Производная и её применение 1. При каких значениях m функция f ( x) 2 x 3 3(m 2) x 2 48mx 6 x 3 возрастает на всей числовой прямой. Решение: Д (f) = R f ( x) 6 x 2 6(m 2) x 48m 6 Функция f(x) возрастает на R, если f ( x) 0 Отсюда: 6 x 2 6(m 2) x 48m 6 0 x 2 (m 2) x (8m 1) 0 По свойству квадратного трёхчлена, он принимает значение больше или равные 0, если Д 0 Д (m 2) 2 4(8m 1) m 2 4m 4 32m 4 m 2 28m m 2 28 0 Отсюда: Найдём все значения m, удовлетворяющие этому неравенству. Рассмотрим функцию y m 2 28m Д (у) = R Нули функции: m1 0 m2 28 y (m) 0, если m 0;28 Значит: решением данного неравенства является 0;28 Отсюда: данная функция f(x) возрастает на всей числовой прямой при m 0;28. 1 2. Найти все общие точки графика функции у x 3 4 x и касательной к этому графику, 3 проведённой через М(0; 18). Решение: Уравнение касательной, проведённой к графику функции через точку x0 имеет вид у f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ). Найдём уравнение данной касательной: 1 f ( x0 ) x03 4 x0 Д (у) = R у x 2 4 3 f ( x0 ) ( x 2 0 4) 1 у x03 4 x0 ( x02 4)( x x0 ) Отсюда: 3 2 у ( x02 4) x x03 – уравнение касательной 3 1 Проверим принадлежность точки М(0; 18) к графику функции y x 3 4 x 3 18 = 0 – неверное неравенство значит М(0; 18) – не принадлежит графику функции. 2 Так как касательная проходит через М(0; 18), то справедливо равенство 18 ( x02 4) 0 x03 3 x0 3 Отсюда касательная задаётся уравнением у 5 х 18. 1 Найдём абсциссы точек пересечения графика функции у x 3 4 x и касательной у 5 x 18, 3 1 решив уравнение x 3 4 x 5 х 18 3 x 3 27 x 54 0 ( x 3 27) (27 x 81) 0 ( x 3)( x 2 3 x 9) 27( x 3) 0 ( x 3)( x 2 3 x 18) 0 x 3 0 или x 2 3x 18 0 x 3 или x 3 или x 6 Отсюда абсциссы общих точек x 3 или x 6, ординаты у 5 (3) 18 3 и 1 у 5 6 18 48 значит, координаты общих точек графика функции y x 3 4 x и касательной, 3 проведённой через М(0; 18) будут (–3; 3) и (6; 48). 3. Перо графопостроителя вычерчивает график функции у х 2 cos x для всех x принадлежащих промежутку ; . Найдите координаты точки графика, наиболее удалённый от оси абсцисс. Решение: Пусть х – абсцисса точки графика, наиболее удалённой от оси абсцисс при условии x ; , тогда ордината точки у x 2 cos x. Так как точка наиболее удалена от оси абсцисс, то расстояние от точки до оси абсцисс равно длине её ординаты х 2 cos x . Найдём значение x, при котором данное расстояние принимает наибольшее значение. Для этого рассмотрим функцию f ( x) x 2 cos x Д (f) = R, по условию x ; f ( x) 1 2 sin x Критические точки функции: 1 2 sin x 0 2 sin x 1 1 sin x 2 5 x (1) n1 n, n Z. Из них ; принадлежат x1 и x2 . 6 6 6 Найдём наибольшее значение функции на ; , для этого найдём значение функции на 5 5 3; концах промежутка и в критических точках f ( ) 2; f ( ) 6 6 f ( ) 3; f ( ) 2. 6 6 Отсюда: f(x) принимает наибольшее значение при x , а значит, точка наиболее удалённая от оси абсцисс ; 2. 4. Найдите самый длинный отрезок прямой, параллельной оси у внутри фигуры, ограниченной линиями у x 2 6 х 1 и у 3x 2 2 х 1. Решение: Найдём абсциссы точек пересечения линий, для этого решим уравнение: x 2 6 х 1 3x 2 2 x 1 4 x 2 8х 0 4 x( x 2) 0 x 0 или x 2 Пусть М x;3x 2 2 x 1 – точка, принадлежащая линии у 3x 2 2 х 1, а N x; x 2 6 x 1 – точка, принадлежащая линии у x 2 6 х 1 M N 2 3х 2 2 х 1 х 2 6 x 1 2 2 М N 2 4 х 2 8х . Найдём наибольший квадрат длины отрезка, а значит и самый длинный отрезок, лежащий внутри фигуры и параллельный оси у. Для этого рассмотрим функцию g ( x) 4 x 2 8x на отрезке 0;2 g ( x) 8 x 8. Критические точки х = 1 1 0;2 – на котором функция определена и непрерывна. g(0) = 0 g(1) = 4 g(2) = 0 Значит, функция g имеет наибольшее значение 4 при х = 1. Отсюда, самым длинным отрезком, параллельным оси у внутри фигуры будет отрезок MN, где М(1;0), а N(1; –4).