Лекция №22 СМА 2015x

Продольно—поперечный изгиб
Рассмотрим случай одновременного действия
на стержень, например с шарнирно закрепленными
концами, осевой сжимающей силы Р и любой
поперечной
нагрузки
Pi , q, ,симметричной
относительно середины длины стержня и вызывающий
плоский изгиб. Такое состояние называется продольно
– поперечным изгибом. Стержень деформируется
(штриховая линия на рисунке). Изгибающий момент в
произвольном сечении с учетом прогиба оси
(1)
M z   P   M 0
где M 0 - изгибающий момент только от поперечной
нагрузки.
Вычисление M осложняется тем, что в
данном случае принцип
суперпозиции
не
применим.
Для
определения
прогиба
воспользуемся
приближенным дифференциальным уравнение
M
d 2
P
(2)

  0
2
dx
EJ
EJ
где J -момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной
плоскости действия поперечной нагрузки.
При сложной поперечной нагрузке на элемент точное решение уравнения (2) связано с
большим количеством вычислений (составлением и интегрированием (2) для каждого
участка). Поэтому в практических расчетах обычно применяют приближенное решение,
основанное на допущении, что при действии только сил Pi , qi , изогнутая ось стержня имеет
форму синусоиды (для симметричной нагрузки относительно l это приводит к малой
2
погрешности), т.е.
 x
0  f 0  sin
(3)
l
l
где 0 - прогиб любой точки оси стержня от действия M 0  при P  0 , f 0  0   прогиб 0
2
l
при x  .
2
2
  x M0
Тогда 0"   2 f 0  sin
(4)

l
l
EJ
P
P
2
 x
2
и уравнение (2) запишем в виде 0" 
, или обозначив
   2 f 0  sin
EJ
EJ
l
l
2

 x
(5)
0"   2    2 f 0  sin
l
l
 x
Решение выражения (5) будем искать в виде   f  sin
(6)
l
l
l
где f     - прогиб стержня при x  .
2
2
При подстановке (6) в (5) получаем
2

2
 x
 x
2
 x
2
, откуда f  2   2   f 0  2 и
 2 f  sin
  2  f  sin
  2 f 0  sin
l
l
l
l
l
l
l

f0
f0
f0
f0
(7)


2
P
P l


P
2 l
1 2
1  2 1 2
1  
 EJ 

 EJ
 Pэ 


2
l


2
 EJ
здесь Pэ 
- величина, называемая Эйлеровой силой, и в отличие от
l2
критической, вычисляется при любой гибкости стержня (напомним, что J не обязательно
равен J min ). При иных способах закрепления
f 
2

Pэ 
2 EJ
2
 l
(8)
где коэффициент  тот же, что и в формуле Эйлера. Результаты решения с помощью
приближенного выражения (7) хорошо согласуется с решениями точных выражений, при
сжимающей силе P  0.8Pэ . С учетом (7)
f0
 x
 x
(9)
  f  sin

 sin
l
l
P
1  
 Pэ 

а max  x 

l

2
f0
и M max   P max  M 0 .
P
1  
 Pэ 
В результате наибольшее сжимающее напряжение от действия P и M max будет
 cmax  
P M max
P M

  0 
A
W
A W
P  f0
(10)
  P 
W  1  

  Pэ  
Из рассмотрения формулы (10) следует, что  сmax возрастает быстрее нагрузки Р.
Действительно, если P и M 0 увеличить в n раз, то и f 0 увеличится в n раз, но последнее
слагаемое (10) изменится нелинейно, т.к.
P  n  f0  n
P  f0
n2


W   P n 


W  1   P  n  
1  
P
Pэ  
э 
 
 
и
n2
- нелинейная функция.
  P n 
1  
Pэ  
 
Поэтому расчет сжато-изогнутых стержней следует вести не по допускаемым напряжениям, а
по допускаемой нагрузке
P
P   P  u
(11)
kпч
Здесь Pu - предельная нагрузка, при которой  сmax   uc ; kпч -коэффициент запаса прочности;
 uc -предельное напряжение при сжатии, равное пределу текучести  y для пластичных
материалов, пределу прочности  u для хрупких материалов. Если предположить, что материал
подчиняется закону Гука, вплоть до  сmax   uc , из решения (10) можно найти нагрузку Pu и
при заданном kпч проверить условие (11).
Кроме того, необходимо проверить условие жесткости
max 
f0
  P 
1   P  
  э 
 f 
(12)
где  f  - допустимый прогиб.
Формулы (9) и (10) позволяют получить практически достаточно точные результаты и для
несимметричных поперечных нагрузок, направленные в одну сторону.
Пример 22.1 Рассмотрим распорку ограждения котлована в виде стального двутавра
№40, стенка которого расположена горизонтально
Рис.22.1
Решение. На распорку действуют сжимающая сила P и поперечная нагрузка
(например, собственный вес), которую будем считать равномерно распределенной
интенсивностью q . Считая распорку шарнирно опертой по концам, исследуем зависимость
наибольшего (по модулю) нормального напряжения и максимального прогиба от силы
принимая для простоты q  0,015  (P/ l) .


P M max
P M0




A
W
A W
P  f0


W  1   P  
P
  э 
2
ql
5ql 4
P
В данном случае M 0 
, f0 
,  .
8
384 EJ z
Pэ
max
.
F 0,015Pl P  5  (0,015P / l )l 4
 max  

или
A
8  Wz
384  EJ z  Wz (1   )
F 0,015Pl
0,075P 2l 3
 max  

.
A
8  Wz
384  EJ z  Wz (1   )
2
4
3
Для двутавра №40 J z  667см ; Wz  86,1см ; A  72,6см ;
E  2,06  105 МПа ;  Т  240МПа .
После подстановки числовых значений получим выражение для

max :

) МПа , причем P Э  1107 кН .
1
 max и v max при изменение 692кН  P  0 .
max    152,5  (1,553  0,569
На рис 22.2 показаны зависимости

P,
Рис.22.2
Для сравнения на рис.22.2 приведена линейная зависимость, для

max ,
найденная в
предположении , что дополнительный изгибающий момент, создаваемый продольной силой,

 148МПа . Погрешность, обусловленная
240  148
100  38,3% .
пренебрежением моментом от продольной силы равна  
240
равен нулю. В этом случае
max
Погрешность, вычисления прогиба , при условии пренебрежением сжимающей силы на прогиб
равна

1,125  0, 422
100  62,5% . Сжимающая сила оказывает существенное
1,125
влияние на величины максимальных напряжений и прогибов.
Концентрация напряжений
Резкое увеличение напряжений вблизи отверстий, выточек, мест изменения сечений и
приложения сосредоточенных нагрузок называется концентрацией напряжений.
Концентраторы напряжений могут быть:
 конструктивными (надрезы, выточки, отверстия, переходы);
 возникать в результате повреждения поверхности (царапины, риски) и нарушений
сплошности материала (пустоты, трещины).
Нарушение
равномерного
распределения
напряжений происходит в ограниченной зоне, т.е.
носит местный характер. Поэтому напряжения в
этой зоне называются местными. “Всплески”
местного напряжения во многом зависят от
геометрической формы тела и концентратора, но
почти не связаны с размерами последнего.
Поэтому малое ослабление сечения также опасно
для прочности материала, как и большое.
Влияние
концентрации
напряжений
на
прочность пластичных и хрупких материалов
зависит от характера нагрузки. При статических
нагрузках
пластичные
материалы
малочувствительны к концентрации напряжений. Это объясняется тем, что при достижении
пластического состояния  max   Т (  max   y ) в точке, напряжения в ней не увеличиваются
и текучесть материала распространяется в глубь сечения, т.е. происходит выравнивание
напряжений в ослабленном сечении. В случае хрупкого материала при достижении в
ослабленном сечении наибольшего напряжения, равного пределу прочности  max   пч
(  max   u ), образуется трещина, которая быстро развиваясь приводит к разрушению
конструкции.
Особенно опасна концентрация напряжений:
 при снижении температуры, т.к. материал становится более хрупким;
 при действии нагрузок, периодически меняющихся во времени (знакопеременные
нагрузки).
Для уменьшения концентрации напряжений прорезы
заменяют полукруглыми выточками, уступы –
галтелями.
Для стержня на рисунке (ниже) напряжения в сечении 1-1 и 2-2 можно определить по
формулам
1 
P
P
и 2 
; где A1 и A2 - площади сечения верхнего и нижнего участков
A1
A2
стержня.
В сечении 3-3 напряжения распределяются неравномерно, возрастая к краям и убывая к
середине. Его можно выразить с помощью следующей формулы
 max  k   1 .
где k - называют теоретическим коэффициентом концентрации напряжений. Он зависит от
соотношения размеров верхнего и нижнего участков стержня.
 max
Отношение
максимального
вычисленного с учётом концентрации (в
зоне концентрации) к номинальному  ном
(вычисленного
без
учёта
эффекта
концентрации по обычным формулам
сопротивления материалов) называется
теоретическим
коэффициентом
концентрации напряжений k 
 max
.
 ном
Например, для полосы с отверстием
 ном для наиболее ослабленного сечения
определяют
 ном 
P
Aнетто
.
Величину коэффициента концентрации
напряжений определяют либо с помощью методов теории упругости, либо
экспериментальным путём.
В теории упругости приводится решения для растянутой пластинки, ослабленной круглым
отверстием, расположенном на оси симметрии. Если “В” - ширина пластинки – велико по
сравнению с радиусом отверстия, то в наиболее ослабленном сечении I-I (см. рис.) у края
отверстия  x резко возрастает. Но при незначительном удалении от концентратора
наблюдается быстрое их падение, и они становятся близкими средним (номинальным)
вычисленным без учёта концентрации  x по ослабленному сечению. На достаточном
удалении от отверстия напряженное состояние не отличается от того, которое имеет место при
отсутствии концентратора. Зато вблизи концентратора на расстоянии rk > r , rk < b  r от
 x ,  y ,  x y   yx . Но модули  y и  x y   yx
значительно меньше  x  max  . В сечении I-I:  x y  0 . У края отверстия и у наружной
поверхности полосы  y  0 .
центра тяжести отверстия действует
x 
при y  r
x 
 
r2
r4 
 2  2  3 4 
2 
y
y 
 
r2
r4  
  2  2  3 4    6  3     max ;
2 
y
y  2
r
 0 ….  ном   ;
b
  r4 r2 
 y    3 4  2 
2  x
x 
при
при x  r ……  y  

2
 3  1   ;
 
r4
r2 
  3 1
 3 4 









при x  2  r ……  y    3
2  16  r 4 4  r 2 
2 16 4 
2 16
32
и очень быстро затухает.
На достаточном удалении от места приложения нагрузки и концентратора

P
. (рис)
bt
Приведенное точное решение может быть использовано, если b  10r . С уменьшением
ширины пластинки теоретический коэффициент концентрации напряжений возрастает, а
напряжения у наружных краев пластинки  ном становится меньше  . В таблице приведены
значения k для различных соотношений диаметра отверстия к ширине пластинки.
Таблица
2r
k
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
3
3,03
3,14
3,36
3,74
4,32
b
Из таблицы видно, что при b  4r получаем k  4.32 .
Напряжения у наружных краев пластинки равны  y  0.75  
Концентрация напряжений, как при растяжении, так и при других видах напряженного
состояния существенно зависит от формы отверстия или выточки. Рассмотрим случай
ослабления широкой пластинки эллиптическим отверстием.
Равномерно растянутая полоса, ослабленная эллиптическим отверстием.
Задача Колосова.

a
 max    1  2  
b

где a и b - полуоси эллипса.
С увеличением отношения a b напряжения возрастают. При узком отверстии,
расположенном перпендикулярно направлению растяжения, напряжения сильно возрастают. В
связи с этим особую опасность представляют тонкие прорезы, поперечные трещины. Так при
b  0 ,  max   , т.е. по краям поперечной трещины напряжения увеличиваются до
бесконечности. Наоборот, продольные трещины не представляют особой опасности a  0 , то
 max   .
Можно определить коэффициент концентрации напряжений при других видах
напряженного состояния.
Возникает вопрос о том, каким образом можно снизить концентрацию напряжений. Из
приведенных выше формул для k следует, что для уменьшения k необходимо заменять
острые выточки плавными кривыми, т.е. увеличить радиус кривизны конца трещины.
Например, для прекращения развития трещины в пластине достаточно по её концам
просверлить отверстия