Zadachi 1

Задача 1.
Для дифференциальной задачи
d 2u
  f ( x) , x  [0,1] , u (0)  a , u (1)  b , u  C ( 4 )
dx 2
на трехточечном шаблоне с переменными шагами сетки построить
разностные схемы первого и второго порядка аппроксимации.
Решение: Запишем разностную схему на трехточечном шаблоне с
переменным шагом в виде
1u( x  h1 )   2 u( x)   3u( x  h2 )   f ( x)
где h1 , h2 – шаги разностной сетки.
Разложим левую часть схемы в ряд Малорена по шагам h1 , h2 с удержанием
членов разложения третьего порядка. Она будет иметь вид

2
2


2
2  dx
2

3
3


6
6  dx
3
1   2   3 u( x)   1h1   3 h2  du( x)  1 h1   3 h2  d u(2x)    1 h1   3 h2  d u(3x) 
dx
  f ( x)
du ( x )
были равны ную, потому
dx
d 2 u ( x)
что их нет в исходной задаче. Множитель при
должен быть равен
dx 2
Потребуем, чтобы коэффициенты при u (x) ,
единице. Таким образом, получим систему уравнений относительно
коэффициентов схемы:
 1   2   3   0
  1h1   3 h2   0
 h12
h2 
  1
  3 2   1
2
2 

Решение системы имеет следующий вид:
1 
2
2
2
, 2  
, 3 
h2 (h1  h2 )
h1 (h1  h2 )
h1 h2
Итоговая разностная схема имеет вид
2
2
2
u ( x  h1 ) 
u ( x) 
u ( x  h2 )   f ( x)
h1 (h1  h2 )
h1 h2
h2 (h1  h2 )
Подставляя полученное решение в разложение, будем иметь
d 2u
d 3u



h

h
  f ( x)
1
2
dx 2
dx 3
Для множителя при третьей производной справедлива оценка
h1  h2   max( h1 , h2 )    O( )
Из данного выражения видно, что полученная разностная схема
обладает первым порядком аппроксимации.
Общей тенденцией в построении разностных схем является то, что при
переходе
к
неравномерной
сетке
порядок
локальной
погрешности
аппроксимации снижается. Показано, что при аппроксимации второй
производной на обычном трехточечном шаблоне имеет место лишь первый
порядок аппроксимации [1].
Точность аппроксимации наиболее просто можно достичь на основе
использования расширенных шаблонов или на более узком классе функций (на
решениях дифференциальной задачи). При этом одним из наиболее
конструктивных подходов состоит в том, что аппроксимации исходного
дифференциального уравнения может происходить не в узлах расчетной
сетки, а в некоторых промежуточных точках расчетной области [1,2].
Составим
схему
с
учетом
возможности
аппроксимации
дифференциальной задачи на неравномерном трехточечном шаблоне с учетом
промежуточных узлов.
1u( x  h1 )   2 u( x  h1 )   3u( x)   4 u( x  h2 )   5u( x  h2 )   f ( x)
где  – некоторый параметр, который можно варьировать
Как и в предыдущем случае, разложим аппроксимацию в ряд Маклорена
по параметрам h1 , h2 с удержанием членов разложения третьего порядка. Это
разложение примет вид
du ( x)    1   2 2  2   5   4 2  2  d 2 u ( x)
h2
h1  
u ( x)  i  h1  1   2   h2  5   4 
 
  dx 2 

dx
2
2
i 1


 

5
     2 3  3   5   4 3  2  d 3 u ( x)
h2 
h1  
    1
  dx 3   f ( x)

6
6



 

Из
полученного
соотношения
составим
систему
уравнений
относительно коэффициентов при производных, требуя, чтобы они в точности
соответствовали параметрам дифференциальной задачи
5
  0
i 1
i
h1  1   2   h2  5   4   0
   1   2 2  2   5   4 2  2 

h2   1
h1  
 

2
2


 

   1   2 3  3   5   4  3  2 
 
h2   0
h1  
 

6
6



 

Решение полученной системы имеет вид
1 
2 
3 
h1  h2 h22 4 2  3   2h1  2h2
h1  h2   1h12
 4 h22 3 h2  2 h1  h22   h1   2h1  2h2
h12 2 h1  h1  h2  h2 
 4 h22 h1  h2 3  h12 h2  h23 2     4 h12 h2  h22 h1   2h1   2h2  h1 
h12 h2 
2 4 h2 h12    1h1 h22 4 2  2  h23 4 3
5  
h2 h1  h2 h1  h2 
Для оценки порядка аппроксимации подставим решение системы
разложение в разностную схему и переразложим ее в ряд Тейлора с
удержанием членов четвертого порядка. Такой порядок разложения
обусловлен тому, что по условию задачи u  C ( 4 ) . Будем иметь следующее
соотношение
 d 2 u ( x)

d 4 u ( x) 3
3 4
4
4 3




h
h




h
h

 f ( x)   12h1  h2 h1  h2 h12 h2   1  0
1 2
1 2
4
dx
 dx







d 2u ( x )
 f ( x) , получим
Сокращая уравнение на множитель при невязке
dx






d 4 u( x)  h22 h1 2    1 h1  h2   1   d 2 u ( x)

  
 f ( x)   0
4
12h1  h2 h1  h2 
dx 

  dx



 h22 h1 2    1 h1  h2   1 
d 4 u ( x)
 при
Из вида множителя T    
можно
12h1  h2 h1  h2 
dx 4


сделать вывод, что он может иметь второй порядок по шагу сетки. Найдем
значения  , при которых функция T   минимальна. Из необходимого
условия существования экстремума следует соотношение
  1h1  h2   1h1  h2 
dT  

0
h1  h2 h1  h2 
d
Решая приведенное уравнение, получим корни
h1  h2
h h
, 2   1 2
h1
h1
1 
Выбирая в качестве решения 1 и подставляя его в аппроксимацию,
получим


h22 d 4 u ( x)  d 2 u ( x)
 
 f ( x)   0
4
12 dx
 dx

Таким образом, разностная схема вида
1u( x  h1 )   2 u( x  h1 )   3u( x)   4 u( x  h2 )   5u( x  h2 )   f ( x) ,
где для коэффициентов выполняется условие
1 
2 
h1  h2 h22 4 2  3   2h1  2h2
h1  h2   1h12
 4 h22 3 h2  2 h1  h22   h1   2h1  2h2
h12 2 h1  h1  h2  h2 
 4 h22 h1  h2 3  h12 h2  h23 2     4 h12 h2  h22 h1   2h1   2h2  h1 
3 
h12 h2 
5  

2 4 h2 h12    1h1 h22 4 2  2  h23 4 3
h2 h1  h2 h1  h2 
h1  h2
h1
обеспечивает второй порядок точности аппроксимации
Задача 2.
Для задачи
u ( x)  a( x)u ( x)  f ( x) , u (0)  c
рассматривается схема
y k 1  y k
 1axk    2 axk 1 1 y k   2 y k 1    1 f ( xk )   2 f ( xk 1 ) , y0  с
h
Решение: Введем обозначения y k 1  ux  h , y k  ux  , xk 1  x  h
Перепишем схему в виде невязки
y k 1  y k  h1axk    2 axk 1 1 y k   2 y k 1   h 1 f ( xk )   2 f ( xk 1 )  0
С учетом введенных обозначений разложим разностную схему в ряд
Маклорена по параметру шага h с удержанием членов второго порядка
малости. При этом часть h1axk    2 axk 1 1 yk   2 yk 1   h 1 f ( xk )   2 f ( xk 1 ) c
учетом того, что она умножена на h , аппроксимируем с удержанием членов
первого порядка малости.
Итоговая аппроксимация имеет вид
h
u ( x)  u ( x)  (1   2 1   2 a( x)u ( x)   1   2  f ( x) 
2
 h 1   2  2 a( x)u ( x)  1   2  2 a ( x)u ( x)   2 f ( x))   O h 2  0
 
Заметим, что множитель при шаге содержит произведения вида a( x)u ( x) ,
a( x)u ( x) , а также f (x ) . Их комбинацию при некоторых дополнительных
условиях можно интерпретировать как величину a( x)u ( x)  f ( x)  , которая в
сумме с u (x ) образует производную невязки дифференциальной задачи и
обратится в ноль. Это, в свою очередь, обнуляет коэффициент при множителе
h и оставляет величины второго порядка малости.
С учетом этого составим следующую систему
 1   2 1   2   1
 1   2   1
 1   2  2  1
2
1   2  2  1
2
1
2 
2
Первые два уравнения обозначают требование существования невязки
u ( x)  a( x)u ( x)  f ( x) , а последние три уравнения позволяют вывести значение
h
a( x)u ( x)  f ( x) .
2
Решение системы имеет вид
1   2 
1
4 2
, 1   2 ,  1   2 
1
2
Подставляя решение в разностную схему, получим
y k 1  y k 1
1
 axk   axk 1  y k  y k 1    f ( xk )  f ( xk 1 )
h
4
2
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1.
Самарский А. А. Теория разностных схем. М., 1977.
2.
А.А. Самарский, П. Н. Вабищевич, П. П. Матус, “Разностные схемы
повышенного порядка точности на неравномерных сетках”, Дифференц.
уравнения, 32:2 (1996), 265–274