ЛР 3 Построение аналитической модели по данным экспериментов

Методическое руководство к
выполнению практической
работы по теме
«Построение аналитической
модели по данным
экспериментов»
1
Пример построения модели регрессии.
Процесс y=f(x) задан таблицей:
xi
yi
12,85
12,32
11,43
10,59
10,21
9,65
9,63
9,22
154,77
145,59
108,37
100,76
98,32
81,43
80,97
79,04
Требуется построить аналитическую модель этого процесса и
определить, насколько она адекватна.
Решение. Самая простая модель зависимости – линейная. Для проверки
гипотезы о том, что зависимость между x и y именно линейная,
предварительно найдем коэффициент корреляции данных:
8
8
 xi
 yi
Среднее арифметическое: x  i 1  10,7375 ;
8
y  i 1  106,1563 ;
8
Вычислим коэффициент корреляции:
8

 ( xi  x )( yi  y )
 ( xi  x)
i 1
Близкий
к
единице
 0,978806
i 1
8
2
8
 ( yi  y )
2
i 1
коэффициент
корреляции
подтверждает,
что
моделируемая зависимость действительно линейна.
Для
построения
модели
необходимо
определить
коэффициенты
линейной функции y  a1  a2 x . Для определения коэффициентов a1 и a2
воспользуемся системой
 ana x y,
2
i
i
 1
i 1
i 1
n
n
 n
a1  xi  a2  xi2   xi yi .

 i 1
i 1
i 1
n
В нашем случае число наблюдений n=8.
2
n
8a1  85,9a2  849,25


85,9a1  934,8098a2  9386,317
Решим систему методом Крамера:
8
85,9
 (8 * 934,8098)  (85,9 * 85,9)  7478,4712 - 7378,81  99,6612
85,9 934,8098
849,25
85,9
1 
 (849,25 * 934,8098)  (85,9 * 9386,317)  -12397,40765
9386,317 934,8098

2 
8
849,25
 (8 * 9386,317)  (849,25 * 85,9)  2139,961
85,9 9386,317
a1 
1

 124,4 ; a2  2  21,5 (с округлением до 1 знака после запятой).


Следовательно, модель имеет вид:
y  124,4  21,5x
Для исследования адекватности модели дополним таблицу исходных данных
столбцом со значениями в точках xi, рассчитанных по модели:
xi
yi
yiT
12,85
12,32
11,43
10,59
10,21
9,65
9,63
9,22
154,77
145,59
108,37
100,76
98,32
81,43
80,97
79,04
151,875
140,48
121,345
103,285
95,115
83,075
82,645
73,83
Вычислим коэффициент детерминации:
8
 ( yi  y i )
r 2  1  i18
T
 ( yi  y )
2
2
 1
252,1472
 1  0,0032  0,9968
78832,67
i 1
Практически равное единице значение коэффициента детерминации говорит
о высокой эффективности модели.
3
Задание для самостоятельного выполнения.
Процесс y=f(x) задан таблицей
xi
yi
15
150
14
145
12
120
10
100
9
95
8
75
7
70
5
55
Постройте аналитическую модель этого процесса и определите, насколько
она адекватна.
Рекомендации по выполнению:
1. Проверьте, насколько целесообразно построение линейной модели
данного процесса (на основе коэффициента корреляции)
2. Найдите коэффициенты модели по методу наименьших квадратов.
3. Рассчитайте коэффициент детерминации для полученной модели.
4. Сравните коэффициент детерминации с единицей, и сделайте вывод о
степен адекватности модели.
4