(индекс) (наименование) - Институт управления, бизнеса и права

ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ, БИЗНЕСА И ПРАВА
УТВЕРЖДАЮ:
Руководитель Центра академических
образовательных программ
К.э.н. доцент _____________Миронова О.А.
___________________ 2013г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Б2.Б.3
(индекс)
«Дискретная математика»
(наименование)
Направление подготовки:
230700.62
ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА
(шифр)
(наименование)
(шифр)
(наименование)
ПРОФИЛЬ
АКАДЕМИЯ
КАФЕДРА
Управления
«Информационные технологии»
(наименование)
ПЛАНОВЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ
Всего часов на освоение учебного материала (по ГОС/по
Учебному плану)
Часов аудиторных занятий всего
Часов лекций с разбивкой по семестрам
Часов практических занятий с разбивкой по семестрам
Часов лабораторных работ с разбивкой по семестрам
Часов интерактивных работ с разбивкой по семестрам
Часов самостоятельной работы
Число контрольных работ с разбивкой по семестрам
Число курсовых работ с разбивкой по семестрам
Число зачетов с разбивкой по семестрам
Число экзаменов с разбивкой по семестрам
Число кредитов
Число модулей
Очная форма
Заочная форма
108
14
6-3с
8-3с
4-3с
94-3с
1-3с
3
Автор рабочей программы
(подпись)
Витченко О.В.
(Ф.И.О.)
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА СОСТАВЛЕНА НА ОСНОВАНИИ:
1. Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки «Прикладная информатика»от 22.12.2009
наименование
дата утверждения
2. Учебного плана направления подготовки «Прикладная информатика» 01.07.2013
наименование
дата утверждения
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ОБСУЖДАЛАСЬ И СОГЛАСОВАНА
КАФЕДРОЙ:
«Информационные технологии»
Ткачук Е.О.
(наименование)
(подпись зав. каф)
(Ф.И.О.)
Протокол заседания кафедры № 1 от____31.08.2013__________________________________________________
УМС Академии Управления
(наименование)
Протокол УМС № 1
Пивоваров И.В.
(подпись председателя УМС)
(Ф.И.О.)
от 31.08.2013
2
1.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
 Целью курса для студентов является - изучить основы теории множеств, комбинаторики, алгебры логики, теории графов.
 Задачами курса являются: закрепление умений оперировать над аппаратом
теории множеств, в том числе с отношениями и функциями; распознавать различные комбинаторные конфигурации и подсчитывать их число; осуществлять элементарные операции над графами; использовать основные законы алгебры логики
для преобразования логических функций, в том числе их минимизация.
2 Требования к уровню усвоения дисциплины
В процессе изучения дисциплины студенты должны:
Овладеть компетенциями:
− способен применять к решению прикладных задач базовые алгоритмы обработки информации, выполнять оценку сложности алгоритмов, программировать и тестировать программы (ПК-10);
− способен применять методы анализа прикладной области на концептуальном,
логическом, математическом и алгоритмическом уровнях (ПК-17);
− способен применять системный подход и математические методы в формализации решения прикладных задач (ПК-21);
В результате изучения дисциплины студент должен:
знать:
− круг задач дискретной математики и их применении в других курсах и практических задачах;
− аппарат формул логики и теорию булевых функций, логические операции,
формулы логики, законы алгебры логики; понятие функции алгебры логики,
представление функции в совершенных нормальных формах;
− основы теории множеств; теоретико-множественные операции и их связь с логическими операциями;
− логика предикатов, бинарные отношения и их виды;
− элементы теории отображений и алгебры подстановок;
− алгоритмическое перечисление основных комбинаторных объектов;
− элементы теории автоматов;
− методологию шифрования;
− метод математической индукции;
− основные формулы комбинаторики;
− основные понятия теории графов, характеристики графов, эйлеровы и гамильтоновы графы, плоские графы, деревья, ориентированные графы, бинарные деревья;
− элементы теории автоматов
уметь:
− выполнять операции над множествами, применять аппарат теории множеств
для решения задач;
− строить таблицы истинности для формул логики и упрощать формулы логики;
3
− представлять булевы функции в виде форму заданного типа, определять возможность выражения одних булевых функций через другие;
− исследовать бинарные отношения на заданные свойства;
− доказывать утверждения с помощью метода математической индукции;
− генерировать основные комбинаторные объекты;
− находить характеристики графов, выделять структурные особенности графов,
исследовать графы на заданные свойства, применять аппарат теории графов для
решения прикладных задач;
− строить автоматы с заданными свойствами.
4
3 АУДИТОРНАЯ РАБОТА
3.1. Лекции
№
Тема занятия
Краткое содержание
Кол-во
часов
О
1
Алгебра
высказываний
2
3
Элементы
теории
множеств
4
5
Соответствия
З
Высказывания. Истинность высказываний. Некоторые логические операции над высказываниями: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация, эквивалентность. Таблицы истинности, свойства.
Операции “Штрих Шеффера”, “Символ Лукасевича”. Связь
между логическими операциями. Булевские операции.
Применение алгебры высказываний для анализа контактных схем.
Логическая переменная и логическая формула. Формулы
логики, законы алгебры логики. Равенство логических формул. Двойственные формулы. Понятие функции алгебры
логики, представление функции в совершенных нормальных формах (ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ) многочлен Жегалкина; основные классы функций, полнота множества функций. Теоремы о тождественной истинности и тождественной ложности логической формулы. Логическое следствие.
Теорема Поста.
Основные понятия теории множеств. Множество, равенство
множеств. Пустое множество, его единственность. Теоретико-множественные операции и их связь с логическими операциями. Мощность множества. Множества конечные,
счетные. Теорема Кантора. Операции над множествами:
объединение, пересечение, разность, симметрическая разность, абсолютное дополнение. Свойства. основные понятия теории множеств, теоретико-множественные операции
и их связь с логическими операциями. Прямое произведение множеств, свойства, примеры. Проектирование множеств. Инверсия множеств. Композиция множеств. Покрытие и разбиение множеств.
1
Основные понятия теории нечетких множеств. Свойства,
основные понятия теории нечетких множеств. Нечеткая логика. Теоретико-множественные операции и их связь с нечеткими логическими операциями. Операции над нечеткими множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение. Нечеткая переменная. Лингвистическая переменная. «Мягкие» вычисления.
Понятие соответствия, способы задания соответствий. Операции над соответствиями. Образ и прообраз множества
при данном соответствии. Сужение и продолжение соответствий. Функция. Отношения. Понятие отношения и способы
задания. Операции над отношениями. Основные свойства
отношений: рефлексивность, симметричность, транзитивность, связанность. Отношения эквивалентности, толерантности, порядка, квазипорядка, связь с разбиением и покрытием множества.
0,5
1
1
0,5
5
6
Элементы теории графов
7
8
Комбинаторика
Основные понятия теории графов, характеристики графов,
эйлеровы и гамильтоновы графы, плоские графы, деревья,
ориентированные графы, бинарные деревья; элементы теории автоматов. Определение и способы задания графов.
Граф как абстрактное математическое понятие. Вершины,
ребра, дуги. Понятие инцидентности. Неориентированные и
ориентированные графы (орграфы). Смешанные графы. Понятие изоморфности графов. О- графы и полные графы.
Петля. Обратный граф. Плоский граф.
Графы и отношения. Виды графов и классы отношений.
Мультиграф и псевдограф. Конечный и бесконечный граф.
Локальная степень графа. Теорема о вычислении вершин
нечетной степени в графе. Однородные графы. Части графа.
Подграфы Звездный граф. Дополнение графа. Покрывающий суграф графа. Основные операции над графами: объединение, соединение, произведение композиция графов.
Бинарные отношения на графах.
Пути в графах. Маршрут. Цепь. Простая цепь. Начальная и
конечная вершины. Нетривиальный маршрут (цикл). Пути и
контуры. Связность графа. Компоненты связности. Число
ребер в связном графе и полном графе. Разъединяющее
множество связного графа. Разрезы. Мост (перешеек).
0,5
Матрицы графов и их свойства. Матрица смежности. Линейный подграф орграфа. Остовной подграф. Матрица инцинденций. Теорема о связи матрицы смежности и матрицы
инцинденций для реберного графа
Деревья и их свойства. Деревья, остовы, леса. Ранг и цикломатическое число. Базисные циклы. Разрезающие множества. Разрез. Построение всех остовных деревьев графа.
Кратчайшие пути в графе. Вес дуги. Задачи о кратчайших
путях в графе. Кратчайший путь между двумя заданными
вершинами. Алгоритм Дейкстры нахождения кратчайшего
пути в графе.
Кратчайшее остовное дерево в графе. Алгоритм Краскала.
Алгоритм Дейкстры. Алгоритм Прима-Дейкстры.
Нахождение критического пути в графе. Критические работы. Критический путь. Алгоритм нахождения критического
пути в графе.
0,5
Основные
правила
комбинаторики.
Теоретикомножественное произведение. Понятие – выборки. Размещение Перестановки. Сочетания. Упорядоченные и неупорядоченные – выборки. Пересчет. Пересечение. Классификация. Оптимизация. Элементы теории отображений и алгебры подстановок; алгоритмическое перечисление основных комбинаторных объектов.
Всего:
1
6
6
3.2. Практические и лабораторные занятия
№
Тема занятия
Кол-во
часов
Краткое содержание
О
Практическое занятие. Высказывания, операции над высказываниям, таблицы истинности для высказываний. Булевские
Алгебра
1
операции. Применение логических операций для анализа конвысказываний
тактных схем. Приведение логической формулы к СДНФ,
СКНФ.
Практическое занятие . Множество, способы задания множеств. Операции над множествами, свойства. Проектирование
2
множеств, свойства.
Элементы
Задание нечеткого множества. Основные операции над нечеттеории
ким множеством. Нечеткая логика.
множеств
Лабораторная работа. Разработка и исследование лингвогене3
ратора.
Практическое занятие . Способы задания соответствий. Операции над соответствиями. Отношения, способы задания от4
Соответствия ношений, операции над отношениями. Основные свойства отношений. Отношения эквивалентности, толерантности, порядка.
Практическое занятие . Построение графов различных видов.
Изоморфные графы. Получение обратных графов. Степени
5
вершины. Построение частей графа, подграфа, дополнений
графа, остовных подграфов, порожденных подграфов. Решение задач на операции над графами.
Лабораторная работа. Разработка и исследование алгоритмов
6
и программ нахождения путей в графах, разрезов.
Лабораторная работа .Построение графов по матрицам смежности и инцендентности. Задача построения реберных графов.
Решение задач на нахождение Эйлеровых и гамильтоновых
7
Элементы
циклов в графе. Построение матрицы циклов графа.
теории
графов
Лабораторная работа. Построение остовных деревьев и разрезов в графе. Использование алгоритма Дейкстры. Построение
8
кратчайших остовных деревьев графа с помощью алгоритмов
Краскала и Прима – Дейкстры.
Лабораторная работа. Решение задач нахождения критическо9
го (длиннейшего) пути в графе. Нахождение максимального
потока с помощью алгоритма Форда-Фалкерсона.
Лабораторная работа. Решение задач теории графов, сформу10
лированных в виде задачи целочисленного линейного программирования с булевыми переменными.
Практическое занятие . Понятие – выборки. Размещение Перестановки. Сочетания. Упорядоченные и неупорядоченные –
11
выборки. Пересчет. Пересечение. Классификация. ОптимизаКомбинаторика
ция.
Лабораторная работа. Разработка и исследование алгоритма
12
оптимизации выборки.
Всего:
З
2
-
2
-
-
2
-
-
-
-
-
2
8
7
3.3 Интерактивные занятия
№
Кол-во
часов
Тема занятия
Краткое содержание
-
Элементы
теории
множеств
Практическое занятие . Множество, способы задания множеств. Операции над множествами, свойства. Проектирование
множеств, свойства.
Задание нечеткого множества. Основные операции над нечетким множеством. Нечеткая логика.
Практическое занятие . Построение графов различных видов.
Изоморфные графы. Получение обратных графов. Степени
вершины. Построение частей графа, подграфа, дополнений
графа, остовных подграфов, порожденных подграфов. Решение задач на операции над графами.
Лабораторная работа. Разработка и исследование алгоритмов
и программ нахождения путей в графах, разрезов.
Лабораторная работа .Построение графов по матрицам смежности и инцендентности. Задача построения реберных графов.
Решение задач на нахождение Эйлеровых и гамильтоновых
циклов в графе. Построение матрицы циклов графа.
-
Лабораторная работа. Решение задач теории графов, сформулированных в виде задачи целочисленного линейного программирования с булевыми переменными.
Практическое занятие . Понятие – выборки. Размещение Перестановки. Сочетания. Упорядоченные и неупорядоченные –
выборки. Пересчет. Пересечение. Классификация. ОптимизаКомбинаторика
ция.
Лабораторная работа. Разработка и исследование алгоритма
оптимизации выборки.
-
О
2
5
6
7
10
11
12
Элементы
теории
графов
Всего:
З
2
-
-
2
4
8
4
№
Тема занятия
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТА
Кол-во
часов
Краткое содержание
О
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Операции над множе- Объединение, пересечение, вычитание множеств.
ствами. Доказательство Графическое моделирование операций над множетождеств.
ствами с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Доказательство свойств.
Решение систем урав- Решение задач в теории множеств, определение конения.
личества элементов в системе множеств.
Отношения и функции
Определения, отношения и функции. Решение задач
Отношения и функции
Определения, отношения и функции. Решение задач.
Специальные бинарные Эквивалентность, частичный порядок на А, линейотношения
ный порядок на А, монотонное отображение.
Таблицы истинности
Логические формулы и их таблицы истинности; существенные и фиктивные переменные;
двойственные функции.
Совершенные ДНФ и СДНФ и СКНФ, таблицы истинности и эквивалентКНФ
ные преобразования; переход от одних форм к другим.
Минимизация булевых Использование карты Карно для получения сокрафункций.
щенной ДНФ; таблицы Квайна для получения
МДНФ.
Правила суммы и про- Различные типы комбинаций, правила суммы и
изведения. Типы рас- произведения для анализа этих расстановок.
становок.
Типы расстановок.
Решение конкретных задач.
Формула включений и Решение конкретных задач.
11 исключений. Круги Эйлера.
Способы задания гра- Графы различных типов; соответствующие опера12 фов. Операции над гра- ции над ними.
фами.
Всего:
5
1.
2.
3.
4.
5.
З
10
8
10
10
8
8
8
8
6
6
6
6
94
ТЕМЫ КУРСОВЫХ РАБОТ И УЧЕБНЫХ ПРОЕКТОВ
Метод математической индукции.
Комбинаторика: число размещений, перестановок и сочетаний.
Булевы функции и их представления
Класс Pn булевых функций от n переменных.
Геометрическое представление булевых функций.
9
6. Булевы функции от 1-ой и 2-х переменных. булевы (логические) формулы.
7. Эквивалентность формул и нормальные формы.
8. Эквивалентность булевых формул.
9. Основные эквивалентности (законы логики). Эквивалентные преобразования формул.
10. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы (ДНФ и КНФ).
11. Совершенные ДНФ и КНФ.
12. Многочлены Жегалкина и их построение с помощью эквивалентных преобразований формул и методом неопределенных коэффициентов по таблицам.
13. Язык логики предикатов.
14. Объекты, их свойства, отношения между объектами и функции.
15. Синтаксис логики предикатов. Семантика логики предикатов: системы, состояния и значения формул на состояниях.
16. Графы: представления, достижимость и связность.
17. Ориентированные и неориентированные графы.
18. Деревья.
19. Неориентированные и ориентированные деревья. Эквивалентность разных определений деревьев. Деревья и формулы (выражения).
6 ТРЕБОВАНИЯ К ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ
Форма итоговой аттестации – экзамен.
Вопросы к экзамену.
1. Высказывания. Логические операции над высказываниями. Таблицы истинности.
2. Операции “Штрих Шеффера”, “Символ Лукасевича”. Связь между логическими операциями. Булевские операции.
3. Логическая переменная и логическая формула. Формулы логики, законы алгебры логики.
Равенство логических формул. Двойственные формулы.
4. Понятие функции алгебры логики, представление функции в совершенных нормальных
формах (ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ).
5. Теоремы о тождественной истинности и тождественной ложности логической формулы.
Логическое следствие. Теорема Поста.
6. Основные понятия теории множеств.
7. Теоретико-множественные операции и их связь с логическими операциями.
8. Теорема Кантора.
9. Прямое произведение множеств, свойства, примеры.
10. Проектирование множеств. Инверсия множеств. Композиция множеств. Покрытие и разбиение множеств.
11. Основные понятия теории нечетких множеств. Нечеткая логика.
12. Операции над нечеткими множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение.
13. Нечеткая переменная. Лингвистическая переменная. «Мягкие» вычисления.
14. Понятие соответствия, способы задания соответствий. Операции над соответствиями.
15. Образ и прообраз множества при данном соответствии. Сужение и продолжение соответствий.
16. Функция. Отношения. Понятие отношения и способы задания. Операции над отношениями. Основные свойства отношений: рефлексивность, симметричность, транзитивность, связанность. Отношения эквивалентности, толерантности, порядка, квазипорядка, связь с разбиением
и покрытием множества.
17. Основные понятия теории графов, характеристики графов, эйлеровы и гамильтоновы графы, плоские графы, деревья, ориентированные графы, бинарные деревья.
18. Определение и способы задания графов. Граф как абстрактное математическое понятие.
Вершины, ребра, дуги. Понятие инцидентности. Неориентированные и ориентированные графы
(орграфы). Смешанные графы.
10
19. Понятие изоморфности графов. О- графы и полные графы. Петля. Обратный граф. Плоский
граф.
20. Графы и отношения. Виды графов и классы отношений. Мультиграф и псевдограф. Конечный и бесконечный граф. Локальная степень графа.
21. Теорема о вычислении вершин нечетной степени в графе.
22. Однородные графы. Части графа. Подграфы Звездный граф. Дополнение графа. Покрывающий суграф графа.
23. Основные операции над графами: объединение, соединение, произведение композиция
графов. Бинарные отношения на графах.
24. Пути в графах. Маршрут. Цепь. Простая цепь. Начальная и конечная вершины. Нетривиальный маршрут (цикл). Пути и контуры.
25. Связность графа. Компоненты связности. Число ребер в связном графе и полном графе.
Разъединяющее множество связного графа. Разрезы. Мост (перешеек).
26. Матрицы графов и их свойства. Матрица смежности. Линейный подграф орграфа. Остовной подграф. Матрица инцинденций.
27. Теорема о связи матрицы смежности и матрицы инцинденций для реберного графа
28. Деревья и их свойства. Деревья, остовы, леса.
29. Ранг и цикломатическое число. Базисные циклы.
30. Разрезающие множества. Разрез. Построение всех остовных деревьев графа.
31. Кратчайшие пути в графе. Вес дуги. Задачи о кратчайших путях в графе. Кратчайший путь
между двумя заданными вершинами. Алгоритм Дейкстры нахождения кратчайшего пути в графе.
32. Понятие – выборки. Основные правила комбинаторики. Размещение Перестановки. Сочетания. Упорядоченные и неупорядоченные выборки.
Тестовые задания
1. Алгебраическая система G=(M,R), где М – непустое множество вершин, R – множество
всех неупорядоченных пар различных элементов из М, т.е. множество дуг, называется …
графом
деревом
множеством
нет правильного ответа
2. Если имеется несколько дуг, исходящих из вершины a и заходящих в вершину b, то такие дуги называются …
кратными
тройными
одинарными
нет правильного ответа
3. Тройка (M,U,P), в которой М – множество вершин, U – множество дуг, P - инцидентор,
представляемый следующим образом: (a,u,b) принадлежит P тогда и только тогда, когда
дуга u исходит из вершины a и заходит в вершину b, называется …
мультиграфом
мегаграфом
миниграфом
нет правильного ответа
4. Граф G=(M,R) называется …, если найдется дуга (a.b), принадлежащая R, такая, что дуга
(b,a) не принадлежит R.
ориентированным
неориентированным
го ответа
5. Множество дуг [a,b]={(a,b),(b,a)}называется …
мультиграфом
нет правильно-
ребро
дуга
граф
нет правильного ответа
11
6. Пусть G=(M,R) и G1=(M1,R1) – графы. Тогда отображение f из множества М во множество М1 является …, если для любых вершин а,b из множества М из того, что дуга (a,b)
принадлежит множеству R следует, что дуга (f(a),f(b)) принадлежит R1.
гомоморфизмом
эндоморфизмом
мультиграфом
нет правильного ответа
7. Если в матрице смежности AG = (Aij) элемент Aij = 1, то вершина аi называется … вершины aj.
предшественником
последователем
нет правильного ответа
8. Если в мультиграфе G=(M,U,P) для некоторой дуги u и вершины а (a,u,b) или (b,u,a)
принадлежат P для некоторой вершины b, то дуга u называется …
инцидентной вершине а
смежной
противоположной вершине а
нет правильного ответа
9. Граф G=(M,R) называется …, если число его дуг достаточно мало по сравнению с числом его вершин.
разреженным
рассеянным
плотным
нет правильного ответа
10. В неорграфе G маршрут называется цепью, если …
все ребра различны
все дуги различны
все ребра одинаковы
нет правильного ответа
11. В неорграфе G минимальная из длин циклов называется …
обхват
обход
цикл
путь
12. Неорграф без циклов называется …
циклическим
ациклическим
простым
нет правильного ответа
13. В произвольном графе G маршрут называется путем, если …
12
все ребра различны
все дуги различны
все ребра одинаковы
нет правильного ответа
14. В произвольном графе G маршрут называется контуром, если …
последняя вершина есть первая
все его вершины, кроме первой и последней, различны
все ребра различны
нет правильного ответа
15. Если существует (a,b) – путь, то …
вершина b называется достижимой из вершины а
вершина b называется недостижимой из вершины а
нет правильного ответа
16. Граф G называется связным, если …
его неорграф является связным
две его вершины не соединены маршрутом
нет правильного ответа
17. Граф G называется сильно связным, если …
для каждой пары различных вершин a и b существуют (a,b)-маршрут и (b,a)-маршрут
для каждой пары различных вершин a и b существует (a,b)-маршрут
для каждой пары различных вершин a и b существует (b,а)-маршрут
нет правильного ответа
18. Пусть G=(M,R) – связный неорграф, a и b – две его несовпадающие вершины. Расстоянием между вершинами a и b называется …
длина кратчайшего (a,b)-маршрута
длина любого (a,b)-маршрута
нет правильного ответа
19. Максимальный среди всех эксцентриситетов вершин связного неорграфа G=(M,R) называется …
диаметром графа
радиусом графа
вершиной графа
нет правильного ответа
20. Вершина а связного неорграфа G=(M,R) называется периферийной, если …
ее эксцентриситет равен диаметру графа
ее эксцентриситет равен радиусу графа
она является центром графа
нет правильного ответа
21. (a,b)-маршрут, вес которого равен взвешенному расстоянию от a до b, называется …
кратчайшим маршрутом во взвешенном графе
13
маршрутом во взвешенном графе
контуром графа
нет правильного ответа
22. Степенью или валентностью вершины а неорграфа G=(M,R) называется …
число ребер,инцидентных вершине а
число ребер,смежных вершине а
нет правильного ответа
число соседних вершин
23. Связный неорграф,не содержащий циклов, называется...
гамильтоновым
эйлеровым
деревом
нет правильного ответа
24. Если все элементы множества А входят в множество В, то А называется _______ множества В
1) Подмножеством 2) Дополнением 3) Частью 4) Элементом
25.
Пусть множество содержит 8 различных элементов. Количество различных подмножеств
данного множества равно _______
1) 9 2) 8 3) 0 4) 7
26.
Пусть А и В – произвольные множества, тогда суммой или _______ множеств А и В
называют множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы
одному из множеств А и В
1) Объединением; 2) Пересечением 3) Разностью 4) дополнением
27. Операция объединение множеств определяется как
а) { x ¦ xA  xB }б) { x ¦ xA  xB }в) { x ¦ xA  xB }г) { x ¦ (xA  xB)
28. Отношение включения для множеств обладает свойством транзитивности, которое может быть записано в виде:
а) Для любого множества А:АА
б) Для любых множеств А,В,С если АВ и ВС, то АС
в) Для любых множеств А, В если АВ и ВВ, то А = В
29. В результате какой операции над множествами может быть получено дополнение множества А до множества В?
а) A B б) A B в) A\B г) В\А
30. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?
1) 30
2)
100
3)
120
4) 5
31.
В группе 32 студента. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек
для участия в математической олимпиаде?
1) 128
2)
35960
3) 36
4)46788
32.
Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?
1) 10
2) 60
3) 20
4) 30
Перечень практических заданий для оценки степени владения компетенциями.
Задача 1. Определить, являются ли формулы f и g эквивалентными.
14
f(x,y,z)=((x│z)~(xVy))│((y│x)─>(x~z))
g(x,y,z)=((y&x)─>(y─>z))+((x │ y) │ (zVx))
Примечание:
& - конъюнкция
V - дизъюнкция
~ - эквивалентность
─> - импликация
+ - сложение по модулю 2
│ - штрих Шеффера
Задача 2. Для булевой функции, заданной вектором значений (11111010),
определить:
1) существенные и фиктивные переменные;
2) совершенную дизъюнктивную нормальную форму;
3) совершенную конъюнктивную нормальную форму;
4) полином Жегалкина двумя способами;
5) принадлежность классам T0,T1, S, M, L
Задача 3. По заданной матрице смежности построить неориентированный граф,
составить таблицу степеней вершин, матрицу инцидентности, таблицу расстояний и условных радиусов, найти радиус и центр графа.
║000000110║
║000010010║
║000010001║
║000001010║
А (G) = ║ 0 1 1 0 0 0 1 0 0 ║
║000100100║
║100011000║
║110100000║
║001000000║
Задача 4. Найти число способов расстановки 15 томов на книжной полке, при котором первые 10 томов стоят рядом в порядке возрастания номеров
Задача 5. В военном подразделении служат 10 офицеров и 11 рядовых оперативная группа состоит из командира, заместителя и 10 рядовых, причём командир и
заместитель назначаются случайным образом из числа офицеров. Найти число
возможных различных оперативных групп.
Задача 6. Найти множество всех подмножеств множества {7,6,1}
Задача 7. Найти декартово произведение множеств A={2,3}, B={7,4,6}
15
Задача 8. В вузе 23 отличников, 68 хорошистов и 212 троечников.
Делегация на студенческую конференцию включает 9 отличников,
8 хорошистов и 4 троечников. Найти число возможных делегаций
Задача 9. Даны числовые множества A={40,48,32,18}, B={48,49,32,40},
C={40,50,52,53}. Найти множество A&(B\C).
Задача 10. На множестве M={1,3,5,8} задано отношение
R={(1,1),(3,3),(5,5),(8,8),(1,3),(1,5),(1,8),(3,5),(3,8),(5,8)}. Выяснить, является ли это
отношение отношением эквивалентности, отношением частичного порядка, отношением строгого порядка или отношением линейного порядка.
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
7.1. Основная литература
Перечень литературы
1 Новиков Ф.А. Дискретная математика.- СПб.: Питер, 2011.-384 с.
2 Мальцев И.А. Дискретная математика.- М.: Лань, 2011.- 304 с.
3 Хаггарти Р. Дискретная математика для компьютинга (Discrete Mathematics for
Compuing).-М.: Техносфера, ISBN 978-5-94836-303-5 2012.- 400 с.
7.2. Дополнительная литература
Перечень литературы
1 Алексеев В.Е., Таланов В.А.Графы и алгоритмы. Структуры данных. Модели вычислений БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-университет информационных технологий ИНТУИТ.ру, 2006
2 Костюкова Н.И.Графы и их применение. Комбинаторные алгоритмы для программистов БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-университет информационных технологий ИНТУИТ.ру, 2007.
3 Дехтярь М.И.Лекции по дискретной математике .БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-университет информационных технологий - ИНТУИТ.ру, 2007.Алексеев В.Е., Таланов
В.А.Графы и алгоритмы. Структуры данных. Модели вычислений БИНОМ. Лаборатория
знаний, Интернет-университет информационных технологий - ИНТУИТ.ру, 2006.
4 Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для ВУЗов/Н.Ш.Кремер –
Москва:ЮНИТИ, 2012, 479.[ http://www.iprbookshop.ru/12847.html]
8. ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ (УМК, компьютерные
программы, электронные учебники, интернет-ресурсы).
№
Перечень ресурсов
п/п
1
Mathcad Professional
2
www.exponenta.ru
http://rain.ifmo.ru/cat/
3
http://mathem.by.ru/index.html
4
http://www.mathematics.ru
5
16
8. БЛАНК ИЗМЕНЕНИЙ
2-й учебный год (______/______) действия рабочей программы
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г. Зав кафедрой
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г. Председатель УМС
3-й учебный год (______/______) действия рабочей программы
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г.
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г.
Зав кафедрой
Председатель УМС
4-й учебный год (______/______) действия рабочей программы
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г.
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г.
Зав кафедрой
Председатель УМС
5-й учебный год (______/______) действия рабочей программы
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г.
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г.
Зав кафедрой
Председатель УМС
17