МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ ЗДАНИЙ С АВТОНОМНЫМ ИСТОЧНИКОМ ТЕПЛА

Министерство образования Российской Федерации РОСТОВСКАЯ-НА-ДОНУ
ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОГО
МАШИНОСТРОЕНИЯ
На правах рукописи
МИРСКАЯ СВЕТЛАНА ЮРЬЕВНА
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ
ЗДАНИЙ С АВТОНОМНЫМ ИСТОЧНИКОМ ТЕПЛА
специальность 05.13.18 - математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук
Научный руководитель: кандидат технических наук,
доцент Сидельников В.И.
Ростов-на-Дону 2003
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
6
Глава 1. Описание систем теплового снабжения зданий и требований 12 к ним
1.1. Системы теплового снабжения помещений
1.2.
12
Нормативные требования (СНиП) к тепловым 13
параметрам в помещениях и их регулированию
1.3. Оценка потерь тепловой энергии в элементах системы 15
теплового снабжения
1.4. Методы анализа и возможные направления повышения 17
эффективности систем теплового снабжения
1.5. Выводы по главе и цели исследования
22
Глава 2. Математические модели систем теплоснабжения с 23
автономным источником тепла
2.1. Системный подход к описанию теплоснабжения зданий 23 с
автономным источником тепла
2.2. Математическая модель системы теплоснабжения с 30
вынесенным автономным источником
2.2.1.
Дифференциальное уравнение процесса 31 теплового
обмена в источнике тепловой энергии
2.2.2.
Дифференциальное уравнение процесса 34 теплового
обмена в теплотрассе прямой подачи
2.2.3.
Дифференциальные уравнения процесса 36 теплового
обмена в обогреваемом помещении
2.2.4.
Дифференциальное уравнение процесса 37 теплового
обмена в теплотрассе обратной подачи
2.2.5. Система дифференциальных уравнений процесса 38
теплового обмена в системе теплоснабжения с автономным
вынесенным источником
2.3. Математические модели систем теплоснабжения со 39
встроенными автономными источниками
2.3.1.
Математическая модель системы 40
теплоснабжения с изолированным встроенным автономным
источником
2.3.2.
Математическая модель системы 41
теплоснабжения с неизолированным встроенным
автономным источником
2.4. Математическая модель системы теплоснабжения 42
помещением
2.5. Оптимальное управление системами теплоснабжения 43
помещения
2.5.1. Релейное управление переходным режимом 44
теплоснабжения помещения
2.5.2. Релейное управление переходным режимом 47
теплоснабжения помещения в системе «радиаторпомещение»
2.6. Выводы по главе
50
Глава 3. Асимптотическая устойчивость автономных систем первого 51
— пятого порядков
3.1. Методика анализа устойчивости систем линейных 51
дифференциальных уравнений
3.2. Описание областей устойчивости в пространстве 55
коэффициентов характеристического многочлена
3.3. Формулировка общих теорем для анализа систем 66
теплоснабжения
3.4. Выводы по главе
Глава 4. Анализ моделей систем теплоснабжения с автономным 71
источником тепла
70
4.1. Анализ устойчивости линейных дифференциальных 71
уравнений, моделирующих теплоснабжение отдельного помещения
4.1.1.
Управление теплоснабжением помещения с 72 учетом
тепловой инерции
4.1.2.
Квазирелейное управление теплоснабжения 75
помещения
4.1.3. Релейное управление системой теплоснабжения 78
4.1.4. Квазирелейное управление теплоснабжением 80
помещения (двумерный случай)
4.2.
Анализ устойчивости системы линейных 83
дифференциальных
уравнений,
моделирующих
теплоснабжение со встроенным автономным источником тепла
4.2.1.
Анализ устойчивости системы линейных 83
дифференциальных уравнений, моделирующих
теплоснабжение с изолированным встроенным автономным
источником тепла
4.2.2.
Анализ устойчивости системы линейных 88
дифференциальных уравнений, моделирующих
теплоснабжение с неизолированным встроенным
автономным источником тепла
4.3.
Анализ устойчивости системы линейных 93
дифференциальных
уравнений,
моделирующих
теплоснабжение с вынесенным автономным источником тепла
4.4. Выводы
по
главе
101 Глава 5. Компьютерное моделирование температурных
режимов 103
систем теплового снабжения
5.1. Возможности и структура системы программной 103 поддержки
5.2.
Моделирование режимов теплового снабжения 104 системы с
автономным вынесенным источником тепловой энергии
5.3.
Моделирование режимов теплового снабжения 111 системы с
автономным внутренним источником тепловой энергии
5.4.
Компьютерное моделирование теплоснабжения 114 отдельного
помещения
5.5. Выводы по главе
117
Заключение 118 Библиографический список 120
Глава 1. Описание систем теплового снабжения зданий и
требований к ним
1.1. Системы теплового снабжения помещений
Для последующего построения математических моделей и их анализа
необходимо предварительно выяснить структуру моделируемых объектов и
процессов.
В соответствии со СНиП 2.04.05-91* [117-119] (строительные нормы и
правила отопление, вентиляция и кондиционирование) в различных категориях
зданий и сооружений могут применяться следующие виды и системы отопления:
• печное отопление;
• воздушное отопление;
• отопление вторичными энергетическими ресурсами;
• водяное с радиаторами, панелями и конвекторами или гладкими
трубами;
• водяное с нагревательными элементами, встроенными в наружные
стены, перекрытия и полы;
• местное (квартирное) водяное с радиаторами или конвекторами при
температуре теплоносителя 950 С;
• электрическое или газовое с температурой на теплоотдающей
поверхности 95°С;
• электрическое
и
газовое
с
высокотемпературными
темными
излучателями в не утепленных и полуоткрытых помещениях и
зданиях.
Отметим, что из перечисленных видов и систем отопления лишь печное
отопление и отопление вторичными энергоресурсами не требует применения
специальных методов оценки эффективности их применения и выбора режимов по
следующим причинам:
печное - в силу ограниченной зоны отопления и субъективной оценки его
результатов пользователями;
вторичными энергоресурсами - в силу того, что оно рассматривается как
дополнительное к одному из перечисленных выше видов отопления.
Все остальные виды и системы отопления используют различные первичные
энергетические ресурсы (электроэнергия, газ, мазут, уголь, торф и др.), которые
преобразуются источниками в тепловую энергию, а затем транспортируются на
большее или меньшее расстояние через систему теплотрасс к потребителям. При
этом рассматриваются два основных типа источников тепловой энергии автономные и централизованные.
Автономные источники обладают меньшей располагаемой мощностью, чем
централизованные, и, как следствие, меньшим значением КПД (то есть менее
эффективны при рассмотрении в отрыве от всей системы теплового снабжения).
Централизованные источники соответственно мощнее автономных (более
эффективны и выше КПД), обеспечивают тепловое снабжение нескольких
объектов. Но транспортировка тепловой энергии снижает эффективность их
применения за счет потерь тепловой энергии в теплотрассах прямой и обратной
подачи.
1.2. Нормативные требования (СНиП) к тепловым параметрам в помещениях
и их регулированию
В СНиП 2.04.05-91* выделяют требования к параметрам воздуха в
помещениях в теплый, в холодный и переходные периоды года. Так, в теплый
период года температура воздуха в помещениях должна быть не более чем на 3°С
выше расчетной температуры наружного воздуха. При этом температура воздуха в
помещениях не должна превышать 28° С для общественных и административнобытовых помещений с постоянным пребыванием людей и не более 33°С для
указанных зданий, расположенных в районах с расчетной температурой наружного
воздуха 25° С и выше.
В холодный период года и в переходных условиях температура воздуха в
помещениях должна находиться в интервале 18-22° С. Допускается понижение
температуры в административно-бытовых помещениях с пребыванием людей в
уличной одежде до температуры не ниже 14 0 С.
Практически для всех типов помещений во все периоды года допускается
относительная влажность воздуха не более 65%. В теплый период года
допускается скорость движения воздуха в помещениях не более 0,5 м/с, в
остальные периоды - не более 0,2 м/с.
Оптимальные значения нормируемых СНиП параметров воздуха в
обслуживаемых зонах различных типов помещений приведены в таблице 1.1.
Таблица 1.1.
Оптимальные нормы
Период года
Температура
Относительная
Скорость
воздуха, °С
влажность
движения
воздуха, %
воздуха, м/с, 1
не более
Теплый
20-22 23-25 60-30 60-30
_
0,2 0,3
__ ^
20-22
Холодный и
45-30
0.2
переходные условия
Примечание. Нормы установлены для людей, находящихся в
помещении более 2 ч непрерывно.
В рамках рассматриваемых в диссертационной работе задач важнейшими
являются требования СНиП к оптимальной температуре воздуха в холодный
период года и в переходных условиях в интервале 20-22 °С.
В
пункте
2.5
раздела
2
(Расчетные
условия)
СНиП
2.04.05-91*
регламентируется режим прерывистого отопления. Там сказано, что в холодный
период года в общественных, административно-бытовых и производственных
помещениях отапливаемых зданий, когда они не используются, и в нерабочее
время следует принимать температуру воздуха ниже нормируемой, но не ниже
5°С,
обеспечивая
восстановление
нормируемой
температуры
к
началу
использования помещения или к началу работы. Данный пункт СНиП открывает
широкие возможности в плане экономии тепловой энергии в указанных категориях
помещений. Однако его реализация связана с разработкой и реализацией
экономико-математических методов моделирования работы системы теплового
снабжения.
1.3. Оценка потерь тепловой энергии в элементах системы теплового
снабжения
В действующих СНиП 2.04.05-91* приводятся общие рекомендации по
допустимым величинам потерь тепловой энергии в различных элементах систем
теплового снабжения. Так в разделе «Трубопроводы» приводятся следующие
рекомендации по тепловой изоляции теплотрасс.
Тепловую изоляцию следует предусматривать для трубопроводов систем
отопления, прокладываемых в неотапливаемых помещениях, в местах, где
возможно замерзание теплоносителя, в искусственно охлаждаемых помещениях, а
также для предупреждения ожогов и конденсации влаги в них. В качестве
тепловой
изоляции
следует
применять
теплоизоляционные
материалы
с
теплопроводностью не более 0,05 Вт/м 2а С и толщиной, обеспечивающей на
поверхности температуру не выше 40 °С. Дополнительные потери теплоты
трубопроводами, прокладываемыми в неотапливаемых помещениях, и потери
теплоты, вызываемые размещением отопительных приборов у наружных
ограждений, не должны превышать 7% теплового потока системы отопления
здания.
Как видно из приведенной выдержки из СНиП 2.04.05-91 * рекомендации по
тепловой изоляции теплотрасс носят, в значительной мере, качественный характер.
В частности, никак не обоснована рекомендация применения теплоизоляционных
материалов с теплопроводностью не более 0,05 Вт!м™С. Данная рекомендация не
учитывает
стоимость
теплоизоляционными
теплоизоляции,
свойствами
должна
которая
определять
в
совокупности
с
целесообразность
ее
использования.
Не достаточно обоснована рекомендация СНиП 2.04.05-91* обеспечивать на
поверхности теплотрассы температуру не выше 40 °С. Очевидно, что температура
на поверхности теплотрассы должна определяться в результате оптимизационного
расчета, проводимого для системы теплового снабжения в целом. Не в полной
мере обоснована рекомендация СНиП о том, что дополнительные потери теплоты
трубопроводами, прокладываемыми в неотапливаемых помещениях, и потери
теплоты, вызываемые размещением отопительных приборов у наружных
ограждений, не должны превышать 7% теплового потока системы отопления
здания.
Основные и добавочные потери теплоты через элементы ограждающих
конструкций СНиП 2.04.05-91* рекомендует определять, суммируя потери
теплоты (2, Вт через отдельные ограждающие конструкции с округлением до 10 Вт
для помещений по формуле
0 = + (1-1) где А - расчетная площадь ограждающей конструкции, м 2 ;
Я - сопротивление теплопередаче ограждающей конструкции, м20С/Вт; / расчетная температура воздуха, °С, в помещении с учетом повышения
ее в зависимости от высоты для помещений высотой более 4 м; 1ех1 расчетная температура наружного воздуха для холодного периода года при
расчете потерь теплоты через наружные ограждения или температура
воздуха более холодного помещения - при расчете потерь теплоты через
внутренние ограждения;
¡5 - добавочные потери теплоты в долях от основных потерь; пкоэффициент, принимаемый в зависимости от положения наружной
поверхности ограждающих конструкций по отношению к наружному
воздуху.
Выражение (1.1) позволяет достаточно точно рассчитывать потери теплоты
через элементы ограждающих конструкций и для всего объекта в целом. Однако в
СНиП 2.04.05-91* не даются никаких указаний о допустимых величинах тепловых
потерь зданием в целом и способах определения их оптимальной (экономически
оправданной) величины.
1.4. Методы анализа и возможные направления повышения эффективности
систем теплового снабжения
Выше был дан краткий обзор основных требований, предъявляемых СНиП
2.04.05-91* к режимах теплового снабжения. В данном параграфе мы попытаемся
сформулировать основную цель диссертационного исследования применительно к
системам теплового снабжения, и проанализировать существующие методы
решения данной задачи с их достоинствами и недостатками.
В связи с тем, что при проектировании системы теплоснабжения и ее
режимов целесообразно оперировать средними температурами, рассматриваемые в
диссертационной
работе
системы
могут
быть
описаны
обыкновенными
дифференциальными уравнениями вида [2, 71], а не уравнениями в частных
производных:
* = /(х,ил4),
(1-2)
где х - ^-мерный фазовый вектор, £ - к- мерный (к<п) вектор внешних воздействий
(возмущений),
статистическими
который
может
быть
характеристиками),
как
или
случайным
(задан
неопределенным
(в
своими
связи
с
недостаточной изученностью объекта исследования). Во всех случаях вектор £(/)
задается своей принадлежностью к некоторому множеству
(1.3)
Вектор-функция и(г) размерности т<п называется управлением или
управляющим вектором. Данной вектор-функцией мы вправе распоряжаться в
соответствии с поставленными перед нами целями функционирования системы
теплового снабжения, то есть выбирать управляющую функцию, которая может
быть функцией времени (и = и($)\ фазового вектора (и = и{х)) , возмущения (и = либо
иметь более общий вид (и =
Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений оказывается
принципиально
возможным
в
случае
их
асимптотической
устойчивости
(колебательной или монотонной). Вопросам устойчивости систем, описываемых
обыкновенными дифференциальными уравнениями, посвящены работы ряда
авторов [17, 46, 69, 110]. Основным недостатком, присущим большинству
существующих
методов
анализа
устойчивости
(методы
Рауса-Гурвица,
Михайлова, Найквиста и др.) является то, что они дают ответ лишь на вопрос
устойчива или нет система при заданных первичных параметрах анализируемой
системы. При этом остаются совершенно неясными ответы на вопросы: в каком
порядке, в каком направлении и на какие параметры исходной системы, следует
воздействовать,
чтобы
перевести
систему
в
состояние
асимптотической
устойчивости.
Частично ответы на вопросы о порядке перевода системы в состояние
асимптотической устойчивости даны в [79]. Однако, предложенный в [79] метод
повышения устойчивости, требует на наш взгляд некоторой доработки в части
критериального
анализа
чувствительности
параметров
характеристического
полинома Гурвица.
Отметим, что в приведенной выше постановке задачи, системы вида (1.2)
могут быть использованы для достижения одной важной цели - минимизации
затрат при условии обеспечения нормируемого СНиП 2.04.05-91* теплового
режима в обогреваемом помещении (помещениях). Вместе с тем известно, что
преобразование первичных энергоносителей в тепловую энергию в источнике
сопровождается нарушением экологического равновесия в окружающей среде.
Следовательно, решение задачи минимизации затрат на тепловое снабжение
обогреваемого объекта (объектов), должно сопровождаться решением задачи
минимизации
вредного
воздействия
системы
теплового
снабжения
на
окружающую среду [113].
Как
известно,
любой
технический
проект
требует
определенных
капиталовложений. Если минимизация затрат на теплоснабжение относится к
классу оптимизационных задач, решение которых предполагает отыскание
минимума функции приведенных затрат, то решение задачи поддержания
экологических норм от вредных выбросов источником систем теплоснабжения
требует исключительно дополнительных капитальных вложений, направленных
лишь на улучшение состояния окружающей среды. Поэтому при решении задачи
оптимизации теплоснабжения и защите окружающей среды мы имеем ситуацию
двухкритериалъной задачи. Решение задачи в данной постановке требует
специальных подходов [18, 27, 32, 38, 39, 63, 75, 82, 84, 100, 104, 112].
Рассмотрим основные направления исследований в области оптимизации
теплового снабжения, проводимые в нашей стране и за рубежом. Из проводимых в
данной области в нашей стране исследований в первую очередь следует отметить
работы Табунщикова Юрия Андреевича и его школы [90-96, 115, 116]. Основное
направление работ - это математическое моделирование и оптимизация тепловой
эффективности зданий.
Важнейшие научные результаты Табунщикова Ю.А. и его школы изложены
в [91, 115]. Основное направление их исследований сводится к анализу и
оптимизации тепловой эффективности зданий. При этом используется системный
подход к построению математической модели тепловой эффективности здания как
сложной технической системы. Построению математической модели здания в
целом предшествует построение ряда математических моделей, описывающих
процессы теплового обмена в различных конструктивных элементах здания, таких
как отдельного помещения, ограждающей конструкции, светового проема. Расчет
конвективного теплообмена выполнен на основе решения уравнений сохранения
количества движения, энергии и массы (уравнения Навье-Стокса) [12, 99].
Исследования Бродач М.М. посвящено анализу влияния размеров и
ориентации здания на его теплоэнергетические характеристики [8]. Данные
исследования имеют важное значение на этапе проектирования зданий и
сооружений, и их внедрение в практику лежит в области поиска взаимодействия
архитекторов, проектировщиков и инженерно-технических работников.
Работы
Волкова
М.А.
[13]
посвящены
анализу
эксплуатации
газифицированных котельных. Данные работы важны в плане определения путей
повышения экономической эффективности работы источника. Статья Волынского
Б.Н. [15] ориентирована на поиск конструктивных решения энергосберегающих
зданий, что в известной мере дополняет исследования Бродач М.М.
В
работах
Грудзинского
М.М.
[21]
анализируются
отопительно-
вентиляционные системы в зданиях повышенной этажности. В них охватывается
комплекс
проблем
экономии
тепловой
энергии
на
отопительные
и
вентиляционные системы.
В статье Делюкина A.C. [23] анализируется проблема замены оборудования
в системах теплового снабжения. Очевидно, что ее рациональное решение лежит в
области использования методов динамического программирования [4, 5],
обобщенных
на
случай
замены
отдельных
элементов
направлены
на
технологического
оборудования.
Работы
Ельцова
В.А.
[26]
анализ
экономической
эффективности перехода от централизованных источников теплоснабжения к
автономным. Однако в них не учитывается то обстоятельство, что в ряде
технологических процессов, например выработка электроэнергии на ГРЭС,
тепловая энергия рабочего теплоносителя не может быть использована иначе, как
на цели теплоснабжения.
Статья Коркина В.Д. [40] развивают идею Ельцова В.А. о переходе к
автономных
источникам.
Однако
Коркин
В.
Д.
предлагает
переход
к
поквартирным
системам
автономного
теплоснабжения,
что
требует
предварительной
оценки
сравнительной
эффективности
с
системами
централизованного и автономного теплоснабжения в пределах отдельных зданий.
Труды Коробейника Ю.Ф. [43] посвящены рассмотрению проблемы
оптимального управления режимами теплового снабжения и их влиянию на
эффективность теплового снабжения. В исследованиях Ливчака В.И. [47-49]
рассматриваются
вопросы
усиления
тепловой
изоляции
ограждающих
конструкций зданий и сооружений. Предлагается отказаться от установки
тепловых счетчиков в зданиях, так как управление тепловым режимом
осуществляется с центрального источника, что не совсем корректно, т.к. при
отсутствии счетчиков расчет за тепловую энергию производится по явно
укрупненным нормам, устанавливаемым теплоснабжающей организацией из
расчета обогреваемой площади. Предлагается переход к автономным источникам
тепловой энергии, при котором отказ от счетчиков тепловой энергии является
обоснованным. Работы Наумова А.Л. [64] развивают идеи Ливчака В.И. о переходе
к автономным источникам теплоснабжения.
Исследование Станкявичуса В. [89] направлены на анализ фактического
потребления
тепловой
энергии
зданиями
и
сооружениями,
составление
энергетических паспортов зданий и сравнение фактического потребления тепла с
проектными значениями. Бесспорно, важным является выявление фактического
потребления тепловой энергии, которое, однако, может быть установлено с
помощью счетчиков тепловой энергии.
На разработку региональных норм по тепловой изоляции теплотрасс с
учетом стоимости тепловой энергии, температуры теплоносителя и стоимости
тепловой изоляции направлены работы Шойхета Б.М. [105]. Безусловно, важное
направление исследований, однако из работ не совсем ясно, как определяется
реальная стоимость тепловой энергии, которая, очевидно изменяется в процессе
оптимизации тепловой изоляции.
1.5. Выводы по главе и цели исследования
Проведенный краткий анализ состояния дел в области исследований по
оптимизации теплового снабжения показал, что в настоящее время исследуется
широкий круг вопросов связанных с оптимизаций затрат на тепловое снабжение с
учетом требований СНиП 2.04.05-91. Однако практически все рассмотренные
работы направлены на решение локальных задач теплового снабжения в
различных элементах системы теплового снабжения. Данное обстоятельство
является основным недостатком, препятствующим достижению оптимальных
решений для систем теплового снабжения в целом. На основе проведенного
анализа в качестве первоочередных можно сформулировать следующие основные
задачи:
• построение
математических
моделей
функционирования
всех
подсистем системы теплового снабжения, а также базовых моделей
автономных систем теплоснабжения со встроенным и вынесенным
источниками тепловой энергии;
• разработка методов исследования математических моделей отдельных
элементов
системы
работоспособности,
теплового
анализа
снабжения,
эффективности
анализа
систем
их
теплового
снабжения.
Глава 2. Математические модели систем теплоснабжения с
автономным источником тепла
2.1. Системный подход к описанию теплоснабжения зданий с автономным
источником тепла
Система
теплоснабжения
представляет
собой
сложную
систему
с
многообразием составляющих ее элементов, в которых протекают различные по
физической сущности процессы поглощения, превращения и переноса теплоты.
Рассмотрим систему теплоснабжения зданий как множество объектов с набором
связей и свойств между ними. Принципиальной особенностью этой системы
является то, что система теплоснабжения зданий представляет собой не простое
суммирование объектов системы, а особое их соединение, придающее всей
системе в целом новые качества, отсутствующие у каждого из элементов [29]. При
этом объекты функционируют как единое целое, каждый объект работает как
составляющая часть системы ради достижения единой цели. В настоящее время
для построения и реализации математических моделей сложных технических
систем используется методология системного подхода [14, 19, 24, 35, 51, 60, 78, 85,
103].
Системный подход в рассматриваемом случае предполагает выполнение
следующих этапов:
• выявления состава элементов, их внутренней структуры и видов
связей между ними;
• расчленение объекта с помощью метода декомпозиции на более
простые подсистемы и элементы;
• разработка
ситемы
взаимосвязанных
математических
моделей
отдельных подсистем и элементов и обобщенной математической
модели теплового снабжения зданий.
Проанализируем
систему
теплоснабжения
здания
с
автономным
вынесенным источником тепла. Предполагается, что имеется здание любого типа
и
структуры,
отопление
которого
происходит
от
котельной
установки,
находящейся на известном расстоянии от отапливаемого объекта. Причем
котельная является автономной и обслуживает только одно здание. Такая схема
используется для отопления школ, детских садов или административных зданий.
Система работает по замкнутому контуру, то есть выходные переменные
предыдущего объекта являются входными переменными для последующего.
Определим представленную ситему теплоснабжения кортежем = (т,Я,I,ЯЛ,
А{) [83], где
множества элементов, их свойств,
связей, целей и сред.
Множество элементов системы включает в себя пять составляющих:
источник тепловой энергии (котельная установка), трубопровод прямой подачи,
теплообменное устройство (радиатор), отапливаемое помещение, трубопровод
обратной подачи. В каждом объекте системы является определяющим параметром
температура теплоносителя (причем рассматривается осредненная температура по
всем элементам системы): температура теплоносителя в источнике тепловой
энергии - Т к , температура теплоносителя в теплотрассе прямой подачи - Т т ,
температура теплоносителя в теплообменном устройстве - Т р , температура воздуха
в отапливаемом помещении - Т, температура теплоносителя в теплотрассе
обратной подачи - Т обр .
Система является централизованной, ведущим элементом в которой
выступает источник тепловой энергии, и внутренне релейно управляемой (методы
оптимального управления системой рассмотрены в п. 2.3.). В качестве
управляющего воздействия выступает объем газа ¥г поступающего в топку
источника тепловой энергии, возмущающими воздействиями выступают как
изменения параметров окружающей среды, так и изменения параметров объектов.
Незначительные изменения в работе источника тепловой энергии повлекут
за собой изменения в функционировании всей системы теплоснабжения.
Элементы системы обладают рядом свойств, описываемых теплотехническими
коэффициентами и параметрами а, е ¡2.
Множество Я включает шесть связей. Все связи кроме г4 сильные,
односторонние, первого порядка. Связь г4 - слабая, односторонняя, второго
порядка. Она характеризует влияние температуры в помещении на температуру
радиатора.
Множество рассматриваемых целей включает:
ъ\ - повышение температуры в помещении к заданному моменту времени до
заданного уровня;
7а - поддержание температуры в помещении на заданном уровне до
заданного момента времени;
ъъ - понижение температуры в помещении начиная с определенного момента
времени до заданного уровня.
Множество 8Ы включает в себя значения температур внешних сред системы
теплоснабжения, окружающих элементы системы, считающиеся постоянными.
Указанные связи описываются автономной системой дифференциальных
урвнений пятого порядка, подробная постановка которой дана в п. 2.2.
Система устойчива при определенных значениях входных параметров.
Условия устойчивости системы и ее анализ будут даны в главе 4.
Для достижения первой и третьей целей система видоизменяется во
времени. Для поддержания в помещении постоянной температуры Т система
переводится в стационарный режим.
Структурная схема описанной системы представлениа на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Структурная схема теплоснабжения здания с автономным вынесенным
источником тепла
Данная система может быть разбита на ряд уровней:
• система теплоснабжения здания со встроенным автономным источником
тепла;
• система теплоснабжения помещением;
• система теплоснабжения помещением (частный слчай).
В зависимости от поставленных целей и для анализа адекватности
построенных моделей изучаемому процессу возможно локальное рассмотрение
системы на любом из указанных уровней. Приведенную систему можно
рассматривать
как
базовую
для
описания
систем
теплоснабжения
с
централизованными источниками тепла.
Опишем систему теплоснабжения здания с изолированным встроенным
автономным источником тепла. Видоизменим систему Я, поместив источник
тепловой энергии в непосредственной близости от отапливоемого объекта. Такая
схема применяется при отоплении жилых зданий, когда мини-котел устанавливают
на крышу или в подвал жилого здания, а также в пристройку к производственному
помещению. Температура помещения, в котором находится источник тепловой
энергии считается постоянной и является окружающей средой для этого элемента.
Идея автономного отопления зданий активно пропагандируется АВОК [45, 26, 94,
96, 116].
Определим систему кортежем ^ = (Т, (), Я, г, Л/} как с 5.
Кардинально система 5, не изменится относительно системы ¿> и будет обладать
теми же свойствами, что и базовая. Множества, описывающие систему,
изменяются только количественно (исключаются элементы, описывающие
теплотрасу).
Указанные
связи
описываются
автономной
системой
дифференциальных урвнений третьего порядка, подробная формуляровка которой
приведена в п. 2.2. Структурная схема описанной системы представлена на рис.
2.2.
Рис. 2.2. Структурная схема теплоснабжения
здания с изолированным встроенным
автономным источником тепла
Видоизменим
систему
,
поместив
источник
тепловой
энергии
непосредственно в отапливаемое помещение. Такая схема отопления возможна на
промышленных
предприятиях,
когда
источник
находится
внутри
производственного цеха. Тогда температура помещения, в котором находится
источник тепловой энергии будет переменной и сам источник будет обогревать
помещение как посредством теплоносителя, так и непосредственно за счет потерь
тепловой энергии через стенки источника. Определим 5П ^ =(Т,0_,К,2,811,А1).
Колличество элементов системы 5П и их свойства не
изменятся, изменится множество связей. Множество Я включает пять связей.
Связи гх,гг,гъ сильные, односторонние, первого порядка. Связи г4, г5 - слабые,
односторонние, второго порядка. Они характеризует влияние температуры в
помещении на температуру радиатора, представляющую собой среду для
котельной установки и теплообменного устройства. Указанные связи описываются
автономной системой дифференциальных уравнений третьего порядка, подробная
постановка которой приведена в п. 2.2. Структурная схема описанной системы
представлена на рис. 2.3.
ТР
Рис. 2.3. Структурная схема теплоснабжения здания с
автономным неизолированным встроенным источником
тепла
Рассмотрим систему теплоснабжения отдельного помещения. Из общей
энергопотребляющей системы выделяется отдельное помещение или несколько
помещений с одинаковыми теплотехническими характеристиками. Подобный
подход оправдан с точки зрения упрощения вычислительного алгоритма и
применяется в [56, 91]. Для описания данной системы неважно, как отапливается
помещение, автономным источником тепла или централизованным. Определим
систему Б2 ^ =(Т,(),В.,г,БВ.,А^ как Б2
Система 52 - это система с внешнем управлением. В качестве управления
выступает температура входящего в радиатор теплоносителя Т т . Систему 5'2 можно
рассматривать как релейно управляемую. Однако, этот подход не совсем
корректен (нельзя мгновенно изменить Т т ), т.е. теоретически оптимальное решение
нереализуемо. Для детализации описания переходного процесса, управление
рассматривается как квазирелейное. При этом Т т аппроксимируется с помощью
ряда функций (см. п. 4.1).
Множество элементов системы включает две составляющие: теплообменное
устройство (радиатор) и отапливаемое помещение. Элементы системы обладают
рядом свойств, описываемых теплотехническими коэффициентами a i &Q.
Множество Я включает две связи. Все связи сильные, односторонние,
первого
порядка.
Указанные
связи
описываются
автономной
системой
дифференциальных урвнений второго порядка, подробное описание которой
приведено в п. 2.2. Структурная схема описанной системы представлена на рис.
2.4.
Рис. 2.4. Структурная схема
теплоснабжения отдельного
помещения
Допускается еще одно рассмотрение системы теплоснабжения помещения,
как частный случай системы ¿>2. В этом случае система сводится к одному
элементу
-
помещению
с
температурной
характеристикой
(температура
обогревателя считается постоянной), т.е. ¿>3 ^ = (т,(), К,г, ///), 5'3 с ¿'2 с: 5.
Система S3 также является системой с внешнем управлением. В качестве
управления выступает температура радиатора Т р . Систему можно
рассматривать как релейно управляемую, но этот подход тем более некорректен.
Для
описания
переходного
процесса,
управление
рассматривается
как
квазирелейное. При этом Т р аппроксимируется с помощью ряда функций (см. п.
4.1). Структурная схема описанной системы представлена на рис. 2.5.
Рис. 2.5. Структурная схема
теплоснабжения отдельного
помещения (частный случай)
Приведенная система описывается одним дифференциальным уравнением
(см. п. 2.4).
Все системы рассматриваются на одном множестве целей. Ниже приводятся
математические модели рассмотренных систем.
2.2. Математическая модель системы теплоснабжения с вынесенным
автономным источником
В параграфе 2.1 с позиций системного подхода была рассмотрена система
теплового снабжения с вынесенным автономным источником тепловой энергии. В
данном параграфе дается обоснование и вывод указанной системы. Вначале
составляются математические модели всех составных элементов системы
теплоснабжения с вынесенным автономным источником, а затем - математическая
модель всей системы теплоснабжения, аналогичный подход изложен в [57].
В указанной системе примем обозначения, рассмотренные выше в пункте
2.1. Уравнения для отдельных элементов системы теплового снабжения
составляются на основе теплового баланса за малое время М (если для изучения
распределения температуры в помещении необходимо использовать уравнения
теплопроводности [50, 52], то для анализа процессов обогрева достаточно
уравнений со средними значениями температуры).
2.2.1. Дифференциальное уравнение процесса теплового обмена в источнике
тепловой энергии
Тепловой баланс источника, как и любого теплотехнического агрегата,
характеризуется равенством между количеством подведенной (располагаемой) и
расходуемой теплоты: Qnpux = £)расх. Обычно тепловой баланс составляется на
•
5
единицу количества сжигаемого топлива 1 кг твердого или жидкого, либо 1 м
газообразного топлива, взятого при нормальных условиях. С учетом этого,
пренебрегая физической теплотой топлива и считая ее постоянной, получим
=
е / "
+
& ,
(2.1)
Ярасх = 07 + 02 + вз + 04.
Здесь 0? = vгQгAt - низшая теплота сгорания топлива в рабочем
о
состоянии, где V? - объем газа, подаваемого в топку котла, м /с; - теплота сгорания
газа, Дж/м . Часть теплоты, затрачиваемая на подогрев всего объема У 2 воды в
источнике за интервал времени Дt на температуру ЛТ к = Т к (1+Л0 - Т к (1), составляет
использованную теплоту ()1 =р 2 ¥ 2 С 2 (Т)АТ к (в данном рассуждении мы допускаем
некоторое упрощение, вызванное тем, что температура воды в трубках
теплообменника распределяется от значения Т обр на входе в котел до
о
значения Т к на выходе из котла, р 2 - удельная плотность воды, кг/м ; У 2 - объем
о
воды в трубках теплообменного устройства источника, м ; С 2 (Т) - удельная
теплоемкость воды, Дж/(кг*°С)) и д2=¥(С2(Т)р2Т^ - на передачу подогретой до
температуры Т к воды в тепловую сеть, где У { - расход воды, проходящей через
о
теплообменное устройство источника, м /с. Оз =А к 8 к (Т г -Т ск )А(/3 потери теплоты
через стенки источника, где Лк - коэффициент теплопроводности стенок
О
2
источника, Вт/(м* С); - площадь стенок котла, м ; 5 - толщина изоляционного слоя
стенок источника, м; Т г - температура газа в топке источника, °С; Т ск - температура
воздуха в котельной, °С. <2 4 =С г (Т)Т г2 У сг А1 потери теплоты с уходящими газами, где
Т г2 — температура газов на выходе из топки источника,
О
3
С; У сг - объем продуктов сгорания, м /с. 0 5 =С г (Т)Т в У в Д( - тепло приносимое в
котельную установку за время А1 с воздухом, где С г (Т) - теплоемкость газов на
выходе из топки источника, и воздуха подаваемого в топку источника,
Дж/(м3*°С); Т в - температура воздуха, подаваемого в топку источника, °С; У вобъем воздуха, подаваемого в топку источника, м /с. д6=У1С2(Т)р2ТобрА{ - тепло
приносимое в источник за время At по теплотрассе обратной подачи из системы
теплоснабжения. В итоге уравнение теплового баланса источника будет иметь вид
01= 0г г -03-04 + 05-02 + 06-
, (2.2)
С учетом (2.2) уравнение теплового баланса источника запишется в виде
р 2 У 2 С 2 (Т)АТ к = У г А( 0 г - ЛЛ(Т г -Т ск ) АИ8- С г (Т)Т г2 У сг А1 + С г (Т)Т в У в А1- У,С 2 (Т)р 2 Т к & + У (С 2 (Т)р 2 Т обр А1.
Удельная
теплоемкость
воды,
воздуха
(2.3)
или
металла
изменяется
в
зависимости от температуры, но эти колебания не существенны (изменения
значений удельных теплоемкостей не превышает 0.001 на рассматриваемом
температурном интервале), поэтому в данном исследовании указанными
колебаниями можно пренебречь. В данном случае дифференциальные уравнения,
описывающие
рассматриваемые
теплотехнические
процессы
будут
линеаризованы. В противном случае нужно рассматривать дифференциальные
уравнения Бернулли [37].
Для перехода к дифференциальному уравнению разделим слагаемые
уравнения (2.3) на р2У2С2(Т)Л1 и перейдем к пределу при Д1:-»0. В результате
получим
^ = а х У г -а 2 (Т г -Т ск )- а 3 Т Г2 + сцТ в - а 5 (т к -Т обр ),
бг
ЛК3К
где щ = ------ — ----- , а 0 = --------- — ------ , а 3 =
РгУ1Сг(Т к ) 2 * к р 2 У 2 С 2 (Т к )'
(2.4)
С г (Т г2 )Г сг
Р г У гС2 ( Т к )
С Г (Т В )У В
, а4 = ^
Р 2 У г С 2 (Т к ) 9
а - У 'Р2 С 2(ТК) У(
а5
Р2С 2 (Т К )У 2 г 2 '
В полученном дифференциальном уравнении (2.4) второе, третье и
четвертое
слагаемые
в
правой
части
уравнения
остаются
практически
неизменными, так как температура газа в топке котла, температура газа на выходе
из топки, температура воздуха в котельной и температура воздуха подаваемого в
топку при постоянной величине уг также остаются постоянными. Однако, в правой
части (2.4) необходимо выделить слагаемые с величинами Т к и Т обр , так как в
дальнейшем они либо являются управляемыми параметрами, либо определяются
своими уравнениями. Следовательно, дифференциальное уравнение (2.4) можно
записать в виде (ХТ
-^ = -а 5 Т к +а 5 Т обр +Ь 1+ а,У Г ,
. (2.5)
Ь х =-а 2 (Т г -Т ск )-а 3 Т Г2 +а 4 Т в .
Решение дифференциального уравнения (2.5) в отрыве от других элементов
системы теплового снабжения не представляется возможным, поскольку в нем
присутствуют две неизвестные функции Т к ф и Т обр ($. Поэтому, необходимо
составление дифференциальных уравнений всех оставшихся элементов системы
теплового снабжения (теплотрасса прямой подачи, обогреваемое помещение,
теплотрасса обратной подачи) и их совместное решение. Описание процессов
теплового обмена в обогреваемом помещении включает в себя два линейных
дифференциальных уравнения, рассмотренных в п. 2.2.3.
2.2.2.
Дифференциальное
уравнение
процесса
теплового
обмена
в
теплотрассе прямой подачи
В каждый момент времени температура Т Т внутри сечения теплотрассы
успевает выровняться за счет интенсивного переноса теплоты конвекцией и
теплопроводностью. Таким образом, значение
ТТ
в поперечном сечении
трубопровода зависит только от времени и не зависит от поперечных координат.
В действительности температура Т т внутри теплотрассы понижается вдоль
ее длины X от значения Т к в начале до значения Т т в конце теплотрассы
•3
[81]. При заданном расходе воды V, (м/с), скорость ее движения в теплотрассе 4К
составит м> = -г—( м /с)> где йц - внутренний диаметр теплотрассы, м (рис. 2.6).
\ж1 „]
Тогда время движения некоторого элементарного объема теплоносителя АУ вдоль
прямого трубопровода будет равно
(2.6)
№
Очевидно, что реальное изменение температуры вдоль теплотрассы прямой
подачи будет равно изменению температуры за время Х2 в гипотетической
теплотрассе, в предположении отсутствия движения теплоносителя в последней.
Уравнение теплового баланса при этом имеет вид
Д Я 2 п 0.твх ~ 0,твых ~ 0,7т
(2.7)
где А(2 2 „=У ТрР2 С 2 (Т)ЛТт - изменение тепловой энергии в теплотрассе прямой
подачи, Дж; ()твх=У^С2(Т)р2Тк(() - тепловая энергия, поступающая в теплотрассу
из источника за время Д1:; <2твых=У^С^Т)р2Тт - тепловая энергия, отдаваемая за
время А1 в теплообменное устройство обогреваемого помещения; <27п=аР(ТтТс)А1 — потери тепловой энергии из теплотрассы прямой подачи в окружающую
среду.
С учетом (2.7) уравнение теплового баланса для теплотрассы прямой подачи
запишется в виде
У Т Р Р2С 2 ,(Т) АТ Т =УАС 2 (Г)р 2 Т к Ц) - УАС 2 (Т)р 2 Т Т (1) -^(Т т (0-Т с )Л,
(2.8)
где Утр - объем теплотрассы прямой подачи, м3; ^ - площадь поверхности
теплотрассы, м2; Т с - температура воздуха в окружающей среде; а - коэффициент
теплоотдачи теплотрассы, Вт/°С;
Разделим выражение (2.8) на Л1У тр р 2 С 2 /Т) и совершим предельный переход
при
Аг^О.
Получим
дифференциальное
уравнение
скорости
изменения
температуры теплоносителя в теплотрассе прямой подачи
с1
Т т = а 7 Т к - (а 6 + а 1 )Г Т +а 6 Т с .
Л
ат
■, а п =
РгУ ( С 2( т т)
(2.9)
В (2.9) а 6 =
Р г рУ г ррС'р(Т'2')
Р'рУррС'р (Т'р )
При заданной длине Ь теплотрассы прямой подачи, внутреннем его диаметре
йц, наружном диаметре й12 и диаметре теплотрассы с теплоизоляционным слоем ё2
2
имеем (рис. 2.6):
яй
11Ь
(2.10)
Рис. 2.6. Сечение трубопровода
теплотрассы
Коэффициент удельной теплоотдачи всей поверхности трубопровода можно
рассчитать по формуле [97, 98]
1
а=
1 , (I
1
I "12
-1п
1п—— +
2пЯ х Ь ¿/ц
¿/]2
(2.11)
где Я; и Я 2 - коэффициенты теплопроводности стенки теплотрассы и
теплоизоляционного слоя соответственно, Вт/(м°С). Выразив в (2.10) Ь 2 = а 6 Т с можно
записать
2.2.3.
dT = а Т -(а +а )Т +Ь
1 к
в
7
т
7
уравнения
процесса теплового обмена в обогреваемом
T
dt
Дифференциальные
(2.12)
помещении
В рассматриваемой подсистеме (обогреватель, обогреваемое помещение,
окружающая
среда)
процесс
теплового
обмена
можно
разделить
на
две
составляющие:
- теплоноситель - радиатор - обогреваемое помещение;
радиатор - обогреваемое помещение - окружающая среда. Уравнения
теплового баланса для данной подсистемы запишем в виде: fAß 2 /7=Ö8-ß 9 Öi2
(2и)
{Qu=Qn+Qn
В (2.13) имеют место следующие значения: изменение тепловой энергии в
обогревателе AQ2n=V p p 2 C2(T)AT p , где V p - объем теплоносителя в теплообменном
устройстве, м ; АТ Р= T p (t+At)-T p (t) - изменение температуры обогревателя за время At;
тепловая энергия, подаваемая в теплообменное устройство из трубопровода прямой
подачи за время At Q8=Vip 2 C 2 (T)T m (t)At; тепловая энергия передаваемая в обратный
трубопровод за время At Qg=Vtp 2 C 2 (T)T p (t)At; тепловая энергия, выделяемая в
обогреваемое помещение Qi 2 =s 0 a 0 (T)*(Tp*-T)At, где .s0 - площадь поверхности
обогревателя, м ; а 0 (Т) - коэффициент теплоотдачи обогревателя, Вт/(м С); расход
энергии
на
изменение
температуры
воздуха
в
обогреваемом
помещении
Q 13 =mV„C„(T)AT, где m - коэффициент кратности воздухообмена; Vn - объем воздуха в
обогреваемом помещении, м ; С п (Т) •5 А
удельная объемная теплоемкость воздуха, Дж/(м С); AT=T(t+At)-T(t) - изменение
температуры воздуха в обогреваемом помещении за время At; потери энергии в
окружающую среду с температурой Т с через ограждающую конструкцию площадью
S cm (м ), толщиной S cm (м) с коэффициентом теплопроводности X cm (I) (Вт/(м °С))
составят Q u = S cm X cm (T)(T- T c )At/8 cm .
Следовательно, тепловой баланс для обогревателя и обогреваемого
помещения даст уравнения:
У р р 2 С 2 ЬТ Р=У,р 2 С 2 (т)Т т &-У 1 р 2 С 1 {т)т Р А1- 8() сс {) Т Р & + 8 ъа 0 т
^т+Бс^- •
<
которые после перехода к пределу дают
уравнения:
р
£
Огк
Ог
дифференциальные
Ж
= ^{т т -т р )-а 9 (т р -т)
,
— = а 10 (т р -т)-а и (т-т с )
(2-15)
где а - ¥( а - ^^ а - *о а <№ а - ^оЛ^) 1 д е а 8 - — ,а 9 - , а 10 - Т/ „ > «и - — „ /~\„ •
^ У р С 2 (Т)р 2
™У п С п {Т) т У„С П \Т)8 ст
С учетом того, что значение Тс в течение переходного режима практически
постоянно, система дифференциальных уравнений (2.15) может быть записана в
виде:
Р
ат
= а%Т Т - (а 8 + а 9 )Т р + а 9 Т
'
'
(2Л6)
— = «1 оТр - («ю + «11У +
ЪА где Ь 4 = ацТ с .
2.2.4.
Дифференциальное
уравнение
процесса
теплового
обмена
в
теплотрассе обратной подачи
Процесс изменения температуры в теплотрассе обратной подачи полностью
совпадает с аналогичным процессом в теплотрассе прямой подачи. Различие будет
лишь в начальных условиях - значениях температуры в начале (выход из
отапливаемого помещения) и в конце теплотрассе обратной подачи (вход в
источник). С учетом сказанного дифференциальное уравнение изменения
температуры в теплотрассе обратной подачи будет иметь вид:
йТ,
&
о6р
~-а 7 Т Р ~(а 6 +а 7 )Г обр +Ь 2 .
(2-17)
2.2.5. Система дифференциальных уравнений процесса теплового обмена в
системе теплоснабжения с автономным вынесенным источником Выпишем
систему уравнений тепловых балансов:
р2к1с2(г)л^= <2 У &- У { С 2 { Т ) Р 2Т К 1 + У { С 2 { Т ) 2 Т 6 Ы С { Т ) Г У Ы - С { Т ) Т 2 У Ы
Г
Г
К
Р
О Р
Г
В
В
Г
Г
У Т Р Р2 С 2( Т )АТ Т = У (Р2 С 2( Г ) Т кА( -У 1Р2 С 2 {т )Г Т М
У рР2 С 2 ЬТр=
У, Р2 С 2 (Т)Т Г М
Т У П С П АТ=
Лк$к( т г
~ т ск)
СГ
- АГТ Т М
-У 1Р2 С 2 (Т)Т Р &
10А0ТР&
¿к + аРТсМ
-З0А0ТРМ
-* 0 А 0 Т
^-ГД Г
"С К
-аРТобрЬ
УобрР2Сг{т)АТ т = У (Р2 С 2 {т)ГрА1 -У (Р2 С 2 {т)Г обр М
+ 5дСК
СК +
аЕТсМ
Объединение дифференциальных уравнений (2.5), (2.12), (2.16) и (2.17)
приводит к системе линейных дифференциальных уравнений:
йТ
К
ТГ т
+ а5 То6
Л = ЧК ~аьТк
—
йТ т
а,Т К -{а, +а 6 )т т
+6,
-{а^+сцУГр +ОдТ
щГт
Л
а
(к
ю ТР
+
0
-
+
ьЛ
{Охо+Охх) 1 '
¿тоб
рЖ
(2.18)
а т
1р
-(а7+а6)Г +Ь
с начальными условиями:
1=0, Т к (0) = Т ко , Т т (0)=Т то , Т р (0)=Тро, Т(0) = Т 0 , Т обр (0) =
Т обр _ 0 , Тко > Т то > Т Р0 >Т 0 > Т обр 0 .
Систему линейных дифференциальных уравнений (2.18) удобно
представить в матричном виде
— = АТ + В +
Г, Л
где с
А
=
V
(2.19)
-а 5
0
0
0
а5
а7
- (а 7 +а 6 )
0
0
0
0
а7
~(а 8 +а 9 )
а
9
0
0
0
а
ю
-(,а 10 + а И )
0
0
0
а7
0
~{а 7 +а 6 )
А/
(ь
Л
Ъ2
0
Ъ4
'«¡Гг
0
0
0
10
Таким образом, описана система теплоснабжения вынесенным автономным
источником, позволяющая анализировать изменение температуры в обогреваемом
помещении с учетом процессов нагрева или охлаждения теплоносителя во всех
элементах системы теплоснабжения, а также влияние управляемого параметра
(объема подаваемого газа) на описываемые процессы. Предложенный подход
позволит анализировать также и влияние замены оборудования в системе
теплоснабжения, изменения технических характеристик и параметров системы,
изменения
конфигурации
системы
теплоснабжения
с
целью
достижения
глобального оптимума - минимальных затрат на производство и передачу
тепловой энергии.
2.3. Математические модели систем теплоснабжения со встроенными
автономными источниками
В отличие от описанной в параграфе 2.2 системы теплоснабжения с
вынесенным автономным источником на практике часто имеют место системы
теплового снабжения с автономными источниками встроенного типа. Системы
теплоснабжения данного типа подразделяются на два вида по месту расположения
автономного источника:
• системы теплоснабжения с изолированным автономным источником;
• системы теплоснабжения с неизолированным автономным источником.
2.3.1. Математическая модель системы теплоснабжения с изолированным
встроенным автономным источником
Принципиальное отличие данной схемы теплоснабжения от схемы с
вынесенным автономным источником заключается в том, что в ней помещение
для источника тепловой энергии непосредственно примыкает к обогреваемому
объекту, длины теплотрасс прямой и обратной подачи равны нулю, а
теплоноситель из источника подается непосредственно в радиатор (короткие
соединительные трубы можно рассматривать как часть радиатора) обогреваемого
помещения. Очевидно, что для моделирования работы данной системы
теплоснабжения принципиально возможно использование модели (2.18). Однако,
ввиду широкого распространения данной системы теплоснабжения и меньшего
числа элементов в ней (всего три) методически представляется правильным дать
ее описание отдельно.
Уравнения теплового баланса для источника и обогреваемого помещения по
своим составляющим совпадают с аналогичными уравнениями для системы
теплоснабжения с вынесенным автономным источником. Отличие заключается в
том, что в качестве входной величины для отопительного прибора (радиатора)
выступает теплоноситель с температурой Т к , а входной величиной для источника
является теплоноситель с температурой Т р .
{ Т ) АТ к = а г у М - ус 2 (т)р 2 т М +У , С 2{ Т )р 2 т А (+ С { Т ) Т У М - С г {т)т Г 2 у М Г
'
К
Р
Г
В
В
У р р 2 С 2 АТ Р =У (р 2 С 2 {т)Т к А1-У# 2 С 2 {т)Т Р &-з 0 а о Т Р А ( + 50 а 0 ТА1
Т У П С П АТ
= 50а0Т А 1 - 50а0Ш - Я
Р
СК
^ К - ТА ( + 8 СК ^ Г С А (
°ск
д
ск
СГ
(2 20)
В результате система линейных дифференциальных уравнений запишется в
виде:
(ЯГ,
к
Л
-а 5 Т к +а 5 Т р
+ Ь Х +а 1 У г
с1Т
а.
„
(2.21)
-
Л
Т к ~(а 8 +а 9 )Т р + а 9 Т
сП
«ю ТР -(ап + а п) т +^4
(
М
с начальными условиями:
1=0, Т к (0) = Тко, Т р (0)=Тро, Т(0) = То, Т ко >Т Р0 >Т (] .
Так как система (2.21) является частным случаем системы (2.18) и из
уравнений тепловых балансов следует, что аналитические выражения а, не
изменятся.
2.3.2.
Математическая
модель
системы
теплоснабжения
с
неизолированным встроенным автономным источником
Отличие данной схемы от схемы с изолированным автономным источником
заключается в том, что источник расположен непосредственно в обогреваемом
помещении. Изменение температуры воздуха в обогреваемом помещении,
например при регулировании ее в разрезе суток, будет приводить к изменению
параметра Т ск , который в данном случае равен Т . Система тепловых балансов (2.20)
изменится:
р 2 Г 1 С 2 { Т ) АТ = Д У М - ¥ ( С 2 {т ) Р 2 т к м + У , С 2 {т)р 2 т М К
Г
Г
Р
'к
-тм+с г {т)т в у в м
-С Г (Т)Т Г2 У СГ А 1 - Х ^ Т ^А (
У р р 2 С 2 АГ Р = У (р 2 С 2 {т)т к А! - У е р 2 С 2 (т)Г Р А( - ,цс Ч Т РА1 +
з 0 о. 0 ТА[
тУ П С П АТ = з 0 а 0 Т^-$ 0 а 0 ТА1-$ 1
(
к
П
\
Л
Ш
¿
Г
ск
>ск
}
(2.22)
ск
Тогда система дифференциальных уравнений (2.21) преобразуется к виду:
-а 5 Т к +а 5 Т р
а
%тк -(«8 + Д <Л
+ а 2 Т +Ь 1 +а 1 У г
+а9Т
(2.23)
"Л
~{а\о + <*иУ + Ь4
где Ь\ = -а 2 Т г - а 3 Т Г2 + а 4 Т в , с начальными условиями: Г=0, Т к (0) = Т ко> Т р (0)=Тро, Т(0) = Т () ,
Т ко > Т Р0 >Т 0 .
Полученная система трех линейных дифференциальных уравнений позволяет
анализировать теплоснабжение автономным неизолированным источником при
изменениях температуры воздуха в обогреваемом помещении, которое в данном
случае совмещено с местом установки источника тепловой энергии.
2.4. Математическая модель системы теплоснабжения помещением
Как отмечалось в п. 2.1, возможно и целесообразно с методической точки
зрения отдельное рассмотрение теплоснабжения помещения. Эта система может быть
использована для определения необходимой площади поверхности обогреваемого
источника
или
теплоизоляции
ограждающих
конструкций.
А
также
для
моделирования процессов нагрева помещения альтернативными источниками (как
пример - калориферами).
Для большинства административных зданий и ряда производственных
помещений допускается понижения температуры ниже нормативной в течение части
суток, в нерабочие дни с целью экономии энергозатрат на обогрев. Такая ситуация
может возникнуть в связи с авариями в системе теплоснабжения. Такой режим
отопления называется «прерывистое отопление» [30-31, 91-93].
Уточним уравнения тепловых балансов (2.14) рассматривая неоднородные
ограждающие конструкции:
т 7 П С П Ы = Л'0 А/ - а 0 ГА/ -1
'V 0 р 2 С 2 М Р = У, р 2 с 2 {Т)Т Т М - У 1 р 1 С 1 {т )т р м - л0«07),
А/ + л'0а0ГД/
(
л > пГ л ) ■ ( - )
V5сю)
2 24
'Ч 8 Ш )
Как частный случай, возможно, рассмотрение системы теплоснабжения
помещения одним дифференциальным уравнением, описывающим изменение
температуры в помещении. Такой подход оправдан с точки зрения анализа
процесса распределения тепловой энергии в переходных и стационарных
режимах. На основе теплового баланса:
Г
2 4 с.
т ¥ п С П АТ = ¿< 0 а 0 ТМ - з 0 сс 0 ТА1 - Л С Ю
/=
£
1 ' Л Vсю
СК
Лж \ГС
ТЫ + £ оСП
¿>г г.
ы\V °сю У АГ
(2.25)
Дифференциальное уравнение примет вид:
ОТ
Л
= а ю (т р -т )-ъа х и {т -т с ), ;=1
или при Т р = сотI йТ
- -аТ + Ъ.
Л
(2.26)
где а = (а ю +а и ), Ь=Ь 4 + а 10 Т
2.5. Оптимальное управление системами теплоснабжения помещения
Вопрос об оптимальном управлении техническими системами, к которым
относятся и системы теплоснабжения, сложен и многогранен. Различными
аспектами оптимального управления занимались и занимаются много ученых и
специалистов [1, 7, 10, 28, 67, 68, 72]. Очевидно, в данной проблеме имеет смысл
выделить несколько уровней управления - программное управление, ситуационное
управление, субоптимальное управление и т.д. В теплотехнических системах
может быть использовано на различных этапах проектирования, строительства и
эксплуатации систем теплового снабжения управление в различных точках
системы: управление подачей первичного энергоносителя, изменение расхода
теплоносителя, регулирование площади обогревателя и т.д.
В данной диссертационной работе рассматриваются аспекты оптимального
управления, связанные с регулированием тепла в отдельном помещении,
оптимальное управление источником тепловой энергии (с целью минимизации
приведенных затрат на эксплуатацию системы теплоснабжения) при соблюдении
требований СНиП 2.04.05-91* по температурному режиму в обогреваемом
помещении.
Одним из важных путей, минимизации затрат на теплоснабжение является
использование режима прерывистого отопления для административных и
производственных зданий [33, 80]. Суть его сводится к снижению затрат на
первичные
энергоносители
за
счет
понижения
температуры
воздуха
в
производственных и административных зданиях в нерабочее время и выходные
дни, переход от ночного режима отопления помещения с пониженной
температурой к дневному с нормируемой температурой. Эта задача сводится к
минимизации энергозатрат при переходи от одного температурного состояния
(начального) к другому (нормативному).
2.5.1.
Релейное
управление
переходным
режимом
теплоснабжения
помещения
Это - задача нагрева помещения к заданному сроку с минимальными
затратами тепла I. В качестве управления здесь выступает температура
обогревателя Т р , Задача оптимального управления имеет вид:
" с1Т
И
•Ж
Т(0)=Т 0 , т(ь) = т г
1(и)—>тп1п.
(2.2/)
Будет доказано, что минимум затрат на перевод системы отопления из
ночного режима в дневной отвечает минимуму времени на «натоп» помещения, и
согласно принципу максимума[6, 101, 108], при этом начальная температура
обогревателя должна быть максимально возможной, то есть Т р= Т ртах .
Для лучшей обозримости задачи и уменьшения количества параметров
перейдем к безразмерным переменным:
г = Т = (т ,1-7'0)у1 +г 0 , Т р =Т рп +и{Г ру -Т рп ),
т>0,
/2 - некоторый масштаб, выбираемый ЛПР, используемый для упрощения
коэффициентов; г/=/у/2.
Задача минимизации расхода энергии, как задача оптимального управления
расходом теплоты
при котором функционал:
/ = yQ )= J udt —» min
примет наименьшее возможное значение (множители, зависящие от цены топлива,
коэффициенты полезного действия источника тепла и т.д., - опущены).
Вводя, как обычно в оптимальном управлении, накапливаемый функционал,
как
дополнительное
переменное
уо(т),
получаем
задачу
оптимального
быстродействия вида:
<1У1
-рЛг)-а У 1 + р 2 =/,(у 0 ,у ] ,т)
dx
(2.28)
г = и( т) = МУо>У1>
ь ах
О <и(х) <1.
yi (0) =0, уо (0) = О,
У1 (xi) = 1, у о (х,)
^ ГТ1 ГГ1
ГТ1 ГТ1 \
T -T
а- (a 10 +a n )t 2 , р 2 = _ 1 rn ~ 1 0 _ 1 0 ~ L c "11 m гг hi Pi — a nt<. pv rn
L
Ч~ 0)
T)~T 0
Tj-T 0
min,
При сделанных предположениях (T p -T 0
> О, Т, -То > 0 )
~ a \(S rp т
введенные константы положительны а, pi, р 2 >0.
Положим и
1
v
, тогда задача (2.28) примет вид:
«10 +öll
= P\u{z)~ У\ +Р2 =/\{уй,У\>т)
^ = и{х)= /ъ(уц,у ь х)
dx
(2.29)
0 <и(т) <1.
yi (0) =0, уо (0) = 0,
yi (Vi) = 1,у 0 (Tj) -> min,
Очевидно, что по оптимальным значениям безразмерных переменных легко
найти соответствующие значения исходных величин.
Для применения принципа максимума нужно построить функцию
Понтрягина-Беллмана [5]:
Н = щ/о + щ fj = и (у/ 0 +pi щ) +щС 0 +W (р 2 -у0=и (р+у/оСо + щ фз-yi) и выписать
уравнения для сопряженных функций:
dy\
dx
ач>0
(к
дЯ*! _
йт
дН =
дУо 0
дН
ду1
(2.30)
Поскольку ц/ 0 =С=сот1, ц/1=С/е Т , то есть <р=(щ + Р/уО ~ монотонная
функция, из принципа максимума следует, что управление описывается
функцией Хевисайда [3, 25], имеет релейный характер (и=о или и=1) и должно быть
не более одного момента переключения.
Го, Що+р\У\ < о
[1, щ+рхщ>0
В силу условия трансверсальности (поскольку конечная точка не определена,
а имеется конечное множество у^ъ) =1) имеем (рис. 2.7):
Ч/^)**0^, =(1,0)
У1
Т
Уо
Рис. 2.7.
\|/0(т1) = о следовательно н=о и у/ 1(г1) = 1, С] =е 7 1 , щ = <? ^ т \ При этом ср =
р х ц/ х (г) > 0, следовательно на начальном участке, до возможного момента
переключения и=1, у х (г) = С 2 е~ г +{р\+ Рг)В силу начального условия у 0 (о) = 0, С 2 = ~{р\ + р 2 ), у х (т) = (р х + р 2 ){\-е~ т ).
Целевой функционал (энергозатраты) принимает вид: У 0 { т ) = (1 + С 0 )г + С 3 , С3
= 0.
Поскольку после достижения нормативного значения (у ¡(г0=1) дальнейшие
энергозатраты — минимально возможны (поддержания
нормативного режима), - минимум энергозатрат отвечает минимуму времени
«натопа», х, -> min и задача свелась к задачи оптимального быстродействия.
Если рх + р2 > 1, то переключение до достижения нормативного режима
отсутствует (а при невыполнении этого условия нормативная температура не
достижима) и время оптимального «натопа» Ti равно: 1
l-e~
Tl
2.5.2.
Р\ +Р2
=
Pl+P 2
Р\ +Р 2
Релейное
управление
/,Л
>0.
Р\ +Р2 -1.
переходным
режимом
теплоснабжения
помещения в системе «радиатор-помещение»
В рассматриваемом случае можно обойтись без масштабирования, хотя и
здесь введение масштабов упрощает задачу, уменьшает число параметров.
Задача оптимального управления при этом (с тем же минимизируемым
функционалом) имеет вид:
У1 Тр, у 2 = Т,и = Т то +и(Тто- Тт),
=
Г
Лу\
dt = u-a l y l +a 2 y 2 =/i
d
dt
yФ = ¿1^1 ~b 2 y 2 +b 0 =f 2 , = «=/o
dl = Ü8 + ag , Ü2 - Ü9, bi = а 10 , b2 = üio + ац,
2dt
о
У1 (0) =y2 (0) — yo (0) = 0,
yi (ti) = у 11, У 2 (ti) = у21, У о (Tj) min.
Для применения принципа максимума (то есть выделения
управлений u(t), необходимых для достижения экстремума yo(ti)) нужно построить
функцию Понтрягина-Беллмана
н= щ/о+ \i/ifi+y/2f2=u(щ + Vi) -yi(w у/1 - bi W2) +У2 (а2 Wi - b2 W2)
+ b0 у/2 и выписать уравнения для сопряженных функций:
дН
Л
ЗУо
<1у/ х
дн
л
ду х
йц/ 2
дн
ду 2
Поскольку щ=сотг, а у/1 и у/2 определяются системой линейных уравнений с
постоянными коэффициентами и не зависят от управления:
Л
¿VI
IЖ
= -а 2 щ +Ь 2 у/ 2
(а 1 >а 2 >0, Ь 2 >Ъ1>0), характеристическое уравнение имеет вид Л 2 - (щ + а 2 ) 1 +
(щ а 2 -Ъ1 Ь 2 ) =0 , его корни - вещественные и положительные.
Для сопряженных функций возникают однородные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами, то есть решение имеет вид суммы
экспонент. Опять из условия трансверсальности на нефиксированном правом
конце вытекает у/0 = 0. Управление имеет релейный вид (либо и = 0, либо и = /), и
точка переключения г, должна удовлетворять уравнению щ = 0, то есть
е ( л > = а ,
где
а
-
постоянная величина, зависящая от коэффициентов
уравнений и начальных условий. Это уравнение либо не имеет положительных
решений, либо имеет одно решение, следовательно, и в этом случае возможно не
более одного переключения.
Поэтому <р= у/0 + у/1 не может менять знак более одного раза, то есть из
принципа максимума следует, что управление имеет релейный характер и должно
быть не более одного момента переключения.
Совершенно аналогично предыдущему случаю, минимизация энергозатрат
отвечает минимизации времени первого этапа - времени нагрева до точки
переключения, то есть сводится к задаче оптимального быстродействия.
Следовательно, целевой функционал имеет вид:
1=0(1+00,
где А Во — постоянные величины, независящие от режима теплоснабжения. Тем
самым задача свелась к минимизации и, к задаче оптимального быстродействия.
Полагая производные равными нулю, получаем три варианта стационарных
решений: для и =1, для и =0 и для нормативной температуры в помещении величину управления и* и значения остальных температур1. В данном случае по
у!_пог вычисляются и*иу2_Пог.
При
выполнении
условий
устойчивости,
то
есть
отрицательности
вещественных частей корней характеристического уравнения, решения в первых
двух случаях при любых начальных условиях стремятся к этим стационарным
значениям. Для обеспечения возможности достижения нормативного режима
необходимо (при нагреве) выполнение условия:
У\_СТ > У\_пог ■
Однако, в отличие от предыдущего, одномерного случая, при достижении
нормативной температуры помещения нельзя переключиться на ее поддержание,
так как при этом вторая переменная у 2 не достигает своего значения, отвечающего
этому
режиму,
производные
не
равны
нулю
и
изменение
температур
продолжается. Необходимо при том же максимальном значении управления
двигаться до точки переключения, затем перейти к минимальному значению
управления и попасть в точку, где и = и*, у ] = у } пог ,
У г =У1_пог -
Возможно и использование приближенного решения: переход на управление
и*,
и коррекция возникающего отклонения увеличением или уменьшением
управляющей
температуры
через
малые
промежутки
времени
(режим
«шевеления») - рис 2.8 и 2.9. В случае большей размерности построение
терминальных траекторий и определение нескольких моментов переключения
представляет значительные трудности.
Детализация условий достижения нормативных режимов и аналитические зависимости для
стационарных решений приведены в главе 4.
1
Из
анализа двух
рассмотренн
ых
простейших
задач
вытекает
эвристически
й
прием
построения субоптимального решения: проведение начальной траектории для м =
7 и поиск одного момента переключения для попадания в окрестность требуемой
нормативами конечной точки с той же коррекцией режимом «шевеления».
2.6. Выводы по главе
По
проведенным
во
второй
главе
работы
исследованиям
можно
сформулировать следующие выводы:
• на
основе
исследования
системного
и
подхода
предложен
сформулировано
способ
разбиения
множество
исходной
целей
системы
теплоснабжения на ряд подсистем, позволяющий проводить ее анализ по
схеме «от простого к сложному»;
• на
основе
моделей
отдельных
элементов
системы
теплоснабжения
разработана модель системы теплоснабжения с вынесенным автономным
источником тепловой энергии;
• разработаны и предложены две модели системы теплоснабжения с
встроенным автономным источником тепловой энергии, изолированного и
совмещенного с обогреваемым помещением;
• рассмотрены методы оптимального управления разработанными моделями
систем теплового снабжения помещения в режимах «натопа».
Глава 3. Асимптотическая устойчивость автономных систем
первого - пятого порядков
3.1. Методика анализа устойчивости систем линейных дифференциальных
уравнений
Математические
модели
поведения
динамических
систем
самого
различного вида - от моделей движения механических объектов и процессов
теплоснабжения до моделей развития экономики в целом и ее частей - сводятся к
системе дифференциальных уравнений вида
— = Р(х,а,и,$
Ш
(3-1)
где х - вектор фазовых переменных, и - вектор управляющих воздействий, а
- набор параметров, определяющих структуру и внутренние характеристики
рассматриваемой системы.
Для этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений в
нормальной форме (случай систем уравнений в частных производных пока
исключается из рассмотрения) могут ставиться и решаться различные задачи:
• исследование множества возможных решений (траекторий движения);
• оценка вторичных показателей - функционалов от этих решений и их
оптимизация;
• влияния на эти показатели отдельных параметров;
• оптимального управления решениями, в первую очередь - оптимального
быстродействия и т.д.,
но почти всегда требуется обеспечить устойчивость решений, то есть близость
возмущенного решения к исходному при малых возмущениях условий (обычно
- начальных условий для системы уравнений или - параметров а системы).
ч
Основным подходом к решению задачи устойчивости является переход от
системы уравнений (3.1) к линеаризованной системе
(3.2)
в каком-то смысле близкой к исходной, и исследование ее
(1т
устойчивости,
то
вещественной
части
есть
обеспечения
всех
корней
отрицательности
характеристического
многочлена
А(Л) = \Л - 2)| = Л п + с х Х п ~ х + с 2 Л"~ 2 +... + с п _ х Л +с п = 0
При этом роль параметров системы играют элементы матрицы И, (3.3)
коэффициенты характеристического многочлена являются функциями
от них (многочленами различной степени), а управление включено в параметры
матрицы I) или вектора г (и в последнем случае на устойчивость не влияет).
Упомянутое преобразование сокращает число входных параметров и
матрица 2) зависит от вектора й.
Правомочность перехода от системы (3.1) к системе (3.2) обосновывается
известными теоремами Ляпунова [46], согласно которым асимптотическая
устойчивость линеаризованной системы обеспечивает устойчивость системы
исходной. Прямой метод Ляпунова, связанный с построением функции Ляпунова
непосредственно для системы (3.1) является скорее искусством, чем методом, и
реализовать его удается сравнительно редко.
Для обеспечения устойчивости многочлена (3.3) разработан ряд удобных
методов (в первую очередь метод Рауса-Гурвица [16, 102]), позволяющих записать
требуемые условия непосредственно через коэффициенты характеристического
многочлена (без его решения), то есть выделить области устойчивости в
пространстве параметров с, а следовательно, и в пространстве параметров й. Будем
обозначать эти области ВЛ.
Эти методы очень удобны для проверки устойчивости исходной системы
(или решения прямой задачи), сводятся к переходам от системы (3.1) к системе
(3.2), затем к уравнению (3.3) и проверке условий Рауса - Гурвица (или
эквивалентным условиям Льенара - Шипара [74], амплитудно-фазовой диаграммы
[41] и т.п.), то есть к цепочке
я d -> Z> -> c(d) -> RH(c). А для этой цели указанные
методы мало пригодны - как из-за большой размерности пространства исходных
параметров, так и из-за громоздкого и плохо обозримого вида условий
устойчивости в пространстве параметров. Поэтому возникают следующие задачи:
1. Ввести для системы (3.2) новые параметры (в виде комбинации старых),
число которых было бы минимально, то есть осуществить переход a->d.
2. Аналогично ввести новые параметры h или их комбинации х, у... в условия
устойчивости, то есть описать области RH(h) с максимальной наглядностью.
3. Описать область RH и указать методы выбора heRH .
4. Указать методы назначения (неоднозначного выбора) по значениям h
параметров
исходной
задачи
а,
зачастую
удовлетворяющих
еще
дополнительным условиям (на знаки и величину некоторых параметров).
Задачи 1 и 4 не могут быть не только решены, но даже поставлены в
общем виде, они сугубо индивидуальны для каждой конкретной задачи, зависят от
ее специфики. Но в конкретных случаях их удается решить, и это будет
проиллюстрировано для моделей теплоснабжения.
Задача 4 является общей задачей наилучшего выбора и реализуется на
основе общих принципов принятия решений и обеспечения «максимальной
устойчивости».
Аналогичная
задача
решалась
B.C.
Сидоренко
[85]
для
позиционирующих систем (сводящихся к системам 4-го порядка).
Основной задачей является прямая задача 3. Фактически она решалась еще
Вышнеградским [73] для п = 3, ниже будут приведены результаты для п=1...5 и
некоторые общие рекомендации.
На практике, однако, наибольший интерес представляет обратная задача,
выбор таких параметров ё, которые обеспечили бы устойчивость рассматриваемой
системы.
Обратная задача естественно распадается на два уровня:
1. Переход от к к коэффициентам с характеристического многочлена.
2. Переход от с к й (и матрице А).
Проблема
существенно
осложняется,
если,
из
экономических
и
технологических соображений требуется монотонная устойчивость (как в случае
систем теплоснабжения), то есть наличие у многочлена (3.3) всех вещественных
отрицательных корней. Метод Штурма [42, 109] еще менее чем метод РаусаГурвица приспособлен для решения обратной задачи, соответствующие области в
пространстве параметров
ЛНМ(с) с ЯН (с)
не описываются, а лишь указывается алгоритм проверки условий сеЛНМ.
Итак, основной целью является обеспечение асимптотической (монотонной)
устойчивости решения, а для этого необходимо, чтобы многочлен (3.3) был
многочленом Гурвица (Штурма).
Определение. Многочлен д(Л.) с любыми числовыми коэффициентами (в
общем случае с комплексными) называется многочленом Гурвица, если все его
корни имеют отрицательные вещественные части. [44]
Определение. Многочлен А( я ) С любыми вещественными коэффициентами
называется многочленом Штурма, если все его корни вещественны и
отрицательны. [44]
Поскольку при устойчивости многочлен (3.3) имеет все положительные
коэффициенты, так как должны выполняться условия Стодолы [114], возможно,
превратить в единицу (за счет выбора масштаба) еще один из коэффициентов
(старший коэффициент по построению Л(Х,) равен 1), можно сделать равным 1
либо второй, либо последний (именно второй вариант был использован еще
Вышнеградским [73] для систем третьего порядка).
Для этого введем масштаб Л, = М//, М = тогда характеристический
многочлен (3.3) примет вид:
, с , где А,
= -т.
А Си) = ц п + + ¿ 2 / / " - 2 + • • • + + К = 0 ,
(3.4)
Это сокращает число параметров, упрощает исследование и позволяет
представить результат в более наглядном виде (особенно при малых п).
3.2. Описание областей устойчивости в пространстве коэффициентов
характеристического многочлена
Для полноты рассмотрим все возможные случаи описания систем
теплоснабжения, то есть п=1,2,3,5, в том числе и тривиально очевидные. Случай
п=1.
д(//)=// + 1 = 0 // = -1
Условия Рауса-Гурвица и Штурма выполняются, и область монотонной
устойчивости совпадает с область асимптотической, т.е. Ш = КНМ.
Проведем обратное преобразование, т.е. найдем условие устойчивости для
коэффициента с:
Д(А) = Я + с } =0
Из
условий
Рауса-Гурвица
получаем
сх
>
0.
Для
того,
чтобы
характеристический многочлен на интервале (-оо, 0) имел один вещественный
корень, необходимо, чтобы выполнялось то же условие с, > 0, т.е. условие РаусаГурвица эквивалентно условию Штурма. В качестве допустимых значений для с х
получаем интервал (0, -юо).
ЯН = ЯНМ = {с х \с х > 0}
(3.4)
Рис. 3.1. Область ЯНМ при
п=1 Случай 11=2.
/и2 + /и + к 2 =0
Построим определитель Гурвица
Найдем
корни 1 0 характеристического многочлена ц Х 2
= ------------------------------------------------------------------> 0, то есть ЯН = {Ь-2---\к 2 >- 0},
1
Ке// = -^<0, т.е. решение /¿г находится
в
области
асимптотической
устойчивости при всех Ъ2 > 0, а для того, чтобы оно попадало в область монотонной
устойчивости необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был
больше нуля, то есть к 2 < ^.
КНМ = |/*2|0 < к 2 ДI с ЯН
_____ ////////////Д ^
н 2Рис. 3.2. Область БШМ при п=2 КНМ (К)
Построим эту область в пространстве коэффициентов с, учитывая, что С2 = 5 ^ Л
— С\/Л к
А (Л)=Л 2 +с,1 + с2 =0 Из
условий Рауса-Гурвица получаем:
КН = {с х ,с г \с х >0,с 2 >0}, то есть ЯН-
весь положительный ортант плоскости с/, с 2 .
Для проверки полученного условия Штурма построим для данного
многочлена систему многочленов Штурма:
/ 0 = Л 2 + с х Л + с 2 =0;
У1 =2А + с 1 ;
Г -1 2
/2 ~ ~с\ ~сг-
Чтобы характеристический многочлен на интервале (-да, 0) имел два
вещественных корня, по теореме Штурма необходимо, чтобы разность числа
перемен знака N в этой последовательности на границах интервала равнялась 2. То
есть Ых(-ао)=2, N2 (0) = 0, N=N1- Ы2=2, или: 1 ^
-с/ -с2 > 0, с] >0, с 2 >0.
Следует заметить, что в силу выполнения условий Рауса-Гурвица достаточно
обеспечить N3 (+оо) =0, N = N1 - N3 =2, а дополнительные условия на число перемен
знака при условии /¿ = 0 в данном случае выполняются автоматически.
ЛНМ = {с 1 ,с 2 \с 1 >0,с 2 >0,сг2 >4с2}с
(3.5)
Очевидно, что в этом случае вводить преобразование параметров не требуется,
а искомая область изображена на рис. 3.3.
Рассмотрим случай п=3.
А(/и)= /и 3 +/л 2 +к 2 р + 1гз =
0.
Условия Рауса-Гурвица принимают простейший вид к 2 >к 3 >0. Под ЯН в статье
понимается область асимптотической устойчивости, под ШМ - область монотонной
устойчивости. При этом ЯНМ <= ЯН.
ТгЯ = {/г2,/г3\к 2 >0,/?з >0,к 2 >к 3 }
Для построения областей устойчивости введем функции Штурма:
/1(//) = 3// 2 +2// + /г 2 ,
/г Ы= \ к2 V + Гтг- Ь | = + А>>
чЗ у
9
3
-к 2 = сот1. '2-3^ А
и\
V
1
/
Для того чтобы характеристический многочлен на интервале (-оо, 0) имел
три вещественных корня, опять же по теореме Штурма необходимо трехкратное
изменение знака этих многочленов на интервале (-оо, 0) или, при выполнении
условий Рауса-Гурвица, на интервале (-оо, + оо) соблюдались условия (см. таблицу 1).
Таблица 3.1
Изменения знаков функций Штурма
-оо
0
+оо
ш
-
+
+
ш
+
+
+
Ш)
-т
+СР2)
+(О0
+
ЧЮ
ш
Условия вещественности трех (отрицательных) корней характеристического
уравнения дают: £>, >0, Д> >0, / 3 >0.
В этом случае область устойчивости описывается неравенствами:
ШМ={Ь г ,Н 3 \Ь 2 >0,к 3 > 0,3к 2 < 1,к 2 >9/г3,/3 >0} ^ ЯН .
Эти условия не зависят от иных параметров и сильнее условий ЯН.
Обозначим ^ = =
т Тогда /3
Д 2 - 6/г2
>0 или 3 £ 2 + к 2 <0.
1±Л-Зк 2
Корни уравнения /3=0, ¿Г1)2 =——^---------- , причем £ 1 >£ 2 >0. Для того чтобы
было /3 >0 необходимо выполнение условия <С<С\ - Иначе:
1 — д/1 — 3/г2 ^ /г2 -9/г3 1 + 71-36
3
2 - 6/г2
3
Данное неравенство можно умножить на 2 -6/г 2 =Д Так как по условию Штурма
Д > 0, имеем
(1- Л /1-3/з 2 )</г 2 -9йз
,1 + л/1-Зй 2 ),
1-Л,
<2
т.е. /2(к2)<Щ </1(й2), где
/1(Л2) = Л 2 -|(1-ЗА 2 )(1- > /1-ЗА2), / 2 (А2)=Л2-|(1-ЗЛ2)(1 + >/1-ЗА2).
Положим х = 1-3/г2 (0 < х < 1), а у = Щ (у > 0) и выделим область
монотонной устойчивости в пространстве х, .у.
/1М=| -* - М1 ~ Л М=!I1 - * - ^+>/*))•
Ш = {х,у\0 < X < 1,у > 0,/2(х) < у < /!(х)}сШНа рис. 3.4 показана фиксированная
при данных преобразованиях область ЯНМ.
Рис. 3.4. Область 1ШМ в пространстве х, у
На рис. 3.5. представлена область RH в пространстве у, ограниченная
неравенствами 3(l-jc)=>,1 >у и 0<х<1, у > 0 , то есть
RH = ^x,y\0<x<\,y>0, 3(l-x)> j/j.
Очевидна узость области RHM по сравнению с RH, что существенно затрудняет
ее выделение «зондированием» сеткой точек (х, у) или случайным их набросом.
Полученный результат может быть сформулирован в виде:
Теорема 3.1. Любая точка (х,^) области RH (или RHM) и только она дает
однозначно коэффициенты, h2, /г3 при которых корни характеристического
уравнения ¡лх, /и2, ¿и3 имеют отрицательные вещественные части, (для множества
RHM - все вещественны и отрицательны).
Эквивалентная формулировка:
Теорема 3.1.1. Для того чтобы характеристический многочлен третей
степени был многочленом Гурвица (Штурма) необходимо и достаточно выполнение
условий h 2 >h 3 >0, 3h 2 <l, h 2 >9h 3 ,f 3 >0.
Рис. 3.5. Области ЯН и 11НМ в пространстве х, у
Существенно, что преобразованные условия не зависят от каких-либо
других параметров.
Таким образом, обратная задача (для коэффициентов характеристического
многочлена) полностью решается выбором точки в области ЯН или ЯНМ. Выпишем
обратные преобразования, учитывая что
к 2 = -(1-х), к ъ = - у, с 2 = Ь 2 с\, с3 = Ъ. ъ с\
3
9
, а Я = с,//.В результате получим:
А(Л) -Я 3 + с х Л 2 + с 2 Л + с ъ =0. В силу теоремы 3.1.
достаточно, чтобы с хс 2 -с 3 > 0 .
В трехмерном пространстве область ЯН ограничена гиперболическим
параболоидом с/ с2 - сэ = 0 и положительным ортантом. Многочлены Штурма имеют
вид:
о
12
9
/о =Я + с х Л + с 2 Л + с 3 ;
А = зС1 ~С2
/ х = ЗЛ 2 +2с 1Л + С 2 ;
(3.8)
/ 2 =ДЯ + Г)2;
V
2с,-3^
А
■сг-
Для того, чтобы характеристический многочлен имел три вещественных
корня нужно, чтобы выполнялись условия с\ > 3с2, с х с г >9с 3 , > 0 . Рассмотрим
случай п = 4.
А(//)= ¡Ла +/л3 + к2/и2 + + /г4
= 0 Матрица
вид:
1 Аз 0
0
\ к2 к4
0
01
к3
0
01
к2 /г4 J
Гурвица в данном случае имеет
>0.
Соответственно условия Рауса-Гурвица записываются в виде: А1(//) = 1>0,
Д
зЫ = /гз(/г2-/гз)-/г4 >°> А 4(^)= А з(А >°-
Область асимптотической устойчивости:
ЯН = {к2,к3,к4 | /*г > 0,/г 2 > /гз,/г 3 (/г 2 -к 3 )> к А ] .
Положим /г3=/г2х, а
. Тогда условия Рауса-Гурвица будут: х<1,
х(1 -х)-у> 0. При этом
ЯН = \х,у\0<х <1, 0<.у <х(1-х)}.
Область ЯН показана на рис. 3.6, а полученный результат может быть
сформулирован в виде теоремы.
Теорема 3.2. Любая точка (х,_у) области ЯН дает неоднозначное (с
точностью до выбора ¡гг) значение коэффициентов /г3, при которых корни
характеристического уравнения
1л2, ¡лъ, //4 имеют отрицательные
вещественные части.
Теорема 3.2.1. Для того чтобы характеристический многочлен четвертой
степени был многочленом Гурвица необходимо и достаточно выполнение условий
/г2 > /г3 > 0 и
0, /г 4 > 0.
о.з
0.2
У
>- 0.15
0.
1
0.05
О
О
0.25
0.2 0.4
0.6
X
0.8
1.2
Рис. 3.6. Область КН в пространстве х,у для многочлена четвертой степени
Таким образом, для системы четвертого порядка выделена область
асимптотической устойчивости в пространстве безразмерных переменных х, у.
Построим систему многочленов Штурма:
/0 - /и 4 +/и 3 +к 2 ^ 2 + +И 4 ; /х = 4//3 -ь З//2 +2/г2// + /г3;
/3 =Ех1 и+Е 2 ;
где
'3 ^ -- 5
_
1
А Й2
~2
А_ 1
г
(\ \ ~Н 2 -Зк 3 ;
У
~4
А 3- -4—- -2 ' п Л А
А
А
J
J
Е
3
-к
А
А
А
У
V
Г А Е2 А ]
=
А/
1А
А
= — /ь - Ил
А 16 3 4
2
V
¿1
Таблица 3.2
Изменения знаков функций Штурма
И
-00
0
+00
Ш)
+
+
+
-
+
+
+ (О0
+(Оз)
+(О0
-(ЕО
+(Е2)
■КЕО
+ (Р0
+(Р0
■КРО
Ш
Для того чтобы характеристический многочлен на интервале (- оо, +оо) имел
четыре вещественных корня, по теореме Штурма необходимо и достаточно, чтобы
выполнялись условия: Д > 0, Е > 0, ^ > 0, И 2 > 0, Е > 0.
Х
Г
Для этого случая также возможно наглядное описание сравнительно узкой
области монотонной устойчивости ЯНМ
путем преобразования параметров
аналогичного предыдущему, но мы не приводим его здесь (как из- за громоздкости
преобразований, так из-за того, что системы четвертого порядка не имеют
прикладного значения в данном диссертационном исследовании).
Обратная задача устойчивости (1 этапа) полностью решается выбором точки в
области ЯН
или ЯНЫ . По выбранным х,у
и произвольно назначенному
положительному значению к 2 вычисляются к 3 = к 2 х, к 4 = к 2 у, с 2 = /г2с,2, с3 ,= /г3с,3, а Л =
с^.В результате получим:
А (Л) = Л 4 + с х Л 3 +с 2 Л 2 + с 3 Л + с 4 = 0. Условия Рауса-
Гурвица в этом случае, кроме положительности всех коэффициентов, дают:
с 1 с 2 -с 3 >0, с ъ {с х с 2 -с 3 )-с х >0.
(3.9)
Проанализируем случай п=5.
А(//) = //5 +//4 +/г2^3 + к 3 р 2 + к 4 /и+к 5 = 0 .
Условия монотонной устойчивости в этом случае слишком громоздки, и, как
правило, невыполнимы, поэтому ограничимся описанием только условий РаусаГурвица устойчивости вообще (не обязательно - монотонной). Выпишем матрицу
Гурвица:
1
1
0
0
0
¿3 ¿5 0
к2 к4 0
0
к
1 ъ ¿5 0
1 к2 к4 0
0 1 к2
Для того чтобы корни характеристического многочлена имели отрицательную
вещественную часть необходимо, чтобы главные миноры матрицы Гурвица были
положительны, то есть А1(//)=1>0,
А3 (//) = (/г2/гз - )- (/г32 - /г5) > 0 , А 4 (р)=(к 2 к 3 \к 3 к А
-¿ 5 ) 2 >°>
Область асимптотической устойчивости в пространстве параметров И
запишется в виде:
ЯН = {к 2 ,к 3 ,к 4 ,к 5 к; >0,к 2 >к 3 ,{к 2 к 3 -\г 4 )-{к 3 -/г5)>0,(/г2 ~^ 3 ХН 3 к 4 -к 2 к 5 )-(к 4 -Ь 5 ) 2 >0}.
Построим область устойчивости, ограниченную указанными неравенствами.
Для этого положим:
2 Х = к 2 -/г 3 , 2 2 -к г , 2 3 -к 4 -к 5 , 2 4 = Н ъ к л -к 2 к 5 . Область ЯН будет ограничена
неравенствами:
^ 0у
^
?
^
•
Отсюда следует, что 2 4 > 0.
22
Положим —= х и — = у, тогда 2 2 >х, у > х . Следовательно 2 Ъ = х2 х ,
2Х 2Ъ
2 4 = ху2у . Эта система неравенств позволяет построить область ш в пространстве
параметров, показанную на рис. 3.7.
Рис. 3.7. Область ЯН для п=5 в пространстве
х, у
X
Полученный результат может быть сформулирован в виде теоремы. Теорема
3.3. Любая точка {х>у) области ЯН дает неоднозначное (с
точностью до выбора к 2 ) значение коэффициентов к 3 , к 4 , Н ь при которых корни
характеристического уравнения цх, ¡л2, ц 3 , ц4, ¡ль имеют отрицательные
вещественные части.
Теорема 3.3.1. Для того чтобы характеристический многочлен пятой
степени был многочленом Гурвица необходимо и достаточно выполнение условий
к { >0, к 2 >к 3 , {к 2 Ъ 3 -к 4 )-[к 3 -к 5 )>0, (к 2 -к 3 \к 3 к 4 -к 2 к 5 )-(к 4 -к 5 ) 2 > 0.
Решение обратной задачи сводится к выбору точки в области ЯН. Проделаем
эти преобразования, учитывая что с 2 = Ь 2 с\, с3 = к ъ с\ , а А = <;,//. Тогда
А(Я) = Л 5 + с 1 Л 4 + с2Я3 + с3Я2 + с 4 Л + с 5 = 0.
Условия Рауса-Гурвица в пространстве коэффициентов с. А х
=с1 >0,
А
2 =с\с2 ~сЗ >0>
А з =с3Д2-с1(с1с4-с5 ) > 0 ,
(ЗЛО)
А 4 = С 4 А 3- С 5 ( С 2А 2- С 1 С 4 - С 5 ) > 0 ,
А
5 =с5А4 >0-
Некоторые пути решения обратной задачи второго уровня приведены в
[34].
Такое описание, требующее ряда преобразований, к более наглядному виду
областей
устойчивости
необходимо
(особенно
для
задачи
монотонной
устойчивости), так как прямой поиск (например, случайным генерированием точек)
далеко не всегда приводит к успеху: искомые области являются «тонкими» (и тем
тоньше, чем больше п) и попасть в них нелегко.
Обобщая полученные результаты для всех рассмотренных систем, приходим
к теореме.
Теорема 3.4. Для всякой точки к е Я Н ( Я Н М ) существует, в общем случае
неоднозначный (с точностью до произвольного выбора > 0), способ построения с( коэффициентов многочлена Гурвица (3.3).
3.3. Формулировка общих теорем для анализа систем теплоснабжения
Полученные выше результаты позволяют оценить устойчивость систем
линейных дифференциальных уравнений, описывающих реальные автономные
системы теплоснабжения (асимптотическую или в ряде случаев даже монотонную)
непосредственно по исходным параметрам или по их преобразованиям.
При решении обратной задачи (выбора параметров системы теплоснабжения)
необходимо по точке из области устойчивости найти значения параметров исходной
системы. Ранее отмечено, что переход к коэффициентам характеристического
многочлена требует решения задачи второго уровня, которая сводится к решению
уравнений (-1 )'5Дй?) = сг. [59], где - сумма всех главных миноров I -го порядка
матрицы В.
Анализ конкретных примеров позволяет сформулировать утверждение:
Утверждение 3.1. Эффективное решение уравнений (-1)' (¿/) = с, для
рассматриваемого класса динамических систем с дополнительными условиями
существует и, в общем, виде не единственно.
В стандартном варианте решение системы линейных дифференциальных
уравнений возможно с использованием численных методов [11, 22] (например,
Рунге-Кутта). Существуют варианты реализации данного метода, однако практика
их эксплуатации позволила сформулировать ряд присущих им общих недостатков:
• существенны затраты машинного времени на проведение расчета
каждого из рассматриваемых режимов системы (3.1);
• не всегда ясно будет ли получено стационарное решение системы,
потому
что
неизвестны
значения
корней
характеристического
многочлена;
• нельзя оценить
заранее
возможность
достижения
нормативного
решения системы.
Наличие указанных недостатков численных методов (хотя последние
обладают и целым рядом достоинств) направило диссертационное исследование в
русло получения аналитических решений систем линейных дифференциальных
уравнений. То еесть нахождения решения в виде
Х ] {т) = Х^ Г +1д л С 1 е Я ' Т , / = 1...5
/=1
где АГуСТ - стационарное решение у-го уравнения, - собственные векторы, С,- произвольные постоянные, определяемые по начальным условиям системы.
Рассмотрим условия существования предельного стационарного решения для
системы линеаризованных дифференциальных уравнений ВХ С Т +г(и) =0. Для этого
сформулируем следующее утверждение.
Утверждение 3.2. Для всякого набора коэффициентов многочлена Гурвица
любое решение нелинейных уравнений
обеспечивает устойчивость (монотонную) линеаризованной системы
— = ВХ + г(и)
йх
и существование предельного стационарного решения ОХ С Т +г(и)= 0, т.е. Х{т )^Х с т .
г-»00
Наличие предельного стационарного решения само по себе не дает ответа на
возможность достижения при заданных условиях решения, удовлетворяющего
требованиям СНиП 2.04.05-91* по температурному режиму в обогреваемом
помещении. Для ответа на этот вопрос необходимо сформулировать определение
так
называемого
нормативного
решения
линеаризованной
системы
дифференциальных уравнений.
Определение. Нормативным решением линеаризованной системы
с!Х
— = ИХ + г{и) называется решение, при котором в помещении
поддерживается требуемая (нормируемая по СНиП) температура.
Существование стационарного и нормативного решений позволяет
йХ
сформулировать условие управляемости системы — = БХ+г{и) в виде
йт
следующей теоремы.
Теорема 3.5. Необходимое и достаточное условие управляемости
системы ^ = DX + г(и) и достижимости нормативного решения Хпог является dt
условие ХСТ > Хпог.
Сформулированные в рамках данного параграфа утверждения определение и
теорема позволяют достаточно просто и эффективно анализировать возможность
существования стационарных режимов рассматриваемых систем, удовлетворяющих
требованиям СНиП 2.04.05-91*, а также находить указанные стационарные режимы.
Наряду с этим, для анализируемого класса систем, описывающих теплоснабжение
систем с автономными источниками, важное значение имеют вопросы оценки их
устойчивости.
Для
рассматриваемого
класса
систем,
описывающих
теплоснабжение
обратная задача второго уровня (по выбору произвольной точки из области
устойчивости найти параметры d) зачастую практически нереализуема, ибо
возможна ситуация когда полученные параметры рассматриваемой системы будут
нереалистичными, недостижимыми для реальных систем.
Простейшая процедура решении прямой задачи - генерирование параметров
исходной системы (детерминированном, «сеточном» или рандомизированном,
случайным набросом), вычисление для них коэффициентов характеристического
уравнения, проверка условий устойчивости. Для фактического построения решения
при этом вычисляются корни характеристического уравнения, что легко реализуется
программно с помощью Maple. По виду решения и обобщенным показателям
производится диалоговый отбор наилучшего варианта.
Для решения обратной задачи необходимо описать процедуры выбора точки
из области устойчивости (отбор наилучшего варианта можно осуществлять,
например, по критерию Цыпкина-Бромберга [55]: наибольшей скорости или
наименьшего времени перехода системы в стационарное состояние: minlA, (с) -»
max ).
i
с
3.4. Выводы по главе
Полученные в третьей главе диссертационного исследования результаты
позволяют сформулировать следующие выводы:
• для
удобства
Вышнеградского
анализа
и
упрощения
(масштабирование
в
выкладок
единицу
в
развитие
метода
свободного
члена
характеристического
уравнения
третьего
порядка)
масштабировать
единицу
коэффициент
при
в
характеристического многочлена;
предложено
п-1
степени
• в
предложенном
масштабе
выделены
области
устойчивости
характеристического полинома, описывающего линеаризованную систему
дифференциальных уравнений первого-пятого порядка;
• выделены фиксированные области устойчивости решения линеаризованной
системы дифференциальных уравнений в пространстве
Г,
• сформулированы ряд общих теорем для систем теплоснабжения с автономным
источником тепла, закладывающих фундамент для поиска аналитических
решений указанных систем;
• показаны пути решения обратной задачи - отыскания параметров исходной
системы (с дополнительными условиями, специфическими для нее) по
коэффициентам характеристического многочлена, выбранным по условиям
устойчивости.
Глава 4. Анализ моделей систем теплоснабжения с автономным
источником тепла
4.1. Анализ устойчивости линейных дифференциальных уравнений,
моделирующих теплоснабжение отдельного помещения
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (2.26), отвечающее
простейшей из рассмотренных моделей теплоснабжения. Данное уравнение
описывает процесс теплоснабжения в подсистеме радиатор - помещение окружающая среда. Для анализа устойчивости решения данного уравнения запишем
его характеристический полином в виде: А(л)=-а-Л = 0 , Л = -а.
Так как а > О, то решение устойчиво и при / оо температура в
Ь
помещении стремится к стационарным значениям Т С Т = —
а
Общее решение уравнения (2.26) запишется в виде:
T = - + Ce~ a t ,
а
где С=Т0- -.
(4.1)
а
Из теоремы 3.5 вытекает следующее утверждение.
Утверждение 4.1. Необходимым и достаточным условием поддержания
нормативной температуры в помещении является неравенство
~>Т .
nor
а
Ясно, что при наличии потенциальной возможности системы теплоснабжения
достигнуть значение Тпог в дальнейшем сохраняется
dT
возможность ее поддержания. Положив в уравнении (2.26) — = 0 и Т=Тп0Г
dt
получим необходимую температуру обогревателя Т р п о г -
Tnor( a 10+ a ll )-<*llTc
а ]0
обеспечивающую стационарный режим обогрева помещения на уровне нормативной
температуры.
Время переходного процесса, в течение которого температура в помещении
изменится от значения Т 0 до значения Т п о г при заданной начальной температуре
обогревателя Т р , которая должна быть больше Т р п о г в режиме нагрева, либо меньше
Т р п о г , определяется уравнением (4.1):
1 ( аТ 0 -Ъ
(4.2)
аТ
ъ
а \ пог ~ ,
4.1.1. Управление теплоснабжением помещения с учетом тепловой инерции
Поскольку при переводе системы отопления из одного стационарного режима
отопления в другой, с более высокой температурой в помещении, невозможно
мгновенно установить температуру радиатора Т р на максимально допустимый
уровень, процесс его нагрева заменяется непрерывной аппроксимацией функции
единичного скачка от температуры начального стационарного режима до
максимально допустимой. Представим уравнение (2.26) в виде:
~ = 8 и-аТ + м>,
Ш
(4.3)
где Т р =Т р п +и(Т р у -Т р п ), 0 <и<1,
= а п Т с + а 1 0 Т р п , £ = а 1 0 (Т р у -Т р п ).
Оптимальное решение (если и - функция Хевисайда):
а
а
Заменим управление, описываемое функцией единичного скачка,
„ - Л? ц,
аппроксимирующей функцией Хаттингтона и=е =и [9] (см. рис. 4.1), где X параметр,
определяющий
точность
управлением единичного значения:
аппроксимации
в
смысле
достижения
1ш1 = 1, t > 0
с1Т
(->+00
Положи
= - >
*
(4.4)
=0
в gu + w = f{t), приходим к уравнению
— = -аТ+¡(г), решение
Л
которого можно записать в
интегральном виде [37]:
^ = } аЖ = Ш,
или
—мт функции Хаттингтона
Рис. 4.1. Общий вид аппроксимирующей
а
ах
V «У
Т = е~ ' {Т0 +\е {ёи + м^г) = е
а
(4.5)
Разложим и(г) в ряд по степени е м. В результате получим / л «
Этот ряд интегрируем на любом конечном интервале. Тогда:
и=о л!
>й?г =
о
о
1-е
3/
м
21
+— ------------ + •
Асимптотическое разложение в ряд этой функции позволяет рассчитывать
решение с заданной точностью, не прибегая к численным квадратурам:
„-ЗЛ/
I 1 Xt — 2Xt
Fne~at=\2-e— + -e
а а-Х (а-21)2! (a-3X)3!
(4.6)
1
[а а-Х (а- 2Х)2! (a- 3X)3! } Обозначим первый ряд через ип, а второй
соответственно - vn :
v0 =
и0 =
-Àt
(а- 2А> (а-ЗА>
------- + ^ --------------- £ ------------ + .
-1 (а- 21)21 (а-31)3!
M] = —
(а-Х)
v, =
1
{а-Х)
".-ИГ:
"-^Г—,Y7
' (a-nX)nl
[а - пХ )п!
Суммы рассмотренных рядов имеют вид S(u)=Sn+Rn+J и s(v) = Sn + Rn+,. Для
получения требуемой точности s, в силу знакопеременности рядов, расчет конечных
сумм ведется до тех пор, пока не выполнятся условия |Rn+11 < |un+11 < е и
Rn+1|<|vn+1|<£. Сформулированные выше положения позволяют считать
V.
доказанной следующую теорему:
Теорема
4.1.
Аппроксимация
функции
единичного
скачка
функцией
Хаттингтона ведет к аппроксимации оптимального решения, то есть при
-nXt
jM(o)-M*(i| <s, ( Л > Л ) ;
to-r*^ < S , \ f e , S(s).
Параметр А- аппроксимирующей функции находится эмпирически по
результатам эксперимента (описание эксперимента приведено в главе 5 и [58]). Если
известен набор точек
отвечающий реальному изменению
температуры радиатора на известном временном интервале (/1;/2), то можно
найти минимальное Трп и максимальное Тру значения температур радиатора и по
методу наименьших квадратов найти значение параметра X, дающее наилучшее
приближение эмпирических данных функцией:
У = трп+(тр*-трпуе~л' ■
(4.7)
- У -Трп
Поскольку е
Т -Т
ру рп
или
/
с
Л
-\п
-Т
урп
Т - т
\
™
х =
1п
V \ ру
(4.8)
рп
JJ
Найдем значение к, минимизируя сумму квадратов отклонений: s = l:(xi+xt¡f
йХ
¡=1
Х = --------
-»пил,
О 2Е(Х, + Х() У'( 1 = 0,
Ъх^
(4.9)
л,
те
Так как функция управления интегрировалась в интервале от 0 до X, а в
действительности она имеет отличные от нуля значения и в отрицательной
полуплоскости, то к полученному в таблице значений функции (4.5) времени, при
котором
она
достигает
нормативного
значения,
следует
добавить
время
запаздывания, которое находится по формуле:
_ 1п(1п(ц))
X '
(4.10)
и
4.1.2. Квазирелейное управление теплоснабжения помещения Аппроксимация
функции единичного скачка функцией Хаттингтона в достаточной мере сложна и не
всегда оправдана, так как время запаздывания имеет смысл учитывать при
существенных длинах теплотрасс. Поэтому, в тех случаях, когда длина теплотрассы
незначительна, аппроксимацию управления
функцией Хаттингтона предлагается заменить управлением функцией обратной
экспоненты и
-и*. Тогда
lim u{t )-\, t> О
<->+00
|w(f) = 0, i = 0
öj t Рис. 4.2. Общий вид аппроксимирующей
функции и
Преобразуем уравнение (2.26) с учетом аппроксимации управления
обратной экспонентой. В результате получим йТ
= -aT + g r g 2 e~ M t ,
dt
(4.11)
где g x = а п Т с +a l 0 T p v , g 2 = a w (T p v -Т р п ).
Решение однородного уравнения имеет вид Т с
однород
Рассмотрим частные решения уравнения (4.11), отвечающие слагаемым
-0
81. §2*
Постоянной gl отвечает частное решение -aT+g l = О, откуда Т 1 ст =
Экспоненте g 2 eотвечает решение вида г =
£
l
а
Подставив его в уравнение (4.11), получим:
■ juwe = -awe ß -g 2 e ß , w =
£2
/и-а
Общее решение уравнения (4.11) запишется в виде: а /л- а
(4.12)
Значение произвольной постоянной С найдем из начальных условий
г 0 (о)=с+—
а /л-а
откуда
о
Si Si
а /л-а
/\
T = e~ a t
—+ н———е _ , и '
а /л-а) а /л-а
,(4.13)
Полученный результат может быть сформулирован в виде следующей
теоремы:
Теорема 4.2. Аппроксимация функции единичного скачка функцией
обратной экспоненты ведет к аппроксимации оптимального решения, то есть
при
|и(о)-и*(*)| <s, (Л>Л);
T(t )-T*(tj^ <S,\/s, 8(e).
и\
Найдем значение параметра ц, по эмпирическим данным методом
наименьших
квадратов
[20,
111].
Вследствие
того,
что
в
качестве
аппроксимирующей функции использована функция обратной экспоненты, метод
нахождения аппроксимирующего параметра ц, не изменится по отношению к
рассмотренному выше. Имея значение температуры обогревателя у для различных
значений времени tj, преобразуем их в значения параметра г.
Из (4.14) найдем аналитическое значение управления е ** =
V/pv *pnj
.Из
полученного выражения выразим
аппроксимирующий параметр
(4.15)
Найдем ц,, минимизируя сумму квадратов отклонений:
/7С
S = z(r, + ut.Y -» min, —
= 0 -> 2i(r, +jutt)*tt = 0,
п
и
ад
(4.16)
5''
Полученное значение параметра ц позволяет моделировать
аппроксимирующую функцию управления с требуемой точностью.
4.1.3. Релейное управление системой теплоснабжения Рассмотрим
линеаризованную систему дифференциальных уравнений (2.16), описывающую
изменения осредненных температур рассматриваемой подсистемы. Для удобства
преобразований введем обозначения:
а1]=а8+с19>с12>0, й2=ад>0, с1з=аю>0, й4=аю+ац> йз > 0,
Л
= -й{Гр + с12Т + г х -а & Т г , г г =Ь 4 ,
,
Л
сГ
гх = «/Т -с1.Т + г.
Г_
(4.17)
3 р
Л
Найдем корни характеристического многочлена
А-Я1 =
йъ — (я + )
системы (4.17). -(1+) й2
— (Л + с!]) (Я + й4) - й 2 с!з=0,
Л 2 + (^ + (1 4 )Л + -с1 2 й^)~Л 2 + с х Х + с 2 = О,
Я12 =
Л2
+ ¿4 ± -й?4)2 +4Й?2^3 ^ е ^ •
с 0 = 1,
Л1 сх = йх + с14 > О,
Л° с 2 = — й 2 й 3 .
Условия Рауса-Гурвица в данном случае совпадают с условиями Стодолы.
Условия Стодолы (положительность коэффициентов) легко проверяются:
1) сх - йх + ёА > 0 выполняется всегда при \/(1х,с12 >0;
2) с2 = с1хс1А > 0,
(с12 + а 8 +а и )>с1 2 с1 3 , выполняется всегда при Ус/,, а,> 0 .
Для того чтобы решение системы (4.17) было монотонно устойчиво нужно,
чтобы выполнялись условия Штурма (3.5): с\ >4с2 или (с![ +й?4)2 >4( С1\(14 -с12с1,),
с1х + 2^4 + й\ - 4йх<Л4 + 4с/2й?3 > О, (с! х -с1 4 ) 2 + \й 2 й г >0.
Эти условия также выполняются всегда при Ус/, > 0, т.е. решение системы
(4.17) монотонно устойчиво, характеристический многочлен является многочленом
Гурвица. В силу утверждения 3.2 значения температур Т р и Т стремятся к своим
предельным значениям Т р С т и ТСт, которые соответственно равны:
^ _ <ЛАгх + й2г2 ^ _ йъгх + <Лхг2
рСТ
с1хйА - с12с1ъ
ст
^^
с1{с1А —
Найдем собственные векторы системы (4.17) из уравнений:
+d 2 q 2 i =0
+
1 ¿зЯи -(^ + ^4)92« = °"
Положим д и = 1, тогда д21 = + ^
й2
Общее решение системы (4.17):
Т р =Т р С Г + С х е* +С 2 е х *
Значения произвольных постоянных находятся из начальных условий Т Р (о) =
Т Р О , Г(о) = Г 0 .
С _ (ТРСТ - ТроХ<1 1 +Х 2 ) + с12(т0 - Т с т ) _ (т> с г
Х х -Х 2
Значение
температуры
+ц)+^ 2 (т 0 -т с т ) ^
Х х -Х 2
радиатора
для
поддержания
стационарной
температуры в помещении найдем из второго уравнения системы (4.17) при условии
( Т = X ) , с1 2 Т р п о г -й А Т п о г + г2= 0, откуда
Тр_пог = ^~Г2 ■
, (4.21)
Конкретизация теоремы 3.5 для рассматриваемого случая имеет вид:
Теорема 4.3. Необходимым и достаточным условием возможности
поддержания нормативной температуры в помещении является неравенство
¿АГ\ +^2 > й\Тпог ~Г2 _
с11с14 -с12с13
Описанная выше система позволяет корректно моделировать теплоснабжение
отдельного помещения при постоянной температуре теплоносителя Т Т либо при
релейном управлении им. Если температура теплоносителя постоянна, то в качестве
управляющего параметра выступает расход теплоносителя V,.
4.1.4. Квазирелейное управление теплоснабжением помещения (двумерный
случай)
Рассмотрим случай изменения температуры в помещении при повышении
температуры теплоносителя. Поскольку из-за тепловой инерции невозможно
мгновенно установить температуру теплоносителя ТУ на максимально допустимом
уровне, ее изменение аппроксимируется функцией обратной экспоненты:
У(0 = + (Тт — Тт0 ,
( Т
* "- = -й1тр+<12т+г(!)
(4.22)
Л
Л
й
Т
= е13Тр-(14Т + г2
Введем масштабы Х1=М]ТР, Х2=М2Т,
преобразовать
систему (4.22) к виду:
'(IX,
М1
М1
М1
(к
ск (I X,
= (1 3 - ! - КХ 1 -ё 4 КХ 2 +г. М-,
м,
позволяющие
Положим diR=l R = d ^ R = ] = , ^ = 1.
d, 2 M,
d, M 2 M 2
Тогда преобразованные коэффициенты системы будут равны:
а м
ъ 1 Р_ d 3 d 2 t _d 4 ^ _а 8 (Т г - Т т о ) к, --------------- к 2 -—, w l -—-R, w 2 ¡лК-р.
М2
d(
dj
Му
М}
1г _
—
л,
Расчет аппроксимирующего параметра ¡л осуществляется по схеме,
приведенной в пункте 4.1.2.
Система (4.22) примет вид, содержащий только два коэффициента при
неизвестных:
jjf, = -X, + X 2 + w x - w2e-»T
(4 23)
[ Х 2 =к 1 Х 1 -к 2 Х 2 +1 '
Х,(0)=Х10, Х2(0)=Х20, О <и<1 тх —> min.
Найдем корни характеристического многочлена для системы уравнений
(4.23).
-(Л + 7) 1
4i)=
к, -\А + к 2 \
Я 1 2 =-^1 + к 2 ± л 1(1-к 2 ) 2 +4к / )еК.
Область устойчивости решения системы (4.23) не изменится по
сравнению с системой уравнений (4.17), но уменьшение числа параметров
облегчает расчеты.
Собственные векторы системы (4.23) найдем из уравнений:
Г-(Д + 1)?1г- + q 2 i =0
1 к\Чи -(Л + к2}121 = в'
Положим 1, тогда q2¡ = 1 + Л 1 ...
Решение однородной системы (4.23) запишется в виде:
' Х° х д н =С х е Х х Т +С 2 е Х 1 Т
Х° 2 д н = С, (1 + Л )ел'т + С2 (Г+ Л 2 У 2 Т '
Линейной комбинацией частных решений системы (4.23) являются:
1) Частные решения системы с постоянной правой частью:
(~Х х +Х 2 = 0 1^-
^2+1 = 0'
Отсюда стационарные решения системы:
+
_ 1 + к х м> х
1СТ ~ Т 7~ ' 2 СТ ~ Т Г~ • К2 - л2 — К 1
л
л
2) Частное решение системы с переменной правой частью
\х 2 =В 2 е-" т '
Подставим полученные выражения для Х,и Х 2 в систему (4.23). В
результате получим:
цВ х е~^ = - В х е~^ +В 2 е- » Т цВ^^ = к х В х е~» х - к 2 В 2 е^ г
{{ И -\)В х +В 2 -м> 2 =0
[А:^! + {р-к 2 )В 2 = 0
'
в
(м~к 2 )м 2 в = \у 2 (ц-к 2 %л-\)+м> 2 ) ^
' 2 С" —
1
Ху" —!)—
Общее решение системы (4.23):
X, = С х е* + + + в е -мг
к2 1-к
1.
■ (4.24)
,
Х2 = (1 + Я, )С,е+ (1 + Д 2 ) с 2 е + + В2е^
г
к 2 -к х
где С/, С 2 - произвольные постоянные, равные:
^ _ (^10 •+^1С7,Х1 + ^2)~(^20 + Х 2Ст) ^ _ (^20 + ^2Ст)~(^Ч0 + X1 + )
— -------------------------------------- , и2 — ----------------------------------- ,
Х2 Лх
/12 ~~
—
а Х х о , Х 2 0 - начальные условия.
Приведенные
детализированные
формулы
для
стационарных
и
нормативных решений позволяют достаточно просто оценить принципиальную
возможность
получения
нормативных
решений
анализируемой
системы.
Полученные аналитические выражения решений систем позволяют реализовать
расчеты переходных режимов, определять время «натопа» помещения.
4.2. Анализ устойчивости системы линейных дифференциальных уравнений,
моделирующих
теплоснабжение
со
встроенным
автономным
источником тепла
4.2.1.
Анализ
устойчивости
системы
линейных
дифференциальных
уравнений, моделирующих теплоснабжение с изолированным встроенным
автономным источником тепла
Линеаризованная система дифференциальных уравнений, описывающая
изменение осредненных температур (2.21) после введения масштабов для
температур и времени Тк=М}Хи ТР=М2Х2, Т=МзХз, 1=Яг запишется в виде:
м с1Х
х
-а 5 М х Х х +а 5 М 2 Х 2
4Ъ х + а х У г
х
а 8 М х Х х - (а 8 + а 9 )М 2 Х 2 +а 9 М 3 Х 3
я йх
м йХ2
. (4.25)
а п М 2 Х 2 ~(а х о +а и )М 3 Х 3 +Ь 4
2
я йт
м <ЗХ
ъ
я
Ъ
йт
Система
(4.25)
промасштабирована
при
начальных
условиях Х1(о) = Лг10, Х 2(о)=Х 2 0 , Х 3 (о)=Х 3 0 . В новых переменных
указанная система запишется в виде:
+ (Ь х + а х У г )Я
Мх
М ях.
Х х = -а 5 ЯХ х +а<
м.
2
X - а
(4.26)
М ЯХ х - (а,+а 9 )ЯХ 2 + а 9 ^-ЯХ 3
у
ь4я
Щ
а 11м. ЯХ 2 -{а х о +а х х )ЯХ 3 +
Мъ
Х3 =
Положим:
а5Я=1; М2=М1;
М-,
М-, 1
= \ => ^ =
во
,,
^ = ; Мх = Тко . М 2
М2 а9Я М3 а5
гг
Тогда новыми коэффициентами системы (4.26) будут:
а5
а,Я
г х =г х х +и,т де и = . -1-
а5
Мъ а5 а5
а5
Ь\Я ЬА Я -г,
у г , ^, = -1—, г2 =--. В результате получим:
мх
мх мз
+ гл
■ Х х + Х2
Х2 =
-й 2 Х 2 +Х3
-з
д- ъ Х 2 -й 4 Х ъ +г 2
=
.
(4.27)
В системе (4.27) вектор г содержит управление (в первой координате), а
матрица 2) - трехдиагональная и зависит от четырех неотрицательных параметров
¿/г, которые связаны неравенствами:
(4.28)
й?2 > ¿¡?1, >с^З и < 1 » с1/>0.
/=1
Найдем характеристический полином системы (4.27).
7) =
М 1 О йх —
й2 1 О
(1 + А) 1
О
- (¿/2 + -А) 1
л(х)=
О
й?3 -(й?4 + Я
=
0 .
(1+я)(л2+(а2+а4)л +с12 с14-с1з)-£11(44+Л)=О,
А3 + с х Л 2 + с 2 Л + с3 = 0.
Коэффициенты характеристического многочлена:
Сх = 1 + й2 + й?4 ,
с2 = й?2 + ¿/4 + — — йГз , с3 = йхй4 - .
—
Найдем область устойчивости системы (4.27). Для этого проверим условия
Стодолы (с,- > 0):
1) ^ >0 выполняется ЧЦ >0;
2) с 2 >0,
с 2 = й2 + й?4 + ~
ас
а.
Яг
=
выполняется для Уаг > 0 => \Zclj
> 0; 3) с3 > 0,
«8 + а9 а8
V а5
с3 = й2й4 -йхй4 -йъ = с14(Л2 -с11)-с13 = + Д п
выполняется для Уд, > 0 => > 0.
а9ап _ а9а10 ^ ^
а5 У а 5 а 5 а 5 а 5
Условия Стодолы выполняются, а условия устойчивости Рауса-Гурвица
кроме указанных выше, требуют выполнения единственного неравенства с х с 2 -с ъ
>0. Проверим выполнение указанного неравенства:
((32+с14+¿2с14-(11-с1з)(1+(12+(14)-((12С14-с11(14-(1з)>0,
{с12+(1А\(11 +(1А + й2(1А- йх - й2 +с14+с12с14
(12(1А +¿/^4+^3 =
= (с12 + ¿/4Х<^2 +<^4+ <Л2с1А - А?, - с13)+ {й2-£/,)+й?4(1 +
а?,)>0. Для того чтобы неравенство выполнялось достаточно,
чтобы {с12 + й4 + й2<Л4 -с1х -й? ) = с 2 > 0 и [й2 -^)>0.
3
Первое неравенство совпадает с условием Стодолы, доказанным выше,
второе неравенство вытекает из условий (4.28). Следовательно, условия
выполняются при Уа, >0=>Мйг >0.
Так как условия Рауса-Гурвица выполняются при любых положительных
коэффициентах система (4.28), то решение системы всегда попадает в область
асимптотической устойчивости. Для того, чтобы решение было монотонно
устойчиво необходимо, чтобы выполнялись условия Штурма.
Для рассматриваемой системы условия Штурма (3.8) имеют вид:
1) Зс2 < С\ ,
После приведения подобных членов получим:
((}2+<1АУ\.-{<12 + (14))-3{с11 + с!3 -с12с14)-\< 0. Для
выполнения этого условия достаточно, чтобы (й2
+¿/4X1-^2 + ^ 4 ))-3(с1 х + с13 -¿гг2й?4)<1.
Последнее неравенство выполняется при соблюдении условий (4.28).
2) с х с 2 > 9с 3 ,
(1 + й2 + йА \й2 +(1А+ й2й4 -с1х-(13)> 9{й2й4 - с1хс14 - й ъ ), (й2 с14)2 + (с!2 + (14\с12й4 -с13 +1)+4(14(2^-(]2)-С 1 х ((] 2 +1)+8й?3 > 0.
Данное неравенство выполняется в силу условий (4.28).
3) Условие /3>0 проверить аналитически затруднительно из-за громоздкости
преобразований, поэтому лучше проверять числено по формуле (3.8) для каждой
конкретной системы.
Если условия Штурма выполняются, то решение системы (4.27) находится в
области монотонной устойчивости, т.е. все корни характеристического многочлена ^
отрицательны и вещественны.
Матрица Э трехдиагональная и введением масштаба преобразуется в
симметрическую. Поскольку при этом корни характеристического многочлена
вещественны [44], а при выполнении условий Рауса-Гурвица и отрицательны,
подтверждается непосредственно полученный ранее результат о том, что система
находится в области монотонной устойчивости. При этом отпадает необходимость
проверки условия /3 > 0.
Преобразуем матрицу 2), умножив первую строку на йхйъ, а вторую на йъ.
Тогда:
{-к
0
>
— й2й3
,
й3
=> К =
к
К
<0
о^
к3
к3
-к 4 у
0
Решение системы (4.27) при выполнении условий Рауса-Гурвица всегда будет
в области монотонной устойчивости.
Выполнение условий Рауса-Гурвица и Штурма обеспечивает, в силу
утверждения 3.2, стремление системы уравнений (4.27) (при фиксированном
значении управления и, а, следовательно, и г = (гх,0,г2)) к предельному
стационарному значению Хст.
Общее решение системы (4.27): X,
=д и С 1 е^ + д12С2ел*т + дпС3ел^ + Х х с г
< = д2хСхел* + д22С2ел* + д23С3гх* + Х2СГ .
(4.29)
Х х =д з х С х е* + д32С2ел* + д33 С3ел* +Х1СТ
Стационарные решения системы (4.27) будут:
x = r x (d 2 d 4 -d 3 )+r 2 x
r x d x d A +r 2
d 4 (d 2 -d x )-d 3 ' d 4 (d 2 -d x )~d 3 ' d 4 (d 2 -d x )-d 3
= r x d l d 3 +r 2 (d 2 -d 1 )
Собственные векторы системы (4.27) находим из уравнений:
- (l + Aj ]qn +q2i
+ 0 =0
d\<l\i -(di+^ihn +bi =0. 0 +d3q2i -(d4 + ki)q3i
=0
Положим q X i = 1, тогда q2i = (l + A t ).
Из второго уравнения найдем q 2 i = (d 2 + я,-Хl + A i )- d x .
Произвольные постоянные системы (4.27) находятся из начальных условий
(4.25):
q _ {Х\СТ ~ Х\й\ЯгъЧ22 ~Яз2с/2з) + (Х2СТ
(?32
С _ (-^1СГ
~?2l) (4 30)
~^2оХ?32 ~g33)+(-^3 СТ ~ ^30 X*?23 ~ Ч 2 г )
~ ?33 )?21 + (^33 - Ч31 )<?22 + (<?3 1 ~ Я32 )?23
~?31^23) + (^2СТ ~^2оХ^31 ~ #33 ) +(^ЗСГ ~^3oX?23
£ _ (^ЧСТ ~ Х?32#21 ~ ^У422 ) + (%2СТ ~ -^20 Х^З 1 ~ 4 32 ) + (^ЗСТ ~ -^30
)(^22 ~~ <?2l)
(?32
Для
поддержания
-933^21 +(<333 -^3l)^22 + (?31 -0зг)?23
заданного
стационарного
режима
в
помещении
необходимо знать все значения температур и объем подаваемого первичного
энергоносителя. Допустим, искомая температура равна Х 3 пог, тогда Х 3 = Х 3 пог.
Из третьего уравнения системы (4.27) найдем требуемую температуру радиатора
Х 2 пог, необходимую для поддержания в помещении температуры
Х 3 пог, а из второго уравнения найдем температуру на выходе из источника
тепла Х х пог (при условии ^- = 0):
dr
_ d4X3_nor - r2
Y
Л
2 nor ~
,
d3 dx
Необходимый
> Л1 nor ~
объем
_ d2Xl nor -ХЪ пог
1
первичного
•
энергоносителя
для
поддержания
температуры Х х пог найдем из первого уравнения: и = Хх n o r -X 2 _ n o r -r x x , откуда
vr =(4.32)
a,R
В процессе "натопа" (повышения температуры от Х0 до Хпог) управление
принимает свое максимально допустимое значение (и = и,г х =г х ) , и для возможности
достижения и последующего поддержания требуемой температуры по теореме 3.5
необходимо и достаточно, чтобы Х х с т >Х х п о г .
Поэтому, справедлива следующая теорема:
Теорема
4.4.
Необходимым
и
достаточным
условием
возможности
поддержания нормативной температуры в помещении, отапливаемом встроенным
изолированным источником тепла, является неравенство
Л(¿2^4
(с12с14 - с/ 3 )Х Ъ пог -с12Г2
йха3
4.2.2. Анализ устойчивости системы линейных дифференциальных уравнений,
моделирующих теплоснабжение с неизолированным встроенным автономным
источником тепла
Рассмотрим систему (2.23) и найдем ее решение в аналитическом виде. Для
этого проделаем преобразования системы (2.23) аналогичные тем, что были
приведены в п. 4.2.1. Введем масштабы: Тк=М1Х; , ТР=М2Х2, Т=М$Хз, ^Ят. Тогда система
(2.23) запишется в виде:
м с!Хх
- а5МхХ{ + а5М2Х2
+ а 2 М 3 Х 3 + Т)] +а х У г
х
я дх
м <Л
2
(4.33)
а п М 2 Х 2 - (а 1 0 + а х , )М 3 Х 3 +Ь 4
Х2
я с1т
м ах
3
з
я
с1т
X, ( о )-Х ] 0 , Х 2 ( о ) = Х 2 0 , Х 3 ( о )
С учетом начальных условий
= Х 3 0 получим:
(Ь{ -г ау г )я
+ а 2 ^ЯХ 3
+ а,
мх
м}
мг
+
Мх
ях,
Х х = -а 5 ЯХ х М х
Х 2 = Щ^- ЯХ х -{а & + а 9 )ЯХ 2 + а 9 -^ЯХ 3
а и М_ ЯХ 2 -(а 1 0 +а х х )ЯХз +
2
АЛ,
Положим:
М
М%
М,
АГ,
Мх
М2 а9Я
а5Я=1; М2=Мь а 9 —-Я = 1
2 _а9 . „
пМ3
м.
М!
М3 а5
ГО 1
Введем коэффициенты системы (4.33):
=
а*
а9Я^- = с13= —
М0
а0
+
а
_ и11 5
40
а
»=
«5
5
а* а 5
М-, „ а,, ^.а-, ,
а,л +а,
¿ 4 =Яц—М
М-х
а, Я
Ъ Х К Ьг 3К=
2
П =г п +и, где и^-^-Ур,
Му
Тогда система (4.33) запишется в виде:
— — Хх -ь Х2 И- Х3 Х 2 =
йхХх -й2Х2 +^х3
■(¿5хз +г2
(4.34)
й4Х2
В системе
(4.34) вектор г содержит управление (в первой
координате), а матрица В - зависит от пяти неотрицательных параметров й1,
которые связаны неравенствами:
й2>йх, ><Л3й4 и £d j <1, d¡ >0.
(4-35)
1=1
Найдем характеристический многочлен системы (4.34):
Г-1 1
Б = йх -с12
1
>
й? =>
3 А{Х)=
,0 ¿ 4
Л3 +схЛ +с2Л + с3 = 0, где
сх = 1 + с12 + с15,
с2 = с12 + с15 + с12с15 - - с1х,
-(1+1)
1
1
¿1
-(¿2+А)
й3
0
г/4
=0
,
дл _
с3 = й2йь — с1хс15 -с1хс14 — й3й4 -йь{й2 -с1х)с14(с1х + с / 3 ) . Проверим выполнение условий
Стодолы.
1) сх > 0 выполняется \lclj > 0, т.к. сх = 1+ <Хг + й ь .
2) с2 > О, то есть ¿2 + с15+с12с15 ~с13с14 -с1х > 0.
В силу условий (4.35) {й2 -с1х)+(с12с15 -с12с14) + с15 > 0 и с2 > 0.
3) с3>0.
с15(с12 й х )- й4 (<ЛХ + й?з ) > 0 ,
-
«10+«1 (
1
«5
\
а8 +а9
а
{ 5
а8
+ а11а ( \
Щ\а2а%
2
а5а5
а5
J
1«5 а 2)
а5а5
а5а5а5
то есть с 3 >0, при выполнении условия а 9 а х 0 а 5 >а и а %а 2 .
Проверим условия Рауса-Гурвица.
1 2 _С3 > ^ •
С С
+^5 + ^2с15 - С13С14 - С1])- (¿/5 (с/2 - )- + й?3 )) > 0 ,
(1 + ^2+
-¿/¡)+(1 + ^/2Х<^2 + <^2с15 - Й Й -я?, )+ й/5(<75 + с!2 С !5 -с1гс14)-с15{с12 -с11)+с14(с/, + й?3)
Ъ
А
= = (1 + с/2 Х<^2 +<^5 + - йъй4 -с1{)+с15 (с15 + (12(15 - й4 (</, +с1 ъ ).
Так как с12+с15+ й2йъ - с!3с14 - йх = с2 > 0, то достаточно, чтобы й?5 (й?5 + й2й5 й3й4 ) > 0 .
С учетом условий (4.35) условия Рауса-Гурвица выполняются для Щ > 0 =>
V«/, > 0.
Так как условия Рауса-Гурвица выполняются при любых положительных
коэффициентах системы (4.34), то решение указанной системы попадает в область
асимптотической устойчивости. Для того, чтобы решение было монотонно
устойчиво необходимо, чтобы выполнялись условия Штурма.
Условия Штурма (3.8):
1) Зс2 <с х
,
3( Й ? 2 + Й ? 5 + Й 2 Й 5 - С 1 Х - Й 3 С 1 4 )-(1 + (1 2 + С 1 5 ) 2 < 0 .
После приведения подобных членов получим:
(с12 + XI -(й 2 + С ! 5 ))-3( С 1 1 + С ! 3 С 1 4 - ¿/ 2 й? 5 )-1<0.
Для выполнения этого условия достаточно, чтобы
(с12 + йь XI - {й2 + с15 ))- 3(й?) + с13й4 - с12с15) < 1.
Последнее неравенство выполняется при соблюдении условий (4.34).
2) с х с 2 > 9с 3 ,
(1+ с12+ ¿¡5 Х<5?2 + +^2^5 -С13с14)>9(с12(15 -¿Зй4~йхйь -¿/,¿/4),
(с!2 -с11)+(с12-с15)2 +
-С13С14)+С15(8С1[ -Айг + 1)+г/,(9й?4 -г/2)>0.
Неравенство выполняется в силу условий (4.34).
3) Условие /3 > 0 проверить аналитически затруднительно из-за громоздкости
преобразований, поэтому лучше проверять числено по формуле (3.8) для каждой
конкретной системы.
Для того, чтобы решение системы дифференциальных уравнений (4.34)
находилось в области монотонной устойчивости необходимо выполнение условия
а9а10а5 > аиа8а2. Данное условие обеспечивает стремление решения системы (4.34)
(при фиксированном значении управления и, следовательно, и г = (г, Дг2)) к
предельному стационарному значению Хст и решение будет в
области монотонной устойчивости.
Стационарные решения системы (4.35):
X _ Г 3 (¿3 + )+ Г\ {^2^5 ~
1СТ
ЗСГ
) X - Г3 (^1 +
(¿5(с12 -й1)-йА{с1х +£/3) ' 2СГ с15(с12 -с11)-с14(с11 +¿/3)'
(¿/2 - с1х)- с/4 (¿/, + й?з )
Тогда, с учетом полученных стационарных решений, общее решение системы
(4.35) запишется в виде:
X, - Ч и С х е* + д Х 2 С 2 е Х * + д13С3е^г + Х1СГ
• = Чг&е* + <122^* +д2ъС3ех* + Х2СГ ,
(4.36)
+ д32С2ех*т + д33С3е^т + Х1СТ
X,
Найдем собственные векторы системы (4.35) из уравнений:
Положим =1, тогда дъ =(1 + 2,)-д31.
Из третьего уравнения системы найдем = ¿/4 (1 + Я;)-й^ - {ё5 + Я, = 0,
_ + т т „ +Л /1
ЯЗ!-~Г~~Г~ГТ
Л л ,
Л,-
,
и
1
^
,
,
- и
+
•
а4 + а5 +
^ а4 + я5 + Я,- ^
Произвольные постоянные системы (4.36) находятся из начальных условий
(4.33):
{Х\СТ -^1()Х?33 Я22 ~ Я з 2 Я 2 з ) ( ^ 2 СТ ~ ^20 Х#32 ~ Я з з ) ( ^ З С Т ~^ЗоХ?23 ~ Ч 2 2 )
+
С,
+
23
^ _ (^ЧСГ ~^1оХ'?33'?21 ~ #31423 ) {%2СТ ~"^2оХ#31 ~^Зз)+(-^ЗСГ ~^ЗоХ#23
"#21) (4 37) 2
(#32 - #33)#21 + (?33 - #31 )<?22 + { ч з \ ~ Ч з 2 )?23
+
{Х\ст ~^юХ^32^21 ~ Ч3Ч22 ) С^2СГ _ ^2оХ^31 ~ (^ЗСГ - ^ЗоХ#22 "#21)
Сз
(?32 -^33)^21 + (#зз -ЯггЬъ +(яз\ -ЧзгУз:
23
Для поддержания нормативного стационарного режима в помещении
необходимо знать значения температур всех элементов системы, а также объем
первичного энергоносителя, подаваемого в источник. Допустим, искомая
температура равна Х3 пог. Положим Х3 = Х3 пог. Из третьего уравнения системы
(4.34) найдем требуемую температуру обогревателя Х2 пог, необходимую для
поддержания в помещении температуры Х3 пог. Из второго уравнения системы
(4.34) определим температуру на выходе из источника тепла Хх пог (при
ах, . условии —^- = 0): йт
Л
с15Х3_пог-г2
¿2Х2 пог -Л3Х3 пог {с12с15 ~Лгс14)Х2 пог -с12г2
2 пог= ------ 1 ------ > х \ п о г = -------- 1 ----- = — = ---------- ТТ^ ----------- •
(4.38;
а4
а,
ахаА
Необходимый объем первичного энергоносителя для поддержания
температуры Хх пог найдем из первого уравнения системы (4.34):
и
= Х\_пог - Х 2_пог - х ъ _пог откуда
=
(4.39)
ахЯ
В процессе "натопа", то есть повышения температуры от Х 0 до Х п о г ,
управление принимает свое максимально допустимое значение (и = и,г х =г х ) и
для
возможности
достижения
и
последующего
поддержания
требуемой
температуры Х п о г по теореме 3.5 необходимо и достаточно, чтобы Х х с т > Х х _ п о г .
Поэтому справедлива следующая теорема:
Теорема 4.5. Необходимым и достаточным условием возможности
поддержания нормативной температуры в помещении, отапливаемом
встроенным неизолированным источником тепла, является неравенство Гг{с1ъ
+(12)+г{{с12с15-(1ъ(1А) (¿2е15 -йгй,)ХЪп0Г -й2г2
Проведенный анализ систем дифференциальных уравнений, описывающих
системы теплоснабжения с встроенным (изолированным и неизолированным)
источником
тепла
позволил
сформулировать
условия
существования
стационарных и нормативных режимов, а также вывести аналитические
выражения для расчета переходных процессов указанных систем.
4.3. Анализ устойчивости системы линейных дифференциальных уравнений,
моделирующих
теплоснабжение
с
вынесенным
автономным
источником тепла
Введем обозначения коэффициентов матрицы (2.18):
а^-ки а?=к2, ау + ав=кз, а8=к4, щ=к% аю-кв, аю + <з// =&7С учетом принятых обозначений имеем:
к 3 > к х , к 3 > к 2 , к7 > к5, к7 > к6.
(4.40)
Система (2.18) примет вид:
<ПК
ж
с1Тт
&
йТр
Л
йТ
Л
,
-к{Гк
(к ^ + к5 )ТР +к5Т
+0+
к2Тк
к 6 Т Р -к 7 Т к2ТР
ЬА
■къТТ
кАТт
~к{Го6р +Ь5
+ к х Т о б р +Ь Х +
ахУГ
+ Ь2
ж
(4.41)
Линеаризованная система дифференциальных уравнений (4.41) после
введения масштабов температур и времени
Х1=Тк=М]Х], Х2=Тт=М2Х2, Хз=Тр=МзХ3> Х4=Т=М4Х4, Х5=Тобр=М5Х5, 1=Ят,
примет вид:
<ЛХх _
-к х ЯХ х
к^ЯХ 3
с/
т г_
с1
с/
Х
т
¿Х
с/
3
т
м4
М3
-к 7 ЯХ 4
щ
-к 3 ВХ 2
+ кх^ЯХ 5 +{Ьх+ахУГуК
М,
М
л
+ ь*>
м
м2
■ А ----- ЯХ 2 -{к 4 +к 5 )ЯХ 3
4
м.
2
м*
с1
(к
Х
ё4
Х
с/т
+ к 5 М±лх
+ ь.
— к 3 ЯХ$
ЯХг
к
5
1 М 1 л/ ил к 2
— = —~, М2=М1 — к, к] М 2 к 2
М2
ПОЛОЖИМ к^Я=1 =>я = —, — * ^ = 1=>к *к к * к * к /уу Л-у
А/у
к 2
г
к А-к
ку
к у
4я
я
м7
к1
/Vу А/у
к * к *
к Л-у Лу
Коэффициенты полученной системы:
к
+
м
0
к
м «к *к
к у ^
к!
к * к * к
\ ={ Ь \ + а \ У г)—' Г 2= Й 2Т7"' Г 4 = 6 4ТТ-' г 5 = Ь 2
Мх
' ^ " М4
Тогда система (4.41) запишется в виде:
йХх
= -х.
с/т
= X,
■й х Х 2
с/т
+ 0 +>*4
Х 2 — й 2 Х 3 +с1 4 Х 4
с/
-с/^5 +/"5
т
(I
X
4
(4.42)
~<13Х4
¿5*3
с/
т
В системе (4.42) вектор г содержит управление (в первой
сй
Г5
с/т координате), а матрица I) - почти трехдиагональная и зависит от пяти
неотрицательных параметров с/г, которые связаны неравенствами:
X с/г- <1, с/; > 0. /=1
(4.43)
Выпишем матрицу системы обыкновенных дифференциальных
уравнений (4.42) и найдем аналитические выражения для коэффициентов
характеристического многочлена.
Г -1- X
0
0
0
(¡¡-Х
0
0
1 >
0
0
1
-й 2 -X
с14
0
0
0
1
0
с15
-
1
, 0
-X
0
-с11 —
0
А ( = \2Х)
II
Яу
-1-Х
0
0
0
1
1
-с1 1 -Х
0
0
0
0
1
<1
0
0
0
0
— ¿2
—X
1
0
0
¿5
-¿¡2 ~ X 1
= {1 +
Х)*(с1 ] +Х)*
с15
<Л4
4
-X
О
■с13
+
—X
О
О
— й1 -
—
■ й й2 1
—Х
0
-й3-Х
О
X
= - ( / + я ) * ( < + х)2 * (¿2 + х) * (¿ 3 +х)+с1 4 *(1+х)* + х) 2 + а 5 * + х ) = о
В силу утверждения 3.1 существует единственное эффективное решение
уравнения (-1)' ¿>, (с1)=с 1 .
Л 5 : с0=1,
Л 4 : С1=1+2й1+(12+йз,
Л 3 : С2=2ё1+й2+йз+й2 +2(1^2+ 2с1]с1з+с12(1з-с14,
2 2 2 2 Л : сз=с11
с1з+2с!/¿/¿¿(г ^(¿Г
1 2 2 2 2 Л : С4= (¡1 с1з+2с1;(¡2(11-2(11 ¿/^+¿// (¡¿¿.¡-й/ ¿/¿ч/%
Л° : С5= с1 2й2(1з-(112с14-(1;,с1з. Проверим условия Стодолы (сг- > 0):
1) с х >0 выполняется > Отак как с х = 1 + + ¿/ 2 + ¿/ 3 .
2) с 2 >0,
С2 = {й2йъ - ¿4 ) +(1 + 2^X^2 +(1т>)+{1<1х + с1\ | > 0 .
Выражение с/2^з
в
принципе может привести к тому, что условие 2
выполняться не будет. Поэтому, при выполнении условия й2й3 -¿/4 > 0, условие 2
будет выполняться всегда.
Докажем выполнимость условия, отмеченного выше. Для этого перейдем к
коэффициентам к1:
ё2й3 -й4 = + * — - следовательно к4к7 + к 5 к 7 >к 5 к 6 , к х к х к х к]
к4к7 + к5 (к7 - кв) > 0 из условий (4.40) выполняется для \/к1 > 0 => > 0.
3) с 3 >0,
с ъ = (й?2й? 3
- X 1 + 2^1)++ ¿з )(2й?1 + )+ > 0, выполняется для > 0 в силу
доказанного выше условия, что й2йъ -с14 > 0.
4) с4 > 0,
с3 = (¿/2 + Л ъ + -с1 4 )(2^! + й?! 2 )-> 0, так как с12с13 -с14 >0 докажем, что (с/2 +
<з?з У* - > 0. Если утверждение верно, то с4 > 0. Проведем доказательство
выполнения неравенства (с12 + й3 )с1х -<75 > 0:
(и
г1 _ к \+ к ъ к з к з , к 1 к з к з к 2 к 2 к 4
а +а
а
а
\ 2 з ) \ ~ 5 ~ — ; -------Т~Г 1—ГТ ----------- ТТГ'
/с /С|
/С| /С^
к4{к! - к1)+ к\(к 5 +к 7 )>0,
к 4 (к 3 -к 2 )(к 3 +к 2 ) + к 3 ( к 5 + к 7 ) > 0 из условий (4.40) выполняется для
> 0 => Ус/, >0.
5) с5 > 0,
с
5 = <1\{с12с13 -(14)-с15(13 > 0,
И 2 ( и И и \ л л _ *3*3 к А + к 5 к 1 к6к5 к З к З к 2 к 2 к 4 к 1
а
\ \ а 2 а 3 ~ а 4)~ а 5 а 3 ---------- 7 --- --- Г~1 71 ------ 7П ----- Г~'
кх /ЦЛ] /С}«) л]л|
к 5 к %(к 7 -к 6 ) + к 7 к 4 [ к 3 -к %)>0 из условий (4.40) выполняется для Ук1 >0=>\/с1,>0
Для того, чтобы характеристический полином системы (4.42) был полиномом
Гурвица необходимо выполнение условий (3.10). Условия Д^О, Д2 > 0 и Д5 > 0
вытекают из условий Стодолы, аналитическое доказательство для Д3 > 0 и Д4 > 0
слишком громоздко и поэтому не приводится. Численная проверка выполнения
условий Рауса-Гурвица реализована в информационной системе, описанной в
параграфе 5.1.
Выполнение условий Рауса-Гурвица обеспечивает в силу утверждения 3.2
стремление системы уравнений (4.42) (при фиксированном значении управления и) к
предельному стационарному значению Хст:
с1\(12с13 (г5 +
Х1СТ -
х2СТ
¿1[с14(с15ГА - й х Г х -Г 5 )+
= ^(¡2с13{г1+г2)-с11с14(г1+г2)+с14(<15г4 -г5) + с12с13г5{(12с13 - ) - й?з
X.
_ й1 + ) + (^2 ~ К + г5
_ с13с15(г1+г2) + с11((с12с13 -й4)г5 + с14с15г4)
5СТ — ------------------------ 2 ------------------------------------------------------ "
с1х (с12с13 - с14)~
Если характеристический полином системы (4.42) является полиномом
Штурма, то решение исходной системы находится в области монотонной
устойчивости и собственные векторы матрицы 2) найдем из уравнений:
0
9\ 1
+ <Э,2г(-й?1 ) о
0
<12
0
0
0
0
0
0
0
0
) +041^4
0
Чъ 1
)0
0
=
0
=
0
=
0
=
0
/)=
0
Положим = 1 тогда = (1 + Я,). Рассмотренная выше система преобразуется к
виду:
' " ' +л)
3 74
^/-(^з+Лк, =0
^зс -(^1 +ЛХ1 + Л) = °
1
Чи Общее решение системы (4.42) в области монотонной устойчивости:
+ д х х С х е^ т + дХ2С2ел*
Ххст
Х2 = Х2СГ
+ д 2 х с х е^
Хэст
X
,
г
л
+д22С2е *
+Ь2С 2 е
Х 4 = Х4СГ
+ дх4С4ел*г
л
+д24С4е * + д25С5е**
я г
+ д34С4ел*т
л
л
+ д23С3е *
ЛгТ
+ дА1С1е*
+ д13С3ел*
+ д33С3е *
л
+ д 4 2 С 2 е + д43С3е *
Л
л т
Х 5 С Г +д51С1е * +
+д 5 3 С 3 е+д 5 4 С 4 е^
т
+д 5 5 С 5 е
Я3гд 5 2 С 2 е
+ д Х 5 С 5 е^
т
+ д35С5е*,. (4.45)
+д44С4ел"
+д45С5е*
Л2Т
Произвольные постоянные Сг находятся из начальных условий.
Л
Аналитические выражения для них слишком громоздки, поэтому предлагается их
численное нахождение методом Гаусса [107].
Для поддержания нормативного стационарного режима в помещении
необходимо знать все значения температур в системе и объем первичного
энергоносителя. Допустим, искомая температура воздуха в помещении равна Х 4 п о г ,
тогда положим Х 4 = Х 4 п о г . Из четвертого уравнения системы (4.42)
найдем требуемую температуру обогревателя Х3 пог для поддержания в помещении
температуры Х 4 п о г . Из пятого уравнения определим температуру теплоносителя в
трубопроводе обратной подачи Х5
пог
, из третьего уравнения - температуру
теплоносителя в трубопроводе прямой подачи Х 2 _ п о г , из второго температуру на выходе из источника тепла Хх пог (при условии =0).
с1т
Получим следующие значения нормативных температур в системе:
пог - 3 3 Х 4 пог г 4 , Х 5 пог
Х
2 пог
ё3с15ХА пог -с15г4+г5
с1х
= ^2й3 - й4 )Х4 пог - с!2г4 , Х1 пог = с1х [й2й3 - с14 )х4 пог - йхй2г4 - г2. (4.46)
Необходимый
объем
первичного
энергоносителя
для
поддержания
температуры Х х _ п о г определим из первого уравнения: и = Х 1 _ п о г -Х 5 _ п о г -г и ,
откуда
(4.47)
В процессе "натопа", то есть повышения температуры от Х0 до Хпог, управление
принимает свое максимально допустимое значение (и = и,г 1 =г 1 ) и для возможности
достижения и поддержания требуемой температуры в помещении по теореме 3.5
необходимо и достаточно, чтобы Х 1 С Т >Х 1 п о г .
Поэтому справедлива следующая теорема.
Теорема
поддержания
йхйгйъ(г5
4.6.
Необходимым и
нормативной
достаточным
температуры
в
условием
возможности
помещении,
отапливаемом
,
-йхгх -г5)+с13с15г2
х
м
и
ц , т ГТ —I
^ «1 \ 2 3 ~ 4 4 пог и1м:
а х \а г а ъ -а 4 )-а 3 а.
автономным
вынесенным
источником
тепла, является неравенство
2Г4 г2 •
1
5
Область монотонной устойчивости в случае системы пятого порядка очень
узкая и решение системы, как правило, в нее не попадает.
Если среди корней характеристического уравнения (при выполнении условий
Рауса-Гурвица) имеются комплексные (Л, е С), то имеет место колебательная
устойчивость системы. При этом возникают трудности в построении собственных
векторов или пропорциональности произвольных постоянных для различных
компонентов решения. Вопрос этот мало освещен в литературе, а построение
комплексных собственных векторов достаточно сложно, поскольку окончательное
выражение для компонентов решения должно быть вещественным.
Однако
специфика
системы
конструктивно доказать теорему.
(почти
трехдиагональность)
позволяет
Теорема 4. 7. Для комплексных корней характеристического уравнения
системы (4.42) связи между произвольными постоянными решения
определяются однозначно путем последовательного перехода:
Х2 -»X!
->х4.
Доказательство.
Выпишем
аналитическое
решение
для
Х2
при
условии,
что
характеристическое уравнение имеет одну пару комплексных корней3, допустим
Л, ,Л2 е С , т.е. А 1 =а + / %, Л 2 =а- ¡31.
Х2 = Х2СТ + м>2хСхеат со8{рт) + уу12С2еат ят(/3т) + хд 2 ,С 1 е л ' т ,
1=3
где =м>22 = 1 и д23=д24 = д25 =1.
Из второго уравнения системы (4.42) найдем Х х .
=^2 + ^ Х 2 - г 2 =
= Хк:г + (ц!п соя(/вт)-м>12 зт(/3т))сх е а т + (м^ 5т{/3т) + м>52 соу(/?г))С2£'<" + £ диС^т,
1-3
где м>п =а + с! х , м> Х 2 =/3, д Х 1 = й х + Х , .
Из первого уравнения выразим Х 5 :
= Х 5 С Т + (м> 5 Х соь{рт)-м>52 ,чт(/3т))сх е а т + (м> 5 Х ^ш(/?т)+ ч?52 соь{/Зт))С2еат + Ьд^С^ ,
/=3
где м>п = (1 + а)ыи - /?и>12 = (1 + а\а + йх)-/? 4, щ = (1 + а)и> Х 2 + /Ь>и = /3(1а + +1), Из
пятого уравнения выразим Х 3 :
«5
= Хзсг + со^(/?г)-н'з2 ¿,ш(/?г))С1еат +
м32 сох(/}т))С2еат + Х ^з/С, 6 ^ >
(=3
где Н'з! = ^-(Й + 0^51
и^
"МЛ 03/ = /] +Л)2(1+Л)-
=
^5
5
Из четвертого уравнения найдем Х 4 :
3
Для двух пар комплексных корней доказательство и конструктивное выписывание связей между
коэффициентами проводится аналогично. Та же схема применима и для вещественных корней.
= Х4СТ + [ч>А} сс«(/?г)- -и>42
11
где Н-41 = :Г((с/2
7 \\ 2
а4
/ 01 Г
+ (м> А Х ь-т(/3т)+ м>42 со$(/}т))С2еат + .С] е л , т ,
-1)' ^42 = / ((¿2
/?
у
+ /^31 )>
а4
5
I
/=3
"4г
1'
Ч А 1=- Г й?4
\<*5
Общее решение линеаризованной системы дифференциальных уравнений
(4.42) в области колебательной устойчивости с одной парой комплексно
сопряженных корней примет вид:
х, = Х]СТ + [м>п С08{рт)-м>, 2 ^¡п{рг)^е а т + (м^ ял(/?т)+ м>п со*{/Зт))с2еат + I
г=3
.
Таким образом, все компоненты решения выражены через пять произвольных
постоянных (значения которых определяются по начальным условиям).
Можно
констатировать,
что
для
системы
пятого
порядка
получены
аналитические решения для переходных процессов, а также стационарные и
нормативные решения. Полученные решения позволяют анализировать переходные
режимы указанной системы в области монотонной и колебательной устойчивости.
4.4. Выводы по главе
Полученные в четвертой главе диссертационного исследования результаты,
необходимые для анализа систем теплового снабжения, описываемых системами
дифференциальных уравнений первого-пятого порядка, сводятся к следующему:
• получены аналитические выражения для расчета стационарных режимов
анализируемых систем;
• выписаны аналитические выражения для расчета нормативных режимов
исследуемых систем;
102
• доказано, что аппроксимация функции единичного скачка (функции управления)
функциями Хаттингтона и обратной экспоненты ведет к аппроксимации
оптимального решения;
• доказано, что решение системы дифференциальных уравнений третьего порядка,
описывающие теплоснабжение зданий встроенными автономными источниками,
при всех реально допустимых начальных условиях находится в области
монотонной устойчивости;
• в аналитическом виде получены выражения для расчета переходных режимов в
рассматриваемых системах;
• получены
аналитические
выражения
для
расчета
переходных
режимов
исследуемых систем в области колебательной устойчивости.
Глава 5. Компьютерное моделирование температурных режимов
систем теплового снабжения
5.1. Возможности и структура системы программной поддержки
Для разработки программных средств математического моделирования
теплотехнических
процессов,
предлагается
использовать
современные
программные среды, такие как Microsoft Excel и Maple.
Среда Microsoft Excel 2000 выбрана как наиболее удобная и доступная на
этапе исследования. В ней была разработана информационная система,
использующая надстройки Maple 6, Поиск решения и Анализ данных. Надстройка
Maple 6 позволяет выполнить любую команду математического пакета Maple
непосредственно на рабочем листе Excel и получать результаты ее выполнения в
ячейках Excel для дальнейшего использования [54, 66].
Шаблонный файл был создан как единая Книга Microsoft Excel. Каждый
лист моделирует отдельные системы теплового снабжения или математические
расчеты для них (например, расчет методом Гаусса произвольных постоянных
решения системы пятого порядка). Отдельные функции, такие как функция
Хаттингтона, сгенерированны в виде дополнительных встроенных функций Excel.
С помощью математического пакета Maple 6 считаются значения корней
характеристического полинома третьего и пятого порядка.
Разработанная программная поддержка позволяет реализовывать ввод и
корректировку данных с одного листа Книги, осуществлять подбор оптимальных
параметров анализируемой системы и анализировать исходные данные. Система
программной
поддержки
предусматривает
возможность
моделировать
температурные режимы для различных систем теплового снабжения и проводить
сравнительный анализ полученных результатов.
Система программной поддержки позволяет моделировать процессы
«натопа»
или
понижения
температуры
в
помещении
для
заданных
теплотехнических характеристик систем теплового снабжения, определять
стационарные и нормативные режимы, вычислять расход первичного топлива,
рассчитывать параметры аппроксимации А, и р. на основе экспериментальных
данных.
Пользователю предоставляется возможность экспорта полученных таблиц и
графиков, а также сохранение результатов в виде таблиц Microsoft Excel.
Информационная система имеет дружественный интерфейс и для успешной
работы не требует дополнительных знаний.
Разработанная система программной поддержки использовалась в рамках
Проекта №01.01.079 программы Министерства образования РФ «Научные
исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники»
(2001-2002 г.г.). Система также применяется в учебных целях при проведении
практических занятий на кафедрах Экономики и менеджмента в машиностроении
РГАСХМ и Экономики и прикладной математики РГПУ для имитационного
моделирования теплоснабжения зданий.
5.2. Моделирование режимов теплового снабжения системы с автономным
вынесенным источником тепловой энергии
Для исследования разработанных в диссертации моделей было проведено
большое количество вычислительных экспериментов. Наиболее иллюстративные
из них приведены в данной главе.
В производственном помещении фирмы «Группа компаний К5» требуется
поддерживать в течение рабочих смен (продолжительность производства работ в
разрезе суток может варьироваться) температуру 18°С. Руководству фирмы
необходимо обеспечить заданный температурный режим в производственном
помещении при обеспечении минимально возможных приведенных затрат на
теплоснабжение.
Постановка задачи: для производственного помещения фирмы «Группа
компаний К5» требуется рассмотреть возможность обеспечения заданного
температурного режима в рабочее время (18°С), при условии минимально
возможных постоянных капиталовложений в систему обогрева помещения при
несущественном завышении эксплуатационных расходов.
Характеристика производственного помещения: здание сооружено из
железобетонных конструкций, размеры 30м х 12 м х 5 м; четверо железных ворот,
площадью 3700x3800, толщиной 5 мм; четыре окна, размером 3700x1300 из
стеклоблоков, толщина блоков 50 мм; толщина стен - 300 мм; толщина потолка 50 мм.
Источник теплового снабжения. В качестве источника теплового
снабжения используется автономная котельная с источником: • ТГМ-120.
Мини котел ТГМ -120 выпускается ЗАО «Радужный», предназначен для
теплоснабжения жилых домов ,и производственных помещений. Выбор этой
марки котла для рассмотрения различных вариантов теплоснабжения помещений с
автономным источником не случаен. Установленные горелки (две штуки)
позволяют плавно регулировать подачу первичного энергоносителя (природного
газа). Габаритные размеры источника 680 мм х 830 мм х 1640 мм, масса -200 кг.
Вид топлива - природный газ, тип отопления - водяное, максимальная температура
теплоносителя на выходе из источника 95°С,
нежелательно понижение
температуры ниже 45°С. Максимальный расход газа - 0.0034 м3/с, расход воды -5
м3/ч. Если температура теплоносителя на выходе из
0
3
котла становится выше 95 С или расход воды меньше 3 м /ч, то прекращается
подача газа на основные горелки [120].
Теплоснабжение осуществляется по теплотрассе длиной 100 м, диаметр
теплотрассы 100 мм, толщина минераловатной теплоизоляции - 50 мм.
Исходные
параметры
системы,
по
принятой
в
параграфе
2.2
диссертационного исследования классификации, приведены ниже: аТ= 50.5,
Вт/(°С), рт = 7270, кг/м3; БТ =34.7, м2; 8Т =0.005, м; СГ(7»=4190, Дж/(кг*°С);
С2(7»=4180, Дж/(кг*°С); <3, =36000000, Дж/м3; р2 =1000, кг/м3; У2=0.014, м3; С2(ТК)
=4180, Дж/(кг*°С); ТГ =2030, °С; ТСК =5, °С; ТГ2 =110, °С;
Тв=5, °С; =0.05, Вт/(м*°С); SK =0.925616, м2; 6К =0.1, м; Сг(Тг2)=1300, Дж/(м3*°С);
Vcr =0.0112, м3/с; СГ(ТВ) =1300, Дж/(м3*°С); VB =0.0056, м3/с; Vt=0.0014, м3/с;
ар=8.07 , Вт/(м2*°С); рр=7800, кг/м3; ё р =0.005, м; СР(ТР)=4190, Дж/(кг*°С); SCT-,780
м2; т =3; Vn =1800, м3; СП(Т)=1100, Дж/(кг*°С); ^=1.205, кг/м3, S P =9A, м2; Т с =-5, °С.
Значения
теплотехнических
коэффициентов
элементов
ограждающей
конструкции взяты из [13, 87, 88, 117] и приведены в таблице 5.1.
Таблица 5.1
Теплотехнические
коэффициенты
элементов
ограждающей
конструкции
Элементы
k¡
Доля
S¡*k¡
h
Sj*k¡
конструкции
Стены
S¡,M2
Вт/(м*°С)
S¡,M
Вт/(м2*°С)
Вт/°С
%,
0,52
0,300
1,7
597,2
0,061086
Окна
344,
5
19,2
0,76
0,050
15,2
292,4
0,029915
Ворота
56,3
86,50
0,005
Потолок
360,
0
780,
0
0,52
0,050
17300,
0
10,4
Итого
972952,0 99,526020
3744,0
0,382984
977585,6
Начальные условия системы (4.41): ТК(0)=20°С; Т т { 0)= 18°С; ТР(0)=12°С;
Т(0)=50С; Т о б р (о) = 110 С.
Системному
возможности
расчету
поддержания
следует
предпослать
требуемой
анализ
температуры
в
принципиальной
производственном
помещении даже при условии отбора от источника максимальной его мощности
(объем газа Уг =0.0034, м /с). Результаты соответствующего предварительного
анализа приведены в таблице 5.2.
Таблица 5.2
Стационарные режимы системы (°С)
Tk ct
160.0929768
Tt ct
158.6804913
Tr ct
140.483577
T ct
0.105050142
T obr
139.2388636
Как видно из таблицы 5.2. даже при максимальной подаче первичного
энергоносителя в источник последний не обеспечивает нагрев помещения до
нормативного значения, а температура теплоносителя на выходе из источника
превышает при этом предельно допустимую. На основе анализа данных таблицы
5.1 следует провести предварительную параметрическую оптимизацию элементов
ограждающих конструкций системы [77, 106].
Рассмотрим результаты, полученные в табл. 5.1. Физический смысл
коэффициентов (их размерность
- потери мощности в Вт через
соответствующие элементы ограждающей конструкции в случае, если Т-Тс= 1°С. По
данным последнего столбца таблицы 5.1 около 99,5% тепловой мощности теряется
в окружающую среду через металлические ворота. Очевидно, что утепление
створок
ворот
является
первоочередной
проводимости ограждающих
конструкций.
задачей
Для
в
снижении
утепления
тепловой
створок
ворот
целесообразно использовать маты минераловатные прошивные (ГОСТ 21880-76) и
на синтетическом связующем (ГОСТ 9573-82). Значение теплотехнических
коэффициентов системы для рассматриваемого случая приведено в таблице 5.3.
Таблица 5.3
Теплотехнические коэффициенты элементов ограждающей конструкции
при выполнении теплоизоляции ворот
Элементы
К
конструкции
м2
Стены
344,52
0,52
0,30
1,73
597,17
Окна
0,76
0,05
15,20
292,45
0,05
0,05
1,04
58,49
1,25
Потолок
19,2
4
56,2
4
360,00
12,7
3
6,23
0,52
0,05
10,40
3744,00
79,8
0
Итого
780,00
Ворота
Вт/(м*°С)
§1,М Вт/(м2*°С)
Вт/°С
Доля 8|*к|%
4692,11
Как видно при сравнении результатов расчетов в таблицах 5.1 и 5.3
суммарная величина коэффициента Б*к уменьшилась с 977585,6 Вт/°С до 4692,11
Вт/°С. Примерная стоимость указанного снижения потерь мощности определяется
стоимостью 56 м минераловатных матов (около 1000 руб).
Рассчитаем
стационарные
и
нормативные
режимы
системы
после
проведения предварительной оптимизации. Результаты расчетов сведем в таблицу
5.4.
Таблица 5.4
Стационарные и нормативные режимы системы после проведения
предварительной оптимизации металлических ворот
Стационарные
Нормативные
Tk et
178.8277911
150.7469856
Tt et
177.2550162
149.4144617
Tr et
159.3800639
134.3343352
T et
21.48528514
18
T obr
157.9736779
133.1422329
Vr
0.0034
0.002983652
По теореме 4.7 при условии превышения стационарными решениями
нормативных решений, последние являются принципиально возможными. Однако,
данные решения являются неприемлимыми по условиям обеспечения техники
безопасности, поскольку температура теплоносителя на выходе из источника
превышает предельно допустимое значение. Так как технические характеристики
источника не позволяют обеспечить рассчитанный в таблице 5.4 режим, требуется
продолжить утепление ограждающих конструкций здания. Из последнего столбца
таблицы 5.3 видно, что около 80% тепловой мощности теряется через потолок
здания. Рассмотрим мероприятия по снижению тепловой проводимости потолка. В
качестве такового рекомендуется подвеска на расстоянии 1 метра от перекрытий
полихлорвиниловой пленки толщиной 1 мм. Значение теплотехнических
коэффициентов системы для рассматриваемого случая приведено в таблице 5.5.
Таблица 5.5
Теплотехнические коэффициенты элементов ограждающей конструкции при
выполнении теплоизоляции ворот и потолка здания
Элементы
конструкции
8^м2
Стены
Окна
344,52
0,52
0,30
1,73
597,168 62,44949
19,24
0,76
0,05
15,20
292,448 30,58307
Ворота
56,24
0,05
0,05
1,04
58,4896
6,11661
Потолок
360,00
0,02
1,00
0,02
8,136
0,85083
Итого
Вт/(м*°С)
81, м
Вт/(м2*°С)
Доля
8]к1
%
780
8&Вт/°С
956,242
Как видно из таблиц 5.3 и 5.5, суммарная величина коэффициента
уменьшилась с 4692,1056 Вт/°С до 956,2416 Вт/°С. Примерная стоимость
мероприятий по указанному снижению потерь мощности определяется
стоимостью 360 м полихлорвиниловой пленки (около 1800 руб).
Рассмотрим процесс изменения температуры воздуха в обогреваемом
помещении при принятых параметрах ограждающих конструкций. Построим
графики изменения температур. Результаты расчетов приведены на рисунке 5.1.
■Т
к
•
И
Тг
т
. .... ............
►Т
..'',
.......л/, 1 ,,'}'.
„.
..50
: * ?',:> I
\, С /
„г
---;——
1
1
0
0
150
• время,
мин.
оЬг
►Т
¡эк
200
250
... '-'Г М ;— --
п—
300
э
ис. 5.1. Графики изменения температур в элементах системы теплоснабжения с вынесенным
источником
Время достижения нормативного значения температуры воздуха в
помещении составляет 215 мин. Значения корней характеристического многочлена
для рассматриваемого случая приведены в таблице 5.6.
Таблица 5.6
Значения корней характеристического многочлена
Л1
-1.00000048
к2
-.1316622268е-1-. 6294427485е-2 */
Лз
-. 1316622268е-1 +.6294427485е-2* 1
¿4
-0.002513111
Лв
-0.00019
Из таблицы 5.6 следует, что система находится в области колебательной
устойчивости. Однако большие значения декремента затухания и большие
значения произвольных постоянных решения системы дифференциальных
уравнений обеспечивают практически монотонный рост температур.
В таблице 5.7 приведены значения параметров системы, обеспечивающие
стационарный режим ее работы после достижения нормативных значений
температур.
Таблица 5.7
Нормативный и стационарные режимы системы
Стационарны Нормативные
режимы
е режимы
Тк
П
Тг
Т
54.72043891
49.7480544
54.20948894
49.27964665
50.28774462
45.69023175
20.0337862
18
Тобр
49.81471944
45.2565415
0.00085
0.0007837
Уг
Из таблицы 5.7 видно, что указанный стационарный режим системы
достигается при подаче первичного энергоносителя в источник в объеме 0.00085
м3/с.
111
5.3. Моделирование режимов теплового снабжения системы с автономным
внутренним источником тепловой энергии
Для проведения адекватного сравнения работы систем теплового снабжения
с вынесенным и внутренним источниками тепловой энергии произведем
следующую модификацию рассмотренной выше системы. Источник тепловой
энергии
того
же
типа
разместим
в
пристройке
к
рассматриваемому
производственному помещению. Значения корней характеристических полиномов
для случаев с изолированным и неизолированным автономными источниками
приведен в таблице 5.8.
Таблица 5.8
Корни характеристических полиномов для систем с изолированным и
неизолированным автономными источниками
¿1
Изолированный Неизолированный
источник
источник
-1.00381216
-1.0038122
к2
-0.00239494
-0.0023949
Лз
-0.00049194
-0.0004919
Результаты расчета показывают, что обе системы находятся в состоянии
монотонной устойчивости, что и было доказано выше в параграфе 4.2. Значения
температур в рассмотренных системах теплоснабжения приведены на рисунках 5.2
и 5.3.
120
----
10
0
§
Р
•Тк
ё
■Т
. ........ "''"Л 1 ' 11 '-
р
т
Т ¡эк
______________
50
......... ........ ..................................... ', I....... . ............. ___________ ..... __ ____
__
200
100
'.
150
время, мин
250
Рис. 5.2. Графики изменения температур в элементах системы теплоснабжения с встроенным
изолированным источником
время, мин
Рис. 5.3. Графики изменения температур в элементах системы теплоснабжения с встроенным
неизолированным источником
Сравнительный анализ полученных на рисунках 5.2 и 5.3 результатов
показывает, что в случае с автономным неизолированным источником время
«разгона» системы составляет 95 минут, что на 40 минут меньше, чем в случае с
автономным изолированным источником. Это объясняется тем, что в случае
системы с неизолированным автономным источником тепловые потери самого
источника (за исключением потерь с уходящими газами) идут непосредственно на
нагрев производственного помещения.
Сравнительный анализ стационарных и нормативных режимов систем с
автономным изолированным и неизолированным источниками приведены в
таблице 5.9.
Таблица 5.9
Стационарный и нормативный режимы систем с автономным изолированным и
неизолированным источниками
Изолированный источник
Неизолированный источник '
Стационарные Нормативные Стационарные
Нормативные
режимы
режимы
режимы
Тк
52.78363016
49.27315998
52.8005906
49.27316
Тг
48.9583373
45.68448944
48.9741545
45.68449
Т
19,4484454
19.4554434
18
Уг
0.00068
режимы
18
0.0006421663
0.00068
0.0006420019
Анализ данных таблицы 5.9 позволяет сформулировать следующий вывод:
при прочих равных условиях применение автономного неизолированного
источника является более эффективным, так как в данном случае уменьшаются
тепловые потери самого источника.
5.4. Компьютерное моделирование теплоснабжения отдельного помещения
Рассмотрим процесс теплоснабжения отдельного помещения. Управление в
силу тепловой инерции носит в этом случае не релейный характер. Поэтому
производится его замена аппроксимирующей функцией. В общем случае,
параметр аппроксимации определяется для каждого помещения. Примеры
подобных расчетов приведены в [58, 76]. Если в здании замеры температуры
обогревателя не производились, то предлагается иной подход. Рассчитать
изменения температур для всей системы теплового снабжения в целом и из
полученных данных выбрать набор характерных точек, описывающих изменение
температуры обогревателя во времени.
По
результатам
эксперимента,
проведенного
в
производственном
помещении ООО «Группа компаний К5», найдем параметры аппроксимации по
формулам (4.9) и (4.16). Аппроксимирующий параметр X функции Хаттингтона
ищется без учета нескольких начальных точек, поскольку данная функция имеет
значения в отрицательной полуплоскости. Результаты расчетов приведены в
таблице 5.10.
Экспериментальные
данные
Время, с Температура,
°С
0
12
Таблица 5.10
Расчет параметров аппроксимации
Аппроксимирующий
параметр А,
Г2
Аппроксимирующий
параметр ¡л
м0
0
1200
16 -85.75075678
1440000
4800
30 -1783.505071
23040000
9600
10800
48 -9306.245349
52 -12636.76953
92160000 -7107.820596
116640000 -10692.38177
92160000
116640000
13440
60 -23625.61041
180633600
-22373.95321
180633600
14820
65 -36323.89555
219632400
-35660.89414
219632400
16320
69 -66266.42993
266342400
-66124.71899
266342400
-141959,7687
875408400
16500
70
п
-150028.2066
899888400
Е
/=1
параметры
0.000166719
0,000162164
Как видно из таблицы 5.10 Я<ц и их значения отличаются несущественно.
Полученный
результат
свидетельствует
о
достаточно
высокой
точности
предлагаемого метода расчета параметра аппроксимации.
Проведем вычислительный эксперимент по расчету тепловых режимов в
помещении. Суть эксперимента сводится к сравнению результатов эксперимента с
расчетными данными. На рис. 5.4 приведены характеристики изменения
температур радиатора и воздуха в помещении при заданных начальных условиях.
мин (двумерный случай) при аппроксимации
Рис. 5.4. График изменения температурвремя,
в помещении
управления функцией обратной экспоненты
На рисунке 5.4 видно, что время «разгона» системы от 5 до 18 °С составляет
215 минут, что совпадает как с результатами натурного эксперимента, так и с
расчетными данными, полученными в результате моделирования работы всей
системы теплового снабжения в комплексе.
Результаты
расчета
стационарных
режимов:
Тг^=50.27923824
°С,
Гл/=20.03285969 °С. Приведенный результат свидетельствует о практически полном
совпадении полученных результатов с расчетами стационарных режимов для
системы теплоснабжения с автономным вынесенным источником тепловой
энергии.
Выполним расчет аппроксимации система первого порядка. Результаты
расчета с использованием функции Хаттингтона приведены на рис. 5.5.
время, мин
Рис. 5.5. График изменения температур в помещении при
аппроксимации управления функцией Хаттингтона
На рис. 5.5 видно, что время достижения нормативной температуры воздуха
в помещении составляет 118 минут. С учетом корректировки данной величины по
формуле (4.10), равной 88,447 минут (тепловая инерция системы), время «разгона»
системы составляет 207 минут, что отличается от результата эксперимента на 8
минут.
Выполним
рассмотренную
выше
аппроксимацию
с
использованием
функции обратной экспоненты. Результаты соответствующих расчетов приведены
на рис. 5.6.
»Тапп
рокс
►Т
T isk
10
0
200
300
400
время,
мин.
Рис. 5.6. График изменения температур в помещении при аппроксимации управления функцией
обратной экспоненты
На рис. 5.6 видно, что время достижения нормативного значения
температуры воздуха в помещении в рассматриваемом случае составляет 204
минуты, что на 9 минут отличается от экспериментальных данных.
Полученные в данном параграфе результаты позволяют констатировать, что
предложенные в диссертационном исследовании методы аппроксимации функции
управления, а также методы расчета стационарных и переходных режимов
обладают высокой точностью, требуют малых затрат машинного времени и
удобны в эксплуатации.
5.5. Выводы по главе
Результаты проведенных расчетных экспериментов по моделированию
реальных систем теплового снабжения позволяют сформулировать следующие
выводы:
• на
основе
проведенных
в
диссертационной
работе
теоретических
исследований разработана система программной поддержки, позволяющая
моделировать процессы теплоснабжения в системах с автономными
источниками тепла;
• полученные с использованием системы программной поддержки результаты
расчетов позволяют оценить предложенные методы и подходы, как
высокоточные, конструктивные и удобные в практическом использовании;
• результаты расчетов подтверждают сформулированные в диссертационном
исследовании
теоретические
положения
о
точности
аппроксимации
функции управления, допустимости моделирования переходных процессов в
системах первого-пятого порядков с использованием аналитических
выражений,
возможностями
системы
проведения параметрической оптимизации.
Заключение
программной
поддержки
для
Основные
результаты
диссертационного
исследования
можно
сформулировать следующим образом.
1.
Разработана методика построения математических моделей системы
теплоснабжения зданий с автономными источниками тепла на основе
уравнений тепловых балансов с осредненными значениями температур в
каждом элементе.
2.
Предложена
иерархия
математических
моделей,
описывающих
энергоэффективность различных систем теплоснабжения и позволяющая
моделировать
как
теплоснабжения
отдельные
в
целом
элементы
с
системы,
помощью
так
и
системы
автономных
систем
дифференциальных уравнений. Для этой системы моделей разработана
программная поддержка.
3.
Для анализа работоспособности и оценки точности моделей, описывающих
теплоснабжение
отдельных
помещений,
предложены
методы
аппроксимации процессов управления теплоснабжением.
4.
Сформулированы условия существования стационарных и нормативных
тепловых режимов систем теплоснабжения и получены аналитические
зависимости для их расчета.
5.
Показана
возможность
устойчивости
систем
полного
и
наглядного
первого-пятого
порядков
описания
в
областей
пространстве
коэффициентов характеристического уравнения или их преобразований.
6.
Показаны возможные пути решения обратной задачи устойчивости отыскания параметров исходной системы (с дополнительными условиями,
специфическими
для
нее)
по
коэффициентам
многочленов, выбранных по условиям устойчивости.
119
характеристических
7. Предложен механизм решения систем обыкновенных дифференциальных
уравнений,
описывающих
процессы
теплоснабжения
в
области
колебательной устойчивости.
Рекомендации к использованию
1.
Компьютерное моделирование теплотехнических процессов различных видов
систем теплоснабжения с автономным источником тепла.
2.
Расчет тепловых потерь и их оптимизация в каждом элементе Системы
теплового снабжения.
3.
Проведение теоретических исследований на этапе проектирования различных
зданий и сооружений и выбора источников тепла.
Библиографический список
1.
Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. - М.:
Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 429 с.
2.
Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука,
1971.-240 с.
3.
Батухтин В.Д., Майборода JI.A. Оптимизация разрывных функций. -М.:
Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. -208 с.
4.
Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О. Некоторые вопросы математической
теории процессов управления. -М.: ИЛ, 1962. -336 с.
5.
Беллман
Р.,
Дрейфус
С.
Прикладные
задачи
динамического
программирования.-М.: Наука. Главная редакция физико-математической
литературы, 1965. - 460 с.
6.
Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в
частных производных. -М.: "Мир", 1974. - 208 с.
7.
Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления.
М.:Наука, 1969-408 с.
8.
Бродач M. М. Теплоэнергетическая оптимизация ориентации и размеров
здания. //Научные труды НИИ строительной физики. Тепловой режим и
долговечность зданий. М., 1987
9.
Ван дер Поль Б., Бреммер X. Операционное исчисление на основе
двухстороннего преобразования Лапласа. - М.: Иностранная литература,
1952.- 506 с.
10.
Варга
Дж.
Оптимальное
управление
дифференциальными
и
функциональными уравнениями: Пер. с англ. /Под ред. Гамкрелидзе Р.В.
- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1977.
- 624 с.
И. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука,
1988. -549 с.
12.
Владимиров B.C. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1981. 512 с.
13.
Волков М.А., Волков В.А. Эксплуатация газифицированных котельных. - 4-е
издание, переработанное и дополненное. - М.: Стройиздат, 1990.-256 с.
14.
Волкова В.Н., Денисов A.A. Основы теории систем и системного анализа. СПб.: Издательство СПбГТУ, 1999. - 512 с.
15.
Волынский Б.Н. Конструктивные решения энергосберегающих зданий.
//Энергосбережение №4, 2001 - с. 52-55.
16.
Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967. - 575с.
17.
Герасимов А.Н., Иванов В.М. Условия устойчивости систем управления с
нестабильными параметрами //Приборостроение. - 1990. - №7. - т.ЗЗ. - С.1418
18.
Герасимов E.H., Почтман Ю.М., Скалозуб В.В. Многокритериальная
оптимизация
конструкций.
-
Киев;
Донецк:
Вища
шк.
Головное
издательство, 1985. - 134 с.
19.
Гноенский JÏ.C., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы
теории управляемых систем.-М.: Наука, 1969.- 512 с.
20.
Гордиенко Б.И., Жак C.B., Мирская С.Ю.О некоторых технических
приложениях эконометрики. //Деп. В ВИНИТИ 02.06.99, № 1771-В99
21.
Грудзинский M. М., Ливчак В.И., Поз М.Я. Отопигельно-вентиляционные
системы зданий повышенной этажности. М.: Стройиздат, 1982.
22.
Гутер P.C., Овчинский В.В. Элементы численного анализа и математической
обработки результатов опыта. -М.: Наука. Главная редакция физикоматематической литературы., 1970. - 432 с.
23.
Делюкин
A.C.
Концепция
реконструкции
системы
теплоснабжения
Приморского района Санкт-Петербурга. //Энергосбережение №6, 2001 - с.
42-45.
24.
Денисов A.A., Колесников Д.Н. Теория больших систем управления. -JL:
Энергоиздат, Ленинградское отделение, 1982.-288 с.
25.
Дончев А. Системы оптимального управления: Возмущения, приближения и
анализ чувствительности: Пер. с англ.- М.: Мир, 1987. - 156 с.
26.
Ельцов В.А. Использование энергоэффективных технологий в Смоленской
области. //Энергосбережение №1, 2001 - с. 10-14.
27.
Жак C.B. Математические модели менеджмента и маркетинга. - Ростов- наДону: ЛаПО, 1997. - 320 с.
28.
Жак C.B. Задачи оптимального управления. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ,
1983.-35 с.
29.
Жак C.B., Мирская С.Ю. Системный анализ, система моделей и
многокритериальные задачи в экономике. //Системный анализ в экономике.
Материалы 2 межвузовской конференции «Системный анализ в экономике»,
Таганрог, 2001, с. 20-25.
30.
Жак C.B., Мирская С.Ю., Сидельников В.И. Оптимизационные задачи
теплоснабжения помещений. //Деп. (ВИНИТИ) № 1065-В2001, 24.04.01
31.
Жак C.B., Мирская С.Ю., Сидельников В.И. Экономичный обогрев
помещения как задача оптимального управления. //Информационные
технологии и системы. Выпуск 4, ВГТА, Воронеж, 2001, с. 133 - 138.
32.
Жак C.B., Мирская С.Ю., Шидакова Н.Б. Модели принятия решений по
нескольким критериям предпочтения. //Сборник научных трудов. Том 1.
Математическое
моделирование
эколого-экономических
систем,
Кисловодск, 1997, с. 49-51.
33.
Жак C.B., Сидельников В.И., Мирская С.Ю. Структура распределения
тепловой энергии при анализе теплоснабжения отдельного помещения.
//АВОК №4, 2002, с. 66-70.
34.
Жак C.B., Мирская С.Ю., Сидельников В.И. Прямая и обратная задачи
устойчивости - генерирование параметров системы теплоснабжения.
Известия вузов. Северо - Кавказкий регион. Естественные науки. 2003. № 1.
35.
Железнов И.Г. Сложные технические системы (оценка характеристик):
Учебное пособие для технических Вузов. -М.: Высшая школа, 1984. - 119 с.
36.
Загускин В.Л. Справочник по численным методам решения алгебраических
и трансцендентных уравнений. -М.:Гос. изд-во физико- математической
литературы, 1960.-216 с.
37.
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1976.
- с. 576.
38.
Кини Р.Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях:
предпочтения и замещения: Пер. с англ./Под ред. И.Ф. Шахнова. - М.: Радио
и связь, 1981. - 560 с.
39.
Кобринский Н.Е., Кузьмин В.И. Точность экономико-математических
моделей. - М.: Финансы и статистика, 1981. - 255 с.
40.
Коркин В.Д. Системы водяного отопления с радиаторами. //АВОК №4, 2002,
с. 56-62.
41.
Кононенко
А.И.,
асимптотически
Мильман
устойчивых
В.Д.
Численный
решений
метод
системы
нахождения
обыкновенных
дифференциальных уравнений. //Доклады академии наук СССР, том 167,
№4, 1966. - с. 739-742.
42.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и
инженеров. М.: Наука, 1970. -720 с.
43.
Коробейник Ю.Ф., Табунщиков Ю.А. Об одной изопериметрической задаче
и ее приложениях. //Известия высших учебных заведений. СевероКавказкий регион. Естественные науки. №1, 2002. -с. 23-27.
44.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Изд. 4-е, переработанное. М.: Гос. изд.
технико-теоритической литературы, 1955. - 380 с.
45.
Лапир М.А. Итоги отопительного сезона и направления работ по подготовке
к зиме 2002-2003 годов.//Энергосбережение №2, 2002, с. 4-6
46.
Ж. Ла-Салль, С. Лефшец. Исследование устойчивости прямым методом
Ляпунова. -М.: Мир, 1964.
47.
Ливчак
В.И.
Стратегия
энергосбережения
в жилищно-коммунальном хозяйстве и социальной сфере. //АВОК №6, 2001,
с. 10-16
48.
Ливчак В.И. Энергоаудит и энергетическая паспортизация жилых зданий путь стимулирования энергосбережения. //АВОК №2, 2002, с.8-15.
49.
Ливчак В.И. Энергосбережение при строительстве и реконструкции жилых
зданий в России. //Энергосбережение №5, 2001 - с. 32-37.
50.
Лионе
Ж.-Л.
Оптимальное
управление
системами,
описываемыми
уравнениями с частными производными: Пер. с фран. /Под ред.
Гамкрелидзе P.B. - М.: Мир, 1972. - 414 с.
51.
Лэсдон Л. Оптимизация больших систем.-М.: Наука, 1975. - 432 с.
52.
Мартинсон
Л.К.,
Малов
Ю.И.
Дифференциальные
уравнения
математической физики. -М.: Издательство МГТУ, 1996. -368 с.
53.
Матвеев Н.М. Методы итегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений. -М.: Высшая школа, 1963. -548 с.
54.
Матросов A.B. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. СПб.: БХВ-Петербург, 2001. - 528 с.
55.
Методы исследования нелинейных систем управления/Под ред. Я.З.
Цыпкина. - М.: Наука, 1983. - 240с.
56.
Мирская С.Ю., Сидельников В.И. Оптимизационные задачи теплоснабжения
помещений (экономика и комфорт). Системное моделирование социальноэкономических процессов. Тезисы докладов 24 международной школысеминара им. Шаталина С.С„ Часть 2, Воронеж, 2001, с. 152-154.
57.
Мирская С.Ю., Сидельников В.И. Дифференциальные уравнения процесса
теплового
обмена
в
системе
теплоснабжения.
Компьютерное
моделирование. Экономика. М.: Вузовская книга, 2002.
58.
Мирская С.Ю. Квазирелейное управление теплоснабжением. //Вестник
РГУПС №2, 2002, с. 141-147.
59.
Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра (линейная алгебра,
многочлены, общая алгебра). - М.: Наука, 1965, - 300 с.
60.
Моисеев H.H. Математические модели системного анализа. -М.: Наука,
1981.-488 с.
61.
Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и
управления.-М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1988. -360 с.
62.
Морозов В.П., Дымарский Я.С. Элементы теории управления ГАП:
Математическое обеспечение. - Д.: Машиностроение, Ленингр. отделение,
1984. - 333 с.
63.
Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений. -М.: Мир,
1990. - 208 с.
64.
Наумов А.Л. Тенденции развития теплоснабжения в России. //АВОК №6,
20001, с. 4-8
65.
Нейлор
Т.
Машинные
имитационные
эксперименты
с
моделями
экономических систем. - М.: Мир, 1975. - 500 с.
66.
Николь
Н.,
Альбрехт
Р.
Электронные
таблицы
Excel
квалифицированных пользователей. - М.: ЭКОМ, 1995. - 346 с.
67.
Оптимальное управление. Сборник. М.: Знание, 1978. -144 с.
5.0
для
68.
Основы теории оптимального управления. /Под ред. Кротова В.Ф. - М.:
Высшая школа, 1990. - 430 с.
69.
Пантелеев
A.B.,
Якимова
A.C.,
Босов
A.B.
Обыкновенные
дифференциальные уравнения в приложении к анализу динамических
систем. -М.: Издательство МАИ, 1997. - 188 с.
70.
Пароди
М.
Локализация
характеристических
чисел
матриц
и
ее
применения.-М.: ИЛ, 1960.-170 с.
71.
Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений.-М.: Наука, 1964.-272 с.
72.
Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимального управления. - М.:
Наука, 1976. -324 с.
73.
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Гос.
изд. Физико-математической литературы, 1961. - 312 с.
74.
Постников М.М. Устойчивые многочлены.- М.: Наука, 1981. - 176 с.
75.
Райфа Г. Анализ решений (введение в проблему выбора в условиях
неопределенности). -М.: Наука. Главная редакция физико- математической
литературы, 1977. -408 с.
76.
Розенкноп В.Д., Блитштейн A.A. Вопросы применения пакета прикладных
программ
ЦСМП/ЕС
для
моделирования
динамических
систем
электромеханики. //Известия высших учебных заведений. Электромеханика
№1, 1977. - с. 4-10.
77.
Салуквадзе М.Е. Задачи векторной оптимизации в теории управления.
Тбилиси: Мецниереба, 1975. - 202 с.
78.
Северцев H.A. Надежность сложных систем в эксплуатации и отработке:
Учебное пособие для вузов. -М.: Высшая школа, 1989. - 432 с.
79.
Сид
ельников
В.И.
О
проектировании
устойчивых
линейных
автоматических систем //Известия вузов. Северо- Кавказский регион.
Технические науки. 2002, № 4. с. - 89-92.
80.
Сидельников
В.И.,
//Заключительный
разработка
Жак
отчет
системы
С.В.,
по
Мирская
проекту
С.Ю.,
№2328
энергосбережения
Сидельников
М.В.
«Научно-методическая
в
образовательных
учреждениях»/Рук. НИР В.И. Сидельников. РГПУ, Ростов-на-Дону, 2000 г. 28 с.
81.
Сидельников В.И., Мирская С.Ю. Компьютерный анализ оптимизации
затрат на передачу тепловой энергии по теплотрассе. //Вестник РГУПС №1,
Ростов н/Д, 2002, с. 143-150.
82.
Сидельников В.И., Мирская С.Ю. О расчетной стоимости тепловой энергии
в оптимизационных экономических расчетах. //Системное моделирование
социально-экономических процессов. Тезисы докладов 25 международной
школы-семинара им. Шаталина С.С., Часть 2, Королев, 2002, с.69.
83.
Сидельников
В.И.,
Мирская
С.Ю.
Системный
анализ
процессов
теплоснабжения. //Системный анализ в проектировании и управлении.
Труды VI международной научно-практической конференции, СПбГПУ,
2002, с. 127-129.
84.
Сидельников В.И., Мирская С.Ю. Эффективность капитальных вложений в
системы
теплоснабжения.
//Системное
моделирование
социально-
экономических процессов. Тезисы докладов 23 международной школысеминара им. Шаталина С.С., Дивноморск, 2000, с. 120-121
85.
Сидоренко B.C. Устойчивость процесса позиционирования программного
гидропривода. //Новые технологии управления движением технических
объектов, Ростов н/Д, 2000, с. 34-37.
86.
Системный анализ и структуры управления. /Под ред. Шорина В.Г. -М.:
Знание, 1975.-304 с.
87.
Справочник
проектировщика.
Внутренние
санитарно-технические
устройства. В 2-х частях. Под редакцией И.Г. Староверова. Издание 3-е
переработанное и дополненное. Часть I. Отопление, водопровод,
канализация. -М.: Стройиздат, 1976. - 429 с.
88.
Справочник
эксплуатационщика
газифицированных
котельных.
/Л.А.
Порецкий и др.-2-е издание, переработанное и дополненное. -Л.: Недра,
1988-606 с.
89.
Стнкявичюс В., Карбускайте Ю., Блюджюс Р. Анализ потребления тепловой
энергии в зданиях.Юнергосбережение №2, 2002, с. 54-56
90.
Табунщиков Ю.А. Основы математического моделирования теплового
режима здания как единой теплоэнергетической системы. Докторская
диссертация.-М.: НИИСФ, 1983 - с. 426.
91.
Табунщиков Ю.А., Бродач М.М. Математическое моделирование и
оптимизация тепловой эффективности зданий. - М.: АВОК-ПРЕСС, 2002. 194 с.
92.
Табунщиков Ю.А., Бродач М.М. Минимизация затрат энергии при
прерывистом режиме отопления. //АВОК №1, 2001, с. 14-20
93.
Табунщиков
Ю.А.,
Бродач
М.М.
Минимизация
расхода
энергии,
затрачиваемой на натоп помещения.//Известия вузов "Строительство и
архитектура", 1988, №12.- с. 84-87
94.
Табунщиков Ю.А., Бродач М.М., Научные основы проектирования
энергоэффективных зданий. //АВОК №1, 1998, с 6-14
95.
Табунщиков Ю.А., Матросов Ю.А., Хромец Ю.Д. Тепловая защита
ограждающих конструкций зданий и сооружений. - М.: Стройиздат, 1986
96.
Табунщиков Ю.А., Шилкин Н.В., Бродач М.М. Энергоэффективное
высотное здание. //АВОК №3, 2002, с. 8-20.
97.
Теплотехника /Под ред. А.П. Баскакова - М.: Энергоатомиздат, 1991.-224 с.
98.
Теплотехника /Под ред. чл.-корр. РАН, д-ра техн. наук, проф. В.Н.
Луканина. -М.: «Высшая школа», 2000. -671 с.
99.
Тихонов А.И., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.:
Наука, 1977. - 735 с.
100. Трухаев Р.И., Лернер B.C. Динамические модели процессов принятия
решений. - Кишинев: "Штиинца", 1974. -260 с.
101. Федоренко Р.П. Приближенное решение некоторых задач оптимального
управления. //Журнал вычислительной математики и математической
физики. Том 4, 1964. - с. 1045-1064.
102. Хедли Дж. Линейная алгебра.-М.: Высшая школа, 1966. -206 с.
103. Хорафас Д.Н. Системы и моделирование.- М.:Мир, 1967.-420 с.
104. Черемных Ю.П. Качественное исследование оптимальных траекторий
моделей экономики. -М.: Издательство Московский университет, 1975. - 184
с.
105. Шойхет Б.М., Овчаренко Е.Г., Мелех А.С. Региональные нормы по тепловой
изоляции промышленного оборудования и трубопроводов. //АВОК №6, 2001
- с. 42-48.
106. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и
приложения. - М.: Радио и связь, 1992. - 504 с.
107. Юдин Д.Б. Математические методы управления в условиях неполной
информации.-М.: "Советское радио", 1974.-400 с.
108. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального
управления. -М.: Мир, 1974. -488 с.
109. Cayley A. Nouvelles Recherches sur les fonctions de M. Sturm, J/ Math, pures
appl. 13
110. Daellenbach H.G., Georg J.A. Introduction to opérations research techniquers. Allyn and Bacon, Inc. Boston, USA, 1978 -603 p.
111. Gordienko В., Mirskayf S., Zhak S., Levin G. Production Unes models, opération
and cost évaluation. //Management and control of production and logistics 2000.
Volume 3, Pergamon Prs, France, 2001, p. 977-981.
УТВЕРЖДАЮ
Акт
о реализации результатов
ектор
по
кандидатской диссертации Мирской
работе
проф.
С.Ю. в учебном процессе
учебной
B.C.
Мельников
»¿eca?£jpJl 2002
Мы нижеподписавшиеся, начальник учебного отдела Павлов B.C., декан
факультета Экономики и безопасности жизнедеятельности Гапонов В.Д., зав.
кафедрой Экономики и менеджмента в машиностроении Пенязев O.A. составили
настоящий акт в том, что в учебном процессе используются следующие
результаты кандидатской диссертации Мирской С.Ю.:
- постановка и анализ системы, описывающей процессы теплоснабжения
помещения;
- постановка и анализ систем, описывающих процессы теплоснабжения
зданий со встроенным и внешним источником тепла;
- оптимальное управление динамическими системами.
Указанные результаты использованы в лекционном материале по курсу
«Исследования систем управления» и при выполнении практических работ по
указанному курсу.
B.C. Павлов
Начальник учебного отдела.
Декан факультета ЭиБЖД, д.т.н., про
Зав. кафедрой ЭиММ, заслуженный
работник
ВШ РФ
д.т.н., проф.
B.JI. Гапонов
O.A.
Пенязев
w
С.
Д
УТВЕРЖДАЮ
, Прореето^ по учебной работе
Д^&^^оф. В.И. Мареев «
Э е 2 0 0
2
Акт
о реализации результатов кандидатской диссертации Мирской С.Ю. в учебном
процессе
Мы
нижеподписавшиеся,
начальник
учебного
отдела
Ростовского
государственного педагогического университета Житная И.В., декан факультета
Технологии и предпринимательства Зезюлько A.B., зав. кафедрой Экономики и
прикладной математики Сидельников В.И. составили настоящий акт в том, что в
учебном
процессе
используются
следующие
результаты
кандидатской
диссертации Мирской С.Ю.:
- математическая модель анализа теплового баланса подсистемы радиатор
- помещение - окружающая среда;
- математическая
модель
анализа
теплового
баланса
подсистем
теплоноситель - радиатор - помещение и радиатор - помещение
окружающая среда;
- информационная система по оптимальному управлению указанными
динамическими подсистемами.
Указанные результаты использованы в лекционном материале по курсу
«Компьютерное моделирование технологических процессов» и при выполнении
практических работ по указанному курсу.
Начальник учебного отдела ________ _________________________ И.В. Житная
Декан факультета ТиП, к.п.н., доц.
A.B. Зезюлько
Зав. кафедрой ЭиПМ,
к.т.н., доц. ............................................ .. ..................... .... - .... В.И Сидельников
к12 ^ЯХ1х
М-у