МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЁННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ. ГУБАРЁВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА СЕМИЛУКСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ. Индивидуальный проект на тему: «Математическое описание траектории полёта пули, выпущенной из стрелкового оружия». Подготовил: Щербаков Кирилл Владиславович, учащийся 10ого класса Губарёвской СОШ. Руководитель проекта: Фетисова Антонина Анатольевна, преподаватель алгебры и геометрии. с.Губарёво, 2024 г. СОДЕРЖАНИЕ 1. Введение………………………………………………………………………….3 2. Основная часть…………………………………………………………………...6 3. Заключение……………………………………………………………………...18 4. Литература………………………………………………………………………19 5. Приложение…………………………………………………………………......20 2 1. Введение. При разработке программно-математического обеспечения электронных стрелковых тренажёров и комплексов, алгоритмов управления имеющими в составе вооружения стрелковое оружие боевыми роботами, и решении некоторых других задач, стоящих перед Вооружёнными силами Российской Федерации, необходима математическая модель, описывающая баллистическую траекторию полёта выпущенной из стрелкового оружия пули в различных условиях стрельбы. В настоящей доступной литературе практически невозможно найти что-то про математическое описание, поэтому необходимо самому совершить расчеты. В этом проекте предлагается методика построения таких моделей, основанная на применении метода неопределённых коэффициентов к имеющимся в литературе экспериментальным данным. При помощи предложенной методики построена таблица превышений траекторий полёта пули 7,62-мм пулемёта Калашникова танкового над линией прицеливания, отсутствующая в специальной литературе на настоящий момент времени. Целью проекта является практическое применение: использование результатов исследования для разработки более точных стрелковых таблиц, программ для баллистического моделирования или других практических решений, связанных с огнестрельным оружием. Задачи: Оптимизация параметров: Использование математических методов оптимизации для нахождения оптимальных параметров, которые обеспечивают максимальную точность стрельбы или наибольшую дальность полета пули. 3 Разработка баллистических таблиц: Создание баллистических таблиц, которые содержат информацию о траектории полета пули для различных оружейных систем, типов патронов и условий стрельбы. Практическое применение: Применение результатов исследования для создания более точных баллистических компьютерных программ, стрелковых прицелов и других средств, связанных с огнестрельным оружием. Актуальность: Понимание траектории полета пули является важным аспектом для безопасного использования огнестрельного оружия. Глубокое понимание математических принципов, связанных с полетом пули, может помочь улучшить безопасность и точность стрельбы. Положительный эффект: С накалившейся ситуацией во внешней политике страны всё больше и больше людей мужского пола мобилизуются или добровольно отправляются на СВО. Через некоторое время это может затронуть даже обычных старшеклассников. В основном используется на вооружении ручные огнестрельные орудия, такие как автоматы и пулемёты, поэтому каждый должен иметь представление о траектории полёта пули, чтобы избежать плачевных последствий. Гипотеза: при описании полёта пули, её баллистическая траектория будет иметь вид параболы, и формула определения положения пули в пространстве будет определяться через степени 3 и 4. Объекты исследования: Пулемёт Калашникова Танковый Пуля Методы исследования: Сбор информации 4 Расчёты в Excel Сравнительный анализ Практическая значимость работы заключается в том, что она раскрывает особенности применения математического описания, дополняя физическое, и дает возможность объективно оценить ее значимость, основываясь на нижеизложенной информации. 5 2. Основная часть. Математическое описание траектории полета пули, выпущенной из стрелкового оружия, можно представить в виде системы уравнений, описывающих движение пули под влиянием различных сил, действующих на нее. Основные уравнения, которые описывают траекторию пули, следующие: – Уравнение движения пули: m d2x/dt2 = F(x, y, v), где m - масса пули, x, y - координаты пули, v - ее скорость, F - сила, действующая на пулю. – Закон сохранения энергии: E = (1/2) m v2 + m g h, где E - энергия пули, g - ускорение свободного падения, h - высота пули над землей. Эти уравнения могут быть решены численными методами, такими как метод Рунге-Кутты, для получения траектории пули в зависимости от начальных условий, таких как начальная скорость, угол наклона ствола и внешние силы, действующие на пулю (сопротивление воздуха, ветер и т.д.). Однако, следует отметить, что на траекторию полета пули влияет множество факторов, таких как состояние атмосферы, температура, влажность воздуха, скорость и направление ветра и т.п. Также, математическое описание траектории полета пули, выпущенной из стрелкового оружия, может быть представлено уравнениями движения в зависимости от времени и расстояния. Траектория пули обычно описывается уравнениями движения в двух плоскостях: горизонтальная и вертикальная. Горизонтальная составляющая движения пули описывается уравнением x(t) = v0cos(θ)t 6 где x(t) - горизонтальное расстояние от точки выстрела, v0 - начальная скорость пули, θ - угол наклона полета пули относительно горизонтали, t время. Вертикальная составляющая движения пули учитывает гравитационное воздействие и описывается уравнением y(t) = v0sin(θ)t - (1/2)gt2 где y(t) - вертикальное расстояние от точки выстрела, g - ускорение свободного падения. Таким образом, комбинируя горизонтальную и вертикальную составляющие движения, можно получить полное математическое описание траектории полета пули. [3] Но, как известно, траектория полёта выпущенной из стрелкового оружия пули, является достаточно гладкой функцией (рис. 1). Следовательно, она должна хорошо описываться многочленами невысоких степеней. Так как сопротивление воздуха оказывает значительное влияние на полёт пули, восходящая и нисходящая ветви траекторий не являются симметричными. Следовательно, многочлен 2 степени (парабола) для аппроксимации траектории не подойдёт. Исследования, проведённые для различных образцов вооружения, показали, что наилучшим образом для аппроксимации траекторий пуль, выпущенных из стрелкового оружия, подходят стандартные многочлены 3 и 4 степеней, которые и использовались при решении поставленной задачи. Введём систему координат hOx так, как показано на рис.1. Будем искать уравнение траектории полёта пули в виде функции: ,(1) где ai – неизвестные пока числовые коэффициенты, h(x) – превышение траектории над линией прицеливания. 7 Зададим очевидное дополнительное условие: a0=0, (2) снижающее трудоёмкость расчётов и приближающее математическую модель к реалиям изучаемого процесса. Физически оно означает, что превышение траектории над линией прицеливания в точке вылета равно нулю. Таким образом, аппроксимирующий траекторию многочлен будем искать окончательно в виде: . (3) Неизвестные числовые коэффициенты ai уравнения (3) могут быть найдены методом неопределённых коэффициентов на основе данных, имеющихся в справочной литературе. Покажем поэтапно методику их нахождения на примере траектории полёта пули, выпущенной из пулемёта Калашникова танкового (ПКТ). В справочной литературе имеется основная таблица для данного вида вооружения [2], в которой приведены геометрические характеристики траекторий при стрельбах на различные дальности. Для стрельбы на дальность 2000 м указано: а) горизонтальная дальность – 2000 м; б) угол бросания – 3˚50’; в) угол падения – 8 ˚50’; г) высота траектории – 54,5 м; д) горизонтальная дальность до вершины траектории – 1192 м. Рассмотрим данную траекторию полёта пули в общем виде (рис. 2). Изучим три основные точки траектории: 8 Точка А (x = 0) – начало траектории. Для этой точки известны: а) значение функции (1), равное нулю, что, как указывалось ранее, приводит к уравнению (2), а функцию (1) приводит к виду (3); б) первая производная функции (3), равная тангенсу угла бросания 3˚50’ (соответствует 0,0669 рад.), что приводит к уравнению , или: . (4) Точка B (x = 1192) – вершина траектории. Для этой точки известны: а) значение функции (3), равное максимальной высоте траектории, что приводит к уравнению или: .(5) б) первая производная функции (3), равная нулю (так как точка В является вершиной траектории), что приводит к уравнению или: . (6) Точка С (x = 2000) – конец траектории. Для этой точки известны: а) значение функции (3), равное нулю, что приводит к уравнению или: . (7) б) первая производная функции (3), равная тангенсу взятого с обратным знаком угла падения 8˚50’ (соответствует 0,1541 рад.), что приводит к уравнению , или: . (8) Уравнения (4)–(8) дают пять линейных алгебраических уравнений для отыскания четырёх неизвестных коэффициентов ai уравнения (3). Количество неизвестных на одно меньше, чем количество связывающих их уравнений, поэтому одно из уравнений является лишним. Его необходимо исключить из системы и использовать для проверки адекватности полученного решения. 9 Представляется наиболее рациональным исключить из системы уравнение (8), так как параметр, описание которого привело к формированию данного уравнения (угол падения), не является практически важным и не может быть измерен с достаточной степенью точности. Уравнение (8) будет использовано в дальнейшем для проверки адекватности построенной модели. Исключив уравнение (8), получаем систему четырёх линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (9) для нахождения неизвестных числовых коэффициентов a1 , a2 , a3 , a4 . Для решения СЛАУ (9) рациональным будет использование метода Крамера [3]. Распишем главный определитель (9): (10) Вычислим определитель (10). Учитывая большие величины его компонентов, вычисление удобнее проводить при помощи средств вычислительной техники, например, табличного процессора (11). 10 Аналогично распишем и вычислим вспомогательные определители (12– 15): (12) (13) (14) (15) Используя формулы Крамера, с учётом результатов (11–15) при помощи табличного процессора вычислим значения неизвестных коэффициентов ai с точностью до 7 знаков в мантиссе (16) (17) 11 (18) Таким образом, баллистическая траектория полёта пули ПКТ при стрельбе на дальность 2000 м описывается уравнением вида (17), в котором значения коэффициентов ai указаны в (16). Для проверки адекватности уравнения (17) вычислим первую производную функции h(x) в конце траектории (точке x = 2000) (18). Первая производная в конце траектории равна тангенсу взятого с обратным знаком угла падения. Из (18) получаем теоретический угол падения для исследуемой траектории: (19) Согласно (8), указанный в [1] угол падения равен 0,1541. Погрешность в расчётах, таким образом, составила не более: (20) Расчёт (20), учитывая наличие большого количества случайных факторов, влияющих на характер процесса выстрела, показывает приемлемую для практических целей погрешность и, как следствие, пригодность предлагаемой методики для построения уравнений баллистических траекторий полёта пуль. Для расчёта превышений траектории полёта пули ПКТ над линией прицеливания при помощи табличного процессора Excel были вычислены значения функции (17) в точках, соответствующих кратным 100 м дальностям. Результаты расчётов, округлённые до десятых долей метра, в табличном виде приведены в таблице 1. 12 Таблица 1. Превышения траектории полёта пули ПКТ над линией прицеливания при стрельбе на дальность 2000 м. № п.п. 1 2 3 4 дальность x, м превышение h(x), м 0 100 200 300 0 6,7 13,3 19,7 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 25,8 31,7 37,1 42,0 46,2 49,7 52,4 54,0 54,5 53,7 51,6 47,8 42,4 35,1 25,7 14,0 0 Аналогичные расчёты были проведены для остальных 19 строк основной таблицы ПКТ [1, с. 44–45], таким образом, всего было получено 20 уравнений траекторий, соответствующих стрельбе на различные дальности. Результаты проведённых расчётов приведены в таблице 2. 13 Таблица 2. Коэффициенты уравнений баллистических траекторий полёта пули ПКТ при стрельбе на различные дальности. № п.п. 1 1 2 x, м a4·1012 a3·109 a2·106 a1·102 2 100 3 644,57489 4 -136,60925 5 1,2151754 6 0,06 200 48,252502 -24,399167 -4,0502712 0,14 3 300 12,211301 -12,775020 -4,5998562 0,22 4 400 3,9668460 -9,6680080 -5,0175221 0,33 5 500 5,5934212 -13,462092 -3,4673659 0,440003 6 600 -1,4609214 -6,7588002 -5,0855632 0,580007 7 700 -4,3102586 -3,8782527 -5,8876830 0,750014 8 9 800 900 -4,2109697 -6,3601669 -5,2889245 -2,3036459 -4,8241859 -6,1089569 0,940028 1,2000576 10 1000 -4,5864140 -6,8131254 -2,6013753 1,4000915 11 1100 -5,7700732 -4,5126366 -3,5103455 1,7001638 12 1200 -6,6367513 -2,7336848 -4,6652293 2,1003088 13 1300 -6,3890713 -3,1393629 -4,3560744 2,5005210 14 1400 -5,4913357 -4,7879485 -3,2539488 2,9008132 15 1500 -5,0767691 -4,8011552 -4,0509417 3,4013107 16 1600 -4,9183382 -4,3040672 -5,8072402 4,0455510 17 1700 -3,9190987 -7,1719701 -3,7074753 4,6284233 18 1800 -3,3836522 -8,3924317 -3,2080737 5,2699471 19 20 1900 -3,0368095 -9,2675055 -2,8514188 5,9702867 2000 -2,6804184 -10,809742 -1,1609892 6,7004292 Графы 3–6 каждой из строк таблицы 2 содержат коэффициенты уравнения (3) траектории полёта пули ПКТ при стрельбе на дальность, указанную в графе 2 соответствующей строки. Например, коэффициенты уравнения (17) находятся в строке 20 таблицы 2. При помощи табличного процессора Excel были вычислены значения функции (3) в точках: а) кратным 10 м дальностям – для уравнений, соответствующих траекториям стрельбы на дальности 100 м, 200 м (строки 1, 2 таблицы 2), результаты расчётов приведены в таблице 3; б) кратным 50 м дальностям – для уравнений, соответствующих 14 траекториям стрельбы на дальности 300 – 1000 м (строки 3-10 таблицы 2), результаты расчётов приведены в таблице 4; в) кратным 100 м дальностям – для уравнений, соответствующих траекториям стрельбы на дальности 1100 – 2000 м (строки 11-20 таблицы 2), результаты расчётов приведены в таблице 5. Реализация проекта началась с поиска литературы по данной темы и подборов уравнений и формул. Далее происходили многочисленные вычисления и проверки. Данные формулы и уравнения пересчитывались по несколько раз, ведь в расчётах стоял приоритет на точность и качество. Риски были очень высоки, так как одна ошибка могла загубить абсолютно все вычисления. Сложности возникали почти на каждом этапе реализации проекта. Было трудно найти справочники и наставления по стрелковому делу. Наивысшая сложность была в подборе правильных уравнений и в их преобразованиях. 15 3. Заключение. Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод о том, что гипотеза моего исследования подтвердилась. Я достиг самой главной цели – определил практическое применение: использование результатов исследования для разработки более точных стрелковых таблиц, программ для баллистического моделирования или других практических решений, связанных с огнестрельным оружием. Во многих случаях их практичность просто незаменима. Все задачи, поставленные перед началом работы, были мною достигнуты. Показана методика построения таблицы превышений траектории над линией прицеливания при стрельбе на различные дальности на основе данных основной таблицы для выбранного образца оружия. Предложенная методика является универсальной и может быть применена для любого стрелкового оружия при разработке алгоритмов функционирования интерактивных тренажёров, систем автоматического управления стрелковым вооружением робототехнических комплексов, и в других необходимых случаях. Таким образом, проект по математическому описанию траектории полёта пули имеет широкий спектр прикладных областей, от повышения безопасности до разработки оружия и научных исследований, что подчеркивает его актуальность в современном мире. 16 17 18 4. Литература: 1. Таблицы стрельбы по наземным целям из стрелкового оружия калибров 5,45 и 7,62 мм. – М. : Военное издательство Министерства Обороны СССР, 1977. – 263 с. 2. Наставление по стрелковому делу. 7,62-мм пулемёт Калашникова (ПК, ПКС, ПКБ и ПКТ). – М. : Военное издательство Министерства Обороны СССР, 1986. – 256 с. 3. Алиса, давай придумаем. Интернет-ресурс: https://ya.ru/alisa_davay_pridumaem?win=434 4. Бронштейн. И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов : справочник / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. – М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. – 718 с. 19 5. Приложение. Рис.1. Схематичное изображение траектории полёта пули, выпущенной из стрелкового оружия. Рис. 2. Схематичное изображение траектории полёта пули ПКТ. 20
