÅÒÅ×ÏÄÉÔ g(i) × g(i ). îÁÒÉÍÅÒ, ÒÉ ÓÏÒÑÖÅÎÉÉ ÉËÌÁ = |i1; i2; : : : ; ik i ∈ Sn ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ g = (g1; g2; : : : ; gn) ÏÌÕÞÉÔÓÑ
ÉËÌ |g(i1); g(i2); : : : ; g(ik )i .
ËÏÍÍÕÔÉÒÕÅÔ
ÅÎÔÒÏÍ
ÇÒÕÏÊ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ Á×ÔÏÍÏÒ-
ÆÉÚÍÏ×
×ÎÅÛÎÉÍÉ
Ô. Å. ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÓÌÏ×Ï w = a a : : : an × ÓÌÏ×Ï a a : : : a n , ÎÁ i-ÔÏÍ ÍÅÓÔÅ
ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÔÏÉÔ ÔÁ ÂÕË×Á, ÎÏÍÅÒ ËÏÔÏÒÏÊ × ÉÓÈÏÄÎÏÍ ÓÌÏ×Å w ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ×
ÎÏÍÅÒ i
1
1
2
−1 (1)
−1 (2)
−1 ( )
276
§15. çÒÕÙ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 15.2
ïÒÂÉÔÙ ÒÉÓÏÅÄÉΣÎÎÏÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ Sn ÎÁ ÓÅÂÅ ×ÚÁÉÍÎÏ
ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ n-ËÌÅÔÏÞÎÙÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍ àÎÇÁ. ïÒÂÉÔÁ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÁÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ , ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÉËÌÏ×ÏÇÏ ÔÉÁ . åÓÌÉ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÉÍÅÅÔ mi ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ i (ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ i = 1; 2; : : : ; n), ÔÏ ÏÒÑÄÏË
ÅÎÔÒÁÌÉÚÁÔÏÒÁ C () ÌÀÂÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÉËÌÏ×ÏÇÏ ÔÉÁ ÒÁ×ÅÎ
z = 1m · m1 ! · 2m · m2 ! · · · · · nmn · mn ! =
1
2
n
Y
=1
m ! m
É ÄÌÉÎÁ ÒÉÓÏÅÄÉΣÎÎÏÊ ÏÒÂÉÔÙ ÔÁËÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÒÁ×ÎÁ n! · z−1.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. óÏÏÓÔÁ×ÉÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍÕ ÚÁÏÌÎÅÎÉÀ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ×ÅÓÁ
n ÎÅÏ×ÔÏÒÑÀÝÉÍÉÓÑ ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ n ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ ∈ Sn ÉËÌÏ×ÏÇÏ ÔÉÁ , ËÏÔÏÒÁÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÉËÌÏ×, ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï ÉËÌÉÞÅÓËÉ ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÚÁÏÌÎÅÎÉÑ. äÅÊÓÔ×ÉÅ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÁ Adg ÎÁ ÔÁËÕÀ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ g ËÏ ×ÓÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ ÚÁÏÌÎÅÎÉÑ, Ô. Å. × ÚÁÍÅÎÅ ËÁÖÄÏÇÏ ÞÉÓÌÁ i
ÞÉÓÌÏÍ gi. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÌÀÂÏÅ ÚÁÏÌÎÅÎÉÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ , Ô. Å. ÒÉÓÏÅÄÉΣÎÎÁÑ ÏÒÂÉÔÁ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÉÚ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË
ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÉËÌÏ×ÏÇÏ ÔÉÁ. üÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÅÒ×ÙÅ Ä×Á ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ.
÷ÔÏÒÙÅ Ä×Á ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÀÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ Ä×Á ÚÁÏÌÎÅÎÉÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ
ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÄÁÀÔ ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ , ËÏÇÄÁ ÏÎÉ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ ÉËÌÉÞÅÓËÉÍÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
× ÓÔÒÏËÁÈ É ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÀ ÓÔÒÏË ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ
ÄÌÉÎÙ ËÁË ÅÄÉÎÏÇÏ ÅÌÏÇÏ.
15.4.5. ðÒÉÍÅÒ: ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÉÅ ÏÒÂÉÔ. ðÏÄÓÞ£Ô ÞÉÓÌÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÆÁËÔÏÒÅ
X=G ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X Ï ÄÅÊÓÔ×ÉÀ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÇÒÕÙ G ÎÁÔÁÌËÉ×ÁÅÔÓÑ
ÎÁ ÏÞÅ×ÉÄÎÕÀ ÔÒÕÄÎÏÓÔØ: ÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÉÎÙ Õ ÏÒÂÉÔ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÒÁÚÎÙÅ, ÞÉÓÌÏ
ÏÒÂÉÔ €ÒÁÚÎÏÇÏ ÔÉÁ ÒÉÄ£ÔÓÑ ÏÄÓÞÉÔÙ×ÁÔØ Ï ÏÔÄÅÌØÎÏÓÔÉ, ÚÁÏÄÎÏ ÕÔÏÞÎÑÑ
Ï ÈÏÄÕ ÄÅÌÁ, ÞÔÏ ÉÍÅÎÎÏ ÉÍÅÅÔÓÑ × ×ÉÄÕ ÏÄ €ÔÉÏÍ ÏÒÂÉÔف. òÁÚÏÍ ÒÅÏÄÏÌÅÔØ
ÏÂÅ ÜÔÉ ÔÒÕÄÎÏÓÔÉ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ
ÅÏÒÅÍÁ 15.3 (ÆÏÒÍÕÌÁ ðÏÌÉÁ { âÅÒÎÓÁÊÄÁ)
ðÕÓÔØ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÇÒÕÁ G ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å X . äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ
g ∈ G ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ X g = {x ∈ X | gx = x} = {x ∈ X | g ∈ Stab(
Px)} gÍÎÏÖÅ−1
ÓÔ×Ï ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÈ ÔÏÞÅË ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ g. ÏÇÄÁ |X=G| = |G|
|X | .
g ∈G
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ F ⊂ G × X ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
×ÓÅÈFÁÒ (g; x), ÔÁËÉÈ
F
ÞÔÏ gx = x. éÎÁÞÅ F ÍÏÖÎÏ ÏÉÓÁÔØ ËÁË F = Stab(x) = X g . ðÅÒ×ÏÅ ÉÚ
x∈X
g ∈G
| ÉÚ
ÜÔÉÈ ÏÉÓÁÎÉÊ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ ÒÏÅË ÉÉ F - X , ×ÔÏÒÏÅ
ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÑ ÒÏÅË ÉÉ F - G . óÏÇÌÁÓÎÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÏÉÓÁÎÉÀ, |F | = P |X g |.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
g ∈G
277
15.4. äÅÊÓÔ×ÉÅ ÇÒÕÙ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å
ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÉÚ ÅÒ×ÏÇÏ ÏÉÓÁÎÉÑ ÍÙ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ |F | = |G| · |X=G|. ÷
ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒÙ ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ ÏÄÎÏÊ ÏÒÂÉÔÅ, ÉÍÅÀÔ
ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ ÏÒÑÄÏË, É ÓÕÍÍÁ ÜÔÉÈ ÏÒÑÄËÏ× Ï ×ÓÅÍ ÔÏÞËÁÍ ÏÒÂÉÔÙ ÒÁ×ÎÁ
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÏÒÑÄËÁ ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒÁ ÎÁ ÄÌÉÎÕ
Ô. Å. |G|. óËÌÁÄÙ×ÁÑ Ï
P ÏÒÂÉÔÙ,
g
×ÓÅÍ ÏÒÂÉÔÁÍ, ÏÌÕÞÁÅÍ |F | = |G| · |X=G| = |X |.
g ∈G
1
1
6
2
6
2
5
3
5
3
4
-ÉÎ×ÁÒÉÎÔÎÙÅ ÂÕÓÙ
4
1
2 -ÉÎ×ÁÒÉÎÔÎÙÅ ÂÕÓÙ
6
2
5
3
4
3 -ÉÎ×ÁÒÉÎÔÎÙÅ ÂÕÓÙ
1
1
6
2
6
2
5
3
5
3
4
14 -ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÂÕÓÙ
òÉÓ. 15⋄11.
4
14 -ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÂÕÓÙ
óÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÏÖÅÒÅÌØÑ ÉÚ ÛÅÓÔÉ ÂÕÓÉÎ.
278
úÁÄÁÞÉ Ë §15
15.4.6. ðÒÉÍÅÒ: ÏÖÅÒÅÌØÑ. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ Õ ÎÁÓ ÉÍÅÀÔÓÑ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ Ï
ÆÏÒÍÅ ÂÕÓÉÎÙ n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅÔÏ× (ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÂÕÓÉÎ ËÁÖÄÏÇÏ ×ÅÔÁ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÏ). óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÖÅÒÅÌÉÊ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÆÏÒÍÙ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÉÚ 6
ÂÕÓÉÎ? ïÔ×ÅÔÏÍ ÎÁ ÜÔÏÔ ×ÏÒÏÓ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÒÂÉÔ ÇÒÕÙ ÄÉÜÄÒÁ D6
ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÒÁÓËÒÁÓÏË ×ÅÒÛÉÎ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ × n ×ÅÔÏ×.
çÒÕÁ D6 ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ 12 ÜÌÅÍÅÎÔÏ×: ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ e, Ä×ÕÈ
Ï×ÏÒÏÔÏ× ±1 ÎÁ ±60◦, Ä×ÕÈ Ï×ÏÒÏÔÏ× ±2 ÎÁ ±120◦, ÅÎÔÒÁÌØÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ
3 , ÔÒ£È ÏÔÒÁÖÅÎÉÊ 14 , 23 , 36 ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÏÌØÛÉÈ ÄÉÁÇÏÎÁÌÅÊ É ÔÒ£È ÏÔÒÁÖÅÎÉÊ 14, 23, 36 ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÒÅÄÉÎÎÙÈ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÏ× Ë ÓÔÏÒÏÎÁÍ.
åÄÉÎÉ Á ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÁ ÍÅÓÔÅ ×ÓÅ n6 ÒÁÓËÒÁÓÏË. òÁÓËÒÁÓËÉ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ, ÏËÁÚÁÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 15⋄11 ÎÉÖÅ (ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍ ÏÔÔÅÎËÁÍ ÓÅÒÏÇÏ ÏÔ×ÅÞÁÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ×ÅÔÁ). âÅÒÑ ÎÁ ÜÔÉÈ ÒÉÓÕÎËÁÈ
×ÓÅ ÄÏÕÓÔÉÍÙÅ ÓÏÞÅÔÁÎÉÑ ×ÅÔÏ×, ÏÌÕÞÁÅÍ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, n, n2, n3, n4 É n3
ÒÁÓËÒÁÓÏË. ðÏ ÔÅÏÒ. 15.3 ÉÓËÏÍÏÅ ÞÉÓÌÏ 6-ÂÕÓÉÎÎÙÈ ÏÖÅÒÅÌÉÊ ÒÁ×ÎÏ
1 · n6 + 3 n4 + 4 n3 + 2 n2 + 2 n
12
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 15.23. ðÏÄÓÞÉÔÁÊÔÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÖÅÒÅÌÉÊ ÉÚ 7, 8, 9, É 10 ÂÕÓÉÎ.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §15
úÁÄÁÞÁ 15.1. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï G Ó ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÊ ÏÅÒÁ ÉÅÊ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ
G×G - G Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÒÕÏÊ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ∀ a; b ∈ G ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ax = b É ya = b ÉÍÅÀÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ.
úÁÄÁÞÁ 15.2 (ÇÒÕÁ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÎÙÈ ÅÄÉÎÉ ). ïÒÅÄÅÌÉÍ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å
Q8 = {±e; ±i; ±j; ±k}
ËÏÍÏÚÉ ÉÀ ÔÁË, ÞÔÏ e Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÄÉÎÉ ÅÊ, €ÍÉÎÕÓ ÎÁ ÍÉÎÕÓ ÄÁ£Ô ÌÀӁ, É
i2 = j 2 = k2 = −e
ij = k jk = i ki = j
ji = −k kj = −i ik = −j
ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Q8 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÒÕÏÊ. éÚÏÍÏÒÆÎÙ ÌÉ Q8 É D4 ?
úÁÄÁÞÁ 15.3. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ×ÓÅ ÏÄÇÒÕÙ × ÇÒÕÁÈ ÄÉÜÄÒÏ× D4 É D6 .
úÁÄÁÞÁ 15.4. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÏÄÇÒÕÁ
ÓËÁÑ.
ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ ÔÏÖÅ ÉËÌÉÞÅ-
úÁÄÁÞÉ Ë §15
279
úÁÄÁÞÁ 15.5. äÏËÁÖÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÒÑÄËÏ× ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÇÒÕÙ G:
Á) åÓÌÉ gm = Id, ÔÏ ord (g) ËÏÎÅÞÅÎ É ÎÁ ÅÌÏ ÄÅÌÉÔ m
Â) ∀ f; g ∈ G ord (f ) = ord (gfg−1 ) ×) ∀ n ∈ N ord (gn ) = ord (g)=ÎÏÄ(n; ord (g))
Ç) åÓÌÉ fg = gf , ÔÏ ord (fg) ÎÁ ÅÌÏ ÄÅÌÉÔ ÎÏË(ord (f ); ord (g)).
úÁÄÁÞÁ 15.6. þÅÍÕ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁ×ÅÎ ord (fg ), ÅÓÌÉ ord (gf ) = n ?
úÁÄÁÞÁ 15.7. þÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ Ï Þ£ÔÎÏÓÔÉ ÏÒÑÄËÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÎÅÞ£ÔÎÏÊ ÅÒÅ-
ÓÔÁÎÏ×ËÉ?
úÁÄÁÞÁ 15.8. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ 100-À ÓÔÅÅÎØ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ (3; 5; 4; 1; 2) .
úÁÄÁÞÁ 15.9. óËÏÌØËÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× S5 ÎÅÏÄ×ÉÖÎÏ ÒÉ ÓÏÒÑÖÅÎÉÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ
( 3; 5; 1; 2; 4 )?
úÁÄÁÞÁ 15.10. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÉÚ ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ÎÅÞ£ÔÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ × ÌÀÂÏÊ ÇÒÕ-
Å ÍÏÖÎÏ ÉÚ×ÌÅÞØ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÊ ËÏÒÅÎØ.
úÁÄÁÞÁ 15.11 (ÉÎ×ÏÌÀÔÉ×ÎÙÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ). ðÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ ∈ Sn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÅÊ ), ÅÓÌÉ 2 = Id . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ ÉÎ×ÏÌÀÔÉ×ÎÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ × Å£ ÉËÌÏ×ÏÍ ÔÉÅ
×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ 1 É ÉËÌÙ ÄÌÉÎÙ 2
Â) ÌÀÂÏÊ ÉËÌ ∈ Sn ÄÌÉÎÙ ⩾ 3 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ Ä×ÕÈ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÊ.
ÉÎ×ÏÌÀÔÉ×ÎÏÊ
úÁÄÁÞÁ 15.12 (ÚÁÄÁÞÁ î. î. ëÏÎÓÔÁÎÔÉÎÏ×Á). ÷ ÇÏÒÏÄÅ N ÒÁÚÒÅÛÁÀÔÓÑ ÌÉÛØ ÒÏ-
ÓÔÙÅ Ä×ÕÓÔÏÒÏÎÎÉÅ ÏÂÍÅÎÙ Ë×ÁÒÔÉÒ1 , ÒÉÞ£Í × ÔÅÞÅÎÉÅ ÏÄÎÏÇÏ ÄÎÑ ËÁÖÄÏÍÕ
ÖÉÔÅÌÀ ÒÁÚÒÅÛÁÅÔÓÑ ÓÄÅÌÁÔØ ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÏÂÍÅÎÁ. íÏÖÎÏ ÌÉ ÚÁ Ä×Á ÄÎÑ
ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØ ÌÀÂÏÊ, ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ ÓÌÏÖÎÙÊ ÏÂÍÅÎ?
úÁÄÁÞÁ 15.13. éÚ ÉÇÒÙ €15 ×ÙËÏ×ÙÒÑÌÉ ÆÉÛËÉ €1 É €2, ÏÍÅÎÑÌÉ ÉÈ ÍÅÓÔÁÍÉ É
ÚÁÓÕÎÕÌÉ ÏÂÒÁÔÎÏ. õÄÁÓÔÓÑ ÌÉ ×ÅÒÎÕÔØ ÔÁËÕÀ ÏÚÉ ÉÀ × ÉÓÈÏÄÎÏÅ ÏÌÏÖÅÎÉÅ,
ÓÌÅÄÕÑ ÒÁ×ÉÌÁÍ ÉÇÒÙ?
úÁÄÁÞÁ 15.14. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÇÒÕÁ, ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÍÅÀÔ ÏÒÑÄÏË Ä×Á,
ÁÂÅÌÅ×Á.
úÁÄÁÞÁ 15.15. ðÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÉÍÅÒÏ× ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÇÒÕ, × ËÏ-
ÔÏÒÙÈ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÍÅÅÔ ËÏÎÅÞÎÙÊ ÏÒÑÄÏË.
úÁÄÁÞÁ 15.16. çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÇÒÕÁ G ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ g1 ; g2 ; : : : ; gk ∈ G,
ÅÓÌÉ ÌÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ G Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× gi (×ÏÚÍÏÖÎÏ, Ó Ï×ÔÏÒÅÎÉÑÍÉ). ðÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÌÉ
Á) ÇÒÕÁ Sn ÉËÌÁÍÉ |1; 2i É
|1; 2; 3; : : : ; ni ?
Â) ÚÎÁËÏÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ÇÒÕÁ An 3- ÉËÌÁÍÉ |1; 2; 3i ; |1; 2; 4i ; : : : ; |1; 2; ni ?
ËÏÇÄÁ A ×ßÅÚÖÁÅÔ × Ë×ÁÒÔÉÒÕ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁ×ÛÕÀ B , Á B | × Ë×ÁÒÔÉÒÕ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁ×ÛÕÀ
A; ×ÓÅ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÅ ÏÂÍÅÎÙ, ÓËÁÖÅÍ, ËÏÇÄÁ A ×ßÅÚÖÁÅÔ × Ë×ÁÒÔÉÒÕ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁ×ÛÕÀ B ,
B | × Ë×ÁÒÔÉÒÕ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁ×ÛÕÀ C , Á ÕÖÅ C | × Ë×ÁÒÔÉÒÕ, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁ×ÛÕÀ A, ÚÁÒÅÝÅÎÙ
1
280
úÁÄÁÞÉ Ë §15
úÁÄÁÞÁ 15.17. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÇÒÕÁ, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÁÑ Ä×ÕÍÑ ÒÁÚÌÉÞ-
ÎÙÍÉ É ÏÔÌÉÞÎÙÍÉ ÏÔ ÅÄÉÎÉ Ù ÉÎ×ÏÌÀ ÉÑÍÉ1 , ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÇÒÕÅ ÄÉÜÄÒÁ.
úÁÄÁÞÁ 15.18. ëÁËÉÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ
Á) ×ÅÒÛÉÎ ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ Â) ÄÉÁÇÏÎÁÌÅÊ ËÕÂÁ
ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ Ä×ÉÖÅÎÉÑÍÉ ÜÔÉÈ ÆÉÇÕÒ?
úÁÄÁÞÁ 15.19. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÑÔÉ ÌÁÔÏÎÏ×ÙÈ ÔÅÌ ÎÁÊÄÉÔÅ ÄÌÉÎÙ ÏÒÂÉÔ ×ÓÅÈ
ÔÏÞÅË ÜÔÏÇÏ ÔÅÌÁ ÒÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÉ ÎÁ ÎÉÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ É ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÇÒÕÙ
ÔÅÌÁ É Ñ×ÎÏ ÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ×ÓÅ ÏÒÂÉÔÙ, ÄÌÉÎÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÅÎØÛÅ ÏÒÑÄËÁ ÇÒÕÙ.
úÁÄÁÞÁ 15.20. îÁÊÄÉÔÅ ÏÒÑÄÏË ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ É ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÇÒÕÙ 4-ÍÅÒÎÏÇÏ
Á) ËÕÂÁ
Â) ËÏËÕÂÁ2
×) ÔÅÔÒÁÜÄÒÁ
Ç) ÏËÔÁÌÅËÓÁ3.
úÁÄÁÞÁ 15.21 (ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÇÒÕ). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ
F × H = {(f; h) | f ∈ F ; h ∈ H }
ÇÒÕ F É H Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÒÕÏÊ4 ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÅÒÁ ÉÉ
= (f1 · f2 ; h1 · h2 )
(f1 ; h1 ) · (f2 ; h2 ) def
É ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÇÒÕÁ G ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÒÑÍÏÍÕ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ Ä×ÕÈ Ó×ÏÉÈ ÏÄÇÒÕ F; H ⊂ G ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ×ÙÏÌÎÅÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÔÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ:
1) F ∩ H = {e}, ÇÄÅ e ∈ G | ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÇÒÕÙ G;
2) fh = hf ∀ f ∈ F É ∀ h ∈ H ;
3) ÌÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ g ∈ G ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ g = fh Ó f ∈ F É h ∈ H .
úÁÄÁÞÁ 15.22. ðÒÉ ËÁËÉÈ n ÇÒÕÁ ÄÉÜÄÒÁ Dn ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ Z=(2) × Z=(n) ?
úÁÄÁÞÁ 15.23. íÏÖÅÔ ÌÉ ÒÑÍÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Dm × Z=(n) ÂÙÔØ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ Dmn ?
úÁÄÁÞÁ 15.24. õ ËÁËÉÈ ÌÁÔÏÎÏ×ÙÈ ÔÅÌ ÏÌÎÁÑ ÇÒÕÁ ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÒÑÍÏÍÕ ÒÏÉÚ-
×ÅÄÅÎÉÀ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÇÒÕÙ ÎÁ ÇÒÕÕ ÚÎÁËÏ× {±1}?
úÁÄÁÞÁ 15.25. ÷ÙÑÓÎÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÇÒÕ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ:
Á) D8 , D4 × Z=(2) , Q8 × Z=(2)
Â) S4 , D12 , D6 × Z=(2) , D3 × Z=(2) × Z=(2) , D3 × Z=(4) , Q8 × Z=(3) , D4 × Z=(3)
úÁÄÁÞÁ 15.26. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÇÒÕÙ G É H , ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÒÁÚÎÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÏÒÑÄËÁ k (ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÎÉÂÕÄØ k ∈ N), ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ.
ðÕÓÔØ ÒÉ ×ÓÅÈ k ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÏÒÑÄËÁ k × ËÏÎÅÞÎÙÈ ÇÒÕÁÈ G É H ÏÄÉÎÁËÏ×Ï. ÷ÅÒÎÏ ÌÉ, ÞÔÏ G ≃ H ÄÌÑ Á) ÌÀÂÙÈ Â) ÁÂÅÌÅ×ÙÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÇÒÕ G
É H?
1
2
3
4
ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÅÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔ Ó Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ ÅÄÉÎÉ Á
ÓÍ. ÚÁÄ. 14.15
ÓÍ. ÚÁÄ. 14.16
ÜÔÁ ÇÒÕÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÑÍÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÇÒÕ F É H
281
úÁÄÁÞÉ Ë §15
úÁÄÁÞÁ 15.27. óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÕÁ Sn ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ
X = {1; 2; : : : ; n} :
ïÉÛÉÔÅ ÏÒÂÉÔÙ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÇÏ1 ÄÅÊÓÔ×ÉÑ Sn ÎÁ Á) X 2 Â) X 3 (ÄÌÑ n ⩾ 3)
×) X m (ÄÌÑ n ⩾ m)
úÁÄÁÞÁ 15.28. óÏÂÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÇÒÕÁ ËÕÂÁ S4 ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ V (×ÅÒÛÉÎ)
É E (Ò£ÂÅÒ) ËÕÂÁ. ïÉÛÉÔÅ ÏÒÂÉÔÙ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ S4 ÎÁ Á) V × V
Â) V × E ×) E × E × E
úÁÄÁÞÁ 15.29. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ Ó ×ÉÄÕ ÂÕÓ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÉÚ
ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ Ï ÆÏÒÍÅ ÂÕÓÉÎ n ÒÁÚÎÙÈ ×ÅÔÏ×2?
Á) 4 Â) 7 ×) 8 Ç) 9
úÁÄÁÞÁ 15.30. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÎÙÈ ÎÁ ×ÉÄ ×ÅÒ£×ÏÞÎÙÈ ÆÅÎÅÞÅË ÆÏÒÍÙ
Á)
Â)
ÍÏÖÎÏ Ó×ÑÚÁÔØ ÉÚ ÎÅÒÁÚÌÉÞÉÍÙÈ Ï ÄÌÉÎÅ É ÆÏÒÍÅ ËÕÓÏÞËÏ× ×ÅÒ£×ÏË n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅÔÏ×3?
úÁÄÁÞÁ 15.31. ëÏÎÅÞÎÁÑ ÇÒÕÁ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÍ
ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ. ÷ÅÒÎÏ ÌÉ, ÞÔÏ ×ÓÅÇÄÁ ÎÁÊÄ£ÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔ ÇÒÕÙ, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÂÅÚ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÈ ÔÏÞÅË?
ÅÓÌÉ G ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ X1; X2; : : : ; Xm, ÔÏ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ G ÎÁ X1 ×
X2 × · · · × Xm ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÒÁ×ÉÌÏÍ g : (x1 ; x2 ; : : : ; xm ) 7→ (gx1 ; gx2 ; : : : ; gxm )
1
2
3
ÚÁÁÓ ÂÕÓÉÎ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ×ÅÔÏ× ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎ
ÚÁÁÓ ÎÉÔÅÊ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ×ÅÔÏ× ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎ
282
§16. óÍÅÖÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ
§16. óÍÅÖÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ
16.1. ÅÏÒÅÍÁ ìÁÇÒÁÎÖÁ. ó ËÁÖÄÏÊ ÏÄÇÒÕÏÊ H ⊂ G Ó×ÑÚÁÎÏ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ
ÇÒÕÙ G × ÄÉÚßÀÎËÔÎÏÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× ×ÉÄÁ
(16-1)
gH def
= {gh | h ∈ H } ;
ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ
(ÉÌÉ
) ÏÄÇÒÕÙ H
× ÇÒÕÅ G .
ÌÅ×ÙÍÉ ÓÍÅÖÎÙÍÉ ËÌÁÓÓÁÍÉ
ÌÅ×ÙÍÉ ÓÄ×ÉÇÁÍÉ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 16.1
ìÀÂÙÅ Ä×Á ÓÍÅÖÎÙÈ ËÌÁÓÓÁ g1H É g2H ÌÉÂÏ ÎÅ
ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ
ÌÉÂÏ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ.
−1
−1
ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÌÀÂÏÍÕ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ: g1 g2 ∈ H , g2 g1 ∈ H .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÓÌÉ g1 h1 = g2 h2 ∈ g1 H ∩ g2 H , ÔÏ ÏÂÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁ
g1−1 g2 = h1 h−2 1 É g2−1 g1 = h2 h−1 1
ÌÅÖÁÔ × H . ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÅÓÌÉ ÈÏÔØ ÏÄÉÎ ÉÚ ÜÔÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÌÅÖÉÔ × H ,
ÔÏ × H ÌÅÖÉÔ É ÏÂÒÁÔÎÙÊ Ë ÎÅÍÕ ×ÔÏÒÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ, É ÔÏÇÄÁ
g1 H = g2 g2−1 g1 H ⊂ g2 H É g2 H = g1 g1−1 g2 H ⊂ g1 H ;
Ô. Å. g1H = g2H .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 16.1. úÁÄÁÄÉÍ ÎÁ ÇÒÕÅ G ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ∼ , ÏÌÁÇÁÑ g1 ∼ g2
H
H
ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ g1 = g2 h ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ h ∈ H . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÜÔÏ
ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ, É ÏÌÕÞÉÔÅ ÏÔÓÀÄÁ ÄÒÕÇÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÅÄÌ. 16.1.
16.1.1. éÎÄÅËÓ ÏÄÇÒÕÙ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÅ×ÙÈ ÓÍÅÖÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× ÏÄÇÒÕÙ H ⊂ G ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ G=H , Á ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × Î£Í (ÅÓÌÉ ÏÎÏ ËÏÎÅÞÎÏ)
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÄÇÒÕÙ H × ÇÒÕÅ G É ÉÎÏÇÄÁ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
[G : H ℄ def
= |G=H | :
ÉÎÄÅËÓÏÍ
ÅÏÒÅÍÁ 16.1 (ÔÅÏÒÅÍÁ ìÁÇÒÁÎÖÁ Ï ÉÎÄÅËÓÅ ÏÄÇÒÕÙ)
ðÏÒÑÄÏË É ÉÎÄÅËÓ ÌÀÂÏÊ ÏÄÇÒÕÙ H × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÇÒÕÅ G ÎÁÅÌÏ ÄÅÌÑÔ ÏÒÑÄÏË ÇÒÕÙ É [G : H ℄ = |G| : |H | .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÌÅ×ÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÏÂÒÁÔÎÙÅ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ÜÌÅÍÅÎÔÙ g2g1−1 É g1g2−1:
g1 H Lg g − 1
2 1
Lg g − 1
1 2
-
g2 H
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÂÒÁÔÎÙÍÉ ÂÉÅË ÉÑÍÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ×ÓÅ ÓÍÅÖÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ ÓÏÓÔÏÑÔ
ÉÚ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÒÁ×ÎÏÇÏ |eH | = |H | .
283
16.2. æÁËÔÏÒ ÇÒÕÙ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 16.2. ïÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÒÁ×ÏÇÏ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÇÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÉÚ ÕÒ. 15.21
ÎÁ ÏÄÇÒÕÕ H ⊂ G ÚÁÄÁ£Ô ÄÅÊÓÔ×ÉÅ R : H ⊂ - Aut (XG ) ÏÄÇÒÕÙ H ÎÁ
XG ÒÁ×ÙÍÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑÍÉ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÒÂÉÔÙ ÜÔÏÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÓÕÔØ ÌÅ×ÙÅ
ÓÍÅÖÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ ÏÄÇÒÕÙ H , É ∀ x ∈ XG StabH (x) = {e} . ðÏÌÕÞÉÔÅ ÏÔÓÀÄÁ
ÎÏ×ÙÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÒÅÄÌ. 16.1 É ÔÅÏÒ. 16.1.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 16.1
ðÏÒÑÄÏË ÌÀÂÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÇÒÕÙ ÎÁ ÅÌÏ ÄÅÌÉÔ ÏÒÑÄÏË ÇÒÕÙ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏÒÑÄÏË ÜÌÅÍÅÎÔÁ g ∈ G ÒÁ×ÅÎ ÏÒÑÄËÕ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÊ ÉÍ
ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÏÄÇÒÕÙ hgi ⊂ G.
16.1.2. ðÒÁ×ÙÅ ÓÍÅÖÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ ÇÒÕÙ G × ÄÉÚßÀÎËÔÎÏÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ
(ÉÌÉ
)
Hg def
= {hg | h ∈ H } :
(16-2)
ÏÄÇÒÕÙ H ⊂ G . óÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ÔÏÍÕ, ËÁË ÜÔÏ ÂÙÌÏ × ÕÒ. 16.2, ÒÁ×ÙÅ ÓÍÅÖÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ ÏÄÇÒÕÙ H Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÒÂÉÔÁÍÉ ÔÏÞÎÏÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÏÄÇÒÕÙ H
ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å XG ÌÅ×ÙÍÉ ÓÄ×ÉÇÁÍÉ:
L : H - Aut (XG ) ;
ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÜÌÅÍÅÎÔ h ∈ H ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ Lh : x 7→ hx .
ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï hx = x ×ÌÅÞ£Ô ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï h = e, ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒÙ ×ÓÅÈ
ÔÏÞÅË x ∈ XG ÓÏÓÔÏÑÔ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. ðÏÜÔÏÍÕ
ÄÌÉÎÙ ×ÓÅÈ ÏÒÂÉÔ ÌÅ×ÏÇÏ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÏÄÇÒÕÙ H ÎÁ XG ÒÁ×ÎÙ |H |,
É ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ €ÒÁ×ÕÀ ×ÅÒÓÉÀ ÔÅÏÒÅÍÙ ìÁÇÒÁÎÖÁ: ÞÉÓÌÏ ÒÁ×ÙÈ ÓÍÅÖÎÙÈ
ËÌÁÓÓÏ× ÌÀÂÏÊ ÏÄÇÒÕÙ H × ÌÀÂÏÊ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÇÒÕÅ G ÒÁ×ÎÏ |G| : |H | .
ÒÁ×ÙÈ ÓÍÅÖÎÙÈ ËÌÁÓ-
ÓÏ×
ÒÁ×ÙÈ ÓÄ×ÉÇÏ×
⊂
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 16.3. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÊÔÅ É ÄÏËÁÖÉÔÅ ÄÌÑ ÒÁ×ÙÈ ÓÍÅÖÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× ÁÎÁ-
ÌÏÇ ÒÅÄÌ. 16.1.
16.2. æÁËÔÏÒ ÇÒÕÙ. ðÏÙÔËÁ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÌÅ×ÙÈ
ÓÍÅÖÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× G=H ÎÅÁÂÅÌÅ×ÏÊ ÇÒÕÙ G ÆÏÒÍÕÌÏÊ
(g1H ) · (g2H ) def
= (g1 g2 )H ;
(16-3)
×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅËÏÒÒÅËÔÎÁ: ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÚÁÉÓÉ g1H = f1H É g2H = f2H ÏÄÎÉÈ
É ÔÅÈ ÖÅ ËÌÁÓÓÏ× ÍÏÇÕÔ ÒÉ×ÏÄÉÔØ Ë
ËÌÁÓÓÁÍ (g1g2)H 6= (f1f2)H .
ÒÁÚÌÉÞÎÙÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 16.4. ÷ÏÚØÍÅÍ × ËÁÞÅÓÔ×Å G ÇÒÕÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ S3 , Á × ËÁÞÅÓÔ×Å
H ⊂ G ÏÄÇÒÕÕ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
É ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÉ 12 . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ (16-3) × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅËÏÒÒÅËÔÎÁ.
õÍÎÏÖÅÎÉÅ (16-3) ÉÎÁÞÅ ÍÏÖÎÏ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÔØ ËÁË ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÌÅ×ÙÈ ÓÍÅÖÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× G=H , ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ
g7→gH-G
G=H , ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ËÁÖÄÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ ÇÒÕÙ ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÊ ÉÍ ÌÅ×ÙÊ ÓÍÅÖÎÙÊ ËÌÁÓÓ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÇÒÕ. ðÏÜÔÏÍÕ,
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÆÁË-
ÔÏÒÉÚÁ ÉÉ
284
§16. óÍÅÖÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ
ÅÓÌÉ ÆÏÒÍÕÌÁ (16-3) ËÏÒÒÅËÔÎÁ, ÏÄÇÒÕÁ H ⊂ G ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÑÄÒÏÍ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÇÒÕ. ñÄÒÁ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÇÒÕ ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÍ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ×ÙÄÅÌÑÀÝÉÍ ÉÈ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ ÒÏÞÉÈ ÏÄÇÒÕ. á ÉÍÅÎÎÏ,
ÅÓÌÉ ' : G1 - G2 | ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ É H = ker ', ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ g ∈ G É ÌÀÂÏÇÏ
h ∈ H ÜÌÅÍÅÎÔ ghg−1 ÌÅÖÉÔ × H , ÏÓËÏÌØËÕ
' ghg−1 = '(g)'(h)' g−1 = '(g)e'(g)−1 = e :
ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ g ∈ G ÍÙ ÉÍÅÅÍ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ gHg−1 ⊂ H . âÅÒÑ × Î£Í
g−1 ×ÍÅÓÔÏ g, ÏÌÕÞÁÅÍ ×ËÌÀÞÅÎÉÅ g−1 Hg ⊂ H , ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÅ ×ËÌÀÞÅÎÉÀ H ⊂
gHg−1. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, gHg−1 = H ÄÌÑ ×ÓÅÈ g ∈ G.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 16.1
(ÉÌÉ
) , ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏðÏÄÇÒÕÁ H ⊂ G ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
−1
ÇÏ g ∈ G ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï gHg = H , ÉÌÉ (ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ) gH = Hg .
íÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÁÔØ H ⊳ G ×ÍÅÓÔÏ H ⊂ G, ÅÓÌÉ H | ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÏÄÇÒÕÁ.
ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ
ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÊ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 16.2
äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÒÁ×ÉÌÏ g1H · g2H = (g1g2)H ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÌÏ ÎÁ G=H
ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÇÒÕÙ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÏÄÇÒÕÁ H ÂÙÌÁ ÎÏÒÍÁÌØÎÁ × G.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÓÔØ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ: ÅÓÌÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ
ÇÒÕÏ×ÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ËÏÒÒÅËÔÎÏ, ÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ G -- G=H
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÇÒÕ Ó ÑÄÒÏÍ H , É ÚÎÁÞÉÔ, H ÎÏÒÍÁÌØÎÁ.
îÁÏÂÏÒÏÔ, ÕÓÔØ H ÎÏÒÍÁÌØÎÁ, É ÕÓÔØ f1H = g1H É f2H = g2H . −ëÁË
ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ
× ÒÅÄÌ. 16.1, ÜÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÏÚÎÁÞÁÀÔ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ h1 = g1 1f1
−1
É−h12 = g2 f2 ÏÂÁ ÌÅÖÁÔ × H . éÚ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÓÔÉ H ×ÙÔÅËÁÅÔ ÔÏÇÄÁ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔ
g2 h1 g2 ÔÏÖÅ ÌÅÖÉÔ × H . õÍÎÏÖÁÑ
ÅÇÏ ÓÒÁ×Á−1ÎÁ−1h2 ∈ H , ÍÙ ÔÁËÖÅ
ÏÌÕÞÉÍ
−1
−1
−1
−1
ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ H , Ô. Å. g2 g1 f1 g2 g2 f2 = g2 g1 f1f2 = (g1g2) (f1f2) ∈ H .
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (g1g2) H = (f1f2) H , É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ËÌÁÓÓÏ× ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ËÏÒÒÅËÔÎÏ. ÷ÓÅ ÔÒÅÂÕÅÍÙÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ÇÒÕÙ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÜÔÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÎÁÓÌÅÄÕÀÔÓÑ ÉÚ G: ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔØ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ × G=H ×ÙÔÅËÁÅÔ
ÉÚ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ × G
(g1H · g2H ) · g3H = (g1g2)H · g3H = ((g1g2)g3)H =
= (g1(g2g3))H = g1H · (g2g3)H = g1H · (g2H · g3H ) ;
ÅÄÉÎÉÞÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ × G=H Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÌÁÓÓ eH = H , ÏÂÒÁÔÎÙÍ Ë ËÌÁÓÓÕ gH
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÌÁÓÓ g−1H .
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 16.2
íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÍÅÖÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ×1 G=H ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÏÄÇÒÕÙ H ⊂ G, ÎÁÄÅÌ£ÎÎÏÅ ÇÒÕÏ×ÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ (16-3), ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(ÉÌÉ
)
ÆÁËÔÏÒÏÍ
ÆÁËÔÏÒ ÇÒÕÏÊ
ÍÙ ÎÅ ÕÔÏÞÎÑÅÍ Ï ËÁËÉÈ ÓÍÅÖÎÙÈ ËÌÁÓÓÁÈ | ÌÅ×ÙÈ ÉÌÉ ÒÁ×ÙÈ | ÉÄ£Ô ÒÅÞØ, ÏÓËÏÌØËÕ
Õ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÏÄÇÒÕÙ ÌÅ×ÙÅ ÓÍÅÖÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÒÁ×ÙÍÉ: ∀ g ∈ G gH = Hg
1
285
16.2. æÁËÔÏÒ ÇÒÕÙ
ÇÒÕÙ G Ï ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÏÄÇÒÕÅ H . çÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÇÒÕ G g7→gH-- G=H
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. ÷ÌÏÖÅÎÉÅ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÏÄÇÒÕÙ
H × ÇÒÕÕ G ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÓÉÍ×ÏÌÏÍ H ⊳ G.
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 16.2
ìÀÂÏÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÇÒÕ G1 ' - G2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ÜÉÍÏÒÆÉÚÍÁ
ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ G1 -- G1= ker ' É ÍÏÎÏÍÏÒÆÉÚÍÁ G1= ker ' - G2 , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÇÏ ÓÍÅÖÎÙÊ ËÌÁÓÓ g ker ' ∈ G1= ker ' × ÜÌÅÍÅÎÔ '(g) ∈ G2.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. óÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÌÏÊ '−1 (g2 ) ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ '
ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ g2 ∈ G2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÅ×ÙÍ ÓÄ×ÉÇÏÍ ÑÄÒÁ ker ' ÎÁ ËÁËÏÊÎÉÂÕÄØ ÜÌÅÍÅÎÔ g1 ∈ '−1(g2). üÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÔÁË, ÏÓËÏÌØËÕ
'(f ) = '(g1 ) ⇐⇒ '(g1−1 f ) = '(g1−1 )'(f ) = e ⇐⇒ g1−1 f ∈ ker ' ;
Á ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ f ∈ g ker ' :
16.2.1. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÓÔÉ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÒÅÄÙÄÕÝÅÍÕ,
ÎÏÒÍÁÌØÎÏÓÔØ ÏÄÇÒÕÙ H ⊂ G ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ' :
G - G′ ÉÚ ÇÒÕÙ G × ËÁËÕÀ-ÎÉÂÕÄØ ÇÒÕÕ G′ , ÔÁËÏÊ ÞÔÏ H = ker ' . åÓÌÉ
ÇÒÕÁ G′ ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÎÁ ËÁË ÇÒÕÁ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ËÁËÏÇÏ-ÎÉÂÕÄØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X
(Á ÔÁËÁÑ ÒÅÁÌÉÚÁ ÉÑ, ËÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ × n◦ 15.4.1, ×ÓÅÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ | ÎÁÒÉÍÅÒ,
ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÌÅ×ÏÇÏ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÎÁ ÓÅÂÅ), ÔÏ ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ G - Aut X ÉÓÈÏÄÎÏÊ ÇÒÕÙ G ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á X , ÔÁËÏÅ
ÞÔÏ H Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÑÄÒÏÍ ÜÔÏÇÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÄÇÒÕÁ H ⊂ G
ÎÏÒÍÁÌØÎÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÉÍÅÅÔÓÑ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÇÒÕÙ G ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å X , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ H | ÜÔÏ ÓÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÉÚ G,
ËÏÔÏÒÙÅ ÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÎÁ ÍÅÓÔÅ ËÁÖÄÕÀ ÔÏÞËÕ X .
îÁÒÉÍÅÒ, ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÇÒÕÁ ËÕÂÁ SOËÕ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÔÒ£È ÏÔÒÅÚËÁÈ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÅÎÔÒÙ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ ËÕÂÁ. ñÄÒÏ ÜÔÏÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ |
ÄÉÜÄÒÁÌØÎÁÑ ÇÒÕÁ D2, ÓÏÓÔÏÑÝÁÑ ÉÚ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ É ÔÒ£È
Ï×ÏÒÏÔÏ× ÎÁ 180◦ ×ÏËÒÕÇ ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÜÔÉ ÏÔÒÅÚËÉ ÏÓÅÊ. ÅÍ ÓÁÍÙÍ,
D2 ⊂ SOËÕÂ ÎÏÒÍÁÌØÎÁ, É SOËÕÂ =D2 ≃ S3 .
⊂
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 16.5. ðÅÒÅÇÏ×ÏÒÉÔÅ ÒÅÄÙÄÕÝÉÊ ÁÂÚÁ
ÎÁ ÑÚÙËÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË, ÏÔÏÖÄÅÓÔ×É× ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÇÒÕÕ ËÕÂÁ Ó ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÏÊ S4 .
16.2.2. ðÒÉÍÅÒ: ÁÆÆÉÎÎÁÑ ÇÒÕÁ É ÇÒÕÁ ÓÄ×ÉÇÏ×. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÁÆÆÉÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á A ÎÁÄ ×ÅËÔÏÒÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ V ÂÉÅËÔÉ×ÎÙÅ ÁÆÆÉÎÎÙÅ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ1 A - A ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÇÒÕÕ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á A. üÔÁ
ÇÒÕÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á A É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ GA(A).
ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ D, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÁÆÆÉÎÎÏÍÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ F ÅÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÁÌ DF
D : GA(A) - GL(V )
ÁÆÆÉÎÎÏÊ ÇÒÕÏÊ
1
ÓÍ. n◦ 14.6.4
286
§16. óÍÅÖÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÙÍ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÇÒÕ. åÇÏ ÑÄÒÏ ker D ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÅÒÅÎÏÓÏ×. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÅ ÅÒÅÎÏÓÙ ÏÂÒÁÚÕÀÔ GA(A)
ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ÏÄÇÒÕÕ, ÉÚÏÍÏÒÆÎÕÀ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 16.6. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ F v F −1 = DF (v ) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ F ∈ GA(A) É
ÌÀÂÏÇÏ v ∈ V .
16.3. ðÒÏÓÔÙÅ ÇÒÕÙ. çÒÕÁ G ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÏÄÇÒÕ, ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ {e} É G. îÁÒÉÍÅÒ, ÌÀÂÁÑ ÇÒÕÁ
ÒÏÓÔÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÒÏÓÔÁ, ÏÓËÏÌØËÕ Ï ÔÅÏÒÅÍÅ ìÁÇÒÁÎÖÁ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ
ÎÉËÁËÉÈ ÏÄÇÒÕ ËÒÏÍÅ {e} É G. óÏÇÌÁÓÎÏ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ (ÓÌ. 15.2) ÒÏÓÔÏÔÁ
ÇÒÕÙ G ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ G - G′ ÌÉÂÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
×ÌÏÖÅÎÉÅÍ, ÌÉÂÏ ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔ ×ÓÀ ÇÒÕÕ G × ÅÄÉÎÉ Õ e′ ∈ G′.
ïÄÎÉÍ ÉÚ ËÒÕÎÙÈ ÄÏÓÔÉÖÅÎÉÊ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ XX ×ÅËÁ ÂÙÌÏ ÓÏÚÄÁÎÉÅ ÏÌÎÏÇÏ ÓÉÓËÁ ×ÓÅÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÒÏÓÔÙÈ ÇÒÕ. üÔÏÔ ÓÉÓÏË ÏÔËÒÙ×ÁÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÁÑ
ÓÅÒÉÑ ÚÎÁËÏÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÇÒÕ An Ó n ⩾ 5 .
ÒÏÓÔÏÊ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 16.3
úÎÁËÏÅÒÅÍÅÎÎÁÑ ÇÒÕÁ A5 ÒÏÓÔÁ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ H ⊳ A5 . ÏÇÄÁ ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ g ∈ H
× ÏÄÇÒÕÕ H ×ÏÊÄÕÔ É ×ÓÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÅ g × A5. ëÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ × n◦ 15.4.4, ÏÒÂÉÔÁ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ g ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÉÓÏÅÄÉΣÎÎÏÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ
ÏÌÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÅ S5 ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÔÏÇÏ ÖÅ ÉËÌÏ×ÏÇÏ ÔÉÁ, ÞÔÏ É g. ðÏÓËÏÌØËÕ g Þ£ÔÎÁ, Å£ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ àÎÇÁ ÉÍÅÅÔ Þ£ÔÎÏÅ
ÞÉÓÌÏ ÓÔÒÏË Þ£ÔÎÏÊ ÄÌÉÎÙ. ÷ÓÅÇÏ ÉÍÅÅÔÓÑ 4 ÔÁËÉÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ×ÅÓÁ 5:
;
(16-4)
ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÅ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÉËÌÁÍ ÄÌÉÎÙ 5, ÉËÌÁÍ ÄÌÉÎÙ 3, ÁÒÁÍ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ É ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ.
åÓÌÉ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÔØ A5 Ó ÇÒÕÏÊ ×ÒÁÝÅÎÉÊ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ, ËÁË × n◦ 15.3.5, ÔÏ
ÜÔÉ ËÌÁÓÓÙ ÒÅ×ÒÁÔÑÔÓÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, × Ï×ÏÒÏÔÙ ÎÁ ÕÇÌÙ 2k=5 ×ÏËÒÕÇ
ÏÓÅÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒÙ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÇÒÁÎÅÊ, Ï×ÏÒÏÔÙ ÎÁ ÕÇÌÙ
±2=3 ×ÏËÒÕÇ ÏÓÅÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ, É Ï×ÏÒÏÔÙ
ÎÁ 180◦ ×ÏËÒÕÇ ÏÓÅÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÓÅÒÅÄÉÎÙ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ Ò£ÂÅÒ.
ðÏÓËÏÌØËÕ ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ ÁÒÙ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ×ÅÒÛÉÎ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ ÅÒÅ×ÏÄÑÔÓÑ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ ÏÄÈÏÄÑÝÉÍ ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ, ×ÓÅ Ï×ÏÒÏÔÙ ÎÁ
±2=3 ÓÏÒÑÖÅÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÀ ÎÅ ÔÏÌØËÏ × S5 , ÎÏ É × A5 . ðÏ ÔÅÍ ÖÅ ÒÉÞÉÎÁÍ ÓÏÒÑÖÅÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÀ × A5 É ×ÓÅ ÁÒÙ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ. á
×ÏÔ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÑÔÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÁÓÁÄÁÀÔÓÑ ÎÁ Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ
ËÌÁÓÓÁ: 12 ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÈ ×ÒÁÝÅÎÉÊ ÎÁ ÕÇÌÙ ±=5 É 12 ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÈ ×ÒÁÝÅÎÉÊ
ÎÁ ÕÇÌÙ ±2=5.
16.4. p-ÇÒÕÙ
287
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 16.7. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÉ ÇÒÕÙ S5 ÎÁ ÓÅÂÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ-
ÍÉ, ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒ ÌÀÂÏÇÏ ÉËÌÁ ÄÌÉÎÙ 5 ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÅÞ£ÔÎÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË, Á
ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒÙ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ×ÓÅÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ × (16-4) ÉËÌÏ×ÙÈ
ÔÉÏ× ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÎÅÞ£ÔÎÕÀ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ. ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÏÔÓÀÄÁ ÎÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÝÅÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ Ó ÇÒÕÏÊ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ËÌÁÓÓ ÓÏÒÑÖ£ÎÎÏÓÔÉ
ÉËÌÁ ÄÌÉÎÙ 5 × S5 ÒÁÓÁÄÁÅÔÓÑ × A5 ÎÁ Ä×Á ËÌÁÓÓÁ, Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÔÒÉ ËÌÁÓÓÁ ÉÚ
(16-4) ÏÓÔÁÀÔÓÑ ËÌÁÓÓÁÍÉ ÓÏÒÑÖ£ÎÎÏÓÔÉ É × A5 .
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, × ÚÎÁËÏÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÇÒÕÅ A5 ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ 5 ËÌÁÓÓÏ× ÓÏÒÑÖ£ÎÎÏÓÔÉ: ËÌÁÓÓ ÅÄÉÎÉ Ù, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ 1 ÜÌÅÍÅÎÔ, ËÌÁÓÓ ÉËÌÏ× ÄÌÉÎÙ 3, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ 20 ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ËÌÁÓÓ ÁÒ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ 15
ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, É Ä×Á ËÌÁÓÓÁ ÉËÌÏ× ÄÌÉÎÙ 5, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ Ï 12 ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ðÏÓËÏÌØËÕ e ∈ H , É ÌÀÂÏÊ ÉÚ ÞÅÔÙÒ£È ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ËÌÁÓÓÏ× ÌÉÂÏ ×ÈÏÄÉÔ × H ÅÌÉËÏÍ,
ÌÉÂÏ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó H , ÏÒÑÄÏË ÏÄÇÒÕÙ H ÒÁ×ÅÎ
|H | = 1 + 12"1 + 12"2 + 20"3 + 15"4 ;
(16-5)
ÇÄÅ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× "k ÒÁ×ÅÎ ÌÉÂÏ 1, ÌÉÂÏ 0. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, Ï
ÔÅÏÒ. 16.1 |H | Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ |A5| = 60.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 16.8. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÆÏÒÍÕÌÙ (16-5) ÄÅÌÉÔ 60 = 3 · 4 · 5
ÒÏ×ÎÏ × Ä×ÕÈ ÓÌÕÞÁÑÈ: ËÏÇÄÁ ×ÓÅ "k = 1 ÉÌÉ ËÏÇÄÁ ×ÓÅ "k = 0 .
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÏÄÇÒÕÙ × A5 ÉÓÞÅÒÙ×ÁÀÔÓÑ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÏÄÇÒÕÏÊ É ×ÓÅÊ ÇÒÕÏÊ A5, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 16.9. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÚÎÁËÏÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ÇÒÕÙ An Ó n > 5 ÔÏÖÅ
ÒÏÓÔÙ.
16.4.
p-ÇÒÕÙ. çÒÕÁ ÏÒÑÄËÁ pn, ÇÄÅ p ∈ N | ÒÏÓÔÏÅ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ p-
. ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ ÏÄÇÒÕÙ p-ÇÒÕÙ ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ p-ÇÒÕÁÍÉ, ÄÌÉÎÁ ÌÀÂÏÊ ÏÒÂÉÔÙ p-ÇÒÕÙ ÒÉ ÌÀÂÏÍ Å£ ÄÅÊÓÔ×ÉÉ ÎÁ ÌÀÂÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÌÉÂÏ
ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p, ÌÉÂÏ ÒÁ×ÎÁ ÅÄÉÎÉ Å. íÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÏÓÔÏÅ, ÎÏ ÏÌÅÚÎÏÅ
ÇÒÕÏÊ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 16.4
ðÕÓÔØ p-ÇÒÕÁ G ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å X , ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ËÏÔÏÒÏÍ ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p . ÏÇÄÁ G ÉÍÅÅÔ ÎÁ X ÎÅÏÄ×ÉÖÎÕÀ ÔÏÞËÕ.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 16.3
ìÀÂÁÑ p-ÇÒÕÁ ÉÍÅÅÔ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÅÎÔÒ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÉÓÏÅÄÉΣÎÎÏÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÇÒÕÙ ÎÁ ÓÅÂÅ. ãÅÎÔÒ
ÇÒÕÙ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÈ ÔÏÞÅË ÜÔÏÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ.
ðÏÓËÏÌØËÕ É ÞÉÓÌÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÇÒÕÅ, É ÄÌÉÎÙ ×ÓÅÈ ÏÒÂÉÔ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÂÏÌÅÅ
ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÉ, ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ p, ËÒÏÍÅ ÏÄÎÏÔÏÞÅÞÎÏÊ ÏÒÂÉÔÙ e ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÔØ É ÄÒÕÇÉÅ
ÏÄÎÏÔÏÞÅÞÎÙÅ ÏÒÂÉÔÙ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 16.10. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÇÒÕÁ G ÏÒÑÄËÁ p2 (ÇÄÅ p ÒÏÓÔÏÅ)
ÁÂÅÌÅ×Á.
288
§16. óÍÅÖÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ
16.4.1. óÉÌÏ×ÓËÉÅ ÏÄÇÒÕÙ. ðÕÓÔØ G | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÇÒÕÁ.
úÁÉÛÅÍ Å£ ÏÒÑÄÏË × ×ÉÄÅ |G| = pnm, ÇÄÅ p | ÒÏÓÔÏÅ, n ⩾ 1, É m ×ÚÁÉÍÎÏ
ÒÏÓÔÏ Ó p . ÷ÓÑËÁÑ ÏÄÇÒÕÁ S ⊂ G ÏÒÑÄËÁ |S| = pn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
p
× G. ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÉÌÏ×ÓËÉÈ p-ÏÄÇÒÕ × G ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ
Np ( G ) .
ÓÉÌÏ×ÓËÏÊ
-ÏÄÇÒÕÏÊ
ÅÏÒÅÍÁ 16.2 (ÔÅÏÒÅÍÁ óÉÌÏ×Á)
äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ p, ÄÅÌÑÝÅÇÏ |G|, ÓÉÌÏ×ÓËÉÅ p-ÏÄÇÒÕÙ × G ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ. ÷ÓÅ ÏÎÉ ÓÏÒÑÖÅÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ, É ÌÀÂÁÑ p-ÏÄÇÒÕÁ × G ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ×
ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÓÉÌÏ×ÓËÏÊ p-ÏÄÇÒÕÅ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ |G| = qm, ÇÄÅ q = pn É m ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÏ Ó p . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Eq ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï q-ÜÌÅÍÅÎÔÎÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ× × G É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ
G ÎÁ Eq , ÉÎÄÕ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÌÅ×ÙÍ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ G ÎÁ ÓÅÂÅ. óÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒ ÔÏÞËÉ F ∈ E ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× g ∈ G, ÌÅ×ÏÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ
ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï F ⊂ G × ÓÅÂÑ: Stab(F ) = {g ∈ G | gF ⊂ F } .
ìÅÍÍÁ 16.1
|Stab(F )| ÄÅÌÉÔ |F | , É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï |Stab(F )| = |F | ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ F Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÙÍ ÓÍÅÖÎÙÍ ËÌÁÓÓÏÍ ÏÄÇÒÕÙ Stab(F ) ⊂ G.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. Stab(F ) Ó×ÏÂÏÄÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ F , É ËÁÖÄÁÑ ÏÒÂÉÔÁ ÜÔÏÇÏ
ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ |Stab(F )| ÔÏÞÅË, Ô. Ë. g1x 6= g2x ÒÉ g1 6= g2. ðÏÓËÏÌØËÕ F
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÉÚßÀÎËÔÎÙÍ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ÏÒÂÉÔ, |F | ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ |Stab(F )|. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï |Stab(F )| = |F | ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ F ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÏÄÎÕ ÏÒÂÉÔÕ, Ô. Å.
F = {gx | g ∈ Stab(F )} = Stab(F ) · x ÅÓÔØ ÒÁ×ÙÊ ÓÄ×ÉÇ ÏÄÇÒÕÙ Stab(F ) ÎÁ
ÜÌÅÍÅÎÔ x ∈ F .
ìÅÍÍÁ 16.2
pn m ≡ m
|Eq |
pn
=
(mod p) (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, |Eq | ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p).
n
pn m äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ëÌÁÓÓ ×ÙÞÅÔÏ× pn (mod p) ÒÁ×ÅÎ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÕ ÒÉ xp ×
ÂÉÎÏÍÅ (1+ x)pnm, ÒÁÓËÒÙÔÏÍ ÎÁÄ ÏÌÅÍ Fp = Z=(p) . ðÏÓËÏÌØËÕ (a + b)p = ap + bp
ÎÁÄ Fp, ÏÌÕÞÁÅÍ
n−1
(1 + x)pnm = (1 + x)pp m = (1 + xp)pn m =
n
n
= (1 + xp)pp m = 1 +xp p m = : : :
n m
· · · = 1 + xp
= 1 + mxpn + ÓÔÁÒÛÉÅ ÓÔÅÅÎÉ
ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.
÷ÅÒΣÍÓÑ Ë ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÔÅÏÒÅÍÙ óÉÌÏ×Á. óÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍ. 16.1, ÏÒÑÄÏË
|Stab(F )| ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ ×ÚÑÔÏÊ ÔÏÞËÉ F ∈ Eq Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ
q = pn . åÓÌÉ |Stab(F )| < q, ÄÌÉÎÁ ÏÒÂÉÔÙ ÔÏÞËÉ F ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p. ðÏÓËÏÌØËÕ |Eq |
−1
−2
2
−2
16.4. p-ÇÒÕÙ
289
ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p, ÎÁÊÄ£ÔÓÑ Fs ∈ Eq ÓÏ ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒÏÍ ÏÒÑÄËÁ |Stab(Fs)| = q =
|Fs |. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÏÄÇÒÕÁ P = Stab(Fs ) ⊂ G | ÓÉÌÏ×ÓËÁÑ.
äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÊ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÉÎÁ ÏÒÂÉÔÙ
GFs ÒÁÎÁ m, ÔÁË ÞÔÏ ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ ÜÔÏÊ ÏÒÂÉÔÙ | ÓÉÌÏ×ÓËÁÑ
p-ÏÄÇÒÕÁ. ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ p-ÏÄÇÒÕÁ H ⊂ G, ÄÅÊÓÔ×ÕÑ ÎÁ GFs , ÉÍÅÅÔ Ï
ÒÅÄÌ. 16.4 ÎÅÏÄ×ÉÖÎÕÀ ÔÏÞËÕ F ∈ GFs É, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÓÉÌÏ×ÓËÏÊ p-ÏÄÇÒÕÅ Stab(F ). ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ H ÓÁÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÌÏ×ÓËÏÊ, ÍÙ
ÏÌÕÞÉÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï H = Stab(F ) , Ô. Å. ÌÀÂÁÑ ÓÉÌÏ×ÓËÁÑ ÏÄÇÒÕÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒÏÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÉ ÉÚ ÏÒÂÉÔÙ GFs. ÁË ËÁË ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒÙ ×ÓÅÈ
ÔÏÞÅË ÏÄÎÏÊ ÏÒÂÉÔÙ ÓÏÒÑÖÅÎÙ, ×ÓÅ ÓÉÌÏ×ÓËÉÅ ÏÄÇÒÕÙ ÓÏÒÑÖÅÎÙ.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 16.4 (ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÔÅÏÒÅÍÅ óÉÌÏ×Á)
÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÔÅÏÒÅÍÙ óÉÌÏ×Á ÞÉÓÌÏ Np ÓÉÌÏ×ÓËÉÈ p-ÏÄÇÒÕ × G ÄÅÌÉÔ m É
ÓÒÁ×ÎÉÍÏ ÅÄÉÎÉ ÅÊ Ï ÍÏÄÕÌÀ p.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÉÌÏ×ÓËÉÈ p-ÏÄÇÒÕ × G ÞÅÒÅÚ S
É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ G ÎÁ S , ÉÎÄÕ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÒÉÓÏÅÄÉΣÎÎÙÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ G ÎÁ ÓÅÂÅ. ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ óÉÌÏ×Á ÜÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, ÏÔËÕÄÁ |S | =
|G|=|Stab(P )|, ÇÄÅ P ∈ S | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ ×ÚÑÔÁÑ ÓÉÌÏ×ÓËÁÑ p-ÏÄÇÒÕÁ. ðÏÓËÏÌØËÕ P ⊂ Stab(P ) , ÏÒÑÄÏË |Stab(P )| ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ |P | = pn, Á ÚÎÁÞÉÔ |S |
ÄÅÌÉÔ |G|=pn = m, ÞÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÅÒ×ÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ.
äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ×ÔÏÒÏÇÏ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ P ,
ÄÅÊÓÔ×ÕÑ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑÍÉ ÎÁ S , ÉÍÅÅÔ ÔÁÍ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÕ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÕÀ ÔÏÞËÕ, Á
ÉÍÅÎÎÏ, ÓÁÍÕ ÓÅÂÑ. ÏÇÄÁ ÏÒÑÄËÉ ×ÓÅÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ P -ÏÒÂÉÔ ÂÕÄÕÔ ÄÅÌÉÔØÓÑ ÎÁ
p, É ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ |S | ≡ 1 (mod p).
ðÕÓÔØ ÓÉÌÏ×ÓËÁÑ ÏÄÇÒÕÁ H ∈ S ÎÅÏÄ×ÉÖÎÁ ÒÉ ÓÏÒÑÖÅÎÉÉ ÏÄÇÒÕÏÊ
P . üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ P ⊂ Stab(H ) = {g ∈ G | gHg−1 ⊂ H } . ðÏÓËÏÌØËÕ H ⊂
Stab(H ) ⊂ G, ÏÒÑÄÏË |Stab(H )| = pnm′, ÇÄÅ m′|m É ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÏ Ó p. ÁËÉÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ, É P É H Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÉÌÏ×ÓËÉÍÉ p-ÏÄÇÒÕÁÍÉ × Stab(H ), ÒÉÞ£Í H
ÎÏÒÍÁÌØÎÁ × Stab(H ). ÁË ËÁË ×ÓÅ ÓÉÌÏ×ÓËÉÅ ÏÄÇÒÕÙ ÓÏÒÑÖÅÎÙ, H = P ,
ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.
16.4.2. óÔÒÏÅÎÉÅ ÎÅÂÏÌØÛÉÈ ÇÒÕ ÞÁÓÔÏ ÕÄÁ£ÔÓÑ ÏÌÎÏÓÔØÀ ×ÙÑÓÎÉÔØ
ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÔÅÏÒÅÍÙ óÉÌÏ×Á É ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ Ë ÎÅÊ.
îÁÒÉÍÅÒ, ÕÓÔØ |G| = 15. ÏÇÄÁ × G ÅÓÔØ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ ÓÉÌÏ×ÓËÁÑ ÏÄÇÒÕÁ
H3 ≃ Z=(3) ÏÒÑÄËÁ 3 É ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ ÓÉÌÏ×ÓËÁÑ ÏÄÇÒÕÁ H5 ≃ Z=(5) ÏÒÑÄËÁ 5.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÂÅ ÏÎÉ ÎÏÒÍÁÌØÎÙ. ðÏÓËÏÌØËÕ H3 É H5 Ë ÔÏÍÕ ÖÅ ÅÝ£ É ÒÏÓÔÙ
H3 ∩ H5 = e. ðÏÜÔÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ab Ó a ∈ H3 , b ∈ H5 ×ÓÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙ. îÁËÏÎÅ ,
ab = ba, Ô. Ë. aba−1 b−1 ∈ H5 ∩ H3 = e . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, G = Z=(3) × Z=(5) .
åÝ£ ÒÉÍÅÒ: ÏÉÛÅÍ ×ÓÅ ÇÒÕÙ G ÏÒÑÄËÁ 10. ÷ G ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ ÓÉÌÏ×ÓËÁÑ ÏÄÇÒÕÁ H5 ≃ Z=(5) ÏÒÑÄËÁ 5, É ÏÎÁ, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÎÏÒÍÁÌØÎÁ. ëÒÏÍÅ
ÔÏÇÏ, × G ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÌÉÂÏ 1, ÌÉÂÏ 5 ÓÉÌÏ×ÓËÉÈ ÏÄÇÒÕ ÏÒÑÄËÁ 2, ËÁÖÄÁÑ
ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏ ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó H5. åÓÌÉ ÏÄÇÒÕÁ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ
ÏÄÎÁ, ÔÏ ÍÙ, ËÁË É ×ÙÛÅ, ÏÌÕÞÉÍ G ≃ Z=(5) × Z=(2) . åÓÌÉ Ä×ÕÈÜÌÅÍÅÎÔÎÙÈ
290
úÁÄÁÞÉ Ë §16
ÏÄÇÒÕ 5, ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÏÄÎÕ ÉÚ ÎÉÈ ÞÅÒÅÚ H2 É ÏÓÍÏÔÒÉÍ Å£ ÒÉÓÏÅÄÉÎÅÎÎÏÅ
ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÎÁ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ÏÄÇÒÕÅ H5 .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 16.11. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÇÒÕÁ Aut (Z=(5)) ≃ Z=(4) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ
ÓÏÂÏÀ ÉËÌÉÞÅÓËÕÀ ÇÒÕÕ, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÕÀ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÍ ËÌÁÓÓ
[1℄ ∈ Z=(5) × ËÌÁÓÓ [2℄ ∈ Z=(5).
ðÒÉÓÏÅÄÉΣÎÎÏÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ H2 - Aut (H5) ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÜÌÅÍÅÎÔ b 6= e ÉÚ H2
ÌÉÂÏ × ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍ H5, ÌÉÂÏ × Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ, ËÁËÏ×ÏÊ ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ | ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÊ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ a ∈ H5
× a−1 . ÷ ÅÒ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÄÇÒÕÁ H2 ËÏÍÍÕÔÉÒÕÅÔ Ó ÏÄÇÒÕÏÊ H5, ÏÔËÕÄÁ
G = H2 × H5 ≃ Z=(5) × Z=(2). ÷Ï ×ÔÏÒÏÍ ÓÌÕÞÁÅ bab−1 = a−1 É ÇÒÕÁ G ≃ D5 |
ÏÄÇÒÕÁ H5 ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÄÇÒÕÕ Ï×ÏÒÏÔÏ×, ÑÔØ ÓÉÌÏ×ÓËÉÈ ÏÄÇÒÕ ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÏÒÏÖÄÁÀÔÓÑ ÑÔØÀ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑÍÉ, ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÍÉ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÀ ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ Ï×ÏÒÏÔÏ×, É ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ ÌÀÂÙÍ ÏÔÒÁÖÅÎÉÅÍ ÉÚÍÅÎÑÅÔ
ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÊ Ï×ÏÒÏÔ ÎÁ ÏÂÒÁÔÎÙÊ.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §16
úÁÄÁÞÁ 16.1. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÇÒÕÁ ÒÏÓÔÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ
ÉËÌÉÞÅÓËÁÑ.
úÁÄÁÞÁ 16.2. ÷ÅÒÎÏ ÌÉ, ÞÔÏ × ÇÒÕÅ Þ£ÔÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ×ÓÅÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔ
ÏÒÑÄËÁ 2?
úÁÄÁÞÁ 16.3. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÕÁ Sn ÒÉ n ⩾ 3 ÉÍÅÅÔ ÔÒÉ×ÉÁÌØ-
ÎÙÊ ÅÎÔÒ: Z (Sn ) = {e} (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÒÉÓÏÅÄÉΣÎÎÏÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ ÎÁ ÓÅÂÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞÎÙÍ).
úÁÄÁÞÁ 16.4. ðÕÓÔØ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÌÅ×ÙÈ ÓÍÅÖÎÙÈ ËÌÁÓÓÏ× ÎÅËÏÔÏÒÏÊ
ÏÄÇÒÕÙ H ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÅ×ÙÍ ÓÍÅÖÎÙÍ ËÌÁÓÓÏÍ ÏÄÇÒÕÙ H . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ H ÎÏÒÍÁÌØÎÁ.
úÁÄÁÞÁ 16.5. ä×Å ÎÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÏÄÇÒÕÙ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ Ï ÅÄÉÎÉ Å. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
ÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ.
úÁÄÁÞÁ 16.6. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ×ÓÅ ÎÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÏÄÇÒÕÙ ÇÒÕ: Á) D3 Â) D4 ×) Q8 É
ÏÉÛÉÔÅ ÆÁËÔÏÒ ÇÒÕÙ Ï ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÎÉÈ.
úÁÄÁÞÁ 16.7. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ×ÓÅ ÏÄÇÒÕÙ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ S4 , ×ÙÑÓÎÉÔÅ,
ËÁËÉÅ ÉÚ ÎÉÈ ÎÏÒÍÁÌØÎÙ, É ÏÉÛÉÔÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÆÁËÔÏÒ ÇÒÕÙ.
úÁÄÁÞÁ 16.8. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÇÒÕÕ G ×ÓÅÈ Ä×ÉÖÅÎÉÊ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ R2 É ÏÂÏ-
ÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ` É Tp; ÏÓÅ×ÕÀ ÓÉÍÍÅÔÒÉÀ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÑÍÏÊ ` É Ï×ÏÒÏÔ ÎÁ
ÕÇÏÌ ×ÏËÒÕÇ ÔÏÞËÉ p ∈ R2 . õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ g` g−1 = g(`) É gTp; g−1 = Tg(p);
ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ Ä×ÉÖÅÎÉÑ g ∈ G. þÔÏ ÉÚÍÅÎÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ Ä×ÉÖÅÎÉÅ g
ÂÕÄÅÔ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ?
291
úÁÄÁÞÉ Ë §16
úÁÄÁÞÁ 16.9 (ÒÏÓÔÏÔÁ ÇÒÕÙ SO3 ). òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÇÒÕÕ SO3 (R) ×ÓÅÈ ×ÒÁÝÅÎÉÊ
Å×ËÌÉÄÏ×Á ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á R3 É ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÁÒÙ v ∈ R3 , ' ∈ R
ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Rv;' ∈ SO3 (R) Ï×ÏÒÏÔ ×ÏËÒÕÇ ÏÓÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ×ÅËÔÏÒ v
ÎÁ ÕÇÏÌ ' Ï þó, ÅÓÌÉ ÓÍÏÔÒÅÔØ × ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ ×ÅËÔÏÒÁ v. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
F Rv;' F −1 = RF v;' ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ F ∈ SO3 , É ×Ù×ÅÄÉÔÅ ÏÔÓÀÄÁ, ÞÔÏ ÇÒÕÁ SO3
ÒÏÓÔÁ.
úÁÄÁÞÁ 16.10. ðÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÒÉÍÅÒ Ä×ÕÈ ÎÅÉÚÏÍÏÒÆÎÙÈ ÇÒÕ G1 É G2 É ÉÈ ÎÏÒÍÁÌØ-
ÎÙÈ ÏÄÇÒÕ H1 ⊳ G1 É H2 ⊳ G2 , ÔÁËÉÈ ÞÔÏ G1 =H1 ≃ G2 =H2 .
úÁÄÁÞÁ 16.11. éÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÏÄÇÒÕÁ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÇÒÕÙ G ÎÏÒÍÁÌØÎÁ. ÷ÅÒ-
ÎÏ ÌÉ, ÞÔÏ G ÁÂÅÌÅ×Á?
úÁÄÁÞÁ 16.12. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÇÒÕÁ ÏÒÑÄËÁ 2p, ÇÄÅ p | ÎÅÞ£ÔÎÏÅ ÒÏÓÔÏÅ
ÞÉÓÌÏ, ÌÉÂÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ, ÌÉÂÏ ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÇÒÕÅ ÄÉÜÄÒÁ Dp.
úÁÄÁÞÁ 16.13. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ ÏÄÇÒÕ ÇÒÕÙ G, ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÈ ÄÁÎÎÏÊ ÏÄ-
ÇÒÕÅ H ⊂ G, ÒÁ×ÎÏ ÉÎÄÅËÓÕ Å£ ÎÏÒÍÁÌÉÚÁÔÏÒÁ N (H ) = {g ∈ G | gHg−1 = H }.
úÁÄÁÞÁ 16.14. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ ËÌÁÓÓÙ ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× Ó ÕËÁÚÁÎÉÅÍ ÞÉÓÌÁ ÜÌÅ-
ÍÅÎÔÏ× × ËÁÖÄÏÍ ËÌÁÓÓÅ ÄÌÑ ÚÎÁËÏÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÇÒÕ Á) A3 Â) A4 ×) A6 . ëÁËÉÅ ËÌÁÓÓÙ ÓÏÒÑÖ£ÎÎÏÓÔÉ × Sn ÒÁÓÁÄÁÀÔÓÑ ÎÁ ÎÅÓËÏÌØËÏ ËÌÁÓÓÏ× ÓÏÒÑÖ£ÎÎÏÓÔÉ × An ?
úÁÄÁÞÁ 16.15. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÄÇÒÕÁ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÎÏÒÍÁÌØÎÁ ×
ÇÒÕÅ ×ÓÅÈ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×.
úÁÄÁÞÁ 16.16. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÅ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÙ ÚÎÁËÏÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÇÒÕÙ
A5 ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÏÄÇÒÕÕ ÉÎÄÅËÓÁ 2 × ÇÒÕÅ ×ÓÅÈ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÇÒÕÙ A5 .
úÁÄÁÞÁ 16.17* . ðÏÓÔÒÏÊÔÅ ×ÎÅÛÎÉÊ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ1 S6 .
úÁÄÁÞÁ 16.18. ïÉÛÉÔÅ ÇÒÕÙ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÇÒÕ:
Á) Z=(n)
Â) Z=(2) × Z=(2)
×) D3
Ç) D4
Ä) Q8 (ÓÍ. ÚÁÄ. 15.2).
õ ËÁËÉÈ ÉÚ ÜÔÉÈ ÇÒÕ ×ÓÅ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍÉ?
úÁÄÁÞÁ 16.19. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÏÄÇÒÕÁ, ÉÎÄÅËÓ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁ×ÅÎ ÎÁÉÍÅÎØÛÅ-
ÍÕ ÒÏÓÔÏÍÕ ÞÉÓÌÕ, ÄÅÌÑÝÅÍÕ ÏÒÑÄÏË ÇÒÕÙ ÎÏÒÍÁÌØÎÁ (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÌÀÂÁÑ
ÏÄÇÒÕÁ ÉÎÄÅËÓÁ 2 ÎÏÒÍÁÌØÎÁ, × ÇÒÕÅ ÎÅÞ£ÔÎÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ ÌÀÂÁÑ ÏÄÇÒÕÁ
ÉÎÄÅËÓÁ 3 ÎÏÒÍÁÌØÎÁ É Ô. Ä.).
úÁÄÁÞÁ 16.20. ðÅÒÅÞÉÓÌÉÔÅ (Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ) ×ÓÅ ÇÒÕÙ ÏÒÑÄËÁ ⩽
15.
ÏÄÓËÁÚËÁ: ÎÁÊÄÉÔÅ × S Ä×Á ÒÁÚÎÙÈ ËÌÁÓÓÁ ÓÏÒÑÖ£ÎÎÏÓÔÉ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÅ ÉÚ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÇÏ
ÞÉÓÌÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, É ÏÙÔÁÊÔÅÓØ €ÅÒÅÓÔÁ×ÉÔ؁ ÉÈ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ ÏÄÈÏÄÑÝÉÍ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ
1
6
§17. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ
17.1. âÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÆÏÒÍÙ. ðÕÓÔØ V | ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ k. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
: V × V (u;w)7→ (u;w) - k ;
ÌÉÎÅÊÎÏÅ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ Ä×ÕÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÄÒÕÇÏÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V . âÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÆÏÒÍÙ ÎÁ V ÏÂÒÁÚÕÀÔ
×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÆÕÎË ÉÊ V × V - k.
ðÒÉÍÅÒÏÍ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÉÚ n◦ 14.1.
ðÕÓÔØ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ
V1 É V2 ÚÁÄÁÎÙ ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÆÏÒÍÙ 1 É 2 . ìÉÎÅÊfV2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(ÉÌÉ
ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ V1
), ÅÓÌÉ 1(v; w) = 2(f (v); f (w)) ∀ v; w ∈ V1. âÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÆÏÒÍÙ 1 É 2 ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÍÅÖÄÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ V1 É V2
ÉÍÅÅÔÓÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ.
17.1.1. íÁÔÒÉ Ù çÒÁÍÁ. ëÁË É × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, Õ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ×ÅËÔÏÒÏ× v1; v2; : : : ; vm ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V Ó ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ÉÍÅÅÔÓÑ
, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÁÑ ÓÏÂÏÀ ÔÁÂÌÉ Õ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÏÒÍÙ ÎÁ ÁÒÁÈ
×ÅËÔÏÒÏ× ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ1: Bv = (v; v ) . åÓÌÉ ÏÄÉÎ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× ÌÉÎÅÊÎÏ
×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÄÒÕÇÏÊ ËÁË w = v Cvw , ÔÏ ÍÁÔÒÉ Á çÒÁÍÁ Bw ÅÒÅÓÞÉÔÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÍÁÔÒÉ Õ çÒÁÍÁ Bv Ï ÆÏÒÍÕÌÅ
t G C ;
Bw = Cvw
(17-1)
v vw
ÇÄÅ Cvwt ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ ÍÁÔÒÉ Õ, ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÕÀ Ë Cvw .
ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ
ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ
ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ
ÉÚÏÍÏÒÆÎÙÍÉ
ÍÁÔÒÉ Á çÒÁÍÁ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 17.1. äÏËÁÖÉÔÅ ÜÔÏ.
ðÕÓÔØ ÆÏÒÍÁ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å U ÉÍÅÅÔ × ÂÁÚÉÓÅ u ÍÁÔÒÉ Õ çÒÁÍÁ A,∼ÆÏÒÍÁ ÎÁ W ÉÍÅÅÔ × ÂÁÚÉÓÅ w ÍÁÔÒÉ Õ B , Á ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ f : U - W
ÉÍÅÅÔ × ÂÁÚÉÓÁÈ u É w ÍÁÔÒÉ Õ Fwu. éÚÏÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ F ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ
(ui; uj ) = (f (ui); f (uj )), ËÏÔÏÒÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Á A ÒÁ×ÎÁ ÍÁÔÒÉ Å
çÒÁÍÁ ÆÏÒÍÙ × ÂÁÚÉÓÅ f (u) = w Fwu. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, f Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÆÏÒÍ É ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ A = Fwut BFwu . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ,
ÉÚÏÍÏÒÆÎÏÓÔØ Ä×ÕÈ ÆÏÒÍ ÎÁ ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÉÈ
ÍÁÔÒÉ Ù çÒÁÍÁ A É B , ÚÁÉÓÁÎÎÙÅ × ÏÄÎÏÍ É ÔÏÍ ÖÅ ÂÁÚÉÓÅ, Ó×ÑÚÁÎÙ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ A = C tBC ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ C ∈ GL(V ).
äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ e = (e1; e2; : : : ; en) × V ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ 7→ Be, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ËÁÖÄÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍŠţ ÍÁÔÒÉ Õ çÒÁÍÁ × ÂÁÚÉÓÅ e, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ Ó ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÈ ÍÁÔÒÉ
ÚÄÅÓØ É ÄÁÌÅÅ ÄÌÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ ÍÁÔÒÉ çÒÁÍÁ ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ , , , . . . ÍÙ ÉÓÏÌØÚÕÅÍ
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÂÏÌØÛÉÅ ÂÕË×Ù A, B , ç , . . .
1
292
293
17.1. âÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÆÏÒÍÙ
ÒÁÚÍÅÒÁ n × n. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÜÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏ, É ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù
B ∈ Matn (k) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÂÉÌÉÎÅÊÎÁÑ
Be = B . úÎÁÞÅÎÉÅ
P ÆÏÒÍÁ ÓP
ÔÁËÏÊ ÆÏÒÍÙ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÁÒÅ ×ÅËÔÏÒÏ× u = xiei É w = yj ej ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ
i
j
ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ï ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ ÞÅÒÅÚ Å£ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÁ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÁÈ:
(u; w) =
X
i
xi ei ;
X
j
yj ej
=
X
ij
bij xi yj = xt By
(17-2)
ÇÄÅ bij = (ei; ej ) ÓÕÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÁÔÒÉ Ù çÒÁÍÁ B , Á ÞÅÒÅÚ xt É y ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÙ,
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÓÔÒÏËÁ É ÓÔÏÌÂÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ×ÅËÔÏÒÏ× u = ex É w = eu.
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 17.1
ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ ÎÁ n-ÍÅÒÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÉÍÅÅÔ
ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ n2 .
17.1.2. ëÏÒÒÅÌÑ ÉÉ. ëÁÖÄÁÑ ÂÉÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ Ä×Á ÌÉÎÅÊÎÙÈ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
v7→ (v;∗) - ∗
L : V
V
(17-3)
v7→ (∗;v) - ∗
R : V
V
ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ
É
ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ .
ÌÅ×ÏÊ
ÒÁ×ÏÊ ËÏÒÒÅÌÑ ÉÑÍÉ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 17.2
ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ L : 7→ L É R : 7→ R Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ ÎÁ V Ó ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ
ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× V - V ∗.
∼
ëÏÍÏÚÉ ÉÑ LR−1 = RL−1 : Hom(V; V ∗) - Hom(V; V ∗) ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÏÅÒÁÔÏÒ
' : V - V ∗ × Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ '∗ : V ∗∗ = V - V ∗ .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÂÁÚÉÓ e × V É Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÂÁÚÉÓ e∗ × V ∗ É
ÓÏÏÓÔÁ×ÉÍ ËÁÖÄÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ÎÁ V Å£ ÍÁÔÒÉ Õ çÒÁÍÁ Be × ÂÁÚÉÓÅ
- V ∗ ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Õ æe e , × j -ÔÏÍ ÓÔÏÌÂ Å
e, Á ËÁÖÄÏÍÕ ÏÅÒÁÔÏÒÕ ' : V
ËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÏÉÔ ÓÔÏÌÂÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ×ÅËÔÏÒÁ '(ej ) × ÂÁÚÉÓÅ e∗. ÷ÓÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ
ÎÅÍÅÄÌÅÎÎÏ ×ÙÔÅËÁÀÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Ù ÏÅÒÁÔÏÒÏ× R É L ÓÕÔØ Be É Bet
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ.
∗
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 17.3 (ËÒÉÔÅÒÉÉ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÓÔÉ)
óÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÁ ÂÉÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÏÒÍÕ : V × V - k Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ çÒÁÍÁ
Be × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÂÁÚÉÓÅ e = (e1 ; e2 ; : : : ; en ) ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ:
1) det Be 6= 0
2) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ u ∈ V ∃ w ∈ V : (u; w) 6= 0
3) ÌÅ×ÁÑ ËÏÒÒÅÌÑ ÉÑ L : V - V ∗ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ
294
§17. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ
4) ÌÀÂÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ : V - k ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ (v) = (u ; v) ÄÌÑ
ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ u ∈ V
5) ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ w ∈ V ∃ u ∈ V : (u; w) 6= 0
6) ÒÁ×ÁÑ ËÏÒÒÅÌÑ ÉÑ R : V - V ∗ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ
7) ÌÀÂÏÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ : V - k ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ (v) = (v; w ) ÄÌÑ
ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ w ∈ V .
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ ÕÓÌÏ×ÉÅ (1) ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÂÁÚÉÓÁ e, ÔÏ ÏÎÏ ×ÙÏÌÎÅÎÏ É ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÄÒÕÇÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ, Á ×ÅËÔÏÒÙ u É w × (4) É (7), ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ, ÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏÓËÏÌØËÕ dim V = dim V ∗ , ÕÓÌÏ×ÉÑ (2) É (4), ÏÚÎÁÞÁÀÝÉÅ,
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÔÏ ker L = 0 É ÞÔÏ im L = V ∗, ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ ÕÓÌÏ×ÉÀ (3).
ðÏ ÔÏÊ ÖÅ ÒÉÞÉÎÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ É ÕÓÌÏ×ÉÑ (5), (6), (7). ðÏÓËÏÌØËÕ
ÍÁÔÒÉ Ù ÏÅÒÁÔÏÒÏ× L É R × Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ÂÁÚÉÓÁÈ e É e∗ ÓÕÔØ
Bet É Be , ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÓÔØ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× L É R ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ det Bet =
det Be 6= 0 .
17.1.3. ñÄÒÁ É ÏÒÔÏÇÏÎÁÌÙ. âÉÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÁÑ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÒÅÄÌ. 17.3 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. ÷ ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÆÏÒÍÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
.
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÆÏÒÍÁ ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ, ÔÏ Å£ ËÏÒÒÅÌÑ ÉÉ ÉÍÅÀÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÑÄÒÁ
ker L = {u ∈ V | (u; v) = 0 ∀ v ∈ V }
ker R = {u ∈ V | (v; u) = 0 ∀ v ∈ V } ,
ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ,
É
ÑÄÒÏÍ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ . ÷ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÜÔÏ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á × V . îÏ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ Õ ÎÉÈ ÏÄÉÎÁËÏ×Á, ÏÓËÏÌØËÕ ÍÁÔÒÉ Ù L É R ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ.
îÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÅ ÆÏÒÍÙ ×ÅÄÕÔ ÓÅÂÑ ×Ï ÍÎÏÇÏÍ ÏÈÏÖÅ ÎÁ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ. îÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ e = (e1; e2; : : : ; en) ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V
ÒÏÏÂÒÁÚÙ ×ÅËÔÏÒÏ× Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ e∗ = (e∗1; e∗2; : : : ; e∗n) ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ∗
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÌÅ×ÏÊ É ÒÁ×ÏÊ ËÏÒÒÅÌÑ ÉÊ ÄÁÄÕÔ Ä×Á ÂÁÚÉÓÁ × V
∨
(17-4)
e = (∨ e1 ; ∨ e2 ; : : : ; ∨ en ) É e∨ = (e∨1 ; e∨2 ; : : : ; e∨n )
É
Ë ÉÓÈÏÄÎÏÍÕ ÂÁÚÉÓÕ e ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÆÏÒÍÙ ×
ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ
ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ
×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ
ÏÂÅ
ÌÅ×ÙÍ
ÒÁ×ÙÍ
ÒÁÚÎÙÅ
Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÓÌÅ×Á
ÓÒÁ×Á
(∨ei; ej ) =
∨
ei ; ej
(
i=j
= 10 ÒÉ
ÒÉ i 6= j :
(17-5)
295
17.1. âÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÆÏÒÍÙ
ïÎÉ ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÂÁÚÉÓ e Ï ÆÏÒÍÕÌÁÍ ∨e = e Be−1 t É e∨ = e Be−1. úÎÁÎÉÅ
Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ v ∈ V Ï
ÂÁÚÉÓÕ e ËÁË
X
X
(17-6)
v=
(∨e ; v) · e =
(v; e∨ ) · e
(× Þ£Í ÌÅÇËÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ ÒÉÍÅÎÉ× Ë ÏÂÅÉÍ ÞÁÓÔÑÍ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÙ (∨e ; ∗ ) É
( ∗ ; e∨ ) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ).
äÌÑ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ⊂ V ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ
⊥
U = {v ∈ V | (v; u) = 0 ∀ u ∈ U } ;
U ⊥ = {v ∈ V | (u; v) = 0 ∀ u ∈ U }
É
Ë U . ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ,
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á × V .
ÌÅ×ÙÊ
ÒÁ×ÙÊ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌÙ
ÒÁÚÎÙÅ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 17.4
åÓÌÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÆÏÒÍÙ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ⊂ V ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÏ, ÔÏ V = ⊥U ⊕ U = U ⊕ U ⊥. äÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ v ∈ V ÅÇÏ ÌÅ×ÁÑ
ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÒÏÅË ÉÑ vÌ ∈ U ×ÄÏÌØ ⊥U É ÒÁ×ÁÑ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÒÏÅË ÉÑ
v ∈ U ×ÄÏÌØ U ⊥ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ
(17-7)
(v; w) = (vÌ; w) É (w; v) = (w; v) ∀ w ∈ U ;
É ×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÁÒÙ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÆÏÒÍÙ ÂÁÚÉÓÏ× ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U Ï ÆÏÒÍÕÌÁÍ
X
X
(v; u∨ ) · u É v =
(∨u ; v) · u :
vÌ =
(17-8)
íÙ ÄÏËÁÖÅÍ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ ÒÏ ÌÅ×ÙÊ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌ, ÄÌÑ ÒÁ×ÏÇÏ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌÁ ×Ó£ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÆÏÒÍÙ ÎÁ U ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ v ∈ V ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÎÁ U ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ ÌÅ×ÏÇÏ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ
ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ v: u 7−→ (v; u) ÄÏÕÓËÁÅÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ ÌÅ×ÏÇÏ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ×ÅËÔÏÒ vÌ ∈ U , ËÏÔÏÒÙÊ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ
Ï v. ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ u ∈ U ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (v; u) = (vÌ; u), ËÏÔÏÒÏÅ
ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ (v − vÌ; u) = 0. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÌÀÂÏÊ ×ÅËÔÏÒ v ∈ V ÄÏÕÓËÁÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ v = vÌ +(v − vÌ) Ó vÌ ∈ U É v − vÌ ∈ ⊥U ,
∨
Ô. Å. V = U ⊕ ⊥U . îÁËÏÎÅ , ÏÓËÏÌØËÕP (v; u∨i ) = (vÌ; uP
i ), ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÁ
∨
vÌ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ (17-6) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ vÌ =
(vÌ; u ) · u = (v; u∨ ) · u .
17.1.4. (ëÏÓÏ) ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÆÏÒÍÙ. âÉÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ
∀ v; w ∈ V
(v; w) = (w; v)
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ
296
É
§17. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ
ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ
, ÅÓÌÉ
∀ v; w ∈ V
(v; w) = − (w; v)
(ëÏÓÏ) ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ ÆÏÒÍÙ ÏÚÎÁÞÁÅÔ (ËÏÓÏ) ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ Å£ ÍÁÔÒÉ Ù
çÒÁÍÁ × ËÁËÏÍ-ÎÉÂÕÄØ (Á ÚÎÁÞÉÔ, É × ÌÀÂÏÍ) ÂÁÚÉÓÅ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 17.2. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ∀ v ∈ V
(v; v) = 0, ÔÏ ÆÏÒÍÁ
ÍÅÔÒÉÞÎÁ, Á ÅÓÌÉ har(k) 6= 2, ÔÏ ×ÅÒÎÏ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ.
ËÏÓÏÓÉÍ-
ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÂÉÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍ:
(v; w) = +(v; w) + −(v; w) ; ÇÄÅ
− (v; w ) = ( (v; w ) − (w; v ))=2 ;
+ (v; w ) = ( (v; w ) + (w; v ))=2 ;
ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ ÎÁ V Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÈ É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 17.3. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÜÔÉÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÒÉ dim V = n.
åÓÌÉ ÆÏÒÍÁ ÎÁ V (ËÏÓÏ) ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ, ÔÏ ÌÅ×ÙÊ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌ Ë ÌÀÂÏÍÕ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ U ⊂ V ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÒÁ×ÙÍ:
⊥
U = U ⊥ = {w ∈ V |
(w; u) = ± (u; w) = 0 ∀ u ∈ U }
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÌÅ×ÏÅ É ÒÁ×ÏÅ ÑÄÒÁ (ËÏÓÏ) ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÒÁ×ÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ É ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÏÓÔÏ
(ËÏÓÏ) ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ :
ÑÄÒÏÍ
ker = ⊥V = V ⊥ = {w ∈ V | (w; v) = ± (v; w) = 0 ∀ v ∈ V } :
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 17.5
ïÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ (ËÏÓÏ) ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÎÁ ÌÀÂÏÅ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÅ Ë Å£ ÑÄÒÕ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ⊂ V ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÏ.
ðÕÓÔØ U ⊂ V ÔÁËÏ×Ï, ÞÔÏ V = ker ⊕ U . åÓÌÉ w ∈ U ÌÅÖÉÔ
× ÑÄÒÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ |U , Ô. Å. ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ∀ u ∈ U ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ (w; u) = 0,
ÔÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ v ∈ V × ×ÉÄÅ v = e + u Ó e ∈ ker , u ∈ U
ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ (w; v) = (w; e) + (w; u) = 0 , Ô. Å. w ∈ U ∩ ker = 0.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 17.4. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÆÏÒÍ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ ÎÅ×ÅÒÎÏ.
ÏÞÎÅÅ, ÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ V = ker L ⊕ U = ker R ⊕ W , ÔÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÌÅ×ÏÊ
L- ∗
V ÎÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ U Ó
ËÏÒÒÅÌÑ ÉÉ V
W ∗ , Á ÎÅ Ó U ∗ .
÷ÓÀÄÕ ÄÁÌÅÅ ÍÙ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ har(k) 6= 2 .
297
17.2. óÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÅ É Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ ÆÏÒÍÙ
úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ × ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÎÁÄ ÏÌÅÍ k ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÂÁÚÉÓ e1; e2; : : : ; en
É ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ (x1; x2 ; : : : ; xn) ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ×ÅËÔÏÒÏ× v ∈ V × ÜÔÏÍ
ÂÁÚÉÓÅ. ëÁÖÄÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f ∈ k[x1 ; x2 ; : : : ; xn℄ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÔÏÇÄÁ ÆÕÎË ÉÀ
17.2. óÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÅ É Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ ÆÏÒÍÙ.
X
: a=
i ei 7−→ f (a) = f ( 1 ; 2 ; : : : ; n ) ;
ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ ×ÅËÔÏÒÅ a = P iei ÒÁ×ÎÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ x =
× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f .
V
f-
k
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 17.5. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÕ f ÏÉÓÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ
ÆÕÎË ÉÉ a 7→ f (a) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÉÚ ËÏÌØ Á k[x1 ; x2 ; : : : ; xn ℄ × ËÏÌØ Ï
k
- , ÒÉÞ£Í ÏÂÒÁÚ ÜÔÏÇÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ
ÆÕÎË ÉÊ V
ÂÁÚÉÓÁ (ÈÏÔÑ ÓÁÍ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÔ ÎÅÇÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ). äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
ÜÔÏÔ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÉÎßÅËÔÉ×ÅÎ1 ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÌÅ k ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ.
æÕÎË ÉÉ q : V
ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ,
ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V .
-k
Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÍÉ ÆÏÒÍÁÍÉ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 17.6. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÆÕÎË ÉÉ q : V
ÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÂÁÚÉÓÁ.
- k ÂÙÔØ Ë×ÁÄÒÁ-
åÓÌÉ har(k) 6= 2, Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ q ÕÄÏÂÎÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ × ×ÉÄÅ
X
q(x) =
xi qij xj = x · Q · xt ;
i;j
(17-9)
ÇÄÅ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ Ï ×ÓÅÍ ÁÒÁÍ ÉÎÄÅËÓÏ× 1 ⩽ i; j ⩽ n É ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ qij ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÎÙ × ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ Q = (qij ) ÒÁÚÍÅÒÁ n × n ÔÁË,
2 ÆÁËÔÉÞÅÓËÏÇÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÞÔÏ ÒÉ i 6= j ×ÅÌÉÞÉÎÁ qji = qij ÒÁ×ÎÁ
ÔÁ ÒÉ xixj , ÏÌÕÞÁÀÝÅÇÏÓÑ ÏÓÌÅ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ÏÄÏÂÎÙÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ. éÚ ÔÁËÏÊ
ÚÁÉÓÉ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ q : V - k, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÁÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ
(17-9) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅÍ ÎÁ ÄÉÁÇÏÎÁÌØ = {(v; v)} ⊂ V × V
ÆÏÒÍÙ qe : V × V - k Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ çÒÁÍÁ Q, Ô. Å.
q(v) = qe(v; v) :
âÉÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ qe ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ q. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÅ qe(u; w) Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ
q(v) = qe(v; v) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÈ
ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ Ó ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÏÌÑÒÉÚÁ ÉÑ qe ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ Ï Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÍÕ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÕ q Ï
ÆÏÒÍÕÌÁÍ
qe(v; w) = q(v + w) − q(v) − q(w) =2 = q(v + w) − q(v − w) =4 :
(17-10)
ÏÌÏ×ÉÎÅ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ
ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ
ÏÌÑÒÉÚÁ ÉÅÊ
1
2
Ô. Å. ÒÁÚÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍ ÏÔ×ÅÞÁÀÔ ÒÁÚÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁ V
ÎÁÄ ÏÌÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ 2 ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ x x × ÔÁËÏÍ ×ÉÄÅ ÎÅ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ
1 2
298
§17. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 17.7. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ÜÔÏ É ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ qe(x; y ) = 12
P
i
yi qx(xi ) .
íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÍÁÔÒÉ Õ Q ÉÚ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ (17-9)
Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ q. ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÁÎÇ ÍÁÔÒÉ Ù ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÉ Å£ ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ ÎÁ ÏÂÒÁÔÉÍÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ, ÒÁÎÇ ÍÁÔÒÉ Ù çÒÁÍÁ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÂÁÚÉÓÁ.
ïÎ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
q.
ÍÁÔÒÉ ÅÊ çÒÁÍÁ
ÒÁÎÇÏÍ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ
ÅÏÒÅÍÁ 17.1 (ÔÅÏÒÅÍÁ ìÁÇÒÁÎÖÁ)
äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ qe ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÎÁÄ ÌÀÂÙÍ
ÏÌÅÍ k ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ har(k) 6= 2 × V ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÁÚÉÓ Ó ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÊ
ÍÁÔÒÉ ÅÊ çÒÁÍÁ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÓÌÉ dim V = 1 ÉÌÉ qe ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÁ 0, ÔÏ ÍÁÔÒÉ Á
çÒÁÍÁ ÕÖÅ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÁ. åÓÌÉ qe 6≡ 0, ÔÏ ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÊ ÆÏÒÍÅ qe Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÊ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ q(v) = qe(v; v) ÓÏÇÌÁÓÎÏ (17-10) ÔÏÖÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÎÕÌ£Í, É ÎÁÊÄ£ÔÓÑ ×ÅËÔÏÒ e ∈ V , ÔÁËÏÊ ÞÔÏ qe(e; e) 6= 0. ÷ÏÚØÍÅÍ ÅÇÏ × ËÁÞÅÓÔ×Å
ÅÒ×ÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ÉÓËÏÍÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÆÏÒÍÙ qe ÎÁ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï k · e ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÏ, V Ï ÒÅÄÌ. 17.4 ÒÁÓÁÄÁÅÔÓÑ × ÒÑÍÕÀ
ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÕÍÍÕ (k · e) ⊕ e⊥, ÇÄÅ e⊥ = { v ∈ V | qe(e; v) = 0 } . ðÏ ÉÎÄÕËÉÉ, × e⊥ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÁÚÉÓ Ó ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÊ ÍÁÔÒÉ ÅÊ çÒÁÍÁ. äÏÂÁ×ÌÑÑ Ë ÎÅÍÕ
e, ÏÌÕÞÁÅÍ ÎÕÖÎÙÊ ÂÁÚÉÓ × V .
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 17.1
÷ÓÑËÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÎÁÄ ÌÀÂÙÍ ÏÌÅÍ k ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ
har(k) 6= 2
P
2
ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÒÁÔÉÍÏÊ ÚÁÍÅÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÉÄÕ aixi .
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 17.2
îÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ k ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ har(k) 6= 2 Ä×Å Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ ÆÏÒÍÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÅÒÅ×ÏÄÑÔÓÑ ÏÄÎÁ × ÄÒÕÇÕÀ ÌÉÎÅÊÎÏÊ
ÏÂÒÁÔÉÍÏÊ ÚÁÍÅÎÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ËÏÇÄÁ ÉÈ ÍÁÔÒÉ Ù çÒÁÍÁ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ
ÒÁÎÇ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. îÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÁÔÒÉ Ù çÒÁÍÁ
p ÒÅÏÂÒÁÚÕÀÔÓÑ × ÅÄÉÎÉ Ù ÚÁÍÅÎÏÊ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× Ï ÆÏÒÍÕÌÅ ei 7→ ei= q(ei). ëÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÅÄÉÎÉ É ÎÕÌÅÊ ÎÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÔÁËÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÒÁ×ÎÙ ÒÁÎÇÕ ÆÏÒÍÙ É ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ Å£ ÑÄÒÁ É ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÔ
ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÂÁÚÉÓÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÆÏÒÍÙ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÇÏ ÒÁÎÇÁ ÏÂÒÁÔÉÍÏÊ
ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÚÁÍÅÎÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ Ë ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÍÕ ×ÉÄÕ P x2i .
17.2.1. ïÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ çÒÁÍÁ. îÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÎÅÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ ÏÔÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÔØ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ÄÏ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÍ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ, ÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÍ ÒÅÑÔÓÔ×ÉÅ Ë ÜÔÏÍÕ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ det Qe ÍÁÔÒÉ Ù çÒÁÍÁ Q ÆÏÒÍÙ q × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ e.
ðÒÉ ÅÒÅÈÏÄÅ Ë ÄÒÕÇÏÍÕ ÂÁÚÉÓÕ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ çÒÁÍÁ ÕÍÎÏÖÁÅÔÓÑ ÎÁ Ë×ÁÄÒÁÔ
299
17.2. óÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÅ É Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ ÆÏÒÍÙ
ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÅÒÅÈÏÄÁ. ðÏÜÔÏÍÕ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔ ÉÚ ÏÌÑ k ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ çÒÁÍÁ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÂÁÚÉÓÁ.
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÆÏÒÍÁ, ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ çÒÁÍÁ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ, ÎÅ
ÉÍÅÅÔ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ.
íÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ËÌÁÓÓ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ çÒÁÍÁ Ï ÍÏÄÕÌÀ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ
ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ Ë×ÁÄÒÁÔÙ ÞÅÒÅÚ det q ∈ k=k∗2 É ÉÓÁÔØ a ∼ b, ÅÓÌÉ a = 2b ÄÌÑ
ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ∈ k.
ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ q ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ det q = 0. æÏÒÍÙ Ó
det q 6= 0 ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
.
17.2.2. ðÒÉÍÅÒ: Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ ÆÏÒÍÙ ÏÔ Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ
ìÁÇÒÁÎÖÁ ÎÅÎÕÌÅ×ÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÏÔ Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ
×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ
ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÍÉ
q(x) =
a x21
+ 2 b x1 x2 +
x22
= (x1; x2 )
a b
b
x1 6≡ 0
x2
ÏÄÈÏÄÑÝÅÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÚÁÍÅÎÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ ÌÉÂÏ Ë ×ÉÄÕ t2 = 0
6= 0, ÌÉÂÏ Ë ×ÉÄÕ t21 + t22 , ÇÄÅ 6= 0 É 6= 0.
÷ ÅÒ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÆÏÒÍÁ q ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ: det q ∼ a − b2 ∼ · 0 = 0 É ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÁ ÏÌÎÏÍÕ Ë×ÁÄÒÁÔÕ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ t = t(x1 ; x2 ). ÁËÁÑ ÆÏÒÍÁ
ÚÁÎÕÌÑÅÔÓÑ ×ÄÏÌØ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ann (t) ⊂ V É ÏÔÌÉÞÎÁ ÏÔ ÎÕÌÑ
ÎÁ ×ÓÅÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÁÈ.
÷Ï ×ÔÏÒÏÍ ÓÌÕÞÁÅ det q ∼ a − b2 ∼ 6= 0 É ÆÏÒÍÁ q ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ. åÓÌÉ
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ×ÅËÔÏÒ v = (#1; #2 ), ÔÁËÏÊ ÞÔÏ q(v) = #21 + #22 = 0, ÔÏ
− det q ∼ −
∼ − = = (#1 =#2 )2
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÎÙÍ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ1, É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ
t21
+
t22
=
#
t1 + 1 t2
#2
#
t1 − 1 t2
#2
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ÎÅÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÅÓÔØ Ä×Á ÔÉÁ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÈ ÆÏÒÍ ÏÔ Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ:
1) ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙÅ ÆÏÒÍÙ q, Õ ËÏÔÏÒÙÈ − det q ÎÅ Ë×ÁÄÒÁÔ, É q(v) 6= 0 ÒÉ
v 6= 0
2) ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ q = 12 ÎÅÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ; × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ
− det q Ë×ÁÄÒÁÔ, É q ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÚÁÎÕÌÑÅÔÓÑ ÎÁ Ä×ÕÈ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ Ann (1) 6= Ann (2) É ÏÔÌÉÞÎÁ ÏÔ ÎÕÌÑ ÎÁ ×ÓÅÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ
×ÅËÔÏÒÁÈ.
æÏÒÍÙ ÅÒ×ÏÇÏ ÔÉÁ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
, Á ×ÔÏÒÏÇÏ ÔÉÁ |
. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ k ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÙÈ ÆÏÒÍ ÏÔ ⩾ 2 ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÎÅ ÂÙ×ÁÅÔ.
ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÙÍÉ
ÌÉÞÅÓËÉÍÉ
1
ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ # 6= 0 × ÓÉÌÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á # + # = 0
2
2
1
2
2
ÇÉÅÒÂÏ-
300
§17. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ
17.2.3. éÚÏÔÒÏÎÙÅ É ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ðÏÄÒÏÓÔÒÁÎ-
ÓÔ×Ï U ⊂ V ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÄÌÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ q, ÅÓÌÉ q(v) =
qe(v; v) 6= 0 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ v ∈ V .
îÁÒÉÍÅÒ, ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ Å×ËÌÉÄÏ×Ï ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÙÍ
Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍÕ ÓËÁÌÑÒÎÏÍÕ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ.
÷ n◦ 17.2.2 ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ, ÞÔÏ Ä×ÕÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÏ , ÅÓÌÉ
É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ − det (q|U ) ÎÅ Ë×ÁÄÒÁÔ × k.
ðÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ⊂ V ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÄÌÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ
q, ÅÓÌÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ q|U ≡ 0 ÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, qe(u1 ; u2 ) = 0 ∀ u1 ; u2 ∈ U . îÅÎÕÌÅ×ÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ v, ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÅ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÅ ÉÚÏÔÒÏÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á,
ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
. äÌÑ ÔÁËÉÈ ×ÅËÔÏÒÏ× q(v) = qe(v; v) = 0.
óÏÇÌÁÓÎÏ n◦ 17.2.2, ÎÅÎÕÌÅ×ÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÏÔ Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ Õ ÎÅ£ ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÏ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÅ
ÉÚÏÔÒÏÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, Á ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÏÔ Ä×ÕÈ
ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÌÉÂÏ ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÁ, ÌÉÂÏ ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ Ä×Á ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ
ÉÚÏÔÒÏÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á.
ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÙÍ
ÉÚÏÔÒÏÎÙÍ
ÉÚÏÔÒÏÎÙÍÉ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 17.6
òÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÉÚÏÔÒÏÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V Ó ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ÎÅ ÒÅ×ÙÛÁÅÔ dim V=2.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏÓËÏÌØËÕ ÆÏÒÍÁ
ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ, ÏÅÒÁÔÏÒ ËÏÒÒÅÌÑ ÉÉ
v7→ ( ∗ ;v) - ∗
R :V
V
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ. éÚÏÔÒÏÎÏÓÔØ U ⊂ V ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ R (U ) ⊂ Ann (U ).
ðÏÜÔÏÍÕ dim U = dim R (U ) ⩽ dimAnn U = dim V − dim U .
17.2.4. ðÒÉÍÅÒ: 2n-ÍÅÒÎÏÅ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï H2n ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÒÑÍÁÑ ÓÕÍÍÁ V ∗ ⊕ V (dim
V = n), ÎÁÄÅÌ£ÎÎÁÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ
ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ h (1; v1) ; (2; v2) = 1(v2) + 2(v1) , ËÏÔÏÒÁÑ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÔÓÑ × ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÕÌÅ×ÙÅ ÆÏÒÍÙ ÎÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V É V ∗, Á ÎÁ ÌÀÂÏÊ
ÁÒÅ ÁÒÅ ×ÅËÔÏÒ-ËÏ×ÅËÔÏÒ ÒÁ×ÎÁ Ó×£ÒÔËÅ h(; v) = h(v; ) = h; vi.
âÁÚÉÓ H2n, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÉÚ ×ÅËÔÏÒÏ× e1; e2; : : : ; en; e∗1; e∗2; : : : ; e∗n ËÁËÉÈ-ÎÉÂÕÄØ
Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÂÁÚÉÓÏ× V É V ∗, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. íÁÔÒÉ Á
çÒÁÍÁ ÔÁËÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
0 E ;
E 0
ÇÄÅ 0 É E | ÎÕÌÅ×ÁÑ É ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ n × n-ÍÁÔÒÉ Ù.
ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÆÏÒÍÁ h ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ É ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÉÚÏÔÒÏÎÙÍÉ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ ÏÌÏ×ÉÎÎÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ, ÔÁË ÞÔÏ Ï ÅÎËÁ ÉÚ ÒÅÄÌ. 17.6 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞÎÏÊ.
÷ÅËÔÏÒÙ pi = ei + e∗i É qi = ei − e∗i ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ÆÏÒÍÙ h
ÓÏ ÓËÁÌÑÒÎÙÍÉ Ë×ÁÄÒÁÔÁÍÉ h(pi; pi) = 2, h(qi; qi) = −2.
ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÍ ÂÁÚÉÓÏÍ
17.2. óÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÅ É Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ ÆÏÒÍÙ
301
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÑÍÁÑ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÕÍÍÁ H2m ⊕ H2k ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ H2(m+k) .
ìÅÍÍÁ 17.1
÷ÓÑËÏÅ m-ÍÅÒÎÏÅ ÉÚÏÔÒÏÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V Ó ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ 2m-ÍÅÒÎÏÍ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å W ⊂ V , É ÌÀÂÏÊ ÂÁÚÉÓ × U ÄÏÏÌÎÑÅÔÓÑ ÄÏ
ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ × W .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ÙÂÅÒÅÍ × U ÂÁÚÉÓ u1 ; u2 ; : : : ; um , ÄÏÏÌÎÉÍ ÅÇÏ ÄÏ ÂÁÚÉÓÁ ×
V É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÆÏÒÍÙ .
ðÅÒ×ÙÅ m ×ÅËÔÏÒÏ× u∨1 ; u∨2 ; : : : ; u∨m ÜÔÏÇÏ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ ÔÁËÏ×Ù, ÞÔÏ
∨
ui ; uj
(
i=j
= 10 ÒÉ
ÒÉ i 6= j ;
(17-11)
ÒÉÞ£Í ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅ Ë ÌÀÂÏÍÕ ÉÚ ×ÅËÔÏÒÏ× u∨j ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ×ÅËÔÏÒÏ× ui ÎÅ ÎÁÒÕÛÁÅÔ ÜÔÏÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á. úÁÍÅÎÑÑ ËÁÖÄÙÊ u∨j ÎÁ
1 X u∨ ; u∨ u ;
wj = u∨j −
j 2 ÏÌÕÞÉÍ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× w1; w2; : : : ; wm, ÔÁËÖÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÊ (17-11) É ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÊ ÉÚÏÔÒÏÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÏÓËÏÌØËÕ ∀ i; j (wi; wj ) = (u∨i ; u∨j ) −
1 (u∨ ; u∨ ) − 1 (u∨ ; u∨ ) = 0 .
i j
j i
2
2
ÅÏÒÅÍÁ 17.2
ìÀÂÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V Ó ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ
ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÒÑÍÕÀ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÕÍÍÕ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ É ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. éÎÄÕË ÉÑ Ï dim V . åÓÌÉ dim V = 1 ÉÌÉ × V ÎÅÔ ÉÚÏÔÒÏÎÙÈ
×ÅËÔÏÒÏ×, ÔÏ ÓÁÍÏ V Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ. åÓÌÉ × V ÅÓÔØ
ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÉÚÏÔÒÏÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ e, ÔÏ Ï ÌÅÍ. 17.1 ÏÎ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ H2. ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÆÏÒÍÙ ÎÁ ÜÔÕ ÌÏÓËÏÓÔØ
ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÏ, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÕÀ ÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ
V = H2 ⊕ H2⊥ . ðÏ ÉÎÄÕË ÉÉ, H2⊥ = H2k ⊕ U , ÇÄÅ U ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÏ É ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏ
H2k . ÏÇÄÁ V = H2k+2 ⊕ U .
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 17.3
ìÀÂÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ q ÏÔ n ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÒÁÔÉÍÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ
ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÉÄÕ x1 xi+1 + x2 xi+2 + · · · + xix2i + (x2i+1 ; x2i+1 : : : ; xr ) , ÇÄÅ
r = rk (q) É (x) 6= 0 ÒÉ x 6= 0 .
302
§17. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ
ðÕÓÔØ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÚÁÄÁÎÁ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÁÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ÂÉÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ . åÓÌÉ
ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ f : V - V Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÄÌÑ , ÔÏ ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Á F × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V Ó×ÑÚÁÎÁ Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ çÒÁÍÁ B
ÆÏÒÍÙ × ÜÔÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ F tBF = B . ðÏÜÔÏÍÕ f ÏÂÒÁÔÉÍ, É ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ f −1 ÉÍÅÅÔ ÍÁÔÒÉ Õ F −1 = B −1F tB .
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÌÀÂÏÊ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÇÒÕÕ. üÔÁ ÇÒÕÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÆÏÒÍÙ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ O .
17.3.1. ðÒÉÍÅÒ: ÉÚÏÍÅÔÒÉÉ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ïÅÒÁÔÏÒ
17.3. éÚÏÍÅÔÒÉÉ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ.
ÏÒÔÏ-
ÇÏÎÁÌØÎÏÊ ÇÒÕÏÊ
H2
f-
H2
ÉÍÅÀÝÉÊ × ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÍ ÂÁÚÉÓÅ e; e∗ ÍÁÔÒÉ Õ
F=
a b
d
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÙ, ËÏÇÄÁ
a
0
1
a
b
0
1
b d · 1 0 ·
d = 1 0 ;
ÞÔÏ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ a = bd = 0 É ad + b = 1, ÉÍÅÀÝÉÍ Ä×Á ÓÅÍÅÊÓÔ×Á
ÒÅÛÅÎÉÊ:
0
0
e
É F = −1 0 ; ÇÄÅ ∈ k r {0} ÌÀÂÏÅ. (17-12)
F = 0 − 1
åÓÌÉ ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ÏÌÅ k = R, ÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒ F Ó > 0 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÏÓËÏÌØËÕ ÔÒÁÅËÔÏÒÉÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ v = (x; y) ÒÉ
ÄÅÊÓÔ×ÉÉ ÎÁ ÎÅÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× F Ó ∈ (0; ∞) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÇÉÅÒÂÏÌÕ
xy = onst. åÓÌÉ ÏÌÏÖÉÔØ = et É ÅÒÅÊÔÉ Ë ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÍÕ ÂÁÚÉÓÕ
√
√
p = ( e + e ∗ ) = 2 ; q = ( e − e∗ ) = 2 ;
ÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒ F ÚÁÉÛÅÔÓÑ × ÜÔÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÍÁÔÒÉ ÅÊ
√
√
√
√
1=√2 1= √2 · et 0 · 1=√2 1= √2 = h t sh t
sh t h t
1= 2 −1= 2 0 e−t 1= 2 −1= 2
ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Å Ï×ÏÒÏÔÁ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ. ðÒÉ < 0 ÏÅÒÁÔÏÒ
F Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ Ï×ÏÒÏÔÁ Ó ÅÎÔÒÁÌØÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÅÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÕÌÑ. ÷ ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÏÅÒÁÔÏÒÙ F ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ É ÌÅÖÁÔ ×
SL(R2), Ô. Å. ÓÏÈÒÁÎÑÀÔ ÌÏÝÁÄØ. ïÅÒÁÔÏÒÙ Fe ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ É Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÑÍÉ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÈ Ï×ÏÒÏÔÏ× Ó ÏÔÒÁÖÅÎÉÅÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ ÇÉÅÒÂÏÌÙ. ïÎÉ ÓÏÈÒÁÎÑÀÔ ÁÂÓÏÌÀÔÎÕÀ ×ÅÌÉÞÉÎÕ ÌÏÝÁÄÉ, ÎÏ ÍÅÎÑÀÔ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÀ.
ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÍ
Ï×ÏÒÏÔÏÍ
303
17.3. éÚÏÍÅÔÒÉÉ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ
17.3.2. ïÔÒÁÖÅÎÉÑ. ó ËÁÖÄÙÍ ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ e ∈ V Ó×ÑÚÁÎÏ
ÒÑÍÏÅ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ V = k · e ⊕ e⊥, ÇÄÅ e⊥ = {v ∈ V | (e; v) = 0} .
ìÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ
= v − 2 ((e;e; ve)) · e
(17-13)
V e- V : v 7−→ e (v) def
ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ e⊥ É ÅÒÅ×ÏÄÉÔ e × −e. ðÏÜÔÏÍÕ e ∈ O É e2 = 1.
ïÅÒÁÔÏÒ (17-13) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
e⊥ (ÓÍ. ÒÉÓ. 17⋄1).
ÏÔÒÁÖÅÎÉÅÍ × ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 17.8. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÉÚÏÍÅÔÒÉÉ V
◦ e ◦ −1
ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÏÇÏ e ∈ V ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï f f
f-
= f (e) .
V É ÌÀÂÏÇÏ
u+v
σe v
v
−e
u
v
e
O
β(e,v)
β(e,e) · e
u−v
O
e⊥
òÉÓ. 17⋄1.
ïÔÒÁÖÅÎÉÅ e .
−v
òÉÓ. 17⋄2.
ïÔÒÁÖÅÎÉÑ × ÒÏÍÂÅ.
ìÅÍÍÁ 17.2
÷ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ó ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× u, v Ó ÒÁ×ÎÙÍÉ ÓËÁÌÑÒÎÙÍÉ Ë×ÁÄÒÁÔÁÍÉ (u; u) = (v; v) 6= 0 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÔÒÁÖÅÎÉÅ, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ u ÌÉÂÏ × v
ÌÉÂÏ × −v.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÓÌÉ u É v ËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙ, ÔÏ ÉÓËÏÍÙÍ ÏÔÒÁÖÅÎÉÅÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
v = u . åÓÌÉ u É v ÎÅËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙ, ÔÏ ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÎÁ ÉÚ Ä×ÕÈ ÄÉÁÇÏÎÁÌÅÊ ÎÁÔÑÎÕÔÏÇÏ ÎÁ ÎÉÈ ÒÏÍÂÁ (ÓÍ. ÒÉÓ. 17⋄2) ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÁ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÜÔÉ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ
ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÀ: (u + v; u − v) = (u; u) − (v; v) = 0, É ÅÓÌÉ ÂÙ
ÏÎÉ ÏÂÅ ÉÍÅÌÉ ÎÕÌÅ×ÙÅ ÓËÁÌÑÒÎÙÅ Ë×ÁÄÒÁÔÙ, ÔÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÆÏÒÍÙ ÎÁ ÉÈ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÏÂÏÌÏÞËÕ, ÓÏ×ÁÄÁÀÝÕÀ Ó ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÏÊ ×ÅËÔÏÒÏ× u É v, ÂÙÌÏ
ÂÙ ÎÕÌÅ×ÙÍ, ÞÔÏ ÎÅ ÔÁË. ïÔÒÁÖÅÎÉÅ u−v ÅÒÅ×ÏÄÉÔ u × v, Á ÏÔÒÁÖÅÎÉÅ u+v
ÅÒÅ×ÏÄÉÔ u × −v.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 17.9. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÏ, ÔÏ ×ÓÅÇÄÁ
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÏÔÒÁÖÅÎÉÅ, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ u × ÔÏÞÎÏÓÔÉ × v.
ÅÏÒÅÍÁ 17.3
÷ÓÑËÁÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÑ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ó ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ
ÆÏÒÍÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ⩽ 2n ÏÔÒÁÖÅÎÉÊ.
304
§17. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ
éÎÄÕË ÉÑ Ï n. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÇÒÕÁ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ
ÏÅÒÁÔÏÒÁ E É ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ −E . òÁÓÓÍÏ∼
ÔÒÉÍ ÉÚÏÍÅÔÒÉÀ f : V
V n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ÷ÙÂÅÒÅÍ × V ËÁËÏÊÎÉÂÕÄØ ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ v É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ÏÔÒÁÖÅÎÉÅ, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ
f (v) ÌÉÂÏ × v, ÌÉÂÏ × −v. ëÏÍÏÚÉ ÉÑ f ÅÒÅ×ÏÄÉÔ v × ±v, Á ÚÎÁÞÉÔ, ÅÒÅ×ÏÄÉÔ × ÓÅÂÑ (n − 1)-ÍÅÒÎÕÀ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ v⊥. ðÏ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÄÅÊÓÔ×ÉÅ f ÎÁ v⊥
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ⩽ 2(n − 1) ÏÔÒÁÖÅÎÉÊ. ðÒÏÄÏÌÖÉÍ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ × v⊥,
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÏÔÏÒÙÈ ÒÏÉÓÈÏÄÉÌÉ ÜÔÉ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ, ÄÏ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÅÊ × V ,
ÄÏÂÁ×É× Ë ÎÉÍ ×ÅËÔÏÒ v. ÏÇÄÁ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ (2n − 2) ÏÔÒÁÖÅÎÉÊ × ÜÔÉÈ ÒÁÓÛÉÒÅÎÎÙÈ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÑÈ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ f ÎÁ v⊥, É f ÌÉÂÏ ÒÁ×ÅÎ ÜÔÏÊ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ,
ÌÉÂÏ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÎÅ£ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ ÅÝ£ ÏÄÎÏÇÏ ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ × ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ
v⊥ , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÇÏ v × −v. îÏ ÔÏÇÄÁ f = f Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ⩽ 2n ÏÔÒÁ
ÖÅÎÉÊ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 17.10. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÑ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÏÇÏ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ ⩽ n ÏÔÒÁÖÅÎÉÊ.
ÅÏÒÅÍÁ 17.4 (ÌÅÍÍÁ ÷ÉÔÔÁ)
ðÕÓÔØ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ U , V , W ÚÁÄÁÎÙ ËÁËÉÅ-ÔÏ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÆÏÒÍÙ. åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÒÑÍÏÊ
ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÊ ÓÕÍÍÙ U ⊕ V Ó ÒÑÍÏÊ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÊ ÓÕÍÍÏÊ U ⊕ W , ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ V Ó W .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. éÎÄÕË ÉÑ Ï dim U . åÓÌÉ U = 0, ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÎÅÞÅÇÏ. åÓÌÉ
dim U = 1, ÔÏ U = k · u , ÇÄÅ u ÁÎÉÚÏÔÒÏÅÎ. ðÕÓÔØ ÉÍÅÅÔÓÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ
ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÒÑÍÙÈ ÓÕÍÍ
∼
f : k · u ⊕ V - fk · u ⊕ W :
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÒÁÖÅÎÉÅ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ f (u) × ±u. éÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ f ÅÒÅ×ÏÄÉÔ k· u × k· u, Á ÚÎÁÞÉÔ, ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë u × ÅÒ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÎÁ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ
ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë u∼×Ï ×ÔÏÒÏÍ É, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÄÁ£Ô ÎÕÖÎÙÊ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ f : V - W .
åÓÌÉ dim U > 1, ÔÏ ×ÙÂÅÒÅÍ × U ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ u É
ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ U = k·u ⊕ u⊥. ðÒÉÍÅÎÑÑ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ
ÉÎÄÕË ÉÉ Ë U = k · u ÏÌÕÞÉÍ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ u⊥ ⊕ V Ó u⊥ ⊕ W .
÷ÔÏÒÏÊ ÒÁÚ ÒÉÍÅÎÑÑ ÉÎÄÕËÔÉ×ÎÏÅ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÅ Ó U = u⊥, ÏÌÕÞÁÅÍ ÉÓËÏÍÕÀ
ÉÚÏÍÅÔÒÉÀ V Ó W .
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 17.4
ðÏÓÔÒÏÅÎÎÏÅ × ÔÅÏÒÅÍÅ (ÔÅÏÒ. 17.2) ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V Ó ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ × ÒÑÍÕÀ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÕÀ ÓÕÍÍÕ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ É ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ
17.3. éÚÏÍÅÔÒÉÉ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ
305
ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÔÁËÉÈ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÊ V = H2k ⊕ U = H2m ⊕ W ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÙÅ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U É W ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ, Á ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÉÍÅÀÔ ÒÁ×ÎÙÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ 2k = 2m.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ m ⩾ k , ÔÁË ÞÔÏ H2m = H2k ⊕ H2(m−k) . ÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ IdV : H2k ⊕ U ∼- H2k ⊕ H2(m−k) ⊕ W Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ∼ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ. ðÏ ÌÅÍÍÅ ÷ÉÔÔÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ
U - H2(m−k) ⊕ W . ðÏÓËÏÌØËÕ × U ÎÅÔ ÉÚÏÔÒÏÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×, ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÅ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï H2(m−k) ÎÕÌÅ×ÏÅ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, k = m É U ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ
ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ W .
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 17.5
ðÕÓÔØ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U , W × × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V Ó ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ÔÁËÏ×Ù, ÞÔÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÆÏÒÍÙ ÎÁ∼ U É ÎÁ W
ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÙ É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ' : U - W . ÏÇÄÁ
' ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ (ÍÎÏÇÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ) ÄÏ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ×ÓÅÇÏ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V , ÓÏ×ÁÄÁÀÝÅÇÏ Ó ' ÎÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å U .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÔÅÏÒÅÍÙ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌÙ
U ⊥ É W ⊥ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ: ÔÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ : U ⊥ - ∼ W ⊥, ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
(u;u )7→('(h ); (u )) U ⊕ U⊥ = V
V = W ⊕ W⊥
ÄÁÓÔ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ. ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ, ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
(u;u )7→u+u : U ⊕ U⊥
V
(u;w )7→'(u)+w V
: U ⊕ W⊥
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ. ðÏÜÔÏÍÕ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ
∼
−1 : U ⊕ U ⊥ - U ⊕ W ⊥
ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ. ðÏ ÌÅÍÍÅ ÷ÉÔÔÁ U ⊥ É W ⊥ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ.
′
′
′
′
′
′
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 17.6
′
ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÇÒÕÁ ÌÀÂÏÊ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÈ É ÎÁ ÉÚÏÔÒÏÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ ÄÁÎÎÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÒÏ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÒÏ ÉÚÏÔÒÏÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÀ ÒÏ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÌÅÍ. 17.1.
306
§17. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ
17.3.3. ðÒÉÍÅÒ: Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ ÆÏÒÍÙ ÎÁÄ Fp, p 6= 2. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ËÁ-
ËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÎÅ Ë×ÁÄÒÁÔ " ∈ Fp. ÷ n◦ 4.4.4 ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ, ÞÔÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ Ë×ÁÄÒÁÔÙ
ÏÂÒÁÚÕÀÔ × ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÅ ÏÌÑ Fp = Z=(p) ÏÄÇÒÕÕ ÉÎÄÅËÓÁ 2.
ðÏÜÔÏÍÕ ÌÀÂÏÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ Fp ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÎÁ ÏÄÈÏÄÑÝÉÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ
Ë×ÁÄÒÁÔ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÓÄÅÌÁÎ ÒÁ×ÎÙÍ ÌÉÂÏ 1, ÌÉÂÏ ". éÚ ÔÅÏÒ. 17.1 ×ÙÔÅËÁÅÔ
ÔÏÇÄÁ, ÞÔÏ ×ÓÑËÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÎÁÄ Fp ÏÂÒÁÔÉÍÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÚÁÍÅÎÏÊ
ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÉÄÕ
q(x) =
X
x2i + "
X
x2j
(17-14)
(ÎÁÂÏÒÙ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ × ÅÒ×ÏÊ É ×ÔÏÒÏÊ ÓÕÍÍÅ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ).
äÁÌÅÅ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
ax21 + bx22 = Ó
(17-15)
ÒÁÚÒÅÛÉÍÏ × Fp ÒÉ ÌÀÂÙÈ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ a; b É ÌÀÂÏÍ . ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ËÏÇÄÁ x1 É x2
ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÒÏÂÅÇÁÀÔ Fp, ÆÕÎË ÉÉ a x21 É − b x22 ÒÉÎÉÍÁÀÔ Ï
(p + 1)=2 ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÜÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ
Ï ËÁËÏÍÕ-ÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÕ a x21 = − b x22 .
éÚ ÒÁÚÒÅÛÉÍÏÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (17-15) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ q ÎÁ Ä×ÕÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ×ÅËÔÏÒ e
Ó q(e) = 1, Á ÚÎÁÞÉÔ, ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÆÏÒÍÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ x21 + x22 ÉÌÉ
x21 + "x22 . üÔÏ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÓÄÅÌÁÔØ ×ÔÏÒÕÀ ÓÕÍÍÕ × (17-14) ÓÏÓÔÏÑÝÅÊ ÉÚ ÎÅ ÂÏÌÅÅ,
ÞÅÍ ÏÄÎÏÇÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÇÏ.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ q ÒÁÎÇÁ r ÎÁÄ ÏÌÅÍ Fp ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ
ÆÏÒÍÅ x21 + · · · + x2r−1 + x2r , ÅÓÌÉ det q Ë×ÁÄÒÁÔ, ÉÌÉ ÆÏÒÍÅ x21 + · · · + x2r−1 + "x2r ,
ÅÓÌÉ det q ÎÅ Ë×ÁÄÒÁÔ.
äÒÕÇÏÅ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÒÁÚÒÅÛÉÍÏÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ (17-15) ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ax21 + bx22 + x23 + · · · ÏÔ ⩾ 3 ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ×ÓÅÇÄÁ
ÉÍÅÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÉÚÏÔÒÏÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ | ÎÁÒÉÍÅÒ, ×ÅËÔÏÒ ( 1; 2; 1; 0; : : : ) Ó
a 12 + b 22 = − . ðÏÜÔÏÍÕ ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÙÅ ÆÏÒÍÙ ÎÁÄ ÏÌÅÍ Fp ÂÙ×ÁÀÔ ÔÏÌØËÏ
× ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÑÈ 1 É 2 É Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÀÔÓÑ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÍÉ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÍÉ ÆÏÒÍÁÍÉ x2 É "x2 É Ä×ÕÍÅÒÎÙÍÉ ÆÏÒÍÁÍÉ
x21 + x22 (ÒÉ p ≡ −1 (mod 4))
É x21 + "x22 (ÒÉ p ≡ 1 (mod 4)) :
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 17.11. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÆÏÒÍÁ x21 + x22 ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÎÁ ÒÉ p ≡ 1 (mod 4)
É ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÁ ÒÉ p ≡ −1 (mod 4), Á ÆÏÒÍÁ x21 + "x22 , ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÁ ÒÉ
p ≡ 1 (mod 4) É ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÎÁ ÒÉ p ≡ −1 (mod 4).
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÎÁÄ ÏÌÅÍ Fp ÌÉÂÏ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÎÁ, ÌÉÂÏ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÙ É ÏÄÎÏÊ ÉÚ
ÞÅÔÙÒ£È ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ×ÙÛÅ ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÙÈ ÆÏÒÍ.
307
17.3. éÚÏÍÅÔÒÉÉ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ
17.3.4. ðÒÉÍÅÒ: ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ ÆÏÒÍÙ. ÷ ÓÉÌÕ ÔÅÏÒ. 17.1,
×ÓÑËÁÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ q ÏÔ n ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ
ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÚÁÍÅÎÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÒÅÏÂÒÁÚÕÅÔÓÑ Ë ×ÉÄÕ
(17-16)
q(x) = x21 + x22 + · · · + x2p − x2p+1 − x2p+2 − · · · − x2p+m :
äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ × Rn ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÂÁÚÉÓ e1; e2; : : : ; enpÓ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÊ ÍÁÔÒÉ ÅÊ çÒÁÍÁ, Á ÚÁÔÅÍ ÏÄÅÌÉÔØ ËÁÖÄÙÊ ei Ó q(ei) 6= 0 ÎÁ |q(ei)|.
þÉÓÌÁ p É m ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
É
Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ q, Á ÉÈ ÒÁÚÎÏÓÔØ p−m | ÒÏÓÔÏ
ÆÏÒÍÙ
q. ðÁÒÕ ÞÉÓÅÌ (p; m) ÔÁËÖÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
ÆÏÒÍÙ . óÕÍÍÁ p + m = rk q
ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÂÁÚÉÓÁ, × ËÏÔÏÒÏÍ q ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (17-16). ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ
ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÉÎÄÅËÓÏ× p, m ÔÁËÖÅ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÜÔÏÇÏ ×ÙÂÏÒÁ.
úÁÍÅÎÑÑ V ÎÁ ÆÁËÔÏÒ V= ker q, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÆÏÒÍÁ q ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ. ÏÇÄÁ ÏÎÁ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÕÀ ÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ É ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÏÊ ÆÏÒÍÙ.
ä×ÕÍÅÒÎÁÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ (1; 1) √ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ
x21 − x22 = (x1 + x2 )(x1 − x2 ) = 2y1 y2 , ÇÄÅ y1;2 = (x1 ± x2 )= 2. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÁÄ ÏÌÅÍ R
× ËÁÖÄÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÉÍÅÀÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ Ä×Å ÎÅÉÚÏÍÏÒÆÎÙÅ ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÙÅ ÆÏÒÍÙ:
(ÉÌÉ
),
ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ (v; v) > 0 ∀ v 6= 0, É
, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ
(v; v) < 0 ∀ v 6= 0. éÈ ÍÁÔÒÉ Ù çÒÁÍÁ × ÏÄÈÏÄÑÝÉÈ ÂÁÚÉÓÁÈ ÒÁ×ÎÙ E É −E .
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÆÏÒÍÁ (17-16) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÊ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÙ h ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ 2 min(p; m) É ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ |p − m|, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ, ÅÓÌÉ p > m É ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏ
ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ, ÅÓÌÉ p < m. éÚ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ × ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÕÀ ÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ É ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÁ p − m
É min(p; m) ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ÓÏÓÏÂÁ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ, Á ÞÉÓÌÁ p É m ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ Ï ÎÉÍ
×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÀÔÓÑ. íÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ
ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ
ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍ ÉÎÄÅËÓÁÍÉ
ÉÎÅÒ ÉÉ
ÉÎÄÅËÓÏÍ
ÓÉÇÎÁÔÕÒÏÊ
ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÁÑ
Å×ËÌÉÄÏ×Á
ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÁÑ
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 17.7
ä×Å Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍÙ Ó ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÅÒÅ×ÏÄÑÔÓÑ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ ÏÂÒÁÔÉÍÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÚÁÍÅÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ,
ËÏÇÄÁ ÏÎÉ ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ ÒÁÎÇ É ÉÎÄÅËÓ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 17.12. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÉÎÄÅËÓ ÉÎÅÒ ÉÉ ÆÏÒÍÙ q ÒÁ-
×ÅÎ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ ÉÚ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ q ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÔÓÑ
× ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÕÀ ÆÏÒÍÕ, Á ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ | ÎÁÉÂÏÌØÛÅÊ ÉÚ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ q ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÔÓÑ × ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÕÀ ÆÏÒÍÕ.
17.3.5. ïÔÙÓËÁÎÉÅ ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÞÁÓÔÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÂÅÚ Ñ×ÎÏÇÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÁÔÒÉ Õ çÒÁÍÁ ÆÏÒÍÙ q × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ i
Å£
, ÓÔÏÑÝÅÊ × ÅÒ×ÙÈ i ÓÔÒÏËÁÈ É ÅÒ×ÙÈ i ÓÔÏÌÂ ÁÈ.
ÇÌÁ×ÎÙÊ ÕÇÌÏ×ÏÊ ÍÉÎÏÒ
308
§17. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ
üÔÏÔ ÍÉÎÏÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÅÍ çÒÁÍÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÆÏÒÍÙ q ÎÁ ÌÉÎÅÊÎÕÀ
ÏÂÏÌÏÞËÕ Vi ÅÒ×ÙÈ i ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× e1; e2; : : : ; ei. ïÎ ÚÁÎÕÌÑÅÔÓÑ, ÅÓÌÉ q|Vi
×ÙÒÏÖÄÅÎÁ, É ÉÍÅÅÔ ÚÎÁË (−1)mi , ÅÓÌÉ q|Vi ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ É ÉÍÅÅÔ ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ
ÉÎÄÅËÓ ÉÎÅÒ ÉÉ mi. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÉÔÁÑ ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ
1; 2; : : : ; dim V ;
(17-17)
ÍÏÖÎÏ ÒÏÓÌÅÄÉÔØ ÚÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÍ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅÍ ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ ÆÏÒÍÙ q|Vi ÒÉ
ÅÒÅÈÏÄÅ ÏÔ Vi Ë Vi+1 ÉÌÉ ÚÁ ÏÑ×ÌÅÎÉÅÍ Õ ÆÏÒÍÙ q ÉÚÏÔÒÏÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×.
ðÕÓÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÕÇÌÏ×ÙÈ ÍÉÎÏÒÏ× Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ q ÎÁ R4
1 < 0 ; 2 = 0 ; 3 < 0 ; 4 > 0 :
ÁË ËÁË ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ q|V ×ÙÒÏÖÄÅÎÏ, × V2 ÉÍÅÅÔÓÑ ÉÚÏÔÒÏÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÁÑ ÆÏÒÍÁ q|V Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÍÍÏÊ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ
ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ (1; 1) É ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, Ô. Å. ÉÍÅÅÔ ÓÉÇÎÁÔÕÒÕ (2; 1) ÉÌÉ (1; 2). ðÏÓËÏÌØËÕ 3 < 0, ÓÉÇÎÁÔÕÒÁ ÒÁ×ÎÁ (1; 2). éÚ 4 > 0
×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÌÎÁÑ ÓÉÇÎÁÔÕÒÁ q ÎÁ ×Ó£Í ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÒÁ×ÎÁ (2; 2).
ëÏÇÄÁ ÎÉ ÏÄÉÎ ÉÚ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÕÇÌÏ×ÙÈ ÍÉÎÏÒÏ× ÎÅ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÆÏÒÍÙ ÎÁ ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Vi ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÏ, É ÚÎÁË Õ i+1 ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÚÎÁËÁ i ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ mi+1 = mi + 1. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÌÎÙÊ
ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÊ ÉÎÄÅËÓ ÉÎÅÒ ÉÉ m ÆÏÒÍÙ q ÒÁ×ÅÎ ÞÉÓÌÕ ÅÒÅÍÅÎ ÚÎÁËÁ × ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ 1; 1; 2; : : : ; dim V . üÔÏ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
.
17.4. îÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÅ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÆÏÒÍÙ. ðÒÑÍÁÑ ÓÕÍÍÁ V ∗ ⊕V ,
ÎÁÄÅÌ£ÎÎÁÑ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ
! (1 ; v1 ) ; (2 ; v2 ) = h1 ; v2 i − h2 ; v1 i ;
(17-18)
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ 2n, ÇÄÅ n =
dim V . üÔÏ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÁÎÁÌÏÇ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÉÚ
n◦ 17.2.4. ÷ ÂÁÚÉÓÅ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÍ ÉÚ ×ÅËÔÏÒÏ× e1; e2; : : : ; en; e∗1; e∗2; : : : ; e∗n ËÁËÉÈÎÉÂÕÄØ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÂÁÚÉÓÏ× V É V ∗, ÍÁÔÒÉ Á çÒÁÍÁ ÆÏÒÍÙ ! ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
0
E
J = −E 0 :
(17-19)
íÁÔÒÉ Á J ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
É ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ J 2 = −E , det J = 1. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÆÏÒÍÁ ! ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ. âÁÚÉÓ, ×
ËÏÔÏÒÏÍ ÍÁÔÒÉ Á çÒÁÍÁ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
(17-19), ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÙ. ðÒÑÍÁÑ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÓÕÍÍÁ 2m ⊕ 2k ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ 2(m+k) .
2
3
ËÒÉÔÅÒÉÅÍ
óÉÌØ×ÅÓÔÒÁ
ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÉÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ
ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÏÊ ÅÄÉÎÉ ÅÊ
ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÉÍ ÂÁÚÉÓÏÍ
309
17.4. îÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÅ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÆÏÒÍÙ
ÅÏÒÅÍÁ 17.5
ìÀÂÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V Ó ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ! ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, dim V
Þ£ÔÎÁ).
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÅÒ×ÏÇÏ ÂÁÚÉÓÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ×ÏÚØÍ£Í ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ×ÅËÔÏÒ e1 ∈ V . ðÏÓËÏÌØËÕ ! ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ w ∈ V ,
ÔÁËÏÊ ÞÔÏ !(e1; w) = a 6= 0. ðÏÌÏÖÉÍ e2 = w=a. íÁÔÒÉ Á çÒÁÍÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ !
ÎÁ Ä×ÕÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ⊂ V , ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ e1, e2, ÒÁ×ÎÁ
0 1 :
−1 0
ÅÍ ÓÁÍÙÍ, !|U ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ, V = U ⊕ U ⊥, É ÍÙ ÍÏÖÅÍ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 17.13. õÂÅÄÉÔÅÓØ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÔÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ËÏÓÏÓÉÍÍÅ-
ÔÒÉÞÎÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ÎÅÞ£ÔÎÏÇÏ ÒÁÚÍÅÒÁ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ.
17.4.1. óÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÕÁ Sp! (V ). éÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅ-
ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ V F- V ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÙ ! ÎÁ V ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
É ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÇÒÕÕ Sp! (V ), ÎÁÚÙ×ÁÅÍÕÀ
ÆÏÒÍÙ !. óÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÕ ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Ù × ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔ ÇÒÕÕ Sp! (V ) ÎÁ
Sp2n(k) = {F ∈ Mat2n(k) | F t · J · F = J } , ÇÄÅ 2n = dim V .
17.4.2. ìÁÇÒÁÎÖÅ×Ù ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. íÁËÓÉÍÁÌØÎÙÅ ÉÚÏÔÒÏÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á L = L⊥ ÆÏÒÍÙ ! ÉÍÅÀÔ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ n = dim V=2 É ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
. ÏÞÎÏ ÔÁËÖÅ, ËÁË × ÌÅÍ. 17.1, ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÉÚÏÔÒÏÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ! ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å W ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ
2 dim U É ÌÀÂÏÊ ÂÁÚÉÓ U ÄÏÓÔÒÁÉ×ÁÅÔÓÑ ÄÏ ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ × W . éÚ
ÜÔÏÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÅ ÉÚÏÔÒÏÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÌÁÇÒÁÎÖÅ×ÏÍ ÉÚÏÔÒÏÎÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å1 , Á ÌÀÂÏÊ ÂÁÚÉÓ U ÄÏÓÔÒÁÉ×ÁÅÔÓÑ ÄÏ ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ × V . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÕÁ
ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÉÚÏÔÒÏÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ ÄÁÎÎÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ
(× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÁ ÌÁÇÒÁÎÖÅ×ÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ).
17.4.3. ðÆÁÆÆÉÁÎ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÉ i < j ÜÌÅÍÅÎÔÙ aij ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù A = (aij ) ÒÁÚÍÅÒÁ (2n) × (2n), ËÁË ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ, É
ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Pf(A) ∈ Z[aij ℄, ÔÁËÏÊ ÞÔÏ
Pf(A)2 = det(A) É Pf(J ′) = 1 ;
ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÉÍÉ
ÓÉÍÌÅË-
ÔÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÏÊ
ÇÒÕÕ ÓÉÍÌÅËÔÉ-
ÞÅÓËÉÈ ÍÁÔÒÉ
ÌÁÇÒÁÎÖÅ×ÙÍÉ
ÍÏÖÎÏ, Ë ÒÉÍÅÒÕ, ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ W ⊥ ËÁË L ⊕ L∗; ÔÏÇÄÁ U ⊕ L ÂÕÄÅÔ ÌÁÇÒÁÎÖÅ×ÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÍ U
1
310
§17. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ
ÇÄÅ J ′ | ÂÌÏÞÎÏ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÁÑ ÉÚ 2 × 2-ÂÌÏËÏ×
.
íÎÏÇÏÞÌÅÎ Pf(A) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù A É Ñ×ÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÍÁÔÒÉÞÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ
X
sgn i1j1i2j2 : : : injn · ai j ai j · · · ainjn ;
(17-20)
Pf(A) =
„
0
−1
1
0
«
ÆÁÆÆÉÁÎÏÍ
{i1 ;j1 }⊔···⊔{in ;jn }=
={1; 2; ::: ; 2n}
1 1
2 2
ÇÄÅ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ Ï ×ÓÅÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á {1; 2; : : : ; 2n} ×
ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ n ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÁÒ {i ; j }, ÏÒÑÄÏË ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ,
Á sgn ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÚÎÁË ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ1 .
âÕÄÅÍ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ A ËÁË ÍÁÔÒÉ Õ çÒÁÍÁ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÎÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å K 2n ÎÁÄ ÏÌÅÍ K = Q(aij ) ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ
ÆÕÎË ÉÊ ÏÔ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ aij Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ × Q. ïÎÁ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ É Ï ÔÅÏÒ. 17.5 ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÉÍ ÂÁÚÉÓÏÍ e1; e2; : : : ; en; e∗1; e∗2; : : : ; e∗n.
ðÅÒÅÇÒÕÉÒÏ×Ù×ÁÑ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ Ï ÁÒÁÍ e1; e∗1; e2; e∗2 ; : : : ; en; e∗n, ÏÌÕÞÁÅÍ ÂÁÚÉÓ Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ çÒÁÍÁ J ′. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ A = C · J ′ · C t ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ
ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù C , ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÕÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÏÌÉÎÏÍÏ× ÏÔ
aij Ó ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ det J ′ = 1, ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï det(A) = det(C )2.
ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ,
ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù B
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Pf(B ) ÆÏÒÍÕÌÏÊ (17-20)
X
Pf(B ) def
=
sgn i1j1i2j2 : : : injn · bi j bi j · · · bin jn
ÏÒÅÄÅÌÉÍ
{i1 ;j1 }⊔···⊔{in ;jn }=
={1; 2; ::: ; 2n}
1 1
2 2
É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ = ( B ) ∧ t = P bij i ∧ j ÏÔ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ
ij
= (1 ; 2 ; : : : ; n ). ÁË ËÁË Þ£ÔÎÙÅ ÍÏÎÏÍÙ i ∧ j ÏÁÒÎÏ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙ,
n = ∧ ∧ · · · ∧ = n! · Pf(B ) · ∧ ∧ · · · ∧ :
1
2
2n
åÓÌÉ ÅÒÅÊÔÉ ÏÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ Ë ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍ , ÞÅÒÅÚ ËÏÔÏÒÙÅ ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ
ËÁË = C , ÇÄÅ ÍÁÔÒÉ Á C ÔÁ ÖÅ, ÞÔÏ É ×ÙÛÅ, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÅÒÅÉÛÅÔÓÑ ×
×ÉÄÅ = ( B ) ∧ t = ( CB ) ∧ ( C )t = ( CBC t) ∧ t = ( B ′) ∧ t É ÂÕÄÅÔ
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÍÁÔÒÉ Å B ′ = CBC t × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ
n = n! · Pf(B ′ ) · ∧ ∧ · · · ∧ :
1
2
2n
ðÏÓËÏÌØËÕ 1 ∧ 2 ∧ · · · ∧ 2n = det C · 1 ∧ 2 ∧ · · · ∧ 2n , ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ Pf(B ) É
Pf(B ′) = Pf(CBC t) Ó×ÑÚÁÎÙ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ Pf(CBC t) = Pf(B ) · det C . ðÏÌÁÇÁÑ
× Î£Í B = J ′, ÏÌÕÞÁÅÍ Pf(A) = det(C ) · Pf(J ) = det C . ðÏÜÔÏÍÕ
det(A) = det2(C ) = Pf 2(A) ;
ÕÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÉ ÒÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÈ ÁÒ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ, ÎÉ
ÒÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ËÁÖÄÏÊ ÁÒÅ
1
311
úÁÄÁÞÉ Ë §17
ÞÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Pf É ÆÏÒÍÕÌÕ
(17-20). åÄÉÎÓÔ×ÅÎ2
ÎÏÓÔØ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ x − det A = x − Pf(A) x + Pf(A) × ÅÌÏÓÔÎÏÍ ËÏÌØ Å Z[aij ℄[x℄, ÔÁË ÞÔÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ x2 = det A ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ Ä×Á ÒÅÛÅÎÉÑ
x = ±Pf(A), É ÕÓÌÏ×ÉÅ Pf(J ′ ) = 1 ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÆÉËÓÉÒÕÅÔ ÚÎÁË.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §17
úÁÄÁÞÁ 17.1. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ W ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍ ÏÔ Ä×ÕÈ Å-
ÒÅÍÅÎÎÙÈ (x0 ; x1 ) Ó ÂÁÚÉÓÏÍ ( x20 ; 2 x0 x1 ; x21 ). ó×ÑÖÅÍ Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ A ∈ GL2 (k)
ÏÅÒÁÔÏÒ SA2 : W - W , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÊ f (x0 ; x1 ) × f ((x0 ; x1 ) · A) . îÁÉÛÉÔÅ
ÅÇÏ ÍÁÔÒÉ Õ É ×ÙÒÁÚÉÔŠţ ÓÌÅÄ É ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÞÅÒÅÚ tr A É det A.
úÁÄÁÞÁ 17.2. óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ÎÁ R7 Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ Ó ÇÌÁ×ÎÙÍÉ ÕÇÌÏ×ÙÍÉ ÍÉ-
ÎÏÒÁÍÉ
Á) 1 > 0 ; 2 = 0 ; 3 > 0 ; 4 < 0 ; 5 = 0 ; 6 < 0 ; 7 > 0
Â) 1 > 0 ; 2 = 0 ; 3 > 0 ; 4 < 0 ; 5 = 0 ; 6 < 0 ; 7 < 0
×) 1 > 0 ; 2 = 0 ; 3 > 0 ; 4 < 0 ; 5 = 0 ; 6 < 0 ; 7 < 0
åÓÌÉ ÄÁ, ÔÏ ËÁËÕÀ ÓÉÇÎÁÔÕÒÕ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÜÔÁ ÆÏÒÍÁ?
úÁÄÁÞÁ 17.3. CÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ÂÉÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ
ÎÁ R5 ÉÍÅÅÔ × ÍÁÔÒÉ Õ çÒÁÍÁ


14 −5 −3 8
−12
 14 −17
2 5 −8


 −5
2 −12 3 6


 −3
5
3 −3 1
8 −8
6 1 −6
îÁÊÄÉÔÅ ÒÁÎÇ É ÓÉÇÎÁÔÕÒÕ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÆÏÒÍÙ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ
ÓÉÓÔÅÍÙ
(
2 x1 + 2 x2 − 3 x3 − 4 x4 − 7 x5 = 0
−x1 − x2 + 2 x3 + 2 x4 + 4 x5 = 0
É ÎÁÉÛÉÔÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ, ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ1 ÏÔÒÁÖÅÎÉÅ × ËÏÔÏÒÏÊ
ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ ÒÑÍÙÅ Ó ÎÁÒÁ×ÌÑÀÝÉÍÉ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ (3; 0; 2; 3; 6) É
(0; 3; −11; −12; −18), Á ÔÁËÖÅ ÎÁÊÄÉÔÅ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÏÅË ÉÉ ÜÔÉÈ ×ÅËÔÏÒÏ×
ÎÁ ÜÔÕ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ.
úÁÄÁÞÁ 17.4. úÁÉÛÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÍÁÔÒÉ Ù X ∈ Matn (R) × ×É-
ÄÅ det(tE − X ) = tn + 1 (X ) tn−1 + 2 (X ) tn−2 + · · · . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ 2 (X )
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Matn (R) É ×ÙÞÉÓÌÉÔŠţ ÒÁÎÇ
É ÓÉÇÎÁÔÕÒÕ. åÓÌÉ ÏÂÝÉÊ ÓÌÕÞÁÊ ×ÙÚÙ×ÁÅÔ ÚÁÔÒÕÄÎÅÎÉÑ, ÒÅÛÉÔÅ ÚÁÄÁÞÕ ÄÌÑ
n = 2; 3; 4.
1
× ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ ×ÓÀÄÕ ÉÍÅÅÔÓÑ × ×ÉÄÕ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÓÔØ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÆÏÒÍÙ
312
úÁÄÁÞÉ Ë §17
A2 ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å
Matn (R) . åÓÌÉ ÏÂÝÉÊ ÓÌÕÞÁÊ ×ÙÚÙ×ÁÅÔ ÚÁÔÒÕÄÎÅÎÉÑ, ÒÅÛÉÔÅ ÚÁÄÁÞÕ ÄÌÑ n =
2; 3; 4.
úÁÄÁÞÁ 17.5. îÁÊÄÉÔÅ ÓÉÇÎÁÔÕÒÕ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ tr
úÁÄÁÞÁ 17.6. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ A 7→ det A Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ
f A; B ) =
ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Mat2 (k) É ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Å£ ÏÌÑÒÉÚÁ ÉÑ ÒÁ×ÎÁ det(
∨
∨
tr (AB )=2, ÇÄÅ B | ÒÉÓÏÅÄÉΣÎÎÁÑ Ë B ÍÁÔÒÉ Á. ëÁËÏ×Á ÓÉÇÎÁÔÕÒÁ ÜÔÏÊ
ÆÏÒÍÙ ÒÉ k = R ? çÉÅÒÂÏÌÉÞÎÁ ÌÉ ÏÎÁ ÎÁÄ ÏÌÅÍ k = Fp ?
úÁÄÁÞÁ 17.7. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÏÌØ Ï K = F3 [x℄=(x3 − x + 1) ËÁË ÔÒ£ÈÍÅÒÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÏÌÅÍ F3 ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ tr (ab) (ÓÌÅÄ
x7→abx ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ab : K
K ). îÁÉÛÉÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ çÒÁÍÁ ÜÔÏÊ
2
ÆÏÒÍÙ × ÂÁÚÉÓÅ {1; #; # } , ÇÄÅ # = x (mod x3 − x + 1), É ×ÙÑÓÎÉÔÅ, ÓÏÄÅÒÖÉÔ
ÌÉ K ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ (ÅÓÌÉ ÄÁ, ÔÏ ÕËÁÖÉÔÅ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ ÂÁÚÉÓ
ÜÔÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ ÎÅÔ | ÏÂßÑÓÎÉÔÅ, ÏÞÅÍÕ).
úÁÄÁÞÁ 17.8. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ W ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏ-
ÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ 2 ÏÔ ÞÅÔÙÒ£È ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ 1 ; 2 ; 3 ; 4 É ÚÁÄÁÄÉÍ ÎÁ W ÂÉÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÏÒÍÕ p : W × W - k ÒÁ×ÉÌÏÍ
!1 ∧ !2 = p(!1 ; !2 ) · 1 ∧ 2 ∧ 3 ∧ 4 :
îÁÉÛÉÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ çÒÁÍÁ ÆÏÒÍÙ p × ÂÁÚÉÓÅ ij = i ∧ j (1 ⩽ i < j ⩽ 4) É
ÕÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÆÏÒÍÁ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ É ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ. ëÁËÏ×Á Å£ ÓÉÇÎÁÔÕÒÁ
ÎÁÄ ÏÌÅÍ k = R?
úÁÄÁÞÁ 17.9. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï W Ó ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎ-
ÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ:
Á) W ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÍÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ
Â) dim W Þ£ÔÎÁ É × W ÅÓÔØ ÉÚÏÔÒÏÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ dim W=2
×) W Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÉÚÏÔÒÏÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×.
úÁÄÁÞÁ 17.10. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÁ×ÉÌÏ F 7→
ÍÏÒÆÉÚÍ ÇÒÕ1 GLn (k) ⊂ - Sp2n (k).
F −1 t 0 ÚÁÄÁ£Ô ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙÊ ÇÏÍÏ0 F
úÁÄÁÞÁ 17.11. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F ∈ Sp2n (k) ÉÍÅÅÔ
×ÏÚ×ÒÁÔÎÙÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (t) = t2n F t−1 É ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ
ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ det F = 1.
úÁÄÁÞÁ 17.12. îÁÉÛÉÔÅ Ñ×ÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÆÁÆÆÉÁÎÏ× 2-ÇÏ, 4-ÇÏ É 6-ÇÏ ÏÒÑÄËÁ.
úÁÄÁÞÁ 17.13* . æÉËÓÉÒÕÅÍ ÌÀÂÏÅ n ∈ N É ÌÀÂÏÅ Þ£ÔÎÏÅ m ⩽ n. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ
ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù A ÒÁÚÍÅÒÁ n × n É ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù C ÉÚ m
1
V
ÎÁ ÂÅÓËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍ
ÑÚÙËÅ ÏÅÒÁÔÏÒ F ∈ GL(V ) ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ V ∗ ⊕ V ÁÒÏÊ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×
t
FF
V É V∗ - V∗
−1
313
úÁÄÁÞÉ Ë §17
ÓÔÒÏË É n ÓÔÏÌ Ï× ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï1
Pf(CAC t ) =
X
#I =m
Pf(AI ) · det(CI )
ÇÄÅ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÉÄ£Ô Ï ×ÓÅÍ ÎÁÂÏÒÁÍ I = (i1 ; i2 ; : : : ; im ) ÓÔÒÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÈ ÉÎÄÅËÓÏ×,
CI ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÍÉÎÏÒ m-ÔÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ, ÓÔÏÑÝÉÊ × I -ÓÔÏÌÂ ÁÈ, Á
AI = ai i i ;i ∈I ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔ Ë×ÁÄÒÁÔÎÕÀ m × m-ÏÄÍÁÔÒÉ Õ, ÓÔÏÑÝÕÀ × ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑÈ ÓÔÒÏË É ÓÔÏÌ Ï× Ó ÎÏÍÅÒÁÍÉ ÉÚ I .
úÁÄÁÞÁ 17.14. ðÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÒÉÍÅÒ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V
ÆÏÒÍÏÊ
U ⊥ 6= ⊥ U .
Ó ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ
É ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ⊂ V Ó ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÍ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅÍ |U É
úÁÄÁÞÁ 17.15. ðÕÓÔØ ÎÅÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ÂÉÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÏÇÒÁ-
ÎÉÞÉ×ÁÅÔÓÑ × ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å U ⊂
V . ðÏÓÔÒÏÊÔÅ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÅÖÄÕ ⊥ U É U ⊥ .
úÁÄÁÞÁ 17.16. ðÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÒÉÍÅÒ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V Ó ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒ-
ÍÏÊ
É ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ⊂ V , ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÇÏ Ë ÑÄÒÕ ÌÅ×ÏÊ ËÏÒÒÅÌÑ ÉÉ
L :V
É ÔÁËÏÇÏ ÞÔÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ
v7→ (v;∗) -
V∗
|U ×ÙÒÏÖÄÅÎÏ.
úÁÄÁÞÁ 17.17* (ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ). ðÕÓÔØ k = C. ó×ÑÖÅÍ Ó ËÁÖÄÏÊ ÎÅ×Ù-
ÒÏÖÄÅÎÎÏÊ (ÎÅÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ) ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ : V × V - C ÌÉÎÅÊÎÙÊ
κ
ÏÅÒÁÔÏÒ V - V , ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÙÊ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ (v; w) = (w; κ v) ∀ v; w ∈ V
(ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÅÇÏ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÍ ÉÌÉ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ óÅÒÒÁ ÆÏÒÍÙ ).
Á) õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÅÎ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÆÏÒÍÙ (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎ).
Â) ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ÍÁÔÒÉ Õ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÞÅÒÅÚ ÍÁÔÒÉ Õ çÒÁÍÁ ÆÏÒÍÙ
É ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ
ÉÍÅÅÔ ×ÏÚ×ÒÁÔÎÙÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅ
ÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ κ(t) = tdim V κ t−1 .
×) äÏËÁÖÉÔÅ, ÔÏ ÆÏÒÍÙ É ′ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ (Ô. Å. ′ = C · · C t ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ
C ∈ GL(V )) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÉÈ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ κ É κ ′
ÏÄÏÂÎÙ (Ô. Å. κ ′ = D · κ · D−1 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ D ∈ GL(V ))
Ç) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÉ 6= ±1 ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍ ÄÅÌÉÔÅÌÅÍ (t − )m ÉÍÅÅÔ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÊ ÄÅÌÉÔÅÌØ (t − 1=)m
Ä) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ä×Å ÖÏÒÄÁÎÏ×Ù ÅÏÞËÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁ κ Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ , Ä×ÕÓÔÏÒÏÎÎÅ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙ2 ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ , ÅÓÌÉ 6= 1 ÉÌÉ ÅÓÌÉ
Õ ÎÉÈ ÒÁÚÎÁÑ ÄÌÉÎÁ.
Ô. Å. ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × ËÏÌØ Å ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Ó ÅÌÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÔ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÍÁÔÒÉÞÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× aij = −aji É
Ô. Å. (v; w) = (w; v) = 0 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ v ÉÚ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÉ ÏÄÎÏÊ ÅÏÞËÉ É ÌÀÂÏÇÏ w
ÉÚ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÉ ÄÒÕÇÏÊ
1
2
314
úÁÄÁÞÉ Ë §17
úÁÄÁÞÁ 17.18* (ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÅ ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÆÏÒÍÙ ÎÁÄ C). âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V Ó ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ÎÅÒÁÚÌÏÖÉÍÙÍ , ÅÓÌÉ
ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ Ä×ÕÓÔÏÒÏÎÎÅ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÊ ÓÕÍÍÏÊ Ä×ÕÈ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×1. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) ÌÀÂÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ó ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ
ÓÕÍÍÏÊ Ä×ÕÓÔÏÒÏÎÎÅ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÎÅÒÁÚÌÏÖÉÍÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×
Â) ÎÅÒÁÚÌÏÖÉÍÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ó ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ÎÁÄ ÏÌÅÍ
C ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÌÉÂÏ 2k -ÍÅÒÎÏÍÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ W2k (), ÆÏÒÍÁ ÎÁ
ËÏÔÏÒÏÍ × ÏÄÈÏÄÑÝÅÍ ÂÁÚÉÓÅ ÉÍÅÅÔ ÂÌÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ çÒÁÍÁ


0
1
0 I ; ÇÄÅ I =  . . 
 .

I 0
1
0



1

É I = 

. .. 
.


. .
1
0
0
ÌÉÂÏ m-ÍÅÒÎÏÍÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ Um , ÆÏÒÍÁ ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ × ÏÄÈÏÄÑÝÅÍ ÂÁÚÉÓÅ
ÉÍÅÀÔ ÍÁÔÒÉ Õ çÒÁÍÁ:


1

0
−1 1



1 −1 

:


.
.


. 1


. ..
.
. .
0
×) ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ (ÓÍ. ÚÁÄ. 17.17) ÆÏÒÍÙ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å W2k () ÉÍÅÅÔ Ä×Å ÖÏÒÄÁÎÏ×Ù ÅÏÞËÉ ÄÌÉÎÙ k Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ É −1 (É
ÆÏÒÍÁ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏ ÓÁÒÉ×ÁÅÔ ÉÈ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÂÏÌÏÞËÉ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ, ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÑÓØ ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÁ ËÁÖÄÕÀ × ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÕÌÅ×ÕÀ ÆÏÒÍÕ), Á ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÊ
ÏÅÒÁÔÏÒ ÆÏÒÍÙ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Um ÉÍÅÅÔ ÏÄÎÕ ÖÏÒÄÁÎÏ×Õ ÅÏÞËÕ ÄÌÉÎÙ m
Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ (−1)m−1 .
1
Ô. Å. V 6= U ⊕ W , ÇÄÅ U; W 6= 0 É (u; w) = (w; u) = 0 ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ u ∈ U É w ∈ W
§18. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
îÁÄ ÌÀÂÙÍ ÏÌÅÍ k Ó
ËÁÖÄÙÍ (n + 1)-ÍÅÒÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ V ÏÍÉÍÏ (n + 1)-ÍÅÒÎÏÇÏ
ÁÆÆÉÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á A(V ) Ó×ÑÚÁÎÏ ÅÝ£ ÏÄÎÏ ÔÏÞÅÞÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï | n
18.1. ðÒÏÅËÔÉ×ÉÚÁ ÉÑ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á.
-
affinna karta Uξ
ÍÅÒÎÏÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
= P(V )
(
V ). ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÔÏÞËÁÍÉ P(V ) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á × V . éÎÁÞÅ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ
ÔÏÞËÉ P(V ) | ÜÔÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÉÚ V ,
O
ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÅ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ, ÉÌÉ ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÒÑÍÙÅ × A(V ).
þÔÏÂÙ ×ÉÄÅÔØ ÜÔÉ ÒÑÍÙÅ ËÁË €ÏÂÙÞÎÙŁ
ÔÏÞËÉ, ×ÎÕÔÒØ A(V ) ÓÌÅÄÕÅÔ ÏÍÅÓÔÉÔØ ÜËÒÁÎ
(ÓÍ. ÒÉÓ. 18⋄1) | ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÕÀ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÁÆÆÉÎÎÕÀ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ U , ÚÁÄÁ×ÁÅÍÕÀ × A(V ) ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ (x) = 1 , beskoneqnostь U
ÇÄÅ ∈ V ∗ | ËÁËÁÑ-ÎÉÂÕÄØ ÎÅÎÕÌÅ×ÁÑ ÌÉÎÅÊ⋄ ðÒÏÅËÔÉ×ÎÙÊ ÍÉÒ.
ÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÎÁ V .
÷ÓÑËÉÊ ÔÁËÏÊ ÜËÒÁÎ U ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÎÁ P(V ). ÷ ËÁÒÔÅ U
×ÉÄÎÙ ÔÏÌØËÏ ÔÁËÉÅ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÒÏÖÄÅÎÎÙ ×ÅË= Pn \ U ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ
ÔÏÒÁÍÉ v ∈ V Ó (v) 6= 0 . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ U(∞) def
ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÌÅÖÁÝÉÈ × n-ÍÅÒÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å
Ann () ⊂ V , ËÏÔÏÒÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÕÀ ËÏÉÀ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ
U , ÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ ÎÕÌØ. ïÄÎÏÍÅÒÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÉÚ Ann ( ) ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, (n − 1)-ÍÅÒÎÏÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Pn−1 = P (Ann ()).
ïÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ËÁÒÔÙ U É ÏÂÏÚÎÁ(∞)
(∞)
ÞÁÅÔÓÑ U . ÏÞËÉ U ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË
× ÁÆÆÉÎÎÏÊ
ËÁÒÔÅ U .
éÚ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ n-ÍÅÒÎÏÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Pn ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ × ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÁÆÆÉÎÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ×ÓÅÈ ÒÏÍÅÖÕÔÏÞÎÙÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ:
(∞)
Pn = U ⊔ U = An ⊔ Pn−1 = An ⊔ An−1 ⊔ Pn−2 = · · · = An ⊔ An−1 ⊔ : : : ⊔ A0
(ÇÄÅ A0 = P0 | ÜÔÏ ÏÄÎÁ ÔÏÞËÁ). ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÄÁ£Ô ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÏÂßÑÓÎÅÎÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÉ: ÎÁÄ ÏÌÅÍ ÉÚ q ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÄÉÚßÀÎËÔÎÏÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÁÆÆÉÎÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ×ÓÅÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ
ÏÔ 0 ÄÏ n ÜÔÏ qn+1 − 1 ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÂÏÌØÛÅÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ
Pn
ÒÏÅËÔÉ×ÉÚÁ ÉÑ
(∞)
ξ
òÉÓ. 18 1.
ÁÆÆÉÎÎÏÊ ËÁÒÔÏÊ
ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌ£ÎÎÏÊ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØÀ
ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ
315
316
§18. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ q − 1 ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÏÌÑ:
qn+1 − 1
= qn + qn−1 + · · · + q + 1 :
q−1
18.1.1. çÌÏÂÁÌØÎÙÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ × V ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ x0 ; x1 ; : : : ; xn ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÁËÏÇÏ-ÎÉÂÕÄØ ÂÁÚÉÓÁ e0; e1; : : : ; en. ä×Á ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ×ÅËÔÏÒÁ v = (x0; x1 ; : : : ; xn) É w = (y0; y1; : : : ; yn) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ
ÚÁÄÁÀÔ ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÔÏÞËÕ p ∈ Pn, ËÏÇÄÁ ÉÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙ. üÔÏ
ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ x : x = y : y ÄÌÑ ×ÓÅÈ 0 ⩽ 6= ⩽ n (ÇÄÅ
ÍÙ ÄÏÕÓËÁÅÍ É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ×ÉÄÁ 0 : x = 0 : y É x : 0 = y : 0). éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ,
ÔÏÞËÁÍ p ∈ Pn ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÎÅ ÓÁÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ, Á ÔÏÌØËÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (x0 : x1 : : : : : xn) ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ. üÔÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÔÏÞËÉ p × ÂÁÚÉÓÅ {e0; e1; : : : ; en} ⊂ V .
18.1.2. ìÏËÁÌØÎÙÅ ÁÆÆÉÎÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁ Pn = P(V )
ÁÆÆÉÎÎÕÀ ËÁÒÔÕ U = {(x0; x1 ; : : : ; xn) ∈ A(V ) | (x) = 1}, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÕÀ ËÁËÏÍÕ-ÎÉÂÕÄØ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÍÕ ËÏ×ÅËÔÏÒÕ ∈ V ∗. ÏÇÄÁ ÌÀÂÙÅ n ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ
ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ
1 ; 2 ; : : : ; n ∈ V ∗ ;
ËÏÔÏÒÙÅ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÂÁÚÉÓ ; 1; 2; : : : ; n ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ∗, ÚÁÄÁÀÔ
×ÎÕÔÒÉ ËÁÒÔÙ U
ti = i |U . þÔÏÂÙ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ × ÔÏÞËÅ p = (p0 : p1 : : : : : pn), ÓÌÅÄÕÅÔ ÓÎÁÞÁÌÁ ×ÙÂÒÁÔØ ×
ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÅÍ ÔÏÞËÅ p, ×ÅËÔÏÒ v = p=(p) ∈ U ,
Á ÚÁÔÅÍ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ n ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ i ÎÁ ÜÔÏÍ ×ÅËÔÏÒÅ. ïÔÍÅÔÉÍ,
ÞÔÏ ÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ n ÞÉÓÅÌ ti(p) = i(v) = i(p)=(p) , 1 ⩽ i ⩽ n ,
ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÔÏÞËÉ p
.
2
18.1.3. ðÒÉÍÅÒ: ÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ ÒÑÍÁÑ P1 = P(k ) ÏËÒÙ×ÁÅÔÓÑ Ä×ÕÍÑ ÁÆÆÉÎÎÙÍÉ ËÁÒÔÁÍÉ U0 = Ux É U1 = Ux , ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÍÉ ÓÏÂÏÀ ÁÆÆÉÎÎÙÅ
x
ÒÑÍÙÅ Ó ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ x0 = 1 É
(p : p ) = (1 : t) = (s : 1)
x1 = 1 (ÓÍ. ÒÉÓ. 18⋄2).
÷ ËÁÒÔÅ U0 ×ÉÄÎÙ ×ÓÅ ÒÏ- U : x = 1
(0, 1)
s = p /p
ÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÒÑÍÙÅ, ËÒÏÍÅ ×ÅÒÔÉËÁÌØt = p /p
ÎÏÊ. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ ÔÏÞËÁ
(1, 0)
x
O
(p0 : p1) ∈ P1
U :x =1
Ó p0 6= 0 ×ÉÄÎÁ × U0 ËÁË ÁÆÆÉÎ⋄ óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ËÁÒÔÙ ÎÁ P1 .
ÎÁÑ ÔÏÞËÁ (1; p1=p0). ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å
ÌÏËÁÌØÎÏÊ ÁÆÆÉÎÎÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ × ËÁÒÔÅ U0 ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÎÁ U0 ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ x1 . åÓÌÉ ÏÂÏÚÎÁÞÉÔØ Å£ ÞÅÒÅÚ t = x1|U , ÔÏ t(p0 : p1) = p1=p0.
ëÁÒÔÁ U1 ÏËÒÙ×ÁÅÔ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ (x0 : x1 ), Õ ËÏÔÏÒÙÈ x1 6= 0, É × ËÁÞÅÓÔ×Å
ÌÏËÁÌØÎÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ × U1 ÇÏÄÉÔÓÑ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ s = x0 |U . ÏÇÄÁ s(p0 : p1) =
ÌÏËÁÌØÎÙÅ ÁÆÆÉÎÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ
ÎÅÌÉÎÅÊÎÏ
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
òÉÓ. 18 2.
0
1
317
18.1. ðÒÏÅËÔÉ×ÉÚÁ ÉÑ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
p0 =p1 . åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌ£ÎÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÄÌÑ ËÁÒÔÙ U1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏ-
ÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÁÑ ÏÓØ (1 : 0).
ëÏÏÒÄÉÎÁÔÙ s É t ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÔÏÞËÉ (x0 : x1 ) ∈ P1 , ×ÉÄÉÍÏÊ ÓÒÁÚÕ ×
ÏÂÅÉÈ ËÁÒÔÁÈ, Ó×ÑÚÁÎÙ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ s = 1=t. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, P1 ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÓËÌÅÊËÉ Ä×ÕÈ ÁÆÆÉÎÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÒÑÍÙÈ A1
(ÏÄÎÁ |Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÏÊ s, ÄÒÕÇÁÑ | Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÏÊ t) ×ÄÏÌØ ÄÏÏÌÎÅÎÉÑ ÄÏ ÎÕÌÑ
Ï ÓÌÅÄÕÀÝÅÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ: ÔÏÞËÁ Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÏÊ s ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ ÒÉËÌÅÉ×ÁÅÔÓÑ
Ë ÔÏÞËÅ Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÏÊ t = 1=s ÎÁ ÄÒÕÇÏÊ.
îÁÄ ÏÌÅÍ k = R ÜÔÁ ÓËÌÅÊËÁ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ÓËÌÅÊËÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÄÉÁÍÅÔÒÁ 1
ÉÚ Ä×ÕÈ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ ÒÑÍÙÈ (ÓÍ. ÒÉÓ. 18⋄3), ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ
ÒÏÅËÔÉÒÕÅÔÓÑ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÉÚ ÔÏÞËÉ, ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÊ ÔÏÞËÅ
Ó×ÏÅÇÏ ËÁÓÁÎÉÑ Ó ÎÅÀ.
U0
t = 1/s
N
U0
N
t = 1/s
1
i
p
1
p
i
U1
U1
S
òÉÓ. 18⋄3.
s = 1/t
s = 1/t
P1 (R) ≃ S 1 .
òÉÓ. 18⋄4.
S
1
P1 (C) ≃ S 2 .
áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁÄ ÏÌÅÍ k = C ÓËÌÅÊËÁ P1 = P(C2) ÉÚ Ä×ÕÈ ÁÆÆÉÎÎÙÈ ÒÑÍÙÈ A1 = C ÎÉÞÅÍ ÎÅ ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ ÓËÌÅÉ×ÁÎÉÑ ÓÆÅÒÙ ÄÉÁÍÅÔÒÁ 1 ÉÚ
Ä×ÕÈ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÓÅ×ÅÒÎÙÊ É ÀÖÎÙÊ ÏÌÀÓÁ ÓÆÅÒÙ É ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ1 (ÓÍ. ÒÉÓ. 18⋄4).
ëÁÖÄÁÑ ÉÚ ÎÉÈ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ËÁË ÏÌÅ C É ÒÏÅËÔÉÒÕÅÔÓÑ ÎÁ ÓÆÅÒÕ ÉÚ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÇÏ Ë ÔÏÞËÅ ËÁÓÁÎÉÑ ÏÌÀÓÁ, ÒÉÓ. 18⋄4 ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ s É t ÉÍÅÀÔ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ÁÒÇÕÍÅÎÔÙ, Á ÒÉÓ. 18⋄3 | ÞÔÏ Õ ÎÉÈ
ÏÂÒÁÔÎÙÅ ÍÏÄÕÌÉ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 18.1. åÓÌÉ ×Ù ÚÎÁËÏÍÙ Ó ÎÁÞÁÌÁÍÉ
ÔÏÏÌÏÇÉÉ, ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÌÏÓËÏÓÔØ P2 = P R3 ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÁ ÌÅÎÔÅ í£ÂÉÕÓÁ Ó ÚÁËÌÅÅÎÎÏÊ ÄÉÓËÏÍ ÇÒÁÎÉ ÅÊ2
Â) ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï P3 = P R4 ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÊ ÇÒÕÅ SO3 (R) ×ÒÁÝÅÎÉÊ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á R3 .
18.1.4. óÔÁÎÄÁÒÔÎÏÅ ÁÆÆÉÎÎÏÅ ÏËÒÙÔÉÅ Pn ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ (n + 1) ÁÆÆÉÎ-
ÎÙÈ ËÁÒÔ U = Ux , ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÈ × An+1 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ x = 1. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ
= 0; 1; : : : ; n × ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÌÏËÁÌØÎÙÈ ÁÆÆÉÎÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ U
×ÅÒÈÎÉÊ ÒÅÅÒ (1; i) ÏÌÕÞÉÌÓÑ ÉÚ ÎÉÖÎÅÇÏ ÒÅÅÒÁ (1; i) ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÍ ÅÒÅÎÏÓÏÍ ×ÄÏÌØ
ÍÅÒÉÄÉÁÎÁ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÇÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÞÅÒÔÅÖÁ
ÇÒÁÎÉ ÅÊ ÌÅÎÔÙ í£ÂÉÕÓÁ, ÔÁË ÖÅ ËÁË É ÇÒÁÎÉ ÅÊ ËÒÕÇÁ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, Ï ËÏÔÏÒÏÊ
ÉÈ É ÍÏÖÎÏ ÒÉËÌÅÉÔØ ÄÒÕÇ Ë ÄÒÕÇÕ
1
2
318
§18. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
ÂÅÒÕÔÓÑ n ÆÏÒÍ t(i) = xi|U , ÇÄÅ 0 ⩽ i ⩽ n É i 6= , ËÏÔÏÒÙÅ ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ
ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ t(i) (x0 : x1 : : : : : xn) = xi=x .
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Pn (ÎÁÄ ÌÀÂÙÍ ÏÌÅÍ) ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ
ÓÅÂÅ ËÁË ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÓËÌÅÊËÉ (n + 1) ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÉÊ U0; U1; : : : ; Un n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÁÆÆÉÎÎÏÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á kn. óËÌÅÊËÁ ËÁÒÔÙ U Ó ËÁÒÔÏÊ U
ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ×ÄÏÌØ ÉÈ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ×ÎÕÔÒÉ Pn, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ ÔÏÞÅË x, Õ ËÏÔÏÒÙÈ
ÏÂÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ x É x ÎÅ ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ × 0. ÷ ÌÏËÁÌØÎÙÈ ÁÆÆÉÎÎÙÈ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ÎÁ U É U ÜÔÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÚÁÄÁ£ÔÓÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ t() 6= 0 É t() 6= 0. ðÒÁ×ÉÌÏ ÓËÌÅÊËÉ ÔÁËÏ×Ï: ÔÏÞËÁ t() ∈ U ÓËÌÅÉ×ÁÅÔÓÑ
Ó ÔÏÞËÏÊ t() ∈ U , ËÏÇÄÁ t() = 1=t() É t(i) = t(i) =t() ÄÌÑ i 6= ; . ðÒÁ×ÙÅ ÞÁÓÔÉ
ÜÔÉÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ× ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÏÔ ÌÏËÁÌØÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ t() Ë
ÌÏËÁÌØÎÙÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍ t() .
18.2. úÁÄÁÎÉÅ ÆÉÇÕÒ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ. ÷ ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÁÆÆÉÎÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ,
ÎÁ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å P(kn+1) Ó ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔ x = (x0; x1 ; : : : ; xn) ÏÔÌÉÞÎÙÅ
ÏÔ ËÏÎÓÔÁÎÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÏÔ x
ÎÉËÁËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ: ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f ×ÍÅÓÔÏ x ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÒÏÏÒÉÏÎÁÌØÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× v É v, ÚÁÄÁÀÝÉÈ
ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÔÏÞËÕ × Pn, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ
ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ f (v) 6= f (v).
ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ,
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
f ∈ k[x0 ; x1 ; : : : ; xn ℄ ÓÔÅÅÎÉ d ËÏÒÒÅËÔÎÏ
ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ × Pn ÆÉÇÕÒÕ
V (f ) def
= { v ∈ V | f (v) = 0 } (18-1)
ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÓÔÅÅÎÉ d. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ,
⋄ ëÏÎÕÓ.
ÏÓËÏÌØËÕ f (v) = d f (v), ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
f (v) = 0 É f (v) = 0
ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ. çÏ×ÏÒÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ f (v) = 0 ÚÁÄÁ£Ô ×
ÁÆÆÉÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å A(V ) ËÏÎÕÓ Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ × ÎÕÌÅ: ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÏÊ P 6= O ÏÎ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÓÀ ÒÑÍÕÀ OP , É ÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ
V (f ) ⊂ P(V ) ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÏÞÅË, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÈ ÜÔÉÍ ÒÑÍÙÍ OP . ëÏÎÕÓ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ f = 0 × ÁÆÆÉÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å A(V ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÎÁÄ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ V (f ) ⊂ P(V ).
18.2.1. ðÒÉÍÅÒ: ÇÌÁÄËÁÑ ËÏÎÉËÁ. ðÏÓÍÏÔÒÉÍ ËÁË ×ÙÇÌÑÄÉÔ × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ
ÁÆÆÉÎÎÙÈ ËÁÒÔÁÈ ËÒÉ×ÁÑ C , ÚÁÄÁÎÎÁÑ × ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ
P2 = P(R3 ) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ
x20 + x21 = x22
(18-2)
ÆÕÎË ÉÑÍÉ ÅÒÅÈÏÄÁ
ÎÅ ÚÁÄÁ-
ÀÔ
ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÊ
ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÇÉÅÒ-
Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ
òÉÓ. 18 5.
ÁÆÆÉÎÎÙÍ
ËÏÎÕÓÏÍ
319
18.2. úÁÄÁÎÉÅ ÆÉÇÕÒ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ
÷ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ËÁÒÔÅ Ux , ÇÄÅ x0 = 1 , × ÌÏËÁÌØÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ
t1 = x1 |Ux = x1 =x0 É t2 = x2 |Ux = x2 =x0
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (18-2) ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÇÉÅÒÂÏÌÙ t22 − t21 = 1. ÷ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ËÁÒÔÅ Ux , ÇÄÅ x2 = 1 , Ó ÌÏËÁÌØÎÙÍÉ ÁÆÆÉÎÎÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ
t0 = x0 |Ux = x0 =x2 É t1 = x1 |Ux = x1 =x2
ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ t20 + t21 = 1. ÷ ËÁÒÔÅ Ux +x , ÇÄÅ x0 + x2 = 1 ,
× ÌÏËÁÌØÎÙÈ ÁÆÆÉÎÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ
t = x1 |Ux x = x0 =(x0 + x2 ) É u = (x2 − x0 )|Ux x = (x2 − x0 )=(x0 + x2 )
ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÁÒÁÂÏÌÙ t2 = u (ÎÁÄÏ ÅÒÅÎÅÓÔÉ x21 × (18-2) ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï É ÏÄÅÌÉÔØ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÎÁ (x2 − x0 )2).
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÁÆÆÉÎÎÙÅ ÜÌÌÉÓ, ÇÉÅÒÂÏÌÁ É ÁÒÁÂÏÌÁ ÓÕÔØ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
ÏÄÎÏÊ É ÔÏÊ ÖÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ (18-2) × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÁÒÔÁÈ. ïÂÌÉË C × ËÁÒÔÅ U ⊂ P2 ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÔÅÍ, ËÁË ÒÁÓÏÌÁÇÁÅÔÓÑ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë C ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ
ÕÄÁÌ£ÎÎÁÑ ÒÑÍÁÑ P1 = P(Ann ) ÜÔÏÊ ËÁÒÔÙ: ÜÌÌÉÓ, ÁÒÁÂÏÌÁ É ÇÉÅÒÂÏÌÁ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ËÏÇÄÁ ÜÔÁ ÒÑÍÁÑ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó C , ËÁÓÁÅÔÓÑ C É
ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó C × Ä×ÕÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞËÁÈ (ÓÍ. ÒÉÓ. 18⋄5).
0
0
0
2
2
2
0
0+ 2
2
0+ 2
18.2.2. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÁÆÆÉÎÎÏÊ ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ
S = {(t1 ; t2 ; : : : ; tn ) ∈ An | f (t) = 0}
ÚÁÄÁÎÎÏÊ × ÁÆÆÉÎÎÏÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å An = A(kn) Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ
(t1; t2; : : : ; tn) ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ (ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f ∈ k[t1; t2; : : : ; tn℄, |
ÜÔÏ ÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ
S = V (f ) ⊂ P n
ÚÁÄÁÎÎÁÑ × ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Pn = P(kn+1) Ó ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (x0; x1 ; : : : ; xn) ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f ∈ k[x0 ; x1 ; : : : ; xn℄ ÓÔÅÅÎÉ
deg f = deg f , ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÁÆÆÉÎÎÏÊ ËÁÒÔÏÊ U0 Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ ti = xi|U ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó S . ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ
f (t1 ; t2 ; : : : ; tn ) = f (1; t1 ; t2 ; : : : ; tn ) :
üÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ (×ÍÅÓÔÅ Ó ÕÓÌÏ×ÉÅÍ deg f = deg f ) ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÊ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ: ÓÌÅÄÕÅÔ ÚÁÍÅÎÉÔØ × f ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ti ÎÁ xi É ÒÉÉÓÁÔØ
Ë ËÁÖÄÏÍÕ ÍÏÎÏÍÕ ÔÁËÕÀ ÓÔÅÅÎØ x0, ÞÔÏÂÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÄÅÌÁÌÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ.
åÓÌÉ
f (t1 ; t2 ; : : : ; tn ) =
= f0 + f 1 ( t 1 ; t 2 ; : : : ; t n ) + f 2 ( t 1 ; t 2 ; : : : ; t n ) + · · · + fd ( t 1 ; t 2 ; : : : ; t n ) ;
0
320
§18. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
ÇÄÅ ËÁÖÄÙÊ fi ∈ k[t1; t2; : : : ; tn℄ ÏÄÎÏÒÏÄÅÎ ÓÔÅÅÎÉ i, ÔÏ
f (x0 ; x1 ; : : : ; xn ) = f0 · xd0 + f1 (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) · x0d−1 + · · · + fd (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) :
äÏÏÌÎÅÎÉÅ S r S = S ∩ U0(∞) × ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ (x1 : x2 : · · · : xn) ÎÁ
ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌ£ÎÎÏÊ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ x0 = 0 ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
fd (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) = 0 :
÷ ÁÆÆÉÎÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ×ÅËÔÏÒÙ v ∈ kn, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ fd(v) = 0,
ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÁÆÆÉÎÎÏÊ ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ
n
S ⊂ A . ÷ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÒÅ×ÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÏÂÙÞÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S , ÎÉÞÅÍ ÎÅ ÏÔÌÉÞÁÀÝÉÅÓÑ ÏÔ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ
ÔÏÞÅË, ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÉÈ ÎÅ ×ÉÄÎÏ × ËÁÒÔÅ U0 .
îÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÍ ÚÁÍÙËÁÎÉÅÍ ÁÆÆÉÎÎÏÊ ËÕÂÉÞÅÓËÏÊ ËÒÉ×ÏÊ x1 = x32
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ ËÒÉ×ÁÑ x20 x1 = x32 , ËÏÔÏÒÁÑ ÉÍÅÅÔ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÒÏ×ÎÏ
ÏÄÎÕ ÔÏÞËÕ (0 : 1 : 0), ×ÉÄÉÍÕÀ × ÁÆÆÉÎÎÏÊ ËÁÒÔÅ U1 ËÁË ÏÓÔÒÉ£ ÏÌÕËÕÂÉÞÅÓËÏÊ
ÁÒÁÂÏÌÙ x20 = x32 .
18.2.3. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ
S d V ∗ ⊂ k[x1 ; x2 ; : : : ; xn ℄
×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ d ÏÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ
×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V . ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÚÁÄÁÀÔ
ÏÄÎÕ É ÔÕ ÖÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÕÀ ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ S ⊂ Pn, ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÓÔÅÅÎÉ d × P(V ) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÁÍÉ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P(S dV ∗) , ËÏÔÏÒÏÅ
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÓÔÅÅÎÉ d .
ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÉÍÉ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÍÉ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 18.2. ëÁËÏ×Á ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ ÓÔÅÅÎÉ
d × Pn ?
ðÏÓËÏÌØËÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ f (p) = 0 ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ p ∈ P(V ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÎÁ f ∈ S dV ∗, ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÓÔÅÅÎÉ d, ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ p, ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÒÏÅËÔÉ×ÎÕÀ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ×ÓÅÈ ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ
ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ.
ðÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P(U ) ⊂ P(S dV ∗) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ. åÓÌÉ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ⊂ S dV ∗ ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ f1; f2; : : : ; fm , ÔÏ ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÉÚ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ P(U ) , ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÊ ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÑÍÉ V (f1); V (f2); : : : ; V (fm) ,
ÚÁÄÁÀÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ ×ÉÄÁ
1 f1 + 2 f2 + · · · + m fm = 0 ;
ÇÄÅ 1; 2; : : : ; m ∈ k | ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ. ìÀÂÁÑ ÔÁËÁÑ ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ
ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ V (f1) ∩ V (f2) ∩ : : : ∩ V (fm) .
ðÏ ÓÔÁÒÉÎÎÏÊ ÔÒÁÄÉ ÉÉ, ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÅ É Ä×ÕÍÅÒÎÙÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÆÉÇÕÒ
ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ,
É
ÔÁËÏ×ÙÈ ÆÉÇÕÒ.
ÌÉÎÅÊÎÙÍ
ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ÓÉ-
ÓÔÅÍÁÍÉ
ÕÞËÁÍÉ
Ó×ÑÚËÁÍÉ
321
18.2. úÁÄÁÎÉÅ ÆÉÇÕÒ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 18.3. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ ÕÞËÅ ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ (ÎÁÄ ÌÀÂÙÍ
ÏÌÅÍ) ×ÓÅÇÄÁ ÎÁÊÄ£ÔÓÑ ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ, ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÌÀÂÕÀ ÎÁÅÒ£Ä ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ.
18.2.4. ðÒÉÍÅÒ: ÎÁÂÏÒÙ ÔÏÞÅË ÎÁ P1 É ËÒÉ×ÁÑ ÷ÅÒÏÎÅÚÅ. æÉËÓÉÒÕÅÍ Ä×Õ-
ÍÅÒÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ≃ k2 Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ x0 ; x1 É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ÒÏÅËÔÉ×ÎÕÀ ÒÑÍÕÀ P1 = P(U ). ÷ÓÑËÏÅ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË
p1 ; p2 ; : : : ; pd ∈ P1 = P(U )
(ÓÒÅÄÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÏÕÓËÁÀÔÓÑ É ÓÏ×ÁÄÁÀÝÉÅ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ d-ÔÏÊ ÓÔÅÅÎÉ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÊ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ1
f (x0 ; x1 ) =
d
Y
=1
d
Y
det(x; p ) = (p;1x0 − p;0x1 ) ; ÇÄÅ p = (p;0 : p;1) : (18-3)
=1
üÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÁ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÀ ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÏÔ ÏÄÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÎÁ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÅ ÅÇÏ ËÏÒÎÑÍ ÎÁ ÁÆÆÉÎÎÏÊ ÒÑÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f
ÍÏÊ A1, É ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÔÏÞËÉ p ∈ P1
ÏÔ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x0 ; x1 . éÚ (18-3) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ
d ÏÔ Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÉÍÅÅÔ ÎÅ ÂÏÌÅÅ d ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ÎÁ P1 , Á ÅÓÌÉ ÏÌÅ
k ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÏ, ÔÏ ÔÁËÏ×ÙÈ ËÏÒÎÅÊ, Ó ÕÞ£ÔÏÍ ËÒÁÔÎÏÓÔÅÊ2 , ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ d . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ k ÉÍÅÅÔÓÑ
ÂÉÅË ÉÑ ÍÅÖÄÕ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ËÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÑÍÉ ÉÚ d-ÔÏÞÅË ÎÁ P1 É ÔÏÞËÁÍ
ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Pd = P(S dU ∗) ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ d
ÏÔ x0 ; x1 Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ.
ëÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ×ÓÅ d ÔÏÞÅË ÓÌÉÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÕ, ÏÂÒÁÚÕÀÔ (ÎÁÄ
ÌÀÂÙÍ ÏÌÅÍ) ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÕÀ ËÒÉ×ÕÀ Cd ⊂ Pd = P(S dU ∗), ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÓÔÅÅÎÉ d (Á ÔÁËÖÅ
ÓÔÅÅÎÉ
d). üÔÁ ËÒÉ×ÁÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÏÍ
vddU ∗ ;
∗
P
=
=
P×
P
(
U
)
P
S
(18-4)
d
1
ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÇÏ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ' ∈ U ∗, ÚÁÄÁÀÝÕÀ ÏÄÎÕ ÔÏÞËÕ p ∈ P(U ), × Å£ dÀ ÓÔÅÅÎØ 'd ∈ S d(U ∗), ÚÁÄÁÀÝÕÀ d ÔÏÞÅË, ÓÏÂÒÁ×ÛÉÈÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ p. åÓÌÉ
ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ ÆÏÒÍÙ ' ∈ U ∗ É f ∈ S d(U ∗) × ×ÉÄÅ
ËÏÒÎÑÍÉ
ËÒÉ×ÏÊ ÷ÅÒÏÎÅÚÅ
ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÊ ËÒÉ×ÏÊ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÷ÅÒÏÎÅÚÅ
'(x) =
0 x0
+ 1x1 É f (x) =
X
a ·
d d− x x
0 1
É ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉ× ÉÅÎÔÏ× ( 0 : 1) É (a0 : a1 : : : : : ad) × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ P1 = P(U ∗) É ÎÁ Pd = P(S dU ∗) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ,
ÔÁËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÞÁÓÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÂÉÎÁÒÎÙÍÉ ÆÏÒÍÁÍÉ
ÏÄ ËÒÁÔÎÏÓÔØÀ ËÏÒÎÑ p ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÁÑ ÓÔÅÅÎØ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ det(t; p), ÎÁ
ËÏÔÏÒÕÀ ÄÅÌÉÔÓÑ f
1
2
322
§18. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
ËÒÉ×ÁÑ ÷ÅÒÏÎÅÚÅ ÂÕÄÅÔ ÚÁÄÁ×ÁÔØÓÑ ÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
( 0 : 1) 7−→ (a0 : a1 : : : : : ad) = 0d : 0d−1 1 : 0d−2 12 : · · · : 1d : (18-5)
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Cd ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË (a0 : a1 : : : : : ad) ∈ Pd, ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ
ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÒÏÇÒÅÓÓÉÀ. üÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ
ÔÏÍÕ, ÞÔÏ
a
0 a1 a2 : : : ad−2 ad−1
rk a1 a2 a3 : : : ad−1 ad = 1 ;
É ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÒÁÖÅÎÏ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ |
ÏÂÒÁÝÅÎÉÅÍ × ÎÕÌØ ×ÓÅÈ 2 × 2-ÍÉÎÏÒÏ× ÜÔÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù.
îÁÒÉÍÅÒ, ËÒÉ×ÁÑ C2 ⊂ P2 ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÁ ×ÓÅÍÉ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÍÉ ÔÒ£ÈÞÌÅÎÁÍÉ
a0 x20 + 2a1 x0 x1 + a2 x21 , ËÏÔÏÒÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÌÎÙÍÉ Ë×ÁÄÒÁÔÁÍÉ. ïÎÁ ÚÁÄÁ£ÔÓÑ
ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍ ÉÚ ÛËÏÌÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
D=4 = − det
a0 a1
a1 a2
= a21 − a0a2 = 0
(18-6)
É ÄÏÕÓËÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÚÁÄÁÎÉÅ:
a0 = 02 ; a1 = 0 1 ; a2 = 12 :
(18-7)
ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ
P ËÒÉ×ÏÊ (18-5) Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØÀ, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÕÒÁ×A a = 0, ÓÏÓÔÏÉÔ ËÏÒÎÅÊ ( 0 : 1 ) ∈ P1 ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ
ÎÅÎÉÅÍ
P
d
− A · 0 1 ÓÔÅÅÎÉ d, ËÁËÏ×ÙÈ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÅ ÂÏÌÅÅ d. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÉ 2 ⩽ m ⩽ d
ÎÉËÁËÉÅ m +1 ÔÏÞÅË ËÒÉ×ÏÊ Cd ÎÅ ÌÅÖÁÔ × ÏÄÎÏÍ (m − 1)-ÍÅÒÎÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. îÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ËÒÉ×ÏÊ Cd Ó ÌÀÂÏÊ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØÀ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÉÚ d ÔÏÞÅË | ÉÍÅÎÎÏ ÏÜÔÏÍÕ ÍÙ É ÓËÁÚÁÌÉ
×ÙÛÅ, ÞÔÏ
ËÒÉ×ÏÊ Cd ÒÁ×ÎÁ d.
18.3. ðÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ðÒÏÅËÔÉ×ÉÚÁ ÉÑ P(U ) ⊂ P(V ) ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ⊂ V ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
.
îÁÒÉÍÅÒ, ÒÑÍÁÑ (a; b) ⊂ P(V ), ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ Ä×Å ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÔÏÞËÉ
a; b ∈ P(V ), | ÜÔÏ ÒÏÅËÔÉ×ÉÚÁ ÉÑ Ä×ÕÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÇÏ ÎÅÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ a; b ∈ V . ÏÞËÉ ÒÑÍÏÊ (a; b) | ÜÔÏ
×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ p = a + b. ïÔÎÏÛÅÎÉÅ ( : ) ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË ×ÎÕÔÒÅÎÎÀÀ ÏÄÎÏÒÏÄÎÕÀ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÕ ÎÁ ÒÑÍÏÊ (a; b) × ÂÁÚÉÓÅ
a; b. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÔÏÞËÉ p = ( : ), Õ ËÏÔÏÒÙÈ + 6= 0, ÂÕÄÕÔ ×ÉÄÎÙ × ÌÀÂÏÊ
ÁÆÆÉÎÎÏÊ ËÁÒÔÅ U , ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ËÏÎ Ù ×ÅËÔÏÒÏ×1 a, b, ËÁË ÂÁÒÉ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÉÅ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ
a+
b;
p=
+
+
ÓÔÅÅÎØ
ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ
1
Ô. Å. ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ (a) = (b) = 1
323
18.3. ðÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
(ÄÅÌÉÔØ ÎÁ + ÎÕÖÎÏ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ
(p) = 1), Á ÔÏÞËÁ p = (−1 : 1) = b − a,
−
→
ÏÔ×ÅÞÁÀÝÁÑ ÎÁÒÁ×ÌÑÀÝÅÍÕ ×ÅËÔÏÒÕ ab ÁÆÆÉÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ (a; b), Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÌÑ
ÌÀÂÏÊ ÔÁËÏÊ ËÁÒÔÙ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌ£ÎÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ.
âÏÌÅÅ ÏÂÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × P(V ),
ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÔÏÞËÉ a1; a2; : : : ; am ∈ P(V ) | ÜÔÏ ÒÏÅËÔÉ×ÉÚÁ ÉÑ P(U ) ⊂ P(V )
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U , ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ a1; a2; : : : ; am ∈ V . ïÎÁ ÓÏÓÔÏÉÔ
ÉÚ ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË ×ÉÄÁ
1 a1 + 2 a2 + · · · + m am ∈ P ( V )
(18-8)
É ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ai.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 18.4. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÏÌÅ k ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ, ÔÏ ÌÀÂÏÊ ËÏÎÅÞÎÙÊ
ÎÁÂÏÒ ÔÏÞÅË × P(V ) ÍÏÖÎÏ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ × ÏÄÎÏÊ ÁÆÆÉÎÎÏÊ ËÁÒÔÅ.
åÓÌÉ ÁÆÆÉÎÎÁÑ ËÁÒÔÁ U ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ai, Ô. Å. (ai) = 1 ÄÌÑ ×ÓÅÈ i (ÞÅÇÏ
ÍÏÖÎÏ ÄÏÂÉÔØÓÑ, ÚÁÍÅÎÑÑ ai ÎÁ ai=(ai), ÅÓÌÉ ×ÓÅP(ai) 6= 0), ÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÎÁ
ÔÏÞËÅ (18-8) ÒÁ×ÎÏ ÓÕÍÍÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× (p) =P i. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÔÏÞËÁ p
×ÉÄÎÁ × ËÁÒÔÅ U ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ i 6= 0, É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÎÁ
×ÉÄÎÁ × ÎÅÊ ËÁË ÂÁÒÉ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÁÑ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ
p= (p) =
X
Pi
p:
i i
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 18.5. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÁÆÆÉÎÎÕÀ ËÁÒÔÕ U ⊂ Pn É ÒÏ-
ÉÚ×ÏÌØÎÏÅ k-ÍÅÒÎÏÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï K ⊂ Pn . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÉÂÏ
K ∩ U = ∅, ÌÉÂÏ K ∩ U Ñ×ÌÑÅÔÓÑ k-ÍÅÒÎÙÍ ÁÆÆÉÎÎÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ × U .
éÚ ÓÌ. 7.1, Ï ÅÎÉ×ÁÀÝÅÇÏ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÁÒÙ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 18.1
äÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× K; L ⊂ Pn
dim(K ∩ L) ⩾ dim K + dim L − n :
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ d É
n − d ÉÍÅÀÔ × Pn ÎÅÕÓÔÏÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ K = P(U ), L = P(W ) É Pn = P(V ). ÏÇÄÁ Ï ÓÌ. 7.1
dim(K ∩ L) = dim P(U ∩ W ) =
= dim(U ∩ W ) − 1 ⩾ dim(U ) + dim(W ) − dim(V ) − 1 =
= dim P(U ) + 1 + dim P(W ) + 1 − n − 2 = dim K + dim L − n
ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÎÕÌØÍÅÒÎÏÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï (ÒÏÅËÔÉ×ÉÚÁ ÉÑ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ) ÜÔÏ ÔÏÞËÁ, Ô. Å. ÎÅÕÓÔÏÅ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï.
324
§18. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
18.3.1. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
= P(V ∗ )
= P(V ) É Pn× def
ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ, ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÅÊ × ÄÒÕÇÏÍ, ÉÂÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÆÏÒÍÙ
Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ ÜÔÏ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ.
ëÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ V ∗∗ ≃ V ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÂÉÅË ÉÀ P××
n ≃ P(V ), É
×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ U ⇄ Ann (U ) ÍÅÖÄÕ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ ×
V É ÉÈ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÁÍÉ × V ∗ ÎÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ kÍÅÒÎÏÍÕ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ K ⊂ Pn (n − k − 1)-ÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á K × ⊂
P×
n , ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÎÏ ÏÉÓÁÔØ ÌÉÂÏ ËÁË ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÔÅÈ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÅÊ ×
Pn× , ÞÔÏ ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔÓÑ ÔÏÞËÁÍÉ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á K , ÌÉÂÏ ËÁË ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË
× P×n , ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÉÈ ×ÓÅ ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ K ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ
× Pn .
ÔÏÞËÁÍÉ
`× ∈ P×2 , É ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ p ÎÁ P2
îÁÒÉÍÅÒ, ÒÑÍÙÅ ` ÎÁ P2 ÚÁÄÁÀÔÓÑ
Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÁ ÒÑÍÏÊ p× = {`× ∈ P2× | p ∈ `}, ÔÏÞËÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÕÞÏË
ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ p ÒÑÍÙÈ ` ⊂ P2. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÒÑÍÁÑ (p1; p2) ⊂ P2 Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÁ
ÔÏÞËÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ p×1 ∩ px2 ⊂ P×2 (Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÏÂÝÅÊ ÔÏÞËÏÊ
Ä×ÕÈ ÕÞËÏ× ÒÑÍÙÈ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ p1 É p2) É Ô. Ä.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ
ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁ×Pn × ×ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁ P×n Ó ÏÂÒÁÝÅÎÉÅÍ
×ËÌÀÞÅÎÉÊ (L1 ⊂ L2 ↔ L1 ⊃ L2 ) É ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÏÓÔÉ (ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á L1; L2 ; : : : ; Lr ÏÒÏÖÄÁÀÔ
m-ÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ
×
×
×
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á L1 ; L2 ; : : : ; Lr ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ Ï (n − m − 1)-ÍÅÒÎÏÍÕ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ). îÁÒÉÍÅÒ, ÔÒÉ ÔÏÞËÉ × P3 ËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ
ÔÒÉ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÍ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ Ï ÒÑÍÏÊ.
18.3.2. äÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á É ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ. ðÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
K = P(U ) É L = P(W )
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Pn = P(V ) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
, ÅÓÌÉ K ∩ L = ∅ É
dim K + dim L = n − 1. îÁÒÉÍÅÒ, ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÒÑÍÙÅ × P3
ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙ.
îÁ ÑÚÙËÅ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ×ÅËÔÏÒÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U; W ⊂ V ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÙ: U ∩ V = {0}, É
dim U + dim W = dim K + 1 + dim L + 1 = (n + 1) = dim V ;
Ô. Å. V = U ⊕ W . ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÌÀÂÏÊ ×ÅËÔÏÒ v ∈ V ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ v = u + w Ó u ∈ U É w ∈ W . åÓÌÉ v ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÎÉ × U , ÎÉ × W ,
ÏÂÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÜÔÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÏÔÌÉÞÎÙ ÏÔ ÎÕÌÑ. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ
p 6∈ K ⊔ L ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ p ÒÑÍÁÑ (q; r) Ó q ∈ K É
r ∈ L. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÔÏÞËÉ q = u É r = w ÚÁÄÁÀÔ ÔÁËÕÀ ÒÑÍÕÀ, É ÎÁÏÂÏÒÏÔ,
ÅÓÌÉ ×ÅËÔÏÒ v, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÔÏÞËÕ p, ÏËÁÚÁÌÓÑ × Ä×ÕÍÅÒÎÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× u ∈ U É w ∈ W , ÔÏ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á,
Pn
Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ
ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍÉ
325
18.3. ðÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
ÎÁÔÑÎÕÔÙÅ ÎÁ u É w ÄÏÌÖÎÙ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÁ v ×
ÓÉÌÕ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÅÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ Ï U É W .
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÁÒÙ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× K; L ⊂ Pn
ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
L K
ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÁ
LK : (Pn \ K )
ÉÚ
-L;
ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÎÁ L É ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ ËÁÖÄÕÀ ÔÏÞËÕ p ∈ Pn \ (K ⊔ L)
× ÔÏÞËÕ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ó L ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ, ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ p É ÅÒÅÓÅËÁÀÝÅÊ É K É L.
îÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï P3 ÍÏÖÎÏ ÓÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÔØ ÉÚ ÔÏÞËÉ ÎÁ ÌÀÂÕÀ ÎÅ
ÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ ÜÔÕ ÔÏÞËÕ ÌÏÓËÏÓÔØ, Á ÔÁËÖÅ ÉÚ ÌÀÂÏÊ ÒÑÍÏÊ ÎÁ ÌÀÂÕÀ ÎÅ
ÅÒÅÓÅËÁÀÝÕÀ Å£ ÒÑÍÕÀ.
÷ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ (x0 : x1 : : : : : xn), ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ Ó ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ V = U ⊕ W ÔÁË, ÞÔÏ (x0 : x1 : : : : : xm ) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ × K , Á
(xm+1 : xm+2 : : : : : xn) | × L, ÒÏÅË ÉÑ LK ÒÏÓÔÏ ÕÄÁÌÑÅÔ ÅÒ×ÙÅ (m + 1)
ËÏÏÒÄÉÎÁÔ x Ó 0 ⩽ ⩽ m.
18.3.3. ðÒÉÍÅÒ: ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ ËÏÎÉËÉ ÎÁ ÒÑÍÕÀ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÏx
ÅË ÉÀ Lp : C - L ËÏÎÉËÉ C , ÚÁÄÁÎÎÏÊ
2
2
2
t
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ x0 + x1 = x2 , ÎÁ ÒÑÍÕÀ L, ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ x0 = 0 , ÉÚ ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ
q(t )
C ÔÏÞËÉ p = (1 : 0 : 1).
÷ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÁÆÆÉÎÎÏÊ ËÁÒÔÅ U2, ÇÄÅ C
L
x2 = 1, ÏÎÁ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ËÁË ÎÁ ÒÉÓ. 18⋄6.
ℓ
ëÁÖÄÁÑ ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ p É ËÁËÕÀ ÎÉx
ÂÕÄØ ÔÏÞËÕ t ∈ ` ÒÑÍÁÑ `t = (pt) ÅÒÅÓÅËÁ- (0 : 0 : 1)
p = (1 : 0 : 0)
ÅÔ C ÅÝ£ ÒÏ×ÎÏ × ÏÄÎÏÊ ÏÔÌÉÞÎÏÊ ÏÔ p ÔÏÞℓ
ËÅ q = q(t), ÒÉÞ£Í ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ
t
ÔÏÞÅË q = (q0 : q1 : q2) É t = (0 : t1 : t2) q(t )
×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ:
1
′
′
t′
0
t′′
′′
′′
ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏ
òÉÓ. 18⋄6.
ðÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ ËÏÎÉËÉ.
(t1 : t2) = ( q1 : (q2 − q0) )
(q0 : q1 : q2) = ( (t21 − t22) : 2 t1t2 : (t21 + t22) )
(18-9)
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 18.6. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ÜÔÉ ÆÏÒÍÕÌÙ É ÏÂÒÁÔÉÔÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ ×ÔÏÒÁÑ ÉÚ
ÎÉÈ, ËÏÇÄÁ (t1 : t2 ) ÒÏÂÅÇÁÅÔ Z × Z, ÄÁÅÔ ÏÌÎÙÊ ÓÉÓÏË ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ðÉÆÁÇÏÒÁ q02 + q12 = q22 .
åÓÌÉ ÓÏÏÓÔÁ×ÉÔØ ÓÁÍÏÊ ÔÏÞËÅ p ∈ C ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌ£ÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ (1 : 0 : 0), ×
ËÏÔÏÒÏÊ ÒÑÍÁÑ ` ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ËÁÓÁÔÅÌØÎÕÀ Ë C × ÔÏÞËÅ p ÒÑÍÕÀ x0 = x2 , ÍÙ
ÏÌÕÞÉÍ
ÍÅÖÄÕ ÔÏÞËÁÍÉ ÒÑÍÏÊ ` É ÔÏÞËÁÍÉ ËÏÎÉËÉ
C , ÚÁÄÁ×ÁÅÍÕÀ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ (18-9).
ÂÉÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÂÉÅË ÉÀ
326
§18. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÚÁÍÅÎÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ


a
=
x
+
x


0
2
0

 x0 = (a0 − a2 )=2
a1 = x1
x1 = a1


a = x − x
 x = (a + a )=2
0
2
2
0
0
2
ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÀÔ ËÏÎÉËÕ C Ó ËÏÎÉËÏÊ ÷ÅÒÏÎÅÚÅ a21 = a0a2 ÉÚ n◦ 18.2.4, É ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁ ÉÉ (18-9) É (18-7) ÒÅ×ÒÁÝÁÀÔÓÑ ÒÉ ÜÔÏÍ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ.
18.4. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ. ìÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÉÚÏÍÏÒ∼
ÆÉÚÍ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×
F : U - W ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÅ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ F : P(U ) ∼- P(W ), ËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÉÌÉ
.
ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÍ ÌÉÎÅÊÎÙÍ
ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ
ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 18.7. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁ P2 Ä×Å ÒÑÍÙÅ `1 , `2 É ÔÏÞËÕ p 6∈ `1 ∪ `2 . õÂÅ-
ÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÒÏÅË ÉÑ ÉÚ p ÚÁÄÁ£Ô ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ p : `1
- `2 .
∼
ìÅÍÍÁ 18.1
åÓÌÉ dim U = dim W = n + 1, ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÉÚ
(n + 2) ÔÏÞÅË {p0; p1; : : : ; pn+1} ∈ P(U ) É {q0; q1; : : : ; qn+1} ∈ P(W ) , × ËÁÖÄÏÍ
ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÉËÁËÉÅ (n + 1) ÔÏÞÅË ÎÅ ÌÅÖÁÔ × ÏÄÎÏÊ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ,
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ
Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÉÚÏ∼
ÍÏÒÆÉÚÍ F : U - W , ÔÁËÏÊ ÞÔÏ F (pi) = qi ÒÉ ×ÓÅÈ i.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ui É wi , ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÅ
ÔÏÞËÉ pi É qi, É ×ÏÚØÍ£Í {u0; u1; : : : ; un} É {w0; w1; : : : ; wn} × ËÁÞÅÓÔ×Å ÂÁÚÉÓÏ× ×
U É W . äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÔÏÞËÉ p0 ; p1 ; : : : ; pn ÅÒÅ×ÏÄÉÌÉÓØ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ F
× ÔÏÞËÉ q0; q1; : : : ; qn, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÏÅÒÁÔÏÒ F ÚÁÄÁ×ÁÌÓÑ
× ÜÔÉÈ ÂÁÚÉÓÁÈ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÊ ÍÁÔÒÉ ÅÊ Ó ËÁËÉÍÉ-ÎÉÂÕÄØ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍÉ ËÏÎÓÔÁÎÔÁÍÉ 0; 1; : : : ; n ÎÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï F (pn+1) = qn+1 ÏÚÎÁÞÁÅÔ,
ÞÔÏ F (un+1) = n+1wn+1 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ n+1 ∈ k . ðÅÒÅÉÓÙ×ÁÑ ÜÔÏ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × ×ÉÄÅ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ÎÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ×ÅËÔÏÒÏ×
un+1 = x0 u0 + x1 u1 + · · · + xn un
(18-10)
wn+1 = y0 w0 + y1 w1 + · · · + ynwn
ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ yi = n+1ixi (0 ⩽ i ⩽ n). ðÏÓËÏÌØËÕ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ
(18-10) ×ÓÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ xi ÏÔÌÉÞÎÙ ÏÔ ÎÕÌÑ1 ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÁÔÒÉ Ù
F ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÉÚ ÜÔÉÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ
ÎÁ ÎÅÎÕÌÅ×ÕÀ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ: (0; 1; : : : ; n) = −n+11 · (y1=x1; y2=x2; : : : ; yn=xn) . óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 18.1
ä×Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÚÁÄÁÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÙ, ËÏÇÄÁ ÏÎÉ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙ.
× ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÏÞËÁ pn ÏËÁÚÁÌÁÓØ ÂÙ × ÏÄÎÏÊ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ Ó n ÂÁÚÉÓÎÙÍÉ
×ÅËÔÏÒÁÍÉ, ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍÉ Ë ÔÏÍÕ, ×ÄÏÌØ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÏÂÎÕÌÉÌÁÓØ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁ
1
+1
327
18.4. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ
18.4.1. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÇÒÕÁ. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ Á×ÔÏÍÏÒ-
ÆÉÚÍÙ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á P(V ) ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÇÒÕÕ, ËÏÔÏÒÁÑ × ÓÉÌÕ ÌÅÍ. 18.1 ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÆÁËÔÏÒÕ ÏÌÎÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÇÒÕÙ GL(V ) Ï ÏÄÇÒÕÅ ÇÏÍÏÔÅÔÉÊ
H = { · Id | 6= 0} ⊂ GL(V ) :
üÔÁ ÆÁËÔÏÒ ÇÒÕÁ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ PGL(V ) = GL(V )=H É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. ÷ÙÂÏÒ × V ÂÁÚÉÓÁ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÅÔ ÏÌÎÕÀ ÌÉÎÅÊÎÕÀ
ÇÒÕÕ GL(V ) Ó ÇÒÕÏÊ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÈ ÍÁÔÒÉ GLn+1. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ
ÇÒÕÁ PGL(V ) ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÔÓÑ ÒÉ ÜÔÏÍ Ó ÇÒÕÏÊ PGLn+1 ËÌÁÓÓÏ× ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÈ ÍÁÔÒÉ .
18.4.2. ðÒÉÍÅÒ: ÄÒÏÂÎÏ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÒÑÍÏÊ. çÒÕÁ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÒÑÍÏÊ PGL2(k) ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÁ ËÌÁÓÓÁÍÉ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÈ ÍÁÔÒÉ
ÒÏÅË-
ÔÉ×ÎÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÇÒÕÏÊ
A=
a b :
d
ÁËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ P1 Ï ÒÁ×ÉÌÕ
(x0 : x1 ) 7−A→ ( (ax0 + bx1 ) : ( x0 + dx1) ) :
÷ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÁÆÆÉÎÎÏÊ ËÁÒÔÅ U1 ≃ A1 Ó ÁÆÆÉÎÎÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÏÊ t = x0 =x1,
ÜÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ ÄÒÏÂÎÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ
at + b
:
t 7−→
t+d
÷ ÔÁËÏÊ ÚÁÉÓÉ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÈÏÒÏÛÏ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ ÎÁ P1 ÏÄÉÎÁËÏ×Ï.
åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ Ï ÌÅÍ. 18.1 ÄÒÏÂÎÏ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ
ÔÒÉ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞËÉ q, r, s × ÔÏÞËÉ ∞, 0, 1 ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
t 7−→
t−r s−r
·
t−q s−q
(18-11)
18.4.3. ä×ÏÊÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ. ðÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (18-11) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÔÏÞÅË q, r, s, t É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ [q; r; s; t℄. ÷ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ Ä×ÏÊÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÅÔÙÒ£È ÔÏÞÅË ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÏÁÒÎÙÅ
ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÉ ×ÅËÔÏÒÏ×, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÜÔÉ ÔÏÞËÉ:
p1 ; p3 ) · det(p2 ; p4 )
(18-12)
[p1; p2; p3; p4℄ = ((pp1 −− pp3)) ((pp2 −− pp4)) = det(
det(p1; p4) · det(p2; p3) :
1
4
2
3
Ä×ÏÊÎÙÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ
1
1
Ï-ÁÎÇÌÉÊÓËÉ ross-ratio
328
§18. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
éÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÒÁÚÕ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ Ä×ÏÊÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÅÔÙÒ£È ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÌÀÂÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÒÏÍÅ ∞, 0 É 1 É ÞÔÏ Ä×Å ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÞÅÔ×£ÒËÉ ÔÏÞÅË ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÅÒÅ×ÏÄÑÔÓÑ ÏÄÎÁ × ÄÒÕÇÕÀ ÄÒÏÂÎÏ
ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÒÑÍÏÊ, ËÏÇÄÁ ÉÈ Ä×ÏÊÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù.
ðÏÓËÏÌØËÕ ÚÁÍÅÎÁ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÉÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ,
ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (18-12) ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ,
Á ÓÒÅÄÎÑÑ ÞÁÓÔØ (×ÙÒÁÖÁÀÝÁÑ Ä×ÏÊÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÅÒÅÚ ÒÁÚÎÏÓÔÉ ÁÆÆÉÎÎÙÈ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÔÏÞÅË) ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÎÉ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÁÆÆÉÎÎÏÊ ËÁÒÔÙ, ÎÉ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ
ÌÏËÁÌØÎÏÊ ÁÆÆÉÎÎÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ × ÎÅÊ ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ ËÁÒÔÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÓÅ
ÞÅÔÙÒÅ ÔÏÞËÉ (Ô. Å. ÚÎÁÞÅÎÉÑ p1, p2, p3, p4 ËÏÎÅÞÎÙ).
÷ÙÑÓÎÉÍ, ËÁË ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ Ä×ÏÊÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÈ ÔÏÞÅË. éÚ
ÆÏÒÍÕÌÙ (18-12) ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÏÄÇÒÕÁ ëÌÅÊÎÁ V4 ⊂ S4, ÓÏÓÔÏÑÝÁÑ ÉÚ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ É ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÁÒ ÔÏÞÅË, ÎÅ ÍÅÎÑÅÔ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:
[p1; p2; p3; p4℄ = [p2; p1; p4; p3℄ = [p3; p4; p2; p1℄ = [p4; p3; p2; p1℄
(18-13)
ðÏÜÔÏÍÕ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ S4 ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÚÎÁÞÅÎÉÊ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÒÏÕÓËÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÜÉÍÏÒÆÉÚÍ ÎÁ ÇÒÕÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ S4 -- S4=V4 = S3 = D3 ,
ÓÏÓÔÏÑÝÕÀ ÉÚ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ÔÒ£È ÏÔÒÁÖÅÎÉÊ (ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ
× S4 ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÑÍÉ (1; 2), (1; 3) É (1; 4)) É Ä×ÕÈ Ï×ÏÒÏÔÏ× (ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ×
S4 ÉËÌÁÍÉ |1; 2; 3i É |1; 3; 2i). ïÂÏÚÎÁÞÁÑ Ä×ÏÊÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (18-13) ÞÅÒÅÚ #,
ÏÌÕÞÁÅÍ ÉÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ (18-12) ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ:
[p1 ; p2 ; p3 ; p4 ℄ = [p2 ; p1 ; p4 ; p3 ℄ = [p3 ; p4 ; p2 ; p1 ℄ = [p4 ; p3 ; p2 ; p1 ℄ = #
1
[p2 ; p1 ; p3 ; p4 ℄ = [p1 ; p2 ; p4 ; p3 ℄ = [p3 ; p4 ; p1 ; p2 ℄ = [p4 ; p3 ; p1 ; p2 ℄ =
#
#
[p3 ; p2 ; p1 ; p4 ℄ = [p2 ; p3 ; p4 ; p1 ℄ = [p1 ; p4 ; p2 ; p3 ℄ = [p4 ; p1 ; p2 ; p3 ℄ =
#−1
[p4 ; p2 ; p3 ; p1 ℄ = [p2 ; p4 ; p1 ; p3 ℄ = [p3 ; p1 ; p2 ; p4 ℄ = [p1 ; p3 ; p2 ; p4 ℄ = 1 − #
#−1
[p2 ; p3 ; p1 ; p4 ℄ = [p3 ; p2 ; p4 ; p1 ℄ = [p1 ; p4 ; p3 ; p2 ℄ = [p4 ; p1 ; p3 ; p2 ℄ =
#
1
[p3 ; p1 ; p2 ; p4 ℄ = [p1 ; p3 ; p4 ; p2 ℄ = [p2 ; p4 ; p1 ; p3 ℄ = [p4 ; p2 ; p1 ; p3 ℄ =
:
1−#
(18-14)
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÔØ ÔÒÉ ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ # = −1; 2; 1=2, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÍÅÎÑÀÔÓÑ ÒÉ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÑÈ (1; 2), (1; 3) É (1; 4) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ É ÉËÌÉÞÅÓËÉ
ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ Ä×ÕÍÑ Ï×ÏÒÏÔÁÍÉ, Á ÔÁËÖÅ Ä×Á ÓÅ ÉÁÌØÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑ #, ÒÁ×ÎÙÅ Ä×ÕÍ ËÏÒÎÑÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ1 x2 − x + 1 = 0, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÅ ÍÅÎÑÀÔÓÑ ÒÉ Ï×ÏÒÏÔÁÈ É ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÑÍÉ ÔÏÞÅË. ðÒÉ ×ÓÅÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ
ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ # ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÛÅÓÔØ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ.
1
Ô. Å. ÏÔÌÉÞÎÙÍ ÏÔ −1 ËÕÂÉÞÅÓËÉÍ ËÏÒÎÑÍ ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ù × ÏÌÅ k
329
úÁÄÁÞÉ Ë §18
18.4.4. çÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÁÒÙ ÔÏÞÅË. þÅÔ×£ÒËÁ ÔÏÞÅË {a; b; ; d} ∈ P1 ÎÁÚÙ-
×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÉÈ Ä×ÏÊÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
[a; b; ; d℄ = −1 :
ðÒÉ ×ÙÏÌÎÅÎÉÉ ÜÔÏÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÇÏ×ÏÒÑÔ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ ÁÒÙ ÔÏÞÅË (a; b) É ( ; d)
Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÄÒÕÇ Ë ÄÒÕÇÕ.
çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÇÁÒÍÏÎÉÞÎÏÓÔØ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ × ËÁÒÔÅ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÁ a
ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, ÔÏÞËÁ b ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ × ÅÎÔÒÅ ÔÑÖÅÓÔÉ ÔÏÞÅË É d.
áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÇÁÒÍÏÎÉÞÎÏÓÔØ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÉÚÍÅÎÅÎÉÅ ÏÒÑÄËÁ
ÔÏÞÅË × ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÁÒ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ, ÉÌÉ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ Ä×ÏÊÎÏÅ
ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ÅÒÅÍÅÎÅ ÁÒ ÍÅÓÔÁÍÉ | ÉÚ (18-14) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ
ÏÂÁ ÜÔÉ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÇÁÒÍÏÎÉÞÎÏÓÔØ Ä×ÕÈ ÁÒ ÔÏÞÅË Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÄÒÕÇÕ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÎÁ ÁÒÁÈ
ÔÏÞÅË.
18.4.5. ðÒÉÍÅÒ: ÞÅÔÙÒ£È×ÅÛÉÎÎÉË. ó ËÁÖÄÏÊ ÞÅÔ×£ÒËÏÊ ÔÏÞÅË
ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÊ
ÇÁÒÍÏÎÉÞÎÙ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍ
ÎÅÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ
a; b; ; d ∈ P2 ;
b
ÎÉËÁËÉÅ 3 ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙ, Ó×ÑÚÁÎÁ ËÏÎÆÉÇÕÒÁ ÉÑ ÉÚ ÔÒ£È ÁÒ ÒÑÍÙÈ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÁÒÙ ÜÔÉÈ ÔÏÞÅË (ÓÍ. ÒÉÓ. 18⋄7) É ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÈ
x
ÞÅÔÙÒ£È×ÅÒÛÉÎÎÉËÁ ab d. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ÒÑÍÙÈ ÞÅÒÅÚ x = (ab) ∩ ( d) ,
y
c
y = (a ) ∩ (bd) , z = (ad) ∩ (b ) . ÏÇÄÁ × ËÁÖÄÏÍ
a
ÉÚ ÔÒ£È ÕÞËÏ× ÒÑÍÙÈ Ó ÅÎÔÒÁÍÉ × ÔÏÞËÁÈ x, y,
x
z ÁÒÁ ÓÔÏÒÏÎ ÞÅÔÙÒ£È×ÅÒÛÉÎÎÉËÁ ÇÁÒÍÏÎÉÞÎÁ Ï
d
ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ÁÒÅ ÓÔÏÒÏÎ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ xyz.
z
þÔÏÂÙ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÜÔÏ, ÚÁÁÒÁÍÅÔÒÉÚÕÅÍ ÕÞÏË x
⋄ 4-×ÅÛÉÎÎÉË.
ÒÑÍÙÈ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ x, ÔÏÞËÁÍÉ ÒÑÍÏÊ (ad) ÉÌÉ ÔÏÞËÁÍÉ ÒÑÍÏÊ (b ) É ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÒÑÍÁÑ (xy) ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÒÑÍÙÅ (ad) É (b ) Ï ÔÁËÉÍ ÔÏÞËÁÍ x′, x′′, ÞÔÏ [a; d; z; x′ ℄ = [b; ; z; x′′ ℄ = −1 .
ðÏÓËÏÌØËÕ ÅÎÔÒÁÌØÎÙÅ ÒÏÅË ÉÉ ÉÚ x É ÉÚ y Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÄÒÏÂÎÏ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ
ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ ÍÅÖÄÕ ÒÑÍÙÍÉ (ad) É (b ), ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
Ä×ÏÊÎÙÈ ÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË:
[a; d; z; x′ ℄ = [b; ; z; x′′ ℄ = [d; a; z; x′ ℄ :
ëÏÌØ ÓËÏÒÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÅÒ×ÙÈ Ä×ÕÈ ÔÏÞÅË Ä×ÏÊÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ
ÏÍÅÎÑÌÏÓØ, ÏÎÏ ÒÁ×ÎÏ −1.
ÓÔÏ-
′′
ÒÏÎÁÍÉ
′
òÉÓ. 18 7.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §18
330
úÁÄÁÞÉ Ë §18
úÁÄÁÞÁ 18.1. ðÒÉ ËÁËÏÍ ÕÓÌÏ×ÉÉ ÎÁ ÔÒÉ ÒÑÍÙÅ `0 , `1 , `2 ÎÁ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ
P2 = P(V ) × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÂÁÚÉÓ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ËÁÖÄÁÑ ÒÑÍÁÑ
`i ÂÙÌÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌ£ÎÎÏÊ ÄÌÑ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÁÆÆÉÎÎÏÊ ËÁÒÔÙ Ui ?
úÁÄÁÞÁ 18.2. îÁ ÒÑÍÙÈ (AB ); (BC ); (CA) ⊂ P2 ×ÚÑÌÉ ÔÏÞËÉ
A′ = (1 : 0 : 0) ∈ (BC ) ; B ′ = (0 : 1 : 0) ∈ (AC ) ; C ′ = (0 : 0 : 1) ∈ (AB ) :
ïËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ ÒÑÍÙÅ (AA′ ) , (BB ′ ) É (CC ′ ) ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÔÏÞËÅ (1 : 1 : 1) .
îÁÊÄÉÔÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ×ÅÒÛÉÎ △ ABC .
úÁÄÁÞÁ 18.3. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï × P(V ) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
P(W ) ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ (k +1)-ÍÅÒÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á W , ËÏÇÄÁ ×Ï
×ÓÅÈ ÁÆÆÉÎÎÙÈ ËÁÒÔÁÈ, ÉÍÅÀÝÉÈ Ó ÎÉÍ ÎÅÕÓÔÏÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ, ÏÎÏ ×ÉÄÎÏ ËÁË
k-ÍÅÒÎÏÅ ÁÆÆÉÎÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï.
úÁÄÁÞÁ 18.4. ðÕÓÔØ ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ÏÌÅ ËÏÎÅÞÎÏ É ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ q ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. óËÏÌØËÏ ×ÓÅÇÏ
ÉÍÅÅÔÓÑ Á) ÔÏÞÅË, ÒÑÍÙÈ, . . . , k-ÍÅÒÎÙÈ ÁÆÆÉÎÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× × An ?
Â) ÔÏÞÅË, ÒÑÍÙÈ, . . . , k-ÍÅÒÎÙÈ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× × Pn ?
Á) y = x2 Â) y = x3 ×) y2 + (x − 1)2 = 1 Ç) y2 = x2 (x + 1)
ÚÁÄÁÎÙ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ËÁÒÔÅ U0 ÎÁ P2 = P(R3 ). îÁÉÛÉÔÅ ÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ËÁÒÔÁÈ
U1 É U2 É ÎÁÒÉÓÕÊÔÅ ×ÓÅ ÜÔÉ 12 ÁÆÆÉÎÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ.
úÁÄÁÞÁ 18.5. ëÒÉ×ÙÅ
úÁÄÁÞÁ 18.6. ÷ÌÏÖÉÍ Å×ËÌÉÄÏ×Õ ÌÏÓËÏÓÔØ R2 × ËÏÍÌÅËÓÎÕÀ ÒÏÅËÔÉ×ÎÕÀ ÌÏÓ-
ËÏÓÔØ P2 = P(C3 ) × ËÁÞÅÓÔ×Å ÔÏÞÅË Ó ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ, ÌÅÖÁÝÉÈ ×
ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÁÆÆÉÎÎÏÊ ËÁÒÔÅ U0 . îÁÊÄÉÔÅ × P2 Ä×Å ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞËÉ, ÌÅÖÁÝÉÅ
ÎÁ ×ÓÅÈ ËÒÉ×ÙÈ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ, ×ÉÄÎÙÈ × R2 ËÁË ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, É ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
ÌÀÂÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ × P2 , ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÜÔÉ Ä×Å ÔÏÞËÉ É ÉÍÅÀÝÁÑ
ÈÏÔÑ ÂÙ 3 ÎÅËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙÅ ÔÏÞËÉ × R2 , ÂÕÄÅÔ ×ÉÄÎÁ × R2 ËÁË ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ.
úÁÄÁÞÁ 18.7 (ÉÎ×ÏÌÀ ÉÉ ÎÁ ÒÑÍÏÊ). ïÔÌÉÞÎÙÊ ÏÔ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÏÅËÔÉ×-
ÎÙÊ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÅÊ , ÅÓÌÉ 2 = Id .
Á) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ ÌÀÂÁÑ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÑ ÎÁ P1
ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ Ä×Å ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÈ ÔÏÞËÉ.
Â) ðÕÓÔØ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÑ ÎÁ P1 ÉÍÅÅÔ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÅ ÔÏÞËÉ p É q. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
ÏÔÌÉÞÎÙÅ ÏÔ p É q ÔÏÞËÉ a É b ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ × ÉÎ×ÏÌÀ ÉÉ (Ô. Å. (a) = b) ÔÏÇÄÁ
É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÁÒÙ ÔÏÞÅË a, b É p, q ÇÁÒÍÏÎÉÞÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ (Ô. Å.
[ a; b; p; q ℄ = −1).
úÁÄÁÞÁ 18.8 (ÔÅÏÒÅÍÁ äÅÚÁÒÇÁ). äÁÎÙ △ A1 B1 C1 É △ A2 B2 C2 ÎÁ P2 . äÏËÁÖÉÔÅ,
ÞÔÏ ÔÒÉ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÁÒ ÉÈ ÏÉÍÅÎÏ×ÁÎÎÙÈ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ ÓÔÏÒÏÎ ËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÔÒÉ ÒÑÍÙÅ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ
ÁÒÙ ÏÉÍÅÎÏ×ÁÎÎÙÈ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ ÂÕË×ÁÍÉ ×ÅÒÛÉÎ, ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ (ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ Ó ÔÁËÉÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÅÒÓÅËÔÉ×ÎÙÍÉ ).
úÁÄÁÞÁ 18.9 (ÅÒÅËÒ£ÓÔÎÁÑ ÏÓØ1 ). îÁ P2 ÄÁÎÙ Ä×Å ÒÑÍÙÅ `1 6= `2 . ìÉÎÅÊÎÙÊ
ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ' : `1 - `2 ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÔÒÉ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÔÏÞËÉ a1 , b1 ,
1 ÎÁ `1 × ÔÒÉ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÔÏÞËÉ a2 , b2 , 2 ÎÁ `2 .
∼
331
úÁÄÁÞÉ Ë §18
Á) ïÉÛÉÔÅ çí ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ (x; '(y)) ∩ (y; '(x)), ÇÄÅ x 6= y ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ
ÒÏÂÅÇÁÀÔ `1 .
Â) ïÄÎÏÊ ÌÉÎÅÊËÏÊ ÏÓÔÒÏÊÔÅ '(x) ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ x ∈ `1 .
×) òÅÛÉÔÅ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÚÁÄÁÞÕ: ÏÄÎÏÊ ÌÉÎÅÊËÏÊ ÏÓÔÒÏÊÔÅ ÏÂÒÁÚ ÄÁÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ ` ÉÚ ÕÞËÁ ÒÑÍÙÈ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÄÁÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ p1 ∈ P2 , ÒÉ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÅ ÜÔÏÇÏ ÕÞËÁ Ó ÕÞËÏÍ ÒÑÍÙÈ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÄÒÕÇÕÀ
ÄÁÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ p2 ∈ P2 , ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÜÔÏÇÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÎÁ ËÁËÉÅÎÉÂÕÄØ ÔÒÉ ÒÑÍÙÅ.
Ç) ïÄÎÏÊ ÌÉÎÅÊËÏÊ ÏÓÔÒÏÊÔÅ ÏÂÒÁÚ '(x) ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ x ∈ ` ⊂ P2 ÒÉ
∼
ÌÉÎÅÊÎÏÍ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÍ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÅ : ` - `, ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ
ÎÁ ËÁËÉÅ-ÎÉÂÕÄØ ÔÒÉ ÔÏÞËÉ.
úÁÄÁÞÁ 18.10. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÄ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÍ ÏÌÅÍ k ÎÉËÁËÉÅ m +1 ÔÏÞÅË ËÒÉ×ÏÊ
÷ÅÒÏÎÅÚÅ Cd ⊂ Pd ÎÅ ÌÅÖÁÔ × ÏÄÎÏÍ (m − 1)-ÍÅÒÎÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å (ÄÌÑ ×ÓÅÈ
1 ⩽ m ⩽ d).
úÁÄÁÞÁ 18.11. óÒÏÅËÔÉÒÕÊÔÅ ËÕÂÉËÕ ÷ÅÒÏÎÅÚÅC3 ⊂ P3 = P
S 3 U ∗ ÉÚ n◦ 18.2.4
Á) ÉÚ ÔÏÞËÉ t30 ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ 3 t20 t1 ; 3 t0 t21 ; t31 Â) ÉÚ ÔÏÞËÉ 3 t20 t1 ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ t30 ; 3 t0 t21 ; t31
×) ÉÚ ÔÏÞËÉ t30 + t31 ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔØ t30 ; 3 t20 t1 ; 3 t0 t21 .
îÁÉÛÉÔÅ ÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ É €×ÎÅÛÎÉŁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÔÅÈ ËÒÉ×ÙÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉ
ÜÔÏÍ ÏÌÕÞÁÔÓÑ, × ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÔÒ£È ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÁÆÆÉÎÎÙÈ ËÁÒÔ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ {
ÏÂÒÁÚÅ ÒÏÅË ÉÉ É ÎÁÒÉÓÕÊÔÅ ×ÓÅ ÄÅ×ÑÔØ ÁÆÆÉÎÎÙÈ ËÒÉ×ÙÈ, ËÏÔÏÒÙÅ ÒÉ ÜÔÏÍ
ÏÌÕÞÁÔÓÑ.
úÁÄÁÞÁ 18.12 (ÌÏÓËÉÅ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ËÒÉ×ÙÅ). ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÏÌÅ k ÁÌÇÅ-
ÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÏ. ðÌÏÓËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ C ⊂ P2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ p0 (t0 : t1 ), p1 (t0 : t1 ), p2 (t0 : t1 ) ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ
ÓÔÅÅÎÉ, ÎÅ ÉÍÅÀÝÉÅ ÏÂÝÅÇÏ ÄÅÌÉÔÅÌÑ É ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
P1
- P2 : (t0 : t1 ) 7−→ (p0 (t0 : t1 ) : p1 (t0 : t1 ) : p2 (t0 : t1 ))
ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÅË ÉÅÊ ÍÅÖÄÕ P1 É C ×ÓÀÄÕ ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ, ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÏÞÅË.
Á) ðÅÒÅÓÅËÁÑ C ÒÑÍÙÍÉ, ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ deg C = deg pi .
Â) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÌÏÓËÁÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÓÔÅÅÎÉ d Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÅË ÉÅÊ ËÒÉ×ÏÊ ÷ÅÒÏÎÅÚÅ Cd ⊂ Pd ÎÁ ÏÄÈÏÄÑÝÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ P2 ⊂ Pd .
×) ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÉÚ ÚÁÄ. 18.11, ÞÔÏ ÇÌÁÄËÁÑ (ÂÅÚ ÓÁÍÏÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ É ÚÁÏÓÔÒÅÎÉÊ1 )
ÌÏÓËÁÑ ËÕÂÉÞÅÓËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ ÎÅ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁ.
úÁÄÁÞÁ 18.13 (ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ËÒÉ×ÁÑ). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Å
ÉÚ ÏÉÓÙ×ÁÅÍÙÈ ÄÁÌÅÅ ËÒÉ×ÙÈ C ⊂ Pn ÅÒÅ×ÏÄÑÔÓÑ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ ÏÄÈÏÄÑÝÉÍ
ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ.
Á) ëÒÉ×ÁÑ ÷ÅÒÏÎÅÚÅ C = Cn ⊂ P(S n U ∗ ) .
ÆÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÔÁËÏ×Ù: ÔÏÞËÁ p ËÒÉ×ÏÊ C = V (f ) ⊂ P ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÓÏÂÏÊ ,
ÅÓÌÉ ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÒÁÔÎÙÍ ËÏÒÎÅÍ (× ÓÍÙÓÌÅ n◦ 18.2.4) ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f ÎÁ ÌÀÂÕÀ
ÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ p ÒÑÍÕÀ; ËÒÉ×ÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÌÁÄËÏÊ , ÅÓÌÉ Õ ÎÅ£ ÎÅÔ ÏÓÏÂÙÈ ÔÏÞÅË; ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Õ ÒÏÅË ÉÊ ÉÚ .. (Â) É (×) ÚÁÄ. 18.11 ÅÓÔØ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ (ÎÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ
ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ)
1
2
332
úÁÄÁÞÉ Ë §18
Â) úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÊ ÎÁÂÏÒ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
n-ÔÏÊ ÓÔÅÅÎÉ f0 ; f1 ; : : : ; fn ∈ k[t0 ; t1 ℄ . ëÒÉ×ÁÑ C ÅÓÔØ ÏÂÒÁÚ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
P1
- Pn : (t0 : t1 ) 7−→ (f0 (t0 ; t1 ) : f1 (t0 ; t1 ) : · · · : fn (t0 ; t1 )) :
×) úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ n + 1 ÔÏÞÅË p0 ; p1 ; : : : ; pn ∈ P1 . ðÕÓÔØ p = ( :
det(p ; t) = t1 − t0 . ëÒÉ×ÁÑ C ÅÓÔØ ÏÂÒÁÚ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
P1
- Pn : t = (t0 : t1 ) 7−→
). ðÏÌÏÖÉÍ
1
1
1
:
:
: ··· :
det(p0 ; t) det(p1 ; t)
det(pn ; t)
Ç) úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ n+3 ÔÏÞËÉ p1 ; p2 ; : : : ; pn ; a; b; ∈ Pn , ÎÉËÁËÉÅ (n+1) ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ
ÎÅ ÌÅÖÁÔ × ÏÄÎÏÊ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ, É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ `i ≃ P1 ÕÞÏË ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÅÊ × Pn , ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ p ËÒÏÍÅ pi . äÌÑ ×ÓÅÈ i 6= j ÚÁÄÁÄÉÍ
∼
ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ij : `j - `i ÔÁË, ÞÔÏÂÙ 3 ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ ÕÞËÁ `j , ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÉ a, b, , ÅÒÅÈÏÄÉÌÉ × ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ 3
ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ ÕÞËÁ S
`i . ëÒÉ×ÁÑ C ÅÓÔØ çí ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÙÈ
ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÅÊ C =
H ∩ 21 (H ) ∩ : : : ∩ n1 (H ) .
H ∈` 1
úÁÄÁÞÁ 18.14. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÞÅÒÅÚ ÌÀÂÙÅ n + 3 ÔÏÞËÉ × Pn , ÎÉËÁËÉÅ n + 1 ÉÚ ËÏ-
ÔÏÒÙÈ ÎÅ ÌÅÖÁÔ × ÏÄÎÏÊ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ, ÒÏÈÏÄÉÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ
ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ËÒÉ×ÁÑ.
úÁÄÁÞÁ 18.15 (ÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ (n + 3) ÔÏÞÅË ÎÁ Pn ). îÁÂÏÒ ÉÚ
n + 3 ÔÏÞÅË ÎÁ Pn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÂÝÉÍ , ÅÓÌÉ ÎÉËÁËÉÅ n + 1 ÔÏÞÅË ÜÔÏÇÏ
ÎÁÂÏÒÁ ÎÅ ÌÅÖÁÔ × ÏÄÎÏÊ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÚÁÄ. 18.14 ÞÅÒÅÚ ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÂÝÉÊ ÎÁÂÏÒ ÔÏÞÅË ÍÏÖÎÏ ÒÏ×ÅÓÔÉ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÎÏÒÍÁÌØÎÕÀ ËÒÉ×ÕÀ
C , ËÏÔÏÒÕÀ ÍÏÖÎÏ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏ ÏÔÏÂÒÁÚÉÔØ ÎÁ P1 ÏÄÎÉÍ ÉÚ ÓÏÓÏÂÏ×, ÅÒÅÞÉÓÌÅÎÎÙÈ × ÚÁÄ. 18.13. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ Ä×ÏÊÎÙÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÞÅÔÙÒ£È ÔÏÞÅË ×
ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÉÚ n + 3 ÔÏÞÅË Ä×ÏÊÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÉÈ ÏÂÒÁÚÏ× ÎÁ P1 .
Á) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏ × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Á
ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÉÑ C Ó P1 ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÄÒÏÂÎÏ ÌÉÎÅÊÎÙÍ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ P1 (ÓÏÈÒÁÎÑÀÝÉÍ ×ÓÅ Ä×ÏÊÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ).
Â) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ä×Á ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÂÝÉÈ ÎÁÂÏÒÁ ÉÚ n + 3 ÔÏÞÅË ÎÁ Pn ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÅÒÅ×ÏÄÑÔÓÑ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÍ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ, ËÏÇÄÁ Ä×ÏÊÎÙÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÞÅÔ×£ÒÏË ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÙÈ
ÔÏÞÅË × ÜÔÉÈ ÎÁÂÏÒÁÈ ÏÄÉÎÁËÏ×Ù.
§19. ë×ÁÄÒÉËÉ
÷ÓÀÄÕ × ÜÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ har(k) 6= 2.
19.1. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ
Q = V (q) = {v ∈ P(V ) | q(v) = 0} ;
ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ q ∈ S 2V ∗ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. ä×Å Ë×ÁÄÒÉËÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
(ÉÌÉ
), ÅÓÌÉ ÏÄÎÁ ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ × ÄÒÕÇÕÀ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÍ
Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ.
óÏÇÌÁÓÎÏ ÓÌ. 17.3 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ V (q) ⊂ Pn = P(V ) × ÏÄÈÏÄÑÝÉÈ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
(19-1)
x0 x1 + x2 x3 + · · · + x2m x2m+1 + (x2m+2 ; : : : ; xr ) = 0 ;
ÇÄÅ ÆÏÒÍÁ (x) ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÁ (Ô. Å. (x) 6= 0 ÒÉ x 6= 0). þÉÓÌÏ ×ÈÏÄÑÝÉÈ ×
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÒÁ×ÎÏ ÒÁÎÇÕ rk q Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ q, Á ÌÉÎÅÊÎÁÑ
ÏÂÏÌÏÞËÁ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ n − r ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×, ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ×ÄÏÌØ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ
ÚÁÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÎÙ × (19-1), ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÑÄÒÏ ÆÏÒÍÙ q. þÉÓÌÏ 2(m + 1) × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ
(19-1) ÒÁ×ÎÏ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÇÏ ÆÏÒÍÙ
q É Ï ÓÌ. 17.4 ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÇÄÅ ÆÏÒÍÁ q ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (19-1).
19.1.1. çÌÁÄËÉÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ. ë×ÁÄÒÉËÉ Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÑÄÒÏÍ, Ô. Å. Ó r = n ÉÌÉ,
ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, det q 6= 0, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÉÌÉ
.
∼
ìÉÎÅÊÎÙÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÙ F : P(V ) - P(V ) , ÉÎÄÕ ÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ F ∈ Oq ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ
ÆÏÒÍÙ q, ÅÒÅ×ÏÄÑÔ Ë×ÁÄÒÉËÕ Q = V (q) × ÓÅÂÑ É ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÓÌ. 17.6 ÇÒÕÁ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×
Ë×ÁÄÒÉËÉ Q ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÔÏÞËÁÈ Ë×ÁÄÒÉËÉ, Á ÔÁËÖÅ ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ
Ë×ÁÄÒÉËÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ ÌÀÂÏÊ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ.
òÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÌÅÖÁÝÅÇÏ ÎÁ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÅ Q , ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
x0 x1 + x2 x3 + · · · + x2m x2m+1 + (x2m+2 ; : : : ; xn ) = 0 ;
ÒÁ×ÎÁ m, É ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ ÔÏÞËÕ Ë×ÁÄÒÉËÉ Q ÒÏÈÏÄÉÔ ÌÅÖÁÝÅÅ ÎÁ Q ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÔÁËÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÞÉÓÌÏ m
ÎÅÏÓÏÂÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ Q. åÓÌÉ ÆÏÒÍÁ q(x0 ; x1 ; : : : ; xn) = (x0 ; x1 ; : : : ; xn) ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÁ, ÔÏ Ë×ÁÄÒÉËÁ Q ÕÓÔÁ, Á Å£ ÌÁÎÁÒÎÏÓÔØ ÒÁ×ÎÁ −1. îÅÏÓÏÂÙÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ ÒÁÚÎÏÊ
ÌÁÎÁÒÎÏÓÔÉ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏ ÎÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ.
19.1.2. çÌÁÄËÉÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ ÎÁÄ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÎÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ k ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÁÑ ÆÏÒÍÁ x2,
n-ÍÅÒÎÁÑ ÇÌÁÄËÁÑ Ë×ÁÄÒÉËÁ Qn ⊂ Pn+1 ÎÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ
ÒÏÅË-
ÔÉ×ÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÏÊ
ÉÚÏÍÏÒÆÎÙÍÉ
ÒÏÅËÔÉ×ÎÏ
ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ
ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÍÉ
ÇÌÁÄËÉÍÉ
Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ
ÌÁÎÁÒÎÏÓÔØÀ
333
334
§19. ë×ÁÄÒÉËÉ
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁ É × ÏÄÈÏÄÑÝÉÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ÏÎÁ ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÒÉ Þ£ÔÎÏÍ n = 2m
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
x0 x1 + x2 x3 + · · · + x2m x2m+1 = 0 ;
(19-2)
ÒÉ ÎÅÞ£ÔÎÏÍ n = 2m + 1 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
x0 x1 + x2 x3 + · · · + x2m x2m+1 = x22m+2 :
(19-3)
þÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ ÔÏÞËÕ ÏÂÅÉÈ Ë×ÁÄÒÉË (19-2) É (19-3) ÒÏÈÏÄÉÔ m-ÍÅÒÎÏÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÌÅÖÁÝÅÅ ÎÁ Ë×ÁÄÒÉËÅ, É ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÂÏÌØÛÅÊ
ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÎÁ ÜÔÉÈ Ë×ÁÄÒÉËÁÈ ÎÅÔ.
19.1.3. ðÒÉÍÅÒ: ÇÌÁÄËÉÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÎÁÄ ÏÌÅÍ
k = R × ËÁÖÄÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ k ÉÍÅÅÔÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÚÎÁËÁ
k
ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÁÑ ÆÏÒÍÁ k (x1; x2 ; : : : ; xk ) = P x2i , ÇÌÁÄËÁÑ n-ÍÅÒÎÁÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ
i=1
Ë×ÁÄÒÉËÁ × Pn+1 = P (Rn+2) × ÏÄÈÏÄÑÝÉÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
x0 x1 + x2 x3 + · · · + x2m x2m+1 = x22m+2 + x22m+3 + · · · + x2n+1 ;
(19-4)
É ÏÂÏÇÄÅ −1 ⩽ m ⩽ n=2 . íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÔÁËÕÀ Ë×ÁÄÒÉËÕ m
ÚÎÁÞÁÔØ Qn;m. éÎÁÞÅ m-ÌÁÎÁÒÎÕÀ Ë×ÁÄÒÉËÕ Qn;m ÍÏÖÎÏ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÔØ ËÁË
Ë×ÁÄÒÉËÕ ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ (n + 2 − m; m) ÉÌÉ ËÁË ËÁË Ë×ÁÄÒÉËÕ ÉÎÄÅËÓÁ n + 2 − 2m.
÷ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ìÁÇÒÁÎÖÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ Qn;m ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
-ÌÁÎÁÒÎÏÊ
t20 + t21 + · · · + t2m = t2m+1 + t2m+2 + · · · + t2n+1 :
(19-5)
ðÅÒÅÈÏÄ ÏÔ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ x Ë ÌÁÇÒÁÎÖÅ×ÙÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍ t ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ x2i = tm+i + ti , x2i+1 = tm+i − ti ÒÉ 0 ⩽ i ⩽ m É xj = tj ÒÉ
2m + 2 ⩽ j ⩽ n + 2.
ë×ÁÄÒÉËÉ ÒÁÚÎÏÊ ÌÁÎÁÒÎÏÓÔÉ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏ ÎÅÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ, ÔÁË ËÁË ÞÅÒÅÚ
ËÁÖÄÕÀ ÔÏÞËÕ m-ÌÁÎÁÒÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ ÒÏÈÏÄÉÔ m-ÍÅÒÎÏÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÌÅÖÁÝÅÅ ÎÁ Ë×ÁÄÒÉËÅ, É ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÂÏÌØÛÅÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ
ÎÁ Qn;m ÎÅÔ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, (−1)-ÌÁÎÁÒÎÁÑ Ë×ÁÄÒÉËÁ
x20 + x21 + · · · + x2n = 0
ÕÓÔÁ. îÅÕÓÔÁÑ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑ ÒÑÍÙÈ Ë×ÁÄÒÉËÁ ÌÁÎÁÒÎÏÓÔÉ ÎÕÌØ
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
t20 = t21 + t22 + · · · + t2n
ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ
ÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÍÉ
.
. ë×ÁÄÒÉËÉ ÂÏÌØÛÅÊ ÌÁÎÁÒÎÏÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÇÉ-
335
19.1. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ
19.1.4. ðÒÉÍÅÒ: Ë×ÁÄÒÉËÉ ÎÁ P1. îÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ k ÈÁÒÁËÔÅÒÉ-
ÓÔÉËÉ har(k) 6= 2 ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (19-1) ÎÁ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÒÑÍÏÊ P1 ÉÍÅÅÔ ÌÉÂÏ ×ÉÄ
x20 = 0 (ÅÓÌÉ q ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ), ÌÉÂÏ ×ÉÄ x0 x1 = 0 (ÅÓÌÉ ÆÏÒÍÁ q ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ
É − det q Ë×ÁÄÒÁÔ), ÌÉÂÏ ×ÉÄ x20 − a x21 , ÇÄÅ a ∈ k ÎÅ Ë×ÁÄÒÁÔ (ÅÓÌÉ ÆÏÒÍÁ q
ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ É − det q ÎÅ Ë×ÁÄÒÁÔ).
÷ÙÒÏÖÄÅÎÎÁÑ Ë×ÁÄÒÉËÁ x20 = 0 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÉÂÏ ÓÏÓÔÏÉÔ
ÉÚ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ (0 : 1), Á Å£ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔ
ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ, ÏÂÒÁÝÁÀÝÅÊÓÑ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ × ÎÕÌØ.
îÅÏÓÏÂÁÑ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÁÑ Ë×ÁÄÒÉËÁ x0 x1 = 0 ÉÍÅÅÔ ÌÁÎÁÒÎÏÓÔØ 0 É ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË. îÅÏÓÏÂÁÑ ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÁÑ Ë×ÁÄÒÉËÁ x20 − a x21 ÌÁÎÁÒÎÏÓÔÉ −1 ÕÓÔÁ, É ÎÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ k ÔÁËÉÈ Ë×ÁÄÒÉË
ÎÅÔ.
Ä×ÏÊÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 19.1
äÌÑ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ Q Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÒÑÍÏÊ ` ÉÍÅÅÔÓÑ
ÒÏ×ÎÏ ÞÅÔÙÒÅ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×ÎÙÈ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ: ÌÉÂÏ ` ⊂ Q, ÌÉÂÏ ` ∩ Q Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
Ä×ÏÊÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ, ÌÉÂÏ ` ∩ Q ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ Ä×ÕÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË, ÌÉÂÏ ` ∩ Q = ∅.
îÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ ÏÓÌÅÄÎÉÊ ÓÌÕÞÁÊ ÎÅ ÒÅÁÌÉÚÕÅÔÓÑ. 19.1.5. ðÒÉÍÅÒ: Ë×ÁÄÒÉËÉ ÎÁ P2. ðÌÏÓËÉÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
. îÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ (19-1) ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ×ÉÄ
x20 = 0 (rk q = 1)
(19-6)
x0 x1 = 0 (rk q = 2, i = 0)
(19-7)
2
2
(19-8)
x0 − a x1 = 0 (rk q = 2, i = −1, a ∈ k ÎÅ Ë×ÁÄÒÁÔ)
2
x0 x1 = x2 (rk q = 3, i = 0, V (q) 6= ∅)
(19-9)
(x0 ; x1 ; x2 ) = 0 (rk q = 3, i = −1, (x) ÁÎÉÚÏÔÒÏÎÁ, V (q) = ∅) (19-10)
ëÏÎÉËÁ (19-6) ÒÁÎÇÁ 1 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. å£ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ | ÜÔÏ Ë×ÁÄÒÁÔ
ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ, ÚÁÎÕÌÑÀÝÅÊÓÑ ÎÁ Ä×ÕÍÅÒÎÏÍ ÑÄÒÅ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ q.
çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÔÁËÁÑ ËÏÎÉËÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÒÑÍÕÀ | ÒÏÅËÔÉ×ÉÚÁ ÉÀ
ÑÄÒÁ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ q .
îÅÕÓÔÁÑ ËÏÎÉËÁ (19-7) ÒÁÎÇÁ 2 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
É ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÁÒÕ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÒÑÍÙÈ, ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÔÏÞËÅ (0 : 0 : 1), ËÏÔÏÒÁÑ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÅËÔÉ×ÉÚÁ ÉÅÊ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÑÄÒÁ ÆÏÒÍÙ q.
÷ÙÒÏÖÄÅÎÎÁÑ ËÏÎÉËÁ (19-8) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. ïÎÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ p = (0 : 0 : 1) ∈ P2, ËÏÔÏÒÁÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÅËÔÉ×ÉÚÁ ÉÅÊ
ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÑÄÒÁ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ q. îÁÚ×ÁÎÉÅ €Ä×ÏÊÎÁÑ ÔÏÞËÁ Ó×ÑÚÁÎÏ
Ó ÔÅÍ, ÞÔÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ËÏÎÉËÉ ÌÀÂÏÊ ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ p ÒÑÍÏÊ, ÂÕÄÕÞÉ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÏ ËÁË Ë×ÁÄÒÉËÁ ÎÁ ÜÔÏÊ ÒÑÍÏÊ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ Ä×ÏÊÎÕÀ
ÔÏÞËÕ p × ÓÍÙÓÌÅ ËÌÁÓÓÉÆÉËÁ ÉÉ ÉÚ n◦ 19.1.4. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ
ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ ÏÄÎÏÔÏÞÅÞÎÏÊ ËÏÎÉËÉ (19-8) ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ.
çÌÁÄËÁÑ ËÏÎÉËÁ (19-10) ÕÓÔÁ É ÎÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ ÔÁËÖÅ
ÎÅ ×ÓÔÒÅÞÁÅÔÓÑ.
ËÏÎÉËÁ-
ÍÉ
Ä×ÏÊÎÏÊ ÒÑÍÏÊ
ÒÁÓÁ×ÛÅÊÓÑ ËÏÎÉËÏÊ
Ä×ÏÊÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ
336
§19. ë×ÁÄÒÉËÉ
îÅÕÓÔÁÑ
(19-9) ÜÔÏ
C2 ÉÚ (18-6). å£ ÕÄÏÂÎÏ
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÓÅÂÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÌÏÓËÏÓÔØ P2 = P(S 2U ∗),
ÔÏÞËÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÕÔØ ËÌÁÓÓÙ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍ
ÇÌÁÄËÁÑ ËÏÎÉËÁ
ËÏÎÉËÁ ÷ÅÒÏÎÅÚÅ
x0 t20 + 2 x2 t0 t1 + x1 t21 = 0
ÎÁ ÒÑÍÏÊ P1 = P(U ) Ó ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÏÊ (t0 : t1). çÌÁÄËÁÑ ËÏÎÉËÁ
C2 ⊂ P2 ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÎÕÌÅ×ÙÈ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÈ Ë×ÁÄÒÉË ( 0 t0 + 1 t1 )2 . ïÎÁ ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
x
0 x2
det x2 x1 = x0 x1 − x22 = 0 :
(19-11)
É ÉÍÅÅÔ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁ ÉÀ
( 0 : 1) 7−→ (x0 : x1 : x2 ) = ( 02 : 12 : 0 1) :
(19-12)
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 19.1
îÅÕÓÔÁÑ ÇÌÁÄËÁÑ ËÏÎÉËÁ C ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÌÏÓËÕÀ ËÒÉ×ÕÀ, ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ ÓÔÅÅÎÉ d, ÎÅ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ Ï 2 d ÔÏÞËÁÍ, ÌÉÂÏ ÅÌÉËÏÍ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÜÔÏÊ ËÒÉ×ÏÊ × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÏÍÏÎÅÎÔÙ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÒÉ×ÅÄ£Í ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ C Ë ×ÉÄÕ (19-11) É ÚÁÁÒÁÍÅÔÒÉÚÕÅÍ C
Ï ÆÏÒÍÕÌÁÍ (19-12). úÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÁÍÅÔÒÁ = ( 0 : 1), ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ C ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ËÒÉ×ÕÀ, ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ f (x) = 0, ÓÕÔØ ËÏÒÎÉ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x( )), ËÏÔÏÒÙÊ ÌÉÂÏ ÉÍÅÅÔ ÓÔÅÅÎØ 2 d, ÌÉÂÏ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ.
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 19.2
þÅÒÅÚ ÌÀÂÙÅ 5 ÔÏÞÅË ÎÁ P2 ÍÏÖÎÏ ÒÏ×ÅÓÔÉ ËÏÎÉËÕ. åÓÌÉ ÎÉËÁËÉÅ 4 ÉÚ ÑÔÉ ÔÏÞÅË ÎÅ ËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙ, ÔÏ ÔÁËÁÑ ËÏÎÉËÁ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁ, Á ÅÓÌÉ ÎÉËÁËÉÅ 3 ÎÅ
ËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙ, ÔÏ ÏÎÁ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ.
ëÌÁÓÓÙ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍ ÎÁ ÔÒ£ÈÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÑÔÉÍÅÒÎÏÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï P5 =
P(S 2 V ∗ ) . ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ p ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ q (p) = 0 ÌÉÎÅÊÎÏ Ï q ,
ËÏÎÉËÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ÄÁÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ p ∈ P2, ÏÂÒÁÚÕÀÔ × ÜÔÏÍ P5 ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÌÀÂÙÅ 5 ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÅÊ × P5 ÉÍÅÀÔ ÎÅÕÓÔÏÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ, ÔÒÅÂÕÅÍÁÑ ËÏÎÉËÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. åÓÌÉ ËÁËÉÅ-ÔÏ ÔÒÉ ÉÚ ÔÏÞÅË ËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙ,
ÔÏ ËÏÎÉËÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ ÎÉÈ ÒÑÍÕÀ, É ÏÔÏÍÕ ÒÁÓÁÄÁÅÔÓÑ ÎÁ
ÜÔÕ ÒÑÍÕÀ É ÒÑÍÕÀ, ÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ Ä×Å ÄÒÕÇÉÅ ÔÏÞËÉ. åÓÌÉ ÎÉËÁËÉÅ ÔÒÉ
ÉÚ ÔÏÞÅË ÎÅ ËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙ, ×ÓÑËÁÑ ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÎÉÈ ËÏÎÉËÁ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ
ÎÅÏÓÏÂÁ É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁ Ï ÒÅÄÌ. 19.1.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
337
19.1. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ
19.1.6. ïÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ qb : V
V ∗ , ÏÅÒÁÔÏÒ
ËÏÒÒÅÌÑ ÉÉ (ÓÍ. n 17.1.2) Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ q , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÊ ×ÅËÔÏÒ v ∈ V
× ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÏÒÍÕ qb(v) : w 7−→ qe(w; v). æÏÒÍÁ q ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ qb ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
v7→qe( ∗ ;v) -
◦
Sing Q = P(ker q) ⊂ P(V )
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(ÉÌÉ
) Ë×Á◦
ÄÒÉËÉ Q. îÁÒÉÍÅÒ, ×ÅÒÛÉÎÎÙÍÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ Ä×ÏÊÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÉÚ n 19.1.4
É Ä×ÏÊÎÏÊ ÔÏÞËÉ (19-8) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÁÍÉ ÜÔÉ ÔÏÞËÉ, ×ÅÒÛÉÎÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ
Ä×ÏÊÎÏÊ ÒÑÍÏÊ (19-6) ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÁÍÁ ÜÔÁ ÒÑÍÁÑ, Á ×ÅÒÛÉÎÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÒÁÓÁ×ÛÅÊÓÑ ËÏÎÉËÉ (19-7) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÁ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÁÒÙ ÒÑÍÙÈ, ÉÚ
ËÏÔÏÒÙÈ ÏÎÁ ÓÏÓÔÏÉÔ.
÷ÅÒÛÉÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÌÀÂÏÊ ÏÓÏÂÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ ×ÓÅÇÄÁ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÜÔÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÅ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÓÏÂÁÑ Ë×ÁÄÒÉËÁ ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÕÓÔÁ. ïÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ Ë×ÁÄÒÉËÉ
ÉÍÅÀÔ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÕÀ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÁ ÉÀ.
ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÏÓÏÂÙÈ ÔÏÞÅË
×ÅÒÛÉÎÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ
ìÅÍÍÁ 19.1
ÏÞËÁ a ∈ Q ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÏÓÏÂÁÑ, ËÏÇÄÁ ÌÀÂÁÑ ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ a
ÒÑÍÁÑ ÌÉÂÏ ÅÌÉËÏÍ ÌÅÖÉÔ ÎÁ Q ÌÉÂÏ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ Q Ï Ä×ÏÊÎÏÊ ÔÏÞËÅ a.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÓÌÉ ÔÏÞËÁ a ∈ Sing Q, ÔÏ qe(a; b) = 0 ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ b, É
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÍÁÔÒÉ Ù çÒÁÍÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ q ÎÁ ÒÑÍÕÀ
(a; b) × ÂÁÚÉÓÅ a; b ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÔÏÌØËÏ qe(b; b) = q(b). åÓÌÉ ÜÔÏÔ ÜÌÅÍÅÎÔ ÎÕÌÅ×ÏÊ,
ÒÑÍÁÑ ÉÚÏÔÒÏÎÁ É ÌÅÖÉÔ ÎÁ Q, ÅÓÌÉ ÏÎ ÎÅ ÎÕÌÅ×ÏÊ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ Q ∩
(a; b) ⊂ P1 = (a; b) ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ (x0 : x1 ) ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÁÚÉÓÁ a; b ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
q(b)x21 É ÚÁÄÁ£Ô Ä×ÏÊÎÕÀ ÔÏÞËÕ a. îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ a ∈ Q ÎÅÏÓÏÂÁ, ÔÏ ÎÁÊÄ£ÔÓÑ
ÔÏÞËÁ b ÄÏÏÌÎÑÀÝÁÑ ÉÚÏÔÒÏÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ a ÄÏ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, É
ÔÏÇÄÁ Q ∩ (a; b) ÂÕÄÅÔ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÏÊ ÎÁ (a; b), Ô. Å. ÁÒÏÊ ÒÁÚÎÙÈ
ÔÏÞÅË.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 19.2
ë×ÁÄÒÉËÉ ÒÁÚÎÏÇÏ ÒÁÎÇÁ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ (ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ).
ÅÏÒÅÍÁ 19.1
ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ Q′ = L ∩ Q Ë×ÁÄÒÉËÉ QP(V ) Ó ÌÀÂÙÍ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍ Ë Sing Q
ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ L ⊂ P(V ) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÕÀ
1 ÜÔÏÊ ÎÅÏÓÏÂÏÊ
Ë×ÁÄÒÉËÕ × L, É Ë×ÁÄÒÉËÁ Q Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
′
Ë×ÁÄÒÉËÉ Q É ×ÅÒÛÉÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Sing Q.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÅÒ×ÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÅÄÌ. 17.5. ÷ÔÏÒÏÅ | ÉÚ
ÌÅÍ. 19.1, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÑÍÁÑ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÁÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ Ä×Å ÔÏÞËÉ a ∈
ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅÍ
1
Ô. Å. ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ×ÓÅÈ ÒÑÍÙÈ, ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈ ËÁË Q′, ÔÁË É Sing Q
338
§19. ë×ÁÄÒÉËÉ
Sing Q É b ∈ L ÌÉÂÏ ÅÌÉËÏÍ ÌÅÖÉÔ ÎÁ Ë×ÁÄÒÉËÅ Q É, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÅÒÅÓÅËÁÅÔ
L Ï ÔÏÞËÅ b ∈ L ∩ Q, ÌÉÂÏ ×ÏÏÂÝÅ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ Q ÎÉÇÄÅ, ËÒÏÍÅ a.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 19.3
òÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÅÌÉËÏÍ ÌÅÖÁÝÅÇÏ ÎÁ Ë×ÁÄÒÉËÅ (19-1), ÒÁ×ÎÁ n + 1 − r + i. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, Ë×ÁÄÒÉËÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÇÏ
ÒÁÎÇÁ, ÉÍÅÀÝÉÅ ÒÁÚÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ i × ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÉ (19-1), ÒÏÅËÔÉ×ÎÏ ÎÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ.
19.2. ëÁÓÁÔÅÌØÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ë Ë×ÁÄÒÉËÅ. ðÒÑÍÁÑ `, ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ
ÔÏÞËÕ p ∈ Q, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
Ë Q × p , ÅÓÌÉ ` ÌÉÂÏ ÌÅÖÉÔ ÎÁ Q ÅÌÉËÏÍ,
ÌÉÂÏ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ Q Ï Ä×ÏÊÎÏÊ ÔÏÞËÅ p. ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÒÑÍÙÈ, ËÁÓÁÀÝÉÈÓÑ
Q × ÔÏÞËÅ p ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
Ë Ë×ÁÄÒÉËÅ Q × ÔÏÞËÅ
p ∈ Q É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ Tp Q. óÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍ. 19.1, ÔÏÞËÁ p ∈ Q ⊂ Pn ÏÓÏÂÁ ÔÏÇÄÁ É
ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ TpQ = Pn ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ×ÓÅÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ.
ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ
ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ
ìÅÍÍÁ 19.2
ðÒÑÍÁÑ ` = (ab) ËÁÓÁÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÉËÉ Q, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ q(x) = 0, × ÔÏÞËÅ
a ∈ Q ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ qe(a; b) = 0.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ ` = P(U ). íÁÔÒÉ Á çÒÁÍÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ q |U ÉÍÅÅÔ ×
ÂÁÚÉÓÅ {a; b} ×ÉÄ
0 qe(a; b) ;
qe(b; a) qe(b; b)
É det q|U = 0 ⇐⇒ qe(a; b) = qe(b; a) = 0.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 19.4
÷ÉÄÉÍÙÊ ÉÚ ÔÏÞËÉ b 6∈ Q ËÏÎÔÕÒ Ë×ÁÄÒÉËÉ1 Q ×ÙÓÅËÁÅÔÓÑ ÉÚ Ë×ÁÄÒÉËÉ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØÀ Ann qb(b) = {x | qe(b; x) = 0}.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 19.5
åÓÌÉ ÔÏÞËÁ p ∈ Q ÎÅÏÓÏÂÁ, ÔÏ TpQ = {x ∈ Pn | qe(p; x) = 0} Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØÀ × Pn.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ 19.1. äÌÑ ÔÏÞËÉ p, ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ Ë×ÁÄÒÉËÅ Q, ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
q(x) = 0, ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ qe(p; x) = 0, ÚÁÄÁÀÝÅÅ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
Tp Q Ë Q × ÔÏÞËÅ p, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎÏ ËÁË
n
X
q
xi
i=0
(p) · xi = 0 :
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÔÏÞËÁ p ÏÓÏÂÁ , ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ
q
(p) = 0 ∀ i :
x
i
1
Ô. Å. çí ËÁÓÁÎÉÑ Ó Q ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ, ÏÕÝÅÎÎÙÈ ÎÁ Q ÉÚ b
339
19.2. ëÁÓÁÔÅÌØÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ë Ë×ÁÄÒÉËÅ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 19.1. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Sing Q =
T
p∈ Q
Tp Q .
19.2.1. ðÒÉÍÅÒ: ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÁÑ Ë×ÁÄÒÉËÁ × P3, ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
x0 x3 = x1 x2 , ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË ÕÓÌÏ×ÉÅ ÏÂÒÁÝÅÎÉÑ × ÎÕÌØ ÄÅ-
ÔÅÒÍÉÎÁÎÔÁ 2 × 2-ÍÁÔÒÉ Ù. á ÉÍÅÎÎÏ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Á 2-ÍÅÒÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U− É U+ É ÏÌÏÖÉÍ W = Hom(U−; U+). ëÌÁÓÓÙ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× U− - U+ ÒÁÎÇÁ 1 ÏÂÒÁÚÕÀÔ × P3 = P(W )
QS = {F : U− - U+ | det F = 0} =
nx x o
(19-13)
x
0
1
0 x1
= x2 x3 det x2 x3 = x0 x3 − x1 x2 = 0 :
Ë×ÁÄÒÉËÕ óÅÇÒÅ
ëÁÖÄÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F ÒÁÎÇÁ 1 ÉÍÅÅÔ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÊ ÏÂÒÁÚ. ÷ÙÂÉÒÁÑ × Î£Í ÂÁÚÉÓÎÙÊ
×ÅËÔÏÒ v, ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ F ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ u ∈ U− ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ Ï
ÒÁ×ÉÌÕ F (u) = (u) · v , ÇÄÅ ∈ U−∗ . ìÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ É ×ÅËÔÏÒ v ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ
ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ F ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ ËÁË ÂÁÚÉÓÎÙÅ
×ÅËÔÏÒÙ × ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ Ann ker F É im F ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. îÁÏÂÏÒÏÔ, ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ v ∈ U+ É ∈ U−∗ ÏÅÒÁÔÏÒ
⊗ v : U−
ÉÍÅÅÔ ÒÁÎÇ 1. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
u7→(u) v -
U+
(19-14)
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ óÅÇÒÅ
( ) ( )
(Hom(U−; U+)) ;
(19-15)
ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ ÁÒÕ (; v) ∈ P(U−∗ ) × P(U+) × ÏÅÒÁÔÏÒ (19-14) ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÂÉÅË ÉÀ ÍÅÖÄÕ P1 × P1 = P(U−∗ ) × P(U+) É Ë×ÁÄÒÉËÏÊ óÅÇÒÅ (19-13).
s
P U−∗ × P U+ ⊂ - P
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 19.3
ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ óÅÇÒÅ (19-15) ÅÒÅ×ÏÄÉÔ Ä×Á ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÒÑÍÙÈ
P1 × v É × P1 ÎÁ P1 × P1 × Ä×Á ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÒÑÍÙÈ ÎÁ Ë×ÁÄÒÉËÅ óÅÇÒÅ ÔÁËÉÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÔÏ × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ Ä×ÕÈ ÓÅÍÅÊÓÔ× ÒÑÍÙÅ ÏÁÒÎÏ ÓËÒÅÝÉ×ÁÀÔÓÑ, Á
ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÒÑÍÙÅ ÉÚ ÒÁÚÎÙÈ ÓÅÍÅÊÓÔ× ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ. ëÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ Ë×ÁÄÒÉËÉ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÁÒÙ ÒÑÍÙÈ ÉÚ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÓÅÍÅÊÓÔ×, É ÎÉËÁËÉÈ
ÄÒÕÇÉÈ ÒÑÍÙÈ ÎÁ Ë×ÁÄÒÉËÅ óÅÇÒÅ ÎÅÔ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ U± ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ É ÂÕÄÅÍ ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÍÁÔÒÉ ÁÍÉ. ÷ÓÑËÁÑ 2 × 2-ÍÁÔÒÉ Á ÒÁÎÇÁ 1 ÉÍÅÅÔ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÓÔÒÏËÉ É ÓÔÏÌ Ù, É ÍÁÔÒÉ Ù Ó ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÍÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ
([ÓÔÒÏËÁ 1℄ : [ÓÔÒÏËÁ 2℄) = (t0 : t1)
([ÓÔÏÌÂÅ 1℄ : [ÓÔÏÌÂÅ 2℄) = (0 : 1)
340
§19. ë×ÁÄÒÉËÉ
ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ Ä×ÕÍÅÒÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á × W , Ô. Å. ÏÂÒÁÚÕÀÔ Ä×Á
ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÒÑÍÙÈ ÎÁ Ë×ÁÄÒÉËÅ óÅÇÒÅ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÏÅÒÁÔÏÒ ⊗ v, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÊ ÆÏÒÍÅ = (0 : 1) ∈ U−∗ É ×ÅËÔÏÒÕ v = (t0 : t1) ∈ U+, ÉÍÅÅÔ ÍÁÔÒÉ Õ
⊗v =
t0 · = 0 t0 1 t0
0 1
t1
0 t1 1 t1
(19-16)
× ÔÏÞÎÏÓÔÉ Ó ÒÅÄÉÓÁÎÎÙÍÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ ÍÅÖÄÕ ÓÔÒÏËÁÍÉ É ÓÔÏÌÂ ÁÍÉ. ÅÍ
ÓÁÍÙÍ, ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÅ ÒÑÍÙÅ P1 ×P1 ÅÒÅÈÏÄÑÔ × ÒÑÍÙÅ ÎÁ Ë×ÁÄÒÉËÅ óÅÇÒÅ. ÷
ÓÉÌÕ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ óÅÇÒÅ, ×ÓÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÉÎ ÉÄÅÎÔÎÏÓÔÉ ÍÅÖÄÕ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÍÉ ÒÑÍÙÍÉ ÎÁ P1 × P1 ÓÏÈÒÁÎÑÔÓÑ É ÍÅÖÄÕ ÉÈ ÏÂÒÁÚÁÍÉ ÎÁ Ë×ÁÄÒÉËÅ. ïÓÔÁ£ÔÓÑ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÎÉËÁËÉÈ ÄÒÕÇÉÈ ÒÑÍÙÈ ÎÁ QS ÎÅÔ. îÏ ×ÓÑËÁÑ
ÒÑÍÁÑ, ÌÅÖÁÝÁÑ ÎÁ QS É ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ p ∈ QS ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ
× ËÏÎÉËÅ QS ∩ TxQS , ËÏÔÏÒÁÑ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÒÏÊ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ
× ÔÏÞËÅ p ÏÂÒÁÚÏ× ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÒÑÍÙÈ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 19.2. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ 9 ÔÏÞÅË, Á ÔÁËÖÅ ÌÀÂÙÅ 3 ÒÑÍÙÅ × P3
ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÅ, ÒÉÞ£Í Ë×ÁÄÒÉËÁ, ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÔÒÉ ÏÁÒÎÏ
ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÒÑÍÙÅ, Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÏÊ óÅÇÒÅ.
19.2.2. ðÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÌÅÖÁÝÉÅ ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÅ. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï L = P(W ), ÌÅÖÁÝÅÅ ÎÁ n-ÍÅÒÎÏÊ ÇÌÁÄËÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÅ
Qn = V (q) ⊂ Pn+1 = P(V )
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÅËÔÉ×ÉÚÁ ÉÅÊ ÉÚÏÔÒÏÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á W ⊂ V , ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ
ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÒÅÄÌ. 17.6 ÎÅ ÒÅ×ÙÛÁÅÔ dim V=2. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ nÍÅÒÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÅ Qn ⊂ Pn+1 ÎÅÔ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ
ÂÏÌØÛÅÊ, ÞÅÍ ÏÌÏ×ÉÎÁ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ Ë×ÁÄÒÉËÉ.
ìÅÍÍÁ 19.3
óÅÞÅÎÉÅ ∩ Q ÎÅÏÓÏÂÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ Q ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØÀ ÌÉÂÏ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÏÓÏÂÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÏÊ × , ÌÉÂÏ ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÏÓÏÂÕÀ ÔÏÞËÕ.
÷ÔÏÒÏÅ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ , ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ = TpQ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÉ p ∈ Q,
É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÓÏÂÁÑ Ë×ÁÄÒÉËÁ ∩ Q Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÕÓÏÍ Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ × p ÎÁÄ
ÎÅÏÓÏÂÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÏÊ Q′ = ′ ∩ Q, ËÏÔÏÒÁÑ ×ÙÓÅËÁÅÔÓÑ ÉÚ Q ÌÀÂÏÊ ÎÅ ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ p ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØÀ ′ ⊂ TpQ = É ÉÍÅÅÔ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ ÍÅÎØÛÕÀ
ÌÁÎÁÒÎÏÓÔØ, ÞÅÍ Q.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ Q = V (q ) ⊂ P(V ) É = P(W ). ðÅÒ×ÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ
ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ Ï ÅÎËÉ:
dimker (qb|W ) = dim W ∩ qb−1(Ann W ) ⩽ dim qb−1(Ann W ) =
= dimAnn W = dim V − dim W = 1 :
341
19.2. ëÁÓÁÔÅÌØÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ë Ë×ÁÄÒÉËÅ
åÓÌÉ ÑÄÒÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ qb|W ÎÅ ÎÕÌÅ×ÏÅ, Á ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÅ Ó ÂÁÚÉÓÏÍ p, ÔÏ p ∈ Q ∩ É Ann (qb(p)) = W , ÏÔËÕÄÁ TpQ = . îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ = TpQ = P(Ann qb(p)), ÔÏ
×ÅËÔÏÒ p ∈ Ann qb(p) ÌÅÖÉÔ × ÑÄÒÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ qb ÎÁ Ann qb.
äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÎÅ ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ p ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ ′ = P(U ) ⊂ TpQ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ q|U ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÏ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÊ
ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ V = U ⊕ U ⊥, ÒÉÞ£Í ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ q|U ÔÏÖÅ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÏ.
ðÏÓËÏÌØËÕ q|U ÉÍÅÅÔ ÉÚÏÔÒÏÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ p, ÆÏÒÍÁ q|U ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÁÑ. ÅÍ
ÓÁÍÙÍ, ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÊ ÆÏÒÍÙ q|U , ÚÁÄÁÀÝÅÊ Ë×ÁÄÒÉËÕ Q′ = ′ ∩ Q , ÎÁ 2 ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ Õ q .
⊥
⊥
⊥
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 19.6
îÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÁÑ Ë×ÁÄÒÉËÁ ÌÉÂÏ ÕÓÔÁ, ÌÉÂÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÎÉ × ËÁËÏÊ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ.
åÓÌÉ ÎÅÕÓÔÁÑ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÁÑ Ë×ÁÄÒÉËÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ H , ÔÏ H = TpQ ÄÌÑ ×ÓÅÈ p ∈ Q É Q = Q ∩ TV Q ÄÏÌÖÎÁ ÂÙÔØ
ÏÓÏÂÁ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 19.7
ðÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ m ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ m-ÌÁÎÁÒÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÅ Q ⊂ Pn, ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ÄÁÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ p ∈ Q, ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ×ÓÅÍ (m − 1)-ÍÅÒÎÙÍ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍ, ÌÅÖÁÝÉÍ
ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ (m − 1)-ÌÁÎÁÒÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÅ Q′ ⊂ Pn−2, ×ÙÓÅËÁÅÍÏÊ ÉÚ Q ÌÀÂÏÊ ÎÅ
ÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ p ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØÀ Pn−2 ⊂ TpQ = Pn−1.
19.2.3. ðÒÉÍÅÒ: ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁ Ë×ÁÄÒÉËÁÈ Qn Í Qn;m. òÅÚÕÌØÔÁÔ
ÓÌ. 19.7 ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÕÔÏÞÎÉÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÀ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ, ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ n-ÍÅÒÎÏÊ ÎÅÏÓÏÂÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÅ Qn ⊂ Pn+1 ÎÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ É ÎÁ m-ÌÁÎÁÒÎÏÊ ÎÅÏÓÏÂÏÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ nÍÅÒÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÅ Qn;m ⊂ Pn+1(R).
á ÉÍÅÎÎÏ, ÎÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ k ÎÁ ÎÕÌØÍÅÒÎÏÊ É ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÊ ÇÌÁÄËÉÈ Ë×ÁÄÒÉËÁÈ Q0 ⊂ P1 É Q1 ⊂ P2 ÌÅÖÁÔ ÔÏÌØËÏ 0-ÍÅÒÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. óÌÅÄÕÀÝÉÅ Ä×Å Ë×ÁÄÒÉËÉ | Ä×ÕÍÅÒÎÁÑ Q2 ⊂ P3 É ÔÒ£ÈÍÅÒÎÁÑ
Q3 ⊂ P4 | ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ, ÎÏ ËÁÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ p ∈ Q2 ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÁÒÅ ÒÑÍÙÈ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ p É Ä×Å ÔÏÞËÉ ÎÅÏÓÏÂÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ Q0 ⊂ P1 ⊂ TpQ2 r{p},
Á ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ ÔÏÞËÕ p ∈ Q3 ÒÏÈÏÄÉÔ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÒÑÍÙÈ, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ËÏÎÕÓ Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ p ÎÁÄ ÇÌÁÄËÏÊ ËÏÎÉËÏÊ Q1 ⊂ P2 ⊂ TpQ4 r {p}. çÌÁÄËÁÑ
4-ÍÅÒÎÁÑ Ë×ÁÄÒÉËÁ Q4 ⊂ P5 ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ 3-ÍÅÒÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÎÏ ÞÅÒÅÚ
ÌÀÂÕÀ ÔÏÞËÕ p ∈ Q4 ÒÏÈÏÄÑÔ Ä×Á ÕÞËÁ1 ÌÏÓËÏÓÔÅÊ, ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ Ä×ÕÍ ÓÅÍÅÊÓÔ×ÁÍ ÒÑÍÙÈ ÎÁ Ë×ÁÄÒÉËÅ óÅÇÒÅ , É Ô. Ä.
ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÕÞÏË × ÜÔÏÍ ËÏÎÔÅËÓÔÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÆÉÇÕÒ, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ ÒÑÍÕÀ
× ÏÄÈÏÄÑÝÅÍ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÆÉÇÕÒ, ÓÒ. Ó (n◦ 18.2.3)
1
342
§19. ë×ÁÄÒÉËÉ
÷ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁ n-ÍÅÒÎÏÊ ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÅ Qn;0 ÎÅÔ ÒÑÍÙÈ. þÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ ÔÏÞËÕ n-ÍÅÒÎÏÊ 1-ÌÁÎÁÒÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ Qn;1 ÒÏÈÏÄÉÔ ÅÌÙÊ ËÏÎÕÓ ÒÑÍÙÈ Ó ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅÍ × (n − 2)-ÍÅÒÎÏÊ ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÅ
Qn−2;0 ⊂ Pn−1 ⊂ Tp Qn;1 r {p}. ÁË, ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ ÔÏÞËÕ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ óÅÇÒÅ
Q2;1 ⊂ P3 ÒÏÈÏÄÉÔ ÒÏ×ÎÏ Ä×Å ÒÑÍÙÅ, ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÅ ËÏÎÕÓ ÎÁÄ Ä×ÕÈÔÏÞÅÞÎÏÊ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÏÊ ÎÁ P1. ðÌÏÓËÏÓÔÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ËÁÖÄÕÀ ÔÏÞËÕ
n-ÍÅÒÎÏÊ 2-ÌÁÎÁÒÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ Qn;2 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÑÍÉ ÜÔÏÊ
ÔÏÞËÉ ÓÏ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÒÑÍÙÍÉ, ÌÅÖÁÝÉÍÉ ÎÁ (n − 2)-ÍÅÒÎÏÊ 1-ÌÁÎÁÒÎÏÊ
Ë×ÁÄÒÉËÅ Qn−2;1 ⊂ Pn−1 ⊂ TpQn;2 r {p} É Ô. Ä.
19.3. ðÒÉÍÅÒ: Gr(2; 4) ⊂ P5 É ÒÑÍÙÅ × P3 . úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ 4-ÍÅÒÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V Ó ÂÁÚÉÓÏÍ e1; e2; e3; e4 É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ dV ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ d ÏÔ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ei. îÁ ÛÅÓÔÉÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å 2V ÉÍÅÅÔÓÑ ÂÉÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ qe(!1; !2), ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÁÑ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ1
!1 ∧ !2 = qe(!1 ; !2 ) · e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4 :
(19-17)
ðÏÓËÏÌØËÕ !1 ∧ !2 = !2 ∧ !1 ÄÌÑ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Þ£ÔÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ,
ÆÏÒÍÁ qe ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ. úÁÄÁ×ÁÅÍÁÑ ÅÀ Ë×ÁÄÒÉËÁ × P5 = P(2V )
(19-18)
P = { ! ∈ 2 V | ! ∧ ! = 0 }
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. ÷ ÍÏÎÏÍÉÁÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ eij = ei ∧ ej ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á 2V ÕÓÌÏ×ÉÅ ! ∧ ! = 0 ÎÁ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Õ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ! = P xij eij
i<j
ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
x01 x23 − x02 x13 + x03 x12 = 0 :
(19-19)
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÌÀËËÅÒÏ×Á Ë×ÁÄÒÉËÁ | ÜÔÏ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÁÑ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÁÑ
Ë×ÁÄÒÉËÁ × P5.
ë×ÁÄÒÉËÁ ðÌÀËËÅÒÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍ ! ∈ 2V , ËÏÔÏÒÙÅ
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÍÉ Ä×ÕÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÌÀÂÁÑ ÒÁÚÌÏÖÉÍÁÑ ÆÏÒÍÁ ! = u1 ∧ u2 ÉÍÅÅÔ ÎÕÌÅ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔ ! ∧ ! = u1 ∧ u2 ∧ u1 ∧ u2 = 0. ó
ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ! ∈ 2V ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÕÒ. 10.7 ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ
× ÏÄÈÏÄÑÝÅÍ ÂÁÚÉÓÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ÌÉÂÏ ËÁË ! = 0 ∧ 1 + 2 ∧ 3, ÌÉÂÏ ËÁË ! =
0 ∧ 1 , É × ÅÒ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ! ÎÅ ÒÁÚÌÏÖÉÍÁ, ÏÓËÏÌØËÕ ! ∧ ! = 2 0 ∧ 1 ∧ 2 ∧ 3 6= 0.
îÁÏÍÎÉÍ (ÓÍ. n◦ 8.6.1), ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ 2-ÍÅÒÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U ⊂ V ÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÒÑÍÙÈ
` = P(U ) ⊂ P3 = P(V )
Ë×ÁÄÒÉËÏÊ ðÌÀËËÅÒÁ
ÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ ×ÙÂÏÒÅ × V ÄÒÕÇÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ e′ = eC ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á d(V ), ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÅ ËÁË ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ d ÏÔ e′i , ÏÓÔÁÎÕÔÓÑ
ÔÅÍ ÖÅ, Á ÆÏÒÍÁ qe′ : V × V - k, ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ ! ∧ ! = qe′ (! ; ! ) · "′ ∧ e′ ∧ e′ ∧ e′
ÂÕÄÅÔ ÏÔÌÉÞÁÔØÓÑ ÏÔ ÆÏÒÍÙ qe ÎÅÎÕÌÅ×ÙÍ ÏÓÔÏÑÎÎÙÍ ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÍ
1
2
2
1
2
1
2
1
2
3
4
343
19.3. ðÒÉÍÅÒ: Gr(2; 4) ⊂ P5 É ÒÑÍÙÅ × P3
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
Gr(2; 4). éÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÌÀËËÅÒÏ×Á Ë×ÁÄÒÉËÁ P Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÏÍ
(a;b)7→a∧b u : Gr(2; 4)
(19-20)
P5 = P(2 V ) ;
ËÏÔÏÒÏÅ ÏÔÒÁ×ÌÑÅÔ ÒÑÍÕÀ (a; b) ⊂ P(V ) × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ a∧b ∈ 2V . ðÏÓËÏÌØËÕ
ÒÉ ×ÙÂÏÒÅ ÎÁ ÔÏÊ ÖÅ ÒÑÍÏÊ ÄÒÕÇÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ (a′; b′) = (a; b) · C ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ
a′ ∧ b′ = a ∧ b · det C ÕÍÎÏÖÁÅÔÓÑ ÎÁ ÎÅÎÕÌÅ×ÕÀ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ, ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ (19-20)
ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ËÏÒÒÅËÔÎÏ.
ÇÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎÏÍ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ðÌÀËËÅÒÁ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 19.3. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÎÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍ ÑÚÙËÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ (19-20)
ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÅ × k4 ÓÔÒÏËÁÍÉ u, w ÍÁÔÒÉ Ù
u1 u2 u3 u4
w1 w2 w3 w4
× ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Õ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ u ∧ w =
ÓÕÔØ ÛÅÓÔØ 2 × 2-ÍÉÎÏÒÏ× ÜÔÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù:
P
xij ei ∧ ej , ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÏÊ
ui uj :
xij = ui wj − uj wi = det w
i wj
ìÅÍÍÁ 19.4
ä×Å ÒÑÍÙÅ `1; `2 ⊂ P3 ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÉÈ ÏÂÒÁÚÙ
ÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ ðÌÀËËÅÒÁ (19-20) ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÌÀËËÅÒÏ×ÏÊ
Ë×ÁÄÒÉËÉ, Ô. Å. qe(u(`1); u(`2)) = u(`1) ∧ u(`2) = 0.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ `1 = P(U1 ), `2 = P(U2 ). åÓÌÉ U1 ∩ U2 = 0, ÔÏ V = U1 ⊕ U2
É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÂÁÚÉÓ {ei} ⊂ V ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ U1 ÎÁÔÑÎÕÔÏ ÎÁ e1; e2 É U2 ÎÁÔÑÎÕÔÏ ÎÁ
e3 ; e4 . ÏÇÄÁ u(U1 ) = e1 ∧ e2 , u(U2 ) = e3 ∧ e4 É u(U1 ) ∧ u(U2 ) = e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4 6= 0.
åÓÌÉ U1 ∩ U2 6= 0, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ × U1 É U2 ÂÁÚÉÓÙ (w; u1) É (w; u2) Ó ÏÂÝÉÍ
×ÅËÔÏÒÏÍ w ∈ U1 ∩ U2. ÏÇÄÁ u(U1) ∧ u(U2) = w ∧ u1 ∧ w ∧ u2 = 0.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 19.8
ðÌÀËËÅÒÏ×Ï ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ(19-20) ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏ É ÚÁÄÁ£Ô ÂÉÅË ÉÀ ÍÅÖÄÕ ÇÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎÏÍ Gr(2; 4) É Ë×ÁÄÒÉËÏÊ ðÌÀËËÅÒÁ P ⊂ P5.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÒÑÍÙÈ `1 6= `2 ÎÁ P3 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÒÅÔØÑ
ÒÑÍÁÑ `, ËÏÔÏÒÁÑ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ `1 É ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ `2. ÏÇÄÁ ÔÏÇÄÁ u(`1) ∧ u(`) = 0
É u(`2) ∧ u(`) 6= 0, Ô. Å. u(`1) 6= u(`2).
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 19.9
ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ P ∩ TpP ÌÀËËÅÒÏ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ Ó ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔØÀ × ÔÏÞËÅ
p = u(`) ∈ P ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÌÀËËÅÒÏ×ÙÈ ÏÂÒÁÚÏ× u(`′ ) ×ÓÅÈ ÒÑÍÙÈ `′ ⊂ P3 ,
ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈ `.
344
ÓÑ
§19. ë×ÁÄÒÉËÉ
19.3.1. ó×ÑÚËÉ É ÕÞËÉ ÒÑÍÙÈ × P3 . íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÑÍÙÈ ÎÁ P3 ÎÁÚÙ×ÁÅÔ-
, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÉÚÏÂÒÁÖÁÅÔÓÑ ÎÁ Ë×ÁÄÒÉËÅ ðÌÀËËÅÒÁ ÌÏÓËÏÓÔØÀ ⊂ P .
÷ÓÑËÁÑ Ó×ÑÚËÁ ⊂ P ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁËÉÍÉ-ÎÉÂÕÄØ ÔÒÅÍÑ Ó×ÏÉÍÉ ÎÅËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ pi = u(`i), i = 1; 2; 3. ÁËÁÑ Ó×ÑÚËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× = P ∩ Tp P ∩ Tp P ∩ Tp P É Ï ÌÅÍÍÅ ÌÅÍ. 19.4 É ÓÌÅÄÓÔ×ÉÀ ÓÌ. 19.9 ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÒÑÍÙÈ, ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈ ÔÒÉ
ÄÁÎÎÙÅ ÒÑÍÙÅ `1; `2; `3, ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ.
ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÑÍÙÅ `i ÌÉÂÏ ×ÓÅ ÔÒÉ ÌÅÖÁÔ × ÏÄÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÌÉÂÏ
×ÓÅ ÔÒÉ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ. îÏ ÔÏÇÄÁ É ÌÀÂÁÑ ÒÑÍÁÑ ÉÚ ÎÁÔÑÎÕÔÏÊ
ÎÁ `1; `2; `3 Ó×ÑÚËÉ ÄÏÌÖÎÁ ÌÅÖÁÔØ × ÔÏÊ ÖÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÌÉÂÏ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ,
ÒÏÈÏÄÉÔØ ÞÅÒÅÚ ÔÕ ÖÅ ÔÏÞËÕ.
éÔÁË, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ Ä×Á ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÒÁÚÎÙÈ ÔÉÁ Ó×ÑÚÏË ÒÑÍÙÈ ÎÁ P3
ÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, 2-ÍÅÒÎÙÈ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ÎÁ Ë×ÁÄÒÉËÅ ðÌÀËËÅÒÁ. ðÏ ÔÒÁÄÉ ÉÉ, ÏÎÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
É
. ðÅÒ×ÁÑ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÒÑÍÙÈ,
ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÄÁÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ a ∈ P3 É ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ ÌÀËËÅÒÏ×ÙÍ ×ÌÏÖÅÎÉÅÍ ×
(a) ⊂ P . ÷ÔÏÒÁÑ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÒÑÍÙÈ, ÌÅÖÁÝÉÈ × ÄÁÎÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ∈ P3 É ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ ÌÀËËÅÒÏ×ÙÍ ×ÌÏÖÅÎÉÅÍ ×
() ⊂ P . ðÒÉ ÜÔÏÍ ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÌÏÓËÏÓÔÉ ÏÄÎÏÇÏ ÔÉÁ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ
(1 ) ∩ (2 ) = u( 1 ∩ 2 )
( a1 ) ∩ ( a2 ) = u ( ( a1 a2 ) ) ;
Á Ä×Å ÌÏÓËÏÓÔÉ () É (a) ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÉÏ× ÒÉ a 6∈ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ×Ï×ÓÅ, Á ÒÉ a ∈ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ Ï ÒÑÍÏÊ, ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÝÅÊ ÎÁ Ë×ÁÄÒÉËÅ ðÌÀËËÅÒÁ
ÕÞÏË ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ a ÒÑÍÙÈ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ .
Ó×ÑÚËÏÊ
1
-Ó×ÑÚËÁ
2
3
-Ó×ÑÚËÁ
-ÌÏÓËÏÓÔØ
-ÌÏÓËÏÓÔØ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 19.4. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÒÑÍÁÑ ÎÁ ÌÀËËÅÒÏ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÅ Ñ×ÌÑ-
ÅÔÓÑ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ -ÌÏÓËÏÓÔÉ É -ÌÏÓËÏÓÔÉ (ÉÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÌÀÂÏÊ ÕÞÏË ÒÑÍÙÈ ÎÁ P3 ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÒÑÍÙÈ, ÌÅÖÁÝÉÈ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ
ÌÏÓËÏÓÔÉ É ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÔÁÍ ÞÅÒÅÚ ÏÄÎÕ ÔÏÞËÕ).
⊂
-
19.3.2. áÆÆÉÎÎÙÅ ËÌÅÔËÉ Gr(2; 4). úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ËÁËÕÀ-ÎÉÂÕÄØ 3-ÍÅÒÎÕÀ
ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ H ⊂ TpP , ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÕÀ Ë ÔÏÞËÅ p ∈ P × 4-ÍÅÒÎÏÍ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å TpP Ë Ë×ÁÄÒÉËÅ ðÌÀËËÅÒÁ P ⊂ P5. ïÓÏÂÁÑ Ë×ÁÄÒÉËÁ
C = P ∩ Tp P ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÒÏÓÔÏÊ ËÏÎÕÓ Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ p ÎÁÄ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÏÊ óÅÇÒÅ G = H ∩ P , ÞÔÏ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÓÔÒÁÔÉÆÉËÁ ÉÉ
ÌÀËËÅÒÏ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ P ÚÁÍËÎÕÔÙÍÉ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ:
-
⊂
-
⊂
p⊂ - ∩
-
⊂
C⊂
- P
345
19.4. ðÏÌÑÒÉÔÅÔÙ
âÅÒÑ × ËÁÖÄÏÍ ÓÔÒÁÔÅ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ ÄÏ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈÓÑ × Î£Í
ÓÔÒÁÔÏ× ÍÅÎØÛÅÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ P ≃ Gr(2; 4) ×
ÄÉÚßÀÎËÔÎÏÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÏÔËÒÙÔÙÈ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×, ÉÚÏÍÏÒÆÎÙÈ ÁÆÆÉÎÎÙÍ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍ:
Gr(2; 4) = A0 ⊔ A1 ⊔ A2 ⊔ A2 ⊔ A3 ⊔ A4 ;
ÇÄÅ A0 ÜÔÏ ÔÏÞËÁ p, A1 ÜÔÏ ÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ ÒÑÍÁÑ ∩ ÂÅÚ ÔÏÞËÉ p, Ä×Á ÜËÚÅÍÌÑÒÁ A2 ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ×ÙËÉÄÙ×ÁÎÉÅÍ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÒÑÍÏÊ ∩ ÉÚ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ É . ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï A3 = A1 × A2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ÁÆÆÉÎÎÙÈ ÒÑÍÙÈ A1, ÏÓÔÁÀÝÉÈÓÑ ÏÓÌÅ ×ÙËÉÄÙ×ÁÎÉÑ ×ÅÒÛÉÎÙ p ÉÚ ËÏÎÕÓÁ ÎÁÄ
ÉÚÏÍÏÒÆÎÙÍ A2 ÄÏÏÌÎÅÎÉÅÍ Ë×ÁÄÒÉËÉ óÅÇÒÅ ÄÏ ËÒÅÓÔÁ, ×ÙÓÅËÁÅ p′
•
ÍÏÇÏ ÉÚ ÎÅ£ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÌÏÓËÏH ≃ P3
ÓÔØÀ.
G⊂H
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 19.5. õÂÅÄÉÔÅÓØ ×
ÔÏÍ, ÞÔÏ ÒÏÅË ÉÑ ÇÌÁÄËÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ Q ⊂ Pn ÉÚ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ
p ∈ Q ÎÁ ÎÁ ÌÀÂÕÀ ÎÅ ÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ p ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ
p 6∈ H
H ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÂÉÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÕÀ1 ÂÉÅË ÉÀ ÍÅÖÄÕ ÄÏÏÌÎÅòÉÓ. 19⋄1. ëÏÎÕÓ C = P ∩ Tp P .
ÎÉÅÍ Q r (Q ∩ TpQ) É ÁÆÆÉÎÎÙÍ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ An−1 = H r (H ∩ TpQ) .
ðÏÓÌÅÄÎÉÊ, ÌÏÔÎÙÊ × P ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÕÓÏË A4 ÅÓÔØ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ ÄÏ P ∩ TpP .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 19.6. õÓÔÁÎÏ×ÉÔÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÏÉÓÁÎÎÙÍÉ ÁÆ-
ÆÉÎÎÙÍÉ ËÌÅÔËÁÍÉ É ËÌÅÔËÁÍÉ ûÕÂÅÒÔÁ, ÏÂÓÕÖÄÁ×ÛÉÍÉÓÑ × n◦ 8.6.1 (ÎÁÏÍÎÉÍ,
ÞÔÏ ËÌÅÔËÉ ûÕÂÅÒÔÁ ÎÁ ÇÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎÅ Gr(2; 4) ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ×ÙÂÏÒÏÍ ÂÁÚÉÓÁ ×
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V É ÎÕÍÅÒÕÀÔÓÑ ÛÅÓÔØÀ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍÉ àÎÇÁ (0; 0), (1; 0), (1; 1),
(2; 0), (2; 1), (2; 2), ÕÍÅÝÁÀÝÉÍÉÓÑ × ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉËÅ 2 × 2 É ÏÉÓÙ×ÁÀÝÉÍÉ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÊ ÔÉ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ Ä×ÕÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ⊂ V ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÌÏÓËÏÓÔÅÊ ×ÙÂÒÁÎÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ, ÓÒ. Ó ÚÁÄ. 8.1).
ëÏÒÒÅÌÑ ÉÑ qb, ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ Ó ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ q, ÉÎÄÕ ÉÒÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ
∼
q : P(V ) - P(V ∗ )
ËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(ÉÌÉ
) Ë×ÁÄÒÉËÉ
Q. ïÎ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÔÏÞËÕ p ∈ Pn × ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ L = {x ∈ Pn | qe(p; x) = 0}. ÏÞËÁ p É ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ L × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
É
ÄÒÕÇ
19.4. ðÏÌÑÒÉÔÅÔÙ.
ÏÌÑÒÎÙÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ
ÏÌÑÒÉÔÅÔÏÍ
ÏÌÀÓÏÍ
ÏÌÑÒÏÊ
× ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏ ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ
ÞÅÒÅÚ ÄÒÕÇÁ
1
346
§19. ë×ÁÄÒÉËÉ
ÄÒÕÇÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ Ë×ÁÄÒÉËÉ Q. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ, ÏÌÑÒÁ ÔÏÞËÉ, ÎÅ ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ
Ë×ÁÄÒÉËÅ, | ÜÔÏ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ, ×ÙÓÅËÁÀÝÁÑ ×ÉÄÉÍÙÊ ÉÚ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ ËÏÎÔÕÒ
Ë×ÁÄÒÉËÉ, Á ÏÌÑÒÁ ÔÏÞËÉ, ÌÅÖÁÝÅÊ ÎÁ Ë×ÁÄÒÉËÅ, | ÜÔÏ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ, ËÁÓÁÀÝÁÑÓÑ Ë×ÁÄÒÉËÉ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÓÑËÕÀ Ë×ÁÄÒÉËÕ Q ÍÏÖÎÏ
ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÔØ ËÁË ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÍÅÓÔÏ ÔÏÞÅË, ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ Ó×ÏÉÈ ÏÌÑÒÁÈ.
ðÏÓËÏÌØËÕ ÕÓÌÏ×ÉÅ qe(a; b) = 0 ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ Ï a É b, ÔÏÞËÁ a ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÌÑÒÅ
ÔÏÞËÉ b , ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ÔÏÞËÁ b ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÌÑÒÅ ÔÏÞËÉ a. ÁËÉÅ ÔÏÞËÉ
ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ Ë×ÁÄÒÉËÉ Q.
ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÍÉ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 19.7. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÌÑÒÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ
R2 ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. ãÉÒËÕÌÅÍ É ÌÉÎÅÊËÏÊ ÏÓÔÒÏÊÔÅ Ï-
ÌÑÒÕ ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ É ÏÌÀÓ ÄÁÎÎÏÊ ÒÑÍÏÊ (ÜÔÏ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÉÎÔÅÒÅÓÎÏ, ËÏÇÄÁ ÒÑÍÁÑ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÉÌÉ ËÏÇÄÁ ÔÏÞËÁ ÌÅÖÉÔ ×ÎÕÔÒÉ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÍÏÇÏ
ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ ËÒÕÇÁ).
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 19.4
ðÕÓÔØ a; b 6∈ Q É ÒÑÍÁÑ (ab) ÅÒÅÓÅËÁÅÔ Q × Ä×ÕÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞËÁÈ , d. ÏÞËÉ
a, b ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÓÏÒÑÖÅÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ Ë×ÁÄÒÉËÉ Q, ËÏÇÄÁ ÏÎÉ
ÇÁÒÍÏÎÉÞÎÙ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ÔÏÞËÁÍ , d.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ïÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ Q ÎÁ ÒÑÍÕÀ (ab) = ( d) ÚÁÄÁ£ÔÓÑ
× ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ (x0 : x1 ) ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÁÚÉÓÁ ( ; d) Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ
ÆÏÒÍÏÊ q(x) = det(x; ) det(x; d) , ÏÌÑÒÉÚÁ ÉÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
1
qe(x; y) = det(x; ) det(y; d) + det(y; ) det(x; d) :
2
õÓÌÏ×ÉÅ ÓÏÒÑÖ£ÎÎÏÓÔÉ qe(a; b) = 0 ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ
det(a; ) det(b; d) = − det(b; ) det(a; d) ;
Ô. Å. ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ [a; b; ; d℄ = −1 .
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 19.5
äÌÑ ÎÅÏÓÏÂÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ G ⊂ Pn É ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ Q ⊂ Pn ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÅÊ,
ÏÌÑÒÎÙÈ ÔÏÞËÁÍ p ∈ Q ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ Ë×ÁÄÒÉËÉ G, ÏÂÒÁÚÕÀÔ
×
Ë×ÁÄÒÉËÕ × QG ⊂ Pxn, ÔÏÇÏ ÖÅ ÒÁÎÇÁ, ÞÔÏ É Ë×ÁÄÒÉËÁ Q. åÓÌÉ Q É G ÉÍÅÀÔ
× ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ÍÁÔÒÉ Ù çÒÁÍÁ A É B ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎ×
ÎÏ, ÔÏ Ë×ÁÄÒÉËÁ QG ÉÍÅÅÔ × Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ÍÁÔÒÉ Õ
B −1 AB −1 .
∼
- P× ÇÌÁÄËÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ Q ⊂ Pn ÅÒÅäÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏÌÑÒÉÔÅÔ q : Pn
n
×ÏÄÉÔ ÔÏÞËÕ ÓÏ ÓÔÏÌ ÏÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ x × ÔÏÞËÕ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÓÏ
ÓÔÒÏËÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ xt · B É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ. ðÏÌÑÒÎÙÅ
ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ = qb(p) ÔÏÞÅË p ∈ P ÚÁÄÁÀÔÓÑ, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
0 = xt · A · x = · B −1 · A · · B −1t = · B −1AB −1 · t ;
19.5. áÆÆÉÎÎÙÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ
347
ÞÔÏ É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÌÏÓØ.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 19.10
ëÁÓÁÔÅÌØÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ë ÇÌÁÄËÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÅ Q ⊂ Pn ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÇÌÁÄËÕÀ Ë×ÁÄÒÉËÕ Q× ⊂ Pn×. íÁÔÒÉ Ù çÒÁÍÁ Ë×ÁÄÒÉË Q É Q× × Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÂÁÚÉÓÁÈ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Pn É Pn× ÏÂÒÁÔÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏÌÏÖÉÍ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÔÅÏÒÅÍÅ G = Q, Ô. Å. B = A. çÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ, ÏÌÑÒÎÙÅ ÔÏÞËÁÍ p ∈ Q ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ Ë×ÁÄÒÉËÉ Q, ÒÅ×ÒÁÔÑÔÓÑ ÒÉ
ÜÔÏÍ × ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á TpQ.
19.4.1. ðÏÌÑÒÉÔÅÔÙ ÎÁÄ ÎÅÚÁÍËÎÕÔÙÍÉ ÏÌÑÍÉ. îÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÎÅÚÁÍËÎÕÔÙÍÉ ÏÌÑÍÉ ÉÍÅÀÔÓÑ (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ É ÎÅÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ)
Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ ÆÏÒÍÙ q, ÚÁÄÁÀÝÉÅ
Ë×ÁÄÒÉËÉ Q. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÔÁËÉÍ Ë×ÁÄÒÉËÁÍ ÏÌÑÒÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ×ÏÌÎÅ ÎÁÂÌÀÄÁÅÍÙ
ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ É ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÔÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÎÉËÁËÁÑ ÔÏÞËÁ ÎÅ ÌÅÖÉÔ ÎÁ Ó×ÏÅÊ
ÏÌÑÒÅ.
ÕÓÔÙÅ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 19.8. ïÉÛÉÔÅ ÏÌÑÒÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ R2
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ €ÍÎÉÍÏʁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ x2 + y2 = −1.
éÚ ÌÅÍ. 18.1 É ÓÌ. 18.1 ×ÙÔÅËÁÅÔ
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 19.11
ä×Á ÏÌÑÒÉÔÅÔÁ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ , ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ÚÁÄÁÀÝÉÅ ÉÈ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÅ
ÆÏÒÍÙ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙ.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 19.12
îÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ Ä×Å Ë×ÁÄÒÉËÉ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ Q = Q′ . ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÉ ÎÁ ÌÀÂÏÅ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÅ Ë Sing Q = Sing Q′ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏÂÅÉÈ Ë×ÁÄÒÉË ÎÅ ÏÍÅÎÑÀÔÓÑ, ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÏÂÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÍÉ, Á ÔÏÇÄÁ ×Ó£ ÓÌÅÄÕÅÔ
ÉÚ ÌÅÍÍÙ ÓÌ. 19.11.
19.5. áÆÆÉÎÎÙÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ. ÷ÙÂÅÒÅÍ × ÁÆÆÉÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å A ÎÁÄ ×ÅËÔÏÒÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ V ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÁÆÆÉÎÎÙÊ ÒÅÅÒ É ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÍ A
Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ kn. æÉÇÕÒÁ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÁÑ × A (ÎÅÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ)
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÏÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ (x1; x2 ; : : : ; xn) ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á kn, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
.
ÁÆÆÉÎÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÏÊ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 19.9. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÆÉÇÕÒÙ Q ⊂ A ÂÙÔØ ÁÆÆÉÎÎÏÊ Ë×Á-
ÄÒÉËÏÊ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÒÅÅÒÁ.
ä×Å ÁÆÆÉÎÎÙÈ Ë×ÁÄÒÉËÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
(ÉÌÉ
), ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ ÁÆÆÉÎÎÙÍ ÁÆÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ (ÓÍ.
n◦ 14.6.4 É n◦ 16.2.2).
ÁÆÆÉÎÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍÉ
ÎÙÍÉ
ÉÚÏÍÏÒÆ-
348
§19. ë×ÁÄÒÉËÉ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 19.10. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÏÄÈÏÄÑÝÅÇÏ ×ÙÂÏÒÁ ÁÆÆÉÎÎÙÈ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÁÆÆÉÎÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ ÍÏÖÎÏ ÒÉ×ÅÓÔÉ Ë ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ×ÉÄÏ×
a1 t21 + a2 t22 + · · · + ak t2k =
ÉÌÉ a1 t21 + a2 t22 + · · · + ak t2k = tk+1
ËÏÔÏÒÙÅ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ ÕÒÏÝÁÀÔÓÑ ÄÁÌÅÅ ÄÏ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÆÏÒÍ
t21 + t22 + · · · + t2k = 0
t21 + t22 + · · · + t2k = 1
t21 + t22 + · · · + t2k = tk+1
(19-21)
(19-22)
(19-23)
t21 + · · · + tp − t2p+1 − · · · − t2p+m = 0
t21 + · · · + tp − t2p+1 − · · · − t2p+m = ±1
t21 + · · · + tp − t2p+1 − · · · − t2p+m = tp+m+1
(19-24)
(19-25)
(19-26)
Á ÎÁÄ ÏÌÅÍ R | ÄÏ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÆÏÒÍ (ÇÄÅ ×ÓÀÄÕ p ⩾ m)
19.5.1. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ ÚÁÍÙËÁÎÉÑ ÁÆÆÉÎÎÙÈ Ë×ÁÄÒÉË. ÷ÓÑËÁÑ ÁÆÆÉÎÎÁÑ
Ë×ÁÄÒÉËÁ Q ⊂ An ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÌÕÞÅÎÁ ËÁË ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ Q ⊂ Pn × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÁÆÆÉÎÎÏÊ ËÁÒÔÅ U ⊂ Pn. îÁÒÉÍÅÒ, ÍÏÖÎÏ
ÒÅÁÌÉÚÏ×ÁÔØ Q × ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å kn Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (t1; t2; : : : ; tn)
É ×ÌÏÖÉÔØ ÜÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × ËÁÞÅÓÔ×Å ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÁÆÆÉÎÎÏÊ ËÁÒÔÙ U0 ×
ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Pn = P (k · e0 ⊕ kn) Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (x0; x1 ; : : : ; xn),
ÔÁËÉÍÉ ÞÔÏ ti = xi=x0, É ×ÚÑÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å Q ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ
Q, ËÁË ÜÔÏ ÏÉÓÙ×ÁÌÏÓØ × n◦ 18.2.2.
ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÁÆÆÉÎÎÙÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ Q′ ∩ U É Q′′ ∩ U ÁÆÆÉÎÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ,
ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÊ Ë×ÁÄÒÉËÕ Q′ × Ë×ÁÄÒÉËÕ Q′′, Á ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌ£ÎÎÕÀ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ P(Ann ′) ËÁÒÔÙ U | × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌ£ÎÎÕÀ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ P(Ann ′′) ËÁÒÔÙ U . ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ËÁÒÔÙ U É U Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÁÆÆÉÎÎÙÍÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ ÎÁÄ ×ÅËÔÏÒÎÙÍÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ Ann ′ É Ann ′′. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ Ä×Á ÎÁÂÏÒÁ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ (′; 1′ ; 2′ ; : : : ; n′ ) É (′′; 1′ ; 2′ ; : : : ; n′ ) ×
ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ Pn É ÉÓÏÌØÚÕÅÍ t′i = i′|U É t′′i = i′′|U ×
ËÁÞÅÓÔ×Å ÌÏËÁÌØÎÙÈ ÁÆÆÉÎÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ × ËÁÒÔÁÈ U É U . ÷ÓÑËÉÊ ÁÆÆÉÎÎÙÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ F : U ∼- U ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÚÁÄÁ£ÔÓÑ Ó×ÏÉÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌÏÍ
∼
DF : Ann ′ - Ann ′′ É ÏÂÒÁÚÏÍ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÁÆÆÉÎÎÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÊ
ÓÉÓÔÅÍÙ t′ ËÁÒÔÙ U F (0; 0; : : : ; 0) = (a1; a2; : : : ; an) ∈ U . ÁËÏÊ ÁÆÆÉÎÎÙÊ
Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍ ÉÎÄÕ ÉÒÕÅÔÓÑ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÍ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ F : Pn ∼- Pn, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÍ ÎÁ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ Ï ÒÁ×ÉÌÕ
  
 
  
1 0 ::: 0
′
′′
′
 ′′   a1
′ 
 ′ 
 1 
 1
  1
 ..  7−→  ..  =  ..
· . 
. .
.
DF   .. 
′
′′
′
′′
′
′′
′
′
′
′′
′
n′
′′
′′
n′′
an
n′
′′
349
19.5. áÆÆÉÎÎÙÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ
îÁÏÂÏÒÏÔ, ÌÀÂÏÊ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÊ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍ, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÊ Ann ′ × Ann ′′ ÚÁÄÁ£ÔÓÑ, Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÍÎÏÖÉÔÅÌÑ,
ÎÁÉÓÁÎÎÏÊ ×ÙÛÅ ÍÁÔÒÉ ÅÊ É
∼
ÉÎÄÕ ÉÒÕÅÔ ÁÆÆÉÎÎÙÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ U
U ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌÏÍ DF , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÊ ÎÁÞÁÌØÎÕÀ ÔÏÞËÕ (1 : 0 : · · · : 0) ∈ U × ÔÏÞËÕ (1 : a1 : · · · : an) ∈ U .
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Ó ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÏÉÓÁÎÉÅ ×ÓÅÈ ÁÆÆÉÎÎÙÈ Ë×ÁÄÒÉË Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÁÆÆÉÎÎÏÇÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÉÓÁÎÉÅ
Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÇÏ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ×ÚÁÉÍÎÙÈ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÊ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ É ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ, ËÏÔÏÒÁÑ ÂÕÄÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ
ÕÄÁÌ£ÎÎÏÊ ÄÌÑ ÔÏÊ ËÁÒÔÙ, ÇÄÅ ÍÙ ÓÏÂÉÒÁÅÍÓÑ ÎÁÂÌÀÄÁÔØ ÁÆÆÉÎÎÙÊ ÏÂÒÁÚ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ.
åÓÌÉ ÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ Ë×ÁÄÒÉËÁ Q ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ É ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌ£ÎÎÁÑ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Å£ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔØÀ, ÔÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÁÆÆÉÎÎÁÑ
Ë×ÁÄÒÉËÁ Q ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÅ ÌÏÓËÏÓÔÉ
ÅÒÅ×ÏÄÑÔÓÑ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ Ë×ÁÄÒÉËÉ, ÁÆÆÉÎÎÙÊ ÔÉ ÁÒÁÂÏÌÏÉÄÁ Q ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÍ ÔÉÏÍ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ
Q. ÁË, ÎÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ × An ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÁÒÁÂÏÌÏÉÄ, ËÏÔÏÒÙÊ × ÏÄÈÏÄÑÝÉÈ ÁÆÆÉÎÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
(19-23) ÉÚ ÕÒ. 19.10 (× ËÏÔÏÒÏÍ ÎÁÄÏ ÏÌÏÖÉÔØ k = n), Á ÎÁÄ ÏÌÅÍ R ÅÓÔØ
[(n − 1)=2℄ ÁÒÁÂÏÌÏÉÄÏ× ÒÁÚÌÉÞÎÏÊ ÌÁÎÁÒÎÏÓÔÉ m, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ
(19-26) ÉÚ ÕÒ. 19.10 ÒÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ p ⩾ m É p + m + 1 = n .
åÓÌÉ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÁÑ ÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ Ë×ÁÄÒÉËÁ Q ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ
ÕÄÁÌ£ÎÎÏÊ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØÀ Ï ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÅ R, ÔÏ ÁÆÆÉÎÎÙÊ ÔÉ
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÁÆÆÉÎÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÍ ÔÉÏÍ Ë×ÁÄÒÉËÉ R. îÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ ÔÁËÁÑ Ë×ÁÄÒÉËÁ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁ É
ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ (19-22) ÉÚ ÕÒ. 19.10 (ÒÉ k = n). îÁÄ ÏÌÅÍ R ÌÁÎÁÒÎÏÓÔØ
Ë×ÁÄÒÉËÉ R ÔÁËÁÑ ÖÅ ÉÌÉ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ Õ Ë×ÁÄÒÉËÉ Q. áÆÆÉÎÎÙÅ
Ë×ÁÄÒÉËÉ Q, ÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ ÉÚ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ Ë×ÁÄÒÉË
Q ÒÉ Ä×ÕÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ×ÙÂÏÒÁÈ ÎÅËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌ£ÎÎÏÊ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ ÏÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ (19-25) ÉÚ ÕÒ. 19.10
t21 + · · · + tp − t2p+1 − · · · − t2n = ±1
(19-27)
ÒÉ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ p ⩾ n=2. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ Q ÔÁËÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ ÚÁÄÁ£ÔÓÑ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
x21 + · · · + xp − x2p+1 − · · · − x2n = ±x20
(19-28)
É ÉÍÅÅÔ ÌÁÎÁÒÎÏÓÔØ m ÒÉ ×ÙÂÏÒÅ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÚÎÁËÁ ÍÉÎÕÓ É ÌÁÎÁÒÎÏÓÔØ
m + 1 ÒÉ ×ÙÂÏÒÅ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÚÎÁËÁ ÌÀÓ. ë×ÁÄÒÉËÁ R, ×ÙÓÅËÁÅÍÁÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌ£ÎÎÏÊ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØÀ x0 = 0, ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
(19-29)
x21 + · · · + xp − x2p+1 − · · · − x2n = 0
É ÉÍÅÅÔ ÔÕ ÖÅ ÌÁÎÁÒÎÏÓÔØ, ÞÔÏ Q, ÅÓÌÉ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ×ÙÂÉÒÁÌÓÑ ÚÎÁË ÍÉÎÕÓ, É ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ ÍÅÎØÛÕÀ ÌÁÎÁÒÎÏÓÔØ, ÞÅÍ Q, ÅÓÌÉ
′
′′
′
ÁÒÁÂÏÌÏÉÄÏÍ
′′
350
§19. ë×ÁÄÒÉËÉ
×ÙÂÉÒÁÌÓÑ ÌÀÓ. ðÏÓËÏÌØËÕ Ë×ÁÄÒÉËÉ (19-28) ÒÁÚÌÉÞÎÏÊ ÌÁÎÁÒÎÏÓÔÉ ÚÁ×ÅÄÏÍÏ
ÒÏÅËÔÉ×ÎÏ ÎÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ, Á Ë×ÁÄÒÉËÉ
x21 + · · · + xp − x2p+1 − x2p+2 − · · · − x2n = −x20
x21 + · · · + xp + x2p+1 − x2p+2 − · · · − x2n = x20
ÅÒÅÓÅËÁÀÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌ£ÎÎÕÀ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ Ï ÎÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍ Ë×ÁÄÒÉËÁÍ R ÒÁÚÎÏÊ ÌÁÎÁÒÎÏÓÔÉ, ×ÓÅ ÁÆÆÉÎÎÙÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ (19-27) ÏÁÒÎÏ ÎÅ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ, ÚÁ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ: Þ£ÔÎÏÍÅÒÎÁÑ ÞÉÓÔÏ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ
Ë×ÁÄÒÉËÁ
t21 + · · · + tp − t2p+1 − · · · − t22p = ±1
ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ÓÍÅÎÅ ÚÎÁËÁ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ É ÌÀÂÏÅ ÎÅÏÓÏÂÏÅ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÅ
ÓÅÞÅÎÉŠţ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÚÁÍÙËÁÎÉÑ Q ÉÍÅÅÔ
P 2 ÔÕ ÖÅ ÌÁÎÁÒÎÏÓÔØ, ÞÔÏ É Q .
áÆÆÉÎÎÙÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ ti = 1, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ Ë×ÁÄÒÉËÁ R ÕÓÔÁ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
, ÏÓÔÁÌØÎÙÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ ÉÚ ÓÉÓËÁ (19-28) | ÇÉÅÒÂÏÌÏÉÄÁÍÉ.
áÆÆÉÎÎÙÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ Q, ÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ ÉÚ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÈ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ Ë×ÁÉ
× ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÏÇÏ, ËÁË ÂÅÓÄÒÉË Q ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌ£ÎÎÁÑ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ Ó ×ÅÒÛÉÎÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ
Ë×ÁÄÒÉËÉ Q .
19.5.2. ðÒÉÍÅÒ: ÁÆÆÉÎÎÙÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ × R3. îÅÏÓÏÂÁÑ ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ Ë×ÁÄÒÉËÁ Q2;0 ⊂ P(R4) Ó ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ x0 x1 = x22 + x23 ×ÉÄÎÁ × ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÁÆÆÉÎÎÙÈ ËÁÒÔÁÈ ÌÉÂÏ ËÁË
Ó ÁÆÆÉÎÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ t21 + t22 = t3
(ÉÌÉ
(ÓÍ. ÒÉÓ. 19⋄3), ÌÉÂÏ ËÁË
)
Ó ÁÆÆÉÎÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ
t21 + t22 − t23 = −1
(ÓÍ. ÒÉÓ. 19⋄4), ÌÉÂÏ
Ó ÁÆÆÉÎÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ t21 + t22 + t23 = 1 (ÓÍ. ÒÉÓ. 19⋄5).
îÅÏÓÏÂÁÑ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÁÑ Ë×ÁÄÒÉËÁ óÅÇÒÅ
Q2;1 ⊂ P3 (R)
⋄ çÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ
Ó ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ x0 x1 = x2 x3 ×ÉÄÎÁ ÌÉÂÏ ÁÒÁÂÏÌÏÉÄ
t21 − t22 = t3 .
Ó ÁÆÆÉÎÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ t21 − t22 = t3 (ÓÍ. ÒÉÓ. 19⋄2), ÌÉÂÏ
(ÉÌÉ
)
2
2
2
Ó ÁÆÆÉÎÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ t1 + t2 − t3 = 1 (ÓÍ. ÒÉÓ. 19⋄6).
ïÓÏÂÁÑ Ë×ÁÄÒÉËÁ ÒÁÎÇÁ 2 Ó ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ x0 x1 = x22 ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ
×ÉÄÎÁ ËÁË
Ó ÁÆÆÉÎÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ t21 + t22 − t23 = 0 (ÅÓÌÉ
ÏÍÅÓÔÉÔØ ÏÓÏÂÕÀ ÔÏÞËÕ (0 : 0 : 0 : 1) ×ÎÕÔÒØ ÁÆÆÉÎÎÏÊ ËÁÒÔÙ, ÓÍ. ÒÉÓ. 19⋄7)
ÉÌÉ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ËÁË
Ó ÁÆÆÉÎÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ t21 −t22 = 1
(ÅÓÌÉ ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, ÓÍ. ÒÉÓ. 19⋄8)
ÜÌÌÉÓÏÉÄÁÍÉ
ËÏÎÕÓÁÍÉ
ÉÌÉÎÄÒÁÍÉ
ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÉÊ
ÁÒÁÂÏÌÏÉÄ
Ä×ÕÏÌÏÓÔÎÙÊ
ÔÉÞÅÓËÉÊ
ÜÌÌÉ-
ÇÉÅÒÂÏÌÏÉÄ
ÜÌÌÉÓÏÉÄ
òÉÓ. 19 2.
ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ ÁÒÁÂÏÌÏÉÄ
ÏÄÎÏÏÌÏÓÔÎÙÊ
ÇÉÅÒÂÏÌÏÉÄ
ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÎÕÓ
ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ
ÉÌÉÎÄÒ
ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ
351
úÁÄÁÞÉ Ë §19
òÉÓ. 19⋄3.
üÌÌÉÔÉÞÅÓËÉÊ ÁÒÁÂÏÌÏÉÄ
t21 + t22 = t3 .
òÉÓ. 19⋄5.
üÌÌÉÓÏÉÄ
t21 + t22 + t23 = 1 .
üÌÌÉÔÉÞÅÓËÉÊ ËÏÎÕÓ
t21 + t22 − t23 = 0 .
òÉÓ. 19⋄7.
òÉÓ. 19⋄4.
òÉÓ. 19⋄6.
ä×ÕÏÌÏÓÔÎÙÊ ÇÉÅÒÂÏÌÏÉÄ
t21 + t22 − t23 = −1 .
ïÄÎÏÏÌÏÓÔÎÙÊ ÇÉÅÒÂÏÌÏÉÄ
t21 + t22 − t23 = 1 .
òÉÓ. 19⋄8.
çÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ ÉÌÉÎÄÒ
t21 − t22 = 1 .
352
úÁÄÁÞÉ Ë §19
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §19
úÁÄÁÞÁ 19.1. óËÏÌØËÏ ËÏÎÉË ËÁÓÁÅÔÓÑ ÑÔÉ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÒÑÍÙÈ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÎÉËÁËÉÅ
ÔÒÉ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ?
úÁÄÁÞÁ 19.2. îÁÉÛÉÔÅ Ñ×ÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÚÁÄÁÀÝÅÅ ÕÞÏË ËÏÎÉË1 , ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅ-
ÒÅÚ ÔÏÞËÉ a = (1 : 0 : 0), b = (0 : 1 : 0), = (0 : 0 : 1), d = (1 : 1 : 1). óËÏÌØËÏ ×
ÜÔÏÍ ÕÞËÅ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÈ ËÏÎÉË?
úÁÄÁÞÁ 19.3. ðÕÓÔØ × ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÉÚ n◦ 18.4.5 ×ÅÒÛÉÎÙ a; b; ; d ÞÅÔÙÒ£È×ÅÒÛÉÎÎÉ-
ËÁ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ËÏÎÉËÅ C . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË xyz Á×ÔÏÏÌÑÒÅÎ2
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ C .
úÁÄÁÞÁ 19.4. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ä×Á ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÁ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÔÏÇÄÁ É
ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÅÒÓÅËÔÉ×ÎÙ (ÓÍ. ÚÁÄ. 18.8), ËÏÇÄÁ ÏÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ ÏÌÑÒÅÎ ÄÒÕÇÏÍÕ
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ËÏÎÉËÉ.
úÁÄÁÞÁ 19.5. ëÁËÏ×Ï ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÇÌÁÄËÏÊ ËÏÎÉËÉ C × ÂÁÚÉÓÅ (e0 ; e1 ; e2 ) , ÅÓÌÉ ÔÒÅ-
ÕÇÏÌØÎÉË e0 e1 e2
×) Á×ÔÏÏÌÑÒÅÎ?
Á) ×ÉÓÁÎ
Â) ÏÉÓÁÎ
úÁÄÁÞÁ 19.6 (Ä×ÏÊÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ËÏÎÉËÅ). îÁÚÏ×£Í Ä×ÏÊÎÙÍ ÏÔ-
ÎÏÛÅÎÉÅÍ [a; b; ; d℄ ÞÅÔÙÒ£È ÔÏÞÅË ÇÌÁÄËÏÊ ËÏÎÉËÉ C Ä×ÏÊÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÞÅÔÙÒ£È ÒÑÍÙÈ [(pa); (pb); (p ); (pd)℄ × ÕÞËÅ ÒÑÍÙÈ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÑÔÏÊ
ÔÏÞËÅ p ∈ C ÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, Ä×ÏÊÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÒÏÅË ÉÊ ÔÏÞÅË a; b; ; d
ÉÚ ÔÏÞËÉ p ÎÁ ÌÀÂÕÀ ÎÅ ÒÏÈÏÄÑÝÕÀ ÞÅÒÅÚ p ÒÑÍÕÀ `.
Á) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ä×ÏÊÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ p É ÒÑÍÏÊ `.
Â) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ä×Å ÈÏÒÄÙ C ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÓÏÒÑÖÅÎÙ3, ËÏÇÄÁ ÁÒÙ ÉÈ
ËÏÎ Ï× ÇÁÒÍÏÎÉÞÎÙ ÎÁ ËÏÎÉËÅ.
×) ïÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÍ ÇÌÁÄËÕÀ ËÏÎÉËÕ C ⊂ P2 Ó ËÏÎÉËÏÊ ÷ÅÒÏÎÅÚÅ, Ô. Å. ÂÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ P2 = P(S 2 U ∗ ) ÅÓÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÁÒ ÔÏÞÅË ÎÁ P1 = P(U ), Á C | ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ä×ÏÊÎÙÈ ÔÏÞÅË. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ä×ÏÊÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÔÏÞÅË ÎÁ P1 = P(U )
ÒÁ×ÎÏ Ä×ÏÊÎÏÍÕ ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ Ä×ÏÊÎÙÈ ÔÏÞÅË ÎÁ ËÏÎÉËÅ C .
úÁÄÁÞÁ 19.7 (Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÙ ÇÌÁÄËÏÊ ËÏÎÉËÉ). ÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÚÁÄ. 19.6 (×) ÂÕÄÅÍ
ÎÁÚÙ×ÁÔØ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ËÏÎÉËÉ C ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ Ä×ÏÊÎÙÈ ÔÏÞÅË, ×ÙÚ×ÁÎÎÏÅ
ÄÒÏÂÎÏ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ P1 = P(U ). äÌÑ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ' : C - C ,
ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ Ó×ÏÉÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÔÒÉ ÔÏÞËÉ a; b; ∈ C
Á) (ÅÒÅËÒ£ÓÔÎÁÑ ÏÓØ) ÏÉÛÉÔÅ çí ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÑÍÙÈ (x'(y)) ∩ (y'(x)) Ï
×ÓÅÍ x 6= y ÎÁ C É ÏÓÔÒÏÊÔÅ ÅÇÏ ÏÄÎÏÊ ÌÉÎÅÊËÏÊ Â) ÏÄÎÏÊ ÌÉÎÅÊËÏÊ ÏÔÍÅÔØÔÅ
ËÁËÕÀ-ÎÉÂÕÄØ ÁÒÕ ÔÏÞÅË p1 ; p2 ∈ C É ÎÁÒÉÓÕÊÔÅ ÒÑÍÕÀ `, ÎÅ ÒÏÈÏÄÑÝÕÀ
ÞÅÒÅÚ ÎÉÈ, ÔÁË ÞÔÏÂÙ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÒÏÅË ÉÉ C ÎÁ ` ÉÚ p1 Á ÚÁÔÅÍ ÒÏÅË ÉÉ
` ÏÂÒÁÔÎÏ ÎÁ C ÉÚ p2 ÓÏ×ÁÌÁ Ó ' ×) ÏÄÎÏÊ ÌÉÎÅÊËÏÊ ÏÓÔÒÏÊÔÅ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÅ
ÔÏÞËÉ ' .
Ô. Å. Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÏÔ (x : x : x ), ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ
( : ), ÒÏÂÅÇÁÀÝÅÇÏ P
Ô. Å. ËÁÖÄÁÑ ×ÅÒÛÉÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÀÓÏÍ ÒÏÔÉ×ÏÌÅÖÁÝÅÊ ÓÔÏÒÏÎÙ
Ô. Å. ÏÌÀÓ ÒÑÍÏÊ, ×ÙÓÅËÁÀÝÅÊ ÏÄÎÕ ÉÚ ÎÉÈ, ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÒÑÍÏÊ, ×ÙÓÅËÁÀÝÅÊ ÄÒÕÇÕÀ
1
2
3
0
1
1
2
353
úÁÄÁÞÉ Ë §19
úÁÄÁÞÁ 19.8 (ÔÅÏÒÅÍÁ ðÁÓËÁÌÑ). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÛÅÓÔØ ÔÏÞÅË p1 ; p2 ; : : : ; p6 ÔÏÇÄÁ
É ÔÏÌØËÏ ÌÅÖÁÔ ÎÁ ËÏÎÉËÅ, ËÏÇÄÁ ËÏÌÌÉÎÅÁÒÎÙ ÔÒÉ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ €ÁÒ
ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÓÔÏÒÏ΁
(p1 p2 ) ∩ (p4 p5 ) ; (p2 p3 ) ∩ (p5 p6 ) ; (p3 p4 ) ∩ (p6 p1 ) :
úÁÄÁÞÁ 19.9 (ÔÅÏÒÅÍÁ âÒÉÁÎÛÏÎÁ). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉË ÏÉÓÁÎ ÏËÏÌÏ
ËÏÎÉËÉ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÔÒÉ ÅÇÏ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ
× ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ.
úÁÄÁÞÁ 19.10. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ä×Á ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÁ P2 ÏÉÓÁÎÙ ÏËÏÌÏ ÏÄÎÏÊ ËÏÎÉËÉ
ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÉ ×ÉÓÁÎÙ × ÏÄÎÕ ËÏÎÉËÕ.
úÁÄÁÞÁ 19.11 (ÉÎ×ÏÌÀ ÉÉ ÎÁ ÇÌÁÄËÏÊ ËÏÎÉËÅ). ÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÚÁÄ. 19.7 ÂÕÄÅÍ ÎÁ-
ÚÙ×ÁÔØ ÎÅÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍ : C - C Ó 2 = IdC ÉÎ×ÏÌÀ ÉÅÊ ÎÁ
ÇÌÁÄËÏÊ ËÏÎÉËÅ C . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Á) ÌÀÂÁÑ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÑ ÎÁ C ×ÙÓÅËÁÅÔÓÑ ÕÞËÏÍ
ÒÑÍÙÈ1 Ó ÅÎÔÒÏÍ ×ÎÅ C Â) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË p; q ∈ C ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÑ, ÉÍÅÀÝÁÑ p É q ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ ×) Ä×Å
ÒÁÚÎÙÈ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÉ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ, ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ÁÒÙ ÉÈ ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÈ
ÔÏÞÅË ÇÁÒÍÏÎÉÞÎÙ Ç) ÔÒÉ ÒÁÚÎÙÈ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÉ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ×ÍÅÓÔÅ Ó IdC ÇÒÕÕ Z=(2) × Z=(2), ËÏÇÄÁ ÒÑÍÙÅ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÅ ÁÒÙ ÉÈ
ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÈ ÔÏÞÅË, ÏÂÒÁÚÕÀÔ Á×ÔÏÏÌÑÒÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË. Ä) äÁÎÙ Ä×Å ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÉ 1 ; 2 : C - C . óËÏÌØËÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÞÅË p ∈ C , ÔÁËÉÈ
ÞÔÏ 1 (p) = 2 (p) ?
∼
úÁÄÁÞÁ 19.12. ïÄÎÏÊ ÌÉÎÅÊËÏÊ ÏÓÔÒÏÊÔÅ Ä×Å ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÅ Ë ÄÁÎÎÏÊ ËÏÎÉËÅ C ÉÚ
ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ p 6∈ C .
úÁÄÁÞÁ 19.13. óËÏÌØËÏ ÏÂÝÉÈ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ Õ Ä×ÕÈ ÇÌÁÄËÉÈ ËÏÎÉË?
úÁÄÁÞÁ 19.14. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Mat2×2 Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ ÆÏÒÍÕ det(X ).
ïÉÛÉÔÅ ÏÌÑÒÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÙ.
úÁÄÁÞÁ 19.15 (Ë×ÁÄÒÉËÁ óÅÇÒÅ). ÷ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÉÚ n◦ 19.2.1 ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) ÏÅÒÁÔÏÒÙ ⊗ v : u 7→ (u) · v ÓÏ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ∈ U−∗ , u ∈ U+ ÌÉÎÅÊÎÏ
ÏÒÏÖÄÁÀÔ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Hom(U− ; U+ )
Â) ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÔÒÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ∈ Hom(U− ; U+ ) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ:
(1) F ∈ T⊗v QS (2) F (Ann ( )) ⊂ k · v (3) ∃ ∈ U−∗ ; w ∈ U+ : F = ⊗ w + ⊗ v
∼
×) ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÇÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ F : P(U− ) - P(U+ ) , ÉÎÄÕ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÍ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ F ∈ Hom(U− ; U+ ), ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ p = P(Ann ( )) ∈ P(U− ) ÄÏÕÓËÁÅÔ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÏÉÓÁÎÉÅ: ÒÏ×ÅÄ£Í
× P3 = P(Hom(U− ; U+ )) ÌÏÓËÏÓÔØ ÞÅÒÅÚ F É ÒÑÍÏÌÉÎÅÊÎÕÀ ÏÂÒÁÚÕÀÝÕÀ
L′ = × P(U+ ) ⊂ QS ; ÏÎÁ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ Ë×ÁÄÒÉËÕ óÅÇÒÅ Ï ÒÁÓÁ×ÛÅÊÓÑ ËÏÎÉËÅ
∩ QS = L′ ∩ L′′ , ÇÄÅ L′′ = P(U−∗ ) × v ⊂ QS | ÒÑÍÁÑ ÉÚ ÄÒÕÇÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á;
ÔÏÇÄÁ F (p) = v.
1
Ô. Å. ∀ ∃ ∈ P : ∀ a; b ∈ C (a) = b ⇐⇒ (a; b) ∋ 2
354
úÁÄÁÞÉ Ë §19
úÁÄÁÞÁ 19.16. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÞÅÒÅÚ ÌÀÂÙÅ ÔÒÉ ÚÁÄÁÎÎÙÅ ÏÁÒÎÏ ÓËÒÅÝÉ×ÁÀÝÉÅÓÑ
ÒÑÍÙÅ × P3 ÒÏÈÏÄÉÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ Ë×ÁÄÒÉËÁ. üÔÁ Ë×ÁÄÒÉËÁ ÎÅÏÓÏÂÁ É ÚÁÍÅÔÁÅÔÓÑ ×ÓÅÍÉ ÒÑÍÙÍÉ, ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÍÉ ËÁÖÄÕÀ ÉÚ ÔÒ£È ÚÁÄÁÎÎÙÈ.
úÁÄÁÞÁ 19.17. äÁÎÙ ÞÅÔÙÒÅ ÏÁÒÎÏ ÓËÒÅÝÉ×ÁÀÝÉÅÓÑ ÒÑÍÙÅ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å
Â) A(C4 )
×) P(R4 )
Ç) A(R4 )
Á) P(C4 )
óËÏÌØËÏ ÒÑÍÙÈ ÅÒÅÓÅËÁÅÔÓÑ ÓÏ ×ÓÅÍÉ ÞÅÔÙÒØÍÑ ÄÁÎÎÙÍÉ? îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÏÔ×ÅÔÙ É ×ÙÑÓÎÉÔÅ, ËÁËÉÅ ÉÚ ÎÉÈ ÕÓÔÏÊÞÉ×Ù Ë ÍÁÌÙÍ ÛÅ×ÅÌÅÎÉÑÍ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÞÅÔÙÒ£È ÒÑÍÙÈ.
úÁÄÁÞÁ 19.18. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÞÔÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ÎÅÏÓÏÂÏÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ
Ë×ÁÄÒÉËÉ Q ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ (p; m) Ó ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔØÀ TxQ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÓÏÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ÔÏÞËÉ x Ó ÎÅÏÓÏÂÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÏÊ ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ (p − 1; m − 1) ×
ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÍ Ë x ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å × TxQ.
úÁÄÁÞÁ 19.19. ÷ÙÑÓÎÉÔÅ, ÉÚ ÓËÏÌØËÉÈ ÔÏÞÅË ÓÏÓÔÏÉÔ ÎÁÄ ÏÌÅÍ ÉÚ ÄÅ×ÑÔÉ ÜÌÅÍÅÎ-
ÔÏ×1
Á) ËÏÎÉËÁ x0 x1 − x1 x2 + x0 x2 = 0 ÎÁ P2 (F9 ) Â) Ë×ÁÄÒÉËÁ x20 + x21 + x22 + x23 = 0 ×
P3 (F9 )
úÁÄÁÞÁ 19.20. ëÁËÉÍÉ ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÒÁÎÇ É ÓÉÇÎÁÔÕÒÁ ÎÅÏÓÏÂÏÇÏ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÇÏ ÓÅ-
ÞÅÎÉÑ ÎÅÏÓÏÂÏÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ Q ÓÉÇÎÁÔÕÒÙ (p; m) ?
ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÏÌÑ F = F [x℄=(x + 1) ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ a + ib, ÇÄÅ a; b ∈ Z=(3), É
i ≡ −1 (mod 3)
1
2
9
3
2
òÁÚÄÅÌ V
ëÏÍÌÅËÓÎÙÅ É ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ
ÓÔÒÕËÔÕÒÙ
§20. üÒÍÉÔÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
÷ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï W ÎÁÄ ÏÌÅÍ ËÏÍ(ÉÌÉ
), ÅÓÌÉ ÎÁ Î£Í ÚÁÄÁÎÏ
ÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ C ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ R ⊂ C ÓËÁÌÑÒÎÏÅ
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ W × W - C : w1; w2 7→ (w1; w2) , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ ∀ w1; w2 ∈ W É
∀ z ∈ C ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ Ó×ÏÊÓÔ×Á:
(w1; w2) = (w2; w1)
(ÜÒÍÉÔÏ×Á ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ)
(20-1)
(z w1; w2) = z (w1; w2) = (w1; z w2) (ÏÌÕÔÏÒÁÌÉÎÅÊÎÏÓÔØ)
(ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÓÔØ).
(w; w) > 0 ∀ w 6= 0
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÓÉÌÕ ÜÒÍÉÔÏ×ÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ ÓËÁÌÑÒÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ ÌÀÂÏÇÏ
×ÅËÔÏÒÁ
(w; w) = (w; w)
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ, É ÏÓÌÅÄÎÅÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÄÌÑ w 6= 0. óËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ (20-1) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(ÉÌÉ
)
ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å W .
ëÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Cn ÉÍÅÅÔ
(z; w) = z1w1 + z2w2 + · · · + znwn
(20-2)
ÇÄÅ z = (z1; z2 ; : : : ; zn) ; w = (w1; w2; : : : ; wn) ∈ Cn . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å
ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ [a; b℄ - C ÉÍÅÅÔÓÑ ÜÒÍÉÔÏ×Ï ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ
20.1. üÒÍÉÔÏ×Á ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ.
ÜÒÍÉÔÏ×ÙÍ
ÜÒÍÉÔÏ×ÏÊ
ÕÎÉÔÁÒÎÙÍ
ÕÎÉÔÁÒÎÏÊ
ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ
ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÕÀ ÜÒÍÉÔÏ×Õ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ
(f; g) =
Zb
f (x)g(x) dx
(20-3)
a
ÇÄÅ ÏÄ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÏÔ ËÏÍÌÅËÓÎÏÚÎÁÞÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÏÎÉÍÁÅÔÓÑ ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÁÑ É ÍÎÉÍÁÑ ÞÁÓÔÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁ×ÎÙ
355
356
§20. üÒÍÉÔÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
ÉÎÔÅÇÒÁÌÁÍ ÏÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ É ÍÎÉÍÏÊ ÞÁÓÔÅÊ ÆÕÎË ÉÉ f , ËÏÔÏÒÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
ÏÂÙÞÎÙÍÉ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ:
Z
Z
Z
f dx = Re (f ) dx + i · Im(f ) dx :
òÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ×ÍÅÓÔÏ ÏÔÒÅÚËÁ ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÌÀÂÏÅ ÄÒÕÇÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï,
Ï ËÏÔÏÒÏÍÕ ÍÏÖÎÏ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÆÕÎË ÉÉ, ÎÁÒÉÍÅÒ ÄÉÓË ÉÌÉ
ËÁËÕÀ-ÎÉÂÕÄØ ËÒÉ×ÕÀ × C.
20.1.1. üÒÍÉÔÏ×Á ÎÏÒÍÁ ×ÅËÔÏÒÁ. ðÏÌØÚÕÑÓØ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÓËÁÌÑÒÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ
ÌÀÂÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ × ÜÒÍÉÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ É ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ, ÏÒÅÄÅÌÉÍ
(ÉÌÉ
) ×ÅËÔÏÒÁ w ∈ W ÆÏÒÍÕÌÏÊ1
def p
(20-4)
||w|| = (w; w) ∈ R⩾0 :
üÒÍÉÔÏ×Á ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ Ï ÎÏÒÍÅ: ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×
(w1 + w2; w1 + w2) = ||w1||2 + ||w2||2 + 2 Re (w1; w2)
(w1 + iw2; w1 + iw2) = ||w1||2 + ||w2||2 − 2i Im(w1; w2) ;
×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ
2(w1; w2) = ||w1 + w2||2 − ||w1 + iw2||2 :
(20-5)
20.1.2. íÁÔÒÉ Ù çÒÁÍÁ. üÒÍÉÔÏ×Á ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ
ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×Å
ÄÅÎÉÑ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Á çÒÁÍÁ Gw = (wi; wj ) ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ×ÅËÔÏÒÏ×
w = (w1 ; w2 ; : : : ; wm ) ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á W Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
, Ô. Å.
ÓÏÒÑÇÁÅÔÓÑ ÒÉ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÉÉ:
Gt = G :
÷ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÁÎÔÉÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ ÜÒÍÉÔÏ×Á ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ Ï ×ÔÏÒÏÍÕ ÁÒÇÕÍÅÎÔÕ, ÒÉ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÚÁÍÅÎÅ ÎÁÂÏÒÁ ×ÅËÔÏÒÏ× Ï ÆÏÒÍÕÌÅ w = v Cvw ÍÁÔÒÉ Á
çÒÁÍÁ ÍÅÎÑÅÔÓÑ Ï ÒÁ×ÉÌÕ
t ·G ·ó :
Gw = Cvw
v
vw
20.1.3. ïÒÔÏÇÏÎÁÌÉÚÁ ÉÑ çÒÁÍÁ { ûÍÉÄÔÁ. ëÁË É × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ,
ÉÚ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ {wi} ÜÒÍÉÔÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á W ÍÏÖÎÏ ÉÚÇÏÔÏ×ÉÔØ ×
ÂÁÚÉÓ {ei} Ó ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉ ÅÊ çÒÁÍÁ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ k = 1; 2 : : : ; n ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ÅÒ×ÙÈ k ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× × ÏÂÏÉÈ
ÂÁÚÉÓÁÈ ÂÙÌÁ ÏÄÉÎÁËÏ×Á. ÷ÅËÔÏÒÙ ei p
ÔÁËÏÇÏ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ
p ÂÁÚÉÓÁ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ
Ï ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÍ ÆÏÒÍÕÌÁÍ e1 = w1= (w1; w1) É em = um= (um; um) , ÇÄÅ
ÜÒÍÉÔÏ×Õ ÎÏÒÍÕ
ÄÌÉÎÕ
ÜÒÍÉÔÏ×Ï ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ
ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÊ
um = wm −
m
−1
X
=1
(wm; e ) (ÒÉ m ⩾ 2) :
ÍÙ ÉÓÏÌØÚÕÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ||w|| , ÞÔÏÂÙ ÏÔÌÉÞÁÔØ ÎÏÒÍÙ ×ÅËÔÏÒÏ× w ∈ W ÏÔ ÍÏÄÕÌÅÊ
ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ z ∈ C ËÏÔÏÒÙÅ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ, ËÁË É ÒÁÎØÛÅ, ÞÅÒÅÚ |z| = √z · z
1
357
20.1. üÒÍÉÔÏ×Á ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 20.1. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ e1 ; e2 ; : : : ; en ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÔÒÅÂÕÅ-
ÍÙÍÉ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ.
ìÅÍÍÁ 20.1
ïÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ çÒÁÍÁ det Gw ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ×ÅËÔÏÒÏ× w = (w1; w2; : : : ; wm) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ É ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ w = e Cew , ÇÄÅ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× e = (e1 ; e2 ; : : : ; en ) ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ × ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ ×ÅËÔÏÒÏ× w. ÏÇÄÁ Gw =
t C . åÓÌÉ n < m, ÔÏ ÒÁÎÇ ÍÁÔÒÉ Ù G ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛŠţ ÒÁÚÍÅÒÁ, É det G =
Cew
ew
w
w
0. åÓÌÉ n = m, ÔÏ det Gw = det C · det C = | det C |2 .
20.1.4. îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ëÏÛÉ { âÕÎÑËÏ×ÓËÏÇÏ { û×ÁÒ Á. éÚ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ çÒÁÍÁ ÎÁÂÏÒÁ ÉÚ Ä×ÕÈ ×ÅËÔÏÒÏ× v, w
(
v;
v
)
(
v;
w
)
det (w; v) (w; w) = ||v||2||w||2 − (v; w) · (v; w) ⩾ 0
×ÙÔÅËÁÅÔ ÜÒÍÉÔÏ×Á ×ÅÒÓÉÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ëÏÛÉ{ âÕÎÑËÏ×ÓËÏÇÏ { û×ÁÒ Á1
|(v; w)| ⩽ ||v || · ||w|| ;
(20-6)
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × ËÏÔÏÒÏÍ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ (ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ) ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ ×ÅËÔÏÒÏ×
v É w.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 20.1 (ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÄÌÑ ÎÏÒÍÙ)
||w1 ||
+ ||w2|| ⩾ ||w1 + w2|| ∀ w1; w2 ∈ W .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
+ w2||2 = ||w1||2 + ||w2||2 + 2|(w1; w2)| ⩽ ||w1||2 + ||w2||2 + 2||w1|| · ||w2|| : 20.1.5. õÎÉÔÁÒÎÁÑ ÇÒÕÁ. ìÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F : W - W ÎÁ ÜÒÍÉÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å W ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ
||F w|| = ||w|| ∀ w ∈ W :
÷ ÓÉÌÕ (20-5), ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ:
(F v; F w) = (v; w) ∀ v; w ∈ W :
ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÍÁÔÒÉ Á ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ × ÌÀÂÏÍ ÂÁÚÉÓÅ Ó×ÑÚÁÎÁ Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ
çÒÁÍÁ ÜÔÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ
(20-7)
Ft · G · F = G :
||w1
ÕÎÉÔÁÒÎÙÍ
ÏÂÒÁÔÉÔÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ × ÅÇÏ ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÓÔÏÉÔ ÍÏÄÕÌØ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÏÅ × ÜÒÍÉÔÏ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÌÅËÓÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ
1
358
§20. üÒÍÉÔÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
ðÅÒÅÈÏÄÑ Ë ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑÍ, ÏÌÕÞÁÅÍ | det F | = 1. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F ×ÓÅÇÄÁ ÏÂÒÁÔÉÍ, É
F −1 = G−1 F t G = Gt −1 F t Gt :
÷ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÜÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÒÅÄÕ ÉÒÕÅÔÓÑ ÄÏ F −1 = F t.
õÎÉÔÁÒÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÏÂÒÁÚÕÀÔ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á W , ËÏÔÏÒÁÑ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ U(W ). úÁÉÓÙ×ÁÑ ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÍÁÔÒÉ ÁÍÉ × ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ e1; e2; : : : ; en, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÕÎÉÔÁÒÎÏÊ ÇÒÕÙ Ó ÇÒÕÏÊ
Un = {F ∈ GLn(C) | F −1 = F t} :
å£ ÏÄÇÒÕÁ SUn = {F ∈ Un | det F = 1} ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÇÒÕÏÊ. ðÏÄÞÅÒËΣÍ, ÞÔÏ × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÉÚÏÍÅÔÒÉÉ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ
ÕÎÉÔÁÒÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÏÂÑÚÁÎ ÒÁ×ÎÑÔØÓÑ ±1 É ÍÏÖÅÔ ÒÉÎÉÍÁÔØ ÌÀÂÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÎÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ U1 = {z ∈ C | zz = 1} . ðÏÜÔÏÍÕ ×
ÜÒÍÉÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÎÅÔ ÏÎÑÔÉÑ
, É ÜÒÍÉÔÏ×Ù ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÎÅ
ÒÁÚÂÉ×ÁÀÔÓÑ ÎÁ Ä×Á ÎÅÓ×ÑÚÎÙÈ ËÌÁÓÓÁ.
20.1.6. üÒÍÉÔÏ× ÏÂߣÍ. ÷ÙÂÅÒÅÍ ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ
ÕÎÉÔÁÒÎÕÀ ÇÒÕÕ
ÕÎÉÔÁÒÎÙÈ ÍÁÔÒÉ
ÓÅ ÉÁÌØÎÏÊ ÕÎÉÔÁÒÎÏÊ
ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ
e1 ; e 2 ; : : : ; e n
ÜÒÍÉÔÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á W × ËÁÞÅÓÔ×Å ÂÁÚÉÓÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÇÏ ÏÂߣÍÁ É ÏÒÅÄÅÌÉÍ
n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÁ, ÎÁÔÑÎÕÔÏÇÏ ÎÁ ×ÅËÔÏÒÙ v = e Cev
ÆÏÒÍÕÌÏÊ
Vol(v1; v2; : : : ; vn) = | det C | :
ðÏÓËÏÌØËÕ ÍÏÄÕÌØ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ ÍÁÔÒÉ Ù ÅÒÅÈÏÄÁ ÍÅÖÄÕ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÍÉ
ÂÁÚÉÓÁÍÉ ÒÁ×ÅÎ ÅÄÉÎÉ Å, ÜÒÍÉÔÏ× ÏÂß£Í ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÜÔÁÌÏÎÎÏÇÏ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ, É Ë×ÁÄÒÁÔ ÜÒÍÉÔÏ×Á ÏÂߣÍÁ, ËÁË É × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ,
ÒÁ×ÅÎ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÀ çÒÁÍÁ:
Vol 2(v1; v2; : : : ; vn) = | det óev |2 = det óevt · det ó ev = det Gv :
20.1.7. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÅ ÒÏÅËÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ. ÷ ÜÒÍÉÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å W
ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ⊂ W É ÌÀÂÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ w ∈ U ÉÍÅÅÔÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ U (w) ∈ U , ËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
w
ÎÁ U É ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÅÔÓÑ ÌÀÂÙÍ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ÄÒÕÇ
ÄÒÕÇÕ Ó×ÏÊÓÔ×:
(1) ÒÁÚÎÏÓÔØ w − U (w) ÌÅÖÉÔ ×
Ë U , Ô. Å. ×
U ⊥ = {v ∈ W | (u; v) = 0 ∀ u ∈ U }
ÜÒÍÉÔÏ× ÏÂߣÍ
ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÊ ÒÏÅË ÉÅÊ
ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÍ ÄÏÏÌÎÅÎÉÉ
359
20.1. üÒÍÉÔÏ×Á ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ
(2) ×ÅËÔÏÒ U (w) ÜÔÏ ÂÌÉÖÁÊÛÉÊ Ë w ×ÅËÔÏÒ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U , Ô. Å.
( )
||w − U w || < ||w − u||
ÄÌÑ ×ÓÅÈ u 6= U (w) ÉÚ U
(3) ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ u 7→ (u; w) ÎÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å U ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ
ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ Ó U (w) , Ô. Å. (u; w) = (u; U ; w) ∀ u ∈ U .
÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, Ó×ÏÊÓÔ×Á (1) É (3) ÏÞÅ×ÉÄÎÏ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ É ÏÚ×ÏÌÑÀÔ
ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ U (w) ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ÷ÙÂÅÒÅÍ × U ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ u1; u2; : : : ; uk . ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ zi ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ
u ′ = z1 u 1 + z2 u 2 + · · · + z k u k
ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ u′ ∈ U ÓÕÔØ ÓËÁÌÑÒÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ zi = (u′; ui), × Þ£Í
ÌÅÇËÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ ÓËÁÌÑÒÎÏ ÕÍÎÏÖÉ× ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÒÁ×Á ÎÁ ui. ðÏÓËÏÌØËÕ
ÄÌÑ ×ÅËÔÏÒÁ U (w) Ï Ó×ÏÊÓÔ×Õ (3) ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
(U (w); ui) = (ui; U (w)) = (ui; w) = (w; ui) ;
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ Ï ÂÁÚÉÓÕ u1; u2; : : : ; uk ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
U (w) =
X
i
(w; ui) · ui :
(20-8)
îÁÏÂÏÒÏÔ, ×ÅËÔÏÒ U (w) ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÊ Ï ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ ÏÂÌÁÄÁÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ
(3). äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÜÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÌÉÎÅÊÎÏ Ï u, É ÅÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ
ÄÌÑ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× u = ui ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U . óËÁÌÑÒÎÏ ÕÍÎÏÖÁÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (20-8) ÓÒÁ×Á ÎÁ ui, ÏÌÕÞÁÅÍ (U (w); ui) = (w; ui). ëÏÍÌÅËÓÎÏ
ÓÏÒÑÇÁÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ, ÒÉÈÏÄÉÍ Ë ÔÒÅÂÕÅÍÏÍÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ (ui; w) = (ui; U ; w).
üËÓÔÒÅÍÁÌØÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï (2) ÄÌÑ ×ÅËÔÏÒÁ U (w), ÔÁËÏÇÏ ÞÔÏ w − U (w) ∈ U ⊥,
×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ u ∈ U
( ( ) + u)||2 = ( (w − U (w)) − u ; (w − U (w)) − u ) =
= ||w − U (w)||2 + ||u||2 ⩾ ||w − U (w)||2 ;
||w − U w
ÇÄÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ u = 0 .
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 20.2
W = U ⊕ U ⊥ , ÒÉÞ£Í ÒÏÅË ÉÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ w ∈ W ÎÁ U ×ÄÏÌØ
U ⊥ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÂÌÉÖÁÊÛÉÍ Ë w ×ÅËÔÏÒÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U É
ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (20-8).
360
§20. üÒÍÉÔÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
20.1.8. õÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ÒÑÍÙÍÉ. òÁÚÎÉ Á ÍÅÖÄÕ ÜÒÍÉÔÏ×ÏÊ
É Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑÍÉ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÚÁÍÅÔÎÏÊ ÒÉ ÏÙÔËÅ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ
ÍÅÖÄÕ
ÒÑÍÙÍÉ.
c ∈ [0; ℄ ÍÅÖÄÕ
îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÕÇÏÌ ' = vw
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÒÑÍÙÍÉ, ÎÁÔÑÎÕÔÙÍÉ ÎÁ ×ÅËÔÏÒÙ v É w, ÏÒÅÄÅÌÑÌÓÑ ÎÁÍÉ ÉÚ
ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
os ' = ||v(||v;· w||w) || = ( v=||v|| ; w=||w|| ) ;
(20-9)
ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ËÏÔÏÒÏÇÏ × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÁ É × ÓÉÌÕ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
ëÏÛÉ{ âÕÎÑËÏ×ÓËÏÇÏ { û×ÁÒ Á ÌÅÖÉÔ ÎÁ [−1; 1℄. îÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ÑÚÙËÅ, ×ÅËÔÏÒÙ v=||v|| É w=||w|| Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÅÄÉÎÉÞÎÙÍÉ ÎÁÒÁ×ÌÑÀÝÉÍÉ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ ÒÑÍÙÈ, É × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÜÔÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ±1. ÷ÙÂÏÒ ÜÔÉÈ
ÚÎÁËÏ× ÅÓÔØ ×ÙÂÏÒ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÞÅÔÙÒ£È ÕÇÌÏ×, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ Ä×ÕÍÑ
ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÍÉÓÑ ÒÑÍÙÍÉ ÎÁÔÑÎÕÔÁÑ ÎÁ ÎÉÈ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÌÏÓËÏÓÔØ.
÷ ËÏÍÌÅËÓÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ (20-9) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
,Á
ËÁÖÄÁÑ ÉÚ €ÒÑÍÙȁ C · v, C · w ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ Ä×ÕÍÅÒÎÕÀ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ
ÌÏÓËÏÓÔØ. üÔÉ Ä×Å ÌÏÓËÏÓÔÉ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ Ï ÎÕÌÀ, Á ÉÈ ÌÉÎÅÊÎÁÑ
ÏÂÏÌÏÞËÁ ÅÓÔØ ÞÅÔÙÒ£ÈÍÅÒÎÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï R4 = C · v ⊕ C · w.
ïÎÏ ÎÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÅÔÓÑ ÜÔÉÍÉ ÌÏÓËÏÓÔÑÍÉ ÎÉ ÎÁ ËÁËÉÅ Ó×ÑÚÎÙÅ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ, É
ÎÁ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ Ä×ÕÈ €ÒÑÍÙȁ C · v, C · w ÉÍÅÅÔÓÑ ÅÌÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÂÁÚÉÓÎÙÈ
×ÅËÔÏÒÏ× ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÄÌÉÎÙ. üÔÉ Ä×Å ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ É ÌÅÖÁÔ ÎÁ
ËÏÍÁËÔÎÏÊ ÔÒ£ÈÍÅÒÎÏÊ ÓÆÅÒÅ ×ÅËÔÏÒÏ× ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÄÌÉÎÙ
S 3 = { u ∈ R4 = C · v ⊕ C · w | ||u|| = 1 } :
ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÉÎÙ ÄÕÇ1 , ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÈ ÔÏÞËÕ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ Ó ÔÏÞËÏÊ ÎÁ
ÄÒÕÇÏÊ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÙ ÓÎÉÚÕ É ÄÏÓÔÉÇÁÀÔ Ó×ÏÅÇÏ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ. éÎÁÞÅ
ÇÏ×ÏÒÑ, ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÒÑÍÙÍÉ R · e1 É R · e2, ÎÁÔÑÎÕÔÙÍÉ ÎÁ
×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ e1 ∈ C · v É e2 ∈ C · w Ó ||e1|| = ||e2|| = 1, ÄÏÓÔÉÇÁÅÔ Ó×ÏÅÇÏ
ÍÉÎÉÍÕÍÁ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÁÒÅ ×ÅËÔÏÒÏ× e1, e2. üÔÏÔ ÕÇÏÌ ' É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÇÌÏÍ
ÍÅÖÄÕ ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ÒÑÍÙÍÉ C · v É C · w.
úÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏ ÏÎ ÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÉÚ ÒÏÓÔÏÇÏ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
(20-10)
os = |(v; w)| = |( v=||v|| ; w=||w|| )| ;
ÕÇÏÌ
ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ
ËÏÍÌÅËÓÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ
||v || · ||w||
ËÏÔÏÒÏÅ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÓÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÇÏ (20-9) É × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÔÁËÖÅ ÄÁ£Ô
ÉÚ Ä×ÕÈ ÓÍÅÖÎÙÈ ÕÇÌÏ× ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÒÑÍÙÍÉ ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ.
ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 20.2. äÏËÁÖÉÔÅ ÜÔÏ.
ÉÍÅÀÔÓÑ × ×ÉÄÕ ÄÕÇÉ ÂÏÌØÛÉÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÅÊ, ×ÙÓÅËÁÅÍÙÈ ÎÁ ÓÆÅÒÅ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ Ä×ÕÍÅÒÎÙÍÉ ÌÏÓËÏÓÔÑÍÉ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÍÉ ÞÅÒÅÚ ÅÎÔÒ ÓÆÅÒÙ
1
361
20.2. óÏÒÑÖÅÎÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÓÉÌÕ ÜÒÍÉÔÏ×ÏÊ ×ÅÒÓÉÉ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ëÏÛÉ{ âÕÎÑËÏ×ÓËÏÇÏ {
û×ÁÒ Á ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ (20-10) ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ [0; 1℄, ÔÁË ÞÔÏ ÕÇÏÌ ' ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ÒÑÍÙÍÉ ×ÓÅÇÄÁ ÏÓÔÒÙÊ: ' ∈ [ 0 ; =2 ℄.
20.2. óÏÒÑÖÅÎÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ F É F ∗ , ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÅ
ÎÁ ÜÒÍÉÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å W , ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
, ÅÓÌÉ
∀ w1 ; w2 ∈ W (F ∗ v; w) = (v; F w) :
÷ ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÍÁÔÒÉ ÜÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ F ∗t · G = G · F , ÏÔËÕÄÁ
F ∗ = G− 1 t · F t · Gt = G− 1 · F t · G :
(20-11)
÷ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÒÅÄÕ ÉÒÕÅÔÓÑ ÄÏ
F∗ = Ft :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Õ ËÁÖÄÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F ∗ É F ∗∗ = F .
éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÏÅÒÁ ÉÑ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ F 7−→ F ∗ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÅÊ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× EndC(W ) ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á W . òÁ×ÅÎÓÔ×Á
ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÍÉ
v; (z1 F1 + z2 F2 )w = z 1 (v; F1 w) + z 2 (v; F2 w) =
= z1(F1∗v; w) + z2(F2∗v; w) = (z1F1∗ + z2F2∗)v; w
ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ, Ô. Å.
(z1F1 + z2F2 + · · · + zm Fm)∗ = z1F1∗ + z2F2∗ + · · · + zmFm∗
Á ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ× (v; F Gw) = (F ∗v; Gw) = (G∗F ∗v; w) ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÁÌÇÅÂÒÙ EndC(W ), Ô. Å.
(F G) ∗ = G∗ F ∗
ÁÎÔÉÌÉÎÅÊÎÙÍ
ÁÎÔÉÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 20.3. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÍÏÖÎÏ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ-
×ÁÔØ ËÁË ÏÂÒÁÔÉÍÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ, ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÅ Ó×ÏÉÍ ÏÂÒÁÔÎÙÍ:
F ∈ U(W )
⇐⇒
F ∗ = F −1 :
20.2.1. (áÎÔÉ) ÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ. ïÅÒÁÔÏÒÙ F , ÕÄÏ×ÌÅÔ×Ï-
ÒÑÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ F ∗ = F ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
(ÉÌÉ
∗
∗
Á ÏÅÒÁÔÏÒÙ F , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÀ F = −F ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
(ÉÌÉ
).
ÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÍÉ
ÒÑÖ£ÎÎÙÍÉ
ËÏÓÏÜÒÍÉÔÏ×ÙÍÉ
ÜÒÍÉÔÏ×ÙÍÉ
),
ÁÎÔÉÓÁÍÏÓÏ-
362
§20. üÒÍÉÔÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
÷ ÏÒÔÏÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÚÁÄÁÀÔÓÑ
ÍÁÔÒÉ ÁÍÉ F t = F , Á ÁÎÔÉÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÅ |
ÍÁÔÒÉ ÁÍÉ F t = −F .
íÎÏÖÅÓÔ×Á (ÁÎÔÉ) ÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×
EndC+(W ) = {F | F ∗ = F }
(20-12)
(20-13)
End−C (W ) = {F | F ∗ = −F }
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
×ÅËÔÏÒÎÙÍÉ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ × ËÏÍÌÅËÓÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å EndC(W ) × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ (ÁÎÔÉ) ÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÔÁËÖÅ
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ (ÁÎÔÉ) ÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÍÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁÍÉ. õÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ
ÞÉÓÌÏ i ÚÁÄÁ£Ô ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ
F ∗ = F ⇐⇒ (iF )∗ = −(iF )
(ÏÂÒÁÔÎÙÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÎÁ −i).
ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï EndC(W ), ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÅ ËÁË ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ
ÏÌÅÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ R, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ
EndC(W ) = EndC+(W ) ⊕ End−C (W ) (ËÁË ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÄ R) :
ëÏÍÏÎÅÎÔÙ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ
F = F+ + F− ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ
FW × ÓÕÍÍÕ ÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÏÇÏ É ÁÎÔÉÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÏÇÏ ÓÕÔØ
ÏÅÒÁÔÏÒÁ W
F + F∗
F − F∗
−
F+ =
∈ EndC+ (W ) ; F− =
2
2 ∈ EndC (W ) :
20.2.2. óÏÒÑÖÅÎÉÅ × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. îÁ ÁÌÇÅÂÒÅ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× EndR(V ) ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ÆÏÒÍÕÌÁ
(F ∗v; w) = (v; F w) ∀ w1; w2 ∈ W
ÔÁËÖÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÅÒÁ ÉÀ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ F ↔ F ∗. üÔÁ ÏÅÒÁ ÉÑ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÅÊ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å EndR(V ) É ÁÎÔÉÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×. íÁÔÒÉ Á ÓÏÒÑÖ£ÎÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ Ó×ÑÚÁÎÁ Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ çÒÁÍÁ ÜÔÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ
F ∗ = G−1 · F t · G. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, × ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ F ∗ = F t .
ÜÒÍÉ-
ÔÏ×Ï ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍÉ
ÜÒÍÉÔÏ-
×Ï ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍÉ
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ
Ó ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 20.4. äÌÑ ÏÅÒÁÔÏÒÁ V
F-
F×
V ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ V ∗ V ∗ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ (ÓÍ. n◦ 8.3), ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÙÊ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ hF × ; vi = h; F v i, ÇÄÅ
- k ÜÔÏ Ó×£ÒÔËÁ ËÏ×ÅËÔÏÒÏ× É ×ÅËÔÏÒÏ×, Á ÏÌÅ k ÜÔÏ R ÉÌÉ C.
h∗; ∗i : V ∗ × V
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÁ×ÕÀ ËÏÒÒÅÌÑ ÉÀ R : V - V ∗ , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÕÀ ×ÅËÔÏÒ v ∈ V ×
ÆÕÎË ÉÏÎÁÌ ( ∗ ; v) : u 7→ (u; v). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) × ÜÒÍÉÔÏ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ËÏÒÒÅÌÑ ÉÑ R Ñ×ÌÑÅÔÓÑ R-ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÏÄÎÁËÏ ÁÎÔÉÌÉÎÅÊÎÁ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë
ÕÍÎÏÖÅÎÉÀ ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Ô. Å. R(zv) = zR(v)
363
20.2. óÏÒÑÖÅÎÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×
Â) ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F ∗ = R−1 F × R (ËÁË × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ, ÔÁË É × ÜÒÍÉÔÏ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ1).
ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï (×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ) ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× Å×ËÌÉÄÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ
EndR(V ) = End+R (V ) ⊕ End−R (V ) ; F = (F + F ∗)=2 + (F − F ∗)=2 ;
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× End±R (V ) = {F | F ∗ = ±F } (ÁÎÔÉ) ÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×. ÷ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V (ÁÎÔÉ) ÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÉÍÅÀÔ × (ËÏÓÏ) ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÎÁ
Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÕÀÔÓÑ ËÁË ÏÅÒÁÔÏÒÙ, ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÅ Ë Ó×ÏÉÍ ÏÂÒÁÔÎÙÍ.
20.2.3. ðÒÉÍÅÒ: ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ V ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÙÈ ÆÕÎË ÉÊ
f : [a; b℄ - R ;
ËÏÔÏÒÙÅ ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ ÎÁ ËÏÎ ÁÈ ÏÔÒÅÚËÁ × ÎÕÌØ ×ÍÅÓÔÅ ÓÏ ×ÓÅÍÉ Ó×ÏÉÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ, É ××ÅÄ£Í ÎÁ V Å×ËÌÉÄÏ×Õ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ
(f; g) =
Zb
f (t)g(t) dt :
a
éÚ ÆÏÒÍÕÌÙ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ Ï ÞÁÓÔÑÍ
d
dt
f;g
=
Zb
f ′ g dt = −
a
Zb
a
d fg′ dt = f ; − g
dt
×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ d=dt : f −→ f ′ ÁÎÔÉÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£Î. ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÅÒÁÔÏÒ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÌÀÂÕÀ ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ,
ÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£Î, É ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÔÉÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë
ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×, ÏÅÒÁÔÏÒ, ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÊ, Ë ÒÉÍÅÒÕ, ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÍÕ ÏÅÒÁÔÏÒÕ ×ÉÄÁ
t3
ÅÒÅ×ÏÄÉÔ f ×
t3 f ′′
d2
: f (t) 7−→ t3f ′′(t) ;
dt2
= 6tf + 6
t2 f ′
+
t3 f ′′
, Ô. Å.
h
2
t3 dtd 2
i∗
= t3 dtd + 6t2 dtd + 6t .
2
2
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 20.5. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÏÅÒÁÔÏÒ, ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÊ Ë ÏÅÒÁÔÏÒÕ
L = a(t)
ÇÄÅ a; b; ∈ V .
1
d2
d
+ b(t) + (t) : f 7−→ af ′′ + bf +
2
dt
dt
ÏÂÒÁÔÉÔÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ Ä×ÕÈ ÁÎÔÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÌÉÎÅÊÎÁ
364
§20. üÒÍÉÔÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
ïÅÒÁÔÏÒ F , ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÊ × ÜÒÍÉÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å W , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÏÎ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÅÎ ÓÏ Ó×ÏÉÍ ÓÏÒÑ∗
Ö£ÎÎÙÍ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ, Ô. Å. F · F = F · F ∗ .
îÁÒÉÍÅÒ, (ÁÎÔÉ) ÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÅ É ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ
∗
F ÒÁ×ÅÎ ±F É F −1 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ×ÓÅ ÎÏÒÍÁÌØÎÙ.
20.3. îÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ
ÎÏÒÍÁÌØÎÙÍ
ÅÏÒÅÍÁ 20.1
ïÅÒÁÔÏÒ F , ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÊ × ÜÒÍÉÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å W , ÎÏÒÍÁÌÅÎ ÔÏÇÄÁ É
ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍ × ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÄÌÑ F Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÀÝÅÇÏ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÓÌÉ ÏÅÒÁÔÏÒ F ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍ × ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ,
ÔÏ ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÊ Ë F ÏÅÒÁÔÏÒ ÉÍÅÅÔ × ÜÔÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÓÏÒÑÖ£ÎÎÕÀ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ F , ËÏÔÏÒÁÑ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÅÔ Ó F . ðÏÜÔÏÍÕ F ÎÏÒÍÁÌÅÎ. ðÒÉ ÜÔÏÍ
ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÁÔÒÉ Ù F | ÜÔÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÅÒÁÔÏÒÁ,
É ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ÎÉÈ ÒÉÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÓÔÏÌØËÏ ÒÁÚ, ËÁËÏ×Á ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. üÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÏÓÌÅÄÎÅÅ
ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ.
ðÏËÁÖÅÍ ÔÅÅÒØ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï dim W , ÞÔÏ ÎÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍ × ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ. åÓÌÉ dim W = 1, ÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ ÎÅÞÅÇÏ. ðÒÉ
dim W > 1 ÏÅÒÁÔÏÒ F ÉÍÅÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ⊂ W .
åÓÌÉ U 6= W , ÔÏ W = U ⊕ U ⊥. ëÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ × n◦ 13.3, ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ F ∗ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÅÔ Ó F , ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ F ∗ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ U × ÓÅÂÑ. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÌÑ ×ÓÅÈ u ∈ U É
ÌÀÂÏÇÏ w ∈ U ⊥ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (F w; u) = (w; F ∗u) = 0 , Ô. Å. F w ∈ U ⊥ ,
É ÏÅÒÁÔÏÒ F ÅÒÅ×ÏÄÉÔ U ⊥ × ÓÅÂÑ. ðÏ ÉÎÄÕË ÉÉ, F |U ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ⊥. äÏÂÁ×ÌÑÑ Ë ÜÔÏÍÕ ÂÁÚÉÓÕ ÌÀÂÏÊ
ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U , ÏÌÕÞÁÅÍ ÂÁÚÉÓ W , ×
ËÏÔÏÒÏÍ ÍÁÔÒÉ Á F ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÁ.
⊥
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 20.3
óÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ | ÜÔÏ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÙÅ × ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ Ó ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 20.4
áÎÔÉÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ | ÜÔÏ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÙÅ × ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ
ÂÁÚÉÓÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ Ó ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÙÍÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 20.5
õÎÉÔÁÒÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ | ÜÔÏ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÙÅ × ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ, Ï ÍÏÄÕÌÀ ÒÁ×ÎÙÍÉ ÅÄÉÎÉ Å.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 20.6. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Un Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÁËÔÎÙÍ ÌÉÎÅÊÎÏ Ó×ÑÚÎÙÍ
ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ × Matn (C).
20.4. ðÏÌÑÒÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ
365
ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÎÁ ÜÒÍÉÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÏÂÝÅÎÉÅÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ
ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ z ∈ C × ×ÉÄÅ
(20-14)
z = % · ei# ;
ÇÄÅ % = |z| ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ É ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ, Á ei# = os # + i sin # ∈ U1. åÓÌÉ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ z ËÁË ÏÅÒÁÔÏÒ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ z × ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÍ ÜÒÍÉÔÏ×ÏÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ (20-14) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ
ÔÁËÏÊ ÏÅÒÁÔÏÒ × ×ÉÄÅ ËÏÍÏ√
∗
ÚÉ ÉÉ ÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ % = zz Ó ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ
ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ É ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ei# = z=%.
20.4. ðÏÌÑÒÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ
ìÅÍÍÁ 20.2
äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÎÁ ÜÒÍÉÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å W ÏÅÒÁÔÏÒÙ
F F ∗ É F ∗ F ÓÁÍÏÓÏÒÑÖÅÎÙ É ÉÍÅÀÔ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÅ, Á ÅÓÌÉ F ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎ,
ÔÏ ÓÔÒÏÇÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÅÒ×ÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ. éÚ ÎÅÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ F F ∗ É F ∗F ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙ. åÓÌÉ F F ∗v = v 6= 0 , ÔÏ · (v; v) =
(v; v) = (F F ∗v; v) = (F ∗v; F ∗v) , ÏÔËÕÄÁ = (F ∗v; F ∗v)=(v; v) > 0 . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÅÓÌÉ F ∗F v = v 6= 0, ÔÏ · (v; v) = (v; v) = (F ∗F v; v) = (F v; F v) , É
= (F v; F v)=(v; v) > 0 .
ÅÏÒÅÍÁ 20.2 (ÏÌÑÒÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ)
ìÀÂÏÊ ÏÂÒÁÔÉÍÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F , ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ÜÒÍÉÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å W , ÄÏÕÓËÁÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ × ËÏÍÏÚÉ ÉÀ
F = S1 I1 É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ × ËÏÍÏÚÉ ÉÀ F = I2 S2 , × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÙ U1, U2 ÕÎÉÔÁÒÎÙ, Á ÏÅÒÁÔÏÒÙ S1 É S2 ÓÁÍÏÓÏÒÑÖÅÎÙ É ÉÍÅÀÔ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ.
∗
∗
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
ðÒÉ×ÅÄ£Í
√
√ F F É F F Ë ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÍÕ ×ÉÄÕ É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ
ÞÅÒÅÚ S1 = F F ∗ , S2 = F ∗F , ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ ÉÚ×ÌÅÞÅÎÉÅÍ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ÉÚ ÓÔÏÑÝÉÈ ÎÁ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. ðÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÅÒÁÔÏÒÙ S1;2
ÔÏÖÅ ÓÁÍÏÓÏÒÑÖÅÎÙ É ÉÍÅÀÔ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ. ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ,
S1 ËÏÍÍÕÔÉÒÕÅÔ Ó F F ∗ É ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ S12 = F F ∗ , Á S2 ËÏÍÍÕÔÉÒÕÅÔ Ó−1F ∗F É ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ S12 = F ∗F . ðÏÌÏÖÉÍ I1 = S1−1F É
I2 = F S2 . òÁ×ÅÎÓÔ×Á
(I1u; I1w) = (S1−1F u; S1−1F w) = (F ∗S1−2F u; w) = (F ∗(F F ∗)−1F v; w) = (u; w) ;
(I2u; I2w) = (F S2−1u; F S2−1w) = (u; S2−1F ∗F S2−1w) = (v; F ∗F S2−2w) = (u; w) :
ÏËÁÚÙ×ÁÀÔ, ÞÔÏ ÏÂÁ ÏÎÉ ÕÎÉÔÁÒÎÙ. üÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÏÌÑÒÎÙÈ
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÊ.
366
§20. üÒÍÉÔÏ×Ù ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
äÏËÁÖÅÍ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ F = S1I1 (ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ
−1
∗
F = I2 S2 ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ). éÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á I1 = I1 ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ
F ∗ F = S12 . ðÏÜÔÏÍÕ ÏÅÒÁÔÏÒ S1 ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÅÎ F F ∗ . óÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍ. 13.3 ÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÅ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ S1 É F F ∗ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÒÉ×ÏÄÑÔÓÑ
Ë ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÍÕ ×ÉÄÕ. ðÏÜÔÏÍÕ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÁ S1 ÎÁ ËÁÖÄÏÍ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÏÅÒÁÔÏÒÁ F F ∗ Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÚÁÄÁ£ÔÓÑ
× ÏÄÈÏÄÑÝÅÍ ÂÁÚÉÓÅ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÊ ÍÁÔÒÉ ÅÊ Ó Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ
E . ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ
√
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ S1 ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙ, S1|V = · IdV , Á ÔÁË ËÁË ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï W Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× V, ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÁ S1 ÎÁ W
ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ
É ÜÔÏÔ ÏÅÒÁÔÏÒ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÍ
−1
ÎÁÍÉ ×ÙÛÅ. îÏ ÔÏÇÄÁ É I1 = F S1 ÔÏÖÅ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÍ ×ÙÛÅ. 20.4.1. üËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ ÎÁËÒÙÔÉÅ ÕÎÉÔÁÒÎÏÊ ÇÒÕÙ. äÌÑ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÇÏ ÜÒÍÉÔÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á W ÆÏÒÍÕÌÁ
|F |
||F w||
= ||max
||F w|| = max
w6=0 ||w||
w||=1
(20-15)
ÚÁÄÁ£Ô ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× EndC(W ), ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÍ ËÁË
×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÏÌÅÍ R, ÎÏÒÍÕ × ÓÍÙÓÌÅ n◦ 14.7.1. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ,
ÆÕÎË ÉÑ |F | , ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ, ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ É ÏÄÎÏÒÏÄÎÁ. îÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÄÌÑ ÜÒÍÉÔÏ×ÏÊ ÎÏÒÍÙ:
|F + G| = max ||F w + Gw|| ⩽ max ||F w|| + ||Gw|| ⩽
||w||=1
||w||=1
⩽ max ||F w|| + max ||Gw|| = |F | + |G| :
||w||=1
||w||=1
ìÅÍÍÁ 20.3
|F G| ⩽ |F | · |G|
.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
|F G|
||F Gw|| ||Gw||
·
⩽
Gw6=0
||Gw||
||w||
||F Gw||
||Gw||
||F v ||
⩽
·
⩽
· |G|
Gw6=0 ||Gw ||
w6=0 ||w||
v6=0 ||v ||
||F Gw||
w6=0 ||w||
= max
= max
max
max
max
= |F | · |G| :
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 20.7. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù A ∈ Matn (C) ÜËÓÏÎÅÎ É-
ÁÌØÎÙÊ ÒÑÄ eA =
ÅÏÒÅÍÁ 20.3
P
m⩾0
Am =m! ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÈÏÄÉÔÓÑ Ï ÎÏÒÍÅ (20-15).
üËÓÏÎÅÎÔÁ A 7→ eA ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔ (×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ) ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ËÏÓÏÜÒÍÉÔÏ×ÙÈ ÍÁÔÒÉ ÎÁ ÇÒÕÕ ÕÎÉÔÁÒÎÙÈ ÍÁÔÒÉ .
367
úÁÄÁÞÉ Ë §20
ðÏÓËÏÌØËÕ eCAC = CeAC −1, ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÜËÓÏÎÅÎÔÙ
ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÂÁÚÉÓÏÍ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÍÁÔÒÉ Á ËÏÓÏÜÒÍÉÔÏ×Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ
ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÁ Ó ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÙÍÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ. ÷ ÜÔÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÍÁÔÒÉ Á eA ÔÁËÖÅ ÂÕÄÅÔ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÁ Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ, Ï ÍÏÄÕÌÀ
ÒÁ×ÎÙÍÉ ÅÄÉÎÉ Å, Ô. Å. ÂÕÄÅÔ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ. îÁÏÂÏÒÏÔ, ÒÉ×ÏÄÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÕÎÉÔÁÒÎÏÊ ÏÅÒÁÔÏÒ Ë ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÍÕ ×ÉÄÕ, ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ,
ÞÔÏ ÏÎ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÚÁÉÓÁÎ ËÁË eA ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù A Ó
ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÙÍÉ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
−1
ðÒÅÄÙÄÕÝÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÚÁÉÓÁÔØ ÏÌÑÒÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F × ×ÉÄÅ F = SI = SeiT , ÂÕË×ÁÌØÎÏ ÓÏ×ÁÄÁÀÝÅÍ Ó ÏÌÑÒÎÙÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ (20-14) ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ. óÌÅÄÕÅÔ, ÏÄÎÁËÏ, ÉÍÅÔØ × ×ÉÄÕ,
ÞÔÏ × ÏÔÌÉÞÉÅ ÏÔ ÕÎÉÔÁÒÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ I , ÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ T , ÔÁËÏÊ ÞÔÏ eiT = I , ÏÒÅÄẠ̊ΠÕÖÅ ÎÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ Õ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÉÍÅÅÔÓÑ ÅÒÉÏÄ: ÎÁÒÉÍÅÒ, e2iId = Id. ÷ÒÏÞÅÍ, ÒÏ×ÎÏ ÔÁËÁÑ ÖÅ
ÎÅÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔÓÑ É × ÆÏÒÍÕÌÅ (20-14).
úÁÍÅÞÁÎÉÅ 20.2. îÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÄÕÍÁÔØ, ÞÔÏ ÜËÓÏÎÅÎÔÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÙ ËÏÓÏÜÒÍÉÔÏ×ÙÈ ÍÁÔÒÉ × ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÕÀ ÕÎÉÔÁÒÎÕÀ ÇÒÕÕ. åÓÌÉ ÍÁÔÒÉ Ù A É B ÎÅ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ, ËÏÍÏÚÉ ÉÑ eAeB , ËÁË
ÒÁ×ÉÌÏ, ÎÅ ÒÁ×ÎÁ eA+B , É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜËÓÏÎÅÎÔÏÊ ÏÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ
, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÇÏ ÉÚ ÉÔÅÒÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ËÏÍÍÕÔÁÔÏÒÏ× ÏÅÒÁÔÏÒÏ× A
É B . ðÒÏÞÉÔÁÔØ ÏÂ ÜÔÏÍ ÍÏÖÎÏ × ËÎÉÇÅ
.
M. €íÉҁ 1969, ÇÌ. IV, §§ 7, 8.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ 20.1.
ÒÑÄÁ ëÜÍÂÅ-
ÌÁ { èÁÕÓÄÏÒÆÁ
óÅÒÒ ö. ð. áÌÇÅÂÒÙ ìÉ É ÇÒÕÙ ìÉ
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §20
úÁÄÁÞÁ 20.1. ðÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÒÉÍÅÒ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÎÁ ÜÒÍÉÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, Õ ËÏÔÏÒÏÇÏ
ÅÓÔØ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÏÒÔÏÇÏÎÁÌ Ë ËÏÔÏÒÏÍÕ ÎÅ ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ
ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ × ÓÅÂÑ.
úÁÄÁÞÁ 20.2. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ (ker F )⊥ = im F ∗ .
úÁÄÁÞÁ 20.3. ðÕÓÔØ V = V1 ⊕ V2 (ÓÕÍÍÁ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ) É ÏÅÒÁÔÏÒ
F ÒÏÅËÔÉÒÕÅÔ V ÎÁ V1 ×ÄÏÌØ V2 . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ V = V1⊥ ⊕V2⊥ É F ∗ ÒÏÅËÔÉÒÕÅÔ
V ÎÁ V2⊥ ×ÄÏÌØ V1⊥ .
úÁÄÁÞÁ 20.4 (ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ). ÷×ÅÄ£Í ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÍÎÏÇÏÞÌÅ-
ÎÏ× R[x; y; z ℄ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ÍÏÎÏÍÙ x y z ÓÏÓÔÁ×ÌÑÌÉ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ÓÏ ÓËÁÌÑÒÎÙÍÉ Ë×ÁÄÒÁÔÁÍÉ ! !2 ! . 2
+ + 2 .
Á) îÁÊÄÉÔÅ ÏÅÒÁÔÏÒ, ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒÕ ìÁÌÁÓÁ = x
2
y2
z 2
368
úÁÄÁÞÉ Ë §20
Â) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï S m ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ m
ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ ×ÉÄÁ
S m = Hm ⊕ %2 · Hm−2 ⊕ %4 · Hm−4 ⊕ · · · ;
ÇÄÅ Hm = {f ∈ S m | f = 0} | ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
= x2 + y 2 + z 2 .
ÓÔÅÅÎÉ m, Á %2 def
úÁÄÁÞÁ 20.5. îÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÇÌÁÄËÉÈ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ R
ÒÉÏÄÏÍ T > 0 ÓÏ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ (f; g) =
ZT
- R Ó Å-
f (x)g(x) dx ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ
0
ÏÅÒÁÔÏÒÙ, ÓÏÒÑÖÅÎÎÙÅ Ë ÏÅÒÁÔÏÒÁÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ
ÆÕÎË ÉÀ, Á ÔÁËÖÅ ÏÅÒÁÔÏÒ, ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÊ Ë ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍÕ ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÏÍÕ ÏÅÒÁÔÏÒÕ
L = ak (x)
dk
dk−1
d
+
a
(
x
)
+ · · · + a1 (x) + a0 (x)
k
−
1
k
k
−
1
dx
dx
dx
(Ó ÇÌÁÄËÉÍÉ T -ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÍÉ ËÏÜÆÆÉ
ÉÅÎÔÁÍÉ a0 ; a1 ;: : : ; ak ). ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÓÁ d2
2
x
2
ÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÍ ÏÅÒÁÔÏÒ sin T dx2 + 2T os 4Tx dxd ?
úÁÄÁÞÁ 20.6. óÁÍÏÓÏÒÑ֣ΠÌÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ
x2 (x − 1)2
d2
d
+ 2x(x − 1)
2
dx
dx
ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÇÌÁÄËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ [0; 1℄, ÏÂÒÁÝÁÀÝÉÈÓÑ ÎÁ ËÏÎ ÁÈ ÏÔÒÅÚËÁ
× ÎÕÌØ ×ÍÅÓÔÅ ÓÏ ×ÓÅÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ, ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ
(20-3)?
úÁÄÁÞÁ 20.7 (ÔÅÏÒÅÍÁ ûÕÒÁ). äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÎÁ ÜÒÍÉÔÏ×ÏÍ ÒÏ-
ÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ÏÄÈÏÄÑÝÅÍ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ×ÅÒÈÎÅÔÒÅÕÇÏÌØÎÏÊ ÍÁÔÒÉ ÅÊ.
úÁÄÁÞÁ 20.8. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ, ÉÍÅÀ-
ÝÉÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙ, É ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÏÒÔÏÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÎÁÂÏÒ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÍÏÖÎÏ ÄÏÏÌÎÉÔØ ÄÏ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ
ÂÁÚÉÓÁ ÉÚ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×.
úÁÄÁÞÁ 20.9. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÓÔÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F
ÎÁ ÜÒÍÉÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ ÌÀÂÏÊ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÂÙÌ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ É ÄÌÑ F ∗ .
úÁÄÁÞÁ 20.10. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÏÂÒÁÔÉÍÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F , ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÊ × Å×ËÌÉ-
ÄÏ×ÏÍ (×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ) ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ËÏÍÏÚÉ ÉÉ F = S1 I1 = I2 S2 , ÇÄÅ ÏÂÁ ÏÅÒÁÔÏÒÁ I ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙ, Á
ÏÂÁ ÏÅÒÁÔÏÒÁ S ÓÁÍÏÓÏÒÑÖÅÎÙ É ÉÍÅÀÔ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ.
369
úÁÄÁÞÉ Ë §20
úÁÄÁÞÁ 20.11 (ÎÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ). äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÓÔØ ÏÅÒÁÔÏ-
ÒÁ F ËÁË × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ, ÔÁË É × ÜÒÍÉÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ËÁÖÄÏÍÕ
ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÈ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ Ó×ÏÊÓÔ×: Á) ||F v|| = ||F ∗ v|| ∀ v ∈ V
Â) ÏÒÔÏÇÏÎÁÌ Ë ÌÀÂÏÍÕ F -ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÍÕ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ F -ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÅÎ
×) ×ÓÑËÏÅ F -ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï F ∗ -ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏ
Ç) ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ F × ÓÕÍÍÕ ÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÏÇÏ É ÁÎÔÉÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙ
Ä) ËÏÍÏÎÅÎÔÙ ÏÌÑÒÎÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙ.
úÁÄÁÞÁ 20.12. îÁÊÄÉÔÅÏÌÑÒÎÏÅ
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×:
Á) 22
−1
1
Â) 14 42 .
úÁÄÁÞÁ 20.13. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ k ∈ N ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ X k = A Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ
ÎÏÒÍÁÌØÎÙÍ A ÒÁÚÒÅÛÉÍÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ X × ÏÂÌÁÓÔÉ ÎÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×.
äÌÑ ËÁËÉÈ A ×ÓÅ ÒÅÛÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ ÏÔ A ?
úÁÄÁÞÁ 20.14. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÉ ÌÀÂÏÍ k ∈ N ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ X k = U Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØ-
ÎÙÍ ÕÎÉÔÁÒÎÙÍ U ×ÓÅÇÄÁ ÉÍÅÅÔ × ÕÎÉÔÁÒÎÏÊ ÇÒÕÅ ÒÅÛÅÎÉÅ X , Ñ×ÌÑÀÝÅÅÓÑ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÏÔ U .
úÁÄÁÞÁ 20.15. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Cn ÓÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÜÒÍÉ-
ÔÏ×ÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ (20-2). äÌÑ ÜÒÍÉÔÏ×Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ A ÎÁ Cn É r-ÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á L ⊂ Cn Ó ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÍ ÂÁÚÉÓÏÍ e1 ; e2 ; : : : ; er ÏÌÏÖÉÍ
RL (A) =
r
X
i=1
(Aei ; ei );
Á) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ RL (A) ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ × L.
Â) ðÕÓÔØ A ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ 1 > 2 > · · · > n . îÁÊÄÉÔÅ max RL (A) Ï ×ÓÅÍ r-ÍÅÒÎÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍ L ⊂ Cn .
L
úÁÄÁÞÁ 20.16. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÜËÓÏÎÅÎÔÁ K 7−→ eK ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ËÏ-
ÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù × ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ. üÉÍÏÒÆÎÏ ÌÉ ÜÔÏ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ?
úÁÄÁÞÁ 20.17. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÇÒÕÙ On (R) É Un ËÏÍÁËÔÎÙ. ó×ÑÚÎÙ ÌÉ ÏÎÉ?
§21. ëÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÑ É Ï×ÅÝÅÓÔ×ÌÅÎÉÅ
÷ÓÑËÏÅ n-ÍÅÒÎÏÅ ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
W ÍÏÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ É ËÁË ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÏÌÅÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎ-
21.1. ï×ÅÝÅÓÔ×ÌÅÎÉÅ.
ÎÙÈ ÞÉÓÅÌ R ⊂ C. üÔÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á W É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ WR.
åÓÌÉ ×ÅËÔÏÒÙ e1; e2; : : : ; en ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ W ÎÁÄ C, ÔÏ ×ÅËÔÏÒÙ
Ï×Å-
ÝÅÓÔ×ÌÅÎÉÅÍ
e1 ; e2 ; : : : ; en ; ie1 ; ie2 ; : : : ; ien
ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ WR ÎÁÄ R, ÏÓËÏÌØËÕ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ w ∈ W × ×ÉÄÅ
X
w = (x + i y ) · e Ó (x + i y ) ∈ C
ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ w × ×ÉÄÅ
X
X
w=
x · e + y · ie Ó x ; y ∈ R :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, dimR WR = 2 dimC W (ÄÌÑ ÉÚÂÅÖÁÎÉÑ ÎÅÄÏÒÁÚÕÍÅÎÉÊ ÚÄÅÓØ É
ÄÁÌÅÅ ÍÙ ÉÛÅÍ dimR É dimC ÄÌÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÎÁÄ ÏÌÑÍÉ R É C ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ). ïÔÍÅÔÉÍ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÅ ËÁË Ï×ÅÝÅÓÔ×ÌÅÎÉÑ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ, ×ÓÅÇÄÁ Þ£ÔÎÏÍÅÒÎÙ.
21.1.1. óÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÇÒÕ. ÷ÓÅ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ
F
W - W ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÁÌÇÅÂÒÕ EndC (W ) ÎÁÄ ÏÌÅÍ C, Á ×ÓÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ WR G- WR ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÁÌÇÅÂÒÕ EndR(WR) ÎÁÄ ÏÌÅÍ R, ÓÏÄÅÒÖÁÝÕÀ ÁÌÇÅÂÒÕ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÄÁÌÇÅÂÒÙ
EndC(W ) ⊂ EndR(WR) . åÓÌÉ ÓÏÏÓÔÁ×ÉÔØ ÏÅÒÁÔÏÒÁÍ ÉÈ ÍÁÔÒÉ Ù × ÂÁÚÉÓÁÈ
e1 ; e2 ; : : : ; e n
(21-1)
e1 ; e2 ; : : : ; en ; ie1 ; ie2 ; : : : ; ien
(21-2)
ÁÌÇÅÂÒÁ EndC(W ) ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÔÓÑ Ó ÁÌÇÅÂÒÏÊ Matn(C) ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÍÁÔÒÉ ÒÁÚÍÅÒÁ n × n, Á ÁÌÇÅÂÒÁ EndR(WR) | Ó ÁÌÇÅÂÒÏÊ Mat2n(R) ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÍÁÔÒÉ
ÒÁÚÍÅÒÁ (2n) × (2n). õÄÏÂÎÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÔØ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù × ÂÌÏÞÎÏÍ ×ÉÄÅ
G=
A B
C D
(21-3)
× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÒÁÚÂÉÅÎÉÅÍ ÂÁÚÉÓÁ (21-2) ÎÁ Ä×Á ÎÁÂÏÒÁ Ï n ×ÅËÔÏÒÏ× {e } É
{ie }. ÷ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ G Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ (21-3) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ F (iw) = iF (w) ÄÌÑ ×ÓÅÈ w ∈ WR.
ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏ×ÅÒÑÔØ ÔÏÌØËÏ ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÁÈ e É ie . íÙ ÏÌÕÞÁÅÍ:
370
371
21.1. ï×ÅÝÅÓÔ×ÌÅÎÉÅ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 21.1 (ÕÓÌÏ×ÉÑ ëÏÛÉ { òÉÍÁÎÁ)
÷ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ (21-3) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÌÉÎÅÅÎ, ËÏÇÄÁ C = B É D = −A. ÷ ÂÁÚÉÓÅ (21-1) ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á W ÎÁÄ C ÔÁËÏÊ
ÏÅÒÁÔÏÒ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ n × n-ÍÁÔÒÉ ÅÊ A + iB .
21.1.2. ðÒÉÍÅÒ: ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÙÅ ÆÕÎË ÉÉ. ðÕÓÔØ
W = C ; WR = R2 ;
ËÏÍÌÅËÓÎÙÊ ÂÁÚÉÓ (21-1) ÜÔÏ e = 1, Á ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÂÁÚÉÓ
(21-2) ÜÔÏ {1; i}. îÅÎÕÌÅ×ÏÊ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ C F - C × ÜÔÏÍ
ÓÌÕÞÁÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ËÁËÏÅ-ÎÉÂÕÄØ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ
ÞÉÓÌÏ z = a + ib. ÷ ÂÁÚÉÓÅ {1; i} ÔÁËÏÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ 2 × 2-ÍÁÔÒÉ ÅÊ
a −b :
b a
ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ C = R2 f - R2 = C ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ÌÉÂÏ ËÁË
ÆÕÎË ÉÀ w = f (z) ÏÄÎÏÊ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ, ÌÉÂÏ ÏÌÏÖÉÔØ w = u + iv ,
z = x + iy Ó x; y; u; v ∈ R É ÄÕÍÁÔØ ÒÏ f ËÁË ÒÏ ÁÒÕ ÆÕÎË ÉÊ ÏÔ Ä×ÕÈ
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ
(
u = u(x; y)
v = v(x; y) :
îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ f ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
× ÔÏÞËÅ z0 = x0 +
iy0 , ÅÓÌÉ Å£ ÒÉÒÁÝÅÎÉÅ (ËÁË ÆÕÎË ÉÉ ÏÔ z ) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
ÇÄÅ ∈ C :
f (z0 + △z ) = f (z0 ) + · △z + o(△z ) ;
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, f ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ
u(x0 + △x; y0 + △y) = u(x0 ; y0 ) + a b △x + o(△x;△y) ;
v(x0 + △x; y0 + △y)
v(x0 ; y0 )
d △y
ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÏÊ
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÏÊ
ÇÄÅ
a b ∈ Mat (R) .
2× 2
d
îÅÔÒÕÄÎÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ × ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ, ÏÉÓÙ×ÁÀÝÉÅ
ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÞÁÓÔØ ÒÉÒÁÝÅÎÉÑ, ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ:
f (z0 + △z ) − f (z0 )
= f ′ (z ) = lim
0
△z →0
△z
( ) xv (x0; y0)!
= ( ) v (x ; y )
y 0 0
u(x +△x;y )−f (x ;y )
É Ô. Ä.
ÇÄÅ u
x (x0 ; y0 ) = △lim
△x
x→0
a b
d
0
0
u x ; y
x 0 0
u x ; y
y 0 0
0
0
372
§21. ëÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÑ É Ï×ÅÝÅÓÔ×ÌÅÎÉÅ
éÚ ÒÅÄÌ. 21.1 ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÁÒÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÙÈ ÆÕÎË ÉÊ Ä×ÕÈ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÚÁÄÁ£Ô
ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÅÍÕÀ ÆÕÎË ÉÀ C - C, ËÏÇÄÁ ÜÔÉ ÆÕÎË ÉÉ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÁÌØÎÙÍ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍ ëÏÛÉ { òÉÍÁÎÁ
u v
=
x y
É
u
v
−
=
:
y
x
ëÁÖÄÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V ÎÁÄ ÏÌÅÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÍÏÖÎÏ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉ ÒÁÓÛÉÒÉÔØ ÄÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
ÎÁÄ ÏÌÅÍ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, × ËÏÔÏÒÏÅ V ÂÕÄÅÔ ×ËÌÁÄÙ×ÁÔØÓÑ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á €×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏׁ ÔÏÞÎÏ ÔÁËÖÅ, ËÁË ÏÌÅ R ×ËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ
× ÏÌÅ C. üÔÏ ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ VC = C ⊗R V
É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V . óÔÒÏÉÔÓÑ ÏÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ä×Á ÜËÚÅÍÌÑÒÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V , ÏÄÉÎ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ
ÞÅÒÅÚ iV (×ÅËÔÏÒÙ × Î£Í ÔÏÖÅ ÂÕÄÕÔ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØÓÑ ÞÅÒÅÚ iv, ÞÔÏÂÙ ÎÅ ÕÔÁÔØ
ÉÈ Ó ×ÅËÔÏÒÁÍÉ ÉÚ ÄÒÕÇÏÇÏ ÜËÚÅÍÌÑÒÁ) É ÏÂÒÁÚÕÅÍ ÉÚ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×
ÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ
VC = V ⊕ iV :
(21-4)
üÔÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÏÌÅÍ R ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ dimR VC = 2 dimR V . åÇÏ
×ÅËÔÏÒÙ, Ï ÏÓÔÒÏÅÎÉÀ, ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ w = v1 + iv2, É ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
v1 + iv2 = w1 + iw2 ;
Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÁÒÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ× v1 = w1 É v2 = w2 × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å
V . úÁÄÁÄÉÍ ÎÁ VC ÏÅÒÁ ÉÀ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ z = x + iy ∈ C
ÆÏÒÍÕÌÏÊ:
(x + iy) · (v1 + iv2) def
= (xv1 − yv2) + i(yv1 + xv2 ) ∈ V ⊕ iV :
(21-5)
21.2. ëÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÑ.
ËÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÅÊ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 21.1. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁÄÅÌÑÅÔ VC ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ ×ÅË-
ÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÄ ÏÌÅÍ C.
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÂÁÚÉÓ e1; e2; : : : ; en ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ÎÁÄ R Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÂÁÚÉÓÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á VC ÎÁÄ C, ÏÓËÏÌØËÕ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÏ× v1; v2 ∈ V × ×ÉÄÅ
v1 = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en
Ó x ; y ∈ R
v 2 = y1 e1 + y 2 e2 + · · · + y n en
ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÁ w = v1 + iv2 ∈ V ⊕ iV ×
×ÉÄÅ
w = z1 e1 + z2 e2 + · · · + zn en Ó z = x + iy ∈ C :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, dimC VC = dimR V .
373
21.2. ëÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÑ
21.2.1. ëÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ. îÁ ËÏÍÌÅËÓÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎ-
ÓÔ×Å VC ÉÍÅÅÔÓÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÑ
= v1 − iv2
VC - VC : w = v1 + iv2 7→ w def
ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. ðÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÀ, 2 = IdV , É
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V É iV ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ (21-4) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ÜÔÏÊ
ÉÎ×ÏÌÀ ÉÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ +1
É −1 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÷ÅËÔÏÒÙ ÅÒ×ÏÇÏ ÉÚ ÎÉÈ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
,Á
×ÅËÔÏÒÙ ×ÔÏÒÏÇÏ |
.
ðÏÄÞÅÒËΣÍ, ÞÔÏ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ÕÍÎÏÖÅÎÉÀ ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÑ ÎÅ ÌÉÎÅÊÎÁ, Á
, Ô. Å. ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ
(zw) = z(w) ; ∀ w ∈ VC ; ∀ z ∈ C :
21.2.2. ÷ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï W ÎÁÄ ÏÌÅÍ C. ÷ÓÑËÉÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÁÎÔÉÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ WR - WR, ÔÁËÏÊ ÞÔÏ 2 = IdW , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(ÉÌÉ
) ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å W .
ëÏÍÌÅËÓÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï W , ÏÓÎÁÝ£ÎÎÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ, ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ËÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÉ
W = C⊗V
R
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ⊂ WR ÏÅÒÁÔÏÒÁ , ÏÔ×ÅÞÁÀÝÅÇÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÀ +1.
÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÏÓËÏÌØËÕ ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ t2 − 1 = (t + 1)(t − 1),
ÅÇÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÁ×ÎÙ ±1, É ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï WR Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÈ ÜÔÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ
ÚÎÁÞÅÎÉÑÍ (ÓÒ. Ó n◦ 13.2.2)
WR = V+ ⊕ V− ; ÇÄÅ
V+ = ker( − Id) = im( + Id) ; V− = ker( + Id) = im( − Id) :
éÚ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÁÎÔÉÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ i
É ÎÁ −i Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÂÒÁÔÎÙÍÉ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ V±, ÏÓËÏÌØËÕ
v+ ∈ V+ ⇒ (v+ ) = v+ ⇒ (iv+ ) = −i(v+ ) = −iv+ ⇒ iv+ ∈ V−
v− ∈ V− ⇒ (v− ) = −v− ⇒ (−iv− ) = i(v− ) = −iv− ⇒ −iv− ∈ V+ :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, WR = V ⊕ iV , ÇÄÅ V = V+ , iV = V− , É ÉÍÅÀÝÅÅÓÑ × ËÏÍÌÅËÓÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å W ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ× ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ
ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ (21-5).
ËÏÍÌÅËÓÎÙÍ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅÍ
C
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ
ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÙÍÉ
ÁÎÔÉÌÉÎÅÊÎÁ
×Å-
ÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ
ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ
374
§21. ëÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÑ É Ï×ÅÝÅÓÔ×ÌÅÎÉÅ
ðÏÄÞÅÒËΣÍ, ÞÔÏ ÎÁ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å
W ÎÁÄ ÏÌÅÍ C ÉÍÅÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏ ÒÁÚÎÙÈ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÓÔÒÕËÔÕÒ, É ÎÉËÁËÏÇÏ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÅÄÏÞÔÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ
ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ Õ
ÁÂÓÔÒÁËÔÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÎÁÄ ÏÌÅÍ C ÎÅ ÂÙ×ÁÅÔ €×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÞÁÓÔɁ É €ÍÎÉÍÏÊ
ÞÁÓÔɁ. á ×ÏÔ ×ÅËÔÏÒÙ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ËÏÔÏÒÏÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÅÊ
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, Ï ÏÓÔÒÏÅÎÉÀ ÉÍÅÀÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ
É ÍÎÉÍÕÀ ÞÁÓÔØ.
21.2.3. ðÒÉÍÅÒ: ÜÒÍÉÔÏ×Ï ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×. éÎ×ÏÌÀ ÉÑ ÜÒÍÉÔÏ×Á ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ F 7−→ F ∗ ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å EndC(W )
ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÎÁ ÜÒÍÉÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å W , ËÏÔÏÒÕÀ ÍÙ
ÏÂÓÕÖÄÁÌÉ × n◦ 20.2, ÚÁÄÁ£Ô ÎÁ EndC(W ) ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ, ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ É ÍÎÉÍÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ ËÏÔÏÒÏÊ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÜÒÍÉÔÏ×Ù É ËÏÓÏÜÒÍÉÔÏ×Ù ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, É ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ
EndC(W ) = End+C (W ) ⊕ End−C (W ) ;
ÚÁÄÁ£Ô ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ EndC(W ) × ×ÉÄÅ ËÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ
ÉÉ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ×ÅË+
ÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÜÒÍÉÔÏ×ÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× EndC (W ) = {F | F ∗ = F } ÕÔ£Í ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÑ Ë ÎÅÍÕ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ËÏÓÏÜÒÍÉÔÏ×ÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× End−C (W ) = {F | F ∗ = −F } , ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ
ÜÒÍÉÔÏ×Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ i. õÎÉÔÁÒÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÉÇÒÁÀÔ ×
ÜÔÏÊ ËÁÒÔÉÎÅ ÒÏÌØ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ × ÏÌÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ | ÜÔÏ
ÏÅÒÁÔÏÒÙ, ÏÂÒÁÔÎÙÅ Ë Ó×ÏÉÍ ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÍ.
21.2.4. ëÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÑ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×. ÷ÓÑËÉÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÌÉÎÅÊÎÙÊ
ÏÅÒÁÔÏÒ F : V ′ F- V ′′ ÍÅÖÄÕ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ×ÅËÔÏÒÎÙÍÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ
ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ Ï ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ ÄÏ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÍÅÖÄÕ ÉÈ
ËÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÑÍÉ. üÔÏÔ ÏÅÒÁÔÏÒ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ
úÁÍÅÞÁÎÉÅ 21.1.
a priori
É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
FC VC′
- V ′′
C
ÏÅÒÁÔÏÒÁ F . ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ,
= F (v1) + iF (v2 ) ∀ v1; v2 ∈ V ′ :
FC (v1 + iv2 ) def
ËÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÅÊ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 21.2. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ FC (zw ) = zFC (w ) ∀ z ∈ C É ∀ w ∈ VC′ .
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ e1; e2; : : : ; en ∈ V ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á VC
ÎÁÄ ÏÌÅÍ C ÏÅÒÁÔÏÒ FC ÉÍÅÅÔ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÔÕ ÖÅ (×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ!) ÍÁÔÒÉ Õ,
ÞÔÏ É ÉÓÈÏÄÎÙÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F .
21.2.5. ëÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÌÅ C ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÏ, ÏÅÒÁÔÏÒ FC : VC - VC, ÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ËÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÅÊ
ÉÚ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F : V - V ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÉÍÅÅÔ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å
VC ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ. åÓÌÉ ËÏÍÌÅËÓÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ w = v1 + iv2 ∈ VC Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÄÌÑ FC Ó ËÏÍÌÅËÓÎÙÍ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ
= a + ib = % · ( os ' + i sin ') ;
375
21.2. ëÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÑ
ÔÏ F (v1) + iF (v2 ) = FC(v1 + iv2) = (a + ib)(v1 + iv2 ) = (av1 − bv2 ) + i(bv1 + av2) .
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ×ÅËÔÏÒÏ× v1, v2 × V Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÄÌÑ F , É ÄÅÊÓÔ×ÉÅ F ÎÁ ÜÔÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å × ÂÁÚÉÓÅ {v1; v2} ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ
a b = % · os ' sin ' :
(21-6)
−b a
− sin ' os '
ðÏÓËÏÌØËÕ ÍÁÔÒÉ Ù ÏÅÒÁÔÏÒÏ× F É FC × ÌÀÂÏÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á VC ÏÄÉÎÁËÏ×Ù, ÏÅÒÁÔÏÒ FC ÉÍÅÅÔ ÔÏÔ ÖÅ ÓÁÍÙÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, ÞÔÏ É ÏÅÒÁÔÏÒ F . âÕÄÕÞÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ Ó ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÉÅÎÔÁÍÉ, ÏÎ ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÙÍ ËÏÍÌÅËÓÎÙÍ ËÏÒÎÅÍ = a + ib ÉÍÅÅÔ ÔÁËÖÅ É
ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÊ ËÏÍÌÅËÓÎÙÊ ËÏÒÅÎØ = a − ib. éÚ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÆÏÒÍÕÌ ×ÉÄÎÏ,
ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒ w = v1 + iv2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÄÌÑ FC Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ
ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ w = v1 − iv2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÄÌÑ FC Ó ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÍ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ . ïÂÁ ÜÔÉÈ ×ÅËÔÏÒÁ
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÏÄÎÏÍÕ É ÔÏÍÕ ÖÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ Ä×ÕÍÅÒÎÏÍÕ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÍÕ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ U = R · v1 ⊕ R · v2 ⊂ V , ËÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÏÊ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× w É w.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 21.3. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÁÖÄÏÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÅÒÁ-
ÔÏÒÁ FC , ÏÔ×ÅÞÁÀÝÅÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÀ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÅÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÔÏÊ ÖÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ É Ó ÔÅÍ ÖÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ.
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÚ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ (ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏ ÏÔ ÓÌ. 13.7), ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÎÁ ÌÀÂÏÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÍ ÉÌÉ Ä×ÕÍÅÒÎÙÍ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ.
21.2.6. ëÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÑ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ. ÏÞÎÏ ÔÁËÖÅ ËÁË É ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ, ÌÀÂÕÀ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÉÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÏÒÍÕ
V ×V
- R
ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÍÏÖÎÏ ÒÏÄÏÌÖÉÔØ Ï ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ
ÄÏ
ÆÏÒÍÙ
ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ
V C × VC
-C;
C
ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ ×ÅËÔÏÒÁÈ ËÏÍÌÅËÓÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ Ï ÒÁ×ÉÌÕ
def
(u1 ; v1 ) − (u2 ; v2 ) + i (u1 ; v2 ) + (u 2 ; v1 ) :
C (u1 + iu2 ; v1 + iv2 ) =
íÁÔÒÉ Á çÒÁÍÁ ÔÁËÏÊ ÆÏÒÍÙ C × ÌÀÂÏÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
VC ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ çÒÁÍÁ ÆÏÒÍÙ × ÔÏÍ ÖÅ ÂÁÚÉÓÅ. åÓÌÉ ÆÏÒÍÁ ÂÙÌÁ
(ËÏÓÏ) ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ, ÔÏ ÔÁËÏÊ ÖÅ ÂÕÄÅÔ É Å£ ËÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÑ C.
376
§21. ëÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÑ É Ï×ÅÝÅÓÔ×ÌÅÎÉÅ
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÅ ÉÆÉÞÅÓËÉÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ ÆÏÒÍÙ | Å£ ÓÉÇÎÁÔÕÒÁ | ÒÉ ËÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÉ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÕÔÒÁÞÉ×ÁÅÔÓÑ: ×ÓÅ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÅ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ R-ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÆÏÒÍÙ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÒÁÎÇÁ ÏÓÌÅ ËÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁÉÉ ÓÔÁÎÏ×ÑÔÓÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ ÎÁÄ ÏÌÅÍ C. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, Å×ËÌÉÄÏ×Ï
ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÒÉ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÉ ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÕÀ ËÏÍÌÅËÓÎÕÀ ÆÏÒÍÕ, ÏÂÌÁÄÁÀÝÕÀ ÉÚÏÔÒÏÎÙÍÉ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ [dim V=2℄.
21.3. üÒÍÉÔÏ×Ï ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ. þÔÏÂÙ ÏÓÔÁ×ÉÔØ
×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÅÊ × ËÏÍÌÅËÓÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å VC, ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÆÏÒÍÙ : V ×
- R ÍÏÖÎÏ ÒÏÄÏÌÖÁÔØ ÎÁ VC ÎÅ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏ, Á ÌÉÎÅÊÎÏ Ï
V
ÅÒ×ÏÍÕ ÁÒÇÕÍÅÎÔÕ É ÁÎÔÉÌÉÎÅÊÎÏ Ï ×ÔÏÒÏÍÕ. ÁËÏÅ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ H : VC × VC - C. ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ,
def
(u1; u2) + (v1; v2) + i (u1; v2) − (v1; u2) : (21-7)
H (u1 + iv1 ; u2 + iv2 ) =
úÎÁÞÅÎÉÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÜÒÍÉÔÏ×ÙÍ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅÍ
ÌÀÂÏÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ g Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ:
gH(u + iv; u + iv) = g(u; u) + g(v; v) ∈ R ∀ (u + iv) ∈ VC ;
úÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏ, ÞÔÏ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ, ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÜÒÍÉÔÏ×ÙÍ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅÍ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ !, ÔÁËÖÅ ÏÔÌÉÞÎÁ ÏÔ ÎÕÌÑ, ÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÏÊ:
!H (u + iv; u + iv) = 2i !(u; v) ∈ i · R ∀ (u + iv) ∈ VC :
üÒÍÉÔÏ×Ï ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ (∗; ∗)H Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ (∗; ast) ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÚÁÄÁ£Ô ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å VC ÜÒÍÉÔÏ×Õ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ. îÁÒÉÍÅÒ, ËÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÅÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
V = Rn Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï VC =PCn , É ÜÒÍÉÔÏ×ÙÍ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅÍ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ
(x; y) = x y Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÁÑ
P
ÜÒÍÉÔÏ×Á ÓÔÒÕËÔÕÒÁ (z; w) = z w . áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ËÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÅÊ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [a; b℄ Ó Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍ
ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ
ÜÒÍÉÔÏ×ÙÍ
ËÏÓÏ
(f; g) =
Zb
f (t)g(t) dt
(21-8)
a
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÈ
ÆÕÎË ÉÊ ÎÁ [a; b℄, É
ÜÒÍÉÔÏ×Ï ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ (21-8) ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (20-3)
ÎÁ ÓÔÒ. 355.
ËÏÍÌÅËÓÎÏÚÎÁÞÎÙÈ
21.3. üÒÍÉÔÏ×Ï ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ
377
21.3.1. îÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å. ëÏÍÌÅË-
ÓÉÆÉËÁ ÉÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÙÍ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ ÎÁ ÜÒÍÉÔÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å VC,
ÏÓËÏÌØËÕ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÂÁÚÉÓÙ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ,
ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (21-7), ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÍÉ ÂÁÚÉÓÁÍÉ ÜÒÍÉÔÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á VC, Á ÍÁÔÒÉ Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ FC × ÔÁËÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÔÁËÁÑ ÖÅ, ËÁË Õ F .
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 21.1
óÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÏÂÌÁÄÁÅÔ ÏÒÔÏÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÂÁÚÉÓÏÍ ÉÚ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏ ÓÌ. 20.3 ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï VC Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÊ ÒÑÍÏÊ
ÓÕÍÍÏÊ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÏÅÒÁÔÏÒÁ FC, É ×ÓÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÅÒÁÔÏÒÁ FC ÎÁ ÜÔÉÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙ. ðÏ ÕÒ. 21.3 ×ÓÅ
ÜÔÉ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÑÍÉ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ÎÁ V Ó ÔÅÍÉ ÖÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÊ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÏÅÒÁÔÏÒÁ F.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 21.2
áÎÔÉÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å × ÏÄÈÏÄÑÝÅÍ ÏÒÔÏÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÉÍÅÅÔ ÂÌÏÞÎÏ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ ×ÉÄÁ


A1
0


A2
0
a


; ÇÄÅ Ak = −a 0
É a ∈ R

... 


0
Ak
÷ ÓÉÌÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ËÏÒÎÉ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F = F ÒÁÚÂÉ×ÁÀÔÓÑ ÎÁ ÁÒÙ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÈ, ÉÚ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ × n◦ 21.2.5 É ÓÌ. 20.4 ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï VC Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÊ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ Ä×ÕÍÅÒÎÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÏÅÒÁÔÏÒÁ
FC , ÎÁÔÑÎÕÔÙÈ ÎÁ ÁÒÙ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× Ó ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÙÍÉ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÍÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ ±iak . ëÁË
ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ × n◦ 21.2.5, ËÁÖÄÏÅ ÔÁËÏÅ Ä×ÕÍÅÒÎÏÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÅÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ Ä×ÕÍÅÒÎÏÇÏ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ F × V , ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ F × ÏÄÈÏÄÑÝÅÍ ÂÁÚÉÓÅ ÚÁÄÁ£ÔÓÑ
ÍÁÔÒÉ ÅÊ Ak .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
C
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 21.4. ðÏÌÕÞÉÔÅ ÉÚ ÓÌ. 20.5 ÄÒÕÇÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒ. 14.1 Ï ÒÉ-
×ÅÄÅÎÉÉ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ Ë ÂÌÏÞÎÏ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÏÍÕ ×ÉÄÕ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 21.5. ë ËÁËÏÍÕ ×ÉÄÕ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ × ÏÄÈÏÄÑÝÅÍ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ
ÂÁÚÉÓÅ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÎÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ?
378
§21. ëÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÑ É Ï×ÅÝÅÓÔ×ÌÅÎÉÅ
åÓÌÉ 2n-ÍÅÒÎÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V = WR Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ï×ÅÝÅÓÔ×ÌÅÎÉÅÍ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á W , ÔÏ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÉÍÅÅÔÓÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ i:
v7→iv I : V
V;
ËÏÔÏÒÙÊ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ I 2 = −IdV . îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÚÁÄÁÔØ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ I Ó I 2 = −IdV , ÔÏ ÔÁËÏÊ ÏÅÒÁÔÏÒ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÏÅÒÁ ÉÀ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÏ× ÉÚ V ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ Ï ÒÁ×ÉÌÕ
= x · v + y · I (v ) :
(21-9)
(x + iy) · v def
ðÏÜÔÏÍÕ ×ÓÑËÉÊ ÔÁËÏÊ ÏÅÒÁÔÏÒ I ÎÁ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÎÁ V .
21.4. ëÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ.
ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 21.6. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ÒÑÍÙÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ, ÞÔÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ËÏÍÌÅËÓ-
ÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÏÅ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (21-9), ÎÁÄÅÌÑÅÔ V ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÄ ÏÌÅÍ C (ÏÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÞÔÏ dim V Þ£ÔÎÁ).
õ×ÉÄÅÔØ ÜÔÏ ÂÅÚ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÓÏÓÏÂÏÍ.
ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÅÒÁÔÏÒ I ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ t2 + 1 = (t + i)(t − i) , ÅÇÏ
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÒÁ×ÎÙ ±i, É ËÏÍÌÅËÓÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï VC
ÒÁÓÁÄÁÅÔÓÑ × ÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕI Ä×ÕÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ËÏÍÌÅËÓÉÆÉÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ VC - VC:
VC = W+ ⊕ W− ; ÇÄÅ
W+ = ker(IC − i IdV ) = im(IC + i IdV )
W− = ker(IC + i IdV ) = im(IC − i IdV ) :
ëÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ × n◦ 21.2.5, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ w ÏÅÒÁÔÏÒÁ IC
ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ w ÔÁËÖÅ ÂÕÄÅÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÄÌÑ IC, ÒÉÞ£Í Ó ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÍ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÔÎÙÍ Ë ÓÁÍÏÍÕ ÓÅÂÅ (ÁÎÔÉÌÉÎÅÊÎÙÍ) ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÍÅÖÄÕ
ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ W±
C
W+ C
C
C
C
w↔w ∼
W− :
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, VC = W+ ⊕ W + É dimR V = dimC VC = 2 dimC W+ Þ£ÔÎÁ.
úÁÍÅÔÉÍ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÒÑÍÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ VC ×
ÓÕÍÍÕ Ä×ÕÈ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÈ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×1
(21-10)
VC = U ⊕ U
1
ÎÁÌÉÞÉÅ ÔÁËÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ dimR V = 2 dimC U É U ∩ U = 0
379
21.5. ëÅÌÅÒÏ×Ù ÔÒÏÊËÉ (I; g; !)
×ÚÑÔÉÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ ÞÁÓÔÉ
(21-11)
Re : U w7→Re w=(w+w)=2 - V
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ, Ô. Ë. Ó ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ (21-10) ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ V = {w ∈ VC | w = w} | ÜÔÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ
×ÓÅ ×ÅËÔÏÒÙ ×ÉÄÁ u + u. ðÅÒÅÎÏÓÑ ÉÍÅÀÝÅÅÓÑ × U ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ i ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ (21-11), ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÎÁ V ÏÅÒÁÔÏÒ I = IU ,
ËÏÔÏÒÙÊ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ×ÅËÔÏÒ v = Re (u) ∈ V Ó u ∈ U × ×ÅËÔÏÒ Re (iu) ∈ V . ðÏ
ÏÓÔÒÏÅÎÉÀ, I 2 = −1, ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U Ñ×ÌÑÅÔÓÑ (+i)-ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÄÌÑ I , É
ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ× ÉÚ V ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ Ï ÒÁ×ÉÌÕ (21-9) ÚÁÄÁ£Ô ÎÁ
V ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, C-ÌÉÎÅÊÎÏ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏÇÏ
ËÏÍÌÅËÓÎÏÍÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ U . íÙ ÏÌÕÞÁÅÍ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 21.2
óÌÅÄÕÀÝÉÅ ÄÁÎÎÙÅ ÎÁ 2n-ÍÅÒÎÏÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ:
1) ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÄ ÏÌÅÍ C, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ V Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
Ï×ÅÝÅÓÔ×ÌÅÎÉÅÍ;
2) ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ I : V - V Ó I 2 = −E
3) ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ n-ÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ⊂ VC, ÔÁËÏÅ ÞÔÏ U ∩ U = 0 (ÉÌÉ,
ÞÔÏ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ, V = U ⊕ U ).
óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ (1) ⇒ (2) ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÅ ÏÅÒÁÔÏÒ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ i. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ (2) ⇒ (3) ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ I ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ (+i)-ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ËÏÍÌÅËÓÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ VC I - VC. óÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ
(3) ⇒ (1) ÎÁÄÅÌÑÅÔ V ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ, ÉÎÄÕ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ Ó ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ
ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÎÁ∼ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å U ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ Re : U - V , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÇÏ w ∈ U × Re (w) = (w + w)=2 ∈ V . ðÒÉ ÜÔÏÍ
ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ (21-11) ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÅÔ ÏÅÒÁÔÏÒ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ i × U Ó ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ
I ÎÁ V ÉÚ ÄÁÎÎÙÈ (2).
21.5. ëÅÌÅÒÏ×Ù ÔÒÏÊËÉ (I; g; ! ). üÒÍÉÔÏ×Ï ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ( ∗ ; ∗ )
ÎÁ n-ÍÅÒÎÏÍ ËÏÍÌÅËÓÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å W ÉÎÄÕ ÉÒÕÅÔ ÎÁ Ï×ÅÝÅÓÔ×Ì£ÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å WR ÓÒÁÚÕ ÔÒÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ:
◦ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÓÏ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ
g(v; w) = Re (v; w)
C
◦
ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á (ÓÍ. n◦ 17.4) Ó ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ
ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ !(v; w) = Im(v; w)
380
§21. ëÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÑ É Ï×ÅÝÅÓÔ×ÌÅÎÉÅ
ËÏÍÌÅËÓÎÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ I : w 7−→ iw .
÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÒÁÚÄÅÌÑÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ É ÍÎÉÍÕÀ ÞÁÓÔÉ ÜÒÍÉÔÏ×Á ÆÏÒÍÙ
(v; w) = g(v; w) + i!(v; w) ;
ÍÙ ×ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÜÒÍÉÔÏ×ÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ (v; w) = (w; v) ÏÌÕÞÁÅÍ ÄÌÑ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÚÎÁÞÎÙÈ ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ g É ! ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
g(v; w) = g(w; v) É !(v; w) = −!(w; v) ;
ÒÉÞ£Í g(v; v) = (v; v) > 0 ÄÌÑ ×ÓÅÈ v 6= 0, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, g ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ.
éÚ ÏÌÕÔÏÒÁÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ ÜÒÍÉÔÏ×Á ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (v; iw) = −i(v; w), ËÏÔÏÒÏÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ
g(v; Iw) = !(v; w) É !(v; Iw) = −g(v; w) :
éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÍÁÔÒÉ Ù çÒÁÍÁ G É ÆÏÒÍ g É ! É ÍÁÔÒÉ Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ I Ó×ÑÚÁÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ GI = , ËÏÔÏÒÏÅ ÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÌÀÂÏÊ
ÜÌÅÍÅÎÔ ÔÒÏÊËÉ (I; g; !) Ï Ä×ÕÍ ÄÒÕÇÉÍ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÓÔØ G É I
×ÌÅÞ£Ô ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÓÔØ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ !.
åÝ£ ÏÄÎÉÍ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÏÌÕÔÏÒÁÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ ÜÒÍÉÔÏ×Á ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (v; iw) = −i(v; w), ÏÚÎÁÞÁÀÝÅÅ, ÞÔÏ
g(Iv; Iw) = g(v; w) É !(Iv; Iw) = !(v; w) ;
Ô. Å. ÏÅÒÁÔÏÒ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ I ∈ Og (WR) ∩ Sp! (WR) ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÍ ÄÌÑ g É ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÉÍ ÄÌÑ !.
◦
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 21.1
îÁÂÏÒ ÄÁÎÎÙÈ (I; g; !) ÎÁ 2n-ÍÅÒÎÏÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V , ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ I , Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ g É ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ
ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ !, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ËÏÍÌÅËÓÎÏÚÎÁÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ (v; w) = g(v; w) + i!(v; w) ÚÁÄÁ£Ô ÜÒÍÉÔÏ×Ï ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÎÁ n-ÍÅÒÎÏÍ ËÏÍÌÅËÓÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å VI , ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÍ Ï
ÏÅÒÁÔÏÒÕ I ËÁË ÜÔÏ ÏÂßÑÓÎÑÌÏÓØ × n◦ 21.4.
21.5.1. ëÅÌÅÒÏ×Ù ÔÒÏÊËÉ Ó ÚÁÄÁÎÎÙÍ g. äÌÑ ÌÀÂÏÊ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ g ÎÁ (Þ£ÔÎÏÍÅÒÎÏÍ) ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V É ÌÀÂÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ
I ∈ Og (V ) Ó I 2 = −1 ÆÏÒÍÁ g(v; Iw) Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ g(v; Iw) = g(Iv; I 2w) = −g(Iv; w) = −g(w; Iv) . ðÏÜÔÏÍÕ
ËÏÍÌÅËÓÎÏÚÎÁÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ (v; w) = g(v; w) − ig(v; Iw) Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÜÒÍÉÔÏ×Ï
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ É ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ, Á ÔÁËÖÅ ÏÌÕÔÏÒÁÌÉÎÅÊÎÁ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÅ I , ÏÓËÏÌØËÕ
(Iv; w) = g(Iv; w) + ig(v; w) = i (g(v; w) − ig(Iv; w)) =
= i (g(v; w) + ig(v; Iw)) = i(v; w)
É (v; Iw) = g(v; Iw) − ig(v; w) = −i (g(v; w) + ig(v; Iw)) = −i(v; w) . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, (I; g; !) ! = g(v; I (w)) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÅÌÅÒÏ×ÏÊ ÔÒÏÊËÏÊ.
ËÅÌÅÒÏ×ÏÊ ÔÒÏÊËÏÊ
381
21.5. ëÅÌÅÒÏ×Ù ÔÒÏÊËÉ (I; g; !)
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 21.3
óÌÅÄÕÀÝÉÅ ÄÁÎÎÙÅ ÎÁ 2n-ÍÅÒÎÏÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V Ó Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍ
ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ g ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ:
1) ËÅÌÅÒÏ×Á ÔÒÏÊËÁ (I; g; !), × ËÏÔÏÒÏÊ !(v; w) = g(v; I (w))
2) ËÏÍÌÅËÓÎÁÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ I ∈ Og (V ) ÎÁ V
3) n-ÍÅÒÎÏÅ ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ⊂ VC ÉÚÏÔÒÏÎÏÅ ÄÌÑ C-ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÑ gC ÆÏÒÍÙ g ÎÁ VC
ó×ÑÚÉ ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ÄÁÎÎÙÍÉ ÔÅ ÖÅ, ÞÔÏ É × ÒÅÄÌ. 21.2.
íÙ ÄÏÌÖÎÙ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÄÁÎÎÙÈ (3) ÉÚ ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÑ ÒÅÄÌ. 21.2 ÕÓÌÏ×ÉÅ I ∈ Og (V ) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ (+i)-ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ⊂ VC ËÏÍÌÅËÓÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ IC Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÍ ÉÚÏÔÒÏÎÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ C-ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ gC.
åÓÌÉ I ∈ Og (V ), ÔÏ IC ∈ Og (VC) , É ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ u, ÔÁËÏÇÏ ÞÔÏ ICu = iu,
×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï gC(u; u) = gC(ICu; ICu) = gC(iu; iu) = −gC(u; u) , ÏÔËÕÄÁ
gC (u; u) = 0.
îÁÏÂÏÒÏÔ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ gC-ÉÚÏÔÒÏÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ
dimC U = 12 dimC VC = 12 dimR V
ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ U ∩ U = 0, ÔÁË ËÁË Õ Ë×ÁÄÒÉËÉ g ÎÅÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÉÚÏÔÒÏÎÙÈ
×ÅËÔÏÒÏ×1. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, VC = U ⊕ U . ðÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ÔÁËÖÅ ÉÚÏÔÒÏÎÏ ÄÌÑ
gC , ÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ v1 + iv2 ∈ U Ó v1 ; v2 ∈ V
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
C
gC (v1 + iv2 ; v1 + iv2 ) = g(v1 ; v1 ) − g(v2 ; v2 ) − 2i g(v1 ; v2 ) =
= g(v1; v1) − g(v2; v2) + 2i g(v1; v2) = gC(v1 + iv2; v1 + iv2) = 0
éÚ ÉÚÏÔÒÏÎÏÓÔÉ U É U ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒ IC : VC - VC, ÔÁËÏÊ ÞÔÏ U É
U ÓÕÔØ ÅÇÏ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ±i ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÅÊ ÆÏÒÍÙ gC
gC (u1 + u2 ; u1 + u2 ) = gC (u1 ; u2 ) + gC (u1 ; u2 ) =
= gC(iu1; −iu2) + gC(−iu1; iu2) = gC(IC(u1 + u2); IC(u1 + u2)) ;
ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ ÒÏ×ÅÒÉÔØ.
ÅÓÌÉ u1 = u2 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ u1; u2 ∈ U , ÔÏ u1 + u2 ∈ U ÉÚÏÔÒÏÅÎ É ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ, ÏÔËÕÄÁ
u2 = −u1 = iv ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ v ∈ V , É 0 = gC (u1 ; u1 ) = −g(v; v) ⇒ v = 0
1
382
§21. ëÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÑ É Ï×ÅÝÅÓÔ×ÌÅÎÉÅ
21.5.2. éÚÏÔÒÏÎÙÅ ÇÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎÙ. ëÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÒÁÚ-
ÍÅÒÎÏÓÔÉ n × 2n-ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÇÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎ Gr(n; 2n). îÁÒÉÍÅÒ, 2-ÍÅÒÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á 4-ÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á C4 ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÇÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎ Gr(2; 4) , ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÓÏÂÏÀ ÇÌÁÄËÕÀ Ë×ÁÄÒÉËÕ ðÌÀËËÅÒÁ ×
P5 = P(2 C4 )
(ÓÍ. n◦ 19.3). óÏ×ÏËÕÎÏÓÔØ n-ÍÅÒÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÉÚÏÔÒÏÎÙÈ ÄÌÑ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ gC, ÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ, ÚÁÍÅÔÁÀÝÉÈ ÇÌÁÄËÕÀ ËÏÍÌÅËÓÎÕÀ ÒÏÅËÔÉ×ÎÕÀ Ë×ÁÄÒÉËÕ V (gC), ÏÂÒÁÚÕÀÔ × Gr(n; 2n)
ÚÁÍËÎÕÔÏÅ ÏÄÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ Grg (n; 2n).
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÑ ÄÁÎÎÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ
g ÎÁ R2n ÄÏ ËÅÌÅÒÏ×ÏÊ ÔÒÏÊËÉ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÕÀÔÓÑ ÔÏÞËÁÍÉ (ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ!) ÉÚÏÔÒÏÎÏÇÏ ÇÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎÁ Grg (n; 2n).
îÁÒÉÍÅÒ, ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÑ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ
ÎÁ R4 ÄÏ ËÅÌÅÒÏ×ÏÊ ÔÒÏÊËÉ ÎÁ C2 ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÉÚÏÔÒÏÎÙÊ ÇÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎ
GrSegre (2; 4) ⊂ Gr(2; 4) ;
ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÕÀÝÉÊ ÒÑÍÏÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ óÅÇÒÅ1 × P3 É ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÓÏÂÏÀ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ Ä×ÕÈ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ËÏÎÉË ÷ÅÒÏÎÅÚÅ, ×ÙÓÅËÁÅÍÙÈ ÉÚ Ë×ÁÄÒÉËÉ ðÌÀËËÅÒÁ Gr(2; 4) ⊂ P5 Ä×ÕÍÑ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍÉ 2-ÍÅÒÎÙÍÉ ÌÏÓËÏÓÔÑÍÉ | ÒÏÅËÔÉ×ÉÚÁ ÉÑÍÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÁÎÓÔ× ÈÏÄÖÅ×ÏÊ
ÉÎ×ÏÌÀ ÉÉ ∗ ÎÁ 2C4, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÊ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ g (ÓÍ.
n◦ 22.5 É ÚÁÄ. 24.7 ÎÉÖÅ).
21.5.3. ëÅÌÅÒÏ×Ù ÔÒÏÊËÉ Ó ÚÁÄÁÎÎÙÍ !. óÏ×ÅÒÛÅÎÎÏ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÅÄÙÄÕÝÅÍÕ, ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÁÑ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ! ÎÁ (Þ£ÔÎÏÍÅÒÎÏÍ) ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V É ÌÀÂÏÊ ÏÅÒÁÔÏÒ I ∈ Sp! (V ) Ó I 2 = −1 ÒÏÉÚ×ÏÄÑÔ
ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÕÀ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÕÀ2 ÆÏÒÍÕ −!(v; Iw). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ËÏÍÌÅËÓÎÏÚÎÁÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ
(v; w) = −!(v; Iw) + i!(v; w)
(21-12)
ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ É ÜÒÍÉÔÏ×Ï ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ, Á ÔÁËÖÅ ÏÌÕÔÏÒÁÌÉÎÅÊÎÁ, ÏÓËÏÌØËÕ
(Iv; w) = −!(v; w) + i!(Iv; w) = i (!(Iv; w) + i!(v; w)) =
= i (−!(v; Iw) + i!(v; w)) = i(v; w)
É (v; Iw) = !(v; w) + i!(v; Iw) = −i (−!(v; Iw) + i!(v; w)) = −i(v; w) . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, (I; g; !) g = −!(v; I (w)) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÅÌÅÒÏ×ÏÊ ÔÒÏÊËÏÊ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ −!(v; Iv) ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ V .
ÉÚÏÔÒÏÎÙÍ ÇÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎÏÍ
C
C
-ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÎÁ R Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ, ÚÁÄÁÀÝÅÊ × P = P(C ) Ë×ÁÄÒÉËÕ óÅÇÒÅ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ×ÙËÌÁÄËÏÊ !(v; Iw) = !(Iv; I w) = −!(Iv; w) = !(w; Iv)
1
2
4
C
3
4
2
383
21.5. ëÅÌÅÒÏ×Ù ÔÒÏÊËÉ (I; g; !)
þÔÏÂÙ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ ÒÏÑÓÎÉÔØ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÀ IC : VC - VC ÏÅÒÁÔÏÒÁ I É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ
!C (w1 ; w2 ) É !H (w1 ; w2 ) = !C (w1 ; w2 )
ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÅ É ÏÌÕÔÏÒÁÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÑ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ
ÆÏÒÍÙ ! ÎÁ VC. ÏÇÄÁ VC = L ⊕ L, ÇÄÅ L; L ⊂ VC ÓÕÔØ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ±i-ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ËÏÍÌÅËÓÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ IC.
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 21.4
óÌÅÄÕÀÝÉÅ ÄÁÎÎÙÅ ÎÁ 2n-ÍÅÒÎÏÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V Ó ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ! ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ:
1) ËÅÌÅÒÏ×Á ÔÒÏÊËÁ (I; g; !), × ËÏÔÏÒÏÊ g(v; w) = −!(v; Iw)
2) ËÏÍÌÅËÓÎÁÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ I ∈ Sp! (V ) ÎÁ V , ÔÁËÁÑ ÞÔÏ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ
−! (v; Iw) ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ
3) n-ÍÅÒÎÏÅ ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÌÁÇÒÁÎÖÅ×Ï ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï L ⊂ VC ËÏÍÌÅËÓÎÏ
ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ !C, ÔÁËÏÅ ÞÔÏ ÏÌÕÔÏÒÁÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ i !H ÚÁÄÁ£Ô ÎÁ
L ÜÒÍÉÔÏ×Õ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ
ó×ÑÚÉ ÍÅÖÄÕ ÜÔÉÍÉ ÄÁÎÎÙÍÉ ÔÅ ÖÅ, ÞÔÏ É × ÒÅÄÌ. 21.2.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. éÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ IC ∈ Sp! (VC ), ËÁË É × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ L ÉÚÏÔÒÏÎÏ ÄÌÑ !C: ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ w1; w2 ∈ L ÉÍÅÅÍ
!C (w1 ; w2 ) = !C (IC w1 ; IC w2 ) = !C (iw1 ; iw2 ) = −!C (w1 ; w2 ) ;
ÏÔËÕÄÁ !C(w1; w2) = 0. ðÏÓËÏÌØËÕ ∀ u; v ∈ V , ÔÁËÉÈ ÞÔÏ (u+iv) ∈ L, ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Iu = −v , ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÏÌÕÔÏÒÁÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ i !H ÎÁ L ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ1
i !H (u1 + iv1 ; u2 + iv2 ) = !(u1; v2 ) − !(v1 ; u2 ) + i !(u1; u2 ) + !(v1 ; v2 ) =
= −!(u1; Iu2) + !(Iu1; u2) + i !(u1; u2) +!(Iu1; Iu2) =
= 2 −!(u1; Iu2) + i !(u1; u2) :
ðÏÌÁÇÁÑ w = u + iv ∈ L É g(u1; u2) = −!(u1; Iu2), ÜÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÏÖÎÏ
ÅÒÅÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ
i !H (w1 ; w2 ) = 2 g Re (w1 ); Re (w2 ) + i ! Re (w1 ); Re (w2 ) =
(21-13)
= 2 Re (w1); Re (w2) ;
ÇÄÅ × ËÏÎ Å ÓÔÏÉÔ ÆÏÒÍÁ (21-12). éÔÁË, ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÓÔØ ÆÏÒÍÙ (21-12) ÎÁ V
ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ i !H|L.
C
1
× ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÒÏËÅ ÍÙ ÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ I ∈ Sp! (V ) É I = −1
2
384
§21. ëÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÑ É Ï×ÅÝÅÓÔ×ÌÅÎÉÅ
îÁÏÂÏÒÏÔ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á L ⊂ VC, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÅ !C
ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÔÓÑ × ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÕÌÅ×ÕÀ, Á i !C(L; L) × ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÕÀ ÆÏÒÍÕ, ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ L∩L = 0 (ÉÂÏ ÄÌÑ u1; u2 ∈ L Ó u1 = u2 ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉ×ÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ 0 = i !C(u2; u1) = i !C(u2; u2) = !H(u2; u2) > 0). ðÏÜÔÏÍÕ
V = L ⊕ L, ÒÉÞ£Í L ÔÏÖÅ ÌÁÇÒÁÎÖÅ×Ï ÄÌÑ !C , Ô. Ë. ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ w = u + iv ∈ L
Ó u ; v ∈ V
!C (w1 ; w2 ) = !C (u1 − iv1 ; u2 − iv2 ) =
= ! (u1 ; u2 ) − ! (v1 ; v2 ) − i ! (u 1 ; v2 ) − i ! (v1 ; u2 ) =
= ! (u1 ; u2 ) − ! (v1 ; v2 ) + i ! (u 1 ; v2 ) + i ! (v1 ; u2 ) =
= !C(u1 + iv1; u2 + iv2) = !C(w1; w2) = 0 :
üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒ IC : VC - VC, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ U É U ÓÌÕÖÁÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ±i ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÅÔÒÉÅÊ ÆÏÒÍÙ !C:
!C (u1 + v1 ; u2 + v2 ) = !C (u1 ; v 2 ) + !C (v1 ; u2 ) =
= !C(iu1; −iv2) + !C(−iv1; iu2) = !C(IC(u1 + v1); IC(u2 + v2)) ;
Á ÉÎÄÕ ÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÎÁ V ÏÌÕÔÏÒÁÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ( ∗ ; ∗ ) ÉÚ ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ (21-13)
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÒÍÉÔÏ×ÙÍ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ.
21.5.4. úÉÇÅÌÅ×Ï ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Hn ⊂ Matn(C). úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ × V
ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÉÊ ÂÁÚÉÓ
(21-14)
e′1 ; e′2 ; : : : ; e′n ; e′′1 ; e′′2 ; : : : ; e′′n
× ËÏÔÏÒÏÍ ÍÁÔÒÉ Á çÒÁÍÁ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ! ÒÁ×ÎÁ
0
E
J = −E 0 ;
(21-15)
É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ V ′; V ′′ ⊂ V ÌÁÇÒÁÎÖÅ×Ù ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÎÁÔÑÎÕÔÙÅ ÎÁ
ÅÒ×ÙÅ n É ÎÁ ÏÓÌÅÄÎÉÅ n ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÏÇÄÁ
V = V ′ ⊕ V ′′ É VC = VC′ ⊕ VC′′ ;
ÇÄÅ ÏÂÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á VC′ , VC′′ ÌÁÇÒÁÎÖÅ×Ù ÄÌÑ !C.
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ VC = L ⊕ L × ÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ ÌÁÇÒÁÎÖÅ×ÙÈ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÆÏÒÍÙ !C, ÔÁËÉÈ ÞÔÏ ÏÌÕÔÏÒÁÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ i !H ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ L, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï L ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÏ ÌÀÂÏÍÕ ÌÁÇÒÁÎÖÅ×Õ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ UC ⊂ VC, ÏÌÕÞÁÀÝÅÍÕÓÑ ËÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÅÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÌÁÇÒÁÎÖÅ×Á ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ⊂ V , ÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ
u1 ; u2 ∈ U ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï i !H (u1 + iu2 ; u1 + iu2 ) = 0.
385
21.5. ëÅÌÅÒÏ×Ù ÔÒÏÊËÉ (I; g; !)
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, L ∩ VC′′ = 0 É ÒÏÅË ÉÑ L ÎÁ VC′ ×ÄÏÌØ VC′′ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×. ðÏÜÔÏÍÕ × L ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÂÁÚÉÓ
w1 ; w2 ; : : : ; wn ⊂ L ⊂ VC
ÒÏÅËÔÉÒÕÀÝÉÊÓÑ ×ÄÏÌØ VC′′ × ÅÒ×ÙÅ n ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× e′ ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÏÇÏ
ÂÁÚÉÓÁ (21-14). éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ,
(w1; w2; : : : ; wn) = (e1; : : : ; en; e1 ; : : : ; en) · ES
′
′
′′
′′
(21-16)
ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù S ∈ Matn(C), É ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï L ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ S . éÚ (21-15) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Ù çÒÁÍÁ ÆÏÒÍ !C É i !H
× ÂÁÚÉÓÅ w = e′ + e′′S ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ
0
E
t
t
!C |L = E S · −E 0 · E
S =S−S ;
E
0
E
t
i!H |L = i · E S · −E 0 · S = i (S − S t ) :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÌÁÇÒÁÎÖÅ×ÏÓÔØ L ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ ÍÁÔÒÉ Ù S . ÷
ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ i (S − S t) = Im(S ), É ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÓÔØ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ i!H|L ÏÚÎÁÞÁÅÔ,
ÞÔÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÍÁÔÒÉ Á Im(S ) ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÁ.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 21.2
íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÈ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ n × n ÍÁÔÒÉ S ∈ Matn(C) Ó ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÏÊ ÍÎÉÍÏÊ ÞÁÓÔØÀ, Ô. Å. ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ
òÉÍÁÎÁ
ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ
1
S t = S ; x · Im(S ) · xt > 0 ∀ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ x = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) ∈ Rn ;
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
×ÅÒÈÎÉÍ ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ úÉÇÅÌÑ
2
(21-17)
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ Hn.
ÅÏÒÅÍÁ 21.1
ëÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ, ÒÏÄÏÌÖÁÀÝÉÅ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÕÀ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ
ÆÏÒÍÕ ÎÁ ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å 2n ÄÏ ËÅÌÅÒÏ×ÏÊ ÔÒÏÊËÉ, ×ÚÁÉÍÎÏ
ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ òÉÍÁÎÁ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ × ÓÁÍÙÈ ÒÁÚÎÙÈ ÒÁÚÄÅÌÁÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ; ÎÁÒÉÍÅÒ, ÏÎÉ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÙ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ n-ÍÅÒÎÙÊ ËÏÍÌÅËÓÎÙÊ ÔÏÒ Cn =, ÇÄÅ ≃ Z n |
ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÁÑ ÒÅÛ£ÔËÁ, ÎÁÔÑÎÕÔÁÑ ÎÁ n ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× Cn É n ÓÔÏÌ Ï×
ÍÁÔÒÉ Ù S , ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉ ×ÌÏÖÉÔØ × ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ËÁË ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ ÏÄÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ (ÏÄÒÏÂÎÏÓÔÉ ÓÍ. × ËÎÉÇÁÈ
.
ìÅË ÉÉ Ï ÔÜÔÁ-ÆÕÎË ÉÑÈ . (í., €íÉҁ, 1988) É
. òÉÍÁÎÏ×Ù Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ É
ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÅ ËÒÉ×ÙÅ . (í., €÷éîéé, 1988, ÓÅÒ. €óÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÅ ÒÏÂÌÅÍÙ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ.
æÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑ., Ô. 23 €áÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ çÅÏÍÅÔÒÉÑ 1)
Ï ÁÎÁÌÏÇÉÉ ÓÏ ÓÌÕÞÁÅÍ n = 1, ËÏÇÄÁ ÕÓÌÏ×ÉÑ (21-17) ÚÁÄÁÀÔ ×ÅÒÈÎÀÀ ÏÌÕÌÏÓËÏÓÔØ
Im z > 0 × C = Mat (C)
1
2
ä. íÁÍÆÏÒÄ
÷. ÷. ûÏËÕÒÏ×
2
1
386
úÁÄÁÞÉ Ë §21
ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÔÏÞËÁÍ ÚÉÇÅÌÅ×Á ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Hn. ðÒÉ ÜÔÏÍ
ËÏÍÌÅËÓÎÁÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ IS : 2n - 2n, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÁÑ ÍÁÔÒÉ Å S = X + iY ∈ Hn
Ó X; Y ∈ Matn(R) ÉÍÅÅÔ × ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÏÍ ÂÁÚÉÓÅ (21-14) ÂÌÏÞÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ
IS =
−Y −1 X
−Y − XY −1 X
Y −1
XY −1
(21-18)
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. îÁÍ ÏÓÔÁÌÏÓØ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÔÏÌØËÏ ÒÁ×ÉÌÏ (21-18). óÏÇÌÁÓÎÏ
ÒÅÄÌÏÖÅÎÉÀ ÒÅÄÌ. 21.2, ËÏÍÌÅËÓÎÁÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ I : V - V , ÏÔ×ÅÞÁÀÝÁÑ
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÀ VC = W ⊕ W , ÅÒÅ×ÏÄÉÔ v = Re w ∈ V Ó w ∈ W × I (v) = Re (iw).
åÓÌÉ w = e′ + e′′ · (X + iY ) ÔÏ Re (w) = e′ + e′′ · X É Re (iw) = −e′′ · Y . ðÏÜÔÏÍÕ
I (e′′ ) = I Re (−iw · Y −1 ) = Re (w) · Y −1 = e′ · Y −1 + e′′ · XY −1
I (e′ ) = I (Re (w) − e′′ · X ) = Re (iw) − I (e′′ ) · X =
= −e′ · Y −1X + e′′ · (−Y + XY −1X ) :
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §21
úÁÄÁÞÁ 21.1. ðÕÓÔØ V
| ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ó
Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ (u; w). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) ÓÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÏÅÒÁÔÏÒÕ F : V - V ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ
F (u; w) = (u; F w)
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÍÅÖÄÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×
É ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ
Â) (ÁÎÔÉ) ÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÅÒÅ×ÏÄÑÔÓÑ ÜÔÉÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ × (ËÏÓÏ) ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÆÏÒÍÙ P
×) ÌÀÂÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÎÁ V ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÉÄÕ ai x2i × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÏÒ1
ÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ , ÒÉÞ£Í ÎÁÂÏÒ ÞÉÓÅÌ ai ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ, Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ, ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÔÁËÏÇÏ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ. Ç) ÄÌÑ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ÂÁÚÉÓÁ
ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÕÎËÔÁ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÁÊÔÉ ×ÓÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÇÏ ÍÁÔÒÉ ÅÊ çÒÁÍÁ ÆÏÒÍÙ × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ, É ×ÙÂÒÁÔØ × ËÁÖÄÏÍ ÉÚ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×
ÌÀÂÏÊ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ; ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÜÔÉÈ ÂÁÚÉÓÏ× É ÂÕÄÅÔ ÉÓËÏÍÙÍ.
1
ÏÔÙÓËÁÎÉÅ ÔÁËÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÅÍ Ë×ÁÄÒÉËÉ Ë ÎÏÒÍÁÌØÎÙÍ ÏÓÑÍ
387
úÁÄÁÞÉ Ë §21
úÁÄÁÞÁ 21.2. ä×Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ × Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å R3 ÉÍÅÀÔ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÍ
ÂÁÚÉÓÅ
√
 ÍÁÔÒÉ √Ù

√

2=2 − 2=2 √0
√1=2 − 3=2
√0
Á)  3=4 √1=4 − 3=2
Â)  1=2
1=2 −√ 2=2
3=4
1=2
2=2
3=4
1=2
1=2
÷ÙÑÓÎÉÔÅ ÒÏ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÎÉÈ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÏÎ Ï×ÏÒÏÔÏÍ ÉÌÉ ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ Ï×ÏÒÏÔÁ Ó ÏÔÒÁÖÅÎÉÅÍ × ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏÊ ÏÓÉ Ï×ÏÒÏÔÁ, Á ÔÁËÖÅ
ÎÁÊÄÉÔÅ ÏÓØ É ÕÇÏÌ ÜÔÏÇÏ Ï×ÏÒÏÔÁ.
úÁÄÁÞÁ 21.3. ÷ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å R3 ÎÁÊÄÉÔÅ ÍÉÎÉÍÕÍ É ÍÁËÓÉÍÕÍ ÄÌÉÎ
ÂÏÌØÛÉÈ ÄÉÁÇÏÎÁÌÅÊ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÈ ÁÒÁÌÌÅÌÅÉÅÄÏ×, ÏÉÓÁÎÎÙÈ ×ÏËÒÕÇ ÜÌ2
2
ÌÉÓÏÉÄÁ x21 + x42 + x93 = 1 .
úÁÄÁÞÁ 21.4. äÌÑ n-ÍÅÒÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á W ÎÁÄ ÏÌÅÍ C Ó Ï×ÅÝÅÓÔ×ÌÅ-
ÎÉÅÍ WR ÎÁÊÄÉÔÅ ËÏÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á EndC (W ) × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å
EndR (WR ) (ÏÂÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔÓÑ ËÁË ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ
É ËÏÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÉÍÅÅÔÓÑ × ×ÉÄÕ ÎÁÄ R).
úÁÄÁÞÁ 21.5 (ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ). äÌÑ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ×ÅË-
ÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á W ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ W ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÓÏ×ÁÄÁÀÝÅÅ Ó W ËÁË ÁÄÄÉÔÉ×ÎÁÑ ÁÂÅÌÅ×Á ÇÒÕÁ1 , ÎÏ Ó ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ×ÅËÔÏÒÏ× ÎÁ
ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÚÁÄÁÎÎÙÍ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ
= z·w
z · w def
(ÓÌÅ×Á ÎÁÉÓÁÎÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ × W , ËÏÔÏÒÏÅ ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÑÅÍ, Á ÓÒÁ×Á | ÉÚ×ÅÓÔÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ × W ). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) W Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÎÁÄ ÏÌÅÍ C, ÔÏÊ ÖÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ,
ÞÔÏ É W
Â) ËÏÍÌÅËÓÉÆÉ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ Ï×ÅÝÅÓÔ×ÌÅÎÉÅ (WR )C É ÒÑÍÁÑ ÓÕÍÍÁ W ⊕ W ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ (ËÁË ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á)
úÁÄÁÞÁ 21.6. äÌÑ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F : W
- W ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÏÍ
- (WR ) ËÏÍÌÅËÓÉ-
×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å W ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ FC (WR )C
C
ÆÉËÁ ÉÀ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F : WR - WR ÎÁ Ï×ÅÝÅÓÔ×Ì£ÎÎÏÍ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å WR . ÷ÙÑÓÎÉÔÅ, ËÁË Ó×ÑÚÁÎÙ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÅ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÞÉÓÌÁ2 É ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× F É FC
Á) × ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ W = C (ÔÁË ÞÔÏ WR = R2 ), Á F : C - C Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ i
Â) × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ.
úÁÄÁÞÁ 21.7. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ÒÑÍÙÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Á IS ÉÚ (21-18) ÉÍÅÅÔ
IS2 = −E É ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÆÏÒÍÕ !.
Ô. Å. €ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÔÅÈ ÖÅ ×ÅËÔÏÒÏׁ
ÏÂÒÁÔÉÔÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÅÒÁÔÏÒÁ FC ÉÍÅÅÔ ×Ä×ÏÅ ÂÏÌØÛÕÀ ÓÔÅÅÎØ, ÞÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F , É ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ Õ ÎÅÇÏ,
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÔÏÖÅ ×Ä×ÏÅ ÂÏÌØÛÅ
1
2
388
úÁÄÁÞÉ Ë §21
úÁÄÁÞÁ 21.8. ðÏÓÔÒÏÊÔÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÇÒÕ Un ≃ O2n (R) ∩ Sp2n (R).
úÁÄÁÞÁ 21.9. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÚÉÇÅÌÅ×Ï ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Hn ⊂ Matn (C) ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ
ÓÔÑÇÉ×ÁÅÔÓÑ Ï ÓÅÂÅ × ÔÏÞËÕ.
§22. ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÙ
22.1. ÒÉ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÉ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Mat2 (C). îÁ 4-ÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å W = Mat2(C) ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÍÁÔÒÉ ÒÁÚÍÅÒÁ 2 × 2 ÉÍÅÅÔÓÑ C-ÌÉÎÅÊÎÁÑ
ÉÎ×ÏÌÀ ÉÑ, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÁÑ ÍÁÔÒÉ Õ × ÒÉÓÏÅÄÉΣÎÎÕÀ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ
11 12
22 −12
× def ∨ t
= 7−→ = = −
(22-1)
21
22
21 11
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 22.1. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ( )× = × × , Ô. Å. 7→ × ÁÎÔÉÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ.
ðÏÓËÏÌØËÕ · × = det() · E ËÏÍÌÅËÓÎÁÑ ÂÉÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ
f ; ) def
det(
= 21 tr ( ×)
(22-2)
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÑÒÉÚÁ ÉÅÊ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ det() ÎÁ W .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 22.2. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ C-ÂÉÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ (22-2) ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ É ÎÅ-
×ÙÒÏÖÄÅÎÁ, É ÎÁÉÛÉÔŠţ ÍÁÔÒÉ Õ çÒÁÍÁ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÉÚ ÍÁÔÒÉÞÎÙÈ
ÅÄÉÎÉ .
ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÎÁ W ÉÍÅÅÔÓÑ C-ÁÎÔÉÌÉÎÅÊÎÁÑ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÑ ÜÒÍÉÔÏ×Á ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ
ÍÁÔÒÉ
11 12
∗ def t
11
21
;
(22-3)
= 7−→ = = 21
22
12
22
ËÏÔÏÒÁÑ ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÔÉÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ1 ÁÌÇÅÂÒÙ ÍÁÔÒÉ , É ÆÏÒÍÕÌÁ,
ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÁÑ (22-2), ÚÁÄÁ£Ô ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å W ÜÒÍÉÔÏ×Ï ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ
(; ) def
= 12 tr ( ∗) :
(22-4)
áÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ Ó ÜÔÉÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÎÏÒÍÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÏÌÕÓÕÍÍÕ
Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÍÏÄÕÌÅÊ ÍÁÔÒÉÞÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
1 X | |2 ;
def
|| ||2 = (; ) =
ij
2
É ÍÁÔÒÉÞÎÙÅ ÅÄÉÎÉ Ù ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÅÇÏ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ÓÏ ÓËÁÌÑÒÎÙÍÉ
Ë×ÁÄÒÁÔÁÍÉ 1=2.
ëÏÍÏÚÉ ÉÑ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÊ ↔ ∗ É ↔ × ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ
: =
11 12 7−→ def
= ∨ = −22 −21 :
21 22
12
11
(22-5)
÷ÉÄÎÏ, ÞÔÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ C-ÁÎÔÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÅÊ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å W É
f ; ) :
(; ) = det(
1
Ô. Å. ( )∗ = ∗ ∗
389
390
§22. ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÙ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 22.3. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ É ÔÒÉ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÉ , ×, ∗ ×ÍÅÓÔÅ Ó ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎ-
ÎÙÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÇÒÕÕ ëÌÅÊÎÁ V4 ≃ Z=(2) × Z=(2).
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÂÕÄÕÞÉ ËÏÍÏÚÉ ÉÅÊ Ä×ÕÈ ÁÎÔÉÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÍÁÔÒÉÞÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ: ( ) = .
íÙ ÉÓÏÌØÚÕÅÍ ÁÎÔÉÌÉÎÅÊÎÕÀ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÀ ↔ × ËÁÞÅÓÔ×Å
ÎÁ W . ðÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V = Re (W ) ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÜÔÏÊ
ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÍÁÔÒÉ ×ÉÄÁ
x
1 + i x2 x2 + i x3
x = −x + i x x − i x
Ó x ∈ R ;
(22-6)
2
3
1
2
É ÏÂÅ ÆÏÒÍÙ (22-2), (22-4) ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÀÔÓÑ ÎÁ ÜÔÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÕÀ Å×ËÌÉÄÏ×Õ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ (x; x) = P x2 , ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÍ ÂÁÚÉÓÏÍ ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÌÕÖÁÔ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÍÁÔÒÉ Ù
1
0
i
0
0
1
0
i
e = 0 1 ; i = 0 −i ; j = −1 0 ; k = i 0 :
(22-7)
éÔÁË, ËÏÍÌÅËÓÎÏÅ 4-ÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï W ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ËÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÀ 4-ÍÅÒÎÏÇÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ≃ R4 ÍÁÔÒÉ
f É (∗; ∗) ÓÕÔØ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÅ É ÜÒÍÉÔÏ×Ï ÒÏÄÏÌÖÅ(22-6), Á ÆÏÒÍÙ det
ÎÉÑ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ Ó V ÎÁ W .
22.2. ÅÌÏ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ× H. ðÏÓËÏÌØËÕ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÍÁÔÒÉÞÎÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ, ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V ⊂ Mat2(C)
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÁÌÇÅÂÒÏÊ × ÁÌÇÅÂÒÅ ÍÁÔÒÉ . üÔÁ ÏÄÁÌÇÅÂÒÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ H. ÷ÅËÔÏÒ e Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÄÉÎÉÞÎÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÁÌÇÅÂÒÙ H, É ÏÂÙÞÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÏ 1, Á × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÈ ÏÕÓËÁÅÔÓÑ ×Ï×ÓÅ.
ÁÂÌÉ Á ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÂÁÚÉÓÎÙÈ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ× (22-7) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
i2 = j 2 = k2 = −1 ;
(22-8)
ij = −ji = k ; jk = −kj = i ; ki = −ik = j :
ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÁÒÁ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ× ÅÒÅÍÎÏÖÁÅÔÓÑ Ï ÒÁ×ÉÌÕ
(x0 + x1i + x2 j + x3 k) · (y0 + y1i + y2j + y3k) =
= (x0y0 − x1 y1 − x2y2 − x3 y3)+
+ (x0y1 + x1 y0 + x2 y3 − x3 y2) i+
(22-9)
+ (x0y2 + x2 y0 + x3 y1 − x1 y3) j +
+ (x0y3 + x3 y0 + x1 y2 − x2 y1) k
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÊ
ÓÔÒÕËÔÕÒÙ
ÁÌÇÅÂÒÏÊ
Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ×
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 22.4. ðÏÒÏÂÕÊÔÅ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ ÒÑÍÙÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ, ÞÔÏ ÔÁÂÌÉ Á
ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ (22-8) É ÆÏÒÍÕÌÁ (22-9) ÚÁÄÁÀÔ ÎÁ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏÍ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ó ÂÁÚÉÓÏÍ {1; i; j ; k} ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÊ R-ÁÌÇÅÂÒÙ.
391
22.2. ÅÌÏ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ× H
22.2.1. íÎÉÍÙÅ É ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÙ. ðÏ ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ, 1-ÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï R · e ⊂ H ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ
Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ×, Á 3-ÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
I = {x · i + y · j + z · k | x; y; z ∈ R}
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ
Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ×. îÁ ÑÚÙËÅ ÍÁÔÒÉ ,
I = { ∈⊂ Mat2 (C) | ∗ = − ; tr = 0}
ÜÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÂÅÓÓÌÅÄÎÙÈ ËÏÓÏÜÒÍÉÔÏ×ÙÈ ÍÁÔÒÉ , Á R · e ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÓËÁÌÑÒÎÙÈ ÍÁÔÒÉ .
ÞÉÓÔÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ
ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÙÈ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 22.5. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ I É
ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÎÁ H.
e ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ
éÎ×ÏÌÀ ÉÑ ÜÒÍÉÔÏ×Á ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ ↔ ∗ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ H × ÓÅÂÑ, ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ
ÄÅÊÓÔ×ÕÑ ÎÁ e É ÍÅÎÑÑ ÚÎÁË Õ ÍÎÉÍÙÈ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ×. ïÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. üÔÏ
ÁÌÇÅÂÒÙ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ×:
(pq)∗ = q∗p∗ :
22.2.2. îÏÒÍÁ. ÁË ËÁË Ë×ÁÄÒÁÔ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÄÌÉÎÙ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÁ
= x0 + x1 i + x2 j + x3 k
ÒÁ×ÅÎ ||||2 = P x2 = (; ) = det() , ÉÚ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ
×ÙÔÅËÁÅÔ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÓÔØ ÎÏÒÍÙ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ× ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÎÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ:
|| || = || || · || || ∀ ; ∈ H :
íÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÓÔØ ÎÏÒÍÙ ÎÅÔÒÕÄÎÏ ÕÓÍÏÔÒÅÔØ É ÂÅÚ ÍÁÔÒÉÞÎÏÊ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÉ | ÉÓÈÏÄÑ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÔÏÌØËÏ ÁÂÓÔÒÁËÔÎÏÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÁÌÇÅÂÒÙ H ÒÉ
ÏÍÏÝÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ (22-8), ËÁË × ÕÒ. 22.4.
÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÉÚ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÒÏÞËÉ ÆÏÒÍÕÌÙ (22-9) ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÎÏÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ËÁË
(22-10)
(p; q) = Re (p · q∗) = Re (p∗ · q) :
ðÏÓËÏÌØËÕ ∀ q ∈ H Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎ q · q∗ ÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£Î, ÏÎ ÞÉÓÔÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÅÎ:
q · q∗ = Re (q · q∗ ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÂÅÒÑ × (22-10) p = q, ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
Ë×ÁÔÅÒ-
ÎÉÏÎÎÙÍ ÓÏÒÑÖÅÎÉÅÍ
ÁÎÔÉÁ×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍ
||q ||2
=
X
x2 = q · q∗ ;
ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ ||pq||2 = pq(pq)∗ = pqq∗p∗ = p||q||2p∗ = ||p||2||q||2 .
(22-11)
392
§22. ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÙ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 22.6. ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÉÚ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÎÏÊ ÎÏÒÍÙ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï üÊÌÅÒÁ
1
(x20 + x21 + x22 + x23 ) · (y02 + y12 + y22 + y32 ) = (x0 y0 − x1 y1 − x2 y2 − x3 y3 )2
+ (x0 y1 + x1 y0 + x2 y3 − x3 y2 )2
+ (x0 y2 + x2 y0 + x3 y1 − x1 y3 )2
+ (x0 y3 + x3 y0 + x1 y2 − x2 y1 )2
(22-12)
22.2.3. äÅÌÅÎÉÅ. ÷ÁÖÎÙÍ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (22-11) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÁÌÉ-
: ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ q ∈ H Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎ q−1 = q∗=||q||2 ÓÌÕÖÉÔ
ÞÉÅ × H
ÄÌÑ q Ä×ÕÓÔÏÒÏÎÎÉÍ ÏÂÒÁÔÎÙÍ: q · q−1 = q−1 · q = 1 . áÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÅ ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ËÏÌØ Ï, × ËÏÔÏÒÏÍ ËÁÖÄÙÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÏÂÒÁÔÉÍ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
2 . éÔÁË, Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÙ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÔÅÌÏ.
ÄÅÌÅÎÉÑ
ÔÅÌÏÍ
ìÅÍÍÁ 22.1
íÎÉÍÁÑ ÞÁÓÔØ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÙÈ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ× ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÉÚ
×ÅËÔÏÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ:
(22-13)
Im(q1q2) = q1 × q2 ∀ q1; q2 ∈ I ;
Ô. Å. ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, ÅÓÌÉ q1 = q2 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ∈ R, Á × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ×ÅËÔÏÒ ÄÌÉÎÙ, ÒÁ×ÎÏÊ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÌÏÝÁÄÉ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ, ÎÁÔÑÎÕÔÏÇÏ ÎÁ q1 É q2, ÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÙÊ ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÏ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÂÁÚÉÓ q1; q2 ; q1 × q2 ÂÙÌ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎ
Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ Ë ÂÁÚÉÓÕ i; j ; k ÉÚ (22-7).
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ïÂÁ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ q1 ; q2 7→ q1 × q2 É q1 ; q2 7→ Im(q1 q2 ) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÀ ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ I × I - I (Ô. Å. ÌÉÎÅÊÎÙ Ï ËÁÖÄÏÍÕ
ÉÚ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ×ÔÏÒÏÍ3). ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (22-13) ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÄÌÑ ÄÅ×ÑÔÉ ÁÒ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× q1; q2 = i; j ; k, É × ÜÔÏÍ
ÓÌÕÞÁÅ ÏÎÉ ÒÅ×ÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (22-8).
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 22.7. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (22-8) ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÔÒÉ Ë×Á-
ÔÅÒÎÉÏÎÁ (i; j ; k) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÜÔÉ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÙ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÙÈ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ×, ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ
ÔÏÞÎÏ ÔÁËÖÅ, ËÁË ÂÁÚÉÓ (22-7).
ÏÎÏ ÉÇÒÁÅÔ ×ÁÖÎÕÀ ÒÏÌØ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÏÓÔÉ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÞÅÔÙÒ£È Ë×ÁÄÒÁÔÏ×, ÏÓËÏÌØËÕ ÒÅÄÕ ÉÒÕÅÔ Å£ Ë ÚÁÄÁÞÅ Ï ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÏÓÔÉ
ÒÏÓÔÙÈ ÞÉÓÅÌ
ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÌÑ | ÜÔÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÅ ÔÅÌÁ
ÉÚ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÏÇÏ × ÌÅÍ. 22.1 ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ × ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÌÀÂÏÇÏ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ, ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ
ÔÁËÖÅ, ËÁË ÂÁÚÉÓ (22-7), ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ× q = (x ; x ; x ) É q = (y ; y ; y )
ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
x
x
x
x
x
x
q × q = det y y ; − det y y ; det y y
ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÓÔØ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÏÞÅ×ÉÄÎÁ
1
2
3
1
1
2
1
2
3
2
3
1
3
1
2
2
3
1
3
1
2
2
1
2
3
393
22.3. õÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÎÁËÒÙÔÉÅ S 3 = SU2 ։ SO3 (R)
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 22.1
ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÙ p É q ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎ pq∗
ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍ. ïÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÓÔØ ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÙÈ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ× p; q ∈ I ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ pq = −qp, É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ pq = −qp ∈ I ÏÒÔÏÇÏÎÁÌÅÎ ÌÏÓËÏÓÔÉ,
ÎÁÔÑÎÕÔÏÊ ÎÁ p É q.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÅÒ×ÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÉÚ ÆÏÒÍÕÌÙ
(22-10), Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ | ÉÚ ÌÅÍ. 22.1.
22.3. õÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÎÁËÒÙÔÉÅ S 3 = SU2 ։ SO3 (R). Ò£ÈÍÅÒÎÁÑ ÓÆÅÒÁ
Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ× ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÎÏÒÍÙ
S 3 = { ∈ H | |||| = 1} ⊂ R4
× ÍÁÔÒÉÞÎÏÊ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÅ ÉÁÌØÎÏÊ ÕÎÉÔÁÒÎÏÊ ÇÒÕÏÊ
SU2 ⊂ Mat2(C) :
äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÄÌÑ ÍÁÔÒÉ ÅÄÉÎÉÞÎÏÇÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ × = −1 , ÔÁË ÞÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ -×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ × = ∗ ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ ÄÌÑ ÔÁËÉÈ ÍÁÔÒÉ × ÕÓÌÏ×ÉÅ ÕÎÉÔÁÒÎÏÓÔÉ −1 = ∗ :
S 3 = {q ∈ H | q · q∗ = 1} = { ∈ Mat2 (C) | det = 1 & −1 = ∗ } = SU2 :
çÒÕÁ S 3 = SU2 ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÁÌÇÅÂÒÅ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ× ÓÏÒÑÖÅÎÉÑÍÉ1
q7→ q
-H:
(22-14)
S 3 ∋ 7−→ F : H
−1
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 22.8. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ F'
= F' ◦F É ÞÔÏ ×ÓÅ F Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ ÔÅÌÁ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ×, Ô. Å. ÏÂÒÁÔÉÍÙ É ÅÒÅ×ÏÄÑÔ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ: F (pq) = F (p)F (q).
ðÏÓËÏÌØËÕ det( q −1 ) = det q, ÏÅÒÁÔÏÒ F Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÉÚÏÍÅÔÒÉÅÊ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á H, Á ÔÁË ËÁË ÏÎ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ e, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ F ÎÁ I = e⊥ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÍ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅÍ 3-ÍÅÒÎÏÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á I ÞÉÓÔÏ
ÍÎÉÍÙÈ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ×. üÔÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ, ÉÂÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÒÏÄÅÆÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÏ Ï ÓÆÅÒÅ S 3 × ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ Fe.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÇÒÕ
7→F |I
- SOdet (I ) ≃ SO3 (R)
S 3 = SU2
(22-15)
ðÏÓËÏÌØËÕ F ( ) = É F (e) = e , ÏÅÒÁÔÏÒ F ÒÉ 6= e ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÁ
ÍÅÓÔÅ Ä×ÕÍÅÒÎÕÀ ÌÏÓËÏÓÔØ
=R·e⊕R· :
ÏÓËÏÌØËÕ − = ∗ ÜÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÏÉÓÁÔØ É ËÁË q 7→ q ∗ (ÉÍÅÎÎÏ
× ÔÁËÏÍ ×ÉÄÅ ÏÎÏ ÅÒÅÎÏÓÉÔÓÑ ÎÁ ÏÂÝÉÅ ÁÌÇÅÂÒÙ ëÌÉÆÆÏÒÄÁ , ÏÂÏÂÝÁÀÝÉÅ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÎÕÀ
ÁÌÇÅÂÒÕ × ÓÔÁÒÛÉÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ n > 2)
1
1
394
§22. ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÙ
ðÏÜÔÏÍÕ F |I Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÒÁÝÅÎÉÅÍ ×ÏËÒÕÇ ÒÑÍÏÊ ` = ∩ I . úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ
ÎÁ ÜÔÏÊ ÒÑÍÏÊ ÏÄÉÎ ÉÚ Ä×ÕÈ (ÒÁÚÌÉÞÁÀÝÉÈÓÑ ÚÎÁËÏÍ) ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÙÈ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ× ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÎÏÒÍÙ, É ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÍ ÌÏÓËÏÓÔØ Ó ÏÌÅÍ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ
ÞÉÓÅÌ C Ï ÒÁ×ÉÌÕ
C ∋ (x + iy ) ←→ (xe + y ) ∈ :
(22-16)
÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÔÁËÏÇÏ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÉÑ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎ ∈ ≃ C ÒÉÏÂÒÅÔÁÅÔ
= Arg , ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÙÊ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á = os + · sin , ÔÁË ÞÔÏ
−1
= os − · sin :
l
l
l
ÁÒÇÕÍÅÎÔ
l
ìÅÍÍÁ 22.2
ïÅÒÁÔÏÒ F |I ∈ SOdet (I ) = SO3(R) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ï×ÏÒÏÔÏÍ ×ÏËÒÕÇ ÒÑÍÏÊ ` ÎÁ
ÕÇÏÌ 2 Arg ( ), ÅÓÌÉ ÓÍÏÔÒÅÔØ ×ÄÏÌØ ÏÒÔÁ ∈ ` .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÏÏÌÎÉÍ ÏÒÔ
ÄÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ { ; m; n} ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á I . ðÏ ÕÒ. 22.7 ÔÁÂÌÉ Á ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ×
{ ; m; n} ÔÁËÁÑ ÖÅ, ËÁË Õ {i; j ; k} ÉÚ (22-8). ðÏÜÔÏÍÕ
m −1 = ( os + · sin )m( os − · sin ) =
= (m os + n · sin )( os − · sin ) =
= m( os2 − sin2 ) + 2n os sin = m os(2 ) + n sin(2 )
n −1 = ( os + · sin )n( os − · sin ) =
= (n os − m · sin )( os − · sin ) =
= n( os2 − sin2 ) − 2m os sin = n os(2 ) − m sin(2 )
Ô. Å. ÄÅÊÓÔ×ÉÅ F ÎÁ ×ÅËÔÏÒÙ (m; n) ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÍÁÔÒÉ ÅÊ
os(2 ) − sin(2 ) :
sin(2 ) os(2 )
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 22.2
çÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ (22-15) ÓÀÒØÅËÔÉ×ÅÎ É ÉÍÅÅÔ ÑÄÒÏ {±1} ≃ Z=(2).
22.3.1. ÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ËÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ. ó ÔÏÏÌÏÇÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ,
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ (22-15)
7→F |I
- SO3 (R)
S3
(22-17)
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ä×ÕÌÉÓÔÎÙÍ ÎÁËÒÙÔÉÅÍ, ÓËÌÅÉ×ÁÀÝÉÍ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÀ ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ
ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÔÒ£ÈÍÅÒÎÏÊ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒÙ. ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÔÁËÏÊ ÓËÌÅÊËÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÒ£ÈÍÅÒÎÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï P3 = P(H). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÎÁËÒÙÔÉÅ (22-17) ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ
395
22.4. ä×Á ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÓÔÒÕËÔÕÒ ÎÁ H
ËÁË ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÅÖÄÕ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ P(R4) É
ÇÒÕÏÊ SO3(R) (ÓÒ. Ó ÕÒ. 18.1).
ðÏÓËÏÌØËÕ ÓÆÅÒÁ S 3
(ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÁÑ ÇÒÕÁ 1(S 3) = 1) Á
ÇÒÕÁ SO3(R), ÌÉÎÅÊÎÏ Ó×ÑÚÎÁ, ÎÁËÒÙÔÉÅ (22-17) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ,
1 (SO3 ) = 1 (RP3 ) = Z=(2) :
üÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ×
ÇÒÕÅ ×ÒÁÝÅÎÉÊ SO3 ÉÍÅÅÔÓÑ
ÎÅÓÔÑÇÉ×ÁÅÍÁÑ ÅÔÌÑ, Ë×ÁÄÒÁÔ
ËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÑÇÉ×ÁÅÍ.
÷ ÜÔÏÍ ÍÏÖÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ
ÎÁ ÏÙÔÅ: ÄÅÒÖÁ ÎÁ ÌÁÄÏÎÉ
ËÎÉÇÕ, ÎÅÒÅÒÙ×ÎÙÍ Ä×ÉÖÅÎÉÅÍ ÒÕËÉ Ï×ÏÒÁÞÉ×ÁÅÍ Å£
ÎÁ 3600 ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ËÎÉÇÁ ×
ÔÅÞÅÎÉÅ ×ÓÅÊ ÜÔÏÊ ÍÁÎÉÕÌÑÉÉ ÏÓÔÁ×ÁÌÁÓØ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÊ. ÷ ÜÔÏÔ ÍÏÍÅÎÔ ÉÚÏÇÎÕÔÁÑ ÒÕËÁ ËÁË ÒÁÚ É ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÅÓÔÑÇÉ×ÁÅÍÕÀ ÅÔÌÀ
× SO3, ËÒÁÓÎÏÒÅÞÉ×ÙÍ Ó×ÉÄÅÔÅÌØÓÔ×ÏÍ ÞÅÇÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÒÉÑÔÎÏÅ ÎÁÒÑÖÅÎÉÅ ÌÏËÔÅ×ÏÇÏ ÓÕÓÔÁ×Á. åÓÌÉ ÒÅ×ÏÚÍÏÞØ ÎÅÒÉÑÔÎÏÅ ÏÝÕÝÅÎÉÅ É
ÒÏÄÏÌÖÉÔØ ×ÒÁÝÅÎÉÅ ËÎÉÇÕ
ÄÁÌØÛÅ × ÔÏÍ ÖÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ, ÔÏ ÏÓÌÅ ÅÝ£ ÏÄÎÏÇÏ ÏÌÎÏÇÏ ÏÂÏÒÏÔÁ ÓËÒÕÞÅÎÎÙÊ ÌÏ⋄
ËÏÔØ ÏÌÎÏÓÔØÀ ÒÁÓÒÑÍÉÔÓÑ,
1
ËÁË ÎÁ ÒÉÓ. 22⋄1 .
îÅÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ×ÚÑÔÉÅ ÒÏÏÂÒÁÚÁ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ (22-17) ÏÚÎÁÞÁÅÔ €ÉÚ×ÌÅÞÅÎÉÅ ËÏÒÎс ÉÚ ×ÒÁÝÅÎÉÑ ÔÒ£ÈÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, É Ä×Á ÒÁÚÌÉÞÁÀÝÉÈÓÑ
ÚÎÁËÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ËÏÒÎÑ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ ÔÒ£ÈÍÅÒÎÏÊ ÓÆÅÒÙ.
22.4. ä×Á ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÓÔÒÕËÔÕÒ ÎÁ H. ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ
ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÏÇÏ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÁ n ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÎÏÒÍÙ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
n2 = −n∗n = −(n∗=||n||) · n = −n−1 · n = −1 ;
ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÁ
ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ ÎÁ-
ËÒÙÔÉÅÍ
òÉÓ. 22 1.
1
ÒÉÓ. 22⋄1 ÏÚÁÉÍÓÔ×Ï×ÁÎ ÎÁÍÉ ÉÚ ËÎÉÇÉ
ÇÉÉ . í. €íÉҁ 1991
æÒÁÎÓÉÓ äÖ.
ëÎÉÖËÁ Ó ËÁÒÔÉÎËÁÍÉ Ï ÔÏÏÌÏ-
396
§22. ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÙ
ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÌÅ×ÏÇÏ É ÒÁ×ÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÔÁËÏÊ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎ
7→n In′ : H
H
(22-18)
7→n ′′
In : H
H
ÚÁÄÁÀÔ ÎÁ H ≃ R4 Ä×Á ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÓÔÒÕËÔÕÒ, ÂÉÅËÔÉ×ÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÔÏÞËÁÍ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒÙ
S 2 ⊂ I = R3
ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÙÈ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ× ÄÌÉÎÙ 1.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 22.9. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÅ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÙ Ó Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ −1 ÉÍÅÀÔ ÄÌÉÎÕ
1 É ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÙ.
õÂÅÄÉÍÓÑ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÜÔÉ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ É × ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÒÁÚÌÉÞÎÙ. ïÅÒÁÔÏÒÙ (22-18)
ÅÒÅ×ÏÄÑÔ × ÓÅÂÑ Ä×ÕÍÅÒÎÏÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
n = R · e ⊕ R · n ;
ËÏÔÏÒÏÅ, ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÌÑ ÏÂÅÉÈ ÓÔÒÕËÔÕÒ ËÏÍÌÅËÓÎÙÍ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ É, ÂÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÏ
Ó ÏÌÅÍ C Ï ÆÏÒÍÕÌÅ (22-16):
(x + iy) ↔ (xe + yn) :
ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÉÚ ÓÌ. 22.1 ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÌÏÓËÏÓÔØ n ÎÅ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÁ ÎÉ
ÄÌÑ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× Im′ , Im′′ Ó m 6= −n, É ÚÎÁÞÉÔ, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÍÌÅËÓÎÙÍ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ × ÜÔÉÈ ÓÔÒÕËÔÕÒÁÈ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÔÒÕËÔÕÒÙ In′ , In′′ ÎÅ
ÓÏ×ÁÄÁÀÔ ÎÉ Ó ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÓÔÒÕËÔÕÒ Im′ , Im′′ ÒÉ m 6= ±n.
ëÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ In′ É I−′ n = −In′ , ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÒÁÚÌÉÞÎÙ | ÏÎÉ
ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ × ÓÍÙÓÌÅ ÚÁÄ. 21.5. óÔÒÕËÔÕÒÙ In′′ É I−′′ n = −In′′ ÔÁËÖÅ
ÓÏÒÑÖÅÎÙ. ðÏ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏÊ ÒÉÞÉÎÅ In′ 6= I−′′ n | ÏÅÒÁÔÏÒÙ In′ É I−′′ n ÚÁÄÁÀÔ
ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ n = −n (ÉÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ
ÎÁ ÜÔÕ ÌÏÓËÏÓÔØ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÚÎÁËÏÍ).
îÁËÏÎÅ , ÓÒÁ×ÎÉÍ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ In′ É In′′ , ÓÏ×ÁÄÁÀÝÉÅ ÎÁ n ≃ C.
ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÂÅ ÏÎÉ ÅÒÅ×ÏÄÑÔ × ÓÅÂÑ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌ ⊥n , ÏÎ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ × ÏÂÅÉÈ ÓÔÒÕËÔÕÒÁÈ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÍ ËÏÍÌÅËÓÎÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ
ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÙÊ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÎÏÒÍÙ m ∈ ⊥n × ËÁÞÅÓÔ×Å ÂÁÚÉÓÎÏÇÏ
×ÅËÔÏÒÁ ÜÔÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. ÏÇÄÁ H ËÁË Ä×ÕÍÅÒÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ C ÒÁÚÌÏÖÉÔÓÑ × ÓÔÒÕËÔÕÒÁÈ In′ É In′′ × ÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ Ä×ÕÈ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ
ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×:
(× ÓÔÒÕËÔÕÒÅ In′ ) C ⊕ C · m = H = C ⊕ m · C (× ÓÔÒÕËÔÕÒÅ In′′ ) ; (22-19)
ÇÄÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÂÁÚÉÓÎÏÇÏ ÏÒÔÁ m ÎÁ i ∈ C ÚÁÄÁ£ÔÓÑ × ÓÔÒÕËÔÕÒÁÈ In′ É In′′ ,
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÌÅ×ÙÍ É ÒÁ×ÙÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÅÇÏ ÎÁ n. ðÏÓËÏÌØËÕ Ï ÌÅÍÍÅ
ÓÏ-
ÒÑÖÅÎÙ
397
22.5. óÉÎÏÒÙ
(ÓÌ. 22.1) In′ (m) = nm = −mn = −In′′ (m) , ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ In′ É In′′ ÎÁ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ⊥n ÂÕÄÕÔ ÓÏÒÑÖÅÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ:
z·m=m·z
∀ z = x + iy = x · e + y · n ∈ C :
(22-20)
éÔÁË, In′ 6= In′′ , É ×ÓÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ (22-18) ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 22.10. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ (22-19) ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÅÄÓÔÁ-
×ÌÅÎÉÀ C = R⊕ iR ÏÌÑ C × ×ÉÄÅ €ÕÄ×ÏÅÎÎÏÇρ ÏÌÑ R × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÙ
H ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ËÁË ÆÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÚÁÉÓÉ ×ÉÄÁ z + w · m, × ËÏÔÏÒÙÈ z; w ∈ C ÓÕÔØ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÆÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÓÉÍ×ÏÌ m ÉÍÅÅÔ m2 = −1 É
ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ (22-20), Á Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÎÏÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ
(z1 + w1 · m) · (z2 + w2 · m) def
= (z1 z2 − w1 w2 ) + (z1 w2 + w1 z 2 ) · m
ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ Ï ÏÂÙÞÎÙÍ ÒÁ×ÉÌÁÍ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓËÏÂÏË Ó ÕÞ£ÔÏÍ ×ÓÅÈ ÜÔÉÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ.
óÏÇÌÁÓÎÏ ÒÅÄÌ. 21.3, ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÎÁ H, ÒÏÄÏÌÖÁÀÝÉÅ Å×ËÌÉÄÏ×Ï ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÄÏ ËÅÌÅÒÏ×ÏÊ ÔÒÏÊËÉ, ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ Ä×ÕÍÅÒÎÙÍ ÉÚÏÔÒÏÎÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍ C-ÂÉÌÉf ÎÁ HC = Mat2 (C).
ÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ det
ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÔÏÞËÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÕÀÔ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÅ ÉÚÏÔÒÏÎÙÅ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ⊂ W Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ g, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
Grg (W ) ÆÏÒÍÙ g (ÓÍ. n◦ 21.5.2) ÉÌÉ | ÎÁ ÄÒÕÇÏÍ ÑÚÙËÅ |
ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÏÊ ÇÒÕÙ SOg (W ). çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉ, ÒÏÅËÔÉ×ÉÚÁ ÉÉ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÙÈ ÉÚÏÔÒÏÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï
ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ, ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÅ V (g) ⊂ P(W ).
÷ ÎÁÛÅÍ ÓÌÕÞÁÅ Ë×ÁÄÒÉËÁ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÁÑ ÆÏÒÍÏÊ det × Mat2(C), | ÜÔÏ
ÉÚ n◦ 19.2.1
Q = { ∈ P(Mat2 (C)) | det() = 0} ::
(22-21)
ïÎÁ ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÒÑÍÏÍÕ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ ÒÑÍÙÈ
P1− = P(U ∗ ) ; P+
ÇÄÅ U ≃ C2 ;
(22-22)
1 = P(U ) ;
ÏÓÒÅÄÓÔ×ÏÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ óÅÇÒÅ P1− × P+1 ∼- Q ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÇÏ ËÏ×ÅËÔÏÒÕ
= (0 ; 1 ) ∈ U ∗ É ×ÅËÔÏÒÕ v = (z0 ; z1 )t ∈ U ÍÁÔÒÉ Õ
22.5. óÉÎÏÒÙ.
ÉÚÏÔÒÏÎÙÍ
ÇÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎÏÍ
ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅÍ ÓÉÎÏÒÏ×
Ë×ÁÄÒÉ-
ËÁ óÅÇÒÅ
v· =
z0 · ( ; ) = z0 0 z0 1
0 1
z1
z1 0 z1 1
ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ v ⊗ ∈ End(U ) ÒÁÎÇÁ 1, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÇÏ u ∈ U ×
v ⊗ (u) = (u) · v ∈ U
398
§22. ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÙ
ðÒÑÍÏÌÉÎÅÊÎÙÅ
ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÅ Ë×ÁÄÒÉËÉ óÅÇÒÅ ÓÕÔØ ÏÂÒÁÚÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÒÑ+
−
ÍÙÈ × P1 É P1 × v ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ ÓÉÎÏÒÏ× × ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÄÉÚßÀÎËÔÎÏÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÒÑÍÏÊ1 P−1 , ÔÏÞËÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÕÀÔ ÏÄÎÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï2 ÒÑÍÙÈ ÎÁ Ë×ÁÄÒÉËÅ, É ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÒÑÍÏÊ P+1,
ÔÏÞËÉ v ËÏÔÏÒÏÊ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÕÀÔ ×ÔÏÒÏÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÈÏÒÏÛÏ ÓÏÇÌÁÓÕÅÔÓÑ Ó ÏÉÓÁÎÎÙÍÉ ×ÙÛÅ Ä×ÕÍÑ ÓÅÍÅÊÓÔ×ÁÍÉ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÓÔÒÕËÔÕÒ
(22-18), ËÁÖÄÏÅ ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÔÏÖÅ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÌÏÓØ ÔÏÞËÁÍÉ Ä×ÕÍÅÒÎÏÊ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒÏÊ S 2 ≃ P1(C).
ïÓÔÁÔÏË ÜÔÏÇÏ ÁÒÁÇÒÁÆÁ ÂÕÄÅÔ ÏÓ×ÑݣΠÎÁÉÓÁÎÉÀ
ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ Ñ×ÎÙÈ ÆÏÒ±
ÍÕÌ, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÄÁÎÎÏÍÕ ÓÉÎÏÒÕ u ∈ P1 ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÙÊ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎ ÎÏÒÍÙ 1 É ÚÁÄÁ×ÁÅÍÕÀ ÉÍ ËÅÌÅÒÏ×Õ ÔÒÏÊËÕ ÎÁ H .
22.5.1. ðÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Mat2(C). îÁ ÂÅÓËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÍ ÑÚÙËÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Mat2(C) | ÜÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× EndC(U ) ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ Ä×ÕÍÅÒÎÏÇÏ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U . éÎ×ÏÌÀ ÉÉ ∗ É × ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å EndC(U ) ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ×
ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÆÉËÓÁ ÉÉ ÎÁ U Ä×ÕÈ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÓÔÒÕËÔÕÒ | ÜÒÍÉÔÏ×Á ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ h(∗; ∗) É C-ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ
Æ (∗; ∗), ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÙÈ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÁÂÓÏÌÀÔÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ
ÌÏÝÁÄÉ ÌÀÂÏÇÏ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ × U ÒÁ×ÎÁ ÅÄÉÎÉ Å.
üÔÉ Ä×Å ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÈ ÆÏÒÍÙ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔ Ä×Å ÂÉÅËÔÉ×ÎÙÈ ËÏÒÒÅÌÑ ÉÉ U - U ∗, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÅ Ï ÒÁ×ÉÌÁÍ
u 7−→ Æb(u) = Æ (∗; u) ;
u 7−→ bh(u) = h(∗; u)
(22-23)
(ÅÒ×ÁÑ C-ÌÉÎÅÊÎÁ, Á ×ÔÏÒÁÑ C-ÁÎÔÉÌÉÎÅÊÎÁ), É Ä×Å ÉÎ×ÏÌÀ ÉÉ ÎÁ EndC(U ),
ÚÁÄÁÀÝÉÅ
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÜÔÉÈ ÆÏÒÍ:
F ←→ F × = Æb −1 F t Æb É F ←→ F ∗ = bh −1 F tbh :
Æ (F u; v) = Æ (u; F × v) ; (F u; v) = (u; F ∗ v) ;
t
ÇÄÅ ÞÅÒÅÚ U ∗ F U ∗ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎ ÏÅÒÁÔÏÒ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë U F- U × ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, Ô. Å. ÔÁËÏÊ ÞÔÏ F t(u) = (F u) ∀ ∈ U ∗ ∀ u ∈ U .
ÆÏÒÍÙ ÌÏÝÁÄÉ
ÓÏÒÑÖÅÎÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 22.11. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ × ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÌÏÝÁ-
ÄÉ3 ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÊ ÎÁ ÍÁÔÒÉ Õ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÏÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ (22-1), (22-3), Á ÔÁËÖÅ ÞÔÏ
Æb
z0 = (z ; −z ) ;
1
0
z1
b
h
z0 = (z ; z ) :
0 1
z1
ÆÉÚÉËÉ ÏÂÙÞÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÔÏÞËÉ ÎÁ P = P(U ) €ÓÉÎÏÒÁÍɁ, Á ÔÏÞËÉ ÎÁ P− = P(U ∗)
€ÓÉÎÏÒÁÍÉ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÏÊ ËÉÒÁÌØÎÏÓÔɁ; ÜÔÉÍÏÌÏÇÉÑ ÜÔÉÈ ÎÁÚ×ÁÎÉÊ ÏÔÞÁÓÔÉ ÏÂßÑÓÎÑÅÔÓÑ
. ìÉÎÅÊÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ É ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ .
× §§ 9,11 ×ÔÏÒÏÊ ÞÁÓÔÉ ËÎÉÇÉ
(í., ÉÚÄ. íçõ, 1980, ÓÔÒ. 176)
Á ÉÍÅÎÎÏ, ÔÏ, ÞÔÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÂÒÁÚÏ× ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÒÑÍÙÈ, €ÁÒÁÌÌÅÌØÎÙȁ P
Ô. Å. ÔÁËÏÍ, ÇÄÅ Æ(e ; e ) = 1
1
+
1
1
á. é. ëÏÓÔÒÉËÉÎ, à. é. íÁÎÉÎ
+
1
2
3
1
2
399
22.5. óÉÎÏÒÙ
ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÕÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ bh−1 Æb = −Æb−1bh É ÒÉ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÍ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÉÉ
t
t
U Ó U ∗∗ ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÅ1 Ë Æb É bh ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ Æb = −Æb É bh = bh.
÷ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ ÉÚ (22-5) ÏÞÅ×ÉÄÎÏ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÄÅÔÅÒÍÉÎÁÎÔÎÕÀ Ë×ÁÄÒÉËÕ (22-21) × ÓÅÂÑ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÎÁ Q ÎÅÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÔÏÞÅË2 , Á ÎÅÕÓÔÏÅ
ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ` ∩ (`) ÁÒÙ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ Q -ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÈ ÒÑÍÙÈ
ÂÙÌÏ ÂÙ ÉÍÅÎÎÏ ÔÁËÏÊ ÔÏÞËÏÊ, ÍÙ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ËÁÖÄÕÀ ÌÅÖÁÝÕÀ ÎÁ Q ÒÑÍÕÀ × ÒÑÍÕÀ ÉÚ ÔÏÇÏ ÖÅ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á, Ô. Å. ÉÎÄÕ ÉÒÕÅÔ ÎÅ ÉÍÅÀÝÕÀ
ÎÅÏÄ×ÉÖÎÙÈ ÔÏÞÅË ÉÎ×ÏÌÀ ÉÀ P1± - P1± ÎÁ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÒÑÍÙÈ P1±.
±
−1
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 22.12. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ (F ) = +
F + , ÇÄÅ U
+-
ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ
+ = bh
−1
t
−1
− 1 t
−1
Æ = bh Æb = −Æb bh = Æb
U ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ
b
h;
É ÞÔÏ × ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÌÏÝÁÄÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ + É − = +t
ÏÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ
+ zz0 =
1
z 1 ; (w ; w ) = (−w ; w ) :
−
0 1
1 0
−z 0
22.5.2. ïÔ ÓÉÎÏÒÏ× Ë ËÏÍÌÅËÓÎÙÍ ÓÔÒÕËÔÕÒÁÍ. äÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÁÒÙ + ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÈ ÓÉÎÏÒÏ× u; u′ ∈ P(U ) ÒÑÍÙÅ P1− × u É P1− × u′ ÓÕÔØ ÒÏÅËÔÉ×ÉÚÁ ÉÉ Ä×ÕÍÅÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Lu, L′u, ÓÏÓÔÏÑÝÉÈ ÉÚ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÒÁÎÇÁ 1, ÏÂÒÁÚ
ËÏÔÏÒÙÈ ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ u É u′ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ:
P1− × u = P (Lu ) = {F ∈ EndC (U ) | im(F ) = C · u}
P1− × u′ = P (L′u ) = {F ∈ EndC (U ) | im(F ) = C · u′ } :
äÌÑ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÌÅ×ÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ËÏÓÏÜÒÍÉÔÏ× ÏÅÒÁÔÏÒ u ∈ EndC(U )
(22-24)
EndC(U ) X 7→ uX - EndC(U ) ;
ÔÁËÏÊ ÞÔÏ u(u) = iu É u(u′) = −iu′, ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Lu É L′u = (Lu) Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ +i É −i ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÅÍ ÓÁÍÙÍ,
(22-24) ÚÁÄÁ£Ô ÎÁ EndC(U ) = Mat2(C) ËÏÍÌÅËÓÎÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÉÚÏÔÒÏÎÏÍÕ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ P(Lu) ⊂ Q.
íÁÔÒÉ Õ ÏÅÒÁÔÏÒÁ u × ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÌÏÝÁÄÉ ÌÅÇËÏ
×ÙÉÓÁÔØ Ñ×ÎÏ. åÓÌÉ
u=
z0 ; u ′ = ( u ) = z 1 ;
+
z1
−z 0
t
Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÏÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒ U ∗ f V ∗ ÍÅÖÄÕ ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ
fÍÉ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ÁÎÔÉ ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÏÅÒÁÔÏÒÕ U
V ÔÏÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÔÉ ÌÉÎÅÊÎÙÍ
ÎÁÏÍÎÀ, ÞÔÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÆÏÒÍÙ det ÎÁ Re = H ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ
1
2
400
§22. ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÙ
ÔÏ ÕÍÎÏÖÁÑ, ÅÓÌÉ ÎÁÄÏ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÎÁÛ ÓÉÎÏÒ ×ÅËÔÏÒ u ∈ U ÎÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÕÀ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ ËÏÎÓÔÁÎÔÕ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ
det
É ÔÏÇÄÁ
z0 z 1
z1 −z 0
= −||u||h = −1 ; Á ÚÎÁÞÉÔ ;
z0 z 1 − 1 = z 0 z 1 ;
z1 −z 0
z1 −z0
−1
z
i
0
z
0 z1
0 z1
·
·
=
u = z −z
−i
0
z1 −z 0
1
0
(22-25)
2
i
z
i
(
|z0 |2 − |z1 |2 )
0z1
=
i (|z1 |2 − |z0 |2 )
2i z 0z1
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ Ñ×ÎÏ ÓÏÏÓÔÁ×ÉÌÉ ËÁÖÄÏÍÕ ÓÉÎÏÒÕ u ∈ P(U ) ÞÉÓÔÏ ÍÎÉ-
ÍÙÊ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎ Ó Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ −1, ÌÅ×ÏÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ËÏÔÏÒÙÊ
ÚÁÄÁ£Ô ÎÁ H
ËÏÍÌÅËÓÎÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÕÀ ÉÚÏÔÒÏÎÏÊ ÒÑÍÏÊ P1− × u ⊂ Q.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 22.13. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÁ×ÏÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ
u ÚÁÄÁ£Ô ÎÁ H ËÏÍÌÅËÓÎÕÀ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÕÀ ÒÑÍÏÊ Æb(u) × P+1 ÉÚ ×ÔÏÒÏÇÏ ÓÅÍÅÊÓÔ×Á.
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 22.1
÷ÓÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÎÁ H, ÒÏÄÏÌÖÁÀÝÉÅ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÎÕÀ ÎÏÒÍÕ ÄÏ
ËÅÌÅÒÏ×ÏÊ ÔÒÏÊËÉ, ÉÓÞÅÒÙ×ÁÀÔÓÑ ÌÅ×ÙÍÉ É ÒÁ×ÙÍÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑÍÉ ÎÁ ÞÉÓÔÏ
ÍÎÉÍÙÅ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÙ ÎÏÒÍÙ 1, Á ÆÏÒÍÕÌÁ (22-25) ÚÁÄÁ£Ô ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÅ
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÍÅÖÄÕ ÔÁËÉÍÉ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÁÍÉ É ÓÉÎÏÒÁÍÉ1 u ∈ P(U ).
22.5.3. òÁÓÓÌÏÅÎÉÅ èÏÆÁ. ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ (22-25) ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÉ
ÓÉÎÏÒÁ u, Ô. Å. ÒÉ ÚÁÍÅÎÅ u 7→ #u |#| = 1. ðÏÜÔÏÍÕ ÆÏÒÍÕÌÁ (22-25) ÚÁÄÁ£Ô ÇÌÁÄËÏÅ ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÔÒ£ÈÍÅÒÎÏÊ
ÓÆÅÒÙ ÎÁ Ä×ÕÍÅÒÎÕÀ:
- S 2 = {n ∈ I ≃ R3 | ||n||H = 1} ;
{u ∈ U ≃ C2 | ||u||h = 1} = S 3
ÓÌÏÑÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÅÄÉÎÉÞÎÙÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. üÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
.
éÎÁÞÅ ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÏÉÓÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ. ëÏÍÌÅËÓÎÁÑ ÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ
ÒÑÍÁÑ P1 = P(C2) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÁËÔÏÒÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á C2 Ï ÄÅÊÓÔ×ÉÀ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÙ C∗ ÓËÁÌÑÒÎÙÍÉ ÇÏÍÏÔÅÔÉÑÍÉ. ðÏÓËÏÌØËÕ C∗ = R>∗ 0 × U(1), ÜÔÕ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÀ ÍÏÖÎÏ ÏÓÕÝÅÓÔ×ÉÔØ
× Ä×Á ÒÉ£ÍÁ: ÓÎÁÞÁÌÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÆÁËÔÏÒ Ï ÄÅÊÓÔ×ÉÀ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÒÁÓÔÑÖÅÎÉÊ, Á ÏÔÏÍ ÄÏÆÁËÔÏÒÉÚÏ×ÁÔØ ÅÇÏ Ï ÄÅÊÓÔ×ÉÀ ÕÍÎÏÖÅÎÉÊ ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ
ÞÉÓÌÁ, ÌÅÖÁÝÉÅ ÎÁ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ.
ïÒÂÉÔÙ ÇÒÕÙ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÒÁÓÔÑÖÅÎÉÊ R>∗ 0 ÂÉÅËÔÉ×ÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ
ÔÏÞËÁÍ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒÙ S 3 ⊂ C2, ÓÏÓÔÏÑÝÅÊ ÉÚ ×ÅËÔÏÒÏ× ÜÒÍÉÔÏ×ÏÊ ÄÌÉÎÙ 1.
ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ ÆÁÚÙ
ÒÁÓÓÌÏÅÎÉÅÍ èÏÆÁ
ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ × (22-25) ×ÅËÔÏÒ u ∈ U , ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÔÏÞËÕ ÉÚ P(U ), ÒÅÄÏÌÁÇÁÅÔÓÑ
ÎÏÒÍÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÔÁË, ÞÔÏ ||u||h = 1 × ÜÒÍÉÔÏ×ÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÅ ÎÁ U
1
401
úÁÄÁÞÉ Ë §22
üÔÁ ÓÆÅÒÁ ÒÁÓÓÌÏÅÎÁ ÎÁ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÏÒÂÉÔÙ ÇÒÕÙ U1 ≃ S 1 (ËÁÖÄÁÑ ÔÁËÁÑ ÏÒÂÉÔÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ× ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÄÌÉÎÙ × ÄÁÎÎÏÍ
ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÍ ËÏÍÌÅËÓÎÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å L ⊂ C2, ÓÒ. Ó n◦ 20.1.8). íÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÜÔÉÈ ÏÒÂÉÔ | ÜÔÏ ËÏÍÌÅËÓÎÁÑ ÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ ÒÑÍÁÑ P(C2), Ô. Å. ÒÉÍÁÎÏ×Á ÓÆÅÒÁ
S 2 (ÓÍ. ÒÉÓ. 18⋄4 ÎÁ ÓÔÒ. 317). òÁÓÓÌÏÅÎÉÅ èÏÆÁ | ÜÔÏ ÒÁÓÓÌÏÅÎÉÅ S 3 = C2 =R∗>0
ÎÁÄ S 2 = P(C2) = C2=C∗ ÓÏ ÓÌÏÑÍÉ | ÏÒÂÉÔÁÍÉ ÇÒÕÙ U1 .
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §22
úÁÄÁÞÁ 22.1. õËÁÖÉÔÅ × Mat2 (C) ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÂÁÚÉÓ, × ËÏÔÏÒÏÍ ÆÏÒÍÁ det ÉÍÅÅÔ
ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ çÒÁÍÁ Ó ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ (+1; −1; −1; −1).
úÁÄÁÞÁ 22.2. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
ÅÎÔÒ ÔÅÌÁ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ× ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ
ÞÉÓÔÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ×1: Z (H) def
= { ∈ H | q = q ∀ q ∈ H } = R · e .
úÁÄÁÞÁ 22.3. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ q ∈ H Ó q 2 = −1 ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ×
×ÉÄÁ + q
;
∈ R ÏÂÒÁÚÕÀÔ × H ÏÄÏÌÅ, ÉÚÏÍÏÒÆÎÏÅ C.
úÁÄÁÞÁ 22.4. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÎÅ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ
Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ É ÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍ
ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔÏÍ.
úÁÄÁÞÁ 22.5 (ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÙÅ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÙ). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) I = {q ∈ H | q∗ = −q} = {q ∈ H | q2 ∈ R⩽0 }
Â) ÂÉÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ (p; q) def
= (pq∗ + qp∗ )=2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Å×ËÌÉÄÏ×ÙÍ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÎÁ I
×) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ q2 = −1 × ÔÅÌÅ H ÜÔÏ ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÓÆÅÒÁ × I
Ç) ×ÓÅ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÂÁÚÉÓÙ × I , ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÔÁË ÖÅ, ËÁË (i; j ; k), ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ
Ä) I ÚÁÍËÎÕÔÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÏÍÍÕÔÁÔÏÒÎÏÊ ÓËÏÂËÉ [x; y℄ def
= xy − yx
Å) [x; y℄ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌÅÎ Ë x É y, Á ÄÌÉÎÁ [x; y℄ ÒÁ×ÎÁ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÌÏÝÁÄÉ
ÁÒÁÌÌÅÌÏÇÒÁÍÍÁ, ÎÁÔÑÎÕÔÏÇÏ ÎÁ x É y
úÁÄÁÞÁ 22.6. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ∀
∈ H ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ Ë×ÁÔÅÎÉÏÎÏÍ a
' :H
q7→ q −1 -
H
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ R-ÌÉÎÅÊÎÙÍ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÔÅÌÁ H É ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÊ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÉÚÏÍÅÔÒÉÅÊ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á I .
úÁÄÁÞÁ 22.7. ñ×ÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ 3 × 3 ÍÁÔÒÉ Õ '
∈ SO3 (R), ËÏÔÏÒÏÊ
ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ÂÁÚÉÓÅ i, j , k ÉÚ (22-7) ÏÂÒÁÚ ' ÄÁÎÎÏÊ ËÏÍÌÅËÓÎÏÊ 2 × 2
a7→ ' |I ÍÁÔÒÉ Ù a ∈ SU2 ÒÉ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÅ SU2
SOdet (I ) ≃ SO3 (R) .
1
× ÍÁÔÒÉÞÎÏÊ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÉ | ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÓËÁÌÑÒÎÙÈ ÍÁÔÒÉ
402
úÁÄÁÞÉ Ë §22
úÁÄÁÞÁ 22.8. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ SL2 (C) × SL2 (C)
- SOdet (C), ÅÒÅ×Ï-
ÄÑÝÅÅ ÁÒÕ ÍÁÔÒÉ g1 ; g2 ∈ SL2 (C) × ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ A 7→ g1 Ag2−1 ,
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÇÒÕ, ÎÁÊÄÉÔÅ ÅÇÏ ÑÄÒÏ É ÏÂÒÁÚ É Ñ×ÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ
ËÏÍÌÅËÓÎÕÀ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÕÀ 4 × 4-ÍÁÔÒÉ Õ, ËÏÔÏÒÕÀ ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ÏÅÒÁÔÏÒ,
ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÊ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÁÒÅ ÍÁÔÒÉ g1 ; g2 ∈ SL2 (C), × ÂÁÚÉÓÅ, ËÏÔÏÒÙÊ ÷Ù ÏÓÔÒÏÉÌÉ × ÚÁÄ. 22.1.
úÁÄÁÞÁ 22.9. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÎÁÂÏÒÙ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÍÕÌØÔÉ-
ÌÉËÁÔÉ×ÎÙÍÉ ÏÄÇÒÕÁÍÉ × H Á) 8 Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ× ±e; ±i; ±j ; ±k
Â) 16 Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ× (±e ± i ± j ± k)=2
√
×) 24 Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÁ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ ÉÚ (±e ± i)= 2 ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ ÂÕË× e; i; j ; k
Ç) 24 Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÁ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ÇÒÕ (a) É (Â) (ÓÒ. Ó ÚÁÄ. 14.16)
Ä) 120 Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ×, ÏÌÕÞÁÀÝÉÈÓÑ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ Ë ÇÒÕÅ (Ç) ÅÝ£ 96 Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÉÚÇÏÔÏ×ÉÔØ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ Þ£ÔÎÙÍÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ
√
ÂÕË× e; i; j ; k ÉÚ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ× (±e ± i ± −1 j )=2 , ÇÄÅ = (1 + 5)=2 .
Å) äÏËÁÖÉÔÅ, ÔÏ ÇÒÕÁ ÉÚ (Ä) ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ SL2 (F5 ) É ÇÏÍÏÍÏÒÆÎÏ ÎÁËÒÙ×ÁÅÔ
ÇÒÕÕ ÉËÏÓÁÜÄÒÁ A5 (ÏÜÔÏÍÕ Å£ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÂÉÎÁÒÎÏÊ ÇÒÕÏÊ ÉËÏÓÁÜÄÒÁ ).
òÁÚÄÅÌ VI
ðÏÌÉÌÉÎÅÊÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ
§23. ÅÎÚÏÒÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÏÄÕÌÅÊ
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÍÏÄÕÌÉ
V1 ; V 2 ; : : : ; Vn É W
ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ K . ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ' ÉÚ ÄÅËÁÒÔÏ×Á
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× Vi × ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï W :
(23-1)
' : V1 × V2 × · · · × Vn - W
1 , ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÔÄÅÌØÎÏ Ï ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ Ó×ÏÉÈ
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× ÒÉ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ:
'( : : : ; v′ + v′′ ; : : : ) = '( : : : ; v′ ; : : : ) + '( : : : ; v′′ ; : : : ) :
ÁË, 1-ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ V - W | ÜÔÏ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ, Á 2-ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ V × V - K | ÜÔÏ ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÆÏÒÍÙ ÎÁ ÍÏÄÕÌÅ V ; nÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ (23-1) ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÂÏÂÝÁÀÔ ÜÔÉ Ä×Á ÒÉÍÅÒÁ.
ðÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ (23-1) ÍÏÖÎÏ ÏÂÙÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÓËÌÁÄÙ×ÁÔØ É
ÕÍÎÏÖÁÔØ ÎÁ ÞÉÓÌÁ ÉÚ K , ÔÁË ÞÔÏ ÏÎÉ ÔÏÖÅ ÏÂÒÁÚÕÀÔ K -ÍÏÄÕÌØ. ïÎ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ Hom(V1; V2; : : : ; Vn; W ) .
23.1. ðÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ.
ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÍ
ÍÏÄÕÌÅÍ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ
23.1.1. ðÒÉÍÅÒ: ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×.
åÓÌÉ K = k | ÜÔÏ ÏÌÅ, É V1; V2; : : : ; Vn É W | ×ÅËÔÏÒÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ d1; d2; : : : ; dn É d ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ Hom(V1; V2; : : : ; Vn; W ) ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ
dimHom(V1; V2; : : : ; Vn; W ) = d1 · d2 · · · · · dn · d :
÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÚÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ × ËÁÖÄÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Vi ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÂÁÚÉÓ
e(1i) ; e(2i) ; : : : ; e(dii) ;
É ÂÁÚÉÓ e1; e2; : : : ; ed × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å W . ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ (23-1) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ó×ÏÉÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ
' e(1) ; e(2) ; : : : ; e(nn) ∈ W
(23-2)
1
1
2
ÉÌÉ n-ÌÉÎÅÊÎÙÍ , ËÏÇÄÁ ÖÅÌÁÔÅÌØÎÏ ÔÏÞÎÏ ÕËÁÚÁÔØ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×
403
404
§23. ÅÎÚÏÒÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÏÄÕÌÅÊ
ÎÁ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÓÏÞÅÔÁÎÉÑÈ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÉÚ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Vi, ÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ×ÅËÔÏÒÏ× v1; v2; : : : ; vn, ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ËÏÔÏÒÙÈ Ï
ÂÁÚÉÓÁÍ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ
di
X
vi =
(23-3)
x(ii) e(ii) ;
i =1
ÍÙ × ÓÉÌÕ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ' ÏÌÕÞÉÍ
X
x(1) · x(2) · · · · · x(nn) · ' e(1) ; e(2) ; : : : ; e(nn) :
'(v1 ; v2 ; : : : ; vn ) =
1
; 2 ;:::; n
1
2
1
2
(23-4)
òÁÓËÌÁÄÙ×ÁÑ ×ÅËÔÏÒÙ (23-2) Ï ÂÁÚÉÓÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á W :
'
e(1) ; e(2) ; : : : ; e(n)
1
n
2
=
d
X
=1
a( ; ;:::; n ) · e ;
1
2
ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÚÁËÏÄÉÒÏ×ÁÔØ
ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ' ÎÁÂÏÒÏÍ ÉÚ
d1 · d2 · · · · · dn · d ÞÉÓÅÌ a( ; ;:::; n ) ∈ k , ËÏÔÏÒÙÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÒÇÁÎÉÚÕÀÔÓÑ
× (n + 1)-ÍÅÒÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ1 ÒÁÚÍÅÒÁ d1 × d2 × · · · × dn × d. æÏÒÍÕÌÁ (23-4)
ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÜÔÉ ÍÁÔÒÉÞÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÁË
X
'(v1 ; v2 ; : : : ; vn ) = a( ; ;:::; n ) · x(1) · x(2) · · · · · x(nn) · e :
1
2
1
2
1
; 1 ;:::; n
2
ðÒÉ ÓÌÏÖÅÎÉÉ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ ÉÈ ÎÁ ÞÉÓÌÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÜÔÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍ ÍÁÔÒÉ Ù ÏÜÌÅÍÅÎÔÎÏ ÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔÓÑ É ÕÍÎÏÖÁÀÔÓÑ ÎÁ ÞÉÓÌÁ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ ÍÎÏÇÏÍÅÒÎÙÈ ÍÁÔÒÉ , É ÂÁÚÉÓÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÍÁÔÒÉ , ÓÏÓÔÏÑÝÅÍÕ ÉÚ ÍÁÔÒÉ Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ × ÏÚÉ ÉÉ (i1; i2; : : : ; in; j ) É ÎÕÌÑÍÉ × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ
ÍÅÓÔÁÈ ÏÔ×ÅÞÁÅÔj ÂÁÚÉÓ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ Æ(i ;i ;:::;in), ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÎÁ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× (23-3) Ï ÒÁ×ÉÌÕ
(2)
(n)
Æ(ji ;i ;:::;in ) : (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 7−→ x(1)
(23-5)
i · xi · · · · · xin · ej ;
Á ÎÁ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ (23-3) Ï | ÒÁ×ÉÌÕ
(
Æji ;i ;:::;in
ej ; ÅÓÌÉ k = ik ∀ k
e(1) ; e(2) ; : : : ; e(nn)
(23-6)
0 × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ.
åÓÌÉ × ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÈ ×ÓÀÄÕ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÓÌÏ×Á €ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔ؁ É
€×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ρ ÓÌÏ×ÁÍÉ €ÒÁÎǁ É €Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÍÏÄÕÌ؁, ÔÏ ×Ó£ ÓËÁÚÁÎÎÏÅ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ × ÓÉÌÅ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ
ÍÏÄÕÌÅÊ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÒÁÎÇÁ ÎÁÄ
ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ K .
1
2
1
2
1
( 1 2
1
2
)
2
Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ
ÒÉ n = 1 ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÂÙÞÎÁÑ 2-ÍÅÒÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á (1-) ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ V
ÒÁÚÍÅÒÁ k × m, ÇÄÅ k = dim V , m = dim W
1
- W
405
23.2. õÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
23.2. õÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ.
ÂÕÄØ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÍÏÄÕÌÅÊ
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÁËÏÅ-ÎÉ-
(23-7)
÷ÚÑÔÉÅ ËÏÍÏÚÉ
ÉÉ ÜÔÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÓÏ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ÏÅÒÁFW × ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÍÏÄÕÌØ W ÚÁÄÁ£Ô
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
ÔÏÒÁÍÉ U
ÍÏÄÕÌÅÊ
(23-8)
Hom(U; W ) F 7→F ◦ - Hom(V1; V2; : : : ; Vn; W )
ÉÚ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Hom(U; W ) ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× U F - W × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ V1 × V2 × · · · × Vn '- W .
V1 × V2 × · · · × Vn
-
U:
ÌÉÎÅÊÎÏÅ
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 23.1
ðÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ (23-7) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ
ÍÏÄÕÌÑ W ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ (23-8) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ.
éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏ, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ
ÍÏÄÕÌÑ W É ÌÀÂÏÇÏ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ VF1 × V2 × · · · × Vn ' - W
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ U - W ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ' = F ◦ ,
Ô. Å. ÁÒÁ
ÓÌÏÛÎÙÈ ÓÔÒÅÌÏË × ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ
ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ
ÄÌÑ ËÁÖÄÏ-
ÇÏ
ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÈ
V1 × V2 × · · · × Vn
'
-
U
F
- ?
W
×ÓÅÇÄÁ
ÚÁÍÙËÁÅÔÓÑ × ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ.
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ
ÕÎËÔÉÒÎÙÍ
ÌÉÎÅÊÎÙÍ
ìÅÍÍÁ 23.1
äÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÈ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ
V1 × V2 × · · · × Vn
1-
U1
É V1 × V2 × · · · × Vn - U2
2
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ U1 - U2 ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ 2 = 1 .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏÓËÏÌØËÕ É U1 , É U2 ÏÂÁ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ U1 F - U2 É U2 F - U1, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÓÔÒÁÉ×ÁÀÔÓÑ
× ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ
21
12
406
§23. ÅÎÚÏÒÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÏÄÕÌÅÊ
IdU1
U1 ======================
U1
1
6
1
-
V1 × V2 × · · · × Vn
F12
2
2
F21
- ?
U2 ====================== U2
12
... F
...
...
V1 × V2 × · · · × Vn
1 -
2
1
U1 U1
12
2
21
w
w
w
w
w
U2 2
w
w
w
w
w
Idw
U2
w
w
w
w
w
.-.
F ...
.
...
Idw
U1
1
-U
w2
...
.
F ...
..
21
. .-.
...
... F
w
w
w
w
w
Uw1 IdU2
-
U2
ïÂÅ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ F21F12 = IdU , F12F21 = IdU , ÏÓËÏÌØËÕ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÓÁÍÉÈ
ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÈ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ × ×ÉÄÅ 1 = '◦1 É 2 = ◦2 × ÓÉÌÕ
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÔÁËÏ×ÙÈ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÊ ×ÏÚÍÏÖÎÙ ÔÏÌØËÏ Ó ' = IdU , = IdU .
2
1
1
2
23.3. ÅÎÚÏÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÏÄÕÌÅÊ.
ÂÒÁÖÅÎÉÅ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ
õÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏ-
(23-9)
É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. úÎÁÞÅÎÉÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ
ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÎÁ ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ
(23-10)
(v1 ; v2 ; : : : ; vn ) = v1 ⊗ v2 ⊗ · · · ⊗ vn :
åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ, ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÇÏ
Ó ÔÅÎÚÏÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ×ÅËÔÏÒÏ×, ÍÏÄÕÌØ V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ Vn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÏÄÕÌÅÊ V1; V2; : : : ; Vn . üÌÅÍÅÎÔÙ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ Vn ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
. ÅÎÚÏÒÙ, ÌÅÖÁÝÉÅ × ÏÂÒÁÚÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ (23-9) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
.
V1 × V2 × · · · × Vn
-
V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ Vn
ÔÅÎÚÏÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ×ÅËÔÏÒÏ×
ÔÅÎÚÏÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ
ÔÅÎÚÏÒÁÍÉ
ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÍÉ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 23.1. ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÉÚ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÔÅÎÚÏÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅ-
ÎÉÑ, ÞÔÏ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÅ ÔÅÎÚÏÒÙ ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄÁÀÔ ÍÏÄÕÌØ V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ Vn .
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÎÁÕÇÁÄ ×ÚÑÔÙÊ ÔÅÎÚÏÒ ÏÂÙÞÎÏ ÎÅÒÁÚÌÏÖÉÍ É Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ
ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ ÍÏÎÏÍÏ× (23-10), Á ÒÁÚÌÏÖÉÍÏÓÔØ ÏÚÎÁÞÁÅÔ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÔØ ÜÔÕ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÀ Ë ÏÄÎÏÍÕ ÍÏÎÏÍÕ (ÒÁÚÌÏÖÉÔØ Å£ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ). ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ (23-9) ÎÅ ÌÉÎÅÊÎÏ, Á ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏ,
407
23.3. ÅÎÚÏÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÏÄÕÌÅÊ
ÅÇÏ ÏÂÒÁÚ ÏÂÙÞÎÏ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÍÏÄÕÌÅÍ. íÙ ÅÝ£ ÏÂÓÕÄÉÍ ÜÔÏ × n◦ 23.3.2 É
n◦ 23.4, Á ÓÅÊÞÁÓ ÕÓÔÒÁÎÉÍ ÏÄÉÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÌÏÇÉÞÅÓËÉÊ ÒÏÂÅÌ × ÎÁÛÉÈ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑÈ.
þÔÏÂÙ ÓÄÅÌÁÔØ ÏÎÑÔÉÅ ÔÅÎÚÏÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÓÏÄÅÒÖÁÔÅÌØÎÙÍ, ÂÙÌÏ ÂÙ
ÎÅÌÏÈÏ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ (23-9)
| ÓÁÍÏ Ï ÓÅÂÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÏÂÅÓÅÞÉ×ÁÅÔ ÌÉÛØ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÇÏ ÏÂßÅËÔÁ (ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ
ÞÔÏ ÏÎ ÅÓÔØ), ÎÏ ÎÅ ÄÁ£Ô
ÇÁÒÁÎÔÉÊ ÅÇÏ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ.
íÙ ÏÓÔÒÏÉÍ ÍÏÄÕÌØ V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ Vn ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ É ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ K -ÍÏÄÕÌØ V , ÂÁÚÉÓÏÍ × ËÏÔÏÒÏÍ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÓÌÏ×Á [v1v2 : : : vn℄ Ó ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍÉ vi ∈ Vi . ÷
ÜÔÏÍ ÂÏÌØÛÏÍ ÍÏÄÕÌÅ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÄÍÏÄÕÌØ R ⊂ V , ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÊ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÔÒ£ÈÞÌÅÎÎÙÍÉ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑÍÉ ×ÉÄÁ
[v1 : : : vi−1(u + w)vi+1 : : : vn℄−
(23-11)
− [v1 : : : vi−1 uvi+1 : : : vn ℄ − [v1 : : : vi−1 wvi+1 : : : vn ℄ ;
ÇÄÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÇÏÔÏÞÉÑÍÉ ÆÒÁÇÍÅÎÔÙ ÎÅ ÍÅÎÑÀÔÓÑ. ðÏÌÏÖÉÍ, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ
V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ Vn = V =R
(23-12)
v1 ⊗ v2 ⊗ · · · ⊗ vn = [w1 w2 : : : wn ℄ (mod R ) :
éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ Vn ÅÓÔØ ÍÏÄÕÌØ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÊ ËÏÎÅÞÎÙÍÉ K ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑÍÉ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÔÅÎÚÏÒÎÙÈ ÍÏÎÏÍÏ× v1 ⊗v2 ⊗ · · · ⊗vn (ÇÄÅ
vi ∈ Vi ), ËÏÔÏÒÙÅ ÏÄÞÉÎÑÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ: ÅÓÌÉ ÌÀÂÏÊ
ÉÚ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ (ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ) ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ ÌÉÎÅÊÎÏÊ
ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ×ÅËÔÏÒÏ×, ÔÏ ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÏÖÎÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÔØ Ï
ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ ÄÌÑ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓËÏÂÏË:
· · · ⊗ (u + w) ⊗ · · · = · ( · · · ⊗ u ⊗ · · · ) − ( · · · ⊗ w ⊗ · · · ) :
(23-13)
ÓÕÝÅ-
ÓÔ×ÕÅÔ
ÎÉËÁËÉÈ
ìÅÍÍÁ 23.2
ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ : V1 × V2 × · · · × Vn (v ;v ;:::;vn)7→v v ::: vn (mod R) - V =R Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÓÔØ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÞÅÓËÉ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ
ÎÁÌÏÖÅÎÎÙÈ ÎÁÍÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ É ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (23-13).
ðÒÏ×ÅÒÉÍ ÅÇÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÓÔØ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×
1
2
V1 × V2 × · · · × Vn
1 2
'-
W
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ F : V - W , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ
ÂÁÚÉÓÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ [v1v2 : : : vn℄ ∈ V × '(v1; v2; : : : ; vn) . äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÜÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÂÙÌÏ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ÎÁ ÆÁËÔÏÒ ÍÏÄÕÌÅ V =R , ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ R ⊂ ker F . üÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ ' É ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ F : ÄÌÑ
408
§23. ÅÎÚÏÒÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÏÄÕÌÅÊ
ËÁÖÄÏÇÏ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (23-11) ÉÍÅÅÍ
F [: : : (u + w) : : : ℄ − [: : : u : : : ℄ − [: : : w : : : ℄ =
= F [: : : (u + w) : : : ℄ − F [: : : u : : : ℄ − F [: : : w : : : ℄ =
= '(: : : ; (u + w); : : : ) − '(: : : ; u; : : : ) − '(: : : ; w; : : : ) = 0 ;
ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.
ìÅÍÍÁ 23.3
åÓÌÉ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÍÏÄÕÌÅÊ Vi Ó×ÏÂÏÄÅÎ Ó ÂÁÚÉÓÏÍ e(1i) ; e(2i) ; : : : ; e(dii) , ÔÏ ÍÏÄÕÌØ V1 ⊗
V2 ⊗ · · · ⊗ Vn ÔÁËÖÅ Ó×ÏÂÏÄÅÎ Ó ÂÁÚÉÓÏÍ
e(1) ⊗ e(2) ⊗ : : : ⊗ e(nn) ; 1 ⩽ i ⩽ di ;
(23-14)
Q
(× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, rk V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ Vn = rk Vi).
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ W Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ, ÂÁÚÉÓÏÍ ËÏÔÏÒÏÇÏ,
Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ (23-14), ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÂÕÄÅÍ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ÒÏÓÔÏ
ËÁË ÆÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÓÉÍ×ÏÌÙ. ðÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÅ
W , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ ËÁÖÄÙÊ ÎÁÂÏÒ ÂÁÚÉÓÎÙÈ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ(1)V1 ×(2)V2 × · · ·(n×) Vn
×ÅËÔÏÒÏ× e ; e ; : : : ; e n ∈ V1 × V2 × · · · × Vn × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÂÁÚÉÓÎÙÊ
ÓÉÍ×ÏÌ (23-14), Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÇÏ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
'
1
1
2
2
V1 × V2 × · · · × Vn - W
É ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ W F - W ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ' = F ◦ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÚÁÄÁ£Ô
ÄÅÊÓÔ×ÉÅ F ÎÁ ËÁÖÄÙÊ ÂÁÚÉÓÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ:
F ( e(1) ⊗ e(2) ⊗ : : : ⊗ e(nn) ) = '(e(1) ; e(2) ; : : : ; e(nn) )
É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ
ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÚÁÄÁ£Ô F . ðÏ ÌÅÍ. 23.1 ÉÍÅÅÔÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÚÏÍÏÒ∼
ÆÉÚÍ W - V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ Vn, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÊ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ
1
2
1
2
(23-14) ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á W × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÔÅÎÚÏÒÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÂÁÚÉÓÎÙÈ
×ÅËÔÏÒÏ×, ÌÅÖÁÝÉÅ × V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ Vn. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÏÓÌÅÄÎÉÅ ÔÏÖÅ ÏÂÒÁÚÕÀÔ
ÂÁÚÉÓ.
23.3.1. úÁÍÅÞÁÎÉÅ Ï ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ. ðÏÓÌÅÄÎÑÑ ÌÅÍÍÁ ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ ÓÉÌÕ ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ÍÏÄÕÌÅÊ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÒÁÎÇÁ: ÄÏÓÌÏ×ÎÏ ÔÏ ÖÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÊ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ÍÏÎÏÍÏ×
(23-14) (ËÏÔÏÒÙÈ × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÂÕÄÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ) ÏÂÌÁÄÁÅÔ
ÔÒÅÂÕÅÍÙÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ.
÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Vi = k[xi℄. ÷
ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÍÅÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×
k[x1 ℄ ⊗ k[x2 ℄ ⊗ · · · ⊗ k[xn ℄ ≃ k[x1 ; x2 ; : : : ; xn ℄ ;
m
mn
ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ
ËÁÖÄÏÍÕ
ÂÁÚÉÓÎÏÍÕ
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ
xm
1 ⊗ x2 ⊗ · · · ⊗ xn ÏÂÙÞÎÙÊ ÍÏÎÏÍ xm1 xm2 · · · xmn n .
1
1
2
2
409
23.4. éÚÏÍÏÒÆÉÚÍ U ∗ ⊗ V ≃ Hom(U; V ) É ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ
23.3.2. ðÒÉÍÅÒ: ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ óÅÇÒÅ. ðÕÓÔØ K = k | ÏÌÅ, É
V1 ; V2 ; : : : ; Vn
×ÅËÔÏÒÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÄ ÎÉÍ. éÚ ÌÅÍ. 23.3 ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ Vn ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÍÉ ÔÅÎÚÏÒÁÍÉ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÓÁÍÏ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÈ ÔÅÎÚÏÒÏ×, ËÁË ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ, ×ÅËÔÏÒÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É ÏÂÒÁÚÕÅÔ ×ÎÕÔÒÉ V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ Vn ÎÅÌÉÎÅÊÎÏÅ
ÏÄÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ, ÒÏÅËÔÉ×ÉÚÁ ÉÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
.
çÏ×ÏÒÑ ÔÏÞÎÅÅ, ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ óÅÇÒÅ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÏÂÒÁÚ
ÉÚ ÒÑÍÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Pmi = P(Vi) × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Pm = P (V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ Vn) :
s : Pm × · · · × Pmn - Pm ;
ËÏÔÏÒÏÅ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÎÁÂÏÒ ÏÄÎÏÍÅÒÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÎÁÔÑÎÕÔÙÈ ÎÁ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ vi ∈ Vi , × ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÍ
ÔÅÎÚÏÒÏÍ v1 ⊗ v2 ⊗ · · · ⊗ vn .
ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅÍ óÅÇÒÅ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
óÅÇÒÅ
1
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 23.2. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ1 É
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÌÏÖÅÎÉÅÍ.
ðÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÀ, ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ óÅÇÒÅ ÏÎÏ ÚÁÍÅÔÁÅÔÓÑ n ÓÅÍÅÊÓÔ×ÁÍÉ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ m1; m2 ; : : : ; mn. ë×ÁÄÒÉËÁ óÅÇÒÅ ÉÚ n◦ 19.2.1
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÓÔÅÊÛÉÍ ÒÉÍÅÒÏÍ ÔÁËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ.
23.4. éÚÏÍÏÒÆÉÚÍ U ∗ ⊗ V ≃ Hom(U; V ) É ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ. äÌÑ
ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U É W ÉÍÅÅÔÓÑ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
U ∗ × W - Hom(U; V ) ;
ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÁÒÅ (; w) ∈ U ∗ × W ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ U - W , ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÅÅ Ï ÒÁ×ÉÌÕ
U ∋ u 7−→ (u) w ∈ W :
(23-15)
üÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒ ÒÁÎÇÁ 1, ÏÂÒÁÚÏÍ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ 1-ÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
× W , ÎÁÔÑÎÕÔÏÅ ÎÁ ×ÅËÔÏÒ w, Á ÑÄÒÏÍ | ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ann () ⊂ U ËÏÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ 1.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 23.3. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F : U
ÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ (23-15) Ó ÏÄÈÏÄÑÝÉÍÉ ∈ U É w ∈ W .
∗
- W ÒÁÎÇÁ 1 ÒÅÄ-
÷ ÓÉÌÕ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÓÔÉ ÔÅÎÚÏÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ, ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ
ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
(23-16)
U ∗ ⊗ V - Hom(U; V )
Ô. Å. ÔÅÎÚÏÒ v ⊗ v ⊗ · · · ⊗ vn ÏÔÌÉÞÅÎ ÏÔ ÎÕÌÑ É ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ ÎÁ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙÊ ÒÉ
ÚÁÍÅÎÅ ×ÅËÔÏÒÏ× vi ÎÁ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙÅ
1
1
2
410
§23. ÅÎÚÏÒÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÏÄÕÌÅÊ
ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÊ ÔÅÎÚÏÒ ⊗ w × ÏÅÒÁÔÏÒ (23-15). åÓÌÉ ÏÂÁ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U É V ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙ, ÔÏ ÜÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ. þÔÏÂÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÜÔÏÍ, ÚÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ U É W ÂÁÚÉÓÙ
u1 ; u2 ; : : : ; un É w1 ; w2 ; : : : ; wm . ÏÇÄÁ mn ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÈ ÔÅÎÚÏÒÏ× u∗i ⊗ wj (ÇÄÅ
u∗1 ; u∗2 ; : : : ; u∗n ∈ U ∗ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë u1 ; u2 ; : : : ; un ÂÁÚÉÓ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ∗) ÏÂÒÁÚÕÀÔ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍ. 23.2, ÂÁÚÉÓ ÔÅÎÚÏÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ U ∗ ⊗ V ,
Á ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÉÍ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÂÕÄÕÔ ÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ ÎÁ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U Ï ÒÁ×ÉÌÕ
(
wj ÒÉ k = i
u∗i ⊗ wj : uk 7−→
0 × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ
éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÍÁÔÒÉ Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ u∗i ⊗ wj × ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ÎÁÍÉ ÂÁÚÉÓÁÈ | ÜÔÏ
ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÁÑ ÂÁÚÉÓÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ × ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ j -ÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ É i-ÔÏÇÏ
ÓÔÏÌÂ Á É Ó ÎÕÌÑÍÉ × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÍÅÓÔÁÈ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÊ ÂÁÚÉÓ
ÔÅÎÚÏÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ U ∗ ⊗ V ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÅÒÁÔÏÒÏ×.
îÁ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ÑÚÙËÅ ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÒÁÎÇÁ 1, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÅ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ, ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ óÅÇÒÅ
S ⊂ Pmn−1 = P(Hom(U; W )) :
ïÎÏ ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄÁÅÔ ×Ó£ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï P(Hom(U; W )). åÓÌÉ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØ ×
ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ P(Hom(V; W )) ÍÁÔÒÉÞÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ (aij )
ÏÅÒÁÔÏÒÏ× × ËÁËÉÈ-ÎÉÂÕÄØ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÂÁÚÉÓÁÈ, ÔÏ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ óÅÇÒÅ
ÍÏÖÎÏ ÚÁÄÁÔØ × ÜÔÉÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ÓÉÓÔÅÍÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ | ÏÂÒÁÝÅÎÉÅÍ × ÎÕÌØ ×ÓÅÈ ÍÉÎÏÒÏ× ×ÔÏÒÏÇÏ ÏÒÑÄËÁ:
det
ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ óÅÇÒÅ
aij aik
a`j a`k
= aij a`k − aik a`j = 0 :
= P(U ∗) × P(V ) - Pmn−1 = P(Hom(U; W )) ;
ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ ÁÒÕ ÔÏÞÅË (; w) × ÔÏÞËÕ ⊗w, ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÂÉÅË ÉÀ ÍÅÖÄÕ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× É ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅÍ óÅÇÒÅ. ïÎÏ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ
ÁÒÕ ÔÏÞÅË Ó ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (x1 : x2 : · · · : xn) É (y1 : y2 : · · · : yn)
× ÔÏÞËÕ, ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ ËÏÔÏÒÏÊ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ mn ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ xj yi, Ô. Å. ÍÁÔÒÉ Á yt · x ÒÁÎÇÁ 1 (ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÓÔÏÌ Á y ÎÁ ÓÔÒÏËÕ
x) . ä×Á ÓÅÍÅÊÓÔ×Á €ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÌÏÓËÏÓÔÅʁ × Pm−1 É Pn−1 × w ÒÉ ÜÔÏÍ
ÅÒÅÊÄÕÔ × Ä×Á ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÚÁÍÅÔÁÀÝÉÈ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ óÅÇÒÅ. ðÒÉ dim U = dim W = 2 ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÏÂÓÕÖÄÁ×ÛÕÀÓÑ ×
n◦ 19.2.1 ÂÉÅË ÉÀ ÍÅÖÄÕ P1 × P1 É ÄÅÔÅÒÍÉÎÁÎÔÎÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÏÊ óÅÇÒÅ × P3.
Pn−1 × Pm−1
411
23.5. ÅÎÚÏÒÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÁÂÅÌÅ×ÙÈ ÇÒÕ
äÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÍÏÄÕÌÅÊ Vi ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ K ÉÚ ÄÁÎÎÏÇÏ × n 23.3 ÏÉÓÁÎÉÑ ÍÏÄÕÌÑ
23.5. ÅÎÚÏÒÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÁÂÅÌÅ×ÙÈ ÇÒÕ.
◦
V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ Vn
× ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ É ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÎÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ ÎÉ ÅÇÏ ÓÔÒÏÅÎÉÅ, ÎÉ ÄÁÖÅ
ÏÔÌÉÞÅÎ ÏÎ ÏÔ ÎÕÌÑ ÉÌÉ ÎÅÔ.
ðÒÏÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕÅÍ ÜÔÏ ÎÁ ÒÉÍÅÒÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÔÅÎÚÏÒÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÈ Z-ÍÏÄÕÌÅÊ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÄÌÑ ËÒÁÔËÏÓÔÉ ÞÅÒÅÚ Zn ÁÄÄÉÔÉ×ÎÕÀ ÁÂÅÌÅ×Õ ÇÒÕÕ ×ÙÞÅÔÏ× Z=(n) , ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÕÀ ËÁË ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ËÏÌØ ÏÍ
Z. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÒÉ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙÈ m É n ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Zm ⊗ Zn = 0, ÇÄÅ ÍÙ
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ÞÅÒÅÚ 0 ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ ÍÏÄÕÌØ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ÏÄÎÏÇÏ ÔÏÌØËÏ ÎÕÌÅ×ÏÇÏ
×ÅËÔÏÒÁ.
÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÒÉ ÎÏÄ(m; n) = 1 ËÌÁÓÓ [n℄m ∈ Zm ÏÂÒÁÔÉÍ × ËÏÌØ Å Z=(m),
É ËÁÖÄÏÅ ÞÉÓÌÏ a ∈ Zm ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ a = n · a′, ÇÄÅ a′ = [n℄−1 a . ó
ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ b ∈ Zn ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ nb = 0 × Zn. ðÏÜÔÏÍÕ × ÓÉÌÕ
ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ ÔÅÎÚÏÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÙ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÉÍÏÇÏ ÔÅÎÚÏÒÁ
a ⊗ b ∈ Zm ⊗ Zn ÉÍÅÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
a ⊗ b = ( n · a′ ) ⊗ b = n · ( a ′ ⊗ b ) = a ′ ⊗ ( n · b ) =
= ′ ⊗ 0 = ′ ⊗ (0 · 0) = 0 · ( ′ ⊗ 0) = 0 ;
Á ÏÓËÏÌØËÕ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÅ ÔÅÎÚÏÒÙ ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄÁÀÔ ÔÅÎÚÏÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ,
ÏÎÏ ÎÕÌÅ×ÏÅ.
÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÔÅÅÒØ ÔÅÎÚÏÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Zpn ⊗ Zpm ÒÉ n ⩽ m. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
Zpn × Zpm
- Zpn ;
ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ ÁÒÕ ×ÙÞÅÔÏ× ([a℄pn ; [b℄pm ) × ×ÙÞÅÔ [ab℄pn = ab · [1℄pn ÂÉÌÉÎÅÊÎÏ.
ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÏÎÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
Zpn × Zpm
'-
W
×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï '([a℄pn ; [b℄pm ) = ab · ' ([1℄pn ; [1℄pm ) , ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ F : Zpn - W , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ ' = F ◦, ÏÂÑÚÁÎÏ
ÅÒÅ×ÏÄÉÔØ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ [1℄pn ∈ Zpn × ' ([1℄pn ; [1℄pm ) . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ F ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ. ÁË ËÁË ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔ e = [1℄pn ∈ Zpn Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï pn · e = 0, ËÏÔÏÒÏÍÕ
ÜÌÅÍÅÎÔ ' ([1℄pn ; [1℄pm ) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ, ÏÓËÏÌØËÕ
pn · ' ([1℄pn ; [1℄pm ) = ' (pn · [1℄pn ; [1℄pm ) = ' (0; [1℄pm ) = 0 ;
ÍÙ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÒÁ×ÉÌÏ [1℄pn 7−→ ' ([1℄pn ; [1℄pm ) ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
F : Zpn - W ;
412
§23. ÅÎÚÏÒÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÍÏÄÕÌÅÊ
ÞÔÏ É ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÓÔØ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
Zpn ⊗ Zpm ≃ Zpmin(n;m) :
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 23.4. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Z ⊗ A ≃ A ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÁÂÅÌÅ×ÏÊ ÇÒÕÙ A .
÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÔÅÎÚÏÒÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÈ
ÁÂÅÌÅ×ÙÈ ÇÒÕ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÎÙÍ ÓÌÕÞÁÑÍ ÒÉ ÏÍÏÝÉ
ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÈ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ É ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ, ÏÂÓÕÖÄÁÅÍÙÈ ÎÉÖÅ.
23.6. ëÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÙ. ÷ÓÀÄÕ ÄÁÌÅÅ ÒÅÞØ ÉÄ£Ô Ï ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ
ÍÏÄÕÌÑÈ ÎÁÄ ÌÀÂÙÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ K . ìÉÎÅÊÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
(23-17)
f : V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ Vn - W
ÞÁÓÔÏ ÂÙ×ÁÅÔ ÕÄÏÂÎÏ ÚÁÄÁ×ÁÔØ ÕËÁÚÁÎÉÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÊ f ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÈ
×ÅËÔÏÒÏ×
v1 ⊗ v2 ⊗ · · · ⊗ vn 7−→ f (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) ;
(23-18)
Á ÚÁÔÅÍ Ï ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ ÒÏÄÏÌÖÁÔØ ÜÔÏ ÒÁ×ÉÌÏ ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÔÅÎÚÏÒÙ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÅ ÔÅÎÚÏÒÙ ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄÁÀÔ V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ Vn, ÔÁËÏÅ
ÏÉÓÁÎÉÅ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ f ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ ÏÎÏ ËÏÒÒÅËÔÎÏ: ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÈ ÔÅÎÚÏÒÏ×, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÏ1 , É ×ÓÅ ÉÍÅÀÝÉÅÓÑ
ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÄÏÌÖÎÙ ×ÙÏÌÎÑÔØÓÑ É ÍÅÖÄÕ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ
(23-18) × ÍÏÄÕÌÅ W . üÔÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄÁÀÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ
ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ (ÉÌÉ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ) (23-13). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ
ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ËÒÉÔÅÒÉÊ:
ìÅÍÍÁ 23.4
åÓÌÉ ×ÅËÔÏÒÙ f (v1; v2; : : : ; vn) × (23-18) ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ×ÅËÔÏÒÏ× vi (Ô. Å.
ÌÉÎÅÊÎÙ Ï ËÁÖÄÏÍÕ vi ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ), ÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ (23-17), ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÎÁ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÅ ÔÅÎÚÏÒÙ
Ï ÒÁ×ÉÌÕ
v1 ⊗ v2 ⊗ · · · ⊗ vn 7−→ f (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) :
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 23.1
éÍÅÅÔÓÑ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ U ⊗ W ≃ W ⊗ U , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÊ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÊ
ÔÅÎÚÏÒ u ⊗ w × w ⊗ u .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÒÁ×ÉÌÏ u ⊗ w 7−→ w ⊗ u ÂÉÌÉÎÅÊÎÏ Ï u, w É Ï ÌÅÍ. 23.4
ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ U ⊗ W - W ⊗ U . ðÏ ÔÅÍ ÖÅ
ÒÉÞÉÎÁÍ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ W ⊗ U - U ⊗ W , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ
w ⊗ u × u ⊗ w. üÔÉ Ä×Á ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÏÂÒÁÔÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ (ÏÓËÏÌØËÕ ÏÂÅ ÉÈ
ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ ÎÁ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÈ ÔÅÎÚÏÒÁÈ, ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÈ ÔÅÎÚÏÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ), É ÚÎÁÞÉÔ, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ. ÎÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ K | ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÏÌÅ, Á Vi | ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V ⊗ V ⊗ · · · ⊗ Vn ÔÏÖÅ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏ, Á ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÈ ÔÅÎÚÏÒÏ× × Î£Í ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÍÎÏÇÏ
1
1
2
413
23.6. ëÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÙ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 23.2
éÍÅÀÔÓÑ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÙ V ⊗ (U ⊗ W ) ≃ V ⊗ U ⊗ W ≃ (V ⊗ U ) ⊗ W ,
ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÅ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÅ ÔÅÎÚÏÒÙ v ⊗(u⊗w), v ⊗u⊗w É (v ⊗u)⊗w .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÅÎÚÏÒ v ⊗ (u ⊗ w ) ∈ V ⊗ (U ⊗ W ) ÔÒÉÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ
(v; u; w). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, Ï ÌÅÍ. 23.4 ÉÍÅÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
V ⊗ U ⊗ W - V ⊗ (U ⊗ W ) ;
ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ v ⊗ u ⊗ w × v ⊗ (u ⊗ w). ïÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÓÔÒÏÉÔÓÑ × Ä×Á ÛÁÇÁ.
ðÒÉ ËÁÖÄÏÍ v ∈ V ÔÅÎÚÏÒ v ⊗ u ⊗ w ÂÉÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ u É w, É ÚÎÁÞÉÔ, Ï
ÌÅÍ. 23.4 ÍÙ ÉÍÅÅÍ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
v : U ⊗ W
u⊗w7→v⊗u⊗w -
V ⊗U ⊗W ;
ËÏÔÏÒÏÅ ÓÁÍÏ Ï ÓÅÂÅ ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ v , Ô. Å. ÔÅÎÚÏÒ v (t) = v ⊗ t ÂÉÌÉÎÅÅÎ
Ï v ∈ V É t ∈ U ⊗ W . ðÏ ÌÅÍ. 23.4 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
V ⊗ (U ⊗ W ) - V ⊗ U ⊗ W ;
ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ v ⊗ (u ⊗ w) × v ⊗ u ⊗ w, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ. éÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÅÖÄÕ
V ⊗ U ⊗ W É (V ⊗ U ) ⊗ W ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ.
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 23.3
éÍÅÀÔÓÑ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÙ
V ⊗ (U ⊕ W ) ≃ (V ⊗ U ) ⊕ (V ⊗ W ) É (U ⊕ W ) ⊗ V ≃ (U ⊗ V ) ⊕ (W ⊗ V ) ;
ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÎÁ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÅ ÔÅÎÚÏÒÙ Ï ÒÁ×ÉÌÁÍ:
v ⊗ (u ∔ w ) ⇆ (v ⊗ u) ∔ (v ⊗ w ) É (u ∔ w ) ⊗ v ⇆ (u ⊗ v ) ∔ (w ⊗ v )
ÇÄÅ ÞÅÒÅÚ a ∔ b ÄÌÑ a ∈ A É b ∈ B ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÏ ÓÌÏÖÅÎÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× (a; 0) É (0; b)
× ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÅ ÍÏÄÕÌÅÊ A ⊕ B .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ ÅÒ×ÙÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ | ×ÔÏÒÏÊ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÉÚ ÎÅÇÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ ÒÅÄÌ. 23.1. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
V ⊗ (U ⊕ W )
(V ⊗ U ) ⊕ (V ⊗ W )
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÏÓËÏÌØËÕ (v ⊗ u) ∔ (v ⊗ w) ÂÉÌÉÎÅÅÎ Ï v É u ∔ w. ïÂÒÁÔÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÓÎÏ×Á ÓÔÒÏÉÔÓÑ × Ä×Á ÛÁÇÁ: ÓÎÁÞÁÌÁ ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ × ÎÁÌÉÞÉÉ ÌÉÎÅÊÎÙÈ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ
'1 : V ⊗ U - V ⊗ (U ⊕ W ) É '2 : V ⊗ W - V ⊗ (U ⊕ W ) ;
v⊗(u∔w)7→(v⊗u)∔(v ⊗w) -
414
úÁÄÁÞÉ Ë §23
ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÎÁ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÅ ÔÅÎÚÏÒÙ Ï ÒÁ×ÉÌÁÍ
v ⊗ u 7→ v ⊗ (u ∔ 0) É v ⊗ w 7→ v ⊗ (0 ∔ w) ;
ÚÁÔÅÍ ËÏÍÂÉÎÉÒÕÅÍ ÉÈ × ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
: (V ⊗ U ) ⊕ (V ⊗ W ) a∔b7→' (a)+' (b) - V ⊗ (U ⊕ W ) ;
ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÌÉÎÅÊÎÏÅ É ÏÂÒÁÔÎÏÅ Ë ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÍÕ × ÎÁÞÁÌÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á.
1
2
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §23
úÁÄÁÞÁ 23.1. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÂÏÒ ×ÅËÔÏÒÏ× v1 ; v2 ; : : : ; vn , vi ∈ Vi , ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÎÕÌÅ×ÏÊ ×ÅËÔÏÒ, ËÏÇÄÁ ÌÀÂÏÅ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ V1 ×
'
V2 × · · · × Vn - W ÚÁÎÕÌÑÅÔÓÑ ÎÁ ÜÔÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ×ÅËÔÏÒÏ×?
úÁÄÁÞÁ 23.2. ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ (23-16) ÚÁÉÛÅÍ ÏÅÒÁÔÏÒÙ
U
P
A-
V É V
B-
W
P
∗
∗
× ×ÉÄÅ A =
⊗ a , B =
⊗ b Ó ∈ U , a ∈ V , ∈ V , b ∈ W .
úÁÉÛÉÔÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ BA ∈ Hom(U; W ) ≃ U ∗ ⊗ W .
úÁÄÁÞÁ 23.3. ðÕÓÔØ ei ∈ V É xi ∈ V ∗ | Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÂÁÚÉÓÙ. ÷ ËÁËÏÊ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ÅÒÅÈÏÄÉÔ ÒÉ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÅ EndV ≃ V ∗ ⊗ V ÔÅÎÚÏÒ ëÁÚÉÍÉÒÁ
X
x i ⊗ ei = x 1 ⊗ e1 + x 2 ⊗ e2 + · · · + x n ⊗ en ∈ V ∗ ⊗ V
- End(V )∗ , ËÏÔÏÒÁÑ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ×ÅËÔÏÒ ⊗ v ∈ V ∗ ⊗ V ≃ End(V ) × ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÏÒÍÕ End(V ) - k, ÚÎÁ-
úÁÄÁÞÁ 23.4. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÏÒÒÅÌÑ ÉÀ : End(V )
ÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ ÒÁÚÌÏÖÉÍÏÍ ÏÅÒÁÔÏÒÅ v′ ⊗ ′ ∈ V ∗ ⊗ V ≃ End(V ) ÒÁ×ÎÏ
(v′ ) · ′ (v). ëÁËÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ÎÁ Hom(V; V ) ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÜÔÁ ËÏÒÒÅÌÑ ÉÑ?
÷ÙÒÏÖÄÅÎÁ ÌÉ ÜÔÁ ÆÏÒÍÁ? óÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ ÌÉ ÏÎÁ? ëÁËÁÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ
ÅÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ? îÁÉÛÉÔÅ ÆÏÒÍÕÌÕ, ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÕÀ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÙ ÎÁ
ÏÅÒÁÔÏÒÁÈ A É B , ÉÓÏÌØÚÕÑ ÔÏÌØËÏ ÂÕË×Ù A É B É ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÍÁÔÒÉ ÁÍÉ
(ÎÅ ÒÉÂÅÇÁÑ Ë ×ÙÂÏÒÕ ÂÁÚÉÓÏ× É ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÎÉÀ ÍÁÔÒÉÞÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×).
úÁÄÁÞÁ 23.5. ðÏÓÔÒÏÊÔÅ ÄÌÑ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U , V , W ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ
ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÙ Á) U ∗ ⊗ V ∗ ≃ (U ⊗ V )∗ Â) Hom(Hom(U; V ); W ) ≃ Hom(V; U ⊗ W )
úÁÄÁÞÁ 23.6. ðÕÓÔØ U , V
| ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ. Á) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
Hom U ⊗ Hom(U; W ) ; W ; End Hom(U; W ) ; Hom U ; W ⊗ Hom(U; W )∗
415
úÁÄÁÞÉ Ë §23
ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ. Â) ÷ÙÑÓÎÉÔÅ, ËÁËÏÍÕ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Hom(U; W ) ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÒÉ ÜÔÏÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
U ⊗ Hom(U; W )
- W;
ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÎÁ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÅ ÔÅÎÚÏÒÙ Ï ÒÁ×ÉÌÕ (u ⊗ ') = '(u). ×) ÷ÅÒÎÏ ÌÉ,
e
ÞÔÏ ÏÅÒÁÔÏÒ U - Hom(U; W )∗ ⊗ W , ËÏÔÏÒÙÊ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÅÒÁÔÏÒÕ ,
×ÓÅÇÄÁ ÉÎßÅËÔÉ×ÅÎ?
úÁÄÁÞÁ 23.7. ðÕÓÔØ U , V , W | ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÁÄ ÒÏ-
ÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
End(U ⊗ V ⊗ W ) É Hom Hom(U; V ) ⊗ Hom(V; W ) ; Hom(U; W )
ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÙ, É ×ÙÑÓÎÉÔÅ, ËÁËÏÍÕ ÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ
Hom(U; V ) ⊗ Hom(V; W )
- Hom(U; W )
ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á U ⊗ V ⊗ W .
úÁÄÁÞÁ 23.8. äÌÑ ÌÀÂÙÈ ÍÏÄÕÌÅÊ ÎÁÄ ÌÀÂÙÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ
ÏÓÔÒÏÊÔÅ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÙ Á) (M ⊕ N ) ⊗ L = (M ⊗ L) ⊕ (N ⊗ L)
Â) Hom(M ⊕ N; L) = Hom(M; L) ⊕ Hom(N; L)
×) Hom(L; M ⊕ N ) = Hom(L; M ) ⊕ Hom(L; N )
Ç) Hom(L ⊗ M; N ) = Hom(L; Hom(M ⊗ N ))
úÁÄÁÞÁ 23.9. ïÉÛÉÔÅ ÁÂÅÌÅ×Õ ÇÒÕÕ1 :
×) Z=(m) ⊗ Z=(n) , ÇÄÅ (m; n) = (1)
Á) Z=(3) ⊗ Z=(4)
Â) Z=(6) ⊗ Z=(4)
Ç) Z=(pm ) ⊗ Z=(pn ) , ÇÄÅ p | ÒÏÓÔÏÅ.
úÁÄÁÞÁ 23.10. ïÉÛÉÔÅ (ÁÄÄÉÔÉ×ÎÕÀ2 ) ÁÂÅÌÅ×Õ ÇÒÕÕ:
Â) Hom(Z=(6); Z=(10)
Ç) Hom(Z=(pm ); Z=(pn ) , ÇÄÅ p | ÒÏÓÔÏÅ
Á) Hom(Z=(6); Z=(5))
×) Hom(Z=(m); Z=(n) , ÇÄÅ (m; n) = (1)
úÁÄÁÞÁ 23.11. ïÉÛÉÔÅ ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÕÀ3 ÁÂÅÌÅ×Õ ÇÒÕÕ:
Á) Aut (Z=(30))
Â) Aut (Z=(2) ⊕ Z)
×) Aut (Z=(pn )) , ÇÄÅ p | ÒÏÓÔÏÅ
úÁÄÁÞÁ 23.12. ðÏÓÔÒÏÊÔÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á n { ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ
Á) Ó ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ V ⊗n
V ∗ × ··· × V ∗
- k
Â) Ó ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍ Ë V ∗ ⊗n .
úÁÄÁÞÁ 23.13. îÁÊÄÉÔÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÔÒÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ
':V ×V ×V
- k
ÕËÁÖÉÔÅ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ × ×ÉÄÅ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÙ ÉËÌÉÞÅÓËÉÈ ÇÒÕ Z É
( )
ÇÒÕÏ×ÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ ÚÄÅÓØ | ÓÌÏÖÅÎÉÅ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×
ÇÒÕÏ×ÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ ÚÄÅÓØ | ËÏÍÏÚÉ ÉÑ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×
1
Z= pm
2
3
416
úÁÄÁÞÉ Ë §23
ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ∀ u; v; w ∈ V ÕÓÌÏ×ÉÑÍ: Á) '(u; v; w) = '(v; u; w) = '(u; w; v)
Â) '(u; v; w) = '(v; u; w)
×) '(u; v; v) = '(u; u; v) = 0
Ç) '(u; u; u) = 0
Ä) '(u; v; w) = '(v; u; w) = '(u; w; w) Å) '(u; v; w) + '(v; w; u) + '(w; u; v) = 0
Ö) '(u; v; w) = '(v; w; u)
úÁÄÁÞÁ 23.14. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ∈ V ∗ . îÁÚÏ×£Í ×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ
ÎÁ ÏÅÒÁÔÏÒ i : V ⊗(n+1) - V ⊗n , Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒÕ ÌÅ×ÏÇÏ ÔÅÎÚÏÒ 7→⊗ - ∗ ⊗(n+1)
ÎÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ : V ∗ ⊗n
V
ÒÉ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÍ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÅÎÉÉ V ⊗n Ó V ∗ ⊗n ∗ ÉÚ ÚÁÄ. 23.12. ÷ÙÑÓÎÉÔÅ, ÜÉÍÏÒÆÅÎ ÌÉ ÏÅÒÁÔÏÒ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ, É Ñ×ÎÏ ÏÉÛÉÔÅ ÅÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÎÁ ÚÁÄÁÎÎÕÀ n-ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÏÒÍÕ
w : V ∗ × ··· × V ∗
- k:
§24. ÅÎÚÏÒÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
(V ). ÷ÓÀÄÕ × ÜÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ
ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ÞÅÒÅÚ V ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ k . ÅÎÚÏÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ
V ⊗n = |V ⊗ V ⊗{z· · · ⊗ V}
24.1. ó×ÏÂÏÄÎÁÑ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ n-ÔÏÊ
Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ,
n
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V . íÙ ÔÁËÖÅ ÏÌÁÇÁÅÍ,
V ⊗0 = k É V ⊗1 = V :
÷ÓÅ ÔÅÎÚÏÒÎÙÅ ÓÔÅÅÎÉ ÏÂßÅÄÉÎÑÀÔÓÑ × (ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÕÀ) ÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ
TV def
= n⊕⩾0 V ⊗n :
óÏÇÌÁÓÎÏ ÒÅÄÌ. 23.2 ÔÅÎÚÏÒÎÏÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ× ÚÁÄÁ£Ô ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å
TV ÓÔÒÕËÔÕÒÕ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÊ ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÁÄÕÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ. åÓÌÉ ×ÙÂÒÁÔØ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÂÁÚÉÓ {e }, ÔÏ ÜÔÕ ÁÌÇÅÂÒÕ ÍÏÖÎÏ
×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË ÁÌÇÅÂÒÕ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ
ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ e ,
ÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÅ ÍÏÎÏÍÙ ×ÉÄÁ
(24-1)
e ⊗ e ⊗ · · · ⊗ e m
ÓÏÓÔÁ×ÑÔ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÌÅÍ. 23.3, ÂÁÚÉÓ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á TV ÎÁÄ k. ðÅÒÅÍÎÏÖÅÎÉÅ ÍÏÎÏÍÏ× (24-1) ÓÏÓÔÏÉÔ × ÒÉÉÓÙ×ÁÎÉÉ ÉÈ ÄÒÕÇ Ë ÄÒÕÇÕ ÞÅÒÅÚ ÚÎÁÞÏË ⊗. ëÏÍÏÎÅÎÔÁ V ⊗n ⊂ TV ÒÉ ÔÁËÏÊ ÉÎÔÅÒÒÅÔÁ ÉÉ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ×ÓÅÈ
ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ n.
áÌÇÅÂÒÁ TV ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V , Á ÔÁËÖÅ
k
, ÏÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ V .
÷ÔÏÒÏÅ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÏÂÕÓÌÏ×ÌÅÎÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ×ÌÏÖÅÎÉÑ
(24-2)
: V - TV
× ËÁÞÅÓÔ×Å ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ⊗1 ⊂ TV , ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÍÕ Ó×ÏÊÓÔ×Õ
ÂÁÚÉÓÁ Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÊf k-ÁÌÇÅÂÒÙ A É
ÌÀÂÏÇÏ k-ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× V - A ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÁÌÇÅÂÒ TV - A ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ f = ◦. éÎÙÍÉ
ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÙ ÁÌÇÅÂÒ TV - A ÂÉÅËÔÉ×ÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÌÉÎÅÊÎÙÍ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÍ V - A .
ÔÅÎÚÏÒÎÏÊ ÓÔÅÅÎØÀ
ÎÅËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ
1
2
ÔÅÎÚÏÒÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÏÊ
ÂÏÄÎÏÊ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÊ
Ó×Ï-
-ÁÌÇÅÂÒÏÊ
⊂
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 24.1. óÌÅÄÕÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Õ ÌÅÍ. 23.1 ÕÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁ TV
×ÍÅÓÔÅ Ó ×ÌÏÖÅÎÉÅÍ (24-2) ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÜÔÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÁÌÇÅÂÒ, ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÇÏ Ó (24-2), É ÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÏÉÓÁÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ ×ÌÏÖÅÎÉÑ (24-2) ÜÔÏ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï
ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ×ÙÏÌÎÅÎÏ.
417
418
§24. ÅÎÚÏÒÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
äÌÑ ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÇÏ V ×ÅËÔÏÒÎÙÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V É (V ) ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ:
(24-3)
V ⊗n ∗ ≃ (V ∗ )⊗n
óÁÒÉ×ÁÎÉÅ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
É ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÍ ÔÅÎÚÏÒÁÍ
v = v1 ⊗ v2 ⊗ · · · ⊗ vn ∈ V ⊗n É = 1 ⊗ 2 ⊗ · · · ⊗ n ∈ V ∗ ⊗n
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ
n
def Y
i (vi ) :
(24-4)
hv; i =
24.2. ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ É Ó×£ÒÔËÉ.
⊗n
∗ ⊗n
ÏÌÎÏÊ Ó×ÅÒÔËÏÊ
i=1
ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÁ Ï ËÁÖÄÏÍÕ vi É i, ÒÁ×ÉÌÏ v 7→ hv; i
ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ ÄÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÆÕÎË ÉÏÎÁÌÁ V ⊗n - k, ËÏÔÏÒÙÊ, ×
Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏ
ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ËÁÖÄÏÇÏ i, É ÚÎÁÞÉÔ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÒÁÚ∗ ⊗n
ÉÏÎÁÌÁ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ ÄÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ
ÌÏÖÉÍÏÍÕ ∈ V ⊗n ÔÁËÏÇÏ ÆÕÎË
- (V ⊗n )∗ , ÒÉ ËÏÔÏÒÏÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÈ €ËÏ×ÅËÔÏÒÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ V ∗
ÎÙȁ ÔÅÎÚÏÒÏ× ÎÁ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÅ €×ÅËÔÏÒÎÙŁ ÔÅÎÚÏÒÙ ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÒÁ×ÉÌÏÍ (24-4).
ëÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÓÔØ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÁ ÄÌÑ ÒÏ×ÅÒËÉ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ. ÷ÙÂÅÒÅÍ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÂÁÚÉÓÙ
e1 ; e2 ; : : : ; en ⊂ V ; x1 ; x2 ; : : : ; xn ⊂ V ∗ : xi (ej ) = Æij
É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÂÁÚÉÓÙ × V ⊗n É (V ∗)⊗n ÉÚ ÔÅÎÚÏÒÎÙÈ ÍÏÎÏÍÏ×
ei ⊗ ei ⊗ · · · ⊗ eir É xj ⊗ xj ⊗ · · · ⊗ xjs :
éÚ (24-4) ÎÅÍÅÄÌÅÎÎÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÎÉ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ.
éÚ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÔÅÎÚÏÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ V ⊗n ÔÁ×ÔÏÌÏÇÉÞÞÅÓËÉ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÅÝ£ ÏÄÎÁ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ | ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï (V ⊗n)∗ ÌÉÎÅÊÎÙÈ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ V ⊗n - k ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ n-ÌÉÎÅÊÎÙÈ
ÆÏÒÍ |V × V ×{z· · · × V} - k :
1
n
2
1
2
V ⊗n ∗ ≃ Hom(V; : : : ; V ; k) :
(24-5)
ëÏÍÂÉÎÉÒÕÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÙ (24-3) É (24-5) ÏÌÕÞÁÅÍ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ
(V ∗)⊗n ≃ Hom(V; : : : ; V ; k) ;
(24-6)
ËÏÔÏÒÙÊ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÒÁÚÌÏÖÉÍÏÍÕ ÔÅÎÚÏÒÕ = 1 ⊗ 2 ⊗ · · · ⊗ n ∈ V ∗⊗n nÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÏÒÍÕ
n
Y
(v1; v2; : : : ; vn) 7−→ i(vi)
ÎÁ V × V × · · · × V ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ × ÏÌÅ k .
i=1
419
24.3. ìÉÎÅÊÎÙÊ ÎÏÓÉÔÅÌØ ÔÅÎÚÏÒÁ
24.2.1. þÁÓÔÉÞÎÙÅ Ó×ÅÒÔËÉ. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ËÁËÉÅ-ÎÉÂÕÄØ Ä×Á ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙÈ
(ÎÏ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÍÏÎÏÔÏÎÎÙÈ) ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
I
J
{1; 2; : : : ; p} {1; 2; : : : ; m} - {1; 2; : : : ; q }
É ÂÕÄÅÍ, ËÁË ÏÂÙÞÎÏ, ÉÓÁÔØ i É j ×ÍÅÓÔÏ I ( ) É J ( ). ïÂÒÁÚÙ ÜÔÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÓÕÔØ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÅ (ÎÏ ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÍÏÎÏÔÏÎÎÙÅ) ÎÁÂÏÒÙ ÎÅÏ×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÉÎÄÅËÓÏ× I = (i1; i2; : : : ; im ) , J = (j1; j2 ; : : : ; jm ) , ÓÏÓÔÏÑÝÉÅ ÉÚ
ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ìÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ
I : V ∗ ⊗p ⊗ V ⊗q
- V ∗ ⊗ (p − m ) ⊗ V ⊗ (q − m )
J
Ó×ÏÒÁÞÉ×ÁÀÝÉÊ
ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ = 1; 2; : : : ; m ËÏ×ÅËÔÏÒ i -ÔÙÊ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌØ ×
V ∗ ⊗p Ó j -ÔÙÍ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÍ × V ⊗q É ÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ
ÓÔÏÑÝÉÍÉ × ÔÏÍ ÖÅ ÏÒÑÄËÅ, × ËÁËÏÍ ÏÎÉ ÓÔÏÑÌÉ
m
Q
1 ⊗ 2 ⊗ · · · ⊗ p ⊗ v1 ⊗ v2 ⊗ · · · ⊗ vq 7−→ i (vj ) · ( ⊗ i ) ⊗ ( ⊗ vj ) (24-7)
i6∈I
j 6∈J
⊃
⊂
=1
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
Ï ÉÎÄÅËÓÁÍ I É J . ðÏÄÞÅÒËΣÍ, ÞÔÏ ÒÉ ÒÁÚÎÙÈ ×ÙÂÏÒÁÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ I É J ÂÕÄÕÔ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÏÌÕÞÁÔØÓÑ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ Ó×£ÒÔËÉ.
24.2.2. ðÒÉÍÅÒ: Ó×ÅÒÔËÁ ×ÅËÔÏÒÁ Ó ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ. åÓÌÉ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ (24-6) ÒÏÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ n-ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÏÒÍÕ
'(v1 ; v2 ; : : : ; vn )
ÔÅÎÚÏÒÎÏÍÕ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÀ Ó ×ÅËËÁË ÔÅÎÚÏÒ ÉÚ V ∗⊗n É Ó×ÅÒÎÕÔØ ÅÇÏ Ï ⊗ÅÒ×ÏÍÕ
ÔÏÒÏÍ v ∈ V , ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÔÅÎÚÏÒ ÉÚ V ∗ (n−1) , ËÏÔÏÒÙÊ ÍÏÖÎÏ ÏÂÒÁÔÎÏ ÒÏÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ËÁË (n − 1)-ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÎÁ V . ðÏÌÕÞÅÎÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
v É ' É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ iv ' ÉÌÉ vx'.
ÞÁÓÔÉÞÎÏÊ Ó×ÅÒÔËÏÊ
ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ
×ÎÕÔÒÅÎÎÉÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 24.2. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ v ÅÓÔØ ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ,
ËÁË ÆÉËÓÁ ÉÑ v × ËÁÞÅÓÔ×Å ÅÒ×ÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÆÏÒÍÙ ':
iv '(w1 ; w2 ; : : : ; wn−1 ) = '(v;w1 ; w2 ; : : : ; wn−1) :
äÌÑ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ÔÅÎÚÏÒÁ t ∈ V ⊗n ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ Supp(t) ⊂ V ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U ⊂ V ,
ÔÁËÉÈ ÞÔÏ t ∈ U ⊗n. éÎÁÞÅ Supp(t) ÍÏÖÎÏ ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÔØ ËÁË ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ Ï
×ËÌÀÞÅÎÉÀ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ⊂ V , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ t ∈ U ⊗n, ÉÌÉ ËÁË ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ
Ï ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ó ÔÁËÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ.
ðÒÁ×ÏÍÏÞÎÏÓÔØ ×ÓÅÈ ÜÔÉÈ ÅÒÅÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÏË ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ
t ∈ U ⊗n É t ∈ W ⊗n ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× U; W ⊂ V , ÔÏ t ∈ (U ∩ W )⊗n .
÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ×ÙÂÉÒÅÍ × V ÂÁÚÉÓ
24.3. ìÉÎÅÊÎÙÊ ÎÏÓÉÔÅÌØ ÔÅÎÚÏÒÁ.
e1 ; : : : ; ep ; u1 ; : : : ; uq ; w1 ; : : : ; wr ; v1 ; : : : ; vs ;
420
§24. ÅÎÚÏÒÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
ÔÁËÏÊ ÞÔÏ ei ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ × U ∩ W , uj É wk ÄÏÏÌÎÑÀÔ ÅÇÏ ÄÏ ÂÁÚÉÓÏ× × U É
W ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, Á vm ÄÏÏÌÎÑÀÔ ×Ó£ ÒÅÄÙÄÕÝÅÅ ÄÏ ÂÁÚÉÓÁ × V , É ÒÁÚÌÏÖÉÍ
t Ï ÂÁÚÉÓÎÙÍ ÔÅÎÚÏÒÎÙÍ ÍÏÎÏÍÁÍ. õÓÌÏ×ÉÅ t ∈ U ⊗n ∩ W ⊗n ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ × t
×ÈÏÄÑÔ ÔÏÌØËÏ ÍÏÎÏÍÙ, ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ ÎÉËÁËÉÈ ÉÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×, ËÒÏÍÅ ei, ÞÔÏ
ÍÙ É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÌÉ.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 24.1
ðÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Supp(t), ÏÉÓÁÎÎÏÅ ×ÙÛÅ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÔÅÎÚÏÒÁ t, Á ÅÇÏ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ dimSupp(t)
ÔÅÎÚÏÒÁ t .
24.3.1. ÷ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÅ ÔÅÎÚÏÒÙ. ÅÎÚÏÒÙ, ÒÁÎÇ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÅÎØÛÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V , ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÏÎÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
. õÓÌÏ×ÉÅ Supp(t) 6= V ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÔÅÎÚÏÒ t ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ
ÍÅÎØÛÅÇÏ ÞÉÓÌÁ €ËÏÏÒÄÉÎÁԁ, ÞÅÍ ÉÍÅÅÔÓÑ × V , Ô. Å. ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÚÁÍÅÎÁ ÂÁÚÉÓÁ, ÕÎÉÞÔÏÖÁÀÝÁÑ ÞÁÓÔØ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ × ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÅ t . îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ
dimSupp(t) = 1, ÔÏ t = · v⊗n ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ∈ k É v ∈ V , ÏÒÏÖÄÁÀÝÅÇÏ
Supp(t) .
24.3.2. ìÉÎÅÊÎÙÅ ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÅ ÎÏÓÉÔÅÌÑ. äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÒÁÎÇÁ ÄÁÎÎÏÇÏ ÔÅÎÚÏÒÁ t ÖÅÌÁÔÅÌØÎÏ ÉÍÅÔØ ÂÏÌÅÅ Ñ×ÎÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ Supp(t) | ÎÁÒÉÍÅÒ,
× ×ÉÄÅ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÉ ËÏÎËÒÅÔÎÏÇÏ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ×ÅËÔÏÒÏ×, ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍÏÇÏ Ï t. ïÄÎÏ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÏÉÓÁÎÉÊ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÒÉ ÏÍÏÝÉ
Ó×£ÒÔÏË.
á ÉÍÅÎÎÏ, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÇÏ (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÇÏ) ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
I = (i1 ; i2 ; : : : ; in−1 ) : {1; 2; : : : ; (n − 1)} - {1; 2; : : : ; n}
(24-8)
ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
ÏÌÎÏÊ Ó×£ÒÔËÉ Ó ÔÅÎÚÏÒÏÍ t, ÓÁÒÉ×ÁÀÝÅÅ -Ê ÓÏ∗ ⊗(n−1)
Ó j -ÔÙÍ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÍ t ÄÌÑ ×ÓÅÈ 1 ⩽ ⩽ (n − 1) :
ÍÎÏÖÉÔÅÌØ V
I : V ∗ ⊗(n−1)
-V
t
(24-9)
; (n−1))
7−→ (1(j ; ;j2; :::;:::;j
(
⊗
t
)
)
n
× ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÞÅÇÏ ÔÅÎÚÏÒ t ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÌÉÎÅÊÎÕÀ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÀ ×ÅËÔÏÒÏ×,
ÓÔÏÑ×ÛÉÈ × ÔÏÍ ÔÅÎÚÏÒÎÏÍ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅ, ÎÏÍÅÒ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÅ ÏÁÌ × ÏÂÒÁÚ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ I . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ ÌÅÖÉÔ × Supp(t).
ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÎÏÓÉÔÅÌÅÍ
ÒÁÎÇÏÍ
×ÙÒÏÖÄÅÎ-
ÎÙÍÉ
⊂
1
ÅÏÒÅÍÁ 24.1
2
−1
ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Supp(t) ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÁÍÉ ×ÓÅÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ Ó×£ÒÔËÉ (24-9) ÓÏ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ×ÙÂÏÒÁÍÉ Ó×ÏÒÁÞÉ×ÁÅÍÙÈ ÉÎÄÅËÓÏ× (24-8).
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÕÓÔØ Supp(t) = W . þÔÏÂÙ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÚÙ
Ó×£ÒÔÏË (24-9) ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄÁÀÔ W , ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ
ÌÉÎÅÊ
∗
I
ÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ∈ V , ËÏÔÏÒÁÑ ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔ ×ÓÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á im t , ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔ
É ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï W .
421
24.4. óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (ËÏÓÏ) ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ
ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ ÒÏÔÉ×ÎÏÅ:
ÕÓÔØ
∈ V ∗ ÉÍÅÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÎÁ W ,
ÎÏ ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔ ×ÓÅ It V ∗⊗(n−1) . ÷ÙÂÅÒÅÍ × V ∗ ÔÁËÏÊ ÂÁÚÉÓ 1; 2; : : : ; d, ÞÔÏÂÙ
1 = , Á ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ 1 ; 2 ; : : : ; k ÎÁ W ÓÏÓÔÁ×ÌÑÌÉ ÂÁÚÉÓ × W ∗ . ïÂÏÚÎÁÞÉÍ
ÞÅÒÅÚ w1; w2; : : : ; wk Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë ÎÅÍÕ ÂÁÚÉÓ
× W É ÒÁÚÌÏÖÉÍ t Ï ÜÔÏÍÕ
I
ÂÁÚÉÓÕ. úÎÁÞÅÎÉÅ t ⊗ ⊗ · · · ⊗ n ÒÁ×ÎÏ ÏÌÎÏÊ Ó×£ÒÔËÅ t Ó ÂÁÚÉÓÎÙÍ ÍÏÎÏÍÏÍ 1 ⊗ ⊗ ⊗ · · · ⊗ n (Ï ÉÎÄÅËÓÁÍ, ÅÒÅÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍ ÓÏÇÌÁÓÎÏ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ I ), ËÏÔÏÒÁÑ, × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÒÁ×ÎÁ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÕ ÒÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÍÏÎÏÍÅ ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ t. ÷ÙÂÉÒÁÑ ÏÄÈÏÄÑÝÉÅ I , ÍÙ
ÍÏÖÅÍ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÌÕÞÉÔØ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÍ w1 ÍÏÎÏÍÅ ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ t. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ×ÓÅ ÜÔÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÎÕÌÅ×ÙÅ, Ô. Å. t ÎÅ
ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ w1 É, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, w1 ÎÅ ×ÈÏÄÉÔ × Supp(t) | ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ.
24.4. óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (ËÏÓÏ) ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ. ðÕÓÔØ V É U | ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÅ ÍÏÄÕÌÉ ÎÁÄ ÌÀÂÙÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ K . ðÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
'U
(24-10)
|V × V ×{z· · · × V}
1
1
2
−1
2
−1
n
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÒÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× ÏÎÏ ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÅÔ Ó×ÏÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, É
, ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÒÉÎÉÍÁÅÔ ÎÕÌÅ×ÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, ËÏÇÄÁ ËÁËÉÅ-ÔÏ Ä×Á ÉÚ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× ÓÏ×ÁÄÁÀÔ.
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍ
ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 24.3. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÇÏ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÇÏ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÉÚÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË ÒÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×, Á ÎÁÄ
ÏÌÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ 6= 2 ÜÔÏÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÔÁËÖÅ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÌÑ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ.
óÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÅ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ (24-10) ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ × ÍÏÄÕÌÅ ×ÓÅÈ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ Hom(V; : : : ; V ; U ) ÏÄÍÏÄÕÌÉ,
ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ Sym n(V; U ) É Skew n(V; U ) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ.
÷ÚÑÔÉÅ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ (ËÏÓÏ) ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
|V × V ×{z· · · × V}
'-
U
n
ÓÏ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁÍÉ F : U - W ÚÁÄÁ£Ô ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ F 7→
F ◦' ÉÚ Hom(U; W ) × Sym n (V; W ) (ÓÏÏÔ×. × Skew n (V; W )). (ëÏÓÏ)ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ
ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ' ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÍÏÄÕÌÅÊ
W ÜÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ | ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ.
õÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ
(24-11)
V| × V ×{z· · · × V} - S n V
ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ
n
É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÔÏÒÙÊ ÏÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ n-ÔÏÊ
ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ
×ÅËÔÏÒÏ×, Á ÍÏÄÕÌØ S nV , × ËÏÍÏÄÕÌÑ V .
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÓÔÅÅÎØÀ
422
§24. ÅÎÚÏÒÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (v1 ; v2; : : : ; vn) ÏÂÙÞÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ v1 · v2 · · · · · vn ÉÌÉ
ÒÏÓÔÏ v1v2 : : : vn .
õÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÅ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÅ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
ÞÅÒÅÚ
- n V
(24-12)
|V × V ×{z· · · × V}
n
É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
×ÅËÔÏÒÏ×, Á ÍÏÄÕÌØ nV , × ËÏÔÏÒÙÊ
ÏÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ n-ÔÏÊ
ÍÏÄÕÌÑ V . ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ
(v1; v2; : : : ; vn) ÒÉÎÑÔÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ v1 ∧ v2 ∧ · · · ∧ vn .
×ÎÅÛÎÉÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ
×ÎÅÛÎÅÊ ÓÔÅÅÎØÀ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 24.4. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ S n V É n V (ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ) ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎ-
ÎÙ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ, ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÅÇÏ Ó ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ.
óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ (ËÏÓÏ)ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÇÏ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÔÅÎÚÏÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ: ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ É ×ÎÅÛÎÑÑ ÓÔÅÅÎÉ ÍÏÄÕÌÑ V ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÉÚ ÔÅÎÚÏÒÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÎÁÌÏÖÅÎÉÅÍ
ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ (ÁÎÔÉ) ËÏÍÍÕÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ. üÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ n ÂÅÒÑ ÆÁËÔÏÒÙ Ó×ÏÂÏÄÎÏÊ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ Ï (Ä×ÕÓÔÏÒÏÎÎÉÍ) ÉÄÅÁÌÁÍ, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ (ÁÎÔÉ) ËÏÍÍÕÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ.
24.4.1. óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ × ÔÅÎÚÏÒÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ TV ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V Ä×ÕÓÔÏÒÏÎÎÉÊ ÉÄÅÁÌ Isym ⊂ TV , ÏÒÏÖÄ£ÎÎÙÊ
ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ × V ⊗ V , ÎÁÔÑÎÕÔÙÍ ÎÁ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÒÁÚÎÏÓÔÉ
u ⊗ w − w ⊗ u:
(24-13)
ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÏÎ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÊ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÔÅÎÚÏÒÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÉÚ ÔÅÎÚÏÒÏ× (24-13), ÕÍÎÏÖÁÑ ÉÈ ÓÌÅ×Á É ÓÒÁ×Á (ÉÌÉ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ É ÓÌÅ×Á É ÓÒÁ×Á) ÎÁ ÌÀÂÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÔÅÎÚÏÒÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ. ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ Isym ∩ V ⊗n ÜÔÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ Ó ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÏÊ
V ⊗n ⊂ TV ÓÔÅÅÎÉ n ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÏÂÏÌÏÞËÕ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ
ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÈ ÔÅÎÚÏÒÏ× ×ÉÄÁ
(24-14)
(··· ⊗ v ⊗ w ⊗ ···) − (··· ⊗ w ⊗ v ⊗ ···)
(ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÎÙÅ ÍÎÏÇÏÔÏÞÉÑÍÉ ÆÒÁÇÍÅÎÔÙ ÎÅ ÍÅÎÑÀÔÓÑ), Á ×ÅÓØ ÉÄÅÁÌ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÏÊ ÔÁËÉÈ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ:
Isym = ⊕ Isym ∩ V ⊗n :
n⩾0
æÁËÔÏÒ ÁÌÇÅÂÒÁ SV def
= TV=Isym ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V , Á ÉÎÄÕ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ × ÎÅÊ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ (ËÏÔÏÒÕÀ ÒÉÎÑÔÏ ÏÕÓËÁÔØ).
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÁÌÇÅÂÒÏÊ
ÓÉÍÍÅ-
ÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ
423
24.4. óÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (ËÏÓÏ) ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ
óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ Ó×ÏÉÈ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ:
SV =
M
n⩾0
S nV ;
ÇÄÅ S nV def
= V ⊗n=(Isym ∩ V ⊗n) :
åÓÌÉ ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×ÁÔØ ÂÁÚÉÓ e1; e2; : : : ; ed ⊂ V , ÔÏ ÁÌÇÅÂÒÕ SV ÍÏÖÎÏ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÔØ Ó ÁÌÇÅÂÒÏÊ k[e1; e2; : : : ; ed℄ ÏÂÙÞÎÙÈ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ei, Á ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï S nV ⊂ k[e1; e2; : : : ; ed℄ | Ó ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÏÌÉÎÏÍÏ× ÓÔÅÅÎÉ n.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 24.5. îÁÊÄÉÔÅ dim S n V .
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 24.1
ëÏÍÏÚÉ ÉÑ ÔÅÎÚÏÒÎÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ Ó ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÅÊ Ï Isym:
V| × V ×{z· · · × V}
-
V ⊗n
--
n
S n (V )
(24-15)
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
ìÀÂÏÅ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
V × V × ··· × V
'-
W
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÁÚÌÁÇÁÅÔÓÑ × ËÏÍÏÚÉ ÉÀ ' = F ◦ , ÇÄÅ
F : V ⊗n
-W
ÌÉÎÅÊÎÏ. ðÒÉ ÜÔÏÍ F ÒÏÕÓËÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ
F(··· ⊗ v ⊗ w ⊗ ···) = F(··· ⊗ w ⊗ v ⊗ ···);
ÞÔÏ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ ÞÔÏ '( : : : ; v; w; : : : ) = '( : : : ; w; v; : : : ).
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 24.6. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ SV
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ó×ÏÂÏÄÎÏÊ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÊ ÁÌ, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÊ ÍÏÄÕÌÅÍ V , × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×fA ÓÕÝÅÓÔ×ÕÎÏÊ K -ÁÌÇÅÂÒÙ A É ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ K -ÍÏÄÕÌÅÊ V
ÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ K -ÁÌÇÅÂÒ SV
A ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ f = ◦, ÇÄÅ
: V ⊂ - SV ×ËÌÁÄÙ×ÁÅÔ V × SV × ËÁÞÅÓÔ×Å ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ.
ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ SV É ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÜÔÉÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÁÌÇÅÂÒ, ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÇÏ
Ó .
ÇÅÂÒÏÊ
424
§24. ÅÎÚÏÒÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
24.4.2. ÷ÎÅÛÎÑÑ ÁÌÇÅÂÒÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÆÁËÔÏÒ ÁÌ-
ÇÅÂÒÁ
V def
= TV=Iskew
Ó×ÏÂÏÄÎÏÊ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ TV Ï Ä×ÕÓÔÏÒÏÎÎÅÍÕ ÉÄÅÁÌÕ Iskew ⊂ TV ,
ÏÒÏÖÄÅÎÎÏÍÕ ×ÓÅÍÉ ÔÅÎÚÏÒÁÍÉ ×ÉÄÁ
v⊗v ∈V ⊗V :
(24-16)
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 24.7. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Iskew ∩ V ⊗2 ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÓÅ
ÓÕÍÍÙ v ⊗ w + w ⊗ v (Ó ÌÀÂÙÍÉ v; w ∈ V ), É ÅÓÌÉ 1 + 1 ÏÂÒÁÔÉÍÏ × K , ÔÏ É
ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÔÁËÉÍÉ ÓÕÍÍÁÍÉ.
ëÁË É × ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÉÄÅÁÌ Iskew Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ Ó×ÏÉÈ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ËÏÍÏÎÅÎÔ
Iskew = ⊕ Iskew ∩ V ⊗n
n⩾0
É ÅÇÏ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ n-ÔÏÊ ÓÔÅÅÎÉ Iskew ∩ V ⊗n Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÏÊ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÈ ÔÅÎÚÏÒÏ× ×ÉÄÁ (· · · ⊗ v ⊗ v ⊗ · · · ) É Ï ÕÒ. 24.7 ÓÏÄÅÒÖÉÔ ×ÓÅ ÓÕÍÍÙ
×ÉÄÁ
(24-17)
(··· ⊗ v ⊗ w ⊗ ···) + (··· ⊗ w ⊗ v ⊗ ···):
æÁËÔÏÒ ÁÌÇÅÂÒÁ V ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(ÉÌÉ
) ÁÌÇÅÂÒÏÊ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V . ëÁË É ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ, ÏÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×
nV = V ⊗n=(Iskew ∩ V ⊗n) :
×ÎÅÛÎÅÊ
ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÏÊ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 24.8. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÏÍÏÚÉ ÉÑ ÔÅÎÚÏÒÎÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ Ó ÆÁËÔÏ-
ÒÉÚÁ ÉÅÊ Ï Iskew
- V ⊗n
V| × V ×{z· · · × V} ...........
n
-
n (V )
(24-18)
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÙÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅÍ.
éÎÄÕ ÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ × ÁÌÇÅÂÒÅ V ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
(Á ÔÁËÖÅ
ÉÌÉ
) É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ v1 ∧ v2 ∧ · · · ∧ vn. óÏÇÌÁÓÎÏ
ÕÒ. 24.7 ÏÎÏ ÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË ÒÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ, É ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÒÉ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ×ÎÅÛÎÅÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÕÍÎÏÖÁÅÔÓÑ ÎÁ ÚÎÁË ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ.
ëÁË É × ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÆÉËÓÁ ÉÑ ÂÁÚÉÓÁ e1; e2; : : : ; ed ⊂ V ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÅÔ ×ÎÅÛÎÀÀ ÁÌÇÅÂÒÕ Ó ÁÌÇÅÂÒÏÊ
ÏÔ ÂÁÚÉÓÎÙÈ
×ÅËÔÏÒÏ× ei
V ∼- k he1; e2; : : : ; edi ;
ËÏÔÏÒÕÀ ÍÙ ÕÖÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÌÉ, ËÏÇÄÁ ÚÁÎÉÍÁÌÉÓØ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑÍÉ. ðÏ ÏÓÔÒÏÅÎÉÀ, ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Ù ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ ei
ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ ei ∧ ej = −ej ∧ ei, É ×ÓÑËÉÊ
×ÎÅÛÎÉÍ
ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ
ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÍ
ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
ÁÎÔÉ
ÓÕÅÒ-
425
úÁÄÁÞÉ Ë §24
ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ× ÍÏÎÏÍ
Ï ËÁÖÄÏÊ ×ÈÏÄÑÝÅÊ × ÎÅÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÌÀÂÏÊ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ× ÍÏÎÏÍ ÓÔÅÅÎÉ n Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÚÎÁËÁ ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ
× ×ÉÄÅ ei ∧ ei ∧ · · · ∧ ein Ó 1 ⩽ i1 < i2 < · · · < in ⩽ d.
ÌÉÎÅÅÎ
1
2
ìÅÍÍÁ 24.1
íÏÎÏÍÙ eI = ei ∧ ei ∧ · · · ∧ ein , ÇÄÅ I = (i1; i2 ; : : : ; in) ÒÏÂÅÇÁÅÔ ×ÓÅ ÓÔÒÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÅ n-ÜÌÅÍÅÎÔÎÙÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á × {1; 2; : : : ; d}, ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á nV ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ
ÍÏÎÏÍÏ× ÓÔÅÅÎÉ n. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ,
d
n
n
V = 0 ÄÌÑ n > dim V , dim V = n , É dim k he1; e2; : : : ; edi = 2d.
d
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ n -ÍÅÒÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U , ÂÁÚÉÓ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÓÉÍ×ÏÌÏ× I , ÇÄÅ I = (i1; i2; : : : ; in) ÒÏÂÅÇÁÅÔ ×ÓÅ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÅ n-ÜÌÅÍÅÎÔÎÙÅ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Á × {1; 2; : : : ; d}. ïÒÅÄÅÌÉÍ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
- U : (ej ; ej ; : : : ; ej ) 7−→ sgn( ) · I ;
n
|V × V ×{z· · · × V}
1
2
1
2
n
ÇÄÅ I = (j(1) ; j(2) ; : : : ; j(n) ) | ÜÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ
ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ
ÉÎÄÅËÓÏ×
(j1; j2 ; : : : ; jn) :
ðÒÏ×ÅÒÉÍ, ÞÔÏ ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÁÑ
|V × V ×{z· · · × V}
'-
W
n
ÒÁ×ÉÌÏ F ( (ej ; ej ; : : : ; ejn )) def
= '(ej ; ej ; : : : ; ejn ) ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÏÚÍÏÖÎÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ U F - W ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ ' = F ◦ . ðÏÜÔÏÍÕ ÉÍÅÅÔÓÑ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÍÅÖÄÕ U É nV , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÊ I ×
e i ∧ e i ∧ · · · ∧ e in = e I .
1
1
2
1
2
2
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §24
úÁÄÁÞÁ 24.1. äÌÑ ÌÀÂÙÈ U; W ⊂ V ÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ S n U ∩ S n W = S n (U ∩ W ) × S n V
É n U ∩ n W = n (U ∩ W ) × n V .
úÁÄÁÞÁ 24.2. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Isym ∩V ⊗V ÉÚ (24-13), ÏÒÏÖÄÁÀÝÅÅ
ÉÄÅÁÌ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ËÏÍÍÕÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ × TV , É ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Iskew ∩ V ∗ ⊗ V ∗
×ÉÄÁ (24-16), ÏÒÏÖÄÁÀÝÅÅ ÉÄÅÁÌ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÁÎÔÉËÏÍÍÕÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ × ÔÅÎÚÏÒÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ TV ∗ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ Ë V ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ∗ , Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÁÍÉ
ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ ÒÉ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÏÍ ÓÁÒÉ×ÁÎÉÉ ÍÅÖÄÕ V ⊗ V É V ∗ ⊗ V ∗ , ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÍ
ÏÌÎÏÊ Ó×£ÒÔËÏÊ.
426
úÁÄÁÞÉ Ë §24
úÁÄÁÞÁ 24.3. ÷ÙÂÅÒÅÍ ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÂÁÚÉÓÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ × ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å
n V (ÇÄÅ n = dim V ) É ÚÁÄÁÄÉÍ ÍÅÖÄÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ k V É m V , ÔÁËÉÍÉ
ÞÔÏ k + m = n, ÓÁÒÉ×ÁÎÉÅ h∗; ∗i : k V × m V - k ÒÁ×ÉÌÏÍ
!1 ∧ !2 = h!1 ; !2 i · ; ÇÄÅ !1 ∈ k V; !2 ∈ m V :
Á) ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÓÁÒÉ×ÁÎÉÅ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ m É k Ó k + m = n
Â) ×ÙÑÓÎÉÔÅ, ËÁË ÕÓÔÒÏÅÎ ÏÅÒÁÔÏÒ v∗ : k V - k−1 V , Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÜÔÏÇÏ ÓÁÒÉ×ÁÎÉÑ Ë ÏÅÒÁÔÏÒÕ ÌÅ×ÏÇÏ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÚÁÄÁÎÎÙÊ
7→v∧ - m+1
V.
×ÅËÔÏÒ v ∈ V : m V
úÁÄÁÞÁ 24.4. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V
ÎÁÄ ÏÌÅÍ k ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ har(k) 6= 2 ÏÓÔÒÏÊÔÅ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ V ⊗ V ≃ S 2 V ⊕ 2 V É
ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ V ⊗ V ⊗ V 6≃ S 3 V ⊕ 3 V .
úÁÄÁÞÁ 24.5 (ÓÉÎÏÒÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ). ðÕÓÔØ
dim U± = 2. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ V
⊗2 ≃
S 2 V ⊕ 2 V
har k 6= 2 É V = Hom(U− ; U+ ), ÇÄÅ
ÇÄÅ
S 2 V ≃ S 2 U−∗ ⊗ S 2 U+ ⊕ 2 U−∗ ⊗ 2 U+
2 V ≃ S 2 U−∗ ⊗ 2 U+ ⊕ 2 U−∗ ⊗ S 2 U+
úÁÄÁÞÁ 24.6. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V = C4 ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÕÀ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ
ÆÏÒÍÕ g Ó ÏÌÑÒÉÚÁ ÉÅÊ ge É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ G ⊂ P3 = P(V ) Ë×ÁÄÒÉËÕ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÕÀ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ g(x) = 0. ïÒÅÄÅÌÉÍ ÎÁ 2 V ÂÉÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÏÒÍÕ 2 ge ÔÁË,
ÞÔÏÂ٠ţ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÎÁ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÈ ÔÅÎÚÏÒÁÈ ×ÙÞÉÓÌÑÌÏÓØ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ
g
e(v1 ; w1 ) ge(v1 ; w2 )
def
2
ge( v1 ∧ v2 ; w1 ∧ w2 ) = det ge(v ; w ) ge(v ; w ) :
2 1
2 2
Á) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÆÏÒÍÁ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ É ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ, É ÎÁÉÛÉÔŠţ ÍÁÔÒÉ Õ çÒÁÍÁ × ÂÁÚÉÓÅ ei ∧ ej , ÇÄÅ ei ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ × V
Â) îÁÏÍÎÉÍ, ÇÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎ Gr(2; V ), ÔÏÞËÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ
ÒÑÍÙÍ × P3 = P(V ), ÍÏÖÎÏ ×ÌÏÖÉÔØ × P5 = P(2 V ) ËÁË Ë×ÁÄÒÉËÕ ðÌÀËËÅÒÁ
P = {! ∈ 2 V | ! ∧ ! = 0}. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ ÒÑÍÙÈ
Ë Ë×ÁÄÒÉËÅ G ⊂ P3 ÉÚÏÂÒÁÖÁÅÔÓÑ ÎÁ Ë×ÁÄÒÉËÅ P ÔÏÞËÁÍÉ Å£ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ó
Ë×ÁÄÒÉËÏÊ 2 G ⊂ P5 = P(2 V ), ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÊ ÆÏÒÍÏÊ 2 ge.
úÁÄÁÞÁ 24.7. ÷ÏÚØÍ£Í × ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÅ × ËÁÞÅÓÔ×Å 4-ÍÅÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á
V = Hom(U− ; U+ ) ÉÚ ÚÁÄ. 24.5 ÎÁÄ k = C, Á × ËÁÞÅÓÔ×Å g ÆÏÒÍÕ det, ÚÁÄÁÀÝÕÀ
× P3 = P(V ) Ë×ÁÄÒÉËÕ óÅÇÒÅ. óÌÅÄÕÑ ÚÁÄ. 24.6 (Â), ÍÙ ÒÏÄÏÌÖÁÅÍ ÉÚÏÂÒÁÖÁÔØ
ÒÑÍÙÅ × P3 = P(V ) ÔÏÞËÁÍÉ Ë×ÁÄÒÉËÉ ðÌÀËËÅÒÁ P ≃ Gr(2; V ) ⊂ P5 = P(2 V ) .
ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ Ä×Á ÓÅÍÅÊÓÔ×Á ÒÑÍÙÈ, ÖÉ×ÕÝÉÈ ÎÁ Ë×ÁÄÒÉËÅ óÅÇÒÅ
G ⊂ P(V ) = P(Hom(U− ; U+ ))
ÉÚÏÂÒÁÖÁÀÔÓÑ ÎÁ P Ä×ÕÍÑ ÇÌÁÄËÉÍÉ ËÏÎÉËÁÍÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÙÒÅÚÁÀÔÓÑ ÉÚ P Ä×ÕÍÑ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÍÉ 2-ÍÅÒÎÙÍÉ ÌÏÓËÏÓÔÑÍÉ
− = P S 2 U−∗ ⊗ 2 U+
É + = P 2 U−∗ ⊗ S 2 U+ ;
427
úÁÄÁÞÉ Ë §24
ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉ ×ÌÏÖÅÎÎÙÍÉ × P(2 Hom(U− ; U+ )) Ï ÚÁÄ. 24.5 , É ÏÂÅ ÜÔÉ ËÏÎÉËÉ
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÂÒÁÚÁÍÉ ÒÑÍÙÈ P±1 = P(U± ) ÒÉ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ×ÌÏÖÅÎÉÑÈ ÷ÅÒÏÎÅÚÅ
P(U± ) ⊂ - P(S 2 U± ) = P(S 2 U± ⊗ 2 U∓ ) , ÔÁË ÞÔÏ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ
ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ1 :
÷ÅÒÏÎÅÚÅ
P(U+ ) ⊂
- P(S 2 U+ ) ≃ +
6
∩
+ 6
−
P+
1 × P1
−
óÅÇÒÅ ∼
G ⊂ PHom(U− ; U+ )
ðÌÀËËÅÒ -
 2 ?
∗
U− ⊗ S U 

⊕
P ⊂ P
∗
S U− ⊗ U
2
2
2
+
+
6
?
?
∪
P(U−∗ ) ⊂
- P(S 2 U ∗ ) ≃ −
÷ÅÒÏÎÅÚÅ
−
úÁÄÁÞÁ 24.8 (Ú×£ÚÄÏÞËÁ èÏÄÖÁ). ÷ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÔÒ£È ÚÁÄÁÞ, ÏÅÒÁÔÏÒ
!7→!∗
- 2 V , ÁÓÓÏ ÉÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ Ó ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞèÏÄÖÁ ∗ : 2 V
ÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ g ÎÁ V , ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ
!1 ∧ !2∗ = 2 ge(!1 ; !2 ) · e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4
× ËÏÔÏÒÏÍ !1;2 ∈ 2 ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙ, Á ei ∈ V ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÊ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ÆÏÒÍÙ g. ðÏËÁÖÉÔÅ ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏ (ÎÅ
ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÂÁÚÉÓÁ), ÎÁÊÄÉÔÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ É ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÅÒÁÔÏÒÁ èÏÄÖÁ É ÕËÁÖÉÔÅ ÉÈ ÍÅÓÔÏ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ËÁÒÔÉÎËÅ.
úÁÄÁÞÁ 24.9 (ÔÅÎÚÏÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÏÅÒÁÔÏÒÏ×). ðÕÓÔØ ÉÍÅÅÔÓÑ ÎÁÂÏÒ ÌÉ-
ÎÅÊÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× fi : Vi - Wi ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÍÅÖÄÕ ×ÅËÔÏÒÎÙÍÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ V1 ; V2 ; : : : ; Vn É W1 ; W2 ; : : : ; Wn
Á) ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ
f1 ⊗ f2 ⊗ · · · ⊗ fn : V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ Vn
- W1 ⊗ W2 ⊗ · · · ⊗ Wn
ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÎÁ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÅ ÔÅÎÚÏÒÙ Ï ÒÁ×ÉÌÕ
v1 ⊗ v2 ⊗ · · · ⊗ vn 7−→ f1 (v1 ) ⊗ f2 (v2 ) ⊗ · · · ⊗ fn (vn )
Â) ðÕÓÔØ ÏÅÒÁÔÏÒ f : U - U ÉÍÅÅÔ ÍÁÔÒÉ Õ F × ÂÁÚÉÓÅ u1 ; u2 ; : : : ; un ∈ U , Á
ÏÅÒÁÔÏÒ g : W - W ÉÍÅÅÔ ÍÁÔÒÉ Õ G × ÂÁÚÉÓÅ w1 ; w2 ; : : : ; wm ∈ W . ïÉÛÉÔÅ
ÍÁÔÒÉ Õ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ⊗ G : U ⊗ W - U ⊗ W × ÂÁÚÉÓÅ ÉÚ ×ÅËÔÏÒÏ× u ⊗ w É
Å£ ÍÁÔÒÉÞÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÍÁÔÒÉ F É G É ÉÈ ÍÁÔÒÉÞÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×.
∼
- V ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ
×) ðÕÓÔØ F : U ⊂ - W ×ÌÏÖÅÎÉÅ, U 6= 0, É E : V
ÏÅÒÁÔÏÒ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ F ⊗ E : U ⊗ V
W ⊗ V ÔÏÖÅ ×ÌÏÖÅÎÉÅ.
úÁÄÁÞÁ 24.10. ïÉÛÉÔÅ
1
ÉËÌÏ×ÏÊ ÔÉ ÔÅÎÚÏÒÎÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ
N ⊗2 = N ⊗ N : V ⊗2
- V ⊗2
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ðÌÀËËÅÒÁ ÏËÁÚÁÎÏ ÕÎËÔÉÒÏÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÒÑÍÙÅ × ÔÏÞËÉ
428
úÁÄÁÞÉ Ë §24
ÎÉÌØÏÔÅÎÔÎÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ N : V - V ÞÅÒÅÚ ÉËÌÏ×ÏÊ ÔÉ N . åÓÌÉ ÏÂÝÉÊ
ÓÌÕÞÁÊ ×ÙÚÙ×ÁÅÔ ÚÁÔÒÕÄÎÅÎÉÑ, ÒÅÛÉÔÅ ÚÁÄÁÞÕ ÄÌÑ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× ÉËÌÏ×ÏÇÏ ÔÉÁ
Á)
Â) | ·{z· · }
×) · · ·
n
|
{z
n
}
úÁÄÁÞÁ 24.11. ðÕÓÔØ ÏÅÒÁÔÏÒÙ F É G ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÙ Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ
{1 ; 2 ; : : : ; d } É {1 ; 2 ; : : : ; d }. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ F ⊗ G É
ÒÏÁÎÁÌÉÚÉÒÕÊÔÅ, ËÁËÏ×Ù ÍÏÇÕÔ ÂÙÔØ ÉÈ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ.
úÁÄÁÞÁ 24.12. ðÕÓÔØ ÏÅÒÁÔÏÒ F : V
- V ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍ Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁ-
ÞÅÎÉÑÍÉ 1 ; 2 ; : : : ; n . ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÔÅÎÚÏÒÎÙÈ ÅÇÏ
ÔÅÎÚÏÒÎÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ F ⊗n .
úÁÄÁÞÁ 24.13. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÉ ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÌÉÎÅÊ-
ÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× F1 ; F2 ; : : : ; Fm ÎÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ ÚÁÄÁÎÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ k ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ËÏÎÓÔÁÎÔ
1 ; 2 ; : : : ; m ∈ k , ÔÁËÉÈ ÞÔÏ 1 F1⊗n + 2 F2⊗n + · · · + m Fm⊗n = 0 ∀ n ∈ N .
úÁÄÁÞÁ 24.14. ðÕÓÔØ × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÚÁÄ. 24.12 ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÈÁÒÁËÔÅÒÉ-
ÓÔÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F . ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ÞÅÒÅÚ ÎÉÈ
Á) tr F ⊗2
Â) tr F ⊗3
×) det F ⊗2
Ç) det F ⊗3
Ä) ÓÌÅÄ É ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ F ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Hom(V; V ) ÓÏÒÑÖÅÎÉÅÍ:
G 7→ F GF −1
Å) ÓÌÅÄ É ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ
F ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÆÏÒÍ ÎÁ V
−
1
Ï ÒÁ×ÉÌÕ F '(x) = ' F x .
úÁÄÁÞÁ 24.15 (ÒÉÎ É ÒÁÓÝÅÌÅÎÉÑ). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÔ×ÅÔÙ, ÏÌÕÞÅÎÎÙÅ ÷ÁÍÉ
× ÚÁÄ. 24.14, ×ÅÒÎÙ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ ÎÅÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÙÈ) ÏÅÒÁÔÏÒÏ× F .
ðÒÉÍÅÎÉÔÅ ÔÁËÏÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ. ÷ÓÅ ÏÔ×ÅÔÙ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÉÚ ÏÌÑ Q ÎÁ ÍÁÔÒÉÞÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ fij ÏÅÒÁÔÏÒÁ F
× ËÁËÏÍ-ÔÏ ÂÁÚÉÓÅ É ÍÏÇÕÔ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØÓÑ ËÁË ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á × ËÏÌØ Å ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Q[fij ℄ ÏÔ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ fij . éÍÅÎÎÏ ÜÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á × Q[fij ℄ ÍÙ É
ÂÕÄÅÍ ÄÏËÁÚÙ×ÁÔØ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) ÅÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f ∈ Q[x1 ; x2 ; : : : ; xn ℄ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ËÁË
ÆÕÎË ÉÑ ÎÁ Cn , ÔÏ ÜÔÏ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ (ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÄÌÑ ×ÓÅÈ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÍÁÔÒÉ F ).
Â) ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù1 F ∈ Matn (C) ×ÓÀÄÕ ÌÏÔÎÙ × Matn (C) (ÖÏÒÄÁÎÏ×Á ËÌÅÔËÁ ÍÁÌÙÍ ÛÅ×ÅÌÅÎÉÅÍ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÓÄ×ÉÇÁÅÔÓÑ × ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ)
×) × ÓÉÌÕ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏ×ÅÒÑÔØ ÔÏÌØËÏ
ÄÌÑ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÙÈ ÍÁÔÒÉ F
Ç) ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÍÙÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÎÁ ÍÁÔÒÉ Õ F ÎÅ ÍÅÎÑÀÔ Ó×ÏÅÇÏ ×ÉÄÁ ÒÉ ÚÁÍÅÎÅ F
ÎÁ óáC −1 Ó ÌÀÂÙÍ C ∈ GLn (C) (ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÉÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÔÏÌØËÏ
ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÍÁÔÒÉ , ÞÔÏ ÕÖÅ ÂÙÌÏ ÓÄÅÌÁÎÏ × ÚÁÄ. 24.14).
1
ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÍÁÔÒÉ Á C ∈ GLn (C), ÔÁËÁÑ ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Á CF C − ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÁ
1
429
úÁÄÁÞÉ Ë §24
úÁÄÁÞÁ 24.16. óÌÅÄÕÑ ÒÉÎ ÉÕ ÒÁÓÝÅÌÅÎÉÑ, ÄÏËÁÖÉÔÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï çÁÍÉÌØÔÏÎÁ {
ëÜÌÉ F (F ) = 0 , Ó×ÅÄÑ ÅÇÏ Ë ÓÌÕÞÁÀ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÈ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ F .
úÁÄÁÞÁ 24.17. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F : V
ÉÎÄÕ ÉÒÕÅÔ ÏÅÒÁÔÏÒÙ S k F : S k V
- S k V É k F : k V
ÝÉÅ ÎÁ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÅ ÔÅÎÚÏÒÙ Ï ÒÁ×ÉÌÁÍ
- V ËÏÒÒÅËÔÎÏ
- k V , ÄÅÊÓÔ×ÕÀ-
F (v1 · v2 · · · · · vk ) = F (v1 ) · F (v2 ) · · · · · F (vk )
F (v1 ∧ v2 ∧ · · · ∧ vk ) = F (v1 ) ∧ F (v2 ) ∧ · · · ∧ F (vk )
äÌÑ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉÚÕÅÍÏÇÏ ÏÅÒÁÔÏÒÁ F ×ÙÒÁÚÉÔÅ ×ÓÅ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÓÅÈ
ÓÔÅÅÎÅÊ S n F É n F ÞÅÒÅÚ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ F É ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÄ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÌÅÍ k ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÎÕÌØ × ËÏÌØ Å k[[t℄℄ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÆÏÒÍÕÌÙ
dim
X XV 1
tr S k F · tk
Â) det(E + tF ) =
tr k F · tk .
Á)
=
det(E − tF ) k⩾0
k=0
úÁÄÁÞÁ 24.18. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ eF ⊗E +E ⊗F = eF ⊗ eF × Matn2 (C) , ÇÄÅ F | ÌÀÂÁÑ, Á
E | ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á.
úÁÄÁÞÁ 24.19. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × ËÏÌØ Å ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÔÅÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ× (Ó ÒÁ ÉÏÎÁÌØ-
ÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ) ÏÔ ÍÁÔÒÉÞÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× n × n ÍÁÔÒÉ Ù A ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ln det(E − A) = tr ln(E − A), Á ÎÁÄ ÏÌÅÍ C ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÙÈ
ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ A ÏÎÏ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ É ÞÉÓÌÅÎÎÏ.
§25. ðÏÌÑÒÉÚÁ ÉÑ ÏÌÉÎÏÍÏ×
÷ÓÀÄÕ × ÜÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÒÅÞØ ÉÄ£Ô Ï ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ ÎÁÄ ÏÌÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÎÕÌØ.
25.1. óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÔÅÎÚÏÒÙ. óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÕÁ Sn ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ V ⊗n ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ × ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÈ
ÔÅÎÚÏÒÁÈ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ g ∈ Sn ÏÌÏÖÉÍ
g(v1 ⊗ v2 ⊗ · · · ⊗ vn ) = vg(1) ⊗ vg(2) ⊗ · · · ⊗ vg(n) :
(25-1)
ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ v1; v2; : : : ; vn , ÜÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ Ï
ÌÅÍ. 23.4 ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ g : V ⊗n - V ⊗n .
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 25.1
t ∈ V ⊗n
g ∈ Sn
ÅÎÚÏÒ
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
, ÅÓÌÉ g(t) = t ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÅÒÅÓÔÁ. ÅÎÚÏÒ t ∈ V ⊗n ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÎÏ×ÏË
, ÅÓÌÉ g(t) =
n
sgn(g) · t ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË g ∈ S . ðÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ É
ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÔÅÎÚÏÒÏ× × V ⊗n ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ
Sym nV = { t ∈ V ⊗n | (t) = t ∀ g ∈ Sn }
Skew nV = { t ∈ V ⊗n | g(t) = sgn(g) · t ∀ g ∈ Sn }
25.1.1. óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÂÁÚÉÓÙ. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÂÁÚÉÓ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ
ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ
e1 ; e2 ; : : : ; e d :
ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÙÍ ÔÅÎÚÏÒÎÙÍ ÍÏÎÏÍÏÍ × ÌÀÂÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÔÅÎÚÏÒ ×ÈÏÄÉÔ (Ó ÏÄÎÉÍ É ÔÅÍ ÖÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ) ×ÓÑ Sn-ÏÒÂÉÔÁ ÜÔÏÇÏ ÍÏÎÏÍÁ,
e[m ;m ;:::;md ℄ , ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÅ
ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÎÁP
ÂÏÒÁ ÅÌÙÈ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ (m1; m2 ; : : : ; mn) Ó m = n ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ
ÏÌÎÙÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÔÅÎÚÏÒÙ
1
2


ÓÕÍÍÁ ×ÓÅÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÅÎÚÏÒÎÙÈ ÍÏÎÏÍÏ×,

e[m ;m ;:::;md ℄ =  ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ m ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ e , m ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ e , : : :

: : : md ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ed
1
2
1
1
2
2
(25-2)
ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÔÅÎÚÏÒÏ× Sym nV .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 25.1. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ (25-2) ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ
n!
m1 ! m2 ! · · · md !
ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ.
áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
X
sgn(g) · eig ⊗ eig ⊗ · · · ⊗ eig n
ehi ;i ;:::;in i =
ÏÌÎÙÅ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÔÅÎÚÏÒÙ
1
2
(1)
g∈Sn
(2)
( )
(25-3)
ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Skew nV (ÓÕÍÍÁ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ n!
ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ).
430
431
25.1. óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÔÅÎÚÏÒÙ
25.1.2. óÉÍÍÅÔÒÉÚÁ ÉÑ É ÁÌØÔÅÒÎÉÒÏ×ÁÎÉÅ. îÁÄ ÏÌÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ
ÎÕÌØ ÌÅÇËÏ ÎÁÉÓÁÔØ Ñ×ÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÒÏÅËÔÏÒÏ× n-ÔÏÊ ÔÅÎÚÏÒÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ
V ⊗n ÎÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÔÅÎÚÏÒÏ×. üÔÏ
ÏÅÒÁÔÏÒÙ
É
, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÉÅ Ï ÒÁ×ÉÌÁÍ
X
symn(t) = n1! g(t) : V ⊗n - Sym n(V )
(25-4)
g∈Sn
X
altn(t) = n1! sgn(g) · g(t) : V ⊗n - Skew n(V )
(25-5)
ÓÉÍÍÅÔÒÉÚÁ ÉÉ
ÁÌØÔÅÒÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ
g∈Sn
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 25.2. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÔÅÎÚÏÒÏ×
t ∈ V ⊗n ; s ∈ Sym n (V ) ; a ∈ Skew n (V )
×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
×) symn (s) = s
Á) symn (t) ∈ Sym n (V )
Ç) altn (a) = a
Â) altn (t) ∈ Skew n (V )
Ä) symn (a) = altn (s) = 0
ðÒÉ n = 2 ÓÉÍÍÅÔÒÉÚÁ ÉÑ É ÁÌØÔÅÒÎÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÄÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÒÑÍÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ
(25-6)
V ⊗2 = Sym 2 (V ) ⊕ Skew 2 (V ) :
÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÙÊ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÊ ÔÅÎÚÏÒ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
ÓÕÍÍÙ
u⊗w+w⊗u u⊗w−w⊗u
u⊗w =
+
= sym2(u ⊗ w) + alt2(u ⊗ w) ;
2
2
ÏÂÒÁÚÙ ÒÏÅËÔÏÒÏ× sym2 É alt2 ÏÒÏÖÄÁÀÔ V ⊗2, Á Ô. Ë. ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÎÉÈ Ï
ÕÒ. 25.2 ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔ ÏÂÒÁÚ ÄÒÕÇÏÇÏ, ÜÔÉ ÏÂÒÁÚÙ ÉÍÅÀÔ ÎÕÌÅ×ÏÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ.
åÓÌÉ ÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ V ⊗2 ËÁË ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ ÎÁ V ∗, ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ (25-6) ÂÕÄÅÔ ÎÉ ÞÅÍ ÉÎÙÍ, ËÁË ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ
ÆÏÒÍÙ × ÓÕÍÍÕ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ.
óÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÅÊ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÉ n = 3 ÕÖÅ ÎÅ ÌÀÂÏÊ ÔÅÎÚÏÒ
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÍÍÏÊ Ó×ÏÅÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÚÁ ÉÉ É ÁÌØÔÅÒÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ. þÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë Sym 3(V ) ⊕ Skew 3(V ) × V ⊗2 , ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÁÚÎÏÓÔØ
p = E − sym3 − alt3 = 2 E − T − T 2 = 3 ;
(25-7)
ÇÄÅ ÞÅÒÅÚ V ⊗3 T - V ⊗3 ÏÂÏÚÎÁÞÅÎ ÏÅÒÁÔÏÒ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÊ ÉËÌÉÞÅÓËÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ |123i ∈ S3 , Á ÞÅÒÅÚ E = T 3 | ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ. ðÏÓËÏÌØËÕ
p2 = 4E + T 2 + T − 4 T − 4 T 2 + 2 E = 9 = 2E − T − T 2 = 3 = p ;
ÏÅÒÁÔÏÒ p ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÅËÔÏÒÏÍ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 25.3. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ p◦alt3 = alt3 ◦p = p◦sym3 = sym3 ◦p = 0 É ×Ù×Å-
ÄÉÔÅ ÏÔÓÀÄÁ, ÞÔÏ V ⊗3 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÍÏÊ ÓÕÍÍÏÊ Sym 3 (V ), Skew 3 (V ) É Im (p) .
432
§25. ðÏÌÑÒÉÚÁ ÉÑ ÏÌÉÎÏÍÏ×
ïÂÒÁÚ ÒÏÅËÔÏÒÁ p ÉÚÑÝÎÏ ÏÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÔÒÉÌÉÎÅÎÊÙÈ ÆÏÒÍ ÎÁ V ∗ .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 25.4. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ im (p) ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÒÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ
V∗×V∗×V∗
'-
k;
ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ∀ ; ; ∈ V ∗ ÔÏÖÄÅÓÔ×Õ ñËÏÂÉ
'(; ; ) + '(; ; ) + '(; ; ) = 0 ;
É ÒÉ×ÅÄÉÔÅ Ñ×ÎÙÊ ÒÉÍÅÒ ÔÁËÏÊ ÆÏÒÍÙ ÎÁ Ä×ÕÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ∗ .
ðÒÉ ÂÏÌØÛÉÈ n ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ V ⊗n × ÒÑÍÕÀ ÓÕÍÍÕ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× ÔÅÎÚÏÒÏ× Ó
€ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÔÉÁÍÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉɁ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÍ. íÙ ÏÂÓÕÄÉÍ ÅÇÏ
×Ï ×ÔÏÒÏÊ ÞÁÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ËÕÒÓÁ (× ÒÁÚÄÅÌÅ, ÏÓ×ÑÝ£ÎÎÏÍ ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑÍ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ).
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 25.1
åÓÌÉ har(k) = 0, ÔÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ1
V ⊗n
- S nV
ÎÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Sym n ⊂ V ⊗n É ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ×ÎÅÛÎÅÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ2
V ⊗ n - n V
ÎÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÔÅÎÚÏÒÏ× Skew n ⊂ V ⊗n Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×. äÅÊÓÔ×ÉÅ ÜÔÉÈ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÎÁ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ÍÏÎÏÍÙ (25-2) É (25-3) ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ
(m + m2 + · · · + md)! · em em : : : emd ∈ S nV
(25-8)
e[m ;m ;:::;md ℄ 7−→ 1
1 2
d
m1 ! · m2 ! · · · md !
ehi ;i ;:::;in i 7−→ n! · ei ∧ ei ∧ · · · ∧ eid ∈ nV
(25-9)
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ËÁÖÄÏÅ ÉÚ n!=(m1 !m2 ! · · · md !) ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÓÕÍÍÙ (25-2)m ÅÒÅÊÄ£Ô
ÒÉ ÒÏÅË ÉÉ × ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÁÌÇÅÂÒÕ × ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÊ
md
m
ÍÏÎÏÍ e1 e2 : : : ed , Á ËÁÖÄÏÅ ÉÚ n! ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÓÕÍÍÙ (25-3) ÅÒÅÊÄ£Ô ÒÉ ÒÏÅË ÉÉ ×Ï ×ÎÅÛÎÀÀ ÁÌÇÅÂÒÕ × ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ× ÍÏÎÏÍ n! ei ∧ ei ∧ · · · ∧ ein .
25.1.3. ðÒÅÄÏÓÔÅÒÅÖÅÎÉÅ. îÅ ÓÍÏÔÒÑ ÎÁ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÙ ÉÚ ÒÅÄÌ. 25.1, ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Sym nV É Skew nV ,
× V ⊗n , ÎÉ × ËÏÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅ
ÓÌÅÄÕÅÔ ÕÔÁÔØ Ó
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ S nV É nV , ËÏÔÏÒÙÅ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÉÚ
⊗n
V
ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÔÅÎÚÏÒÏ× ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÀ.
îÁÄ ÏÌÅÍ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ har(k) = p ×ÓÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ
ÔÅÎÚÏÒÙ, ÓÔÅÅÎØ ËÏÔÏÒÙÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÅÅÎØÀ p, É ×ÓÅ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÔÅÎÚÏÒÙ, ÓÔÅÅÎØ ËÏÔÏÒÙÈ ÂÏÌØÛÅ p, ÓÒÏÅËÔÉÒÕÀÔÓÑ ÒÉ ÒÏÅË ÉÑÈ V ⊗n -- S nV
É V ⊗n -- nV ×
ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ É ×ÎÅÛÎÅÊ ÁÌÇÅÂÒÙ.
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
1
2
ÏÄ
ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅÓÑ
ÆÁËÔÏÒ
ÓËÌÅÊËÏÊ
ÎÕÌÅ×ÙÅ
1
2
Ô. Å. ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ Ï ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ ËÏÍÍÕÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ (24-14)
Ô. Å. ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ Ï ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ ÁÎÔÉËÏÍÍÕÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ (24-17)
433
25.2. ðÏÌÑÒÉÚÁ ÉÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
äÁÖÅ × ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÅ ÎÕÌØ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÔÅÎÚÏÒÎÙÈ É
ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×
ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ ÉÚ ÒÅÄÌ. 25.1, Á ÅÒÅÈÏÄÑÔ ÌÉÛØ × ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ËÒÁÔÎÏÓÔÉ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÁ.
üÔÉ ÏÒÁ×ÏÞÎÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÒÉÈÏÄÉÔÓÑ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ ËÁË ÒÉ ÏÙÔËÅ ÏÄÎÑÔØ
ÎÁ (ËÏÓÏ) ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÔÅÎÚÏÒÙ (ËÏÓÏ) ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ, ËÏÔÏÒÏÅ
ÉÍÅÅÔÓÑ × ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ É ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÁÈ, ÔÁË É ÒÉ ÏÙÔËÅ ÓÕÓÔÉÔØ × ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ É ×ÎÅÛÎÀÀ ÁÌÇÅÂÒÙ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ Ó×£ÒÔËÉ, ËÏÔÏÒÙÅ
ÉÍÅÀÔÓÑ ÍÅÖÄÕ ÔÅÎÚÏÒÁÍÉ.
25.2. ðÏÌÑÒÉÚÁ ÉÑ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V Ó ÂÁÚÉÓÏÍ e1; e2; : : : ; ed É Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V ∗ Ó
Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÂÁÚÉÓÏÍ x1 ; x2 ; : : : ; xd . ÷ÙÂÏÒ ÂÁÚÉÓÏ× ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ SV ∗ Ó ÁÌÇÅÂÒÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V ∗, Ô. Å. Ó ÁÌÇÅÂÒÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ
SV ∗ ≃ k[x1 ; x2 ; : : : ; xd ℄ :
ðÏÌØÚÕÑÓØ ÜÔÉÍ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ, ËÁÖÄÏÍÕ ÜÌÅÍÅÎÔÕ f ∈ S nV ∗ ÍÏÖÎÏ ÓÏÏÓÔÁ×ÉÔØ ÏÄÎÏÒÏÄÎÕÀ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÓÔÅÅÎÉ n
f :V -k
ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ ×ÅËÔÏÒÅ v = P iei ∈ V ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ
f (v ) = f ( 1 ; 2 ; : : : ; d ) ∈ k :
ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÎÁÄ ÏÌÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÎÕÌØ ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÊ ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ f 7→ f ÉÚ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ S nV ∗ × ÁÌÇÅÂÒÕ ÆÕÎË ÉÊ
V - k ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÂÁÚÉÓÁ.
óÏÇÌÁÓÎÏ ÒÅÄÌ. 25.1, ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ f ∈ S n(V ∗) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÊ ÔÅÎÚÏÒ fe ∈ Sym nV ∗, ËÏÔÏÒÙÊ ÒÏÅËÔÉÒÕÅÔÓÑ × f ÒÉ
ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ Ï ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ ËÏÍÍÕÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ. üÔÏÔ ÔÅÎÚÏÒ ÚÁÄÁ£Ô ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÕÀ n-ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÆÏÒÍÕ
fe : V × V × : : : × V - k
ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÎÁ ÎÁÂÏÒÅ ×ÅËÔÏÒÏ× (v1; v2; : : : ; vn) ÒÁ×ÎÏ ÏÌÎÏÊ Ó×£ÒÔËÅ fe
Ó v1 ⊗ v2 ⊗ · · · ⊗ vn É ÏÒÅÄÅÌÅÎÏ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉ (ÂÅÚ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÂÁÚÉÓÏ×).
íÎÏÇÏÞÌÅÎ f ÅÓÔØ ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ ËÁË ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ÜÔÏÊ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÎÁ
ÇÌÁ×ÎÕÀ ÄÉÁÇÏÎÁÌØ ⊂ V1 × V2 × · · · × Vn:
f (v) = fe(v; v; : : : ; v) ∀ v ∈ V :
(25-10)
÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÏÌÎÁÑ Ó×£ÒÔËÁ ÂÁÚÉÓÎÏÇÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÇÏ ÔÅÎÚÏÒÁ x[m ;m ;:::;md℄
Ó ÔÅÎÚÏÒÏÍ v⊗n ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÓÕÍÍÕ n!=(m1! · m2! · · · md!) ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ
ÎÅ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÀÔÓÑ
1
2
434
§25. ðÏÌÑÒÉÚÁ ÉÑ ÏÌÉÎÏÍÏ×
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ x1 (v)m x2 (v)m · xd (v)md É ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÎÁ ×ÅËÔÏÒÅ v
ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ f , ÏÓÔÒÏÅÎÎÏÊ Ï ÜÌÅÍÅÎÔÕ
n!
d ∈ S nV ∗
f=
· xm
xm
xm
1
2
d
m1 ! · m2 ! · · · md !
× ËÏÔÏÒÕÀ ÒÏÅËÔÉÒÕÅÔÓÑ ÔÅÎÚÏÒ x[m ;m ;:::;md℄. á ÔÁË ËÁË ÌÉÎÅÊÎÏÅ Ï f ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï (25-10) ×ÙÏÌÎÅÎÏ ÎÁ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÈ, ÏÎÏ ×ÙÏÌÎÅÎÏ É ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ
f.
ëÏÌØ ÓËÏÒÏ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ f 7→ f ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÂÁÚÉÓÁ, ÍÙ ÂÕÄÅÍ
1 ÉÌÉ
ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ SV ∗
ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V , É ÎÅ ÂÕÄÅÍ ÄÅÌÁÔØ ÒÁÚÎÉ Ù ÍÅÖÄÕ
f É f (× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ f ÂÏÌØÛÅ ÎÉÇÄÅ ÎÅ ÂÕÄÅÔ ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ).
óÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ n-ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ fe(v1; v2; : : : ; vn), ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ Ó×ÑÚÁÎÎÁÑ Ó
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ f ∈ S nV ∗ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅÍ (25-10) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f .
ðÒÉ n = 2 ÏÌÎÁÑ ÏÌÑÒÉÚÁ ÉÑ ÅÓÔØ ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ ËÁË ÏÌÑÒÉÚÁ ÉÑ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ÄÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ, ÍÎÏÇÏËÒÁÔÎÏ ÉÓÏÌØÚÏ×Á×ÛÁÑÓÑ ÎÁÍÉ ÒÁÎÅÅ. äÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ
ÓÔÅÅÎÉ n PÏÌÎÁÑ ÏÌÑÒÉÚÁ ÉÑ ËÁÖÄÏÇÏ
md
m
m
ÂÁÚÉÓÎÏÇÏ ÍÏÎÏÍÁ f = x1 x2 · · · xd ÓÔÅÅÎÉ mi = n, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
(25-8) ÉÚ ÒÅÄÌ. 25.1, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
m ! m ! · · · md !
fe = 1 2
· x[m ;m ;:::;md ℄ :
(25-11)
n!
ðÏÌÎÁÑ ÏÌÑÒÉÚÁ ÉÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ Ï ÜÔÉÍ ÆÏÒÍÕÌÁÍ
× ÓÉÌÕ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f 7→ fe.
25.2.1. ðÒÉÍÅÒ: Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ. ðÏÌÎÁÑ Ó×£ÒÔËÁ ÍÅÖÄÕ V ⊗m É V ∗⊗m ÉÎÄÕ ÉÒÕÅÔ (× ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÅ ÎÕÌØ) Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÍÅÖÄÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× S mV É S mV ∗. ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÓÁÒÉ×ÁÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×
f ∈ S n V É g ∈ S n V ∗ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÎÁÑ Ó×£ÒÔËÁ ÉÈ ÏÌÎÙÈ ÏÌÑÒÉÚÁ ÉÊ fe ∈ V ⊗m
É ge ∈ V ∗⊗m.
1
2
1
1
2
2
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ
ÏÌÉÎÏ-
ÍÉÁÌØÎÙÍÉ ÆÕÎË ÉÑÍÉ
ÏÌÎÏÊ ÏÌÑÒÉÚÁ ÉÅÊ
1
2
1
2
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 25.5. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÍÏÎÏÍÙ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× Ä×ÏÊ-
ÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÂÁÚÉÓÏ× ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× V É V ∗ , ÓÁÒÉ×ÁÀÔÓÑ ÒÉ ÜÔÏÍ Ï ÒÁ×ÉÌÕ
m1 ! · m2 ! · · · · · md !
md m1 m2
md
1 m2
hem
1 e2 · · · ed ; x 1 x 2 · · · x d i =
(25-12)
n!
(ÓÁÒÉ×ÁÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ×ÓÅÍÉ ÏÓÔÁÌØÎÙÍÉ ÁÒÁÍÉ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÎÕÌÅ×ÙÅ).
25.3. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÏÌÑÒÙ.
ÖÅÎÉÅ Ó×£ÒÔËÉ
1
1
v
äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ v ∈ V ÉÍÅÅÔÓÑ ÏÔÏÂÒÁ-
: V ∗ ⊗n
- V ∗ ⊗(n−1)
ËÁË ÍÙ, ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏ, É ÄÅÌÁÌÉ ÜÔÏ ÄÏ ÓÉÈ ÏÒ
435
25.3. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÏÌÑÒÙ
ÅÒ×ÏÇÏ ÔÅÎÚÏÒÎÏÇÏ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÑ × V ∗⊗n Ó ×ÅËÔÏÒÏÍ v. îÁ ÑÚÙËÅ n-ÌÉÎÅÊÎÙÈ
ÆÏÒÍ ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÜÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÆÉËÓÉÒÕÅÔ ×ÅËÔÏÒ v ∈ V × ËÁÞÅÓÔ×Å
ÅÒ×ÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ n-ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ. ðÒÉÍÅÎÑÑ ÅÇÏ Ë ÏÌÎÏÊ ⊗ÏÌÑÒÉÚÁ
ÉÉ
fe ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f ∈ S n (V ∗ ) É ÚÁÔÅÍ ÒÏÅËÔÉÒÕÑ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÉÚ V ∗ (n−1) ÏÂÒÁÔÎÏ × ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÓÔÅÅÎØ S n−1(V ∗) , ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
- S n−1 V ∗ , ËÏÔÏÒÏÅ ×ËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÎÉÖÎÅÊ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÊ
S nV ∗
ÓÔÒÅÌËÉ × ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÕÀ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ
v V ∗ ⊗n ⊃ Sym n V ∗
Sym (n−1) V ∗ ⊂ V ∗⊗(n−1)
1
?
S nV ∗
plv
?
- S n−1 V ∗
É ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (x) = fe(x; x; : : : x) ∈ S n(V ∗) × ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
(25-13)
plv f (x) = fe(v; x; : : : x) ∈ S n−1(V ∗) ;
ËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
×ÅËÔÏÒÁ v ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ f É ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÔ ËÁË
ÏÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f , ÔÁË É ÏÔ ×ÅËÔÏÒÁ v ∈ V . ðÒÉ n = 2 ÜÔÁ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÑ ÚÁÄÁ£Ô
ÏÌÑÒÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ Ë×ÁÄÒÉËÉ f = 0 × P(V ) É ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ
×ÅËÔÏÒÕ v ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÅÇÏ ÏÌÑÒÎÏÊ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ.
÷ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÂÁÚÉÓÁÈ e1; e2; : : : ; ed ∈ V É x1 ; x2 ; : : : ; xd ∈ V ∗ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
Ó×£ÒÔËÉ Ï ÅÒ×ÏÍÕ ÉÎÄÅËÓÕ Ó ÂÁÚÉÓÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ ei ∈ V ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÂÁÚÉÓÎÙÊ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÍÏÎÏÍ (25-2) × ÔÏÞÎÏ ÔÁËÏÊ ÖÅ ÂÁÚÉÓÎÙÊ ÍÏÎÏÍ, ÎÏ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ (mi − 1) ÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ei, ÉÌÉ × ÎÕÌØ, ÅÓÌÉ mi = 0. ðÏÜÔÏÍÕ, Ï ÆÏÒÍÕÌÅ
(25-8) ÉÚ ÒÅÄÌ. 25.1
ÏÌÑÒÏÊ
plei xm1 xm2 · · · xmd d = mni xm1 · · · xim−i1 xmi i −1xmi+1i · · · xmd d =
= n1 x xm1 xm2 · · · xmd d :
1
2
1
+1
−1
1
2
i
éÚ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ plv f Ï v É f ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÏÌÑÒÁ ×ÅËÔÏÒÁ v = P iei ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f ÅÓÔØ ÄÅÌ£ÎÎÁÑ ÎÁ deg f
ÏÔ f × ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ
×ÅËÔÏÒÁ v:
X f
plv f = deg(1 f ) v f = deg(1 f )
:
i
xi
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÉÚ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ÎÅÍÅÄÌÅÎÎÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ
ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ × V É V ∗, Á ÔÁËÖÅ ËÏÍÍÕÔÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ: uw = w u É ÚÁÍÅÞÁÔÅÌØÎÏÅ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÅÖÄÕ ËÒÁÔÎÙÍÉ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ
ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ
m!
n−m f
mf
e(u; u; : : : ; u; w; w; : : : ; w) = (n − m)! f
(
w
)
=
n
!
(u) ;
| {z } |
{z
}
um
wn−m
m
n
(25-14)
436
§25. ðÏÌÑÒÉÚÁ ÉÑ ÏÌÉÎÏÍÏ×
ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ u; w ∈ V , ÌÀÂÏÇÏ f ∈ S nV ∗ É ÌÀÂÏÇÏ m × ÒÅÄÅÌÁÈ 0 ⩽ m ⩽ n .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 25.6. äÏËÁÖÉÔÅ ÒÁ×ÉÌÏ ìÅÊÂÎÉ Á: v (f · g ) = v (f ) · g + f · v (g ).
ðÏÓËÏÌØËÕ ÆÏÒÍÁ fe ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ, ÁÒÇÕÍÅÎÔÙ × ÓÒÅÄÎÅÍ ÞÌÅÎÅ ÆÏÒÍÕÌÙ (25-14)
ÍÏÖÎÏ ÉÓÁÔØ × ÌÀÂÏÍ ÏÒÑÄËÅ. õÓÌÏ×ÉÍÓÑ ÄÌÑ ÕÒÏÝÅÎÉÑ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÊ ÉÓÁÔØ
fe(um ; wn−m ) ;
ËÏÇÄÁ ËÁËÉÅ-ÔÏ m ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× ÆÏÒÍÙ fe ÒÁ×ÎÙ u, Á ÏÓÔÁÌØÎÙÅ (n − m) ÒÁ×ÎÙ w
(ÎÅ ×ÁÖÎÏ × ËÁËÏÍ ÏÒÑÄËÅ).
éÚ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ É ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ fe ÄÏÓÌÏ×ÎÏ ÔÅÍ ÖÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅÍ,
ÞÔÏ É ÆÏÒÍÕÌÁ îØÀÔÏÎÁ ÄÌÑ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓËÏÂÏË × ÂÉÎÏÍÅ (u + w)n, ×Ù×ÏÄÉÔÓÑ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
n X
n e m n−m
e
f (u + w; u + w; : : : ; u + w) =
f (u ; w ) ;
m
m=0
ÇÄÅ n = deg f . ó ÕÞ£ÔÏÍ (25-14) ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ÅÒÅÉÓÁÔØ ËÁË
:
ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f É ×ÅËÔÏÒÏ× u; w ÉÍÅÅÔÓÑ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
deg
Xf 1
wm f (u) ;
(25-15)
f (u + w ) =
m
!
m=0
ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁ Ï u É w × ÓÉÌÕ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ (25-14).
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÅÊÌÏÒÁ
ÔÏÞÎÏÅ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 25.7. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÌÎÏÊ ÏÌÑÒÉÚÁ ÉÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f ∈
S n V ∗ ÎÁ ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ×ÅËÔÏÒÏ× ÏÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÏÄ1
∀v1 ; v2 ; : : : ; vn ∈ V .
ÎÙÈ ÆÏÒÍÕÌÏÊ fe(v1 ; v2 ; : : : ; vn ) = v1 v2 : : : vn f
n!
25.3.1. ðÒÉÍÅÒ: ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÎÏÓÉÔÅÌØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f ∈ S nV ∗ ÏÒÅÄÅÌÑÔÓÑ
ËÁË ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï W ⊂ V ∗ ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ f ∈ S nW ∗ , É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ Supp(f ). ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÎÏÓÉÔÅÌÅÍ ÏÌÎÏÊ ÏÌÑÒÉÚÁ ÉÉ fe ∈ Sym nV ∗ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, Ï
ÔÅÏÒ. 24.1 Supp(f ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ V ⊗(n−1) - V ∗ ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÇÏ ÏÌÎÏÊ Ó×£ÒÔËÏÊ1 Ó fe. üÔÏÔ ÏÂÒÁÚ ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ×ÓÅÍÉ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ ÆÏÒÍÁÍÉ,
ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÉÚ f ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ (n − 1)-ËÒÁÔÎÙÍÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑÍÉ ×ÉÄÁ
m m
md
·
·
·
(25-16)
m
d f (x) ;
xm
xm
1 x2
d
Ó P m = n − 1 . ÷ËÌÁÄ × ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ xi Õ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ (25-16)
ÄÁ£Ô
ÒÏ×ÎÏ
ÏÄÉÎ
ËÏÜÆÆÉ mÉÅÎÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f | ÔÏÔ, ÞÔÏ ÓÔÏÉÔ ÒÉ ÍÏÎÏÍÅ
mi
m
+1 mi
m
i
x1 : : : xi−1 xi xi+1 : : : xd d . ðÏÜÔÏÍÕ, ÅÓÌÉ ÚÁÉÓÁÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f × ×ÉÄÅ
X
n!
a
x x · · · xdd ;
f=
(25-17)
! ! · · · ! ::: d 1 2
1
−1
1
2
1
2
+1
1 +···+d =n 1 2
d
1 2
1
2
ÉÚ-ÚÁ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ ÔÅÎÚÏÒÁ fe ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ Ó×£ÒÔËÉ ÉÚ ÔÅÏÒ. 24.1 ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ
ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÉÎÄÅËÓÏ× J , Ï ËÏÔÏÒÙÍ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ Ó×£ÒÔËÁ
1
437
25.3. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ É ÏÌÑÒÙ
ÔÏ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ (25-16) ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ×ÉÄ
n! ·
d
X
am1 :::mi−1 (mi +1)mi+1 :::md xi
i=1
n+d−2
d− 1
(25-18)
É ×ÓÅÇÏ ÔÁËÉÈ ÆÏÒÍ ÂÕÄÅÔ
(ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÏÓÏÂÏ× ÒÁÚÌÏÖÉÔØ n−1 × ÓÕÍÍÕ
d ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÅÌÙÈ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ m1 ; m2 ; : : : ; md ). ïÔÓÀÄÁ
ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ËÒÉÔÅÒÉÊ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÏÓÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ × ×ÉÄÅ n-ÔÏÊ
ÓÔÅÅÎÉ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ.
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 25.2
îÁÄ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÙÍ ÏÌÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÎÕÌØ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ (25-17) ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ n-ÔÏÊ ÓÔÅÅÎØÀ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ,
ËÏÇÄÁ ÒÁÎÇ d × n+d−d−1 2 ÍÁÔÒÉ Ù, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÉÚ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÌÉÎÅÊÎÙÈ
ÆÏÒÍ (25-18), ÒÁ×ÅÎ ÅÄÉÎÉ Å. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÆÏÒÍÁ ', ÔÁËÁÑ ÞÔÏ 'n = f , ÔÁËÖÅ
ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÁ ÆÏÒÍÁÍ (25-18).
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á f = 'n ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ Supp(f ) |
ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÅ ÆÏÒÍÏÊ ' , É ÔÏÇÄÁ ×ÓÅ ÆÏÒÍÙ (25-18)
ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙ ÆÏÒÍÅ '. îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÆÏÒÍÙ (25-18) ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ, ÔÏ Supp(f ) | ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U = k · , ÏÒÏÖÄ£ÎÎÏÅ
ËÁËÏÊ-ÔÏ ÆÏÒÍÏÊ ∈ V ∗. ðÏÓËÏÌØËÕ S nU = k · n ÔÏÖÅ ÏÄÎÏÍÅÒÎÏ, ÕÓÌÏ×ÉÅ
f ∈ S n U ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ f = n ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ∈ k . åÓÌÉ k ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ
√
ÚÁÍËÎÕÔÏ, ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ËÁË f = 'n Ó ' = n · . óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 25.1
n
'7→' P(S n V ∗ ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÍ ÁÌïÂÒÁÚ
P(V ∗ )
ÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅÍ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÍ ÓÉÓÔÅÍÏÊ
Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ |
n
+d−2
ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ ÎÕÌÀ ×ÓÅÈ 2 × 2 ÍÉÎÏÒÏ× d × d−1 ÍÁÔÒÉ Ù, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÉÚ
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ (25-18).
îÁÒÉÍÅÒ, ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ
×ÌÏÖÅÎÉÑ ÷ÅÒÏÎÅÚÅ
⊂
f (x0 ; x1 ) =
n
X
k=0
ak ·
n
· xn0 −k xk1
k
ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ ( 0x0 + 1x1 )n, ËÏÇÄÁ
a
0 a1 : : : an
rk a1 a2 : : : an = 1 ;
ÞÔÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
a
a
i
j
det ai+1 aj+1 = 0
ÎÁ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ai ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f , É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ( 0 : 1) = (ai : ai+1) ÄÌÑ
ÌÀÂÏÇÏ i, ÁËÏÇÏ ÞÔÏ aiai+1 6= 0 .
1
438
§25. ðÏÌÑÒÉÚÁ ÉÑ ÏÌÉÎÏÍÏ×
25.3.2. ðÏÌÑÒÙ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÏÅËÔÉ×-
ÎÕÀ ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ S ⊂ P(V ), ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ F (x) = 0
ÓÔÅÅÎÉ n. ðÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ S ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÒÑÍÏÊ ` = (pq) ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÔÏÞÅË p + q ∈ `, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ( : ) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ f (; ) = 0,
ËÏÔÏÒÏÅ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÏÊ x = p + q × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ
F (x) = 0. åÓÌÉ ÏÓÎÏ×ÎÏÅ ÏÌÅ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÚÁÍËÎÕÔÏ, É ÒÑÍÁÑ ` ÎÅ ÌÅÖÉÔ
ÎÁ S ÅÌÉËÏÍ (ÞÔÏ ÏÚÎÁÞÁÌÏ ÂÙ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÂÒÁÝÅÎÉÅ f (; ) × ÎÕÌØ), ÔÏ
` ÅÒÅÓÅËÁÅÔ S × ËÏÎÅÞÎÏÍ ÎÁÂÏÒÅ ÔÏÞÅË a1 ; a2 ; : : : ; ak , ÒÉÞ£Í ÅÓÌÉ ÕÞÉÔÙ×ÁÔØ
ËÁÖÄÕÀ ÉÚ ÎÉÈ Ó ÎÁÄÌÅÖÁÝÅÊ ËÒÁÔÎÏÓÔØÀ, ÔÏ ÓÕÍÍÁ ÜÔÉÈ ËÒÁÔÎÏÓÔÅÊ ÂÕÄÅÔ
ÒÁ×ÎÁ n. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ËÒÁÔÎÏÓÔØ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S Ó ÒÑÍÏÊ ` × ÔÏÞËÅ
ai = ( i′ : i′′ ) ÎÁÄÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ËÁË ÏËÁÚÁÔÅÌØ, Ó ËÏÔÏÒÙÍ ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ
det
′
i
′′
i
= ( i′′ − i′ )
×ÈÏÄÉÔ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ f (; ) = ( i′′ − i′ )si ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (; )
ÎÁ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÍÎÏÖÉÔÅÌÉ.
ðÏËÁÚÁÔÅÌØ si ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S
Ó ÒÑÍÏÊ ` × ÔÏÞËÅ ai É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ (S; `)ai . ðÒÑÍÁÑ ` ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
Ë S × ÔÏÞËÅ a ∈ ` ∩ S , ÅÓÌÉ (S; `)a ⩾ 2 ÉÌÉ ` ⊂ S .
ðÏ ÆÏÒÍÕÌÅ ÜÊÌÏÒÁ (25-15) ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ n−mm × ÕÒÁ×ÎÅÎÉÉ f (; ) =
0 ÒÁ×ÅÎ
n e n−m m
1 m F (p) = 1 n−m F (q) :
f (p ; q ) =
(25-19)
m
m! qi
(n − m)! pn−m
É ÅÓÌÉ p ∈ S , ÔÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÅÊÌÏÒÁ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ p ÎÁÞÉÎÁÅÔÓÑ ËÁË
Q
ÌÏËÁÌØÎÙÍ ÉÎÄÅËÓÏÍ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ
ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ
d e n−1
d e n−2 2
F (p + tq) = t
F (p ; q ) + t2
F (p ; q ) + · · · :
1
2
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÑÍÁÑ pq, ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ p ∈ S , ËÁÓÁÅÔÓÑ S × ÜÔÏÊ
ÔÏÞËÅ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ Fe(pn−1; q) = 0 .
åÓÌÉ F (pn−1; x) 6≡ 0 ËÁË ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ ÏÔ x, ÔÏ ÔÏÞËÉ q, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ
ÒÑÍÁÑ (pq) ËÁÓÁÅÔÓÑ S × ÔÏÞËÅ p, ÚÁÍÅÔÕÔ × P(V ) ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÕÀ
ÌÉÎÅÊÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ F (pn−1; x) = 0 . ïÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
Ë S × p É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ TpS . ÏÞËÁ p ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ
ÔÏÞËÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S .
åÓÌÉ F (pn−1; x) ≡ 0, ÔÏ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ S ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
× ÔÏÞËÅ p, Á p
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S . óÏÇÌÁÓÎÏ (25-19), ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ
ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ
F (pn−1 ; x) = x F (p)
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÏÔ F , ×ÙÞÉÓÌÅÎÎÙÅ × ÔÏÞËÅ p, ÔÁË ÞÔÏ ÏÓÏÂÏÓÔØ
p ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÚÁÎÕÌÅÎÉÀ × p ×ÓÅÈ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÏÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÌÀÂÁÑ ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ p ÒÑÍÁÑ ÉÍÅÅÔ Ó S ËÁË
ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÍ ÒÏÓÔÒÁÎ-
ÓÔ×ÏÍ
ÇÌÁÄËÏÊ
ÏÓÏÂÏÊ
ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ
439
25.4. ðÏÌÑÒÉÚÁ ÉÑ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
ÍÉÎÉÍÕÍ Ä×ÕËÒÁÔÎÏÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ, É ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï TpS , ÏÎÉÍÁÅÍÏÅ ËÁË ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ×ÓÅÈ ÒÑÍÙÈ, ËÁÓÁÀÝÉÈÓÑ S × ÔÏÞËÅ p, ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ ×ÓÅÍ
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ P(V ).
åÓÌÉ q | ÇÌÁÄËÁÑ ÔÏÞËÁ ÎÁ S ÉÌÉ ÌÀÂÁÑ ÔÏÞËÁ ×ÎÅ S , ÔÏ ÚÁÍÙËÁÎÉÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÏÞÅË ËÁÓÁÎÉÑ Ó S ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ, ÏÕÝÅÎÎÙÈ ÎÁ S ÉÚ ÔÏÞËÉ
q ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÎÁ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S ÆÉÇÕÒÕ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÕÀ
Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S ,
×ÉÄÉÍÙÍ ÉÚ ÔÏÞËÉ q. ÷ÉÄÉÍÙÊ ËÏÎÔÕÒ ×ÙÓÅËÁÅÔÓÑ ÉÚ S ÏÌÑÒÎÏÊ Ë q ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ S ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ (n − 1)-Ê ÓÔÅÅÎÉ
(25-20)
plq S = {y ∈ P(V ) | Fe(q; yn−1) = 0} ;
Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÏÔÌÉÞÎÏÊ ÏÔ ×ÓÅÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ, ÕÓÌÏ×ÉÅ ËÁÓÁÎÉÑ ÒÑÍÏÊ (qy) Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S × ÔÏÞËÅ y | ÜÔÏ Fe(yn−1; q) = 0. åÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
G(y) = Fe(yn−1; q) ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÕÌÅ×ÏÊ (ËÁË ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ y), ÔÏ, ×ÚÑ× y = q,
ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ F (q) = 0, ÏÔËÕÄÁ q ∈ S . ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, Ô. Ë. ×ÓÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ
ÏÔ G × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÔÏÖÅ ÎÕÌÅ×ÙÅ, ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
n−2
Fe(qn−1 ; y) = Ge(qn−2 ; y) = n−2 G(y) ≡ 0 ;
q
ÏÚÎÁÞÁÀÝÅÅ, ÞÔÏ q | ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ
Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S .
n
o
n
−r
çÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ plq = y ∈ P(V ) | Fe(qn−r ; yr ) = 0 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
r
Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÏÞËÉ q. åÓÌÉ q ∈ S | ÇÌÁÄËÁÑ ÔÏÞËÁ,
ÔÏ ÏÌÑÒÁ ÅÒ×ÏÊ ÓÔÅÅÎÉ | ÜÔÁ ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ Tq S Ë S × ÔÏÞËÅ
q, Á ËÁÖÄÁÑ ÏÌÑÒÁ ÓÔÅÅÎÉ r ⩾ 2 | ÜÔÏ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÓÔÅÅÎÉ r, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ q É ÉÍÅÅÔ ÔÅ ÖÅ ÏÌÑÒÙ ÓÔÅÅÎÅÊ < r ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÔÏÞËÉ q, ÞÔÏ
É ÉÓÈÏÄÎÁÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ S . ÁË, Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÁÑ ÏÌÑÒÁ | ÜÔÏ ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ
q Ë×ÁÄÒÉËÁ, ÉÍÅÀÝÁÑ × ÔÏÞËÅ q ÔÕ ÖÅ ËÁÓÁÔÅÌØÎÕÀ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ, ÞÔÏ É S ,
ËÕÂÉÞÅÓËÁÑ ÏÌÑÒÁ | ÜÔÏ ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ q ËÕÂÉÞÅÓËÁÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔØ Ó ÔÏÊ ÖÅ
ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔØÀ É Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÏÌÑÒÏÊ, ÞÔÏ É S , É Ô. Ä.
25.4. ðÏÌÑÒÉÚÁ ÉÑ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. èÏÔÑ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ! ∈ V ∗ É ÎÅ ÚÁÄÁ£Ô ÎÉËÁËÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁ ×ÅËÔÏÒÁÈ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V , ÂÏÌØÛÁÑ ÞÁÓÔØ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌ É
ÄÌÑ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. á ÉÍÅÎÎÏ, Ï ÒÅÄÌ. 25.1 ÎÁÄ ÏÌÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÎÕÌØ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ n-ÔÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ! ∈ nV ∗ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ n-ÌÉÎÅÊÎÁÑ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ÆÏÒÍÁ
n
∗
∗ ⊗n
!e ∈ Skew V ⊂ V , ËÏÔÏÒÁÑ ÒÏÅËÔÉÒÕÅÔÓÑ × ÜÔÏÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÒÉ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ ÔÅÎÚÏÒÎÏÊ ÁÌÇÅÂÒÙ Ï ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ ÁÎÔÉËÏÍÍÕÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ. üÔÁ ÆÏÒÍÁ (ÒÁ×ÎÏ ËÁË É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÊ ÅÊ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÔÅÎÚÏÒ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ !.
óÏÇÌÁÓÎÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (25-9) ÉÚ ÒÅÄÌ. 25.1 ÏÌÎÁÑ ÏÌÑÒÉÚÁ ÉÑ ÂÁÚÉÓÎÏÇÏ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Á ÍÏÎÏÍÁ ! = ei ∧ ei ∧ · · · ∧ ein ÒÁ×ÎÁ
1
!e = ehi ;i ;:::;in i = altn (ei ⊗ ei ⊗ · · · ⊗ ein ) :
(25-21)
n!
ËÏÎÔÕÒÏÍ
ÏÌÑÒÏÊ
-Ê ÓÔÅÅÎÉ
ÏÌÎÏÊ ÏÌÑÒÉÚÁ ÉÅÊ
2
1
1
2
1
2
440
§25. ðÏÌÑÒÉÚÁ ÉÑ ÏÌÉÎÏÍÏ×
ëÁË É × ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÏÌÎÁÑ ÏÌÑÒÉÚÁ ÉÑ ÉÎÄÕ ÉÒÕÅÔ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÍÅÖÄÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ, ÒÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÓÁÒÉ×ÁÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ
! ∈ n V ∗ É ∈ n V
Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ ÏÌÎÁÑ Ó×£ÒÔËÁ ÉÈ ÏÌÎÙÈ ÏÌÑÒÉÚÁ ÉÊ he!; ei .
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 25.8. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏÍ ÓÁÒÉ×ÁÎÉÑ Ä×ÕÈ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ÇÒÁÓ-
ÓÍÁÎÏ×ÙÈ ÍÏÎÏÍÏ× eI = ei1 ∧ ei2 ∧ · · · ∧ ein É xJ = ei1 ∧ ei2 ∧ · · · ∧ ein ÏÔ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× V É V ∗ (ÏÂÁ ÎÁÂÏÒÁ ÉÎÄÅËÓÏ× I É J ÓÔÒÏÇÏ
×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ 1=n!, ÅÓÌÉ i = j ∀ , É ÎÕÌØ ×Ï ×ÓÅÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ.
25.4.1. þÁÓÔÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ × ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÏÊ ÁÌÇÅÂÒÅ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏ-
ÂÒÁÖÅÎÉÅ
plv : nV ∗ - n−1V ∗ ;
ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Õ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÕ ! ∈ nV ∗ ÒÏÅË ÉÀ ×Ï ×ÎÅÛÎÀÀ ÁÌÇÅÂÒÕ ÔÅÎÚÏÒÁ, ÏÌÕÞÁÀÝÅÇÏÓÑ Ó×£ÒÔËÏÊ Ï ÅÒ×ÏÍÕ ÔÅÎÚÏÒÎÏÍÕ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÀ
ÏÌÎÏÊ ÏÌÑÒÉÚÁ ÉÉ !e ∈ V ∗⊗n ×ÅËÔÏÒÏÍ v ∈ V . ïÎÏ ×ËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÕÀ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ
v V ∗ ⊗n ⊃ Skew n V ∗
Skew (n−1) V ∗ ⊂ V ∗⊗(n−1)
1
?
?
nV ∗ plv - n−1V ∗
ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÅ ÓÔÒÅÌËÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÕÔØ ÒÏÅË ÉÉ ×Ï ×ÎÅÛÎÀÀ ÁÌÇÅÂÒÕ (ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ Ï ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍ ÁÎÔÉËÏÍÍÕÔÉÒÏ×ÁÎÉÑ), Á ×ÅÒÈÎÑÑ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁÑ ÓÔÒÅÌËÁ | Ó×£ÒÔËÁ ÅÒ×ÏÇÏ ÔÅÎÚÏÒÎÏÇÏ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÑ Ó ×ÅËÔÏÒÏÍ
v . ðÏ ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÓÌÕÞÁÅÍ, ÏÒÅÄÅÌÉÍ
ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ! ∈ nV ∗ × ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ ×ÅËÔÏÒÁ v ∈ V
ÆÏÒÍÕÌÏÊ
v ! def
= deg ! · plv ! :
éÚ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ plv ! ÏP v É ! ÍÙ ÓÒÁÚÕ ÖÅ ÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ × ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ ×ÅËÔÏÒÁ v = iei Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ×ÄÏÌØ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×:
X
v =
i ei :
åÓÌÉ ! ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ Èj , ÉÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÊ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ej ! = 0. ðÏÜÔÏÍÕ
ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ×ËÌÁÄ × ÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÏÔ ÂÁÚÉÓÎÏÇÏ ÍÏÎÏÍÁ
! = xi ∧ xi ∧ · · · ∧ xin
ÄÁÄÕÔ ÔÏÌØËÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÑ ei ; ei ; : : : ; ein . éÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (25-21) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ
ei xi ∧ xi ∧ · · · ∧ xin = xi ∧ xi ∧ : : : ∧ xin
ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Õ ÒÏÉÚ×ÏÄ-
ÎÕÀ
2
1
1
1
1
2
2
2
3
441
25.4. ðÏÌÑÒÉÚÁ ÉÑ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
×ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÔÏÇÏ, ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÌÉ ÎÅÏ×ÔÏÒÑÀÝÉÅÓÑ ÉÎÄÅËÓÙ
I = ( i1 ; i2 ; : : : ; i n )
ÓÔÒÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÕÀ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÉÌÉ ÎÅÔ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÞÁÓÔÎÁÑ
ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Á ÍÏÎÏÍÁ Ï ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÀ ÅÒ×ÏÇÏ ÓÌÅ×Á ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÑ
ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ËÁË =xi (Ô. Å. ÒÏÓÔÏ ÕÎÉÞÔÏÖÁÅÔ ÜÔÏÔ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌØ). ðÒÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÉ Ï ÏÓÔÁÌØÎÙÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÑÍ ÂÕÄÕÔ ÏÑ×ÌÑÔØÓÑ ÚÎÁËÉ:
eik xi ∧ xi ∧ · · · ∧ xin = eik (−1)k−1 xik ∧ xi ∧ : : : ∧ xik ∧ xik : : : xin =
= (−1)k−1eik xik ∧ xi ∧ : : : ∧ xik ∧ xik : : : xin =
= (−1)k−1xi ∧ : : : ∧ xik ∧ xik : : : xin :
éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Á ÍÏÎÏÍÁ Ï ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÀ k-ÔÏÊ
ÓÌÅ×Á ×ÈÏÄÑÝÅÊ × ÎÅÇÏ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ×ÅÄ£Ô ÓÅÂÑ ËÁË (−1)k−1=xik . õÄÏÂÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ÜÔÏ Ñ×ÌÅÎÉÅ ËÁË
:
1
1
2
1
1
−1
+1
−1
1
+1
+1
−1
ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Ï ÒÁ×ÉÌÏ ìÅÊÂÎÉ Á
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 25.9. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Ù ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÕÄÏ×ÌÅÔ×Ï-
ÒÑÀÔ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Õ ÒÁ×ÉÌÕ ìÅÊÂÎÉ Á: v (! ∧ ) = v (!) ∧ + (−1)deg ! ! ∧ v ( ).
ðÏÓËÏÌØËÕ !e(u; w; ∗; : : : ; ∗) = −e!(w; u; ∗; : : : ; ∗) ÏÅÒÁ ÉÉ plu É plw ÁÎÔÉËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ: pluplw ! = −plw plu! . ðÏÜÔÏÍÕ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Ù
ÞÁÓÔÎÙÅ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÔÁËÖÅ
: uw = −w u . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ,
v2 ! ≡ 0 ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ v É !.
25.4.2. ìÉÎÅÊÎÙÊ ÎÏÓÉÔÅÌØ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ! ∈ nV ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï W ⊂ V , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ ! ∈ nW , É
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ Supp(!) . ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÎÏÓÉÔÅÌØ ! ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÎÏÓÉÔÅÌÅÍ ÏÌÑÒÉÚÁ ÉÉ !e, ËÏÔÏÒÙÊ Ï ÔÅÏÒ. 24.1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
ÁÎÔÉËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ
V ∗ ⊗(n−1)
-V ;
ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÇÏ ÏÌÎÏÊ Ó×£ÒÔËÏÊ Ó ÔÅÎÚÏÒÏÍ !e. ÷ ×ÉÄÕ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ ÔÅÎÚÏÒÁ !e ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ Ó×£ÒÔËÉ ÉÚ ÔÅÏÒ. 24.1 ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ
ÌÉÛØ ÚÎÁËÏÍ, É ÏÜÔÏÍÕ ÎÅ×ÁÖÎÏ, ËÁËÕÀ ÉÚ Ó×£ÒÔÏË ×ÚÑÔØ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÎÏÓÉÔÅÌØ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÓÔÅÅÎÉ n ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ
J ! = j j : : : j n ! ;
ÇÄÅ j = xj É J = (j1; j2 ; : : : ; jn−1) ÒÏÂÅÇÁÅÔ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÎÁÂÏÒÙ ÉÚ (n − 1)
ÏÁÒÎÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÉÎÄÅËÓÏ×1 . åÓÌÉ ÒÁÚÌÏÖÉÔØ ! × ÓÕÍÍÕ ÍÏÎÏÍÏ×
X
X
!=
aI eI =
i i ::: in ei ∧ ei ∧ · · · ∧ ein
1
I
i1 i2 ::: in
2
−1
1 2
1
2
× ÓÉÌÕ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ ÞÁÓÔÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ ÓÔÒÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÍÉ ÎÁÂÏÒÁÍÉ
1
442
§25. ðÏÌÑÒÉÚÁ ÉÑ ÏÌÉÎÏÍÏ×
(ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ i i ::: in ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙ Ï ÉÎÄÅËÓÁÍ i1; i2; : : : ; in), ÔÏ ×ËÌÁÄ
× J ! ÄÁÄÕÔ ÔÏÌØËÏ ÍÏÎÏÍÙ aI eI Ó I ⊃ J . ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ, Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÏÂÝÅÇÏ
ÚÎÁËÁ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ
X
J ! = ±
(25-22)
j j ::: jn i ei :
1 2
1 2
i6∈J
−1
ïÔÓÀÄÁ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ËÒÉÔÅÒÉÊ ÒÁÚÌÏÖÉÍÏÓÔÉ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ.
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 25.3
óÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÎÁ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
!=
X
i1 i2 ::: in
i1 i2 ::: in ei1 ∧ ei2 ∧ · · · ∧ ein
ÇÄÅ ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ i i ::: in ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙ Ï ÉÎÄÅËÓÁÍ i1; i2; : : : ; in, ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ:
1) ! = u1 ∧ u2 ∧ · · · ∧ un ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ u1; u2; : : : ; un ∈ V
2) u ∧ ! = 0 ∀ u ∈ Supp(!)
3) ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÎÁÂÏÒÏ× ÎÅÏ×ÔÏÒÑÀÝÉÈÓÑ ÉÎÄÅËÓÏ×
i1 ; i2 ; : : : ; im+1 É j1 ; j2 ; : : : ; jm−1
1 2
×ÙÏÌÎÅÎÏ
1
ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ðÌÀËËÅÒÁ
m
+1
X
=1
(−1)−1aj :::jm i ai :::bi :::im = 0 .
−1
1
1
+1
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. õÓÌÏ×ÉÅ (1) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ! ÌÅÖÉÔ × ÓÁÍÏÊ ÓÔÁÒÛÅÊ ×ÎÅÛÎÅÊ ÓÔÅÅÎÉ dim Supp(!) Ó×ÏÅÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÉ Supp(!). ðÏÜÔÏÍÕ
ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏÓÔØ ÕÓÌÏ×ÉÊ (1) É (2) ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÏÂÝÅÇÏ ÆÁËÔÁ:
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 25.10. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ! ∈ U ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÏÄÎÏÒÏÄÅÎ
ÓÔÅÅÎÉ dim U , ËÏÇÄÁ u ∧ ! = 0 ÄÌÑ ×ÓÅÈ u ∈ U .
æÏÒÍÕÌÙ (3) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÓÏÂÏÀ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÕÀ ÚÁÉÓØ ÕÓÌÏ×ÉÑ (2) É ËÏÎÓÔÁÔÉÒÕÅÔ ÚÁÎÕÌÅÎÉÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁ ÒÉ ei ∧ ei ∧ · · · ∧ ein × u ∧ !, ÇÄÅ u | ÜÔÏ
×ÅËÔÏÒ (25-22). ðÏÓËÏÌØËÕ (2) ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ
ÓÉÓÔÅÍÙ ×ÅËÔÏÒÏ× u, ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄÁÀÝÅÊ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Supp(!), ÎÁÉÓÁÎÎÙÈ
× (3) ÕÓÌÏ×ÉÊ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ.
1
2
+1
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 25.11. ÷ÙÉÛÉÔÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ðÌÀËËÅÒÁ ÄÌÑ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÏÊ Ë×ÁÄÒÁ-
ÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ ! ÏÔ ÞÅÔÙÒ£È ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ É ×Ù×ÅÄÉÔÅ ÉÚ ÎÉÈ, ÞÔÏ ÔÁËÁÑ ÆÏÒÍÁ
ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ, ËÏÇÄÁ ! ∧ ! = 0 .
1
€ËÒÙÛËÁ × ai :::bi :::im ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÉÎÄÅËÓ i ÓÌÅÄÕÅÔ ÒÏÕÓÔÉÔØ
1
+1
443
úÁÄÁÞÉ Ë §25
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 25.2 (ÌÀËËÅÒÏ×Ï ×ÌÏÖÅÎÉÅ)
m; V ⊂ - P m V
( ) , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ m-ÍÅÒÎÏÅ ÏÄïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ðÌÀËËÅÒÁ Gr( )
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ⊂ V × ÏÄÎÏÍÅÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï mU ⊂ mV , ×ËÌÁÄÙ×ÁÅÔ
ÇÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎ × ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï × ËÁÞÅÓÔ×Å ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÑ, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÍÉ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÍÉ (3) ÉÚ ÒÅÄÌ. 25.3.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. åÓÌÉ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ⊂ V ÉÍÅÅÔ ÂÁÚÉÓ u1 ; u2 ; : : : ; um , ÔÏ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ðÌÀËËÅÒÁ ÅÒÅ×ÅÄ£Ô ÅÇÏ × ËÌÁÓÓ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Á
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ u1 ∧ u2 ∧ · · · ∧ um. ðÏÜÔÏÍÕ ÏÂÒÁÚ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ðÌÀËËÅÒÁ ÓÏÓÔÏÉÔ
ÉÚ ×ÓÅÈ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÈ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ ÆÏÒÍ ÓÔÅÅÎÉ m , Ô. Å. Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅÍ Ë×ÁÄÒÉË ÉÚ . (3) ÒÅÄÌ. 25.3. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
ðÌÀËËÅÒÁ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÒÉ U 6= W × V ÉÍÅÅÔÓÑ ÂÁÚÉÓ
v1 ; v2 ; : : : ; vr ; u1 ; u2 ; : : : ; um−r ; w1 ; w2 ; : : : ; wm−r ; v2m−r ; v2m−r+1 ; : : : ; vn ;
× ËÏÔÏÒÏÍ v1; v2; : : : ; vr ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ U ∩ W , Á
v1 ; v2 ; : : : ; vr ; u1 ; u2 ; : : : ; um−r É v1 ; v2 ; : : : ; vr ; w1 ; w2 ; : : : ; wm−r
ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓÙ × U É W , ÔÁË ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ðÌÀËËÅÒÁ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÉÍ
ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ
ÍÏÎÏÍÙ
v1 ∧ · · · ∧ vr ∧ u1 ∧ · · · ∧ um−r 6= v1 ∧ · · · ∧ vr ∧ w1 ∧ · · · ∧ wm−r
ÁÌÇÅÂÒÙ V .
ÂÁÚÉÓÎÙÅ
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §25
úÁÄÁÞÁ 25.1. ñ×ÎÏ ÒÅÄßÑ×ÉÔÅ ÔÅÎÚÏÒ t ∈ V ⊗3 , ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÉÊÓÑ ÓÕÍÍÏÊ ËÏÓÏÓÉÍÍÅ-
ÔÒÉÞÎÏÇÏ É ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÇÏ.
úÁÄÁÞÁ 25.2. îÁÄ ÏÌÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÎÕÌØ ÏÓÔÒÏÊÔÅ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚ-
ÍÙ ÍÅÖÄÕ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ:
'
Á) ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÈ n-ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ V × V × · · · × V - k
f
Â) ÆÕÎË ÉÊ V - k, ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÈ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÓÔÅÅÎÉ n ÏÔ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ × ËÁËÏÍ-ÎÉÂÕÄØ (Á ÚÎÁÞÉÔ, É × ÌÀÂÏÍ) ÂÁÚÉÓÅ
×) Sym n (V ∗ )
Ç) Sym n (V )∗
Ä) (S n V )∗
Å) (S n V ∗ )
ëÁËÉÅ ÉÚ ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÈ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÏÓÔÁÎÕÔÓÑ ÔÁËÏ×ÙÍÉ É ÎÁÄ ×ÓÅÍÉ ÏÌÑÍÉ
ËÏÎÅÞÎÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ?
úÁÄÁÞÁ 25.3. îÁÄ ÏÌÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÎÕÌØ ÏÓÔÒÏÊÔÅ ËÁÎÏÎÉÞÅÓËÉÅ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚ-
ÍÙ ÍÅÖÄÕ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÍÉ:
'
Á) ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÈ n-ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ V × V × · · · × V - k
Â) Skew n (V ∗ )
×) Skew n (V )∗
Ç) (n V )∗
Ä) (n V ∗ )
ëÁËÉÅ ÉÚ ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÈ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏ× ÏÓÔÁÎÕÔÓÑ ÔÁËÏ×ÙÍÉ É ÎÁÄ ×ÓÅÍÉ ÏÌÑÍÉ
ËÏÎÅÞÎÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ?
444
úÁÄÁÞÉ Ë §25
úÁÄÁÞÁ 25.4 (ÒÉÎ É áÒÏÎÇÏÌØÄÁ). ðÕÓÔØ V
| ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÎÁÄ ÏÌÅÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ÎÕÌØ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÔÅÎÚÏÒÏ× Sym n (V ) ⊂ V ⊗n ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÔÅÎÚÏÒÁÍÉ ×ÉÄÁ
v⊗n = v ⊗ v ⊗ · · · ⊗ v ÓÏ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ v ∈ V É Ñ×ÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔÅ ÞÅÒÅÚ ÔÅÎÚÏÒÙ
×ÉÄÁ v⊗3 ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ËÕÂÉÞÅÓËÉÊ ÔÅÎÚÏÒ u ⊗ w ⊗ w + w ⊗ u ⊗ w + w ⊗ w ⊗ u,
ÇÄÅ u; w ∈ V | Ä×Á ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ×ÅËÔÏÒÁ.
úÁÄÁÞÁ 25.5. íÏÖÎÏ ÌÉ ÏÂÒÁÔÉÍÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÚÁÍÅÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÔØ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ 9 x3 − 15 yx2 − 6 zx2 + 9 xy2 + 18 z 2x − 2 y3 + 3 zy2 − 15 z 2y + 7 z 3 ×
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ ⩽ 2 ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ?
úÁÄÁÞÁ 25.6. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ det(A) ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å n × n-ÍÁÔÒÉ
ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÅÊÌÏÒÁ: det(A + B ) =
pA É q B ÓÕÔØ ×ÎÅÛÎÉÅ ÓÔÅÅÎÉ1 ÍÁÔÒÉ
X
p+q=n
p q · tr
ÉÍÅÅÔ
pA · q B t , ÇÄÅ
A É B.
úÁÄÁÞÁ 25.7. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ S ⊂ PN = P(S 2 V ∗ ) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÈ
Ë×ÁÄÒÉË ÎÁ Pn = P(V ). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) S Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ, É ÔÏÞËÁ Q ∈ S Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÉ S ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ
Ë×ÁÄÒÉËÁ Q ⊂ Pn ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÕÀ ÏÓÏÂÕÀ ÔÏÞËÕ p ∈ Q
Â) ËÁÓÁÔÅÌØÎÁÑ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ TQS ⊂ PN × ÔÁËÏÊ ÎÅÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÅ Q ∈ S ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ Ë×ÁÄÒÉË ÎÁ Pn , ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ ÞÅÒÅÚ ÏÓÏÂÕÀ ÔÏÞËÕ p Ë×ÁÄÒÉËÉ Q ⊂ Pn .
úÁÄÁÞÁ 25.8. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÔÒ£È ËÒÉ×ÙÈ ÎÁ P2 = P(C3 ):
Á) (x0 + x1 + x2 )3 = 27 x0 x1 x2
Â) x2 y + x y2 = x4 + y4
×) (x2 − y + 1)2 = y2 (x2 + 1)
(ÏÓÌÅÄÎÉÅ Ä×Å ËÒÉ×ÙÅ ÚÁÄÁÎÙ ÁÆÆÉÎÎÙÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ËÁÒÔÅ U0
É ÒÅÞØ × ÚÁÄÁÞÅ ÉÄ£Ô ÒÏ ÉÈ ÒÏÅËÔÉ×ÎÙÅ ÚÁÍÙËÁÎÉÑ).
úÁÄÁÞÁ 25.9. îÁÉÛÉÔÅ Ñ×ÎÕÀ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÁ ÉÀ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÌÏÓËÏÊ Ë×ÁÒÔÉËÉ (x20 + x21 )2 + 3 x20 x1 x2 + x31 x2 = 0 , ×ÏÓÏÌØÚÏ×Á×ÛÉÓØ ÒÏÅË ÉÅÊ ÉÚ
ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÉ ÎÁ ËÁËÕÀ-ÎÉÂÕÄØ ÒÑÍÕÀ.
úÁÄÁÞÁ 25.10 (ËÏÍÌÅËÓÙ ëÏÛÕÌÑ É äÅ òÁÍÁ). úÁÉËÓÉÒÕÅÍ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V
ÂÁÚÉÓ e1 ; e2 ; : : : ; en É ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ xi É i ËÌÁÓÓÙ ×ÅËÔÏÒÁ ei × ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ
É ×ÎÅÛÎÅÊ ÁÌÇÅÂÒÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) ÏÅÒÁÔÏÒÙ
d
k+1 V ⊗ S m−1 V k V ⊗ S m V
-
k−1 V ⊗ S m+1 V
X !
X
: ! ⊗ f 7−→
⊗ x · f
d = ⊗
x
X
X f
=
⊗ x : ! ⊗ f 7−→
∧ ! ⊗
x
(25-23)
Ô. Å. ÍÁÔÒÉ Ù ÏÅÒÁÔÏÒÏ×, ÉÎÄÕ ÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÏÅÒÁÔÏÒÁÍÉ A É B ÎÁ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÁÈ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ ÂÁÚÉÓÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× ÓÔÅÅÎÅÊ p É q ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ (ÓÍ.
ÚÁÄ. 24.17); ÍÁÔÒÉÞÎÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÜÔÉÈ ÍÁÔÒÉ ÓÕÔØ ÍÉÎÏÒÙ ÏÒÑÄËÏ× p É q ÍÁÔÒÉ A É B ,
ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÍÉÎÏÒÙ ÉÍÅÌÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÎÏÍÅÒÁ
1
445
úÁÄÁÞÉ Ë §25
ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÂÁÚÉÓÁ É ÉÍÅÀÔ d2 = 0 É 2 = 0
Â) ÏÅÒÁÔÏÒ d + d ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ k V ⊗ S m V ËÁË (k + m) · Id .
×) ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ker d=im d É ker =im úÁÄÁÞÁ 25.11 (ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Á ÜËÓÏÎÅÎÔÁ). îÁÄ ÏÌÅÍ ÌÀÂÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ Ï-
2m É ÒÏÄÏÌÖÉÍ ÜÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÎÁ
= 1 + ! ÄÌÑ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÈP! ∈ Q
ÌÏÖÉÍ e! def
2
m
!
×Ó£ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V ÒÁ×ÉÌÏÍ e i = e!i . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
Á) ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ef ËÏÒÒÅËÔÎÏ (ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÎÉ ÏÔ ÓÏÓÏÂÁ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ f × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÈ ÍÏÎÏÍÏ×, ÎÉ ÏÔ ÏÒÑÄËÁ ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ×
ÓÔÏÑÝÅÍ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÏÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ)
Â) ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ even V ⊂ - even V Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙÍ
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÉÚ ÁÄÄÉÔÉ×ÎÏÊ ÇÒÕÙ ×ÓÅÈ Þ£ÔÎÙÈ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× × ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÕÀ ÇÒÕÕ Þ£ÔÎÙÈ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÏ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÞÌÅÎÏÍ 1.
úÁÄÁÞÁ 25.12. ÷ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÌÉ × ÕÓÌÏ×ÉÑÈ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ ÎÁÄ ÏÌÅÍ ÈÁÒÁËÔÅ-
ÒÉÓÔÉËÉ ÎÕÌØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á:
Á) v ef = ef ∧ v f
Â) ef =
P 1 ∧k
k! f
k⩾0
úÁÄÁÞÁ 25.13. ÷ÙÑÓÎÉÔÅ, ÒÁÚÌÏÖÉÍÁ ÌÉ ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Á ËÕÂÉÞÅÓËÁÑ ÆÏÒÍÁ ÏÔ ÞÅÔÙÒ£È
ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ −1 ∧ 2 ∧ 3 + 2 1 ∧ 2 ∧ 4 + 4 1 ∧ 3 ∧ 4 + 3 2 ∧ 3 ∧ 4 (ÅÓÌÉ ÄÁ, ÔÏ
ÎÁÉÛÉÔÅ ËÁËÏÅ-ÎÉÂÕÄØ ÉÚ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÊ Ñ×ÎÏ, ÅÓÌÉ ÎÅÔ | ÏÂßÑÓÎÉÔÅ, ÏÞÅÍÕ).
òÁÚÄÅÌ VII
óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË
ÍÁÓÓÉ×Ù É ÔÁÂÌÉ
ÉÉ,
Ù àÎÇÁ
§26. óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ
óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÕÁ Sn ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ËÏÌØ Å ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Z[x1 ; x2 ; : : : ; xn℄ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ ÎÏÍÅÒÏ× ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ:
∀ g ∈ Sn :
(26-1)
gf (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) = f (xg(1) ; xg(2) ; : : : ; xg(n) )
âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f ∈ Z[x1 ; x2 ; : : : ; xn℄
, ÅÓÌÉ gf = f
n
ÄÌÑ ×ÓÅÈ g ∈ S , É
, ÅÓÌÉ g(t) = sgn(g) · t ÄÌÑ ×ÓÅÈ g ∈ S n.
óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÏÂÒÁÚÕÀÔ × Z[x1 ; x2 ; : : : ; xn℄ ÏÄËÏÌØ Ï, Á ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ | ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ÜÔÉÍ ËÏÌØ ÏÍ (ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÎÁ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ | ÜÔÏ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ).
éÎÏÇÄÁ ÕÄÏÂÎÏ ÓÍÏÔÒÅÔØ ÎÁ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ËÁË ÎÁ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÔÅÎÚÏÒÙ × n-ÔÏÊ ÔÅÎÚÏÒÎÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ËÏÌØ Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ ÏÄÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ. éÍÅÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ZÍÏÄÕÌÅÊ (ÓÍ. n◦ 23.3.1)
∼
- Z[x1 ; x2 ; : : : ; xn ℄ ;
κ : Z[t℄⊗n
(26-2)
ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÊ ÂÁÚÉÓÎÙÊ (ÎÅËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÊ) ÔÅÎÚÏÒÎÙÊ ÍÏÎÏÍ
tm ⊗ tm ⊗ · · · ⊗ tmn ∈ Z[t℄
× ÂÁÚÉÓÎÙÊ ÍÏÎÏÍ xm1 xm2 · · · xmn n ∈ Z[x1 ; x2 ; : : : ; xn℄ (ÎÏÍÅÒÁ ÔÅÎÚÏÒÎÙÈ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ÓÌÅ×Á ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÎÏÍÅÒÁÍ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÓÒÁ×Á). éÚÏÍÏÒÆÉÚÍ
κ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÅÎ Ó ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ É ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÅÔ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÔÅÎÚÏÒÙ ÓÌÅ×Á Ó ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ ÓÒÁ×Á. õÍÎÏÖÅÎÉÀ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× × ËÏÌØ Å
Z[x1 ; x2 ; : : : ; xn ℄ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ ÏËÏÍÏÎÅÎÔÎÏÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÔÅÎÚÏÒÎÙÈ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ
× Z[t℄⊗n :
(f1 ⊗ f2 ⊗ · · · ⊗ fn) · (g1 ⊗ g2 ⊗ · · · ⊗ gn) = (f1g1) ⊗ (f2g2) ⊗ · · · ⊗ (fngn)
26.1. óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ.
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ
ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ
1
1
2
2
446
447
26.1. óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 26.1. ðÒÏ×ÅÒØÔÅ, ÞÔÏ ÔÁË ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÏÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁÄÅÌÑÅÔ Z[t℄⊗n
ÓÔÒÕËÔÕÒÏÊ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÇÏ ËÏÌØ Á Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ 1 ⊗ 1 ⊗ · · · ⊗ 1 .
éÚÏÍÏÒÆÉÚÍ κ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÂÁÚÉÓÙ Z-ÍÏÄÕÌÅÊ
Sym n(Z[t℄) É Skew n(Z[t℄) ;
ÏÉÓÁÎÎÙÅ × (25-2) É (25-3), × ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÂÁÚÉÓÙ Z-ÍÏÄÕÌÅÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ
É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
É
.
26.1.1. íÏÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ÍÏÄÕÌÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ
m = (ÓÕÍÍÁ ×ÓÅÈ ÍÏÎÏÍÏ× ÉÚ Sn -ÏÒÂÉÔÙ ÍÏÎÏÍÁ x1 x2 · · · xnn ) ;
(26-3)
ÇÄÅ = (1; 2; : : : ; n) ÒÏÂÅÇÁÅÔ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ àÎÇÁ ÉÚ ⩽ n ÓÔÒÏË. ðÏÓËÏÌØËÕ
ÌÀÂÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÙÍ Ó×ÏÉÍ ÍÏÎÏÍÏÍ ÓÏÄÅÒÖÉÔ
(Ó ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ) ×ÓÅ ÍÏÎÏÍÙ ÉÚ ÅÇÏ Sn-ÏÒÂÉÔÙ, É ËÁÖÄÁÑ SnÏÒÂÉÔÁ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ Ó×ÏÉÍ ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ ÓÔÁÒÛÉÍ ÍÏÎÏÍÏÍ,
ÏËÁÚÁÔÅÌÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï ÎÅ ÕÂÙ×ÁÀÔ, ÌÀÂÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× m . ðÒÏÏÂÒÁÚÏÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ m ÒÉ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÅ (26-2) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÊ ÂÁÚÉÓÎÙÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÔÅÎÚÏÒ (25-2), ÒÁ×ÎÙÊ ÓÕÍÍÅ ×ÓÅÈ
ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÅÎÚÏÒÎÙÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÉÚ m0() ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ t0 = 1, m1() ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ t1, m2() ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ t2 É Ô. Ä., ÇÄÅ mi() ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ÓÔÒÏË
ÄÌÉÎÙ i × ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ .
26.1.2. äÅÔÅÒÍÉÎÁÎÔÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ÍÏÄÕÌÑ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÁÌØÔÅÒÎÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ Sn-ÏÒÂÉÔ
X
= sgn(g) xg(1) xg(2) · · · xgn(n) :
(26-4)
ÍÏÎÏÍÉÁÌØÎÙÍ
ÄÅ-
ÔÅÒÍÉÎÁÎÔÎÙÍ
ÍÏÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
1
1
2
2
g∈Sn
ðÒÏÏÂÒÁÚÏÍ ÔÁËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÒÉ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÅ (26-2) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÊ
ÂÁÚÉÓÎÙÊ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÔÅÎÚÏÒ (25-3). ðÏÓËÏÌØËÕ × ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÅ ÎÅÔ ÍÏÎÏÍÏ×, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÓÔÅÅÎÉ ÒÁÚÎÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ1 , ÉÎÄÅËÓ × (26-4) ÒÏÂÅÇÁÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÄÉÁÇÒÁÍÍ àÎÇÁ Ó ÎÅÏ×ÔÏÒÑÀÝÉÍÉÓÑ ÄÌÉÎÁÍÉ ÓÔÒÏË 1 > 2 > : : : > n . ÁËÁÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ×ÓÅÇÄÁ ÓÏÄÅÒÖÉÔ
× ÓÅÂÅ ÍÉÎÉÍÁÌØÎÕÀ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÕÀ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ ÉÚ n ÓÔÒÏË ÒÁÚÎÏÊ ÄÌÉÎÙ
Æ = ((n − 1); (n − 2); : : : ; 1; 0)
òÁÚÎÏÓÔØ = − Æ = ((1 − n + 1); (2 − n + 2); : : : ; (n−1 − 1); n) ÉÍÅÅÔ i =
i − n + i É ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ àÎÇÁ ÉÚ ⩽ n ÓÔÒÏË
(ÂÅÚ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÊ ÎÁ ÄÌÉÎÙ ÜÔÉÈ ÓÔÒÏË). éÎÏÇÄÁ ÂÙ×ÁÅÔ ÕÄÏÂÎÏ ÎÕÍÅÒÏ×ÁÔØ
1
ÒÉ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÉ ÌÀÂÙÈ Ä×ÕÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÄÏÌÖÅÎ ÍÅÎÑÔØ ÚÎÁË
448
§26. óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ
ÂÁÚÉÓ (26-4) ÉÍÅÎÎÏ ÔÁËÉÍÉ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍÉ , É × ÜÔÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÉÓÁÔØ
+Æ ×ÍÅÓÔÏ .
ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ (26-4) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ1
 x1
 x
 1
= det( ) = det 
.
 ..
xj i
1
2
x2
x2
...
1
2
···
···
···
n
n
x1 x2 · · ·

xn
xn 

1
2
(26-5)
... 

xnn
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 26.2. õÂÅÄÉÔÅÓØ × ÜÔÏÍ ÒÑÍÙÍ ÒÁÓËÒÙÔÉÅÍ ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ (26-5).
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÒÉ = Æ ÏÌÕÞÁÅÍ
 n−1
ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÷ÁÎÄÅÒÍÏÎÄÁ

x1 xn2 −1 · · · xnn−1
xn−2 xn−2 · · · xn−2 
2
n 
 1
.
Æ = det(xjn−i) = det 
 ..

 x1
1
...
x2
1
···
···
···
Y
... 
(xi − xj ) :
=

i<j
xn 
1
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 26.3. õÂÅÄÉÔÅÓØ × ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÓÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á Æ =
Q
i<j
(26-6)
(xi − xj ).
26.1.3. âÁÚÉÓ ûÕÒÁ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÌÀÂÏÊ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f
ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ÒÉ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÅ xi = xj , ÏÎ ÄÅÌÉÔÓÑ × ËÏÌØ Å Z[x1 ; x2 ; : : : ; xn℄
ÎÁ (xi − xj ), Á ÔÁË ËÁË ËÁÖÄÁÑ
ÉÚ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ (xi − xj ) ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÁ, f ÄÅÌÉÔÓÑ
Q
ÎÁ ÉÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ Æ = (xi − xj ), ÒÉÞ£Í ÞÁÓÔÎÏÅ ÏÔ ÜÔÏÇÏ ÄÅÌÅÎÉÑ
i<j
f
Æ ∈ Z[x1 ; x2 ; : : : ; xn℄
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ. íÙ ÏÌÕÞÁÅÍ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 26.1
õÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÷ÁÎÄÅÒÍÏÎÄÁ Æ ÚÁÄÁ£Ô Z-ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ
Z-ÍÏÄÕÌÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Ó Z-ÍÏÄÕÌÅÍ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×. üÔÏÔ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ÍÏÄÕÌÅÊ ÎÁÄ ËÏÌØÏÍ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 26.1
2 s
íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ = Æ+=Æ , ÇÄÅ ÒÏÂÅÇÁÅÔ ×ÓÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ àÎÇÁ ÉÚ ÎÅ ÂÏÌÅÅ
n ÓÔÒÏË, ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ Z-ÍÏÄÕÌÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×.
ÚÄÅÓØ É ÄÁÌÅÅ ÚÁÉÓØ (f (i; j )), ÇÄÅ f (i; j ) ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÔ i, j , ÂÕÄÅÔ ÏÚÎÁÞÁÔØ ÍÁÔÒÉ Õ, × i-ÔÏÊ ÓÔÒÏËÅ É j -ÔÏÍ ÓÔÏÌÂ Å ËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÏÉÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÉ f Ë
ÄÁÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍ i É j
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ s = Æ =Æ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ ûÕÒÁ
1
2
+
449
26.2. üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ
íÎÏÇÏÞÌÅÎ E (t) Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ × ËÏÌØ Å Z[x1 ; x2 ; : : : ; xn℄ , ÚÁÄÁ×ÁÅÍÙÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
26.2. üÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ.
E (t) =
Y
i
(1 + xit) =
ÉÍÅÅÔ × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×
e0 = 1 É
X
ek (x) =
n
X
k=0
ek (x) · tk
(26-7)
ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ
i1 <i2 <···<ik
xi xi : : : xik
1
2
(26-8)
(ÓÕÍÍÁ ×ÓÅÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÉÚ k ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÇÄÅ k ⩾ 1). üÔÉ ÖÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ×
: ÅÓÌÉ 1; 2; : : : ; n Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÒÎÑÍÉ
ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ
ÆÏÒÍÕÌÁÈ ÷ÉÅÔÁ
tn
+
a1 tn−1
n
Y
+ · · · + an−1t + an = (x − i) ;
i=1
(26-9)
ÔÏ ai = (−1)iei( 1; 2; : : : ; n) .
äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ 1; 2; : : : ; m ÏÌÏÖÉÍ Ï
ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ
m
Y
e = e e · · · e m = e k :
1
2
k=1
åÓÌÉ | ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ
àÎÇÁ,
ÔÏ ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ ÓÔÁÒÛÉÍ ÍÏÎÏÍÏÍ ÍÎÏÇÏt t
tn
ÞÌÅÎÁ e ÂÕÄÅÔ x1 x2 : : : xn , ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÊ ÒÉ ÅÒÅÍÎÏÖÅÎÉÉ ÍÏÎÏÍÁ x1 : : : x
ÉÚ e , ÍÏÎÏÍÁ x1 : : : x ÉÚ e É Ô. Ä. ×ÌÏÔØ ÄÏ x1 : : : xm ÉÚ em | ÜÔÏ ÍÏÖÎÏ
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÓÅÂÅ ËÁË ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÅÒÅÍÎÏÖÅÎÉÑ ÂÕË× x1 ; x2 ; : : : ; xn, ÒÁÓÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ × ËÌÅÔËÉ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÔÁË, ÞÔÏ x1 ÓÔÏÉÔ ×Ï ×ÓÅÈ ËÌÅÔËÁÈ ÅÒ×ÏÇÏ ÓÔÏÌ Á,
x2 | ×Ï ×ÓÅÈ ËÌÅÔËÁÈ ×ÔÏÒÏÇÏ É Ô. Ä. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏËÁÚÁÔÅÌØ Õ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ xi
ÂÕÄÅÔ ÒÁ×ÅÎ ÄÌÉÎÅ i-ÔÏÇÏ ÓÔÏÌ Á ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ , Ô. Å. ÄÌÉÎÅ i-ÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ
1 ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ t . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ e Ï
ÂÁÚÉÓÕ m ÉÚ ÍÏÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× (26-3) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
(26-10)
e = mt + (ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ ÍÌÁÄÛÉÅ ÞÌÅÎÙ)
1
2
1
1
2
2
ÔÒÁÎÓ-
ÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 26.2
íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ e = e e · · · em , ÇÄÅ ÒÏÂÅÇÁÅÔ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ àÎÇÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÅ
ÎÅ ÂÏÌÅÅ n ÓÔÏÌ Ï×, ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ Z-ÍÏÄÕÌÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ e ÎÕÍÅÒÕÀÔÓÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍÉ ÉÚ ÎÅ ÂÏÌÅÅ n
ÓÔÏÌ Ï×, ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÏÎÏÍÉÁÌØÎÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ m ÍÏÄÕÌÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎËÉÊ | ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍÉ ÉÚ ÎÅ ÂÏÌÅÅ n ÓÔÒÏË. ÷ÙÉÛÅÍ ×ÅËÔÏÒÙ m × ÓÔÒÏËÕ
1
2
ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ àÎÇÁ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ ÄÒÕÇ ÉÚ ÄÒÕÇÁ ÏÔÒÁÖÅÎÉÅÍ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ (ËÁË ÒÉ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÍÁÔÒÉ Ù) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÍÉ ÉÌÉ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ1
×ÁÎÎÙÍÉ
450
§26. óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ
× ÏÒÑÄËÅ ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍ , Á ×ÅËÔÏÒÙ e | ×
ÏÒÑÄËÅ ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÑ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ t.
æÏÒÍÕÌÁ (26-10) ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÔ ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Á ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ×ÅËÔÏÒÏ× e × ÍÏÎÏÍÉÁÌØÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ m ×ÅÒÈÎÅÔÒÅÕÇÏÌØÎÁÑ Ó ÅÄÉÎÉ ÁÍÉ Ï ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ.
ðÏÓËÏÌØËÕ ÔÁËÁÑ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á ÏÂÒÁÔÉÍÁ ÎÁÄ Z, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ e ÔÁËÖÅ
ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 26.2
íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ e1; e2; : : : ; en ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ × Z[x1 ; x2 ; : : : ; xn℄ É ÌÀÂÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ
ÏÔ e1; e2; : : : ; en. éÎÁÞÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ËÏÌØ Ï ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÅÓÔØ ËÏÌØ Ï
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× Z[e1; e2; : : : ; en℄ .
m m
n
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÅÒÅÉÓÙ×ÁÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ e ËÁË e1 e2 · · · em
n , ÇÄÅ mi | ÜÔÏ
ÞÉÓÌÏ ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ i × ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ , ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× e |
ÜÔÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÍÏÎÏÍÏ× ÏÔ e1; e2; : : : ; en .
1
2
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 26.3
÷ÓÑËÉÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ ËÏÒÎÅÊ 1; 2; : : : ; n ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ (26-9) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÏÔ ÅÇÏ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ× a1; a2; : : : ; an, Á ×ÓÑËÁÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÏÔ ËÏÒÎÅÊ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ (ÎÅ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÏÇÏ) ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÏÔ ÅÇÏ
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏ×.
26.3. ðÏÌÎÙÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ hk (x) ÓÕÍÍÕ ×ÓÅÈ ÍÏÎÏÍÏ× ÓÔÅÅÎÉ k . íÎÏÇÏÞÌÅÎ hk ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÓÔÅÅÎÉ k. ïÎ ÒÁ×ÅÎ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÕ ÒÉ tk Õ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÇÏ
ÓÔÅÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ H (t) ∈ Z[x1 ; x2 ; : : : ; xn℄ [[t℄℄, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÅÇÏ ÒÉ ÅÒÅÍÎÏÖÅÎÉÉ
n ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÇÒÅÓÓÉÊ
Y 1
Y
X
hk (x) · tk (26-11)
1
+
xi t + x2i t2 + x3i t3 + · · · =
H (t) =
=
1 − xit i
i
k⩾0
ÏÌÎÙÍ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅ-
ÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ
(×ÙÂÏÒ
× i-ÔÏÊ ÓËÏÂËÅ mi-ÔÏÇÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÇÏ ÄÏÂÁ×ÌÑÅÔ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÍÏÎÏÍ
m
m
n
x1 x2 · · · xm
n ). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, H (t)E (−t) = 1 . ÷ÙÞÉÓÌÑÑ × ÜÔÏÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Å
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ tk ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ, ×ÙÒÁÖÁÀÝÉÅ ei É hi ÄÒÕÇ
ÞÅÒÅÚ ÄÒÕÇÁ:
(−1)k hk = ek − ek−1h1 + ek−2h2 − · · · + (−1)k−1e1hk−1
(26-12)
k
k
−1
(26-13)
(−1) ek = hk − hk−1e1 + hk−2e2 − · · · + (−1) h1ek−1 :
1
2
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 26.3
ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ !, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ek × ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ hk (ÒÉ k = 1; : : : ; n)
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎ×ÏÌÀÔÉ×ÎÙÍ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ËÏÌØ Á ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×.
451
26.4. óÔÅÅÎÎÙÅ ÓÕÍÍÙ îØÀÔÏÎÁ
ÁË ËÁË ËÏÌØ Ï ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ËÏÌØ Õ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ e1; e2; : : : ; en , ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ek 7→ hk ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÒÏÄÏÌÖÁÅÔÓÑ
ÄÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ! ÉÚ ËÏÌØ Á ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ × ÓÅÂÑ. éÚ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÈ ÆÏÒÍÕÌ (26-12) É (26-13) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÜÔÏÔ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ hk
ÏÂÒÁÔÎÏ × ek , Ô. Å. Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÅÊ É, ËÁË ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ, Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 26.4
íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ h1; h2; : : : ; hn ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ × Z[x1 ; x2 ; : : : ; xn℄ É ÌÀÂÏÊ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ hm Ó m > n) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ
× ×ÉÄÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÏÔ h1; h2; : : : ; hn.
26.4. óÔÅÅÎÎÙÅ ÓÕÍÍÙ îØÀÔÏÎÁ. óÕÍÍÁ k -ÔÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ ×ÓÅÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ
X
xki
(26-14)
pk (x) =
i
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ k-ÔÙÍ
Ó k ⩾ 1 ÕÄÏÂÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÑÄÁ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ
P (t) =
X
k⩾1
. íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ pk (x)
tk
=
dt
k
i k⩾1
i
k⩾1
dX
d Y 1
= − dt ln(1 − xi · t) = dt ln 1 − x · t = dtd ln H (t) (26-15)
i
i
i
pk (x) · tk−1 =
XX
xki · tk−1 =
X d X
xki ·
ËÏÔÏÒÙÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÏÔ ÒÑÄÁ H (t) = 1=E (−t) . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
P (t) = H ′ (t)=H (t) = E ′ (−t)=E (−t) :
óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ tk−1 × ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÈ
H (t)P (t) = H ′ (t) É E (−t)P (t) = E ′ (−t) ;
ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ
ÄÌÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pk ÞÅÒÅÚ hk É ek ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ:
pk = khk − hk−1 p1 − hk−2 p2 − · · · − h1 pk−1
(26-16)
(26-17)
(−1)k−1pk = kek − ek−1p1 + ek−2p2 − · · · + (−1)k−1e1pk−1 :
éÎÄÕË ÉÑ Ï k ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ pk Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ×ÅËÔÏÒÏÍ
ÉÎ×ÏÌÀ ÉÉ ! ÉÚ ÒÅÄÌ. 26.3 Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ (−1)k−1 :
!(pk ) = (−1)k−1 pk :
(26-18)
ÆÏÒÍÕÌÙ îØÀÔÏÎÁ
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 26.5
íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ p1; p2; : : : ; pn ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ × Q[x1 ; x2 ; : : : ; xn℄ É ÌÀÂÏÊ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Ó ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ
pm Ó m > n) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ Ó ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÏÔ p1; p2; : : : ; pn.
452
§26. óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ
éÚ ÆÏÒÍÕÌÙ (26-17) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ × ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÍÎÏÇÏÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ N ∈ N)
ÞÌÅÎÏ× Q[x1 ; x2 ; : : : ; xn℄⩽N (ÓÔÅÅÎØ ËÏÔÏÒÙÈ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ
m
m
n
Q-ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÏÂÏÌÏÞËÉ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÍÏÎÏÍÏ× p1 p2 · · · pm
n ÏÔ p1 ; p2 ; : : : ; pn É
m
m
m
n
×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÍÏÎÏÍÏ× e1 e2 · · · en ÏÔ e1; e2; : : : ; en ÓÏ×ÁÄÁÀÔ. ðÏÓËÏÌØËÕ
ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÜÔÉÈ ÍÏÎÏÍÏ× ÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ N ÏÄÉÎÁËÏ×Ù, É Ï ÓÌ. 26.4 ÍÏÎÏÍÙ em1 em2 · · · emn n ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ, ÍÏÎÏÍÙ pm1 pm2 · · · pmn n ÔÁËÖÅ ÌÉÎÅÊÎÏ
ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ.
26.4.1. ñ×ÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ek É hk ÞÅÒÅÚ pk . äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ
= (1 ; 2 ; : : : ) ÎÅ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÉÈ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ
P ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ ÉÚ
m1 ÅÄÉÎÉ , m2 Ä×ÏÅË, m3 ÔÒÏÅË É Ô. Ä. (ÔÁË ÞÔÏ k · mk = ||), ÏÌÏÖÉÍ
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
1
1
1
2
2
2
1
2
k
m m
p = p p p · · · = pm
1 p2 p3 · · ·
P
P
P
" = (−1) (k−1)mk = (−1)|| (−1) mk = (−1) (i −1)
Y
z = (mk ! · kmk )
1
2
1
3
2
3
(26-19)
k
É ÕÓÌÏ×ÉÍÓÑ × ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÎÅ ÒÁÚÌÉÞÁÔØ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÀ ÎÁÂÏÒÙ , ÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ ÄÒÕÇ ÉÚ ÄÒÕÇÁ ÒÉÉÓÙ×ÁÎÉÅÍ ÓÒÁ×Á ÌÀÂÏÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÎÕÌÅÊ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× p | ÜÔÏ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÍÏÎÏÍÏ× ÏÔ pi.
ðÅÒÅÈÏÄ ÏÔ ÎÕÍÅÒÁ ÉÉ ÍÏÎÏÍÏ× ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍÉ àÎÇÁ Ë ÉÈ ÏÂÙÞÎÏÍÕ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÀ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÎÁÂÏÒÁ ÏËÁÚÁÔÅÌÅÊ ÓÔÅÅÎÅÊ | ÜÔÏ ÅÒÅÈÏÄ ÏÔ ÎÅ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÅÊ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ = (1; 2; : : : ) ÄÌÉÎ ÓÔÒÏË ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ Ë ×ÅËÔÏÒÕ
m() = (m1 ; m2 ; : : : ) i-ÔÁÑ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁ×ÎÁ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ
i × . ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÍÏÎÏÍÙ p Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÉ !:
(26-20)
!(p ) = " · p :
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 26.4. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ àÎÇÁ ÞÉÓÌÏ z ÒÁ×-
ÎÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË × ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÅ S|| , ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÈ Ó
ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÉËÌÏ×ÏÇÏ ÔÉÁ , É ÞÔÏ
×ÓÅÇÏ × S|| ÉÍÅÅÔÓÑ ||!=z ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÉËÌÏ×ÏÇÏ ÔÉÁ .
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 26.4
íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ek É hk ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ Q-ÂÁÚÉÓ p Ï ÆÏÒÍÕÌÁÍ:
hk =
ek =
X
||=k
X
||=k
z−1 p
(26-21)
" z−1 p
(26-22)
(ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ Ï ×ÓÅÍ k-ËÌÅÔÏÞÎÙÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍ àÎÇÁ).
453
26.5. äÅÔÅÒÍÉÎÁÎÔÎÙÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á
äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ (26-21), ÆÏÒÍÕÌÁ (26-22) ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÎÅ£ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅÍ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÉ ! ÉÚ ÒÅÄÌ. 26.3. óÏÇÌÁÓÎÏ (26-15)
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
H (t) = e P (t) dt = e pi t =i =
R
P
i
Y
epi t =i =
i
pm
i tim :
m
i m!
i⩾1 m⩾0
YX
ëÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÉ tk × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ P
ÒÉ ×ÙÂÏÒÅ × i-ÔÏÊ ÅÒÅÍÎÏÖÁÅÍÏÊ ÓËÏÂËÅ mi-ÔÏÇÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÇÏ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ i · mi = k. ÁËÉÅ ×ÙÂÏÒÙ
i
ÂÉÅËÔÉ×ÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍ àÎÇÁ ×ÅÓÁ k, ÉÍÅÀÝÉÈ m1 ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ 1, m2 ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ 2 É Ô. Ä., Á ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÈ ÔÁËÏÍÕ
×ÙÂÏÒÕ, ÒÁ×ÎÏ p=z .
26.5. äÅÔÅÒÍÉÎÁÎÔÎÙÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á. ÷ ÜÔÏÍ ÒÁÚÄÅÌÅ ÍÙ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÍ Ó×ÑÚØ
ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ ûÕÒÁ s É ÏÌÎÙÍÉ(p)ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÆÕÎË ÉÑÍÉ hk ×
ËÏÌØ Å Z[x1 ; x2 ; : : : ; xn℄. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ek (x) ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ × ek (x)
ÚÎÁÞÅÎÉÑ xp = 0. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, e(kp) | ÜÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÁÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ
ÆÕÎË ÉÑ ÏÔ (n − 1) ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ (x1; : : : ; xbp; : : : ; xn) , ÇÄÅ €ËÒÙÛËÁ ÏÚÎÁÞÁÅÔ
ÒÏÕÓË ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ xp . ðÒÏÉÚ×ÏÄÑÝÁÑ ÆÕÎË ÉÑ ÄÌÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× e(kp) Ó ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ p ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
X (p )
Y
ek (x) · tk = (1 + xi t) :
E (p ) ( t ) =
k
i6=p
ðÏÜÔÏÍÕ H (t)E (p)(−t) = (1 − xpt)−1 . óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ tk × ÏÂÅÉÈ
ÞÁÓÔÑÈ, ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
h0 · (−1)k e(kp) + h1 · (−1)k−1 e(kp−)1 + · · · + hk · e(0p) = xkp ;
ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÅÌÙÈ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ k, ÅÓÌÉ ÏÌÏÖÉÔØ e(jp) = 0 ÒÉ
j > n − 1 . ó ÕÞ£ÔÏÍ ÜÔÏÇÏ ÚÁÍÅÞÁÎÉÑ, ÕÄÏÂÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ÒÅÄÙÄÕÝÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ
ËÁË
xkp = hk−n+1 · (−1)n−1 e(np−) 1 + hk−n+2 · (−1)n−2 e(np−) 2 + · · · + hk · e(0p) =
n
X
(26-23)
= hk−n+j · (−1)n−j e(jp) :
j =1
É ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ Å£ ËÁË ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÓÔÒÏËÉ (hk−n+1; hk−n+2; : : : ; hk ) ÄÌÉÎÙ n
ÎÁ ÓÔÏÌÂÅ

(−1)n−1e(np−) 1
...








e(2p)
(p )
−e1
1




454
§26. óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ
×ÙÓÏÔÙ n. åÓÌÉ ÏÒÇÁÎÉÚÏ×ÁÔØ h-ÓÔÒÏËÉ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÅ ËÁËÉÍ-ÎÉÂÕÄØ n ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÓÔÒÏÇÏ ÕÂÙ×ÁÀÝÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍ k = 1; 2; : : : ; n (ÇÄÅ 1 > 2 > · · · > n)
× ÍÁÔÒÉ Õ


h −n+1 h −n+2 · · · h
h −n+2 · · · h 

1
1
H = (hi −n+j ) =
 h −n+1
 2


...
2
1
...
... 

2
···
hn −n+1 hn −n+2 · · ·
hn
(ÇÄÅ ÍÙ ÏÌÁÇÁÅÍ h0 = 1 É hj = 0 ÒÉ j < 0), Á ×ÓÅ e-ÓÔÏÌ Ù, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÅ n
ÒÁÚÌÉÞÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍ p = 1; 2; : : : ; n , | × ÍÁÔÒÉ Õ


n−1 e(2) · · · (−1)n−1 e(n)
(−1)n−1e(1)
−
1)
(
n−1
n−1
n−i
(−1)n−2 e(1) (−1)n−2 e(2) · · · (−1)n−2 e(n) 

(
j
)
n−2
n−2 
n−i
M = (−1)n−ien−i = 

.
.
.
..
..
..


···
1
1
···
1
ÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ (26-23) ÒÅ×ÒÁÔÉÔÓÑ × ÍÁÔÒÉÞÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï D = H · M , ÇÄÅ
 x1
 x
 1
D = (xj i ) =  ..

x2
x2
1
2
...
.
1
2
···
···
···
x1n x2n · · ·

xn
xn 

1
2
... 

xnn
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ àÎÇÁ ÓÏ ÓÔÒÏÇÏ ÕÂÙ×ÁÀÝÉÍÉ ÄÌÉÎÁÍÉ
ÓÔÒÏË
= det D = det H · det M :
ðÒÉ = Æ ÍÁÔÒÉ Á HÆ ×ÅÒÈÎÑÑ ÕÎÉÔÒÅÕÇÏÌØÎÁÑ. ðÏÜÔÏÍÕ det HÆ = 1 É det M =
det DÆ = Æ . íÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÉÓËÏÍÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ ÏÌÉÎÏÍÏ× ûÕÒÁ ÞÅÒÅÚ ÏÌÎÙÅ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ:
(26-24)
s = Æ+ =Æ = det DÆ+ = det M = det HÆ+ = det (hi +j −i)
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 26.5 (ÅÒ×ÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ äÖÁÍÂÅÌÌÉ)
s = det

 h1

 h2 − 1



h +1
h
1
...
...
...
2
...
...
...

h +n−1 
... 

1

hn− +1 

hn
1
(26-25)
hn −n+1
hn − 1
(Ï ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÓÔÏÑÔ h ; h ; : : : ; hn , É ÒÉ Ä×ÉÖÅÎÉÉ ×ÄÏÌØ ÓÔÒÏË ÓÌÅ×Á
ÎÁÒÁ×Ï ÉÎÄÅËÓÙ Õ h Ó ËÁÖÄÙÍ ÛÁÇÏÍ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÀÔÓÑ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ).
1
2
455
26.5. äÅÔÅÒÍÉÎÁÎÔÎÙÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á
26.5.1. ðÒÉÍÅÒÙ. ÷ Z[x1 ; x2 ℄ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
s(2;1) = det
h2 h3
1 h1
= h1h2 − h3 = e1e2 − e3 :
ðÒÉ n = 3, Ô. Å. × Z[x1 ; x2 ; x3 ℄ , ÏÌÕÞÁÅÍ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ


h2 h3 h4
h
2 h3


s(2;1) = s(2;1;0) = det 1 h1 h2 = det 1 h
1
0 0 1
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 26.5. õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ s ÞÅÒÅÚ hk , ÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÉ ÞÉÓÌÅ
ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ n, ÒÁ×ÎÏÍ ×ÙÓÏÔÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ , ÓÏÈÒÁÎÑÅÔÓÑ É ÒÉ ÌÀÂÏÍ ÂÏÌØÛÅÍ
ÞÉÓÌÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.
âÅÒÑ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÄÌÉÎÙ k , ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï s(k) = hk , ÏÞÅ×ÉÄÎÏÅ ÒÉ n = 1 É Ï ÕÒ. 26.5 ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×ÏÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ n.
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÅÊ Æ+(n) É Æ
ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÒÁÚÍÅÒÁ n × n ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Æ+(n) = hk · Æ ÏÔÎÀÄØ ÎÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 26.6. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ s(1k ) = ek ÒÉ ÌÀÂÏÍ n ⩾ k , ÇÄÅ = (1k )
ÏÚÎÁÞÁÅÔ k ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ 1, Ô. Å. ÓÔÏÌÂÅ ×ÙÓÏÔÙ k.
26.5.2. æÏÒÍÕÌÁ ðØÅÒÉ ×ÙÒÁÖÁÅÔ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ s · hk = s · s(k) ÞÅÒÅÚ ÍÎÏ-
ÇÏÞÌÅÎÙ s. äÌÑ Å£ ×Ù×ÏÄÁ ÎÁÍ ÒÉÄ£ÔÓÑ ÓÌÅÇËÁ ÏÂÏÂÝÉÔØ ÓËÁÚÁÎÎÏÅ × n◦ 26.1.
á ÉÍÅÎÎÏ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ×ÍÅÓÔÏ ËÏÌØ Á ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ËÏÌØ Ï ÆÏÒÍÁÌØÎÙÈ ÓÔÅÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ× Z[[x1 ; x2 ; : : : ; xn℄℄ , Á × Î£Í | ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ
ÒÑÄÙ (ÅÒ×ÙÅ ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÏÄËÏÌØ Ï, ×ÔÏÒÙÅ | ÍÏÄÕÌØ ÎÁÄ ÜÔÉÍ ÏÄËÏÌØ ÏÍ). Ï
ÖÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ÞÔÏ É × n◦ 26.1.2 ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÓÑËÉÊ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÊ
ÒÑÄ A ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ
ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ÁÌØÔÅÒÎÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ Sn-ÏÒÂÉÔ ÍÏÎÏÍÏ×
X
A=
(26-26)
· 1 >2 >···>n
ÇÄÅ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ Ï ×ÓÅÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍ àÎÇÁ = (1; 2; : : : ; n) ÉÚ
n ÓÔÒÏË ÓÔÒÏÇÏ ÕÂÙ×ÁÀÝÅÊ ÄÌÉÎÙ, ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ∈ Z, É
X
= sgn(g) xg(1) xg(2) · · · xgn(n) :
1
2
g∈Sn
ìÅÍÍÁ 26.1
òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ (26-26) ÄÌÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÂÁÚÉÓÎÏÇÏ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÎÁ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÒÑÄ
H (x) =
n
Y
i=1
(1 − xi)−1 =
n
Y
i=1
1 + xi + x2i + x3i + · · · =
X
k⩾0
hk (x)
456
§26. óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ
ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ · î =
X
, ÇÄÅ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÉÄ£Ô Ï ×ÓÅÍ = (1; 2; : : : ; n) Ó
1 ⩾ 1 > 2 ⩾ 2 > · · · n ⩾ n :
äÌÑ ÌÀÂÙÈ n ÒÑÄÏ× f1(t); f2(t); : : : ; fn(t) ∈ Z[[t℄℄ ÏÌÏÖÉÍ
X
f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fn =
sgn(g)f1 xg(1) f2 xg(2) · · · fn xg(n) ∈ Z[x1 ; x2 ; : : : ; xn℄ :
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
g∈Sn
t 1 ∧ t 2 ∧ : : : ∧ tn
îÁÒÉÍÅÒ,
= . ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fn Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÒÑÄÏÍ, ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏ É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ÚÁ×ÉÓÑÝÉÍ ÏÔ
f1 ; f2 ; : : : ; fn . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fn ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÉ Ë
ÌÀÂÏÍÕ ÉÚ ÒÑÄÏ× ÌÀÂÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ. ÷ ÜÔÉÈ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ
· î =
X
sgn(g)
g∈Sn
− xi t −1
n
Y
xgi(i) 1 − xg(i) −1 = f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fn ;
i=1
ti ti +1
ÇÄÅ fi(t) = xi (1 ) = + + ti+2 + · · · . ÷ÙÞÉÔÁÑ f1 ÉÚ ×ÓÅÈ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ
ÒÑÄÏ×, ÍÙ ÏÂÒÅÚÁÅÍ ÉÈ ÄÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ < 1. ÷ÙÞÉÔÁÑ ×ÔÏÒÏÊ ÉÚ ÎÉÈ
ÉÚ ×ÓÅÈ ÏÓÌÅÄÕÀÝÉÈ, ÏÂÒÅÚÁÅÍ ÉÈ ÄÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ < 2. äÅÊÓÔ×ÕÑ ×
ÔÁËÏÍ ÄÕÈÅ,PÏÌÕÞÉÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fn = fb1 ∧ fb2 ∧ · · · ∧ fbn , × ËÏÔÏÒÏÍ
fb1 = f1 =
tj , Á ËÁÖÄÙÊ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ fbi = ti + ti +1 + · · · + ti −1 . ÷ ÓÉÌÕ
j ⩾
ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ ∧-ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ
X
X
t ∧ t ∧ : : : ∧ t n =
;
fb1 ∧ fb2 ∧ · · · ∧ fbn =
−1
1
1
2
ÇÄÅ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÉÄ£Ô Ï ×ÓÅÍ 1 ⩾ 1 > 2 ⩾ 2 > 3 ⩾ 3 > · · · n ⩾ n .
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 26.6 (ÆÏÒÍÕÌÁ ðØÅÒÉ)
s · hk =
X
s ;
ÇÄÅ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ Ï ×ÓÅÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍ ÉÚ ⩽ n ÓÔÒÏË, ËÏÔÏÒÙÅ
ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ, ÄÏÂÁ×ÌÑÑ Ë ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ÒÏ×ÎÏ k ËÌÅÔÏË ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÎÉËÁËÉÅ
Ä×Å ÉÚ ÎÉÈ ÎÅ ÏÁÌÉ × ÏÄÉÎ ÓÔÏÌÂÅ .
P
P
hk = Æ+ , ÇÄÅ ÓÕÍäÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÏ ÌÅÍ. 26.1 ÉÍÅÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Æ +
k⩾0
ÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ Ï ×ÓÅÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍ , ÁËÉÍ ÞÔÏ1
1 ⩾ 1 ⩾ 2 ⩾ 2 ⩾ : : : :
äÅÌÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÎÁ Æ É ÂÅÒÑ × ÏÌÕÞÅÎÎÏÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Å ÏÄÎÏÒÏÄÎÕÀ ËÏÍÏÎÅÎÔÕ
ÓÔÅÅÎÉ || + k Ï x, ÏÌÕÞÁÅÍ ÔÒÅÂÕÅÍÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ.
ÎÁÏÍÎÉÍ (ÓÍ. n◦ 26.1.2), ÞÔÏ i = i − n + i, i = i − n + i, ÏÜÔÏÍÕ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á i ⩾
i > i ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍ i ⩾ i ⩾ i
1
+1
+1
457
26.6. ëÏÌØ Ï ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ
åÓÌÉ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ k < n ÓÔÒÏË, ÞÔÏ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ
ÚÎÁÞÅÎÉÑÍ k+1 = k+2 = · · · = n = 0, ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ × ÆÏÒÍÕÌÅ ðØÅÒÉ ÍÏÇÕÔ
ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÎÁ ÏÄÎÕ ÓÔÒÏËÕ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ × ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ . îÁÒÉÍÅÒ, ÒÉ n =
2 ÏÌÕÞÁÅÍ s(2) · h1 = s(2;1) + s(3) (ÏÔËÕÄÁ, ÍÅÖÄÕ ÒÏÞÉÍ, ÓÎÏ×Á ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï s(2;1) = h2h1 − h3 ÉÚ n◦ 26.5.1).
26.6. ëÏÌØ Ï ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ. õÄÏÂÎÏ ÄÕÍÁÔØ ÒÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ÎÅ ÒÉ×ÑÚÙ×ÁÑÓØ Ë ËÏÎËÒÅÔÎÏÍÕ ÞÉÓÌÕ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, Á ÓÞÉÔÁÑ,
ÞÔÏ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÎÏÇÏ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ×ÓÅ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÝÉÅ × ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÉ ÆÕÎË ÉÉ ÂÙÌÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ. æÏÒÍÁÌÉÚÕÅÔÓÑ ÜÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.
õÓÌÏ×ÉÍÓÑ ÎÅ ÒÁÚÌÉÞÁÔØ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÀ Ä×Å ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ′, ′′, Á ÔÁËÖÅ Ä×Á
ÎÁÂÏÒÁ ÏËÁÚÁÔÅÌÅÊ m′, m′′, ÅÓÌÉ ÏÎÉ ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÉÚ ÄÒÕÇÁ ÄÏÉÓÙ×ÁÎÉÅÍ
ÓÒÁ×Á ÌÀÂÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÎÕÌÅÊ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍÉ
ÞÉÓÌÁÍÉ ÂÕË× qi, i ∈ N, ÏÌÏÖÉÍ
q = q q q · · · É qm = q1m q2m q1m · · · :
úÁÉÓØ = (1 ; 2; 3; : : : ) = (1m ; 2m ; 3m ; : : : ) ×ÓÅÇÄÁ ÂÕÄÅÔ ÏÚÎÁÞÁÔØ, ÞÔÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ mi ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ i ÄÌÑ ×ÓÅÈ i ∈ N . üÔÏ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ q = qm . îÁËÏÎÅ , ÏÌÏÖÉÍ m = s = 0 ×ÓÑËÉÊ ÒÁÚ, ËÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ
ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÍÅÎØÛÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÓÔÒÏË × ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ , É e = 0, ËÏÇÄÁ ÞÉÓÌÏ
ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÍÅÎØÛÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÓÔÏÌ Ï× × ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ .
ðÒÉ ÔÁË ÓÏÇÌÁÛÅÎÉÑÈ ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× m(x), s(x),
e (x), h (x) É p (x) ÏÒÅÄẠ̊ΠÄÌÑ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x = (x1 ; x2 ; : : : ; xr ) ÌÀÂÏÊ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ r , ÒÉÞ£Í ÒÉ r > s ÒÉ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÅ
xs+1 = xs+2 = · · · = xr = 0
(26-27)
ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÏÄÎÏÉÍ£ÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ ÍÅÎØÛÅÇÏ ÎÁÂÏÒÁ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x = (x1; x2 ; : : : ; xs). ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ (26-27) ÚÁÄÁ£Ô ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÙÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ËÏÌÅ
sr : Z[x1 ; x2 ; : : : ; xr ℄ -- Z[x1 ; x2 ; : : : ; xs ℄ :
(26-28)
âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
f (n) ∈ Z[x1 ; x2 ; : : : ; xn ℄
(Ï ÏÄÎÏÍÕ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÕ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ n ∈ N)
d É ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÔÁËÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÒÏÓÔÏ ÞÅÒÅÚ f , ÅÓÌÉ
×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ Ä×Á ÕÓÌÏ×ÉÑ:
• ÒÉ ×ÓÅÈ n ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (n) ÏÄÎÏÒÏÄÅÎ ÓÔÅÅÎÉ d
• rs f (r) = f (s) ÒÉ ÌÀÂÙÈ r > s
úÁÍÅÞÁÎÉÅ 26.1.
1
2
1
3
1
2
2
3
3
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅ-
ÓËÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÓÔÅÅÎÉ
458
úÁÄÁÞÉ Ë §26
ðÒÉ ÜÔÏÍ ÚÁÉÓØ f (x1 ; x2 ; : : : ; xn) Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÏÚÎÁÞÁÅÔ f (n) (x1; x2 ; : : : ; xn), ÎÏ
ÏÓËÏÌØËÕ ×ÅÒÈÎÉÊ ÉÎÄÅËÓ Õ f ÒÁ×ÅÎ ÞÉÓÌÕ ÏÄÓÔÁ×ÌÑÅÍÙÈ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÉÓÁÔØ
ÅÇÏ ÎÅÔ ÓÍÙÓÌÁ.
ÁË, ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ ÍÏÎÏÍÉÁÌØÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
(m(x1; x2 ; : : : ; xn))n∈N
Ó ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÏÊ ×ÅÓÁ || = d ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÆÕÎËÉÀ ÓÔÅÅÎÉ d, ËÏÔÏÒÁÑ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ m. îÁÒÉÍÅÒ, ÎÁ ÎÁÂÏÒÁÈ ÉÚ ÏÄÎÏÊ, Ä×ÕÈ
É ÔÒ£È ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ËÕÂÉÞÅÓËÁÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎË ÉÑ m(2;1) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
m(2;1) (x1 ) = 0
m(2;1) (x1 ; x2 ) = x21 x2 + x1 x22
m(2;1) (x1 ; x2 ; x3 ) = x21 x2 + x1 x22 + x21 x3 + x1 x23 + x22 x3 + x2 x23 :
áÎÁÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ É ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ s, e, h É p
ÓÔÅÅÎÉ || .
óÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ ÓÔÅÅÎÉ d ÏÂÒÁÚÕÀÔ Z-ÍÏÄÕÌØ. åÇÏ ÒÉÎÑÔÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ d. éÚ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ × ÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÒÁÚÄÅÌÁÈ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ m, s, e É h, ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÅ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍÉ
àÎÇÁ ×ÅÓÁ || = d, Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÂÁÚÉÓÁÍÉ × d, Á ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË ÉÉ p ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Q ⊗ d ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ Ó
ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, d Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÍÏÄÕÌÅÍ
ÒÁÎÇÁ, ÒÁ×ÎÏÇÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÄÉÁÇÒÁÍÍ àÎÇÁ ×ÅÓÁ d . üÔÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÉÎÑÔÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ p(d) É ÎÁÚÙ×ÁÔØ
ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ
ÞÉÓÌÁ d.
ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÓÔÅÅÎÅÊ d1 É d2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎË ÉÅÊ ÓÔÅÅÎÉ d1d2 , ÒÑÍÁÑ ÓÕÍÍÁ
= d⊕⩾0 d
ËÏÎÅÞÎÏÇÏ
ÞÉÓÌÏÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÊ
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÇÒÁÄÕÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ËÏÌØ Ï. ïÎÏ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. ÷ÓÅ ÄÏËÁÚÁÎÎÙÅ ×ÙÛÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÆÕÎË ÉÑÍÉ m,
s , e , h É ÒÅËÕÒÓÉ×ÎÙÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ pi ÞÅÒÅÚ ej É hj Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÁÍÉ ×
ËÏÌØ Å , Á ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ hi É ei ÞÅÒÅÚ p | ÔÏÖÄÅÓÔ×ÁÍÉ × ËÏÌØ Å Q ⊗ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ.
ËÏÌØ ÏÍ ÓÉÍÍÅ-
ÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §26
úÁÄÁÞÁ 26.1. óÕÍÍÁ Ä×ÕÈ ÉÚ ÔÒ£È ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ
ÒÁ×ÎÁ 1. þÅÍÕ ÒÁ×ÎÏ ?
2 x3 − x 2 − 7 x + 459
úÁÄÁÞÉ Ë §26
úÁÄÁÞÁ 26.2. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÒÅÛÅÎÉÑ ÓÉÓÔÅÍÙ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ


 x1 + x2 + x3 = 0
x21 + x22 + x23 = 0

 3
x1 + x32 + x33 = 24 :
úÁÄÁÞÁ 26.3. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ÞÅÒÅÚ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ei ÓÌÅÄÕ-
ÀÝÉÅ ÆÕÎË ÉÉ:
Á) (x1 + x2 − x3 − x4 )(x1 − x2 + x3 − x4 )(x1 − x2 − x3 + x4 )
Â) (xX
)(x1 + x3 )(x2 + x4 )(x1 + x4 )
1 + x2 )(x2 + x3 )(x3 + x4X
×)
xi (xj + xk )=2
Ç)
x2i xj
i6=j 6=k6=i
i6=j
úÁÄÁÞÁ 26.4. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ1 Df ËÕÂÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÒ£ÈÞÌÅÎÁ
f = x3 + px + q
ÞÅÒÅÚ p É q.
úÁÄÁÞÁ 26.5. ðÕÓÔØ × ÚÁÄ. 26.4 p; q ∈ R . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÉ Df < 0 Õ f ÅÓÔØ ÒÏ×ÎÏ
ÏÄÉÎ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ ËÏÒÅÎØ, Á ÒÉ Df > 0 | ÒÏ×ÎÏ ÔÒÉ, É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ f = 0 ÅÒÅÓËÁÌÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÒÉ×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÉÄÕ 4t3 − 3t = a É
ÒÅÛÁÅÔÓÑ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÑÈ.
úÁÄÁÞÁ 26.6. îÁÊÄÉÔÅ ×ÓÅ (ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ) ÚÎÁÞÅÎÉÑ , ÒÉ ËÏÔÏÒÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
x4 − 4 x + ÉÍÅÅÔ ËÒÁÔÎÙÊ ËÏÒÅÎØ.
úÁÄÁÞÁ 26.7 ( ÉÒËÕÌÑÎÔ). ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÍÁÔÒÉ Ù, ÓÔÒÏËÉ ËÏÔÏÒÏÊ Ñ×ÌÑ-
ÀÔÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÍÉ ÉËÌÉÞÅÓËÉÍÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ ÓÔÒÏËÉ
( 0; 1; : : : ;
n
n) ∈ C ;
ÞÅÒÅÚ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÏÌÉÎÏÍÁ f (x) = 0 xn + 1 xn−1 + · · · + n−1 x + n ÎÁ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ
ËÏÒÎÑÈ n-ÔÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ù.
úÁÄÁÞÁ 26.8. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔ2 n-ÔÏÇÏ ËÒÕÇÏ×ÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ3 æn (x) . åÓ-
ÌÉ ÏÂÝÉÊ ÓÌÕÞÁÊ ×ÙÚÙ×ÁÅÔ ÚÁÔÒÕÄÎÅÎÉÑ, ÒÅÛÉÔÅ ÚÁÄÁÞÕ ÄÌÑ ×ÓÅÈ 3 ⩽ n ⩽ 7.
1
ÄÉÓËÒÉÍÉÎÁÎÔÏÍ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x) = Q(x − xi ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ
i
Ë×ÁÄÒÁÔÏ× ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ ×ÓÅÈ ÅÇÏ ËÏÒÎÅÊ Df = = Q (xi − xj ) , ×ÙÒÁÖÅÎÎÏÅ ÞÅÒÅÚ ËÏÜÆÆÉ Éi<j
ÅÎÔÙ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ, ÓÒ. ÚÁÄ. 10.17
ÓÍ. ÚÁÄ. 26.4
ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ n-ÔÙÊ ËÒÕÇÏ×ÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ | ÜÔÏ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, ËÏÒÎÑÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÓÅ ÒÉÍÉÔÉ×ÎÙÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ËÏÒÎÉ ÓÔÅÅÎÉ n ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ù, ÓÍ. n◦ 2.3.4 É
ÚÁÄ. 4.22
2
0
2
3
2
460
úÁÄÁÞÉ Ë §26
úÁÄÁÞÁ 26.9. íÎÏÇÏÞÌÅÎ xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an ÉÍÅÅÔ ËÏÒÎÉ x1 ; x2 ; : : : ; xn .
÷ÅÒÎÏ ÌÉ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ x2 ; : : : ; xn ÅÒÅÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ
× ×ÉÄÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ÏÔ x1 ?
úÁÄÁÞÁ 26.10. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ ∈ C ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÊ ËÏÒÅÎØ m-ÔÏÊ
ÓÔÅÅÎÉ ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ù. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ a ∈ C ÒÁÓËÒÏÊÔÅ ÓËÏÂËÉ É ÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÏÄÏÂm
m
Q
Q
ÎÙÅ × (a − −1 x), ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ∀ f ∈ C[x℄ ∃ h ∈ C[x℄:
f ( −1 x) = h(xm )
=1
=1
É ×ÙÒÁÚÉÔÅ ËÏÒÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ h ÞÅÒÅÚ ËÏÒÎÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f .
úÁÄÁÞÁ 26.11. îÁÊÄÉÔÅ × C[x℄ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ 4-Ê ÓÔÅÅÎÉ, ËÏÒÎÑÍÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
Á) Ë×ÁÄÒÁÔÙ ×ÓÅÈ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ x4 + 2 x3 − x + 3
Â) ËÕÂÙ ×ÓÅÈ ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ x4 − x − 1 .
úÁÄÁÞÁ 26.12. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ
Á) s(1n ) ÞÅÒÅÚ e Â) s(n) ÞÅÒÅÚ h .
Á) s2(1) Â) s(1;1) · s(2) × ×ÉÄÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ
ËÏÍÂÉÎÁ ÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× s .
úÁÄÁÞÁ 26.13. ðÒÅÄÓÔÁ×ØÔÅ
úÁÄÁÞÁ 26.14. ðÕÓÔØ h0 = e0 = 1 É hk = ek = 0 ÒÉ k < 0. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÁÔÒÉ Ù
(hi−j ) É (−1)i−j ei−j ÏÂÒÁÔÎÙ
ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ É ÏÌÕÞÉÔÅ ÏÔÓÀÄÁ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
det (hi +j −i ) = det eti +j −i ÎÁ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÙÅ ÍÉÎÏÒÙ ÜÔÉÈ ÍÁÔÒÉ .
§27. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÍÁÓÓÉ×Ï×, ÔÁÂÌÉ
É ÄÉÁÇÒÁÍÍ
27.1. íÁÓÓÉ×Ù É ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÎÉÍÉ.
ËÏÎÅÞÎÙÈ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÉÚ n É m ÜÌÅÍÅÎÔÏ×:
úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ Ä×Á
I = {1; 2; : : : ; n} ; J = {1; 2; : : : ; m}
(27-1)
É ÂÕÄÅÍ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÅ ÔÁÂÌÉ Ù ÉÚ n ÓÔÏÌ Ï× É m ÓÔÒÏË, ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ I É J ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÁËÕÀ ÔÁÂÌÉ Õ a ÍÙ ÂÕÄÅÍ
ÎÁÚÙ×ÁÔØ
É ÒÁÚÍÅÝÁÔØ ×
Ë×ÁÄÒÁÎÔÅ ÄÅËÁÒÔÏ×ÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÚ I ÒÏÓÌÉ ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï Ï ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÊ ÏÓÉ,
Á ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÉÚ J ÒÏÓÌÉ ÓÎÉÚÕ ××ÅÒÈ Ï ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÊ ÏÓÉ. óÏÄÅÒÖÉÍÏÅ a(i; j )
ËÌÅÔËÉ Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (i; j ) Õ ÎÁÓ ×ÓÅÇÄÁ ÂÕÄÅÔ ÅÌÙÍ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍ ÞÉÓÌÏÍ, ËÏÔÏÒÏÅ ÓÔÏÉÔ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË €ËÏÌÉÞÅÓÔ×ρ ÉÌÉ €ÍÁÓÓՁ. ÷ÅÓØ ÍÁÓÓÉ×
ÕÄÏÂÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÔØ ÓÅÂÅ ËÁË ÎÁÂÏÒ ÛÁÒÉËÏ× ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÍÁÓÓÙ, ÎÁÄÅÌÅÎÎÙÈ
Ä×ÕÍÑ ÇÒÕÁÍÉ ÒÉÚÎÁËÏ× É × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÜÔÉÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÎÙÈ Ï ÑÞÅÊËÁÍ
ÍÁÓÓÉ×Á. íÙ ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÂÕÄÅÍ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ Ó ÞÉÓÌÁÍÉ a(i; j ), ÎÏ ÂÕÄÅÍ ÅÒÅËÌÁÄÙ×ÁÔØ ÛÁÒÉËÉ ÉÚ ÑÞÅÊËÉ × ÑÞÅÊËÕ, ÍÅÎÑÑ ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÉÈ ÒÉÎÁÄÌÅÖÎÏÓÔØ Ë
ÔÏÍÕ ÉÌÉ ÉÎÏÍÕ ÒÉÚÎÁËÕ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ Ä×ÕÈ ÇÒÕ.
ó ÍÁÓÓÉ×ÏÍ a Ó×ÑÚÁÎ
(ÉÌÉ I )
ÍÁÓÓÉ×ÏÍ
wI =
ÅÒ×ÏÍ
X
j
ÓÔÏÌ Ï×ÙÊ ×ÅÓ
-×ÅÓ
X
X
a(n; j ) ∈ Zn⩾0 ;
X
a(i; m) ∈ Zm
⩾0 :
a(1; j ) ;
j
a(2; j ) ; : : : ;
j
(27-2)
(27-3)
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÓÏÂÏÊ n-ÍÅÒÎÙÊ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ, i-ÔÁÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁ×ÎÁ ÏÂÝÅÍÕ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÛÁÒÉËÏ× × i-ÔÏÍ ÓÔÏÌ Å. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ
(ÉÌÉ J )
ÓÔÒÏÞÎÙÊ ×ÅÓ
wJ =
X
i
-×ÅÓ
a(i; 1) ;
X
i
a(i; 2) ; : : : ;
i
íÁÓÓÉ×Ù ÍÏÖÎÏ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÔØ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ i = j :
a 7−→ at : at (i; j ) = a(j; i) :
îÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å M ×ÓÅÈ ÍÁÓÓÉ×Ï× ÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ ÞÅÔÙÒÅ ÎÁÂÏÒÁ
ÒÁ ÉÊ
(27-4)
ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÏÅ-
ÇÄÅ 1 ⩽ i ⩽ n − 1, 1 ⩽ j ⩽ m − 1.
ðÒÉ ÒÉÍÅÎÅÎÉÉ ÌÀÂÏÊ ÉÚ ÜÔÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ Ë ÄÁÎÎÏÍÕ ÍÁÓÓÉ×Õ a ∈ M ÍÁÓÓÉ×
a ÌÉÂÏ ÎÉËÁË ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ, ÌÉÂÏ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÅÇÏ ÛÁÒÉË ÅÒÅÍÅÝÁÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ ÎÁ
ÏÄÎÕ ËÌÅÔËÕ ×ÎÉÚ (Down), ××ÅÒÈ (Up), ×ÌÅ×Ï (Left) ÉÌÉ ×ÒÁ×Ï (Right) × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÄÌÑ ÏÅÒÁ ÉÉ.
Dj ; Uj ; Li ; Ri ;
461
462
§27. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÍÁÓÓÉ×Ï×, ÔÁÂÌÉ
É ÄÉÁÇÒÁÍÍ
27.1.1. ÷ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÅ ÏÅÒÁ ÉÉ Dj É Uj ÅÒÅÍÅÝÁÀÔ ÛÁÒ Ï ×ÅÒÔÉËÁÌÉ
× ÒÅÄÅÌÁÈ ÓÏÓÅÄÎÉÈ j -ÔÏÊ É (j +1)-ÏÊ ÓÔÒÏËÉ. þÔÏÂÙ ÕÚÎÁÔØ, ËÁËÏÊ ÉÍÅÎÎÏ ÛÁÒ
ÓÌÅÄÕÅÔ ÅÒÅÄ×ÉÎÕÔØ (ÉÌÉ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÔÁËÏÇÏ ÛÁÒÁ ÎÅÔ), ÓÌÅÄÕÅÔ ×ÎÁ1.
ÞÁÌÅ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ ÍÅÖÄÕ j -ÔÏÊ É (j +1)-ÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ
äÅÌÁÅÔÓÑ ÜÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.
âÕÄÅÍ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÅÒÅÂÉÒÁÔØ ÛÁÒÉËÉ × (j + 1)-ÏÊ ÓÔÒÏËÅ Ä×ÉÇÁÑÓØ
ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï É ÌÉÂÏ ÎÁÚÎÁÞÁÔØ ÉÍ ÁÒÔΣÒÏ× × j -ÔÏÊ ÓÔÒÏËÅ, ÌÉÂÏ ÏÂßÑ×ÌÑÔØ
. ðÕÓÔØ ÏÞÅÒÅÄÎÏÊ ÛÁÒÉË Û ÌÅÖÉÔ × ËÌÅÔËÅ (i; j +1). åÇÏ ÁÒÔΣÒÏÍ
ÎÁÚÙ×ÁÅÍ
ÛÁÒ ÉÚ ÔÅÈ, ÞÔÏ ÌÅÖÁÔ × ÓÔÒÏËÅ j
iÔÏÇÏ ÓÔÏÌ Á É ÅÝ£ ÎÅ ÎÁÚÎÁÞÅÎÙ ÎÉËÏÍÕ ÁÒÔΣÒÁÍÉ. åÓÌÉ ÔÁËÉÈ ÛÁÒÏ× ÎÅÔ,
ÛÁÒ Û ÏÂßÑ×ÌÑÅÔÓÑ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ. ðÏÓÌÅ ÔÏÇÏ, ËÁË ×ÓÅ ÛÁÒÙ (j + 1)-ÏÊ ÓÔÒÏËÉ
ÂÕÄÕÔ ÒÁÚÄÅÌÅÎÙ ÎÁ Ó×ÏÂÏÄÎÙÅ É ÉÍÅÀÝÉÅ ÁÒÔΣÒÏ×, ×ÓÅ ÛÁÒÙ j -ÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ,
ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÉÅÓÑ ÎÉ ÞØÉÍÉ ÁÒÔΣÒÁÍÉ, ÔÁËÖÅ ÏÂßÑ×ÌÑÀÔÓÑ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍÉ. ÷ÏÔ
ÒÉÍÅÒ ÔÁËÏÇÏ ÁÒÏÓÏÞÅÔÁÎÉÑ (× ÓËÏÂËÁÈ ÕËÁÚÁÎÏ ÞÉÓÌÏ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ÛÁÒÏ×):
2 (2) 2 (0) 4 (1) 3 (0) 3 (0)
===
=
=
(27-5)
=
=
=
=
=
=
3 (0) 2 (0) 6 (1) = 1 (0) 3 (3)
ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÏÅÒÁ ÉÑ Dj ÏÕÓËÁÅÔ ÎÁ ÏÄÎÕ ËÌÅÔËÕ ×ÎÉÚ ÓÁÍÙÊ ÒÁ×ÙÊ
Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÛÁÒ (j + 1)-ÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÉÌÉ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÄÅÌÁÅÔ, ÅÓÌÉ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ÛÁÒÏ×
× (j + 1)-ÏÊ ÓÔÒÏÞËÅ ÎÅÔ. ïÅÒÁ ÉÑ Uj ÏÄÎÉÍÁÅÔ ÎÁ ÏÄÎÕ ËÌÅÔËÕ ××ÅÒÈ ÓÁÍÙÊ
ÌÅ×ÙÊ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÛÁÒ j -ÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÉÌÉ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÄÅÌÁÅÔ, ÅÓÌÉ × j -ÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÎÅÔ
Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ÛÁÒÏ×. ÁË, × ÒÉÍÅÒÅ (27-5) ÏÅÒÁ ÉÑ Dj (ÓÏÏÔ×. Uj ) ÏÕÓËÁÅÔ ×ÎÉÚ
(ÓÏÏÔ×. ÏÄÎÉÍÁÅÔ ××ÅÒÈ) ×ÅÒÈÎÉÊ (ÓÏÏÔ×. ÎÉÖÎÉÊ) Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÛÁÒ × ÔÒÅÔØÅÊ
ËÏÌÏÎËÅ.
åÓÌÉ ÏÅÒÁ ÉÑ ÉÚÍÅÎÑÅÔ ÍÁÓÓÉ×, ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ
ÜÔÏÔ ÍÁÓÓÉ×
. éÚ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÉ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÇÏ ÁÒÏÓÏÞÅÔÁÎÉÑ ÑÓÎÏ,
ÞÔÏ ×ÓÅ Ó×ÏÂÏÄÎÙÅ ÛÁÒÙ j -ÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÌÅÖÁÔ ÎÅÓÔÒÏÇÏ ÒÁ×ÅÅ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ÛÁÒÏ×
(j + 1)-ÏÊ ÓÔÒÏËÉ. ðÏÜÔÏÍÕ, ËÏÇÄÁ ÏÅÒÁ ÉÑ Dj ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÍÁÓÓÉ× a ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ, ÏÕÝÅÎÎÙÊ ÅÀ ÛÁÒ ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÓÁÍÙÍ ÌÅ×ÙÍ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÛÁÒÏÍ j -ÔÏÊ
ÓÔÒÏËÉ × ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÍ ÁÒÏÓÏÞÅÔÁÎÉÉ ÍÅÖÄÕ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÍÉ ÓÔÒÏËÁÍÉ. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÏÅÒÁ ÉÑ Uj , ÒÉÍÅΣÎÎÁÑ Ë ÍÁÓÓÉ×Õ Dj a ÏÄÎÉÍÅÔ ÜÔÏÔ ÏÕÝÅÎÎÙÊ
ÛÁÒ ÎÁÚÁÄ, Ô. Å. Uj Dj a = a ×ÓÑËÉÊ ÒÁÚ, ËÏÇÄÁ Dj ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ a ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ.
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÅÓÌÉ Uj ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ, ÔÏ Dj Uj a = a.
çÏ×ÏÒÑ ÎÅÆÏÒÍÁÌØÎÏ, ÎÁÂÏÒ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ D, U ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ, ÂÌÉÚËÕÀ Ë ÇÒÕÏ×ÏÊ | ÉÓÈÏÄÎÙÊ ÍÁÓÓÉ× a ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÏÓÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ
ÉÚ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÁ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ Ë ÎÅÍÕ ÓÌÏ×Á D = Dj · · · Djk Ï ÆÏÒÍÕÌÅ
a = Ujk · · · Uj (Dj · · · Djk (a))
ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÅ ÁÒÏÓÏÞÅÔÁÎÉÅ
Ó×ÏÂÏÄÎÙÍÉ
≡≡
≡≡
≡≡
≡
ÓÔÒÏÇÏ ÌÅ×ÅÅ
===
===
=
===
===
=
ÓÁÍÙÊ ÒÁ×ÙÊ
ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ
1
1
1
Ï-ÁÎÇÌÉÊÓËÉ: stable mat hing
1
27.1. íÁÓÓÉ×Ù É ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ÎÁÄ ÎÉÍÉ
463
ÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ ËÁÖÄÁÑ ÂÕË×Á Dj ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ
ÔÁËÉÅ D-ÓÌÏ×Á a(ÉÌÉ ÒÏÓÔÏ
, ÅÓÌÉ ÏÎÑÔÎÏ, Ï
ËÁËÏÍ a ÒÅÞØ).
27.1.2. çÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÅ ÏÅÒÁ ÉÉ Li+1 É Ri ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: ÏÎÉ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ × i-Í É (i + 1)-Í ÓÔÏÌ ÁÈ É ÒÅ×ÒÁÝÁÀÔÓÑ × ÏÅÒÁ ÉÉ D É U ÒÉ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÍÁÓÓÉ×Á, Ô. Å.
Li ( a) = D i ( a t ) t É R i ( a) = Ui ( at ) t :
ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍÉ
ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍÉ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 27.1. ðÅÒÅÇÏ×ÏÒÉÔÅ ÜÔÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅ Ñ×ÎÏ: ÓËÁÖÉÔÅ, ËÁË ÕÓÔÁÎÏ×ÉÔØ
ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÅ ÁÒÏÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ÍÅÖÄÕ i-ÔÙÍ É (i + 1)-Í ÓÔÏÌ ÏÍ, É ËÁËÏÊ ÛÁÒ ÂÕÄÕÔ
ÅÒÅÍÅÝÁÔØ Ri É Li .
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÏÅÒÁ ÉÉ D, L ÓÏÈÒÁÎÑÀÔ ÓÔÏÌ Ï×ÙÊ ×ÅÓ, Á ÏÅÒÁ ÉÉ R, L |
ÓÔÒÏÞÎÙÊ.
ìÅÍÍÁ 27.1 (ÌÅÍÍÁ Ï ËÏÍÍÕÔÉÒÏ×ÁÎÉÉ)
ëÁÖÄÙÊ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ Ui, Ri ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÅÎ Ó ËÁÖÄÙÍ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÍ Dj , Lj .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. íÙ ÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ Dj É Uj ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙ Ó Li | ÏÓÔÁÌØÎÙÅ
ÓÌÕÞÁÉ ÒÁÚÂÉÒÁÀÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ. ðÕÓÔØ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÏÅÒÁ ÉÉ Li ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ ×
ÅÒÅÍÅÝÅÎÉÉ ÛÁÒÁ Û ÎÁ ÏÄÎÕ ËÌÅÔËÕ ×ÌÅ×Ï. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÕÂÅÄÉÔØÓÑ, ÞÔÏ ÜÔÁ
ÒÏ ÅÄÕÒÁ ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÅÔ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÇÏ ÁÒÏÓÏÞÅÔÁÎÉÑ ÍÅÖÄÕ (j + 1)-ÏÊ É j -ÔÏÊ
ÓÔÒÏËÏÊ × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ Li Ó×ÑÚÁÎÎÙÍÉ × ÁÒÙ ÂÕÄÕÔ ×
ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÔÅ ÖÅ ÓÁÍÙÅ ÛÁÒÙ, ÞÔÏ É ÄÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÑ. üÔÏ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ËÏÇÄÁ Û
ÌÅÖÉÔ ×ÎÅ (j + 1)-ÏÊ É j -ÔÏÊ ÓÔÒÏË. ïÓÔÁÀÔÓÑ Ä×Á ÓÌÕÞÁÑ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÎÁ
ÒÉÓ. 27⋄1.
òÉÓ. 27⋄1.
çÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ Li ÎÅ ÍÅÎÑÅÔ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÇÏ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÇÏ
ÁÒÏÓÏÞÅÔÁÎÉÑ.
ðÕÓÔØ Û ÌÅÖÉÔ × (j + 1)-ÏÊ ÓÔÒÏÞËÅ, Ô. Å. × ËÌÅÔËÅ (i + 1; j + 1) (ÌÅ×ÁÑ ËÁÒÔÉÎËÁ ÎÁ ÒÉÓ. 27⋄1). ÏÇÄÁ ×ÓÅ ÛÁÒÙ ÉÚ ËÌÅÔËÉ (i; j ) ÉÍÅÀÔ ÁÒÔΣÒÏ× × ËÌÅÔËÅ
464
§27. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÍÁÓÓÉ×Ï×, ÔÁÂÌÉ
É ÄÉÁÇÒÁÍÍ
(i +1; j +1), ÉÎÁÞÅ ÛÁÒ Û ÏÌÕÞÉÌ ÂÙ ÓÅÂÅ ÁÒÔΣÒÁ × ËÌÅÔËÅ (i; j ) × ÁÒÏÓÏÞÅÔÁÎÉÉ ÍÅÖÄÕ i-ÔÙÍ É (i +1)-Í ÓÔÏÌ ÏÍ. ðÏÜÔÏÍÕ, ÅÓÌÉ × ÓÔÒÏÞÎÏÍ ÁÒÏÓÏÞÅÔÁÎÉÉ
Õ ÛÁÒÁ Û ÂÙÌ ÁÒÔΣÒ, ÔÏ ÏÎ ÂÙÌ ÓÔÒÏÇÏ ÌÅ×ÅÅ ËÌÅÔËÉ (i; j ), Á ÚÎÁÞÉÔ É ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÁÒÔΣÒÏÍ ÏÓÌÅ ÅÒÅÍÅÝÅÎÉÑ Û ÎÁ ËÌÅÔËÕ ×ÌÅ×Ï. á ÅÓÌÉ ÁÒÔΣÒÁ Õ Û
ÎÅ ÂÙÌÏ, ÔÏ ÏÎ É ÎÅ ÏÑ×ÉÔÓÑ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÉ ÅÒÅÍÅÝÅÎÉÉ Û ÓÔÒÏÞÎÏÅ
ÁÒÏÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ÎÅ ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ.
ðÕÓÔØ Û ÌÅÖÉÔ × j -ÔÏÊ ÓÔÒÏÞËÅ (ÒÁ×ÁÑ ËÁÒÔÉÎËÁ ÎÁ ÒÉÓ. 27⋄1). ðÏÓËÏÌØËÕ
ÏÎ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÁÍÙÍ ×ÅÒÈÎÉÍ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÛÁÒÏÍ × ÓÔÏÌ Ï×ÏÍ ÁÒÏÓÏÞÅÔÁÎÉÉ,
×ÓÅ ÛÁÒÙ ÉÚ ËÌÅÔËÉ (i + 1; j + 1) ÉÍÅÀÔ ÁÒÔΣÒÏ× × ËÌÅÔËÅ (i; j ). îÏ ÔÏÇÄÁ É ×
ÓÔÒÏÞÎÏÍ ÁÒÏÓÏÞÅÔÁÎÉÉ ×ÓÅ ÛÁÒÙ ÉÚ (i+1; j +1)-ÔÏÊ ËÌÅÔËÉ ÏÌÕÞÁÔ ÁÒÔΣÒÏ×
× ËÌÅÔËÅ (i; j ). ðÏÜÔÏÍÕ ÅÒÅÍÅÝÅÎÉÅ ÛÁÒÁ Û ÎÁ ËÌÅÔËÕ ×ÌÅ×Ï É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ
ÎÅ ÉÚÍÅÎÉÔ ÎÉ ÅÇÏ ÓÔÁÔÕÓÁ, ÎÉ ÁÒÔΣÒÁ (ÅÓÌÉ ÔÁËÏ×ÏÊ ÂÙÌ).
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 27.1
óÌÏ×Ï î , ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÅ ÉÚ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ, ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ a, ËÏÇÄÁ ÏÎÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÍÁÓÓÉ×,
ÏÌÕÞÁÀÝÉÊÓÑ ÉÚ a ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÓÌÏ×Ï V , ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÅ ÉÚ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ, ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ a, ËÏÇÄÁ ÏÎÏ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÍÁÓÓÉ×, ÏÌÕÞÁÀÝÉÊÓÑ ÉÚ a
ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ.
íÙ ÄÏËÁÖÅÍ ÅÒ×ÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ, ÏÓÔÁ×É× ×ÔÏÒÏÅ ÞÉÔÁÔÅÌÀ.
äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ i, j ÏÅÒÁ ÉÑ Li ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ
ÎÁ a ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÁ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ Dj Á, É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÁ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ Uj Á .
åÓÌÉ Lia = a, ÔÏ LiDj a = Dj Lia = Dj a, É LiUj a = Uj Lia = Uj a. îÁÏÂÏÒÏÔ,
ÅÓÌÉ Lia 6= a, ÔÏ i-ÔÁÑ ËÏÍÏÎÅÎÔÁ ÓÔÏÌ Ï×ÏÇÏ ×ÅÓÁ wI (Lia) ÂÕÄÅÔ ÓÔÒÏÇÏ ÂÏÌØÛÅ i-ÔÏÊ ËÏÍÏÎÅÎÔÙ wI (a), Á ÔÁË ËÁË Dj É Uj ÎÅ ÍÅÎÑÀÔ ÓÔÏÌ Ï×ÙÊ ×ÅÓ, ÔÏ
Li Dj a = Dj Li a 6= Dj a, É Li Uj a = Uj Li a 6= Uj a .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
27.2. õÌÏÔÎÅÎÉÅ ÍÁÓÓÉ×Ï×. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÍÁÓÓÉ× D- , L- , R- ÉÌÉ U- ÌÏÔÎÙÍ (Ô. Å. ÌÏÔÎÙÍ ×ÎÉÚ, ×ÌÅ×Ï, ×ÒÁ×Ï ÉÌÉ ××ÅÒÈ), ÅÓÌÉ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÏÅÒÁ ÉÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÔÉÁ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ ÎÁ ÎÅÇÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ.
ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ Ë ÄÁÎÎÏÍÕ ÍÁÓÓÉ×Õ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÇÏ ÞÉÓÌÁ
ÏÅÒÁ ÉÊ ÏÄÎÏÇÏ ÉÚ ÔÉÏ× × ËÏÎ Å ËÏÎ Ï× ÒÉ×ÅÄ£Ô Ë ÌÏÔÎÏÍÕ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ ÍÁÓÓÉ×Õ. ÁËÏÅ ÕÌÏÔÎÅÎÉÅ, ËÁË ÒÁ×ÉÌÏ, ÍÏÖÎÏ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔØ
ÍÎÏÇÉÍÉ ÒÁÚÎÙÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ.
÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÍÅÒÁ, ÎÁ ÒÉÓ. 27⋄2 ÎÉÖÅ ÏËÁÚÁÎÙ Ä×Á ÕÔÉ ÕÌÏÔÎÅÎÉÑ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÓÌÕÞÁÊÎÏ ×ÚÑÔÏÇÏ ÍÁÓÓÉ×Á 3 × 2. ïÂÒÁÔÉÔÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ
ÕÌÏÔÎÅÎÉÑ ÏËÁÚÁÌÓÑ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÝÉÍ ÏÔ ÓÏÓÏÂÁ ÕÌÏÔÎÅÎÉÑ. íÙ ÄÏËÁÖÅÍ ÜÔÏ
ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÕÌÏÔÎÅÎÉÊ × ÒÅÄÌ. 27.1, ÓÄÅÌÁ× × ÎÁÞÁÌÅ ÏÄÎÏ ×ÁÖÎÏÅ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ Ï Ó×ÑÚÉ ÍÁÓÓÉ×Ï× Ó ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍÉ àÎÇÁ.
465
27.2. õÌÏÔÎÅÎÉÅ ÍÁÓÓÉ×Ï×
27.2.1. âÉÌÏÔÎÙÅ ÍÁÓÓÉ×Ù É ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ àÎÇÁ. éÚ ÓÌ. 27.1 ×ÙÔÅËÁÅÔ,
ÞÔÏ ÒÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÉ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁ ÌÏÔÎÙÊ ×ÌÅ×Ï ÉÌÉ ×ÒÁ×Ï ÍÁÓÓÉ×
ÜÔÏÔ ÍÁÓÓÉ× ÂÕÄÅÔ ÏÓÔÁ×ÁÔØÓÑ ÌÏÔÎÙÍ × ÔÕ ÖÅ ÓÔÏÒÏÎÕ. Ï ÖÅ ÓÁÍÏÅ ÓÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÄÌÑ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÈ ÏÅÒÁ ÉÊ ÎÁ ÍÁÓÓÉ×, ËÏÔÏÒÙÊ ÌÏÔÅÎ ×ÎÉÚ
ÉÌÉ ××ÅÒÈ. ðÏÜÔÏÍÕ ÌÀÂÏÊ ÍÁÓÓÉ× ÍÏÖÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÌÏÔÎÙÍ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ × ËÁËÏÍ-ÎÉÂÕÄØ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÍ É × ËÁËÏÍ-ÎÉÂÕÄØ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ. íÙ
ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÔÁËÉÅ ÍÁÓÓÉ×Ù DL-ÌÏÔÎÙÍÉ, DR-ÌÏÔÎÙÍÉ, É Ô. .
÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ × ÏÓÎÏ×ÎÏÍ DL-ÕÌÏÔÎÅÎÉÑÍÉ, ÏÜÔÏÍÕ
ÕÓÌÏ×ÉÍÓÑ ÎÁÚÙ×ÁÔØ
ÍÁÓÓÉ×Ù, ËÏÔÏÒÙÅ ÌÏÔÎÙ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ
É
. ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÛÁÒÙ × ÂÉÌÏÔÎÏÍ ÍÁÓÓÉ×Å ÌÅÖÁÔ ÌÉÛØ × ËÌÅÔËÁÈ
ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ i = j , ÒÉÞ£Í ÉÈ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÎÅÓÔÒÏÇÏ ÕÂÙ×ÁÀÔ Ó ÒÏÓÔÏÍ
i. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÓÔÏÌ Ï×ÙÊ ×ÅÓ ÂÉÌÏÔÎÏÇÏ ÍÁÓÓÉ×Á ÒÁ×ÅÎ ÓÔÒÏÞÎÏÍÕ É ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ àÎÇÁ = wI (b) = wJ (b) , Ô. Å. ÂÉÌÏÔÎÙÅ ÍÁÓÓÉ×Ù
b ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍ àÎÇÁ1 . äÉÁÇÒÁÍÍÁ àÎÇÁ,
ÏÔ×ÅÞÁÀÝÁÑ ÂÉÌÏÔÎÏÍÕ ÍÁÓÓÉ×Õ, ËÏÔÏÒÙÊ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ DU-ÕÌÏÔÎÅÎÉÅÍ ÄÁÎÎÏÇÏ ÍÁÓÓÉ×Á a, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÁÓÓÉ×Á a É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ æ (a). äÏËÁÖÅÍ
ÔÅÅÒØ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÏÎÑÔÉÅ ËÏÒÒÅËÔÎÏ.
31
11
12
D
ÂÉÌÏÔÎÙÍÉ
×ÎÉÚ
×ÌÅ×Ï
ÆÏÒÍÏÊ
3
2
D1
31
01
22
D24
-
01
41
12
D4
?
?1
00
32
22
01
01
52
D3
1
-
00
02
52
D2
òÉÓ. 27⋄2. ä×Á ÕÔÉ ÕÌÏÔÎÅÎÉÑ ×ÎÉÚ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 27.1
òÅÚÕÌØÔÁÔ D- , L- , R- ÉÌÉ U- ÕÌÏÔÎÅÎÉÑ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÕÌÏÔÎÑÀÝÉÈ ÏÅÒÁ ÉÊ.
ÚÄÅÓØ É ÄÁÌÅÅ × ÜÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÍÙ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÌÑÅÍ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÀ Ä×Å ËÏÎÅÞÎÙÈ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ ÏÄÎÁ ÉÚ ÄÒÕÇÏÊ ÒÉÉÓÙ×ÁÎÉÅÍ ÓÒÁ×Á ÌÀÂÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÎÕÌÅÊ; ÎÁÒÉÍÅÒ, ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ ÒÁ×ÎÙÍÉ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ (2; 1; 1) É
(2; 1; 1; 0; 0; 0)
1
466
§27. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÍÁÓÓÉ×Ï×, ÔÁÂÌÉ
É ÄÉÁÇÒÁÍÍ
íÙ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÔÏÌØËÏ ÓÌÕÞÁÊ D-ÕÌÏÔÎÅÎÉÑ. åÓÌÉ ÍÁÓÓÉ× a
ÌÏÔÅÎ ×ÌÅ×Ï, ÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÅÇÏ D-ÕÌÏÔÎÅÎÉÑ | ÜÔÏ ÂÉÌÏÔÎÙÊ ÍÁÓÓÉ×, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ àÎÇÁ wI (a). ðÏÓËÏÌØËÕ wI (a) ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÈ
ÕÌÏÔÎÑÀÝÉÈ ÏÅÒÁ ÉÑÈ, ÒÅÚÕÌØÔÁÔ D-ÕÌÏÔÎÅÎÉÑ L-ÌÏÔÎÏÇÏ ÍÁÓÓÉ×Á ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÓÏÓÏÂÁ ÕÌÏÔÎÅÎÉÑ. ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ a ÒÏÉÚ×ÏÌÅÎ. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ËÁËÏÅÎÉÂÕÄØ ÓÌÏ×Ï L = Li Li : : : Lik , ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÕÌÏÔÎÑÀÝÅÅ a ×ÌÅ×Ï ÄÏ ÍÁÓÓÉ×Á
a′ = La. ÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÓÌÏ×Á D = Dj Dj : : : Djk , ÔÁËÏÇÏ ÞÔÏ Da ÌÏÔÅÎ
×ÎÉÚ, ÄÅÊÓÔ×ÉÅ L ÎÁ Da ÔÏÖÅ ÂÕÄÅÔ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍ, Á ÍÁÓÓÉ× LDa = DLa ÂÕÄÅÔ ÂÉÌÏÔÅÎ (ÏÓËÏÌØËÕ ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ L ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÍÁÓÓÉ×Á Da ÂÙÔØ
ÌÏÔÎÙÍ ×ÎÉÚ, Á ÒÉÍÅÎÅÎÉÅ D ÓÏÈÒÁÎÑÅÔ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÍÁÓÓÉ×Á La ÂÙÔØ ÌÏÔÎÙÍ
×ÌÅ×Ï). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÚÁÉÓÁÔØ Da ËÁË L−1DLa. ÁË ËÁË ÍÁÓÓÉ×
DLa, Ï ÕÖÅ ÄÏËÁÚÁÎÎÏÍÕ, ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÕÌÏÔÎÑÀÝÅÇÏ ÓÌÏ×Á D (ÉÂÏ
DLa ÅÓÔØ D-ÕÌÏÔÎÅÎÉÅ L-ÌÏÔÎÏÇÏ ÍÁÓÓÉ×Á La), ÍÁÓÓÉ× Da = L−1 DLa ÔÏÖÅ ÎÅ
ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ D .
27.2.2. ðÌÏÔÎÙÅ ÍÁÓÓÉ×Ù É ÔÁÂÌÉ Ù àÎÇÁ. éÚ ÌÀÂÏÇÏ ÍÁÓÓÉ×Á ×ÙÓÏÔÙ
m É ÛÉÒÉÎÙ n ÍÏÖÎÏ ÉÚÇÏÔÏ×ÉÔØ m ÓÌÏ× (Ï ÏÄÎÏÍÕ ÓÌÏ×Õ ÉÚ ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÓÓÉ×Á), ÚÁÉÓÁÎÎÙÈ ÁÌÆÁ×ÉÔÏÍ {1; 2; : : : ; n} . äÅÌÁÅÔÓÑ ÜÔÏ ÒÉ ÏÍÏÝÉ
ÒÏ ÅÄÕÒÙ, ËÏÔÏÒÁÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÁÓÓÉ×Á É ÓÏÓÔÏÉÔ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ.
éÎÔÅÒÒÅÔÉÒÕÅÍ ×ÓÅ ÛÁÒÉËÉ ÍÁÓÓÉ×Á ËÁË ÂÕË×Ù, ÒÁ×ÎÙÅ ÎÏÍÅÒÕ ÔÏÇÏ ÓÔÏÌÂÁ, ÇÄÅ ÓÔÏÉÔ ÛÁÒÉË. ðÏÓÌÅ ÜÔÏÇÏ ÒÏÊÄ£Í Ï ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÅ ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï,
×ÙÉÓÙ×ÁÑ ÏÄÒÑÄ ×ÓÅ ×ÓÔÒÅÞÁÀÝÉÅÓÑ ÎÁÍ ÂÕË×Ù. ÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ j -ÔÁÑ ÓÔÒÏËÁ
ÍÁÓÓÉ×Á ÒÁÚ×ÅÒΣÔÓÑ × ÓÌÏ×Ï
: : : 2} : : : : : : : : : nn
: : : n} :
11
: : : 1} |22 {z
| {z
| {z
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
1
2
1
2
ÓÔÒÏÞÎÏÊ ÒÁÚ×£ÒÔËÏÊ
a(1;j )
a(2;j )
a(n;j )
1 , ×ÙðÏÌÕÞÁÀÝÉÅÓÑ m ÓÌÏ× ÚÁÉÛÅÍ ÄÒÕÇ ÏÄ ÄÒÕÇÏÍ × ÓÔÏÌÂÉË,
ÒÏ×ÎÑ× ÉÈ Ï ÌÅ×ÏÍÕ ËÒÁÀ. îÁÒÉÍÅÒ:
00001
11125
20301
113335
00110
2222 ;
02110
2234
04000
34
01023
244555:
31001
5
11201
12335
ïÞÅ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÂÕË×Ù × ËÁÖÄÏÍ ÓÌÏ×Å ÓÔÒÏÞÎÏÊ ÒÁÚ×£ÒÔËÉ ÎÅÓÔÒÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ.
õÓÌÏ×ÉÅ ÌÏÔÎÏÓÔÉ ÍÁÓÓÉ×Á ×ÎÉÚ (ËÁË × ÌÅ×ÏÍ ÒÉÍÅÒÅ ×ÙÛÅ) ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ
ÏÄ ËÁÖÄÏÊ ÂÕË×ÏÊ €i × j -ÔÏÍ ÓÌÏ×Å (Ô. Å. ÏÄ ÛÁÒÉËÏÍ, ÒÉÛÅÄÛÉÍ ÉÚ ËÌÅÔËÉ a(i; j )) ÓÔÏÉÔ ÓÔÒÏÇÏ ÂÏÌØÛÁÑ, ÞÅÍ €i, ÂÕË×Á (j + 1)-ÇÏ ÓÌÏ×Á (ÁÒÔÎ£Ò ÜÔÏÇÏ ÛÁÒÉËÁ ÒÉ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÍ ÁÒÏÓÏÞÅÔÁÎÉÉ ÍÅÖÄÕ j -ÔÏÊ É (j + 1)-ÏÊ ÓÔÒÏËÁÍÉ
ÍÁÓÓÉ×Á). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÌÉÎÙ ÓÌÏ× ÓÔÒÏÞÎÏÊ ÒÁÚ×£ÒÔËÉ ÌÏÔÎÏÇÏ ×ÎÉÚ ÍÁÓÓÉ×Á ÎÅÓÔÒÏÇÏ ÕÂÙ×ÁÀÔ Ó×ÅÒÈÕ ×ÎÉÚ, Ô. Å. ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ àÎÇÁ, Á ÂÕË×Ù
Ó×ÅÒÈÕ ×ÎÉÚ
1
ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÉÚ ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÒÏËÉ ÍÁÓÓÉ×Á ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ×ÅÒÈÎÅÅ ÓÌÏ×Ï É Ô. Ä.
467
27.2. õÌÏÔÎÅÎÉÅ ÍÁÓÓÉ×Ï×
1 2; : : : ; n} ÚÁÏÌÎÑÀÔ ÜÔÕ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ ÎÅÓÔÒÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÑ Ï ÓÔÒÏËÁÍ É
×ÏÚÒÁÓÔÁÑ Ï ÓÔÏÌ ÁÍ. ÁËÉÅ ÚÁÏÌÎÅÎÉÑ ÄÁÎÎÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÆÏÒÍÙ ÎÁ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ I = {1; 2; : : : ; n} . íÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÊ ÆÁËÔ:
{ ;
ÓÔÒÏ-
ÇÏ
ÔÁÂÌÉ ÁÍÉ àÎÇÁ
ìÅÍÍÁ 27.2
óÔÒÏÞÎÁÑ ÒÁÚ×£ÒÔËÁ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÂÉÅË ÉÀ ÍÅÖÄÕ ÌÏÔÎÙÍÉ ×ÎÉÚ ÍÁÓÓÉ×ÁÍÉ
ÒÁÚÍÅÒÁ m × n É ÔÁÂÌÉ ÁÍÉ àÎÇÁ ÎÁ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ {1; 2; : : : ; n} , ÓÏÓÔÏÑÝÉÍÉ ÉÚ
⩽ m ÓÔÒÏË.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 27.2. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÁÓÓÉ× a =
a(i; j ) ÌÏÔÅÎ ×ÎÉÚ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÄÌÑ ×ÓÅÈ i ∈ I É j ∈ J ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á:
a(1; j + 1) + a(2; j + 1) + · · · + a(i; j + 1) ⩽ a(1; j ) + a(2; j ) + · · · + a(i − 1; j ) ;
É ÎÁÉÛÉÔÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á, ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÅ L- , R- É U- ÌÏÔÎÏÓÔÉ
ÍÁÓÓÉ×Á a .
27.2.3. ðÌÏÔÎÙÅ ÍÁÓÓÉ×Ù É ÔÅËÓÔÙ ñÍÁÎÕÞÉ. L-ÌÏÔÎÏÓÔØ ÍÁÓÓÉ×Á a
ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ ËÁË D-ÌÏÔÎÏÓÔØ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÍÁÓÓÉ×Á at É ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÓÔÏÌ Ï×ÏÊ ÒÁÚ×£ÒÔËÉ: ÌÏÔÎÙÅ ×ÌÅ×Ï ÍÁÓÓÉ×Ù ÂÉÅËÔÉ×ÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÔÁÂÌÉ ÁÍ àÎÇÁ ÉÚ ⩽ n ÓÔÒÏË × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ J .
ïÄÎÁËÏ ÞÁÓÔÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÌÅÚÎÙÍ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÁ ÉÑ L-ÌÏÔÎÏÓÔÉ × ÔÅÒÍÉÎÁÈ ÓÔÒÏÞÎÏÊ ÒÁÚ×£ÒÔËÉ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÂÕÄÅÍ ÞÉÔÁÔØ ÓÌÏ×Á
ÒÁÚ×£ÒÔËÉ LÌÏÔÎÏÇÏ ÍÁÓÓÉ×Á a
ÏÄÎÏ ÚÁ ÄÒÕÇÉÍ, Ó×ÅÒÈÕ ×ÎÉÚ. õÓÌÏ×ÉÅ ÌÏÔÎÏÓÔÉ ×ÌÅ×Ï ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÔÏÇÄÁ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ ÎÁÞÁÌØÎÏÍ ËÕÓËÅ ÏÌÕÞÁÀÝÅÊÓÑ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÂÕË× ÅÄÉÎÉ ÂÕÄÅÔ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ Ä×ÏÅË, Ä×ÏÅË | ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ
ÔÒÏÅË, É Ô. Ä. ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÁÒ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÙÈ ÂÕË× €i É €(i + 1) ÉÚ I . ÷ ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÉËÅ ÔÅËÓÔ ÔÁËÉÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. îÁÒÉÍÅÒ,
ÌÅ×ÁÑ ÉÚ Ä×ÕÈ ÓÔÒÏÞÎÙÈ ÒÁÚ×£ÒÔÏË
1
1111
12 ; 222
112
233
33
12
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÅËÓÔÏÍ ñÍÁÎÕÞÉ, Á ÒÁ×ÁÑ | ÎÅÔ. éÔÁË, ÎÁÍÉ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÁ
ÓÔÒÏÞÎÏÊ
ÓÒÁ×Á ÎÁÌÅ×Ï
ÔÅËÓÔÏÍ ñÍÁÎÕÞÉ
ìÅÍÍÁ 27.3
óÔÒÏÞÎÁÑ ÒÁÚ×£ÒÔËÁ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÂÉÅË ÉÀ ÍÅÖÄÕ ÌÏÔÎÙÍÉ ×ÌÅ×Ï ÍÁÓÓÉ×ÁÍÉ
ÒÁÚÍÅÒÁ m × n É ÔÅËÓÔÁÍÉ ñÍÁÎÕÞÉ ÉÚ ⩽ m ÓÌÏ× ÎÁ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ {1; 2; : : : ; n}. 27.2.4. ðÏÓÌÏÊÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ. îÁÏÍÎÉÍ ÏÄÎÕ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÀ ÉÚ ÔÅÏÒÉÉ
ÍÎÏÖÅÓÔ×. åÓÌÉ ÚÁÄÁÎÙ Ä×Á ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ×: X '- Z É Y - Z , ÔÏ
ÄÉÚßÀÎËÔÎÏÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ÒÑÍÙÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ ÓÌÏ£× ÜÔÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÎÁÄ
ÔÏÞËÁÍÉ z ∈ Z ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
G
=
X × Y def
'−1 (z ) × −1 (z )
Z
z ∈Z
468
§27. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÍÁÓÓÉ×Ï×, ÔÁÂÌÉ
É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÎÁÄ Z .
ÏÓÌÏÊÎÙÍ
(ÉÌÉ
ÒÁÓÓÌÏÅÎÎÙÍ
É ÄÉÁÇÒÁÍÍ
) ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÍÎÏÖÅÓÔ× X É Y
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 27.3. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ ÍÎÏ-
ÖÅÓÔ×
X ×Y
Z
X
Y
-
Y
X
(27-6)
-
'
Z
(× ËÏÔÏÒÏÊ X : (x; y) 7→ x É Y : (x; y) 7→ y) ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÁ × ÔÏÍ ÓÍÙÓÌÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ
ÌÀÂÏÇÏ ÄÒÕÇÏÇÏ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ
M
-
X
Y
-
'
Z
- X × Y , ÔÁËÏÅ ÞÔÏ = X ◦ , =
ÉÍÅÅÔÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ M
Z
Y ◦ , É ÕÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÜÔÏ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M É Ë×ÁÄÒÁÔ1 (27-6)
ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ, ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÏÇÏ ÓÏ
×ÓÅÍÉ ÓÔÒÅÌËÁÍÉ Ë×ÁÄÒÁÔÁ (27-6) .
ÅÏÒÅÍÁ 27.1
íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÍÁÓÓÉ×Ï× M ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÒÁÓÓÌÏÅÎÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ
M = L × D ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÌÏÔÎÙÈ ×ÌÅ×Ï ÍÁÓÓÉ×Ï× L ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÌÏÔÎÙÈ
B
×ÎÉÚ ÍÁÓÓÉ×Ï× D ÎÁÄ ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÂÉÌÏÔÎÙÈ ÍÁÓÓÉ×Ï× B, ÒÉÞ£Í ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ
M
L
D
-
D
L
-
L
D
B
(× ËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ L É D ÅÒÅ×ÏÄÑÔ ÍÁÓÓÉ× × ÅÇÏ ÕÌÏÔÎÅÎÉÑ ×ÌÅ×Ï É ×ÎÉÚ
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ) ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁ É ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÊ ÄÅËÁÒÔÏ×
Ë×ÁÄÒÁÔ (27-6).
1
ÏÎ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÅËÁÒÔÏ×ÙÍ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ
469
27.2. õÌÏÔÎÅÎÉÅ ÍÁÓÓÉ×Ï×
ðÏ ÒÅÄÌ. 27.1 ÓÔÒÅÌËÉ L É D ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÙ É ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙ ÄÒÕÇ Ó ÄÒÕÇÏÍ. íÙ ÄÏÌÖÎÙ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
- L ×D ;
M
B
ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÅ ÍÁÓÓÉ×Õ a ÁÒÕ (La; Da) ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ DLa = LDa ∈ B ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ.
éÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ. ðÕÓÔØ ÍÁÓÓÉ×Ù a É a′ ÔÁËÏ×Ù, ÞÔÏ La = La′ É Da = Da′.
÷ÙÂÅÒÅÍ ÄÌÑ Da = Da′ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏÅ ÕÌÏÔÎÑÀÝÅÅ ×ÌÅ×Ï ÓÌÏ×Ï . ÏÇÄÁ ÏÎÏ
ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ É ÎÁ a, É ÎÁ a′. ðÏÌÕÞÁÅÍ: a = −1La = −1La′ = a′.
óÀÒØÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ. äÌÑ ÌÀÂÏÊ ÁÒÙ ÍÁÓÓÉ×Ï× (a`; ad), × ËÏÔÏÒÏÊ a` ÌÏÔÅÎ ×ÌÅ×Ï, ad ÌÏÔÅÎ ×ÎÉÚ, É Da` = Lad , ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÏ×Ï , ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÕÌÏÔÎÑÀÝÅÅ
ad ×ÌÅ×Ï ÄÏ Lad . ïÂÒÁÔÎÏÅ ÓÌÏ×Ï −1 ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ Lad , Á ÚÎÁÞÉÔ,
É ÎÁ a`. íÁÓÓÉ× a = −1a` ÔÁËÏ×, ÞÔÏ La = a`, É Da = D−1a` = −1Da` =
−1Lad = ad.
27.2.5. ðÒÉÍÅÒ: ÇÒÁÆÉËÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ É ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÔÁÂÌÉ Ù. çÒÁÆÉË ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÍÎÏÖÅÓÔ× I a - J | ÜÔÏ ÍÁÓÓÉ×, × ËÁÖÄÏÍ ÓÔÏÌ ŠËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÛÁÒÉË. ðÏ ÔÅÏÒ. 27.1 ÔÁËÉÅ ÍÁÓÓÉ×Ù ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÁÒÁÍÅÔÒÉÚÕÀÔÓÑ ÁÒÁÍÉ (a`; ad) × ËÏÔÏÒÏÊ a` ÌÏÔÅÎ ×ÌÅ×Ï, ad ÌÏÔÅÎ ×ÎÉÚ, ÒÉÞ£Í ÏÂÁ ÜÔÉÈ ÍÁÓÓÉ×Á ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÕÀ ÆÏÒÍÕ Da` = Lad , É
wI (ad ) = (1; 1; : : : ; 1). ëÁÖÄÁÑ ÔÁËÁÑ ÁÒÁ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ n◦ 27.2.2, Ñ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÎÁÂÏÒ ÄÁÎÎÙÈ: ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ àÎÇÁ = DLa = LDa ×ÅÓÁ || = n (ÆÏÒÍÁ
ÍÁÓÓÉ×Á a), ÔÁÂÌÉ Á àÎÇÁ ÆÏÒÍÙ ÎÁ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ J (ÓÔÒÏÞÎÁÑ ÒÁÚ×£ÒÔËÁ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ L-ÕÌÏÔÎÅÎÉÑ at`) É ÔÁÂÌÉ Á àÎÇÁ ÆÏÒÍÙ ÎÁ ÁÌÆÁ×ÉÔÅ I , ×
ËÏÔÏÒÏÊ ËÁÖÄÁÑ ÂÕË×Á ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÒÁÚ (ÓÔÒÏÞÎÁÑ ÒÁÚ×£ÒÔËÁ DÕÌÏÔÎÅÎÉÑ ad).
ÁÂÌÉ Ù ÆÏÒÍÙ ÚÁÏÌÎÅÎÎÙÅ ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ || ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
ÆÏÒÍÙ . þÉÓÌÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÔÁÂÌÉ ÆÏÒÍÙ
ÒÉÎÑÔÏ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ ÞÅÒÅÚ d , Á ÞÉÓÌÏ ×ÓÅÈ ÔÁÂÌÉ ÆÏÒÍÙ ÎÁ m-ÂÕË×ÅÎÎÏÍ
ÁÌÆÁ×ÉÔÅ | ÞÅÒÅÚ d(m).
ðÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅÇÏ ÉÍÅÅÔÓÑ mn ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ I - J , ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
X
(27-7)
d · d (m) = mn ;
ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍÉ ÔÁÂÌÉ ÁÍÉ
ÇÄÅ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÉÄ£Ô Ï ×ÓÅÍ n-ËÌÅÔÏÞÎÙÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍ àÎÇÁ É ÞÉÓÌÁ d(m)
ÏÔÌÉÞÎÙ ÏÔ ÎÕÌÑ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍ ÉÚ ⩽ m ÓÔÒÏË.
åÓÌÉ ÏÌÏÖÉÔØ
#J = #I = n, É ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ ÂÉÅËÔÉ×ÎÙÍÉ ÏÔÏÂÒÁ∼
ÖÅÎÉÑÍÉ I - J , ÔÏ ÜÔÁ ÖÅ ËÏÎÓÔÒÕË ÉÑ ÄÁÓÔ ÂÉÅË ÉÀ ÍÅÖÄÕ n! ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ Sn É ÁÒÁÍÉ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÔÁÂÌÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÆÏÒÍÙ
×ÅÓÁ n, Ô. Å. ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
X
d2 = n! ;
(27-8)
470
§27. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÍÁÓÓÉ×Ï×, ÔÁÂÌÉ
É ÄÉÁÇÒÁÍÍ
ÇÄÅ ÓÕÍÍÁ ÉÄ£Ô Ï ×ÓÅÍ n-ËÌÅÔÏÞÎÙÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍ. üÔÁ ÏÓÌÅÄÎÑÑ ÂÉÅË ÉÑ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÉÎ×ÏÌÀÔÉ×ÎÙÅ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ1 ∈ Sn × ÓÁÍÏÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÅ ÍÁÓÓÉ×Ù a = at, ËÏÔÏÒÙÍ × ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ÂÉÅË ÉÉ ÏÔ×ÅÞÁÀÔ ÁÒÙ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ
ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÔÁÂÌÉ . ðÏÜÔÏÍÕ
X
d = #{ ∈ Sn | 2 = 1} :
(27-9)
27.3. äÅÊÓÔ×ÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ ÎÁ DU-ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ. âÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ
×ÓÑËÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÍÁÓÓÉ×Ï×, ËÏÔÏÒÏÅ ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ ×
ÓÅÂÑ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ D É U . çÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÙ DU-ÍÎÏÖÅÓÔ× | ÜÔÏ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏÞÎÙÅ Ó ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÏÅÒÁ ÉÊ D É U .
DU-ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÏÅÒÁ ÉÉ D É U ÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ, ÂÕÄÅÍ
ÎÁÚÙ×ÁÔØ
. DU-ÏÒÂÉÔÙ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÌÏÔÎÙÍ ×ÎÉÚ ÍÁÓÓÉ×ÁÍ. ïÒÂÉÔÁ O ÔÁËÏÇÏ ÍÁÓÓÉ×Á ad ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ
ÍÁÓÓÉ×Ï×, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÉÚ ad ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÙÍÉ U -ÓÌÏ×ÁÍÉ. íÙ ÂÕÄÅÍ
ÎÁÚÙ×ÁÔØ ad
ÏÒÂÉÔÙ O.
DU-ÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ
DU-ÏÒÂÉÔÏÊ
ÎÉÖÎÉÍ ËÏÎ ÏÍ
ìÅÍÍÁ 27.4
ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ, ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ É ÒÁÚÎÏÓÔÉ DU-ÍÎÏÖÅÓÔ× ÔÁËÖÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ DU-ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍÉ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ×ÓÑËÏÅ DU-ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÒÁÓÁÄÁÅÔÓÑ × ÄÉÚßÀÎËÔÎÏÅ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ DU-ÏÒÂÉÔ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
îÅ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÒÁÚ×Å ÞÔÏ, ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÒÏ ÒÁÚÎÏÓÔÉ. ðÕÓÔØ
A′ É A′′ DU-ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙ É a′ ∈ A′ r A′′ . åÓÌÉ Dj a′ ∈ A′′ , ÔÏ Dj ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ
ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ, É ÔÏÇÄÁ a′ = Uj Dj a′ ÔÏÖÅ ÌÅÖÉÔ × A′′.
27.3.1. óÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÏÒÂÉÔÙ. DU-ÏÒÂÉÔÙ O ÂÉÌÏÔÎÙÈ ÍÁÓÓÉ×Ï× ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ
. îÁÒÉÍÅÒ, ÒÉ m = 3 ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÁÑ ÏÒÂÉÔÁ O(2;1),
ÏÔ×ÅÞÁÀÝÁÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ { ÔÁÂÌÉ Å{ ÍÁÓÓÉ×Õ
ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÍÉ
00
01
20
ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÏÓØÍÉ ÍÁÓÓÉ×Ï×, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÈ ÎÁ ÒÉÓ. 27⋄3.
éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÂÉÅË ÉÉ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÕÌÏÔÎÅÎÉÅ ×ÌÅ×Ï ÚÁÄÁ£Ô ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍ
ÌÀÂÏÊ DU-ÏÒÂÉÔÙ O ÓÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÏÒÂÉÔÏÊ O, ÎÉÖÎÉÊ ËÏÎÅ ËÏÔÏÒÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÉÕÌÏÔÎÅÎÉÅÍ ÎÉÖÎÅÇÏ ËÏÎ Á ÏÒÂÉÔÙ O. íÙ ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÒÂÉÔÙ O . ëÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÏÒÂÉÔ ÔÉÁ × ÄÁÎÎÏÍ DU-ÍÎÏÖÅÓÔ×Å M ÒÁ×ÎÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÌÏÔÎÙÈ ×ÎÉÚ ÍÁÓÓÉ×Ï× ÓÔÒÏÞÎÏÇÏ ×ÅÓÁ , ÉÍÅÀÝÉÈÓÑ × M .
−
11
2
−
ÔÉÏÍ
1
Ô. Å. ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ = 1
2
471
27.3. äÅÊÓÔ×ÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ ÎÁ DU-ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÈ
1 1
1 0
- 0 0 U2
U1
1 1
0 0
1 0 0 1
2 0
- 0 0
U2
0 1
0 0 2 0
1 0
0 1 1 0
0 1
1 0
1 0
U1
U2
0 0
1 1
- 1 0
U2
U1
0 0
0 1
2 0
òÉÓ. 27⋄3.
U1
óÔÁÎÄÁÒÔÎÁÑ DU-ÏÒÂÉÔÁ O ; .
(2 1)
27.3.2. äÅÊÓÔ×ÉÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ Sm = Aut (J ). îÁ ÌÀÂÏÍ DU-
ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÍÁÓÓÉ×Ï× M ÉÍÅÅÔÓÑ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ j =
(j; j + 1), ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÈ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÇÒÕÕ Sm, ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÀÝÕÀ ÓÔÒÏËÉ
ÍÁÓÓÉ×Á. ïÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ.
ðÕÓÔØ × j -ÔÏÊ É (j +1)-ÏÊ ÓÔÒÏËÁÈ ÏÓÌÅ ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÇÏ ÁÒÏÓÏÞÅÔÁÎÉÑ ÏÂÒÁÚÏ×ÁÌÏÓØ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, sj É sj+1 Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ÛÁÒÏ×.
ðÏÌÏÖÉÍ
(27-10)
j = Djsj −sj = Ujsj −sj :
ðÏÄÒÏÂÎÅÅ ÜÔÕ ÒÏ ÅÄÕÒÕ ÍÏÖÎÏ ÏÉÓÁÔØ ÔÁË. ó×ÅÒÎ£Í ÍÁÓÓÉ× × ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÊ
ÉÌÉÎÄÒ, ÒÉËÌÅÉ× ÒÁ×ÕÀ ÇÒÁÎÉ Õ n-ÔÏÇÏ ÓÔÏÌ Á Ë ÌÅ×ÏÊ ÇÒÁÎÉ Å ÅÒ×ÏÇÏ, É
ÒÏÄÏÌÖÉÍ ÕÓÔÏÊÞÉ×ÏÅ ÁÒÏÓÏÞÅÔÁÎÉÅ Ï ËÒÕÇÕ, Ô. Å. ÎÁÚÎÁÞÉÍ × ÁÒÕ ÓÁÍÏÍÕ
ÒÁ×ÏÍÕ ÎÉÖÎÅÍÕ Ó×ÏÂÏÄÎÏÍÕ ÛÁÒÕ ÓÁÍÙÊ ÌÅ×ÙÊ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ×ÅÒÈÎÉÊ É Ô. Ä.
÷ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ |sj+1 − sj | Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ÛÁÒÏ× É ×ÓÅ ÏÎÉ ÂÕÄÕÔ
ÒÁÓÏÌÁÇÁÔØÓÑ ÉÌÉ ÔÏÌØËÏ × ×ÅÒÈÎÅÊ ÉÌÉ ÔÏÌØËÏ × ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÒÏËÅ | ÔÁÍ ÇÄÅ
ÉÈ ×ÎÁÞÁÌÅ ÂÙÌÏ ÂÏÌØÛÅ. ïÅÒÁ ÉÑ j ÒÏÓÔÏ ÅÒÅÄ×ÉÇÁÅÔ ÉÈ Ï ×ÅÒÔÉËÁÌÉ ×
ÄÒÕÇÕÀ ÓÔÒÏËÕ (ÉÌÉ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÄÅÌÁÅÔ, ÅÓÌÉ sj = sj+1). ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÄÅÊÓÔ×ÉÅ
j ÎÁ ÓÔÒÏÞÎÙÊ ×ÅÓ wJ ÓÏÓÔÏÉÔ × ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ j -ÔÏÊ É (j + 1)-ÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ.
éÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÏÉÓÁÎÉÑ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ j2 = Id, Á ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ j
. ïÞÅ×ÉÄÎÏ ÔÁËÖÅ, ÞÔÏ j ÅÒÅÓÔÁ+1
+1
ËÏÍÍÕÔÉÒÕÅÔ
Ó
ÉËÌÉÞÅÓËÉÍÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ ÓÔÏÌ Ï×
472
§27. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÍÁÓÓÉ×Ï×, ÔÁÂÌÉ
É ÄÉÁÇÒÁÍÍ
ÎÏ×ÏÞÎÁ Ó ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÍÉ ÏÅÒÁ ÉÑÍÉ R, L É ÓÏ ×ÓÅÍÉ k Ó |k − j | ⩾ 2.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ j ÎÅÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉ×Ï ÒÏÄÏÌÖÁÌÏÓØ
ÎÁ ×ÓÀ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÇÒÕÕ Sm ÏÓÔÁ£ÔÓÑ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ
j j +1 j = j +1 j j +1 :
üÔÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÓÄÅÌÁÔØ ÄÌÑ ÔÒ£ÈÓÔÒÏÞÎÏÇÏ ÍÁÓÓÉ×Á. ðÏÌØÚÕÑÓØ ÕÌÏÔÎÅÎÉÑÍÉ
×ÌÅ×Ï L É ÉËÌÉÞÅÓËÉÍÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ ÓÔÏÌ Ï× C ÍÙ ÒÅÄÕ ÉÒÕÅÍ ÌÀÂÏÊ
ÔÒ£ÈÓÔÒÏÞÎÙÊ ÍÁÓÓÉ× × ÏÄÎÏÓÔÏÌ Ï×ÏÍÕ:
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
L-
a b
d e 0
f 0 0
C-
b a
e 0 d
00f
L-
g h 0
k 0 0
f 0 0
C- h g
L-
` 0
k 0
f 0
0k
0f
ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ j ÒÏÓÔÏ ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÔÒÏËÉ, É ÏÔÏÍÕ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ
ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ.
27.4. ðÏÌÉÎÏÍÙ ûÕÒÁ. âÕÄÅÍ ÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ×ÓÅ ÛÁÒÉËÉ j -ÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ
ËÁË ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ xj É ÓÏÏÓÔÁ×ÉÍ ËÁÖÄÏÍÕ ÍÁÓÓÉ×Õ a ÍÏÎÏÍ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÊÓÑ
ÅÒÅÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ×ÓÅÈ ÛÁÒÉËÏ× ÍÁÓÓÉ×Á:
J
J
xa = xw1 (a) xw2 (a) · · · xwmm (a)
2
1
J
(ÏËÁÚÁÔÅÌØ Õ xj ÒÁ×ÅÎ j -ÔÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÅ ÓÔÒÏÞÎÏÇÏ ×ÅÓÁ wJ (A)). óÕÍÍÉÒÕÑ
ÍÏÎÏÍÙ xa Ï ×ÓÅÍ ÍÁÓÓÉ×ÁÍ ÉÚ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ DU-ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M , ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
X
xa ∈ k[x1 ; x2 ; : : : ; xm ℄ ;
sM (x) =
a∈M
ËÏÔÏÒÙÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
DU-ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M . ðÏÓËÏÌØËÕ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÇÒÕÁ Sm ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÅÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ×ÅÓÏ×ÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ, ÏÎÁ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÍÏÎÏÍÙ xa ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ×ÓÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ
ûÕÒÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ.
ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÏÅ DU-ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ ÎÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ ÏÒÂÉÔ, Á ×ÓÑËÁÑ ÏÒÂÉÔÁ ÉÚÏÍÏÒÆÎÁ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÏÒÂÉÔÅ O, ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÏÌÉÎÏÍ ûÕÒÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ (Ó ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍÉ ÅÌÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ)
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ûÕÒÁ s(x), ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÈ
ÂÉÌÏÔÎÙÍ ÍÁÓÓÉ×ÁÍ (ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍ àÎÇÁ) :
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ûÕÒÁ
ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ
sM (x) =
X
∈ æ (M )
()
·s x :
M (27-11)
óÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ × ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÅ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ Ï ×ÓÅÍ ÆÏÒÍÁÍ ÍÁÓÓÉ×Ï× ÉÚ M , É
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ M ÒÁ×ÅÎ ÞÉÓÌÕ DU-ÏÒÂÉÔ, ÉÚÏÍÏÒÆÎÙÈ O, Ô. Å. ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ×ÓÅÈ
ÌÏÔÎÙÈ ×ÎÉÚ ÍÁÓÓÉ×Ï× J -×ÅÓÁ × M .
473
27.4. ðÏÌÉÎÏÍÙ ûÕÒÁ
óÏÇÌÁÓÎÏ n◦ 27.2.2, ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÏÒÂÉÔÙ O ÓÕÔØ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÅ
L-ÌÏÔÎÙÅ ÍÁÓÓÉ×Ù ÆÏÒÍÙ , É ÓÔÏÌ Ï×ÁÑ ÒÁÚ×£ÒÔËÁ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔ ÂÉÅË ÉÀ
ÍÅÖÄÕ ÔÁËÉÍÉ ÍÁÓÓÉ×ÁÍÉ É ÔÁÂÌÉ ÁÍÉ àÎÇÁ ÆÏÒÍÙ × ÁÌÆÁ×ÉÔÅ
{x1 ; x2 ; : : : ; xm } :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÊ ÏÌÉÎÏÍ ûÕÒÁ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
X
X
K; · x =
K; · x1 x2 · · · xmm ;
s (x) =
1
2
(27-12)
ÇÄÅ ∈ Zm⩾0 ÒÏÂÅÇÁÅÔ m-ÍÅÒÎÙÅ ÅÌÏÞÉÓÌÅÎÎÙÅ ×ÅËÔÏÒÙ Ó ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÍÉ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ, Á ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ K; ÒÁ×ÅÎ ÞÉÓÌÕ ÔÁÂÌÉ ÆÏÒÍÙ , ÚÁÏÌÎÅÎÎÙÈ
1 ÅÄÉÎÉ ÁÍÉ, 2 Ä×ÏÊËÁÍÉ É Ô. Ä. íÙ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÁÑ ÔÁÂÌÉ Á ÉÍÅÅÔ
.
îÁÒÉÍÅÒ, ÒÉ m = 3 ÉÚ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÎÁ ÒÉÓ. 27⋄3 ÓÈÅÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ
s(2;1) (x1 ; x2 ; x3 ) = x21 x2 + x21 x3 + x1 x22 + 2 x1 x2 x3 + x1 x23 + x22 x3 + x2 x23 :
þÉÓÌÏ K; ÔÁÂÌÉ ÆÏÒÍÙ É ÓÏÓÔÁ×Á ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
. ïÔÍÅÔÉÍ,
ÞÔÏ K;( ) = d ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÕ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÔÁÂÌÉ ÆÏÒÍÙ , ×ÓÅ K; = 1, É
K; 6= 0 ÔÏÌØËÏ ËÏÇÄÁ ÒÉ ËÁÖÄÏÍ j = 1; 2; 3; : : : ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
1 + 2 + · · · + j ⩾ 1 + 2 + · · · + j ∀ j :
(27-13)
÷ ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁ ÉÉ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ É ÉÛÕÔ
D .
ÓÏÓÔÁ×
ÞÉÓÌÏÍ ëÏÓÔËÉ
1| |
ÄÏÍÉÎÉÒÕÅÔ
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 27.4. ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÄÏÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÚÁÄÁ£Ô ÎÁ ÍÎÏÖÅ-
ÓÔ×Å ÄÉÁÇÒÁÍÍ àÎÇÁ ÚÁÄÁÎÎÏÇÏ ×ÅÓÁ n ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÏÒÑÄÏË, ÏÌÎÙÊ ÒÉ n ⩽ 5,
É ÒÉ×ÅÄÉÔÅ ÒÉÍÅÒ Ä×ÕÈ ÎÅÓÒÁ×ÎÉÍÙÈ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÀ ÄÉÁÇÒÁÍÍ àÎÇÁ ×ÅÓÁ 6.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ûÕÒÁ s(x1; x2 ; : : : ; xm ), ÇÄÅ ÒÏÂÅÇÁÅÔ ×ÓÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ àÎÇÁ ÉÚ ÎÅ ÂÏÌÅÅ, ÞÅÍ m ÓÔÒÏË, ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÂÁÚÉÓÎÙÅ ÍÏÎÏÍÉÁÌØÎÙÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ m ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÏÂÒÁÔÉÍÏÊ
ÎÁÄ Z ÎÉÖÎÅÊ ÕÎÉÔÒÅÕÇÏÌØÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù:
X
s =
(27-14)
K; · m :
E
ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ s ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ Z-ÍÏÄÕÌÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ.
27.4.1. ðÒÉÍÅÒ: ÏÌÎÙÅ É ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ.
íÎÏÇÏÞÌÅÎ ûÕÒÁ s(k)(x), ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÊ DU-ÏÒÂÉÔÅ ÏÄÎÏÓÔÏÌ Ï×ÏÇÏ ÍÁÓÓÉ×Á, Ô. Å.
ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ-ÓÔÒÏËÉ
··
;
= (k; 0; · · · ; 0) = | ·{z
}
k
474
§27. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÍÁÓÓÉ×Ï×, ÔÁÂÌÉ
É ÄÉÁÇÒÁÍÍ
ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ
hk (x) | ÓÕÍÍÕ ×ÓÅÈ
ÍÏÎÏÍÏ× ÏÂÝÅÊ ÓÔÅÅÎÉ k ÏÔ x1 ; x2 ; : : : ; xm , ÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÑ ×ÅÓÁ || = k ÉÍÅÅÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ ÏÄÎÏÓÔÒÏÞÎÁÑ ÔÁÂÌÉ Á, × ËÏÔÏÒÏÊ ×ÓÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ×ÙÓÔÒÏÅÎÙ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏ1. óÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, s(1k ), ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÊ DUÏÒÂÉÔÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ-ÓÔÏÌ Á
ÏÌÎÙÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ



1k = (1; 1; · · · ; 1) = ...  k

ÜÔÏ
ek (x), Ô. Å. ÓÕÍÍÁ ×ÓÅÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ
Ï ËÁÖÄÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÍÏÎÏÍÏ× ÏÂÝÅÊ ÓÔÅÅÎÉ k ÏÔ x1 ; x2 ; : : : ; xm . ðÒÉÞÉÎÁ
ÔÁ ÖÅ, ÔÏÌØËÏ ÔÅÅÒØ ÎÏÍÅÒÁ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ × ÔÁÂÌÉ Å-ÓÔÏÌÂ Å ÄÏÌÖÎÙ ÓÔÒÏÇÏ
×ÏÚÒÁÓÔÁÔØ.
27.4.2. ðÒÉÍÅÒ: ÔÏÖÄÅÓÔ×Á ëÏÛÉ É ûÕÒÁ. ðÒÏÉÎÔÅÒÒÅÔÉÒÕÅÍ ËÁÖÄÙÊ
ÛÁÒÉË × ËÌÅÔËÅ (i; j ) ÍÁÓÓÉ×Á a ËÁË ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÊ ÍÏÎÏÍ xiyj ÏÔ Ä×ÕÈ ÎÁÂÏÒÏ×
ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x = xI = (x1; x2 ; : : : ; xn) É y = yJ = (y1; y2; : : : ; ym). ðÅÒÅÍÎÏÖÁÑ
×ÍÅÓÔÅ ×ÓÅ ÛÁÒÉËÉ ÍÁÓÓÉ×Á a, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ (× ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n◦ 27.4) ÍÏÎÏÍ xat ya.
ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ÂÉÅË ÉÉ ÉÚ ÔÅÏÒ. 27.1 ÓÕÍÍÁ ÔÁËÉÈ ÍÏÎÏÍÏ× Ï ×ÓÅÍ ÍÁÓÓÉ×ÁÍ
a ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÆÏÒÍÙ = æ (a) ÒÁ×ÎÁ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÀ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ûÕÒÁ
s (x) · s (y), É ÚÎÁÞÉÔ ÓÕÍÍÁ ÍÏÎÏÍÏ× xat ya Ï ×ÏÏÂÝÅ ×ÓÅÍ ÍÁÓÓÉ×ÁÍ a ÆÏÒÍÁÔÁ
I × J ÒÁ×ÎÁ ÓÕÍÍÅ ÔÁËÉÈ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ Ï ×ÓÅÍ
ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍ àÎÇÁ .
ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÓÕÍÍÁ ×ÓÅÈ ÍÏÎÏÍÏ× xat ya Ï ×ÓÅÍ ÍÁÓÓÉ×ÁÍ a ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ
ÒÉ ÒÁÓËÒÙÔÉÉ ÓËÏÂÏË × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÈ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÇÒÅÓÓÉÊ
Y
1 + xiyj + (xiyj )2 + (xiyj )3 + · · · ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
i∈ I
j ∈J
(×ÙÂÉÒÁÑ ÉÚ (i; jt )-ÔÏÇÏ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÑ ÓÌÁÇÁÅÍÏÅ (xiyj )a(i;j) ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÍÏÎÏÍ xa ya, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÊ ÍÁÓÓÉ×Õ a). ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÍÙ ÒÉÈÏÄÉÍ Ë
:
X
Y
1
s (x) · s (y) =
(27-15)
1 − xiyj
i;j
åÓÌÉ ×ÚÑÔØ I = J , ÏÇÒÁÎÉÞÉÔØÓÑ ÔÏÌØËÏ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍÉ ÍÁÓÓÉ×ÁÍÉ a = at,
ÏÌÏÖÉÔØ x = y = É ÉÚ×ÌÅÞØ ÉÚ ËÁÖÄÏÇÏ a-ÍÏÎÏÍÁ ËÏÒÅÎØ
p
p
a = at a = xat ya |x=y= ;
ÔÏ, ÓÕÍÍÉÒÕÑ Ï ×ÓÅÍ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍ ÍÁÓÓÉ×ÁÍ a ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÏÒÍÙ , ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ s(), Á ÓÕÍÍÉÒÕÑ Ï ×ÏÏÂÝÅ ×ÓÅÍ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÍ ÍÁÓÓÉ×ÁÍ a | ÓÕÍÍÕ
ÔÏÖÄÅÓÔ×Õ ëÏÛÉ
ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ: DU-ÏÒÂÉÔÁ ÏÄÎÏÓÔÏÌ Ï×ÏÇÏ ÍÁÓÓÉ×Á ×ÅÓÁ k ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÁ ×ÓÅÍÉ ×ÏÚÍÏÖÎÙÍÉ
ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÉÑÍÉ k ÛÁÒÉËÏ× Ï m ÑÝÉËÁÍ
1
475
27.5. ðÒÁ×ÉÌÏ ìÉÔÔÌ×ÕÄÁ { òÉÞÁÒÄÓÏÎÁ
P
s ( ). ÏÔ ÖÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÒÉ ÒÁÓËÒÙÔÉÉ ÓËÏÂÏË × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ
ÒÏÇÒÅÓÓÉÊ
Y
Y
1 + k + (k )2 + (k )3 + · · · · 1 + ij + (ij )2 + (ij )3 + · · · :
i<j
k
íÙ ÏÌÕÞÁÅÍ
ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï ûÕÒÁ
X
:
s ( ) =
Y
1
Y
1
(27-16)
:
1
−
1
−
i
i
j
i
i<j
·
27.5. ðÒÁ×ÉÌÏ ìÉÔÔÌ×ÕÄÁ { òÉÞÁÒÄÓÏÎÁ.
ðÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÏÌÉÎÏÍÏ× ûÕÒÁ
sM (x) · sN (x)
DU-ÍÎÏÖÅÓÔ× M É N Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÉÎÏÍÏÍ ûÕÒÁ ÄÌÑ DU-ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, ÓÏÓÔÏÑÝÅÇÏ
ÉÚ ×ÓÅ×ÏÚÍÏÖÎÙÈ ÍÁÓÓÉ×Ï× ×ÉÄÁ ab ÒÁÚÍÅÒÁ (2n) × m, ÏÌÕÞÁÀÝÉÈÓÑ ÒÉÉÓÙ×ÁÎÉÅÍ ËÁËÏÇÏ-ÎÉÂÕÄØ ÍÁÓÓÉ×Á b ∈ N ÓÒÁ×Á Ë ËÁËÏÍÕ-ÎÉÂÕÄØ ÍÁÓÓÉ×Õ1 a ∈ M .
íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÁËÉÈ ÍÁÓÓÉ×Ï× ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÂÏÚÎÁÞÉÔØ ÞÅÒÅÚ M ⊗ N É ÎÁÚÙ×ÁÔØ
DU-ÍÎÏÖÅÓÔ× M É N . éÔÁË,
ÔÅÎÚÏÒÎÙÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ
sM (x) · sN (x) =
X
a∈M
X
xa ·
b∈ N
xb
=
X
a∈M
b∈N
xab =
X
∈M ⊗ N
x :
òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ss ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ ÏÌÉÎÏÍÏ× ûÕÒÁ Ï ÂÁÚÉÓÕ s ÄÁ£Ô
ÅÏÒÅÍÁ 27.2 (ÒÁ×ÉÌÏ ÌÉÔÔÌ×ÕÄÁ { ÒÉÞÁÒÄÓÏÎÁ)
P s · s
· s
=
, ÇÄÅ ÓÕÍÍÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ Ï ×ÓÅÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍÁÍ , ÏÌÕÞÁÀÝÉÍÓÑ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ || ËÌÅÔÏË Ë ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ , Á ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔ ÒÁ×ÅÎ
ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÚÁÏÌÎÅÎÉÊ ÜÔÉÈ ÄÏÉÓÁÎÎÙÈ ËÌÅÔÏË 1 ÅÄÉÎÉ ÁÍÉ, 2 Ä×ÏÊËÁÍÉ, 3
ÔÒÏÊËÁÍÉ É Ô. Ä., ÔÁË ÞÔÏ ×ÄÏÌØ ÓÔÒÏË €ËÏÓÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍف r ÞÉÓÌÁ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ ÎÅÓÔÒÏÇÏ, Á ×ÄÏÌØ ÓÔÏÌ Ï× | ÓÔÒÏÇÏ (ËÁË × ÔÁÂÌÉ Å àÎÇÁ), É ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ
ÓÌÏ×Ï, ÏÌÕÞÁÀÝÅÅÓÑ ÒÉ ÒÏÞÔÅÎÉÉ ÜÔÏÊ €ËÏÓÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍف ÓÔÒÏËÕ ÚÁ ÓÔÒÏËÏÊ
ÓÒÁ×Á ÎÁÌÅ×Ï Ó×ÅÒÈÕ ×ÎÉÚ, ÓÏÄÅÒÖÉÔ × ËÁÖÄÏÍ Ó×Ï£Í ÎÁÞÁÌØÎÏÍ ËÕÓËÅ ÅÄÉÎÉ
ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ Ä×ÏÅË, Ä×ÏÅË ÎÅ ÍÅÎØÛÅ, ÞÅÍ ÔÒÏÅË É Ô. Ä. (ËÁË × n◦ 27.2.3).
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. íÙ ÄÏÌÖÎÙ ÏÄÓÞÉÔÁÔØ × DU-ÍÎÏÖÅÓÔ×Å O ⊗ O ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï
DU-ÏÒÂÉÔ, ËÏÔÏÒÙÅ ÕÌÏÔÎÑÀÔÓÑ ×ÌÅ×Ï ÄÏ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÏÒÂÉÔÙ O . ðÕÓÔØ ÍÁÓÓÉ× ab ÌÅÖÉÔ × ÔÁËÏÊ ÏÒÂÉÔÅ. ðÏÓËÏÌØËÕ ÍÁÓÓÉ×Ù a, b ÏÌÕÞÅÎÙ ÉÚ ÂÉÌÏÔÎÙÈ
ÍÁÓÓÉ×Ï× , ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÍÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁÍÉ, ÏÂÁ ÏÎÉ ÌÏÔÎÙ ×ÌÅ×Ï É ÉÍÅÀÔ I ×ÅÓÁ É ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÅ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÊ ÕÌÏÔÎÑÀÝÅÊ
ÒÉ ÜÔÏÍ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÊ J -ÁÌÆÁ×ÉÔ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ, Á ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÊ I -ÁÌÆÁ×ÉÔ ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ
ÄÉÚßÀÎËÔÎÙÍ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅÍ I -ÁÌÆÁ×ÉÔÏ× ÍÁÓÓÉ×Ï× a É b
1
476
§27. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÍÁÓÓÉ×Ï×, ÔÁÂÌÉ
É ÄÉÁÇÒÁÍÍ
ÏÅÒÁ ÉÉ Dj ÎÁ €ÔÏÌÓÔÙʁ ÍÁÓÓÉ× ab ÓÏÓÔÏÉÔ ÌÉÂÏ × Å£ ÄÅÊÓÔ×ÉÉ ÏÔÄÅÌØÎÏ ÎÁ1
b , ÌÉÂÏ × Å£ ÄÅÊÓÔ×ÉÉ ÏÔÄÅÌØÎÏ ÎÁ2 a. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÉ ÕÌÏÔÎÅÎÉÉ ×ÎÉÚ €ÔÏÌÓÔÏÇρ ÍÁÓÓÉ×Á ab ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÍÁÓÓÉ× ×ÉÄÁ a′b′, × ËÏÔÏÒÏÍ a′ ÌÏÔÅÎ ×ÎÉÚ, É ÏÂÁ
ÍÁÓÓÉ×Á a′, b′ Ï ÒÅÖÎÅÍÕ ÌÏÔÎÙ ×ÌÅ×Ï É ÉÍÅÀÔ I -×ÅÓÁ , . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
a′ ÂÉÌÏÔÅÎ ÆÏÒÍÙ . åÓÌÉ ÆÏÒÍÁ ÍÁÓÓÉ×Á a′ b′ = b′ ÒÁ×ÎÁ , ÔÏ ÓÔÒÏËÉ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÊ ÒÁÚ×£ÒÔËÉ ÍÁÓÓÉ×Á b′ | ÜÔÏ ×ÙÒÏ×ÎÅÎÎÙÅ Ï ÌÅ×ÏÍÕ ËÒÁÀ ÓÔÒÏËÉ
€ËÏÓÏÊ ÔÁÂÌÉ Ù r , ÚÁÏÌÎÅÎÎÙÅ ÉÍÅÎÎÏ ÔÁË, ËÁË ÔÒÅÂÕÅÔ ÒÁ×ÉÌÏ ìÉÔÔÌ×ÕÄÁ { òÉÞÁÒÄÓÏÎÁ: ÅÒ×ÏÅ, €ÔÁÂÌÉÞÎÏŁ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ×ÙÒÁÖÁÅÔ ÌÏÔÎÏÓÔØ ×ÎÉÚ
€ÔÏÌÓÔÏÇρ ÍÁÓÓÉ×Á ab, Á ×ÔÏÒÏÅ, €ÓÌÏ×ÅÓÔÎÏŁ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅ ×ÙÒÁÖÁÅÔ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ
n◦ 27.2.3, ÌÏÔÎÏÓÔØ ×ÌÅ×Ï ÍÁÓÓÉ×Á b′.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 27.5. ðÏÌØÚÕÑÓØ ÒÁ×ÉÌÏÍ ìÉÔÔÌ×ÕÄÁ { òÉÞÁÒÄÓÏÎÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ × 3
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ s(1) · s(1;1) É s22;1 . ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÕÂÅÄÉÔÅÓØ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ, ÞÔÏ ×
ÅÒ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ €ÞÅÓÔÎÏŁ É €ÈÁÌÑ×ÎÏÅ3 ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÒÉ×ÏÄÑÔ Ë ÏÄÎÏÍÕ É ÔÏÍÕ
ÖÅ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÕ.
õÒÁÖÎÅÎÉÅ 27.6 (ÆÏÒÍÕÌÙ ðØÅÒÉ). ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÉÚ ÒÁ×ÉÌÁ ìÉÔÔÌ×ÕÄÁ-òÉÞÁÒÄÓÏÎÁ ÆÏÒÍÕÌÙ ðØÅÒÉ ÄÌÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÏÌÉÎÏÍÏ× ûÕÒÁ ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ É ÏÌÎÙÅ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ:
s · ek = s · s(1k ) =
s · hk = s · s(k) =
X
X
s
(27-17)
s
(27-18)
ÇÄÅ É ÒÏÂÅÇÁÀÔ ×ÓÅ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÏÖÎÏ ÏÌÕÞÉÔØ ÒÉÉÓÙ×ÁÎÉÅÍ
k ÎÏ×ÙÈ ËÌÅÔÏË Ë ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ÎÉËÁËÉÅ Ä×Å ÎÏ×ÙÅ ËÌÅÔËÉ ÎÅ ÏÁÌÉ
× ÏÄÎÕ ÓÔÒÏËÕ É × ÏÄÉÎ ÓÔÏÌÂÅ .
27.5.1. ÏÖÄÅÓÔ×Ï ñËÏÂÉ { ÒÕÄÉ. éÚ ÆÏÒÍÕÌÙ ðØÅÒÉ (27-18) É ÆÏÒÍÕÌÙ
ðØÅÒÉ ÉÚ ÓÌ. 26.6 ÎÁ ÓÔÒ. 456 ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÅÔÅÒÍÉÎÁÎÔÎÙÅ ÏÌÉÎÏÍÙ ûÕÒÁ
Æ+ ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÁÒÁÇÒÁÆÁ É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÙÅ ÏÌÉÎÏÍÙ ûÕÒÁ s ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÈ DU-ÏÒÂÉÔ | ÜÔÏ ÏÄÎÉ É ÔÅ ÖÅ ÏÌÉÎÏÍÙ.
÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÆÏÒÍÕÌÙ ðØÅÒÉ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ ×ÓÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ûÕÒÁ ÞÅÒÅÚ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ hk . îÁÒÉÍÅÒ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ (27-18)
s(2;2;1) = s(2;2) h1 − s(3;2)
s(3;2) = s(3) h2 − s(5) − s(4;1) = h3 h2 − h5 − s(4;1)
s(2;2) = s(2) h2 − s(3;1) − s(4) = h22 − h4 − s(3;1)
s(4;1) = s(4) h1 − s(5) = h4 h1 − h5
s(3;1) = s(3) h1 − s(4) = h3 h1 − h4
ÅÓÌÉ ÓÁÍÙÊ ÒÁ×ÙÊ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÛÁÒ ÒÉ ÁÒÏÓÏÞÅÔÁÎÉÉ ×ÎÕÔÒÉ €ÔÏÌÓÔÏÇρ ÍÁÓÓÉ×Á ab
ÌÅÖÉÔ × b, ÔÏ ÏÎ ÏÄÁ×ÎÏ ÂÕÄÅÔ ÓÁÍÙÍ ÒÁ×ÙÍ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ ÛÁÒÏÍ É ÄÌÑ ÁÒÏÓÏÞÅÔÁÎÉÑ, ÕÓÔÁÎÏ×ÌÅÎÎÏÇÏ ÏÔÄÅÌØÎÏ ×ÎÕÔÒÉ b
ÅÓÌÉ × b ÎÅÔ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ÛÁÒÏ× ÒÉ ÁÒÏÓÏÞÅÔÁÎÉÉ ×ÎÕÔÒÉ €ÔÏÌÓÔÏÇρ ÍÁÓÓÉ×Á ab
Ô. Å. ÒÉÍÅÎÑÀÝÅÅ ÒÁ×ÉÌÏ ÔÅÏÒ. 27.2 ÎÅ Ë s · s ; , Á Ë s ; · s , ÞÔÏ ÎÅ ×Ó£ ÒÁ×ÎÏ
1
2
3
(1)
(1 1)
(1 1)
(1)
477
27.5. ðÒÁ×ÉÌÏ ìÉÔÔÌ×ÕÄÁ { òÉÞÁÒÄÓÏÎÁ
ÏÔËÕÄÁ1 s(2;2;1) = −h3h2 + h4h1 + h1(h22 − h1h3) . ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÏÓÔÁ×ÌÑÑ × ÒÁ×ÏÊ
ÞÁÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌÙ (27-18) ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ Ó ÓÁÍÏÊ ÄÌÉÎÎÏÊ ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÒÏËÏÊ ÓÒÅÄÉ ×ÓÅÈ
ÄÉÁÇÒÁÍÍ Ó ÎÁÉÂÏÌØÛÉÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ ÓÔÒÏË, ÍÙ ×ÙÒÁÖÁÅÍ Å£ ÞÅÒÅÚ hk (ÇÄÅ k
ÒÁ×ÎÏ ÄÌÉÎÅ ÜÔÏÊ ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÒÏËÉ) É ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ, ÉÍÅÀÝÉÅ ÔÏ ÖÅ ÞÉÓÌÏ ÓÔÒÏË,
ÎÏ ÂÏÌÅÅ ËÏÒÏÔËÕÀ ÎÉÖÎÀÀ ÓÔÒÏÞËÕ, ÉÌÉ ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÅÅ ÞÉÓÌÏ ÓÔÒÏË. äÁÌÅÅ
ÉÓÏÌØÚÕÅÍ ÕÂÙ×ÁÀÝÕÀ ÉÎÄÕË ÉÀ Ï ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÓÔÒÏË ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ àÎÇÁ É
ÄÌÉΊţ ÎÉÖÎÅÊ ÓÔÒÏËÉ.
óÏ×ÁÄÅÎÉÅ ÄÅÔÅÒÍÉÎÁÎÔÎÏÇÏ É ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÇÏ ÏÉÓÁÎÉÑ ÏÌÉÎÏÍÏ× ûÕÒÁ
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
.
27.5.2. ÷ÙÒÁÖÅÎÉÅ e É h ÞÅÒÅÚ s . îÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ àÎÇÁ ÍÙ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ ÞÅÒÅÚ mi ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÓÔÒÏË ÄÌÉÎÙ i × ÜÔÏÊ ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ É
ÏÌÁÇÁÅÍ
m
mn
(27-19)
e = e e · · · e r = em
1 e2 · · · en
m
m
m
(27-20)
h = h h · · · h r = h 1 h 2 · · · h n n :
íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ (27-19) É (27-20) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ,
É
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ. ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÒÉ k ∈ N
ek (x) = s(1k ) (x1 ; x2 ; : : : ; xm ) É hk (x) = s(k) (x1 ; x2 ; : : : ; xm ) :
ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ h = s( )s( ) · · · s(r ) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÏÌÉÎÏÍ
ûÕÒÁ DU-ÍÎÏÖÅÓÔ×Á O( ) ⊗ O( ) ⊗ · · · ⊗ O(r ) . ïÒÂÉÔÙ ÆÏÒÍÙ × ÜÔÏÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÂÉÅËÔÉ×ÎÏ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ Ó×ÏÉÍ ÎÉÖÎÉÍ ËÏÎ ÁÍ, ËÏÔÏÒÙÅ × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ,
×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÉÓÙ×ÁÀÔÓÑ ÔÁÂÌÉ ÁÍÉ ÆÏÒÍÙ É ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÑ . ÅÍ ÓÁÍÙÍ,
X
K; · s :
(27-21)
h =
ÔÏÖÄÅÓÔ×ÏÍ ñËÏÂÉ { ÒÕÄÉ
1
1
2
2
1
2
1
2
ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ
ÏÌÎÙÍÉ
1
2
2
1
ðÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ e = s(1 )s(1 ) · · · s(1r ) ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ûÕÒÁ DU-ÍÎÏÖÅÓÔ×Á O(1 ) ⊗ O(1 ) ⊗· · · ⊗ O(1r ) , ËÁÖÄÙÊ ÍÁÓÓÉ× × ËÏÔÏÒÏÍ
ÉÍÅÅÔ || ÓÔÏÌ Ï×, ÒÁÚÂÉÔÙÈ ÎÁ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÅ ÏÄÍÁÓÓÉ×Ù a1a2 : : : ar ÛÉÒÉÎÙ
1 ; 2 ; : : : ; r , ÒÉÞ£Í × ËÁÖÄÏÍ ÓÔÏÌ ŠÎÁÈÏÄÉÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÉÎ ÛÁÒ, É j -ÎÏÍÅÒÁ
ÜÔÉÈ ÛÁÒÏ× ÓÔÒÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ ×ÎÕÔÒÉ ËÁÖÄÏÇÏ ×ÅÒÔÉËÁÌØÎÏÇÏ ÏÄÍÁÓÓÉ×Á ai.
ðÒÉ ÕÌÏÔÎÅÎÉÉ ×ÎÉÚ ÏÓÌÅÄÎÅÅ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÓÏÈÒÁÎÉÔÓÑ, É × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÔÁËÏÇÏ
ÕÌÏÔÎÅÎÉÑ ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÍÁÓÓÉ× a′1a′2 : : : a′r × ËÏÔÏÒÏÍ ÛÁÒÙ ËÁÖÄÏÇÏ ÏÄÍÁÓÓÉ×Á a′i ÒÁÓÏÌÁÇÁÀÔÓÑ × ÒÁÚÎÙÈ ÓÔÒÏËÁÈ, ÎÏÍÅÒÁ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÔÒÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÀÔ
ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ËÁÖÄÙÊ ÏÄÍÁÓÓÉ× a′i ×ÎÅÓ£Ô ÎÅ ÂÏÌÅÅ ÏÄÎÏÇÏ ÛÁÒÁ
× ËÁÖÄÕÀ ËÏÍÏÎÅÎÔÕ J -×ÅÓÁ. åÓÌÉ ÓÕÍÍÁÒÎÙÊ J -×ÅÓ ÒÉ ÜÔÏÍ ÏÌÕÞÉÔÓÑ , ÔÏ
ÚÁÉÓÙ×ÁÑ × ËÁÖÄÕÀ ÓÔÒÏËÕ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÎÏÍÅÒÁ i ÔÅÈ ÏÄÍÁÓÓÉ×Ï× a′i, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÁÀÔ ×ËÌÁÄ × ÜÔÕ ËÏÍÏÎÅÎÔÕ J -×ÅÓÁ, ÍÙ ÏÌÕÞÉÍ ÔÁÂÌÉ Õ
2 Ë ÆÏÒÍÅ : × ÓÉÌÕ ×ÙÛÅÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ
ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÑ É ÆÏÒÍÙ t,
2
1
1
2
ÓÏÒÑÖ£ÎÎÏÊ
1
2
ÞÉÔÁÔÅÌÀ ÒÅËÏÍÅÎÄÕÅÔÓÑ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÜÔÏÔ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ Ï ÆÏÒÍÕÌÅ äÖÁÍÂÅÌÌÉ (26-25)
ÉÌÉ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ , Ô. Å. ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ ÏÔÒÁÖ£ÎÎÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ
478
§27. éÓÞÉÓÌÅÎÉÅ ÍÁÓÓÉ×Ï×, ÔÁÂÌÉ
É ÄÉÁÇÒÁÍÍ
ÎÏÍÅÒÁ ÂÕÄÕÔ ÓÔÒÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÔØ Ï ÓÔÒÏËÁÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ , Á ÏÓËÏÌØËÕ ÍÁÓÓÉ×
ÌÏÔÅÎ ×ÎÉÚ, ÏÎÉ ÔÁËÖÅ ÄÏÌÖÎÙ ÎÅ ÓÔÒÏÇÏ ×ÏÚÒÁÓÔÁÔØ Ï ÓÔÏÌ ÁÍ; ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, Ï ÏÓÔÒÏÅÎÉÀ, ËÁÖÄÙÊ ÎÏÍÅÒ i ÂÕÄÅÔ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎ ÒÏ×ÎÏ × i ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ
ÓÔÒÏÞËÁÈ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
X
e =
K t; · s :
(27-22)
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 27.2
éÎ×ÏÌÀ ÉÑ ! ÉÚ ÒÅÄÌ. 26.3, ÅÒÅ×ÏÄÑÝÁÑ ek É hk ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ, ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÏÌÉÎÏÍÙ ûÕÒÁ Ï ÒÁ×ÉÌÕ !(s) = st , Ô. Å. ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ÄÒÕÇ × ÄÒÕÇÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ,
ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÅ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÙÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍ àÎÇÁ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ÁË ËÁË ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ s ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ Z-ÍÏÄÕÌÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ, ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ s 7→ st ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÚÁÄÁ£Ô ÎÁ ÍÏÄÕÌÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ Z-ÌÉÎÅÊÎÕÀ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÀ. éÚ ÆÏÒÍÕÌ (27-21) É (27-22) ÓÌÅÄÕÅÔ,
ÞÔÏ ÜÔÁ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÑ ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ek × hk É ÎÁÏÂÏÒÏÔ, Ô. Å. ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ! .
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 27.3 (×ÔÏÒÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ äÖÁÍÂÅÌÌÉ)
st = det

 e 1

 e 2 − 1



...
en −n+1
e +1
e
1
...
...
2
...
...
...

e +n−1 
... 

1
1
e n − 1

en− +1 

e n
(27-23)
(Ï ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ÓÔÏÑÔ e ; e ; : : : ; en , É ÒÉ Ä×ÉÖÅÎÉÉ ×ÄÏÌØ ÓÔÒÏË ÓÌÅ×Á
ÎÁÒÁ×Ï ÉÎÄÅËÓÙ Õ e Ó ËÁÖÄÙÍ ÛÁÇÏÍ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÀÔÓÑ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ).
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. ðÒÉÍÅÎÑÅÍ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÀ ! Ë ÆÏÒÍÕÌÅ äÖÁÍÂÅÌÌÉ (26-25). 27.6. óËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÷×ÅÄ£Í ÎÁ Z-ÍÏÄÕÌÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎËÉÊ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ h∗; ∗i, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÂÁÚÉÓ ÉÚ ÏÌÉÎÏÍÏ× ûÕÒÁ s
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÍ. éÚ ÆÏÒÍÕÌ (27-21) É (27-14)
1
h =
X
D
2
K; · s ; s =
X
D
K; · m
×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ hh; si = K; = hm∗; si, ÇÄÅ m∗ | ÂÁÚÉÓ, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ Ë m.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, m∗ = h, Ô. Å. ÂÁÚÉÓÙ h É m Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ:
hh ; m i = Æ :
(27-24)
éÚ ÓÌ. 27.2 ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÉÎ×ÏÌÀ ÉÑ ! Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÍ ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ.
479
úÁÄÁÞÉ Ë §27
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 27.2
íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ îØÀÔÏÎÁ p ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Q ⊗ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË ÉÊ Ó ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÙÍÉ
ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ É ÉÍÅÀÔ ÓËÁÌÑÒÎÙÅ Ë×ÁÄÒÁÔÙ hp; pi = z, ÇÄÅ1 z = Q (mk ! · kmk ).
k
÷ÙÒÁÚÉÍ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÒÏÇÒÅÓÓÉÊ × ÒÁ×ÏÊ
ÞÁÓÔÉ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á ëÏÛÉ (27-15) ÞÅÒÅÚ ÆÕÎË ÉÉ îØÀÔÏÎÁ ÏÔ ÎÁÂÏÒÏ× ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ
x É y:
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï.
X
s (x)s (y) =
= exp
i;j
1
1−x y =
i j
!
Y
j
H ( yj ) =
Y
j
exp
()
=
! 0
1 p (x)yk = exp X pk (x)pk (y) = Y exp pk (x)pk (y) =
k k j
k
k
k
k
k
YX 1
X 1
`
=
p (x)p (y)
(
p
(
x
)
p
(
y
))
=
k
k
`
`
!
·
k
z
k `⩾0
XX
j
Y
 yj

Z
 P t dt
(ÅÒÅÈÏÄ × ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Å ÔÏÔ ÖÅ, ÞÔÏ É × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á 26-21
ÎÁ ÓÔÒ. 452). åÓÌÉ ÏÂÏÚÎÁÞÉÔØ ÞÅÒÅÚ C = hs; pi ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÊ
îØÀÔÏÎÏ×ÓËÉÈ ÏÌÉÎÏÍÏ× Ï ÂÁÚÉÓÕ ÉÚ ÏÌÉÎÏÍÏ× ûÕÒÁ, ÔÁË ÞÔÏ p = P Cs,
ÔÏ ÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÜÔÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ × ÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ×ÙÛÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
É
ÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÒÉ s(x)s (y) × ÌÅ×ÏÊ É ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ, ÏÌÕÞÁÅÍ
ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ
(
X
z ÒÉ = C C = 0 ÒÉ 6= Ô. Å. ÍÁÔÒÉ Á çÒÁÍÁ (hp; pi) = C t ·C ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÁ Ó ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ
z .
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ Ë §27
úÁÄÁÞÁ 27.1. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ÌÏÔÎÙÊ ×ÎÉÚ ÍÁÓÓÉ× ÓÏ ÓÔÒÏÞÎÏÊ ÒÁÚ×£ÒÔËÏÊ
1 4 6
2 5 7
3 8 9
1
ÓÒ. Ó ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ (26-19) ÎÁ ÓÔÒ. 452
480
úÁÄÁÞÉ Ë §27
É ÌÏÔÎÙÊ ×ÌÅ×Ï ÍÁÓÓÉ× ÓÏ ÓÔÏÌ Ï×ÏÊ ÒÁÚ×£ÒÔËÏÊ1
1 2 3
4 5 8:
6 7 9
ëÁËÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÅ ÉÚ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÙ S9 ÏÔ×ÅÞÁÅÔ Ï ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ÂÉÅË ÉÉ ÜÔÁ ÁÒÁ ÍÁÓÓÉ×Ï×?
úÁÄÁÞÁ 27.2. ëÁËÉÍ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍ g ∈ S9 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ Ï ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ÂÉÅË ÉÉ
ÁÒÁ ÔÁÂÌÉ 2
1236789 1456789
1356 1357
É2
Â) 2 4 9 É 2 4 8
5
3
78
69
Á) 4
úÁÄÁÞÁ 27.3. ÷ÙÉÛÉÔÅ Ñ×ÎÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ûÕÒÁ
Á) s2;1 (x1 ; x2 ; x3 )
Â) s3;1 (x1 ; x2 ; x3 )
×) s2;1;1 (x1 ; x2 ; x3 )
úÁÄÁÞÁ 27.4. éÚ ÓËÏÌØËÉÈ ÍÏÎÏÍÏ× ÓÏÓÔÏÉÔ s(2;1;1) (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) ?
 6
x1
x31
úÁÄÁÞÁ 27.5. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ det 
x1

x62 x63 x64
x32 x33 x34 

x2 x3 x4  ÞÅÒÅÚ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ
1 Y
1 1 1
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ É ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ (xi − xj ) .
i<j
úÁÄÁÞÁ 27.6 (ÄÏÍÉÎÉÒÏ×ÁÎÉÅ). äÌÑ Ä×ÕÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ àÎÇÁ É ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÇÏ ×ÅÓÁ
|| = || = n ÍÙ ÉÛÅÍ D , ÅÓÌÉ 1 + 2 + · · · + j ⩾ 1 + 2 + · · · + j
∀j . ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ⊲ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÂÏÌØÛÉÈ , ÔÏ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÅÒÅÎÏÓÏÍ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÏÊ ËÌÅÔËÉ × ÀÇÏ-ÚÁÁÄÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÎÁ
ÂÌÉÖÁÊÛÅÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏÅ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, É × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ t ⊲ t . ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÏÔÓÀÄÁ,
ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ D ⇐⇒ t E t .
úÁÄÁÞÁ 27.7. òÁÚÒÅÖÅÍ ÄÉÁÇÒÁÍÍÕ × ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ç-ÏÂÒÁÚÎÙÈ ÄÉÁÇÒÁÍÍ
1; 2; : : : ; k
ÕÇÌÁÍÉ ÎÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ, ËÁË, ÎÁÒÉÍÅÒ
=
⊔
⊔
:
ÎÁÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÓÔÏÌ Ï×ÁÑ ÒÁÚ×£ÒÔËÁ ÍÁÓÓÉ×Á a | ÜÔÏ ÓÔÒÏÞÎÁÑ ÒÁÚ×£ÒÔËÁ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ ÍÁÓÓÉ×Á at
ÅÒ×ÁÑ ÔÁÂÌÉ Á ÅÓÔØ ÓÔÒÏÞÎÁÑ ÒÁÚ×£ÒÔËÁ ÕÌÏÔÎÅÎÉÑ ×ÎÉÚ, ×ÔÏÒÁÑ | ÓÔÏÌ Ï×ÁÑ ÒÁÚ×£ÒÔËÁ ÕÌÏÔÎÅÎÉÑ ×ÌÅ×Ï, Á ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ ÚÁÄÁ£Ô ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÉÚ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÙÈ ÎÏÍÅÒÏ× ×
×ÅÒÔÉËÁÌØÎÙÅ
1
2
481
úÁÄÁÞÉ Ë §27
÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ k | ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ ËÌÅÔÏË ÎÁ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ É
: : ; 1}) :
i = (i − i + 1; |1; :{z
t
i − i
ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ s ×ÈÏÄÉÔ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ s 1 s 2 · · · s k Ï ÂÁÚÉÓÕ
ûÕÒÁ Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÏÍ 1.
úÁÄÁÞÁ 27.8* (ÉÎ×ÏÌÀ ÉÑ ûÀÔ ÅÎÂÅÒÖÅ). ðÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ
ÔÒÉÑ
ÅÎÔÒÁÌØÎÁÑ ÓÉÍÍÅ-
a 7→ a∗ : a∗ (i; j ) = a(n + 1 − i; m + 1 − j )
ÍÁÓÓÉ×Á ÒÁÚÍÅÒÁ n × m ÎÅ ÍÅÎÑÅÔ ÅÇÏ ÆÏÒÍÕ: æ (a) = æ (a∗ ) .
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍ
ïÔ×ÅÔ: 2n .
ÕÒ. 1.2. ïÔ×ÅÔ ÎÁ ×ÔÏÒÏÊ ×ÏÒÏÓ: ÎÅÔ. òÅÛÅÎÉÅ: ÕÓÔØ X = {1; 2}, Y = {2}; ÔÏÇÄÁ ×ÓÅ
×ÏÚÍÏÖÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ É ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÊ ÍÅÖÄÕ ÎÉÍÉ ÓÕÔØ
ÕÒ. 1.1.
X ∩Y =Y ∩X =Y ∩Y =Y ∪X =Y
X ∪Y =Y ∪X =X ∩X =X ∪X =X
É ÌÀÂÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÁÑ ÉÚ X , Y , ∩ É ∪, ÄÁÓÔ ÎÁ ×ÙÈÏÄÅ ÌÉÂÏ X = {1; 2}, ÌÉÂÏ
Y = {2}, ÔÏÇÄÁ ËÁË X r Y = {1}.
ÕÒ. 1.3. ÷ ÅÒ×ÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÉÍÅÅÔÓÑ 6 ÎÁÌÏÖÅÎÉÊ É ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ×ÌÏÖÅÎÉÑ, ×Ï ×ÔÏÒÏÍ | 6
×ÌÏÖÅÎÉÊ É ÎÉ ÏÄÎÏÇÏ ÎÁÌÏÖÅÎÉÑ.
- X , ËÏÔÏÒÏÅ ÉÎßÅËÕÒ. 1.5. åÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ËÏÎÅÞÎÏ, ×ÓÑËÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ X
ÔÉ×ÎÏ ÉÌÉ ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÏ, Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏ. åÓÌÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï X ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ, ÔÏ
ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÉÚÏÍÏÒÆÎÏÅ N, Á Õ N ÅÓÔØ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙÅ ÎÅÂÉÅËÔÉ×ÎÙÅ
ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÙ (ÎÁÒÉÍÅÒ, n 7→ (n+1)) É ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÙÅ ÎÅÂÉÅËÔÉ×ÎÙÅ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÙ
(ÎÁÒÉÍÅÒ, 1 7→ 1 É n 7→ (n − 1) ÒÉ n ⩾ 2), É ÉÈ ÍÏÖÎÏ ÒÏÄÏÌÖÉÔØ ÄÏ ÜÎÄÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×
X - X ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÎÁ X r N .
ÕÒ. 1.6. ïÔ×ÅÔ: ÎÅÔ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÊÔÅÓØ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅÍ ëÁÎÔÏÒÁ: ÒÅÄÏÌÏÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÅ
ÂÉÅË ÉÉ N - N ÍÏÖÎÏ ÚÁÎÕÍÅÒÏ×ÁÔØ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ, É, ÏÌØÚÕÑÓØ ÜÔÉÍ
ÓÉÓËÏÍ, ÏÓÔÒÏÊÔÅ ÂÉÅË ÉÀ, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÉ ËÁÖÄÏÍ k = 1; 2; 3; : : : ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔ ÞÉÓÌÏ
k ∈ N ÎÅ ÔÕÄÁ, ËÕÄÁ ÅÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÁÅÔ k-ÔÁÑ ÂÉÅË ÉÑ ÉÚ ÓÉÓËÁ.
n+k−1
n+k−1 = (n+k−1)! . õËÁÚÁÎÉÅ: ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ ÓÔÏÌØËÏ ÖÅ, ÓËÏÌØÕÒ. 1.7. ïÔ×ÅÔ: k−1 =
n
n!(k−1)!
ËÏ ÉÍÅÅÔÓÑ
ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÙÈ
ÎÁÂÏÒÏ×
ÎÅÏÔÒÉ
ÁÔÅÌØÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ (m1 ; m2 ; : : : ; mk ) Ó
P
ÓÕÍÍÏÊ mi = n. ÁËÏÊ ÎÁÂÏÒ ÍÏÖÎÏ ÚÁËÏÄÉÒÏ×ÁÔØ ÓÌÏ×ÏÍ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÍ ÉÚ (k − 1)
ÂÕË× 0 É n ÂÕË× 1 : ÓÎÁÞÁÌÁ ÉÛÅÍ m1 ÅÄÉÎÉ , ÏÔÏÍ ÎÕÌØ, ÏÔÏÍ m2 ÅÄÉÎÉ , ÏÔÏÍ
ÎÕÌØ, É Ô. Ä. (ÓÌÏ×Ï ËÏÎÞÉÔÓÑ mk ÅÄÉÎÉ ÁÍÉ, ÓÔÏÑÝÉÍÉ ÓÌÅÄÏÍ ÚÁ ÏÓÌÅÄÎÉÍ, (k − 1)Í ÎÕÌ£Í) .
ÕÒ. 1.8. ðÕÓÔØ [x′ ℄n = [x℄n É [y ′ ℄n = [y ℄n , Ô. Å. x′ = x + nk , y ′ = y + n` Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ
k; "ll ∈ Z . ÏÇÄÁ x′ + y′ = x + y + n(k + `) É x′ y′ = xy + n(`x + ky + k`n) ÓÒÁ×ÎÉÍÙ Ï
ÍÏÄÕÌÀ n Ó x + y É xy ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, Ô. Å. [x′ + y′ ℄n = [x + y℄n É [x′ y′ ℄n = [xy℄n .
ÕÒ. 1.9. òÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔØ É ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ ÏÞÅ×ÉÄÎÙ. ÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ: ÅÓÌÉ (p; q ) ∼
(r; s) É (r; s) ∼ (u; w), Ô. Å. ps − rq = 0 = us − rw, ÔÏ psw − rqw = 0 = usq − rwq , ÏÔËÕÄÁ
s(pw − uq) = 0, É pw = uq , Ô. Å. (p; q) ∼ (u; w).
ÕÒ. 1.11. åÓÌÉ ÒÑÍÙÅ `1 É `2 ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ × ÔÏÞËÅ O ÏÄ ÕÇÌÏÍ 0 <
⩽ =2, ÔÏ
ÏÔÒÁÖÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ `1 , Á ÏÔÏÍ ÏÔÒÁÖÅÎÉÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ `2 | ÜÔÏ Ï×ÏÒÏÔ ×ÏËÒÕÇ ÔÏÞËÉ O ÎÁ ÕÇÏÌ 2 × ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÏÔ ÅÒ×ÏÊ ÒÑÍÏÊ ËÏ ×ÔÏÒÏÊ. ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
ÏÔÒÁÖÅÎÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ `1 É `2 ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÒÑÍÙÅ
ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙ.
f
ÕÒ. 1.12. a) ⇒ Â). ìÅ×ÏÅ ÏÂÒÁÔÎÏÅ Ë ×ÌÏÖÅÎÉÀ X ⊂ - Y ÄÏÌÖÎÏ ÅÒÅ×ÏÄÉÔØ y =
f (x) ∈ im f × x, Á ÎÁ ÜÌÅÍÅÎÔÁÈ Y r im f ÍÏÖÅÔ ÄÅÊÓÔ×Ï×ÁÔØ ËÁË ÕÇÏÄÎÏ. ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ,
ÏÔ×ÅÔ ÎÁ ÏÓÌÅÄÎÉÊ ×ÏÒÏÓ ÚÁÄÁÞÉ | (m − n)n .
482
483
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍ
Â) ⇒ ×). òÁ×ÅÎÓÔ×Ï g1 = g2 ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á fg1 = fg2 ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÏÂÅÉÈ
ÞÁÓÔÅÊ ÓÌÅ×Á ÎÁ ÌÀÂÏÅ ÌÅ×ÏÅ ÏÂÒÁÔÎÏÅ Ë f ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ.
×) ⇒ Á). åÓÌÉ f (x1 ) = f (x2 ) ÄÌÑ ËÁËÉÈ-ÔÏ x1 6= x2 , ÏÌÏÖÉÍ g1 = IdX , Á × ËÁÞÅÓÔ×Å g2
×ÏÚØÍ£Í Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍ X - X , ËÏÔÏÒÙÊ ÍÅÎÑÅÔ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÉ x1 É x2 , Á ×ÓÅ
ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÁ ÍÅÓÔÅ. ÏÇÄÁ g1 6= g2 , ÎÏ fg1 = fg2 .
ÕÒ. 1.13. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÒÅÄÙÄÕÝÅÍÕ ÕÒ. 1.12.
ÕÒ. 1.14. ÁÂÌÉ Á ËÏÍÏÚÉ ÉÊ gf × ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÅ S3 :
gf
(1; 2; 3)
(1; 3; 2)
(3; 2; 1)
(2; 1; 3)
(2; 3; 1)
(3; 1; 2)
(1; 2; 3)
(1; 2; 3)
(1; 3; 2)
(3; 2; 1)
(2; 1; 3)
(2; 3; 1)
(3; 1; 2)
(1; 3; 2)
(1; 3; 2)
(1; 2; 3)
(2; 3; 1)
(3; 1; 2)
(3; 2; 1)
(2; 1; 3)
(3; 2; 1)
(3; 2; 1)
(3; 1; 2)
(1; 2; 3)
(2; 3; 1)
(2; 1; 3)
(1; 3; 2)
(2; 1; 3)
(2; 1; 3)
(2; 3; 1)
(3; 1; 2)
(1; 2; 3)
(1; 3; 2)
(3; 2; 1)
(2; 3; 1)
(2; 3; 1)
(2; 1; 3)
(1; 3; 2)
(3; 2; 1)
(3; 1; 2)
(1; 2; 3)
(3; 1; 2)
(3; 1; 2)
(3; 2; 1)
(2; 1; 3)
(1; 3; 2)
(1; 2; 3)
(2; 3; 1)
ïÔ×ÅÔÙ: 1 + x É xy + x + y .
ÕÒ. 2.3. ðÒÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ ÞÉÓÌÉÔÅÌÑ É ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÑ ÌÀÂÏÊ ÉÚ ÄÒÏÂÅÊ × ÌÅ×ÙÈ ÞÁÓÔÑÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ× (2-11) ÎÁ ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÞÉÓÌÏ , ÞÉÓÌÉÔÅÌØ É ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÄÒÏÂÉ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÔÁËÖÅ ÕÍÎÏÖÁÔÓÑ ÎÁ . ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ.
ðÒÏ×ÅÒËÁ ×ÙÏÌÎÅÎÉÑ ÁËÓÉÏÍ ÏÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÄÉÔÓÑ ÎÅÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ.
ÕÒ. 2.5. þÉÓÌÏ = os(2=5) + i · sin(2=5) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÀ 5 = 1. ðÏÓËÏÌØËÕ z 5 − 1 = (z − 1)(z 4 + z 3 + z 2 + z + 1), ÞÉÓÌÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÎÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ÕÒ. 2.2.
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0;
ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÎÏ ÒÅÛÉÔØ × ÒÁÄÉËÁÌÁÈ ÒÉ ÏÍÏÝÉ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÏÊ ÚÁÍÅÎÙ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ z
ÎÁ ÅÒÅÍÅÎÎÕÀ t = z + z −1 .
ÕÒ. 2.6. ðÕÓÔØ = 1 = os(2=n)+i sin(2=n) | ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÊ ËÏÒÅÎØ Ó ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ
ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏÍ, É = k . äÏËÁÖÅÍ ÂÏÌÅÅ ÓÉÌØÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ: ÓÒÅÄÉ
ÅÌÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ ËÏÒÎÑ ×ÓÔÒÅÞÁÀÔÓÑ ÔÅ É ÔÏÌØËÏ ÔÅ ÓÔÅÅÎÉ ÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÏÇÏ ËÏÒÎÑ
, ËÏÔÏÒÙÅ ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ ÎÏÄ(k; n). ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï m = x ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ
m = kx + ny ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ y ∈ Z, Á ÓÏÇÌÁÓÎÏ n◦ 2.5.1 ÞÉÓÌÏ m ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍÏ × ×ÉÄÅ
m = kx + ny Ó ÅÌÙÍÉ x É y ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÏÎÏ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ ÎÏÄ(k; n).
ÕÒ. 2.7. òÅÛÅÎÉÅ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁÖÎÅÎÉÑ ÎÁÍÅÞÅÎÏ × ÚÁÄ. 4.22 Ë §4 (ÓÍ. ÓÔÒ. 67).
ÕÒ. 2.9. éÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á z1 z2 = 1 ×ÙÔÅËÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï |z1 | · |z2 | = 1 ÎÁ ÄÌÉÎÙ. ðÏÓËÏÌØËÕ
ÇÁÕÓÓÏ×Ï ÞÉÓÌÏ z 6= 0 ÉÍÅÅÔ |z | ∈ N, ÏÂÒÁÔÉÍÙÍ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÔÏÌØËÏ z Ó |z | = 1. ÁËÉÈ
ÞÉÓÅÌ × Z[i℄ ÒÏ×ÎÏ ÞÅÔÙÒÅ: ±1 É ±i , É ×ÓÅ ÏÎÉ ÏÂÒÁÔÉÍÙ.
ÕÒ. 2.11. ÷ÏÚÒÁÓÔÁÀÝÁÑ ÉÎÄÕË ÉÑ Ï k , ÎÁÞÉÎÁÀÝÁÑÓÑ Ó k = 0, ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÓÅ
Ek ∈ (a; b). ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÕÂÙ×ÁÀÝÁÑ ÉÎÄÕË ÉÑ Ï k, ÎÁÞÉÎÁÀÝÁÑÓÑ Ó k = r + 1,
ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ Ek (× ÔÏÍ ÞÉÓÌÅ E0 = a É E1 = b) ÄÅÌÑÔÓÑ ÎÁ Er . ÁËÉÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ, (a; b) = (Er ), Ô. Å. Er = ÎÏÄ(a; b).
ÕÒ. 2.13. óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ. åÓÌÉ ÞÉÓÌÏ n ÒÏÓÔÏÅ, ÔÏ ÏÎÏ ÓÁÍÏ É ÂÕÄÅÔ Ó×ÏÉÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ; ÅÓÌÉ n ÓÏÓÔÁ×ÎÏÅ, ÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÅÇÏ × ×ÉÄÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÉÈ Ï
484
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍ
ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÞÉÓÅÌ, ËÏÔÏÒÙÅ × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÉÌÉ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙ ÉÌÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÍÉ ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÉÈ Ï ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÞÉÓÅÌ É Ô. Ä. ðÏÓËÏÌØËÕ ÍÏÄÕÌØ ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÎÅÌØÚÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÄÏÌÇÏ ÕÍÅÎØÛÁÔØ, ÍÙ × ËÏÎ Å ËÏÎ Ï× ÏÌÕÞÉÍ
ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ.
åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ ÞÉÓÌÁ p É ÌÀÂÏÇÏ ÅÌÏÇÏ ÞÉÓÌÁ z ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×Á: ÌÉÂÏ ÎÏÄ(z; p) = |p|, É ÔÏÇÄÁ z ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p, ÌÉÂÏ
ÎÏÄ(z; p) = 1, É ÔÏÇÄÁ z ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔ Ó p. ðÕÓÔØ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Å p1 p2 · · · pk = q1 q2 · · · qm
Q
×ÓÅ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÒÏÓÔÙ. ðÏÓËÏÌØËÕ qi ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p1 , ÞÉÓÌÏ p1 , × ÓÉÌÕ ÌÅÍ. 2.1, ÎÅ
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÏ Ó ËÁÖÄÙÍ qi . óÏÇÌÁÓÎÏ ÕÏÍÑÎÕÔÏÊ ×ÙÛÅ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×Å,
ÎÁÊÄ£ÔÓÑ qi (ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ q1 ) ËÏÔÏÒÙÊ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p1 . ðÏÓËÏÌØËÕ q1 ÒÏÓÔ,
q1 = ±p1 . óÏËÒÁÝÁÅÍ ÅÒ×ÙÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ É Ï×ÔÏÒÑÅÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ.
n
mpn ÕÒ. 3.2. ëÌÁÓÓ pn (mod p) ÒÁ×ÅÎ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÕ ÒÉ xp , ×ÏÚÎÉËÁÀÝÅÍÕ ÏÓÌÅ ÒÁÓËÒÙÔÉÑ ÓËÏÂÏË É ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ÏÄÏÂÎÙÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ × ÂÉÎÏÍÅ (1 + x)mpn ÎÁÄ ÏÌÅÍ Fp .
ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÒÉÍÅÎÑÑ ÆÏÒÍÕÌÕ (3-3), ÏÌÕÞÁÅÍ
n
n−1 m
(1 + x)p m = (1 + x)p p
= (1 + xp )p
p p pn−2 m
= (1 + x )
n−1 m
=
n−2
= 1 + xp p m = : : :
n m
n
· · · = 1 + xp
= 1 + mxp + ÓÔÁÒÛÉÅ ÓÔÅÅÎÉ
2
ðÏÓËÏÌØËÕ ÞÅÒÅÚ ÌÀÂÕÀ ÁÒÕ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË z , w ÒÏÈÏÄÉÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ
ÒÑÍÁÑ, ÏÂÝÅÅ ÞÉÓÌÏ ÒÑÍÙÈ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ F2p ÒÁ×ÎÏ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Õ ÁÒ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË, ÄÅÌ£ÎÎÏÍÕ
ÎÁ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÁÒ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË, ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ, Ô. Å.
p2 = p (ÌÏÓËÏÓÔØ F2 ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ p2 ÔÏÞÅË, Á ËÁÖÄÁÑ ÒÑÍÁÑ ÎÁ ÎÅÊ | ÉÚ p ÔÏÞÅË).
p
2
2
åÓÌÉ ÚÁÆÉËÓÉÒÏ×ÁÔØ ÏÄÎÕ ÉÚ ÔÏÞÅË É ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÔÏÌØËÏ ÒÑÍÙÅ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ ÜÔÕ ÔÏÞËÕ, ÔÏ ÔÁËÉÈ ÒÑÍÙÈ ÂÕÄÅÔ (p2 − 1)=(p − 1) | ÞÉÓÌÏ ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÂÒÁÔØ
×ÔÏÒÕÀ ÔÏÞËÕ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ, ÄÅÌ£ÎÎÏÍÕ ÎÁ ÞÉÓÌÏ ÓÏÓÏÂÏ× ×ÙÂÒÁÔØ ÜÔÕ ×ÔÏÒÕÀ ÔÏÞËÕ
ÎÁ ÒÑÍÏÊ.
- F ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÁ ÍÅÓÔÅ ËÁÖÄÙÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ
ÕÒ. 3.10. ìÀÂÏÊ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍ ' : F
im κ , Ô. Ë.
'(1| + ·{z· · + 1}) = |1 + ·{z· · + 1} ;
ÕÒ. 3.4.
p
p
Á ÒÏÓÔÏÅ ÏÄÏÌÅ ÌÉÂÏ ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó im κ , ÌÉÂÏ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× a=b Ó a; b ∈ im κ .
ÕÒ. 3.11. ðÕÓÔØ har(F) = p É har(k) = q . ðÒÉ q 6= p ÜÌÅÍÅÎÔ 1 + · · · + 1 ∈ k ÏÔÌÉÞÅÎ
|
{z
}
p
ÏÔ ÎÕÌÑ, ÎÏ ÅÒÅ×ÏÄÉÔÓÑ × ÎÕÌØ ÌÀÂÙÍ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ' : k - F. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, '
ÎÅ ÉÎßÅËÔÉ×ÅÎ É Ï ÒÅÄÌ. 3.3 ÄÏÌÖÅÎ ÂÙÔØ ÎÕÌÅ×ÙÍ.
ÕÒ. 4.3. ïÔ×ÅÔ: (y n − xn )=(y − x) = y n−1 + y n−2 x + y n−3 x2 + · · · + yxn−2 + xn−1 .
ÕÒ. 4.4. çÏÄÑÔÓÑ ÄÏÓÌÏ×ÎÏ ÔÅ ÖÅ ÁÒÇÕÍÅÎÔÙ, ÞÔÏ É × ÕÒ. 2.13.
óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ. ÅÓÌÉ f ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ, ÔÏ ÏÎ ÓÁÍ É ÂÕÄÅÔ Ó×ÏÉÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ, ÅÓÌÉ
f ÒÉ×ÏÄÉÍ, ÔÏ ÏÎ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÅÊ ÓÔÅÅÎÉ,
ËÏÔÏÒÙÅ × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ ÉÌÉ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙ ÉÌÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
ÓÔÒÏÇÏ ÍÅÎØÛÅÊ ÓÔÅÅÎÉ É Ô. Ä. ðÏÓËÏÌØËÕ ÓÔÅÅÎØ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÍÅÎØÛÁÔØÓÑ,
ÍÙ × ËÏÎ Å ËÏÎ Ï× ÏÌÕÞÉÍ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ.
485
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍ
åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÏÇÏ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ p É ÌÀÂÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ g ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×Á: ÌÉÂÏ ÎÏÄ(p; g) = p, É ÔÏÇÄÁ
g ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p, ÌÉÂÏ ÎÏÄ(p; g) = 1, É ÔÏÇÄÁ g ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔ Ó p. ðÕÓÔØ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Å
p1 p2 · · · pk = q1 q2 · · · qm ×ÓÅ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÉ ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÙ. Q
äÅÌÑ p1 ÎÁ ÓÔÁÒÛÉÊ ËÏÜÆÆÉÉÅÎÔ, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÏÎ ÒÉ×ÅÄ£Î. ðÏÓËÏÌØËÕ qi ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p1 , ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
p1 , × ÓÉÌÕ ÌÅÍ. 2.1, ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔ Ó ËÁÖÄÙÍ qi . óÏÇÌÁÓÎÏ ÕÏÍÑÎÕÔÏÊ
×ÙÛÅ ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×Å, ÎÁÊÄ£ÔÓÑ qi (ÓËÁÖÅÍ, q1 ), ËÏÔÏÒÙÊ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ p1 . ÁË ËÁË q1 ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ, q1 = p1 , ÇÄÅ | ÎÅÎÕÌÅ×ÁÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÁ. óÏËÒÁÝÁÅÍ ÅÒ×ÙÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ É
Ï×ÔÏÒÑÅÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ.
ÕÒ. 4.6. åÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÓÌ. 4.2 : ÒÁÚÎÏÓÔØ Ä×ÕÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÅÎÉ n,
ÒÉÎÉÍÁÀÝÉÈ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ × n + 1 ÔÏÞËÁÈ, ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ × ÜÔÉÈ n + 1
ÔÏÞËÁÈ, Ô. Å. ÉÍÅÅÔ n + 1 ÒÁÚÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ, ÞÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ ÜÔÁ ÒÁÚÎÏÓÔØ
ÎÕÌÅ×ÁÑ. óÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÅ: Ï ÆÏÒÍÕÌÅQ÷ÉÅÔÁ, ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, ÒÁ×ÎÙÊ ÎÕÌÀ
×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ a ËÒÏÍÅ i-ÔÏÊ, ÅÓÔØ (x − a ). äÅÌÑ ÜÔÏÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÎÁ ÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
6=i Q
× ÔÏÞËÅ ai , ÏÌÕÞÁÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ fi (x) =
fi (a ) =
6=i
(
Q
(ai − a ) , ÔÁËÏÊ ÞÔÏ
6=i
1, ÒÉ = i
0, ÒÉ 6= i :
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÓËÏÍÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÒÁ×ÅÎ
ÕÒ. 4.7.
(x − a )=
n
P
i=0
bi · fi (x) =
n
P
i=0
bi
Q
(x − a )=(ai − a ) .
6=i
åÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ ⩽ 3 ÒÉ×ÏÄÉÍ, ÔÏ ÏÎ ÉÍÅÅÔ ÄÅÌÉÔÅÌØ ÓÔÅÅÎÉ ÏÄÉÎ,
ËÏÒÅÎØ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÂÕÄÅÔ ËÏÒÎÅÍ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ.
ÕÒ. 4.8. óÍ. ÕÒ. 1.8 ÎÁ ÓÔÒ. 13.
ÕÒ. 4.9. ÷ÌÏÖÅÎÉÅ ' : k ⊂ - k[x℄=(x − ) × ËÁÞÅÓÔ×Å ËÏÎÓÔÁÎÔ ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ
ÞÉÓÌÏ ∈ k ÅÒÅÈÏÄÉÔ × ËÌÁÓÓ [x℄, É ÚÎÁÞÉÔ, ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ g ∈ k[x℄ ÞÉÓÌÏ g( ) ÅÒÅÈÏÄÉÔ
× ËÌÁÓÓ [g℄ .
ÕÒ. 4.10. ðÕÓÔØ f ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍ. åÓÌÉ [g ℄[h℄ = [0℄ × k[x℄=(f ), ÔÏ gh ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ f × k[x℄.
åÓÌÉ g ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ f , ÔÏ ÎÏÄ(g; f ) = 1, Ô. Ë. Õ f ÎÅÔ ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ ËÏÎÓÔÁÎÔ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ,
ÎÅ ÄÅÌÑÝÉÈÓÑ ÎÁ f . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, g ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔ Ó f , Á ÚÎÁÞÉÔ h ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ f Ï
ÌÅÍ. 2.1 , Ô. Å. [h℄ = [0℄ . îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ f = gh, ÇÄÅ ÏÂÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ g, h ÎÅ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ,
ÔÏ deg f deg g < deg f , É ÚÎÁÞÉÔ, ËÌÁÓÓÙ [g℄ É [h℄ ÏÔÌÉÞÎÙ ÏÔ ÎÕÌÑ × k[x℄=(f ), ÏÄÎÁËÏ
[g℄ · [h℄ = [gh℄ = [0℄ .
√
√
ÕÒ. 4.11. ïÂÒÁÔÎÙÍ
ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ
Ë
ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÍÕ
ÎÅÎÕÌÅ×ÏÍÕ
a
+
b
2
∈
Q
[
2℄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
a − b √2 . ëÏÌØ Ï × (a) ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÄÅÌÉÔÅÌÉ ÎÕÌÑ: [t + 1℄ · [t2 − t + 1℄ = [0℄ É,
2
2
2
2
a − 2b
a − 2b
ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÅÍ. ëÏÌØ Ï × (Â) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÅÍ: ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ p = #3 + 2
ÎÅ ÉÍÅÅÔ ËÏÒÎÅÊ × Q, É ÚÎÁÞÉÔ, ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ × Q[x℄ ÎÉ ÎÁ ËÁËÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÅÒ×ÏÊ ÉÌÉ
×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ; ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, p ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔ ÓÏ ×ÓÅÍÉ g ∈ Q[x℄, ÎÅ ÄÅÌÑÝÉÍÉÓÑ ÎÁ
p , Ô. Å. ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ [g℄ 6= [0℄ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ h1 ; h2 ∈ Q[x℄, ÔÁËÉÅ ÞÔÏ h1 g + h2 p = 1; ÔÅÍ
ÓÁÍÙÍ, [h1 ℄ = [g℄−1 .
ÕÒ. 4.13. õËÁÚÁÎÉÅ: ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ ÓÌÕÞÁÊ a1 = 1 É ÎÁÊÔÉ ÏÂÒÁÔÎÙÅ ËÏ
×ÓÅÍ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍ # − a; ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ×ÏÓÏÌØÚÕÊÔÅÓØ ÁÌÇÏÒÉÔÍÏÍ å×ËÌÉÄÁ (ÓÍ. n◦ 4.2.3) |
ËÌÁÓÓ h(#), ÏÂÒÁÔÎÙÊ Ë ËÌÁÓÓÕ # − a, ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÔÁËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ h ∈ Q[x℄, ÞÔÏ
486
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍ
h(x)(x − a) + g(x)(x2 + x + 1) = 1 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ g ∈ Q[x℄; ÏÓÔÁÔÏË ÏÔ ÄÅÌÅÎÉÑ
x2 + x + 1 ÎÁ x − a ÒÁ×ÅÎ a2 + a + 1, ÔÁË ÞÔÏ ÁÌÇÏÒÉÔÍ å×ËÌÉÄÁ ÏÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÕÖÅ ÎÁ
×ÔÏÒÏÍ ÛÁÇÕ.
m (m − k )
m −k
ÕÒ. 4.16. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï (b1 b2 )k = 1 ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ bk1 = b2 2 . ÏÇÄÁ b2 1 2
=
b1m1 k = 1, ÏÔËÕÄÁ m1 (m2 − k) ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ m2 , Á ÚÎÁÞÉÔ, k ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ m2 . ÷ ÓÉÌÕ
ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÍÅÖÄÕ b1 É b2 , ÏËÁÚÁÔÅÌØ k ÄÅÌÉÔÓÑ ÔÁËÖÅ É ÎÁ m1 . á ÔÁË ËÁË m1 É m2
×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ, k ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ m1 m2 . ðÏÓËÏÌØËÕ (b1 b2 )m1 m2 = 1, ord (b1 b2 ) = m1 m2 .
ÕÒ. 4.17. ÷ ÓÉÌÕ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÓÔÉ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ , ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ′ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ ′ = ◦, Á × ÓÉÌÕ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÓÔÉ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ
′ , ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÔÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ =
′ ◦′ . ëÏÍÏÚÉ ÉÑ
′◦
ÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÓÁÍÏÇÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ × ×ÉÄÅ =
′ ◦ ◦. ðÏÓËÏÌØËÕ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ = Id
QK ◦, ÉÚ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÔÁËÏÇÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ
′
×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ◦ = IdQK . ðÏ ÔÏÊ ÖÅ ÒÉÞÉÎÅ ◦ ′ = IdQ′K . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ′ É
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÂÒÁÔÎÙÍÉ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁÍÉ.
ÕÒ. 4.18. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÎÅÓÏËÒÁÔÉÍÙÈ ÚÁÉÓÅÊ p=q = r=s ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ps = qr ,
× ËÏÔÏÒÏÍ p ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÏ Ó q, Á s ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÏ Ó r. éÚ ÌÅÍ. 2.1 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ
× ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ p = rf , Á q = sg, ÏÔËÕÄÁ frs = grs É f = g. ðÏÓËÏÌØËÕ ÚÁÉÓØ p=q
ÒÅÄÏÌÁÇÁÌÁÓØ ÎÅÓÏËÒÁÔÉÍÏÊ, deg f = 0 .
ÕÒ. 5.1. õËÁÚÁÎÉÅ Ë (×): ÒÁÚÌÏÖÉÔÅ ÄÒÏÂØ ÎÁÄ C × ÓÕÍÍÕ ÒÏÓÔÅÊÛÉÈ
X k X
P
k
ak x , ÔÏ f (x + t) = ak
t · f (x) , ÇÄÅ
· xk− t =
ÕÒ. 5.3. åÓÌÉ f (x) =
k;
f (x) =
ÕÒ. 5.6.
X
k⩾
ak
k
· xk − =
1 dk X k
ax :
! dxk k⩾0 k
ðÒÏÄÉÆÆÅÒÅÎ ÉÒÕÊÔÅ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ.
ÕÒ. 6.1. éÍÌÉËÁ ÉÉ (Á)⇒(Â)⇒(×) ÏÞÅ×ÉÄÎÙ. åÓÌÉ s ∈ I ÏÂÒÁÔÉÍ, ÔÏ ÓÒÅÄÉ ÅÇÏ ËÒÁÔÎÙÈ ÅÓÔØ ÅÄÉÎÉ Á, Á ÓÒÅÄÉ Å£ ËÒÁÔÎÙÈ | ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÌØ Á. úÎÁÞÉÔ, (×)⇒(Á).
ÕÒ. 6.2. éÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ I Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÂÅÌÅ×ÏÊ ÏÄÇÒÕÏÊ × K ÎÅÍÅÄÌÅÎÎÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ
ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ a1 ≡ a2 (mod I ) ÒÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏ, ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏ É ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ. ëÏÒÒÅËÔÎÏÓÔØ
ÏÅÒÁ ÉÊ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÔÁË ÖÅ, ËÁË × ÕÒ. 1.8: ÅÓÌÉ [a′ ℄I = [a℄I É [b′ ℄I = [b℄I , Ô. Å. a′ =
a + x, b′ = b + y Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ x; y ∈ I , ÔÏ a′ + b′ = a + b +(x + y) É a′ b′ = ab +(ay + bx + xy)
ÓÒÁ×ÎÉÍÙ Ï ÍÏÄÕÌÀ I Ó a + b É ab ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, ÏÓËÏÌØËÕ ÓÕÍÍÙ × ÓËÏÂËÁÈ ÌÅÖÁÔ
× I (ÉÍÅÎÎÏ × ÜÔÏÔ ÍÏÍÅÎÔ ÍÙ ÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÉÄÅÌ ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÙÍ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ
ÓÏÄÅÒÖÉÔ É ×ÓÅ ÅÇÏ ËÒÁÔÎÙÅ); ÔÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, [a′ + b′ ℄I = [a + b℄I É [a′ b′ ℄I = [ab℄I .
ÕÒ. 6.4. åÓÌÉ ∃ b−1 , ÔÏ (ab) ⩽ (abb−1 ) = (a); ÎÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ (ab) = (a), ÔÏ ÄÅÌÑ
a ÎÁ ab Ó ÏÓÔÁÔËÏÍ, ÏÌÕÞÁÅÍ a = abq + r, ÇÄÅ ÌÉÂÏ (r) < (ab) = (a), ÌÉÂÏ r = 0;
ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á r = a(1 − bq) ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÌÉÂÏ (r) ⩾ (a), ÌÉÂÏ 1 − bq = 0; Ó ÕÞ£ÔÏÍ
ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ, ÔÁËÏÅ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ÒÉ 1 − bq = 0 ÉÌÉ r = 0; ×Ï ×ÔÏÒÏÍ ÓÌÕÞÁÅ
a(1 − bq) = 0, ÞÔÏ ÔÏÖÅ ×ÌÅÞ£Ô 1 − bq = 0; ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ bq = 1 É b ÏÂÒÁÔÉÍ.
ÕÒ. 6.5. åÓÌÉ b = ax É a = by = axy , ÔÏ a(1 − xy ) = 0, ÏÔËÕÄÁ xy = 1 .
ÕÒ. 6.7. íÎÏÇÏÞÌÅÎÙ x É y ÎÅ ÉÍÅÀÔ × Q[x; y ℄ ÎÉËÁËÉÈ ÏÂÝÉÈ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ, ËÒÏÍÅ ËÏÎÓÔÁÎÔ. ïÂÝÉÍÉ ÄÅÌÉÔÅÌÑÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× 2 É x × Z[x℄ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ±1 .
487
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍ
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÜÉÍÏÒÆÉÚÍ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ : K -- K=I . ðÏÌÎÙÊ ÒÏÏÂÒÁÚ
(J ) ÌÀÂÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ J ⊂ K=I Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÉÄÅÁÌÏÍ × K . ëÌÁÓÓÙ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÈ ÜÔÏÔ ÉÄÅÁÌ × K ÏÒÏÖÄÁÀÔ ÉÄÅÁÌ J × K=I .
ÕÒ. 6.10. õËÁÚÁÎÉÅ: Ï×ÔÏÒÉÔÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÅÏÒ. 6.1, ÓÌÅÄÑ ÚÁ ÍÌÁÄÛÉÍÉ ËÏÜÆÆÉÉÅÎÔÁÍÉ ×ÍÅÓÔÏ ÓÔÁÒÛÉÈ.
ÕÒ. 6.12
√ . ðÏ ÁÎÁÌÏÇÉÉ Ó√ËÏÍÌÅËÓÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ, ÎÁÚÏ×£Í ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÍ
√ Ë ÞÉÓÌÕ # =
a + b 5 ÞÉÓÌÏ # = a − b 5, É ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÎÏÒÍÏÊ ÞÉÓÌÁ # = a + b 5 ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ
||#|| = a2 − 5b2 = # · #. ìÅÇËÏ √
×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ #1 #2 = #1 · #2 , ÔÁË ÞÔÏ ||#1 #2 || = #1 #2 #1 #2 =
||#1 || · ||#2 ||. ðÏÜÔÏÍÕ # ∈ Z[ 5℄ ÏÂÒÁÔÉÍ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
√ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ||#|| = ±1, É
−
1
× ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ # = ±# . ðÏÓËÏÌØËÕ ||2|| = 4, a ||1 ± 5|| = −4, ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÜÔÉÈ
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÈÕ Ó ÎÅÏÂÒÁÔÉÍÙÍÉ√x É y ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÔÏÌØËÏ, ÅÓÌÉ ||x|| =
||y || = ±2. ïÄÎÁËÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× Ó ÎÏÒÍÏÊ ±2 × Z[ 5℄ ÎÅÔ, Ô. Ë. ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï a2 − 5b2 = ±2
ÒÉ ÒÅÄÕË ÉÉ Ï ÍÏÄÕÌÀ 5 ÒÅ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï a2 = ±2 × ÏÌÅ F5 , ÇÄÅ ±2 ÎÅ
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÁÍÉ.
m
ÕÒ. 6.13. ë ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÀ n = q1 q2 : : : qr , × ËÏÔÏÒÏÍ qi = pi i ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔÙ, ÒÉÍÅÎÉÍÙ ÄÏÓÌÏ×ÎÏ ÔÅ ÖÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ, ÞÔÏ ÂÙÌÉ ÒÏÄÅÌÁÎÙ ÎÁÍÉ × ÒÅÄÌ. 4.6 É n◦ 3.5.
åÝ£ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÕÀ ×ÅÒÓÉÀ ËÉÔÁÊÓËÏÊ ÔÅÏÒÅÍÙ Ï ÏÓÔÁÔËÁÈ ÓÍ. × ÚÁÄ. 6.7.
ÕÒ. 6.14. üÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á a0 q n + a1 q n−1 p + · · · + an−1 qpn−1 + an pn = 0
ÕÒ. 6.15. ïÔ×ÅÔ: (x2 − 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
ÕÒ. 6.16. çÏÄÉÔÓÑ ÄÏÓÌÏ×ÎÏ ÔÏ ÖÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ÞÔÏ É ÒÉ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÏÓÔÉ ËÒÕÇÏ×ÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ æp(x), ÒÅÄÛÅÓÔ×Ï×Á×ÛÅÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ.
ÕÒ. 6.17. éÚ ÆÕÎË ÉÊ, ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÚÁÎÕÌÑÀÝÉÈÓÑ ÎÁ ÏÂÒÁÚÅ ', Ô. Å. ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ ,
ÚÁÄÁÀÝÉÈ '(X ) × Y .
ÕÒ. 6.18. (Á) ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÆÕÎË ÉÑ (ÉÌÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ) ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ ÔÏÇÄÁ É
ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÒÏÏÂÒÁÚ ÌÀÂÏÇÏ ÏÔËÒÙÔÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÏÔËÒÙÔ; (Â): ÉÎßÅËÔÉ×ÎÏÓÔØ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ÏÄߣÍÁ '∗ : C - C ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ
ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏÊ ÆÕÎË ÉÉ ÎÁ [0; 1℄, ÏÂÒÁÝÁÀÝÅÊÓÑ × ÎÕÌØ ÎÁ '([0; 1℄); ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ,
ÞÔÏ ÏÂÒÁÚ ' ×ÓÀÄÕ ÌÏÔÅÎ ÎÁ [0; 1℄; ÏÓËÏÌØËÕ ' ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ, ÜÔÏ ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÔÏÌØËÏ
ÒÉ '([0; 1℄) = [0; 1℄.
- R Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÇÏÕÒ. 6.19. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ×ÓÑËÉÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ' : C
ÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎË ÉÊ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÅ x ∈ [0; 1℄. äÌÑ ÜÔÏÇÏ
ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÅÇÏ ÑÄÒÏ m = ker '. ðÏÓËÏÌØËÕ C=m = R | ÏÌÅ, ÉÄÅÁÌ m ÍÁËÓÉÍÁÌÅÎ,
Ô. Å. ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ ÎÉ × ËÁËÏÍ ÓÔÒÏÇÏ ÂÏÌØÛÅÍ ÉÄÅÁÌÅ, ÏÔÌÉÞÎÏÍ ÏÔ ×ÓÅÇÏ ËÏÌØ Á C
(ÓÍ. ÚÁÄ. 6.11). ëÁÖÄÁÑ ÆÕÎË ÉÑ f ∈ m ÎÅ ÏÂÒÁÔÉÍÁ, É ÏÔÏÍÕ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ÎÁ
ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÚÁÍËÎÕÔÏÍ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×Å Zf ⊂ [0; 1℄. åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÞËÁ x ∈ ∩ Zf , ÔÏ
ÕÒ. 6.8.
−1
def
f
m ⊂ mx = {g ∈ C | g (x) = 0}. ðÏÓËÏÌØËÕ m ÍÁËÓÉÍÁÌÅÎ, m = mx , Ô. Å. ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ
' ÅÓÔØ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ Ï ÍÏÄÕÌÀ ÉÄÅÁÌÁ mx É, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÀ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ f 7→ f (x) . ïÓÔÁ£ÔÓÑ ÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ∩ Zf =
6 ∅.
f
äÏÕÓÔÉÍ ÒÏÔÉ×ÎÏÅ. ÏÇÄÁ ÏÔËÒÙÔÙÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Uf = [0; 1℄ r Zf ÏËÒÙ×ÁÀÔ [0; 1℄.
÷ÙÂÅÒÅÍ ÉÚ ÜÔÏÇÏ ÏËÒÙÔÉÑ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÏÄÏËÒÙÔÉÅ [0; 1℄ = Uf1 ∪ · · · ∪ Ufn . æÕÎË ÉÑ
f12 + · · · + fn2 ∈ m ÎÉÇÄÅ ÎÅ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ, Ô. Å. ÏÂÒÁÔÉÍÁ, ÞÔÏ ÎÅ×ÏÚÍÏÖÎÏ, Ô. Ë.
m 6= C .
488
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍ
ðÕÓÔØ 0 · v = w. ÏÇÄÁ w + v = 0 · v + 1 · v = (0 + 1) · v = 1 · v = v . ðÒÉÂÁ×ÌÑÑ Ë
ÏÂÅÉÍ ÞÁÓÔÑÍ ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á −v, ÏÌÕÞÁÅÍ w = 0. éÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á 0 · v = 0 ×ÙÔÅËÁÅÔ,
ÞÔÏ · 0 = (0 · v) = ( · 0) · v = 0 · v = 0. îÁËÏÎÅ , ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
ÕÒ. 7.1.
(−1) · v + v = (−1) · v + 1 · v = ((−1) + 1) · v = 0 · v = 0
ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ (−1) · v = −v.
ÕÒ. 7.3. ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÂÁÚÉÓÁ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ ÂÉÅËÔÉ×ÎÏ. ïÓÔÁ£ÔÓÑ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÞÔÏ
P
P
P
ÏÎÏ ÌÉÎÅÊÎÏ. åÓÌÉ w = xi vi É u = yi vi , ÔÏ w + u = (xi + yi )ei , ÔÁË ÞÔÏ
(w + u) = (x1 + y1 ) ; (x2 + y2 ) ; : : : ; (xn + yn ) ; =
= (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) + (y1 ; y2 ; : : : ; yn ) = (w) + (u) :
ÕÒ. 7.4. ðÏ ÉÎÄÕË ÉÉ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÍÏÎÏÍ xm (ÇÄÅ m = 0; 1 : : : ; n) ÌÉÎÅÊ-
ÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ f0 ; f1 ; : : : ; fm , Á ÚÎÁÞÉÔ, É ÌÀÂÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÅÎÉ
⩽ m ÌÉÎÅÊÎÏ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ f0 ; f1 ; : : : ; fm . P
äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ
P
ÔÁËÏÇÏ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÒÁ×ÅÎÓÔ×Å i fi = i fi ÓÔÁÒÛÉÊ ÍÏÎÏÍ xn
ÏÑ×ÌÑÅÔÓÑ × ÏÂÅÉÈ ÞÁÓÔÑÈ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ fn . ðÏÜÔÏÍÕ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁ ÒÉ xn × ÏÂÅÉÈ ÞÁÓÔÑÈ ÒÉ×ÏÄÉÔ Ë ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ n = n . ÷ÙÞÉÔÁÑ ÉÚ ÏÂÅÉÈ ÞÁÓÔÅÊ
n fn = n fn , ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÍÅÖÄÕ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ ÍÅÎØÛÅÊ ÓÔÅÅÎÉ, Ë ËÏÔÏÒÏÍÕ
ÒÉÍÅÎÉÍÏ ÔÏ ÖÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ.
P
i · Æi (x) . ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ x = ai , ÏÌÕÞÁÅÍ i = f (ai ), ÞÔÏ ÄÁ£Ô
ÕÒ. 7.6. ðÕÓÔØ f (x) =
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ. ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ ∀ f ∈ k[x℄ Ó deg f ⩽ n − 1 ÒÁÚÎÏÓÔØ
f (x) −
n
X
i=1
f (ai ) · Æi (x)
ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ, Ô. Ë. ÉÍÅÅÔ ÓÔÅÅÎØ ⩽ (n − 1) É n ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ËÏÒÎÅÊ ai .
ÕÒ. 7.7. ðÕÓÔØ ËÁËÁÑ-ÔÏ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ ×ÅËÔÏÒÏ× ÉÚ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ×ÓÅÈ
ÎÁÂÏÒÏ× ÏÂÒÁÔÉÌÁÓØ × ÎÕÌØ. ëÁÖÄÙÊ ×ÅËÔÏÒ ÉÚ ÜÔÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ÌÅÖÉÔ × ÏÄÎÏÍ ÉÚ
ÎÁÂÏÒÏ× ÅÏÞËÉ, Á ÚÎÁÞÉÔ, É ×ÓÅ ÏÎÉ ÌÅÖÁÔ × ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÎÁÂÏÒÏ× ÅÏÞËÉ (ÔÏÍ, ÞÔÏ
ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ | ÔÁËÏÊ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÏÓËÏÌØËÕ ÒÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÎÁÂÏÒÁ ÅÏÞËÉ
ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÏÄÉÎ ÉÚ ÎÉÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÄÍÎÏÖÅÓÔ×ÏÍ ÄÒÕÇÏÇÏ). ÁË ËÁË ËÁÖÄÙÊ ÎÁÂÏÒ
ÉÚ ÅÏÞËÉ ÒÅÄÏÌÁÇÁÌÓÑ ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍ, ×ÓÅ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ÜÔÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ
ËÏÍÂÉÎÁ ÉÉ ÎÕÌÅ×ÙÅ.
ÕÒ. 7.8. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÁÒ (G; E ), ÔÁËÉÈ ÞÔÏ G ⊂ G , E ⊂ E , G ÒÁ×ÎÏÍÏÝÎÏ E , É ÏÓÌÅ ÚÁÍÅÎÙ × G ×ÅËÔÏÒÏ× ÉÚ G ÎÁ ×ÅËÔÏÒÙ ÉÚ E ÎÁÂÏÒ ÏÓÔÁ£ÔÓÑ ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÍ. ðÅÒ×ÙÊ ÛÁÇ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÌÅÍ. 7.2 ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÜÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÁÒ
ÎÅÕÓÔÏ. ÷×ÅÄ£Í ÎÁ Î£Í ÞÁÓÔÉÞÎÙÊ ÏÒÑÄÏË, ÏÌÁÇÁÑ (G; E ) ⩽ (G′ ; E ′ ), ÅÓÌÉ G ⊂ G′
É E ⊂ E ′ . ðÏÓËÏÌØËÕ ÌÀÂÁÑ ÌÉÎÅÊÎÏ ÕÏÒÑÄÏÞÅÎÎÁÑ ÅÏÞËÁ ÁÒ ÍÁÖÏÒÉÒÕÅÔÓÑ ÁÒÏÊ, Õ ËÏÔÏÒÏÊ G- É E -ÍÎÏÖÅÓÔ×Á Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑÍÉ ×ÓÅÈ G- É E -ÍÎÏÖÅÓÔ×
ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÅÏÞËÉ, Ï ÌÅÍÍÅ ãÏÒÎÁ ÎÁÊÄ£ÔÓÑ ÁÒÁ (G; E ), ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÁÑÓÑ
ÓÔÒÏÇÏ ÎÉ × ËÁËÏÊ ÂÏÌØÛÅÊ ÁÒÅ. åÓÌÉ ÒÉ ÜÔÏÍ E 6= E , ÔÏ ÖÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ÞÔÏ
É × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÌÅÍ. 7.2 ÏÚ×ÏÌÉÔ ÄÏÂÁ×ÉÔØ Ë ÍÎÏÖÅÓÔ×ÁÍ G É E ÅÝ£ Ï ÏÄÎÏÍÕ
ÜÌÅÍÅÎÔÕ, ÞÔÏ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÓÔÉ ÁÒÙ (G; E ) .
489
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍ
ÕÒ. 7.9.
îÅÔ, ÏÓËÏÌØËÕ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ×ÅËÔÏÒÏ× × ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÎÁÄ ÏÌÅÍ ÉÚ 9 ÜÌÅÍÅÎÔÏ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÔÅÅÎØÀ ÄÅ×ÑÔËÉ.
ÕÒ. 7.11. ðÕÓÔØ W * U Ä×Á ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á × V . ÷ÙÂÅÒÅÍ ×ÅËÔÏÒ w ∈ W r U . åÓÌÉ
W ∪ U | ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, ÔÏ ∀ u ∈ U w + u ∈ W ∪ U . ðÏÓËÏÌØËÕ w + u 6∈ U (Ô. Ë.
w 6∈ U ), w + u ∈ W , ÏÔËÕÄÁ u ∈ W , Ô. Å. U ⊂ W .
ÕÒ. 7.12. éÎÄÕË ÉÑ Ï ÞÉÓÌÕ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ× Ó ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅÍ ÒÁÚÏÂÒÁÎÎÏÇÏ ÅÒÅÄ
ÜÔÉÍ ÓÌÕÞÁÑ Ä×ÕÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×.
ÕÒ. 7.13. ðÏÓËÏÌØËÕ ËÁÖÄÙÊ ×ÅËÔÏÒ v ∈ V ÉÍÅÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ
× ×ÉÄÅ
P
P
(u1 ;u2 ;:::;um )7→ ui v = ui ui ∈ Ui , ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ⊕ Ui
V ÂÉÅËÔÉ×ÅÎ.
P
P
ÕÒ. 8.1. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï
i =(1 − ait) = 0 ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ i pi (t) = 0, ÇÄÅ pi (t) =
Q
(1 − a t) ∈ k[t℄ . ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÉ t = 1=ai ×ÓÅ p (1=ai) Ó 6= i ÚÁÎÕÌÑÀÔÓÑ, Á pi (1=ai) 6=
6=i
0, ÍÙ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ i = 0 ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ i .
ÕÒ. 8.2. îÁÂÏÒ v1 ; v2 ; : : : ; vn ∈ V ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ÒÉÍÅÎÑÑ i Ë ÏÂÅÉÍ
ÞÁÓÔÑÍ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ 1 v1 + 2 v2 + · · · + n vn = 0 ÏÌÕÞÁÅÍ i = 0 (É ÔÁË ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ
i) . ðÏÓËÏÌØËÕ dim V = n, ÜÔÏÔ ÎÁÂÏÒ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÂÁÚÉÓÏÍ, ÔÏÇÄÁ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ ×ÙÔÅËÁÅÔ,
ÞÔÏ i ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÂÁÚÉÓ, Ô. Å. Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ ×ÄÏÌØ vi .
ÕÒ. 8.3. üÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÂÒÁÚÏÍ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ
evD : k[[t℄℄
- End (k[x℄⩽ ) ;
n
ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÅÇÏ ÒÑÄÕ g(t) ÏÅÒÁÔÏÒ g(D). ñÄÒÏ ÜÔÏÇÏ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÁ | ÇÌÁ×ÎÙÊ
ÉÄÅÁÌ ker evD = tn+1 . ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ×ÓÑËÉÊ ÒÑÄ ×ÉÄÁ tn+1 h(t) ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ k[x℄
ÏÅÒÁÔÏÒÏÍ h(D)Dn+1 ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï k[x℄⩽n , Ô. Å. ×ÓÅ ÒÑÄÙ, ÄÅÌÑÝÉÅÓÑ ÎÁ
tn+1 , ÌÅÖÁÔ × ker evD . åÓÌÉ ÒÑÄ g(t) ÎÅ ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ tn+1 É ÉÍÅÅÔ ÍÌÁÄÛÉÊ ÞÌÅÎ am tm
Ó m ⩽ n É am 6= 0, ÔÏ g(D)xm = m!am 6= 0, Ô. Å. g 6∈ ker evD . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
im evD ≃ k[[t℄℄= ker evD ≃ k[[t℄℄= tn+1 ≃ k[D℄= Dn+1 :
ÕÒ. 8.5.
åÓÌÉ ËÁËÉÅ-ÔÏ Ä×Å ÆÕÎË ÉÉ ÏÂÒÁÝÁÀÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ × ÎÕÌØ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Å M , ÔÏ É ÌÀÂÁÑ ÉÈ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ.
ÕÒ. 8.6. åÓÌÉ h'; v i = 0 ÄÌÑ ×ÓÅÈ ' ∈ M , ÔÏ h ; v i = 0 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ
ÉÚ ÌÉÎÅÊÎÏÊ
ÏÂÏÌÏÞËÉ span(M ) ÍÎÏÖÅÓÔ×Á M .
ÕÒ. 8.7. ÉÉÞÎÙÊ ÄÌÑ ÁÌÇÅÂÒÙ ÅÒÅÎÏÓ ÉÚ ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ × ÒÁ×ÕÀ:
hG∗ F ∗ ; v i = hF ∗ ; Gv i = h; F Gv i
ïÔ×ÅÔ: ÏÅÒÁÔÏÒÙ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ ÏÂÒÅÚÁÎÎÙÅ Ï ÍÏÄÕÌÀ Dn+1 ÒÑÄÙ 1 − e−D
É eD − 1 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ.
ÕÒ. 8.9. ÷ÓÅ ÒÏ×ÅÒËÉ ÒÏ×ÏÄÑÔÓÑ ÄÏÓÌÏ×ÎÏ ÔÁËÖÅ, ËÁË ÄÌÑ ËÌÁÓÓÏ× ×ÙÞÅÔÏ× Ï ÍÏÄÕÌÀ ÉÄÅÁÌÁ (ÓÒ. Ó ÕÒ. 6.2 É ÕÒ. 6.2).
ÕÒ. 8.10. üË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔØ Ó×ÏÊÓÔ× (a){(Ç) É ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÂÁÚÉÓÁ (Ç) ÓÌÅÄÕÀÔ ÉÚ
ÌÅÍ. 8.2, ÒÉÍÅΣÎÎÏÊ Ë ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Õ Ann U ⊂ kn ∗ . ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ u⊥ = e∗j + ÕÒ. 8.8.
490
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍ
= −
r
P
he∗j ; w i · e∗i ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÂÁÚÉÓ × Ann U . ïÎÉ ÌÅÖÁÔ × Ann U , ÏÓËÏÌØËÕ
=1
∗
∗
hu⊥
; u i = hej + ; ei + w i = hej ; w i + h ; ei i =
r
X
= he∗j ; w i − he∗j ; w i · he∗ ; ei i = he∗j ; w i − he∗j ; w i = 0
=1
É ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ, ÔÁË ËÁË e∗j ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ.
- EI ×ÅËÔÏÒÙ wi ÅÒÅÊÄÕÔ × ÓÔÒÏËÉ ÜÔÏÊ ÏÄÍÁÕÒ. 8.11. ðÒÉ ÒÏÅË ÉÉ I : kn ÔÒÉ Ù, É ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ I |U ÂÙÌÁ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ
ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÉÈ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÉ ÂÙÌÁ r.
∗
ÕÒ. 8.12. ÷ÅËÔÏÒÙ u⊥
ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ, ÏÓËÏÌØËÕ ÂÁÚÉÓÎÙÊ ËÏ×ÅËÔÏÒ ej ×ÈÏÄÉÔ
ÔÏÌØËÏ × u É ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÓÏËÒÁݣΠÎÉËÁËÏÊ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÅÊ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ
u . ïÎÉ ×ÓÅ ÌÅÖÁÔ × Ann U , ÔÁË ËÁË
hu⊥
; u i =
D
e∗j −
X
k
∗
kj eik ; ei +
X
`
E
j` ej` =
j hej ; ej i − j hei ; ei i = 0
∗
∗
ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï V i ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ V i+1 É ×ÅËÔÏÒÏÍ
ei , ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï U ∩ V i ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÂÏÌÏÞËÅ U ∩ V i+1 É ×ÅËÔÏÒÁ ei ,
ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ËÏÔÏÒÏÊ, ÏÔÌÉÞÁÅÔÓÑ ÏÔ dim(U ∩ Vi+1 ) ÎÅ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÎÁ ÅÄÉÎÉ Õ.
ÕÒ. 8.14. äÌÑ ÔÁËÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á di = dim i (U ) ÒÁ×ÎÁ ÞÉÓÌÕ ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÓÔÒÏË ×
ÏÄÍÁÔÒÉ Å, ÓÏÓÒÅÄÏÔÏÞÅÎÎÏÊ × ÅÒ×ÙÈ i ÓÔÏÌÂ ÁÈ.
ÕÒ. 8.15. åÓÌÉ ÏÔÎÑÔØ ÉÚ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù ËÏÍÂÉÎÁÔÏÒÎÏÇÏ ÔÉÁ I ÍÁÔÒÉ Õ EI ,
× ÓÔÏÌÂ ÁÈ I ËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÏÉÔ ÅÄÉÎÉÞÎÁÑ r × r ÏÄÍÁÔÒÉ Á, Á × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÍÅÓÔÁÈ ÎÕÌÉ,
ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÍÁÔÒÉ Á ÉÍÅÀÝÁÑ ÎÕÌÉ × ÓÔÏÌÂ ÁÈ I , Á ÔÁËÖÅ ÒÉ ×ÓÅÈ = 1; : : : ; r ÎÕÌÉ
× ÓÔÒÏËÅ × ÏÚÉ ÉÑÈ 1-Ê Ï i -ÔÕÀ ×ËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ. ÁËÉÅ ÍÁÔÒÉ Ù ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ×
r
P
Matr×n (k) ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ËÏÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ r2 + (i − + 1).
ÕÒ. 8.13.
=1
ðÅÒ×ÏÅ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ×ÙËÌÁÄËÏÊ 0 · a = (b + (−1) · b)a = ba + (−1)ba = 0,
×ÔÏÒÏÅ | ×ÙËÌÁÄËÏÊ
e′ = e′ · e′′ = e′′ .
(
Ei` ÒÉ j = k
ÕÒ. 9.2. Eij Ek` =
× ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, E12 E21 6= E21 E12 . ðÏÌ0 × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ.
ÎÙÊ ÓÉÓÏË ËÏÍÍÕÔÁ ÉÏÎÎÙÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÊ ÔÁËÏ×:
ÕÒ. 9.1.

Eii − Ejj




Ei`
[Eij ; Ek` ℄ def
= Eij Ek` − Ek` Eij =

−Ekj



ÒÉ j = k É i = `
ÒÉ j = k É i 6= `
ÒÉ j 6= k É i = `
0 × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ.
ÕÒ. 9.4.
ÕÒ. 9.7.
ðÕÓÔØ AB = C , B t At = D, ÔÏÇÄÁ ij =
P
k
aik bkj =
P t t
P
aki bjk = btjk atki = dji .
k
k
óÍ. ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÕÒ. 9.1
ÕÒ. 9.9. ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ det(F G) = det F · det G. ðÏÜÔÏÍÕ, ÅÓÌÉ ÍÁÔÒÉ Á F ÏÂÒÁÔÉÍÁ, ÔÏ det F · det F −1 det(F F −1 ) = det E = 1, É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ det F ÏÂÒÁÔÉÍ. Ï,
491
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍ
ÞÔÏ ÆÏÒÍÕÌÁ (9-6) ÒÉ ÏÂÒÁÔÉÍÏÍ det F ÄÁ£Ô ÏÂÒÁÔÎÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ, ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ
ÒÑÍÙÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ.
ÕÒ. 9.10. íÏÖÎÏ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ
a b = b a
0
0
0 1
1 0
É
0 b = b 0
d
d
0 1
1 0
÷ ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ n◦ 1.6.1 (ÓÍ. ÓÔÒ. 18), ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÕ g =
(g1 ; g2 ; : : : ; gn ) ÓÉÍ×ÏÌÏ× {1; 2; : : : ; n} ÍÏÖÎÏ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ËÏÍÏÚÉ ÉÉ g = ◦g′ ,
ÇÄÅ | ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÑ ÓÉÍ×ÏÌÏ× n É gn , Á g′ = ◦g ÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÎÁ ÍÅÓÔÅ ÜÌÅÍÅÎÔ n. éÓÏÌØÚÕÑ ÉÎÄÕË ÉÀ Ï n, ÒÁÚÌÏÖÉÍ g′ × ËÏÍÏÚÉ ÉÀ ÔÒÁÎÓÏÚÉ ÉÊ, ÎÅ ÚÁÔÒÁÇÉ×ÁÀÝÉÈ
ÜÌÅÍÅÎÔÁ n.
ÕÒ. 10.3. ðÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ä×ÏÊÎÙÅ É ÔÒÁÎÓ×ÅÒÓÁÌØÎÙÅ, Ä×Å
ÎÉÔÉ, ÉÄÕÝÉÅ ÉÚ i É ÉÚ j ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÀ ÎÅÞ£ÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚ, ÅÓÌÉ ÁÒÁ (i; j ) ÉÎ×ÅÒÓÎÁ, É Þ£ÔÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚ, ÅÓÌÉ ÁÒÁ ÎÅ ÉÎ×ÅÒÓÎÁ (× ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ËÁÒÔÉÎËÕ ×ÓÅÇÄÁ ÍÏÖÎÏ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ÔÁË, ÞÔÏÂÙ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Á ÔÏÞÅË ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ×
ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÓÉÔÕÁ ÉÑÈ ÒÁ×ÎÑÌÉÓØ 1 É 0 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ). úÎÁË ÔÁÓÕÀÝÅÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ
P
1
= i . äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ,
(i1 ; i2 ; : : : ; ik ; j1 ; j2 ; : : : ; jm ) ÒÁ×ÅÎ (−1)|I |+ 2 k(k+1) , ÇÄÅ ×ÅÓ |I | def
ÎÉÔÉ, ×ÙÈÏÄÑÝÉÅ ÉÚ ÞÉÓÅÌ i1 ; i2 ; : : : ; ik ×ÅÒÈÎÅÊ ÓÔÒÏÞËÉ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÀ
É ÅÒÅÓÅËÁÀÔ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, i1 − 1, i2 − 2, . . . , ik − k ÎÁÞÉÎÁÀÝÉÈÓÑ ÌÅ×ÅÅ ÎÉÔÅÊ,
×ÙÈÏÄÑÝÉÈ ÉÚ j -ÔÏÞÅË É ÔÏÖÅ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÀ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÈÓÑ.
ÕÒ. 10.4. îÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÆÏÒÍÙ ÏÂߣÍÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ
×ÓÅ ÔÁËÉÅ ÆÏÒÍÙ ÒÏÏÒ ÉÏÎÁÌØÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ, ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÌÉÎÅÊÎÏ
ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ×ÅËÔÏÒÏ× v1 ; v2 ; : : : ; vn | ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÌÀÂÙÅ Ä×Å ÔÁËÉÅ ÓÉÓÔÅÍÙ
ÏÌÕÞÁÀÔÓÑ ÄÒÕÇ ÉÚ ÄÒÕÇÁ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÎÁ ÏÂÒÁÔÉÍÕÀ ÍÁÔÒÉ Õ, É ÅÒÅÈÏÄ Ë ÄÒÕÇÏÊ
ÓÉÓÔÅÍÅ ÕÍÎÏÖÁÅÔ É ÞÉÓÌÉÔÅÌØ É ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÄÒÏÂÉ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌÙ (10-7)
ÎÁ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÜÔÏÊ ÍÁÔÒÉ Ù.
ÕÒ. 10.5. õËÁÚÁÎÉÅ: j -ÔÙÊ ÓÔÏÌÂÅ bj ÍÁÔÒÉ Ù b ÒÅÛÁÅÔ ÓÉÓÔÅÍÕ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ Abj = ej .
åÇÏ i-ÔÕÀ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÕ bij ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ Ï ÒÁ×ÉÌÕ ëÒÁÍÅÒÁ:
ÕÒ. 10.1.
bij = det(a1 ; : : : ; ai−1 ; ej ; ai+1 ; : : : ; an )= det(A) :
ðÏÓËÏÌØËÕ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ i-ÔÏÇÏ ÓÔÏÌ Á ÍÁÔÒÉ Ù × ÞÉÓÌÉÔÅÌÅ |
ÜÔÏ ÜÔÏ ÅÄÉÎÉ Á, ÓÔÏÑÝÁÑ × j -ÔÏÊ ÓÔÒÏÞËÅ, ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ×ËÌÁÄ × ÓÕÍÍÕ ÄÁÄÕÔ ÔÏÌØËÏ ÔÅ
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ÍÁÔÒÉ Ù, ËÏÔÏÒÙÅ ÏÔ×ÅÞÁÀÔ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍ g ∈ Sn , ÅÒÅ×ÏÄÑÝÉÍ ÜÌÅÍÅÎÔ i × ÜÌÅÍÅÎÔ j . üÔÏ ÒÏ×ÎÏ ÔÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ, ËÏÔÏÒÙÅ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÄÌÑ
×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ ÍÁÔÒÉ Ù, ÏÌÕÞÁÀÝÅÊÓÑ ÉÚ A ×ÙËÉÄÙ×ÁÎÉÅÍ i-ÔÏÇÏ ÓÔÏÌÂÁ É j -ÔÏÊ ÓÔÒÏËÉ. ïÓÔÁ£ÔÓÑ ×ÎÉÍÁÔÅÌØÎÏ ÒÁÚÏÂÒÁÔØÓÑ ÓÏ ÚÎÁËÁÍÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË.
ÕÒ. 10.6. ðÒÉ Þ£ÔÎÏÍ n ÅÎÔÒ k h1 ; 2 ; : : : ; n i ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÍÏÎÏÍÁÍÉ Þ£ÔÎÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ, ÒÉ ÎÅÞ£ÔÎÏÍ n | ÍÏÎÏÍÁÍÉ Þ£ÔÎÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ É ÓÔÁÒÛÉÍ (ÉÍÅÀÝÉÍ
ÎÅÞ£ÔÎÕÀ ÓÔÅÅÎØ) ÍÏÎÏÍÏÍ 1 ∧ 2 ∧ · · · ∧ n .
ÕÒ. 10.7. ðÅÒÅÎÕÍÅÒÏ×Ù×ÁÑ, ÅÓÌÉ ÎÁÄÏ, ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ i , ÚÁÉÛÅÍ f ËÁË
f ( ) = 1 ∧ ( 2 2 + · · · + n n ) + 2 ∧ ( 3 3 + · · · + n n ) + (ÞÌÅÎÙ ÂÅÚ 1 É 2 )
492
ÇÄÅ
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍ
2 6= 0. ðÅÒÅÊÄ£Í Ë ÎÏ×ÙÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍ 1 ; 2 ; : : : ; n :
′
2′ =
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ 2 =
−1
2
2 2 + · · · + n n ;
′
′
i′ = i ÒÉ i 6= 2 :
(2′ − 3 3′ − · · · − n n′ ) É i = i′ ÒÉ i 6= 2 , ÏÌÕÞÁÅÍ:
f ( ′ ) = 1′ ∧ 2′ + 2′ ∧ ( 3 3′ + · · · + n n′ ) + (ÞÌÅÎÙ ÂÅÚ 1′ É 2′ ) =
= (1′ − 3 3′ − · · · − n n′ ) ∧ 2′ + (ÞÌÅÎÙ ÂÅÚ 1′ É 2′ ) :
ÅÅÒØ ÅÒÅÊÄ£Í Ë ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍ 1′′ ; 2′′ ; : : : ; n′′ :
1′′ = 1′ − 3 3′ − · · · − n n′ ; i′′ = i′ ÒÉ i 6= 1 :
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ 1′ = 1′′ + 3 3′′ + · · · + n n′′ , i′ = i′′ ÒÉ i 6= 1 , ÏÌÕÞÁÅÍ:
q = 1′′ ∧ 2′′ + (ÞÌÅÎÙ ÂÅÚ 1′′ É 2′′ ) :
ðÅÒÅÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍ 1′′ É 2′′ ÞÅÒÅÚ 1 É 2 É Ï ÉÎÄÕË ÉÉ Ï×ÔÏÒÑÅÍ ÒÏ ÅÄÕÒÕ Ó ÏÓÔÁ×ÛÉÍÉÓÑ ÅÒÅÍÅÎÎÙÍÉ.
ÕÒ. 10.8. üÔÏ ÓÒÁÚÕ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á det A = det At .
ÕÒ. 10.10. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï det At = det A É ÌÉÎÅÊÎÏÓÔØ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌÑ Ï ÓÔÒÏËÁÍ É ÓÔÏÌÂÁÍ ÎÁÄ ÌÀÂÙÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ ÓÌÅÄÕÀÔ ÒÑÍÏ ÉÚ ÅÇÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ (ÓÍ.
ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ × ÎÁÞÁÌÅ n◦ 10.3 ÎÁ ÓÔÒ 175). éÚ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÕÍÎÏÖÁÅÔÓÑ ÎÁ ÞÉÓÌÏ, ÅÓÌÉ ËÁËÁÑ-ÔÏ ÓÔÒÏËÁ ÉÌÉ ÓÔÏÌÂÅ ÕÍÎÏÖÁÀÔÓÑ ÎÁ ÞÉÓÌÏ.
ðÏÜÔÏÍÕ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÍÁÔÒÉ Ù Ó ÎÕÌÅ×ÏÊ ÓÔÒÏËÏÊ ÉÌÉ Ó ÎÕÌÅ×ÙÍ ÓÔÏÌ ÏÍ ÎÕÌÅ×ÏÊ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÌÅÍ. 10.3 ÔÁËÖÅ ÒÁÂÏÔÁÅÔ ÎÁÄ ÌÀÂÙÍ ËÏÌØ ÏÍ, ÏÜÔÏÍÕ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ
ÍÁÔÒÉ Ù, ÉÍÅÀÝÅÊ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÓÔÒÏËÉ ÉÌÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ ÓÔÏÌ ٠ÎÕÌÅ×ÏÊ. éÚ ÓËÁÚÁÎÎÏÇÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÎÅ ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÈ
ÅÒ×ÏÇÏ ÔÉÁ (ËÏÇÄÁ Ë ÓÔÒÏËÅ (ÓÏÏÔ×. ÓÔÏÌ Õ) ÒÉÂÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÄÒÕÇÁÑ ÓÔÒÏËÁ (ÓÏÏÔ×.
ÓÔÏÌÂÅ ), ÕÍÎÏÖÅÎÎÁÑ ÎÁ ÌÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ËÏÌØ Á). éÚ ÜÔÏÇÏ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÓÔÏÌÂ Ù
a1 ; a2 ; : : : ; an ÍÁÔÒÉ Ù A ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙ: 1 a1 + 2 a2 + · · · + n an = 0, ÔÏ
0 = det (0; a2 ; : : : ; an ) = det
X
!
a ; a2 ; : : : ; an =
=
X
det (a ; a2 ; : : : ; an ) = det (a1 ; a2 ; : : : ; an )
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á det(AB ) = det A · det B , ÄÁÎÎÏÅ × (10-10){(10-11), ÒÏÈÏÄÉÔ
ÎÁÄ ÌÀÂÙÍ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÙÍ ËÏÌØ ÏÍ.
ÕÒ. 11.1. ÷ÓÅ ÒÏ×ÅÒËÉ ÒÏ×ÏÄÑÔÓÑ ÄÏÓÌÏ×ÎÏ ÔÁËÖÅ, ËÁË ÄÌÑ ËÌÁÓÓÏ× ×ÙÞÅÔÏ× Ï ÍÏÄÕÌÀ ÉÄÅÁÌÁ ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÏÇÏ ËÏÌØ Á (ÓÒ. Ó ÕÒ. 6.2 É ÕÒ. 6.2).
∼
- im (') ÅÒÅ×ÏÄÉÔ ËÌÁÓÓ m (mod ker ') × '(m).
ÕÒ. 11.2. éÚÏÍÏÒÆÉÚÍ M1 = ker(')
ðÒÏ×ÅÒËÁ ËÏÒÒÅËÔÎÏÓÔÉ É ÂÉÅËÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÁ.
ÕÒ. 12.1. ðÕÓÔØ ÒÏÄÅÌÁÎÎÙÅ Ó ÍÁÔÒÉ ÅÊ C ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÒÏË ÚÁËÌÀÞÁÀÔÓÑ ×
ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ ÓÌÅ×Á ÎÁ ÍÁÔÒÉ Ù Sk Sk−1 : : : S2 S1 , Á ÒÏÄÅÌÁÎÎÙÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÏÌ Ï× | × ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ ÓÒÁ×Á ÎÁ R1 R2 : : : R` . ÏÇÄÁ
F = Sk Sk−1 · · · S2 S1 E É G = ER1 R2 : : : R` :
493
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍ
ÕÒ. 12.3.
òÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏÓÔØ ÕÓÌÏ×ÉÊ (a), (Â) É (×) ÏÞÅ×ÉÄÎÁ ÏÓÌÅ ÅÒÅÈÏÄÁ Ë ×ÚÁÉÍÎÙÍ
ÂÁÚÉÓÁÍ Zm É ÏÄÒÅÛ£ÔËÉ. òÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏÓÔØ (×) É (Ç) ×ÙÔÅËÁÅÔ ÒÑÍÏ ÉÚ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ
ÒÁÎÇÁ.
ÕÒ. 12.4. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï 'n = 0 ÒÉ n ⩾ m ÏÞÅ×ÉÄÎÏ. ðÕÓÔØ 0 ⩽ n < m. åÓÌÉ 'n (x) = 0,
ÔÏ pn x = pm y ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ y ∈ K , ÏÔËÕÄÁ x = pm−n y (ÍÙ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÔÅÍ,
ÞÔÏ × K ÎÅÔ ÄÅÌÉÔÅÌÅÊ ÎÕÌÑ). îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ x = pm−n y, ÔÏ pn x = 0 (mod pm ). ÁËÉÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ ker 'n = im 'm−n . ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ
K= (pn )
x (mod pn )7→pm−n x (mod pm ) -
K= ((pm )
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÙÍ ÉÎßÅËÔÉ×ÎÙÍ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ K -ÍÏÄÕÌÅÊ, ÉÚÏÍÏÒÆÎÏ ÏÔÏÂÒÁÖÁÀÝÉÍ K= (pn ) ÎÁ im 'm−n . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
ker 'n ≃ im 'm−n ≃
K= (pm )
≃ K= (pn ) :
ker 'm−n
ÕÒ. 13.1. ðÕÓÔØ k[t℄= (tn ) = U ⊕ W , ÇÄÅ U É W ÅÒÅ×ÏÄÑÔÓÑ × ÓÅÂÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÎÁ t. ïÂÁ
ÜÔÉÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÅÌÉËÏÍ ÓÏÄÅÒÖÁÔØÓÑ × ÏÂÒÁÚÅ ÏÅÒÁÔÏÒÁ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ
ÎÁ t (ÉÎÁÞÅ ÉÈ ÓÕÍÍÁ ÔÏÖÅ ÂÙ × Î£Í ÓÏÄÅÒÖÁÌÁÓØ), ÏÜÔÏÍÕ × ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÎÉÈ, ÓËÁÖÅÍ,
× U , ÅÓÔØ ËÌÁÓÓ a (mod tn ), ÇÄÅ a ∈ k ÏÔÌÉÞÎÏ ÏÔ ÎÕÌÑ. îÏ ÔÏÇÄÁ × U ÌÅÖÁÔ ×ÓÅ ËÌÁÓÓÙ
atm (mod tn ) Ó 0 ⩽ m ⩽ (n − 1), Á ÏÎÉ ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄÁÀÔ ×Ó£ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï k[t℄= (tn ) .
ÕÒ. 13.2. åÓÌÉ V = U ⊕ W , ÇÄÅ U É W F -ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙ, ÔÏ V ∗ = Ann U ⊕ Ann W É ÏÂÁ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á Ann U É Ann W ÂÕÄÕÔ F ∗ -ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙ: ÓËÁÖÅÍ, ÅÓÌÉ ∈ Ann U , ÔÏ
∀ u ∈ U hF ∗ ; ui = h; F ui = 0 , ÏÓËÏÌØËÕ F u ∈ U , É ÚÎÁÞÉÔ, F ∗ ∈ Ann U . ïÂÒÁÔÎÁÑ
ÉÍÌÉËÁ ÉÑ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ Ï Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ × ÓÉÌÕ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÁ V ∗∗ = V .
ÕÒ. 13.3. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÄÒÕÇÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ w = v Cvw ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (9-13) ÓÏ ÓÔÒ. 160
−1 F C , ÉÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ
×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï Fw = óvw
v vw
−1
−1
−1
ECvw − óvw
Fv Cvw = det óvw
( E − Fv ) Cvw =
det ( E − Fw ) = det óvw
−1
= det óvw det ( E − Fv ) det Cvw = det ( E − Fv ) :
åÓÌÉ ∈ Spe F É g() 6= 0, ÔÏ g(F ) ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ (ÎÅÎÕÌÅ×ÏÍ!) ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÍ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÎÁ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÞÉÓÌÏ g(). ÅÍ ÓÁÍÙÍ, g(F ) 6= 0 .
ÕÒ. 13.5. óÍ. ÎÁÒÉÍÅÒ § 9 ËÎÉÇÉ ëÏÓÔÒÉËÉÎ á. é., íÁÎÉÎ à. é. ìÉÎÅÊÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁ
É ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ . M. €îÁÕËÁ.
ÕÒ. 13.6. åÓÌÉ an = 0, bm = 0 É ab = ba, ÔÏ (a + b)m+n−1 = 0 Ï ÆÏÒÍÕÌÅ îØÀÔÏÎÁ.
ÕÒ. 13.8. ïÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ (13-13) ÌÉÎÅÊÎÏ. òÁ×ÅÎÓÔ×Ï s(fg ) = s(f )s(g ) ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ
P k ( )ÒÏk
( )
×ÅÒÑÔØ ÏÔÄÅÌØÎÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÕÉ. ðÏ ÆÏÒÍÕÌÅ ìÅÊÂÎÉ Á (fg) =
f g .
ÕÒ. 13.4.
+=k
ðÏÜÔÏÍÕ
sm
(fg ) ≡
X (t − )k X
k
k!
k ! ( ) ( )
f ()g () ≡
!!
+=k
≡
f ( ) ()
g() ()
m
(t − ) ·
(t − ) ≡ sm
(f )s (g )
!
!
k +=k
X X
494
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍ
åÓÌÉ (u; v) < 0, ÔÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï × ×ÙËÌÁÄËÅ, ÒÅÄÛÅÓÔ×Ï×Á×ÛÅÊ ÕÓÌÏ×ÉÀ
ÚÁÄÁÞÉ, ÓÔÒÏÇÏÅ.
ÕÒ. 14.3. úÎÁÞÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ gej ÎÁ ÂÁÚÉÓÎÏÍ ×ÅËÔÏÒÅ e ÒÁ×ÎÏ (e ; ej ), É ÚÎÁÞÉÔ, ÓÔÏÌÂÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÙ × Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÂÁÚÉÓÅ e∗ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÊ (e ; ej ).
ÕÒ. 14.6. âÁÒÉ ÅÎÔÒ ÏÂßÅÄÉÎÅÎÉÑ ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ
ÕÒ. 14.2.
X
i
i −→
pi +
X
j
j −→
qj = 0 :
P
→
→
→,−
→ =−
→
→
→ = 0,
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ × ÎÅÇÏ −
pi = −
p+−
pp
q + −
qq j , É ÏÌØÚÕÑÓØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ i −
pp
i qq j
i
P −
P
P −→
→
j qqj = 0, ÏÌÕÞÁÅÍ
i →p +
j −
q = 0.
ÕÒ. 14.11. ðÅÒ×ÏÅ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÔÏÞËÉ a É b ÌÅÖÁÔ × ×ÍÅÓÔÅ Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ "-ËÕÂÁÍÉ B" (a) ⊂ É B" (b) ⊂ (ÓÍ. ÒÉÓ. 27⋄4), ÔÏ ÉÚ
×ÙÕËÌÏÓÔÉ ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÏÔÒÅÚËÁ [ab℄ ÔÏÖÅ ÓÏÄÅÒb
a
ÖÁÔØÓÑ × ×ÍÅÓÔÅ Ó ÎÅËÏÔÏÒÙÍÉ ËÕÂÉÞÅÓËÉÍÉ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÑÍÉ.
÷ÔÏÒÏÅ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ a = lim ak É b = lim bk , ÔÏ ÒÉ
ÌÀÂÙÈ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ , ÍÙ ÉÍÅÅÍ lim(ai + bi ) = a + b.
òÉÓ. 27⋄4.
ÕÒ. 15.2. åÓÌÉ y = f (x) É g (x) = x, ÔÏ y = fg (x) = fgf −1 (y ), Ô. Å. f · StabG (x) · f −1 ⊂
StabG (y) . ðÏÓËÏÌØËÕ x = f −1 (y), ÍÅÎÑÑ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÉ x ÎÁ y, f | ÎÁ
f −1 , Á g ∈ StabG (x) | ÎÁ h ∈ StabG (y) , ÏÌÕÞÁÅÍ f −1 · StabG (y) · f ⊂ StabG (x) .
ïÓÔÁ£ÔÓÑ ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ ÓÏÒÑÖÅÎÉÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ f É f −1
Adf : G
g7→fgf −1 -
G
É
Adf −1 : G
g7→f −1 gf -
G
ÏÂÒÁÔÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ: Adf Adf −1 = Adf −1 Adf = IdG . ðÏÜÔÏÍÕ ÏÂÁ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
StabG (x) Adf StabG (y)
Adf −1
×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÙ .
ÕÒ. 15.7. ïÔ×ÅÔ: |1; 2; 3; 4i = 12 23 34 , |1; 2; 4; 3i = 12 24 34 , |1; 3; 2; 4i = 13 23 24 ,
|1; 3; 4; 2i = 13 34 24 , |1; 4; 2; 3i = 24 23 13 , |1; 4; 3; 2i = 34 23 12 .
ÕÒ. 15.9. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ g −1 ÏÄÉÎ ÉÚ ÌÅ×ÙÈ ÏÂÒÁÔÎÙÈ Ë g ÜÌÅÍÅÎÔÏ×, Á ÞÅÒÅÚ e |
ÏÄÎÕ ÉÚ ÌÅ×ÙÈ ÅÄÉÎÉ . ÏÇÄÁ g−1 gg−1 = eg−1 = g−1 . õÍÎÏÖÁÑ ÒÁ×ÕÀ É ÌÅ×ÕÀ ÞÁÓÔÉ
ÜÔÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÌÅ×Á ÎÁ ÌÅ×ÙÊ ÏÂÒÁÔÎÙÊ Ë g−1 ÜÌÅÍÅÎÔ, ÏÌÕÞÁÅÍ gg−1 = e. ÅÍ
ÓÁÍÙÍ, g−1 Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ É ÒÁ×ÙÍ ÏÂÒÁÔÎÙÍ Ë g (É ÏÔÏÍÕ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÅÎ,
ÓÍ. n◦ 15.2.1). ïÔÓÀÄÁ, × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ e Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁËÖÅ É ÒÁ×ÏÊ
ÅÄÉÎÉ ÅÊ: ge = g(g−1 g) = (gg−1 )g = eg = g.
ÕÒ. 15.11. ïÔ×ÅÔ: [−2℄7 É [3℄7 .
ÕÒ. 15.12. ðÕÓÔØ k = dr , m = ord ( ) = ds, ÇÄÅ ÎÏÄ(r; s) = 1. åÓÌÉ d > 1, ÔÏ d Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ d ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÉËÌÏ× ÄÌÉÎÙ s , É k = d r ÂÕÄÅÔ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ sÔÙÈ ÓÔÅÅÎÅÊ ÜÔÉÈ ÉËÌÏ×. ïÓÔÁ£ÔÓÑ ÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÏÇÄÁ ord ( ) = m ×ÚÁÉÍÎÏ ÒÏÓÔ
Ó k, ÔÏ k ÔÏÖÅ
ÉËÌ ÄÌÉÎÙ m. åÓÌÉ ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ ÜÌÅÍÅÎÔÁ a ÉËÌÁ ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï k r (a) = a, ÔÏ kr ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ m, ÞÔÏ ÒÉ ÎÏÄ(k; m) = 1 ×ÏÚÍÏÖÎÏ ÔÏÌØËÏ
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍ
495
ËÏÇÄÁ r ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ m. ðÏÜÔÏÍÕ r ⩾ m, Ô. Å. ÄÌÉÎÁ ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ a ÉËÌÁ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ
k ÎÅ ÍÅÎØÛÅ m.
ÕÒ. 15.13. ïÔ×ÅÔ: n(n − 1) · · · (n − k + 1)=k (× ÞÉÓÌÉÔÅÌÅ ÄÒÏÂÉ k ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ).
ÕÒ. 15.14. îÅÅÒÅÓÅËÁÀÝÉÅÓÑ ÉËÌÙ ÏÞÅ×ÉÄÎÏ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ. åÓÌÉ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÉÅ
ÉËÌÙ 1 É 2 ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ Ï ÜÌÅÍÅÎÔÕ a, ÔÏ 1 (a) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÉËÌÁ 2 ,
ÏÓËÏÌØËÕ × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ 2 1 (a) = 1 (a), Á 1 2 (a) 6= 1 (a), ÔÁË ËÁË 2 (a) 6= a.
ðÏ ÔÏÊ ÖÅ ÒÉÞÉÎÅ 2 (a) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ ÉËÌÁ 1 , É ÚÎÁÞÉÔ, ÏÂÁ ÉËÌÁ ÓÏÓÔÏÑÔ
ÉÚ ÏÄÎÉÈ É ÔÅÈ ÖÅ ÜÌÅÍÅÎÔÏ×. ðÕÓÔØ 1 (a) = 2s (a). ìÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ b, ÎÁ ËÏÔÏÒÙÊ ÏÂÁ
ÉËÌÁ ÒÅÁÌØÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÀÔ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ b = 2r (a), É ÉËÌ 1 ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÎÅÇÏ ËÁË 2s :
1 (b) = 1 2r (a) = 2r 1 (a) = 2r 2s (a) = 2s 2r (a) = 2s (b) :
÷ÔÏÒÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÕÒ. 15.12.
n
Q
ÕÒ. 15.15. ïÔ×ÅÔ: n!=
imi mi ! (ÓÒ. Ó ÆÏÒÍÕÌÏÊ (1-12) ÎÁ ÓÔÒ. 11).
i=1
òÅÛÅÎÉÅ: ÓÏÏÓÔÁ×ÉÍ ËÁÖÄÏÍÕ ÚÁÏÌÎÅÎÉÀ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ ÉËÌÏ× ÎÅÏ×ÔÏÒÑÀÝÉÍÉÓÑ ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ n ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÉËÌÏ×, ÉËÌÉÞÅÓËÉ ÅÒÅÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÉ ÓÌÅ×Á ÎÁÒÁ×Ï; ÏÌÕÞÁÅÍ ÓÀÒØÅËÔÉ×ÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÚÁÏÌÎÅÎÉÊ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÉËÌÏ×ÏÇÏ ÔÉÁ ; ÒÏÏÂÒÁÚ
n
Q
ËÁÖÄÏÊ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ imi mi ! ÚÁÏÌÎÅÎÉÊ, ÏÌÕÞÁÀÝÉÈÓÑ ÄÒÕÇ ÉÚ ÄÒÕÇÁ
i=1
ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÍÉ ÉËÌÉÞÅÓËÉÍÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÏ× × ËÁÖÄÏÊ ÓÔÒÏËÅ É ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ ÓÔÒÏË ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÄÌÉÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÀ ËÁË ÅÄÉÎÏÇÏ ÅÌÏÇÏ.
ÕÒ. 15.16. |1; 6; 3; 4i15 · |2; 5; 8i15 · |7; 9i15 = |1; 6; 3; 4i−1 · |7; 9i = (4; 2; 6; 3; 5; 1; 9; 8; 7)
ÕÒ. 15.19. ðÒÏÝÅ ×ÓÅÇÏ ÜÔÏ Õ×ÉÄÅÔØ ÎÁ ÍÏÄÅÌÉ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ: ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÑÔÉ ÄÉÁÇÏÎÁÌÅÊ
ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÇÒÁÎÉ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÄÏÓÔÒÁÉ×ÁÅÔÓÑ ÄÏ ÔÁËÏÇÏ
ËÕÂÁ, ÒÉ ÜÔÏÍ ÎÁ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÇÒÁÎÅÊ ÒÏ×ÎÏ ÏÄÎÁ ÉÚ ÄÉÁÇÏÎÁÌÅÊ ÂÕÄÅÔ ÒÅÂÒÏÍ ÜÔÏÇÏ
ËÕÂÁ.
ÕÒ. 15.20. ðÏÄÓËÁÚËÁ: ÅÎÔÒÁÌØÎÁÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÑ ËÏÍÍÕÔÉÒÕÅÔ ÓÏ ×ÓÅÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÏÌÎÏÊ ÇÒÕÙ ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ; ÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁ × S5 , ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÝÁÑ ÓÏ ×ÓÅÍÉ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍÉ ÉÚ S5 | ÜÔÏ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ.
ÕÒ. 16.1. òÅÆÌÅËÓÉ×ÎÏÓÔØ: ∀ g ∈ G g = ge É e ∈ H ; ÔÒÁÎÚÉÔÉ×ÎÏÓÔØ: g1 = g2 h21 ,
g2 = g3 h32 ⇒ g1 = g3 h31 , ÇÄÅ h31 = h32 h21 ; ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔØ: g1 = g2 h21 ⇒ g2 = g1 h12 ,
ÇÄÅ h12 = h−211 .
ÕÒ. 16.2. Ï, ÞÔÏ ÏÒÂÉÔÙ ÒÁ×ÏÇÏ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÎÁ H ÓÕÔØ ÌÅ×ÙÅ ÓÍÅÖÎÙÅ ËÌÁÓÓÙ gH |
ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, Á ÅÒ×ÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ × ÒÅÄÌ. 16.1 ÅÓÔØ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ÏÒÂÉÔÙ ÎÅ
ÅÒÅÓÅËÁÀÔÓÑ ÉÌÉ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ. éÍÌÉËÁ ÉÑ xh−1 = x ⇒ h = e ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÏÂÅÉÈ ÞÁÓÔÅÊ ÅÒ×ÏÇÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÓÌÅ×Á ÎÁ x−1 . éÚ ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÓÔÉ ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒÏ×
Ï ÆÏÒÍÕÌÅ ÄÌÑ ÄÌÉÎÙ ÏÒÂÉÔÙ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÄÌÉÎÙ ×ÓÅÈ ÏÒÂÉÔ ÒÁ×ÎÙ |H |, ÏÔËÕÄÁ
|G| = |XG | = |H | · |G=H |.
ÕÒ. 16.6. ðÏÓËÏÌØËÕ ÁÆÆÉÎÎÙÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ F É G = F v ÉÍÅÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÊ ÄÉÆ−−−−−−→
ÆÅÒÅÎ ÉÁÌ DG = DF , Ï ÆÏÒÍÕÌÅ (14-19) ÉÚ n◦ 14.6.4 G = w ◦F , ÇÄÅ w = F (p)G(p) =
−−−−−−−−−→
F (p)F (p + v) = DF (v).
ÕÒ. 16.8. ðÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ÆÏÒÍÕÌÙ (16-5), ÒÉ×ÅÄ£ÎÎÁÑ Ï ÍÏÄÕÌÀ 3, Ï ÍÏÄÕÌÀ 4 É Ï
ÍÏÄÕÌÀ 5, ÒÁ×ÎÁ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, 1 − "3 , 1 − "4 É 1 + 2("1 + "2 ) . ïÎÁ ÍÏÖÅÔ ÄÅÌÉÔØÓÑ
496
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍ
ÎÁ 3 ÉÌÉ ÎÁ 4 ÔÏÌØËÏ ÅÓÌÉ "3 = 1 ÉÌÉ "4 = 1. ÷ ÏÂÏÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ |H | ⩾ 16, ÔÁË ÞÔÏ |H |
ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÉ 3, ÎÉ 4, ÎÉ 3 · 4, ÎÉ 3 · 5 . åÓÌÉ |H | ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ 5, ÔÏ "1 = "2 = 1 É
|H | ⩾ 25, ÔÁË ÞÔÏ |H | ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÉ 5, ÎÉ 4 · 5 . ïÓÔÁÀÔÓÑ ÒÏ×ÎÏ Ä×Å ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ:
|H | = 1 É | H | = 3 · 4 · 5 .
ÕÒ. 16.9. ÷ÏÓÏÌØÚÕÊÔÅÓØ ÉÎÄÕË ÉÅÊ. ÷ÌÏÖÉÔÅ An−1 × An ËÁË ÓÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒ ÓÉÍ×ÏÌÁ
n, É ÄÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÁÑ ÎÏÒÍÁÌØÎÁÑ ÏÄÇÒÕÁ × An ÏÂÑÚÁÎÁ ÉÍÅÔØ ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ Ó An−1 . ÏÇÄÁ ÏÎÏ ÂÕÄÅÔ Á×ÔÏÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÎÏÒÍÁÌØÎÏ × An−1 , ÞÔÏ
ÂÕÄÅÔ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔØ ÉÎÄÕËÔÉ×ÎÏÍÕ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ Ï ÒÏÓÔÏÔÅ An−1 .
ÕÒ. 16.10. ðÕÓÔØ ÅÎÔÒ C (G) = C . åÓÌÉ |C | = p, ÔÏ ó ≃ G=C ≃ Z=(p). ðÕÓÔØ a ∈
C | ÏÂÒÁÚÕÀÝÁÑ ÅÎÔÒÁ, b ∈ G | ÔÁËÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ, ÞÔÏ ÓÍÅÖÎÙÊ ËÌÁÓÓ bC Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÏÂÒÁÚÕÀÝÅÊ × G=C . ÏÇÄÁ ÌÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÇÒÕÙ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ bk am . ðÏÓËÏÌØËÕ a ∈ C ,
ÌÀÂÙÅ Ä×Á ÔÁËÉÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁ
ËÏÍÍÕÔÉÒÕÀÔ.
P
P
P
P t P
ÕÒ. 17.1. (wi ; wj ) =
v
;
v
=
i
i · (v ; v ) · j =
j
i · (v ; v ) · j
;
ÉÌÉ ËÏÒÏÞÅ: Bw = wt w = C tw vt v C w = C tw vt Bv C w .
ÕÒ. 17.2. ÅÒ×ÏÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (v + w; v + w ) = (v; v ) + (w; w ) + (v; w ) +
(w; v), ×ÔÏÒÏÅ | ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (v; v) = − (v; v)
ÕÒ. 17.3. üÔÏ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÈ É ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÙÈ ÍÁÔÒÉ
ÒÁÚÍÅÒÁ n × n, ÒÁ×ÎÙÅ n(n ± 1)=2.
ÕÒ. 17.5. ðÅÒÅÈÏÄ Ë ÄÒÕÇÏÍÕ ÂÁÚÉÓÕ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÊ ÚÁÍÅÎÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÏÓÔÁÀÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ (ÈÏÔÑ É ÍÅÎÑk
- ÔÏÖÅ ËÏÎÅÞÎÏ, Á
ÀÔÓÑ ). åÓÌÉ ÏÌÅ k ËÏÎÅÞÎÏ, ÔÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï ÆÕÎË ÉÊ V
ËÏÌØ Ï ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ. ðÏÜÔÏÍÕ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ, ÓÏÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÕ ÆÕÎË ÉÀ ÄÏÌÖÅÎ ÉÍÅÔØ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÑÄÒÏ. îÁÄ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÍ ÏÌÅÍ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ n ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÙÊ ÎÕÌÀ ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ kn | ÜÔÏ
ÎÕÌÅ×ÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ. äÏËÁÖÅÍ ÜÔÏ ÉÎÄÕË ÉÅÊ Ï n = dim V . îÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
f (x) ÏÔ ÏÄÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÉÍÅÔØ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ deg f ËÏÒÎÅÊ. ðÏÜÔÏÍÕ, ÅÓÌÉ
f (p) = 0 ÄÌÑ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÔÏÞÅË p ∈ k, ÔÏ f (x) = 0 × k[x℄. íÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ
n ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÏÔ ÏÄÎÏÊ ÅÒÅÍÅÎÎÏÊ xn Ó ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ ÉÚ
k[x1 ; x2 ; : : : ; xn−1 ℄ :
f (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) =
d
X
=0
' (x1 ; x2 ; : : : ; xn−1 ) · xdn− :
÷ÙÞÉÓÌÑÑ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÙ ' × ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÊ ÔÏÞËÅ (p1 ; p2 ; : : : ; pn−1 ) ∈ kn−1 , ÍÙ ÏÌÕÞÁÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÏÔ xn Ó ÏÓÔÏÑÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉ ÉÅÎÔÁÍÉ, ÚÁÄÁÀÝÉÊ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ
ÎÕÌÅ×ÕÀ ÆÕÎË ÉÀ ÎÁ ÒÑÍÏÊ
(x1 ; x2 ; : : : ; xn−1 ) = (p1 ; p2 ; : : : ; pn−1 ) ;
É ÏÔÏÍÕ ÎÕÌÅ×ÏÊ. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ×ÓÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ' Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÕÌÅ×ÙÍÉ
ÆÕÎË ÉÑÍÉ ÎÁ kn−1 . ðÏ ÒÅÄÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕË ÉÉ, ÏÎÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÕÌÅ×ÙÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ.
ÕÒ. 17.6. ðÅÒÅÈÏÄ Ë ÄÒÕÇÏÍÕ ÂÁÚÉÓÕ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÊ ÚÁÍÅÎÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ
ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ.
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍ
497
ÕÒ. 17.7. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ × V ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÂÁÚÉÓ e1 ; e2 ; : : : ; en , ÒÁÚÌÏÖÉÍ v É w Ï ÜÔÏÍÕ
ÂÁÚÉÓÕ ËÁË v =
P
x i ei É w =
P
yi ei É ÚÁÉÛÅÍ q × ×ÉÄÅ (17-9). ÏÇÄÁ
q(v + w) − q(v) − q(w) = (x + y)B (xt − yt ) − xBxt − yByt = xByt + yBxt = 2 xByt :
(× ÏÓÌÅÄÎÅÍ ÅÒÅÈÏÄÅ ÍÙ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ yBxt , ÂÕÄÕÞÉ ÍÁÔÒÉ ÅÊ
ÒÁÚÍÅÒÁ 1 × 1, ÓÏ×ÁÄÁÅÔ ÓÏ Ó×ÏÅÊ ÔÒÁÎÓÏÎÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ×ÅÒÓÉÅÊ, É × ÓÉÌÕ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ ÍÁÔÒÉ Ù B ÒÁ×ÎÏ yBxt = (yBxt )t = xB t yt = xByt ). ïÓÔÁÌØÎÙÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ
ÒÏ×ÅÒÑÀÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ.
ÕÒ. 17.8. f (e) ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ f (e)⊥ É ÅÒÅ×ÏÄÉÔ f (e) × −f (e) = f (−e).
ëÏÍÏÚÉ ÉÑ f ◦e ◦f −1 ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÞÎÏ ÔÁËÖÅ, ÏÓËÏÌØËÕf −1 ÅÒÅ×ÏÄÉÔ f (e)⊥ × e⊥ ×
ÓÉÌÕ ÉÚÏÍÅÔÒÉÞÎÏÓÔÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁ f .
ÕÒ. 17.11. óÏÇÌÁÓÎÏ n◦ 17.2.2, ÇÉÅÒÂÏÌÉÎÏÓÔØ ÆÏÒÍÙ x21 + x22 ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÁ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ
−1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÁÔÏÍ × Fp . ëÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ × n◦ 4.4.4, ÜÔÏ ÒÏÉÓÈÏÄÉÔ × ÔÏÞÎÏÓÔÉ
ÒÉ p ≡ 1 (mod 4) . òÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ ÒÏ ×ÔÏÒÕÀ ÆÏÒÍÕ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ.
ÕÒ. 17.13. det ! = det(−! t ) = (−1)dim V det ! t = (−1)dim V det ! .
ÕÒ. 18.1. ëÁÖÄÁÑ ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÎÁÞÁÌÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÒÑÍÁÑ × Rn+1 ÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÅÄÉÎÉÞÎÕÀ ÓÆÅÒÕ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÕÌÅ Ï Ä×ÕÍ ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÍ ÔÏÞËÁÍ.
âÅÒÑ ×ÍÅÓÔÏ ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÓÆÅÒ٠ţ ÚÁÍËÎÕÔÕÀ ÏÌÕÓÆÅÒÕ (ÓËÁÖÅÍ, ÚÁÄÁÎÎÕÀ ÕÓÌÏ×ÉÅÍ
x0 ⩾ 0, ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÔØ Pn (R) Ó n-ÍÅÒÎÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ÏÌÕÓÆÅÒÏÊ, Õ ËÏÔÏÒÏÊ
ÏÁÒÎÏ ÓËÌÅÅÎÙ ×ÓÅ ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÇÒÁÎÉ Ù. åÓÌÉ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÔØ n-ÍÅÒÎÕÀ ÏÌÕÓÆÅÒÕ ËÁË (ÚÁÏÌÎÅÎÎÙÊ) ÛÁÒ × Rn , ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÙÍ
ÏÂÒÁÚÏÍ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ Pn (R) ÇÏÍÅÏÍÏÒÆÎÏ n-ÍÅÒÎÏÍÕ ÛÁÒÕ, Õ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÓËÌÅÅÎÙ ×ÍÅÓÔÅ ËÁÖÄÙÅ Ä×Å ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ ÔÏÞËÉ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÀÝÅÊ ÅÇÏ ÓÆÅÒÙ.
ðÒÉ n = 3 ÏÌÕÞÁÅÍ ÇÒÕÕ SO3 (R), ÜÌÅÍÅÎÔÙ ËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÖÅ ÍÏÖÎÏ ÎÅÒÅÒÙ×ÎÏ
ÚÁÁÒÁÍÅÔÒÉÚÏ×ÁÔØ ÔÏÞËÁÍÉ ÔÒ£ÈÍÅÒÎÏÇÏ ÛÁÒÁ ÒÁÄÉÕÓÁ Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÕÌÅ É ÓËÌÅÅÎÎÙÍÉ ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ ÇÒÎÉ Ù: ÔÏÞËÅ P ÛÁÒÁ ÏÔ×ÅÞÁÅÔ
Ï×ÏÒÏÔ ×ÏËÒÕÇ ÒÑÍÏÊ OP ÎÁ ÕÇÏÌ |OP | Ï þó, ÅÓÌÉ ÓÍÏÔÒÅÔØ ÏÔ O Ë P (ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÙÍ ÔÏÞËÁÍ ÓÆÅÒÙ ÒÁÄÉÕÓÁ ÒÉ ÜÔÏÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÅ Ï×ÏÒÏÔÙ
ÎÁ 180◦).
ðÒÉ n = 2 ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï P2 (R) ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ ÓËÌÅÉ×ÁÎÉÅÍ ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÈ ÔÏÞÅË ÇÒÁÎÉ Ù Õ ÄÉÓËÁ ÉÌÉ, ÞÔÏ ÔÏ ÖÅ ÓÁÍÏÅ, Õ Ë×ÁÄÒÁÔÁ. åÓÌÉ ×ÎÁÞÁÌÅ ÓËÌÅÉÔØ Ï ÜÔÏÍÕ ÒÁ×ÉÌÕ ÁÒÕ ÒÏÔÉ×ÏÌÅÖÁÝÉÈ ÓÔÏÒÏÎ, ÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÌÅÎÔÁ í£ÂÉÕÓÁ.
äÁÌØÎÅÊÛÁÑ ÓËÌÅÊËÁ ÒÅÄÉÓÙ×ÁÅÔ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÔØ ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÅ
ÔÏÞËÉ Å£ ÇÒÁÎÉ Ù, ÞÔÏ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÚÁËÌÅÉ×ÁÎÉÀ ÇÒÁÎÉ Ù ÄÉÓËÏÍ.
n+d − 1 .
ÕÒ. 18.2.
d
ÕÒ. 18.3. ìÀÂÁÑ ÒÑÍÁÑ × ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ÉÍÅÅÔ ÎÅÕÓÔÏÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ Ó
ÌÀÂÏÊ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØÀ.
ÕÒ. 18.4. ïÂßÅÄÉÎÅÎÉÅ ∪Ann (ai ) ⊂ V ∗ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×
ËÏÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔÉ 1 ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÓÏ×ÁÄÁÔØ ÓÏ ×ÓÅÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ
V ∗ , ÏÓËÏÌØËÕ ÓÏÄÅÒQ
ÖÉÔÓÑ × ÍÎÏÖÅÓÔ×Å ÎÕÌÅÊ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ ai (ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ
ai , ÚÁÄÁÀÝÉÈ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÉ Ann (ai ) ⊂ V ∗ ), ËÏÔÏÒÙÊ Ï ÕÒ. 17.5 ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÏÂÒÁÝÁÔØÓÑ × ÎÕÌØ ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ V ∗ . ðÏÜÔÏÍÕ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ∈ V ∗ , ÔÁËÏÊ ÞÔÏ h; ai i =
6 0
ÄÌÑ ×ÓÅÈ i .
498
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍ
åÓÌÉ ÒÑÍÁÑ ËÁÓÁÅÔÓÑ Ë×ÁÄÒÉËÉ × ÔÏÞËÅ b É ÅÒÅÓÅËÁÅÔ Å£ ÅÝ£ × ËÁËÏÊ-ÎÉÂÕÄØ ÔÏÞËÅ a 6= b, ÔÏ ÔÁËÁÑ ÒÑÍÁÑ ÅÌÉËÏÍ ÌÅÖÉÔ ÎÁ Ë×ÁÄÒÉËÅ, ÏÓËÏÌØËÕ ÍÁÔÒÉ Á
çÒÁÍÁ ×ÅËÔÏÒÏ× a; b ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÎÕÌÅ×ÁÑ. ÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÔÏÞËÁ ÌÅÖÁÝÁÑ × ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ ×ÓÅÈ ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, ÔÁËÏ×Á, ÞÔÏ ×ÓÑËÁÑ ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÎÅ£ ÒÑÍÁÑ
ÌÉÂÏ ÂÏÌØÛÅ ÕÖÅ ÎÉÇÄÅ ÎÅ ÅÒÅÓÅËÁÅÔ Ë×ÁÄÒÉËÕ, ÌÉÂÏ ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÎÅÊ ÅÌÉËÏÍ. ðÏ
ÌÅÍ. 19.1 ÜÔÏ ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ. îÁÏÂÏÒÏÔ, ÌÀÂÏÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÉÚ ker qb ÌÅÖÉÔ × ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÉ
×ÓÅÈ Ann qb(b).
ÕÒ. 19.2. ðÅÒ×ÏÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÒÏÅËÔÉ×ÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï P(S 2 V ∗ ) Ë×ÁÄÒÉË ÎÁ
P3 = P(V ) ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ 9, É ÌÀÂÙÅ 9 ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔÅÊ × P9 ÉÍÅÀÔ ÎÅÕÓÔÏÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ. ÷ÔÏÒÏÅ | ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÒÑÍÁÑ, ÅÒÅÓÅËÁÀÝÁÑ Ë×ÁÄÒÉËÕ × ÔÒ£È ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ
ÔÏÞËÁÈ, ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÎÅÊ ÅÌÉËÏÍ. ÒÅÔØÅ | ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÎÉ ÎÁ ÏÄÎÏÊ ÉÚ Ë×ÁÄÒÉË × P3 ,
ËÒÏÍÅ ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÏÊ Ë×ÁÄÒÉËÉ óÅÇÒÅ ÎÅÔ ÔÒ£È ÏÁÒÎÏ ÓËÒÅÝÉ×ÁÀÝÉÈÓÑ ÒÑÍÙÈ.
ÕÒ. 19.4. ëÏÎÕÓ C = P ∩ Tp P ÉÍÅÅÔ ×ÅÒÛÉÎÕ × p É ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ×ÓÅÈ ÒÑÍÙÈ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÈ
ÞÅÒÅÚ p É ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ P . æÉËÓÉÒÕÅÍ 3-ÍÅÒÎÕÀ ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ H ⊂ TpP , ËÏÔÏÒÁÑ ÎÅ
ÓÏÄÅÒÖÉÔ p. ÏÇÄÁ G = C ∩ H ÅÓÔØ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÁÑ Ë×ÁÄÒÉËÁ ÎÁ H . ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
ÌÀÂÁÑ ÒÑÍÁÑ, ÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ p, ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (pp′ ) = ∩ , ÇÄÅ p′ ∈ G É ÌÏÓËÏÓÔÉ
; ÎÁÔÑÎÕÔÙÅ ÎÁ p É Ä×Å ÒÑÍÙÅ, ÒÏÈÏÄÑÝÉÅ ÞÅÒÅÚ p′ × G (ÓÍ. ÒÉÓ. 19⋄1).
ÕÒ. 19.5. ëÁÖÄÁÑ ÒÑÍÁÑ, ËÏÔÏÒÁÑ ÒÏÈÏÄÉÔ ÞÅÒÅÚ p É ÎÅ ËÁÓÁÅÔÓÑ Q, ÅÒÅÓÅËÁÅÔ
Ë×ÁÄÒÉËÕ ÅÝ£ ÒÏ×ÎÏ × ÏÄÎÏÊ ÏÔÌÉÞÎÏÊ ÏÔ p ÔÏÞËÅ, ËÏÏÒÄÉÎ×ÔÙ ËÏÔÏÒÏÊ, Ï ÔÅÏÒÅÍÅ
÷ÉÅÔÁ, ÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÏ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ÒÑÍÏÊ.
ÕÒ. 19.7. ÷ÏÓÏÌØÚÕÊÔÅÓØ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ a ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÌÑÒÅ ÔÏÞËÉ b , ÅÓÌÉ É ÔÏÌØËÏ
ÅÓÌÉ ÔÏÞËÁ b ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÏÌÑÒÅ ÔÏÞËÉ a
ÕÒ. 19.8. ÏÞËÁ (a; b) ÅÒÅÈÏÄÉÔ × ÒÑÍÕÀ ax + by = 1 É ÎÁÏÂÏÒÏÔ.
ÕÒ. 19.9. ðÅÒÅÈÏÄ Ë ÄÒÕÇÏÍÕ ÒÅÅÒÕ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÁÆÆÉÎÎÏÊ ÚÁÍÅÎÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ,
ËÏÔÏÒÁÑ ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÓÏÂÏÊ ËÏÍÏÚÉ ÉÀ ÁÒÁÌÌÅÌØÎÏÇÏ ÅÒÅÎÏÓÁ É ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á V . ïÔ ÔÁËÏÊ ÚÁÍÅÎÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ
ÏÓÔÁÎÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ.
ÕÒ. 19.10. úÁÉÛÅÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ×ÔÏÒÏÊ ÓÔÅÅÎÉ q (t) ∈ k[x1 ; x2 ; : : : ; xn ℄ × ×ÉÄÅ
ÕÒ. 19.1.
q2 (x) + q1 (x) + q0 ;
ÇÄÅ qi ÏÄÎÏÒÏÄÎÙ ÓÔÅÅÎÉ i. ìÉÎÅÊÎÏÊ ÚÁÍÅÎÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÒÉ×ÅÄ£Í Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÕÀ
ÆÏÒÍÕ q2 Ë ×ÉÄÕ q2 (t) = a1 t21 + a2 t22 + · ·P
· + ak t2k . ðÕÓÔØ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ q1 × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ
ÔÁËÏÊ ÚÁÍÅÎÙ ÒÉÏÂÒÅÌÁ ×ÉÄ q1 (t) =
t . úÁÍÅÎÉÍ ×ÓÅ ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ t Ó 1 ⩽ ⩽ k
ÎÁ t + 2a . üÔÏ ÎÅ ÉÚÍÅÎÉÔ ×ÉÄÁ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÞÁÓÔÉ. åÓÌÉ × ÒÅÚÕÌØÔÁÔÅ ÓÄÅÌÁÎÎÏÊ
ÚÁÍÅÎÙ q1 + q0 ÅÒÅÓÔÁÎÅÔ ÚÁ×ÉÓÅÔØ ÏÔ t, ÔÏ ÍÙ ÒÉÛÌÉ Ë ÅÒ×ÏÊ ÉÚ ÎÁÉÓÁÎÎÙÈ ÆÏÒÍ,
ÅÓÌÉ ÎÅ ÅÒÅÓÔÁÎÅÔ, ÔÏ ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ q1 (t) + q0 ÞÅÒÅÚ tk+1 É ÒÉÄ£Í ËÏ ×ÔÏÒÏÊ ÆÏÒÍÅ.
äÁÌØÎÅÊÛÅÅ ÕÒÏÝÅÎÉÅ ÎÁÄ R É ÎÁÄ C ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÄÅÌÅÎÉÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÎÁ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ
ÞÌÅÎ (ÅÓÌÉ ÏÎ ÎÅ ÎÕÌØ) É ÅÒÅÓËÁÌÉÒÏ×ÁÎÉÅÍ ÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.
ÕÒ. 20.2. ðÕÓÔØ |v | = |w | = 1. ðÏÓËÏÌØËÕ (ei' v; ei w ) = ei('− ) (v; w ), ÁÂÓÏÌÀÔÎÁÑ
×ÅÌÉÞÉÎÁ ÜÒÍÉÔÏ×Á ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ |(v; w)| ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ×ÅËÔÏÒÏ× v é w ÎÁ
ÅÄÉÎÉÞÎÙÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÈ, ÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ ÄÌÉÎÙ 1 × C-ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÂÏÌÏÞËÁÈ
u É v. ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÜÔÁ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÒÁ×ÎÁ ËÏÓÉÎÕÓÕ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÕÇÌÁ ÍÅÖÄÕ ×ÅËÔÏÒÁÍÉ Ó ËÏÎ ÁÍÉ ÎÁ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÙÈ Ä×ÕÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÈ × × ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÍ
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍ
499
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å R4 ≃ C·v ⊕C·w, ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ Å×ËÌÉÄÏ×ÏÊ ÓÔÒÕËÔÕÒÙ ÎÁ ÜÔÏÍ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å, ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÍÏÊ ÔÅÍ, ÞÔÏ Å×ËÌÉÄÏ×Á ÄÌÉÎÁ ÌÀÂÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ ÒÁ×ÎÁ ÅÇÏ
ÜÒÍÉÔÏ×ÏÊ ÄÌÉÎÅ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ × ÏÔÄÅÌØÎÏ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÕÀ É ÍÎÉÍÕÀ ÞÁÓÔÉ
ÜÒÍÉÔÏ×Á ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ: (u1 ; u2 ) = g(u1 ; u2 ) + i!(u1; u2 ) , ÇÄÅ
= Re (u1 ; u2 ) É !(u1 ; u2 ) def
= Im (u1 ; u2 ) :
g(u1 ; u2 ) def
æÏÒÍÁ g(u1 ; u2 ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÏÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ ÓÏ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ g(u; u) = (u; u) ∀ u, É ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÚÁÄÁ£Ô ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÕÀ ÎÁÓ Å×ËÌÉÄÏ×Õ ÓÔÒÕËÔÕÒÕ, Á ÆÏÒÍÁ !(u1 ; u2 ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏÊ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÏÊ1 . ëÏÇÄÁ ×ÅËÔÏÒÙ v, w ÒÏÂÅÇÁÀÔ Ó×ÏÉ
ÅÄÉÎÉÞÎÙÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÓÕÍÍÁ g2 (v; w) + !2 (v; w) = |(v; w)|2 ÏÓÔÏÑÎÎÁ, É ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÍÕ Å×ËÌÉÄÏ×Õ ÕÇÌÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÍÁËÓÉÍÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÅÇÏ ËÏÓÉÎÕÓÁ,
ÒÁ×ÎÏÅ g2 (v; w), ÉÌÉ, ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ, ÍÉÎÉÍÁÌØÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ !2 (v; w). îÏ ÏÓÌÅÄÎÅÅ ÒÁ×ÎÏ ÎÕÌÀ É ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ, ÏÓËÏÌØËÕ ÆÏÒÍÁ ! ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÁ É, ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ, ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï v!⊥ = {u | !(v; u) = 0} 3-ÍÅÒÎÏ É ÉÍÅÅÔ × R4 ÎÅÎÕÌÅ×ÏÅ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÅ
Ó ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ 2-ÍÅÒÎÙÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÏÍ C · w.
ÕÒ. 20.3. ðÏÓËÏÌØËÕ ÕÎÉÔÁÒÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ F ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÅÎ, ×ÓÑËÉÊ ×ÅËÔÏÒ w
ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ F −1 u ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ u. ðÏÜÔÏÍÕ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× v, w ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (F v; F w) = (v; w) ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ×ÙÏÌÎÅÎÉÀ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ×
v É u = F w ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (F v; u) = (v; F −1 u).
d 2 − (b(t) − 2a′ (t)) · d + ( (t) − b′ (t) + a′′ (t)).
ÕÒ. 20.5. ïÔ×ÅÔ: a(t) · dt
dt
ÕÒ. 20.6. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ Matn (C) ËÁË ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ n2 -ÍÅÒÎÏÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
Ó ÂÁÚÉÓÏÍ Eij É iEij , ÇÄÅ Eij | ÍÁÔÒÉ Á Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ × i-ÔÏÊ ÓÔÒÏËÅ j -ÔÏÇÏ ÓÔÏÌÂ Á
É ÎÕÌÑÍÉ × ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÍÅÓÔÁÈ. ÷ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ (xij ; yij ) ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÜÔÏÇÏ ÂÁÚÉÓÁ
ÍÁÔÒÉÞÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ F t · F = E , ÚÁÄÁÀÝÅÅ ÕÎÉÔÁÒÎÙÅ ÍÁÔÒÉ
P 2 Ù (2Fij ) = (xij )+ i · (yij ),
ÚÁÉÛÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ (xi +yi) = 1 (ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ
P
P
i = 1; : : : ; n) É (xi xj + yi yj ) = (yi xj − xi yj ) = 0 (ÄÌÑ ×ÓÅÈ 1 ⩽ i < j ⩽ n).
ðÏÜÔÏÍÕ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï Un ÚÁÍËÎÕÔÏ. óËÌÁÄÙ×ÁÑ ×ÓÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ÅÒ×ÏÇÏ ÔÉÁ, ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ
√
Un ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ×ÎÕÔÒÉ ÅÄÉÎÉÞÎÏÇÏ ÛÁÒÁ ÒÁÄÉÕÓÁ n Ó ÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ,
É ÚÎÁÞÉÔ, ËÏÍÁËÔÎÏ. äÉÁÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á D Ó ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÍÉ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ×ÉÄÁ
ei# ÏÞÅ×ÉÄÎÏ ÓÏÅÄÉÎÑÅÔÓÑ Ó ÅÄÉÎÉÞÎÏÊ ÍÁÔÒÉ ÅÊ ÇÌÁÄËÉÍ ÕÔ£Í : [ 0 ; 1 ℄ - Un ,
ÏÂÒÁÚ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÅÌÉËÏÍ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÙÈ ÍÁÔÒÉ ÔÏÇÏ ÖÅ ×ÉÄÁ (ÎÁÄÏ ÒÏÓÔÏ
ÓÏÇÌÁÓÏ×ÁÎÎÏ ÕÓÔÒÅÍÉÔØ ×ÓÅ # Ë ÎÕÌÀ). ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÕÎÉÔÁÒÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á
F ÚÁÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ ËÁË F = CDC −1 ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ C ∈ Un , ÕÔØ t 7→ C · (t) · C −1 ÂÕÄÅÔ
ÅÌÉËÏÍ ÌÅÖÁÔØ × Un É ÓÏÅÄÉÎÑÔØ F Ó E .
ÕÒ. 20.7. ðÒÉ ÏÍÏÝÉ ÌÅÍ. 20.3 ÎÏÒÍÁ ÏÓÔÁÔËÁ ÜËÓÏÎÅÎ ÉÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÍÁÖÏÒÉÒÕÅÔÓÑ
ÓÈÏÄÑÝÅÊÓÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÒÏÇÒÅÓÓÉÅÊ ÓÏ ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ ÍÁÌÏÊ ÓÕÍÍÏÊ ÔÏÞÎÏ ÔÁËÖÅ,
ËÁË ÜÔÏ ÄÅÌÁÅÔÓÑ × ËÕÒÓÅ ÁÎÁÌÉÚÁ ÄÌÑ ÞÉÓÌÏ×ÙÈ ÜËÓÏÎÅÎÔ.
ÕÒ. 21.1. ðÒÏ×ÅÒËÉ ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ É ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ×ÅËÔÏÒÏ× ÎÁ
ÞÉÓÌÁ, ËÁË ÆÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÂÕË×ÅÎÎÙÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ, ÄÏÓÌÏ×ÎÏ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ Ó ÒÏ×ÅÒËÁÍÉ
ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔÉ É ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ × ÏÌÅ C, ÏÒÅÄÅÌ£ÎÎÏÍ ËÁË ÆÁËÔÏÒ
ËÏÌØ Ï R[x℄=(x2 + 1).
1
×ÓÅ ÜÔÉ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÏÄÒÏÂÎÏ ÏÂÓÕÖÄÁÀÔÓÑ × n◦ 21.5 ÎÁ ÓÔÒ. 379
500
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍ
÷ÙÂÅÒÅÍ × ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å W ⊂ VC ÏÅÒÁÔÏÒÁ FC ÂÁÚÉÓ
w1 ; w2 ; : : : ; wm . éÚ ÔÏÇÏ ÞÔÏ ×ÅËÔÏÒ w = u + iv ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÄÌÑ FC Ó ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍ
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ , ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÂÁ ×ÅËÔÏÒÁ u ; v ∈ V ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÄÌÑ
F Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ . ðÏÜÔÏÍÕ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ ×ÅËÔÏÒÏ×
u1 ; u2 ; : : : ; um ; v1 ; v2 ; : : : ; vm ÌÅÖÉÔ × ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÍ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å V ÏÅÒÁÔÏÒÁ F .
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ËÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÑ C ⊗ V ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
W ÏÅÒÁÔÏÒÁ FC , Á ÚÎÁÞÉÔ, ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÎÉÍ, ÏÓËÏÌØËÕ ×ÓÅ ×ÅËÔÏÒÙ ÉÚ C ⊗ V ,
ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÄÌÑ FC Ó ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ , Ô. Å. ÌÅÖÁÔ × W .
ÕÒ. 21.4. éÓÏÌØÚÕÊÔÅ ÔÏ ÖÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ÞÔÏ × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å ÓÌ. 21.2. òÁÚÎÉ Á
ÂÕÄÅÔ ÓÏÓÔÏÑÔØ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÁÒÁ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÈ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ×ÅËÔÏÒÏ× Ó
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ os # ± i sin # ÏÒÏÖÄÁÅÔ ËÏÍÌÅËÓÉÆÉËÁ ÉÀ Ä×ÕÍÅÒÎÏÇÏ
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÏÇÏ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ÎÁ ËÏÔÏÒÏÍ ÏÅÒÁÔÏÒ F ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ
Ï×ÏÒÏÔÏÍ ÎÁ ÕÇÏÌ #.
ÕÒ. 21.5. âÌÏÞÎÏ ÄÉÁÇÏÎÁÌØÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á, Ï ÇÌÁ×ÎÏÊ ÄÉÁÇÏÎÁÌÉ ËÏÔÏÒÏÊ ÓÔÏÑÔ ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÅ 2 × 2-ÍÁÔÒÉ Ù ×ÉÄÁ (21-6), ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÅ ÁÒÁÍ ËÏÍÌÅËÓÎÏ ÓÏÒÑÖ£ÎÎÙÈ
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÏÅÒÁÔÏÒÁ, É 1 × 1-ÍÁÔÒÉ Ù, Ó ×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÅÒÁÔÏÒÁ.
ÕÒ. 21.6. óÍ. ËÏÍÍÅÎÔÁÒÉÊ Ë ÕÒ. 21.1.
ÕÒ. 22.1. äÌÑ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÈ ÍÁÔÒÉ × = det( ) −1 , ÏÔËÕÄÁ
ÕÒ. 21.3.
( )× = det( )( )−1 = det −1 −1 det = × × :
ðÏÓËÏÌØËÕ ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÅ ÍÁÔÒÉ Ù ×ÓÀÄÕ ÌÏÔÎÙ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÅ ÎÁÍÉ ÏÌÉÎÏÍÉÁÌØÎÏÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÍÁÔÒÉ .
ÕÒ. 22.2. ïÔ×ÅÔ: ÎÅÎÕÌÅ×ÙÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ ÍÁÔÒÉ Ù çÒÁÍÁ ÉÓÞÅÒÙ×ÁÀÔÓÑ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑÍÉ
f E11 ; E22 ) = det(
f E22 ; E11 ) = 1 É det(
f E12 ; E21 ) = det(
f E21 ; E12 ) = −1 ;
det(
ÇÄÅ E11 ; E12 ; E21 ; E22 | ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÊ ÂÁÚÉÓ ÉÚ ÍÁÔÒÉÞÎÙÈ ÅÄÉÎÉ .
ÕÒ. 22.5. ðÅÒ×ÁÑ ÓÔÒÏÞËÁ ÆÏÒÍÕÌÙ (22-9) ÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ
Ó×ÑÚÁÎÏ Ó Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÎÙÍ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅÍ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ (p; q) = Re (p · q∗ ) = Re (p∗ · q),
ÏÔËÕÄÁ ÓÒÁÚÕ ÓÌÅÄÕÀÔ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á (e; i) = (e; j ) = (e; k) = 0.
ÕÒ. 22.6. üÔÏ ÚÁÉÓØ × ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ||p||2 · ||q ||2 = ||pq ||2 .
ÕÒ. 22.7. éÚ i2 = j 2 = k2 = −1 ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÔÒÉ Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÁ ÉÍÅÀÔ ÎÏÒÍÕ 1
É ÁÎÔÉÓÁÍÏÓÏÒÑÖÅÎÙ (ÓÒ. Ó ÕÒ. 22.9 ÎÉÖÅ). òÁ×ÅÎÓÔ×Á i · j = k = −j · i Ï ÓÌ. 22.1
ÏÚÎÁÞÁÀÔ, ÞÔÏ k ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÅÎ i É j . ðÏÓÌÅÄÎÅÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÌÅÍ. 22.1.
ÕÒ. 22.9. éÚ n2 = −1 ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ||n||2 = 1 É n−1 = −n. ðÅÒ×ÏÅ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ
||n|| = 1, ×ÔÏÒÏÅ | ÞÔÏ n∗ = −n.
- k
ÕÒ. 23.1. éÚ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÏÓÔÉ ÏÄߣÍÁ ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ V1 × V2 × · · · × Vn
ÄÏ ÌÉÎÅÊÎÏÊ ÆÏÒÍÙ V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ Vn - k ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ
ÆÏÒÍÁ V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ Vn - k, ÏÂÒÁÝÁÀÝÁÑ × ÎÕÌØ ÎÁ ×ÓÅÈ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÈ ÔÅÎÚÏÒÁÈ, ÜÔÏ
ÎÕÌÅ×ÁÑ ÆÏÒÍÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÅ ÔÅÎÚÏÒÙ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ ÎÉ × ËÁËÏÍ ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÏÍ
ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å.
ÕÒ. 23.3. äÏÓÌÏ×ÎÏ ÇÏÄÉÔÓÑ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÅ, ÉÓÏÌØÚÏ×ÁÎÎÏÅ × n◦ 19.2.1 ÅÒÅÄ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
(19-14) ÎÁ ÓÔÒ. 339
501
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍ
íÏÄÕÌØ ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÊ Z × A - W ÉÚÏÍÏÒÆÅÎ Hom(A; W ).
éÚÏÍÏÒÆÉÚÍ ÚÁÄÁ£ÔÓÑ ÓÏÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÂÉÌÉÎÅÊÎÏÍÕ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÀ ' ÅÇÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ
ÎÁ 1 × A.
fA ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
ÕÒ. 24.1. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ V
ÕÒ. 23.4.
V × V × ··· × V
- A;
ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ '(v1 ) · '(v2 ) · · · · · '(vn ) ∈ A ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏ, É
ÚÎÁÞÉÔ, ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ n ∈ N ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ V ⊗n - A,
ËÏÔÏÒÙÅ ×ÓÅ ×ÍÅÓÔÅ ÚÁÄÁÀÔ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÁÌÇÅÂÒ TV - A, ÒÏÄÏÌÖÁÀÝÉÊ f , ÒÉÞ£Í ×ÓÑËÉÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ TV - A, ÒÏÄÏÌÖÁÀÝÉÊ f , ÄÏÌÖÅÎ ÅÒÅ×ÏÄÉÔØ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÊ ÔÅÎÚÏÒ v1 ⊗ v2 ⊗ · · · ⊗ vn ∈ V ⊗n × '(v1 ) · '(v2 ) · · · · · '(vn ) ∈ A, É ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÄÏÌÖÅÎ
ÓÏ×ÁÄÁÔØ Ó ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÍ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅÍ. üÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á. ÏÔ ÆÁËÔ, ÞÔÏ SV É ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÜÔÉÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ
Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÄÏÓÌÏ×ÎÏ ÔÁËÖÅ, ËÁË × ÌÅÍ. 23.1 ÎÁ ÓÔÒ. 405.
ÕÒ. 24.2. ðÏÓËÏÌØËÕ ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÅ ÔÅÎÚÏÒÙ ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄÁÀÔ V ∗ ⊗n É ÆÏÒÍÕÌÁ
iv '(w1 ; w2 ; : : : ; wn−1 ) = '(v;w1 ; w2 ; : : : ; wn−1)
ÌÉÎÅÊÎÁ Ï v É Ï ', ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏ×ÅÒÑÔØ Å£ ÄÌÑ ÆÏÒÍ ', ÅÒÅ×ÏÄÉÍÙÈ ÉÚÏÍÏÒÆÉÚÍÏÍ (24-6) × ÒÁÚÌÏÖÉÍÙÅ ÔÅÎÚÏÒÙ ×ÉÄÁ 1 ⊗ 2 ⊗ · · · ⊗ n , Á ÄÌÑ ÔÁËÉÈ ÆÏÒÍ ÏÎÁ
ÏÞÅ×ÉÄÎÁ ÉÚ ÏÓÔÒÏÅÎÉÑ.
ÕÒ. 24.3. äÌÑ ÌÀÂÙÈ v , w ÉÍÅÅÍ
0 = '(: : : ; (v + w); : : : ; (v + w); : : : ) = '(: : : ; v; : : : ; w; : : : ) + '(: : : ; w; : : : ; v; : : : )
îÁÏÂÏÒÏÔ, ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï '(: : : ; v; : : : ; v; : : : ) = −'(: : : ; v; : : : ; v; : : : ) ×ÌÅÞ£Ô ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
'(: : : ; v; : : : ; v; : : : ) = 0, ÅÓÌÉ 1 6= −1.
ÕÒ. 24.4. çÏÄÑÔÓÑ ÄÏÓÌÏ×ÎÏ ÔÅ ÖÅ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ, ÞÔÏ É × ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Å
ÌÅÍ. 23.1 ÎÁ ÓÔÒ. 405
n+d−1, ÉÌÉ ÞÉÓÌÏ ÒÅÛÅÎÉÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ m + m + · · · + m = n ×
ÕÒ. 24.5. ïÔ×ÅÔ:
1
2
d
d− 1
ÎÅÏÔÒÉ ÁÔÅÌØÎÙÈ ÅÌÙÈ ÞÉÓÌÁÈ m1 ; m2 ; : : : ; md .
fÕÒ. 24.6. äÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ V
A ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ
V × V × ··· × V
Q
- A;
ÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÅ (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ '(vi ) × A ÏÌÉÌÉÎÅÊÎÏ É ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÏ, É
ÚÎÁÞÉÔ, ËÏÒÒÅËÔÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÅÔ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ n ∈ N ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ S n V - A,
ËÏÔÏÒÙÅ ×ÓÅ ×ÍÅÓÔÅ ÚÁÄÁÀÔ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ ÁÌÇÅÂÒ SV - A, ÒÏÄÏÌÖÁÀÝÉÊ f . îÁÏ- A, ÒÏÄÏÌÖÁÀÝÉÊ f , ÄÏÌÖÅÎ ÅÒÅ×ÏÄÉÔØ ÒÁÚÌÏÂÏÒÏÔ, ÌÀÂÏÊ ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ
SV
Q
Q
n
ÖÉÍÙÊ ÔÅÎÚÏÒ vi ∈ S V × '(vi ) ∈ A, É ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÂÕÄÅÔ ÓÏ×ÁÄÁÔØ Ó ÏÓÔÒÏÅÎÎÙÍ ÒÏÄÏÌÖÅÎÉÅÍ. üÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ ×ÙÏÌÎÅÎÉÅ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÏÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á. ÏÔ ÆÁËÔ,
ÞÔÏ SV É ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÜÔÉÍ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÄÏÓÌÏ×ÎÏ ÔÁËÖÅ, ËÁË × ÌÅÍ. 23.1 ÎÁ ÓÔÒ. 405.
ÕÒ. 24.7. ðÅÒ×ÏÅ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á 0 = (v + w ) ⊗ (v + w ) = v ⊗ w + w ⊗ v , ×ÔÏÒÏÅ |
ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï v ⊗ v + v ⊗ v = 0 ÒÉ 1 + 1 6= 0 ×ÌÅÞ£Ô ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï v ⊗ v = 0.
502
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍ
ÕÒ. 24.8.
íÏÄÉÆÉ ÉÒÕÊÔÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÒÅÄÌ. 24.1 ÎÁ ÓÔÒ. 423.
ÕÒ. 25.1. óÔÁÂÉÌÉÚÁÔÏÒ ËÁÖÄÏÇÏ ÓÌÁÇÁÅÍÏÇÏ × ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÇÒÕÅ Sn ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ
m1 ! m2 ! · · · md ! ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÈ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÀ.
ïÓÔÁ£ÔÓÑ ÒÉÍÅÎÉÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÄÌÉÎÙ ÏÒÂÉÔÙ (ÓÍ. ÔÅÏÒ. 15.1).
ÕÒ. 25.2. äÌÑ t ∈ V ⊗n É g ∈ Sn ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÞÅÒÅÚ g (t) ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ g ÎÁ t ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÏÊ ÔÅÎÚÏÒÎÙÈ ÓÏÍÎÏÖÉÔÅÌÅÊ, ËÁË × (25-1). õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ (a) É (Â) ×ÙÔÅËÁÀÔ
ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ h ∈ Sn ×ÙÏÌÎÑÀÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
X
h
X
h
g∈Sn
g∈Sn
g(t) =
sgn(g) · g(t) = sgn(h) ·
X
g∈Sn
X
g∈Sn
hg(t) =
X
g′ ∈Sn
g′ (t)
sgn(hg) · hg(t) = sgn(h) ·
X
g′ ∈Sn
sgn(g) · g′ (t)
(ÉÂÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ g 7→ g′ = hg ×ÚÁÉÍÎÏ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏ), ÍÙ ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ
h(symn (t)) = symn (t) É h(altn (t)) = sgn(h) · altn (t) :
õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ (×) É (Ç) ÏÞÅ×ÉÄÎÙ (ÏÂÅ ÓÕÍÍÙ ÓÏÓÔÏÑÔ ÉÚ n! ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ).
÷ (Ä) ÓÕÍÍÙ Ï Þ£ÔÎÙÍ É Ï ÎÅÞ£ÔÎÙÍ ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÁÍ ÂÕÄÕÔ ÓÏÓÔÏÑÔØ ÉÚ ÏÄÎÉÈ É ÔÅÈ
ÖÅ (É ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ×ÎÕÔÒÉ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÓÕÍÍ) ÓÌÁÇÁÅÍÙÈ, ÏÔÌÉÞÁÀÝÉÈÓÑ ÚÎÁËÏÍ.
ÕÒ. 25.3. ðÅÒ×ÏÅ ÒÏ×ÅÒÑÅÔÓÑ ÒÑÍÙÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ. þÔÏ ËÁÓÁÅÔÓÑ ×ÔÏÒÏÇÏ, ÔÏ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á sym3 + alt3 + p = E ×ÙÔÅËÁÅÔ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÚÙ im (sym3 ) = Sym 3 (V ) , im (alt3 ) =
Skew 3 (V ) É im (p) ÌÉÎÅÊÎÏ ÏÒÏÖÄÁÀÔ V ⊗3 , ÏÓËÏÌØËÕ ÌÀÂÏÊ t ∈ V ⊗3 ÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ËÁË t = E (t) = sym3 (t) + alt3 (t) + p(t). üÔÁ ÓÕÍÍÁ ÒÑÍÁÑ × ÓÉÌÕ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ, Ó
ÏÄÎÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÔÒ£È ÏÅÒÁÔÏÒÏ× Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÒÏÅËÔÏÒÏÍ É ÄÅÊÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ
Ó×Ï£Í ÏÂÒÁÚÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏ, Á Ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ, ÁÎÎÕÌÉÒÕÅÔ ÏÂÒÁÚÙ Ä×ÕÈ ÏÓÔÁ×ÛÉÈÓÑ ÏÅÒÁÔÏÒÏ× × ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ× p◦alt3 = alt3 ◦p = p◦sym3 = sym3 ◦p = 0
É ÒÁ×ÅÎÓÔ× sym3 ◦alt3 = alt3 ◦sym3 = 0, ×ÙÔÅËÁÀÝÉÈ ÉÚ ÕÒ. 25.2. îÁÒÉÍÅÒ, ÅÓÌÉ
t ∈ im (p) ∩ im (sym3 ) + im (alt3 ) , ÔÏ t = p(t), Á ÚÁÉÓÙ×ÁÑ t ËÁË sym3 (t1 ) + alt3 (t2 ),
ÏÌÕÞÉÍ p(t) = 0 , ÏÔËÕÄÁ t = 0 .
ÕÒ. 25.4. õÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ im (p) ⊂ V ⊗3 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÎÕÌÑÔÏÒÏÍ ÏÂÒÁÚÁ ÏÅÒÁÔÏÒÁ Id + T + T 2 : V ∗ ⊗3 - V ∗ ⊗3 :
im (p) = {t ∈ V ⊗3 | h(Id + T + T 2 ); ti = 0 ∀ ∈ V ∗ ⊗3 } ;
ÇÄÅ h∗; ∗i ÏÚÎÁÞÁÅÔ ÏÌÎÕÀ Ó×£ÒÔËÕ ÍÅÖÄÕ V ∗ ⊗3 É V ⊗3 . ìÅÇËÏ ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ g ∈ Sn , ∈ V ∗ ⊗n , t ∈ V ⊗n ×ÙÏÌÎÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï hg; ti = h; g−1 ti. ðÏÜÔÏÍÕ
ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÚÁÄÁÞÉ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÚ p ÓÏ×ÁÄÁÅÔ Ó ÑÄÒÏÍ ÏÅÒÁÔÏÒÁ
Id−1 + T −1 + T −2 = Id + T 2 + T = 3(alt3 + sym3 ) ;
ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÎÁ V ⊗3 . îÏ ÉÚ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒ. 25.3 ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ alt3 +sym3 | ÜÔÏ ÒÏÅËÔÏÒ
V ⊗3 ÎÁ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï Sym 3 V ⊕ Skew 3 V ×ÄÏÌØ ÏÄÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á im (p).
ÕÒ. 25.6. ðÏÓËÏÌØËÕ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÌÉÎÅÊÎÏ Ï v , f É g ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ ÅÇÏ ÄÌÑ
md
kd
k1
1
v = ei , f = x m
1 : : : xd , g = x1 : : : xd , ÞÔÏ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÒÑÍÏ Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ.
ÕÒ. 25.7. üÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á fe(v; x; : : : ; x) = n1 · v f (x) , ÇÄÅ n = deg f .
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÕÒÁÖÎÅÎÉÑÍ
503
ÕÒ. 25.9.
üÔÏ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÕÒ. 25.6.
ÕÒ. 25.10. æÉËÓÉÒÕÅÍ × U ÂÁÚÉÓ e1 ; e2 ; : : : ; em . åÓÌÉ ! 6∈ m U , ÔÏ × ! ÅÓÔØ ÍÏÎÏÍ eI ,
ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÊ ËÁËÏÇÏ-ÎÉÂÕÄØ ÂÁÚÉÓÎÏÇÏ ×ÅËÔÏÒÁ | ÓËÁÖÅÍ, ei . ÏÇÄÁ ei ∧ ! 6= 0,
ÏÓËÏÌØËÕ ÂÕÄÅÔ ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÎÅÎÕÌÅ×ÏÊ ÍÏÎÏÍ ei⊔I , ×ÏÚÎÉËÁÀÝÉÊ ÔÏÌØËÏ ÉÚ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ei ÎÁ eI É, ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÎÅ ÓÏÓÏÂÎÙÊ ÎÉ Ó ÞÅÍ ÓÏËÒÁÔÉÔØÓÑ. îÁÏÂÏÒÏÔ, ÅÓÌÉ
! ∈ m U , ÔÏ ! = · e1 ∧ e2 ∧ · · · ∧ em É ei ∧ ! = 0 ∀ i, Á ÚÎÁÞÉÔ, u ∧ ! = 0 ∀ u ∈ U .
ÕÒ. 26.3. ðÏÓËÏÌØËÕ Æ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ÒÉ ÏÄÓÔÁÎÏ×ËÅ xi = xj , ÏÎ ÄÅÌÉÔÓÑ ×
ËÏÌØ Å Z[x1 ; x2 ;Q
: : : ; xn ℄ ÎÁ (xi −xj ). ÁË ËÁË ËÁÖÄÁÑ ÉÚ ÒÁÚÎÏÓÔÅÊ (xi −xj ) ÎÅÒÉ×ÏÄÉÍÁ,
f ÄÅÌÉÔÓÑ ÎÁ (xi − xj ). óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÌÅËÓÉËÏÇÒÁÆÉÞÅÓËÉ ÓÔÁÒÛÉÅ ÍÏÎÏÍÙ × ÜÔÏÍ
i<j
ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ É × Æ , ÚÁËÌÀÞÁÅÍ, ÞÔÏ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÁ×ÎÏ 1.
ÕÒ. 26.4. óÍ. ÒÅÄÌ. 15.2 ÎÁ ÓÔÒ. 276.
ÕÒ. 26.5. ÷ ÒÁ×ÏÍ ÎÉÖÎÅÍ ÕÇÌÕ ÍÁÔÒÉ Ù (hi +j −i ), ÎÁÞÉÎÁÑ Ó ÏÚÉ ÉÉ (m + 1; m + 1),
ÇÄÅ m | ×ÙÓÏÔÁ ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ , ÂÕÄÅÔ ÓÔÏÑÔØ ×ÅÒÈÎÑÑ ÕÎÉÔÒÅÕÇÏÌØÎÁÑ ÍÁÔÒÉ Á, ÌÅ×ÅÅ
ËÏÔÏÒÏÊ ×ÓÅ ÜÌÅÍÅÎÔÙ × ÓÔÒÏËÁÈ ÂÕÄÕÔ ÎÕÌÅ×ÙÅ.
ÕÒ. 26.6. óÍ. ÓÌ. 27.3 ÎÁ ÓÔÒ. 478
ÕÒ. 27.1. õÓÔÏÊÞÉ×ÏÅ ÁÒÏÓÏÞÅÔÁÎÉÅ ÍÅÖÄÕ i-ÔÙÍ É (i +1)-Í ÓÏÌ ÏÍ ÕÓÔÁÎÁ×ÌÉ×ÁÅÔÓÑ
ÔÁË: ÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÅÒÅÂÉÒÁÅÍ ÛÁÒÉËÉ × (i + 1)-ÏÍ ÓÔÏÌ ŠÄ×ÉÇÁÑÓØ ÓÎÉÚÕ ××ÅÒÈ
É ÎÁÚÎÁÞÁÅÍ ÏÞÅÒÅÄÎÏÍÕ ÛÁÒÉËÕ Û ÁÒÔΣÒÏÍ ÓÁÍÙÊ ×ÅÒÈÎÉÊ ÛÁÒ i-ÔÏÇÏ ÓÔÏÌ Á,
ÌÅÖÁÝÉÊ ÓÔÒÏÇÏ ÎÉÖÅ Û É ÅÝ£ ÎÅ ÎÁÚÎÁÞÅÎÎÙÊ ÎÉËÏÍÕ ÁÒÔΣÒÏÍ, Á ÅÓÌÉ ÔÁËÉÈ ÛÁÒÏ×
ÎÅÔ, ÏÂßÑ×ÌÑÅÍ Û Ó×ÏÂÏÄÎÙÍ. ðÏÓÌÅ ÔÏÇÏ, ËÁË ×ÓÅ ÛÁÒÙ (i + 1)-ÇÏ ÓÔÏÌ Á ÒÁÚÄÅÌÅÎÙ
ÎÁ Ó×ÏÂÏÄÎÙÅ É ÉÍÅÀÝÉÅ ÁÒÔΣÒÏ×, ×ÓÅ ÛÁÒÙ i-ÔÏÇÏ ÓÔÏÌ Á, ÎÅ Ñ×ÌÑÀÝÉÅÓÑ ÎÉ
ÞØÉÍÉ ÁÒÔΣÒÁÍÉ, ÔÏÖÅ ÏÂßÑ×ÌÑÀÔÓÑ Ó×ÏÂÏÄÎÙÍÉ. ïÅÒÁ ÉÑ Li ÅÒÅÍÅÝÁÅÔ ÎÁ ÏÄÎÕ
ËÌÅÔËÕ ×ÌÅ×Ï ÓÁÍÙÊ ×ÅÒÈÎÉÊ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÛÁÒ (i + 1)-ÇÏ ÓÔÏÌ Á ÉÌÉ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÄÅÌÁÅÔ,
ÅÓÌÉ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ÛÁÒÏ× × (i + 1)-ÏÍ ÓÔÏÌ ŠÎÅÔ. ïÅÒÁ ÉÑ Ri ÅÒÅÍÅÝÁÅÔ ÎÁ ÏÄÎÕ
ËÌÅÔËÕ ×ÒÁ×Ï ÓÁÍÙÊ ÎÉÖÎÉÊ Ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÛÁÒ i-ÇÏ ÓÔÏÌ Á ÉÌÉ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÄÅÌÁÅÔ,
ÅÓÌÉ × i-ÏÍ ÓÔÏÌ ŠÎÅÔ Ó×ÏÂÏÄÎÙÈ ÛÁÒÏ×.
É
ÎÅÓÒÁ×ÎÉÍÙ Ï ÏÔÎÏÛÅÎÉÀ D.
ÕÒ. 27.4. äÉÁÇÒÁÍÍÙ
s(1) · s(1;1) = s(2;1) + s(1;1;1) = s(1;1) · s(1)
ÕÒ. 27.6. ðÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ s · ek Ë ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ÎÁÄÏ ÄÏÉÓÁÔØ k ËÌÅÔÏË ÂÅÚ Ï×ÔÏÒÅÎÉÊ ÚÁÏÌÎÅÎÎÙÈ ÞÉÓÌÁÍÉ ÏÔ 1 ÄÏ k, É ÅÓÌÉ 2 ÉÚ ÎÉÈ ÏÁÄÁÀÔ × ÏÄÎÕ ÓÔÒÏËÕ,
ÔÏ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ ÌÉÂÏ Ó ÔÁÂÌÉÞÎÙÍ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅÍ, ÌÉÂÏ Ó ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÅÍ
ñÍÁÎÕÞÉ. ðÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ s · hk Ë ÄÉÁÇÒÁÍÍÅ ÎÁÄÏ ÄÏÉÓÁÔØ k ËÌÅÔÏË ÚÁÏÌÎÅÎÎÙÈ ÅÄÉÎÉ ÁÍÉ, ÎÉËÁËÉÅ Ä×Å ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÎÅ ÍÏÇÕÔ ÏÁÓÔØ × ÏÄÉÎ ÓÔÏÌÂÅ × ÓÉÌÕ
ÔÁÂÌÉÞÎÏÇÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÉÑ.
ÕÒ. 27.5.
ðÒÅÄÍÅÔÎÙÊ ÕËÁÚÁÔÅÌØ
Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍ, 6
ÇÌÁÄËÏÊ ËÏÎÉËÉ, 352
ÇÒÕÙ
×ÎÅÛÎÉÊ, 275
×ÎÕÔÒÅÎÎÉÊ, 275
Ë×ÁÄÒÉËÉ, 333
ÍÎÏÖÅÓÔ×Á, 6
ÁËÓÉÏÍÁ
×ÙÂÏÒÁ, 20
ÎÅÔÒÉ×ÉÁÌØÎÏÓÔÉ, 21
ÁÌÇÅÂÒÁ
ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÁÑ, 149
Ó×ÏÂÏÄÎÁÑ, 416
×ÎÅÛÎÑÑ, 423
ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Á, 178, 423
ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×ÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, 178
Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÏ×, 390
ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ, 149
Ó×ÏÂÏÄÎÁÑ, 422
ËÏÎÅÞÎÏ ÏÒÏÖÄ£ÎÎÁÑ, 91
ÎÁÄ ÏÌÅÍ, 149
Ó ÅÄÉÎÉ ÅÊ, 149
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ, 421
ÔÅÎÚÏÒÎÁÑ, 416
ÅÌÁÑ, 200
ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ ÏÅÒÁ ÉÑ, 70
ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉÊ ÜÌÅÍÅÎÔ ÁÌÇÅÂÒÙ, 153
ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ, 181
ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÅ ÞÉÓÌÏ, 58
ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÎÏÓÔØ, 67
ÁÌÇÏÒÉÔÍ
å×ËÌÉÄÁ, 32, 55
ëÒÏÎÅËÅÒÁ, 97
ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×Á æÒÅÄÇÏÌØÍÁ, 118
ÁÌØÔÅÒÎÉÒÏ×ÁÎÉÅ, 430
ÁÎÎÕÌÑÔÏÒ, 128
ÁÎÔÉÁ×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍ, 391
ÁÎÔÉÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ, 361
ÁÎÔÉÌÉÎÅÊÎÙÊ ÏÅÒÁÔÏÒ, 361
ÁÒÇÕÍÅÎÔ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ, 25
ÁÓÉÍÔÏÔÉÞÅÓËÏÅ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ, 320
ÁÓÓÏ ÉÁÔÉ×ÎÏÓÔØ, 15, 21, 266
504
ÁÆÆÉÎÉÚÁ ÉÑ, 246
ÁÆÆÉÎÎÁÑ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ,
101
ÁÆÆÉÎÎÁÑ ÇÒÕÁ, 285
ÁÆÆÉÎÎÁÑ ËÁÒÔÁ, 315
ÎÁ ÇÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎÅ, 142
ÁÆÆÉÎÎÁÑ Ë×ÁÄÒÉËÁ, 347
ÁÆÆÉÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, 246
ÁÆÆÉÎÎÙÊ ËÏÎÕÓ, 318
ÂÁÚÉÓ
×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, 108
ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ, 300
Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÊ, 124
ÓÌÅ×Á, 294
ÓÒÁ×Á, 294
ÄÅÔÅÒÍÉÎÁÎÔÎÙÊ, 446
ÖÏÒÄÁÎÏ×, 219, 221
ÍÏÎÏÍÉÁÌØÎÙÊ, 446
ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÊ, 237
ÏÒÔÏÎÏÒÍÁÌØÎÙÊ, 237, 356
ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÆÕÎË ÉÊ, 109
Ó×ÏÂÏÄÎÏÇÏ ÍÏÄÕÌÑ, 190
ÓÉÍÌÅËÔÉÞÅÓËÉÊ, 308
ÓÔÁÎÄÁÒÔÎÙÊ × kn , 105
ÉËÌÉÞÅÓËÉÊ, 219
ÂÁÚÉÓÙ
×ÚÁÉÍÎÙÅ, 202
Å×ËÌÉÄÏ×Ï Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÅ, 241
ÂÁÒÉ ÅÎÔÒÉÞÅÓËÁÑ ËÏÍÂÉÎÁ ÉÑ, 247
×ÙÕËÌÁÑ, 248
ÂÉÅË ÉÑ, 6
ÂÉÒÁ ÉÏÎÁÌØÎÁÑ, 325
ÂÉÌÉÎÅÊÎÁÑ ÆÏÒÍÁ, 292
×ÙÒÏÖÄÅÎÎÁÑ, 294
ËÏÓÏÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ, 296
ÎÅ×ÙÒÏÖÄÅÎÎÁÑ, 294
ÎÅÒÁÚÌÏÖÉÍÁÑ, 314
ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ, 295
ÂÉÎÁÒÎÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ, 11
ÂÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ, 10
Ï ÍÏÄÕÌÀ p, 38
Ó ÏËÁÚÁÔÅÌÅÍ × ÏÌÅ, 80
505
ðÒÅÄÍÅÔÎÙÊ ÕËÁÚÁÔÅÌØ
×ÅËÔÏÒ, 104
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÙÊ, 373
ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ, 23
ÉÚÏÔÒÏÎÙÊ, 300
ÎÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÊ ÌÏÓËÏÓÔÉ, 39
ÎÕÌÅ×ÏÊ, 104
ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙÊ, 104
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ, 120, 222, 374
ÞÉÓÔÏ ÍÎÉÍÙÊ, 373
×ÅËÔÏÒÉÚÁ ÉÑ, 246
×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, 104
ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏÅ, 112
×ÅËÔÏÒÙ
ÌÉÎÅÊÎÏ ÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ, 110
ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙÅ, 110
ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÙÅ, 237
ÏÒÏÖÄÁÀÝÉÅ, 108, 190
ÓÏÎÁÒÁ×ÌÅÎÎÙÅ, 240
×ÅÒÈÎÅÅ ÏÌÕÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï úÉÇÅÌÑ, 385
×ÅÒÈÎÑÑ ÇÒÁÎØ, 20
×ÅÒÛÉÎÎÏÅ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï, 337
×ÅÓ, 247
ÄÉÁÇÒÁÍÍÙ àÎÇÁ, 10
ÍÁÓÓÉ×Á
ÓÔÏÌ Ï×ÙÊ, 460
ÓÔÒÏÞÎÙÊ, 460
ÍÕÌØÔÉÉÎÄÅËÓÁ, 488
×ÅÝÅÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÓÔÒÕËÔÕÒÁ, 373
ÎÁ Mat2 (C), 390
×ÚÁÉÍÎÁÑ ÒÏÓÔÏÔÁ, 33
ÉÄÅÁÌÏ×, 102
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, 55
ÜÌÅÍÅÎÔÏ× ËÏÌØ Á, 89
×ÚÁÉÍÎÙÅ ÂÁÚÉÓÙ ÍÏÄÕÌÅÊ, 202
×ÉÄÉÍÙÊ ËÏÎÔÕÒ, 438
×ÌÏÖÅÎÉÅ, 5
÷ÅÒÏÎÅÚÅ, 436
ðÌÀËËÅÒÁ, 442
×ÎÅÛÎÅÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ, 421
×ÎÅÛÎÅÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ, 423
×ÎÅÛÎÑÑ ÁÌÇÅÂÒÁ, 423
×ÎÅÛÎÑÑ ÓÔÅÅÎØ, 421
ÍÁÔÒÉ Ù, 180
×ÎÕÔÒÅÎÎÅÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ, 418
×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÅ × ÓÔÅÅÎØ, 79
×ÙÂÏÒÏÍ ÏÒÉÅÎÔÁ ÉÉ, 240
×ÙÕËÌÁÑ ÏÂÏÌÏÞËÁ, 248
×ÙÕËÌÁÑ ÆÉÇÕÒÁ, 248
×ÙÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ÔÅÎÚÏÒ, 419
×ÙÞÅÔ, 37
Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÙÊ, 61
ÏÂÒÁÔÉÍÙÊ, 38
×ÙÞÉÔÁÎÉÅ, 24
ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÁÑ ÞÅÔ×£ÒËÁ ÔÏÞÅË, 329
ÇÁÕÓÓÏ×Ù ÞÉÓÌÁ, 30, 94
ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÒÏÇÒÅÓÓÉÑ, 71
ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÅ ÏÉÓÁÎÉÅ ÎÏÒÍ, 252
ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ
ËÏÎÅÞÎÁÑ, 39
ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ ÁÒÁÂÏÌÏÉÄ, 350
ÇÉÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ Ï×ÏÒÏÔ, 302
ÇÉÅÒÂÏÌÏÉÄ
Ä×ÕÏÌÏÓÔÎÙÊ, 350
ÏÄÎÏÏÌÏÓÔÎÙÊ, 350
ÜÌÌÉÔÉÞÅÓËÉÊ, 350
ÇÉÅÒÌÏÓËÏÓÔØ
ÁÆÆÉÎÎÁÑ, 254
ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌ£ÎÎÁÑ, 315
×ÅËÔÏÒÎÁÑ, 107
ÇÉÅÒÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ
ÏÓÏÂÁÑ, 437
ÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ, 318
ÇÌÁÄËÁÑ ËÏÎÉËÁ, 336
ÇÏÍÏÍÏÒÆÉÚÍ
ÁÂÅÌÅ×ÙÈ ÇÒÕ, 42
ÂÉÌÉÎÅÊÎÙÈ ÆÏÒÍ, 292
×ÅËÔÏÒÎÙÈ ÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×, 105
×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ, 100, 103
ÇÒÕ, 269
ËÏÌÅ , 43
ÍÏÄÕÌÅÊ, 192
ÎÕÌÅ×ÏÊ, 42, 43
ÏÄߣÍÁ, 129
ÏÌÅÊ, 44
ÔÒÉ×ÉÁÌØÎÙÊ, 42
ÆÁËÔÏÒÉÚÁ ÉÉ, 87, 285
æÒÏÂÅÎÉÕÓÁ, 47
ÇÏÍÏÔÅÔÉÑ, 327
Ï×ÏÒÏÔÎÁÑ, 26
ÇÒÁÓÓÍÁÎÉÁÎ, 142
506
Gr(2; 4), 343
ÉÚÏÔÒÏÎÙÊ, 382, 396
ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ× ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ, 423
ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Á ÁÌÇÅÂÒÁ, 178
ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Ï ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ, 423
ÇÒÁÓÓÍÁÎÏ×Ù ÅÒÅÍÅÎÎÙÅ, 178
ÇÒÕÁ, 265
p-ÇÒÕÁ, 287
ÁÂÅÌÅ×Á, 18, 23, 266
ÁÆÆÉÎÎÁÑ, 285
×ÎÕÔÒÅÎÎÉÈ Á×ÔÏÍÏÒÆÉÚÍÏ×, 275
ÇÏÍÏÔÅÔÉÊ, 327
ÄÉÜÄÒÁ, 262
ÄÏÄÅËÁÜÄÒÁ, 265, 272
ÄÒÏÂÎÏ ÌÉÎÅÊÎÁÑ, 327
ÚÎÁËÏÅÒÅÍÅÎÎÁÑ, 272
ÉËÏÓÁÜÄÒÁ, 265
ÂÉÎÁÒÎÁÑ, 401
Ë×ÁÔÅÒÎÉÏÎÎÙÈ ÅÄÉÎÉ , 278
ëÌÅÊÎÁ, 262
ËÏÍÍÕÔÁÔÉ×ÎÁÑ, 18, 266
ËÏÒÎÅÊ ÉÚ ÅÄÉÎÉ Ù, 29
ËÕÂÁ, 270
ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÒÏÅËÔÉ×ÎÁÑ, 327
ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ×ÙÞÅÔÏ×, 38
ÏËÔÁÜÄÒÁ, 265
ÏÒÔÏÇÏÎÁÌØÎÁÑ, 244
Ë×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÊ ÆÏÒÍÙ, 302
ÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÁÑ, 244
ÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË, 18
ÏÌÎÁÑ ÌÉÎÅÊÎÁÑ, 150
ÏÌÑ
ÁÄÄÉÔÉ×ÎÁÑ, 23
ÍÕÌØÔÉÌÉËÁÔÉ×ÎÁÑ, 23
ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ, 18, 260
ÒÏÓÔÁÑ, 286
ÓÄ×ÉÇÏ×,