Функция-нескольких-переменных.-1pptx

Функция нескольких
переменных
Е.В. Милованович, Л.В. Розовский,
Т.Ю. Ивановская, А.М. Камоцкая,
И.Л. Степанова, Н.И. Травина
Точечные множества в n-мерном
пространстве
• N-мерное координатное пространство –это
множество всевозможных упорядоченных
совокупностей n вещественных чисел (х1, х2, …хn).
Каждую такую совокупность называют точкой nмерного пространства, а сами числа – ее
координатами.
• Например, плоскость – двумерное координатное
пространство, в котором любая совокупность двух
вещественных чисел определяет точку (координаты
точки на плоскости можно обозначить (х1, х2), а не
только (х, у)
Прямая – одномерное координатное пространство.
Координаты точки в трехмерном пространстве можно
обозначить (х1, х2, х3) или (х, у, z). Для координат
можно использовать различные обозначения, но при
этом число координат должно соответствовать
размерности пространства (т.е. в двумерном
пространстве – две координаты, на прямой – одна
координата, в трехмерном пространстве – три
координаты, в десятимерном – десять координат и т.д.)
Отметим, что если пространства размерности до трех
включительно можно зрительно представить себе и
даже изобразить, то пространства большей размерности
представляют собой научную абстракцию.
Декартова система координат в трёхмерном
пространстве
Замкнутый шар на плоскости представляет собой
круг. Сфера на плоскости представляет собой
окружность. Замкнутый шар на прямой – это
отрезок (центр – его середина, радиус – половина
длины). Сфера – концы этого отрезка.
В трехмерном пространстве шар и сферу легко
представить себе визуально. В пространствах
большей размерности они представляют собой
научную абстракцию.
Следует отметить, что если к открытому шару
присоединить сферу того же радиуса с тем же
центром, то будет получен замкнутый шар.
Например, круг на плоскости – это открытый круг
вместе с окружностью.
-окрестность точки X(0)- это открытый шар радиуса  > 0 с
центром в точке X(0) . Например, на прямой всякий интервал с
серединой в точке х0 длиной 2 называется -окрестностью
точки х0. На плоскости всякий oткрытый круг радиуса  с
центром в точке М0(х0,y0)- это -окрестность точки М0.
Граничная точка множества - это точка, в любой
-окрестности которой содержатся как точки, принадлежащие
данному множеству, так и не принадлежащие ему. Например, для
шара любая точка соответствующей сферы (с тем же центром и
радиусом) является граничной. Граница множества-это
множество всех его граничных точек. Если множество содержит
все свои граничные точки, оно называется замкнутым. В
противном случае множество называется открытым.
В частности, в этом заключается отличие замкнутого шара от
открытого: открытый шар не содержит свои граничные точки.
Открытый круг
Замкнутый круг
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Если каждой точке X = (х1, х2, …хn) из множества {X}
точек n–мерного пространства ставится в соответствие
одно-единственное, вполне определенное значение
переменной величины z, то говорят, что задана
функция n переменныx z = f(х1, х2, …хn) = f (X).
При этом переменные х1, х2, …хn называют
независимыми переменными или аргументами
функции, z - зависимой переменной, а символ f
обозначает закон соответствия. Множество {X}
называют областью определения функции (это некое
подмножество n-мерного пространства).
Функция вида z = а1х1 + а2х2 + … + аnхn + b, где а1,
а2,…, аn, b — постоянные числа, называется
линейной.Ее можно рассматривать как сумму n
линейных функций от переменных х1, х2, …хn. Все
остальные функции называют нелинейными.
1
Например, функция 𝑧 =
– нелинейная, а
𝑥1 𝑥2
функция z = х1 + 7х2 - 5 – линейная.
Задачи, связанные с исследованием линейных
функций n переменных, называют задачами
линейного программирования.
Любой функции z = f (X) = f(х1, х2, …хn) можно
поставить в соответствие n функций одной
переменной, если зафиксировать значения всех
переменных, кроме одной.
Поверхностью уровня функции n переменных
называется множество точек в n–мерном
пространстве, таких, что во всех этих точках
значение функции одно и то же и равно С.
Само число С в этом случае называется
уровнем.
В общем виде уравнение поверхности уровня
имеет вид 𝑓 𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 … . . 𝑥𝑛 = 𝐶
Обычно для одной и той же функции можно
построить бесконечно много поверхностей
уровня (соответствующих различным уровням).
Для функции двух переменных поверхность
уровня принимает вид линии уровня
Предел и непрерывность функции нескольких
переменных
ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Перейдём к рассмотрению простейшего случая функций
нескольких переменных- функции двух переменных.
Пусть заданы два непустых множества D и E. Функцией двух
переменных называется правило, по которому каждой паре
значений (x,y) из множества D соответствует вполне
определенное единственное значение переменной z из
множества E, при этом x и y называются независимыми
переменными или аргументами, а переменная z называется
функцией х и у. Область D называется областью определения
функции, множество E={z=f(x,y),(x,y)∈ D}-множеством значений
функции. Обозначение функции 2-х переменных: z=f(x,y), или
z=F(x,y), или z=z(x,y). Символ f обозначает закон соответствия
Частным значением функции z=f(x,y) называют число
соответствующее какой-либо определенной паре значений
аргументов.
Графики функций двух переменных
Пример 1
Линии уровня
Линией уровня функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
называется множество всех точек плоскости
XOY , в которых функция z принимает
постоянное значение, т. е. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐶,
где C – постоянная.
Число C в этом случае называется уровнем.
Функция z = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 и её линия уровня при
С=1
Предел функции двух переменных
Частные производные функции двух переменных
Полный дифференциал функции двух
переменных
Применение дифференциала к приближенным
вычислениям
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ
ПОРЯДКОВ
В общем случае, дифференциал любого порядка
функции двух переменных можно условно записать с
помощью символической формулы:
Эту формулу следует понимать как некий «оператор»,
применение которого к функции z=f(x,y) предполагает
выполнение частного дифференцирования этой функции,
причём порядок этих частных производных определяется
степенью соответствующего слагаемого в правой части,
которая раскрывается как бином Ньютона
Производная по направлению.
Градиент
Рассмотрим функцию двух переменных z=f(x, y),
определённую на некоторой плоской области D. Под
направлением мы будем понимать любой вектор 𝑙Ԧ на
плоскости XOY.
Пусть М0(х0;у0)- некоторая точка, лежащая в области D.
Рассмотрим вектор 𝑙Ԧ = 𝑀0 𝑀 , где M- точка с
координатами (х;у), 𝑥 = 𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦 = 𝑦0 + ∆𝑦 (см. рис)
Обозначим за ∆𝑙 величину отрезка М0М, а ∆z- разность
значений исходной функции в точке М и М0
соответственно: ∆𝑧=f(M)-f(M0)
Производной функции z=f(x,y) в направлении вектора 𝑙Ԧ
называется предел
𝜕𝑧
𝜕𝑙
𝑓 𝑀 −𝑓(𝑀0 )
= lim
∆𝑙
∆𝑙→0
Производная по направлению показывает насколько
сильно меняется функция в направлении, определяемым
данным вектором. В частном случае, если вектор 𝑙Ԧ
сонаправлен какой-либо координатной оси, то
производная по направлению будет совпадать с частной
производной.
Экстремумы функции двух переменных
Решите задачу
Формула Тейлора для функции нескольких
переменных
Уравнение касательной плоскости и нормали к
поверхности
Односторонние и двусторонние поверхности.
Верхняя и нижняя стороны поверхности.