Контрольные работы по Линейной алгебре

Контрольная работа № 3
“МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ”
ЗАДАНИЕ 1. Вычислить определители:
1.
2 1 7
а) 4 3 5 ;
 6 4 3
1 2
2.
а) 4 5
2
1
1
3.
4.
8 ;
3
5
4 7 ;
3 12 15
а) 3
4 2 4
а) 10 2 12 ;
1 2 2
5.
2 0
2
а) 2 1 2 ;
1 2 1
6.
2 4 1
а) 3 4 2 ;
4 1 3
2 1
7.
а) 1 0
0
3 ;
0 5 1
1
6
3
б) 4
5 6;
0 1 7
2
3
2
2
1
0
б) 4
3
5 6
2 ;
7
12 6 4
б) 6
4 ;
8
4
2
3
2 3 5
б) 1 4 1 ;
6  2 7
6 4 2
б) 7 5 1 ;
3 2 4
1
4
6
б) 2 1 7 ;
3
5
2
2 5 7
б) 2 8 5 ;
8 7 3
в) 2
3
2 3 3
2 1 1
1
1
6
3
2 ; г)
6 3
6
2 3
2 3 4
в) 5 2 1 ;
1 2 3
г)
4
2
1
0
0
5
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
.
.
4 1 2 3
2 3 1
в) 6 6 2 ;
2 1 2
г)
1 1
1
1
1 2
3
4
1 3
6
10
.
1 4 10 20
1 3 1
в) 0
1 3;
0 1 3
2
1
г)
1 1
1 2
1
3
1
4
1 4
9
16
.
1 8 27 64
1 0 0 2
1
3 0 0 4
4 1 ; г)
.
0 5 6 0
1 8 3
0 7 8 0
в) 1
1 5 2
в) 0
2
8 4;
3 8
1 2 2
в) 2 1 1 ;
3 1 4
г)
1
0
2
2
3
5
4
9
0
0
3
7
.
2 4 6 1
г)
1
1
2
3
3 4
3 4
1 1 7 4
.
1 2 5 9
1
8.
9.
6 3 0
а) 4 1 3 ;
 2 3 2
1 2 3
а) 3 1 2 ;
2 3 1
3 2 1
10. а) 2 5 3 ;
3 4 2
2
1 1
б) 1
2
1 3
1
3 ;
2
17 7
б) 1 13
1
7
1 ;
1
4 3 5
б) 3 2 8 ;
1 7 5
4 1 2
в) 1 2 3 ;
2 3 1
2 1 3
в) 5 3 2 ;
1 4 3
г)
г)
2
3
3 4
5 2
5
4
5
4
3
2
4
2
5
3
5 1 2 7
3 0 0 2
1 3 4 5
.
.
2 0 0 3
3 2 4
в) 4 1 2 ;
5 2 3
г)
1 1 3 4
2 0 0 8
3 0 0 2
.
4 4 7 5
3
4
5
7 2 ;
2 1 8
11. а) 8
0 1 1
б) 0 1 0 ;
1 1 0
1 5 25
13. а) 1 7 49 ;
1 8 64
1
1
14. а) 4
5 9 ;
16 25 81
 2 3 5
15. а) 1 2 3 ;
3 1 2
1 1 1
в) 1 2 3 ;
1 3 6
г)
0 5 2 0
8 3 5 4
7 2 4 1
.
0 4 1 0
5 6 3
12. а) 1 0 1 ;
1
4 2 1
б) 5 3 2 ;
3 2 1
2 0 3
в) 7 1 6 ;
7 4 5
6 0 5
1 2 3
1 0 2
б) 4 5 6 ;
в) 4
7 8 9
3
1 1;
2 5
2 1 0
б) 3 4 5 ;
0 1 2
1
2 3
в) 2
1 2 3
б) 2 3 5 ;
5 3 4
1 1 1
в) 3 2 5 ;
7 1 0
1 4;
1 2 5
г)
1 2
3
1
2
3
4
4
3
1
2 2
1 3
г)
7
6
2
2
2
2
2
2
2 2
3
2
1
2
.
.
2 2 2 4
г)
2
1 0 2
3
2 1 0
1 0 1 3
.
1 2 1 3
г)
1
0
1 1 1
2 2 3
4
2
0
5
3 4
8
0
.
2
1 0 2
16. а) 3 1 4 ;
2 1 1
2 1 7
17. а) 4 3 5 ;
 6 4 3
1 2
18. а) 4 5
2
1
1
2
5
б) 3
2 1;
1 4 1
2
1
5 6;
0 1 7
8 ;
3
5
4 7 ;
3 12 15
19. а) 3
4 2 4
20. а) 10 2 12 ;
1 2 2
2 0
2
21. а) 2 1 2 ;
1 2 1
2 4 1
22. а) 3 4 2 ;
4 1 3
1
0
б) 4
3
5 6
2 ;
7
12 6 4
б) 6
4
2
3
4 ;
8
2 3 5
б) 1 4 1 ;
6  2 7
6 4 2
б) 7 5 1 ;
3 2 4
1
4
6
б) 2 1 7 ;
3
5
1 1 1
в) 3 0 5 ;
2 3 4
6
3
б) 4
2
3
7 0
2
в) 2
3
г)
1 2 6 1
2 3 7 4
9
2
1 3 7
6
3
1
2 3 3
2 1 1
1
1
6
3
2 ; г)
6 3
6
2 3
2 3 4
в) 5 2 1 ;
1 2 3
г)
4
2
1
0
0
5
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
.
.
.
4 1 2 3
2 3 1
в) 6 6 2 ;
2 1 2
г)
1 1
1
1
1 2
3
4
1 3
6
10
.
1 4 10 20
1 3 1
в) 0
1 3;
0 1 3
2
1
г)
1 1
1 2
1
3
1
4
1 4
9
16
.
1 8 27 64
1 0 0 2
1
3 0 0 4
4 1 ; г)
.
0 5 6 0
1 8 3
0 7 8 0
в) 1
1 5 2
в) 0
2
8 4;
3 8
г)
1
0
2
2
3
5
4
9
0
0
3
7
.
2 4 6 1
3
2 1
0
23. а) 1 0
3 ;
0 5 1
6 3 0
24. а) 4 1 3 ;
 2 3 2
1 2 3
25. а) 3 1 2 ;
2 3 1
3 2 1
26. а) 2 5 3 ;
3 4 2
2 5 7
б) 2 8 5 ;
8 7 3
2
1 1
б) 1
2
1 3
1
3 ;
2
17 7
б) 1 13
1
7
1 ;
1
4 3 5
б) 3 2 8 ;
1 7 5
1 2 2
в) 2 1 1 ;
3 1 4
4 1 2
в) 1 2 3 ;
2 3 1
2 1 3
в) 5 3 2 ;
1 4 3
г)
1
1
2
3
3 4
3 4
1 1 7 4
.
1 2 5 9
г)
г)
2
3
3 4
5 2
5
4
5
4
3
2
4
2
5
3
5 1 2 7
3 0 0 2
1 3 4 5
.
.
2 0 0 3
3 2 4
в) 4 1 2 ;
5 2 3
г)
1 1 3 4
2 0 0 8
3 0 0 2
.
4 4 7 5
3
4
5
7 2 ;
2 1 8
27. а) 8
0 1 1
б) 0 1 0 ;
1 1 0
1 5 25
29. а) 1 7 49 ;
1 8 64
30. а) 4
1
1
5 9 ;
16 25 81
1 1 1
в) 1 2 3 ;
1 3 6
г)
0 5 2 0
8 3 5 4
7 2 4 1
.
0 4 1 0
5 6 3
28. а) 1 0 1 ;
1
4 2 1
б) 5 3 2 ;
3 2 1
2 0 3
в) 7 1 6 ;
7 4 5
6 0 5
1 2 3
1 0 2
б) 4 5 6 ;
в) 4
7 8 9
3
1 1;
2 5
2 1 0
б) 3 4 5 ;
0 1 2
1
2 3
в) 2
1 4;
1 2 5
г)
1 2
3
1
2
3
4
4
3
1
2 2
1 3
г)
7
6
2
2
2
2
2
2
2 2
3
2
1
2
.
.
2 2 2 4
г)
2
1 0 2
3
2 1 0
1 0 1 3
.
1 2 1 3
4
ЗАДАНИЕ 2. Умножить матрицы:
1.
 3 2  3 4 
а) 

;
 5 4  2 5 
 1 3 2  2 5 6 
;
б)  3 4 1 
1
2
5


 2 5 3  1 3 2 



1 1 1 
 1 2 3
.
в) 
1
2
4



 4 5 6  1 3 9 


2.
 2 3  9 6 
а) 
 6 4  ;
4

6



 5 8 4  3 2 5 

б)  6 9 5 
 4 1 3  ;
 4 7 3  9 6 5 



1 2 
 2 1 1 
в) 
1 2  .


 0 3 5  1 3 


3.
 2 5  2 3 
а) 

;
 1 3  3 5 
 1 4 3  2 1 5 
.
в)  5 1 1
1
4

1


 3 6 7  3 5 2 



1 2 
 2 1 1
б) 1 2  
;
0
3
5


1 3 


4.
 1 2  5 6 
а) 

;
 3 4  7 8 
 0 2 1 4 3 2 

б)  2 1 2 
 3 2 1  ;
 3 2 1 1 3 5 



 3 0 1  1 0 

в)  1 2 1
 5 1  .
 2 0 1  2 3 



5.
 1 2  4 2 
а) 
 5 0  ;
8
3



 1 2 2  4 1 1 

б)  2 1 2 
 4 2 0  ;
 1 2 3  1 2 1 



 2 1
1 2 1
в) 
1 3  .


3 1 2 0 1 


6.
 1 2  4 1 
а) 

;
 4 8  1 2 
 1 2 1 2 2 3 
;
б)  3 1 2 

4
3

5


 1 2 2  5 4 7 



 2 1
1 2 1
в)  1 3  
.
3
1
2

 0 1 


7.
 2 2 3  1 2 1
 1 1 3 0 
а) 
; б)  4 3 5  3 1 2  ;





 2 5  4 1 
 5 4 7  1 2 2 



8.
 2 3  0 1 
а) 
 2 3  ;
8

1



 4 1 1  1 2 2 

б)  4 2 0 
 2 1 2  ;
 1 2 1  1 2 3 



0 3
 1 2 1 
в) 
1 2  .


 3 0 1   1 2 


9.
 2 5  3 7 
а) 

;
 1 0  1 4 
 1 1 1  11 4 1 
;
б)  5 4 3 

25
9

2


10 5 1  15 5 1 



0 3
 1 2 1
в)  1 2  
.
3
0
1

 1 2  


 1 2  3 4 
10. а) 
 5 8  ;
0
7



 11 4 1  1 1 1 

б)  25 9 2 
 5 4 3  ;
 15 5 1 10 5 1 



1 1 1 
 1 2 3
в) 
1 2 4  .


 4 5 6  1 3 9 


1 1 1 
 1 2 3
в) 
1 2 4  .


 4 5 6  1 3 9 


5
 1 2  4 3 
11. а) 
 2 1  ;
0
3



 1 2 3  4 1 2 

б)  1 1 2 
 0 1 1  ;
 3 2 1 1 2 1 



1 1 1  1 4 

в) 1 2 3 
 2 5  .
1 4 9  3 6 



 2 1  1 2 
12. а) 

;
 0 3  3 5 
 1 2 1 2 2 3 
;
б)  3 1 2 

4
3

5


 1 2 2  5 4 7 



1 2 0 
 1 2 1 
.
в) 
1
2
1



 0 3 4  1 2 3 


 1 0  2 5 
13. а) 
 7 1  ;
4
3



 0 2 1 4 3 2 

б)  2 1 2 
 3 2 1  ;
 3 2 1 1 3 5 



1 2
1 2 1
в)  0 3  
.
1
3
0

 2 4


 2 0  2 5 
14. а) 
 3 1  ;
4
1



3 2  2 2 3 
 1



б)   3 2 0  0 1 4  ;
 4  3 5   1 1 0 



1 2 

 1 3  1
1 3  .
в) 
 2 0 5 1 7 


 2 7  1 1 
15. а) 
 3 4  ;
0
3



 1 0 1  2 2 0 

б)  2 1 0 
 1 0 1  ;
 3 2 5  3 2 7 



1 3
 1 1 1 
в) 
2 4  .


 2 0 3  1 5


 2 3  2 0 
16. а) 
 3 1  ;
4
5



 0 1 2  2 1 5 

б)  1 2 3 
 0 1 0  ;
 4 0 1  2 1 1



 1 0
1 1 5
в) 
1 1  .


3 0 2 1 2


 3 2  3 4 
17. а) 

;
 5 4  2 5 
 1 3 2  2 5 6 
;
б)  3 4 1 
1
2
5


 2 5 3  1 3 2 



1 1 1 
 1 2 3
.
в) 
1
2
4



 4 5 6  1 3 9 


 2 3  9 6 
18. а) 
 6 4  ;
4

6



 5 8 4  3 2 5 

б)  6 9 5 
 4 1 3  ;
 4 7 3  9 6 5 



1 2 
 2 1 1 
в) 
1 2  .


 0 3 5  1 3 


 2 5  2 3 
19. а) 

;
 1 3  3 5 
 1 4 3  2 1 5 
.
в)  5 1 1
1
4

1


 3 6 7  3 5 2 



1 2 
 2 1 1
б) 1 2  
;
0
3
5


1 3 


 1 2  5 6 
20. а) 

;
 3 4  7 8 
 0 2 1 4 3 2 

б)  2 1 2 
 3 2 1  ;
 3 2 1 1 3 5 



 3 0 1  1 0 

в)  1 2 1
 5 1  .
 2 0 1  2 3 



6
 1 2  4 2 
21. а) 
 5 0  ;
8
3



 1 2 2  4 1 1 

б)  2 1 2 
 4 2 0  ;
 1 2 3  1 2 1 



 2 1
1 2 1
в) 
1 3  .


3 1 2 0 1 


 1 2  4 1 
22. а) 

;
 4 8  1 2 
 1 2 1 2 2 3 
;
б)  3 1 2 

4
3

5


 1 2 2  5 4 7 



 2 1
1 2 1
в)  1 3  
.
3
1
2


0 1 


 2 2 3  1 2 1
 1 1 3 0 
23. а) 
; б)  4 3 5  3 1 2  ;





 2 5  4 1 
 5 4 7  1 2 2 



1 1 1 
 1 2 3
в) 
1 2 4  .


 4 5 6  1 3 9 


 2 3  0 1 
24. а) 
 2 3  ;
8

1



 4 1 1  1 2 2 

б)  4 2 0 
 2 1 2  ;
 1 2 1  1 2 3 



0 3
 1 2 1 
в) 
1 2  .


 3 0 1   1 2 


 2 5  3 7 
25. а) 

;
 1 0  1 4 
 1 1 1  11 4 1 
;
б)  5 4 3 

25
9

2


10 5 1  15 5 1 



0 3
 1 2 1
в)  1 2  
.
3
0
1

 1 2  


 1 2  3 4 
26. а) 
 5 8  ;
0
7



 11 4 1  1 1 1 

б)  25 9 2 
 5 4 3  ;
 15 5 1 10 5 1 



1 1 1 
 1 2 3
в) 
1 2 4  .


 4 5 6  1 3 9 


 1 2  4 3 
27. а) 

;
 0 3  2 1 
 1 2 3  4 1 2 
;
б)  1 1 2 
0

1
1


 3 2 1 1 2 1 



1 1 1  1 4 



в) 1 2 3  2 5  .
1 4 9  3 6 



 2 1  1 2 
28. а) 

;
 0 3  3 5 
 1 2 1 2 2 3 
;
б)  3 1 2 

4
3

5


 1 2 2  5 4 7 



1 2 0 
 1 2 1 
.
в) 
1
2
1



 0 3 4  1 2 3 


 1 0  2 5 
29. а) 
 7 1  ;
4
3



 0 2 1 4 3 2 

б)  2 1 2 
 3 2 1  ;
 3 2 1 1 3 5 



1 2

 1 2 1
в)  0 3  
.
 2 4  1 3 0 


 2 0  2 5 
30. а) 

;
 4 1  3 1 
3 2  2 2 3 
 1



б)   3 2 0  0 1 4  ;
 4  3 5   1 1 0 



1 2 

 1 3  1
1 3  .
в) 
 2 0 5 1 7 


7
ЗАДАНИЕ 3. Найти обратные матрицы для матриц:
1.
1 3
а) 
;
0
2


1 1 1


б)  2 1 1  .
 1 1 2 


3.
7 2
а) 
;
3 1
1 2 3
б)  1 1 2  .
 3 2 1 


5.
7 2
а) 
;
3
1


0 1 3 


б)  2 0 1 .
4 1 0 


7.
 2 5
а) 
;
3
1


1 2 3


б)  3 2 1 .
 1 0 1 


9.
 3 2
а) 
;
2 1
 1  2 1 


б)  3 1 2  .
1 2 2 


2.
 3 2 
а) 
;
5

4


 1 1 1
б)  5 4 3  .
10 5 1 


4.
 0 2
а) 
;
 1 0 
1 2 1 
б)  2 1 1 .
 1 3 1 


6.
7 2
а) 
;
3
1


1 2 1 


б)  2 1 1 .
 1 3 1 


8.
 2 5
а) 
;
1
1


1 2 3


б)  4 5 6  .
2 8 9


10.
 3 4
а) 
;
2 5
 1 1 1
б)  5 4 3  .
10 5 1 


 2 3 
11. а) 
;
4
7


 2 1 0 


б)  5 3 6  . 12.
  1 2 3 


 3 1
а) 
;
2
8


2 1 1
б)  0 2 1  .
 3 1 2


 2 3
13. а) 
;
 1 4 
 4 5 5 
б)  1 2 2  .
 5 7 2 


14.
 2 1
а) 
;
 3 0 
1 2 2 
б)  2 1 2  .
 2 2 1 


1 2
15. а) 
;
3 4
2 5 7 


б)  6 3 4  .
 5  2 3 


16.
3 4
а) 
;
5 7
 3 4 5 


б)  2 3 1  .
 3  5 1 


1 3
а) 
;
0
2


17.
1 1 1


б)  2 1 1  .
 1 1 2 


18.
 3 2 
а) 
;
5

4


 1 1 1
б)  5 4 3  .
10 5 1 


7 2
19. а) 
;
3 1
1 2 3


б)  1 1 2  .
 3 2 1 


20.
 0 2
а) 
;
 1 0 
1 2 1 


б)  2 1 1 .
 1 3 1 


8
22.
7 2
а) 
;
3
1


1 2 1 
б)  2 1 1 .
 1 3 1 


24.
 2 5
а) 
;
1 1
1 2 3


б)  4 5 6  .
2 8 9


26.
 3 4
а) 
;
2
5


 1 1 1
б)  5 4 3  .
10 5 1 


 2 3 
27. а) 
;
4
7


 2 1 0 


б)  5 3 6  . 28.
  1 2 3 


 3 1
а) 
;
2
8


2 1 1
б)  0 2 1  .
 3 1 2


 2 3
29. а) 
;
 1 4 
 4 5 5 
б)  1 2 2  .
 5 7 2 


 2 1
а) 
;
 3 0 
1 2 2 
б)  2 1 2  .
 2 2 1 


7 2
21. а) 
;
3
1


0 1 3 
б)  2 0 1 .
4 1 0 


 2 5
23. а) 
;
 3 1
1 2 3


б)  3 2 1 .
 1 0 1 


 3 2
25. а) 
;
2
1


 1  2 1 
б)  3 1 2  .
1 2 2 


30.
ЗАДАНИЕ 4. Найти ранг матрицы двумя способами:
1.
 2 1 3 2 
 4 2 5 1  .


 2 1 1 8 


2.
 1 2 3 2 
 2 4 5 1  .


 1 2 1 8 


3.
 0 1 0 0
 1 0 4 0  .


 4 0 6 0 


4.
1 2 1 4 
 0 1 1 3  .


 2 5 1 11


5.
 2 4 1 
 1 5 3 

.
 1 1 1 


 3 5 5 
6.
2 3 1 
1
 2 4 6 2 

.
 3 6 9 3 


7.
1 2 3 4
0 5 6 7.


0 0 0 0


8.
1 2 1 4 
 0 1 1 3  .


 2 5 1 11


9.
 2 4 1 
 1 5 3 

.
 1 1 1 


 3 5 5 
11.
1 2 1 4 
 0 1 1 3  .


 2 5 1 11


12.
1 2 1 1
 2 5 1 5

.
 3 8 1 9


10.  1 3 5 0 
2 4

3 7

7
2
1  .
1 
9
14.
 1 3 5 0 
 3 1 3 2  .


 5 3 2 3 


15.
 2 1 1 3 
 4 0 1 7 

.
 0 2 3 1 


18.
 1 2 3 2 
 2 4 5 1  .


 1 2 1 8 


19.
 0 1 0 0
 1 0 4 0  .


 4 0 6 0 


21.
 2 4 1 
 1 5 3 

.
 1 1 1 


 3 5 5 
22.
2 3 1 
1
 2 4 6 2 

.
 3 6 9 3 


23.  1 2 3 4 
24.
1 2 1 4 
 0 1 1 3  .


 2 5 1 11


25.
 2 4 1 
 1 5 3 

.
 1 1 1 


 3 5 5 
26.  1 3 5 0 
27.
1 2 1 4 
 0 1 1 3  .


 2 5 1 11


28.
1 2 1 1
 2 5 1 5

.
 3 8 1 9


30.
 1 3 5 0 
 3 1 3 2  .


 5 3 2 3 


13.  1 4
1
 0 1 1 2 2  .


0 9 5 2 4


3
2
16.  1 1 1 2 
 3 4 1

 4 1 2

2
3

.


17.  2 1 3 2 
 4 2 5

 2 1 1

20.  1 2
.



1
8
4
 0 1 1 3  .


 2 5 1 11


1
0 5 6 7.


0 0 0 0


2 4

3 7

7
2
29.  1 4
3
1  .
1 
1
 0 1 1 2 2  .


0 9 5 2 4


2
Образец выполнения контрольной работы № 1
“МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ”
1) Вычислить определители
1 2 3
а)   4 5 6 .
7 8 9
10
Решение. Этот определитель вычислим по правилу диагоналей. Приписываем справа
к определителю первый и второй столбцы. Перемножаем элементы, стоящие на главной
диагонали и складываем это произведение с аналогичными произведениями элементов,
стоящих на диагоналях, параллельных главной. Затем к произведению элементов,
стоящих на побочной диагонали, прибавляем аналогичные произведения элементов,
стоящих на диагоналях, параллельных побочной. Затем от первой суммы вычитаем
вторую. Это и будет искомый определитель.
1
4
2
3
5
6
1
4
2
1 2 3
 4 5 6 
7 8 9
5
 1  5  9  2  6  7  3  4  8   (3  5  7  1  6  8  2  4  9) 
7
8
9
7
 (45  84  96)  (105  48  72)  225  225  0
8
Ответ:   0.
б)  
2 2 1
1 3 1
1
2
1
1
3 1
2
2
5
?
3
Решение. Решение найдем разложением по первому столбцу, но сначала с
помощью свойств определителя сделаем нули в этом столбце везде кроме элемента,
равного минус единице.
Для этого элементы второй строки умножим на два и прибавим к соответствующим
элементам первой строки; элементы второй строки прибавим к соответствующим
элементам третьей строки; элементы второй строки умножим на два и прибавим к
соответствующим элементам четвертой строки. Эти действия записываем так:

2 2 1
1 3 1
1
2
1
1
3 1
2
2
5
3
(2)

0 4 3 5
1 3 1 2
0
4 4 1
0
8 7 7
4 5 5
 (1)(1) 21 4 1 1 .
8 7 7
Разложив определитель 4-го порядка по 1-му столбцу, свели его вычисление к
нахождению одного определителя 3-го порядка, который можно вычислить по правилу
диагоналей, разобранному выше. Можно дальше применить свойства определителя и
свести этот определитель к одному определителю 2-го порядка. Продолжаем делать нули
11
теперь уже во второй строке, умножая элементы третьего столбца на  4  и прибавляя к
первому и второму столбцам:
4 3 5
16 17 5
16 17
4 4 1= 0
0 1  1  (1) 23
 (16  21  20  17)  (336  340)  4.
20 21
8 7 7 20 21 7
(-4)
(-4)
Ответ:   4.
2) Умножить матрицы:
 (1)


С   (3)


 (5)

3х2
 2 

  1
 4    3
  

6 
 1  1   2  3
 2  
  3  1   4  3
 4   5  1  6  3
 
   
2х2
1   2    2   4   7
 3   2    4   4    15
 5   2   6   4   23
10 
22 
.
34 
3х2
Решение. Произведение матриц получили, умножая элементы строк первой матрицы
на соответствующие элементы столбцов второй матрицы и складывая их.
 7 10 
Ответ: С   15 22  .
 23 34 


3) Найти обратные матрицы:
1 2
1 А
а) А  
А 1   11

  А12
3 4
А 21 
.
А 22 
Решение. Сначала находим  
1 2
3 4
 1  4  2  3  2 ;   0 , значит, существует
матрица А1 . Находим алгебраические дополнения:
12
11
А11  (1)
()
1 2
 4;
3 4
А 22  (1)
()
2 2
А 21  (1)
( )
2 1
1 2
 2;
3 4
А12  (1)1 2
2
1  4 2  
А  
 3
2  3 1  
2
1 2
 1;
3 4
1
( )
1 2
 3;
3 4
1
1  .
 
2
1
 2
Ответ: А   3
1  .


 2
2
1
 1 1 3 2 
4) Найти двумя способами ранг матрицы: А   2 2 5 1  .
 1 1 1 8 


Решение.
1 способ. Метод окаймляющих миноров. Находим любой минор второго по
рядка, отличный от нуля, например  2 
1 1
2 2
этому выписываем другой определитель  2 
 1  (2)  (2)(1)  2  2  0 , по-
5 1
 5  8  1  1  40  1  39  0 . Нашелся
1 8
определитель второго порядка, отличный от нуля, значит ранг А rА  2 . Теперь найдем
определитель третьего порядка, окаймляющий найденный 2  0 .
1 3 2
3  2 5
1 1
1
8
(2)(1)

1
3
0
0
1 5
2 10
2
 (1)(1)11
1
5
2 10
 0
Берем другой определитель, окаймляющий  2  0 :
13
1 3 2
3  2 5
1 1
(2)(1)
1
8
1

3
2
0 1 5
0 2 10
 0 , как и предыдущий.
Больше окаймляющих миноров третьего порядка для 2  0 нет, поэтому ранг А,
равный наивысшему порядку минора, отличного от нуля, равен двум.
2 способ. Метод элементарных преобразований.
 1 1 3 2  (2)(1)
А   2 2 5 1 
 1 1 1 8 


 1 1 3 2 
 0 0 1 5  (2)


 0 0 2 10 


 1 1 3 2 
 0 0 1 5  .


0 0 0 0 


Получили 2-е нулевые строки. Поэтому ранг А равен 2 (очевидно минор второго порядка
1 3
 0 ).
0 1
Ответ: r A  2 .
14
Контрольная работа № 2
“СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ”
ЗАДАНИЕ 1. Решить системы матричным способом и по формулам Крамера:
1.
 x  2y  z  5

а)  x  2y  2z  2 ;
3x  y  4z  2

 x  2y  z  2

б)  x  2y  2z  1 .
3x  y  4z  0

2.
2x  y  z  7

а) 2x  2y  3z  3 ;
x  y  z  4

2x  2y  3z  6

б) 3x  2y  4z  7 .
3x  2y  3z  4

3.
2x  2y  3z  4

а)  x  2y  z  5
;
3x  z  1

 x  3y  z  2

б) 2x  2y  z  1 .
2x  3y  3z  4

4.
2x  y  z  4

a)  x  3y  z  7 ;
3x  y  4z  12

3x  4y  5

б)  x  y  z  1 .
 x  3y  z  3

5.
 x  3y  3z  11

а)  x  2y  3z  1 ;
3x  3y  z  1

3x  2z  11

б) 2x  2y  3z  3 .
 x  y  4z  1

6.
2x  y  3z  3

а) 4x  2y  5z  5 ;
3x  4y  7z  2

 x  3y  2z  4

б) 2x  6y  z  2 .
4x  8y  z  2

7.
2x  4y  z  4

а) 3x  6y  2z  4 ;
4x  y  3z  1

 x  2y  3z  6

б) 4x  y  4z  9 .
3x  5y  2z  10

8.
3x  3y  2z  2

а) 4x  5y  2z  1 ;
5x  6y  4z  3

3x  2y  4z  8

б) 2x  4y  5z  11 .
4x  3y  2z  1

15
9.
2x  y  z  2

а) 3x  2y  2z  2 ;
 x  2y  z  1

 x  2y  3z  5

б) 2x  y  z  1 .
 x  3y  4z  6

2x  3y  z  2
10. а)  x  5y  4z  5 ;
4x  y  3z  4

2x  4y  3z  1

б)  x  2y  4z  3 .
3x  y  5z  2

 x  2y  3z  7
11. а)  x  3y  2z  5 ;
x  y  z  3

 x  y  2z  3

б) 5x  2y  7z  22 .
2x  5y  4z  4

 x  2y  3z  0
12. а) 2x  y  4z  5 ;
3x  y  z  2

 x  2y  3z  2

б)  x  y  z  0 .
 x  3y  z  2

 x  2y  z  4
13. а) 3x  5y  3z  1 ;
2x  7y  z  8

2x  y  2z  6

б) 3x  z  0
.
x  y  z  2

x  y  z  6
14. а) 2x  y  z  3 ;
 x  y  2z  5

2x  3y  z  3

б) 4x  y  3z  9 .
x  y  z  2

 x  2y  z  2
15. а) 2x  3y  2z  2 ;
3x  y  z  8

2x  4y  z  3

б)  x  5y  3z  1 .
x  y  z  1

x  y  z  0
16. а) 2x  y  z  3 ;
 x  y  2z  5

2x  y  z  2

б) 5x  y  3z  14 .
2x  y  2z  5

 x  2y  z  5
17. а)  x  2y  2z  2 ;
3x  y  4z  2

 x  2y  z  2

б)  x  2y  2z  1 .
3x  y  4z  0

16
2x  y  z  7
18. а) 2x  2y  3z  3 ;
x  y  z  4

2x  2y  3z  6

б) 3x  2y  4z  7 .
3x  2y  3z  4

2x  2y  3z  4
19. а)  x  2y  z  5 ;
3x  z  1

 x  3y  z  2

б) 2x  2y  z  1 .
2x  3y  3z  4

2x  y  z  4
20. a)  x  3y  z  7 ;
3x  y  4z  12

3x  4y  5

б)  x  y  z  1 .
 x  3y  z  3

 x  3y  3z  11
21. а)  x  2y  3z  1 ;
3x  3y  z  1

3x  2z  11

б) 2x  2y  3z  3 .
 x  y  4z  1

2x  y  3z  3
22. а) 4x  2y  5z  5 ;
3x  4y  7z  2

 x  3y  2z  4

б) 2x  6y  z  2 .
4x  8y  z  2

2x  4y  z  4
23. а) 3x  6y  2z  4 ;
4x  y  3z  1

 x  2y  3z  6

б) 4x  y  4z  9 .
3x  5y  2z  10

3x  3y  2z  2
24. а) 4x  5y  2z  1 ;
5x  6y  4z  3

3x  2y  4z  8

б) 2x  4y  5z  11 .
4x  3y  2z  1

2x  y  z  2
25. а) 3x  2y  2z  2 ;
 x  2y  z  1

 x  2y  3z  5

б) 2x  y  z  1 .
 x  3y  4z  6

2x  3y  z  2
26. а)  x  5y  4z  5 ;
4x  y  3z  4

2x  4y  3z  1

б)  x  2y  4z  3 .
3x  y  5z  2

17
 x  2y  3z  7
27. а)  x  3y  2z  5 ;
x  y  z  3

 x  y  2z  3

б) 5x  2y  7z  22 .
2x  5y  4z  4

 x  2y  3z  0
28. а) 2x  y  4z  5 ;
3x  y  z  2

 x  2y  3z  2

б)  x  y  z  0 .
 x  3y  z  2

 x  2y  z  4
29. а) 3x  5y  3z  1 ;
2x  7y  z  8

2x  y  2z  6

б) 3x  z  0
.
x  y  z  2

x  y  z  6
30. а) 2x  y  z  3 ;
 x  y  2z  5

2x  3y  z  3

б) 4x  y  3z  9 .
x  y  z  2

Задание 2. Решить системы методом Гаусса:
1.
2.
x  y  z  3

а)  x  y  z  1 ;
x  y  2

 x  2y  3z  3
 x  3y  5z  0

б) 
;

x

4y

z

3

3x  y  13z  6
x  y  z  3

в)  x  y  z  1 ;
 x  y 1

2x  7y  3z  t  6

г) 3x  5y  2z  2t  4 .
9x  4y  z  7t  2

x  y  z  2

а) 2x  3y  4z  3 ;
 4x  11y  10z  5

2x  3y  5z  7t  1

б) 4x  6y  2z  3t  2 ;
2x  3y  11z  15t  1

 x  2y  3z  1

в) 2x  4y  6z  3 ;
3x  6y  9z  2

2x  5y  8z  8
4x  3y  9z  9

г) 
;
2x

3y

5z

7

 x  8y  7z  12
18
3.
4.
5.
6.
 x  2y  3z  1

а) 2x  4y  6z  2 ;
3x  6y  9z  3

x  y  z  6
2x  y  z  3

б) 
;
x

y

2z

5

3x  6y  5z  6
 x  2y  3z  4

в) 2x  4y  6z  3 ;
3x  y  z  1

 x  2y  3z  t  1

г) 3x  2y  z  t  1 .
5x  5y  2z  2

 x  2y  3z  4

а) 2x  y  z  3 ;
3x  3y  2z  7

3x  4y  z  2t  3

б) 6x  8y  2z  5t  7 ;
9x  12y  3z  10t  13

x  y  z  1

в)  x  y  z  2 ;
5x  y  z  7

2x  y  z  2
 x  3y  z  5

г) 
.
x

y

5z


7

2x  3y  3z  14
 x  2y  z  4

а) 2x  3y  z  3 ;
4x  y  z  11

 x  2y  3z  2
x  y  z  0

б) 
;
x

3y

z


2

3x  4y  3z  0
 x  2y  3z  4

в) 2x  y  z  3 ;
3x  3y  2z  10

 x  2y  3z  4t  5
г) 
.
x

y

z

t

1

 x  2y  3z  3

а)  x  3y  5z  0 ;
3x  y  13z  6

3x  2y  5z  4t  2

б) 6x  4y  4z  3t  3 ;
9x  6y  3z  2t  4

2x  y  z  1

в)  x  3y  4z  2
;
11x  12y  17z  3

2x  5y  8z  8
4x  3y  9z  9

г) 
.
2x

3y

5z

7

 x  8y  7z  12
19
7.
8.
8.
9.
 x  2y  6z  5

а) 2x  y  3z  7 ;
5x  5y  15z  8

x  y  z  6
2x  y  z  3

б) 
;
x

y

2z

5

3x  6y  5z  6
2x  y  3z  9

в) 3x  5y  z  4 ;
4x  7y  z  5

 x  2y  3z  4t  5
г) 
.
x

y

z

t

1

x  y  z  2

а) 2x  3y  4z  3 ;
 4x  11y  10z  5

11x  17y  6z  39u  1

б) 2x  3y  5z  u  0
;
 x  32y  31z  34u  1

3x  5y  2z  4t  2

в) 7x  4y  3t  5
;
5x  7y  4z  6t  3

2x  y  z  0
 x  y  3z  13

г) 
.
3x

2y

4z


15

 x  2y  z  1
 x  2y  z  3

а)  x  3y  z  1 ;
3x  4y  z  5

 x  2y  z  t  1

б)  x  2y  z  t  1;
 x  2y  z  5t  5

3x  5y  2z  4t  2

в) 7x  4y  z  3t  5 ;
5x  7y  4z  6t  3

 x  y  3z  13
2x  y  z  0

г) 
.
3x

2y

4z


15

 x  2y  z  1
2x  y  3z  7
10. а)  x  2y  6z  1 ;
 x  5y  15z  8

 x  3y  2z  5

в) 3x  y  4z  7 ;
5x  7y  8z  1

2x  y  z  2
 x  3y  z  5

б) 
;
x

y

5z


7

2x  3y  3z  14
2x  y  3z  7t  5

г) 6x  3y  z  4t  7
.
4x  2y  14z  31t  18

20
 x  2y  3z  1

11. а) 3x  2y  4z  2 ;
5x  2y  2z  4

x  y  z  1

в)  x  11y  4z  13 ;
 2x  10y  5z  1

 x  2y  3z  7

12. а)  x  3y  2z  5 ;
2x  y  5z  12

 x  3y  4z  1

в) 2x  y  z  6 ;
3x  4y  3z  0

 x  2y  3z  4

13. а) 2x  y  z  3 ;
3x  3y  2z  7

 x  2y  2z  5

в) 2x  y  3z  4 ;
3x  y  5z  1

3x  2y  z  1

14. а) 7x  6y  5z  5 ;
5x  4y  3z  2

 x  y  3z  0

в) 2x  7y  5z  1 ;
3x  8y  8z  5

2x  5y  8z  8
4x  3y  9z  9

б) 
;
2x

3y

5z

7

 x  8y  7z  12
9x  3y  5z  6t  4

г) 6x  2y  3z  t  5 .
3x  y  3z  14t  8

 x  7y  6z  4
 x  12y  11z  7

б) 
;
3x

2y

z

1

8x  y  3z  1
 x  3y  2z  4
2x  6y  z  2

г) 
.
4x

8y

z

2

3x  9y  3z  6
3x  2y  5z  4t  2

б) 6x  4y  4z  3t  3 ;
9x  6y  3z  2t  4

 x  2y  3z  2
x  y  z  0

г) 
.
x

3y

z


2

3x  4y  3z  0
2x  3y  5z  7t  1

б) 4x  6y  2z  3t  2 ;
2x  3y  11z  15t  1

 x  2y  3z  4t  5
г) 
.
x

y

z

t

1

21
 x  2y  3z  7

15. а)  x  3y  2z  5 ;
2x  y  5z  12

 x  2y  2z  1

в) 2x  y  2z  1 ;
3x  y  4z  1

 x  2y  z  3

16. а)  x  3y  z  1 ;
3x  4y  z  5

 x  2y  2z  2

в) 2x  y  2z  4 ;
3x  y  4z  1

x  y  z  3

а)  x  y  z  1 ;
x  y  2
17.

x  y  z  3

в)  x  y  z  1 ;
 x  y 1

x  y  z  2

18. а) 2x  3y  4z  3 ;
 4x  11y  10z  5

 x  2y  3z  1

в) 2x  4y  6z  3 ;
3x  6y  9z  2

 x  2y  3z  t  1

б) 3x  2y  z  t  1 ;
5x  5y  2z  2

x  y  z  6
2x  y  z  3

г) 
.
x

y

2z

5

3x  6y  5z  6
2x  y  z  2
 x  3y  z  5

б) 
;
x

y

5z


7

2x  3y  3z  14
9x  3y  5z  6t  4

г) 6x  2y  3z  t  5 .
3x  y  3z  14t  8

 x  2y  3z  3
 x  3y  5z  0

б) 
;

x

4y

z

3

3x  y  13z  6
2x  7y  3z  t  6

г) 3x  5y  2z  2t  4 .
9x  4y  z  7t  2

2x  3y  5z  7t  1

б) 4x  6y  2z  3t  2 ;
2x  3y  11z  15t  1

2x  5y  8z  8
4x  3y  9z  9

г) 
;
2x

3y

5z

7

 x  8y  7z  12
22
 x  2y  3z  1

19. а) 2x  4y  6z  2 ;
3x  6y  9z  3

 x  2y  3z  4

в) 2x  4y  6z  3 ;
3x  y  z  1

 x  2y  3z  4

20. а) 2x  y  z  3 ;
3x  3y  2z  7

x  y  z  1

в)  x  y  z  2 ;
5x  y  z  7

 x  2y  z  4

21. а) 2x  3y  z  3 ;
4x  y  z  11

 x  2y  3z  4

в) 2x  y  z  3 ;
3x  3y  2z  10

 x  2y  3z  3

22. а)  x  3y  5z  0 ;
3x  y  13z  6

2x  y  z  1

в)  x  3y  4z  2
;
11x  12y  17z  3

x  y  z  6
2x  y  z  3

б) 
;
x

y

2z

5

3x  6y  5z  6
 x  2y  3z  t  1

г) 3x  2y  z  t  1 .
5x  5y  2z  2

3x  4y  z  2t  3

б) 6x  8y  2z  5t  7 ;
9x  12y  3z  10t  13

2x  y  z  2
 x  3y  z  5

г) 
.
x

y

5z


7

2x  3y  3z  14
 x  2y  3z  2
x  y  z  0

б) 
;
x

3y

z


2

3x  4y  3z  0
 x  2y  3z  4t  5
г) 
.
x

y

z

t

1

3x  2y  5z  4t  2

б) 6x  4y  4z  3t  3 ;
9x  6y  3z  2t  4

2x  5y  8z  8
4x  3y  9z  9

г) 
.
2x

3y

5z

7

 x  8y  7z  12
23
 x  2y  6z  5

23. а) 2x  y  3z  7 ;
5x  5y  15z  8

2x  y  3z  9

в) 3x  5y  z  4 ;
4x  7y  z  5

x  y  z  2

24. а) 2x  3y  4z  3 ;
 4x  11y  10z  5

3x  5y  2z  4t  2

в) 7x  4y  3t  5
;
5x  7y  4z  6t  3

 x  2y  z  3

25. а)  x  3y  z  1 ;
3x  4y  z  5

3x  5y  2z  4t  2

в) 7x  4y  z  3t  5 ;
5x  7y  4z  6t  3

2x  y  3z  7
26. а)  x  2y  6z  1 ;
 x  5y  15z  8

 x  3y  2z  5

в) 3x  y  4z  7 ;
5x  7y  8z  1

x  y  z  6
2x  y  z  3

б) 
;
x

y

2z

5

3x  6y  5z  6
 x  2y  3z  4t  5
г) 
.
x

y

z

t

1

11x  17y  6z  39u  1

б) 2x  3y  5z  u  0
;
 x  32y  31z  34u  1

2x  y  z  0
 x  y  3z  13

г) 
.
3x

2y

4z


15

 x  2y  z  1
 x  2y  z  t  1

б)  x  2y  z  t  1;
 x  2y  z  5t  5

 x  y  3z  13
2x  y  z  0

г) 
.
3x

2y

4z


15

 x  2y  z  1
2x  y  z  2
 x  3y  z  5

б) 
;
x

y

5z


7

2x  3y  3z  14
2x  y  3z  7t  5

г) 6x  3y  z  4t  7
.
4x  2y  14z  31t  18

24
 x  2y  3z  1

27. а) 3x  2y  4z  2 ;
5x  2y  2z  4

x  y  z  1

в)  x  11y  4z  13 ;
 2x  10y  5z  1

 x  2y  3z  7

28. а)  x  3y  2z  5 ;
2x  y  5z  12

 x  3y  4z  1

в) 2x  y  z  6 ;
3x  4y  3z  0

 x  2y  3z  4

29. а) 2x  y  z  3 ;
3x  3y  2z  7

 x  2y  2z  5

в) 2x  y  3z  4 ;
3x  y  5z  1

3x  2y  z  1

30. а) 7x  6y  5z  5 ;
5x  4y  3z  2

 x  y  3z  0

в) 2x  7y  5z  1 ;
3x  8y  8z  5

2x  5y  8z  8
4x  3y  9z  9

б) 
;
2x

3y

5z

7

 x  8y  7z  12
9x  3y  5z  6t  4

г) 6x  2y  3z  t  5 .
3x  y  3z  14t  8

 x  7y  6z  4
 x  12y  11z  7

б) 
;
3x

2y

z

1

8x  y  3z  1
 x  3y  2z  4
2x  6y  z  2

г) 
.
4x

8y

z

2

3x  9y  3z  6
3x  2y  5z  4t  2

б) 6x  4y  4z  3t  3 ;
9x  6y  3z  2t  4

 x  2y  3z  2
x  y  z  0

г) 
.
x

3y

z


2

3x  4y  3z  0
2x  3y  5z  7t  1

б) 4x  6y  2z  3t  2 ;
2x  3y  11z  15t  1

 x  2y  3z  4t  5
г) 
.
x

y

z

t

1

25
Задание 3. Решить системы однородных уравнений:
1.
3x  4y  2z  0

а)  x  y  4z  0
;
5x  2y  10z  0

x  y  z  0
3x  2y  z  0

б) 
.
2x

5y

3z

0

4x  3y  0
2.
 x  2y  3z  0

а) 2x  4y  6z  0 ;
3x  6y  9z  0

 x  y  3z  t  0

б) 2x  2y  z  2t  0 .
2x  7y  5z  t  0

3.
 x  2y  z  t  0

а) 2x  5y  z  5t  0 ;
3x  8y  z  9t  0

3x  2y  z  0

б) 2x  y  3z  0 .
x  y  z  0

4.
x  y  z  0

а) 3x  y  2z  0 ;
 x  3y  0

 x  2y  z  0
2x  2y  3z  0

б) 
.
3x

z

0

5x  2y  2z  0
5.
x  y  z  0

а) 4x  4y  4z  0 ;
5x  5y  5z  0

x  y  z  t  0

б)  x  3y  z  2t  0 .
3x  y  4z  t  0

6.
3x  y  2z  0

а) 2x  3y  5z  0 ;
x  y  z  0

4x  3y  z  t  0

б) 2x  y  3z  5t  0 .
 x  2y  2z  3t  0

7.
x  y  z  0

а) 2x  3y  4z  0 ;
4x  11y  10z  0

 x  2y  2z  0
3x  5y  4z  0

б) 
.
3x

2y

4z

0

2x  3y  2z  0
8.
x  y  z  0

а) 2x  3y  4z  0 ;
5x  7y  8z  0

3x  2y  5z  4t  0

б) 6x  4y  4z  3t  0 .
9x  6y  3z  2t  0

9.
 x  3y  2z  0

а)  x  y  z  0 ;
2x  y  3z  0

3x  y  3z  14t  0

б) 6x  2y  3z  t  0 .
9x  3y  5z  6t  0

26
2x  3y  z  0

10. а)  x  y  z  0 ;
3x  2y  2z  0

 x  2y  z  t  0

б)  x  12y  4z  2t  0 .
3x  5y  3z  t  0

2x  y  3z  0

11. а)  x  2y  5z  0 ;
3x  y  2z  0

 x  2y  z  t  0

б)  x  y  2z  t  0 .
2x  y  z  2t  0

3x  2y  z  0

12. а)  x  2y  9z  0 ;
 x  y  2z  0

x  y  z  0
2x  y  2z  0

б) 
.
x

y

3z

0

2x  2y  4z  0
2x  y  z  0

13. а) 5x  y  2z  0 ;
 x  2y  z  0

 x  5y  4z  3t  0

б) 2x  y  2z  t  0 .
5x  3y  8z  t  0

2x  y  4z  0

14. а) 3x  5y  7z  0 ;
4x  5y  6z  0

 x  2y  4z  0
2x  3y  2z  0

б) 
.
5x

8y

3z

0

3x  y  6z  0
3x  5y  2z  0
4x  7y  5z  0
15. а) 
;
x

y

4z

0

2x  9y  6z  0
 x  y  2z  0

б) 2x  2y  4z  0 .
5x  5y  10z  0

2x  4y  5z  3t  0

16. а) 3x  6y  4z  2t  0 ;
4x  8y  17z  11t  0

3x  2y  z  0

б) 2x  5y  3z  0 .
3x  4y  2z  0

3x  4y  2z  0

17. а)  x  y  4z  0 ;
5x  2y  10z  0

x  y  z  0
3x  2y  z  0

б) 
.
2x

5y

3z

0

4x  3y  0
 x  2y  3z  0

18. а) 2x  4y  6z  0 ;
3x  6y  9z  0

 x  y  3z  t  0

б) 2x  2y  z  2t  0 .
2x  7y  5z  t  0

27
 x  2y  z  t  0

19. а) 2x  5y  z  5t  0 ;
3x  8y  z  9t  0

3x  2y  z  0

б) 2x  y  3z  0 .
x  y  z  0

x  y  z  0

20. а) 3x  y  2z  0 ;
 x  3y  0

 x  2y  z  0
2x  2y  3z  0

б) 
.
3x

z

0

5x  2y  2z  0
x  y  z  0

21. а) 4x  4y  4z  0 ;
5x  5y  5z  0

x  y  z  t  0

б)  x  3y  z  2t  0 .
3x  y  4z  t  0

3x  y  2z  0

22. а) 2x  3y  5z  0 ;
x  y  z  0

4x  3y  z  t  0

б) 2x  y  3z  5t  0 .
 x  2y  2z  3t  0

x  y  z  0

23. а) 2x  3y  4z  0 ;
4x  11y  10z  0

 x  2y  2z  0
3x  5y  4z  0

б) 
.
3x

2y

4z

0

2x  3y  2z  0
x  y  z  0

24. а) 2x  3y  4z  0 ;
5x  7y  8z  0

3x  2y  5z  4t  0

б) 6x  4y  4z  3t  0 .
9x  6y  3z  2t  0

 x  3y  2z  0

25. а)  x  y  z  0 ;
2x  y  3z  0

3x  y  3z  14t  0

б) 6x  2y  3z  t  0 .
9x  3y  5z  6t  0

2x  3y  z  0

26. а)  x  y  z  0 ;
3x  2y  2z  0

 x  2y  z  t  0

б)  x  12y  4z  2t  0 .
3x  5y  3z  t  0

2x  y  3z  0

27. а)  x  2y  5z  0 ;
3x  y  2z  0

 x  2y  z  t  0

б)  x  y  2z  t  0 .
2x  y  z  2t  0

28
3x  2y  z  0

28. а)  x  2y  9z  0 ;
 x  y  2z  0

x  y  z  0
2x  y  2z  0

б) 
.
x

y

3z

0

2x  2y  4z  0
2x  y  z  0

29. а) 5x  y  2z  0 ;
 x  2y  z  0

 x  5y  4z  3t  0

б) 2x  y  2z  t  0 .
5x  3y  8z  t  0

2x  y  4z  0

30. а) 3x  5y  7z  0 ;
4x  5y  6z  0

 x  2y  4z  0
2x  3y  2z  0

б) 
.
5x

8y

3z

0

3x  y  6z  0
Образец выполнения контрольной работы № 2
“СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ”
x  y z  2
1) Решить систему матричным способом:  2x  y  z  1 .
 x  2y  3

x
 1 1 1 
 2
Решение. Пусть Х   y  , A   2 1 1 , B   1  . Тогда данную систему
z 
 1 2 0 
 3 
 


 
можно записать в виде матричного уравнения AX  B . Решаем его, домножая слева на
А 1АХ  А 1В  ЕХ  А 1В. Отсюда получаем решение
обратную матрицу:
Х  А 1 В . Найдем сначала
1 1 1
 А  2 1 1
1 2 0
А1 .
1 1 1
3 0 0
1 2 0
 3(1)
()
21
1 1
2 0
 3(1)(0  (2))  6 .
( А  0 ,значит А 1  ).
29
1 1 1
1 1
11
А11  (1) 2 1 1 
 0  2  2
1 0
()
1 2 0
А 21  (1)
2 1
()
А31  (1)
31
()
A12   1
2 2
( )
A 22   1
1 2
()
А 32  (1)
3 2
()
А 23  (1)
23
( )
1 1 1
1 1
2 1 1  
 (0  (2))  2
2 0
1 2 0
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
2 1 1 
 11  0
1 1
1 2 0
2 1
2 1 1  
   0   1   1,
1 0
1 2 0
1 1
2 1 1 
 0  1  1
1 0
1 2 0
1 1
 ( 1  2)  3,
2 1
1 1
 ( 2  1)  1
1 2
13
А13  ( 1)
()
А 33  ( 1)
( )
3 3
2 1
 4  1  5,
1 2
1 1
1  2  3
2 1
Составляем обратную матрицу
 А11
1
А 1   А12

 А13
А 21
А 22
А 23
А31 
 2 2 0 
2 2 0 
1 
1


А32    1 1 3    1 1 3 
6 
 6  5 1 3 
А33 
 5 1 3 


Найдем
2 2 0  2 
 2  2  2  1  0  (3)

 6  1 
1
1
1   




X  A B   1 1 3   1   1  2  1  1  (3)(3)
  6 12    2  ,
6
6
  
 5  2  (1) 1  (3)(3) 
18   3 
 5 1 3   3 


   
1
30
 x  1 
т. е. Х   y    2  .
z  3
   
Проверка. Подставим найденное решение в исходную систему: 1  2  3  2
(истина), 2  1  2  3  1 (истина), 1  2  2  3 (истина).
x  1

Ответ:  y  2 .
z  3

2) Решить систему методом Крамера.
Возьмем эту же систему и решим её с помощью определителей.
1 1 1
x  y  z  2

2x  y  z  1 , запишем определитель системы   2 1 1  6 (найден
 x  2y  3
выше).
1 2 0

Заменим в  столбец коэффициентов при x на столбец правых частей
2
1
2 1 1
1
 х  1 1 1
3 2 0
 3 0 0  3(1)
()
3 2 0
21
1 1
2 0
 3()(0  2)  6 .
Заменим в  столбец коэффициентов при y на столбец правых частей
1
2
1
1
2
1
13
 y  2 1 1  3 3 0  1(1)
()
1 3 0
1 3 0
3
3
1 3
 9  3  12
Заменим в  столбец коэффициентов при z на столбец правых частей
1 1
2
z  2 1 1
1 2 3
(2)
1
 3
1
1
2
1 2
0 3  (1) (1)
()
0 7
3
3
1 7
 21  3  18 .
31
x 6

x


1

 6

y 12

По формулам Крамера получаем решение  y 

 2.


6

z 18

z


3


6

x  1

Ответ:  y  2 .
z  3

3) Решить системы методом Гаусса:
x  y  z  1

а) 2x  y  z  1
 x  2y  3

 1 1 1 2 
Выписываем расширенную матрицу B   2 1 1 1 
и с помощью
 1 2 0 3 


элементарных преобразований приводим ее или к треугольному виду, или к виду
трапеции (как получится).
 1 1 1 2  ( 2) ( 1)
 1 1 1 2 
 1 1 1 2 
B   2 1 1 1 




  0 3 3 3    0 1 1 5  (3) 
 1 2 0 3 


 0 1 1 5 
 0 3 3 3 




x
2 
 1 1 1


  0 1 1 5 
 0 0 6 18 


: (-1)
: (-6)

y
z
 1 1 1 2 
 0 1 1 5  . rA  3, r B  3  r  3 .


0 0 1 3


n  3 и равно рангу системы, система имеет
Так как число неизвестных
единственное решение. По полученной матрице восстанавливаем систему уравнений.
x  y  z  2

Идя снизу вверх, получаем это решение:  y  z  5
.
z  3

32
Из последнего уравнения z  3 , с помощью второго находим y  5  z  5  3  2.
z  3,
Подставляя в первое уравнение найденные y  2
и
находим
x  2  y  z  2  2  3  4  3  1.
x  1

Ответ:  y  2 .
z  3

x  y  z  2

б) 2x  y  z  1
 x  2y  2z  1

 1 1 1 2  (2) ( 1)

B   2 1 1 1 
 1 2 2 1 


 1 1 1 2 
 0 3 3 3  (-1) 


 0 3 3 1 


 1 1 1 2 
 0 3 3 3 


0 0 0 2 


r A  2, r B  3. Следовательно, по теореме Кронекера-Капелли система несовместна (т. е.
не имеет решения). Выпишем уравнение, соответствующее последней строке
полученной матрицы: 0  x  0  y  0  z  2 , что невозможно.
Ответ: система не имеет решения.
3x  2y  z  1

в) 2x  y  2z  2
x  y  z  1

Записываем расширенную матрицу:
 3 2 1 1
B   2 1 2 2 
 1 1 1 1 



 1 1 1 1  (2) ( 3)


  2 1 2 2 

 3 2 1 1


 1 1 1 1 
 0 1 4 4  : (-1) 


0 0 0 0


 1 1 1 1 
 0 1 4 4 


 0 1 4 4 


 1 1 1 1 
 0 1 4 4  .


0 0 0 0 


r A  r B  2 . Отсюда следует, что система совместна.
Число неизвестных n  3  r  2 . Следовательно, система имеет бесконечное
множество решений: n  r  3  2  1 . Отсюда система имеет одну свободную
33
переменную, пусть это будет z , тогда x, y – базисные (базисных неизвестных столько,
каков ранг системы, т. е. сколько ненулевых строк остается в последней матрице).
x  y  z  1

Запишем систему, соответствующую полученной матрице:  y  4z  4 .
z  z

Следовательно, идя снизу вверх, выражаем базисные неизвестные через свободную
z . Из второго уравнения выражаем y  4  4z, из первого уравнения
x  y  z  1   4  4z   z  1  4  4z  z  1  3  3z.
 x  3  3z

Общее решение:  y  4  4z .
z  z

Из общего решения можно получить любое частное решение. Пусть z  2 , тогда
получим частное решение: x  3  3  2   3  6  3; y  4  4  2   4  8  4.
x  3

Частное решение:  y  4 .
 z  2

Выполним проверку общего решения. Для этого подставим найденные выражения
x, y, z в уравнения исходной системы:
1) 3(3  3z)  2(4  4z)  z  1
 9  9z  8  8z  z  1
 1  1
 истина 
2)  2(3  3z)  (4  4z)  2z  2
6  6z  4  4z  2z  2
2  2 (истина)
3) (3  3z)  (4  4z)  z  1
3  3z  4  4z  z  1
1  1 (истина)
 x  3  3z

Ответ:  y  4  4z .
z  z

34