Д.З. после семинара 15.09.14

Парная регрессия
Парной регрессионной моделью называется функция вида Y  f ( X ,  ) ,
где X- независимая переменная, Y – зависимая переменная, ε – случайная составляющая.
Функцией регрессии называется условное среднее переменной Y в зависимости от
переменной X.
Модель линейной регрессии имеет вид:
Yi    X i   i , i = 1,…, n,
где n – число наблюдений,  и  - неизвестные коэффициенты регрессии (или параметры
регрессии).
Для нахождения оценок параметров  и  используется метод наименьших квадратов
n
(МНК), сводящийся к минимизации суммы квадратов отклонений RSS    i2 по  и  .
i 1
n
Оценки МНК параметров имеют вид: ̂ 
(X
i 1
i
 X )(Yi  Y )
n
(X
i 1
i
, ˆ  Y  ˆX .
 X )2
Функция линейной регрессии будет иметь вид: Yˆi  ˆ  ˆX i , i = 1,…, n.
Если случайные величины  i ,  j при всех i  j , i  1,..., n, j  1,..., n являются
некоррелированными и  i ~ N (0,  2 ) , i = 1,…, n,
то случайная величина
ˆ  
имеет распределение Стьюдента с n – 2 степенями
sˆ.e( ˆ )
свободы.
Гипотеза о конкретном значении коэффициента 
H 0 :   0
при двусторонней альтернативной гипотезе H 0 :    0
проверяется с помощью тестовой статистики:
ˆ   0
.
t
sˆ.e( ˆ )
Если t  tcr/ 2 (n  2) , где  - выбранный уровень значимости, то основная гипотеза
отвергается.
Если же альтернативная гипотеза односторонняя H 0 :    0 ( H 0 :    0 ), то основная
гипотеза отвергается, если t  tcr (n  2) ( t  tcr (n  2) ).
Аналогично формулируется и проверяется гипотеза о конкретном значении
коэффициента  .
Проверка гипотезы о равенстве коэффициента 0 (обычно при двусторонней
альтернативной гипотезе) называется проверкой гипотезы о значимости
коэффициента. Если гипотеза о равенстве коэффициента 0 не отвергается, то этот
коэффициент называется незначимым.
При оценке параметров регрессии статистическими пакетами Excel, Eviews, STATA,
SPSS и др. автоматически проводится проверка гипотез о значимости коэффициентов.
Для тестовой t – статистики вычисляется p - value (p - значение) – минимальный уровень
значимости, при котором основная гипотеза отвергается. Если p – value превышает
3
выбранный уровень значимости, то основная гипотеза (о равенстве коэффициента 0) не
отвергается.
Если коэффициент  является незначимым, то переменная X не влияет на переменную Y.
Если коэффициент  является значимым, то его оценка интерпретируется следующим
образом: при увеличении X на одну единицу Y изменяется на ˆ единиц (в сторону
увеличения при положительном ˆ и уменьшения при отрицательном ˆ ).
Упражнения (компьютерные) для домашнего задания
Упражнение 1. Оценка функций спроса на основные виды товаров и
услуг
В файле data 1.1 используются данные 14 раунда базы данных RLMS (РМЭЗ Российского мониторинга экономического положения и здоровья населения), касающиеся
потребления домохозяйствами Москвы основных продуктов питания в 2005 г.
Переменные:
INCOME (руб.) – доход домохозяйства за месяц,
DBREAD (кг) – количество белого хлеба, купленного домохозяйством за последние 7
дней,
PBREAD (руб) – цена 1 кг купленного хлеба,
DPOTAT (кг) – количество картофеля, купленного домохозяйством за последние 7 дней,
PPOTAT (руб) – цена 1 кг купленного картофеля,
DMACAR (кг) – количество макаронных изделий, купленных домохозяйством за
последние 7 дней,
PMACAR (руб) – цена 1 кг купленных макаронных изделий,
DEGGS (десятков) – количество десятков яиц, купленных домохозяйством за последние 7
дней,
PEGGS (руб) – цена 1 десятка купленных яиц,
DMILK (л) – количество молока, купленного домохозяйством за последние 7 дней,
PMILK (руб) – цена 1 кг купленного молока.
1) Выберите один из товаров из приведенного выше списка.
2) Оцените параметры уравнения регрессии
Y    X   ,
где Y – спрос домохозяйств на выбранный товар, X – цена выбранного товара.
3) Проверьте значимость коэффициента  и сделайте вывод, влияет ли цена товара на
спрос на него и если влияет, то каким образом.
Упражнение 2. Оценка кривых Энгеля
Кривые Энгеля отражают зависимость потребления определенного товара от дохода
потребителя. Используйте данные файла data 1.1
1) Выберите один из товаров из приведенного в упражнении 1.1 списка.
2) Оцените параметры уравнения регрессии
Y    X   ,
где Y – спрос домохозяйств на выбранный товар, X – доход домохозяйства.
3) Проверьте значимость коэффициента  и сделайте вывод, влияет ли доход
домохозяйства на спрос на него и если влияет, то каким образом.
4
Упражнение 3. Оценка модели CAPM по американским данным
В файле data 1.3 представлены ряды данных в формате Excel о месячных доходностях
акций компаний США, список которых приведен ниже, с января 1978 г. по декабрь 1987
г.
Данные были собраны Э.Берндтом и заимствованы с сайта издательства его книги [1]
Юнити: www.unity-dana.ru
Отрасль промышленности
Переработка нефти
Вычислительная техника
Производство
электроэнергии
Деревообрабатывающая
промышленность
Компания
Mobil
Texaco
International Business
Machines
Digital Equipment Company
Data General
Consolidated Edison
Переменная
MOBIL
TEXACO
IBM
Public Service of New
Hampshire
Weyerhauser
PSNH
Boise
Motorola
Tandy
Pan American Airways
Авиакомпании
Delta
Continental Illinois
Банки
Citicorp
Пищевая промышленность Gerber
General Mills
Электронное оборудование
DEC
DATGEN
CONED
WEYER
BOISE
MOTOR
TANDY
PANAM
DELTA
CONTIL
CITCRP
GERBER
GENMIL
Приведены также данные для доходности общего рыночного портфеля ценных бумаг
(переменная MARKET) и доходности безрискового актива – 30- дневных казначейских
билетов США (переменная RKFREE).
Используя модель CAPM
r j  r f   j   j (rm  r f )   j ,
где r j и r f соответственно доходности j – ой ценной бумаги и безрискового актива, rm доходность общего рыночного портфеля ценных бумаг,  j - ошибки регрессии,
1) Оцените методом наименьших квадратов параметры модели CAPM для выбранной
Вами j - ой ценной бумаги,
2) Проверьте значимость коэффициента  j . Сделайте вывод, влияет ли доходность
общего рыночного портфеля ценных бумаг на доходность j – ой ценной бумаги.
3) Дайте экономическую интерпретацию полученным результатам.
Методические рекомендации по выполнению упражнения 1.3
Предположим, Вы выбрали для исследования ценную бумагу Mobil.
1) В этом случае r j  MOBIL , r f  RKFREE , rm  MARKET .
2) Создайте зависимую переменную Yj = r j  r f  Mobil – RKFREE
3) Создайте независимую переменную X = rm  r f = MARKET - RKFREE
5
4) Оцените параметры уравнения регрессии Y j     j X   .
5) Проверьте значимость коэффициента  j .
6) Если ˆ j  1 , то проверьте гипотезу H 0 :  j  1 при альтернативной
гипотезе H 0 :  j  1 . Сделайте вывод, можно ли считать доходность j – ой ценной
бумаги выше доходности общего рыночного портфеля ценных бумаг.
7) Если ˆ j  1 , то проверьте гипотезу H 1 :  j  1 при альтернативной
гипотезе H 1 :  j  1 . Сделайте вывод, можно ли считать доходность j – ой ценной
бумаги ниже доходности общего рыночного портфеля ценных бумаг.
Упражнение 4. Оценка модели CAPM по российским данным
В файле data 1.4 (в формате Excel) представлены цены акций с 30.08.2002 по 24.08.2007
на конец недели следующих компаний:
Компания
РАО ЕЭС
Норильский Никель
ЛУКойл
Сбербанк
Сургутнефтегаз
Индекс РТС
Переменная
EESR
GMKN
LKOH
SBER
SNGS
RTS
Вместо рыночного портфеля для характеристики российского рынка используется индекс
РТС. Коэффициент бета (β) оценивает чувствительность цен акций к фондовому индексу
РТС.
1) Рассчитайте для каждой бумаги недельные доходности.
2) Рассчитайте RTS - относительное изменение индекса РТС.
3) Оцените коэффициент бета для каждого вида акций из регрессии
r j   j   j RTS   j ,
где r j - доходность j – ой акции, RTS - относительное изменение индекса РТС.
4) Проверьте значимость коэффициента  j . Сделайте вывод, влияет ли изменение
индекса РТС на доходность j – ой ценной бумаги.
5) Дайте экономическую интерпретацию полученным результатам.
1)
Y jt
2)
Xt
3)
4)
Методические рекомендации по выполнению упражнения 1.4
Предположим, Вы выбрали для исследования акции РАО ЕЭС.
Вычислите значения зависимой переменной Y по формуле
EERS t 1  EERS t
 r jt 
*100% , t = 1,…,261
EERS t
Вычислите значения независимой переменной X по формуле
RTS t 1  RTS t
 RTS t 
*100% , t = 1,…,261
RTS t
Оцените параметры уравнения регрессии Y j     j X   .
Если ˆ  1 , то проверьте гипотезу H :   1 при альтернативной
j
0
j
гипотезе H 1 :  j  1 . Сделайте вывод, можно ли считать доходность j – ой ценной
бумаги выше доходности по российскому рынку в среднем.
6
5) Если ˆ j  1 , то проверьте гипотезу H 0 :  j  1 при альтернативной
гипотезе H 1 :  j  1 . Сделайте вывод, можно ли считать доходность j – ой ценной
бумаги ниже доходности по российскому рынку в среднем.
7