Теория функций действительного переменного

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал в г.Ишиме
УТВЕРЖДАЮ
Директор филиала
______________ /Шилов С.П./
20.11.2014
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов специальности
050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика
очной формы обучения
1
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ
от 20.11.2014
Содержание: УМК по дисциплине Теория функций действительного переменного
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для специалистов направления подготовки
050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика очной формы обучения
Автор(-ы): Гусельников Н.С.
Должность
Заведующий
кафедрой физикоматематических
дисциплин и
профессиональнотехнологического
образования
Председатель УМС
филиала ТюмГУ в
г.Ишиме
Начальник ОИБО
ФИО
Мамонтова
Т.С.
Дата
согласования
Результат
согласования
Примечание
16.10.2014
Рекомендовано
к электронному
изданию
Протокол заседания
кафедры от 16.10.2015
№2
Протокол заседания
УМС от 11.11.2015
№3
Поливаев
А.Г.
11.11.2014
Согласовано
Гудилова
Л.Б.
20.11.2014
Согласовано
2
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал в г. Ишиме
Кафедра физико-математических дисциплин и профессионально-технологического образования
Гусельников Николай Степанович
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов специальности
050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика
очной формы обучения
Тюменский государственный университет
2014
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»
Гусельников Н.С. УМК по дисциплине Теория функций действительного переменного
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для специалистов направления подготовки
050201.65 Математика с дополнительной специальностью Физика очной формы обучения.
Тюмень, 2014.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ГОС ВПО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВО по направлению подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: Теория функций
действительного переменного [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.utmn.ru,
раздел «Образовательная деятельность», свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой физико-математических дисциплин и
профессионально-технологического образования.
Утверждено директором филиала ТюмГУ в г. Ишиме.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР Мамонтова Т.С., к.п.н., доцент
Ф.И.О., ученая степень, звание заведующего кафедрой
© Тюменский государственный университет, филиал в г. Ишиме, 2014.
© Гусельников Н.С., 2014.
4 стр. из 23 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Ишимский государственный педагогический институт им. П.П. Ершова"
УТВЕРЖДАЮ
Ректор ФГБОУ ВПО «ИГПИ
им. П.П. Ершова»
_______________ С.П. Шилов
«___» ______________ 2011 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
СД.Ф.2 ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
050201.65 – Математика с дополнительной специальностью Физика
Ишим 2011
5 стр. из 23 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»
ПРИНЯТО
На заседании кафедры
математики, информатики и МП
Протокол № 2 от «20» октября 2011 г.
Зав. кафедрой
_______________
роспись
Т.С. Мамонтова
И.О.Ф. зав. кафедрой
ОДОБРЕНО
На заседании УМК факультета
Протокол № 2 от «22» октября 2011 г.
Председатель УМК
_______________ ____Е.В. Ермакова__
роспись
И.О.Ф. председателя
СОГЛАСОВАНО
«23» октября 2011 г.
Начальник ОИБО
_______________ ___Л.Б. Гудилова___
роспись
И.О.Ф. начальника ОИБО
ВВЕДЕНА В ДЕЙСТВИЕ с «1» ноября 2011 г.
РАЗРАБОТАНА ___к.ф.-м.н., профессор Н.С. Гусельников_______
(наименование структурного подразделения (ий), разработавшего (их) документ или руководитель рабочей
группы и ее члены)
РЕЦЕНЗЕНТЫ
_______ к.ф.-м.н., доцент В.Н. Алексеев ________________________
(Ф.И.О., ученая степень, ученое звание, должность)
_______ к.ф.-м.н., доцент В.Н. Столбов __________________________
(Ф.И.О., ученая степень, ученое звание, должность)
Периодичность ПЕРЕСМОТРА – 1 раз в год
Программа составлена на основе ГОС ВПО «31» января 2005
Номер государственной регистрации729 пед/маг (новый)
6 стр. из 23 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»
Содержание
I. Программа дисциплины ……………………………………………………………………
1. Выписка из ГОС ВПО ………………………………………………………………
2. Введение……………………………………………….................................................
2.1. Цели и задачи преподавания и изучения дисциплины………....................
2.2. Требования к уровню освоения дисциплины ……………………………..
2.3. Требования к организации дисциплины…………………………………...
2.4. Объем дисциплины и виды учебной работы ……………………………...
II. Содержание дисциплины …………………………………………………………….........
1. Разделы дисциплины, виды и объем занятий……………………………………
2. Материально-техническое оснащение дисциплины ……………………………
III. Организация аудиторной и самостоятельной работы студентов……………………
1. Организация аудиторной работы студентов ………………………………….....
1.1. Краткий курс лекций………………………………………………………..
1.2. Планы практических занятий и методические рекомендации к ним…….
2. Организация самостоятельной работы студентов ……………………………...
3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины………………………..……….
3.1. Основная литература………………………………………………………..
3.2. Дополнительная литература………………………………………………..
3.3. Литература к решению задач ………………………………………………
3.4. Электронные ресурсы ………………………………………………………
4. Методические рекомендации для преподавателя ………………………………
5. Методические рекомендации для студента ………………………………………
IV. Материалы входного, текущего и итогового контроля ………………………………
1. Вопросы к коллоквиуму………………………………………………….…………
2. Вопросы к экзамену …………………………………………………………….......
3. Экзаменационные билеты……………………………………………………….....
4. Тематика рефератов …………………..…………………………………………….
5. Тематика выпускных квалификационных работ ………………………………
V. Терминологический минимум …………………………………………………………….
1. Основные термины и понятия курса ……………………………………………..
Лист регистрации изменений и дополнений ……………………………………………….
4
4
4
4
4
4
5
6
6
7
8
8
8
9
12
12
12
13
13
13
13
14
14
14
15
17
19
19
20
20
23
7 стр. из 23 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»
I. Программа дисциплины
1. Выписка из ГОС ВПО
Мощность множества. Счетные и несчетные множества. Строение замкнутых и
открытых множеств на числовой прямой. Мера Лебега. Множества и функции, измеримые по
Лебегу. Интеграл Лебега. Понятие метрического пространства. Полные метрические
пространства. Ряды Фурье в произвольном гильбертовом пространстве.
2. Введение
Рабочая программа (РП) дисциплины «Теория функций действительного переменного»
разрабатывалась на основе требований ГОС ВПО в соответствии с нормативно-правовыми
актами, учредительными и нормативными документами ФГБОУ ВПО ИГПИ.
РП дисциплины «Теория функций действительного переменного» предназначена для
студентов физико-математического факультета педагогического института. РП включает планы
практических занятий и методические рекомендации к ним; вопросы (тесты) для самоконтроля;
организацию СРС и ее методическое обеспечение; материалы входного и итогового контроля;
темы выпускных квалификационных работ; терминологический минимум (терминологический
словарь).
2.1. Цели и задачи преподавания и изучения дисциплины
Целью
Познакомить студентов с идеями и обучить методам исследования задач
действительного анализа.
Задачи преподавания и изучения дисциплины:
- осуществление профессионального самообразования и личностного роста,
проектирование дальнейшего образовательного маршрута и профессиональной культуры;
- выработка умений формировать роль математики как универсального аппарата для
решения практических проблем
- популяризация профессиональной области знаний в обществе
2.2. Требования к уровню освоения дисциплины.
После изучения дисциплины «Теория функций действительного переменного» студент
должен
знать:

основные понятия теории функций действительного переменного;

знать основные факты (теоремы, свойства) теории функций и функционального анализа;

основные методы теории функций действительного переменного.
уметь:

используя определения, проводить исследования, связанные с основными понятиями
курса;

уметь точно и лаконично рассказывать или описывать решение задач.
владеть:

основными положениями классических разделов теории функций действительного
переменного;

базовыми идеями и методами теории функций действительного переменного;

системой основных математических структур и аксиоматическим методом;

основными понятиями школьного курса математики, связанные с теорией функций
действительного переменного (профильный уровень).
2.3. Требования к организации дисциплины
Дисциплина «Теория функций действительного переменного» предусматривает
проведение лекций и практических занятий. Она реализуется через систему домашних заданий,
контрольных работ, курсовых работ.
Основное содержание лекций – изложение теоретических вопросов дисциплины,
иллюстрация основных теоретических положений примерами применения, образцами решения
типовых задач.
8 стр. из 23 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»
Практические занятия посвящаются, главным образом, отработке приемов и методов
теории функций действительного переменного для решения разнообразных практических и
математических задач.
Самостоятельная работа студентов по теории функций действительного переменного,
как правило, носит практико-ориентированный характер: подготовка к практическим занятиям,
контрольным работам, выполнение индивидуальных заданий, консультации с преподавателем.
Контроль знаний проводится в виде оценки качества написания контрольных работ по
основным разделам дисциплины и сдачи экзамена.
2.4. Объем дисциплины и виды учебной работы
Таблица 1
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа студента (СРС) (всего)
Индивидуальные консультации (ИК)
Домашние задания (ДЗ)
Другие виды СРС:
Контрольные работы (КР)
СРС в период промежуточной аттестации
Промежуточная
зачет (З), зачет с оценкой (ЗО)
аттестация
экзамен (Э)
52
Семестр № 6
Часов
52
30
22
38
4
14
30
22
38
4
14
10
10
-
10
10
Э
Всего часов
9 стр. из 23 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»
II. Содержание дисциплины
1. Разделы дисциплины, виды и объем занятий
№
п/п
1
1.
Наименование раздела, темы
учебной дисциплины
2
Множества операции над
множествами.
2.
Отображения. Эквивалентные
множества. Счетные и
несчетные множества.
3.
Три теоремы о бесконечных
множествах.
4.
Множества мощности с
(мощности континуума).
5.
Мощность множества. Понятие
мощности множеств.
Сравнение мощностей. Шкала
мощностей.
6.
Открытые и замкнутые
множества. Строение
замкнутых и открытых
множеств на числовой прямой.
7.
Теорема Бореля о покрытиях.
8.
Промежутки и их свойства.
Таблица 2
Содержание раздела
в дидактических единицах (темы раздела)
3
Понятие множества. Операции над множествами и их
свойства.
Дополнения
множеств.
Принцип
двойственности операций объединения и пересечения
множеств; принцип двойственности в терминах
дополнения.
Взаимно-однозначное отображение. Эквивалентные
множества и их свойства. Теорема КантораБернштейна. Счетные множества и их свойства.
Счетность множеств целых, рациональных и
алгебраических чисел.
Существование правильной эквивалентной части у
бесконечного множества. Положительное определение
бесконечного множества и философский аспект.
Несчетность множества чисел сегмента [0, 1].
Множества мощности континуума и их свойства.
Мощность
с
множеств
вещественных,
трансцендентных и иррациональных чисел.
Понятие
мощности
множества.
Сравнение
мощностей. Континуум – гипотеза и философский
аспект дальнейшего развития и совершенствования
науки вообще, математики, – в частности.
Существование
высших
мощностей.
Шкала
мощностей.
Предельные точки, изолированные точки, внутренние
точки линейных множеств. Открытые и замкнутые
множества и их свойства. Структура открытых и
замкнутых множеств числовой прямой.
Понятие покрытия множества системой промежутков.
Теорема Бореля о возможности выделения из
бесконечной системы интервалов, покрывающих
сегмент [а, b], конечной подсистемы, покрывающей
этот сегмент.
Понятия
промежутков,
их
неналегания
и
дизъюнктности.
Элементарные
множества.
A   Ak
A   Bk
k
k
Представление множества
в виде
,
k 1
9.
Внешняя мера линейных
множеств.
Ai , B  B 
B  Ak i
k
i
где k
\ 1
Ø при i  k ; следствие
для промежутков. Длина промежутков и их свойства:
монотонность, конечная и счетная аддитивность
длины промежутка.
Внешняя мера линейных множеств. Свойства
внешней
меры:
счетная
полуаддитивность,
монотонность, внешняя мера пустого и не более чем
10 стр. из 23 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»
10.
Множества, измеримые по
Лебегу. Мера Лебега.
11.
Функции, измеримые по
Лебегу, и их свойства.
12.
Интеграл Лебега.
13.
Функции, суммируемые с
квадратом. Понятие
метрического пространства.
Ряды Фурье. Ряды Фурье в
произвольном гильбертовом
пространстве.
счетного множеств, внешняя мера промежутка.
Понятия измеримого множества (по Каратеодори) и
меры Лебега. Свойства измеримых множеств:
измеримость и мера пустого и не более чем счетного
множеств; измеримость и мера дополнения, разности,
пересечения, объединения измеримых множеств;
измеримость открытых и замкнутых множеств;
полнота и счетная аддитивность меры Лебега, ее
монотонность; непрерывность меры. Существование
неизмеримых множеств.
Понятия измеримой функции. Множества Лебега.
Критерий измеримости функции в терминах
измеримости множеств Лебега. Простейшие свойства
измеримых
функций.
Измеримость
кусочнопостоянных и эквивалентных функций. Измеримость
функции Дирихле. Арифметические свойства и
предельный переход в классе измеримых функций,
сходимость почти везде.
Определение интеграла Лебега от ограниченной
измеримой функции и его простейшие свойства.
Сравнение интегралов Римана и Лебега. Понятие
интеграла Лебега от измеримой не обязательно
ограниченной функции. Суммируемые функции и
пространство L1 , критерий суммируемости.
Понятие
функции, суммируемой с квадратом,
пространство L2 . Норма и метрика в пространстве L2 ,
сходимость по норме в L2 и его полнота.
Ортонормальные системы функций. Понятие ряда
Фурье
функции
в
ортонормальной
системе.
Неравенство
и
тождество
Бесселя,
формула
замкнутости и критерий разложимости функции в свой
ряд Фурье в L2 .
2. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Для обеспечения освоения данной дисциплины необходимы: учебные пособия,
лабораторные ЭВТ, средства мультимедиа и интерактивные доски, программное обеспечение.
11 стр. из 23 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»
III. Организация аудиторной и самостоятельной работы студентов
1. Организация аудиторной работы студентов
1.1. Краткий курс лекций
Лекция № 1.
Понятие множества. Операции над множествами и их свойства. Дополнения множеств.
Принцип двойственности операций объединения и пересечения множеств; принцип
двойственности в терминах дополнения.
Лекция № 2.
Взаимно-однозначное отображение. Эквивалентные множества и их свойства. Теорема
Кантора-Бернштейна. Счетные множества и их свойства. Счетность множеств целых,
рациональных и алгебраических чисел.
Лекция № 3.
Существование правильной эквивалентной части у бесконечного множества. Положительное
определение бесконечного множества и философский аспект.
Лекция № 4.
Несчетность множества чисел сегмента [0, 1]. Множества мощности континуума и их свойства.
Мощность с множеств вещественных, трансцендентных и иррациональных чисел.
Лекция № 5.
Понятие мощности множества. Сравнение мощностей. Континуум – гипотеза и философский
аспект дальнейшего развития и совершенствования науки вообще, математики, – в частности.
Существование высших мощностей. Шкала мощностей.
Лекция № 6.
Предельные точки, изолированные точки, внутренние точки линейных множеств. Открытые и
замкнутые множества и их свойства. Структура открытых и замкнутых множеств числовой
прямой.
Лекция № 7.
Понятие покрытия множества системой промежутков. Теорема Бореля о возможности
выделения из бесконечной системы интервалов, покрывающих сегмент [а, b], конечной
подсистемы, покрывающей этот сегмент.
Лекция № 8.
Понятия промежутков, их неналегания и дизъюнктности. Элементарные множества.
A   Ak
A   Bk
k 1
 Ai , B  B 
k
i
k
k
Представление множества
в виде
, где Bk  Ak \ i 1
Ø при i  k ;
следствие для промежутков. Длина промежутков и их свойства: монотонность, конечная и
счетная аддитивность длины промежутка.
Лекция № 9.
Внешняя мера линейных множеств. Свойства внешней меры: счетная полуаддитивность,
монотонность, внешняя мера пустого и не более чем счетного множеств, внешняя мера
промежутка.
Лекция № 10.
Понятия измеримого множества (по Каратеодори) и меры Лебега. Свойства измеримых
множеств: измеримость и мера пустого и не более чем счетного множеств; измеримость и мера
дополнения, разности, пересечения, объединения измеримых множеств; измеримость открытых
и замкнутых множеств; полнота и счетная аддитивность меры Лебега, ее монотонность;
непрерывность меры. Существование неизмеримых множеств.
Лекция № 11.
Понятия измеримой функции. Множества Лебега. Критерий измеримости функции в терминах
измеримости множеств Лебега. Простейшие свойства измеримых функций. Измеримость
кусочно-постоянных и эквивалентных функций.
12 стр. из 23 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»
Лекция № 12.
Измеримость функции Дирихле. Арифметические свойства и предельный переход в классе
измеримых функций, сходимость почти везде.
Лекция № 13
Определение интеграла Лебега от ограниченной измеримой функции и его простейшие
свойства. Сравнение интегралов Римана и Лебега. Понятие интеграла Лебега от измеримой не
обязательно ограниченной функции. Суммируемые функции и пространство L1 , критерий
суммируемости.
Лекция № 14.
Понятие функции, суммируемой с квадратом, пространство L2 . Норма и метрика в
пространстве L2 , сходимость по норме в L2 и его полнота. Ортонормальные системы функций.
Лекция № 15.
Понятие ряда Фурье функции в ортонормальной системе. Неравенство и тождество Бесселя,
формула замкнутости и критерий разложимости функции в свой ряд Фурье в L2 .
1.2. Планы практических занятий и методические рекомендации к ним
План практического занятия № 1-2
Тема: «СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ НАД МНОЖЕСТВАМИ»
1.
К занятию необходимо подготовить теоретический материал:

лекции : § 1 гл. 1;

или:§§1,2гл.1из[1],с.5-15.
2.
Знать с доказательством:

свойства операций над множествами, с доказательством.
3.
Знать: определения и подготовиться к ответу на вопросы

понятия множества, включения, операций над множествами;

как доказать равенство А = В?

свойства операций над множествами;

определение дополнения множеств;

доказать принцип двойственности операций объединения и пересечения;

доказать, используя строго логическую схему доказательств, что (А/В)  В=А <=> В  А.
4.
Предполагается решить примеры и задачи:

на занятии: № 4(а, б, в, г) из [2].
№ 2436 из [3].

дома: №4(д,е), №16 (а) из [2]
№ 2437 из [3].
План практического занятия № 3
Тема: «Отображения. Счетные множества и их свойства»
1. К занятию необходимо подготовить теоретический материал:

лекции : §2, § 3 гл.1;

или: §3, §4 гл.1 из [1], с. 15-34.
Необходимо четко формулировать все свойства счетных множеств в той последовательности,
как они изложены в лекциях или в § 4 из [1].
2. Знать с доказательством:

теоремы 1 - 8 из § 3 лекций;

теорема об эквивалентных множествах из § 2 (законспектируйте доказательство теоремы
на стр. 17 - 18 из [1]).
3. Знать свойства эквивалентных и свойства счетных множеств и подготовиться к ответу на
вопросы:
13 стр. из 23 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»





4.

5.

понятие взаимно-однозначного соответствия и эквивалентности двух множеств; свойства
эквивалентных множеств;
является ли взаимно однозначное соответствие функцией? Их способы задания;
понятие счетности множества, свойства счетных множеств;
может ли конечное множество быть счетным?
установите взаимно однозначное соответствие между интервалом (а, в) и интервалом

( , ) (см.[1]).
Предполагается решить примеры и задачи на занятии:
№№ 28,29,35,40 из [2].
Решить примеры к занятию № 3:
№№ 32,36,41,42 из [2].
План практического занятия № 4-5
Тема: «ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ (продолжение). МНОЖЕСТВА МОЩНОСТИ
КОНТИНУУМА»
1.
Необходимо изучить теоретический материал:

лекции : §4, §5 гл.1;

или: § 5 гл. 1 «Общая теория множеств» из [1].
2.
Знать с доказательством:

теоремы 1 и 2 из § 4 лекций;

все теоремы из § 5 лекций.
3.
Знать определения (понятия), свойства и уметь отвечать на вопросы:

свойства счетных множеств (повторить);

теоремы о бесконечных множествах из § 4;

определение множества мощности континуума, привести примеры;

можно ли числа отрезка [0,1] записать в виде последовательности?

свойства множеств мощности континуума;

понятие эквивалентной правильной части множества;

положительное определение бесконечности, связь с философским понятием
бесконечности.
4.
На занятии предполагается решить примеры:

№№2457 из [3];

№ 48 из [2] и др.
5.
Домашнее задание:

№№49, 50, 55 из[2].
План практического занятия № 6
Тема : «МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВ. СРАВНЕНИЕ МОЩНОСТЕЙ»
1.
Необходимо выучить теоретический материал;

лекции: § 6 гл. 1;

или : §5, §6 гл. 1 «Общая теория множеств» из [1].
2.
Знать с доказательством:
n  a, а  c,


теорему о существовании высших мощностей.
3.
Знать определения (понятия), свойства и уметь отвечать на вопросы:

свойства счетных множеств (повторить)

свойства множеств мощности с (повторить);

понятие мощности;

определение о сравнении мощностей;

континуум - гипотеза и результаты ее решения; связь с философией;
14 стр. из 23 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»

существуют ли мощности большие, чем с? Шкала мощностей.
4.
На занятии предполагается решить примеры:

№№ 62,63, 89,109 из [2],

№№2483,2485 из [3].
5. Решить примеры к занятию № 5:

№№2482,2484 из [3];

№№ 61, 90, 92 из [2].
План практического занятия № 7-8
Тема: «ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА»
1.
Необходимо изучить теоретический материал:

лекции: гл.2;

или: гл. 2 «Точечные множества» §1 - §4, из [1].
2.
Знать с доказательством:

теорему о структуре открытых множеств;

теорему о структуре замкнутых множеств.
3.
Знать определения, понятия, свойства и уметь отвечать на вопросы:

определения предельной, изолированной точек; замкнутого множества;

определения внутренней точки и открытого множества;

свойства открытых и замкнутых множеств;

понятие наименьшего сегмента, содержащего в себе замкнутое множество;

понятие составляющего интервала открытого множества и свойства составляющих
интервалов;

теоремы о структуре открытых, замкнутых и совершенных множеств.
4.
На занятии предполагается решить задачи на доказательство:

открытости и замкнутости отдельных множеств числовой прямой.
5.
Задания на дом к занятию № 6:

Показать, что промежуток [а, в) не является ни открытым, ни замкнутым множеством.

Пусть R[a, в] - множество рациональных чисел отрезка [а, в]. Показать, что R'[a,в] = [a,в].
Является ли R[a, в] открытым? Замкнутым?
План практического занятия № 9
Тема: «ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА»
Необходимо знать с доказательством: весь материал об открытых и замкнутых множествах:

лекции : гл. 2;

или: гл. 2 «Точечные множества», §1 - §4 из [1].
На занятии и дома предполагается решить задачи:

№№ 2497,2499,2500,2512,2513 из [3], и др.
План практического занятия № 10
Тема: «ВНЕШНЯЯМЕРА. МЕРА ЛЕБЕГА И ЕЕ СВОЙСТВА»
1.
Необходимо изучить теоретический материал:

лекции: гл. 3 «Мера линейных множеств», §4, §5;

или: §4, §5 гл. 1 из [4].
2.
Знать с доказательством:

свойства внешней меры вытекающие из ее определения;

теорему 1 и ее следствия, теорему 2 из § 4 лекций;

теоремы 1, 2, 3,4 и лемму 1 из §5 лекций.
3.
Знать все определения, понятия, свойства и уметь отвечать на вопросы:

определение точной нижней границы числового множества на «языке  »;

определение внешней меры;
15 стр. из 23 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»





сформулировать свойства внешней меры;
определение измеримого множества, меры Лебега;
всякое ли множество Е имеет внешнюю меру, меру Лебега?
сформулируйте свойства меры Лебега.
Всем студентам необходимо быть подготовленными к доказательству теорем у доски.
План практического занятия № 11
Тема: «ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ»
1.
Необходимо изучить теоретический материал;

Лекции: гл. 4 «Измеримые функции»

Или: гл.2 из [4].
2.
Знать с доказательством:

Теоремы 1, 7, 8 из §1 лекций.
3.
Знать все определения, понятия, свойства и уметь отвечать на вопросы:

определения множеств вида E(f>a), E(f<a), E(f  a), E(f  a), E(f=a);

определение множеств Лебега;

определение измеримой функции;

сформулировать свойства измеримых функций (теоремы 1 - 8 из § 1);

сформулировать арифметические свойства измеримых функций;

если f(x) измерима на Е, то будет ли измеримой на Е функция f2(х)?

теорема об измеримости предельной функции;

понятие «почти везде»;

что значит выражение: «f(x) почти везде непрерывна на Е»;

сформулируйте свойства эквивалентных функций.

Всем студентам подготовиться к доказательству теорем 1, 7, 8 из §1 лекций у доски.
2. Организация самостоятельной работы студентов
2.1. Формы, виды контроля и сроки выполнения заданий
Таблица 3
Форма
оценочного
средства
Домашние
задания
Индивидуальные
консультации
Подготовка к
коллоквиуму
Услов
обозние
ДЗ
ИК
КЛ
Номер недели
1
2
3
4
5
6
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
7
8
9
+
+
+
10
11
12
+
+
13
14
15
16
+
+
+
3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
3.1. Основная литература
Основная:
1. Гусельников, Н.С. Введение в теорию функций действительного переменного [Текст]. Ч.1.
Множества: учеб.пособие для физ.-мат. фак.пед. вузов/ Н.С. Гусельников. - Ишим: Изд-во ИГПИ
им. П.П. Ершова, 2010. - 156 с. – 21 экз.
2. Гусельников, Н.С. Введение в теорию функций действительного переменного [Текст]. Ч.2.
Мера и интеграл Лебега: учеб.пособие для физ.-мат. фак.пед. вузов/ Н.С. Гусельников. - Ишим:
Изд-во ИГПИ им. П.П. Ершова, 2011. - 236 с. – 50 экз.
3. Натансон, И.П. Теория функций вещественной переменной [Текст]: учеб. пособие для вузов /
И.П.Натансон. – Изд.4-е, стер. – М.: Лидер-М, 2008. – 480 с. – 50 экз.
21 экз.
50 экз.
50 экз.
3.2. Дополнительная литература
Дополнительная:
16 стр. из 23 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»
1. Далингер, В.А. Избранные главы математического анализа в задачах [Текст] : учеб.пособие / В.
А. Далингер ; С.Д.Симонженков. - Омск : Амфора, 2010. - 126 с.
2. Липчинский, А.Г. Сборник задач по математическому анализу [Текст] : введение в анализ / А. Г.
Липчинский. - Ишим : Изд-во ИГПИ им. П.П. Ершова, 2009. - 196 с.
3. Математический анализ [Текст] : учеб.пособие для бакалавров / А.М. Кытманов [и др.] ; под
общ. ред. А.М. Кытманова. - М. : Юрайт, 2012. - 607 с.
4 экз.
17 экз.
1 экз.
3.3. Электронные ресурсы:
1. Электронно-библиотечная система elibrary: http://elibrary.ru
2. Универсальная справочно-информационная полнотекстовая база данных “East View”
ООО «ИВИС»: http://www.eastview.com/
3. Электронный справочник «Информио»: http://www.informio.ru/
4. Электронно-библиотечная система "Университетская библиотека онлайн":
http://www.biblioclub.ru
4. Методические рекомендации для преподавателя
Дисциплина «Теория функции действительного переменного» (ТФДП) представляет
собою логически стройное и гармонически связное знание, и знакомство с основными
вопросами этой теории, бесспорно, является необходимым элементом математического
образования.
Дисциплина «Теория функций действительного переменного» является одной из
базовых дисциплин в образовательной программе подготовки учителя математики. Помимо ее
самостоятельного значения, она является основой для изучения таких дисциплин, как
«Математический
анализ»,
«Теория
функций
комплексного
переменного»,
«Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными».
Содержание курса может быть использовано студентами (будущими учителями
математики) при проведении занятий в классах с углубленным изучением математики.
На практических занятиях по курсу теории функций действительного переменного
должны быть выработаны соответствующие навыки и умения, связанные с решением примеров
и задач.
5. Методические рекомендации для студентов
Студенту следует помнить, что дисциплина «Теория функции действительного
переменного» предусматривает обязательное посещение студентом лекций и практических
занятий. Она реализуется через систему аудиторных и домашних работ, входных, текущих и
итоговых контрольных работ, систему курсовых работ. Самостоятельная работа студентов
заключается в выполнении домашних заданий с целью подготовки к практическим занятиям
(см. планы практических занятий), выполнение курсовых работ и вариантов контрольных
работ. Результаты самостоятельной работы оформляются в виде курсовых работ. Контроль над
самостоятельной работой студентов и проверка их знаний проводится в виде контрольных
работ, экзамена.
IV. Материалы входного, текущего и итогового контроля
1.
2.
3.
4.
5.
1. Вопросы к коллоквиуму
Множества, операции над множествами и их свойства (свойство двойственности
операций объединения и пересечения множеств доказать). Понятие дополнения
множества.
Эквивалентные множества, свойства эквивалентных множеств, (без доказательства).
Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Критерий счетности множества.
Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Доказать, что из любого
бесконечного множества можно выделить счетное подмножество.
Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Доказать, что бесконечное
подмножество счетного множества счетно, следствие из этой теоремы.
17 стр. из 23 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
Счетные множества и их свойства (обзор вопроса) Доказать, что объединение
конечного множества и счетного множества счетно.
Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Доказать, что объединение
конечного числа счетных множеств счетно.
Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Доказать, что объединение счетного
множества конечных множеств без общих элементов счетно.
Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Доказать, что объединение счетного
множества счетных множеств счетно.
Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Счетность множества,
определяемого n «значками», каждый из которых пробегает счетное множество
значений.
Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Счетность множества рациональных
чисел.
Счетные множества и из свойства (обзор вопроса). Счетность множества
алгебраических чисел.
Доказать, что если к бесконечному множеству добавить конечное или счетное, то это не
изменит его мощности.
Доказать, что если из бесконечного несчетного множества удалить конечное или
счетное, то это не изменит его мощности.
Доказать, что любое бесконечное множество содержит эквивалентную правильную
часть. Положительное определение бесконечности. Несчетность сегмента [0,1]
(доказать).
Множества мощности континуума, их свойства (обзор вопроса). Доказать что
объединение конечного числа множеств мощности с есть множество мощности с.
Множества мощности континуума, их свойства (обзор вопроса). Доказать, что
объединение счетного множества множеств мощности С есть множество мощности с.
Множества мощности континуума, их свойства (обзор вопроса) Доказать, что любой
промежуток <а, в> имеет мощность с.
Множества мощности континуума, их свойства (обзор вопроса) Доказать, что
множество вещественных чисел имеет мощность с.
Множества мощности континуума, их свойства (обзор вопроса). Доказать, что
множество иррациональных и множество трансцендентных чисел имеют мощность с.
Понятие мощности, сравнение мощностей. Показать, что n<а и а<с.
Множества мощности континуума, их свойства (обзор вопроса). Континуум –гипотеза.
Множества мощности континуума, их свойства (обзор вопроса). Доказать теорему о
мощности всех подмножеств множества. Существование высших мощностей.
2. Вопросы к экзамену
Понятие покрытия множества системой интервалов. Доказать, теорему Бореля о
возможности выбора из бесконечной системы интервалов, покрывающих сегмент,
конечной подсистемы, также покрывающей этот сегмент.
2. Промежуток и его основные свойства (обзор вопроса). Доказать, что разность  \
1.
n
 k
представима в виде объединения конечного числа дизъюнктных промежутков.
Промежуток и его основные свойства (обзор вопроса). Доказать, что если
k 1
3.
k 1
4.
A
 Ak
 Bk
A
B  Ak i 1 i
А= k
, где множеств k не более чем счетно, то А = k
, где k
\
k  2 , В1=А1, при этом Вk дизъюнктны. Следствие о промежутках.
5.
Промежуток и его основные свойства (обзор вопроса). Доказать, что пересечение
промежутка с элементарным множеством есть также элементарное множество.
18 стр. из 23 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»
6.
Длина промежутка и ее свойства (обзор вопроса). Доказать свойство конечной
аддитивности длины промежутка.
n
7.
6.
Длина промежутка и ее свойства (обзор вопроса). Доказать, что если
n
 k   i  Ø при i  k , то

k 1
k

k

k 1
,
 
; следствия.
n
8.
7.
Длина промежутка и ее свойства (обзор вопроса). Доказать, что если
  k
k 1
,
n
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
   k
k 1
то
.
Длина промежутка и ее свойства (обзор вопроса). Доказать свойство счетной
аддитивности длины промежутка. Свойство счетной полуаддитивности длины
промежутка.
Определение внешней меры. Свойства внешней меры, следующие непосредственно из
ее определения (обосновать, опираясь на определение точной нижней границы
числового множества).
Доказать счетную полуаддитивность внешней меры. Монотонность внешней меры.
Доказать, что внешняя мера любого не более чем счетного множества равна нулю.
Доказать, что внешняя мера любого промежутка равна его длине.
Понятия измеримого множества, меры Лебега.
Доказать, что множества Е и СЕ одновременно измеримы или нет.
Доказать, что если * Е = 0, то Е измеримо и Е = 0; следствия (включая полноту меры m
Лебега).
Доказать, что любой промежуток измерим и мера равна его длине.
Доказать, что объединение конечного числа измеримых множеств есть множество
измеримое.
Доказать, что пересечение конечного числа и разность измеримых множеств есть
множества измеримые.
Доказать свойство конечной аддитивности меры Лебега; следствия (включая
монотонность).
Доказать свойство счетной аддитивности меры Лебега.
Доказать, что открытые и замкнутые множества измеримы, мера открытого множества.
Доказать, что пересечение счетного количества измеримых множеств есть множество
измеримое. Свойства непрерывности меры Лебега (без доказательства).
Определение измеримой функции. Теорема об эквивалентности понятий измеримости
функции и множеств Лебега.
Простейшие свойства измеримых функций (обзор вопроса), доказать одно из них.
Простейшие свойства измеримых функций (обзор вопроса). Измеримость кусочнопостоянной функции (доказать). Измеримость функции Дирихле.
Доказать измеримость непрерывной функции, заданной на замкнутом множестве.
Соотношение между классами непрерывных и измеримых функций.
Понятие почти везде (почти всюду); понятие эквивалентности функций. Теорема об
измеримости эквивалентных функций.
Арифметические свойства и предельный переход в классе измеримых функций (обзор
вопроса).
Понятие интеграла Лебега от ограниченной измеримой функции. Свойства множеств
еk= Е(уk  f < yk+1), интегральных сумм Лебега.
Теорема об интегрируемости по Лебегу (о суммируемости) ограниченной измеримой
функции (доказать).
19 стр. из 23 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»
32. Свойства интеграла Лебега от ограниченной измеримой функции (обзор вопроса).
Доказать теорему о среднем значении интеграла Лебега; следствия из этой теоремы.
33. Доказать теорему о счетной аддитивности интеграла Лебега от ограниченной
измеримой функции.
34. Доказать теорему о равенстве интегралов Лебега от ограниченных измеримых
эквивалентных функций; следствия, интеграл от функции Дирихле.
0
0
E
E
35. Доказать, что если L  f x dx   f x dx  0 , то f(x) ~ 0 на Е.
36. Свойства интеграла Лебега от ограниченной измеримой функции (обзор вопроса).
Доказать теорему о почленном интегрировании неравенства.
37. Свойства интеграла Лебега от ограниченной измеримой функции (обзор вопроса).
Доказать теорему об интегрировании суммы двух функций; следствие.
38. Свойства интеграла Лебега от ограниченной измеримой функции (обзор вопроса).
Доказать теорему об оценке интеграла Лебега. Предельный переход под знаком
интеграла (без доказательства)
39. Сравнение интегралов Римана и Лебега.
40. Понятие срезки и интеграла Лебега от неотрицательной измеримой функции;
суммируемые функции. Свойства интеграла Лебега от неотрицательной измеримой
функции; доказать одно из них.
41. Понятие функций f  и f  ; понятие интеграла Лебега от произвольной измеримой
функции. Суммируемые функции.
42. Понятие интеграла Лебега от произвольной измеримой функции. Критерий
суммируемости; свойства интеграла Лебега (доказать одно из них).
43. Понятие функции, суммируемой с квадратом, класса L2 , нормы в L2, нулевого элемента
в L2, сходимости в L2. Понятие ряда Фурье, сходимости ряда Фурье функции f(x) к
самой функции; критерий сходимости (разложимости) и формула замкнутости.
3. Экзаменационные билеты по курсу "Теория функций действительного
переменного"
Билет № 1
1. Понятие покрытия
множества системой интервалов. Доказать, теорему Бореля о
возможности выбора из бесконечной системы интервалов, покрывающих сегмент, конечной
подсистемы, также покрывающей этот сегмент.
2 Доказать, что пересечение счетного количества измеримых множеств есть множество
измеримое. Свойства непрерывности меры Лебега (без доказательства).
Билет № 2
1. Промежуток и его основные свойства (обзор вопроса). Доказать, что разность
\
n
 k
представима в виде объединения конечного числа дизъюнктных промежутков
k 1
2. Простейшие свойства измеримых функций (обзор вопроса), доказать одно из них.
Билет № 3
20 стр. из 23 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»
1. Промежуток и его основные свойства (обзор вопроса). Доказать, что если А =
A
k
, где
k
k 1
множеств Ak не более чем счетно, то А =
k  2 , В1=Е1, при
 Bk , где Bk  Ek \  E i
k
i 1
этом Вk дизъюнктны. Следствие о промежутках.
2. Простейшие свойства измеримых функций (обзор вопроса). Измеримость кусочно постоянной функции (доказать). Измеримость функции Дирихле.
Билет № 4
1. Промежуток и его основные свойства (обзор вопроса). Доказать, что пересечение
промежутка с элементарным множеством есть также элементарное множество.
2. Определение измеримой функции. Теорема об эквивалентности понятий измеримости
функции и множеств Лебега.
Билет № 5
1. Длина промежутка и ее свойства (обзор вопроса). Доказать свойство конечной аддитивности
длины промежутка.
2. Доказать измеримость непрерывной функции, заданной на замкнутом множестве
Соотношение между классами непрерывных и измеримых функций.
Билет № 6
n
1. Длина промежутка и ее свойства (обзор вопроса). Доказать, что если

k
 ,
k 1
 k   i  Ø при i  k , то
n

k 1
k
  ; следствия.
2. Понятие почти везде (почти всюду); понятие эквивалентности функций. Теорема об
измеримости эквивалентных функций.
Билет № 7
n
1. Длина промежутка и ее свойства (обзор вопроса). Доказать, что если     k , то
k 1
n
   k .
k 1
2. Арифметические свойства и предельный переход в классе измеримых функций (обзор
вопроса).
Билет № 8
1. Длина промежутка и ее свойства (обзор вопроса). Доказать свойство счетной аддитивности
длины промежутка. Свойство счетной полуаддитивности длины промежутка.
2. Понятие интеграла Лебега от ограниченной измеримой функции. Свойства множеств
еk = Е(уk  f < yk+l ), интегральных сумм Лебега.
Билет № 9
1. Определение внешней меры. Свойства внешней меры, следующие непосредственно из ее
определения (обосновать, опираясь на определение точной нижней границы числового
множества).
2. Теорема об интегрируемости по Лебегу (о суммируемости) ограниченной измеримой
функции (доказать).
Билет № 10
21 стр. из 23 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»
1. Доказать счетную полуаддитивность внешней меры. Монотонность внешней меры.
2. Свойства интеграла Лебега от ограниченной измеримой функции (обзор вопроса).
Доказать теорему о среднем значении интеграла Лебега; следствия из этой теоремы.
Билет № 11
1. Доказать, что внешняя мера любого не более чем счетного множества равна нулю.
2. Доказать теорему о счетной аддитивности интеграла Лебега от ограниченной
измеримой функции.
Билет № 12
1. Доказать, что внешняя мера любого промежутка равна его длине.
2. Доказать теорему о равенстве интеграла Лебега от ограниченной
эквивалентной функции; следствия, интеграл от функции Дирихле.
измеримой и
Билет № 13
1. Понятия измеримого множества, меры Лебега.
2. Доказать, что если
L f xdx  0
(f(x)  0), то f(x) ~ 0 на Е.
E
Билет № 14
1. Доказать, что множества Е и СЕ одновременно измеримы или нет.
2. Свойства интеграла Лебега от ограниченной измеримой функции (обзор вопроса).
Доказать теорему о почленном интегрировании неравенства.
Билет № 15
1. Доказать, что если т * Е = 0, то Е измеримо и тЕ = 0; следствия (включая полноту меры
Лебега).
2. Свойства интеграла Лебега от ограниченной измеримой функции (обзор вопро са).
Доказать теорему об интегрировании суммы двух функций; следствие.
Билет № 16
1. Доказать, что любой промежуток измерим и мера равна его длине.
2. Свойства интеграла Лебега от ограниченной измеримой функции (обзор вопроса).
Доказать теорему об оценке интеграла Лебега. Предельный переход под знаком
интеграла (без доказательства)
Билет № 17
1. Доказать, что объединение конечного числа измеримых множеств есть множество
измеримое.
2. Сравнение интегралов Римана и Лебега.
Билет № 18
1. Доказать, что пересечение конечного числа и разность измеримых множеств есть
множества измеримые.
2. Понятие срезки и интеграла Лебега от неотрицательной измеримой функции;
суммируемые функции. Свойства интеграла Лебега от неотрицательной измеримой
функции; доказать одно из них.
Билет № 19
1. Доказать свойство конечной аддитивности меры Лебега; следствия (включая
монотонность).
2. Понятие функций f  и f  ; понятие интеграла Лебега от любой измеримой функции.
Суммируемые функции.
22 стр. из 23 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»
Билет № 20
1. Доказать свойство счетной аддитивности меры Лебега
2. Понятие интеграла Лебега от произвольной измеримой функции.
суммируемости; свойства интеграла Лебега (доказать одно из них).
Критерий
Билет № 21
1. Доказать, что открытые и замкнутые множества измеримы, мера открытого множества.
2. Понятие функции, суммируемой с квадратом, класса L 2 , нормы в L 2 , нулевого
элемента в L 2 , сходимости в L 2 . Понятие ряда Фурье, сходимости ряда Фурье функции
f(x) к самой функции; критерий сходимости (разложимости) и формула замкнутости.
4. Тематика рефератов
1. Промежутки и их свойства. Длина промежутка и ее свойства.
2. Операции над множествами. Последовательность множеств и их пределы.
3. теорема Бореля о покрытиях и её применения.
4. Канторовы множества и множества им подобные (дисконтинуумы).
5. Инвариантность меры Лебега относительно движения.
6. Классы измеримых множеств и существование неизмеримых множеств.
7. Свойство отделимости замкнутых множеств.
5. Тематика выпускных квалификационных работ (ВКР)
1. Сходимость измеримых функций почти всюду, по мере и классические теоремы
Д.Ф.Егорова, А.Лебега, Ф.Рисса и Н.Лузина.
2. Суммируемые функции и полнота пространства L.
3. Критерии измеримости множеств по Лебегу.
4. Функции, суммируемые с квадратом. Сходимость в среднем и полнота
пространства L2.
5. Ряды Фурье в L2. Изометричность пространств L2 и l2.
23 стр. из 23 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»
V. Терминологический минимум
1. Основные термины и понятия курса
–Операции объединения, пересечения и разности множеств.
Операции объединения, пересечения и разности
равенствами
множеств
определяются
def
A  B  {x : ( x  A)  ( x  B)},
def
A  B  {x : ( x  A)  ( x  B)},
def
A \ B  {x : ( x  A)  ( x  B)},
эти операции распространяются на любое количество множеств.
–Пространство. Дополнение множества.
Множество Х, в котором содержатся все рассматриваемые множества, называют
пространством относительно своих подмножеств, или просто – пространством.
Разность X\A ( A  X ) называют дополнением множества А (до пространства Х) и
обозначают символом СА:
def
CA  X \ A
–Принцип двойственности операций объединения и пересечения.
Принцип двойственности операций объединения и пересечения множеств: если Х
– какое-либо множество, а {Aα},   J , - конечная или нет система множеств, то
X \  A   ( X \ A ),
 J
X \  A 
 J
 J
 ( X \ A ).
 J
Если Х – пространство, то из этих равенств получаем, что
C (  A )   CA ,
 J
C (  A ) 
 J
 J
CA .
 J
–Взаимно-однозначное соответствие.
Пусть А={a}, B={b}. Правило φ, которое каждому элементу а из множества А
ставит в соответствие один и только один элемент b из множества В оказывается
соотнесенным одному и только одному, соответствующему ему, элементу а из
множества А называется взаимно-однозначным соответствием между

b.
множествами А и В: a 
–Эквивалентные множества.
Множества А и В называются эквивалентными, если между ними можно
установить взаимно-однозначное соответствие. В этом случае пишут А~B.
–Счетные множества.
Если множество А эквивалентно множеству натуральных чисел N={1,2,…,n,…}, то
говорят, что множество А – счетно. В этом случае говорят также, что множество А
имеет мощность а.
–Множества мощности континуума.
Если множество А эквивалентно отрезку [0,1]
A~[0,1],
То говорят, что множество А имеет мощность континуума или, что то же, мощность с.
–Мощность множества.
Разобьем все множества на классы так, что два множества попадают в один класс
тогда и только тогда, когда они эквивалентны. Каждому такому классу множеств
24 стр. из 23 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»
соотнесем некоторый символ, который будем называть мощностью каждого из
множеств этого класса.
Мощность множества А обозначают символом A .
–Шкала мощностей.
0<1<2<…<n<…<a<c… .
–Континуум-гипотеза.
Континуум-гипотеза – это гипотеза Г.Кантора о том, что мощностей,
промежуточных между а и с нет. Решена К.Гёделем (1938г.) и П.Коэном(1966г.).
–Предельная точка и замкнутые множества.
Множество F называется замкнутым, если оно содержит в себе все свои
предельные точки. Равносильное определение: множество F называется
замкнутым, если предел любой сходящейся последовательности точек из F
принадлежит F. Если F /  F , то F называют совершенным.
–Внутренняя точка и открытые множества.
Множество G называют открытым, если все его точки – внутренние точки этого
множества.
–Структура открытых множеств.
Любое непустое открытое множество есть объединение всех его составляющих
интервалов. Количество этих интервалов не более, чем счетно и все они попарно
дизъюнкты.
–Структура замкнутых множеств.
Любое непустое замкнутое множество F есть либо вся числовая прямая, либо
получается путем удаления из числовой прямой не более чем счетно количества
попарно не пересекающихся интервалов, действительные концы которых
принадлежат множеству F. Все эти удаляемые интервалы являются
дополнительными интервалами F.
–Структура совершенных множеств.
Любое непустое совершенное множество Р есть либо вся числовая прямая, либо
получается путем удаления из числовой прямой конечного числа или счетного
количества попарно не пересекающихся интервалов, не имеющих общих концов
друг с другом. Все эти удаляемые интервалы являются дополнительными
интервалами Р.
–Теорема Бореля о покрытиях.
Если отрезок [a,b] покрыт бесконечной системой интервалов { },  J , то из
этой системы можно выбрать конечное число интервалов { k }, k  1,2,..., n ,
которые покрывают этот отрезок [a,b]:
n
[ a, b]     k .
k 1
–Внешняя мера множеств.
Внешняя мера линейного множества Е определяется равенством
 * ( Å )  inf{   k : E    k },
k
k
где точная нижняя граница берется по всевозможным покрытиям множества Е
конечной или счетной совокупности конечных промежутков
 k  ak , bk  .
–Измеримое (по Лебегу) множество. Мера Лебега.
Множество Е называется измеримым по Лебегу, если для любого множества А
выполняется равенство
 * ( À)   * ( À \ Å)   * ( À Å).
25 стр. из 23 стр.
Рабочая программа дисциплины «Теория функций действительного переменного»
Внешняя мера измеримого множества Е называется мерой (Лебега) этого
множества Е и обозначается символом μ(Е): μ(Е)= μ*(Е).
–Монотонность меры Лебега.
Если множества А и В измеримы и À  Â , то  ( À)   ( Â).
–Свойство полноты меры Лебега.
Если μ(Е)=0, где Е измеримо, то любое Â  Å измеримо и μ(В)=0.
–Счетная аддитивность меры Лебега.
Если множества Еk измеримы, попарно дизъюнкты и

Å   Ek ,
k 1
то множество Е измеримо и

 ( E )    ( Ek ).
k 1
–Непрерывность меры Лебега.

Если E1  E2  ...  En  ... и множества Еn измеримы, то E   En измеримо и
n 1
 ( E )  lim  ( En ).
n 
–Измеримая функция.
Функция f(x) называется измеримой на множестве Е, если при любом
вещественном а измеримо множество E(f>a), где
def
E ( f  a)  {x : ( x  E )  ( f ( x)  a)}.
–Интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции.
Интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции f(x) определяется
равенством
def
( L)  f ( x)dx  lim s  lim S ,
 0
E
 0
где s и S- нижняя и верхняя интегральные суммы Лебега, определяемые
равенствами
n 1
n 1
k 0
k 0
s   yk   (ek ) , S   yk 1   (ek ) ;   max { yk 1  yk } .
k
–Суммируемая функция.
Функция f(x) называется суммируемой на Е, если
( L)  f ( x)dx  ,
E
где f(x) измерима на Е. В этом случае пишут: f ( x)  L( E ) , или просто, - f ( x)  L .
–Функция, суммируемая с квадратом.
Измеримая функция называется функцией, суммируемой с квадратом, если
( L) f 2 ( x)dx   .
E
В этом случае пишут: f ( x)  L2 .
–Норма элементов в L2
Норма элементов (т.е. функций) из L2 определяется равенством
f  ( L)  f 2 ( x)dx .
E
26 стр. из 23 стр.