МЕТОД ВЫРАВНИВАНИЯ (ЛИНЕАРИЗАЦИИ) Согласно методу наименьших квадратов (МНК) получена система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной зависимости вида Ŷ = аx + в: n n n j 1 j 1 j 1 a x 2j b xj yjxj n n j 1 j 1 a xj nb yj Аналогично можно получить системы для полиномиальных моделей. Существует ряд нелинейных зависимостей, которые путем замены можно привести к линейному виду. Например, ψ(z) = aφ(t) + b, где ψ(z) и φ(t) –произвольные функции. Введем обозначения: ψ(z)= у, φ(t)= х. Тогда получаем модель парной линейной регрессии: у = аx + в. Для нахождения а и в остается решить систему: аΣ φ(t)2+ вΣ φ(t) = Σ φ(t) ψ(z), аΣ φ(t) + вп = Σ ψ(z). 1. Степенная зависимость вида z = с tа, где а и с – неизвестные параметры. Для приведения данной зависимости к линейному виду прологарифмируем ее по любому основанию и используем свойства логарифмов: lnz = lnc + alnt Введем обозначения: lnz = у, lnc = в, lnt = х. Соответствующая система нормальных уравнений для нахождения параметров модели: аΣ lnt 2+ lnc Σ lnt = Σ lnt lnz аΣ lnt + lnc п = Σ lnz В результате решения системы найдем: а и lnc. Так как lnc = в → в = ес 2. Зависимость вида: 𝒛 = Замена 𝒚 = 𝟏 𝒂𝒙+𝒃 𝟏 𝒛 Такая зависимость используется в экономическом анализе для моделирования кривых спроса. 3. Показательная (экспоненциальная) зависимость вида z = с αх, где α и с – неизвестные параметры. Прологарифмируем выражение z = с αх по основанию 10: lgz = lgc + xlgα Введем обозначения: lgz = y, lgc = b, lgα = a. Составим систему для нахождения с, α: lgαΣ х2+ lgc Σ х = Σ х lgz lgαΣ х + lgc п = Σ lgz lgc = b, lgα = a → α = 10 a, c =10 в Пример х z -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 0.12 0.19 0.33 0.55 0.92 1.6 2.5 4.22 7.01 lgz = y -0.92 -0.72 -0.48 -0.26 -0.04 0.2 0.4 0.63 0.85 – 0.35 х2 16 9 4 1 0 1 4 9 16 60 х2 lgz 3.68 2.16 0.96 0.26 0 0.2 0.8 1.89 3.4 13.33 60а ≈13.33, 9в ≈ – 0.35 а ≈ 0.2, α =10 a ≈1.7, в ≈ – 0.04, с =10 в ≈ 0.9 z = 0.9 *1.7х Точечный разброс для значений х и z (корреляционное поле): z 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 После преобразования (логарифмирования) соответствующий разброс точек: y 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1 -1,2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ПРОВЕРКА ЗНАЧИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ, РЕГРЕССИИ, ДЕТЕРМИНАЦИИ И РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ В результате корреляционного анализа получены значения выборочных коэффициентов корреляции, детерминации отличные от нуля. Соответствующие величины генеральной совокупности могут отличаться от данных чисел. Например, быть численно равны нулю. Необходимо проверить гипотезу (предположение) Н0: коэффициент корреляции r = 0. Альтернативная (конкурирующая) гипотеза Н1: r ≠ 0. В качестве критерия проверки рассмотрим случайную величину (Сл.В) 𝒕 = 𝒓√𝒏−𝟐 𝟏−𝒓𝟐 , где п – объем выборки. При справедливости гипотезы Н0 Сл.В. имеет распределение Стьюдента с ν = n – 2 степенями свободы. Проверка значимости коэффициента корреляции r. Способ проверки значимости коэффициента корреляции № 1: 1) Определим величины t, ν, уровень значимости α = 0.05 (0.01). 2) Вычислим критическое значение tкр в среде ЕХСЕL: fx → статистические →СТЬЮДРАСПРОБР(α, ν). 3) Сравниваем t и tкр: │t│ < tкр, то гипотеза Н0 принимается и выборочный коэффициент корреляции незначим; │t│ > tкр, то гипотеза Н0 отвергается и выборочный коэффициент корреляции значим. Способ проверки значимости коэффициента корреляции № 2: fx → статистические → → значимость t = СТЬЮДРАСП(t, ν, 2). Если значимость t > стандартного уровня значимости (α = 0.05, (0.01)), то коэффициент корреляции незначим; значимость t < стандартного уровня значимости (α = 0.05, (0.01)), то коэффициент корреляции значим. Замечание. По t-статистике Стьюдента так оценивают значимость коэффициентов регрессии. же Определение статистической значимости коэффициента детерминации R2 Для определения статистической значимости коэффициента детерминации R2 проверяем гипотезу Н0: F = 0 для F- статистики 𝑭 = 𝑹𝟐 (𝒏−𝟐) 𝟏−𝑹𝟐 Данная величина имеет распределение Фишера при ν1 = 1, ν2 = п – 2. Способ проверки значимости коэффициента детерминации № 1: fx → статистические → Fкр = FРАСПОБР(α, ν1, ν2) Если Fкр < F, то гипотеза Н0 принимается, а R2 незначим. Если Fкр > F, то гипотеза Н0 отвергается, а R2 значим. Способ проверки значимости коэффициента детерминации № 2: fx →статистические →значимость F=FРАСП(F, ν1, ν2). Если значимость F > стандартного уровня значимости (α = 0.05 , (0.01)), то коэффициент R2 незначим; значимость F < стандартного уровня значимости (α = 0.05, (0.01)), то коэффициент R2 значим. Замечание. С помощью критерия Фишера оценивается значимость регрессионной модели.
