Министерство образования и науки Республики Татарстан Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение «Дрожжановский техникум отраслевых технологий» РЕФЕРАТ Тема: «Роль математики в современном мире.» Выполнил: Куракин Е.Ю Студент 1-го курса 122 группы. Проверила: Ханзярова Г.Х С. Ст. Дрожжаное 2023 СОДЕРЖАНИЕ 1. ВВЕДЕНИЕ................................................................................................ 3 2. ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ КАК ПЕРВАЯ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНАЯ ТЕОРИЯ.................................................................. 5 3. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ СТАНОВЛЕНИЯ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ. СТРУКТУРА СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ ............... 7 4. ОБ ОСНОВНЫХ ОСОБЕННОСТЯХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ .......................................................................................................... 9 5. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД.......................................................... 13 6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ....................................................................................... 15 7. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ...................................................................... 16 1. ВВЕДЕНИЕ Математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах реального мира. В неразрывной связи с требованиями науки и техники набор количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, постоянно расширяется, так что приведенное выше определение следует понимать в самом общем смысле. Цель изучения математики – совершенствование мировоззрения, культуры мышления, формирование научного мировоззрения. Понимание самостоятельного положения математики как особой науки стало возможным после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции в VI-V вв. до н.э. Это было началом периода элементарной математики. В этот период математические исследования имеют дело только с довольно ограниченным набором базовых концепций, которые возникли в связи с простейшими требованиями экономической жизни. В то же время математика как наука качественно улучшается. Современную математику часто сравнивают с большим городом. Это отличное сравнение, потому что в математике, как и в большом городе, идет непрерывный процесс роста и совершенствования. В математике появляются новые области, строятся изящные и глубокие теории, такие как строительство новых кварталов и зданий. Но прогресс математики не ограничивается изменением облика города из-за строительства нового. Старое тоже надо менять. Старые теории включаются в новые, более общие; есть необходимость в укреплении фундаментов старых построек. Необходимо проложить новые улицы, чтобы связать отдаленные кварталы математического города. Но этого недостаточно – архитектурное проектирование требует значительных усилий, поскольку разнообразие стилей в различных областях математики не только портит общее впечатление о науке, но и мешает пониманию науки в целом, устанавливая связи между различными ее частями. 3 Часто используется другое сравнение: математику сравнивают с большим ветвистым деревом, которое систематически дает новые побеги. Каждая ветвь дерева – это та или иная область математики. Количество веток не остается неизменным, так как разрастаются, срастаются сначала новые ветки, которые росли отдельно, некоторые ветки засыхают, лишенные питательных соков. Оба сравнения уместны и очень хорошо передают реальное положение дел. Несомненно, спрос на красоту играет важную роль в построении математических теорий. Само собой разумеется, что чувство прекрасного очень субъективно и на этот счет часто возникают довольно некрасивые идеи. И все же следует удивляться тому единодушию, которое математики вкладывают в понятие «красота»: результат считается прекрасным, если из небольшого числа условий можно получить общий вывод, применимый к широкому кругу вопросов. объекты. Математический вывод считается красивым, если он может доказать важный математический факт с помощью простых и кратких рассуждений. Зрелость математика, его талант угадываются по тому, насколько развито его чувство прекрасного. Эстетически полные и математически совершенные результаты легче понять, запомнить и использовать; легче определить и их взаимосвязь с другими областями знаний. Математика в наше время превратилась в научную дисциплину с множеством направлений исследований, огромным количеством результатов и методов. Математика сейчас настолько велика, что нет возможности для одного человека понять ее во всех ее частях, нет возможности быть универсальным специалистом в ней. Утрата связей между отдельными ее областями, несомненно, является негативным следствием стремительного развития этой науки. 4 2. ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ КАК ПЕРВАЯ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНАЯ ТЕОРИЯ В III веке до нашей эры в Александрии одноименная книга Евклида появилась в русском переводе «Начала». Термин «элементарная геометрия» произошел от латинского названия «Начало». Несмотря на то, что труды предшественников Евклида до нас не дошли, мы можем составить некоторое мнение об этих произведениях, основываясь на «Началах Евклида». В «Началах» есть разделы, логически очень мало связанные с другими разделами. Их появление объясняется только тем, что они введены по традиции и копируют «Начала» предшественников Евклида. «Начала» Евклида состоит из 13 книг. 1-6 книг посвящены планиметрии, 7-10 книг – арифметике и несоизмеримым величинам, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Книги с 11 по 13 были посвящены стереометрии. Начало начинается с 23 определений и 10 аксиом. Первые пять аксиом – это «общие концепции», остальные называются «постулатами». Первые два постулата определяют действия с идеальной линейкой, третий – с идеальным компасом. Четвертое, «все прямые углы равны друг другу», является избыточным, так как его можно вывести из остальных аксиом. Последний, пятый постулат гласил: «Если прямая линия распадается на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме менее двух прямых линий, то при неограниченном продолжении этих двух прямых линий они будут пересекаться на стороне, где углы меньше двух прямых. Пять «общих концепций» Евклида – это принципы измерения длин, углов, площадей, объемов: «одинаковые равны друг другу», «если равные сложить равные, суммы равны друг другу», «если равно вычесть из равного, остатки равны между собой, которые в сочетании друг с другом равны друг другу, целое больше, чем часть. Затем началась критика геометрии Евклида. Евклида критиковали по трем причинам: за то, что он рассматривал только такие геометрические 5 величины, которые можно построить с помощью циркуля и линейки; за разделение геометрии и арифметики и доказательство для целых чисел того, что он уже доказал для геометрических величин, и, наконец, для аксиом Евклида. Наиболее резко критиковался пятый постулат, самый трудный постулат Евклида. Многие считали это излишним и что его можно и нужно выводить из других аксиом. Другие считали, что его следует заменить более простым и описательным, эквивалентным ему: «Через точку, лежащую за пределами прямой, можно провести на их плоскости не более одной прямой линии, которая не пересекает эту прямую». Критика разрыва между геометрией и арифметикой привела к расширению понятия числа до действительного числа. Споры о пятом постулате привели к тому, что в начале XIX века Н.И. Лобачевский, Я. Бояи и К.Ф. Гаусс построили новую геометрию, в которой были выполнены все аксиомы евклидовой геометрии, за исключением пятого постулата. Оно было заменено противоположным утверждением: «На плоскости через точку вне прямой линии можно провести более одной прямой, которая не пересекает данную». Эта геометрия была такой же последовательной, как и у Евклида. Планиметрическая модель Лобачевского на евклидовой плоскости была построена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 году. Проведите горизонтальную линию на евклидовой плоскости. Эта линия называется абсолютной. Точки евклидовой плоскости, лежащие выше абсолюта, являются точками плоскости Лобачевского. Плоскость Лобачевского –- открытая полуплоскость, лежащая над абсолютом. Неевклидовы отрезки в модели Пуанкаре – это дуги окружностей с центрами на абсолютном отсеке или отрезки, перпендикулярные абсолюту . 6 3. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ СТАНОВЛЕНИЯ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ. СТРУКТУРА СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ Академик А. Н. Колмогоров выделяет четыре периода в развитии математики. Колмогоров А. Н. – Математика, Математический энциклопедический словарь, Москва, Советская энциклопедия, 1988 г.: зарождение математики, элементарная математика, математика переменных, современная математика. В период развития элементарной математики теория чисел постепенно выросла из арифметики. Алгебра создана как буквальное исчисление. А созданная древними греками система изложения элементарной геометрии, геометрии Евклида, на два тысячелетия вперед стала примером дедуктивного построения математической теории. В 17 веке требования естествознания и техники привели к созданию методов, изменения позволяющих величин и математически изучать преобразовывать движение, геометрические процессы формы. С использованием переменных величин в аналитической геометрии и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин. Великие открытия 17 века – это концепция бесконечно малой величины, введенная Ньютоном и Лейбницем, создание основ для анализа бесконечно малых величин. На передний план выдвигается понятие функции. Функция становится основным предметом изучения. Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу. Появление гениальной идеи Р. К этому времени относится и Декарт о методе координат. Создана аналитическая геометрия, позволяющая изучать геометрические объекты методами алгебры и анализа. С другой стороны, метод координат открыл возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов. 7 Дальнейшее развитие математики привело в начале XIX в. К постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения. Связь математики и естествознания приобретает все более сложные формы. Появляются новые теории, и они возникают не только в результате требований естествознания и техники, но также в результате внутренней потребности математики. Прекрасным примером такой теории является воображаемая геометрия Н. И. Лобачевского. Развитие математики в XIX и XX веках позволяет отнести ее к периоду современной математики. Развитие самой математики, математизация различных областей науки, проникновение математических методов во многие области практической деятельности, прогресс компьютерных технологий привели к появлению новых математических дисциплин, например, исследования операций, теории игр, математики. экономика и другие. Основными математические методами математических доказательства – строгие исследований логические являются рассуждения. Математическое мышление не ограничивается логическими рассуждениями. Для правильной постановки задачи, оценки выбора метода ее решения требуется математическая интуиция. Математические модели объектов изучаются в математике. Одна и та же математическая модель может описывать свойства реальных явлений, далеких друг от друга. Итак, одно и то же дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распада радиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения. 8 4. ОБ ОСНОВНЫХ ОСОБЕННОСТЯХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ В этом вопросе особый интерес представляет характеристика математического мышления, данная А.Я. Хинчин, а точнее, его конкретноисторическая форма – стиль математического мышления. Раскрывая сущность стиля математического мышления, он выделяет четыре общие для всех эпохи черты, которые заметно отличают этот стиль от стилей мышления других наук. Во-первых, для математика характерно преобладание доведенной до предела логической схемы рассуждений. Математик, который, по крайней мере на время, упустил эту схему из виду, обычно теряет возможность мыслить научно. Эта особенность стиля математического мышления имеет большое значение. Очевидно, это максимально позволяет отслеживать правильность течения мысли и гарантирует от ошибок; с другой стороны, заставляет мыслителя при анализе иметь перед глазами всю совокупность имеющихся возможностей и обязывает его учитывать каждую из них, не упуская ни одной (такие упущения вполне возможны и на самом деле, часто наблюдаются в других стилях мышления). Во-вторых, лаконичность, т. е. сознательное стремление всегда найти кратчайший логический путь, ведущий к поставленной цели, беспощадный отказ от всего абсолютно необходимого для безупречной полезности аргументации. Математическое эссе хорошего стиля, не терпит никакой «воды», никакого украшения, ослабляющего логическое напряжение разглагольствования, не говоря уже о отвлечении; крайняя скупость, суровая строгость мысли и ее изложение – неотъемлемые черты математического мышления. Эта особенность имеет большое значение не только для математики, но и для любых других серьезных рассуждений. Лаконизм, стремление не допускать ничего лишнего, помогает как мыслящему человеку, так и его читателю или слушателю полностью сосредоточиться на этом ходу 9 мыслей, не отвлекаясь на побочные идеи и не теряя прямого контакта с основной линией рассуждений. Светила науки, как правило, мыслят и лаконично выражаются во всех областях знания, даже когда их мысль создает и выражает принципиально новые идеи. Какое великолепное впечатление, например, производит благородная скупость мысли и речи величайших творцов физики: Ньютона, Эйнштейна, Нильса Бора! Трудно найти более яркий пример того, какое глубокое влияние стиль мышления его создателей может оказать на развитие науки. Для математики канонизированный лаконичность веками. Любая мысли попытка – бесспорный обременять закон, презентацию необязательно необходимыми (даже если они приятны и волнуют публику) изображениями, отвлекающими факторами и разглагольствованием заранее подвергается законному подозрению и автоматически вызывает критическую настороженность. В-третьих, четкое разделение линии рассуждений. Если, например, при доказательстве предложения мы должны рассмотреть четыре возможных случая, каждый из которых можно разделить на то или иное количество подслучая, то в каждый момент рассуждения математик должен четко помнить, в каком случае и подслучае его мысль теперь приобретено, и какие случаи и подслучаи ему еще предстоит рассмотреть. При всевозможных разветвленных перечислениях математик должен в каждый момент осознавать родовое понятие, для которого он перечисляет видовые концепции, составляющие его. В обычном, ненаучном мышлении мы очень часто наблюдаем в таких случаях путаницу и скачки, ведущие к путанице и ошибкам в рассуждении. Часто бывает, что человек начинал перечислять виды одного рода, а затем незаметно для слушателей (а часто и для себя), используя недостаточную логическую ясность рассуждений, перескакивал в другой род и завершается утверждением, что теперь оба рода классифицируются; а 10 слушатели и читатели не знают, где проходит граница между видами первого и второго рода. Чтобы сделать такую путаницу и скачки невозможными, математики давно широко используют простые внешние методы нумерации понятий и суждений, иногда (но гораздо реже) используемые в других науках. Те возможные случаи или те общие концепции, которые следует учитывать в этом рассуждении, заранее перенумерованы; в каждом таком случае подлежащие рассмотрению поддиапазоны, которые он содержит, также перенумеровываются (иногда для различения с помощью какой-либо другой системы нумерации). Перед каждым абзацем, где начинается рассмотрение нового подслучайного случая, ставится принятое для него обозначение подзабора (например: II 3 – это означает, что здесь начинается рассмотрение третьего подслуча второго случая, либо описание третьего типа второго рода, если мы говорим о классификации). И читатель знает, что до тех пор, пока он не встретит новый числовой заголовок, все изложенное применимо только к этому случаю и его частям. Само собой разумеется, что такая нумерация служит только внешним приемом, очень полезным, но ни в коем случае не обязательным, и что суть дела не в этом, а в том отчетливом расчленении аргументации или классификации, которое она одновременно стимулирует и означает. В-четвертых, скрупулезная точность обозначений, формул, уравнений. То есть «каждый математический символ имеет строго определенное значение: замена его другим символом или перестановка на другое место, как правило, влечет за собой искажение, а иногда даже полное уничтожение смысла того утверждения». Выделив основные черты математического стиля мышления, А.Я. Хинчин отмечает, что математика (особенно математика переменных) носит диалектический характер, а потому способствует развитию диалектического мышления. происходит Действительно, взаимодействие в процессе между 11 математического визуальным мышления (конкретным) и концептуальным (абстрактным). «Мы не можем думать о линии, – писал Кант, - не рисуя ее мысленно, мы не можем думать о трех измерениях для себя, не проводя трех линий, перпендикулярных друг другу из одной точки». Взаимодействие конкретного и абстрактного «привело» математическое мышление к развитию все новых и новых понятий и философских категорий. В древней математике (математике постоянных значений) это были «число» и «пространство», которые первоначально нашли отражение в арифметике и евклидовой геометрии, а затем в алгебре и различных геометрических системах. Математика переменных величин была «основана» на понятиях, в которых отражалось движение материи – «конечное», «бесконечное», «непрерывность», «дискретное», «бесконечно малое», «производное» и т. д. Если говорить о современном историческом этапе развития математического знания, то он идет параллельно с дальнейшим развитием философских возможного категорий: и теория случайного; вероятностей топология – «осваивает» категории категории взаимосвязи и непрерывности; теория катастроф – категория прыжка; теория групп – категории симметрии и гармонии и др. 12 5. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД Аксиоматика – это основной метод построения теории от античности до наших дней, подтверждающий ее универсальность и применимость. Построение математической теории основано на аксиоматическом методе. В основу научной теории положены некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории получаются как логические следствия аксиом. Аксиоматический метод появился в Древней Греции, и в настоящее время он используется практически во всех теоретических науках и, прежде всего, в математике. Сравнивая три, в определенном отношении, дополняющие друг друга геометрии: евклидову (параболическую), Лобачевского (гиперболическую) и риманову (эллиптическую), следует отметить, что наряду с некоторыми сходствами существует большая разница между сферической геометрией, с одной стороны, и геометрии Евклида и Лобачевского – с другой. Фундаментальное различие между современной геометрией состоит в том, что теперь она охватывает «геометрии» бесконечного числа различных воображаемых пространств. Однако следует отметить, что все эти геометрии являются интерпретациями евклидовой геометрии и основаны на аксиоматическом методе, впервые использованном Евклидом. На основе исследований был разработан и получил широкое распространение аксиоматический метод. Частным случаем применения этого метода является метод следов в стереометрии, который позволяет решать задачи построения сечений в многогранниках и некоторые другие позиционные задачи. Аксиоматический метод, впервые разработанный в геометрии, теперь стал важным инструментом для изучения в других областях математики, физики и механики. В настоящее время ведутся работы по совершенствованию и более глубокому изучению аксиоматического метода построения теории. 13 Аксиоматический метод построения научной теории состоит в выделении основных понятий, формулировании аксиом теорий, а все остальные утверждения логически выводятся на их основе. Известно, что одно понятие следует объяснять с помощью других, которые, в свою очередь, также определяются с помощью некоторых хорошо известных понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которые нельзя определить через другие. Эти концепции называются базовыми. Когда мы доказываем утверждение, теорему, мы полагаемся на посылки, которые считаются уже доказанными. Но и эти посылки подтвердились, их нужно было обосновать. В конце концов, мы приходим к недоказуемым утверждениям и принимаем их без доказательств. Эти утверждения называются аксиомами. Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно было бы доказывать дальнейшие утверждения. Выделив основные понятия и сформулировав аксиомы, мы логически выводим теоремы и другие концепции. Это логическая структура геометрии. Аксиомы и базовые понятия составляют основу планиметрии. Поскольку невозможно дать единое определение основных понятий для всех геометрий, основные понятия геометрии следует определять как объекты любой природы, удовлетворяющие аксиомам этой геометрии. Таким образом, при аксиоматическом построении геометрической системы мы исходим из определенной системы аксиом, или аксиом. 14 6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Большую роль в математическом доказательстве играет теорема дедукции – общее название для ряда теорем, процедура, которая дает возможность установить импликацию доказуемости: Us A-> B, когда существует логический вывод B из формулы A. В наиболее распространенной версии исчисления высказываний (в классической, интуиционистской и других математиках) теорема дедукции утверждает следующее. Если дана система посылок G и посылка A, из которых по правилам выводима B, A B (знак выводимости), то только из посылки G можно получить предложение А -> Б. Мы посмотрели на тип, что является прямым доказательством. В то же время в логике используются так называемые косвенные доказательства; есть непрямые доказательства, которые разворачиваются по следующей схеме. Не имея в силу ряда причин (недоступность объекта исследования, утрата реальности его существования и др.) Возможности напрямую доказать истинность какого-либо утверждения, тезиса, они строят антитезис. Они убеждены, что антитезис ведет к противоречиям, а значит, ложен. Затем из того факта, что антитезис ложен, на основании закона исключенного третьего делается вывод об истинности тезиса. В математике широко используется одна из форм косвенного доказательства – доказательство от противного. Это особенно ценно и фактически незаменимо в принятии фундаментальных понятий и положений математики, например, концепции актуальной бесконечности, которую нельзя ввести никаким другим способом. Операция доказательства от противного представлена в математической логике следующим образом. Дана последовательность формул G и отрицание A. Если из этой B и его отрицание (G, A B, а не B-), можно сделать вывод о том, что последовательности формул G следует истинность А . Другими словами, истинность тезиса следует из ложности антитезиса. 15 7. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Кремер Н.Ш., Путько Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов, учебник, Москва, 2009; 2. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. М .: Наука, 1989; 3. Ларичев О.И. Объективные модели и субъективные решения. М .: Наука, 1989; 4. А.Я. Халамизер, «Математика? - Это забавно! », Издано автором, 1988 г .; 5. П.К. Рашевский, Риманова геометрия и тензорный анализ, Москва, 3е изд., 19687; 6. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М .: Высшая школа, 1978; 16
