Напряжения

MHE0061 - MASINATEHNIKA – 3.5AP/ECTS 5 - 2-0-2- E, S
TTÜ MEHHATROONIKAINSTITUUT
4. КРУЧЕНИЕ
ПРИМЕР 1
M1
M2
II
I
C
B
A
II
l2
I
l1
Круглая труба нагружена скручивающими моментами M 1  380 Nm и M 2  520
Nm. Определить минимальный полярный момент сопротивления сечения и
выбрать стандартную трубу. Материал – сталь S355J2H. Длины l1  0,8 m и
l2  0,6 m. Составить эпюры крутящих моментов, напряжений и углов
закручиваеия.
Определим крутящие моменты
сечение I – I:
T1  M 1  380 Nm;
сечение II – II:
T2  M1  M 2  380  520  140 Nm.
Определим минимальный полярный момент сопротивления (используя
максимальный крутящий момент).
Поскольку материалом трубы является сталь S355J2H, то предел текучести
ReH = 355 MPa и модуль упругости при сдвиге G = 8,1.104 MPa.
T
  ,
W0
где допустимое напряжение при кручении    0,5...0,6 .
Условие прочности  
Допустимое напряжение при растяжении   
ReH 355

 237 MPa.
S  1,5
Таким образом    0,5...0,6   0,5...0,6  237  118...142 MPa.
Примем    130 MPa.
Тогда
T
380
W0 

 2,9  10 6 m3  2,9 cm3.
  130  10 6
MHE0061 - MASINATEHNIKA – 3.5AP/ECTS 5 - 2-0-2- E, S
TTÜ MEHHATROONIKAINSTITUUT
Из каталога [ 1 ] выбираем круглую трубу диаметром  33,7 mm и толщиной
стенки 2,6 mm, полярный момент сопротивления которой W0  3,67 cm3 и
полярный радиус инерции I 0  6,19 cm4.
Напряжения
T1
380

 104 MPa;
W0 3,67  10 6
T
 140
 II  2 
 38 MPa.
W0 3,67  10 6
I 
сечение I – I:
сечение II – II:
Деформации
Жёсткость поперечного сечения трубы GI 0  8,1  1010  6,19  10 8  5014 Nm2.
Угол закручивания:
00
 0;
сечение A:  A 
GI 0
T2  l 2
 140  0,6
 0
 0,017 rad;
GI 0
5014
T l
380  0,8
сечение C:  C   B  1 1  0,017 
 0,044 rad.
GI 0
5014
На основе полученных результатов построим эпюры.
M2
II
I
сечение B:
B   A 
C
B
A
M1
II
I
l2
l1
140
T (Nm)
–
+
380
38
 (MPa)
–
+
104
0,017
 (rad)
0,044
MHE0061 - MASINATEHNIKA – 3.5AP/ECTS 5 - 2-0-2- E, S
TTÜ MEHHATROONIKAINSTITUUT
ПРИМЕР 2
M4
B
V
l5
M2
M1
III
IV
V
A
M3
C
IV
l4
III
II
D
II
l2
l3
I
E H
I
l1
Вал нагружен скручивающими моментами M 1  210 Nm, M 2  460 Nm, M 3 и
M 4  120 Nm.
Найти величину момента M 3 . Определить минимальный диаметр вала.
Материал вала - сталь C45E. Длины l1  0,1 m, l 2  0,3 m, l3  0,4 m, l4  0,2 m и
l5  0,15 m. Составить эпюры крутящих моментов, напряжений и углов
закручиваеия.
Величину момента M3 определим из уравнения равновесия моментов.
M
 0  M1  M 2  M 3  M 4  0

M 3  M 2  M 1  M 4  460  210  120  370 Nm
Определим крутящие моменты
сечение I – I:
T1  0 ;
сечение II – II:
T2  M 1  210 Nm;
сечение III – III: T3  M 1  M 2  210  460  250 Nm;
сечение IV – IV: T4  M 1  M 2  M 3  210  460  370  120 Nm;
сечение V – V: T5  M 1  M 2  M 3  M 4  210  460  370  120  0 .
Определим минимальный полярный момент сопротивления (используя
максимальный крутящий момент).
Поскольку материалом вала является сталь C45E, то условный предел
текучести Rp0,2 = 370 MPa и модуль упругости при сдвиге G = 8,1.104 MPa.
Условие прочности  
T
  ,
W0
где допустимое напряжение при кручении    0,5...0,6 .
Допустимое напряжение при растяжении   
R p 0, 2
S 

370
 247 MPa.
1,5
MHE0061 - MASINATEHNIKA – 3.5AP/ECTS 5 - 2-0-2- E, S
TTÜ MEHHATROONIKAINSTITUUT
Таким образом    0,5...0,6   0,5...0,6  247  123...148 MPa.
Примем    140 MPa.
Поскольку полярный момент сопротивления круглого сечения W0 
 d3
16
, то
минимальный диаметр вала
16T
16  250
d 3
3
 0,021 m.
  
3,14  140  10 6
Примем d  22 mm.
и полярный радиус инерции
 d3
3,14  0,022 3
 2,1  10 6 m3
16
16
4
 d
3,14  0,022 4
I0 

 2,2  10 8 m4.
32
32
Тогда полярный момент сопротивления W0 

Напряжения
T1
0

0 ;
W0 2,1  10 6
T
210
сечение II – II:
 II  2 
 100 MPa;
W0 2,1  10 6
T
 250
сечение III – III:
 III  3 
 119 MPa;
W0 2,1  10 6
T
 120
сечение IV – IV:  IV  3 
 57 MPa;
W0 2,1  10 6
T
0
сечение V – V:
V  5 
0 .
W0 2,1  10 6
сечение I – I:
I 
Деформации
Жёсткость поперечного сечения вала GI 0  8,1  1010  2,2  10 8  1782 Nm2.
Угол закручивания:
00
 0;
сечение A:  A 
GI 0
T l
0  0,15
сечение B:  B   A  5 5  0 
 0;
GI 0
1782
T l
 120  0,2
сечение C:  C   B  4 4  0 
 0,013 rad;
GI 0
1782
MHE0061 - MASINATEHNIKA – 3.5AP/ECTS 5 - 2-0-2- E, S
TTÜ MEHHATROONIKAINSTITUUT
T3  l3
 250  0,4
 0,013 
 0,069 rad;
GI 0
1782
T l
210  0,3
 E   D  2 2  0,069 
 0,034 rad;
GI 0
1782
T l
0  0,1
 H   E  1 1  0,034 
 0,034 rad.
GI 0
1782
 D  C 
сечение D:
сечение E:
сечение H:
На основе полученных результатов построим эпюры.
M4
B
V
l5
M2
M1
III
IV
V
A
M3
C
III
IV
D
II
l2
l3
l4
I
II
E H
I
l1
T (Nm)
250
–
120
+
210
 (MPa)
119
–
57
+
100
 (rad)
0,069
0,034
0,013
–