10 класс Профильная подгруппа Заметки для дополнительного

10 класс Профильная подгруппа
Заметки для дополнительного занятия по теме
Тригонометрия, выведенная из одной формулы, полученной из соображений
размерности
Вся аксиоматика элементарной геометрии и основные следствия из неё
считаются известными и нигде, кроме, может быть, отдельных случаев нет
ссылок на её понятия, определения, леммы, теоремы и т.п. Изложение ведется
в
том
порядке,
какой
представляется
преследующим одну основную мысль -
логически
выдержанным
и
вывести максимальное число
количественных соотношений в геометрии и практически всю тригонометрию
из самых общих и наглядных принципов, используя при этом средства алгебры
и анализа.
Заметки состоят из четырех частей.
В первой части вводятся функции, через которые связывают все элементы
любого
треугольника.
Во
второй
выводятся
уравнения,
которым
удовлетворяют эти функции. В третьей части приведено полное решение этих
уравнений. В четвертой подводятся итоги и дается обзор основных свойств
функций.
ЧАСТЬ I.
1. Одной из основных фигур геометрии является треугольник. Обозначение
сторон и углов треугольника 𝐴𝐵𝐶 используем стандартное – 𝑎, 𝑏, 𝑐 и 𝛼, 𝛽, 𝛾.
Хорошо известно, что задание любой тройки основных элементов треугольника
- трех его сторон,
- двух сторон и угла, заключенного между ними,
- одной стороны и двух прилежащих к ней углов
1
с известными ограничениями на эти элементы позволяет построить такой
треугольник и определить все остальные его элементы. Под словами
«определить все остальные элементы», понимается определение конкретных
функций, описывающих естественные
связи этих элементов. Именно
определение этих функций из максимально общих и простых принципов и
является нашей задачей. Нахождение дополнительных элементов, связанных с
треугольником
–
биссектрис, медиан, высот, радиусов
всевозможных
окружностей может быть при желании выполнено с использованием
полученных функций обычным способом.
Наиболее простым треугольником является прямоугольный треугольник, в
котором все функциональные соотношения между основными элементами –
сторонами и углами выражены наиболее просто. Именно такой треугольник
является очень удобной конструкцией для дальнейших рассуждений. В этом
случае гипотенузу по умолчанию будем обозначать буквой 𝑐 и считать прямым
углом угол 𝛾 = 𝛼 + 𝛽 = 𝜋⁄2. Соотношения, полученные для прямоугольного
треугольника,
будут
в
дальнейшем
неоднократно
использованы
с
необходимыми пояснениями.
2. Между линейными элементами любого треугольника и его площадью
существуют естественные общие соотношения, какие могут быть получены
следующим образом. Известно, что величина линейных элементов – их длина и
площадь треугольника, то есть мера этих элементов как множеств,
определяется как неотрицательная функция, принимающая значения на
множестве 𝑅. Длина и площадь как функции, заданные на определенном
классе фигур евклидовой плоскости, должны иметь и дополнительные
2
свойства аддитивности, конгруэнтности и нормированности. Последнее
условие для наших целей особенно важно. Оно означает, что для каждого
множества принята определенная единица измерения, при этом каждый
элемент множества имеет не только определенную величину, но и
размерность. Любой линейный элемент имеет размерность длины [𝑎] = [𝑏] =
[𝑐] = 𝐿. Любой элемент площади автоматически имеет согласованную
размерность [𝑆] = 𝐿2 . Из этого тривиального факта следуют определенные
общие заключения.
3. Рассмотрим первый случай, когда треугольник задан двумя любыми сторонами
и углом, заключенным между ними. Мы имеет три совершенно равнозначные
тройки:
(𝑎, 𝑏, 𝛾),
(𝑏, 𝑐, 𝛼),
(𝑐, 𝑎, 𝛽).
Поскольку каждая из них полностью определяет треугольник, следовательно,
однозначно определяет и его площадь. Из соображений размерности и
симметрии площадь может выражаться только через произведение линейных
элементов, зависеть от безразмерного отношения известных сторон и
безразмерной величины угла, т.е. площадь может быть записана в виде:
𝑆 = 𝑎𝑏𝐹(𝑎/𝑏 ∣ 𝛾) = 𝑏𝑐𝐹(𝑏/𝑐 ∣ 𝛼) = 𝑐𝑎𝐹(𝑐/𝑎 ∣ 𝛽)
Зависимость от отношения сторон требует отдельного обсуждения. В силу
симметрии площадь может зависеть только от симметричной комбинации
отношения сторон. Единственной симметричной комбинацией отношения
сторон, через которую может быть выражена любая другая симметричная
функция отношения сторон, является очевидная комбинация (𝑎⁄𝑏 + 𝑏⁄𝑎).
Поэтому получаем общий вид искомой функции 𝐹( 𝑎⁄𝑏 + 𝑏⁄𝑎 ∣∣ 𝛾 ) и выражения
для площади:
𝑆 = 𝑎𝑏𝐹(𝑎⁄𝑏 + 𝑏⁄𝑎 ∣ 𝛾) = 𝑏𝑐𝐹(𝑏⁄𝑐 + 𝑐⁄𝑏 ∣ 𝛼) = 𝑐𝑎𝐹(𝑐⁄𝑎 + 𝑎⁄𝑐 ∣ 𝛽)
(3.1)
Из этих равенств немедленно следует универсальное соотношение, верное для
любого
треугольника,
и существование индивидуальной
для
каждого
треугольника постоянной:
𝑎
𝑏
𝑐
⁄𝐹(𝑏⁄ + 𝑐⁄ ∣ 𝛼) = ⁄𝐹(𝑐⁄𝑎 + 𝑎⁄𝑐 ∣ 𝛽) = ⁄𝐹(𝑎⁄ + 𝑏⁄ ∣ 𝛾) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (3.2)
𝑐
𝑎
𝑏
𝑏
Смысл 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 обсудим позднее.
4. Рассмотрим теперь второй случай, когда треугольник задан одной стороной и
прилежащими к ней углами. Теперь мы имеет другие три совершенно
равнозначные тройки элементов:
3
(𝑎, 𝛽, 𝛾), (𝑏, 𝛾, 𝛼), (𝑐, 𝛼, 𝛽).
Как и ранее, в этом случае на основании аналогичных соображений
размерности и симметрии также можно написать выражение для площади,
квадратичной по линейному элементу:
𝑆 = 𝑎2 𝑔(𝛽, 𝛾 ∣ 𝛼) = 𝑏 2 𝑔(𝛾, 𝛼 ∣ 𝛽) = 𝑐 2 𝑔(𝛼, 𝛽 ∣ 𝛾)
(4.1)
Здесь функция 𝑔(𝑥, 𝑦 ∣ 𝒛) – новая универсальная симметричная функция своих
первых двух аргументов, т.е.
𝑔(𝑥, 𝑦 ∣ 𝒛) = 𝑔(𝑦, 𝑥 ∣ 𝒛). Симметрия по
аргументам немедленно следует из того факта, что два человека, смотрящих на
треугольник с разных сторон листа, должны получить одинаковые результаты.
Заметим, что в отличие от первого случая сейчас никаких других безразмерных
величин мы сконструировать не можем. Третий аргумент всегда 𝑧 = 𝜋 − (𝑥 +
𝑦) , симметричен по 𝑥 и y, не является независимым и обязательным, и
выделен просто для общности.
Сравнивая формулы (3.1) и (4.1), находим:
𝑔(𝛼, 𝛽 ∣ 𝛾)𝑔(𝛽, 𝛾 ∣ 𝛼) = 𝐹 2 (𝑐⁄𝑎 + 𝑎⁄𝑐 ∣ 𝛽)
𝑔(𝛽, 𝛾 ∣ 𝛼)𝑔(𝛾, 𝛼 ∣ 𝛽) = 𝐹 2 (𝑎⁄𝑏 + 𝑏⁄𝑎 ∣ 𝛾)
(4.2)
𝑔(𝛾, 𝛼 ∣ 𝛽)𝑔(𝛼, 𝛽 ∣ 𝛾) = 𝐹 2 (𝑏⁄𝑐 + 𝑐⁄𝑏 ∣ 𝛼)
.
5. Соотношения (3.1), (3.2) и (4.1) позволяют сделать очень интересные выводы,
но предварительно приведём аргументы, позволяющие внести в эти формулы
существенные упрощения. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник.
Такой треугольник однозначно определен лишь двумя элементами и
представляет собой фактически случай, объединяющий первый и второй
случаи: в первом случае сейчас избыточной является одна сторона, во втором –
угол, поскольку второй угол
𝛽 = 𝜋⁄2 − 𝛼.
4
Рассмотрим случай, когда задана гипотенуза и любой острый угол, например –
(с, 𝛼).
Введем ещё одну неизвестную пока функцию, с очевидностью зависящую
только
от
одного
аргумента,
через
которую
выражается
катет,
противолежащий заданному углу:
𝑎 = 𝑐 ∙ 𝐻(𝛼).
Точно также можно записать:
𝑏 = 𝑐 ∙ 𝐻(𝛽) = 𝐻(𝜋⁄2 − 𝛼).
Из этих двух формул получим ещё одно соотношение:
𝑎 = 𝑏 ∙ 𝐻(𝛼)⁄𝐻(𝛽) = 𝑐 ∙
𝐻(𝛼)
⁄𝐻(𝜋⁄ − 𝛼).
2
Из выражения для площади прямоугольника, равной по определению
произведению длин его сторон, и свойств любого параллелограмма,
диагонали которого делят его на два равных, а поэтому и равновеликих
треугольника,
имеем
чисто
геометрическое
следствие
для
площади
прямоугольного треугольника.
𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 1⁄2 𝑆𝐴𝐶𝐵𝐷 = 1⁄2 𝑎𝑏
Используем теперь введенную функцию 𝐻(𝑧) и формулы (3.1), (3.2) и (4.1).
𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 1⁄2 𝑎𝑏 = 1⁄2 𝑎𝑐𝐻(𝛽) = 1⁄2 𝑏𝑐𝐻(𝛼) = 1⁄2 𝑐 2 𝐻(𝛼)𝐻(𝛽)
(5.1)
𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 𝑎2 𝑔(𝜋⁄2 − 𝛼, 𝜋⁄2 ∣ 𝛼) = 𝑏 2 𝑔(𝜋⁄2 , 𝛼 ∣ 𝜋⁄2 − 𝛼)
= 𝑐 2 𝑔(𝛼, 𝜋⁄2 − 𝛼 ∣ 𝜋⁄2) (5.2)
𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 𝑎𝑏𝐹(𝑎⁄𝑏 + 𝑏⁄𝑎 ∣ 𝜋⁄2) = 𝑏𝑐𝐹(𝑏⁄𝑐 + 𝑐⁄𝑏 ∣ 𝛼) = 𝑎𝑐𝐹(𝑐⁄𝑎 + 𝑎⁄𝑐 ∣
𝛽)
(5.3)
5
Непосредственно сравнивая формулы (5.1) и (5.3), убеждаемся, что функция
𝐹( 𝑥 ∣ 𝑦 ) от значений первого аргумента не зависит, а остается только
зависимость от второго аргумента. При этом очевидно, что:
𝐹( 𝑥 ∣ 𝑦 ) = 1⁄2 𝐻(𝑦),
с очевидным свойством:
𝐻(0) = 0; 𝐻(𝜋⁄2) = 1.
Теперь соотношения (4.2) запишутся в виде:
𝑔(𝛼, 𝛽 ∣ 𝛾)𝑔(𝛽, 𝛾 ∣ 𝛼) = 1⁄4 𝐻 2 (𝛽)
𝑔(𝛽, 𝛾 ∣ 𝛼)𝑔(𝛾, 𝛼 ∣ 𝛽) = 1⁄4 𝐻 2 (𝛾)
(5.4)
𝑔(𝛾, 𝛼 ∣ 𝛽)𝑔(𝛼, 𝛽 ∣ 𝛾) = 1⁄4 𝐻 2 (𝛼)
.
Структура формул (5.4) очевидна. Из последних трех соотношений с учетом
неотрицательности всех функций (в области тех значений аргументов, какие
пока используются - 0 ≤ 𝛼, 𝛽, 𝛾 ≤ 𝜋, вопросы экстраполяции на всё множество
𝑅 будут рассмотрены в своё время) немедленно находим явное выражение для
функции 𝑔( 𝑥, 𝑦 ∣ 𝑧 ):
𝑔( 𝑥, 𝑦 ∣ 𝑧 ) = 1⁄2
𝐻(𝑥)𝐻(𝑦)
⁄𝐻(𝑧).
6