Загрузил ness

Теорема Менелая

реклама
Теорема Менелая | 16
Теорема Менелая -- без доказательства на ЕГЭ
Для чего нужна данная теорема? Данная теорема нужна для решения заданий №16
на сложную планиметрию. Можно обойтись и без нее, если вы отлично умеете
доказывать подобные треугольники и быстро видеть их в задаче. Чаще всего легче
воспользоваться теоремой Менелая, чем сидеть и доказывать подобие
треугольников, особенно в условиях ограниченности времени на реальном
экзамене.
Пусть прямая пересекает произвольный треугольник ABC, причем C1 – точка ее
пересечения со стороной AB, A1 – точка ее пересечения со стороной BC, и B1 –
точка ее пересечения с продолжением стороны AC. Тогда выполняется равенство:
2
В
В
3
C1
C1
1
4
A1
А
A1
С
5
B1
B1
С
А
6
Могут быть разные формы фигур, главное что из продолжения третьей стороны треугольника выходит прямая, аересекающая две другие стороны
1
3
АС1
BA1
2
4
5
CB1 = 1
⋅
⋅
С1В A1C B1A
6
Как запомнить?
Как запомнить? Есть много разных способов, но я расскажу о самом “топорном”.
Важно понять, что прямая, пересекающая 2 стороны треугольника, пересекает
продолжение третьей и как будто берет начало из этого продолжения. Здесь
остановитесь на минутку. Осознали? Идем дальше.
1) Сторона, которую пересекли последней, разделилась на два кусочка: 1 и 2, делим
тот кусочек, который ближе к стороне, которую не пересекли, на второй.
2) Дальше смотрим на первую пересеченную сторону и “собираем” наши кусочки в формулу, делим одно на другое по очереди: 3 разделим на 4.
1
3) Вот мы дошли до “подножья горы”. Делим маленький отрезок, который выходит за
треугольник, на ВСЮ длину отрезка, на котором он лежит: 5 делим на 6.
Практика на опорных задачах
Пример 1. В треугольнике АВС АК - медиана, точка Н делит медиану в отношении 3 : 2. Прямая ВН пересекает сторону АС в точке О. Найдите отношение AO : OC.
B
Запишем теорему Менелая для треугольника AKC и прямой BO.
BK . CO . AH = 1. Так как сторона BC разделена медианой,
BC OA HK
то отношение BK = 0,5: 0,5 . CO . 3 = 1
OA 2
BC
CO . 4 , откуда OA = 3 = 0,75.
OA 3
CO 4
Ответ: 0,75.
K
H
A
C
O
Пример 2. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на
продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN
пересекает сторону АВ в точке D. Найдите отношение DA/BD.
По условию задачи MA = AC, NC = 3BN
Обозначим MA = AC = b, BN = k, значит, NC = 3k.
Прямая MN пересекает две стороны треугольника
ABC и продолжение третьей.
По теореме Менелая:
CN . BD . AM = 1, откуда 3k . BD . b = 1
k DA 2b
NB DA MC
BD . 3 = 1, откуда DA = 3 .
BD 2
DA 2
M
Ответ: 1,5.
B
k
N
D
b
A
3k
b
C
2
Пример 3. На стороне BC треугольника ABC взята точка N, а на стороне АВ - точка
M, причем NC = АМ. Точка пересечения отрезков МC и AN делит MC в отношении m : n , считая от точки C. Найдите отношение АВ и BN. C
По условию NC = АМ.
CF = m ; FM = kn.
Обозначим NC = АМ = а, СF = km,
FM n
Прямая AN пересекает две стороны треугольника
a
BCM и продолжение третьей. По теореме Менелая:
km
BN . CF . AM = 1, откуда BN . km . a = 1, откуда
N
a kn AB
NC FM AB
AB = m.
BN n
B
Ответ: m/n.
F
M a
A
Рельсы Евклида
Площади двух треугольников равны, если у них общая сторона и равные высоты, как
расстояние между двумя паралллельными прямыми.
S1 = S2 тогда и только тогда, когда a ‖ BC.
A1
h
A2
a
S2
S1
B
общая сторона
h
SA1BC = SA2BC
C
Даже, если мы добавим 3 треугольник с общей стороной ВС, мы получим то же самое:
A1
h
A3
S1
a
A2
S2
B общая сторона C
h
SA1BC = SA2BC = SA3BC
3
Пример 4. Даны два треугольника ABC и AMC, высоты треугольников к основанию
АС равны: h1 = h2. Найдите площадь треугольника АFC, если его высота h3 , опущенная к АС, равна h2,
АС = 3, а h1 = 2.
M
B
A
h2
h1
C
Да, вы все поняли верно, у нас три высоты и одно основание. Значит площадь
третьего треугольника будет равна площади треугольника ABC, а она равна: SAFC = SABC = 3 • 2 : 2 = 3.
Ответ: 3.
Чевиана
Чевиана -- это любой отрезок, соединяющий вершину с точкой на
противоположнойстороне. Частные случаи чевианы: биссектрисса, медиана, высота.
A
K
M
V
T
B
BK - чевиана
BM - биссектрисса
BV - медиана
BT - рандомный отрезок
-- Чевианы
С
4
Лемма о площадях 1 -- Без доказательства на ЕГЭ
Чевиана разбивает сторону треугольника на два отрезка, образуя при этом два
треугольника. Площади данных треугольников относятся, как:
S1 = 0,5 • a • h = a
S2 0,5 • b • h b
B
S1
A
Bl -- чевиана
S2
h
l
a
C
b
Чевиана -- медиана
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
Равновеликие треугольники — это треугольники, имеющие равные площади. То есть
медиана делит исходный треугольник на два треугольника с равными площадями
(или медиана делит площадь треугольника пополам).
S1 = 0,5 • a • h = 1
S2 0,5 • a • h
S1 = S2
B
BM - медиана
S1
A
a
S2
h
K
M
a
C
5
Лемма о площадях 2 -- С доказательством на ЕГЭ
Если на чевиане взять произвольную точку M, то она разделяет треугольник на 4
треугольника. Площади двух треугольников, не прилежащих к стороне, к которой
провели чевиану, относятся, как
S1 = a
S2 b
B
S1
A
M
S2
S3
a
S4
L
b
C
Доказательство:
Рассмотрим треугольник AMC и чевиану ML, по лемме 1: S3 = ab
S4
BM
S
2
=
Рассмотрим треугольник BCL и чевиану CM, по лемме 1: S4 ML
Рассмотрим треугольник LAB и чевиану AM, по лемме 1: SS13 = BM
ML
Заметим: S1 = S2 , выразим S1 : S1 = S3 = a
S2 S2 S4 b
S3 S4
Пример 5. В треугольнике ABK на стороне AB расположена точка О так, что AO : OB = 1 : 4. На стороне AK взята точка L так, что AL = 2LK. Известно, что прямые BL
и KO пересекаются в точке Н. Найдите площадь треугольника АВK, если площадь
треугольника BHK равна 60.
Запишем теорему Менелая для треугольника ABL и прямой OK.
LK • AO • BH = 1,
AK OB HL
1 • 1 • BH = 1, откуда BH = 12.
3 4 HL
HL
Площадь ABK в 3 раза больше площади LBK
(так как АК в 3 раза больше LK, треугольники
6
имеют общую высоту).
В то же время площади треугольников BLK и BHK относятся как BL : BH (так
как имеют общую высоту).
B
O
H
A
K
L
SBHK = BH = 12 , откуда SLBK = 13SBHK = 13 • 60 = 65.
SLBK BL 13
12
12
SABK = 3SLBK = 3 • 65 = 195.
Ответ: 195.
Пример 6. В треугольнике АВК на продолжении прямой АК за точку К расположена
точка С так, что АК : КС = 4 : 1 В треугольнике ABK на стороне АВ расположена точка
L так, что AL = LB. Известно, что прямые LK и ВС пересекаются в точке О. Найдите
площадь треугольника АВK, если площадь треугольника BOK равна 16.
B
L
A
K
C
O
Запишем теорему Менелая для треугольника ABC и прямой LO.
BL • AK • CO= 1,
LA KC OB
1 • 4 • CO= 1, откуда CO = 1 .
1 OB
OB 4
7
Заметим, что площадь ABK больше площади BKC в 4 раза (общая высота и их
основания относятся 4 к 1).
Общую высоту имеют также треугольники BKC и BKO.
SBKС = BC = 3 , откуда SBKС = 3 • 16 = 12.
4
SBKO BO 4
Тогда площадь треугольника ABK равна 12 • 4 = 48.
Ответ: 48.
Задание уровня ЕГЭ
Пример 7. В треугольнике ABC на сторонах AB и AC отмечены точки D и L
соответственно, причём BD : AD = 1 : 3; AL : CL = 2 : 5
Прямые BL и CD пересекаются в точке О.
а) Докажите, что площадь треугольника BOC в десять раз больше площади
треугольника BOD.
б) Найдите площадь четырёхугольника ALOD, если площадь треугольника LOC равна
180.
а) Воспользуемся теоремой Менелая для треугольника
CO
AL
CO
DB
B
=
1,
откуда
ACD и прямой BL. Получим:
•
•
=
10.
DO
LC DO AB
Отсюда и следует нужное утверждение: поскольку
z
D
высоты у данных треугольников совпадают,
O
площади треугольников с одинаковыми высотами
соотносятся так же, как их основания.
3z
б) Воспользуемся теоремой Менелая для
треугольника ABL и прямой CD. Получим:
AD • BO • LC = 1, откуда BO = 7 .
BD OL AC
OL 15
A
1
7
2x L
5x
Тогда: SBOC = SLOC = 84, SBOD = 10 • 84 = 8,4. 15
AL = 2 , откуда SABL = 2(180+84)/5 = 105,6.
Далее имеем: SSABL
=
LBC
LC 5
C
Тогда SALOD = 105,6 - 8,4 = 97,2.
Ответ: 97,2.
8
Ответы
1) 0,75
5) 195
2) 1,5
6) 48
3) m/n
7) 97,2
4) 3
9
Скачать