РПР 3

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ
АКАДЕМИКА С.П. КОРОЛЕВА»
Институт авиационной и ракетно-космической техники
Кафедра сопротивления материалов
Расчетно-проектировочная работа №3
«Расчет статически определимых балок»
Вариант № 2
Выполнил: Андреев А.Н.,
студент группы 1201-240507D
Проверил: Вакулюк В.С.,
профессор, д.т.н.
Самара 2023
1
ЗАДАНИЕ
Заданы схемы балок, размеры и действующие нагрузки,
Требуется:
– построить эпюры Q и M для балок с буквенными данными, изобразить
характер изогнутых осей;
– построить эпюры Q и M для балок с числовыми данными, изобразить
характер изогнутых осей;
– для одной из балок с числовыми данными назначить размеры
прямоугольного, квадратного, круглого и кольцевого поперечных сечений,
сравнить экономичность балок с различными сечениями;
– для одной из балок с числовыми данными провести полную проверку
прочности;
– для одной из балок с числовыми данными провести анализ
напряженного и деформированного состояний в заданной точке этой балки;
– для одной из балок с числовыми данными определить прогиб и угол
поворота в заданных сечениях.
Действующие нагрузки для буквенных балок
𝑞𝑙
F= ;
2
М=
𝑞𝑙 2
4
.
Буквенные балки: №2, 208, 414, 620, 826.
Числовые балки: №2, 77, 152, 227, 302.
Для одной из балок, кроме двутаврового, подбираются: прямоугольное
(h/b = 2), круглое, кольцевое (α = d/D = 0,8), квадратное поперечные сечения.
В расчётах принимается материал балок сталь Ст. 3 с допускаемым
напряжением [σ] = 160 МПа.
2
РЕФЕРАТ
Расчетно-проектировочная работа 24 с, 15 рисунков, 4 источника.
БАЛКА, РЕАКЦИИ ОПОР, ПОПЕРЕЧНАЯ СИЛА, ИЗГИБАЮЩИЙ
МОМЕНТ, ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ, ПРОГИБ, УГОЛ ПОВОРОТА
Объектом исследования являются статически определимые балки.
Цель работы – расчеты на прочность и жесткость статически
определимых балок.
В результате работы определены реакции опор, построены эпюры
поперечных сил и изгибающих моментов, показан характер изогнутых осей для
заданных балок. Для балок с числовыми данными подобраны двутавровые
поперечные сечения. Для одной из числовых балок подобраны также
поперечные сечения в виде круга, кольца, прямоугольника и проведено
сравнение масс полученных сечений.
Для заданной балки с двутавровым сечением проведена полная проверка
прочности, определены прогиб и угол поворота в указанных сечениях.
Эффективность работы заключается в выборе наиболее экономичного
поперечного сечения балки.
3
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ...................................................................................................... 5
1.Расчётные схемы и эпюры балок с буквенными обозначениями ........... 6
2.Расчётные схемы и эпюры балок с числовыми данными ...................... 10
3. Подбор поперечных сечений балки №2 ................................................. 15
3.1 Сравнение масс балок различных сечений .......................................... 16
4. Полная проверка прочности балки №2 ................................................... 17
5. Определение главных напряжений и положение главных площадок
аналитическим методом ......................................................................................... 19
5.1 Определение главных напряжений и положение главных площадок
графическим методом. ........................................................................................... 20
5.2 Определение эквивалентных напряжений ........................................... 20
6. Определение перемещений числовой балки №227 ............................... 21
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................................. 23
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ................................... 24
4
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время среди деталей машин часто встречаются балочные
конструкции. Поэтому необходимо уметь рассчитывать балки на прочность и
жёсткость.
Данная работа является актуальной, так как она позволяет получить опыт
в расчёте балок на прочность, в том числе в подборе различных поперечных
сечений, удовлетворяющих условию необходимой прочности.
5
1.Расчётные схемы и эпюры балок с буквенными обозначениями
Рисунок 1 – Балка №2
Рисунок 2 – Балка №208
∑𝑦 = 0
1 𝑞𝑙
−𝑉𝑎 + F + ∙
2
2
6
=0
𝑉𝑎 =
∑ 𝑀𝑎 = 0
𝑞𝑙
2
+
𝑞𝑙
4
3𝑞𝑙
=
𝑉𝑎 =
4
1
𝑙
2
2 3
3𝑞𝑙
4
𝑙
−𝑀𝑎 + 𝑀 + 𝑞 ∙ ∙ + 𝐹 ∙ 𝑙 = 0
𝑀𝑎 =
𝑞𝑙 2
4
+
𝑞𝑙 2
12
+
𝑞𝑙 2
2
=
5𝑞𝑙 2
𝑀𝑎 =
6
Рисунок 3 – Балка №414
∑ 𝑀𝑎 = 0
1
5𝑙
4
6
𝑉𝑏 ∙ 𝑙 − 𝑞𝑙 ∙
1
𝑙
4
3
− 𝑞𝑙 ∙ − 𝑀 = 0
𝑞𝑙 2 5 1
( + + 1) 13
𝑉𝑏 = 4 6 3
=
𝑞𝑙
𝑙
24
∑𝑦 = 0
−𝑉𝑎 −
𝑉𝑎 = −
𝑞𝑙
4
−
𝑞𝑙
4
+
13
24
𝑞𝑙 = 0
𝑞𝑙 𝑞𝑙 13
1
− + 𝑞𝑙 =
𝑞𝑙
4
4 24
24
7
5𝑞𝑙 2
6
Рисунок 4 – Балка №620
1
𝑙
2
3
1
1
𝑙
2
2
3
∑𝑦 = 0
𝑉𝑎 + ∙ 𝑞 ∙ − 𝐹 = 0
∑ 𝑀𝑎 = 0
𝑀𝑎 − 𝑀 + ∙ 𝑞 ∙ ∙ 𝑙 − 𝐹 ∙ 𝑙 = 0
1
𝑙
2
3 9
𝑉𝑎 = 𝑞𝑙 − ∙ 𝑞 ∙
𝑉𝑎 =
𝑞𝑙
3
8
1
1
𝑙
8
1
65
4
2
3 9
2
108
𝑀𝑎 = 𝑞𝑙 2 − ∙ 𝑞 ∙ ∙ 𝑙 + 𝑞𝑙 ∙ 𝑙 =
8
𝑞𝑙 2
𝑀𝑎 =
65𝑞𝑙 2
108
Рисунок 5 – Балка №826
∑ 𝑀𝑎 = 0
−𝑉𝑏 ∙ 𝑙 + 𝑀 − 𝐹
𝑉𝑏 =
∑𝑦 = 0
𝑉𝑎 +
𝑞𝑙
2
𝑀−𝐹
𝑙
−
𝑞𝑙
2
−
2𝑙
3
𝑙
+𝐹∙ =0
3
𝑙
3 = 𝑞𝑙 − 𝑞𝑙 = 𝑞𝑙
4
6 12
𝑞𝑙
12
=0
9
𝑉𝑎 =
𝑞𝑙
12
2.Расчётные схемы и эпюры балок с числовыми данными
Рисунок 6 – Балка №2
10
Рисунок 7 – Балка №77
∑ 𝑀𝑏 слева = 0
−𝐴 ∙ 3,5 +
25∙3,52
2
+ 20 = 0
25 ∙ 3,52
+ 20
2
A=
= 49,5 кН
3,5
Найдем z, когда Q=0 из соотношения
87,5 ∙ 𝑧 = 173,25
49,5
𝑧
=
38
3,5−𝑧
𝑧 = 1,98 м
1,982
𝑀(1,98) = −20 + 49,5 ∙ 1,98 − 25 ∙
= 29 кН ∙ м
2
11
Рисунок 8 – Балка №152
∑ 𝑀𝑎 = 0
𝑀𝑎 + 40 ∙ 6 +
𝑀𝑎 = −40 ∙ 6 −
−40 −
𝐴 = −40 −
Найдем z, когда Q=0
30∙3
2
+ 20 +
∙ 5 − 20 ∙ 3 −
2
45∙3
2
∙1=0
30 ∙ 3
45 ∙ 3
∙ 5 + 20 ∙ 3 +
∙ 1 = −337,5 кН ∙ м
2
2
∑𝑦 = 0
−40 −
30∙3
45𝑧 2
3∙2
30∙3
2
+ 20 +
45∙3
2
−𝐴 =0
30 ∙ 3
45 ∙ 3
+ 20 +
= 2,5 кН
2
2
=0
𝑧=√
6(40+
30∙3
−20)
2
45
= 2,94 м
Тогда 𝑀𝑚𝑖𝑛 будет равен
𝑀𝑚𝑖𝑛
30 ∙ 3
45 ∙ 2,943
= −40 ∙ 5,94 −
∙ 4,94 + 20 ∙ 2,94 +
= −337,57 кН ∙ м
2
3∙2∙3
12
Рисунок 9 – Балка №227
∑ 𝑀𝑏 = 0
𝐴=
−𝐴 ∙ 6 + 30 ∙ 3 ∙ 4,5 − 40 ∙ 3 ∙ 1,5 − 60 = 0
30∙3∙4,5−40∙3∙1,5−60
6
∑𝑦 = 0
= 27,5 кН
𝐴 = 27,5 кН
𝐴 − 30 ∙ 3 + 40 ∙ 3 − 𝐵 = 0
𝐵 = 27,5 − 90 + 120 = 57,5
Найдем 𝑧1 и 𝑧2 , где Q=0 из соотношений
27,5
𝑧1
=
62,5
57,5
3−𝑧1
𝑧2
=
62,5
𝑧1 = 0,917 м
3−𝑧2
𝑧2 = 1,438 м
Тогда 𝑀𝑚𝑎𝑥 и 𝑀𝑚𝑖𝑛 будут равны:
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝑀𝑚𝑖𝑛
30 ∙ 0,9172
= 27,5 ∙ 0,917 −
= 12,6 кН ∙ м
2
40 ∙ 1,4382
= −57,5 ∙ 1,438 +
− 60 = −101,3 кН ∙ м
2
13
Рисунок 10 – Балка №302
14
3. Подбор поперечных сечений балки №2
Рисунок 11 – Балка №2
Из условия прочности при плоском изгибе подбираем размеры различных
поперечных сечений балки №2 (см. рисунок 11)
𝑊𝑥 ≥
|М|наиб
[𝜎]
=
125∙103
160∙106
= 781 см3 ;
а) Двутавровое сечение
I № 36: 𝑊𝑥таб = 743 см3 ;
А = 61,9 см2
б) Прямоугольное сечение (h/b = 2).
𝑊𝑥
𝑏ℎ2 2 3
=
= 𝑏
6
3
3 3
𝑏 = √ ∙ 781 = 10,5 см
2
ℎ = 2𝑏 = 21см
Принимаем b=10,5 см, h=21 см
15
𝐴пр = ℎ ∙ 𝑏 =21∙10,5=220,5 см2
в) Квадратное сечение
а3
=
6
𝑊𝑥
3
а = √6 ∙ 781 = 16,7 см
Принимаем а = 17 см
𝐴кв = а2 = 172 = см2
г) Круглое сечение
кр
𝑊𝑥
𝜋𝐷3
=
32
3
D= √
Принимаем D=20см
𝐴кр =
𝜋𝐷2
4
=
32 ∙ 781
= 19,9 см
𝜋
3,14∙202
4
=314см2
д) Кольцевое сечение (𝛼 = 0.8)
𝑊𝑥кол
𝜋𝐷3
(1 − 𝛼 4 )
=
32
3
32 ∙ 781
𝐷=√
= 23,8 см
3,14(1 − 0.84 )
Принимаем D=24см
𝐴кол =
𝜋𝐷2
4
(1 − 𝛼 2 ) =
3,14∙242
4
(1 − 0,82 ) = 160 см2
3.1 Сравнение масс балок различных сечений
mдвут : mкол : mпр : mкв :mкр = Aдвут : Aкол : Aпр : Акв : Aкр =61,8: 160: 220,5: 256:
314=1: 2,6: 3,5: 4,1: 5
Из этого сравнения следует, что при плоском изгибе, самым
экономичным является двутавровое сечение.
16
4. Полная проверка прочности балки №2
Двутавр №36
𝑊𝑥 =743см3,
𝐽𝑥
= 13380 cм4,
𝑆𝑥 =423
см3, h = 360 мм, b =
145 мм, d = 7,5 мм, t =12,3 мм
1 опасная точка: Сечение с наибольшим по абсолютной величине
значением изгибающего момента М=125 кН*м
Ნнаиб=
|𝑀|наиб
𝑊𝑥
=
125×103
743×10−6
= 168,2 МПа
|160 − 168,2|
∙ 100 = 5,16% < 5%
160
Условие прочности условно выполняется.
2 опасная точка: Сечение с наибольшим по абсолютной величине
значением поперечной силы Q=25 кН.
отр
𝜏наиб
𝑄 ∙ 𝑆𝑥
25 ∙ 103 ∙ 423 ∙ 10−6
=
=
= 10,5МПа
𝐼𝑥 ∙ 𝑦
13380 ∙ 10−8 ∙ 7,5 ∙ 10−3
[𝜏] =
[𝜎]
√3
=
160
√3
= 92,4МПа
𝜏наиб. < [𝜏]
Условие прочности выполняется.
3 опасная точка: Сечение с наибольшим сочетанием изгибающего
момента М=428,3кН∙м и поперечной силы Q=190кН.
𝜎3 =
𝑦3 =
|𝑀|наиб.
∙ 𝑦3
𝐼𝑥
ℎ
360
−𝑡 =
− 12,3 = 167,7мм
2
2
125 ∙ 103 .
𝜎3 =
∙ 167,7 ∙ 10−3 = 156,67МПа
−8
13380 ∙ 10
отр.
𝑆𝑥
=
отр.табл
𝑆𝑥
2
2
1
ℎ
1
36
− ∙ 𝑑 ∙ ( − 𝑡) = 423 − ∙ 0,75 ∙ ( − 1,23) = 317,5см3
2
2
2
2
отр
𝑄 ∙ 𝑆𝑥
25 ∙ 103 ∙ 317,5 ∙ 10−6
𝜏3 =
=
= 7,9МПа
𝐼𝑥 ∙ 𝑦
13380 ∙ 10−8 ∙ 0,75 ∙ 10−3
17
𝜎экв. = √𝜎32 + 3 ∙ 𝜏32 = √156,672 + 3 ∙ 7,92 = 157,2МПа
|160 − 157,2|
∙ 100 = 1,75%
160
Условие прочности выполняется.
По результатам вычисления напряжений в третьей опасной точке строим
эпюры нормальных и касательных напряжений по высоте двутаврового сечения
(рисунок 12)
Рисунок 12 – Эпюры нормальных и касательных напряжений по высоте
двутаврового сечения
𝜏полк. = 𝜏3 ∙
𝑑
7,5
= 7,9 ∙
= 0,4 МПа
𝑏
145
отр.табл
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜏3 ∙
𝑆𝑥
отр.
𝑆𝑥
= 7,9 ∙
18
423
= 10,5 МПа
317,5
5. Определение главных напряжений и положение главных
площадок аналитическим методом
𝜎𝑦 = 0
𝜎𝑥 = 𝜎3 = 156,67 Мпа
𝜏𝑥𝑦 = 𝜏3 = −7,9 МПа
𝜏𝑦𝑥 = 7,9МПа
Рисунок 13 – Напряженное состояние в точке 3
𝜎𝐼,𝐼𝐼 =
1
2
2 ]
∙ [(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 ) ± √(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) + 4 ∙ 𝜏𝑥𝑦
2
1
= [156,67 ± √156,672 + 4 ∙ 7,92 ] = 157,1 МПа и
2
𝜎𝐼 = 157,1 МПа
− 0,4Мпа
𝜎𝐼𝐼 = −0,4 МПа
𝜎1 = 157,1 МПа
𝜎2 = 0 МПа
𝜎3 = −0,4 МПа
tan 𝛼0 = −
𝜏𝑥𝑦
−7,9
=−
= 0,05
𝜎𝑥 − 𝜎𝐼𝐼
156,67 − (−0,4)
19
𝛼0 = 2,9°
5.1 Определение главных напряжений и положение главных
площадок графическим методом.
Рисунок 14 – Круг Мора для напряжений
𝐷𝛼 (𝜎𝑥 , 𝜏𝑥𝑦 )
𝐷𝛽 (𝜎𝑦 , 𝜏𝑦𝑥 )
5.2 Определение эквивалентных напряжений
𝜎экв.𝐼𝐼𝐼 = 𝜎1 − 𝜎3 = 157,1 − (−0,4) = 157,5 МПа
𝜎экв.𝐼𝑉 = √𝜎12 + 𝜎22 + 𝜎32 − 𝜎1 ∙ 𝜎2 − 𝜎2 ∙ 𝜎3 − 𝜎1 ∙ 𝜎3
= √157,12 + 02 + (−0,4)2 − 0 − 0 + 157,1 ∙ 0,4 = 157,3 МПа
|160 − 157,5|
∙ 100 = 1,56%
160
|160 − 157,3|
∙ 100 = 1,68%
160
Условия прочности выполняются
20
6. Определение перемещений числовой балки №227
Составляем выражение изгибающего момента для произвольных сечений
на каждом участке балки №227(см. рисунок 15). Двутавр №.33
|𝑀наиб | 101,3 ∙ 103
=
=
= 633см3
6
[𝜎]
160 ∙ 10
𝑊𝑥
𝑊𝑥табл = 597см3
𝐼𝑥 = 9840см4
Рисунок 15 – Балка №227
Перемещение в точки C.
1 участок: 0 ≤ 𝑧1 ≤ 3 𝑀(𝑧1 ) = −57,5𝑧1 + 40
𝐸𝐼𝑥 𝑦1′′
𝐸𝐼𝑥 𝑦1′
𝐸𝐼𝑥 𝑦
=
5𝑧14
3
−
57,5𝑧13
6
𝑧1 2
2
− 60
𝑧1 2
= −57,5𝑧1 + 40
− 60
2
20𝑧13 57,5𝑧12
=
−
− 60𝑧1 + 𝐶1
3
2
− 30𝑧12 + 𝐶1 𝑧1 + 𝐷1 - Уравнение прогибов
21
2 участок: 0 ≤ 𝑧2 ≤ 3 𝑀(𝑧2 ) = 27,5𝑧2 − 30
𝐸𝐼𝑥 𝑦2′′
𝐸𝐼𝑥 𝑦2′
𝑧2 2
2
𝑧2 2
= 27,5𝑧2 − 30
2
27,5𝑧22
=
− 5𝑧2 3 + 𝐶2
2
27,5𝑧23 5𝑧24
𝐸𝐼𝑥 𝑦2 =
−
+ 𝐶2 𝑧2 + 𝐷2
6
4
Постоянные интегрирования определим из граничных условий:
При z1=0,
𝐷1 = 0 и при 𝑧2 = 0 𝐷2 = 0
При z2=3м, z1=3м,
𝑦1′ = −𝑦2′
𝑦1 = 𝑦2
Подставляем z2 в уравнения, которые написаны выше
5 ∙ 34 57,5 ∙ 33
27,5 ∙ 33 5 ∙ 34
−
− 30 ∙ 9 + 3𝐶1 =
−
+ 3 ∙ 𝐶2
3
6
6
4
20 ∙ 33 57,5 ∙ 32
27,5 ∙ 32
−
− 60 ∙ 3 + 𝐶1 = −
+ 5 ∙ 33 − 𝐶2
3
2
2
Решаем эту систему равенств.
3𝐶1 − 3𝐶2 = 416,25
С1 = 204,375 кН ∙ м2
𝐶1 = 270 − 𝐶2
С2 = 65,625 кН ∙ м2
Находим 𝑦𝑐 и 𝜃𝑎
27,5 ∙ 33 5 ∙ 34
−
+ 3 ∙ 65,625
219,375 ∙ 103
6
4
𝑦𝑐 = 𝑦2 (3) =
=
𝐸𝐼𝑥
2 ∙ 1011 ∙ 9840 ∙ 10−8
= 0,011м = 11мм
Перемещение вверх
𝜃𝑎 =
𝑦1′ (0)
С2
65,625 ∙ 103
=
=
= 0,00333 рад. = 3,33 ∙ 10−3 рад.
𝐸𝐼𝑥 2 ∙ 1011 ∙ 9840 ∙ 10−8
Поворот против часовой стрелки. Уточняем характер изогнутой оси
балки, с учётом полученных результатов.
22
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
После выполнения данной расчетно-проектировочной работы появился
опыт в построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в статически
определимых балках, что позволяет рассчитывать балки на прочность,
подбирать
заданные
поперечные
сечения,
удовлетворяющие
условию
необходимой прочности. Проведён сравнительный экономический анализ
различных поперечных сечений заданной балки и установлено, что наиболее
экономичным (с точки зрения минимальной массы) является двутавровое
сечение. Появились навыки нахождения перемещений в заданном сечении
балки с помощью дифференциального уравнения изогнутой оси.
23
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1.
Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов: учебник для втузов
[Текст] / В.И. Феодосьев. – М.: МГТУ им. Баумана, 2018. – 544 с.
2. Расчётно-проектировочные и курсовые работы по сопротивлению
материалов [Текст]: учебное пособие для студентов втузов / А.С. Букатый, В.С.
Вакулюк, О.В. Каранаева, [и др.]. – Самара: Изд-во Самарского университета,
2017. – 138 с.
3. СТО 02068410-004-2018. Общие требования к учебным текстовым
документам [Текст]. - Самара: Изд-во Самарского университета, 2018. – 36с.
4. Расчёты брусьев на прочность и устойчивость [Текст]: учебное пособие
для студентов втузов / Ю. Н. Сургутанова [и др.]. – Самара: Изд-во Самарского
университета, 2017. – 112 с.
24