СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ......................................................................................................................... 4
1. ХАРАКТЕРИСТИКА ОТРАСЛИ СТРАХОВАНИЯ НА СОВРЕМЕННОМ
ЭТАПЕ ................................................................................................................................. 5
1.1 Сущность и содержание страхования ................................................................. 5
1.2 Сущность и методические принципы расчеты страховой премии .............. 9
2. РАСЧЕТ ПРЕМИЙ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ ................... 15
2.1. Метод денежных потоков ................................................................................... 15
2.2. Метод динамики активов ................................................................................... 21
2.3 Непрерывные договоры страхования ............................................................... 26
2.4 Примеры расчетов ................................................................................................ 29
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................................................... 36
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................................................. 37
3
ВВЕДЕНИЕ
Основным назначением страхования в современных условиях является удовлетворение потребности человека в безопасности, также страхование способствует
повышению инвестиционного потенциала страны, росту благосостояния общества, а
также решению проблем пенсионного и социального обеспечения.
За последние несколько лет развитие страхования происходит достаточно
быстрыми темпами, что выражается в росте поступлений страховых взносов, увеличении доли добровольного страхования в общем объеме страхования.
Страховые премии формируют первичный доход, который является источником образования прибыли и основой для исчисления налогооблагаемой базы страховщика. Кроме того, за счет страховых премий финансируются расходы на ведение
дела, то есть на содержание самой страховой организации, что и обуславливает актуальность темы настоящей курсовой работы.
Целью выполнения настоящей курсовой работы является исследование основных аспектов расчета страховой премии.
Для достижения поставленной цели в процессе написания работа будут решены следующие задачи:
- рассмотреть специфические особенности страхования;
- исследовать методологию расчета страховой премии;
- проанализировать основные принципы расчета страховой премии на примере
рисков проектного страхования.
Объектом исследования в настоящей курсовой работе выступает страховая
премия как плата за страхование и ценовая политика страховщика.
Предмет исследования являются принципы расчета страховой премии.
4
1. ХАРАКТЕРИСТИКА ОТРАСЛИ СТРАХОВАНИЯ НА СОВРЕМЕННОМ
ЭТАПЕ
1.1 Сущность и содержание страхования
Страхование представляет собой особую форму экономических отношений,
призванную обеспечить защиту физических и юридических лиц, а также их интересов от различного рода рисков и опасностей [1].
Специфика рынка страховых услуг заключается в следующем:
1. Сама по себе страховая услуга существует только в момент его предоставления.
Это свидетельствует о том, что невозможно сравнить предложения от различных продавцов даже при наличии у них идентичных продуктов. Сравнение страховых услуг возможно только после получения услуги, в отличие, от других рынков.
2. Высокая степень неопределенности предоставления услуги.
Так как для предоставления страховых услуг требуется наличие определенных
знаний и мастерства, которые покупателю трудно оценить.
В частности, страховая услуга обладает следующими основными характеристиками:
- нематериальный характер услуг;
- неразрывность производства и потребления услуг;
- неоднородность качества;
- неспособность услуг к хранению.
Нематериальный характер, то есть неосязаемость услуг вызывает определенные трудности, как у страхователей, так и страховщиков. Страхователю трудно
разобраться и оценить, что продается, до приобретения услуги, а иногда даже после
ее получения. Покупатель вынужден верить продавцу услуг на слово. Одновременно
неосязаемость услуг усложняет управленческую деятельность страховщика. У него
возникают две проблемы:
1) Сложно показать клиентам свой товар;
2) Еще более сложно объяснить клиентам, за что они платят деньги.
5
Страховая компания лишь может описать преимущества, которые появляются
в результате предоставления данной услуги, а сами страховые услуги можно оценить только после их выполнения (хотя в случае, если страховой случай не произойдет, и страхователь не получит страховую выплату, он может так и не оценить услугу). Этим объясняется то, что ключевые слова в маркетинге страховых услуг –
“польза”, “выгода”, которые получит клиент, обратившись в данную компанию.
Так, для потребителя в связи с неосязаемостью услуги существуют определенные проблемы в оценке качества услуги до ее приобретения и получения. Иными
словами, покупатель «верит продавцу на слово».
Также неосязаемость усложняет управленческую деятельность страховщика,
так как ему довольно - таки сложно показать потенциальным клиентам свой товар и
еще более сложно объяснить клиентам, за что они платят деньги.
Таким образом, характером страховой услуги определяются следующие его
особенности:
– В рисках катастрофического характера принимает достаточно активное участие государство.
– Сильная регламентация страховой деятельности со стороны государства.
– Сильный контроль со стороны органов страхового надзора и антимонопольных ведомств.
– Большая часть рисковой составляющей.
– Долгосрочный характер страхового продукта.
– Нематериальный характер страховой услуги.
– Отсутствие возможности патентования услуг, предоставляемых страховой
компанией.
– Сложность восприятия страховой услуги потребителем.
- Особенности рекламной политики [1].
Участие государства реализуется для покрытия убытков катастрофического
характера, к примеру, от террористических актов, загрязнения окружающей среды,
стихийных бедствий и т.п.
6
Следующей особенностью страхования является большая рисковая составляющая в страховом продукте. Поэтому подробный анализ возможных рисков является наиболее важным элементом страхового маркетинга.
Долгосрочный характер страхового продукта определяется тем, что страховой
договор может заключаться как на несколько месяцев, так и на несколько десятков
лет. Например, срок действия договора страхования жизни составляет от 50 лет и
более [2].
Современный страховой рынок развивается высокими темпами в условиях нестабильной экономической и политической ситуации. Российскому страховому
рынку чуть более 10 лет, он еще не достиг стадии зрелости.
На сегодняшний день на рынке страховых услуг в России действуют следующие четыре типа компаний:
1 тип:
- компании с государственным участием.
К данным копаниям относятся такие, как «Ингосстрах», «Росгострах» и другие. Такие компании находятся в несколько привилегированном положении по
сравнению с другими страховыми компаниями и прямо или косвенно контролируются государством.
2 тип:
-страховые
компании,
созданные
при
участии
крупных
финансово-
промышленных групп. Примерами таких компаний служат «Спасские ворота»,
«Энергогарант», «СОГЛЗ», «Интеррос-Согласис» и др.
3 тип:
-чисто рыночные компании: «РЕСО-Гарантия», «РОСНО» и прочие.
Данные компании нацелены на оказание широкого спектра услуг многочисленным контрагентам и не привязаны к какой-либо конкретной отрасли или материнской компании.
4 тип:
- дочерние компании иностранных страховых организаций («AIG - Россия»,
«Ост-Вест альянс», «Цюрих-Русь» и др.).
7
Эти компании практически монопольно обслуживают интересы зарубежных
корпоративных клиентов материнских страховых организации в России («Кокакола», «Марс» и др.) [3,4]
Также на страховом российском рынке действуют перестраховочные компании. Информацию о них представим в таблице 1.
Таблица 1.
Компании, занимающиеся перестрахованием [19, с. 110]
Тип компании
Доля рынка, %
Российские перестраховочные компании
25-30
Российские страховщики, которые также занима-
5-10
ются и перестрахованием
Иностранные перестраховочные компании
60-70
В зависимости от масштабов деятельности российские страховые компании
можно классифицировать следующим образом:
- крупные компании. К данной категории относятся компании первого типа,
значительная часть компаний второго типа и несколько компаний из группы третьего типа.
- Средние компании
- Мелкие компании
- Дочерние компании иностранных страховщиков.
Таким образом, опираясь на рассмотренное выше можно отметить, что страхование представляет собой особую форму экономических отношений, призванную
обеспечить защиту физических и юридических лиц, а также их интересов от различного рода рисков и опасностей. Современный страховой рынок развивается высокими темпами в условиях нестабильной экономической и политической ситуации.
Российскому страховому рынку чуть более 10 лет, он еще не достиг стадии зрелости.
8
1.2 Сущность и методические принципы расчеты страховой премии
Страховая премия — это цена страховой услуги, суть которой в снятии финансовых последствий риска и в обязательстве выплатить страховое возмещение в
случае наступления страхового случая [5].
Опираясь на вышеприведенное определение, можно отметить, что понятие
страховой премии может быть рассмотрено с двух сторон:
- с экономической точки зрения сущность страховой премии сводиться к тому,
что она выступает материальным подкреплением интересов страховщика в случае
наступления нежелательного события;
- с юридической точки зрения, страховая премия выступает денежным воплощением оформленного договором страхового обязательства.
Страховая премия устанавливается при подписании страхового договора и
остаётся неизменной в течение срока его действия, если иное не оговорено условиями договора страхования, размер страховой премии должен быть достаточен чтобы:
- покрывать ожидаемые претензии в течении страхового периода;
- покрывать издержки страховых компаний на ведение дела;
- обеспечить размер прибыли.
Страховые премии могут быть классифицированы по рядку критериев. В
частности, в зависимости от чувствительности к поведению риска, различают следующие виды страховых премий:
- фиксированная страховая премия, взносы по которой с течением времени
остаются неизменными;
- натуральная, размер которой может корректироваться в зависимости от характера риска в каждом последующем периоде.
По целевому назначению выделяют следующие виды страховых премий:
- рисковая, представляющая собой денежные средства в размере, необходимом для того, чтобы компенсировать возможные риски страховой компании;
9
- сберегательная - страховая премия по договору страхования жизни особого
вида. Она используется по окончании действия договора с целью возмещения платежей страхователя;
- премия – нетто, определяемая объёмом средств, покрывающий размер страховых платежей за определённый период времени. При равномерном развитии риска она будет равна рисковой премии, в обратном случае для защиты своих интересов страховыми компаниями обычно дополнительно применяется гарантирующая
надбавка;
- премия – брутто, которая представляет собой полный размер платежа, включающий кроме нетто-премии компенсирующие надбавки разного рода, например,
рекламные или покрывающие расходы на страхование.
Страховая премия состоит из четырёх элементов:
- чистая НЕТТО-премия
- рисковая надбавка
- нагрузка на покрытие расходов страховой компании
- надбавка на прибыль.
НЕТТО-ставка — это финансирование платежей при наступлении страховых
случаев и формирования страховых резервов [1,4,6].
Нагрузка — это оплата расходов страховщика, включая:
- заработную плату;
- аренду;
- комиссионные и т.д.
Надбавка на прибыль нужна для формирования прибыли.
Вычисляется стоимость определённой базы. В имущественном страховании стоимость страхования имущества, в страховании жизни - страховая сумма.
Страховой тариф — это отношение величины премии к базе.
Степень страхования риска связана с конкретным объектом и объёмами страховой ответственности.
Страховой взнос, или страховая премия, — это плата страхователя за страховую услугу, которую он обязан уплатить страховщику в соответствии с договором
10
страхования или законом. Из страховых взносов формируется страховой фонд, идущий на покрытие ущерба вследствие страховых случаев. Таким образом, основное
назначение страховых тарифов связано с определением и покрытием вероятной
суммы ущерба, приходящейся на каждого страхователя или на единицу страховой
суммы. Если тарифная ставка достаточно точно отражает вероятный ущерб, то в
этом случае обеспечивается необходимая раскладка ущерба между страхователями.
В тарифных ставках находит также свое отражение установление объемов страховой ответственности страховщика. Иначе говоря, страховой тариф представляет собой критерий формирования страхового фонда, обеспечивающий рентабельное проведение страховой деятельности [5-7].
Проводя страхование, страховщик стремится найти оптимальное решение —
при минимальных тарифах обеспечить значительный объем страховой ответственности. Обоснованные тарифные ставки гарантируют как необходимую финансовую
устойчивость страховых операций (равновесие доходов и расходов, либо превышение доходов над расходами), так и приемлемое для страхователя изъятие части доходов в виде страховых взносов. Следовательно, с помощью научно обоснованных
страховых тарифов обеспечивается оптимальный размер страхового фонда как необходимое условие успешного развития страхового дела.
В международной практике тарифная ставка, лежащая в основе страхового
взноса, называется брутто-ставкой. Брутто-ставка по своей структуре состоит из
двух частей: нетто-ставки и нагрузки [1,6].
Брутто-ставка — тарифная ставка взносов по страхованию, представляющая
собой сумму нетто-ставки, обеспечивающей выплату страховой суммы, и надбавки
(нагрузки) к ней, предназначенной для покрытия других расходов, связанных с проведением страхования [1,3].
Нетто-ставха составляет до 90% брутто-ставки. Нетто-ставка предназначена
для формирования основной части страхового фонда, который расходуется на страховые выплаты страхователям (страхового обеспечения — при личном страховании
и страхового возмещения — при имущественном страховании), т. е. для выполнения
11
финансовых обязательств страховщика по заключенным договорам страхования.
Синоним нетто-ставки — нетто-премия.
Нагрузка — часть страхового тарифа, не связанная с формированием фонда,
предназначенная для выплат страхового возмещения (страховых сумм). Нагрузка
обеспечивает поступление средств для покрытия расходов на проведение процесса
страхования (оплата труда страховых работников, содержание зданий, приобретение
и эксплуатация вычислительной и др. техники и т.д.), формирование запасных фондов по рисковым видам страхования, финансирование мероприятий по предупреждению стихийных бедствий, несчастных случаев, пожаров, аварий и т. п., а также
уменьшение причиняемого ими ущерба. Нагрузка также может включать определенную прибыль страховых организаций [5]. страхование премия убыточность риск
Нагрузка составляет меньшую часть брутто-ставки. В зависимости от формы и
вида страхования она колеблется от 9% до 40%. Нетто-ставка, как вероятность нанесения страхователям определенного ущерба, отражает
каждый вид страховой ответственности, которую взял на себя страховщик.
Если условия страхования данной группы имущества или личного страхования содержат несколько видов страховой ответственности, то совокупная нетто-ставка
может состоять из суммы нескольких частных нетто-ставок.
Под тарифной политикой в страховании понимают систематическую работу
страховой организации по разработке, уточнению и упорядочению страховых тарифов в целях успешного и безубыточного развития страхового дела. Тарифная политика базируется на следующих пяти принципах:
- принцип эквивалентности страховых отношений страхователя и страховщика;
- принцип доступности страховых тарифов;
- принцип стабильности размеров страховых тарифов; принцип расширения
объема страховой ответственности;
- принцип обеспечения самоокупаемости и рентабельности страховых операций.
12
Принцип эквивалентности страховых отношений означает, что нетто-ставки
должны максимально соответствовать вероятности ущерба с тем, чтобы обеспечить
возвратность средств страхового фонда за тарифный период той совокупности страхователей, для которой рассчитывались страховые тарифы. Поскольку тарифные
ставки, как правило, устанавливаются в масштабе той или иной области, края, республики в среднем за 5 или 10 лет, то в этом же масштабе за установленный период
и должна произойти возвратность взносов в виде страхового возмещения. Таким образом, принцип эквивалентности отвечает перераспределительной сущности страхования как замкнутой раскладке ущерба.
Принцип доступности страховых тарифов означает, что страховые взносы
страхователя не должны быть для него обременительными. Чрезмерно высокие тарифные ставки являются тормозом развития страхования. Доступность тарифных
ставок напрямую зависит от числа страхователей и числа застрахованных объектов,
— чем их больше, тем меньше ущерба приходится на каждого страхователя, тем доступнее тарифы.
Принцип стабильности размеров страховых тарифов означает, что если тарифные ставки остаются неизменными длительное время, у страхователя укрепляется уверенность в надежности страховщика. Даже в тех случаях, когда наметилась
тенденция к ухудшению показателей работы страховой организации, следует идти
на расширение объема страховой ответственности при неизменных тарифных ставках. Повышение тарифных ставок допустимо лишь при неуклонном росте убыточности страховой суммы [7].
Принцип расширения объема страховой ответственности является приоритетным в деятельности страховой организации. Расширение объема страховой ответственности выгодно как страхователю, так и страховщику. Для страхователя более
доступными становятся тарифные ставки, для страховщика обеспечивается снижение показателей убыточности страховой суммы.
Принцип самоокупаемости и рентабельности страховых операций означает,
что страховые тарифы должны рассчитываться таким образом, чтобы поступление
страховых платежей безусловно покрывало расходы страховщика и даже обеспечи13
вало ему определенную прибыль. Прибыль может быть заложена в нагрузку к тарифной ставке, но не в нетто-ставку, которая обеспечивает замкнутую раскладку
ущерба, но не прибыль. Если в благоприятном году убыточность страховой суммы
окажется ниже действующей нетто-ставки, то образовавшаяся экономия идет частично в запасной фонд страховщика, частично на пополнение его прибыли.
Таким образом, на основании рассмотренного выше можно сформулировать
следующие основные выводы.
Страховая премия – очередной денежный взнос страхователя страховому обществу в соответствии с договором. Обусловливается общим размером взносов, необходимых для выплат по требованиям держателей полисов, а также для выплаты
административных расходов.
Страховая премия определяется при заключении страхового договора и не изменяется в период его действия, если иное не оговорено условиями договора страхования.
Рассмотрение сущности и видов страховых премий позволяется перейти к рассмотрению методологии их расчета в следующей главе настоящей курсовой работы.
14
2. РАСЧЕТ ПРЕМИЙ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ
2.1. Метод денежных потоков
Рассмотрим договор страхования, заключенный в момент 𝑡 = 0 на срок 𝑛 лет.
Пусть 𝑥 – возраст застрахованного в момент заключения договора [2].
Предположим, что премия вносится в каждую годовщину заключения договора и на 𝑘 −й год, 𝑘 = 1. . . , 𝑛, равна Р𝑘 . Если Р1 = Р, Р2 = Р3 =. . . = Р𝑛 = 0, то мы
имеем дело с разовой премией. Если Р1 = Р2 = Р3 =. . . = Р𝑛 = Р, то мы имеем дело с обычной периодической премией.
Обязательства страховщика на 𝑘 −й год действия договора заключаются в выплате в конце года страховой суммы 𝑆𝑘 , если застрахованный умер в течение этого
года, и суммы М𝑘 , если застрахованный дожил до конца этого года. Эта схема позволяет описать как частные случаи договора смешанного страхования и ренты.
Заключение и поддержание рассматриваемого договора страхования связаны с
определенными расходами, которые мы учтем соответствующим уменьшением
премий Р𝑘 и/или увеличением страховых выплат 𝑆𝑘 и 𝑀𝑘 .
Общая стоимость обязательств страхователя, приведенная на момент заключения договора, есть
𝑛
𝑌𝐶 = ∑ 𝑃𝑘 ∙ 𝑣 𝑘−1 ∙ 𝐼(𝑇𝑥 > 𝑘 − 1)
(1)
𝑘=1
Среднее значение случайной величины 𝑌𝐶 , актуарная приведенная стоимость обязательств страхователя 𝑎𝐶 , есть
𝑛
𝑎𝐶 = ∑ 𝑃𝑘 ∙ 𝑣 𝑘−1 ∙ 𝑃(𝑇𝑥 > 𝑘 − 1)
(2)
𝑘=1
Общая стоимость обязательств страховщика, приведенная на момент заключения
договора, есть
15
𝑛
𝑌𝐵 = ∑ {𝑆𝑘 ∙ 𝑣 𝑘 ∙ 𝐼(𝑘 − 1 < 𝑇𝑥 < 𝑘) + 𝑀𝑘 ∙ 𝑣 𝑘 ∙ 𝐼(𝑇𝑥 > 𝑘)}
(3)
𝑘=1
Среднее значение случайной величины 𝑌𝐵 , актуарная приведенная стоимость обязательств страховщика 𝑎𝐵 , есть
𝑛
𝑎𝐵 = ∑ {𝑆𝑘 ∙ 𝑣 𝑘 ∙ 𝑃(𝑘 − 1 < 𝑇𝑥 < 𝑘) + 𝑀𝑘 ∙ 𝑣 𝑘 ∙ 𝑃(𝑇𝑥 > 𝑘)}
(4)
𝑘=1
Теперь принцип эквивалентности обязательств
𝑎𝐶 − 𝑎𝐵 = 0,
можно записать в развернутом виде:
𝑛
∑ {𝑃𝑘 ∙ 𝑣 𝑘−1 ∙ 𝑃(𝑇𝑥 > 𝑘 − 1) − 𝑆𝑘 ∙ 𝑣 𝑘 ∙ 𝑃(𝑘 − 1 < 𝑇𝑥 < 𝑘) − 𝑀𝑘 ∙ 𝑣 𝑘 ∙ 𝑃(𝑇𝑥 > 𝑘)} = 0
𝑘=1
Поскольку
𝑃(𝑘 − 1 < 𝑇𝑥 < 𝑘) = 𝑃(𝑇𝑥 > 𝑘 − 1) ∙ 𝑞𝑥+𝑘−1
𝑃(𝑇𝑥 > 𝑘) = 𝑃(𝑇𝑥 > 𝑘 − 1) ∙ 𝑝𝑥+𝑘−1
это равенство можно переписать в виде:
𝑛
∑ 𝑃(𝑇𝑥 > 𝑘 − 1) ∙ 𝑣 𝑘 ∙ {𝑃𝑘 (𝑖 + 1) − 𝑆𝑘 ∙ 𝑞𝑥+𝑘−1 − 𝑀𝑘 ∙ 𝑝𝑥+𝑘−1 } = 0
(5)
𝑘=1
Множитель
𝑃𝑘 (𝑖 + 1) − 𝑆𝑘 ∙ 𝑞𝑥+𝑘−1 − 𝑀𝑘 ∙ 𝑝𝑥+𝑘−1 ≡ 𝐹𝑘
(6)
дает средний чистый доход страховщика за 𝑘 −й год действия договора (т.е. к концу
этого года), при условии, что договор действовал в начале этого года [8].
16
Соответственно 𝑣 𝑘 𝐹𝑘 — это средний чистый доход страховщика за 𝑘 −й год
действия договора (т.е. к концу этого года), приведенный к моменту заключения договора, при условии, что договор действовал в начале этого года.
Поскольку 𝑃(𝑇𝑥 > 𝑘 − 1) можно рассматривать как вероятность того, что договор действовал в начале 𝑘 −го года, принцип эквивалентности обязательств в виде
(5) означает, что общий средний приведенный доход страховщика за все время действия договора, равен 0.
Еще одна интерпретация формулы (5) заключается в следующем.
Введем величины
(0)
𝐹𝑘
= 𝐹𝑘 ∙ 𝑃(𝑇𝑥 > 𝑘 − 1)
(7)
Они дают средний чистый доход страховщика за 𝑘 −й год действия договора (т.е. к
концу этого года), на каждый заключенный договор.
Тогда равенство (5), выражающее принцип эквивалентности обязательств,
можно записать в виде [9]
𝑛
(0)
∑ 𝐹𝑘 ∙ 𝑣 𝑘 = 0
(8)
𝑘=1
Оно в другой форме выражает тот же факт, что и (5): общий средний приведенный
доход страховщика за все время действия договора равен 0.
Чтобы лучше понять суть проведенных выше общих рассуждений, рассмотрим пример.
В этой задаче требовалось подсчитать разовую нетто-премию 𝑃 по договору 3летнего смешанного страхования с выплатой страховой суммы 𝑆 = 1000 руб. в
конце года смерти. Возраст застрахованного – 𝑥 = 25 лет, смертность описывается
таблицей продолжительности жизни из раздела 5, а эффективная годовая процентная ставка 𝑖 = 5%.
17
Премия составляет примерно 864 руб. 05 коп.
Подсчитаем для этого договора введенные выше величины; результаты расчетов удобно оформить в виде следующей таблицы:
Таблица 2
Решение задачи для введенных велечин
Вычисления, необходимые для заполнения этой таблицы, можно производить
с помощью простого калькулятора, но обычно это делают с помощью Microsoft
Ехсеl (имея это в виду, мы перенумеровали строки таблицы числами от 1 до 15, а
столбцы — буквами от 𝐴 до 𝐽). Данные, содержащиеся в столбцах 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, являются исходными данными для расчетов (впрочем, значения 𝐶12 и 𝐶13 можно подсчитать как 𝐶11 ∗ (1 − В11) и 𝐶12 ∗ (1 − В12) соответственно, а в 𝐷11 ввести формулу = $В$3).
Для подсчета процентов, заработанных за первый год, в ячейку 𝐸11 нужно
ввести формулу = 𝐷11 ∗ $А$3. Для подсчета процентов, заработанных за второй
год, в ячейку Е12 нужно ввести формулу = 𝑃12 ∗ $А$3. Это можно сделать и проще,
просто скопировав формулу из ячейки 𝐸11; нужное изменение ссылок произойдет
автоматически. Скопировав формулу из ячейки 𝐸11 в ячейку 𝐸13, мы получим
формулу для подсчета процентов, заработанных за третий год [10,11].
18
Для подсчета размера ожидаемых страховых выплат за один год действия договора, 𝑆𝑘 ∙ 𝑞𝑥+𝑘−1 , в ячейку 𝐹11 нужно ввести формулу = $𝐶$3 ∗ В11, а затем скопировать ее в ячейки 𝐹12 и 𝐹13.
Для подсчета размера ожидаемых страховых выплат по дожитию за один год
действия договора, 𝑀𝑘 ∙ 𝑝𝑥+𝑘−1 , в ячейки 𝐺11 и 𝐺12 нужно ввести значения 0, а в
ячейку 𝐺13 − формулу = $С$3 ∗ (1 − В13).
Для подсчета среднего чистого дохода за год (на один договор, действующий
в начале этого года), 𝐹𝑘 , в ячейку 𝐻11 нужно ввести формулу = 𝐷11 + 𝐸11 −
𝐹11 − 𝐺11, а затем скопировать ее в ячейки 𝐻12 и 𝐻13.
Для подсчета среднего чистого дохода за год (на один заключенный договор),
(0)
𝐹𝑘
в ячейку 𝐼11 нужно ввести формулу = 𝐻11 ∗ 𝐶11, а затем скопировать ее в
ячейки 𝐼12 и 𝐼13.
Для подсчета среднего чистого дохода за год (на, один заключенный договор),
(0)
приведенного к моменту заключения договора, 𝐹𝑘 ∙ 𝑣 𝑘 , в ячейку 𝐽11 нужно ввести
формулу = 𝐼11/(1 + $А$ 3)^А11, а затем скопировать ее в ячейки 𝐽12 и 𝐽13.
И наконец, для подсчета общего среднего приведенного дохода страховщика
за все время действия договора в ячейку 𝐽15 нужно ввести формулу =
𝑆𝑈М (𝐽11: 𝐽13).
Подсчитанное значение (0.00315) практически равно 0; небольшое отклонение от
нуля этой суммы вызвано тем, что мы округлили точное значение нетто-премии Р =
864.0468 . .. до целых копеек. Равенство общего среднего приведенного дохода
страховщика нулю означает, что выполнен принцип эквивалентности обязательств.
Электронная таблица, созданная с помощью Microsoft Ехсеl, может использоваться для подсчета нетто-премии. Поскольку принцип эквивалентности обязательств означает, что общий средний приведенный доход страховщика за все время
действия договора равен 0, для определения нетто-премии нужно [2,9]:
19
1. В меню Тооls (Сервис) выбрать команду Соа] беек (Подбор параметра);
2. В появившемся окне установить:
2.1 Set cell (Установить в ячейке): $𝐽$15 (можно просто щелкнуть мышкой по
этой ячейке);
2.2 То value (Значение): 0
2.3 Ву changing cell (Изменяя значение ячейки): $В$3 (можно просто щелкнуть мышкой по этой ячейке);
3. Нажать ОК.
Программа автоматически подсчитает искомое значение нетто-премии
(864.0468. . . ) и внесет это значение в ячейку $𝐵$3. Если формат ячейки $𝐵$3 описан как числовой с двумя знаками после запятой, то мы увидим округленное значение 864.05. Однако, поскольку реально значение ячейки $𝐵$3 будет равно точному
значению нетто-премии, приведенная выше таблица немного изменится и будет выглядеть следующим образом [2]:
Таблица 3
Решение задачи для введенных велечин, если годовая премия равна точному значению нетто-премии
Поскольку в описанном выше методе центральную роль играли средние денежные потоки за 𝑛 год действия договора, этот метод расчета премий называют
методом денежных потоков (cash flow method).
20
2.2. Метод динамики активов
Рассмотрим еще раз общую схему страхования из предыдущего раздела. В
рамках этой схемы мы записали принцип эквивалентности обязательств в виде [11]
𝑛
∑ {𝑃𝑘 ∙ 𝑣 𝑘−1 ∙ 𝑃(𝑇𝑥 > 𝑘 − 1) − 𝑆𝑘 ∙ 𝑣 𝑘 ∙ 𝑃(𝑘 − 1 < 𝑇𝑥 < 𝑘) − 𝑀𝑘 ∙ 𝑣 𝑘 ∙ 𝑃(𝑇𝑥 > 𝑘)} = 0
𝑘=1
Поскольку
𝑃(𝑇𝑥 > 𝑘 − 1) =
𝑙𝑥+𝑘−1
,
𝑙𝑥
𝑃(𝑘 − 1 < 𝑇𝑥 < 𝑘) =
𝑃(𝑇𝑥 > 𝑘) =
𝑑𝑥+𝑘−1
,
𝑙𝑥
𝑙𝑥+𝑘
,
𝑙𝑥
это равенство можно переписать в виде:
𝑛
∑ 𝑣 𝑘 {𝑃𝑘 𝑙𝑥+𝑘−1 (1 + 𝑖) − 𝑆𝑘 𝑑𝑥+𝑘−1 − 𝑀𝑘 𝑙𝑥+𝑘 } = 0
(9)
𝑘=1
Введем частичные суммы
𝑚
𝐴∗𝑚 ≡ ∑ 𝑣 𝑘 {𝑃𝑘 𝑙𝑥+𝑘−1 (1 + 𝑖) − 𝑆𝑘 𝑑𝑥+𝑘−1 − 𝑀𝑘 𝑙𝑥+𝑘 }.
𝑘=1
Они удовлетворяют следующим рекуррентным соотношениям:
𝐴∗0 = 0,
𝐴∗𝑘 = 𝐴∗𝑘 + 𝑣 𝑘 {𝑃𝑘 𝑙𝑥+𝑘−1 (1 + 𝑖) − 𝑆𝑘 𝑑𝑥+𝑘−1 − 𝑀𝑘 𝑙𝑥+𝑘 }.
Соответственно для величин
𝐴𝑘 ≡ (1 + 𝑖)𝑘 𝐴∗𝑘
справедливы следующие соотношения:
21
(10)
𝐴0 = 0,
𝐴𝑘 = 𝐴𝑘−1 (1 + 𝑖) + 𝑃𝑘 𝑙𝑥+𝑘−1 (1 + 𝑖) − 𝑆𝑘 𝑑𝑥+𝑘−1 − 𝑀𝑘 𝑙𝑥+𝑘
(11)
Принцип эквивалентности обязательств означает, что
𝐴𝑛 = 0.
Частичные суммы 𝐴𝑘 можно интерпретировать следующим образом. Предположим,
что в момент 𝑡 = 0 страховая компания заключила однотипных договоров описанного выше вида. Тогда 𝐴𝑘 – это ожидаемые общие активы страховщика по этому
портфелю в момент 𝑡 = 𝑘 (т.е. в конце 𝑘 −го года действия договора), а принцип
эквивалентности обязательств означает, что общие активы страховщика по этому
портфелю в момент 𝑡 = 𝑛 равны нулю [10].
Чтобы лучше понять суть проведенных выше общих рассуждений, рассмотрим пример.
В этой задаче требовалось подсчитать разовую нетто-премию 𝑃 по договору
3 −летнего смешанного страхования с выплатой страховой суммы 𝑆 = 1000 руб. в
конце года смерти. Возраст застрахованного 𝑥 = 25 лет, смертность описывается
таблицей продолжительности жизни из раздела 5, а эффективная годовая процентная ставка 𝑖 = 5%.
Установили, что эта премия составляет примерно 864 руб. 05 коп.
Предположим, что компания заключила одновременно 𝑁 = 𝑙25 = 97 140 однотипных договоров описанного вида [2].
Тогда:
1. В момент 𝑡 = 0 заключения договоров компания соберет сумму 𝑁Р =
83 933 817 руб. К концу первого года (момент 𝑡 = 1 − 0) эта сумма за счет процентов увеличится до 𝑁Р‧(1 + 𝑖) = 88 130 507 руб. 85 коп. В течение первого года умрет в среднем 𝑁𝑞25 = 𝑙25 , 𝑞25 = 𝑑25 = 152 человека (так что в живых останется 𝑁 − 𝑑25 = 𝑙25 − 𝑑25 = 𝑙26 = 96 988 человек), и каждому из них нужно
22
будет выплатить 1000 руб. Общие выплаты составят 152 000 руб., и поэтому активы
компании уменьшатся в момент 𝑡 = 1 до величины 88 130 507,85 − 152 000 =
87 978 507 руб. 85 коп.
2. К концу второго года эта сумма за счет процентов увеличится до 92 377
433,24 руб. В течение второго года умрет в среднем 𝑙26 𝑞26 = 𝑑26 = 159 человек
(так что в живых к моменту 𝑡 = 2 останется 𝑙26 − 𝑑26 = 127 = 96 829 человек),
и каждому из них нужно будет выплатить 1000 руб. Общие выплаты составят 159
000 руб., и поэтому активы компании уменьшатся в момент 𝑡 = 2 до величины
92 377 433.24 − 159 000 = 92 218 433.24 руб.
3. К концу третьего года эта сумма за счет процентов увеличится до
96 829 354 руб. 90 коп. В течение третьего года умрет в среднем 𝑙27 𝑞27 = 𝑑27 =
166 человек (так что в живых останется 𝑙27 − 𝑑27 = 𝑙28 = 96 663 человека) и
каждому из них нужно будет выплатить 1000 руб. Общие выплаты составят 166 000
руб., и поэтому активы компании уменьшатся в момент 𝑡 = 3 до величины
96 829 354.90 − 166 000 = 96 663 354 руб. 90 коп.
Из этой суммы компания должна теперь выплатить по 1000 руб. каждому из
оставшихся в живых (их число равно 𝑙28 = 96 663 чел.), так что активы компании
уменьшатся до величины 96 663 354.9 − 96 663 000 = 354.9, т.е. практически до
нуля (небольшое отклонение от нуля этой суммы вызвано тем, что мы округлили
точное значение нетто-премии 𝑃 − 864.0468. .. до целых копеек).
Равенство этих активов нулю означает, что выполнен принцип эквивалентности обязательств [2].
Описанную выше процедуру обычно оформляют в виде таблицы следующего
вида.
23
Таблица 4
Решение задачи с выполнением принципа эквивалентности обязательств
1
2
3
4
5
𝐴
проц.
ставка
0,05
𝐵
годовая
премия
864,05
𝐶
страховая
сумма
1000
𝐷
𝐸
год действия
договора
число
договор
в начале
года
число
смертей
за год
активы в
начале года
(до премий)
активы в
конце года
1
2
3
97140
96988
96829
152
159
166
6
7
8
9
10
11
12
0
87978507,85
87978507,85 92218433,24
92218433,24
354,90
Вычисления, необходимые для заполнения этой таблицы, можно производить
с помощью простого калькулятора, но (как и в методе денежных потоков) обычно
это делают с помощью Мicrosoft Ехсеl (имея это в виду, мы перенумеровали строки
таблицы числами от 1 до 12, а столбцы - буквами от 𝐴 до 𝐸). Данные, содержащиеся в столбцах 𝐴, 𝐵, 𝐶 и в ячейке 𝐷10, являются исходными данными для расчетов
(впрочем, значения 𝐵11 и 𝐵12 можно подсчитать как 𝐵10 − 𝐶10 и 𝐵11 − 𝐶11 соответственно).
Для подсчета активов в конце первого года действия договора, в ячейку 𝐸10
нужно ввести формулу = (𝐷10 + $𝐵$3 ∗ В10) ∗ (1 + $𝐴$3) − 𝐶10 ∗ $𝐶$3.
Для подсчета активов в конце второго года действия договора в ячейку
𝐸11 нужно ввести формулу = 𝐷11 ∗ (1 + $𝐴$3) − 𝐶11 ∗ $𝐶$3.
Для подсчета активов в конце третьего года действия договора в ячейку 𝐸12
нужно ввести формулу = 𝐷12 ∗ (1 + $𝐴$3) − 𝐶12 ∗ $𝐶$3 − (𝐵12 − 𝐶12) ∗ $𝐶$3.
В ячейки 𝐷11 и 𝐷12 нужно ввести формулы = 𝐸10 и = 𝐸11 соответственно
[10].
24
Электронная таблица, созданная с помощью Microsoft Exсеl, может использоваться для подсчета нетто-премии. Поскольку принцип эквивалентности обязательств означает, что активы в конце договора равны нулю, для определения неттопремии нужно:
1. В меню Tools выбрать Goal Seek;
2. В появившемся окне установить:
2.1 Set cell: $𝐸$12 (можно просто щелкнуть мышкой по этой ячейке);
2.2 То value: 0
2.3 Ву changing cell: $𝐵$3 (можно просто щелкнуть мышкой по этой ячейке);
3. Нажать ОК.
Программа автоматически подсчитает искомое значение нетто-премии
(864.0468. . . ) и внесет это значение в ячейку $𝐵$3.
Теперь приведенная выше таблица будет выглядеть следующим образом.
Таблица 5
Решение задачи с выполнением принципа эквивалентности обязательств, если
годовая премия равна точному значению нетто-премии
1
2
3
4
5
𝐴
проц.
ставка
0,05
𝐵
годовая
премия
864,05
𝐶
страховая
сумма
1000
𝐷
𝐸
год действия
договора
число
договор
в начале
года
число
смертей
за год
активы в
начале года
(до премий)
активы в
конце года
1
2
3
97140
96988
96829
152
159
166
6
7
8
9
10
11
12
0
87978185,94
87978185,94 92218095,24
92218095,24
0,00
Описанный метод расчета премий базируется на анализе динамики средних
активов (assets) компании по большому портфелю однотипных договоров. Посколь25
ку при этом обычно подсчитывается доля активов (share of assets или asset-share),
приходящаяся на один действующий договор, этот метод называется asset-share calculation.
2.3 Непрерывные договоры страхования
Для договора с выплатой страховой суммы в момент смерти обе описанные
выше процедуры (и метод денежных потоков, и метод динамики активов) модифицируют следующим образом.
Будем считать, что момент смерти застрахованного равномерно распределен в
течение последнего года жизни. Тогда стоимость единичной страховой выплаты,
приведенная на конец года, будет [2]
1
∫𝑒
0
𝛿𝑡
𝑒𝛿 − 1 𝑖
𝑑𝑡 =
= .
𝛿
𝛿
Поэтому при подсчете активов в конце года (в методе динамики активов) и баланса
поступлений и выплат (в методе денежных потоков) нужно вычитать общий размер
𝑖
страховых выплат за год, умноженный на .
𝛿
Метод динамики активов. Чтобы проиллюстрировать эти соображения для
метода динамики активов, рассмотрим пример, но предположим, что страховая
сумма выплачивается в момент смерти застрахованного (a не в конце последнего года жизни).
Если численные расчеты проводятся с помощью Мicrosoft Ехсеl, то можно использовать таблицу из предыдущего раздела, изменив формулы в ячейках
𝐸10, 𝐸11, 𝐸12: в вычитаемых 𝐶10 ∗ $𝐶$3, 𝐶11 ∗ $𝐶$3, 𝐶12 ∗ $𝐶$3 нужно множитель
$𝐶$3 заменить на множитель $𝐶$3 ∗ $𝐴$3/𝐿𝑁(1 + $𝐴$3). После этого с помощью
Goal Seek можно определить нетто-премию: как и в прошлом примере она равна
864.1572. . . ≈ 864.16.
Соответствующая таблица выглядит следующим образом.
26
Таблица 6
Решение задачи с выполнением принципа эквивалентности обязательств, если
годовая премия равна точному значению нетто-премии, и с измененными формулами
1
2
3
4
5
𝐴
проц.
ставка
0,05
𝐵
годовая
премия
864,16
𝐶
страховая
сумма
1000
𝐷
𝐸
год действия
договора
число
договор
в начале
года
число
смертей
за год
активы в
начале года
(до премий)
активы в
конце года
1
2
3
97140
96988
96829
152
159
166
6
7
8
9
10
11
12
0
87985674,44
87985674,44 92222015,48
92222015,48
0,00
Поскольку обычно техническая процентная ставка 𝑖 является величиной по𝑖
𝑖
𝛿
ln(1+𝑖)
рядка нескольких процентов, введенный выше поправочный коэффициент =
𝑖
𝑖
2
2
равен 1 + + 𝑜(𝑖). Поэтому на практике часто используют коэффициент 1 + . Как
нетрудно видеть, это означает уменьшение активов в конце года (по сравнению со
случаем, когда страховая сумма выплачивается в конце года смерти застрахованно𝑖
го) на величину 𝑆 ∙ (S — общая сумма страховых выплат).
2
На практике это приближение обычно обосновывается следующими рассуждениями. В среднем страховые суммы выплачиваются в середине года. Соответственно они зарабатывают проценты только половину года. В дискретном же случае
предполагается, что страховые суммы (как часть активов компании в начале года)
зарабатывают проценты весь год. Поэтому активы в конце года нужно уменьшить на
𝑖
величину незаработанных процентов, которая приближенно равна 𝑆 ∙ .
2
27
Возможна и другая аргументация. Равномерную выплату страховых сумм на
протяжении года можно заменить выплатой половины суммы в начале года и поло𝑖
вины - в конце года. Вторая половина заработает обычные проценты 𝑆 ∙ , а такие же
2
проценты на первую половину нужно исключить из активов в конце года (подсчитанных для случая, когда все страховые суммы выплачиваются в конце года, смерти) [2].
Если расчеты проводятся с помощью Microsoft Exсеl, то можно использовать
таблицу для дискретного случая, изменив формулы в ячейках 𝐸10, 𝐸11, 𝐸12 (нужно
дополнительно
вычесть
𝐶10 ∗ $𝐶$3 ∗ $𝐴$3/2, 𝐶11 ∗ $𝐶$3 ∗ $𝐴$3/2, 𝐶12 ∗ $𝐶$3 ∗
$𝐴$3/2 соответственно). После этого с помощью Goal Seek можно определить
нетто-премию: она равна 864.15812. . ., т.е. практически совпадает с точным значением.
Соответствующая таблица выглядит следующим образом [8].
Таблица 7
Решение задачи с выполнением принципа эквивалентности обязательств, если
годовая премия равна точному значению нетто-премии, и с измененными формулами
1
2
3
4
5
6
7
8
𝐴
проц.
ставка
0,05
𝐵
годовая
премия
864,16
𝐶
страховая
сумма
1000
𝐷
𝐸
год действия
договора
число
договор
в начале
года
число
смертей
за год
активы в
начале года
(до премий)
активы в
конце года
1
2
3
97140
96988
96829
152
159
166
9
10
11
12
0
87985735,83
87985735,83 92222047,62
92222047,62
0,00
Метод денежных потоков. Чтобы проиллюстрировать расчет непрерывных
договоров с помощью метода денежных потоков, рассмотрим все тот же пример
28
(предположив, что страховая сумма выплачивается в момент смерти застрахованного, а, не в конце последнего года жизни).
Для численных расчетов с помощью Microsoft Exсеl можно использовать таблицу из раздела 2.1, изменив формулы в ячейках 𝐻11, 𝐻12, 𝐻13: в вычитаемых
𝐴11, 𝐴12, 𝐴13 нужно добавить множитель $𝐴$3/𝐿𝑁(1 + $𝐴$3). После этого с помощью Goal Seek можно определить нетто-премию: как и в примере она равна
864.1572. . . ≈ 864.16 [9].
Соответствующая таблица выглядит следующим образом.
Таблица 8
Решение задачи с периодически выплачиваемой премией с применением метода
денежных потоков
2.4 Примеры расчетов
Пример 1. Рассмотрим договор 3 −летнего смешанного дискретного страхования жизни со страховой суммой 𝑏 = 1000 рублей. Премии вносятся в каждую
годовщину заключения договора в течение всего срока его действия. Считая, что
смертность описывается таблицей продолжительности жизни из раздела, 5, возраст
− 30 лет, а эффективная годовая процентная ставка 𝑖 = 25%, определите величину
периодической нетто-премии 𝑃 с помощью метода динамики активов [2].
Решение. Электронная таблица для договора с периодически выплачиваемой
премией отличается от таблицы для аналогичного договора с разовой премией толь29
ко тем, что при подсчете активов в конце года к активам в начале года премию нужно прибавлять каждый год.
Поэтому для расчетов создадим следующую таблицу.
Таблица 9
Решение примера 1.
1
2
3
4
5
𝐴
проц.
ставка
0,25
𝐵
годовая
премия
210,54
𝐶
страховая
сумма
1000
𝐷
𝐸
год действия
договора
число
договор
в начале
года
число
смертей
за год
активы в
начале года
(до премий)
активы в
конце года
1
2
3
96307
96117
95918
190
199
209
6
7
8
9
10
11
12
0
25155180,71
25155180,71 56540154,16
56540154,16
0,00
Данные, содержащиеся в ячейках 𝐴3, 𝐶З, 𝐷10 и столбцах 𝐴10 − 𝐴12, 𝐵10 −
𝐵12, 𝐶10 − 𝐶12 являются исходными данными для расчетов.
Для подсчета активов в конце первого года действия договора в ячейку Е10
нужно ввести формулу = (𝐷10 − $𝐵$3 ∗ 𝐵10) ∗ (1 + $𝐴$3) − 𝐶10 ∗ $𝐶$3.
Для подсчета активов в начале второго года действия договора в ячейку 𝐷11
нужно ввести формулу = 𝐸10.
Для подсчета активов в конце второго года действия договора в ячейку 𝐸11
нужно ввести формулу = (𝐷11 − $𝐵$3 ∗ 𝐵11) ∗ (1 + $𝐴$3) − 𝐶11 ∗ $𝐶$3 (вместо
этого можно просто скопировать формулу из ячейки Е10; нужное изменение ссылок
произойдет автоматически).
30
Для подсчета активов в начале третьего года, действия договора в ячейку 𝐷12
нужно ввести формулу = 𝐸11 (можно просто скопировать формулу из ячейки 𝐷11;
нужное изменение ссылок произойдет автоматически).
Для подсчета активов в конце третьего года действия договора в ячейку 𝐸12
нужно ввести формулу = (𝐷12 + $𝐵$3 ∗ 𝐵12) ∗ (1 + $𝐴$3) − 𝐶12 ∗ $𝐶$3 − (𝐵12 −
𝐶12) ∗ $𝐶$3 (последний член описывает выплаты по дожитию).
После этого с помощью Goal Seek (значение ячейки 𝐸12 должно быть равно 0)
можно определить разовую нетто-премию (ячейка В3): она равна 210.53656. . . ≈
210.54.
Пример 2. С помощью метода динамики активов подсчитайте актуарную современную стоимость 3 −х летней временной пожизненной ренты, выплачиваемой
раз в год в начале года в размере 1000 рублей. Возраст застрахованного на момент
заключения договора — 30 лет, техническая процентная ставка 𝑖 = 25%.
Решение. Создадим в Microsoft Exсеl следующую таблицу.
Таблица 10
Решение примера 2
1
2
3
4
5
6
7
8
𝐴
проц.
ставка
0,25
𝐵
годовая
премия
24358,37
𝐶
страховая
сумма
10000
𝐷
𝐸
год действия
договора
число
договор
в начале
года
число смертей за год
активы в
начале года
(до премий)
активы в
конце года
1
2
3
96307
96117
95918
2345881200
1728514000
959180000
963070000
961170000
959180000
1728514000
959180000
0
9
10
11
12
Данные, содержащиеся в ячейках 𝐴З, 𝐶З и столбцах 𝐴10 − 𝐴12, 𝐵10 − 𝐵12,
являются исходными данными для расчетов.
31
Для подсчета активов в начале первого года действия договора в ячейку 𝐶10
нужно ввести формулу = $𝐵$3 ∗ В10.
Для подсчета выплат (в начале первого года действия договора) в ячейку 𝐷10
нужно ввести формулу = $𝐶$3 ∗ 𝐵10.
Для подсчета, активов в конце первого года, действия договора в ячейку 𝐸10
нужно ввести формулу = (𝐶10 − 𝐷10) ∗ (1 + $𝐴$3).
Для подсчета активов в начале второго года действия договора в ячейку 𝐶11
нужно ввести формулу = 𝐸10. [11]
Для подсчета выплат (в начале второго года действия договора) в ячейку 𝐷11
нужно ввести формулу = $𝐶$3 ∗ 𝐵11 (можно просто скопировать формулу из ячейки 𝐷10; нужное изменение ссылок произойдет автоматически).
Для подсчета активов в конце второго года действия договора в ячейку
𝐸11 нужно ввести формулу = (𝐶11 − 𝐷11) ∗ (1 + $𝐴$3) (можно просто скопировать формулу из ячейки D10; нужное изменение ссылок произойдет автоматически).
Для подсчета активов в начале третьего года действия договора в ячейку 𝐶12
нужно ввести формулу = 𝐸11 (можно просто скопировать формулу из ячейки 𝐶11;
нужное изменение ссылок произойдет автоматически) [10].
Для подсчета выплат (в начале третьего года действия договора) в ячейку
𝐷12 нужно ввести формулу = $𝐶$3 ∗ 𝐵12 (можно просто скопировать формулу из
ячейки 𝐷10; нужное изменение ссылок произойдет автоматически).
Для подсчета активов в конце третьего года действия договора, в ячейку
𝐸12 нужно ввести формулу = (𝐶12 − 𝐷12) ∗ (1 + $𝐴$3) (можно просто скопировать
формулу из ячейки D10; нужное изменение ссылок произойдет автоматически).
После этого с помощью Goal Seek (значение ячейки 𝐸12 должно быть равно 0)
можно определить разовую нетто-премию (ячейка 𝐵3): как и в примере 1 она равна
24 358.36647. . . ≈ 24 358.
32
Пример 3. Рассмотрим договор 3-летнего временного страхования жизни с
выплатой премии в начале каждого года в течение всего срока действия договора.
Заключение и поддержание договора связаны со следующими расходами, которые производятся в начале каждого года действия договора [2]:
1. Комиссионные агенту, заключившему договор: 20% от премии в момент получения первой премии и 5% от премии при получении последующих премий.
2. Подготовка документов: 15 рублей в момент заключения договора (т.е. при
получении первой премии), 5 рублей при получении последующих премий.
3. Налоги: 5% от премии.
4. Общие административные расходы: 2% от величины страховой суммы.
Кроме того, при выплате страхового возмещения компания несет расходы по
подготовке документов в размере 50 рублей.
Страховая сумма − 1000 руб., возраст застрахованного – х = 25 лет, смертность описывается таблицей из раздела, 5 с равномерным распределением момента
смерти внутри последнего года жизни, а эффективная годовая процентная ставка
𝑖 = 25%.
С помощью метода динамики активов подсчитайте величину премии, учитывающей перечисленные выше расходы.
Решение. Создадим следующую таблицу [2].
Таблица 11
Решение примера 3
33
Данные, содержащиеся в ячейках 𝐴З, 𝐶З, 𝐷10 и столбцах 𝐴10 − 𝐴12, 𝐵10 −
𝐵12, 𝐶10 − 𝐶12, являются исходными данными для расчетов.
Для подсчета премии, собранной в начале первого года, действия договора в
ячейку 𝐸10 нужно ввести формулу = В10 ∗ $𝐵$3.
Для подсчета величины административных расходов в начале первого года
действия договора в ячейку 𝐹10 нужно ввести формулу = 0.02 ∗ $𝐶$3 ∗ 𝐵10.
Для подсчета размера комиссионных агенту в начале первого года, действия
договора в ячейку 𝐺10 нужно ввести формулу = 0.2 ∗ 𝐸10.
Для подсчета расходов по подготовке документов при получении премии в
начале первого года действия договора в ячейку Н10 нужно ввести формулу = 15 ∗
𝐵10.
Для подсчета размера налогов, выплачиваемых компанией в начале первого
года действия договора, в ячейку 𝐼10 нужно ввести формулу = 0.05 ∗ 𝐸10.
Для подсчета приведенных расходов по подготовке документов при выплате
страховых возмещений по договорам, которые привели к страховому случаю в течение первого года действия, в ячейку I10 нужно ввести формулу = 50 ∗ 𝐶10 ∗
$𝐴$3/𝐿𝑁(1 + $𝐴$3).
Для подсчета размера страховых выплат (приведенного к концу года) по договорам, которые привели к страховому случаю в течение первого года действия, в
ячейку К10 нужно ввести формулу = 𝐶10 ∗ $𝐶$3 ∗ $𝐴$3/𝐿𝑁(1 − $𝐴$3).
И наконец, для подсчета активов в конце первого года действия договора в
ячейку 𝐿10 нужно ввести формулу = (𝐷10 + 𝐸10 − 𝐹10 − 𝐺10 − 𝐻10 − 𝐼10) ∗ (1 +
$𝐴$3) − 𝐽10 − 𝐾10.
Строки 11 и 12, соответствующие второму и третьему годам действия договора, программируются аналогично (можно просто скопировать формулы из строки 10
с очевидными изменениями для ячеек 𝐷11, 𝐷12, 𝐺11, 𝐺12 𝐻11, 𝐻12).
34
После этого с помощью Goal Seek (значение ячейки 𝐿12 должно быть равно 0)
можно определить искомую премию (ячейка 𝐵3): она, равна, 36.53968. . . ≈ 36.54.
35
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключении можно сказать, что страхование играет важную роль в современном обществе, обеспечивая безопасность, инвестиционный потенциал и решение
социальных проблем. Развитие страхования происходит быстрыми темпами, страховые премии формируют доход страховщиков и финансируют расходы на ведение
дела. Можно подчеркнуть важность использования электронных таблиц для автоматизации процесса расчёта страховых премий. Электронные таблицы позволяют
быстро и точно производить расчёты, учитывая различные факторы и риски, что повышает эффективность работы страховых компаний.
Применение электронных таблиц также способствует снижению ошибок и
ускорению обработки данных, что особенно важно в условиях постоянно меняющегося страхового рынка. Использование электронных таблиц облегчает анализ данных и прогнозирование, что помогает страховщикам разрабатывать более точные и
эффективные стратегии управления рисками.
В целом, использование электронных таблиц для расчёта страховых премий
является современным и эффективным подходом, который позволяет оптимизировать работу страховых компаний и улучшить качество предоставляемых услуг. Цель
курсовой работы — исследовать основные аспекты расчёта страховой премии — достигнута благодаря решению поставленных задач.
36
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ермасов С.В., Ермасова Н.Б. Страхование: Учеб. пособие для вузов. М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2006. 943 с.
2. Г.И. Фалин. Математические основы теории страхования жизни и пенсионных
схем. М: Анкил, 2007. 304 с.
3. . Ефимов С.Л. Энциклопедический словарь. Экономика и страхование. М.:
Церих. ПЕЛ, 2007.527 с.
4. . Никулина Н.Н. Страхование. Теория и практика: учеб. пособие для студентов
вузов, обучающихся по специальностям (080105) «Финансы и кредит»,
(080109) «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»/ Н.Н. Никулина, С.В. Березина.
- 2-е изд., перераб. и доп. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. 511 с.
5. . Сахирова Н.П. Страхование: учеб. пособие. М.: ТК Велби, Изд-во Проспект,
2008. 740 с.
6. . Страховое дело в вопросах и ответах. Учебное пособие для студентов эконо-
мических вузов и колледжей. Серия «Учебники, учебные пособия». Составитель М.И. Басаков. Ростов-на-Дону: «Феникс», 2009. 571 с.
7. Алиев Б.Х., Махдиева Ю.М. Страхование: учебник. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2014.
415 с.
8. Скамай Л.Г. Страховое дело: учебное пособие. М.: ИНФРА-М, 2015.300 с.
9. Шихов А.К. Страхование: учебное пособие. М.: ИНФРА-М, 2014. 368 с.
10.Н.В.Мазурова. Экономика страхования и анализ страховых операций: учебнометодический комплекс. М.: ЮИ МИИТа,2013. 96 с.
11.Просветов, Г. И. Страхование. Задачи и решения. М.: Альфа-Пресс, 2008. 206
с.
37
