Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 1 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 1.1 Цель и задачи курса. История возникновения науки Первая лекция по курсу прикладной механики начнется с общих сведений, характеризующих цели и назначение предмета. Все современные сооружения, машины и приборы должны удовлетворять трем основным требованиям. Они должны быть надежными, долговечными и экономичными. Термин надежность интуитивно понятен, хотя чуть ниже мы раскроем его более подробно. Под долговечностью понимают свойство системы, обеспечивающее ее длительную работоспособность в заданных условиях эксплуатации. Долговечностью называют и продолжительность надежной работы конструкции. Экономичность достигается путем минимизации суммарных затрат на проектирование, изготовление и эксплуатацию конструкций и машин. Под надежностью понимают способность механической системы выполнять заданные ей функции в заданных условиях эксплуатации в течение установленного срока. Прекращение выполнения хотя бы одной из этих функций называют отказом. Существуют следующие виды отказов: а) разрушение вследствие исчерпания прочности; б) возникновение недопустимых деформаций из-за недостаточной жесткости конструкции; в) потеря устойчивости первоначальной формы. В качестве примера разрушения вследствие исчерпания прочности рассмотрим разрушение фюзеляжа самолета. Само разрушение произошло в сечении, расположенном над задними колесами самолета. Это наиболее уязвимое место в конструкции, которое испытывает громадные перегрузки при посадке самолета в момент касания взлетнопосадочной полосы. Хвостовая часть, будучи не опертой, при каждой посадке прогибается под действием собственного веса и инерционной нагрузки (рисунок 1.1). А таких циклов нагружения (взлет-посадка) за время эксплуатации современных самолетов насчитывается несколько тысяч, что и приводит в конечном итоге к усталостному разрушению. 1 Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 Рисунок 1.1 – Разрушение фюзеляжа самолета ДС-9 в момент касания взлетно-посадочной полосы в г. Пенсакола (США, 1988 г.) В качестве иллюстрации недопустимых деформаций из-за недостаточной жесткости конструкции рассмотрим два примера: разрушение Такомского моста и нарушение нормальной работы зубчатой передачи. Такомский мост (рисунок 1.2, а) – трехпролетный висячий мост в штате Вашингтон через пролив Такома-Нероуз. Общая длина моста 1822 м, длина центрального пролета – 853 м (третий по величине мост в мире в момент открытия 1 июля 1940 г.). Ширина проезжей части – 12 м, высота пилонов – 155 м. Основные несущие тросы диаметром 438 мм, несущая балка высотой 2,44 м, что было признано в последующем просчетом. Уже при его возведении строители обратили внимание на колебания и раскачивание полотна дороги моста при усилении ветра, что было обусловлено недостаточной жесткостью несущей балки. В начале ноября, когда скорость ветра достигла 19 м/с колебания моста приобрели необратимый характер, и 7 ноября мост рухнул. В 1950 г. на месте разрушенного моста был построен новый мост, который существует и поныне. На рисунке 1.2, б показан пример, иллюстрирующий последствия недостаточной жесткости валов зубчатой передачи: прогибы валов, приводят к неравномерному распределению нагрузки по ширине зубьев и как следствие к повышенному износу и даже поломке зубьев. 2 Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 а) б) а) разрушение Такомского моста (США, 1940 г.); б) нарушение нормальной работы зубчатой передачи Рисунок 1.2 – Возникновение недопустимых деформаций из-за недостаточной жесткости конструкции Любой из вас может проделать несложный опыт для визуализации и понимания потери устойчивости первоначальной формы, взяв в руки обычную металлическую линейку. Если её сжимать двумя руками, то при некотором значении сжимающих усилий линейка искривится. Это и есть потеря устойчивости, при которой нарушается первоначальная форма стержня. Аналогичное явление может иметь место в строительных конструкциях, например, в сжатых стержнях фермы моста, как это показано на рисунке 1.3. Инцидент имел место во время испытаний моста перед его пуском в эксплуатацию. Поэтому разрушения моста удалось избежать. Состав откатили, поврежденный элемент вырезали и заменили. Рисунок 1.3 – Деформировавшийся раскос фермы Мозырского моста 3 Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 Итак, конструкция будет работать надежно, если обеспечена её прочность, жесткость и устойчивость. Прочность – это свойство твердых тел воспринимать действие сил без разрушения. Жесткость – свойство твердых тел незначительно менять свои размеры и форму под действием сил. Под устойчивостью понимается способность конструкции или ее элементов сохранять первоначальную форму. Прикладная механика (сопротивление материалов) – это наука о расчете простейших элементов конструкций и деталей машин на механическую надежность (прочность, жесткость, устойчивость). Из данного определения вытекают и задачи, которые последовательно решаются в данном курсе. Среди наук, занимающихся вопросами надежности инженерных сооружений, прикладная механика как учебная дисциплина занимает вполне определенное место. Это своего рода азбука расчетов на механическую надежность. Поэтому изучение этой науки, вернее ее основ, необходимо для формирования инженера любой специальности. Прикладная механика, с одной стороны, опирается на фундаментальные дисциплины (теоретическую механику, физику, высшую математику, материаловедение, информатику), с другой стороны, служит базой для специальных расчетных и конструкторских курсов (рисунок 1.4). Рисунок 1.4 – Связь прикладной механики с другими дисциплинами 4 Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 Родоначальником науки о сопротивлении материалов по праву является Галилео Галилей (рисунок 1.5) – итальянский физик, механик, астроном, философ, математик, оказавший значительное влияние на науку своего времени, заложивший основы этой науки в своей знаменитой книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению». Рисунок 1.5 – Галилео Галилей (1564–1642 гг.) Книга была отпечатана фирмой Эльзевиров в Лейдене в 1638 г. Часть книги, посвященная механическим свойствам строительных материалов и исследованию прочности балок, представляет собой первый печатный труд в области сопротивления материалов. 5 Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 1.2 Реальная конструкция и ее расчетная схема В прикладной механике, как и во всех естественных науках, исследование реального объекта начинается с выбора расчетной схемы, или, как еще говорят, с выбора расчетной модели. С этой целью необходимо произвести схематизацию объекта и отбросить все несущественные факторы. Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, носит название расчетной схемы. Расчетная схема в прикладной механике включает в себя допущения, касающиеся внешних сил, структуры и свойств конструкционных материалов, формы элементов конструкций, а также характера протекания деформационных процессов. Остановимся более подробно на этих допущениях. Схематизация внешних сил. Реально существующие силы относятся либо к объемным (например, силы тяжести, силы инерции, силы магнитного притяжения), либо к поверхностным (например, давление жидкости и газа на стенки сосуда, давление ветра). В инженерных расчетах их упрощают и представляют в виде: а) сосредоточенных сил (рисунок 1.6, а). Рисуя вектор силы тяжести 𝐺𝐺⃗ , приложенный к центру тяжести C стержня, мы заменяем систему параллельных сил тяжести, распределенных по объему тела, равнодействующей силой. Аналогично поступают и с поверхностными силами. Например, при расчете рельса можно фактическую нагрузку от колеса, распределенную по небольшой площадке контакта по некоторому закону, заменить сосредоточенной равнодействующей силой 𝐹𝐹⃗ . Сосредоточенные силы выражают в ньютонах (Н), килоньютонах (кН) или меганьютонах (МН); б) сил, распределенных по линии, иначе называемых погонной нагрузкой (рисунок 1.6, б). Например, собственный вес стержня постоянного поперечного сечения представляется в виде равномерно распределенной погонной нагрузки постоянной интенсивности q = γA , где γ – удельный вес материала стержня, A – площадь поперечного сечения. К погонной нагрузке приводится также система поверхностных сил, выражающих контактное взаимодействие между роликом и наружным или внутренним кольцом подшипника качения. Размерность погонной нагрузки: Н/м, кН/м; в) сосредоточенных моментов M, представляющих собой, как правило, момент присоединенной пары при параллельном переносе силы 𝐹𝐹⃗ (рисунок 1.6, в). 6 Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 а) б) в) а) схематизация сосредоточенных сил G; б) схематизация погонной нагрузки q; в) схематизация сосредоточенных моментов М Рисунок 1.6 – Схематизация внешних сил: Схематизация структуры и свойств конструкционных материалов. Она базируется на следующих фундаментальных гипотезах, согласно которым материал считается сплошным (не принимается во внимание корпускулярное строение материи), однородным (свойства одинаковы во всех точках), изотропным (свойства одинаковы во всех направлениях), идеально упругим, подчиняющимся закону Гука. Схематизация формы. Все многообразие форм элементов конструкций сводится к 4 основным типам: стержню (брусу), пластине, оболочке и массиву. В прикладной механике изучают в основном методы расчетов на прочность, жесткость и устойчивость стержня, т.е. тела, одно измерение которого (длина) велико по сравнению с другими. Представим себе плоскую фигуру, перемещающуюся вдоль некоторой линии таким образом, что центр тяжести фигуры находится на этой линии, а плоскость фигуры ей перпендикулярна. Полученное в результате такого движения тело и есть стержень (рисунок 1.7). Рисунок 1.7 – Стержень 7 Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 Плоская фигура, движением которой стержень образован, является его поперечным сечением, а линия, вдоль которой перемещается центр тяжести, – осью стержня. Ось стержня – это геометрическое место центров тяжести его поперечных сечений. В зависимости от формы оси стержня и того, как изменяется (или остается постоянным) его поперечное сечение, различают прямые и кривые стержни с постоянным, непрерывно или ступенчато изменяющимся поперечным сечением (рисунок 1.8). В качестве некоторых примеров деталей, рассчитываемых как прямые стержни, можно указать приводной вал (рисунок 1.9), любой из стержней фермы мостового или башенного крана; крюк крана рассчитывают как кривой стержень. а) б) в) г) а) прямой стержень с постоянным сечением; б) кривой стержень с постоянным сечением; в) стержень с непрерывно изменяющимся поперечным сечением; г) стержень ступенчато изменяющимся поперечным сечением Рисунок 1.8 – Виды стержней Рисунок 1.9 – Приводной вал 8 Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 Пластина и оболочка (рисунок 1.10) характеризуются тем, что их толщина невелика по сравнению с другими размерами. Пластину можно рассматривать как частый случай оболочки, так сказать «распрямленную» оболочку. Рисунок 1.10 – Пластина и оболочка Примерами деталей, рассматриваемых как оболочки и пластины, являются различные резервуары для жидкостей и газов, элементы обшивки корпусов кораблей, фюзеляжей самолетов. Массивом называют тело, все три измерения которого – величины одного порядка, например, фундамент под машину, шарик или ролик подшипника качения. Схематизация деформационных процессов. Она реализуется с помощью трех принципов: – принцип малости деформаций (перемещения точек тела, обусловленные его упругими деформациями, весьма малы по сравнению с размерами самого тела; на практике они отличаются на три порядка и более); – принцип независимости действия сил (результат действия системы сил не зависит от последовательности нагружения ими конструкции и равен сумме результатов действия каждой из сил в отдельности; это положение называют также принципом сложения действия сил или принципом суперпозиции); – принцип Сен-Венана (способ приложения внешних сил сказывается лишь вблизи места нагружения), и двух рабочих гипотез: – гипотеза плоских сечений или гипотеза Я. Бернулли (сечения стержня, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и после деформации); – гипотеза об отсутствии взаимного надавливания продольных волокон стержня (под волокном понимается линейный элемент, равноудаленных от оси стержня). 9 образованный совокупностью точек, Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 В обобщенном виде расчетная схема представлена на рисунке 1.11. Рисунок 1.11 – Расчетная схема конструкции 10 Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 1.3 Перемещения и деформации Все существующие в природе твердые тела не являются абсолютно жесткими и под действием внешних сил в какой-то мере меняют свою форму и размеры (деформируются). а) б) а) перемещение точки тела; б) перемещение по осям Рисунок 1.12 – Перемещения точки К Точки тела при его деформации меняют свое положение в пространстве. Так, например, точка K �������⃗, имеющий (рисунок 1.12, а) переходит в положение K′. Вектор 𝐾𝐾𝐾𝐾′ начало в точке недеформированного тела, а конец в той же точке деформированного тела, называется вектором полного перемещения точки. Его проекции на оси x, y, и z носят название перемещений по осям и обозначаются через u, v и w (рисунок 1.12, б). �������⃗ 𝐾𝐾𝐾𝐾′ = 𝑢𝑢 �⃗ + 𝑣𝑣⃗ + 𝑤𝑤 ��⃗. (1.1) Для количественного описания деформации тела поступим следующим образом. Мысленно разобьем тело на элементарные параллелепипеды и проследим, какие изменения претерпевает любой из них, например, выделенный в окрестности точки K (рисунок 1.12, а), в процессе деформации всего тела. В самом общем случае прямоугольный параллелепипед превратится в косоугольный. При этом изменятся длины ребер и исказятся первоначально прямые двугранные углы. 11 Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 а) б) в) а) тело до деформаций; б) линейная деформация; в) угловая деформация Рисунок 1.13 – Линейные и сдвиговые деформации Интенсивность изменения размеров в окрестности точки K описывается с помощью линейных деформаций (рисунок 1.13, б): ε x = ∆(dx) / dx , ε y = ∆(dy ) / dy , ε z = ∆(dz ) / dz , (1.2) а интенсивность изменения формы характеризуется сдвиговыми деформациями γxy, γyz, γzx (рисунок 1.13, в). Совокупность шести величин: εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx – образует тензор деформации, который количественно описывает деформированное состояние в окрестности произвольной точки K. Линейные деформации измеряются в отвлеченных величинах или в процентах. Обычно они малы по сравнению с единицей. Для упругого тела это десятитысячные или тысячные доли, а если в процентах, то сотые или десятые доли процента. Опыт показывает, что деформации могут после снятия нагрузки или полностью исчезнуть, или исчезнуть лишь частично. Деформации, исчезающие после разгрузки тела, называют упругими, а свойство тел принимать после разгрузки свою первоначальную форму называется упругостью. Деформации же, сохраняемые телом и после удаления нагрузки, называются остаточными или пластическими, а свойство материалов получать остаточные деформации называется пластичностью. Зная деформации тела во всех его точках и условия закрепления, можно определить перемещения всех точек тела. Для нормальной эксплуатации сооружения деформации его отдельных элементов должны быть, как правило, упругими, а вызванные ими перемещения не должны превосходить по величине определенных допускаемых значений. Эти условия, выраженные в форме тех или иных уравнений, называют условиями жесткости. 12 Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 1.4 Внутренние силы Целостность любого упругого тела обеспечивается внутренними силами связи, которые существуют как в нагруженном, так и в ненагруженном состоянии тела. В последнем случае внутренние силы нам неизвестны и, чтобы обойти это обстоятельство, примем их за условный ноль. Поэтому в дальнейшем под внутренними силами мы будем понимать не их абсолютные значения, а только приращения этих сил, вызванные действием внешних сил. Для расчета конструкций на прочность необходимо уметь определять внутренние силы по заданным внешним. Основной прием, который при этом используется, известен как метод сечений. Суть его заключается в следующем. а) б) а) тело с действующими внешними силами; б) часть тела с внутренними силами Рисунок 1.14 – Внутренние силы Исследуемое тело (рисунок 1.14, а) мысленно рассекается какой-либо поверхностью (например, плоскостью Π) на две части, одна из частей отбрасывается, а ее действие на оставшуюся заменяется неизвестными внутренними силами, которые с помощью этого приема переходят в разряд внешних. Согласно гипотезе о сплошности внутренние силы непрерывно распределяются по плоскости сечения, поэтому их представление, приведенное на рисунке 1.14, б, является достаточно условным. Для количественной оценки внутренних сил введем их меру, которую называют напряжением. 13 Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 Рисунок 1.15 – Векторы внутренних сил Выделим в окрестности произвольной точки K сечения (рисунок 1.15) элементарную площадку ∆A. Результирующую внутренних сил, действующих на эту площадку, представим вектором ∆𝑅𝑅�⃗. Разделив ∆𝑅𝑅�⃗ на ∆A, получим новый вектор �����⃗, 𝑝𝑝ср направленный так же, как ∆𝑅𝑅�⃗ и называемый средним напряжением на площадке ∆A, т.е. �⃗ 𝑝𝑝 �����⃗ ср = ∆𝑅𝑅 /∆𝐴𝐴. (1.3) В пределе при стремлении площадки ∆A к нулю (стягивании ее в точку K) получим истинное напряжение в данной точке рассматриваемого сечения: 𝑝𝑝ср = lim ∆𝑅𝑅�⃗ /∆𝐴𝐴. �����⃗ (1.4) ∆𝐴𝐴→0 Вектор напряжения 𝑝𝑝⃗ имеет размерность: сила, деленная на площадь. В Международной системе единиц (СИ) в качестве единицы напряжения принят паскаль (Па = Н/м2), но эта единица очень мала, поэтому на практике используется кратная ей единица – мегапаскаль (1 МПа = 106 Па). Вектор напряжения может быть разложен: а) на две составляющие по двум ортогональным направлениям, одно из которых является нормалью 𝑛𝑛�⃗ к площадке, а второе 𝑡𝑡⃗ принадлежит площадке (рисунок 1.16) 𝑝𝑝⃗ = ����⃗ 𝜎𝜎𝑛𝑛 + ����⃗, 𝜏𝜏𝑛𝑛 где ����⃗ 𝜎𝜎𝑛𝑛 – нормальное напряжение; 𝜏𝜏𝑛𝑛 – касательное напряжение; ����⃗ 14 (1.5) Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 Рисунок 1.16 – Вектор напряжения, разложенный на две составляющие б) на три составляющие по осям прямоугольной декартовой системы координат xyz (рисунок 1.17) (1.6) 𝑝𝑝⃗ = ���⃗ 𝜎𝜎𝑧𝑧 + 𝜏𝜏�����⃗ �����⃗. 𝑧𝑧𝑧𝑧 + 𝜏𝜏 𝑧𝑧𝑧𝑧 Рисунок 1.17 – Вектор напряжения, разложенный на три составляющие Для нахождения вектора напряжения в точке K мы рассекаем тело плоскостью, проходящей через точку K. Но через точку K может проходить сколь угодно различных сечений. Определяя вектор 𝑝𝑝⃗ для той же точки K, но для другого сечения, мы получим иной результат. Таким образом, беря различные сечения, проходящие через данную точку, можно определить бесконечное множество относящихся к этой точке векторов напряжений. Совокупность векторов напряжений для всего множества площадок, проходящих через данную точку, характеризует напряженное состояние в точке, изучение которого является одной из основных задач курса. Напряженное состояние в точке количественно описывается сложной физической величиной, называемой тензором напряжений Tн, компонентами которого являются нормальные и касательные напряжения, действующие параллелепипеда, выделенного в окрестности точки K. 15 на гранях элементарного Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 Рисунок 1.18 – Тензор напряжений 𝜎𝜎𝑥𝑥 𝜏𝜏 𝑇𝑇н = � 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝜏𝜏𝑧𝑧𝑧𝑧 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝜎𝜎𝑦𝑦 𝜏𝜏𝑧𝑧𝑧𝑧 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 𝜏𝜏𝑦𝑦𝑦𝑦 � . 𝜎𝜎𝑧𝑧 (1.7) Рассмотрим внутренние силовые факторы в поперечных сечениях стержня. Проанализируем стержень, обладающий хотя бы одной плоскостью симметрии и нагруженный произвольной системой сил (рисунок 1.19, а). Свяжем с ним прямоугольную декартову систему координат. Ось z направим вдоль оси стержня, а две другие (x и y) расположим в плоскости поперечного сечения, совместив ось y с осью симметрии последнего. а) стержень, нагруженный произвольной системой сил б) часть стержня с внутренними силами 16 Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 в) замена внутренних сил главным вектором R0 и моментом М0 Рисунок 1.19 – Стержень, нагруженный произвольной системой сил Рассечем стержень плоскостью Π, перпендикулярной к оси z, на две части и одну из частей, например II, отбросим, заменив ее действие на оставшуюся внутренними силами (рисуно 1.19, б). Выбрав в качестве центра приведения центр тяжести сечения abcd, заменим внутренние силы их интегральными характеристиками – главным вектором ����⃗ 𝑅𝑅0 и главным 𝑅𝑅0 и �����⃗ 𝑀𝑀0 по осям x, y, z, получим (рисунок 1.19) моментом �����⃗ 𝑀𝑀0 . Раскладывая ����⃗ � �����⃗ ����⃗ 𝑅𝑅0 = ����⃗ 𝑁𝑁𝑧𝑧 + ����⃗ 𝑄𝑄𝑥𝑥 + 𝑄𝑄 𝑦𝑦 ; �����⃗ �����⃗𝑥𝑥 + �����⃗ �����⃗𝑧𝑧 , 𝑀𝑀0 = 𝑀𝑀 𝑀𝑀𝑦𝑦 + 𝑀𝑀 (1.8) где Nz – продольная сила; Qx (Qy) – поперечные силы; Mx (My) – изгибающие моменты; Mz – крутящий момент. Рисунок 1.20 – Разложение главного момента и вектора по осям Это и есть внутренние силовые факторы в поперечном сечении стержня, с которыми связаны приведенные ниже основные виды нагружения (рисунок 1.21). Там же дается и правило знаков для них. 17 Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 а) б) в) г) д) Рисунок 1.21 – Внутренние силовые факторы Величины внутренних силовых факторов определяются из уравнений равновесия статики, составленных для оставшейся части. Как известно, таких уравнений шесть: три уравнения проекций, из которых определяются продольная сила Nz и поперечные силы Qx (Qy), и три уравнения моментов, позволяющие определить изгибающие моменты Mx (My) и крутящий момент Mz. Для расчета конструкций на прочность необходимо знать, как изменяются внутренние силовые факторы по длине стержня. С этой целью строятся их графики, называемые эпюрами, при построении которых широко используются дифференциальные и интегральные зависимости между ними и распределенной внешней нагрузкой. Связь между устанавливается напряжениями следующими и внутренними интегральными силовыми соотношениями, факторами. вытекающими непосредственно из определения внутренних усилий. Рисунок 1.22 – Связь между напряжениями и внутренними силовыми факторами 18 Она Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 N z = R z = ∫ σ z dA ; A Q x = R x = ∫ τ zx dA , A M x = ∫ σ z ydA , A Q y = R y = ∫ τ zy dA ; A M y = ∫ σ z xdA , M z = ∫ (τ zy x − τ zx y )dA . (1.9) A A Исходя из этих интегральных уравнений (1.9), можно найти элементарными методами напряжения через внутренние силовые факторы, если сделать определенные предположения о характере распределения напряжений. Именно с этой целью в сопротивлении материалов вводятся так называемые рабочие гипотезы, о которых мы говорили выше (гипотеза плоских сечений, гипотеза об отсутствии взаимного надавливания продольных волокон стержня). Порядок определения напряжений в поперечных сечениях бруса: – от внешних сил через метод сечений к внутренним силовым факторам; – от внутренних силовых факторов через рабочие гипотезы (плоских сечений и об отсутствии взаимного надавливания), исходя из интегральных зависимостей (1.9), к напряжениям. 19 Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 1.5 Общие принципы расчета элементов конструкций В результате расчета нужно получить ответ на вопрос, удовлетворяет или нет конструкция тем требованиям надежности, которые к ней предъявляются. Этих требований, как известно, три: прочность, жесткость и устойчивость. Но в зависимости от условий работы и назначения конструкции определяющим может быть одно из них. Чаще всего на первое место выступает требование прочности, которое сводится к выполнению так называемых условий прочности. Расчет на прочность Он выполняется либо по методу допускаемых напряжений, либо по методу допускаемых нагрузок. 1. Метод допускаемых напряжений. В основу этого метода расчета положено предположение, что критерием надежности конструкции является напряжение или, точнее говоря, напряженное состояние в точке. Последовательность расчета при этом выглядит следующим образом. На основании анализа конструкции выявляется та точка в теле, где возникают наибольшие напряжения. Найденное значение напряжений в этой точке сопоставляется с предельным значением для данного материала, полученным на основании предварительных лабораторных испытаний. Из сопоставления найденных расчетных напряжений и предельных напряжений делается заключение о прочности конструкции. Условие прочности имеет следующий вид: где 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ≤ 𝜎𝜎пред [𝑛𝑛] = [𝜎𝜎] или 𝜏𝜏𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ≤ 𝜏𝜏пред [𝑛𝑛] = [𝜏𝜏], (1.10) σпред и τпред – предельные для данного материала напряжения, определяемые экспериментально; [n] – нормативный коэффициент запаса прочности; [σ] и [τ] – допускаемые напряжения. 2. Метод допускаемых нагрузок. В этом методе путем расчета определяются не напряжения, а находится предельная нагрузка, которую может выдержать конструкция, не разрушаясь или не изменяя существенно свою форму. Предельная (разрушающая) нагрузка сопоставляется с рабочей нагрузкой, и на основании этого делаются выводы о степени прочности конструкции в рабочих условиях. 20 Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 Условие прочности записывается так: 𝐹𝐹раз (1.11) 𝐹𝐹 ≤ [𝑛𝑛 ] = [𝐹𝐹], 𝐹𝐹 где Fраз – предельная для данной конструкции нагрузка; [nF] – нормативный запас прочности по нагрузкам; [F] – допускаемая величина нагрузки. Расчет на жесткость Он выполняется в тех случаях, когда необходимо добиться наименьших изменений формы конструкции, например, при проектировании точных приборов и механизмов. Это не исключает, конечно, одновременной проверки системы на прочность по напряжениям. Условие жесткости заключается в ограничении линейных f и угловых θ перемещений заданными пределами (1.12) 𝑓𝑓 ≤ [𝑓𝑓]; 𝜃𝜃 ≤ [𝜃𝜃], где [f], [θ] – допускаемые перемещения. Рисунок 1.23 – Линейные и угловые перемещения Расчет на устойчивость Опасность потери устойчивости особенно велика для легких тонкостенных конструкций типа гибких стержней, пластин и оболочек. 21 Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 Рисунок 1.24 – Устойчивость стержня В нашем курсе мы ограничимся лишь простейшими случаями расчета на устойчивость сжатых стержней, для которых условие устойчивости имеет вид 𝐹𝐹кр (1.13) 𝐹𝐹 ≤ �𝑛𝑛 � = �𝐹𝐹𝑦𝑦 �, 𝑦𝑦 где Fкр – критическая нагрузка, при которой сжатый стержень теряет устойчивость (искривляется); [nу] – коэффициент запаса устойчивости; [Fу] – допускаемая нагрузка на устойчивость. 22 Прикладная механика. Сопротивление материалов / Р.Х. Гафаров, В.Г. Афанасенко – Уфа: УГНТУ, 2019 Список использованных источников 1. Гафаров Р.Х. Сопротивление материалов. Конспект лекций. – Уфа: УГАТУ, 2009. – 220 с. - ISBN 978-5-4221-0020-0. Серия Изучаем науку о прочности. 2. Гафаров Р.Х., Жернаков В.С. Что нужно знать о сопротивлении материалов // Учеб. пособие. - М.: Машиностроение, 2001. -276 с. 3. Гафаров Р.Х. Сборник задач по сопротивлению материалов. Учебное пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — Под ред. докт. техн. наук, проф. Ю.С. Первушина. — Уфа: Уфимский государственный авиационный технический университет (УГАТУ), 2005. — 384 с. 4. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: учебник для вузов / В.И. Феодосьев – 17-е изд., испр. – Москва: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, -2018. – 542, [2] с. :ил. 5. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. Том 1. Элементарная теория и задачи // 2е изд., стереотипное/ Пер. с англ. – М.: Наука, 1965. – 364 с. 6. Тимошенко С.П. Курс сопротивления материалов. Москва: Государственное издательство, 1930. — 568 с. 7. Писаренко Г.С. Агаев В.А Квитка А.Л., Попков В.Г. Уманский Э.С. Учебник. – 4-е изд., перераб. и доп. – Киев: Вища школа, 1979. — 696 с. 8. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. 5-е изд., перераб. — М.: Высшая школа, 1989. — 624 с. 9. Беляев Н.М. Сопротивление материалов/ - М.: ГИТТЛ, 1954. — 856 с. 10. Антуфьев Б.А., Горшков А.Г., Егорова О.В., Зайцев В.Н., Костриченко А.Б., Макаревский Д.И., Рабинский Л.Н., Сибиряков А.В., Тарлаковский Д.В. Под общ. ред. акад. Ишлинского А.Ю. - М.: МАИ, 2001. — 544 с: ил. 11. Ободовский Б.А., Ханин С.Е. Сопротивление материалов в примерах и задачах. /Учеб. пособие/ - 4-е изд., перераб. и доп. – Харьков: Вища школа, Издательство при Харьковском университете, 1981. — 344 с. 12. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. — Учебник для вузов. — 4-е изд., испр. — М.: Высшая школа, 2004. — 560 с. 13. Атапин В.Г., Пель А.Н., Темников А.И. Сопротивление материалов. Учебник. Новосибирск: Изд-во Нгту, 2006. - 556 с. - («Учебники Нгту»). 23
