СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ОСНОВАМ
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
УЧЕБНОЕ
ПОСОБИЕ
Под редакцией Ю.А. Бычкова,
В.М. Золотницкого, Э.П. Чернышева,
А.Н. Белянина, Е.Б. Соловьевой
С АН КТ-П ЕТЕРБУ РГ • М О С К В А • КРАС Н О ДАР
2011
С 23
Сборник задач по основам теоретической электротехники:
Учебное пособие / Под ред. Ю.А. Бычкова, В.М . Золотницкого,
Э .П . Чернышева, А .Н . Белянина, Е .Б . Соловьевой. — СПб.:
Издательство «Лань», 2011. — 400 с.: ил. — (Учебники для вузов.
Специальная литература).
IS B N 9 7 8 -5 -8 1 1 4 -1 1 5 7 -3
Содержание сборника соответствует программе Министерства образования
и науки РФ курса «Теоретические основы электротехники» и включает наборы
задач для индивидуальной работы студентов, описание практических занятий, пе­
речень контрольных вопросов и варианты олимпиадных задач. Рассмотрены ана­
лиз цепей во временной и частотной областях, классические и современные при­
ложения, включая анализ дискретных, нелинейных и активных цепей, синтез це­
пей, а также разнообразные задачи анализа электромагнитных полей.
Учебное пособие предназначено для студентов технических вузов.
Коллектив авторов:
Александр Николаевич Белянин, Юрий Александрович Бычков, Вадим Дмитрие­
вич Гончаров, Андрей Евгеньевич Завьялов, Владимир Михайлович Золотницкий,
Юрий Михайлович Иншаков, Людмила Валентиновна Куткова, Дмитрий Алек­
сандрович Морозов, Елена Вадимовна Нечкина, Валерий Васильевич Панкин,
Марк Саулович Портной, Валентина Александровна Прохорова, Марина Вяче­
славовна Соклакова, Валентин Николаевич Соколов, Елена Борисовна Соловье­
ва, Эдуард Павлович Чернышев
Рецензенты:
зав. кафедрой ЦОС СПбГУТ, доктор технических наук, профессор А. А. ЛАННЭ;
зав. кафедрой ТОЭ СПбГПУ, доктор технических наук, профессор В. Н. БОРОНИН
Обложка
Л. А. АРНДТ
Охраняется законом РФ об авторском праве.
Воспроизведение всей книги или любой ее части
запрещается без письменного разрешения издателя.
Любые попытки нарушения закона
будут преследоваться в судебном порядке.
© Издательство «Лань», 2011
© К оллектив авторов, 2011
© Издательство «Лань»,
художественное оформление, 2011
Содержание
Предисловие ................................................................................................................................... 7
Список используемых сокращений ............................................................................................... 9
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических ц е п е й ......................................
Введение.........................................................................................................................................
1.1. Основные понятия теории цепей. Анализ резистивных цепей ..................................................
1.2. Расчет переходных процессов во временной области
при постоянных и произвольных воздействиях..........................................................................
1.3. Анализ цепей при синусоидальных и экспоненциальных воздействиях ..................................
1.4. Операторный и спектральный методы анализа цепей ...............................................................
1.5. Расчет цепей с многополюсными элементами и зависимыми источниками ...........................
1.6. Расчет дискретных и нелинейных цепей......................................................................................
1.7. Указания, типовые примеры и рекомендации к решению задач................................................
Задачи к теме 1.1 «Основные понятия теории цепей.
Анализ резистивных цепей».............................................................................................
Задачи к теме 1.2 «Расчет переходных процессов во
временной области при постоянных и произвольных воздействиях»...........................
Задачи к теме 1.3 «Анализ цепей при синусоидальных
и экспоненциальных воздействиях»................................................................................
Задачи к теме 1.4 «Операторный и спектральный методы анализа цепей».................
Задачи к теме 1.5 «Расчет цепей с многополюсными элементами
и зависимыми источниками» ..........................................................................................
Задачи к теме 1.6 «Расчет дискретных и нелинейных цепей»......................................
11
12
14
101
104
2. Практикум по теории электрических ц епей............................................................................
Введение.......................................................................................................................................
2.1. Анализ простых резистивных цепей............................................................................................
2.1.1. Исходные понятия ...........................................................................................................
2.1.2. Примеры типовых задач .................................................................................................
2.1.3. Заключение......................................................................................................................
2.2. Метод уравнений Кирхгофа.........................................................................................................
2.2.1. Исходные понятия ...........................................................................................................
2.2.2. Примеры типовых задач .................................................................................................
2.2.3. Заключение......................................................................................................................
2.3. Метод пропорциональных величин, метод наложения.............................................................
2.3.1. Исходные понятия ...........................................................................................................
2.3.2. Примеры типовых задач .................................................................................................
2.3.3. Заключение......................................................................................................................
2.4. Методы контурных токов и узловых напряжений.......................................................................
2.4.1. Исходные понятия ...........................................................................................................
2.4.2. Примеры типовых задач .................................................................................................
2.4.3. Заключение......................................................................................................................
107
108
109
109
109
112
113
113
113
116
117
117
117
118
120
120
120
124
25
31
50
65
76
80
80
84
88
92
4
Содержание
2.5. Метод эквивалентных источников .............................................................................................
2.5.1. Исходные понятия ...........................................................................................................
2.5.2. Примеры типовых задач .................................................................................................
2.5.3. Заключение......................................................................................................................
2.6. Вольт-амперные характеристики индуктивного и емкостного элементов цепи.....................
2.6.1. Исходные понятия ...........................................................................................................
2.6.2. Примеры типовых задач .................................................................................................
2.6.3. Заключение......................................................................................................................
2.7. Анализ переходных процессов в цепях первого порядка
во временной области при постоянных воздействиях .............................................................
2.7.1. Исходные понятия ...........................................................................................................
2.7.2. Типовые примеры.............................................................................................................
2.7.3. Заключение......................................................................................................................
2.8. Анализ переходных процессов в цепях высокого порядка
во временной области при постоянных воздействиях .............................................................
2.8.1. Исходные понятия ...........................................................................................................
2.8.2. Типовой прим ер...............................................................................................................
2.8.3. Численный расчет реакции по уравнениям состояния ................................................
2.8.4. Заключение......................................................................................................................
2.9. Применение обобщенных функций для анализа переходных процессов
во временной области при воздействиях произвольной формы ............................................
2.9.1. Исходные положения.......................................................................................................
2.9.2. Типовой прим ер...............................................................................................................
2.9.3. Заключение......................................................................................................................
2.10. Начала анализа установившегося синусоидального режима
методом комплексных амплитуд.................................................................................................
2.10.1. Исходные понятия ...........................................................................................................
2.10.2. Примеры типовых задач .................................................................................................
2.10.3. Заключение......................................................................................................................
2.11. Расчет установившегося синусоидального режима методом комплексных амплитуд.........
2.11.1. Исходные понятия ...........................................................................................................
2.11.2. Примеры типовых задач .................................................................................................
2.11.3. Расширение применения М КА ........................................................................................
2.11.4. Заключение......................................................................................................................
2.12. Мощность в установившемся синусоидальном режиме...........................................................
2.12.1. Исходные понятия ...........................................................................................................
2.12.2. Примеры типовых задач .................................................................................................
2.12.3. Заключение......................................................................................................................
2.13. Резонанс в электрических цепях.................................................................................................
2.13.1. Исходные понятия ...........................................................................................................
2.13.2. Примеры типовых задач .................................................................................................
2.13.3. Заключение......................................................................................................................
2.14. Расчет переходных процессов при синусоидальных и экспоненциальных воздействиях . . .
2.14.1. Исходные понятия ...........................................................................................................
2.14.2. Примеры типовых задач .................................................................................................
2.14.3. Заключение......................................................................................................................
2.15. Расчет трехфазных цепей.............................................................................................................
2.15.1. Исходные понятия ...........................................................................................................
2.15.2. Примеры типовых задач .................................................................................................
2.15.3. Заключение......................................................................................................................
2.16. Операторный метод расчета переходных процессов...............................................................
2.16.1. Исходные понятия ...........................................................................................................
2.16.2. Примеры типовых задач .................................................................................................
2.16.3. Заключение......................................................................................................................
125
125
125
126
127
127
127
130
131
131
132
136
137
137
138
141
142
143
143
146
149
150
150
152
156
157
157
157
160
162
163
163
164
167
168
168
169
172
173
173
174
176
177
177
178
183
184
184
186
189
Содержание
2.17. Передаточная функция и частотные характеристики цепей ...................................................
2.17.1. Исходные понятия ...........................................................................................................
2.17.2. Типовые примеры.............................................................................................................
2.17.3. Заключение......................................................................................................................
2.18. Анализ установившегося периодического несинусоидального режима в цепи.....................
2.18.1. Исходные понятия ...........................................................................................................
2.18.2. Типовой прим ер...............................................................................................................
2.18.3. Заключение......................................................................................................................
2.19. Анализ прохождения периодического сигнала через дифференцирующую ЯС-цепь...........
2.19.1. Исходные положения.......................................................................................................
2.19.2. Типовой прим ер...............................................................................................................
2.19.3. Заключение......................................................................................................................
2.20. Спектральный анализ прохождения одиночного импульса
через интегрирующую ЯС-цепь...................................................................................................
2.20.1. Исходные понятия ...........................................................................................................
2.20.2. Типовой прим ер...............................................................................................................
2.20.3. Заключение......................................................................................................................
2.21. Определение сигнала по его спектру..........................................................................................
2.21.1. Исходные понятия ...........................................................................................................
2.21.2. Типовой прим ер...............................................................................................................
2.21.3. Заключение......................................................................................................................
2.22. Анализ индуктивно связанных цепей..........................................................................................
2.22.1. Исходные положения.......................................................................................................
2.22.2. Типовые примеры.............................................................................................................
2.22.3. Заключение ......................................................................................................................
2.23. Пассивные и активные четырехполюсники ................................................................................
2.23.1. Общие положения ...........................................................................................................
2.23.2. Примеры типовых задач .................................................................................................
2.23.3. Заключение ......................................................................................................................
2.24. Цепи с зависимыми источниками и операционными усилителями ........................................
2.24.1. Исходные понятия ...........................................................................................................
2.24.2. Пример типовой задачи...................................................................................................
2.24.3. Формализованные МКТ и МУН........................................................................................
2.24.4. Цепи с операционными усилителями............................................................................
2.24.5. Заключение......................................................................................................................
2.25. Расчет нелинейных резистивных цепей......................................................................................
2.25.1. Исходные понятия ...........................................................................................................
2.25.2. Типовой прим ер...............................................................................................................
2.25.3. Заключение ......................................................................................................................
3.
Контрольные вопросы по теории электрических цепей....................................................
Введение.......................................................................................................................................
3.1. Основные понятия и законы теории цепей................................................................................
3.2. Анализ резистивных цепей .........................................................................................................
3.3. Анализ переходных процессов в линейных цепях во временной области
при постоянных воздействиях.....................................................................................................
3.4. Применение обобщенных функций для анализа переходных процессов
при воздействиях произвольной формы....................................................................................
3.5. Анализ линейных цепей при синусоидальных и экспоненциальных воздействиях ...............
3.6. Применение преобразования Лапласа для анализа переходных процессов в цепях...........
3.7. Анализ установившихся периодических режимов в цепи.........................................................
3.8. Спектральный метод анализа цепей ..........................................................................................
3.9. Цепи с взаимной индукцией .......................................................................................................
3.10. Трехфазные цепи.......................................................................................................................
5
190
190
191
195
196
196
197
200
201
201
202
207
208
208
210
214
215
215
216
218
219
219
220
225
226
226
227
232
233
233
233
235
239
242
243
243
243
248
249
250
250
250
251
252
253
255
256
256
258
258
6
Содержание
3.11. Четырехполюсники и активные цепи ..........................................................................................
3.12. Основы теории фильтров.............................................................................................................
3.13. Начала синтеза цепей..................................................................................................................
3.14. Цепи с распределенными параметрами....................................................................................
3.15. Дискретные цепи и сигналы.........................................................................................................
3.16. Нелинейные цепи..........................................................................................................................
3.17. Начала синтеза пассивных четырехполюсников .......................................................................
3.18. Связанные контуры с большой добротностью..........................................................................
3.19. Основы машинно-ориентированных методов расчета цепей..................................................
3.20. Основы теории чувствительности цепей к изменению параметров........................................
3.21. Релейные автоколебательные ц е пи...........................................................................................
3.22. Магнитные цепи при постоянных магнитных потоках...............................................................
259
259
260
261
261
262
263
264
265
265
266
267
4. Олимпиадные задачи по теории электрических цепей .......................................................
Введение.......................................................................................................................................
4.1. Анализ резистивных цепей .........................................................................................................
4.2. Анализ переходных процессов во временной области
при постоянных и произвольных воздействиях........................................................................
4.3. Анализ установившихся синусоидальных режимов...................................................................
4.4. Расчет переходных процессов при синусоидальных воздействиях........................................
4.5. Анализ установившихся периодических режимов в цепях.......................................................
4.6. Расчет трехфазных цепей.............................................................................................................
4.7. Анализ цепей с зависимыми источниками ................................................................................
269
270
270
274
282
290
295
296
297
5. Задачи по теории электромагнитного поля............................................................................
Введение .......................................................................................................................................
5.1. Электростатическое поле.............................................................................................................
5.2. Поле постоянного то ка .................................................................................................................
5.3. Постоянное магнитное поле .......................................................................................................
5.4. Стационарное и квазистационарное электромагнитное поле..................................................
5.5. Волновое электромагнитное поле ..............................................................................................
5.6. Методические указания, рекомендации и решения задач.......................................................
5.6.1. Задачи 5.1.1-5.1.44 к теме «Электростатическое поле»..............................................
5.6.2. Задачи 5.2.1-5.2.12 к теме «Поле постоянного тока» .................................................
5.6.3. Задачи 5.3.1-5.3.49 к теме «Постоянное магнитное поле»..........................................
5.6.4. Задачи 5.4.1-5.4.36 к теме «Стационарное и квазистационарное
электромагнитное поле».................................................................................................
5.6.5. Задачи 5.5.1-5.5.22 к теме «Волновое электромагнитное поле»................................
299
300
301
308
310
318
326
330
330
344
348
Список литературы
389
366
381
Предисловие
Сборник задач по основам теоретической электротехники обобщает опыт работы
кафедры теоретических основ электротехники Санкт-Петербургского государственного
электротехнического университета «ЛЭТИ» за последние десятилетия. Он позволяет
студентам постепенно освоить практическую часть дисциплины «Основы теоретической
электротехники», которая является базовой в общеинженерной подготовке во многих
технических вузах.
Сборник ориентирован на активное овладение студентами второго и третьего курсов
навыками самостоятельной работы, когда опыта рационального и эффективного
изучения учебного материала у них еще мало. Вначале осваиваются фундаментальные
физические свойства цепей как преобразователей сигналов в более физичной и понятной
временной области и только затем — в частотной области. После этого даны
классические и современные приложения теории цепей, включая практические расчеты
дискретных и активных цепей. Затем изучаются вопросы теории электромагнитного
поля.
Сборник состоит из пяти взаимосвязанных частей. Первый раздел содержит инди­
видуальные тестовые контрольные задачи по теории цепей, а также домашние задания.
Сюда включено свыше 2000 задач, что значительно больше, чем во многих известных
задачниках. В конце раздела приведены методические указания, рекомендации и
примеры.
Второй раздел фактически является изложением материала практических занятий по
теории цепей. Хотя этот раздел предназначен в первую очередь для студентов заочного
и вечернего обучения, а также студентов-иностранцев (у которых затруднено восприятие
материала в аудитории), он безусловно будет полезен и студентам дневного обучения
при возникновении локальных трудностей в усвоении материала. По каждой теме
излагаются базисные сведения, типовые примеры и минимальные требования к уровню
знаний.
Третий раздел содержит наборы типовых проверочных вопросов по теории электри­
ческих цепей, которые обычно задают студентам во время экзамена и требуют
практически мгновенного правильного ответа.
В четвертом разделе помещены наборы задач повышенной сложности — олимпиадных
задач по теории цепей, отражающие многолетний успешный опыт кафедры ТОЭ
СПбГЭТУ «ЛЭТИ» по проведению внутривузовских, открытых, межвузовских,
городских и региональных олимпиад. Успехи в олимпиадах, базирующиеся во многом
на решении приведенных в этом разделе задач, позволяют выявить талантливую
творческую молодежь уже на втором курсе обучения в вузе и привлечь ее к научно
исследовательской работе.
8
Предисловие
В заключительном, пятом, разделе, полностью подготовленном доцентом А. Н. Беля
ниным, отражен опыт изложения теории электромагнитного поля, накопленный на
кафедре ТОЭ. Здесь приведены разнообразные задачи по теории поля, снабженные
подробными методическими указаниями.
Авторы благодарят рецензентов профессора А. А. Ланнэ и кафедру теории электри
ческих цепей Санкт-Петербургского государственного университета телекоммуникаций
им. проф. М. А. Бонч-Бруевича (заведующий кафедрой — профессор В. Ф. Дмитриков)
за советы и замечания, которые способствовали методическому совершенствованию
сборника.
Список используемых сокращений
АФХ —амплитудно-фазовая характеристика
АЧХ —амплитудно-частотная характеристика
ВАХ — вольт-амперная характеристика
ВД — векторная диаграмма
ВЧХ — вещественная частотная характеристика
ДЛ —длинная линия
ДП —двухполюсник
ДЦ —дискретная цепь
ЗИ —зависимый источник
ЗН К – закон напряжений Кирхгофа
ЗТК —закон токов Кирхгофа
ИН — источник напряжения
ИНУН — источник напряжения, управляемый напряжением
ИНУТ — источник напряжения, управляемый током
ИСЦ — индуктивно связанная цепь
ИСЭ — индуктивно связанный элемент
ИТ — источник тока
ИТУН — источник тока, управляемый напряжением
ИТУТ — источник тока, управляемый током
ИХ — импульсная характеристика
К — ключ
КЗ — короткозамкнутый элемент (короткое замыкание)
МКА — метод комплексных амплитуд
МКТ — метод контурных токов
МН —метод наложения
МП — магнитное поле
МПВ —метод пропорциональных величин
МУН — метод узловых напряжений
МЦ — магнитный поток
МЧХ — мнимая частотная характеристика
МЭИ — метод эквивалентных источников
МЭИН —метод эквивалентного источника напряжения
10
Список используемых сокращений
МЭИТ — метод эквивалентного источника тока
НУ — начальные условия
НФУ — нелинейное функциональное уравнение
НЦ — нелинейная цепь
НЭ — нелинейный элемент
ОСЗ — операторная схема замещения
ОУ —операционный усилитель
ПД — полоса дифференцирования
ПИ — полоса интегрирования
ПП — полоса пропускания
П ЗФ — полосовой заграждающий фильтр
ППФ — полосовой пропускающий фильтр
П РН — простейший резонанс напряжений
ПРТ —простейший резонанс токов
ПФ — передаточная функция
ПХ — переходная характеристика
ПЦ — присоединенная цепь
РТ —рабочая точка
РУ —разностное уравнение
РФ —ряд Фурье
РЭ — релейный элемент
Т Ф Ц —трехфазная цепь
УПР —установившийся периодический режим
ФАЧ —функция абсолютной чувствительности
ФВЧ — фильтр верхних частот
ФДН — формула делителя напряжений
ФДТ —формула делителя токов
Ф НЧ — фильтр нижних частот
ФЧХ — фазочастотная характеристика
ХП — характеристический полипом .
XX —холостой ход (оборванный элемент, разрыв в цепи)
ЧП — четырехполюсник
ЧХ —частотная характеристика
1. Тестовые и контрольные задачи
по теории электрических цепей
Введение
Цель сборника задач данного раздела — обеспечить студентов индивидуальными
наборами задач для самостоятельных, контрольных работ и домашних заданий по разделу
«Основы теории цепей» дисциплины «Теоретические основы электротехники».
Содержание сборника соответствует программе по теории электрических цепей и
ориентировано на учебники [1,2, 3, 4].
Вследствие ограниченного объема задачника в нем широко используются приве
денные ранее сокращения, а также описание схем электрических цепей с помо
щью троек чисел, которые учитывают топологические особенности цепей.
При выполнении домашних заданий необходимо записать условие задачи, изо
бразить схему цепи, указать условно положительное направление токов и условно
положительную полярность напряжений всех элементов. Должны быть указаны
единицы измерений всех параметров и переменных. В условиях задач напря
жение и элементов дано в вольтах (В), ток i — в амперах (А), мощность р — в ват
тах (Вт), энергия W — в джоулях (Дж); значения сопротивлений R, |z| приведены
в омах (Ом), проводимостей G, |Y | —в сименсах (См); индуктивностей L — в ген
ри (Гп), емкостей С —в фарадах (Ф ). Угловая частота со задается в радианах в се
кунду (1/с), циклическая частота f — в герцах (Гц); в секундах (с) измеряются
время t, постоянная времени и период Т. Для уменьшения объема задачника
числовые данные (напряжений, токов, сопротивлений и т. д.) ниже приводятся
в цифрах, без указания единиц измерений.
При построении схем по заданным тройкам чисел первое число является порядко
вым номером элемента, два последующих — номерами узлов (в том числе устра
нимых), к которым подключен данный элемент; для источников напряжения от
счет узлов производится от «+» к «– », а для источников тока —по направлению
тока. После тройки чисел приводится условное буквенное обозначение элемента
и численное значение соответствующего параметра. Все элементы имеют различ­
ные номера, узлы и ветви обычно нумеруются слева направо.
При построении схем вначале намечают все узлы, а затем соединяют их соответ
ствующими ветвями; возможно, потребуется перечертить схему с целью устране
ния пересечений ветвей. Большинство схем в задачах относится к тину лестнич
ных или мостовых.
В качестве примера рассмотрим построение схемы цепи, которая задана следу
ющими тройками чисел: 114 — ИН u1= 2; 212 —R2= 2; 324 — L3 = 2; 423 — С4 = 2;
534 — R5 = 2; 643 — ИТ i6 = 2 .
В цепи 6 ветвей — это определяется наибольшим первым числом в совокупности
троек чисел, и 4 узла — наибольшее значение из вторых и третьих чисел троек.
Размечаем слева направо узлы 1, 2, 3, а узел 4 — внизу. Далее выполняем соединение
Введение
13
узлов ветвями в соответствии с условиями. На рис. 1.1 приведена схема дан
ной ц
е
п
и
.
Следует иметь в виду, что
1) в пункте 1.7 приведены методические указания к решению задач и типовые
примеры,
2) при необходимости можно использовать второй раздел — «Практикум по тео
рии электрических цепей», где детально разбирается материей практических за
нятий по соответствующим темам.
1.1. Основные понятия теории цепей.
Анализ резистивных цепей
1.1.1. Используя законы Кирхгофа и Ома, определить ток ik, напряжение иk
и мощность рk каждого элемента цепи (k —номер элемента).
1.1. Основные понятия теории цепей. Анализ резистивных цепей
15
1.1.2. Найти входное сопротивление цепи Rвх и указанные реакции, используя
ФДН или ФДТ.
16
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1 .1 .3 .
Методом наложения найти токи, а напряжения —по ЗНК.
1.1. Основные понятия теории цепей. Анализ резистивных цепей
1.1.4. Методом пропорциональных величин найти i5, u3, Gвх, G5–1, HU3–1 )
17
18
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.1.5. Используя систему независимых уравнений Кирхгофа, найти токи ИН
и R-элемеитов, напряжения ИТ.
1.1. Основные понятия теории цепей. Анализ резистивных цепей
19
1 . 1 . 6 . Составить уравнения MKT и МУН, считая все Rk = 2. Найти требуемую ре
акцию.
20
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.1. Основные понятия теории цепей. Анализ резистивных цепей
21
1 . 1 . 7 . Используя методы эквивалентных источников (и МЭИН, и МЭИТ), опре
делить указанную реакцию цепи.
22
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.1.8. На рис. 1.2, а приведена схема цепи для нечетных вариантов, на рис. 1.2, б —
для четных; на рис. 1.2, в — график воздействия, состоящего из двух отдельно
стоящих импульсов (прямоугольной и треугольной ф орм) f1(t) = u1(t) для схемы
рис. 1.2, а, и f1(t) = i1(t) для схемы рис. 1.2, б. Параметры накопителей и значения
f1 (t) указаны в вариантах задачи (здесь t1 и t2, t3 и t4 —моменты начала и конца
каждого из импульсов). Для схем рис. 1.2, а найти аналитическое выражение реак
ции iL(t), для рис. 1.2, б —uC(t); построить график реакции и проконтролировать
его значения в указанные моменты времени tk, рассчитав площадь под графиком
f1 ( t) ; начальные условия принять нулевыми.
1.1. Основные понятия теории цепей. Анализ резистивных цепей 23
1.1.9. Цепь: 171 — ИТ i1 = 2; 212 —R2 = 3; 372 — ИН и3= 4; 431 — ИН и4 = N (здесь
N – номер варианта); 534 —XX; 676 — R6 = 77; 746 — R7= N; 845 — R8 = 77; 956 — ИН
и9 = 4. Найти напряжение на оборванном участке цепи (напряжение холостого
хода) и5= ихх.
1.1.10. Цепь: 114 — ИН и1 = N (здесь N —номер варианта); 212 —R2, 324 — R3;
413 — R4, 534 — R5; 623 —R6; Rk = N. Найти входное сопротивление Rвх, входной
ток iвх = i1 и ток i6. При расчете мостового соединения использовать: 1) эквива
лентное преобразование соединений треугольником и звездой; 2) очевидные
условия работы для резистора R6 учитывая, что «мост» симметричен.
1.1.11. Решить задачу 1.1.5 методом определяющих величин.
1.1.12. Цепь: 113 —L1 = N (здесь N — номер варианта); 213 — L2 = N ; 312 —L3 = N ;
423 — ИН с импульсным напряжением u4(t) в форме равнобедренного треуголь
ника, действующего в интервале 0 < t < 2 со значениями u4(0) = 0 = u4(2), u4(1) =
6N. Найти и1, i1, W1 к середине и моменту окончания импульса. Начальные усло
вия считать пулевыми.
1.1.13. Решить задачу 1.1.12, заменив L-элементы C-элементами, причем Ck = N ,
где N — номер варианта.
24
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.1.14. Перенумеровать элементы, составить упорядоченный граф цепи и по не
му — матрицы (A ), ( Q), (B ), ( F).
1.1.15. По схеме задачи 1.1.2: 1) найти изменение реакции f 2= Du4 при измене
нии сопротивления резистора Rk в п раз по теореме компенсации и непосредст
венным расчетом (здесь Rk —резистор с наибольшим порядковым номером,
п — любое «удобное» число); 2) найти функцию абсолютной чувствительности
по присоединенной цепи (ПЦ) на основании теоремы компенсации и по ПЦ
на основании теоремы Теледжена; проконтролировать результат непосредствен
ным расчетом.
1.2. Расчет переходных процессов
во временной области при постоянных
и произвольных воздействиях
1.2.1. В момент t = 0 цепь при нулевых независимых начальных условиях подклю
чается к источнику с помощью ключа К . Найти для указанной реакции f 2(0+),
f2в, f2 (t) при t > 0; построить график f2(t).
26
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.2.2. В момент t = 0 в цепи замыкается (размыкается) ключ К. Определить неза
висимые начальные условия и найти для указанной реакции f2 (0+ ), f2в, f2(t) при
t > 0; построить график f 2 (t).
1.2.
Расчет переходных процессов во временной области
27
28
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.2.3. При t = 0 в цепи замыкается (размыкается) ключ К. Найти независимые
начальные условия, составить уравнения состояния. Для t > 0 найти иC и iL ис
пользовав аналитическое решение уравнений состояния, а также численное — по
методу Эйлера. Затем найти uL и iC, использовав уравнения связи, и провести
проверку полученных результатов (по ВАХ накопителей).
1.2. Расчет переходных процессов во временной области
29
1.2.4. Найти h1(t), h(t) и h2(t) для указанной реакции f 2(t); построить графики
h1(t) и h ( t ) . Вычислить f2(t) для воздействия f1(t), заданного аналитически в ва
риантах задачи 1.2.4 и графически в виде импульса треугольной формы в соответ
ствующих вариантах задачи 1.1.8.
30
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.3. Анализ цепей при синусоидальных
и экспоненциальных воздействиях
Используя МКА, определить параметры заданных синусоидальных функ
ций, описывающих напряжения и токи в цепи.
1 .3 .1 .
32
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.3.2. В вариантах 1– 15 для режима гармонических колебаний в цепи найти ука
занные характеристики накопительного элемента и построить графики его тока и
напряжения.
1.3. Анализ цепей при синусоидальных и экспоненциальных воздействиях
33
1.3.3. Определить указанные характеристики цепи, находящейся в режиме гар
монических колебаний.
34
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.3.4. Цепь находится в режиме гармонических колебаний. В вариантах 1—19, ис
пользуя векторн
ую диаграмму, найти указанные величины.
1.3. Анализ цепей при синусоидальных и экспоненциальных воздействиях
35
1.3.5. В цепи установившийся синусоидальный режим. Найти реакцию, постро
ить ее график, а также ВД цепи (качественно).
36
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.3. Анализ цепей при синусоидальных и экспоненциальных воздействиях
37
1.3.6. В задаче 1.3.5 найти токи и напряжения, используя метод пропорциональ
ных величин. Определить мощности Р, P q, Ps и проверить баланс мощностей.
1.3.7. Используя МКА, найти указанные величины. Варианты 1—18: цепь нахо
дится в режиме гармонических колебаний.
38
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1 . 3 . 8 . В цепи установившийся синусоидальный режим. Определить указанные
величины и проконтролировать баланс мощностей.
1.3.
Анализ цепей при синусоидальных и экспоненциальных воздействиях
39
40
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.3.9. Для режима гармонических колебаний найти реакцию, используя МКТ
и МЭИ.
1.3. Анализ цепей при синусоидальных и экспоненциальных воздействиях
1 .3 .1 0 .
зонанс.
41
Варианты 1—4. Последовательный колебательный контур настроен в ре
42
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.3. Анализ цепей при синусоидальных иэкспоненциальных воздействиях
43
1.3.11. В задаче 1.3.5 качественно построить ВД при резонансе и в общем виде
найти резонансную частоту.
1.3.12. К моменту t = 0 в цепи нулевые начальные условия. Найти указанную ре
акцию при t > 0.
44
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
В момент t = 0 в цепи замыкается (размыкается) ключ К. Определить ука
занную реакцию для t > 0.
1 .3 .1 3 .
1.3.
Анализ цепей при синусоидальных и экспоненциальных воздействиях
45
46
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.3.14. Проанализировать характеристики переходных процессов при синусои
дальных воздействиях.
1.3.
Анализ цепей при синусоидальных и экспоненциальных воздействиях
47
48
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1 . 3 . 1 5 . Определить указанные характеристики трехфазных цепей. Порядок сле
дования фаз – прямой, система линейных напряжений Uл – симметричная.
1.3.
Анализ цепей при синусоидальных и экспоненциальных воздействиях
49
1.4. Операторный и спектральный методы
анализа цепей
1.4.1. По изображениям тока индуктивности f (t) = iL( t ) при L = 1 найти вначале
iL(0+), UL(s) и uL(0+), используя теорему о начальном значении и ОСЗ, а затем
оригиналы функций. Построить график f2(t), указав на нем постоянную времени
и период T затухающей синусоиды, а также проконтролировав рассчитанное
вначале значение iL (0+) и знак производной i'L(0+) = u L(0+)/ L.
1.4. Операторный и спектральный методы анализа цепей
51
1.4.2. Используя условие задачи 1.2.3, определить операторным методом реакции
iL и иC. Проконтролировать iL(0+), иC(0+).
1.4.3. В момент t = 0 замыкается (размыкается) ключ К. Найти иC(0– ), iL(0– ) и
составить операторную схему замещения (О С З) цепи. По указанию преподавате
ля найти иC(t ), iL(t).
52
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.4. Операторный и спектральный методы анализа цепей
53
1 . 4 . 4 . Составить операторную схему замещения цепи. Определить указанную ре
акцию f 2(t); проконтролировать f2 (0+).
54
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.4. Операторный и спектральный методы анализа цепей
55
1.4.5. Составить операторную схему замещения, определить указанную реакцию
и дать трактовку полученному результату.
56
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.4.6. В вариантах 1– 8 найти изображение указанного сигнала (из представлен
ных на рис. 1.5).
1.4. Операторный и спектральный методы анализа цепей
57
1.4.7. Решить задачу 1.2.4 операторным методом, рассчитав вначале передаточ
ную функцию цепи Н (s). Дополнительно найти АЧХ, ФЧХ; качественно постро
ить графики АЧХ, ФЧХ, АФХ. Проконтролировать по схемам замещения вели
чины h1(0+), h1 ( oo) и значения Н (s) при s - > 0 и s - >oo. Проверить выполнение
соотношения h(t) = h' ( t ) по результатам расчета.
1.4.8. В цепи установившийся периодический режим; воздействие, спектр кото
рого необходимо построить, представлено рядом Фурье.
58
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.4. Операторный и спектральный методы анализа цепей
59
1 . 4 . 9 . В вариантах 1-3 ток представлен рядом Фурье. Построить график i (t),
амплитудный и фазовый спектры, найти T, I.
60
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.4. Операторный и спектральный методы анализа цепей
61
1 . 4 . 1 0 . На вход интегрирующей RC-цеии (R=1; С= 1) подается периодический
сигнал ивх(t) с периодом Т=12, имеющий в пределах периода форму равнобед
ренного треугольника с амплитудой Um= 12 и длительностью tи=12. При t= N и
t= N + 12, где N – номер варианта, значения ивх = 0.
Найти ряд Фурье входного сигнала. Ограничиться постоянной составляющей и
двумя ненулевыми гармониками. Построить график сигнала после аппроксима
ции его рядом Фурье и сравнить с графиком исходного сигнала. Обосновать вид
ряда исходя из симметрии сигнала и его среднего значения. Построить амплитуд
ный и фазовый спектры, а также записать ряд Фурье выходного сигнала uC(t),
используя спектры входного сигнала, АЧХ и ФЧХ цепи. Построить график вы
ходного сигнала uвых = uC(t) и сравнить его с графиком uвх(t). Объяснить измене
ние формы сигнала, проходящего через цепь.
По указанию преподавателя провести точный расчет ивых(t), построить график и
сравнить с данными приближенного расчета по ряду Фурье.
1 . 4 . 1 1 . В вариантах 1-5 для указанного апериодического сигнала u (t) найти
спектр U(jw) и его значение при w = 0; построить график и(t).
62
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.4. Операторный и спектральный методы анализа цепей
63
1 . 4 . 1 2 . На вход дифференцирующей RC-цепи (R= 1; С=1) подается сигнал ивх(t )
в виде одиночного импульса, имеющего форму равнобедренного треугольника с
амплитудой Uт=12 и длительностью tи=12. При t < N и t > N +12, где N – номер
варианта, значения ивх(t)=0.
Сравнив спектр сигнала с частотными характеристиками цепи, оценить ожидае
мое изменение формы сигнала на выходе. Найти реакцию uR(t) операторным ме
тодом, построить ее график и сравнить с графиком u 'вх( t ) . По указанию преподава
теля найти амплитудный, фазовый, вещественный и мнимый спектры реакции;
построить их графики. Используя один из методов расчета сигнала по спектру,
приближенно найти реакцию, построить ее график и сравнить с графиком точно
го решения.
1 . 4 . 1 3 . Сопоставив ЧХ цепи и спектр воздействия fвх (t) приближенно оценить
вид ожидаемой реакции fвых(t). Найти сигнал на выходе цепи fвых(t). Сравнив
графики fвых(t) и fвых(t), убедиться в справедливости предварительной оценки.
Проконтролировать отношение площадей реакции и воздействия, а также
fвых(0+).
В вариантах 1-8 ширину спектра определять по 10 %-ному амплитудному крите
рию, в остальных — по критерию первого лепестка. В вариантах 9-16 входной
сигнал — прямоугольный импульс, а в 17-25 — меандр с амплитудой Uml (или
Im1) и длительностью tи. В условиях задач Rk = 1.
64
1. Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.4.14. В задаче 1.3.5 для указанной реакции найти функцию цепи Н(s), ее нули
s0k и полюсы sk, а также частотную характеристику Н(jw). Построить качественно
АЧХ, Ф ЧХ и АФХ, используя, в частности, данные расчета при w = 0, w -> oo,
w = | sk | и w = | s0k |. Проконтролировать частотную характеристику по эквивалент
ным схемам цепи при w = 0 и w —> оо.
1.4.15. Решить задачу 1.4.12 для случая интегрирующей RC-цепи. График
реакций uвых(t ) = uC(t) сравнить с графиком интеграла от uвх(t), считая, что
входной сигнал имеет форму равнобедренного треугольника с длительностью
tии = 1 с.
1.5. Расчет цепей с многополюсными
элементами и зависимыми источниками
1 . 5 . 1 . Пассивный четырехполюсник, находящийся в установившемся синусои
дальном режиме, имеет входной вывод 1, выходной — 2; вывод 4 является общим.
66
1.Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.5.2. Цепь с ИСЭ находится в режиме гармонических колебаний. Найти i3, i4, и3, u4
как в исходной схеме (используя уравнения Кирхгофа), так и в эквивалентной
схеме замещения без магнитной связи.
1.5.
Расчет цепей с многополюсными элементами и зависимыми источниками
67
68 1.Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1 .5 .3 .
Цепь с индуктивной связью находится в режиме гармонических колебаний.
1.5. Расчет цепей с многополюсными элементами и зависимыми источниками
69
1.5.4. Рассчитать операторным методом переходный процесс и найти токи ИСЭ
при t > 0.
70
1.Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.5. Расчет цепей с многополюсными элементами и зависимыми источниками
1 .5 .5 .
Рассчитать цепи с зависимыми источниками.
71
72
1.Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.5. Расчет цепей с многополюсными элементами и зависимыми источниками
73
1.5.6. Рассчитать цепи с операционными усилителями. Во всех вариантах ОУ
(идеальные или с конечным усилением) заданы тройками чисел: первая циф
ра — инвертирующий вход, вторая — неинвертирующий; третья — выход. При ре
шении задач рекомендуется использовать МУН, имея в виду, что базисному узлу
(«земле») присваивается наибольший номер. В случае ОУ с конечным усилени
ем kОУ в тексте после соответствующей тройки чисел указывается kОУ; при этом
принимается kОУ > 0.
74
1.Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.5.7. Дана схема симметричного Ф Н Ч (фильтра типа k), находящегося в режиме
согласованной нагрузки: 1 1 3 —L1=N+ 1 (здесь N — порядковый номер вариан
та); 2 3 4 — С2= N + 1; 3 3 2 — L3= L1; 4 1 4 — ИН u1 = ивх; 5 2 4 - Z5 = Zн= Zс. Требуется:
1 ) найти ПП и частоту среза со ; 2 ) найти характеристическое сопротивление Zс
и функцию передачи по напряжению H U
, их зна
чения на частотах w = 0, oo, wср и качественно построить графики | Zc (jw)] и АЧХ;
3) найти параметры фильтра Баттерворта третьего порядка с рассчитанной выше
1.5. Расчет цепей с многополюсными элементами и зависимыми источниками
75
wср при Rн = ZC(0); 4) спроектировать ФВЧ (при wcp = 1; Rн= 2), а также ППФ
и П ЗФ (при wср1= 1; wcp2 = 4; Rн = 2) по ФНЧ-прототипу.
1.5.8.
Синтезировать схемой на операционных усилителях ПФ
при N <>М <>Т <>N, где N — порядковый номер варианта; М — номер месяца рож
дения; Т — оценка по ТОЭ.
1.5.9. Синтезировать двумя принципиально различными вариантами схем пас
сивный LC-четырехполюспик с ПФ
при N <>М, где N — порядковый номер варианта; М — помер месяца рождения;
k —коэффициент.
1.5.10. Синтезировать двумя принципиально различными схемами пассивный
LC-четырехполюсиик с ПФ
при М <>N, где N —порядковый помер варианта; М — номер месяца рождения.
Считать сопротивление нагрузки Rн =
2.
1 . 5 . 1 1 . ИН и0 = 20 = const с выходным сопротивлением источника Zи, равным вол
новому Zв (при Zи = Zв), подключается при t = 0 к линии без потерь (длиной l), на
груженной на сопротивление Zн= pZв (при p = 20/М, где М — номер месяца рож
дения, а значение p округлено до целого). Найти напряжение и ток на входе и
выходе ДЛ (u1, и2, i1, i2) и построить соответствующие графики. По указанию пре
подавателя решить задачу: 1) при Zн = 0; 2) при Zи = Zн = 0. При расчетах принять
l = 50 км и рассматривать цепь с распределенными параметрами как ЛБП с по
гонными параметрами R0 = 0; G0= 0; L0 = 0,24· 10–2 Гн/км; C0= 0,667· 10 8 Ф /км;
проверить что скорость движения волны в ДЛ Vф < 3· 105 км/с (меньше скорости
света).
1.5.12. Синтезировать RC-ДП с входным сопротивлением Z bx1 (для нечетных
вариантов N) или Z bx2 (для четных вариантов N):
где p — остаток от деления N на 4. При синтезе использовать схемы ДП и
последовательной, и параллельной, и лестничной структур.
1 .5 .1 3 . В Т -с х е м е с и м м е т р и ч н о г о Ч П с о п р о т и в л е н и е п р о д о л ь н ы х п л е ч
R 1 = R3 = N , а с о п р о т и в л е н и е п о п е р е ч н о г о п л е ч а R2 = 1 , 5 N , г д е N —
п орядковы й номер варианта. И спользуя сопротивлени я X X и К З , найти
характери сти ческое сопротивление, ф у н к ц и и передачи по н ап р яж е н и ю и току
в реж им е согласованной н агрузки. П роверить полученны е данны е
н еп о ср ед ств ен н ы м р асч ето м по схем е.
1.6. Расчет дискретных
и нелинейных цепей
1.6.1. Найти указанные реакции аналитически и численно (3 -4 значения); соста
вить схему ДЦ. Обозначения: f1 и f2 — входная и выходная дискретные последо
вательности; h и h1 — импульсная и переходная характеристики ДЦ; Т — период
дискретизации; п = 0, 1,2, 3...
1.6. Расчет дискретных и нелинейных цепей
77
Передаточная функция аналогового прототипа Н (s ) = (N + 2)/[(s + 1)х
(s + N + 2)], где N — номер варианта. Составить схему сооветствующей ДЦ;
сравнить переходные характеристики аналоговой и дискретной цепей в моменты
t = nT. Найти h ( пТ) аналитически и численно (3 -4 значения), использовав как ре
шение разностного уравнения ДЦ, так и разложение Н (z) в ряд Лорана.
1 .6 .2 .
1 . 6 . 3 . Составить НЦ из источников, линейных R-элементов и резистивного нели
нейного элемента с указанными иэ и Rэ (схема замещения цепи относительно вы
водов НЭ представляет собой на основании МЭИН последовательное соедине
ние эквивалентного ИН с напряжением холостого хода иэ = ихх и R-элемеита
с эквивалентным сопротивлением Rэ). Найти инэ, iнэ (в области задания ВАХ НЭ)
аналитическим методом, используя аппроксимацию характеристики НЭ (по
трем точкам) полиномами второй степени: инэ=f (iнэ) и iнэ = f (инэ). В вариантах
указаны точки (инэ, iнэ) ВАХ НЭ.
78
1.Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1 .6 .4 .
Решить задачу 1.6.3 графическим методом.
1 .6 .5 .
Решить задачу 1.6.3 методом кусочно-линейной аппроксимации.
1 . 6 . 6 . Ввести в схему задачи 1.6.3 индуктивный элемент L =1 последовательно
с НЭ. Методом припасовывания (кусочно-линейной аппроксимации) найти iL (t)
для t > 0 при включении источника иэ в цепь при t =0. Привести схему цепи
и график переходного процесса.
1 . 6 . 7 . В задаче 1.6.6 для установившегося режима при действии источников сиг
налов синусоидальной формы (с частотой w = 3, нулевой начальной фазой и ука
занным действующим значением напряжения XX Uэ) найти методом гармониче
ской линеаризации первые гармоники напряжения и тока L-элемента; ВАХ НЭ
считать нечетной.
1 . 6 . 8 . Синтезировать резистивно-диодными цепями заданную кусочно-линей
ную ВАХ. Соответствующие пары значений ВАХ (iнэ, инэ) указаны.
1.6. Расчет дискретных и нелинейных цепей
79
1.7. Указания, типовые примеры
и рекомендации к решению задач
Задачи к теме 1.1 «Основные понятия теории цепей.
Анализ резистивных цепей»
1 . 1 . 1 . С х е м а ц е п и т и п о в о г о п р и м е р а п р и в е д е н а н а р и с . 1 .7 , а
Вначале всегда выбираем произвольно условно положительные направления не
известных токов и напряжений. Очевидны соотношения:
i3
=
(последова
i4
i5
тельное соединение), и1=и2 (параллельное соединение). Напряжение и4 и ток i4
R-элемента всегда должны быть согласованы.
По ЗТК i3 = i4 = i5 = i1 – i2 = – 1; по закону Ома и4 = R4i4 = –4.
П о З Н К и 2 = –и 3 + и 4 + и 5 = – 3 – 4 + 5 = – 2 = и1.
Мощности элементов, для которых направления напряжений и токов согласова
ны:
. Для остальных элементов (токи и напряжения не согласованы):
.
При pk > 0 элемент потребляет энергию, при p k < 0 — генерирует энергию; для Rэлементо в pR > 0 всегда.
Баланс мощностей:
1 . 1 . 2 . Схема цепи изображена на рис. 1.7, б i1 = 12, Rk = 2. Найти Rвх, ивх, i2 по ФДТ,
u4 по ФДН.
Направления токов согласуем с ивх —см. схему. Элементы R3, R4 соединены по
следовательно, R34 = R3 + R4 = 2 + 2 = 4. R2 и R34 соединены параллельно.
1.7. Указания, типовые примеры и рекомендации к решению задач
81
По ФДТ i2 = i1R34 / ( R2 + R34) = 12· 4/(2 + 4) = 8.
По ФДН и 4 = u 34R4/ ( R 3 + R4) = 16·2/(2 + 2) = 8.
1 .1 .3 .
Особенности метода наложения.
1. В исходной схеме произвольно выбирают как направления токов R-элементов и
ИН, так и полярность напряжений ИТ.
2. Рассматривают цепь под действием одного из источников, исключая остальные,
причем для исключения ИН выводы, к которым он подключен, замыкают нако
ротко (КЗ), а при исключении ИТ соответствующую ветвь разрывают (XX). Рас
чет получающейся цепи с единственным источником выполняют так, как это про
иллюстрировано при решении задачи 1.1.2.
3. Для вычисления истинных реакций суммируют их составляющие, полученные
при действии каждого источника в отдельности; в случае если направление со
ставляющей реакции совпало с выбранным в п. 1, ее учитывают со знаком «плюс».
Примечания: 1) см. проверку решения задачи 1.1.5; 2) метод наложения целесооб
разно использовать при расчете несложных цепей, содержащих 2-3 источника.
1 . 1 . 4 . Для иллюстрации метода пропорциональных величин рассмотрим схему
рис. 1.7, б (цепь лестничная, с единственным источником). Определить u4, i3, Rвх,
H i4-1 = i4/i1, R4-1 = u4/i1.
Примем реакцию (ток или напряжение) самой «удаленной» от источника ветви
равной единице: i(4) = 1. Тогда u(4) = R4 i(4) = 2. Далее находим i(3) = i(4) = 1,
u(3)=R3i(3) = 2. Последующий расчет очевиден: по ЗН К и (2) = и (3) + u (4) = 2 + 2 = 4;
i(2)=u(2)/ R2 = 4/2 = 2; i(1) = i(2) + i(3) = 2 + 1 = 3 — по ЗТК. Определяем коэффициент
пропорционального пересчета k = i1 /i(1) = 12/3 = 4. Тогда искомые реакции:
= ku(4) = 4 ·2 = 8; i3 = ki(3) = 4 ·1 = 4. Коэффициенты (функции) R-цепи:
u4
.
Проверка:.
1 . 1 . 5 . В схеме рис. 1.8, а. Составить уравнения
по законам Кирхгофа, найти токи ветвей и напряжение ИТ.
82
1.Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
Выбираем произвольно направления токов в R2 и R3; в R4 ток i4 = i5 известен. Число
неизвестных реакций, например токов R-элементов, равно 2, независимых уравне
ний в системе должно быть также 2.
По ЗТК следует составить одно уравнение, так как nзтк = пу –1 = 1 (устранимые
узлы не рассматриваем); по ЗН К уравнений должно быть 2: nЗНК= пв – nзтк = 3 –
1 = 2, по контур с ИТ не рассматриваем, поскольку определяются токи.
Узел 1: (узел 2 —зависимый).
Контур А:, выбран так, чтобы в него не вошел ИТ.
Используя закон О ма
и подставляя численные значения, получаем по­
сле упорядочения записи:
Решение системы дает:. Для определения и5 используем ЗНК для
контура В:
Проверка. Найдем ток i2 методом наложения:
1. Действует ИН u1; ветвь с ИТ разомкнута,
2. Действует ИТ i5; ИН заменен на короткозамкнутую ветвь, по Ф Д Т
3. суммирование произведено со знаком «-», так как на
правления i'2 и i2 —совпадают, а i''2 и i2 — противоположны.
1.1.6. Ниже разбирается пример, когда преобразовать некоторые источники эле
ментарно нельзя (см. рис. 1.8, б).
С о ста в л е н и е ур ав н е н и й по МКТ.
1. Преобразуем ИТ i8 и R7 в ИН u8 и R7, u8 = R7i8 (см. пунктир «справа»); ИТ i6 яв
ляется элементарно непреобразуемым.
2. Если выбрать контур 1, как показано на схеме, т о ; контура 2 и 3 не долж
ны включать И Т i6.
В цепи 3 ячейки (после преобразования ИТ), по один из трех котурных токов
известен. Следовательно, необходимо составить 2 уравнения для контуров 2 и 3.
В развернутой форме уравнения имеют вид:
Определив из системы и у ч и т ы в а я , находим токи ветвей
С о с т а в л е н и е уравн ен и й по М У Н .
1. Преобразуем ИН u1 и R2 в ИТ i1 и R2 (см. рис. 1.8, б пунктир «слева»),
ИН u5 — элементарно непреобразуем.
1.7. Указания, типовые примеры и рекомендации к решению задач
83
2. В цепи 3 независимых узла, однако если за базисный выбрать узел 4, то
(см. схему). Следовательно, по МУН необходимо составить только 2 уравнения,
для узлов 2 и 3. Уравнения в матричной форме:
1 .1 .7 .
Использование теорем об эквивалентных источниках проиллюстрировано
в 2.5.
1 . 1 . 8 . Дан ток iCемкостного элемента ( C = 1Ф): на интервале 0 < t < 1 ток iC = 10t;
на интервале 2 < t < 3 ток iC = 10; в остальные моменты времени iC= 0. Найти вы
ражение иC( t) для каждого интервала времени, если иC(0) = 0.
Исходное соотношение:
1. Интервал 0 < t < 1
2. Интервал 1< t < 2
:
:
3. Интервал
4. Интервал t > 3:
Контроль: 1) uC(t) есть непрерывная функция времени, график uC(t) не должен
иметь разрывов непрерывности («скачков»); 2) площадь, ограниченная графиком
iC(t) и осью t, есть заряд C-элемепта; 3) при iC = 0 выводы C-элемента разомкну
ты, напряжение его неизменно.
1 .1 .9 .
Использовать указания к решению задач 1.1.1-1.1.3.
84
1.Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1 .1 .1 0 .
О расчете мостового соединения см. [1, с. 3 5 -3 7 ], [4, с. 169-170].
1 .1 .1 1 .
О методе определяющих величин см. [4, с. 168-169].
Использовать указания к решению задачи 1.1.8 и ФДН (или ФДТ) для
цепей из однотипных элементов.
1 .1 .1 2 .
1 .1 .1 3 .
Использовать указания к решению задачи 1.1.12.
1 . 1 . 1 4 . Составление матричных уравнений цепи для машинных расчетов описано
в [1, с. 400-406], в [2, с. 400-406], а также в [4, с.181—186].
1 . 1 . 1 5 . Расчет характеристик чувствительности цепи к изменению ее параметров
изложен в [1, с. 415-417, 420-423, 424-428]; см. также[4, с. 179-181].
Задачи к теме 1.2 «Расчет переходных процессов во временной
области при постоянных и произвольных воздействиях»
В задачах рассматривается переходный процесс при включении цепи пер
вого порядка (с одним накопительным элементом L или C) под действие источ
ника постоянного напряжения или постоянного тока; начальные условия —нуле
вые.
1 .2 .1 .
При решении задачи рекомендуется ознакомиться с анализом переходного про
цесса в задаче 1.2.2. Необходимо учесть, что при нулевых независимых начальных
условиях в эквивалентной схеме для t = 0+ ветвь с L-элементом размыкают (XX),
а выводы C-элемента замыкают накоротко (КЗ), так как iL(0+) = iL(0– ) = 0,
иC(0+) = иC(0– ) = 0 по условию задачи.
1 . 2 . 2 . Рассмотрим анализ переходного процесса в цепи первого порядка, схема
которой приведена на рис. 1.9, a:, ключ размыкается.
Найти токи.
1.7. Указания, типовые примеры и рекомендации к решению задач
85
Так как воздействия в цепи постоянны, то для анализа можно использовать схе
мы замещения.
1. Определяем независимые начальные условия, т. е. iL(0– ) в данной схеме (или
иC(0– ) в цепи с C-элементом). До размыкания ключа в цепи все токи постоянны
(полагаем для t= 0– процесс установившимся). Тогда выводы L-элемента можно
на схеме замкнуть накоротко (см. рис. 1.9, б), так как uL(t ) = Li'L( t ) при постоян
ном iL равно нулю, т. е. uL(0– ) = 0.
Примечание: в схеме рис. 1.9, б при определении iL(0– ) следует принять R0 = 0,
так как ключ при t < 0 замкнут.
По методу наложения
В цепи с C-элементом при постоянных воздействиях для определения иC(0– )
следует ветвь с этим элементом разомкнуть, так как iC = CdиC/( dt) = 0 при посто
янном иC.
2. Находим вынужденные составляющие реакций. При постоянных воздействиях
эти составляющие будут также постоянны (установившийся р е ж и м ) , их
легко рассмотреть по схеме замещения (рис. 1.9, б); ее обоснование —см. п. 1.
Рассчитывая цепь, определяем:
3. Находим зависимые начальные условия —значения токов в мо
мент t = 0+. Используем схему рис. 1.9, в, в которой вместо L-элемента исходной
цепи включен ИТ iL(0+) = iL (0– ) = 4 (в цепи с C-элементом вместо него включа
ют ИН иC(0+) = иC(0– )).
Далее следует использовать наиболее рациональный для конкретной цепи метод
расчета. В примере целесообразно преобразовать ИТ в ИН
4. Определяем постоянную времени цепи, для чего рассматриваем схему рис. 1.9, г,
в которой по сравнению с исходной исключены источники, находим эквивалент
ное сопротивление Rэ, резистивной части цепи относительно выводов накопи
тельного элемента:
Постоянная времени (в цепи с C-элемеитом R э C ).
5. Выражение любой реакции представляем как сумму вынужденной и свободной
составляющих; постоянную интегрирова
ния находим по начальным условиям:
86
1.Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
Примечание: при построении графика функции соединяют дугой
экспоненты начальное значение с конечным используя
характерные значения экспоненты
; учитывают, что любая подкасательная к экспоненте
равна п
остянойврем
н
иц
еп
и
.
1.2.3. Рассмотрим анализ переходного процесса в цепи второго порядка — см.
схему рис. 1.10, а; — воздействия постоянны
1. Определяем независимые начальные условия иC( 0– ) и iL(0– ). Так как процесс в цеп
и перед коммутацией принят установившимся при постоянных воздействиях, то
рассматриваем схему рис. 1.10, б, в которой ветвь с C-элементом разомкнута, а вы
воды L-элемента замкнуты накоротко (см. также решение задачи 1.2.2). Преобра
зив ИТ и R2, находим
2. Составляем уравнения переменных состояния, за которые принимаем uC(t)
и iL(t).
а. Формирование уравнений по графу цепи.
Выбираем так называемое нормальное дерево, к ветвям которого относят ИН, вет
ви с C-элементами и необходимое число резистивных ветвей. На рис. 1.10, в пред
ставлен граф цепи, на котором дерево выделено.
Составляем уравнения по законам Кирхгофа для главных сечений и главных кон
туров:
т. е. уравнение (1) —для сечения, содержащего ветвь дерева с C-элементом;
1.7. Указания, типовые примеры и рекомендации к решению задач
87
т. е. уравнение (2) —для сечения, содержащего ветвь дерева R2
т. е. уравнение (3) —для контура, включающего хорду с L-элемептом;
т. е. уравнение (4) —для контура, содержащего хорду R1
Решая уравнения (1) и (3) относительно iCи uL соответственно и выражая в них
iR1 и иR2 через переменные состояния с использованием уравнений (2) и (4), полу
чаем:
б. Формирование уравнений состояния no вспомогательной схеме рис. 1.10, г. На
схеме L-элемент заменен ИТ iL(t), а C-элемепт — ИН uC(t); требуется тем или
иным методом получить выражения для iC(t) и uL(t). Очевидны соотношения:
. ЗТК для узла 1:; ЗН К для контура А :
. Используя приведенные соотношения, несложно получить
уравнения переменных состояния.
Уравнения состояния в матричной форме:
3. Находим частоты собственных колебаний цепи. Характеристический полином:
откуда p1,2 = – 2 (частоты кратные). Свободная составляющая любой реакции
имеет вид:
Примечания: 1) в случае неравных вещественных частот, например
; 2) в случае комплексных частот,
(возможны и другие формы з а п и с и ) .
4. Определяем вынужденные составляющие переменных состояния, для чего ис
пользуем полученную ранее систему уравнений. При постоянных воздействиях в
цепи наступит установившийся режим, в котором реакции будут также постоян
ны. Положив в уравнениях состояния, получим систему:
88
1.Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
Решение системы дает:
5. Определяем переменные состояния
. Имеем систему уравнений для отыскания постоянных
интегрирования:
Остальные реакции можно опреде
лять, например, по схеме рис. 1.10, г.
1.2.4. Об определении характеристик цепи h1(t), h ( t ) и h2(t), а также вычисле­
нии реакций при использовании интегралов наложения см. 2.9.
Примечание: при взятии интеграла свертки рекомендуется использовать следую
щий вариант формулы:
Задачи к теме 1.3 «Анализ цепей при синусоидальных
и экспоненциальных воздействиях»
1.3.1. Рекомендации.
1. Необходимо освоить переход от обобщенной экспоненты к комплексной ампли
туде
.
2. Следует, изображая комплексные амплитуды на комплексной плоскости, осво
ить до автоматизма переход от показательной формы записи комплексного чис
ла к алгебраической и наоборот, обратив особое внимание на определение аргу
мента (фазы).
1.7. Указания, типовые примеры и рекомендации к решению задач
89
3. Иметь в виду, что при переходе к комплексным амплитудам и сопро
тивлениям элементов
4. Знать, что при использовании МКА выражение закона Ома для любого пассив
ного двухполюсника имеет вид
1 .3 .2 .
Использовать рекомендации к задаче 1.3.1.
1 . 3 . 3 . В цепи (рис. 1.11, а) установившийся синусоидальный режим; |Z k| = 10. Оп
р е д е л и т ь ; построить качественно векторную диаграмму (ВД), вы
числить.
Находим сопротивления элементов в комплексной форме
Для
соединенных
параллельно
ветвей
Контроль: для пассивных цепей в режиме гармонических колебаний
Качественное построение ВД обычно ведется в той же последовательности, в ка
кой выполняется расчет цепей методом пропорциональных величин. За исходный
вектор обычно принимают вектор тока (напряжения), общего для 2-х и более
ветвей, и направляют его произвольно, чаще —горизонтально.
1 .3 .4 .
Использовать указания к задаче 1.3.3.
90
1.Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
Рекомендации: 1) использовать указания к задачам 1.3.1, 1.3.3, 1.3.8; 2) за
писать комплексную амплитуду воздействия (ИН или ИТ) и комплексные со
противления элементов; далее выполнить вычисления аналогично расчету R -це
пей и найти комплексную амплитуду реакции; затем по комплексной амплитуде
реакции и комплексной частоте записать выражение реакции в t-области.
1 .3 .5 .
Использовать рекомендации к задачам 1.1.4, 1.3.1, 1.3.3, 1.3.5 и решение ти
пового примера к задаче 1.3.8.
1 .3 .6 .
1 . 3 . 7 . Рекомендации: 1) воспользоваться указаниями к задачам 1.3.1-1.3.4 и 1.3.8;
2) если не указаны начальные фазы токов (напряжений), целесообразно началь
ную фазу одной из переменных принять равной нулю; 3) знать, что из выраже
ния закона Ома в комплексной форме
; 4) при решении задач вариантов 7,
12-15 целесообразно предварительно качественно построить векторную диа
грамму.
1 .3 .8 .
В схеме рис. 1.11, а дано. Найти.
Из баланса активных мощностей следует. Так как
начальные фазы не заданы, примем, тогда
находим
комплексная мощность,
реактивная мощность, полная мощность
.
Проверка: 1. Баланс мощностей.
1 . 3 . 9 . Использовать рекомендации к задачам 1.1.5, 1.1.6, 1.3.5. Неизвестные в сис
темах из двух-трех уравнений МКТ (или МУН) целесообразно находить, исполь
зуя метод определителей (метод Крамера).
1 . 3 . 1 0 . 1 . 3 . 1 1 . В схеме рис. 1.11, а найти резонансную ч а с т о т у , считая па
раметры R, L, С известными.
При резонансе в общем случае
1.7. Указания, типовые примеры и рекомендации к решению задач
91
Примечания: 1) в последовательной RLC-цenи при резонансе (простейшем резо
нансе напряжений), участок LC эквивалентен К З
; добротность Q, где характеристическое со
противление — полоса пропускания, определяемая
по АЧХ цепи на уровне 0,707 от максимума; 2) в параллельной RLC-цenи при ре
зонансе (простейшем резонансе токов) соотношения дуальны.
1.3.12. Схема цепи приведена на рис. 1.12, а
.Найти i1(t ) при t > 0.
Рис. 1.12
1. Независимые начальные условия нулевые, т. е. iL(0–) =0.
2. Вынужденную составляющую реакции находим, используя метод комплексных
3. Определяем зависимые начальные условия по схеме замещения рис. 1.12, б, в
которой выводы L-элемента разомкнуты, так как iL0+)
( = iL(0 -) = 0. Получаем
4. Находим постоянную времени цепи, для чего рассматриваем схему рис. 1.12, б,
в которой исключаем источник напряжения:
5. Записываем решение
1.3.13.
Схема цепи приведена на рис. 1.13, а
. Найти iC(t) при t > 0 после размыкания ключа.
92
1.Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1. Чтобы найти независимое начальное условие иC(0 -), рассчитываем установив
шийся синусоидальный режим перед коммутацией (при t < 0).
2. Вынужденный (установившийся синусоидальный) режим рассчиты
ваем аналогично, учитывая R0.
3. Для расчета зависимых начальных условий при t =0+ составляем эквивалент
ную схему замещения (рис. 1.13, б),
т. е. ИТ можно заменить XX. По МКТ аналогично предыдущему имеем:
4. Цепь первого порядка. По схеме для свободного режима (И Н заменен на КЗ,
ИТ —на XX) находим
5.
Решение:
1 . 3 . 1 4 . Рекомендация: воспользоваться указаниями к задачам 1.3.12, 1.3.13, учи
тывая, что в задаче 1.3.14 обычно требуется выполнить только какие-либо 12 пункта стандартного расчета.
1 .3 .1 5 .
О расчете трехфазных цепей см. 2.15.
Задачи к теме 1.4 «Операторный и спектральный методы
анализа цепей»
1.4.1.
F
Найти оригиналы f 1(t) и f2(t) по изображениям F
2
(
s
)
.
Рекомендации.
1. Оригинал определяют по теореме разложения.
1
(
s
)
,
1.7. Указания, типовые примеры и рекомендации к решению задач
93
2. Если F(s) имеет комплексные полюсы (обязательно попарно сопряженные), то
достаточно определить вычет лишь в одном из полюсов.
3. При наличии кратных полюсов
, вычеты определяются
выражениями
Пример 1.
Пример 2.
94
1.Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.4.2. Найти иC(t) при t > 0 в задаче 1.2.3 (см. рис. 1.10, а) операторным методом.
1. Определяем независимые начальные условия
2. Составляем для t > 0 операторную схему замещения, в которую входят источ
ники, учитывающие независимые условия
. Важно выбрать наиболее простой метод расчета схемы: так как после
эквивалентных преобразований получим (см. рис. 1.14, б) цепь с одной парой
узлов, то методом узловых напряжений потребуется составить лишь одно урав
нение.
а
Рис. 1.14
Следует иметь в виду, что в схеме рис. 1.14, а
Принимая узел 2 за базисный, по МУН имеем:
1.4.3. В задаче рассматриваются переходные процессы в цепях, содержащих ис
точники гармонических колебаний; начальные условия — ненулевые. Для опреде
ления иC(0–) и iL(0–) необходимо использовать МКА.
Рекомендуется знать соотношение:
1.7. Указания, типовые примеры и рекомендации к решению задач
95
1.4.4. Использовать указания к задачам 1.4.2, 1.4.3.
1.4.5. Использовать указания к задачам 1.4.2, 1.4.3. Иметь в виду: есл и степень
полинома числителя равна степени полинома знаменателя, то необходимо
выделить целую часть; оригинал f (t) будет содержать
дельта-функцию. Остальные составляющие f (t) определяются так, как это
было показано в комментариях к задаче 1.4.1.
1.4.6. Рекомендации.
1. Знать соотношения
2. Уметь находить изображение сигнала методом представления его суммой про
стейших стандартных составляющих, как показано, например, па рис. 1.15, а
3. Уметь находить изображение кусочно-линейных сигналов методом двойного
дифференцирования, как показано на рис. 1.15, б.
ми составляющими имеет вид:
96
1.Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1 . 4 . 7 . Необходимо освоить рекомендации к задаче 1.4.6. Схема примера цепи
приведена на рис. 1.16, a. Реакция. Найти:
а
б
в
Передаточную функцию цепи находим при нулевых началь
ных условиях, поэтому операторную схему замещения можно не изображать. Ис
пользуем для расчета метод пропорциональных величин:
Определяя импульсную характеристику, выделяем в H (s) целую часть, так как
степени полиномов числителя и знаменателя равны:
4
Находим переходную характеристику:
24
4
1.7. Указания, типовые примеры и рекомендации к решению задач
97
t
Комплексная функция цепи (т. е. обобщенная частотная характеристика)
Графики строят, производя расчет АЧХ и ФЧХ на различных частотах
. АФХ строится на комплексной плоскости по значениям
при различных w. Контроль АЧХ осущест
вляют по схемам рис. 1.16, б, в.
Изображение заданного кусочно-линейного воздействия было фактически найдено
в задаче 1.4.6
1.4.8. Схема типового примера приведена на рис. 1.17, а
. Найти и(t), U, P; построить амплитудный и фазо
вый спектры реакции.
Для определения реакции целесообразно использовать передаточную функцию
цепи.
98
1.Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
По полученному выражению, подставляя k = 0, 1, 2, вычисляем комплексные ам
плитуды гармоник реакции
Приведем также решение задачи без использования общего выражения для функ
ции цепи.
1. Для нулевой гармоники
2. Для первой (основной) гармоники
3. Для второй гармоники
ходим действующее значение
Ампл итудный дискретный (линейчатый) спектр определяется амплитудами
составляющих ряда Фурье на соответствующих частотах (см. рис. 1.17, б), фазо
вый спектр — начальными фазами гармоник.
Примечания: 1) постоянная составляющая (нулевая гармоника) — это сред
нее значение периодического сигнала; 2) ряды Фурье четных сигналов не имеют
синусных составляющих синусно-косинусной формы ряда, а нечетных
сигналов — косинусных составляющих
.
1.7. Указания, типовые примеры и рекомендации к решению задач
1 .4 .9 .
1 .4 .1 0 .
99
Использовать указания к задаче 1.4.8.
При решении учесть следующее:
1. Коэффициенты ряда Фурье периодической функции определяют по формуле:
где F1(s) —изображение по Лапласу описания f1 сигнала f в пределах любого пе
риода частот определяют в интервале 0 < t < T и условно называют
«первым периодом» сигнала f
.
2. Частота k-й гармоники
3. В задаче наиболее значительные по величине нулевая и первая гармоники воз
действия располагаются в полосе пропускания ЧХ цепи. Поэтому сигнал на выход
пройдет с небольшими искажениями (см. также и. 9 указаний к задаче 1.4.11).
4 . О
т о ч н о м
1 .4 .1 1 .
р а с ч е т е
р е а к ц и и
с м . [4 , с .
2 2 9 - 2 3 2 ] .
При решении вариантов задачи учесть следующее:
1. Если функция f (t) удовлетворяет условиям Дирихле и абсолютной интегри
руемости, то ее спектральная плотность (в дальнейшем —спектр)
где F (s) — изображение f ( t ) по Лапласу.
2. Значение спектра при w = 0 есть площадь сигнала f (t).
3. В ряде случаев спектры апериодических сигналов при конечных значениях
частоты принимают пулевые значения; эти частоты именуют узлами спек
тральной характеристики
. Для простоты з н а ч е н и е , принимают
иногда за ширину спектра сигнала.
4. Ширину полосы пропускания цепи определяют как интервал частот, в пре
делах которого значение АЧХ не меньше 0,707 от максимума АЧХ.
5. Время запаздывания проходящего через цепь сигнала оценивают по наклону
ФЧХ цепи в области низких частот, если спектр сигнала в основном располага
ется в полосе пропускания.
6. Передаточная функция интегрирующей RC-цепи
а дифференцирующей
7. Формула Рэлея, определяющая энергию сигнала:
100
1.Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
8. значение АЧ Х на нулевой частоте характеризует от
ношение площадей реакции и воздействия; значение АЧХ на бесконечной частоте
показывает, с каким коэффициентом скачок сигнала на входе проходит на выход
цепи.
9. ЧХ цепи обычно удается разбить на частотные интервалы (полосы): неиска
жения, т. е. пропускания (если АЧХ A (w)=k = const), интегрирования (если
A(w) = k/w), дифференцирования (A(w) = kw), двойного интегрирования (A ( w )
= k/w2) и т. д. Если спектр воздействия располагается в основном в одном из этих
интервалов, можно предсказать ожидаемое изменение формы реакции. Оценкой
границ частотных интервале иногда можно считать значения модулей нулей
и полюсов передаточной функции цепи Н (s).
1.4.12. Рекомендации:
1. Воспользоваться указаниями к задачам 1.4.7 и 1.4.11.
2. Амплитудный спектр реакции
3. На основании формул
находят сигнал по вещественному или мнимому спектрам. Для взятия изображе
ния по Лапласу от спектра производят кусочно-линейную аппроксимацию
4. Для отыскания f 2(t) по амплитудному и фазовому спектрам используют фор
мулу связи спектра одиночного импульса f2 с дискретным спектром периодическо
го сигнала f 2П( t ) , составленного из периодической последовательности импуль
сов f2:
1.4.13. Использовать рекомендации к задачам 1.4.7 и 1.4.11.
1.4.14. В цепи (см. рис. 1.11, а) C = 1, R = 1, L= 1. Найти ЧХ функции передачи
п
онапряжению.
Используя обобщенные сопротивления
, определяем по ФДН функцию цепи
. Конечный нуль функции цепи, конечные
п
о
л
ю
с
ы
.
1.7. Указания, типовые примеры и рекомендации к решению задач
101
Контроль ЧХ осуществляют по эквивалентным схемам
АФХ представляет собой кривую, прочерченную на комплексной плоскости век
тором Н (jw) при изменении частоты со (годограф векторной функции). Длину
вектора определяет АЧХ, а фазу ФЧХ.
1 .4 .1 5 .
С м . р е к о м е н д а ц и и
к
з а д а ч е
1 .4 .1 2 .
Задачи к теме 1.5 «Расчет цепей с многополюсными элементами
и зависимыми источниками»
1.5.1. Схема четырехполюсника П-образной структуры приведена на рис. 1.18
. Найти A-па
раметры и функцию передачи по напряжению.
Уравнения ЧП через A-параметры:
В режиме XX со стороны выводов 22'
В режиме КЗ со стороны 22'
Контроль: 1) четырехполюсник пассивный, поэтому |а | = 1; 2) че
тырехполюсник симметричный, поэтому также а11 = а22.
Добавляя к уравнениям ЧП через A-параметры уравнение нагрузки (см. рис. 1.18)
102
2)
1.Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
соответственно условия обратимости
Схема типового примера приведена на рис. 1.19, а. В цепи установившийся
синусоидальный режим.
Составить уравнения в t-области, найти u ( t ) по исходной схеме и эквивалент
ной схеме без индуктивной связи.
1 .5 .2 .
При выбранных направлениях токов — включение встречное
В t-области независимые уравнения Кирхгофа для узла «б» и контуров I, II име
ют вид:
1.7. Указания, типовые примеры и рекомендации к решению задач
103
1.5.3. Использовать указания к задаче 1.5.2.
1.5.4. При решении учесть следующее:
1. Если использовано эквивалентное устранение индуктивной связи (см. задачу
1.5.2, рис. 1.19, б), расчет переходных процессов может быть проведен оператор
ным методом в соответствии с рекомендациями к задаче 1.4.2.
2. При решении без эквивалентного устранения ИСЭ вначале находят независи
мые начальные у с л о в и я . Затем для t > 0 составляют систему неза
висимых уравнений в цепи в t-области, преобразуют систему по Лапласу, решают
ее и находят изображение, а затем оригинал реакций. Например, операторное
уравнение для второго контура цепи рис. 1.19, а
i .5,5. Рекомендации.
1. При расчете цепей с зависимыми источниками можно использовать любой ме
тод расчета, к уравнениям метода добавляют уравнения зависимых источников.
2. При использовании МКТ для расчета цепей с четырехполюсниками (в том
числе в виде ИСЭ) рекомендуется, используя z-форму уравнений, заменить че
тырехполюсник схемой замещения рис. 1.20, а.
3. При использовании МУН для расчета цепей с четырехполюсниками (в том
числе в виде ИСЭ) рекомендуется, используя Y-форму уравнений, заменить че
тырехполюсник схемой замещения рис. 1.20, б.
104 1.Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.5.6. При использовании МУН для расчета цепей с ОУ учесть, что
1) входные токи ОУ равны нулю;
2) напряжение между входами идеального ОУ =
0 , т. е. узловые напряжения
входных выводов ОУ одинаковы; уравнения МУН для выходных узлов ОУ с неиз
вестными выходными токами ОУ могут быть отброшены (уравнение uмУ =0
можно рассматривать как дополнительное уравнение МУН);
3) если один из входов ОУ «заземлен» (т. е. непосредственно соединен с базис
ным узлом), то узловое напряжение второго входа идеального ОУ равно нулю;
4) в случае неидеальных ОУ с конечным усилением дополнительное уравнение
МУН имеет вид
1.5.7. Расчет характеристик фильтров различных типов описан в [1, с. 271-284];
см. также [4, с. 255-261] .
1.5.8. Методика синтеза LC- и RC-двухполюсн иков, а также реализация ПФ с от
рицательными нулями и полюсами при использовании схем с ОУ изложена в [1,
с. 291-298]; см. также[4, с. 261-268].
1.5.9. Методика проектирования пассивных LC-четырехполюсииков по заданной
ПФ приведена в [1, с. 360-375]; см. также [4, с. 268-269,272-274].
1.5.10. Методика синтеза RC-четырехполюсников лестничной структуры рас
смотрена в [1, с. 375-383]; см. также [4, с. 271-272, 274-275].
1 .5 .1 1 .
М е т о д и к а
3 1 3 ] ,[ 4 , с .
р а с ч е т а
п р о ц е с с о в
в
л и н и и
б е з
п о т е р ь
о п и с а н а
в
[ 1 ,
с .
3 1 1 -
2 5 4 - 2 5 5 ] .
1 .5 .1 2 . И с п о л ь з о в а т ь
у к а з а н и я
к
з а д а ч е
1 .5 .8 .
1.5.13. М етодика расчета согласованного реж им а в симметричном ЧП описана
в [4, с. 250-251].
Задачи к теме 1.6 «Расчет дискретных и нелинейных цепей»
1 .6 .1 .
Необходимо учесть следующее:
1. Передаточную функцию ДЦ Н (z) определяют по передаточной функции про­
тотипа-аналога обычно по формуле: H ( z ) = H ( s , при
чем частота дискретизации должна быть много больше учитываемых
частот прототипа.
2. Теорема разложения:
Теорема запаздывания:
3. Таблица z-преобразования:
4. Разностное уравнение ДЦ
1.7. Указания, типовые примеры и рекомендации к решению задач
105
5. Элементы линейных ДЦ:
реализует сум
матор; —масштабный преобразователь;
—
элемент сдвига на 1 ш а г .
6. Численный расчет ДЦ осуществляется либо по разностному уравнению, либо на
основании формулы путем разложения в ряд Лорана ( по
отрицательным с т е п е н я м ) посредством деления полинома числителя F (z) на
полипом знаменателя.
7. Примеры расчета ДЦ см. [1, с. 325-338], [4, с. 275-281]
1.6.2. Использовать указания к задаче 1.6.1.
Передаточная функция ДЦ
Сравним результат с переходной характеристикой аналоговой цепи:
106
1.Тестовые и контрольные задачи по теории электрических цепей
1.6.3.
Рекомендации.
1. Формула Лагранжа для получения уравнения полинома, проходящего через
п точек (х к, у к) ВАХ нелинейного R -элемента:
2. Алгоритм приближенного численного решения нелинейного функционального
уравнения Ф ( х ) = 0 по методу Ньютона—Рафсона:
3. См. также примеры расчета в 2.25.
1.6.4. Примеры графического расчета нелинейных R-цепей см. в 2.25.
1.6.5. Пример аналитического расчета нелинейных R-ценей методом кусочно-ли­
нейных схем см. в 2.25.
1.6.6. О расчете переходных процессов методом припасовывания (кусочно-ли
нейной аппроксимации) см. [1, с. 356-357; 4, с. 289-290].
1.6.7. Рекомендации: 1) расчет установившегося периодического режима в нели
нейной динамической цепи описан в [1, с. 358-359; 4, с. 290-293 ]; 2) при решении
нелинейных функциональных уравнений использовать указания к задаче 1.6.3.
1.6.8. О синтезе ВАХ нелинейных R-элементов кусочно-линейными диодными
моделями см. [1, с. 352—355]; [4, с. 287-288].
2. Практикум по теории
электрических цепей
Введение
В этом разделе детально излагается материал большинства практических занятий по
теории цепей. «Практикум» в первую очередь предназначен для студентов заочной и
вечерней форм обучения, а также для иностранных студентов, которым сложно усвоить
материал непосредственно во время аудиторных занятий. В то же время он, безусловно,
будет полезен всем студентам, поскольку по каждой теме вначале излагаются базовые
сведения и формулы, которые необходимо усвоить, а затем разбираются примеры
типовых задач и приводятся контрольные вопросы. В заключение дополнительно
акцентируется внимание на основных положениях, которые абсолютно необходимо
знать и понимать.
2.1. Анализ простых резистивных цепей
2.1.1. Исходные понятия
К простым резистивным цепям относятся цепи относительно несложной струк
туры с единственным источником напряжения (или тока) и резистивными эле
ментами. Считаем известными два закона Кирхгофа и закон Ома, который связы
вает ток и напряжение резистивного элемента: u = Ri или i = Gu, где и — напряже
ние (в вольтах), i —ток (в амперах), R —сопротивление (в омах), G = 1/R — про
водимость (в сименсах).
Первый закон, или закон токов Кирхгофа (ЗТК), говорит о том, что в любом узле
в любой момент времени алгебраическая сумма токов равна нулю:
k — номер ветви, присоединенной к узлу. Условимся вытекаюищм из узла токам
приписывать знак «+», а втекающим в узел —знак «– ».
Второй закон, или закон напряжений Кирхгофа (ЗН К ), говорит о том, что в лю
бом контуре в любой момент времени алгебраическая сумма напряжений равна
нулю: u k = 0. При этом напряжение элемента берут со знаком «+», если при об­
ходе контура вначале «проходим» положительную полярность элемента, а затем
отрицательную. Обход контура можно выполнять в произвольном направлении.
2.1.2. Примеры типовых задач
Пример 2.1.1. и= 18 В, R1 = 3 Ом, R2 = 6 Ом (рис. 2.1.1). Найти i, Rэ, и2.
Вначале в схеме всегда необходимо показать направления токов в
элементах и полярности напряжений.
Вспомним, что за положительное направление тока принимается
направление движения положительных зарядов. Следовательно,
ток от вывода (полюса) «+» источника через R1, и R2 будет проте
кать к выводу «– » источника, а внутри источника будет проте
кать от «– » к «+». В схеме элементы соединены один за другим
без разветвлений и по схеме протекает один и тот же ток, что следует из ЗТК
для устранимого узла 1. Такое соединение называется последовательным. Итак,
по ЗТК при выбранных направлениях i = i1 = i2.
Полярность напряжения резистивного элемента всегда согласована с направлени
ем тока, т. е. в R-элементах ток протекает от «+» к «– ». У источников может быть
выбрана как согласованная, так и несогласованная полярность. В схеме рис. 2.1.1
источник имеет несогласованную полярность.
ЗН К для рассматриваемой схемы при обходе контура по часовой стрелке:
и1 + и2– и = 0. В это уравнение подставим уравнения закона Ома: R1i + R 2i = u ,
т. е. (R1 + R2) i = и, откуда
110
2. Практикум по теории электрических цепей
( 2. 1. 1)
Формуле (2.1.1) можно сопоставить схему на рис. 2.1.2, в которой i = u/Rэ. Ток i в
обеих схемах одинаков, если Rэ = R 1+ R2= 9 Ом. Таково условие эквивалентного
преобразования схемы рис. 2.1.1 в схему 2.1.2. Таким образом, при последова
тельном соединении сопротивления R-элементов суммируются.
Поставим новую задачу: найдем напряжение и2. По закону Ома
Рис. 2.1.2
Но этот результат можно получить без непосредственного вычис­
ления тока. Если (2.1.1) подставить в (2.1.2), то
Эту формулу называют формулой делителя напряжения (Ф ДН).
Вопрос 1. Как будут выглядеть ФДН
для схем, изображенных на рис. 2.1.3, а
и рис. 2.1.3, б?
Из (2.1.3) получим коэффициент передачи
по напряжению
т. е. согласно (2.1.4), Ни не зависит от зна­
чения напряжения источника, а определяется только величинами резистивных
элементов. Если этот коэффициент известен, то при любом воздействии реакция
определяется по выражению и 2 =и·Н и.
Пример 2.1.2. Дана цепь (рис. 2.1.4): i = 10 A, G1= 2 См,
G2 = 3 См. Найти Gэ, и, i 2.
Вначале проставим положительные направления токов и по
лярности напряжения элементов схемы. Источник тока за
дает направление движения положительных зарядов. В этой
схеме все элементы присоединены к одним и тем же двум у з
лам, а напряжение на всех элементах одинаково, что следует из ЗН К для любого
контура. Это и является признаком параллельного соединения. Итак, u = u1=u2,
причем полярность напряжения единственного источника не согласована, как и в
примере 2.1.1.
По ЗТК i1 + i2 – i = 0. Дополнив это уравнение вольт-амнерными зависимостями,
получим
т. е. (G1+ G2)·u = i . Если введем эквивалентную проводимость
Gэ = G1 + G2, по данной схеме можно сопоставить ей эквивалентную
(рис. 2.1.5) с одним резистивным элементом. Иногда проводимость
Gэ (так же, как Rэ в схеме на рис. 2.1.2) называют соответственно
входной проводимостью Gвх, a Rэ —входным сопротивлением Rвх. Из
(2.1.5) напряжение
2.1.
Анализ простых резистивных цепей
и = i/ ( G1 + G2) = 2 В.
111
( 2. 1. 6)
Следовательно, ток
Ток i2 можно получить и без непосредственного вычисления напряжения. Для
этого, подставив (2.1.6) в (2.1.7), приходим к формуле делителя токов (ФДТ):
Вопрос 2. Как записать ФДТ для схем рис. 2.1.6, а и б? Из (2.1.8) легко получить
коэффициент передачи по току:
Пример 2.1.3. Дана цепь (рис. 2.1.7):
Определить Rвх, токи ветвей.
Как всегда, вначале расставим в схеме направления токов
элементов и полярности напряжений.
Вопрос 3 . Какова «логика» направления токов в цепях с
единственным источником? Как соединены элементы схе
мы на рис. 2.1.2?
Заметим, что на R2 иR3 напряжение одно и то же, так как эти элементы соедине
ны параллельно и их положительные полярности напряжений «собраны» у одно
го и того же узла.
Изобразим эквивалентную схему (рис. 2.1.8), в которой все
элементы соединены последовательно. От этой схемы легко
ер ейти к схеме с одним резистивным элементом
п
Если вернуться к схеме рис. 2.1.7 и применить ФДТ, то
Вопрос 4. Почему будет ошибкой искать i1 по выражению i1 = u/ R1?
Вопрос 5. Как найти u3 по ФДН без определения токов ветвей?
Пример 2.1.4. Дана цепь (рис. 2.1.9). Известны параметры цепи, т. е. значения со
противлений. Определить Ra,б.
Решение. Найти Rа,б — это значит эквивалентно преобразовать схему так, чтобы
создать схему с одним сопротивлением Rа,б подключенным к точкам а и б. Нач
нем с обозначения остальных узлов. Оказалось, что их в схеме всего два
112
2. Практикум по теории электрических цепей
Д номера 1 и 2. Теперь легче разобраться, какие элементы
им
м
и
ад
как соединены между собой. Но лучше всего перечертить
схему так, чтобы она выглядела наиболее удобно для анализа
(рис. 2.1.10).
Очевидно,
Рис. 2.1.9
Рис. 2.1.10
Пример 2.1.5. Дана цепь (рис. 2.1.11): R1 = R2 = R3 = R4 = 8 Ом. Определить Rвх.
Решение. Внешние выводы обозначим буквами а и б. При внимательном рас
смотрении видно, что других узлов в схеме нет. Это значит, что все четыре сопро
тивления соединены параллельно.
Так как все сопротивления одинаковы, легко доказать, что входное сопротивле
ние в четыре раза меньше, чем любое из входящих в соединение. Итак, Rвх = 2 Ом.
Пример 2.1.6. Дана цепь (рис. 2.1.12): R1 = R2 = R3 = R4 = 8 Ом. Определить Rвх.
Решение. Обозначим внешние выводы буквами а и б. Если подать питание со
стороны входа, т. е. со стороны узлов а и б, то ток потечет только через R3 и R4,
следовательно,
Вопрос 6. Почему через R1 и R2 ток не потечет?
2.1.3. Заключение
В результате усвоения материала темы необходимо знать, что такое источник на
пряжения (тока), что такое ЗТК, ЗНК, закон Ома, согласованная (несогласован
ная) полярность, выбор «логичных» направлений токов в цепях с единственным
источником, признаки последовательного (параллельного) соединения, эквива
лентное (входное) сопротивление, ФДТ, ФДН, коэффициент передачи по напря
жению, по току.
2.2. Метод уравнений Кирхгофа
2.2.1. Исходные понятия
Число независимых уравнений по закону токов Кирхгофа (ЗТК ) Nзтк = N у – 1, где
Nу — число узлов схемы.
Число независимых уравнений по закону напряжений Кирхгофа (ЗН К ) NЗНК=
N в – Nу + 1 = Nя, где Nв — число ветвей схемы, Nя — число ячеек (в «плоской»
цепи). Чтобы составить Nв уравнений с Nв неизвестными, уравнения по законам
Кирхгофа должны быть дополнены уравнениями по закону Ома для R -элементов.
2.2.2. Примеры типовых задач
Пример 2.2.1. Дана цепь (рис. 2.2.1): R2 = 2 Ом, R3= 3 Ом, u1 = 16 В, i4= 2 А. Необ
ходимо определить неизвестные токи и напряжения элементов, а также мощно
сти всех элементов цепи.
Сначала в схеме всегда необходимо показать условно
положительные направления токов ветвей и полярно
сти напряжений. При действии нескольких источников
заранее трудно предсказать истинные направления дви
жения положительных зарядов (токов) и положитель
ные полярности напряжений. Поэтому в схеме показы
вают предполагаемые направления (таким образом,
фактически выбор во многом является произвольным). Напряжения R-элементов
всегда согласованы с токами, т. е. внутри каждого элемента ток протекает от «+»
к «– ». У источников может быть как согласованная полярность напряжения (см.,
например, источник тока на рис. 2.2.1), так и несогласованная (см. источник на
пряжения на рис. 2.1.7).
Для формирования уравнений необходимо обозначить узлы и контуры.
Уравнения по ЗТК: NЗTK = Ny – 1 = 3 – 1 = 2. Для узлов 1, 2 соответственно имеем:
Уравнения по ЗНК: NЗНК = Nв – Nу + l = 4 – 3 + l = 2. Для контуров А, Б имеем:
Указанные уравнения нужно дополнить вольт-амперными характеристиками ре
зистивных элементов (по закону Ома). При этом можно получить два вида урав
нений:
114
2. Практикум по теории электрических цепей
Решение первой из систем (2.2.1)
Вычисляем мощности pk элементов схемы по формуле pk = uk·ik при согласован
ной полярности и pk = –uk·ik при несогласованной. Поскольку в схеме рис. 2.2.1 по
лярности всех элементов согласованы с направлениями токов элементов, то
Убеждаемся, что в цепи выполняется баланс мощностей:
Суммарная мощность должна равняться нулю, так
как (2.2.2) является следствием закона сохранения
энергии (при pk > 0 k элемент потребляет энергию,
при pk < 0 — генерирует энергию в цепь). Для рези
стивных элементов мощность всегда положительна
(p R = u RiR = RiR). Физически это говорит о необра
тимом преобразовании электромагнитной энергии
в тепловую. Мощность источника вычисляется по
формуле р =ui (см. рис. 2.2.2, а), если ток и напряжение согласованы, т. е. в рас
сматриваемом элементе ток протекает от «+» к «– », и по формуле р = –ui (см.
рис. 2.2.2, б), если напряжение элемента и его ток не согласованы.
Пример 2.2.2. Дана цепь (рис. 2.2.3)
. Найти ik, uk, pk.
Изображаем на схеме предполагаемые направления токов, полярности напряже
ний элементов и обозначаем номера узлов. В схеме 4 узла, следовательно число
2.2. Метод уравнений Кирхгофа
115
уравнений по ЗТК равно 3. В качестве контуров выбираем
ячейки (но такой выбор не является обязательным; глав
ное, что независимых контуров два — по числу ячеек).
Итак, по законам Кирхгофа необходимо записать 5 неза
висимых уравнений. Однако еще в предыдущем примере
первоначально решалась не вся система из четырех урав
нений, а только система из двух уравнений; остальные
уравнения использовались позже. Дело в том, что обычно
реакцию источников (ток источника напряжения и напряжение источника тока)
удобнее находить из уравнения Кирхгофа тогда, когда в уравнении предвари
тельно вычислены все остальные составляющие. Поэтому установим правило
формирования так называемой неполной системы уравнений Кирхгофа.
В неполную систему не следует включать уравнения по ЗТК для тех узлов, в ко
торых есть ветви с источниками напряжения (ИН), и уравнения по ЗН К для тех
контуров, в которых есть ветви с источниками тока (ИТ).
В нашем примере в неполную систему по этому правилу не должны войти урав
нения для узлов 1, 3 и 4, а также для контура Б. При этом число уравнений получа
ется равным числу резистивных элементов. Неполная система (с учетом подста
новки закона Ома) после очевидных преобразований будет
Решение второй системы дает и2= 2 В, и3= 3 В. После этого, применяя закон Ома
и неиспользованные уравнения Кирхгофа, получим оставшиеся величины. Ре
зультаты расчета удобно сводить в таблицу.
Пример 2.2.3. Дана цепь (рис. 2.2.4). Составить не
полную систему уравнений Кирхгофа.
В этой схеме, где два R-элемента (т. е. NR= 2), доста
точно использовать два уравнения Кирхгофа: одно
по ЗН К для контура А, однако по ЗТК ни для одно
го узла уравнение по установленному выше прави
лу написать нельзя. Вспомним, что уравнения ЗТК
116
2. Практикум по теории электрических цепей
справедливы не только для узлов, но и для сечений. Проведем сечение (см. пунк
тир на рис. 2.2.3) через резистивные элементы и ИТ. Тогда искомая система бу
дет:
2.2.3. Заключение
В результате изучения материала необходимо усвоить порядок расчета цепей,
знать число независимых уравнений по ЗТК и по ЗНК, правило знаков в уравне
ниях, правило формирования систем уравнений для нахождения реакций, уметь
выбирать независимые контуры и узлы, знать формулы мощности элемента при
согласованной и несогласованной полярностях, формулу баланса мощностей,
уметь трактовать полученные значения ik, иk, рk.
2.3. Метод пропорциональных величин,
метод наложения
2.3.1. Исходные понятия
Метод пропорциональных величин основан на свойстве однородности линейных
цепей, т. е. на свойстве пропорциональности воздействия и реакции: если в цепи с
единственным источником величину воздействия изменить в k раз, то и реакция
изменится в k раз.
Метод наложения использует принцип аддитивности (суперпозиции): реакция в
цепи при действии нескольких источников может быть найдена как алгебраиче
ская сумма реакций, получающихся при действии каждого источника в отдельно
сти.
2.3.2. Примеры типовых задач
Пример 2.3.1. Дана цепь (рис. 2.3.1).
Определить методом пропорциональных величин коэффициенты передачи на
пряжения, входную проводимость Gвх и проводи
мость передачи, а также
Если известна функция передачи напряжения Hu5-0, то она не изменится и при
другом уровне напряжения источника, т. е. Hu5-0 = и5/ и 0
. По ЗТК
для второго узла. По закону О ма
По ЗН К
из контура Б:
По ЗТК для первого узла
В контуре А:
118
2. Практикум по теории электрических цепей
Далее получим
Естественно, зная заранее вычисленные входные и передаточные коэффициенты
Rц
е
п
е
й
,
легко опре
делить соответствующие реакции при задании любого воздействия.
Вопрос 1. Как записать выражение для G5-0?
Пример 2.3.2. Дана цепь (рис. 2.3.2). Мето
дом наложения определить токи R-элементов.
В исходной схеме вначале обозначаем условно положительные направления то
ков. Изобразим две схемы (по числу источников), в каждой из которых оставим
по единственному источнику (рис. 2.3.3, а и б).
Исключение ИТ из схемы рис. 2.3.3, а эквивалентно замене его разорванным уча
стком цепи — холостым ходом (XX), поскольку i4 = 0. Исключение ИН из схемы
рис. 2.3.3, б (т. е. u1 = 0) эквивалентно замене его короткозамкнутым участкам
цепи (КЗ). Каждая из этих схем проще для расчета, чем заданная. Так, в схеме на
рис. 2.3.3, а все элементы соединены последовательно, а на рис. 2.3.3, б — парал
лельно. При единственном источнике в каждой схеме можно проставить естест
венное (логичное) положительное направление тока элемента.
В схеме рис. 2.3.3, а
в схеме рис. 2.3.3, б
Для нахождения токов исходной схемы нужно сравнить принятое в ней положи
тельное направление искомого тока с направлениями его составляющих в схемах
рис. 2.3.3. В результате
2.3.3. Заключение
Необходимо полностью освоить особенности метода пропорциональных величин
как простейшего метода расчета цепей лестничной структуры с единственным
2.3. Метод пропорциональных величин, метод наложения
119
стиочником: логичный выбор направлений (чтобы использовать лишь положитель
ные величины); строго последовательный переход в расчете от элемента к эле
менту; расчет коэффициента пропорциональности, любой реакции и любого
коэффициента H R резистивной цепи. Необходимо знать, что такое HR, почему HR
не зависит от значения воздействия и что такое свойство однородности (пропор
циональности) линейных цепей.
Необходимо полное понимание метода наложения, его эквивалентных схем при
расчете реакций от действия каждого источника в отдельности, необходимо
уметь объяснять как замену исключаемого источника на КЗ (или на XX), так и
причины изменения исходных направлений некоторых из реакций при расчете
промежуточных схем с единственным источником, а также причины алгебраиче
ского суммирования составляющих реакции, знать достоинства метода (обычно
это простота расчета) и недостаток (громоздкость в случае большого числа ис
точников и схем сложной структуры).
2.4. Методы контурных токов
и узловых напряжений
2.4.1. Исходные понятия
Расчет сложной электрической цепи можно произвести с помощью уравнений,
составленных только по ЗНК, введя понятие контурных токов. При этом число
исходных уравнений метода контурных токов (М КТ) такое же, как в ЗНК, т. е.
NMKT = NЗHK= Nв – Nу + 1, причем в цепях плоской структуры NMKT = Nя.
Если ввести понятие узловых напряжений, то задачу расчета цепи любой сложно
сти можно решить с помощью только уравнений ЗТК методом узловых напряже
ний (М УН).
2.4.2. Примеры типовых задач
Пример 2.4.1. Дана цепь (рис. 2.4.1): u01 = 10 В; i02= 8 А; i06= 6 A; Rk = 1 Ом. Опре
делить токи резистивных ветвей, использовав как МКТ, так и МУН.
Проставим в схеме условно положительные направления токов R-элементов.
Удобно формировать уравнения МКТ, если все источники являются источника
ми напряжения. Поэтому изобразим рабочую схему для использования МКТ, в
которой источники тока преобразованы в эквивалентные источники напряжения
(рис. 2.4.2)
Рис. 2.4.2
В схеме 6 резистивных элементов, так что по законам Кирхгофа потребуется м и
нимум шесть уравнений. Решение методом наложения тоже является трудоем
ким. В схеме 3 ячейки, следовательно, по ЗН К можно составить три уравнения.
Выберем ячейки в качестве независимых контуров. Считаем, что в каждом неза
висимом контуре протекает соответствующий контурный ток (выбор направле
ния которого произволен).
Формальная система уравнений МКТ выглядит следующим образом:
2.4. Методы контурных токов и узловых напряжений
121
В системе (2.4.1) неизвестными являются контурные токи. Сопротивле
ние с одинаковыми индексами называется собственным сопротивлением соответ
ствующего контура и определяется как сумма всех сопротивлений данного конту
ра.
Сопротивление с различными индексами называется взаимным. Оно обтекается
двумя контурными токами. При этом если контурные токи на взаимном сопро
тивлении противоположны по направлению, то ему приписывается знак «– ». Если
направления контурных токов одинаковы, то взаимное сопротивление записыва
ется со знаком «+». Если контурами выбраны ячейки и контурные токи направле
ны одинаково, то все взаимные сопротивления будут отрицательными.
В правой части каждого уравнения записываются контурные напряжения, кото
рые представляют собой алгебраическую сумму напряжений источников напря
жения контура (причем правило знаков для ИН обратно используемому в ЗНК).
Запишем систему уравнений в нашем примере:
В правой части в первом уравнении напряжения источников учтены со знаком
«– » перед скобками, так как эти напряжения перенесены направо в уравнении
ЗНК. Решая систему уравнений, находим контурные токи
. По известным контурным токам легко вычисляется ток любой ветви
(как алгебраическая сумма контурных токов в этой ветви)
. С особым вниманием нужно находить
(обычно по ЗТК) токи резистивных ветвей, которые «участвовали» в преобразо
вании источников.
Р е ш е н и е на о сн о ван и и М У Н .
Для формирования уравнений МУН (NМУН= NЗТК= Nу – 1) нужно источники на
пряжения преобразовать к эквивалентным источникам тока. Изобразим рабочую
схему для использования МУН (рис. 2.4.3), в которой
Уравнения МУН — это фактически уравнения ЗТК, в которых токи R-ветвей вы
ражены по закону Ома. Укажем условно положительные направления токов вет
вей. Обозначим все 4 узла схемы. Следовательно, по ЗТК будет 3 независимых
уравнения. Один узел (все равно какой) примем базисным. Его напряжение
122
2. Практикум по теории электрических цепей
тсают равным пулю. Напряжения остальных узлов, условно положительных отно
и
ч
сительно базисного, называют узловыми напряжениями.
Рис. 2.4.3
Принимаем узел 4 базисным. Тогда формальная система уравнений МУН:
(2.4.2)
В системе (2.4.2) искомыми являются узловые н а п р я ж е н и я . Прово
димость, имеющая одинаковые индексы, называется собственной проводимостью
узла: она равна сумме проводимостей R-ветвей, присоединенных к узлу
. Проводимости c
разными индексами называются взаимными, они определяются проводимостями,
которые «принадлежат» двум узлам и всегда записываются со знаком «– »
. Справа в каждом
уравнении записывается узловой ток, т. е. алгебраическая сумма токов источни
ков тока, связанных с рассматриваемыми узлами (со знаком «+» учитываются
втекающие токи). Запишем систему:
Решение системы д
а
е
т
.
Если известны узловые на
пряжения, легко найти напряжения R-ветвей как разности напряжений (потен
циалов) узлов, а затем и токи:
Во многих случаях уравнения МКТ и МУН могут быть значительно упрощены,
как показано в следующих примерах.
2.4. Методы контурных токов и узловых напряжений
123
Пример 2.4.2. Дана цепь (рис. 2.4.4)
. Сформировать уравнения МКТ.
В этой схеме (NMKT= NЗНК = NЯЧ= 3) источник i0 не имеет
параллельно подключенного резистивного элемента, по
этому элементарным путем не может быть преобразован
в эквивалентный источник напряжения. Для решения по
добных задач по МКТ рекомендуют ветвь с источником
тока включать только в один из независимых контуров. На
рис. 2.4.4 показан вариант выбора независимых контуров в
этом случае. Для первого и второго контуров уравнения МКТ формируются тра
диционно, а для третьего контура записывают упрощенное (вырожденное) урав
нение МКТ:
Следует отметить, что при составлении уравнений МКТ нужно быть вниматель
ным при определении знака взаимного сопротивления. Для решения системы
(2.4.3) значение подставляем в первые два уравнения:
Пример 2.4.3. Дана цепь (рис. 2.4.5)
Сформировать уравнения МУН.
В данной схеме (NМУН = NЗТК= Nу – 1 = 3) источник на
пряжения u0 не имеет последовательно включенного с
ним резистивного элемента и поэтому элементарным
путем не может быть преобразован в эквивалентный
источник тока.
В этом случае в качестве базисного узла рекомендуется
выбирать один из двух узлов, к которым присоединен источник напряжения. На
рис. 2.4.5 при выборе и4 = 0 получим и3 = и 0 —упрощенное (вырожденное) урав
нение МУН; система уравнений МУН имеет при этом вид
124
2. Практикум по теории электрических цепей
Для решения (2.4.4) в первые два уравнения подставляем значения
Вопрос 1. Имеет ли преимущество МУН перед МКТ?
Вопрос 2. Всегда ли в МКТ следует выбирать в качестве независимых контуров
ячейки?
Вопрос 3. Может ли любой узел схемы быть базисным в МУН?
2.4.3. Заключение
Важно освоить оба метода в силу их практической ценности, уметь выбрать пред
почтительный метод с целью более быстрого решения задачи. При эквивалент
ном преобразовании источников необходимо следить за соответствием полярно
сти ИН направлению тока ИТ. В уравнениях обратите внимание на обратное
(в сравнении с ЗН К и ЗТК) правило знаков для переменных в правой части (для
контурных напряжений в МКТ или узловых токов в МУН). Необходимо знать,
что такое «вырожденные» уравнения в МКТ и в МУН и как их правильно состав
лять. При нахождении искомых реакций особое внимание следует обращать на те
участки схем, которые подвергались преобразованиям: решение должно быть
дано для заданной (исходной) схемы, а не для рабочей (эквивалентно преобразо
ванной).
2.5. Метод эквивалентных источников
2.5.1. Исходные понятия
Идея метода заключается в следующем: если в цепи любой сложности требуется
найти единственную реакцию некоторой ветви, то схема относительно этой ветви
может быть заменена эквивалентной схемой с единственным эквивалентным ис
точником напряжения (или тока) с последовательно (или параллельно) вклю
ченным эквивалентным сопротивлением. Соответственно метод распадается на
два: метод эквивалентного источника напряжения (М ЭИН), или решение по тео
реме Тевенена, и метод эквивалентного источника тока (М ЭИТ), или решение
по теореме Нортона.
2.5.2. Примеры типовых задач
Пример 2.5.1. Дана цепь (рис. 2.5.1, а)
. Определить i2 по МЭИН и по МЭИТ.
Реакция по М ЭИН определяется по эквивалентной схеме рис. 2.5.1, б, т. е. по вы
ражению
где —напряжение эквивалентного ИН и —эквивалентное сопротивление, ко
торые необходимо определить. Напряжение иэ отыскивается по схеме (рис. 2.5.2)
как напряжение холостого хода того участка, на котором ищется реакция.
Напряжение в точках разрыва может быть найдено по ЗНК, например, в контуре
А. Для этого нужно знать напряжения на остальных участках контура:
126
2. Практикум по теории электрических цепей
Сопротивление Rэ определяется по схеме рис. 2.5.3, полученной из схемы
рис. 2.5.1, а, с исключенными источниками, относительно узлов, к которым под
ключается ветвь с искомой реакцией:
Определим i2 по МЭИТ. Расчетная схема изображена на рис. 2.5.4, а; ей соответ
ствует формула
где —ток эквивалентного ИТ, а эквивалентная проводимость Gэ = 1/ Rэ.
Ток определяется по схеме рис. 2.5.4, б как ток короткого замыкания того участ
ка, где отыскивается реакция. Ток короткого замыкания может быть вычислен по
ЗТК для одного из узлов, в который входит КЗ-ветвь.
2.5.3. Заключение
В результате усвоения МЭИН и МЭИТ нужно знать расчетные схемы методов,
понимать смысл величин,
уметь формировать вспомогательные схемы
замещения для различных этапов решения задачи и находить соответствующие
величины.
Из всех рассмотренных выше методов расчета резистивных цепей необходимо
для каждой конкретной задачи уметь выбрать наиболее подходящий метод, кото
рый позволит получить ответ с наименьшими затратами времени.
2.6. Вольт-амперные характеристики
индуктивного и емкостного элементов цепи
2.6.1. Исходные понятия
Индуктивный элемент (или 1-элемент), который учитывает только запасание
энергии магнитного поля при протекании тока, описывается вебер-амперной ха
рактеристикой:
где — потокосценление (суммарный магнитный поток) в веберах (Вб), L — ин
дуктивность в генри (Гн), iL —ток в амперах (А).
Емкостный элемент (или C-элемент), который учитывает только запасание энер
гии электрического поля, описывается кулон-вольтиой характеристикой:
где q — заряд в кулонах (Кл), С —емкость в фарадах (Ф ), иC—напряжение в воль
тах (В).
Основные формулы, характеризующие процессы в индуктивном и емкостном
элементах, приведены в таблице.
2.6.2. Примеры типовых задач
Пример 2.6.1. Потокосцепление индуктивного элемента задано графически
(рис. 2.6.1, а)
.
128
2. Практикум по теории электрических цепей
Определить законы изменения напряжения и тока, построить диаграммы их
мгновенных значений.
Напряжение L-элемента u L(t ). Так как потокосцепление описано кусоч
но-линейной функцией, то напряжение на каждом отрезке времени будет посто
янным (см. рис. 2.6.1, б), причем величина uL определяется коэффициентами на
клона, вычисляемыми как
Ток, определяемый по выражению iL, будет той же формы, что и потоко
сцепление (см. рис. 2.6.1, б). Для наглядности графические построения следует
делать в одном масштабе времени и графики располагать один под другим.
Пример 2.6.2. Дана цепь (рис. 2.6.2, а) ; график тока приведен
на рис. 2.6.2, б. Определить закон изменения напряжения и построить его график
(т. е. диаграмму мгновенных значений).
Так как ток на разных отрезках времени описывается по-разному, лучше всего
для каждого отрезка времени сделать отдельный расчет, а правильность решения
контролировать по отсутствию скачков напряжения, поскольку
для любого момента времени
На интервале 0 < t < 1 ток
2.6. Вольт-амперные характеристики индуктивного и емкостного элементов цепи
129
Пример 2.6.3. Вывести формулу делителя напряжений для последовательного со
единения элементов
Очевидно, уравнение ЗТК цепи имеет в
и
д
,
а уравнение З Н
К
. Подставляя ВАХ L-элемепта, получим
т. е. при последовательном соединении L-элемептов эквивалентная индуктив
ность равна сумме индуктивностей.
130
2. Практикум по теории электрических цепей
В общем случае справедлив следующий вывод: все формулы для соединений
L-элементов аналогичны формулам для подобных соединений R -элементов, а фор
мулы для соединений C-элементов дуальны, т. е. аналогичны формулам (для по
добных соединений резистивных элементов), записанным с использованием про
водимостей G.
2.6.3. Заключение
Необходимо знать основные формулы индуктивного и емкостного элементов
(ВАХ, ФДН, ФДТ), уметь их применять и помнить, что графики
должны быть непрерывными. Следует свободно описывать аналити
чески сигналы кусочно-линейной формы, а также результаты их дифференциро
вания и интегрирования с контролем последних по площади графика подынте
гральной функции.
2.7. Анализ переходных процессов в цепях
первого порядка во временной области при
постоянных воздействиях
2.7.1. Исходные понятия
Порядок цепи обычно определяется суммарным числом имеющихся в ней нако
пителей, т. е. L- и C-элементов. Переходные процессы в линейных цепях возника
ют при коммутации, т. е. при переключениях идеального ключа, изменениях
скачком воздействий или их производных.
В цепях первого порядка переходные процессы описываются решением линейно
го дифференциального уравнения первого порядка, связывающего реакцию
с воздействием
Решение (2.7.1) обычно ищут в виде суммы двух составляющих
г д
е
свободная составляющая решения (2.7.1), т. е. общее решение одно
родного дифференциального уравнения
причем (2.7.3) описывает также свободный режим, т. е. режим в цепи без источни
ков. В свободном режиме процесс протекает за счет начальных запасов энергии в
накопительных элементах L или C; с течением времени эта энергия расходуется
в R-элементах цепи, поэтому свободный процесс и, следовательно затухает.
В цепях первого порядка свободная составляющая имеет вид
где — постоянная интегрирования, определяемая по начальным условиям;
—частота собственных колебаний, т. е. корень характеристического уравнения
, получаемого из однородного уравнения (2.7.3) заменой;
— постоянная времени цепи, измеряемая в секундах.
где Rэ — эквивалентное сопротивление цепи в свободном режиме относительно
выводов накопительного элемента ( C или L).
132
2. Практикум по теории электрических цепей
После затухания свободной составляющей (2.7.4) в цепи устанавливается вынуж
денный режим, который при постоянных воздействиях называется также устано
вившимся режимом.
Вынужденная (установившаяся) составляющая решения в (2.7.2) является
частным решением неоднородного уравнения (2.7.1), она обусловлена воздейст
вием и обычно имеет его математическую форму. Поэтому при постоянных воз
действиях в установившихся режимах до и после коммутации все реакции посто
янны, следовательно:
Из (2.7.6) следует, что 1-элемент эквивалентен короткозамкнутому участку
(L = КЗ), а C-элемепт —разорванному, т. е. холостому ходу ( C = XX).
Естественно, вынужденную составляющую при постоянных воздействиях можно
определять и непосредственно из дифференциального уравнения (2.7.1)
поскольку производная от постоянной равна нулю.
Запишем решение неоднородного уравнения (2.7.1)
и определим постоянную интегрирования A1 по начальным условиям (сразу по
сле коммутации) при t = 0+:
тогда A1 = f2(0+) – f2вын; следовательно, окончательно решение (2.7.2) примет вид
Покажем, что анализ переходных процессов в цепях первого порядка при посто
янных воздействиях можно провести без составления дифференциального урав
нения, используя лишь резистивные схемы замещения цепи в различных режи
мах.
2.7.2. Типовые примеры
Пример 2.7.2. Рассмотрим анализ переходного процесса в цепи (рис. 2.7.1, а)
. Ключ размыкается при t = 0.
Найти токи ветвей.
1. Определяем независимое начальное условие uC(0–) непосредственно перед ком
мутацией (в цепи с L-элементом находим iL(0–)). Используем схему замещения
(рис. 2.7.1, б), в которой выводы C-элемепта разомкнуты согласно (2.7.6), так как
2.7. Анализ переходных процессов в цепях первого порядка во временной области
133
процесс в цепи до коммутации при t= 0 считается установившимся при постоян
ных воздействиях:
Вопрос 1. Как заменить L-элемент в схеме замещения цепи первого порядка при
постоянных воздействиях в установившемся режиме до коммутации?
Вопрос 2. Почему в расчете независимого начального условия uC(0–) не участвует
источник тока i02?
2. Находим вынужденные составляющие реакций в установившемся режиме по
сле коммутации.
При постоянных воздействиях эти составляющие со
гласно (2.7.6) должны быть постоянны. Их легко рассчитать по схеме замещения
(рис. 2.7.1, в), составленной по аналогии с п. 1, используя наиболее рациональные
методы расчета R -цепей. Например, по методу наложения
3. Определяем зависимые начальные условия — значения токов
сразу же после коммутации, т. е. в момент t =0+, используя схему замеще
ния (рис. 2.7.1, г), полученную из исходной (рис. 2.7.1, а) заменой по теореме за
мещения емкости источником напряжения, значение которого uC(0+) = uC(0–)
определено по закону коммутации.
Рассчитывая цепь по методу контурных токов, запишем
134
2. Практикум по теории электрических цепей
Вопрос 3. Как заменить L-элемент в схеме замещения цепи первого порядка при
t = 0+?
Вопрос 4. Как записать закон коммутации для L-элемента?
4. Определяем согласно (2.7.5) постоянную времени цепи C
Rэ, причем Rэ, нахо
дим по схеме свободного режима (рис. 2.7.1, д) относительно выводов накопите
ля C. Схема получена из исходной (рис. 2.7.1, а), исключением всех источников.
Вопрос 5. Напишите формулу постоянной времени для цепи первого порядка
с L-элементом.
Вопрос 6. Что значит исключить из схемы источники напряжения и тока?
5. Находим решение для любой реакции цепи первого порядка при t > 0.
Согласно (2.7.7), (2.7.8) представляем решение как сумму вынужденной и сво
бодной составляющих:
Постоянную интегрирования определяем по начальным условиям
Аналогично находим остальные реакции
Вопрос 7. Как проверить полученные результаты?
6. Строим графики переходных процессов. При качест
венном построении графика реакции (см. рис. 2.7.2)
соединяем плавной кривой начальное значение функ
ции f2(0+) с конечным значением f2вын. Используем ха
рактерные значения экспоненты, равные 1;
0,37; 0,14; 0,05 соответственно при t, равных 0, 1, 2 , 3 .
Для примера построим качественно график (т. е. вре
менную диаграмму) тока i3(t). Характерные значения
экспоненты выделены точками на рис. 2.7.2;
2.7. Анализ переходных процессов в цепях первого порядка во временной области
135
ром показана касательная к экспоненте при t = 0 (известно, что любая подкаса
кти
ун
п
тельная к экспоненте равна п
остянойврем
н
иц
еп
и
).
Вопрос 8. Как по графику свободной составляющей реакции графически найти п
остяную
врем
н
и
ц
еп?
Вопрос 9. Почему практическим временем затухания переходного процесса обыч
но считают трипостояны
хврем
ницепи?
Теоретическая экспонента затухает до нуля . На практике обычная точ
ность построения графика не превышает 5 %, поэтому практическое время зату
хания переходного процесса считают равным трем
постяны
м
врем
ницепи,за это время экспонента затухает
до 5 % от своего начального значения.
Пример 2.7.2. Используя методику предыдущего примера, рассчитаем переход
ный процесс для цепи первого порядка (рис. 2.7.3, а) с нулевым начальным усло
в
и
е
м
.
Ключ размыкается при t = 0.
Найти токи ветвей.
1. Ток через индуктивность непосредственно перед коммутацией (t =0– ) по усло
вию задачи равен нулю: iL(0–) = 0 (независимое начальное условие).
2. Находим вынужденные составляющие реакций в установившемся режиме после
коммутации по схеме замещения (рис. 2.7.3, б), составленной из исходной
схемы (рис. 2.7.3, а), в которой выводы L-элемента закорочены согласно (2.7.6).
По ФДТ:
3. Определим зависимые начальные условия сразу же после коммутации, т. е.
при t =0+ по схеме замещения (рис. 2.7.3, в), полученной из исходной схемы
(рис. 2.7.3, а), причем выводы L-элемента разомкнуты, так как индуктивность за
менена по теореме замещения источником тока с током iL( 0 + ) , равным по закону
коммутации току до коммутации iL (0 – ) , который по условию равен 0. По ФДТ:
136
2. Практикум по теории электрических цепей
4. Находим согласно (2.7.5) постоянную времени цепи L/ Rэ, причем Rэ —опре
деляем по схеме свободного режима (рис. 2.7.3, г):
5. Находим решение для любой реакции цепи при t > 0.
Согласно (2.7.7), (2.7.8) представляем решение как сумму вынужденной и сво­
бодной составляющих:
Аналогично находим остальные реакции:
6. Построим график переходного процесса, к примеру, для тока iL(t) (рис. 2.7.4).
2.7.3. Заключение
В результате усвоения материала темы необходимо знать, что такое свободная,
вынужденная (установившаяся) составляющие решения, свободный и устано
вившийся режимы, переходный процесс, коммутация, постоянная времени цепи,
характерные значения экспонен
ты, практическое время затухания переходного
процесса, подкасательная к экспоненте, законы коммутации, цепь в свободном
режиме, эквивалентная схема замещения цепи при t –>oo, 0– , 0+, независимые и
зависимые начальные условия. Необходимо понимать, почему свободная состав
ляющая затухает; когда и почему в эквивалентных схемах замещения накопитель
заменяют КЗ, XX, источником.
2.8. Анализ переходных процессов в цепях
высокого порядка во временной области
при постоянных воздействиях
2.8.1. Исходные понятия
Анализ переходных процессов в цепях n-го порядка проще всего проводить по
уравнениям состояния. Цепь n-го порядка описывают формализованной систе
мой из n уравнений, каждое из которых является дифференциальным уравнени
ем первого порядка, записанным в нормальной форме (форме Коши):
где [f1 (t )] — матрица источников (воздействий); [fпС(t)] — матрица переменных
состояния; [A], [B] — матрицы коэффициентов.
В случае, если переменные состояния не совпадают с искомыми реакциями [f 2( t )],
используют алгебраические уравнения связи реакций с переменными состояния и
воздействиями:
В качестве переменных состояния допускается использовать любые переменные
цепи (или их комбинации), однако расчет значительно упрощается, если в каче
стве переменных состояния выбирают непрерывные функции uCk и iLn, т. е. напря
жения емкостей и токи индуктивностей. Тогда система уравнений состояния
(2.8.1) для цепи п-го порядка будет иметь вид:
т. е. производные переменных состояния нужно выразить через сами переменные
состояния и воздействия. Для получения (2.8.2) используют вольт-амперные ха
рактеристики накопительных элементов и'Ck = iCk/ Ck, i'Ln = u Ln/ Ln , т. е. вместо
(2.8.2) можно записать следующую систему:
138
2. Практикум по теории электрических цепей
Таким образом, для составления уравнений состояния фактически достаточно
выразить ток емкости iCk и напряжение индуктивности uLп через переменные со
стояния uCk, iLп и источники (воздействия)
.
Простой способ формирования уравнений состояния рассмотрим ниже на при
мере анализа переходных процессов в цепи второго порядка.
2.8.2. Типовой пример
Пример 2.8.1. В цепи (рис. 2.8.1, а)
. Ключ замыкается при t =0. Необходимо найти токи ветвей.
1. Определяем независимые начальные условия iL(0– ) и uC(0– ) по эквивалентной
схеме замещения (рис. 2.8.1, б), полученной из исходной (рис. 2.8.1, а), в которой
L-элемепт заменен на КЗ, а C-элемент на XX, поскольку перед коммутацией в
цепи был установившийся режим при постоянных воздействиях.
2. Для t > 0 составляем уравнения состояния, используя метод вспомогательных
источников. В исходной схеме (рис. 2.8.1, а) после коммутации заменяем C-эле
мепт источником напряжения с напряжением uC, а L-элемент источником тока
с током iL (рис. 2.8.1, в), т. е. рассматриваем R-цепь. Любыми методами расчета
R-цепей выражаем iCи иL через переменные состояния uC, iL и воздействия.
Часто используют метод контурных токов с вырожденными уравнениями.
В данном случае, например, по методу контурных токов имеем:
по закону токов Кирхгофа
по закону напряжений Кирхгофа
Тогда уравнения состояния
2.8. Анализ переходных процессов в цепях высокого порядка во временной области
139
В матричной форме
3. Находим частоты собственных колебаний цепи. Для этого вначале записываем
характеристическое уравнение (характеристический полином) цепи, используя
известную в математике формулу:
Корни характеристического полинома и есть частоты собственных колебаний
цепи: p 1= – 1, p2 = – 4, т. е. корни вещественные отрицательные. Свободные состав
ляющие решения имеют вид:
Следует отметить, что, если корпи характеристического полинома:
а) кратные (равные), например
б) комплексные, например
в) мнимые, например
4. Определяем вынужденные составляющие переменных состояния либо по схеме
замещения, как в цепях первого порядка в установившемся режиме после комму
тации, либо из уравнений состояния (2.8.3), в которых и'Cв = 0, i'Lв = 0 , так как в
цепи установившийся режим при постоянных воздействиях, а это означает, что
все реакции также постоянны.
140
2. Практикум по теории электрических цепей
5. Находим значения производных переменных состояния при t =0+. Как извест
но, постоянные интегрирования определяются при t = 0+ по
начальным условиям, которых должно быть два, так как отыскиваются две посто
янные интегрирования. Одно начальное условие — это независимое начальное
условие
6. Находим переменные состояния uC( t ) и iL(t ) при t > 0.
При t = 0+ получаем
7. Расчет по уравнениям связи остальных реакций можно провести по
схеме (рис. 2.8.1, в) любым методом анализа R-цепей, учитывая, что uC( t ) и iL(t )
теперь известны. К примеру, в заданной цепи
причем записанные слева уравнения являются уравнениями связи. Д ля контроля
используют формулы
2.8. Анализ переходных процессов в цепях высокого порядка во временной области
141
8. Построим график переходного процесса, например для uL( t ) (рис. 2.8.2). Прак
тическое время переходного процесса обычно считают равным тремпостояннымвременицепи.
В цепях более высокого порядка нужно знать также начальные значения старших
производных. Начальное значение первой производной находят непосредственно
из (2.8.1) при t = 0+:
для определения начального значения второй производной вначале дифференци
руют (2.8.1) по t, а затем вместо t опять подставляют t = 0+
2.8.3. Численный расчет реакции по уравнениям состояния
Решение уравнений состояния на ЭВМ проводят одним из численных методов
расчета, считая для простоты переменные состояния реакциями.
Запишем на основании (2.8.1) уравнения явной формы алгоритма Эйлера для
п-го шага численного расчета:
где — значение шага вычислений.
Уравнения состояния (2.8.3) для исследуемой в примере 2.8.1 цепи
142
2. Практикум по теории электрических цепей
причем начальные условия считаем значе
ниями нулевого шага.
В соответствии с алгоритмом Эйлера (2.8.4) в данном случае имеем:
Выберем шаг численного расчета так, чтобы минимальной постоянной времени
соответствовало хотя бы 5 шагов расчета.
На первом шаге получим:
На втором шаге
и т. д.
2.8.4. Заключение
В результате усвоения материала темы необходимо знать, как составлять уравне
ния состояния, уметь решать их аналитически и численно, находить вынужден
ные составляющие реакций (по схемам замещения и по уравнениям состояния),
частоты собственных колебаний цепи, практическое время затухания переходно
го процесса, начальные значения производных переменных состояния, правиль
но записывать свободную составляющую реакции (в зависимости от вида корней
характеристического уравнения), уметь составлять уравнения связи, понимать,
что знание уравнений состояния во многом формализует (и этим облегчает) рас
чет переходных процессов.
2.9. Применение обобщенных функций
для анализа переходных процессов
во временной области при воздействиях
произвольной формы
2.9.1. Исходные положения
При анализе цепей во временной области часто используют обобщенные функции:
единичную ступенчатую функцию, е д и н и ч н у ю импульсную функцию
и функцию единичного наклона.
Единичная ступенчатая функция —это разрывная функция, равная 0
при t < t0 и равная 1 при t > t0, т. е.
Аналогично можно записать и несмещенную во времени относительно нуля еди
ничную ступенчатую функцию (рис. 2.9.1, а):
Единичная импульсная функция, или дельта-функция, вво
дится как производная от единичной ступенчатой функции и представляет собой
бесконечно короткий импульс бесконечно большой высоты с площадью, равной
единице, т. е.
144
2. Практикум по теории электрических цепей
Дельта-функция, несмещенная относительно начала координат:
Обозначают единичную импульсную функцию вертикальной стрелкой,
расположенной при t = t0, а несмещенную — стрелкой при t = 0 (см. рис. 2.9.1, б).
Функция единичного наклона является интегралом от единичной ступенча
той функции и описывается следующим образом (см. рис. 2.9.1, в):
Используя эти формулы, можно воздействия произвольной формы представить
либо суммой бесконечно малых по высоте смещенных ступенчатых функций,
либо суммой коротких смещенных прямоугольных импульсов (бесконечно ма
лой длительности). Тогда, суммируя элементарные реакции на такие стандарт
ные воздействия, можно найти всю реакцию.
Важными характеристиками электрической цепи являются переходная и им­
пульсная характеристики.
Переходная характеристика цепи h1( t ) численно равна реакции f 2( t ) цепи без за
пасов энергии на единственное воздействие вида единичной ступенчатой функции
причем в (2.9.1) коэффициент F10 равен 1 В или 1 А в зависимости от вида воздей
ствия. Поскольку реакция не может возникнуть раньше воздействия, то
Способ отыскания переходной характеристики: к цепи при пулевых начальных
условиях как бы подключают источник единичного постоянного уровня и рассчи
тывают искомую реакцию. Переходная характеристика будет численно равна
этой реакции.
Поскольку при воздействии вида (2.9.1) реакция по принципу пропорциональ
ности будет, то размерность переходной характеристики
2.9. Применение обобщенных функций для анализа переходных процессов
145
Импульсная характеристика цепи h ( t ) численно равна реакции f 2( t ) цепи без за
пасов энергии на единственное воздействие вида единичной импульсной функции
Так к
а к
, то согласно свойству линейных цепей (принципу дифферен
цируемости) импульсная характеристика является производной от переходной
характеристики:
Из определения импульсной характеристики следует размерность:
Весовая характеристика второго порядка h2(t ) численно равна реакции f 2(t ) цеп
и без запасов энергии на единственное воздействие вида функции единичного на
клона
Так как функция единичного наклона
Зная переходную или импульсную характеристику, можно найти реакцию цепи
f 2(t ) на произвольное воздействие f1 (t) по интегралам наложения. Интеграл
Дюамеля позволяет для t > 0 найти реакцию, используя переходную характери
стику,
интеграл свертки — используя импульсную характеристику
146
2. Практикум по теории электрических цепей
в этом случае рекомендуется использовать следующую расчетную форму инте­
грала (2.9.4):
где h0( t ) — составляющая импульсной характеристики, не содержащая дельт
а-функ
цию, т. е. первое слагаемое в (2.9.5); 2) под интегралом (2.9.3), (2.9.4) время t яв
ляется параметром, а интегрирование производится по тау; 3) так как t > 0, то все
переходныехарактеристикипод интегралом (2.9.3), (2.9.4) могут быть опущены.
В случае если воздействие имеет кусочно-линейную форму, его можно описать
суммой односторонних линейных функций с некоторыми коэффициен
тами. Определение этих коэффициентов формализуется и упрощается, если
использовать метод двойного дифференцирования, поскольку вторая производ
ная такого воздействия представляется суммой смещенных дельта-функций:
следовательно, само воздействие
2.9.2. Типовой пример
А. Находим переходную и импульсную характеристики цепи для реакции u 2( t ) .
1. t = 0–. По определению переходной характеристики в цепи рис. 2.9.2, а как бы
включается источник тока единичного уровня в момент t =0, поэтому независи
мые начальные условия равны пулю, т. е. iL(0–) = 0.
2. t –>oo. Находим вынужденную составляющую реакции u 2(t ) по эквивалентной
схеме замещения рис. 2.9.2, в. Так как i1 = 1 А при t > 0, то в цепи при
новившийся режим при постоянном воздействии, следовательно,
уста
2.9. Применение обобщенных функций для анализа переходных процессов
147
3. t = 0+. Определяем зависимое начальное условие и 2(0+) по эквивалентной схеме
замещения рис, 2.9.2, г. Здесь выводы индуктивного элемента разомкнуты, так
как iL(0– ) = iL(0+) = 0 (по теореме замещения L-элемент при t = 0 заменяется ис
точником тока с нулевым током, т. е. XX).
4. Находим постоянную времени цепи , для чего рассматриваем схему цепи
в свободном режиме (см. рис. 2.9.2, д), в которой по сравнению с исходной схе
мой (см. рис. 2.9.2, а) исключен источник тока i1. Определяем эквивалентное
сопротивление Rэ относительно выводов накопительного элемента L
, а затем постоянную времени ц е п и .
5. Записываем реакцию и2( t ) в переходном режиме как сумму вынужденной и сво
бодной составляющих; постоянную интегриро
вания находим по начальным условиям при t = 0+
Переходная характеристика численно равна реакции цепи, следовательно, для
любого момента времени можно записать
причем размерность
Импульсная характеристика есть производная от переходной характеристики,
поэтому по (2.9.5)
Поскольку при t =0 переходная характерист ика имеет разрыв, равный 2, то
при ее дифференцировании появляется дельта-функция с коэффициентом, рав
ным 2, т. е. площадь этой дельта-функции равна 2. Соответственно при интегри
ровании получим в переходной характер истике при t =0 скачок (разрыв), зна
чение которого равно 2.
148
2. Практикум по теории электрических цепей
Б. Определим при t > 0 реакцию при воздействии
по интегралам наложения.
Записываем (2.9.3)
Используя импульсную х а р а к т е р и
ем расчетную формулу (2.9.6) интеграла свертки
В. Найдем реакцию, если воздействие
нейную форму (см. график на рис. 2.9.4, б).
с т и
к у
имеет кусочно-ли
Вначале для t > 0 находим весовую характеристику второго порядка
, записыва
2.9. Применение обобщенных функций для анализа переходных процессов
149
Затем запишем функцию воздействия аналитически, используя ме
тод двойного дифференцирования (рис. 2.9.4).
Очевидно
тогда
Используя принцип наложения, найдем реакцию на
такое воздействие как сумму реакций на каждое сла­
гаемое воздействия в отдельности:
причем аргумент ( t – tk) в квадратных скобках соот
ветствует математической записи запаздывающих относительно друг друга функ
ций, в то время как умножение функции на дельта-функциюот(t–tk) соответствует тому, что
«произведение» равно нулю при t < tk.
2.9.3. Заключение
В результате усвоения материала темы необходимо знать определения и графики
обобщенных функций, связь между ними и свойство «выборки»
дельта-функции; знать определение, способ расчета характеристик цепи
и связь между ними; понимать смысл интегралов наложения и уметь
ими пользоваться при расчете реакции на воздействие произвольной формы;
знать метод двойного дифференцирования при расчете реакции на воздействие
кусочно-линейной формы.
2.10. Начала анализа установившегося
синусоидального режима методом
комплексных амплитуд
2.10.1. Исходные понятия
При расчетах установившегося режима синусоидальных (т. е. гармонических) то
ков и напряжений удобно использовать «косинусную» форму записи:
Основные величины, характерные для гармонических сигналов, представлены
в табл. 2.10.1.
При синусоидальном воздействии вынужденная (установившаяся) составляю
щая является также синусоидальной с той же частотой . При расчетах нужно най
ти только амплитуду и начальную фазу реакции. Однако решение дифференци
альных уравнений во временной области при гармонических сигналах является
трудоемкой задачей. Поэтому для определения вынужденной составляющей реак
ции используется метод комплексных амплитуд (МКА).
2.10. Начала анализа установившегося синусоидального режима методом комплексных амплитуд
151
аевПени исключается из расчета. Вместо синусоид (2.10.1) вводятся комплексные
п
этом
ри
амплитуды напряжения и тока. В результате дифферен
циальные уравнения в t-области заменяются алгебраическими с использованием
комплексных амплитуд, содержащих искомую информацию об амплитудах и на
чальных фазах синусоид.
Закон токов Кирхгофа (ЗТК ) в комплексной форме имеет вид
где п —число ветвей узла (или сечения); I mk — комплексная амплитуда тока k-й
ветви.
Закон напряжений Кирхгофа (ЗН К )
где п — число ветвей контура; Umk — комплексная амплитуда напряжения k-й
ветви.
Таким образом, в (2.10.2) и (2.10.3) вместо синусоид (2.10.1) суммируются век­
торы, которые при суммировании удобно представить в алгебраической форме
записи.
Кроме того, для любого пассивного двухполюсника справедлив закон Ома в
комплексной форме, причем комплексное сопротивление
или, переходя от показательной формы записи к алгебраической,
где |Z | = Um/ I m =U/ I — модуль комплексного сопротивления (в омах);
— разность начальных фаз напряжения и тока, которая является фазой (ар
гументом) комплексного сопротивления; — активная со
ставляющая сопротивления Z; —реактивная составляющая,
которая может быть и отрицательной.
Комплексная проводимость двухполюсника
где | Y | = I т/ Uт = I / U = l/| Z| измеряется в сименсах (См); —ак
тивная составляющая комплексной проводимости; —реактивная составляющая;
—фаза комплексной проводимости.
Комплексные сопротивления и проводимости для R-, L- и C-элементов приведе
ны в табл. 2.10.2.
152
2. Практикум по теории электрических цепей
Широко используются в МКА также комплексные действующие значения (сокра
щенно —комплексы) напряжений и токов:
2.10.2. Примеры типовых задач
Строго говоря, приведенная запись и(t ) некорректна, так как wt задано в радианах,
а начальнаяф
азазаписана в градусах. Однако такая запись широко используется, так как при
построении графиков синусоид удобнее угол откладывать в градусах.
Следует запомнить, что при косинусной форме записи синусоидальных функций
начальная фаза определяет (рис. 2.10.1, а) смещение максимума гра
фика синусоиды вправо на 90° (при начльнойф
азе> 0 макси
мум смещается влево).
2.10. Начала анализа установившегося синусоидального режима методом комплексных амплитуд
153
При построении графиков синусоид рекомендуется для контроля (см. рис. 2.10.1, а)
размечать ось абсцисс как в угловой мере (т. е. в градусах), так и в долях перио
да (т. е. в секундах).
Комплексная амплитуда Um может быть представлена вектором (рис. 2.10.1, б) на
комплексной плоскости:
Если вместо комплексной амплитуды использовать комплексное действующее
значение, то
Находим комплексные амплитуды заданных токов, изображая их одновременно
векторами на комплексной плоскости рис. 2.10.2, б:
Рекомендация: переход от записи комплексного числа в алгебраической форме
к записи в показательной форме (и обратно) очевиден, если представлять его век
тором на комплексной плоскости
.
154
2. Практикум по теории электрических цепей
В соответствии с изложенным находим
чему соответствует
Еще раз заметим, что построение вектора, мож
но осуществить двумя способами. При использовании алгебраической записи по
вещественной и мнимой осям комплексной плоскости откладываются соответст
вующие составляющие. При показательной форме записи (полярные координа
ты) из начала координат под углом a от положительного направления вещест
венной оси проводится луч (положительные углы a > 0 откладываются против
направления вращения часовой стрелки). На этом луче в выбранном масштабе
откладывается модуль комплексного числа (рис. 2.10.2, б).
Аналогично строятся другие известные векторы.
Пример 2.10.3. К резистивному элементу R = 2 Ом приложено напряжение и
. Определить ток i ( t ), построить графики напряжения и тока,
а также ВД.
В случае резистивного элемента расчет можно производить как во временной об
ласти, так и в комплексной, так как начальные фазы синусоид напряжения и тока
совпадают (колебания находятся в фазе). Для R-элемента справедливо выраже
ние R = u(t )/i (t ), следовательно, i (t ) = u (t )/R. График тока пред
ставлен на рис. 2.10.3, а.
2.10. Начала анализа установившегося синусоидального режима методом комплексных амплитуд
155
Пример 2.10.4. Ток индуктивного элемента iL(t ) приведен на
рис. 2.10.4, а
. Найти
построить графики iL(t ), u L(t) и ВД.
Для реактивных элементов расчет лучше вести в комплексной форме, ис
пользуя МКА:
Следует запомнить, что график синусоиды напряжения L-элемента опережает на
четверть периода, т. е. на 90°, график синусоиды тока (см. рис. 2.10.4, а).
Пример 2.10.5. Напряжение емкостного элемента uC(t )
Найти
.
построить графики uC, iC и ВД.
Используя МКА, получим
Попробуйте самостоятельно построить графики uC и iCпо аналогии с примером
2.10.4. Обратите внимание, что у емкостного элемента ток опережает напряже
ние на четверть периода, т. е. на 90°; следовательно, график тока «расположен ле
вее» графика напряжения.
Вопрос 1. Как перейти от записи синусоидального сигнала к соответствующей
комплексной амплитуде (и обратно)?
Вопрос 2. Как перейти от показательной формы записи комплексной амплитуды
к алгебраической (и обратно)?
Вопрос 3. В чем аналогия расчета R -цепей и МКА?
156
2. Практикум по теории электрических цепей
Вопрос 4. В чем аналогия графиков синусоид напряжения и тока R-, L-, C-элемен
тов с ВД этих элементов?
Вопрос 5. Как построить график синусоидального сигнала? Где его максимумы?
Как разметить ось абсцисс?
Вопрос 6. Что такое комплексное действующее значение?
2.10.3. Заключение
В результате усвоения материала темы необходимо знать основные положения
МКА (переход от синусоидальной функции к комплексной амплитуде; ЗТК
и ЗН К в комплексной форме; комплексные сопротивления R-, L-, C-элементов;
фазовые соотношения между напряжением и током элементов; переход от алгеб
раической формы описания вектора к показательной в любом квадранте); уметь
строить графики синусоидальных сигналов и ВД элементов цепи.
2.11. Расчет установившегося
синусоидального режима
методом комплексных амплитуд
2.11.1. Исходные понятия
Для расчета цепи по МКА рекомедуется изобразить комплексную схему замеще
ния цепи. Внешне эта схема выглядит так же, как и в t-области. Отличие в том,
что все токи и напряжения описываются их комплексными амплитудами (или
комплексными действующими значениями), а C- и L-элементы цепи описывают
ся их комплексными сопротивлениями или проводимостями. До расчета на схе
му наносят направления токов пассивных элементов и согласованные с токами
полярности напряжений.
Помимо аналитических расчетов очень удобным бывает построение векторных
диаграмм. Их можно строить количественно (в масштабе) по результатам расче
тов, тогда они позволяют наглядно представлять соотношения токов и напряже
ний ветвей цепи. Однако очень часто ВД строят качественно, причем до начала
аналитического расчета.
Использование МКА позволяет применять все методы расчета, освоенные при
изучении резистивных цепей, например метод уравнений Кирхгофа, метод преоб
разования схем, метод контурных токов и т. д. Целью расчета является определе
ние комплексной амплитуды искомой реакции, после чего легко восстанавлива
ется запись реакции во временной области
2.11.2. Примеры типовых задач
Пример 2.11.1. Качественно построить ВД для схемы (рис. 2.11.1, а).
На схему наносим направления токов и полярности напряжений R-, L-, C-эле
ментов. Начинать построение ВД в данной схеме удобно с тока I 2, общего для R-
158
2. Практикум по теории электрических цепей
и L -элементов (что аналогично началу расчета МПВ). В этом случае придется
только складывать векторы. Вектор напряжения на R-элементе UR сонаправлен
с током I 2, а вектор UL, опережает ток I 2 на 90°. Можно все векторы строить из
одной точки, по часто удобнее делать так, как показано на рис. 2.11.1, б. В этом
случае начало вектора UL строится от конца вектора UR, а суммарный вектор
UC = UR + UL строится из начала первого вектора в конец последнего. Вектор тока
опережает вектор UC на 90°. Его тоже удобно строить из конца вектора I2 . То
гда по ЗТК легко строится вектор I тока источника тока. Качественное построе
ние предполагает произвольные длины векторов. Угол между током источника I
и напряжением на входе цепи UC в приведенном примере получился отрицатель
ным (ток опережает напряжение). Однако, изменяя длины некоторых векторов,
можно получить ф > 0. Если есть дополнительные сведения, например начальная
фаза хоть одного вектора, можно построить оси координат.
Примечание: при качественном построении ВД широко используются мнемони
ческие правила, например ULICU (в русской транскрипции — «УЛИЦУ»), кото
рые позволяют легко запомнить, что на ВД L-элемента вектор U опережает I на
90°, а на ВД C-элемента I опережает U на 90°.
Пример 2.11.2. В цепи (рис. 2.11.2, a)
. Качественно построить ВД, определить токи и напряжения
ветвей.
В исходной схеме, как всегда, показываем направления токов ветвей. Полярности
напряжения R-, L-, C-элементов не указываем, но считаем их согласованными с
токами, т. е. в пассивных элементах ток протекает от «+» к «– ». Можно изобра
зить комплексную схему замещения (рис. 2.11.2, б), которая с точностью до соот
ветствия совпадает с исходной (рис. 2.11.2, а). Попро
буйте самостоятельно построить ВД.
Рекомендация: здесь удобнее начинать с построения вектора I 2.
Как известно, в зависимости от сложности цепи и поставленных целей ин
ж енер
выбирает тот или иной метод расчета. В данной цепи всего один источник энер
гии и требуется найти все токи и напряжения. Выберем метод преобразования
схем.
Рекомендация: чтобы избежать ошибок в МКА, не следует сразу записывать гро
моздкие выражения.
2.11. Расчет установившегося синусоидального режима методом комплексных амплитуд
159
При подготовке к расчету вначале записываем комплексные амплитуды воздей
ствий и комплексные сопротивления L-, C-элементов:
Далее находим комплексное сопротивление участка R2C:
Ток через элемент R 1
Напряжение и ток L-элемента
160
2. Практикум по теории электрических цепей
По результатам расчета можно построить количественную ВД (для этого необхо
димо векторы строить в соответствии с выбранными масштабами для токов и на
пряжений).
Пример 2.11.3. Для схемы (рис. 2.11.3) записать систему уравнений по методу
контурных токов (МКТ).
Выбираем ячейки в качестве независимых контуров, тогда
Искомая система уравнений МКТ
Самостоятельно запишите формулы для расчета токов ветвей через контурные
токи, которые могут быть вычислены из приведенной системы уравнений.
2.11.3. Расширение применения МКА
До сих пор МКА применялся к расчету установившегося (вынужденного) режи
ма при синусоидальных (точнее — гармонических) токах и напряжениях
2.1 1 . Расчет установившегося синусоидального режима методом комплексных амплитуд
161
Однако МКА можно применять для расчета вынужденной составляющей ре
шения при воздействиях вида экспоненциальных колебаний:
а также при экспоненциальных воздействиях:
отраженных в приведенной таблице.
Очевидно, что синусоидальные сигналы и сигналы вида (2.11.2) являются част
ными случаями (2.11.1). При этом также используют понятие комплексной ам
плитуды и вводят (см. таблицу) понятие комплексной обобщенной частоты s.
Во всех случаях методика расчета остается одинаковой: используют комплекс
ные амплитуды токов и напряжений; сопротивления накопителей определяют по
формулам Z L = sL, Z C = 1/ ( Cs). Целью расчета по-прежнему остается вычисление
комплексной амплитуды реакции.
Пример 2.11.4. В цепи рис. 2.11.4 i (t ) = 10e–3t sin2t, G =
3
См, C = 2 Ф. Определить u ( t ) для вынужденной состав
ляющей решения уравнений цепи.
Для получения комплексной амплитуды тока запишем
его в «косинусной» форме
Комплексная частота. Про
водимость C-элемента. Входная проводи
мость
Внимание! МКА нельзя применять в случае совпадения частоты воздействия s с
одной из собственных частот цепи. Так, в цепи на рис. 2.11.4 собственная частота,
т. е. корень характеристического уравнения.
Поэтому при сигнале i (t ) МКА применять нельзя, так как в этом случае
Y = 0. Во всех остальных случаях этот метод очень удобен. Для
практики решите задачу (рис. 2.11.4).
Вопрос 1. Чем отличается качественное построение ВД от количественного по
строения ее по результатам расчета?
Вопрос 2. С какого вектора удобно начинать качественное построение ВД?
162
2. Практикум по теории электрических цепей
Вопрос 3. Как проверить ЗТК и ЗН К по векторной диаграмме?
Вопрос 4. Как применить метод эквивалентного источника напряжения для опре
деления i2 в схеме на рис. 2.11.2?
Вопрос 5. Как эквивалентно преобразовать источники напряжения в цепи рис. 2.11.3
к источникам тока?
Вопрос 6. Что такое комплексная частота? Чему она равна при воздействии и(t) =
const?
2.11.4. Заключение
В результате усвоения материала темы необходимо уметь качественно строить
векторные диаграммы простых схем, уметь производить расчеты, используя
МКА, выбирать рациональные методы решения и делать необходимые преобра
зования схем.
2.12. Мощность в установившемся
синусоидальном режиме
2.12.1. Исходные понятия
Мгновенная мощность p (t ) есть скорость изменения энергии во времени и при со
гласованной полярности напряжения двухполюсника (ДП) с направлением тока
ДП определяется по формуле p ( t ) = u(t ) ·i ( t ). Если полярность несогласована, то
p(t) = –u(t)·i(t). При p ( t ) > 0 ДП потребляет энергию, а при p( t ) < 0 генерирует
энергию или возращает энергию, запасенную в его L- и C-элементах.
Баланс мощности: сумма мгновенных мощностей всех элементов равна нулю:
p k(t ) = 0, где k — номер элемента.
В установившемся синусоидальном режиме при напряжении и (t )
и токе i ( t ) мгновенная мощность ДП при согласованной
полярности представляет собой периодическую функцию времени удвоенной час
тоты и определяется по формуле
где P —активная составляющая мощности, т. е. постоянная составляю
щая p (t ), ее среднее значение за период; PS — полная мощность, т. е. ам
плитуда периодической составляющей p (t ); —сдвиг фаз напряжения
и тока ДП.
В силовой электротехнике используют также понятие реактивной мощности ДП
В установившемся синусоидальном режиме расчет электрических цепей осуще
ствляется методом комплексных амплитуд. Активная, реактивная и полная мощ
ности ДП находятся как составляющие так называемой комплексной мощности:
где — комплекс напряжения ДП; — сопряженный комплекс тока
ДП; — комплексное сопротивление ДП; — со
пряженная комплексная проводимость ДП.
Также используют следующие формулы:
164
2. Практикум по теории электрических цепей
При несогласованной полярности (например, у источников) формула (2.12.1)
принимает вид
В цепи всегда имеет место баланс активной, реактивной и комплексной мощно­
стей:
Для пассивных R-, L-, C-элементов основные формулы мощностей имеют вид:
В пассивном ДП всегд а выполняется баланс активной, реактивной и комплексной
мощностей:
Из (2.12.3) следует, что активная мощность (т. е. действительно потребляемая в
ДП мощность) расходуется только в R-элементах ДП, а реактивная мощность — в
L- и C-элементах, причем согласно (2.12.2) PQCk < 0. Кроме того, из (2.12.2),
(2.12.3) следует, что у любого пассивного ДП
т. е. (2.12.4) определяет ограничение сдвига фаз между током и напряжением пас
сивного Д П.
2.12.2. Примеры типовых задач
Пример 2.12.1. Дана цепь (рис. 2.12.1, а):
Найти: PSk, PS, PQ, P, PS . Построить графики u (t ), i (t), p (t),. Проверить
баланс мощности.
Проставим вначале на схеме цепи направления токов в элементах и полярности
напряжений (которые у пассивных элементов всегда согласованы). Очевидно,
ток источника I делится на токи I1 и I2 , а затем I 2 — на токи I3, I5.
Исходные расчетные формулы имеют вид:
2.12. Мощность в установившемся синусоидальном режиме
165
Н аходи м токи:
К о м п л е к с н ы е м о щ н о с т и э л е м е н т о в ц е п и:
К о м п л ек сн ая м о щ н о сть п асси в н о й д ву х п о л ю сн о й цепи, п о д кл ю чен н о й к и сто ч
нику:
166
2. Практикум по теории электрических цепей
Комплексная мощность источника (с учетом его несогласованной полярности)
Баланс мощности:
Мгновенная мощность пассивной части цепи
Графики входного напряжения, тока и мгновенной мощности цепи приведены на
рис. 2.12.1, б, причем граф ик p(t ), естественно, соответствует произведению u(t )
на i( t ) , т. е. p = 0, если u = 0 или i = 0; р > 0, если u( t ) , i( t ) имеют одинаковый знак,
и т. д. При p ( t ) > 0 пассивная двухполюсная цепь потребляет энергию от источ
ника, при p(t ) < 0 цепь возвращает энергию источнику. При этом в среднем за
период цепь потребляет энергию, так как активная мощность (или просто — мощ
ность) P = 8 Вт > 0 является средним значением (постоянной составляющей)
графика р (t ).
Пример 2.12.2. Дана цепь (рис. 2.12.2):
Найти P
точников являются потребителями.
и ответить на вопрос, какие из ис
Произвольно обозначим на схеме цепи направления токов и полярность напряже
ния U4 источника тока I 4. Расчет, например, методом контурных токов дает сле
дующие значения:
Напряжение источника тока I 4:
Комплексные мощности источников (с учетом согласованной полярности только
у источника тока I 4):
2,12. Мощность в установившемся синусоидальном режиме
167
Из баланса мощности находим мощность PS пассивной RLC-цепи:
У пассивной RLC-цепи активная мощность P = 4 Вт; реактивная мощность цепи
имеет емкостный характер, так как PQ = – 12 вар < 0. Источник U1 генерирует
энергию, поскольку его активная мощность P1 = –24 Вт < 0. Источники I 4 и U7
являются потребителями, так как у каждого из них активная мощность положи
тельна (P4= 12 Вт, P7= 8 Вт).
Вопрос 1. Какие еще из элементов рис. 2.12.2 являются потребителями?
Вопрос 2. Как, используя (2.12.2) и (2.12.3), проверить баланс активных мощно
стей в цепи рис. 2.12.2?
Вопрос 3. Как, используя (2.12.2) и (2.12.3), проверить баланс реактивных мощно
стей в цепи рис. 2.12.2?
Вопрос 4. Как, зная три значения мощностей пассивного двухполюсника
, определить угол фазового с д в и г а ? Можно ли найти уголф
азовгосдвига, зная только два значе
ния из указанных трех?
2.12.3. Заключение
В результате изучения материала темы необходимо усвоить различие между
мгновенной мощностью и другими характеристиками мощности в установив
шемся синусоидальном режиме —активной, реактивной и полной мощностями.
Необходимо знать соотношения между активной, реактивной, полной и ком
плексной мощностями, уметь их вычислять и осуществлять контроль баланса
мощностей, знать, что у пассивного ДП всегда
2.13. Резонанс в электрических цепях
2.13.1. Исходные понятия
Рассмотрим простые последовательную и параллельную RLC-цепи в установив
шемся синусоидальном режиме (рис. 2.13.1, а, б). Комплексное сопротивление
цепи (рис. 2.13.1, a);
комплексная прово
димость цепи (рис. 2.13.1, б)
В случае, когда мнимая часть ха сопротивления Za или мнимая часть bб проводи
мости Yб обращается в нуль, в цепях наступает явление резонанса и каждая из це
пей ведет себя как чисто резистивная Z a = R, Yб = G. Добиться состояния резо
нанса на частоте можно тремя способами, изменением значения
L- или C-элемента или же изменением частоты до значения резонансной.
Итак, условия резонанса имеют вид х а = 0 или bб= 0
. Для обеих схем резонансная частота
Сопротивление реактивного элемента на частоте резонанса называется харак­
теристическим сопротивлением
В схеме (рис. 2.13.1, а) происходит простейший резонанс напряжений, так как при
этом U L0 = UC0 и участок LC = КЗ (т. е. эквивалентен короткозамкнутому участ
ку).
Отношение напряжения на реактивном элементе к входному напряжению при
резонансе называется добротностью контура:
В схеме (рис. 2.13.1, б) происходит простейший резонанс токов, так как при этом
IL0 = IC0 и участок LC =ХХ (т. е. эквивалентен разрыву цепи — холостому ходу).
2.13. Резонанс в электрических цепях
169
Отношение тока реактивного элемента к входному току при резонансе называет
ся добротностью параллельной RLC-цепи:
Добротность контура может быть вычислена также по АЧХ, т. е. по амплитудночастотной характеристике
(рис. 2.13.2, а) для схемы рис. 2.13.1, а и
(рис. 2.13.2, б) для схемы рис. 2.13.1, б.
Для определения добротности на уровне 0,707 от максимума проводят ли
нию, параллельную оси абсцисс. Пересечение ее с частотной характеристикой
дает частотную зону называемую полосой пропускания цепи. Доброт
ность определяется по формуле
Итак, признаками простейшего резонанса являются наличие последовательного
(или параллельного) соединения L- и C-элементов при равенстве модулей сопро
тивлений н а к о п и т е л е й .
В случае разветвленной двухполюсной цепи признаком резонанса является рези
стивный характер цепи, т. е. реактивная составляющая сопротивления х = 0 или
проводимости b = 0. Обычно резонанс в общем случае «распознают» по выполне
нию любого из следующих условий в пассивном ДП:
2.13.2. Примеры типовых задач
Пример 2.13.1. В последовательном контуре (рис. 2.13.1, a) u (t )
. Определить, построить
векторную диаграмму (ВД) при резонансе.
170
2. Практикум по теории электрических цепей
ВД цепи изображена на рис. 2.13.2, в. Напряжения L- и C-элементов компенсиру
ются, так что их суммарное напряжение ULC = 0, следовательно, участок LC = КЗ.
Пример 2.13.2. В цепи (рис. 2.13.1, б). Найти значе
ние емкости, при котором цепь будет в состоянии резонанса, а также определить,
во сколько раз ток емкости будет отличаться от входного тока при резонансе.
Резонансная ч
а
с
т
о
т
а
;
характеристиче
ское с о п р о т и в л е н и е . Добротность контура
Пример 2.13.3. Для схемы (рис. 2.13.1, а) дана амплитудно-частотная характери
стика (рис. 2.13.3, а). Показать, какие изменения АЧХ произойдут, если
емкость С уменьшить в 4 раза.
Из сравнения рис. 2.13.2, а и 2.13.3, а следует, ч
т
о
полоса пропускания к о н т у р а . Тогда добротность контура
Если взять «новую» е м к о с т ь , то
При этом полоса пропускания сохранится, поскольку
;
2.13. Резонанс в электрических цепях
171
Попробуйте самостоятельно изобразить «новую» амплитудно-частотную харак
теристику.
Пример 2.13.4. В цепи (рис. 2.13.3, б) u (t ). Опреде
лить, при каком R в цепи будет состояние резонанса.
В последовательной или параллельной RLC-цепи изменение значения R не могло
привести цепь в состояние резонанса. В разветвленной цепи признаком резонан
са считается условие ImZ BX = 0. Поэтому находим
Пример 2.13.5. В цепи (рис. 2.13.3, б) найти резонансную частоту и качественно
построить ВД при резонансе.
Используя решение из примера 2.13.4, имеем
(рис. 2.13.3, б) переходу к простейшему резонансу напряжений; 2) при R = 0
резонанс невозможен, что также следует и из рассмотрения цепи рис. 2.13.3, б
(L -элемент будет закорочен).
При окончании качественного построения ВД (см. рис. 2.13.3, в) длину вектора
UC выбирают такой, чтобы входные напряжение и ток пассивной двухполюсной
цепи оказались в фазе:
Вопрос 1. Как изменится добротность, если в схеме (рис. 2.13.1, б) увеличить ак
тивное сопротивление?
Вопрос 2. Какие изменения значений w0, р, Q произойдут в схемах на рис. 2.13.1, а, б
при увеличении значения L?
Вопрос 3. Что такое простейший резонанс токов?
172
2. Практикум по теории электрических цепей
Вопрос 4. Изобразите векторн
ую диаграмму схемы (рис. 2.13.1, б) для состояния
резонанса при Q = 3.
2.13.3. Заключение
В результате изучения материала темы необходимо усвоить признаки резонанса,
запомнить основные выражения для определения резонансной частоты и доброт
ности в параллельной и последовательной RLC-цепях. Необходимо уметь качест
венно строить векторные диаграммы цепей и знать особенности построения ВД
при резонансе. Следует понимать, почему при простейшем резонансе напряже
ний участок LC цепи эквивалентен КЗ, а при простейшем резонансе токов — XX.
2.14. Расчет переходных процессов
при синусоидальных и экспоненциальных
воздействиях
2.14.1. Исходные понятия
Полная реакция цепи , где — вынужденная состав
ляющая; — свободная составляющая.
Для цепей первого порядка расчет
удобно производить методом схем заме
щения. Можно предложить следующий порядок расчета.
1. Условное обозначение пункта «t < 0, t =0– ». Цель —определение независимых
начальных условий uC(0–) или iL(0–). Средством для достижения цели является
МКА. По комплексной схеме замещения (для установившегося синусоидального
режима, в цепи до коммутации) вычисляется UCm или ILт
. При t = 0– получим uC(0–) = Re[UCm]. Таким об
разом, достаточно определить вещественную часть комплексной амплитуды на
пряжения емкости или тока индуктивности.
2. Условное обозначение пункта «t » или «t > 3 ». Цель —определение вынуж
денной составляющей реакции f 2вын(t). Средство — МКА. По комплексной схеме
замещения для установившегося синусоидального режима после коммутации вы
числяется комплексная амплитуда искомой реакции, а затем записывается f2вын(t).
3. Условное обозначение пункта «t =0+». Цель — определение зависимых началь
ных условий, f 2(0+). Нам известны uC(0+) = uC(0– ) или iL(0+) = iL(0–). Составля
ем схему замещения цепи для t =0+. Поскольку это схема из временной области,
то в ней нет комплексных величин. Все воздействия берут при t = 0+, вместо емко
стного элемента удобно изобразить источник напряжения со значением uC(0+).
Если uC(0+) = 0, вместо C-элемента нужно изобразить короткозамкнутый уча
сток. Вместо L-элемента удобно изобразить источник тока со значением iL(0+).
Если iL(0+) = 0, вместо L-элемента нужно изобразить разрыв — холостой ход.
В результате имеем схему с R-элементами и источниками. По этой схеме можно
определить начальное значение любой реакции f 2(0+).
4. Условное обозначение « – ?». Цель — определение постоянной времени = RЭC
или = L/ RЭ. Этот пункт ничем не отличается от такого же пункта при расчете
переходных процессов в цепях первого порядка при постоянных воздействиях.
174
2. Практикум по теории электрических цепей
5. Цель этого пункта —определение постоянной интегрирования и запись решения.
Итак, МКА применяется только для расчета установившихся (вынужденных)
режимов в п. 1, 2. При расчетах в п. 3, 4 не должно быть никаких комплексных
чисел.
При обобщенных воздействиях для определения
вынужденной составляющей решения также используется МКА
.
2.14.2. Примеры типовых задач
Пример 2.14.1. В цепи (рис. 2.14.1, a).
Определить i1( t ) после коммутации.
1. t < 0, t =0– . Отыскиваем iL(0–). Комплексная схема замещения изображена на
рис. 2.14.1, б. Находим
2. t > 3 . Отыскиваем i1вын(t), используя для расчета установившегося синусои
дального режима комплексную схему замещения (см. рис. 2.14.1, в). Определяем
2.14. Расчет переходных процессов при синусоидальных и экспоненциальных воздействиях
175
3. t =0+. Нам известно, что iL(0+) = iL(0–) = 2 А. Отыскиваем i1(0+) по схе
ме замещения (рис. 2.14.2, а), где i1(0+) = 4. Получаем
4. – ? Находим RЭ= 1/(G1 + G2) = 1 Ом, далее = L/ RЭ = 0,25 с.
5. Отыскиваем постоянную интегрирования
следовательно, решение
Пример 2.14.2. В цепи, изображенной на рис. 2.14.2, б
. Определить uC(t ).
Так как u (t ) = 0 при t < 0, то uC(0–) = 0.
Расчет вынужденной составляющей осуществляем по комплексной схеме замеще
ния (рис. 2.14.2, в).
Далее находим
Постоянная времени = RC = 2 с.
Постоянная интегрирования
Вопрос 1. Можно ли при t < 0 в комплексной схеме замещения вместо C-элемента
использовать разрыв, а вместо L-элемента – короткозамкнутый участок цепи?
Вопрос 2. По какой схеме нужно отыскивать i (0 + ) в примере 2.14.2?
176
2. Практикум по теории электрических цепей
Вопрос 3. На каких этапах расчета используется МКА?
Вопрос 4. Как произвести расчет тока i (t ) по схеме (рис. 2.14.2, б)
?
2.14.3. Заключение
В результате изучения материала темы необходимо усвоить порядок расчета пе
реходных процессов при синусоидальных воздействиях, цель и методы расчета
на каждом этапе. Необходимо уметь формировать соответствующие схемы заме
щения и знать их отличия от схем замещения при постоянных входных сигналах.
2.15. Расчет трехфазных цепей
2.15.1. Исходные понятия
Трехфазной называют цепь, состоящую из трех подобных частей, называемых фа
зами, токи и напряжения которых обычно обладают определенной симметрией в
отношении амплитуд и начальных фаз синусоидальных сигналов.
Симметричным трехфазным генератором напряжения называют систему из трех
сдвинутых по фазе на 120° источников синусоидального напряжения (одинако
вой амплитуды и частоты). Если не выполняются эти условия, источник считает
ся несимметричным. Трехфазный источник, соединенный звездой, представлен
на рис. 2.15.1, а. Если напряжение фазы A опережает напряжение фазы B , B опе
режает C, а C опережает A , то порядок следования фаз в трехфазной системе назы
вают прямым (ABC), если наоборот — обратным (ACB).
Общая точка «0 » источника называется нейтральной точкой. Напряжения фаз
симметричного трехфазного генератора (рис. 2.15.1, а) называют фазными напря
жениями UAO, UBO, UCO. Для трехфазных цепей характерна «двухиндексовая»
система обозначения напряжения. Трехфазный источник соединен линейными
проводами с нагрузкой. Напряжения между линейными проводами называются
линейными напряжениями UAB, UBC, UCA (см. рис. 2.15.1, а).
При прямой последовательности фаз запишем фазные напряжения симметрич
ного трехфазного источника:
причем в (2.15.1) начальная фаза напряжения иAO для примера принята рав
ной 90°.
178
2. Практикум по теории электрических цепей
Соответствующие (2.15.1) комплексы фазных напряжений:
действующее значение напряжения фазы ис
точника. Очевидно,
Соотношения между линейными и фазными напряжениями легко определить из
векторной диаграммы (см. рис. 2.15.1, б), построенной в соответствии с (2.15.1) и
топографией цепи симметричного источника.
Из ВД видно, что,
нейные и фазные напряжения, причем
где Uл и
Uф–ли
На рис. 2.15.2, а показана трехфазная цепь, источник питания которой и нагрузка
соединены звездой. Нейтральные точки источника O и нагрузки O1 соединены ну
левым проводом (нейтралью), имеющим сопротивление Z0. Токи в линейных про
водах I A, IB, IC называют линейными (Iл) и условно направляют к нагрузке; токи
сопротивлений фаз нагрузки Za, Zb, Zc называют фазными (Iф), причем в схеме
(рис. 2.15.2, а), очевидно, Iл = Iф.
Ток нулевого провода I 0 условно направляют от нагрузки к источнику.
Трехфазная нагрузка, соединенная звездой, называется симметричной,
еслиZ
a = Zb = Z
c
.
Если сопротивление нулевого провода Z0 равно нулю, то напряжение U0 10 = 0 и
в цепи (рис. 2.15.2, а) обеспечивается независимый режим работы фаз, т
. e. одна фаза не влияет на другую.
2.15.2. Примеры типовых задач
Рассмотрим варианты расчета трехфазных цепей при прямой последовательно
сти фаз источника.
2.15. Расчет трехфазных цепей
179
Пример 2.15.1. В цепи (рис. 2.15.2, б) симметричный источник с напряжением
фазы Uф= 10 В подключен к несимметричной нагрузке, соединенной звездой с
пулевым проводом. Модули фазных сопротивлений нагрузки и нулевого провода
|Z k| = 1 Ом. Найти фазные токи и напряжения. Построить векторную диаграмму.
1. Запишем мгновенные значения фазных напряжений симметричного источни
ка, полагая, что начальная фаза 90°. Тогда на основании (2.15.1) имеем
Комплексы, соответствующие этим напряжениям,
2. На рис. 2.15.2, б представлена схема с двумя узлами O и O1. Для расчета такой
цепи целесообразно использовать метод узловых напряжений (МУН). В качест
ве базисного узла возьмем нейтральную точку генератора.
Для упрощения расчета учитываем в схеме устранимые узлы 1, 2, 3, тогда
3. Составим уравнение МУН для узла 4.
4. Ток фазы А, равный линейному току,
Аналогично находим
5. Ток нулевого провода
180
2. Практикум по теории электрических цепей
Пример 2.15.2. Найти токи IA, IB, IC, I0 в примере 2.15.1, если фазные сопротивле
ния нагрузки одинаковы Z ф
, и построить векторн
ую диаграмму.
Если фазные сопротивления нагрузки, соединенной звездой, равны
, то комплексные проводимости фаз нагрузки
Напряжение между двумя узлами O и O1 схемы рис. 2.15.2, б
в соответствии с (2.15.3)
так как согласно свойству (2.15.2) симметричного трехфазного источника UA0 +
U B 0 + UC0 = 0. Таким образом, напряжение каждой фазы нагрузки равно соот
ветствующему фазному напряжению генератора:
Токи симметричной трехфазной цепи
2.15. Расчет трехфазных цепей
181
т. е. в симметричной трехфазной системе нулевой провод не нужен.
В симметричной трехфазной цепи достаточно определить, таким образом, ток
только одной фазы, токи других фаз будут иметь такую же амплитуду, а началь
ные фазы их будут отличаться на 120°.
На рис. 2.15.3, б приведена векторная диаграмма цепи.
Пример 2.15.3. В схеме (рис. 2.15.4, а) сопротивление фаз нагрузки | Zф| = 1 Ом.
Линейное напряжение симметричного источника Uл = 10 В. Найти линейные то
ки.
Вначале произвольно построим векторную диаграмму линейных и фазных напря
жений симметричного источника (рис. 2.15.4, б), совместив вектор линейного на
пряжения UAB, например (для определенности), с вещественной осью комплекс
ной плоскости. Запишем комплексы действующих значений линейных напря
жений:
Используя теорему замещения, вводим в схему (рис. 2.15.4, в) два источника на
пряжения UAC = – UCA и UBC между соответствующими линейными проводами.
Рассчитаем схему МУН, считая узел «c» базисным; тогда
182
2. Практикум по теории электрических цепей
Пример 2.15.4. В схеме (рис. 2.15.5, а) линейное напряжение источника Uл = 10 В.
Сопротивления фаз нагрузки, соединенной треугольником, Z ab = Z bc = Z ca.
Найти фазные и линейные токи цепи. Построить векторную диаграмму.
1. Вначале построим в виде равностороннего треугольника векторн
ую диаграмму
линейных напряжений симметричного источника (рис. 2.15.5, б). Выберем ве
щественную ось комплексной плоскости совпадающей с направлением одного
из векторов
2. Как видно из рис. 2.15.5, а, к каждой фазе нагрузки подключено соответствую
щее линейное напряжение трехфазного источника.
Таким образом, при соединении нагрузки треугольником в цепи имеет место неза
висимый режим работы фаз.
3. Токи в фазах нагрузки
Таким образом, в симметричном режиме при соединении нагрузки треугольни
ком амплитуды фазных токов равны (Iф= 5), а начальные фазы отличаются на
120°.
4. Линейные токи рассчитываются по З ТК:
2.15. Расчет трехфазных цепей
183
Векторная диаграмма симметричного режима показана на рис. 2.15.5, б.
2.15.3. Заключение
В результате усвоения материала темы необходимо знать, что представляет собой
симметричный трехфазный источник, его свойства, соотношения фазных и ли
нейных напряжений. Необходимо знать, что такое трехфазная цепь, понимать
роль нулевого провода в обеспечении независимого режима работы фаз; уметь
строить векторные диаграммы и производить расчет трехфазных цепей.
2.16. Операторный метод расчета
переходных процессов
2.16.1. Исходные понятия
Операторный метод является наиболее общим аналитическим методом расчета
переходных процессов в линейных электрических цепях при воздействиях произ
вольного вида.
Как известно, достоинством рассмотренного ранее анализа переходных процес
сов во временной области является простота и физичность эквивалентных схем
замещения цепи для различных режимов, а недостатком – множество пунктов
расчета и его резкое усложнение, если воздействия непостоянны или же если при
решении появляются дельта-фуикции.
От этих недостатков свободен операторный метод, т. е. анализ переходных про
цессов с использованием преобразования Лапласа. Расчет, во-первых, состоит
фактически только из двух пунктов ( t < 0, t > 0), а анализ операторных схем за
мещения (О С З) при t > 0 сводится практически к использованию известных
приемов расчета R-цепей и решению алгебраических уравнений, т. е. полностью
формализуется.
Решение любой задачи операторным методом состоит из двух этапов.
1. Определение всех независимых начальных услових uC(0–), iL(0–). Здесь исполь
зуются освоенные ранее методы анализа установившихся режимов перед комму
тацией, т. е. при t < 0.
2. Составление ОСЗ цепи при t > 0, расчет по пей изображения по Лапласу реак
ции и переход к оригиналу.
На ОСЗ все воздействия заменяют их изображениями f1(t ) F1(s ), элементы цеп
и —операторными сопротивлениями Z R = R ; Z L = sL; ZС = 1/( sC), а независи
мые начальные условия iL(0–), uС(0– ) учитывают (см. рис. 2.16.1, а) источниками
тока I L0(s ) = iL(0–)/ s , подключенными параллельно индуктивным сопротивлени
ям ZL, и источниками напряжения UС0(s ) = uС(0–)/ s , подключенными последова
тельно емкостным сопротивлениям ZС. ОСЗ элементов (рис. 2.16.1, а) могут быть
эквивалентно заменены, как показано на рис. 2.16.1, б. Направление тока IL0(s)
и полярность напряжения UС0(s) должны соответствовать направлению тока
iL(0–) и полярности напряжения uС(0–).
Необходимо знать таблицу перехода от оригинала сигнала к изображению
, учитывая, что по Лапласу обычно преобразуют сигналы,
рассматриваемые при t > 0– , в связи с чем сомножитель (t ) в их записи час
то опускают
2.16. Операторный метод расчета переходных процессов
185
Наиболее простой способ отыскания оригинала реакции
по ее изображению
заключается в использовании теоремы разложения, т. е. в представлении
изображения в виде суммы простых «табличных» изображений («простых дро
бей»), оригиналы которых известны. Так как в общем случае изображение пред
ставляет собой дробно-рациональную функцию от s вида F2(s ) = B (s )/D (s ), то,
определив полюсы s k изображения (т. е. корни знаменателя D (s ) = 0), можно пе
рейти к оригиналу по следующей теореме разложения:
причем коэффициенты (вычеты в полюсах) разложения определяют по очевид
ным формулам:
Для кратных полюсов sk теорема разложения имеет вид
186
2. Практикум по теории электрических цепей
поэтому вместо (2.16.5) для определения А 2 часто используют метод неопреде
ленных коэффициентов.
В случае комплексных полюсов, н а п р и м е р , формулы (2.16.1), (2.16.2)
остаются справедливыми. Коэффициенты будут комплексно-сопряженными
при этом полезно знать следующие эквивалентные формулы перехода к ориги­
налу:
поскольку от первого варианта записи (2.16.6) несложно перейти к последнему,
использовав преобразование
Для контроля правильности перехода к оригиналу широко используется теорема
о начальном значении
2.16.2. Примеры типовых задач
Пример 2.16.1. Дана цепь (рис. 2.16.2, а).
Найти: iL(t ), uC(t ) при t > 0.
1. Независимые начальные условия iL(0–), иC(0–) находим по схеме замещения
(рис. 2.16.2, б) при t < 0. Очевидно, iL( 0–) = 0, и C (0–) = u4 = 2 В.
2. Операторная схема замещения для t > 0 приведена на рис. 2.16.3, где
Следует обратить внимание (см. рис. 2.16.1, а), что в О С З изображение тока
L-элемента I L(s ) определяется суммой токов, протекающих через элементы I L0(s )
и ZL, а напряжение C-элемента UC(s ) — суммой напряжений элементов ZC и
UC0(s ) .
2.16. Операторный метод расчета переходных процессов
187
Применяя к О СЗ (рис. 2.16.3) методы, аналогичные расчету R-цепей, например,
МУН с базисным узлом 4, записываем
Решив систему, можно найти узловое напряжение и затем определить изо
бражение по Лапласу тока L-элемента:
Напряжение UC(s ) емкостного элемента:
Переходим от изображений к оригиналам
Полюсы I L(s ), т. e. корни харктеи
огуравнения, являются кратными
сч
так как изображение соответствует одной из табличных формул.
Полюсы UC(s ) равны –
1и 0. Поэтому разложение UC(s ) на простые дро
би согласно (2.16.1), (2.16.3) имеет вид
188
2. Практикум по теории электрических цепей
Для расчета А 2 на базе метода неопределенных коэффициентов приводим правую
часть (2.16.7) к общему знаменателю и приравниваем коэффициенты при s2
в числителях правой и левой частей (2.16.7).
В соответствии с (2.16.1), (2.16.3) записываем искомый оригинал
Осуществим также контроль по теореме о начальном значении и на основании за
конов коммутации
Пример 2.16.2. Решить задачу примера 2.16.1 при С6= 1/2 Ф.
1. Независимые начальные условия останутся такими же, как в примере 2.16.1
2. ОСЗ останется такой же, как в примере 2.16.1; изменится только величина
Изображение реакции будет
Для перехода от изображений к оригиналам находим корни уравнения
; откуда. Таким образом, на основании тео
ремы разложения (2.16.1) можно записать
2.16. Операторный метод расчета переходных процессов
189
Вопрос 1. Каковы изображения сигналов, описываемых функциями f1(t ) и
f 2(t ) ? Какая из записей корректнее?
Вопрос 2. В каких случаях при переходе от изображения в оригинале появляется
дельта-функция?
Вопрос 3. Как проще всего найти изображение F (s) воздействия f (t
)
?
Вопрос 4. Как вычислить вычеты, если полюсы изображения нулевые, веществен­
ные, комплексные, мнимые?
Вопрос 5. Дуальны ли О СЗ L- и C-элементов?
2.16.3. Заключение
В результате изучения материала темы необходимо усвоить порядок расчета пе
реходных процессов операторным методом, правильно составлять операторные
схемы замещения и указывать на них изображения заданных реакций, освоить
методику нахождения оригиналов по их изображениям, уметь записывать в об
щем виде искомую реакцию по виду полюсов ее изображения.
2.17. Передаточная функция
и частотные характеристики цепей
2.17.1. Исходные понятия
Анализ цепи проще всего проводить по ее передаточной функции и известному
входному воздействию. Передаточной функцией цепи называют отношение изо
бражения реакции к изображению единственного в цепи воздействия при нулевых
независимых начальных условиях:
где — изображения реакции и воздействия.
Часто в качестве второго определения передаточной функции (П Ф ) используют
следующее: ПФ цепи —это изображение по Лапласу импульсной характеристики
цепи:
Переходная характеристика, как известно, является реакцией
на единичное ступенчатое воздействие. Поэтому
на основании (2.17.1) получим изображение переходной харак
теристики.
Частотная характеристика цепи (комплексная частотная характеристика)
связана с ПФ формулой
причем комплексная функция по аналогии с комплексным числом может
быть представлена в показательной или алгебраической форме
— амплитудно-частотная характеристика
(АЧХ) цепи;
— фазочастотная характери
стика (Ф ЧХ ) цепи; —вещественная частотная характери
стика (ВЧХ); —мнимая частотная характеристика (МЧХ).
График н
а комплексной плоскости называют амплитудно-фазовой харак
теристикой (АФХ). На основании (2.17.2) АФХ может быть построена по АЧХ
2.17. Передаточная функция и частотные характеристики цепей
191
и ФЧХ или по ВЧХ и МЧХ. Она представляет собой кривую, прочерченную на
комплексной плоскости концом, вектора npu изменении частоты w от 0 до .
Кроме указанной связи ПФ с импульсной, переходной и частотными характери
стиками (ЧХ) цепи необходимо также знать, что знаменатель любой ПФ —это
характеристический полином цепи, а корпи знаменателя ПФ, т. е. полюсы
ПФ, —это собственные частоты цепи (т. е. частоты собственных колебаний).
При изучении материала данной темы также широко используется теорема за
паздывания
2.17.2. Типовые примеры
Пример 2.17.1. В цепи (рис. 2.17.1, а)
.
Воздейст
вие — входной ток; реакция — входное напряжение. Необходимо найти переда
точную функцию цепи и реакцию на импульс (рис. 2.17.1, б).
1. Определяем ПФ цепи. Согласно (2.17.1) такую ПФ, яв
ляющуюся входным сопротивлением, можно найти по операторной схеме заме
щения цепи (рис. 2.17.1, в):
2. Контролируем ПФ по эквивалентным схемам цепи на характерных часто
тах. На рис. 2.17.2 изображены схемы цепи для проверки получен
ной ПФ.
192
2. Практикум по теории электрических цепей
Согласно (2.17.3) при s = 0 имеем Z вх(0) = 1 Ом. По схеме (рис. 2.17.2, а) при нуле
вой частоте (т. е. при постоянном токе) получаем аналогичное значение, по
скольку на постоянном токе L-элемент эквивалентен короткозамкнутому участ
ку цепи
При s = по выражению (2.17.3) Z вх( ) = 2 Ом, и по схеме (рис. 2.17.2, б), учиты
вая, что Z L = , т. е. L-элемент эквивалентен разорванному участку цепи —холо
стому ходу, входное сопротивление
Можно также проконтролировать полюс ПФ s1= – 2, т. е. корень знаменателя
ПФ, который определяет корень характеристического уравнения цепи. Очевид
но, рассчитанное относительно накопителя эквивалентное сопротивление цепи
(рис. 2.17.1, а) в свободном режиме (когда источник тока ИТ = XX) будет
4 Ом. Тогда постоянная времени
= 0,5 с, следовательно,
в цепи первого порядка s1 = —1/ = –2 с, что и было получено.
3. Находим реакцию на импульс. Из определения ПФ (2.17.1) следует, что изо
бражение реакции F2(s ) = F1(s )/H (s ), т. е. для нашего случая можем записать, что
Воздействие имеет вид треугольного импульса (рис. 2.17.1, б), который (анало
гично рис. 2.9.4) можно описать следующей суммой составляющих:
Используя формулы изображений для единичной ступенчатой функции и ли
нейной функции, а также теорему запаздывания, находим изображение
Этот же результат можно по
лучить методом двойного дифференцирования входного
сигнала (рис. 2.17.3, а), который имеет кусочно-линейную форму. На рис. 2.17.3, б
изображен график его первой п р о и з в о д н о й , содержащий постоянную
в интервале 0 < t < 3 и дельта-функцию при t = 3, высота которой беско
нечна, а площадь равна «– 24» (действительно, производная от линейной функ
ции равна отношению приращения функции к приращению аргумен
та, а производная в точке разрыва функции дает дельта-функцию с
коэффициентом, равным величине разрыва. Вторая производ
ная (рис. 2.17.3, в) от двух разрывов (скачков) величиной 8 и – 8, содержит
две дельта-функции. На рис. 2.17.3, в не показана с о с т а в л я ю щ а я ,
поэтому вместо i''вх(t ) введено обозначение. Как известно, изображение еди
ничной импульсной функции, следовательно, по теореме запазды
вания. Для получения iвх необходимо проинтегрировать
дельта-функцию, изображенную на рис. 2.17.3, б, один раз, а изображенную на
рис. 2.17.3, в — два раза. Интегрированию в t-области соответствует деление на s
в s-области. В результате получим указанное ранее Iвх(s).
2.17. Передаточная функция и частотные характеристики цепей
193
Изображение реакции будет иметь следующий вид:
Окончательно реакцию получаем, раскладывая только дробно-рациональные час
ти изображения (2.17.4) на простые дроби и применяя теорему разложения:
причем здесь обязательна запись единичных ступенчатых функций,
указывающих начало и запаздывание каждой из составляющих.
Пример 2.17.2. В цепи (рис. 2.17.4)
Воздействие — входное
напряжение; реакция — напряжение и . Необ
ходимо найти П Ф , импульсную характеристику
h(t), переходную характеристику h 1 (t), а также
частотные характеристики цепи H ( jw), АЧХ,
Ф Ч Х и АФХ.
1. Определяем ПФ. Вычис
лим ПФ, используя «самый надежный на практике» метод —метод пропорцио
нальных величин
Изображение входного напряжения:
2. Проверим ПФ на характерных частотах. На рис. 2.17.5 изображены схемы
194
2. Практикум по теории электрических цепей
Следует отметить, что ПФ легко можно было проконтролировать, используя
формулу делителя напряжений
3. Находим импульсную и переходную характеристики цепи.
Импульсная характеристика —это оригинал ПФ:
Переходная характеристика
Проконтролируем полученные результаты, используя известное соотношение:
4. Определяем частотные характеристики цепи:
Амплитудно-частотная характеристика
2.17. Передаточная функция и частотные характеристики цепей
195
Фазочастотная характеристика
На рис. 2.17.6, а, б построены графики АЧХ и ФЧХ цепи, причем указаны харак
терные частоты, которыми обычно являются модули корней
числителя и знаменателя ПФ (т. е. нулей и полюсов ПФ ) и которые (помимо час
тоты w 0 и w ) определяют во многом вид частотных характеристик.
График АФХ (рис. 2.17.6, в) построен на комплексной плоскости
Вопрос 1. В чем особенность операторной схемы замещения цепи, составленной
для расчета ПФ?
Вопрос 2. Как наиболее просто по АЧХ и ФЧХ вычислить ВЧХ и МЧХ?
Вопрос 3. Какая из частотных характеристик содержит наиболее полную инфор
мацию?
Вопрос 4. Почему обобщенную функцию следует использовать при опи
сании импульсных сигналов?
Вопрос 5. К чему приводит в оригинале равенство степеней числителя и знамена
теля ПФ?
Вопрос 6. Как проконтролировать найденную ПФ?
Вопрос 7. Как найти изображение сигнала кусочио-лиейной формы?
Вопрос 8. Почему значения модулей нулей и полюсов ПФ целесообразно исполь
зовать при практических расчетах АЧХ и ФЧХ?
2.17.3. Заключение
В результате усвоения материала темы необходимо знать определения ПФ цепи,
уметь находить ПФ и проверять полученный результат на характерных частотах
и соответствующих им схемах, правильно записывать выражения для ЧХ цепи,
определять по ПФ импульсную и переходную характеристики и корни характе
ристического уравнения цепи, находить изображения импульсных сигналов и
правильно использовать теорему запаздывания.
2.18. Анализ установившегося
периодического несинусоидального режима
в цепи
2.18.1. Исходные понятия
Периодический несинусоидальный сигнал f (t ), удовлетворяющий условиям
Дирихле и заданный во временном интервале – < t < , можно описать сходя
щимся гармоническим рядом Фурье (РФ )
где нулевая гармоника (постоянная составляющая)
определяет среднее за период Т значение сигнала; амплитуда,
частота, начальная фаза k-й гармоники ряда (2.18.1), т. е. ее частота кратна часто
те первой (основной) г а р м о н и к и , период которой равен периоду
сигнала.
Если периодическое воздействие
вида (2.18.1) считать приложенным к цепи
при t , то к моменту t в цепи будет установившийся (вынужденный) перио
дический режим, поскольку свободная составляющая переходного процесса за
тухнет. При этом искомая установившаяся периодическая реакция будет
иметь также форму (2.18.1) с тем же периодом Т.
Расчет электрических цепей в установившемся периодическом режиме основан
на принципе наложения, т. е k-я гармоника искомого выходного сигнала вы
числяется как элементарная реакция от k-й гармоники воздействия. При
этом для каждой гармоники в цепи имеет место установившийся синусоидальный
режим, который рассчитывается методом комплексных амплитуд. Естественно,
в зависимости от частотных свойств цепи амплитуды некоторых гармоник РФ
реакции могут получиться и нулевыми, но спектральный состав реакции опреде­
ляется спектром воздействия.
Исходя из этого на практике анализ установившегося периодического режима
с использованием РФ состоит из нескольких этапов.
1. Периодическое воздействие представляют обычно отрезком РФ, т. е. огра
ничиваются несколькими первыми гармониками, так как РФ быстро сходится.
2.18. Анализ установившегося периодического несинусоидального режима в цепи
197
2. Для анализа элементарной реакции на каждую из гармоник воздействия со
ставляют комплексную схему замещения цепи и методом комплексных амплитуд
находят соответствующую гармонику РФ реакции.
3. РФ реакции записывают как сумму всех найденных составляющих этой
реакции.
При этом формулы для расчета действующих значений периодических напряже
ния и тока имеют вид
Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала называют дискретны
ми или линейчатыми, так как их принято изображать на графиках отрезками пря
мых линий, которые отражают множество амплитуд Ak и начальных фаз Ф k,
построенных для дискретных значений частоты. При этом следует от
метить, что спектральную составляющую (2.18.2), соответствующую нулевой
гармонике,
показывают как удвоенное среднее значение периодического
сигнала (2.18.1).
2.18.2. Типовой пример
Дана цепь (рис. 2.18.1, а)
Найти входной ток, мощность цепи , действующее значение U, I и построить
спектр u (t ).
Проставим на схеме цепи направления токов и полярности напряжений (поляр
ности напряжений R-, L-, C-элементов должны быть согласованы с направлением
токов этих элементов).
198
2. Практикум по теории электрических цепей
В комплексной схеме замещения цепи должны быть указаны комплексные ам
плитуды Umk и комплексные сопротивления накопителей
для заданных частот г
а
р
м
о
н
и
к
.
1. Для нулевой гармоники имеем:
Эквивалентная схема, соответствующая нулевой частоте (т. е. режиму постоян
ных токов и напряжений), приведена на рис. 2.18.1, б.
Входное сопротивление
Входной ток
2. Для первой гармоники имеем следующие исходные данные:
Входное сопротивление цепи
так как из-за простейшего резонанса токов участок эквивалентен XX.
Входной ток
3. Для второй гармоники сигналов аналогично имеем
Входное сопротивление цепи
2.18. Анализ установившегося периодического несинусоидального режима в цепи
199
т. е. в цепи наблюдается резонанс напряжений.
Входной ток
Входной ток в виде отрезка РФ
Таким образом, входной ток не содержит основной гармоники частоты
Активная мощность, потребляемая пассивным ДП:
Действующее значение периодического входного напряжения
Действующее значение периодической реакции —тока
Контроль мощности:
Графики дискретных амплитудного и фазового спектров воз
действия приведены на рис. 2.18.2.
Часто используют иной —более формализованный вариант расчета. Вначале на
ходят передаточную функцию цепи. В примере
200
2. Практикум по теории электрических цепей
Затем определяют частотную характеристику
После этого на основании (2.18.3) по формуле находим ком
плексные амплитуды гармоник реакции:
что и было получено ранее.
Вопрос 1. Как выглядят амплитудный и фазовый спектры реакции в примере?
Вопрос 2. Чем принципиально отличается первая гармоника РФ от нулевой и от
второй?
Вопрос 3. Как качественно оценить нулевую гармонику по графику периодиче
ского сигнала?
Вопрос 4. Почему метод наложения и метод комплексных амплитуд используют­
ся при расчете РФ реакции?
Вопрос 5. Как, зная ПФ цепи, найти амплитуды гармоник реакции?
2.18.3. Заключение
В результате изучения материала темы необходимо усвоить методику расчета
РФ реакции, если известны РФ воздействия и ПФ цепи, уметь правильно вычис
лять активную мощность и действующие значения переменных цепи в устано
вившемся периодическом режиме, знать, что такое пулевая гармоника, основная
гармоника и гармоника № k ряда Фурье, уметь строить дискретный спектр пе
риодического сигнала.
2.19. Анализ прохождения периодического
сигнала через дифференцирующую RC-цепь
2.19.1. Исходные положения
Для анализа цепей при периодическом несинусоидальном воздействии
удовлетворяющем условиям Дирихле, используют разложение в сходящийся гар
монический ряд Фурье.
Синусно-косинусная форма ряда имеет вид
момент времени, а нулевая гармоника РФ (постоянная составляющая)
определяется средним значением сигнала за п е р и о д ; частота первой
( основной) гармоники сигнала, т. е. период основной
гармоники равен периоду сигнала
На практике удобно использовать не только разложение (2.19.1), но и косинус
ную форму РФ
Важно знать очевидные свойства РФ симметричных сигналов.
1. РФ четных сигналов, обладающих свойством f (t ) = f (– t), не содержит синусо
ид в (2.19.1), т. е. bk = 0, а следовательно, начальные фазы Ф k гармоник в (2.19.2)
равны либо 0°, либо 180° (поскольку аk могут быть положительными или отрица
тельными).
2. РФ нечетных сигналов, обладающих свойством f( t) = – f( – t) , не содержит ко
синусоид в (2.19.1), т. е. ak = 0, а следовательно, начальные фазы Ф k гармоник в
(2.19.2) равны + 90°.
202
2. Практикум по теории электрических цепей
3. РФ сигналов, симметричных относительно оси t при сдвиге на половину пе
риода, т. е.
не содержит гармоник четных номеров (k = 0, 2, 4, ...), поскольку эти гармоники
не обладают указанным свойством.
Множество комплексных амплитуд {Ak} называют дискретным спектром перио
дического сигнала, а соответственно множество амплитуд {Ak} и начальных
фаз {Ф k} называют дискретным амплитудным и дискретным фазовым спектрами.
Для нахождения коэффициентов РФ (2.19.3) периодического сигнала
проще
всего использовать изображение по Лапласу условного первого импульса
Коэффициенты РФ определяют по формуле
2.19.2. Типовой пример
На вход дифференцирующей RC-цепи (рис. 2.19.1, а) по
ступает периодический сигнал треугольной формы (рис. 2.19.1, б).
Необходимо:
1) предсказать РФ; найти РФ для ивх(t), построить спектры и график суммы РФ,
сравнив его с ивх(t);
2) найти передаточную функцию цепи H (s ) и частотные характеристики; срав
нив ЧХ и спектр воздействия, предсказать ивых(t);
3) найти РФ для uвых(t) и сравнить график uвых(t) с производной u 'в х(t).
2.19. Анализ прохождения периодического сигнала через дифференцирующую RC-цепь
203
1. Определяем РФ входного сигнала.
Периодическое воздействие является четным сигналом, следовательно, РФ не
содержит синусоид (т. е. bk = 0), а в (2.19.2) начальные фазы гармоник Ф k равны
либо 0°, либо 180°. По графику входного сигнала вычисляем среднее значение
как отношение площади сигнала за период к величине этого периода:
Поскольку входной сигнал без среднего значения (без постоянной составляющей
), т. е. сигнал становится симметричным относительно оси t при
сдвиге на половину п
е
р
и
о
д
а
,
то РФ не содержит гармоник четных номеров (k = 2, 4, 6, ...).
Для определения коэффициентов РФ находим изображение по Лапласу F1(s )
первого импульса периодического сигнала, используя метод двойного диф
ференцирования, который описан в 2.17. На рис. 2.19.2, а представлен импульс
, график его первой производной изображен на рис. 2.19.2, б. График второй
производной, показанный на рис. 2.19.2, в, содержит 3 дельта-функции. Как
известно, изображение единичной импульсной функции = 1. Для по
лучения необходимо проинтегрировать два раза дельта-функции, изобра
женные на рис. 2.19.2, в. Интегрированию в t-области соответствует деление на s
в s-области. В результате с учетом теоремы запаздывания получим изображение
первого импульса:
Комплексные амплитуды РФ в соответствии с (2.19.4) и (2.19.5) представим в
следующем виде (при периоде Т =12 с):
204
2. Практикум по теории электрических цепей
Значения Ak и Ф k приведены в табл. 2.19.1, а на рис. 2.19.3, а, б построены дис
кретные амплитудный и фазовый спектры входного сигнала, причем следует
иметь в виду, что A 0 120 В, а частота первой гармоники
Таким образом, ограничившись несколькими первыми гармониками РФ, вход
ной периодический сигнал приближенно можно представить в виде
При построении графика суммы ряда Фурье ограничимся только тремя первыми
членами ряда (2.19.6), поскольку амплитуды гармоник быстро убывают (пропор
ционально k2). К среднему значению сигнала, равному 60 В, т. е. к нулевой гармо
нике («0»), добавим первую гармонику («1»), имеющую амплитуду A 1= 48,7 В и
начальную фазу –
180° (рис. 2.19.4). Период первой гармоники 12 с,
поэтому фазовому сдвигу –
180° соответствует смещение максимума первой
гармоники (относительно момента t = 0) на время 6 с. Третья гармоника
имеет амплитуду 5,4 В и начальную фазу –
180°. При построении графи
ка третьей гармоники («3») на рис. 2.19.4 учтем, что ее период 4 с, по
этому фазе соответствует смещение максимума гармоники на 2 с. Из
сравнения графика суммы ряда Фурье и входного сигнала видим, что
в «изломах» графика сходимость РФ ухудшается.
2.19. Анализ прохождения периодического сигнала через дифференцирующую RC-цепь
205
2. Находим ПФ и ЧХ цепи.
Вычислим ПФ, используя формулу делителя напряжений для схемы рис. 2.19.1, а:
Комплексная частотная характеристика цепи
Амплитудно-частотная характеристика
Фазочастотная характеристика
На рис. 2.19.5, а, б жирными линиями показаны графики АЧХ и ФЧХ, а штрихпунктиром изображены касательные к АЧХ при 0 и при
, которые от
ражают идеализацию АЧХ соответственно в интервалах нижних и верхних час
тот. В данном случае при w < 1 в НЧ-интервале идеализированная АЧХ A(w) = w,
что соответствует передаточной функции H (s ) = s, т. е. u вых(t ) = u'вх(t). Таким об
разом, НЧ-интервал является частотной полосой дифференцирования (ПД), отку
да и вытекает название дифференцирующей RC-цепи. При w > 1 в ВЧ-интервале
идеализированная АЧХ A(w) = 1, что соответствует полосе пропускания (ПП).
206
2. Практикум по теории электрических цепей
Ширина полосы пропускания дифференцирующей RC-цепи, определяемая по уров
ню 0,707A
m
a
x
. Поэтому на выход проходят практически без
искажения гармоники РФ и вх( t ) с частотами > 1 . Нулевая гармоника вход
ного сигнала на выход не проходит (так как C-элемент эквивалентен XX при
w = 0). Первая гармоника и нулевая, имеющие согласно (2.19.6) наи
большие амплитуды, лежат в полосе дифференцирования, следовательно, можно
предположить, что выходной сигнал будет похож на производную от входного,
3. Находим РФ выходного сигнала.
Амплитуды и начальные фазы гармоник выходного напряжения найдем из сле
дующих соотношений:
Для этого необходимо вычислить значения АЧХ и ФЧХ функции передачи цепи
для требуемых ч а с т о т . Результаты всех вычислений сведены в табл. 2.19.2.
Таким образом, выходной сигнал можно записать в виде отрезка ряда Фурье:
На рис. 2.19.6 построены графики производной u 'вх( t ) и суммы РФ uвых( t ), позво
ляющие сделать вывод, что действительно наблюдается определенный эффект
дифференцирования заданного входного сигнала
2.19. Анализ прохождения периодического сигнала через дифференцирующую RC-цепь
207
Вопрос 1. Как определяется постоянная составляющая сигнала? Как она «выгля
дит» на графике спектра?
Вопрос 2. В чем, по вашему мнению, принципиальное отличие друг от друга гар
моник РФ при построении графика их суммы?
Вопрос 3. Какие способы отыскания коэффициентов РФ вы знаете?
Вопрос 4. Как влияет четность (нечетность) периодического сигнала на вид его
РФ?
Вопрос 5. Как, зная РФ воздействия и ЧХ цепи, найти РФ реакции?
Вопрос 6. Каковы, по вашему мнению, фильтрующие свойства дифференцирую
щей RC-цепи?
Вопрос 7. Улучшится (или ухудшится) эффект дифференцирования в примере,
если период входного сигнала увеличить (уменьшить) в несколько раз?
2.19.3. Заключение
В результате усвоения материала темы необходимо знать свойства РФ симмет
ричных несинусоидальных периодических сигналов, уметь оценивать нулевую
гармонику и определять коэффициенты РФ, строить дискретный спектр перио
дического сигнала и график суммы его нескольких первых гармоник, знать ЧХ
дифференцирующей RC-цепи и уметь находить РФ реакции, используя РФ
входного сигнала и ЧХ цепи.
2.20. Спектральный анализ прохождения
одиночного импульса через интегрирующую
RC-цепь
2.20.1. Исходные понятия
Апериодический сигнал (например, одиночный импульс) f (t ) имеет непрерывный
спектр F(j w), который определяется с помощью преобразования Фурье:
Для существования спектра (изображения по Фурье) необходимо, чтобы подын
тегральная функция в (2.20.1) была абсолютно интегрируемой, т. е. площадь
модуля оригинала была конечной. Если сигнал
= 0 при t < 0, то спектр
сигнала проще всего вычислить по преобразованию Лапласа заменой s = j w:
По спектру можно многое сказать о сигнале (и наоборот). Кроме того, сравнивая
спектр сигнала с полосой пропускания цепи, можно предсказать изменение фор
мы сигнала на выходе.
Спектр —это комплексная функция частоты, и, следовательно, его можно пред­
ставить в алгебраической или показательной форме:
где B (w) — вещественный спектр сигнала, который является четной функцией
частоты, т. е. B ( w) = B (–w); M (w) —мнимый спектр сигнала, являющийся нечет
ной функцией частоты, т. е. M ( w) = –M(–w); A (w) —амплитудный спектр, являю
щийся четной функцией частоты, причем
Ф ( w) — фазовый спектр — нечетная функция, которая может быть вычислена
по B(w ) и M (w) по формуле
Следует отметить, что нечетные сигналы f ( t ) не имеют вещественного спектра, а
четные —мнимого.
Важно знать трактовку спектральных характеристик: спектр F(j w) сигнала
f (t ) — это представление сигнала совокупностью элементарных гармоник
2.20. Спектральный анализ прохождения одиночного импульса через интегрирующую RC-цепь
209
нуси(соид), причем амплитудный спектр определяет относительное распределение бес
конечно малых амплитуд этих гармоник, а фазовый спектр определяет их началь
ные фазы.
Начальное значение спектра (значение спектра на нулевой частоте) равно площа
ди сигнала. Действительно:
причем из (2.20.3) следует, что размерность спектра равна
размерности площади сигнала.
Спектр сигнала в основном сосредоточен в определенном диапазоне частот, для
характеристики которого используют понятие ширины спектра. На практике
применяют нестрогие, но простые критерии ширины спектра:
по значению первого лепестка, т. е. первого узла (нуля) амплитудного спектра
сигнала;
амплитудный критерий ширины спектра, т. е. диапазон частот в районе
м а к с и м у м а , вне которого A (w) < п·Aтах, причем п = 0,05 или 0,1.
Ширина спектра сигнала связана с его длительностью: чем короче сигнал, тем ши
ре его спектр. Для импульсов подобной формы произведение длительности им
пульса н а ширину его спектра есть величина постоянная. Спектр
бесконечной ширины имеет дельта-функция —самый короткий сигнал.
Зная спектр входного воздействия и частотные характеристики
цепи, находят спектр реакции по формуле
На основании (2.20.4) определяют амплитудный и фазовый спектры реакции
На основании (2.20.4) и (2.20.5) можно дать оценку реакции по характерным зна
чениям АЧХ цепи. Поскольку спектр сигнала при w = 0 равен согласно (2.20.3)
площади сигнала, то при начальном значении АЧХ A (0) = 0 суммарная площадь
реакции будет нулевой. Если A (0) = k, то площадь реакции из
менится в k раз. На частоте w = по теореме о начальном значении
поэтому если значение АЧХ на w равно нулю, т. е. А( ) = 0, то скачок воздей
ствия f вх(0+) на выход не пройдет и реакция будет непрерывной. В случае, когда
A ( ) = k, скачок реакции fвых(0+) в k раз отличается от скачка воздействия.
210
2. Практикум по теории электрических цепей
На практике всегда важно уметь предсказать изменение формы сигнала при его
прохождении через цепь. Вычислив ширину спектра и полосу пропускания
ц е п и , можно определить, в какой зоне частотной характеристики (иеиска
жения, интегрирования, дифференцирования и т. п.) располагается спектр воз
действия и оценить ожидаемое изменение формы реакции. Время запаздывания tз
проходящих сигналов оценивают по наклону ФЧХ при w 0 или как
где — приращение фазы, измеренное в радианах; — приращение частоты
(рад/с) в зоне низких частот.
2.20.2. Типовой пример
На вход интегрирующей RC-цепи (рис. 2.20.1, а) при R = 1 Ом, C = 1 Ф поступает
сигнал — импульс треугольной формы (рис. 2.20.1, б).
Необходимо:
1) найти спектр для uвх(t), построить графики амплитудного и фазового спек
тров, оценить ширину с п е к т р а ;
2) найти передаточную функцию цепи H (s ) и частотные характеристики; оце
нить время запаздывания tз, вносимое цепью; сравнив ЧХ и спектр воздействия,
предсказать uвых(t);
3) найти uвых(t) аналитически и сделать выводы.
1. Определяем спектр входного сигнала.
Для этого воспользуемся выражением (2.19.5), полученным в разделе2.19. Тогда на
основании (2.20.2) спектр uвх(t) будет
причем из (2.20.7) амплитудный с
п
е
к
т
80
р
,
а фазовый
2.20. Спектральный анализ прохождения одиночного импульса через интегрирующую RC-цепь
211
Вычислим значения амплитудного и фазового спектров в характерных точках.
При w = 0 спектр A (w) равен согласно (2.20.3) площади сигнала
На рис. 2.20.2, а, б построены графики ампли
тудного и фазового спектров.
По графику амплитудного спектра находим ширину спектра, используя десяти­
процентный амплитудный критерий:
т. е. значение приблизительно совпадает с шириной спектра, определяемой
по критерию «первого лепестка».
2. Находим П Ф и ЧХ цепи.
Вычислим ПФ, используя формулу делителя напряжений для схемы на
рис. 2.20.1, а:
212
2. Практикум по теории электрических цепей
Комплексная частотная характеристика цепи
Амплитудно-частотная характеристика
Фазочастотная характеристика
На рис. 2.20.3 жирными линиями показаны АЧХ и ФЧХ, а штрих-пунктиром
изображены «асимптоты» к А
Ч
Х
,
которые отра
жают идеиализацию АЧХ соответственно в интервалах нижних и верхних частот.
При w < 1 в НЧ-интервале идеализированная АЧХ A ( w) = 1, что соответствует
ПФ Н (s ) = 1, т. е. в идеале uвых(t) = uвх(t). Таким образом, НЧ-интервал является
полосой пропускания.
При w > 1 в ВЧ-интервале идеализированная АЧХ A (w) = 1/w, что соответствует
П Ф H(s ) = 1/s , т. е. uвых(t) равнаинтегралуотuвх(t).Следовательно, ВЧ-интервал является
олпосой интегрирования (ПИ), откуда и вытекает название интегрирующей RC-цепи.
Ширина полосы пропускания цепи, определяемая по уровню 0,707Amax, равна
1 с–1 и совпадает с шириной спектра входного сигнала, поэтому он практи
чески без искажения проходит на выход. На основании (2.20.6) оцениваем по
ФЧХ в зоне малых со время запаздывания сигнала:
Поскольку АЧХ(0) = 1, то площадь выходного сигнала равна площади входного
. Так как АЧХ( ) = 0, то выходной сигнал должен быть непрерывным.
Таким образом, главный вывод:
2.20. Спектральный анализ прохождения одиночного импульса через интегрирующую RC-цепь
213
3. Используя операторный метод, точно рассчитаем выходнуюреакциюи оценим коррект
ность сделанного предварительного вывода (2.20.8).
Согласно (2.19.5), (2.20.7) изображение входного импульса
следовательно, изображение выходного сигнала
Оригинал реакции цепи
как видим, состоит из трех смещенных во времени частей подобной формы. В каж
дой части первые два слагаемых —вынужденная, а последнее слагаемое —сво
бодная составляющая от действия соответствующих частей входного сигнала
(2.20.9).
На рис. 2.20.4 пунктиром показана сумма вынужденных составляющих
. Из сравнения графиков
воздействия и реакции следует, что вывод (20.2.8) вполне корректен.
Вопрос 1. В чем отличие спектральных характеристик периодических сигналов от
спектра одиночных (апериодических) сигналов?
Вопрос 2. Какова трактовка спектральных характеристик?
Вопрос 3. Какие способы оценки ширины спектра вы знаете?
Вопрос 4. Как, зная спектр воздействия и ЧХ цепи, оценить спектр реакции?
214
2. Практикум по теории электрических цепей
Вопрос 5. Спектр какого сигнала имеет бесконечную ширину?
Вопрос 6. Каким образом по значениям АЧХ при w = 0 и w = можно оценить вы
ходной сигнал?
Вопрос 7. Как по ФЧХ можно оцепить запаздывание сигналов, проходящих через
цепь?
2.20.3. Заключение
Изучив материал темы, необходимо усвоить способы отыскания спектральных
характеристик. Нужно уметь определять характерные значения спектра и шири
ну спектра одиночного сигнала, знать ЧХ интегрирующей RC-цепи и уметь оце
нивать реакцию на ее выходе как путем сравнения ЧХ цепи со спектром воздей
ствия, так и по характерным значениям АЧХ при w = 0 и w = .
2.21. Определение сигнала по его спектру
2.21.1. Исходные понятия
По спектру F(j w), используя обратное преобразование Фурье, всегда можно най
ти сигнал f (t ):
Выражение (2.21.1) упрощается, если f ( t ) = 0 при t < 0:
где B (w) —вещественный спектр сигнала; M (w) — мнимый спектр сигнала.
На практике выражения (2.21.2) приводят к следующему виду:
что позволяет определить сигнал f (t ) no его вещественному или мнимому спектру
(здесь L [ ...] — символ обозначения преобразования Лапласа).
Для использования (2.21.3) обычно производят кусочно-линейную аппроксима
цию графиков B ( w) или M (w), после чего методом двойного дифференцирова
ния находят их изображения по Лапласу.
Метод является приближенным, поскольку используется аппроксимация, а так
как при этом обычно отбрасывается высокочастотная область спектра, то на ос
новании теоремы о начальном значении
максимальная погрешность будет иметь место в начале реакции
Приближенный расчет сигнала по его амплитудному и фазовому спектрам осно
ван на формулах связи спектра одиночного импульса со спектром периодическо
го сигнала той же формы:
Выражение (2.21.4) связывает спектр неизвестного одиночно
го импульса с дискретным спектром
сигнала, составленного
216
2. Практикум по теории электрических цепей
из периодической последовательности импульсов. Отсюда вытекает следую
щая методика определения сигнала по его амплитудному и фазовому спектрам.
1. Строят графики амплитудного и фазового спектров искомого оди
ночного импульса
2. Произвольно выбирают достаточно большой период Т сигнала, составлен
ного из периодически повторяющихся импульсов, и определяют по форму
лам (2.21.4) на д
хчастотах амплитуды и фазы гармоник ряда
ы
скретн
и
Фурье с и г н а л а .
3. Записывают ряд Фурье, ограничиваясь несколькими наиболее значительными
по амплитуде гармониками:
4. Строят график f п(t ) в пределах одного периода, т. е в интервале 0 < t < T . Этот
импульс и будет искомой реакций, причем если на границах периода fп(t) за
тухает, то значение периодаTвыбрано правильно, а если не затухает, необходимо
увеличить T и повторить расчет.
2.21.2. Типовой пример
Для примера из 2.20.2 необходимо найти сигнал uвых(t) спектральным методом
по его амплитудному и фазовому спектрам.
1. Определяем спектральные характеристики выходного сигнала.
Значения амплитудных и фазовых спектров воздействия и реакции, а также АЧХ
и ФЧХ цепи сводим в табл. 2.21.1, причем так как полоса пропускания цепи
, то интервал рассматриваемых частот также целесообразно ограни
чить значениями 0 < w < 1.
2. Строим графики амплитудного и фазового спектров искомой
Графики приведены на рис. 2.21.1 с указанием характерных числены
х
зн ачен и й .
2.21. Определение сигнала по его спектру
217
3. Произвольно выберем достаточно большой период T = 24 с сигнала, со
ставленного из периодично повторяющихся импульсов uвых(t), и определяем по
(2.21.4) коэффициенты ряда Фурье периодического сигнала:
В табл. 2.21.2 приведены значения амплитуд и фаз дискретного спектра периоди
ческого сигнала uп (t ).
4. Записываем в соответствии с (2.21.5) ряд Фурье (РФ ), ограничиваясь несколь
кими наиболее значительными по амплитуде гармониками:
На рис. 2.21.2 построен график суммы РФ в пределах одного периода
и входной импульс. Тонкими линиями показаны также нуле
вая гармоника (0), вторая гармоника (2) и сумма пулевой и первой гармоник
(0 + 1) сигнала.
Так как uп(t) затухает в пределах периода Т, то период выбран правильно и рас
чет на этом можно закончить. Приближенно полученный график uвых(t) = uп(t)
при 0 < t < T достаточно хорошо согласуется с точным решением, рассмотренным
в 2.20.2 на рис. 2.20.4.
218
2. Практикум по теории электрических цепей
Вопрос 1. Почему методы расчета сигнала по спектру являются приближенными?
Вопрос 2. Какие трудности возникают при определении сигнала по его вещест
венному или мнимому спектру?
Вопрос 3. Как влияют частотные характеристики цепи на спектральные характе
ристики выходного сигнала?
Вопрос 4. Почему при определении сигнала по амплитудному и фазовому спект
рам можно ограничиться несколькими гармониками РФ периодического сигнала?
2.21.3. Заключение
В результате усвоения материала темы необходимо знать формулы, связываю
щие реакцию с ее спектральными характеристиками, уметь находить временной
сигнал по вещественному или мнимому, или по амплитудному и фазовому спек
трам.
2.22. Анализ индуктивно связанных цепей
2.22.1. Исходные положения
Условное обозначение четырехполюсного индуктивно связанного элемента
(ИСЭ), состоящего из двух индуктивных ветвей (катушек индуктивности), ко
торые пронизывает общий магнитный поток, приведено на рис. 2.22.1. Перемен
ные токи
создают в индуктивностях магнитные потоки самоиндукции,
которые на основании закона электромагнитной индукции наво
дят на зажимах (выводах) индуктивностей напряжения самоиндукции
Если часть общего потока каждой катушки индуктивности пе
ресекает витки другой катушки, то на их зажимах наводятся,
кроме того, напряжения взаимной индукции, обусловленные со
ответственно потоками взаимной индукции
причем коэффициент пропорциональности M измеряется в генри (Гн) и называ
ется взаимной индуктивностью.
Взаимную индуктивность M считают алгебраической величиной.
Знак плюс соответствует согласному включению ИСЭ, в про
тивном случае включение ИСЭ называют встречным. При соглас
ном включении ИСЭ потоки взаимной индукции катушек (рис. 2.22.1)
суммируются, а при встречном включении ИСЭ — вычитаются.
Для определения характера включения ИСЭ пользуются маркировкой однопо
лярных зажимов ИСЭ «звездочками» (см. рис. 2.22.1). Если выбранные направ
ления токов ИСЭ ориентированы одинаково относительно однополярных за
жимов, включение следует считать согласным, в противном случае — встречным.
На рис. 2.22.1 включение ИСЭ —согласное, следовательно,
В уравнениях ЗН К вида (2.22.1) знаки напряжений самоин
д укции и взаимной ин
дукции совпадают
В установившемся синусоидальном режиме уравнения МКА для ИСЭ имеют вид:
где — комплексное сопротивление взаимной индуктивности,
знак «плюс» соответствует согласному включению ИСЭ, минус — встречному.
220
2. Практикум по теории электрических цепей
Вид включения ИСЭ зависит от решающего задачу, так как направления токов в
общем случае могут быть выбраны произвольно.
Для характеристики степени связи катушек индуктивности в ИСЭ используют
понятие коэффициента связи; причем если kсв = 1, то маг
нитная связь называется совершенной.
Расчет индуктивно связанных цепей (ИСЦ) осуществляют, как правило, по
уравнениям Кирхгофа, так как применение других методов расчета имеет ряд осо
бенностей. Однако если индуктивно связанные катушки имеют общий узел, бывает
целесообразно преобразовать ИСЦ в эквивалентную цепь, не содержащую индук
тивных связей, после чего для анализа цепи можно применять все стандартные
методы расчета.
На рис. 2.22.2 приведены две схемы индуктивно связанных катушек, имеющих
общий узел, в котором сходятся либо однополярные выводы катушек, либо раз
нополярные, и соответствующие им эквивалентные схемы цепи без индуктивной
связи (направление токов, т. е. характер включения ИСЭ, может быть при этом
произвольным).
2.22.2. Типовые примеры
Пример 2.22.1. В цепи на рис. 2.22.3, а установившийся синусоидальный режим
. Требуется:
1) для определения токов составить схему независимых уравнений по за
конам Кирхгофа в t-области;
2) записать в комплексной форме уравнения Кирхгофа для расчета токов цепи
3) преобразовать индуктивно связанную цепь (рис. 2.22.3, а) в эквивалентную
цепь без индуктивной связи (в так называемую развязанную цепь )
4) составить для такой «развязанной» цепи уравнения Кирхгофа в комплексной
форме и сравнить их с уравнениями п. 2.
2.22. Анализ индуктивно связанных цепей
221
1. Определяем характер включения ИСЭ. Произвольно выбранные направления
токов
ИСЭ неодинаково ориентированы относительно однополярных выво
дов ИСЭ, отмеченных на рис. 2.22.3, а «звездочками», следовательно, включение
ИСЭ —встречное
Число независимых уравнений, составленных по законам Кирхгофа:
2. Составляем уравнения по законам Кирхгофа в t-области с учетом того, что
включение – встречное и суммарные напряжения на катушках индуктивности
3. Запишем уравнения Кирхгофа аналогично (2.22.2) в комплексной форме, при
чем комплексное сопротивление взаимной индуктивности
222
2. Практикум по теории электрических цепей
4. Преобразуем ИСЦ (рис. 2.22.3, а) в эквивалентную цепь без индуктивной свя
зи. Так как в общем узле ИСЭ схемы на рис. 2.22.3, а сходятся однополярные за
жимы, то, воспользовавшись первой схемой преобразования (рис. 2.22.2), полу
чим цепь без индуктивной связи (рис. 2.22.3, б), эквивалентную исходной.
5. Составим уравнения Кирхгофа в комплексной форме для «развязанной» схе
мы (рис. 2.22.3, б):
В простейшем случае изображенный на рис. 2.22.4, а трансформатор представ
ляет собой две индуктивно связанные катушки, называемые обмотками транс
форматора. В примере рассматривается идеализированный трансформатор в ли
нейном режиме.
2.22. Анализ индуктивно связанных цепей
223
где — полное комплексное сопротивление первичной обмотки;
— сопротивление вторичной обмотки трансформатора.
Найдем входное сопротивление трансформатора, причем определя
ем, решая уравнения (2.22.6)
откуда важная для практики формула расчета входного сопротивления трансфор
матора имеет вид
Подставляя численные значения, получим
Так как активная мощность цепи находим вещественную часть входного
сопротивления цепи, следо
вательно, R = 2 Ом.
Преобразуем схему трансформатора (рис. 2.22.4, а) к эквивалентной схеме без ин
дуктивной связи. Для этого «введем» в схему общий узел для ИСЭ (на рис. 2.22.4, а
он показан пунктиром), в котором сходятся однополярные выводы. Очевидно,
ток такого «введенного пунктиром» КЗ-элемента равен нулю. Эквивалентная
цепь без индуктивной связи приведена на рис. 2.22.4, б.
Пример 2.22.3. В цепи на рис. 2.22.5, а
; ключ замыкается при t= 0. Необходимо найти i1, i2.
Расчет переходных процессов в цепях с индуктивной связью осуществляется, как
правило, операторным методом.
1. Определяем независимые начальные условия при t = 0– :
224
2. Практикум по теории электрических цепей
2. Составляем по законам Кирхгофа систему независимых дифференциальных
уравнений цепи при t > 0. Включение в цепи —согласное, M > 0. Имеем
Преобразуем систему (2.22.7) по Лапласу, используя теорему о дифференцирова
нии оригинала:
при этом — операторное сопротивление взаимной индуктив
ности. В численном виде имеем:
Решая полученную систему алгебраических уравнений (2.22.8), находим изобра
жения реакций, а затем их оригиналы при t > 0:
Если ИСЭ имеют общий узел, расчет переходных процессов обычно удобнее вес
ти по операторной схеме замещения. Найдем токи i1 и i2 в примере 2.22.5 этим
способом.
1. Преобразуем ИСЦ (рис. 2.22.5, а) в эквивалентную схему (рис. 2.22.5, б) без
индуктивной связи (для любых значений t).
2. При t = 0– найдем независимые начальные условия, учитывая, что все эквива
лентные L-элементы можно заменить КЗ-элементами:
2.22. Анализ индуктивно связанных цепей
225
3. Составляем операторную схему замещения (рис. 2.22.6) для t > 0, учитывая,
что ik(0–) = ik(0+).
По ОСЗ любым методом расчета можно определить изображение реакции, а за
тем ее оригинал. Применим М КТ (см. рис. 2.22.6):
с
Из сравнения систем (2.22.8), (2.22.9) следует, что операторные уравнения цепи
(рис. 2.22.5, а) и уравнения О СЗ (рис. 2.22.6) эквивалентны.
2.22.3. Заключение
В результате усвоения материала темы необходимо знать физическую трактовку
«работы» ИСЭ, уметь различать характер включения ИСЭ при расчете ИСЦ,
уметь записывать уравнения цепи по законам Кирхгофа в t-области и по МКА,
знать, когда и как можно заменить ИСЭ эквивалентной схемой без индуктивной
связи, уметь находить входное сопротивление и потребляемую мощность транс
форматора, уметь рассчитывать переходные процессы в ИСЦ по операторным
уравнениям цепи и по ОСЗ.
2.23. Пассивные и активные
четырехполюсники
2.23.1. Общие положения
Четырехполюсником называется часть цепи, имеющая две пары выводов (четыре
полюса), с помощью которых он присоединяется к другой цепи. Условное обо
значение ЧП с указанием условно положительных направлений токов и поляр
ностей напряжений показано на рис. 2.23.1, а.
Выводы ЧП, 1,1' и 2,2' условно называют соответственно входными и выходными
выводами (полюсами, узлами), а переменные
— входными и выходными переменными.
В теории ЧП интересуются лишь токами и напряжениями внешних выводов и свя
зью их друг с другом. Такая связь отражается шестью видами уравнений ЧП в ви
де форм у, z, а, b, h, g:
причем в уравнениях a-формы (формы прямой передачи сигналов) токи ЧП на
правлены слева направо, как показано на рис. 2.23.1, а штрихами.
Остальные формы уравнений ЧП имеют вид
Коэффициенты уравнений являются параметрами ЧП и представляют собой
различные варианты функций цепи или им обратные функции в режимах холо
стого хода или короткого замыкания на входе или выходе ЧП
2.23. Пассивные и активные четырехполюсники
227
Пассивные ЧП составлены из пассивных элементов ( RLCM) и не содержат управ
ляемых (активных) элементов. Для них справедлива теорема пассивности (обра
тимости — взаимности), т. е. справедливо условие обратимости
которое для активных ЧП не выполняется.
ЧП является симметричным, если смена мест его входных и выходных выводов
не приводит к изменению режима работы остальной цепи. Для симметричных
ЧП выполняются условия симметрии:
Пассивным ЧП, у которых согласно (2.23.2) только 3 независимых параметра, мо
гут быть поставлены в соответствие Т- или П-образные эквивалентные схемы
(рис. 2.23.1, б, в), состоящие из трех элементов.
2.23.2. Примеры типовых задач
Пример 2.23.1. У пассивного ЧП в виде Т-образной схемы (рис. 2.23.1, б) задана
z-матрица параметров в установившемся синусоидальном режиме:
Требуется найти комплексные сопротивления Z1, Z2, Z3 и составить эквивалент
ную П-образную схему (рис. 2.23.1, в).
Уравнения ЧП в z-форме имеют вид
(2.23.4)
По схеме (рис. 2.23.1, б) найдем z-параметры ЧП в режимах XX входных или вы
ходных выводов:
—это входное сопротивление ЧП относительно выводов 11' при разомкнутом
выходе;
228
2. Практикум по теории электрических цепей
— передаточное сопротивление от тока к напряжению при разомкнутом вы
ходе;
— передаточное сопротивление при разомкнутом входе;
—это входное сопротивление относительно выводов 22' при разомкнутом входе.
т. e. данный ЧП несимметричен и условия симметрии (2.23.3) не выполняются.
Покажем, что П-образная схема (рис. 2.23.1, в) может быть эквивалентна зада
ной Т-образной схеме ЧП (рис. 2.23.1, б). Как известно, два ЧП эквивалентны по
отношению к внешним выводам, если соответствующие параметры у них одина
ковы.
Вначале рассчитаем y -параметры Т-образной схемы (рис. 2.23.1, б). Уравнения
ЧП в y-форме:
Для получения y -параметров в (2.23.5) решаем систему (2.23.4) относительно то
ков:
Из сравнения (2.23.6) и (2.23.5) находим y-параметры ЧП и их численные значе
ния:
причем в формулах эквивалентного пересчета параметров (2.23.7) имеем
Считаем, что параметры (2.23.7) являются y -параметрами эквивалентной П-об
разной схемы ЧП (рис. 2.23.1, в). Найдем их по схемам рис. 2.23.2.
2.23. Пассивные и активные четырехполюсники
229
—это входная проводимость ЧП со стороны выводов 11' при закороченном выхо
де (рис. 2.23.2, а);
передаточная проводимость при закороченном выходе (рис. 2.23.2, а);
—входная проводимость ЧП со стороны выводов 22' при закороченном входе
(рис. 2.23.2, б);
— передаточная проводимость при закороченном входе (рис. 2.23.2, б).
Таким образом, матрица y -параметров
Пример 2.23.2. Задан активный ЧП, операторная схема которого приведена на
рис. 2.23.3, а причем «ромбиком» обозначен так на
зываемый зависимый источник (ЗИ ), ток которого зависит в данном случае от
тока (подробно типы ЗИ рассмотрены в 2.24).
Требуется найти: 1) z-параметры; 2) a-параметры по z-параметрам; 3) передаточ
ную функцию п
о z-параметрам при Zн= 1, а затем импульсную
характеристику.
1. Активные ЧП необратимы, имеют четыре независимых параметра z11, z12, z21, z22
определять которые проще всего (как и у пассивных ЧП) из рассмотрения режи
мов XX входных или выходных выводов аналогично примеру 2.23.1, т. е.
230
2. Практикум по теории электрических цепей
Следует отметить, что у сложных по структуре ЧП рассчитать параметры всех
форм уравнений по схеме ЧП в режимах холостого хода (или короткого замы
кания) входных или выходных выводов —достаточно трудоемкая задача. Поэто
му для определения параметров ЧП часто используют так называемый метод
двух вспомогательных источников, вводимых в схему на основании теоремы заме
щения.
В примере вводим в схему два источника тока (см. рис. 2.23.3, б), а затем ис
пользуем метод контурных токов. Выбираем контуры так, чтобы токи ЧП были
контурными, и присваиваем им первые номера:
т. е. в данном примере имеем 3 «вырожденных» (упрощенных) уравнения МКТ.
В соответствии с уравнениями z-формы (2.23.1) находим напряжения на входе
и выходе ЧП:
2.23. Пассивные и активные четырехполюсники
231
Из сравнения систем (2.23.1) и (2.23.9) находим
Вывод: при расчете схем с ЗИ можно использовать все известные методы анали
за; к уравнениям используемого метода необходимо добавить уравнения для ЗИ.
2. Определим матрицу [а] по найденным z-параметрам активного ЧП. Поскольку
все формы уравнений ЧП выражают одну и ту же связь между переменными
, то уравнения одной формы можно выразить через уравнения другой, т. е.
параметры одной формы можно найти по параметрам любой иной формы.
Уравнения ЧП через a-параметры (2.23.1) устанавливают связь между входными
напряжением и током и выходными напряжением и т о к о м :
Поэтому, решая уравнения z-формы (2.23.1) относительно переменных
получим
Сравнивая системы уравнений (2.23.11) и (2.23.10), находим параметры матрицы
[a] заданного активного ЧП:
3. Найдем передаточную функцию по z-параметрам ЧП. О пе
редаточной функции ЧП говорят, когда к его выходу подключена нагрузка с со
противлением Zн( s ). Найти передаточную функцию можно по любой форме
уравнений ЧП, если к двум уравнениям ЧП добавить уравнение нагрузки (см. рис.
2.23.3, а):
Очевидно, (2.23.12) имеет вид U2 = 0 при Zн= 0 (КЗ выходных выводов ЧП) или
I 2 = 0 при Zн = (XX выходных выводов ЧП).
Используя уравнения ЧП в z-форме (2.23.1) и уравнение нагрузки (2.23.12), за
писываем систему:
232
2. Практикум по теории электрических цепей
Чтобы исключить из этой системы «лишние» п е р е м е н н ы е , преобразуем ее
к виду
2.23.3. Заключение
В результате усвоения материала темы необходимо знать основные формы урав
нений ЧП, уравнение нагрузки, условия обратимости и симметрии, уметь нахо
дить параметры ЧП и его ПФ, уметь пересчитывать параметры из одной формы
в другую.
2.24. Цепи с зависимыми источниками
и операционными усилителями
2.24.1. Исходные понятия
Для пассивных цепей, составленных из RLCM-элементов и независимых источ
ников, справедлив принцип взаимности (обратимости).
На практике, од
нако, преобладают цепи, где этот принцип несправедлив. Такие цепи называют
активным и (необратимыми) цепями, а схемы их замещения обязательно содер
жат хотя бы один необратимый элемент, называемый зависимым источником.
На эквивалентной схеме цепи в отличие от независимых источников ЗИ изобра
жают в виде «ромбика» (см. рис. 2.24.1). Различают четыре типа ЗИ: источник на
пряжения, управляемый напряжением (ИНУН), —рис. 2.24.1, а; источник напря
жения, управляемый током (ИНУТ), —рис. 2.24.1, б; источник тока, управляе
мый током (ИТУТ), — рис. 2.24.1, в; источник тока, управляемый напряжением
(И Т У Н ), —рис. 2.24.1, г.
Для расчета цепей, содержащих ЗИ, используют все методы расчета, но к урав
нениям выбранного метода добавляют уравнения ЗИ.
2.24.2. Пример типовой задачи
Пример 2.24.1. Схема цепи с ЗИ приведена на рис. 2.24.2
. Найти
Рассчитаем цепь по методу контурных токов.
1. Число независимых уравнений МКТ
2. Выбираем независимые контуры с контурными токами
3. Составляем операторные уравнения МКТ:
234
2. Практикум по теории электрических цепей
Третье уравнение — это «вырожденное» (т. е. упрощенное) уравнение МКТ, до
полненное уравнением для ЗИ.
4. Решаем полученную систему:
Переходная характеристика цепи
Аналогично, применяя к решению этой задачи МУН, составляем обычным спо
собом уравнения МУН и добавляем к нему уравнение для ЗИ.
2.24. Цепи с зависимыми источниками и операционными усилителями
235
2.24.3. Формализованные MKT и МУН
Активные цепи могут содержать четырехполюсники, которые заданы одной из
форм уравнений ЧП или схемой с ЗИ. При анализе таких цепей можно приме
нять так называемые формализованные методы контурных токов и узловых на
пряжений. Рассмотрим на примере использование этих методов и особенности
их применения.
Пример 2.24.2. Дана цепь (рис. 2.24.3, а) с ЧП, матрица z-параметров которого
имеет вид
При использовании формализованного МКТ рекомендуется следующий порядок
расчета.
1. Используя уравнения z-формы
необратимый ЧП заменяют его эквивалентной схемой (рис. 2.24.3, б) с двумя за
висимыми источниками напряжения типа ИНУТ.
236
2. Практикум по теории электрических цепей
Примечание. необратимый ЧП имеет четыре независимых параметра, поэтому эк
вивалентная схема такого ЧП должна содержать четыре элемента, из которых
хотя бы один — ЗИ.
Если z-параметры необратимого ЧП не заданы, их необходимо определить по из
вестным параметрам иной формы уравнений ЧП либо по известной схеме необ
ратимого ЧП .
2. Составляют по МКТ систему уравнений, оставляя в левых частях уравнений
напряжения ЗИ:
где —матрицы контурных токов, напряжений ЗИ и контурных на
пряжений независимых источников, причем при расчете используют обыч
ное правило знаков ЗН К (т. е. напряжение источника, полярность которого согла
сована с обходом контура, учитывают со знаком «+»), в то время как при расчете
используют «обратное» правило знаков. Рекомендуется независимые конту
ры выбирать так, чтобы токи необратимого ЧП были контурными, и присваивать
им первые номера.
Выполним рекомендации по выбору независимых контуров и нумерации контур
ных токов в схеме на рис. 2.24.3, б. Далее запишем
тему уравнений МКТ
си
2.24. Цепи с зависимыми источниками и операционными усилителями
237
Передаточная функция цепи
следовательно, импульсная характеристика цепи
При анализе цепи с необратимым ЧП формализованным МУН последователь
ность расчета будет дуальна рассмотренной в МКТ.
1. Определяем y -параметры по известным z-параметрам.
Запишем уравнения ЧП через z- и y-параметры:
Решим уравнения z-формы относительно переменых
Из сравнения (2.24.1) и (2.24.2) с уравнениями y -формы находим
Итак, матрица y -параметров
238
2. Практикум по теории электрических цепей
2. Используя уравнения y-формы необратимого ЧП, заменяют его эквивалентной
схемой (рис. 2.24.4) с двумя зависимыми источниками тока типа ИТУН.
3. Записывают уравнения МУН, оставляя токи ЗИ в левой части уравнений,
причем при расчете
используют обычное правило
знаков ЗТК (т. е. ток источника, вытекающий из узла, учитывается со знаком
«+»), в то время как при расчете используется «обратное» правило знаков.
При этом целесообразно базисный узел по возможности выбрать так, чтобы на
пряжения необратимого ЧП были узловыми, и присвоить им первые номера.
Выполняя эти рекомендации по нумерации узлов в схеме на рис. 2.24.4, считаем
узел 4 базисным. Уравнения МУН
2.24. Цепи с зависимыми источниками и операционными усилителями
239
Следует отметить, что формализованные МКТ и МУН можно успешно исполь
зовать при расчете индуктивно связанны х цепей. Действительно, рассмотренный
в примере 2.24.2 ЧП является обратимым (так как z 12 = z21) и его уравнения соот
ветствуют, например, уравнениям трансформатора
Однако при расчете других типов
пассивных Ч П удобнее использовать Т- или П-образные эквивалентные схемы
без ЗИ.
2.24.4. Цепи с операционными усилителями
Операционный усилитель (ОУ) — это ИНУН (см. рис. 2.24.5, а) с очень большим
коэффициентом усиления, так что
На рис. 2.24.5, б, в приведены используемые условные обозначения ОУ, причем
обозначение (рис. 2.24.5, в) используется чаще (хотя путь выходного тока на
нем неясен).
Очевидны 3 свойства идеального ОУ:
1)
входные токи отсутствуют; 2) коэффициент усиления
бесконечен; 3) входноенапряжениеОУравнонулю.
Действительно, на основании (2.24.4), так как коэффициент усиления идеаль
ного ОУ бесконечен, а выходное напряжение конечно, то
выводы 1 и 2 (см. рис. 2.24.5) эквипотенциальны и входное на
пряжение идеального ОУ можно считать равным нулю.
У реального ОУ коэффициент усиления очень велик (достигает
сотен тысяч).
Для расчета цепей с ОУ используют, как правило, МУН.
240
2. Практикум по теории электрических цепей
Пример 2.24.3. Дана цепь (рис. 2.24.6, а) с идеальным ОУ
. Найти
1. Составляем обычные уравнения МУН для всех независимых узлов цепи, кроме
выходного узла ОУ (узла 4 —см. рис. 2.24.6, а), так как выходной ток ОУ
неизвестен (см. рис. 2.24.5).
В системе (2.24.5) два уравнения МУН с тремя неизвестными
2. В качестве дополнительного уравнения МУН используется третье свойство
идеального ОУ —эквипотенциальность его входных выводов при kОУ =
; следовательно, система (2.24.5) примет вид
В результате ПФ цепи
2.24. Цепи с зависимыми источниками и операционными усилителями
241
Т ак и м образом , и м п у л ьсн ая х ар актер и сти ка (И Х ) цепи
Д алее находим переходную характеристику:
П р и м е р 2 .2 4 .4 . З а д а н а с х е м а ц е п и (р и с . 2 .2 4 .6 , б ) с О У , к о э ф ф и ц и е н т у с и л е н и я
которого k
1. С
. Н айти
о с т а в л я е м у р а в н е н и я М У Н д л я н е з а в и с и м ы х у з л о в 2 и 3.
Д л я вы ходного у з л а О У (у зл а 4 ) у р а в н е н и е не со ст а вляет ся.
п р и ч е м т р е т ь е д о п о л н и т ел ьн о е у р а в н е н и е в с и с т е м е (2 .2 4 .6 ) с о с т а в л е н о н а о с н о в а
н и и и с х о д н о г о у р а в н е н и я ( 2 .2 4 .4 ) р е а л ь н о г о О У .
Н аходим им пульсную характеристику цепи д ля реакц ии
О п ред еляем переходную характеристику:
242
2. Практикум по теории электрических цепей
2.24.5. Заключение
В результате усвоения материала темы необходимо уметь применять МКТ и МУН
для расчета цепей с ЗИ, правильно использовать формализованные МКТ и МУН
для расчета цепей с необратимыми ЧП, уметь заменять ИСЭ эквивалентной схе
мой с ЗИ и рассчитывать такие схемы формализованными МКТ и МУН, знать
свойства идеальных и реальных ОУ и применять их при расчете МУН цепей
с ОУ.
2.25. Расчет нелинейных резистивных цепей
2.25.1. Исходные понятия
До сих пор рассматривались линейные RLCM-цепи, которые описывались линей
ными алгебраическими или дифференциальными уравнениями. Параметры эле
ментов цепей не зависели от изменений токов и напряжений в цепи. Однако ли
нейные цепи —это идеализация, так как при значительных изменениях токов и
напряжений в цепи параметры элементов R, L, С, М изменяются, т. е. их характе
ристики становятся нелинейными.
Обозначения нелинейных R-, L-, C-элементов с указани
ем полярности напряжений, согласованной с направле
нием тока, приведены на рис. 2.25.1.
Цепь, содержащая хотя бы один нелинейный элемент
(НЭ), называется нелинейной цепью (НЦ).
Для нелинейных цепей остаются справедливы уравнения
соединений, т. е. законы Кирхгофа
принципы непрерывности потокосцепления L-элемента и заряда C-элемента
Несправедливы все свойства линейности —пропорциональности, наложения, диф­
ференцируемости (интегрируемости).
Общих точных аналитических методов расчета НЦ не существует. Для каждого
класса НЦ, как правило, имеются свои специфические приближенные методы
расчета.
Рассмотрим анализ резистивной НЦ с одним нелинейным элементом как наибо
лее часто встречающейся на практике, используя графический и аналитические
методы расчета.
2.25.2. Типовой пример
Задана резистивная НЦ с одним НЭ (рис. 2.25.2, а)
Вольт-амперпая характеристика (ВАХ) НЭ задана
в точках {uнэ, iнэ}: (0, 0); (2, 1); (3, 2); (5, 3) и представлена в виде графика на
рис. 2.25.2, б. Необходимо найти uнэ, iнэ, используя графический и аналитические
приближенные методы.
244
2. Практикум по теории электрических цепей
Графический метод расчета нелинейных цепей
В резистивных цепях с одним НЭ часто применяют один из методов эквивалент
ных источников. Так, по теореме Тевенена об эквивалентном источнике напряже
ния цепь на рис. 2.25.2, а можно представить в виде рис. 2.25.3, а, причем левая
часть схемы относительно узлов 1—2 линейна. Тогда по ЗН К напряжение НЭ бу
дет равно
Определим ихх нэ и Rэ. По ЗН К для эквивалентной схемы (рис. 2.25.3, б)
Далее по схеме на рис. 2.25.3, в находим
Тогда уравнение (2.25.1) примет вид
причем на рис. 2.25.2, б нелинейная ВАХ левой части (2.25.2) обозначена (I),
а ВАХ правой линейной части — (II).
Точка пересечения двух характеристик и есть рабочая точка (РТ) нелинейного
элемента. В этой точке с графика снято iнэ = 1,5 А, u нэ = 2,5 В.
2.25. Расчет нелинейных резистивных цепей
245
Анализ нелинейных резистивных цепей методом кусочно-линейных схем (моделей)
П о сл ед о вател ь н о сть расчета:
1. З а м е н я ю т о т д е л ь н ы е у ч а с т к и В А Х Н Э о т р е з к а м и п р я м ы х л и н и й (с м ., н а п р и
м е р , р и с . 2 .2 5 .4 , а ), т. е. а п п р о к с и м и р у ю т В А Х Н Э . Ч и с л о н е л и н е й н ы х у ч а с т к о в
В А Х Н Э за в и с и т о т ее ф о р м ы , тр еб у ем о й то ч н о сти и о б л асти и зм е н ен и я н а п р я
ж ения и тока Н Э.
2. Н а к а ж д о м л и н е й н о м у ч а с т к е р е з и с т и в н ы й Н Э о п и с ы в а ю т у р а в н е н и е м п р я м о й
гд е k — п о м е р и н т е р в а л а ( у ч а с т к а ) а п п р о к с и м а ц и и В А Х .
У р а в н е н и ю ( 2 .2 5 .3 ) в и н т е р в а л е k с о о т в е т с т в у е т э к в и в а л е н т н а я л и н е й н а я с х е м а
( р и с . 2 .2 5 .4 , б ) и з п о с л е д о в а т е л ь н о г о с о е д и н е н и я R k и и с т о ч н и к а п о с т о я н н о г о н а
п р я ж е н и я и 0к. П р и п е р е х о д е н а д р у г о й у ч а с т о к а п п р о к с и м а ц и и В А Х Н Э п а р а м е т
р ы R k, и0к с х е м ы н а р и с . 2 .2 5 .4 , б и з м е н я ю т с я , п о е е с т р у к т у р а о с т а е т с я п р е ж н е й .
3. С о с т а в л я ю т э к в и в а л е н т н у ю л и н е й н у ю с х е м у в с е й ц е п и (с м . р и с . 2 .2 5 .4 , в ), а н а
л и з к о т о р о й м о ж н о п р о в ест и лю б ы м м ет о д о м р а сч ет а ли нейны х ц еп ей . В ы в о д я т
в общ ем ви д е ф о р м у л у д л я р асчета и ск о м о й р еакц и и :
4. П е р е б о р о м R k и u0k д л я в с е х и н т е р в а л о в а п п р о к с и м а ц и и В А Х Н Э н а х о д я т п о
в ы в ед ен н о й ф о р м у л е зн ач е н и е р е а к ц и и и п р о в ер я ю т ее н а со о тв етств и е р а ссм ат
риваем ом у интервалу аппроксим ации.
В п р и м е р е В А Х н е л и н е й н о г о R - э л е м е н т а з а д а н а в т о ч к а х {u н э, i н э}: (0 , 0 ); (2 , 1);
(3 , 2 ); (5 , 3 ) , п о к а з а н н ы х н а р и с . 2 .2 5 .4 , а.
1. В к а ч е с т в е у з л о в к у с о ч н о - л и н е й н о й а п п р о к с и м а ц и и (с м . р и с . 2 .2 5 .4 , а ) в ы б и р а
ем у зл о в ы е то чк и , зад ан н ы е в у сл о в и и задачи.
2. О п и с ы в а е м Н Э н а к а ж д о м л и н е й н о м у ч а с т к е 1, 2, 3 у р а в н е н и е м п р я м о й ( 2 .2 5 .3 )
У часток 1
246
2. Практикум по теории электрических цепей
Участок 2
Участок 3
3. Составляем «кусочно-линейную» схему цепи (рис. 2.25.4, в) и выводим форму
лу связи реакции с воздействием:
4. Перебором Rk, u0k всех участков аппроксимации находим рабочую точку.
Участок 1. Значение тока не соответствует диапазону
изменения тока на участке 1
.
Участок 2. Значение iнэ соответствует диапазону изменения
тока на этом участке 2, где 1 < и < 2.
Участок 3. Значение тока т
о
к
а
изменения тока на этом участке 3, где 2 < u < 3.
не соответствует диапазону
Далее для схемы (рис. 2.25.4, в) находим по ЗН К напряжение на нелинейном
R-э
л
е
м
е
н
т
е
.
Таким образом, рабочая точка, находящаяся на участке 2, имеет iнэ = 1,5 А; uнэ =
2,5 В, что соответствует и результатам расчета графическим методом.
Описанная процедура перебора участков значительно осложняется в случае
большого числа нелинейных элементов и участков аппроксимации нелинейных
ВАХ.
Аналитический расчет нелинейных R-цепей при аппроксимации ВАХ НЭ полиномами
Последовательность расчета рассмотрим на примере схемы (рис. 2.25.3, а)
1. Аппроксимируем ВАХ НЭ степенным многочленом
причем число слагаемых полинома (2.25.4) определяется требованием необходи
мости прохождения его через заданное число точек ВАХ НЭ.
2.25. Расчет нелинейных резистивных цепей
247
В примере потребуем, чтобы полином (2.25.4) проходил через заданные четыре
точки (uk, ik). Тогда получим систему линейных уравнений для определения ко
эффициентов ak в (2.25.4):
Однако вместо решения (2.25.5) проще использовать формулу Лагранжа, которая
определяет уравнение полинома (2.25.4), проходящего через n точек:
В примере находим степенной многочлен (2.25.4) на основании (2.25.6):
2. Составляем систему независимых уравнений Кирхгофа, т. е. для схемы, изобра
женной на рис. 2.25.3, а, записываем уравнения
3. Подставляем в уравнения цепи (2.25.8) аппроксимированную ВАХ НЭ (2.25.7),
исключаем промежуточные переменные и получаем нелинейное функциональное
уравнение (Н Ф У ) относительно реакции:
248
2. Практикум по теории электрических цепей
4. Решаем каким-либо итерационным методом, т. е. методом последовательных
приближений, Н Ф У (2.25.9).
В примере для решения Н Ф У используем самый быстрый по сходимости метод
Ньютона—Рафсона. Расчетная формула метода
Имеем уравнение (2.25.10), откуда находим
Считаем, что нулевое приближение i0 = 0, тогда на первом шаге расчета на основа
нии (2.25.11) находим первое приближение:
Следующий шаг итерационного расчета
Третье приближение:
Полученное значение тока НЭ практически соответствует данным
графического расчета в рассматриваемом примере.
2.25.3. Заключение
В результате изучения материала темы необходимо усвоить основные положения
расчета R-НЦ графическим методом и методом кусочно-линейных моделей,
знать формулу Лагранжа и принцип и тер ац и о нного решения НФ У методом
Ньютона—Рафсона, уметь применять теорему об эквивалентных источниках для
упрощения расчета НЦ с одним НЭ.
3.
Контрольные вопросы
по теории электрических цепей
Введение
Цель данного раздела — помочь студентам вуза при подготовке к экзамену. Раз
дел содержит набор типовых экзаменационных проверочных вопросов (базис
ных, требующих практически мгновенного ответа) по курсу теории цепей.
В первой части набора вопросов по каждой теме (до знака «* **») приведены наи
более распространенные, простейшие проверочные вопросы —так называемые
«азы» теории цепей. Незнание ответа на любой из этих вопросов практически
сразу приводит к неудаче на экзамене.
3.1. Основные понятия и законы теории цепей
1. Что такое согласованная полярность? Какая полярность у источников и ка
кая —у пассивных элементов?
2. Что такое КЗ и XX?
3. Как записать ВАХ R -, L-, C-элементов?
4. Каковы свойства последовательного и параллельного соединений ДП?
5. Поясните запись уравнений ЗТК и ЗНК.
6. Что такое ИН и ИТ?
* * *
7. Что такое ток, напряжение, мощность ДП?
8. Что такое баланс мощностей в цепи?
9. Сколько независимых уравнений можно составить по ЗТК и ЗН К?
10. Что такое контур, ячейка, узел, устранимый узел?
11. Сформулируйте следствия, вытекающие из основных формулировок ЗТК
и ЗНК.
12. Что такое дуальные элементы и цепи?
3.2. Анализ резистивных цепей
1. К зажимам источника (напряжения или тока) подключен R-элемепт. Можно
ли считать, что они соединены последовательно? Параллельно? Найдите на
пряжение и ток каждого элемента.
2. Запишите Ф ДТ и ФДН.
3. Последовательно (параллельно) соединены элементы R1 и R2 ( R и XX, R
и КЗ). Найдите входное сопротивление.
4. Как рассчитывают цепь МН?
5. Что такое МПВ?
3.3. Анализ переходных процессов в линейных цепях
251
6. Как выполняется эквивалентное преобразование «ИН — ИТ»?
7. Как записывают уравнения МКТ в цепи с ИН (с ИТ)?
8. Как записывают уравнения МУН в цепи с ИТ (с ИН)?
9. ИН и резистор R2= 2 соединены параллельно. Найдите мощности p 1
и р 2, если ток в цепи направлен по часовой стрелке (против часовой стрелки).
10. Поясните ФДТ и ФДН, записанные с использованием сопротивлений (про
водимостей) цепи.
11. Чем отличается входное сопротивление от эквивалентного?
12. Что такое теорема замещения?
13. Как записывают уравнения МУН, если в цепи содержится один элементарно
непреобразуемый ИН (несколько ИН, имеющих общий узел)?
14. Что такое эквивалентное преобразование участка цепи?
15. Как выглядит эквивалентная схема МЭИН (М ЭИТ)? Как определяют экви
валентное с о п р о т и в л е н и е ? Что такое выходное (внутреннее) сопротивле
ние схемы?
3.3. Анализ переходных процессов в линейных цепях
во временной области при постоянных воздействиях
1. Что такое воздействие и реакция, вход и выход цепи, входной и выходной
сигналы?
2. Что такое принципы пропорциональности, дифференцируемости, наложения?
3. Чему эквивалентен замкнутый (разомкнутый) идеальный ключ?
4. Что такое свободный режим в цепи и свободная составляющая решения?
5. Почему у корней ХП цепи Re pk < 0?
6. Как определить Rэ в цепях 1-го порядка в свободном режиме?
7. Что такое принципы непрерывности, законы коммутации, независимые на
чальные условия?
8. Назовите характерные значения экспоненты ехр(–t/ ) в моменты t = 0, , 2 ,
3 , .
9. Постройте график u (t ) для t > 0.
10. Что такое уравнения состояния? Как они выглядят?
11. Цепь 6-го порядка имеет корпи ХП. За
пишите свободную составляющую в общем виде.
252
3. Контрольные вопросы по теории электрических цепей
12. Что такое апериодический режим в последовательной RLC-цепи? Колеба
тельный? Критический? Незатухающий колебательный?
13. Как выглядит эквивалентная схема для расчета установившегося режима
при постоянных воздействиях?
14. Когда в эквивалентной схеме для момента t = 0+ заменяют L-элемент на XX,
а C-элемент — на КЗ?
15. Что такое переходный процесс в цепи?
16. Как выглядит схема свободного режима?
17. Почему частное решение неоднородного дифференциального уравнения на
зывают вынужденной с о с т а в л я ю щ е й ?
18. Что такое установившийся режим в цепи?
19. Почему расчет установившегося режима условно обозначают t
?
20. Как определить порядок цепи?
21. Как составляют эквивалентную схему цепи для момента t 0+?
=
22. Как найти постоянную интегрирования в цепи 1-го порядка?
23. Какова практическая длительность переходного процесса в цепи?
24. Как составить уравнения состояния? Сформулируйте основные этапы про­
цедуры.
25. Составьте уравнения состояния последовательной RLC-цепи с ИН.
26. Найдите корни ХП параллельной LC-цепи в свободном режиме; запишите
свободную
составляю
щ
ую
. Почему здесь Re pk = 0?
27. Как по уравнениям состояния найти начальные значения производных пере
менных состояния для момента t = 0+?
28. Как по уравнениям состояния найти корни ХП?
29. Как по уравнениям состояния найти установившиеся значения переменных
состояния при постоянных воздействиях?
3.4. Применение обобщенных функций
для анализа переходных процессов
при воздействиях произвольной формы
1. Что такое единичная ступенчатая функция?
2. Что такое единичная импульсная функция (дельта-функция)?
3. Как связаны дельта-функцияи единичнаяступенчатаяф
ункция?
4. Чему равно произведение функциинадельта-функциюдля любых t?
3.5. Анализ линейных цепей при синусоидальных и экспоненциальных воздействиях
253
5. Что «хотят сказать», когда функцию умножают на единичную
ступенчатую
ф
ункцию
?
6. Почему формула f ( t ) (t) = f (0 )·( t ) называется свойством выборки дельтафункции?
7. Что такое ПХ h1(t ) и как ее найти?
8. Что такое ИХ h (t ) и как ее найти?
9. ПХ h1(t ). Найдите ИХ и постройте графики
для любых t.
10. Почему запись является некорректной?
11. Что такое особый случай коммутации? Приведите простейший пример.
12. Чем различаются графики функций
13. Почему формула называется фильтрующим
свойством дельта-функции?
14. Что такое функция единичного наклона и как она связана?
15. Почему при расчете ПХ независимые начальные условия равны нулю? Как
это коррелирует с видом воздействия?
16. Чему равны fвх (t ) и fвых(t) при расчете ПХ и ИХ?
17. Почему ИХ содержит слагаемое сдельта-функцией? Когда оно равно нулю?
18. Как найти характеристику h2(t )?
19. Как найти реакцию при воздействии произвольной формы?
20. Как описать входной сигнал кусочно-линейной формы (рекомендуется ис
пользовать метод двукратного дифференцирования)?
21. Как записывается реакция в случае воздействия кусочно-линейной формы?
22. Как определить в записи h2(t ) свободную и вынужденную составляющие ре
шения?
3.5. Анализ линейных цепей при синусоидальных
и экспоненциальных воздействиях
1. Что такое мгновенное, амплитудное и действующее значения сигналов сину
соидальной формы, а также их частота и период?
2. Чему равны действующее и амплитудное значения напряжения в промыш
ленной сети? Чему в такой сети равна частота?
3. Как выглядят графики функций
?
4. Что такое комплексная амплитуда и как по ней найти?
5. Как найти мгновенноезначениепозаданномукомплексному?
254
3. Контрольные вопросы по теории электрических цепей
6. Как записать комплексные сопротивления R-, L-, C-элемептов?
7. Запишите комплексные сопротивления элементов.
8. Что определяет мнемоническое правило ULICU? Как строят ВД простых це
пей?
9. Что такое ПРН в последовательной RLC-цепи? Почему при этом участок
L C =КЗ?
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Что такое ПРТ в параллельной RLC-цепи? Почему при этом участок LC = XX?
Запишите формулы Р, PQ, Ps и дайте им пояснения.
Почему у пассивного ДП Р > 0
?
Что такое резонанс в ДП произвольной структуры?
Что такое обобщенная частотная х а р а к т е р и с т и к а ?
Как получить экспериментально АЧХ?
Как получить экспериментально ФЧХ?
17. Как проконтролировать АЧХ по схеме?
18. Какие виды нормировки вы знаете и что она дает?
19. Как выглядят АЧХ идеальных Ф НЧ, ФВЧ, ППФ, П ЗФ ?
20. Приведите примеры схем Ф НЧ, ППФ, П ЗФ и ФВЧ и дайте трактовку их
АЧХ на характерных частотах.
21. Как обычно определяют ПП фильтра?
22. Почему запись и = 220 cos (314t —135°) некорректна?
23. Как разметить ось абсцисс графика u
градусах, радианах?
в секундах,
24. Что такое комплексное действующее значение? Как по U найти Um, u(t)?
25. Что такое МКА?
26. Что такое закон Ома в комплексной форме? В модулях?
27. Постройте ВД последовательной RLC-цепи.
28. Постройте ВД параллельной RLC-цепи.
29. Что определяет угол фазы? Когда пассивный ДП имеет индуктивный характер?
Емкостный? Когда в двухполюснике наблюдается резонанс? Поясните на
примере Zвх и ВД RLC-цепи.
30. Как записывается баланс мощностей в пассивном ДП?
31. Перечислите признаки резонанса в пассивном ДП.
32. Перечислите возможные способы настройки последовательной RLC-цепи в
резонанс.
33. Что такое АФХ цепи?
3.6. Применение преобразования Лапласа
255
34. Чему равна ЧХ цепи, если реакцией является ток входного ИН?
35. Какие виды ЧХ вы знаете?
36. Как выглядит АЧХ последовательной RLC-цепи? Как проконтролировать ее?
37. Почему при расчете переходных процессов в цепи при синусоидальных воз
действиях нельзя при вычислении независимых НУ заменять L-элемент на
КЗ, а C-элемент —на XX (при t < 0)?
38. Почему можно записывать?
39. Как разметить ось времени при качественном построении графикам
?
40. Почему солдатам не разрешается ходить в ногу по мосту? Поясните это на
примере подключения LC-цепи к ИН резонансной частоты.
41. Почему идеальный фильтр реализовать невозможно?
42. Почему граничную частоту ПП фильтра называют частотой среза?
43. Как связана ПП с добротностью RLС-контура?
44. Как выглядит условие передачи максимума мощности к нагрузке?
3.6. Применение преобразования Лапласа для анализа
переходных процессов в цепях
1. Какие формулы из таблицы преобразования Лапласа вы знаете?
2. Как найти сигнал п
о
его изображению
?
3. Как найти сигнал f ( t ), если его изображение F (s ) ?
4. Оригинал f (t ) — это прямоугольный импульс высотой 10, действующий в
интервале от 0 до t = 2. Как найти F (s )?
5. Как выглядит О СЗ L-элемента?
6. Как выглядит ОСЗ C-элемента?
7. Что такое ПФ цепи? Как, зная ПФ, найти h ( t ),H
(jw)?
8. Н (s ) = 10(s + l)/(s + 2). Найдите характеристики и постройте их
графики.
9. Как найти изображение сигнала кусочно-линейной формы методом двойно
го дифференцирования?
10. F ( s ) = 10/(s + 2). Какая форма записи оригинала является корректной
? Почему?
11. Как записываются следующие теоремы преобразования Лапласа: дифферен
цирования, интегрирования, запаздывания, о начальном значении ориги
нала?
256
3. Контрольные вопросы по теории электрических цепей
12. В каких задачах оригинал может содержать дельта-функцию?
13. Оригинал f (t ) — это импульс в форме положительной полуволны (полупе
риода) синусоиды амплитудой 10, действующей в интервале от 0 до t = pi/2.
Как найти F(s )?
14. F (s ) = 10/[s 2(s + 2)]. Как найти f ( t )?
15. F (s ) = 10/[s (s + 2 )2] . Как найти f ( t )?
16. Обоснуйте дуальность ОСЗ L- и C-элемептов.
17. Какую информацию содержит знаменатель ПФ цепи?
18. Изображение реакции в цепи 6-го порядка
. Как связана форма сигнала f ( t ) с полюсами его изображе
ния?
3.7. Анализ установившихся периодических режимов в цепи
1. Что такое РФ и какие сигналы он описывает?
2. Как найти постоянную составляющую (нулевую гармонику) РФ ? Что она
характеризует?
3. Как найти частоту и период 1-й (основной) гармоники периодического сиг
нала? Чем принципиально отличается 1-я гармоника РФ от 3-й?
4. Почему спектр периодического сигнала называется линейчатым и дискрет­
ным?
5. Как выглядит формула действующего значения периодического сигнала?
6. Как найти РФ на выходе цепи в УПР?
7. Каковы особенности РФ симметричных сигналов?
8. Как найти коэффициенты РФ периодического сигнала?
9. Что такое спектр периодического сигнала и как он выглядит? Каков интер
вал между гармониками спектра?
10. Как выглядит формула активной мощности пассивного ДП в УПР?
11. Является ли постоянный сигнал периодическим? Чему равны его мгновен
ное, среднее, амплитудное и действующее значения? Как выглядит его спектр?
12. Является ли синусоидальный сигнал периодическим? Чему равны его мгно
венное, среднее, амплитудное и действующее значения? Как выглядит его
спектр?
3.8. Спектральный метод анализа цепей
1. Как найти спектр апериодического сигнала?
2. Чему равно значение спектра на нулевой частоте?
3.8. Спектральный метод анализа цепей
257
3. Какие виды спектральных характеристик вы знаете?
4. Что такое ширина спектра? Какие ее критерии вы знаете?
5. Поясните, как связана ширина спектра с длительностью и крутизной сигнала.
6. Как выглядит спектр дельта-функции и чему равна его ширина?
7. Как найти спектр сигнала на выходе цепи?
8. Спектром какого сигнала являются ЧХ цепи?
9. Что определяют значения АЧХ цепи при нулевой и бесконечнойчастоте?
10. Что такое идеальная неискажающая цепь? Каковы ее временные и частотные
характеристики?
11. Что такое идеальная дифференцирующая (интегрирующая) цепь? Каковы ее
временные и частотные характеристики?
12. Как выглядят схемы дифференцирующей и интегрирующей RC-цепей?
13. Какие выводы можно сделать о реакции из сравнения спектра входного сиг
нала с ЧХ цепи?
14. Что такое амплитудно-модулированный сигнал, видеоимпульс, радиоимпульс,
несущая? Какова связь между спектрами видеоимпульса и радиоимпульса?
15. Какие сигналы имеют спектр?
16. Как связано одностороннее преобразование Фурье с преобразованием Лап
ласа?
17. Что такое спектр?
18. Как связан спектр одиночного импульса со спектром периодической после
довательности импульсов?
19. Чем различаются спектры кусочно-постоянных, кусочно-линейных и кусоч
но-параболических сигналов?
20. Как отыскать сигнал п о его изображению
?
21. Почему невозможно реализовать идеальный Ф НЧ? Что такое условие физи
ческой реализуемости (осуществимости)?
22. Чему равна ширина спектра прямоугольного и треугольного импульсов, ис­
ходя из критерия первого лепестка? В чем некорректность этой оценки?
23. В чем сходство и различие между спектральными и частотными характери­
стиками?
24. Какова четность спектральных (частотных) характеристик?
25. К какому типу фильтров относится дифференцирующая (интегрирующая)
RC-цепь?
26. Спектры каких сигналов не существуют?
258
3. Контрольные вопросы по теории электрических цепей
27. Поясните идею радиопередачи на основе связи спектров видео- и радиоим
пульсов.
28. Каким сигналам приписывается нулевая частота? А чему условно приписы
вается бесконечная частота?
3.9. Цепи с взаимной индукцией
1. Запишите формулу напряжения на индуктивно связанной катушке в t об
ласти (в установившемся синусоидальном режиме).
2. Что такое взаимная индуктивность?
3. Что такое согласное (встречное) включение индуктивно связанных катушек?
4. Как определить вид включения ин
д уктивно-связанных катушек?
5. Каковы свойства идеального трансформатора?
6. Охарактеризуйте элементы схемы трансформатора.
7. Что такое входное и вносимое сопротивления трансформатора?
8. Что такое однополярные выводы индуктивно связанных катушек?
* * *
9. Что такое совершенная магнитная связь, индуктивность рассеивания, коэф
фициент связи?
10. Что такое эквивалентное исключение индуктивной связи?
11. Почему эквивалентное исключение индуктивной связи не зависит от вида
включения индуктивно связанных катушек?
12. Что такое коэффициент трансформации?
13. Почему реальный трансформатор «не работает» на нулевой частоте?
14. Как приблизить реальный трансформатор к идеальному?
15. Как на практике найти взаимную индуктивность?
16. Каковы особенности ВД индуктивно связанных цепей?
3.10. Трехфазные цепи
1. Что такое ТФ Ц ? Симметричный источник? Симметричная нагрузка?
2. Как выглядит ВД симметричного трехфазного источника?
3. Что такое линейные и фазные напряжения, линейные и фазные токи?
4. Как связаны линейные и фазные напряжения ТФ Ц при соединении звездой?
5. Зачем нужен узловой провод в ТФЦ?
6. Что такое прямая (обратная) последовательность фаз симметричных трех
фазных источников?
3.12. Основы теории фильтров
259
7. Как связаны линейные и фазные токи (напряжения) при соединении ТФ Ц
треугольником?
8. Почему ВД ТФ Ц называют потенциальными? Топографическими?
9. Как принято направлять токи в ТФЦ?
10.
Как производится расчет ТФЦ?
3.11. Четырехполюсники и активные цепи
1. Как записываются z-, y - и a -формы уравнений ЧП?
2. Как найти параметры ЧП методом XX — КЗ?
3. Как выглядят условия обратимости и симметрии пассивного ЧП?
4. Что такое каскадное соединение ЧП?
5. Что такое согласованная нагрузка и характеристическое сопротивление сим
метричного ЧП?
6. Что такое вторичные параметры симметричного ЧП?
7. Какие типы ЗИ вы знаете?
8. Как выглядит схема замещения необратимого ЧП, содержащая два ЗИ ?
9. Что такое ОУ? Каковы его свойства?
10. Как записываются уравнения для нагрузки ЧП?
11. Как вывести ПФ ЧП?
12. Как пересчитать параметры ЧП (для иной формы уравнений)?
13. Что такое эквивалентные Т- и П-схемы ЧП? Когда они используются?
14. Как найти характеристическое сопротивление симметричного ЧП?
15. Что такое активный элемент цепи?
16. Каковы особенности расчета цепей с ЗИ?
17. Каковы особенности расчета цепей с ОУ?
18. Как выглядит формула, реализуемая решающей схемой на ОУ?
3.12. Основы теории фильтров
1. Каково основное свойство Z LC(s )?
2. Что такое нули и полюсы дробно-рациональной функции?
3. Чему равно сопротивление Z LC(s ) на нулевой и бесконечной частотах?
4. Что такое классический симметричный фильтр?
5. Каковы условия работы классического симметричного фильтра в ПП?
6. Что такое классический фильтр типа «k»?
260
3. Контрольные вопросы по теории электрических цепей
7. Как спроектировать ФВЧ по Ф Н Ч -прототипу?
8. Что такое фильтр Баттерворта? Каковы его нормированные сопротивление
нагрузки и частота среза?
9. Приведите примеры полиномов Баттерворта.
10. Как выглядят АЧХ фильтров Баттерворта и Чебышева?
11. Что такое фильтр Чебышева?
12. Как проектируют фильтры Баттерворта?
13. Какими свойствами обладают мнимые ЧХ реактивных ДП?
14. Почему у классического симметричного фильтра в ПП zC = Re zC, а сопро
тивления XX и КЗ имеют различный характер реактивности?
15. Как выглядит АЧХ классического симметричного фильтра в ПП?
16. Как выглядят схемы классических симметричных фильтров типа k?
17. Каковы недостатки классических фильтров?
18. Как спроектировать ППФ (П ЗФ ) по ФНЧ-прототипу?
19. Как учитывается сопротивление нагрузки при проектировании фильтров ме
тодом преобразования частоты?
20. Что такое полиномиальные фильтры?
21. Чем отличается фильтр Баттерворта от фильтров иных типов?
22. Чем отличается фильтр Чебышева от фильтров иных типов?
23. Что такое полиномы Чебышева? В чем их достоинства?
24. Как проектируют фильтры Чебышева?
3.13. Начала синтеза цепей
1.
2.
3.
4.
Каково основное свойство входного сопротивления (проводимости) LC-ДП?
Каковы условия реализуемости Zвх(s) LC-двухполюсником?
Как выглядят составляющие при реализации Zвх(s) схемой?
Какова формула соответствия входных сопротивлений LC- и RC-двухполюс
ников?
5. Каково условие реализуемости Zвх(s) RC-двухполюсником?
6. Какова формула простейшей решающей схемы на ОУ?
7. Как реализовать ПФ с отрицательными нулями и полюсами, использовав ре
шающие схемы на ОУ?
* * *
8. Почему степень числителя ZLC(s) на единицу отличается от степени знаме
нателя?
9. Как выглядят составляющие при реализации YLC(s) схемой?
3.15. Дискретные цепи и сигналы
261
10. Какие варианты схемной реализации ZLC(s) вы знаете?
11. Что такое частично выделенные полюсы при реализации ZLC(s)?
12. Как выглядит формула соответствия входных проводимостей LC- и RC-двух
полюсников аналогичной структуры?
13. Как реализуются уравнения состояния схемами на ОУ?
14. Как реализовать произвольную ПФ схемами по ОУ?
3.14. Цепи с распределенными параметрами
1. Чем различаются цепи с сосредоточенными и с распределенными парамет
рами?
2. Какими ЧП являются ДЛ?
3. Как трактуется решение уравнений ДЛ с использованием падающей и отра
женной волн?
4. Что такое волновое сопротивление и коэффициент распространения ДЛ?
5. Что такое согласованный режим работы ДЛ?
6. Что такое линия без потерь?
7. Что такое фазовая скорость волны в ДЛ?
8. Что такое длина волны в ДЛ?
9. Каковы свойства отрезка ДЛ в четверть длины волны?
10. Приведите примеры цепей с распределенными параметрами.
11. Что такое телеграфное уравнение ДЛ?
12. Как трактуется решение уравнений ДЛ, записанное в гиперболической форме?
13. Что такое линия без искажения? Без отражения?
14. Что такое коэффициент отражения?
15. Искажает ли ДЛ в согласованном режиме?
16. Чему равен коэффициент отражения ДЛ при XX (или КЗ) нагрузки?
17. Что такое многократное отражение в ДЛ?
18. Что такое стоячие волны в ДЛ?
3.15. Дискретные цепи и сигналы
1. Чем дискретный сигнал отличается от непрерывного?
2. Сформулируйте теорему дискретизации (теорему Котельникова).
3. Как выглядит спектр дискретного сигнала в сравнении со спектром непре
рывного сигнала?
4. Почему фильтр Котельникова —это идеальный Ф НЧ?
262
3. Контрольные вопросы по теории электрических цепей
5. Каковы элементы схем линейных ДЦ?
6. Как осуществляется численный расчет ДЦ?
7. Что такое ПХ дискретной цепи?
8. Что такое ИХ дискретной цепи и как она связана с ПХ?
9. Как записывается z-преобразование решетчатых функций
?
10. Как записывается теорема запаздывания z-преобразования и как ее можно
использовать для отыскания оригинала?
11. Как записывается теорема разложения z-преобразования?
12. Что такое ПФ ДЦ и как она связана с ИХ, ПХ и РУ ДЦ?
13. Что такое предначальные условия при расчете ДЦ?
14. Как составить схему ДЦ по ее РУ?
15. Каковы достоинства дискретных сигналов?
16. В чем состоит идеализация записи дискретных сигналов?
17. В чем заключаются некорректные моменты теоремы Котельникова?
18. Что такое дискретная последовательность (решетчатая функция)?
19. Почему уравнения ДЦ часто называют разностными уравнениями?
20. Как выглядит формула прямого z-преобразования?
21. Как выглядят свободная и вынужденная составляющие решения РУ дис
кретной цепи?
22. Что такое ряд Лорана применительно к формуле прямого z-преобразования?
23. Как спроектировать ДЦ методом полного соответствия ПХ дискретной и ана
логовой цепей?
24. Что такое численное решение уравнений состояния на основе билинейного
преобразования?
25. Что такое численное решение уравнений состояния на основе алгоритма
Эйлера?
26. Как найти ПФ ДЦ, зная ПФ исходной непрерывной цепи?
27. Какие способы определения интервала дискретизации вы знаете?
3.16. Нелинейные цепи
1. Что такое НЭ? НЦ? Как обозначают НЭ?
2. Каковы общие свойства НЦ?
3.17. Начала синтеза пассивных четырехполюсников
263
3. В чем достоинства и недостатки графического метода расчета нелинейных
R-цепей?
4. В чем сущность формулы Лагранжа при расчете R -НЦ?
5. Что такое итерационные методы решения НФУ?
6. Что такое кусочно-линейная модель R-НЭ?
7. В чем состоит идеализация диодных характеристик?
8. Что такое РТ?
9. Что такое статические и дифференциальные параметры НЭ?
10. Каковы признаки классификации НЭ и НЦ?
11. Когда можно использовать МЭИ при расчете НЦ?
12. Что такое метод трех точек при расчете R-НЦ?
13. Охарактеризуйте метод Ньютона—Рафсона при решении НФУ.
14. Что такое кусочно-линейные диодные модели?
15. В чем особенность уравнений состояния при расчете НЦ?
16. Как рассчитывать переходные процессы в НЦ методом кусочно-линейной
аппроксимации?
17. В чем сущность метода гармонического баланса?
3.17. Начала синтеза пассивных четырехполюсников
1. Почему параметр z22 LC-ЧП удовлетворяет основному свойству Z LC(s )?
2. Почему знаменатели z12(s ) и z 22(s ) одинаковы?
3. Что такое частные полюсы z22(s) и y 22(s )?
4. Чем определяются нули ПФ ЧП?
5. Что такое частичное выделение полюса z (s )?
6. Что такое условие Фиалкова?
7. Как определить параметры LC-ЧП по заданной П
Ф
?
8. Как формулируется условие реализуемости LC-ЧП?
9. Как реализуются частные полюсы y22(s) и z22(s)?
10. Почему при реализации y22(s) на полюсы y12(s) «не обращают внимания»?
11. Как реализуются нули y12, совпадающие с нулями остатка от реализации y22?
12. Почему при совпадении нуля остатка с нулем ПФ этот остаток необходимо
обратить?
13. Почему нули и полюсы ПФ RC-ЧП должны быть отрицательными?
264
3. Контрольные вопросы по теории электрических цепей
14. Почему параметр y 22 RC-ЧП должен удовлетворять основному свойству YRC(s )?
15. Как определить параметры RC-ЧП по заданной ПФ?
* * *
16. Как выглядят ПФ пассивного ЧП при нормированной нагрузке?
17. Как маркируют элементы ЧП лестничной структуры?
18. Почему полюсы продольных сопротивлений Z 1k(s ) и поперечных проводи
мостей Y0k(s) —это нули ПФ ЧП?
19. Почему частично реализованный полюс не является нулем ПФ ЧП лестнич
ной структуры?
20. Чем должна заканчиваться реализация ЧП лестничной структуры?
21. Как определить параметры LC-ЧП по заданной ПФ?
22. Как реализуются нули y 12, не совпадающие с нулями остатка от реализации
23. Поясните, как при частичной реализации полюсов Y (s ) можно
получить пуль остатка на любой частоте?
24. Почему при синтезе лестничного ЧП остатки от реализации y22 (или z22) об
ращают?
25. Какими должны быть нули ПФ LC-ЧП лестничной структуры?
26. Какими должны быть нули ПФ RC-ЧП лестничной структуры?
27. Как определить параметры RC-ЧП по заданной ПФ?
28. Как используется условие Фиалкова при реализации лестничных ЧП?
3.18. Связанные контуры с большой добротностью
1. Как выглядят схемы связанных контуров с индуктивной, емкостной и транс
форматорной связью?
2. Какие виды резонанса в связанных контурах вы знаете?
3. Как наиболее просто реализовать полный резонанс в связанных контурах?
4. Каково условие передачи максимума мощности в нагрузку в связанных кон
турах?
5. Как выглядят ЧХ связанных контуров?
6. Охарактеризуйте фильтрующие свойства связанных контуров.
7. Что такое обобщенная расстройка в связанных контурах?
* * *
8. Что такое частный резонанс в связанных контурах и как он реализуется?
3.20. Основы теории чувствительности цепей к изменению параметров
265
9. Что такое индивидуальный резонанс в связанных контурах и как он реализу
ется?
10. Что такое сложный резонанс в связанных контурах и как он реализуется?
11. Что такое оптимальный резонанс в связанных контурах и как он реализу
ется?
12. Какой вид ЧХ связанных контуров считается наилучшим?
13. Что такое обобщенный коэффициент связи в связанных контурах?
14. Как проектируют связанные контуры?
3.19. Основы машинно-ориентированных методов
расчета цепей
1. Что такое матрица соединений? Структурная матрица? Матрица инциден
ций?
2. Каковы основные свойства структурной матрицы?
3. Как по независимой структурной матрице восстановить полную?
4. Как выглядят упорядоченные матричные уравнения цепи?
5. Что такое главное сечение? Как составить матрицу главных сечений?
6. Что такое главный контур? Как составить матрицу главных контуров?
7. Как записать фундаментальную матрицу цепи?
8. Как записать в матричной форме уравнения закона Ома?
9. Что нужно знать о цепи для составления структурной матрицы?
10. Как записываются уравнения ЗН К с использованием структурной матрицы?
11. Что такое ориентированный граф цепи?
12. Как нумеруются ветви графа цепи? Что такое дерево графа? Хорда?
13. Почему уравнения для главных сечений независимы?
14. Почему независимы уравнения для главных контуров?
15. Как связаны матрицы главных сечений и главных контуров?
16. Почему в уравнениях ЗТК вытекающие из узла токи учитываются с «плю
сом»?
3.20. Основы теории чувствительности цепей
к изменению параметров
1. Сформулируйте теорему компенсации.
2. Как найти изменение реакций на основе теоремы компенсации?
266
3. Контрольные вопросы по теории электрических цепей
3. Что такое присоединенная цепь?
4. Что такое функция абсолютной чувствительности?
5. Как составить ПЦ для определения ФАЧ?
6. Как, зная ФАЧ, приближенно оценить изменение реакции?
7. Как составить ПЦ, дифференцируя уравнения цепи?
8. Как формулируется теорема Теледжена?
9. Как составить ПЦ для расчета ФАЧ на основании теоремы Теледжена?
10. В чем особенности расчета ФАЧ по ПЦ, составленным по теореме компенса
ции и по теореме Теледжена?
11. Как составляется ПЦ по теореме Теледжена, если реакцией является выход
ное напряжение?
12. Как составляется ПЦ по теореме Теледжена, если реакцией является выход
ной ток?
* * *
13. Как формулируется дуальная теорема компенсации?
14. Почему дополнительный источник в теореме компенсации называют ком
пенсационным?
15. Что произойдет, если компенсационный источник включить в исходную
цепь, изменив его полярность?
16. Эквивалентны ли ПЦ, составленные по основной и дуальной теоремам ком
пенсации?
17. Как выглядит дуальная ПЦ для определения ФАЧ?
18. Как связаны ФАЧ к изменению сопротивления и проводимости заданного
элемента цепи?
19. Какие примеры применения теоремы Теледжена вы можете привести?
20. Что такое уравнение чувствительности?
21. В чем различия ПЦ, используемых для расчета ФАЧ?
22. Как найти изменение реакций, если одно из сопротивлений цепи изменится
в k раз?
23. Как найти изменение реакций, если все сопротивления цепи изменятся
в k раз?
24. Как выглядят формулы для расчета ФАЧ на основе теоремы Теледжена?
3.21. Релейные автоколебательные цепи
1. Что такое релейные элементы и как выглядят их характеристики?
2. Как записываются условия переключения (срабатывания) идеального реле?
3.22. Магнитные цепи при постоянных магнитных потоках
267
3. Как записываются условия переключения (срабатывания) РЭ с гистерезис
ной характеристикой?
4. Как записывается изображение периодического воздействия?
5. По каким параметрам ПФ определяют свободную составляющую решения?
6. Как найти изображение установившейся периодической реакции в релейной
автоколебательной цепи?
7. Где ранее использовался метод выделения свободной составляющей?
8. Как должны выглядеть свободная и вынужденная составляющие решения
в t-области? В s-области?
9. Когда в разложении H1(s ) по полюсам сумма вычетов (сумма коэффициен
тов Ak) равна нулю?
10.
Как выглядит изображение периодической реакции в релейной автоколеба
тельной цепи?
11. Почему в изображении установившейся периодической реакции составляю
щие с сомножителем ехр(–sT/2) обычно можно опустить?
12. Что такое порог срабатывания РЭ?
3.22. Магнитные цепи при постоянных магнитных потоках
1. Что такое МЦ?
2. Почему МЦ является нелинейной?
3. Как выглядят характеристики ферромагнитных материалов, составляющих
МЦ?
4. Как определяют направление МП по правилу правого винта?
5. Что такое закон полного тока?
6. Как связаны магнитная индукция и напряженность магнитного поля?
7. Какие допущения используются при расчете МЦ при постоянных магнит
ных потоках?
8. В чем особенность расчета неразветвленной МЦ?
* * *
9. Приведите примеры однородных, неразветвленных, разветвленных, неодно
родных МЦ.
10.
Как выглядят характеристики воздушных зазоров МЦ?
11. Что такое магнитомягкие и магнитотвердые материалы?
12. В чем причины гистерезиса в ферромагнитных материалах?
268
3. Контрольные вопросы по теории электрических цепей
13. Ч е м р а з л и ч а ю т с я и н д у к т и в н о с т ь к а т у ш к и с ф е р р о м а г н и т н ы м с е р д е ч н и к о м
и и н д у к ти в н о сть к ату ш к и с «во зд у ш н ы м сер д еч н и к о м » ?
14.
В чем ан а л о ги я расч ета М Ц и R -Н Ц ?
15.
В чем особен н ость расчета р азветвлен н ы х М Ц ?
16.
В чем о со б ен н о сть р асч ета М Ц с п о сто я н н ы м м агн и то м ?
17. Ч т о т а к о е М П н а у ч а с т к е Н Ц ?
4. Олимпиадные задачи по теории
электрических цепей
Введение
Этот раздел посвящен рассмотрению разнообразных вариантов олимпиадных
задач по темам курса теории цепей, которые чаще всего использовались как на
внутривузовских и открытых олимпиадах СПбГЭТУ «ЛЭТИ», так и иа межву
зовских (региональных, городских) олимпиадах в течение последних 10 лет.
Некоторые из задач сопровождаются ответами и краткими методическими указа­
ниями по выбору возможной идеи решения.
Большинство олимпиадных задач было предложено доцентом кафедры ТОЭ
СПбГЭТУ «ЛЭТИ» Н .И . Дмоховской. Ежегодные олимпиады по ТОЭ позволя
ют выявить научный и творческий потенциал студентов уже на младших курсах.
4.1. Анализ резистивных цепей
В приведенных задачах (кроме варианта 14) воздействия предполагаются посто
янными.
4.1 Анализ резистивных цепей
271
272
4. Олимпиадные задачи по теории электрических цепей
4.1. Анализ резистивных цепей
273
274
4. Олимпиадные задачи по теории электрических цепей
Указания. При решении следующих вариантов задач рекомендуется использо­
вать: 1) законы Кирхгофа; 2) вначале расчет напряжения ИН, а затем МН; 3) то
обстоятельство, что i3 зависит только от u4; 4), 5) баланс мощностей; 6) законы
Кирхгофа; 7) баланс мощностей; 8) ЗТК и баланс мощностей; 9) свойства линей
ности; 10) баланс мощностей и свойства линейности; 11) эквивалентное преобра
зование соединений звездой и треугольником; 12) свойство неизменности коэф
фициента передачи; 13) уравнения МКТ; 14) теорему взаимности и свойство
линейности; 15) теорему об эквивалентном источнике; 16) формулы для переда
точных проводимостей; 17), 18) теорему об эквивалентном источнике и свойство
линейности; 19) свойства линейности (наложения и пропорциональности);
20) уравнения МКТ; 21) законы Кирхгофа; 22) МКТ; 23) МУН; 24) ЗНК; 25) ба
ланс мощностей; 26) МКТ; 27) МН; 28) то обстоятельство, что при замкнутом
ключе структура цепи симметрична относительно источников; 29) баланс мощ
ностей; 32) уравнения МКТ, заменив ветвь с R6 на источник тока; 37) ЗТК
и ФДТ; 38) МН и свойство неизменности передаточных коэффициентов цепи;
39) метод преобразования источников; 40) законы Кирхгофа и формулу мощ
ности ИН; 41) баланс мощностей; 42) формулу мощности R-элемептов; 43) фор
мулу мощности R-элементов и ЗНК; 44) ЗНК и теорему об эквивалентном источ
нике.
4.2. Анализ переходных процессов во временной области
при постоянных и произвольных воздействиях
Предполагается, что в момент t = 0 в цепи происходит коммутация в результате
замыкания (размыкания) ключа К или скачкообразного изменения воздействия.
В вариантах 1...6, 8,12, 14, 16, 18, 20...28, 30...33, 38, 40...44,46, 48...51, 55...63, 68, 69,
71, 72, 75, 76, 78, 79, 81 воздействия постоянны. Найти указанные реакции при
t >0.
4.2. Анализ переходных процессов во временной области
275
276
4. Олимпиадные задачи по теории электрических цепей
4.2. Анализ переходных процессов во временной области
278
4. Олимпиадные задачи по теории электрических цепей
4.2. Анализ переходных процессов во временной области
280
4. Олимпиадные задачи по теории электрических цепей
4.2. Анализ переходных процессов во временной области
281
282
4. Олимпиадные задачи по теории электрических цепей
Указания. При решении следующих вариантов задач рекомендуется: 1), 2), 19),
21) исследовать режимы работы цепи; 3) использовать значения i4(0+), i4( );
4) найти ; 5), 45), 47), 67), 70) исследовать схемы при t = 0+, t ; 6) учесть
uC (0+) при расчете uC2вын по эквивалентной схеме; 7) использовать ВАХ C-эле
мента при расчете u32; 8), 9) определить порядок цепи; 10) учесть, что i3(1+) =
11) учесть, что характер цепи должен быть резистивным; 12) проанали
зировать схемы при t = 0–, t ; 13) использовать формулы энергии для C- и Rэлементов; 14) учесть, что в цепи особый случай коммутации; 16), 41), 43), 46),
59), 66), 71), 72) составить ХП цепи; 17) найти ПХ для uC; 20) учесть, что уравне
ния состояния справедливы для любых t; 22) учесть, что u'C(0+) = iC(0+)/C ;
23) вначале проанализировать схему свободного режима; 24) учесть, ч то i'L(0+) =
= uL(0+)/ L ; 44) учесть идентичность решений; 48) преобразовать ИТ i7 к эквива
лентному ИН; 49) вначале найти u6; 50), 55), 60) исследовать схему при t = 0–,
t = 0+, t ; 51) использовать перебор вариантов; 52) использовать ВАХ L-эле
мента и анализ схем при t = 0+, t ; 53), 61), 81) использовать МЭИ; 56) учесть,
что процессы на участках R3L4, R5C6, R7L8 независимы; 57) использовать ВАХ Cэлемента и анализ схем при t = 0+ , t ; 58) обратить внимание на аналогию
двух цепей, образующихся при t> 0; 65) обратить внимание на значение i5(0+);
69) исследовать схемы при t = 0+, t ; 73) идентифицировать переменные со
стояния и рассмотреть уравнения состояния при t и t = 0+; 74) составить ХП
при t < 5 и t > 5; 75) найти i'2(0+) по уравнениям состояния; 78) использовать ре
шение для uC(t ) .
4.3. Анализ установившихся синусоидальных режимов
4.3. Анализ установившихся синусоидальных режимов
283
284
4. Олимпиадные задачи по теории электрических цепей
4.3. Анализ установившихся синусоидальных режимов
285
Z86
4. Олимпиадные задачи по теории электрических цепей
4.3. Анализ установившихся синусоидальных режимов
287
288
4. Олимпиадные задачи по теории электрических цепей
4.3. Анализ установившихся синусоидальных режимов
289
Указания. При решении следующих вариантов задач рекомендуется: 1), 10) ис
пользовать формулу; 2) найти Zвх, преобразовав схему
; 3), 35), 37), 39) учесть, что в цепи резонанс, и использовать БД; 4) об
ратить внимание на треугольник напряжений на БД; 5) найти и сопоставить Р
и Ps; 6) определив I3, используя БД и формулу для расчета P, составить уравне
ния для отыскания I2 и I4; 7) используя расчет Ps , найти I2 ; 8) использовать БД с
учетом свойств резонансного контура и равенства; 9), 32) исполь
зовать эквивалентное преобразование ИН — ИТ; 11) найти угол и построить БД;
12), 13), 34) при выборе ответов учитывать оценку, ВД, особенности
П РН и ПРТ; 14) определив |Z 5| и R4, найти Y23; 15), 20) учесть значение PQпри ре
зонансе; 16) учесть, что при U3 = 0,5U1 имеем L2 = L3 = L, | М | = 0,5L ; 17) эквива
лентно преобразовать схему к параллельному соединению ИТ, R4, LC-ДП и найти
частоту резонанса токов в ДП; 18) определить угол, найти U5, а затем R2;
290
4. Олимпиадные задачи по теории электрических цепей
ле19)оп
рдив PS, Uвх, P6, найти Ps остальной цепи и I 24 = I 2 + I 4; 21), 23), 30) учесть, что в
цепи резонанс; 22) учесть, что u4 = u6, а на участке L2R3C4 резонанс; 24) использо
вать оценку Im
4 и угла; 25), 36) оцепить Zвх при w = 2, а также угол при w = 4; 26) оце
нить P и Ps; 27) оценив Ps при разомкнутом и замкнутом ключе, составить соот
ветствующие эквивалентные схемы; 28) определив Iвх, использовать баланс
мощностей; 29) записав в общем виде выражение I 5 = Y5-1U1 по знаменателю Y5-1
составить уравнение для определения R4; 31) учесть, что в цепи резонанс до изме
нения C4 и после него; 33) учесть, что на частотах w1 и и 0,5w1 в цепи резонанс;
38) найти входной ток и использовать ВД; 40) считая U2 = 2, выразить
Iкз = Iк з(L).
4.4. Расчет переходных процессов при синусоидальных
воздействиях
Предполагается, что в момент t = 0 в цепи происходит коммутация в результате
замыкания (размыкания) ключа К или скачкообразного изменения воздействия.
Найти указанные в условии задач величины при t > 0. Величины f в и fсв, исполь
зуемые в некоторых задачах, — вынужденная и свободная составляющие реак
ции.
4.4. Расчет переходных процессов при синусоидальных воздействиях
291
292
4. Олимпиадные задачи по теории электрических цепей
4.4. Расчет переходных процессов при синусоидальных воздействиях
293
294
4. Олимпиадные задачи по теории электрических цепей
Указания. При решении следующих вариантов задач рекомендуется: 1) учесть,
что из неизменности амплитуды тока следует неизменность модуля сопротивле
ния; 2) учесть, что
iL2(0–) = 0;
3), 10), 22), 26), 27),
29) учесть, что в цепи резонанс; 4) учесть, что при t < 0 в цепи ПРТ, а при t > 0
имеем две цепи первого порядка; 5) использовать ХП цепи и учесть, ч то iв(0+) +
i св(0+) = 0; 6) записать uC(t ) и выразить iC(0+) = Cu'C (0+); 7) учесть, что данная
задача эквивалентна задаче включения цепи к ИН u ( t ) (можно
рассматривать две цепи первого порядка); 8) многократным эквивалентным пре
образованиям ИН — ИТ перейти к последовательному RэL-контуру с И Н
U
m
; 9) использовать принцип пропорциональности и соотношение
u L(0+) = Li'2
( 0+); 11) учесть, что при t > 0 имеем две цепи первого по
рядка; 13) учесть, что i2(0+) = i2(0–); 14) использовать ВД и ЗТК для мгновенных
значений при t = 0 – и t =0+; 15) использовать уравнения Кирхгофа; 16) расчет
вести в установившемся режиме; 17) использовать расчет уста
новившегося режима; 18) учесть, что токи не и з м е н я т с я ;
19) проводить проверку по амплитуде, фазе, НУ и числу корней ХП; 20) прово
дить проверку по НУ, числу корей ХП, фазам и соотношению амплитуд токов в
вынужденном режиме; 21) учесть непрерывность тока i2; 23) учесть, что в цепи
резонанс, и использовать ХП цепи; 24) использовать ХП цепи; 25) при расчете
учесть ПРТ в L3C4-контуре; 30) учесть, что u24в(t ) = 0 при t >0;
31) обратить внимание на значение i6 в (0+).
4.5. Анализ установившихся периодических режимов в цепях
295
4.5. Анализ установившихся периодических режимов в цепях
При решении всех рассматриваемых в данном разделе задач необходимо иметь в
виду, что в цепи имеет место установившийся периодический режим.
296
4. Олимпиадные задачи по теории электрических цепей
Указания. При решении задач рекомендуется использовать формулы вычисления
действующего значения переменных в установившемся периодическом режиме,
условия резонанса (в вариантах 3—9), метод наложения (в вариантах 9, 10).
4.6. Расчет трехфазных цепей
В приведенных задачах порядок следования фаз — прямой, источник — симмет­
ричен.
4.7. Анализ цепей с зависимыми источниками
297
Указания. Решение некоторых вариантов задач (например, 1, 6, 9) упрощается
при использовании векторных диаграмм; в конце решения варианта 8 целесооб
разно применить теорему об эквивалентных источниках.
4.7. Анализ цепей с зависимыми источниками
298
4. Олимпиадные задачи по теории электрических цепей
Указания. При решении следующих вариантов задач рекомендуется: 1) вначале
рассмотреть режим t = 0+, а затем —расчет вынужденной составляющей; 2) вна
чале для случае k = 0 рассмотреть режим t = 0+ и вынужденный режим; 3) задав
шись а u6, использовать формулы МКА для комплексной мощности, законов
Кирхгофа и Ома; 4) использовать формулы МКА для законов Кирхгофа и Ома;
5) использовать формулы для мощностей и законы Кирхгофа; 6) использовать
идеи метода наложения; 7) использовать формулы баланса мощностей; 8) ис
пользовать метод наложения; 9) вначале рассмотреть режим t = 0+, а затем —рас
чет вынужденной составляющей; 10) рекомендуется рассмотреть режим t = 0+.
5. Задачи по теории
электромагнитного поля
Введение
Цель этого раздела познакомить студентов с задачами, встречающимися при изу
чении теории электромагнитного поля дисциплин «Теоретическая электротехника» и
«Теоретические основы электротехники».
Содержание раздела соответствует программе курса по теории электромагнитного
поля и ориентировано на учебник [1].
Задача, путь решения которой описан в подразделе 5.6, снабжена указателем «р»
в конце номера задачи. Указатель «м» используется, если изложены только методиче
ские рекомендации по решению задачи.
302
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ðèñ. 5.5
Ðèñ. 5.6
5.1.8 (м). Два тонких параллельных коаксиальных кольца, одинакового радиуса a
находятся на расстоянии b друг от друга. Работа, которую необходимо затратить при
переносе точечного заряда q в центр каждого из колец равна соответственно W1 и W2.
Показать, что заряды колец равны
4120 a 2 2 1/ 2 2 2 1/ 2
q1,2 3
(a 4 b ) [(a 4 b ) W1,2 5 aW2,1].
qb2
5.1.9 (м). Заряд распределен равномерно с поверхностной плотностью s по тон"
кому диску радиуса r0 (рис. 5.6). Окружающая среда — воздух.
Найти потенциал и напряженность поля на оси z. Численное решение выполнить в
точке z = 10 см, приняв r0 = 10 см, s = 10–6 Кл/м.
5.1.10 (м). Двойной электрический слой имеет форму тонкого диска радиуса r0.
Толщина диска h = r0. Заряды распределены равномерно, так что s1 = –s2 = s = const.
Найти потенциал и напряженность поля на оси z.
5.1.11 (р). Заряд q распределен с постоянной объемной плотностью r = const по
объему шара радиуса r0 (рис. 5.7). Диэлектрическая проницаемость везде равна e0.
Найти напряженность и потенциал поля внутри и вне шара. Численное решение
выполнить в точках r = 0; r0 и 2r0, положив r0 = 8 см, r = 10–6 Кл/м3.
0
Ðèñ. 5.7
Ðèñ. 5.8
5.1.12 (м). Решить задачу 5.1.11 (р) при условии, что тот же заряд q сообщен
металлическому шару.
5.1.13 (р). При искровом разряде в воздухе образовался цилиндрический столбик
ионизированного газа. Сечение представлено на рис. 5.8. Объемное распределение
положительных ионов в первом приближении подчиняется соотношению
2
1
r 2
5(r) 6 50 81 7 3 4 9 ,
r0 где r0 — плотность заряда на оси цилиндра; r0 — его радиус.
Найти распределение напряженности поля внутри и вне канала разряда при
условии, что его длина значительно больше радиуса. Численное решение выполнить
при условии: r0 = 10–2 Кл/м3, r0 = 2 мм.
5.1. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå
303
5.1.14 (р). Заряд распределен с постоян
ной объемной плотностью r = 10–6 Кл/м3 в об
ласти, ограниченной двумя цилиндрическими
поверхностями, радиусы которых r1 и r2 (r1 > r2).
Оси цилиндров параллельны; расстояние ме
жду ними a = 2 cм (рис. 5.9). Диэлектрическая
проницаемость среды везде e0.
Показать, что поле внутри цилиндра мень
шего радиуса однородно и равно
1
1 1
E1
2a,
230
1
Ðèñ. 5.9
где вектор a направлен от оси большего к оси
меньшего цилиндра.
5.1.15 (р). Между двумя бесконечными параллельными металлическими пласти
нами находятся заряженная плоскость и двойной электрический слой. Координаты со
ответствующих плоскостей указаны на рис. 5.10. Поверхностная плотность зарядов
поверхности s, мощность двойного слоя t. Потенциал правой пластины равен U0, ле
вая пластина заземлена. Диэлектрическая проницаемость среды везде равна e0.
Найти распределение потенциала U(x).
5.1.16 (р). В области, ограниченной двумя бесконечными параллельными пласти
нами, распределен заряд с постоянной объемной плотностью r = const (рис. 5.11).
Ðèñ. 5.10
Ðèñ. 5.11
Ðèñ. 5.12
Расстояние между пластинами h. Диэлектрическая проницаемость равна e0. Потенци
ал правой пластины U0, левая пластина заземлена.
1
Найти распределение потенциала U(x) и напряженности поля E (x).
5.1.17 (м). В условии задачи 5.1.16 (р) правая пластина заземлена, объемная плот
ность заряда r(x) = a(x – h/3), диэлектрическая проницаемость равна e.
Найти распределение потенциала, напряженности поля, поверхностные плотно
сти свободного заряда на пластинах и связанного заряда в диэлектрике.
5.1.18 (м). В условии задачи 5.1.17 (м) распределение заряда r(x) = r0[1 – (x/h)2],
где r0 — постоянная. Расстояние между пластинами 2h, начало координат в центре
системы.
Найти распределение потенциала U(x).
5.1.19 (р). В полубесконечной области (рис. 5.12) находится нейтральная система
зарядов следующего строения: 1) при x = 0 — заряженная металлическая плоскость:
304
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
s1 = –s; 2) при x = h — заряженная поверхность: s2 = 0,8s; 3) при x > h — объем
0,22 1 (x / h 11)
. Среда — однородный диэлектрик e = const.
e
h
1
Найти распределение потенциала U(x) и напряженности поля E (x).
5.1.20 (м). Решить задачу 5.1.19 (р), используя третье уравнение Максвелла в
интегральной форме.
5.1.21 (м). Плоский конденсатор заполнен тремя слоями диэлектрика. Толщина
слоев h1, h2 и h3; диэлектрические проницаемости e1, e2 и e3. Наименьшую электриче
скую прочность имеет третий слой, допустимое значение напряженности поля в кото
ром E3д.
Найти наибольшее (допустимое) значение напряжения Uд конденсатора. Численное
решение выполнить, положив h1 = 4 мм, h2 = 1 мм, h3 = 0, 5 мм, e1 = 7e0, e2 = 3,5e0,
e3 = e0, E3д = 30 кВ/см.
5.1.22 (м). Коаксиальный цилиндрический кабель имеет двухслойную изоляцию
из диэлектриков с проницаемостями e1 и e2 (рис. 5.13). Радиус сечения внутреннего
металлического электрода (жилы) r1, внутренний радиус внешнего электрода (оболоч
ки) r3, радиус границы раздела слоев r2. Допустимые значения напряженности поля в
диэлектриках E1д и E2д.
Найти: 1) отношение r2/r1, при котором в каждом из слоев максимальные значения
напряженности равны допустимым значениям; 2) наибольшее (допустимое) напряже
ние Uд кабеля.
5.1.23 (м). Коаксиальный кабель находится под напряжением U0. Изоляция кабе
ля — однородный диэлектрик; радиус жилы r1, внутренний радиус оболочки r2.
Полагая r2 = const, найти r1, при котором максимальная напряженность поля име
ет наименьшее значение.
5.1.24 (р). К двум коаксиальным цилиндрическим электродам радиусов r1 и r2 при
ложено напряжение U0. Межэлектродный промежуток заполнен диэлектриками с про
ницаемостями e1 сверху и e2 снизу
1 1 (рис. 5.14).
Найти: 1) векторы поля E и D в обеих средах; 2) поверхностную плотность сво
бодных и связанных зарядов на поверхности внутреннего электрода. Численное реше
ние выполнить при условиях r1 = 1 cм, r2 = 2,7 cм, e1 = 2e0, e2 = 4e0, U0 = 1000 В.
5.1.25 (р). Область поля ограничена четырьмя бесконечно длинными (в направ
лении оси z) металлическими пластинами. Одна пара параллельных пластин заземле
на, потенциал другой пары U0 (рис. 5.15). Диэлектрическое заполнение однородно.
Найти распределение потенциала U(x, y).
ный заряд: 3 4
Ðèñ. 5.13
Ðèñ. 5.14
Ðèñ. 5.15
5.1. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå
305
5.1.26 (м). Решить задачу 5.1.25 (р) при условии, что верхняя пластина удалена в
бесконечность.
5.1.27 (р). В области, ограниченной двумя параллельными металлическими пла
стинами (рис. 5.16), экспериментально установлено распределение потенциала U(x) =
= a(b2/4 – x2). Здесь a и b — некоторые постоянные. Рас
стояние между пластинами h; диэлектрическая проницае
мость e = const.
Найти распределение зарядов.
5.1.28 (р). Распределение потенциала в сферической
системе координат задано функцией
b 1ar
U (r) 2
e ,
434r
Ðèñ. 5.16
где a и b — постоянные.
Найти распределение зарядов.
5.1.29 (м). Зондовые исследования длинной цилинд
рической полости, вдоль оси которой натянута тонкая ме
таллическая нить, показали, что потенциал в ней изменяет
ся по закону U(r) = a(blnr – r2), где a и b — постоянные,
r — ось цилиндрической системы координат (рис. 5.17).
Диаметр полости d, стенки металлические.
Найти: 1) объемную плотность заряда в полости; 2) ли
нейную плотность заряда на нити; 3) поверхностную плот
Ðèñ. 5.17
ность заряда на стенках полости, положив a = 282 В/м2,
b = 6,4 м2, d = 2,5 см.
5.1.30 (м). Металлический шар радиуса a покрыт диэлектрическим слоем радиуса
b. Диэлектрическая проницаемость слоя e1, вне слоя — e2.
Найти емкость шара.
5.1.31 (р). Металлический эллипсоид вращения находится в однородном диэлек
трике с проницаемостью e. Большая полуось a, малая — b.
Найти емкость эллипсоида.
5.1.32 (м). Коаксиальный кабель имеет двухслойную изоляцию из диэлектриков с
проницаемостями e1 и e2 (см. рис. 5.13). Радиус сечения внутреннего электрода (жилы)
r1, внутренний радиус внешнего электрода (оболочки) r3, радиус границы раздела ди
электрических слоев r2.
Найти погонную емкость кабеля, положив e1 = 2e0, e2 = 4e0, r1 = 2 мм, r2 = 3 мм,
r3 = 4 мм.
5.1.33 (м). Область между двумя цилиндрическими электродами радиусов r1 и r2
кусочно однородна (см. рис. 5.14). Проницаемости диэлектриков e1 и e2.
Найти погонную емкость конструкции, поло
жив e1 = 2e0, e2 = 4e0, r1 = 2 мм, r2 = 4 мм.
5.1.34 (м). Расстояние между осями проводов
воздушной двухпроводной линии h, радиусы сече
ния проводов r0 = h (рис. 5.18).
Найти погонную емкость линии.
Ðèñ. 5.18
306
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
5.1.35 (м). Длинный тонкий провод, радиус сечения
которого r0, находится в однородном диэлектрике с про
ницаемостью e на расстоянии h от проводящей плоско
сти, причем r0 = h (рис. 5.19).
Найти: 1) погонную емкость конструкции «провод–
плоскость»; 2) распределение поверхностного заряда на
плоскости при напряжении U0.
5.1.36 (м). Длинный тонкий провод, радиус сечения
которого r0, расположен внутри двугранного угла, обра
Ðèñ. 5.19
зованного проводящими плоскостями (рис. 5.20). Рас
стояния a и b значительно превышают r0. Заполнение — однородный диэлектрик с
проницаемостью e.
Найти погонную емкость конструкции.
5.1.37 (м). Двухпроводная линия находится над поверхностью земли (рис. 5.21).
Расстояние между осями проводов h, высота подвеса H, радиусы проводов r0 = h; r0 = H.
Найти погонную емкость линии «с учетом влияния земли».
Ðèñ. 5.20
à
á
Ðèñ. 5.22
Ðèñ. 5.21
5.1.38 (м). Провода двухпроводной
линии находятся в диэлектриках, разде
ленных плоской границей (рис. 5.22а).
Радиус сечения проводов r0 значительно
меньше расстояний a и b. Проницаемости
диэлектриков e1 и e2.
Найти погонную емкость линии.
5.1.39 (р). Плоский конденсатор за
полнен неоднородным диэлектриком, про
ницаемость которого изменяется по линей
ному закону от значения e1 на одной пла
стине до значения e2 на другой. Расстояние
между пластинами h, их площадь S.
Найти емкость конденсатора.
5.1.40 (р). Длинный тонкий провод
ник радиуса r0 расположен внутри метал
5.1. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå
Ðèñ. 5.23
307
Ðèñ. 5.24
лического цилиндра радиуса a так, что их оси не совпадают (рис. 5.23). Радиус сечения
провода значительно меньше радиуса цилиндра a и расстояния до его стенки h.
Найти погонную емкость конструкции.
1
5.1.41 (м). В однородное электрическое поле E0 внесен эллипсоид
вращения с
1
полуосями x0 и r0 (рис. 5.24). Угол между осью x и направлением E0 равен q0. Диэлек$
трические проницаемости материала эллипсоида e, а окружающей среды — e0. Коэф$
фициенты деполяризации вдоль полуосей Nx и Nr.
Найти электрическое поле внутри эллипсоида и его энергию во внешнем поле.
5.1.42 (р). В изоляции коаксиального кабеля (проницаемость e1) находится малое
включение (проницаемость e2), имеющее форму шара радиуса r0. Напряжение кабеля
U0 (рис. 5.25). 1
Найти силу f , действующую на шар. Численное решение выполнить для случая
r1 = 1 см, r2 = 5 см, r0 = 0,1 см, e1 = 2,25e0, e2 = e0, U0 = 3000 В.
1
5.1.43 (р). Жесткий диполь с моментом p1 помещен в центр сферической систе$
1
мы координат (рис. 5.26а). Второй диполь с моментом p2 находится в меридиональной
плоскости.
Найти энергию и силу взаимодействия диполей.
1
5.1.44 (м). Найти силу, действующую на диполь с моментом p, в поле точечного
заряда q > 0.
0
à
Ðèñ. 5.25
á
Ðèñ. 5.26
â
5.2. Ïîëå ïîñòîÿííîãî òîêà
5.2.1 (м). Плоский конденсатор с двухслойной изоляцией подключен к источнику
постоянного напряжения U0. Толщина слоев h1, h2; диэлектрическая проницаемость
e1, e2; удельная проводимость g1, g2.
Найти: 1) напряженность электрического поля в каждом слое; 2) свободный и свя#
занный заряды на границе слоев.
5.2.2 (м). Плоский конденсатор заполнен несовершенным диэлектриком с прони#
цаемостью e и удельной проводимостью g = g1 – ax, где a — константа; x — коорди#
натная ось, перпендикулярная пластинам. Расстояние между пластинами h, напряже#
ние конденсатора U0.
Найти напряженность электрического поля и распределение свободных и связан#
ных объемных зарядов.
5.2.3 (м). Между электродами сферического конденсатора находится несовершен#
ный диэлектрик, удельная проводимость которого g = a/r, где a — константа; r — ко#
ордината, отсчитываемая от центра конденсатора. Радиусы внутреннего и внешнего
электродов r1 и r2 соответственно. Ток в изоляции (ток утечки) равен I.
Найти: 1) распределение потенциала в изоляции, считая, что внешний электрод
заземлен; 2) сопротивление утечки.
5.2.4 (м). В коаксиальном кабеле с двухслойной изоляцией радиусы сечения внут#
ренней жилы, границы раздела слоев и оболочки соответственно равны: r1 = 1 см,
r2 = 1,5 см, r3 = 2 см. Удельная проводимость первого слоя изоляции g1 = 10–8 См/м,
второго слоя — g2 = 10–9 См/м. Напряжение кабеля U0 = 1000 В.
Найти: 1) сопротивление изоляции и ток утечки на единицу длины кабеля; 2) удель#
ную проводимость g однослойной изоляции с тем же значением сопротивления.
5.2.5 (м). Двухпроводная линия проходит сквозь плоский слой несовершенного
диэлектрика толщиной a. Расстояние между осями проводов h, радиусы сечения r0 = h.
Найти ток утечки через слой диэлектрика, если его удельная проводимость g, а
напряжение линии U0.
à
á
Ðèñ. 5.27
5.2.6 (м). Провода двухпроводной линии находятся в средах с различными удель#
ными проводимостями g1 и g2 на расстояниях a и b от плоской границы раздела сред
(рис. 5.27а). Радиусы сечения проводов r0 = a; r0 = b.
Найти сопротивление утечки на единицу длины линии.
5.2.7 (м). При пробое изолятора высоковольтной линии передачи через заземли#
тель, имеющий форму полусферы радиуса r0 = 1,5 м, проходит ток короткого замыка#
ния I = 200 А. Удельная проводимость заземлителя значительно больше удельной про#
водимости грунта g = 10–2 См/м.
5.2. Ïîëå ïîñòîÿííîãî òîêà
309
Найти: 1) сопротивление заземления; 2) шаговое напряжение вблизи заземлите
ля, приняв длину шага h = 0,8м.
5.2.8 (м). В качестве заземлителя для электрической установки используется ме
таллический шар радиуса r0 = 5 см. Расстояние от центра шара до поверхности равно
h. Удельная проводимость грунта g = 10–2 См/м.
Найти сопротивление заземления в трех случаях: h = 0, h = 30 см, h ? r0.
5.2.9 (р). Сферический электрод расположен в земле на расстоянии h от ее по
верхности (рис. 5.28а). Ток электрода I. Удельные проводимости земли и воздуха соот
ветственно равны g1 = g и g2 = 0.
Построить расчетные модели для определения поля в двух средах и найти распре
деление заряда на поверхности земли.
5.2.10 (м). К плоской проводящей шайбе подводится напряжение U0 при помощи
двух радиально расположенных электродов (рис. 5.29). Внутренний и внешний радиу
сы шайбы r1 и r2; толщина h. Удельная проводимость материала шайбы g существенно
меньше проводимости материала электродов.
Найти ток i0, протекающий по шайбе. Численное решение выполнить, положив
r1 = 20 мм, r2 = 60 мм, h = 1 мм, g1 = 6 × 103 См/м, g2 = 4 × 103 См/м, U0 = 1 В.
5.2.11 (м). Сфера радиуса r0 выполнена из тонкого металлического листа толщи
ны h. Дисковые электроды радиуса a находятся на полюсах сферы (рис. 5.30). Удель
ная проводимость металла g.
Найти сопротивление сферы. Численное решение выполнить, положив r0 = 5 см,
h = 0,1 см, a = 0,2 см, g = 10–6 См/м.
5.2.12 (р). На длинный брусок прямоугольного сечения, изготовленный из несо
вершенного диэлектрика, нанесены плоский и Побразный электроды (рис. 5.31).
Ширина бруска a, высота b. Удельная проводимость материала g.
Найти: 1) распределение потенциала U(x, y) в сечении бруска; 2) проводимость
конструкции на единицу длины.
à
Ðèñ. 5.29
á
Ðèñ. 5.28
Ðèñ. 5.30
â
Ðèñ. 5.31
5.3. Ïîñòîÿííîå ìàãíèòíîå ïîëå
5.3.1 (м). По отрезку прямолинейного проводника течет ток i. Длина отрезка l
(рис. 5.32).
Найти напряженность магнитного поля.
5.3.2 (м). По тонкому кольцу1 радиуса r0 протекает ток i (рис. 5.33).
Найти напряженность поля H на оси z.
Ðèñ. 5.32
Ðèñ. 5.33
5.3.3 (м). Катушка (соленоид) с током i имеет длину l и радиус r0. Число витков
(намотка плотная) — n (рис. 5.34).
1
Найти напряженность поля H на оси катушки и записать приближенную формулу
для поля внутри длинного (эталонного) соленоида.
5.3.4 (р). По длинной металлической ленте, ширина которой h значительно пре$
вышает толщину a, протекает постоянный ток i (рис. 5.35). Магнитная проницаемость
всюду равна m0.
1
Найти магнитную индукцию B на осях x и y.
Ðèñ. 5.34
Ðèñ. 5.35
5.3.5 (р). Сферическая оболочка радиуса r0, несущая равномерно распределен$
ный заряд q > 0, вращается вокруг оси z (рис. 5.36). Частота вращения n(1/с); магнит$
ная проницаемость всюду m0.
Найти напряженность магнитного поля на оси вращения внутри и вне оболочки. Чис$
ленное решение для внутреннего поля выполнить, положив r0 = 10 см, q = 3 × 10–7 Кл,
n = 100 с–1.
5.3. Ïîñòîÿííîå ìàãíèòíîå ïîëå
Ðèñ. 5.36
Ðèñ. 5.37
311
Ðèñ. 5.38
5.3.6 (м). На шар радиуса r0 нанесена плотная обмотка, так что плоскости всех витков
параллельны. Число витков обмотки
1 n, ток i. Магнитная проницаемость всюду равна m0.
Найти напряженность поля H в центре шара.
5.3.7 (м). Сферическая оболочка радиуса r0, несущая равномерно распределен$
ный заряд q, вращается вокруг оси z, проходящей через ее центр (рис. 5.36). Частота
вращения n (1/с). Магнитная проницаемость всюду m0.
Считая известным общее выражение для скалярного магнитного потенциала Um =
= (Ar + B/r2)cosq в сферической системе координат, найти напряженность магнитно$
го поля внутри и вне оболочки.
5.3.8 (м). На рис. 5.37 изображено поперечное сечение коаксиального кабеля: r1 —
радиус жилы, r2, r3 — внутренний и внешний радиусы оболочки. Ток кабеля i. Магнит$
ные проницаемости жилы, изоляции и оболочки соответственно
равны m1, m12 и m3.
1
Найти распределение напряженности поля H и магнитной индукции B.
1
5.3.9 (р). Ток распределен с постоянной плотностью J в области, ограниченной
двумя цилиндрическими поверхностями, радиусы которых r1 и r2 (r1 > r2). Оси цилинд$
ров параллельны; расстояние между ними a (рис. 5.38). Магнитная проницаемость
среды везде m0.
Показать, что поле внутри цилиндра
меньшего радиуса однородно и равно
1 1 11
H 1 [J a],
2
1
где вектор a направлен от оси большего к
оси меньшего цилиндра.
5.3.10 (р). Ток i стекает в землю из ме$
таллического полусферического заземлите$
ля (рис. 5.39а).
Найти напряженность магнитного поля
в земле.
à
5.3.11 (р). Длинный диэлектрический
цилиндр радиуса r0, несущий объемный за$
á
ряд постоянной плотности r = const, вра$
Ðèñ.
5.39
щается вокруг своей оси с частотой n.
Найти напряженность магнитного поля.
312
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
5.3.12 (м). Распределение тока в шнуре газового разряда в цилиндрической сис
теме координат записывается в виде
J0
,
J 1 Jz 1
r / a 21
где r — координата, отсчитываемая от оси шнура; J0, a — постоянные.
Найти напряженность магнитного поля внутри шнура.
5.3.13 (р). Заряд q > 0 распределен равномерно с поверхностной плотностью s по
тонкому диску радиуса r0 (см. условие задачи 5.1.9 (м)). Диск вращается вокруг оси z с
частотой n (1/с). Магнитная проницаемость всюду
1 m 0.
Найти: 1) напряженность
1 магнитного поля H на оси вращения z; 2) приближен
ную формулу для расчета H на больших расстояниях z ? r0.
5.3.14 (м). Найти магнитный момент
вращающегося диска (см. задачу 5.3.13 (р))
1
и напряженность магнитного поля H на больших расстояниях r ? r0 (рис. 5.40).
Ðèñ. 5.40
Ðèñ. 5.41
5.3.15 (м). Шар радиуса r0, несущий заряд q > 0, вращается (см. рис. 5.36) вокруг
своего диаметра с частотой n (1/с). Магнитная проницаемость всюду m0.
Найти магнитный момент шара в двух случаях: 1) заряд равномерно распределен
по его объему с плотностью 1 2 3q /(43r03 ); 2) заряд сосредоточен на поверхности с
постоянной плотностью 1 2 q /(43r02 ).
5.3.16 (р). Расстояние между осями проводов двухпроводной линии 2h, радиус про
вода r0. Поперечное сечение линии приведено на рис. 5.41. Ток в прямом и обратном
проводе равен i. Магнитная проницаемость всю
ду m0.
1
Найти магнитную индукцию B при условии
тонких (линейных) проводов: r0 = h.
5.3.17 (р). Внутренняя жила радиуса a ци
линдрического кабеля смещена на расстояние h.
Радиус тонкостенной оболочки b (рис. 5.42). Пря
мой и обратный ток кабеля i; магнитная прони
цаемость везде m0.
Найти напряженность магнитного поля на оси
x и построить график Hy(x), приняв a = 0,2 см,
b = 1,2 см, h = 0,5 см, i = 2 А.
Ðèñ. 5.42
5.3. Ïîñòîÿííîå ìàãíèòíîå ïîëå
Ðèñ. 5.43
313
Ðèñ. 5.44
5.3.18 (р). Постоянный ток i протекает по бесконечно длинному цилиндрическому
проводу радиуса r0 (рис. 5.43). Магнитная проницаемость провода и окружающей сре
ды равна m0.
Найти 1) векторный потенциал магнитного поля; 2) вектор магнитной индукции.
5.3.19 (р). Расстояние между осями проводов двухпроводной линии h; радиусы
сечения a и b соизмеримы с h (рис. 5.44). Ток в прямом и обратном проводе i. Магнит
ная проницаемость проводов и окружающей среды равна m0.
Найти: 1) энергию магнитного поля на единицу длины линии; 2) погонную индук
тивность линии. Численное решение выполнить, положив a = 2 см, b = 1 см, h = 3,1 см.
5.3.20 (м). Двухпроводная линия с тонкими проводами (см. рис. 5.41) расположе
на в однородном магнетике с проницаемостью m.
Найти внешнюю индуктивность участка линии длиной l.
5.3.21 (м). Найти индуктивность участка коаксиального кабеля длиной l.
5.3.22 (м). Найти внутреннюю индуктивность на единицу длины полого длинного
цилиндрического провода (трубы). Внутренний радиус r1, наружный — r2. Магнитная
проницаемость материала провода m.
5.3.23 (р). На круглый сердечник с сечением прямоугольной формы плотно намота
ны две обмотки с количеством витков n1 и n2. Внутренний радиус сердечника r1, внеш
ний — r2, толщина h (рис. 5.45). Магнитная прони
цаемость материала сердечника m.
Найти: 1) собственную индуктивность первой
обмотки; 2) взаимную индуктивность обмоток.
5.3.24 (м). Сердечник тороидальной катушки с
плотной обмоткой имеет малый воздушный зазор d.
Длина средней (осевой) линии катушки l0, а линии в
сердечнике lc = l0 – d, причем d = lc. Число витков
обмотки n, ток i. Магнитная проницаемость мате
риала сердечника m.
Найти: 1) магнитную индукцию на средней ли
нии и сравнить с индукцией при отсутствии зазора;
2) индуктивность катушки с зазором.
5.3.25 (р). Длинный прямой провод с током i1
расположен на оси симметрии круглой катушки с
сердечником прямоугольного сечения (рис. 5.46).
Ðèñ. 5.45
314
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ðèñ. 5.46
Ðèñ. 5.47
Ðèñ. 5.48
Внутренний радиус сердечника r1, внешний — r2, толщина h. Число витков катушки n,
ток i2. Магнитная проницаемость материала сердечника m.
Найти: 1) взаимную магнитную энергию поля в системе; 2) взаимную индуктивность.
5.3.26 (м). Двухпроводные линии расположены в перпендикулярных плоскостях,
как показано на рис. 5.47. Магнитная проницаемость везде m0.
Найти взаимную индуктивность участка линий длиной l.
5.3.27 (р). Две одинаковых квадратных рамки из тонкого провода расположены в
параллельных плоскостях на расстоянии h (рис. 5.48). Длина стороны рамки a; маг%
нитная проницаемость везде m0.
Найти взаимную индуктивность. Численное решение выполнить, положив a = h = 5 см.
5.3.28 (р). Прямоугольная рамка, содержащая n витков тонкого провода, распо%
ложена параллельно бесконечно длинному проводу так, как показано на рис. 5.49; дли%
на рамки в направлении провода b; магнитная проницаемость везде m0.
Найти взаимную индуктивность провода и рамки.
à
Ðèñ. 5.49
Ðèñ. 5.50
Ðèñ. 5.51
á
5.3. Ïîñòîÿííîå ìàãíèòíîå ïîëå
315
5.3.29 (м). Две рамки из тонкого провода и бесконечно длинный линейный провод
расположены так, как показано на рис. 5.50.
Найти взаимную индуктивность провода и рамок.
5.3.30 (р). Круглый виток из тонкого провода и линейный провод расположены в
одной плоскости (рис. 5.51). Радиус витка r0, расстояние от его центра до провода d.
Окружающая среда — воздух.
Найти взаимную индуктивность.
5.3.31 (м). Тонкий прямолинейный проводник распо%
ложен в воздухе над плоской поверхностью магнетика с
проницаемостью m (рис. 5.52). Радиус проводника r0 много
меньше расстояния h от его оси до поверхности.
Найти напряженность поля и индукцию в точках
оси x.
5.3.32 (р). Провод с током i находится над плоской
границей раздела двух магнетиков (рис. 5.52).
Найти модуль и направление силы, действующей на
Ðèñ. 5.52
единицу длины провода. Численное решение выполнить
при i = 100 А, h = 2 см для двух случаев: а) m2/m1 = 100;
б) m1/m2 = 100.
5.3.33 (м). Вблизи плоской границы раздела двух
магнетиков с проницаемостями m1 и m2 на одинаковых
расстояниях h находятся два тонких прямолинейных про%
вода (рис. 5.53). Токи проводов i1 и i2.
Найти силу, действующую на второй провод.
5.3.34 (м). Индуктивность витка из тонкого прово%
да равна L.
Найти, как изменится его индуктивность, если ви%
Ðèñ. 5.53
ток находится на поверхности магнетика с проницаемо%
стью m.
5.3.35 (р). Тонкий провод с током i изогнут под прямым углом (рис. 5.54).
Найти силу, действующую на отрезок провода с координатами y1 = a, y2 = b при
условии, что длина части провода на оси x значительно превышает b. Численное реше%
ние выполнить, положив i = 104 А, a = 0,1 м, b = 1,1 м.
5.3.36 (р). Между проводами линии с током i находится подвижная проводящая
перемычка со скользящими контактами (рис. 5.55). Радиус проводов r0.
Найти: 1) силу, действующую на перемычку; 2) скорость движения перемычки v(t),
если v(0) = 0, масса перемычки m, ток i поддерживается постоянным.
Ðèñ. 5.54
Ðèñ. 5.55
316
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
5.3.37 (м). Показать, что в условиях задачи 5.3.36 (р) продольная сила fz не зави
сит от формы перемычки.
5.3.38 (р). Круглый виток с током
1 i расположен в плоскости xy, как показано на
рис. 5.56. Радиус витка r0. Вектор B направлен по оси z и изменяется вдоль оси x по
линейному закону Bz = B0(x/a – 1), где a = const.
Найти силу, действующую на виток.
Ðèñ. 5.56
Ðèñ. 5.57
5.3.39 (р). Ток i подводится к центру тонкого диска и равномерно снимается с его
периметра так, что векторные линии тока радиальны.
Радиус диска r0, толщина h
1
(рис. 5.57). Диск находится в однородном поле B, перпендикулярном его плоскости.
Найти момент сил, приложенный к диску.
5.3.40 (м). Линейный провод и круглый виток расположены в одной плоскости
(см. рис. 5.51). Ток провода i1, витка — i2.
Найти силу, действующую на виток.
5.3.41 (м). Расстояние между осями проводов двухпроводной линии h, радиус про
вода r0. Ток линии i. Магнитная проницаемость всюду m0.
Найти силу, действующую на участок провода длиной l, при условии r0 = h.
5.3.42 (р). В коаксиальном кабеле (см. рис. 5.37) радиус жилы r1, внутренний ра
диус оболочки r2. Толщиной оболочки можно пренебречь (r3 » r2), считая ток i в ней
поверхностным. Магнитная проницаемость жилы и изоляции m0.
Найти механические усилия, действующие в оболочке кабеля на участке длиной l.
Численное решение выполнить, приняв i = 10 кА, r2 = 3 см, l = 1 м.
5.3.43 (м). Решить задачу 5.3.42 (р), используя закон Ампера.
5.3.44 (р). По трубчатому проводнику с наружным радиусом r0 протекает ток i. Тол
щину стенки h можно считать пренебрежимо малой (h = r0), а ток — поверхностным.
Найти давление на стенку проводника. Численное решение выполнить, положив
i = 15 А, r0 = 2, 5 см.
5.3.45 (р). Приближенная формула для расчета индуктивности кольца из тонкого
провода (материал немагнитный) L = m0r [ln(8r/a) – 1,75], где r — радиус средней ли
нии кольца; a — радиус провода. По кольцу протекает замкнутый ток i.
Найти механические усилия, действующие в кольце. Численное решение выпол
нить, положив i = 10 А, r = 10 см, a = 0, 2 см.
5.3.46 (р). Круглый ферромагнитный
1 цилиндр (стержневой магнит) имеет одно
родную остаточную намагниченность M 1 const вдоль своей оси. Радиус цилиндра r0,
длина l (рис. 5.58). Окружающая среда — воздух.
5.3. Ïîñòîÿííîå ìàãíèòíîå ïîëå
à
Ðèñ. 5.58
317
á
Ðèñ. 5.59
Найти магнитную индукцию и напряженность поля на оси цилиндра.
5.3.47 (м). Решить задачу 5.3.46 (р), используя представления магнитостатики о
связанных магнитных зарядах.
5.3.48 (м). Шар
радиуса r0 (шаровой магнит) имеет однородную остаточную на!
1
магниченность M 1 const. Окружающая среда — воздух (рис. 5.59а).
Найти магнитное поле внутри и вне шара.
5.3.49 (р). Тонкая пленка толщиной a имеет поперечную намагниченность, зави!
сящую только от одной координаты: M = Mx = M0cosky (рис. 5.60). Окружающая сре!
да — воздух.
Найти магнитное поле в данной краевой задаче, используя скалярный потенциал
поля.
Ðèñ. 5.60
5.4. Ñòàöèîíàðíîå
è êâàçèñòàöèîíàðíîå
ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå
5.4.1 (р). Постоянный ток i протекает по бесконечно длинному цилиндрическому
проводу радиуса r0. Сечение провода и система координат показаны на рис. 5.61а. Удель
ная проводимость материала равна g.
Найти внутри провода: 1) напряженность и потенциал электрического поля; 2) на
пряженность магнитного поля; 3) вектор Пойнтинга и его дивергенцию; 4) электро
магнитную мощность, поступающую в провод на участке длиной l. Численное решение
выполнить, положив i = 100 А, r0 = 4 мм, g = 5,6×107 1/Ом×м, l = 10 м.
à
á
Ðèñ. 5.61
5.4.2 (р). Постоянный ток протекает в прямом и обратном направлениях по двум
проводящим пластинам (рис. 5.62а). Толщина пластин a, расстояние между ними 2h,
протяженность в направлениях y и z бесконечна.
Напряжение между пластинами в
1
сечении z = 0 равно U0, плотность тока J 1 const, удельная проводимость материала g.
Найти между пластинами: 1) напряженность электрического поля; 2) напряжен
ность магнитного поля;
1 3) вектор Пойнтинга; 4) отношение продольной и попереч
ной составляющих E в точке | x | = h, z = 0, положив U0 = 100 В, J = 4 × 106 А/м2,
g = 5,6×107 1/Ом×м, h = 1 см.
5.4.3 (м). Коаксиальный кабель с однослойной изоляцией находится под постоян
ным напряжением U0 (рис. 5.63). Ток кабеля i.
à
á
Ðèñ. 5.62
Ðèñ. 5.63
5.4. Ñòàöèîíàðíîå è êâàçèñòàöèîíàðíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå
319
Пренебрегая сопротивлением жилы
1 и
оболочки, найти: 1) 1вектор Пойнтинга П в
изоляции; 2) поток П через сечение изоля
ции — кольцо с внутренним радиусом r1 и
внешним r2.
5.4.4 (м). Двухпроводная линия находит
ся под напряжением U0 = const (рис. 5.64).
Ток линии i.
Пренебрегая сопротивлением прово
дов, найти вектор Пойнтинга в точках M1,
M2 и M3.
5.4.5 (м). Плоский конденсатор обра
Ðèñ. 5.64
зован круглыми пластинами радиуса r0, рас
положенными на расстоянии h. Заполне
ние — идеальный однородный диэлектрик: проницаемость e, удельная проводимость
g = 0. Напряжение конденсатора при зарядке через резистор изменяется по закону
u(t) = U0(1 – e–t/t).
Пренебрегая краевым эффектом (r0 ? h), найти в конденсаторе: 1) напряженность
электрического поля; 2) плотность тока смещения;
3) напряженность магнитного поля;
1
4) вектор Пойнтинга; 5) поток Ps(t) вектора П через боковую поверхность конденса
тора; 6) энергию W, поступившую в конденсатор к моменту окончания зарядки.
5.4.6 (р). По цилиндрической катушке с однослойной обмоткой протекает гармо
нический ток i(t) = Imcoswt (рис. 5.65а). Число витков на единицу длины n. Радиус
катушки r0, длина h, причем h ? r0 (эталонный соленоид). Магнитная проницаемость
сердечника m0 (воздух).
Найти: 1) электромагнитное поле в катушке; 2) вектор Пойнтинга; 3) напряжение
между концами 1 и 2 тонкого
проводника в двух случаях (рис. 5.65б): а) проводник
1
находится на линии поля E радиуса a; б) проводник лежит на диаметре линии.
á
à
Ðèñ. 5.65
320
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
à
5.4.7 (м). Однородная остаточная намагничен
1
ность M 1 const в цилиндрическом стержне (см.
рис. 5.58) изменяется во времени по закону Mz(t) =
= M0e–t/t.
Найти вихревое электрическое поле внутри и
вне стержня в средней его части при условии
á
l ? r0. Проводимостью материала можно пренеб
речь (феррит).
5.4.8 (р). Расстояние между осями проводов
двухпроводной линии 2h, радиус провода r0 = 2h
(рис. 5.66а). Ток линии i(t) = Imcoswt. Окружаю
щая среда — воздух.
Найти: 1) вихревое электрическое поле на оси
x, используя два подхода: а) второе уравнение Мак
свелла, б) векторный потенциал линии; 2) ампли
Ðèñ. 5.66
туду напряжения между концами 1 и 2 незамкнуто
го контура из тонкого проводника (рис. 5.66б). Численное решение выполнить, поло
жив Im = 10 А, f = 10 кГц, h = 5 см, a = 4,5 см, b = 3 м.
1
5.4.9 (м). В устройстве для ускорения заряженных частиц в вихревом
поле E
1
электромагнит создает аксиально симметричное гармоническое поле B (рис. 5.67а).
В плоскости z = 0 имеем Bz(r, t) = Bm(r)coswt, причем при r < r0 амплитуда магнит
ной индукции является постоянной Bm(r) = B0, а при r > r0 убывает по закону Bm(r) =
= B0(r0/r)n, где n ³ 2 (рис. 5.67б).
á
à
Ðèñ. 5.67
1
Найти: 1) вихревое электрическое поле; 2) радиус rmax линии поля E, где амплиту
да максимальна; 3) энергию, получаемую зарядом q за один оборот по этой орбите.
Численное решение выполнить, положив B0 = 0,1 Тл, r0 = 25 см, n = 2,5, f = w/2p =
= 500 Гц, q = 1,6 × 10–19 Кл, wt = (2pN + p/4), где N — целое число.
5.4.10 (м). В аксиально симметричном гармоническом магнитном поле состав
ляющие индукции Br = Bj = 0; Bz(t) = Bm(r)coswt. Амплитуда Bm(r) представляется
кусочно постоянной функцией: Bm = Bm1 при r < a; Bm = Bm2 при a < r < b, причем
Bm2 < Bm1; Bm = 0 при r > b.
5.4. Ñòàöèîíàðíîå è êâàçèñòàöèîíàðíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå
321
Найти: 1) выражения для амплитуды Em(r) вихревого электрического поля; 2) по
ложение минимума Em(r) в области a < r < b; 3) построить зависимость Em(r), приняв
(в условных единицах) Bm1 = 1, Bm2 = 0,2Bm1 = 0,2, w = 1, a1= 1,
1 b = 4a = 4.
5.4.11 (р). Однородное гармоническое магнитное поле B 1 Bm cos 2 t направлено
по оси z. Контур из тонкого провода вращается вокруг оси y (рис. 5.68). Площадь
контура S, угловая скорость вращения w0.
Найти: 1) электродвижущую силу (ЭДС), индуцируемую в контуре; 2) условие, при
котором частота ЭДС равна 2w, и ее амплитуду в этом случае.
Ðèñ. 5.69
Ðèñ. 5.68
5.4.12 (р). Две плоские круглые катушки с числом витков n1 и n2 находятся в
параллельных плоскостях (рис. 5.69). Радиусы катушек r1 и r2, расстояние между ними
h. Ток первой катушки i. Магнитная проницаемость везде m0.
При условии h ? r1 найти напряжение на разомкнутых выводах второй катушки в
трех случаях: 1) ток катушки — гармонический i(t) = Imcoswt; 2) при i = const первая
катушка совершает малые гармонические колебания так, что расстояние h0(t) = h +
+ asinwt, причем (h – a) ? r1; 3) радиус второй катушки r2 = h.
5.4.13 (м). В контуре радиуса r1 протекает постоянный ток i. На расстоянии h нахо
дится контур радиуса r2, вращающийся вокруг вертикального диаметра (см. рис. 5.69).
Угловая скорость вращения w.
Найти амплитуду ЭДС, наведенной в контуре, при условии, что h значительно пре
вышает r1 и r2.
5.4.14 (р). Контур из тонкого провода пронизывается магнитным потоком, лока
лизованным в центральной части (рис. 5.70). Сопротивление участка контура abc рав
но R1, а участка ca — R2. К точкам a и c подключен вольтметр с сопротивлением R3.
Ðèñ. 5.70
322
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Найти напряжение u3 на вольтметре при двух
вариантах расположения подводящих проводов. Ин
дуктивностью элементов схемы пренебречь.
5.4.151(м). В постоянном однородном магнит
ном поле B по двум параллельным проводам со ско
ростью v = const движется перемычка (рис. 5.71).
Ðèñ. 5.71
Найти ток i в резисторе R, пренебрегая сопро
тивлением проводов.
1
5.4.16 (м). В постоянном магнитном поле B с
угловой скоростью w вращается проводящий диск
униполярного
генератора. Радиус диска r0, вектор
1
B перпендикулярен его поверхности (рис. 5.72).
Найти: 1) напряжение (ЭДС) между осью и краем
диска при разомкнутом ключе; 2) ток при подключен
ном резисторе, пренебрегая сопротивлением про
водящих участков схемы и магнитным полем, созда
ваемым током. Численное решение выполнить, при
Ðèñ. 5.72
няв B = 0,3 Тл, w = 80p, r0 = 0,5 м, R = 10 Ом.
5.4.17 (р). Плоский конденсатор с воздушным заполнением замкнут на резистор R.
Расстояние между электродами h, площадь — S (рис. 5.73а). В момент времени
1 t=0в
конденсатор вносится пластина сегнетоэлектрика с остаточной поляризацией P0 .
Требуется: 1) получить дифференциальное уравнение для поверхностной плотно
сти свободного заряда s(t) на первом электроде; 2) найти решение уравнения при на
чальном условии s(0) = 0; 3) получить выражения для E(t), uC(t), i(t).
à
á
Ðèñ. 5.73
5.4.18 (м). Решить задачу 5.4.17 (р) при условии, что толщина пластины h1 < h.
Между пластиной и вторым электродом имеется воздушный слой толщиной h2 = h – h1.
5.4.19 (р). Плоский конденсатор с двухслойным несовершенным диэлектриком
включается на постоянное напряжение U0. Толщина слоев, диэлектрические прони
цаемости и удельные проводимости соответственно равны h1, e1, g1 и h2, e2, g2.
Требуется: 1) найти значения напряженностей поля E1(0) и E2(0) в начале переход
ного процесса; 2) получить дифференциальные уравнения для напряженностей поля в ка
5.4. Ñòàöèîíàðíîå è êâàçèñòàöèîíàðíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå
323
ждом из слоев и их решения E1(t) и E2(t); 3) найти поверхностную плотность заряда s(¥)
на границе слоев в установившемся режиме; 4) рассчитать длительность переходного
процесса при h1 = h2, e1 = 5e0, e2 = 2e0, g1 = 2 × 10–13 См/м, g2 = 5 × 10–13 См/м.
5.4.20 (м). Плоский конденсатор, заполненный несовершенным диэлектриком,
включается на постоянное напряжение U0. Диэлектрическая проницаемость линейно
изменяется от значения e1 на одной пластине до значения e2 на другой: e = e1 – ax, где
a = (e1 – e2)/h; h — расстояние между пластинами; x — координатная ось, перпенди"
кулярная пластинам. Удельная проводимость диэлектрика g = const.
Найти свободные и связанные заряды в объеме диэлектрика в начале процесса и в
установившемся режиме.
5.4.21 (р). Плоский конденсатор образован круглыми пластинами радиуса r0, рас"
положенными на расстоянии h (рис. 5.74а). Заполнение — однородный несовершен"
ный диэлектрик с проницаемостью e и удельной проводимостью g. Напряжение кон"
денсатора изменяется по гармоническому закону u(t) = Umcoswt.
Найти: 1) электромагнитное поле в конденсаторе; 2) вектор Пойнтинга; 3) мощ"
ность тепловых потерь (активную мощность); 4) комплексную проводимость конден"
сатора.
à
Ðèñ. 5.74
á
Ðèñ. 5.75
5.4.22 (м). Напряжение плоского конденсатора с двухслойным несовершенным ди"
электриком (см. задачу 5.4.19 (р)) изменяется по гармоническому закону u(t) = Umcoswt.
Найти комплексные амплитуды напряженности поля E1m1 и E1m2 в слоях.
5.4.23 (м). Записать выражения для комплексных амплитуд поля E1m1 и E1m2 , полу"
ченные в задаче 5.4.22 (м), используя понятие комплексной диэлектрической прони"
цаемости.
5.4.24 (р). Коаксиальный кабель имеет двухслойную изоляцию из несовершенных
диэлектриков (рис. 5.75). Напряжение кабеля u(t) = Umcoswt.
Найти комплексные амплитуды напряженностей E1m1 и E1m2 в каждом слое. Чис"
ленное решение выполнить в точках максимума напряженностей, приняв Um = 103 В,
f = 50 Гц, r1 = 2 мм, r2 = 3 мм, r3 = 5 мм, e1 = 10e0, e2 = 2e0, g1 = 10–9 См/м, g2 = 0.
5.4.25 (р). Шар радиуса r0 находится в однородном электрическом поле E1(t) =
= Em1coswt. Известны диэлектрическая проницаемость e2 и тангенс угла потерь tgd
материала шара. Окружающая среда — воздух (e1 = e0).
324
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Найти мощность тепловых потерь в шаре, считая процесс квазистационарным (дли
на волны l = 6p108/w ? r0; поверхностным эффектом можно пренебречь).
5.4.26 (р). Шар радиуса r0 находится в однородном магнитном поле H1(t) = Hm1coswt
(рис. 5.76). Магнитная проницаемость материала шара m2, удельная проводимость g.
Окружающая среда — воздух (m1 = m0).
Найти мощность тепловых потерь в шаре, считая процесс квазистационарным (дли
на волны в воздухе l = 6p108/w ? r0; поверхностным эффектом можно пренебречь).
à
Ðèñ. 5.76
á
Ðèñ. 5.77
5.4.27 (р). При включении поля E(t) = E0d1(t) в полярных диэлектриках макро
скопический электрический момент образуется с запаздыванием, так что поляризация
P(t) = P0(1 – e–t/t), где P0 = e0cE0 — установившееся значение; c — статическая элек
трическая восприимчивость в постоянном поле; t — постоянная времени (рис. 5.77а).
Найти: 1) операторные восприимчивость c(s) и диэлектрическую проницаемость
e(s); 2) комплексную диэлектрическую проницаемость 1 ( j2) 3 11 (2) 4 j12 (2); 3) веще
ственную и мнимую части тока смещения.
5.4.28 (р). Плоский конденсатор заполнен диэлектриком с запаздывающей (ре
лаксационной) поляризацией: диэлектрическая проницаемость (статическая) e, посто
янная времени t. Удельной проводимостью можно пренебречь (g = 0). Расстояние ме
жду пластинами h, напряжение конденсатора u(t) = Umcoswt.
Найти: 1) напряженность поля и электрическое смещение; 2) поверхностную плот
ность свободного и связанного зарядов на пластинах; 3) плотность тока смещения;
4) плотность мощности тепловых потерь в диэлектрике. Численное решение выпол
нить на частоте w = 1/t, приняв Um = 200 В, h = 1 см,
e = 7e0, t = 10 мс.
5.4.29 (р). Гармонический ток i(t) = Imcoswt протека
ет вдоль длинной тонкой металлической ленты, ширина ко
торой значительно превышает толщину: h ? 2a (рис. 5.78).
Амплитуда плотности тока на боковых поверхностях при
y = ±a равна Jm0. Удельная проводимость материала g,
магнитная проницаемость m.
Требуется: 1) записать уравнение для плотности тока
проводимости
в частотной области; 2) найти распреде
1
ление J2m в средней части ленты; 3) определить комплекс
ное сопротивление Z участка ленты длиной l; 4) преоб
Ðèñ. 5.78
разовать формулу Z для случая резкого поверхностного
5.4. Ñòàöèîíàðíîå è êâàçèñòàöèîíàðíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå
325
эффекта; 5) сравнить ReZ с сопротивлением ленты при постоянном токе, приняв
f = 104 кГц, g = 5,7 × 107 См/м (медь), m = m0, a = 8 мм.
5.4.30 (м). В условиях задачи 5.4.29 (р) найти: 1) напряженность магнитного поля и
вектор Пойнтинга на боковых поверхностях ленты при y = ±a; 2) комплексную мощ%
ность, поступающую в ленту на участке длиной l, и комплексное сопротивление участка.
5.4.31 (м). Тонкая металлическая лента, ширина которой h значительно превы%
шает толщину 2a (см. рис. 5.78), находится в однородном гармоническом магнитном
поле. Вектор напряженности поля параллелен плоскости ленты и направлен по про%
дольной оси z. Амплитуда напряженности поля на боковых поверхностях при y = ±a
равна Hm0, так что внешнее поле Hz(t) = Hm0coswt. Удельная проводимость материала
g, магнитная проницаемость m.
Найти: 1) распределение магнитного поля в сечении ленты; 2) среднее значение ком%
плексной магнитной проницаемости. Численное решение выполнить, приняв a = 0,2 мм,
g = 4 × 106 См/м, m = 400m0.
5.4.32 (м). В условиях задачи 5.4.31 (м) (лента в гармоническом магнитном поле)
найти: 1) вихревое электрическое поле в ленте; 2) мощность тепловых потерь на вих%
ревые токи в расчете на площадку S на боковой поверхности.
5.4.33 (р). По проводу круглого сечения радиуса r0 протекает гармонический ток
частотой f. Удельная проводимость материала g, магнитная проницаемость m.
Найти: 1) комплексное сопротивление отрезка провода длиной l; 2) коэффициенты
изменения активной составляющей сопротивления и внутренней индуктивности. Чис%
ленное решение выполнить, приняв r0 = 10 мм, f = 106 Гц, g = 5,7 × 107 См/м (медь),
m = m0.
5.4.34
(р).
1
1 В однородное гармоническое магнитное
поле H1 (t) 1 H0 cos 2t помещен весьма длинный
1 металли%
ческий прямоугольный экран так, что вектор H паралле%
лен его стенкам (рис. 5.79). Ширина экрана 2a значитель%
но меньше его длины. Толщина стенок b. Удельная прово%
димость материала g, магнитная проницаемость m.
Найти коэффициент экранирования — отношение
комплексных амплитуд напряженности магнитного поля
под экраном и вне экрана.
5.4.35 (р). Круглый виток радиуса a расположен в
воздухе на высоте h над плоской поверхностью металли%
Ðèñ. 5.79
ческого проводника (рис. 5.80). Ток витка — гармониче%
ский i(t) = Imcoswt.
Требуется: 1) построить модель для расчета поля вих%
ревых токов, индуцированных в проводнике, при условии
резкого поверхностного эффекта; 2) указать метод опре%
деления силы, действующей на виток; 3) получить фор%
мулу для расчета силы. Численное решение выполнить,
приняв a = 10 см, h = 1 см, Im 1100 2 А.
5.4.36 (м). Найти силу, действующую на виток (см.
задачу 5.4.35 (р)), при условиях: 1) вихревые токи прак%
тически отсутствуют (плита из феррита); 2) магнитная про%
Ðèñ. 5.80
ницаемость m ? m0.
5.5. Âîëíîâîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå
5.5.1 (р). Однородная плоская электромагнитная волна распространяется в воз
духе в направлении, образующем угол q с нормалью к плоской поверхности S (рис. 5.81).
За время t через S переносится электромагнитная энергия W.
Найти амплитуду Em напряженности электрического поля волны.
5.5.2 (м). Плотность потока электромагнитной энергии (среднее значение векто
ра Пойнтинга) в луче лазера Пср = 105Дж/с×м2.
Найти амплитуды напряженностей поля Em и Hm.
5.5.3 (р). В поле плоской линейно поляризованной волны находится прямоуголь
ная рамка (антенна) со сторонами a и b (рис. 5.82). Длина волны l. Окружающая сре
да — воздух. Найти: 1) амплитуду Um напряжения на разомкнутых выводах рамки; 2) от
ношение b/l, при котором Um = 0.
S
Ðèñ. 5.81
Ðèñ. 5.82
5.5.4 (м). Плоская волна распространяется в поглощающей среде вдоль оси z.
Комплексное волновое число k1 1 2 3 j4 1 4 3 j, частота w = 2pf = 2p × 108 1/с. Маг
нитная проницаемость m = m0.
Найти: 1) диэлектрическую проницаемость среды e и тангенс угла потерь tgd; 2) ком
плексное волновое сопротивление Z и разность фаз j = aE – aH; 3) фазовую скорость
v и длину волны l; 4) среднее значение вектора Пойнтинга Пср в плоскости волнового
фронта z = 0, где амплитуда Em(0) = 100 В/м; 5) амплитуду напряженности поля Em и
Пср при z = 1 м; 6) e, Z, v, l в случае k = 4 (отсутствие потерь).
5.5.5 (р). Электромагнитные параметры среды: диэлектрическая проницаемость
e, магнитная проницаемость m, удельная проводимость g.
Найти длину волны в среде, при которой амплитуды плотностей токов проводимо
сти и смещения равны. Эффектом запаздывающей (релаксационной) поляризации пре
небречь.
5.5.6 (м). Найти глубину проникновения волны длиной l0 = 8 мм (в воздухе) в
электрофарфор (e = 5e0, m = m0, tgd = 0,06) и пьезокерамику (e = 500e0, m = m0,
tgd = 0,08).
5.5.7 (м). На частоте f = 100 мГц (длина волны в воздухе l0 = 3 м) электромаг
нитные параметры пресной и морской воды соответственно равны: e1 = e2 = 81e0,
m1 = m2 = m0, g1 = 10–2 См/м, g2 = 4,4 См/м.
5.5. Âîëíîâîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå
327
Найти следующие характеристики волнового процесса в двух средах: 1) тангенс
угла потерь tgd, вещественное волновое число b и коэффициент затухания a; 2) фазо
вую скорость v и длину волны l; 3) комплексную диэлектрическую проницаемость 1 и
модуль | 1 |; 3) модуль волнового сопротивления | Z | и разность фаз j = aE – aH; 4) глу
бину проникновения D.
5.5.8 (м). Электромагнитные параметры металла (медь): магнитная проницаемость
m = m0, удельная проводимость g = 5,6 × 107 См/м.
Найти на двух частотах f = 50Гц и f = 10 кГц характеристики квазиволнового про
цесса: 1) мнимую a и вещественную b части комплексного волнового числа; 2) комплекс
ную проницаемость металла 1; 3) модуль волнового сопротивления | Z | и разность фаз
j = aE – aH; 4) глубину проникновения D; 5) фазовую скорость v и длину волны l.
5.5.9 (м). Плоская волна падает под углом q1 = q из воздуха (e1 = e0, m1 = m0) на
плоскую поверхность идеального диэлектрика (g = 0) с электромагнитными парамет
рами e2 и m2.
Найти угол преломления q2, фазовую скорость v2 и длину волны l2 в диэлектрике
при частоте f. Численное решение провести при q = 30°, e2 = 2,25e0, m2 = m0, f = 1 мГц.
5.5.10 (м). Волна падает по нормали (q1 = 0) из воздуха (e1 = e0, m1 = m0, g1 = 0)
на плоскую поверхность среды с параметрами e2, g2 и m2. Частота процесса f = 100 мГц.
Найти коэффициенты отражения rE и прозрачности gE по напряженности и по мощ
ности (r и g) в двух случаях: 1) e2 = 81e0, m2 = m0, g2 = 10–2 См/м (пресная вода);
2) e2 = 81e0, m2 = m0, g2 = 4,4 См/м (морская вода).
5.5.11 (м). Волна, частота которой f = 100 мГц, падает по нормали (q1 = 0) из воз
духа (e1 = e0, m1 = m0, g1 = 0) на поверхность сухой почвы с параметрами e2 = 2e0,
m2 = m0, g2 = 2 × 10–3 См/м. Амплитуда напряженности электрического поля волны
E0 = 0,2 В/м.
Найти амплитуды напряженностей электрического Emr и магнитного Hmr поля от
раженной волны.
5.5.12 (р). На поверхность идеального проводника (g = ¥) под углом q падает вол
на, поляризованная перпендикулярно плоскости падения Ey = E0cos(wt – kxx – kzz),
1
1
1
где kx = ksinq, kz = kcosq — проекции волнового вектора k 1 kn 1 2 34n (рис. 5.83).
Требуется: 1) записать выражение для отраженной волны; 2) найти суммарное вол
новое электромагнитное поле; 3) определить расстояние между узлами поля и фазо
вую скорость направленной волны.
5.5.13 (р). На поверхность раздела двух идеальных диэлектриков с параметрами
e1, m0 и e2, m0 падает волна, поляризованная в плоскости, перпендикулярной плоскости
падения (рис. 5.84). Первая среда — оптически более плотная: e1 > e2.
Ðèñ. 5.83
Ðèñ. 5.84
328
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Найти: 1) электрическое поле во второй среде, если угол падения больше критиче
ского угла; 2) уравнение поверхности равных амплитуд и глубину проникновения;
3) уравнение фронта волны и фазовую скорость поверхностной волны. Расчет провес
ти при условиях: q = 60°, 11 2 310 , e2 = e0, f = 100 мГц.
5.5.14 (р). Продолжить решение задачи 5.5.13 (р) и найти в случае полного отра
жения: 1) магнитное поле во второй среде; 2) составляющие вектора Пойнтинга Пx и
Пz; 3) ширину полосы на поверхности раздела сред, где поток электромагнитной энер
гии входит во вторую среду (Пz > 0) и возвращается обратно (Пz < 0).
5.5.15 (р). Плоский слой, толщина которого h, а электромагнитные параметры e2,
m2, разделяет две среды с параметрами e1, m1 и e3, m3 (рис. 5.85). Удельная проводи
мость везде равна нулю.
Найти коэффициент отражения при нормальном падении волны методом наложе
ния, рассматривая отраженную волну как результат интерференции волн, многократно
отраженных границами слоя.
Ðèñ. 5.85
5.5.16 (м). Толщина слоя h равна целому числу полуволн l2/2 («полуволновый»
слой).
Показать, что присутствие такого слоя на границе не оказывает влияния на процесс
отражения, так что коэффициент отражения по напряженности RE = (Z3 – Z1)/(Z3 + Z1).
5.5.17 (м). Слой толщиной h находится в однородной среде: Z3 = Z1 (см. рис. 5.85).
Требуется: 1) записать выражение для коэффициента отражения по мощности; 2) най
ти условие, при котором отражение отсутствует; 3) получить выражение для максималь
ного коэффициента отражения. Расчет провести при e1 = e3 = e0, m1 = m3 = m0, m2 = m0 в
двух вариантах: а) e2 = 9e0, б) e2 = 100e0.
5.5.18 (м). В условиях задачи 5.5.15 (р) диэлектрическая проницаемость возрас
тает в направлении распространения волны: e1 < e2 < e3.
Требуется: 1) записать выражение для коэффициента отражения по мощности;
2) найти толщину слоя, при котором отражение минимально; 3) вывести соотношение
между параметрами сред, при котором отражение отсутствует.
5.5.19 (м). Волна, распространяясь в воздухе (e1 = e0), падает по нормали на по
верхность диэлектрика (e3 = 9e0). Длина волны l1 = 9 мм.
Найти диэлектрическую проницаемость e2 и толщину h согласующего слоя.
5.5.20 (р). На металлический шар
r0, находящийся в воздухе, падает пло
1 радиуса
1
ская линейно поляризованная волна E (t) 1 E0 cos(2t 3 kz) (рис. 5.86). Длина волны зна
чительно превышает размеры шара (l ? r0).
5.5. Âîëíîâîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå
Ðèñ. 5.86
329
Ðèñ. 5.87
Найти амплитуду полного (дифрагированного) поля: 1) на прямой z = z0, параллель
ной оси y; 2) на оси y; 3) на оси z > 0 («за шаром»); 4) на оси z < 0 («перед шаром»).
5.5.21 (м). Элемент гармонического тока расположен в воздухе. Амплитуда тока
Im = 3 А, сопротивление излучения R = 0,1 Ом.
Найти амплитуды напряженностей волнового поля в дальней зоне в точке с коор
динатами r = 10 м, q = p/2 (экваториальная плоскость).
5.5.22 (р). Два элемента гармонического тока расположены в одной плоскости
параллельно друг другу на расстоянии четверти длины волны (рис. 5.87). Частоты и
амплитуды токов одинаковы: w1 = w2 = w, Im1 = Im2 = Im. Ток первого элемента опере
жает ток второго по фазе на p/2.
Найти амплитуду электрического поля в дальней зоне в плоскости расположения
элементов.
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ,
ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
5.6.1. Çàäà÷è 5.1.15.1.44
ê òåìå «Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå»
5.1.1 (р). Напряженность поля бесконечно малого элемента каждой нити в точке
наблюдения M находится согласно закону Кулона:
1
1
1
1
1 dx r
1 dx r
dE1 2 1 2 3 1 ; dE2 2 2 2 3 2 .
4450r1 r1
4450 r2 r2
Поскольку равномерно заряженные нити образуют систему, симметричную отно!
сительно оси y, искомое поле определяется составляющими
dE1y 3
11
ydx
1
(h 2 y)dx
; dE2 y 3 2 4 2
.
4
4560 (x 2 7 y2 )3 / 2
4560 [x 7 (h 2 y)2 ]3 / 2
В соответствии с принципом суперпозиции (наложения) напряженность поля при
одинаковых знаках зарядов
l /2
E 3 Ey 3 2
0
l /2
11
ydx
4
22
4560 (x 2 7 y2 )3 / 2
0
12
(h 2 y)dx
4
3
4560 [x 2 7 (h 2 y)2 ]3 / 2
11
12
9
l 8
3
2
3 7200 В/ м.
4560 y (l / 2)2 7 y2 (h 2 y) (l /2)2 7 (h 2 y)2
5.1.2 (р). Очевидно, что нейтральная линия может располагаться только в плос!
кости нитей. Справа от второй нити при x > h в точке M напряженности поля
E1x 2
11
12
; E2 x 2
.
2340 x
2340 (x 5 h)
1 1
В точке равновесия E1 1 E2 2 0, т. е. E1x + E2x = 0; отсюда следует, что координата
нейтральной линии x0 = h/(1 + t2/t1). Полагая t1 = 10–7 Кл/м, t2 = –0,5 × 10–7 Кл/м,
h = 10 см, получим x0 = 20 см.
5.1.3 (р). Потенциал поля элементарного заряда tdx в точке наблюдения M (куло!
новский потенциал)
1dx
dU 2
,
4340 r
а искомый потенциал поля нити
U4
3
4560
l
dx
3
x1 2 l 2 (x1 2 l)2 2 y12
7 [(x1 1 x)2 2 y12]1/ 2 4 4560 ln x1 1 l 2
1l
(x1 1 l)2 2 y12
.
Покажем, что линии равного потенциала в плоскости xy представляют собой эл!
липсы. Введем в рассмотрение расстояния от концов нити до точки M
r1 1 (x1 2 l)2 3 y12 ; r2 1 (x1 3 l)2 3 y12 .
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
331
При этом x1 1 (r22 2 r12 ) /4l и выражение для потенциала принимает вид
r 1 r 1 2l
2
ln 1 2
.
4450 r1 1 r2 6 2l
U3
Уравнение эквипотенциали r1 + r2 = const есть уравнение эллипса, фокусы кото
рого расположены на концах нити. Так как поле имеет осевую симметрию, то эквипо
тенциальными
поверхностями являются конфокальные эллипсоиды. Направление
1
E 1 2gradU в точке M делит угол (r1
1r2 ) пополам (свойство нормали к эллипсу).
5.1.4 (р). Потенциал поля в точке M находится как потенциал линейного заряда
U2
1
dl
,
4340 5 R
l
где l — длина кольца. Вследствие симметрии системы поле не зависит от азимутально
го угла j и в цилиндрической системе координат
21
2r
d3
U4 0 8 2 2 2
.
4150 (z 6 r 6 r0 7 2r0 r cos 3)1/ 2
0
Произведя подстановки j = p – 2b, cosj = –cos2b = 2sin2b – 1, dj = –2db, по
лучим
U4
2r0
150
1/2
9
0
2r
d3
4 0
2
2
2
2
1/
2
15
(z 6 r 6 r0 6 2r0r 7 4r0r sin 3)
0
2r
1
4 0 8 2
150 [z 6 (r 6 r 0)2 ]1/ 2
1/2
9
0
d3
(1 7 k2 sin2 3)1/ 2
1/2
9
0
d3
4
[z2 6 (r 6 r 0)2 7 4r0r sin2 3]1 2
2r
1
K (k).
4 0 8 2
150 [z 6 (r 6 r 0)2 ]1/ 2
Здесь K(k) — полный эллиптический интеграл первого рода модуля
1/ 2
rr
1
2
k 3 24 2 0
.
25
6
6
z
(
r
r
)
0 8
7
5.1.5 (м). Для точек на оси z координата r = 0 и модуль k = 0. При этом табличное
значение интеграла K(0) = p/2, а потенциал
U1
q
.
4230 (z2 4 r02 )1/ 2
Этот же результат можно легко получить, исходя из общего интегрального пред
ставления для потенциала
1 линейного заряда.
5.1.6 (м). Так как E 1 2gradU , в точках оси z
qz
Ez 2
, Er 2 0, E1 2 0.
4340 (z2 5 r02 )3 / 2
В центре кольца Ez = 0.
5.1.7 (м). Нейтральные точки расположены на оси z, причем одна из них находит
ся в центре колец z = 0. Далее нужно использовать условие E1z + E2z = 0 и формулу
для напряженности поля (см. задачу 5.1.6 (м)):
332
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
1
qz
kqz
2
3 0.
4450 (z2 2 r02 )3 / 2 4450 (z2 2 4r02 )3 / 2
4 1 k2 / 3
.
k2 / 3 1 1
При k 1 8 имеем z0 1 2r0 2, а при k 1 27 получим z0 1 2r0 / 2.
5.1.8 (м). Работа по переносу заряда q равна энергии заряда во внешнем поле.
Поэтому W1 = qU1, где U1 — потенциал в центре первого кольца. Для определения U1
нужно использовать формулу, полученную в задаче 5.1.5 (м), в сочетании с принципом
наложения (поля зарядов q1 и q2).
5.1.9 (м). Диск можно рассматривать как систему заряженных колец. Элементар&
ное кольцо радиуса r и толщиной dr несет заряд dq = s × 2prdr. Потенциал поля в точке
наблюдения M (см. задачу 5.1.5 (м))
Отсюда следует, что координаты нейтральных точек z0 2 3r0
dU 1
dq
.
4230 (z2 4 r 2 )1/ 2
Суммируя (интегрируя) элементарные потенциалы, получим
U2
1
[(z2 3 r02 )1/ 2 4 z].
250
z
4 5 2 7105 В/ м.
Напряженность поля Ez 5 6 1U 5 2 31 6
1z 2 0 8 (z2 r02 )1/ 2 9
Если точка наблюдения находится около диска (z = r0), то Ez = s/2e0.
5.1.10 (м). Решение задачи обсуждается в [1, с. 509–510].
5.1.11
(р). При сферически симметричном распределении заряда векторные ли&
1
нии E — радиальные прямые. Для решения задачи можно применить третье уравне&
ние Максвелла [1, с. 471–474]:
1 1
23 DdS 1 3 2dV .
S
V
В области расположения заряда (r < r0) получим
1r
4
D1 42r 2 3 1 4 2r 3 ; E1 3
.
3
350
Вне заряда (r > r0)
1r03
q
4
3
D2 42r 2 3 1 4 2r03 3 q; E2 3
.
3
4250 r 2 350 r 2
Приняв точку отсчета потенциала в бесконечности (r ® ¥), найдем выражения для
потенциалов:
r0
1
1
q
2
U2 3 8 E2 dr 3
; U1 3 8 E1dr 4 8 E2 dr 3
(3r 2 5 r 2 ).
4670r
670 0
r
r
r0
Качественные зависимости E(r) и U(r) представлены на рис. 5.88.
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
Ðèñ. 5.88
333
Ðèñ. 5.89
В центре заряда E = 0, U = 362 В; на поверхности E = 3000 В/м, U = 240 В; при
r = 16 см, E = 750 В/м, U = 120 В.
5.1.12 (м). Заряд q сосредоточен в тонком поверхностном слое. Поэтому внутри
шара E1 = 0, а во внешней области попрежнему E2 = q/(4pe0r2). Потенциал поля вне
шара U2 = q/(4pe0r); потенциал шара постоянен и равен потенциалу на поверхности
U1 = U2(r0), как показано на рис. 5.89.
5.1.13 (р). Распределение заряда обладает цилиндрической симметрией; вектор
1
ные линии E — радиальные прямые. Для решения задачи можно применить третье
уравнение Максвелла [1, с. 471–474]. Выберем в качестве поверхности S цилиндр,
длина которого l и радиус r. Тогда в области r < r0, где находится заряд, получим
r
2
1
r 2
D1 5 26rl 7 80 1 9 3 4 5 26rldr ;
r0 0
E1 7
80 r 1 1 3 r 42 2
19
.
20 2 r0 Вне заряда при r > r0
r0
2
1
r 2
D2 5 26rl 7 80 1 9 3 4 5 26rldr ;
r0 0
2
8 r
E2 7 0 5 0 .
4 0 r
График E(r) представлен на рис. 5.90. Напря
женность максимальна в области объемного заря
2
r 1 0,82r0 1 1,64 мм.
30
5.1.14 (р). Последовательно рассмотрим две
Ðèñ. 5.90
модели. В первой заряд с плотностью r заполняет
весь объем цилиндра радиуса r1. Тогда напряженность поля в точке 1наблюдения M
1
легко находится с использованием третьего уравнения Максвелла: E1 1 2r /230 . Во
второй модели заряд с плотностью
1 (–r)1заполняет объем цилиндра радиуса r2. Напря
женность поля в точке M будет E2 2 34r 1 /250 .
Наложение двух моделей и соответствующих решений приводит к искомому выра
жению
1
1 1 1
1 1 1
1a
E 3 E1 4 E2 3
(r 5 r 2) 3
.
260
260
да при r 1
334
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
1
1
1a
2 1,13103 В/м. При сов
Вектор E по направлению совпадает с a . Модуль E 2
240
падении осей (концентрические цилиндры) E = 0.
5.1.15 (р). В каждой из трех областей потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа
DUk = 0. Так как задача одномерна, Uk = Uk(x) и уравнение принимает вид ¶2Uk/¶x2 = 0
при k = 1, 2, 3. Соответствующие решения — линейные функции:
U1 = A1x + B1; U2 = A2x + B2; U3 = A3x + B3.
Для определения шести постоянных интегрирования используем краевые (гранич
ные) условия:
1) U1(0) = B1 = 0;
2) U1(a) = U2(a) или A1a = A2a + B2;
3)
1 44Ux 6 44Ux 2
2
36
1
x 3a
5
5
или A2 6 A1 3 6 ;
70
70
1
1
4) U3 (b) 2 U2 (b) 3 5 или A3 b 4 B3 2 A2b 2 B2 3 5 ;
0
0
5)
1 44Ux 5 44Ux 2
3
3 0 или A3 5 A2 3 0;
2
x 3b
6) U3(h) = U0 или A3h + B3 = U0.
1
Отметим, что третье условие характеризует скачок нормальной составляющей E
на заряженной поверхности [1, с. 496], пятое — отсутствие такого скачка, а четвер
тое — скачок потенциала при переходе через двойной
слой [1, с. 507–508]. Решив систему уравнений, най
дем постоянные. Окончательный результат:
U1 5 3U0 6 (h 7 a)
8
1
0
7
2 4x
;
09h
1 2 x
1
U2 5 3U0 7 a 7 4 6 a ;
8
9
h
0
0
0
Ðèñ. 5.91
U3 5 3U0 7 a
8
1
0
7
2 4x
1 2
6a 7 .
9
0 h
0
0
График функции U(x) представлен на рис. 5.91.
5.1.16 (р). Задача сводится к решению уравнения Пуассона DU = –r/e0 при за
данных краевых условиях. Поскольку задача одномерная (¶U/¶y = 0, ¶U/¶z = 0), диф
ференциальное уравнение становится обыкновенным: d2U/dx2 = –r/e0. Его решение
после двукратного интегрирования
1x 2
U (x) 2 3
4 C1x 4 C2 ,
250
где C1 и C2 — постоянные, определяемые из краевых условий. Так как U(0) = 0, то
C2 = 0; константа C1 находится из условия U(h) = –rh2/2e0 + C1h. Таким образом,
искомый потенциал
1x 2 2 U0 1h 3
U (x) 4 5
x.
6
6
290 7 h 290 8
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
335
Если заземлена и правая пластина (U0 = 0), то
1 2 7 h4 4.
5
5 3
h
8 (x 2 7 hx) 6 7
x7
2 0
2 09
2
Напряженность поля в этом случае
U (x) 6 7
Ex (x) 5 6
2
2
1 2
4U 3
h
5
x6 .
4x 70
2
Распределение потенциала (парабола) и напряжен
ности поля (прямая)
при r < 0 показаны на рис. 5.92.
1
Линии E направлены
от пластин к плоскости сим
1
метрии x = h/2, где E 1 0. Очевидно, что пластины заря
жены положительно.
5.1.17 (м). Решая уравнение Пуассона, получим
Ðèñ. 5.92
ax 3 ahx 2
3
3 C1x 3 C2 .
64
64
Из краевых условий U(0) = 0 и U(h) = 0 следует, что обе константы равны нулю, и
поэтому
ax 3 ahx 2
U (x) 3 4
5
;
66
66
1
7U 1 ax
2h 1
E 3 4gradU 3 4
e 3
x4
e.
7x x 26
3 x
U (x) 1 2
1
2
Плотность свободного заряда на пластинах находится
1 из граничного условия
s = Dn = eEn. Поскольку при x = 0 напряженность поля E 1 0, заряженной оказыва
ется только правая пластина, причем s = –ah2/6. Плотность связанного заряда на
поверхности диэлектрика sсв = –Pn = Px = (e – e0)Ex|x = h = ah2(e – e0)/6e0, что соот
ветствует [1, с. 492–493].
5.1.18 (м). Задача сводится к решению уравнения Пуассона при краевых условиях
U(±h) = 0:
1 2 2 x4 5h2 3
U (x) 4 5
x 5 25
.
280 69
6 7
6h
5.1.19 (р). Выделяем две подобласти. В первой при 0 < x < h поле описывается урав
нением Лапласа DU1 = 0; во второй при x > h — уравнением Пуассона DU2 = –r/e.
Общие решения этих уравнений в случае одномерной задачи
U1 3 C1x 4 C2 ; U2 3 1
0,22h 1 (x / h 11)
e
4 C3 x 4 C4 .
5
Краевые (граничные) условия для определения четырех постоянных интегрирова
1U2 1U1
2
3
4 3 2 (б); 3) при x ® ¥ (удале
1x
1x
5
1
ние от заряженной области) напряженность E 1 0 и, следовательно, U2 ® const.
ния: 1) x = 0: U1 = 0; 2) x = h: U1 = U2(а),
Применив условия 1) и 3), получим U1 = C1x; U2 3 1
0,22h 1 (x / h 11)
e
4 C4 .
5
336
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Далее из 2 (б) следует
0,21
0,81
1
2 C1 3 2
, C1 3 .
4
4
4
Условие 2 (а) дает: sh/e = –0,2sh/e + C4, C4 =
= 1,2sh/e.
Окончательные результаты:
0,22h 1 (x / h 11) 1,22h
2
x; U2 3 1
e
4
;
5
5
5
0,22 1 (x / h 11)
2
.
E1 (x) 3 1 ; E2 x 3 1
e
5
5
U1 (x) 3
Ðèñ. 5.93
Качественные графики U(x) и модуля E(x) представлены на рис. 5.93.
5.1.20 (м). В качестве поверхности интегрирования выбирается цилиндр с осно!
ваниями, перпендикулярными оси x.
5.1.21 (м). Вектор электрического смещения имеет только нормальную составляю!
щую на границах слоев. В этом случае,
1 как1 следует из граничных условий, D1 = D2 = D3.
Далее, используя уравнение связи D 1 2E, получим
1
21
3
U д 4 E1h1 5 E2 h2 5 E3 h3 4 6 3 h1 5 3 h2 5 h3 7 E3д 4 4,05 кВ.
1
1
8 1
9
2
5.1.22 (м). В соответствии с третьим уравнением Максвелла электрическое сме!
щение в изоляции (r1 £ r £ r3) D = t/2pr, где t — погонный заряд (заряд на единицу
длины) жилы. Напряженность поля в первом слое максимальна при r = r1, во вто!
ром — при r = r2. Отсюда следует:
e1E1дr1 = e2E2дr2; r2/r1 = e1E1д/e2E2д.
r3
В этих условиях tд = 2pe1r1E1д, а U д 4 Edr 4
r1
5.1.23 (м). Напряженность поля E 1
1 д 2 1 r2 1 r3 3
ln 5 ln .
28 6 91 r1 92 r2 7
U0
максимальна на поверхности жилы
r
r ln 2
r1
при r = r1. Условие экстремума (минимума) Emax = E(r1): r2/r1 = e; r1 = r2e–1 = 0,37r2.
При r1 = kr2, где 0 < k < 1, максимальная напряженность поля отличается от опти!
мального (наименьшего) значения в n = e–1/[kln(1/k)] раз. Когда k = 0,1 («тонкая»
жила), n = 1,6; при k = 0,5 получим n = 1,07. 1 1
5.1.24 (р). Линии поля радиальны. Векторы E и D на границе раздела сред имеют
только касательную составляющую. Согласно граничным условиям E1 = E2; D1/D2 = e1/e2.
Пользуясь постулатом Максвелла, запишем поток вектора смещения через по!
верхность полуцилиндра радиуса r и длины l в первом диэлектрике: D1 × prl = t1l, где
t1 — погонный заряд на половине электрода. Таким образом, смещение D1 = t1/(pr), а
напряженность поля E1 = t1/(pe1r). Для нахождения t1 воспользуемся соотношением:
r2
12 U
3
r
U0 4 5 E1dr 4 1 ln 2 ; 31 4 1 0 .
121 r1
r
r1
ln 2
r1
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
337
Таким образом, в первой среде
E1 1
U0
, D1 1 21E1.
r
r ln 2
r1
Во второй среде t2 = t1e2/e1, E2 = E1, D2 = e2E2.
Плотность свободного заряда на внутреннем электроде находится из граничного
условия s = Dn = eEn [1, с. 492–493], которое в первой среде принимает вид
21U0
31 1 D1 r 1r 1 21E1 r 1r 1
.
1
1
r1 ln r2 / r1
Плотность связанного заряда на границе диэлектрик — электрод
41св 1 (20 3 21) E1 r 1r 1
1
(20 3 21)U0
.
r1 ln r2 / r1
Во второй среде соответствующие величины
s2 = s1e2/e1; s2св = s1(e0 – e2)/(e0 – e1).
Результаты расчета: E = 25 × 103 В/м; D1 = 43 × 10–8 Кл/м2; D2 = 86 × 10–8 Кл/м2;
s1св = –21,5 × 10–8 Кл/м2; s2св = –64,5 × 10–8 Кл/м2.
5.1.25 (р). В рассматриваемой задаче поле является плоскопараллельным. Его
потенциал — функция двух координат x и y. Он удовлетворяет уравнению Лапласа
1 2U 1 2U
2
3 0.
1x2 1y2
Общее решение уравнения можно найти методом разделения переменных [1,
с. 517–519]:
1
U (x, y) 2 4 (Am cos mx 3 Bm sin mx)(Cmchmy 3 Dmshmy).
m 21
Очевидно, что искомое поле должно быть симметричным относительно осей x и y.
Поэтому в решении должны отсутствовать нечетные функции. Введя новое обозначение для постоянных, получим
1
U (x, y) 2 4 Fm cos mx 3 chmy.
m 21
Для определения Fm используются краевые условия:
x = ±a/2 : U = 0;
y = ±b/2 : U = U0.
1
1
1
a
Из первого условия следует cos m 2 0, m 2 k , m 2 k, где k = 1, 3, 5, ... Обо2
2
2
a
значив для таких k коэффициенты Fm = Ak, перепишем решение в следующем виде:
U (x, y) 2
1
5
k 21,3,5,...
Ak cos
k3
k3
x 4 ch y.
a
a
338
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Коэффициенты Ak находятся из второго краевого условия. При этом можно огра
ничиться конечным числом слагаемых. Например, учитывая четыре члена ряда, запи
7
шем
k2
k2
U (x, y) 3 5 Ak cos x 4 ch y.
a
a
k 11,3
Подставив сюда y = b/2 и придавая x последовательно значения a/2, a/4, a/8, 0,
получим четыре уравнения для определения четырех Ak.
5.1.26 (м). Расчет поля «полубесконечной полосы» связан с разложением крае
вого условия на нижней пластине U = U0 на промежутке | x | < a/2 в ряд Фурье [1,
с. 519–520].
5.1.27 (р). В однородном диэлектрике поле описывается уравнением Пуассона
DU = –r/e. Следовательно, распределение объемных зарядов 2 3 456U 3 45
1 2U
3 25a.
1x 2
Плотность объемных зарядов оказывается постоянной.
Плотность свободных поверхностных зарядов на пластинах находится из гранично
1
го условия s = Dn = eEn, где предполагается, что нормаль n направлена из металла
(пластины) в диэлектрик. Поэтому на левой пластине En = Ex|x = – h/2, а на правой
En = Ex|x = h/2. Определив напряженность поля Ex = –¶U/¶x = 2ax, находим плотность
заряда s = –eah, которая оказывается одинаковой по величине и знаку (s < 0, если
a > 0).
Поверхностная плотность связанных зарядов в диэлектрике у пластины sсв = –Pn =
= (e0 – e)En , откуда следует sсв = (e – e0)ah > 0.
Объемная плотность связанных зарядов
1
dE
1св 2 3 div E 2 (40 3 4) x 2 2a(40 3 4).
dx
5.1.28 (р). Задача подобна предыдущей и является типичной обратной задачей
электростатики [1, с. 495–497].
Поскольку поле U(r) является центральносимметричным, при определении объ
емной плотности заряда ограничиваемся первым слагаемым оператора Лапласа в сфе
рических координатах:
5 6 37
1
2
1 4 2 4U
a2b 3ar
r
63
e .
2
4
r
4
r
4
8r
r
Заданная функция U(r) имеет особую точку в начале координат: при r ® 0 потенци
ал U ® ¥. Такой особенностью обладает поле точечного заряда.
Чтобы определить заряд 1q в особой точке, построим сферу произвольного радиуса
r. Поток вектора смещения D через поверхность этой сферы равен заряду, находяще
1 1
муся внутри:
24 DdS 1 q 2 4 3dV ,
S
V
где V — объем, ограниченный сферой.
Вектор смещения
1
b(ar 2 1) 1ar 1
D 3 14gradU 3
e 5 er .
46r 2
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
339
Поток вектора смещения
1 1
25 DdS 2 Dr S 2 Dr 43r 2 2 b(ar 4 1)e1ar .
S
Объемный заряд внутри сферы
r
6 2dV 3 446 2r 2dr 3 b(ar 5 1)e1ar 1 b.
0
V
Искомый точечный заряд
1 1
q 1 24 DdS 2 4 3dV 1 b.
S
V
5.1.29 (м). Решение обратной задачи электростатики проводится следующим об"
разом.
Объемная плотность заряда находится из уравнения Пуассона. Лапласиан в дан"
ном случае следует записать в цилиндрической системе координат. Поскольку потен"
циал не зависит от j и z,
1 3 3U
4 5 670
r
.
r 3r 3r
1 2
Для определения линейной плотности заряда на нити, т. е. в особой точке r = 0,
нужно воспользоваться третьим уравнением Максвелла в интегральной форме (см.
решение задачи 5.1.27 (р)). Окружив нить цилиндрической поверхностью радиуса r и
длиной l, можем записать
Dr 2 23rl 4 560
1U
2 23rl 4 7l 8 9dV ,
1r
V
где V — объем цилиндра. Совершая предельный переход, получим
1 33Ur 2.
4 5 62780 lim r
Поверхностная плотность заряда находится из граничных условий: s = Dn = –Dr
при r = d/2.
Окончательные результаты: r = 4e0a = 10–8 Кл/м3; t = –2pe0ab = –10–7 Кл/м;
s = e0a(2b/d – d) = 1,28 × 10–6 Кл/м2. Система зарядов нейтральна.
5.1.30 (м). Пусть заряд шара q. В силу сферической симметрии линии поля ради"
альны: смещение Dr = q/(4pr2) при всех r > a. Напряженности поля различны и равны
Dr/e1 при r < b и Dr/e2 при r > b. Потенциал шара относительно бесконечности («уеди"
ненный» шар)
b
1
U 2 4 E1r dr 3 4 E2r dr.
a
b
По определению емкость
C3
q
412122ab
.
3
U 21a 4 22 (b 5 a)
Емкость шара в однородном диэлектрике (e1 = e2 = e) C = 4pea.
340
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
5.1.31 (р). Пусть заряд эллипсоида q. Для определения его потенциала воспользу
емся результатами решения задачи 5.1.13 (р). Эквипотенциалями заряженной нити
являются эллипсоиды вращения, причем потенциал поля при замене t = q/2l
U2
q
r 1 r 1 2l
ln 1 2
.
834l r1 1 r2 5 2l
Используя известные геометрические равенства r1 + r2 = 2a и l 1 a2 2 b2 , мож
но переписать формулу потенциала и затем получить выражение для емкости эллип
соида
q
812 a2 3 b2
C4 4
.
U
a 5 a 2 3 b2
ln
a 3 a 2 3 b2
5.1.32 (м). Пусть заряд на единицу длины жилы кабеля (погонный заряд) t. Ди
электрическое заполнение кабеля кусочно однородно. Поле обладает осевой симмет
рией, его векторные линии радиальны. Третье уравнение Максвелла в интегральной
форме позволяет найти смещение D = t/(2pr), причем r1 £ r £ r3.
Напряженность поля в первом слое E1 = D/e1, а во втором слое E2 = D/e2. Вычис
1
лив разность потенциалов (U1 – U2) между электродами кабеля в известном поле E,
приходим к искомому результату:
C3
1
22
3
3 202 пФ/м.
U1 4 U2 1 r2 1 r3
ln 5 ln
61 r1 62 r2
5.1.33 (м). Рекомендуется использовать указания к решению задачи 5.1.24 (р).
Напряженность поля E1 = t/(pe1r), разность потенциалов между электродами
U1 2 U2 3
11 r2
ln .
451 r1
Так как в силу граничных условий E1 = E2; D1/e1 = D2/e2 и t2 = t1e2/e1, искомая
емкость
(1 2 1 ) 3(41 2 42 )
5 240 пФ/м.
C5 1 2 5
U1 6 U2
r
ln 2
r1
5.1.34 (м). Пусть линейные плотности зарядов проводов t1 = t и t2 = –t. По оп
ределению, погонная емкость C = t/(U1 – U2). Для определения разности потенциа
лов между проводами линии рекомендуется использовать формулу для потенциала поля
разноименно заряженных нитей [1, с. 505]:
U2
r
1
ln 2 .
234 r1
Определив U1 в точке 1 и U2 в точке 2, с учетом неравенства r0 = h получим
C3
120
.
h
ln
r0
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
341
Второй подход заключается в определении напряженности поля между проводами
[r0 = x = (h – r0)]: E = E1 + E2 = t/(2pe0x) + t/[2pe0(h – x)]. Разность потенциалов
h 1 r0
U1 1 U2 2
3
Edx.
r0
5.1.35 (м). В соответствии с методом зеркальных изображений расчетная модель
задачи есть система двух разноименно заряженных нитей t и t¢ = –t, расположенных в
однородном диэлектрике с проницаемостью e [1, с. 510–512]. Для определения погон"
ной емкости следует найти потенциал провода Uпр и плоскости Uпл по формулам двух"
проводной линии. С учетом неравенства r0 = h емкость
С4
1
223
.
4
Uпр 5 Uпл
2h
ln
r0
Поверхностная1плотность заряда находится из граничного условия s = Dn = eEn =
= –2eEtcosa, где E — напряженность поля в точках плоскости; Et — напряженность
поля одной нити. Принимая во внимание, что t = СU0, получим
2(x) 3 4
21hU0
(h2 5 x 2 )ln
2h
r0
.
5.1.36 (м). Расчетная модель, обеспечивающая эквипотенциальность проводящих
плоскостей, содержит четыре заряда. Их можно попарно объединить в две двухпровод"
ные линии. Применив формулу для расчета потенциала поля линии (см. решение зада"
чи 5.1.34 (м)) и принципы наложения, находим потенциалы провода и плоскостей. Окон"
чательное выражение для емкости
C3
212
.
2ab
ln
r0 a2 4 b2
При b ? a получаем формулу для конструкции «провод–плоскость».
5.1.37 (м). Расчетная модель состоит из двух двухпроводных линий I и II, располо"
женных в однородном диэлектрике. Погонная емкость линии С = t/(U1 – U2). Потен"
циал в точке 1 находится в соответствии с принципом наложения: U1 = UI + UII. Оче"
видно, что в точке 2 потенциал U2 = –U1. С учетом условия «тонких проводов» ем"
кость
12
C3
.
2 Hh
ln
r0 h2 4 (2 H)2
При увеличении H емкость уменьшается; в пределе при H ? h получаем формулу
«свободной» линии (см. решение задачи 5.1.34 (м)).
5.1.38 (м). Задача расчета поля в кусочно однородной среде сводится к задаче рас"
чета в однородной среде с помощью метода зеркальных изображений [1, с. 512–514].
Модель для расчета поля в первом полупространстве содержит три заряда, рас"
положенных в однородном диэлектрике e1 (см. рис. 5.22б): реальный заряд t1 = t,
342
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
зарядизображение t¢1 = t1(e1 – e2)/(e1 + e2) и зарядизображение t²2 = 2e1t2/(e1 + e2).
В точках оси x при r0 < x £ a напряженность поля
211
2211
2
4
4
3
2561x 2561 (2a 4 x) 2561 (a 7 b 4 x)
261
9
1
1
2 8 1 61 4 62
.
3
4
7
2561 x 61 7 62 2a 4 x 61 7 62 a 7 b 4 x E1 3
Для определения поля E2 во втором полупространстве (x ³ a) нужно построить
другую расчетную модель. Затем находится разность потенциалов между проводами
линии
a
a 1 b 2r0
r0
a
U1 2 U2 3 4 E1dx 1
4
E2 dx
и емкость C = t/(U1 – U2). При a = b, e1 = e0, e2 = 3e0 получим
C = 3pe0/[2ln(2a/r0)].
5.1.39 (р). Пренебрегая краевым эффектом, полагаем, что пластины конденсато
ра заряжены равномерно (s = const). Из граничного условия D = s следует, что поле
вектора смещения однородно. Напряженность поля изменяется по закону
D
1
E2 2
,
3
32 4 31
x
31 5
h
где x — ось, перпендикулярная пластинам.
Разность потенциалов
h
U1 3 U2 4 5 Edx 4
0
1
2h
ln 2 .
12 3 11 11
Емкость конденсатора
C4
(1 2 1 )S
3S
4 2 1 .
U1 2 U2 h ln(12 / 11)
При однородном заполнении (e2 = e1 = e) C = eS/h.
5.1.40 (р). Пусть имеем погонный заряд t на проводе. На поверхности цилиндра
находится неравномерно распределенный заряд (–t). Заменим этот заряд его изобра
жением вне цилиндра, находящимся на расстоянии H от поверхности (см. рис. 5.23).
При этом все пространство заполнено диэлектриком.
В расчетной модели расстояние H находится так, чтобы поле зарядов t и (–t) име
ло эквипотенциаль, совпадающую с поверхностью цилиндра.
Воспользуемся выражением для потенциала поля двухпроводной линии (см. ре
шение задачи 5.1.34 (м)). В точке 1 потенциал U1 2
U2 3
1
H
ln . В точке 2 потенциал
234 h
1
2a 2 H
ln
. Из равенства U1 = U2 следует H = ah/(a – h).
245 2a 6 h
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
343
Теперь в построенной модели находим потенциал проводника Uпр (соответствую
щие расстояния r2 = H + h – r0, r1 = r0) и потенциал цилиндра Uц (с учетом r2 = H,
r1 = h). Погонная емкость конструкции при условии r0 = h; r0 = H:
С4
1
4
Uпр 5 Uц
223
223
.
4
h(H 5 h)
h(2a 5 h)
ln
ln
r0 H
r0 a
5.1.41 (м). Поскольку коэффициенты деполяризации эллипсоида известны,
внутреннее поле может быть найдено простым способом, без решения краевой за
дачи [1, с. 528–529]. При этом используются соотношения
Nx
N
P 1 E0 x 3 x (4 3 40 ) Ex ,
40 x
40
N
N
Er 1 E0r 2 E pr 1 E0r 3 r Pr 1 E0r 3 r (4 3 40 ) Er ,
40
40
1
1
где Ep — напряженность поля деполяризации; P — вектор поляризации
диэлектри
1
ка. Разрешив эти соотношения относительно составляющих E, получим
Ex 1 E0 x 2 E px 1 E0 x 3
Ex 2
E0 cos 10
E0 sin 10
; Er 2
.
1 3 N x (4 / 40 5 1)
1 3 Nr (4 / 40 51)
Коэффициенты Nx и Nr зависят от соотношения полуосей эллипсоида, причем
Nx + 2Nr = 1. Для вытянутого
эллипсоида Nx < 1Nr, Ex > Er и, следовательно, направле
1
ния приложенного поля E0 и внутреннего поля E в общем случае не совпадают (q < q0).
Энергия эллипсоида может быть найдена как энергия индуцированного диполя во
внешнем поле:
111
1
W 1 2 pE0 1 2 pE0 cos(30 2 3),
2
2
1 1
где p 1 PV — эквивалентный дипольный момент. Минимум энергии соответствует
ориентации длинной оси эллипсоида вдоль
линий поля.
1
5.1.42 (р). Будем считать поле E в области расположения шара однородным.
В этом случае он эквивалентен диполю, как в отношении его влияния на внешнее
поле, так и в отношении действующих на него сил. Момент этого индуцированного
диполя [1, с. 526]
1
1
1 21 1
p 3 4411r03 2 1 E 3 kE.
211 5 12
1 1
При e2 > e1 (k > 0) направления p и E совпадают; если e2 < e1 (k1 < 0) — направ
ления противоположны.
Энергия диполя
111
1
W 1 2 pE 1 2 kE 2 ,
2
2
где напряженность поля в изоляции кабеля E = U0/(rlnr2/r1). Сила, действующая на
шар, имеет радиальное направление
kU 2
1W
fr 2 3
23 3 2 0
.
1r
r ln (r2 / r1)
344
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
При e2 > e1 имеем fr < 0, т. е. сила направлена в область сильного поля (к жиле
кабеля) вне зависимости от полярности U0. При e2 < e1 сила направлена в направле
нии уменьшения модуля E. Численный результат: в точке r = 2 см получим fr =
= 4,5 × 10–8 Н.
1
1
5.1.43 (р).1 Энергия взаимодействия, т. е. энергия диполя p2 в поле диполя p1,
1
будет W 2 3 p2 E1 2 3 p2r E1r 3 p21 E11 . Поле первого диполя [1, с. 504]
2 p1 cos 11
p sin 11
, E11 2 1
.
4340 r 3
4340 r 3
1
Поскольку составляющие момента p2 равны p2r = p2cosq2, p2q = –p2sinq2, выра
жение для энергии
p p sin 11 sin 12 2 2cos 11 cos 12
W3 1 24
.
4560
r3
Сила взаимодействия
E1r 2
fr 4 2
3W 3 p1p2 sin 11 sin 12 2 2cos 11 cos 12
.
4
5
4670
3r
r4
Если диполи расположены на одной (полярной) оси (см. рис. 5.26б), то q1 = q2 = 0;
энергия W = –2p1p2/(4pe0r3); сила fr = –6p1p2/(4pe0r4).
Если диполи антипараллельны (см. рис. 5.26в), то q1 = p/2, q2 = –p/2; энергия
W = –p1p2/(4pe0r3); сила fr = –3p1p2/(4pe0r4).
В обоих случаях диполи притягиваются.
5.1.44 (м). Поместив заряд q в центр сферической системы координат, запишем
Er = q/(4per2); pr = pcosq. Отсюда следует
fr 3
2qp cos 1
2
(p E ) 3 4
.
2r r r
456r 3
При q = 0 получим fr < 0, т. е. диполь притягивается; при q = p имеем fr > 0, т. е.
диполь отталкивается.
5.6.2. Çàäà÷è 5.2.15.2.12
ê òåìå «Ïîëå ïîñòîÿííîãî òîêà»
5.2.1 (м). Решение задачи обсуждается в [1, с. 541].
5.2.2 (м). Решение задачи обсуждается в [1, с. 542]. Дополнительно запишем плот
ность свободного заряда
1a2U0
23
(41 5 ax)2 ln[41 /(41 5 ah)]
и плотность связанного заряда
sсв = (e0/e – 1).
5.2.3 (м). В силу сферической симметрии векторные линии поля тока радиальны.
Плотность тока J = I/(4pr2), и по1закону Ома E = J/g = I/(4par).
Потенциал в заданном поле E
r2
r
I
ln 2 .
U (r) 1 3 Edr 1
42a r
r
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
345
Сопротивление утечки
U1 1 U2
r
1
ln 2 .
2
I
43a r1
5.2.4 (м). Следует воспользоваться решением задачи 5.1.32 (м), где найдена ем
кость C на единицу длины такого кабеля. На основании математической аналогии поля
постоянного тока и электростатического поля сопротивление изоляции
R2
R6
1
141 r
1 r 5
6 9 ln 2 7 ln 3 6 5,22 8107 Ом/м.
C 123 2 31 r1 3 2 r2
Ток утечки по закону Ома I = U0/R = 5,75 × 10–8 А. Положив в выражении для со
противления g1 = g2 = g (однослойная изоляция), получим
11
r
21 r
1 r 3
4 5 8 ln 2 6 ln 3 9 ln 3 5 2,1171019 См/м.
41 r1 4 2 r2
r1
5.2.5 (м). Для решения нужно использовать выражение для погонной емкости двух
проводной линии (см. решение задачи 5.1.34 (м)) и принцип математической аналогии
полей. Ток утечки
43a
I 5 GU0 5 Ca 123 U0 5
U0 .
ln(h / r0 )
5.2.6 (м). Определение поля в кусочно однородной среде проводится методом зер
кальных изображений в поле тока [1, с. 551–552]. Расчетные модели аналогичны мо
делям электростатики (см. указания к решению задачи 5.1.38 (м)) при замене анало
гичных величин e ® g, t ® I, где
1 I — ток утечки на единицу длины провода.
Модель для расчета поля E1 в первом полупространстве содержит три тока, рас
положенных в однородной среде g1: реальный ток I1 = I, токизображение I1¢ = I(g1 –
– g2)/(g1 + g2) и токизображение I2² = 2g1I2/(g1 + g2). В точках оси x (при r0 £ x £ a)
напряженности поля от токов I1 и I2² складываются; знак третьей составляющей от
тока I1¢ зависит от соотношения
проводимостей.
1
Для определения поля E2 во втором полупространстве (x ³ a) строится другая рас
четная модель (см. рис. 5.27б). Она включает токи I2, I2¢ = I2(g2 – g1)/(g1 + g2) и
I1² = 2g2I1/(g1 + g2), расположенные в среде с проводимостью g2. В точках оси x при
x ³ a напряженность поля
1 21
21 2 1 4
I 3
1
1
E2 5
2 2 16
7
6 .
2 1 2 8 a 7 b 2 x 11 7 1 2 b 2 a 7 x 11 7 1 2 x 9
1
По известному полю E находится напряжение между проводами
a
a 1 b 2r0
r0
a
U 3 4 E1dr 1
4
E2 dr
и сопротивление утечки R = U/I. При a = b получим
R3
11 2 1 2 2a
ln .
24111 2 r0
5.2.7 (м). По условию задачи эквипотенциальные поверхности в грунте имеют
форму полусфер [1, с. 545]. Векторные линии поля радиальны, причем
346
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Jr 1
I
I
; Er 1
,
2
22r
223r 2
где r — расстояние от центра заземлителя.
Потенциал заземлителя относительно бесконечно удаленной точки
1
U 2 3 Er dr ,
r0
а сопротивление заземлителя R = U/I = 1/(2pgr0) = 10,6 Ом.
Шаговое напряжение
Uh 1
I
h
h
2
1 IR
1 738 В.
r0 5 h
234 r0 (r0 5 h)
5.2.8 (м). В первом и третьем случаях векторные линии поля радиальны. Во втором
случае для расчета электрического поля необходимо применить метод зеркальных изо"
бражений ([1, с. 551]; см. также решение задачи 5.2.6 (м)). Сопротивления заземления:
1
1 318 Ом;
223r0
1 41
1 5
6
1 172 Ом;
R2 1
423 7 r0 2h 9 r0 8
R
1
1 1 1 159 Ом.
R3 1
423r0 2
R1 1
5.2.9 (р). Модель для расчета поля в земле строится обычным образом: в одно"
родной среде с удельной проводимостью g расположены реальный ток и ток"изобра"
жение I¢ = I(g1 – g2)/(g1 + g2) = I (см.
1 рис. 5.28б). При этом выполняется граничное
условие J2n – J1n = 0, так как при J2 1 0 из него следует J1n = 0. Ток течет вдоль
границы раздела.
Ток"изображение I² = 2Ig2/(g1 + g2) по условию задачи (g2 = 0) оказывается рав"
ным нулю, а напряженность поля E2 = J2/g2 неопределенной. Поэтому для расчета поля
в воздухе нужно строить другую модель.
Будем считать, что это поле совпадает с полем точечного заряда"изображения q, рас"
положенного в однородной диэлектрической среде с проницаемостью e0 (см. рис. 5.28в).
Значение q должно быть определено из граничного условия — равенства касательных
составляющих напряженности поля E2t – E1t = 0. Отсюда следует
q
2I
4
(EI 2 EI 1 )cos 3 4 Eq cos 3;
.
456r 2 4570 r 2
Таким образом, заряд"изображение q = 2e0I/g.
Поверхностная плотность заряда s = D2n – D1n. Так как в земле у поверхности
имеется только касательная составляющая, то D1n = 0. Следовательно,
10 hI
q
qh
2 3 D2n 3 10
sin 4 3
3
.
4510r 2
45r 3 256 (h2 7 82 )3 2
В точке над электродом (r = 0) плотность заряда максимальна: sm = e0I/(2pgh2).
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
347
5.2.10 (м). Задача сводится к определению проводимости шайбы. Метод решения
изложен в [1, с. 547]. Проводимость G 3 G1 2 G2 3 (11 2 1 2 )h 4 ln r2 3 7 См. Здесь G1 и
r1
5
G2 — проводимости первой и второй полушайб. Ток i0 = GU0 = 7 А.
5.2.11 (м). Две близко расположенные параллели вырезают из сферы тонкостен$
ное кольцо, длина которого в направлении тока dl = r0dq, а площадь поперечного сече$
ния S = 2prh = 2phr0sinq. Сопротивление кольца, поле в котором можно считать од$
нородным,
dl
d1
dR 2
2
.
3S 243h sin 1
Сопротивление сферы находится путем суммирования сопротивлений последова$
тельно соединенных колец:
R 52
3 /2
8
dR 5 6
40
1 2
1
2
4
4
1
1
ln tg 0 5
ln ctg 0 ,
237h
2
237h
2
где q0 = arcsin(a/r0).
При условии малых электродов (a = r0) получим
R2
2r
1
ln 0 2 1,25 31013 Ом.
45h a
5.2.12 (р). Электрическое поле является плоскопараллельным, причем общее ре$
шение уравнения Лапласа имеет вид [1, с. 517–519]
1
U (x, y) 2 4 (Am cos mx 3 Bm sin mx)(Cmchmy 3 Dmshmy).
m 21
Обратимся теперь к краевым условиям, которые позволяют выбрать из общего
решения необходимые функции и постоянные:
U(0, y) = 0, U(a, y) = 0, U(x, b) = 0, U(x, 0) = U0.
Чтобы удовлетворять первому и третьему условию, решение должно иметь вид
1
U (x, y) 2 5 Bm sin mx 3 shm(b 4 y).
m 21
Второе условие будет выполнено, если sinma = 0, ma = kp, m = kp/a, k = 1, 2, ...
В результате получим
1
U (x, y) 2 6 Bk sin
k 21
k3
k3
x 4 sh (b 5 y).
a
a
Четвертое условие приводит к соотношению
1
U (x,0) 2 U0 2 5 Bk sin
где постоянная Ak 2 Bksh
k1b
.
a
k 21
1
k3
k3
k3
x 4 sh b 2 5 Ak sin x,
a
a
a
k 21
348
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Соотношение представляет собой разложение функции U0 = const на участке
0 < x < a в ряд Фурье. Коэффициенты ряда определяются выражением
a
Ak 2
2U
2
k1
U sin xdx 2 0 (1 3 cos k1),
a4 0
a
k1
0
и, следовательно, отличны от нуля только при нечетном k, когда Ak = 4U0/kp.
Таким образом, распределение потенциала в поперечном сечении бруска
k3
4U0 1 sin a x
k3
U (x, y) 2
4 sh (b 5 y).
6
3 k21,3,5...
k3
a
ksh b
a
Задача расчета проводимости при заданном напряжении
1
1 электродов U0 сводится к
определению тока. Плотность тока в диэлектрике J 1 2E 1 32gradU . На поверхности
пластины при y = 0
J y (x,0) 2 63
4U
4y
2
y 20
4 3U 0 1
8 sin ka5 x 7 cth ka5 b.
a k 21,3,5...
Ток, втекающий в брусок с электрода единичной длины,
a
i 1 2 J y (x,0)dx.
0
Выполнив интегрирование, получим выражение для проводимости
G2
83 1 1
i
2
5 k cth ka4 b.
U0 4 k 21,3,5...
5.6.3. Çàäà÷è 5.3.15.3.49
ê òåìå «Ïîñòîÿííîå ìàãíèòíîå ïîëå»
5.3.1 (м). По закону Био–Савара напряженность поля элемента тока в точке на6
11
1
блюдения M(0, y) равна dH 1 i[dlr ] /(42r 3 ). В выбранной системе координат (см.
рис. 5.32) модуль напряженности dH 1
iy
dx
2
. В соответствии с принципом
43 (x 2 4 y2 )3 / 2
наложения
x2
H 3 dH 3
x1
x2
x1
2
i 1
i
4
3
(sin 52 4 sin 51).
48y 6 (x22 9 y2 )1/ 2 (x12 9 y2 )1/ 2 7 48y
Напряженность поля бесконечно длинного проводника (b2 = –b1 = p/2) будет
H = i/(2py).
5.3.2 (м). Напряженность поля элемента тока в точке наблюдения M(z) равна
dH = idl/(4pr2). По принципу наложения
1
1
H 1 2 dH .
l
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
349
1
Вследствие цилиндрической симметрии только одна составляющая H отлична от
нуля:
ir 2
ir02
.
H 1 H z 1 14 dH cos 2 1 03 1
2r
2(r02 3 z2 )3 / 2
l
В центре кольца H = i/(2r0).
5.3.3 (м). Рассматриваем катушку как систему колец. По кольцу малой толщины dz¢
протекает ток di = nidz¢/l. Поле этого элементарного кольца в точке наблюдения M(z)
dH z 2
nir02
dz1
.
2l (r02 3 (z 4 z1)2 )3 / 2
Искомое поле
l /2
Hz 5
dH z 5
1l / 2
3 ni
z 4 l /2
z 1 l /2
ni 2
1
5 (cos 61 1 cos 62 ).
2l 79 ((z 4 l /2)2 4 r02 )1/ 2 ((z 1 l /2)2 4 r02 )1/ 2 8 2l
Если точка наблюдения M(z) находится внутри катушки и r0 = l (эталонный соле$
ноид), то b1 ® 0, b2 ® p и Hz = ni/l = n¢i, где n¢ — число витков на единицу длины
соленоида.
5.3.4 (м). Поскольку h ? a, ленту можно разбить на тонкие нити с токами di = idx/h,
текущими вдоль оси z. Магнитная индукция в точке M(y) находится по формуле для
бесконечно длинного проводника (см. указания к решению задачи 5.31 (м)):
dB 2 10 dH 2
10i
dx.
23h
Вследствие симметрии относительно оси y составляющая By = 0. Единственная
составляющая Bx находится по принципу наложения
h/2
B 3 Bx 3
7
dB cos 4 3
1h / 2
20 y
5h
h2
7
0
2 i
dx
h 20 i
3 0 arctg
3
4 .
2y 5h 0
x 2 6 y2 5h
В области около ленты (b0 ® p/2) имеем Bx = m0i/(2h) — практически однород$
ное поле.
На оси x вне ленты (| x | > h/2) расчет проводится аналогично. Здесь есть только
одна составляющая
x 1 h /2
i
ln
.
Bx 2 3
24h x 3 h /2
5.3.5 (р). Вращающуюся сферу можно рассматривать как систему замкнутых коль$
цевых токов. Искомое поле определяется в результате суммирования элементарных
полей этих токов.
Заряд на кольце, радиус которого R и ширина r0dq, будет dq = 2psr0Rdq, где
1 2 q /(43r02 ) — поверхностная плотность заряда. Соответствующий кольцевой ток
di = ndq.
Магнитное поле тока в точке наблюдения M(z) определяется известным соотно$
шением (см. задачу 5.3.2 (м)):
qn R 3
R 2 di
dH 1 dH z 1
d3,
1
2
2
2
3
/
2
r0 43
4
2(R 6 (z 7 z5) )
где z¢ — координата центра кольца.
350
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
При интегрировании этой функции целесообразно в качестве переменной избрать
r. После преобразований получим
dH 4 1
qn
16r0 z3
(r02 1 z2 )2 3
2 2
2
2
75 1 2(r0 6 z ) 6
8 d5.
52
9
Поле внутри оболочки находим, интегрируя dH в пределах от r1 = r0 – z до r2 = r0 + z:
Hz 2
qn
2 1013 А/м.
3r0
Поле одинаково во всех точках оси при | z | £ r0. При определении поля вне оболочки
(z > a) пределы интегрирования r1 = r0 – z, r2 = r0 + z. Напряженность поля на оси
Hz 1
qnr03
.
3 z3
Зависимость 1/z3 характерна для поля диполя.
5.3.6 (м). Нужно использовать указания к задаче 5.3.5 (р). Ток элементарного коль$
ца di = nidq/p, а r = r0, так как точка наблюдения M находится в центре шара. Ответ:
Hz = ni/(4r0).
5.3.7 (м). Задача обсуждается в [1, с. 561–562]. Поле внутри оболочки оказыва$
ется однородным Hz = qn/(3e0); оно совпадает с частным решением для оси вращения,
полученным в задаче 5.3.5 (р).
5.3.8. (р). Задача относится к числу симметричных задач. Магнитные вектор$
ные линии в жиле, изоляции и оболочке кабеля — концентрические окружности.
Для расчета целесообразно использовать закон полного тока в интегральной фор$
ме [1, с. 462–463].
Если в качестве контура интегрирования избрать векторную линию радиуса r, по$
лучим
i
H1 S ,
22r
где iS — ток, охватываемый контуром.
Ток определяется выражениями:
· в жиле (r < r1) ток iS 1 J12r 2 1 ir 2 / r12 ;
· в изоляции (r1 < r < r2) ток iS = i;
· в оболочке (r2 < r < r3) ток iS 1 i 2 J2 3(r 2 2 r22 ) 1 i 2 i(r 2 2 r22 ) /(r32 2 r22 ),
где J1 и J2 — плотности токов в жиле и оболочке кабеля.
Поле в жиле и изоляции определяется только током жилы. Ток оболочки, имеющий
такую же величину, но противоположное направление, влияет
только на поле в обо$
1
лочке. Вне кабеля (r > r3) ток iS = 0 и, следовательно, H 1 0. Этот результат можно
трактовать, как результат наложения («вычитания») полей двух токов.
Напряженность поля в жиле H1 1 J1r /2 1 ir /(22r12 ); в изоляции H2 = i/(2pr). В обо$
лочке напряженность убывает от i/(2pr2) до нуля при r = r3.
Зависимость H(r) является непрерывной функцией, что следует из условия непре$
рывности касательной
составляющей напряженности поля на границе раздела сред.
1
1
Поскольку B 1 2H , для зависимости B(r) характерны разрывы, связанные с различны$
ми значениями магнитных проницаемостей.
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
351
1
5.3.9 (р). Последовательно рассмотрим две модели. В первой ток с плотностью J
заполняет весь объем цилиндра радиуса r1. Тогда модуль напряженности поля в точке
наблюдения M легко находится с помощью закона полного тока (см. указания
1
1к1решению
задачи 5.3.8 (м)): H1 = Jr/2. Перейдем к векторной форме записи H1 1 [Jr ] / 2 (см.
рис. 5.38). Во второй модели ток обратного направления, имеющий ту же
1 плотность,
11
заполняет объем цилиндра радиуса r2. Напряженность поля в точке M будет H2 2 3[Jr 1] /2.
Наложение двух моделей и их решений приводит к искомому выражению
1 1
1 1 1 1 1
1 11
H 2 H1 3 H2 2 [J (r 4 r 1)] 2 [Ja].
2
2
1
1
Вектор H перпендикулярен a; модуль H = Ja/2. При совпадении осей (концен&
трические цилиндры) H = 0.
5.3.10 (р). В задаче
ось z является осью симметрии в распределении тока и поля.
1
Векторные линии H совпадают с окружностями, плоскость которых перпендикулярна
оси z (см. рис. 5.39а). Применяя закон полного тока в интегральной форме, легко най&
ти напряженность поля в некоторой плоскости z = const на расстоянии r от оси
(рис. 5.39б):
i
H1 S ,
22r
где iS — ток, протекающий через площадь S круга радиуса r. Этот ток по определению
1 1
iS 2 4 JdS 2 4 J cos 31dS,
S
S
1
где J — вектор плотности тока на элементе площади dS. Подынтегральные функции:
J = i/(2pR2); cosq¢ = z/R;
R = (z2 + r2)1/2; dS = rdrdj.
Выполнив интегрирование, получим
H3
i 1
z
2 3 i 5 (1 4 cos 6).
14
29r 7 (r 2 z2 )1/ 2 8 29r
На оси z имеем H = 0; на поверхности земли H = i/(2pr). Ток, равномерно расте&
кающийся из сферы, не имеет магнитного поля. Это следует из принципа суперпози&
ции; достаточно мысленно рассечь сферу диаметральной плоскостью.
Проведем решение этой же
используя первое уравнение Максвелла в
1 задачи,
1
дифференциальной форме rotH 1 J . В сферической системе координат R, q, j плот&
ность тока имеет только радиальную составляющую J = JR = i/(2pR2), а магнитное поле
не зависит от координаты j. Проектируя обе части уравнения на ось R, получим
1
3H 5
1 4 3
i
rot R H 6 J R ;
(H sin 1) 7 1 9 6
.
R sin 1 8 31 2
32
2 R2
Интегрирование приводит к выражениям:
2
i sin 3
i cos 3
(H sin 3) 4
; H 1 sin 3 4 5
6 C.
23 1
27R
27R
352
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Из условий на оси симметрии z (при q = 0) следует C = 1/(2pR). Таким образом,
магнитное поле в земле
i
i
H1 2
(1 3 cos 4) 2
(1 3 cos 4).
25R sin 4
25r
5.3.11 (р). Рассматривая весьма длинный вращающийся цилиндр как систему коль
цевых токов, можно считать, что в средней его части напряженность поля имеет только
осевую составляющую. Вне цилиндра напряженность поля близка к нулю, как в из
вестном случае длинного (эталонного) соленоида.
Для определения
поля применим закон полного тока в дифференци
1 внутреннего
1
альной форме rotH 1 J . В цилиндрической системе координат r, j, z, ось z которой
совпадает с осью цилиндра, H = Hz и не зависит от j и z. Вектор плотности тока имеет
только одну составляющую J = Jj = rv = r2prn, где v — скорость заряда в точке с
координатой r.
Проектируя обе части уравнения на ось j, получим
1
2Hr 2H z
rot 1 H 3 J1 ;
4
3 256nr ;
2z
2r
отсюда следует, что
Hz = –prnr2 + C.
Постоянная интегрирования определяется из граничного условия: при r = r0 име
ем Hz = 0. Окончательно получаем
H z 1 23n(r02 4 r 2 ).
5.3.12 (м). Симметрия задачи (J = Jz, H = Hj) позволяет использовать для расче
та уравнения закона1 полного
тока в интегральной или дифференциальной формах.
1
Уравнение rot H 1 J в условиях задачи имеет вид
J0
12
(rH1 ) 3
.
r 2r
14 r / a
Постоянная интегрирования определяется из условия Hj = 0 при r = 0. Напря
женность поля
a
r
H 5 aJ0 381 6 ln 7 1 49 .
r
a
1 2
5.3.13 (р). Вращающийся диск можно рассматривать как систему элементарных
кольцевых токов. Заряд на кольце, радиус которого r и толщина dr, будет dq = 2psrdr,
где поверхностная плотность заряда 1 2 q / 3r02 . Соответствующий кольцевой ток
di = ndq.
Поле этого тока в точке наблюдения M
qn
r 2 di
r 3 dr
dH 1 dH z 1
1 22 2
,
2
2
3
/
2
r
2(r 3 z )
(r 3 z2 )3 / 2
0
причем ¶Hz > 0 в предположении, что диск вращается против часовой стрелки.
Суммируя элементарные поля, получим
r
Hz 4
qn 0
qn r 2 1 2z2
r 3 dr
4 2 2
2
2
2
3
/
2
r0 0 (r 1 z )
r0 (r 1 z2 )1/ 2
r0
4
0
3
qn 2 r02 1 2z2
5 2z 7 ,
6
2
2
2
1/
2
r0 8 (r0 1 z )
9
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
353
т. е. на поверхности диска в точке z = 0 имеем H = qn/r0.
Преобразуем формулу при условии больших расстояний z ? r0, т. е. r0/z = 1. Вве
дя обозначение (r0/z)2 = x, запишем
3 r02 1 2z2
4 r 2 1 2z2 2 2z2 (1 1 x)1/ 2
2 2z 8 5 0
6
7 2
2
1/
2
z(1 1 x)1/ 2
9 (r0 1 z )
r04
z2 [x 1 2 2 2(1 1 x /2 2 x 2 /8 1 ...)] zx 2
6
6
5
.
4
4 z3
z[1 1 x /2 2 x 2 /8 1 ...]
1
2
Здесь использовано приближение (бином Ньютона) (1 3 x)1/ 2 4 1 3 1 x 5 1 x 2 3 ... .
2
8
Искомая формула: H z 1 qnr02 /(4z3 ).
5.3.14 (м). Используем представление о магнитном моменте плоского контура с то
ком [1, с. 558]. Вектор момента элементарного кольцевого тока направлен по оси z, а его
модуль dm = m0dipr2, где di 1 2qn2d2 / r02 . Магнитный момент диска m 1 20 3qnr02 / 2.
1
Рассматривая диск как магнитный диполь с моментом m, записываем выражения
для составляющих поля
2m cos 1
msin 1
Hr 2
; H1 2
.
4340 r 3
4340 r 3
На оси z при q = 0 имеем Hq = 0; Hr 1 H z 1 qnr02 /(4z3 ). Этот же результат получен
другим методом в задаче 5.3.13 (р).
5.3.15 (м). Выбираем сферическую систему координат r, q, j, полярная ось z
которой совпадает с осью вращения. В первом случае запишем: элемент объема
dV = r2drsinqdqdj; объем элементарного кольца, радиус которого rsinq, будет dV¢ =
= 2pr2drsinqdq; заряд кольца dq = rdV¢; ток di = ndq; элементарный магнитный мо
1
мент dm = m0pr2sin2qdi. Вектор dm направлен по оси z. Магнитный момент шара
m 1 220 3qnr02 /5.
В случае поверхностного распределения заряда шар рассматривается как система
элементарных поверхностных кольцевых токов di = ndq, где dq 1 223r02 sin 4d4. Маг
нитный момент шара m 1 220 3qnr02 /3 больше, чем в случае объемного распределения
заряда.
5.3.16 (р). Воспользуемся выражением для векторного потенциала двухпровод
ной линии [1, с. 556]. В точке наблюдения M(x, y)
Ax 2 0; Ay 2 0; Az 2
10i r2
ln .
23 r1
При выбранных направлениях токов и системе координат Az > 0 в левой полуплос
кости (x < 0); при x > 0 имеем Az < 0. Расстояния до осей проводов
r1 1 y2 2 (h 2 x)2 , r2 1 y2 2 (h 3 x)2 .
1
1
Вектор магнитной индукции B 1 rot A и, следовательно, его составляющие
Bx 2
1Az 1Ay 1Az
1A 1A
1A
3
2
; By 2 x 3 z 2 3 z ; Bz 2 0.
1y
1z
1y
1z
1x
1x
354
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Окончательные результаты:
Bx 6
10 iy 4 1 1 5
1 i h2 x h3x
3
; By 6 0 47 2 2 2 58.
29 7 r22 r12 8
29 r1
r2
В плоскости проводов линии (y = 0):
Bx 4 0; By 4
1
2
30i 1
1
.
5
26 h 5 x h 7 x
В плоскости симметрии линии (x = 0):
Bx 2 0; By 2
10ih
10 ih
2
.
3r12 3(h2 4 y2 )
Две последние формулы для индукции на осях x и y легко выводятся методом нало
жения при использовании известной формулы для поля длинного провода: H = i/(2pr).
5.3.17 (р). Внутри оболочки кабеля поле полностью определяется током жилы.
Напряженность поля на оси x внутри жилы Hy = i(h – x)/(2pa2), а вне жилы Hy =
= i/(2p(h – x)). За пределами кабеля при | x | > b поле есть результат наложения по
лей оболочки и жилы: Hy = i/(2px) – i/(2p(x – h)) = ih/(2px(h – x)). График Hy(x)
приведен на рис. 5.94. Приняв в условии задачи,
1 что оболочка имеет нулевую толщину,
получаем скачок касательной составляющей H при x = b = 1,2 см на величину плот
ности поверхностного тока JS = i/(2pb) = 27 А/м, как указано в [1, с. 482].
Ðèñ. 5.94
5.3.18 (р). В первой области, где протекает
1
1ток, векторный потенциал удовле
творяет уравнению Пуассона [1, с. 554] 1A1 2 340 J . Постоянный ток по сечению про
водника распределяется равномерно; плотность тока J 1 Jz 1 i /(2r02 ). Векторный по
тенциал также имеет только одну составляющую A1 = A1z. Вместо векторного диф
ференциального уравнения имеем одно скалярное DA1z = –m0J1z. Запишем его в
цилиндрической системе координат
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
1
355
2
1 3 3A1z
1 4 3 2 A1z 5 3 2 A1z
r
6 2
6
7 89Jz .
r 3r
3r
r
3 2 3z2
Поле длинного проводника плоскопараллельное (¶/¶z = 0) и имеет осевую сим
метрию (¶/¶j = 0). Поэтому уравнение принимает вид
1
2
1 3 3A1z
r
4 56J ,
r 3r
3r
а его решение
A1z 2 3
10 J z r 2
4 C1 ln r 4 C2 .
4
1
Во второй области в отсутствие тока поле описывается уравнением Лапласа 1A2 2 0 :
1
2
1 3 3A2z
r
4 0,
r 3r
3r
решение которого A2z = C3lnr + C4.
Константа C1 = 0, поскольку в противном случае на оси провода при r ® 0 потен
циал A1z ® ¥. Остальные постоянные интегрирования находятся из граничных усло
вий на поверхности провода. При r = r0 имеем: 1) A1z = A2z; 2) ¶A1z/¶r = ¶A2z/¶r.
Применив первое условие, получаем (120 Jz r02 ) /4 3 C2 4 C3 ln r0 3 C4 , а из второго
условия следует (–m0Jzr0)/2 = C3/r0.
Окончательные выражения:
A1z 2 3
10 J z r 2
1 ir 2
4 C2 2 3 0 2 4 C2 ;
4
45r0
A2z 2 3
10 J z r02 10 Jz r02 r
1 i 1 i r
3
ln 4 C2 2 3 0 3 0 ln 4 C2 .
r0
4
2
45 25 r0
Постоянная C2 остается неопределенной; ее значение зависит от выбора точки
отсчета потенциала.
Вектор
индукции и векторный потенциал связаны векторным соотно
1
1 магнитной
шением B 1 rotA, которое сводится к трем скалярным для определения составляющих:
1 1 2A
2A1
1z
Br 3 rotr A 3
4
3 0;
r 21
2z
2A 86
15 2 7
rA 4 r 3 0;
r 2r 9 1 21 2A
2A 2A
B1 3 r 4 z 3 4 z .
2z
2r
2r
Bz 3
Единственная составляющая индукции внутри и вне провода
B11 4 5
2A1z 30 ir J z r
3 i
4
4
; B21 4 0 .
2r
2
26r
26r02
1
Векторные линии поля — концентрические окружности; направление B связано
с направлением тока правилом правого винта (Bj > 0).
356
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
5.3.19 (р). Энергию магнитного поля линии можно найти, интегрируя плотность
энергии wм = BH/2 по всему объему, занимаемому полем. При другом подходе исполь
зуется выражение
1 11
W м 1 2 JAdV .
2
V
1
Здесь интегрирование ведется по объему, в котором J 1 0, т. е. по объемам V1 и V2
проводов линии (на единицу длины).
В первом проводе плотность тока J = i/(pa2). Векторный потенциал в точке M (см.
задачу 5.3.18 (р))
1 ir 2 1 i 1 i
1 i
A 2 A1 3 A2 2 4 0 2 3 0 4 0 ln b 3 0 ln R,
4 5 25
25
45a
где составляющая A1 (первое слагаемое) связана с током первого провода, а A2 —
с обратным током второго провода, причем
R 1 h2 2 r 2 3 2hr cos 4 1 h 1 2 (r / h)2 3 2r cos 4 / h.
1
Поскольку ln R 1 ln h 2 ln[1 2 (r / h)2 3 2r cos 4 / h], выражение для векторного потен
2
циала приобретает вид
A2
10i 10i h 10 ir 2 10i
3
3
ln 4
ln[1 3 (r / h)2 4 2r cos 5 / h].
46 26 b 46a2 46
Магнитная энергия, обусловленная током в первом проводе,
W1м 2
a 21
1
1
i
i
JAdV 2 J 4 AdV 2
AdV 2
Ardrd3,
2 4
24
2
2
a
2
a2 40 40
1
1
V
V
V
1
1
1
где dV = rdrdj — элемент объема (на единицу длины провода).
Выполнив интегрирование, получим
W1м 4
1
2
1
2
3 0 i2 1
h
5 2ln .
86 2
b
Магнитная энергия поля второго тока
W2м 4
3 0 i2 1
h
5 2ln .
86 2
a
Так как W м 1 W1м 2 W2м 1 Li2 /2, то индуктивность линии
L4
10 2
h 3
1 5 4ln
7.
48 69
ab
Численные результаты: L = 4,13 × 10–7 Гн/м; при отсутствии зазора между прово
дами (h = a + b = 3 см) получим L = 4 × 10–7 Гн/м.
5.3.20 (м). В плоскости y = 0 (вид сверху) участок линии можно рассматривать
как виток прямоугольной формы со сторонами l и 2(h – r0). Напряженность поля в
точке M(x, 0) на оси x находится по принципу наложения; при этом удобно использо
вать известную формулу H = i/(2pr):
H1
i
i
2
.
23(h 2 x) 23(h 4 x)
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
357
Магнитный поток через площадь S витка
1 1
1 2 4 BdS 2 3 4 HdS.
S
S
Внешняя индуктивность определяется соотношением L = F/i. Результат расчета:
L3
2l 2h 1 r0 2l 2h
ln
4 ln .
r0
5
5 r0
Вычисление потока F с использованием векторного потенциала показано в [1, с. 568].
Внешняя индуктивность на единицу длины линии используется как первичный па
раметр при записи телеграфных уравнений [1, с. 303]. Другой параметр — погонная
емкость (см. задачу 5.3.4 (м)).
5.3.21 (м). Магнитное поле кабеля исследовано в задаче 5.3.8 (м). Энергия поля —
сумма энергий отдельных областей кабеля: W м 1 W1м 2 W2м 2 W3м . Энергия поля в жиле
W1м 1 2 w1м dV ,
V1
w1м
1 21H12
где
/2 — плотность магнитной энергии; dV = 2plrdr — элементарный объ
ем (тонкостенный цилиндр). По этой же схеме определяются энергии поля W2м в изо
ляции и W3м в оболочке, а затем L = 2Wм/i2. Результат расчета:
L 5 L1 6 L2 6 L3 5
3r 2 1 r 2 3
r
41l 42l r2 43 l 2 r34
6
ln 6
ln 3 1 32 22 8 .
7
2
2
2
89 29 r1 29 (r3 1 r2 )
r2 4(r3 1 r2 )
Первое слагаемое L1 — внутренняя индуктивность цилиндрического проводника
(жилы); L2 — внешняя индуктивность кабеля. Индуктивностью оболочки L3 можно
пренебречь, поскольку плотность энергии wм 1 23 H32 /2 в обычных условиях мала.
В гармоническом режиме при высоких частотах токи жилы и оболочки становятся
поверхностными. При этом L1 и L3 стремятся к нулю. Внешняя индуктивность кабеля
(на единицу длины)
1
r
L2 2 2 ln 2
23 r1
используется как первичный параметр при записи телеграфных уравнений [1, с. 303].
5.3.22 (м). При расчете следует исходить из представления индуктивности как меры
энергии магнитного поля: Wм = Li2/2. Задаваясь
1 током i, по закону полного тока в
интегральной форме находим напряженность H магнитного поля, плотность магнит
ной энергии wм и затем энергию в стенке провода единичной длины.
Окончательный результат:
L5
r4
r 3
4 2 r22 1 3r12
6 2 1 2 2 ln 2 8 .
7
2
2
29 4(r2 1 r1 ) (r2 1 r1 )
r1
Внутренняя индуктивность сплошного цилиндрического проводника (r1 = 0) равна
L = m/8p и не зависит от радиуса.
5.3.23 (р). Пусть ток первой обмотки i1. При плотной намотке и m ? m0 магнитное
поле локализовано в сердечнике; векторные линии поля — концентрические окружности.
358
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Для линии радиуса r закон полного тока принимает вид H12pr = iS. Полный ток, охваты
ваемый линией поля, iS = n1i1 и, следовательно, напряженность поля H1 = n1i1/(2pr).
Магнитный поток, пронизывающий один виток первой обмотки,
1 1
1 2 4 B1dS 2 3 4 H1dS,
S
S
где S — площадь сечения сердечника. Таким образом,
r
23
1n1i1 2 1
1n hi r
hdr 3 1 1 ln 2 .
r1
24 5 r
24
r1
По определению потокосцепление y11 = n1F, следовательно, индуктивность (соб
ственная) первой обмотки
1n2 h r
2
L 3 11 3 1 ln 2 .
i
24
r1
Магнитный поток через один виток второй обмотки остается таким же, потокосце
пление y21 = n2F и взаимная индуктивность обмоток
M3
1 21 2n1n2 r2
3
ln .
i1
24
r1
5.3.24 (м). Задача обсуждается в [1, с. 568–569]. При d = lc из граничных усло
вий следует, что индукции в сердечнике и зазоре равны, причем
B1
ni
.
lc / 2 3 d / 20
При отсутствии зазора индукция B¢ = mni/l0 = mni/(lc + d) и отношение
k2
lc / d 1 1
B
2
3 1;
B 4 lc / d 1 5 / 50
если lc/d = 50 и m/m0 = 100, то k = 0,33.
Индуктивность катушки с зазором L = mn2S/(lc + md/m0). При зазоре, составляю
щем всего лишь 0,02lc, индуктивность уменьшается в три раза.
1 1
5.3.25 (р). Взаимная магнитная энергия W12м двух полей H1 и H2 , занимающих объ
ем V и создаваемых токами i1 и i2, определяется выражением [1, с. 570–571]:
1 1
W12м 1 3 2(H1H2 )dV 1 Mi1i2 .
V
1
Поле прямолинейного тока H1 существует во всем пространстве; векторные линии
поля — концентрические окружности; величина H1 = i1/(2pr).
Магнитное поле тока i2 при плотной намотке и достаточно большой магнитной
проницаемости сосредоточено в сердечнике; его векторные линии также концентриче
ские окружности, а напряженность поля H2 = ni2/(2pr).
1 1При этих условиях интегрирование проводится по объему сердечника, причем
r
H1H2 1 H1H2 :
1ni1i2 2 1
1nhi1i2 r2
W12м 2
23hrdr 2
ln ;
r1
23
(23)2 4 r 2
r1
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
359
отсюда следует:
1nh r2
ln .
23 r1
Другой подход к решению этой задачи изложен в [1, с. 569].
5.3.26 (м). Задаем ток i в линии с проводами 1 и 2. Взаимная индуктивность M = F/i,
где F — магнитный поток через площадь прямоугольного витка, образованного прово#
дами 3 и 4 длиной l. Вычисление потока упрощается при использовании
векторного
1
потенциала двухпроводной линии [1, с. 556]. В точке P вектор A направлен вдоль
проводов; его модуль
1 r
A 2 ln 2 .
23 r1
1
Поток F вычисляется как циркуляция A по контуру витка. На проводе 3
M2
A3 3
h2 1 d 2
2
ln 1
.
d
24
Записав выражение для A4, найдем F = (A3 – A4)l и затем
M3
2l (h2 1 d) h12 1 d2
ln
.
24 d h2 1 (h2 1 d)2
1
5.3.27 (р). Определение магнитного потока, создаваемого током одной из рамок,
через площадь соседней рамки является достаточно сложной задачей. Проведем реше#
ние методом участков.
Воспользуемся выражением, не связанным непосредственно с расчетом поля [1, с. 565]:
1 1
10
dl1dl2
.
M2
43 24 24 r
l1 l2
Разобьем контуры на прямолинейные участки и вычислим двойной интеграл
1 для
1 ка#
ждой пары. Очевидно, что для взаимно перпендикулярных сторон квадратов dl1 1 dl2 2 0,
и поэтому такие пары не рассматриваются.
Обозначим взаимную индуктивность участков, лежащих на расстоянии h, через M¢,
а лежащих на расстоянии, равном h2 1 d 2 , через M². Взаимная индуктивность в це#
лом определяется как сумма M = 4M¢ + 4M², где
aa
M2 3
aa
dy1dy2
dy1dy2
1
1
; M22 3 4 77
.
2
2
2
45 77 (y1 4 y2 )2 6 h2
45
00
0 0 (y1 4 y2 ) 6 (h 6 a )
1 1
Значение M² < 0, так как здесь dl1 1 dl2 2 31 (токи антипараллельны). Вычислим M¢:
a
M4 5
a
a
dy1
3
3
dy
5
ln 1 y1 6 y2 7 (y1 6 y2 )2 7 h2 2 dy 5
48 2 (y1 6 y2 )2 7 h2 48 0
0
0
5
3 9
a 7 h2 7 a 2
h 6 h2 7 a2 7 a ln
.
h
28
360
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
h2 1 a2 . Окончательный результат:
Выражение для M² получается при замене h на
M7
1 a 6 h2 6 a 2 2 h2 6 a 2 4 .
25 3
2
2
2
2
9h 8 2 h 6 a 6 h 6 2a 6 a ln
h 1 a 6 h2 6 a 2 2
Численное решение: M = 4,8 × 10–9 Гн.
5.3.28 (р). Пусть ток в проводе i. Магнитная индукция в плоскости рамки на рас"
стоянии r от оси провода B = m0i/(2pr). Магнитный поток, пронизывающий площадь S
рамки, равен потоку через прямоугольник со сторонами (r2 – r1) и b (см. рис. 5.49):
1 1 1bi r2 dr 1bi r2
2 3 5 BdS 3
3
ln ,
24 5 r
24 r1
S
где r1 = h; r2 1
дуктивность
h2
2 a2
r1
3 2ha cos 4 . Потокосцепление y = nF, а искомая взаимная ин"
1nb
h2 2 a2 3 2ha cos 4
ln
.
26
h
5.3.29 (м). Полезно использовать указания к решению задачи 5.3.28 (р). В первой
и второй системе соответственно получим
M5
M3
10l
1 l b2 2 h2
a2b
ln
; M 3 0 ln 2
.
2
2
24
4 4 a 2 h2
h 2b
5.3.30 (р). Пусть ток в проводе i. Магнитная индукция в элементе площади витка
dS = rdrda равна B = m0i/(2p(d – rcosa)). Магнитный поток через площадь витка
67
r 3
r
3
r
40 i 0
4 i0
4 i0
rdrd5
d5
7 0 9 dr 9
7 0 9
9
9
3
d 8 r cos 5
3
3
d
00
0
0
0
8 cos 5
r
2
1
3dr
1 2 81
d
r
2
1
2
7 40i d 8 d2 8 r02 .
Взаимная индуктивность
1
2
M 3 40 d 5 d2 5 r02 .
В случае малого витка (r0 = d)
1/ 2
1 r2 2
(d2 3 r02 )1/ 2 4 d 61 3 02 7
8 d 9
r2 2
r2
1
5 d 61 3 0 2 7 4 d 3 0 ;
2d
8 2d 9
следовательно, M 1 20 r02 /(2d).
Эту формулу можно получить элементарно. Пусть в плоскости витка индукция
B = const и равна значению в центре: B0 = mi/(2pd). Тогда
M 1 20 / i 1 B0 3r02 / i 1 40 r02 /(2d).
5.3.31 (м). При решении задачи используется
метод зеркальных изображений.
1 1
Расчетная модель для определения поля H1, B1 в первой среде (x = h) содержит два
тока в однородном магнетике (воздухе) с проницаемостью m1 = m0: заданный ток i и
ток"изображение i¢ = (m2 – m1)i/(m2 + m1) = (m – m0)i/(m0 + m). Координата тока x = 2h;
направления i¢ и i при m2 > m1 совпадают.
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
361
1 1
Модель для расчета поля H2 , B2 во второй среде (x ³ h) — только один токизо
бражение в однородном магнетике с проницаемостью m2 = m: i² = 2m1i/(m2 + m1) =
= 2m0i/(m0 + m). Координата тока x = 0; направления i² и i всегда совпадают.
Результаты расчета:
H1y 2
i
i1
i11
3
; B 2 4H1y ; H2 y 2
; B2 y 2 4H2 y .
25x 25(2h 3 x) 1y
25x
1
5.3.32 (р). По закону 1Ампера сила,
на элемент тока i 1 dl , находя
1 действующая
11
щийся во внешнем поле B, будет df 1 i[dlB]. В данной задаче внешнее поле — это
поле тока i¢ в месте расположения тока i, т. е. H¢ = i¢/4ph. Таким образом, искомая
сила
| 1 2 1 | i2
f 3 11 2 1 4
.
11 5 12 46h
Если m2/m1 = 100 (провод находится в воздухе m1 = m0 над железной плитой
m2 = 100m0), провод притягивается к плите с силой
f 2 43 41017 4
99
104
4
2 0,049 Н/м.
101 43 4 2 41012
Если m1/m2 = 100 (провод находится в железной плите m1 = 100m0), сила направ
лена от поверхности и равна f = 4,9 Н/м.
5.3.33 (м). Следует воспользоваться указаниями к решению задач 5.3.31 (м) и
5.3.32 (р). Искомая сила
f4
211
i2
1 21
i2
1 i 21 i 3 1 i 2 12i2
.
51 i
3 1 2 51 i
4 2 2 11 1 2
11 3 12 2 1 26(2h) 11 3 12 2 2 26(2h) 46h
11 3 12
5.3.34 (м). Согласно методу зеркальных изображений магнитный поток витка уве
личивается и соответствует току i + i¢ = i + (m – m0)i/(m + m0) = 2mi/(m + m0). Следо
вательно, индуктивность возрастает до значения L¢ » 2mL/(m
1
11+ m0).
5.3.35 (р). Сила, действующая
на
элемент
тока
df
1
i
[
dlB
], имеет одну составляю
1
1
щую dfx = – Bzdy. Вектор B — магнитная индукция внешнего (по отношению к idl )
поля. Это поле создается частью провода на оси x и равно Bz = m0i/(4py) (см. задачу
5.3.1 (м)); оно вдвое меньше поля бесконечно длинного провода. Искомая сила «вы
прямляет» провод:
b
1 i dy
1 i b
fx 2 3 0 5
2 3 0 ln .
44 y
44 a
a
Численное решение: f = 24 Н.
5.3.36 (р). Считая, что влево от перемычки длина проводов значительно превы
шает расстояние h между ними, можно записать (см. задачу 5.3.1 (м)):
By 4
1
2
30i 1
1
.
5
46 x h 7 x
где первое слагаемое — поле первого провода. Элементарная сила dfz = iBydx, а сила,
действующая на перемычку,
h 1 r0
2 i2 h 1 r0
fz 3 5 dfz 3 0 ln
.
r0
24
r0
362
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Приняв i = 103 А; h = 0,1 м; r0 = 0,005 м, получим fz = 1,04 Н. Перемычка дви
жется равноускоренно; скорость v(t) = fzt/m.
5.3.37 (м). Если перемычка
в плоскости проводов и не является прямо
1 находится
11
линейной, из закона Ампера df 1 i[dlB] получим
dfx = i(Bzdy – Bydz) = –iBydz; dfy = i(Bxdz – Bzdx) = 0.
Выражение dfz = i(Bydx – Bxdy) = iBydx совпадает с записанным в задаче 5.3.36 (р).
5.3.38 (р). Сила, действующая на элемент тока витка, имеет две составляющие.
Вдоль оси x: dfx = iBzr0cosada = iB0r0(x/a – 1)cosada.
Результирующая сила
3
fx 6 2iB0 r0 8
0
1
2
3
iB 3r 2
x0 4 r0 cos 5
r
7 1 cos 5d5 6 2iB0 r0 0 8 cos2 5d5 6 0 0 .
a
a
a
0
Виток стремится занять положение, когда пронизывающий его магнитный поток
возрастает (fx > 0). При изменении направления тока fx < 0. Однако виток находится в
неустойчивом равновесии. Он стремится повернуться вокруг оси x, а далее опять fx > 0.
Составляющая dfy = iBzr0sinada вызывает только деформацию витка.
1
5.3.39 (р). По закону Ампера сила,1действующая
во внешнем поле B на элемен
1 11
тарный объем dV с током плотностью J , будет df 1 [JB]dV . Модуль силы df = JBdV;
модуль момента dN = 2rdf. Так как плотность тока J = i/(2phr), а dV = hrdrda, то эле
ментарный момент dN = iBrdrda/p. Момент, приложенный к диску,
N2
r0
1
0
0
iBr02
iB
3
2
.
rdr
d
4
1 4
2
5.3.40 (м). Силу можно найти по закону Ампера. Более простое решение основано
на том, что обобщенные силы, действующие между контурами с неизменными токами,
могут быть найдены путем дифференцирования взаимной магнитной энергии по соот
ветствующим обобщенным координатам: fg = ¶Wм/¶g.
Взаимная индуктивность системы ток — виток (см. решение задачи 5.3.30 (р)) бу
1
2
дет M 3 40 d 5 d 2 5 r02 . Выбирая в качестве координаты g = d, получаем модуль
d
5 12 .
| fd |3 40 i1i2 1
6 d2 5 r 2 7
0
8
9
Направление силы зависит от направления токов, как и знак взаимной индуктив
ности M [1, с. 565].
5.3.41 (м). Возможно решение по закону Ампера: f = iBl, где B — индукция поля
одного из проводов в месте расположения другого провода.
При другом подходе вычисляется энергия магнитного поля Wм = Li2/2, где L —
внешняя индуктивность линии (см. указания к решению задачи 5.3.20 (м)). Искомая
сила
2W м 10 i2l
fh 3
3
.
2h
24h
Так как fh > 0, сила действует в направлении увеличения обобщенной координаты
(провода линии отталкиваются).
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
363
5.3.42 (р). Индуктивность участка кабеля длиной l без учета индуктивности обо
лочки (см. задачу 5.3.21 (м)):
1 l 1 l r
L 2 0 3 0 ln 2 .
84 24 r1
Энергия магнитного поля Wм = Li2/2, а обобщенная сила, соответствующая коор
динате r2, равна fr2 1 2W M / 2r2 1 30 i2l /(44r2 ). Она имеет смысл общего усилия, растя
гивающего оболочку ( fr2 1 0). Давление, испытываемое оболочкой,
p 1 fr2 /(22r2l) 1 30 i2 /(822r22 ).
Разрывное усилие в сечении A оболочки определя
ется следующим образом (рис. 5.95). На элементарную
ленту длиной l действует сила df = pldb = plr2da. Про
екция dfx = dfsina = m0i2lsinada/(8p2r2), а усилие в се
чении
12
2 i2 l
2 i2 l
fA 3 5 dfx 3 0 2 5 sin 4d4 3 0 2 .
81 r2 0
81 r2
Численное решение: fA = 53 Н.
5.3.43 (м). Если считать, что магнитная индукция
поля жилы в оболочке B = B(r2) = m0i/(2pr2), то на эле
Ðèñ. 5.95
ментарную ленту с током di действует сила df = Bldi. Она
вдвое больше, чем в задаче 5.3.42 (р).
При расчете нужно учесть, что в пределах оболочки индукция изменяется от B(r2)
до B(r3) = 0, и воспользоваться ее средним арифметическим значением.
5.3.44 (м). На внутренней стороне стенки индукция равна нулю, на внешней
B(r0) = m0i/(2pr0), а ее среднее значение B = m0i/(4pr0). По закону Ампера сила, дей
ствующая на элементарную ленту длиной l и шириной db, равна df = Bldi, где di = idb/
(2pr0). Сила направлена к оси, проводник сжимается; при этом давление на стенку
p2
1 i2
df
2 02 2 .
ldb 83 r0
Численное решение: p = 114,7 Н/м2.
5.3.45 (р). Обобщенная сила, действующая вдоль координаты r,
fr 5
2
1
4W м i2 4L 30 i2
8r
5
5
ln 6 0,75 .
4r
a
2 4r
2
Так как fr > 0, сила действует в направлении увеличения r (разрывает кольцо). Сила
на единицу длины средней линии f¢r = fr/(2pr), а сила в сечении провода кольца (см.
решение задачи 5.3.42 (р))
3 i2
8r
fA 4 0 ln 5 0,75 .
a
46
1
2
Обобщенная сила, сжимающая провод,
fa 3
1 i2 r
i2 2L
34 0 .
2 2a
2a
Численное решение: fA = 5,25 × 10–5 Н; fa = 3,14 × 10–3 Н.
364
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
5.3.46 (р). Намагниченное тело можно рассматривать как систему электрических
связанных (амперовых) токов, протекающих в вакууме.
связывающее вектор намагниченности с плотностью связанных
токов
1
1Уравнение,
1
границе
раздела
сред
1
и
2
при
разрыве
вектора
справедливо
M
rotM 1 20 J м . На
1
1
1
1 1
уравнение
[n(M2 1 M1)] 2 J Sм , где n — единичная нормаль из первой среды во вторую;
1
JSм — вектор плотности поверхностного
1 1 тока. Аналогичные соотношения известны:
первое
уравнение
Максвелла
rot
H
1 J и соответствующее ему граничное условие
1
1
1 1
[n(H2 1 H1)] 2 JS [1, с. 453, 482].
1
При однородной намагниченности M 11 const
1 в1объеме магнита1связанные
1
1 токи
1
отсутствуют J м 1 0. На поверхности при M1 1 M и M2 1 0 получим [nM] 1 230 JSм . Та*
ким образом, магнит эквивалентен электрическому
поверхностному току в вакууме с
1
1
плотностью JSм 1 M / 20 ; направления JSм и M связаны правилом правого винта.
Аналогичная система токов — круглая катушка (соленоид) рассмотрена в задаче
5.3.3 (м). Необходимо только в формуле для расчета индукции Bz = m0Hz заменить плот*
ность поверхностного тока соленоида («ампер*витки») ni/l на M/m0:
Bz 5
2
z 3 l /2
z 4 l /2
M1
4
6
7.
2
2
1/
2
2
2
1/
2
2 8 ((z 3 l / 2) 3 r0 )
((z 3 l /2) 3 r0 ) 9
Индукция максимальна в центре магнита (z = 0).
На торце (полюсе) магнита (z = l/2)
Bz 1
Ml
.
2(l 2 2 r02 )1/ 2
Напряженность
1
1 поля
1 внутри магнита находится из со*
отношения B 1 20 H2 3 M, откуда H1z = (Bz – M)/m
1 0.1Оче*
видно, что H1z < 0 и, следовательно, векторы H1 и M на*
правлены противоположно. Вне магнита, как обычно,
H2z = Bz/m0. Качественные зависимости индукции и на*
пряженности показаны на рис. 5.96.
1
На торце магнита нормальная составляющая1 B не*
Ðèñ. 5.96
прерывна, тогда как нормальная составляющая H изме*
няется скачком на величину M/m0. Отметим также,
что (в силу отсутствия токов прово*
1
димости) по закону полного тока циркуляция H по любому контуру, проходящему сквозь
тело магнита, равна нулю (H1z < 0).
В эталонном соленоиде (l ? r0) имеем Bz = m0ni/l; в длинном магните при тех же
условиях Bz = M, а напряженность поля внутри H1z ® 0.
5.3.47
(м). Для нахождения системы связанных зарядов используется уравнение
1
и его поверхностная форма (граничные условия) M2n – M1n = –sм, где
div
M
1
23
м
1
n — единичная
нормаль из среды 1 (магнит) в среду 2 (см. рис. 5.58). Так как намагни*
1
ченность M 1 const, имеем rм =
магнитные заряды в объеме магнита отсутству*
1 0—
1
ют. На боковой поверхности M 1 n и, следовательно, sм = 0. Заряды присутствуют
только на торцах магнита: при z = l/2 поверхностная плотность заряда sм = M, а при
z = –l/2 получим sм = –M. Таким образом, эквивалентное представление магнита —
два равномерно заряженных диска.
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
365
1
Для определения напряженности магнитного поля1 H можно использовать готовое
решение для напряженности электрического поля E заряженного диска (см. ответ
задачи 5.1.9 (м)) с заменой s ® sм, e0 ® m0. Например, поле положительно заряжен
ного торца при z > l/2
3
z 4 l /2
M 2
H z1 5
14
7,
2
2
280 6
4
1
(
z
l
/2)
r
0
9
причем H z1 2 0. Поле отрицательно заряженного торца H z1 2 0, а результирующее поле
H2z > 0.
Внутри магнита (0 < | z | < l/2) имеем H z1 3 0 и H z2 3 0; их сумма H1z < 0.
Магнитная индукция находится из уравнений связи: вне магнита Bz = m0H2z > 0, в
объеме магнита Bz = m0H1z + M > 0.
5.3.48 (м). Возможен переход к системе амперовых токов или магнитных зарядов,
как это сделано в задачах 5.3.46 (р) и 5.3.47 (м). Рассмотрим другой способ решения:
воспользуемся результатами, полученными в задаче о диэлектрическом шаре в одно
родном электрическом поле [1, с. 524–529]. Составляющие поля шара, обусловлен
ные его поляризацией, не зависят от того, чем поляризация вызвана.
Рассматривая поляризацию P как плотность электрического момента p, имеем
P = p/V, где V — объем шара. Соответствующая составляющая потенциала вне шара
находится из (24.68): U1p 1 Pr03 cos 2 /(330 r 2 ). Внутри шара с учетом (24.66): U2p = U2 –
– U0 = Prcosq/(3e0).
Формулы1 для расчета
1 магнитного поля, связанного с намагниченностью, получаются
при замене P / 10 2 M / 30 , Up ® 1Um, где Um — скалярный магнитный потенциал.
Далее, выполнив операцию H 1 2gradUm , записываем
1
2 Mr03 cos 1
Mr03 cos 1 1
M
H1r 2
;
H
2
;
H
2
3
.
11
2
340
340r 3
340r 3
1
Картина поля H показана на рис. 5.59б.
5.3.49 (р). Можно считать, что на пленке записан гармонический сигнал. Для уп
рощения задачи положим, что протяженность пленки в направлениях | z | не ограниче
на. Тогда приходим к плоскопараллельному магнитному полю, зависящему только от
двух1координат x и y. Так как токи проводимости в области наблюдения отсутствуют,
rot H 1 0 и для расчета поля можно использовать скалярный потенциал Um [1, с. 559].
В областях
11и 3 1справедливо
Лапласа DUm1,1 3 = 0. В пленке (область 2)
1
1 уравнение
1
divB1 1 div(20 H 3 M) 1 20 divH 3 divM 11 0. Поскольку divM 1 2Mx / 2x 3 2My / 2y 1 0, то
divH 1 0, и при известном условии H 1 2gradUm получаем DUm2 = 0.
На основании математической аналогии полей [1, с. 562–563] общее решение урав
нения Лапласа для плоскопараллельного поля в декартовых координатах [1, с. 517–
519] можно использовать для записи Um(x, y). При выборе из общего решения подхо
дящих функций нужно учесть периодичность по y и «условие на бесконечности»: при
| x | ® ¥ имеем Um ® 0. Следовательно, Um1 = C1ekxcosky; Um2 = (C2ekx + C3e–kx)cosky;
Um3 = C4e–kxcosky.
Для определения четырех постоянных используются граничные условия — равен
ство потенциалов и нормальных составляющих магнитной индукции. На верхней гра
нице (x = 0) имеем Um3 = Um2; –m0¶Um3/¶x = –m0¶Um2/¶x + Mx. На нижней границе
(x = –a) аналогично записываем Um2 = Um1; –m0¶Um2/¶x + Mx = –m0¶Um1/¶x.
366
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Окончательные результаты:
M0
(1 1 e 1 ka )e1 kx cos ky;
240 k
M
3 0 (ekx 1 e 1 k(x 2 a) )cos ky.
240 k
Um 3 3
Um 2
Формула для Um1 следует из Um3 при замене x ® (–x); a ® (–a).
Поле пленки можно связывать с поверхностными магнитными зарядами, плотность
которых sм = | M | (см. рис. 5.60).
подходе — это поле электрических (ам
1 При другом
1
перовых) токов. Их плотность J м 1 rotM / 20 и, следовательно, токи текут по | z |:
Jzм 4
1 2 1Mx 3 M0 k
5
4
sin ky.
80 69 1y 7 80
Примечание. Задача рассматривается в учебнике: Поливанов К. М. Теория электро
магнитного поля. М.: Энергия, 1969.
5.6.4. Çàäà÷è 5.4.15.4.36 ê òåìå
«Ñòàöèîíàðíîå è êâàçèñòàöèîíàðíîå
ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå»
5.4.1 (р). Постоянный ток распределяется по сечению провода равномерно. Век
1
тор плотности тока J 1 const имеет одну составляющую Jz 1 i /(2r02 ). Как следует из
закона Ома, Ez = Jz/g. Поскольку Ez = –¶U/¶z, потенциал поля U(z) = –Ezz + C убы
вает в направлении
протекания тока. Из граничных условий для касательных состав
1
ляющих E следует, что в среде у поверхности провода также существует продольное
поле Ez.
Напряженность магнитного поля находится по закону полного тока (см. указания к
решению задачи 5.3.8 (м)):
1 Hj 1=1Jzr/2.
Вектор Пойнтинга П 1 [EH ] в проводе
1 имеет единственную составляющую
Пr 2 3 Ez H1 2 3 J z2r /(24). Векторные линии П показаны на рис. 5.61б. Электромаг
нитная энергия поступает от поверхности в объем провода.
Дивергенция вектора Пойнтинга в цилиндрической системе координат
1 11
11
J2
divП 2
(rПr ) 2 3 z 2 3 J z Ez 2 3 JE.
r 1r
4
Это равенство следует также из уравнения энергетического баланса
[1, с. 485] при
1
условиях стационарности
(¶w/¶t = 0) и отсутствия сторонних сил (J ст 1 0). Интенсив
1
11
ность стоков поля П определяется плотностью мощности тепловых потерь JE (закон
Джоуля — Ленца в дифференциальной форме).
1
Электромагнитная мощность, поступающая в провод, равна потоку вектора П че
рез боковую поверхность S:
1 1
J 2 2r 2l
l
PS 1 6 ПdS 1 22r0 lПr r 1r 1 3 z 0 1 3i2 4
.
0
5
r02
52
S
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
367
Мощность тепловых потерь в проводе PП = –PS. Ее можно искать также в форме
закона Джоуля — Ленца в интегральной форме PП = Ri2, где R 1 l / 23r02 — сопротив"
ление участка провода, длина которого l и сечение (1r02 ).
6
2
–2
6
1Численное решение: J = 1,99 × 10 А/м ; E = 3,55 × 10 В/м; H(r0) = 4 × 10 А/м;
6
3
divП 1 27,1310 Вт/м ; | PS | = 35,5 Вт.
5.4.2 (р). Потенциал плоскопараллельного электрического поля между пласти"
нами U(x, z) = C1x + C2xz + C3 [1, с. 517]. Положив U(0, z) = 0, имеем C3 = 0. При
краевом условии U(h, 0) = U0/2 получим C1h = U0/2, откуда следует
1 C1 = U0/(2h).
Второе краевое условие — равенство касательных составляющих E : при x = h име"
ем J/g = –¶U/¶z, J/g = –C2h и, следовательно, C2 = –J/(gh).
Таким образом, потенциал поля
U (x, z) 1
U0
J
x 2 xz.
2h
3h
Составляющие напряженности Ex = –¶U/¶x = –U0/(2h) + Jz/(gh)
1 (поперечное
поле) и Ez = –¶U/¶z = Jx/(gh) (продольное поле). Векторные линии E показаны на
рис. 5.62б.
Магнитное поле при условии бесконечных пластин однородное и имеет одну со"
ставляющую Hy = –Ja. 1
11
1
1
Вектор Пойнтинга П 1 [EH] 1 П x ex 2 Пz ez , где Пx = –EzHy и Пz = –ExHy характе"
ризуют плотности потоков энергии в пластины и вдоль пластин.
Продольная составляющая напряженности максимальна на поверхности пластин.
При | x | = h и z = 0 отношение | Ez/Ex | = 2Jh/(U0g) = 1,42 × 10–5. Продольное поле су"
щественно слабее; во многих случаях (передающие линии) им можно пренебречь. Поле
в диэлектрике, окружающем проводники с токами, мало отличается от поля электро"
статического.
5.4.3 (м). При «нулевом» сопротивлении жилы и оболочки (g ® ¥) продольным
полем Ez можно пренебречь (см. задачу 5.4.2 (р)). Тогда поле Er в изоляции рассчиты"
вается как электростатическое. Напряженность магнитного поля Hj находится по за"
кону полного1 тока.
Вектор П указывает направление движения электромагнитной энергии (от источ"
ника к нагрузке); он имеет одну составляющую
Пz 1
U0 i
22r 2 ln
r2
r1
.
1
Поток П через площадь S сечения изоляции равен передаваемой по кабелю мощ"
ности:
1 1
2 ПdS 1 2 Пz dS 1 U0i.
S
S
5.4.4 (м). Магнитное поле находится как сумма полей двух длинных проводов.
В точках M1 и M2 напряженность поля H y 3
Hy 1
ih
.
2(h2 3 y2 )
1
2
1
1
i
; в точке M3 имеем
4
25 h 4 x h 6 x
368
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Выражения для напряженности электрического поля можно получить методом на
ложения, суммируя поля двух разноименно заряженных проводов, или просто путем
замены i ® t/e0. Линейная плотность заряда t = CU0, где C — погонная емкость ли
нии (см. задачу
1 5.1.34 (м)).
Вектор П имеет единственную составляющую Пz = ExHy > 0. Энергия от источни
ка к нагрузке переносится в пространстве вдоль проводов («полеводов»). В точках M1,
M 2 и M3
2
U0 i
U0ih2
1
1
Пz (1,2) 3
; Пz (3) 3
.
4
2h h 4 x h 5 x
2h
46 ln
6(h2 4 y2 )2 ln
r0
r0
1
Поток вектора П через плоскость xy равен мощности линии U0i.
5.4.5 (м). Подобная задача обсуждается в [1, с. 463–465; 487]. Приняв, что ниж
няя пластина заряжена положительно, получим
2
1
U0
5U
5U
(1 1 e 1t / 2 ); Jzсм 6 0 e 1t / 2 ; H3 (r , t) 6 0 e 1t / 2 ;
h
h2
2h2
2
5U r
Пr (r , t) 6 1 02 (1 1 e 1t / 2 )e1t / 2 ; PS (t) 6 7 r (r0 , t) 8 29r0 h;
2h 2
4
U 59r 2 CU02
W 6 | PS | dt 6 0 8 0 6
,
h
2
2
Ez 6
0
где C — емкость плоского конденсатора.
5.4.6 (р). Магнитное поле в длинной катушке является однородным и направлено
вдоль оси (см. задачу 5.3.3 (м)): Bz(t) = m0ni(t) = m0nImcoswt = Bmcoswt, где Bm — ам
плитуда магнитной индукции. Вихревое
электрическое поле имеет цилиндрическую
1
симметрию; векторные линии E — концентрические окружности. Для определения
напряженности можно использовать второе уравнение Максвелла в интегральной фор
ме [1, с. 467–468]:
1 1
12
25 Edl 3 4 1tS .
l
Если выбрать контур l совпадающим с векторной линией радиуса r, получим про
стое алгебраическое уравнение Ej × 2pr = –¶FS/¶t. Магнитный поток через площадь
контура FS(r, t) = Bz(t)pr2 и, следовательно,
E1 (r , t) 3 4
2Bz (t) r
5 .
2t 2
Формула справедлива при любой временной зависимости Bz(t) (см. пример 3 в
[1, с. 469]).
В данной задаче
2Bm r
sin 2t 3 Em (r)sin 2 t.
E1 (r , t) 3
2
Вихревое электрическое поле (в отличие от магнитного) не является однородным.
Амплитуда Em(r) = wBmr/2 = m0nImwr/2 линейно растет вдоль r; на оси Em(0) = 0.
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
369
Вектор Пойнтинга имеет только радиальную составляющую Пr(r, t) = EjHz =
= EmHmsinwt × coswt = 0,5EmHmsin2wt. В течение четверти периода (Пr < 0) энергия
запасается в объеме катушки; в последующую четверть (Пr > 0) — уходит. Такая же
временная зависимость мгновенной мощности pL(t) наблюдается в индуктивном эле#
менте цепи.
Напряжение между точками 1 и 2
1 1
u1,2 1 2 Edl
l
в вихревом
2 2поле зависит от пути интегрирования. Для проводника в форме полуокруж#
2 2
1
1
ности (Edl
1 0) получим u1, 2 = Em(a)pasinwt; для прямого проводника (Edl 1 2 /2)
напряжение u1, 2 = 0.
Пусть сердечник катушки — стеклянная трубка, заполненная инертным газом. Если
свечение газа происходит при напряженности Ec, то прежде всего оно начнется вблизи
витков при Em(r0) = Ec. Рост амплитуды тока Im и частоты w может привести к образо#
ванию зоны свечения шириной (r0 – rc), где rc = 2Ec/(m0nImw) < r0. Для неона при низ#
ком давлении Ec = 20 В/см.
1
1 1
5.4.7 (м).1Внутри бесконечно длинного стержня H 1 0, а B 1 M (см. задачу 5.3.46 (р));
вне стержня B 1 0. Поэтому, как показано в решении задачи 5.4.6 (р), при r £ r0
E3 5 1
4Mz (t) r M0 r 1t / 2
e
5
.
4t 2 26
При r ³ r0 магнитный поток 1 S (t) 2 Mz (t)3r02 и
E3 6 1
r 2 4M
M r2
1 45 S
6 1 0 7 z 6 0 0 e1t / 2 .
22r 4t
2r 4t
28r
Допущение g = 0 позволяет исключить из рассмотрения токи проводимости (вих#
ревые токи).
5.4.8 (р). Магнитная индукция в точке наблюдения M(x) имеет одну составляю#
щую
3 i(t) 1
3 I
1
1
1
5
4 0m
5
4 Bm (x)cos 6t.
By (x, t) 4 0
27 h 5 x h 8 x
27 h 5 x h 8 x
1
1
Проектируя второе уравнение Максвелла rot E 1 23B / 3t на ось y, имеем при неза#
висимости поля от z
1 3Ex 3Ez
3By 3Ez 3By
5
45
4
4 56Bm (x)sin 6t.
rot y E 4
;
3z
3x
3t
3x
3t
2
1
1
1
2
2
Выполнив интегрирование, получим
Ez (x, t) 4
1 0 Im 2 h 3 x
ln
sin 2t.
h6 x
25
Постоянная интегрирования
равна нулю, так как в силу симметрии Ez(0, t) = 0.
1
Векторные линии E (см. рис. 5.66б) замыкаются в бесконечности.
370
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
1 другом подходе к определению вихревого поля используется соотношение
1 При
E 1 23A / 3t. Векторный потенциал двухпроводной линии с тонкими проводами в точке
M(x) [1, с. 556]:
1 i h 2 x 1 0 Im h 2 x
Az (x, t) 3 0 ln
3
ln
cos 4 t.
h6 x
25 h 6 x
25
Выражение для Ez = –¶Az/¶t совпадает с полученным выше из уравнения Мак!
свелла.
Амплитуда напряженности вихревого поля
Em (x) 4
1 0 Im 2 h 3 x
ln
h6 x
25
максимальна у поверхности проводов при x = ±(h – r0).
Амплитуда напряжения между концами проводника Um1, 2 = Em1(a) × b1 пропорцио!
нальна длине его продольного участка. На поперечных участках E 1 dl ; их вклад в
напряжение равен нулю.
поля имеет потенциальную и вихревую составляющие:
1
1 Полная напряженность
E 1 2gradU 2 3A / 3t. Потенциальная (квазистатическая) составляющая связана с за!
рядами проводов и может быть найдена, если задано напряжение линии.
Численное решение: Em(a) =10,4 В/м; Um1, 2 = 1,2 В.
5.4.9 (м). Векторные линии E — концентрические окружности. Из второго урав!
нения Максвелла в интегральной форме следует (см. задачу 5.4.6 (р))
E1 (r , t) 4 5
1 23 S (r , t)
,
2t
26r
1
где FS(r, t) — магнитный поток, охватываемый векторной линией E радиуса r.
При r < r0 имеем FS(r, t) = B0pr2coswt, Ej(r, t) = wB0rsinwt/2, амплитуда Em(r) =
= wB0r/2.
При r > r0 магнитный поток имеет две составляющие FS = FS1 + FS2; здесь
S1 1 2r02 — площадь круга, где Bm(r) = B0, а S2 1 2(r 2 3 r02 ) — площадь кольца, где
Bm(r) = B0(r0/r)n. Проведя интегрирование для определения FS2, получим
Em (r) 7
1 2
6B0r02 4
r0
8n 3 2
2(n 3 2)r
r
n 32
5
9.
Из условия ¶Em(r)/¶r = 0 следует, что амплитуда электрического поля достигает
максимума при
1
2 2(n 1 1) 3 n 12
rmax 4 r0 5
.
7 n 86
На рис. 5.67б в условии задачи показана качественная зависимость Em(r).
При расчете энергии заряда для простоты можно положить, что время его обраще!
ния Dt = T = 1/f и, следовательно,
W = 2prmaxqEm(rmax)sinwt.
Численное решение: rmax = 36 см, Em(rmax) = 54,5 В/м, W = 72,7 эВ.
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
371
5.4.10 (м). Выражения для расчета амплитуды:
1Bm1r
, (r 3 a);
2
1
2 [Bm1a2 4 Bm2 (r 2 5 a2 )], (a 3 r 3 b);
2r
1
2 [Bm1a2 4 Bm2 (b2 5 a2 )], (r 6 b).
2r
Em1 2
Em2
Em3
Амплитуда Em2 минимальна при r 1 a (Bm1 / Bm2 ) 2 1. Основные точки для построе
ния зависимости Em(r) таковы: Em(0) = 0; Em(a) = Em(b) = 0,5a = 0,5; r = 2a = 2;
Em(2a) = 0,4a = 0,4.
5.4.11 (р). В соответствии с законом электромагнитной индукции [1, с. 468] e =
=1 –¶FS/¶t, 1где FS — магнитный поток, пронизывающий контур. Введем обозначения
1
и угол a = w0t. Теперь с уче
S 1 Sn, где n — единичная
11
1 нормаль к плоскости контура,
том однородности поля B магнитный поток 1 S 2 BS 2 BS cos 3 2 Bm S cos 4t 5 cos 40 t, а
электродвижущая сила e = BmS[wsinwt × cosw0t + w0coswt × sinw0t]. При совпадении час
тоты изменения индукции с частотой вращения контура (w = w0) имеем e = wBmSsin2wt.
1
Частота ЭДС равна 2w; амплитуда em = wBmS соответствует условиям, когда вектор B
перпендикулярен плоскости неподвижного контура.
5.4.12 (р). При условии «больших расстояний» h ? r1 векторный потенциал поля
первой катушки [1, с. 558] Aj = mn1sinq/(4pr2), где m 1 20iS 1 20i3r12 — магнитный
момент одного витка. Магнитный поток через площадь второй катушки [1, с. 567]
FS = Aj2pr2, потокосцепление 2 S 3 n2 4 S 3 50 6in1n2r12r22 (h2 7 r22 ) 13 / 2 /2, а искомое на
пряжение u(t) = –¶yS/¶t.
В первом случае при i(t) = Imcoswt амплитуда напряжения
Um 2 30 45Imn1n2r12r22 (h2 6 r22 ) 13 / 2 / 2.
Во втором случае 2 S 3 Ci[(h 4 a sin 5t)2 4 r22 ] 13 / 2 , где для упрощения записи введе
на константа С 1 20 3n1n2r12r22 /2. Напряжение на катушке
u(t) 2 13Ci3ah0 (h02 4 r22 ) 15 / 2 cos 3t.
В третьем случае при условии малости второй катушки (r2 = h) потокосцепление
yS = Cih–3. Если i(t) = Imcoswt, амплитуда напряжения Um = CwImh–3. Если i = const,
то u(t) = –3Ciwa(h + asinwt)–4coswt.
Выражение для yS при r2 = h легко получить, рассматривая поле первой катушки
вблизи оси z как поле магнитного диполя [1, с. 558]: Hz = 2m/(4pm0h3), 1 S 2 30 H z 4r22 .
5.4.13 (м). Так как h ? r1, магнитное поле контура определяется как поле диполя,
причем на оси z имеем Hq = 0, Hr = Hz. Записывая выражение для магнитного потока
при условии r2 = h, можно считать, что в области наложения контура Hz = const. Кро
ме того, при записи нужно учесть угол a = wt между нормалью к площади контура и
осью z. Амплитуда ЭДС em = m0winS1S2/(2ph3), где S1 и S2 — площади
1 контуров.
5.4.14 (м). Провода находятся в вихревом электрическом поле E, причем
1 по за
кону электромагнитной индукции в любом проводящем контуре циркуляция E равна
электродвижущей силе e(t).
372
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Запишем уравнения Кирхгофа в первом варианте (см. рис. 5.70а): R1i1 + R2i2 = e
(контур abca), R3i3 + R2i2 = 0 (контур adca), i1 – i2 + i3 = 0 (узел a).
При втором варианте расположения проводов (см. рис. 5.70б): R1i1 + R2i2 = e (кон
тур abca), R1i1 – R3i3 = 0 (контур abcda, не охватывающий магнитный поток), i1 –
– i2 + i3 = 0 (узел a).
Результат решения уравнений: u1, 3 = –R2R3e/D, u3, 2 = R1R3e/D, где D = R1R2 +
+ R1R3 + R2R3. Таким образом, показания вольтметра, подключенного к точкам a и c,
зависят от расположения подводящих проводов. 1
1
Если магнитная индукция линейно растет, то 1B / 1t, E, e и u3 не зависят от време
ни, а напряжения u3, 1 и u3, 2 имеют разную полярность.
5.4.15 (м).
1 1При
1 перемещении в магнитном поле возникает вихревое электриче
ское поле E 1 [vB] («поле движения») и, соответственно, напряжение (ЭДС) между
точками 1 и 2. Ток резистора i = Bvh/R. При B = 0,1 Тл, v = 1 м/с, h = 1 м, R = 10 Ом
ток i = 10–2 А.
5.4.16 (м). Напряженность электрического поля Er = vB, где v = v(r) — линей
ная скорость. Искомое напряжение u 1 2Br02 /2 1 0,94 В, ток i = u/R = 94м А.
5.4.17 (р). При выбранных направлениях векторных функций, а также uC и i, мо
жем записать уравнение связи D = e0E + P0 и граничное условие D = s [1, с. 456, 492].
Исходя из принципа непрерывности полного тока [1, с. 462], имеем i = –iсм =
= –SJсм = –S¶D/¶t = –S¶s/¶t. Подстановка этих соотношений в равенство Eh =
= uC = Ri приводит к уравнению
12
h
h
3
24
P.
1t 50 RS
50 RS 0
Решение уравнения — сумма свободной и установившейся (вынужденной) состав
ляющих s(t) = Ae–t/t + s(¥). Здесь t = e0RS/h — постоянная времени, а s(¥) = P0,
что следует из дифференциального уравнения при ¶/¶t = 0.
При начальном условии s(0) = 0 константа A = –P0 и, следовательно, s(t) =
= P0(1 – e–t/t).
Теперь легко найти напряженность поля E(t) = (s – P0)/e0 = –P0e–t/t/e0, а затем
напряжение uC = Eh и ток i = uC/R. Зависимости s(t) и E(t) показаны на рис. 5.73б.
Векторы поляризации и напряженности поля в пластине направлены встречно:
электрическое поле стремится деполяризовать диэлектрик. Начальное значение
E(0) = –P0/e; это поле наблюдается в пластине при t < 0 как поле двух заряженных
плоскостей при | sсв | = P0. В установившемся режиме E(¥) = 0, поскольку s = P0 =
= –sсв и, следовательно, суммарный заряд (индуцированный свободный и связанный)
равен нулю. Ток резистора — экспоненциальный импульс длительностью
3t.
1
Отметим, что в постановке задачи возникновение поляризации P0 1 21 (t) можно свя
зать с механической деформацией пластины из пьезоэлектрика.
1
1
5.4.18 (м). Напряженность поля в пластине E1, в воздухе — E2 , причем направ
ления совпадают. Из граничных условий следует равенство D1 = D2, так как свобод
ный заряд на границе пластина — воздух отсутствует [1, с. 481]. Далее нужно учесть,
что D1 = D2 = s и E1h1 + E2h2 = uC = Ri.
Результаты решения:
h
h
h
34
5
4 6 1 P0 ; 4(t) 6 1 (1 1 e 1t / 2 ) P0 ,
h
3t 70 RS
70 RS
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
где 2 3
373
10 S
R 3 C0 R, а C0 — емкость воздушного конденсатора;
h
h
1
(h 4 h e1t / 2 ) P0 ; E2 (t) 3 1 1 (1 1 e1t / 2 ) P0 ;
50 h 2 1
50 h
h
h
uC (t) 3 1 1 P0 e1t / 2 ; i 3 1 1 P0 e1t / 2 .
50
50 R
E1 (t) 3 1
Анализ решения: s(¥) = P0h1/h; E1(0) = –P0/e0; E1(¥) = –P0h2/(e0h); E2(¥) =
= P0h1/(e0h). Действительные направления полей в диэлектрике и воздухе противопо
ложны; поэтому uc(¥) = E1(¥)h1 + E2(¥)h2 = 0. Ток смещения течет от первого элек
трода ко второму (Jсм = e0¶E2/¶t), а ток проводимости — от второго к первому через
резистор.
5.4.19 (р). Процесс накопления и рассеивания свободного заряда является инер
ционным [1, с. 489]. Поэтому при t = 0 свободный заряд на границе слоев отсутствует
(s(0) = 0) и из граничных условий следует D1(0) = D2(0) и e1E1(0) = e2E2(0). Так как
напряжение конденсатора U0 = E1(0)h1 + E2(0)h2, начальные значения напряженно
стей E1(0) = U0e2/(e1h2 + e2h1); E2(0) = U0e1/(e1h2 + e2h1).
Чтобы получить дифференциальное уравнение для E1(t), воспользуемся соотно
шениями E1h1 + E2h2 = U0 и g1E1 + e1¶E1/¶t = g2E2 + e2¶E2/¶t, причем второе из них
выражает принцип непрерывности полного тока [1, с. 482]. Отсюда следует
где 3 4
U0 1 2
2E1 1
,
3 E1 4
2t 5
61h2 3 62 h1
11h2 2 12 h1
.
51h2 2 5 2 h1
Решение уравнения — сумма свободной и установившейся (вынужденной) состав
ляющих E1(t) = Ae–t/t + E1(¥), где E1(¥) = U0g2/(g1h2 + g2h1), а константа A = E1(0) –
– E1(¥). Окончательно получаем
E1 (t) 9
5
31h2
32
42
32
7
8 1t / 2 6
e
1
U0 .
3 2 h1 41h2 42 h1 31h2 3 2 h1 Дифференциальное уравнение и его решение для E2(t) легко получить путем пере
становки индексов 1 2.
Отношение начальных значений E1(0)/E2(0) = e2/e1,1а отношение E1(¥)/E2(¥) =
= g2/g1. Таким образом, в начале переходного процесса E распределяется по «e», а в
установившемся режиме — по «g». В процессе происходит перераспределение поля в
слоях. Если e1 > e2 и g1 < g2, то E1(t) возрастает, а E2(t) убывает.
Перераспределение поля связано с накоплением свободного заряда на границе
раздела слоев. В установившемся режиме [1, с. 541]
4(5) 6 D2 (5) 3 D1 (5) 6 12 E2 (5) 3 11E1 (5) 6
(12 21 3 112 2 )
U .
21h2 7 2 2 h1 0
Если e1/g1 = e2/g2, граница не заряжена (s = 0), причем E1(0) = E1(¥), E2(0) = E2(¥)
и, следовательно, переходного процесса нет.
374
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
По условию задачи длительность переходного процесса при h1 = h2 равна 3t =
= 3(e1 + e2)/(g1 + g2) » 265c.
5.4.20 (м). Процесс образования системы объемных зарядов является инерцион
1
ным. Поэтому при t = 0: r = 0, divD 1 0, D = const, E = D/e. Напряжение конденсато
h
h
Ua
D
dx, откуда следует D 1 0 .
2
2
0
ln 1
22
ра U0 1 3 Edx 1 3
0
Поляризация P = D – e0E; объемная плотность связанного заряда
1
1св 2 3divP 2 34P / 4x 2 350aD /(51 3 ax)2 .
1
В установившемся режиме (t ® ¥): J см 1 0,divJ 1 0, J = const, E = J/g, 1J = gU0/h.
В этом случае D = eE = (e1 – ax)J/g, плотность свободного заряда 1 2 divD 2 3aJ / 4,
плотность связанного заряда rсв = –¶(eE)/¶x = aJ/g = –r.
5.4.21 (р). Решение проведем в частотной области. Пренебрегая краевым эффектом
(h = r0), запишем комплексные амплитуды поля: электрическое поле E1 1 U1 / h 1 U / h;
m
m
m
полный ток J1mп 1 2E1m 3 j45E1m 1 (2 3 j45) E1m ; магнитное поле H1 m 1 J1mп r /2. Комплекс
1
1 2 E1 H /2 на боковой поверхности конденсатора (r = r )
ный вектор Пойнтинга П
0
m m
1 1 (2 3 j45)U 2 r /(4h2 ). Комплексная мощность, поступающая
принимает значение П
m 0
через эту поверхность, P1S 1 П22r0 h 1 (3 4 j56)Um2 S /(2h), где S 1 2r02 — площадь пла
стины. Мощность тепловых потерь P 1 Re P1S 1 2Um2 S /(2h).
Для определения проводимости Y конденсатора воспользуемся соотношением
1
1
P1S 2 Y Um2 / 2, откуда следует Y 2 2 P S / Um2 2 (3 4 j56)S / h 2 g 4 jb.
Вещественная часть g = gS/h и мнимая часть b = weS/h являются параметрами
схемы замещения — параллельного RCконтура. На векторной диаграмме токов (см.
рис. 5.74б) обозначен угол потерь d.
Второй вариант решения, исключающий рассмотрение энергетических процессов,
основан на законе Ома:
E1 1 U1 / h; J1 п 1 (2 3 j45) E1 ; I1 1 J1 п S; Y 1 I1 / U1 .
m
m
m
m
m
m
m
m
5.4.22 (м). Соотношения, записанные в решении задачи 5.4.19 (р) и выражающие
напряжение и принцип непрерывности полного тока через E1(t) и E2(t), нужно запи
сать в комплексной форме. Решения полученной системы уравнений:
(1 2 2 j342 )U1m
;
(11 2 j341)h2 2 (1 2 2 j342 )h1
(11 2 j341)U1m
5
.
(11 2 j341)h2 2 (1 2 2 j342 )h1
E1m1 5
E1m2
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
375
Если диэлектрики слоев идеальные (g1 = g2 = 0), то E1m1 / E1m2 1 22 / 21. Если кон
денсатор долго находится под постоянным напряжением (w ® 0), то устанавливается
распределение поля по проводимостям: Em1/Em2 = g2/g1.
5.4.23 (м). Комплексная амплитуда плотности полного тока
J1mп 1 2E1m 3 j45E1m 1 (2 3 j45) E1m 1 j451 E1m ,
где 1 2 1 3 j4 / 5 — комплексная диэлектрическая проницаемость. Поэтому искомые
амплитуды E1m1 1 21 2U1m /(211h1 3 21 2 h2 ); E1m2 1 211E1m1 / 21 2 .
Эти выражения легко получить после решения задачи при условии, что диэлектри
ки идеальные (g1 = g2 = 0); достаточно только в полученных формулах произвести за
мену 11 2 11, 12 2 1 2 .
5.4.24 (р). Пусть I1m — комплексная амплитуда полного тока утечки в изоляции
кабеля на единицу его длины. Тогда комплексная амплитуда плотности полного тока
(r1 < r < r2) будет J1mп 1 I1m /(22r), для напряженностей поля имеем
E1m1 1 J1mп /( j2311) 1 4 jI1m /(252311r), E1m2 1 4 jI1m /(25231 2r).
Для того чтобы выразить I1m через U1m , воспользуемся определением
r2
r3
r1
r2
U1m 1 3 E1m1dr 2 3 E1m2 dr.
Окончательные результаты
E1m1 1
U1m
U1m
, E1m2 1
r 4
r 4
r
3 r 21
3 21
r 6 ln 2 5 1 ln 3 7
r 6 2 ln 2 5 ln 3 7
r2 9
8 r1 21 2 r2 9
8 211 r1
полезно сравнить с полученными для кабеля при идеальной изоляции в статическом
режиме (см. задачу 5.1.22 (м)).
Численное решение:
211 3 (8,85 1 j3,18) 410111 Ф/м, 21 2 3 1,67 410111 Ф/м,
E1 (r ) 3 (166 5 j5) 4103 В/м, E1 (r ) 3 (560 1 j28) 4103 В/м.
m1 1
m2 2
5.4.25 (р). Для определения напряженности электрического поля в шаре исполь
зуется формула электростатики [1, с. 527] с заменой e2 на 1 2 :
E1m2 3 321Em1 /(221 4 21 2 ) 3 Em2e j12 .
Комплексная проницаемость 1 2 2 12 3 j4 / 5 2 12 (1 3 j4 /(12 5)) 2 12 (1 3 j tg 6), где tgd =
= g/(e2w) — тангенс угла потерь (см. рис. 5.74б).
Плотность мощности тепловых потерь (средняя за период)
p 1 2Em2 2 /2 1 32 4 tg 5Em2 2 / 2
и, поскольку поле E2 — однородное, мощность потерь в шаре P 1 42r03 p /3.
5.4.26 (р). При условии квазистационарности магнитное поле в шаре [1, с. 563]
H2(t) = 3m1Hm1coswt/(2m1 + m2) = Hm2coswt. Напряженность вихревого электрического
поля на векторной линии радиуса r (см. рис. 5.76)
1 12 S
E (t) 3 4
,
256 1t
376
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
где магнитный поток FS = m2H2(t)pr2. Таким образом, E(t) = wm2Hm2rsinwt/2 = Emsinwt.
Плотность тепловых потерь, связанных с вихревыми токами,
p 1 2Em2 /2 1 32 2422 Hm2 252 /4.
Мощность потерь в шаре объемом V
P 1 3 pdV 1 A3 22 dV ,
V
V
где для упрощения записи введено обозначение A 1 22 3422 Hm2 2 / 4. Используя связь
r = rsinq и формулу dV = r2drsinqdqdj, получаем P 1 82r05 A /15.
5.4.27 (р). Запишем изображение P(t) по Лапласу: P(s) = e0c[1/s – 1/(s +
+ 1/t)]E0 = e0c(s)E0. Отсюда находим операторную восприимчивость c(s) = c/(1 + st).
Операторная диэлектрическая проницаемость e(s) = [1 + c(s)]e0 = [1 + c/(1 + st)]e0.
Для перехода в частотную область, проведя замену s ® jw, получим выражение для
комплексной диэлектрической проницаемости
71 ( j3) 8 51 9
1 6
5 1(1 2 j34) 6
70 8 1 9
7 8 7 (3) 2 j72 (3);
1 9 j34
1 9 (34)2 0 1
Re 71 ( j3) 8 51 9
1
6 7 ; Im 71 ( j3) 8 341 .
1 9 (34)2 0
1 9 (34)2
Частотные зависимости показаны на рис. 5.77б. При низких частотах (w ® 0) про9
ницаемость e1 = (1 + c)e0 совпадает со статическим значением; при w ® ¥ имеем
e1 ® e0. Таким образом, запаздывание поляризации проявляется в уменьшении прони9
цаемости с ростом частоты. Зависимость e2(w) имеет резонансный характер — макси9
мум при частоте 1/t.
В диэлектрике с «мгновенной» поляризацией, ток смещения опережает по фазе
напряженность поля на p/2 (см. рис. 5.74б): J1mсм 1 j23E1m . В данном случае
J1mсм 1 j231 E1m 1 j2(31 4 j32 ) Em 1 (232 4 j231) E1m .
Первое слагаемое — вещественная часть тока совпадает по фазе с напряженностью
поля и определяет тепловые потери: плотность мощности p 1 232 Em2 /2. Эти потери не
связаны с проводимостью (диэлектрик идеальный); их можно объяснить «внутренним
трением» при изменении поляризации. Тангенс угла потерь tgd = e2/e1; если удельная
проводимость g ¹ 0, то tgd = (g + we2)/(we1).
5.4.28 (р). Напряженность поля E1m 1 U1m / h 1 Um / h. Статическая восприимчи9
вость c = (e – e0)/e0; комплексная диэлектрическая проницаемость 1 2 11 3 j12 опре9
деляется по формулам, приведенным в решении задачи 5.4.27 (р). Далее используем
основные соотношения теории [1, с. 454–456, 460, 478] применительно к гармониче9
скому режиму с заменой: а) временных функций поля комплексными амплитудами;
б) 1 2 1; в) ¶/¶t ® jw. При этом электрическое смещение D1 m 1 21 E1m 1 31 m , поляриза9
ция Pm 1 (21 3 20 ) E1m 1 41 mсв , плотность тока смещения J1mсм 1 j2D1 m 1 j231 E1m .
Комплексную плотность мощности записываем аналогично комплексной мощно9
1
сти двухполюсника P1S 2 U1m Im / 2; имеем
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
1
377
1 1
p1 S 2 E1m J1mсм /2 2 E1m (3 j45 Em ) /2 2 4Em2 (52 3 j51) /2;
плотность тепловых потерь p 1 Re p1 S 1 232 Em2 /2.
Численное решение:
w = 100 1/с, Em = 2 × 104 В/м, c = 6,
1
1
2 3 (4 1 j3)20 3 520e 1 j 37 , D2 m 3 105 20e 1 j 37 Кл/м2 ,
1
1
P2m =(3 1 j3)20 E2m 3 6 2 4104 20 e1 j 45 Кл/м2 , J2mсм 3 107 20e j53 А/м2 ,
p = 6e01012 Вт/м3.
5.4.29 (р). Из системы уравнений Максвелла [1, с. 475] в однородной среде при
1
1
1 1
условии J 2 J см и r = 0 можно получить уравнение второго порядка 1J 2 345J / 5t.
12
12
В гармоническом режиме в частотной области имеем 1Jm 2 j345Jm и, введя обозначе#
1
1
ние k1 1 2 j345 , получим 1J2m 2 k22 J2m 3 0.
В средней части тонкой длинной ленты (¶/¶x = ¶/¶z = 0) ток имеет только одну
составляющую J1mz 1 J1m , а уравнение принимает вид 1 2 J1m / 1y2 2 k2 J1m 3 0.
1
1
Решение уравнения J1m (y) 2 Ae1 jky
3 Be jky ; при краевых условиях J1m (1a) 2 Jm0 име#
1 ) /cos(ka
1 ).
ем J1m (y) 1 Jm0 cos(ky
1
1
Ток ленты Im — это поток J2m через поперечное сечение ленты:
I1m 2
a
3 J1mhdy 2
1a
2 Jm0 h 1
tg(ka).
k1
Напряжение на поверхности ленты между двумя сечениями на расстоянии l
U1m0 1 Em0l 1 Jm0 /(2l); следовательно, сопротивление участка ленты
Z1
1
U1m0
kl
1 ) 1 r 2 jx.
1
ctg(ka
1I
2
3
h
m
Сопротивление зависит от частоты w, а также двух параметров материала ленты g и
m. Оно имеет индуктивный характер (x > 0); так проявляется внутренняя индуктив#
ность проводника.
Выражение для коэффициента k1 можно преобразовать к виду k1 1 (1 2 j) / 3, где
1 2 2/(345) — глубина проникновения. При резком поверхностном эффекте D = a,
1 ) 1 j и сопротивление Z 1 l (1 2 j) 1 r 2 jx.
ctg(ka
23h4
Схема замещения участка ленты — последовательная RL#цепь; так как r = x раз#
ность фаз между напряжением и током j = p/4.
При постоянном токе сопротивление R = l/(gS) = l/(2gah) и, следовательно, от#
ношение сопротивлений n = r/R = a/D > 1.
Численное решение: D = 0,66 мм, D ? a (эффект резкий), n = 12,2.
378
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
5.4.30 (м). На боковой поверхности y = a напряженность магнитного поля на
ходится по закону полного тока в интегральной форме; при условии h ? a имеем
H1 mx 1 2 I1m /(2h) (см. решение задачи 5.3.4 (р)). По закону Ома E1mz 1 Jm0 / 2. Выра
зив Jm0 через I1m , 1находим единственную составляющую комплексного вектора Пойн
1 2 E1 H mx / 2, а затем — комплексную мощность, поступающую в ленту че
тинга П
my
mz
1 2 cth(ka
1 ) /(4 2h). Искомое сопротив
рез боковую поверхность S = hl: получим P1S 1 klI
m
2
1
ление Z 1 2 PS / Im .
5.4.31 (м). В ленте наблюдается магнитный поверхностный эффект. Уравнение
1
1
поля 1H2 m 2 k22 H2 m 3 0 и его решение аналогичны полученным в задаче 5.4.29 (р): име
1 ) /cos(ka
1 ), где k1 1 2 j345 . Напряженность поля и магнитная ин
ем H1 mz 1 Hm0 cos(ky
дукция B1mz 1 2H1 mz максимальны на поверхности ленты. Среднее значение индукции
ср
Bmz
3
1
2a
a
4 2H1 mz dy 3
1a
2Hm0
1 ),
tg(ka
1
ka
а среднее (действующее) значение проницаемости
ср
1 ) / ka
1 2 (390 3 j64) Гн/м.
11 2 B1mz
/ Hm0 2 1 tg(ka
1 ) /cos(ka
1 ), где k1 1 (1 2 j) / 3,
5.4.32 (м). В известном магнитном поле H1 mz 1 Hm0 cos(ky
вихревое электрическое поле можно найти, используя уравнения Максвелла
12
12
12
rot Em 1 2 j34Hm или rot Hm 1 2E2m .
1
1
Во втором варианте E2m 1 rot H2 m / 2 и тогда
1 )
sin(ky
1 2H1
k1
E1mx 3 4 mz 3 5 Hm0
3 Em (y)e j1 (y) .
1 )
6 2y
6
cos(ka
На оси ленты при y = 0 получим E1mx 1 0; E1mx (y) 1 2 E1mx (2 y) — линии вихревого
поля замкнуты; при | y | = a амплитуда Em(a) принимает максимальное значение.
На боковой поверхности y = a единственная составляющая комплексного вектора
1
1 2 3 E1 H /2. При этом поток комплексной мощности через площад
Пойнтинга П
my
mx
mz
1 2 tg(ka
1 ) /2. Мощность тепловых потерь на вихревые
ку S этой поверхности P1S =kSH
m0
токи P 1 2Re P1 .
S
При другом подходе к расчету мощности вначале находится амплитуда Em(y), затем
плотность мощности тепловых потерь p(y) 1 2Em2 /2 и, наконец, выполняется интегри
рование p(y) по объему V = 2aS.
Для получения расчетных формул нужно использовать следующие преобразования:
1 ) 1 sin[(1 2 j) y / 3] 1 sin[(1 2 j) M] 1 ch M sin M 2 j sh M cos M 1 A 4 jB;
sin(ky
1 ) 1 cos[(1 2 j)a / 3] 1 cos[(1 2 j) N] 1 ch N cos N 4 j sh N sin N 1 C 4 jD.
cos(ka
2
2 12
1
A(a) 1 jB(a)
В этом случае Em (y) 4 2 Hm0 25 A2 1 B 2 36 ; P1S 4 kS Hm0
.
78
C 1 jD
27
9C 1 D
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
379
5.4.33 (р). Глубина проникновения в случае металлического проводника
4 5 1/ 1 6f 78 2 5 6,7 91032 мм.
Поскольку радиус r0 = 10 мм существенно больше глубины проникновения, поверхно
стный эффект — резкий. Можно считать, что ток сосредоточен в скинслое толщиной
D. Комплексное сопротивление отрезка провода Z = (1 + j)l/(gS) = (1 + j)l/(gPD), где
S = PD — площадь сечения скинслоя; P = 2pr0 — периметр сечения провода. Актив
ное и индуктивное сопротивления равны: r = x = l/(gPD) = 4,16 × 10–2 Ом. При посто
янном токе сопротивление R = l/(gS), а внутренняя индуктивность L = ml/(8p). Поэто
му коэффициент увеличения сопротивления nR = r0/(2D) = 7,46, а коэффициент умень
шения индуктивности nL = 2D/r0 = 0,134.
5.4.34 (р). В поставленной1краевой
1 задаче выделяем три области. Уравнение поля
в стенке экрана (область 2) 1H2 m 2 k22 H2 m 3 0, где k1 1 2 j345 . Вне экрана (область 1)
и под экраном (область 3) в непроводящей среде
(g = 0) в квазистационарном при
12
ближении поле описывается уравнением
1Hm 2 0. Полагая, что в средней части эк
1
рана ¶/¶x = ¶/¶z = 0 и вектор H имеет единственную составляющую вдоль оси z,
получим уравнение 1 2 H1 mz / 1y2 2 0, решения которого в первой области H1 mz 1 C1y 2 C2 ,
а в третьей — H1 mz 1 C3 y 2 C4 . Поскольку внешнее поле однородное, то H1 mz при y ® ¥
остается конечным и равным H0. Поэтому C1 = 0, H1 mz 1 H0 и, значит, на внешнее
«приложенное» поле экран не влияет. Внутреннее поле H1 mz (y) 1 H1 mz (2 y), откуда сле
дует C3 = 0; внутреннее поле, так же как и внешнее, является однородным: H1 m3 1 const.
Решение в стенке экрана имеет вид
1
1
H1 mz 2 Ae1 jky 3 Be jky .
Для определения трех постоянных H1 m3 , A и1B воспользуемся краевыми условия
ми. Из равенства касательных составляющих H при y = a и y = a + b следуют два
уравнения
1
1
1
1
Ae1 jka 2 Be jka 3 H1 m3 ; Ae1 jk(a 2 b) 2 Be jk(a 2 b) 3 H0 .
1
E
.
Для получения
третьего
уравнения
используем
граничные
условия
для
вектора
1
1
В стенке экрана E2m 1 rot H2 m / 2, так что
1
1
k1
1 2H1 mz
E1mx 3
3 j (Be jky 1 Ae 1 jky ).
4 2y
4
12
12
Под экраном rot Em 1 2 j340 Hm3 , 5E2mx / 5y 1 j340 H2 m3 , E2mx 1 j340 yH2 m3 6 C, причем
1
в силу нечетности E1mx константа C = 0. Из равенства касательных составляющих E
при y = a следует уравнение
1
1
Ae1 jka 1 Be jka 5 1
230 4a 1
H m3 .
k1
Окончательное выражение для коэффициента экранирования
H1
1
S1 ( j1) 2 m3 2
.
3
H1 0 cos(kb
1 ) 4 0 ka
1 sin(kb
1 )
3
380
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
В области низких частот (D ? b) поверхностный эффект практически не проявля
1 ) 1 1,
1 1 (1 2 j)b / 3 2 1, cos(kb
ется, экран ведет себя как виток с током. При этом kb
1 ) 1 kb
1 и модуль коэффициента экранирования | S | = [1 + (m0wgab)2]–1/2.
sin(kb
При высоких частотах (D = b) имеем
1 ) 1 2 j exp( jkb
1 ) /2; | S |3 245 exp(2b / a) / 4 a.
1 ) 1 exp( jkb) / 2; sin(kb
cos(kb
0
Вихревые токи сосредоточены в скинслое на внешней стороне стенки экрана.
В целом амплитудночастотная характеристика | S(w) | подобна АЧХ фильтра ниж
них частот. В постоянном магнитном поле | S(0) | = 1; этот вывод относится и к экрану
из магнетика при m > m0.
5.4.35 (р). В случае резкого эффекта вихревые токи можно считать поверхност
ными;
поле
При этом из граничных условий [1, с. 482] имеем
1
1 в проводнике
1 отсутствует.
1
1
1 1
n[B2 1 B1] 2 0 и n [H2 1 H1] 2 J S ; в воздухе у поверхности магнитное поле имеет только
касательную составляющую.
Эти же условия сохраняются в модели, где влияние вихревых токов учитывается
токомизображением i¢(t) = –i(t) обратного направления (см. рис. 5.80). Оба тока на
ходятся в однородной среде — воздухе.
Магнитная энергия витка в поле вихревых токов Wм = iF¢/2 выражается через
магнитный поток F¢, пронизывающий виток. В свою очередь, поток определяется как
циркуляция векторного потенциала поля тока i¢ [1, с. 565], следовательно, F¢ = 2paA¢
и, таким образом, Wм = paiA¢. Сила, действующая на виток, находится как обобщенная
сила f = ¶Wм/¶z = pai(¶A¢/¶z). Очевидно, что f(t) ³ 0, — два разнонаправленных тока
отталкиваются.
Векторный потенциал в точках витка при r = a
A3 9
1
2
4 0 i3 5
k2
1
K
2
k 1/ 2
6
4a2 8
E; k 9 7 2
4a z2 ,
где K, E — полные эллиптические интегралы первого и второго рода модуля k. После
дифференцирования получим формулу для расчета силы:
f (t) 6
10 Im2 h 2
3
a2
7 K 8 41 8 2 5 E cos2 9t 6 fm cos2 9t.
2h a2 8 h2 Среднее значение силы за период fср = fm/2.
Численное решение: k = 0,995; K = 3,7; E = 1,04; fср = 6,22 × 10–2 Н.
5.4.36 (м). В данной задаче сила — следствие намагниченности плиты. Поле свя
занных (амперовых) токов определяется методом зеркальных изображений (см. задачу
5.3.31 (м)). Токизображение i¢ = (m – m0)i/(m + m0) » i по направлению совпадает с
током витка. Виток притягивается к плите, причем модуль силы остается прежним.
В общем случае, когда влиянием вихревых токов нельзя пренебречь, на виток дей
ствуют силы той и другой природы. Соотношение между ними определяется условиями
конкретной задачи. Например, при нагревании проводника (за счет вихревых токов) и
связанном с этим уменьшением магнитной проницаемости притяжение витка может
смениться отталкиванием.
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
381
5.6.5. Çàäà÷è 5.5.15.5.22
ê òåìå «Âîëíîâîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå»
5.5.1 (р). В изотропном диэлектрике направления1распространения фазовой
1 вол
ны и переноса энергии совпадают. Волновой вектор k1 и вектор Пойнтинга П сона
правлены (см. рис. 5.81). Среднее за период значение Пср связано со средней мощно
стью P = W/t соотношением
1
1
3 Пср dS 1 3 Пср cos 2dS 1 P,
S
S
откуда вследствие однородности волны следует Пср = W/(Stcosq).
С другой стороны, в среде без потерь (электрическая и магнитная составляющие
синфазны) Пср 1 Em Hm /2 1 Em2 /(2Z), где Z 1 20 / 30 1 1204 — волновое сопротив
ление вакуума (воздуха). Следовательно, амплитуда напряженности электрического
поля волны Em 1 2ZПср 1 2ZW /(St cos 2).
5.5.2 (м). Воспользовавшись результатами задачи 5.5.1 (р), получим
Em 1 2402Пср 1 8,69 3103 В/м, Hm = Em/Z = Em/(120p) = 23 А/м.
5.5.3 (р). Напряжение (ЭДС) определяется вторым уравнением Максвелла в ин
тегральной форме [1, с. 467]
1 1
1 1 1
e 2 24 Edl 2 3 4 BdS,
1t
l
S
1
причем направление обхода контура l и вектор dS образуют правовинтовую систему.
Таким образом, существует два варианта расчета. Первый вариант заключается в
1 1
вычислении циркуляции в поле плоской волны E 1 Em cos(2t 3 kz), где волновое число
k 1 22 / 3 1 4 5060 . В частотной области комплексная амплитуда ЭДС выражается
1
через комплексную амплитуду E2m волны
1
12 1
1
e2m 2 34 Em dl 2 34 Eme 1 jkz dl 2 1aEm 3 aEme 1 jkb 2
2 1aEm
l
l
1
jkb
jkb
/
2
/
2
(e
e
1 e jkb / 2 ) 2 1 j2 Em a sin(kb /2)e1 jkb / 2 .
Амплитуда напряжения на выводах рамки Um = 2Ema| sin(kb/2) |.
При втором варианте
расчета в частотной области e1m выражается через комплекс
12
ную амплитуду Hm волны:
12 1
e2m 2 1 j340 5 Hm dS 2 1 j340 5 H2 m dS 2 1 j340 Hm 5 e 1 jkz dS.
S
S
S
Выполнив интегрирование, получим соотношение Um = 2wm0Hma| sin(kb/2)/k |,
которое при замене wm0/k = Z и ZHm = Em переходит в выражение для Um, найденное в
первом варианте.
382
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
5.5.4 (м). При решении задачи используются соотношения
1 0 2 32 4(1 6 j tg 7)50 ; Z 2 5 / 41 2 5 / | 41 |e j1 ;
k12 2 32 45
Em = | Z |Hm; j = aE – aH = d/2; b = 2p/l = w/v;
Пср = (EmHmcosj)/2; Em(z) = Em(0)exp(–az).
Результаты расчета: e = 3,419e0, tgd = 0,533, | Z | = 60,96p Ом, d = 28°, j = 14°,
v = 1,57 × 108 м/с, l = 1,57 м, Пср(0) = 25 Вт/м2, Em(1) = 36,76 В/м, Пср(1) = 3,38 Вт/м2.
При отсутствии потерь (k = 4): e = 3,646e0, Z = 62,84p Ом, j = 0°; скорость и длина
волны остаются прежними.
5.5.5 (р). Для определения длины волны l = v/f необходимо знать фазовую ско"
31
рость и частоту. В поглощающих средах скорость волны v 6 4 78 0,5 1 1 9 tg 2 9 12 5 .
При отсутствии релаксационной поляризации (см. задачу 5.4.27 (р)) тангенс угла по"
терь tgd = g/(ew) и, следовательно, f = g/(2petgd). По определению, tgd есть отноше"
ние амплитуд плотностей токов проводимости и смещения; поэтому по условию задачи
tgd = 1.
Результаты расчета: при e = 81e0, m = m0, g = 4,4 См/м (морская вода), скорость
v = 3 × 107 м/с, f = 890 мГц, длина волны l = 3,37 см.
5.5.6 (м). В среде с малыми потерями (tgd = 1) при расчете коэффициента затуха"
ния a можно воспользоваться приближением 1 1 tg 2 2 3 1 1 tg 2 2 /2. Глубина проник"
новения
23
10
1
2
1
3
3
3
,
4 7 tg 6 89 5 tg 6 5 tg 6 8r 9r
где l — длина волны в диэлектрике; er и mr — относительные проницаемости.
Результаты расчета: D1 = 18,98 мм, D2 = 1,43 мм.
5.5.7 (м). При решении задачи используются соотношения:
1
2
1
2
tgd = g/(ew), 3 4 5 67 0,5 1 8 tg 2 9 8 1 , 4 5 67 0,5 1 8 tg 2 9 1 ,
v = w/b, l = v/f = 2p/b, 1 2 1(1 3 j tg 4),| Z | 2 5 / | 1 |, j = d/2, D = 1/a.
Результаты расчета: 1) в пресной воде tgd = 0,022, b = 1,89 1/м, a = 0,208 1/м,
v = 3,33 × 107 м/с, l = 0,333 м, | 1 | 2 8110 , | Z | = 41,9 Ом, j = 0,63°, D = 4,8 м; 2) в мор"
ской воде tgd = 9,7, b = 4,36 1/м, a = 40 1/м, v = 1,44 × 107 м/с, l = 0,144 м, | 1 | 2 79010 ,
| Z | = 13,4 Ом, j = 42°, D = 2,5 × 10–2 м. Волна затухает на пути 3D = 7,5 см.
5.5.8 (м). При решении задачи используются соотношения
1 ,| Z | 1 6 / | 81 |, 9 1 30,5arg(81),
k1 1 2 3 j4 1 3 j567 1 5 86
D = 1/a, v = w/b, l = 2p/b = 2pD.
Результаты расчета: 1) при f = 50 Гц имеем a = b = 107 1/м, 1 2 3 j1,86 4105 ,
| Z | = 2,6 × 10–6 Ом, j = 45°, D = 9,34 мм, v = 2,94 м/с, l = 58,8 мм; 2) при f = 10 кГц
имеем a = b = 1490 1/м, 1 2 3 j9,3 4102 , | Z | = 3,7 × 10–5 Ом, j = 45°, D = 0,66 мм,
v = 42 м/с, l = 4,2 мм.
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
383
Полное затухание происходит на пути 3D = 3l/(2p) » l/2. Представление о волно
вом характере поля в металле условно («квазиволновое» поле).
5.5.9 (м). Закон преломления на границе идеальных диэлектриков sinq1/sinq2 =
= k2/k1 = v1/v2 = n21 = n2/n1. Здесь n1 1 2131 /(20 30 ) — абсолютный показатель
преломления первой среды, а n21 1 2232 /(2131) — относительный показатель пре
ломления сред.
Результаты расчета: q2 = 19,47°, v2 = 2 × 108 м/с, l2 = 200 м.
5.5.10 (м). При нормальном падении коэффициент отражения по напряженности
rE = (Z2 – Z1)/(Z1 + Z2); коэффициент прозрачности gE = 1 + rE = 2Z2/(Z1 + Z2). Вол
новое сопротивление воздуха Z1 1 20 / 30 1 1204; сопротивление среды Z2 1 22 / 31 2 ,
где 12 2 12 3 j4 2 / 5 2 12 (1 3 j tg 6).
Результаты расчета: 1) для пресной воды (tgd = 0,022 = 1) имеем
Z2 1 20 / 32 1 404 /3, rE = –0,8 = 0,8exp(jp),
1
модуль | rE | = 0,8, скачок фазы E при отражении jE = p, gE = 0,2, r = | rE |2 = 0,64,
g = 1 – r = 0,36; 2) для морской воды Z2 = 40p(0,24 + j0,22)/3, rE = 0,95exp(j178°),
| rE | = 0,95, jE = 178°, gE = 1 + rE = 0,05 + j0,047, r = 0,9, g = 0,1. Отражается 90%
падающей энергии.
5.5.11 (м). При решении используются формулы для определения коэффициента
отражения rE (см. указания к решению задачи 5.5.10 (м)). Амплитуды поля отраженной
волны Emr 2 | rE | E0 2 4,3 31012 В/м, Hmr 2 Emr /(1204) 2 1,14 310 14 А/м.
5.5.12 (р). Коэффициент отражения от идеального проводника rE = –1, откуда
r
следует, что амплитуда
1 отраженной волны Em 1 E0 , а фаза отличается на p. Проекции
r
r
волнового вектора k c учетом равенства k = k записываются в виде kxr 1 kx , kzr 1 2kz .
Таким образом, выражение для отраженной волны
Eyr (t) 1 E0 cos(2t 3 kx x 3 kz z 4 5) 1 3 E0 cos(2t 3 kx x 4 kz z).
Для определения результирующего поля сложим комплексные амплитуды волн:
E1my 3 E0 e j (1 kx x 1 kz z) 1 E0 e j (1 kx x 2 kz z) 3 E0e 1 jkx x (e1 jkz z 1 e jkz z ) 3 1 j2 E0 sin(kz z)e1 jkx x .
Во временной области Ey(t) = 2E0sin(kzz)sin(wt – kxx).
Магнитное поле находится из второго уравнения Максвелла:
1
2
2E k
1
1 2Emy
H1 mx 3 1
3 1 0 z cos(kz z)e1 jkx x ;
rot x Em 3
j45
j45 2z
45
1
1 2Emy kx 1
H1 mx 3 1
3
E .
j45 2x
45 my
384
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Таким образом, электромагнитное поле имеет признаки стоячей волны (по оси z) и
бегущей волны вдоль поверхности (по оси x). Волна плоская (уравнение фронта
x = const), не однородная и не поперечная, поскольку имеется проекция Hx на направ!
ление распространения. Расстояние между узлами Dz = p/kz = p/(kcosq) = l/(2cosq)
превышает половину длины волны, что имеет место при нормальном падении (q = 0).
Фазовая скорость направленной волны vx 1 2 / kx 1 2 /(k sin 3) 1 v /(sin 3) 4 v 1 1/ 56
(«быстрая волна»).
5.5.13 (р). При e1 > e2 абсолютные показатели преломления n1 > n2, а относитель!
ный показатель n21 = n = n2/n1 < 1. Как следует из закона преломления sinq/sinq2 = n,
q2 > q. Угол падения, при котором q2 = p/2, называется критическим, причем sinqкр = n.
При q > qкр происходит полное отражение. Однако, несмотря на это, поле проникает
во вторую среду.
Запишем комплексную амплитуду поля
E1my 4 Eme1 j (k2 x x 2 k2 z z) 4 Eme 1 j (k2 x sin 32 2 k2 z cos 32 ) .
Если q > qкр, то sinq > n и sinq2 = sinq/n > 1. Таких действительных углов нет, но
формально можно записать cos 12 2 1 3 sin2 12 2 4 j (sin 1 / n)2 3 1. При этом (физиче!
ский смысл имеет только знак «–») E1my 4 Eme 1 j2z e1 j3x , где 1 2 k2 (sin 3 / n)2 41;
b = k2sinq/n.
Уравнение поверхности равных амплитуд имеет вид z = const. Амплитуда электри!
ческого поля экспоненциально убывает вдоль оси z; глубина проникновения D = 1/a.
Уравнение фронта волны x = const.
Фазовая скорость поверхностной волны
vx 1 2 / 3 1 2n /(k2 sin 4) 1 v2n /(sin 4) 5 v2 1 1/ 6070
(«медленная» волна).
Результаты расчета: sinqкр = n = 0,58, qкр = 35,5°, D = 0,43 м, vx = 2 × 108 м/с.
5.5.14 (р). Магнитное поле находится из второго уравнения Максвелла:
1
1
j2 1
3 1
41 1Emy
1 1Emy
H1 mx 5
5
Em ; H1 mz 5
5
E ; H1 my 5 0.
j670 1z
670
j670 1x
67 m
Электромагнитное поле во второй среде во временной области: Ey(t) = Eme–azcos(wt –
– bx); H x (t) 4 1
3
2
E e12z sin(5t 1 3x); H z (t) 4
E e 12z cos(5t 1 3x).
560 m
560 m
Составляющие вектора Пойнтинга:
3 2 122z
E e
cos2 (5t 1 3x);
560 m
2
Пz (t) 4 1 Ey H x 4
E 2 e122z sin2(5t 1 3 x);
2560 m
7 y (t) 4 0.
П x (t) 4 Ey H z 4
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
à
Ðèñ. 5.97
385
á
Зависимости Пx и Пz на поверхности раздела (z = 0) в фиксированный момент
времени t = 0 представлены на рис. 5.97а. Ширина полосы, где энергия входит (или
выходит), находится из условия bDx = p/2, откуда следует Dx = p/(2b) = pn/(2k2sinq) =
= l2n/(4sinq). При q = 60°, n 1 1/ 3 1 0,58, e2 = e0, f = 100 мГц ширина Dx = 0,5 м.
Составляющая Пx всегда остается
положительной, а Пz изменяет знак. Энергия дви&
1
жется по векторным линиям П, показанным на рис. 5.97б.
Явление полного отражения используется в радиотехнике (диэлектрический вол&
новод) и волоконной оптике.
5.5.15 (р). Пусть Em — амплитуда падающей волны, а k2 = 2p/l2 — волновое чис&
ло в слое. Для определения комплексных амплитуд компонент отраженной волны ис&
пользуются коэффициенты отражения rE и прозрачности gE по напряженности. На пер&
вой границе для прямой волны rE1 = (Z2 – Z1)/(Z1 + Z2), gE1 = 1 + rE1, а для обратной,
отраженной от второй границы, r¢E1 = –rE1, g¢E1 = 2Z1/(Z1 + Z2) = 1 + r¢E1 = 1 – rE1;
на второй границе для прямой волны rE2 = (Z3 – Z2)/(Z2 + Z3). Таким образом, пер&
вая компонента отраженной волны при z = 0 будет E1mr 1 1 E1mrE1 (рис. 5.98а), вторая
E1mr 2 3 E1m gE1rE 2 g E2 1e1 j 2k2h (рис. 5.98б), третья E1mr 3 2 E1mr 2 (1rE1rE 2e 1 j 2k2h ) (рис. 5.98в).
Скачок фазы при отражении определяется знаком коэффициента отражения; напри&
мер, при Z2 < Z1 имеем rE1 < 0 и, следовательно, скачок jE = p. Кроме того, отставание
второй компоненты по фазе связано с прохождением пути 2h и равно 2k2h = 4ph/l2.
à
á
â
Ðèñ. 5.98
Последовательно записывая амплитуды компонент, получим комплексную ампли&
туду отраженной волны на первой границе (при z = 0):
E1mr 1 E1mr 1 2 E1mr 2 2 E1mr 3 2 ... 1 E1mr 1 2 S,
386
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
где S — сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии со знаменателем
q = –rE1rE2exp(–j2k2h).
Коэффициент отражения по напряженности
E1 r
r 3 r e 1 j 2k2h
RE 4 m 4 E1 E 2 1 j 2k h 4 | RE | e j2 E .
1 3 rE1rE 2e 2
E1
m
Коэффициент отражения по мощности
R2
r
Пср
r 2 1 r 2 1 2rE1rE 2 cos(2k2 h)
.
2| RE |2 2 E1 2 E22
Пср
1 1 rE1rE 2 1 2rE1rE 2 cos(2k2 h)
5.5.16 (м). Нужно преобразовать выражение для RE при условиях h = l2m/2,
k2h = pm (при m = 1, 2, 3, ...).
5.5.17 (м). Формулу для расчета коэффициента отражения R следует переписать с
учетом соотношений rE1 = –rE2 и (rE1)2 = r1 = r2 = r, где r > 0 — коэффициент отраже&
ния от границ слоя по мощности; тогда получим R = 2r(1 – cos2k2h)/(1 – 2rcos2k2h + r2).
Коэффициент R = 0 при условии h = l2m/2
(m = 1, 2, 3, ...); «полуволновой» слой полно&
стью прозрачен. Максимальный коэффициент
отражения Rmax = 4r/(1 + r)2 наблюдается при
толщине слоя h = l2(2m – 1)/4 («четвертьвол&
новой» слой). Зависимость R = R(h/l2) показа&
на на рис. 5.99.
Результаты расчета: а) в первом варианте
Ðèñ. 5.99
Z1 = 120p, Z2 = 40p, rE1 = –rE2 = –0,5, r = 0,25,
Rmax = 0,62; б) во втором варианте Z2 = 12p,
rE1 = –0,82, r = 0,67, Rmax = 0,96. «Четвертьволновой» слой отражает 96% падаю&
щей энергии («зеркало» из диэлектрика).
5.5.18 (м). По условию задачи волновые сопротивления Z1 > Z2 > Z3, и поэтому
rE1 < 0 и rE2 < 0. Используя коэффициенты отражения по мощности r1 > 0 и r2 > 0,
можно записать rE1 1 2 r1 , rE 2 1 2 r2 и, следовательно,
R 3 1r1 4 2 r1r2 cos2k2 h 4 r2 2 / 11 4 2 r1r2 cos2k2 h 4 r1r2 2.
Коэффициент отражения принимает наименьшее значение Rmin при условии
cos2k2h = –1; отсюда толщина слоя h = l2(2m – 1)/4 (при m = 1, 2, 3, ...).
В свою очередь, требование Rmin = 0 приводит к уравнению r1 1 2 r1r2 2 r2 3 0, от&
куда следует Z2 1 Z1Z3 и 22 1 2123 . Результат сохраняется при убывании проницае&
мости: e1 > e2 > e3.
5.5.19 (м). Слой, который помещается на поверхность раздела сред для устране&
ния отражения, называется согласующим слоем. Используя результаты решения зада&
чи 5.5.18 (м), получим e2 = 3e0; при этом 12 2 11 / n2 2 3 3; наименьшая толщина слоя
h = l2/4 = 1,3 мм.
5.5.20 (р). При условии r0 = l можно считать, что в каждый момент времени шар
1
находится в однородном электрическом поле E (t). В этом случае дипольный момент
5.6. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ, ðåêîìåíäàöèè è ðåøåíèÿ çàäà÷
à
387
á
Ðèñ. 5.100
1
1
шара p(t) 1 4230 r03 E (t) [1, с. 528]. Далее шар можно уподобить элементу гармоническо
1 1
1
1
1
го тока: во временной области il 1 l 2q / 2t 1 2p / 2t, а в частотной области I2ml 1 j2p2m .
В дальней зоне при r ? r0 (рис. 5.100а) комплексная амплитуда поля шара (рассеян
ное поле):
jI1 lk2 sin 2 1 jkr
p1 k2 sin 2 1 jkr
E1mS2 3 m
e
31 m
e .
44560r
4460 r
1
Полное поле E п находится путем суммирования поля падающей волны и рассеян
ного поля. В точке M (рис. 5.100б):
п 3E
1 4 E1 S 3 E1 1 E1 S 3 E e1 jkz0 4 aE0 e1 jkr ,
E1mx
0
mx
mx
mx
m2
r
где a 1 k2r03 . Амплитуда полного поля Emп 1 E0 [1 2 (a / r)2 2 2a cos k(r 3 z0 ) / r]1/ 2 , причем
r 1 (y2 2 z02 )1/ 2 .
Третья составляющая в Emп при увеличении y изменяется по затухающему колеба
тельному закону. Расстояние Dy между соседними максимумами находится из условия
k
1
2
z02 3 (4y)2 5 z0 6 27. Отсюда получаем (Dy)2 = l2 + 2lz0 и, следовательно, Dy > l.
На оси y (при z0 = 0) амплитуда Emп 1 E0 [1 2 (a / y)2 2 2a cos(ky) / y]1/ 2 ; расстояние
между максимумами Dy = l.
На оси z > 0 («за шаром») поля падающей и рассеянной волн синфазны, так что
Emп 1 E0 (1 2 a / z). В «области тени» происходит монотонное уменьшение амплитуды,
причем Emп 1 E0 .
На оси z < 0 («перед шаром») происходит суммирование полей встречных волн:
aE
a j 2kz 3 1 jkz
E1mп 4 E0 e1 jkz 5 0 e1 jkz 4 E0 261 5
e
7e .
|z|
8 |z|
9
Амплитуда поля Emп 1 E0 [1 2 (a / z)2 2 2a cos(2kz) / | z |]1/ 2 ; расстояние между макси
мумами Dz = l/2.
Оценка величин, входящих в полученные формулы: при r0 = 1 мм, l = 10 мм, z0 =
= 40 мм коэффициент a = 0,4 мм, (a/z0)2 = 10–4, 2a/z0 = 0,02.
388
5. Çàäà÷è ïî òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
5.5.21 (м). Амплитуда напряженности электрического поля волны Em = Imlk2/(4pwer).
Средняя за период мощность излучения P 1 Im2 R /2 1 (Iml)2 Zk2 /(122). Отсюда при уче
те равенства k/(we) = Z получим Em 1 Im 3 RZ /(22) /(2r); Hm = Em/Z.
Результаты расчета: Em = 0,64 В/м, Hm = 1,7 × 10–3 А/м.
5.5.22 (р). Электрическое поле в дальней зоне описывается сферической волной
I1 lk2 sin 2 1 jkr
E1m2 3 E1m 3 j m
e .
4456r
Полагая, что на больших расстояниях (r ? l) направления векторов поля совпада
ют (q1 = q2 = q), находим комплексную амплитуду напряженности поля в точке на
блюдения M:
I1 lk2 sin 3 4 1 1 j (kr1 12 / 2) 1 1 jkr2 5
E1m 6 E1m1 7 E1m2 6 j m
7 e
8r e
9;
42
r2
1
здесь принято I1m1 3 Ime1 j2 / 2 , I1m2 3 Im .
При суммировании будем учитывать только различие фаз двух слагаемых, полагая
их амплитуды равными. Положив 1/r1 » 1/r2 = 1/r, получим
I lk2 sin 3
E1m 4 j m
(1 5 e 1 jk(r1 1r2 ) e j2 / 2 )e1 jkr2 .
4267r
Разность фаз волн в точке M при условии r ? l/4 будет k(r1 – r2) » klsinq/4 =
= psinq/2. Таким образом, на расстояниях, существенно превышающих расстояние
между элементами тока,
I lk2 sin 3
E1m 4 j m
[1 5 e j1(12sin 3) / 2 ].
4167r
Максимальную амплитуду имеет волна, распространяющаяся вдоль оси x (при
q = p/2). Если q = –p/2, амплитуда Em = 0 — излучение влево отсутствует. Система
имеет однонаправленное излучение.
