Вопрос 1. Определение матрицы. Разновидности матриц. Матрицей (числовой) размера m Х n называется прямоугольная таблица m X n чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Обозначают матрицы заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, ..., а элементы матрицы обозначают строчными буквами с индексом: аij, здесь I – номер строки, j – номер столбца. В общем виде матрицу можно записать следующим образом: 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 ⋯ Am x n= 𝒂𝒊𝟏 ⋯ (𝒂𝒎𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝒊𝟐 ⋯ 𝒂𝒎𝟐 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝒂𝟐𝒏 ⋯ 𝒂𝒊𝒏 ⋯ 𝒂𝒎𝒏 ) или в сокращенном виде: А = (аij), где i = 1,...,m, j = 1,...,n. Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае. В те времена матрицы назывались «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений, т.е. уравнений, в которых полная степень составляющих его многочленов равна 1. Также «волшебные квадраты» были известны чуть позднее у арабских математиков. Примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце XVII века Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в XVIII столетии. Он опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса» для решения систем линейных алгебраических уравнений. Теория матриц начала своё существование в середине ХХ века, в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат ученым Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел английский математик Джеймс Сильвестр в 1850 г. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, т.е. m = n, называется квадратной матрицей порядка k, k = m = n. При этом, числа а11, а22,…, аij – элементы главной диагонали. Например A2 x 3 = ( 𝟑 −𝟒 B3 x 3 =( 𝟐 𝟕 𝟎. 𝟓 −𝟑 𝟒 ) – это матрица размера, 2 х 3 𝟗 −𝟐 𝟖 𝟔 𝟐 𝟏) – это матрица размера 3 х 3 или квадратная матрица порядка 3. 𝟑 𝟓 Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Например: 𝟎 𝟎 Оm x n=( ⋯ 𝟎 𝟎 𝟎 ⋯ 𝟎 𝟎 𝟎 ⋯ 𝟎 ) – это нулевая матрица размера m x n. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝟎 𝟎 ⋯ 𝟎 Квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0, называется единичной матрицей. Например 𝟏 E 3 = (𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎) – это единичная матрица 3-его порядка. 𝟎 𝟏 Квадратная матрица Аn называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. При этом матрицу вида 𝒂𝟏𝟏 𝟎 An=( ⋯ ⋯ 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝟏𝒏 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 ⋯ ⋯ ) - называют верхней треугольной. ⋯ 𝒂𝒏𝒏 А матрицу вида 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 Bn=( ⋯ 𝒂𝒏𝟏 𝟎 ⋯ 𝟎 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝟎 ⋯ ⋯ ⋯ ) - называют нижней треугольной. 𝒂𝒏𝟐 ⋯ 𝒂𝒏𝒏 Матрица произвольной размерности называется трапециевидной или ступенчатой‚ если она имеет вид: 𝒂𝟏𝟏 𝟎 ⋯ A= 𝟎 ⋯ ( 𝟎 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟏 ⋯ 𝟎 ⋯ 𝟎 ⋯ 𝒂𝟏𝒓 ⋯ 𝒂𝟐𝒓 ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒓𝒓 ⋯ ⋯ ⋯ 𝟎 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 ⋯ ⋯ где a11, a12,… arn не равны нулю. ⋯ 𝒂𝒓𝒏 ⋯ ⋯ ⋯ 𝟎 ) Вопрос 2. Линейные операции над матрицами. 1. Сложение матриц Суммой двух матриц одинакового размера AmXn = (аij) и BmXn = (bij) называется матрица CmXn = (cij) такая, что cij = аij + bij , где i = 1,..., m, а j = 1,...,n. Т.е. элементы итоговой матрицы С получаются как сумма соответствующих элементов матрицы А и матрицы В. Например: 𝟏 −𝟒 𝟎 −𝟑 𝟎 𝟐 A2 x 3 = ( ) и B2 x 3 = ( ) 𝟓 𝟑 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 Тогда их сумма: 𝟏 + (−𝟑) −𝟒 + 𝟎 𝟎 + 𝟐 −𝟐 −𝟒 𝟐 )=( ) 𝟔 𝟓+𝟏 𝟑 𝟐 𝟑+𝟎 𝟏+𝟏 С2 x 3 = A2 x 3 + B2 x 3 = ( 2. Умножение матрицы на число Произведением матрицы AnXm = (аij) на число α называется матрица BnXm = (bij), такая, что bij = α • аij , где i= 1,...m, j = 1,...,n. Т.е. элементы итоговой матрицы получаются как произведение соответствующих элементов матрицы А на число α. Например: 𝟏 𝟓 A2 x 3 = ( −𝟒 𝟎 ) 𝟑 𝟏 Данная матрица умножается на α = - 4. Тогда их произведение равно: 𝟏 𝟓 B2 x 3= α • A2 x 3 = −𝟒 • ( −𝟒 −𝟒 𝟎 )=( −𝟐𝟎 𝟑 𝟏 𝟏𝟔 𝟎 ) −𝟏𝟐 −𝟒 3. Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число Допустим, AnXm , BnXm , CnXm – это матрицы, ОnXm – нулевая матрица, а α и β – числа. Тогда: 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 𝑨𝒎 × 𝒏 = ( ⋯ 𝒂𝒎𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝒎𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝒃𝟏𝟏 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 𝒃𝟐𝟏 ⋯ ⋯ ), 𝑩𝒎 × 𝒏 = ( ⋯ ⋯ 𝒂𝒎𝒏 𝒃𝒎𝟏 𝒄𝟏𝟏 𝒄𝟐𝟏 𝑪𝒎 × 𝒏 = ( ⋯ 𝒄𝒎𝟏 Тогда 𝒄𝟏𝟐 𝒄𝟐𝟐 ⋯ 𝒄𝒎𝟐 ⋯ 𝒄𝟏𝒏 ⋯ 𝒄𝟐𝒏 ⋯ ⋯) ⋯ 𝒄𝒎𝒏 𝒃𝟏𝟐 𝒃𝟐𝟐 ⋯ 𝒃𝒎𝟐 ⋯ 𝒃𝟏𝒏 ⋯ 𝒃𝟐𝒏 ), ⋯ ⋯ ⋯ 𝒃𝒎𝒏 AmXn + BmXn = BmXn + AmXn – это свойство коммутативности или перестановочности сложения матриц. 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝒃𝟏𝟏 𝒃𝟏𝟐 ⋯ 𝒃𝟏𝒏 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 𝒃𝟐𝟏 𝒃𝟐𝟐 ⋯ 𝒃𝟐𝒏 ) 𝑨𝒎 × 𝒏 + 𝑩𝒎 × 𝒏 = ( ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ )+( ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒎𝟏 𝒂𝒎𝟐 ⋯ 𝒂𝒎𝒏 𝒃𝒎𝟏 𝒃𝒎𝟐 ⋯ 𝒃𝒎𝒏 𝒂𝟏𝟏 + 𝒃𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 + 𝒃𝟏𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 + 𝒃𝟏𝒏 𝒃𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 + 𝒃𝟐𝒏 ) = (𝒂𝟐𝟏 + ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂+𝒃 𝒂 + 𝒃 𝒂 ⋯ 𝒎𝟐 𝒎𝟐 𝒎𝒏 + 𝒃𝒎𝒏 𝒎𝟏 Заметим, что элементы матриц – числа, а числа перестановочны, поэтому получаем: 𝒃𝟏𝟏 𝒃 ( 𝟐𝟏 ⋯ 𝒃𝒎𝟏 𝒃𝟏𝟏 + 𝒂𝟏𝟏 𝒃𝟏𝟐 + 𝒂𝟏𝟐 ⋯ 𝒃𝟏𝒏 + 𝒂𝟏𝒏 𝒃 + 𝒂𝟐𝟏 𝒃𝟐𝟐 + 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒃𝟐𝒏 + 𝒂𝟐𝒏 = ( 𝟐𝟏 )= ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒃𝒎𝟏 + 𝒂𝒎𝟏 𝒃𝒎𝟐 + 𝒂𝒎𝟐 ⋯ 𝒃𝒎𝒏 + 𝒂𝒎𝒏 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝒃𝟏𝟐 ⋯ 𝒃𝟏𝒏 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 𝒃𝟐𝟐 ⋯ 𝒃𝟐𝒏 )+( ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ) = 𝑩𝒎×𝒏 + 𝑨𝒎×𝒏 . ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒎𝟏 𝒂𝒎𝟐 ⋯ 𝒂𝒎𝒏 𝒃𝒎𝟐 ⋯ 𝒃𝒎𝒏 Что и требовалось доказать. (AmXn + BmXn) + CmXn = AmXn + (BmXn + CmXn) – это свойство ассоциативности сложения матриц. 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 ( ⋯ 𝒂𝒎𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝒎𝟐 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝒃𝟏𝟏 𝒂𝟐𝒏 𝒃𝟐𝟏 ⋯ )+( ⋯ 𝒂𝒎𝒏 𝒃𝒎𝟏 𝒄𝟏𝟏 𝒄𝟏𝟐 ⋯ 𝒄𝟏𝒏 𝒃𝟏𝒏 𝒄𝟐𝟏 𝒄𝟐𝟐 ⋯ 𝒄𝟐𝒏 𝒃𝟐𝒏 ) +( ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ )= ⋯ 𝒄𝒎𝟏 𝒄𝒎𝟐 ⋯ 𝒄𝒎𝒏 𝒃𝒎𝒏 ( ) 𝒄𝟏𝟏 𝒄𝟏𝟐 ⋯ 𝒄𝟏𝒏 𝒂𝟏𝟏 + 𝒃𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 + 𝒃𝟏𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 + 𝒃𝟏𝒏 𝒄𝟐𝟏 𝒄𝟐𝟐 ⋯ 𝒄𝟐𝒏 𝒂 + 𝒃𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 + 𝒃𝟐𝒏 = ( 𝟐𝟏 )+( ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ )= ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒄𝒎𝟏 𝒄𝒎𝟐 ⋯ 𝒄𝒎𝒏 𝒂𝒎𝟏 + 𝒃𝒎𝟏 𝒂𝒎𝟐 + 𝒃𝒎𝟐 ⋯ 𝒂𝒎𝒏 + 𝒃𝒎𝒏 (𝒂𝟏𝟏 + 𝒃𝟏𝟏 ) + 𝒄𝟏𝟏 (𝒂𝟏𝟐 + 𝒃𝟏𝟐 ) + 𝒄𝟏𝟐 ⋯ (𝒂𝟏𝒏 + 𝒃𝟏𝒏 ) + 𝒄𝟏𝒏 (𝒂𝟐𝟏 + 𝒃𝟐𝟏 ) + 𝒄𝟐𝟏 (𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝟐𝟐 ) + 𝒄𝟐𝟐 ⋯ (𝒂𝟐𝒏 + 𝒃𝟐𝒏 ) + 𝒄𝟐𝒏 =( ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (𝒂𝒎𝟏 + 𝒃𝒎𝟏 ) + 𝒄𝒎𝟏 (𝒂𝒎𝟐 + 𝒃𝒎𝟐 ) + 𝒄𝒎𝟐 ⋯ (𝒂𝒎𝒏 + 𝒃𝒎𝒏 ) + 𝒄𝒎𝒏 𝒃𝟏𝟐 𝒃𝟐𝟐 ⋯ 𝒃𝒎𝟐 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ Так как закон ассоциативности для чисел справедлив, то будем иметь следующее: 𝒂𝟏𝟏 + (𝒃𝟏𝟏 + 𝒄𝟏𝟏 ) 𝒂𝟏𝟐 + (𝒃𝟏𝟐 + 𝒄𝟏𝟐 ) ⋯ 𝒂𝟏𝒏 + (𝒃𝟏𝒏 + 𝒄𝟏𝒏 ) 𝒂 + (𝒃𝟐𝟏 + 𝒄𝟐𝟏 ) 𝒂𝟐𝟐 + (𝒃𝟐𝟐 + 𝒄𝟐𝟐 ) ⋯ 𝒂𝟐𝒏 + (𝒃𝟐𝒏 + 𝒄𝟐𝒏 ) ( 𝟐𝟏 )= ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒎𝟏 + (𝒃𝒎𝟏 + 𝒄𝒎𝟏 ) 𝒂𝒎𝟐 + (𝒃𝒎𝟐 + 𝒄𝒎𝟐 ) ⋯ 𝒂𝒎𝒏 + (𝒃𝒎𝒏 + 𝒄𝒎𝒏 ) 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 (𝒃𝟏𝟐 + 𝒄𝟏𝟐 ) ⋯ (𝒃𝟏𝒏 + 𝒄𝟏𝒏 ) (𝒃𝟏𝟏 + 𝒄𝟏𝟏) 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 (𝒃𝟐𝟏 + 𝒄𝟐𝟏 ) (𝒃𝟐𝟐 + 𝒄𝟐𝟐 ) ⋯ (𝒃𝟐𝒏 + 𝒄𝟐𝒏 ) = ( ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ )+ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒎𝟏 𝒂𝒎𝟐 ⋯ 𝒂𝒎𝒏 ((𝒃 + 𝒄 ) (𝒃 + 𝒄 ) ⋯ (𝒃 + 𝒄 )) 𝒎𝟏 𝒎𝟏 𝒎𝟐 𝒎𝟐 𝒎𝒏 𝒎𝒏 = 𝑨𝒎×𝒏 + (𝑩𝒎×𝒏 + 𝑪𝒎×𝒏 ). Что и требовалось доказать. AmXn + ОmXn = AmXn – это свойство сложения с нейтральным элементом, а именно с нулевой матрицей того же порядка. 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝟎 𝟎 ⋯ 𝟎 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 𝟎 𝟎 ⋯ 𝟎 𝑨𝒎×𝒏 + 𝑶𝒎×𝒏 = ( ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ) + (⋯ ⋯ ⋯ ⋯) = 𝒂𝒎𝟏 𝒂𝒎𝟐 ⋯ 𝒂𝒎𝒏 𝟎 𝟎 ⋯ 𝟎 𝒂𝟏𝟏 + 𝟎 𝒂𝟏𝟐 + 𝟎 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 + 𝟎 𝒂 + 𝟎 𝒂𝟐𝟐 + 𝟎 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 + 𝟎 = ( 𝟐𝟏 )= ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒎𝟏 + 𝟎 𝒂𝒎𝟐 + 𝟎 ⋯ 𝒂𝒎𝒏 + 𝟎 Из свойств рациональных чисел известно, что сумма числа и нуля – снова число, сложение чисел перестановочно, поэтому получаем следующее: 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 =( ⋯ 𝒂𝒎𝟏 𝒂𝟏𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝟎 + 𝒂𝟏𝟏 𝟎 + 𝒂𝟏𝟐 ⋯ 𝟎 + 𝒂𝟏𝒏 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 𝟎 + 𝒂𝟐𝟏 𝟎 + 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝟎 + 𝒂𝟐𝒏 )= ⋯ ⋯ ⋯ ) = 𝑨𝒎×𝒏 = ( ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒎𝟐 ⋯ 𝒂𝒎𝒏 𝟎 + 𝒂𝒎𝟏 𝟎 + 𝒂𝒎𝟐 ⋯ 𝟎 + 𝒂𝒎𝒏 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝟎 𝟎 ⋯ 𝟎 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 𝟎 𝟎 ⋯ 𝟎 =( )+( ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ) = 𝑶𝒎×𝒏 + 𝑨𝒎×𝒏 . ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒎𝟏 𝒂𝒎𝟐 ⋯ 𝒂𝒎𝒏 𝟎 𝟎 ⋯ 𝟎 Что и требовалось доказать. AmXn + ( - AmXn) = ОmXn – это свойство сложения с противоположным элементом. 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 −𝒂𝟏𝟏 −𝒂𝟏𝟐 ⋯ −𝒂𝟏𝒏 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 −𝒂𝟐𝟏 −𝒂𝟐𝟐 ⋯ −𝒂𝟐𝒏 𝑨𝒎×𝒏 + (−𝑨𝒎×𝒏 ) = ( ⋯ ) + ( ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ )= 𝒂𝒎𝟏 𝒂𝒎𝟐 ⋯ 𝒂𝒎𝒏 −𝒂𝒎𝟏 −𝒂𝒎𝟐 ⋯ −𝒂𝒎𝒏 𝒂𝟏𝟏 − 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 − 𝒂𝟏𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 − 𝒂𝟏𝒏 𝟎 𝟎 ⋯ 𝟎 𝒂𝟐𝟏 − 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 − 𝒂𝟐𝒏 𝟎 𝟎 ⋯ 𝟎 =( )=( ) = 𝑶𝒎×𝒏 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒎𝟏 𝒂𝒎𝟏 𝒂𝒎𝟐 − 𝒂𝒎𝟐 ⋯ 𝒂𝒎𝒏 − 𝒂𝒎𝒏 𝟎 𝟎 ⋯ 𝟎 Так как сложение матриц перестановочно, то (– AmXn) + AmXn=OmXn тоже справедливо. 1• AmXn = AmXn – это свойство умножения матрицы на число 1. α •( β • AmXn) = (α • β) • AmXn – это свойство ассоциативности относительно умножения чисел. 𝜷 ⋅ 𝒂𝟏𝟏 𝜷 ⋅ 𝒂𝟏𝟐 ⋯ 𝜷 ⋅ 𝒂𝟏𝒏 𝜷 ⋅ 𝒂𝟐𝟏 𝜷 ⋅ 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝜷 ⋅ 𝒂𝟐𝒏 𝜶 ⋅ (𝜷 ⋅ 𝑨𝒎×𝒏 ) = 𝜶 ⋅ ( )= ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝜷 ⋅ 𝒂𝒎𝟏 𝜷 ⋅ 𝒂𝒎𝟐 ⋯ 𝜷 ⋅ 𝒂𝒎𝒏 𝜶 ⋅ 𝜷 ⋅ 𝒂𝟏𝟏 𝜶 ⋅ 𝜷 ⋅ 𝒂𝟏𝟐 ⋯ 𝜶 ⋅ 𝜷 ⋅ 𝒂𝟏𝒏 𝜶 ⋅ 𝜷 ⋅ 𝒂𝟐𝟏 𝜶 ⋅ 𝜷 ⋅ 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝜶 ⋅ 𝜷 ⋅ 𝒂𝟐𝒏 =( )= ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝜶 ⋅ 𝜷 ⋅ 𝒂𝒎𝟏 𝜶 ⋅ 𝜷 ⋅ 𝒂𝒎𝟐 ⋯ 𝜶 ⋅ 𝜷 ⋅ 𝒂𝒎𝒏 Заметим, что α • β – число, общий множитель, который можно вынести на знак матрицы. 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 (𝜶 ∙ 𝜷) ∙ ( ⋯ 𝒂𝒎𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝒎𝟐 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝒂𝟐𝒏 ⋯ ) = (𝜶 ∙ 𝜷) ∙ 𝑨𝒎×𝒏. 𝒂𝒎𝒏 Что и требовалось доказать. α • (AmXn + BmXn) = α • AmXn + α • BmXn – это свойство дистрибутивности умножения на число относительно сложения матриц. 𝒂𝟏𝟏 + 𝒃𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 + 𝒃𝟏𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 + 𝒃𝟏𝒏 𝒂 + 𝒃𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 + 𝒃𝟐𝒏 𝜶 ⋅ (𝑨𝒎×𝒏 + 𝑩𝒎×𝒏 ) = 𝜶 ⋅ ( 𝟐𝟏 )= … ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒎𝟏 + 𝒃𝒎𝟏 𝒂𝒎𝟐 + 𝒃𝒎𝟐 ⋯ 𝒂𝒎𝒏 + 𝒃𝒎𝒏 𝜶(𝒂𝟏𝟏 + 𝒃𝟏𝟏 ) 𝜶(𝒂𝟏𝟐 + 𝒃𝟏𝟐 ) ⋯ 𝜶(𝒂𝟏𝒏 + 𝒃𝟏𝒏 ) 𝜶(𝒂𝟐𝟏 + 𝒃𝟐𝟏 ) 𝜶(𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝟐𝟐 ) ⋯ 𝜶(𝒂𝟐𝒏 + 𝒃𝟐𝒏 ) =( ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝜶(𝒂𝒎𝟏 + 𝒃𝒎𝟏 ) 𝜶(𝒂𝒎𝟐 + 𝒃𝒎𝟐 ) ⋯ 𝜶(𝒂𝒎𝒏 + 𝒃𝒎𝒏 ) Так как умножение чисел дистрибутивно, получаем: 𝜶 · 𝒂𝟏𝟏 + 𝜶 · 𝒃𝟏𝟏 𝜶 · 𝒂𝟐𝟏 + 𝜶 · 𝒃𝟐𝟏 ( ⋯ 𝜶 · 𝒂𝒎𝟏 + 𝜶 · 𝒃𝒎𝟏 𝜶 · 𝒂𝟏𝟐 + 𝜶 · 𝒃𝟏𝟐 𝜶 · 𝒂𝟐𝟐 + 𝜶 · 𝒃𝟐𝟐 ⋯ 𝜶 · 𝒂𝟏𝟐 + 𝜶 · 𝒃𝟏𝟐 ⋯ 𝜶 · 𝒂𝟏𝒏 + 𝜶 · 𝒃𝟏𝒏 ⋯ 𝜶 · 𝒂𝟐𝒏 + 𝜶 · 𝒃𝟐𝒏 ) ⋯ ⋯ ⋯ 𝜶 · 𝒂𝒎𝒏 + 𝜶 · 𝒃𝒎𝒏 Тогда как матрица суммы равна сумме матриц, то имеем: 𝜶 · 𝒂𝟏𝟏 + 𝜶 · 𝒂𝟏𝟐 𝜶 · 𝒂𝟐𝟏 + 𝜶 · 𝒂𝟐𝟐 ( ⋯ 𝜶 · 𝒂𝒎𝟏 + 𝜶 · 𝒂𝒎𝟐 ⋯ 𝜶 · 𝒂𝟏𝒏 𝜶 · 𝒃𝟏𝟏 + 𝜶 · 𝒃𝟏𝟐 ⋯ 𝜶 · 𝒂𝟐𝒏 𝜶 · 𝒃𝟐𝟏 + 𝜶 · 𝒃𝟐𝟐 )+( ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝜶 · 𝒂𝒎𝒏 𝜶 · 𝒃𝒎𝟏 + 𝜶 · 𝒃𝒎𝟐 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝜶 · 𝒃𝟏𝒏 𝜶 · 𝒃𝟐𝒏 )= ⋯ 𝜶 · 𝒃𝒎𝒏 Вынесем общий множитель за знак матрицы, получим: 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 =𝜶·( ⋯ 𝒂𝒎𝟏 𝒂𝒎𝟐 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝒃𝟏𝟏 𝒃𝟏𝟐 𝒂𝟐𝒏 𝒃𝟐𝟏 𝒃𝟐𝟐 ⋯ )+( ⋯ 𝒂𝒎𝒏 𝒃𝒎𝟏 𝒃𝒎𝟐 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒃𝟏𝒏 𝒃𝟐𝒏 ) = 𝜶 · 𝑨𝒎×𝒏 + 𝜶 · 𝑩𝒎×𝒏. ⋯ 𝒃𝒎𝒏 Что и требовалось доказать. (α + β) • AmXn = α • AmXn + β • AmXn. – это свойство дистрибутивности умножения на матрицу относительно сложения чисел. Замечания: Замечание 1. Матрица -1•А называется противоположной матрице А. Замечание 2. Разность матриц AmXn – BmXn можно определить следующим образом: AmXn – BmXn = AmXn + (- BmXn ) Т.е. разностью матриц А и В называется сумма матрицы А с матрицей, противоположной матрице В. Замечание 3. Если к квадратной матрице А необходимо прибавить число 0, то нужно к квадратной матрице А добавить диагональную матрицу того же размера, что матрица А, в которой диагональные элементы есть α. 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 An x n + α = ( ⋯ 𝒂𝒏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝒏𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝒂𝟏𝟏 𝟏 𝟎 ⋯ 𝟎 𝒂𝟐𝟏 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 𝟎 𝟏 ⋯ 𝟎 ) + 𝛂 = ( ( ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒏𝟏 ⋯ 𝒂𝒏𝒏 𝟎 𝟎 ⋯ 𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝒏𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝛂 𝟎 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 𝟎 𝛂 ) + ( ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒏𝒏 𝟎 𝟎 𝒂𝟏𝟏 + 𝛂 ⋯ 𝟎 ⋯ 𝟎 𝒂𝟐𝟏 ( )= ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝛂 𝒂𝒏𝟏 𝒂𝟏𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝒂𝟐𝒏 𝒂𝟐𝟐 + 𝛂 ⋯ ⋯ ) ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒏𝒏 + 𝛂 𝒂𝒏𝟐 4. Умножение матрицы на матрицу Матрицу А будем называть согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Однако из согласованности матрицы А с матрицей В не следует согласованность матрицы В с матрицей А. Но если А и В – квадратные матрицы одинакового порядка, то если матрица А согласована с матрицей В, то матрица В согласована с матрицей А. Произведение матрицы А на матрицу В вводится только в том случае, когда матрица А согласована с матрицей В. Произведением матрицы AmXn = (аij) где i = 1,...,m, j = 1,...,n на матрицу BnXk = (bij) где i = 1,...n, j = 1,...k называется матрица CmXk = (cij), такая, что ci,j = ∑𝒏𝒔=𝟏 𝒂𝒊,𝒔 • 𝒃𝒔,𝒋, i = 1,…,m, j = 1,…,k. То есть, чтобы получить элемент матрицы С, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца, нужно элементы i-ой строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить. Например, вот произведение матриц: A2 x 3 = ( 𝒂 • 𝒃𝟏𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 • 𝒃𝟐𝟏 + 𝒂𝟏𝟑 • 𝒃𝟑𝟏 A • B = ( 𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 • 𝒃𝟏𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 • 𝒃𝟐𝟏 + 𝒂𝟐𝟑 • 𝒃𝟑𝟏 𝟏 𝟐 𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 ), B3 x 2 = ( 𝟐 𝟓) 𝟎 𝟏 −𝟏 𝟎 𝟏 • 𝟒 + 𝟏 • 𝟐 + 𝟏 • (−𝟏) 𝒂𝟏𝟏 • 𝒃𝟏𝟐 + 𝒂𝟏𝟐 • 𝒃𝟐𝟐 + 𝒂𝟏𝟑 • 𝒃𝟑𝟐 )=( 𝒂𝟐𝟏 • 𝒃𝟏𝟐 + 𝒂𝟏𝟐 • 𝒃𝟐𝟐 + 𝒂𝟐𝟑 • 𝒃𝟑𝟐 𝟐 • 𝟒 + 𝟎 • 𝟐 + 𝟏 • (−𝟏) 𝟏•𝟏+𝟏•𝟓 + 𝟏•𝟎 𝟓 𝟔 )=( ) 𝟐•𝟏+𝟎•𝟓+ 𝟏•𝟎 𝟕 𝟐 Важно! Если А и В — согласованные квадратные матрицы одинакового порядка, то А•В ≠ В•А. А если А•В = В•А, то матрицы А и В называются перестановочными или коммутирующими. 5. Свойства произведения матриц Допустим, AnXm, BnXm, CnXm – это матрицы, 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 𝑨𝒎 × 𝒏 = ( ⋯ 𝒂𝒎𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝒎𝟐 𝒄𝟏𝟏 𝒄𝟐𝟏 𝑪𝒌 × 𝒍 = ( ⋯ 𝒄𝒌𝟏 𝒄𝟏𝟐 𝒄𝟐𝟐 ⋯ 𝒄𝒌𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝒃𝟏𝟏 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 𝒃𝟐𝟏 ⋯ ⋯ ), 𝑩𝒏 × 𝒌 = ( ⋯ ⋯ 𝒂𝒎𝒏 𝒃𝒏𝟏 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒃𝟏𝟐 𝒃𝟐𝟐 ⋯ 𝒃𝒏𝟐 ⋯ 𝒃𝟏𝒌 ⋯ 𝒃𝟐𝒌 ), ⋯ ⋯ ⋯ 𝒃𝒏𝒌 𝒄𝟏𝒍 𝒄𝟐𝒍 ⋯ ) – матрицы, а α и β — числа. 𝒄𝒌𝒍 Тогда верно следующее (𝑨𝒎 × 𝒏 ∙ 𝑩𝒏 × 𝒌 ) ∙ 𝑪𝒌 × 𝒍 = 𝑨𝒎 × 𝒏 ∙ (𝑩𝒏 × 𝒌 ∙ 𝑪𝒌 × 𝒍 ) – это свойство ассоциативности умножения матриц. 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 ( ⋯ 𝒂𝒎𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝒎𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝒃𝟏𝟏 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 𝒃𝟐𝟏 ⋯ ⋯ )⋅( ⋯ ⋯ 𝒂𝒎𝒏 𝒃𝒏𝟏 𝒄𝟏𝟏 𝒄𝟏𝟐 ⋯ 𝒃𝟏𝒌 𝒄𝟐𝟏 𝒄𝟐𝟐 ⋯ 𝒃𝟐𝒌 (𝑨𝒎×𝒏 ⋅ 𝑩𝒏×𝒌 ) = ) ⋅(⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒄𝒌𝟏 𝒄𝒌𝟐 ⋯ 𝒃𝒏𝒌 ( ) 𝒂𝟏𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝟏 𝒂𝟏𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝟐 + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝟐 𝒂 ⋅ 𝒃 + 𝒂𝟐𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝟏 𝒂𝟐𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝟐 + 𝒂𝟐𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝟐 = ( 𝟐𝟏 𝟏𝟏 ⋯ ⋯ 𝒂𝒎𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝟏 + 𝒂𝒎𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝟏 + ⋯ + 𝒂𝒎𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝟏 𝒂𝒎𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝟐 + 𝒂𝒎𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒎𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝟐 𝒄𝟏𝟏 𝒄𝟏𝟐 ⋯ 𝒄𝟏𝒍 ⋯ 𝒂𝟏𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝒌 + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝒌 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝒌 𝒄𝟐𝟏 𝒄𝟐𝟐 ⋯ 𝒄𝟐𝒍 ⋯ 𝒂𝟐𝟏 ⋅ 𝒃𝟐𝒌 + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝒌 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝒌 )⋅( ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) = ⋯ ⋯ ⋯ 𝒄𝒌𝟏 𝒄𝒌𝟐 ⋯ 𝒄𝒌𝒍 ⋯ 𝒂𝒎𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝒌 + 𝒂𝒎𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝒌 + ⋯ + 𝒂𝒎𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝒌 𝒃𝟏𝟐 𝒃𝟐𝟐 ⋯ 𝒃𝒏𝟐 ⋯ 𝒄𝟏𝒍 ⋯ 𝒄𝟐𝒍 ⋯ ⋯) = ⋯ 𝒄𝒌𝒍 Выпишем первый элемент итоговой матрицы, а именно, перемножим только первую строку матрицы АВ и первый столбец матрицы С, получим: (𝒂𝟏𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝟏 ) ⋅ 𝒄𝟏𝟏 + (𝒂𝟏𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝟐 + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝟐 ) ⋅ 𝒄𝟐𝟏 + ⋯ +(𝒂𝟏𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝒌 + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝒌 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝒌 ) ⋅ 𝒄𝒌𝟏 = = 𝒂𝟏𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝟏 ⋅ 𝒄𝟏𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝟏 ⋅ 𝒄𝟏𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝟏 ⋅ 𝒄𝟏𝟏 + 𝒂𝟏𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝟐 ⋅ 𝒄𝟐𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝟐 ⋅ 𝒄𝟐𝟏 + ⋯ + +𝒂𝟏𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝟐 ⋅ 𝒄𝟐𝟏 + 𝒂𝟏𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝒌 ⋅ 𝒄𝒌𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝒌 ⋅ 𝒄𝒌𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝒌 ⋅ 𝒄𝒌𝟏 = = 𝒂𝟏𝟏 ⋅ (𝒃𝟏𝟏 ⋅ 𝒄𝟏𝟏 + 𝒃𝟏𝟐 ⋅ 𝒄𝟐𝟏 + ⋯ + 𝒃𝟏𝒌 ⋅ 𝒄𝒌𝟏 ) + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ (𝒃𝟐𝟏 ⋅ 𝒄𝟏𝟏 + 𝒃𝟐𝟐 ⋅ 𝒄𝟐𝟏 + ⋯ + 𝒃𝟐𝒌 ⋅ 𝒄𝒌𝟏 ) + ⋯ +𝒂𝟏𝒏 ⋅ (𝒃𝒏𝟏 ⋅ 𝒄𝟏𝟏 + 𝒃𝒏𝟐 ⋅ 𝒄𝟐𝟏 + 𝒃𝒏𝒌 ⋅ 𝒄𝒌𝟏 ) Заметим, что выражение (𝑏11 ⋅ 𝑐11 + 𝑏12 ⋅ 𝑐21 + ⋯ + 𝑏1𝑘 ⋅ 𝑐𝑘1 ) – произведение элементов второй строки матрицы В на первый столбец матрицы С. (𝑏21 ⋅ 𝑐11 + 𝑏22 ⋅ 𝑐21 + ⋯ + 𝑏2𝑘 ⋅ 𝑐𝑘1 ) – произведение элементов второй строки матрицы В на первый столбец матрицы С. (𝑏𝑛1 ⋅ 𝑐11 + 𝑏𝑛2 ⋅ 𝑐21 + 𝑏𝑛𝑘 ⋅ 𝑐𝑘1 ) – произведение элементов n- ой строки матрицы В на первый столбец матрицы С. То есть эти элементы образуют первый столбец матрицы ВС. А весь элемент 𝒂𝟏𝟏 ⋅ (𝒃𝟏𝟏 ⋅ 𝒄𝟏𝟏 + 𝒃𝟏𝟐 ⋅ 𝒄𝟐𝟏 + ⋯ + 𝒃𝟏𝒌 ⋅ 𝒄𝒌𝟏 ) + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ (𝒃𝟐𝟏 ⋅ 𝒄𝟏𝟏 + 𝒃𝟐𝟐 ⋅ 𝒄𝟐𝟏 + ⋯ + 𝒃𝟐𝒌 ⋅ 𝒄𝒌𝟏 ) + ⋯ +𝒂𝟏𝒏 ⋅ (𝒃𝒏𝟏 ⋅ 𝒄𝟏𝟏 + 𝒃𝒏𝟐 ⋅ 𝒄𝟐𝟏 + 𝒃𝒏𝒌 ⋅ 𝒄𝒌𝟏 ) – произведение первой строки матрицы А на первый столбец матрицы ВС. Рассуждая аналогичным образом для остальных элементов получим справедливость ассоциативности умножения матриц. 𝜶 ∙ (𝑨𝒎 × 𝒏 ∙ 𝑩𝒏 × 𝒌 ) = 𝜶 ∙ (𝑨𝒎 × 𝒏 ) ∙ 𝑩𝒏 × 𝒌 = 𝑨𝒎 × 𝒏 ∙ (𝜶 ∙ 𝑩𝒏 × 𝒌 ) – свойство выноса числового множителя за знак произведения матриц. 𝜶 ⋅ (𝑨𝒎×𝒏 ⋅ 𝑩𝒏×𝒌 ) = 𝒂𝟏𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝟏 ⋯ 𝒂𝟏𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝒌 + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝒌 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝒌 𝜶 ⋅ ( 𝒂𝟐𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝟏 ⋯ 𝒂𝟐𝟏 ⋅ 𝒃𝟐𝒌 + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝒌 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝒌 ) = 𝒂𝒎𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝟏 + 𝒂𝒎𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝟏 + ⋯ + 𝒂𝒎𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝟏 ⋯ 𝒂𝒎𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝒌 + 𝒂𝒎𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝒌 + ⋯ + 𝒂𝒎𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝒌 𝜶 ⋅ (𝒂𝟏𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝟏 ) ⋯ 𝜶 ⋅ (𝒂𝟏𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝒌 + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝒌 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝒌 ) = ( 𝜶 ⋅ (𝒂𝟐𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝟏 ) ⋯ 𝜶 ⋅ (𝒂𝟐𝟏 ⋅ 𝒃𝟐𝒌 + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝒌 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝒌 ) ) = 𝜶 ⋅ (𝒂𝒎𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝟏 + 𝒂𝒎𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝟏 + ⋯ + 𝒂𝒎𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝟏 ) ⋯ 𝜶 ⋅ (𝒂𝒎𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝒌 + 𝒂𝒎𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝒌 + ⋯ + 𝒂𝒎𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝒌 ) 𝜶 ⋅ 𝒂𝟏𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝟏 + 𝜶 ⋅ 𝒂𝟏𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝟏 + ⋯ + 𝜶 ⋅ 𝒂𝟏𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝟏 ⋯ 𝜶 ⋅ 𝒂𝟐𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝟏 + 𝜶 ⋅ 𝒂𝟐𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝟏 + ⋯ + 𝜶 ⋅ 𝒂𝟐𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝟏 ) ⋯ =( ⋯ ⋯ 𝜶 ⋅ 𝒂𝒎𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝟏 + 𝜶 ⋅ 𝒂𝒎𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝟏 + ⋯ + 𝜶 ⋅ 𝒂𝒎𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝟏 ) ⋯ ⋯ (𝜶 ⋅ 𝒂𝟏𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝒌 + 𝜶 ⋅ 𝒂𝟏𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝒌 + ⋯ + 𝜶 ⋅ 𝒂𝟏𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝒌 ) ⋯ (𝜶 ⋅ 𝒂𝟐𝟏 ⋅ 𝒃𝟐𝒌 + 𝜶 ⋅ 𝒂𝟏𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝒌 + ⋯ + 𝜶 ⋅ 𝒂𝟐𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝒌 ) )= ⋯ ⋯ ⋯ (𝜶 ⋅ 𝒂𝒎𝟏 ⋅ 𝒃𝟏𝒌 + 𝜶 ⋅ 𝒂𝒎𝟐 ⋅ 𝒃𝟐𝒌 + ⋯ + 𝜶 ⋅ 𝒂𝒎𝒏 ⋅ 𝒃𝒏𝒌 ) Так как произведение чисел ассоциативно, то будем иметь: (𝜶 ⋅ 𝒂𝟏𝟏 ) ⋅ 𝒃𝟏𝟏 + (𝜶 ⋅ 𝒂𝟏𝟐 ) ⋅ 𝒃𝟐𝟏 + ⋯ + (𝜶 ⋅ 𝒂𝟏𝒏 ) ⋅ 𝒃𝒏𝟏 ⋯ (𝜶 ⋅ 𝒂𝟐𝟏 ) ⋅ 𝒃𝟏𝟏 + (𝜶 ⋅ 𝒂𝟐𝟐 ) ⋅ 𝒃𝟐𝟏 + ⋯ + (𝜶 ⋅ 𝒂𝟐𝒏 ) ⋅ 𝒃𝒏𝟏 ⋯ =( ⋯ ⋯ (𝜶 ⋅ 𝒂𝒎𝟏 ) ⋅ 𝒃𝟏𝟏 + (𝜶 ⋅ 𝒂𝒎𝟐 ) ⋅ 𝒃𝟐𝟏 + ⋯ + (𝜶 ⋅ 𝒂𝒎𝒏 ) ⋅ 𝒃𝒏𝟏 ⋯ ⋯ (𝜶 ⋅ 𝒂𝟏𝟏 ) ⋅ 𝒃𝟏𝒌 + (𝜶 ⋅ 𝒂𝟏𝟐 ) ⋅ 𝒃𝟐𝒌 + ⋯ + (𝜶 ⋅ 𝒂𝟏𝒏 ) ⋅ 𝒃𝒏𝒌 ⋯ (𝜶 ⋅ 𝒂𝟐𝟏 ) ⋅ 𝒃𝟐𝒌 + (𝜶 ⋅ 𝒂𝟏𝟐 ) ⋅ 𝒃𝟐𝒌 + ⋯ + (𝜶 ⋅ 𝒂𝟐𝒏 ) ⋅ 𝒃𝒏𝒌 ) = (𝜶 ⋅ 𝑨𝒎×𝒏 ) ⋅ 𝑩𝒏×𝒌 = ⋯ (𝜶 ⋅ 𝒂𝒎𝟏 ) ⋅ 𝒃𝟏𝒌 + (𝜶 ⋅ 𝒂𝒎𝟐 ) ⋅ 𝒃𝟐𝒌 + ⋯ + (𝜶 ⋅ 𝒂𝒎𝒏 ) ⋅ 𝒃𝒏𝒌 𝒂𝟏𝟏 ⋅ (𝜶 ⋅ 𝒃𝟏𝟏 ) + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ (𝜶 ⋅ 𝒃𝟐𝟏 ) + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏 ⋅ (𝜶 ⋅ 𝒃𝒏𝟏 ) 𝒂 ⋅ (𝜶 ⋅ 𝒃𝟏𝟏 ) + 𝒂𝟐𝟐 ⋅ (𝜶 ⋅ 𝒃𝟐𝟏 ) + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏 ⋅ (𝜶 ⋅ 𝒃𝒏𝟏 ) = ( 𝟐𝟏 … 𝒂𝒎𝟏 ⋅ (𝜶 ⋅ 𝒃𝟏𝟏 ) + 𝒂𝒎𝟐 ⋅ (𝜶 ⋅ 𝒃𝟐𝟏 ) + ⋯ + 𝒂𝒎𝒏 ⋅ (𝜶 ⋅ 𝒃𝒏𝟏 ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝟏𝟏 ⋅ (𝜶 ⋅ 𝒃𝟏𝒌 ) + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ (𝜶 ⋅ 𝒃𝟐𝒌 ) + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏 ⋅ (𝜶 ⋅ 𝒃𝒏𝒌 ) ⋯ 𝒂𝟐𝟏 ⋅ (𝜶 ⋅ 𝒃𝟏𝒌 ) + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ (𝜶 ⋅ 𝒃𝟐𝒌 ) + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏 ⋅ (𝜶 ⋅ 𝒃𝒏𝒌 ) ) = 𝑨𝒎×𝒏 ⋅ (𝜶 ⋅ 𝑩𝒏×𝒌 ). ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒎𝟏 ⋅ (𝜶 ⋅ 𝒃𝟏𝒌 ) + 𝒂𝒎𝟐 ⋅ (𝜶 ⋅ 𝒃𝟐𝒌 ) + ⋯ + 𝒂𝒎𝒏 ⋅ (𝜶 ⋅ 𝒃𝒏𝒌 ) Пусть: 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝒃𝟏𝟏 𝒃𝟏𝟐 ⋯ 𝒃𝟏𝒏 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 𝒃𝟐𝟏 𝒃𝟐𝟐 ⋯ 𝒃𝟐𝒏 𝑨𝒎×𝒏 = ( ⋯ ), ⋯ ⋯ ⋯ ) , 𝑩𝒎×𝒏 = ( ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒎𝟏 𝒂𝒎𝟐 ⋯ 𝒂𝒎𝒏 𝒃𝒎𝟏 𝒃𝒎𝟐 ⋯ 𝒃𝒎𝒏 𝒄𝟏𝟏 𝒄𝟏𝟐 ⋯ 𝒄𝟏𝒌 𝒄𝟐𝟏 𝒄𝟐𝟐 ⋯ 𝒄𝟐𝒌 𝑪𝒌×𝒍 = ( ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ) − матрицы, 𝑨, 𝑩 − матрицы одинакового размера. 𝒄𝒏𝟏 𝒄𝒏𝟐 ⋯ 𝒄𝒏𝒌 Тогда верно следующее. (𝑨𝒎 × 𝒏 ∙ 𝑩𝒎× 𝒏 ) ∙ 𝑪𝒏× 𝒌 = 𝑨𝒎 × 𝒏 ∙ 𝑪𝒏× 𝒌 + 𝑩𝒎 × 𝒏 ∙ 𝑪𝒏× 𝒌 ) – свойство дистрибутивности умножения справа относительно сложения матриц. (𝑨𝒎×𝒏 + 𝑩𝒎×𝒏 ) ⋅ 𝑪𝒏×𝒌 = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 ( ⋯ 𝒂𝒎𝟏 𝒄𝟏𝟏 𝒄𝟏𝟐 ⋯ 𝒄𝟏𝒌 𝒃𝟏𝒏 𝒄𝟐𝟏 𝒄𝟐𝟐 ⋯ 𝒄𝟐𝒌 𝒃𝟐𝒏 ) ⋅( … ⋯ ⋯ ⋯) ⋯ 𝒄𝒏𝟏 𝒄𝒏𝟐 ⋯ 𝒄𝒏𝒌 𝒃𝒎𝒏 ( ) 𝒄𝟏𝟏 𝒄𝟏𝟐 ⋯ 𝒄𝟏𝒌 (𝒂𝟏𝟏 + 𝒃𝟏𝟏 ) (𝒂𝟏𝟐 + 𝒃𝟏𝟐 ) ⋯ (𝒂𝟏𝒏 + 𝒃𝟏𝒏 ) 𝒄𝟐𝟏 𝒄𝟐𝟐 ⋯ 𝒄𝟐𝒌 (𝒂 + 𝒃𝟐𝟏 ) (𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝟐𝟐 ) ⋯ (𝒂𝟐𝒏 + 𝒃𝟐𝒏 ) = ( 𝟐𝟏 ) ⋅( ⋯ ⋯ ⋯ ⋯)= ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒄𝒏𝟏 𝒄𝒏𝟐 ⋯ 𝒄𝒏𝒌 (𝒂𝒎𝟏 + 𝒃𝒎𝟏 ) (𝒂𝒎𝟐 + 𝒃𝒎𝟐 ) ⋯ (𝒂𝒎𝒏 + 𝒃𝒎𝒏 ) ( ) (𝒂𝟏𝟏 + 𝒃𝟏𝟏 ) ⋅ 𝒄𝟏𝟏 + (𝒂𝟏𝟐 + 𝒃𝟏𝟐 ) ⋅ 𝒄𝟐𝟏 + ⋯ + (𝒂𝟏𝒏 + 𝒃𝟏𝒏 ⋅ 𝒄𝒏𝟏 ⋯ (𝒂𝟐𝟏 + 𝒃𝟐𝟏 ) ⋅ 𝒄𝟏𝟏 + (𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝟐𝟐 ) ⋅ 𝒄𝟐𝟏 + ⋯ + (𝒂𝟐𝒏 + 𝒃𝟐𝒏 ) ⋅ 𝒄𝒏𝟏 ⋯ ( ⋯ ⋯ (𝒂𝒎𝟏 + 𝒃𝒎𝟏 ) ⋅ 𝒄𝟏𝟏 + (𝒂𝒎𝟐 + 𝒃𝒎𝟐 ) ⋅ 𝒄𝟐𝟏 + ⋯ + (𝒂𝒎𝒏 + 𝒃𝒎𝒏 ) ⋅ 𝒄𝒏𝟏 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝒎𝟐 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝒃𝟏𝟏 𝒂𝟐𝒏 𝒃𝟐𝟏 ⋯ )+( ⋯ 𝒂𝒎𝒏 𝒃𝒎𝟏 𝒃𝟏𝟐 𝒃𝟐𝟐 ⋯ 𝒃𝒎𝟐 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (𝒂𝟏𝟏 + 𝒃𝟏𝟏 ) ⋅ 𝒄𝟏𝒌 + (𝒂𝟏𝟐 + 𝒃𝟏𝟐 ) ⋅ 𝒄𝟐𝒌 + ⋯ + (𝒂𝟏𝒏 + 𝒃𝟏𝒏 ⋅ 𝒄𝒏𝒌 (𝒂𝟐𝟏 + 𝒃𝟐𝟏 ) ⋅ 𝒄𝟏𝒌 + (𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝟐𝟐 ) ⋅ 𝒄𝟐𝒌 + ⋯ + (𝒂𝟐𝒏 + 𝒃𝟐𝒏 ) ⋅ 𝒄𝒏𝒌 ) ⋯ (𝒂𝒎𝟏 + 𝒃𝒎𝟏 ) ⋅ 𝒄𝟏𝒌 + (𝒂𝒎𝟐 + 𝒃𝒎𝟐 ) ⋅ 𝒄𝟐𝒌 + ⋯ + (𝒂𝒎𝒏 + 𝒃𝒎𝒏 ) ⋅ 𝒄𝒏𝒌 Возьмем первый элемент: (𝒂𝟏𝟏 + 𝒃𝟏𝟏 ) ⋅ 𝒄𝟏𝟏 + (𝒂𝟏𝟐 + 𝒃𝟏𝟐 ) ⋅ 𝒄𝟐𝟏 + ⋯ +(𝒂𝟏𝒏 + 𝒃𝟏𝒏 ⋅ 𝒄𝒏𝟏 = 𝒂𝟏𝟏 ⋅ 𝒄𝟏𝟏 + 𝒃𝟏𝟏 ⋅ 𝒄𝟏𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ 𝒄𝟐𝟏 + 𝒃𝟏𝟐 ⋅ 𝒄𝟐𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏 ⋅ 𝒄𝒏𝟏 + 𝒃𝟏𝒏 ⋅ 𝒄𝒏𝟏 = Перегруппируем слагаемые, получим: = (𝒂𝟏𝟏 ⋅ 𝒄𝟏𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 ⋅ 𝒄𝟐𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏 ⋅ 𝒄𝒏𝟏 ) + (𝒃𝟏𝟏 ⋅ 𝒄𝟏𝟏 + 𝒃𝟏𝟐 ⋅ 𝒄𝟐𝟏 + ⋯ + 𝒃𝟏𝒏 ⋅ 𝒄𝒏𝟏 ) Здесь видим в первой скобке выражение соответственно равно произведению элементов первой строки матрицы А на первый столбец матрицы С, выражение во второй скобке равно произведению первой строки матрицы В на первый столбец матрицы С. Вычисляя таким образом элемент, будем иметь А⋅С + В⋅С С•(А+ В) = С•А+ ѕ – свойство дистрибутивности умножения слева относительно умножения матриц. 6. Возведение матрицы в степень Целой положительной степенью Аm, где m >1 квадратной матрицы А, называется произведение m матриц, равных А. То есть: Am = ⏟ 𝑨 •𝑨…• 𝑨 𝒎 Операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц. Пример возведения такой матрицы: 𝟏 𝟏 Пусть A = ( 𝟏 𝟏 ), тогда A2 = ( 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 )•( 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 ) =( ) 𝟏 𝟐 𝟐 7. Транспонирование матрицы Переход от матрицы А к матрице АT, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка, называется транспонированием матрицы А. Например, если: 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 Am x n = 𝒂⋯ 𝒊𝟏 ⋯ (𝒂𝒎𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝒋𝟏 ⋯ 𝒂𝒎𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝒂𝟏𝟏 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 𝒂𝟏𝟐 ⋯ ⋯ , то 𝑨𝑻𝒏 𝒙 𝒎 = 𝒂⋯ 𝟏𝒋 ⋯ 𝒂𝒊𝒏 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒎𝒏 ) (𝒂𝟏𝒏 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝟐𝒋 ⋯ 𝒂𝟐𝒏 ⋯ 𝒂𝒎𝟏 ⋯ 𝒂𝒎𝟐 ⋯ 𝒂⋯ 𝒎𝒋 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝒎𝒏 ) Итак, при транспонировании матрица размера m X n переходит в матрицу размера n X m. Например 𝟏 𝟓 −𝟒 𝟎 ), тогда 𝑨𝑻𝟐 𝒙 𝟑 = (−𝟒 𝟑) 𝟑 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟓 A2 x 3 = ( 8. Свойства операции транспонирования Пусть A, B – это матрицы, α – число. Тогда: (АT )Т = А то есть, матрица, дважды транспонированная, равна исходной матрице. (α•А)T = α•( АT) то есть, числовой множитель можно выносить за знак транспонирования. (А+ В)T = АT + ВT то есть, транспонирование суммы матриц есть сумма транспонированных матриц. (А•В)T = ВT•АT то есть, транспонирование произведения матриц есть произведение транспонированных матриц, взятых в обратном порядке. Вопрос 3. Практическое занятие Задача 1. Вычислить произведения матриц А • В и В • А. Записать матрицу, транспонированную к А • В, при условии, что A2 = ( 𝟏 𝟑 𝟐 𝟐 𝟔 ) , B2 = ( ). 𝟔 −𝟏 𝟑 Решение. Так как матрицы квадратные одного порядка, то мы можем вычислить их произведения следующим образом: А•В=( 𝟏 • 𝟐 + 𝟐 • (−𝟏) 𝟏 • 𝟔 + 𝟐 • 𝟑 𝟎 )=( 𝟑 • 𝟐 + 𝟔 • (−𝟏) 𝟑 • 𝟔 + 𝟔 • 𝟑 𝟎 𝟏𝟐 ) 𝟑𝟔 B•A=( 𝟐 𝟔 𝟏 )•( −𝟏 𝟑 𝟑 𝟐• 𝟏 + 𝟔•𝟑 𝟐 )=( (−𝟏) • 𝟏 + 𝟑 • 𝟑 𝟔 𝟐• 𝟐 + 𝟔•𝟔 𝟐𝟎 𝟒𝟎 )=( ) (−𝟏) • 𝟐 + 𝟑 • 𝟔 𝟖 𝟏𝟔 Таким образом, мы получили А • В ≠ В • А, следовательно, матрицы А и В неперестановочные. Теперь найдем матрицу, транспонированную к А • В: (А • В)T = ( 𝟎 Ответ: (𝟏𝟐 𝟎 𝟎 𝟏𝟐 T 𝟎 ) =( 𝟑𝟔 𝟏𝟐 𝟎 ) 𝟑𝟔 𝟎 ) 𝟑𝟔 Задача 2. Найти значение матричного многочлена ⨍(A) = 3A2 – 5A +2, где 𝟏 𝟐 A=( 𝟎 𝟐 −𝟐 𝟏 𝟎 −𝟏) 𝟒 Решение. Действие 1. Вычислим значение A2: 𝟏 𝟐 𝟎 𝟏 𝟎 𝟐 −𝟏) • ( 𝟎 −𝟐 𝟏 𝟒 −𝟐 𝟏 • 𝟏 + 𝟐 • 𝟎 + 𝟎 • (−𝟐) 𝟏• 𝟐 + 𝟐•𝟐+𝟎•𝟏 =(𝟎 • 𝟏 + 𝟐 • 𝟎 + (−𝟏) • (−𝟐) 𝟎 • 𝟐 + 𝟐 • 𝟐 + (−𝟏) • 𝟏 (−𝟐) • 𝟏 + 𝟏 • 𝟎 + 𝟒 • (−𝟐) (−𝟐) • 𝟐 + 𝟏 • 𝟐 + 𝟒 • 𝟏 𝟏 𝟔 −𝟐 ( 𝟐 𝟑 −𝟔) −𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟓 A2 = A • A = ( 𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 −𝟏) 𝟒 𝟏 • 𝟎 + 𝟐 • (−𝟏) + 𝟎 • 𝟒 𝟎 • 𝟎 + 𝟐 • (−𝟏) + (−𝟏) • 𝟒) = (−𝟐) • 𝟎 + 𝟏 • (−𝟏) + 𝟒 • 𝟒 Действие 2. Находим значение 3 • A2: 𝟏 3 • A2 = 3 • ( 𝟐 −𝟏𝟎 𝟔 𝟑 𝟐 Действие 3. Теперь перейдем к (-5) • A: −𝟐 𝟑 𝟏𝟖 −𝟔) = ( 𝟔 𝟗 𝟏𝟓 −𝟑𝟎 𝟔 −𝟔 −𝟏𝟖) 𝟒𝟓 𝟏 𝟐 (-5) • A = (-5) • ( 𝟎 𝟐 −𝟐 𝟏 𝟎 −𝟓 −𝟏𝟎 −𝟏) = ( 𝟎 −𝟏𝟎 𝟒 𝟏𝟎 −𝟓 𝟎 𝟓 ) −𝟐𝟎 Действие 4. Сложим получившиеся значения. Обратите внимание, что мы представили разность 3 • A2 - 5 • A, как 3 • A2 +((- 5 ) • A): 𝟑 𝟏𝟖 3 • A2 – 5 • A = ( 𝟔 𝟗 −𝟑𝟎 𝟔 −𝟔 −𝟓 −𝟏𝟎 −𝟏𝟖) + ( 𝟎 −𝟏𝟎 𝟒𝟓 𝟏𝟎 −𝟓 −𝟐 𝟖 𝟎 −𝟏 𝟓 )=( 𝟔 −𝟐𝟎 𝟏 −𝟐𝟎 −𝟔 −𝟏𝟑) 𝟐𝟓 Действие 5. К полученному выражению добавим число 2. Для того, чтобы это сделать, нужно добавить диагональную матрицу, у которой на главной диагонали стоит число 2. Таким образом, получаем: −𝟐 𝟖 3 • A2 – 5 • A + 2 = ( 𝟔 −𝟏 −𝟐𝟎 𝟏 𝟎 𝟖 𝟏 −𝟐𝟎 𝟏 Ответ: ( 𝟔 −𝟔 −𝟏𝟑) 𝟐𝟕 −𝟔 𝟐 −𝟏𝟑) + (𝟎 𝟐𝟓 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟖 𝟐 𝟎) = ( 𝟔 𝟏 𝟎 𝟐 −𝟐𝟎 𝟏 −𝟔 −𝟏𝟑) 𝟐𝟕
