Ермоленко АН - СМ Простые виды нагружения

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«УФИМСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ НАУКИ И ТЕХНОЛОГИИ»
А. Н. ЕРМОЛЕНКО
СОПРОТИВЛЕНИЕ
МАТЕРИАЛОВ
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ
В УСЛОВИЯХ ПРОСТЫХ ВИДОВ НАГРУЖЕНИЯ
Уфа
2023
УДК 539.4(07)
ББК 30.121я7
Е12
Утверждено Редакционно-издательским советом УУНиТ
в качестве учебного пособия
Рецензенты:
Профессор кафедры сопротивления материалов
УГНТУ, канд. технических наук Р.Х. Гафаров;
заведующий. кафедрой «Технологические машины и оборудование»
УГНТУ, доктор техн. наук, профессор И.Р.Кузеев
Ермоленко А. Н.
Е12 Сопротивление материалов. Расчеты на прочность и жесткость в условиях
простых видов нагружения / А. Н. Ермоленко – Уфа: Изд-во УУНиТ, 2023.
– 136 с.
Данная книга ставит целью познакомить студента с некоторыми
распространенными задачами курса, дать студенту навыки расчета конструкций,
выработать умение правильно применять на практике знания о функциональных
особенностях работы типовых расчетных схем. В книге содержатся краткие
теоретические сведения, варианты заданий на курсовую работу, разделенные на
три категории сложности, пример выполнения типовой курсовой работы, задания
и вопросы для самоконтроля, а также масса справочных данных.
Предназначено для студентов технических специальностей высших
учебных заведений.
Научный редактор д-р техн. наук, проф. Первушин Ю.С.
УДК 539.4(07)
ББК 30.121я7
ISBN
ISBN
 ФГБОУ ВО « Уфимский университет науки и технологии», 2023
 Ермоленко А.Н., 2023
ВВЕДЕНИЕ
Одними из важнейших этапов проектирования конструкций
являются расчеты на прочность, жесткость и устойчивость. Сейчас
нельзя представить ни одну конструкцию, которая не подверглась бы
таковым расчетам. Тонкий и глубокий анализ факторов эксплуатации
конструкции, четкое представление об условиях ее эксплуатации –
залог правильно выбранной инженером расчетной модели
конструкции.
Однако
последнее
невозможно
без
опыта
проектирования, который приобретается в ходе решения типовых
задач, имеющихся в курсе сопротивления материалов.
Данная книга ставит целью познакомить студента с некоторыми
распространенными задачами курса, дать студенту навыки расчета
конструкций, выработать умение правильно применять на практике
знания о функциональных особенностях работы типовых расчетных
схем. В книге содержатся краткие теоретические сведения, варианты
заданий на курсовую работу, разделенные на три категории
сложности, пример выполнения типовой курсовой работы, задания и
вопросы для самоконтроля, а также масса справочных данных.
3
I. ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ
1. Определение физико-механических
характеристик материала
По данным испытания образца из материала ВТ3-1 на
растяжение, была получена диаграмма растяжения образца (рис. 1.1.).
Размеры образца до испытания – базовый диаметр d0 = 7,96 мм,
базовая длина образца l0 = 90,1 мм. Диаметр образца после испытаний
в зоне шейки dК = 6,65 мм.
1.1. Определение геометрических характеристик образца.
Рассчитаем площадь поперечного сечения образца до испытаний:
πd 02 π ⋅ 7,962
=
A0 =
= 49,76мм 2 .
4
4
4
Рассчитаем площадь поперечного сечения образца после
испытаний:
πd К2 π ⋅ 6,652
=
AК =
= 34,73мм 2 .
4
4
1.2. Определение характеристик пластичности материала.
Обозначим характерные точки диаграммы (рис. 1.2): B – точка
соответствующая концу прямолинейного участка диаграммы,
C – максимальному значению силы на диаграмме, K – точка
соответствующая разрушению образца.
Разгрузка из точки K идет параллельно начальному участку
диаграммы 0B, что связанно со снятием с образца упругих деформаций
5
после разрушения. Проведем линию параллельную начальному
участку 0B через точку K. Полученный отрезок представляет собой
остаточное удлинение образца после разрушения ∆lост. Рассчитаем
относительное остаточное удлинение образца:
∆l
l −l
12, 42
δ = K 0 ⋅ 100% = ост ⋅ 100% =
=13,8%.
l0
l0
90,10
Рассчитаем площадь поперечного сечения образца после
испытаний:
A − AК
49,76 − 34,73
ψ= 0
⋅ 100%=
⋅ 100%= 30, 2%.
A0
49,76
Внешний вид диаграммы с зоной упрочнения (BC), зоной
локального упрочнения (CK), в которой происходит образование
локального сужения образца, т.е. шейки и его характер разрушения
дают основание заключить, что материал проявляет пластические
свойства. В соответствии с полученными данными о характеристиках
пластичности, материал можно отнести к пластичным, т.к. δ > 10%, что
соответствует пластичным материалам.
1.3. Определение механических характеристик материала.
По точкам B, C и K диаграммы растяжения найдем силы
FПЦ = 42,2 кН, Fmax = 53,5 кН и FK = 48,0 кН. На диаграмме отсутствует
явно выраженная площадка текучести, а значит материал в данном
состоянии не имеет физического предела текучести. Для таких
материалов определяют условный предел текучести.
Определим силу, соответствующую условному пределу
текучести. Условный предел текучести будем искать на уровне
соответствующем 0,2% остаточной пластической деформации.
Рассчитаем значение абсолютного остаточного удлинения,
соответствующего εост = 0,2% :
∆l
0, 2%;
εост =
ε0,2 = ост0,2 ⋅ 100% =
l0
ε0,2
0, 2%
⋅ 90,1= 0,18мм.
100%
100%
Откладываем полученное значение на диаграмме и проводим
линию параллельную начальному участку 0B диаграммы. Полученная
точка D является силой соответствующей условному пределу
текучести F0,2 = 44,2 кН.
∆lост0,2 =
l0 =
6
Определим предел пропорциональности:
FПЦ
42, 2 ⋅ 103
σПЦ=
=
= 848МПа.
A0
49,76 ⋅ 10−6
Определим условный предел текучести:
F0,2
44, 2 ⋅ 103
σ0,2=
=
= 888МПа.
A0 49,76 ⋅ 10−6
Определим временное сопротивление разрушению (предел
прочности):
Fmax
53,5 ⋅ 103
σ=
=
= 1075МПа.
В
A0
49,76 ⋅ 10−6
Определим напряжение в момент разрушения:
FК
48,0 ⋅ 103
σК=
=
= 965МПа.
−6
A0 49,76 ⋅ 10
Определим истинное напряжение в момент разрушения:
FK
48,0 ⋅ 103
=
sK =
= 1382МПа.
AK 34,73 ⋅ 10−6
По полученным данным строим диаграмму деформирования
материала при растяжении (рис. 1.3.).
Рис. 1.3. Диаграмма деформирования при растяжении образца из ВТ3-1
7
2. Проектировочный расчет на прочность
ступенчатого стержня при растяжении-сжатии
Для ступенчатого стержня (рис. 2.1.), работающего на
центральное растяжение-сжатие, необходимо выполнить расчет на
прочность, построив эпюру продольных сил, напряжений в долях от
неизвестной площади сечения A, найти эту площадь из условия
прочности и построить эпюру нормальных напряжений. Исходные
расчетные данные в табл. 2.1.
Рис. 2.1. Схема нагружения стержня
Таблица 2.1. Исходные расчетные данные
F, кН
11
q,
кН/м
86
l1, м
l 2, м
l 3, м
A1/A
A2/A
A3/A
0,2
0,5
0,4
1,5
2,5
2,0
Решение.
2.1. Построение расчетной схемы.
Построим расчетную схему стержня. Для этого перенесем все
силы к оси стержня, зададим систему координат, обозначим буквами
B, C, D и H характерные сечения стержня. Заменим заделку в сечении
B, возникающей в ней реакцией ZB. Вычертим в масштабе стержень
с учетом соотношения длин ступеней, а также площадей поперечного
сечения (рис. 2.2.).
Рис. 2.2. Расчетная схема стержня
8
2.2. Определение неизвестных.
Определим неизвестные – в данном случае это реакция в заделке,
в точке В. Составим уравнение статического равновесия:
∑ Z = 0; − Z B − ql1 + ql2 − 2 F = 0;
Z B =−ql1 + ql2 − 2 F =−86 ⋅ 0,2 + 86 ⋅ 0,5 − 2 ⋅ 11 =3,8кН.
2.3. Построение эпюры продольных сил.
Стержень содержит 3 расчетных участка – BC, CD и DH. В рамках
каждого из участков выберем сечения (рис. 2.2.).
Определим значение продольной силы на первом расчетном
участке ( 0 ≤ z1 ≤ l1 ). Составим расчетную схему (рис. 2.3, а), запишем
уравнение равновесия и выразим продольную силу:
∑ Z = 0; − Z B − qz1 + N ( z1 ) = 0;
N ( z=
Z B + qz1.
1)
а)
б)
в)
Рис. 2.3. Схемы расчетных участков стержня
Определим значение продольной силы в начале и конце
расчетного участка:
N ( z1 = 0) = Z B + q ⋅ 0 = 3,8 + 0 = 3,8 кН;
N ( z1 = l1 ) = Z B + ql1 = 3,8 + 86 ⋅ 0,2 = 21,0 кН.
Определим значение продольной силы на втором расчетном
участке ( 0 ≤ z2 ≤ l2 ). Составим расчетную схему (рис. 2.3, б), запишем
уравнение равновесия и выразим продольную силу:
∑ Z = 0; − Z B − ql1 + qz2 + N ( z2 ) = 0;
N ( z2 ) = Z B + ql1 − qz2 .
Определим значение продольной силы в начале и конце
расчетного участка:
9
N ( z2 = 0) = Z B + ql1 − q ⋅ 0 = 3,8 + 86 ⋅ 0, 2 − 0 = 21,0кН;
N ( z2 ==
l2 ) Z B + ql1 − ql2 =
3,8 + 86 ⋅ 0, 2 − 86 ⋅ 0,5 =
−22,0кН.
Определим значение продольной силы на третьем расчетном
участке ( 0 ≤ z3 ≤ l3 ). Составим расчетную схему (рис. 2.3, в), запишем
уравнение равновесия и выразим продольную силу:
∑ Z =0; − N ( z3 ) − 2 F =0;
N ( z3 ) =−2 F =−2 ⋅ 11 =−22кН.
По полученным данным строим эпюру продольных сил ЭN(z)
(рис. 2.4, б).
а
б
в
г
Рис. 2.4. Расчетная схема стержня (а) и эпюры: б – продольных сил,
в – нормальных напряжений в долях от площади A поперечного сечения,
г – нормальных напряжений.
10
Поскольку стержень имеет различные размеры поперечного
сечения по длине, это не позволяет установить по эпюре продольных
сил, где будет опасное сечение. Для этого необходимо рассчитать
нормальные напряжения, возникающие в сечениях стержня. В полной
мере эта задача является на данном этапе невыполнимой, т.к. площади
поперечного сечения стержня неизвестны.
Каждая из этих площадей выражена в долях от некоторой
неизвестной площади поперечного сечения A. Учитывая, что
нормальные напряжения в поперечном сечении определяются как
N ( zi ) N ( zi )
σ( zi =
=
)
,
Ai
ki A
где i – номер ступени стержня (i = 1, 2, 3), ki = ( Ai A ) – коэффициенты
отношении заданных площадей к неизвестной площади поперечного
сечения A.
Разделив значение продольной силы на соответствующие
коэффициенты, для каждой из ступеней, характеризующие их
площади, можно получить эпюру распределения нормальных
напряжений в долях от искомой площади поперечного сечения A. С
другой стороны, данная эпюра представляет собой эпюру продольных
сил, действующих на эквивалентном заданному, стержне постоянного
поперечного сечения A.
2.4. Построение эпюры нормальных напряжений в долях от
площади поперечного сечения A.
Определим значение нормальных напряжений на каждом из
расчетных участков:
11
σ( zi ) A =
N ( zi )
=
ki
N ( zi )
;
( Ai A)
3,8

z
=
=
0
:
2,5кН;
1
1,5
N ( z1 ) 
σ( z1 ) A=
= 
21,0
( A1 A)=
z l=
:
14,0кН;
 1 1 1,5
21,0

z
=
=
0
:
8, 4кН;
2
2,5
N ( z2 ) 
σ( z2 ) A=
= 
A
A
( 2 )  z = l : −22,0 = −8,8кН;
 2 2 2,5
N ( z ) −22,0
σ( z3 ) A =3 = =
−11кН.
( A3 A) 2,0
По полученным данным строим эпюру Эσ(z)A (рис. 2.4, в).
2.5. Определение площади поперечного сечения A. Расчет
площадей поперечного сечения ступенчатого стержня.
Материал конструкции был задан из Задачи 1 данной работы. Из
анализа характеристик материала было установлено, что материал
является пластичным, а следовательно одинаково сопротивляется
действию растягивающих и сжимающих нагрузок.
Поэтому, с точки зрения прочности конструкции, нас интересует
только наибольшее по абсолютной величине напряжение,
возникающее в ней. Из сопоставления полученных в предыдущем
пункте данных можно сделать вывод, что опасным является сечение C
первого расчетного участка, где действуют наибольшие по
абсолютной величине нормальные напряжения:
14,0кН
σ( z ) max = .
A
Запишем условие прочности:
σ( z ) max ≤ [ σ] ,
σ
где [ σ] = 0,2 – допускаемые напряжения, σ0,2 = 888 МПа – условный
n
предел текучести материала, n – коэффициент запаса прочности
(для пластичных материалов n = 1,5÷3,0). Примем n = 2, тогда
12
888
= 444МПа.
2
Подставляя в условие прочности полученные значения, и
выражая его относительно A, получим:
14,0кН 14 ⋅ 103
=
= 31,532мм 2 .
A≥
6
[σ] 444 ⋅10
В соответствии с условием прочности, значение площади
поперечного сечения примем равным 31,6 мм2.
Рассчитаем площади поперечного сечения каждой ступени
стержня:
A1 =1,5 A =1,5 ⋅ 31,6 =47,4мм 2 ,
[σ=]
A2 =2,5 A =2,5 ⋅ 31,6 =79,0мм 2 ,
A3 =2,0 A =2,0 ⋅ 31,6 =63,2мм 2 .
Найденные
значения
площадей
поперечного
обеспечивают выполнение условия прочности.
сечения
2.6. Построение эпюры нормальных напряжений.
Рассчитаем значения нормальных напряжений на каждом из
расчетных участков и построим эпюру (рис. 2.4, г):

3,8 ⋅ 103
:
80 МПа;
=
 z1 0=
−6
47,
4
10
⋅
N ( z1 ) 
)
σ( z1=
= 
A1
21,0 ⋅ 103

z l=
:
443МПа;
=
 1 1 47, 4 ⋅ 10−6

21,0 ⋅ 103
:
265МПа;
=
 z2 0=
79,0 ⋅ 10−6
N ( z2 ) 
)
σ( z 2 =
= 
3
A2
 z = l : −22,0 ⋅ 10 = −278МПа;
 2 2 79,0 ⋅10−6
N ( z3 ) −22,0 ⋅103
σ( z3 ) = =
=
−348МПа.
A3
63, 2 ⋅ 10−6
13
3. Проверочный расчет стержня на прочность и жесткость
Для стержня (рис. 3.1), работающего на центральное растяжениесжатие, необходимо выполнить проверочный расчет на прочность и
жесткость, построить эпюру продольных сил, нормальных
напряжений и осевых перемещений. Исходные расчетные данные в
табл. 3.1.
Рис. 3.1. Схема нагружения стержня
Таблица 3.1. Исходные расчетные данные
F, кН
11
q, кН/м
86
l1, м
0,2
l2, м
0,5
l3, м
0,4
A4, см2
8,9
Материал
Ст 1
Решение.
3.1. Построение расчетной схемы.
Построим расчетную схему стержня. Для этого перенесем все
силы к оси стержня, зададим систему координат, обозначим буквами
B, C, D и H характерные сечения стержня. Заменим заделку в сечении
C, возникающей в ней реакцией ZC. Вычертим в масштабе стержень
с учетом соотношения длин ступеней (рис. 3.2).
Рис. 3.2. Расчетная схема стержня
3.2. Определим неизвестные – в данном случае это реакция
в заделке, в точке С. Составим уравнение статического равновесия:
∑ Z = 0; − 2 F + ql1 − ZC + 4 F − ql3 = 0;
4,8кН.
ZC =
−2 F + ql1 + 4 F − ql3 =
−2 ⋅11 + 86 ⋅ 0,2 + 4 ⋅11 − 86 ⋅ 0,4 =
14
3.3. Построение эпюры продольных сил.
Стержень содержит 3 расчетных участка – BC, CD и DH.
В рамках каждого из участков выберем сечения (рис. 3.2.).
Определим значение продольной силы на первом расчетном
участке ( 0 ≤ z1 ≤ l1 ). Составим расчетную схему (рис. 3.3, а), запишем
уравнение равновесия и выразим продольную силу:
∑ Z =0; − 2 F + qz1 + N ( z1 ) =0;
N ( z=
2 F − qz1.
1)
а)
б)
в)
Рис. 3.3. Схемы расчетных участков стержня
Определим значение продольной силы в начале и конце
расчетного участка:
N ( z1 = 0) = 2 F − q ⋅ 0 = 2 ⋅ 11 − 0 = 22,0 кН;
N ( z1 =l1 ) =2 F − ql1 =2 ⋅ 11 − 86 ⋅ 0, 2 =4,8 кН.
Определим значение продольной силы на втором расчетном
участке ( 0 ≤ z2 ≤ l2 ). Составим расчетную схему (рис. 3.3, б), запишем
уравнение равновесия и выразим продольную силу:
∑ Z = 0; − 2 F + ql1 − ZC + N ( z2 ) = 0;
N ( z2 ) =2 F − ql1 + Z C =2 ⋅ 11 − 86 ⋅ 0,2 + 4,8 =9,6кН.
Определим значение продольной силы на третьем расчетном
участке ( 0 ≤ z3 ≤ l3 ). Составим расчетную схему (рис. 3.3, в), запишем
уравнение равновесия и выразим продольную силу:
0; N ( z3 ) − qz3 =
0; N ( z3 ) =
−qz3 .
∑ Z =−
Определим значение продольной силы в начале и конце
расчетного участка:
N ( z3 =0) =−q ⋅ 0 =0; N ( z3 =l3 ) =− ql3 =−86 ⋅ 0, 4 =−34, 4 кН.
По полученным данным строим эпюру продольных сил ЭN(z)
(рис. 3.4, б).
15
а
б
в
г
Рис. 2.4. Расчетная схема стержня (а) и эпюры: б – продольных сил,
в – нормальных напряжений в долях от площади A поперечного сечения,
г – нормальных напряжений.
3.4. Проверка выполнения условия прочности.
Стержень имеет постоянное поперечное сечение и изготовлен из
пластичного материала – Ст 1 (δ = 28% [8, c.644]), а значит опасное
сечение будет в сечении D справа, где действует наибольшая по
абсолютной величине сила N ( z3 ) max = 34,4 кН .
Запишем условие прочности:
N ( z3 ) max
=
σ( z ) max
≤ [ σ] ,
A4
16
σ
где [ σ] = T – допускаемые напряжения, σТ = 180 МПа [8, c. 644] –
n
предел текучести материала, n – коэффициент запаса прочности
(для пластичных материалов n = 1,5÷3,0). Примем n = 2, тогда
180
[σ=] = 90 МПа.
2
Проверим выполнение условия прочности:
34, 4 ⋅ 103
( z ) max
σ=
= 38,7 МПа
=
< [ σ] 90 МПа,
8,9 ⋅ 10−4
условие прочности выполняется, дополнительных уточнений площади
поперечного сечения не требуется.
3.5. Построение эпюры нормальных напряжений.
Рассчитаем значения нормальных напряжений на каждом из
расчетных участков и построим эпюру (рис. 3.4, г):

22, 0 ⋅ 103
=
:
24, 7 МПа;
 z1 0=
−4
8,9 ⋅ 10
N ( z1 ) 
σ( z1=
= 
)
A4
4,8 ⋅ 103

z l=
=
:
5, 4 МПа;
 1 1 8,9 ⋅ 10−4
N ( z2 ) 9, 6 ⋅103
σ( z 2 =
=
= 10,8 МПа;
)
A4
8,9 ⋅10−4
0

z
=
=
0
:
0;
3
−4

8,9 ⋅10
N ( z3 ) 
σ( z3=
= 
)
3
A4
 z = l : −34, 4 ⋅10 = −38, 7 МПа.
 3 3 8,9 ⋅10−4
3.6. Расчет удлинений по расчетным участкам.
Для расчета удлинений воспользуемся законом Гука (с учетом
того, что материал (модуль упругости E = 200 ГПа [8, c. 644]) и
площадь поперечного сечения неизменны по длине расчетного
участка):
l
1 i
∆li = ∫ N ( zi )dzi .
EA4 0
17
Определим значение абсолютной деформации на первом
расчетном участке ( 0 ≤ z1 ≤ l1 ):
l
l1
l
qz12 
1 1
1 1
1 
( z1 )dz1
(2 F − =
=
∆l1
N=
qz1 )dz1
 2 Fz1 −=

2 0
EA4 ∫0
EA4 ∫0
EA4 

86 ⋅ 103 ⋅ 0, 22 
3
 2 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 0, 2 −

2
2


ql1
1

 =1,51 ⋅ 10−5 м.
=
 2 Fl1 −
=
2 
2 ⋅ 1011 ⋅ 8,9 ⋅ 10−4
EA4 
Определим значение абсолютной деформации на втором
расчетном участке ( 0 ≤ z2 ≤ l2 ):
l2
l
l
 2 F − ql1 + Z C 
1 2
1 2
(
)
(2
)
N
z
dz
F
ql
Z
dz
=
∆l2
=
−
+
=
=

 z2
2
2
1
2
C
EA4 ∫0
EA4 ∫0
EA
4

 0
3
3
3
2 F − ql1 + Z C ) l2 ( 2 ⋅ 11 ⋅ 10 − 86 ⋅ 10 ⋅ 0, 2 + 4,8 ⋅ 10 ) 0,5
(
=
=
= 2,69 ⋅ 10−5 м.
2 ⋅ 1011 ⋅ 8,9 ⋅ 10−4
EA4
Определим значение абсолютной деформации на третьем
расчетном участке ( 0 ≤ z3 ≤ l3 ):
l
l
l3
1 3
1 3
1  qz32 
∆=
=
=
(−qz3 )dz
l3
N ( z3 )dz
−
=
3
3
EA4 ∫0
EA4 ∫0
EA4  2  0
 86 ⋅ 103 ⋅ 0, 42 
−

2
1  ql32  
=
= −
−3,87 ⋅ 10−5 м.
 = 11
−4
EA4  2  2 ⋅ 10 ⋅ 8,9 ⋅ 10
3.7. Построение эпюры осевых перемещений.
Расчет осевых перемещений производим по формуле:
w=
w0 + ∆li ,
i
где wi – перемещение в сечении, соответствующем концу расчетного
участка; w0 – перемещение в начале расчетного участка; ∆li –
удлинение данного расчетного участка. Исходя из этого, перемещения,
возникающие вдоль оси будут положительными, а перемещения
против направления оси – отрицательными.
Граничными условиями является перемещение в сечении C где
расположена жесткая заделка, т.е. перемещение отсутствует wС = 0.
Определим перемещения на первом расчетном участке
18
−1,51 ⋅ 10−5 м.
w=
wB + ∆l1 ; =
0 wB + 1,51 ⋅ 10−5 ; тогда w=
C
B
Определим перемещения на втором расчетном участке
wD = wC + ∆l2 ; wD = 0 + 2,69 ⋅ 10−5 = 2,69 ⋅ 10−5 м.
Определим перемещения на первом расчетном участке
wH = wD + ∆l3 = 2,69 ⋅ 10−5 − 3,87 ⋅ 10−5 = −1,18 ⋅ 10−5 м.
Построим эпюру осевых перемещений (рис. 3.4, д).
3.8. Проверка выполнения условия жесткости.
Условие жесткости запишем в виде:
∆lmax ≤ [ ∆l ] =10−3 lΣ ,
где ∆lmax – максимальное удлинение расчетной части стержня; [∆l] –
допускаемое удлинение, lΣ – сумма длин расчетной части.
Рассчитаем допускаемое удлинение:
[ ∆l ] = 10−3 lΣ = 10−3 ( l1 + l2 + l3 ) = 10−3 ( 0,2 + 0,5 + 0,4 ) = 1,1 ⋅10−3 м.
Проанализировав эпюру осевых перемещений, можно сделать
вывод, что наибольшее удлинение будет на участке CD:
∆lmax= wD − wC= 2,69 ⋅ 10−5 − =
0 2,69 ⋅ 10−5 м.
Условие жесткости выполняется:
∆lmax = 2,69 ⋅ 10−5 м< [ ∆l ] = 1,1 ⋅ 10−3 м.
19
4. Проектировочный расчет на прочность
ступенчатого стержня при кручении
Для ступенчатого стержня (рис. 4.1.), работающего на кручение,
необходимо выполнить расчет на прочность, построив эпюру
крутящих моментов, касательных напряжений в долях от неизвестного
d3, определить данный базовый диаметр стержня d, построить эпюру
распределения максимальных касательных напряжений по длине
стержня и эпюру распределения касательных напряжений в опасном
сечении стержня. Исходные расчетные данные в табл. 4.1.
Рис. 4.1. Схема нагружения стержня
Таблица 4.1. Исходные расчетные данные
T1, кНм T2, кНм T3, кНм t, кНм/м
16
20
22
8
D1/d
1,6
d1/d
0,8
D2/d
2,2
d2/d
0,8
l1, м
0,4
l 2, м
0,5
l 3, м
0,4
D3/d
1,8
d3/d
–
Материал
АМг6
Решение.
4.1. Построение расчетной схемы.
Построим расчетную схему стержня. Для этого зададим систему
координат, обозначим буквами B, C, D и H характерные сечения
стержня. Вычертим в масштабе стержень с учетом соотношения длин
и диаметров ступеней (рис. 4.2.).
Рис. 4.2. Расчетная схема стержня
4.2. Определение неизвестных.
20
Определим неизвестные – в данном случае это момент T4 в точке
D. Составим уравнение моментов онтносительно продольной оси z:
∑ M Z = 0; − T1 − T2 − tl2 + T4 − T3 = 0;
T4 = T1 + T2 + tl2 + T3 = 16 + 20 + 8 ⋅ 0,5 + 22 = 62кНм.
4.3. Построение эпюры крутящих моментов.
Стержень содержит 3 расчетных участка – BC, CD и DH. В рамках
каждого из участков выберем сечения (рис. 4.3.).
Определим значение продольной силы на первом расчетном
участке ( 0 ≤ z1 ≤ l1 ). Составим расчетную схему (рис. 4.3, а), запишем
уравнение равновесия и выразим продольную силу:
∑ M Z = 0; − T1 + T ( z1 ) = 0;
T ( z1=
) T=
16кНм.
1
а
б
в
Рис. 4.3. Схемы расчетных участков стержня
Определим значение продольной силы на втором расчетном
участке ( 0 ≤ z2 ≤ l2 ). Составим расчетную схему (рис. 4.3, б), запишем
уравнение равновесия и выразим продольную силу:
∑ M Z = 0; − T1 − T2 − tz2 + T ( z2 ) = 0;
T ( z2 ) = T1 + T2 + tz2 .
Определим значение продольной силы в начале и конце
расчетного участка:
T ( z2 = 0) = T1 + T2 + t ⋅ 0 = 16 + 20 + 0 = 36кНм;
T ( z2 = l2 ) = T1 + T2 + tl2 = 16 + 20 + 8 ⋅ 0,5 = 40кНм.
Определим значение продольной силы на третьем расчетном
участке ( 0 ≤ z3 ≤ l3 ). Составим расчетную схему (рис. 4.3, в), запишем
уравнение равновесия и выразим продольную силу:
21
∑ M = 0; − T − T ( z ) = 0;
Z
3
3
T ( z3 ) =
−T3 =
−22кНм.
По полученным данным строим эпюру крутящих моментов ЭT(z)
(рис. 4.4, б).
а
б
в
г
Рис. 4.4. Расчетная схема стержня (а) и эпюры: б – крутящих моментов,
в – максимальных касательных напряжений в долях d3,
г – максимальных касательных напряжений.
4.4. Построение эпюры максимальных касательных напряжений
в долях от d3.
Стержень имеет различные диаметры поперечного сечения по
длине, что не позволяет установить по эпюре крутящих моментов, где
находится опасное сечение. Для этого необходимо рассчитать
максимальные касательные напряжения по сечениям. Ввиду
отсутствия заданного значения диаметров сделать это нельзя. Однако
внешние и внутренние диаметры на каждой из ступеней выражены в
долях от некоторого неизвестного диаметра d, который требуется
22
найти из условия прочности. В данном случае можно рассчитать
значения моментов сопротивления каждой из ступенек стержня в
отношении к d3, а затем вычислить значения максимальных
касательных напряжений в сечениях в долях от d3:
T ( zi )
τmax ( zi ) =
,
W pi
где i – номер ступени стержня (i = 1, 2, 3), W pi =
π ( Di4 − di4 )
– полярный
16 Di
момент сопротивления круглого концентричного полого сечения с
πDi3
наружным диаметром Di и внутренним диаметром di, W pi =
16
4
4
π ( Di − di )
– полярный момент сопротивления круглого
W pi =
16 Di
сплошного сечения с наружным диаметром Di.
В нашем случае стержень имеет полое поперечное сечение на 1 и
2 ступенях и сплошное на третей. Определим значения полярных
моментов сопротивления:
(
)
π ( D14 − d14 ) π (1,6d ) − ( 0,8d )
W p1 =
=
= 0,754d 3 ;
16 D1
16 ⋅ 1,6d
(
4
4
)
π ( D24 − d 24 ) π ( 2, 2d ) − ( 0,8d )
Wp 2 =
=
= 2,054d 3 ;
16 D2
16 ⋅ 2, 2d
4
4
πD33 π (1,8d )
W
=
=
= 1,145d 3 .
p3
16
16
Представим значения полярного момента сопротивления в виде
W pi = ki d 3 . Тогда коэффициенты ki будут – k1=0,754; k2=2,054;
k3=1,145.
3
4.5. Построение эпюры максимальных касательных напряжений
в долях от d3.
Определим значение максимальных касательных напряжений на
каждом из расчетных участков:
23
T ( zi )
τmax ( zi )d 3 =
;
ki
T ( z ) 16,0
τmax ( z1 )d 3 = 1 =
=
21, 2кНм.
k1
0,754
36,0

=
z
=
0
:
17,5кНм;
 2
2,054
T
z
(
)
τmax ( z2 )d 3 = 2 =

40,0
k2
z l=
=
19,5кНм;
2
2 :

2,054
T ( z3 ) −22,0
τmax ( z3 )d 3 =
=
=
−19, 2кНм.
k3
1,145
По полученным данным строим эпюру Эτ(z)d3 (рис. 4.4, в).
4.6. Определение условного диаметра стержня d. Расчет
диаметров ступенчатого стержня.
Материал конструкции АМг6. Относительное остаточное
удлинение δ = 24% > 9%, а значит материал является пластичным.
Предел текучести σT=170МПа [8].
Опасное сечение конструкции будет конструкции, нас интересует
только наибольшее по абсолютной величине напряжение,
возникающее в ней. Из сопоставления полученных в предыдущем
пункте данных можно сделать вывод, что опасным является сечение C
первого расчетного участка, где действуют наибольшие по
абсолютной величине нормальные напряжения:
21, 2кНм
τmax ( z ) max =
.
d3
Запишем условие прочности:
τmax ( z ) max ≤ [ τ] ,
σ
– допускаемые касательные
n
напряжения, [σ] – допускаемые нормальные напряжения для
материала, n – коэффициент запаса прочности (для пластичных
материалов n = 1,5÷3,0). Примем n = 2 и коэффициент снижения [σ]
0,5, тогда
170
=
[ τ] 0,5= 42,5МПа.
2
24
=
где [ τ]
=
( 0,5...0,6
)[σ] ( 0,5...0,6 ) T
Подставляя в условие прочности полученные значения, и
выражая его относительно d, получим:
21, 2кН 3 21, 2 ⋅ 103
d≥3
=
= 79,3мм.
6
τ
⋅
42,5
10
[]
В соответствии с условием прочности, значение условного
диаметра стержня по рядам нормальных линейных размеров Ra40 [14]
примем равным 80,0 мм.
Рассчитаем диаметры для каждой ступени стержня:
D1 = 1,6d = 1,6 ⋅ 80 = 128мм; d1 = 0,8d = 0,8 ⋅ 80 = 64мм;
D2 = 2, 2d = 2, 2 ⋅ 80 = 176мм; d 2 = 0,8d = 0,8 ⋅ 80 = 64мм;
D3 = 1,8d = 1,8 ⋅ 80 = 144мм.
Найденные значения диаметров обеспечивают выполнение
условия прочности. Определим полярные моменты сопротивления для
каждой ступени:
(
)
π (128 ⋅ 10−3 ) − ( 64 ⋅ 10−3 )
=
= 3,86 ⋅ 10−4 м3 ;
W
p1
−3
16 ⋅ 128 ⋅ 10
4
(
4
)
π (176 ⋅ 10−3 ) − ( 64 ⋅10−3 )
= 1,05 ⋅10−3 м 3 ;
W=
p2
−3
16 ⋅176 ⋅10
4
4
π (144 ⋅10−3 )
W
=
= 5,86 ⋅10−4 м 3 .
p3
16
4.7. Построение эпюры максимальных касательных напряжений.
Рассчитаем значения нормальных напряжений на каждом из
расчетных участков и построим эпюру (рис. 4.4, г):
T ( zi )
τmax ( zi ) =
;
W pi
3
T ( z1 ) 16,0 ⋅ 103
τmax ( z1 ) =
=
= 41, 4 МПа;
W p1
3,86 ⋅ 10−4

36,0 ⋅ 103
:
34,3МПа;
=
 z2 0=
1,05 ⋅ 10−3
T ( z2 ) 
τmax ( z2 ) =
=
Wp 2
40,0 ⋅ 103

z2 l2=
:
38,1МПа;
=
−3

1,05
10
⋅

25
T ( z3 ) −22 ⋅ 103
τmax ( z3 ) = = −4 =
−37,5МПа.
Wp3
5,86 ⋅ 10
4.8. Построение эпюры касательных напряжений в опасном
сечении.
Касательные напряжения в поперечном распределены линейно
по радиусу в соответствии с зависимостью:
T ( z)
τ ( z ,=
ρ)
ρ,
Ip
где Ip – полярный момент инерции сечения, ρ – расстояние от
исследуемой точки до оси стержня.
Касательные напряжения на внешних волокнах стержня при
ρ=ρmax были определены ранее в п. 4.7 и равны τmax ( z1 ) =
41,5МПа.
Определим напряжения на внутреннем диаметре стержня:
d1 64 ⋅ 10−3
ρ= =
= 32 ⋅ 10−3 м,
2
2
(
)
−3
−3
π ( D − d ) π (128 ⋅ 10 ) − ( 64 ⋅ 10 )
=
=
= 2, 471 ⋅ 10−5 м 4 ,
I p1
32
32
d1  16,0 ⋅ 103

−3
,ρ
20,7 МПа.
τ  z1=
=
× 32 ⋅ 10=

−5
2  2, 471 ⋅ 10

По полученным данным построим эпюру распределения
касательных напряжений в поперечном сечении (рис. 4.5).
4
1
4
1
4
4
Рис. 4.5. Эпюра распределения касательных напряжений в опасном сечении
26
5. Проверочный расчет стержня постоянного
сечения на жесткость при кручении
Для стержня постоянного поперечного сечения (рис. 2.1.),
работающего на кручение, необходимо выполнить расчет на
прочность, построив эпюру крутящих моментов, определить диаметр
стержня d, построить эпюру касательных напряжений. Выполнить
проверочный расчет на жесткость, построив эпюру относительных
углов закручивания, проверить выполнение условия жесткости по
допускаемым относительным углам закручивания [θ]=0,3°/м, при
необходимости уточнить диаметр вала. Записать функции угловых
перемещений для расчетных участков стержня, построить эпюры
абсолютных углов поворота. Проверить условие жесткости по
абсолютным углам поворота сечения [ϕ]=1° при длине вала 20d.
Исходные расчетные данные в табл. 2.1.
Рис. 2.1. Схема нагружения стержня
Таблица 2.1. Исходные расчетные данные
T1,
кНм
16
T2,
кНм
20
T3,
кНм
22
t,
кНм/м
8
l1, м
l 2, м
l 3, м
Материал
0,4
0,5
0,4
Д6 (ЗиЕС)
Решение.
2.1. Построение расчетной схемы.
Построим расчетную схему стержня. Для этого зададим систему
координат, обозначим буквами B, C, D и H характерные сечения
стержня. Вычертим в масштабе стержень с учетом соотношения длин
и диаметров ступеней (рис. 2.2.).
27
Рис. 2.2. Расчетная схема стержня
2.2. Определение неизвестных.
Определим неизвестные – в данном случае это момент T4 в точке
D. Составим уравнение моментов относительно продольной оси z:
∑ M =Z 0; T2 − T1 + T4 − tl3 − T=3 0;
T4 =−T2 + T1 + tl3 + T3 =−20 + 16 + 8 ⋅ 0,4 + 22 =21,2кНм.
2.3. Построение эпюры крутящих моментов.
Стержень содержит 3 расчетных участка – BC, CD и DH.
В рамках каждого из участков выберем сечения (рис. 2.3.).
Определим значение продольной силы на первом расчетном
участке ( 0 ≤ z1 ≤ l1 ). Составим расчетную схему (рис. 2.3, а), запишем
уравнение равновесия и выразим продольную силу:
∑ M Z = 0; T2 + T ( z1 ) = 0;
T ( z1 ) =
−T2 =
−20кНм.
а
б
в
Рис. 2.3. Схемы расчетных участков стержня
Определим значение продольной силы на втором расчетном
участке ( 0 ≤ z2 ≤ l2 ). Составим расчетную схему (рис. 2.3, б), запишем
уравнение равновесия и выразим продольную силу:
∑ M =Z 0; T2 − T1 + T ( z2=) 0;
T ( z2 ) =
−T2 + T1 =
−20 + 16 =
−4.
28
Определим значение продольной силы на третьем расчетном
участке ( 0 ≤ z3 ≤ l3 ). Составим расчетную схему (рис. 2.3, в), запишем
уравнение равновесия и выразим продольную силу:
∑ M Z = 0; − T ( z3 ) − tz3 − T3 = 0;
−tz3 − T3 .
T ( z3 ) =
Определим значение продольной силы в начале и конце
расчетного участка:
T ( z3 =0) =−t ⋅ 0 − T3 =0 − 22 =−22кНм;
T ( z3 =l3 ) =−tl3 − T3 =−8 ⋅ 0, 4 − 22 =−25, 2кНм.
По полученным данным строим эпюру крутящих моментов ЭT(z)
(рис. 2.4, б).
а
б
Рис. 2.4. Расчетная схема стержня (а) и эпюры: б – крутящих моментов.
Материал конструкции Д6 (З и ЕС). Относительное остаточное
удлинение δ = 18% > 9%, а значит материал является пластичным.
Предел текучести σT=300МПа [8].
В случае со стержнем постоянного поперечного сечения, опасное
сечение будет находиться в месте, где действует максимальный по
абсолютной величине крутящий момент. Наибольший крутящий
момент действует в сечение C третьего расчетного участка
T ( z ) max = 25,2кНм.
29
Запишем условие прочности:
T ( z ) max
τ=
≤ [ τ] ,
( z ) max
Wp
πd 3
– полярный момент сопротивления сечения,
где W p =
16
=
=
)[σ] ( 0,5...0,6 ) σT n – допускаемые касательные
[ τ] ( 0,5...0,6
напряжения, [σ] – допускаемые нормальные напряжения для
материала, n – коэффициент запаса прочности (для пластичных
материалов n = 1,5÷3,0). Примем n = 1,5 и коэффициент снижения [σ]
0,6, тогда
300
=
[ τ] 0,6= 120МПа.
1,5
Подставляя в условие прочности полученные значения, и
выражая его относительно d, получим:
16 ⋅ T ( z ) max
16 ⋅ 25, 2 ⋅ 103
3
=
= 102,3мм.
d≥3
π [ τ]
π ⋅ 120 ⋅ 106
В соответствии с условием прочности, значение условного
диаметра стержня по рядам нормальных линейных размеров Ra40 [14]
примем равным 105 мм.
2.5. Расчет относительных углов закручивания стержня θ(z).
Вычисление относительных углов закручивания выполняется по
соотношению:
T ( z)
θ( z ) = ,
GI p
πd 4
– полярный момент инерции сечения, G – модуль сдвига.
где I p =
32
В соответствии с [8] для материала Д6 (З и ЕС) G = 27 ГПа.
Рассчитаем полярный момент инерции сечения:
π ⋅ (105 ⋅ 10−3 )
Ip
=
= 1,193 ⋅ 10−5 м 4 .
32
Определим жесткость сечения при кручении:
GI p = 27 ⋅ 109 ⋅ 1,193 ⋅ 10−5 =322,197 ⋅ 103 Нм 2 .
4
30
Рассчитаем значения функции относительных углов поворота
для первого расчетного участка:
T ( z1 )
−20 ⋅ 103
θ ( z1 ) = =
=
−6, 21 ⋅ 10−2 м −1 =
−3,56 ° м.
3
322,197 ⋅ 10
GI p
Рассчитаем значения функции относительных углов поворота для
второго расчетного участка:
T ( z2 )
−4 ⋅ 103
θ ( z2 ) = =
=
−1, 24 ⋅ 10−2 м −1 =
−0,71° м.
3
322,197 ⋅ 10
GI p
Рассчитаем значения функции относительных углов поворота для
третьего расчетного участка:
T ( z3 = 0 )
−22 ⋅ 103
θ ( z3 ==
0)
=
=
−6,83 ⋅ 10−2 м −1 =
−3,91° м;
3
GI p
322,197 ⋅ 10
T ( z3 = l3 )
−25, 2 ⋅ 103
θ ( z3 =
=
=
−7,82 ⋅ 10−2 м −1 =
−4, 48 ° м.
l3 ) =
3
GI p
322,197 ⋅ 10
2.5. Проверка выполнения условия жесткости по относительным
углам поворота.
Условие жесткости для относительных углов поворота:
θ ( z ) max ≤ [ θ].
В соответствии с условием задания [θ]=0,3°/м. Максимальный
относительный угол поворота возникает в точке D справа
и составляет θ ( z ) max =
4, 48 ° м.
Проверяем условие жесткости
θ ( z ) max= 4, 48 ° м > [ θ]= 0,3 ° м.
Условие жесткости не выполняется, необходимо уточнить
диаметр вала. Учитывая, что
T ( z ) 32T ( z ) 1
32T ( z )
4
θ( z ) = =
=
θ
z
=
θ
z
d
,
;
(
)
(
)
4
max
max
GI p
πG d
πG
а допускаемый относительный угол поворота можно выразить через
новый уточненный диаметр dн
32T ( z ) 1 32T ( z )
,
= [ θ] d н4 ;
[ θ] =
4
πG d н
πG
31
тогда приравнивая соотношения получим:
θ ( z ) max d 4 =
[θ] dн4 .
Выражая новый требуемый диаметр из полученного
соотношения вычислим его значение:
θ ( z ) max
4, 48
4
105
206, 4мм.
dн d 4 =
=
=
0,3
[ θ]
Округляя полученный диаметр по рядам нормальных линейных
размеров Ra40 [14] получаем 210 мм.
2.6. Расчет функций угловых перемещений.
Угловые перемещения, абсолютные углы поворота определяются
по соотношению:
T ( z)
ϕ ( z ) =θ
z
dz
=
∫l ( ) ∫l GI p dz,
где l – длина расчетного участка.
В случае стержня постоянного поперечного сечения
соотношение можно переписать в виде:
1
ϕ ( z ) =θ
z
dz
=
T ( z )dz.
(
)
∫l
GI p ∫l
Для случая, когда T ( z ) = const.:
T ( z )l
ϕ( z ) = .
GI p
Определим функцию и значение приращения угла поворота на
первом расчетном участке:
T ( z1 ) l1 −20 ⋅ 103 ⋅ 0, 4
ϕ ( z1 ) =
=
=
−1,55 ⋅ 10−3 =
−8,89 ⋅ 10−2 °.
6
5,155 ⋅ 10
GI p
Определим функцию и значения приращения угла поворота на
втором расчетном участке:
T ( z2 ) l2 −4 ⋅ 103 ⋅ 0,5
ϕ ( z2 ) =
=
=
−3,88 ⋅ 10−4 =
−2, 22 ⋅ 10−2 °.
6
GI p
5,155 ⋅ 10
32
Определим функцию и значения приращения угла поворота на
третьем расчетном участке:
1
1
T
z
dz
ϕ ( z3 ) =∫ θ ( z3 ) dz3 =
=
(
)
( −tz3 − T3 )dz3 =
3
3
∫
∫
GI
GI
p l3
p l3
l3
l3
tz32
tl32
8 ⋅ 103 ⋅ 0, 42
−
− T3 z3
− − T3l3 −
− 22 ⋅ 103 ⋅ 0, 4
2= =
2
2
=
=
5,155 ⋅ 106
GI p
GI p
0
=
−1,83 ⋅ 10−3 =
−10, 49 ⋅ 10−2 °.
Определим углы поворота в характерных сечениях. В точке D
угол поворота ϕD=0, поскольку в этом сечении стержень закреплен.
Учитывая положительное направление оси z запишем
соотношения для углов поворота:
ϕC = ϕB + ϕ ( z1 ) ;
ϕD = ϕC + ϕ ( z2 ) ;
ϕH = ϕD + ϕ ( z3 ) .
Вычислим перемещения в характерных сечениях:
ϕC = ϕD − ϕ ( z2 ) = 0 − ( −2, 22 ⋅ 10−2 ) = 2, 22 ⋅ 10−2 °;
ϕB = ϕC − ϕ ( z1 ) = 2, 22 ⋅ 10−2 − ( −8,89 ⋅ 10−2 ) = 11,11 ⋅ 10−2 °;
0 + ( −10, 49 ⋅ 10−2 ) =
ϕH =
ϕD + ϕ ( z3 ) =
−10, 49 ⋅ 10−2 °.
Определим значения допускаемых углов закручивания,
учитывая, что на длине 20d угол поворота не должен превышать 1°:
1° ⋅ ( l1 + l2 ) 1° ⋅ 0,9
ϕ
=
=
= 21, 43 ⋅ 10−2 °;
[ BD ]
20 ⋅ d
20 ⋅ 0, 21
1° ⋅ l3
1° ⋅ 0, 4
=
= 9,52 ⋅ 10−2 °.
[ϕDH ] =
20 ⋅ d 20 ⋅ 0, 21
На участке BD условие жесткости выполняется:
ϕ BD max = 11,11 ⋅ 10−2 ° < [ ϕBD ] = 21, 43 ⋅ 10−2 °.
На участке DH условие жесткости не выполняется:
ϕ DH max = 10, 49 ⋅ 10−2 ° > [ ϕ BD ] = 9,52 ⋅ 10−2 °.
33
Уточним диаметр вала из условия жесткости по углам поворота:
ϕ max
10, 49 ⋅ 10−2
4
=
d н d=
210 4
=
215, 2мм.
−2
ϕ
9,52
⋅
10
[ ]
Принимаем по рядам нормальных линейных размеров Ra40 [14]
окончательно диаметр стержня, удовлетворяющий условиям
прочности, жесткости по относительным и абсолютным углам
поворотов d = 220 мм.
2.7. Построение эпюры максимальных касательных напряжений.
Максимальные касательные напряжения, действующие в
сечении, определяются из соотношения:
T ( z)
τ( z ) = ,
Wp
где W p =
πd 3
– полярный момент сопротивления сечения.
16
Рассчитаем полярный момент сопротивления сечения:
π ⋅ ( 220 ⋅ 10−3 )
=
Wp
= 2,091 ⋅ 10−3 м3 .
16
Определим значение максимальных касательных напряжений на
первом расчетном участке:
T ( z1 )
−20 ⋅ 103
τ ( z1 ) = =
=
−9,6 МПа.
Wp
2,091 ⋅ 10−3
Определим значение максимальных касательных напряжений на
втором расчетном участке:
T ( z2 )
−4 ⋅ 103
τ ( z2 ) = =
=
−1,9 МПа.
2,091 ⋅ 10−3
Wp
Определим значение максимальных касательных напряжений на
втором расчетном участке:
T ( z3 = 0 )
−22 ⋅ 103
τ ( z3 ==
0)
=
=
−10,5МПа;
Wp
2,091 ⋅ 10−3
3
T ( z3 = l3 ) −25, 2 ⋅ 103
τ ( z3 =
l3 ) =
=
=
−12,1МПа.
Wp
2,091 ⋅ 10−3
По полученным значениям строим эпюру (рис. 2.4, а)
распределения максимальных касательных напряжений в стержне.
34
Видно, что напряжения в стержне не превышают допускаемого
значения напряжений.
2.8. Построение эпюры относительных углов закручивания.
Уточняем значения полярного момента инерции сечения и жесткости
сечения:
π ⋅ ( 220 ⋅ 10−3 )
Ip
=
= 2, 299 ⋅ 10−4 м 4 ;
32
9
GI p = 27 ⋅ 10 ⋅ 2, 299 ⋅ 10−4 =6, 209 ⋅ 106 Нм 2 .
Уточняем значения относительных углов поворота сечения:
T ( z1 )
−20 ⋅ 103
θ ( z1 ) = =
=
−3, 22 ⋅ 10−3 м −1 =
−18, 46 ⋅ 10−2 ° м;
6
GI p
6, 209 ⋅ 10
4
T ( z2 )
−4 ⋅ 103
θ ( z2 ) = =
=
−6, 44 ⋅ 10−4 м −1 =
−3,69 ⋅ 10−2 ° м;
6
GI p
6, 209 ⋅ 10
T ( z3 = 0 )
−22 ⋅ 103
θ ( z3 ==
=
=
−3,54 ⋅ 10−3 м −1 =
−20,30 ⋅ 10−2 ° м;
0)
6
GI p
6, 209 ⋅ 10
T ( z3 = l3 ) −25, 2 ⋅ 103
−3 −1
−2
θ ( z3 =
l3 ) =
=
=
−
4,06
⋅
10
м
=
−
23,
25
⋅
10
° м.
GI p
6, 209 ⋅ 106
По полученным значениям строим эпюру (рис. 2.5, б)
относительных углов поворота сечения.
2.9. Построение эпюры абсолютных углов закручивания.
Уточним значения приращений функций углов поворота на
расчетных участках:
−20 ⋅ 103 ⋅ 0, 4
ϕ ( z1 ) =
=
−1, 29 ⋅ 10−3 =
−7,38 ⋅ 10−2 °;
6
6, 209 ⋅ 10
T ( z2 ) l2 −4 ⋅ 103 ⋅ 0,5
−4
−2
ϕ ( z2 ) =
=
=
−
3,
22
⋅
10
=
−
1,85
⋅
10
°;
GI p
6, 209 ⋅ 106
8 ⋅ 103 ⋅ 0, 42
−
− 22 ⋅ 103 ⋅ 0, 4
ϕ ( z3 ) = 2
=
−1, 42 ⋅ 10−3 =
−8,12 ⋅ 10−2 °.
6
6, 209 ⋅ 10
Вычислим перемещения в характерных сечениях:
ϕC = ϕD − ϕ ( z2 ) = 0 − ( −1,85 ⋅ 10−2 ) = 1,85 ⋅ 10−2 °;
35
ϕB = ϕC − ϕ ( z1 ) = 1,85 ⋅ 10−2 − ( −7,38 ⋅ 10−2 ) = 9, 23 ⋅ 10−2 °;
ϕH =
ϕD + ϕ ( z3 ) =
0 + ( −8,12 ⋅ 10−2 ) =
−8,12 ⋅ 10−2 °.
По полученным значениям строим эпюру углов поворотов
(рис. 2.5, в).
а
б
в
Рис. 2.5. Эпюры: а – касательных напряжений,
б – относительных углов поворота, в – абсолютных углов поворота.
36
6. Проектировочный расчет на прочность при изгибе
Для чугунного стержня (рис. 5.1.), работающего на изгиб,
необходимо выполнить расчет на прочность, построив эпюру
перерезывающих сил, изгибающих моментов. Построить эпюру
распределения нормальных напряжений в опасном сечении стержня с
указанием наиболее нагруженных точек. Предложить наиболее
оптимальный вариант расположения сечения. Исходные расчетные
данные в табл. 5.1.
Рис. 5.1. Схема нагружения стержня
Таблица 5.1. Исходные расчетные данные
F, кН
40
q, кН/м
50
M, кНм
18
l 1, м
0,3
l2, м
0,6
l 3, м
0,2
Материал
СЧ21
Решение.
5.1. Построение расчетной схемы.
Построим расчетную схему стержня. Для этого зададим систему
координат, обозначим буквами A, B, C, и D характерные сечения
стержня. Вычертим в масштабе стержень с учетом соотношения длин
ступеней и заменим опоры возникающими в них реакциями (рис. 5.2).
Рис. 5.2. Расчетная схема стержня
5.2. Определение неизвестных.
Для определения реакций составим уравнения статического
равновесия:
37
∑ Z =0; − Z =0; Z =0;
A
A
l 

= 0; − Fl1 − ql2  l1 + 2  − M + YD ( l1 + l2 + l3 ) = 0;
2

l 

Fl1 + ql2  l1 + 2  + M
2

YD =
=
l1 + l2 + l3
∑M
AX
0,6 

40 ⋅ 0,3 + 50 ⋅ 0,6  0,3 +
 + 18
2


43,64кН;
=
0,3 + 0,6 + 0, 2
∑M
DX
l

= 0; − YA ( l1 + l2 + l3 ) + F ( l2 + l3 ) + ql2  2 + l3  − M = 0;
2

l

F ( l2 + l3 ) + ql2  2 + l3  − M
2

YA =
=
l1 + l2 + l3
 0,6

40 ( 0,6 + 0, 2 ) + 50 ⋅ 0,6 
+ 0, 2  − 18
 2

26,36кН.
=
0,3 + 0,6 + 0, 2
Выполним проверку найденных реакций:
∑ Y= 0; YA − F − ql2 + YD= 0;
26,36 − 40 − 50 ⋅ 0,6 + 43,64 =
0.
Реакции найдены верно.
5.3. Построение эпюр внутренних силовых факторов.
Рассматриваемый стержень имеет три расчетных участка. В
рамках этих участков выберем сечения и определим значения
перерезывающих сил Qy(z) и изгибающих моментов Mx(z) (рис. 5.3).
Определим перерезывающую силу и изгибающий момент на
первом расчетном участке ( 0 ≤ z1 ≤ l1 ). Составим расчетную схему
(рис. 5.3, а), запишем уравнение равновесия и выразим внутренние
силовые факторы:
0; YA − Qy ( z1 ) =
0; Qy ( z1 ) ==
YA 26,36кН.
∑Y =
∑ M =0; − Y z + M ( z ) =0; M ( z ) =Y z .
x
A 1
x
38
1
x
1
A 1
а
б
в
Рис. 5.3. Схемы расчетных участков стержня
Рассчитаем значение изгибающего момента в начале и конце
расчетного участка:
z 0 : YA ⋅=
0 0;
=
M x ( z1 ) =  1
 z1= l1 :YAl1= 26,36 ⋅ 0,3= 7,9кНм.
Определим перерезывающую силу и изгибающий момент на
втором расчетном участке ( 0 ≤ z2 ≤ l2 ). Составим расчетную схему
(рис. 5.3, б), запишем уравнение равновесия и выразим внутренние
силовые факторы:
∑ Y = 0; YA − F − qz2 − Qy ( z2 ) = 0; Qy ( z2 ) = YA − F − qz2 .
z2
0;
M
Y
l
z
Fz
qz
=
−
+
+
+
+ M x ( z2 ) =0;
(
)
∑ x
2
2
2
A 1
2
z22
M x ( z2 )= YA ( l1 + z2 ) − Fz2 − q .
2
Рассчитаем значение перерезывающей силы и изгибающего
момента в начале и конце расчетного участка:
−13,64кН;
0 : YA − F =
26,36 − 40,0 =
z =
Qy ( z2 ) =  2
−43,64кН.
l2 : YA − F − ql2 =
26,36 − 40,0 − 50,0 ⋅ 0,6 =
 z2 =

 z2 = 0 : YAl1 = 26,36 ⋅ 0,30 = 7,9кНм;

l22

M x ( z2 ) =  z2 = l2 : YA ( l1 + l2 ) − Fl2 − q =
2


0,62
=
=
−9,3кНм.
26,36 ( 0,3 + 0,6 ) − 40 ⋅ 0,6 − 50

2

Определим перерезывающую силу и изгибающий момент на
третьем расчетном участке ( 0 ≤ z3 ≤ l3 ). Составим расчетную схему
(рис. 5.3, в), запишем уравнение равновесия и выразим внутренние
силовые факторы:
39
0; Q ( z ) + Y =
0; Q ( z ) =
−Y =
−43,64кН.
∑Y =
Y z.
∑ M =0; − M ( z ) + Y z =0; M ( z ) =
y
x
3
D
x
y
3
D 3
3
D
x
3
D 3
Рассчитаем значение изгибающего момента в начале и конце
расчетного участка:
z3 0 : YD ⋅=
0 0;
=
M x ( z3 ) = 
 z3= l3 :YD l3= 43,64 ⋅ 0, 2= 8,7 кНм.
По полученным данным строим эпюры перерезывающих сил и
изгибающих моментов (рис. 5.4, б, в). Как видно из эпюры изгибающих
моментов, опасное сечение находится в точке С балки слева, где
действует наибольший изгибающий момент Mmax=9,3 кНм.
а
б
в
Рис. 5.4. Расчетная схема стержня (а) и эпюры:
б – перерезывающих сил, в – изгибающих моментов.
5.4. Определение геометрических характеристик поперечного
сечения стержня.
Заданное сечение стержня (рис. 5.5, а), является симметричным
относительно вертикальной оси y и может быть представлено в виде
40
комбинации двух простейших сечений – треугольника (рис. 5.5, б) и
полукруга (рис. 5.5, в).
а
б
в
Рис. 5.5. Поперечное сечение
Положения центров тяжести простейших сечений c1 и с2
известны и показаны на рисунке. Положение центра тяжести
составного сечения с неизвестно, его необходимо определить, чтобы
рассчитать геометрические характеристики сечения относительно
центральной оси х, т.е. той оси относительно которой происходит
изгиб стержня.
Выберем систему координат в которой будем производить
определение положения центра тяжести (рис. 5.6). Координаты
центров тяжести в выбранной системе координат и площади простых
поперечных сечений:
2d
;
3π
1 πd 2 πd 2
;
=
A1 =
2 4
8
1
2d
yc 2 =
− 2d =
− ;
3
3
1
2d ⋅ 2d = 2d 2 .
A2 =
2
yc1 = −
Рис. 5.6. Определение центра тяжести сечения
41
Координата центра тяжести составного сечения определяется по
соотношению:
∑i S xi
,
yc =
∑ Ai
i
где i – количество простых сечений, на которые разбили составное,
S xi = yci Ai – статический момент i-го сечения относительно оси x,
Ai – площадь i-го сечения. При суммировании площадь и статический
момент берутся ос знаком «–», если она вырезана из другой фигуры.
Определим положение центра тяжести составного сечения:
 2 d πd 2   2d

− −
⋅
+−
⋅ 2d 2 

3π 8   3
− S x1 + S x 2

= 
= −0,7777 d .
yc =
πd 2
− A1 + A2
2
−
+ 2d
8
Определим момент инерции сечения относительно центральной
оси xc. Момент инерции составного сечения будет складываться из
моментов инерции составляющих этого сечения. Причем моменты
инерции составляющих должны быть выражены относительно оси xc.
Для вычисления моментов инерции относительно параллельных
осей воспользуемся теоремой Штейнера:
I=
I xc + a 2 A,
x
где Ix – момент инерции сечения относительно оси x, параллельной оси
xc; Ixc – момент инерции сечения относительно центральной оси xc; a –
расстояние между осями x и xc; A – площадь сечения.
В случае заданного сечения моменты инерции простейших
составляющих сечения относительно собственных центральных осей
xc1 и xc2:
3
2
2
d
d
(
)
4d 4
d4  π 8 
−3 4
I xc1 =
=
≈ 0, 4444d 4 ;
 −  ≈ 6,86 ⋅ 10 d ; I xc 2 =
16  8 9π 
36
9
расстояния между осями xc1, xc2 и осью xc:
2d
a1 = yc − yc1 =0,7777 d −
≈ 0,56549d ;
3π
2d
a2 =yc − yc 2 =0,7777 d −
≈ 0,1110d .
3
Тогда моменты инерции относительно центральной оси xc:
42
πd 2
=0,1324d 4 ;
I x1 =I xc1 + a A1 =6,86 ⋅ 10 d + ( 0,56549d )
8
2
1
−3
2
4
I x 2 =I xc 2 + a22 A2 =0, 44d 4 + ( 0,1110d ) 2d 2 =0, 4691d 4 .
Момент инерции составного сечения:
− I x1 + I x 2 =
−0,1324d 4 + 0, 4691d 4 =
I xc =
0,3367 d 4 .
Определим моменты сопротивления сечения относительно
верхних ( yверх = 0,7777 d ) и нижних ( yниз =
2d − 0,7777 d =
1, 2223d )
2
точек сечения:
I xc
0,3367 d 4
W= =
= 0, 4329d 3 ;
yверх 0,7777 d
верх
xc
I xc 0,3367 d 4
= 0, 2755d 3 .
W= =
yниз 1, 2223d
5.4. Определение допускаемых напряжений.
Материал СЧ21 является хрупким, для него указаны пределы
прочности на растяжение и сжатие σB = 210 МПа, σC = 950 МПа [8].
Коэффициент запаса прочности для хрупких материалов n= 2 ÷ 5 ,
примем n = 3. Определим допускаемые напряжения:
σ
210
σ+  = B =
= 70 МПа;
n
3
σ
950
σ−  = C =
= 317 МПа.
n
3
5.5. Расчет на прочность. Выбор оптимального расположения
сечения.
Максимальный изгибающий момент Mmax=9,3 кНм, действующий
в сечении, приводит к тому, что нижние волокна стержня будут сжаты,
а верхние растянуты (эпюра моментов, построенная на «сжатом»
волокне находится снизу от оси).
Определим величину характерного размера d для двух вариантов
расположения сечения.
Запишем условия прочности для исходного варианта
расположения сечения и выразим из них характерный размер:
низ
xc
43
3
M max
⋅
9,3
10
+
=
σ
≤ σ  ; d ≥ 3
= 67, 45мм;
Wxcверх  
0, 4329 ⋅ 70 ⋅ 106
+
3
M max
⋅
9,3
10
−
=
σ
≤ σ  ; d ≥ 3
=
47,39мм.
низ
6
Wxc
0, 2755 ⋅ 317 ⋅ 10
Из полученных значений выбираем максимальное, так как только
при нем будет обеспечиваться прочность всего поперечного сечения.
Округлим полученный размер в соответствии с рядом нормальных
линейных размеров Ra40 и примем d = 71 мм.
Перевернем сечение на 180° и запишем условия прочности для
данного варианта, выразив из них характерный размер:
3
M max
⋅
9,3
10
+
+
=
σ
≤ σ  ; d ≥ 3
= 78, 42мм;
Wxcниз  
0, 2755 ⋅ 70 ⋅ 106
−
3
M max
⋅
9,3
10
−
=
σ
≤ σ  ; d ≥ 3
= 40,77 мм.
верх
Wxc
0, 4329 ⋅ 317 ⋅ 106
Из полученных значений выбираем максимальное, так как только
при нем будет обеспечиваться прочность всего поперечного сечения.
Округлим полученный размер в соответствии с рядом нормальных
линейных размеров Ra40 и примем d = 80 мм.
Определим наибольшие и наименьшие нормальные напряжения
в опасном сечении в обоих вариантах расположения сечения.
Исходный вариант:
M max
9,3 ⋅ 103
+
=
σ
=
= 60,0 МПа;
0, 4329d 3 0, 4329 ⋅ ( 71 ⋅ 10−3 )3
−
M max
9,3 ⋅ 103
94,3МПа.
=
σ
=
=
3
3
3
−
0, 2755d
0, 2755 ⋅ ( 71 ⋅ 10 )
−
Вариант повернутого сечения:
M max
9,3 ⋅ 103
+
65,9 МПа;
=
σ
=
=
3
3
3
−
0, 2755d
0, 2755 ⋅ ( 80 ⋅ 10 )
M max
9,3 ⋅ 103
=
σ
=
= 41,9 МПа.
0, 4329d 3 0, 4329 ⋅ ( 80 ⋅ 10−3 )3
−
44
Эпюры распределения нормальных напряжений в обоих
вариантах расположения сечения показаны на рис. 5.7.
а
б
Рис. 5.7. Распределение напряжений в опасном сечении.
Как видно из расчета, при повороте сечения не будет достигаться
уменьшение его линейных размеров. Наиболее рациональным будет
вариант, когда наименьшим допускаемым напряжениям соответствует
наибольший момент сопротивления сечения, в этом случае сечение
будет более компактным.
Так площади поперечного сечения, определяемые по формуле
πd 2
2
=
A 2d −
,
8
2
будут равны Aвар1 = 8102, 4мм и Aвар2 = 10286, 7 мм 2 . Значит площадь
поперечного сечения, а следовательно и масса конструкции будет
больше на
Aвар2 − Aвар1
10286,7 − 8102, 4
=
∆A
⋅ 100%
=
⋅ 100%
= 27%.
Aвар1
8102, 4
45
7. Проверочный расчет на прочность при изгибе
Для стального стержня из стандартных прокатных профилей
(рис. 6.1.), работающего на изгиб, необходимо построить эпюру
перерезывающих сил, изгибающих моментов. Проверить выполнение
условия прочности. Построить эпюру распределения нормальных
напряжений в опасном сечении стержня с указанием наиболее
нагруженных точек. Исходные расчетные данные в табл. 6.1.
Рис. 6.1. Схема нагружения стержня
Таблица 6.1. Исходные расчетные данные
F, кН
54
q, кН/м
40
M, кНм
25
l1, м
0,40
l 2, м
1,45
l3, м
0,25
Материал
Сталь 40
Решение.
6.1. Построение расчетной схемы.
Построим расчетную схему стержня. Для этого зададим систему
координат, обозначим буквами A, B, C, и D характерные сечения
стержня. Вычертим в масштабе стержень с учетом соотношения длин
ступеней и заменим опоры возникающими в них реакциями (рис. 6.2).
Рис. 6.2. Расчетная схема стержня
6.2. Определение неизвестных.
Для определения реакций составим уравнения статического
равновесия:
46
∑ Z =0; − Z =0; Z =0;
B
l1
l2
B

l3 
l ) 0;
∑ M= 0; ql 2 − ql 2 + M + Y l + ql  l + 2  − F ( l +=
1
BX
2
C 2
3
2
2
3
l 
l
l

−ql1 1 + ql2 2 − M − ql3  l2 + 3  + F ( l2 + l3 )
2
2
2

=
l2
YC
−40 ⋅ 0, 4
0, 4
1, 45
0, 25 

+ 40 ⋅ 1, 45
− 25 − 40 ⋅ 0, 25 1, 45 +

2
2
2 

+
1, 45
+
+54 (1, 45 + 0, 25 )
YB
( l1 + l2 )
l3
−
+
+
− Fl=
Y
l
M
ql
0;
B 2
1
2
3
3
2
2
(l + l )
l
q ( l1 + l2 ) 1 2 + M + ql3 3 − Fl3
2
2
=
l2
∑ M = 0; q ( l + l )
CX
1, 45
62, 0 кН;
=
( 0, 4 + 1, 45) + 25 + 40 ⋅ 0, 25 0, 25 − 54 ⋅ 0, 25
40 ( 0, 4 + 1, 45 )
2
2
=
56, 0 кН.
1, 45
Выполним проверку найденных реакций:
∑ Y = 0; − q ( l1 + l2 ) + YB + YC + ql3 − F = 0;
−40 ( 0, 40 + 1, 45 ) + 56 + 62 + 40 ⋅ 0, 25 − 54 =
0.
Реакции найдены верно.
6.3. Построение эпюр внутренних силовых факторов.
Рассматриваемый стержень имеет три расчетных участка. В
рамках этих участков выберем сечения и определим значения
перерезывающих сил Qy(z) и изгибающих моментов Mx(z) (рис. 6.3).
Определим перерезывающую силу и изгибающий момент на
первом расчетном участке ( 0 ≤ z1 ≤ l1 ) (рис. 6.3, а):
0; − qz1 − Qy ( z1 ) =
0; Qy ( z1 ) =
−qz1.
∑Y =
47
z1
qz12
−
0; qz1 + M x ( z1 ) =
0; M x ( z1 ) =
.
∑Mx =
2
2
а
б
в
Рис. 6.3. Схемы расчетных участков стержня
Рассчитаем значения перерезывающей силы и изгибающего
момента в начале и конце расчетного участка:
 z = 0 : − q 0 = 0;
Qy ( z1 ) =  1
l1 : − ql1 =
−40 ⋅ 0, 4 =
−16 кН;
 z1 =

q ⋅ 02
=
0:
0;
 z1 =−
2
M x ( z1 ) = 
ql12
40 ⋅ 0, 42
z =
=
−
=
−3, 20 кНм.
l :−
 1 1
2
2
Определим перерезывающую силу и изгибающий момент на
втором расчетном участке ( 0 ≤ z2 ≤ l2 ). Составим расчетную схему
(рис. 6.3, б), запишем уравнение равновесия и выразим внутренние
силовые факторы:
0; q ( l1 + z2 ) + YB − Qy ( z2 ) =
0; Qy ( z2 ) =
−q ( l1 + z2 ) + YB .
∑ Y =−
∑ M x= 0; q ( l1 + z2 )
( l1 + z2 )
2
− YB z2 + M x ( z2 )= 0;
q (l + z )
M x ( z2 ) =
− 1 2 + YB z2 .
2
Рассчитаем значение перерезывающей силы и изгибающего
момента в начале и конце расчетного участка:
0 : − q ( l1 + 0 ) + YB =
−40 ( 0, 4 + 0 ) + 56 =
40 кН;
 z2 =
Qy ( z2 ) = 
l2 : − q ( l1 + l2 ) + YB =
−40 ( 0, 4 + 1, 45 ) + 56 =
−18кН.
 z2 =
2
48
2

q ( l1 + 0 )
40 ⋅ 0, 42
+ YB ⋅ 0 =−
=−3, 2 кНм;
 z2 =0 : −
2
2

2

q ( l1 + l2 )

M x ( z2 ) = z2 =l2 : −
+ YB l2 =
2

2

40 ⋅ ( 0, 4 + 1, 45 )
12, 75кНм.
=
−
+ 56 ⋅ 1, 45 =

2

Функция изгибающего момента будет иметь экстремум,
поскольку перерезывающая сила меняет свой знак в рамках расчетного
участка. Определим положение данной точки:
Qy ( z2 ) =
−q ( l1 + z2 ) + YB =
0;
−ql1 + YB −40 ⋅ 0, 4 + 56
=
= 1м.
q
40
Рассчитаем значение изгибающего момента в точке перегиба
функции:
2
40 ( 0, 4 + 1)
M x ( z2 =1м) =−
+ 56 ⋅ 1 =16,8кНм.
2
Определим перерезывающую силу и изгибающий момент на
третьем расчетном участке ( 0 ≤ z3 ≤ l3 ). Составим расчетную схему
(рис. 6.3, в), запишем уравнение равновесия и выразим внутренние
силовые факторы:
∑ Y =0; Qy ( z3 ) + qz3 − F =0; Qy ( z3 ) =−qz3 + F .
=
z2
z3
qz32
∑ M x =0; − M x ( z3 ) + qz3 2 − Fz3 =0; M x ( z3 ) = 2 − Fz3 .
Рассчитаем значение перерезывающей силы и изгибающего
момента в начале и конце расчетного участка:
 z3 = 0 : − q ⋅ 0 + F = 54 кН;
Qy ( z3 ) = 
l3 : − ql3 + F =
−40 ⋅ 0, 25 + 54 =
44 кН;
 z3 =

q ⋅ 02
=
−=
F ⋅ 0 0;
 z3 0 :
2
M x ( z3 ) = 
ql32
40 ⋅ 0, 252
z =
− Fl3 =
− 54 ⋅ 0, 25 =
−12, 25кНм.
l :
 3 3 2
2
49
По полученным данным строим эпюры перерезывающих сил и
изгибающих моментов (рис. 6.4, б, в). Как видно из эпюры изгибающих
моментов, опасное сечение находится в точке перегиба функции
момента, где действует наибольший изгибающий момент Mmax = 16,8
кНм.
а
б
в
Рис. 6.4. Расчетная схема стержня (а) и эпюры:
б – перерезывающих сил, в – изгибающих моментов.
6.4.
Определение
геометрических
характеристик поперечного сечения стержня.
Сечение стержня составлено из двух
швеллеров №16, эскиз профиля показан на рис. 6.5.
Поскольку изгиб происходит относительно
центральной оси x швеллера, то изменения
положения сечения, при добавлении к нему еще
одного, не происходит.
50
Рис. 6.5.
Момент инерции составного сечения:
I x[ ] = I x[ + I x] = 2 I x[ ,
а поскольку ymax = h/2, как и в случае одного швеллера, получаем для
момента сопротивления сечения:
I x[ ]
I x[
[]
W
=
= 2 = 2Wx[ .
x
ymax
ymax
В соответствии с [10], для профиля с уклоном внутренних граней
полок Wx[ = 93, 4 см3 , тогда Wx[ ] =
2 ⋅ 93, 4 =
186,8 см3 .
6.5. Проверка выполнения условия прочности.
Стержень имеет постоянное поперечное сечение и изготовлен из
пластичного материала – сталь 40 (δ = 19% [8, c.646]).
Запишем условие прочности:
M x max ( z )
σ
=
(
z
)
≤ [ σ] ,
max
Wx[ ]
где [ σ] =σT / n – допускаемые напряжения, σТ = 335 МПа [8, c. 646] –
предел текучести материала, n – коэффициент запаса прочности
(для пластичных материалов n = 1,5÷3,0). Примем n = 1,5, тогда
335
[σ=] = 223МПа.
1,5
Проверим выполнение условия прочности:
16,8 ⋅ 103
=
σmax ( z )
= 89,9 МПа
=
< [ σ] 223МПа,
186,8 ⋅ 10−6
условие прочности выполняется, вносить изменения в конструкцию не
требуется.
6.6. Построение эпюры
нормальных напряжений в
опасном сечении.
В соответствии с эпюрой
изгибающих
моментов,
построенной
на
сжатом
волокне, в нижней части
стержня в опасном сечении
будет растяжение, в верхней –
сжатие. Эпюра показана на рис.
6.6.
Рис. 6.6.
51
8. Проектировочный расчет на прочность плоской рамы
Для стальной рамы (рис. 7.1.) необходимо построить эпюру
продольных, перерезывающих сил, изгибающих моментов. Проверить
выполнение условия прочности. Построить эпюру распределения
нормальных
напряжений
в
опасном
сечении
с указанием наиболее нагруженных точек. Исходные расчетные
данные в табл. 7.1.
Рис. 7.1. Схема нагружения рамы
Таблица 7.1. Исходные расчетные данные
F, кН
54
l1, м
0,6
l 2, м
0,2
l 3, м
0,1
Материал
Сталь 40
Решение.
7.1. Построение расчетной схемы.
Построим расчетную схему стержня. Для этого зададим
глобальную систему координат x–y, обозначим буквами A, B, C, D и H
характерные сечения рамы. Вычертим в масштабе раму с учетом
соотношения длин ступеней и заменим опору возникающими в ней
реакциями (рис. 7.2).
52
Рис. 7.2. Расчетная схема стержня
7.2. Определение неизвестных.
Для определения реакций составим уравнения статического
равновесия:
∑ X =0; − X A + F cos 30 =0;
XA =
F cos 30 =⋅
54 cos 30 =
46,8кН;
∑ Y = 0; − Y + F sin 30 = 0;
A
YA =
F sin 30 =⋅
54 sin 30 =
27, 0 кН;
l ) 0;
∑ M= 0; M − F cos 30 ( l − l − l ) + F sin 30 ( 2=
A
A
1
2
3
2
=
=
M A F cos 30 ( l1 − l2 − l3 ) − F sin 30
( 2l2 )
= 54 cos 30 ( 0, 6 − 0, 2 − 0,1) − 54sin 30 ( 2 ⋅ 0, 2 ) =3,23кНм.
7.3. Построение эпюр внутренних силовых факторов.
Рассматриваемый стержень имеет четыре расчетных участка
(рис. 7.2). В рамках этих участков выберем сечения и определим
значения продольных сил N(z), перерезывающих сил Qy(z) и
изгибающих моментов Mx(z) (рис. 7.3). Условимся, что локальные
системы координат будем выбирать таким образом, чтобы продольная
53
ось z совпадала с осью стержня на соответствующем участке стержня,
а x и y с соответствующими осями поперечного сечения.
Определим продольную, перерезывающую силу и изгибающий
момент на первом расчетном участке ( 0 ≤ z1 ≤ l1 ) (рис. 7.3, а):
XA =
0; X A − Qy ( z1 ) =
0; Qy ( z1 ) =
46,8кН;
∑Y =
∑ Z = 0; − Y + N ( z ) = 0; N ( z ) = Y = 27 кН;
1
A
1
A
∑ M =0; − X z + M + M ( z ) =0; M ( z ) =X z − M .
A 1
x
а
A
x
1
x
б
1
A 1
A
в
г
Рис. 7.3. Схемы расчетных участков стержня
Рассчитаем значения изгибающего момента в начале и конце
расчетного участка:
0: − MA =
−3, 23кНм;
 z1 =
M x ( z1 ) = 
 z1 = l1 : X Al1 − M A = 46,8 ⋅ 0, 6 − 3, 2 = 24,9 кНм.
Определим внутренние силовые факторы на втором расчетном
участке ( 0 ≤ z2 ≤ l2 ). Составим расчетную схему (рис. 7.3, б), запишем
уравнение равновесия и выразим внутренние силовые факторы:
∑ Y =0; − YA − Qy ( z2 ) =0; Qy ( z2 ) =−YA =−27 кН;
∑ Z =0; − X + N ( z ) =0; N ( z ) = X =46,8кН;
2
A
2
A
∑ M =0; − X l + Y z + M + M ( z ) =0; M ( z ) =X l − Y z − M .
x
A1
A 2
A
x
2
x
2
A1
A 2
A
Рассчитаем значение изгибающего момента в начале и конце
расчетного участка:
 z2 = 0 : X Al1 − M A = 46,8 ⋅ 0, 6 − 3, 2 = 24,9 кНм;
M x ( z2 ) = 
 z2 = l2 : X Al1 − YAl2 − M A = 46,8 ⋅ 0, 6 − 27 ⋅ 0, 2 − 3, 2= 19, 4 кНм.
54
Определим внутренние силовые факторы на третьем расчетном
участке ( 0 ≤ z3 ≤ l3 ). Составим расчетную схему (рис. 7.3, в), запишем
уравнение равновесия и выразим внутренние силовые факторы:
Y 0; F cos 30 + Qy ( z=
0;
∑=
3)
Qy ( z3 ) =
− F cos 30 =
−54 cos 30 =
−46,8кН;
0; − N ( z ) − F sin 30 =
0;
∑Z =
3
N ( z3 ) =
− F sin 30 =
−54sin 30 =
−27 кН;
0; − M x ( z3 ) + ( F cos 30 ) z3 =
0; M x ( z3 ) =
( F cos 30 ) z3 .
∑Mx =
Рассчитаем значение изгибающего момента в начале и конце
расчетного участка:
=
cos 30 ) ⋅ 0 0;
 z3 0 : ( F =
M x ( z3 ) = 
=
⋅ 0,1 4, 7 кНм.
) l3 54 cos 30 =
 z3 l3 : ( F cos 30=
Определим внутренние силовые факторы на четвертом
l


расчетном участке  0 ≤ z4 ≤ 2 ≈ 0, 283м  . Составим расчетную
cos 45


схему (рис. 7.3, г), запишем уравнение равновесия и выразим
внутренние силовые факторы:
=
cos15+ 0;
∑ Y 0; Qy ( z4 ) + F=
− F cos15 =
−54 cos15 =
−52, 2 кН;
Qy ( z4 ) =
0; − N ( z ) + F sin15 =
0;
∑Z =
4
sin15 54sin15
N ( z4 ) F=
=
= 13,9 кН;
0; − M x ( z4 ) + ( F cos 30 )( l3 + z4 sin 45 ) + ( F sin 30 )( z4 cos 45 ) =
0;
∑Mx =
M x ( z=
( F cos 30 )( l3 + z4 sin 45 ) + ( F sin 30 )( z4 cos 45 ) .
4)
Рассчитаем значение изгибающего момента в начале и конце
расчетного участка:
M x ( z4 =0) =( F cos 30 ) l3 =54 cos 30 ⋅ 0,1 =4, 7 кНм;
l2 
l

M x  z4 =
( F cos 30 )  l3 + 2 sin 45  +
=
cos 45 
cos 45



 l

45  ( F cos 30 )( l3 + l2 tg45 ) + ( F sin 30=
+ ( F sin 30 )  2 cos=
) l2
cos
45


30 ) 0, 2 19, 4 кНм.
= ( 54 cos 30 )( 0,1 + 0, 2 ⋅ tg45 ) + ( 54sin
=
55
По полученным данным строим эпюры продольных,
перерезывающих сил и изгибающих моментов (рис. 7.4, а, б, в).
Из эпюры изгибающих моментов видно, что опасное сечение
находится в точке B стержня BC, в которой действует наибольший
изгибающий момент Mmax = 24,9 кНм, а продольная сила больше, чем
на участке АВ.
а
б
в
Рис. 7.4. Эпюры внутренних силовых факторов:
а – продольные силы, б – перерезывающие силы, в – изгибающие моменты.
7.4. Определение размеров поперечного сечения рамы.
Рама изготовлена из профиля квадратного поперечного сечения и
выполнена из пластичного материала – сталь 40 (δ = 19% [8, c.646]).
a3
Момент сопротивления квадратного сечения Wx = .
6
Запишем условие прочности:
M x max ( z ) 6 M x max ( z )
σ
=
=
≤ [ σ] ,
max ( z )
3
Wx
a
где [ σ] =σT / n – допускаемые напряжения, σТ = 335 МПа [8, c. 646] –
предел текучести материала, n – коэффициент запаса прочности
(для пластичных материалов n = 1,5÷3,0). Примем n = 3,0, тогда
335
[σ=] = 112 МПа.
3
56
Из условия прочности выразим искомый размер a:
6 M x max ( z ) 3 6 ⋅ 24,9 ⋅ 103
a≥3
=
= 110,1мм.
[ σ]
112 ⋅ 106
Округлим полученный размер в соответствии с рядом
нормальных линейных размеров Ra10 и примем a = 125 мм.
7.5. Построение эпюр распределения напряжений в опасном
сечении. Уточнение выполнения условия прочности.
В соответствии с эпюрой изгибающих моментов, построенной на
сжатом волокне, во внутренней части рамы в опасном сечении в точке
B будет растяжение, снаружи – сжатие.
Определим значение максимальных нормальных напряжений от
изгибающего момента в сечении:
6 ⋅ 24,9 ⋅ 103
σmax
=
( z)
=
76,5 МПа.
−3 3
(125 ⋅10 )
Определим нормальные напряжения, возникающие от
продольной силы N(z) = 46,8 кН в точке В стержня ВС:
N ( z) N ( z)
46,8 ⋅ 103
σ( z=
)
=
=
= 2,9 МПа.
−3 2
A
a2
(125 ⋅10 )
Определим касательные напряжения, возникающие в опасном
сечении. В соответствии с формулой Журавского, для квадратного
сечения получаем:
2
2
Qy ( z ) S ( y ) 3Qy ( z ) 
 y   3Qy ( z ) 
 y 
τ( y,=
=
z)
1 − 4  =

1 − 4    .
2
I x b( y )
2bh 
2a 
 h  
 a  
Тогда максимальные касательные напряжения в сечении от
перерезывающей силы Qy(z) = 27 кН:
3Qy ( z )
3 ⋅ 27 ⋅ 103
τmax ( y ) =
=
= 2, 6 МПа.
−3 2
2a 2
2 ⋅ (125 ⋅ 10 )
По полученным значениям строим эпюры распределения
нормальных и касательных напряжений в поперечном сечении
(рис. 7.5). Как видно из эпюр наиболее нагруженными будут нижние
точки сечения, где действуют растягивающие нормальные напряжения
от продольной силы и максимальные нормальные напряжения от
изгибающего момента.
57
а
б
в
г
Рис. 7.5. Опасное сечение стержня: а – схема действия нагрузок,
б – эпюра нормальных напряжений от изгибающего момента Mx(z);
в – эпюра нормальных напряжений от продольной силы N(z);
г – эпюра касательных напряжений от перерезывающей силы Qy(z).
Уточним выполнение условия прочности для данных точек:
σmax = σ ( M x ) + σ ( N ) = 76,5 + 2,9 = 79, 4 МПа < [ σ] = 112 МПа,
условие прочности выполняется, вносить изменения в конструкцию не
требуется.
58
II. ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЩИТЕ ЗАДАНИЙ
1. Дайте определение понятия прочности и жесткости.
2. Дайте определение внутренних силовых факторов;
расскажите о методе сечений для определения внутренних силовых
факторов.
3. Дайте определение напряжения и деформации, перечислите
виды деформаций.
4. Дайте определение осевого растяжения. Расскажите о
правилах построения и проверки эпюр продольных сил.
5. Расскажите о напряжениях, деформациях и перемещениях
при осевом растяжении.
6. Расскажите о стандартной методике испытаний материалов
на растяжение, получении диаграммы растяжения образца.
7. Расскажите о стандартной методике обработки диаграммы
растяжения образца, получения механических характеристик
материалов.
8. Дайте понятие предельного напряжения материала.
Расскажите о принципах расчета на прочность.
9. Расскажите о выборе допускаемого напряжения материала,
причинах и нормах введения коэффициента запаса для пластичных
и хрупких материалов.
10. Расскажите о причинах возникновения статической
неопределимости стержневых систем при растяжении, порядке
раскрытия статической неопределимости.
11. Дайте определение кручения. Расскажите о правилах
построения и проверки эпюр крутящих моментов.
12. Расскажите о напряжениях и деформациях, возникающих
при кручении стержней круглого поперечного сечения.
13. Расскажите о принципах расчета на прочность и жесткость
стержней круглого поперечного сечения при кручении.
59
14. Дайте определение плоского изгиба. Расскажите о правилах
построения эпюр внутренних силовых факторов для балок при
плоском изгибе.
15. Расскажите
о
соотношениях
дифференциальных
зависимостей внутренних силовых факторов при плоском изгибе и
их использовании для проверки правильности построения эпюр.
16. Расскажите о напряжениях при чистом изгибе, дайте
обоснование положения нейтральной оси сечения и силовой
плоскости. На основании формулы Навье, расскажите о расчете на
прочность при чистом изгибе стержней, симметричного
относительно нейтральной оси сечения, из материала, одинаково
сопротивляющегося растяжению-сжатию.
17. На основании формулы Навье, расскажите о расчете на
прочность при чистом изгибе балок, несимметричного
относительно нейтральной оси сечения, из материала, одинаково
сопротивляющегося растяжению-сжатию.
18. На основании формулы Навье, расскажите о расчете на
прочность при чистом изгибе стержней, симметричного
относительно нейтральной оси сечения, из материала, по-разному
сопротивляющегося растяжению-сжатию.
19. Расскажите о расчете на прочность при поперечном изгибе.
20. Расскажите об определении касательных напряжений по
формуле Журавского.
21. Обоснуйте критерии необходимости полной проверки балки
на прочность.
22. Расскажите о методах определения перемещений при
плоском изгибе и расчете балок на жесткость.
23. Расскажите о правилах построения эпюр внутренних
силовых факторов для рам.
24. Расскажите о проектировочном расчете рам на прочность,
обоснуйте необходимость дополнительного проверочного расчета.
60
III. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ
1. Основные понятия, определения, допущения и принципы
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Способность твердого тела
сопротивляться внешним
нагрузкам, не разрушаясь
(способность сопротивляться
разрушению), называется…
Принцип, утверждающий, что
результат действия системы сил
равен сумме результатов действий
каждой силы в отдельности,
называется…
Принцип, утверждающий, что при
упругих деформациях в
большинстве случаев перемещения,
возникающие в конструкции, малы
и форма конструкции изменяется
незначительно, называется…
Свойство материала тела
восстанавливать свои
первоначальные размеры после
снятия внешних сил называется…
Разделение тела на части под
действием внешних нагрузок
называется…
1.6
Сопротивление материалов – это
наука о методах расчета элементов
инженерных конструкций на…
1.7
Механическое свойство,
характеризующее способность
материала сопротивляться его
разрушению под действием
внешних сил, называется…
Способность конструкции, ее
элементов сопротивляться внешним
нагрузкам в отношении изменения
формы и размеров называется…
1.8
61
а) устойчивостью
б) прочностью
в) жесткостью
г) выносливостью
а) принципом начальных
размеров
б) принципом Сен-Вена
в) все утверждения верны
г) принципом независимости
действия сил
а) принципом независимости
действия сил
б) принципом начальных
размеров
в) принципом суперпозиции
г) принципом Сен-Вена
а) твердостью
б) упругостью
в) однородностью
г) изотропностью
а) разрушением
б) идеальной упругостью
в) пластичностью
г) прочностью
а) прочность
б) прочность, жесткость и
устойчивость
в) жесткость
г) устойчивость
а) изотропностью
б) упругостью
в) твердостью
г) прочностью
а) жесткостью
б) устойчивостью
в) упругостью
г) твердостью
1.9
Объект, освобожденный от
особенностей, несущественных при
решении данной задачи,
называется…
1.10 Если не учитывается конкретная
структура материала (зернистая,
кристаллическая и др.), и считается,
что материал непрерывно заполняет
весь объем элемента конструкции, то
материал обладает свойством…
1.11 Если свойства материала образца,
выделенного из тела, не зависят от
его угловой ориентации, то такой
материал называется…
1.12 Тело, один размер которого намного
превышает два других, называется…
1.13 В модели формы при расчетах
прочностной надежности вводят
упрощение в геометрию элементов
конструкций, приводя их к схеме…
1.14 В сопротивлении материалов
относительно структуры и свойств
материала принимаются гипотезы…
1.15 Упрощение, на основании которого
при составлении уравнений
равновесия тело, после нагружения
внешними силами рассматривают
как недеформированное,
называется…
62
а) расчетной схемой
б) реальной конструкцией
в) математической моделью
г) абсолютно твердым телом
а) однородности и изотропности
б) изотропности
в) анизотропности
г) сплошности
а) идеально – упругим
б) анизотропным
в) изотропным
г) однородным
а) пластиной
б) оболочкой
в) массивом
г) стержнем
а) кривого стержня или
тонкостенной трубы
б) шарнирно-стержневой
системы и ломаного стержня
в) стержневой системы и
статически неопределимой
рамы
г) стержня, пластинки, оболочки
и массива (пространственного
тела)
а) сплошности и однородности
материала
б) устойчивости и жесткости
в) сплошности, однородности,
изотропности и идеальной
упругости материала
г) изотропности и идеальной
упругости
а) принципом начальных
размеров
б) условием неразрывности
деформаций
в) твердостью
г) принципом независимости
действия сил
1.16 Тело, длина которого l существенно
превышает характерные размеры
поперечного сечения (ширины и
высоты) b и h, называется…
а) пластинкой
б) массивом (пространственным
телом)
в) стержнем
г) оболочкой
1.17 Векторная величина, которая
а) полным напряжением в точке
характеризует интенсивность
б) нормальным напряжением
распределения внутренних сил по
в) касательным напряжением
сечению тела, называется…
г) напряженным состоянием в
точке
1.18 Утверждение, что напряжения и
а) принципом независимости
перемещения в сечениях, удаленных
действия сил
от места приложения внешних сил,
б) принципом начальных
не зависят от способа приложения
размеров
нагрузки, называется…
в) принципом Сен-Венана
г) гипотезой плоских сечений
1.19 Величины, служащие мерой
а) внутренними силовыми
механического действия одного
факторами
материального тела на другое,
б) внутренними силами
называются…
в) напряжениями
г) внешними силами
(нагрузками)
1.20 Силы взаимодействия между частями а) поверхностными
рассматриваемого тела называются… б) внутренними
в) объемными
г) внешними
1.21 Компонент вектора полного
а) напряженным состоянием
напряжения р, действующего в
б) нормальным напряжением σ
некоторой точке сечения тела,
в) касательным напряжением τ
определяемый проекцией вектора р
г) поперечной силой
на плоскость сечения, называется…
1.22 Проекции главного вектора и
а) поперечными силами и
главного момента всех внутренних
изгибающими моментами
сил в данном сечении на три взаимно б) сосредоточенными силами и
перпендикулярные оси,
моментами
расположенные в этом же сечении по в) внутренними силовыми
определенному правилу,
факторами
называются…
г) компонентами напряженного
состояния
1.23 Для определения внутренних
а) метод сечений
силовых факторов, действующих в
б) принцип независимости
сечении тела, используется…
действия сил
в) метод сил
г) гипотеза плоских сечений
63
1.24 Полное напряжение в точке сечения, а) нормальное и касательное
в общем случае, раскладывается на…
напряжения
б) нормальное напряжение
в) касательное напряжение
г) среднее напряжение
1.25 Проекция главного вектора R
а) напряженным состоянием
внутренних сил на ось (Х или У),
б) поперечной силой Qx (или Qy)
лежащую в плоскости сечения,
в) продольной силой N
называется…
г) касательным напряжением
1.26 Суммарный момент относительно
а) изгибающим моментом
оси стержня всех внутренних сил,
б) поперечной силой
действующих в поперечном сечении, в) крутящим моментом
называется…
г) моментом силы относительно
точки
1.27 Момент внутренних сил,
а) изгибающим моментом
действующих в поперечном сечении
Mx (или My)
стержня относительно оси Х (или У), б) крутящим моментом Mx
лежащей в плоскости сечения,
в) главным моментом
называется…
г) моментом силы относительно
оси
1.28 Количественная мера изменения
а) абсолютным удлинением
геометрических размеров в
стержня
окрестности точки называется…
б) полным перемещением точки
в) линейной деформацией
г) деформированным
состоянием в точке
1.29
а) F
б) ∆
в) L
г) ϕ
Угловым перемещением сечения
является величина…
1.30 В результате действия внешних сил
на деформируемое тело точка К
заняла новое положение К1. Вектор
KK1 называется…
1.31 Деформации (линейные ε и угловые
γ) считаются практически малыми,
если они не превосходят…
64
а) полным перемещением
б) линейной деформацией
в) угловой деформацией
г) проекцией вектора
перемещения
а) 0,12 (или 12%)
б) 0,05 (или 5%)
в) 0,2 (или 20%)
г) 0,1 (или 10%)
1.32
1.33
а) относительным сдвигом
б) модулем Юнга
в) Модулем сдвига
г) законом Гука при сдвиге
Отношение абсолютного сдвига ∆S к
расстоянию между сдвигающимися
плоскостями a называется…
а) напряжением
б) абсолютным укорочением в
направлении
оси z
в) средним удлинением
г) абсолютным удлинением
Первоначальная длина стержня равна
l. После приложения растягивающей
силы F длина стержня стала l1.
Величина ∆l = l1 – l называется…
1.34 При линейном напряженном
∆l
ε
=
а)
состоянии Закон Гука выражается
l
зависимостью…
б) σ = E ε
E
2 (1 + ν )
г) τ= G γ
а) wC и θC
б) wC
в) vC
г) θC
в) G =
1.35
Балка деформируется под действием
силы F. Сечение С балки имеет
линейные wC , vC и угловое
θC перемещения. Из-за малости
можно пренебречь перемещением…
65
2. Центральное растяжение и сжатие
2.1
2.2
4F
πd 2
F
б) 2
d
в) F
г) 0
а)
Сплошной однородный стержень
круглого поперечного сечения
диаметром d нагружен так, как
показано на рисунке. Нормальные
напряжения в сечении 1–1 равны…
а) равно нулю
б) растягивающим и
сжимающим
в) сжимающим
г) растягивающим
2.3
а) растягивающими и
сжимающими
б) равны нулю
в) растягивающими
г) сжимающими
2.4
а) растягивающими и
сжимающими
б) сжимающими
в) равны нулю
г) растягивающими
2.5
а) сжимающими
б) растягивающими
в) растягивающими и
сжимающими
г) равны нулю
66
2.6
2.7
Образец из хрупкого материала испытали на сжатие. Вид образца после
испытания (сплошная линия) изображен на рисунке…
а)
б)
в)
Диаграммой растяжения образца является диаграмма…
а)
2.8
2.9
б)
в)
Из гипотезы плоских сечений
следует, что вдали от мест
нагружения, резкого изменения
формы и размеров поперечного
сечения нормальные
напряжения при растяжении −
сжатии прямолинейных
стержней распределяются по
площади поперечного сечения
…
Материал называется
изотропным, если…
2.10 Чугун и сталь–материалы…
2.11 Примером анизотропного
материала является…
67
г)
г)
а) по закону квадратной параболы,
достигая максимума на
нейтральной линии
б) по линейному закону, достигая
минимума на нейтральной линии
в) равномерно
г) неравномерно, в зависимости от
формы поперечного сечения
а) он имеет кристаллическую
структуру
б) свойства образца, выделенного из
материала, не зависят от его
угловой ориентации
в) свойства образца, выделенного из
материала, зависят от его угловой
ориентации
г) он имеет волокнистую структуру
а) неоднородные
б) вязкоупругие
в) изотропные
г) анизотропные
а) древесина
б) сталь
в) чугун
г) бетон
2.12 Наклеп (нагартовка) – это…
а) изменения во времени напряжений
и деформаций в нагруженной
детали
б) уменьшение удлинения при
разрыве и незначительное
возрастание предела прочности
при длительном пребывании в
нагретом состоянии
в) повышение упругих свойств
материала в результате
предварительного пластического
деформирования.
г) соединение материала клепками
или заклепками
а) отношение относительной
поперечной деформации к
относительной продольной
деформации, взятое по абсолютной
величине
б) отношение нормального
напряжения к величине
относительной деформации в
законе Гука
в) остаточное сужение при разрыве
 A0 − A1

100%

 , где А0 и А1 –
A
0


начальная и конечная площади
поперечного сечения образца
г) отношение максимальной силы,
которую способен выдержать
образец, к начальной площади его
поперечного сечения
а) текучести
б) пропорциональности
в) упругости
г) прочности
2.13 Коэффициентом Пуассона
является…
2.14
На диаграмме деформирования
для конструкционной стали
точка D соответствует
пределу…
68
2.15
Для образца из некоторого материала
получили диаграмму растяжения и
определили все основные
механические характеристики. Деталь
из этого материала будет работать
при статической нагрузке как на
растяжение, так и на сжатие. В этом
случае…
2.16 Пусть l0 и А0, l1 и А1 – соответственно
начальная
длина
и
площадь
поперечного сечения, конечная длина
и площадь поперечного сечения
образца по результатам испытаний на
разрыв; Fmax – максимальная сила,
которую способен выдержать образец.
Конструкционные материалы делятся
на хрупкие и пластичные
в
зависимости от величины…
2.17 Пластичностью называется свойство
материала…
2.18 При испытаниях образца на
растяжение были определены
продольная и поперечная
относительные деформации. Они
оказались равными εпрод = 3,8 ⋅ 10−4 и
εпоп = 1,5 ⋅ 10−4 .
Тогда величина коэффициента
Пуассона равна…
69
а) необходимо провести
испытания на сдвиг и сжатие
б) необходимо провести
испытания на сжатие
в) дополнительные испытания не
требуются
г) необходимо провести
испытания на кручение
а) удлинения стержня при
разрыве ∆l = l1 – l0
б) предела пропорциональности
σпц при разрыве
в) предела прочности

Fmax 
 σппр =  при разрыве
A0 

г) относительного остаточного
удлинения при разрыве
l −l
δ = 1 0 100%
l0
а) сохранять некоторую часть
деформации после снятия
нагрузки
б) сопротивляться
проникновению в него
другого более твердого тела
в) восстанавливать свою форму
и размеры после снятия
нагрузки
г) сопротивляться разрушению
а) 0,25
б) 0,57
в) 0,39
г) 0,23
2.19 Если предел пропорциональности
материала σПЦ =
180 МПа , а
соответствующая ему относительная
деформация ε = 9 ⋅ 10−4 , тогда
величина модуля упругости равна...
2.20
а) 162 ГПа
б) 162 МПа
в) 200 ГПа
г) 20 ГПа
В результате испытания цилиндрического
образца с площадью поперечного сечения
100 мм2 была получена диаграмма,
представленная на рисунке. Предел прочности
испытываемого материала равен …
2.21
а) 400 МПа
б) 150 МПа
в) 200 МПа
г) 250 МПа
В результате испытания цилиндрического
образца с площадью поперечного сечения
100 мм2 была получена диаграмма,
представленная на рисунке. Площадь шейки в
месте разрыва образца составила 20 мм2.
Истинное сопротивление разрыву
испытываемого материала равно…
а) 1500 МПа
б) 1250 МПа
2.22
В результате
сжатия стального
цилиндрического
образца с
площадью
поперечного
сечения 100 мм2
была получена
диаграмма,
представленная на
рисунке.
Предел текучести испытываемого
материала равен…
2.23 К стержню квадратного поперечного
сечения приложены одинаковые
растягивающие силы. Если
одновременно увеличить в 2 раза
длину стержня и размер стороны,
абсолютное удлинение стержня…
70
в) 1000 МПа
а) 30 МПа
б) 800 МПа
в) 170 МПа
г) 300 МПа
г) 2000 МПа
а) уменьшится в 2 раза
б) уменьшится на 0,25l
в) увеличится на 0,25l
г) увеличится в 2 раза
2.24
Проверку на
прочность стержня
ВС, имеющего
разные
допускаемые
напряжения на растяжение σ+  и сжатие σ−  ,
проводят по формуле…
2.25
Стержень с квадратным
поперечным сечением нагружен
силой F=1000 кН. Модуль
упругости материала E = 200 ГПа.
Допускаемое напряжение [σ] = 100
МПа. Допустимое перемещение
верхнего сечения [δ] = 0,0001l.
Допустимый размер поперечного сечения
стержня из условия жесткости равен…
2.26
Допускаемое напряжение материала листа
[σ] = 160 МПа, толщина t = 10мм, ширина
b=200 мм. Значение допускаемой нагрузки для
растягиваемого стального листа, ослабленного
отверстиями диаметром d = 20 мм, равно …
2.27
Проверку на прочность
стержня AB, имеющего
разные допускаемые
напряжения на
растяжение σ+  и
а) σ ≤ σПЦ
б) σ ≤ σ− 
в) σ ≤ σТ
г) σ ≤ σ+ 
а) 5,47 см
б) 10,35 см
в) 22,36 см
г) 22,25 см
а) 256 кН
б) 288 МПа
в) 320 кН
г) 228 МПа
а) σ ≤ σ+ 
б) σ ≤ σПЦ
в) σ ≤ σТ
г) σ ≤ σ− 
сжатие σ−  , проводят
по формуле…
2.28 При испытании на растяжение образца (диаметр
d0 =10 мм, длина расчетной части до разрыва
l0 =100мм) относительное остаточное удлинение
составило δ=25%. Длина расчетной части
образца после разрыва составляет…
71
а) 100,25 мм
б) 125 мм
в) 25 мм
г) 50 мм
2.29
2.30
а) 10,0 см
б) 8,34 см
в) 8,90 см
г) 13,0 см
Допускаемое напряжение на растяжение −
сжатие для материала стержня равно 150 МПа.
Для стержня круглого поперечного сечения
наименьший размер d из условия прочности
равен…
а) ∆lBC ≤
[∆]
2
б) ∆lBC ≤ 3[ ∆ ]
в) ∆lBC ≤
[∆]
3
г) ∆lBC > [ ∆ ]
2.31
Если стержень ВС одинаково работает на
растяжение и сжатие, а допускаемый прогиб в
точке приложения силы [∆], то проверку на
жесткость проводят по условию…
F
E πd
Fl
б) −4
E πd 2
Fl
в) 4
E πd 2
г) 0
а) 255 МПа
б) 125 МПа
в) 155 МПа
г) 510 МПа
а) −
Для стержня круглого поперечного сечения,
схема которого изображена на рисунке,
абсолютное удлинение ∆l равно…
2.32 При испытании на растяжение и сжатие образца
из данного материала получены следующие
механические характеристики: предел
пропорциональности σпц=250 МПа,
предел текучести на растяжение и сжатие
σтр=σтс=310 МПа, предел прочности на
растяжение и сжатие σппр= σппс=510 МПа,
относительное остаточное удлинение δ=21%.
При значении нормативного коэффициента
запаса прочности [n] = 2, допускаемое
напряжение [σ] для материала будет равно…
72
2.33
а) σ ≤ σПЦ
б) σ > [ σ]
в) σ ≤ [ σ]
г) σ = σT
2.34
2.35
Если стержень ВС одинаково работает на
растяжение и сжатие, то проверку
прочности проводят по условию…
Для стержня, схема которого изображена
на рисунке, продольная сила N в сечении
1-1 будет…
Жесткий стержень нагружен
сосредоточенным моментом M
и поддерживается в горизонтальном
положении стальным стержнем BC
с площадью поперечного сечения A.
Условие прочности для стержня BC
имеет вид …
73
а) сжимающей
б) равномерно
распределенной по
сечению
в) растягивающей
г) равной нулю
M
≤ σ
а) A [ ]
Ma
≤ σ
б) A [ ]
M
≤ [ σ]
в)
2aA
M
≤ [ σ]
г)
aA
3. Сдвиг. Кручение
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
На срез (на сдвиг) рассчитывается соединение, показанное на рисунке…
а)
б)
[τCP] –
допускаемое
касательное
напряжение.
Условие
прочности
клеевого
соединения
имеет вид…
При расчете заклепки на срез
величина площади среза равна…
в)
2F
≤ [ τСР ]
а)
πd 2
6F
≤ [ τСР ]
б)
πd 2
4F
≤ [ τСР ]
в)
πd 2
8F
≤ [ τСР ]
г)
πd 2
2F
τ
≤ [ τСР ]
а)=
ab
F
τ
≥ [ τСР ]
б) =
ab
F
τ
≤ [ τСР ]
в) =
ab
F
τ
≤ [ τСР ]
г)=
2ab
а) δd
πd 2
б)
4
в) 2δd
 πd 2 
г) 2 

 4 
π  кН 


16  см 2 
10  кН 
б)


π  см 2 
Диаметр тела заклепки 1 см, F = 2 кН.
16  кН 
в)


Касательные напряжения
π  см 2 
в поперечном сечении,
8  кН 
в месте среза, равны…
г)


π  см 2 
а)
74
г)
3.6
Из расчета на
срез
минимальная
высота головки
болта при
заданных
значениях d, dотв
и [τср] равна…
3.7
а)
F
πd отв [τср ]
б)
F
d отв  τср 
в)
F
πd [τср ]
г)
4F
πd 2  τср 
а) увеличатся в 4 раза
б) увеличатся в 2 раза
в) уменьшатся в 2 раза
г) не изменятся
При увеличении момента T1 = T в два раза
наибольшие касательные напряжения…
3.8
а) 3T
б) T
в) 2T
г) 4T
3.9
Tl
2GI P
2Tl
б)
GI P
Tl
в)
GI P
Tl
г)
3GI P
а) увеличивается
б) уменьшается
в) сначала увеличивается,
потом уменьшается
г) не изменяется
а)
3.10 В процессе скручивания
длина стержня l
75
3.11 Изменение касательных напряжений вдоль радиуса поперечного сечения
круглого стержня при кручении соответствует рисунку…
3.12
а)
б)
в)
2T
а)
WP
Td
б)
4I P
T
в)
2WP
T
г)
WP
2T
а)
≤ [ τ]
WP
T
б)
≤ [ τ]
WP
3Td
в)
≤ [ τ]
IP
3T
г)
≤ [ τ]
WP
3.13
3.14
Из условия жесткости при заданных
значениях [θ], G и IP ≈ 0,1d4,
наименьший допускаемый диаметр
вала равен….
3.15 Правило, согласно которому на
взаимно перпендикулярных
площадках элемента, выделенного из
тела, касательные напряжения равны
по величине и направлены к общему
ребру (или от него), называют…
76
а) 4
40T
G[θ]
б) 4
20T
G[θ]
в) 4
30T
G[θ]
г) 4
10T
G[θ]
г)
а) масштабным эффектом
б) законом Гука при сдвиге
в) законом парности касательных
напряжений
г) условием неразрывности
деформаций
3.16
2T
WP
T
б)
WP
T
в) 2ρ
IP
г) 0
T
а) max ≤ [ τ]
WP
T
б)
y ≤ [ τ]
IX
N
в) ≤ [ σ]
A
T
г) ρ ≤ [ τ]
IP
τ
а)
2
τ
б)
4
τ
в)
16
τ
г)
8
а)
Напряжение в точке С поперечного
сечения определяется по формуле…
3.17 Условие прочности при кручении
стержня круглого поперечного
сечения с неизменным по длине
диаметром имеет вид…
3.18
Ступенчатый стержень скручивается
моментами T. Наибольшее
касательное напряжение на участке
диаметром d равно τ. Значение
наибольшего касательного
напряжения на участке с диаметром
2d равно…
3.19 Если [τ
77
а) d ≥ 3
16T
π [ τ]
б) d ≥ 3
32T
π [ τ]
в) d ≥ 3
T
π [ τ]
г) d ≥ 4
16T
π [ τ]
3.20 Если [τ
а) T ≤
б) T ≤
в) T ≤
г) T ≤
3.21
πd 3 [ τ]
16
πd 3 [ τ]
32
d [ τ]
3
16π
d 3 [ τ]
32π
Tl
2GI P
T
б)
GI P
2T
в)
GI P
Tl
г)
GI P
а)
3.22 Абсолютный угол закручивания
сечения В по модулю равен…
tl 2
а)
2GI P
tl 2
б)
GI P
tl
в)
2GI P
tl
г)
GI P
3.23 Пусть G – модуль сдвига,
[θ
T
G [ θ]
T
б) I P ≥
2G [ θ]
2T
в) I P ≥
G [ θ]
2Tl
г) I P ≥
Gϕ
а) I P ≥
78
3.24 Пусть GIP
2T
GI P
T
б)
GI P
4T
в)
GI P
T
г)
4GI P
3.25 Пусть угол поворота сечения С равен
ϕ. Тогда величина момента T
GI P ϕ
2l
GI ϕ
б) T = P
3l
2GI P ϕ
в) T =
l
GI ϕ
г) T = P
l
а)
3.26
а) T =
64Tl
ϕ AB πd 4
32Tl
б) G =
ϕ AB πd 4
192Tl
в) G =
ϕ AB πd 4
16Tl
г) G =
ϕ AB πd 4
а) G =
3.27
Из условия прочности, при заданном
значении [τ], наименьший
допускаемый диаметр вала равен…
При решении принять Wp≈0,2d3.
79
а) 3
20T
[ τ]
б) 3
4T
[ τ]
в) 3
10T
[ τ]
г) 3
2T
[ τ]
3.28
6Tl
GI P
3Tl
б)
GI P
6T
в)
GI P
3T
г)
GI P
а)
Стержень круглого сечения
диаметром d нагружен, как показано
на рисунке. Максимальное значение
относительного угла закручивания
равно….
3.29 Деформацию стержня, при которой в а) чистым изгибом
поперечных сечениях возникает
б) поперечным изгибом
только крутящий момент, называют… в) чистым сдвигом
г) кручением
3.30
3Tl
а)
GI P
4Tl
б)
GI P
2Tl
в)
GI P
Стержень круглого сечения
г) 0
диаметром d нагружен, как показано
на рисунке. Модуль сдвига материала
G, длина l, значение момента T
заданы. Взаимный угол поворота
крайних сечений равен…
3.31 Угол закручивания стержня круглого
Tl
а)
поперечного сечения определяется по
EI
формуле…
Nl
б)
EA
Tρ
в)
GI P
Tl
г)
GI P
3.32 Закон Гука при сдвиге выражается
а) τ= G γ
зависимостью…
б) σ = E ε
в)=
E 2G (1 + ν )
г) E= Gν
80
3.33 Какой из четырех вариантов нагружения одного и того же вала
моментами T, 2T, 3T и 6T будет иметь наименьший диаметр?
а)
б)
в)
3.34 Стержень круглого поперечного
сечения диаметром d работает на
деформацию кручение. Касательное
напряжение в точке, которая
расположена на расстоянии d/4 от оси
стержня, равно τ. Наибольшее
касательное напряжение в данном
поперечном сечении стержня равно…
3.35 Условие жесткости при кручении
стержня круглого поперечного
сечения, с неизменным по длине
диаметром имеет вид…
81
а) 8τ
б) 2τ
в) τ
г) 4τ
а)
T
≤ [τ]
Wp
б)
Tmax
≤ [θ]
GJ p
в)
Tl
≤ [θ]
GJ p
г)
M
y ≤ [ σ]
Ix
г)
4. Плоский прямой изгиб
а) Q ≠ 0; M ≠ 0
0
б) Q ≠ 0; M =
=
Q 0; M ≠ 0
в)
=
Q 0;=
M 0
г)
4.1
4.2
В сечении 1–1 имеют место
внутренние силовые факторы…
а) Q ≠ 0; M ≠ 0
0
б) Q ≠ 0; M =
=
Q 0; M ≠ 0
в)
=
Q 0;=
M 0
г)
4.3
4.4
4.5
=
Q 0;=
M 0
а)
=
Q 0; M ≠ 0
б)
в) Q > 0; M ≠ 0
0
г) Q ≠ 0; M =
В сечении 1–1 имеют место
внутренние силовые факторы…
В сечении 1–1 имеют место
внутренние силовые факторы…
В поперечном сечении балки при
изгибе могут возникать внутренние
силовые факторы: Q – поперечная
сила и M – изгибающий момент. В
сечении 1-1 балки, представленной на
рисунке…
82
0
а) Q ≠ 0; M =
б) Q ≠ 0; M ≠ 0
=
Q 0; M ≠ 0
в)
=
Q 0;=
M 0
г)
а) есть M и Q
б) есть только M
в) нет M и Q
г) есть только Q
4.6
4.7
Консольная балка нагружена
распределенной нагрузкой q. Эпюра
изгибающих моментов, построенная на
сжатых волокнах, для этой балки имеет
вид …
а)
б)
4.8
4.9
4.10
а) C
б) D
в) A
г) B
в)
г)
Шарнирно опертая балка нагружена
распределенной нагрузкой q. Эпюра
изгибающих моментов, построенная на
сжатых волокнах, для этой балки имеет
вид…
а)
б)
в)
а) есть M и Q
б) есть только M
в) нет M и Q
г) есть только Q
В поперечном сечении балки при
изгибе могут возникать внутренние
силовые факторы: Q – поперечная
сила и M – изгибающий момент. В
сечении 1-1 балки, представленной на
рисунке…
В точке 1 поперечного сечения
балки...
83
г)
а) действует нормальное
напряжение σ
б) действуют нормальное σ и
касательное τ напряжения
в) действует касательное
напряжение τ
г) нет напряжений
4.11
В точке 1 поперечного сечения
балки...
а) действует нормальное
напряжение σ
б) действует касательное
напряжение τ
в) действуют нормальное σ и
касательное τ напряжения
г) нет напряжений
В точке 1 поперечного сечения
балки...
а) действуют нормальное σ и
касательное τ напряжения
б) нет напряжений
в) действует нормальное
напряжение σ
г) действует касательное
напряжение τ
4.12
4.13
В точке 1 поперечного сечения
балки...
а) действует нормальное
напряжение σ
б) действуют нормальное σ и
касательное τ напряжения
в) нет напряжений
г) действует касательное
напряжение τ
4.14 ϕ – угол поворота, v – прогиб.
Сечение 1-1 имеет перемещения…
а) v
б) ϕ и v
в) нет перемещений
г) ϕ
4.15 ϕ – угол поворота, v – прогиб.
Сечение 1-1 имеет перемещения…
а) ϕ
б) v
в) нет перемещений
г) ϕ и v
4.16
а) 4–4
б) 1–1
в) 3–3
г) 2–2
84
4.17
а) 1–1
б) 4–4
в) 2–2
г) 3–3
4.18
Mx
h1
bI x
M
б) σ = x
bhx
M
в) σ = x h
Ix
M
г) σ = x h1
Ix
а) σ =
При нагружении балки таврового сечения
с моментом инерции относительно
центральной оси x, равным Ix, в сечении
возникает изгибающий момент Mx.
Нормальное напряжение
в точке B сечения равно …
4.19 Из таблицы сортаментов для двутавровых
балок:
3
№18a:
=
Wx 159см
=
; A 25,4cм 2 ;
3
№20:
=
Wx 184см
=
; A 26,8cм 2 ;
3
=
Wx 203см
=
№20a:
; A 28,9cм 2 ;
3
=
№22: Wx 232см
=
; A 30,6cм 2 ;
В опасном сечении балки, выполненной из
пластичного материала (допускаемое
напряжение [σ] = 160 МПа), значение
изгибающего момента M max = 32кНм .
Отношение массы балки прямоугольного
сечения (с отношением сторон h b = 2 ) к
массе балки двутаврого сечения равно….
4.20
При нагружении балки прямоугольного
поперечного сечения в сечении возникают
изгибающий момент Mx и поперечная сила
Qy. Нормальные и касательные напряжения
в точке B сечения соответственно равны…
85
а) 1,985
б) 4,925
в) 3,342
г) 3,107
6M x
3 Qy
=
τ
;
bh 2
2 bh
6M x
=
σ
=
;τ 0
б)
bh 2
12M x
;τ 0
=
=
в) σ
bh3
12 M x
3 Qy
=
=
τ
;
г) σ
bh3
2 bh
=
σ
а)
4.21
а) 2
б) 0,5
в) 1,5
г) 1
Прямоугольная балка имеет два варианта
расположения поперечного сечения. Отношение
наибольших нормальных напряжений σ B σ A
для этих двух вариантов равно…
4.22
Чугунная балка обладает наибольшей
грузоподъемностью при
расположении поперечного сечения,
показанном на рисунке…
4.23
а)
б)
в)
Все
представленные
варианты
сечения
равноценны
г)
3
σ b
а) 9 T
Fl
1 Fl
б)
9 σT b3
27 σT b3
Однопролетная балка длиной l нагружена силой в)
2 Fl
F. Сечение прямоугольное с размерами 2b×3b.
2 Fl
Предел текучести для материала балки задан σT. г)
27 σT b3
Коэффициент запаса прочности по нормальным
напряжениям равен….
4.24
ql
а) W ≤
2 [ σ]
ql
Шарнирно опертая балка нагружена равномерно б) W ≥ 2 σ
[ ]
распределенной нагрузкой q. Допускаемое
ql 2
напряжение для материала балки равно [σ].
в) W ≤
8[ σ ]
Условию прочности удовлетворяет осевой
момент сопротивления поперечного сечения
ql 2
г) W ≥
балки …
8[ σ ]
86
4.25
На рисунке показана схема нагружения
балки. Форма деформированной оси балки
имеет вид …
а)
4.26
б)
в)
г)
Эпюра изгибающих моментов построенная на
сжатых волокнах имеет вид…
а)
4.27
б)
в)
г)
На рисунке показана схема нагружения
балки. Форма деформированной оси балки
имеет вид …
а)
б)
в)
г)
4.28 Балки имеют прямоугольное поперечное сечение (переменную высоту и
постоянную ширину). Лучше работать на изгиб при данных условиях
закрепления и нагружения будет балка…
а)
4.29
б)
в)
Все балки на
изгиб работают
одинаково
г)
На рисунке показана форма
деформированной оси балки.
Схема нагружения балки, соответствующая
приведенной форме, имеет вид …
а)
б)
в)
87
г)
4.30
Направление касательных напряжений,
передающихся через ступенчатый разрез от
правой части балки на левую, показано на
рисунке…
а)
б)
4.31 При плоском поперечном изгибе
нормальные напряжения по ширине
сечения балки …
в)
г)
а) распределяются по линейному
закону; максимальны по
краям; равны нулю
посередине
б) равны нулю
в) распределяются по закону
квадратной параболы;
максимальное значение
принимают посередине, а по
краям равны нулю
г) распределяются равномерно
4.32
16Fl
bh 2
8Fl
б) 2
bh
72Fl
в)
bh 2
48Fl
г)
bh 2
а)
Максимальные нормальные
напряжения в сечении 1-1 балки
треугольного сечения будут равны…
4.33
В поперечном сечении балки при
изгибе могут возникать внутренние
силовые факторы: Q – поперечная
сила и M – изгибающий момент. В
сечении 1-1 балки, представленной на
рисунке, …
88
а) есть M и Q
б) есть только M
в) нет M и Q
г) есть только Q
4.34
4.35
Нормальное напряжение в точке 1
поперечного сечения равно …
а) 0
2Fl
б)
bh
5Fl
в) 2
bh
3Fl
г) 2
bh
Если правую часть стержня
отбросить, то в точке D
поперечного сечения следует
показать напряжения…
4.36
а)
б)
в)
M
2 [ σ]
M
б) W ≤
2 [ σ]
Ml
в) W ≥
2 [ σ]
2M
г) W ≥
l [ σ]
а) W ≥
Шарнирно опертая балка нагружена
сосредоточенным моментом M.
Допускаемое напряжение для
материала балки равно [σ]. Условию
прочности удовлетворяет осевой
момент сопротивления поперечного
сечения балки …
89
г)
5. Геометрические характеристики плоских сечений
5.1
5.2
5.3
5.4
а) продольной осью
стержня
б) осью поперечного
сечения стержня
в) центральной осью
г) главной осью
Ось x, относительно которой статический
момент площади Sx равен нулю, называется…
1
2
б) 1
2
в)
3
1
г)
3
а)
На рисунке показаны два треугольных
сечения. Отношение статических моментов
S1x / S2x этих сечений равно…
1
4
б) bh 2
1
в) bh 2
2
1
г) b 2 h
2
а) bh 2
Статический момент Sx параллелограмма,
показанного на рисунке, равен…
а) y = 8t
б) y = 4t
в) y = 2t
г) y = −2t
x-x равны при
значении y равном…
90
5.5
а) −2b3
б) −b3
в) 2b3
г) 4b3
5.6
Статический момент площади
прямоугольника относительно оси x равен…
 π2 2 2 
⋅ 1  , см 4
 4

а) 
 π2 2 
4
б) 
 , см
 64 
 π2 4 2 π2 2 
4
в) 
−1 ⋅
 , см
4 
 64
Момент инерции круга
относительно оси x равен…
2
 π2 4
2 π2 
4
г) 
+1 ⋅
 , см
4 
 64
5.7
а) ∫ ydA
A
б) ∫ y 2 dA
A
в) ∫ xdA
A
5.8
A – площадь фигуры. Осевым моментом
инерции площади плоской фигуры
относительно оси y является интеграл…
г) ∫ x 2 dA
A
11 4
πd
64
3
б) πd 4
64
8
в) πd 4
64
5
πd 4
г)
64
а)
πd 4
– момент инерции круга
Iy =
64
относительно оси y. Момент инерции круга
относительно оси y1 равен…
91
5.9
y-y к оси y1-y1 момент
инерции круга изменяется на величину…
5.10
πR24   R1  
1 −   
а)
2   R2  


4
πR24   R1  
1 −   
б)
4   R2  


4
π ( R2 − R1 )
в)
2
4
π ( R2 − R1 )
г)
4
5
а) πr 4
4
5
б) πr 4
2
в) πr 4
5
г) πr 4
3
4
Полярный момент инерции кольцевого
сечения, внутренний радиус которого
R1, наружный – R2, равен …
5.11
5.12
πd 4
а)
16
πd 4
б)
32
πd 4
в)
8
5πd 4
г)
64
Осевой момент инерции IX составного
сечения, показанного на рисунке, равен…
ab 2
a + b2 )
(
12
ab
б) ( a 2 + b 2 )
2
ab 2
в) ( a + b 2 )
4
ab
2
г)
(a + b)
12
а)
Осевой момент инерции IX составного
сечения, показанного на рисунке, равен…
92
5.13
5.14
5.15
I X=
I X + a 2 A – формула параллельного
1
переноса. Момент инерции относительно оси
x равен…
5.16
Главный минимальный момент инерции
прямоугольника относительно оси
проходящей через точку c равен…
93
15πd 4
а)
64
16πd 4
б)
64
14πd 4
в)
64
17 πd 4
г)
64
79
а) t 4
12
63
б) t 4
12
94 4
в) t
12
87 4
г)
t
12
4h 4
а)
3
5h 4
б)
3
4
h
в)
3
2h 4
г)
3
3b 4
а)
2
8b 4
б)
3
4
b
в)
6
2b 4
г)
3
5. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.
1.1. б; 1.2. г; 1.3. б; 1.4. б; 1.5. а; 1.6. б; 1.7. г; 1.8. а; 1.9. а; 1.10. г; 1.11. в;
1.12. г; 1.13. г; 1.14. в; 1.15. а; 1.16. в; 1.17. а; 1.18. в; 1.19. г; 1.20. б; 1.21. в;
1.22. в; 1.23. а; 1.24. а; 1.25. б; 1.26. в; 1.27. а; 1.28. г; 1.29. г; 1.30. а; 1.31. а;
1.32. г; 1.33. б; 1.34. б; 1.35. б.
2.1. а; 2.2. а; 2.3. г; 2.4. в; 2.5. а; 2.6. г; 2.7. а; 2.8. в; 2.9. б; 2.10. в; 2.11. а;
2.12. в; 2.13. а; 2.14. г; 2.15. в; 2.16. г; 2.17. а; 2.18. в; 2.19. в; 2.20. а; 2.21. в;
2.22. г; 2.23. а; 2.24. г; 2.25. в (Решение. a – размер поперечного сечения.
Fl
F
−4
=
≤
=
δ
10
l
,
Максимальное удлинение ∆lmax
откуда
a
≥
=
[
]
Ea 2
E ⋅ 10−4
1000 ⋅ 103
=
22,36см. ); 2.26. а (Решение. Поперечное сечение стержня
200 ⋅ 109 ⋅ 10−4
ослаблено
двумя
отверстиями.
Тогда
по
условию
прочности
Fmax
6
t 160 ⋅ 106 ( 200 − 2 ⋅ 20 ) ⋅ 10  ⋅ 10−=
=
σmax
≤ [ σ] , а Fmax ≤ [ σ] ( b − 2d )=
( b − 2d ) t
= 256кН. ); 2.27. а; 2.28. б; 2.29. а; 2.30. б; 2.31. б; 2.32. в; 2.33. в; 2.34. в; 2.35. г.
4F
4 ⋅ 2 8 кН
F
,
. );
=
=
=
3.1. г; 3.2. а; 3.3. в; 3.4. г; 3.5. г (Решение. τср=
Aср πd 2 π ⋅ 12 π см 2
3.6. а (Решение. τср=
F
F
F
. ); 3.7. г; 3.8. в;
=
≤  τср  ; откуда h ≥
Aср πd отв h
πd отв  τср 
3.9. в; 3.10. г; 3.11. б; 3.12. г; 3.13. г; 3.14. б (Решение. θmax
=
откуда d ≥ 4
Tmax
2T
=
≤ [ θ];
GI P G ⋅ 0,1d 4
20T
. ); 3.15. в; 3.16. б; 3.17. а; 3.18. г (Решение. На участке
G [ θ]
16T
T
На
участке
диаметром
2d:
τd =
= 3 =τ.
WPd πd
T
16T
16T 1 τ
T 16T
τ2 d=
=
=
⋅ = . ); 3.19. а (Решение. τmax=
=
≤ [ τ];
3
3
WP 2 d π ( 2d )
πd 8 8
WP πd 3
диаметром
d:
πd 3 [ τ]
16T
T 16T
. ); 3.20. а (Решение. τmax=
откуда d ≥ 3
. );
=
≤ [ τ]; откуда T ≤
π [ τ]
16
WP πd 3
3.21. б; 3.22. а (Решение. Выберем сечение от B в сторону заделки, тогда
T ( z ) = tz;
T ( z)
tz
θ( z )=
=
;
GI P GI P
l
tz
tz 2
tl 2
ϕ BA ( z ) =
θ
(
z
)
dz
=
dz
=
=
∫l
∫l GI P 2GI P 2GI P , что
0
численно равно углу поворота сечения В.); 3.23. а (Решение. θmax
=
94
T
≤ [ θ];
GI P
GI ϕ
T
Tl
. ); 3.24. а; 3.25. г (Решение. ϕC =
=ϕ; T = P . ); 3.26. а
l
G [ θ]
GI P
T ⋅ 2l T ⋅ 2l ⋅ 32 64Tl
64Tl
(Решение. ϕ AB
=
=
=
;
G
=
. ); 3.27. в (Решение.
GI P
G πd 4
G πd 4
ϕ AB πd 4
IP ≥
Tmax = 2T ; τmax
=
Tmax
10T
2T
. ); 3.28. г; 3.29. г; 3.30. г (Решение.
=
≤ [ τ]; d ≥ 3
3
WP 0,2d
[ τ]
Tl
Tl
; ϕ BC = ; ϕ AC = ϕ AB + ϕ BC = 0. ); 3.31. г; 3.32. а;
GI P
GI P
3.33. в (Решение. На рисунке показаны эпюры крутящих моментов для всех
четырех схем нагружения вала. Когда вал нагружен по схеме «T–2T–6T–3T»,
максимальный крутящий момент на валу минимален и будет равен 3T.);
−
TAB = −T ; TBC = T ; ϕ AB =
3.34. б (Решение. Касательные напряжения изменяются по радиусу ρ линейно
d
T
τ ( ρ )=
ρ и достигают мксимума на внешних волокнах ρ = ρmax = . Если
2
IP
d
d


τ  ρ =  = τ, тогда τ  ρ =
 = 2τ. ); 3.35. б.
4
2


4.1. а; 4.2. б; 4.3. в; 4.4. б; 4.5. а; 4.6. в; 4.7. г; 4.8. а; 4.9. б; 4.10. а; 4.11. г; 4.12. в; 4.13. в; 4.14.
б; 4.15. б; 4.16. а; 4.17. б; 4.18. г; 4.19. г (Решение. Условие прочности при изгибе
M max 32 ⋅ 103
M max
W
≥
=
= 200см3 ,
,
σ=
≤
σ
[ ]
x
max
6
Wx
[σ] 160 ⋅ 10
bh 2 2 3
=
Wx = =
b 200см3 ,
6
3
поперечного
сечения
балки
2
2
2
A=
bh =
2b =
2 ⋅ 6,7 =
89,78см .
mbh
=
mдвутавр
откуда
b = 6,7см.
прямоугольного
Площадь
сечения
Abh
89,78
=
= 3,107. ); 4.20. б; 4.21. а (Решение.
Aдвутавр 28,9
95
σ B M WA b ( 2b )
6
2.
=
=
=
6 2b ⋅ b 2
σ A WB M
2
2
2
l
2
b
3
b
(
)
1
2
Wx = 3b3 ,
=
M max F=
l 3
Fl ,=
6
3 1l + 2l 9
3
3
3
σTWx 27 σT b
M max
σT
ql 2
. ) ; 4.24. г (Решение. M max =
=
,
, n =
σ=
≤=
[ σ]
max
8
2 Fl
M max
Wx
n
M
M max
ql 2
≤ [ σ] , Wx ≥ max =. ); 4.25. б; 4.26. б; 4.27. в; 4.28. в (Решение.
Wx
[ σ ] 8[ σ ]
Наиболее рациональной является форма балки равного сопротивления изгибу. В
данном случае момент сопротивления должен меняться пропорционально
M ( z)
изгибающему моменту W ( z ) =
. При постоянной ширине b, высота балки
[ σ]
h прямоугольного сечения должна изменяться по параболическому закону
6F
h( z) =
z . В связи со сложностью изготовления такой балки, обычно
b [ σ]
σ=
max
применяют балки форма которых наиболее близка к параболе.); 4.29. г; 4.30. г;
bh 2
M max 48 Fl
4.31. г; 4.32. г (Решение. M max= F ⋅ 2l , Wx min =
, σ max=
. ; 4.33. б;
=
24
Wx min
bh 2
l
bh 2
M 3Fl
4.34. г (Решение. M = F , Wос =
,=
σ
=
. ); 4.35. а; 4.36. а (Решение.
6
2
Wос bh 2
M
M
M max
. ).
M max = , σ=
≤ [ σ] , Wx ≥
max
2 [ σ]
2
Wx
5.1. в; 5.2. б;
S1x = A1 ⋅ y = ( t ) y;
2
5.3. в; 5.4. а (Решение.
S2 x = A2 ⋅ 2t = ( 2t ) 2t = 8t 3 ;
2
y = 8t.
S1x = S2 x ;
2
πd 4  d  πd 2
I x =I xc + a A =
+ 
=
64  2  4
Sx =
Ayc =
( b ⋅ 2b )( −b ) =−2b .
3
2
96
2
πd 4  d  πd 2
I y =I yc + b A =
+ 
=
64  2  4
π2 4
π2 2
=
+ 12
,см 4 .
64
4
2
2
2
5
πd 4
 d  πd
4
2
2
=
πd . ); 5.9. а (Решение. I=
. ); 5.10. б
I yc + b =
A; b A =
y

64
16
2 4
4
4
4
π ( 2 R2 )
π ( 2 R1 )
πR24   R1  
−
= 1 −    . ); 5.11. б (Решение.
(Решение. I =
64
64
4   R2  


4
 π ( 2r )
 5 4
ba 3 ab3
2
2
2
+
=
I x = 2 ( I xc + a A ) = 2 
+ r πr  = πr . ); 5.12. а (Решение. I x =
 64
 2
12
12


4
π ( 2d )
πd 4 15πd 4
ab 2
2
=
( a + b ). ); 5.13. а (Решение. I=x 64 − 64= 64 . ); 5.14. а (Решение.
12
Оптимальным вариантом решения задачи будет вычитание моментов инерции
двух квадратов t×t из большого квадрата 3t×3t, вместо использования формулы
параллельного переноса для прямоугольников 3t×t и суммированиях их с
3
4
h ( 2h )
3t )
 t 4  79 4
2 4
(
=
I
=
h . );
квадратом t×t. =
);
5.15.
г
(Решение.
Ix
− 2× =
t
.
y

12
3
12
 12  12
2b ⋅ b3 b 4
I min =
. ).
5.16. в (Решение.=
12
6
97
Список литературы
1. ГОСТ 380-2005. Сталь углеродистая обыкновенного качества.
Марки. М., 2005. 8 с.
2. ГОСТ 7293-85. Чугун с шаровидным графитом для отливок.
Марки. М., 2010. 4 с.
3. ГОСТ 1050-88. Прокат сортовой, калиброванный, со
специальной отделкой поверхности из углеродистой качественной
конструкционной стали. Общие технические условия М., 1991. 30 с.
4. ГОСТ 1412-85. Чугун с пластинчатым графитом для отливок.
Марки. М., 1987. 6 с.
5. ГОСТ 4543-71. Прокат из легированной конструкционной
стали. Технические условия. М., 1973. 39 с.
6. ГОСТ 4784-97. Алюминий и сплавы алюминиевые
деформируемые. Марки. М., 1997. 19 с.
7. ГОСТ 5632-72. Стали высоколегированные и сплавы
коррозионностойкие, жаростойкие и жаропрочные. Марки. М., 2001.
64 с.
8. Справочник по сопротивлению материалов / Писаренко Г. С.,
Яковлев А. П., Матвеев В. В. // Киев: Наук. думка, 1988. – 736 с.
9. ГОСТ 8239-89. Двутавры стальные горячекатаные. Сортамент
М., 1989. 7 с.
10. ГОСТ 8240-97. Швеллеры стальные горячекатаные.
Сортамент М., 1989. 10 с.
11. ГОСТ 8509-93. Уголки стальные горячекатаные
равнополочные. Сортамент М., 1997. 5 с.
12. ГОСТ 8510-93. Уголки стальные горячекатаные
неравнополочные. Сортамент М., 1997. 5 с.
13. Справочник по конструкционным материалам / Арзамасов
Б. Н., Соловьева Т. В., Герасимов С. А. и др. // М.: Изд-во МГТУ им.
Н. Э. Баумана, 2005. – 640 с.
14. ГОСТ 6636-69. Основные нормы взаимозаменяемости.
Нормальные линейные размеры / М., 2004. 7 с.
98
СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ
Таблица 1. Механические характеристики сталей и сплавов
Марка стали σT, МПа σВ, МПа δ, % Марка стали σT, МПа σВ, МПа δ, %
Углеродистые стали обыкновенного качества (по ГОСТ 380-2005) [8]
Ст1
180
320÷400 28
Ст4
240÷260 420÷520 21
Ст2
190÷220 320÷400 26
Ст5
260÷280 500÷620 17
Ст3
210÷240 380÷470 23
Ст6
300÷310 600÷720 15
Углеродистые качественные конструкционные стали (ГОСТ 1050-88)
08
196
320
33
35
315
530
20
10
205
330
31
40
335
570
19
15
225
370
27
45
355
600
16
20
245
410
25
50
375
630
14
25
275
450
23
55
380
650
13
30
295
490
21
60
400
680
12
Легированные конструкционные стали хромистые (ГОСТ 4543-71)
15Х
490
690
12
35Х
735
910
11
20Х
635
780
11
40Х
785
980
10
30Х
685
880
12
45Х
835
1030
9
30ХРА
1275
1570
9
50Х
885
1080
9
Легированные конструкционные стали марганцовистые (ГОСТ 4543-71)
15Г
245
410
26
50Г
390
650
13
20Г
275
450
24
10Г2
245
420
22
25Г
295
490
22
30Г2
345
590
15
30Г
315
540
20
35Г2
365
620
13
35Г
335
560
18
40Г2
380
660
12
40Г, 40ГР
355
590
17
45Г2
400
690
11
45Г
375
620
15
50Г2
420
740
11
Легированные конструкционные стали хромомарганцовые (ГОСТ 4543-71)
18ХГ
735
880
10
30ХГТ
1275
1470
9
18ХГТ
885
980
9
40ХГТР
785
980
11
20ХГР
785
980
9
25ХГМ
1080
1180
10
27ХГР
1175
1370
8
38ХГМ
785
930
11
25ХГТ
980
1270
10
Легированные конструкционные стали хромокремнистые (ГОСТ 4543-71)
33ХС
685
880
13
40ХС
1080
1230
12
38ХС
735
930
12
Легированные конструкционные стали хромомолибденовые
и хромомолибденованадиевые (ГОСТ 4543-71)
15ХМ
275
440
21
35ХМ
835
930
12
20ХМ
590
780
12
38ХМ
885
980
11
30ХМ
735
930
11
30Х3МФ
835
980
12
30ХМА
735
930
12
40ХМФА
930
1030
13
99
Таблица 1 (продолжение).
Легированные конструкционные стали хромованадиевые (ГОСТ 4543-71)
15ХФ
540
740
13
40ХФА
735
880
10
Легированные конструкционные стали никельмолибденовые (ГОСТ 4543-71)
15Н2М
635
830
11
20Н2М
685
880
10
(15НМ)
(20НМ)
Легированные конструкционные стали хромоникелевые
и хромоникелевые с бором (ГОСТ 4543-71)
12ХН
440
640
10
12ХН2
590
780
12
20ХН
590
780
14
12ХН3А
685
930
11
40ХН
785
980
11
20ХН3А
735
930
12
45ХН
835
1030
10
12Х2Н4А
930
1130
10
50ХН
885
1080
9
20Х2Н4А
1080
1270
9
20ХНР
980
1180
10
30ХН3А
785
980
10
Легированные конструкционные стали хромокремнемарганцовые
и хромокремнемарганцовоникелевые (ГОСТ 4543-71)
20ХГСА
635
780
12
35ХГСА
1275
1620
9
25ХГСА
835
1080
10
30ХГСН2А
1375
1620
9
(30ХГСНА)
30ХГСА
835
1080
10
Легированные конструкционные стали хромомарганцовоникелевые
и хромомарганцовоникелевые с титаном, молибденом и бором (ГОСТ 4543-71)
15ХГН2ТА
735
930
11
19ХГН
930
1520
7
(15ХГНТА)
38ХГН
685
780
12
20ХГНР
1080
1270
10
20ХГНМ
930
1570
7
20ХГНТР
980
1180
9
40ХГНМ
835
980
12
14ХГН
835
1080
8
25ХГНМТ
1080
1180
10
Легированные конструкционные стали хромоникельмолибденовые (ГОСТ 4543-71)
20ХН2М
685
880
11
40Х2Н2МА
930
1080
10
(20ХНМ)
(40Х1НВА)
30ХН2МА
785
980
10
38ХН3МА
980
1080
12
(30ХНМА)
38Х2Н2МА
930
1080
12
18Х2Н4МА
835
1130
12
(38ХНМА)
(18Х2Н4ВА)
40ХН2МА
930
1080
12
25Х2Н4МА
930
1080
11
(40ХНМА)
(25Х2Н4ВА)
Легированные конструкционные стали хромоникельмолибденованадиевые
и хромоникельванадиевые; хромоалюминиевая с молибденом* (ГОСТ 4543-71)
30ХН2МФА
785
880
10
45ХН2МФА
1325
1470
7
(45ХНМФА)
38ХН3МФА
1080
1180
12
20ХН4ФА
685
880
12
*
36Х2Н2МФА
1080
1180
12
38Х2МЮА
835
980
14
*
(36ХН1МФА)
(38ХМЮА )
Нержавеющие жаропрочные стали и сплавы (по ГОСТ5632-72) [8]
1Х13
410
610
22
1Х18Н9Т
240
580
70
2Х13
520
720
21
Х20Н77Т2ЮР
660
1090
24
1Х17Н2
770
960
17
ЖС6К
880÷940
1070
7
100
Таблица 2. Механические характеристики чугунов
Марка σВ, МПа
σС, МПа
Марка σВ, МПа σС, МПа σТ, МПа
σТ, МПа δ, %
δ, %
Серый чугун (по ГОСТ 1412-85) [8]
СЧ12
120
500
–
–
СЧ28
280
1100
0,75σВ 1,2
СЧ15
150
650
–
–
СЧ32
320
1200
0,85σВ 1,2
СЧ18
180
700
–
–
СЧ35
350
1200
0,85σВ 1,3
СЧ21
210
950
0,75σВ
–
СЧ38
380
1400
0,85σВ 1,4
СЧ24
240
1000
0,75σВ
–
Высокопрочный чугун с шаровидным графитом (по ГОСТ 1050-88) [8]
ВЧ35
350
220
22
ВЧ60 600-700 2100 420-550 3
ВЧ40
400
250
15
ВЧ70
700
420
2
ВЧ45 450-500 1500-1600 350-400 10
ВЧ80
800
480
2
ВЧ50 500-600 1700-1800 400-500 7
ВЧ100 1000
700
2
Таблица 3. Механические цветных металлов
Марка
Марка
σT, МПа σВ, МПа δ, %
σT, МПа σВ, МПа δ, %
Алюминиевые сплавы (по ГОСТ 4784-97) [8]
АМцМ
50
130
23
Д6 (З и ЕС)
300
460
АМг2М
80
190
23
Д16 (З и ИС)
290
440
АМг2П
210
250
6
Д16 (З и ЕС)
380
520
АМг6
170
320
24
Д16 (О)
100
220
АМг6М
150
300
18
Д16 (СЗ)
230
430
Д1 (О)
110
210
18
АК4-1
280
430
Д1П (З и ЕС)
250
410
15
ВД17
330
490
Д6 (О)
110
220
15
Технический титан и его сплавы (по ГОСТ 4784-97) [13]
ВТ1-0
265-293 345-355 51
ВТ22
883
940
ВТ14
830-1240 850-1350 22
ВТ6
990-1240 1080-1360
Таблица 4. Модули упругости некоторых материалов
Материал
10
20
40
45
50
60
E (G),
ГПа
Материал
E (G),
ГПа
Материал
190
202
213,5
204
220
208
40ХН
20ХН3А
40ХНМА
30ХГСА
1Х13, 2Х13
1Х17Н2
204
204 (81,5)
204
198 (83)
220
200
СЧ21
СЧ24
СЧ28
СЧ32
СЧ35
СЧ38
30Г
217
1Х18Н9Т
200
ВЧ45
60Г
20Х
40Х
210,9
207
218,5 (80,8)
210,9
(80,15)
45Х
30ХМ
213
Х20Н77Т2ЮР
Вольфрам
Молибден
200
420 (150)
330 (122)
ВЧ50
ВЧ60
ВЧ40
АМцМ, АМг2М,
АМг2П, АМг6М
Ниобий
106 (88)
СЧ12, СЧ15,
СЧ18
80-150 (45) АМг6
101
E (G),
ГПа
Материал
18
11
18
13
6
13
20
16
8
E (G),
ГПа
85 (45)
110 (48)
120 (52)
130 (56)
145 (64)
160 (70)
130-160
(70)
130 (77,5)
180 (80)
160 (75)
Д1, Д1П
Д6, Д16
ВТ1
ВТ6
ВТ3-1
ВТ14
71 (27)
71
112,1 (41,1)
110 (42,5)
115 (43)
115
Алмаз
700-1200
Лёд
Стекло
Мрамор
10
48-85
56
71 (27)
Дуб
7,3-15,1
70
Береза
15,0-18,4
Таблица 5. Нормальные линейные размеры (мм) [14]
Ra5
0,010
Ra10
0,010
Ra20
0,010
Ra40
–
Ra5
0,100
Ra10
0,100
0,011
0,012
0,012
0,014
0,016
0,016
0,016
0,018
0,020
0,020
0,022
0,025
0,025
0,025
0,028
0,032
0,032
0,036
0,040
0,040
0,040
0,045
0,050
0,050
0,056
0,063
0,063
0,063
0,071
0,080
0,080
0,090
Ряд
Ra20
0,100
0,110
0,012
0,013
0,014
0,015
0,016
0,017
0,018
0,019
0,020
0,021
0,022
0,024
0,025
0,026
0,028
0,030
0,032
0,034
0,036
0,038
0,040
0,042
0,045
0,048
0,050
0,053
0,056
0,060
0,063
0,067
0,071
0,075
0,080
0,085
0,090
0,095
0,120
0,120
0,140
0,160
0,160
0,160
0,180
0,200
0,200
0,220
0,250
0,250
0,250
0,280
0,320
0,320
0,360
0,400
0,400
0,400
0,450
0,500
0,500
0,560
0,63
0,63
0,63
0,71
0,80
0,80
0,90
Ra40
0,100
0,105
0,110
0,115
0,120
0,130
0,140
0,150
0,160
0,170
0,180
0,190
0,200
0,210
0,220
0,240
0,250
0,260
0,280
0,300
0,320
0,340
0,360
0,380
0,400
0,420
0,450
0,480
0,500
0,530
0,560
0,600
0,63
0,67
0,71
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
Ra5
1,0
Ra10
1,0
Ra20
1,0
1,1
1,2
1,2
1,4
1,6
1,6
1,6
1,8
2,0
2,0
2,2
2,5
2,5
2,5
2,8
3,2
3,2
3,6
4,0
4,0
4,0
4,5
5,0
5,0
5,6
6,3
6,3
6,3
7,1
8,0
8,0
9,0
Ra40
1,0
1,05
1,1
1,15
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,4
2,5
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,5
4,8
5,0
5,3
5,6
6,0
6,3
6,7
7,1
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
Доп.
размер*
Ra5
10
Ra10
10
Ряд
Ra20
10
11
1,25
1,35
1,45
1,55
1,65
1,75
1,85
1,95
2,05
2,15
2,3
2,7
2,9
3,1
3,3
3,5
3,7
3,9
4,1
4,4
4,6
4,9
5,2
5,5
5,8
6,2
6,5
7,0
7,3
7,8
8,2
8,8
9,2
9,8
12
12
14
16
16
16
18
20
20
22
25
25
25
28
32
32
36
40
40
40
45
50
50
56
63
63
63
71
80
80
90
Ra40
10
10,5
11
11,5
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
24
25
26
28
30
32
34
36
38
40
42
45
48
50
53
56
60
63
67
71
75
80
85
90
95
Доп.
размер*
10,2
10,8
11,2
11,8
12,5
13,5
14,5
15,5
16,5
17,5
18,5
19,5
20,5
21,5
23
27
29
31
33
35
37
39
41
44
46
49
52
55
58
62
65
70
73
78
82
88
92
98
Таблица 5. Продолжение
Ra5
100
Ряд
Ra10 Ra20
100
100
110
125
125
140
160
160
160
180
200
200
220
250
250
250
280
320
320
360
400
400
400
450
500
500
560
630
630
630
710
800
800
900
Доп.
Ra40 размер*
100
102
105
108
110
112
120
115
125
118
130
135
140
145
150
155
160
165
170
175
180
185
190
195
200
210
220
240
250
260
280
300
320
340
360
380
400
420
450
480
500
530
560
600
630
670
710
750
800
850
900
950
Ra5
1000
Ряд
Ra20
1000
1120
1250
1250
1400
1600
1600
1600
1800
205
215
230
270
290
310
315
330
350
370
390
410
440
460
490
515
545
580
615
650
690
730
775
825
875
925
975
Ra10
1000
2000
2000
2240
2500
2500
2500
2800
3150
3150
3550
4000
4000
4000
4500
5000
5000
5600
6300
6300
6300
7100
8000
8000
9000
Ra40
1000
1060
1120
1180
1250
1320
1400
1500
1600
1700
1800
1900
Доп.
размер*
1030
1090
1150
1220
1280
1360
1450
1550
1650
1750
1850
1950
2000
2120
2240
2360
2500
2650
2800
3000
3150
3350
3550
3750
4000
4250
4500
4750
5000
5300
5600
6000
6300
6700
7100
7500
8000
8500
9000
9500
2060
2180
2300
2430
2580
2720
2900
3070
3250
3450
3650
3870
4120
4370
4620
4870
5150
5450
5800
6150
6500
6900
7300
7750
8250
8750
9250
9750
Ra5
10000
Ra10
10000
Ряд
Ra20
10000
11200
12500
12500
14000
16000
16000
16000
18000
25000
20000
25000
20000
25000
28000
31500
31500
35500
40000
40000
40000
45000
50000
50000
56000
Ra40
10000
10600
11200
11800
12500
13200
14000
15000
16000
17000
18000
19000
20000
25000
26500
28000
30000
31500
33500
35500
37500
40000
42500
45000
47500
50000
53000
56000
60000
Доп.
размер*
10300
10900
1150
12200
12800
13600
14500
15500
16500
17500
18500
19500
25800
27200
29000
30700
32500
34500
36500
38700
41200
43700
46200
48700
51500
54500
58000
61500
При выборе размеров предпочтение должно отдаваться
рядам с более крупной градацией (Ряд Ra5 следует
предпочитать ряду Ra10; ряд Ra10 – ряду Ra20; ряд Ra20 –
ряду Ra40).
* Дополнительные размеры, приведенные в таблице,
допускается
применять
лишь
в отдельных, технически обоснованных случаях.
Таблица 6. Уголки стальные горячекатаные равнополочные (ГОСТ 8509-93)
Номер уголка
b – ширина полки;
t – толщина полки;
R – радиус внутреннего закругления;
r – радиус закругления полок;
A – площадь поперечного сечения;
I – момент инерции;
x0 – расстояние от центра тяжести до наружной грани полки;
Ixy – центробежный момент инерции;
i – радиус инерции.
b
2
20
2,5
25
2,8
3
28
30
3,2
32
3,5
35
4
40
4,5
45
5
50
5,6
56
6,3
63
7
70
7,5
75
8
80
t
R
r
3,5
3,5
3,5
3,5
4,0
4,0
4,0
4,5
4,5
4,5
4,5
4,5
5,0
5,0
5,0
5,0
5,0
5,0
5,5
5,5
5,5
5,5
6,0
6,0
7,0
7,0
7,0
8,0
8,0
8,0
8,0
8,0
9,0
9,0
9,0
9,0
9,0
9,0
9,0
9,0
9,0
1,2 1,13
1,2 1,46
1,2 1,43
1,2 1,86
1,3 1,62
1,3 1,74
1,3 2,27
1,5 1,86
1,5 2,43
1,5 2,04
1,5 2,67
1,5 3,28
1,7 2,35
1,7 3,08
1,7 3,79
1,7 2,65
1,7 3,48
1,7 4,29
1,8 2,96
1,8 3,89
1,8 4,80
1,8 5,69
2,0 4,38
2,0 5,41
2,3 4,96
2,3 6,13
2,3 7,28
2,7 6,20
2,7 6,86
2,7 8,15
2,7 9,42
2,7 10,67
3,0 7,39
3,0 8,78
3,0 10,15
3,0 11,50
3,0 12,83
3,0 8,63
3,0 9,38
3,0 10,85
3,0 12,30
мм
3
4
3
4
3
3
4
3
4
3
4
5
3
4
5
3
4
5
3
4
5
6
4
5
4
5
6
4,5
5
6
7
8
5
6
7
8
9
5,5
6
7
8
A,
см2
Справочные значения величин для осей
x–x
x0 – x0
y0 – y0
Масса
Ix, см4 Wx, ix,
Ix0
ix0
Iy0
Wy0, iy0
4 x0, 1 м, кг
I , см
см
см3 см max, max, min, см3 min, xy
см4 см
см4
см
0,40
0,50
0,81
1,03
1,16
1,45
1,84
1,77
2,26
2,35
3,01
3,61
3,55
4,58
5,53
5,13
6,63
8,03
7,11
9,21
11,20
13,07
13,10
15,97
18,86
23,10
27,06
29,04
31,94
37,58
42,98
48,16
39,53
46,57
53,34
59,84
66,10
52,68
56,97
65,31
73,36
0,28
0,37
0,46
0,59
0,58
0,67
0,87
0,77
1,00
0,93
1,21
1,47
1,22
1,60
1,95
1,56
2,04
2,51
1,94
2,54
3,13
3,69
3,21
3,96
4,09
5,05
5,98
5.67
6,27
7,43
8,57
9.68
7,21
8,57
9,89
11,18
12,43
9,03
9,80
11,32
12,80
0,59 0,63 0,75
0,17
0,58 0,78 0,73
0,22
0,75 1,29 0,95
0,34
0,74 1,62 0,93
0,44
0,85 1,84 1,07
0,48
0,91 2,30 1,15
0,60
0,90 2,92 1,13
0,77
0,97 2,80 1,23 0,74 0,94
0,96 3,58 1,21
1,07 3,72 1,35 0,97 1,25
1,06 4,76 1,33
1,52
1,05
5,71 1,32
1,23 5,63 1,55 1,47 1,90
1,22 7,26 1,53
2,30
1,21 8,75 1,52
1,39 8,13 1,75 2,12 2,74
1,38 10,52 1,74
3,33
1,37 12,74 1,72
1,55 11,27 1,95 2,95 3,80
1,54 14,63 1,94 4,63 5,43
1,53 17,77 1,92
1,52 20,72 1,91
1,73 20,79 2,18 5,41 6,59
1,72 25,36 2,16
1,95 29.90 2,45 7,81 9,52
1,94 36,80 2,44 11,18
1,93 42.91 2,43
2,16 46,03 2,72 12,04
2,16 50,67 2,72 13,22
2,15 59,64 2,71 15,52
2,14 68,19 2,69 17,77
2,12 76,35 2,68 19,97
2,31 62,65 2,91 16,41
2,30 73,87 2,90 19,28
2,29 84,61 2,89 22,07
2,28 94,89 2,87 24,80
2,27 104,72 2,86 27,48
2,47 83,56 3,11 21,80
2,47 90,40 3,11 23,54
2,45 103,60 3,09 26,97
2,44 116,39 3,08 30,32
104
0,20
0,24
0,33
0,41
0,42
0,53
0,61
0,59
0,71
0,71
0,88
1,02
0,95
1,19
1,39
1,24
1,54
1,81
1,57
1,95
2,30
2,63
2,52
2,97
3,26
3,87
4,44
4,53
4,92
5,66
6,31
6,99
5,74
6,62
7,43
8,16
8,91
7,10
7,60
8,55
9,44
0,39
0,38
0,49
0,48
0,55
0,59
0,58
0,63
0,62
0,69
0,68
0,68
0,79
0,78
0,78
0,89
0,89
0,88
1,00
0,99
0,98
0,98
1,11
1,10
1,25
1,25
1,24
1,39
1,39
1,38
1,37
1,37
1,49
1,48
1,47
1,47
1,46
1,59
1,58
1,58
1,57
0,23
0,28
0,47
0,59
0,68
0,85
1,08
1,03
1,32
1,37
1,75
2,10
2,08
2,68
3,22
3,00
3,89
4,71
4,16
5,42
6,57
7,65
7,69
9,41
11,00
13,70
15,90
17,00
18,70
22,10
25,20
28,20
23,10
27,30
31,20
35,00
38,60
30,90
33,40
38,30
43,00
0,60 0,89
0,64 1,15
0,73 1,12
0,76 1,46
0,80 1,27
0,85 1,36
0,89 1,78
0,89 1,46
0,94 1,91
0,97 1,60
1,01 2,10
1,05 2,58
1,09 1,85
1,13 2,42
1,17 2,98
1,21 2,08
1,26 2,73
1,30 3,37
1,33 2,32
1,38 3,05
1,42 3,77
1,46 4,47
1,52 3,44
1,57 4,25
1,69 3,90
1,74 4,81
1,78 5,72
1,88 4,87
1,90 5.38
1,94 6.39
1,99 7,39
2,02 8,37
2,02 5,80
2,06 6,89
2,10 7,96
2,15 9,02
2,18 10,07
2,17 6,78
2,19 7,36
2,23 8,51
2,27 9,65
Номер
уголка
Таблица 6. Продолжение
9
t
R
90
6
7
8
9
6,5
7
8
10
12
14
16
7
8
8
9
10
12
14
16
9
10
12
10
11
12
14
16
18
20
11
12
12
13
14
16
20
25
30
14
16
16
18
20
22
25
28
30
35
10,0 3,3 10,61 82,10 12,49 2,78 130,00 3,50
10,0 3,3 12,28 94,30 14,45 2,77 149,67 3,49
10,0 3,3 13,93 106,11 16,36 2,76 168,42 3,48
10,0 3,3 15,60 118,00 18,29 2,75 186,00 3,46
12 4,0 12,82 122,1 16,69 3,09 193,46 3,89
12 4,0 13,75 130,59 17,90 3,08 207,01 3,88
12 4,0 15,60 147,19 20,30 3,07 233,46 3,87
12 4,0 19,24 178,95 24,97 3,05 283,83 3,84
12 4,0 22,80 208,9 29,47 3,03 330,95 3,81
12 4,0 26,28 237,15 33,83 3,00 374,98 3,78
12 4,0 29,68 263,82 38,04 2,98 416,04 3,74
12 4,0 15,15 175,61 21,83 3,40 278,54 4,29
12 4,0 17,20 198,17 24,77 3,39 314,51 4,28
14 4,6 19,69 294,36 32,20 3,87 466,76 4,87
14 4,6 22,00 327,48 36,00 3,86 520,00 4,86
14 4,6 24,33 359,82 39,74 3,85 571,04 4,84
14 4,6 28,89 422,23 47,06 3,82 670,02 4,82
14 4,6 33,37 481,76 54,17 3,80 763,90 4,78
14 4,6 37,77 538,56 61,09 3,78 852,84 4,75
14 4,6 24,72 465,72 45,55 4,34 739,42 5,47
14 4,6 27,33 512,29 50,32 4,33 813,62 5,46
14 4,6 32,49 602,49 59,66 4,31 956,98 5,43
16 5,3 31,43 774,24 66,19 4,96 1229,10 6,25
16 5,3 34,42 844,21 72,44 4,95 1340,06 6,24
16 5,3 37,39 912,89 78,62 4,94 1450,00 6,23
16 5,3 43,57 1046,47 90,77 4,92 1662,13 6,20
16 5,3 49,07 1175,19 102,64 4,89 1865,73 6,17
16 5,3 54,79 1290,24 114,24 4,87 2061,03 6,13
16 5,3 60,40 1418,85 125,60 4,85 2248,26 6,10
16 5,3 38,8 1216,44 92,47 5,60 1933,10 7,06
16 5,3 42,19 1316,62 100,41 5,59 2092,78 7,04
18 6,0 47,10 1822,78 124,61 6,22 2896,16 7,84
18 6,0 50,85 1960,77 134,44 6,21 3116,18 7,83
18 6,0 54,60 2097,00 144,17 6,20 3333,00 7,81
18 6,0 61,98 2362,57 163,37 6,17 3755,39 7,78
18 6,0 76,54 2871,47 200,37 6,12 4860,42 7,72
18 6,0 94,29 3466,21 245,59 6,06 5494,04 7,63
18 6,0 111,54 4019,60 288,57 6,00 6351,05 7,55
21 7,0 60,38 2814,36 175,18 6,83 4470,15 8,60
21 7,0 68,58 3175,44 198,71 6,80 5045,37 8,58
24 8,0 78,40 4717,10 258,43 7,76 7492,10 9,78
24 8,0 87,72 5247,24 288,82 7,73 8336,69 9,75
24 8,0 96,96 5764,87 318,76 7,71 9159,73 9,72
24 8,0 106,12 6270,32 348,26 7,69 9961,30 9,69
24 8,0 119,71 7006,39 391,72 7,65 11125,52 9,64
24 8,0 133,12 7716,86 434,25 7,61 12243,84 9,59
24 8,0 141,96 8176,82 462,11 7,59 12964,66 9,56
24 8,0 163,71 9281,05 530,11 7,53 14682,73 9,47
10 100
11
110
12,5 125
14
140
16
160
18
180
20
200
22
220
25
250
r
Справочные значения величин для осей
y0 – y0
x–x
x0 – x0
Масса
4 x0, 1 м, кг
4
3
Ix, см Wx,
ix ,
Ix, Wx, см ix,
Ix, Ixy, см
см
см3 см см4
см см4
b
A,
см2
105
33,97
9,88 1,79 48,10 2,43 8,33
38,94 11,15 1,78 55,40 2,47 9,64
43,80 12,34 1,77 62,30 2,51 10,93
48,60 13,48 1,77 68,00 2,55 12,20
50,73 13,38 1,99 71,40 2,68 10,06
54,16 14,13 1,98 76,40 2,71 10,79
60,92 15,66 1,98 86,30 2,75 12,25
74,08 18,51 1,96 110,00 2,83 15,10
86,84 21,10 1,95 122,00 2,91 17,90
99,32 23,49 1,94 138,00 2,99 20,63
111,61 25,79 1,94 152,00 3,06 23,30
72,68 17,36 2,19 106,00 2,96 11,89
81,83 19,29 2,18 116,00 3,00 13,50
121,98 25,67 2,49 172,00 3,36 15,46
135,88 28,26 2,48 192,00 3,40 17,30
148,59 30,45 2,47 211,00 3,45 19,10
174,43 34,94 2,46 248,00 3,53 22,68
199,62 39,10 2,45 282,00 3,61 26,20
224,29 43,10 2,44 315,00 3,68 29,65
192,03 35,92 2,79 274,00 3,76 19,41
210,96 39,05 2,78 301,00 3,82 21,45
248,01 44,97 2,76 354,00 3,90 25,50
319,33 52,52 3,19 455,00 4,30 24,67
347,77 56,53 3,18 496,00 4,35 27,02
375,78 60,53 3,17 537,00 4,39 29,35
430,81 68,15 3,16 615,00 4,47 34,20
484,64 75,92 3,14 690,00 4,55 38,52
537,46 82,08 3,13 771,00 4,63 43,01
589,43 90,02 3,12 830,00 4,70 47,41
499,78 72,86 3,59 716,00 4,85 30,47
540,45 78,15 3,58 776,00 4,89 33,12
749,40 98,68 3,99 1073,00 5,37 36,97
805,35 105,07 3,98 1156,00 5,42 39,92
861,00 111,50 3,97 1236,00 5,46 42,80
969,74 123,77 3,96 1393,00 5,54 48,65
1181,92 146,62 3,93 1689,00 5,70 60,08
1438,38 172,68 3,91 2028,00 5,89 74,02
1698,16 193,06 3,89 2332,00 6,07 87,56
1158,56 138,62 4,38 1655,00 5,91 47,40
1305,52 153,34 4,36 1869,00 6,02 53,83
1942,09 203,45 4,98 2775,00 6,75 61,55
2157,78 223,39 4,96 3089,00 6,83 68,86
2370,01 242,52 4,94 3395,00 6,91 76,11
2579,04 260,52 4,93 3691,00 7,00 83,31
2887,26 287,14 4,91 4119,00 7,11 93,97
3189,89 311,98 4,90 4527,00 7,23 104,50
3388,98 327,82 4,89 4788,00 7,31 111,44
3879,37 366,13 4,87 5401,68 7,53 128,51
Таблица 7. Уголки стальные горячекатаные неравнополочные (ГОСТ 8510-86)
B
b
t
R
r
мм
2,5/1,6
25
16
3/2
30
20
3,2/2
32
20
4/2,5
40
25
4/3
40
30
4,5/2,8
45
28
5/3,2
50
32
5,6/3,6
56
36
3
3
4
3
4
3
4
5
4
5
3
4
3
4
4
5
3,5
1,2
4,0
1,3
5,0
1,7
5,5
1,8
6,0
2,0
A,
см2
1,16
1,43
1,86
1,49
1,94
1,89
2,47
3,03
2,67
3,28
2,14
2,80
2,42
3,17
3,58
4,41
Справочные значения величин для осей
x–x
y–y
u–u
Ix,
см4
Wx,
см3
ix ,
см
Ix,
см4
Wx,
см3
ix ,
см
Ix,
см4
Wx,
см3
ix ,
см
0,70
1,27
1,61
1,52
1,93
3,06
3,93
4,73
4,18
5,04
4,41
5,68
6,18
7,98
11,37
13,82
0,43
0,62
0,82
0,72
0,93
1,14
1,49
1,82
1,54
1,88
1,45
1,90
1,82
2,38
3,01
3,70
0,78
0,94
0,93
1,01
1,00
1,27
1,26
1,25
1,25
1,24
1,48
1,42
1,60
1,59
1,78
1,77
0,22
0,45
0,56
0,46
0,57
0,93
1,18
1,41
2,01
2,41
1,32
1,69
1,99
2,56
3,70
4,48
0,19
0,30
0,39
0,30
0,39
0,49
0,63
0,77
0,91
1,11
0,61
0,80
0,81
1,05
1,34
1,65
0,44
0,56
0,55
0,55
0,54
0,70
0,69
0,68
0,87
0,86
0,79
0,78
0,91
0,90
1,02
1,01
0,13
0,26
0,34
0,28
0,35
0,56
0,71
0,86
1,09
1,33
0,72
1,02
1,18
1,52
2,19
2,65
0,16
0,25
0,32
0,25
0,33
0,41
0,52
0,64
0,75
0,91
0,52
0,67
0,68
0,88
1,13
1,37
0,34
0,43
0,43
0,43
0,43
0,54
0,54
0,53
0,64
0,64
0,61
0,60
0,70
0,69
0,78
0,78
x0,
см
y0,
см
Ixy,
см4
tgα
Масса 1 м,
кг
Номер
уголка
B – ширина большей полки;
b – ширина меньшей полки;
t – толщина полки;
R – радиус внутреннего закругления;
r – радиус закругления полок;
A – площадь поперечного сечения;
I – момент инерции;
x0, y0 – расстояние от центра тяжести до наружных граней полок;
Ixy – центробежный момент инерции;
i – радиус инерции.
0,42
0,51
0,54
0,49
0,53
0,59
0,63
0,66
0,78
0,82
0,64
0,68
0,72
0,76
0,84
0,88
0,86
1,0
1,04
1,08
1,12
1,32
1,37
1,41
1,28
1,32
1,47
1,51
1,60
1,65
1,82
1,87
0,22
0,43
0,54
0,47
0,59
0,96
1,22
1,44
1,68
2,00
1,38
1,77
2,01
2,59
3,74
4,50
0,392
0,427
0,421
0,382
0,374
0,385
0,281
0,374
0,544
0,539
0,382
0,379
0,403
0,401
0,406
0,404
0,91
1,12
1,46
1,17
1,52
1,48
1,94
2,37
2,26
2,46
1,68
2,20
1,9
2,4
2,81
3,46
B
b
t
R
r
мм
6,3/4,0
63
40
6,5/5
65
50
7/4,5
70
45
7,5/5
75
50
8/5
80
50
8/6
80
60
9/5,6
90
56
10/6,3
100
63
10/6,5
100
65
11/7
110
70
4
5
6
8
5
6
7
8
5
5
6
7
8
5
6
6
7
8
5,5
6
8
6
7
8
10
7
8
10
6,5
8
7,0
2,3
6,0
2,0
7,5
2,5
8,0
2,7
9,0
3,0
10,0
3,3
Справочные значения величин для осей
A,
см2
x–x
Ix,
см4
y–y
u–u
Wx,
см3
ix ,
см
Ix,
см4
Wx,
см3
ix ,
см
Ix,
см4
Wx,
см3
ix ,
см
4,04 16,33 3,83
4,98 19,91 4,72
5,90 23,31 5,58
7,68 29,60 7,22
5,56 23,41 5,20
6,60 27,46 6,16
7,62 31,32 7,08
8,62 35,00 7,99
5,59 27,76 5,88
6,11 34,81 6,81
7,25 40,92 8,08
8,37 46,77 9,31
9,47 52,38 10,52
6,36 41,64 7,71
7,55 48,98 9,15
8,15 52,06 9,42
9,42 59,61 10,87
10,67 66,88 12,38
7,86 65,28 10,74
8,54 70,58 11,66
11,18 90,87 15,24
9,58 98,29 14,52
11,09 112,86 16,78
12,57 126,96 19,01
15,47 153,95 23,32
11,23 114,05 16,87
12,73 128,31 19,11
15,67 155,52 23,45
11,45 142,42 19,11
13,93 171,54 23,22
2,01
2,00
1,99
1,96
2,05
2,04
2,03
2,02
2,23
2,39
2,38
2,36
2,35
2,56
2,55
2,53
2,52
2,50
2,88
2,88
2,85
3,20
3,19
3,18
3,15
3,19
3,18
3,15
3,53
3,51
5,16 1,67
6,26 2,05
7,29 2,42
9,15 3,12
12,08 3,23
14,12 3,82
16,05 4,38
18,88 4,93
9,05 2,62
12,47 3,25
14.60 3,85
16.61 4,43
18,52 4,88
12,68 3,28
14,85 3,88
25,18 5,58
28,74 6,43
32,15 7,26
19,67 4,53
21,22 4,91
27,08 6,39
30,58 6,27
34,99 7,23
39,21 8,17
47,18 9,99
38,32 7,70
42,96 8,70
51,68 10,64
45,61 8,42
54,64 10,20
1,13
1,12
1,11
1,09
1,47
1,46
1,45
1,44
1,27
1,43
1,42
1,41
1,40
1,41
1,40
1,76
1,75
1,74
1,58
1,58
1,56
1,79
1,78
1,77
1,75
1,85
1,84
1,82
2,00
1,98
3,07
3,73
4,36
5,58
6,41
7,52
8,60
9,65
5,34
7,24
8,48
9,69
10,87
7,57
8,88
13,61
15,58
17,49
11,77
12,70
16,29
18,20
20,83
23,38
28,34
22,77
25,24
30,60
26,94
32,31
1,41
1,72
2,02
2,60
2,68
3,15
3,59
4,02
2,20
2,73
3,21
3,69
4,14
2,75
3,24
4,66
5,34
5,99
3,81
4,12
5,32
5,27
6,06
6,82
8,31
6,43
7,26
8,83
7,05
8,50
0,87
0,86
0,86
0,85
1,07
1,07
1,06
1,06
0,98
1,09
1,08
1,08
1,07
1,00
1,08
1,29
1,29
1,28
1,22
1,22
1,21
1,38
1,37
1,36
1,35
1,41
1,41
1,40
1,53
1,52
Масса 1 м,
кг
Номер
уголка
Таблица 7. Продолжение
x0,
см
y0,
см
Ixy,
см4
tgα
0,91
0,95
0,99
1,07
1,26
1,30
1,34
1,37
1,05
1,17
1,21
1,25
1,29
1,13
1,17
1,49
1,53
1,57
1,26
1,28
1,36
1,42
1,46
1,50
1,58
1,52
1,56
1,64
1,58
1,64
2,03
2,08
2,12
2,20
2,00
2,04
2,08
2,12
2,28
2,39
2,44
2,48
2,52
2,60
2,65
2,47
2,52
2,56
2,92
2,95
3,04
3,23
3,28
3,32
3,40
3,24
3,28
3,37
3,55
3,61
5,25
6,41
7,44
9,27
9,77
11,46
12,94
13,61
9,12
12,00
14,10
16,18
17,80
13,20
15,50
20,98
24,01
26,83
20,54
22,23
28,33
31,50
36,10
40,50
48,60
38,00
42,64
51,18
46,80
55,90
0,397 3,17
0,396 3,91
0,393 4,63
0,386 6,03
0,576 4,36
0,575 5,18
0,571 5,98
0,570 6,77
0,406 4,39
0,436 4,79
0,435 5,69
0,435 6,57
0,430 7,43
0,387 4,49
0,386 5,92
0,547 6,39
0,546 7,39
0,544 8,37
0,384 6,17
0,384 6,70
0,380 8,77
0,393 7,53
0,392 8,70
0,391 9,87
0,387 12,14
0,415 8,81
0,414 9,99
0,410 12,30
0,402 8,98
0,400 10,93
B
b
t
R
r
мм
12,5/8
125
80
14/9
140
90
16/10
160
100
18/11
180
110
20/12,5 200
125
7
8
10
12
8
10
9
10
12
14
10
12
11
12
14
16
11,0
3,7
12,0
4,0
13,0
4,3
14,0
4,7
Справочные значения величин для осей
A,
см2
x–x
Ix,
см4
y–y
u–u
Wx,
см3
ix ,
см
Ix,
см4
Wx,
см3
ix ,
см
Ix,
см4
Wx,
см3
ix ,
см
14,06 226,53 26,67
15,98 225,62 30.26
19,70 311,61 37.27
23,36 364,79 44,07
18,00 363,68 38,25
22,24 444,45 47,19
22,87 605,97 56,04
25,28 666,59 61,91
30,04 784,22 73,42
34,72 897,19 84,65
28,33 952,28 78,59
33,69 1122,56 93,33
34,87 1449,02 107,31
37,89 1568,19 116,51
43,87 1800,83 134,64
49,77 2026,08 152,41
4,01
4,00
3,98
3,95
4,49
4,47
5,15
5,13
5,11
5,08
5,80
5,77
6,45
6,43
6,41
6,38
73,73 11,89
80,95 13,47
100,47 16,52
116,84 19,46
119,79 17,19
145,54 21,14
186,03 23,96
204,09 26,42
238,75 31,23
271,60 35,89
276,37 32,27
324,09 38,20
446,36 45,98
481,93 49,85
550,77 57,43
616,66 64,83
2,29
2,28
2,26
2,24
2,58
2,58
2,85
2,84
2,82
2,80
3,12
3,10
3,58
3,57
3,54
3,52
43,40 9,96
48,82 11,25
59,33 13,74
69,47 16,11
70,27 14,39
85,51 17,58
110,40 20,01
121,16 22,02
142,14 25,93
162,49 29,75
165,44 26,96
194,28 31,83
263,84 38,27
285,04 41,45
326,54 47,57
366,99 53,56
1,76
1,75
1,74
1,72
1,58
1,96
2,20
2,19
2,18
2,16
2,42
2,40
2,75
2,74
2,73
2,72
x0,
см
y0,
см
Ixy,
см4
tgα
Масса 1 м,
кг
Номер
уголка
Таблица 7. Продолжение
1,80
1,84
1,92
2,00
2,03
2,12
2,24
2,28
2,36
2,43
2,44
2,52
2,79
2,83
2,91
2,99
4,01
4,05
4,14
4,22
4,49
4,58
5,19
5,23
5,32
5,40
5,88
5,97
6,50
6,54
6,62
6,71
74,70 0,407
84,10 0,406
102,00 0,404
118,00 0,400
121,00 0,411
147,00 0,409
194,00 0,391
213,00 0,390
249,00 0,388
282,00 0,385
295,00 0,376
348,00 0,374
465,00 0,392
503,00 0,392
575,00 0,390
643,00 0,388
11,04
12,58
15,47
18,34
14,13
17,46
17,96
19,85
23,58
27,26
22,20
26,40
27,37
29,74
34,43
39,07
Таблица 8. Швеллеры стальные горячекатаные
с уклоном внутренних граней полок (ГОСТ 8240-97)
b – ширина полки;
h – высота швеллера;
s – толщина полки;
R – радиус внутреннего закругления;
r – радиус закругления полок;
A – площадь поперечного сечения;
I – момент инерции;
x0, – расстояние от центра тяжести до наружных граней полок;
Ixy – центробежный момент инерции;
i – радиус инерции.
s
t
r
Справочные значения для осей
Номер
швеллера
b
R
h
5У
50
32
4,4
7,0
6,0
2,5
6,16
4,84
22,8
9,1
1,92
5,59
5,61
2,75
0,95
1,16
6,5У
65
36
4,4
7,2
6,0
2,5
7,51
5,90
48,6
15,0
2,54
9,00
8,70
3,68
1,08
1,24
8У
80
40
4,5
7,4
6,5
2,5
8,98
7,05
89,4
22,4
3,16 13,30 12,80 4,75
1,19
1,31
10У
100
46
4,5
7,6
7,0
3,0 10,90 8,59
174,0
34,8
3,99 20,40 20,40 6,46
1,37
1,44
12У
120
52
4,8
7,8
7,5
3,0 13,30 10,40 304,0
50,6
4,78 29,60 31,20 8,52
1,53
1,54
14У
140
58
4,9
8,1
8,0
3,0 15,60 12,30 491,0
70,2
5,60 40,80 45,40 11,00 1,70
1,67
16У
160
64
5,0
8,4
8,5
3,5 18,10 14,20 747,0
93,4
6,42 54,10 63,30 13,80 1,87
1,80
16аУ
160
68
5,0
9,0
8,5
3,5 19,50 15,30 823,0 103,0 6,49 59,40 78,80 16,40 2,01
2,00
18У
180
70
5,1
8,7
9,0
3,5 20,70 16,30 1090,0 121,0 7,24 69,80 86,00 17,00 2,04
1,94
18аУ
180
74
5,1
9,3
9,0
3,5 22,20 17,40 1190,0 132,0 7,32 76,10 105,00 20,00 2,18
2,13
20У
200
76
5,2
9,0
9,5
4,0 23,40 18,40 1520,0 152,0 8,07 87,80 113,00 20,50 2,20
2,07
22У
220
82
5,4
9,5
10,0
4,0 26,70 21,00 2110,0 192,0 8,89 110,00151,00 25,10 2,37
2,21
24У
240
90
5,6
10,0 10,5
4,0 30,60 24,00 2900,0 242,0 9,73 139,00208,00 31,60 2,60
2,42
27У
270
95
6,0
10,5 11,0
4,5 35,20 27,70 4160,0 308,0 10,90 178,00262,00 37,30 2,73
2,47
30У
300
100
6,5
11,0 12,0
5,0 40,50 31,80 5810,0 387,0 12,00 224,00327,00 43,60 2,84
2,52
33У
330
105
7,0
11,7 13,0
5,0 46,50 36,50 7980,0 484,0 13,10 281,00410,00 51,80 2,97
2,59
36У
360
110
7,5
12,6 14,0
6,0 53,40 41,90 10820,0 601,0 14,20 350,00513,00 61,70 3,10
2,68
40У
400
115
8,0
13,5 15,0
6,0 61,50 48,30 15220,0 761,0 15,70 444,00642,00 73,40 3,23
2,75
не более
мм
Масса
A,
1 м,
см2 кг
109
Ix,
см4
x–x
Wx, ix,
см3 см
Sx,
см3
y–y
Ix, Wx, i0,
см4 см3 см
x0,
см
Таблица 9. Швеллеры стальные горячекатаные
с параллельными гранями полок (ГОСТ 8240-97)
b – ширина полки;
h – высота швеллера;
s – толщина полки;
R – радиус внутреннего закругления;
r – радиус закругления полок;
A – площадь поперечного сечения;
I – момент инерции;
x0, – расстояние от центра тяжести до наружных граней полок;
Ixy – центробежный момент инерции;
i – радиус инерции.
s
t
r
Справочные значения для осей
Номер
швеллера
b
R
h
5П
50
32
4,4
7,0
6,0
2,5
6,16
4,84
22,8
9,1
1,92
5,61
5,95 2,99
0,98
6,5П
65
36
4,4
7,2
6,0
2,5
7,51
5,90
48,8
15,0
2,55
9,02
9,35 4,06
1,12 1,29
8П
80
40
4,5
7,4
6,5
2,5
8,98
7,05
89,8
22,5
3,16 13,30 13,90 5,31
1,24 1,38
10П
100
46
4,5
7,6
7,0
3,0 10,90 8,59
175,0 34,9
3,99 20,50 22,60 7,37
1,44 1,53
12П
120
52
4,8
7,8
7,5
3,0 13,30 10,40 305,0 50,8
4,79 29,70 34,90 9,84
1,62 1,66
14П
140
58
4,9
8,1
8,0
3,0 15,60 12,30 493,0 70,4
5,61 40,90 51,50 12,90 1,81 1,82
16П
160
64
5,0
8,4
8,5
3,5 18,10 14,20 750,0 93,8
6,44 54,30 72,80 16,40 2,00 1,97
16аП
160
68
5,0
9,0
8,5
3,5 19,50 15,30 827,0 103,0 6,51 59,50 90,50 19,60 2,15 2,19
18П
180
70
5,1
8,7
9,0
3,5 20,70 16,30 1090,0 121,0 7,26 70,00 100,00 20,60 2,20 2,14
18аП
180
74
5,1
9,3
9,0
3,5 22,20 17,40 1200,0 133,0 7,34 76,30 123,00 24,30 2,35 2,36
20П
200
76
5,2
9,0
9,5
4,0 23,40 18,40 1530,0 153,0 8,08 88,00 134,00 25,20 2,39 2,30
22П
220
82
5,4
9,5
10,0
4,0 26,70 21,00 2120,0 193,0 8,90 111,00178,00 31,00 2,58 2,47
24П
240
90
5,6
10,0 10,5
4,0 30,60 24,00 2910,0 243,0 9,75 139,00248,00 39,50 2,85 2,72
27П
270
95
6,0
10,5 11,0
4,5 35,20 27,70 4180,0 310,0 10,90 178,00314,00 46,70 2,99 2,78
30П
300
100
6,5
11,0 12,0
5,0 40,50 31,80 5830,0 389,0 12,00 224,00393,00 54,80 3,12 2,83
33П
330
105
7,0
11,7 13,0
5,0 46,50 36,50 8010,0 486,0 13,10 281,00491,00 64,60 3,25 2,90
36П
360
110
7,5
12,6 14,0
6,0 53,40 41,90 10850,0 603,0 14,30 350,00611,00 76,30 3,38 2,99
40П
400
115
8,0
13,5 15,0
6,0 61,50 48,30 15260,0 763,0 15,80 445,00760,00 89,90 3,51 3,05
не более
мм
Масса
A,
1 м,
см2 кг
110
x–x
y–y
Ix,
см4
Wx,
см3
ix ,
см
Sx, Iy, Wy,
см3 см4 см3
iy ,
см
x0,
см
1,21
Таблица 10. Двутавры стальные горячекатаные (ГОСТ 8239-89)
b – ширина полки;
h – высота двутавра;
s – толщина стенки;
t – средняя толщина полки;
R – радиус внутреннего скругления;
r – радиус закругления полки.
Sx – статический момент полусечения.
t
Справочные значения для осей
10
100
55
4,5
7,2
7,0
2,5
12,0
9,46
198
39,7
4,06
23,0
17,9
6,49
1,22
12
120
64
4,8
7,3
7,5
3,0
14,7
11,50
350
58,4
4,88
33,7
27,9
8,72
1,38
14
140
73
4,9
75
8,0
3,0
17,4
13,70
572
81,7
5,73
46,8
41,9
11,50
1,55
16
160
81
5,0
7,8
8,5
3,5
20,2
15,90
873
109,0
6,57
62,3
58,6
14,50
1,70
18
180
90
5,1
8,1
9,0
3,5
23,4
18,40
1290
143,0
7,42
81,4
82,6
18,40
1,88
20
200
100
5,2
8,4
9,5
4,0
26,8
21,00
1840
184,0
8,28
104,0 115,0
23,10
2,07
22
220
110
5,4
8,7
10,0
4,0
30,6
24,00
2550
232,0
9,13
131,0 157,0
28,60
2,27
24
240
115
5,6
9,5
10,5
4,0
34,8
27,30
3460
289,0
9,97
163,0 198,0
34,50
2,37
27
270
125
6,0
9,8
11,0
4,5
40,2
31,50
5010
371,0 11,20 210,0 260,0
41,50
2,54
30
300
135
6,5
10,2
12,0
5,0
46,5
36,50
7080
472,0 12,30 268,0 337,0
49,90
2,69
33
330
140
7,0
11,2
13,0
5,0
53,8
42,20
9840
597,0 13,50 339,0 419,0
59,90
2,79
36
360
145
7,5
12,3
14,0
6,0
61,9
48,60 13380 743,0 14,70 423,0 516,0
71,10
2,89
40
400
155
8,3
13,0
15,0
6,0
72,6
57,00 19062 953,0 16,20 545,0 667,0
86,10
3,03
45
450
160
9,0
14,2
16,0
7,0
84,7
66,50 27696 1231,0 18,10 708,0 808,0 101,00 3,09
50
500
170
10,0
15,2
17,0
7,0
100,0 78,50 39727 1589,0 19,90 919,0 1043,0 123,00 3,23
55
550
180
11,0
16,5
18,0
7,0
112,0 92,60 55962 2035,0 21,80 1181,0 1356,0 151,00 3,39
60
600
190
12,0
17,8
20,0
8,0
138,0 108,00 76806 2560,0 23,60 1491,0 1725,0 182,00 3,54
не более
мм
A,
см2
Масса
1 м, кг
s
r
Номер
двутавра
b
R
h
111
x–x
y–y
Ix,
см4
Wx,
см3
ix ,
см
Sx,
см3
Iy,
см4
Wy,
см3
iy ,
см
Таблица 11. Геометрические характеристики некоторых сечений
Сечение
Координаты
крайних точек
сечения
x=
y=
1
1
h
2
b
x1 = ;
2
h
y1 =
2
d
2
d
;
2
y1 ≈ 0, 288d ;
2d
=
y2
≈
3π
≈ 0, 288d
x1 =
Моменты инерции
A = h2
I=
I=
x
y
h4
12
bh3
;
12
b3 h
Iy =
12
Ix =
A = bh
1
x1 = b;
3
2
x2 = b;
3
1
y1 = h;
3
2
y2 = h
3
x=
y=
1
1
Площадь
Моменты
сопротивления
W=
W=
x
y
h3
6
bh 2
;
6
b2 h
Wy =
6
Wx =
bh 2
;
12
bh 2
Wxв =
;
24
b2 h
Wyл =
;
12
b2 h
Wyп =
24
Wxн =
bh3
;
36
b3 h
Iy =
36
Ix =
1
A = bh
2
A=
πd 2
4
πd 2
=
A
≈
8
≈ 0,393d 2
112
πd 4
;
64
πd 4
Ip =
32
I=
I=
x
y
Ix=
d4  π 8 
 − ≈
16  8 9π 
≈ 0, 00686d 4 ;
πd 4
=
I y I=
x2
128
πd 3
;
32
πd 3
Wp =
16
W=
W=
x
y
Wxн ≈ 0, 0324d 3 ;
Wxв ≈ 0, 0239d 3 ;
Wy =
πd 3
64
Общие требования к оформлению курсовых
и расчетно-графических работ
Выполненная работа оформляется в виде расчетно-пояснительной
записки на бумаге формата А4 в соответствии с ГОСТ 2.105–95 ЕСКД «Общие
требования к текстовым документам». Пояснительная записка состоит из
обложки, титульного листа, бланка задания, содержания, текстовой части и
списка литературы.
Обложка может быть изготовлены из плотной бумаги (ватмана), либо
задание может быть подшито в папке-скоросшивателе.
Титульный лист заполняется на лицевой стороне обложки формата А4.
На нем печатным шрифтом или чертежным шрифтом (ГОСТ 2.304–81)
указывается: наименование министерства, наименование университета,
наименование кафедры, тип работы (расчетно-графическая, курсовая),
наименование задания, шифр пояснительной записки, фамилия, инициалы
студента и шифр группы, фамилия и инициалы преподавателя, дата сдачи
задания преподавателю, учебный год.
Шифр пояснительной записки состоит из 13 цифр и двух букв «РР».
Первая группа из четырех цифр «105Х» означает шифр кафедры сопротивления
материалов (105) и вид выполняемой работы (Х=4 – расчетно-графическая или
Х=5 – курсовая работа). Вторая группа (из шести цифр) включает в себя
порядковый номер расчетно-графической (курсовой) работы (01 – первая, 02 –
вторая и т.д.) и шифр задания: номер расчетной схемы (01 – первая, 02 – вторая
и т.д.) и вариант исходных данных, состоящий из двух цифр. Последняя группа
из трех цифр «000».
Текстовая часть оформляется на одной стороне формата А4 в
соответствии с п. 4.2 ГОСТ 2.105-95, графики – карандашом в тексте или на
отдельных вкладках.
В содержании перечисляются названия всех разделов пояснительной
записки и соответствующие им номера страниц текста.
Нумерация страниц должна быть сквозной; первой страницей является
титульный лист, на котором номер страницы не проставляется. Проставляют
нумерацию с третьей страницы.
Текстовая часть делится на разделы и подразделы, которые должны иметь
заголовки в строгом соответствии с содержанием работы. Разделы должны иметь
порядковые номера в пределах всего документа и обозначаться арабскими
цифрами (например: 1, 2 и т.д.). Подразделы должны иметь порядковую
нумерацию в пределах каждого раздела. Например, 1.1; 1.2; … – пункты первого
раздела; 1.2.1; 1.2.2;… – пункты подраздела 1.2 и т.д.
Нумерация формул производится арабскими цифрами (в скобках) и
состоит из номера раздела и порядкового номера формул в разделе, разделенных
точкой.
113
Решение задач должно сопровождаться ссылками на используемые
законы, теоремы, положения и иллюстрироваться чертежами, схемами и
другими пояснениями. Чертежи должны быть выполнены в масштабе, содержать
исходные и расчетные данные, а также пояснять наиболее существенные
элементы решения.
Расчетные формулы сначала записываются в буквенном выражении,
затем, по необходимости, в общем виде делаются преобразования, далее
буквенные символы заменяются их числовыми значениями и, исключая
промежуточные действия, приводится конечное значение расчетной величины с
обязательным указанием размерности. Вычисления ограничиваются, как
правило, тремя значащими цифрами. Расчетные схемы и эскизы, поясняющие
рисунки и чертежи располагаются по тексту или на отдельных листах и
выполняются в масштабе с помощью линейки и циркуля.
От начала до конца в тексте должна просматриваться логическая связь
выполняемых операций. В заключительной части задания обязательно делается
анализ полученного результата с точки зрения работоспособности элементов
конструкций в заданных условиях, рациональности их формы, необходимости
изменения размеров, увеличения или уменьшения рабочих нагрузок и т.д.
Изложение ведется от первого лица во множественном числе, например,
«вычисляем», «рассчитываем» и т.п.
Список литературы оформляется в соответствии с ГОСТ 7.1-2003.
Приводится перечень книг и пособий, использованных при выполнении работы.
114
115
Учебное издание
Ермоленко Анатолий Николаевич
СОПРОТИВЛЕНИЕ
МАТЕРИАЛОВ
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ
В УСЛОВИЯХ ПРОСТЫХ ВИДОВ НАГРУЖЕНИЯ
Подписано в печать 24.12.23. Формат 60х84 1/16.
Усл. печ. л. 8,5. Тираж 300 экз. Заказ №
Отпечатано с готового электронного файла
РИК «Издательство УУНиТ»
116