Теория функций комплексного переменного Множества на комплексной плоскости. Функции комплексного переменного Рыбаков К.А. Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) [email protected] http://dep805.ru/rk Семинар 2 [email protected] 1 / 17 Примеры Пример 1. Указать, какие из уравнений описывают все точки действительной оси 0x, мнимой оси 0y: 1) z = 0, 2) z + z̄ = 0, 3) z = z̄, 4) arg z = 0, 5) Im z = 0, 6) |z − i| = |z + i|, 7) arg z = π/2, 8) Re z = 0, 9) |z − 1| = |z + 1|. 1) z = 0 — точка на плоскости (начало координат); 2) z + z̄ = 0 ⇐⇒ x + iy + x − iy = 2x = 0, x = 0 — ось 0y; 3) z = z̄ ⇐⇒ x + iy = x − iy, 2iy = 0, y = 0 — ось 0x; http://dep805.ru/rk Семинар 2 [email protected] 2 / 17 Примеры 4) arg z = 0 — луч {x > 0, y = 0}; 5) Im z = 0 ⇐⇒ y = 0 — ось 0x; 6) |z − i| = |z + i| ⇐⇒ 2 |x + iy − i| = |x + iy + i|2 , x2 + (y − 1)2 = x2 + (y + 1)2 , y 2 − 2y + 1 = y 2 + 2y + 1, y = 0 — ось 0x; 7) arg z = π/2 — луч {x = 0, y > 0}; 8) Re z = 0 ⇐⇒ 9) |z − 1| = |z + 1| x = 0 — ось 0y; ⇐⇒ |x + iy − 1|2 = |x + iy + 1|2 , (x − 1)2 + y 2 = (x + 1)2 + y 2 , x2 − 2x + 1 = x2 + 2x + 1, x = 0 — ось 0y. http://dep805.ru/rk Семинар 2 [email protected] 3 / 17 Примеры Пример 2. Построить на комплексной плоскости линии, которые заданы уравнениями: а) |z − 2| = |z + 2i|, б) |z − 3i| = 2, в) |z − 3 + i| = 3, г) Re z − Im z = 0. http://dep805.ru/rk Семинар 2 [email protected] 4 / 17 Примеры Пример 3. Определить вид множеств, заданных соотношениями: б) | Re z| < 1, | Re z| < 3, г) | Im z| < 2. а) Re z + Im z > 0, в) Re |z| < 1, http://dep805.ru/rk Семинар 2 [email protected] 5 / 17 Примеры Пример 4. Определить вид множеств, заданных соотношениями: 1 < |z| < 3, |z − i| < 1, а) б) Im z < 0; Re z > 0; Re z + Im z < 0, Im 1/z < −1/2, в) г) |z| > 1; | arg z| < π/2. http://dep805.ru/rk Семинар 2 [email protected] 6 / 17 Примеры г) Преобразуем неравенство Im 1/z < −1/2: 1 x − iy x − iy 1 y = Im 2 Im = Im =− 2 , 2 z x + iy x − iy x +y x + y2 т.е. y 1 − 2 <− , x + y2 2 2y > x2 + y 2 , x2 + (y − 1)2 < 1. Это неравенство описывает круг единичного радиуса с центром в точке (0, 1): 1 y − 2 <− 2 x +y 2 ⇐⇒ |z − i| < 1. Кроме того, условие | arg z| < π/2 описывает правую полуплоскость: | arg z| < π/2 ⇐⇒ Re z > 0. Множества, заданные условиями «б» и «г» совпадают. http://dep805.ru/rk Семинар 2 [email protected] 7 / 17 Примеры Пример 5. Определить вид множеств, заданных соотношениями: √ √ а) |z + i| < 1, б) 1 < |z + i| < 2, в) |z + i| > 2. http://dep805.ru/rk Семинар 2 [email protected] 8 / 17 Примеры Пример 6. Определить вид множеств, заданных соотношениями: а) 0 < Re http://dep805.ru/rk iz < 1, 3 б) |z|2 = 1 − Im z 2 , Семинар 2 в) z ⩽ 1. z − 2i [email protected] 9 / 17 Примеры Пример 7. Определить, какую линию на комплексной плоскости задает уравнение 1 1 1 Re + Im = . z̄ z̄ 2 Подставляя z = x + iy и учитывая, что 1 x + iy x + iy 1 = = 2 , z̄ x − iy x + iy x + y2 получаем уравнение в действительной форме: y 1 x + 2 = , x2 + y 2 x + y2 2 или 2x + 2y = x2 + y 2 , (x − 1)2 + (y − 1)2 = 2. √ Это уравнение окружности радиуса 2 с центром в точке (1, 1). http://dep805.ru/rk Семинар 2 [email protected] 10 / 17 Примеры Определить вид множества по условию 1 1 1 Re + Im < . z̄ z̄ 2 http://dep805.ru/rk Семинар 2 [email protected] 11 / 17 Примеры Пример 8. Определить, какую линию на комплексной плоскости задает уравнение Im(z + i)2 = 2. Запишем уравнение в действительной форме, подставляя z = x + iy: Im(x + iy + i)2 = 2, Im x2 − (y + 1)2 + i 2x(y + 1) = 2, т.е. 1 − 1. x Это уравнение гиперболы с асимптотами x = 0 и y = −1. 2x(y + 1) = 2, http://dep805.ru/rk y= Семинар 2 [email protected] 12 / 17 Примеры Определить вид множества по условию Im(z + i)2 > 2. http://dep805.ru/rk Семинар 2 [email protected] 13 / 17 Примеры Пример 9. Определить, какую линию на комплексной плоскости задает уравнение |z| − Re z = 2. Запишем уравнение в действительной форме, подставляя z = x + iy: p |x + iy| − Re(x + iy) = 2, x2 + y 2 − x = 2, x2 + y 2 = (2 + x)2 . Далее, x2 + y 2 = 4 + 4x + x2 , y 2 = 4(1 + x). Это уравнение параболы с вершиной в точке (−1, 0) и ветвями, направленными вправо. http://dep805.ru/rk Семинар 2 [email protected] 14 / 17 Примеры Определить вид множества по условию |z| − Re z ⩽ 2. http://dep805.ru/rk Семинар 2 [email protected] 15 / 17 Примеры Пример 10. Записать в виде неравенств множества точек: а) угла A0B, б) сектора A0B, в) треугольника A0B, √ √ где A = ( 3, 1) и B = (1, 3). http://dep805.ru/rk Семинар 2 [email protected] 16 / 17 Оглавление / ТФКП 1 Комплексные числа. Числовые последовательности и ряды. 2 Множества на комплексной плоскости. Функции комплексного переменного. −→ Лекция 3 Элементарные функции комплексного переменного. 4 Дифференцирование функций комплексного переменного. 5 Интегрирование функций комплексного переменного. 6 Функциональные последовательности и ряды. Ряды Тейлора. Ряды Лорана. 7 Нули аналитических функций. Особые точки и вычеты. 8 Применение вычетов к вычислению интегралов и сумм числовых рядов. −→ Операционное исчисление http://dep805.ru/rk Семинар 2 [email protected] 17 / 17
