Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей

Вид занятия: лекция.
Тема занятия: Угол между прямой и плоскостью. Двугранный
угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.
Цель занятия: Формирование понятия перпендикулярности
плоскостей.
Изучение
признака
перпендикулярности
плоскостей.
Формирование понятия угла между скрещивающимися прямыми, угла между
прямой и плоскостью, угла между плоскостями. Развивать у студентов
логическое мышление. Воспитывать настойчивость, интерес.
Оборудование: ТСО, пространственных набор, модель прямоугольного
параллелепипеда.
Литература:
1. Геометрия, 10-11 кл. Л. С. Атанасян и др. – М.: Просвещение, 2001.
2. Геометрия, 6-10 кл. А. В. Погорелов. – М.: Просвещение, 1987.
Структура занятия.
1. Организационный момент (проверка отсутствующих, задание
дежурным, настрой группы на плодотворную работу)
2. Сообщение темы, цели и задач занятия.
3. Вопрос занятия.
3.1. Актуализация опорных знаний.
3.2. Понятие перпендикулярных плоскостей.
3.3. Признак перпендикулярности плоскостей.
3.4. Углы в пространстве.
3.5. Вопрос обратной связи.
4.Подведення итогов.
5. Выдача заданий для самостоятельной работы.
Содержание.
3.1. Актуализация опорных знаний.
-) Выборочная проверка тетрадей с домашним заданием;
-) Проверить правильность выполнения упражнений № 42, 48 по
записям, сделанным на доске до начала занятия.
Решение задачи № 42
Пусть ABCD — прямоугольник; BS  (АВС); SD = с , SC = b, SA = a
(рис. 204).
Поскольку ВС  CD, то SC  CD. Из ΔSDC DC = SD 2  SC 2 = c 2  b 2
.
Поскольку ВА  AD, то SA  AD. Из ΔSAD AD = SD 2  SA2 = c 2  a 2 .
a 2  (c 2  b 2 ) =
Из ΔSAB
SB =
SA2  AB 2 =
a2  b2  c2 .
Ответ:
a2  b2  c2 ;
c2  b2 ;
c2  a2 .
Решение задач № 48
Пусть АВС — равносторонний треугольник; ВС = 6
см; AD  (АВС); AD = 13 см (рис. 205). Проведем АК  ВС,
тогда DK  ВС; значит, DK — расстояние от точки D до
ВС.
Из ΔАСА АК = AС 2  СК 2 = 6 2  32 = 27 (см).
Из ΔADA DK = AК 2  AD 2 = 27  169 = 196 = 14 (см).
Ответ: 14 см.
3.2. Понятие перпендикулярных плоскостей.
Определение. Две пересекающиеся плоскости
называються перпендикулярными, если третья
плоскость, проведенная перпендикулярно к линии
пересечения этих плоскостей, пересекает их по
перпендикулярным прямым.
На рис. 216 α  β, потому α и β пересекаются по
прямой с, плоскость γ, перпендикулярна к с, пересекает α
и β по прямым а и b, которые перпендикулярны.
Определение перпендикулярности плоскостей не
зависит от выбора плоскости γ. Действительно, возьмем
другую плоскость γ1, перпендикулярную прямой с (рис.
217).
Поскольку с  γ и прямые a и b лежат в плоскости γ и
пересекаются в точке А, тогда с  а, с  b (по определению
перпендикулярности прямой и плоскости).
Аналогично с  а1, с  b1. Кроме этого, а и а1b, b и b1
лежат соответственно в плоскостях α и β. Значит, а || а1 и b ||
b1. Поскольку а  b , а || a1 и b || b1, то а1  b1.
Решение задач.
1. Приведите примеры моделей перпендикулярных
плоскостей из окружения.
2.
Покажите
на
модели
прямоугольного
параллелепипеда перпендикулярные грани (плоскости).
3. Дано изображение куба ABCDA1B1C1D1. Укажите плоскости,
перпендикулярные к плоскости:
а) АВС; б) ADC1; в) АСС1.
4. На двух перпендикулярных плоскостях выбрали по прямой. Может ли
случиться, что эти прямые:
а) параллельные; б) пересекаются; в) скрещивающиеся?
Ответ проиллюстрируйте примерами из окружения.
3.3. Признак перпендикулярности плоскостей.
Доказательство признака перпендикулярности двух плоскостей
провести, как это сделано в учебнике (§ 3, п. 20, теорема 3.6).
Представим образец записи теоремы 3.6 на доске и в тетрадях.
Теорема.
Д а н о : а, b, b  α, β, b  β.
Д о к а з а т ь : α  β (рис. 218).
Доказать
Пусть α и β пересекаются по прямой с, а прямая c
пересекается с b в точке А. Через точку А в плоскости α
проведем прямую а, а с. Через а и b проведем плоскость γ, с а, с b,
следовательно, γ с. Поскольку а b, то α β.
Решение задач.
1. Как на практике установить, перпендикулярна плоскость стены к
плоскости пола?
2. ABCD — квадрат, MD  (АВС) (рис. 219).
Докажите, что:
а) (MAD)  (MCD); б) (MBC)  (MCD).
3.В треугольнике АВС <C = 90°; PB  (ABC)
(рис. 220).
Доказать, что (РАС)  (РВС).
3.4. Углы в пространстве.
-) Понятие угла между прямыми, которые
пересекаются.
Введем понятие угла между прямыми в пространстве.
Если две прямые пересекаются, они образуют четыре угла (попарно
вертикальные или попарно смежные). Угловая мера меньшего из них
называется углом между данными прямыми, которые пересекаются. Угол
между пересекающимися прямыми не превышает 90 °.
Если прямые перпендикулярны, то величина угла между этими прямыми
равна 90 °.
Угол между параллельными прямыми считают равным 0 °. Следует
отметить, что угол между прямыми - это не геометрическая фигура, это величина.
-) Угол между скрещивающимися прямыми.
Определения. Углом между скрещивающимися прямыми называется
угол между прямыми, которые пересекаются и параллельны соответственно
данным скрещивающимися прямым.
Угол между скрещивающимися прямыми, как и между прямыми одной
плоскости, не может быть больше 90 °. Две скрещивающиеся прямые, которые
образуют угол в 90 °, называются перпендикулярными.
-) Угол между прямой и плоскостью.
Мы рассмотрели случаи размещения прямой и плоскости: 1) прямая
лежит в плоскости; 2) прямая параллельна плоскости; 3) прямая
перпендикулярна плоскости. Остается исследовать случай, когда прямая
пересекает плоскость, но не перпендикулярна к ней.
Такие прямые могут быть наклонены к плоскости под различными
углами. Что же понимают под углом между прямой и
плоскостью?
Если прямая параллельна плоскости или
принадлежит ей, то считают, что угол между прямой и
плоскостью равен 0 °. Если прямая перпендикулярна
плоскости, то угол между ними равен 90 °. В остальных
случаях углом между прямой и плоскостью называют угол между прямой и ее
проекцией (ортогональной) на плоскость. На рис. 281 ВС  α, А — точка
пересечения прямой а с плоскостью α , тогда угол между прямой а и
плоскостью α равен углу ВАС = φ. Если φ — угол между прямой и плоскостью,
то 0°  φ  90° .
-) Понятие угла между плоскостями
Пусть даны две плоскости α и β, которые
пересекаются по прямой с (рис. 289). Проведем
плоскость, перпендикулярную прямой с, она пересечет
плоскости α и β по прямым а и b. Угол между прямыми а
и b называется углом между плоскостями α и β.
Определение. Угол между двумя плоскостями, которые
пересекаются,— это угол между прямыми пересечения этих плоскостей с
плоскостью, перпендикулярной к линии пересечения данных плоскостей.
Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0 °. Если плоскости
перпендикулярны, то угол между ними равен 90 °. Итак, если φ - угол между
плоскостями, то угол меняется от 0 ° до 90 °.
3.5. Вопросы обратной связи.
1) Какие плоскости называются перпендикулярными?
2) Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей.
3) Что называется углом между скрещивающимися прямыми?
4) Зависит ли угол между скрещивающимися прямыми от выбора
пересекающихся прямых?
5) Дайте определение угла между прямой и плоскостью.
6) Дайте определение угла между плоскостями.
7) Зависит ли величина угла между плоскостями от выбора секущей
плоскости?
4.Подведение итогов.
5. Выдача заданий для самостоятельной работы.