2003 - Кафедра атомной физики, физики плазмы и

Красильников С.С., Попов А.М., Тихонова О.В.
СТО ОДИННАДЦАТЬ ЗАДАЧ ПО АТОМНОЙ ФИЗИКЕ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени. М.В.ЛОМОНОСОВА
___________________________________________________
ОТДЕЛЕНИЕ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ ФИЗИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА МГУ
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ
ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Д.В.СКОБЕЛЬЦЫНА
КАФЕДРА АТОМНОЙ ФИЗИКИ, ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ
И МИКРОЭЛЕКТРОНИКИ
Красильников С.С., Попов А.М., Тихонова О.В.
СТО ОДИННАДЦАТЬ ЗАДАЧ ПО АТОМНОЙ ФИЗИКЕ
УНЦ ДО
Москва, 2003
УДК 539.18
ББК 22.28
Красильников С.С., Попов А.М., Тихонова О.В.
Сто одиннадцать задач по атомной физике. Под общей редакцией
проф. Попова А.М. Учебное пособие. – М.: Издательство УНЦ ДО, 2003. – 18 с.
Предлагаемые «Сто одиннадцать задач» в основном соответствуют программе курса «Атомная физика», читаемом в настоящее на физическом факультете МГУ, и охватывают все разделы программы. В сборник включено
большое количество задач повышенной трудности, решение которых требует
глубокого понимания физики рассматриваемых явлений и математической
подготовки в объеме курсов «Математического анализа» и «Методов математической физики», читаемых на физическом факультете.
 Московский государственный универститет
 НИИЯФ им. Д.В.Скобельцына
 Красильников С.С., Попов А.М., Тихонова О.В.
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
1. Микромир атомно-молекулярных масштабов и
классическая физика
4
2. Волны де Бройля и соотношения неопределенностей.
Атом Бора
5
3. Основы квантовой теории
7
4. «Барьерные задачи»
10
5. Квантовомеханическая модель атома водорода
10
6. Электромагнитные переходы
11
7. Многоэлектронные атомы
12
8. Физика молекул
13
9. Макроскопические системы
14
10. Справочные данные
15
Микромир атомно-молекулярных масштабов и классическая физика
Показать, что в модели атома Томсона, электрон, будучи выведен из положения равновесия, совершает гармонические колебания. Оценить частоту этих колебаний.
1.2. Учитывая силу радиационного трения, действующую на электрон, оценить время жизни атома Томсона в возбужденном состоянии.
1.3. Считая атом гармоническим осциллятором с частотой 0 (модель Томсона), определить частоты его излучения во внешнем однородном магнитном поле с напряженностью  (эффект Зеемана).
1.4. Оценить максимальный угол рассеяния  - частицы с энергией E на положительно заряженном шаре (заряд Ze ) радиуса R . Сделать оценку для
случая E a  5 МэВ, Z  79 , R  10 8 см.
1.5. Определить спектральную интенсивность тормозного рентгеновского излучения возникающего при рассеянии быстрой заряженной частицы с
энергией E в поле ядра с зарядом Z . Считать, что E  Ze 2 b , b - прицельный параметр. Указание: Траекторию движения частицы можно
приближенно считать прямолинейной.
1.6. В рамках классической электродинамики оценить время падения электрона на ядро с зарядом Ze . Считать, что в начальный момент времени
2
электрон находится на круговой орбите радиуса r  a0 n , a0 - боровZ
ский радиус.
1.7. Оценить поток энергии ультрафиолетового излучения от Солнца на поверхности Земли. Считать, что излучение Солнца имеет планковский
спектр с температурой T  5700 К. Поглощением излучения в атмосфере
Земли пренебречь.
1.8. При какой температуре термодинамически равновесной водородной
плазмы с плотностью   1 г/см3 давление электромагнитного излучения
сравняется с газокинетическим давлением?
1.9. Импульс излучения рубинового лазера (   0.69 мкм) с энергией Q  1
Дж и длительностью   1 нс падает на зеркальную металлическую пластину с коэффициентом отражения R  1 . Определить силу светового
давления, действующую на пластину.
1.10. В рамках классической электродинамики определить силу давления, действующую на свободный электрон в поле электромагнитной волны.
1.11. На металлическую поверхность с работой выхода A  3.6 эВ воздействует электромагнитное поле E  E0 (1  cos t ) cos  0t ( E - напряженность
электрического поля волны). Найти энергию фотоэлектронов, если
  4.8  10 15 с-1,  0  6.4  10 15 с-1.
1.12. Оценить величину фототока с поверхности металла площадью S  1 см2
(работа выхода A  4 эВ) под действием излучения Солнца. Солнце счи1.1.
тать планковским излучателем с температурой T  5700 К. Радиус Солнца RS  7  10 10 см, радиус земной орбиты r  1.5  10 13 см. Величина
квантового выхода фотоэффекта (вероятности вырывания электрона фотоном)   0.01 .
1.13. При прохождении рентгеновского излучения через некоторое вещество
было обнаружено, что максимальная кинетическая энергия комптоновских электронов отдачи составила Emax  0.44 МэВ. Определить длину
волны рентгеновского излучения.
1.14. Определить длину волны рассеянного назад фотона ( 0  10.6 мкм) на
релятивистском электроне с энергией Ee  20 ГэВ, движущемся ему
навстречу.
1.15. Фотон рассеивается на движущемся ему навстречу электроне. С какой
скоростью должен двигаться электрон, чтобы частота фотона при рассеянии не изменилась?
Волны де Бройля и соотношения неопределенностей. Атом Бора.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
На какую кинетическую энергию должен быть рассчитан ускоритель
протонов, чтобы исследовать структуры с пространственным размером
l  1 фм  10 13 см.
В электронном микроскопе энергия пучка электронов Ee  100 кэВ.
Определить его предельно возможную разрешающую способность.
Определить длины волн де Бройля для электронов и протонов с энергией
10 МэВ.
Электрон находится в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме размером a  b . Оценить минимально возможное значение кинетической энергии электрона в случаях: а) a  b  1 А; б) a  1 А, b  1
см.
Исходя из соотношения неопределенностей, получить условие, при выполнении которого частица массы m может удерживаться в прямоугольной сферически симметричной потенциальной яме радиуса R и глубины
V0 .
Взаимодействие ядра (с зарядом Z ) с электроном описывается законом
Кулона U   Ze 2 r . В квантовой электродинамике это взаимодействие –
результат обмена (испусканием одной частицей и поглощением другой)
фотонами. Отклонение от закона Кулона возникает в результате превращения фотона в виртуальную электрон-позитронную пару. Исходя из соотношения неопределенностей, оценить пространственный размер, на
котором происходит нарушение закона Кулона.
Воспользовавшись квантовым условием Бора, определить радиусы
 орбит

и уровни энергий в центрально-симметричном силовом поле F  kr .
Орбиты считать круговыми.
Электрон движется по круговой орбите в центрально-симметричном потенциале V ( r )  V0 exp   2 r 2 , V0  0 . В рамках модели Бора найти
условие, при выполнении которого в яме существует хотя бы один уровень.
2.9. В рамках модели атома Бора показать, что водородоподобный ион с зарядом ядра Z  Z *  137 не существует. Ограничиться случаем круговых
орбит.
2.10. Определить релятивистскую поправку и поправку, связанную с учетом
конечной массы ядра к потенциалу ионизации водородоподобного иона с
зарядом ядра Z . Считать, что орбиты являются круговыми, а число протонов в ядре равно числу нейтронов.
2.11. Квантование в макроскопической системе: Искусственный спутник массы m  100 кг движется по круговой орбите на высоте H  100 км над поверхностью Земли. В рамках модели Бора оценить номер квантового числа, соответствующего движению по такой орбите. Определить изменение
радиуса орбиты при изменении квантового числа на величину n  1 .
2.8.


Основы квантовой теории
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
Исходя из предположения, что свободной частице с импульсом p соответствует плоская волна с волновым вектором k  p  (гипотеза де
Бройля) и частотой   E  ( E  p 2 2 m ), получить нерелятивистское
волновое уравнение, описывающее свободное движение частицы.
Используя выражение для релятивистской связи энергии и импульса
E 2  p 2 c 2  m 2 c 4 , в условиях предыдущей задачи найти релятивистское
волновое уравнение, описывающее движение свободной частицы (уравнение Клейна-Гордона).
Показать, что если  - функция удовлетворяет уравнению Шредингера

(Клейна-Гордона), то можно ввести величины  и j (плотность вероятности и плотность тока вероятности), удовлетворяющие уравнению
не
прерывности  t  div ( j )  0 . Определить выражения для  и j .
Определить средние значения кинетической и потенциальной энергии в
основном состоянии а) линейного гармонического осциллятора, б) атома
водорода.
Показать, что гауссов волновой пакет минимизирует соотношение неопределенностей.
Определить собственные значения и собственные функции операторов


импульса p x  i , кинетической энергии Tx  p x2 2m , z - проекции
x


момента количества движения Lz  i
.

3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
Может ли так быть, что в одном и том же состоянии импульс и полная
энергия имеют точно определенные значения?
Состояние частицы определяется волновой функцией
 1 ( x  x0 )2 
1
.
( x ) 
 exp ik0 x   exp 
2


2
a
a 


Определить плотность вероятности распределения импульса W ( p ) . Каковы средние значения и дисперсии импульса и координаты в этом состоянии?
Волновая функция некоторой системы в сферических координатах определяется выражением
3
 ( r , , )  R( r )
 sin   cos  .
4
Какие значения z- проекции и квадрата момента количества движения и с
какими вероятностями могут быть измерены в этом состоянии? Каковы
средние значения и дисперсия величин L z и L2 ?
Частица массы m находится в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме шириной a . Написать волновые функции
хотя бы двух состояний, в которых среднее значение энергии частицы
2 2  2
равно E 
.
ma 2
Частица массы m находится в основном состоянии в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме шириной a . Найти
значения p x , которые могут быть измерены в этом состоянии. Какова вероятность их измерения и среднее значение величины p x .
Показать, что для частицы, движущейся в потенциальном поле V ( x ,t ) ,
справедливо утверждение (теорема Эренфеста)
d p
V ( x ,t )
.

dt
x
Здесь скобки означают усреднение по квантовому состоянию.
Показать, что для частицы, движущейся в потенциальном поле V ( x ) ,
среднее по квантовому состоянию значение импульса удовлетворяет соd x
отношению p x  m
. Здесь x - среднее значение координаты, m dt
масса частицы.
Показать, что для частицы, движущейся в гармоническом потенциале
V  m 2 x 2 2 , изменение во времени среднего значения координаты
x( t ) определяется классическим законом движения.
Волновая функция частицы, находящейся в гармоническом потенциале, в
момент времени t  0 определяется выражением
 1

 ( 1  x a )  exp  ( x / a )2  ,
 2

a 
2
где a   / m . Определить среднее значение координаты частицы, как
функцию времени.
3.16. Частица находится в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной
яме в состоянии  ( x ,t  0 )   1 ( x )   2 ( x ) ,  1 ( x ) и  2 ( x ) - волно-
( x )  2 3 
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
1
вые функции нижних стационарных состояний,  2   2  1 . Определить
среднее значение и дисперсию координаты частицы как функцию времени.
Определить энергию нижнего стационарного состояния частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме конечной глубины в случаях:
а) 2mV0 a 2  2  1 , б) 2mV0 a 2  2  1 ( V0 - глубина потенциальной
ямы, a - ее ширина).
Частица
массы
находится
в
одномерном
потенциале
m
 x  0 ,

V ( x )  0 , 0  x  a , Определить, сколько связанных состояний нахоV , x  a.
 0
дится в яме в следующих случаях: а) V0 a 2  75 2 m , б) V0 a 2   2 m .
Показать, что волновая функция системы из двух взаимодействующих
частиц может быть представлена в виде произведения волновых функций, описывающих относительное движение частиц и движение центра
масс.
Дейтрон имеет энергию связи E  2.23 МэВ, среднее расстояние между
протоном и нейтроном a  2  10 13 см, возбужденного состояния у дейтрона нет. Используя эти данные, оценить глубину потенциальной ямы
поля ядерных сил. Указание: Яму считать прямоугольной, а ее размер
положить равным расстоянию a .
Определить энергетический спектр и волновые функции стационарных
состояний трехмерного изотропного гармонического осциллятора
V  m 2 r 2 2 .
Волновая функция частицы массы m , находящейся в трехмерном изотропном гармоническом осцилляторе с частотой  имеет вид:
 1 r2 
,
2 
 2a 
а) ( x, y, z )  Ax 2 exp  
 1 r2 
,
2 
 2a 
б) ( x, y, z )  Ayz exp  
где r  x 2  y 2  z 2 , a   m . Определить, какие значения энергии,
квадрата момента количества движения и его проекции на ось z могут
быть измерены в этих состояниях.
3.23. Определить энергетический спектр и волновые функции стационарных
состояний системы связанных линейных гармонических осцилляторов с
3.24.
3.25.
3.26.
3.27.





гамильтонианом H  H 1  H 2  x1 x 2 , где H i  Ti  m 02 xi2 / 2 - гамильтониан гармонического осциллятора с частотой  0 ,  - константа связи.
Определить уровни энергии одномерного ангармонического осциллятора
U  m 2 x 2 2  x 4 . Ангармоническую добавку считать малой.
Определить энергии стационарных состояний заряженной частицы,
находящейся в гармоническом потенциале U  m 2 x 2 2 , в присутствие
внешнего однородного постоянного электрического поля.
Используя теорию возмущений, найти энергию и волновую функцию основного состояния системы из двух
связанных
линейных осцилляторов,



описываемую гамильтонианом H  H 1  H 2  x1 x 2 . Результат сравнить
с точным решением (см. задачу 3.23).
В атоме трития ядро 13 H испытывает  - распад с образованием ядра
3
2 He .
Определить вероятность того, что образующийся водородоподобный ион гелия будет находиться в основном состоянии. Указание: Поскольку образующийся при  - распаде электрон является быстрым, изменение заряда можно считать мгновенным.
«Барьерные задачи»
4.1. Определить величину плотности тока вероятности для состояния
 ( x )  A exp ik1 x   B exp  ik2 x  .
4.2. Поток частиц с энергией E рассеивается на прямоугольной потенциаль0 , x  0 ,
ной ступеньке V ( x )  
Определить вероятности прохождения
V
,
x

0
.
 0
2
4.3.
4.4.
4.5.
и отражения. Нарисовать графики зависимости  ( x ) для случаев «подбарьерного» E  V0 и «надбарьерного» E  V0 движения.
Поток частиц с энергией E рассеивается на прямоугольном потенциальном барьере высотой V0 и шириной a , причем E  V0 (надбарьерное
прохождение). Определить энергии, при которых вероятность отражения
от барьера равна нулю (резонанс прозрачности).
Поток частиц с энергией E туннелирует через прямоугольный потенциальный барьер высотой V0 и шириной a , причем E  V0 . Определить зависимость прозрачности барьера от его ширины.
238
Оценить время жизни  - радиоактивных ядер 222
86 Rn и 92 U . Энергии
E вылетающих  - частиц соответственно равны 6.6 МэВ и 4.2 МэВ.
Квантовомеханическая модель атома водорода
Определить среднее и наиболее вероятное удаление электрона от ядра в
атоме водорода, находящемся в состояниях 2 s и 2 p .
5.2. Нарисовать радиальные волновые функции и распределения вероятности
обнаружить электрон на расстоянии r от ядра в атоме водорода, находящимся в состояниях с главным квантовым числом n  4 .
5.3. Определить вектор плотности тока вероятности для циркулярного состояния ( ml  l , l  n  1` ) атома водорода. Полученное выражение сравнить
с классической величиной электрического тока, создаваемого электроном
в атоме водорода, движущимся по круговой орбите.
5.4. Определить заряд ядра Z водородоподобного иона, при котором величины изотопического сдвига, связанные с конечной массой и конечным
размером ядра, совпадают. Оценку провести в предположении, что число
протонов и нейтронов в ядре одинаково, а радиус ядра связан с его массовым числом соотношением R  1.4  10 13  A1 / 3 (см).
5.5. Атом щелочного металла можно рассматривать, как одноэлектронную
систему, в которой единственный электрон движется в поле атомного
остова, представляющего ядро с зарядом Z и совокупность Z  1 электронов. Оценить размер атомного остова атома лития ( Z  3 ), считая, что
по объему остова отрицательный заряд распределен равномерно. Потенциал ионизации атома лития I i  5.12 эВ.
5.6. Определить энергии стационарных состояний в центрально - симметричe 2 e 2 a0
ном потенциале V ( r )    2 , a0 - боровский радиус.
r
r
5.7. Мюон ( m  207me ) находится в поле тяжелого атомного ядра ( z  92 ,
A  238 ). Определить приближенный вид волновой функции основного
состояния и оценить потенциал ионизации такой системы. Считать распределение заряда в пределах ядра равномерным. Радиус ядра связан с
его массовым числом соотношением R  1.4  10 13  A1 / 3 (см).
5.8. Оценить амплитуду «дрожания» электрона на орбите, приводящую к
лэмбовскому сдвигу атомных уровней, если известно, что разница энер1
гий 2 s1 / 2 и 2 p1 / 2 состояний в атоме водорода равна E 
  3 Ry
3
5.9. Длина волны излучения, соответствующая переходам между компонентами сверхтонкой структуры основного состояния атома водорода, равна
 H  21 см. Определить длину волны перехода между компонентами
сверхтонкой структуры атома дейтерия  D , если известно спин протона
I p  1 / 2 , спин дейтрона I D  1 , а гиромагнитные отношения для протона и нейтрона равны g p  5.6 , g n  3.8 соответственно.
5.10. Оценить величину энергетического сдвига основного состояния атома
водорода при его помещении в постоянное однородное электрическое
поле (эффект Штарка).
5.1.
Электромагнитные переходы
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
В дипольном приближении определить вероятности спонтанных переходов между стационарными состояниями частицы с зарядом e в гармоническом потенциале.
В дипольном приближении определить вероятности спонтанных переходов между различными стационарными состояниями электрона в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме.
Показать, что в дипольном приближении для бесспиновой частицы в
центрально – симметричном поле справедливы следующие правила отбора по магнитному квантовому числу m  0 ,1 .
Оценить время спонтанного перехода
а) соответствующего головной линии серии Лаймана;
б) между компонентами сверхтонкой структуры основного состояния
атома водорода. (Длина волны перехода   21 см).
Определить зависимость вероятности спонтанного перехода 2 p  1s в
водородоподобном ионе от заряда ядра Z .
Показать, что в атоме гелия электро-дипольные переходы между синглетными и триплетными термами запрещены (запрет интеркобинаций).
Многоэлектронные атомы
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
В
изоэлектронной
последовательности
гелиеподобных
ионов

2
90
( He, Li , Be ,...,U ) определить заряд ядра Z , при котором нормальная
LS связь сменяется jj связью.
Воспользовавшись теорией возмущений, в рамках приближения LS связи
определить энергию основного состояния атома гелия и гелиеподобных
ионов.
В рамках теории возмущений оценить потенциалы ионизации атома He и
гелиеподобного иона урана U 90  .
В приближении самосогласованного поля Хартри каждый из электронов в
атоме движется в электростатическом поле, создаваемом ядром с зарядом
Z и совокупностью Z  1 электронов. Считая, что плотность заряда, со2
здаваемая в пространстве электроном есть e ( r ,t ) , получить уравнение
для волновой функции, описывающей состояние электрона в основном
состоянии атома гелия.
Найти энергию и волновую функцию основного состояния системы из
двух
связанных
линейных осцилляторов, описываемую гамильтонианом



H  H 1  H 2  x1 x 2 , в приближении самосогласованного поля Хартри.
Результат сравнить с точным решением (см. задачу 3.23).
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
7.11.
7.12.
7.13.
Определить возможные термы и состояния, принадлежащие электронным
конфигурациям np, n' p и np 2 , в приближении LS и jj связей.
Пренебрегая межэлектронным взаимодействием, построить волновые
функции двухэлектронной конфигурации 1s2p. Найти средние значения
расстояния между электронами в синглетном и триплетном состояниях.
Считая в атоме гелия межэлектронное взаимодействие слабым, сравнить
вероятности спонтанных переходов между синглетными и триплетными
термами, принадлежащими электронным конфигурациям 1s2s и 1s2p.
В конфигурации из двух неэквивалентных невзаимодействующих p
электронов 2 p3 p построить пространственные волновые функции, принадлежащие термам 1 P и 3 P . Как изменится решение задачи, если электроны являются эквивалентными (конфигурация 2 p 2 )?
В рамках квантовомеханической теории возмущений, считая межэлектронное взаимодействие слабым, показать, что в конфигурации 2 p 2 триплетный терм является основным.
В приближении LS связи определить термы, принадлежащие конфигурации np 3 .
Два невзаимодействующих электрона находятся в бесконечно глубокой
прямоугольной потенциальной яме в состояниях n1  1 и n2  2 . Определить среднее расстояние между ними в случае, если полный спин системы S  0 и S  1 . Найти для этих случаев пространственное распределение плотности электрического заряда.
Сверхтонкая структура основного состояния атома, имеющего конфигурацию p 4 , состоит из трех компонент. Определить спин ядра.
7.14. Спин ядра атома 27 Al равен I  5 / 2 . Определить количество компонент
сверхтонкой структуры в основном состоянии.
7.15. Пучок невозбужденных атомов Na , движущихся в направлении оси x ,
пролетает через последовательность трех приборов Штерна – Герлаха,
градиент магнитного поля в которых направлен
а) вдоль z, вдоль y, вдоль z;
б) вдоль z, вдоль y, вдоль у,
в) вдоль z, вдоль y, под углом  / 4 к оси z в плоскости zy.
Определить число компонент, на которые будет расщеплен пучок в этих
случаях.
7.16. Определить все возможные термы атома углерода для электронных конфигураций 1s 2 2 s 2 2 p 1 3l ( l - любое возможное орбитальное квантовое
число). Указать все возможные электромагнитные переходы между термами заданных конфигураций и основным термом конфигурации
1s 2 2 s 2 2 p 2 .
7.17. Оценить величину тонкого расщепления K  линии характеристического
рентгеновского излучения атома ртути ( Z  80 ).
7.18. Определить энергии стационарных состояний заряженной бесспиновой
частицы в кулоновском потенциале V ( r )   e 2 r при наложении внешнего однородного магнитного поля.
7.19. Какие из приведенных значений фактора Ланде (g=2, g=1, g=0, g=-1)
возможны? Какой физической ситуации они соответствуют?
7.20. Рассмотреть эффекты Зеемана и Пашена – Бака на головной линии серии
Лаймана атома водорода. Оценить величину напряженности магнитного
поля, при котором эффект Зеемана сменяется эффектом Пашена и Бака.
Физика молекул
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
Показать, что в системе с аксиальной симметрией (например, электронная подсистема двухатомной молекулы) стационарные состояния можно
характеризовать определенным значением проекции орбитального момента на ось системы.
Определить молекулярные термы, которые могут образовать атомы O и
Н, C и N, C и O, находящиеся в основном состоянии.
Определить оператор дипольного момента для ядерной подсистемы молекул Н2+ и HD+. Показать, что в гомоядерных молекулах в дипольном
приближении электромагнитные переходы в пределах одного электронного терма запрещены.
Молекулярный терм некоторой молекулы задается выражением
Veff ( R)  DR02 R 2  2 R0 R . Найти колебательно-вращательный спектр молекулы.
Считая степень колебательного возбуждения малой, решить предыдущую
задачу в приближении гармонических колебаний.
В двухатомной молекуле происходит электромагнитный переход из основного колебательного состояния возбужденного электронного терма на
нижележащий электронный терм. Определить вероятность колебательного возбуждения молекулы, если энергии колебательных квантов на обоих
термах одинаковы, а равновесное межъядерное расстояние на верхнем
терме в два раза больше, чем на нижнем терме R*  2 Rg . Колебания молекулы в обоих электронных состояниях считать гармоническими.
Определить вероятность колебательного возбуждения молекулы NaCl
при внезапном включении внешнего однородного постоянного электрического поля с напряженностью E  10 6 В/см, направленного вдоль оси
молекулы. В начальный момент времени молекула находилась в основном колебательном состоянии. Постоянная квазиупругой силы
k  1.01  10 5 дн/см, равновесное расстояние между ядрами R0  2.361 А.
Колебания считать гармоническими.
8.8.
Оценить характерное время жизни относительно электромагнитного перехода колебательно-возбужденной молекулы NaCl. Колебания молекулы
считать гармоническими.
Макроскопические системы.
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
9.7.
9.8.
9.9.
Оценить среднюю кинетическую энергию электронного газа в металлах.
Показать, что для вырожденного электронного газа степень его идеальности возрастает с увеличением плотности.
В модели Томаса-Ферми многоэлектронный атом представляет собой систему, в которой давление вырожденного электронного ферми-газа уравновешивается силами кулоновского притяжения к ядру. Определить
зависимость размера атома от заряда Z .
Белый карлик – звезда, в которой давление вырожденного электронного
газа уравновешивает гравитационные силы. Полагая распределение плотности по радиусу звезды однородным, оценить равновесный размер такой
системы. Массу звезды считать равной массе Солнца M  2  10 33 г.
Соотношение неопределенностей и предельный размер звезды: Исходя из
соотношения неопределенностей, оценить предельную массу звезды,
удерживаемую давлением вырожденного ферми-газа протонов от гравитационного коллапса («предел Чандрасекара»).
Определить теплоемкость разреженного газа, состоящего из двухатомных
молекул. Молекулы считать гармоническими осцилляторами.
Теплоемкость молекулярного водорода H2 при температуре T  1000 К
равна Cv  2.7 k ( k - постоянная Больцмана). Определить теплоемкость
молекулярного дейтерия D2 при той же температуре.
Рассматривая атомный электрон как квантовый осциллятор с частотой
 0 , показать, что на больших расстояниях между атомами R  a0 ( a0 характерная амплитуда колебаний электрона) возникают силы притяжения, описывающиеся потенциалом U ( R ) ~  1 R 6 (силы Ван-дерВаальса).
Определить поляризуемость среды, разреженного газа с плотностью атомов N , в высокочастотном электромагнитном поле с частотой  близкой
к частоте атомного перехода    0 . Считать атомы среды гармоническими осцилляторами с частотой  0 .
Справочные данные
Основные физические постоянные
Скорость света в вакууме
c  2.998  10 10 см/с
Гравитационная постоянная
G  6.67  10 8 см3/г.с2
Постоянная Больцмана
k  1.381  10 16 эрг/град
Заряд электрона
e  4.803  10 10 абс. ед.
Масса электрона
m  0.911  10 27 г
Энергия покоя электрона
mc 2  0.511 МэВ
Масса протона
M  1.673  10 24 г
Энергия покоя протона
Mc 2  938 .28 МэВ
Постоянная Стефана-Больцмана
  5.67  10 5 эрг/(с.см2.град4)
Постоянная Планка
  1.0546  10 27 эрг.с
Постоянная Ридберга
R  109700 см-1
Ридберг
Ry  me 4 2 2  13.606 эВ
Боровский радиус
a0   2 me2  0.529  10
Классический радиус электрона
re  e 2 mc 2  2.82  10 13 см
Комптоновская длина волны электрона
e  2 mc  2.426  10 10 см
Постоянная тонкой структуры
  e 2 c  1 137 .06
Магнетон Бора
 B  e 2mc  0.927  10 20 эрг/Гс
Ядерный магнетон
 N  e 2 Mc  5.051  10 24 эрг/Гс
8
см
Некоторые интегралы и специальные функции

2.405, n  2


ex  1  4
0
 15 , n  3

1.

x n dx

2.
 exp(  x
Интеграл Пуассона
2
)dx  


3.
 функция Эйлера

 ( p )  x p 1e  x dx
0
 ( 2 )   (1)  1,
 ( p  1 )  p ( p ) ,
 (1 2 )   .
H n ( x )  ( 1 )n exp( x 2 )
4. Полиномы Эрмита
dn
n
exp(  x 2 )
dx
Рекуррентные соотношения xH n ( x )  nH n1 ( x )  1 H n1 ( x ) ,
2
dH n ( x )
 2nH n1 ( x ) .
dx
Нормировка и ортогональность

H
m ( x )H n ( x ) exp(  x
2
)dx  2 n n!   mn .

Явные выражения для первых полиномов
H 0 ( x )  1 , H 1 ( x )  2 x , H 2 ( x )  4 x 2  2 , H 3 ( x )  8 x 3  12 x
5. Сферические функции Ylm (  , )   lm (  ) m (  ) ,
где  lm (  )  ( 1 )m
Pl m ( x )  ( 1  x 2 )m / 2
m( ) 
d l m
dx
l m
2l  1 ( l  m )! m

 Pl (cos  ),
2 ( l  m )!
( x 2  1 )l - присоединенные полиномы Лежандра,
1
exp( im ) .
2
Нормировка и ортогональность

*
Ylm
(  , )Yl' m' (  , ) sin dd   ll'  mm' .
Явные выражения для нескольких первых функций
1
3
3
, Y10 
cos  , Y1,1 
sin   exp( i ),
4
8
4
Y00 
Y20 
Y2 ,2
5 3
1
15
2
sin   cos   exp( i ),
 cos    , Y2 ,1 
4  2
2
8
1 15
 
sin 2   exp( 2i ),
4 2
Важная формула
l
 4
1  r2  *

  Ylm (  1 , 1 )Ylm (  2 , 2 ), r1  r2 ,
r
2
l

1

 r1 
1
1

lm


 
l
r1  r2  4
1  r1  *
  Ylm (  1 , 1 )Ylm (  2 , 2 ), r1  r2 .

r
2
l

1
 2 lm
 r2 
 
Здесь (  1 , 1 ) и (  2 , 2 ) - полярный и азимутальный углы векторов r1 и r2 .


6. Радиальные волновые функции атома водорода.
R10 ( r )  2 exp( r ),
1 
1 
 1  r  exp( r / 2 ),
2 
2
1
R21 ( r ) 
r exp( r / 2 ),
2 6
2 
2
2 2
R30 ( r ) 
r  exp( r / 3 ),
1  r 
3
27 
3 3
R20 ( r ) 
8
1 

r  1  r  exp( r / 3 ),
27 6  6 
4
R32 ( r ) 
r 2 exp( r / 3 ).
81 30
Здесь r  Zr a0 .
R31 ( r ) 
Учебное пособие
Попов Александр Михайлович
Красильников Сергей Сергеевич
Тихонова Ольга Владимировна
СТО ОДИННАДЦАТЬ ЗАДАЧ ПО АТОМНОЙ ФИЗИКЕ
Под общей редакцией проф. Попова А.М.
Работа поступила в ОНТИ 15.09.2003
Электронная обработка текста и подготовка оригинал-макета
выполнены проф. Поповым А.М.
Редактор Стратилатова К.И.
ИД №00545 от 06.12.1999
Издательство УНЦ ДО
117246, Москва, ул. Обручева, 55А
Тел./факс (095)718-6966, 939-3934
e-mail: [email protected]
http://www.abiturcenter.ru/izdat/
Гигиенический сертификат №77.99.02.923.Д.001743.03.03 от 11.03.2003
Налоговые льготы – Общероссийский классификатор продукции
ООК-005-93, том.1-953000
Заказное. Подписано в печать 22.09.2003 г. Формат 60х90/16
Бумага офсетная № 2. Усл.печ. л. 1.13
Тираж 50 экз. Заказ №407
Отпечатано в Мини-типографии УНЦ ДО (e-mail: [email protected])
в полном соответствии с качеством
предоставленного оригинал-макета