ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ГОРОДА МОСКВЫ Государственное бюджетное профессиональное образовательное Учреждение города Москвы «КОЛЛЕДЖ СФЕРЫ УСЛУГ №10» Практическая работа №1 МДК01.03 Математическое моделирование 09.02.07 «Информационные системы и программирование» Выполнил: обучающийся гр.3ИСП1-9/3ВБ Титова М.Г. Преподаватель Макридин С.Ю Москва 2023 г. Практическая работа 1 Тема: «Построение простейших математических моделей. Построение простейших статистических моделей. Цели работы: 1. Отработать и закрепить умения записывать условие задачи в виде математических формул. 2. Отработать и закрепить умения записывать взаимосвязь показателей задачи в виде математической модели. Методические указания по выполнению работы Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя: максимум или минимум целевой функции (критерий оптимальности); систему ограничений в форме линейных уравнений и неравенств; требование неотрицательности переменных. Таким образом, экономико-математическая формулировка и модель общей задачи линейного программирования имеют следующий вид: найти максимальное (минимальное) значение линейной целевой функции 𝐹(𝑋̅) = ∑ 𝑐 ⋅ 𝑥 → max(min) (1) 𝑗=1 𝑗 𝑗 при условиях-ограничениях: 𝑎 ⋅ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑖 = 1̅̅,𝑘̅ (2) 𝑎 ⋅ 𝑥 = 𝑏, 𝑘̅ ≤ 𝑚̅̅; (3) 𝑖 = 𝑘̅+1̅̅, 𝑚̅̅, 𝑖𝑗 𝑖𝑗 𝑖 𝑗 𝑖 𝑖 𝑥 ≥ 0, 𝑗 = 1̅̅,𝑙 ; 𝑙 ≤ 𝑛, (4) где aij, bi, cj – заданные постоянные величины. 𝑗 Вариант 1 Задание: построить математическую модель к задаче, пояснить условные обозначения. №1 Рацион кормления коров на ферме состоит из 3х продуктов, содержащих белки, кальций и витамины. Потребность одной коровы в сутки – не менее 2000 г белков и 210 г кальция. Потребность в витаминах строго дозирована и составляет 0,087 г в сутки. Сено Силос Концентраты Содержание питательных веществ Белки г/кг Кальций г/кг Витамины г/кг 50 10 2 70 6 3 180 3 1 Составить самый дешевый рацион, если цена 1 кг сена, силоса и концентратов составляет соответственно 1,5 2,0 6,0 у.е Решение: F = 1,5x1+2x2+6x3→min 50x1+70x2+180x3>=2000 10x1+6x2+3x3>=250 2x1+3x2+1x3=80 Ответ: 80 №2 Завод производит продукцию 3х типов: П1, П2, П3. Для производства каждого изделия необходимо 3 технологические операции: О1, О2, О3. В день можно производить не более 170 единиц продукции. Найти наиболее прибыльный план производства. Объем работ на 1 изделие (чел.-час) Операции О1 О2 О3 Прибыль от 1- го изделия, $ П1 2 1 1 П2 3 2 1 П3 2 3 2 15 22 19 Дневной фонд времени, час 360 240 180 ТМГ В какой операции наиболее целесообразны сверхурочные работы, максимально увеличивающие фонд рабочего времени, если их стоимость $4 (чел.-час)? Решение: Для нахождения наиболее прибыльного плана производства и определения операции, в которой целесообразно провести сверхурочные работы, мы можем использовать метод линейного программирования. Обозначим количество произведенных изделий P1, P2 и P3 как x1, x2 и x3 соответственно. Тогда целевая функция: Z = 15x1 + 22x2 + 19x3 (максимизация прибыли) Теперь определим ограничения: 1. Ограничение по рабочему времени: 2x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 360 (фонд времени для О1) 2. Ограничение по рабочему времени: x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 240 (фонд времени для О2) 3. Ограничение по рабочему времени: x1 + x2 + 2x3 ≤ 180 (фонд времени для О3) 4. Ограничение по объему производства: x1 + x2 + x3 ≤ 170 (дневной объем производства) Для этого можно посчитать отношение прибыли от изготовления одной единицы продукции к дополнительному времени, необходимому для этого. Для Операции О1: 15 / 4 = 3.75 Для Операции О2: 22 / 4 = 5.5 Для Операции О3: 19 / 4 = 4.75 Ответ: Исходя из этого, целесообразно провести сверхурочные работы в операции О2, так как они принесут наибольший прирост прибыли в условиях ограниченного времени. №3 Фирма производит для автомобилей запасные части типа А и В. Фонд рабочего времени составляет 5000 чел.-ч в неделю. Для производства одной детали типа А требуется 1 чел.-ч, а для производства одной детали типа В - 2 чел.-ч. Производственная мощность позволяет выпускать максимум 2500 деталей типа А и 2000 деталей типа В в неделю. Для производства детали типа А уходит 2 кг полимерного материала и 5 кг листового материала, а для производства одной детали типа В — 4 кг полимерного материала и 3 кг листового металла. Еженедельные запасы каждого материала - по 10 000 кг. Общее число производимых деталей в течение одной недели должно составлять не менее 1500 штук. Определите, сколько деталей каждого вида следует производить, чтобы обеспечить максимальный доход от продажи за неделю, если доход от продаж одной детали типа А и В составляет соответственно 1,1 руб. и 1,5 руб. Решение: x - количество деталей типа A y - количество деталей типа B Доход от продажи детали типа A: 1.1x Доход от продажи детали типа B: 1.5y 2x + 4y <= 10 000 (полимерный материал) 5x + 3y <= 10 000 (листовой материал): x + y >= 1500 x + 2y <= 5000 x = 1250 y = 1250 Ответ : 1250 деталей типа A , 1250 деталей типа B. Вариант 3 Задание: построить математическую модель к задаче, пояснить условные обозначения. №1 В процессе производства два изделия А и В должны пройти обработку на станках I, II и III. Время обработки каждого изделия на каждом из этих станков задано таблицей Станки I II III 1 1/4 4 2 1 4 Изделия АВ Станки можно использовать соответственно в течение 45, 100 и 60 часов. Продажная цена изделия А–6 рублей, а изделия В–4 рубля. В каком соотношении следует производить изделия А и В, чтобы получить максимальную прибыль? Решение: Для решения этой задачи линейного программирования, давайте сначала сформулируем целевую функцию и ограничения. Целевая функция: Z = 6x1 + 4x2 (максимизация прибыли) Где x1 и x2 - количество произведенных изделий А и В соответственно. Ограничения: 1. Время обработки на станке I: x1 + 0.25x2 ≤ 45 2. Время обработки на станке II: 4x1 + 2x2 ≤ 100 3. Время обработки на станке III: x1 + 4x2 ≤ 60 4. Неотрицательность: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Теперь мы можем решить эту задачу линейного программирования, например, с помощью симплекс-метода. После решения этой задачи мы найдем оптимальные значения x1 и x2, которые будут соответствовать наиболее прибыльному плану производства изделий А и В. Ответ: А- x1 ≥ 0 В- x2 ≥ 0 №2 Малое предприятие арендовало мини пекарню для производства чебуреков и беляшей. Мощность пекарни позволяет выпускать в день не более 50 кг продукции. Ежедневный спрос на чебуреки не превышает 260 штук, а на беляши — 240 штук. Суточные запасы теста и мяса и расходы на производство каждой единицы продукции приведены в таблице. Определить оптимальный план ежедневного производства чебуреков и беляшей, обеспечивающих максимальную выручку от продажи. Расход на производство, Мясо Тесто Цена, руб-/кг Решение Пусть: чебурека 0,35 0,65 50,0 беляша 0,6 0,3 80,0 Суточные запасы сырья, 21 22 тмг x1 - количество произведенных чебуреков x2 - количество произведенных беляшей Тогда целевая функция, которую мы хотим максимизировать, будет выглядеть следующим образом: Z = 50x1 + 80x2 (выручка от продажи) При этом у нас есть следующие ограничения: 0.35x1 + 0.6x2 ≤ 50 (мощность пекарни) x1 ≤ 260 (спрос на чебуреки) x2 ≤ 240 (спрос на беляши) 0.35x1 + 0.6x2 ≤ 21 (суточные запасы мяса) 0.65x1 + 0.3x2 ≤ 22 (суточные запасы теста) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 (неотрицательность) Ответ: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 №3 АО «Механический завод» при изготовлении двух типов деталей использует токарное, фрезерное и сварочное оборудование. При этом обработку каждой детали можно вести двумя различными технологическими способами. Необходимые исходные данные приведены в таблице. Составить оптимальный план загрузки оборудования, обеспечивающий заводу максимальную прибыль. Деталь Оборудование Фрезерное Токарное Сварочное Прибыль, ден.ед 1 2 3 0 11 1 2 Технологический способ 2 1 2 3 1 1 1 1 6 9 Полезный фонд времени, станко-ч 2 0 2 4 6 20 37 30 Решение: Пусть X1 - количество деталей первого типа, обработанных первым технологическим способом Y1 - количество деталей первого типа, обработанных вторым технологическим способом X2 - количество деталей второго типа, обработанных первым технологическим способом Y2 - количество деталей второго типа, обработанных вторым технологическим способом Тогда функция прибыли составит: P = 11X1 + 6Y1 + 9X2 + 6Y2 При этом необходимо учесть ограничения по времени оборудования: 2X1 + 2Y1 + 3X2 + 0Y2 <= 20 (фрезерное оборудование) 3X1 + Y1 + X2 + 2Y2 <= 37 (токарное оборудование) Y1 + X2 + 4Y2 <= 30 (сварочное оборудование) Для решения этой задачи воспользуемся методом симплекс-таблиц: Базис Фрезерное Токарное Сварочное Правая часть 6 Х3 Х4 Х5 -11 2 3 0 -6 2 1 1 -9 3 1 1 0 20 37 30 Теперь найдем опорный элемент. Для этого выберем разрешающий столбец, который имеет наименьшее отрицательное значение в строке базисных переменных (первая строка). В данном случае это столбец фрезерного оборудования. Затем найдем отношение правой части к элементам разрешающего столбца. Минимальное положительное отношение будет опорным элементом. В данной таблице это отношение для строки x3. Теперь выполним пересчет строки x3, чтобы получить в ней единицу в опорном элементе. Поделим каждый элемент строки x3 на опорный элемент Базис 6 Х3 Х4 Х5 Фрезерное 0 2/3 7/3 -1/3 Токарное -4/3 2/3 1/3 1/3 Сварочное -5/3 1 0 0 Правая часть -20/3 20/3 31 10 Теперь проведем пересчет остальных строк с учетом опорного элемента: Вычитаем из каждого элемента строки x1 произведение соответствующего элемента строки x3 на элемент столбца, который находится в той же колонке, что и данный элемент. Получаем следующую симплекс-таблицу Базис Фрезерное Токарное Сварочное Правая часть 6 0 -2 -3 -14 Х3 0 2/7 -1/3 10 Х4 0 -2 -7 -17 Х5 1 -1 -2 -10 В данной таблице коэффициенты прибыли (в первой строке) все еще отрицательные, поэтому продолжим итерации метода симплекс-таблиц. Выбираем разрешающий столбец с наименьшим коэффициентом прибыли (в данном случае это столбец Токарного оборудования). Находим опорный элемент, который равен минимальному положительному отношению правой части к элементам разрешающего столбца. В данной таблице это отношение для строки x4. Выполняем пересчет таблицы так же, как и ранее. Получаем следующую симплекс-таблицу: Базис 6 Х3 Х4 Х5 Фрезерное 0 0 0 1 Токарное 5 0 1 -2 Сварочное -5 -1 -3 4 Правая часть -32 7 -10 0 Теперь коэффициенты прибыли все положительные, следовательно, оптимальный план загрузки оборудования достигнут. Максимальная прибыль составляет 32 денежные единицы. Ответ: Таким образом, оптимальный план загрузки оборудования для обеспечения максимальной прибыли выглядит следующим образом: - Использовать фрезерное оборудование на полный рабочий день (6 часов). - Использовать токарное оборудование на 7 часов. - Использовать сварочное оборудование на 10 часов. Вывод: Отработала и закрепила умения записывать условие задачи в виде математических формул. Отработала и закрепила умения записывать взаимосвязь показателей задачи в виде математической модели.
