1.Показательная функция и ее свойства.
Логарифмическая и степенная функции.
Показательная-функция вида f(x)=ax,
где а – некоторое полож. действит. число,
называемое основанием
степени. При а=1 значение показательной
функции при любом значении аргумента
равно единице, и случай, а=1 далее не
будет рассматриваться.
2.Основные свойства предела функции.
Предел по Гейне:
Число a наз. пределом ф-ии f (X) в т.
х0:𝑎 = lim 𝑓(𝑥), если
4.Производная суммы, произведения,
частного и композиции функций,
производная обратной функции.
𝑥→𝑥0
А) ∃ проколотая точка ⋃0 (𝑥0) т. x0, на
которой ф-я определена
Б) ∀ послед-ти {𝑥𝑛} , сходящейся к x0:
lim 𝑥𝑛 = 𝑥0 , элементы принадлежат
3.Сумма, произведение, частное и композиция
непрерывных функций.
Ф-я f(x) наз-я непрерывной в т. a если она
удовл. 2-м условиям:
1.f(x) определена в некоторой окрестности т. x=a
2.существует конечный предел 𝑙𝑖𝑚
𝑓(𝑥) и он равен
𝑥→𝑎
знач. Ф-и f(x) в т. a 𝑙𝑖𝑚𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
5.Основные теоремы диффер.
исчисления.
𝑥→𝑎
Теорема о сумме: Если функции f(x) и g(x)
непрерывны в точке a, то их сумма f(x) + g(x) и
разность f(x) – g(x) также непрерывны в точке a.
𝑛→∞
окрест. ⋃0 (𝑥0): xn∈ ⋃0 (𝑥0), послед.
{𝑓(𝑥𝑛)} сходятся к a lim 𝑓(𝑥𝑛) = 𝑎
𝑛→∞
𝑙𝑖𝑚 (𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)) = 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) ± 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) + 𝑔(𝑥0 )
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
Теорема о произведении и частном: Если
функции f(x) и g(x) непрерывны в точке a, то их
произведение f(x) * g(x) и частное f(x) / g(x) (при
условии, что g(a)≠0) также непрерывны в точке a
1. 𝑙𝑖𝑚 (𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)) = 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) ⋅ 𝑔(𝑥0 )
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
2.если 𝑔(𝑥0 ) ≠ 0 = 7 ∕ 𝑙𝑖𝑚
𝑓(𝑥)
𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥)
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)
=
𝑥→𝑥0
𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥 )
= 𝑔(𝑥0 )
0
Док-во:
f(x) и g(x) опред. На некоторой проколотой
окрест. Ů(x0) конечной т. x0 и ∃ их пределы
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ); 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥0 ) ⟹ согласно
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥𝑜
арифмет. Св-вам пределов, ∃ предел +, *, /.
Теорема о непрерывности композиции:
ф-я y=f(x) непрерывны в т. x=a, а x=𝝋(t)
непрерывна в t=a. Тогда сложная ф-я y=f(𝜑(𝑡))
непрер. В t=a
Док-во:
По условию 𝑙𝑖𝑚𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎), 𝑙𝑖𝑚𝜑(𝑡) = 𝜑(𝑎).
𝑥→𝑎
𝑡→𝑎
Расс-м 𝑙𝑖𝑚
𝑓(𝜑(𝑡)) =
𝑥→𝑎
𝑥→0
𝑥 = 𝜑(𝑡)
{
𝑡→𝑎
= 𝑙𝑖𝑚𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝜑(𝑎))
𝑥→𝑎
𝜑(𝑡) → 𝜑(𝑎) = 𝑎
7.Необходимые и достаточные условия
локального экстремума.
Т. х0 наз-я т. локального минимума f(x),
если ∃ окрестность этой т., что для всех х
из этой окр., выполняется f(x)≤f(x0).
Т. х0 наз-я т. локального максимума f(x),
если ∃ такая окрестность этой т. , что для
всех х из этой окрест. Выполняется
f(x)≥f(x0).
Необх. условие:если ф-я y=f(x) имеет
эктремум в т. х0, то ее производная 𝑓 ′ (𝑥0)
либо равна 0, либо ∄.
Достат. условие 1правило
Если производная ф-я 𝑓 ′ (х) при переходе
через критическую т. х0 слева направо
изменит занк с «+» на «-», то f(x) имеет
max в т. х0, если с «-» на «+», то f(x) имеет
min в т. х0. Отсутствие изменение знака
указывает на отсутствие эктремума.
Док-во:если произв. 𝑓 ′ (х) при переходе
через х=х0 меняет знак с «+» на «-«, то это
означает, что при достаточно малом ∆х
произв. 𝑓 ′ (х) положительна на промежутке
(𝑥0 − 𝛥𝑥 ; 𝑥0 ) и отриц. (𝑥0 ; 𝑥0 + 𝛥х ) ⇒ ф-я
f(x) возр. На (𝑥0 − 𝛥𝑥 ; 𝑥0 ) и убывает на
(𝑥0 ; 𝑥0 + 𝛥х ), т.е.
в
т.
достигается
максимум. Аналогично для минимума.
Пример того, что этот признак не является
достаточным, функция y = x3 в точке x=0.
Здесь производная обращается в нуль, но
функция в этой точке возрастает.
8.Свойства определенного интеграла.
9.Теорема о диффер.определенного
интеграла по верхнему пределу.
Формула Ньютона-Лейбница.
Th о производной интеграла по
верхнему пределу:производная от ∫ по
его верхнему пределу равна
подынтегральной функции 𝐼 ′ (𝑥) =
′
𝑥
(∫𝑎 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥) = 𝑓(𝑥) (∫ с верхним
переменным пределом яв-ся первообраз.
для подынтеграл. ф-и)
Док-во:
Предадим аргументу х приращение ∆х.
Тогда нарощенное значение ф-и I(x) будет
𝑥+𝛥𝑥
𝐼(𝑥 + 𝛥𝑥) = ∫𝑎
𝑥+𝛥𝑥
∫𝑎
𝑥
𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 ⇒ 𝛥𝐼 = ∫𝑎 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 +
𝑥
𝑥+∆𝑥
𝑓(𝑥) ⅆ𝑦 − ∫𝑎 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥 = ∫𝑥
𝑓(𝑥) ⅆ𝑥
последний интеграл по th о среднем = 𝛥𝐼 =
𝑓(𝜉)(𝑥 + 𝛥𝑥 − 𝑥) = 𝑓(𝜉)𝛥𝑥, где 𝜉- т.
между x и 𝑥 + 𝛥𝑥. По определению произв.
𝛥𝐼
𝑓(𝜉)𝛥𝑥
Имеем 𝐼(𝑥) = 𝛥𝑥→0
𝑙𝑖𝑚 𝛥𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝛥𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝜉).
𝛥𝑥→0
𝛥𝑥→0
Но если 𝛥𝑥 ⟶ 0,то 𝑥 + 𝛥𝑥 ⟶ х, поэтому
𝜉 ⟶ х, а т.к. f(x) непрер. Ф-я ⟹
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑓(𝜉) = 𝑓(𝑥)
𝛥𝑥→0
𝜉→𝑥
Th Ньютона-Лейбница:если F(x) – любая
первообр. Ф-я f(x), то справедливо
𝑥
равенство ∫𝑎 𝑓(𝑡) ⅆ𝑡 = 𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑎)
Док-во:поскольку S(x) и F(x) – две
первообр. Ф-ии f(x), то ∃ такое число с, что
𝑥
S(x)=F(x)+c
∫𝑎 𝑓(𝑡) ⅆ𝑡 = 𝐹(𝑥) + 𝑐, если
𝑎
x=a ∫𝑎 𝑓(𝑡) ⅆ𝑡 = 𝐹(𝑎) + 𝑐 поскольку S(x)
криволинейная трапеция, лежащая на
прямой t=a , равно 0 𝑐 = −𝐹(𝑎) ⇒
𝑥
∫𝑎 𝑓(𝑡̇) ⅆ𝑡 = 𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑎)
10.Площадь криволинейной трапеции.
Плоскую фигуру G называются квадрируемой,
если ∀𝜀 > 0 найдутся клеточные фигуры q и Q
такие, что q<G<Q, 0≤S(Q)-S(q)< 𝜀
S(Q),S(q)- площади Q и q соотвественно
Условие
квадрируемоти
криволинейной
трапеции
f – положительная непрерыв. Ф-я на отрезке [ab]
E={(xy):x𝜖[ab],0≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}
E-криволинейная трапеция, подграфие ф-и f.
Тогда фигура E квадрируемая, ее площадь
𝑏
S=∫𝑎 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥.
𝑏
Док-во: положим I=∫𝑎 𝑓(𝑥)ⅆ𝑥.] 𝜀 > 0. ∃
разбиение 𝜏: 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏 отрезка
[ab] для которого I- 𝜀 < 𝑠𝜏 ≤ 𝑆𝜏 < 𝐼 +
𝜀. Разбиение 𝜏 поставим в соотвествие клеточные
фигуры P, Q. Клеточная фигура P, составлены из
прямоугольников [xk-1;xk]×[0;mk] k=1…n, а
фигура Q-из прямог. [xk-1;xk]×[0;Mk] k=1…n.
Фигуры P, Q имеют площади 𝜇𝑃 =
∑𝑛𝑘=1 𝑚𝑘∆𝑥𝑘 = 𝑠𝜏 > 𝐼 − 𝜀
𝜇𝑄 = ∑𝑛𝑘=1 𝑚𝑘∆𝑥𝑘 = 𝑠𝜏 > 𝐼 − 𝜀 число I является
площадью криволинейной трапеции E.
6.Необходимые и достаточные условия монотонности
функций.
Монотонная ф-я-это ф-я, меняющаяся в одном и том же
направлении.
Теорема (достаточный признак монотонности):
Пусть f(x) непрерывна на интервале (a;b) и имеет
производную во всех точках, тогда:
1.Если f’(x) внутри (a;b) положительна, то f(x)
возрастает.
2.Если f’(x) внутри (a;b) отрицательна, то f(x) убывает.
3. Если f’(x)=0, то f(x) постоянна.
Док-во. Пусть f’(x) >0 для всех хÎ (а,b). Рассмотрим два
произвольных значения x2> x1,принадлежащих [а, b]. По
формуле Лагранжа f(x2)- f(x1)=(x2-x1)* f’(c), х1<с<х2. f’ (с)>0
и х2 – х1 > 0, поэтому f(x2)- f(x1) > 0, откуда f(x2 ) > f(x1) , то
есть ф-я f(х) возрастает на отрезке [а, b].
Теорема (необходимый признак монотонности):
1. Если дифференцируемая функция f(x) в некотором
интервале возрастает, то ее производная на этом
интервале неотрицательна, т.е f’(x)≥0 .
2. Если дифференцируемая функция f(x) в некотором
интервале убывает, то ее производная на этом
интервале неположительна, f’(x)≤0 .
3. Если функция не изменяется, то ее производная
равна нулю, т.е. f’(x)=0
Док-во. Пусть у = f (х)-дифференцируема и возрастает на
(а, b). Пусть точки х и х+ ∆х принадлежат (а, b). Если ∆х
>0, то f (x+∆х)>f (x); если ∆х<0, то f (x+∆х) < f (x).
∆𝑦
𝑓(𝑥+∆х)−f(x)
В обоих случаях ∆х =
> 0. Переходя к пределу в
∆х
последнем неравенстве при ∆х→0 и учитывая, что функция
∆y
дифференцируема, получаем lim ∆х = 𝑓′(𝑥) ≥ 0 .
11.Сходящийся числовой ряд.
Признаки сравнения,
Даламбера и Коши сходимости
ряда.
Достаточные условия строгого возразрастания и
убывания функции
Если ∀x∈(ab) выполняется f,(x)>0, то f(x)-строго возрастает
на (ab). Если ∀x∈(ab) f,(x)<0 f(x)-строго убывает
Пример: f=x3 строго возрастает на R но условие
достаточности не выполняется
12.Ряд Тейлора, достаточное услови е
разложимости функции в ряд Тейлора. Примеры
разложения элементарных функций в степенной
ряд.
