9. Креветки. . . Квадратик 179. Январь 2024 0 [Формула единства 2014, 7.6] Лев взял два натуральных числа, прибавил их сумму к их произведению и в результате получил 1000. Какие числа мог взять Лев? Найдите все варианты. 1 [Саммат, 2015, 8.1] Докажите, что при всяком натуральном n > 1 число n n 1 22 + 2 2 + 1 � составное. 2 [Олимпиада Чехословакии, 1971] p > 3 � простое, m, n � натураль1 1 1 ные, и m n = 1 + 2 + . . . + p 1 . Докажите, что m делится на p. 3 Найдите наименьшее натуральное n такое, что все 73 дроби 19 20 21 91 , , , ..., несократимы. n + 21 n + 22 n + 23 n + 93 4 [42 ТГ, 2020, ос.мл.баз. 3] В куче n камней, играют двое. За ход можно взять из кучи количество камней, либо равное простому делителю текущего числа камней в куче, либо равное 1. Выигрывает взявший последний камень. При каких n начинающий может играть так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл его соперник? 5 [Всеросс, зона, 2004, 11.5] В клетки таблицы 100 ⇥ 100 записаны ненулевые цифры. Оказалось, что все 100 стозначных чисел, записанных по горизонтали, делятся на 11. Могло ли так оказаться, что ровно 99 стозначных чисел, записанных по вертикали, также делятся на 11? 6 [Всеросс, регион, 2014, 10.2] Стозначное натуральное число n назовём необычным, если десятичная запись числа n3 заканчивается на n, а десятичная запись числа n2 не заканчивается на n. Докажите, что существует не менее двух стозначных необычных чисел. 7 [72 MMO, 2009, 8.6] Двое играющих по очереди пишут � каждый на своей половине доски � по одному натуральному числу (повторения разрешаются) так, чтобы сумма всех чисел на доске не превосходила 100000000. После того, как сумма всех чисел на доске становится равной 100000000, игра заканчивается подсчетом суммы всех цифр на каждой половине. Выигрывает тот, на чьей половине сумма цифр меньше (при равных суммах � ничья). Кто из игроков (первый или второй) может играть так, чтобы гарантированно выиграть? 8 [41 ТГ, 2020, вс.ст.сл. 6] На доске написаны 2n последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего числа меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся 2n последовательных чисел.
