Федеральное агентство по образованию Форма Ульяновский государственный университет Ф-Рабочая программа по дисциплине

Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К
ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ
Требование к зачету
Необходимо знать следующие алгоритмы:
1. Замена базиса, нахождение координат вектора в новом базисе.
2. Нахождение базиса и размерности суммы и пересечения
подпространств.
3. Нахождение матрицы оператора и замена координат.
4. Нахождение собственных значений и собственных векторов
оператора.
5. Приведение матрицы оператора к диагональному виду.
6. Нахождение Жордановой формы матрицы.
7. Нахождение матрицы билинейной и квадратичной формы,
замена координат.
8. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов методом
Лагранжа.
9. Определение является ли квадратичная форма положительно
определенной.
10. Процесс ортогонализации.
11. Приведение матрицы симметрического оператора к
диагональному виду ортогональным преобразованием.
12. Приведение к сумме квадратов пары форм, одна из которой
положительно определена.
ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА
1. Условие изоморфизма конечномерных линейных пространств.
2. Матрица перехода к новому базису, изменение координат вектора.
3. Линейные подпространства, размерность линейной оболочки, способы задания
линейного подпространства.
4. Формула для размерности суммы двух подпространств.
5. Прямая сумма подпространств, различные определения.
6. Линейное отображение векторных пространств, ядро и образ.
7. Матрица линейного отображения (оператора), переход к новому базису, ранг,
детерминант оператора.
8. Различные характеризации невырожденного оператора.
9. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, способы их
нахождения. Диагонализируемость оператора с простым спектром.
10. "Поднятие" характеристического и минимального многочленов с ограничений
оператора на инвариантных прямых слагаемых.
11. Разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств,
отвечающее разложению минимального многочлена на взаимно простые множители.
12. Существование одно- или двумерного инвариантного подпространства относительно
оператора, действующего в вещественном пространстве.
13. Совпадение корней минимального и характеристического полиномов оператора.
Форма А
Страница 1 из 3
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
14. Корневые подпространства операторов в комплексном пространстве, теорема
Гамильтона-Кэли.
15. Критерий диагонализируемости линейного оператора.
16. Жорданова форма матрицы. Алгоритм нахождения Жордановой нормальной формы
матрицы.
17. Сопряженное пространство, дуальные базисы, второе сопряженное пространство.
18. Билинейные функции и формы, изменение матрицы при переходе к новому базису.
19. Алгоритм Лагранжа для приведения квадратичной формы к диагональному виду.
20. Закон инерции вещественных квадратичных форм.
21. Положительно определенные квадратичные функции. Критерий Сильвестра.
22. Евклидовы пространства, условие изоморфизма.
23. Неравенство Коши-Буняковского. Модуль вектора, расстояние и косинус угла между
векторами.
24. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
25. Ортогональное дополнение к подпространству евклидова пространства.
26. Ортогональные операторы и ортогональные матрицы.
27. Простейший вид матрицы ортогонального оператора евклидова пространства.
28. Сопряженные операторы.
29. Симметрические операторы и симметрические матрицы.
30. Существование ортогонального базиса из собственных векторов симметрического
оператора.
31. Норма оператора. Норма симметрического оператора.
32. Приведение квадратичной формы ортогональным преобразованием к главным осям.
33. Приведение пары форм к диагональному виду.
34. Число обусловленности матрицы. Связь с приближенным решением систем
линейных уравнений.
Форма А
Страница 2 из 3
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
1. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.
7.1.
Рекомендуемая литература:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру -М.: Наука,1977 г.
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры -М.: Наука,1975 г.
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учеб. М.: Наука, 1984.
4. Мищенко С.П., Свиридова И.Ю. Задачи и алгоритмы алгебры. Часть 2
(учебное пособие для студентов 1-го курса) Ульяновск, 2000.
Гриф НМС по математике и механике УМО.
5. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре -М.: Наука,1974 г.
6. Сборник задач по алгебре (под редакцией Кострикина А.И.) -М.: Наука,1987 г.
Форма А
Страница 3 из 3