Математический кружок. 5 класс_Архимед

МЦНМО
http://www.mccme.ru/
Математический кружок, 5 класс
Занятие №20
Турнир Архимеда
1. (3 балла  1 балл за каждую фигуру)
Разрежьте каждую из данных фигур на две части, сделав только один прямолинейный
разрез, и из получившихся в каждом случае частей сложите квадраты.
C
A
B
2. Следуя правилу
, где C  A  B , восстановите цифры в пустых клеточках.
а) (2 балла  1 балл  0 баллов)
б) (3 балла  1 балл  0 баллов)
19
12
7
3
6
3
3. (4 балла  3 балла  2 балла)
Переложите одну спичку и добавьте две новые, чтобы получилось верное равенство.
4. (3 балла  2 балла  1 балл)
Поставьте цифры в кружочках сверху на пустые места так, чтобы сумма цифр в ряду
соответствовала сумме в пятиугольниках справа, а сумма цифр в столбике – сумме в
нижних пятиугольниках.
9
8
6
4
3
7
2
20
5 19
1
20
14
6
11
МЦНМО
http://www.mccme.ru/
5. (5 баллов  3 балла  2 балла) Имеется набор кубиков, каждая грань которых
одноцветная и нет двух одинаково окрашенных кубиков. Сколько максимум кубиков в
наборе, если при окраске кубиков использовалось только два цвета?
6. (2 балла  1 балл за каждое равенство) Великолепная семерка.
Между четырьмя семерками вставьте знаки действий и скобки так, чтобы в каждой
строчке получились верные равенства (в некоторых случаях знаки можно не вставлять,
например, можно оставить число 77 или 777 и т. д.).
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7. 7 баллов  4 балла  2балла)
Пять мальчиков Лёня, Миша, Коля, Толя и Олег принесли в детский сад игрушки:
самолетик, поезд, теплоходик, машинку и лошадку. Эти игрушки были красного,
зеленого, синего, желтого и белого цвета. Фамилии мальчиков: Иванов, Петров,
Сидоров, Титов, Белов. Определите имя, фамилию, игрушку и ее цвет, если известно,
что:
1. Игрушка Миши не желтого цвета.
2. Имя Белова не Леня и не Миша и его игрушка синего цвета.
3. Самолетик принес Петров, его игрушка не зеленая.
4. Мальчик, принесший желтый поезд, старше Толи и младше Сидорова.
5. Толя Иванов принес не белую игрушку. Он принес не теплоходик и не машинку.
6. Коля принес игрушку зеленого цвета и это была не машинка.
Ответ запишите в таблицу.
МЦНМО
http://www.mccme.ru/
Методические комментарии
Это занятие проводится в виде игры. Турнир Архимеда – соревнование
школьников младших классов (5 и 6). Можно посмотреть материалы некоторых
турниров прошлых лет в интернете по адресу
http://school-collection.ivedu.ru/dlrstore/d62be102-a780-11dc-945c-d34917fee0be/12_archimed.pdf
Обычно турнир для пятиклассников состоит из личного и командного зачета
(вначале ребята поодиночке решают задачи личного тура, а потом командой решают
задачи командного, в команде обычно 8 человек).
При проведении этого занятия предполагается только командная часть. Нужно
разбить всех кружковцев на две команды и далее эти команды соревнуются между собой.
Правильный ответ в задаче с первой попытки приносит столько баллов, какое число
первым указано в скобке после номера задачи. Далее, с каждой последующей попыткой
сдачи количество баллов, выдаваемое за правильный ответ, уменьшается, как указано
стрелками.
Ответы и решения
1. (по 3  1 балл за каждую фигуру) Разрежьте каждую из данных фигур на две части,
сделав только один прямолинейный разрез, и из получившихся в каждом случае частей
сложите квадраты.
МЦНМО
http://www.mccme.ru/
C
A
B
2. Следуя правилу
, где C  A  B , восстановите цифры в пустых клеточках.
а) (2 балла  1 балл  0 баллов)
б) (3 балла  1 балл  0 баллов)
19
12
7
3
6
3
19
22
12
5
11
10
7
8
6
3
5
3
3. (4 балла  3 балла  2 балла)
Переложите одну спичку и добавьте две новые, чтобы получилось верное равенство.
Ответ. Нужно изменить первый плюс на цифру 4 (горизонтальную палочку оставить на
месте). В итоге получится 545 + 5 = 550.
4. (3 балла  2 балла  1 балл)
Поставьте цифры в кружочках сверху на пустые места так, чтобы сумма цифр в ряду
соответствовала сумме в пятиугольниках справа, а сумма цифр в столбике – сумме в
нижних пятиугольниках.
9
8
6
4
3
7
2
20
5 19
1
20
14
6
11
МЦНМО
http://www.mccme.ru/
Решение.
5. (5 баллов  3 балла  2 балла) Имеется набор кубиков, каждая грань которых
одноцветная и нет двух одинаково окрашенных кубиков. Сколько кубиков в наборе, если
при окраске кубиков использовалось только два цвета?
Ответ: 10.
Решение. Кубиков, в которых поровну белых и черных граней – два (белые грани имеют
общую вершину или развёртываются в прямоугольник 1 × 3). Пусть белых граней
больше, чем черных, тогда бывает один белый кубик, один кубик с одной черной гранью,
два кубика с двумя черными гранями (две соседних и две противоположных). Столько
же кубиков, в которых черных граней больше, чем белых. Итого 2 + 4 + 4 = 10
возможных кубиков.
6. (2 балла  1 балл за каждое равенство) Великолепная семерка.
Между четырьмя семерками вставьте знаки действий и скобки так, чтобы в каждой
строчке получились верные равенства (в некоторых случаях знаки можно не вставлять,
например, можно оставить число 77 или 777 и т. д.).
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
МЦНМО
http://www.mccme.ru/
Решение. Например, так:
7 + 7 – 7– 7 = 1
7 : 7 + 7: 7
= 2
(7 + 7 + 7) : 7 = 3
7 7 : 7 – 7
= 4
7 – (7 + 7) : 7 = 5
(7 · 7 – 7) : 7 = 6
7 + (7 – 7) · 7 = 7
(7 + 7 · 7) : 7 = 8
(7 + 7) : 7 + 7 = 9
(7 7 – 7 ) : 7 = 10
7. 6 баллов  3 балла  2балла)
Пять мальчиков Лёня, Миша, Коля, Толя и Олег принесли в детский сад игрушки:
самолетик, поезд, теплоходик, машинку и лошадку. Эти игрушки были красного,
зеленого, синего, желтого и белого цвета. Фамилии мальчиков: Иванов, Петров,
Сидоров, Титов, Белов. Определите имя, фамилию, игрушку и ее цвет, если известно,
что:
1. Игрушка Миши не желтого цвета.
2. Имя Белова не Леня и не Миша и его игрушка синего цвета.
3. Самолетик принес Петров, его игрушка не зеленая.
4. Мальчик, принесший желтый поезд, старше Толи и младше Сидорова.
5. Толя Иванов принес не белую игрушку. Он принес не теплоходик и не машинку.
6. Коля принес игрушку зеленого цвета и это была не машинка.
Ответ запишите в таблицу.
Ответ:
МЦНМО
http://www.mccme.ru/
Решение. Учтем условия 2 – 5 (например, из 4 следует, что у Сидорова не желтая
игрушка и Сидорова зовут не Толя. А так же, что самолетик Петрова не может быть
желтым):
Так как игрушка Петрова и Белова не зеленая, то из 6 следует, что их зовут не Колей.
Из 4 и из 6 следует, что у Толи Иванова не желтый поезд и не зеленая игрушка:
Сделаем выводы из имеющегося, а так же учтем, что игрушка Миши не желтого цвета.
А так как Коля принес зеленую игрушку и не машинку, то находим все оставшееся.