Задания для школьной олимпиады по математике V класс 1. Определите значение выражения 5074: (15*35 +27*15+ 62*18 +33*87-149*33). Ответ. Значение выражения не существует. 2.Какие цифры надо поставить вместо букв в данном примере? abcd abc + ab a ______ 4321 Ответ. 3 8 9 1 389 38 3 ______ 4321 3. На левой чашке весов лежат апельсин, 6 одинаковых яблок и 3 одинаковые груши, а на правой чашке- 3 таких же яблока и 5 таких же груш. Весы в равновесии. Что легче: яблоко или груша ? Ответ объясните. Ответ. Уберем с каждой чашки по 3 яблока и 3 груши. Получится, что апельсин и 3 яблока весят столько же, сколько две груши. Понятно, что груша тяжелее яблока. 4. Прямоугольный параллелепипед имеет длину 1250 см, ширину 720см, высоту 8о см. Е разделили на кубические дециметры и разместили их в один ряд, поставив вплотную друг к другу. Какой длины получился ряд? Ответ. 7200м. 6 к ласс. x y 150 ÍÎÄ ( õ; ó) 30 1. Решите в натуральных числах систему уравнений. Ответ (30;120), (60;90), (90;60),(120;30). 2.Определить значение выражения 1 1 1 1 . 1 2 2 3 3 4 19 20 19 Ответ. 20 3.Отметьте на плоскости 9 точек так, чтобы можно было построить 6 (не больше и не меньше ) различных квадратов с вершинами в этих точках. (Квадраты, одинаковые по размеру , но по разному расположенные, считаются различными.) Ответ. 4.Из молока , жирность которого 5%, готовят творог жирностью 15,5%, при этом получается сыворотка жирностью 0,5%. Сколько творога получится из 1т молока? Ответ. 300 кг. 5.Витя, Петя, Юра и Сережа заняли на олимпиаде первые четыре места. На вопрос , кто какое место занял , были даны ответы: А) Петя-2-е, Витя-3-е; Б) Сережа -2-е, Петя-1-е; В) Юра-2-е, Витя-4-е. Оказалось, что в каждом ответе одна часть верна, а другая – нет. Кто какое место занял в действительности? Ответ. Петя-1-е, Юра-2-е; Витя-3-е; Сережа-4-е. 7 класс. 1. Определить значение выражения 1 1 1 1 . 1 2 2 3 3 4 19 20 Ответ. 19 20 2. Решите уравнение, принимая за неизвестное х. При каких значениях а это уравнение имеет корни? àõ 2 3 àõ 7 . Ответ . При а 0 , . 2 4 3a 2.Найдите наименьшее натуральное число n такое, что число n2+n делится на 2004. Ответ. Разложим число 2004 на простые множители 2004=2х2х3х167. Поскольку n2+n= =n(n+1), либо n, либо n+1 должно делится на 167, поскольку n 166. Проверка показывает, что n=166 не подходит, а n=167-подходит. 3.Натуральные числа a u b таковы, что 19а=99b. Докажите , что a+b делится на 118. Ответ. Заметим , что 118b= 19b+99b, откуда 118b= 19(a+b) . Число 19-простое, то есть 118 не кратно 19, следовательно, 19 и 118- взаимно простые, то есть a+b делится на 118. 4. Имеется 11 арбузов и весы , с помощью которых можно за одно взвешивание определить общий вес любых трех арбузов. Как за шесть таких взвешиваний определить общий вес арбузов? Ответ. Пронумеруем арбузы от 1 до 11. взвешивать будем в таком порядке: 1) 1+2+3; 2) 4+5+6; 3)7+8+9; 4) 7+!0+11 5) 8+10+11; 6) 9+10+11. Сложив результаты трех последних взвешиваний, получим общий вес арбузов 7,8,9 плюс утроенный общий вес арбузов 10 11. Разделив на 3 разность между этой суммой и общим весом арбузов 7,8 и9, получим общий вес арбузов 10 и11. Прибавив к нему первых трех взвешиваний , получим общий вес всех арбузов. 5.Разрежьте равнобедренный треугольник на такие две части , чтобы из них можно было сложить :а) прямоугольник б) параллелограмм. 8 класс. 1.Упростит выражение 2x 2 a x . Ответ 1. если а x 2 2 x a xa ax На лужайке паслось 90 телят и гусей. Всего у них было 256 ног. Сколько было гусей и сколько было телят? Ответ. 38 телят и 52 гуся. 3.Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине O . Точки М и N- середины отрезков АС и ВD . Докажите , что точка О – середина отрезка МN. 2. 4.Построить график функции у= 2x 1 . 5.Найдите наименьшее натуральное число n такое, что число n2+n делится на 2004. Ответ. Разложим число 2004 на простые множители 2004=2х2х3х167. Поскольку n2+n= =n(n+1), либо n, либо n+1 должно делится на 167, поскольку n 166. Проверка показывает, что n=166 не подходит, а n=167-подходит. 9 класс. 1.Постройте график функции у = x2 - 4 x +3. 2.Упростить выражение a b 2 2 a ab ab b a ab . ab b 3.Найти все пары целых чисел х,у удовлетворяющих системе неравенств: 2 x 2 2 y 2 24 x 28 y 167 0, 15 x 2 y . 2 Решение. Записав первое неравенство системы в виде: 2 (х+6)2+2 (у-7)2<3, получаем, что оно выполняется в трех случаях: x 6 0, y 7 0, x 6 1, y 7 0, x 6 0, y 7 1. x 6, y 7, x 5, x 7 , или y 7, y 7, x 6, x 6 или y 8, y 6. Подставляя решения систем во второе неравенство, получим два решения исходной системы (-6;6) и (-7;7). Ответ: (-6;6) и (-7;7). 4.Окружность с центром О касается сторон угла В в точках А и С. Лучи АО и ВС пересекаются в точке М, Ом=9 , ВМ= 18. Найдите площадь треугольника ВОМ. Ответ. 48,6. №2, 2001 5. Когда Коля был молод, как Оля, много лет было тетушке Поле- годом меньше , чем Коле теперь вместе с Олей. Сколько лет было Коле, когда тетушка Поля была в возрасте Коли ? Ответ. 1 год. 10 класс. 1.Решить уравнение x 2 3x 2 x 2 5 x 6 2. Ответ. 1 или 3. 1. Решить систему уравнений 10 x 2 5 y 2 2 xy 38 x 6 y 41 0 2 3x 2 y 2 5 xy 17 x 6 y 20 0. Ответ. х=2, у=1. 3.Диогонали трапеции АВCD пересекаются в точке Е. Найти площадь треугольника ВСЕ, если длины оснований трапеции АВ=30 см, DC=24см, боковой стороны AD=3 см и угол DAB равен 600. Ответ.10 3 см2. 4.Построить график функции 2 У= x Ответ.+ 6x 9 + x 2 6x 9 . 5..Найдите наименьшее натуральное число n такое, что число n2+n делится на 2004. Ответ. Разложим число 2004 на простые множители 2004=2х2х3х167. Поскольку n2+n= =n(n+1), либо n, либо n+1 должно делится на 167, поскольку n 166. Проверка показывает, что n=166 не подходит, а n=167-подходит. 11 класс. 1. Определить все пары чисел (х;У) , удовлетворяющих уравнению 6tg x 2 3 y 2 12 y 15. Ответ. 2n;2 n Z . x 2 1 tg 2 2 2.Решить неравенство 3 31 23 1 x 2. Ответ. 3;2 ; 2;5 . 2 15 2 x x 2 2 x2 4 1 3 9 3.Вычислить 0 , 5 4 27 3 1 4 4 0,0016 0,5 . 4. Вне треугольника АВС взяты точки М и N так, что MAB NAC 90 0 , MA AB, NA AC, O öåíòð описанной около MAN BF окружности, F- точка пересечения ОА и ВС. Найти , если АС=1, АВ= 2 . Ответ 2. FC 5. Дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1. Разложите вектор Ответ. AA1 = DA1 DB1 DC1 . AA1 по векторам DA1 , DC1 , DB1 .