174-2013 - Воронежский государственный технический

ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный
технический университет”
Кафедра прикладной математики
№ 174 -2013
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к контрольной работе № 1
по спецглавам математики для студентов
направления подготовки бакалавров 131000
«Нефтегазовое дело» (профиль «Эксплуатация
и обслуживание объектов транспорта и хранения
нефти, газа и продуктов переработки»)
заочной формы обучения
 divFdV   Fn dS
V
S
Воронеж 2013
Составители: канд. физ.-мат. наук А.П. Бырдин,
канд. физ.-мат. наук Е.В. Вислова,
канд. физ.-мат. наук Н.В. Заварзин,
канд. техн. наук
А.А. Сидоренко
УДК 517.2 (07)
Методические указания к контрольной работе № 1
по спецглавам математики для студентов направления
подготовки бакалавров 131000 «Нефтегазовое дело» (профиль
«Эксплуатация и обслуживание объектов транспорта и
хранения нефти, газа и продуктов переработки») заочной
формы
обучения
/
ФГБОУ
ВПО
“Воронежский
государственный
технический
университет”; cост.
А.П. Бырдин, Е.В. Вислова, Н.В. Заварзин, А.А. Сидоренко.
Воронеж, 2013. 50 с.
Методические указания предназначены для студентовзаочников направления «Нефтегазовое дело» и содержат
рекомендации по выполнению контрольной работы по
спецглавам математики раздела “Уравнения математической физики”,
программу курса с указанием литературы, теоретическую
часть курса, примеры решения задач и двадцать вариантов
контрольных заданий.
Библиогр.: 3 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. Е.И. Иохвидов
Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат.
наук, проф. В.Д. Репников
Печатается по решению редакционно-издательского
совета Воронежского государственного
технического
университета
 ФГБОУ ВПО “Воронежский
государственный технический
университет”, 2013
2
ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ
К ИЗУЧЕНИЮ КУРСА
“УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ”
Данные методические указания предназначены для
выполнения контрольной работы по спецглавам математики
курса “Уравнения математической физики” студентам
специальности «Нефтегазовое дело» заочного факультета.
В контрольной работе
представлены задачи по
уравнениям математической физики. Для успешного
выполнения контрольных работ, а также последующей сдачи
экзамена необходимо изучить теоретические вопросы (ссылки
на учебную литературу даны в каждом вопросе) и
ознакомиться с методами решения типовых задач, которые
приводятся в этих методических указаниях.
При изучении материала по учебнику полезно вести
конспект, в который рекомендуется вписывать определения,
формулировки теорем, формулы, уравнения и т.д. Курс
высшей математики разбит на темы и пункты, в которых
указана литература, рекомендуемая для изучения.
После изучения определенной темы по учебнику и
решения достаточного количества задач рекомендуется
воспроизвести
по
памяти
определения,
формулы,
формулировки теорем. Необходимый минимум вопросов для
самопроверки приведен на страницах 5 и 6.
Зачет
контрольной
работы
преподавателем
осуществляется при выполнении следующих требований:
 правильном и подробном решении задач в контрольной
работе,
3
 умении достаточно быстро и без помощи пособий решать
задачи, аналогичные задачам, предложенным в контрольной
работе,
 твердом знании основных формул и определений,
перечисленных в вопросах для самопроверки.
Если в процессе изучения теоретического материала или
при решении задач у студента возникают вопросы, справиться
с которыми самостоятельно не удается, то за помощью можно
обратиться к преподавателю на консультации.
Выбор варианта контрольной работы студентом
производится
по
двум
последним
цифрам
номера
студенческого билета в соответствии со следующей
таблицей.
Предпоследняя цифра х
совпадает с одной из цифр
0, 2, 4, 6, 8
Предпоследняя цифра х
совпадает с одной из цифр
1, 3, 5, 7, 9
х1  1-й вариант
х1  11-й вариант
х2  2-й вариант
х2  12-й вариант
х3  3-й вариант
х3  13-й вариант
х4  4-й вариант
х4  14-й вариант
х5  5-й вариант
х5  15-й вариант
х6  6-й вариант
х6  16-й вариант
х7  7-й вариант
х7  17-й вариант
х8  8-й вариант
х8  18-й вариант
х9  9-й вариант
х9  19-й вариант
х0  10-й вариант
х0  20-й вариант
4
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ
КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
При выполнении контрольных работ требуется строгое
соблюдение указанных ниже правил. Работы, выполненные
без соблюдения этих правил, могут быть не зачтены.
1. Контрольная работа выполняется в тетради в клетку
чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо
оставлять поля для замечаний рецензента.
2. На обложке контрольной работы должны быть ясно
написаны фамилия и инициалы студента, шифр, название
дисциплины, номер и вариант контрольной работы, адрес
студента. В конце работы ставится дата ее выполнения и
подпись.
3. В работу включаются все задачи, указанные в задании,
строго по положенному варианту.
4. Решения задач располагаются в порядке возрастания
их номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.
5. Условия задач приводятся полностью. Решения
излагаются подробно и аккуратно, объясняются все действия
по ходу решения и делаются необходимые чертежи.
6. После получения проверенной работы исправляются
отмеченные рецензентом ошибки и выполняются все
рекомендации рецензента.
ПРОГРАММА КУРСА
“УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ”
ДЛЯ СТУДЕНТОВ –- ЗАОЧНИКОВ НАПРАВЛЕНИЯ
«НЕФТЕГАЗОВОЕ ДЕЛО»
(ТРЕТИЙ СЕМЕСТР)
Ряды Фурье
1. Определение тригонометрического ряда Фурье [1,
гл.17, §1].
5
2 Разложение в ряд Фурье периодической функции с
периодом 2 , заданной на отрезке, длина которого равна
периоду [1, гл.17, §3].
3. Ряды Фурье для четных и нечетных функций [1, гл.17,
§4].
4. Ряд Фурье для функции с периодом 2l [1, гл.17, §5].
Уравнения математической физики
5. Основные типы уравнений математической физики [1,
гл. 18, §1].
6. Вывод уравнения колебаний струны [1, гл. 18, §2].
7. Решение уравнения колебаний струны методом
разделения переменных [1, гл. 18, §3].
8. Колебание бесконечной струны. Формула Даламбера [6,
гл. 5, §5.8].
9. Уравнение распространения тепла в стержне [1, гл. 18,
§§4].
10. Решение смешанной краевой задачи для уравнения
теплопроводности в случае конечного стержня [6, гл. 5, §5.5].
11. Распространение тепла в неограниченном стержне.
Интеграл Пуассона [1, гл. 18, §7].
12. Задачи, приводящие к исследованию решений
уравнения Лапласа. Формулировка краевых задач [1, гл. 18,
§8].
13. Общая задача Штурма – Лиувилля [6, гл. 5, §5.10].
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ К КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЕ
1. Дайте определение ряда Фурье.
2. Сформулируйте достаточные условия представимости
функции рядом Фурье.
3. Чему равна сумма ряда Фурье в точках разрыва
функции?
6
4. Как выглядят коэффициенты Фурье для четных и
нечетных функций?
5. Запишите ряд Фурье для функций с периодом 2l  2 .
6. Что называется собственными значениями и
собственными функциями задачи Штурма – Лиувилля?
7. Перечислите их свойства.
8. Запишите формулу Даламбера решения волнового
уравнения для бесконечной струны.
9. В чем суть метода разделения переменных?
10. Чему равны собственные значения задачи Штурма –
Лиувилля для конечной струны?
11. Сформулируйте смешанную задачу для уравнения
теплопроводности в случае конечной стержня.
12. Как ставится задача Коши для неограниченного
стержня?
13. Приведите выражение для функции Лапласа.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
Задача № 1
Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом 2 )
функцию f (x) , заданную на отрезке [ ;  ] .
0,    x  0,
1. f ( x)  
 x  1, 0  x   .
2 x  1,
2. f ( x)  
0,
0,    x  0,
3. f ( x)  
 x  1, 0  x   .
 x  1 2 ,    x  0,
4. f ( x)  
0  x  .
0,
   x  0,
0,
5. f ( x)  
 x 2  1, 0  x   .
2 x  3,
6. f ( x)  
0,
7
   x  0,
0  x  .
   x  0,
0  x  .
   x  0,
0,
7. f ( x)  
3  x, 0  x   .
 x  2,
8. f ( x)  
0,
   x  0,
   x  0,
0,
9. f ( x)  
4 x  3, 0  x   .
5  x,
10. f ( x)  
0,
   x  0,
   x  0,
0,
11. f ( x)  
3x  1, 0  x   .
3  2 x,
12. f ( x)  
0,
   x  0,
   x  0,
0,
13. f ( x)  
(  x) 2 , 0  x   .
5 x  1,
14. f ( x)  
0,
   x  0,
   x  0,
0,
15. f ( x)  
1  4 x, 0  x   .
3x  2,
16. f ( x)  
0,
   x  0,
   x  0,
0,
17. f ( x)  
4  2 x , 0  x   .
 x   2 ,    x  0,
18. f ( x)  
0  x  .
0,
   x  0,
0,
19. f ( x)  
6 x  5, 0  x   .
7  3x,
20. f ( x)  
0,
0  x  .
0  x  .
0  x  .
0  x  .
0  x  .
   x  0,
0  x  .
Задача № 2
Решить задачу Штурма – Лиувилля.
 y   y  0, 3 2  x  2,
1. 
 y (3 2)  y (2)  0.
 y   y  0,  2  x   ,
2. 
 y ( 2)  y ( )  0.
 y   y  0,  4  x   2 ,
3. 
 y ( 4)  y ( 2)  0.
 y   y  0, 1 2  x  1,
4. 
 y (1 2)  y (1)  0.
8
 y   y  0, 3 4  x  1,
5. 
 y (3 4)  y (1)  0.
 y   y  0,   x  2 ,
6. 
 y ( )  y (2 )  0.
 y   y  0,  2  x  3 4 ,
7. 
 y ( 2)  y (3 4)  0.
 y   y  0, 1  x  3 2 ,
8. 
 y (1)  y (3 2)  0.
 y   y  0, 1 4  x  1 2 ,
9. 
 y (1 4)  y (1 2)  0.
 y   y  0,  2  x  3 2 ,
10. 
 y ( 2)  y (3 2)  0.
 y   y  0, 3 4  x  5 4 ,
11. 
 y (3 4)  y (5 4)  0.
 y   y  0, 1 2  x  3 2 ,
12. 
 y (1 2)  y (3 2)  0.
 y   y  0,  2  x  5 4 ,
13. 
 y ( 2)  y (5 4)  0.
 y   y  0,   x  3 2 ,
14. 
 y ( )  y (3 2)  0.
 y   y  0, 3 4  x  5 2 ,
15. 
 y (3 4)  y (5 2)  0.
 y   y  0, 1  x  2,
16. 
 y (1)  y (2)  0.
 y   y  0, 3 2  x  2,
17. 
 y (3 2)  y(2)  0.
 y   y  0,  2  x   ,
18. 
 y ( 2)  y ( )  0.
 y   y  0,  4  x   2 ,
19. 
 y ( 2)  y (3 4)  0.
 y   y  0, 1 2  x  1,
20. 
 y (1 2)  y (1)  0.
Задача № 3
Методом Даламбера найти форму струны, определяемую
 , если в начальный момент
волновым уравнением utt  a 2 u xx
времени ее форма и скорость удовлетворяют условиям Коши
u ( x,0)  f ( x) , u t ( x,0)  f ( x) .
9
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13.
15.
17.
f ( x)  x(2  x),
2.
f ( x)  e  x .
f ( x)  e x ,
4.
f ( x)  3x.
f ( x)  sin x,
6.
f ( x)  x 2 .
f ( x)  sin x,
8.
f ( x)  cos x.
f ( x)  cos x,
10.
f ( x)  sin x.
f ( x)  sin x,
12.
f ( x)  e .
x
f ( x)  x 3 ,
14.
f ( x)  e x .
f ( x)  e x ,
16.
f ( x)  x 2 .
f ( x)  e  x ,
18.
f ( x)   x.
10
f ( x)  x 2 ,
f ( x)  sin x.
f ( x)  cos x,
f ( x)  2 x.
f ( x )  x,
f ( x)  cos x.
f ( x)  x( x  2),
f ( x)  e x .
f ( x)  e  x ,
f ( x)  x.
f ( x)  arctgx,
f ( x)  x.
f ( x)  arcctgx,
f ( x)  x.
f ( x)  sin x,
f ( x)  x 3 .
f ( x)  cos x,
f ( x)  x 3 .
19.
f ( x)  arctgx,
20.
f ( x)  x 2 .
f ( x)  x 2 ,
f ( x )  cos x.
Задача №4
Методом Фурье решить смешанную задачу для волнового
 на отрезке [0; l ] , если
уравнения utt  a 2 u xx
 , 0  x  1, 0  t  ,
u tt  u xx
1. u ( x,0)  x( x  1), u t ( x,0)  0,
 , 0  x  3, 0  t  ,
u tt  9u xx
2. u ( x,0)  x( x  3), u t ( x,0)  0,
u (0, t )  0, u (1, t )  0.
u (0, t )  0, u (3, t )  0.
 , 0  x  3 2 , 0  t  ,
u tt  u xx
u tt  4u xx , 0  x  2, 0  t  ,
3. u ( x,0)  x( x  3 2), u t ( x,0)  0,
u (0, t )  0, u (3 2 , t )  0.
4. u ( x,0)  x( x  2), u t ( x,0)  0,
u (0, t )  0, u (2, t )  0.
u tt  1 4 u xx , 0  x  1 2 , 0  t  ,
5. u ( x,0)  x( x  1 2), u t ( x,0)  0,
u tt  4u xx , 0  x  1, 0  t  ,
6. u ( x,0)  x( x  1), u t ( x,0)  0,
u (0, t )  0, u (1 2 , t )  0.
u (0, t )  0, u (1, t )  0.
u tt  4 9 u xx , 0  x  2 3 , 0  t  ,
u tt  4u xx , 0  x  1 2 , 0  t  ,
7. u ( x,0)  x( x  2 3), u t ( x,0)  0,
8. u ( x,0)  x( x  1 2), u t ( x,0)  0,
u (0, t )  0, u (2 3 , t )  0.
u (0, t )  0, u (1 2 , t )  0.
u tt  u xx , 0  x  2, 0  t  ,
u tt  16u xx , 0  x  3, 0  t  ,
9. u ( x,0)  x( x  2), u t ( x,0)  0,
10. u ( x,0)  x( x  3), u t ( x,0)  0,
u (0, t )  0, u (2, t )  0.
u (0, t )  0, u (3, t )  0.
11
u tt  16u xx , 0  x  2, 0  t  ,
u tt  9u xx , 0  x  1, 0  t  ,
11. u ( x,0)  x( x  2), u t ( x,0)  0,
12. u ( x,0)  x( x  1), u t ( x,0)  0,
u (0, t )  0, u (2, t )  0.
u (0, t )  0, u (1, t )  0.
u tt  1 9 u xx , 0  x  1 2 , 0  t  ,
u tt  u xx , 0  x  3, 0  t  ,
13. u ( x,0)  x( x  1 2), u t ( x,0)  0,
14. u ( x,0)  x( x  3), u t ( x,0)  0,
u (0, t )  0, u (1 2 , t )  0.
u (0, t )  0, u (3, t )  0.
u tt  16u xx , 0  x  1, 0  t  ,
u tt  9u xx , 0  x  3 2 , 0  t  ,
15. u ( x,0)  x( x  1), u t ( x,0)  0,
16. u ( x,0)  x( x  3 2), u t ( x,0)  0,
u (0, t )  0, u (1, t )  0.
u (0, t )  0, u (3 2 , t )  0.
u tt  4u xx , 0  x  3, 0  t  ,
u tt  1 4 u xx , 0  x  2, 0  t  ,
17. u ( x,0)  x( x  3), u t ( x,0)  0,
18. u ( x,0)  x( x  2), u t ( x,0)  0,
u (0, t )  0, u (3, t )  0.
u (0, t )  0, u (2, t )  0.
utt  1 4 uxx , 0  x  1, 0  t  ,
utt  uxx , 0  x  1 2 , 0  t  ,
19. u ( x,0)  x( x  1), ut ( x,0)  0,
20. u ( x,0)  x( x  1 2), ut ( x,0)  0,
u (0, t )  0, u (1, t )  0.
u (0, t )  0, u (1 2 , t )  0.
Задача №5
Найти решение смешанной задачи для уравнения

[0; l ] ,
теплопроводности
на отрезке
utt  a 2 u xx
удовлетворяющее начальному условию u ( x,0)   ( x) , если
 , 0  x  3, t  0,
u t  u xx
 , 0  x  3, t  0,
u t  16u xx
0  x  1,
 x,
2. u ( x,0)  
2  x, 1  x  2,
u (0, t )  u (2, t )  0.
0  x  3 2,
 x,
1. u ( x,0)  
3  x, 3 2  x  3,
u (0, t )  u (3, t )  0.
12
 , 0  x  5, t  0,
u t  25u xx
 , 0  x  4, t  0,
u t  16u xx
0  x  5 2,
 x,
3. u ( x,0)  
5  x, 5 2  x  5,
u (0, t )  u (5, t )  0.
0  x  2,
 x,
4. u ( x,0)  
4  x, 2  x  4,
u (0, t )  u (4, t )  0.
 , 0  x  5, t  0,
u t  4u xx
 , 0  x  3, t  0,
u t  u xx
0  x  5 2,
 x,
5. u ( x,0)  
5  x, 5 2  x  5,
0  x  3 2,
 x,
6. u ( x,0)  
3  x, 3 2  x  3,
u (0, t )  u (5, t )  0.
u (0, t )  u (3, t )  0.
 , 0  x  8, t  0,
u t  25u xx
 , 0  x  2, t  0,
u t  9u xx
0  x  4,
 x,
7. u ( x,0)  
8  x, 4  x  8,
u (0, t )  u (8, t )  0.
0  x  1,
 x,
8. u ( x,0)  
2  x, 1  x  2,
u (0, t )  u (2, t )  0.
 , 0  x  1, t  0,
u t  16u xx
 , 0  x  4, t  0,
u t  4u xx
0  x  1 2,
 x,
9. u ( x,0)  
1  x, 1 2  x  1,
u (0, t )  u (1, t )  0.
0  x  2,
 x,
10. u ( x,0)  
4  x, 2  x  4,
u (0, t )  u (4, t )  0.
 , 0  x  10, t  0,
u t  9u xx
 , 0  x  9, t  0,
u t  25u xx
0  x  5,
 x,
11. u ( x,0)  
10  x, 5  x  10,
0  x  9 2,
 x,
12. u ( x,0)  
9  x, 9 2  x  9,
u (0, t )  u (10, t )  0.
u (0, t )  u (9, t )  0.
13
 , 0  x  3, t  0,
u t  9u xx
 , 0  x  5, t  0,
u t  u xx
0  x  3 2,
 x,
13. u ( x,0)  
3  x, 3 2  x  3,
u (0, t )  u (3, t )  0.
0  x  5 2,
 x,
14. u ( x,0)  
5  x, 5 2  x  5,
u (0, t )  u (5, t )  0.
 , 0  x  7, t  0,
u t  4u xx
 , 0  x  1, t  0,
u t  25u xx
0  x  7 2,
 x,
15. u ( x,0)  
7  x, 7 2  x  7,
0  x  1 2,
 x,
16. u ( x,0)  
1  x, 1 2  x  1,
u (0, t )  u (7, t )  0.
u (0, t )  u (1, t )  0.
 , 0  x  4, t  0,
u t  9u xx
 , 0  x  10, t  0,
u t  u xx
0  x  2,
 x,
17. u ( x,0)  
4  x, 2  x  4,
u (0, t )  u (4, t )  0.
0  x  5,
 x,
18. u ( x,0)  
10  x, 5  x  10,
u (0, t )  u (10, t )  0.
 , 0  x  2, t  0,
u t  4u xx
0  x  1,
 x,
19. u ( x,0)  
2  x, 1  x  2,
u (0, t )  u (2, t )  0.
 , 0  x  8, t  0,
u t  16u xx
40  x  4,
 x,
20. u ( x,0)  
8  x, 5  x  8,
u (0, t )  u (8, t )  0.
Задача №6

Найти решение уравнения теплопроводности ut  a 2 u xx
(  x  , t  0) ,
для
неограниченного
стержня
удовлетворяющее начальному условию u ( x,0)   ( x) , если
14
 ,
u t  u xx
 ,
ut  4u xx
1.
5, 0  x  3,
u ( x,0)  
0, x  0, x  3.
2.
 ,
ut  2u xx
3.
 ,
ut  3u xx
4, 1  x  4,
u ( x,0)  
0, x  1, x  4.
4.
 ,
ut  5u xx
5.
4,  2  x  1,
u ( x,0)  
0, x  2, x  1.
 ,
ut  6u xx
2, 2  x  3,
u ( x,0)  
0, x  2, x  3.
6.
 ,
ut  7u xx
7.
3,  1  x  1,
u ( x,0)  
0, x  1, x  1.
1, 1  x  3,
u ( x,0)  
0, x  1, x  3.
 ,
ut  8u xx
5, 1  x  3,
u ( x,0)  
0, x  1, x  3.
8.
6, 3  x  5,
u ( x,0)  
0, x  3, x  5.
 ,
ut  9u xx
9.
u t  10u xx ,
4, 1  x  2,
u ( x,0)  
0, x  1, x  2.
10.
 ,
ut  11u xx
11.
2,  3  x  0,
u ( x,0)  
0, x  3, x  0.
15
3,  4  x  1,
u ( x,0)  
0, x  4, x  1.
 ,
ut  12u xx
12.
1,  2  x  2,
u ( x,0)  
0, x  2, x  2.
 ,
ut  u xx
13.
 ,
ut  2u xx
7,  2  x  3,
u ( x,0)  
0, x  2, x  3.
14.
 ,
ut  3u xx
15.
 ,
ut  4u xx
5, 2  x  4,
u ( x,0)  
0, x  2, x  4.
16.
 ,
ut  5u xx
17.
3,  2  x  3,
u ( x,0)  
0, x  2, x  3.
 ,
ut  6u xx
4,  1  x  3,
u ( x,0)  
0, x  1, x  3.
18.
 ,
ut  7u xx
19.
6,  1  x  3,
u ( x,0)  
0, x  1, x  3.
2,  1  x  2,
u ( x,0)  
0, x  1, x  2.
 ,
ut  8u xx
6, 1  x  4,
u ( x,0)  
0, x  1, x  4.
20.
7,  2  x  0,
u ( x,0)  
0, x  2, x  0.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЕ №1
Пример №1. Разложить в ряд Фурье периодическую (с
периодом 2 )
функцию f (x) , заданную на отрезке [ ;  ]
   x  0,
0,
f ( x)  
 x,
   x  0.
Решение. Рядом Фурье
функциональный ряд вида
16
функции
f (x) называется
a0 

(a n cos nx  bn sin nx),
2 n1

an , bn (n  0,1,2,...)
где коэффициенты
формулам
an 

1

 f ( x) cos nxdx ,
bn 

определяются

1

по
 f ( x) sin nxdx .

Так как заданная функция кусочно-монотонная и
ограниченная на отрезке [ ;  ] , то ее ряд Фурье сходится в
любой точке x  R . Вычислим коэффициенты этого ряда:
a0 

1

an 
1
 f ( x)dx   

1


0

 x cos nxdx 
0
1 x2  
xdx 
 ,
 2 0 2
ux
b0  0 ,
dv  cos nxdx
du  dx v 
1
sin nx
n


 1 1
 1

1  x
1

sin nx 
sin nxdx    2 cos nx  2 (cos n  1) 
  n
0 n
0 n
 n
0


1
 2 (1) n  1 ,
n



bn 
1


ux
0
1
du  dx v   sin nx
n
 x sin nxdx 
dv  sin nxdx


 1 
 1

1  x
1

 cos nx 
cos nxdx     cos n  2 sin nx  
  n
0 n
0
 n
n
0



1
(1) n1
  cos n 
,
n
n
17
n  N.
Подставляя найденные коэффициенты в ряд Фурье,
получим
f ( x) 



4

4




 1

(1) n1
n
(

1
)

1
cos
nx

sin nx  
 2
n

n
n 1 




2
(1) n1

cos(
2
n

1
)
x

sin
nx

.
2
n

(
2
n

1
)


n 1 

Пример №2.
функцию f (x)
Разложить в ряд Фурье по косинусам
 x,
f ( x)  
2  x,
0  x  1,
1 x  2

на отрезке [0;2] и найти сумму ряда
 (2n  1) 2 .
1
n 0
Решение. Продолжим функцию четным образом и
вычислим коэффициенты Фурье:
1
2
x 2 1 
x 2  2 1
a0  xdx  (2  x)dx 
 2x 
  (4  2) 
2 0 
2  1 2
0
1


1

  2    1,
2

1
2
nx
nx
a n  x cos
dx  (2  x) cos
dx 
2
2


0
1
ux

du  dx
nx
dx
u  2 x
2

2
nx
v
sin
du   dx
n
2
dv  cos
18
nx
dx
2

2
nx
v
sin
n
2
dv  cos
1
2x
nx 1 2
nx
2(2  x)
nx 2

sin

sin
dx 
sin

n
2 0 n
2
n
2 1

0
2


2
nx
2
n
4
nx 1 2
n
sin
dx 
sin
 2 2 cos

sin

n
2
n
2 n 
2 0 n
2
1

4
n 2 2
cos
nx 2
4

.
2 1
(2n  1) 2  2
Следовательно,
1 4
f ( x)   2
2 


n 0
cos( 2n  1)x
(2n  1) 2
.
Полагая x  0 , получаем:
0
1 4

2 2

 (2n  1) 2
1

,
n 0
 (2n  1) 2
n 0
1

2
8
.
Пример №2. Решить задачу Штурма-Лиувилля
 y   y  0, 1  x  2,

 y (1)  y (2)  0.
Решение. Требуется найти отличные от тождественного
нуля (нетривиальные) решения дифференциального уравнения
y   y  0,
удовлетворяющие
краевым
условиям
y (1)  y (2)  0 . Те значения параметра  , при которых
существуют такие решения, называются собственными
значениями краевой задачи, а соответствующие или
нетривиальные решения – собственными функциями.
Рассмотрим три случая:
1)   0 . Характеристическое уравнение k 2    0 имеет два
k1,2     . Общее решение
действительных корня
19
дифференциального уравнения в этом случае имеет вид
y  C1e
 x
 C2e 
 x
.
Удовлетворяя краевым условиям, приходим к системе
C e    C e     0,
 1
2

C1e 2    C2e  2    0,
которая имеет действительное
следовательно, y ( x)  0.
решение
C1  C2  0
и,
2)   0 . Общее решение дифференциального уравнения
y  C1  C2 x и краевые условия снова дают C1  C2  0 , а
поэтому и в данном случае y ( x)  0.
3)   0 . Характеристическое уравнение имеет два мнимых
корня k1,2  i  , которым соответствует общее решение
~
~
дифференциального уравнения y  C1 cos  x  C 2 sin  x.
Для
удобства
перепишем
это
решение
в
виде
y  C1 cos  ( x  1)  C 2 sin  ( x  1). Из условия y (1)  0
получаем C1  0 и поэтому
y  C 2 sin  ( x  1). Условие
y (2)  0 приводит к уравнению C 2  cos   0. Так как
  0 и C2  0 , то cos   0 , откуда получаем

   n, n  0,1,2,... . То есть, собственные значения
2
задачи Штурма - Лиувилля
n  0,1,2,... ,
а собственные функции


y n  sin   n ( x  1), n  0,1,2,... .
2

20
Пример №3. Методом Даламбера найти форму струны,
 , если в
определяемую волновым уравнением utt  a 2 u xx
начальный момент времени ее форма и скорость
удовлетворяют условиям Коши u( x, t ) t 0  f ( x)  sin x ,
ut ( x, t )  f ( x)  x.
Решение. Нетрудно проверить, что если  ( p ) и  (q ) любые дважды дифференцируемые функции, то функция
u ( x, t )   ( x  at )   ( x  at ) является решением волнового
уравнения. Удовлетворяя начальным условиям, получим
решение поставленной задачи в виде
u ( x, t ) 
1
 f ( x  at )  f ( x  at )  1
2
2a
x  at
 f ( z)dz.
x at
Подставляя сюда функции f (x) и f (x) , имеем
1
1
u ( x, t )  sin( x  at )  sin( x  at ) 
2
2a
 sin x cos at 
x  at
 zdz 
x  at


1 2 x  at
1
z
 sin x cos at 
( x  at ) 2  ( x  at ) 2 
x  at
4a
4a
 sin x cos at  xt.
Следует отметить, что решение Даламбера, полученное
для бесконечной струны, имеет практическое применение
только для малых значений времени, когда колебания
конечной струны не успели дойти до ее концов. Кроме того,
функции f (x) и f (x) должны быть такими, чтобы в течение
всего процесса u x2 ( x, t ) была малой величиной, которой
можно пренебречь по сравнению с 1.
Пример №4. Методом Фурье решить смешанную задачу
21
 на отрезке [0; l ] , если
для волнового уравнения utt  a 2 u xx
u tt  4u xx ,
0  x  2,
u ( x,0)  f ( x)  x(2  x),
u (0, t )  0,
0  t  ,
u t ( x,0)  f ( x)  0,
u (2, t )  0.
Решение. Данная задача называется смешанной, так как
помимо начальных условий Коши, содержит краевые условия
жесткого закрепления струны по ее концам (два последних
условия).
Руководствуясь методом Фурье (методом разделения
переменных), будем искать нетривиальные решения волнового
уравнения, удовлетворяющие только краевым условиям, в виде
произведения u ( x, y )  X ( x)T (t ) . Подставляя u ( x, t ) в исходное
уравнение, для функции X (x ) получаем задачу ШтурмаЛиувилля
X ( x)  X ( x)  0,
X (0)  0,
X (2)  0.
2
2
 n 
 n 


 ,
 l  l2  2 
n  N . При этих значениях  n решение поставленной задачи
может быть представлено в виде суммы бесконечного ряда
Ее
собственные
u ( x, t ) 



  an cos
n 1

значения
n  
na
na 
n
t  bn sin
t  sin
x

l
l 
l a  2, l  2
 an cos nt  bn sin nt sin
n 1
n
x,
2
где постоянные a n и bn подлежат определению с помощью
начальных условий. Их использование на отрезке [0; l ] в
общем случае дает
22
2
an 
l
l

0
n
f ( x) sin
xdx,
l
2
bn 
na
l
 f ( x) sin
0
Так как в нашем случае f ( x)  2 x  x 2 ,
находим
an
bn  0 , а коэффициенты
применением метода интегрирования по частям
2

a n  (2 x  x 2 ) sin
0
n
xdx 
2
u  2x  x 2
n
xdx
l
f ( x)  0 , то
двукратным
n
xdx
2

2
n
v
cos
x
n
2
dv  sin
du  2(1  x)dx
2
2
n 2 4
n

(2 x  x 2 ) cos
x 
(1  x) cos
xdx 
n
2 0 n
2

0

2
u 1 x
0
du  dx
4
n
(1  x) cos
xdx 
n
2

n
xdx
2

2
n
v
sin
x
n
2
dv  cos
2
2
 2

n 2 2
n
8
n

(1  x) sin
x 
sin
xdx   2 2 sin
xdx 
 n
 n 
2 0 n
2
2
0
0


16
n 2
16
32
  3 3 cos
x  3 3 (1  cos n ) 
,
n  N.
2 0 n 
n 
(2n  1) 3  3

4
n


Окончательно,
u ( x, t ) 

 (2n  1) 3 cos(2n  1)t sin
3
32
1
n 1
(2n  1)
x.
2
Колебания струны, происходящие по найденному закону,
представляет собой суперпозицию колебаний, называемых
собственными колебаниями или стоячими волнами. При таких
23
колебаниях каждая точка x струны производит гармонические
na
колебания с частотой, в общем случае, равной
и с
l
n
x.
амплитудой a n2  bn2 sin
l
Пример №5. Найти решение смешанной задачи для
 на отрезке [0; l ] ,
уравнения теплопроводности utt  a 2 u xx
удовлетворяющее начальному условию u ( x,0)   ( x) , если
u tt  9u xx , 0  x  5 t  0,
0  x  5 2,
 x,
u ( x,0)   ( x)  
5  x, 5 2  x  5,
u (0, t )  u (5, t )  0.
Решение.
Применяя для решения уравнения метод
разделения переменных и удовлетворяя краевым условиям, в
общем случае получим
u ( x, t ) 

 cn
2
 na 

 t
e  l 
 sin
n 1
n
x,
l
где c n - коэффициенты, подлежащие определению из
начального условия. Удовлетворяя ему, имеем

 ( x)   c n sin
n 1
n
x,
l
откуда видно, что c n являются коэффициентами Фурье при
разложении функции  (x ) в ряд по синусам на интервале
(0; l ) , т.е.
l
2
n
cn 
 ( x) sin
xdx.
l
l

0
24
Окончательное решение поставленной задачи может быть
записано в виде

2
 na 
 t
l 
l

2
n
u ( x, t ) 
 ( x) sin
xdx  e 
l
l
n1
 
 sin
0
n
x.
l
В нашем случае a  3 , l  5 и поэтому
5
5
5 2

2
n
2
n
n

cn 
 ( x) sin
xdx   x sin
xdx  (5  x) sin
xdx  
5
5
5
5
5

0
52
 0




2  5x
n 5 2 5
n
5(5  x)
n 5
 
 cos
x

cos
xdx 
cos
x

5  n
5 0
n
5
n
5 52
0

5

5
n
n
25
n 5 2
 2  25

cos
xdx    
 cos
 2 2  sin
x

n
5
5  2n
2 n 
2 0

52

52


25
n
25
n 5  2  25
n
 
 cos
 2 2  sin
x

sin

2n
2 n 
2 5 2  5  n 2 2
2
25
n 
20
n
 2 2  sin
,
n  N.
  2 2  sin
2  n 
2
n 

Следовательно,
u ( x, t ) 
20

2

 n 2  sin
n 1
1
n
2
2
 3n 

 t
e  5 
 sin
n
x.
5
Пример №6. Найти решение уравнения теплопроводности
 для неограниченного стержня (  x  , t  0) ,
ut  9u xx
удовлетворяющее начальному условию, если
25
1  x  2,
4,
u ( x,0)   ( x)  
x  1, x  2.
0,
Решение. В общем случае решение поставленной задачи
Коши может быть найдено в виде интеграла Пуассона
u ( x, t ) 

1
  ( )e
2a t

(  x )2
4 a 2t
d .

Поскольку в нашем случае на отрезке [1;2] функция  (x )
равна постоянной u 0 , а вне его температура равна 0, то
решение примет вид
u ( x, t ) 
u0
2a t
x2  (  x )
2
e 4a t

2
d ,
x1
где a  3 , x1  1 , x2  2 , u 0  4 .
Данный результат, для упрощения вычислений, можно
преобразовать к интегралу вероятностей (функции Лапласа)
Ф( x ) 
1
x
e
2 
t 2 2
dt .
0
Для этой функции имеются специальные таблицы,
приведенные в Приложении 3. Тогда
  x  x1 
 x  x 2 
u ( x, t )  u 0 Ф
  Ф
.
a
2
t
a
2
t





В нашем случае
  x 1 
 x  2 
u( x, t )  4Ф
  Ф
.
3
2
t
3
2
t





26
Эта формула дает значение температуры в любой точке
стержня x в любой момент времени t , если в начальный
момент времени t  0 на участке [1;2] был произведен
мгновенный нагрев стержня до значения 4. Например, x  3 ,
t  9 , то
  2 
 1 
u (3,9)  4Ф
  Ф
.  4Ф(0.16)  Ф(0.08) 
 9 2 
 9 2 
 4(0.0636  0.0319)  0.1268.
Отметим, что рассмотренный подход к решению задачи
теплопроводности целесообразен тогда, когда стержень
настолько длинный, что температура в его внутренних точках в
рассматриваемые моменты времени мало зависит от условий на
его концах.
27
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ, ПРИВОДЯЩИЕ
К ОСНОВНЫМ УРАВНЕНИЯМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
1. Понятие уравнения в частных производных и его
решения. Основные уравнения математической физики.
Уравнения современной математической физики
Уравнение,
связывающее
неизвестную
функцию
u ( x1 ,..., xn ) , независимые переменные x1 ,..., xn и частные
производные
от
функции
называется
u ( x1 ,..., xn )
дифференциальным уравнением с частными производными


u
u
ku
  0,
(1)
F  x1 ,..., xn , u,
,...,
,...,
k
k
1
x1
xn
n 



x
...

x
n 
1

где F - заданная функция своих аргументов.
Порядок старшей производной, входящей в уравнение (1),
называется порядком уравнения с частными производными.
Уравнение с частными производными называется
квазилинейным, если оно линейно относительно всех старших
производных от неизвестной функции. Например, уравнение


u u   2 u
u u   2 u
A x, y, u , , 
 B x, y, u , , 

x y  x 2
x y  xy




u u   2 u
u u 
 C  x, y, u , , 
 f  x, y, u , , 
2
x y  y
x y 


является квазилинейным уравнением второго порядка,
A(...), B(...), C(...), f (...) - заданные функции.
Уравнение с частными производными называется
линейным, если оно линейно и относительно неизвестной
28
функции, и относительно ее частных производных. Примером
линейного уравнения второго порядка является уравнение
A( x, y )
 2u
 B ( x, y )
 2u
 2u
u
 C ( x, y )
 D ( x, y )

2
xy
x
y
x 2
u
 E ( x, y )
 G ( x, y )u  F ( x, y ),
y
где A, B, C, D, E, G, F - заданные функции, u ( x, y ) неизвестная функция.
Решением уравнения с частными производными (6.1)
называется всякая функция u  u ( x1 ,..., xn ) , которая, будучи
подставлена в уравнение вместо неизвестной функции и ее
частных производных, обращает это уравнение в тождество по
независимым переменным.
Например, уравнение
u u

0
t x
u  f ( x  t ) , где
f (x  t)
имеет решение
- любая
дифференцируемая функция.
Упражнение.
Проверьте
последнее
утверждение.
Покажите также, что любая дифференцируемая функция
u  f ( x  t ) является решением уравнения
u u

 0.
t x
Многие задачи математики, физики, различных областей
техники приводят к исследованию дифференциальных
уравнений с частными производными второго порядка.
Удивительно то, что весьма многие задачи из разных отраслей
знания приводят к одним и тем же уравнениям.
Из всех известных уравнений с частными производными,
наиболее часто встречающимися при описании различных
физических явлений и наиболее хорошо изученными
математиками, являются уравнения, названные основными
уравнениями математической физики.
29
Математическая
физика
–
это
область
феноменологической
физики,
работающей
с
идеей
непрерывных сред, в противоположность атомистической
физики, выдвинувшейся на передний план в начале 20-го века.
Перечислим основные уравнения математической физики.
Обозначим через x, y, z - пространственные декартовы
координаты точки, через t - время, F ( x, y, z , t ) - заданную
функцию, a - заданную постоянную (имеющую в каждом
уравнении свой физический смысл), u - неизвестную функцию,
 - оператор Лапласа

2

2

2
.
x 2 y 2 z 2
Тогда основные уравнения математической физики
записываются в следующем виде:
1. Уравнение Лапласа
u  0, u  u( x, y, z) .
Потенциалы
поля
тяготения
и
стационарного
электрического поля (в котором
отсутствуют массы и
электрические заряды)
удовлетворяют этому уравнению. Оно описывает также
потенциальное течение жидкости, потенциал стационарного
тока и другие явления;
2. Уравнение Пуассона
u  F , u  u( x, y, z), F  F ( x, y, z),
описывает установившееся тепловое состояние однородного и
изотропного твердого тела при наличии источников тепла,
потенциал электрического поля при наличии зарядов и др.;
3. Уравнение теплопроводности
u
 a 2 u, u  u ( x, y, z , t ),
t
описывает процессы распространения тепла в однородном
изотропном теле, а также явление диффузии газов;
4. Волновое уравнение
30
 2u
 a 2 u , u  u ( x, y, z , t ),
t
описывает
распространение
упругих,
звуковых
и
электромагнитных волн, а также другие колебательные явления.
Кроме этих классических уравнений известны и другие
замечательные уравнения, которые изучались уже в 20-ом
столетии и которые имеют первостепенное значение и для
науки, и для технических приложений. К таковым относятся:
1. Уравнение Шредингера

   2
i
 
  U  ,    ( x, y, z, t ),

t  2

описывает движение субатомных частиц в поле потенциала
U  U ( x, y, z ) , где  - комплексная функция, квадрат модуля
которой определяет плотность вероятности нахождения
частицы в данный момент времени в точке ( x, y, z );
2. Уравнение Синус - Гордона
2
 2u

 2u
 sin u, u  u ( x, t ),
t 2 x 2
описывает квантовые поля, самоиндуцированную прозрачность
идеального диэлектрика при взаимодействии его с
электромагнитным полем на резонансных частотах, двумерные
поверхности с постоянной отрицательной кривизной, описывает
также солитоны – уединенные волны, ведущие себя подобно
обычным частицам и т.д.;
3. Уравнение Кортевега - де Фриза
u
u
 3u
u
K
 0, u  u ( x, t ) ,
t
x
x 3
описывает уединенные волны на поверхности жидкости,
плазменные
волны,
слабонелинейные
магнитогидродинамические волны и другие процессы.
4. Уравнение Бюргерса
31
u
u
 2u
u

 0, u  u ( x, t ),
t
x
x 2
описывает турбулентное течение, звуковые волны в вязкой
среде, магнитогидродинамические волны в среде с конечной
электропроводимостью и другие явления.
2. Распространение тепла в неограниченном стержне.
Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
Для решения краевых задач математической физики
широко применяется преобразование Фурье. Причина этого
заключается в том, что образ Фурье искомой функции часто
удовлетворяет более простому уравнению, чем сама искомая
функция. При решении краевых задач математической физики
преобразование Фурье используется по следующей схеме:
1. Подвергают преобразованию Фурье обе части уравнения,
которому удовлетворяет искомая функция; отсюда получают
уравнение для ее Фурье-образа;
2. Из этого уравнения находят образ Фурье искомого
решения первоначального уравнения;
3. Используя обратное преобразование Фурье находят
искомую функцию.
Рассмотрим распределение температуры в неограниченном
в обе стороны прямолинейном стержне в произвольный момент
времени t  0 , если ее распределение в начальный момент
времени t  0 известно. Стержень считаем теплоизолированным
от окружающей среды по боковой поверхности и его сечение
считаем настолько малым, что всем точкам сечения в каждый
момент времени можно приписать одну и ту же температуру.
Задача заключается в нахождении решения уравнения
теплопроводности в бесконечной области по известному
начальному условию:
T
 2T
 a2 2 ,
t
x
T ( x, 0)  f ( x) ,
  x   ,
  x   ,
32
t  0,
(2)
(3)
где f ( x) – заданная функция, абсолютно интегрируемая на оси
 ,   .
Решаем эту задачу, применяя преобразование Фурье по
переменной x. Обозначим через u ( , t ) образ Фурье функции
T ( x, t )
1
2
u ( , t ) 

e
i x
 T ( x, t )dx .
(4)

1 i x
и
e
2
проинтегрируем по x от  до  , предполагая, что функция
T ( x, t ) и ее производные достаточно быстро стремятся к нулю
при x   . Интегрируя левую часть, получим
Умножим обе части уравнения (2) на
1
2

T ( x, t ) i x
 1
 t  e dx  t 2


 T ( x, t )  e
i x
dx 

du ( , t )
. (5)
dt
Для преобразования правой части уравнения используем
интегрирование по частям:
a
a

1
2
2
2
 2 T ( x, t )

1
2
a 2  2

ei x 
i
1
2

e


x
2
dx  a 2
1 T ( x, t ) i x
e
2 x
i x
T ( x, t )
a 2 i

dx 
T ( x , t )  e  i x
x
2
i x
 T ( x, t )dx   a 2  2 u ( x, t ).
e






(6)

При получении (6) учли, что неинтегральные члены
обращаются в нуль, в силу ограниченности функции
ei x  cos  x  i sin  x и предполагаемого поведения функции
T ( x, t ) :
33
T ( x, t )
0.
x
x
x
Приравнивая (5) и (6), получим обыкновенное
дифференциальное уравнение для образа Фурье искомой
функции
du
(7)
 a 2 2 u  0 .
dt
Начальное условие для функции u ( , t ) получим из
начального условия (3), выполнив преобразование Фурье
lim T ( x, t )  lim
u ( , 0) 
1
2


T ( x, 0)ei x dx 

1
2


f ( x)ei x dx  f ( ) ,

(8)
u ( , 0)  f ( ) .
Разделяя переменные в уравнении (7), получаем
du
 a 2 2 dt ,
ln u  a 2 2t  ln C .
u
Отсюда
u ( , t )  Ce  a  t .
(9)
Определим постоянную С с помощью начального условия
2 2
(8)
u ( , 0)  C  f ( ) .
Подставив это значение С в равенство (9), получим для
Фурье-образа искомой функции следующее выражение
u ( , t )  f (  )e  a  t .
(10)
Теперь осталось перейти к третьему этапу решения задачи
- найти саму функцию T ( x, t ) по найденному ее образу Фурье
(10). Для этого применим к равенству (10) обратное
преобразование Фурье, подставив вместо f ( ) его явное
2 2
34
выражение из (8). Умножив (10) на
 , получаем
T ( x, t ) 
1
2


ei x  u ( , t )d  

1
2



1 i x
и интегрируя по
e
2

dsf ( s)  ea  t  ei ( xs )d  . (11)
2 2

Подставим в правую часть выражение для экспоненты с
мнимым аргументом по формуле Эйлера
i x  s
e    cos  ( x  s )  i sin  ( x  s ) .
Учитывая, что
l
l
l
0
  ( ) d   2   ( ) d  ,
если  ( ) - четная функция, а также равенство
если  ( ) - нечетная функция, имеем

e
 a 2 2t
l
    d  0 ,
l
sin  ( x  s)d   0 ,



e
 a 2 2t


2 2
cos   x  s  d   2  e a  t cos  x  s  d  .
0
Последний интеграл является известной и часто
встречающейся в теории теплопроводности и теории диффузии
функцией. Воспользуемся формулой
 x  s 2


1 
2
 a 2 2t
cos  ( x  s )d  
 e 4a t .
e
2a t
0
Подставив эти результаты в выражение (11), получим
решение уравнения (2) при начальном условии (3)
35
T ( x, t ) 
1
2a  t


f (s)  e

 x  s 2
4 a 2t
ds .
(12)

Полученную формулу называют формулой Пуассона.
Функция аргументов x и t
 ( x  s)2 
1
(13)
T0 ( x, t ) 
exp  

2 

2a  t
4
a
t


называется
фундаментальным
решением
уравнения
теплопроводности
(2). Она
удовлетворяет
уравнению
теплопроводности. Решение уравнения теплопроводности с
начальным условием T ( x, 0)  f ( x) в виде (12) является
сверткой фундаментального решения с начальной функцией.
Рассмотрим
физический
смысл
фундаментального
решения уравнения теплопроводности. Выделим малый элемент
стержня ( x0   , x0   ) вблизи точки x0 и зададим начальное
распределение температуры в виде
u0 , x0    x  x0   ,
f ( x)  
0, x  ( x0   , x0   ).
Физически это означает, что в начальный момент времени
t  0 этому элементу стержня передали количества тепла
Q  2 Cu0 (  - линейная плотность материала, C - удельная
теплоемкость), которое привело к повышению температуры на
этом элементе на величину u0 . В последующие моменты
времени распределение температуры в стержне определяется
формулой (12), которая в данном случае принимает вид
2
2
x0    x  s 
x0    x  s 
u0
Q
1
2
2
T ( x, t ) 
e 4a t ds 
e 4a t ds


2a  t
C  2a  t 2
x0 
x0 
Если распределять то же самое количество тепла Q на все
меньшем участке (  0) , то в пределе в точке x0 стержню
36
сообщается количества тепла Q. Это означает, что в точке x0
стержня в момент t  0 действует мгновенный точечный
источник
тепла напряжения Q. От действия такого
мгновенного точечного источника тепла в стержне получается
распределение температур
x0  

( x  x0 ) 2
4a 2 t
 ( x  s) 
1
ds  Q e
, (14)
exp  

 4a 2 t 
  0 2Ca t 2
C

a

t


x0 
где применена теорема о среднем для определенного интеграла
lim
Q
2
x 
 ( x  s )2 
 ( x  s )2 
1 0


 , x0    s  x0   .
exp 
ds  exp  
2 
2 


2 
4
a
t
4
a
t




x0 
Предел последнего выражения при   0 , а значит
s  x0 , и приводит к выражению (14).
Таким образом, фундаментальное решение (13) дает
распределение температуры, которое вызывается мгновенным
точечным источником тепла напряжения Q  C  , помещенным
в начальный момент времени t  0 в точке x  s стержня.
В соответствии с этим можно дать физическое толкование
и решению (12). Для того, чтобы придать сечению x  s стержня
температуру f ( s ) в начальный момент времени, мы должны на
малом элементе ds около этой точки распределить количество
тепла dQ  C  f ( s )ds , т. е. поместить в точке s мгновенный
точечный источник тепла напряжения dQ . Распределение
температуры, вызываемое этим мгновенным точечным
источником будет равно
 ( x  s)2 
1
f ( s )ds
exp  
.

2a  t
4a 2t 

Общее действие от начальной температуры  ( s) во всех
точках стержня складывается от этих элементов, что и приводит
к формуле (12).
37
3. Метод Фурье для одномерного уравнения
теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном
стержне
Рассмотрим задачу о распространении тепла в стержне,
концы которого поддерживаются при нулевой температуре.
Стержень считаем однородным и тонким, так, что d<<l , где d –
диаметр стержня, l – его длина. Таким образом, сечение стержня
считается настолько малым, что всем точкам сечения в каждый
момент времени можно приписать одну температуру. Это
означает, что T  T ( x) , где ось OX направлена вдоль стержня.
Боковая поверхность стержня предполагается изолированной от
окружающей среды.
В начальный момент времени t  0 задано распределение
температуры вдоль стержня, характеризуемое функцией f ( x) .
Указан также тепловой режим, поддерживаемый на концах
стержня – считаем температуру на его концах равной нулю.
Задача
состоит
в
отыскании
решения
уравнения
теплопроводности
T
 2T
 a2 2 ,
(15)
0 xl ,
t
x
при граничных условиях
T (0, t )  0 , T (l , t )  0
(16)
и при начальном условии
T ( x, 0)  f ( x) ,
(17)
f ( x) – непрерывна, имеет кусочно-непрерывную
где
производную и удовлетворяет условиям согласования с
требованиями (16) f (0)  f (l )  0.
Метод разделения переменных, называемый также
методом Фурье, заключается в следующем:
1. Ищем частные решения уравнения (15) в виде
T ( x, t )  W (t )  X ( x) .
(18)
2. Подставляя (18) в (15) получаем уравнение
X ( x) W (t )  a2W (t )  X ( x) .
38
Разделив обе части полученного уравнения на T ( x, t ) из
(18), имеем
W (t )
X ( x)
(19)

  .
a 2W (t ) X ( x)
Постоянная  , называемая постоянной разделения,
появилась в (19) из следующих соображений: левая часть в (19)
зависит только от переменной t , правая – только от переменной
x , и эти части должны быть равны при всех значениях t и x .
Поэтому оба отношения в (19) равны постоянной. Приравнивая
каждое отношение в (19) постоянной, получим два
обыкновенных дифференциальных уравнения для функций
X ( x ) и W (t ) :
X ( x)   X ( x)  0,
(20)
(21)
W (t )  a2W (t )  0.
3. По условию задачи функция T ( x, t ) должна
удовлетворять краевым условиям вида (16). Из (18) и (16)
получаем условия для функции X ( x )
X (0)  0 , X (l )  0 .
Таким образом, для функции X ( x ) получили задачу:
требуется найти не равные тождественно нулю решения краевой
задачи
X    X  0,
X (0)  0 ,
X (l )  0 ,
(20’)
а также числовые значения параметра, при которых существуют
ненулевые решения задачи (20), (20’).
Поставленная задача называется задачей ШтурмаЛиувилля. Указанные числовые значения  называются
собственными
значениями
(числами) краевой
задачи,
соответствующие этим  ненулевые решения – собственными
функциями.
Найдем собственные числа краевой задачи (20), (20’).
Рассмотрим возможности:
  0;   0;   0.
39
Пусть   0 . Тогда общим решением уравнения (20) будет
являться функция
X ( x)  C1x  C2 .
При x  0 и x  l , имеем
X (0)  C2  0 , X (l )  C1l  C2  0 ,
C1  0.
Следовательно, X ( x)  0 , поэтому T ( x, t )  0 и начальное
условие (17) не будет выполняться.
Пусть   0 . Тогда общее решение уравнения (20) имеет
вид
X ( x)  C1e  x  C2e
При x  0 и x  l , имеем
  x
.
X (0)  C1  C2  0 , X (l )  C1e  l  C2e  l  0
систему двух однородных алгебраических уравнений,
определитель которой не равен нулю. Поэтому C1  C2  0 ,
X ( x)  0 . И в этом случае условие (17) не удовлетворено.
Рассмотрим случай   0 . В этом случае корни
характеристического уравнения, соответствующего уравнению
(20), равны    i  , т.е. мнимые числа.
Как известно из курса теории дифференциальных
уравнений, общее решение уравнения (20) имеет вид
(22)
X ( x)  C1 cos(  x)  C2 sin(  x) .
При x  0 получаем C1  0 . При x  l имеем
2
n 

,
(23)
C2 sin(   l )  0 ,
n    ,
l
 l 
где n  1, 2,... . Подставляя (23) в (22), получаем
n 
X n ( x)  Cn sin 
x .
(24)
 l 
Входящие в формулу (24) функция и постоянная снабжены
индексом, поскольку их значения зависят от n .
n
40
Формула (23) определяет собственные числа, а формула
(24) – собственные функции краевой задачи, соответствующие
этим собственным числам.
4. Подставляя в уравнение (21) вместо  собственное
значение n для определения функции W (t )  Wn (t ) ,
соответствующей данному собственному значению, получаем
уравнение
(25)
Wn (t )  n a 2Wn (t )  0.
Общее решение уравнения (6.25) имеет вид
2
 
 

na
(26)
Wn (t )  Bn exp   
 t ,
  l  
 
 
где Bn - произвольные постоянные.
Итак, все функции
Tn ( x, t )  Wn (t )  X n ( x)  An
2
 na 

 t
e  l 
 sin
  na 

 t
e  l 
 sin
nx
(27)
l
удовлетворяют уравнению теплопроводности (15) и граничным
условиям (16) при любых значениях n  1, 2,...
и любых
постоянных An  Bn  Cn . Но начальному условию (17) функции
(27) в общем случае не удовлетворяют.
5. Требуем, чтобы решение удовлетворяло начальному
условию (17). Для этого, учитывая (27), составим ряд
2

T ( x, t )   Tn ( x, t ) 
n 1

 An
n 1
 nx
l
.
(28)
Каждый член этого ряда удовлетворяет уравнению (15) и
краевым условиям (16).
f ( x)
Предположим, что функция
разлагается в
равномерно и абсолютно сходящийся ряд Фурье. В силу
начального условия, полагая в (28) t  0 , получаем
41

 nx
n 1
l
T ( x, 0)  f ( x)   An sin
.
(29)
Написанный ряд представляет собой разложение функции
f ( x) в ряд Фурье по синусам в промежутке (0,l). Коэффициенты
An находятся по формуле
l
2
 nx
An   f ( x)sin
dx .
l
l
(30)
0
Предполагая, что f ( x) непрерывна, имеет кусочнонепрерывную производную и обращается в нуль при x  0 и
ряд (29) с коэффициентами (30)
x  l , получаем, что
равномерно и абсолютно сходится к f ( x) (это известно из
теории тригонометрических рядов).
Поскольку при t  0 справедливы неравенства
   na 2 
0  exp   
 t 1,
  l  
то ряд (28) при t  0 также сходится абсолютно и равномерно.
Поэтому функция T ( x, t ) (28) непрерывна при 0  x  l , t  0 и
удовлетворяет начальному и граничному условиям.
Можно показать (мы не останавливаемся на этом), что
функция T ( x, t ) удовлетворяет уравнению (15) и имеет
непрерывные производные по t и x первого и второго порядков
соответственно.
4. Общее решение волнового уравнения в случае одной
пространственной переменной. Решение Даламбера
Рассматривая решения обыкновенных дифференциальных
уравнений в курсе высшей математики, мы видели, что общее
решение содержало произвольные постоянные. Например,
общее решение дифференциального уравнения
y   2 y  0
42
имеет вид
y  C1 cos  x  C2 sin  x ,
где C1, C2 , произвольные константы, которые могут принимать
любые значения из интервала (-∞, + ∞) или даже комплексные
значения.
В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений,
общее решение дифференциального уравнения с частными
производными, как увидим ниже, содержит
уже
не
произвольные постоянные, а произвольную функцию.
Рассмотрим решение одномерного волнового уравнения,
описывающего свободные колебания однородной струны
 2u
a
2
 2u
a
2
,
F0
,
(31)

t
x
где F0 – сила натяжения, действующая на струну,  –
постоянная линейная плотность струны, a – постоянная с
размерностью скорости, u  u ( x, t ) .
Запишем уравнение (31) в виде
  
 

(32)
  a   a  u  0
x  t
x 
 t
и введем новую функцию
u
u
 ( x, t )   a
.
(33)
t
x
Уравнения
(32)
и
(33)
образуют
систему
дифференциальных уравнений в частных производных первого
порядка, эквивалентную уравнению (31):
u
 u
 t  a x  
(34)

   a   0.
 t
x
Первое из этих уравнений является неоднородным
дифференциальным уравнением. Второе уравнение, получаемое
из уравнения (32) с помощью замены (33), является однородным
2
43
уравнением (”без правой части”). Для решения системы
уравнений (34) нужно решить сначала второе уравнение, а
затем – первое, подставив в правую часть найденную функцию
 ( x, t ) .
Разыскиваем решение второго уравнения системы (34) в
виде  ( x, t )  G ( x  at ) , где G ( y ) – произвольная функция,
имеющая производную по аргументу
y  x  at . Используя
правило дифференцирования сложной функции, получаем:
 dG ( y ) y

  aG( x  at ),
t
dy
t
 dG( y ) y

  G( x  at ),
x
dy x
где штрих означает производную по аргументу. Подставляя
полученные выражения для частных производных во второе
уравнение системы (34), убеждаемся, что функция G ( x  at )
является его решением


a
 aG( x  at )  aG( x  at )  0 .
t
x
Таким
образом,
доказано,
что
произвольная
дифференцируемая функция G ( x  at ) является решением этого
уравнения.
Для решения первого уравнения системы (34) удобно
вместо функции G ( x  at ) ввести другую функцию с помощью
соотношения
G ( x  at )  2ag ( x  at ) .
(35)
В соответствии с этой заменой первое уравнение системы
(34) запишется в виде
u
u
a
 2ag ( x  at ) .
(36)
t
x
Преобразуем теперь уравнение (36) так, чтобы оно стало
однородным дифференциальным уравнением
для новой
неизвестной функции, введенной вместо функции u ( x, t ) . Для
44
этого заметим, что производные функции g ( x  at )
временной и пространственной переменным имеют вид:
по
g ( x  at )
 ( x  at )
 g ( x  at ) 
 ag ( x  at ),
t
t
g ( x  at )
 ( x  at )
 g ( x  at ) 
 g ( x  at ).
x
x
Поэтому уравнение (36) можно записать в виде
u g ( x  at )
u
g ( x  at )

a a
 0,
t
t
x
x
или, объединяя члены с производными по одинаковым
переменным,
U
U
a
 0.
(37)
t
x
Здесь новая неизвестная функция выражается через старую
и введенную соотношением (35) функцию следующим образом
U ( x, t )  u ( x, t )  g ( x  at ) .
(38)
Уравнение (37) имеет такой же вид, как и второе уравнение
системы (34), но с заменой постоянной a на (- a ). Поэтому его
решением является произвольная дифференцируемая функция
U ( x, t )  f ( x  at ) .
Теперь из соотношения (38) можно получить общее
решение первого уравнения системы (34)
u ( x, t )  f ( x  at )  g ( x  at ) ,
(39)
где f ( x  at ) и g ( x  at ) – произвольные дважды непрерывно
дифференцируемые функции.
Поскольку первое уравнение системы (34) является
уравнением (32), равносильным уравнению (31), то заключаем,
что формула (39) дает общее решение волнового уравнения в
одномерном случае.
Формула (39) называется решением
Даламбера
одномерного волнового уравнения. Она была получена
Даламбером в 1747 году.
45
Физический смысл решения Даламбера
Рассмотрим
сначала
решения
уравнения
вида
u1 ( x, t )  f ( x  at ) . Пусть наблюдатель выходит в начальный
момент t  0 из точки x  x0 и передвигается в положительном
направлении оси ОХ со скоростью a . Пройденный
наблюдателем путь за время t равен x  x0  at или x  at  x0 .
Для
этого
наблюдателя
смещение
струны
u1  f ( x  at )  f ( x0 ) – постоянно. Все время своего движения
наблюдатель видит одно и то же смещение струны. Таким
образом, функция u1( x, t )  f ( x  at ) описывает распространение
смещения струны вдоль положительного направления оси ОХ.
Это решение называется прямой волной, x  at называется
фазой прямой волны.
Аналогично, функция
u2 ( x, t )  g ( x  at ) называется
обратной волной, x  at – фазой обратной волны. Эта функция
описывает распространение смещения струны в отрицательном
направлении оси ОХ со скоростью a .
Таким образом, сумма прямой и обратной волн
представляет собой общее решение однородного волнового
уравнения в одномерном случае. В этом и заключается
физическое содержание решения Даламбера (39).
Отсюда вытекает следующий графический способ
построения формы струны в любой момент времени:
Строим кривые u1  f ( x) и u2  g ( x) при t  0 ;
1. Не меняя формы этих линий передвигаем их со
скоростью a в разные стороны — u1  f ( x) вправо, u2  g ( x)
влево;
2. Для получения графика формы струны в момент времени
t строим алгебраические суммы раздвинутых кривых в данный
момент времени.
46
5. Задача Коши для одномерного волнового уравнения.
Формула Даламбера
Задача Коши, называемая также начальной задачей, для
одномерного волнового уравнения
 2u
 2u
,   x  
(40)
t 2
x 2
ставится так: найти решение уравнения (40), имеющее
непрерывные частные производные второго порядка по x и t,
удовлетворяющее начальным условиям
u ( x, 0)  0 ( x)
(41)
(т. е. задана форма струны в начальный момент времени),
u ( x, 0)
 1 ( x) .
(42)
t
Для решения задачи (40)-(42) исходим из общего решения
волнового уравнения – решения Даламбера (см. предыдущий
параграф)
u ( x, t )  f ( x  at )  g ( x  at ).
(43)
Положим в (43) t = 0, получим
0 ( x)  f ( x)  g ( x).
Найдем производную по t от выражения (43) и положим
t 0
u ( x, 0)
 1 ( x)  af ( x  at ) t 0  ag ( x  at ) t 0  af ( x)  ag ( x).
t
Собирая вместе это и предыдущее выражения, получим
систему уравнений
f ( x)  g ( x)   0 ( x)
(44)
af ( x)  ag ( x)  1( x).
Умножим первое уравнение системы (44) на a,
продифференцируем его по x и сложим со вторым уравнением, а
затем вычтем из него второе уравнение. Получим
 a2
47
1
1
g ( x)   0 ( x)  1 ( x)
2
2a
1
1
f ( x)   0 ( x)  1 ( x).
2
2a
Интегрируем теперь оба уравнения по отрезку
получим
1
1
g ( x)   0 ( x) 
2
2a
1
1
f ( x)   0 ( x) 
2
2a
(45)
 x0 , x ,
x
 1 ( x)dx  b1
x0
x
(46)
 1 ( x)dx  b2 ,
x0
где b1 и b2 – постоянные интегрирования.
Сложим равенства (46) и учтем, что полученная сумма
должна быть равна 0 ( x) в соответствии с первым уравнением в
системе (44). Получаем
0 ( x)  0 ( x)  b1  b2 .
Следовательно b2  b1  0 . Поскольку в формуле (43)
аргументы функций равны x at , то заменим в первом
равенстве системы (46) x на x+at, а во втором – x на x-at.
Сложим эти выражения
 ( x  at )   0 ( x  at ) 1 xat
u( x, t )  f ( x  at )  g ( x  at )  0

 1 ( x)dx. . (47)
2
2a xat
Формула (47) дает решение задачи Коши для волнового
уравнения. Она была получена Эйлером в 1748 г и носит
название формулы Даламбера.
6. Колебания ограниченной струны. Решение методом
Фурье
Рассмотрим движение струны, т.е. гибкой материальной
нити с линейной плотностью   const , с закрепленными
48
концами при x  0 и x  l . Считаем, что натяжение струны F0
постоянно. Обозначим отклонение точек струны от положения
равновесия в момент времени t через u  u ( x, t ) .
Тогда уравнение малых свободных колебаний струны, как
было показано выше, имеет вид
 2u ( x, t )
t 2
где a 
 a2
 2u ( x , t )
x 2
,
(48)
F0
– постоянная, имеющая размерность скорости.

Разыскиваем решение следующей задачи: при 0  x  l ,
0  t   найти функцию u ( x, t ) , являющуюся решением
уравнения (48), удовлетворяющую граничным условиям
(49)
u(0, t )  0, u(l, t )  0, t  0
и начальным условиям
u
( x, 0)   ( x), 0  x  l ,
(50)
t
где функции f ( x) и  ( x ) удовлетворяют определенным
условиям гладкости, по крайней мере одна из них отлична от
нуля, f (0)  f (l )  0 . Из последнего требования следует, что
тривиальное решение u ( x, t )  0 не удовлетворяет условиям (50).
Согласно методу Фурье, ищем частные решения уравнения
(48) в виде
u ( x, t )  X ( x)  T (t ).
(51)
Подстановка (51) в (48) приводит к соотношению
T (t )
X ( x)
(52)

  2 ,
2
a T (t ) X ( x)
u ( x, 0)  f ( x),
где ( 2) – постоянная разделения. Такой вид постоянной
вытекает из анализа задачи Штурма - Лиувилля в случае
уравнения теплопроводности. В рассматриваемом здесь случае
краевая задача для функции X ( x ) (смотри ниже) совпадает с
49
рассмотренной в п. 3, а значит собственные значения  краевых
задач должны быть одинаковыми.
Далее, из вида решения (51) и краевых условий (49)
следует X (0)  X (l )  0 . Из соотношения (52) получаем
дифференциальное уравнение для временной части
(53)
T   a 2 2T  0
и задачу Штурма - Лиувилля для функции X ( x )
(54)
X ( x)   2 X ( x)  0, X (0)  X (l )  0 .
Общее решение уравнения (54) имеет вид
(55)
X ( x)  C1 cos  x  C2 sin  x .
Из граничных условий имеем
X (0)  C1  0, X (l )  C2 sin  l  0 .
Последнее равенство позволяет найти собственные числа
задачи
n
n 
, (n  1, 2,...) .
(56)
l
Этим собственным числом соответствуют собственные
функции
 nx
X n ( x)  Cn sin
, (n  1, 2,...) ,
(57)
l
где Cn – произвольные постоянные. При каждом   n
решением уравнениям (53) будет функция
a nt
a nt
 bn sin
.
(58)
l
l
Таким образом, произведение функций (57) и (58), в
соответствии с (51), является решением уравнения (48),
удовлетворяющим граничным условиям (49). Получим счетное
число решений уравнения (48), удовлетворяющих условиям (49).
В силу линейности уравнения (48) сумма этих решений, т.е.
формально записанный ряд
Tn (t )  an cos
50

a nt
a nt 
 nx

u ( x, t )    an cos
 bn sin
,
(59)
  sin
l
l 
l
n 1 
при условии возможности его двукратного дифференцирования
по t и x , также будет решением уравнения (48),
удовлетворяющим условиям (49). Для того, чтобы решение
удовлетворяло начальным условиям (50), потребуем

 nx
n 1

l
u ( x, 0)  f ( x)   an sin
(60)
,
u
a n
 nx
( x, 0)   ( x)  
bn sin
.
t
l
n1 l
(61)
a n
bn должны
l
быть коэффициентами Фурье соответственно функций f ( x) и
 ( x ) по ортогональной на отрезке [0, l ] системе функций
Из (60) и (61) следует, что числа an и

  nx 
 sin
 . Следовательно, имеем
l n1

l
an 
2
 nx
f ( x)sin
dx,

l
l
bn 
0
2
l
 ( x)sin
a n 
0
 nx
l
dx ,
(62)
где n  1, 2,... . Таким образом, функция (59) с коэффициентами
ряда в форме (62) дает решение поставленной задачи о
свободных колебаниях закрепленной на концах струны.
51
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное
исчисления. Учебник для втузов / Н.С. Пискунов. - М.: Наука,
1985. Т. 2. 575 с.
2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и
задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я Кожевникова. - М.:
Высш. шк., 1986. Ч. 2.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика.
Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды.
Функции комплексного переменного / Я.С.Бугров, С.М.
Никольский. - М.: Наука, 1981. 448 с.
СОДЕРЖАНИЕ
1. Общие рекомендации студенту-заочнику к изучению
курса “Уравнения математической физики”. . . . . . . . . . .
2. Правила выполнения и оформления контрольных работ
3. Программа курса “Уравнения математической физики”
для студентов-заочников направления “Нефтегазовое
дело” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Вопросы для самопроверки к контрольной работе . . . . .
7. Контрольная работа №1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Примеры решения задач к контрольной работе №1 . . . .
Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
1
3
3
4
5
14
26
50
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к контрольной работе № 1
по спецглавам математики для студентов
направления подготовки бакалавров 131000
«Нефтегазовое дело» (профиль «Эксплуатация
и обслуживание объектов транспорта и хранения
нефти, газа и продуктов переработки»)
заочной формы обучения
Составители:
Бырдин Аркадий Петрович
Вислова Елена Васильевна
Заварзин Николай Владимирович
Сидоренко Александр Алексеевич
В авторской редакции
Компьютерный набор А.А. Сидоренко
Подписано в печать 18.09.2013.
Формат 6084/16. Бумага для множительных аппаратов.
Усл. печ. л. 3,3. Уч.-изд. л. 3,1. Тираж 40 экз. “C” .
Зак. №
ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный технический
университет”
394026 Воронеж, Московский просп., 14
53
54