Математика, реферат

Автономная некоммерческая образовательная организация высшего
образования « Сибирский институт бизнеса и информационных технологий»
Зачётная работа
(2 семестр)
Дисциплина: Математика
Реферат
Тема: Исследование функции средствами дифференциального исчисления
Выполнила:
Вехтер Н. С.
Менеджмент организации,
гр. МС-1120(2)
Проверил(а):
Омск 2021 г.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 3
ГЛАВА
1.
ОСНОВНЫЕ
ТЕОРЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ............................................................................................................ 5
1.1 Локальные экстремумы функции ................................................................. 5
1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля,
Коши, Лагранжа ....................................................................................................... 6
ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ............................................................ 12
2.1 Достаточные условия экстремума функции.................................................. 12
2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба ...... 17
2.3 Асимптоты графика функции ......................................................................... 20
2.4 Общая схема построения графика функции ................................................. 23
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ......................................................................................................... 28
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ......................................................................................... 29
ВВЕДЕНИЕ
В данной исследовательской работе изучается раздел математики,
называемый
дифференциальным
исчислением.
В
нем
продолжается
исследование свойств функций, заданных на интервалах. Если ранее такое
исследование было доведено лишь до выяснения свойств непрерывных
функций, то дифференциальное исчисление продвигает его намного дальше.
Свойство непрерывности говорит о том, что функция мало отклоняется от
своего значения в точке 0 x при малом отклонении x аргумента от 0 x .
Поэтому в окрестности точки 0 x непрерывную функцию можно приближенно
заменить константой (ее значением в точке 0 x ), при этом абсолютная
погрешность приближения стремится к нулю при
0 .x  Однако такая
аппроксимация никак не отражает того, как меняется функция при переходе
независимой переменной через точку 0 x , какова скорость этого изменения,
возрастает или убывает она при этом. Дифференциальное исчисление отвечает
в первую очередь на эти вопросы. С помощью вводимых понятий производной
и дифференциала функции в точке 0 x удается построить более точную
аппроксимацию функции в окрестности точки 0 x не константой, а линейной
функцией. Такая аппроксимация отражает не только величину, но и характер
изменения функции в точке 0 x . Значение такого подхода к локальному
исследованию функции связано с тем, что он позволил ввести строгое понятие
скорости изменения функции в точке. На языке физики это, например,
возможность дать строгое определение скорости неравномерного движения; на
языке геометрии – возможность определить касательную к произвольной
линии. С такого рода приложениями было связано бурное развитие основ
дифференциального исчисления во второй половине XVII века – в эпоху
расцвета механики и астрономии. Дифференциальное исчисление было создано
независимо друг от друга Исааком Ньютоном (1643–1727) и Готфридом
Вильгельмом Лейбницем (1646–1716). Кропотливая работа их учеников
придала дифференциальному исчислению тот совершенный вид, который
3
присущ сейчас. Этапными в этом направлении были работы Огюстена Коши
(1789–1857) и Карла Вейершрассе (1815–1897).
Целью
данной
работы
является
выявление
особенностей
дифференциального исчисления.
Задачи работы:
1.
Рассмотреть основные теоремы дифференциального исчисления;
2.
Изучить локальные экстремумы функции;
3.
Исследовать функции;
4
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
1.1 Локальные экстремумы функции
Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х0– внутренняя точка
множества Х.
Обозначим через U(х0) окрестность точки х0. В точке х0 функция f(х) имеет
локальный максимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что
для всех х из этой окрестности выполнено условие f(х) £f(х0).
Аналогично: функция f(х) имеет в точке х0 локальный минимум, если
существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой
окрестности выполнено условие f(х) ³f(х0).
Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных
экстремумов, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.
Пусть функция f(х) определена на отрезке [а, b] и имеет локальный экстремум
на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум называется
локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае
соответствующая окрестность является правой для «а» и левой для «b» полу
окрестностью.
Проиллюстрируем данные выше определения:
На рисунке точки х1, х3 – точки локального минимума, точки х2, х4 – точки
локального максимума, х = а – краевого максимума, х = b – краевого минимума.
5
Заметим, что наряду с локальными минимумом и максимумом определяют так
называемые глобальные минимумы и максимумы функции f(х) на отрезке [a, b].
На рисунке точка х = а – точка глобального максимума (в этой точке функция
f(х) принимает наибольшее значение на отрезке [a, b]), точка х = х3 – точка
соответственно глобального минимума.
1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши,
Лагранжа
Рассмотрим некоторые теоремы, которые позволят в дальнейшем проводить
исследование поведения функций. Они носят названия основных теорем
математического
анализа
или
основных
теорем
дифференциального
исчисления, поскольку указывают на взаимосвязь производной функции в
точке и ее поведения в этой точке. Рассмотрим теорему Ферма.
Пьер Ферма (1601–1665) – французский математик. По профессии – юрист.
Математикой занимался в свободное время. Ферма – один из создателей теории
чисел. С его именем связаны две теоремы: великая теорема Ферма (для любого
натурального числа n > 2 уравнение хn+ yn= zn не имеет решений в целых
положительных числах х, у, z) и малая теорема Ферма (если р – простое число и
а – целое число, не делящееся на р, то ар-1 – 1 делится на р).
Теорема Ферма. Пусть функция f(х) определена на интервале (а, b) и в
некоторой точке х0 Î (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х0
существует конечная производная f'(x0), то f'(x0) = 0.
Доказательство.
Пусть, для определенности, в точке х0 функция имеет локальный минимум, то
есть f(х) ³f(х0), œх ÎU(х0). Тогда в силу дифференцируемости
f(х) в точке х0 получим:
при х > х0:
6
при х < х0:
Следовательно, эти неравенства в силу дифференцируемости имеют место
одновременно лишь когда
Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ферма: если х0 Î (а, b) является точкой
минимума или максимума функции f(х)и в этой точке существует производная
функции, то касательная, проведенная к графику функции в точке (х0, f(х0)),
параллельна оси Ох:
7
Заметим,
что
оба
условия
теоремы
Ферма
–
интервал
(а,
b)
и
дифференцируемость функции в точке локального экстремума – обязательны.
Пример 1. у = çх÷, х Î (–1; 1).
В точке х0 = 0 функция имеет минимум, но в этой точке производная не
существует. Следовательно, теорема Ферма для данной функции неверна (не
выполняется условие дифференцируемости функции в точке х0).
Пример 2. у = х3, х Î [–1; 1].
В точке х0 = 1 функция имеет краевой максимум.
Теорема Ферма не выполняется, так как точка х0 = 1 Ï (–1; 1).
Мишель Ролль (1652–1719) – французский математик, член Парижской
академии
наук.
Разработал
метод
отделения
действительных
корней
алгебраических уравнений.
8
Теорема Ролля.
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b],
дифференцируема на (а, b), f(а) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка x, а
< x < b, такая, что f'(x) = 0.
Доказательство:
1) если f(x) = const на [a, b], то f'(х) = 0, œх Î (a, b);
2) если f(x) ¹const на [a, b], то непрерывная на [a, b] функция достигает
наибольшего и наименьшего значений в некоторых точках отрезка
[a, b]. Следовательно, maxf(x)или minf(x) обязательно достигается во
внутренней точке x отрезка [a, b], а по теореме Ферма имеем, что f'(x) = 0.
Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий теоремы
внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка x, такая, что
касательная к графику f(x) в точке (x, f(x)) ïïOx (см. рисунок).
Заметим, что все условия теоремы существенны.
Пример 3. f(x) = çх÷, х Î [-1; 1]. f(-1) = f(1) = 1.
В точке х = 0 нарушено условие дифференцируемости. Следовательно, теорема
Ролля не применяется – ни в одной точке отрезка [–1; 1] производная в нуль не
обращается.
Пример 4.
Для данной функции f(0) = f(1) = 0, но ни в одной точке интервала
9
(0; 1) производная не равна 0, так как теорема Ролля не выполняется – функция
не является непрерывной на [0; 1].
Огюстен Коши (1789–1857) – французский математик, член Парижской
академии наук, почетный член Петербургской и многих других академий.
Труды Коши относятся к математическому анализу, дифференциальным
уравнениям, алгебре, геометрии и другим математическим наукам.
Теорема Коши. Пусть функции f(х) и g(х) непрерывны на отрезке
[a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(х) ¹ 0, œх Î (a, b).
Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что
. (1)
Доказательство.
Рассмотрим
вспомогательную
Функция
функцию
F(х)
непрерывна
на
[a,
b],
дифференцируема на (a, b), причем F(а) = F(b) = 0. Следовательно, по теореме
Ролля на (a, b) существует точка x, такая, что F'(x) = 0:
Следовательно:
.
Теорема доказана.
10
Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) – французский математик и механик,
почетный член Парижской и Петербургской академий. Ему принадлежат
выдающиеся исследования по математическому анализу, по различным
вопросам дифференциальных уравнений, по алгебре и теории чисел, механике,
астрономии. Лагранж впервые ввел в рассмотрение тройные интегралы,
предложил обозначения для производной (y', f'(x)).
Теорема Лагранжа. Пусть функция f(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема
на интервале (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что
(2)
Доказательство.
Из формулы (1) при g(x) = xполучаем формулу (2).
Теорема доказана.
Равенство (2) называют формулой конечных приращений или формулой
Лагранжа о среднем.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа.
При выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется
хотя бы одна точка x, такая, что касательная к графику функции f(x) в точке (x,
f(x)) параллельна секущей, проходящей через точки А (а, f(а)) и В (b, f(b)) (см.
рисунок).
Рассмотрим следствия из теоремы Лагранжа:
1. (условие постоянства функции на отрезке). Пусть функция f(x) непрерывна
на [a, b], дифференцируема на (a, b). Если f'(x) = 0, œх Î (a, b), то функция f(x)
постоянна на [a, b].
11
2. Пусть функции f(x) и g(х) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы
на интервале (a, b), f'(x) = g'(х), œх Î (a, b). Тогда f(x) = g(х) + С, где С = const.
3. (условие монотонности функции). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке
[a, b], дифференцируемая на интервале (a, b). Тогда, если f'(x) > 0,œх Î (a, b), то
f(x) строго монотонно возрастает на (a, b). Если же f'(x) < 0,
œх Î (a, b), то f(x) строго монотонно убывает на (a, b).
ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
2.1 Достаточные условия экстремума функции
В главе 1 мы рассмотрели основные теоремы математического анализа,
которые широко используются при исследовании функции, построении ее
графика.
По теореме Ферма: из дифференцируемости функции f(x) в точке локального
экстремума х0 следует, что f'(x0) = 0. Данное условие является необходимым
условием существования в точке локального экстремума, то есть если в точке
х0 – экстремум функции f(x) и в этой точке существует производная, то f'(x0) =
0. Точки х0, в которых f'(x0) = 0, называются стационарными точками функции.
Заметим, что равенство нулю производной
12
в точке не является достаточным для существования локального экстремума
в этой точке.
Пример 1. у = х3, у' = 3х2, у'(0) = 0, но
в точке х0 = 0 нет экстремума.
Точками, подозрительными на экстремум функции f(x) на интервале (a, b),
являются точки, в которых производная существует и равна 0 либо она не
существует или равна бесконечности. На рисунках функции имеют минимум в
точке х0 = 0:
f'(0) = 0 f'(0) $f'(0) = ¥
Рассмотрим достаточные условия существования в точке локального
экстремума, которые позволят ответить на вопрос: «Есть ли в точке экстремум
и какой именно – минимум или максимум?».
Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть непрерывная
функция f(x) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности U(x0)
точки х0 (проколотая окрестность означает, что сама точка х0 выбрасывается из
окрестности) и непрерывна в точке х0. Тогда:
13
1) если
(1)
то в точке х0 – локальный максимум;
2) если
(2)
то в точке х0 – локальный минимум.
Доказательство.
Из неравенств (1) и следствия 3 теоремы Лагранжа (о монотонности
функции) следует, что при х < х0 функция не убывает, а при х > х0 функция не
возрастает, то есть
(3)
Следовательно, из (3) получаем, что в точке х0 функция имеет локальный
максимум.
Аналогично можно рассмотреть неравенства (2) для локального минимума:
f (x) f (x)
f'(х) ³ 0 f'(х) £ 0 f'(х) £ 0 f'(х) ³ 0
Теорема доказана.
14
Пример 2. Исследовать на монотонность и локальный экстремум функцию
с помощью производной первого порядка.
Решение. Найдем стационарные точки функции:
Þ х2 –1 = 0 Þ х1 = –1, х2 = 1.
Заметим, что данная функция не определена в точке х = 0. Следовательно:
х (–¥; –1)–1(–1; 0)0(0; 1)1(1; +¥)
у'+
0 –
––
0+
у
–2
–
2
maxmin
То есть функция
возрастает на интервалах (–¥; –1) и (1; +¥), убывает
на интервалах (–1; 0), (0; 1), имеет локальный максимум в точке
х1 = –1, равный уmax (–1) = –2; имеет локальный минимум в точке х2 = 1,
уmin (1) = 2.
Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция f(x)
дважды непрерывно-дифференцируема. Если х0 – стационарная точка
(f'(х0) = 0), в которой f''(х0) > 0, то в точке х0 функция имеет локальный
минимум. Если же f''(х0) < 0, то в точке х0 функция имеет локальный
максимум.
Доказательство. Пусть для определенности f''(х0) > 0. Тогда
15
Следовательно:
при х< х0, f'(х) < 0,
при х> х0, f'(х) > 0.
Поэтому по теореме 1 в точке х0 функция имеет локальный минимум.
Теорема доказана.
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию
с помощью второй
производной.
Решение. В примере 2 для данной функции мы нашли первую производную
и стационарные точки х1 = –1, х2 = 1.
Найдем вторую производную данной функции:
Найдем значения второй производной в стационарных точках.
Þ в точке х1 = –1 функция имеет локальный максимум;
Þ в точке х2 = 1 функция имеет локальный минимум (по
теореме 2).
Заметим, что теорема 1 более универсальна. Теорема 2 позволяет
проанализировать на экстремум лишь точки, в которых первая производная
равна нулю, в то время как теорема 1 рассматривает три случая: равенство
производной нулю, производная не существует, равна бесконечности в
подозрительных на экстремум точках.
16
2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба
Пусть функция f(х) задана на интервале (a, b) и х1, х2 – любые различные
точки этого интервала. Через точки А (х1, f(х1)) и В (х2, f(х2)) графика
функции f(х) проведем прямую, отрезок АВ которой называется хордой.
Уравнение этой прямой запишем в виде у = у(х).
Функция f(х) называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если для любых
точек х1, х2 Î (a, b), а £ х1 < х2 £b, хорда АВ лежит не ниже графика этой
функции, т. е. если f(х) £ у (х), œ х Î[х1, х2] Ì (a, b):
Заметим, что выпуклую вниз функцию иногда называют вогнутой функцией.
Аналогично определяется выпуклость функции вверх.
Функция f(х) называется выпуклой вверх на интервале (a, b), если для любых
точек х1, х2 Î (a, b), а £ х1 < х2 £b, хорда АВ лежит не выше графика этой
функции, т. е. если f(х) ³ у (х), œ х Î[х1, х2] Ì (a, b):
17
Теорема 3 (достаточное условие выпуклости). Если f(х) – дважды
непрерывно дифференцируема на интервале (a, b) и
1) f''(х) > 0, œ х Î(a, b), то на (a, b) функция f(х) выпукла вниз;
2) f''(х) < 0, œ х Î(a, b), то на (a, b) функция f(х) выпукла вверх.
Точка х0 называется точкой перегиба функцииf(х), если $d – окрест-ность
точки х0, что для всех х Î (х0 – d, х0) график функции находится с одной
стороны касательной, а для всех х Î (х0 , х0 + d) – с другой стороны касательной,проведенной к графику функции f(х) в точке х0 , то есть точка х0 –
точка перегиба функции f(х), если при переходе через точку х0 функция f(х)
меняет характер выпуклости:
х0 – d х0 х0 + d
18
Теорема 4 (необходимое условие существования точки перегиба). Если
функция f(х) имеет непрерывную в точке х0 производную f'' и х0 – точка
перегиба, то f'' (х0) = 0.
Доказательство.
Если бы f'' (х0) < 0 или f'' (х0) > 0, то по теореме 3 в точке х0 функция f(х)
была бы выпукла вверх или вниз. Следовательно, f''(х0) = 0.
Теорема доказана.
Теорема 5 (достаточное условие перегиба). Если функция f(х) дважды
непрерывно дифференцируема в окрестности точки х0 и при переходе через
точку х0 производная f''(х) меняет знак, то точка х0 является точкой перегиба
функции f(х).
Пример 4. Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции у =
х3.
Решение. у' = 3х2, у'' = 6х = 0 Þ х0 = 0 – точка, подозрительная на перегиб.
В точке х0 = 0 функция у = х3 имеет перегиб:
х
(–¥; 0)
0(0; +¥)
у''
–
0+
у
выпукла вверх0выпукла вниз
точка перегиба
19
Пример 5. Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции
.
Решение. В примере 3 мы уже находили вторую производную данной
функции
.
Так как
то точек подозрительных на перегиб нет. Рассмотрим
промежутки выпуклости:
х
(–¥; 0)
0(0; +¥)
у''
–
–+
у
выпукла вверх–выпукла вниз
функция не определена
2.3 Асимптоты графика функции
Асимптотой
будем
называть
прямую,
к
которой
график
функции
неограниченно близко приближается. Различают вертикальные и наклонные
асимптоты.
Прямая х = х0 называется вертикальной асимптотой графика функции f(х),
если хотя бы один из пределов f(х0 – 0) или f(х0 + 0) равен бесконечности.
Пример 6. Найти вертикальные асимптоты функций:
а)
б)
в)
Решение. Вертикальными асимптотами функций будут прямые х = х0, где х0
– точки, в которых функция не определена.
20
а) х = 3 – вертикальная асимптота функции
. Действительно,
;
б) х = 2, х = –4 – вертикальные асимптоты функции
.
Действительно,
,
;
в) х = 0 – вертикальная асимптота функции
Действительно,
.
Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика непрерывной
функции f(х) при х ® +¥ или х ® –¥, если f(х) = kx + b + α(х),
, то
есть если наклонная асимптота для графика функции f(х) существует, то
разность ординат функции f(х) и прямой у = kx + b в точке х стремится к 0 при
х ® +¥ или при х ® –¥.
Теорема 6. Для того чтобы прямая у = kx + b являлась наклонной асимптотой
графика функции f(х) при х ® +¥ или х ® –¥, необходимо и достаточно
существование конечных пределов:
(4)
21
Следовательно, если хотя бы один из данных пределов не существует или
равен бесконечности, то функция не имеет наклонных асимптот.
Пример 7. Найти наклонные асимптоты функции
Решение. Найдем пределы (4):
Следовательно, k = 1.
Следовательно, b = 0.
Таким образом, функция
имеет наклонную асимптоту
у = kx + b = 1 · х + 0 = х.
Ответ: у = х – наклонная асимптота.
Пример 8. Найти асимптоты функции
.
Решение.
а) функция неопределенна в точках х1 = –1, х2 = 1. Следовательно, прямые
х1 = –1, х2 = 1 – вертикальные асимптоты данной функции.
Действительно,
.
;
22
б) у = kx + b.
Следовательно, у = 2х + 1 – наклонная асимптота данной функции.
Ответ: х1 = –1, х2 = 1 – вертикальные, у = 2х + 1 – наклонная асимптоты.
2.4 Общая схема построения графика функции
1. Находим область определения функции.
2. Исследуем функцию на периодичность, четность или нечетность.
3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум.
4. Находим промежутки выпуклости и точки перегиба.
5. Находим асимптоты графика функции.
6. Находим точки пересечения графика функции с осями координат.
7. Строим график.
Прежде чем перейти к примерам, напомним определения четности и
нечетности функции.
Функция у = f(х) называется четной, если для любого значения х, взятого из
области определения функции, значение (–х) также принадлежит области
определения и выполняется равенство f(х) = f(–х). График четной функции
симметричен относительно оси ординат.
Функция у = f(х) называется нечетной для любого значения х, взятого из
области определения функции, значение (–х) также принадлежит области
23
определения, и выполняется равенство f(–х) = –f(х). График нечетной функции
симметричен относительно начала координат.
Пример 9. Построить график
.
Решение. Мы используем данные, полученные для этой функции в других
примерах.
1. D(у) = (–¥; 0) È (0; +¥).
2.
Следовательно,
функция
нечетная.
Ее
график
будет
симметричен
относительно начала координат.
3. (см. пример 2). Исследуем функцию на монотонность и экстремум:
х (–¥; –1)–1(–1; 0)0(0; 1)1(1; +¥)
у'+
0 –
––
0+
у
–2
–
2
maxmin
4. (см. пример 5). Исследуем функцию на выпуклость и найдем точки
перегиба.
х
(–¥; 0)
0(0; +¥)
у''
–
–+
у
выпукла вверх–выпукла вниз
функция не определена
Несмотря на то, что функция поменяла характер выпуклости при переходе
через точку х = 0, но в ней нет перегиба, так как в этой точке функция не
определена.
5. (см. примеры 6 и 7). Найдем асимптоты функции:
24
а) х = 0 – вертикальная асимптота;
б) у = х – наклонная асимптота.
6. Точек пересечения с осями координат у данной функции нет, так как
, при любых х Îú, а х = 0 ÏD(у).
7. По полученным данным строим график функции:
Пример 10. Построить график функции
.
Решение.
1. D(у) = (–¥; –1) È (–1; 1) È (1; +¥).
2.
– функция нечетная. Следовательно,
график функции будет симметричен относительно начала координат.
3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум:
25
3х2 – х4 = 0, х2 · (3 – х2) = 0, х1 = 0, х2 =
х (–¥;
у'–
у
)
0
2,6
(
+
; 0)–1(–1; 0)0(0; 1)1(1;
– +
0+
–+
–
0
–
, х3 =
)
(
0 –
–2,6
.
; +¥)
4. Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба:
х = 0 – точка, подозрительная на перегиб.
х (–¥; –1) –1(–1; 0) 0(0; 1)
1(0; +¥)
у''+
– –
0+
––
выпу
выпу
выпу
у кла
– кла
0выпукла вниз–кла
вниз
вверх
вниз
перегиб
5. Найдем асимптоты функции:
а) х = –1, х = 1 – вертикальные асимптоты.
Действительно:
26
б) у = kx + b.
,
Þ у = –1х + 0 = – х – наклонная асимптота.
6. Найдем точки пересечения с осями координат:
х = 0 Þ у = 0 Þ (0; 0) – точка пересечения с осями координат.
7. Строим график:
27
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Исходя из представленной работы, можно сделать вывод, что
поставленные цели и задачи исследования решены: рассмотрены основные
теоремы дифференциального исчисления; изучены локальные экстремумы
функции, исследованы функции. Особенности дифференциального исчисления
выявлены.
28
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н.
Берман. – М. : Наука, 1985.
2. Бугров, Я. С. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное
исчисления. Т. 1 / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М. : Дрофа, 2004.
3. Введение в анализ / под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. – М. : Изд.
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.
4. Веретенников, В.Н. Высшая математика. Аналитическая геометрия
:учебнометодическое пособие / В.Н. Веретенников. - Москва ; Берлин
:Директ-Медиа, 2018. - 193 с. : ил. - Библиогр.: с. 189. - ISBN 978-5-44759589-0 ;
5. Владимирский, Б. М. Математика. Общий курс / Б. М. Владимирский, А.
Б. Горстко, Я. М. Ерусалимский. – СПб. : Лань, 2002.
6. Гусак, А. А. Справочное пособие к решению задач : Математический
анализ и дифференциальные уравнения / А. А. Гусак. – Минск :
ТетраСистемс, 1998.
7. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1 / П. Е.
Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М. : Высш. шк., 1980.
8. Демин С.Е.,Демина Е.Л. Дифференциальное исчисление функции одной
переменной / Нижний Тагил, 2014 – стр. 6
9. Демина, Е. Л. Векторная функция действительного аргумента и ее
механическое приложение / Е. Л. Демина, С. Е. Демин. – Екатеринбург :
РИО УГТУ, 1995.
10.Кудрявцев, В. А. Краткий курс высшей математики / В. А. Кудрявцев, Б.
П. Демидович. – М. : АСТ, 2005.
11.Краткий курс высшей математики: Учебник / Под общ.ред. д.э.н., проф.
К.В. Балдина. – 2-е изд. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков
и Ко », 2017.
29
12.Копылова Н. Т. , Поддубная М. Л. , Свердлова Е. Г. Математический
анализ: учебно-методическое пособие / Н.Т. Копылова, М.Л. Поддубная,
Е.Г. Свердлова. – 2-е изд. стер. – М.; Берлин: Директ-Медиа, 2017
13.Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике (типовые
расчеты) / Л. А. Кузнецов. – М. : Высш. шк., 1994.
14.Кудрявцев, В. А. Краткий курс высшей математики / В. А. Кудрявцев, Б.
П. Демидович. – М. : АСТ, 2005.
15.Кутузов
А.
С.
Математический
анализ:
дифференциальное
и
интегральное исчисление функций одной переменной: учебное пособие /
А.С. Кутузов. – 2-е изд. стер. – М., Берлин: Директ-Медиа, 2017.
16.Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для
втузов. Т. 1 / Н. С. Пискунов. – М. : Наука, 1985.
17.Руководство к решению задач по высшей математике. Ч. 2 / под общ. ред.
Е. И. Гурского. – Минск : Высш. шк., 1990.
18.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Ч. 2 / Минск :
Вышейш. шк., 1990.под ред. А. П. Рябушко.
19.Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1 / под ред. Е. А. Ефимова. –
М. : Наука, 1986.
20.Туганбаев А. А. Математический анализ: производные и графики
функций: учебное пособие / А.А. Туганбаев. – 3-е изд., стереотип. – М.:
Флинта, 2017
30