Исследовательский проект: "Извлечение квадратных корней без калькулятора"

Оглавление
1. Введение ………………………………………………………………….....3
2. Определение квадратного корня и его история………………………..4
3. Приближенные методы извлечения квадратного корня……………..5
3.1. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел……...5
3.2. Формула Древнего Вавилона ……………………………………........6
3.3. Метод подбора угадыванием…………………………………………6
3. 4. Метод Ньютона..……………………………………………………….7
4. Точные методы извлечения квадратного корня………………………8
4.1. Способ разложения на простые множители ………………………….8
4.2. Извлечение квадратного корня уголком ……………………………..9
4.3 Метод вычетов нечетного числа……………………………………….10
4.4. Метод отбрасывания полного квадрата………………………………11
4.5. Способ подбора………………………………………………………...11
5. Заключение………………………………………………………………....14
6. Литература………………………………………………………………….15
1
1. Введение
В ходе решения некоторых математических задач приходится
оперировать с квадратными корнями. Поэтому важно знать правила действий
с квадратными корнями.
Актуальность данной темы состоит в том, что задания на вычисление
квадратных корней есть в каждом классе на уроках физики, химии и
биологии. Для извлечения квадратного корня существуют таблицы
квадратов, однако иногда её бывает недостаточно.
Однажды при подготовке к ОГЭ мне попалась текстовая задача на
движение, в которой предполагалось вычисление квадратного корня из
шестизначного числа. Конечно же, на тот момент, у меня был телефон, и я с
легкостью смог сделать необходимые мне вычисления. А как же быть тогда
на экзамене, где пользование телефоном или калькулятором запрещено. И я
задался вопросом, а существуют ли другие способы для извлечения
квадратного корня и решил изучить этот вопрос глубже, чем он изложен в
школьной программе.
Цель проекта: изучить способы извлечения квадратных корней из чисел
без калькулятора и выделить из них самые рациональные.
Задачи:
1. Изучить литературу по данному вопросу.
2. Исследовать способы извлечения квадратного корня.
3. Показать практическое применение полученных знаний и оценить
степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов.
Гипотеза: способы извлечения квадратного корня из числа без
калькулятора могут вызвать интерес у учащихся, найти практическое
применение в учебной деятельности.
Объект исследования: квадратные корни.
Предмет исследования: способы извлечения корней из чисел без
калькулятора.
Методы исследования: поиск способов извлечения квадратного корня из
числа без калькулятора; сравнение и анализ найденных способов.
Практическая значимость: данный материал можно использовать в 8, 9,
10, 11 классах на уроках, олимпиадах, ОГЭ и ЕГЭ.
2
2. Определение квадратного корня и его история
Из небольших чисел, являющихся точными квадратами натуральных
чисел, например 1, 4, 9, 16, 25, …,100 квадратные корни можно извлечь
устно. Зная таблицу квадратов и имея её под рукой, легко извлечь корни
квадратные из чисел 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 и т.д.
Кстати, есть замечательная теорема, позволяющая по виду числа понять,
извлекается ли нацело корень из него или нет.
Теорема о последней цифре квадрата числа
Если числа оканчиваются на цифру от 1 до 9 и когда мы возводим их в
квадрат, то на конце полученного числа будут стоять цифры:
…12=…1
…62=…6
…22=…4
…72=…9
…32=…9
…82=…4
…42=…6
…92=…1
…52=…5
Таким образом, если в конце числа стоят цифры 2,3,7,8, то полный
квадратный корень извлечь из него нельзя.
3
3. Приближенные методы извлечения квадратного корня
3.1. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел
Способ очень простой и позволяет мгновенно извлечь квадратный корень
из любого целого числа от 1 до 100 с точностью до десятых без
калькулятора. Одно условие для этого метода – наличие таблицы квадратов
чисел до 99.
(Таблица квадратов натуральных чисел до 99 есть во всех учебниках
алгебры 8 класса, и на экзамене ОГЭ предлагается в качестве справочного
материала.)
Итак, воспользуемся таблицей квадратов чисел до 99. Несколько
рекомендаций: цифра столбика десятков – это целая часть результата, а
цифра в сроке единиц – это десятые. А дальше всё просто: закроем две
последние цифры числа в таблице и найдем нужное вам, не превосходящее
подкоренное число, и далее действуйте по правилам этой таблицы.
Например. Найдём значение √74.
Закрываем две последние цифры у всех чисел в таблице и находим близкие
для 74 – таких только два 7396 и 7569. Но 75 – это уже много.
Значит, остаётся только одно –7396.
Столбик десятков даёт ответ - 8(это целых).
Верхняя строчка - 6 (это десятых).
Значит,√74≈ 8,6.
4
Проверим на МК:√74≈ 8,6023252.
Плюсы метода: быстро, просто, доступно на экзамене.
Минусы метода: корни из чисел больше 100 этим способом извлечь
невозможно; обязательно наличие таблицы квадратов.
3.2. Формула Древнего Вавилона
Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения
приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они
представляли в виде суммы а2+b, где а2 ближайший к числу х точный
квадрат натурального числа а (а2<х), и пользовались формулой
√х = √𝑎2 + 𝑏 ≈ 𝑎 +
𝑏
2𝑎
. (1)
Например. Найдём значение √74.
√74 = √82 + 10 ≈ 8 +
10
= 8,625
2∗8
Проверим на МК:√74≈ 8,6023252.
Плюсы метода: способ вавилонян дает хорошее приближение к точному
значению корня.
3.3. Метод подбора угадыванием
Этот метод предлагают английские студенты математического колледжа
Лондона, но каждый в своей жизни хоть раз непроизвольно пользовался этим
методом. Он основан на подборе разных значений квадратов близких чисел
путём сужения области поиска.
Алгоритм:
Предположим, вы хотите извлечь квадратный корень из 74.
2
2
1. Замечаем, что 8 = 64 и 9 = 81, значит, 8< √74 < 9.
5
2
2. Попробуем возвести 8,5 и вы получите 72,25< 74.
2
3. Попробуйте 8,6 и вы получите 73,96 < 74.
2
4. Попробуйте 8,7 и вы получите 75,69 > 74 .
Итак, 8,6 < √74 < 8,7.
2
5. Попробуйте возвести 8,61 и вы получите 74,1321> 74 .
6. Значит, 8,60 < √74 < 8,61.
7. Продолжайте, пока не получите ответ достаточно точный для вас.
Овладеть этим способом может каждый, но вот пользоваться вряд ли.
Минусы метода:
- требует многократного вычисления произведения столбиком не всегда
правильно угаданных чисел;
- проигрывает в красоте решения и по времени.
3.4. Метод Ньютона
Исаак Ньютон разработал метод извлечения квадратного корня, который
восходил еще к Герону Александрийскому (около 100 г. н.э.). Метод этот
(известный как метод Ньютона) заключается в следующем.
Пусть а1 — первое приближение числа√х (в качестве а1 можно брать
значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата, не
превосходящего х) .
Следующее, более точное приближение а2 числа√х найдется по формуле
1
𝑥
2
𝑎1
𝑎2 = (𝑎1 +
).
1
𝑥
2
𝑎2
Третье, еще более точное приближение𝑎3 = (𝑎2 +
) и т.д.
1
𝑥
(n+1)-е приближение √хнайдется по формуле 𝑎𝑛+1 = (𝑎𝑛 + ).
2
𝑎
𝑛
6
Нахождение приближенного значения числа √74 методом Ньютона дает
следующие результаты: а1=8; а2= 8,625; а3=8,602355 и т.д.
1
𝑥
2
𝑎𝑛
𝑎𝑛+1 = (𝑎𝑛 +
)- формула Ньютона для нахождения квадратного корня
из числа х (n=2,3,4,…, аn - n-е приближение √х).
Такой способ приближенного вычисления квадратных корней называется
методом итераций. Итерация (с латинского iteratio - повторение) - результат
повторного применения какой-либо математической операции.
Плюсы метода: позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с
любой точностью.
Минусы метода: громоздкость вычислений.
4. Точные методы извлечения квадратного корня
4.1. Способ разложения на простые множители
Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые
множители и извлечь квадратный корень из произведения. Таким способом
принято пользоваться при решении заданий с корнями в школе.
291600│2
√291600 = √24 ∗ 36 ∗ 52 = 22 ∗ 33 ∗ 52 = 4 ∗ 27 ∗ 5 = 540
145 800│2
72 900│3
24 300│3
8 100│3
2 700│3
900│3
300│3
100│2
50│2
25│5
5│5
7
Многие применяют его успешно и считают единственным. Извлечение
корня разложением на множители - трудоёмкая задача, которая тоже не
всегда приводит к желаемому результату.
Есть одно НО! Способ хорош, если легко определяются делители 2, 3, 4 и так
далее. Попробуйте извлечь квадратный корень из числа 142129? Разложение
на простые множители дает произведение 13*13*29*29. Попробуй-ка сходу
найди эти делители. Поэтому, этот способ лишь частично решает проблему
извлечения без калькулятора.
Минусы метода:
нужно знать простые числа и признаки делимости;
трудоёмкая задача;
не всегда приводит к желаемому результату;
занимает много времени.
4.2. Извлечение квадратного корня уголком
√5963364 = 𝑏, т. е. 𝑏 2 = 5963364
Алгоритм:
1. Разбиваем число (5963364) на пары справа
налево (5`96`33`64)
2. Извлекаем квадратный корень из первой слева
группы
( - число 2). Так мы получаем первую цифру
числа b.
3. Находим квадрат первой цифры (22=4).
4. Находим разность первой группы и квадрата
первой цифры (5-4=1).
5.Сносим следующие две цифры (получили число 196).
6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой
(2*2=4).
7.Ищем вторую цифру числа b: удвоенная первая цифра, найденная нами,
становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число
8
единиц, необходимо получить число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4
- вторая цифра числа b.
8. Находим разность (196-176=20).
9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).
10. Удваиваем число 24, получаем 48.
11.48 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы
должны получить число меньшее 2033 (484*4=1936). Найденная нами цифра
единиц (4) и есть третья цифра числа b.
Далее процесс повторяется.
Плюсы метода:
очень точный (можно вычислить корень из любого числа с любой
точностью);
применим к любым числам.
Минусы метода:
трудоемкий;
требует хороших вычислительных навыков.
4.3. Метод вычетов нечётного числа
Суть метода: из подкоренного выражения нужно последовательно
вычитать нечетные числа пока разность не станет равной 0 и посчитать
количество вычитаний. Например, посчитаем:
256  16
256-1, 255-3, 252-5, 247-7, 240-9, 231-11, 220-13, 207-15, 192-17,
175-19, 156-21, 135-23,
112-25,
87-27,
60-29, 31-31 .
Общее количество вычитаний равно 16.
9
Недостатком такого способа является то, что процесс вычисления
его занимает время. Российские ученые называют этот метод извлечения
арифметического квадратного корня «методом черепахи» из-за его
медлительности.
4.4. Метод отбрасывания полного квадрата
Этот способ применим только для извлечения квадратного корня из
точного квадрата, а алгоритм нахождения зависит от величины подкоренного
числа. Выделяем из числа квадрат, который оканчивается той же цифрой, что
и данное число.
Извлечение корней до числа 752  5625 . Число 2209 представим в виде
суммы, выделив из этого числа квадрат 9, затем выделенный квадрат
отбрасываем, к числу сотен первого слагаемого (22) прибавляем всегда 25.
Получим ответ 47.
Так можно извлекать только квадратные корни до числа 752  5625 .
2209  2200  9  2200  32  22  25  47 .
Извлечение корней после 75²= 5625, вычисляются следующим образом:
7056  6800  256  6800  162  68  16  84 .
4.4. Способ подбора
Суть рассматриваемого нами метода — это чистый анализ. Корень при
наработанном навыке находится быстро. Если навык не отработан, а просто
понят подход, то немного медленнее, но всё же определяется.
Извлечём корень из 148996.
√148996
Сначала определим — между какими числами (кратными ста) лежит наш
результат.
10
Очевидно, что результат корня из данного числа лежит в пределах от 300
до 400, так как 3002=90000 и 4002=160000.
Действительно:90000 < 148996 < 160000.
3002 < 148996 < 4002 .
Т.о., первая цифра - 3.
Далее смотрим, где «стоит» это число: ближе к 90000 или к 160000?
Число 148996 находится гораздо ближе к 160000.
Можно сделать вывод, что результат √148996 будет больше 360.
Проверим число 370:
х370
370
2590
1110
136900,
√148996 > 370, так как 148996 > 136 900.
Проверяем число 380:
380
380
3040
1140
144400,
х
√148996 > 380, так как 148996 > 144 400.
Проверяем число 390:
х390
390
3510
1170
152100,
√148996 < 390, так как 148996 < 152 100.
Мы установили, что результат данного корня лежит в пределах от 380 до 390.
11
Далее используются свойства произведений чисел. Известно, что:
Произведение чисел имеющих на конце 1 или 9 дают число с 1 в конце.
Например, 21 * 21 =441.
Произведение чисел имеющих на конце 2 или 8 дают число с 4 в конце.
Например, 18 * 18 = 324.
Произведение чисел имеющих на конце 5 дают число с 5 в конце.
Например, 25 * 25 = 625.
Произведение чисел имеющих на конце 4 или 6 дают число с 6 в конце.
Например, 26 * 26 = 676.
Произведение чисел имеющих на конце 3 или 7 дают число с 9 в конце.
Например, 17 * 17 = 289.
Так как число 148996 заканчивается цифрой 6, то это произведение либо
числа 384, либо 386.
*Только они при возведении в квадрат могут дать 6 в конце.
Проверяем:
384
384
1536
3072
1152
147456
х
х386
386
2316
3088
1158
148996
Значит, √148996 = 386.
То есть, мы как бы «нащупали» верный ответ.
Как видите, максимум что потребуется это осуществить 5 действий
столбиком. Возможно, вы сразу попадёте в точку, или сделаете меньше
действия. Всё зависит о того, как точно вы сделаете начальную оценку числа.
12
5. Заключение
Работа над данным проектом показала, что изучение квадратных корней
– не прихоть математиков, а объективная необходимость: в реальной жизни
случаются ситуации, математические модели которых содержат операцию
извлечения квадратного корня. Но не всегда под рукой мы имеем
калькулятор.
Описанные в работе методы извлечения корней встречаются во многих
источниках. Тем не менее, разобраться в них оказалось для меня непростой
задачей, что вызвало немалый интерес. Представленные алгоритмы позволят
всем, кто заинтересуется данной темой, быстрее овладеть навыками
вычисления квадратного корня, их можно использовать при проверке своего
решения и не зависеть от калькулятора.
В результате проведённого исследования я пришел к выводу: различные
способы извлечения квадратного корня без калькулятора необходимы в
школьном курсе математики, чтобы развивать навыки вычислений.
13
6. Литература и сайты Интернета
1. И.Н. Сергеев, С.Н. Олехник, С.Б.Гашков «Примени математику». – М.:
Наука, 1990
2. Керимов З., «Как найти целый корень?» Научно-популярный физикоматематический журнал "Квант" №2, 1980
3. Петраков И.С. «математические кружки в 8-10 классах»; Книга для
учителя. – М.: Просвещение,1987
4. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. «Рассказы о прикладной математики».
- М.: Наука. Главная редакция физико - математической литературы,
1979
5. Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 8 класса
учебных заведений. – Москва, Просвещение, 1994г.
6. Жохов В.И., Погодин В.Н. Справочные таблицы по математике. - М.:
ООО «Издательство «РОСМЭН-ПРЕСС», 2004.-120 с.
7. http://translate.google.ru/translate
8. http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm
9. http://ru.wikipedia.ord /wiki /teorema/
14