МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет “ЛЭТИ” им. В. И. Ульянова (Ленина) (СПбГЭТУ «ЛЭТИ») Кафедра теоретических основ электротехники Отчет по лабораторной работе № 9 по дисциплине «ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ» Тема: «ИССЛЕДОВАНИЕ ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫХ ЦЕПЕЙ» Студент гр. Преподаватель Санкт-Петербург 2024 г. Лабораторная работа № 9 «ИССЛЕДОВАНИЕ ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫХ ЦЕПЕЙ » Цель работы экспериментальное определение параметров двух индук- тивно связанных катушек и проверка основных соотношений индуктивно связанных цепей при различных соединениях катушек. Основные теоретические положения Схема замещения двух индуктивно связанных катушек, удовлетворительно учитывающая электромагнитные процессы в диапазоне низких и средних частот, представлена на рис. 9.1, где 𝐿1 , 𝑅1 и 𝐿2 , 𝑅2 – индуктивности и сопротивления соответственно первой и второй катушек; M – их взаимная индуктивность. Степень магнитной связи двух катушек определяется коэффициентом связи: 𝑘= |𝑀| √𝐿1 𝐿2 = 𝑥𝑀 √𝑥1 𝑥2 где 𝑥1 = 𝜔𝐿1 , 𝑥2 = 𝜔𝐿2 – индуктивные сопротивления катушек; 𝑥𝑀 = 𝜔|𝑀|– сопротивление взаимной индуктивности; при этом: 0 ≤ 𝑘 ≤ 1. В режиме гармонических колебаний (в установившемся синусоидальном режиме) уравнения цепи на рис. 9.1 имеют вид: Знак M и 𝑥𝑀 определяется выбором положительных направлений токов I1 и I2 . Для выбранных направлений токов 𝑀 > 0, если включение катушек согласное, и 𝑀 < 0, если включение встречное. Способ включения катушек устанавливается с помощью однополярных выводов, отмеченных «звездочками»: если токи катушек направлены одинаково относительно однополярных выводов (например, как показано на рис. 9.1), то катушки включены согласно; в противном случае включение встречное. Параметры уравнения (9.2) могут быть определены из двух опытов холостого хода, в одном из которых 𝐼2 = 0, в другом 𝐼1 = 0; осуществляют эти опыты размыканием соответствующей пары внешних выводов катушек. Если используют катушки достаточно высокой добротности (𝜔𝐿 ≫ 𝑅 ), то при определении индуктивностей допустимо пренебречь активными сопротивлениями обмоток катушек, т. е. считать 𝑅1 = 0 и 𝑅2 = 0; ошибка при этом будет несущественной с точки зрения инженерной практики. Полагая в уравнениях (9.2) сначала 𝐼2 = 0, а затем 𝐼1 = 0, при условии 𝑅1 = 𝑅2 = 0 получаем соответственно: На (рис. 9.2, а) показано последовательное соединение двух индуктивно связанных катушек. В этом случае 𝐼1̇ = 𝐼2̇ = 𝐼,̇ 𝑈̇1 + 𝑈̇2 = 𝑈̇ и из уравнений (9.2) при 𝑅1 = 𝑅2 = 0 находим выражение эквивалентной индуктивности: Для параллельного соединения (рис. 9.2, б) 𝐼1̇ + 𝐼2̇ = 𝐼 ,̇ 𝑈̇1 = 𝑈̇2 = 𝑈̇. Разрешая систему уравнений (9.2) относительно токов с учетом 𝑅1 = 𝑅2 = 0, можно получить выражение эквивалентной индуктивности: В выражениях (9.4), (9.5) 𝑀 > 0 при согласном и 𝑀 < 0 при встречном включениях катушек. Рассматривая трансформатор как четырехполюсник, можно его передающие свойства характеризовать функциями передачи напряжений и токов. Положив 𝑈2̇ = −𝑍𝐻 𝐼2̇ , из уравнений (9.2) при R1 R2 0 получаем: В случае активной нагрузки (𝑍𝐻 = 𝑅𝐻 ) модуль функции передачи по напряжению (АЧХ) Обработка результатов измерений 9.2.1. Определение индуктивностей катушек, взаимной индуктивности и коэффициента связи Рис. 1 Таблица 1 Номер Наблюдают Вычисляют катушки U1, B U2, В I, мА x, Ом L, Гн xм, Ом |М|, Гн 1 2 1,48 11,96 167.2 0,027 123.7 0.02 2 0,69 2 5,65 354 0.056 122.1 0.019 𝜔 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑓 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 1000 = 6283 рад/с, где 𝑓 = 1 кГц Для первой катушки: 𝑥1 = 𝑈1 2 = = 167.2 Ом 𝐼1 11,96 ∗ 10−3 𝑥1 167.2 = = 0.027 Гн 𝜔 6283 𝑈2 1,48 𝑥м1 = = = 123.7 Ом 𝐼1 11,96 ∗ 10−3 𝐿1 = |𝑀1 | = 𝑥м1 123.7 = = 0.02 Гн 𝜔 6283 Для второй катушки: 𝑥2 = 𝑈2 2 = = 354 Ом 𝐼2 6,07 ∗ 10−3 𝑥2 354 = = 0.056 Гн 𝜔 6283 𝑈1 0.75 𝑥м2 = = = 122.1Ом 𝐼2 6,98 ∗ 10−3 𝐿2 = |𝑀2 | = 𝑥м2 122.1 = = 0.019 Гн 𝜔 6283 Коэффициент связи: 𝑘= 𝑥м1 +𝑥м2 𝑥м ср √𝑥1 ∗ 𝑥2 = 2 √𝑥1 ∗ 𝑥2 123.7+122.1 = 2 √167.2 ∗ 354 = 0.505 9.2.2. Исследование последовательного соединения индуктивно связанных катушек Рис. 2 Таблица 2 Включение Наблюдают U, В Вычисляют U1, В U2, В I, мА I, мА U1, В U2, В LЭ, Гн Встречное 2 0,32 1,69 7,33 7.264 0.322 1.678 0.044 Согласное 2 0,74 1,24 2,67 2.607 0.757 1.243 0.122 𝑥м1 + 𝑥м2 123.7 + 122.1 = = 122.93 Ом 2 2 |М1 | + |М2 | 0.02 + 0.019 = = 0,0195 Гн |Мср | = 2 2 𝑥м ср = Для согласного включения: 𝐿Э = 𝐿1 + 𝐿2 + 2|Мср | = 0.027 + 0.056 + 2 ∗ 0.0195 = 0.122 Гн I= 𝑈 2 = = 2.607 мА 𝜔 ∗ 𝐿Э 6283 ∗ 0.122 𝑈1 = 𝐼 ∗ (𝑥1 + 𝑥м ср ) = 2.607 ∗ 10−3 ∗ (167.2 + 122.93) = 0.757 В 𝑈2 = 𝐼 ∗ (𝑥2 + 𝑥м ср ) = 2.607 ∗ 10−3 ∗ (354 + 122.93) = 1.243 В Для встречного включения: 𝐿Э = 𝐿1 + 𝐿2 − 2|Мср | = 0.027 + 0.056 − 2 ∗ 0.0195 = 0.044 Гн I= 𝑈 2 = = 7.264 мА 𝜔 ∗ 𝐿Э 6283 ∗ 0.044 𝑈1 = 𝐼 ∗ (𝑥1 − 𝑥м ср ) = 7.264 ∗ 10−3 ∗ (167.2 − 122.93) = 0.322 В 𝑈2 = 𝐼 ∗ (𝑥2 − 𝑥м ср ) = 7.264 ∗ 10−3 ∗ (354 − 122.93) = 1.678 В 9.2.3. Исследование параллельного соединения индуктивно связанных катушек Рис. 3 Таблица 3 Включение Наблюдают Вычисляют U, В I, мА I, мА LЭ, Гн Согласное 1 6,23 6.246 0.025 Встречное 1 17,36 17.401 9.146 ∙ 10−3 Для согласного включения: 2 0.027 ∗ 0.056 − 0.01952 𝐿Э = = = 0.025 Гн 𝐿1 + 𝐿2 − 2|Мср | 0.027 + 0.056 − 2 ∗ 0.0195 𝐿1 𝐿2 − |Мср | I= 𝑈 1 = = 6.246 мА 𝜔 ∗ 𝐿Э 6283 ∗ 0.025 Для встречного включения: 2 0.027 ∗ 0.056 − 0.01952 𝐿Э = = = 9.146 мГн 𝐿1 + 𝐿2 + 2|Мср | 0.027 + 0.056 + 2 ∗ 0.0195 𝐿1 𝐿2 − |Мср | I= 𝑈 1 = = 17.401 мА 𝜔 ∗ 𝐿Э 6283 ∗ 9.146 ∙ 10−3 9.2.4. Исследование АЧХ функции передачи трансформатора по напряжению Рис. 4 Таблица 4 Нагрузка Rн1 = 112 Ом Нагрузка Rн2 = 967 Ом 𝐻𝑈 (𝑓) = 𝑈2 /𝑈1 f, кГц U1, В U2, В Опыт Расчет 𝐻𝑈 (𝑓) = 𝑈2 /𝑈1 U1, В U2, В Опыт Расчет 0.1 1 0.57 0.57 0.716 1 0.66 0.66 0.735 0.2 1 0.59 0.59 0.665 1 0.72 0.72 0.734 0.3 1 0.53 0.53 0.601 1 0.72 0.72 0.733 0.4 1 0.49 0.49 0.535 1 0.72 0.72 0.731 0.5 1 0.44 0.44 0.476 1 0.72 0.72 0.728 0.6 1 0.4 0.4 0.425 1 0.72 0.72 0.726 0.7 1 0.36 0.36 0.381 1 0.72 0.72 0.722 0.8 1 0.33 0.33 0.345 1 0.72 0.72 0.718 0.9 1 0.3 0.3 0.314 1 0.72 0.72 0.714 1 1 0.27 0.27 0.287 1 0.69 0.69 0.709 2 1 0.15 0.15 0.153 1 0.64 0.64 0.645 3 1 0.1 0.1 0.103 1 0.55 0.55 0.569 4 1 0.08 0.08 0.078 1 0.5 0.5 0.497 5 1 0.06 0.06 0.062 1 0.43 0.43 0.435 6 1 0.05 0.05 0.052 1 0.38 0.38 0.383 7 1 0.04 0.04 0.045 1 0.34 0.34 0.341 8 1 0.03 0.03 0.039 1 0.3 0.3 0.306 9 1 0.03 0.03 0.035 1 0.28 0.28 0.277 10 1 0.02 0.02 0.031 1 0.25 0.25 0.253 Для первой нагрузки: |Мср | ∗ 𝑅𝐻1 𝐻 (𝑓) = 𝐿 ∗𝑅𝐻1 2 2𝜋𝑓 ∗ √(𝐿1 𝐿2 − |Мср |2 )2 + ( 1 2𝜋𝑓 ) Рис. 5 - График теоретической (красный) и экспериментальной (синий) АЧХ трансформатора по напряжению при нагрузке 112 Ом Для второй нагрузки: 𝐻 (𝑓) = |Мср | ∗ 𝑅𝐻2 𝐿 ∗𝑅𝐻2 2 2𝜋𝑓 ∗ √(𝐿1 𝐿2 − |Мср |2 )2 + ( 1 2𝜋𝑓 ) Рис. 6 - График теоретической (красный) и экспериментальной (синий) АЧХ трансформатора по напряжению при нагрузке 967 Ом Пример расчёта для 𝑓 = 1 кГц. И для 𝑅н = 111 Ом. Опыт 𝐻𝑢 (𝜔) = 𝑈2 0,27 = = 0,27. 𝑈1 1 Расчёт 𝐻𝑢 (𝜔) = = |𝑀|𝑅н 𝜔√(𝐿1 𝐿2 − 𝑀2 )2 + (𝐿1 𝑅н ⁄𝜔)2 = 0,0195 ∙ 2 2𝜋 ∙ 1000 ∙ √(0.027 ∙ 0.056 − 0,01952 )2 + (0.027 ∙ 112⁄2𝜋 ∙ 1000)2 = 0.287. Ответы на вопросы. 1) Как установить правильность выполнения проведенных исследований? В первом опыте правильность измерений можно проверить путём вычисления индуктивного сопротивления взаимной индукции для первой и второй катушки. Если они равны, то вычисления произведены верно. Второй опыт проверяется с помощью закона напряжения Кирхгофа, то есть напряжение на входе цепи будет равно сумме напряжений на каждой из катушек. Третий опыт проверяют сравнения теоретического и практического значения тока на входе цепи. Четвёртый опыт проверяется с помощью теоретической формулы для коэффициента передачи. 2) Как практически разместить однополярные выводы двух индуктивно связанных катушек? Практически определить согласное или встречное включение можно по величине входного тока при неизменной величине напряжения (поменять выводы одной из катушек местами и сравнить величину тока с предыдущим). Если ток меньший, то это соответствует согласному режиму, ток при этом направлен симметрично с однополярными выводами катушки. Однополярные выводы на схеме изображаются звёздочками. 3). При каком соотношении между параметрами катушек L1, L2, M напряжение одной из них в режиме гармонических колебаний при последовательном соединении катушек и встречном включении будет отставать от тока? Пусть, например, напряжение на первой катушки отстаёт от тока. Определим, что для этого нужно. Пусть 𝑈̇ = 𝑈, 𝑧1 = 𝑗(𝑥1 − 𝑥𝑚 ), 𝑧2 = 𝑗(𝑥2 − 𝑥𝑚 ) 𝐼̇ = 𝑈̇ 𝑈𝑒 −𝑗90° = . 𝑧1 + 𝑧2 𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥𝑚 𝑈̇1 = 𝐼 𝑧̇ 1 = 𝑈(𝑥1 − 𝑥𝑚 ) 𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥𝑚 Пусть, например, выполняется такое условие 𝐿1 < |𝑀| < 𝐿2 что означает 𝑥1 < 𝑥𝑚 < 𝑥2 Тогда 𝑥1 − 𝑥𝑚 < 0, 𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥𝑚 > 0, что значит, что 𝑈̇1 = 𝑈(𝑥𝑚 − 𝑥2 ) −𝑗180° 𝑒 𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥𝑚 Отсюда, 𝛼𝑢 = −180°, 𝛼𝑖 = −90°. Таким образом, напряжение отстает от тока. В итоге, 𝐿1 < |𝑀| < 𝐿2 4) Почему АЧХ трансформатора падает в области низких и высоких частот? В какой частотной области исследуемый трансформатор приближается к идеальному? Почему на нулевой частоте сигнал через трансформатор к нагрузке не проходит? Идеальный трансформатор производит таким деление и умножение тока, образом реальный трансформатор близок к идеальному на частотах, где АЧХ близко к прямой. На высоких частотах происходит уменьшение за счёт того, что увеличивается индуктивное сопротивление катушки, а при низких частотах наблюдается спад, так как при малой частоте сопротивление взаимной индукции вызывает шунтирующее действие, то есть её сопротивление стремится к 0, а так как она параллельна на эквивалентной схеме замещения нагрузке, то в нагрузке будет меньший ток, что приведет уменьшению напряжения. По этой же причине не нулевой частоте ток к нагрузке не проходит (сопротивление взаимной индукции равно 0 (аналог короткому замыканию нагрузки) 5) Чем объяснить резкое расхождение расчетных и опытных значений |HU(jω)| при ω->0? Резкое расхождение в опыте и в расчёте при частотах, стремящихся к нулю, объясняется тем, что при расчёте рассматривался трансформатор, для которого не учитывались активное сопротивление обмотки и перемагничивание сердечника. Выводы. Проделав данную лабораторную работу, были экспериментально определили параметры двух индуктивно-связанных катушек и проверены основные соотношений индуктивно-связанных цепей при различных соединениях катушек. Были определены все основные параметры индуктивно связанных катушек, которые в дальнейшем позволили вычислить токи и напряжения на них при параллельном и последовательном включении. Кроме того, эти значения позволили вычислить теоретическую АЧХ, которая практически не отличается от экспериментальной. Также видим, что рассчитанные значения токов и напряжений не сильно расходятся с экспериментальными данными.
