КИНЕМАТИКА

Лекция № 1
КИНЕМАТИКА
План
1. Элементы векторной алгебры и векторного анализа........................................................ 1
2. Система отсчета. Путь. Вектор перемещения ................................................................... 5
3 Скорость. Ускорение при криволинейном движении ...................................................... 5
4. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения ........................................................... 7
5. Движение точки по окружности. Угловая скорость. Угловое ускорение ...................... 8
1. Элементы векторной алгебры и векторного
анализа.
  
c ab
Рис. 1.1
Векторы – величины, характеризующиеся численным значением, направлением и складывающиеся по правилу параллелограмма (рис. 1.1).
Практически сложение векторов удобно
производить без построения параллелограмма.
Начало второго вектора совмещают с концом
первого, начало третьего – с концом второго и т.д.
Из начала первого вектора в конец последнего
проводят результирующий вектор (рис. 1.2).
  
c ab
   
d a b c
Рис. 1.2

Разностью двух векторов a и


b называется такой вектор c , который в


сумме с вектором b даёт вектор a (рис.
1.3).
  
c a b
Умножение вектора на скаляр
В результате умножения вектора a
Рис. 1.3
на скаляр  получается новый вектор


b =  a , модуль которого в  раз отличается от модуля вектора a .


Направление b совпадает с направлением a , если  >0, либо противопо
ложно a , если  <0.



Всякий вектор a можно представить в виде a  a  ea , где a – модуль

вектора, а ea – вектор, называемый единичным вектором, или ортом, век
тора a .

Проекция вектора. Пусть вектор a
образует с осью  угол  (рис. 1.4). Величина ae  a cos  называется проекцией

вектора a на ось . Индекс указывает
направление, на которое спроектирован
вектор. (Например, на ось Х: a x и т.п.).
Рис. 1.4
Любой вектор можно выразить через его проекции на координатные оси (компоненты) и орты осей:




a  a x ex  a y e y  a z ez
Радиус-вектор. Радиусом-вектором некоторой точки Р называется вектор, проведённый из начала координат в данную
точку (рис. 1.5). Радиус-вектор можно
представить:




r  xe x  ye y  ze z ,

где проекции r на ось координат равны
  
декартовым координатам точки, ex , e y , ez –
орты осей X, Y, Z.
2
Рис. 1.5
Модуль радиус-вектора, как видно из рис. 1.5, равен:

r  x2  y2  z 2
(Аналогично, через компоненты можно найти модули любого вектора

a  a x2  a 2y  a z2 ).
Умножение векторов. Скалярное произведение векторов – это скаляр,
равный произведению модулей этих векторов на косинус угла  между ними:
a  b  ab cos 
Скалярное произведение можно выразить через компоненты векторов:
 
a  b  a x bx  a y b y  a z bz
Скалярное произведение коммутативно:
   
a b  b a

Векторное произведение. Векторным произведением векторов a и


b называется вектор c , определяемый формулой:
с  [a  b ]  ab  sin n
  
где  – угол между векторами a и b , n – единичный вектор нормали к
 
плоскости, в которой лежат вектора a и b (рис. 1.6).
Рис. 1.6

(Примечание: направление вектора с совпадает с направлением по
ступательного движения правого винта, если вращать вектор a по направ
лению к вектору b – правило правого винта).
3
Векторное произведение можно рассчитать с помощью определителя:
ex ey ez
 a  b   ax a y az


bx by bz
Векторное произведение некоммутативно:
 
 
[a  b ]  [b  a ]
Дифференцирование векторных величин

Производная вектора. Рассмотрим вектор a , который изменяется по




закону: a (t )  a x (t )e x  a y (t )e y  a z (t )e z , где t – время, тогда производная

вектора a по переменной t равна:

da y 
da 
da dax 

ex 
e y  z ez
dt
dt
dt
dt
Дифференциалом (приращением) функции f (t ) называется выраже
da
/
ние df  f dt , тогда, используя выражение для производной вектора
,
dt

получим дифференциал вектора a :




da  da x e x  da y e y  da z e z
Производная произведения векторов. Производная от скалярного и
векторного произведения осуществляется по известным формулам:
d
da
db
(a  b ) 
b a
dt
dt
dt
 db 
d
da
 a  b    ×b    a× 
  dt 
dt 
 dt 
(Примечание: некоторые понятия векторного анализа – градиент,
циркуляция, ротор, а также элементы теории вероятности – мы рассмотрим
в дальнейшем по ходу курса).
4
2. Система отсчета. Путь. Вектор перемещения
Для описания движения необходимо условиться, относительно какого другого тела будет
отсчитываться перемещение данного тела или материальной точки. Совокупность неподвижных друг относительно друга тел, по отношению к которым рассматривается движение, и отсчитывающих время часов, называется системой отсчета.
Для количественного описания движения с телами, образующими систему отсчета, связывают систему координат. Выберем декартову систему координат. Тогда положение материальной точки в этой системе можно определить заданием трех координат x, y, z или через вектор

r (рис.1.1)




r  xe x  ye y  ze z ,
  
где ex , e y , ez - орты или единичные векторы координатных осей (рис.1.2).
z
z

r
M(x,y,z)

ez

ey
x
y

ex
x
y
Рис.1.1
Рис.1.2
Линия, которую описывает материальная точка при своем движении, называется траекторией.
В зависимости от формы траектории различают прямолинейное движение, движение по
окружности, криволинейное движение и т.д. Пусть материальная точка, двигаясь в одном
направлении, переместилась из положения 1 в положение 2 (рис.1.3). Расстояние между точками 1 и 2, отсчитываемое вдоль траектории, называется длиной пройденного материальной точкой пути (s). Отрезок прямой, проведенной из начального положения материальной точки в
  


конечное, называется перемещением  r  r2  r1 , где r1 и r2 - радиус вектора в момент времени
t1 и t2.
При
прямолинейном
движении

1
r  s . При произвольном криволи

r1
нейном движении r  s в пределе

r
s
для бесконечно малого промежутка вре

мени, т.е. когда r  0 . Иначе это мож0
2
r2
но записать так:
Рис.1.3
s
  1.
r  0  r
im
3 Скорость. Ускорение при криволинейном
движении
Траектория и перемещение являются чисто геометрическими характеристиками движения.
Два различных движения, для которых одно и то же перемещение r совершилось за разные
промежутки времени геометрически одинаковы, но кинематически различны. Это различие характеризуется скоростью.
5
Быстрота изменения положения материальной точки называется средней скоростью движе
r 
 ср .
t

r

Численное значение вектора средней скорости ср 
- есть скорость такого равномерt
ния за время t и определяется отношением
ного прямолинейного движения, при котором точка М перешла бы из положения М1 в положение М2 за тот же промежуток времени t, за который произошло её истинное криволинейное
движение по дуге М1М2 (рис.1.4).



М1
Вектор скорости  ср направлен также


как и вектор  r , т.е. по секущей М1М2.
r

cр
М2
Предел отношения

r
при t  0 наt
зывается мгновенной скоростью
Рис.1.4



r
,
  im cр  im
M 2 M1
t 0 t
(1.1)
т.е. вектор мгновенной скорости равен

 dr
.

dt
(1.2)
Поскольку секущая в пределе совпадает с касательной, то мгновенная скорость направлена
по касательной к траектории. Тогда, согласно равенству (1.1)


r
s
.
  im
 im
t  0 t
t  0 t
Модуль мгновенной скорости () равен производной пройден-ного пути по времени

ds
.
dt

Отсюда путь, пройденный за
время t  t 2  t1 , будет равен
2
t2

s  dt .
1
t1
Геометрически пройденный
путь s равен площади фигуры
под кривой (t) (рис.1.5).
t
Учитывая, что
0
t1
t2
Рис.1.5
  




r  xex  ye y  zez , где ex , e y , ez - постоянные векторы, получим уравнения для вектора
скорости
и
 



  r  x ex  y ey  z ez ,




   x e x   y e y  z e z .
(1.3)
Компоненты скорости по осям x,y,z соответственно равны
x 
dz
dx
dy
 z .
 x ;  y 
 y ; z 
dt
dt
dt


Вектор скорости может быть выражен также через орт скорости     e .
Быстрота изменения величины скорости в единицу времени в прямолинейном движении
характеризуется ускорением
6



 d 
a  im

 .
t 0 t
dt
Принимая во внимание соотношение (1.2), ускорение можно записать в виде

 d  dr  d  
a     r  r .
dt  dt  dt
Следовательно, ускорение можно определить как первую производную скорости по времени, либо как вторую производную радиус-вектора – по времени. Продифференцировав по времени соотношение (1.3), получим для ускорения выражение




a  xex  ye y  zez .
Вместе с тем, ускорение, как любой другой вектор можно выразить через компоненты по
координатным осям:




a  ax ex  ay e y  az ez ,
где ax  x 
d2x
dt
; ay  y 
2
d2y
d 2z


;
- компоненты ускорения, равные вторым
a

z

z
dt 2
dt 2
производным соответствующих координат по времени.
4. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения
При произвольном криволинейном движении вектор скорости может изменяться как по величине, так и по направлению. В этом случае существует ускорение, характеризующее быстроту изменения скорости по величине, и ускорение, характеризующее быстроту изменения скорости по направлению.
Рассмотрим три частных случая.


При движении по прямолинейной траектории e - орт скорости  остается постоянным, т.е.

 

e =сonst, поэтому a  
  e . Если  0, то ускорение направлено так же, как и скорость. Ес

ли  0, направление ускорения противоположно направлению скорости. Модуль ускорения

равен a   .

При равномерном движении по окружности =сonst, изменяется e (рис.1.6,а), поэтому:


(1.4)
a   e  .

Найдем производную орта скорости e .

е1


е 2

n

1


е
s
R
О
а)

2
б)
Рис.1.6
Из рис.1.6 видно, что за время t орт скорости поворачивается на угол 
7
 
t
R

и получает приращение е  . По определению


e
.
e   im
t  0 t


 
При t  0   0 и e   . Тогда e     n  , n  - еди-ничный вектор, имеющий

такое же направление, как и e  .


При произвольном переходе единичный вектор n  превращается в n -орт нормали к траектории в той точке, в которой частица была в момент t. Таким образом,


  n
 
(1.5)
e   im
 im n  n .
t 0 t
t 0 R
R

2 
Подставив (1.5) в (1.4), получим an 
n - нормальное уско-рение.
R
При равномерном движении по окружности ускорение направлено по нормали к скорости.
Поэтому называют его нормальным ускорением и в обозначении ставят индекс n.
При неравномерном движении частицы по криволинейной траектории оба множителя в


формуле    е  изменяются со временем. Применив правило дифференцирования произведения функций, найдем выражение для ускорения


 
a     e   e  .

Видно, что в общем случае ускорение распадается на два слагаемых. Одно из них   е 
коллинеарно скорости и, следовательно, направлено по касательной к траектории. Поэтому его

называют тангенциальным (т.е. касательным) ускорением и обозначают a .



2 
Второе слагаемое совпадает с a   e  , т.е. определяется формулой an  n и является
R
нормальным ускорением. Первое слагаемое характеризует быстроту изменения модуля скоро

сти, второе быстроту изменения направления скорости. Составляющие a и a n перпендикулярны друг другу (рис.1.7). Поэтому квадрат модуля ускорения равен сумме квадратов модулей
составляющих a 2  a2  an2 .
Отсюда следует, что полное

ускорение a будет равно

an

a
2
 2 
a  a2  an2  ( ) 2    .
R
Рис.1.7
5. Движение точки по окружности. Угловая
скорость. Угловое ускорение
При вращении твердого тела все его точки движутся по окружности, центры которых лежат
на единой прямой, называемой осью вращения. Окружности, по которым движутся точки тела,
лежат в плоскости, перпендикулярной к этой оси.
8
Радиус-вектор каждой точки – есть вектор, проведенный из центра окружности в данную
точку. Он поворачивается за время t на один и тот же угол .

называется угловой скоростью, где t – время, за которое
t  0  t
Векторная величина   im
совершается поворот на угол . Из определения видно, что вращение точки по окружности
d
описывается угловой скоростью  
.
dt

Вектор  направлен вдоль
оси, вокруг которой вращается
тело в сторону, определяемую
правилом
правого
винта
М2
(рис.1.8). Если вращать винт так,
чтобы его рукоятка указывала
направление вращения твердого
тела, то направление движения
винта укажет направление векто-



r

М1
Рис.1.8
ра угловой скорости.

, а угол поворота    t .
t
рад
Единицей угловой скорости в системе СИ является радиан в секунду  
.
с
При равномерном вращении угловая скорость  
Угловая скорость  - есть величина постоянная, она указывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени. В этом случае она называется круговой или циклической частотой.
Равномерное движение можно охарактеризовать также периодом обращения. Периодом
называется время, за которое тело делает один оборот, т.е. поворачивается на угол 2. Поскольку за время, равное Т совершается угол поворота 2, то

2
;
Т
Т
2
.

Число оборотов за единицу времени (частоту) обозначим  и выразим период и циклическую частоту через эту величину

1
;
Т


;
2
  2 .
Угол поворота за время t можно записать через частоту  и полное число оборотов N
  2  t ;   2 N .
При неравномерном вращении величина  изменяется со временем и за промежуток времени t получает приращение .
Величина, характеризующая изменение вектора угловой скорости со временем, называется
угловым ускорением
  im

t 0 t

d
.
dt
Таким образом, изменение угловой скорости по времени характеризуется угловым ускоре
нием  , которое определяется как производная угловой скорости по времени

 d
.

dt
9
рад
Единица измерения углового ускорения   2 . При неподвижной оси вращения векторы
с


 и  коллинеарны и направлены вдоль оси вращения. Если угловая скорость увеличивается


 d

 0  , то векторы  и  одинаково направлены, если угловая скорость уменьшается

 dt

 
 d

 0  , то векторы  и  противоположно направлены.

 dt

При неравномерном вращении для угла поворота, угловой скорости и ускорения справедливо соотношение
  0 t 
где  0 – начальная угловая скорость.
Найдем соотношение между , R,  (рис.1.9).
Пусть за малый промежуток времени t
тело повернется на угол . Точка М, находящаяся на расстоянии R от оси проходит при
этом путь, равный
s  R .
М1
R

s
 t2
,
2
Величина   im
М2
s
t 0 t
- называ-ется линей-
ной скоростью точки.
Рис.1.9
Подставляя значение s из предыдущего равенства, получим
  im R
t  0


d
 R im
R
 R ,
t  0 t
t
dt
т.е. линейная скорость точки прямо пропорциональна радиусу и угловой скорости
  R .
(1.6)
Выясним соотношение между an , , R и a , , R . Нормальное ускорение точек прямо пропорционально квадрату линейной скорости и обратно пропорционально радиусу
an 
2
.
R
(1.7)
Подставляя в уравнение (1.7) уравнение (1.6), получим следующее выражение для нормального ускорения: an  2 R .
Модуль тангенциального ускорения равен модулю первой производной от линейной скорости
a 
d
.
dt
(1.8)
Подставляя (1.6) в уравнение (1.8) найдем, что
a 
Но так как
d
d
.
(R )  R
dt
dt


d
  , то a  R . Для нахождения соотношения между векторами  и  сдеdt

лаем чертеж (рис.1.10). Пусть тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью  . Выберем

точку О на оси и проведем радиус-вектор r из этой точки к точке С. Из треугольника ОАС
видно, что R  r sin  . Умножим обе части равенства на  и получим cледующее выражение:
 R   r sin  .
10

Так как R - модуль скорости, r sin  - модуль векторного произведения  r  , то


   r  .
Откуда следует, что вектор скорости равен векторному произведению вектора угловой ско

рости  на радиус-вектор r :


(1.9)
   r  .
Формуле (1.9) можно придать иной вид. Для этого представим

радиус-вектор в виде
z 
суммы двух составляющих
  
r  rz  R и умножим это ра



венство векторно на  :


A
R
 r    (rz  R)   rz    R
.
C




Векторы
и rz - колли
rz  r
неарны, т.е. sin   0 , поэтому
их векторное произведение
O
равно 0. Следовательно, можно
записать, что
Рис.1.10


 
 
 
(1.10)
  R .
Выведем соотношение для тангенциального и углового ускорения. По определению тангенциальное ускорение есть первая производная от вектора скорости по времени (1.8). Подставляя (1.10) в (1.8), получим

  


d  d  

R ,
dt  dt 
т. е. a  R .
11