А. А. Андреев, А. С. Холодов, О сверхзвуковом пространственном обтекании затупленных тел с учетом интерференции, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1989, том 29, номер 1, 142–147

Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
А. А. Андреев, А. С. Холодов, О сверхзвуковом пространственном обтекании затупленных тел с учетом интерференции, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1989, том 29, номер 1, 142–147
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 188.187.132.178
10 июня 2024 г., 18:14:41
9. Копчёное В. И., Крайко А. Н. Монотонная разностная схема второго порядка д л я
гиперболических систем с д в у м я независимыми переменными // Ж. вычисл. ма­
тем. и матем. физ. 1983. Т. 23. № 4. С. 848-859.
10. Eidelman S., Colella P., Shreeve R. P. Application of t h e Godunov method and its
second- order extension to cascade flow m o d e l i n g / / A I A A Journal. 1984. V. 22. № 1 1 .
'P. 1609-1615.
11. Glaz H. M., Wardlaw A. B. A high-order Godunov scheme for steady supersonic g a s
dynamics // J. Comput. P h y s . 1985. V. 58. № 2. P. 157-187.
12. Ганжело A. H. Расчет плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений невяз­
кого газа методом сквозного счета второго порядка точности // Уч. зап. ЦАГИ.
1986. Т. 17. № 2. С. 2 7 - 3 2 .
'
13. Родионов А. В. Монотонная схема второго порядка аппроксимации для сквозного
расчета неравновесных течений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27.
№ 4. С. 585-593.
14. Родионов А. В. Повышение порядка аппроксимации схемы Г о д у н о в а / / Ж . вычисл.
матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. № 12. С. 1853-1860.
15. Иванов М. Я., Нигматулин Р. 3. Н е я в н а я схема С. К. Годунова повышенной точ­
ности д л я численного интегрирования уравнений Эйлера // Ж. вычисл. матем. и
матем. физ. 1987. Т. 27. № 11. С. 1725-1735.
16. Любимов А. Я., Русанов В. В. Течения газа около тупых тел. М.: Наука, 1970. Ч. II.
17. Богод А. В., Грановский
А. В., Карелин А. М. Повышение точности и сокращение
времени при численном исследовании трансзвуковых течений газа в р е ш е т к а х
турбомашин // Теплоэнергетика. 1986. № 8. С. 4 8 - 5 2 .
18. Крайко А. Я. Некоторые вопросы построения численных алгоритмов для расчета
течений идеального газа // Конструирование алгоритмов и решение задач матем.
физ./Под ред. Бабенко К. И. М.: ИПМехан. АН СССР, 1987. С. 3 3 - 5 5 .
19. Chakravarthy
S. R., Szema Kuo-Yen. Euler solver for three-dimensional supersonic
flows w i t h subsonic pockets // J. Aircraft. 1987. V. 24. № 2. P. 7 3 - 8 3 .
20. Иванов М..Я., Крайко А. Я. Об аппроксимации разрывных решений при исполь­
зовании разностных схем сквозного с ч е т а / / Ж . вычисл. матем. и матем. физ.
1978. Т. 18. № 3. С. 780-783.
Поступила в редакцию 8.II.1988
УДК 519.6:533.6.011
О СВЕРХЗВУКОВОМ ПРОСТРАНСТВЕННОМ О Б Т Е К А Н И И З А Т У П Л Е Н Н Ы Х
ТЕЛ С УЧЕТОМ И Н Т Е Р Ф Е Р Е Н Ц И И
АНДРЕЕВА.
А.,
ХОЛОДОВ
А. С.
( Москва )
Рассматривается численное решение задачи о пространственном
обтекании тел сверхзвуковым потоком невязкого нетеплопроводного
газа с учетом взаимного в л и я н и я . Используется сеточно-характеристический метод р е ш е н и я уравнений газовой динамики. На примере обтека­
ния тел сферической формы представлены некоторые р е з у л ь т а т ы рас­
четов.
Методам р е ш е н и я задач о пространственном сверхзвуковом течении газа около
затупленных тел посвящено значительное количество работ ([1]—[4]. и др.). При
этом, к а к правило, рассматривается обтекание изолированного тела в потоке газа.
Однако в некоторых случаях приходится иметь дело с обтеканием нескольких тел
сверхзвуковым потоком, причем влияние их друг на друга необходимо учитывать
(например, процесс разделения при полете летательного аппарата на сверхзвуковой
скорости, движение в многокомпонентной среде, когда более крупные частицы име­
ют высокую относительную скорость в потоке).
В случае затупленного тела уравнения, описывающие сверхзвуковое обтекание
с отошедшей ударной волной, решаются в области, ограниченной поверхностью тела
и поверхностью ударной волны при определенных параметрах набегающего потока.
В случае ж е нескольких тел имеет место пересечение поверхностей головных удар142
2
©
0
д
ж
Фиг. 1
ных волн, наличие внутренних ударных волн, отраженных от'поверхности тел. Все
это усложняет постановку граничных условий и определение положения ударных
волн.
В настоящей работе решается задача о сверхзвуковом обтекании нескольких
тел при их различном относительном положении. Взаимное влияние оценивается
по величине коэффициента аэродинамического сопротивления. Расчеты выполня­
лись для обтекания сфер одинакового радиуса, их расположение показано на фиг. 1.
Для вариантов а-е центры сфер лежат в плоскости рисунка, направление набе­
гающего потока нормально этой плоскости. Штриховыми л и н и я м и обозначены
плоскости симметрии течения. В случае ж плоскость рисунка совпадает с плос­
костью симметрии течения около двух сфер, смещенных относительно друг друга
в направлении набегающего потока.
1. Рассмотрим затупленное тело, помещенное в поток газа, параметры которого
считаем известными ф у н к ц и я м и времени t и координат. Величину скорости набе­
гающего потока принимаем сверхзвуковой относительно некоторой связанной с те­
лом системы координат. Течение рассчитывается в нестационарной постановке в
области, ограниченной поверхностью тела, внешней поверхностью и некоторой за­
м ы к а ю щ е й поверхностью, целиком л е ж а щ е й в сверхзвуковой области течения.
Внешняя поверхность .может быть либо ударной волной (в случае обтекания одного
тела), либо может состоять из ударной волны и поверхности соседнего тела. Кроме
того, при наличии в области течения плоскостей симметрии эти плоскости т а к ж е
будут я в л я т ь с я граничными для расчетной области.
Необходимо найти решение нестационарных уравнений газовой динамики, удов­
летворяющих начальным данным и граничным условиям на поверхности тела и на
внешней поверхности. Внутренние скачки уплотнения не выделяются, а рассчиты­
ваются сквозным образом, их положение определяется по максимальной величине
градиента давления. Стационарное решение задачи получается в пределе t-+°°.
Рассмотрим обтекание двух близко отстоящих тел сверхзвуковым потоком газа
(фиг. 1, а ) . Здесь имеется плоскость симметрии течения, п р о х о д я щ а я на равном
расстоянии от центров сфер. Естественно этим воспользоваться, поместив вместо
плоскости симметрии непроницаемую стенку. Тогда задача сводится к течению
около одного тела при наличии вблизи него стенки. При этом на поверхности стен­
ки должны выполняться условия непротекаиия. В случае ж, когда центры обтекае­
мых сфер смещены друг относительно друга в н а п р а в л е н и и набегающего потока,
картина течения не симметрична, к а к в случае а, и расчетная процедура у с л о ж н я ­
ется. В этом случае поступаем следующим образом. Сначала определяется течение
около тела А и тела В в отдельности при отсутствии соседнего. Далее определяется
течение только около тела А, причем поверхность тела В может я в л я т ь с я частью
внешней границы расчетной области. Решение для изолированного тела А исполь­
зуется в качестве начальных условий. У д а р н а я волна тела А будет пересекать об­
ласть течения около тела В. Условиями перед ударной волной тела А будут либо
условия набегающего потока, либо параметры из области решения возмущенного
143
течения около тела В. В последнем случае д л я определения условий перед удар­
ной волной п р и м е н я ю т с я интерполяционные процедуры. Отметим, что поверхность
ударной волны тела А не должна пересекать область дозвукового течения около
тела В.
Таким образом, задача об обтекании двух близко отстоящих т е л сверхзвуковым
потоком газа сводится к задаче обтекания одного тела, но п р и этом условия н а
внешней границе расчетной области могут быть различного типа: п а р а м е т р ы од­
нородного набегающего потока, п а р а м е т р ы неоднородного поля течения около со­
седнего тела, условия непротекания на поверхности соседнего тела. В процессе
установления положение ударной волны изменяется. В соответствии с этим д о л ж н ы
меняться п а р а м е т р ы перед ударной волной, определяемые посредством интерполя­
ции. Выбор одного из двух рассматриваемых тел д л я р е ш е н и я задачи об его обте­
к а н и и п р и наличии соседнего определяется тем, какое из н и х испытывает большее
влияние соседнего.
Определение течений около тел, изображенных на фиг. 1, 6-е, сводится к ре­
ш е н и ю задачи об обтекании одного тела (для случаев г-е расположенного в цент­
ре) с использованием условий симметрии потока. Штриховые л и н и и на фиг. 1, г-е
м е ж д у центральной сферой и п е р и ф е р и й н ы м и т а к ж е у к а з ы в а ю т на расположение
плоскостей, которые можно п р и н я т ь за плоскости симметрии потока д л я рассмат­
риваемой области р е ш е н и я . П р и постановке граничных условий т а к а я плоскость
считается непроницаемой стенкой.
2. Введем некоторую декартову систему координат, связанную с телом. Ось z
совпадает с направлением набегающего потока, ось х л е ж и т в плоскости симметрии
потока, п р о х о д я щ е й через центр сферы. Введем т а к ж е некоторую к р и в о л и н е й н у ю
ортогональную систему координат т = т ( ; г , г/, z), о=о(х, г/, z), if>=if>(;r, г/, z). Здесь
была выбрана к р и в о л и н е й н а я система координат (т, а, г|)), с в я з а н н а я с координата­
ми эллипсоида в р а щ е н и я :
2
х=а[
2
(1-т ) (а -1) ]
-1<т<1,
7 г
о>1,
cos г|),
2
2
у=а[ ( 1 - т ) ( c - l ) ]
I / 2
sin г|),
z=axa,
0<г|)<2я.
Д л я построения расчетной схемы на г р а н и ц а х ( в н е ш н я я поверхность, п о в е р х ­
ность тела) удобно перейти к системе координат (т, г), ф), где
а - о ( т , -ф)
т
:
*1
0 с ( * , т, а | ) ) - а ( т , г|))
т
o=e (t,
т, ф) и а = а ( т , ф) - у р а в н е н и я поверхности ударной волны и поверхности
c
тела, t — текущее время.
^
т
У р а в н е н и я газовой динамики в выбранной системе координат з а п и ш у т с я в виде
(1)
u +AiU +A
t
и +А щ=$.
x
2
У]
3
Здесь и - вектор-столбец искомых газодинамических ф у н к ц и й с компонентами
Р=Ы р, р — давление, и, v, w — компоненты вектора относительной скорости в
выбранной криволинейной системе координат. Вид f зависит от х а р а к т е р а нестацио­
нарности и выбора системы координат. Д л я стационарного набегающего потока и
выбранной здесь системы координат
2
/I = P I B ( O - 2 T + 1 ) T ( 1 - ^
2
/
2
2 =
, / 2
-{^Ч(1-т )2
2
+ 1;[ут(1-т )
2
/з={ш а + 1г[гго(о -1)
2
/4=^[ггт(1-г )-
, / 2
, / 2
, / 2
2
2
1 /
2
2
1
,
2
2
2
1
2
2
+г;т(1-т ) / ](а -т )- }[а(о -т )
2
-^'а(о -1)-
, / 2
2
2
,
2
2
, / 2
1
]- ,
1
][а(а -т )^]- .
Матрицы коэффициентов в (1) имеют вид
и
1
0
0
h
и
О
О
и
0
О
О
0
и
О
0
Р
О
w
0
0
О
О
w
0
О
0
w
Р
2
144
0
0
W
1
Pi
1
+иа(а -1) Ч(о т-т )- }[а.(о -т ) Ч- ,
^1
#2
h
— оо(3
2
Pi
— cop
0
0
»i
0
^1
0
0
0
• Vi
t
Здесь
$i = pc lp,
?2=Wp»
У1=у-дц-©^+'Я т|*/г|в»
д= -Я т/(Я ),
w =
= - Я * / ( Я ) , р = р ( р , /г) - плотность, с = с ( р , h) - с к о р о с т ь звука (определяется
уравнением состояния), h - энтальпия, Н # , # - коэффициенты Ламе.
К системе уравнений (1) следует добавить уравнение энергии, которое можно
записать в виде
2
2
2 ч
и
dh
--
(2)
1
2
1 ч о
^
3
dp
---О-
at
р at
и соотношения па ударной волне
(3)
2 Ч
З Ч 0
-
г
v = V o o - ( l - / v ) O N , к = к(р< / г ) = 1 / р , р = ^ о о + < 1 - / с ) в р о о ,
2
2
fc =fc«>+ ( 1 - / с ) в / 2 ,
причем
Г
/ Я За \
2
2
2
/ Я ^ас \ 1 - '
с
/ 2
2
(4)
есть скорость перемещения поверхности ударной волны в направлении своей нор­
мали
Г
( 5 )
~
#
две
2
1"яГ
Я
2
до
с
U
д ' '~~Я Т ф ^ И
х
3
/ Я <?а \
2
2
с
\ Я^ 5
Т
/
2
/
\Я
^а \ 1 ~
,/2
с
3
дф/
J
На поверхности тел необходимо воспользоваться условием непротекания
(6)
Я
У= —
2
да
т
до?
Я
и ——
2
Hi дх
Я
3
Н
' w.
Здесь а = а ( т , г|)) может описывать поверхность обтекаемого тела, поверхность
соседнего тела, я в л я ю щ у ю с я внешней границей расчетной области, или непрони­
цаемую стенку, используемую в качестве условия симметрии, потока.
В рассматриваемой з а д а ч е ' всегда плоскостью симметрии является плоскость,
соответствующая а|)=0, г|5=л. В этом случае для компонент искомой функции и
можно записать условия на плоскости симметрии:
т
(7)
т
дР
— = 0,
ди
дг|з
dty
2
dv
=0,
dw
= 0,
dty
ш=0,
=
2
dty
0,
dh
— = 0.
d-ф
Аналогичные условия симметрии можно записать для плоскостей, обозначенных
штриховыми линиями на фиг. 1, г — е и проходящих через центр сферы.
С учетом изложенного выше, расчетная область представляет собой прямо-,
угольник
-1<т<ть, . 0<п<1,
0<г|)<а|)ь,
где г]=0 соответствует поверхности тела, т) = 1 — внешней границе,
=
соответ­
ствует плоскости симметрии потока.
Точки с координатами т=т& относятся к замыкающей поверхности, для которой
величина относительной скорости должна быть сверхзвуковой в направлении коор­
динаты т.
Кроме граничных условий, для решения системы уравнений (1), (2) необходи­
мо задать начальные условия. Используемый здесь метод установления требует за­
дания некоторого распределения искомых функций и(0, т, т|," г|з), /г(0, т, м, ф),
о ( 0 , т, ф ) , вообще говорящие удовлетворяющего (1), (2). Тогда при решении си­
стемы (1), (2) с заданными начальными условиями и с граничными условиями ( 3 ) (7) при t-+°° возможен выход на стационарное решение.
При численном интегрировании системы уравнений (1) использовался сеточнохарактеристический метод решения квазилинейных уравнений гиперболического
типа, описанный в [4], [5].
Отметим, что представленные результаты расчетов получены при использовании
явной схемы первого порядка точности по времени и пространственным координатам.
с
3. Численные исследования были выполнены для сверхзвукового обтекания
сферических тел потоком совершенного газа (х=1.4) при числе Маха набегающего
потока Мое = 6 . Расчетная область на теле для вариантов а-е (фиг. 1) ограничи145
12 3 4 5 6 7 8
Фиг. 2
фиг. 3
1Л 1.3 1.25
Фиг. 4
валась передней полусферой. Предварительные расчеты д л я двух сфер (фиг. 1, а)
показали, что п р и относительном расстоянии м е ж д у их центрами Ar/i?>2.25 (R радиус сферы) взаимное влияние тел становится незначительным. Поэтому д л я рас­
четов были выбраны значения Ar/i?=2.25, 2.125, 2.05. Расчетная сетка, используемая
при вычислениях, содержала около 2500 узлов в области между поверхностью тела
и внешней границей.
>
Счет каждого варианта продолжался до выполнения условия
п+l
п
m a x {(Pijft -p»jjk)/A*}<-e. •
г, j .ft.
Здесь e=.0.01,
- д а в л е н и е в узле разностной сетки на п-м шаге по
времени, Д£ — шаг по времени, i, /, к — номера узлов по координатам т, и, г|) соответ­
ственно.
•.
При расчетах обтекания в случае, изображенном на фиг. 1, ж, из-за перемеще­
н и я ударной волны в процессе установления параметры перед ударной волной не­
обходимо корректировать в процессе счета. В настоящих расчетах коррекции осу­
ществлялись через 1 5 - 2 0 шагов по времени. Это, конечно, несколько снижало точ­
ность вычислений, но позволило выполнить расчеты с приемлемыми затратами счет­
ного времени.
Взаимное влияние тел оценивалось по величине коэффициента сопротивления
c=F(p V S/2)~ ,
S=nR ',
F — величина аэродинамической силы, действующей на
2
0O
14В
0O
l
2
Ar/R
Варианты
а
6
в
г
д
е
Ж
|
AZ/R
0
0
0
0
\
0
0
0.25
0.50
2.25
2.125
2.05
0.864
0.911
0.930
0.943
1.121
1.409
0.893
0.914
0.880
0.970
0.982
1.002
1.227
1.535
. 0.909
. 0.941
0.925
1.048
1.057
1.072
1.536
1.852
0.998
1.003
тело в направлении оси ъ — определяется интегрированием по поверхности тела.
Вычисленные коэффициенты сопротивления приведены в таблице для различных
вариантов взаимного расположения тел. Для варианта ж (см. фиг. 1) вычисления
были выполнены при значениях смещения Az тел в направлении оси z, равных
0.25Я (верхняя цифра) и 0.57? ( н и ж н я я ц и ф р а ) , R - радиус сферы. Коэффициент
сопротивления определялся для тела, расположенного ниже по потоку. Для всех
вариантов наблюдается рост коэффициента сопротивления с уменьшением расстоя­
ния между сферами Дг, а для варианта ж - ж с увеличением смещения Az.
На фиг. 2, 3 приведено распределение давления по поверхности тела в направ­
лении z вдоль меридиана, л е ж а щ е г о в плоскости симметрии потока, для случая а
(см. фиг. 1); z отсчитывается от критической точки в направлении набегающего по­
тока. На фиг. 2 показано распределение давления в случае двух сфер, относитель­
ное расстояние мея^ду их центрами Дг/#=2.05, 2.125, 2.25. На фиг. 3 показано из­
менение давления в. том же направлении, что и для фиг. 2, но здесь при постоянном
значении Дг/Л=2.05 показана зависимость распределения от выбранного меридиана,
вдоль которого рассматривается изменение давления. Пересечение этих меридианов
с плоскостью,' нормальной направлению набегающего потока, обозначено на фиг. 3
цифрами i ,
На фиг. 4 изображены линии постоянного давления {pIpooV
=
= c o n s t ) в плоскости симметрии потока в области между сферами для случая, пред­
ставленного на фиг. 1, а, и д л я Дг/Д==2.05.
2
0 0
Литература
1. Любимов А. И., Русанов В. В. Течения газа около тупых тел. М . : Наука, 1970.
2. Численное исследование современных задач газовой динамики/Под ред. Белоцерковского О. М. М.: Наука, 1974.
3. Годунов С. К., Забродин А. Р.,. Иванов М. Я. и др. Численное решение многомерных
задач газовой динамики. М . : Наука, 1976.
4. Белоцерковский
О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М . :
Наука, 1984.
5. Магомедов К. М., Холодов, А. С. О построении разностных схем для уравнений, ги­
перболического типа на основе характеристических с о о т н о ш е н и й / / Ж . вычисл.
матем. и матем. физ. 1969. Т. 9. № 2. С. 373-386.
Поступила в редакцию 20.XI.1987
147