«Методика изучения одномерных геометрических фигур в курсе математики начальных классов.
advertisement
«Методика изучения одномерных геометрических фигур в курсе математики начальных классов: точка, линия, прямая, кривая, луч, отрезок, ломанная» Содержание Введение......................................................................................................... 2 1. Изучение геометрического материала как важного аспекта математической подготовки учащихся начальной школы ................................. 5 2. Методика изучения одномерных геометрических фигур в начальных классах…………………………………………………………………………....11 Заключение .................................................................................................. 18 Список литературы ..................................................................................... 20 Введение 2 Необходимость и возможность введения пропедевтического (подготовительного) курса по геометрии в начальных школах обсуждается педагогическим сообществом нашей страны уже давно. И хотя уже сегодня этот курс не нашел своего полноценного законного места в отечественной школе, причины, побудившие к созданию различных версий этого курса (называемых либо начальными, либо пропедевтическими, либо курсами по визуальной геометрии), очень важны. Рассмотрим основные из них. Для начальной школы систематический курс по геометрии (изучаемый в 7 классе) традиционно является дедуктивным. Как всем известно, при дедуктивном построении геометрии, доказывая определенные теоремы, можно опираться только на аксиомы, на ранее доказанные теоремы, на исходные (необнаружимые) понятия и на те понятия, которые определены. Никакие ссылки на такие очевидные факты, которые непосредственно видны на чертеже, не являются явными или скрытыми в системе обнаружения научной и дедуктивной геометрии. Поэтому очевидные, непосредственно рассматриваемые факты или свойства геометрических фигур должны быть знакомы детям задолго до изучения систематического курса по геометрии. Отсутствие правильной преемственности курса математики в начальной школе с курсом математики в средней школе при изучении геометрического материала. Изучение геометрического материала в современной начальной школе преследует в основном практические цели, сопровождая курс арифметики. Итак, рассмотрение свойств фигур, формирование исходных геометрических представлений в основном направлено на приобретение школьниками практических навыков, связанных с решением практических задач расчета (длины или площади). Возможно, именно поэтому выбор геометрического материала во многом продиктован интересами арифметики, а с точки зрения геометрии является случайным. Об этом свидетельствует программа по математике в 1999 году, в которой даже не делается ни малейшей попытки 3 оправдать содержание геометрического материала, подлежащего рассмотрению в начальной школе. В программе математики в начальной школе геометрический материал представлен мелкими зернами как незначительно вкрапленный в арифметике и, по нашему мнению, не представляет целостного, оправданного курса. Таким образом, сейчас в начальной школе происходит только определенное накопление фактического материала в геометрии, и его соответствующего обобщения не происходит. Кроме того, в математике начальной школы рассматриваются в основном плоские фигуры, в то время как даже дошкольник имеет большой опыт работы с коробкой, кубом, шаром, пирамидой (кубики, конструктор, шар и т.д.). И в этом отношении геометрическая пропедевтика в современной школе теряет ту, которая была в школе прошлого. Наглядность и практичность преподавания геометрии являются необходимыми условиями его успешного изучения. Геометрия, как и любой другой предмет, не может обойтись без визуализации. Такой известный российский методист и математик В.К. Беллюстин в начале 20-го века отметил, что «никакое абстрактное сознание невозможно, если ему не предшествует обогащение сознания необходимыми идеями». Формирование абстрактного мышления у школьников с первых же школьных шагов требует предварительного пополнения их сознания конкретными идеями. В то же время успешное и умелое использование визуализации поощряет детей к когнитивной независимости и повышает их интерес к предмету, что является необходимым условием для успеха. В тесной связи с наглядностью обучения заключается его практичность. Именно из жизни конкретный материал рисуется для формирования визуальных геометрических представлений. В этом случае обучение становится наглядным, соответствующим жизни ребенка, практическим. Так возникла идея обучения так называемой визуальной геометрии. Сказанное было хорошо известно всем русским учителям прошлых лет и успешно применялось на практике. 4 В связи с таким планируемым переходом к всеобщему начальному 6-му образованию (который начал осуществляться в России в конце революции 1917 года) возникла идея создания, интегрированного и достаточно информативного курса по визуальной геометрии. Для начальной школы того времени арифметическая программа по существу охватила все те вопросы арифметики, которые изучаются в первых 6 классах современной школы. Геометрическая программа вышла далеко за рамки геометрической чистой математики первых 6 лет обучения в современной школе. Таким образом, переход к всеобщему тому начальному образованию, который должен был быть в то время, обеспечил значительно более значимое программное обеспечение, чем даже современная начальная школа. Первоначальные геометрические понятия (линии, простые геометрические формы и тела, симметрия, простые планы и т.д.) Изучались в течение 1 и 2 лет обучения наряду с изучением арифметики. На 3-м и 4-м годах обучения геометрия систематически изучалась на отдельных уроках. 1. Изучение геометрического материала как важного аспекта математической подготовки учащихся начальной школы 5 Одной из целей начального обучения математике является освоение окружающего пространства, развитие логики школьника, развитие пространственных представлений. Этому служит изучение геометрического материала: знакомство с телами, поверхностями, линиями, выделение фигур определённой формы, некоторых характеристик этих фигур. Геометрический материал не выделяется в качестве самостоятельного раздела. «Положение геометрии по сравнению с другими школьными предметами в своём роде уникально: ни один предмет первоклассники так не готовы воспринимать, как наглядную геометрию. В тоже время ни один предмет не начинают изучать в школе с таким запозданием (по отношению к благоприятному моменту), как геометрию» Шарыгин И. Ф. Геометрическое мышление в основе своей есть мышление образное, чувственное, физиологически связанное с полушариями головного мозга. Только по мере развития геометрического мышления происходит возрастание логической составляющей и, соответственно, роли левого полушария. Для детей с преимущественным развитием правого полушария изучение геометрии в возрасте 8- 9 лет исключительно важно в прямом физиологическом смысле. При изучении геометрического материала следует широко использовать разнообразные наглядные пособия. Это демонстрационные, общеклассные пособия: геометрические фигуры, изготовленные из цветного картона или плотной бумаги, плакаты с изображениями предметов различной формы, геометрических фигур; чертежи на доске, презентации. Кроме того, требуются индивидуальные наглядные пособия — такой раздаточный материал, как полоски бумаги, палочки различной длины, вырезанные из бумаги фигуры и части фигур. При изучении отдельных тем полезно изготовить с детьми самодельные наглядные пособия. Геометрический материал не выделяется в программе для начальных классов в качестве самостоятельного раздела. В учебном процессе изучение 6 элементов геометрии непосредственно связывается с изучением арифметических вопросов. Изучение геометрического материала способствует накоплению запаса представлений о геометрических фигурах; развитию пространственного воображение, логического мышления; развитию важных практических умений и навыков; подготовке учащихся к дальнейшему изучению геометрии. Ведущую роль при изучении геометрического материала играют систематически проводимые практические работы по формированию умений и навыков, связанных с применением чертежных и измерительных инструментов, с выполнением простейших чертежей с построением геометрической фигур. При этом необходимо формировать умение давать словесно описание выполняемых действий, умение применять символику и терминологию. Методика ознакомления учащихся с геометрическими фигурами связано с задачами изучения темы: 1. Формировать четкие представления о таких геометрических фигурах, как точка, отрезок, угол, многоугольник, прямоугольник, квадрат и.т.д. 2. Формировать практические умения и навыки построения геометрических фигур, как с помощью чертёжных инструментов так и без них. 3. Развивать пространственные представления учащихся. Программа включает рассмотрение пространственных отношений между объектами, ознакомление с различными геометрическими фигурами и геометрическими величинами. Школьники научатся распознавать и изображать точку, прямую и кривую линии, отрезок, луч, угол, ломаную, многоугольник, различать окружность и круг. Они овладеют навыками работы с измерительными и чертёжными инструментами (линейка, чертёжный угольник, циркуль). 7 Изучение геометрического материала создаёт условия для развития пространственного воображения детей и закладывает фундамент успешного изучения систематического курса геометрии в основной школе. Виды работ при изучении геометрического материала: распознавание линий, распознавание фигур, измерение отрезка, построение отрезка, построение фигуры (четырёхугольника) и деление его на два треугольника, построение ломаной линии с определённым количеством звеньев, доработка ломаной линии до треугольника, логические задания на нахождение недостающей фигуры в квадрате, нахождение определённого количества фигур, заключённых в другую фигуру, рассказ о фигуре. Изучение геометрического материала в начальных классах должно протекать с учетом принципа преемственности в изучении материала, т. е. строится с учетом знаний, полученных детьми в дошкольном детстве. Первоклассники уже знают названия геометрических фигур, однако используемые ими термины нередко оторваны от реальных представлений. В связи с этим при отборе геометрического материала полезно опираться на запас терминов, имеющихся у детей и проводить работу по раскрытию их научного содержания, т.е. выявлять их существенные признаки, учить узнавать фигуру не по ее наглядному образу, а по совокупности существенных признаков. Для этой цели хороши упражнения с использованием логической операции подведения под понятие. Например: «В конверте лежит фигура, у которой четыре прямых угла. Будет ли эта фигура квадратом?». Работа с геометрическими объектами позволяет активно использовать наглядно-действенный, наглядно-образный и нагляднологический уровни мышления, которые наиболее близки младшим школьникам. Младшие школьники проявляют большой интерес к изучению геометрического материала, легко запоминают названия геометрических фигур и выделяют их свойства в процессе практических действий с ними. Поэтому перечень геометрических понятий, с которыми они знакомятся, 8 можно расширить, включив в программу такие понятия, как «шар», «круг», «окружность», «симметрия». Это положительно скажется как на развитии пространственного мышления ребенка, так и на формировании навыков работы с линейкой, угольником, циркулем. Увеличение объёма изучения геометрического материала в начальных классах, способствует более эффективной подготовке учеников к изучению систематического курса геометрии, развивая логическое, пространственное мышление и систему геометрических понятий, что позволяет снизить у школьников существенные трудности, возникающие при изучении геометрии» . С переходом на новый Федеральный Государственный Образовательный Стандарт проблема развития логического мышления стала ещё более актуальна. Теперь на первый план выходит формирование универсальных учебных действий обеспечивающих школьникам умение учиться, способность в массе информации отобрать нужное, само развиваться и самосовершенствоваться. Появились новые Федеральные образовательные стандарты общего образования второго поколения, в которых прописано, что главной целью образовательного процесса является формирование универсальных учебных действий, таких как: личностные, регулятивные, познавательные, коммуникативные. В соответствии стандартам второго поколения познавательные универсальные действия включают: обще учебные, логические, а также постановку и решение проблемы. Одной из основных целей математического образования в рамках Стандартов второго поколения является формирование логических универсальных действий (анализ и синтез объектов; классификация; обобщение; выделение существенных признаков). Реализации этой цели может и должно способствовать решение на уроках математики различного рода нестандартных логических задач, а также изучение геометрического материала. 9 2. Методика изучения одномерных геометрических фигур в начальных классах 10 Основными задачами изучения геометрического материала в 1-3 классах являются: 1) формирование геометрических представлений; 2) формирование пространственных представлений и развитие воображения, умений наблюдать, сравнивать, абстрагировать и обобщать; 3) выработка у учащихся практических навыков измерения и построения геометрических фигур с помощью измерительных и чертежных инструментов; 4) формирование умений использовать наглядность в приобретении знаний. Изучение геометрической фигуры осуществляется по такой схеме: получение фигуры название фигуры распознавание фигуры в окружающей обстановке построение фигуры изучение свойств В начальной школе происходит ознакомление младших школьников с основными геометрическими фигурами (точкой, прямой, треугольником, прямоугольником), свойствами, отношениями этих фигур и ознакомление с геометрической формой предметов реального мира. Остановимся подробнее на рекомендациях М.А. Бантовой, М.И. Моро и Н.Б. Истоминой по формированию представлений учащихся об отдельных геометрических понятиях. С точкой учащиеся знакомятся с первых шагов обучения в 1 классе. Через точку можно провести различные линии. Опираясь на свой жизненный опыт, ребенок самостоятельно справляется с задачей проведения линий через точку и даже сам может их называть соответствующими терминами: «кривая», «прямая» линии. Готовясь к письму цифр, дети выполняют такие задания: поставьте точку в середине клеточки (в левом нижнем углу клетки, в середине левой стороны клетки и т.п.); соедините поставленные точки 11 отрезком по образцу - воспроизводят бордюрные рисунки по заданным точкам. Формирование представления у первоклассников о прямой линии происходит в процессе выполнения ими разнообразных упражнений. При этом прямую линию сопоставляют с кривой. Например, натягивают нить (шнур), затем ослабляют нить так, чтоб она провисла; рассматривают рисунки, на которых изображена, положим, прямая дорога и извилистая тропинка; разрезают лист бумаги по линии, полученной перегибанием листа и т.д. каждый раз выясняют, какая получилась линия – прямая или кривая. В процессе выполнения упражнений дети знакомятся с некоторыми свойствами прямой. Например, упражняясь в проведении линий через точки, дети обобщают свои наблюдения: через одну точку можно провести сколько угодно прямых или кривых линий; через две точки можно провести только одну прямую. После знакомства с прямой линией, дети учатся ставить точки на прямой, проводить прямые линии через одну и две заданные точки, устанавливать положение точки относительно прямой линии (лежит на прямой, не лежит на прямой). После знакомства с отрезком, аналогичные задания выполняются с точкой и отрезком. При этом дети убеждаются, что точка, лежащая между концами отрезка, делит его на два отрезка. Когда происходит знакомство с элементами многоугольника, учащиеся узнают о том, что вершины многоугольника - это точки. Например, учитель предлагает детям поставить три точки, которые не лежат на одной прямой, соединить их отрезками и сказать, какая фигура получилась; затем сосчитать, сколько у нее вершин. Позднее учащиеся знакомятся с обозначением точек заглавными латинскими буквами. Они упражняются в обозначении точек буквами и чтении обозначенных буквами точек. С этого времени наряду с устными упражнениями можно включать и письменные, что гораздо эффективнее, т.к. заставляет работать каждого ребенка. Например, по чертежу, данному на доске, предлагают выписать в первую строчку те точки, которые лежат 12 внутри круга или четырехугольника, во вторую строчку - точки, которые лежат вне круга (четырехугольника), а в третью строчку - точки, которые лежат на границе круга (четырехугольника). Формирование у первоклассников представления о прямой линии происходит в процессе выполнения ими разнообразных практических упражнений. При этом прямую линию сопоставляют с кривой. Например, натягивают нить (ленту), затем ослабляют ее так, так чтобы она провисала или свободно располагалась; рассматривают рисунки с прямыми дорогами и извилистыми тропинками; разрезают лист бумаги по линии, полученной перегибанием листа, и т.п. каждый раз выясняют, какая получилась линия прямая или кривая. Дети должны научиться узнавать прямую линию, начерченную в любом положении на плоскости, отличать ее от кривой, уметь проводить прямые линии, используя линейку. С целью выработки этих умений учащиеся чертят в тетрадях прямые и кривые линии, находят и показывают их на окружающих предметах, а также среди линий, начерченных на доске. В процессе выполнения разнообразных упражнений дети обобщают свои наблюдения: через одну точку можно провести сколько угодно прямых или кривых линий; через две точки можно провести сколько угодно кривых линий и только одну прямую. С отрезком прямой учащиеся также знакомятся практически: от туго натянутого шнура (аналога прямой) отрезают некоторую часть. Учитель уточняет у детей: «Что получили?» (часть прямой). Затем, начертив прямую, дети отмечают на ней две точки и выделяют цветом часть прямой, заключенную между поставленными точками. С отрезком дети также знакомятся практически: отмечают на прямой две точки, и учитель поясняет, что эту часть прямой от одной точки до другой называют отрезком прямой, а точки – концами отрезка. Учитель вновь уточняет: «Что выделено на чертеже цветом и точками?» (часть прямой) и поясняет, что эту часть прямой от одной точки до другой называют отрезком прямой, или кратко - отрезком, а точки 13 концами отрезка. Дети ставят точки на других прямых, начерченных на доске, и показывают полученные отрезки и концы отрезков. После этого учитель показывает, как изображается на чертеже отрезок (концы отрезка отмечает точками или штрихами), сравнивает с изображением прямой. Учащиеся показывают на готовых чертежах отрезки и прямые, а затем и сами чертят прямые и отрезки прямых и постепенно осознают, что отрезок ограничен, а прямая не ограничена (мы изображаем на бумаге только часть прямой). До измерения отрезков дети учатся сравнивать их «на глаз», приложением и наложением, чтобы установить какой из них короче (длиннее) или отрезки одинаковой длины. Закреплению понятия об отрезке способствуют такие упражнения: – показать отрезки прямой на окружающих предметах; – соединить отрезком две точки; – провести отрезок через три точки, лежащие на одной прямой, показать все получившиеся при этом отрезки. В дальнейшем, после знакомства с сантиметром, дециметром, метром и т.д. учащиеся выполняют большое количество упражнений в измерении и черчении отрезка. В этот период важно при работе с масштабной линейкой обращать внимание школьников на правильность положения линейки при измерении - один конец отрезка должен совпадать с нулевым делением на шкале линейки. Затем учащиеся решают задачи с отрезками (на увеличение и уменьшение на несколько единиц или в несколько раз, на разностное и кратное сравнение). Постепенно школьники убеждаются, что равные отрезки содержат одинаковое число выбранных единиц длины, а неравные неодинаковое число: в том отрезке содержится больше единиц, который длиннее. Таким образом, становится возможным судить о равенстве или неравенстве отрезков на основе сравнения их длин. Выделяя элементы многоугольников, учащиеся устанавливают, что стороны многоугольников отрезки. Упражнения на выделение отрезков необходимо усложнять постепенно, чтобы они были посильны учащимся. Когда учащиеся 14 ознакомятся с обозначением отрезка заглавными буквами латинского алфавита, даются письменные упражнения, которые закрепляют умения выделять отрезки, являющиеся частями других отрезков, а также отрезки, составленные из других отрезков. Например, школьникам предлагают упражнения: – записать все отрезки, которые имеются на чертеже; – записать отрезки с началом в точке О; – измерить с помощью линейки и выписать равные отрезки. Постепенно учащиеся осознают, что отрезок может быть общей стороной нескольких многоугольников, и, опираясь на это, выполняют упражнения на построение отрезков внутри многоугольников, так, чтобы при этом образовывались новые фигуры (деление многоугольника диагоналями на заданные части). Учащиеся выполняют задание в тетрадях, а затем показывают на доске различные решения каждой задачи. Такие упражнения развивают у детей воображение и пространственные представления, а также закрепляют геометрические понятия. Опираясь на понятие отрезка, учащихся знакомят с ломаной линией. Для этого по образцу, данному учителем, школьникам предлагают построить линию из палочек или бумажных полосок. Учитель дает название новой линии. Можно изготовить также модель ломаной, «сломав» на глазах у детей на части тонкую лучинку или кусок проволоки. Иногда на доске изображают ломаную с помощью цветной нити, натянутой между несколькими кнопками (магнитами) - «точками», не лежащими на одной прямой. Учащиеся чертят ломаные линии на доске и в тетрадях: ставят 3 (4, 5 и т.д.) точки, не лежащие на одной прямой и соединяют их отрезками. Каждый раз дети подсчитывают, сколько отрезков содержит ломаная линия или сколько у нее звеньев. Так же с опорой на практические работы вводят понятие незамкнутой и замкнутой ломаной линии. Учащиеся строят из палочек (полосок бумаги, кусочков проволоки) ломаную линию, находят ее начало и конец. Учитель дает название такой ломанной - незамкнутая, а затем предлагает по образцу 15 соединить начало и конец незамкнутой ломаной линии. Учащиеся сами догадываются, что такая ломаная линия называется замкнутой. При этом звенья соединяют так, чтобы они, кроме вершин, не имели общих точек. В процессе упражнений устанавливают связь между замкнутой ломаной линией и многоугольником, для которого ломаная линия является границей: замкнутая ломаная линия из трех звеньев ограничивает треугольник, из четырех звеньев - четырехугольник и т.д. Затем учащихся знакомят с измерением ломаных линий таким способом: измерить звенья ломаной и сложить полученные длины. Чтобы дети усвоили понятие длины ломаной линии, необходимо включить достаточное количество упражнений в нахождении длины незамкнутых и замкнутых ломаных линий, которые содержат различное число звеньев. Таким образом, для эффективного формирования элементарных геометрических представлений младших школьников работа по изучению геометрического материала должна проводиться с учетом следующих рекомендаций ведущих методистов начального образования: 1. При обучении элементам геометрии необходимо опираться на имеющийся опыт детей, уточнять и обогащать их представления. 2. Основными методическими подходами в ознакомлении младших школьников с элементами геометрии являются - наглядный и практический. 3. Учителю необходимо широко использовать разнообразные наглядные пособия: общеклассные демонстрационные (геометрические фигуры, изготовленные из цветного картона или плотной бумаги, плакаты с изображениями предметов различной формы, а также геометрических фигур, чертежи на доске, диафильмы, компьютерную графику) и индивидуальные наглядные пособия (раздаточный материал, например, полоски бумаги, палочки разной длины) 4. В методике формирования геометрических представлений следует помнить о систематическом использовании приема материализации 16 геометрических образов. Общим методическим приемом, обеспечивающим прочные геометрические знания, является формирование пространственных представлений через непосредственное восприятие учащимися конкретных реальных вещей, материальных моделей геометрических образов. Наиболее эффективными приемами изучения геометрического материала являются лабораторно-практические: моделирование фигур из бумаги, из палочек, из проволоки; черчение, измерение и др. При этом важно обеспечить разнообразие объектов, чтобы, варьируя несущественные признаки (цвет, размер, расположение на плоскости и др.), помочь детям выделить и усвоить существенные признаки - форму предметов, свойство фигур и т.п. Основное место в обучении должны занимать практические работы учащихся, их наблюдения и работы с геометрическими объектами. Свойства геометрических фигур следует выявлять в процессе экспериментальной деятельности учащихся, при этом одновременно проходит эффективное усвоение детьми необходимой терминологии и навыков. 5. Следует систематически проводить неформальную работу с применяемыми символами и чертежами. 6. В классе необходимо иметь набор чертежно-измеритильных инструментов для выполнения чертежей на доске: линейку, чертежный треугольник, циркуль. Аналогичные инструменты должны быть и у каждого ученика для проведения систематической работы по формированию умений и навыков применения чертежных и измерительных инструментов. 7. Выбирая методику обучения младших школьников геометрическому материалу, учитель должен иметь общее представление о системе задач, представленных в учебниках и максимально эффективно использовать ее возможности. 8. Там, где возможно, изучение геометрического материала на уроке должно связываться с изучением арифметического и алгебраического материала, хотя формирование геометрических представлений и понятий представляет самостоятельную и довольно специфичную линию работы. 17 Заключение Учитывая такие задачи, которые изложенные в программе, при изучении геометрического материала следует широко использовать широкий спектр 18 наглядных пособий. Это демонстрационные, классные модели геометрических фигур из цветного картона или плотной бумаги, плакаты с изображением фигур, схем, рисунков на доске, пленок. Кроме того, требуются наглядные пособия – такие раздаточные материалы, как бумажные полоски, палочки различной длины, фигуры и части фигур, вырезанные из бумаги. При изучении отдельных тел полезно делать визуальные домашние пособия с детьми. При раскрытии геометрического материала учащимся 1-3 классов следует иметь в виду, что дети накапливают первые представления о форме, размерах и взаимном расположении предметов в пространстве даже в дошкольный период. В процессе игр и практических упражнений они манипулируют объектами, исследуют, чувствуют их, рисуют, лепят, конструируют и постепенно отличают их форму от других свойств. К 6 - 7 годам многие дошкольники правильно показывают объекты в форме шара, куба, круга, квадрата, треугольника, прямоугольника. Тем не менее, уровень обобщения этих понятий все еще низок: дети могут не распознать знакомую форму предмета, если сам предмет не встречался в их опыте. Ребенка смущают необычные пропорции сторон или углов фигур: другое, чем всегда, расположение на плоскости и даже очень большие или очень маленькие размеры фигур. Дети часто смешивают или заменяют названия рисунков с названиями предметов. 19 Список литературы 1. Истомина Н.Б. Методика обучения математики в начальных классах. М.: Академия, 2001г. 2. Колягин Ю.М., Тарасова О.В. Наглядная геометрия и ее роль, и место, история возникновения. - Журнал «Начальная школа» №4, 2000г. 3. Андрущенко, А. В. Развитие пространственного воображения на уроках математики — М. : Владос, 2003. – 136 с. 4. 3.Жильцова, Т.В. Обухова, Л.А. Поурочные разработки по наглядной геометрии. Пособие для учителей начальных классов. – М: ВАКО, 2004. 5. Краснова, О.В. Начальная школа. Первые шаги в геометрии (Текст) — 2002. № 4 6. Моро, М. И. Бантова, М.А., Бельтюкова, Г. В. И др. Математика в 2-х частях. Учебник для 1-3 класса. М.: Просвещение, 2008. 7. Истомина Н.Б. Математика: учебник для 1-4 класса общеобразовательных организаций. В двух частях. Часть 1 / Н.Б. Истомина 15- е изд. - Смоленск: «Ассоциация XXI век, 2015. 112 с. 8. Истомина Н.Б. Математика: учебник для 1-4 класса общеобразовательных организаций. В двух частях. Часть 2 / Н.Б. Истомина 15- е изд. - Смоленск: «Ассоциация XXI век, 2015. 112 с. 9. Математика. 2-4 класс. Учеб. для общеобразоват. организаций. В 2 ч. Ч. 1 / (М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.). - 6-е изд. - М.: Просвещение, 2015. 96 с. 10. Математика. 2-4 класс. Учеб. для общеобразоват. организаций. В 2 ч. Ч. 2 / (М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.). - 6-е изд. - М.: Просвещение, 2015. 112 с. 11. Математика. Рабочие программы. Предметная линия М34 учебников системы «Школа России». 1-4 классы: учеб. пособие для 20 общеобразоват. организаций / [М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова и др.]. - 2-е изд. перераб. - М: Просвещение, 2016. 124 с. 21
