07.02.20024 Занятие №41 Понятие функции, ее свойства, способы задания
реклама
Группа 1ЗУ-23/11 Дата 07.02.2024 Учебная дисциплина: ОП.01 Математические методы решения прикладных профессиональных задач. Занятие № 41 Тип занятия: лекция. Тема: Понятие функции, ее свойства, способы задания. Цели и задачи: - изучить определение функции, способы её задания и свойства; - воспитывать устойчивый интерес к математике; математическую культуру; развивать самоорганизацию обучающихся. Задание для студентов: 1. Оформить конспект лекции (основные понятия и определения, решение задач). 2. Выполнить домашнее задание с.4 3. Выполненное задание выслать (графический файл (фото) на проверку: E-mail: [email protected] Определение Функция — соответствие между элементами двух множеств — правило, по которому каждому элементу первого соответствует один и только один элемент второго множества. Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так, значение переменной x однозначно определяет значение выражения x2, также значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца. «Житейский» пример функции: каждому человеку можно однозначно поставить в соответствие его ОП.01 Математические методы решения прикладных профессиональных задач группа 1ЗУ-23/11 2 биологического отца. Часто под термином «функция» понимается числовая функция, то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представлять в виде графиков. История Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к Лейбницу придал этому термину смысл, более близкий к современному. Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год), — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но только для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год). К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Сначала понятие функции было распространено на векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение. Способы задания функции Аналитический способ Функцию можно задать с помощью аналитического выражения (например, формулой). В этом случае её обозначают как соответствие в форме равенства. Примеры: Функция, заданная одной формулой: Кусочно-заданная функция: Неявно заданная функция: ОП.01 Математические методы решения прикладных профессиональных задач группа 1ЗУ-23/11 3 Табличный способ Табличный способ — это способ задания функции с помощью таблицы со значениями. Графический способ Функцию можно также задать с помощью графика. Графический способ — это способ задания функции с помощью графика. В этом случае аргумент является абсциссой точки, а значение функции, соответствующее данному аргументу, ординатой. Элементарные функции Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций: • • • степенная функция с любым действительным показателем; показательная и логарифмическая функции; тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции. Свойства элементарных функций ОП.01 Математические методы решения прикладных профессиональных задач группа 1ЗУ-23/11 4 Свойства основных элементарных функций: область определения функции; • поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции); • четность и нечетность; • область значений функции; • промежутки возрастания и убывания, точки экстремума; • промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба); • наклонные и горизонтальные асимптоты; • особые точки функций; • особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций). • Домашнее задание.
