5. расчёты на прочность при изгибе

MHE0061 - MASINATEHNIKA – 3.5AP/ECTS 5 - 2-0-2- E, S
TTÜ MEHHATROONIKAINSTITUUT
5. РАСЧЁТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ
На основе задач из раздела статики (раздел 2, определение реакций опор)
составить эпюры внутренних сил балки (эпюры поперечных сил и
изгибающих моментов) и подобрать требуемое поперечное сечение.
ПРИМЕР 1
F
II
RA
A
I
B
C
l1
II
RB
l2 I
Балка прямоугольного сечения нагружена силой F  14 kN. Длины l1  0,8 m и
h
 3 . Материал балки – сталь
l2  0,6 m. Отношение сторон сечения
b
S235J2G3.
Из ранее проведенных расчётов известны величины реакций опор RB  8 kN
и RA  6 kN.
Поперечные силы:
сечение I – I:
сечение II – II:
Q1  RB  8 kN;
Q2  RB  F  8  14  6 kN.
Изгибающие моменты:
точка B
M B  RB  0  0 ;
M C  RB  l 2  8  0,6  4,8 kNm;
точка C
точка A
M A  RB  l2  l1   F  l1  8  0,8  0,6  14  0,8  0 ;
или M A  RA  0  0 .
На основе полученных результатов построим эпюры поперечных сил и
изгибающих моментов. Необходимую величину поперечного сечения
определим исходя из максимальной величины изгибающего момента.
Условие прочности при изгибе  
M
   .
Wx
Поскольку материалом балки является сталь S235J2G3, то предел текучести
R
235
 157 MPa.
ReH = 235 MPa. Допустимое нормальное напряжение    eH 
S  1,5
MHE0061 - MASINATEHNIKA – 3.5AP/ECTS 5 - 2-0-2- E, S
TTÜ MEHHATROONIKAINSTITUUT
bh 2
Осевой момент сопротивления прямоугольного сечения Wx 
.
6
2
bh 2 b  3b 
3b 3


Поскольку h  3b , то W x 
.
6
6
2
Тогда из условия прочности получаем
M
2M

 3    ,
W x 3b
откуда минимальная ширина поперечного сечения
2M 3 2  4,8  10 3
b

 0,027 m.
3 
3  157  10 6
3
Примем b  28 mm, тогда h  3b  3  28  84 mm.
Эпюры внутренних сил
F
II
RA
A
I
B
C
II
l1
RB
l2 I
Q (N)
8
–
+
6
M (Nm)
+
4,8
MHE0061 - MASINATEHNIKA – 3.5AP/ECTS 5 - 2-0-2- E, S
TTÜ MEHHATROONIKAINSTITUUT
ПРИМЕР 2
RA
F
II
I
MR
A
B
C
l1
I
II
l
Четырёхугольная труба нагружена силой F  10 kN. Длины l1  0,5 m и l  0,8 m.
Материал трубы – сталь S355J2H.
Поскольку имеем дело с консольной балкой, можем провести анализ
внутренних сил без предварительного определения реакций опор.
Поперечные силы:
сечение I – I:
сечение II – II:
Q1  0 ;
Q2  F  10 kN.
Изгибающие моменты:
точка B
MB  0;
точка C
M C  F  0  0 ;
точка A
M A  F  l1  10  0,5  5 kNm;
или M A  M R  5 kNm.
На основе полученных результатов построим эпюры поперечных сил и
изгибающих моментов. Необходимую величину поперечного сечения
определим исходя из максимальной величины изгибающего момента.
Условие прочности при изгибе  
M
   .
Wx
Поскольку материалом балки является сталь S355J2H, то предел текучести
R
355
 237 MPa.
ReH = 355 MPa. Допустимое нормальное напряжение    eH 
S  1,5
Необходимый осевой момент сопротивления
M
5  10 3
Wx 

 2,1  10 5 m3  21 cm3.
6
  237 10
Выбираем четырёхугольную трубу 80x60x4, для которой Wx  21,98 cm3.
MHE0061 - MASINATEHNIKA – 3.5AP/ECTS 5 - 2-0-2- E, S
TTÜ MEHHATROONIKAINSTITUUT
Эпюры внутренних сил
RA
F
II
I
MR
B
C
A
l1
I
II
l
Q (N)
+
10
M (Nm)
5
–
ПРИМЕР 3
III
I
II
q
RB
RA
A
D
C
l1
III
B
l2/2
l2
II
I
Балка круглого сечения нагружена силой q  20 kN/m. Длины l1  0,8 m и
l2  0,6 m. Материал – сталь C45E.
Из ранее проведённых расчётов известно, что RB  9,4 kN и RA  2,6 kN.
Поперечные силы:
сечение I – I:
сечение II – II:
сечение III – III:
Q1  RB  9,4 kN;
Q2  RB  q  l2  9,4  20  0,6  2,6 kN;
Q3   RB  q  l 2  9,4  20  0,6  2,6 kN.
MHE0061 - MASINATEHNIKA – 3.5AP/ECTS 5 - 2-0-2- E, S
TTÜ MEHHATROONIKAINSTITUUT
Изгибающие моменты:
точка B
точка D
точка C
точка A
или
M B  RB  0  0 ;
l
l l
0,6
0,6 0,6
M D  RB  2  q  2  2  9,4 
 20 

 1,92 kNm;
2
2 4
2
2 4
l
0,6
M C  RB  l 2  q  l 2  2  9,4  0,6  20  0,6 
 2,04 kNm;
2
2
l 
0,6 


M A  RB  l 2  l1   q  l 2   l1  2   9,4  0,8  0,6  20  0,6   0,8 
  0;
2
2 


M A  RA  0  0 .
На основе полученных результатов построим эпюры поперечных сил и
изгибающих моментов.
I
II
III
q
RB
RA
A
l1
B
D
C
l2/2
l2
III
I
II
Q (N)
9,4
–
2,6
+
x
M (Nm)
+
1,92
2,04
2,21
Максимальный изгибающий момент возникает в сечении, расположенном на
расстоянии x от точки B. Длину x определим из условия
MHE0061 - MASINATEHNIKA – 3.5AP/ECTS 5 - 2-0-2- E, S
TTÜ MEHHATROONIKAINSTITUUT
RB  q  x  0 
x
RB 9,4

 0,47 m.
q
20
Тогда наибольший изгибающий момент
x
0,47
M max  RB  x  q  x   9,4  0,47  20  0,47 
 2,21 kNm.
2
2
Исходя из этого значения найдём необходимую величину поперечного
сечения.
Условие прочности при изгибе  
M
   .
Wx
Поскольку материалом балки является сталь C45E, то условный предел
текучести Rp0,2 = 370 MPa. Допустимое нормальное напряжение
R
   p0,2  370  247 MPa.
S  1,5
Осевой момент сопротивления круглого сечения Wx 
Тогда из условия прочности получим
M
32 M


   ,
Wx   d 3
Откуда минимальный диаметр сечения
d 3
32M
32  2,21  10 3
3
 0,045 m.
   
3,14  247  10 6
Примем d  45 mm.
 d3
32
.
MHE0061 - MASINATEHNIKA – 3.5AP/ECTS 5 - 2-0-2- E, S
TTÜ MEHHATROONIKAINSTITUUT
ПРИМЕР 4 III
II
RA
MR
I
F
q
A l1/2
M
E
B
C
D
l1
l2
l
III
II
I
Балка сечением INP (двутавр) нагружена силами F  10 kN, q  20 kN/m и
моментом M  8 kNm. Длины l1  0,3 m, l2  0,5 m и l  0,8 m. Материал балки –
сталь S235JRG2.
Поскольку имеем дело с консольной балкой, можем провести анализ
внутренних сил без предварительного определения реакций опор.
Поперечные силы:
сечение I – I:
сечение II – II:
сечение III – III:
Q1  F  10 kN;
Q2  F  10 kN;
Q3  F  q  l1  10  20  0,3  16 kN.
Изгибающие моменты:
точка B
MB  0;
точка C
M C   F  l  l 2   10  0,8  0,5  3 kNm;
точка C’
M C   F  l  l 2   M  10  0,8  0,5  8  11 kNm;
точка D
M D  F  l  l1   M  10  0,8  0,3  8  13 kNm;
точка E
l l
 l 
M E   F   l  1   M  q  1  1  10  0,8  0,15  8  20  0,15  0,075  14,7 kNm;
2
2 4

точка A
l
M E   F  l  M  q  l1  1  10  0,8  8  20  0,3  0,15  16,9 kNm;
2
или M A  M R  16,9 kNm.
На основе полученных результатов построим эпюры поперечных сил и
изгибающих моментов.
MHE0061 - MASINATEHNIKA – 3.5AP/ECTS 5 - 2-0-2- E, S
TTÜ MEHHATROONIKAINSTITUUT
III
II
RA
MR
I
F
q
A l1/2
M
E
B
C
D
l1
l2
l
III
II
I
Q (N)
+
10
16
M (Nm)
16,9
14,7
13
11
–
3
Исходя из значения наибольшего изгибающего
минимальную величину поперечного сечения.
Условие прочности при изгибе  
момента
определим
M
   .
Wx
Поскольку материалом балки является сталь S235JRG2, то предел текучести
R
235
 157 MPa.
ReH = 235 MPa. Допустимое нормальное напряжение    eH 
S  1,5
Необходимый осевой момент сопротивления сечения
M 16,9  10 3
Wx 

 1,08  10 4 m3  108 cm3.
  157 10 6
Выбираем INP 160, для которого Wx  117 cm3.
MHE0061 - MASINATEHNIKA – 3.5AP/ECTS 5 - 2-0-2- E, S
TTÜ MEHHATROONIKAINSTITUUT
ПРИМЕР 5
IV
F
M
G
E
RA
A
l1
I
II
III
q
D
l2
RB
B
C
l3
l
IV
III
III
I
Балка сечения UNP (швеллер) нагружена силами F  15 kN, q  24 kN/m и
моментом M  6 kNm. Длины l1  0,2 m, l 2  0,3 m, l3  0,4 m и l  1,2 m. Материал
балки – сталь S235JRG2.
Из ранее проведённых расчётов известно, что RB  5,5 kN и RA  19,1 kN.
Поперечные силы:
сечение I – I:
Q1  RB  5,5 kN;
сечение II – II:
Q2   RB  q  l3  5,5  24  0,4  4,1 kN;
сечение III – III:
Q3   RB  q  l3  5,5  24  0,4  4,1 kN;
сечение IV – IV: Q4   RB  q  l3  F  5,5  24  0,4  15  19,1 kN.
Изгибающие моменты:
точка B
MB  0;
l
l l
точка C
M C  RB  3  q  3  3  5,5  0,2  24  0,2  0,1  0,62 kNm;
2
2 4
l
точка D
M D  RB  l3  q  l3  3  5,5  0,4  24  0,4  0,2  0,28 kNm;
2
l 

точка E
M E  RB  l  l1  l 2   q  l3   l  l1  l 2  3  
2

 5,5  1,2  0,2  0,3  24  0,4  1,2  0,2  0,3  0,2  0,95 kNm;
l 

точка E’
M E  RB  l  l1  l 2   q  l3   l  l1  l 2  3   M 
2

 5,5  1,2  0,2  0,3  24  0,4  1,2  0,2  0,3  0,2  6  5,05 kNm;
l 

M G  RB  l  l1   q  l3   l  l1  3   M 
точка G
2

 5,5  1,2  0,2  24  0,4  1,2  0,2  0,2  6  3,82 kNm;
точка A
 l 
M A  RB  l  q  l3   l  3   M  F  l1  5,5  1,2  24  0,4  1,2  0,2  6  15  0,2  0 ;
2

или M A  RA  0  0 .
MHE0061 - MASINATEHNIKA – 3.5AP/ECTS 5 - 2-0-2- E, S
TTÜ MEHHATROONIKAINSTITUUT
На основе полученных результатов построим эпюры поперечных сил и
изгибающих моментов.
IV
F
M
G
E
RA
A
l1
I
II
III
q
D
l2
RB
B
C
l3
l
III
III
IV
I
5,5
Q (N)
–
+
4,1
19,1
0,95
M (Nm)
0,28
+
0,62
3,82
5,05
Исходя из значения наибольшего изгибающего
минимальную величину поперечного сечения.
Условие прочности при изгибе  
момента
определим
M
   .
Wx
Поскольку материалом балки является сталь S235JRG2, то предел текучести
R
235
 157 MPa.
ReH = 235 MPa. Допустимое нормальное напряжение    eH 
S  1,5
Необходимый осевой момент сопротивления сечения
M 5,05  10 3
Wx 

 3,2  10 5 m3  32 cm3.
  157 106
Выбираем UNP 100, для которого Wx  41,2 cm3.