Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник. А многоугольник D С называется описанным около этой окружности. О E В А Какой из двух четырехугольников АВСD или АЕКD является описанным? К С E В О D А В прямоугольник нельзя вписать окружность. С В О А D Какие известные свойства нам пригодятся при изучении вписанной окружности? Свойство касательной С E Свойство отрезков касательных F В О D P К А В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. С d d E c R a В О D c a F N b А b № 695 Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 15 см. Найдите периметр этого четырехугольника. С D В О ВC+AD=15 AB+DC=15 А PABCD = 30 см Найти FD D ? 5 F 7 О 4 А 6 N Равнобокая трапеция описана около окружности. Основания трапеции равны 2 и 8. найдите радиус вписанной окружности. ВC+AD=10 AB+DC=10 В L 5 2 С 5 О 4 А 3 N S F 8 3 D Верно и обратное утверждение. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. С ВС + АD = АВ + DC В О D А Можно ли в данный четырехугольник вписать окружность? С 5 4 В О D 8 7 А 5+7 = 4+8 Теорема А В любой треугольник можно вписать окружность. Дано: АВС Доказать, что в треугольник можно вписать окружность С В 1) ДП: биссектрисы углов треугольника Проведем из точки О перпендикуляры к сторонам треугольника 2) СOL = COМ, по гипотенузе и ост. углу А ОL = MО 3) МОА= КОА, по гипотенузе и ост. углу МО = КО 4) LО=MО=KО точка О равноудалена от сторон треугольника. Значит, окружность с центром в т.О проходит через точки K, L и M. Стороны треугольника АВС касаются этой окружности. Значит, окружность является вписанной АВС. В M K О С L В любой треугольник можно вписать окружность. Теорема А M K О С L В № 697 Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. + a С 2 В a1 r r r a3 D О 1 S n (a1 a2 a3 ...) r 2 А К 1 S AOB a1 r 2 1 S ВОС a2 r 2 1 SCOD a3 r 2 … F 1 S n Pn r 2 Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника. А многоугольник С В D О А E называется вписанным в эту окружность. Какой из многоугольников, изображенных на рисунке является вписанным в окружность? С С D D P В В О О E L А E X А E Какие известные свойства нам пригодятся при изучении описанной окружности? В А О D С Теорема о вписанном угле В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800. В А О 1 А ВCD 2 + 1 C ВAD 2 3600 D 1 А С ( ВСD ВАD ) 2 С А С 180 0 Найти неизвестные углы четырехугольников. В А ? 650 ? В А ? 590 1000 О О 1150 D 800 С D 1210 ? 9 00 С Верно и обратное утверждение. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 1800, то около него можно вписать окружность. В А 670 А 1000 D В 990 О 1130 770 О 800 1230 С D 790 С Теорема Около любого треугольника можно описать окружность. А Дано: АВС Доказать, что можно описать окружность С В 1) ДП: серединные перпендикуляры к сторонам 2) ВOL = CO L, по катетам ВО = СО А 3) СОМ =АOМ, по катетам СО = АО 4) ВО=СО=АО, т.е. точка О равноудалена от вершин треугольника. Значит, окружность с центром в т.О и радиусом ОА пройдет через все три вершины треугольника, т.е. является описанной окружностью. M K С О L В Теорема А Около любого треугольника можно описать окружность. M K О С L В №702 В окружность вписан треугольник АВС так, что АВ – диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: а) ВС = 1340 б) АС = 700 В В 350 1340 230 О О С С 670 550 700 А А №703 В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Найдите углы треугольника, если ВС = 1020. (1800 – 510) : 2 = 1290 : 2 = 128060/ : 2 = 64030/ В 1020 О 510 С А №704 (a) Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. Докажите, что точка О – середина гипотенузы. В А О С 1800 №704 (б) Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен d, а один из острых углов треугольника равен . AB cos d В А АВ d cos О d С BC sin d ВС d sin №705 (а) Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если АС=8 см, ВС=6 см. С 8 А 6 О 5 10 5 В №705(б) Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус 0 этой окружности, если АС=18 см, В 30 . С В 300 18 36 18 О 18 А Боковые стороны треугольника, изображенного на рисунке, равны 3 см. Найти радиус описанной около него окружности. В 3 А 3 О С 1800 Радиус окружности, описанной около треугольника, изображенного на чертеже, равен 2 см. Найти сторону АВ. В ? А 450 2 О 2 С 1800
