ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ОСНОВАМ

Олимпиада ГГУ им. Ф.Скорины по физике. Ноябрь 2012.
Условия задач для 1-2 курсов
1. Катушка с ниткой. Катушку с ниткой тянут за конец нитки, на котором завязан узел А,
так, что узел движется с постоянной по величине скоростью v , а катушка катится по гори
зонтальной поверхности без проскальзывания. Внутренний и внешний радиусы катушки –
r1 и r2 . Определить скорость движения оси катушки в следующих случаях (рис. 1):
а) отмотанная с катушки часть нитки в процессе движения натянута горизонтально и
продолжает разматываться;
б) отмотанная с катушки часть нитки в процессе движения натянута горизонтально и
наматывается на катушку;
в) отмотанная с катушки часть нитки в процессе движения натянута вертикально и
наматывается на катушку.
Рис.1
б
а
в
A
A
A
p
2. Газовый процесс. С одним молем идеального газа совершается процесс
ABCDA , изображённый на pV  диаграмме на рис. 2. Изобразите этот процесс
а) на pT  диаграмме;
б) на VT  диаграмме.
3.
p  V
p2
C
p  V
P=
V D
B
Рис.2
A
V
V0
Равномерное движение. Тело движется под действием трех сил сохраняющих свое
направление. Модуль первой силы F1  50H , второй  F2  30 H . Модуль третей силы на
разных участках траектории движения тела принимает различные значения: на первом
участке  10Н, на втором  15Н, на третьем  25Н, на четвертом  90Н и на пятом 
100Н. Известно, что на одном из участков тело двигалось равномерно. На каком именно?
4. Два зеркала. Два плоских зеркала M 1 и M 2 , каждое
из которых имеет форму квадрата со стороной a , образуют двугранный угол в 90 . Точечный источник
света S расположен на расстоянии a от каждого из
зеркал (рис. 3).
Укажите области, находясь в которых наблюдатель
сможет увидеть ровно n изображений источника
света. Рассмотреть случаи: n  0; 1; 2; 3; 4.
S
M1
M2
Рис.3
Олимпиада ГГУ им. Ф.Скорины по физике. Ноябрь 2012.
Условия задач для 3-5 курсов
1. Симметричное распределение. Найти такую объёмную плотность  ( r ) сферическисимметричного распределения электрического заряда, для которой радиальная компонента
напряжённости электрического поля Er постоянна.
2.
Газовый процесс. С одним молем идеального
одноатомного газа совершается циклический
процесс ABCDA , изображённый на TS  диаграмме на рис. 1. Изобразите этот процесс
а) на pV  диаграмме;
б) на TV  диаграмме;
в) на Tp  диаграмме.
T
Рис.1
T2
B
C
T1
A
D
S
S1
3.
Два зеркала. Два плоских зеркала M 1 и M 2 ,
каждое из которых имеет форму квадрата со
стороной a , образуют двугранный угол в 90 .
Точечный источник света S расположен на
расстоянии b (b  a ) от каждого из зеркал
(рис. 2).
Укажите области, находясь в которых
наблюдатель сможет увидеть ровно n
изображений источника света. Рассмотреть случаи: n  0; 1; 2; 3; 4.
4. Блок. Через легкий вращающийся без
трения блок перекинута нить. На одном
ее конце привязан груз массы m1 . По
другому концу нити с постоянным относительно нее ускорением a 2 скользит
шайба массы m2 (см. рис. 3). Найти
ускорение a1 груза и силу трения шайбы
о нить. Массой нити пренебречь.
S2
M1
S
M2
Рис.2
m2
m1
Рис. 3
Олимпиада ГГУ им. Ф.Скорины по физике. Ноябрь 2012.
Решения задач для 1-2 курсов
1. Движение катушки складывается из двух: поступательного движения со скоростью V и
V
вращательного с угловой скоростью  . Проскальзывания нет, значит V  r 2  ;   .
r2
За время t катушка смещается на расстояние  x V t  r 2  t . При этом за время t с
катушки отматывается или на неё наматывается участок нити длиной l  r 1  t , благодаря чему узел перемещается относительно оси катушки. Перемещение оси катушки происходит в горизонтальном направлении, перемещение узла относительно оси в случаях а) и
б) также происходит в горизонтальном направлении, причём в случае а) эти перемещения
складываются, а в случае б) вычитаются:
r2
V
v t V t  r 1  t ;
v  r 2   r 1   (r 2  r 1 ) ;
V 
v ,
а) y   x  l ;
r2
(r 2  r1 )
r2
V
;
V 
v .
r2
(r 2  r1 )
В случае в) поступательное движение катушки происходит в горизонтальном направлении,
а смещение узла относительно оси катушки происходит в вертикальном направлении. Поэтому перемещение узла относительно поверхности происходит «по диагонали прямоугольника», при этом
v t V t  r 1  t ;
б) y   x  l ;
y  v t 
( x) 2  (l ) 2 
v  r 2   r 1   (r 2  r 1 )
(V t ) 2  (r1  t ) 2 ;
2
 V 
v  V  (r1  )  V   r1  V
 r2 


r2
Значит V  v
.
2
r2  r12
2
Ответ:
а)
V 
r2
(r 2  r1 )
2
v ;
2
б)
V 
r2
(r 2  r1 )
v ;
2
r 
1   1  V
 r2 
 
в)
r22  r12
.
r22
V v
r2
r  r12
2
2
.
2. Используя уравнение состояния одного моля идеального газа pV  RT и уравнения процессов на различных участках цикла ABCDA в pV  координатах, получим уравнения
участков в pT  координатах:
Участок
цикла
AB
Уравнение в pV  координатах
Уравнение в pT  координатах
V  V0
V0
p
R
(прямая)
1 2
T
p
R
(парабола)
(прямая, параллельная оси p )
BC
p  V
(прямая)
T
p  p2
p  p2
(прямая, параллельная оси V )
(прямая, параллельная оси T )
1 2
T
p
R
(парабола)
CD
p V
DA
(прямая)
При этом координаты точек A , B , C , D на pT  диаграмме таковы:
Точка
T  координата
p  координата
A
p0   V0
T0 
B
p1   V0
T1 
C
p2
D
p2

R

R
V02
V02
1 2
p
R 2
1 2
T2 
p
R 2
T2 
pT  диаграмма процесса изображена на рис. 1.
T
T
1 2
p
R
T3
D
T
1 2
p
R
T2
C
T1
A
T0
p0
T
B
p1
p2
V0
p
R
p
Рис. 1
Используя уравнение состояния одного моля идеального газа pV  RT и уравнения процессов на различных участках цикла ABCDA в pV  координатах, получим уравнения
участков в VT  координатах:
Участок
цикла
Уравнение в pV  координатах
AB
V  V0
(прямая, параллельная оси p )
Уравнение в VT  координатах
V  V0
(прямая, параллельная оси T )
p  V
BC
T
p  p2
(прямая, параллельная оси V )
p V
DA
V2
R
(парабола)
p
T  2V
R
(прямая)

T  V2
R
(парабола)
(прямая)
CD

(прямая)
При этом координаты точек A , B , C , D на VT  диаграмме таковы:
V  координата
Точка
A
B
T  координата
V0
T0 
V0
T1 
C
V2 
p2
D
V2 
p2

R

V02
V02
R
1 2
T2 
p
R 2
1 2
T2 
p
R 2


VT  диаграмма процесса изображена на рис. 2.
T
T

R
T
V2

R
V2
T3
D
T2
C
p
T  2V
R
T1
T0
B
A
V0
V2
V3
Рис. 2
Ответ: Диаграммы процесса изображены на рисунках 1 и 2.
V
3. Если тело на некотором ( i  том) участке движется равномерно, то векторная сумма сил,
действующих на него равна нулю:
F1  F2  Fi  0 ,
(см. рис. 3). Для треугольника со сторонами a ,
b , c справедливы неравенства (неравенства
треугольника)
a  b  c;
b  a  c;
F2
c  a  b.
Поэтому для сил F1 , F2 , Fi должны выполняться неравенства
F1  F2  Fi ;
F1
F2  F1  Fi ;
Fi  F1  F2 .
Все трём неравенставм удовлетворяет только
сила F3  25H . Значит равномерно тело двигалось на третьем участке.
Fi
4. Изображение S1 источника S в зеркале M 1 можно увидеть из области, закрашенной жёлтым цветом на рис. 4.
M1
S1

S


M1
Рис. 4
Изображение S 2 источника S в зеркале M 2 можно увидеть из области, закрашенной жёлтым цветом на рис. 5.
S
M1

M2

S2
Рис. 5
В зеркале M 1 отражается зеркало M 2 , его изображение обозначено на рисунке 6 как M 2 .
Изображение S1 может «отразиться» изображением зеркала M 2 , в результате имеем изображение S12 . Аналогично, в зеркале M 2 отражается зеркало M 1 , его изображение обозначено на рисунке 6 как M 1 . Изображение S 2 может «отразиться» изображением зеркала
M 1 , в результате имеем изображение S 21 , которое совпадает с изображением S12 , поскольку угол между зеркалами M 1 и M 2 равен 90 . Изображение S12 ( S 21 ) видно из области, закрашенной на рис. 6 жёлтым цветом.
S1
M1
S



M2
M 2
S12


M 1
S2
Рис. 6
Объединяя эти результаты, получим карту областей, из которых видны 0, 1, 2, или 3 изображения источника (рис.7). Областей, из которых видно более трёх изображений – нет.
0
1
1
2
0
0
S
M1
S1
2
3
1
M 2
M2
0
S12
M 1
S2
Рис.7
Ответ: Карта областей, из которых видны 0, 1, 2, 3 изображений источника (областей, из
которых видно более трёх изображений – нет) изображена на рисунке 7.
Олимпиада ГГУ им. Ф.Скорины по физике. Ноябрь 2012.
Решения задач для 3-5 курсов
1. Согласно теореме Гаусса поток напряжённости электрического поля E по поверхности
сферы S r радиуса r пропорционален полному заряду, находящемуся внутри сферы:
1
 E ( x )dS    ( x )dV .
Sr
Vr
0
Учитывая симметрию распределения заряда и обозначая x  x , имеем
Er 4 r 
2
1
0
r
4   ( x) x 2dx .
0
Дифференцируя это соотношение по r , и учитывая, что Er постоянна, находим
1
Er 2r   (r )r 2 ,
0
поэтому плотность заряда
2E
 (r )   0 r .
r
2E
Ответ:  (r )   0 r
r
2. Участки AB и CD , на которых энтропия S постоянна, – адиабаты (  Q  TdS  0 ). Участки BC и DA – изотермы. Поэтому на TS  диаграмме изображён цикл Карно.
Уравнения участков цикла в различных координатах имеют вид (   5 3 )
Участок Уравнение в pV  коордицикла
натах
Уравнение в VT  координатах
Уравнение в pT  координатах
AB
pV   const
TV  1  const
T  const p ( 1) 
BC
pV  RT2
T  T2
T  T2
CD
pV   const
TV  1  const
T  const p ( 1) 
DA
pV  RT1
T  T1
T  T1
Цикл Карно в различных координатах изображён на рис. 1-3:
1) на pV  диаграмме; 2) на TV  диаграмме; 3) на TP  диаграмме.
pV   A1 pV   A2
P
Рис. 1
B
C
pV  RT2
A
pV  RT1
D
V
T
T1
Рис. 2
B
C
D
T2
TV  1  B2
A
TV  1  B1
V
T
T  P1  C2
T  P1  C1
B
C
T2
Рис. 3
T1
D
A
P
3. Решение этой задачи аналогично решению задачи 4 для 1-2 курсов.
4. Обозначим силу натяжения нити между грузом и шайбой T , а силу трения шайбы о нить
F fr . Ускорения груза и шайбы будем считать положительными, когда они направлены
вниз. Запишем уравнения движения груза и шайбы
m1a1  m1g  T ;

m2a2  m2 g  Ffr .
Поскольку нить невесома, то T  Ffr . Ускорение шайбы относительно нити a2  a2  a1 , поэтому имеем систему
 m1a1  m1g  T ;


m2 (a2  a1 )  m2 g  Ffr .
Из этой системы находим
m1 g  m2 g  m2a2
a1 
;
m1  m2
F fr  T 
Ответ:
a1 
m1g  m2 g  m2a2
;
m1  m2
m1m2
(2 g  a2 ).
m1  m2
Ffr  T 
m1m2
(2 g  a2 ).
m1  m2