МУ по выполнению контрольной работы по Теории вероятностей и математической стастистике

МИ
ИНИСТЕРС
СТВО НАУ
УКИ И ВЫС
СШЕГО ОБ
БРАЗОВАН
НИЯ РОСС
СИЙСКОЙ
Й ФЕДЕРА-ЦИИ
И
ФИЛИАЛ
Л ЮЖНО-У
УРАЛЬСК
КОГО ГОС
СУДАРСТ
ТВЕННОГО
О УНИВЕ
ЕРСИТЕТА
А
В Г.
Г НИЖНЕ
ЕВАРТОВС
СКЕ
Кафеедра «Гумаанитарных, естественн
нонаучныхх и техничееских дисци
иплин»
В КОЛ
В.В.
ЛЕДИН
ТЕ
ЕОРИЯ
Я ВЕРО
ОЯТНО
ОСТЕЙ
Й
И МАТЕ
ЕМАТИ
ИЧЕСК
КАЯ СТ
ТАТИС
СТИКА
А
Метоодические указани
ия по вып
полнению контролььной рабо
оты
бучающиххся по нап
правлению подготтовки
для об
0
09.03.04
«
«Программ
мная инж
женерия»
Нижн
невартовск
2022
2
ББК
Одобрено редакционно-издательским советом филиала
Методические указания для выполнения контрольной работы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для обучающихся на заочной форме обучения по направлению подготовки 09.03.04 Программная инженерия / В.В. Коледин. Нижневартовск, 2022. - 34 с.
Методические указания предназначены для выполнения контрольной работы и освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика». Методические
указания содержат задания и образец выполнения контрольной работы, а также список
литературы. Всего 25 вариантов, каждый из которых состоит из 7 заданий.
Методические указания направлены на освоение обучающимися общекультурных,
общепрофессиональных и профессиональных компетенций, необходимых для дальнейшей практической деятельности. Предъявляемая контрольная работа соответствует формированию общекультурных, общепрофессиональных и профессиональных компетенций
в соответствии с ФГОС ВО по направлению подготовки 09.03.04 Программная инженерия.
2
Оглавление
Образец выполнения задания ....................................................................................................... 4
Задания к контрольной работе ................................................................................................... 10
Вариант 1 .................................................................................................................................. 10
Вариант 2 .................................................................................................................................. 11
Вариант 3 .................................................................................................................................. 11
Вариант 4 .................................................................................................................................. 12
Вариант 5 .................................................................................................................................. 13
Вариант 6 .................................................................................................................................. 14
Вариант 7 .................................................................................................................................. 15
Вариант 8 .................................................................................................................................. 16
Вариант 9 .................................................................................................................................. 17
Вариант 10 ................................................................................................................................ 18
Вариант 11 ................................................................................................................................ 19
Вариант 12 ................................................................................................................................ 20
Вариант 13 ................................................................................................................................ 21
Вариант 14 ................................................................................................................................ 22
Вариант 15 ................................................................................................................................ 23
Вариант 16 ................................................................................................................................ 24
Вариант 17 ................................................................................................................................ 25
Вариант 18 ................................................................................................................................ 26
Вариант 19 ................................................................................................................................ 27
Вариант 20 ................................................................................................................................ 28
Вариант 21 ................................................................................................................................ 29
Вариант 22 ................................................................................................................................ 30
Вариант 23 ................................................................................................................................ 30
Вариант 24 ................................................................................................................................ 31
Вариант 25 ................................................................................................................................ 32
Список литературы..................................................................................................................34
3
Образец выполнения задания
Задача 1. Производится наблюдение за группой, состоящей из 3-х однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события: А – обнаружен ровно
один из 3-х объектов; В – обнаружен хотя бы один объект; С – обнаружено
не менее двух объектов; Д - обнаружено ровно два объекта; Н – обнаружены
все 3 объекта. В чем состоят события: а) АВ; б) Д  Н ; в) ВН; г) ВС?
Решение. а) Событие АВ означает, что одновременно выполняются события А и В, т.е. события: «обнаружен ровно один из 3-х объектов» и «обнаружен хотя бы один объект». Следовательно, событие АВ = А и означает, что
«обнаружен ровно один из 3-х объектов».
б) Событие Д  Н означает, что «обнаружено ровно два объекта или
обнаружены все 3 объекта».
в) ВН – одновременно выполняются события В и Н, т.е. события: «обнаружен хотя бы один объект» и «обнаружены все 3 объекта». Следовательно, событие ВН = Н и означает, что «обнаружены все 3 объекта».
г) Событие ВС означает, что выполняются одновременно события В и
С, т.е. события: «обнаружен хотя бы один объект» и «обнаружено не менее
двух объектов». Следовательно, событие ВС = Д и означает, что «обнаружено ровно два объекта».
Задача 2. Найти вероятность того, что четырехзначный номер случайно встретившейся автомашины: а) не содержит одинаковых цифр; б) не содержит цифру 2.
Решение. а) Пусть событие А заключается в том, что «четырехзначный
номер случайно встретившейся автомашины не содержит одинаковых цифр».
Вероятность этого события найдём по формуле классической вероятности:
m
Р( А)  ,
n
где m – число благоприятных для А исходов, n– число всех исходов.
Найдём число m – количество четырехзначных номеров, не содержащих одинаковых цифр.
На первом месте четырехзначного номера может стоять любая цифра
из десяти (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), кроме 0. Следовательно, имеем 9 вариантов того, какая цифра является первой в автомобильном номере. На втором
месте может находиться любая цифра, кроме той, которая уже стоит на первом месте, т.е. тоже 9 вариантов (0 на втором месте стоять может!). На третьем месте может быть любая из 8-ми оставшихся цифр (кроме двух уже находящихся на первых местах), т.е. 8 вариантов. Соответственно, на четвёртом
месте может быть любая из 7 цифр, кроме тех, которые уже заняты на первых
трёх позициях.
Таким образом, m  9  9  8  7 = 4536.
4
Найдём число n – количество всех четырехзначных номеров. На первом месте четырехзначного номера может стоять любая из 9-ти цифр (0 не
может быть на первом месте). На 2-й, 3-й и 4-й позициях может находиться
любая цифра из 10-ти существующих. Следовательно, n  9  10  10  10  9000
.
По формуле классической вероятности:
Р (A) 
4536 63

 0,504 .
9000 125
б) Пусть событие В заключается в том, что «четырехзначный номер
случайно встретившейся автомашины не содержит цифру 2».
По формуле классической вероятности:
P  B 
8  9  9  9 81

 0, 648 .
9000
125
Ответ. а) 0,504; б) 0,648.
Задача 3. В тире имеются 3 ружья, вероятности попадания из которых
соответственно равны 0,75, 0,8, 0,9. Стрелок взял одно из них наудачу и с
первого раза поразил мишень. Какова вероятность того, что он стрелял из
третьего ружья?
Решение. Пусть событие А заключается в том, что «стрелок с первого
раза поразил мишень», событие H i - «стрелок выстрелил из i-го ружья», i =
1, 2, 3.
1
По формуле классической вероятности: P( H1 )  P( H 2 )  P( H 3 )  .
3
P ( A | H 1 )  0,75 - вероятность попадания из 1-го ружья;
P ( A | H 2 )  0,8 - вероятность попадания из 2-го ружья;
P ( A | H 3 )  0,9 - вероятность попадания из 3-го ружья.
Вероятность с первого раза поразить мишень по формуле полной вероятности равна:
n
2,45
1
P  A   P ( H i )  P ( A | H i )  0,75  0,8  0,9  
 0,82
3
3
i 1
Вероятность того, что стрелок стрелял из третьего ружья, найдём по
формуле Байеса:
P( H j )  P( A | H j )
P Hj|A  n
,
j  1, 2, ... , n.
 P( H i )  P( A | H i )


i 1
1
 0,9
9
3
P  H 3 | A 

 0,37 .
2,45 24,5
3
Ответ. 0,37.
5
Задача 4. Известно, что для одной футбольной команды вероятность
выиграть 3 матча из 5, и 2 матча из 4 равны 0,6. Найти вероятность выигрыша в одном матче.
Решение. Пусть событие А заключается в том, что «футбольная команда выиграла в матче»; Р(А) = p - вероятность выигрыша в одном матче.
Вероятность выигрыша k раз из nматчей можно найти по формуле Бернулли: Pnk ( A)  C nk p k q n  k , где q = 1 – p.
Вероятность выиграть 3 матча из 5:
5!
P53 ( A)  C53  p 3  q 2 
 p 3  q 2  10  p 3  q 2
3!  2!
Вероятность выиграть 2 матча из 4
4!
P42 ( A)  C 42  p 2  q 2 
 p2  q2  6  p2  q2
2!  2!
Поскольку эти вероятности равны друг другу и равны 0,6, то
10  p 3  q 2 = 6  p 2  q 2 = 0,6.
Откуда p = 0,6.
Ответ. 0,6.
Задача 5. Подбрасывается два раза монета. Случайная величина Х число «гербов», выпавших в двух бросаниях монеты. Составить закон распределения случайной величины Х. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X).
Решение. 1) Условия данной задачи удовлетворяют всем условиям
схемы Бернулли. Вероятность того, что «герб» выпадет в одном бросании
монеты, p = 0,5. Тогда q = 0,5.
Возможные значения случайной величины Х: х1  0 , х2  1 , х3  2 .
Вероятности этих значений найдём по формуле Бернулли:
Pnk ( A)  C nk p k q n  k , где q = 1 – p.
2
p1  P ( X  x1 )  P20 ( A)  C20  p 0  q 2 
2!
1
1
 q 2  1      0,25 ;
4
2!  0!
2
p 2  P ( X  x2 ) = P21 ( A)  C 21  p1  q1 
2! 1 1
1
1
   2      0,5 ;
1!  1! 2 2
2
2
2
2
2!
1
1
 p 2  1      0,25 .
4
2!  0!
2
Тогда таблица распределения случайной величины Х имеет вид:
p3  P ( X  x3 ) P22 ( A)  C 22  p 2  q 0 
6
Х
p
0
0,25
1
0,5
2
0,25
2) Случайная величина Х – дискретная, поэтому её математическое
n
ожидание М(Х) найдём по формуле: М(Х) =  xi  pi , откуда
i 1
1
1
1
 1   2   1.
4
2
4
3) Дисперсию D(X) случайной величины Х найдём по формуле:
М(Х) = 0 
n
D(X) =  xi2  pi  M ( X ) 2 ,
i 1
1
1
1
 1   4   1  0,5 .
4
2
4
4) Среднеквадратическое отклонение  ( X )  D( X )  0,5  0,7 .
5) Найдём функцию распределения F(X) = P ( X  x ) .
Если x  0 , то F(X) = P ( X  x ) = 0.
Если 0  x  1 , то F(X) = P ( X  x )  P ( X  0) = 0,25.
Если 1  x  2 , то F(X) = P ( X  x )  P ( X  0)  P ( X  1) = 0,75.
Если x  2 , то F(X) = P ( X  x )  P ( X  0)  P ( X  1)  P ( X  2) = 1.
Таким образом, функция распределения F(X) имеет вид:
если х  0;
0,
 0,25
если 0  х  1;

F x   
если 1  х  2;
0,75
1,
если х  2.
откуда D(X) = 0 
Задача 6. Дана функция распределения случайной величины Х.
0, если х  0;
 1
F  x    х 2 , если 0  х  2;
4
1, если х  2.
Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики функций
F(X) и f(X); в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) P  X  0.25  .
Решение. а) Плотность распределенияf(X) непрерывной случайной величины Х – это первая производная от функции распределения F(X):
f ( x)  F ( x) .
Поэтому
7
0, если х  0;
 1
f ( x)  F ( x) =  х, если 0  х  2;
2
0, если х  2.
б) Построим графики функций F(X) (рис. 8) и f(X) (рис. 9).
Рис. 9. График функции f(X)
Рис. 8. График функции F(X)
в) Математическое ожидание М(Х) непрерывной случайной величины
Х определяется равенством

M ( X )   x  f ( x)dx ,

где f(X) - плотность распределения случайной величины Х.
Поэтому
2

x3
12 2
12 2
4
M ( X )   0dx   x dx   0dx   x dx 
 .
20
20
6 0 3

2
0
г) Дисперсия D(X) непрерывной случайной величины Х определяется
равенством

D( X )   x 2  f ( x)dx  M ( X ) 2 ,

где f(X) - плотность распределения случайной величины Х.
Поэтому
2
2

12 3
12 3
16 x 4
16
16 2
4
D( X )   0dx   x dx   0dx      x dx  
 2  .
20
20
9
8 0 9
9 9
3

2
0
2
 0,47 .
3
е) Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х принимает
значение, принадлежащее интервалу (a, b), определяется равенством
д) Среднеквадратическое отклонение  ( X )  D( X ) 
8
b
P(a  X  b)   f ( x)dx .
a
2

x2
1 2
1 63
1

 0.98 .
Поэтому P  X  0.25  =  x dx   0dx 
2 0.25
4 0.25
64 64
2
Задача 7. Дана плотность распределения случайной величины Х:

0,
если х  0;



f  x   a sin 3 х, если 0  х  ;
3



0
,
если

.
x

3
Найдите: а) параметр а; б) функцию распределения F(X).
Решение. а) Для плотности распределения случайной величины Х выполняется следующее свойство:

 f ( x) dx  1 . Откуда

 /3
 /3
a
 a  sin 3x dx   3  cos 3 x
0
0
a
2
3
    1  1  a  1  a  .
3
3
2
б) Найдём функцию распределения F(X) = P ( X  x ) .
Если x  0 , то F(X) = P ( X  x ) = 0.
0 x
Если

3
,
то
F(X)
=
1,5  sin 3x dx 
0
x
1
1
 cos 3 x    cos 3 x  1 
2
2
0
1
= (1  cos 3 x) .
2

Если x 
x

, то F(X) = 1.
3
Таким образом, функция распределения F(X) имеет вид:

0,
если х  0;


1
F  x    (1  cos 3 х), если 0  х  ;
3
2


x
1
,
если

.

3
9
Задания к контрольной работе
Вариант 1
1. Эксперимент состоит в стрельбе по мишени два раза. Событие А – попадание в мишень первым выстрелом; событие В – попадание в мишень вторым выстрелом. Постройте множество элементарных исходов
и выявите состав подмножеств, соответствующих событиям: а) А  В ;
б) А В; в) А  В .
2. Телефонный номер состоит из 7 цифр. Найти вероятность того, что: а)
все цифры номера различны; б) в номере нет цифр 1, 2, 5, 8.
3. К кладу ведут три дороги. Вероятность погибнуть на первой дороге
равна 0,4; на второй – 0,7; на третьей – 0,8. Найти вероятность того, что
ковбой доберется до клада, при условии, что дорога выбирается наудачу.
4. В первом ящике 3 стандартных и 1 нестандартная деталь, во втором – 1
стандартная и 3 нестандартных детали, в третьем – 3 нестандартных
детали, стандартных деталей нет. Из наугад выбранного ящика взята
одна деталь, которая оказалась нестандартной. Вероятней всего, из какого ящика она извлечена?
5. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить
закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение и функцию распределения числа отказавших элементов в одном опыте.
6. Дана функция распределения F(Х) случайной величины Х
0, если x  0
 1
F  X    x, если 0  x  2,
  0,2;   0,6.
2

1, если x  2
Найти: а) плотность распределения f(Х); б) построить графики F(Х), f(Х);
в) математическое ожидание; г) дисперсию; д) среднеквадратическое отклонение; е) вероятность попадания случайной величины на интервал от
 до  .
0, если x  0;

7. Задана плотность распределения f(Х) = a sin x, если 0  x   ;
0, если x  

10
непрерывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию
распределения F(Х).
Вариант 2
1. Эксперимент состоит в бросании игральной кости. Пусть событие Апоявление больше четырех очков; событие В – появление больше, чем
3 очков и меньше, чем 6 очков; событие С - появление больше, чем 3
очков. Постройте множество элементарных исходов и выявите состав
подмножеств, соответствующих событиям: а) А  В ; б) А В ; в) АВ .
2. Телефонный номер состоит из шести цифр. Найти вероятность угадать
номер телефона, если известно, что среди его цифр нет 0, 5, 9?
3. Три оператора радиолокационной установки производят, соответственно 25%, 35%, 40% всех измерений, допуская ошибку с вероятностями 0,01; 0,03; 0,02 соответственно. Случайно проведенное измерение оказалось ошибочным. Вероятнее всего, какой оператор сделал это
измерение?
4. Вероятность попадания в мишень 0,3. Какова вероятность того, что при
30 выстрелах произойдет: а) 8 попаданий; б) не больше половины.
5. Вероятность промышленного содержания металла равна 0,02. Подлежит исследованию 10 проб руды. Найти закон распределения числа
проб с промышленным содержанием металла. Найти М(Х), D(X), σ(X) и
F(X), где X – число проб с промышленным содержанием металла.
6. Дана функция распределения F(X) случайной величины X. Найти: а)
плотность распределения f(X); б) построить графики функций F(X) и
f(X); в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) P   X    .
если x  0;
0,
 1

F  X    1  cos x , если 0  x   ;   0;   .
2
2
если x   .
1,
если x  2;
0,

7. Дана плотность распределения f(X) = a x  24  x , если 2  x  4;
0,
если x  4

непрерывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию
распределения F(X).
Вариант 3
1. Пусть А, В, С – случайные события, выраженные подмножествами одного и того же множества элементарных событий. В алгебре событий А, В,
С запишите такие события: а) из данных событий произошло только А;
11
б) произошло хотя бы одно из этих событий; в) произошло более одного
из данных событий.
2. Найти вероятность того, что номер наудачу выбранной машины, состоящий из 4-х цифр: а) не содержит одинаковых цифр; б) не содержит
цифр 0, 1, 2, 5, 6.
3. В скачках участвуют три лошади. Первая лошадь выигрывает скачки с
вероятностью 0,5, вторая – с вероятностью 0,8, третья – с вероятностью
0,4. Какова вероятность того, что лошадь, на которую поставил игрок,
придет первой, если лошадь выбирается наудачу?
4. На склад поступают изделия, изготовленные тремя заводами. Первый и
третий заводы изготавливают одинаковое количество продукции, а второй завод – вдвое больше. Вероятность того, что изделие стандартное
для первого, второго и третьего заводов равна соответственно 0,8, 06,
0,7. Наудачу взятое со склада изделие оказалось стандартным. Какова
вероятность того, что оно изготовлено первым заводом?
5. Игральная кость брошена 3 раза. Найти закон распределения числа выпадения шестерки. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X), где X – число выпадений шестерки.
6. Дана функция распределения F(X) случайной величины X. Найти: а)
плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) М(Х);
г) D(X); д) σ(X); е) P   X    .
0, если x  0;

F  X    х 2 , если 0  x  1;
  0,2;   0,5.
1, если x  1.

7. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х.
Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X).
если x  0;
0,

f(X) = a4 x  3, если 0  x  2;
0,
если x  2.

Вариант 4
1. Эксперимент состоит в бросании игральной кости. Пусть событие А –
появление трех очков, событие В – появление нечетного числа очков,
событие С – появление не больше пяти очков. Постройте множество
элементарных исходов и выявите состав подмножеств, соответствующих событиям:
а) А  В ;
б) АВ \ В ;
в) АВ .
2. Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судьи принимают правильное решение независимо друг от друга с вероятностью 0,8, а третий судья для принятия решения бросает монету. Окончательное реше12
ние принимается по большинству голосов. Какова вероятность того,
что жюри примет правильное решение?
3. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,2% брака, второй – 0,4% и третий – 0,1%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000 деталей, со второго – 2500 и с третьего – 3000 деталей.
4. Для сигнализации об аварии используются два вида сигнализаторов А1 и А-2, каждый из которых срабатывает с вероятностями, равными соответственно 0,8 и 0,9. Вероятность того, что устройство снабжено одним из этих сигнализаторов, равна соответственно 0,6 и 0,4. Получен
сигнал об аварии. Вероятнее всего, сигнализатором какого типа было
снабжено устройство?
5. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если произведено 5 выстрелов, а вероятность попадания при одном выстреле равна
0,3. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X), где X – число попаданий в цель.
6. Дана функция распределения F(X) случайной величины X. Найти: а)
плотность распределения f(X); б) построить графики функций F(X) и
f(X); в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) P   X    .


x

0
,
если
;

2





F  X   1  sin x, если
 x ;   ;   .
4
2
2

если x   .
1,

если x  0
0,

7. Дана плотность распределения f(X) = ax, если 0  x  5 непрерыв0,
если x  5

ной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X).
Вариант 5
1. Эксперимент состоит в бросании игральной кости. Пусть событие А –
появление нечетного числа очков, В – не появление трех очков, С – не
появление пяти очков. Постройте множество элементарных исходов и
выявите состав подмножеств, соответствующих событиям: а) АВС;
б) А  В ;
в) А В .
2. Три оператора радиолокационной установки производят соответственно 20%, 35%, 45% всех измерений допуская ошибку с вероятностью
13
0,1, 0,08, 0,15. Найти вероятность того, что случайно выбранное измерение будет ошибочным.
3. В городе распространяются только билеты лотерей «Лото лимон»,
«Лото апельсин», «Лото мандарин». Среди горожан, которые приобрели билеты, 25% отдали предпочтение «Лото лимон», 40% - «Лото
апельсин», остальные – «Лото мандарин». Билеты «Лимона» выигрывают с вероятностью 0,2, «Апельсина» - с вероятностью 0,15, «Мандарина» - 0,25. По телевидению был показан счастливчик, выигравший в
одну из лотерей. Вероятнее всего, билеты какого «Лото» он купил?
4. Рабочий обслуживает 4 однотипных станка. Вероятность того, что в
течение часа станок потребует регулировки, равна 1/3. Какова вероятность того, что в течение часа рабочему придется регулировать не более одного станка?
5. Вероятность приема сигнала равна 0,8. Сигнал передается 5 раз. Составить закон распределения числа передач, в которых сигнал будет принят. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X), где X – число передач, в которых
сигнал будет принят.
6. Дана функция распределения случайной величины X.
0, если x  0

  0,3;   0,7.
F  X    x, если 0  x  1,
1, если x  1

Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и
f(X); в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) P   X    .
если x  1
0,

7. Дана плотность распределения f(X) = ax, если 1  x  2 непрерыв0,
если x  2

ной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X).
Вариант 6
1. Электронная система содержит 3 транзистора, 4 конденсатора и 5 резисторов. Событие Т к - выход из строя к-го транзистора (к = 1, 2, 3), событие Сi - выход из строя i-го конденсатора (i = 1, 2, 3, 4), R j - выход
из строя j-го резистора (j = 1, 2, 3, 4, 5). Электронная схема считается
исправной, если одновременно исправны все транзисторы, не менее
двух конденсаторов и хотя бы один резистор. Записать в алгебре событий: событие А – схема исправна, и событие À .
2. На книжном стеллаже хранятся 20 томов собрания сочинений
Л.Н.Толстого. Библиотекарь наудачу выбирает несколько томов. Како14
ва вероятность того, что первая книга будет том №2, вторая – том №4,
третья – том №6, если: а) было взято 3 книги; б) взято 5 книг?
3. Прием больных проводят три врача – Иванов, Петров, Сидоров. Иванов
ставит верный диагноз в 50%, Петров - в 70%, Сидоров - в 60% случаев. Найти вероятность постановки неверного диагноза больному, если
он выбирает врача наудачу.
4. Рабочий обслуживает 3 станка, обрабатывающие однотипные детали.
Производительность 1-го станка в три раза больше производительности
2-го и в полтора раза больше производительности 3-го. Процент брака
для этих станков соответственно 2%, 4%, 1%. Наудачу взятая деталь,
изготовленная этим рабочим, оказалась бракованной. Какова вероятность того, что взятая деталь изготовлена на 1-ом станке?
5. Вероятность содержания опасной концентрации фенола в каждой пробе речной воды равна 0,3. Исследуется 10 проб. Составить закон распределения числа проб с опасным содержанием фенола. Найти М(Х),
D(X), σ(X) и F(X) этой случайной величины.
6. Дана
функция
распределения
0, если x  0
 2
x
F  X    , если 0  x  3,
  1;   2.
9

1, если x  3

случайной величины X. Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) P   X    .
a
x   ,   непрерывной
7. Дана плотность распределения f(X) =
1 x2
случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X).
Вариант 7
1. Эксперимент состоит в стрельбе по мишени два раза. Пусть событие А
– попадание в мишень первым выстрелом, событие В – попадание в
мишень вторым выстрелом. Постройте множество элементарных исходов и выявите состав подмножеств, соответствующих событиям: а) АВ;
б) А  В ; в) АВ  В .
2. Имеется 5 билетов стоимостью по 100 рублей, 3 билета – по 300 рублей
и 2 билета – по 500 рублей. Наугад берутся 3 билета. Определить вероятность того, что все 3 билета стоят 700 рублей.
3. В магазин поступили лампочки с трех заводов изготовителей. 800 с
первого, 1000 со второго, 1200 с третьего. Вероятность того, что лампа,
изготовленная первым заводом, перегорит, в течение первого часа ра15
боты, равна 0,08, вторым – 0,1, третьим – 0,15. Какова вероятность того, что купленная лампа сгорит в течение первого часа работы?
4. Для передачи сообщения по телеграфу используют сигналы «точка» и
«тире». Свойства помех таковы, что искажают 2/5 сигналов «точка» и
1/3 сигналов «тире». Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире» встречаются в отношении 5:3. При приеме сигнала был
принят сигнал «точка». Какой из сигналов вероятнее всего передавался?
5. Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа опробований при открытии замка, если
испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X), где X – числа опробований.
6. Дана функция распределения случайной величины X. Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) М(Х);
г) D(X); д) σ(X); е) P   X    .
0, если x  0


  0;    12.
F  X   sin 3x, если 0  x   ,
6

1, если x   6
если x  1
0,

7. Дана плотность распределения f  x   a2 x  1, если 1  x  2 непре0,
eссл x  2

рывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X).
Вариант 8
1. Пусть два баскетболиста по очереди бросает мяч в корзину до первого
попадания, но не более чем по три броска. Выигрывает тот, кто первый
забрасывает мяч. Событие Ак – первый баскетболист попадает при своем к-ом броске, Вк второй баскетболист попадает при своем к-ом броске. А – выигрывает первый баскетболист, В – выигрывает второй баскетболист. Первый баскетболист бросает первым. Определите состав
множества элементарных исходов и запишите события А и В в алгебре
событий.
2. Студенты Леонидов и Малиновский играет три партии в шахматы. Вероятности выигрыша в одной у каждого из них соответственно равны
0,3 и 0,2, вероятность ничьей равна 0,5. Какова вероятность выиграть
матч студентам Малиновским?
16
3. На трех станках изготавливается 10% всех деталей, на втором – 30%,
на третьем – 60%. Для каждой детали вероятность быть бездефектной
равна 0,7, если она изготовлена на первом станке, 0,8 – на втором, 0,9 –
на третьем. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь будет
без дефекта.
4. В партии 5 радиоприемников первого класса, 7 радиоприемников второго класса и 3 радиоприемника третьего класса. Вероятность, что радиоприемник проработает заданное количество часов для приемников
первого, второго и третьего, классов равна соответственно 0,4, 0,2, 0,1.
Наудачу выбранный приемник проработал заданное число часов. Какова вероятность того, что это был приемник первого класса?
5. Вероятность промышленного содержания никеля в каждой пробе руды
равна 0,03. Исследованию подлежит 5 проб. Составить закон распределения числа проб с промышленным содержанием никеля. Найти М(Х),
D(X), σ(X) и F(X) этой случайной величины.
6. Дана функция распределения случайной величины Х. Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) М(Х);
г) D(X); д) σ(X); е) P   X    .
если х   / 2;
0,

F  X    2 cos x, если /2  х  2 / 3,    / 2,   3 / 2
1,
если х  2 / 3.


0,
если x  0

1

7. Дана плотность распределения f(X) = a (6 x 2  4 x ), если 0  x 
3

1

0
,
если

x

3
непрерывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию
распределения F(X).
Вариант 9
1. В урне 2 черных, 3 красных и 1 белый шар. Пусть событие Ai - на удачу вынули i –й черный шар, B j –на удачу вынули j –й красный шар, С –
на удачу вынули белый шар. Вынули два шара. Выразить в алгебре событий. Следующие события: Е1 -оба шара разные; Е 2 - один шар белый,
другой красный; Е 3 –оба черные.
2. В зале насчитывается 20 мест, случайным образом занимают места 10
человек. Определить вероятность того, что будут заняты определенные
7 мест.
17
3. Вероятность быть избранным в Простоквашенскую Думу у дяди Федора равна 0,5, у кота Матроскина 0,8, у почтальона Печкина 0,7. Пес
Шарик безграмотный, поэтому он голосует на удачу. Какова вероятность того, что изберут того кандидата, за которого проголосовал Шарик.
4. Спортсмен выполняет семь бросков мячом по корзине. Вероятность
попадания мяча в корзину при каждом броске равна 0,6. Найти вероятность того, что спортсмен попадает в корзину не менее шести раз.
5. Составлять закон распределения числа попадания в цель, если произведено шесть выстрелов, а вероятность попадания при одном выстреле
равна 0,2. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X), где X – числа попаданий.
0, если х  0
 1
6. Дана функция распределения F  X    x, если 0  х  2,   0,   1
2
1, если х  2
случайной величины Х. Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) P   X    .
7. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х.
Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X).
если х   / 6
0,

f  X   a sin 3x, если /6  х   / 3
0,
если х   / 3

Вариант 10
1. Пусть А, В, С – случайные события, выраженные подмножествами одного и того же множества элементарных событий. В алгебре событий
А, В, С запишите такие события: а) произошло одно и только одно из
данных событий; б) произошло только событие С из данных событий;
в) не произошло ни одного из данных событий.
2. Из девяти билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди пяти на удачу взятых билетов два выигрышных.
3. Имеется три сорта пшеницы: 3 кг – 1-го сорта, 2 кг – 2-го, 1 кг – третьего. Всхожестью обладают 70% семян первого сорта, 80% - второго,90%
- третьего. Все семена были ссыпаны в один мешок. На удачу взятое
зерно проросло. Какова вероятность того, что это было семя первого
сорта?
4. В студии телевидения пять телевизионных камер. Для каждой камеры
вероятность того, что она включена в данный момент равна 0,6. Найти
вероятность того, что в данный момент включено не менее четырех камер.
18
5. Четыре студента повторно переписывают контрольную работу. Вероятность того, что первый студент перепишет равна 0,95, второй – 0,8
третий – 0,75, четвертый – 0,5. Составить закон распределения числа
студентов, которые перепишут контрольную работу. Найти М(Х), D(X),
σ(X) и F(X) этой случайной величины.
если х  0
0,
 2
х
6. Дана функция распределения F  X    , если 0  х  4,   1,   3
 16
если х  2
1,

случайной величины Х. Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) P   X    .

0,
если х  0



7. Дана плотность распределения f  X   a sin x, если 0  х 
непре2



если х 
0,
2
рывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X).
Вариант 11
1. Производится наблюдение за группой, состоящей из 4 однородных
объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен
или не обнаружен. Рассматриваются события: А – обнаружен ровно
один из 4 объектов; В – обнаружен хотя бы один объект; С – обнаружено не менее двух объектов; Д - обнаружено ровно два объекта; Н – обнаружены все 4 объекта. В чем состоят события: а) АВ; б) Д  Н ; в)
ВН? Совпадают ли события ВС и Д?
2. Для поражения цели достаточно трех попаданий, при двух попаданиях
вероятность поражения цели равна 0,6, при одном попадании – 0,3. Какова вероятность поразить цель, если три охотника стреляют залпом,
первый охотник попадает с вероятностью 0,8, второй – 0,7, третий –
0,4.
3. Детали, выпускаемые цехом, с вероятностями, равными 0,2, 0,3, 0,5 поступают одному из трех контролеров, вероятность обнаружить брак
для каждого из которых равна соответственно 0,7, 0,9 и 0,5. Случайно
взятая из числа проверяемых деталь оказалась бракованной. Вероятнее
всего, какой из контролеров обнаружил брак?
19
4. Вероятность рождения мальчика 0,515. Найти вероятность того, что в
семье из 5 детей не более двух мальчиков.
5. В лотерее из 100 билетов разыгрываются три вещи, стоимость которых
1500, 200 и 600 рублей. Составить закон распределения суммы выигрыша для лица, имеющего два билета. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X)
этой случайной величины.
6. Дана функция распределения случайной величины Х. Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) в) М(Х);
г) D(X); д) σ(X); е) P   X    .
если х  2
0,
 2
х  4
F X   
, если 2  х  3,   2,   2,5
5

если х  3
1,

если х  2
0,

7. Дана плотность распределения f  X   a х  2, если 2  х  3 непре0,
если х  3

рывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X).
Вариант 12
1. Эксперимент состоит в бросании игральной кости. Пусть событие: А1 –
появление четного числа очков; А2 – появление двух очков; А3 – появление четырех очков; А4 – появление шести очков. Докажите на вероятностном языке и на теоретико-множественном языке, что а) А2А3=Ø;
б) А1 А2 А4  А в) А1 А4  А2  А3 .
2. 10 вариантов контрольной работы распределяются случайным образом
среди 5 студентов, сидящих в одном ряду, причем каждый получает по
одному варианту. Найти вероятность того, что: а) варианты с номерами
1 и 2 останутся неиспользованными; б) варианты с номерами 1 и 2 достанутся рядом сидящим студентам; в) будут распределены последовательные номера вариантов.
3. На сборку поступило 3000 деталей, изготовленных первым автоматом,
2000 деталей – вторым. Первый автомат делает 0,2% брака, второй –
0,3%. Проверенная деталь оказалась бракованной. Вероятнее всего, какой из автоматов изготовил ее?
4. Вероятность отказа локомотива на линии за время полного оборота составляет 0,01. Найти вероятность того, что в 8 поездок произойдет не
более двух отказов локомотива на линии.
20
5. Составить закон распределения числа попаданий мячом в корзину при
трех бросках, если вероятность попадания при одном броске равна 0,6.
Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X) числа попаданий мячом в корзину.
функция
распределения
6. Дана

0,
если х  0




F  X   sin x, если 0  х  ,   0,   случайной величины Х. Най2
6



если х 
1,
2
ти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X);
в) в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) P   X    .

0,
если х  0



7. Дана плотность распределения f  X   a sin 2 x, если 0  х 
2



если х 
0,
2
непрерывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию
распределения F(X).
Вариант 13
1. Производится наблюдение за группой, состоящей из четырех однородных объектов. Каждый из них, за время наблюдений, может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события: А – обнаружен
ровно один из четырех объектов; В – обнаружен хотя бы один объект:
С – обнаружено не менее двух объектов; D – обнаружены все четыре
объекта. В чем состоят события: а) А  В , б) В  С , в) ВС, г) совпадают ли события BD и С?
2. Из урны, содержащей три белых, два черных и пять красных шаров,
наудачу без возвращения извлекают три шара. Найти вероятность обнаружить среди них один черный и два белых.
3. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и форсированном. Нормальный режим наблюдается в 90% случаев работы приборов.
Вероятность выхода прибора из строя при нормальном режиме равна
0,08, а при форсированном - 0,8. Во время работы прибор вышел из
строя. В каком режиме это вероятнее всего случилось?
4. В розыгрыше первенства по футболу участвует 18 команд, из которых
случайным образом формируются две группы по 9 команд. Среди участников соревнований имеется 5 команд экстра класса. Найти вероят21
ность того, что все команды экстра класса попадут в одну и ту же
группу.
5. Стрелок ведет стрельбу до первого попадания, имея боезапас 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Составить
закон распределения числа израсходованных патронов. Найти М(Х),
D(X), σ(X) и F(X), где Х -число израсходованных патронов.
0, если х  1
 2
x
6. Дана функция распределения F  x    , если 1  х  5   1,   3
 25
1, если х  5

случайной величины Х. Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) P   X    .
0, если х  1

7. Дана плотность распределения f  x   ax, если 1  х  3 непрерывной
0, если x  3

случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X).
Вариант 14
1. По мишени производится три выстрела. Рассматриваются события Аi –
попадание при i-м выстреле (i= 1, 2, 3). В алгебре событий выразить
следующие события: А – все три промаха; В – хотя бы одно попадание;
С – не меньше двух попаданий; Д – попадание в мишень не раньше,
чем в третьем выстреле.
2. Буквенный замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых
разделен на 5 секторов, отмеченных идущими подряд натуральными
числами. Замок открывается только в том случае, когда цифры образуют соответствующую комбинацию. Найти вероятность открыть замок,
установив произвольную комбинацию цифр. Какова вероятность открыть замок, если известно, что кодовая комбинация содержит цифры
1, 2, 3, 5 и цифры не повторяются?
3. Вор знает, что квартира оборудована одним из трех типов сигнализации. Они срабатывают с вероятностью 0,5, 0,8, 0,9. Какова вероятность
того, что при взломе сигнализация сработает, если вероятности того,
что квартира оборудована i-м типом сигнализации, равны.
4. В скачках участвуют три лошади. Первая лошадь приходит первой с
вероятностью 0,6, вторая – с вероятностью 0,4, а третья – 0,5. 30% зрителей на ипподроме ставят на первую лошадь, 18% - на вторую, остальные – на третью. Ваш случайный знакомый выиграл. На какую
лошадь он вероятнее всего делал ставку?
22
5. Монета бросается 5 раз. Составить закон распределения числа появлений гербов. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X) числа появлений гербов.
6. Дана функция распределения случайной величины Х.
если х  1
0,
 1
F  x    х 2  х , если 1  х  2   1,2,   1,5
2
если х  2
1,


Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X);
в) в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) P   X    .
если х  0
0,

7. Дана плотность распределения f  x   a2 х  1, если 0  х  1
0,
если x  1

непрерывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию
распределения F(X).
Вариант 15
1. Пусть событие Г – появление герба в i-м бросании монеты, Р – появление решки в i-м бросании монеты. Монету подбрасывают два раза. Постройте множество элементарных исходов и выявите состав подмножеств, соответствующих событиям: А – выпало два герба; В – выпал
герб и решка; С – в первом бросании выпал герб, во втором бросании
герб не выпал; Д – не разу не выпал герб.
2. На сортировочном пункте в ожидании подачи на подъездной путь стоят 6 вагонов для различных пунктов. Определить вероятность того, что
вагоны стоят в нужном для подачи порядке. Найти вероятность того,
что первые два вагона стоят в нужном для подачи порядке.
3. В группе из 25 студентов есть три человека, которые занимаются боксом, 10 человек – футболом, 5 – спортивной гимнастикой, остальные 7
человек посещают только уроки физкультуры. Какова вероятность того, что среди трех наудачу выбранных студентов есть хотя бы один, занимающийся гимнастикой. Какова вероятность того, что среди наудачу
выбранных трех студентов один занимается боксом, другие два футболом?
4. Патроны у охотников снабжены капсюлями трех типов. Причем 40%
патронов снабжены капсюлями первого типа, 50% - второго и 10% третьего типа. Капсюли первого типа дают осечку с вероятностью 0,1,
второго - с вероятностью 0,15, третьего - с вероятностью 0,2. Охотник
зарядил ружье патронами взятыми наудачу. Оно дало осечку. Какова
вероятность, что в патроне был капсюль первого типа ?
5. При штамповке математических клемм получается в среднем 99% годных. В выпущена партия из 900 клемм. Найти закон распределения
23
числа негодных клемм. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X) этой случайной
величины.
6. Дана функция распределения случайной величины Х.
если х  0
0,

F  x   sin 2 x, если 0  х   / 4   0,    / 6
1,
если х   / 4

Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X);
в) в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) P   X    .
0,
если х  2

 a
7. Дана плотность распределения f  x   
, если - 2  х  2 непре2
 4x
0,
если x  2

рывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X).
Вариант 16
1. Машинно-котельная установка состоит из двух котлов и одной машины. Событие А - исправна машина; Вk – исправен к-й котел (к = 1, 2); С
– установка работает (исправна машина и хотя бы один котел). Выразить событие С и С через А и Вk .
2. Найти вероятность того, что пятизначный номер случайно встретившийся автошины: а) не содержит одинаковых цифр; б) содержит цифру
3.
3. Рабочий обслуживает три стакана, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого стакана равна 0,1 для
второго - 0,05, для третьего - 0,15. Обработанные детали складываются
в один ящик. Производительность первого станка в два раза больше
производительности третьего, второго - в три раза больше, чем третьего. Найти вероятность того, что на удачу взятая деталь будет бракованной.
4. В первой группе студентов 2-го курса экономического факультета 28
человек, во второй группе - 24 человека, в третьей – 20 человек. Была
проведена контрольная работа по теории вероятностей. В первой группе 50% получили оценку «отлично», во второй - 75%, в третей-85%.
Студент Иваников получил «5». В какой группе он вероятнее всего
учился?
5. Предполагая одинаковыми вероятности рождения мальчика и девочке,
составить закон распределения случайной величины Х, которая выражает число мальчиков в семье, имеющей пять детей.
24
6. Дана
функция
распределения

0,
если х  0




случайной величины Х.
F  x   2 sin x, если 0  х 
  0,  
6
4



1
,
если
х


6
Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и
f(X); в) в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) P   X    .

0, если х  0

1

7. Дана плотность распределения f  x   ax, если 0  х  непрерывной
3

1

0, если x  3
случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X).
Вариант 17
1. Пусть А, В, С – случайные события, выраженные подмножествами одного и того же множества элементарных событий. В алгебре событийА,
В, С запишите такие события: а) произошло одно и только одно из данных событий; б) произошло только событие С из данных событий; в)
не произошло ни одного из данных событий.
2. Из девяти билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди пяти на удачу взятых билетов два выигрышных.
3. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и форсированном. Нормальный режим наблюдается в 90% случаев работы приборов.
Вероятность выхода прибора из строя при нормальном режиме равна
0,08, а при форсированном - 0,8. Во время работы прибор вышел из
строя. В каком режиме это вероятнее всего случилось?
4. Для стрелка в тире вероятность попасть в «яблочко» при одном выстреле не зависит от результатов предшествующих выстрелов и равна
0,25. Спортсмен сделал 5 выстрелов. Найти вероятность не менее трех
попаданий.
5. В партии из 6 деталей 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения Х – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X) числа стандартных деталей
среди отобранных.
25
6. Дана функция распределения F(Х) случайной величины Х. Найти: а)
плотность распределения f(Х); б) построить графики F(Х), f(Х); в) математическое ожидание; г) дисперсию; д) среднеквадратическое отклонение; е) вероятность попадания случайной величины на интервал от
 до  .
0, если x  0
 1
  0,2;   0,6.
F  X    x, если 0  x  2,
2

1, если x  2
0, если x  0

7. Задана плотность распределения f(Х)= a sin x, если 0  x   . непре0, если x  

рывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(Х).
Вариант 18
1. Опыт состоит в бросании двух монет. Рассматриваются следующие события: А – появление герба на первой монете; В – появление хотя бы
одной цифры; С – появление герба на второй монете; Д – появление
одного герба и одной цифры; Е – появление хотя бы одного герба. Определить, каким событиям второго списка равносильны следующие события: а) А  С ; б) АС; в) ЕВ; г) Д  Е .
2. Группа, состоящая из 8 человек, занимает места с одной стороны прямоугольного стола. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом, если: а) число мест равно 8; б) число мест равно 12.
3. К кладу ведут 4 дороги. Вероятность погибнуть на первой дороге равна
0,2, на второй – 0,4, на третьей – 0,2, на четвертой – 0,4. Найти вероятность того, что кладоискатель не доберется до клада, если дорога выбирается неудачу.
4. Имеется возможность вложить деньги в акции одного из трех предприятий. Вероятность того, что акции первого предприятия в течение месяца упадут, равна 0,5, второго – 0,3, третьего – 0,7. Известно, что купленные акции упали в цене. Какова вероятность, что это были акции
первого предприятия, если вопрос: «Акции какого предприятия покупать?» решался наудачу.
5. Охотник, имея 6 патронов, стреляет в дичь до первого попадания. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,7 и убывает с каждым выстрелом на 0,1. Составить закон распределения израсходованного боезапаса. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X) израсходованного боезапаса.
6. Дана функция распределения случайной величины Х
26
0, если х   / 2

F  x   cos x, если   / 2  х  0    / 2,    / 6
1, если х  0

Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X);
в) в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) P   X    .
если х  0
0,

7. Дана плотность распределения f  x   a4 x  1, если 0  х  2 непре0,
если x  2

рывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X).
Вариант 19
1. Машинно-котельная установка состоит из двух котлов и одной машины. События: А – машина исправна; Вк – исправен к-й котел (к=1, 2); С
– установка работает, если исправна машина и хотя бы один котел. Выразить события С, С через А, Вк.
2. Найти вероятность того, что пятизначный номер случайно встретившейся автомашины: а) не содержит одинаковых цифр; б) содержит
цифру 7.
3. Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,1, для
второго – 0,05, для третьего – 0,15. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в два раза больше
производительности третьего, второго - в три раза меньше, чем третьего. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракованной.
4. В первой группе студентов второго курса 26 человек, во второй группе
- 24 человека, в третьей – 20 человек. Была проведена контрольная работа по теории вероятностей. В первой группе 10% получили оценку
«отлично», во второй – 15%, в третьей – 18%. Студент Петров получил
«отлично». В какой группе он вероятнее всего учился?
5. Предполагая одинаковыми вероятности рождения мальчика и девочки,
составить закон распределения случайной величины Х, которая выражает число мальчиков в семье, имеющей 5 детей.
функция
распределения
случайной
величины
Х.
6. Дана
если х  0
0,

F  x   2 sin x, если 0  х   / 6   0,    / 4
1,
если х   / 6

Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X);
в) в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) P   X    .
27
0, если х  0

7. Дана плотность распределения f  x   ax, если 0  х  1/ 3 непрерыв0, если x  1/ 3

ной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X).
Вариант 20
1. Опыт состоит в бросании двух монет. Рассматриваются следующие события: А - появление герба на первой монете, В – появление герба на
второй монете, Д - появление цифры на второй монете, Е – появление
двух гербов. Определить, каким событиям данного списка равносильны
следующие события: а) В  Д ; б) АВ; в) ДЕ; г) А  Е .
2. Телефонный номер состоит из 6 цифр. Найти вероятность того, что а)
все цифры номера различны, б) в номере нет цифр 0, 1, 2, 5.
3. Производится залп из трех орудий по мишени. Вероятности попадания
из каждого орудия по мишени соответственно равны 0,2, 0,3, 0,4. Найти вероятность того, что будет ровно два попадания.
4. Возле дома есть три телефона-автомата. Первый сломан с вероятностью 0,5, второй – с вероятностью 0,3, третий – 0,7. Человек выбрал телефон-автомат на удачу и он оказался исправным. Какова вероятность,
что это был второй телефон-автомат.
5. Пять элементов электрической цепи соединены последовательно. Один
из них вышел из строя. С целью устранения неисправности элементы
цепи поочередно заменяются на заведомо годные. После замены одного элемента сразу проверяют работу цепи. Составить закон распределения числа замен элементов. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X) этой случайной величины.
6. Дана функция распределения случайной величины Х.
если х  1
0,
 3
F  x     х  1, если  1  х  1 / 3   1,   0
4
если х  1 / 3
1,
Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X);
в) в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) P   X    .
если х  0
0,

7. Дана плотность распределения f  x   a1  х , если 0  х  1 непре0,
если x  1

рывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X).
28
Вариант 21
1. Пусть А, В, С – случайные события, выраженные подмножествами одного и того же множества элементарных событий. В алгебре событий
запишите следующие события: Д - произошло два из данных событий;
Е – произошли все три события; К – произошло не более двух из данных событий.
2. Буквальный замок содержит на общей оси 6 дисков, каждый из которых разделен на 8 секторов, отмеченных идущими подряд натуральными числами от 1 до 8. Замок открывается только в том случае, когда
цифры образуют определенную комбинацию. Найти вероятность открыть замок, установив произвольную комбинацию цифр. Какова вероятность открыть замок, если известно, что кодовая комбинация не содержит цифр 2, 4 и цифры не повторяются?
3. На склад поступает продукция с трех фабрик. Продукция первой фабрики составляет 25%, второй - 30% и третьей - 45% от общего количества. Средний процент брака для первой фабрики равен 3%, для второй
– 5%, для третьей – 2%. Найти вероятность того, что наудачу взятое
изделие будет бракованным.
4. В саду растут три яблони. С первой яблони собрали 60% всего урожая
яблок, со второй – 30%, с третьей – 10%. Известно, что для яблока с
первой яблони вероятность быть червивым равна 0,05, со второй яблони – 0,09, а для третьей яблони – 0,2. Весь урожай был уложен в один
контейнер. Наудачу взятое яблоко оказалось червивым. Вероятнее всего, с какой яблони оно было?
5. В партии из 6 деталей 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения Х – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X) числа стандартных деталей
среди отобранных.
0, если х  0
 2
x
6. Дана функция распределения F  x    , если 0  х  2   1,   1,5
4
1, если х  2

случайной величины Х. Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) P   X    .
если х  2
0,

7. Дана плотность распределения f  x   a 6 х 2  х  8 , если 2  х  4 не0,
если x  4



прерывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию
распределения F(X).
29
Вариант 22
1. Эксперимент состоит в бросании игральной кости. Пусть событие А1 появление четного числа очков; А2 – появление двух очков; А3 – появление четырех очков; А4 – появление шести очков. Докажите на вероятностном языке и на теоретико-множественном языке, что:
а) А1 А4  А2  А3 ; б) А1 А2 А3 А4  Ø; в) А1А2=А2.
2. Телефонный номер состоит из 7 цифр. Найти вероятность того, что все
цифры номера различны. Какова вероятность угадать номер телефона,
если известно, что среди его цифр нет 9 и 6?
3. Среди квартир, оборудованных сигнализацией, 30% оборудованы сигнализацией типа С-1, 50% - типа С-2, остальные – сигнализацией типа
С-3. С-1 дает сбой с вероятностью 0,3, С-2 – с вероятностью 0,15, С-3 –
с вероятностью 0,01. При попытке взлома сигнализация сработала.
Найти вероятность того, что квартира была оборудована сигнализацией
типа С-2.
4. В ящике имеется 5 синих и 50 красных шаров. Какова вероятность того, что при 10 независимых выборах с возвращением 3 раза будет выниматься синий шар?
5. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4. Составить
закон распределения числа выстрелов, производимых до первого поражения цели. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X) этой случайной величины.
0, если х  0
 2
x
6. Дана функция распределения F  x    , если 0  х  3   1,   2
9
1, если х  3

случайной величины Х. Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) P   X    .
если х  0
0,

7. Дана плотность распределения f  x   a2 х  1, если 0  х  1 непре0,
если x  1

рывной случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X).
Вариант 23
1. Пусть А, В, С– три события, наблюдаемые в данном эксперименте. Выразите в алгебре событий А, В, С следующие события: Е1 – из трех событий произошло хотя бы одно; Е2 – из трех событий произошло ровно
два; Е3 – из трех событий не произойдет ни одного.
30
2. Для уменьшения общего количество игр 14 команд спортсменов по
жребию разбиваются на две группы. Определить вероятность того, что
две наиболее сильные команды окажутся в одной группе.
3. На сборку попадает детали, изготовление 3 станочниками. Первый станочник допускает 0,9 % брака, второй - 0,7%, третий - 0,5%. Найти вероятность попадания на сборку качественной детали, если первый станочник изготовил 400 деталей, второй - 700, третий - 900 деталей.
4. Пара одинаковых игральных костей бросается 7 раз. Какова вероятность того, что сумма очков равная 7 , выпадает дважды?
5. Радиосигнал передан 5 раз. Вероятность приема одного радио сигнала
равна 0,7. Составить закон распределения случайной величины Х - числа принятых радиосигналов. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X) этой случайной величины.
если х  2
0,
 1
6. Дана функция распределения F  x    х  1, если 2  х  4   2,   3
2
если х  4
1,
случайной величины Х. Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) P   X    .
0, если х  0

7. Дана плотность распределения f  x   aх, если 0  х  1 непрерывной
0, если x  1

случайной величины Х. Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X).
Вариант 24
1. Производится наблюдение за группой, состоящей из 4-х однородных
объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен
или не обнаружен. Рассматриваются события: А – обнаружен ровно
один из 4-х объектов; В – обнаружен хотя бы один объект; С – обнаружено не менее двух объектов; Д - обнаружено ровно два объекта; Н –
обнаружены все 4 объекта. В чем состоят события: а) АВ; б) Д  Н ; в)
ВН? Совпадают ли события ВС иД?
2. Найти вероятность того, что четырехзначный номер случайно встретившейся автомашины: а) не содержит одинаковых цифр; б) не содержит цифру 2.
3. В тире имеются 3 ружья, вероятности попадания из которых соответственно равны 0,7, 0,8, 0,9. Стрелок взял одно из них наудачу и с первого
раза поразил мишень. Какова вероятность того, что он стрелял из первого ружья?
31
4. Известно, что для одной волейбольной команды вероятность выиграть
3 партии из 5, и 2 партии из 4 равны 0,6. Найти вероятность выигрыша
в одной партии.
5. Вероятность производства нестандартных деталей равна 0,15. Из партии контролер берет деталь и проверяет ее качество. Если она нестандартная, то испытания прекращаются и партия задерживается. Если
деталь стандартная, то контролер берет следующую и т.д. Но всего он
проверяет не более 4-х деталей. Составить закон распределения числа
проверяемых деталей. Найти М(Х), D(X), σ(X) и F(X) этой случайной
величины.
если х  1
0,
 2
 х 1
6. Дана функция распределения F  x   
, если 1  х  2  ,   1,5
3

если х  2
1,

случайной величины Х. Найти: а) плотность распределения f(X); б) построить графики F(X) и f(X); в) в) М(Х); г) D(X); д) σ(X); е) P   X    .
7. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х

0,
если х  0



f  x   a cos 2 х, если 0  х 
4



x
0
,
если


4
Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(X).


Вариант 25
1. Производится наблюдение за группой, состоящей из 5-ти однородных
объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен
или не обнаружен. Рассматриваются события: А – обнаружен ровно
один из 5-ти объектов; В – обнаружен хотя бы один объект; С – обнаружено не менее двух объектов; Д – обнаружено ровно два объекта; Н
– обнаружены все пять объектов. В чем состоят события: а) АВ; б)D 
H; в) ВН? Совпадают ли события ВС и D?
2. Найти вероятность того, что четырехзначный номер случайно встретившейся автомашины: а) не содержит одинаковых цифр; б) содержит
цифру 1.
3. Выход из строя за время t элементов электрической цепи – независимые события, имеющие соответственно следующие вероятности: Р 1
=0,3; Р 2 =0,33; Р 3 =0,35; Р 4 =0,4. Определить вероятность разрыва цепи
за указанный промежуток времени.
32
4. В тире имеются 3 ружья, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Стрелок взял одно из них наудачу и при одном выстреле поразил мишень. Какова вероятность, что он стрелял из
первого ружья?
5. Вероятность производства нестандартной детали равна 0,1. Из партии
контролер берет деталь и проверяет ее на качество. Если она оказывается нестандартной, дальнейшие испытания прекращаются, а партия
задерживается. Если деталь окажется стандартной, то контролер берет
следующую и т.д. Но всего он проверяет не более 3-х деталей. Найти
M(X); D(X);  (Х) и F(Х) этой случайной величины.
6. Дана функция распределения F(Х) случайной величины Х.
0, если х  2,

 2
x  4
F(x) = 
, если 2  х  3,   1,   1,5,
5

1, если х  3.


Найти: а) плотность распределения f (Х); б) построить графики функций F(Х) и f (Х); в) M(X); г) D(X); д)  (Х); е) P (   X   ).
7. Дана плотность распределения f (x) непрерывной случайной величины
Х.

 0,
если х  0,



f ( x )  а cos 2 х, если 0  х  ,
4

.

0
,

если
х

4
Найти: а) параметр а; б) функцию распределения F(Х).
33
Список литературы
Основная литература
1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е.
Гмурман. – 9-е изд., стер.- М.: Высшая школа, 2009.-479с.: ил.- ISBN 5-06004214-6.
2. Геворкян, П.С. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс] : учеб. пособие / П.С. Геворкян, А.В. Потемкин, И.М. Эйсымонт.
— Электрон. дан. — Москва : Физматлит, 2016. — 176 с. — Режим доступа:
https://e.lanbook.com/book/91142.
Дополнительная литература
1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [Текст]: учеб. пособие / В.Е. Гмурман. - 11-е изд, перераб.
- М.: Высшая школа, 2008. - 404 с.
2. Буре, В.М. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный
ресурс]: учеб. / В.М. Буре, Е.М. Парилина. — Электрон. дан. — СанктПетербург
:
Лань,
2013.
—
416
с.
—
Режим
доступа:
https://e.lanbook.com/book/10249.
3. Туганбаев, А.А. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс] : учеб. пособие / А.А. Туганбаев, В.Г. Крупин. — Электрон. дан. —
Санкт-Петербург : Лань, 2011. — 320 с. — Режим доступа:
https://e.lanbook.com/book/652.
4. Теория вероятностей и математическая статистика: методические указания к
выполнению РГР для студентов по всем направлениям бакалавриата / сост. А.В.
Ялаев. – Нижневартовск, 2016. – 54 с.
34