123456

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего образования
«Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»
им. В.И. Ульянова (Ленина)» (СПбГЭТУ «ЛЭТИ»)
Кафедра Автоматики и процессов управления
Курсовая работа по дисциплине
«Моделирование объектов и систем управления»
Тема: « Моделирование системы управления частотой
вращения ротора парового турбоагрегата »
Задание 2,
Преподаватель: Душин С.Е.
Студент гр.
Санкт-Петербург
2024 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Структурная схема управления ............................................................................................3
1.
1.1.
Математическое описание системы ..............................................................................3
1.2.
Структурная схема системы ..........................................................................................5
Структурная схема в MATLAB/Simulink.............................................................................6
2.
2.1.
Общий вид .......................................................................................................................6
2.2.
Подсистема «Объект управления» ................................................................................6
2.3.
Подсистема «Паропровод и регулировочный клапан» ...............................................7
2.4.
Подсистема «Исполнительный механизм» ..................................................................8
2.5.
Подсистема «Электромеханический преобразователь» .............................................8
3.
Положения равновесия в номинальном и заданном режимах ...........................................9
4.
Поиск альтернативных положений равновесия ................................................................10
4.1.
Аналитическое исследование существования нескольких состояний равновесия 10
4.2.
Проверка значений векторов равновесных состояний, полученных аналитически
11
5.
Анализ поведения системы при переходе с номинального режима на заданный .........13
6.
Выбор метода и шага численного интегрирования ..........................................................16
7.
Синтез регулятора «в большом» .........................................................................................18
8.
Линеаризация системы ........................................................................................................20
9.
Синтез регулятора «в малом» .............................................................................................22
10. Сравнительный анализ процессов в нелинейной системе с регуляторами,
синтезированными в нелинейной и линеаризованной системах ............................................24
11.
Дискретизация ПФ регулятора........................................................................................26
12. Сравнительный анализ процессов в нелинейной системе с непрерывным и
дискретным регуляторами ..........................................................................................................27
13.
Заключение........................................................................................................................29
Список использованных источников .....................................................................................30
2
1. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА УПРАВЛЕНИЯ
1.1.
Математическое описание системы
Объект управления определяется следующими уравнениями:
• Уравнение вращающихся масс
Tа
dn
= M вт + M нт − M н − M тр ,
dt
где Tà =10 с. – постоянная времени ротора турбоагрегата; n – частота вращения
ротора; M вт , M нт – моменты вращения ротора, создаваемые паром частей
турбины высокого и низкого давления, причем
M вт = (0,408n 2 − 1,224n + 1,326) P1 = H1P1 ,
M нт = (0,424n 2 − 1,272n + 1,378) P1 = H 2 P1.
Уравнения моментов вращения целесообразно объединить в один
вращающий момент ротора турбины
M т = M вт + M нт = HP1 ,
где H = F (n) = 0,832n 2 − 2,496n + 2,704 – использованный теплоперепад;
M тр , M н – моменты постоянного трения и нагрузки, причем M тр = 0,04 ;
M н = F1 (n) = kн n 2 ; kн [0  1] , kн
– коэффициент нагрузки ( kн = 1 –
номинальное значение);
• Уравнение паропровода
Tп
dP1
+ P1 = Gрк ,
dt
где Tп = 0,1 с – постоянная времени паропровода; P1 – давление перед соплами
турбины;
• Уравнение регулировочного клапана

Gрк = Gрк
P2 ,
3
где Gрк – массовый расход пара через регулировочный клапан; P2 – давление
пара, поступающего из внешней паровой емкости (внешнего парового объема
(ВПО)), P2 = 1 – номинальное значение.

Характеристика регулировочного клапана Gрк = Fрк (m1 ) задается (см. вариант
задания):

Б. Gрк
= 0,5m1 + 0,6m12 − 0,1m13 ;
• Уравнение
исполнительного
механизма
обеспечивающего перемещение регулирующего клапана
Tим
(сервомотора),
dm1
+ m1 = S1 ,
dt
где Tим = 0,1 с – постоянная времени сервомотора; m1 – перемещение клапана,
причем 0  m1  1 ; S1 – перемещение золотника сервомотора.
• Уравнение электромеханического преобразователя
2 d
Tэмп
2
S1
dt 2
+ 2Tэмп
dS1
+ S1 = u1 ,
dt
𝑇 2 эмп 𝑠 2 𝑆1 (𝑠) + 2𝜉𝑇эмп 𝑠𝑆1 (𝑠) + 𝑆1 (𝑠) = 𝑈1 (𝑠),
𝑊эмп (𝑠) =
где
Tэмп = 0,02
с
𝑆1 (𝑠)
1
= 2
,
𝑈1 (𝑠) 𝑇 эмп 𝑠 2 + 2𝜉𝑇эмп 𝑠 + 1
–
постоянная
времени
электромеханического
преобразователя;  = 0,7 – коэффициент затухания; u1 – управляющее
напряжение регулятора W1уу ;
• Уравнение элемента сравнения
e1 = f1 − n ,
где f1 – постоянное задающее воздействие от задатчика, f1 = 1 .
4
Управляющее устройство (регулятор), передаточная функция
W1уу ( s )
которого, подлежит определению, должно обеспечивать требуемое поведение
системы при полном или частичном сбросе нагрузки (в зависимости от
варианта задания), характеризуемой коэффициентом kн , причем статическая
ошибка нулевая.
1.2.
Структурная схема системы
На основании представленных выше уравнений составим структурную
схему системы управления. Изобразим схему управления на рисунке 1.1. Ниже
описаны характеристики звеньев, представленные в форме передаточных
функций (или в виде функции в случае нелинейного элемента).
Рисунок 1.1 – Структурная схема системы управления
𝑊оу (𝑠) =
1
∗ (𝑀т (𝑠) − 𝑀н (𝑠) − 𝑀тр );
𝑇а 𝑠
𝑃1 (𝑠)
1
=
;
𝐺рк (𝑠) 𝑇п 𝑠 + 1
𝑊п (𝑠) =
𝐺кт (𝑚1 , 𝑃2 ) = (0.5𝑚1 + 0.6𝑚1 2 − 0.1𝑚1 3 )𝑃2 ;
𝑊им (𝑠) =
𝑊эмп (𝑠) =
уу
𝑀1 (𝑠)
1
=
;
𝑆1 (𝑠) 𝑇им 𝑠 + 1
𝑆1 (𝑠)
1
= 2
;
𝑈1 (𝑠) 𝑇 эмп 𝑠 2 + 2𝜉𝑇эмп 𝑠 + 1
𝑊2 = 𝑘п +
1
, 𝑘 = 1, 𝑇и = 1;
𝑇и 𝑠 п
e1 = f1 − n
5
2. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА В MATLAB/SIMULINK
2.1.
Общий вид
Представим все системы (ОУ, паропровод, ИМ, ЭМП) в виде подсистем.
Нелинейный элемент зададим функцией MATLAB. Для моделирования
регулятора используем блок «PID controller». Расставим блоки Scope для
наблюдения за переходными процессами системы. Общая модель
представлена на рисунке 2.1.
Рисунок 2.1 – Система в MATLAB/Simulink
2.2.
Подсистема «Объект управления»
Модель подсистемы «Объект управления» приведена на рисунке 2.2.
Передаточная функция (ПФ) была представлена набором интеграторов для
возможности задания начальных условий (это относится и к остальным
подсистемам, описываемым ниже). Функции моментов 𝑀т и 𝑀н были
представлены в виде функциональных блоков с двумя входами и следующими
программами:
function Mt = fcn(n, P1)
Mt = (0.832*n^2 - 2.496*n + 2.704) * P1;
function Mn = fcn(n, kn)
Mn = kn*n^2;
ПФ ОУ:
𝑊оу (𝑠) =
1
∗ (𝑀т (𝑠) − 𝑀н (𝑠) − 𝑀тр );
𝑇а 𝑠
6
Рисунок 2.2 – Модель подсистемы «Объект управления»
2.3.
Подсистема «Паропровод и регулировочный клапан»
Модель подсистемы «Паропровод и регулировочный клапан» приведена
на рисунке 2.3. ПФ паропровода была представлена в виде апериодического
звена 1-го порядка, а массовый расход пара 𝐺рк – в виде функционального
блока с двумя входами и следующей программой:
function Gpk = fcn(m1, P2)
Gpk = (0.5*m1 + 0.6*m1^2 - 0.1*m1^3) * P2;
ПФ паропровода и функция регулировочного клапана:
𝑊п (𝑠) =
𝑃1 (𝑠)
1
=
;
𝐺рк (𝑠) 𝑇п 𝑠 + 1
𝐺кт (𝑚1 , 𝑃2 ) = (0.5𝑚1 + 0.6𝑚1 2 − 0.1𝑚1 3 )𝑃2 ;
Рисунок 2.3 – Модель подсистемы «Объект управления»
7
2.4.
Подсистема «Исполнительный механизм»
Модель подсистемы «Исполнительный механизм» приведена на
рисунке 2.4. ПФ ИМ представляет собой апериодическое звено 1-го порядка:
𝑊им (𝑠) =
𝑀1 (𝑠)
1
=
;
𝑆1 (𝑠) 𝑇им 𝑠 + 1
Рисунок 2.4 – Модель подсистемы «Исполнительный механизм»
2.5.
Подсистема «Электромеханический преобразователь»
Модель
подсистемы
«Электромеханический
преобразователь»
приведена на рисунке 2.5. ПФ ЭМП представлена в виде апериодического
звена 2-го порядка:
𝑊эмп (𝑠) =
𝑆1 (𝑠)
1
= 2
;
𝑈1 (𝑠) 𝑇 эмп 𝑠 2 + 2𝜉𝑇эмп 𝑠 + 1
Рисунок 2.5 – Модель подсистемы «Электромеханический преобразователь»
8
3. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В НОМИНАЛЬНОМ И
ЗАДАННОМ РЕЖИМАХ
Найдем значение скорректированного вектора равновесия.
Для этого воспользуемся командой trim пакета MATLAB. Входным
параметром функции является наименование mdl-файла, а выходными –
координаты точки равновесия в фазовом пространстве X, а также
установившиеся значения входного и выходного сигналов u и y.
Возвращаемое значение dх должно стремиться или быть равно нулю. Сведем
значения параметров и выходов функции trim в таблицу 3.1.
Программа:
x0= [n0; P10; m10; S10; u10; dS1dt0];
u0= [f1];
y0= [n0];
ix= [];
iu= [1];
iy= [1];
[x,u,y,dx] = trim('Project_MSU',x0,u0,y0,ix,iu,iy)
Параметры
системы
n0
1
1
Положение
равновесия и
изменяемые
параметры
системы
1
1
1
1
P10
1
m10
1
S10
1
u10
dS1dt0 f1 kn P2 kp
1
1
1
1
1
1
Номинальный режим
1
1
1
1
70
1
1
1
1
С номинального режима на заданный
1
1
1
1
70
1 0.3 0.8
1
С номинального режима на заданный с вариацией Ti
1
1
1
1
70
1 0.3 0.8
1
С номинального режима на заданный с вариацией kp
1
1
1
1
70
1 0.3 0.8 10
С номинального режима на заданный с вариацией kp и Ti
1
1
1
1
70
1 0.3 0.8 10
Ti
1
1
1
10
1
10
Таблица 3. 1
Исходя из данных таблицы 3.1, использование в качестве начальных
условий вектора, предложенного в исходных данных, позволило получить
значения вектора равновесного состояния при номинальном и заданном
значениях 𝑃2 и 𝑘н .
Получаем вектор равновесия:
𝑛уст = 1; 𝑃1уст = 1; 𝑚1уст = 𝑢1уст = 𝑆1уст = 1.
9
4. ПОИСК АЛЬТЕРНАТИВНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ
4.1.
Аналитическое исследование существования нескольких
состояний равновесия
Пребывание системы в положении равновесия характеризуется
неизменностью значения переменной выхода (кроме того, по условию задачи
установившаяся ошибка должна обращаться в ноль). В состоянии равновесия
входы интеграторов должны быть равны нулю, то есть производная каждого
уравнения равна 0. Кроме того, заметим, что в установившемся режиме
𝑚1уст = 𝑢1уст = 𝑆1уст . Это следует из теоремы о конечном значении оригинала:
𝑆1уст = 𝑙𝑖𝑚
𝑠→0
𝑢1уст
𝑠
1
∗ 2
𝑇эмп ∗𝑠 2 +2∗𝜍∗𝑇эмп ∗𝑠+1
𝑚1уст = 𝑙𝑖𝑚
𝑠→0
𝑆1уст
𝑠
∗
1
𝑇им ∗𝑠+1
∗ 𝑠 = 𝑢1уст ,
∗ 𝑠 = 𝑆1уст .
Составим выражение для ОУ, с учетом, что 𝑃1уст = 1; 𝑘н = 1:
𝑀т − 𝑀н − 𝑀тр = 0;
(0.832𝑛2 − 2.496𝑛 + 2.704)𝑃1 − 𝑘н 𝑛2 − 0.04 = 0;
−0.168𝑛2 − 2.496𝑛 + 2.7 = 0;
Решив квадратное уравнение, получаем два корня, из которых по физическим
соображениям подходит только один:
𝑛1 = 1; 𝑛2 = −15.87.
Составим выражение для паропровода, с учетом, что 𝑃1уст = 1; 𝑃2 = 1:
(0.5𝑚1 + 0.6𝑚12 − 0.1𝑚13 )𝑃2 − 𝑃1 = 0;
0.13𝑚1 + 3.25𝑚12 − 2.08𝑚13 − 1 = 0;
Найдем решение кубического уравнения, построив график функции,
представленный на рисунке 4.1. Получаем три точки пересечения с осью
абсцисс, из которых только одна удовлетворяют условию задания 0≤ 𝑚1 ≤ 1.
Найденное значение практически совпадает с тем, которое было высчитано
функцией trim.
10
Рисунок 4.1 – График функции 𝐺рк
Получаем вектор равновесия:
𝑛уст = 1; 𝑃1уст = 1; 𝑚1уст = 𝑢1уст = 𝑆1уст = 0.96;
4.2.
Проверка значений векторов равновесных состояний, полученных
аналитически
Хотя уже было показано, что альтернативные положения равновесия на
практике недостижимы, проверим, достижимы ли они в модели. Для этого
снова воспользуемся функцией trim и сведем результаты ее работы в таблицы
4.1 - 4.3.
Параметры
системы
Положение
равновесия и
изменяемые
параметры
системы
n0
-15,87
P10
1
1
1
1
1
n0
1
P10
1
1
1
1
1
m10
1
S10 u10 dS1dt0 f1 kn
1
1
1
1
1
Номинальный режим
1
1
1
70
1
1
С номинального режима на заданный
1
1
1
70
1 0.3
P2
1
kp
1
Ti
1
1
1
1
0.8
1
1
P2
1
kp
1
Ti
1
1
1
1
0.8
1
1
Таблица 4. 2
Параметры
системы
Положение
равновесия и
изменяемые
параметры
системы
m10 S10 u10 dS1dt0 f1 kn
-1,55 -1,55 -1,55
1
1
1
Номинальный режим
-1.53 -1.53 -1.53 -107.57 1
1
С номинального режима на заданный
-1.53 -1.53 -1.53 -107.57 1 0.3
Таблица 4. 2
11
Параметры
системы
Положение
равновесия и
изменяемые
параметры
системы
n0
1
P10
1
1
1
1
1
m10
6,51
S10 u10 dS1dt0 f1 kn
6,51 6,51
1
1
1
Номинальный режим
6,53 6,53 6,53 457.31
1
1
С номинального режима на заданный
P2
1
kp
1
Ti
1
1
1
1
6,53
0.8
1
1
6,53
6,53
457.31
1
0.3
Таблица 4. 3
Анализируя полученные результаты, можно заключить, что
альтернативные равновесные состояния достижимы в модели при
положительных значениях параметров. При моделировании системы с
отрицательными начальными условиями MATLAB выдает ошибку и
прекращает работу. При моделировании системы с 𝑚1уст = 𝑢1уст = 𝑆1уст =
6.51 мы получили новый вектор равновесия:
𝑛уст = 1; 𝑃1уст = 1; 𝑚1уст = 𝑢1уст = 𝑆1уст = 6.53.
12
5. АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ ПРИ ПЕРЕХОДЕ С
НОМИНАЛЬНОГО РЕЖИМА НА ЗАДАННЫЙ
В качестве метода моделирования выбираем метод с фиксированным
шагом Рунге-Кутта 4-го порядка (ode4). Для этого необходимо в, встроенной
в MATLAB/Simulink, функции Solver открыть окно настроек: выставить
фиксированный тип шага, выбрать нужный метод, указать шаг
интегрирования h=0.0001 и время t=50с, как показано на рисунке 7.
Рисунок 5.1 – Параметры моделирования
Моделирование процессов в среде Simulink заняло 17.4844 секунд и дало
результаты, представленные на рисунках 5.2 – 5.4. Анализируя полученные
графики, можно заметить, что расчетное положение равновесия было
достигнуто.
Рисунок 5.2 – Выход ПИ-регулятора при моделировании номинального
режима (ode4)
13
Рисунок 5.3 – Выход ИМ при моделировании номинального режима (ode4)
Рисунок 5.4 – Выход ОУ при моделировании номинального режима (ode4)
Моделирование процессов в среде Simulink заняло 20.9531 секунд и дало
результаты, представленные на рисунках 5.5 – 5.7.
Из графиков видно, что переходные процессы характеризуются
достаточно небольшим перерегулированием и временем регулирования, не
превышающим 30 секунд. При этом достигается рассчитанное ранее
положение равновесия (отклонение не превышает десятитысячных долей).
14
Рисунок 5.5 – Выход ПИ-регулятора при моделировании перехода с
номинального режима на заданный (ode4)
Рисунок 5.7 – Выход ИМ при моделировании перехода с номинального
режима на заданный (ode4)
Рисунок 5.7 – Выход ОУ при моделировании перехода с номинального
режима на заданный (ode4)
15
6. ВЫБОР МЕТОДА И ШАГА ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Применим различные методы численного интегрирования, доступные в
Simulink, для моделирования процессов в системе. Зафиксируем для каждого
критическое значение шага интегрирования, при котором еще сохраняется
устойчивость численного метода и качество процессов. Сведем полученные
значения в таблицу 6.1.
Метод интегрирования
Одношаговые
t
hmax
Эйлера (ode1)
4.0312
0.021
Хойна (ode2)
3.3125
0.037
Рунге-Кутта(ode4)
3.2156
0.045
Дорманда-Принса (ode8)
3.1094
0.097
5.2188
0.01
Многошаговые
Адамса (ode113)
Таблица 6. 1
По таблице 6.1. можно сделать вывод, что самым быстрым методом с
точки зрения времени моделирования является одношаговый метод ДормандаПринса восьмого порядка точности - ode8. Помимо высокой скорости
моделирования ode8 обеспечивает относительно малую погрешность
моделирования сравнительно с другими методами, представленными в
таблице.
Приведем графики переходных процессов, получаемых при
использовании указанного метода и шага интегрирования ℎ = 0. 097, на
рисунках 6.1 - 6.3.
Рисунок 6.1 – Выход ПИ-регулятора при моделировании перехода с
номинального режима на заданный (ode8)
16
Рисунок 6.2 – Выход ИМ при моделировании перехода с номинального
режима на заданный (ode8)
Рисунок 6.3 – Выход ОУ при моделировании перехода с номинального
режима на заданный (ode8)
17
7. СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА «В БОЛЬШОМ»
Начнем
выбор
параметров
с
определения
коэффициента
при
интегральной составляющей. Зафиксируем коэффициент 𝑘𝑝 = 0 (оставим
только интегральную составляющую регулятора) и пронаблюдаем, как
коэффициент при интегральной составляющей регулятора влияет на качество
переходных процессов. В ходе моделирования будем фиксировать следующие
показатели: перерегулирование 𝜎, время регулирования 𝑡рег , обобщенный
показатель 𝐼 = 0.5𝑡рег + 0.5𝜎.
Для более жесткого определения показателей качества зададим 3%-зону
установления.
Результаты моделирования занесем в таблицу 7.1.
0,1
0,5
1
3
5
10
Расход./Колеб.
9,400
42,776
27,088
17,900
51,028
34,464
21,100
45,492
33,296
25,300
34,418
29,859
0,1
-
-
-
-
-
0,5
-
-
-
-
-
1
-
-
-
-
-
3
-
-
-
-
-
5
-
-
-
-
-
10
-
-
12,500
39,955
26,228
12,000
49,955
30,978
11,100
38,127
24,614
10,200
19,067
14,634
7,500
9,000
8,250
6,000
8,246
7,123
3,900
5,477
4,689
-
-
-
𝜎
𝑡рег
𝐼
0
Таблица 7.1
По итогам моделирования при 𝑇𝑖 ≤ 0.1 процессы в системе расходятся.
При 𝑇𝑖 = 1 значение обобщенного показателя уменьшается, а после –
увеличивается. Опираясь на этот факт, примем значение 𝑇𝑖 = 1 за «отправную
точку» при подборе коэффициента 𝑘𝑝 .
18
При увеличении 𝑘𝑝 перерегулирование и время регулирования
уменьшаются. Остановились на 𝑘𝑝 = 10, потому что при больших значениях
коэффициента на входе появляются колебания.
Таким образом были определены параметры регулятора 𝑘𝑝 = 10, 𝑇𝑖 = 1
и его ПФ:
𝑊р (𝑠) = 10 +
1 10𝑠 + 1
=
.
𝑠
𝑠
Переход с номинального режима на заданный характеризуется
следующими значениями показателей качества: 𝜎 = 3,9%, 𝑡рег = 5.477 с 𝐼 =
4,689.
На рисунках 7.1 – 7.2 приведем графики переходных процессов при
различных значениях 𝑘𝑝 и 𝑇𝑖 .
Рисунок 7.1 – Переходные процессы при 𝑘𝑝 = 0, 𝑇𝑖 = 0.1 и 𝑇𝑖 = 1
Рисунок 7.2 – Переходные процессы при 𝑇𝑖 = 1, 𝑘𝑝 = 1 и 𝑘𝑝 = 10
19
8. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ
По условию задания система управления – нелинейная. Нелинейные
элементы: 𝑀н (𝑛), 𝑀т (𝑛, 𝑃1 ), 𝐺рк (𝑚1 ). Для линеаризации системы необходимо
все эти функции привести к линейному виду. Воспользуемся методом
разложения функции двух переменных в ряд Тейлора до линейных членов в
точке равновесия системы.
𝑛0 ≈ 1; 𝑃10 ≈ 1; 𝑚10 ≈ 1;
1)
𝑀 т (𝑛, 𝑃1 ) = (0.832𝑛2 − 2.496𝑛 + 2.704)𝑃1 ;
𝑑𝑀т (𝑛, 𝑃1 )
т
т
𝑀 лин (𝑛, 𝑃1 ) = 𝑀 (𝑛0 , 𝑃10 ) +
∗ (𝑛 − 𝑛0 ) +
𝑑𝑛
𝑑𝑀т (𝑛, 𝑃1 )
+
∗ (𝑃1 − 𝑃10 );
𝑑𝑃1
Посчитаем частные производные в точках:
𝑑𝑀т (𝑛, 𝑃1 )
= 0.832 ∗ 2 ∗ 1 − 2.496 ∗ 1 = −0.832;
𝑑𝑛
𝑑𝑀т (𝑛, 𝑃1 )
= 0.832 ∗ 1 − 2.496 ∗ 1 + 2.704 = 1.04;
𝑑𝑃1
𝑑𝑀т (𝑛, 𝑃1 )
т (𝑛
𝑀 0 , 𝑃10 ) =
= 1.04;
𝑑𝑃1
Подставим значения в выражение:
𝑀т лин (𝑛, 𝑃1 ) = 1.04 − 0.832(𝑛 − 𝑛0 ) + 1.04(𝑃1 − 𝑃10 ) =
= 1.04 − 0.832𝑛 + 0.832 + 1.04𝑃1 − 1.04;
𝑀т лин (𝑛, 𝑃1 ) = −0.832𝑛 + 1.04𝑃1 + 0.832.
2)
𝑀н (𝑛) = 𝑘н 𝑛2 ;
𝑑𝑀н (𝑛0 )
𝑀нлин (𝑛) = 𝑀н (𝑛0 ) +
∗ (𝑛 − 𝑛0 ) = 𝑘н + 2𝑘н 𝑛 − 2𝑘н = 2𝑘н 𝑛 − 𝑘н ;
𝑑𝑛
3)
𝐺рк (𝑚1 ) = (0.5𝑚1 + 0.6𝑚1 2 − 0.1𝑚1 3 )𝑃2 ;
𝐺рклин (𝑚1 ) = 𝐺рк (𝑚10 ) +
𝑑𝐺рк (𝑚10 )
∗ (𝑚1 − 𝑚10 );
𝑑𝑚1
20
𝑑𝐺рк (𝑚10 )
= 0.5 ∗ 1 + 0.6 ∗ 2 ∗ 1 − 0.1 ∗ 3 ∗ 1 = 1.4;
𝑑𝑚1
𝐺рк (𝑚10 ) = (0.5 ∗ 1 + 0.6 ∗ 1 − 0.1 ∗ 1) ∗ 1 = 1
𝐺рклин (𝑚1 ) = 1 + 1.4(𝑚1 − 1) = 0.3𝑚1 − 0.4
На рисунках 8.1 – 8.2 представим участки линеаризованной системы.
Рисунок 8.1 – Линеаризованная схема ОУ
Рисунок 8.2 – Линеаризованная схема паропровода и регулировочного
клапана
21
9. СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА «В МАЛОМ»
В структурную схему линеаризованной системы был добавлен ПИ
регулятор в виде блока Simulink «PID Controller». С помощью инструмента
PID Tuner были подобраны оптимальные коэффициенты при П и И
составляющих регулятора (параметры ПИ-регулятора представлены на
рисунке 9.1).
Рисунок 9.1 – Параметры ПИ-регулятора
Синтезированный регулятор обеспечил
представленные на рисунках 9.2 – 9.4.
переходные
процессы,
Рисунок 9.2 – Выход ПИ-регулятора при моделировании перехода с
номинального режима на заданный (синтез «в малом»)
22
Рисунок 9.3 – Выход ПИ-регулятора при моделировании перехода с
номинального режима на заданный (синтез «в малом»)
Рисунок 9.3 – Выход ПИ-регулятора при моделировании перехода с
номинального режима на заданный (синтез «в малом»)
ПФ ПИ-регулятора:
𝑊р (𝑠) = 25.82 +
10.03 25.82𝑠 + 10.03
=
.
𝑠
𝑠
23
10. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНОЙ
СИСТЕМЕ С РЕГУЛЯТОРАМИ, СИНТЕЗИРОВАННЫМИ В
НЕЛИНЕЙНОЙ И ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ СИСТЕМАХ
Для сравнительного анализа построим графики переходных процессов с
разными регуляторами в одном окне. Исследуем как протекают процессы при
переходе с номинального режима на заданный, на рисунке 10.1, и при малых
воздействиях в окрестности заданного режима, на рисунке 10.2. В качестве
малого воздействия мы будем использовать переход значения f1 в момент
времени 10 секунд от 0.97 до 1.
Рисунок 10.1 – Выходы ОУ нелинейной и линейной систем при переходе с
номинального режима на заданный
Рисунок 10.2 - Выходы ОУ нелинейной и линейной систем при малых
воздействиях в окрестностях заданного режима
24
Анализируя график 10.1, можно сказать, что регулятор,
синтезированный «в большом», дает более эффективные показатели качества,
по сравнению с регулятором, синтезированным «в малом», хоть и время
регулирования увеличивается. Однако, если рассматривать график 10.2 можно
увидеть, что при малых воздействиях нелинейная система ведет себя
нестабильно. Задавая большую разницу в переходе воздействия, система вовсе
выдает ошибку и завершает моделирование. Связано это с большим
коэффициентом 𝑘𝑝 . При его уменьшении (𝑘𝑝 = 5) падают показатели
качества, однако ошибки пропадают, как показано на рисунке 10.3.
Рисунок 10.3 - Выходы ОУ нелинейной и линейной систем при переходе с
номинального режима на заданный
Несмотря на большее перерегулирование в промежутке от 0 до 10
секунд, стоит остановится на регуляторе, синтезированном «в малом»,
поскольку он стабильно себя ведет в обоих режимах, в отличие от регулятора
в нелинейной системе. При увеличении нижнего порока f1 до 0.9, система
вновь ломается, из чего следует, что регулятор, синтезированный «в
большом», не подходит при малых воздействиях в окрестностях заданного
режима.
25
11.ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ПФ РЕГУЛЯТОРА
Дискретизация требует выбора периода дискретизации времени.
Поскольку максимальная частота процессов в системе неизвестна, примем
𝜔𝑚𝑎𝑥 = 100 рад/с. Так как процессы в системе не являются периодическими,
увеличим максимальную частоту в 10 раз и получим оценочное значение
периода дискретизации.
𝑇=
2𝜋
2𝜋
=
≈ 0.00628 (𝑐)
10 ⋅ 𝜔𝑚𝑎𝑥 1000
Использование MATLAB функции c2d() позволяет преобразовать ПФ
регулятора в дискретную ПФ:
Wreg = tf([25.818 10.028],[1 0])
Wreg_dis = c2d(Wreg,0.00628)
Wreg_dis =
25.82 z - 25.76
--------------z - 1
Регулятор в системе представим в виде специального блока «Discrete PID
Controller», представлен на рисунке 11.1.
Рисунок 11.1 – Схема с дискретным регулятором
26
12.СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНОЙ
СИСТЕМЕ С НЕПРЕРЫВНЫМ И ДИСКРЕТНЫМ
РЕГУЛЯТОРАМИ
Для сравнительного анализа построим графики переходных процессов с
разными регуляторами в одном окне. Исследуем как протекают процессы в
системах с дискретным регулятором и регулятором, синтезированном «в
малом», при переходе с номинального режима на заданный, на рисунке 12.1, и
при малых воздействиях в окрестности заданного режима, на рисунке 12.2. В
качестве малого воздействия мы будем использовать переход значения f1 в
момент времени 10 секунд от 0.97 до 1.
Рисунок 12.1 – Выходы ОУ системы с дискретным регулятором и «в малом»,
при переходе с номинального режима на заданный
Рисунок 12.2 - Выходы ОУ системы с дискретным регулятором и «в малом»
при малых воздействиях в окрестностях заданного режима
27
Анализируя полученные графики, можно прийти к выводу, что как при
переходе с номинального режима на заданный, так и при малых воздействиях
в окрестности заданного режима, система с дискретным регулятором хоть и
имеет монотонный характер переходного процесса, но допускает наличие
установившейся ошибки в системе, что по условию задания недопустимо.
Время регулирования увеличилось, но перерегулирование пропало.
28
13. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При выполнении задания нам удалось разработать систему управления,
таким образом, чтобы при ее моделировании переходные процессы протекали
стабильно, установившаяся ошибка отсутствовала и показатели качества
соответствовали нашим требованиям
При исследовании методом интегрирования, был выбран самый
эффективный с точки зрения точности расчета и скорости моделирования –
Дорманда-Принса (ode8). Выбранный шаг интегрирования позволил быстро и
беспрепятственно промоделировать переходные процессы.
Анализ процессов в системе с различными типами регуляторов позволил
оценить границы линейных и дискретных моделей. Сравнение регуляторов
показало, что моделирование процессов в окрестности заданного режима при
малых возмущениях можно проводить только с регулятором,
синтезированном «в малом», так как с регулятором, синтезированным «в
большом» возникают ошибки в системе и моделирование прекращается.
В свою очередь дискретный регулятор допускает в системе ненулевую
установившуюся ошибку, что недопустимо по условию, хоть и характер
процесса становится монотонным.
Использование регулятора, синтезированного «в малом», является
наилучшим решением задачи управления системой.
ПФ регулятора:
𝑊р (𝑠) = 25.82 +
10.03 25.82𝑠 + 10.03
=
.
𝑠
𝑠
29
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1) Душин С.Е., Красов А.В., Кузьмин Н.Н. Моделирование систем
управления: Учеб. пособие. М.: ТИД ООО «Студент», 2012.
30